apostila de matemática financeira.pdf

Professor Ivan Pegoretti

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Voltaire

- 2012 -

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Introduo: Capital, Juros, Taxa de Juros e Perodo.

Os juros e os impostos remontam Antiguidade. Os primeiros registros babilnicos de 2.000 A.C j tratavam do assunto. Existiam, conforme relatos, banqueiros internacionais na Babilnia por volta do ano 575 A.C, sendo seus lucros provenientes dos juros do financiamento do comrcio internacional. J na idade mdia a cobrana de juros pelo cidado comum podia render-lhe uma condenao morte pelo crime de usura, ficando a cargo somente da igreja essa rentvel atividade. Se voc se interessou pelo assunto, poder encontrar maiores informaes sobre a histria da matemtica comercial e financeira no website S Matemtica, disponvel em http://www.somatematica.com.br/historia/matfinanceira.php.

O estudo da Matemtica Financeira surgiu no momento em que o homem percebeu a intrnseca relao entre riqueza e o tempo e, posteriormente, entre o dinheiro e o tempo. Assaf Neto, 2002, conceitua Matemtica Financeira como sendo o estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, objetivando analisar e comparar vrios fluxos de caixa em diferentes momentos. Noutras palavras, pode-se dizer que hoje, o valor de R$ 1.000,00 possui um poder de compra diferente daquele que ter a mesma quantia, daqui a doze meses, seja pela sua aplicao a juros (caderneta de poupana, por exemplo) ou pela simples ao corrosiva da inflao, se deixado tal valor embaixo do colcho.

Capital Dutra (1993) conceitua Capital, sob o prisma da Matemtica Financeira, como valores que podem ser expressos em unidades monetrias em determinada poca.

Juros Puccini (1996) ensina que juros a remunerao de um capital, a qualquer ttulo. como se fosse pago um aluguel de determinada quantia em dinheiro, que fica em poder de algum por algum tempo. Juros podem ainda ser conceituados como a remunerao ou resultado esperado de investimentos em atividades voltadas produo; Custos de capital. Vale lembrar que juros so sempre expressos em unidades monetrias.

Taxa de Juros a razo entre os juros recebidos (ou pagos) ao final de certo perodo, e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado). A taxa de juros expressa em percentuais. Assaf Neto (2002) conceitua taxa de juros como sendo o coeficiente que determina o valor do juro, isto , a remunerao do fator de capital utilizado durante certo perodo de tempo. Nas frmulas de Matemtica Financeira, realiza-se a transformao da taxa percentual em taxa unitria. Por exemplo, 6% nas frmulas, ser vista como 0,06. Na utilizao das calculadoras financeiras, para se informar os mesmos 6%, basta teclar 6, seguido da tecla i (a HP 12C j considera a notao em percentuais). Nas planilhas eletrnicas necessrio informar 6, seguido do smbolo %. Quando tais ferramentas forem utilizadas mais adiante, isso ser explicado mais adequadamente.

Perodo Pode-se conceituar como perodo o tempo que um Capital fica exposto cobrana de juros. expresso em dias, meses, bimestres, trimestres, anos, etc.


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Capitalizao Simples x Capitalizao Composta Quando um clculo refere-se aos sistemas de capitalizao, deseja-se saber qual a forma ou maneira pela qual, os juros auferidos pela aplicao (ou emprstimo) de um capital se incorporam a este.

No regime de Capitalizao Simples, os juros obedecem ao comportamento de uma P.A. (progresso aritmtica), crescendo de forma linear. Por este sistema, os juros incidem apenas sobre o principal do capital, no havendo assim, o que se chama popularmente de juros sobre juros ou que juricamente se conceitua como anatocismo (do latim anatocismus e do grego anatokisms). Por exemplo, um capital de R$ 5.000,00 aplicados taxa de 40% ao ano, durante 6 anos. Veja o quadro a seguir:

Ao final do sexto ano, haver um montante (Capital, acrescido de juros) de R$ 17.000,00. Pelo exposto, percebe-se que os juros tambm so fixos, ou seja, ao longo dos seis anos, o valor dos juros o mesmo, ou seja, R$ 2.000,00 anuais. Por sua vez, no regime de Capitalizao Composta, alm dos juros do capital, a cada perodo, incorporam-se, tambm, os juros sobre os juros at o perodo anterior, caracterizando dessa forma uma P.G. (progresso geomtrica), onde os juros incidem no somente sobre o capital inicial, mas sim, sobre o saldo apurado no incio do perodo anterior. Observe o mesmo caso anterior, agora sob o prisma da Capitalizao Composta:

ATENO: O montante que na Capitalizao simples era de R$ 17.000,00 salta para R$ 37.647,68 na capitalizao composta. O grfico a seguir demonstra a diferena entre os dois regimes de capitalizao.


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Pode-se dizer em relao aos dois regimes de capitalizao que enquanto os juros simples sobem pela escada, os juros compostos sobem de elevador. Por isso, que os juros simples so utilizados em situaes bastante especiais, pois, via de regra, quase a totalidade das transaes financeiras envolvem Capitalizao Composta.

Todavia, a aprendizagem da Capitalizao Simples o alicerce para os clculos que envolvam futuramente a Capitalizao Composta. Uma curiosidade. No instante 1 (um dia, um ms, um ano, etc), os juros acumulados so exatamente iguais, tanto no regime de capitalizao simples, quanto no sistema de capitalizao composta (no exemplo, ao final do ano 1, R$ 7.000,00). Por sua vez, quando o perodo em questo menor que 1, o Montante no sistema de capitalizao simples ser MAIOR que o montante no sistema de capitalizao composta. Em perodos maiores que um, a capitalizao composta ser maior que a simples.

Aproveitando o mesmo exemplo, considerando-se que houvesse um perodo de ano (0,5 ano):

Capitalizao Composta: M = 5.000 * (1 + 0,40) ^ 0,5 = R$ 5.916,08

Capitalizao Simples: M = 5.000 * ( 1 + 0,40 * 0,5) = R$ 6.000,00

Neste caso o montante no regime de capitalizao simples R$ 83,92 maior que no sistema de capitalizao composta.


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Nomenclaturas e Simbologia adotadas.

Para a realizao dos clculos, sero utilizadas algumas simbologias e convenes, que podem mudar um pouco, dependendo do livro ao qual se consulta, mas que traduzem, de forma geral, o mesmo conceito.

PV (Present Value) = Valor presente, capital inicial, principal ou valor atual. FV (Future Value) = Valor futuro, montante. PMT (Payments) = Parcelas, pagamentos ou prestaes. i = (interest rate) taxa de juros ou de desconto. n = (number of periods) prazo. d = Valor do desconto. j = Valor dos juros.

O dinheiro no apenas fala, mas faz muita gente calar a boca... Millor Fernandes

PercentuaisPercentuaisPercentuaisPercentuais

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A expresso por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento, ou por uma centena. As percentagens ou porcentagens (conforme o Novo Dicionrio Aurlio), costumam ser indicadas pelo numerador, seguido o smbolo %. Assim, as razes de denominador 100 so chamadas centesimais, taxas percentuais ou simplesmente percentagem. Desta forma, 25% simplesmente outra maneira de expressar 25/100 ou 0,25 ou . Por exemplo: 3% = 3/100 = 0,03 27,5% = 27,5/100 = 0,275

Dicas...

1-) Para encontrar um percentual de um nmero: Basta multiplic-lo por 0,x, onde x o percentual procurado. Ex: 22% de 2.900,00 2900 * 0,22 = 638,00

2-) Acrescentar um percentual a um nmero: Basta multiplic-lo por 1,x onde x o percentual procurado. Utilizando o exemplo anterior: Ex: Acrescer 22% em 2.900 2900 * 1,22 = 3.538,00

3-) Abater uma percentagem de um nmero: Multiplicar o nmero por 0,x onde x o resultado de 1 - % procurado: Ex: Abater 10% de 2.900 = 1 0,10 = 0,90 2900 * 0,90 = 2.610,00

4-) Variao Percentual (%) - Utilize a frmula: ( b / a 1) * 100 Ex: Qual a variao percentual de 2000(a) para 2900(b) ? (2900 / 2000 - 1)*100 = 45% Ex: Qual a variao percentual de 3000(a) para 2630(b) ? (2630 / 3000 1) * 100 = - 12,33%

5-) Quanto um nmero representa percentualmente de outro (%T): Ex: Quanto 400 representa percentualmente de 1500? 400 / 1500 * 100 = 26,27%

6-) Acumular percentuais consecutivos no simultneos: Ex: 10% + 10% + 10% = 1,10 * 1,10 * 1,10 = 33,10%, e no 30,0%. Um produto de R$ 150,00 sofreu trs aumentos sucessivos de 10%. Qual seu novo valor? 150 * 1,10 = 165,00 * 1,10 = 181,50 * 1,10 = R$ 199,65 150 * 1,3310 = 199,65

7-) Acumular descontos percentuais consecutivos no simultneos: Ex: 10% de desconto + 15% de desconto + 5% de desconto = 0,90 * 0,85 * 0,95 = (0,72675 -1) * 100 = 27,33% de desconto e no 30%. Um servio no valor de R$ 50,00 sofreu trs descontos sucessivos de 10%, 15% e 5%. Qual seu novo valor? 50 * 0,90 = 45 * 0,85 = 38,25 * 0,95 = R$ 36,34 50 * 0,72675 = R$ 36,34

PercentuaisPercentuaisPercentuaisPercentuais

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8-) Margem percentual de lucro sobre o PREO DE CUSTO: Basta se tomar o preo de custo e sobre ele imbutir o lucro. Por exemplo: Preo de custo R$ 200,00; margem de lucro sobre o preo de custo de 30% 200,00 * 1,30 = 260,00.

