apostila introducao ao matlab
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Apostila Introducao Ao MatlabTRANSCRIPT
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Centro Nacional de Processamento de Alto Desempenho em So Paulo
Universidade Estadual de Campinas
Introduo ao MATLAB
Cedric Marcelo Augusto Ayala Bravo
der Lima de Albuquerque
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Sumrio 1 Introduo .......................................................................................................................1
1.1 Toolboxes................................................................................................................2 2 Ajuda no Matlab .............................................................................................................2
2.1 Editor/Depurador de programas..............................................................................6 2.2 Comandos do UNIX/DOS ......................................................................................6 2.3 Limitaes de memria...........................................................................................7
3 Manipulao de matrizes, vetores e escalares.................................................................7
3.1 Operaes bsicas: +, -, *, / ..................................................................................10 3.2 Operador dois pontos ':' ........................................................................................13
3.2.1 Outros usos do operador dois pontos ............................................................13 3.3 Clculos fundamentais e matrizes especiais .........................................................14
3.3.1 Constantes predefinidas ................................................................................15 4 Funes elementares .....................................................................................................16
4.1 Funes bsicas.....................................................................................................16 4.1.1 Exemplos simples .........................................................................................17 4.1.2 Nmeros complexos .....................................................................................18 4.1.3 Comandos de converso ...............................................................................20
4.2 Funes trigonomtricas .......................................................................................20 4.3 Funes hiperblicas: nomenclatura.....................................................................21
5 Controle de fluxo ..........................................................................................................22
5.1 Regras para escrever uma function .......................................................................24 5.2 Operadores relacionais..........................................................................................24 5.3 Operadores lgicos ...............................................................................................26 5.4 Lao estrutural if-else-end ....................................................................................27 5.5 Estrutura switch-case-otherwise-end ....................................................................29 5.6 Estrutura while-end ...............................................................................................30 5.7 Estrutura for-end ...................................................................................................30
6 Operaes sobre matrizes .............................................................................................31
6.1 Outras funes teis..............................................................................................31 7 Medidas estatsticas ......................................................................................................32
8 Grficos.........................................................................................................................33
8.1 Comando subplot ..................................................................................................38 8.2 Outros recursos para grficos bidimensionais ......................................................40
8.2.1 Grfico em coordenadas polares...................................................................44 8.3 Grficos tridimensionais .......................................................................................45
8.3.1 Grficos de superfcie ...................................................................................46 8.3.2 Animao grfica ..........................................................................................47
9 Soluo de sistemas de equaes lineares ....................................................................48
9.1 Mtodos diretos.....................................................................................................49
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9.2 Mtodos iterativos.................................................................................................50 10 Ajuste de curvas e interpolao ................................................................................53
11 Leitura e escrita de arquivos de dados ......................................................................62
12 Anlise polinomial ....................................................................................................65
13 Anlise numrica de funes ....................................................................................67
14 Integrao e diferenciao ........................................................................................69
14.1 Integrao..............................................................................................................69 14.2 Diferenciaco ........................................................................................................73
15 Equaes diferenciais ordinrias ..............................................................................76
15.1 Equao diferencial ordinria de ordem superior .................................................79 16 Decomposio e fatorao de matrizes.....................................................................82
16.1 Fatorizao triangular - LU...................................................................................83 16.2 Decomposio - QR..............................................................................................83 16.3 Decomposio em valores singulares - SVD........................................................84 16.4 Autovalores e autovetores.....................................................................................84
17 Comentrio final .......................................................................................................85
18 Referncias Bibliogrficas ........................................................................................85
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Introduo ao MATLAB
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1 Introduo
A primeira verso do Matlab escrita no final da dcada de 70 nas Universidades de
Stanford e do Novo Mxico era destinada a cursos de teoria matricial, lgebra linear e
anlise numrica.
No desenvolvimento dos pacotes EISPAC e LINPACK de sub-rotinas em cdigo
FORTRAN para manipulao de matrizes, pretendia-se que os alunos pudessem utilizar
esses pacotes sem a necessidade de escrever programas em Fortran.
Atualmente a capacidade do Matlab se estende alm do Laboratrio de Matrizes'
original. O Matlab um sistema interativo e uma linguagem de programao para
computao tcnica e cientfica em geral.
Ele integra a capacidade de fazer clculos, visualizao grfica e programao em
um ambiente fcil de usar, em que problemas e solues so expressos em uma linguagem
matemtica familiar.
Os usos tpicos para o Matlab incluem:
Clculos matemticos;
Desenvolvimento de algoritmos;
Modelagem, simulao e confeco de prottipos;
Anlise, explorao e visualizao de dados;
Grficos cientficos e da engenharia;
Desenvolvimento de aplicaes, incluindo a elaborao de interfaces grficas com o
usurio.
O Matlab um sistema interativo cujo elemento de dados bsico uma matriz que no
requer dimensionamento. Isso permite solucionar muitos problemas computacionais, como
aqueles que envolvem formulaes matriciais ou vetoriais em uma frao de tempo bem
menor daquele ocupado para escrever um programa em uma linguagem como C ou Fortran,
veja [1] e [2].
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1.1 Toolboxes
O Matlab tanto um ambiente quanto uma linguagem de programao [3], e um dos
aspectos mais poderosos o fato de que a linguagem Matlab permite construir suas prprias
ferramentas reutilizveis. O usurio pode facilmente criar suas prprias funes e
programas especiais em linguagem Matlab. A medida que se escreve mais e mais funes
para lidar com certos problemas naturalmente se levado a agrupar por convenincia,
funes relacionadas entre si em diretrios especiais. Isso nos introduz o conceito de
Toolbox: uma coleo de arquivos para tratar classes especiais de problemas.
As toolboxes so mais do que uma simples coleo de funes teis, elas
representam os esforos de alguns dos maiores pesquisadores do mundo em campos como
controle, processamento de sinais e identificao de sistemas, dentre outros. Novas
toolboxes so criadas a cada ano, dentre alguns exemplos no Matlab tem-se:
Toolbox de Processamento de Sinais;
Toolbox de Identificao de Sistemas;
Toolbox de Otimizao;
Toolbox de Sistemas de Controle;
Toolbox de Controle Robusto;
Toolbox de Redes Neurais;
Toolbox Spline.
Extrada e adaptada da Introduo do texto Guia do Usurio , [2].
2 Ajuda no Matlab O Matlab pode ser utilizado tanto no ambiente Unix como no Windows. Aps
chamar o matlab aparecem trs opes de ajuda a serem acessadas a partir do prompt (>>)
ou linha de comandos do Matlab, a saber, helpwin, helpdesk e demo.
O comando demo permite o acesso a uma janela indexada com vrias ferramentas
que o Matlab implementa. Escolhe-se um tpico e sub tpico e clica-se sobre o boto Run
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Introduo ao MATLAB
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o qual chama uma outra janela que mostra uma srie de comandos usados pelo Matlab com
a correspondente explicao acompanhada por uma visualizao grfica e vrias
opes/botes de execuo como start, reset, play, next, prev, info, etc.
Com o comando helpdesk obtm-se acesso a uma ajuda online com informaes
completas sobre o Matlab em todos seus aspectos. Dentre estes tambm h itens onde so
dados exemplos com explicaes do potencial do Matlab e dos comandos que so
utilizados, apresenta-se tambm uma visualizao grfica quando esta compete. Alguns
tpicos so apresentados no formato contedo-ndice. No preciso estar conectado a
Internet para usar esse sistema. O comando help docopt ensina a configurar o Web Browser
para ter acesso a esta ajuda online com o comando helpdesk.
O comando Helpwin apresenta um conjunto de diretrios e um ttulo que reflete o
tipo de ferramentas nele contidas. Clicando sobre qualquer um destes itens aparece um
glossrio de comandos com a correspondente definio da funo que lhe designada.
Clicando ainda sobre uma destas definies tem-se acesso a uma explicao sucinta dos
usos desta funo assim como os argumentos de entrada e sada e de funes afins com ela.
Caso existam outras funes que este comando possa executar, sero mostrados uma srie
de arquivos com o mesmo nome, mas com funes distintas (funes sobrecarregadas).
Para ter acesso a uma ajuda sobre estes comandos basta digitar qualquer das linhas
apresentadas na linha de comandos do Matlab, com ou sem a extenso '.m'.
Como ser visto depois a extenso '.m' reservada para designar um arquivo
executvel dentro do Matlab. Assim, as funes ou mtodos usados pelo Matlab, esto
implementados dentro de arquivos com extenso '.m', e so fceis de acessar e entender,
pois esto escritos em uma linguagem matemtica familiar.
No Matlab os comandos e variveis so caso sensitivo, isto , as variveis cujos
nomes so var e vaR so distintas dentro do ambiente Matlab.
Para ter acesso direto a explicao de uma determinada funo do Matlab cujo nome
conhecido basta digitar help e o nome do comando, por exemplo, para acessar a
explicao da funo 'power', elevao potencia de um nmero, digite (todos os
comandos ou funes prprias do matlab devem ser digitadas em letra minscula) :
>> help power
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A sada resposta do Matlab ser:
.^ Array power.Z = X.Y denotes element-by-element powers. X and Ymust have the same dimensions unless one is a scalar.A scalar can operate into anything.C = POWER(A,B) is called for the syntax 'A . B' when A or Bis an object.See also MPOWER.Overloaded methodshelp demtseries/power.mhelp fints/power.mhelp sym/power.m
A funo mpower afim com a funo power, pois ela calcula potncias numricas.
A funo mpower permite elevar uma matriz a uma potncia escalar, isto representa o
produto de uma matriz por si mesma, coisa que no possvel calcular diretamente com
power. Por exemplo, para A definida por:
=
4321
A (1)
>> B = power(A,2)
retorna o resultado
=
16941
B (2)
Isto representa o quadrado de cada entrada de A. Ao passo que o comando
>> C = mpower(A,2)
devolve o resultado
=
2215107
C (3)
que equivale ao produto A vezes A.
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O arquivo power.m no diretrio local matlab6/toolbox/matlab/ops acionado
quando o comando help power executado. O mencionado arquivo, no caso especfico, s
contm linhas de comentrio sem argumentos de entrada. J o arquivo sobrecarregado
power.m, no diretrio local matlab6/toolbox/finance/ findemos/@demtseries, calcula a
potncia de um nmero elemento a elemento e cujos argumentos de entrada so uma matriz
e um nmero. Qual destes arquivos ser acionado depender, obviamente, do nmero e do
tipo de argumentos.
