ESTATSTICA

ESTATSTICA

NOTAS DE AULA

Estatstica Descritiva Probabilidades eDistribuies

Sandra Denisen do R. Marcelino2012

18Sandra Denisen do R. MarcelinoPgina

SUMRIO1.INTRODUO11.1CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ESTATSTICA11.2FASES DE UM TRABALHO ESTATSTICO21.3TIPOS DE VARIVEIS ESTATSTICA21.4APRESENTAO DOS DADOS31.4.1Tabelas31.4.2Grficos42.ESTATSTICA DESCRITIVA52.1DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS52.1.1Exerccios92.2DE TENDNCIA CENTRAL112.2.1Mdia Aritmtica112.2.2Mediana122.2.3Moda142.3MEDIDAS DE POSIO (QUANTIS)142.4EXERCCIOS162.5MEDIDAS DE DISPERSO172.5.1Amplitude182.5.2Varincia182.5.3Desvio Padro202.5.4Coeficiente de Variao212.5.5Exerccios222.6ASSIMETRIA232.6.1Exerccios262.7CURTOSE273.Noes DE PROBABILIDADE283.1DEFINIES283.1.1Experimento Aleatrio283.1.2Espao Amostral283.1.3Evento Aleatrio283.1.4Eventos Mutuamente Exclusivos (ou Excludentes)293.1.5Operaes com Eventos303.1.6Definio Axiomtica de Probabilidade303.1.7Exerccios313.2TEOREMAS FUNDAMENTAIS333.2.1Exerccios343.3VARIVEL ALEATRIA363.3.1Varivel Aleatria Discreta363.3.2Varivel Aleatria Contnua363.3.3Distribuies de Probabilidades363.4ESPERANA MATEMTICA, MDIA OU VALOR ESPERADO383.5VARINCIA393.6EXERCCIOS403.7DISTRIBUIES TERICAS DE PROBABILIDADE413.7.1Distribuio Binomial413.7.2Distribuio de Poisson423.7.3Distribuio Hipergeomtrica433.7.4Exerccios443.7.5Distribuio Normal463.7.6Aplicaes da Distribuio Normal483.7.7Exerccios494.RESULTADOS DOS EXERCCIOS PROPOSTOS534.1Lista de Probabilidade Pgina 29544.2Lista de Probabilidade Pgina 32544.3Lista de Esperana Matemtica e Varincia Pgina 38554.4Lista de Distribuies Discretas Pgina 42554.5Lista Distribuio Normal Pgina 47555.REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS57

INTRODUO

A Estatstica pode ser considerada como uma metodologia quantitativa que se preocupa em coletar, organizar, analisar e interpretar um conjunto de observaes, visando a tomada de decises. O objetivo dos estudos estatsticos reside naqueles fenmenos que se referem principalmente a um conjunto muito numeroso de indivduos semelhantes quanto a pelo menos uma caracterstica especfica. Pode-se dizer que toda cincia que manipula dados experimentais necessita da Estatstica como mtodo de anlise desses dados, para que o pesquisador possa tirar concluses que tenham validade cientfica.Basicamente, o estudo da Estatstica pode ser dividido em quatro partes: Estatstica Descritiva, Probabilidades, Amostragem e Inferncia Estatstica.A Estatstica Descritiva consiste no resumo dos dados atravs do uso de certas medidas estatsticas. Em um sentido mais amplo, a Estatstica Descritiva pode ser interpretada como uma funo cujo objetivo a observao de fenmenos de mesma natureza, a coleta de dados numricos referentes a esses fenmenos, a organizao e a classificao desses dados observados e a sua apresentao atravs de grficos e tabelas, alm do clculo de medidas que permitem descrever resumidamente os fenmenos.A Amostragem vai possibilitar o conhecimento das principais tcnicas de obteno das amostras, de tal forma que estas sejam representativas da populao, bem como suas aplicaes.O estudo das Probabilidades ser necessrio para que se possa desenvolver os principais mtodos da Inferncia Estatstica.A Inferncia Estatstica refere-se a um processo de generalizao, a partir de resultados particulares. Consiste em obter e generalizar concluses, ou seja, a Inferncia Estatstica possibilita a tomada de decises acerca de populaes (conjunto de elementos que tm pelo menos uma caracterstica de interesse em comum) partindo de amostras (subconjuntos representativos da populao). inferncia est associado um grau de incerteza. A existncia da incerteza deve-se ao fato de que a concluso que se pretende obter para o conjunto de todos os indivduos analisados, quanto a determinadas caractersticas comuns, baseia-se em uma parcela do total de observaes. A medida da incerteza tratada mediante tcnicas e mtodos que se fundamentam na Teoria da Probabilidade.CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ESTATSTICA Dois conceitos muito utilizados em estatstica so populao (ou universo) e amostra.

Populao: totalidade dos indivduos que se deseja investigar quanto a pelo menos uma caracterstica especfica, ou seja, a totalidade dos elementos que esto sob discusso e dos quais se deseja informao. As caractersticas da populao so chamadas de parmetros, valores fixos e desconhecidos, representados, em geral, por letras gregas.

importante ficar bem claro que uma populao estudada em termos de observaes de caractersticas nos indivduos e no em termos de pessoas ou objetos em si. Assim, por exemplo, as alturas dos cidados do Brasil constituem uma populao, enquanto que os pesos destes mesmos indivduos poderiam formar uma outra populao.Nem sempre possvel investigar todos os elementos que compem a populao, quer seja por dificuldades operacionais (material humano para coleta de dados em tempo hbil, dificuldade de acesso, ...) ou mesmo por custos elevados. Faz-se, ento, o estudo atravs de amostras.

Amostra: a parte selecionada da totalidade de observaes abrangidas pela populao, atravs da qual se faz inferncia sobre as caractersticas da populao. Ressalta-se que tal parcela deve ser selecionada mediante tcnicas de amostragem, de tal forma que a amostra seja representativa, ou seja, contenha todas as caractersticas da populao. As caractersticas da amostra so chamadas de estatsticas, sendo simbolizadas por caracteres latinos.

Entende-se por observao cada valor coletado (ou observado), seja na amostra ou na populao. Por exemplo: Suponha que se tenha interesse em avaliar o teor alcolico de dez tipos de vinho. Para tanto considerou-se 50 garrafas de cada marca. Tem-se aqui 500 observaes, pois ser coletado o teor alcolico de 500 garrafas de vinho.

Cabe ressaltar aqui, que o estudo cuidadoso de uma amostra tem mais valor cientfico do que o estudo sumrio de toda a populao. Por exemplo, para estudar o efeito de uma determinada propaganda nas vendas de produtos de uma certa marca, melhor analisar periodicamente as vendas dos produtos de forma minuciosa, que examinar rapidamente o total de vendas de cada produto ao final de um ano. FASES DE UM TRABALHO ESTATSTICOQuando se vai viajar, qual a primeira coisa que se deve saber? Para onde se est indo, onde se quer chegar e o porqu de se estar indo. Depois, qual o caminho que leva at l de modo mais fcil, rpido e econmico, e ento escolher a conduo que melhor se adapta a esse caminho: nibus, trem, avio, etc. (precisa comprar passagens? Com qual antecedncia?) Est-se indo para um hotel ou para uma casa de praia? (precisa levar roupa de cama ou no?). Tudo isto necessrio para que a viagem transcorra o mais agradvel possvel. Quando tudo planejado da maneira certa, existe uma grande probabilidade de que tudo ocorra certo, no mesmo? (FERNANDEZ, 1992).Quando se deseja fazer uma pesquisa, seja com finalidade acadmica (teses, dissertaes, trabalhos cientficos) ou com finalidade comercial ou industrial, h que se planej-la corretamente, a fim de se obter as informaes de modo a ajudarem a testar se as hipteses formuladas a princpio so verdadeiras ou no, e conseguir usar as tcnicas adequadas para testar estas hipteses.O primeiro passo numa pesquisa levantar a hiptese de maneira bem definida. Para tanto, deve-se conhecer bem os objetivos da pesquisa. Lembrar que quem levanta a hiptese sobre o assunto o pesquisador, devendo-se tomar cuidado quando a sua pesquisa depende de outra pessoa alm de voc (orientador, auxiliar de campo ou laboratrio), pois todos os envolvidos na pesquisa devem estar pensando da mesma maneira sobre o assunto em questo.Sugere-se sempre que se faa anlise da literatura sobre o assunto que se deseja estudar (ou investigar). A literatura sugere hipteses, variveis, instrumentos de coleta de dados, formas de apresentao dos resultados, mtodos estatsticos, resultados esperados, etc.Ento, hipteses so respostas provisrias s questes que a pesquisa pretende investigar; so relaes entre duas ou mais variveis; sendo necessria a verificao emprica dessas relaes.Os dados estatsticos so obtidos mediante um processo que envolve a observao ou outra mensurao de itens tais como renda anual numa comunidade, escores de testes, quantidade de caf por xcara servida por uma mquina automtica, resistncia ruptura de fibras de nilon, entre outros. Tais itens so denominados variveis, pois originam valores que tendem a apresentar certa variabilidade quando so efetuadas sucessivas medidas.TIPOS DE VARIVEIS ESTATSTICANa descrio ou anlise de um conjunto de dados estatsticos, pode-se associar a eles certos tipos de variveis, pois o tratamento matemtico exigido e o mtodo estatstico a ser utilizado dependem dessa varivel. Pode-se considerar dois tipos de variveis: qualitativas e quantitativas.As variveis qualitativas so aquelas utilizadas para descrever qualidades, categorias, atributos, podendo ser classificadas como categricas (nominais) ou ordinais. Em geral so caractersticas que no podem ser medidas numericamente. As variveis categricas ou nominais permitem somente a classificao dos dados. Exemplo: sexo, ramo de atividade de uma empresa, tipo de comrcio, entre outras. J as variveis ordinais permitem que se estabelea uma ordenao natural das variveis, sem no entanto, determinar-se numericamente a distncia entre as ordenaes. Por ex.: status social, grau de instruo, porte de uma empresa, entre outras.As variveis quantitativas esto associadas a valores numricos, podendo ser discretas ou contnuas. As variveis contnuas so aquelas usadas para descrever dados contnuos, ou seja, podem assumir qualquer valor de um subconjunto dos nmeros reais. Ex.: peso, altura, dimetro, tempo, concentrao qumica. A varivel dita discreta quando o nmero de valores possveis for finito ou enumervel. Ex.: quantidade de sacas de soja colhidas por hectare, nmero de dias que choveu em Curitiba no ms de Abril, nmero de estabelecimentos comerciais por rea, etc.

A natureza das variveis pode orientar a escolha das tcnicas estatsticas. As tcnicas estatsticas utilizadas para dados provenientes de variveis qualitativas so diferentes das tcnicas utilizadas para dados provenientes de variveis quantitativas.

ESCALAEXEMPLO DE ESTATSTICAS APROPRIADASANLISE ESTATSTICA ADEQUADAEX. DE PROVAS ESTATSTICAS

AMOSTRAS RELACIONADASAMOSTRAS INDEPENDENTES

Nominal Moda Freqncia Coeficiente de contingnciaAnlise estatstica no paramtrica Prova de McNemar

Teste Exato de Fischer Teste 2

Ordinal Mediana Percentis Correlao: rs de Spearman de Kendall W de KendallAnlise estatstica no paramtrica Prova de Wilcoxon Prova de Friedman Prova de Kolmogorov-Smirnov Prova U de Mann Withney Prova de Kruskall-Wallis

Discreta e Contnua Mdia Desvio padro Coeficiente de correlao de Pearson Coeficiente de variaoAnlise estatstica paramtrica Teste t para amostras pareadas Teste t Teste F ou ANOVA (Anlise de varincia)

APRESENTAO DOS DADOSTabelas

As tabelas podem ser classificadas de acordo com seu contedo:a) estatsticas: apresentam o fenmeno, o local e o tempo. H 3 tipos: Simples: apenas duas colunas, variando o tempo (sries histricas); o local (sries geogrficas) ou o fenmeno (sries especficas); Dupla Entrada: que combinam duas ou mais sries estatsticas; Distribuies de Freqncias;b) de codificao: Cdigo descrio ( 1 = masculino);c) de converso de unidades: metro quadrado para are;d) tcnicas: apresentam especificaes tcnicas de determinados produtos ou rea de interesse;e) de rotina ou controle: fluxograma. diagrama, organograma;f) especiais: classificao peridica dos elementos.