9-) Margem percentual de lucro sobre o PREO DE VENDA: Neste caso o clculo um pouco diferente. Tomemos o exemplo anterior. Preo de custo R$ 200,00. Para que eu possa vend-lo com um lucro de 30% sobre o preo de venda, por quanto eu devo ofert-lo ao meu cliente? 200 (preo de custo) / 0,70 (ou 30% de lucro) = 285,71 (Preo de Venda) 285,71 * 0,30 = 85,71 (Lucro) 285,71 85,71 = 200,00 (Custo)

No se deve em hiptese alguma, portanto, simplesmente acrescer 30% (200 * 1,30 = 260,00). Lembre-se que o preo de custo de 200,00.

10-) Encontrar um determinado nmero que est j est acrescido de um percentual n: Basta dividir o nmero por 1,x onde x foi o percentual de aumento dado. Ex: O salrio de um funcionrio sofreu um reajuste de 5% e passou a R$ 439,55. Qual era seu valor antes do reajuste? 439,55 / 1,05 = 418,62

No gaste seu dinheiro enquanto no o tiver... Thomas Jefferson

Capitalizao SimplesCapitalizao SimplesCapitalizao SimplesCapitalizao Simples

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Capitalizao Simples Montante, Juros, Capital, Prazo e Perodo Capitalizao Simples aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; no incidindo, portanto, sobre os juros acumulados. O valor dos juros obtido pela expresso:

j = PV * i * n

Clculo do Montante O montante (ou valor futuro), agora em diante chamado de FV (Future Value), igual a soma do Capital inicial, mais os juros referentes ao perodo da aplicao. Desta forma temos:

FV = PV + j ou FV = PV * ( 1 + i * n )

O capital de R$ 1.000,00 aplicado durante trs meses taxa de 5% ao ms, atravs de capitalizao simples produzir qual montante? Qual ser o valor dos juros? Para a soluo dos problemas, a sugesto que elenquemos todas as informaes disponveis, na seguinte seqncia: perodo (n), taxa (i), valor presente (PV) e valor futuro (FV). O nosso exemplo ficaria da seguinte forma:

n = 3 meses i = 5% ao ms 0,05 PV = 1000,00 FV = ?

Antes de iniciarmos o clculo algbrico, necessrio fazermos duas observaes: O perodo (n) e a taxa (i) devem estar na mesma unidade de tempo. A taxa deve estar no formato centesimal. No nosso exemplo 5/100 = 0,05

FV = 1000 * ( 1 + 0,05 * 3 ) = R$ 1.150,00 Resposta: Montante = R$ 1.150,00 j = 1000 * 0,05 * 3 = 150,00 Resposta: Juros = 150,00

Podemos representar graficamente a operao atravs do fluxo de caixa. As setas para baixo representam a sada do dinheiro, enquanto as setas para cima representam o retorno da quantia aplicada:


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Outro exemplo: Deixando a quantia de R$ 1.500,00 aplicados juros simples, durante 5 meses, com a taxa de 25% ao ano, qual ser o montante produzido?

n = 5 meses i = 25% ao ano 0,25 PV = 1500,00 FV = ?

Neste exemplo, a unidade de tempo da taxa no coincide com perodo. imprescindvel que faamos o ajuste. n = 5 meses / 12 meses = 5/12 de ano i = 25% / 100 = 0,25 PV = 1500,00 FV = ? FV = 1500 * ( 1 + 0,25 * 5/12) = R$ 1.656,25 Resposta: Montante = R$ 1.656,25

Tratando-se de juros simples, poderamos fazer o ajuste na taxa, conforme ser demonstrado a seguir, permanecendo o mesmo resultado final.

n = 5 meses i = 25% ao ano 25/12 PV = 1500,00 FV = ? FV = 1500 * ( 1 + 0,25 / 12 * 5 ) = R$ 1.656,25 Resposta: Montante = R$ 1.656,25

Mais um exemplo: Um capital de R$ 2.500,00, aplicados durante 4 meses, produziram R$ 50,00 de juros atravs da capitalizao simples. Qual foi a taxa aplicada nesta operao?

n = 4 meses i = ? PV = 2.500,00 FV = ? FV = PV + j = FV = 2500,00 + 50,00 = 2550,00 j = 50,00

Aplicando a frmula:

2550 = 2500 * ( 1 + i * 4 ) 2550 = 2500 + 10000 i 2550 2500 = 10000 i 50 = 10000i i = 0,005 * 100 = 0,5% ao ms.

Resposta: a taxa aplicada nesta operao foi de 0,5% ao ms.


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Mas se, por acaso, o problema solicitasse em vez da taxa aplicada nesta operao... solicitasse a taxa anual desta operao? Por tratar-se de juros simples, basta que multipliquemos o resultado (0,5%) por 12 (ano): 0,5% * 12 = 6% ao ano. A resposta ficaria assim: A taxa anual da operao foi de 6%. Quando o perodo no coincidir com a unidade de tempo da taxa de juros (por exemplo, a taxa ao ano e o perodo em meses), RECOMENDA-SE, por ora, que o ajuste seja realizado no tempo e no na taxa. Este procedimento deve ser adotado desde j, pois futuramente tratando de Capitalizao Composta, um ajuste descuidado na taxa resultar em um clculo errado. Exemplificando:

Um capital de R$ 1.000,00, aplicado taxa de 30% ao ano, de acordo com os prazos abaixo produziro qual montante?

a) 5 dias; b) 9 meses;

Resposta a: n = 5 / 360 (um ano comercial possui 360 dias) i = 30% 30/100 = 0,30 PV = 1.000,00 FV = 1000 * ( 1 + 0,30 * 5/360 ) = R$ 1.004,17

Resposta b: n = 9 / 12 (um ano tem 12 meses) i = 30% 30/100 = 0,30 PV = 1.000,00 FV = 1000 * ( 1 + 0,30 * 9/12 ) = R$ 1.225,00

O mesmo capital, aplicado taxa de 10,5% ao ms, de acordo com os prazos abaixo, produziro qual montante?

a) 16 dias b) 1 ano e meio

Resposta a: n = 16 / 30 (um ms comercial possui 30 dias) i = 10,5% 10,5/100 = 0,1050 PV = 1.000,00 FV = 1000 * ( 1 + 0,1050 * 16/30 ) = R$ 1.056,00

Resposta b: n = 18 (1,5 anos x 12 meses) i = 10,5% 10,5/100 = 0,1050 PV = 1.000,00 FV = 1000 * ( 1 + 0,1050 * 18) = R$ 2.890,00

Lembre-se: Ao se ajustar o perodo unidade de tempo da taxa, utilize

TODAS AS CASAS DECIMAIS.

Arredondamentos somente na resposta final...


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Juros Ordinrios (ano comercial) e Juros Exatos (ano civil) Em operaes de curtssimo prazo, onde operaes a juros simples so as mais utilizadas, o percentual a ser definido baseia-se, via de regra, no nmero de dias. Todavia, o clculo pode pode ser feito de duas formas. a-) Pelo tempo exato: utilizando-se o ano civil de 365 dias. Neste caso a taxa denomina-se juro exato; b-) Pelo ano comercial: onde considera-se o ano com 360 dias e cada ms com 30 dias (30 dias x 12 meses = 360 dias). Neste caso a taxa encontrada denomina-se juro comercial. Por exemplo: A taxa anual de 18% proporcional a qual taxa diria?

18% / 365 dias = 0,049315% ao dia (juro exato) ou 18% / 360 dias = 0,05% ao dia (juro comercial)

Regra do Banqueiro (Bankers Rule) Essa prtica considera a contagem exata de dias na concesso de emprstimos, sendo os juros baseados em perodos exatos de 30 ou 360 dias. Por exemplo: Uma taxa de 15 % ao ms proporcional a 0,5 % ao dia (15% / 30 dias). Caso um emprstimo tenha sido tomado durante o ms de janeiro inteiro (que possui 31 dias), o clculo ficar: 31 dias * 0,5% = 15,5%. Existe, portanto, uma vantagem daquele que concede o emprstimo. Outro exemplo: Um capital de R$ 3.000,00 foi emprestado durante todo perodo do ms de maro. A taxa cobrada de 180% ao ano. Qual o valor do montante dessa operao, considerando-se a Regra do Banqueiro? 180% / 360 = 0,5% 3.000 * ( 1+0,005*31) = R$ 3.465,00.

Mtodo Hamburgus O mtodo Hamburgus o mtodo que facilita a rotina de clculo no sistema de capitalizao simples (juros simples), em que existam diversos capitais e prazos, mas apenas uma taxa de juros. O clculo consiste em se dividir a taxa mensal de juros por 30 (ms comercial) e aplicar esse resultado sobre o somatrio da multiplicao dos capitais pelo perodo. Tomemos como exemplo uma conta corrente com cheque especial, onde o banco cobra modestos 15% ao ms. Um resumo do extrato est da seguinte forma:

Fazendo: 0,15 / 30 * 60.000 = R$ 300,00.

Neste exemplo, o correntista pagaria R$ 300,00 de juros.

