apostila matemática cálculo cefet capítulo 03 limites

8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 03 Limites

1/42

Captulo 3

LIMITE E CONTINUIDADE

3.1 Limites

O desenvolvimento terico de grande parte do Clculo foi feito utilizando a noo de limite.Por exemplo, as definies de derivada e de integral definida, independente de seu significadogeomtrico ou fsico, so estabelecidas usando limites.Inicialmente desenvolveremos a idia intuitiva de limite, estudando o comportamento de umafuno nas proximidades de um ponto que no pertence, necessariamente, ao seudomnio. Por exemplo, seja

"

(

claro que )0 1

5 6 9 . Estudaremos a funo nos valores de que ficam prximos de

, mas sem atingir

. Para todo

@

)0 1

temos que

"

. Vamos construir umatabela de valores de aproximando-se de , pela esquerda ( C ) e pela direita ( D ) e oscorrespondentes valores de :

C

I

I

(P

I

(S R ( T

I

(V

(

W

I

(X

(

V

I

(X X

(

X V

I

(X X X

(

X X V

I

(X X XY X ( X X X V

I

(X X X X X

(

X X X X V

I

(X X X X X X

(

X X X X X V

D

P

(R T ( T

(P T

( b (T

(

I

Xb

(

V

(

II

Xb

(

I

V

(

II I

Xb

(

II

V

(

II I I

X b (

II I

V

(

II I I I

Xb

(

II I I

V

(

II I I I I

Xb

(

II I I I

V

Observando as tabelas, podemos verificar que: medida que vai se aproximando de , osvalores de vo aproximando-se de

b

. A noo de proximidade pode ficar mais precisautilizando valor absoluto. De fato, a distncia entre dois pontos quaisquer c @ 5 f f .Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se f f aproxima-se de zero, ento

99


2/42

100 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

f

b

f tambm se aproxima de zero; em outras palavras: para que f b

f seja pequeno necessrio que f f tambm seja pequeno. O nmero

b

chamado limite de quando

est prximo de . No exemplo, temos f b

f

f

f ; logo, a distncia de ab

igual

a duas vezes a distncia de

a

. claro que quando

aproxima-se de

,f

f

aproxima-sede zero e consequentemente f b

f tambm aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemostornar to perto de

b

quanto desejarmos, bastando para tal considerar suficientementeprximo de . Por exemplo, se desejarmos que f

b

f seja igual aI

c

, basta considerarf

f

I

c ; agora, se desejarmos que f b

f

C

I

c

I

, basta considerar f f CI

c

I

.De um modo geral, considerando qualquer nmero real positivo (letra grega epsilon), to

pequeno quanto se deseje e definindo o nmero real

(letra grega delta),

, teremos que

a distncia de ab

menor que , desde que a distncia de a seja menor que

. Entopara todo nmero real positivo existe outro nmero real positivo

, que depende de , tal quese

I

C

f

f

C

, ento f b

f

f

f

C

. Note que todos os intervalos abertosque contm intersectam 5 6 9 de forma no vazia.

3

1

Figura 3.1:

Definio 3.1. Sejam 5 uma funo e

@5 tais que para todo intervalo aberto

, contendo

, tem-se

6

9

. O nmero real

o limite de quando aproxima-se de

quando

para todo nmero DI

, existe

D

I

(

dependendo de ), tal que, se @ eI

C

f

f

C

entof

f

C . A notao : "

# $ &

A definio equivalente a dizer:

Para todo DI

, existe

D

I

tal que se @

c

"

(

6

9) , ento @ c " .

b- bb

L

L+

L-

Figura 3.2:


3/42

3.1. LIMITES 101

Exemplo 3.1.

Verifique que "

# $

W

.

Pela definio temos que, dado

D

I

, devemos obter um

D

I

tal que seI

C

f

T

f

C

entof

W

f

C . Mas f W

f

f

T

f f

"

T

f e desejamos que este produto fique menor que para suficientemente prximo de

T

. Intuitivamente, se est prximo deT

, f "T

f estarprximo de

V

e f T

f ficar prximo de zero. Logo f T

f f

"

T

f ficar prximo de zero; estamos,pois em condies de tornar f

W

f

C desde que fique suficientemente prximo deT

. Aprimeira coisa a fazer limitar o fator f "

T

f . H vrias maneiras de fazer isto. Por exemplo,se

b

C C

P

, teremos C T

C ou f

T

f

C ; logo, f "

T

f

f

T

"

V

f

f

T

f

"

V

C

X

e f T

f f

"

T

f

C

X

f

T

f . Portanto, dado DI

, considerando

o menor entre os nmeros e

, teremos que, seI

C

f

T

f

C

, ento f W

f

C . recomendvel fazer uma tabela, como

no exemplo anterior.

Observe que o limite de uma funo num ponto, depende apenas dos valores que

assume nas proximidades de , ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro .

Proposio 3.1. Unicidade do limite Se

"

# $ &

e

"

# $ &

; (

c

@5 ), ento

(

Em outras palavras se o limite existe ( um nmero real), ele nico. Para a prova veja oapndice.

Corolrio 3.1. Se as funes e

so tais que

exceto num ponto

, ento: "

# $ &

"

# $ &

c

desde que exista um dos limites.

Esta propriedade nos permite "simplificar"antes de calcular o limite, como no primeiro exem-plo.

Exemplo 3.2.

[1] Sejam

e

" .

Logo,

se ; ento,

"

# $

"

# $

, como j foi verificado.

[2] "

# $

(

) no existe.

Se "

# $

(

) existisse, ento para valores de muito muito prximos de zero, a funo

(

)

deveria se aproximar de um valor fixo, que seria o limite. Mas isto no ocorre. De fato, consi-

derendo

"

@5 , (

@ ), ficar prximo de zero se

for muito grande. Mas,

(

)

(

"

)

(

"

)

#

0

% c


4/42


e a funo ficar oscilando entre (se

par) e (se

mpar). Logo, o limite de no podeexistir.

3 2 1 1 2 3

1.0

0.5

0.5

1.0

Figura 3.3: Grfico de

#

.

[3] Se 1 c

c#

@5 , ento:

"

# $

1

"

1

#"

(

De fato, devemos verificar que, para todo nmero DI

, existe outro nmero

D

I

, tal que:f

1

"

1

#"

f

C se f # f C

(

Mas, f 1 "

1

#"

f

f 1 f f

#

f ; logo basta

tomar

f 1 f

, se 1 I

. Se 1 I

, todo

D

I

serve. logo, por exemplo: "

# $

V

"

b

V

T

"

b

b

P (

[4] Seja

"

P se

se (

Calcule "

# $

.