As tabelas tm ttulo, corpo, cabealho e coluna indicadora. O ttulo explica o que a tabela contm. O corpo formado pelas linhas e colunas. O cabealho especifica o contedo das colunas, e a coluna indicadora especifica o contedo das linhas.Uma tabela pode ainda apresentar fonte, nota e chamada. A fonte d indicao da entidade ou do pesquisador, ou dos pesquisadores que publicaram ou forneceram os dados. A nota utilizada para esclarecer aspectos relevantes do levantamento dos dados ou apurao. As chamadas so esclarecimentos sobre os dados e devem ser feitas atravs de algarismos arbicos escritos entre parnteses, e colocados direita da coluna.

Quando se trabalha com datas, importante observar como se indica corretamente um determinado perodo. DATAS:1. Anos civis consecutivos: 1976-79 (1976 at 1979)2. Anos civis no-consecutivos: 1976-1979 (apenas 1976 e 1979)3. Perodo de 12 meses diferente do ano civil: 1978/1979 (doze meses)4. Perodo relativo a safra: 77/78

Como exemplo, veja a Tabela 1.1Tabela 1.1Nascidos vivos registrados segundo o ano de registro e o sexoAno doSexoTotal

RegistroMasculinoFeminino

1984130775812512802559038

1985133905912805452619604

1986141805013612032779253

Fonte: IBGE (1988)Nota: Nascimentos ocorridos no ano de registro

Quanto questo do arredondamento, tem-se como regra o seguinte, de acordo com os equipamentos de clculo tais como calculadora e microcomputador:1) finais 1 2 3 4 - eliminar as casas decimais indesejadas: 2,342 = 2,34;2) finais 5 6 7 8 9 - eliminar o restante e acrescentar uma unidade ltima casa considerada: 2,347 = 2,35;

Grficos

Os grficos tambm podem ser classificados de acordo com seu contedo: Estatsticos; Organizacionais: organogramas (quadro geomtrico representativo de uma organizao ou de um servio), fluxogramas (representao grfica da definio, anlise e soluo de um problema); cronogramas (representao grfica da previso de execuo de um trabalho); Mapas: do Estado, do Pas, da Amrica do sul; Plantas: arruamento (traado, demarcao e abertura de ruas) de cidades: Figuras: fotografias; Tcnicos: nomograma (grfico, com curvas apropriadas, mediante o qual se pode obter solues de uma equao determinada pelo simples traado de uma reta).

So elementos de um grfico: ttulos; escala; fonte; nota; chamada; legenda.

Dentre os grficos estatsticos tm-se: diagramas (de pontos, de bastes, de linhas, de colunas, de barras, de superfcies, de reas, de setores, histogramas); cartogramas (dados geogrficos); pictogramas (desenhos de pessoas, etc.); estereogramas (espao tridimensional).

ESTATSTICA DESCRITIVA DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS Um conjunto de observaes de um certo fenmeno, no estando adequadamente organizado, fornece pouca informao de interesse ao pesquisador. Para uma viso rpida e global do fenmeno em estudo preciso que os dados estejam organizados em tabelas e grficos convenientemente construdos. O tipo de tabela ou grfico utilizado funo do tipo de varivel que representa o fenmeno de interesse.Se a varivel de interesse uma varivel qualitativa possvel resumir as categorias ou atributos em uma tabela de distribuio de freqncias, listando as realizaes da varivel e as respectivas vezes que tais realizaes ocorreram.Se a varivel toma somente valores discretos (isolados), ou seja, se a varivel de interesse discreta, possvel construir uma tabela de freqncias de valores no agrupados em classes, ou seja, os valores que a varivel assumiu so listados, e a freqncia simples (fi), ou de maneira comum s freqncia, o nmero de observaes referentes quela realizao.Por outro lado, se a varivel toma valores dentro de um intervalo dos nmeros reais, ou seja, a varivel de interesse contnua, possvel construir uma tabela de freqncias de valores agrupados em classes, onde a freqncia de uma classe o nmero de observaes que se enquadram entre os limites daquela classe. Uma distribuio de freqncias em classe tambm pode ser construda para variveis discretas, quando esta apresentar muitas realizaes distintas.Considerando as tabelas de distribuio de freqncias, muitas vezes pode-se ter interesse em outros tipos de freqncias, alm da simples. possvel construir uma tabela de freqncias acumuladas, sendo a freqncia acumulada de um ponto igual freqncia desse ponto somada com as freqncias de todos os pontos menores que o considerado. Se est-se trabalhando com classes, ento a freqncia acumulada de determinada classe dada pela freqncia simples da classe em questo somada s freqncias das classes anteriores. A freqncia acumulada denotada por Fi ou fa.Muitas vezes, existe interesse em trabalhar com a freqncia relativa (fr) de determinada realizao ou classe. Essa freqncia dada pelo quociente entre a freqncia simples (fi) e o nmero total de observaes ou freqncia total (n). Assim:

(1)Exemplo 2.1:

Considere o conjunto de dados abaixo, onde tem-se o nmero de alunos de 60 disciplinas ministradas em quatro cursos de uma Faculdade.

Curso ACurso BCurso CCurso D

1536754536756545653624756545364580456524

758765244565153645876545368756565457536

244536865807575243615657545244515364580

Dados fictcios.

A Tabela 2.1 abaixo mostra os dados referentes ao nmero de turmas em cada curso

Tabela 2.1Distribuio de freqncias para a varivel cursoCurso (xi)Freqncia (fi)Freqncia Acumulada (fa)

A1515

B1530

C1545

D1560

Total60

A Tabela 2.2 a seguir mostra os dados referentes ao nmero de alunos de 60 disciplinas ministradas, distribudos conforme as respectivas freqncias absoluta e relativa, e ainda as respectivas freqncias acumuladas.

Tabela 2.2Distribuio de freqncias para a varivel nmero de alunosNmero de AlunosFreqncia Simples Freqncia Acumulada

(xi)Absoluta (fi)Relativa (fr)Absoluta (Fi)Relativa (Fr)

820,033320,0333

1540,066760,1000

2460,1000120,2000

36100,1667220,3667

45130,2167350,5834

65110,1833460,7667

7590,1500550,9167

8030,0500580,9667

8720,0333601,0000

Total601,0000

Pode-se ainda representar os dados da Tabela 2.2 graficamente, atravs de um diagrama de freqncias por pontos, como mostra a Figura 2.1 abaixo, ou ainda pelo grfico de freqncias acumuladas, conforme a Figura 2.2.

Ainda considerando o exemplo 2.1, pode-se desejar construir uma tabela de freqncias para o nmero de alunos das 60 disciplinas ministradas, distribudos de acordo com o curso. A Tabela em questo denomina-se tabela de cruzamento de variveis ou tabela de dupla entrada.

Tabela 2.3Cruzamento das variveis curso e nmero de alunosNmero de AlunosCursoTotal

Curso ACurso BCurso CCurso D

810102

1511114

2421216

36332210

45323513

65233311

7523319

8001023

8711002

Total1515151560

Se a varivel contnua, ou ainda, se o nmero de categorias envolvidas na tabela de distribuio de freqncias para uma varivel discreta muito grande, possvel construir uma tabela de freqncias de valores agrupados em classes. Um critrio utilizado na determinao do nmero de classes (k) atravs da frmula emprica de Sturges. k = 1 + 3,32 log n, (2)

onde n representa o total de observaes. Cabe ressaltar que um nmero muito pequeno (k = 3) ou um nmero muito grande de classes (k = 30), pode comprometer a visualizao dos dados, pois se k demasiado pequeno, perde-se muita informao, enquanto que, se k muito grande, tm-se pormenores desnecessrios.A amplitude (h) de cada classe ser dada por:

(3)onde At representa a amplitude total das observaes, definida como a diferena entre o maior valor (mximo) e o menor valor (mnimo) observados. Denominam-se extremos de classe, os limites dos intervalos de classe. Deve ficar muito claro se os valores iguais aos extremos devem ou no ser includos na classe. Adota-se a seguinte notao: |_ para indicar que o limite inferior pertence classe, ou seja, o intervalo fechado esquerda. J a notao _| indica que o intervalo fechado direita, ou seja, o limite superior includo na classe. A notao |-| indica que ambos os limites inferior e superior esto inclusos na classe.Numa distribuio de freqncias tambm podem ser apresentados os pontos mdios de classe. O ponto mdio dado pela soma dos extremos da classe, dividida por 2, e representado por xi (se a varivel considerada for X).

Exemplo 2.2:Seja a varivel X representando a altura de 28 estudantes do sexo masculino de um determinado Curso. Foram obtidos os seguintes valores para X, em m:

1,841,601,731,861,781,801,881,711,891,651,831,761,831,81

1,661,861,741,701,771,681,961,721,791,741,781,711,671,77

Visando a construo da tabela de distribuio freqncias, h que se calcular o nmero de classes e a amplitude de classe. Analisando o conjunto de dados tem-se:

Valor mnimo = 1,60amplitude (A t) = 1,96 - 1,60 = 0,36 mValor mximo = 1,96

Usando a frmula de Sturges (2) tem-se: k = 1 + 3,32 log n = 1 + 3,32 log 28 = 5,80 @ 6 classes,

e usando a frmula (3) tem-se h = 0,06m ou 6 cm, que a amplitude de classe.Ento, a tabela de freqncia a ser construda ter 6 classes, com o intervalo de classe de 6 cm.

Tabela 2.3Distribuio de freqncias para dados agrupados em classesClassesfifaxi

1,60 |- 1,66221,63

1,66 |- 1,72681,69

1,72 |- 1,787151,75

1,78 |- 1,847221,81

1,84 |- 1,905271,87

1,90 |-| 1,961281,93

Total28

A representao grfica da Tabela 2.3 dada pelo histograma de freqncias, Figura 2.3 abaixo. O histograma uma representao grfica onde cada classe representada por um retngulo, cuja base igual amplitude de classe correspondente, e a rea proporcional freqncia de classe.

Outra representao grfica de interesse para uma varivel contnua o polgono de freqncias, que uma representao grfica onde considera-se o ponto mdio (xi) no eixo das abcissas, e as freqncias no eixo das ordenadas, ligando-se todos os pontos. O polgono de freqncias para os dados da Tabela 2.3 dado a seguir, Figura 2.4.

Se na Figura 2.4 forem consideradas as freqncias acumuladas ao invs das freqncias absolutas, o grfico passa a se chamar Polgono de Freqncias Acumuladas ou Ogiva de Galton, grfico este que tem por finalidade a representao das tabelas de freqncias acumuladas. Para os dados da Tabela 2.3, tem-se a Figura 2.5 a seguir.

Quando o polgono de freqncias acumuladas se refere s freqncias relativas, usa-se a denominao Ogiva Percentual ou Polgono de Freqncias Relativas Acumuladas.