Capitalizao CompostaCapitalizao CompostaCapitalizao CompostaCapitalizao Composta

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Capitalizao Composta Montante, Juros, Capital, Prazo e Perodo

Capitalizao Composta aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados, at o perodo anterior, isto , os juros so capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente. Neste regime de capitalizao, o valor dos juros cresce em funo do tempo. O conceito de montante o mesmo definido para a capitalizao simples, ou seja, a soma do capital aplicado ou devido, mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicao ou da dvida. A frmula para clculo do montante dada pela equao:

Valor Futuro (FV) FV = PV * ( 1 + i )n

Ainda podemos ter outras situaes, onde as variveis podem ser: os juros (j), o Valor Presente (PV), a taxa (i) ou o perodo (n), sendo as frmulas:

Juros (j) j = PV * [ ( 1 + i )n - 1] ou j = FV - PV

Valor Presente (PV) PV = FV / (1 + i )n

Taxa de juros (i) i = [ ( FV / PV )1/n 1 ] * 100

Perodo (n) n = Ln (FV / PV) / Ln ( 1 + i )2

Para fins de comparao, vamos nos valer do mesmo exemplo numrico da Capitalizao Simples:

Clculo do FV (Future Value) ou Montante. O capital de R$ 1.000,00 aplicado durante trs meses taxa de 5% ao ms, atravs de capitalizao composta produzir qual montante? Qual ser o valor dos juros? Da mesma forma, a sugesto que relacionemos todas as informaes disponveis, na seguinte seqncia: perodo (n), taxa (i), valor presente (PV) e valor futuro (FV).

n = 3 meses i = 5% ao ms 0,05 PV = 1000,00 FV = ? FV = PV * ( 1 + i ) n FV = 1000 * ( 1 + 0,05 ) ^ 3 = R$ 1.157,63 Resposta: Montante = R$ 1.157,63 j = PV * [ ( 1 + i ) n - 1] j = 1000 * [ ( 1+ 0,05 ) ^ 3 1] = R$ 157,63 Resposta: Juros = 157,63

j = FV PV 1.157,63 1.000,00 = 157,63 Resposta: Juros = 157,63


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Na capitalizao composta, tal qual na capitalizao simples, podemos construir o fluxo de caixa, demonstrando graficamente a operao realizada:

Quando fizemos o clculo da capitalizao simples, o valor dos juros foi de R$ 150,00, contra R$ 157,63 na capitalizao composta. Fica evidente, portanto, que a capitalizao composta muito vantajosa para o credor. Vale lembrar, que em casos de correo monetria em mbito judicial, no se aplicam, via de regra, juros compostos, mas sim, capitalizao simples. At mesmo a Constituio Federal de 1988, em seu Art 192, 3, regulamentava a cobrana mxima de juros, em 12% ao ano, sendo posteriormente alterada pela Emenda Constitucional 40, de 29 de maio de 2003, que revogou o referido pargrafo.

Conveno Exponencial x Conveno Linear:

Deve-se apertar as teclas STO, EEX, fazendo com que aparea uma letra C no visor da calculadora. Este procedimento faz com que a HP 12C trabalhe com juros compostos, mesmo em perodos fracionrios, seguindo o que se chama de Conveno Exponencial (todo perodo calculado atravs de capitalizao composta). Nos Estados Unidos utiliza-se a Conveno Linear (perodos fracionrios tem sua parte inteira calculada pela capitalizao composta e a parte fracionria pela capitalizao simples). Um exemplo:

Um capital de R$ 1.000,00, aplicados durante dois anos e meio, taxa de 50% ao ano produzir qual montante? n = 2,5 anos i = 50% aa PV = 1.000,00 FV = ?

Conveno Linear: FV = PV * ( 1 + i ) n (int) * ( 1 + i * n (frac) ) FV = 1000 * ( 1 + 0,50) ^ 2 * ( 1 + 0,50 * 0,50) = R$ 2.812,50

Na HP 12C:


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Tecle na calculadora: STO; EEX (Aparece a letra c no visor). A calculadora passa a operar em modo Exponencial:

Conveno Exponencial: FV = PV * ( 1 + i ) n FV = 1000 * ( 1 + 0,50) ^ 2,5 = R$ 2.755,68

Deixe sempre a letra C no visor de sua calculadora !!!

Lembrando nosso problema:

Na HP 12C:

n = 3 meses i = 5% ao ms PV = 1000,00 FV = ?

Observaes: Ao pressionarmos as teclas f CLX, limpamos todos os registros da mquina, exceto aqueles que esto na memria de programao. Ao pressionarmos as teclas f 2 deixamos o visor da mquina com apenas duas casas decimais, muito embora todos os clculos ocorram internamente considerando todas as casas aps a virgula, no havendo a necessidade de dividi-la por 100. Se quisssemos saber apenas o valor dos juros agregados ao capital inicial, faramos:

Tecla CHS ? Ao indicarmos o valor presente como negativo, utilizando a tecla CHS (change signal), equivale a dizer que temos uma sada de caixa ou, se preferir, estamos emprestando aquele valor. O resultado (FV), neste caso ser positivo. Se no colocarmos o sinal negativo no PV, indica para a HP 12C, que temos uma entrada de caixa ou estamos tomando emprestado aquele valor. Na segunda hiptese o resultado (FV) ser negativo, indicando que realizaremos um pagamento posteriormente.


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No Excel: Utilizando o mesmo exemplo anterior, no Menu principal, v na Opo Inserir, depois Funo, depois selecione Financeira e VF ( o mesmo comando FV da HP) e d OK. Depois insira os dados do problema: taxa = 5%, perodo = 3, Valor Presente = -1000,00 e d OK

Argumentos da funo: =VF(5%;3;;-1000).

Ateno

No se esquea. O perodo (n) e a taxa (i) devem estar na mesma unidade de tempo. Caso no estejam, deve-se proceder o ajuste no tempo e NO NA TAXA! Se a taxa do problema est em meses (x % ao ms), o tempo deve ser NECESSARIAMENTE em meses, se a taxa ao ano ( x % ao ano ), o tempo tambm deve ser ao ano. Em capitalizao composta EM HIPTESE ALGUMA DEVE SE DIVIDIR A TAXA para ajust-la ao tempo!!!


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Clculo da Taxa ( i ): n = 3 meses i = ? PV = 1000,00 FV = 1.157,63 i = {[ ( FV / PV ) ^ 1 / n ] 1} * 100 {[ (1.157,63 / 1.000) ^ 0,333333 ] 1 } * 100 = 5,00%

Na HP 12C:

(Repare que o resultado j est no formato percentual).

No Excel: No Menu principal, v na Opo Inserir, depois Funo, depois selecione Financeira e TAXA ( o mesmo comando i da HP) e d OK.

Insira: Nper = 3, VP = -1000, FV = 1157,63. D OK. Argumentos da funo: =TAXA(3;;-1000;1157,63)


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Clculo do PV (Present Value) ou Capital Inicial: Supondo, nesta situao, que tenhamos o Montante, o perodo e a taxa e desejamos descobrir o capital ou o Valor Presente.

n = 3 meses i = 5% ao ms PV = ? FV = 1.157,63 PV = FV / (1 + i ) ^ n 1157,63 / ( 1 + 0,05 ) ^ 3 = 1.000,00

Na HP 12C:

Repare: O sinal do resultado PV negativo, representando uma sada de caixa.

No Excel: Opo Inserir, depois Funo, depois selecione Financeira e VP ( o mesmo comando PV da HP) e d OK.

Informe a taxa = 5%, Nper = 3, VF = 1157,63 e d OK. Argumentos da funo: =VP(5%;3;;1157,63)


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Clculo do perodo (n):

n = ? i = 5% ao ms PV = 1.000,00 FV = 1.157,63 n = Ln (FV / PV) / Ln ( 1 + i ) Ln (1.157,63 / 1.000) / Ln ( 1 + 0,05) = 3,00

Na HP 12C:

IMPORTANTE ! Muito cuidado ao calcular o perodo pela HP 12C. Sugerimos, inclusive, que o clculo seja feito pela funo Nper do Excel, ou pelo mtodo algbrico, como demonstrado acima. Isto deve-se ao fato da HP 12C arredondar para cima os resultados fracionrios. Tomemos um novo exemplo: O valor de R$ 1.000,00 ficou aplicado durante 6 meses (1/2 ano ou 0,5 ano) taxa de 30% ao ano. Qual o montante resgatado?

Sabemos que o perodo do nosso problema de 6 meses ou 0,5 ano. Consideremos, agora, a nova configurao da questo: O valor de R$ 1.000,00 produziu o montante de R$ 1.140,18, taxa de 30% ao ano. Qual foi o prazo (ou perodo) desta aplicao?

Perceba que o resultado deveria ser 0,5 ano e no 1 ano, conforme informado pela calculadora. Eis o motivo pelo qual devemos evitar a utilizao dessa funo da HP 12C.


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No Excel: Opo Inserir, depois Funo, depois selecione Financeira e Nper d OK.

Informe a taxa = 5%, VP = -1000, VF = 1157,63 e d OK. Argumentos da funo: =NPER(5%;;-1000;1157,63)

Ouro e casos amorosos so coisas difceis de esconder... Provrbio espanhol

Descontos Descontos Descontos Descontos

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Todo ttulo de crdito tem uma data de vencimento. Por sua vez, o devedor pode resgat-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. Podemos, ainda, noutra situao, conceituar uma operao de desconto, como sendo a venda de ttulos de crdito (duplicatas, cheques, notas promissrias, letras de cmbio, recebveis de cartes de crdito, dentre outros), resultantes de vendas mercantis ou da prestao de servios, realizada a prazo, mediante um abatimento em seu valor de face.

No estudo da Matemtica Financeira, temos basicamente quatro tipos de desconto, a saber:

a) Desconto Simples bancrio, comercial ou por fora;

b) Desconto Simples racional ou por dentro;

c) Desconto Composto por fora;

d) Desconto Composto racional por dentro.

a-) Desconto Simples - bancrio, comercial ou por fora: PV = FV * ( 1 i * n )

FV = PV / (1 i * n)

i = ( 1 PV/ FV ) / n * 100

n = ( 1 PV / FV ) / i

d = FV * i * n

b-) Desconto Simples - racional ou por dentro PV = FV / ( 1 + i * n )

c-) Desconto Composto - por fora PV = FV * ( 1 i )n

d-) Desconto Composto - por dentro PV = FV / ( 1 + i )n

OBS.: Este o mtodo de desconto adotado pela HP 12C, quando nos utilizamos das funes financeiras.

