UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIS & UNIVERSIDADE CATLICA DE GOIS ESCOLA DE ENGENHARIA ELTRICA E DE COMPUTAO

INTRODUO AO PROGRAMA "MATLAB" COM APLICAES

Material elaborado por:

Prof. Dr. Antnio Csar Baleeiro Alves (UCG/UFG) Prof. Dr. Enes Gonalves Marra (UFG) Prof. Dr. Jos Wilson Lima Nerys (UFG)

Goinia GO 2007

2

SUMRIO

1 INTRODUO 5

2 UTILIZANDO O MATLAB 9

2.1 INICIAR O PROGRAMA 9 2.2 PASTA DE TRABALHO 10 2.3 TELA DA LINHA DE COMANDO DO MATLAB 11 2.4 CRIAO DE ARQUIVOS NO MATLAB 11 2.5 LIMITAES DO MATLAB 13

3 OPERADORES, CONSTANTES E CARACTERES ESPECIAIS 14

3.1 OPERADORES ARITMTICOS 14 3.2 CARACTERES ESPECIAIS 16 3.3 OPERADORES LGICOS 18 3.4 OPERADORES RELACIONAIS 19 3.5 CONSTANTES OU VARIVEIS 19 3.5.1 INF 20 3.5.2 NAN 20 3.5.3 IEEE 20 3.6 RECURSOS DE APOIO DA TELA DE COMANDO DO MATLAB 20 3.6.1 MENU FILE 20 3.6.2 MENU EDIT 21

4 COMANDOS DE PROPSITO GERAL 22

4.1 COMANDOS DE INFORMAO 22 4.2 COMANDOS DE OPERAO COM A MEMRIA DA REA DE TRABALHO (WORKSPACE) 23 4.3 COMANDOS DE OPERAO COM FUNES E COMANDOS 24 4.4 COMANDOS DE OPERAO COM O CAMINHO DE DIRETRIOS 25 4.5 COMANDOS DE OPERAO COM A JANELA DE COMANDO 26 4.6 COMANDOS DE OPERAO COM O SISTEMA OPERACIONAL 27

5 COMANDOS BSICOS PARA MANIPULAO DE MATRIZES 29

6 FUNES MATEMTICAS ELEMENTARES 32

3

7 COMANDOS DE CONTROLE GRFICO 36

7.1 GRFICOS BIDIMENSIONAIS 36 7.2 GRFICOS TRIDIMENSIONAIS 38

8 OUTROS COMANDOS 39

8.1 FUNES LGICAS 39 8.2 FUNES DE CONTROLE DE FLUXO DE PROGRAMAO 40 8.3 FUNES DE CONTROLE DE BAIXO NVEL 44 8.4 FUNES ESPECIALIZADAS: MATEMTICAS, MATRICIAIS, LGEBRA LINEAR 45 8.5 FUNES DE INTEGRAO, INTERPOLAO E TRATAMENTO DE DADOS 45 8.6 FUNES DE CONTROLE DE CORES, IMAGENS E CARACTERES 45

9 PROGRAMANDO EM ARQUIVOS .M 46

9.1 EXEMPLOS DE APLICAO DE PROGRAMA '.M' 46

10 MATEMTICA SIMBLICA 51

10.1 USO DA MATEMTICA SIMBLICA 56 10.2 GRFICOS EM DUAS DIMENSES 57 10.3 GRFICOS EM TRS DIMENSES 58

11 SIMULINK 60

12 EXERCCIOS RESOLVIDOS 69

13 EXERCCIOS PROPOSTOS 78

14 BIBLIOGRAFIA 81

4

5

1 INTRODUO

O MATLAB (abreviatura de Matrix Laboratory) um programa para desenvolvimento e implementao de algoritmos numricos ou simblicos que oferece ao usurio um ambiente interativo de programao para estudo e pesquisa nas diversas reas das cincias exatas.

Esse sistema comporta os recursos de linguagem procedural de programao assemelhados aos do FORTRAN, ANSI C e do Pascal, alm de capacidade grfica e a possibilidade de operar com instrues simblicas. Um dos aspectos mais poderosos o fato da linguagem MATLAB permitir construir suas prprias ferramentas reutilizveis. Isto feito atravs da escrita de suas prprias funes e programas especiais conhecidos como arquivos .m.

