apostila de matematica

MATEMÁTICA

PRFPatrulheiro

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MATEMÁTICA

Números Inteiros(Z), operações e propriedades, múltiplos e divisores;

problemas....................................................................................................03

Números Racionais(Q): operações nas formas fracionária e decimal............07

Números e grandezas proporcionais............................................................16

Razões e Proporções,.....................................................................................17

Divisão proporcional........................................................................................20

Regra de Três Simples e Composta.............................................................20

Porcentagem,.................................................................................................21

Juros Simples..................................................................................................22

Funções de 1º e 2º Graus; problemas..........................................................22

Sistema de medidas: decimais e não decimais;............................................25

PROVA............................................................................................................29

GABARITO.....................................................................................................33

NÚMEROS INTEIROS:

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N O T A:SE OS SINAIS FOREM IGUAIS O RESULTADO SERÁ (+).SE OS SINAIS FOREM DIFERENTES O RESULTADO SERÁ ( - ).

MATEMÁTICAOPERAÇÕES E PROPRIEDADES, MÚLTIPLOS E DIVISORES; PROBLEMAS

NÚMEROS INTEIROS (Z): Z= {...,-2,-1,0,1,2,...} Inclui os números negativos e os números Naturais.

Representamos por Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, o conjunto dos números inteiros relativos.

Num campeonato de futebol, ao final da 6ª rodada, o número de gols que cada equipe marcou e sofreu está nesta tabela.

GOLS A FAVOR GOLS CONTRA SALDOGRÊMIO 14 2 + 12FLAMENGO 8 5 + 3CORÍNTHIANS 10 9 + 1BOTAFOGO 10 10 0SANTOS 4 6 - 2FLUMINENSE 5 8 - 3SÃO PAULO 7 11 - 4VASCO 3 10 - 7

Como vimos, o Grêmio, o Flamengo e o Corínthians marcaram mais gols do que sofreram, ficando com saldo positivo de gols.

O Botafogo marcou e sofreu o mesmo número de gols, ficando com saldo nulo.O Santos, o Fluminense, o São Paulo e o Vasco sofreram mais gols do que marcaram, ficando com

saldo negativo de gols.ASSIM: O saldo de gols é dado pela diferença do número de gols marcados e do número de gols

sofridos. No caso do Santos a diferença é 4 - 6. Mas como calcularemos esta diferença em Matemática? Precisamos para isto, ampliar os nossos conhecimentos sobre os números.

Sobre uma reta r, vamos marcar um ponto, a origem associada ao número ZERO, os números inteiros positivos e os números inteiros negativos.

Os pontos representados os números inteiros são separados entre si pela mesma unidade.-9 - 8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

r

Assim na reta r, temos à direita do zero os elementos positivos e à esquerda do zero os elementos negativos.a) Eis o conjunto dos números inteiros relativos não negativos: Z+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, ...}b) E o conjunto dos números inteiros relativos não positivos: Z_ = {...-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

REGRA DOS SINAIS(+) x (+) = +(+) x (- ) = -(- ) x (- ) = +(- ) x (+) = -(+) : (+) = +(+) : (- ) = -(- ) : (- ) = +(- ) : (+) = -

ADIÇÃOA) NÚMEROS DE MESMO SINAL Se a temperatura hoje é de 22ºC e se ocorre um aumento de 4ºC, qual é a temperatura após o

aumento?RESPOSTA: (+ 22ºC) + (+ 4ºC) = 26ºC

Se a temperatura num certo dia é de -2ºC e se ocorre um abaixamento de 3ºC, qual é a temperatura após o abaixamento?

RESPOSTA: (-2ºC) + (-3ºC) = -5ºC

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MATEMÁTICANa adição de números inteiros relativos de mesmo sinal, adicionamos os seus módulos e

conservamos o seu sinal. EXEMPLOS:a) (+7) + (+3) = + 10b) (+5) + (+2) = + 7c) (-5) + (-1) = - 6d) (-6) + (-5) = - 11B) NÚMEROS DE SINAIS CONTRÁRIOS Se a temperatura é de 13ºC e há uma queda de 5 ºC, qual é a nova temperatura?RESPOSTA: (+13º) + (-5ºC) = +8ºC

Se a temperatura é de -10ºC e há um aumento de 3ºC, qual é a nova temperatura?RESPOSTA: (-10ºC) + (+3ºC) = -7ºCNa adição de números relativos de sinais contrários, calcula-se a diferença entre os módulos dos

números, prevalecendo o sinal de maior módulo. EXEMPLOS:a) (+5) + (-3) = + 2b) (-5 ) + (+4) = - 1c) (+3) + ( -1) = + 2d) (-6 ) + (+1) = - 5C) NO CASO DE EXISTIREM MAIS DE DOIS NÚMEROS NA ADIÇÃO, adicionamos todos os positivos e todos os negativos entre si, para então efetuarmos a operação entre os dois números resultantes. Dependendo dos valores, este cálculo pode ser feito diretamente.

EXEMPLOS:a) (+3) + (+5) + ( -6) + ( -1) + (+4) = ?

Positivos: (+3) + (+5) + (+4) = +12Negativos: (- 6) + (- 1) = -7Resultados: (+12) + (- 7) = +5

b) (+3) + (+2) + (- 6) + (-7) + (-4) =? (+5) + (- 7) = - 12

SUBTRAÇÃOSuponha que você possua R$ 200,00 e vai pagar uma conta de R$ 120,00. Quanto resta após pagar a conta?

R$ 200,00 - R$ 120,00 = R$ 80,00 ou então: (+200) - (+120) = (+200) + (-200) = +80

Agora imagine que você tem R$ 80,00 e vai pagar uma conta de R$ 110,00. Quanto você deverá ficar devendo?

R$ 80,00 - R$ 110,00 = - R$ 30,00 ou então: (+80) - (+110) = (+80) + (-110) = -30

A diferença de dois números relativos numa certa ordem, é a soma do primeiro com o simétrico do segundo.

EXEMPLOS:a) (+4) - (+2) = (+4) + (- 2) = +2b) (+3) - (+6) = (+3) + (- 6) = - 3c) (+2) - (+4) = (+2) + (- 4) = - 2d) (- 7) - (+10) = ( -7) + (-10) = - 7

Nas operações onde o sinal negativo precede os parênteses, podemos raciocinar direto, da seguinte maneira:

- (+3) é o oposto de (+3) que é (- 3)- (- 3) é o oposto de (- 3) que é (+3)Efetuando direto, temos:- (+5) = - 5 - (+6) = - 6- (- 7) = +7

MULTIPLICAÇÃOA) DOIS FATORES DE MESMO SINAL


MATEMÁTICANa multiplicação de dois números inteiros relativos de mesmo sinal, o produto é positivo.EXEMPLOS:a) ( +3) x (+2) = + 6b) (- 3) x (- 2) = + 6c) (+4) x (+2) = + 8B) DOIS FATORES DE SINAIS CONTRÁRIOS Na multiplicação de dois números relativos de sinais contrários, o produto é negativo.EXEMPLOS:a) (- 3) x (+2) = - 6b) (+4) x (- 2) = - 8c) (+5) x (- 1) = - 5C) MULTIPLICAÇÃO COM MAIS DE DOIS FATORES Olhe o exemplo:(+3) x (- 2) x (- 4) x (- 10) =(- 6) x (- 4) x (- 10) =(+24) x (- 10) = -240

Efetuamos a multiplicação calculando o produto com dois fatores de cada vez, ou então calculamos o produto dos valores absoluto dos fatores e verificamos o número de fatores negativos, com duas possibilidades1ª) Se a quantidade de fatores negativos for par, o produto é positivo.2ª) Se a quantidade de fatores negativos for ímpar, o produto negativo.

D) MULTIPLICAÇÃO ONDE O FATOR É NULO Em toda a multiplicação de números inteiros relativos onde um fator é nulo, o produto é nulo.EXEMPLOS: a) (+3) x 0 = 0 b) (- 3) x 0 = 0

DIVISÃOÉ a operação inversa da multiplicação.Na divisão (+16) : (+2), vamos encontrar o número inteiro relativo, que multiplicado por (+2) dá

(+16). (+16) : ( +2) = ? (+2) x ( ? ) = (+16)Este valor é (+8).Com relação ao sinal, podemos concluir que a divisão de números inteiros relativos segue a mesma

regra que a multiplicação. O quociente da divisão é igual ao quociente dos valores absolutos dos números inteiros relativos.