Outro comando de ajuda do Matlab o lookfor que pesquisa dentre as funes do
Matlab aquelas que contm uma certa palavra chave. Por exemplo
>> lookfor sound
apresenta a seguinte sada: BEEP Produce beep sound.AUREAD Read NeXT/SUN (".au") sound file.AUWRITE Write NeXT/SUN (".au") sound file.SAXIS Sound axis scaling.SOUND Play vector as sound.SOUNDSC Autoscale and play vector as sound.WAVPLAY Play sound using Windows audio output device.WAVREAD Read Microsoft WAVE (".wav") sound file.WAVRECORD Record sound using Windows audio input device.WAVWRITE Write Microsoft WAVE (".wav") sound file.SOUNDVIEW View and play sound with replay button.XPSOUND Demonstrate MATLAB's sound capability.NNSOUND Turn Neural Network Design sounds on and off.PLAYSND Implementation for SOUND.
Sendo que cada palavra inicial, ressaltada em letra maiscula, corresponde a uma
funo definida dentro do Matlab.
O comando de ajuda which permite visualizar o caminho atual de uma funo
qualquer com extenso '.m'. Por exemplo:
>> which power -all
Apresenta a seguinte sada:
power is a built-in function.
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/usr/matlab6/toolbox/finance/findemos/@demtseries/power.m %demtseries method/usr/matlab6/toolbox/ftseries/ftseries/@fints/power.m % fintsmethod/usr/matlab6/toolbox/symbolic/@sym/power.m % sym method/usr/matlab6/toolbox/matlab/ops/power.m % Shadowed
Estes so os caminhos dos atuais mtodos sobrecarregados com o nome power. O smbolo % significa que o que est a esquerda nessa linha comentrio, equivale a ! em Fortran e a // em C++.
Informaes adicionais do Matlab na Web, tais como fone/fax/e-mails, podem ser obtidas com o comando info.
2.1 Editor/Depurador de programas A atual verso do Matlab apresenta um editor especfico para manipular arquivos de
dados e executveis, alm de permitir a depurao de programas na linguagem do Matlab.
Este editor conta com comandos do tipo break line, step into, etc. Tambm existem no
Matlab comandos especficos para depurar um programa. Para acessar pela ajuda e
conhecer estes comandos digite:
>> help debug
e em seguida pode-se fazer o help de qualquer um dos comandos mostrados.
2.2 Comandos do UNIX/DOS possvel executar comandos do UNIX ou do DOS dentro do Matlab. Quando o
comando simples basta digit-lo como se estivesse numa console do UNIX ou uma janela
DOS no Windows. Por exemplo, ls, dir, cd, etc. Quando o comando mais complexo ou
com um maior nmero de parmetros proceda como dado a seguir.
Por exemplo, quer-se utilizar o editor pico no ambiente Linux:
>> unix 'pico meu_programa.m' +
quando sair deste editor retorna-se ao prompt '>>' do Matlab.
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Por exemplo, quer-se apagar um arquivo dentro do ambiente Windows:
>> dos 'del arquivo.dat' +
2.3 Limitaes de memria recomendvel, quando se trabalha com programas ou algoritmos que utilizam
grande quantidade de memria, verificar a priori se a memria alocada suficiente para
evitar que em determinado momento da execuo o programa aborte por insuficincia de
memria. Isto pode s vezes ser testado pelo dimensionamento dos arranjos que em
determinado momento sero gerados. Tambm isto pode ser monitorado testando ou
executando isoladamente aquelas partes do algoritmo que apresentaram maior consumo de
memria.
Sabe-se que no existe limitao computacional para a utilizao das ferramentas do
Matlab a no ser quelas impostas pela mquina em que esta sendo executado. A este
respeito existe o comando bench, que testa a priori a performance da mquina do usurio,
comparando certos algoritmos, como por exemplo, a decomposio matricial LU dentre
outros, e retornando o tempo de CPU esperado. Este comando sem argumentos retorna,
depois de um tempo, uma lista de mquinas com diferentes estruturas, e os tempos de CPU
que elas utilizam incluindo a mquina do usurio, para desta forma efetuar a comparao.
3 Manipulao de matrizes, vetores e escalares Para o Matlab todas as variveis constituem-se em matrizes. Por exemplo, para definir
texto procede-se da seguinte forma:
>> texto='Esta uma frase exemplo';
Este procedimento por si s define a varivel texto como um vetor de 24
componentes ou equivalentemente uma matriz linha de tamanho 1x24. O comando:
>> texto +
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provoca a sada:
texto =
Esta uma frase exemplo
ao passo do que o comando
>> texto(24) +
retorna a sada
ans =o
que corresponde a entrada ou letra na posio nmero 24, isto a ltima letra da frase. A
mesma sada obtida com a varivel:
>> texto(1,24) + ans =o
Repare que a varivel ans (de answer) padro para o Matlab e utilizada sempre que
um resultado, que retornado por alguma funo, no foi designado a nenhuma outra
varivel. Para atribuir um valor de retorno a uma varivel basta digitar o nome da varivel
seguida do sinal = esquerda da funo que retorna do valor ou cadeia de caracteres
(string). O smbolo ; inibe a resposta de sada, exceto quando o comando utilizado seja
para mostrar por exemplo grficos ou mensagens.
Clculos elementares: exemplo
>> bananas = 4;>> laranjas = 5;>> frutas = laranjas + bananas;>> preco_laranja = 2.5;>> preco_banana = 2;>>
preco_medio=(laranja*preco_laranja+banana*preco_banana)/...frutas;
Comando who
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Mostra as variveis ativas do ambiente (atualmente definidas). Caso foram digitados
todos os exemplos desde o inicio da seo 3 o comando who daria a seguinte sada:
>> whoYour variables are:ans frutas preco_banana preco_mediobananas laranjas preco_laranja texto
Para ter acesso ao valor de uma determinada varivel basta digitar o seu nome no
prompt e dar . Caso a varivel digitada no tenha sido definida ou no exista
dentro do ambiente ser emitido uma mensagem de erro. Sempre que uma operao ou
comando no seja vlido dentro do Matlab ser visualizada uma mensagem de erro, da
mesma forma se no existe memria suficiente para executar uma determinada operao.
Comando whos
Mostra as variveis do ambiente mais o tamanho e tipo: >> whos
Name Size Bytes Classans 1x1 2 char arraybananas 1x1 8 double arrayfrutas 1x1 8 double arraylaranjas 1x1 8 double arraypreco_banana 1x1 8 double arraypreco_laranja 1x1 8 double arraypreco_medio 1x1 8 double arraytexto 1x24 48 char array
Repare que uma varivel simples como bananas considerada como um arranjo de
dimenses 1x1 (double).
Comando clear
Permite apagar variveis do ambiente. >> clear bananas
Apaga a varivel bananas do ambiente, o comando who acusar a ausncia desta varivel.
>> clear prec*
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Apagara todas as variveis que se iniciam com as letras prec
>> clear all
ou simplesmente clear apaga todas as variveis do ambiente.
3.1 Operaes bsicas: +, -, *, / Por exemplo, para definir uma matriz no se requer dimensionamento prvio, embora
isto seja possvel.
Existem vrias formas de se definir uma matriz. Por exemplo, os valores so
inseridos por linhas, separadas estas por ; da seguinte maneira:
>> A = [ 2 1 1;1 2 1;1 1 2] + A =2 1 11 2 11 1 2
vlido separar as entradas de cada linha por vrgula ou com um espao. Se uma
linha longa pode-se continuar a linha de uma matriz na linha seguinte do prompt, usando
reticncias,
>> B=[1 2 3 ... + 4;5 6 7 8; 9 ... + 10 11 12] + B =1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
Um outro exemplo onde cada determina uma linha da matriz:
C = [7 1 2 + 1 7 2 + 1 2 7] + C =3 1 22 3 11 2 3
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J que qualquer dado numrico considerado um arranjo, os smbolos +, -, *, / so
designados como operaes matriciais ao passo que para operaes com escalares podem
ser utilizados os smbolos .- , .+ , .* , ./ . Quando o arranjo um nmero pode-se usar um ou
outro smbolo indistintamente. Usando as matrizes A, B e C definidas acima observem os
seguintes exemplos:
>> A*C + ans =
9 7 88 9 77 8 9
Produtos entre matrizes de dimenses distintas so possveis desde que respeitadas
as dimenses para o produto, por exemplo, A*B bem definida, j B*A no permitido
dado que o nmero de colunas de B 4 e o nmero de linhas de A 3.
>> MAT = A.*C+ ans =
6 1 22 6 11 2 6
Isto corresponde a um produto componente a componente, isto , a matriz MAT
cujas entradas so MAT(i,j)=A(i,j)*C(i,j).
>> A+1 + ans =
3 2 22 3 22 2 3
As formas A.+1, A(1,1).+1 no so validas ao passo que a forma 5.+1 aceita.
>> A*5 % o mesmo que A.*5 + ans =
10 5 55 10 55 5 10
>> C/A % igual C vezes inversa de A ou A*inv(C) +
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ans =1.5 -0.5 0.50.5 1.5 -0.5-0.5 0.5 1.5
>> C./A % a matriz definida por C(i,j)/A(i,j)ans =
1.5 1 22 1.5 11 2 1.5
Outras operaes ainda so permitidas:
>> z=[20 21 22];>> y=[A;z] % agrega uma quarta linha + ans =
2 1 11 2 11 1 220 21 22
Esta forma til para se trabalhar com sub matrizes ou matrizes em blocos.
Para atribuir um valor a uma determinada entrada de uma matriz:
>> A(2,3) = 0 + ans =
2 1 11 2 01 1 2
Deve-se ter um cuidado especial quando se trabalha com indexao matricial, pois
uma atribuio como:
>> A(4,4) = 100ans =
2 1 1 01 2 1 01 1 2 00 0 0 100
pode resultar em um redimensionamento indesejado da matriz A, por padro os valores
restantes so preenchidos com zeros. Outras formas de manipulao de matrizes sero
observadas no captulo 5.
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3.2 Operador dois pontos ':' til considerar vetores construdos com valores contidos em intervalos. Duas
formas podem ser usadas:
vet = valor inicial : valor final ; %ouvet = valor inicial : incremento : valor final ;
Exemplos: >> v = 3:7 + v =
3 4 5 6 7>> v = 3:1.5:7 + v =
3.0 4.5 7.0
3.2.1 Outros usos do operador dois pontos
Pode-se selecionar sub matrizes de uma matriz utilizando o operador dois pontos.
Considerando a matriz B definida acima, sub1 formada por todas as linhas das colunas 2 e
3 de B.
>> sub1 = B(:,2:3)ans =
2 36 710 11
A matriz sub2 definida pelas entradas de B das linhas 2 e 3 interceptadas com as
colunas 1 at 3.