A primeira verso do MATLAB foi escrita nas Universidades do Novo Mxico e Stanford, na dcada de 1970, e destinava-se a cursos de teoria matricial, lgebra linear e anlise numrica. Os pacotes para manipulao de sub-rotinas em FORTRAN, denominados LINPACK e EISPACK, foram os precursores do MATLAB. O MATLAB tem evoludo continuamente, com a contribuio e sugestes de inmeros usurios. No meio universitrio, o MATLAB tornou-se quase que uma ferramenta padro em cursos introdutrios e avanados de lgebra Aplicada, Processamento de Sinais, Sistemas de Controle, Estatstica e inmeras outras reas do conhecimento. O MATLAB contempla ainda uma grande famlia de aplicaes especficas, as quais so denominadas Toolboxes (caixas de ferramentas), como ilustrado na Fig. 1.1. Estes Toolboxes so conjuntos abrangentes de funes MATLAB cujo objetivo resolver problemas de reas especficas, tais como: Processamento de Sinais, Projeto de Sistemas de Controle, Simulao Dinmica de Sistemas, Identificao de Sistemas, Redes Neuronais, Lgica Fuzzy (nebulosa ou difusa), Otimizao de Sistemas, Wavelets, Clculo Simblico, e outras reas. Os usos tpicos incluem:

Clculos matemticos; Desenvolvimento de algoritmos; Modelagem, simulao e confeco de prottipos; Anlise, explorao e visualizao de dados; Grficos cientficos e de engenharia;

6

Desenvolvimento de aplicaes, incluindo a elaborao de interfaces grficas com o usurio

Fig. 1.1: Diagrama de Blocos do MATLAB

A Fig. 1.1 ilustra alguns componentes do sistema MATLAB. Cabe ressaltar, entretanto, que vrios Toolboxes esto disponveis e a cada nova verso do MATLAB novos Toolboxes so adicionados, incluindo as contribuies de usurios espalhados pelo mundo. O SIMULINK um acessrio que possui bibliotecas adicionais de blocos para aplicaes especiais como comunicaes e simulaes de circuitos eltricos e eletrnicos. O MATLAB disponibilizado para praticamente todos os sistemas operacionais atualmente em uso: Macintosh, Windows 95 e NT, Linux, UNIX da Sun, IBM e Open VMS.

A empresa MathWorks quem negocia/distribui o MATLAB. Seus endereos so:

Internet: http://www.mathworks.com Telefone (ligao para os EUA): 00-1-508-647-7000

Toolbox

Toolbox

SIMULINK

Biblioteca numrica

Linguagem de programao

Depurador Editor de textos

7

Para um contato com vistas ao uso do programa na rea educacional, tente o endereo:

A necessidade de utilizar um sistema de computao numrica, e a familiarizao com os comandos e as funes do MATLAB vo gradualmente aumentando o potencial de quem programa em MATLAB. No entanto, a bibliografia existente pode ser de grande auxlio. Parte desta bibliografia editada pela The MathWorks, como por exemplo:

MATLAB Users Guide (Guia do usurio do MATLAB); MATLAB Reference Guide (Guia de referncia do MATLAB); External Interface Guide (Guia de comunicao externa); Installation Guide (Guia de Instalao); SIMULINK Users Guide (Guia do usurio do SIMULINK); Online Help (Sistema de auxlio do programa MATLAB).

Inmeras outras referncias podem ser encontradas para o MATLAB, para isto basta procurar nas diversas editoras disponveis no mercado. Algumas destas referncias (em portugus) para a rea de controle podem ser:

Katsuhiko Ogata, Soluo de Problemas de Engenharia de Controle com MATLAB. Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1997, 330p.

Katsuhiko Ogata, Projeto de Sistemas Lineares com MATLAB. Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1996, 202p.

Na internet existem diversas listas de discusso a respeito do MATLAB. Inscrever-se em uma destas lista pode ser uma boa fonte de informao a respeito do MATLAB. Na pgina da The MathWorks Inc. possvel obter informao sobre

The MathWorks, Inc. University Sales Department

24 Prime Park Way Natick, Massachusetts 01760-1500

Telefone: 00-1-508-647-7000 E-mail: info@mathworks.com

8

algumas destas listas, bem como sobre o prprio MATLAB. O endereo desta pgina : http://www.mathworks.com.