Exerccios

1. Foram anotados, durante 30 dias, o tempo necessrio (em minutos) para a realizao de uma tarefa, visando estabelecer um tempo padro, a fim de que tal tempo seja base para a realizao de um teste para a seleo de novos funcionrios. Construa uma tabela de distribuio de freqncias, considerando intervalos de classes iguais.5,14,47,732,39,97,45,28,38,36,3

9,07,06,64,99,614,17,02,44,418,0

14,69,616,77,48,28,724,09,48,25,8

2. Sejam os dados relativos ao nmero de acidentes dirios num grande estacionamento, durante um perodo de 50 dias. Construa uma tabela de distribuio de freqncias para a varivel nmero de acidentes.6927082542

5444425637

3884447765

4753713806

5123605663

3. Um teste de estatstica, contendo 100 perguntas do tipo certo-errado, foi aplicado em uma turma de 500 estudantes. A Tabela a seguir apresenta o resultado do teste.Resultados do teste de estatsticaClasses Freqncias (fi)

0 |- 105

10 |- 2015

20 |- 3020

30 |- 4045

40 |- 50100

50 |- 60130

60 |- 70100

70 |- 8060

80 |- 9015

90 |- 10010

Total500

a) Quantos alunos acertaram de 30 a 79 perguntas? Quantos por cento esse valor representa no total de alunos que se submeteram ao teste?b) Qual o percentual de alunos que acertaram de 50 a 59 questes?c) Quantos alunos acertaram menos de 20 questes? E quantos acertaram 80 ou mais questes?d) Qual a varivel de interesse? Classifique-a.

4. Classifique as variveis abaixo em qualitativas (nominais ou ordinais) ou quantitativas (discretas ou contnuas):a) Distncia entre duas cidades;b) Tempo para a realizao de uma prova;c) Quantidade de cursos de uma Universidade;d) Classificao de um produto (Excelente/Bom/Ruim);e) Cor dos olhos.

5. Complete a tabela a seguir.Vendas de bebidas leves em um diaFreqncias SimplesFreqncias Acumuladas

TipoVendas Absolutas Vendas Relativas Vendas Absolutas Vendas Relativas

Cola 60060060%

Limo200800

Laranja10%

Uva50

Cereja40

Outros1000

Total1000100%

6. Complete a tabela a seguir.Tempos de espera na fila de um BancoTempo Freqncia SimplesFreqncia AcumuladasPonto

(Minutos)Absoluta (fi)Relativa (fr)Absoluta (Fi)Relativa (Fr)Mdio (xi)

0 a < 5220

5 a < 1082

15 a < 2015

5

25 a < 301

Total350100%

a) Qual o tempo mximo de espera na fila? E o tempo mnimo?b) Quantos clientes foram considerados no estudo?c) Qual o tempo de espera predominante?d) Quantos clientes esperaram 25 minutos ou mais na fila? Quanto esse valor representa no total de clientes?

7. Uma pesquisa feita em um hotel de determinada cidade revelou que 40 hspedes chegaram pelos seguintes meios de transporte:CarroCarroTremnibusTremCarroTremAvioCarroAvio

CarroAvioCarroCarroCarroCarronibusCarroAvioCarro

nibusAvioCarronibusnibusCarronibusCarroAvioAvio

AvionibusCarroCarroCarronibusAvioTremCarroAvio

Construa uma distribuio categrica* mostrando as freqncias correspondentes aos diferentes meios de transporte.* como trata-se de dados qualitativos, a distribuio de freqncias a ser construda recebe tal denominao, pois no se utilizam classes e sim categorias.

8. So apresentadas a seguir as idades de um grupo de aposentados.6881626176656973

8279636968667374

6668717470687364

7780736667817766

a) Qual a varivel do problema? Qual a sua classificao?b) Utilizando o conjunto de dados, construa uma tabela de distribuio de freqncias com intervalo de classe igual a 5. c) Considerando a tabela obtida, construa tambm o histograma de freqncias.

9. As notas de 25 alunos em um teste so dadas a seguir. Agrupe-as em uma tabela de distribuio de freqncias, considerando intervalo de classes iguais. Complete a tabela construda com as freqncias: simples relativa, acumulada absoluta e acumulada relativa, ambas em ordem crescente.75653182688156387369626352813783606984978970886877

10. D-se a seguir a distribuio dos gastos semanais de 200 clientes de um supermercado:Valor (R$)Freqncia

0 | 2022

20 | 4047

40 | 6066

60 | 8035

80 | 10021

100 | 1209

a) faa um histograma desta distribuiob) utilizando a freqncia acumulada, fa ou Fi , trace uma ogiva.

DE TENDNCIA CENTRALOs dados quantitativos, apresentados em tabelas e grficos, constituem a informao bsica do problema em estudo. Uma forma mais resumida de descrever um conjunto de dados pode ser feita atravs de um valor nico, que representa em termos "mdios" todo o conjunto. Esse valor tende a se localizar no centro do conjunto MEDIDAS de dados, sendo conhecida como medida de tendncia central.As medidas de tendncia central mais conhecidas e que sero aqui estudadas so: mdia aritmtica, mediana e moda.

Mdia Aritmtica

A mdia aritmtica de um conjunto de valores pode ser de dois tipos: simples ou ponderada.

A mdia aritmtica simples de um conjunto de n valores x1, x2, ... ,xn definida pelo quociente entre a soma dos valores do conjunto e o nmero total de valores, ou seja:

,(4)onde: n o total de observaes xi cada valor observado.

a soma de todos os valores do conjunto de dados considerado.

Exemplo 2.3:Tabela 2.4Sejam as notas de 5 alunos da Disciplina de Estatstica Aluno 1Aluno 2Aluno 3Aluno 4Aluno 5

90100706547

Ento:

=

A mdia aritmtica considerada ponderada quando os valores do conjunto tiverem pesos diferentes. Obtm-se uma mdia aritmtica ponderada atravs do quociente entre o produto dos valores pelos respectivos pesos e a soma dos pesos.Ento, se x1, x2, ... ,xk ocorrem com as freqncias f1, f2, ... ,fk, respectivamente, a mdia aritmtica ser dada pela expresso:

(5)onde: fi representa a freqncia da classe ou categoria, xi so os valores das categorias ou ponto mdio das classes

a soma do produto de valores de cada categoria ou ponto mdio pela respectiva freqncia.

Exemplo 2.4:Tabela 2.5Dados de 25 pessoas, referentes ao nmero de livros lidos por semanaN. de livros lidos por semana (xi)Freqncia (fi)xifi

0160

122

23Cria-se coluna 6

32auxiliar6

428

Total2522

livro

Caso os dados sejam distribudos em classes, os valores x1, x2, ... ,xk correspondero aos pontos mdios das k classes. O ponto mdio xi da i-sima classe pode ser definido como a mdia aritmtica entre os limites inferior (li) e o superior (ls) da classe i considerada, ou seja,

(6)

Exemplo 2.5:Tabela 2.6Nmero de horas trabalhadas de 32 funcionrios de um BancoClassesFreq. (fi)Ponto mdio (xi)xifi

120 |- 13091251125

130 |- 1407135945

140 |- 1503145435

150 |- 1606155930

160 |- 1702165330

170 |- 1805175875

Total324640

hs.

Mediana

A mediana Me uma quantidade que, como a mdia, procura caracterizar o centro da distribuio de freqncias, porm de acordo com um critrio diferente. A mediana calculada com base na ordem dos valores que formam o conjunto.A mediana Me de um conjunto de n valores x1, x2, ... ,xn , ordenados, representada pelo valor central do conjunto para n mpar ou pela mdia aritmtica dos dois valores centrais do conjunto, para n par.

A mediana Me de um conjunto de dados til, principalmente, quando esse conjunto muito influenciado pelos extremos, refletindo aqui com mais fidelidade que a mdia, a medida de tendncia central correspondente, o centro do conjunto de valores. Geometricamente, a mediana o valor da varivel que divide o histograma em duas partes de reas iguais.

Exemplo 2.6:

Sejam os dados considerados no exemplo 2.3, referentes s notas de 5 alunos da Disciplina de Estatstica, ordenados crescentemente.Dados Ordenados: 47657090100

Como n = 5 Eme = O valor do 3o elemento a mediana: Me = 70

No caso de dados agrupados em classes de freqncias, a mediana Me pode ser calculada pela expresso:

(9)onde:Classe mediana a classe que contm o valor central do conjunto de dados ordenados.

a posio da classe mediana;li o limite inferior da classe mediana (classe que contm a mediana);faa a freqncia acumulada da classe vizinha anterior classe mediana;fme a freqncia da classe mediana;h a amplitude do intervalo da classe mediana.

Exemplo 2.7:

Sejam os dados considerados no exemplo 2.5, referentes ao nmero de horas trabalhadas de 32 funcionrios de um Banco.ClassesFreq. (fi)Freq. Acumulada (Fi)

120 |- 13099

130 |- 140716

140 |- 150319

150 |- 160625

160 |- 170227

170 |- 180532

Total32

Moda

A moda Mo de um conjunto de n valores x1, x2, ... ,xn representada pelo valor que apresenta maior freqncia. Um conjunto pode no apresentar moda, (conjunto amodal), como tambm, a moda pode no ser nica. Um conjunto com apenas uma moda dito unimodal, com duas modas, bimodal, com trs modas dito trimodal, assim como um conjunto com mais de trs modas denominado de plurimodal.

Exemplo 2.8:

Sejam os conjuntos de dados abaixo:X: { 3, 6, 7, 9, 9, 7, 6, 3}Mo no existente, portanto X amodal Y: {2, 2, 2, 6, 7, 10, 14}Mo = 2 (o conjunto Y unimodal)Z: {4, 5, 8, 8, 9, 11, 13, 13}Mo1 = 8 e Mo2 = 13 (o conjunto Z bimodal) No caso de dados agrupados em classes de freqncias, a moda Mo pode ser calculada pela expresso:

(10)onde:li o limite inferior da classe modal;h a amplitude do intervalo da classe modal;fmo a freqncia da classe modal;fant a freqncia da classe imediatamente anterior classe modal;fpost a freqncia da classe imediatamente posterior classe modal.Classe modal a classe de maior freqncia.

Exemplo 2.9:

Sejam os dados considerados no exemplo 2.5, referentes ao nmero de horas trabalhadas de 32 funcionrios de um Banco.ClassesFreq. (fi)

120 |- 1309

130 |- 1407

140 |- 1503

150 |- 1606

160 |- 1702

170 |- 1805

Total32

MEDIDAS DE POSIO (QUANTIS)A mediana, geometricamente, divide a rea do histograma em duas partes iguais. Por extenso do conceito da mediana, se o interesse for dividir a rea do histograma em quatro, dez ou cem partes iguais, tem-se interesse em encontrar os valores dos quartis, decis e percentis, respectivamente.

Os quartis Qi de um conjunto de n valores x1, x2, ... ,xn , ordenados, so representados pelos valores de posio do conjunto, onde i a ordem do quartil e n a quantidades de observaes no conjunto de valores.

No caso de dados agrupados em classes de freqncias, os quartis Qi so calculados pela expresso:

(11)onde:li o limite inferior da classe que contm o quartil Qi de interesse;

a posio do quartil de ordem i, de interesse;faa a freqncia acumulada da classe vizinha anterior classe do quartil Qi;Fqi a freqncia da classe do quartil Qi;h a amplitude do intervalo da classe do quartil Qi;

Se o interesse estiver no clculo dos decis e percentis, ento as respectivas posies sero dadas por e , onde i a ordem do decil ou percentil e n a quantidades de observaes no conjunto de valores.