>> sub2 = B(2:3,1:3)ans =
5 6 79 10 11
Matrizes vazias podem ser definidas da seguinte maneira:
>> V = [];>> V = 4:-1:5;
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3.3 Clculos fundamentais e matrizes especiais Pode-se transformar uma matriz em vetor coluna da seguinte maneira:
>> clear % apaga-se todas as variveis definidas at agora>> a=[1 2;3 4];%matriz 2x2>> b=a(:) + b =
1234
Para saber a dimenso de uma matriz (de agora em diante supe-se que na linha do
prompt >> digitou-se a tecla )
>> size(a)ans =
2 2>> f=1:3;%vetor dos inteiros de 1 at 3>> b=f';%transposta de f>> a=b*f %matriz 3x3
a =1 2 32 4 6
3 6 9
>> b = 3*a; % redefine b com componentes b(i,j)=3*a(i,j)>> c = a/5; % c definida por : c(i,j)=a(i,j)/5>> d =a.^ 2; % d define-se como : d(i,j)=a(i,j)2>> e = 3.^ a; % e definida como: e(i,j)=3a(i,j)
Potncias escalares usando matrizes:
>> a=[1 2 3];>> b=[2 2 2];>> a.^ b
ans =1 4 9
O comando zeros aloca uma matriz de zeros de um dado tamanho.
>> A=zeros(2); % aloca uma matriz 2x2 de zeros
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>> B = zeros(3,2);% a matriz de zeros de tamanho 3x2>> C = ones(2,3);%matriz de uns de dimenses 2x3>> D = eye(4);%matriz identidade de ordem 4
3.3.1 Constantes predefinidas
Existem no Matlab certos nomes de variveis que assumem valores default. Algumas destas constantes so:
pi : constante de proporo entre o permetro da circunferncia e seu dimetro
i,j : nmero imaginrio igual a raiz quadrada de -1
inf : denota o infinito na reta
NaN : quando o resultado de uma operao errada no um nmero
date : retorna a data atual
clock : retorna a hora no formato de vetor: ano ms dia hora minuto segundo
ans : varivel de sada default
Apesar das caractersticas especiais destas variveis elas no so proibidas no sentido
de poderem ser definidas pelo usurio. Se isto acontecer o valor atual destas variveis ser
aquele definido pelo usurio. Depois de aplicado o comando clear, sobre a constante'
redefinida pelo usurio, ela assumira o seu valor default como constante predefinida pelo
Matlab.
Assim por exemplo, quando se trabalha com nmeros complexos, deve-se evitar o uso
das constantes i, j para efetuar laos tipo for, pois isso ocasionar erros no clculo com
nmeros complexos do tipo a+b*i, dado que o imaginrio i assumira valores inteiros e
deixaria de valer a raiz quadrada de -1. Um outro exemplo:
>> dateans =
21-Nov-2001>> date = 1;>> datedate =
1>> clear date>> dateans =
21-Nov-2001
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Introduo ao MATLAB
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4 Funes elementares Nesta seo sero apresentados comandos para efetuar chamadas das funes
matemticas elementares, como funes analticas trigonomtricas, exponenciais,
logartmicas, que podem ser usadas tanto em escalares como em vetores e matrizes. No
Matlab trabalha-se com listas numricas, portanto para se calcular o valor de uma funo
conhecida ou definida, em uma varivel x, deve-se conhecer o valor x ou a lista x. Se x um
nmero a funo retornar um nmero. Se x uma lista, a funo tambm retornara uma
lista de valores, os correspondentes valores da funo para cada valor da lista. Por exemplo:
>> x=[.1 .2 .3];>> sin(x) %funo trigonomtrica senoans =
0.0998 0.1987 0.2955
Isto , [sin(.1) sin(.2) sin(.3)]. Ainda se x uma matriz qualquer o resultado de b =
sin(x) tambm uma matriz cujas componentes so b(i,j) = sin(x(i,j)).
4.1 Funes bsicas Apresentam-se a seguir algumas funes simples que podem ser usadas tanto em
escalares como em matrizes ou vetores.
>> abs(x); % valor absoluto da varivel x>> sqrt(x); % raiz quadrada de x>> round(x);% arredonda x para o inteiro mais prximo>> fix(x); % arredonda x para o inteiro mais prximo de zero>> floor(x);% arredonda x para o inteiro mais prximo de >> ceil(x); % arredonda x para o inteiro mais prximo de +>> sign(x); % sinal de x, +1 ou -1>> rem(x); % resto de x:y>> exp(x); % exponencial de x>> log(x); % funo logaritmo com base e=2.7182818284590...>> exp(1), %(Neperiano)>> log10(5);%logaritmo em base 10 de 5
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4.1.1 Exemplos simples
Defina as seguintes matrizes:
>> a = -2.6;>> A = [1 2 3];>> B = [2 2 2];>> C = [2.6 1.3 -3.2 3.5];
ento os seguintes clculos so obtidos:
>> x = round(a) % inteiro mais prximox =
-3>> x=fix(a) % inteiro mais prximo de zerox =
-2>> x=floor(C) % inteiro mais prximo de +x =
2 1 -4 3>> x = ceil(C) % inteiro mais prximo de +x =
3 2 -3 4>> x = sign(C) % sinalx =
1 1 -1 1>> abs(a) % valor absolutox =
2.6>> x = sqrt(C) % raiz quadradax =
1.6125 1.140 0 + 1.7889i 1.8708
No caso do nmero negativo o terceiro valor resulta num complexo.
>> x = rem(7.5,2) % resto da diviso 7.5/2x =
1.5>> x = rem(A,B) % resto da diviso entre as componentesx =
1 0 1
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No caso do argumento de entrada ser uma lista/matriz, cada elemento da lista (ou
matriz) resposta a soluo dada pela funo que correspondente ao elemento na mesma
posio na lista de entrada. Por exemplo:
>> rem( [3 3 3;4 4 4;5 5 5] , [1 2 3;1 2 3;1 2 3] )ans =0 1 00 0 10 1 2
Outros exemplos, diviso a esquerda e a direita.
>> u=[1 2 3];>> v=[2 2 2];>> u./v; % vetor contendo as divises ui/vi>> v.\u; % o mesmo resultado anterior
A hierarquia entre operaes aritmticas tais como operaes entre parnteses,
potenciao, radicalizao, soma, produto, etc a usual.
4.1.2 Nmeros complexos
Na prxima seo ser preciso o conceito de nmero complexo. Como citado o
valor padro de i e j a raiz quadrada de -1. Logo, naturalmente, um nmero complexo
define-se da seguinte maneira (por exemplo):
>> c1 = 3-2*i;>> c2 = -1/2+j;
As operaes aritmticas podem ser usadas livremente.
>> c1+c2;>> c1*c2;>> c1/c2; O produto c1*c2 corresponde ao produto de dois binmios com a restrio de que i*i=j*j=-1. O nmero complexo 1/c2 definido tal que c2*(1/c2)=1. As partes real e imaginria de c1 so obtidas com: >> real(c1);
-
Introduo ao MATLAB
19
>> imag(c1);
Outras funes envolvendo complexos so exemplificadas a seguir. O valor
absoluto de um complexo a+b*i a norma de (a,b).
>> abs(c1)ans =
3.6056>> conj(2+3*j); % o complexo conjugado de 2+3*j, isto , 2-
%3*i
A forma polar de um complexo tambm pode ser obtida.
>> a=1;>> b=2;>> x = a+b*i;>> r=abs(x);>> theta = angle(x); % retorna o ngulo polar do vetor (a,b)
%ou atan( b/a)>> y = r*exp(theta*i); % forma polar>> z = r*(cos(theta)+i*sin(theta)); % igual a y e igual a x
%(formas equivalentes de um complexo)
Exemplo simples de clculo com utilizao da funo tangente.
>> A = [-pi/5 , 0;1+2*i , 3*pi/2+0.001];>> tan(A)ans =
1.0e+02 *-0.0073 00.0003 + 0.0101*i -10.0000
O primeiro valor (1.0e+02) indica que dever multiplicar-se o nmero 100 a matriz
2x2 que vem em seguida. Para aumentar a preciso na resposta numrica aplique-se o
comando:
>> format long; % preciso da ordem 10-15>> 1/pians =
0.31830988618379 Por padro a preciso mostrada de 5 dgitos que recuperada com o comando:
-
Introduo ao MATLAB
20
>> format short; % ou simplesmente format designa a preciso% default
>> ans % varivel de sada padro que guarda o ltimo%resultado
ans =0.3183
Para maiores informaes do comando format digite help format.
4.1.3 Comandos de converso
Existe um nmero grande de funes que permite a converso entre diferentes tipos
de dados. Algumas destas funes so exemplificadas a seguir.
>> letra = num2str(2); % permite manipular um nmero como um
% caractere
Isto uma abreviao das palavras numeric to string. De tal forma que a varivel
letra no mais um nmero e sim um caractere ao passo que o resultado da operao:
>> letra+1ans =
51 no 3 que seria a soma 2+1.
>> str2num(letra)+1 % converte o contedo da varivel letra,%isto , o caractere 2 para o nmero 2 soma-lhe 1
ans =3
>> dec2hex(11); % converte o decimal 11 para o sistemahexadecimal (B)>> hex2dec('F'); % converte o valor hexadecimal para o
%decimal (15)
4.2 Funes trigonomtricas Os nmeros contidos na varivel argumento destas funes podem assumir qualquer
valor real ou complexo, considerado este em radianos.
-
Introduo ao MATLAB
21
>> sin(x); %funo trigonomtrica seno de um ngulo>> cos(x); %funo coseno>> tan(x); %tangente de x>> asin(x);%arcoseno ou funo inversa do seno do argumento x>> acos(x);%arco coseno ou inversa do coseno de x>> atan(x);%inversa da tangente de x As funes csc(x), sec(x), cot(x), acsc(x), asec(x), acot(x) definem as funes
cossecante, secante e cotangente de x e suas inversas respectivamente.
Para as funes sin(x) e cos(x), se o argumento real este no limitado, isto
[ ]+ ,ijx , se x complexo a funes sin(x), cos(x), tan(x) no esto definidas para qualquer complexo. A funo tan(x) indefinida para valores da forma (2*n+1)*pi/2, j
que tan(x)=sin(x)/cos(x) e cos((2*n+1)*pi/2) nulo para n inteiro. Por exemplo:
>> A = [pi -pi;pi/2 -pi/2];>> sin(A)ans =
0.0000 -0.00001.0000 -1.0000
>> sin(1000+i)ans =
1.2759 + 0.6609i>> sin(1000*i)ans =
NaN + Inf i Os smbolos NaN e Inf foram mencionados na subseo 3.3.1. As funes asin(x),
acos(x) e atan(x) esto definidas para qualquer valor x real. Se x est no intervalo [-1,1] o
resultado real, caso contrrio complexo.
4.3 Funes hiperblicas: nomenclatura De forma semelhante s funes trigonomtricas, definem-se os comandos para
calcular funes hiperblicas.
>> sinh(x); % seno hiperblico de x>> cosh(x); % coseno hiperblico de x>> tanh(x); % tangente hiperblica de x
-
Introduo ao MATLAB
22
>> asinh(x); % inversa do seno hiperblico de x>> acosh(x); % inversa do coseno hiperblico de x>> atanh(x); % inversa da tangente hiperblica de x
Com definies equivalentes respectivamente para csch(x), sech(x), coth(x), acsch(x),
asech(x) e acoth(x).