Observemos que

, mas o valor do limite da funo quando tende a no dependedo valor da funo no ponto , pois "

P

se ; logo: "

# $

"

# $

"

P

W (

Proposio 3.2. Se

"

# $

e

"

# $

, existem, ento para todo

c

@5 :

1.

"

# $

"

"

# $

"

"

# $

(

2.

"

# $

"

# $

"

# $

(

3.

"

# $

"

# $

"

# $

, se

"

# $

I

(


5/42

3.1. LIMITES 103

4.

"

# $

%

"

# $

%

, se

@ .

5.

"

# $

"

# $

, se

"

# $

I

e

qualquer natural, ou

"

# $

positivo,

negativo ou nulo e

um natural mpar.

6.

"

# $

"

# $

c se

"

# $

D

I

(

7. Se

"

# $

"

# $

e existe

D

I

tal que

, para

I

C

f

f

C

,

ento

"

# $

.

Provas no apndice.

Segue diretamente da proposio 10.3:

(a) Se

uma funo polinomial, ento: "

# $

(

(b) Se

uma funo racional e @ )0 1

, ento:

"

# $

(

Exemplo 3.3.

Calcule os seguintes limites:

[1] "

# $

"

"

"

"

b

" . Neste caso "

"

"

"

b

" ; logo:

"

# $

"

"

"

"

b

"

"

# $

X (

[2] "

# $

P

R

. Como "

# $

R

I

I

, podemos aplicar a proposio 10.3; ento,

"

# $

P

R

"

# $

P

"

# $

R

I

(

[3] "

# $

. Como "

# $

I

, no podemos aplicar a proposio 10.3; mas fatorando o

numerador:

"

$ " c

para todo . Logo: "

# $

"

# $

"

(


6/42


[4] Determine o valor de tal que "

# $

b

" "

"

b

"

exista.

Note que "

"

. Dividindo

b

"

" "

b

por "

; obtemos,b

" "

"

b

"

b

"

W

"

P

; logo, para que a diviso seja exata devemos

ter P

; logo,b

"

"

"

b

b

"

P

"

W

b

"

"

b

: "

# $

b

" " "

b

"

b

"

# $

"

b

(

[5] "

# $

"

.

Como

"

# $

I

, no podemos aplicar diretamente a proposio 10.3; mas racionalizando o

numerador: #

#

#

#

#

. Logo:

"

# $

"

"

# $

" "

(

-1 1 2 3 4

0.25

0.5

0.75

1

Figura 3.4: Grfico de #

#

, perto da origem.

[6] "

# $

.

Para calcular este limite faamos a mudana de variveis

; ento:

"

" " "

"

" " (

Se , ento ; logo: "

# $

"

$

"

"

" "

"

" "

P

T

(

[7] "

# $

(

(

) )

I

.


7/42

3.1. LIMITES 105

De fato,

(

#

)

, para todo @ 5 6I

9 ; logo

(

#

)

, para todo

G @ 5 6

I

9 . Como "

# $

"

# $

I

; pela proposio 10.3, temos:

"

# $

(

(

) )

I

(

0.2 0.1 0.1 0 .2

0.01

0.01


(

#

) , perto da origem.

[8] Seja uma funo tal que f f

; ento, "

# $

I

.

De fato. Pela proposio 10.3, tem 7, temos: "

# $

f

f

I

, o que implica, "

# $

I

.

[9] Verifique que "

# $

%

%

%

, @ 5 .

Se

@ , ento:

#

#

%

"

%

"

( ( ( ( (

"

%

, ; denotando por

F

%

"

%

"

( ( ( ( (

"

%

, temos: "

# $

%

%

"

# $

%

(

Se

@ e

C

I

, fazendo

1

c

1

@ , temos:

%

%

#

pelo caso anterior, temos: "

# $

%

%

1

%

(

Se

@ ,

;

c

@

c

I

. Fazendo

e

, ento % e %

; logo:

%

%

do segundo caso: "

# $

%

%

"

$ &

%

(


8/42


3.2 Limites Laterais

Sejam uma funo definida em um domnio)

(que pode ser um intervalo ou uma reunio

de intervalos).

Definio 3.2.

1. Seja @ 5 tal que existem

@5 e c

)0 1

. O nmero real

o limite direita de ,

quando se aproxima de pela direita se para todo DI

, existe

D

I

tal que f f

C , se C C

"

. Notao: "

# $

2. Seja @ 5 tal que existem # @ 5 e # c ) 0 1 . O nmero real o limite esquerda

de

, quando

se aproxima de

pela esquerda se para todo

D

I

, existe

D

I

tal quef

f

C , se

C C . Notao: "

# $

.

.

a

+

L

.

.

-

a

L

Figura 3.6: Limite direita e esquerda, respectivamente.

Exemplo 3.4.

[1] Calcule "

# $

e

"

# $

, se:

"

se C

se

"

X

se D

(

Para calcular estes limites observemos que

significa que fica perto de

, para valoresde maiores que

e

significa que fica perto de

, para valores de menores que

.Assim:

"

# $

"

# $

"

P

e "

# $

"

# $

"

X

P (


9/42

3.2. LIMITES LATERAIS 107

-4 -2 2 4

-2

2

4

6

8

Figura 3.7: Grfico de , perto de

.

[2] Calcule "

# $

e

"

# $

, se:

f

f

se

I

se I

(

Novamente, para calcular estes limites observemos que I

significa que fica perto deI

,para valores maiores que

I

e I

significa que fica perto deI

, para valores menoresque

I

. Primeiramente, escrevamos a funo da seguinte maneira:

se I

se CI

(

Assim "

# $

"

# $

e "

# $

"

# $

% .

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1


.

[3] Calcule "

# $

e

"

# $

, se:

se C

b

se

Calculando diretamente "

# $

"

# $

b

b

e "

# $

"

# $

.


10/42


-2 -1 1 2 3

2

4

6

8

Figura 3.9: Grfico de , perto de .

[4] (Contrao de Lorentz): Na teoria da relatividade especial, temos que o comprimento deum objeto funo de sua velocidade:

#

c

onde

o comprimento do objeto em repouso e # a velocidade da luz. A velocidade da luz de aproximadamente

b

I

I

1

. Da teoria da relatividade conhecido que nenhum objetopode ir alm da velocidade da luz; logo #

: "

$

I

(

Isto significa que para um observador parado o objeto desaparece.