No caso de dados agrupados em classes de freqncias, os decis Di so calculados pela expresso:

(12)onde:li o limite inferior da classe que contm o decil Di de interesse;

a posio do decil de ordem i, de interesse;faa a freqncia acumulada da classe vizinha anterior classe do decil Di;Fdi a freqncia da classe do decil Di;h a amplitude do intervalo da classe do decil Di

De maneira anloga, os percentis so calculados pela expresso:

(13)onde:li o limite inferior da classe que contm o Percentil Pi de interesse;

a posio do percentil de ordem i, de interesse;faa a freqncia acumulada da classe vizinha anterior classe do Percentil Pi;Fpi a freqncia da classe do Percentil Pi;h a amplitude do intervalo da classe do Percentil Pi.

Exemplo 2.10:

Sejam os dados considerados no exemplo 2.5, referentes ao nmero de horas trabalhadas de 32 funcionrios de um Banco. Encontrar os valores para o 3 quartil, o 9 decil e o 32 percentil.

Posio do 3 quartil:

Posio do 9 decil:

Posio do 32 percentil:

EXERCCIOS1. Imagine um conjunto de doze pessoas com as seguintes rendas mensais (em reais):250027003000320033004200

4800500055006000700018000

a) Qual a varivel de interesse?b) Calcule a mdia, a mediana e os quartis das rendas mensais;c) Qual medida, mdia ou mediana, fornece uma melhor idia do centro da distribuio de rendas? Justifique sua resposta.

2. Um projeto de investimento est sendo avaliado pelo mtodo do pay-back. Uma simulao envolvendo vrios cenrios futuros forneceu os seguintes tempos de retorno do investimento (em anos): 2,84,33,76,43,24,14,44,65,23,9

Encontre os tempos mdio e mediano de retorno.

3. So apresentadas a seguir as idades de um grupo de aposentados. Encontre a moda, a mdia, a mediana, , os quartis e o 3 decil para as idades dos aposentados.

68816261766569738279636968667374

66687174706873647780736667817766

4. Pela foto de um radar eletrnico dentro da cidade, doze motoristas multados por excesso de velocidade estavam dirigindo a 8, 11, 14, 16, 8, 10, 20, 11, 7, 15, 19, 9 km/h acima dos 60 km/h permitidos.a) Em mdia, em quantos km/h esses motoristas estavam excedendo o limite? b) Qual foi a velocidade mdia destes motoristas? c) Considerando que os motoristas que excedem a velocidade mxima em at 20% pagam uma multa de 120 U.M., e os que excedem em mais de 20% pagam multa de 500 U.M., determine o valor mdio das multas que esses motoristas pagaram.

5. Em determinado final de semana, um supermercado vendeu as seguintes quantidades: Produto (tipo)Preo unitrio (R$)Quantidade (em kg)

A36,00400

B39,00600

C40,00350

D30,00200

E28,00450

Determinar os preos mdio, mediano e modal.

6. Para uma amostra de 200 estudantes que realizaram um teste de idioma grego, verificaram-se questes erradas em quantidades que variaram segundo a distribuio a seguir: Questes erradasNmero de alunos

5 | 1012

10 | 1573

15 | 2052

20 | 2539

25 | 3024

Total200

Determine a mdia, a moda, a mediana e os quartis para a varivel de interesse.

7. Em uma fbrica, o tempo, no horrio de trabalho, durante o qual uma mquina no est funcionando em virtude de quebra ou falha chamado tempo parado (downtime). A distribuio a seguir da durao desses tempos parados de certa mquina:Tempo Parado (minutos)Freq.

00 | 104

10 | 2022

20 | 3058

30 | 4014

40 | 502

Total100

Determine a mdia, para o tempo parado. Determine tambm os decis: 2, e 8; e os percentis: 23, 34, 92.MEDIDAS DE DISPERSOAs medidas de tendncia central do uma idia de todo o conjunto, atravs de um valor nico. Mas elas no so suficientes para descrever mais detalhadamente o comportamento de todo o conjunto. Alm da informao quanto ao "centro" de uma distribuio, conveniente a obteno de uma medida que informe o quanto os dados esto dispersos em torno da regio central. As medidas de disperso indicam se os valores esto relativamente prximos uns aos outros, ou separados.

Exemplo 2.11:

Imagine que quatro alunos obtiveram, em cinco provas, as notas apresentadas na Tabela 2.7.

Tabela 2.7Notas de quatro alunos em cinco provasAlunosNotasMdia

Antnio555555

Joo645465

Jos1055505

Pedro10105005

Todos os alunos obtiveram mdia igual a 5, mas a disperso (variao das notas) em torno da mdia no a mesma para todos os alunos. A Tabela 2.7 mostra claramente que:a) as notas de Antnio no variam (disperso nula);b) as notas de Joo variam menos que as de Jos (a disperso das notas de Joo menor que a disperso das notas de Jos);c) as notas de Pedro variaram mais que as notas de todos os demais (maior disperso).

Para uma anlise quantitativa dessa maior ou menor variao (ou disperso) do conjunto de valores em torno do valor mdio, deve-se estudar as medidas de disperso. As principais so: amplitude, varincia, desvio padro, que so medidas absolutas de disperso e coeficiente de variao, que uma medida de disperso relativa.

Amplitude

Amplitude ou amplitude total (At) de um conjunto de n valores x1, x2, ..., xn definida pela diferena entre o maior valor (xmax) e o menor valor (xmin) do conjunto, ou seja,

At = xmax - xmin (14)

Verifica-se que a amplitude tem o grave inconveniente de depender somente dos valores extremos do conjunto, desprezando os valores intermedirios. Assim sendo, a amplitude contm relativamente pouca informao quanto disperso. Salvo aplicaes no controle de qualidade, a amplitude no muito utilizada como medida de disperso.

Exemplo 2.12:

Sejam considerados os tempos (em minutos) necessrios para a realizao de 5 operaes industriais, avaliados em 2 operadores:

Operador 1: 3, 4, 5, 20, 18At = xmax - xmin = 20 - 3 = 17 min.Operador 2: 10, 10, 10, 3, 20At = xmax - xmin = 20 - 3 = 17 min.

Observe que ambos os operadores apresentam a mesma amplitude, apesar dos conjuntos de valores serem bem diferentes. Nesse caso, pode-se desejar outra medida de disperso, mais precisa.

Varincia

A varincia 2 de um conjunto de valores x1, x2, ..., xn, a mdia aritmtica dos quadrados dos desvios desses valores em relao sua mdia aritmtica, ou seja,

(15)expresso esta que deve ser utilizada para calcular a varincia populacional.

Se est-se trabalhando com amostra, considera-se, ento, o tamanho da amostra, menos 1, substituindo n em (15), por n-1, que so os chamados graus de liberdade. O clculo da varincia amostral s2 de um conjunto de valores dado por:

(16)onde: n o total de observaes xi cada valor observado.

a mdia do conjunto de observaes

a soma dos quadrados de cada valor do conjunto de dados considerado.

Exemplo 2.13:

Considerando os dados do exemplo 2.3, tem-se que .Sejam as notas de 5 alunos da Disciplina de Estatstica Aluno 1Aluno 2Aluno 3Aluno 4Aluno 5

90100706547

Usando (16) obtm-se:

ou similarmente:

Se x1, x2, ..., xk ocorrem com as freqncias f1, f2, ..., fk, respectivamente, a varincia ser dada por:

(17)

onde: a soma da coluna de freqncias, que corresponde ao total de observaes xi cada valor observado.

a mdia do conjunto de observaes

a soma do produto de cada ponto mdio ou valor da categoria pela respectiva freqncia.

Exemplo 2.14:

Considerando-se os dados do exemplo 2.4, para os quais obteve-se livros, criam-se colunas auxiliares para a obteno da varincia com maior facilidade de clculo.

Dados de 25 pessoas, referentes ao nmero de livros lidos por semanaN. de livros lidos (xi)Freqncia (fi)xi - (xi - )2*fixi2*fixi*fi

016-0,8812,390400

12Criam-se0,120,028822

23 colunas 1,123,7632126

32auxiliares2,128,9888186

423,1219,4688328

Total2544,64006422

Usando (17) obtm-se:

livros2

ou similarmente:

livros2

A expresso (17) pode ser utilizada para calcular a varincia amostral para os dados agrupados em intervalos de classes desde que xi represente o ponto mdio de cada um desses intervalos.

Exemplo 2.15:

Sejam considerados os dados do exemplo 2.5, para os quais obteve-se horas.

Nmero de horas trabalhadas de 32 funcionrios de um BancoClassesFreq. (fi)Ponto mdio (xi)xi - (xi - )2*fixi*fixi2*fi

120 |- 1309125-20400*9 = 360011251252*9 = 140625

130 |- 1407135-10100*7 = 7009451352*7 = 127575

140 |- 15031450 0*3 = 04351452*3 = 63075

150 |- 160615510100*6 = 6009301552*6 = 144150

160 |- 170216520400*2 = 8003301652*2 = 54450

170 |- 180517530900*5 = 45008751752*5 = 153125

Total3210200 4640683000

Usando (17) obtm-se:

horas2

ou similarmente,

horas2

Para medir a disperso dos dados em torno da mdia, usa-se ento, a varincia, que leva em considerao o tamanho da amostra.A unidade da varincia expressa pelo quadrado da unidade da varivel em estudo. Em virtude do problema da unidade, inconveniente o uso prtico da varincia. Para contornar o problema da unidade, define-se o desvio padro, que tem as mesmas propriedades da varincia, mas expresso na mesma unidade de medida dos dados.

Desvio Padro

O desvio padro (s) a mais importante das medidas de disperso absoluta e definido como a raiz quadrada positiva da varincia. Assim, o desvio padro amostral dado por:

(18)Quando uma curva de freqncia representativa da srie simtrica, pode-se afirmar que:a) o intervalo contm aproximadamente 68% dos valores da srie;b) o intervalo contm aproximadamente 95% dos valores da srie;c) o intervalo contm aproximadamente 99% dos valores da srie.

Figura 2.6: Interpretao do desvio padro numa distribuio simtrica13,5%13,5%34%34%2%2%0,5%0,5%

Exemplo 2.16:

Seja o exemplo 2.15 onde s2 = 329,03. Usando-se a frmula (18), tem-se horas.13,5%13,5%34%34%2%2%0,5%0,5% 90,58 108,72 126,86 145 163,14 181,28 199,42

Figura 2.7: Interpretao do desvio padro considerando um exemplo

Supondo que as horas trabalhadas por 32 funcionrios (exemplo 2.15) tenha distribuio simtrica, pode-se interpretar o desvio padro conforme Figura 2.7. Por exemplo, pode-se presumir que 68% dos funcionrios trabalham de 126,86 a 161,16 horas, ou ento que somente 2% deles trabalham de 181,28 a 199,42 horas, ou ainda, que 0,5% dos funcionrios no chegam a trabalhar 91 horas.Ao se utilizar o desvio padro, deve-se observar que quanto maior o seu valor, maior a disperso da varivel em estudo, levando-se em considerao a magnitude dos valores assumidos para a varivel em questo.Tambm pode-se utilizar o desvio padro para comparar a disperso entre dois ou mais conjuntos de valores, desde que tais conjuntos sejam expressos na mesma unidade de medida. Cabe ressaltar que tais comparaes somente sero adequadas se os diferentes conjuntos apresentarem mdias prximas. Em caso contrrio deve-se utilizar o coeficiente de variao.

Coeficiente de Variao

O coeficiente de variao (CV) uma medida relativa de disperso, sendo definida como o quociente entre o desvio padro (s) e a mdia (), ou seja:

(19)

O coeficiente de variao uma medida adimensional e pode ser expresso em porcentagem, bem por isso considerado como medida relativa de disperso em relao ao seu valor mdio.Por ser adimensional, o coeficiente de variao fornece uma maneira de se comparar conjuntos de valores expressos em diferentes unidades de medida.