5 Controle de fluxo As funes executveis escritas na linguagem utilizada pelo Matlab esto
implementadas em arquivos com extenso m. Suponha que o arquivo exemplo.m
contenha uma srie de linhas de comandos ou funes do Matlab, ento quando este
arquivo chamado sem extenso do prompt do Matlab:
>> exemplo +
o Matlab entender que este arquivo executvel e assim cada linha ser interpretada na
seqncia de acordo com a sua funo.
Da mesma forma um mtodo ou sub-rotina pode ser definido dentro de um arquivo
com extenso .m contendo argumentos de entrada e de sada. Por exemplo, cria-se o
arquivo circum.m contendo as seguintes linhas:
%Esta funo calcula o permetro de uma circunferncia de% raio R. Si R uma matriz, circum(R) retornar uma matriz% contendo os permetros das circunferncias de raios iguais% aos respectivos valores da matriz Rfunction C = circum(R)C = 2*pi*R;
As linhas acima correspondem ao arquivo circum.m. Para utilizar est funo basta
digitar:
>> circum(2)ans =
12.5664Em caso de ser R um vetor:>> R = [1 2 3];
-
Introduo ao MATLAB
23
>> circum(R)ans =
6.2832 12.5664 18.8496
As primeiras linhas iniciadas com o smbolo % constituem uma valiosa fonte de
informaes a respeito da funcionalidade do arquivo. Para ter acesso a elas no necessrio
abrir o arquivo com um editor, basta digitar:
>> help circum
ento as primeiras linhas juntas de comentrios sero mostradas. Usando lookfor como
exemplo, obtm-se a sada:
>> lookfor permetrocircun.m;%Esta funo calcula o permetro de uma
%circunferncia de raio R
Este comando mostra s a primeira linha do arquivo, caso esta contenha a palavra
permetro, alem do nome do arquivo. Por isto importante documentar de forma precisa
esta primeira linha, caso o nmero de funes venha a aumentar consideravelmente.
No necessrio que o nome do arquivo seja igual ao nome da function dentro do
mesmo.
Quando a funo tem mais de um argumento de sada, digamos rea, volume, ento
estes devem vir entre colchetes, por exemplo, a seguinte funo definida no arquivo
cilindro.m calcula a rea e o volume de um cilindro.
%Calcula-se a rea e volume de um cilindro%de altura h e raio rfunction [area,volume] = cilindro(h,r)area = 2*pi*r*h+2*pi*r^ 2;volume = pi*r^ 2*h; Para chamar esta funo seja do prompt ou de outro executvel .m, basta digitar uma
chamada na forma exemplificada a seguir:
[a,v] = cilindro(0.5,1)
-
Introduo ao MATLAB
24
ento, as variveis a e v contero as informaes da rea e do volume do cilindro de h=0.5
e r=1.
Observaes
Para que o arquivo .m seja localizado pelo Matlab, este deve se encontrar no
diretrio atual. O comando pwd do Unix fornecer o caminho atual, por exemplo:
>> pwd;/a/home/cenapad/cedric/MATLAB Se o arquivo .m, a ser interpretado pelo Matlab, estiver em outro diretrio diferente do
atual, digamos /u/cedric/programas, ento o Matlab ter acesso a ele declarando o caminho
com o comando path da seguinte maneira.
>> path(path,'/u/cedric/programas');%no Unix>> path(path,'c:\cedric\programas');%no Windows
5.1 Regras para escrever uma function conveniente observar as seguintes caractersticas na definio de uma funo:
Escrever comentrios a respeito da funo, tendo especial nfase na primeira linha de
comentrio.
A primeira linha executvel deve conter a palavra function seguida dos argumentos
de sada entre colchetes, se forem mais de um, o sinal = e o nome da funo com
argumentos de entrada entre parnteses.
Todos os argumentos de retorno devem estar definidos dentro do corpo da funo.
Qualquer erro cometido dentro do arquivo .m ser acusado quando este for
executado, retornando o formato de um erro de compilao.
5.2 Operadores relacionais Estes operadores so similares aqueles usados em uma linguagem de programao tal
como C ou Fortran.
-
Introduo ao MATLAB
25
Operador Descrio
< menor do que
maior que
>= maior ou igual
= = igual no sentido de condio/comparao
~ = no igual, distinto
Exemplos:
>> 1 1>2ans =
0
No caso do uso de arranjos.
>> a = [1 2;3 4];>> b = [0 2;4 -5 ];>> a ~ = bans =
1 01 1
Isto quer dizer que: 1 distinto de 0 verdadeiro, 2 distinto de 2 falso, 3 distinto de
4 verdadeiro e 4 distinto de -5 verdadeiro. Ao se comparar caracteres tambm ocorre
algo semelhante, por exemplo:
>> texto1='teste';>> texto2='texte';text01==text2ans =
1 1 0 1 1
-
Introduo ao MATLAB
26
Esta forma efetua uma comparao caractere por caractere, posio a posio. Se as
letras so iguais retorna 1, se no retorna 0. Um comando mais direto para saber se dois
textos so iguais na sua totalidade :
>> strcmp(texto1,'teste');ans =
1
Isto , o contedo da varivel texto1 exatamente o conjunto dos caracteres da
palavra teste.
5.3 Operadores lgicos So amplamente utilizados em expresses condicionais do tipo if-else.
Operador Descrio
& e
| ou
~ no
Por exemplo:
>> a=2; b=0; c=1; % possvel definir variveis em uma mesma
%linha>> a ~ (b= =c | c
-
Introduo ao MATLAB
27
A ltima expresso uma negao que equivale a questionar ou afirmar: b distinto
de c e c maior ou igual que a? Isto falso devido a que c> a ~ = c | b < cans =
1
A resposta que a expresso verdadeira. Para isto basta que uma das comparaes
seja verdadeira, isto , que a seja distinto de c ou que b seja menor do que c.
5.4 Lao estrutural if-else-end Com os operadores anteriores estamos prontos para criar programas com a
linguagem fornecida pelo Matlab. Os exemplos do uso destas estruturas em nada diferem
daquelas utilizadas em linguagens como C ou Fortran.
>> a=rand; % rand retorna um nmero aleatrio entre 0 e 1>> if a >= .5
disp('O valor aleatrio maior ou igual do que1/2');%comando displayelse
disp('O valor aleatrio menor que 1/2');%permite%visualizar uma mensagem durante a execuoend O valor aleatrio maior ou igual do que .
Observaes:
O lao foi iniciado em modo interativo.
Enquanto o lao no foi fechado, com o end final, este no foi executado nem o
prompt >> foi liberado.
No exemplo o valor de a foi a=0.6068, assim o fluxo do programa passou pela
primeira bifurcao e a mensagem correspondente foi mostrada. Repare que a varivel
default ans no foi visualizada.
-
Introduo ao MATLAB
28
A estrutura de if 's pode ser aumentada da seguinte maneira. Num arquivo .m
ficaria.
val1 = input('Entre um nmero : ');%permite a entrada de va-%lores via teclado em modo interactivo
val2 = input('Entre outro nmero : ');if val1val2
disp('O segundo valor maior que o primeiro');else
disp('Os valores so iguais');end possvel fazer uso da estrutura if-else-end de modo aninhado, como mostra o
prximo exemplo.
%exemplo de if-else aninhadodisp('Este programa testa si dois nmeros so divisveis');num=input('Entre numerador');den=input('Entre denominador');if(num>=den)
if(rem(num,den)==0) % o resto nulo?if(num==den) % numerador e denominador iguais?
disp('Os nmeros so iguais');else
disp('Eles so divisveis');end
else % o resto diferente de zerodisp('Eles no so divisiveis');
endelse % caso num
-
Introduo ao MATLAB
29
y=0.0328084*x;elseif (strcmp(unidade1,'pes') & strcmp(unidade2,'cen'))
y=30.84*x;elseif (strcmp(unidade1,'pol') & strcmp(unidade2,'pes'))
y=x/12;elseif (strcmp(unidade1,'pes') & strcmp(unidade2,'pol'))
y=12*x;else
disp('Smbolo da unidade no definido');end O caso acima pode tambm ser refeito utilizando a estrutura switch-case-otherwise-end,
como dado na prxima subseo.
5.5 Estrutura switch-case-otherwise-end Outra forma padro de resolver uma tomada de decises exemplificada a seguir.
% Converso entre unidades centmetros, polegas e psfprintf('\n\n');%pula duas linhasdisp('Converso entre unidades: centmetros, polegadas e ...ps');fprintf('\n');x=input('Entre valor numrico a converter : ');fprintf('\n\n');disp('Os seguintes so sistemas vlidos de converso:');disp('cen-pol ; pol-cen ; cen-pes ; pes-cen ; pol-pes ;...pes-pol');fprintf('\n');sistema = input('entre opo entre aspas> Entre sistema de...conversao : ');switch sistema
case 'cen-pol'y=0.393701*x;disp([num2str(x),' centmetros = ',num2str(y),'
polegadas']);case 'pol-cen'
y=2.54*x;disp([num2str(x),' polegadas = ',num2str(y),'
centmetros']);case 'cen-pes'
y=0.0328084*x;disp([num2str(x),' centmetros = ',num2str(y),' ps']);
case 'pes-cen'y=30.48*x;disp([num2str(x),' ps = ',num2str(y),' centimetros']);
-
Introduo ao MATLAB
30
case 'pol-pes'y=x/12;disp([num2str(x),' polegadas = ',num2str(y),' ps']);
case 'pes-pol'y=12*x;disp([num2str(x),' ps = ',num2str(y),' polegadas']);
otherwise disp('Unidade desconhecida');end
5.6 Estrutura while-end O seguinte exemplo usa o comando while-end e permite achar um nmero pequeno que a
maquina considera no nulo. Este nmero uma constante do Matlab denotada por eps.
%Este programa calcula a constante epsfprintf('\n\n');disp('O lao while-end acha um nmero pequeno EPS2 tal que...1+EPS2/2 = 1');EPS2 = 1;num = 1;% contador do nmero de laoswhile (1+EPS2) > 1
EPS2 = EPS2/2;num = num+1;
endEPS2 = 2*EPS2;disp(['EPS2 = ',num2str(EPS2)]);disp(['nmero de lacos = ',num2str(num)]);disp('Faa os testes lgicos : EPS2+1>1 e EPS2/2+1>1');
5.7 Estrutura for-end Para o valor da varivel indicial do lao deve ser dado um valor inicial, um
incremento e um valor final para o termino do lao.
seg = input('Contagem regressiva: tempo -> ');fprintf('\n');disp('* Aguardando o inicio da contagem *');fprintf('\n');tic;%marca o inicio do tempocont = 0;for k=seg:-1:0,
cont = cont+1;while toc < cont,end
-
Introduo ao MATLAB
31
disp(['Contagem regressiva : ',num2str(k)]);end
6 Operaes sobre matrizes O Matlab conta com algumas operaes especiais sobre matrizes que se tornam
necessrias quando se trabalha matematicamente com elas.