Os endereos eletrnicos a seguir podem ser tambm utilizados para saber mais sobre o MATLAB:

Perguntas tcnicas: tech@mathworks.com Sugestes de melhoria: suggest@mathworks.com Bug (erros) do MATLAB: bugs@mathworks.com Erros nos manuais: doc@mathworks.com Registro de produto (aps a compra): register@mathoworks.com Renovao de licena: service@mathworks.com Compra, cotao e informaes comerciais: info@mathworks.com

9

2 UTILIZANDO O MATLAB

O programa MATLAB pode ser executado em diversos sistemas operacionais, tais como: MS-DOS; Windows-95 ou superior; Unix; Linux; VAX/VMS; Solaris; X-Window System; Macintosh; e outros. Este curso est preparado para ser ministrado no sistema MS-DOS/Windows3.1x ou superior. No entanto, apenas o incio do programa e as funes de baixo nvel so afetados pelo tipo de mquina e sistema operacional utilizados.

2.1 Iniciar o Programa

O programa MATLAB pode ser iniciado com um duplo clique no cone do MATLAB na rea de trabalho do windows (desktop), conforme indica a Fig. 2.1.

Fig. 2.1: cone do MATLAB.

Outra forma de iniciar o MATLAB atravs do menu INICIAR do Windows95 ou superior. Seleciona-se: INICIAR / PROGRAMA / MATLAB. Os arquivos executveis do MATLAB esto no diretrio de instalao do MATLAB, no subdiretrio BIN. O programa MATLAB iniciado quando o arquivo MATLAB.exe, do subdiretrio BIN executado. Ao iniciar, o MATLAB invoca o arquivo MATLABrc, o qual o arquivo de configurao inicial do MATLAB. Este arquivo pode estar no subdiretrio BIN, ou no subdiretrio LOCAL, ou ainda no subdiretrio ...\TOOLBOX\LOCAL. Isto depender da verso do MATLAB utilizada, ou da forma como o programa foi instalado. Durante o processo de incio do programa, o arquivo MATLABrc estabelece o tamanho padro de figuras, configuraes, caminhos e parmetros de controle do MATLAB. Neste

10

arquivo pode-se incluir mensagens para os usurios, lembretes, ajustar configuraes, etc.

Ao ser executado, o arquivo MATLABrc verifica se existe um arquivo denominado startup.m no caminho padro do MATLAB. Este arquivo startup.m pode ser empregado pelo usurio para configurar um caminho de sua preferncia e executar comandos de sua escolha, sempre que o programa MATLAB for iniciado. Todos os arquivos de comando do MATLAB (arquivos que contm comandos) tm extenso m. Portanto, daqui por diante as referncias aos arquivos do MATLAB sero feitas apenas pelo nome, fica implcito que a extenso sempre ser m.

Todos os arquivos de comando do MATLAB tm extenso m

Uma sesso do programa MATLAB pode ser terminada com o comando quit; com as teclas de atalho ctrl+q; selecionando-se a opo Exit MATLAB (Sair do MATLAB) no menu File (Arquivo); ou ainda, clicando-se no boto fechar na tela da rea de trabalho do MATLAB.

Boto fechar do MATLAB:

2.2 Pasta de Trabalho

Uma boa prtica de utilizao do MATLAB manter todos os arquivos criados pelo usurio em uma pasta (ou diretrio) prprio do usurio. Caso esta prtica no seja adotada todos os arquivos criados sero armazenados no diretrio BIN do diretrio de instalao do MATLAB. Com o passar do tempo, medida em que aumentam os arquivos criados pelos usurios, torna-se impossvel identificar-se quais arquivos so prprios do MATLAB, e quais arquivos so arquivos do usurio. Isto pode ser ainda mais prejudicial no caso de utilizao do MATLAB em ambientes de rede LAN. Nestes casos, a desordem causada nos arquivos do diretrio BIN pode requerer at mesmo uma nova instalao do programa. Recomenda-se que o usurio crie a sua prpria pasta de trabalho, fora da pasta de instalao do MATLAB (por exemplo, c:\fulano\MATLAB\). Ao iniciar o MATLAB, o usurio poder redefinir a sua pasta de trabalho com o comando cd.