O desconto composto por dentro tambm utilizado no clculo do Valor Presente Lquido (VPL) ou NPV (Net Present Value). Este assunto ser abordado no captulo Introduo Anlise de Investimentos. As siglas adotadas nas frmulas so:

PV = Valor Presente ou Atual (literaturas tambm usam P) FV = Valor Futuro, Valor de face ou Valor de resgate (literaturas tambm usam S) i = Taxa de desconto (tambm id) n = Perodo ou tempo d = Valor do desconto (tambm como D)


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Vejamos um exemplo numrico, utilizando cada um deles, para clculo do Valor Presente. Exemplo: Um ttulo cujo valor de face seja de R$ 2.000,00 vence dentro de 3 meses. Realizando uma operao de desconto hoje, qual seria seu valor atual, considerando uma taxa de desconto de 2,5%? n = 3 meses i = 2,5% am 0,025 PV = ??? FV = R$ 2.000,00

Desconto Simples - bancrio, comercial ou por fora: PV = FV * ( 1 i * n ) PV = 2.000(1-0,025*3) = R$ 1.850,00

Desconto Simples - racional ou por dentro PV = FV / ( 1 + i * n ) PV = 2.000 / (1+0,025*3) = R$ 1.860,47

Desconto Composto - por fora PV = FV * ( 1 i )n PV = 2.000(1-0,025)3 = R$ 1.853,72

Desconto Composto - por dentro PV = FV / ( 1 + i )n PV = 2.000 / (1+0,025)3 = R$ 1.857,20 (frmula usada pela HP 12C)

No Brasil, os agentes financeiros se valem principalmente do Desconto Simples, bancrio, comercial ou por fora (cuja taxa de desconto incide sempre sobre o valor futuro). Por ser esse o mtodo muito difundido em finanas, tambm focaremos nossa ateno nesta modalidade de desconto.

Outro exemplo: A empresa To Devennu possui uma duplicata a receber no valor de R$ 1.000,00 do cliente Barata & Baratos, com vencimento dentro de trinta dias, referente a uma venda realizada a prazo. Por sua vez a To Devennu precisa de recursos hoje, para realizar o pagamento de sua folha de pagamento. O que fazer ento?

A To Devennu vende (transfere seus direitos creditcios) para outro agente econmico (pode ser um banco ou uma factoring(1)), que lhe adianta ou desconta a duplicata do cliente Barata & Baratos. Para essa operao, escolheu-se o Banco XYZ, que cobra a taxa de desconto de 5% ao ms. (observe: a terminologia correta taxa de desconto e desconto). PV = R$ 1.000,00 * ( 1 0,05 * 1) = R$ 950,00

A To Devennu ter imediatamente R$ 950,00 creditados em sua conta corrente. Quando daqui a um ms a Barata & Baratos realizar o pagamento da duplicata, o valor de R$ 1.000,00, ser destinado ao Banco XYZ, que auferir o resultado de R$ 50,00 nesta operao. Como a HP 12C no possui um clculo especfico para o desconto comercial, a seguir apresentamos um programa bsico para o clculo, tanto do PV, quanto da taxa ( i ).

(1) Factoring ou fomento mercantil a prestao contnua de servios de alavancagem mercadolgica, de avaliao de fornecedores, clientes e sacados, de acompanhamento de contas a receber e de outros servios, conjugada com a aquisio de crditos de empresas, resultantes de suas vendas mercantis ou de prestao de servios, realizados a prazo. (LEITE, Luiz Lemos Factoring no Brasil Atlas 2005).


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Programao HP 12C para clculo de PV e i Desconto Bancrio.

Programao HP 12C Gold: f, CLX, f, R/S, f, PRGM, RCL, PV, RCL, FV, , CHS, 1, +, RCL, n, , 100, x, g, GTO, 00, RCL, n, RCL, i, 100, , x, CHS, 1, + RCL, FV, x, g, GTO, 00, f, R/S Para calcular a taxa i , tecle g, GTO, 00 Para clculo do Valor Presente ou atual (PV), tecle g, GTO 14

Programao HP 12C Platinum: f, CLX, f, R/S, f, PRGM, RCL, PV, RCL, FV, , CHS, 1, +, RCL, n, , 100, x, g, GTO, 000, RCL, n, RCL, i, 100, , x, CHS, 1, + RCL, FV, x, g, GTO, 000, f, R/S Para calcular a taxa i , tecle g, GTO, 000 Para clculo do Valor Presente ou atual (PV), tecle g, GTO 014

Para calcular a taxa do desconto simples, basta informar: n, PV, FV e pressionar a tecla R/S. Por exemplo: n = 5; PV = 850; FV = 1000. Lembre-se: Como estamos usando a programao da HP 12C, para o clculo da taxa, aperte a tecla R/S e no a tecla i, como seria feito no caso de juros compostos.

Na HP 12C:

Outro exemplo: Um ttulo de 5.000 com vencimento para 60 dias, ser descontado taxa de 8% ao ms. Qual o valor depositado hoje em nossa conta corrente?

Taxas Taxas Taxas Taxas

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Taxa Proporcional Podemos dizer que taxas de juros so proporcionais, quando, um mesmo capital, aplicado durante um mesmo tempo juros simples, produz idnticos montantes, porm com perodos de capitalizao diferentes. Por exemplo, R$ 100,00 aplicados taxa de 24% ao ano, produziro um montante de R$ 124,00 ao final de um ano. Por sua vez, os mesmos R$ 100,00 aplicados taxa de 2% ao ms, durante um ano produziro idnticos R$ 124,00. Da, podemos dizer que 2% ao ms durante o perodo de um ano proporcional taxa de 24% ao ano.

Taxa Nominal ou Aparente So aquelas onde a taxa informada difere da unidade de tempo do perodo. Por exemplo, 12% ao ano, capitalizados mensalmente, 3% ao ms, capitalizados diariamente, 15% ao ano, capitalizados semestralmente, etc., no sendo considerados os efeitos inflacionrios. Outra ilustrao de taxa nominal, pode-se citar a taxa overnight ou simplesmente taxa over. Esse tipo de taxa bastante difundida no meio financeiro, sendo utilizada, via de regra, em operaes de curto prazo.

Taxa de Inflao Trata-se do percentual que mede o crescimento generalizado e ininterrupto do nvel dos preos da economia. Nos estudos de Matemtica Financeira, a taxa de inflao deve ser relacionada ao mesmo perodo da taxa nominal para fins de clculo e de comparao. No Brasil, existem vrios ndices que medem esse fenmeno econmico. Dentre eles pode-se citar: IPC (ndice de Preos ao Consumidor coletado pela Fundao Instituto de Pesquisas Econmicas - FIPE); IGP-M (ndice Geral de Preos Mercado coletado pela Fundao Getlio Vargas); INPC (ndice Nacional de Preos ao Consumidor); IPCA (ndice de Preos ao Consumidor Amplo) sendo os dois ltimos apurados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica IBGE.

Taxa Real aquela decorrente do investimento realizado, j descontada a inflao do perodo. A frmula da Taxa Real pode ser dada por:

Taxa Real = [(1+Taxa Nominal / 100) / (1+Taxa de Inflao / 100) 1] * 100 Por exemplo: A inflao medida pelo IGPM em 2011 foi de 5,10%. No mesmo perodo a caderneta de poupana rendeu, aproximadamente, 6,17%. Qual foi a taxa real paga pela caderneta de poupana nesse ano? Taxa Real = [(1+6,17/100) / (1+5,10/100) 1] * 100 = 1,02%. Portanto, a taxa de juros real paga pela caderneta de poupana em 2011 foi de 1,02%.

Taxa Efetiva taxa encontrada no decorrer de uma operao financeira durante um prazo n, resultante da formao exponencial ao longo dos perodos da capitalizao. Por exemplo, a taxa de 24% ao ano, capitalizada mensalmente. 24% / 12 meses = 2% am.

[ ( 1 + i / n / 100 )n - 1 ] * 100

[ ( 1 + 24 / 12 / 100 )12 - 1 ] * 100 = 26,82%.


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Logo, a taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente resulta em uma taxa efetiva de 26,82%. muito importante que se observe a taxa efetiva de uma operao financeira, pois a taxa nominal no evidencia os juros efetivos que esto sendo calculados. Outro exemplo: Uma instituio cobra uma taxa over de 12% ao ms (nominal) nos emprstimos de hot money. Qual a taxa efetiva mensal dessa modalidade de emprstimos, considerando-se um ms com 20 dias teis? 12% / 30 dias = 0,40% [(1+0,004) ^ 20 1] * 100 = 8,31% Uma situao inversa tambm possvel, nal qual se saiba a taxa efetiva e se deseje encontrar a taxa over. O banco K. Xoeyra nem Beira S/A cobra uma taxa efetiva de 6,1741% para um contrato de 20 dias teis. Qual a taxa nominal mensal cobrada pelo banco? 6,1741% / 100 + 1 = 1,06174 ^ 1/20 = (1,003 1) * 30 dias * 100 = 9% ao ms

Taxa Equivalente Podemos dizer que duas ou mais taxas so equivalentes quando ao final de um mesmo tempo produzem o mesmo montante (FV) a partir de um mesmo capital inicial (PV), mas com capitalizaes diferentes, juros compostos. Tomemos como exemplo uma aplicao financeira que renda 0,5% ao ms:

iq = [( 1 + it )q/t 1] * 100, onde

iq = taxa para o prazo que eu quero it = taxa para o prazo que eu tenho q = prazo que eu quero t = prazo que eu tenho

((1,005^12)-1)*100 = 6,17% Portanto 0,5% ao ms durante 12 meses equivalente a 6,17% ao ano.

Na HP 12C: Para facilitar o clculo podemos nos valer de uma memria de clculo bastante simples, usando a base 100. a) Taxa equivalente ao ms Taxa equivalente ao ano Vamos refazer agora o clculo da aplicao financeira, ou seja, qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao ms?

Outra situao: Qual a taxa equivalente mensal a 23% ao ano? ((1,23^1/12)-1)*100 = 1,74 %, ou seja, 23% ao ano equivale a 1,74% ao ms.


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Na HP 12C: Utilizaremos a mesma base 100. Sabemos que em um ano taxa de 23%, produziria o montante (FV) de 123,00. Na calculadora:

Ateno

Taxas equivalentes so diferentes de taxas proporcionais!!! Em capitalizao simples podemos dividir a taxa pelo perodo, por exemplo 12% ao ano durante um ano a mesma coisa que 1% ao ms durante um ano. O mesmo no acontece com as taxas equivalentes. Em capitalizao composta EM HIPTESE ALGUMA DEVE SE DIVIDIR A TAXA para ajust-la ao tempo!!!