Exemplo 2.17:

Sejam os dados do exemplo 2.5, para as quais obteve-se horas e s = 18,14 horas. Tem-se, ento, o coeficiente de variao dado por:

Exerccios

1. Avaliou-se, durante doze meses, a renda mensal mdia da populao de uma determinada cidade, obtendo-se os seguintes valores:

Renda mensal562,20638,40695,44752,22787,13822,55835,67897,50885,20864,90852,36865,58

a) Qual a renda mdia da populao da cidade considerada?b) Encontre tambm a varincia e o desvio padro.

2. Um projeto de investimento est sendo avaliado pelo mtodo do pay-back. Uma simulao envolvendo vrios cenrios futuros forneceu os seguintes tempos de retorno do investimento (em anos):2,84,33,76,43,24,14,44,65,23,9

Encontre a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao para os tempos.

3. Encontre a amplitude, a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao para a tabela a seguir.Tempos de espera na fila de um BancoTempos (Minutos)N de clientes (fi)

0 a < 5220

5 a < 1082

10 a < 1527

15 a < 2015

20 a < 255

25 a < 301

Total350

4. Supondo que a distribuio das idades das pessoas inscritas em um concurso X seja simtrica, com mdia de 25 anos e desvio padro de 2 anos, qual a porcentagem de pessoas com:a) idade entre 23 e 27 anos?b) mais de 31 anos ou menos de 19 anos?c) mais de 27 anosd) menos de 21 anos?e) mais de 29 anos?f) menos de 29 anos?

5. Uma loja vende 5 produtos bsicos: A, B, C, D e E, O lucro por unidade comercializada destes produtos vale, respectivamente, R$ 200,00, R$ 300,00, R$ 500,00, R$ 1000,00 e R$ 5000,00. A loja vendeu em determinado ms: 20, 30, 20, 10 e 5 unidades de cada produto, respectivamente. Qual foi o lucro mdio por unidade comercializada. Encontre a amplitude, a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao para a tabela a seguir.Lucro por unidade comercializadaPreoQuantidade vendida

R$ 200,0020

R$ 300,0030

R$ 500,0020

R$ 1000,0010

R$ 5000,005

Total

6. Ser que sua respirao normal? Efetivamente falando, no existe uma respirao padro para os seres humanos, podendo variar de 4 inspiraes por minuto a cerca de 70 ou 75, para uma pessoa que esteja executando um exerccio forte. Suponha que as respiraes normais dos estudantes sigam uma distribuio simtrica, com mdia de 12 e desvio padro de 2,3 respiraes por minuto. Que porcentagem dos estudantes tem:a) entre 9,7 e 14,3 respiraes por minuto?b) entre 7,4 e 16,6 respiraes por minuto?c) mais de 12 respiraes por minuto?d) mais de 14,3 respiraes por minuto?e) mais de 7,4 respiraes por minuto?f) mais de 18,9 ou menos de 5,1 respiraes por minuto?

7. Um grupo de 85 moas tem estatura mdia de 160,6 cm, com um desvio padro igual a 5,97 cm. Outro grupo de 125 moas tem uma estatura mdia de 161,9 cm, sendo o desvio padro igual a 6,01 cm. Qual o coeficiente de variao de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogneo?

8. Em cada alternativa abaixo, identifique qual grupo apresenta maior disperso absoluta (varincia, desvio padro) e qual apresenta maior disperso relativa (coeficiente de variao). Justifique suas respostas.

a)

b) c)

9. Um grupo de 196 famlias tem renda mdia de 163,8 dlares, com um coeficiente de variao de 3,3%. Qual o desvio padro da renda desse grupo?

10. O risco de uma ao de uma empresa pode ser devidamente avaliado atravs da variabilidade dos retornos esperados. Portanto, a comparao das distribuies probabilsticas dos retornos, relativas a cada ao individual, possibilita a quem toma decises perceber os diferentes graus de risco.

DiscriminaoAo AAo BAo CAo DAo E

Valor esperado15%12%5%10%4%

Desvio Padro6%6,6%2,5%3%2,6%

Coeficiente de Variao 0,400,550,500,300,65

Analisando os dados estatsticos relativos aos retornos de 5 aes, constantes no quadro acima, indique a ao menos arriscada, justificando sua resposta.

ASSIMETRIA A assimetria definida como o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma distribuio. Quantitativamente, o grau de desvio ou afastamento pode ser determinado pelas medidas denominadas de coeficiente momento de assimetria e coeficiente de assimetria de Pearson.O coeficiente do momento de assimetria (a3) uma medida adimensional definida como o quociente entre o terceiro momento centrado na mdia (m3) e o cubo do desvio padro, ou seja,

(20)O momento de ordem r (mr) centrado na mdia, de um conjunto de n valores x1, x2, ..., xn definido pela quantidade:

(21)que no caso de dados agrupados em classes de freqncias, a expresso (21) fica sendo:

(22)Para r = 1 (momento de primeira ordem) verifica-se que m1 = 0, enquanto que para r = 2 (momento de segunda ordem), m2 = s2.Para a3 = 0, tem-se uma distribuio simtrica, caso contrrio, a distribuio dita assimtrica. Quando a3 < 0, a distribuio alongada esquerda, sendo denominada de negativamente assimtrica, enquanto que, para a3 > 0, a distribuio alongada direita, sendo denominada de positivamente assimtrica. Nas Figuras 2.8 a 2.10, pode-se verificar os trs casos:

Outra maneira de se medir a assimetria de uma distribuio atravs do 1 coeficiente de assimetria de Pearson (A), uma medida adimensional de assimetria, definida por:

(23)

onde : a mdia aritmtica do conjunto;Mo a moda es o desvio padro.

Para A = 0, tem-se uma distribuio simtrica, para A < 0, a distribuio denominada de negativamente assimtrica, enquanto que, para A > 0, a distribuio denominada de positivamente assimtrica.

A aplicao do 1 coeficiente de assimetria de Pearson s necessrio aos conjuntos unimodais. Aos demais, faz-se necessria a aplicao do 2 coeficiente de assimetria de Pearson (e2), outra medida adimensional de assimetria, definida por:

(24)

onde : a mdia aritmtica do conjunto;Me a mediana do conjunto es o desvio padro.

Para e2 = 0, tem-se uma distribuio simtrica, para e2 < 0, a distribuio denominada de negativamente assimtrica, enquanto que, para e2 > 0, a distribuio denominada de positivamente assimtrica

Outro mtodo, mais rudimentar, o qual no permite estabelecer at que ponto a curva analisada se desvia da simetria, consiste no Mtodo de Comparao entre as Medidas de Tendncia Central.

Exemplo 2.18:

Doze falhas de energia eltrica duraram: 31, 81, 47, 76, 34, 26, 60, 49, 74, 63, 47 e 33 minutos. Analisando o conjunto, o que se pode dizer quanto simetria dos dados? Para o conjunto em questo tem-se:

, Me = 48,Mo = 47, e

,

resultando em:

Tem-se tambm:

e

Atravs do Mtodo de Comparao entre as Medidas de Tendncia Central, tem-se , ou seja, 47 < 48 < 51,75, da dizer que a distribuio que representa os tempos de durao das falhas de energia dada por uma curva assimtrica positiva. Como as medidas so prximas, pode-se dizer, levemente assimtrica positiva. Atravs do 1 Coeficiente de assimetria de Pearson (A), tem-se , um valor positivo. Ou seja, A>0, ento a distribuio dos tempos assimtrica positiva. Atravs do 2 Coeficiente de assimetria de Pearson (e2), tem-se e2 =0,59, um valor positivo. Ou seja, e2 > 0, ento a distribuio dos tempos assimtrica positiva. Atravs do coeficiente momento de assimetria obteve-se . Uma vez que para a3 > 0, a distribuio alongada direita, sendo denominada de positivamente assimtrica.

Exemplo 2.19:

Tanto os coeficientes de assimetria de Pearson, quanto o coeficiente momento de assimetria , podem ser aplicados aos dados apresentados em tabela, como segue.

Considere a tabela 2.8 que resume os dados referentes ao tempo de servio (em anos) de 20 trabalhadores do Setor A de uma determinada empresa.

Tabela 2.8Tempo de servio (em anos) de 20 funcionrios de uma empresaClassesFreq. (fi)Ponto mdio (xi)xi*fixi2*fi

1 |- 683,528,098,00-1520,88

6 |- 1158,542,5361,25-2,11

11 |- 16513,567,5911,25383,83

16 |- 21018,50,00,000,00

21 |- 26223,547,01104,505787,28

Total20185,024754648,13

Para a tabela em questo tem-se mdia:

,

varincia e desvio padro, respectivamente:

e ainda o terceiro momento centrado na mdia:

Sendo assim, tem o coeficiente momento de assimetria:

,indicando a existncia de assimetria positiva.

Exerccios

1. Assimetria ou enviesamento:a) ocorre quando uma curva de freqncias apresenta um desvio padro grande;b) o grau de deformao de uma curva de freqncias;c) o grau de achatamento de uma curva de freqncias;d) o desvio de uma curva de freqncias em relao a uma origem arbitrria,

2. Dadas as medidas de tendncia central: Mo = 30, Me = 28 e =22, o que se pode concluir em relao simetria dos dados que originaram tais medidas.

3. Avaliando-se a idade de 25 pessoas, obteve-se mdia de 22,32, moda de 19 e desvio padro de 4,66. Considerando tais informaes, pode-se avaliar a simetria da distribuio das idades: a) atravs do Coeficiente Momento de Assimetria;b) atravs do Coeficiente de assimetria de Pearson;c) atravs do Mtodo de Comparao das Medidas de Tendncia Central;d) nenhum dos mtodos anteriores.

4. Avaliando-se a idade de 25 pessoas, obteve-se mdia de 22,32, moda de 19 e desvio padro de 4,66. Com base em tais informaes pode afirmar que;a) a distribuio das idades assimtrica positiva;b) a distribuio das idades assimtrica negativa;c) a distribuio das idades simtrica;d) nada se pode concluir.

5. Os percentuais de variao do ndice de desemprego nos primeiros semestres de 1983 a 1999 no Brasil foram os seguintes:6,76-7,77-6,09-4,16-3,61-4,08-3,79-4,29

-5,48-5,96-5,68-5,46-4,41-5,86-5,747,817,82

(Jornal do Brasil, 24/7/1999) a) Determine os coeficientes (1 e 2) de assimetria de Pearson.b) Determine o coeficiente momento de assimetria.

6. Os nmeros abaixo representam a quantidade de jornais vendidos por uma banca de Segunda a Sexta-feira:231 228 244 240 236Calcule o coeficiente de assimetria momento de assimetria.

7. Uma amostra do comprimento (em mm) de um lote de pregos forneceu a seguinte distribuio:ComprimentosN de pregos (fi)

80 | 851

85 | 903

90 | 959

95 | 10042

100 | 10534

105 | 1105

110 | 1154

115 | 1202

TOTAL100

A especificao para esses pregos exige que o comprimento mdio esteja entre 98 e 102 mm, que o CV seja inferior a 20% e que a distribuio dos comprimentos seja simtrica. O controle de qualidade aceitar o lote de pregos analisado?

8. Em uma amostra de 30 intervalos de 3 minutos, um restaurante do tipo fast food serviu os seguintes nmeros de clientes:4558735695

65473510645

6945386745

Graficamente, discuta a simetria ou assimetria desse conjunto de dados.

9. Em uma pesquisa com lmpadas, mediu-se 100 lotes para os quais obteve-se o tempo de vida mdio, em dias. Destes 100 lotes, selecionou-se 30, construindo-se a tabela de distribuio de freqncias abaixo. Determine a mdia, o desvio padro e o coeficiente momento de assimetria.Tempo de vidaN de lmpadas

81 | 884

88 | 955

95 | 1021

102 | 1098

109 | 1169

116 | 1233

Total30

10. Sabendo-se que, para um conjunto de 50 dados, agrupados em 8 classes,

e determine o coeficiente momento de assimetria e interprete o resultado obtido.