EXEMPLOS:a) (-20) : (+5) = - 4b) ( +10) : ( +2) = +5c) (- 10) : (- 1) = +10d) (+14) : (- 7) = - 2

OBSERVAÇÃO:A divisão de dois números inteiros relativos, só é possível quando é múltiplo do segundo e diferente de zero.

POTENCIAÇÃOObserve o seguinte produto de fatores iguais.2 x 2 x 2 este produto pode ser escrito da seguinte forma, 23 onde o número 3 representa quantas

vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo.

23 expoente

base

Expoente informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado por ele mesmo.Base informa o fator a ser repetido.Potência é o resultado desta operação23 = lê-se, dois elevado a 3ª potencia ou dois elevado ao cubo.


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A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.Temos que, (+2) x (+2) x (+2) = (+2)3

Na potência (+2)3 = + 8, temos:(+2) = base3 = expoente+8 = potência

Para os números inteiros relativos, temos:a) BASES POSITIVAS

Vamos ver quanto vale (+3)2? (+3)2 = (+3) x (+3) = +9E (+5)4 ? (+5)4 = (+5) x (+5) x (+5) x (+5) = + 625Observação:TODA POTÊNCIA DE BASE POSITIVA É SEMPRE POSITIVA.

b) BASES NEGATIVASE agora quanto vale (-3)2 ?(- 3)2 = (-3) x (-3) = + 9E quanto vale: (- 2)3 ?(- 2)3 = (- 2) x (- 2) x (- 2) = - 8OBSERVAÇÃO:TODA POTÊNCIA DE BASE NEGATIVA É POSITIVA SE O EXPOENTE É PAR, E É NEGATIVA SE O EXPOENTE É IMPAR.

RADICIAÇÃOA raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número

inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical).

Para acharmos a raiz cúbica de oito ( ), devemos nos perguntar qual o número que multiplicado por ele mesmo três vezes resulta 8, ou seja, qual o número que elevado na potência 3 resulta 8?. A resposta é 2, pois 23=2·2·2=8Nomenclatura:

Para facilitar as coisas, existe um meio de transformarmos uma raiz em uma potência. Assim fica muito mais fácil, pois podemos utilizar as mesmas propriedade de potenciação.

Vamos agora ver alguma propriedades fundamentais de radiciação:

Isto acontece pois zero vezes zero sempre será zero, não importa quantas "n" vezes ele aparecer.

Mesma coisa, um vezes um é sempre 1

Esta podemos provar pela definição de raiz. Qual o número que multiplicado uma vez por ele mesmo resulta ele? Ele mesmo!


MATEMÁTICASe colocarmos esta raiz na forma de potência temos:an/n e a fração n/n vale 1, então:an/n = a1= a

Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria , a única diferença é que agora o "a" está elevado em uma potência diferente de 1.

NÚMEROS RACIONAIS: OPERAÇÕES NAS FORMAS FRACIONÁRIA E DECIMAL

REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA E DECIMAL: OPERAÇÕES E PROPRIEDADESNÚMEROS RACIONAIS (Q): São números racionais:

-½ , -1 , 0 ,1, -¼

Além de incluir os dois conjuntos anteriores, inclui também as frações e os números decimais com período constante como 2,33 e -1,444...

Os números racionais são indicados por Q. Cada número racional é representado por uma fração a, b

onde a e b são números inteiros e b 0. Os números racionais admitem representação decimal exata ou periódica.Conjunto dos números racionais: Q = {x; x = p/q com p Z , q Z e q 0 }.Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p

e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero.

São exemplos de números racionais:2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, 4 = 20/5 , ... , etc.

Obs.:a) é evidente que N Z Q.b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Ex: 0,4444... = 4/9

FRACIONÁRIA E DECIMALConsiderando uma barra dividida em 4 partes iguais, representada pela figura abaixo:

Cada uma desta 4 partes é uma fração do chocolate. Representamos esta fração da seguinte maneira.

1 (um quarto) 4

A fração é indicada por 2 números naturais, escritos um acima do outro abaixo de um traço horizontal, com o seguinte significado: o número escrito abaixo do traço é chamado DENOMINADOR e indica a quantidade de partes em que foi dividida a barra.

O número escrito acima do traço indica a quantidade de partes que foram consideradas, sendo chamado NUMERADOR..

Assim: 1 (numerador) significa que foi considerada uma parte das 4.4 (denominador)

2 significa que foram consideradas 2 partes das 4, ou a metade da barra .4

( 2 = 1 ) 4 2

3 significa que foram consideradas 3 partes das 4.4


MATEMÁTICA

4 significa que foram consideradas 4 partes das 4, ou seja, o todo 1 = 4 4 4

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOA adição e subtração de duas ou mais frações é a operação que permite determinar a soma ou

diminuição dessas frações. Há dois casos a destacar, comum à ambas operações:

FRAÇÕES TEM DENOMINADORES IGUAIS1º EXEMPLO:

Calcular 2 + 59 9

Resolução: Para isso, vamos usar a figura:

A figura foi dividida em 9 partes iguais, e cada parte representa 1. 9

A parte de cinza escuro representa 2 da figura. 9

a parte de cinza claro representa 5 da figura. 9 A parte colorida representa 7 da figura 9

Então: 2 + 5 = 7 9 9 9

2º EXEMPLO:Calcular 6 - 4

7 7

Resolução: Para isso, vamos usar a figura:

A figura foi dividida em 7 partes iguais, e cada parte representa 1 7 A parte colorida representa 6 da figura. 7 A parte cinza e riscada representa 4 da figura. 7 A parte colorida e não riscada representa 2 da figura. 7

Então: 6 - 4 = 27 7 7'

Pelos exemplos dados:

Se as frações têm o mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores conservando o denominador comum.


MATEMÁTICA

Exemplos:1) 2 + 3 = 5 2) 5 + 1 = 6 = 3

11 11 11 8 8 8 4 6

simplificando 8

3) 4 - 1 = 3 4) 7 - 2 = 5 = 1 5 5 5 10 10 10 2 5

simplificando 10FRAÇÕES QUE TÊM DENOMINADORES DIFERENTES

1º exemplo: Calcular 1 + 12 5

Resolução:Inicialmente, vamos usar a figura ao lado como unidade.

Observe as figuras:

1 1 1 + 12 5 2 5

5 2 5 + 2 = 7 10 10 10 10 10

Você pode notar que 1 + 1 representa o mesmo que 5 + 2 2 5 10 10

Então:1 + 1 = 5 + 2 = 72 5 10 10 10

frações com frações denominadores equivalentes diferentes com o mesmo denominador

Para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, devemos, inicialmente, escrever frações equivalentes às frações dadas e que tenham o mesmo denominador.

A seguir, adicionamos ou subtraímos essas frações equivalentes.Veja outros exemplos:

1) 5 + 3 = 20 + 9 = 29 2) 3 - 2 = 15 - 8 = 7 6 8 24 24 24 4 5 20 20 20

escrevendo as frações escrevendo as fraçõesequivalentes com o equivalentes com omesmo denominador mesmo denominador

3) 2 + 3 = 2 + 3 = 8 + 3 = 11 4) 1- 3 - 1 - 3 - 7 - 3 = 4 4 1 4 4 4 4 7 1 7 7 7 7

escrevendo as frações escrevendo as fraçõesequivalentes com o equivalentes com o


OBSERVAÇÃO:Para facilitar as operações é conveniente usar o menor dos denominadores comuns.

MATEMÁTICAmesmo denominador mesmo denominador

EXERCÍCIO:Observando a figura ao lado, responda:1. Qual é a fração representada pela parte cinza escuro?