Qual ser o montante ao final de quatro anos, a partir de um principal de R$ 100,00 no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros (Na HP 12C):

a) 12,6825% ao ano:

b) 6,1520% ao semestre: (1 ano tem 2 semestres x 4 anos = 8 semestres)

c) 3,03% ao trimestre: (1 ano tem 4 trimestres x 4 anos = 16 trimestres)

d) 2,0099% ao bimestre: (1 ano tem 6 bimestres x 4 anos = 24 bimestres)


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e)1,00% ao ms: (1 ano tem 12 meses x 4 anos = 48 meses)

f) 0,0331721% ao dia: ( 1 ano comercial tem 360 dias x 4 anos = 1440 dias)

Resposta: R$ 161,22.

Todas as taxas anteriores so equivalentes entre si, pois partindo do mesmo capital inicial (PV) de R$ 100,00, durante o mesmo tempo (4 anos), geraram o mesmo montante (FV) R$ 161,22, mas com perodos de capitalizao diferentes (ao ano, ao semestre, ao trimestre, ao bimestre, ao ms e ao dia).

Taxas Mdia Conforme Vieira Sobrinho (2000), taxa mdia aquela atravs da qual se obtm o valor atual (ou valor futuro), de dois ou mais termos, idntico ao valor atual (ou ao valor futuro) determinado com base em duas ou mais taxas distintas[...]. Continua o autor: [...] aquela por meio da qual se obtm um total de juros idntico ao determinado por meio de duas ou mais taxas, respeitada a condio quanto ao momento do tempo tomado como referncia[...].

A taxa mdia calculada atravs da mdia geomtrica dos percentuais, atravs da frmula: ( a1 * a2 * a3 * ... an)1/n onde n representa cada percentual envolvido. Por exemplo: Os ativos de uma cesta de aes proporcionaram ao seu investidor, ao longo de um ano, os seguintes rendimentos individuais: Ativo A: 5%; Ativo B: 1,5%; Ativo C: 8%; Ativo D: 12%. Qual foi a mdia dos rendimentos deste mix de investimentos? (1,05 * 1,015 * 1,08 * 1,12) 1/4 = 6,5551%

Taxa Acumulada a taxa resultante do acmulo de n outras taxas ao longo de um determinado perodo de tempo. Pode ser dada pela frmula:

[(1+i1/100) * (1+i2/100 * (1+i3/100) * (1+in/100) 1] * 100

Onde i1 = taxa do primeiro perodo; i2 = taxa do segundo perodo; i3 = taxa do terceiro perodo e in taxa do perodo n.


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Exemplo: Os ndices do IGPM do primeiro trimestre de 2011, foram: janeiro 0,79%; fevereiro 1% e maro 0,62%. Qual foi a taxa acumulada de inflao do perodo?

[(1+0,79/100) * (1+1,00/100) * (1+0,62/100) 1] * 100 = 2,4290%.

Portanto o acumulado da inflao no perodo foi de 2,4290%. Lembre-se: No se pode simplesmente somar os percentuais, pois a base de clculo se altera medida que avanamos no tempo.

Dica...

Para se calcular uma variao percentual, na HP 12C voc usar um truque. Por exemplo, Uma mercadoria sofreu as seguintes variaes percentuais sucessivas no simultneas: +5%; +8%; +9%. Qual foi o acumulado percentual? 1,05 * 1,08 * 1,09 = (1,2361 1) * 100 = 23,61%

Na HP 12C voc pode fazer:

Insira um nmero qualquer na calculadora. Utilizaremos o nmero 100. V acrescentando ou subtraindo os percentuais e ao final subtraia o nmero inicial:

Outra situao: O valor de uma matria prima sofreu as seguintes variaes percentuais. +3%; +12%; - 9%. Qual foi o acumulado percentual?

Equivalncia de Capitais (Capitalizao Composta)Equivalncia de Capitais (Capitalizao Composta)Equivalncia de Capitais (Capitalizao Composta)Equivalncia de Capitais (Capitalizao Composta)

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No cotidiano do gerenciamento financeiro de uma empresa, muitas vezes nos deparamos com a necessidade em substituir um ou mais ttulos por outro (ou outros), com datas e vencimentos diferentes dos originais. Podemos dizer que dois ou mais capitais diferidos so equivalentes, em certa poca, quando seus valores atuais, neste instante, so iguais.

Por exemplo, um capital de R$ 100,00 hoje equivalente a um capital de R$ 161,05 taxa de 10% ao ms, aps um perodo de cinco meses, adotando-se o regime de capitalizao composta. Noutras palavras, do ponto de vista matemtico, tanto faz termos R$ 100,00 na data atual ou R$ 161,05; dentro de cinco meses, taxa de 10% ao ms.

Expresses Data Focal, Data de Avaliao ou Data de Referncia, usadas na equivalncia de capitais, exatamente o momento que se considera como base de comparao dos valores referidos, partindo-se de datas diferentes.

Outro exemplo: Quero substituir um ttulo de R$ 75.000,00, vencvel em 5 meses, por outro com vencimento em 3 meses. Sabendo que esses ttulos podem ser descontados taxa de juros compostos de 3 % ao ms, qual o valor nominal do novo ttulo? Situao atual: n = 05 meses, i = 3%, PV = ?; FV = 75.000

1) PV = FV * ( 1 + i ) - n PV = 75000*(1+0,03)^-5 = 64.695,66 (trouxemos o valor de 75.000 data zero)

Agora levaremos o resultado ao novo vencimento (03 meses)

Nova situao: n = 3; i = 3%; PV = 64.695,66; FV = ? FV = PV * ( 1 + i ) n FV = 64.695,66 * ( 1+ 0,03)^3 = 70.694,69

O expoente

negativo!

Fluxo de Caixa e Srie de PagamentosFluxo de Caixa e Srie de PagamentosFluxo de Caixa e Srie de PagamentosFluxo de Caixa e Srie de Pagamentos

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FLUXO DE CAIXA:

Podemos entender fluxo de caixa como uma srie de pagamentos, recebimentos ou ambos, de forma alternada ou no, em unidades monetrias, em relao a um determinado perodo. Exemplo: Fluxo de recebimentos e pagamentos previstos da empresa XYZ, de janeiro a dezembro do ano de 20xx, em milhares de reais:

Ms Recebimentos Pagamentos Janeiro 0 50.000 Fevereiro 0 30.000 Maro 0 70.000 Abril 200.000 0 Maio 300.000 0 Junho 250.000 0 Julho 0 90.000 Agosto 120.000 0 Setembro 0 40.000 Outubro 120.000 0 Novembro 0 160.000 Dezembro 200.000 0

O tempo representado pelo eixo horizontal, subdividido em perodos (dias, meses, anos), da esquerda para a direita. As entradas de caixa (recebimentos) so representadas na parte superior, representadas por setas para cima. As sadas de caixa (pagamentos) so representadas embaixo do eixo, com setas para baixo.

Observao: Por isso, ao nos utilizarmos das calculadoras financeiras ou do Excel, a necessidade de colocar ou no o sinal de menos ( - ) no valor presente (PV). Se colocarmos o sinal negativo no PV, indicamos que estamos tendo uma sada de caixa, cujo resultado FV ser positivo (entrada de caixa). Caso seja considerado PV positivo, o clculo presume que PV uma entrada de caixa e seu resultado FV ser negativo (sada de caixa).

Outras situaes e respectivas representaes grficas:

Uma aplicao de R$ 100,00, taxa de 2% ao ms, durante 3 meses, produzir qual montante, no sistema de capitalizao composta?

.


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Fluxo de Caixa visto pelo aplicador

Este fluxo construdo do ponto de vista do aplicador, pois o recurso de R$ 100 sai no momento zero, para depois de 03 meses retornar acrescido de R$ 6,21 de juros, perfazendo o montante ou valor futuro de R$ 106,21

Fluxo de Caixa visto pelo tomador

O mesmo fluxo de caixa agora visto sob o ngulo da instituio que recebe os 100,00 iniciais, tendo as setas do fluxo invertidas, pois no momento zero o dinheiro entra, para depois no instante 3 sair, acrescido da remunerao do perodo (juros).


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SRIES DE PAGAMENTOS: As sries de pagamentos podem ser definidas como uma sequncia de pagamentos ou recebimentos em datas (ou perodos) especficos, um aps o outro. A cada um destes pagamentos ou recebimentos daremos o nome de prestaes, parcelas, pagamentos ou payments (PMT). Quando estudamos as sries de pagamentos lidamos com dois conceitos bsicos: Valor Presente (PV) que a soma das prestaes na data zero e Valor Futuro (FV) que a soma das parcelas em uma data futura, na mesma ou posterior ao vencimento da ltima prestao ou parcela. Antes de iniciarmos nosso estudo, precisamos enumerar quais so os tipos de sries e os formatos que elas podem assumir:

Periodicidade dos Pagamentos: Peridica: Obedece a intervalo regulares de tempo: Pagamentos anuais, mensais, semestrais, etc. No Peridica: No ocorre em intervalos regulares.

Valor das Parcelas: Constante ou uniforme: So iguais. Varivel: So diferentes.

Nmero de Parcelas: Finita: Quantidade de parcelas conhecida. Prptua: Quantidade de parcelas desconhecida.

Quanto ao incio da primeira Parcela: Antecipada: A primeira parcela coincide com o ato da operao financeira (momento zero, sendo popularmente conhecida como com entrada). Observao: g Begin na HP 12C ou na funo PAGTO do Excel no argumento da funo Tipo informar o nmero 1. Postecipada (ou vencida): A primeira parcela ocorre aps um perodo da operao financeira. Diferida: Quanto a primeira parcela a ser paga ocorre no momento n + 1, aps o momento zero, onde n o prazo de carncia da srie de pagamentos.