11

cd Propsito: muda o diretrio de trabalho Sintaxe: cd ou cd nome_do_diretorio Descrio: cd isoladamente imprime o caminho do diretrio de trabalho na tela; cd diretrio define a cadeia de caracteres (string) nome_do_diretorio como o novo diretrio de trabalho. cd .. sobe um nvel na hierarquia da cadeia de diretrios (pasta) Exemplo: cd c:\usuario\marisa\matab.

Se o comando cd for parte integrante do arquivo startup, toda vez que o MATLAB for iniciado o diretrio de trabalho ser redefinido conforme a preferncia do usurio.

2.3 Tela da Linha de Comando do MATLAB

A tela da linha de comando do MATLAB (ou workspace) a tela na qual o usurio recebe o sinal de pronto (prompt) do sistema MATLAB, podendo executar comandos MATLAB, escrevendo-os na linha de comando (ou command line).

Na tela da linha de comando, o usurio fornece dados aos comandos do MATLAB, executa comandos, recebe os dados de sada do programa MATLAB, controla o fluxo de dados, inicia o modo de edio de arquivos, executa comandos grficos, ou seja, interage com o programa MATLAB. Ao criar funes, comandos e variveis no programa MATLAB importante estar atento para o fato de que este programa sensvel a caracteres maisculos e minsculos, portanto a varivel xqualquer diferente da varivel Xqualquer para o MATLAB.

O programa MATLAB sensvel a caracteres maisculos e minsculos

2.4 Criao de Arquivos no MATLAB

Existem basicamente duas formas de trabalhar no sistema MATLAB: 1) executando-se comando na linha de comando; ou 2) criando-se um arquivo de comandos do MATLAB.

12

Para trabalhar na linha de comando do MATLAB basta digitar qualquer comando vlido do MATLAB na linha de comando. Assim, possvel criar variveis, executar comandos, visualizar grficos, etc.

Muitas vezes necessrio executar um nmero grande de comandos, e repeti-los sistematicamente. Nestes casos, utilizam-se os arquivos de lote, ou arquivos de comandos MATLAB. Conforme j citada anteriormente, a extenso de arquivos de comando do MATLAB m. O MATLAB busca primeiramente o arquivo de comandos no seu diretrio de trabalho (pasta) e posteriormente no seu caminho (path). Portanto, necessrio que o arquivos MATLAB esteja no diretrio de trabalho ou no caminho do MATLAB.

Os arquivos de comando do MATLAB devem estar no diretrio de trabalho ou no caminho (path) para serem reconhecidos e executados

Os arquivos do MATLAB podem ser criados atravs de qualquer editor que salva textos no formato ASCII (por exemplo bloco de notas, notepad, write, word, etc). Uma vez editados os arquivos devem ser gravados com extenso m antes de serem executados.

Os arquivos MATLAB podem ser abertos ou criados atravs da opo arquivo (file), escolhendo-se a opo novo (new) ou abrir (open), conforme indicado na Fig. 2.2.

Fig. 2.2: Criao de arquivos de comandos no MATLAB.

13

O MATLAB j possui uma pr-definio de qual o editor ASCII a ser utilizado na edio do arquivo de comandos. Esta pr-definio pode se modificada pelo prprio usurio do programa. As verses mais recentes do MATLAB j possuem um editor ASCII prprio do MATALAB, desenvolvido pela The MathWorks Inc.

Exerccio sugerido: criar um arquivo de comando denominado caminho.m que estabelece o diretrio de trabalho do MATLAB.

2.5 Limitaes do MATLAB

As principais limitaes do programa MATLAB so: 1) a execuo de algoritmos em MATLAB mais lenta que em linguagens de programao (C, Fortran, LISP, etc); 2) alguns procedimentos grficos e de interao com o usurio so restritos aos comandos do MATLAB; 3) no possvel gerar arquivos executveis com o MATLAB, ou seja, um arquivo MATLAB s poder ser executado no ambiente MATALAB; e 4) o MATLAB limitado para processamento de expresses matemticas analticas.