>> A =rand(5); % 5x5>> A';%transposta de A>> det(A);%determinante de uma matriz>> inv(A);%inversa de A, quando esta existe>> A-1;%inversa de A>> diag(A);%gera um vetor coluna com a diagonal de A>> C=[1 0 2 1 1];>> diag(C);%gera uma matriz 5x5 cuja diagonal C>> v1=[1 2 3 4 5];>> v2=[6 7 8 9 0];>> sum(v1.*v2)=1*6+2*7+3*8+4*9+5*0;%somatria de produtos>> %ou produto escalar de dois vetores>> B = randn(3,5);%matriz aleatoria 3x5>> B.A;%produto de matrizes, 3x5-5x5>> v3=[1 3 5 7 9]';%vetor coluna>> v4=[0 2 4 6 8]';%vetor coluna>> sum(v1.*v2);%somatria de produtos (vetores linhas)>> sum(v3.*v4);%somatria de produtos (vetores colunas)>> sum(v1'.*v3);%somatria de produtos>> sum(v1.*v4');%somatria de produtos>> C=randn(5,3);%matriz aleatoria 5x3
As seguintes operaes so validas:
>> 2*A+A.A;>> C'*A;%(3x5)-(5x5)>> B*C; C*B; % 3x5-5x3, 5x3-3x5>> B*B'; % 3x5-5x3>> A-1*A;%si existe a inversa o resultado a identidade>> (C'*A)-1; % caso a inversa existe (3x5-5x5)>> (B'*C')-1*(A'*A); % 5x3, 3x5, 5x5, 5x5
6.1 Outras funes teis Existem outras operaes especiais sobre matrizes. Algumas delas so dadas a seguir.
Considerando as definies dadas anteriormente para as matrizes A, B e C.
-
Introduo ao MATLAB
32
>> rot90(A);%rotao de 90 graus da matriz A>> fliplr(A);%permuta as colunas primeira e ltima de A>> flipud(B);%permuta as linhas primeira e ltima de B>> D = reshape(C,4,2);%reescreve C com diferentes dimenses>> E = reshape(B,6,7);% reescreve B preenchendo com zeros
% as novas posies>> F = triu(A);% reescreve A preenchendo com zeros
% a parte triangular superior>> G = tril(A);%G a parte triangular inferior de A
7 Medidas estatsticas No prximo exemplo constri-se uma matriz aleatoriamente onde as colunas
correspondem as notas de uma turma de 13 alunos, cada coluna representa uma matria. As
linhas representam as notas de cada aluno.
%Este exemplo calcula medidas estatsticas relativas as notas%de 6 matrias de uma turma de 13 alunosfor i=1:13,
for j=1:6,TURMA(i,j)=100*rand; % valores entre 0 e 100
endendmedia_turma = mean(TURMA); %media por matria (turma toda)media_portugues = mean(TURMA(:,3));%mdia das notas da coluna3[nota_minima,numero_alunos] = min(TURMA);%nota mnima de cada
%matriamat = TURMA(:,1); %primeira coluna da matriz TURMA[ordem_ascendente,num] = sort(mat); %ordem ascendente dovetor mat
%num o nmero do aluno na lista[nota_maxima,numero_alunos] = max(TURMA); %nota mxima decada
% matria e o nmero do aluno (o primeiro que%achar)
std(mat);%desvio padro da primeira matriahist(nota_minima);%histograma (10 barras por default) figura. [n,m] =hist(nota_minima);%n=altura, m = centro da barrahist(nota_minima,3);%histograma com 3 barras
[n,m] = hist(nota_minima,3);
-
Introduo ao MATLAB
33
10 20 30 40 50 60 70 80 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Notas divididas em intervalos
Nm
ero
de a
luno
s qu
e tir
aram
a n
ota
no in
terv
alo
Figura 1: Grfico de barras: histograma
8 Grficos Para obter grficos em 2D usa-se o comando plot. Este comando permite uma
variedade de argumentos de entrada. Estes argumentos permitem adicionar uma srie de
opes sada grfica como ttulo para os eixos, ttulo para o grfico, opes para o tipo de
letras, tamanho, cores. possvel a superposio de grficos ou obter vrios grficos em
uma mesma janela. A seguir sero exemplificados estas opes, com vrios grficos.
Exemplo simples:
>> x=0:0.02*pi:2*pi;>> y = sin(x);>> z = cos(x);>> plot(x,y);%grfico do seno de x>> hold on;%permite a sada do prximo grfico>> %na mesma janela que o anterior, figura 2>> plot(x,z);%grfico do coseno de x>> plot(x,y,x,z);%grafica simultaneamente seno e coseno namesma janela
-
Introduo ao MATLAB
34
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 2: Comando hold on : permite plotar vrias figuras numa mesma janela
Com o comando hold on todas as figuras posteriores sero desenhadas na ltima
janela (em justaposio). A diferena do ltimo comando acima com o comando hold on
que o primeiro graficar somente as funes y e z na mesma janela. O prximo exemplo
apresenta outras opes.
>> x = lispace(0,2*pi,30);%30 divises do intervalo [0,2*pi]>> y=sin(x);>> plot(x,y,'-');%o trao da grfica sin(x) pontilhado,
%figura>> z = cos(x);>> plot(x,y,'b:p',x,z,'c-',x,z,'m+');
As opes b:p, c-, m+ esto indicadas na tabela a seguir. A combinao b:p indica
que os pontos do grfico de sin(x) so identificados com um pentagrama (letra p), veja
figura 4, os pontos sero unidos por uma linha pontilhada, indicado por dois pontos :,
tanto os pontos como a linha sero mostradas em azul, indicado pela letra b. A opo c-
indica que o grfico de cos(x) ser mostrado com uma linha contnua, indicado com o trao
-
Introduo ao MATLAB
35
-, de cor ciano, indicado com a letra c. O prximo exemplo permite modificar o fundo da
janela do grfico, controlar o tamanho do intervalo, tanto nos eixos x como y. Este mesmo
exemplo trabalha com ttulos e o tamanho da fonte e tipo de letra, como negrito, itlico,
normal.
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 3: Funo sin(x) : traado pontilhado
Considerando o mesmo intervalo anterior assim como as funes seno e co-seno,
ainda define-se:
>> t = tan(x);%tangente de x>> ct = cot(x);%cotangente de x>> set(gcf,'Color',[1 1 1]);%fundo branco>> plot(x,y,'r*',x,z,'mx',x,t,'bo-',x,ct,'kp-');
Na ltima linha os pontos (x,sin(x)) so plotados com asteriscos em vermelho. Os
pontos (x,cos(x)) so plotados com crculos brancos e estes unidos por uma linha contnua
de cor branco. Os pontos da curva cot(x) so desenhados como pentagramas e unidos com
uma linha tracejada de cor preta.
-
Introduo ao MATLAB
36
>> axis([0 2.5 -3.5 3.5]);
A ltima linha limita o comprimento dos intervalos do eixo x e do eixo y. O eixo x
visualizado entre 0 e 2.5 e o eixo y entre -3.5 e 3.5.
>> grid;%cria uma grade superposta ao grfico atual>> title('Funes Trigonomtricas','FontSize',14,...'Fontweight','Bold');
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 4: Grficos superpostos com opes distintas de pontos e traado
Esta ltima linha adiciona o ttulo Funes trigonomtricas na parte superior da
janela do grfico, com um tamanho 14 de fonte tipo negrito.
>> xlabel('\Tetha','FontSize',14,'Fontweight','Bold',...'FontAngle','normal');>> ylabel('Funes','FontSize',14,'Fontweight','Bold',...'FontAngle','italic');
Estas linhas agregam ttulos a ambos os eixos x e y. A sada para \tetha ser a letra
grega que leva este nome. Escolhem-se letras em negrito de tamanho 14 pontos, normal e
itlico respectivamente. Define-se:
-
Introduo ao MATLAB
37
0 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Funes trigonomtricas
Fun
es
Texto
sin( ) cos( ) tan( ) cot( )
Figura 5: Opes de representao grfica simultneas
>> legend('sin(\tetha)','cos(\tetha)','tan(\tetha)',...'cot(\tetha)');
Esta ltima opo provoca a apario de um pequeno retngulo na parte superior
direita da janela do grfico, que identifica os grficos e a forma de representao dos
mesmos, segundo a cor, tipo de trao e ponto adotado pela ordem de apario no comando
plot, da esquerda para direita respectivamente, figura 5. A seqncia \Tetha visualizada
como sendo a letra grega correspondente, figura 5.
Um outro comando usado para introduzir texto dentro do grfico no ponto
coordenado, digamos (x,y), Texto. Por exemplo, a linha:
>> text(0.5,1,'\rightarrow Texo');
Coloca uma seta apontando a direita para a palavra Texto (-> Texto), este texto ser
colocado no ponto (1/2,1). Este tipo de comando permite tambm utilizar letras gregas e
smbolos matemticos no formato latex como por exemplo \delta, \nabla etc.
-
Introduo ao MATLAB
38
8.1 Comando subplot O comando subplot permite visualizar vrias grficas separadas dentro de uma
mesma janela. Por exemplo:
>> x = linspace(0,2*pi,30);>> y = sin(x);>> z = cos(x);>> a = 2*sin(x).*(cos(x);>> b = sin(x)./(cos(x)+eps);>> subplot(2,2,1);%reserva uma janela para 4 grficos
0 2 4 6-1
-0.5
0
0.5
1sin(x)
0 2 4 6-1
-0.5
0
0.5
1cos(x)
0 2 4 6-1
-0.5
0
0.5
12 sin(x) cos(x)
0 2 4 6-20
-10
0
10
20sin(x)/cos(x)
Figura 6: Subgrficos: arranjo grfico de dimenses 2 x 2
Os argumentos esto designando uma mesma janela para plotar os seguintes 4
grficos. Os primeiros dois argumentos indicam o nmero de grficos que podem ser
alocados numa mesma janela. Neste caso 4 grficos dispostos em uma ordenao 2x2.
Ento os valores 2,2,1 indicam que o prximo grfico a ser plotado ser visualizado na
parte superior esquerda da janela, o que indicado pelo argumento 1.