Teorema 3.2. Seja

uma funo com domnio)

nas condies das definies. Ento

"

# $

se e somente se os limites laterais existem e

"

# $

"

# $

.

Para a prova, veja o apndice.

Teste para determinar quando no existe um limite

Se "

# $

"

# $

ou se um dos limites laterais no existe, ento "

# $

no existe.

Exemplo 3.5.

[1] Calcule "

# $

, se:

" se C

se

"

X

se D (


11/42

3.2. LIMITES LATERAIS 109

Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo1]das pginas anteriores temos

"

# $

P

e "

# $

P

. Pelo teorema, temos que "

# $

P

.

[2] Calcule "

# $

, se:

#

#se

I

se I

(

Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. "

# $

"

# $

e

"

# $

"

# $

%

(

Pelo teorema, temos que "

# $

no existe.

[3] Calcule "

# $

, se:

se C

b

se (

Utilizando o teorema anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. Do exemplo[3] da pgina anterior, temos

"

# $

b

e "

# $

(

Logo, "

# $

no existe.

[4] A funo degrau unitrio definida como:

I

se

C #

se # c

onde # @ 5 . Logo, "

# $

I

e "

# $

; logo,

"

# $

no existe.

[5] Calcule "

# $

. Veja o exerccio 33 do captulo anterior.

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2


.

Se

@ ,

"

# $

e "

# $

; logo,

"

# $

no existe. Se

@ 5 , ento "

# $

existe. (Por que?).


12/42


3.3 Limites no Infinito

Definio 3.3.

1. Seja c " 5 . Diz-se que

"

# $

quando para todo DI

, existe DI

tal

que f f

C se D

(

2. Seja c

5 . Diz-se que

"

# $

quando para todo D

I

, existe

D

I

tal

que f f

C se C

(

Exemplo 3.6.

[1] Verifique que "

# $

I

.

De fato, pois para todo D

I

existe

D

D

I

, tal que se

D

, ento

#

C

C

e

I

C .

[2] Verifique que "

# $

I

.

De fato, pois para todo DI

existe

D

D

I

, tal que se C

, ento

C .

Observe que " implica DI

e implica CI

.

Proposio 3.3. Para todo nmero natural

e para

@' 5 6

I

9 , tem-se:

1.

"

# $

%

I

.

2.

"

# $

%

I

(

1. Devemos provar que para todo DI

existe DI

tal que&

#

C se D . De fato,&

#

&

#

C se

&

#

C

, ou seja, se D

&

; logo basta considerar

&

. A prova de2 anloga a do item 1.

Figura 3.11: Grficos de

%

para diferentes

.


13/42

3.3. LIMITES NO INFINITO 111

Proposio 3.4. Se

"

# $

e

"

# $

existem, ento, para todo

c @ 5 :

(

"

# $

(

"

)

"

# $

"

"

# $

c

(

"

# $

(

)

(

"

# $

)

(

"

# $

) c

b (

"

# $

"

# $

"

# $

c se

"

# $

I

(

As provas so anlogas s das propriedades dos limites num ponto.

Exemplo 3.7.

[1] Calcule

"

# $

(

b

"

P

)

.

Aplicando diretamente a proposio anterior: "

# $

(

b

"

P

)

"

# $

(

b

)"

"

# $

P

I

"

P

P (

5

Figura 3.12: Grfico de quando " .

[2] Calcule "

# $

P

.

Aplicando diretamente a proposio anterior : "

# $

P

P

"

# $

I

(

3.3.1 Clculo de Limites de Funes Racionais

Proposio 3.5. Seja

c

onde

%

%

"

%

%

"

( ( ( ( (

"

e

"

"

( ( ( ( (

"

so polinmiosde coeficientes reais de graus

e 1 , respectivamente, isto %

I

e I

. Ento:

"

# $

%

se

1

I

se

C

1


14/42


De fato:

%

%

"

%

%

"

( ( ( ( ( ( ( (

"

"

"

( ( ( ( ( ( ( (

"

%

(

%

"

#

"

( ( ( ( ( ( ( (

"

#

)

(

"

&

#

"

( ( ( ( ( ( ( (

"

&

#

)

(

Aplicando limite e as propriedades da proposio 3.4, obtemos o resultado. Para

D

1 , veja oprximo pargrafo.

Exemplo 3.8.

[1] Calcule "

# $

"

"

P

" "

.

Como

C

1 , temos: "

# $

"

"

P

" "

I

(

[2] Calcule "

# $

"

b

b

"

.

Como

1, temos:

"

# $

"

b

b

"

b

(

[3] Calcule "

# $

"

P

.

Neste problema, a funo no racional, mas utilizaremos a mesma idia dos exerccios ante-riores. Reescrevendo a expresso temos:

"

P

"

(

#

)

"

#

"

#

#

ento: "

# $

"

P

"

# $

"

#

#

(

[4] Calcule "

# $

"

P

.

Aparentemente este limite anlogo ao do exemplo [3]; mas devemos ter cuidado, pois,

, significa que

C

I

; logo, consideramos

: "

# $

"

P

"

# $

#

#

(

[5] Fractal de Koch A seguinte curva chamada de Koch e obtida a partir da linha poligonalconstituda pelos lados de um tringulo equiltero de lado unitrio. A cada passo substitui-seo tero mdio de cada segmento da linha poligonal por dois segmentos que formariam umtringulo equiltero com o tero mdio que foi retirado, conforme os desenhos abaixo:


15/42

3.4. LIMITES INFINITOS 113

Figura 3.13:

Denote por %

a rea comprendida pela linha poligonal aps

passos; logo,

,

b

b

,

I

b

R

,

X T

b

T b

, V W

b

V R

, em geral:

%

b

T

" b

P

(

(

T

X

)

%

)

c

se

I

; ento, "

%

$

%

b

P

. Fica como exerccio interpretar o limite.

3.4 Limites Infinitos

Seja uma funo definida num domnio ) , que pode ser um intervalo ou uma reunio deintervalos. Seja um ponto que no pertence necessariamente a ) , mas tal que nas proximi-dades de existam pontos de ) ; em outras palavras, qualquer intervalo aberto que contem

intersecta)

de forma no vazia.

Definio 3.4.

1. Diz-se que

"

# $

" , quando para todo D

I

, existe

D

I

tal que D , se @ ) eI

C

f

f

C

.