Os principais concorrentes do MATLAB no mercado so o MATHEMATICA, o MATCAD e o MAPLE. Alguns destes programas apresentam melhor capacidade de processamento matemtico analtico que o MATLAB, notadamente o MATCAD e o MATHEMATICA.

um arquivo MATLAB s poder ser executado no ambiente MATLAB

14

3 OPERADORES, CONSTANTES E CARACTERES ESPECIAIS

3.1 Operadores aritmticos

Operador + Propsito: executar soma de matrizes ou escalares. Sintaxe: v1+v2 ou plus(v1,v2). Descrio: Invoca a funo PLUS. Caso seja soma de matrizes, as dimenses das matrizes devem ser iguais. Escalares podem ser somados com qualquer tipo de varivel. Exemplos: a+b; plus(a,b); a+2.

Operador - Propsito: executar subtrao de matrizes ou escalares. Sintaxe: v1-v2 ou minus(v1,v2). Descrio: Invoca a funo minus. Caso seja subtrao de matrizes, as dimenses das matrizes devem ser iguais. Escalares podem ser subtrados de qualquer tipo de varivel. Exemplos: a-b; minus(a,b); a-2.

Operador * Propsito: executar soma de matrizes ou escalares. Sintaxe: v1*v2 ou mtimes(v1,v2). Descrio: Invoca a funo mtimes. Caso seja multiplicao de matrizes, o nmero de colunas da matriz v1 deve ser igual ao nmero de linhas da matriz v2. Escalares podem multiplicar qualquer tipo de varivel. Exemplos: a*b (neste caso, o nmero de colunas de a igual ao nmero de linhas de b); mtimes(a,b); a*2.

Operador ^ (circunflexo) Propsito: executar potenciao de matrizes quadradas com expoente escalar ou de de escalares com matriz quadrada no expoente. Sintaxe: v1^v2 ou mpower(v1,v2).

15

Descrio: Invoca a funo mpower. Caso v1 seja matriz quadrada e v2 seja um inteiro, realizada a multiplicao sucessiva das matrizes. Caso v1 seja matriz e v2 seja um real, ou ainda se v1 um escalar e v2 uma matriz, realizado o clculo atravs dos autovalores e dos autovetores da matriz. Se v1 e v2 forem ambos matrizes, ou ainda se v1 ou v2 forem matrizes no quadradas, ento haver erro. Exemplos: a^b ou mpower(a,b) (neste caso, a escalar e b matriz quadrada; ou a matriz quadrada e b escalar; ou a e b so escalares).

Operador / Propsito: executar diviso de escalares ou a multiplicao de uma matriz inversa por outra matriz (importante: na matemtica no existe diviso de matrizes). a chamada diviso direita. Sintaxe: v1/v2 ou mrdivide(v1,v2). Descrio: Invoca a funo mrdivide. Esta operao equivalente a v1*v2-1 (sendo v2-1 a matriz inversa da matriz v2). Para que esta operao seja possvel necessrio que v2 seja inversvel, ou seja, matriz no-singular (matriz quadrada com determinante no-nulo). Exemplos: a/b ou mrdivide(a,b).

Operador \ Propsito: executar diviso de escalares ou a multiplicao de uma matriz inversa por outra matriz. a chamada diviso esquerda. Sintaxe: v1\v2 ou mldivide(v1,v2) Descrio: Invoca a funo mldivide. Esta operao equivalente a v1-1* (sendo v1-1 a matriz inversa da matriz v1). Para que esta operao seja possvel necessrio que v1 seja inversvel, ou seja, matriz no-singular (matriz quadrada com determinante no-nulo). Observe que na lgebra matricial a multiplicao no comutativa, ou seja a*b diferente de b*a, portanto a/b equivale a a*b-1, que por sua vez diferente de b\a, equivalente a b-1*a.

O operador \ executa a fatorao QR da matriz A ao resolver o sistema bAx = , para A de ordem nm , para m no necessariamente igual a n .

16

Exemplos: a\b ou mldivide(a,b).

Na matemtica no existe operao de diviso com matrizes. Os operadores / e \ so apenas smbolos.

A multiplicao na lgebra matricial no comutativa, ou seja, a*b diferente de b*a.