2. Qual é a fração representada pela parte colorida de cinza claro?

3. Qual é a adição de frações que a figura sugere e qual o resultado dessa adição?

RESPOSTAS:1. 2 2. 5 3. 2 + 5 = 7 9 9 9 9 9

MULTIPLICAÇÃOMultiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores também. EXEMPLOS:a) 3 . 1 = 3 . 1 = 3 5 4 5 4 20

b) 5 . 2 = 5 . 2 = 10 3 1 3 3 3

DIVISÃOPara dividirmos duas frações devemos multiplicar a primeira pelo inverso da segunda. EXEMPLOS:a) 3 : 2 = 3 . 3 = 9 5 3 5 2 10b) 5 : 1 = 5 . 2 = 5 . 2 = 10 2 1 1 1 1

POTENCIAÇÃOPotência de uma fração é um produto de fatores iguais a essa fração. Da mesma forma que foi

estudada para os números naturais,. a potenciação é a operação que permite determinar a potência. EXEMPLOS:

a) (2) 4 2 . 2. 2 . 2 16 3 3 3 3 3 81A técnica de cálculo é dada pela seguinte regra:Para se elevar uma fração a uma potência, elevam-se, separadamente, numerador e denominador

ao expoente indicado.(5)³ = 5 . 5 . 5 = 125 4 4 4 4 64(1)4 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 2 2 2 2 2 16( 2)5 = 2 . 2 . 2 = 8 3 3 3 3 27

RADICIAÇÃOÉ a operação inversa da potenciação.Na radiciação extrai-se, separadamente, a raiz do numerador e do denominador.Já sabemos que 4 = 2, pois 22 = 4

Da mesma maneira, escrevemos:a) 9 = 232 = 3 16 4 4

b) 8 Neste caso, antes de resolver a radiciação, precisamos simplificar a fração: 32 8 : 8 = 1 = 1 2 = 1

32 : 8 4 22 2c) 27 Fatorando o número 27 temos; 33

64 Fatorando o número 64 temos: 43

33 = 33 = 3


Observação:Podemos usar dois sinais para indicar a multiplicação: o x e o pontinho (.). Você notará no decorrer dos estudos que a aparecerão as duas formas, portanto não esqueça que ambas têm o mesmo significado. Exemplo: 2 x 3 = 6 é igual a 2 . 3 = 6

MATEMÁTICA 43 43 4

As frações podem ser ainda representadas como números decimais (Desde, é claro, que o

numerador não seja um múltiplo do denominador como em que é exatamente igual a 2).Existem dois tipos de decimais: os decimais exatos e os decimais que resultam em dízima periódica

infinitas casas depois da vírgula:3 = 0,75 (decimal exato)4

2 = 0,666.... (dízima periódica)3

Fração Geratriz: É a fração que gera um determinado número decimal.

Exemplo: é a fração geratriz de 0,3333...

Cálculo da fração geratriz existem três casos:Primeiro Caso: a dízima periódica é composta de uma mesma seqüência de algarismos como em

0,243243243... (No caso, 243 é chamado de período da dízima, pois o 243 se repete).Existe uma regra prática: para acharmos a fração geratriz, basta criar uma fração onde o

numerador é o período e o denominador é composto de "noves". Se o período tiver 2 algarismos, o denominador vai ser 99; se o período tiver 4 algarismos o denominador vai ser 9999. Assim:

0,243243243... = 243 27 = 9 999 27 = 37Segundo caso: uma dízima onde a parte inteira antes da vírgula é diferente de zero. Exemplo:

22,2323232323.....Nesse caso, o método é muito parecido com o primeiro caso: 22,2323232323... = 22 + 0,232323... =22 + 23 = 22 + 23 = (22 . 99) + 23 = 2.201 99 1 99 99 99Terceiro Caso: Quando temos uma dízima periódica composta, ou seja, a parte decimal é formada

por algarismos não-periódicos e algarismos periódicos: exemplo: 0,33421421... (note que o 33 não se repete mais, ao contrário do 421 que se repete). Nesse caso temos uma outra regra prática:

0,33421421.....

33421 – 33 = 33388 4 = 8347 99900 99900 4 24975

Regra prática:33421 escrevemos o não-periódico 33 seguido do periódico 42133 a parte não periódica99000 2 noves, pois a parte não-periódica 33 tem 2 algarismos.três zeros pois a parte periódica tem 3 algarismos.

Observação: Nem todo número decimal pode ser convertido em uma fração. Se o número decimal não apresentar período, por exemplo: 3,141592... dizemos que o número é irracional.

Nos números decimais a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Exemplos: 0,52 parte decimal parte inteira


MATEMÁTICA 15,066 parte decimal parte inteira

Os números decimais obedecem ao princípio idêntico ao do sistema de numeração decimal: um algarismo escrito a direita de outro representa unidades 10 vezes menores que desse outro.

unidade milhar centena dezena simples décimo centésimo milésimo 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

esquerda: 10 vezes maior direita: 10 vezes menor

LEITURA DE UM NÚMERO DECIMALExemplos:

a) 1,2 - Lê-se "um inteiro e dois décimos"b) 0,5 - Lê-se “cinco décimos”c) 12,15 - Lê-se "doze inteiros e setenta e cinco centésimos"

OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAISADIÇÃO

Convertem-se, primeiramente, nos numerais decimais as unidades de primeira ordem e procede-se como na adição de números naturais. Como técnica de cálculo, escrevem-se os números decimais uns sob os outros, de modo que as vírgulas se correspondam; somam-se a seguir, os números como se fossem naturais, colocando-se a vírgula na soma em correspondência com as das parcelas: Exemplo: a) Efetue: 0,85 + 62 + 0,003 + 5,3476 Temos: 0,85 62 0,003 + 5,3416 68,1946 Resposta: 68,1946

SUBTRAÇÃO Procede-se de forma semelhante à da adição: Exemplo: Efetuar: 5,08 - 3,4852 Temos: 5,0800 - 3,4852 1,5948 Resposta: 1,5948

Na operação subtração, sempre acrescenta-se zeros as casas que faltam.

MULTIPLICAÇÃOA técnica operatória para se obter o produto será enunciada após a aplicação num exemplo. Seja

multiplicar 5,32 por 3,8:Temos: 5,32

x 3,8 4256 1596 20,216

Multiplicam-se os dois números decimais como se fossem naturais e separam-se no resultado a partir da direita tantas casas decimais quantos forem os algarismos das partes decimais dos números dados.DIVISÃO

A divisão de dois números decimais deve ser tratada com mais cuidado, pois, ao contrário do que acontece com a adição, subtração e multiplicação, o quociente de dois numerais decimais pode não representar uma fração decimal. Antes de efetuar a divisão de 2 numerais decimais, deve-se igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor e retirar as vírgulas. Exemplos:


MATEMÁTICA a) Seja dividir: 19,8 por 0,45. Temos: 19,80 0,45 1980 45 180 44 180 180 0 Resposta: 44

b) Seja dividir: 0,75 por 2,5. Temos: 0,75 2,50 750 250 750 0,3 0 Resposta: 0,3

Os números decimais são muito freqüentes em nosso cotidiano. Quando vamos fazer compras, por exemplo, eles estão presentes na quantidade que compramos ou nos preços das mercadorias.

Veja:

PROBLEMASIDENTIFICAÇÃO DO PRODUTO CÓDIGO MARCA PREÇO

Açúcar Cristal com 5 kg FT-P Del Prata 4,25Arroz Polido Tipo 1 – 5 kg CE Grego 8,50Café Torrado Moído – 500 gramas FT Maringá 2,88Farinha de Trigo Especial – 1 k LU Dona Benta 1,60Farinha de Trigo Especial – 5 kg FT-P Dona Benta 7,00Leite Condensado – Lata – 395 gramas CE Moça 1,49Leite Condensado – Caixa – 395 gramas FT Avaré 1,40Creme de Leite – Caixa – 250 gramas LU Batavo 1,60Creme de Leite – Lata – 300 gramas LU Nestlé 1,79Leite em Pó – 400 gramas CE Ninho 3,30Milho para Pipoca – 500 gramas LU Zaeli 1,30Óleo de Soja em Lata – 900 ml CE-P COAMO 2,20Óleo de Soja em Plástico – 900 ml CE-P COCAMAR 2,10Sal Refinado Pacote – 01 kg MG Moc 0,70Sardinha Lata – 135 gramas CE Oceano 1,30Apresuntado – 01 kg FT Perdigão 9,20Carne de Boi de 1ª (Coxão Mole) – 01 kg KR 4,20Carne de Boi de 2ª (Acém sem Osso) – 01 kg FT 4,90Charque – 01 kg KR Navirai 8,50Frango Resfriado – 01 kg FT Avaí 2,80Mortadela – 01 kg KR Central 6,50

CÓDIGOS DOS MERCADOS PESQUISADOSCE – CENTRALLU – LÚCIOMG - MARINGÁ

KR – KARIMÃFT – FONTANAP – PRODUTO EM PROMOÇÃO

Situação - 1Suponha que você vai fazer compras para a sua casa, e consultando a lista de pesquisa, quer saber

quanto gastará para comprar:a) 5 kg de arroz tipo 1, 1 kg de sal e uma lata de óleo de soja.