-
Introduo ao MATLAB
39
0 2 4 60
0.5
1
1.5
2
Escala decimal em X e Y
Funao: 1-seno(X)
1000
0.5
1
1.5
2
Funo: 1-seno(X)
Escala log em X
0 2 4 6
10-2
10-1
100
Escala log em Y
Funo: 1-seno(X)
100
10-2
10-1
100
Escala log em X e log em Y
Funo: 1-seno(X)
Figura 7: Grficos utilizando escalas logartmicas
>> plot(x,y);%sin(x) ser visualizada na parte superioresquerda da janela>> axis([0 2*pi -1 1]);%intervalos para ambos os eixos x e yrespectivamente>> title('sin(x)');%O titulo para o ltimo grfico: y =sin(x)>> subplot(2,2,2);%o o prximo grfico sair na posio acimaa direita>> plot(x,z);>> axis([0 2*pi -1 1]);%intervalos para x e y no segundogrfico>> title('cos(x)');>> subplot(2,2,3);%posio do prximo grfico, abaixo aesquerda>> plot(x,a);>> axis([0 2*pi -1 1]);%intervalo para os eixos do ltimogrfico>> title('2 sin(x) cos(x)');%ttulo para o ltimo grfico>> subplot(2,2,4);%posio do prximo grfico>> plot(x,b);%grfico atual>> axis([0 2*pi -20 20]);%eixos para o atual grfico>> title('sin(x)/cos(x)');%titulo para o grfico atual
O resultado destas operaes mostrado na figura 6.
-
Introduo ao MATLAB
40
8.2 Outros recursos para grficos bidimensionais Existem comandos que permitem plotar em escalas logartmicas, grficos de barras
ou pizzas. Os seguintes comandos podem ser usados no lugar de plot.
>> x=(-pi,pi,30);>> y=sin(x);>> loglog(x,y);
Ao invs dos valores de x e y sero plotados os valores dos logaritmos desses
valores.
>> semilog(x,y);
Neste ltimo caso escala logartmica ser usada somente para os valores do eixo x.
>> semilogy(x,y)
8%
16%
24%32%
16%
5%Produo de gros
ArrozFeijoSojaTrigoMilhoCevada
Figura 8: Grfico em formato pizza ou torta Neste caso escala logartmica ser utilizada s no eixo y. O grfico apresenta
exemplificaes destes comandos.
-
Introduo ao MATLAB
41
>> area(x,y);%a rea baixo a curva ser preenchida% com uma cor>> pie(a,b);%grfico em formato pizza
Grficos em formato de torta ou pizza so criados usando este comando. O vetor a
contm valores a serem plotados e b um vetor lgico opcional que descreve as fatias a
serem separadas.
Exemplo: grfico de torta, figura 8.
>> a = [0.5 1 1.5 2.0 1 0.3];>> pie(a,a==max(a));>> title('Produo de gros');>> legend('Arroz','Feijo','Soja','Trigo','Milho','Cevada');
A verso tridimensional do grfico de torta pode ser obtida da usando o mesmo
vetor a anterior, figura 9.
>> destaque = [0 1 0 1 0 1];%pedaos em destaque>> pie3(a,destaque);%formato pizza tridimensional>> colormap hsv;%opo de tonalidade de cor
32%
16%
24%
5%
8%
16%
Figura 9: Grfico de torta tridimensional Exemplo: grfico de barras.
>> b = [1960 1970 1980 1990 2000 2001];
-
Introduo ao MATLAB
42
>> bar(b,a);%barra vertical
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
1960
1970
1980
1990
2000 2001 An
os d
e pr
odu
o
Produo de gros (em milhes de toneladas)
Figura 10: Grfico de barras horizontal
Os valores de b so as abscissas os de a so as ordenadas correspondentes. A escala
dos valores do vetor b no adequada para um grfico de barras vertical, os primeiros
valores so a cada 10 anos enquanto que nos ltimos dois a diferena de um ano, assim
uma forma mais adequada utilizar um grfico de barras horizontal como exemplificado a
seguir.
>> barh(b,a);%barra horizontal>> xlabel('Anos de produo');>> ylabel('Produo de gros (em milhes de toneladas)');>> axis xy;%ordena os valores do eixo Y em forma ascendente,
%figura 11 Exemplo: grfico de escada, figura 11.
>> stairs(b,a);>> xlabel(' Anos de produo ');>> ylabel(' Produo em milhes de toneladas ');>> title('Grfico em escada','FontSize',18);
-
Introduo ao MATLAB
43
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Anos de produo
Pro
du
o em
milh
es
de to
nela
das
Grfico em escada
Figura 11: Grfico em formato de escada
Exemplo: grfico de rea, figura 12.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -200
-100
0
100
200
300
400
500
600
Abscissa X
Grfico de rea
Ord
enad
a =
x 3 *sin
(x)+
x/10
Figura12: Grfico de rea: a rea entre a curva e o eixo X
>> x=0:0.05*pi:3*pi;
-
Introduo ao MATLAB
44
>> y = x.3.*sin(x)+x/10;>> xlabel(' Abcisa X ');>> title('Grfico de rea','FontSize',18);>> ylabel(' Ordenada = x.3 * Sin(x) + x/10 ');>> area(x,y);
8.2.1 Grfico em coordenadas polares
Neste caso cada ponto do plano identificado a um raio r (distncia da origem) e
um ngulo tetha (aquele que forma o raio com o eixo X). Cada ponto de uma curva no
plano identificado com um par (r,tetha). Exemplo:
>> tetha=0:2*pi/100:2*pi;%diviso do intervalo [0,2pi] em 100partes>> r = tetha/(2*pi);>> subplot(1,2,1);>> polar(tetha,r);%grfico em coordenadas polares>> title('* E S P I R A L *');
Neste caso o raio inversamente proporcional constante 2*pi. Quando o ngulo
tetha aumenta de 0 a 2pi e o raio tambm aumenta proporcionalmente. Ento a curva
circular afastando-se do centro que a prpria origem, isto , uma espiral. Este e o prximo
exemplo so mostrados na figura 13.
>> subplot(1,2,2);>> polar(tetha,sin(2*tetha).*cos(2*tetha));>> title('Rosa de 8 ptalas');
0.5
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
* E S P I R A L *
0.25
0.5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Rosa de 8 ptalas
Figura 13: Grficos em coordenadas polares
-
Introduo ao MATLAB
45
8.3 Grficos tridimensionais Para traar grficos curvilneos 3D utiliza-se o comando ou funo plot3. No prximo
exemplo a varivel t aumenta com o par (cos(t),sin(t)) que est dentro de uma
circunferncia de raio 1. Ao mesmo tempo o par (cos(t),sin(t)) est girando em sentido anti-
horrio no plano X-Y e a terceira componente de t est aumentando e se afastando deste
plano, logo o grfico corresponde a uma linha que vai girando e se afastando do plano X-Y,
uma hlice, cujo ponto de partida o ponto (0,1,0) = (cos(0),sin(0),0). O grfico est
desenhado na figura 14.
>> t = linspace(0,10*pi,200);%[0,10pi] dividido em 200 partes>> plot3(sin(t),cos(t),t);>> title('H l i c e : curva paramtrica');>> xlabel('X = Sin(t)');>> ylabel('Y = cos(t)');>> zlabel('Z = t');
-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
0 0.5
1 0 5
10 15 20 25 30 35
X = sin(t)
H l i c e : curva paramtrica
Y = cos(t)
Z =
t
Figura 14: Grfico de linhas tridimensional (paramtrico)
-
Introduo ao MATLAB
46
8.3.1 Grficos de superfcie
A seguir apresentado um exemplo com explicaes de cada comando grfico.
>> x = -7.5:0.5:7.5;%vetor ou lista x>> y = -7.5:0.5:7.5;%vetor ou lista y>> [X,Y] = meshgrid(x,y);%matrizes coordenadas (x,y)>> R = sqrt(X.^ 2+Y.^ 2)+eps;%soma-se eps para evitar diviso
%por zero>> Z = sin(R)./R+1;>> mesh(X,Y,Z);%grfico de rede>> hold on;%segura as sadas grficas posteriores na janela
%atual>> pcolor(X,Y,Z);%provoca a apario de uma malha colorida no
%domnio>> shading interp;%a cor definida de acordo com a altura>> contour(X,Y,Z,20,'k');%20 curvas de nvel em preto,
%escolha automtica>> colorbar;%apresenta uma escala colorida de valores>> hold off;%cada comando grfico ser apresentado em uma
%janela distinta
Figura 15: Produto final da seqncia de comandos do exemplo
-
Introduo ao MATLAB
47
Cada linha da matriz X corresponde lista x e cada coluna da matriz Y
corresponde lista y. Assim a matriz R o quadrado de cada elemento de X mais o
quadrado de cada elemento de Y, componente a componente respectivamente.
Semelhantemente segue a definio da matriz Z. O comando mesh grafica os pontos
definidos pelas ternas, componentes respectivas de X, Y e Z e em seguida os liga com linhas
retas formando uma rede. A seqncia de comandos escritos acima visualizada na figura
15. Pode-se salvar o grfico em vrios formatos.
8.3.2 Animao grfica
Animao bidimensional
Este exemplo mostra como se constri uma seqncia de grficos. Estes grficos so
armazenados em uma matriz M, em seguida o comando movie permite mostrar a seqncia
armazenada em M a uma certa taxa de repetio.
>> x = -pi/2:.1:pi/2;>> for c=1:20,
y = sin(2*x+c*pi/10);plot(x,y,'LineWidth',18);axis([-pi/2 pi/2 -1 1]);M(c) = getframe;
end;>> movie(M,20,10);
A ltima linha de comando significa que os grficos armazenados em M so mostrados
10 vezes a uma taxa de repetio de 20 figuras por segundo.
Animao tridimensional
O lao que se apresenta a seguir no difere muito daquele apresentado anteriormente.
Exemplo:
>> x = -pi/2:.1:pi/2;>> y = -pi/2:.1:pi/2;>> [X,Y] = meshgrid(x,y);>> for c=1:20,
Z = sin(2*X+c*pi/10)+1.5*cos(2*Y+c*pi/10);surf(X,Y,Z);M(c0 = getframe;
-
Introduo ao MATLAB
48
end;>> movie(M,20);%Esta animao pode ser salva
9 Soluo de sistemas de equaes lineares Um sistema de equaes lineares se escreve da forma bAx = onde A uma matriz
conhecida de dimenses nxm, geralmente quadrada (m=n), x o vetor coluna de incgnitas
e b um vetor coluna de valores numricos. Caso A (quadrada) seja no singular, isto ,
existe uma matriz denotada 1A tal que IAAAA == ** 11 , onde I a matriz identidade.
Ento pela teoria o sistema apresenta uma nica soluo x. A matriz identidade
caracterizada por 1=iiI e 0=ijI se ji , isto , os valores da diagonal so todos 1 e fora
da diagonal os valores so zero.
Uma boa medida da qualidade de uma matriz dado pelo nmero de condio. O
comando cond(A) retorna este nmero, se o nmero retornado grande indicar que a
matriz A aproximadamente singular, o que ruim do ponto de vista numrico. A preciso
da soluo numrica utilizando A ser afetada.
Caso nm < o sistema tem mais incgnitas que equaes e existem infinitas solues.