CURTOSEA curtose definida como o grau de achatamento de uma distribuio, considerado usualmente em relao distribuio normal. Com relao ao achatamento, a distribuio normal dita mesocrtica. As distribuies mais achatadas que a normal so ditas platicrticas, enquanto que as menos achatadas que a normal so ditas leptocrticas.A principal medida de curtose proporcionada pelo coeficiente do momento de curtose (a4), sendo definida pelo quociente entre o quarto momento centrado na mdia e o quadrado da varincia, ou seja,

,(24)onde m4 calculado de acordo com (21), se os dados se apresentam em lista, ou (22) para dados tabelados.O coeficiente do momento de curtose uma medida adimensional de curtose, sendo a4 = 3 para a distribuio normal, a4 < 3 para as distribuies platicrticas e a4 > 3 para as distribuies leptocrticas.Na prtica, s faz sentido calcular a curtose para as distribuies simtricas ou pelo menos aproximadamente simtricas.A figura 2.11 mostra os trs casos de curtose, utilizando a representao atravs de curvas de frequncias (aproximao de uma curva ao histograma de frequncias).

Figura 2.11: Distribuies quanto curtose.

Noes DE PROBABILIDADEDEFINIES Experimento Aleatrio

Na natureza tem-se dois tipos de fenmenos: determinsticos e aleatrios. Nos fenmenos determinsticos os resultados so sempre os mesmos, enquanto que nos fenmenos aleatrios, os resultados no so previsveis. A temperatura necessria para um determinado slido passar para o estado lquido um exemplo de fenmeno determinstico. J a produo de cada planta de um pomar de laranjeiras sero diferentes, mesmo que as condies de temperatura, presso, umidade sejam as mesmas para todas as rvores.Pode-se considerar experimentos aleatrios como fenmenos produzidos pelo ser humano.Um experimento dito aleatrio quando satisfaz s seguintes condies:a) pode ser repetido indefinidamente;b) somos capazes de descrever todos os possveis resultados do experimento, embora no sejamos capazes de predizer, com certeza, qual ocorrer;c) para um grande nmero de observaes pode-se observar a tendncia em relao aos resultados.So experimentos aleatrios:1. lanar uma moeda honesta;2. lanar um dado e observar o nmero obtido na face superior;3. temperatura mxima da cidade de Curitiba, durante o ms de Julho.

A cada experimento aleatrio est associado o resultado obtido, chamado evento aleatrio.

Espao Amostral

Espao amostral o conjunto S de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio. Cada resultado do experimento aleatrio denominado ponto amostral.

Exemplo 3.1: Lanar um dado e observar os resultados na face de cima.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Os pontos amostrais sero: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Exemplo 3.2:Contar o nmero de dias que choveu na cidade de Curitiba, durante o ms de Julho.S = {0, 1, 2, ,,,,, 31}Os pontos amostrais sero: 0, 1, 2, ,,,,, 31

Evento Aleatrio

qualquer subconjunto do espao amostral S. Deve-se considerar como eventos de qualquer espao amostral, o evento impossvel (aquele que nunca ocorre) e o evento certo (o prprio espao amostral) S.Exemplo 3.3: Considere o lanamento de dois dados, onde observa-se o nmero da face superior. O espao amostral desse experimento pode ser dado por uma tabela de dupla entrada:

Tabela 3.1: Combinaes possveis entre as faces de dois dadosFaces do dado 1Faces do dado 2

123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5(6,6)

Considere, agora, os eventos:A: sada de faces iguais;B: sada de faces cuja soma seja igual a 10;C: sada de faces cuja soma seja menor que 2;D: sada de faces cuja soma seja menor que 15;E: sada de faces onde uma face dobro da outra.

Os eventos solicitados so:A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}B = {(4,6), (5,5), (6,4)}C = (evento impossvel)D = (evento certo)E = {(1,2, (2,1), (2,4), (4,2), (3,6), (6,3)}

Outra maneira de determinar o espao amostral usando o diagrama da rvore.

Exemplo 3.4: Seja, por exemplo, o lanamento de duas moedas. Para representar os resultados possveis, pode-se ramificar os resultados do primeiro lanamento e assim sucessivamente, at o nmero de lanamentos desejado, obtendo-se todas as combinaes possveis.

cara (cara, cara) cara coroa (cara, coroa)

cara (coroa, cara) coroa coroa (coroa, coroa)

1 moeda 2 moeda Combinaes possveis

Figura 3.1: Espao amostral para o lanamento de duas moedas

Eventos Mutuamente Exclusivos (ou Excludentes)

Dados 2 eventos A e B de um mesmo espao amostral S, diz-se que A e B so mutuamente exclusivos, ou excludentes, se no podem ocorrer simultaneamente, ou seja, AB = .

Exemplo 3.5:Seja o espao amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} referente s faces possveis do lanamento de um dado, e sejam os eventos:A = {ser par}B = {ser mpar}

Uma face qualquer do dado, ou ser par ou mpar, mas jamais poder ser ambas, par e mpar.

Operaes com Eventos

Todas as operaes com conjuntos podem ser efetuadas com eventos.

Se A e B so dois eventos do espao amostral S: Evento unio: A B (ocorre s A, s B, ou ambos) Evento interseo: A B (A e B ocorrem juntos) Evento diferena: A - B (ocorre A e no B), A - B B - A Evento complementar: ou A' (no ocorre A)

Exemplo 3.6: Esses eventos devem ser considerados complementares:a) Cara ou coroa na jogada de uma moeda;b) Feridos ou no feridos num acidente;c) Apanhou ou no a bola;d) Atendeu ou no ao telefone.

Exemplo 3.7:Os eventos seguintes devem ser considerados mutuamente excludentes:a) Uma pessoa tem um irmo, tem dois irmos ou trs irmo;b) As faces de um dado;c) Conceitos A, B ou C no provo.

Definio Axiomtica de Probabilidade

Seja o espao amostral S associado a um dado experimento aleatrio. A cada evento E S associaremos um nmero real representado por P[E], denominado probabilidade do evento E, satisfazendo as seguintes propriedades:1. 0 P[E] 12. P(S) = 13. Se E1 e E2 forem eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrncia de pelo menos um deles igual soma das probabilidades de cada um, ou seja, P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) (25)

Para um seqncia finita ou infinita de eventos mutuamente exclusivos, pertencentes a S, tem-se:

(26)Uma regra prtica para a atribuio numrica de probabilidade ao evento E dada pelo quociente entre o nmero de resultados (h) de S, favorveis ao evento E, e o nmero de resultados possveis (n) de S, desde que todos sejam equiprovveis. Portanto,

(27)Exemplo 3.8: Em um lanamento de um dado equilibrado, calcule a probabilidade:1. de ocorrer face par:n = 6 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {ocorrer par} h=3P(E) = 3/6 = 0,5

2. de ocorrer um nmero menor que 5:n = 6 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {ocorrer nmero menor que 5}h=4P(E) = 4/6 = 0,667

3. ocorrer rei num baralho com 52 cartasn = 52h = 4 reisP(E) = 4/52 = 0,077

Exerccios

1. Determinar a probabilidade de cada evento:a) Ocorre um rei, um valete de copas ou uma dama de ouro ao tirar uma carta de um baralho de 52 cartas.b) Resultar a soma 8 em um lance nico de 2 dados honestos.c) Encontrar um parafuso no defeituoso, se, entre 600 anteriormente examinados, 12 eram defeituosos.d) Obter 7 ou 11 em uma nica jogada de um par de dados.e) Ocorrer ao menos uma cara em 3 lances de uma moeda.

2. Um lote contm 10 peas, sendo 4 defeituosas. Trs peas so extradas ao acaso, simultaneamente (ou uma a uma sem reposio). Qual a probabilidade de aceitao do lote, se o lote aceito quando:a) nenhuma defeituosa obtida;b) exatamente uma defeituosa obtida;c) no mximo uma defeituosa obtida.

3. Um setor de digitao avalia seu pessoal em termos do nmero de erros cometidos a cada 1000 toques no teclado. Para um dos digitadores, a probabilidade de cometer no mximo 5 erros (por 1000 toques) 0,62, e a probabilidade de cometer de 6 a 10 erros 0,28. Ache a probabilidade de que nos prximos 1000 toques o digitador cometa:a) ao menos 6 erros;b) ao menos 11 erros;c) no mximo 10 erros.

4. O comprador de uma indstria envia seus pedidos por fax, por telefone, pelo correio ou por e-mail, e pede que o mesmo seja confirmado pelos fornecedores por fax ou por e-mail. Quais as diferentes maneiras pelas quais um pedido pode ser processado?

5. Um grande edifcio tem mais de 2400 vidraas. A probabilidade de que, no perodo de um ms, 1 a 10 vidraas devam ser substitudas 0,65; a probabilidade de 11 a 20 vidraas devam ser substitudas 0,32 e a probabilidade de 21 ou mais substituies 0,02. Determine a probabilidade de que, no prximo ms devam ser substitudas:a) nenhuma vidraa;b) ao menos 11 vidraas;c) no mximo 20 vidraas;d) no mximo 10 vidraas.

6. Numa amostra de 40 indivduos, 10 acusam presso alta. Estime a probabilidade de outro indivduo escolhido ao acaso, no mesmo grupo do qual foi extrada a amostra, tambm ter presso alta.

7. Na tabela a seguir, xi o nmero de acidentes e fi o nmero de dias nos quais ocorrem xi acidentes. Estime a probabilidade de que, num dia qualquer ocorra(m):

xi01234567

fi52211084221

a) exatamente dois acidentes;c) um acidente, no mximo;b) pelo menos um acidente;d) mais de nove acidentes.

8. Considere a experincia que consiste em pesquisar famlias com trs crianas, em relao ao sexo das mesmas, segundo a ordem do nascimento. Enumerar o espao amostral e os eventos:a) ocorrncia de dois filhos do sexo masculino;b) ocorrncia de pelo menos um filho do sexo masculino;c) ocorrncia de no mximo duas crianas do sexo masculino.

9. Um aluno pode estudar 0, 1, ou 2 horas por noite para uma prova de estatstica. Mostre o nmero de maneiras que esse aluno pode estudar:a) um total de exatamente 5 horas em trs noites consecutivas;b) um total de ao menos 5 horas em trs noites consecutivas.

10. Determine o complemento de cada um dos seguintes eventos:a) ganhar num jogo de futebol;b) extrair uma carta vermelha num baralho;c) menos de 10 defeituosos.

11. Determine um evento excludente aos eventos.a) Conceito B em Estatstica;b) Dirigir um carro;c) Nadar;d) Ganhar num jogo;e) Extrair uma dama de um baralho.

12. As bolas no bingo tm os nmeros de 1 a 75. Extraindo-se uma bola aleatoriamente, qual a probabilidade de se obter:a) um nmero par;b) um nmero no superior a 15;c) um nmero no inferior a 60?

13. Entre 842 peas fabricadas por um arteso, 143 apresentaram minsculas rachaduras detectadas por ultrassom. Qual a probabilidade de a prxima pea fabricada apresentar defeito semelhante?

14. Se uma casa tem probabilidade igual a 0,14 de ser vendida nos prximos 15 dias, qual a probabilidade de a mesma no ser vendida durante esse tempo?

15. Converta em chance cada uma das seguintes probabilidades:a) a probabilidade de o ltimo algarismo da placa de um carro ser 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 6/10;b) a probabilidade de obter ao menos duas caras em quatro jogadas de uma moeda equilibrada 11/16;c) probabilidade de obter 7 ou 11 na jogada de um par de dados equilibrados 2/9.