Operador Propsito: executar a transposio de matrizes ou a declarao de uma cadeia de caracteres (string). Sintaxe: v1 ou v2=bom dia Descrio: v1 produz a matriz v1*T (matriz transposta conjugada da matriz v1, troca de linhas por colunas dos conjugados dos nmeros complexos da matriz v1). v2=bom dia cria uma varivel do tipo string, onde cada caractere ocupa 2 bytes na memria. Exemplos: a*b ou salutation=Hello!.

Cada caractere ocupa 2 bytes de memria RAM nas variveis tipo string. Cada varivel real (float) ou inteira ocupa 8 bytes de memria. Em uma matriz de strings, a rea de memria ocupada em bytes, 2 vezes, o nmero de caracteres. Em uma matriz de reais ou inteiros, a rea de memria ocupada, em bytes, 8 vezes o nmero de elementos da matriz.

3.2 Caracteres Especiais

caracter .

Propsito: executar operaes elemento-a-elemento (operaes algbricas escalares (/,\,^,*,), no-matriciais); indexar campos em estruturas; ou ponto decimal. Sintaxe: a.*a; a./b; c.\f; x.^2; x.^y para operaes algbricas; ou est.campo Descrio: a.*b multiplica o elemento a(i,j) pelo elemento b(i,j). a..

17

v1.opv2 executa a operao op de cada elemento de v1 com seu elemento correspondente em v2. No caso de operao entre matrizes, as matrizes devem possuir exatamente as mesmas dimenses. A operao com escalar pode ser realizada com matriz de qualquer dimenso. a. a matriz transposta no conjugada da matriz a. est.camp seleciona o campo camp da estrutura est. Exemplos: 2.^x diferente de 2^x; x.*x diferente de x*x. auto.peujeot seleciona o campo peujeot da estrutura auto.

O caractere . produz a operao elemento-a-elemento entre matrizes com exatamente a mesma dimenso ou entre escalares e matrizes.

caracter :

Propsito: Criar varredura limitada pelos nmeros direita e esquerda de :. Sintaxe: j:k; j:d:k. Descrio: j:k o mesmo que [j j+1 j+2 ... k], j:k vazio se k

18

caracter ! Propsito: invoca comando do sistema operacional. Exemplos: ! mkdir novo.

caracter % Propsito: torna o texto direta de % um comentrio. Exemplos: x=[1 2 3; 4.5 6 7.5]; %cria matriz x.

caracteres ..

Propsito: representa o primeiro diretrio na hierarquia de diretrios. Exemplos: cd .. sobe um diretrio na hierarquia.

caracteres ... (trs ou mais pontos) Propsito: representa continuao de linha. Exemplos: a=2+... 3 o mesmo que a=2+3.

caracteres ( ) Propsito: indicam precedncia em operaes matemticas ou indexam matrizes. Exemplos: (a+b)^c, a soma realizada antes da potenciao; x(3) o terceiro elemento do vetor x; x([1 2 3]) so os trs primeiros elementos do vetor x.

caracter { } Propsito: so utilizadas para formar estruturas (conjunto de clulas), onde cada clula pode ser outra estrutura, uma matriz ou uma string. Funciona como os [ ], porm seus elementos podem ser outras matrizes. Podem tambm ser utilizadas para indexar estruturas e dar acesso aos seus campos. Exemplo: l={isto uma matriz linha: [1 2 24]}, l uma estrutura com 5 campos.

3.3 Operadores Lgicos

caracteres & | ~

19

Propsito: realizam as operaes lgicas e, ou e negao com os operadores &, | e ~, respectivamente. Sintaxe: a&b; A|c; ~d; os operandos a,b,c,d,A podem ser nmeros reais (float), complexos (utiliza o mdulo) ou strings (utiliza o valor da tabela ASCII). No MATLAB, 0 considerado falso, e qualquer outro valor no-nulo verdadeiro. O resultado destas operaes ser verdadeiro (1) ou falso (0). Exemplos: 5&-3 resulta em 1; ~10 resulta em 0; alfa|0 resulta em [1 1 1 1].

3.4 Operadores relacionais

caracteres < >= == ~=

Propsito: realizam as operaes de comparao de valores lgicos do tipo menor, menor igual, maior, maior igual, igual e diferente com os operadores < >= == ~=, respectivamente. O resultado um valor lgico verdadeiro (1) ou falso (0). Sintaxe: v1opv2 testa o valor lgico v1 em relao ao valor lgico v2, com a operao relacional op. Exemplos: 3=b verifica se a maior ou igual a b, resultando verdadeiro (1) ou falso (0).