Para responder essa questão, você já sabe que tem que fazer uma adição, só que vai trabalhar com números com vírgulas, isto é, números decimais.

Faça o cálculo do valor aproximado desta compra. Escreva como você chegou a esse resultado.

Essa operação pode ser efetuada da seguinte maneira:Coloque os preços de modo que as vírgulas fiquem uma embaixo da outra e adicione como se os


MATEMÁTICAnúmeros fossem naturais. No resultado, coloque a vírgula em baixo das demais.

Assim: 8,50 parcela

+ 0,70 parcela 2,20 parcela 11,40 soma

Você fez uma adição de números decimais. Portanto, gastará R$11,40 (onze reais e quarenta centavos).

Situação – 2Se você resolver comprar 2 latas de leite condensado, quanto vai gastar?Consultando a lista, verificamos que cada lata custa R$1,49 (um real e quarenta e nove centavos).Com esse dado, calcule o preço das duas latas de leite. Registre como você procedeu para efetuar

os seus cálculos.Essa operação pode ser efetuada da seguinte maneira:Calcule o produto como se os fatores fossem números naturais.

Coloque a vírgula no produto de modo que fique com o mesmo número de casas decimais dos fatores.

Assim:Fator 0,89Fator x 2 Produto 1,78

Você fez uma multiplicação de números decimais e viu que gastará R$1,78 (um real e setenta e oito centavos).

FRAÇÕES ALGÉBRICAS

Sejam as expressões:a) x

5b) 3 + x

4axc) x - 1

y - 2

Essas expressões chamam-se FRAÇÕES ALGÉBRICAS. Observe que nessas frações o numerador e o denominador são polinômios ou monômios.

É necessário excluir os valores das variáveis que anulam o denominador.EXEMPLOS:a) 7 para x 0

x

b) 4 para x 3x - 3

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICASSimplificar uma fração algébrica é transformá-la numa fração equivalente mais simples. Para isso,

basta dividir o numerador e o denominador por seus divisores comuns.

Exercícios resolvidos:Simplificar as frações:1) 10a 2 b

15a3


DUAS CASAS DEPOIS DA VÍRGULA

MATEMÁTICAResolução:Fatorando o numerador e denominador e cancelando os fatores comuns:10a 2 b = 2 . 5 . a . a . b = 2b15a3 3 . 5 . a . a . a 3a2) 8x + 8 = 8 (x + 1) = 4

10 (x +1) 10 (x+1) 5

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ALGÉBRICASAs operações com frações algébricas são efetuadas de maneira análoga às frações numéricas.

A) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOa) As frações têm o mesmo denominadorSomam-se ou subtraem-se os numeradores e conserva-se o denominador comum.Exercícios resolvidos:Calcular:1) 5a 3a 5a + 3a 8a

x x x x

2) 7x 3x 7x - 3x 4x 2x6a 6a 6a 6a 3a

b) As frações têm denominador diferentesReduzem-se as frações ao mesmo denominador.Exercícios resolvidos:Calcular:1) 3a 5a

2x 4x

O m.m.c. (2x , 4x) = 4x6a 5a 6a + 5 11a4x 4x 4x 4x

2) 5 3 2x 4x2

O m.m.c. (2x , 4x2) = 4x2

10x 3 1x - 34x2 4x2 4x2

B) MULTIPLICAÇÃOExercícios resolvidos:Calcular:1) a . b ax

b y by2) 3a . 7 21a

x 5y 5xy3) 3x - 2 . 7y 7y

5 3x - 2 54) a . 2x 2a

3x 5 15OBSERVAÇÃO:

Nesses dois últimos exemplos, fizemos o cancelamento dos fatores comuns.

C) DIVISÃOExercícios resolvidos:Calcular:1) 2x : 3y 2x . 5b 10xb

a 5b a 3y 3ay

2) 5x 2 : 7b 5x 2 . 2x 10x 3 3a 2x 3a 7b 21ab


Lembre-se:Para multiplicarmos frações, multiplicamos os numeradores e os denominadores.

Lembre-se:Para dividir duas frações, multiplica-se a primeira pela inversa da segunda.

MATEMÁTICA

D) POTENCIAÇÃOExercícios resolvidos:1) (3x 2 ) 2 (3x 2 ) 2 9x 4

(5ay3)2 (5ay3)2 25a2y4

2) (4a) 2 (4a) 2 16a 2 x - 3 (x - 3)2 x2 - 6x + 9

NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAISMarcos foi comprar 10m de arame e pagou R$ 5,00 pela compra. Se comprasse 20m, pagaria

R$10,00; se comprasse 30m, pagaria a importância de R$ 15,00 e assim por diante.Esquematizando as compras:

Comprimento do arame Preço do arameI 10 m R$ 5,00II 20 m R$ 10,00III 30 m R$ 15,00Vemos que, aumentando-se a primeira grandeza (arame), a segunda (preço) aumenta na mesma

razão da primeira. Comparando-se, temos: 10 = 1 20 2

I E II R$ 5,00 = 1 10 R$ 5,00 R$ 10,00 2 20 R$ 10,00

10 = 1 30 3

I E II R$ 5,00 = 1 10 R$ 5,00 R$ 15,00 3 30 R$ 15,00

20 = 2 30 3

II E III R$ 10,00 = 2 20 R$ 10,00 R$ 15,00 3 30 R$ 15,00

As grandezas comprimento da peça de arme e preço da peça são diretamente proporcionais. Portanto:

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira.Um automóvel se desloca numa estrada, com velocidade média constante de 60 km/h.

Em uma hora, percorre 60 km;Em duas horas, percorre 120 km;Em cinco horas, percorre 300 km ou: I 1 hora ------------- 60 km II 2 horas ----------- 120 kmIII 5 horas ----------- 300 kmDonde:1 = 60 ; 1 = 60 ; 2 = 1202 120 5 300 5 300

Um pedreiro assenta 200 tijolos por hora.Então: 1 hora --------- 200 tijolos

3 horas ------- 600 tijolos4 horas ------- 800 tijolos

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAISSuponhamos que três veículos estejam percorrendo 90km numa determinada estrada.1º - Um ciclista, com 30 km/h de velocidade;2º - Um caminhão, com 45 km/h de velocidade média;


Lembre-se:Para elevar uma fração a uma potência, eleva-se o numerador e o denominador a essa potência.

MATEMÁTICA3º - Um ônibus, com 90 km/h de velocidade média.Então:O ciclista leva três horas no percurso.O caminhão leva duas horas no percurso.O ônibus leva uma hora no percurso.Comparando-se temos:

Velocidade Tempo I 30 km/h 3 horas

II 45 km/h 2 horasIII 90 km/h 1 hora

Vemos que I, II e III formam proporções, conservando-se a ordem de uma das razões e invertendo-se a outra, ou:

I e II) 30 = 2 ou 45 = 3 45 3 30 2

I e III) 30 = 1 ou 90 = 3 90 3 30 1

II e III) 45 = 1 ou 90 = 2 90 2 45 1Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira.

RAZÃO E PROPORÇÃORAZÃO

“Razão entre dois números racionais (o segundo diferente do primeiro) é o quociente do primeiro pelo segundo.”Assim a razão entre os números 3 e 2 é 3 que se lê: razão de três para dois. 2O primeiro número é chamado ANTECEDENTE e o segundo CONSEQÜENTE.

3 antecedente2 conseqüente

RAZÕES INVERSASConsiderando as razões 4 e 5 vemos que o antecedente de uma é o conseqüente da outra e vice-versa. 5 4Vemos também que o produto das duas é igual a 1

( 4 . 5 = 1 ) 5 4Das duas razões nessas condições são chamadas inversas.Observação: A razão de antecedente 0 não possui inversa.

RAZÕES IGUAISTomando-se as razões 6 e 9 , verificamos que 6 = 3 e 9 = 3 ,

8 12 8 4 12 4isto é, as frações que representam são equivalentes.

Neste caso, diz-se que as razões são iguais e se indica 6 = 9 8 12Então: “Duas razões são iguais quando as frações que as representam são equivalentes.”