Neste caso procura-se s vezes uma soluo que satisfaa a condio de minimizao da
soma das distncias aos hiperplanos definidos pelas equaes (mnimos quadrados). Caso
nm > o sistema tem mais equaes que incgnitas, ento o sistema sobre determinado e a
soluo geralmente no existe. O problema de mnimos quadrados no tem soluo nica
(norma Euclidiana):
)*Norm( minimize bxA (4)
Se a soluo existe, esta se acha diretamente da seguinte maneira:
bAxbxA ** 1== (5)
A inverso da matriz A do sistema nem sempre uma operao barata. Para
matrizes grandes ou cheias prefere-se a utilizao de mtodos alternativos, como os
mtodos de decomposio de matrizes tais como LU, QR, Cholesky ou mtodos iterativos
como minres, gmres e outros (implementados no Matlab). Outro cuidado que deve ser
-
Introduo ao MATLAB
49
tomado que os mtodos de decomposio no se aplicam a qualquer tipo de matriz. Por
exemplo, para o mtodo de Cholesky a matriz do sistema deve ser definida positiva. Uma
operao simples como:
>> A = [3 1 2;0 4 0;-1 -2 -3];%matriz no definida positiva>> R = chol(A);%mtodo de decomposio de Cholesky
%retornara a seguinte%mensagem de erro:
G??? Error using ==> cholMatrix must be positive definite.
Para resolver o sistema utilizando mtodos de decomposio deve-se contar com o
algoritmo que calcula a soluo baseado nas matrizes decompostas. J o mtodo iterativo
consiste no clculo ou atualizao, a cada passo, de matrizes e vetores envolvidos no
algoritmo que aproxima a soluo. Geralmente utilizam-se produtos vetor-vetor, matriz-
vetor e calcula-se uma norma no erro da aproximao, tentando atingir uma tolerncia
preestabelecida.
9.1 Mtodos diretos A forma mais simples para resolver um sistema, porm a mais cara, consiste em
calcular a inversa da matriz do sistema. Outros mtodos diretos usam decomposio de
matrizes. Algumas destas formas so exemplificadas a seguir.
>> A = [1 2 1;2 1 2;1 2 2];>> b = [1;0;-1];%vetor coluna>> B = inv(A);%inverte uma nica vez>> C = A^ -1;%forma alternativa para inverter A>> x = C*b;%caso b mude C continua o mesmo
Utiliza-se a barra invertida para resolver o sistema com uso de eliminao Gaussiana.
>> x = A\b;%eliminao de Gauss
Decomposio LU
O seguinte exemplo apresenta os conceitos citados anteriormente a respeito dos mtodos de
decomposio.
>> A = [1 2 2;2 1 2;2 2 1];
-
Introduo ao MATLAB
50
>> [L,U,P] = lu(A);
Esta simples funo retornar 3 matrizes 3x3. Uma matriz triangular inferior L, uma
triangular superior U e uma matriz de permutao P, de forma que L*U = P*A. Para
resolver o sistema foi implementado o seguinte arquivo resolucao_LU.m. A chamada
resolucao_LU(L,U,P,b) retorna a soluo x.
function x = solve_LU(L,U,P,b)c = P*b;%permutao lado b: P*A*x = L*U*x = P*b% substituio triangular inferior: L y = cy = zeros(n,1);y(1) = c(1,1)/L(1,1);for i=1:n,
soma = 0.0;for j=1:(i-1),
soma = soma+L(i,j)*y(j);y(i) = c(i)-soma;
endend% substituio triangular inferior U x = yx = zeros(n,1);x(n,1) = y(n,1)/U(n,n);for i=n:-1:1,
soma = 0.0;for j=(i+1):n,
soma = soma+U(i,j)*x(j);x(i) = (y(i)-soma)/U(i,i);
endend
Os algoritmos de resoluo associados a decomposio de matrizes podem ser
achados em textos de lgebra Linear e a maioria so fceis de implementar.
9.2 Mtodos iterativos Estes mtodos utilizam vrios argumentos de entrada como a matriz A, lado b,
tolerncia (o default 1*10-06), nmero mximo de iteraes, o tamanho da matriz, o
chute inicial (o default zero), etc. Os valores de retorno podem ser a soluo x, o
nmero efetivo de iteraes para atingir a preciso, um nmero de diagnstico (flag), o
resduo relativo etc.
-
Introduo ao MATLAB
51
O seguinte exemplo usa o mtodo PCG ou gradiente conjugado pr-condicionado que
se aplica a uma matriz simtrica e definida positiva.
size =10;A=rand(size);%matriz aleatria com valores entre 0 e 1tol = 1.e-03;for i=1:size,
b(i,1) = 1; % como exemplo b=1for j=i:size,
A(j,i) = A(i,j);%matriz simtricaif j == i
A(i,i) = 100*A(i,i);%diagonalmente dominante o queend %garante que A seja definida positiva
endend[x,flag,res,iter] = pcg(A,b,tol,size);
O primeiro teste convergiu em 6 iteraes com um resduo de 7.4264e-05. O
nmero flag = 0 indica que o mtodo convergiu com a desejada tolerncia num nmero de
iteraes menor ou igual ao default.
O prximo exemplo utiliza o mtodo minres que procura uma soluo que minimiza
o resduo. Neste caso a matriz no precisa ser definida positiva, basta ser simtrica.
size = 10;A=rand(size);tol = 1.e-04;for i=1:size,
b(i,1) = 1;for j=i:size,
A(j,i) = A(i,j);%matriz simtrica para o mtodo minresend
endx=zeros(size,1);[x,flag,res,iter]=minres(A,b,tol,size);
O primeiro teste retornou os seguintes resultados. A varivel flag = 0 indica que o
mtodo convergiu dentro do nmero de iteraes desejado atingindo a tolerncia desejada,
no caso, em 8 iteraes. A norma do resduo relativo foi:
071228.2*
=
eb
xAb (6)
-
Introduo ao MATLAB
52
Um segundo teste onde foi usada uma tolerncia de 1.e-08, convergiu em 10
iteraes, atingindo um erro relativo de 1.1667e-13, com flag = 0.
O comando spy til para verificar visualmente o grau de esparsidade de uma
matriz. O seguinte algoritmo gera uma matriz ligeiramente esparsa e simtrica que ento
visualizada com o comando spy, figura 16.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
nz = 258
Figura 16: Grfico mostrando os valores no nulos de uma matriz
size = 20;% tamanho da matrizs = rand(size);%matriz aleatria 20x20 (valores entre 0 e 1)for i=1:size,
for j=1:size,if j >i
s(i,j) = s(j,i);%provoca simetria em sendif s(i,j) < 0.6 & abs(i-j) > 4
s(i,j) = 0.0;%introduo de esparsidade em send
endend
-
Introduo ao MATLAB
53
spy(s,'*r');%mostra a matriz em formato grfico
A ltima linha preenche os valores no nulos com asterisco e em cor vermelha. O
grfico mostra tambm o nmero de zeros nz da matriz A.
10 Ajuste de curvas e interpolao Este tipo de ferramentas til quando se dispe de um conjunto descontnuo de dados
(valores numricos pontuais), e se procura traar uma curva ou superfcie (funo contnua)
que contenha estes pontos.
Existem diferentes curvas que podem ser utilizadas para interpolar estes pontos. Podem
ser usados distintos graus para o polinmio que interpola, ou ainda podem ser usados
polinmios por partes. Quando se usam polinmios por partes pode acontecer que a curva
que interpola os pontos tenha derivada contnua ou no, naqueles pontos conhecidos.
Naturalmente surge a questo de que modelo mais apropriado para interpolar os dados. O
analista numrico deve saber decidir sobre esta questo, j que o uso de um modelo ou de
outro acarretar uma resposta diferente. Nem sempre de um polinmio de grau maior ser
obtida uma resposta mais precisa.
Caso o analista conhea a priori o comportamento do seu modelo ele poder usar esta
informao para a escolha do grau de interpolao. Caso contrrio ele dever procurar obter
maior quantidade de medies experimentais para obter um comportamento mais apurado
na zona de interesse no domnio do problema.
O primeiro exemplo interliga pontos discretos no plano por meio de linhas retas,
obtendo-se uma curva linear ou de grau um por partes, figura 17.
dados1=[ 0 0;1 20;2 60;3 68;4 77;5 110];%Conjunto de pontos a%ser interpolado
disp('Clculo que interpola este conjunto de pontos em x=2.6e x=4.9, respectivamente');y1 = interp1(dados1(:,1), dados1(:,2), 2.6) % valor
%interpolado no ponto 2.6y2 = interp1(dados1(:,1), dados1(:,2), 4.9) % valor
%interpolado no ponto 4.9xi=0:.01:5;%lista no intervalo [0,5]
-
Introduo ao MATLAB
54
yi = interp1(dados1(:,1), dados1(:,2),xi);% lista yi%interpola a lista xi
plot(dados1(:,1), dados1(:,2),'o',xi,yi);% grfico da curva% interpolada
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
20
40
60
80
100
120
Figura 17: Interpolao linear por partes
A resposta para os dois valores pontuais : y1 = 64.8000, y2 = 106.7000. Os valores
conhecidos para x esto no intervalo [0,5], e os de y em [0,110], a figura mostra a curva de
interpolao.
O prximo exemplo corresponde a uma interpolao superficial, figura 17.
velocidade=[2000,3000,4000,5000,6000];tempo=[0 1 2 3 4 5];temperatura = [ 0, 0, 0, 0, 0; 20, 110, 176, 190, 240; 60,180, 220, 285, 327; 68, 240, 349, 380, 428; 77, 310, 450,510, 620; 110, 405, 503, 623, 785];temp = interp2(velocidade, tempo,temperatura,3800,3.1)%os prximos passos permitem graficar a curva de interpolaovel=2000:100:6000;%40 pontost=0:0.125:5;%40 pontos[X,Y] = meshgrid(vel,t);Z = interp2(velocidade,tempo,temperatura,X,Y);mesh(X,Y,Z);xlabel('E I X O X');
-
Introduo ao MATLAB
55
ylabel('E I X O Y');zlabel('E I X O Z');
Figura 18: Superfcie interpolante da matriz temperatura
Comando spline
Este tipo de interpolao utiliza polinmios cbicos para, no caso plano, unir cada dois
pontos com um polinmio, e cada 4 pontos no espao com uma superfcie polinomial.