2. Diz-se que

"

# $

, quando para todo

D

I

, existe

D

I

tal que C

, se @)

eI

C

f

f

C

.

Exemplo 3.9.

[1] "

# $

" .

Como

D , se C

, isto , se f f C

, ento para todo DI

, existe

D

I

tal que D seI

C

f

f

C

(

[2] "

# $

" .


16/42


Como

D

se f f C

, ento para todo

D

I

, existe

D

I

tal que D

seI

C

f

f

C

.

Analogamente podemos definir limites laterais infinitos. Assim:Diz-se que

"

# $

F "

, quando para todo DI

, existe

D

I

tal que D se

C C

(

Diz-se que "

# $

, quando para todo

D

I

, existe

D

I

tal que C

se! C C

"

.

Proposio 3.6. Para todo nmero natural

, temos:

1.

"

# $

%

" .

2.

"

# $

%

" se

par

se

mpar

Proposio 3.7. Sejam e

funes tais que

"

# $

I

e

"

# $

I

. Ento

1.

"

# $

" se

D

I

para valores de prximos de .

2.

"

# $

se

C

I

para valores de prximos de .

As provas das proposies so deixadas como exerccios.

Exemplo 3.10.

[1] Calcule "

# $

b

.

Como "

# $

b

e

"

# $

I

, observando que se D

, mas , ento #

#

D

I

e aplicando o teorema, logo: "

# $

b

" .

[2] Calcule "

# $

P

.

Como "

# $

P

e "

# $

I

, observando que se C

, mas

, ento

#

#

C

I

e aplicando o teorema, temos: "

# $

P

.

Analogamente podemos definir outros tipos de limites. Como exerccio, defina os seguinteslimites:

"

# $

" c

"

# $

e

"

# $

" c

"

# $

.


17/42

3.4. LIMITES INFINITOS 115

Corolrio 3.3. Para funes racionais, temos:

"

# $

se

D

1

%

se

1

I

se

C

1

(

Exemplo 3.11.

[1] "

# $

(

"

b

"7 "

) . Como "

# $

(

" b

"

"

)

; temos, "

# $

(

"

b

" "

)

"

# $

(

" b

"

"

)

"

# $

" .

[2] "

# $

(

"

b

"7 "

) . Como "

# $

(

" b

"

"

)

; temos, "

# $

(

"

b

" "

)

"

# $

(

" b

"

"

)

"

# $

.

[3] "

# $

(

"

"

) . Como "

# $

(

"

"

) ; temos,

"

# $

(

"

"

)

"

# $

(

"

"

)

"

# $

" .

[4] "

# $

(

"

"

P

"

) .

Como

D

1

, pelo corolrio anterior:

"

# $

(

"

"

P

"

)

"

(

[5] Na teoria da relatividade especial, a massa de uma partcula funo de sua velocidade:

#

1

#

c

onde 1 a massa da partcula em repouso e # a velocidade da luz. Logo, "

$

"

em outras palavras, se a velocidade de uma partcula aumenta, sua massa aumenta em ralao

a sua massa inicial1

.[6] Considere o fractal de Koch e denote por

%

o permetro da linha poligonal aps

passos;logo:

b

c

T

c

W

b

em geral, %

b

(

T

b

)

% , se

I

; ento,

"

%

$

%

" . Fica como exerccio interpretar

o limite.


18/42


3.5 Smbolos de Indeterminao

Nas operaes com limites, muitas vezes aparecem os smbolos:

c

I

c

c

I

I

c

I

c

c

chamados smbolos de indeterminao. Quando aparece um destes smbolos no clculo deum limite, nada se pode dizer sobre este limite. Ele poder existir ou no, dependendo daexpresso da qual se est calculando o limite.

Exemplo 3.12.

[1] Se "

e

, onde e

so definidas em 5 6 9 , ento, "

# $

"

# $

"

c

mas

"

# $

(

)

.

[2] Se

)"

e

, onde e

so definidas em 5 6 9 ,

ento, "

# $

"

# $

" , mas

"

# $

(

) no existe.

[3] Se

e

, onde e so definidas para D

I

, ento, "

# $

I

e "

# $

" , mas

"

# $

(

)

(

)

I

. De fato,

C para todo D

I

; ento

C

para ; logo,I

C

%

#

#

C

#

. Aplicando limite aambas partes e usando o item [7] da proposio 10.3, vlida tambm para limites no infinito,temos o resultado.

[4] Se

e

, onde e

so definidas em 5 6I

9 , ento, "

# $

"

e "

# $

I

, mas "

# $

(

)

(

) , no existe.

3.6 Limites Fundamentais

[1] Primeiro limite fundamental: "

# $

Antes de provar este limite faremos uma tabela, usando o fato de que %

#

#

umafuno par:

I

I

(V T

T

I

(P

I

(X P V V

I

(

I

(X X

bb

I

(

I

(X X V

b

I

(

I

I

(X X X X V

I

(

II

I

(X X X X X


19/42

3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 117

Prova: Considere o seguinte desenho:

O Q S

TP

Figura 3.14:

Denotemos por

e

as reas dos tringulos

e

respectivamente e por

a rea dosetor circular

. Claramente

C

C

(

Por outro lado, seI

C

C

,

#

0

c

#

e

(

Ento, da desigualdade acima:

#

0

C

C

#

; e, como

D

I

se

@

I

c

, temos # 0

C

%

C

#

, ou # 0

C

%

C

# se

I

C

C

. Co-

mo "

$

#

0

"

$

# , segue que "

$

%

. Por ser %

uma funo par: "

$

; logo,

"

$

.

1

Figura 3.15: Grfico da funo %

#

#

se I

e I

.

[2] Segundo limite fundamental:

"

# $

(

"

)

#


20/42


Faamos uma tabela usando a funo ( "

)

#

D

I

I

( PY X b R T

I

( R

I

TV

I

( R

WX

I

(

R

V

P

C

I

I

( VY W R X R

I

( R b

II

I

( R

XW T

I

(

R

VT

4 2 2 4

1

2

3

4

5

6

Figura 3.16: Grfico de ( "

)

#

para I

.

possvel provar que: "

# $

(

"

)

#

c

onde

(

R

V

V ( ( (

o nmero de Euler. A prova direta desta propriedade poder ser encon-trada na bibliografia intermediria ou avanada.

[3] Terceiro limite fundamental. Seja @ 5 c DI

c , ento:

"

# $

(

#

)

Em particular,

a nica base da exponencial tal que:

"

# $

(

#

)

Veja o prximo exemplo, item [7].