No exemplo dado, 6 = 9 , veremos que: 8 12

6 x 12 = 9 x 8 antecedente conseqüente antecedente conseqüente de uma de outra de uma de outra

Logo: “Nas razões iguais, os produtos do antecedente de uma pelo conseqüente de outra são iguais.”


MATEMÁTICAPROPORÇÕES

É a igualdade entre 2 razões. EXEMPLO: 3 = 6 ( lê-se 3 está para 2 assim como 6 está para 4) 2 4

O primeiro número (3) e o último número (4) são os EXTREMOS e o segundo número (2) e o terceiro número (6) são os MEIOS.PROPRIEDADES E TRANSFORMAÇÕESEm toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim, considerando o exemplo acima temos:

Produto dos Extremos: 3 . 4 = 12 Produtos dos Meios: 2 . 6 = 12

EXEMPLOS:1. As proporções 3 e 4 , formam uma proporção 5 7

R.: Não, pois, 3 . 7 = 21 e 5 . 4 = 202. Calcule x nas proporções:

a) x = 6 5 10

Solução:Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 10x = 30

PROPRIEDADE RECÍPROCASe tivermos quatro números diferentes de zero, onde o produto do primeiro pelo quarto é igual ao produto do segundo pelo terceiro, então esses quatro números formam uma proporção.

EXEMPLO:Considerando os números 3, 6, 2, 4

(1º) (2º) (3º) (4º)Como 3 . 4 = 6 . 2, então esses números formam uma proporção que pode ser escrita de oito

formas diferentes (transformadas):

1ª) 3 = 2 6 42ª) 3 = 6 (permutando-se os meios) 2 43ª) 4 = 2 (permutando-se os extremos) 6 34ª) 4 = 6 (permutando-se os meios e os extremos) 2 35ª) 6 = 4 3 2

6ª) 2 = 4 invertendo-se as razões das proporções 1ª, 2ª, 3ª e 4ª). 3 6

7ª) 6 = 3 4 28ª) 2 = 3 4 6


MATEMÁTICA

TERCEIRA E QUARTA PROPORCIONAIS- QUARTA PROPORCIONALQuarta proporcional é quando um número forma com outros três uma proporção. Exemplo:Com os números 3, 5, 9 e 15 formamos uma proporção, então o 3 é a quarta proporcional.

3 = 9 5 15

- Cálculo da Quarta ProporcionalA) A QUARTA PROPORCIONAL É UM EXTREMOVeja 4 = 12 5 x

Aplicamos a propriedade fundamental das proporções.4.x = 5 . 12 x = 5 . 12

4 x = 15

Logo: O produto dos meios dividido pelo extremo conhecido é igual a um extremo desconhecido.

B) A QUARTA PROPORCIONAL É UM MEIOVeja: 7 = 35

x 30Aplicaremos a propriedade fundamental:

35.x = 7 . 30 x = 7 . 30

35 x = 6

Logo: O produto dos extremos dividimos por meio conhecido é igual a um meio desconhecido.

- PROPORÇÃO CONTÍNUAQuando uma proporção tem meios ou os extremos iguais ele é contínua.Exemplo:

9 6 e 8 46 4 16 8

- TERCEIRA PROPORCIONALÉ um dos termos desiguais de uma proporção contínua.Exemplo:

3 1515 15

o 75 é a terceira proporcional entre os números 3 e 15; o 3 é a terceira proporcional entre os números 15 e 75.

Logo: O número que forma com dois outro uma proporção contínua é a terceira proporcional

DIVISÃO PROPORCIONALA divisão proporcional é representada por um conjunto de números proporcionais e grandezas proporcionais.

NÚMEROS PROPORCIONAISEm toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim, considerando o exemplo acima temos:

Produto dos Extremos: 3 . 4 = 12 Produtos dos Meios: 2 . 6 = 12


MATEMÁTICA

EXEMPLOS:1. As proporções 3 e 4 , formam uma proporção 5 7

R.: Não, pois, 3 . 7 = 21 e 5 . 4 = 202. Calcule x nas proporções:

a) x = 6 5 10Solução: Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 10x = 30

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTAA regra de três é usada para resolver problemas que envolvam grandezas proporcionais. Assim

temos:

Simples: DIRETA: envolve duas grandezas diretamente proporcionais (GDP);

REGRA INVERSA: envolve duas grandezas DE inversamente proporcionaisTRÊS (GIP).

Composta: envolve mais de duas grandezas

Exemplos:1) Paguei $600 por 5m de um tecido. Quanto pagaria por 8m desse tecido?

5m 600 8m x

Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Logo:

5 = 600 x = 8.600 = 9608 x 5

Resp.: $960.2) Um carro, com a velocidade de 80km/h, percorre um trajeto em 4h. Em quanto tempo esse mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro fosse de 64km/h?

80km/h 4h 64km/h x

Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). Logo:80 = x x = 80 . 4 = 564 4 64 Resp.: 5 horas.

3) Numa indústria, quatro máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Em quantos dias duas máquinas produziriam 900 peças?

Relacionamos a grandeza que contém a incógnita, isoladamente, com cada uma das outras. Vemos que “tempo” e “máquinas” são GIP e “tempo” e “peças” são GDP. Assim, temos:

8 = 2 . 600 x = 24x 4 900 Resp.: 24 dias.

4) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2000m de outra fazenda que apresenta uma dificuldade igual aos ¾ da primeira?

10d - 8h - 1000m - dif. 1 x d - 6h - 2000m - dif. ¾

10 = 6 . 1000 . 1 , ou seja, 10 = 6 . 1000 . 4 x = 20 x 8 2000 ¾ x 8 2000 3 Resp.: 20 dias.

PORCENTAGEMCom freqüência cada vez maior você lê ou ouve:

A inflação deste mês superou os 10%. (lê-se: dez por cento). Para pagamento a vista há um desconto de 30% (lê-se: trinta por cento). A mensalidade escolar aumentou 50% (lê-se: cinqüenta por cento)


CONVENÇÕES J = JurosC = Capital ou Principali = Taxa t = Tempo ou períodoa.a. = ao anoa.m. = ao mêsa.d. = ao dia

MATEMÁTICAA noção de porcentagem é muito importante, também, quando fizemos comparações entre frações

de uma quantidade.Toda fração com denominador 100 representa uma porcentagem.Assim: A fração 1 pode ser escrita assim: 1% (um por cento). 100 Então, 1% significa que, para cada 100 partes iguais, você considera 1 parte.

A fração 45 pode ser escrita assim: 45% (quarenta e cinco por cento) 100 Então, 45% significa que, dividindo uma quantidade em 100 partes iguais, você considera 45 partes.

A fração 76 pode ser escrita assim: 76% (setenta e seis por cento). 100

Então, 76% significa que, dividindo uma quantidade em 100 partes iguais, você considera 76 partes.Portanto: 1 =100

1% ou 1% = 1 100

45 =100

45% ou 45% 45 100

76 = 100

76% ou 76% 76 100

Uma porcentagem é uma razão cujo conseqüente é 100. Usa-se o símbolo %. Exemplos: 5 ou 5%; 13,4 ou 13,4%, etc.

100 100

Podemos resolver todos os problemas de porcentagem a partir de uma regra de três simples e direta.Exemplos:1) Escrever 2/5 na forma de porcentagem.

1 100%2/5 x% x = 100 . 2/5 = 40

1 Logo: 2/5 = 40%2) Na minha classe existem 40 alunos dos quais 24 são meninas. Qual é a porcentagem de meninas?

100%______ 40x = 24 . 100 = 60

x% ______ 24 40Logo, 60% dos alunos são meninas.

3) Gastei 15% do que possuía ao comprar uma calça de $3.000. Quanto possuo?15% ______ 3.000

x = 3.000 . 100 = 20.000100% _____ x 15 Então, eu possuía $

20.000

JUROS SIMPLESÉ o valor referente ao ganho que o investidor tem por ter emprestado o seu dinheiro. Esse valor é um percentual do dinheiro emprestado.Para o cálculo do juro simples é necessário ter noção de porcentagem.Percentual Assim vejamos, o que é 7% (7 por cento ou 7 100 ) de 200 quilômetros? é simples, basta dividirmos os 200 km em 100 partes. Feito o cálculo temos 100 partes com 2 km cada, aí é só pegarmos 7 partes que teremos 14 km.Assim, se eu empresto $2.543,22 e peço 2% ao mês, eu terei um juro de $50,86 [2.543,22 x ( 2 100 ) ] = 50,86.Agora só falta o tempo, que nada mais é do que a quantidade de vezes que eu tenho direito de receber os juros.