Srie Peridica Finita de Pagamentos Iguais, com termos vencidos ou postecipados. Cada termo da srie ser representado pela sigla PMT (payments). As demais sero representadas pelas siglas j convencionadas: n Nmero de perodos; i Taxa; PV Valor presente; PMT Prestaes, parcelas ou pagamentos; FV Valor futuro.

n = 5 meses i = 2,5% ao ms PV = R$ 1.000,00 PMT = R$ 215,25 FV = R$ 1.131,42


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Frmula para clculo do PMT Dado PV, achar PMT PMT = PV * [ i * ( 1 + i )n ] / [( 1 + i )n 1]

1000*(0,025*(1+0,025)^5)/((1+0,025)^5-1) = 215,25

Frmula para clculo do PMT Dado FV, achar PMT PMT = FV * { i / [ ( 1 + i )n 1 ]}

1131,42 *(0,025/((1+0,025)^5-1)) = 215,25 Frmula para clculo do FV Dado PMT, achar FV

FV = PMT * [ ( 1 + i )n 1 ] / i 215,25*((1+0,025)^5-1)/0,025 = 1.131,42

Frmula para clculo do PV Dado PMT, achar PV PV = PMT * [ 1 ( 1 + i ) n ] / i

215,25*(1-(1+0,025)^-5)/0,025 = 1.000,00

Frmula para clculo do n Dado PMT e FV, achar n n = ln ( FV * i / PMT + 1 ) / ln ( 1 + i )

LN(1131,42*0,025/215,25+1)/LN(1+0,025) = 5

Frmula para clculo do n Dado PMT e PV, achar n n = {[ ln ( 1 PV * i / PMT)] / ln ( 1 + i )}

-((LN(1-1000*0,025/215,25))/LN(1+0,025)) = 5

Se possvel uma frmula especial para o clculo de n, tal no acontece para o clculo de i, quando se conhecem PV, PMT e n. O clculo de i s possvel por aproximaes sucessivas. Calcula-se o valor de PV com vrias taxas at que se consigam valores prximos do valor dado para PV. Em seguida, com o auxlio da regra de trs, faz-se uma interpolao para determinar a taxa correspondente ao valor dado. Utilizaremos outro exemplo numrico, supondo que no soubssemos que o i seja 2,3% ao ms e utilizando a frmula do PV, dado PMT:

PV = PMT * [ 1 ( 1 + i ) n ] / i

n = 5 i = ??? PV=1000,00 PMT=214,01

Tentaremos inicialmente com um i aleatrio de 3%: 214,01 * [1 (1+0,03) ^ - 5] / 0,03 = 980,10 (esse resultado deve ser o mais prximo de 1.000)

Tentaremos agora com um i de 2%: 214,01 * [1 (1+0,02) ^ - 5] / 0,02 = 1.008,73 (OBS: A medida que diminumos a taxa, o valor do PV aumenta, portanto % taxa PV )


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O valor que procuramos como PV 1.000. Encontramos 980,10 com um i de 3% e 1.008,73 com um i de 2%. Logo, o i que procuramos est entre 2% e 3%.

Tentaremos agora com um i de 2,5%: 214,01 * [1 (1+0,025) ^ - 5] / 0,025 = 994,25

Os dois resultados mais prximos de 1000 foram 1008,73 com 2% e 994,25 com 2,5%. Agora sabemos que nosso i est entre 2% e 2,5%. Agora faremos a interpolao:

1008,73 (2%) - 994,25(2,5%) = 14,48 1008,73 - 1000,00 = 8,73

14,48 x = 8,73 * 0,5 14,48 x = 4,37 x = 0,30 i = 2% + 0,30% = 2,30%

Na HP 12C:

No Excel:


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Srie Peridica Finita de Pagamentos Iguais, com termos antecipados.

Quando nos referimos a esta modalidade de srie de pagamentos, dizemos noutras palavras, que a operao a ser realizada ter um pagamento imediato, na data de sua contratao, no momento zero. Popularmente dizemos que trata-se de uma srie com entrada.

Frmula para clculo do PV Dado PMT, achar PV (Antecipado)

Frmula para clculo do PMT Dado PV, achar PMT (Antecipado)

Vamos a um exemplo: Um emprstimo de R$ 1.000,00 dever ser pago em 05 parcelas iguais, com juros de 2,3% ao ms, em termos antecipados. Qual ser o valor da parcela? Resposta: 1 + 4 parcelas de R$ 209,20 n = 5 meses; i = 2,3% ao ms; PV = 1000,00; PMT = ???

A calculadora ficar preparada para realizar clculos com entrada (aparecer no visor a mensagem Begin). Por sua vez se quisssemos saber o valor de cada parcela, mas sem entrada ( 0 + 5 ), basta apertar as teclas:

A palavra Begin sumiu do visor e a calculadora voltou a operar no modo sem entrada. No Excel as operaes antecipadas tambm so bastante simples.


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Deixando o campo tipo em branco o Excel assumir que no h entrada, conforme exemplo anterior. Caso queiramos optar por uma srie antecipada, basta informar no campo tipo, nos argumentos da funo o nmero 1.

Comparando os dois casos, faramos 0 + 5 pagamentos de R$ 214,01 ou 1 + 4 pagamentos de R$ 209,20.


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Srie Diferida.

Compreendemos como sries diferidas, aquelas onde o primeiro pagamento possui uma carncia antes de ser realizado. Vale lembrar que as sries diferidas no se confudem com as sries postecipadas, pois estas possuem apenas um perodo de diferimento, enquanto as sries diferidas, propriamente ditas, possuem prazos de carncias diversos, sendo combinados diretamente entre o credor e o devedor. Um exemplo numrico:

O refrigerador da marca Gela Demais pode ser parcelado em 10 vezes, taxa de 3,5% ao ms, com pagamentos mensais de R$ 200,00. Por sua vez, o comprador somente poder iniciar os pagamentos dentro de trs meses. Qual o preo vista do produto?

n = 10 vezes i = 3,5% am PV = ??? PMT = R$ 200,00 Cr (Carncia) = 3

200*(1-(1+0,035)^-10)/0,035*(1/(1+0,035)^3) = R$ 1.500,22

Na HP 12C:

Em outra situao, poderamos ter o valor vista (supondo que ainda no o soubssemos), o nmero de parcelas, a carncia e a taxa para encontrarmos o valor de cada parcela. Vamos nos utilizar do exemplo anterior:

Um refrigerador da marca Gela Demais pode ser parcelado em 10 vezes, taxa de 3,5% ao ms, sendo seu valor vista de R$ 1.500,22. Por sua vez, o comprador somente poder iniciar os pagamentos dentro de trs meses. Qual o preo da parcela a ser paga pelo cliente?


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Neste caso, antes de calcularmos a parcela, torna-se necessrio projetarmos o PV (R$ 1.500,22) para 3 meses (carncia), da efetuarmos o clculo da parcela (PMT).

n = 10 vezes i = 3,5% am PV = 1.500,22 PMT = ??? Cr (Carncia) = 3

Na HP 12C:

Passo 1: Fazer a projeo para 3 meses:

Passo 2: Calcular agora o novo PMT:

Numa terceira situao, ainda nos valendo do exemplo do refrigerador Gela Demais, poderamos ter o nmero de parcelas, a carncia, o valor de cada parcela, e o preo vista, para encontrarmos a taxa envolvida nesta operao.

O refrigerador da marca Gela Demais pode ser parcelado em 10 vezes, sendo seu valor vista de R$ 1.500,22. Por sua vez, o comprador somente poder iniciar os pagamentos dentro de trs meses, com parcelas de R$ 200,00. Qual a taxa deste financiamento?

n = 10 vezes i = ??? PV = 1.500,22 PMT = 200,00 Cr (Carncia) = 3


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Srie Prptua (ou perpetuidades).

Esta modalidade de srie de pagamentos trata o problema de encontrarmos o valor atual (PV) de uma srie infinita (n) de prestaes. bastante utilizada no mercado de renda varivel, em clculos previdencirios e imobilirios. tambm conhecida como perpetuidades.

PV = PMT / i

a) Um proprietrio recebe do locatrio de seu imvel, a quantia de R$ 750,00 mensais, sendo a taxa de atratividade(1) considerada de 1,5% ao ms. Qual seria o valor de venda do imvel, caso o locatrio desejasse adquirir o imvel? PV = 750,00 / 0,015 = R$ 50.000,00.

PMT = PV * i

b) Possuo um galpo no valor de R$ 100.000,00. No banco no qual sou correntista o gerente me ofereceu um mix de aplicaes financeiras, com rendimento garantido de 0,80% ao ms. Caso eu fosse alugar este imvel, qual seria o valor mnimo de seu aluguel mensal? PMT = 100.000 * 0,0080 = 800,00

(1)Taxa de atratividade: pode ser entendida como o percentual mnimo de rendimento que o detentor de um capital obteria mantendo tal valor aplicado no mercado financeiro.

Costuma-se dizer que o amor ao dinheiro a raiz de todos os males. O mesmo vale para a falta dele...

Samuel Buttler

Fatores de CapitalFatores de CapitalFatores de CapitalFatores de Capital

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Fator de Acumulao de Capital FAC

Sabe-se o PV para se encontrar o FV

O Fator de Acumulao de Capital (FAC) determina qual ser o montante (FV) de um financiamento.