Exemplo 3.13.

[1] Calcule "

# $

.

"

# $

"

# $

(

#

0

)

"

# $

(

)

"

# $

(

#

0

)

(


21/42

3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 119

[2] Calcule "

# $

b

. "

# $

b

b

"

# $

"

# $

b

b

b

(

[3] Calcule "

# $

(

" )

. Seja ; se I

ento

; logo: "

# $

(

" )

"

$

(

"

)

(

[4] Calcule "

# $

(

"

)

#

, onde

um nmero real.

Seja#

&

, ento:

"

# $

(

"

)

#

(

"

$

(

"

)

)

&

&

(

[5] Calcule "

# $

(

"

"

)

#

, onde

um nmero real.

Seja "

, ento:

"

# $

(

"

"

)

#

"

$

(

"

)

&

(

[6] Sabemos que se uma quantia investida a uma taxa de juros compostos, capitalizados1 vezes ao ano, o saldo , aps anos dado por "

. Se os juros foremcapitalizados continuamente, o saldo dever ser:

"

$

(

"

1

)

"

$

( (

"

1

)

)

(

[7] Calcule "

# $

(

"

)

# &

, onde um nmero real. "

# $

(

"

)

# &

"

# $

(

" b

)

#

"

# $

(

" b

)

&

(

[8] Verifique que "

# $

#

.

Seja #

; ento

#

" ; logo

" e

"

. Quando I

temos que I

e: "

# $

#

"

$

"

"

$

"

"

$

"

(

[9] Calcule "

# $

#

#

, onde c

D

I

e c

.

"

# $

#

#

"

# $

#

"

#

"

# $

(

#

#

)

(

)

(

[10] Se

"

X

e "

# $

"

#

, determine

.

Primeiramente, note que

; ento,

. Por outro lado

"

b

; logo,b

X

, donde

e R

. Portanto,

TX

.


22/42


3.7 Assntotas

Definio 3.5. A reta

uma assntota horizontal ao grfico da funo se pelo menos

uma das seguintes afirmaes verdadeira: "

# $

ou

"

# $

(

Exemplo 3.14.

[1] Esboce o grfico da funo logstica:

"

onde c

c

@5

(

)0 1

5

e a curva passa por

I

c

. Por outro lado

"

$

; logo,`

umaassntota horizontal.

"

$

I

; logo, I

uma assntota horizontal. No caso em que

descreve o crescimento de uma populao, o valor dito valor limite da populaoe corresponde ao nmero mximo de indivduos que um ecossistema pode suportar.

x

y

Figura 3.17: Grfico da funo logstica.

[2] A funo

#

possui uma assntota horizontal

I

.

Definio 3.6. A reta uma assntota vertical ao grfico da funo se pelo menos umadas seguintes afirmaes verdadeira:

"

# $

ou

"

# $

(

Em geral, se o )0 1

5 , ento o grfico de no possui assntotas verticais.

3.7.1 Esboo Aproximado de Funes Racionais

Seja

tal que

@

)0 1

, isto ,

I

; ento,

F

%

,

D

e

I

; analogamente

, 1

I

e

I

. Se 1 C

, fazendo

1 , temos

, onde

uma funo definida em .

Ento "

# $

f

f

.


23/42

3.7. ASSNTOTAS 121

a

a

Figura 3.18: Grficos de ao redor do ponto , para

mpar e

par e

D

I

.

a

a

Figura 3.19: Grficos de ao redor do ponto , para

mpar e

par e

C

I

.

Logo, a funo possui uma assntota vertical em cada raiz do polinmio

.

Exemplo 3.15.

[1] Esboce o grfico de

.

)0 1

4 5 68 c 9

e a curva passa por

I

c

I

. Por outro lado

, onde

"

;

e

D

I

; ento, "

# $

F " ,

"

# $

, Analogamente:

#

,onde

;

e

D

I

, ento: "

# $

"

e "

# $

;

logo, e so assntotas verticais. Por outro lado, "

# $

I

; logo, I

uma

assntota horizontal.

4 2 2 4

2

1

1

2

Figura 3.20: grfico de #

#

.

[2] Esboce o grfico de

.


24/42


)0 1

5 68 c 9 e a curva passa por

I

c

I

. Por outro lado

, onde

"

;

e

D

I

; ento, "

# $

" ,

"

# $

. Analogamente:

"

, onde

;

e

C

I

; ento, "

# $

e

"

# $

" ;

logo e so assntotas verticais. Por outro lado, "

# $

; logo, uma

assntota horizontal.

4 2 2 4

2

1

1

2

Figura 3.21: grfico de # #

#

.

3.8 Continuidade de Funes

A noo de continuidade em Matemtica a que utilizamos no dia a dia, isto , onde no hinterrupo ou, ento, onde no existem partes separadas umas das outras. Nos pargrafosanteriores, estudamos o comportamento de uma funo para valores de prximos

de um ponto

. Pode acontecer que o limite de

quando

tende a

exista, mas que

noseja definida em ; ou ainda, pode acontecer que o limite seja diferente de . Estudaremos,agora, uma classe especial de funes, onde se verifica que:

"

# $

(

Definio 3.7. Seja uma funo e @ )0 1

, onde )

0 1

um intervalo aberto ou uma reunio

de intervalos abertos. dita contnua em , se:

1.

"

# $

existe.

2.

"

# $

.

Se no verifica qualquer das condies da definio, dita descontnua em .

Exemplo 3.16.

[1] Considere:

se

se (


25/42

3.8. CONTINUIDADE DE FUNES 123

Note que )0 1

4 5 , mas no contnua em . De fato,

"

# $

"

# $

"

.

Veja o desenho:

1

2

Figura 3.22:

Observe que se redefinirmos a funo, fazendo

, a funo ser contnua em todos ospontos de 5 . Verifique este fato.

[2] Seja:

se #I

se C #(

A funo degrau unitrio no contnua em # , pois no existe "

# $

.

c

1

Figura 3.23: Funo degrau unitrio.

Intuitivamente, a continuidade de uma funo em um ponto indica que o grfico da funono apresenta saltos nesse ponto (veja o desenho anterior).

[3]

uma funo contnua em todo ponto de seu domnio.

De fato $ " se e "

# $ #

"

.

[4] O potencial de uma distribuio de carga num ponto do eixo dos dado por:


26/42


(

"

) se

I

(

"

"

) se CI

(

c

D

I

; contnua emI

.