Assim, temos a famosa fórmula J = C i tTemos ainda os seguintes conceitos:


MATEMÁTICAJuro Exato como o nome diz, utilizamos para o seu cálculo o tempo exato ano de 365 ou 366 dias e mês de 28, 29 , 30 ou 31 dias).Juro Comercial utilizamos o ano de 360 dias e o mês de 30 dias. Juro Ordinário é a aplicação da famosa " regra dos banqueiros ".CÁLCULOSCalcular os juros de um empréstimo de R$1.237,00 durante o período de 1º de julho de 2.002 a 1º de setembro de 2.002, à taxa de 20% a.a. .Juro exato: J = Cit = 1.237,00 x [20 (100x365)] x 62 = 42,02Juro comercial: J= Cit = 1237,00 x [20 (100x360)] x 60 = 41,23Juro ordinário : J= Cit = 1.237,00 x [20 (100x360) x 62 = 42,60

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS1) Calcule: a) 15% de $3000

b) 32% de $1.500c) 40% de 180kg Resp.: a) $450 b) 480l c) 72kg

2) Num concurso com 200 candidatos, 170 foram aprovados. A quanto por cento corresponde o número de candidatos aprovados? Resp.: 85%3) Uma loja comercial oferece nas compras acima de $5.000, um desconto de 5%. Quanto um cliente pagará por uma compra de $35.000? Resp.: $33.2504) Um pai resolveu presentear seus filhos, distribuindo entre eles $12.000. Desta quantia, Tiago recebeu 40%, Rodrigo 35% e Vanessa 25%. Quanto recebeu cada um de seus filhos? R.: $4.800, $4.200, $3.0005) 12% dos moradores de uma cidade são estrangeiros. Qual é a população desta cidade, sabendo que o nº de estrangeiros é 2.400? Resp.: 20.000 habitantes.

FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS, PROBLEMASUma função é dita do 1º grau, (mais precisamente polinomial do 1º grau) quando é definida pela

seguinte sentença aberta do primeiro grau com duas variáveis:y = ax + b , onde (a, b IR e a 0.

Tanto o domínio como a imagem dessa função são o conjunto IR e:

fIR IR

x ax + b

f : x ax + b(“f leva x em ax + b”)

Exemplos: f definida por: y = 3x + 1 é uma função (binômio) do 1º grau, onde:f : x 3x + 1 (“f leva x em 3x + 1”)a = -3; b = 1).

Propriedades da função do 1º grau:1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta.2) na função f(x) = ax + b, se b = 0 , f é dita linear e se b 0 f é dita afim.3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0.4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0, b) , onde b é chamado coeficiente linear.5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta.6) se a > 0 , então f é crescente.7) se a < 0 , então f é decrescente.8) quando a função é linear (f(x) = ax), o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

O valor de x que tem 0 por imagem é denominado raiz ou zero da função. A raiz ou zero da função y = ax + b (a 0) é: - b, pois: a

IRax + b = 0 ax = - b x + - b y a

(0, 4)Exemplo: Seja a função f do 1o. grau definida por: y = 2x + 4ou f : x 2x + 4 (- 2, 0) xIR


MATEMÁTICA

O gráfico dessa função é uma reta.Você já sabe determiná-lo.

Basta considerar dois pontos:x y pontos

x = 0 y = 2 x 0 + 4 = 0 + 4 = 4 ou 0 4 (0,4)y = 0 2x + 4 = 0 2x = - 4 x = 2 - 2 0 (2,0)

A raiz ou zero dessa função se obtém resolvendo a equação: 2x + 4 = 0 x = -2 raiz de zero

No gráfico, a raiz ou zero da função (binômio) do 1º grau y = 2x + 4 é a abscissa do ponto-intersecção da reta que a representa com o eixo x.

Quando representamos mais de uma equação no mesmo plano cartesiano, o ponto de Intersecção entre as retas é a solução do sistema de equações.

Exemplo:

FUNÇÃO DE 2º GRAU

Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax² + bx + c , com a 0 .Exemplos: f(x) = x² - 2x + 1 (a = 1 , b = -2 , c = 1); y = - x² (a = -1 , b = 0, c = 0)Gráfico da função do 2º grau y = ax² + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical.

Propriedades do gráfico de y = ax² + bx + c:1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo.2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo.3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde xv = - b/2a e yv = - /4a onde = b² - 4ac.4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x’ e x’’, que são as raízes da equação ax² + bx

+ c = 0.5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.7) ymax = - /4a (a < 0)8) ymin = - D /4a (a > 0)9) Im(f) = {y R ; y - /4a } ( a > 0)10) Im(f) = {y R ; y - /4a} ( a < 0)Forma fatorada: sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c, então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir: y = a(x - x1).(x - x2)

Uma função f: IR IR cuja lei de formação é dada pela sentença f(x) = a.x2 + b.x + c, com a 0, é dita função do 2º grau.

Ex.: a) f(x) = x2 – 2x + 1 b) f(x) = –x2 + 1 Gráfico da função do 2º grau é sempre uma parábola de eixo vertical.


MATEMÁTICA

Se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo exatamente no vértice V(xv , yv).Se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo exatamente no vértice V(xv , yv).O vértice da parábola é V(xv , yv), sendo: xv = –b/2a e yv = –/4a, onde = b2 – 4ac.A parábola intercepta o eixo dos “x” nas raízes x' e x'' e intercepta o eixo dos “y” no ponto (0,c).

Propriedades do gráfico de y = ax² + bx + c:11) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo.12) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo.13) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde xv = - b/2a e yv = - /4a onde = b² - 4ac.14) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x’ e x’’, que são as raízes da equação ax²

+ bx + c = 0.15) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).16) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.17) ymax = - /4a (a < 0)18) ymin = - D /4a (a > 0)19) Im(f) = {y R ; y - /4a } ( a > 0)20) Im(f) = {y R ; y - /4a} ( a < 0)

PROBLEMAS:1. Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas porf(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:a) -5 b) -4 c) 0 d) 4 e) 5

2. O maior valor assumido pela função y = 2 - ½ x - 2½ é:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é:a) 4 b) -4 c) 5 d) -5 e) 0

4. Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a:a) x - 2 b) x - 6 c) x - 6/5 d) 5x - 2 e) 5x + 2


MATEMÁTICA

5. Chama-se ponto fixo de uma função f a um número x tal que f(x) = x. Se o ponto fixo da função f(x) = mx + 5 é igual a 10, então podemos afirmar que o módulo do décuplo do ponto fixo da função g(x) = 2x - m é igual a:a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

RESPOSTAS:1. D; 2. B; 3. A; 4. C; 5. A

Exercícios Resolvidos— Sabe-se que –2 e 3 são raízes de uma função do 2º grau. Se o ponto (–1,8) pertence ao gráfico dessa função, então:a) o seu valor máximo é 1,25b) o seu valor mínimo é 1,25c) o seu valor máximo é 0,25d) o seu valor mínimo é 12,5e) o seu valor máximo é 12,5.

Como a função do 2º grau é do tipo f(x) = a.x2 + b.x + c, e pode ser escrita na forma fatorada y = a(x – x')(x – x") , onde x' e x", são os zeros ou raízes da função, temos: y = a[x – (–2 )](x – 3) = a(x + 2)(x – 3) ou y = a(x + 2)(x – 3) e como (–1,8) pertence ao gráfico da função, vem: 8 = a(–1 + 2)( –1 – 3) e daí, 8 = a(1)( –4) = –4.a, logo a = –2. E a função é y = –2(x + 2).(x – 3) ou y = (–2x – 4).(x – 3) ou y = –2x2 + 2x + 12.

Como a = –2 < 0 a função possui um valor máximo em yv = –/4a e daí, = b2 – 4ac = 22 – 4.(–2).12 = 4 + 96 = 100. Portanto, yv = –100/4(–2) = 100/8 = 12,5.

SISTEMA DE MEDIDAS(DECIMAL E NÃO DECIMAIS)

MEDIDAS DE COMPRIMENTOVocê já leu que o homem padronizou as unidades usadas para medir comprimentos em conseqüência de uma necessidade que você mesmo pôde perceber.