Para apenas um pagamento: Qual o FAC de um capital de R$ 1.000,00 aplicados durante 5 meses, taxa de 1% ao ms (capitalizao composta):

FAC = (1+i) ^ n FAC = (1+0,01) ^ 5 = FAC 1,051010

Determinado o FAC, para se encontrar o montante de uma operao, basta multiplic-lo pelo capital: PV * FAC = R$ 1.000 * 1,051010 = R$ 1.051,01

Para se determinar o FAC para apenas um pagamento na HP 12C, basta fazer: 5 n; 1 i; 1000 CHS PV; FV (visor: 1051,01) RCL PV CHS; (visor: 1,051010)

Dinheiro no traz felicidade... Mas ajuda bastante... Ditado popular


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Fator de Acumulao de Capital FAC

Sabe-se o PMT para se encontrar o FV

a-) Para mais de um pagamento (sem entrada 0 + n pagamentos) Qual o FAC de uma aplicao mensal de R$ 200,00, durante 06 meses, taxa de 2% ao ms, considerando-se a srie postecipada (0+6):

[(1+0,02)^6 1] / 0,02 = FAC 6,308121

Determinado o FAC, para se encontrar o montante de uma operao, basta multiplic-lo pela parcela: PMT * FAC = 200 * 6,308121 = R$ 1.261,62

Na HP 12C, para se encontrar o FAC, basta fazer: f CLX; 6 n; 2 i; 200 CHS PMT; FV (visor: 1.261,62) RCL PMT CHS (visor: 6,308121)

b-) Para mais de um pagamento (com entrada 1 + n pagamentos) Qual o FAC de uma aplicao mensal de R$ 196,08 durante 06 meses, taxa de 2% ao ms, considerando-se a srie antecipada (1+5)

(1+0,02)*[(1+0,02)^6 1] / 0,02 = FAC 6,434283

Determinado o FAC, para se encontrar o montante de uma operao, basta multiplic-lo pela parcela: PMT * FAC = 196,08 * 6,434283 = R$ 1.261,63

Na HP 12C, para se encontrar o FAC, basta fazer: (com Begin) f CLX; 6 n; 2 i; 196,08 CHS PMT; FV (visor: 1.261,63) RCL PMT CHS (visor: 6,434283)


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Fator de Formao de Capital FFC

Sabe-se o FV para se encontrar o PMT

O Fator de Formao de Capital (FFC) determina qual ser o valor de cada prestao ou pagamento (PMT), quando se deseja ou se sabe o montante (FV).

(sem entrada 0 + n pagamentos) Qual o FFC de uma aplicao financeira na qual se deseja um montante de R$ 10.000,00 ao final de 24 meses, considerando-se uma taxa mensal de 1% ao ms e a srie seja postecipada (0+24)?

0,01 / (1+0,01)^24 1 = FFC 0,037073 FV * FFC = 10.000 * 0,037073 = R$ 370,73

Na HP 12C, para se encontrar o FFC, basta fazer: f CLX; 24 n; 1 i; 10000 CHS FV; PMT (visor: 370,73) RCL FV CHS (visor: 0,037073)

(com entrada 1 + n pagamentos) Qual o FFC de uma aplicao financeira na qual se deseja um montante de R$ 10.000,00 ao final de 24 meses, considerando-se uma taxa mensal de 1% ao ms e a srie seja antecipada (1+23)?

[0,01 / (1+0,01)^24 1] / (1+i) = FFC 0,036706

Depois basta multiplicar o FFC pelo valor futuro: FV * FFC = 10.000 * 0,036706 R$ 367,06

Na HP 12C, para se encontrar o FAC, basta fazer: (com Begin) f CLX; 24 n; 1 i; 10000 CHS FV; PMT (visor: 367,06) RCL FV CHS (visor: 0,036706)


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Fator de Recuperao de Capital FRC

Sabe-se o PV para se encontrar o PMT

O Fator de Recuperao de Capital (FRC) determina qual ser o valor de cada prestao ou pagamento (PMT), quando se deseja ou se sabe o valor vista ou atual (PV).

(sem entrada 0 + n pagamentos) Um financiamento de R$ 15.000 ser feito em 10 vezes iguais, taxa de 2% ao ms. Qual a FRC deste financiamento?

[0,02 * (1+0,02)^10] / (1+0,02)^10 1= FRC 0,111327

Depois basta multiplicar o FRC pelo valor presente: PV* FRC = 0,111327 * 15.000 R$ 1.669,90

Na HP 12C, para se encontrar o FRC, basta fazer: f CLX; 10 n; 2 i; 15000 CHS PV; PMT (visor: 1.669,90) RCL PV CHS (visor: 0,111327)

(com entrada 1 + n pagamentos) Qual ser o FRC caso o financiamento seja com entrada?

[0,02 * (1+0,02)^10] /[(1+0,02)^10] 1 / (1+0,02) = FRC 0,109143655

Depois basta multiplicar o FRC pelo valor presente: PV* FRC =15.000 * 0,109143655 R$ 1.637,15

Na HP 12C, para se encontrar o FRC, basta fazer: (com Begin) f CLX; 10 n; 2 i; 15000 CHS PV; PMT (visor: 1.637,15) RCL PV CHS (visor: 0,109143655)


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Atualmente a construo de tabelas para quaisquer dos fatores est em certo desuso, devido ao advento das calculadoras financeiras e das planilhas eletrnicas. Essas ferramentas facilitaram muito o trabalho dos gestores financeiros.

Todavia, bancos e financeiras ainda se valem dessas tabelas, principalmente da tabela de Fator de Recuperao de Capital - FRC, para o financiamento de veculos e imveis, pois agilizam a rotina operacional, possibilitando a qualquer leigo fazer o clculo de prestaes, utilizando-se apenas de uma calculadora convencional.

A tabela a seguir demonstra, a ttulo de exemplo, os FRCs referentes a uma taxa de 2% ao ms, com parcelamento de 02 at 24 vezes. Na tabela posterior, utilizada a mesma tabela, em relao a um capital de R$ 15.000,00 (0 + 24).


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Resumindo:

FAC Fator de Acumulao de Capital: Sabe-se o PV para se encontrar o FV (apenas um pagamento) Sabe-se o PMT para se encontrar o FV (sem entrada 0 + n pagamentos) Sabe-se o PMT para se encontrar o FV (com entrada 1 + n pagamentos)

FFC - Fator de Formao de Capital: Sabe-se o FV para se encontrar o PMT (sem entrada 0 + n pagamentos) Sabe-se o FV para se encontrar o PMT (com entrada 1 + n pagamentos)

FRC - Fator de Recuperao de Capital: Sabe-se o PV para se encontrar o PMT (sem entrada 0 + n pagamentos) Sabe-se o PV para se encontrar o PMT (com entrada 1 + n pagamentos)

Sistemas de Amortizao Sistemas de Amortizao Sistemas de Amortizao Sistemas de Amortizao

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Neste ponto iremos apresentar os seguintes sistemas de amortizao: o Sistema Francs (tambm conhecido como Sistema Price ou Tabela Price), o Sistema de Amortizao Constante (SAC) e o Sistema de Amortizao Misto (SAM). O Sistema Price amplamente utilizado para imveis, veculos, maquinaria e outros bens durveis. O SAC e o SAM so mais voltados ao mercado de imveis, sendo principalmente utilizados pelo Sistema Financeiro da Habitao. Para efeito didtico, nos valeremos do seguinte exemplo: Um imvel, no valor de R$ 150.000,00 financiado em 5 vezes mensais, taxa de 1,5% ao ms.

Sistema Francs ou Price: O Sistema Francs de Amortizao, tambm nos conhecido como Sistema Price ou Tabela Price. Ele consiste em um plano de amortizao atravs de prestaes peridicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos ou postecipados, onde cada parcela se subdivide em amortizao e juros. Antes de iniciarmos propriamente o clculo e a demonstrao da tabela Price, necessrio calcular o valor da parcela, atravs da frmula que j nos conhecida: PMT = PV * [ i * ( 1 + i )^ n ] / [( 1 + i )^n 1] ou ento atravs da HP 12C: n = 5; i = 1,5; PV = 150.000,00; PMT = ???

Agora j sabemos que a dvida de R$ 150.000,00 ser paga em 5 vezes de R$ 31.363,40, vencendo-se a primeira delas dentro de um ms. Mas do valor do pagamento da parcela, quanto se refere a juros e quanto se refere a amortizao? Se quisssemos quitar a dvida aps o terceiro pagamento, qual seria o saldo devedor? Qual foi a amortizao da quarta parcela? Estas e outras perguntas podero ser respondidas pelo clculo do sistema Price. Continuando na HP 12C:


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Continuando:

Fazendo o clculo dessa forma, poderamos ms a ms, montar uma tabela, ou a Tabela Price deste financiamento:

Tambm existe a possibilidade de calcularmos diretamente uma das parcelas. Por exemplo, se quisermos calcular os juros acumulados, a amortizao acumulada e o saldo devedor, aps o pagamento da 4. parcela. Vale lembrar que poderamos tambm realizar esse clculo em relao a qualquer uma das parcelas.


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Sistema de Amortizao Constante - SAC: O Sistema de Amortizao Constante SAC, possui uma memria de clculo bastante simples, sendo as amortizaes, como o prprio nome nos diz, peridicas e uniformes. Enquanto o sistema Price preferencialmente utilizado pelos bancos privados e nos financiamentos diretos das construtoras, o SAC largamente utilizado pela Caixa Econmica Federal. Tambm pode ser compreendido como um sistema de amortizao onde as parcelas so sucessivas, decrescentes e peridicas. Vamos ao clculo do SAC, utilizando nosso exemplo: Um imvel, no valor de R$ 150.000,00, financiado em 5 vezes mensais, taxa de 1,5% ao ms. Para a construo da tabela SAC, o primeiro passo encontrar o valor da amortizao e no da parcela, como a Price. Portanto: 150.000 / 5 = 30.000,00 (amortizao)

1. Pagamento: 30.000 (amortizao) + 1,5% * 150.000 = 32.250,00 2. Pagamento: 30.000 (amortizao) + 1,5% * 120.000 = 31.800,00 3. Pagamento: 30.000 (amortizao) + 1,5% * 90.000 = 31.350,00 4. Pagamento: 30.000 (amortizao) + 1,5% * 60.000 = 30.900,00 5. Pagamento: 30.000 (amortizao) + 1,5% * 30.000 = 30.450,00

Sistema de Amortizao Misto SAM: O SAM foi criado pelo extinto Banco Nacional da Habitao (BNH) em 1979, sendo o resultado da mdia aritmtica entre o Sistema Price e o SAC.

As trs melhores coisas do mundo so: a voz da pessoa amada, o borbulhar da gua no deserto e o rudo de moedas de ouro batendo umas nas outras.