De fato, como "

# $

"

# $

, "

# $

existe e "

# $

I

. Ento,

contnua emI

.

[5] Seja

se C

"

se @

c

P

"

R

se D (

Ache

e

tais que

seja uma funo contnua em5

.Os pontos problemticos do domnio de so H e . Utilizando a definio, contnua se:

"

# $

"

# $

"

# $

"

# $

c

que equivalente ao sistema:

T

"

logo, V

e

T

. Ento:

se C

V

"

T

se

P

"

R

se D (

3 2 1 1 2 3

10

5

5

10

15

20

Figura 3.24:

A continuidade tambm pode ser expressa em funo de e

. De fato, "

# $

sig-

nifica que: para todo DI

existe

D

I

tal que, se @ )0 1

e f f C

, ento


27/42


f

f

C . Em outras palavras, contnua em quando para todo D

I

, existe

D

I

tal que @ c " desde que @

c

"

) 0 1

.


funes contnuas no ponto . Ento:

1.

"

so contnuas em , para todo

c @ 5 .

2.

contnua em .

3.

contnua em , se @ )0 1

(

) .

As provas destas propriedades decorrem imediatamente das definies.

Definio 3.8. Uma funo dita contnua em 5 se contnua em cada ponto de . Se contnua em e

, ento, contnua em

.

Exemplo 3.17.

[1] Os polinmios so funes contnuas em 5 , pois so expressos por somas e produtos defunes contnuas em 5 .

[2] As funes racionais so funes contnuas no seu domnio.

[3] As funes

e # 0

so contnuas em 5 .

[4] As funes exponenciais so funes contnuas em 5 .

[5] As funes logartmicas so funes contnuas em

I

c "

.[6] A seguinte funo contnua em 5 :

(

) se I

I

se I

(

1.0 0.5 0.5 1 .0

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 3.25: Grfico de [6]

[7] A funo

descontnua para cada @ . Veja exerccio 33 do captulo anterior.


28/42


-1-2-3 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3


.

[8] A funo

" #

contnua em I

c c " . De fato,

contnua

em

I

c "

e

#

contnua em

5

, logo

" #

contnua em

I

c "

; o polin-mio possui razes reais

e

@

I

c " , ento contnua em

I

c c "

,que o domnio de .

1 2 3 4

2

1

1

2

3

Figura 3.27:


funes tais que

"

# $

e

contnua no ponto

. Ento:

"

# $

(

)

(

"

# $

)

A prova segue das definies.

Exemplo 3.18.Como aplicao direta desta propriedade temos:

[1] A funo

#

contnua em 5 ; logo, se existe "

# $

, ento:

"

# $

#

"

# $

(

[2] As funes

e

#

0

so funes contnuas em 5 ; logo, se existe "

# $

, ento:


29/42


"

# $

(

)

(

"

# $

)

"

# $

#

0

(

) #

0

(

"

# $

)

(

[3] A funo

contnua em

I

c "

; logo, se

"

# $

@

I

c "

, ento: "

# $

(

)

(

"

# $

)

(

[4] "

# $

(

"

"

"

)

(

"

# $

"

"

"

)

(

b

) .

[5] "

# $

(

)

(

"

# $

)

(

(

) )

I

.

[6] "

# $

"

# $

.

[7] "

# $

#

0

(

"

" )

#

0

.

Teorema 3.4. Sejam e funes tais que esteja bem definida. Se contnua no ponto e contnua em , ento

contnua em .

Prova: 1 ) 0 1 . Como contnua em , para todo DI

existe

D

I

tal quese @

1

e

f

!

f

C

, entof

f

C . Por outro lado contnua em ; logo,existe

D

I

tal que se @ )0 1

e f f C

, ento f f f f

C

. Logo,

se @ )0 1

c

"

, f

f

C .

Exemplo 3.19.

[1] A funo

f

"

"

f uma funo contnua em 5 , pois

a composta das seguintesfunes: "

" e

f

f ; ambas funes so contnuas em 5 . (Verifique !).

[2] A funo

#

#

contnua. (Verifique !).

[3] A funo

(

"

T

) contnua. (Verifique !).

O teorema seguinte estabelece que com hipteses adequadas, uma funo , definida numintervalo fechado

c

, assume todos os valores entre e ; em outras palavras, paraque passe de a

tem que passar por todos os valores intermedirios. A definioanterior de continuidade foi feita considerando como domnios intervalos abertos ou reunio

de intervalos abertos; ento necessitamos da seguinte definio:

Definio 3.9. Seja

c

5 ; contnua em

c

se:

1. contnua em c

.

2.

"

# $

existe e

"

# $

.

3.

"

# $ &

existe e

"

# $ &

.


30/42


As condies 2 e 3, so chamadas continuidades laterais, direita e esquerda, respectivamen-te.

Teorema 3.5. (do Valor Intermedirio)Se

c

5 uma funo contnua em

c

e C C ou C C , ento existe# @

c

tal que #

.

Para a prova, veja [TA], [RC] ou [WR].

Exemplo 3.20.

Seja

c 5 tal que # 0

" ; ento assume o valor b

. De fato

contnua e C b

C

b

; logo, do teorema, temos que existe # @ c tal que

# b

.

1.0 0.5 0.5 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Figura 3.28:

Corolrio 3.6. Seja

c

5 uma funo contnua em

c

. Se e

tem sinais opostos,ou seja

C

I

, ento existe # @ c

tal que # I

.

a

cc

c b

Figura 3.29:

Este resultado pode ser utilizado para localizar as razes reais de um polinmio de grau mpar.De fato, seja % "

%

"

( ( ( ( ( ( (

"

%

"

%

uma funo polinomial de grau

mpar,

@5 . Para os

I

, escrevemos:

%

(

"

"

( ( ( ( ( ( (

"

%

%

)

(


31/42


Como "

# $

(

"

"

( ( ( ( ( ( (

"

%

%

) ; ento, "

# $

" e

"

# $

c pois,

mpar. Logo, existem C

tais que CI

e

D

I

. contnua no intervalo

c

;pelo corolrio, existe # @

c

tal que # I

. Se

par, a concluso falsa. O polinmio

$ "

no possui razes reais.

Exemplo 3.21.

[1] A equao T

"

I

possuib

razes reais distintas.

De fato, a funo T

"

contnua em 5 ; logo, contnua em qualquer intervalofechado. Como

b

W

, existe #

@

b

c

tal que #

I

. Como I

, existe #

@

I

c tal que #

I

. Como

, existe #

@ c

tal que #

I

.