3.5 Constantes ou Variveis

Alguns caracteres so constantes definidos pelo MATALAB. Estes valores podem ser alterados temporariamente atravs de atribuio. Constante pi Definio: a constante pi (3,1416...)

Constantes i e j Propsito: caracteres reservados com a unidade imaginria 1 . Sintaxe: nmero seguido de i ou j, ou multiplicado por i ou j. Exemplos: 5+3i ou 5+3*i; 5+3j ou 5+ 3*j.

ans

20

Definio: uma varivel cujo valor o resultado da ltima operao aritmtica realizada pelo MATLAB. Operaes de atribuio no so armazenadas em ans. Abreviatura para answer.

3.5.1 Inf

Definio: o resultado de uma operao aritmtica cujo valor ultrapassa a maior capacidade de representao do MATALAB. Por exemplo, diviso por zero, ou 1.7977e+308^ 1.7977e+308. Abreviatura para infinite.

3.5.2 NaN

Definio: o resultado de uma operao aritmtica indeterminada. Por exemplo, 0/0 Abreviatura para Not a Number.

3.5.3 ieee

Definio: verifica se o computador em que o MATLAB est sendo executado possui aritmtica padro IEEE. Os computadores IBM-PC e compatveis, Macintosh, estaes UNIX e Linux possuem aritmtica padro IEEE. Os computadores VAX e Cray normalmente no utilizam aritmtica IEEE. A funo retorna 1 se o computador tem aritmtica IEEE; caso contrrio, retorna 0.

Examine tambm: eps; isnan; isinf; isfinite; flops.

3.6 Recursos de Apoio da Tela de Comando do MATLAB

A tela de comando do programa MATLAB apresenta uma srie de recursos que podem auxiliar o usurio. Entre estes recursos destacam-se:

3.6.1 Menu File

21

Neste Menu possvel abrir um arquivo MATLAB j existente (open); iniciar um novo arquivo com extenso m (new), atravs do editor ASCII do MATLAB; executar um arquivo com comandos MATLAB (run script); imprimir arquivos e selees (print e print selection); carregar variveis de um arquivo (load workspace); salvar variveis do workspace (rea de trabalho) em um arquivo; monitorar a memria da rea de trabalho (show workspace); redefinir o caminho de diretrios do MATLAB (set path); alterar as configuraes da rea de trabalho, tais como cor de fundo, formato de variveis, etc (preferences).

3.6.2 Menu Edit

Aqui possvel cortar (cut), copiar (copy), colar (pate), limpar a tela da sesso de trabalho (clear session).

Botes de Auxlio:

1o boto da figura: Voltar - cancela a ltima alterao; 2o boto da figura: Workspace browser - monitora as variveis e a memria da rea de

trabalho; 3o boto da figura: Path browser - monitora e redefine os diretrios do caminho do

MATLAB; 4o boto da figura: SIMULINK - invoca o programa SIMULINK; 5o Ajuda em tempo real - fornece auxlio para todos os comandos do MATLAB (invoca

a funo helpwin).

A ordem destes botes pode ser alterada pelo usurio do MATLAB.

22

4 COMANDOS DE PROPSITO GERAL

4.1 Comandos de Informao

help Propsito: Ajuda em tempo real (on-line). O texto apresentado na tela da linha de comando. Sintaxe: help nome-da-funo. Descrio: fornece informaes sobre a funo especificada pelo nome-da-funo. Exemplo: help plot.

helpwin Propsito: Ajuda em tempo real (on-line). O texto apresentado em uma janela de navegao separada. Sintaxe: helpwin. Descrio: aberta um janela com opes para escolha do nome e categoria da funo.

ver

Propsito: informa as verses do MATLAB, SIMULINK e toolboxes. Sintaxe: ver

version Propsito: informa as verses do MATLAB Sintaxe: version

demo Propsito: executa programas de demonstrao desenvolvidos em ambiente MATLAB. Sintaxe: demo.

whatsnew Propsito: Ajuda em tempo real (on-line). O texto apresentado em uma janela de navegao separada.