No Brasil, como na grande maioria dos países, usa-se o metro, que se abrevia m, como unidade fundamental e legal para medir comprimentos.

Há, porém, outras unidades:Para medir grandes comprimentos, como, por exemplo, a distância entre duas cidades, há

unidades maiores que o metro e que são derivadas dele: decâmetro (dam), que vale 10 m hectômetro (hm), que vale 100 m quilômetro (km), que vale 1 000 m

Essas unidades são os múltiplos do metro e, na prática, a mais utilizada é o quilômetro (km).Para medir pequenos comprimentos, como, por exemplo, a largura da folha deste livro ou o

comprimento de um prego, há também unidades derivadas do metro e que são menores que ele: 1

- o decímetro (dm), que vale 10 do metro

- o centímetro (cm), que vale 1 do metro 100

- o milímetro (mm), que vale 1 . do metro 1 000

Essas unidades são os submúltiplos do metro e, na prática, as mais usadas são o centímetro (cm) e o milímetro (mm).

Como você pode observar pelos quadros, os múltiplos e os submúltiplos são obtidos a partir do


MATEMÁTICAmetro, realizando-se sucessivas multiplicações ou divisões por 10.

Eis o quadro das unidades para medir comprimentos:

Os múltiplos do metro unidadefundamental

Os múltiplos do metro

quilômetro hectômetro decâmetro

metro decímetro centímetro

milímetro

km hm dam m dm cm mm1 000 m 100 m 10 m 1m 1 do m

10 1 do m100

1 do m1 000

Vejamos alguns instrumentos usados para medir comprimentos:

Observação:O metro padrão encontra-se assinalado sobre uma barra de metal nobre no Museu Internacional de

Pesos e Medidas, na França.No Brasil, podemos encontrar uma cópia no Museu Nacional.

SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAISAbaixo estamos dando o valor de algumas unidades conhecidas e sua relação com o metro: a polegada, que vale 2,54 cm o pé, que vale 30,48 cm a jarda, que vale 91,44 cm a milha, que vale 1 609 m

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

A medida de um comprimento pode ser dada em unidades diferentes. Se você olhar a figura seguinte, poderá observar esse fato:

O lápis tem 8 cm de comprimento.ouO lápis tem 80 mm de comprimento.

Sabemos que o metro (m) é 1, o meio metro será ½ (0,5), 0,50 centímetros (cm).Então vejamos:Carlos tem 1 metro, e Clarissa tem meio metro a mais que Carlos. Assim, vemos que Clarissa tem

1,50 cm.


MATEMÁTICAMEDIDAS DE SUPERFÍCIE

Para as medidas de área, usamos a mesma tabela que para medidas de comprimento, utilizando a unidade ao quadrado (m2). Então temos a seguinte tabela:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

A vírgula é deslocada para a direita ou esquerda, de duas em duas casas; isto significa que são colocados dois algarismos em cada unidade.

Para melhor entender, veja os exemplos:Exemplo 1) 5 dam2, passar para cm2.Como estamos passando de uma unidade maior para uma unidade menor, fazemos o seguinte:O que está antes da vírgula é colocado na unidade correspondente (neste caso, não há vírgula); o

que está depois, tem colocado dois algarismos em cada unidade, até a unidade desejada; se necessário, completa-se com zeros, dois em cada casa.

Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Então, temos que: 5 00 00 00 5 dam2 = 5000000 cm

Exemplo 2) 125, 743 hm2, passar para dm2. É idêntico ao anterior.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Então, podemos dizer que: 125 74 30 00 125,743 hm2 = 125743000 dm2

Exemplo 3) 8655,7 m2, passar para km2.Nesse caso, estamos passando de uma unidade menor para uma unidade maior; o procedimento

deve ser o seguinte:O que está situado depois da vírgula, fica nas casas abaixo da unidade correspondente.Com o que está antes da vírgula, ocorre o seguinte: coloca-se o primeiro algarismo na casa da

unidade correspondente e os algarismos restantes são colocados dois a dois em cada unidade, até a unidade desejada; se for necessário, completa-se com zeros.


0,0 08 65 5 7

Então dizemos que: 8655,7 m2 = 0,0086557 km2

UNIDADES AGRÁRIASQuando se efetua medida de superfície como, por exemplo, fazendas, sítios, etc., podemos lançar

mão de outras unidades. A mais utilizada é o ARE, que eqüivale a um quadrado de 100 m de lado, ou seja 100m2. Logo:

1 are = 1 a = 10 0 m2

O múltiplo de are é o hectare: 1 hectare = 1 ha = 100 a = 10.000 m2

O submúltiplo do are e o centiare:1 centiare = 1 ca = 0,01 a = 1 m2

MEDIDA DE CAPACIDADEUsamos a mesma tabela para medida de área, só que a unidade é o cubo (m3).


O modo de proceder é idêntico ao de medidas de área, a vírgula se desloca para a esquerda ou direita, só que, neste caso, de três em três casas, ou seja, são deslocados três algarismos em cada unidade.

Exemplo 1) 5500 m3, passar para dm3.

km3 hm3 dam3 m³ dm3 cm3 mm3

5500 000


MATEMÁTICA

Podemos dizer que: 5500 m3 = 5500000 dm3.

Exemplo 2) 5500 m3, passar para hm3. km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

0,00 550 0 Então, temos que 5500 m3 = 0,0055 hm3.

MEDIDAS DE MASSAQuando você sobe em uma balança, você vai medir a massa do seu corpo.Assim, quando medimos a massa de um corpo sólido, encontramos um número que, de modo geral,

chamamos peso do corpo.Provavelmente, você já deve conhecer algumas unidades para medir a massa de um corpo: o quilograma, que está indicado nos mostradores das balanças. a tonelada, que está indicada nos caminhões. o grama, normalmente indicado nos metais preciosos, como o ouro, por exemplo. o miligrama, normalmente indicado em embalagens de remédios.

A unidade fundamental para medir a massa de um corpo é o quilograma, que se abrevia kg.O seu múltiplo é a tonelada (t), que eqüivale a 1 000 kg, ou seja, 1 t = 1 000 kg.Por ser mais prático na vida real, normalmente é usado como unidade principal para medir a massa

de um corpo; é o grama (g), que representa a milésima parte da massa de um quilograma, ou seja: 1 kg = 1 000 g.

Existem outras unidades menores que o grama:

- o decigrama (dg), que vale 1 do g, ou seja, 1 g = 10 dg. 10

- o centigrama (cg), que vale 1 do g, ou seja, 1 g = 100 cg. 100

- o miligrama (mg), que vale 1 do g, ou seja, 1 g = 1 000 mg. 1 000

Como podemos ver, as unidades para medir massa estão relacionadas ao sistema decimal.MEDIDAS DE TEMPO

A unidade legal para medida de tempo é o segundo. Os múltiplos são:Segundo s 1 sMinuto min 60 sHora h 60 min = 3600 sdiad 24h = 1 440 min = 86 400 s

O segundo é definido como um intervalo de tempo igual à 1/86400 do dia solar médio, de acordo com as convenções da Astronomia.CONVENÇÕES DE MEDIDA DE TEMPO

As medidas de tempo inferiores ao segundo não têm designação própria, utilizamos, assim, submúltiplos decimais. Daí dizemos: décimos de segundo, centésimos de segundo ou milionésimos de segundo.

Utiliza-se, também, unidades como: mês, ano, século, etc.Então podemos dizer que:1 min = 60 s1 h = 60 min = 3600 s1 d = 24 h1 mês = 30 d1 ano = 12 meses1 século = 100 anos.

Para efetuar a mudança de uma unidade para outra, devemos multiplicá-la (ou dividí-la, quando inferior para maior), pelo valor dessa unidade.