12 1 2

2

Figura 3.30: Exemplo [1]

[2] A equao

#

" "

0

#

I

I

possui pelo menosT

razes reais distintas

no intervalo

c

.

De fato, a funo contnua em

c

e

I

(

b

,

I

(P

I

(

I

R

,

I

I

(

I

P

, I(

P

I

(

b

e

V ( P R

; logo: I

(P

C

I

, existe #

@ c

I

(P

tal que #

I

.Se

I

(P

I

C

I

, existe #

@

I

(P

c

I

tal que #

I

. Se I

I

(P

C

I

; ento, existe#

@

I

c

I

(P

tal que #

I

. Se I

(P

C

I

; ento, existe # @ I

(P

c

tal que # I

.

1 1 2

Figura 3.31: Exemplo [2]

[3] A funo

#

, atinge o valor

no intervalo

I

c .

Considere a funo

;

funo contnua no intervalo

I

c e

I

%

"

W

V


32/42


logo, existe #

@

I

c tal que

#

I

, isto , #

.

1

0.5

Figura 3.32:

O seguinte algoritmo serve para determinar aproximadamente as razes de uma equao, uti-

lizando o corolrio:i) Seja contnua em

c

. Se

C

I

, ento, existe pelo menos um # @ c

tal que

#

I

.

ii) Considere 1

"

; se 1

I

, achamos a raiz. Caso contrrio, 1

C

I

ou

1

C

I

.

iii) Se 1

C

I

, ento, I

tem soluo em

c

1

. Considere 1

"

1

; se

1

I

, achamos a raiz. Caso contrrio 1

C

I

ou 1

1

C

I

.

iv) Se 1

1

C

I

, ento, I

tem soluo em

1

c

1

; seja 1

1

"

1

, se

1

I

, achamos a raiz. Caso contrrio

1

1

C

I

ou

1

1

C

I

.Continuando obtemos 1

%

tal que f # 1%

f menor que a metade do comprimento doltimo intervalo.

Exemplo 3.22.

No exemplo [1] temos T

"

.

i)

C

I

; seja 1

, como 1

I

e 1

C

I

, ento, procuramos a soluono intervalo

1

c

; seja 1

.

ii) Como 1

I

e 1

1

C

I

, ento, procuramos a soluo no intervalo

1

c

1

;

seja1

1

"

1

b

V

. Assim, continuando podemos, por exemplo, obter1

R T T P

W b V T

(Q W R P

I

X

no intervalo

(Q W R P

I

T

c

(Q W R P

R

e tal que 1

I

(

II I I

X V

.

3.9 Exerccios

1. Calcule os seguintes limites usando tabelas:


33/42

3.9. EXERCCIOS 131

(a) "

# $

b

V

(b) "

# $

b

(c)

"

# $

(d) "

# $

P

"

"

b

(e) "

# $

"

(f) "

# $

"

P

T

(g) "

# $

(

#

II I

)

(h) "

# $

T

(i) "

# $

"

(j) "

# $

#

"

(k) "

# $

b

#

" "

(l) "

# $

2. Determine

tal que:

(a) "

# $

b

P

"

b

b

(b)

"

# $

P

"

W

I

(c) "

# $

P

b

"

(d)

"

# $

"

3. Verifique se so corretas as seguintes afirmaes:

(a)

"

W

"

b

(b) "

# $

"

W

"

# $

"

b

4. Calcule os seguintes limites:

(a)

"

# $

T

"

X

"

R

b

"

"

(b) "

# $

"

b

X

W

(c) "

# $

X

b

(d) "

# $

b

"

(e) "

# $

"

"

(f) "

# $

"

I

(g) "

# $

(h) "

$

"

(i) "

# $

b

T

"

(j) "

# $

V

(k)

"

# $

"

W

"

b

"

b

(l) "

# $

X

"

P

"

T

b

(m) "

# $

"

T

(n) "

# $

b

TX

(o) "

# $

"

"

"

(p) "

# $

"

(q) "

# $

"

"

(r) "

# $

#

0

4 "

(s) "

# $


34/42


(t) "

# $

"

(u)

"

# $

"

P

R

(v) "

# $

"

V

"

5. Calcule os seguintes limites laterais:

"

# $

#

0

"

# $

#

0

#

"

# $

6. Verifique se os seguintes limites existem:

(a) "

# $

f

f

(b)

"

# $

f

b

f

(c) "

# $

b

"

(d) "

# $

W

"

W

P

P

(e) "

# $

"

b

T

"

T

b

(f) "

# $

V

(g)

"

# $

#

0

(h) "

# $

#

0

(i) "

# $

(j) "

# $

7. Calcule os seguintes limites no infinito:

(a) "

# $

"

P

"

"

P

"

b

(b) "

# $

b

"

b

"

T

(c) "

# $

"

b

b

"7 "

(d) "

# $

"

b

"

(e) "

# $

"

b

"

(f)

"

# $

"

b

"

(g) "

# $

"

"

b

(h) "

# $

"

(i) "

# $

"

b

(j) "

# $

"

"7 "

(k)

"

# $

"

"

b

(l) "

# $

"

"

(m) "

# $

" "

"

(n) "

# $

"

(o) "

# $

"

P

(p) "

# $

(q) "

# $

"

b

"

(r) "

# $

"

V

"

(s) "

# $

T

T

"

b


35/42

3.9. EXERCCIOS 133

(t) "

# $

b

"7 "

P

(u) "

# $

"

"

"

"

(v) "

# $

"

"

"

"

(w) "

# $

"

"

(x) "

# $

W

R

"

b

8. Calcule os seguintes limites infinitos:

(a) "

# $

"

b

"

" "

(b) "

# $

"

b

T

(c)

"

# $

"

(d) "

# $

P

T

"

(e) "

# $

P

W

"

W

"7 "

(f) "

# $

(g) "

# $

P

b

(h) "

# $

"

(i) "

# $

"

b

(j) "

# $

"

b

(k)

"

# $

b

W

"

X

(l) "

# $

T

T

"

T

(m) "

# $

(n) "

# $

(o) "

# $

f

f

(p) "

# $

(q) "

# $

(r) "

# $

f

f

(s) "

# $

T

X

(t) "

# $

(u) "

# $

(v) "

# $

P

b

9. Se b

P

e

b

, calcule:

(a) "

# $

"

(b) "

# $

(c) "

# $

(d) "

# $

(

)

(e)

"

# $

(

)

(f) "