Provrbio rabe

Introduo Anlise de InvestiIntroduo Anlise de InvestiIntroduo Anlise de InvestiIntroduo Anlise de Investimentos mentos mentos mentos

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Os investimentos a longo prazo, tambm so denominados Gastos de Capital; da a expresso Proposta de Gastos de Capital ser utilizada como sinnimo de Proposta de Investimento. Os Gastos de Capital correspondem aos desembolsos de recursos, cujos benefcios devero perdurar por mais de um ano. Cabe lembrar que a proposta de Gastos de Capital dever incluir alm das especificaes tcnicas, cronogramas e justificativas, como tambm, os valores envolvidos para sua implantao.

Esse tipo de investimento refere-se no somente substituio de mquinas e equipamentos, como tambm aquisio de novos bens e implantao de projetos de construo e instalao de unidades operacionais completas. Fazem parte, ainda, os desembolsos com pesquisa e desenvolvimento de produtos e tecnologias. importncia dessas decises ir requerer um processo especfico para determinar onde, quando e quanto investir.

As propostas de investimentos envolvem: Benefcios no monetrios que so apreciados subjetivamente; Aspectos monetrios que devem ser mensurados tecnicamente; Riscos que precisam ser avaliados da melhor forma possvel.

Classificao das propostas de Investimentos.

Propostas Independentes: Corresponde quelas que no interferem com as demais. Essas propostas concorrem entre si na disputa de um montante limitado de recursos e, neste caso, sero selecionadas as que forem economicamente mais atraentes. Exemplo: Comprar ou construir uma nova fbrica.

Propostas Mutuamente Excludentes: So as que possuem a mesma finalidade ou atendem ao mesmo objetivo. A aprovao de uma eliminar automaticamente as demais. Exemplo: Compra de uma mquina com vrias propostas de financiamento e retorno.

Propostas Colidentes: Tambm so mutuamente excludentes, embora tenham objetivos diferentes. Exemplo: O departamento de RH requer uma nova sala para treinamento, enquanto o departamento de Vendas tambm a necessita para a montagem de um show room.

Propostas Contingentes: So as que dependem da aprovao de outras reas/departamentos, cujos resultados so afetados por outros projetos. Exemplo: Eletrificar uma nova rea.


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Mtodos de avaliao.

Existem inmeros mtodos de anlise para avaliar propostas de investimento, como por exemplo: Taxa mdia de Retorno, ndice de Lucratividade, Prazo de Retorno (Payback Peridod), Payback Descontado, Valor Presente Liquido (VPL ou Net Present Value - NPV) e a Taxa Interna de Retorno (TIR ou Internal Return Rate- IRR). Em nosso curso analisaremos trs deles: Payback, Valor Presente Liquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR).

Prazo de Retorno ou Payback

Ao realizar investimentos as empresas determinam um prazo mximo para a recuperao do capital investido. Elas determinam em quanto tempo o investimento dever se pagar. O mtodo do Prazo de Retorno calcula qual ser o tempo necessrio para se recuperar os recursos investidos em um ou mais projetos. Quanto mais demorar este retorno, maiores sero as incertezas e riscos do projeto. Por sua vez, propostas com maior liquidez (menor tempo de retorno), em primeira anlise, so menos arriscadas.

Quando as entradas liquidas de caixa previstas forem uniformes, basta dividir o investimento inicial por uma das entradas. Por exemplo, a aquisio de um veculo de entrega no valor de R$ 35.000,00, que proporcionar entradas liquidas de caixa de R$ 9.500,00 nos prximos cinco anos. Qual o payback desse investimento? 35.000 / 9.500 = 3,68 anos ou trs anos e nove meses, aproximadamente. O mtodo do Payback apenas um parmetro na tomada de decises, pois no reconhece as entradas de caixa previstas aps a recuperao do investimento, nem avalia adequadamente o valor do dinheiro no tempo, desconsiderando o custo de capital, seja ele prprio ou de terceiros.

Valor Presente Lquido VPL (Net Present Value - NPV).

Neste mtodo os fluxos de caixa da proposta so convertidos ao valor presente (momento t0) atravs da aplicao da taxa de retorno pr-definida, que pode corresponder ao custo de capital da empresa ou da rentabilidade mnima aceitvel, face ao risco envolvido. O VPL a diferena entre os valores atuais das entradas liquidas de caixa e os das sadas de caixa, referentes ao investimento liquido. Deste modo, o VPL corresponde a uma quantificao dos benefcios adicionais provocados pela proposta.


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E * ( 1 + i ) - n

Onde: E = Entrada de caixa i = Taxa de desconto n = Perodo

Quando o VPL for maior ou igual a zero, pode-se concluir que a proposta ir gerar um retorno maior ou igual a taxa de desconto utilizada e que o investimento poder ser aprovado. Para um VPL menor que zero, considera-se que a proposta no economicamente vivel, pois seu retorno ser inferior ao custo de capital ou da rentabilidade mnima exigida. A implementao de uma proposta nestas condies prejudicar a rentabilidade global da empresa, afetando negativamente seu valor de mercado. O VPL pode ser calculado pela frmula:

Onde: Ej = Entradas liquidas de caixa; I0 = Investimento no momento t0; Ij = Sadas de caixa nos perodos subseqentes; i = Taxa de desconto; j = Perodos de ocorrncia dos fluxos de caixa; n = Perodos ou prazo de execuo do Projeto. Exemplificando:

A empresa Furo Ngua Equipamentos Nuticos Ltda., possui um idia em ampliar suas instalaes, com um investimento de R$ 504.000,00, com uma taxa de desconto de 20% ao ano, que corresponde ao custo de capital da empresa. Para isso, o Departamento de Planejamento Financeiro projetou trs situaes anuais de fluxo de caixa, conforme abaixo. Pede-se: Calcule o VPL dos projetos e emita um parecer sobre os resultados alcanados.


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Passo 1: Calcular o Valor atualizado das entradas liquidas de caixa:

Passo 2: Calcular o VPL:

Anlise: Por apresentarem um VPL maior que zero (VPL > 0), os projetos Y e Z poderiam ser aprovados, levando-se em conta a taxa de remunerao do capital em 20 % ao ano. O projeto X deveria ser descartado, tendo em vista que o valor atual das entradas de caixa inferior ao investimento realizado. Dentre os projetos Y e Z, sob o ponto de vista da anlise financeira, o projeto a ser aprovado, finalmente, seria o Z, pois ele que traz um VPL maior, sendo o mais interessante do ponto de vista financeiro.


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Na HP 12C:

Clculo do VPL proposta X: f CLX 504000 CHS g CF0 84000 g CFj 420000 g CFj 84000 g CFj 84000 g CFj 67200 g CFj 20 i f NPV no visor: - 26.206,79

Clculo do VPL proposta Y: f CLX 504000 CHS g CF0 252000 g CFj 168000 g CFj 4 g Nj 20 i f NPV no visor: 68.422,84

Clculo do VPL proposta Z: f CLX 504000 CHS g CF0 168000 g CFj 3 g Nj 252000 g CFj 2 g Nj 20 i f NPV no visor: 72.689,81


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No Excel:

=VPL(A3;-A2;C2;C3;C4;C5;C6)*1,2 Proposta X =VPL(A10;-A9;C9;C10;C11;C12;C13)*1,2 Proposta Y =VPL(A17;-A16;C16;C17;C18;C19;C20)*1,2 Proposta Z

O VPL calculado pelo Excel com o fluxo de caixa original refere-se data -1 e precisa ser multiplicado por 1,20 ( esse multiplicador igual a 1 + a taxa de desconto) para se chegar ao VPL na data zero.


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Taxa Interna de Retorno (TIR ou Internal Rate of Return - IRR).

Onde: Ej = Entradas liquidas de caixa; I0 = Investimento no momento t0; Ij = Sadas de caixa nos perodos subseqentes; i = Taxa interna de retorno; j = Perodos de ocorrncia dos fluxos de caixa; n = Perodos ou prazo de execuo do Projeto.

A Taxa Interna de Retorno TIR ou IRR a taxa de rentabilidade peridica equivalente de um investimento. Geralmente a TIR definida para perodos anuais. A TIR tambm deve ser comparada a uma taxa de rentabilidade mnima exigida, face ao risco do projeto. Essa taxa mnima poder tambm corresponder ao Custo de Capital da Empresa.

Se a TIR for maior ou igual a taxa mnima estipulada, a proposta de investimento poder ser aprovada. Se a TIR for inferior taxa mnima, a proposta deve ser rejeitada, pois sua implantao afetaria negativamente a rentabilidade global da empresa. Segundo Faro (1979, p. 26) a determinao da TIR trabalhosa, pois consiste na resoluo de um polinmio do grau n.

Com utilizao de calculadoras financeiras ou dos recursos de informtica, atravs de planilhas eletrnicas como o Excel, o trabalho do gestor financeiro foi bastante facilitado, com uma probabilidade de erro bastante menor na feitura dos clculos necessrios.

Ainda que o mtodo possua algumas limitaes, como o caso de um fluxo com diversas entradas e sadas de caixa, gerando assim diversas taxas internas de retorno, a TIR um mtodo bastante difundido e utilizado. Uma observao: A TIR encontrada quando o VPL iguala-se a zero.


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Fazendo:

Uma empresa tem um projeto com prazo de 5 anos, com o fluxo a seguir:

Na HP 12C: f CLX 30000 CHS g CF0 18000 g CFj 12000 g CFj 10000 g CFj 3 g Nj f IRR no visor: 33,34 ou 33,34% de TIR

No Excel:

=TIR(B2:B7)

A Taxa Interna de Retorno deste Projeto de 33,427% ao ano. Por conseguinte, se a taxa de atratividade for igual ou menor a este percentual, o projeto poder ser aprovado.

Administrar dinheiro fcil. Difcil admnistrar a falta dele Truman Capote.

Anotaes Anotaes Anotaes Anotaes

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Anotaes Anotaes Anotaes Anotaes

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apostila de matemática financeira.pdf

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