16. H seis candidatos a um cargo executivo, e a tabela a seguir apresenta alguns dados sobre cada um deles:

CandidatoNatural do PasNvel superiorEstado civil

ANoSimSolteiro

BNoNoCasado

CSimSimCasado

DSimNoSolteiro

ESimSimCasado

FSimNoCasado

Um dos candidatos deve obter o emprego. O evento o emprego ser dado a um natural do pas, por exemplo, representado por {C, D, E, F}. Represente, de maneira anloga cada evento descrito por o emprego dado para...a) ... uma nica pessoa;b) ... um natural do pas com curso universitrio;c) ... um estrangeiro casado;d) ... uma pessoa com curso universitrio.

17. Qual o erro em cada uma das afirmaes a seguir:a) como no h nuvens no cu, a probabilidade de chover hoje de 0,90;b) a probabilidade de um determinado mineral conter cobre 0,28 e a de no conter cobre 0,55;c) a probabilidade de um advogado ganhar uma causa 0,3 e a probabilidade de perd-la cinco vezes maior;d) de acordo com um mdico, a probabilidade de uma pessoa contrair gripe, no inverno, 1,12;e) a probabilidade de dois eventos mutuamente excludentes ocorrerem simultaneamente sempre igual a 1;f) em certo ponto do litoral brasileiro, a probabilidade de se avistar uma baleia de apenas 0,18, mas a probabilidade de se avistar um golfinho seis vezes maior.

18. Descreva o espao amostral para cada um dos experimentos abaixo relacionados:a) Artigos produzidos por certa mquina so classificados como defeituosos ou no defeituosos. Um artigo selecionado da linha de produo e classificado.b) Uma moeda comum lanada at que a primeira cara seja obtida. Registramos o nmero de lanamentos necessrios para isso.c) Foguetes so lanados at que ocorra um lanamento bem sucedido. Se isso no ocorrer at o quarto lanamento, o experimento interrompido e o equipamento inspecionado.

TEOREMAS FUNDAMENTAISTeorema 1. A probabilidade de um evento impossvel igual a zero, ou seja,P() = 0(28)Teorema 2. A probabilidade de um evento complementar de um evento E igual a 1 menos a probabilidade do evento E, ou seja,P() = 1 P(E)(29)Teorema 3. Teorema do Produto: A probabilidade de ocorrncia simultnea de dois eventos E1 e E2, pertencentes a um mesmo espao amostral S, igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, ou seja,P(E1 E2) = P(E1) * P(E2/E1)(30)

Considerando-se dois eventos, pode ser que a ocorrncia de um deles modifique a probabilidade de ocorrncia do outro. Represente-se por P(E2/E1) a probabilidade do evento E2, sabendo que E1 ocorreu, ou probabilidade condicional de E2 em relao a E1. Dessa forma, para P(E1) 0:

(31)

Exemplo 3.9:Uma urna contm 5 bolas exatamente iguais, exceto pelas cores, pois 3 so brancas e 2 so pretas. Uma bola retirada ao acaso dessa urna, e em seguida uma outra bola retirada. Qual a probabilidade de ambas serem brancas, sabendo-se que no houve reposio da primeira bola?

Os eventos so ditos independentes quando a ocorrncia de um deles independe da ocorrncia do outro. Dessa forma se E1 e E2 so independentes, ento P(E2)=P(E2/E1) ou P(E1)=P(E1/E2), e no Teorema do Produto tem-se que P(E1 E2)= P(E1)*P(E2).

Exemplo 3.10:Considerando o exemplo anterior, qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem brancas, considerando que a reposio da primeira bola urna?

Teorema 4. Teorema da Soma ou das Probabilidades Totais: A probabilidade de ocorrer pelo menos um entre dois eventos E1 e E2 igual soma das probabilidades de E1 e E2, menos a probabilidade de E1 e E2 ocorrerem simultaneamente, ou seja:

(32)

No caso de trs eventos, E1, E2 e E3, tem-se que:

(33)

Exemplo 3.11:Suponha que h trs revistas, A, B e C com os seguintes percentuais de leitura:A = 9,8%AB = 5,1%B = 22,9%AC = 3,7%ABC = 2,4%C = 12,1%BC = 6,0%

Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser leitor de pelo menos uma revista?

Ser leitora de pelo menos uma revista, implica que a pessoa pode ser leitora de qualquer uma das trs revistas, ou ento de duas das revistas ou das trs simultaneamente. Da:

= 0,098+0,229+0,121-0,051-0,037-0,06+0,024 = 0,324 ou 32,4%

Teorema 5. Teorema de Bayes: Se E1, E2, ,,,, En so n eventos, dois a dois, mutuamente exclusivos e exaurem o conjunto S dos eventos elementares, ento se P[Ei]>0, para i=1,2,,,,,n, tem-se:

(34)onde B um evento que s pode ocorrer como efeito de uma das causas mutuamente exclusivas Ei.

Exemplo 3.12:Uma indstria produz quatro tipos de vlvulas eletrnicas: A, B, C e D. A chance de uma vlvula do tipo A ser defeituosa 1%, do tipo B 0,5%, do tipo C 2% e do tipo D 0,2%. Em um depsito existem 1000 vlvulas do tipo A, 500 do tipo B, 300 do tipo C e 200 do tipo D. Uma vlvula retirada aleatoriamente do depsito e verifica-se que est defeituosa. Qual a probabilidade de que a vlvula retirada seja do tipo D?

Sejam os eventos:A = a vlvula do tipo A;B = a vlvula do tipo B;C = a vlvula do tipo C;D = a vlvula do tipo D;E = a vlvula defeituosa.

O evento E ocorreu, portanto, a probabilidade de que seja do tipo D (sendo A, B, C e D mutuamente excludentes) ser dada por:

onde:

; ; ; ;

P(E/A) = 0,010; P(E/B) = 0,005 P(E/C) = 0,020 P(E/D) = 0,002,

portanto:

Exerccios

1. Num perodo de um ms, 100 pacientes sofrendo de determinada doena foram internados em um hospital, Informaes sobre o mtodo de tratamento aplicado em cada paciente e o resultado final obtido esto no quadro abaixo:ResultadoTratamento ATratamento BTotal de pacientes

Cura Total241640

Cura Parcial241640

Morte12820

Total de pacientes6040100

Sorteando aleatoriamente um desses pacientes, qual a probabilidade do paciente escolhido ter-se submetido: a) ao tratamento A;b) ao tratamento B;c) ao tratamento A e ter sido parcialmente curado;d) ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado.

2. Um pacote de sementes de flores contm quatro sementes de flores amarelas, trs de flores vermelhas, duas de flores roxas e uma de flor cor de laranja.a) escolhida ao acaso uma semente do pacote, qual a probabilidade de ser de flor vermelha;b) escolhidas duas sementes, sem reposio, qual a probabilidade de serem ambas de flor amarela? c) escolhidas trs sementes, sem reposio, qual a probabilidade de uma ser de flor cor de laranja e duas de cor vermelha.

3. A tabela abaixo fornece a distribuio das probabilidades dos quatro tipos sangneos, numa certa comunidade.Tipo sangneoABABOTotal

Probabilidade de ter o tipo especificado0,201,00

Probabilidade de no ter o tipo especificado0,900,95----

Calcular a probabilidade de que, nessa comunidade:a) um indivduo, sorteado ao acaso, tenha o tipo O;b) dois indivduos, sorteados ao acaso, tenham tipo A e tipo B, nessa ordem;c) um indivduo, sorteado ao acaso, no tenha o tipo B ou no tenha o tipo AB.

4. Uma pesquisa foi feita oferecendo a um grupo de consumidores a oportunidade de comprar 4 ou 5 unidades de um produto, aos preos de R$ 3,00 ou R$ 4,00. O resultado das escolhas, em termos de freqncias relativas, mostrado na tabela abaixo.Quantidade DemandadaPreo

R$ 3,00R$ 4,00

40,400,30

50,200,10

Portanto 40% dos consumidores demandariam 4 unidades ao preo de R$ 3,00, 30% demandariam 4 unidades ao preo de R$ 4,00, e assim por diante. Assumindo que essas freqncias relativas so boas representaes das probabilidades conjuntas das variveis Preo e Quantidade, se houvesse a certeza de que o preo disponvel em um perodo fosse R$ 3,00,qual seria a probabilidade condicional de um consumidor demandar 5 unidades a esse preo?

5. De acordo com certa tbua de mortalidade, a probabilidade de Jos estar vivo daqui a 20 anos 0,60, e a mesma probabilidade para Joo 0,90. Determinar:a) a probabilidade de ambos estarem vivos daqui a 20 anos;b) a probabilidade de nenhum estar vivo daqui a 20 anos;c) a probabilidade de um estar vivo e outro estar morto daqui a 20 anos.

6. As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um penalti so 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma nica vez, qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol?

7. De trs eventos A, B e C, suponhamos A e B independentes, B e C mutuamente excludentes. Suas probabilidades so: P(A)=0,5, P(B)=0,3 e P(C)=0,1. Calcular as probabilidades de:a) B e C ocorrerem ambos;b) ocorrer ao menos um dentre A e B;c) B no ocorrer.

8. Uma urna contm 20 bolas das quais 9 so brancas, 5 azuis e 6 vermelhas. Duas bolas sero retiradas sucessivamente da urna, sem reposio. Determine as seguintes probabilidades:a) a segunda bola extrada ser vermelha, dado que a primeira vermelha;b) de extrairmos duas bolas de cores diferentes;c) de extrairmos bolas de mesma cor.

9. Num certo colgio, 4% dos homens e 1%das mulheres tm mais de 1,75 m, de altura, 60% dos estudantes so mulheres. Um estudante escolhido ao acaso e tem mais de 1,75 m. Qual a probabilidade de que seja homem?

10. O seguinte grupo de pessoas est numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moas com mais de 21 anos e 3 moas com menos de 21 anos. Uma pessoa escolhida ao acaso dentre as 18. Os seguintes eventos so definidos:A: a pessoa tem mais de 21 anos;C: a pessoa um rapaz;B: a pessoa tem menos de 21 anos;D: a pessoa uma moa.Calcular:a)

b)

11. A probabilidade de um indivduo da classe A comprar um carro de 3/4, da B de 1/5 e da C de 1/20, As probabilidades de os indivduos comprarem um carro da marca x so 1/10, 3/5 e 3/10, dado que sejam de A, B e C, respectivamente. Certa loja vendeu um carro da marca x. Qual a probabilidade de que o indivduo que o comprou seja da classe B?

VARIVEL ALEATRIA uma funo que associa nmeros reais aos eventos de um espao amostral S. Uma varivel aleatria dita discreta se assume valores inteiros, dados de contagem. Uma varivel aleatria contnua pode assumir um nmero infinito de valores e esses valores podem ser associados a mensuraes em uma escala contnua, ou seja, a varivel pode assumir valores dentro de um intervalo.

Exemplo 3.13:Uma moeda honesta lanada 2 vezes, sendo anotado o resultado (ca = cara; co = coroa) da face de cima. O espao amostral associado a este experimento:S = { (ca,ca); (ca,co); (co,ca); (co,co)}

Seja a varivel aleatria X o nmero de caras. De acordo com o exemplo, os possveis valores da varivel aleatria X sero:RX = {0, 1, 2}

Varivel Aleatria Discreta

Uma varivel aleatria X dita discreta, se o nmero de valores possveis de X (seu contradomnio RX) for finito ou infinito enumervel.

Exemplo 3.14:Seja X o nmero de pessoas que chegam a uma agncia bancria de uma cidade do interior, em um determinado dia. O mximo de pessoas observados foi de 150.RX = {0, 1, 2, 3, ..., 150}

Varivel Aleatria Contnua

Uma varivel aleatria X dita contnua, se o conjunto de valores que X pode assumir for um intervalo ou uma reunio de intervalos.