# $

(g) "

# $

(h) "

# $

(i) "

# $

(j)

"

# $

f

f

(k) "

# $

#

0

(

)

(l) "

# $

(

)

(m) "

# $

(

)

(n)

"

# $

#

0

(

)

10. Calcule os seguintes limites:

(a) "

# $

b

(b) "

# $

(c) "

# $

b

T

(d) "

# $


36/42


(e) "

# $

(f) "

# $

(g) "

# $

"

(h) "

# $

"

#

(i) "

# $

(

"

)

#

(j) "

# $

"

(k) "

# $

#

(l)

"

# $

#

(m) "

# $

P

#

(n) "

# $

b

#

(o) "

# $

#

& #

c

c

I

(p) "

# $

#

0

(q) "

# $

#

(r) "

# $

T

#

(s)

"

# $

#

11. Calcule "

# $

e "

$

"

, se:

(a) c

(b) " c

(c) b

c

I

(d) f f c

(e)

c

(f) $ c

(g) # 0

c

(h) b

c

(i)

c

(j)

#

c

I

12. Se f f

f

f

, para todo c @ 5 , verifique que: "

# $

I

.

13. Verifique que "

# $

"

(

14. No problema 51 do captulo II, foi visto que o custo para remover de resduos txicos

num aterro dado por

I

(V

II

,I

C C

II

.

(a) Calcule "

# $

.

(b) Interprete o resultado obtido.

15. Suponha que

II I

reais so investidos a uma taxa de juros anual deW

e os juros socapitalizados continuamente.

(a) Qual o saldo ao final de I

anos? E deP

I

anos?


37/42

3.9. EXERCCIOS 135

(b) Que quantia deveria ser investida hoje a uma taxa anual deR

de juros capitalizadoscontinuamente, de modo a se transformar, daqui a 20 anos, em

II I I

reais?

16. Durante uma epidemia de dengue, o nmero de pessoas que adoeceram, num certo bair-ro, aps dias dado por

II I I I

"

XX

II

.

(a) Determine a quantidade mxima de indivduos atingidos pela doena.

(b) Esboce o grfico de

.

17. Esboce o grfico das seguintes funes:

(a)

"

(b)

"

(c)

"

(d)

"

(e)

b

"

"

(f)

b

"

18. Use a continuidade da funo para calcular os seguintes limites:

(a) "

# $

#

0

"

(b) "

# $

"

"

(c) "

# $

(d) "

# $

#

(e) "

# $

"

#

0

"

(f) "

# $

(

#

0

"

"

)

19. Verifique se as seguintes funes so contnuas:

#

0

#

"

f

f

#

"

"

se

se D

T

se

T

se

Esboce os grficos correspondentes.


38/42


20. Seja " . Verifique que:

f

f

I

f

f seI

b

contnua em

.

21. Determine o valor de

para que as seguintes funes sejam contnuas nos pontos dados:

se I

se

I

, no ponto I

.

X

b

se b

se

b

, no ponto b

.

#

"

se

se C

, no ponto .

Tb

#

se CI

" se

I

, no ponto I

.

#

se I

se

I

, no ponto I

.

T

"

se

X

se D , no ponto .

22. Verifique se as seguintes funes so contnuas.

I

I

I

f

P

"

W

f

P

"

W

c

b

X

b

#

C

%

"

D

P

"

b

W

P

C C

b

b

b

#

#

"

"

b

C

I

"

D

I

23. Determine em que pontos as seguintes funes so contnuas:


39/42

3.9. EXERCCIOS 137

(a) #

(

#

0

"

"

"

)

(b)

#

0

"

T

(c)

"

"

#

"

(d) "

"

#

(e)

#

"

%

#

"

"

W

#

"

(f) #

0

24. Verifique se as seguintes equaes admitem, pelo menos, uma raiz real:

(a) " T

P

I

(b) # 0

I

(c)

"

I

(d)

#

"

I

(e) "7 I

(f) " " I

25. Seja

(

) , I

. Como escolher o valor de I

, para que a funo sejacontnua em

I

?

26. Sendo #

(

) ,

, possvel escolher o valor de

tal que a funo

seja contnua em

?

27. Determine I

de modo que as seguintes funes sejam contnuas em I

:

(a) #

0

; (b)

"

;

c) # 0

.

28. A funo sinal de definida por:

se DI

I

se I

se CI

(

Verifique se

e

so funes contnuas.

29. D um exemplo de duas funes descontnuas cuja soma seja contnua.

30. Verifique que a equao tem uma infinidade de razes reais.

31. Seja

T

"

b

. A funo atinge o valor Rb

no intervalo

c

? Justifiquesua resposta.


40/42


32. Uma esfera oca de raio

est carregada com uma unidade de eletricidade esttica. Aintensidade de um campo eltrico

num ponto

localizado a unidades do centro

da esfera determinada pela funo:

I

seI

C C

b

se

se D

(

Verifique se a funo

contnua. Esboce o grfico de

.

33. A funo de Heaviside utilizada no estudo de circuitos eltricos para representar osurgimento de corrente eltrica ou de voltagem, quando uma chave instantaneamenteligada e, definida por:

I

se CI

se I

(a) Discuta a contnuidade de

" e de

. Esboce os respec-

tivos grficos em

P

c

P

.

(b) A funo

#

( # DI

) chamada rampa e representa o crescimento gradualna voltagem ou corrente num circuito eltrico. Discuta a continuidade de

e esboce seugrfico para # c

c

b

.

(c) Verifique que

#

.

(d) Se

seI

C#

se #, verifique que

"

.

34. A acelerao devida a gravidade

varia com a altitude em relao superfcie terreste.

funo de (a distncia ao centro da terra) e, dada por:

se C

se

c

onde

o raio da terra,

a massa da terra e

a constante gravitacional. Verifique se

contnua. Esboce o grfico de

.

35. Seja

I

c

I

c contnua. Verifique que existe @

I

c tal que .

36. Sejam c

c

5 contnuas tais que C

e

D

. Verifique que existe

@

c

tal que

.


41/42

3.9. EXERCCIOS 139

37. A populao (em milhares) de uma colnia de bactrias, minutos aps a introduo deuma toxina dada pela funo:

"

R se C

P

V

"

R

seP

(

Explique por que a populao deve ser de 10000 bactrias em algum momento entre

e R

.

38. Verifique que a funo 5 5 definida por #

"

b

assume o valor

.


42/42


apostila matemática cálculo cefet capítulo 03 limites

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