Ainda a primeira e segunda derivada nestes pontos so contnuas. A figura 19 mostra a
curva spline interpolante do exerccio a seguir.
x = [0 1 2 3 4 5];y = [0 20 60 68 77 110];temp1 = spline(x,y,2.6);temp2 = spline(x,y,[2.6 4.9]);z = [.5 1.5 2.5 3.5 4.5];temps = spline(x,y,z);temp1 %resultadotemp2 %resultadotemps %vetor interpolante da lista zxi=0:0.2:5;%25 pontosyi = spline(x,y,xi);%interpolao da lista xi
-
Introduo ao MATLAB
56
plot(x,y,'o',xi,yi);%curva interpolante
A sada numrica foi: temp1 = 67.3013, temp2 = 67.3013, 105.2020, temps = 2.7917,
42.2083, 66.8750, 70.4167, 89.5833. Observe na figura como a curva suave nos pontos
conhecidos.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -20
0
20
40
60
80
100
120 Interpolao Spline
Tempo [s]
Gra
us F
aren
heit
Figura 19: Interpolao utilizando spline
Comando polyfit
Este comando acha os coeficientes de um nico polinmio que interpola os dados no
sentido dos mnimos quadrados, isto , no necessariamente o polinmio passa pelos
pontos, mas a soma das distncias dos pontos ao polinmio minimizada. O grau do
polinmio deve ser especificado. O exerccio seguinte utiliza este comando. O resultado
deste comando um vetor de comprimento grau+1 contendo os coeficientes em ordem
descendente de potncias nx , 0,1,2,...,1= graun . O aumento do grau do polinmio nem
-
Introduo ao MATLAB
57
sempre garante uma melhor aproximao resposta procurada. Veja figura 20 para a sada
grfica deste exemplo.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0
20
40
60
80
100
120 Ajuste polinomial: grau 1
X
Y
Figura: Ajuste polinomial de grau 1
x = [0 1 2 3 4 5];y = [0 20 60 68 77 110];grau = 1;%grau do polinmio a ajustarcoef = polyfit(x,y,grau);ybest = polyval(coef,x);%para verificar a qualidade da
%aproximaoaxis([-1,6,-20,120]);plot(x,ybest,x,y, 'o' );%compara graficamente os valoresdados
%com os obtidos por ajustetitle ('Ajuste polinomial: grau 1');xlabel('X');ylabel('Y');grid;
O resultado coef = 20.8286, 3.7619 significa que o polinmio considerado na
aproximao :
-
Introduo ao MATLAB
58
7619.3*8286.201 += xP (7)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
Resultados experimentaisP2 P10
Figura 21: Ajuste polinomial: graus 2 e 10
A varivel ybest = 3.7619, 24.5905, 45.4190, 66.2476, 87.0762 ,107.9048 apresenta
a avaliao deste polinmio para os valores do vetor x. O prximo exemplo mostra como o
aumento do grau do polinmio no necessariamente aumenta a preciso dos resultados
procurados. Ajustam-se aos dados polinmios de graus 2 e 10.
x = 0:0.1:1;y = [-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3011.2];grau = 2; % n o grau do polinmio de interpolaop2=polyfit(x,y,grau);grau = 10;p10=polyfit(x,y,grau);xi = 0:0.01:1;y2 = polyval(p2,xi);
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Introduo ao MATLAB
59
y10 = polyval(p10,xi);plot(x,y,'r+',xi,y2,'b-',xi,y10,'g-');xlabel('x');ylabel('y');legend( 'Resultados experimentais','P2', 'P10');
Em geral, se existem n pontos a serem interpolados, ento um polinmio de grau
acima de n-1 deve conter todos os pontos conhecidos. Como pode ser observado na figura
21. Na mesma figura o polinmio de grau 10 apresenta uma maior oscilao em relao ao
polinmio de grau 2.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
0
2
4
6
8
10
12 Superposio de curvas interpolantes
x
y
DadosLinearCbicaSpline
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Zoom no intervalo [0,1/4]x[-1/2,4]
x
y
DadosLinearCbicaSpline
Figura 22: Comando interp1: opes linear, cbica e spline
Mais sobre os comandos interp1 e interp2
A outras opes que podem ser passadas para estes comandos como interpolao tipo
spline que j foi mencionada; tipo cubic (o mesmo que Hermite cbico por partes) onde
fora dos valores da funo so tambm requisitadas condies na primeira derivada nos
pontos conhecidos; tipo linear que default. A figura 22 mostra o grfico do exemplo
onde foram usados os trs tipos de interpolao citados.
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Introduo ao MATLAB
60
x = 0:0.1:1;y = [-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3011.2];xi = 0:0.01:1;intlin=interp1(x,y,xi,'linear');intcubic=interp1(x,y,xi,'cubic');intspline=interp1(x,y,xi,'spline');plot(x,y,'r+',xi,intlin,'b-',xi,intcubic,'k:',xi,intspline,'r-.');xlabel('x');ylabel('y');legend( 'Resultados experimentais','Linear','Cbica','Spline');
O seguinte exemplo corresponde a uma interpolao bidimensional. Dada uma
malha discreta de valores que medem a profundidade do solo marinho, matriz z, de uma
rea retangular de 4x6 quilmetros quadrados, utiliza-se interpolao tipo cubic e nearest,
figura 23.
x = 0:0.5:4;y = 0:0.5:6;z=-[100 99 100 99 100 99 99 99 100; 100 99 99 100 99 99...100 99 99;99 99 98 98 100 99 100 100 100; 100 98 97 97 99 100 100...100 99;101 100 98 98 100 102 103 100 100; 102 103 101 100 102 106...104 101 100;99 102 100 100 103 108 106 101 99; 97 99 100 100 102 105...103 102 100;100 102 103 101 101 102 103 100 99; 100 102 103 102 101...101 100 99 99;100 100 101 101 100 100 100 99 99; 100 101 101 100 100 99...99 99 99;100 100 100 99 99 100 99 100 99];mesh(x,y,z);%visualiza malha grossa com ns (x,y,z)xlabel('Eixo x (km)');ylabel('Eixo y (km)');zlabel('Profundidade do oceano - metros');title('Medidas da profundidade do oceano');%alguns valores particulareszi = interp2(x,y,z,2.2,3.3) % linear (default)zi= interp2(x,y,z,2.2,3.3, 'cubic')zi= interp2(x,y,z,2.2,3.3, 'spline')zi= interp2(x,y,z,2.2,3.3, 'nearest')
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Introduo ao MATLAB
61
xi=linspace(0,4,30); % eixo x refinadoyi=linspace(0,6,40); % eixo y refinado[xxi,yyi]=meshgrid(xi,yi); % malha de todas as possveis
%combinaes (xi ,yi)subplot(2,1,1);% figura da esquerdazzi=interp2(x,y,z,xxi,yyi,'cubic'); % interpolao tipo cubicmesh(xxi,yyi,zzi);xlabel('Eixo x - Quilmetros');ylabel('Eixo y - Quilmetros');zlabel('Profundidade do oceano - metros');title('Interpolao tipo cubic : Malha refinada');axis([0 4 0 6 -110 -95]);subplot(2,1,2);zzi=interp2(x,y,z,xxi,yyi,'nearest'); % interpolao tipo%nearestmesh(xxi,yyi,zzi);xlabel('Eixo x - Quilmetros');ylabel('Eixo y - Quilmetros');zlabel('Profundidade do oceano - metros');title('Interpolao tipo nearest : Malha refinada');axis([0 4 0 6 -110 -95]);
Figura: Interpolao bidimensional: cubic e nearest
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Introduo ao MATLAB
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11 Leitura e escrita de arquivos de dados Pode-se ler um arquivo de dados que contenha apenas nmeros usando o comando
load. Um arquivo com qualquer extenso, por exemplo, matriz.dat, que contenha
nmeros em formato de vetor ou matriz pode ser lido com o comando load. O Matlab cria
uma varivel de nome matriz como sendo vetor ou matriz da mesma dimenso daquela que
foi lida.
Por exemplo, se o contedo do arquivo matriz.dat :
1 2 3 45 6 7 8
Depois de lido o arquivo com o comando load, cria-se a varivel matriz como sendo
uma matriz 2x4:
>> load matriz.dat;>> matrizmatriz =
1 2 3 45 6 7 8
>> size(matriz) %dimenses da varivel matrizans =
2 4
O arquivo no deve conter letras ou caracteres entre aspas. Os nmeros devem estar
dispostos em forma de matriz. Para salvar as variveis ou dados em geral usa-se o comando
save. Exemplo:
>> clear;>> x = [0 1 2 3 4 5];>> y = sqrt(2)*eye(3);>> z = rand(2);>> save dados x y z;% salvar os dados x,y e z dentro doarquivo 'dados.mat'.>> save dados2.txt x y z -ascii;%salva em formato txt, 8digitos.>> save dados3.txt x y z -ascii -double;% salva em formato
%txt com 16 digitos.
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Introduo ao MATLAB
63
Para se trabalhar com leitura e escrita de dados existe a possibilidade de se utilizar
comandos da linguagem C tais como fopen, fscanf, fclose. O seguinte exemplo abre o
arquivo existente vetor.dat com o atributo 'somente leitura' para leitura de dados. O
primeiro valor lido o comprimento do vetor. Depois o vetor lido e armazenado no vetor
coluna vet e finalmente o arquivo fechado.
clear;fid=fopen('vetor.dat','r');% abre um arquivo existente para
%permitir s leituranval = fscanf(fid,'%2d',1);%nmero de valores a ler e 1vet = zeros(nval,1);%cria o vetor coluna vet cheio de zerosfor k=1:nval,
vet(k) = fscanf(fid,'%5d',1);%le valores em formatoend %inteiro com no maximo 5 digitos decimaisfclose(fid);%fecha arquivodisp(' F I M ');who % mostra as variveis globais do ambientedisp('Vetor lido');vet % mostra no prompt o vetor lido do arquivo vetor.dat
Para abrir ou criar um arquivo usa-se o comando fopen ('nome de arquivo','opo').
O atributo r no campo opo do comando fopen indica que o arquivo somente leitura,
isto , no ser possvel escrever nenhum dado nele. O valor 1 no comando fscanf indica
que ser lido um valor por vez. O formato %5d significa que o valor a ser lido inteiro,
indicado pela letra d, com no mximo 5 dgitos decimais.
O comando fopen retornar um nmero inteiro positivo que identifica este arquivo
para leitura e escrita. Caso o nmero retornado for -1, isto indicar que o arquivo no existe
ou no foi criado.
Opes de abertura ou gerao de arquivos:
a : cria ou abre um arquivo existente para escrita, agrega os dados ao final do
arquivo a+ : cria ou abre um arquivo existente para leitura ou escrita, agrega os dados ao
final do arquivo w : cria ou abre um arquivo existente s para escrita, descartando o seu contedo w+ : cria ou abre um arquivo existente para leitura ou escrita, descartando o seu
contedo r : abre arquivo existente s para leitura nao cria o arquivo nem permite escrita
nele
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Introduo ao MATLAB
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r+ : abre arquivo existente para leitura e escrita O seguinte exemplo cria um arquivo cujo nome entrado por teclado, gera uma matriz 8x8
e copia os valores dela dentro do arquivo em formato ponto fixo.
%a seguinte linha pede o nome de um novo arquivo por tecladoarquivo_novo = input('Entre nome de um arquivo a ser criado -> ','s');ordem = 8;mat=randn(ordem);% cria matriz 8x8mat % mostra a matriz gera