Exemplo 3.15:Seja X o tempo necessrio para o atendimento em uma agncia bancria. Conta-se o tempo a partir do momento em que se entra na agncia at o momento da sada. Pode-se admitir que X seja uma varivel aleatria contnua, podendo tomar valores x 0. Ento:RX = {x R / x 0}

Se for considerado que a agncia deve fazer o atendimento dentro do horrio de funcionamento ao pblico, ento pode-se limitar o tempo mximo para o atendimento em 6 horas.RX = {x R / 0 x 6}

A distino entre variveis aleatrias discretas e contnuas importante porque a utilizao de diferentes modelos (distribuies) de probabilidade depende do tipo de varivel aleatria considerado.

Distribuies de Probabilidades

Se a varivel discreta, tem-se o modelo associado dado por uma distribuio discreta de probabilidades, por outro lado, se a varivel considerada contnua tem-se o modelo dado por uma distribuio contnua de probabilidades.Uma distribuio de probabilidades uma distribuio de freqncias relativas para os resultados de um espao amostral; mostra a proporo das vezes em que uma varivel aleatria discreta tende a assumir cada um dos diferentes valores.

Seja X uma varivel aleatria discreta. A cada possvel resultado xi associa-se um nmero p(xi) = P(X=xi), denominado de probabilidade de xi. A funo p denominada de funo de probabilidade da varivel aleatria X.

Sendo p uma funo de probabilidade, deve-se ter:a) p(xi) 0, para todo i; (35)b) (36)O conjunto de pares [xi, p(xi)] denominado de distribuio de probabilidades de X.

Exemplo 3.16:

Considere novamente o exemplo 3.13, referente a dois lanamentos de uma moeda honesta, onde o espao amostral S ={(ca,ca); (ca,co); (co,ca); (co,co)} e a varivel X definida como o nmero de caras, ou seja, com contradomnio Rx = {0, 1, 2}. Portanto:p(0) = p(X = 0) = = 0,25p(1) = p(X = 1) = 2/4 = 0,50p(2) = p(X = 2) = = 0,25

Pode-se ainda ter interesse nas probabilidades acumuladas em cada ponto, ou seja:F(0) = P(X 0) = 0,25F(1) = P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,25 + 0,50 = 0,75F(2) = P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,25 + 0,50 + 0,25 = 1,00

Se a varivel aleatria considerada contnua, ento tem-se o espao amostral dado por um intervalo, e no mais por valores distintos. Sendo assim, j no faz sentido calcular probabilidade num nico ponto, pois se a varivel assume infinitos valores, a freqncia relativa de cada resultado tende a zero. Quando a varivel contnua, o modelo associado a tal varivel uma distribuio contnua de probabilidades, definida por uma funo, de tal forma que a curva definida por esta funo tem rea mxima de um, e qualquer sub-rea, definida dentro da curva, tem valor entre zero e 1. Ento, para variveis aleatrias contnuas, as probabilidades so interpretadas como reas, bem por isso, a funo distribuio denominada funo densidade de probabilidade (f.d.p.). Portanto, para quaisquer valores x1 < x2, ambos pertencentes ao mesmo espao amostral, tem-se que:

(37)Exemplo 3.17:

Seja X uma varivel aleatria contnua, cuja f.d.p. dada por:

Calcular:a) P(3 X 4)b) P(X > 5)

Resoluo:

a)

b)

ESPERANA MATEMTICA, MDIA OU VALOR ESPERADOSeja X uma varivel aleatria. A esperana matemtica, mdia ou valor esperado dessa varivel definida por:

(38)se X for discreta, e por

(39)se X for contnua.

So propriedades da esperana matemtica:1. E(k)=k, sendo k constante;2. E[kX] = k E[X];3. E[X Y] = E[X] E[Y];4. E[aX b] = aE[X] b, a e b constantes;5. E[XY] = E[X] E[Y], desde que X e Y sejam independentes.

Exemplo 3.18:

Seja X uma varivel aleatria discreta que representa o nmero de meninas em cada 5 crianas consideradas num estudo, Sabendo-se que a probabilidade de uma criana ser do sexo masculino, neste estudo, de 0,20. Obteve-se a seguinte distribuio de probabilidade:

xi012345

P(xi)0,000320,006400,051200,204800,409600,32768

Qual o valor esperado (mdia ou esperana matemtica) de X?

Como X uma varivel aleatria (v.a.) discreta, tem que a esperana matemtica dada por:

E[X]=4, portanto, em cada grupo de 5 crianas, espera-se encontrar 4 meninas.

Exemplo 3.19:

Seja a varivel aleatria contnua X, representando o tempo de vida (em horas) de certo componente eletrnico. Sabe-se que a f.d.p. de X dada por:

Calcular o valor esperado de X.

Uma vez que X v,a, contnua, a esperana matemtica dada por (39): Da:

VARINCIASeja X uma varivel aleatria. A varincia dessa varivel definida por:

(40)

Demonstra-se as seguintes propriedades para a varincia:1. V(k) = 0, k constante;2. V[kX] = k2 V[X];3. V[aX b] = a2V[X], a e b constantes;4. V[X Y] = V[X] + V[Y] 2COV(X,Y);

A quantidade COV(X,Y), denominada de covarincia entre as variveis aleatrias X e Y definida por:COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)(41)

Se X e Y forem variveis aleatrias independentes, E(XY) = E(X) E(Y), portanto, a covarincia nula. Embora COV(X,Y)=0, sempre que X e Y so independentes, a recproca no verdadeira, isto , mesmo que cov(X,Y)=0, nem sempre pode-se concluir que X e Y sejam independentes.

Exemplo 3.20:Seja X uma v. discreta, com funo de probabilidade dada por:xi0123

p(xi)0,600,200,150,05

Calcular a varincia de X.

Sendo X uma v.a. discreta, tem-se que:

Exemplo 3.21:Seja o quadro a seguir, referente ao salrio e tempo de servio de dez operrios. Determinar a distribuio conjunta de probabilidade da varivel X: salrios (reais) e da varivel Y: tempo de servio em anos. Encontre tambm a esperana e a varincia de X: salrio e Y: tempo e ainda a covarincia entre X e Y. OperrioABCDEFGHIJ

X: salrio500600600800800800700700700600

Y: tempo6564665665

Analisando a tabela dada, pode-se observar que somente um operrio, dentre os dez, tem 4 anos de tempo de servio, com salrio de 800 reais. Ento P[X=800, Y=4] = 1/10. Sendo assim, a distribuio conjunta de X e Y dada como segue: Y X 456Total

500001/101/10

60002/101/103/10

70001/102/103/10

8001/1002/103/10

Total1/103/106/101

Analisando somente a varivel salrio.

reais

Analisando somente a varivel tempo.

anos

Analisando conjuntamente as variveis X e Y.

EXERCCIOS1. Uma loja pe em liquidao 30 toca fitas dentre os quais, sem que se saiba, h cinco defeituosos. Se um cliente testa dois escolhidos ao acaso, a distribuio de probabilidades do nmero de X defeituoso na amostra dada por:x012

P(X=x)0.6897k0.0230

a) determinar o valor de k para que f(x) = P(X=x) seja uma distribuio de probabilidades;b) qual o nmero mdio de defeituoso esperado?c) calcule o desvio padro para a varivel X.

2. Um negociante espera vender um carro at sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda de 50%. Na tera de 30%, na quarta de 10%, na quinta-feira de 5% e na Sexta-feira de 5%.Seu lucro de 3000 u.m. se vender na Segunda-feira e diminui 40% a cada dia.a) Calcule o valor esperado de lucro deste negociante nesta venda; b) Calcule a varincia e o desvio padro.

3. As chamadas dirias do corpo de bombeiros apresenta a seguinte distribuio:N de chamadas/dia012345

% dias10153025155

a) Calcular o nmero mdio de chamadas, bem como o desvio padro;b) Num ano de 365 dias, pode-se esperar que o nmero total de chamadas tenha sido de quanto?

4. Uma pessoa paga K dlares cada vez que joga um dado, e recebe tantos dlares quantos pontos obteve. Qual o valor de K para o qual a esperana matemtica do lucro nula? Qual o desvio padro da distribuio do lucro?

5. Um vendedor prepara quatro visitas e espera vender 1.000 u.m. em cada uma delas. A expectativa de venda em cada cliente de 80%, independentemente. Qual o valor esperado de vendas deste vendedor?

6. Uma seguradora paga R$ 30.000,00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa de R$ 1.000,00. Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra um acidente de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado?

7. Uma organizao financeira verificou que o lucro unitrio (L) obtido numa operao financeira dado pela seguinte expresso L=1,1V+0,9C-4,5. Sabendo-se que o preo de venda unitrio (V) tem distribuio de mdia R$ 50,00 e desvio padro de R$ 2,00, e que o preo de custo unitrio (C) tem distribuio de mdia R$ 45,00 e desvio padro R$ 1,50, qual a mdia do lucro unitrio.DISTRIBUIES TERICAS DE PROBABILIDADEPara utilizar a teoria das probabilidades no estudo de um fenmeno concreto, deve-se encontrar um modelo probabilstico adequado a tal fenmeno. Por modelo probabilstico para uma v.a. X entende-se uma forma especfica de funo de distribuio de probabilidade que reflita o comportamento dessa varivel X. Se X uma varivel aleatria discreta, ou seja, se a varivel assume somente valores inteiros, um modelo probabilstico associado a tal varivel uma distribuio discreta de probabilidade. Se, no entanto, a varivel aleatria X contnua, ou seja, assuma valores num intervalo do conjunto dos nmeros reais, tem-se como modelo probabilstico, uma distribuio contnua de probabilidade.Dentre as distribuies mais conhecidas e estudadas tem-se as distribuies discretas:1. Distribuio Binomial;2. Distribuio de Poisson;3. Distribuio Multinomial;4. Distribuio Hipergeomtrica;e as distribuies contnuas:3. Distribuio Normal;4. Distribuio Qui-quadrado (2);5. Distribuio t de Student;6. Distribuio F de Snedecor.

Distribuio Binomial

Os experimentos binomiais tm a caracterstica de apresentarem dois resultados complementares: em processos industriais, as peas so perfeitas ou defeituosas, na medicina, um paciente sobrevive ou no uma cirurgia, em marketing, um consumidor reconhece um produto ou no.Se o experimento binomial, a distribuio da varivel aleatria X chamada distribuio de probabilidade binomial (distribuio binomial).Seja p a probabilidade de um evento E ocorrer em uma tentativa nica (denominada sucesso) e q = 1-p a probabilidade desse evento no ocorrer nessa nica tentativa. A probabilidade do evento E ocorrer exatamente x vezes em n tentativas (desde que p seja constante) dada pela funo de probabilidade:

(42)denominada de distribuio binomial, onde:ndenota o nmero fixo de provas;xdenota um nmero especfico de sucessos em n provas, podendo ser qualquer inteiro entre 0 e n, inclusive;pprobabilidade de sucesso em uma das n provas;qprobabilidade de falha em uma das n provas;P(X=x)denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n provas (tentativas).

Como a varivel aleatria X representa o nmero de sucessos, ento seus possveis valores sero: 0, 1, 2, ... , n. Notao: , 0 30);2. p 0 (p < 0,1);3. 0 < 10.Quando as condies apresentadas ocorrem, a mdia ( = np) da distribuio binomial ser tomada como = np.Para a distribuio de Poisson, demonstra-se que a varincia coincide com a mdia, ou seja: = 2 = = np(46)

Exemplo 3.24:A probabilidade de um indivduo ter