Ex.: 10 min = 600 s 1200 s = 20 min


MATEMÁTICA 6 h = 360 min

1 d = 86.400 s

PROVA1. Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

2. Sejam x1 + x2 as raízes da equação 10x2 + 33x - 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5x1x2

+ 2(x1+x2) é:a) –33 b) –10 c) –7 d) 10 e) 33

3. A fábrica Elétrika produz um aparelho em duas versões: luxo-L e popular-P. Cada unidade L requer 3 horas de trabalho semanal e cada unidade P requer 2,5 horas de trabalho semanal. Sabe-se que a fábrica tem disponibilidade de 120 horas de máquina para produzir as duas versões. Se numa mesma semana forem produzidas 30 unidades do modelo P, o número de unidades do modelo L, que poderão ser produzidas, é:a) 40 b) 30 c) 20 d) 25 e) 15

4. Um estudante comprou n canetas por 300 reais e (n + 4) lapiseiras por 200 reais. Sabendo que o preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, o número de canetas e lapiseiras, respectivamente, que ele comprou, é:a) 8 e 12 b) 12 e 16 c) 10 e 14

d) 16 e 20 e) 14 e 18

5. Uma fábrica recebeu uma encomenda de 50 aviões. A fábrica montou os aviões em 5 dias, utilizando 6 robôs de mesmo rendimento, que trabalharam 8 horas por dia. Uma nova encomenda foi feita, desta vez 60 aviões. Nessa ocasião, um dos robôs não participou da montagem. Para atender o cliente, a fábrica trabalhou 12 horas por dia. O número de dias necessários para que a fábrica entregasse as duas encomendas foia) exatamente 10 c) entre 9 e 10b) mais de 10 d) menos de 9

6. A figura a seguir descreve de que forma uma pessoa se desloca, caminhando. Partindo de A, ela avança sempre da mesma maneira, caminhando 140m e girando 450 para a esquerda. Depois de algum tempo, essa pessoa retorna ao ponto A, fechando a trajetória.Se, em média, ela dá 12 passos a cada 10m, o número de passos que ela deu em toda a trajetória foi:a) 1200b) 1344c) 1120d) 1400e) 880

140m

14

0m

140mA

45

45

7. Um terreno tem a forma e as medidas indicadas na figura a seguir. Querendo gramar 3/7 desse terreno, sendo que cada placa de grama cobre 2,5m2 do mesmo, o número de placas que se deve usar é:a) 480b) 720c) 600d) 800e) 1200

8. Sendo f a função definida por f(x) = x² + 2x + k, com k um número real positivo, o único dos gráficos abaixo que pode representar f é o da alternativa

(A) (D)


x

x

x

x2x

10

MATEMÁTICA

(B) (E)

(C)

9. Sendo (n + 1)! = 5, o valor de n! ² é n! (n – 1)!(A) 4 (B) 5 C) 9 (D) 16 (E) 25

10. Num concurso público, um candidato fez um total de 96 pontos em Matemática e Português. A nota de Português foi os 3/5 da nota de Matemática. A quantidade de pontos que o candidato fez, em Português, foi:a) 32 b) 34 c) 36 d) 38

11. Dividindo-se 300 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5, obtém-se como MAIOR parte:a) 60 b) 90 c) 120 d) 150

12. Vinte por cento da tinta de uma lata de 18 litros revestem seis por cento de uma parede. Para revestir a parede totalmente, a quantidade de tinta necessária, em litros, é:a) 51 b) 54 c) 57 d) 60

13. De dois cantos opostos do retângulo abaixo de base 10 e altura 2x, retiram-se dois quadrados de lado x, conforme mostra a figura.

A área máxima da figura hachurada éa) 20 c) 40b) 50 d) 70

14. Em torno de um campo de futebol, conforme figura abaixo, construiu-se uma pista de atletismo com 3 metros de largura, cujo preço por metro quadrado é de R$ 500,00. Sabendo-se que os arcos situados atrás das traves dos gols são semicírculos de mesma dimensão, o custo total desta construção que equivale à área hachurada, é

Dado: Considere = 3,14

a) R$ 300.000,00b) R$ 464.500,00c) R$ 502.530,00d) R$ 667.030,00

15. Se A = , então o número real "A" vale

a)b)c)d)16. A figura ao lado mostra parte da estrutura metálica de um barracão, montado na avenida da praia, onde eram comercializados doces e artesanatos. O comprimento


100 m

3 m

40 m

3m

A

B D C

9 m1 2 m

S Ã O LD O S U L

O U R E N Ç O

X - 1 0 º

X + 4 0º

3 X + 30 º

2 X + 20 º

P E L O TA S

R IO G R A N D E

C O L Ô N IA Z 3

MATEMÁTICAdo segmento éa) 15 mb) 9,6 mc) 7,8 md) 7,2 m

17. Na primeira semana de outubro, a zona sul do estado foi arrasada por um vendaval de até 150km/h. As cidades mais atingidas foram São Lourenço do Sul, Pelotas (Laranjal e Colônia Z3) e Rio Grande. O desenho abaixo mostra um quadrilátero onde os vértices são as cidades atingidas pelo vento. As medidas dos ângulos, em ordem decrescente, desse quadrilátero sãoa) 180°, 120°, 90° e 40°b) 30°, 80°, 100° e 150°c) 150°, 100°, 80° e 30°d) 147°, 98°, 79° e 29°

18. Uma forte chuva alagou as principais avenidas de Camboriú. De acordo com a guarnição dos bombeiros, pelo menos 50 casas foram invadidas pelas águas. Uma descarga elétrica atingiu um poste, de 12m de altura, na zona sul da cidade. Esse poste teve seu cabo de sustentação, que mede 20m, rompido.No desenho ao lado, a área formada pelo poste, pelo cabo de sustentação e pelo solo medea) 120m2 b) 96m2 c) 80m2 d) 160m2

19. Sabendo-se que â = 47° 20', o suplemento, a metade e o complemento, respectivamente, desse ângulo valem

a) 132° 40' 23° 40' 42° 40'b) 42° 40' 23° 40' 132° 40'c) 132° 40' 23° 20' 53° 20'd) 42° 40' 23° 20' 143° 20'

20. Na figura ao lado, as retas "r" e "s" são paralelas, o valor do ângulo x éa) 125°b) 115°c) 90°d) 100°

21. Considere um ANAGRAMA como sendo uma permutação simples das letras de uma palavra dada.Usando a informação acima, é CORRETO afirmar que o número de anagramas da palavra BHTRANS que começam pela letra A é igual a:a) 600 b) 720 c) 760 d) 800

22. Dois sinais de trânsito fecham ao mesmo tempo, mas enquanto um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, o outro permanece os mesmos 10 segundos fechado, porém fica 50 segundos aberto. O número mínimo de minutos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez, é(A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7.

23. Patrik Onom Étrico, um jovem curioso, observa da janela do seu quarto (A) uma banca de revistas (R), bem em frente ao seu prédio, segundo um ângulo de 60o com a vertical. Desejando avaliar a distância do prédio à banca, Patrik sobe seis andares (aproximadamente 16 metros) até o apartamento de um amigo seu, e passa a avistar a banca (do ponto B) segundo um ângulo de 30o

com a vertical. Calculando a distância “d”, Patrik deve encontrar, aproximadamente, o valor:(A) 8,0 m (B) 11,2 m (C) 12,4 m (D) 13,6 m (E) 15,0 m


1 3 0º

2 5 º

r

s

x

MATEMÁTICA24. Seja a função definida por f(x)= . O

domínio da função inversa de f(x) é(A) {x R / x 2 }(B) {x R / x > 2 }(C) {x R / x < 2 }(D) {x R / x 2 }(E) {x R / x 2 }

25. Em uma progressão aritmética, na qual o primeiro termo vale 11 e a razão vale 2, o oitavo termo vale(A) 3(B) 1(C) 1(D) 3(E) 5

26. Sejam f e g funções definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = 2x + 1 .O valor de g[f(1)] + f[g(0)] é(A) 17(B) 19(C) 21(D) 23(E) 25

27. A área de um triângulo retângulo é de 12 unidades quadradas. Sabendo-se que a

medida de um dos catetos é da medida do

outro e que a hipotenusa mede unidades, o valor de n é(A) 4(B) 6(C) 8(D) 10(E) 13

28. Quantos cubos do tipo A devem ser utilizados para formar um cubo semelhante ao cubo B da figura a seguir? (A) 8(B) 16(C) 27(D) 36(E) 64

29. Os ponteiros de um relógio marcam treze horas e trinta minutos, conforme a figura abaixo, que serve apenas para ilustrar o problema.

O menor ângulo entre esses ponteiros é(A) 135° (B) 150° (C) 155° (D) 160° (E) 165°

GABARITO

1. E 2. B 3. E 4. B 5. C 6. B 7. B 8. C 9. D 10. C11. D 12. D 13. B 14. C 15. B 16. D 17. C 18. B 19. A 20. B21. B 22. C 23. D 24. A 25. D 26. C 27. E 28. C 29. A


apostila de matematica

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