23

Sintaxe: whatsnew tipo-de-funo. Descrio: apresenta as atualizaes dos comandos tipo-de-funo na tela da linha de comando. Exemplo: whatsnew MATLAB; whatsnew general.

bench Propsito: executa um conjunto de funes MATLAB com a finalidade de avaliar o desempenho do processador atual utilizado em relao a outros processadores. Sintaxe: bench.

4.2 Comandos de Operao com a Memria da rea de Trabalho (workspace)

who Propsito: lista as variveis atuais. Sintaxe: who.

whos Propsito: lista as variveis atuais, suas dimenses e memria que cada uma ocupa. Sintaxe: whos.

clear Propsito: limpa completamente a memria, funo ou varivel. Sintaxe: clear; clear arg. Descrio: clear limpa toda a memria da rea de trabalho; clear arg exclui a funo ou varivel arg da memria da rea de trabalho. Exemplo: clear; clear x1.

pack Propsito: desfragmenta a memria da rea de trabalho. Descrio: pack rene todas as variveis em um segmento ou pginas adjacentes na memria RAM com a finalidade de otimizar o uso da memria. Sintaxe: pack.

24

save

Propsito: salva as variveis da memria da rea de trabalho em arquivo. Sintaxe: save fname; save fname v1 v2 ... vn. Descrio: save fname salva todas as variveis da rea de trabalho no arquivo cujo nome e caminho so descritos em fname. save fname v1 v2 ... vn salva apenas as variveis v1, v2 e vn. Exemplo: save a:\hoje; save c:\MATLAB\arq x y.

load Propsito: carrega as variveis de um arquivo para a memria da rea de trabalho. Sintaxe: load fname; load fname v1 v2 ... vn. Descrio: load fname carrega todas as variveis do arquivo cujo nome e caminho so descritos em fname para a memria da rea de trabalho. laod fname v1 v2 ... vn carrega apenas as variveis v1, v2 e vn. Exemplo: load a:\hoje; load c:\MATLAB\arq x y.

quit Propsito: encerra a sesso de trabalho do MATLAB Sintaxe: quit.

4.3 Comandos de Operao com Funes e Comandos

what Propsito: lista os nomes de arquivos de funes e comandos de um grupo especfico do MATLAB. Sintaxe: what nome; var=what(nome). Descrio: what nome lista todos os arquivos e funes do grupo descrito por nome. var=what(nome) cria uma estrutura cujos campos descrevem os diversos arquivos relacionados com o grupo definido por nome. Exemplo: what general; w=what(signal).

type Propsito: lista o contedo de um arquivo de comandos do MATLAB. Sintaxe: type arq.

25

Exemplo: type multi.m; type c:\MATLAB\marisa\xtudo.m.

edit Propsito: edita arquivo do MATLAB Sintaxe: edit; edit arq. Descrio: somente edit inicia a edio de um novo arquivo; edit arq abre a edio de um arquivo arq j existente. Exemplo: edit; edit figs.m.

lookfor Propsito: busca a palavra-chave em todos os arquivos contidos no caminho do MATLAB. Sintaxe: lookfor palavra. Descrio: procura, em todos os arquivos do caminho, a palavra-chave contida na string palavra, e lista o nome dos arquivos nos quais existe a palavra-chave. Exemplo: lookfor matrix.

Examine tambm os comandos: which; pcode; inmem; mex.

4.4 Comandos de Operao com o Caminho de Diretrios

path Propsito: verifica ou define o caminho de diretrios. Sintaxe: path; path=caminho; v=path. Descrio: path lista na tela da linha de comando o caminho atual. path=caminho define o caminho atual como sendo a string contida em caminho. v=path carrega a string correspondente ao caminho atual em v. Exemplo: path; path=c:\usuario\MATLAB; p1=path.

addpath Propsito: adiciona diretrios ao caminho. Sintaxe: addpath nome. Descrio: adiciona o diretrio descrito na string nome ao caminho atual. Exemplo: addpath c:\user\pink.

26

rmpath Propsito: remove diretrios do caminho. Sintaxe: rmpath nome. Descrio: remove o diretrio descrito na string nome ao caminho atual. Exemplo: rmpath c:\user\pink.

Examine tambm os comandos: editpath.

4.5 Comandos de Operao com a Janela de Comando

echo Propsito: habilita ou inibe a apresentao dos resultados de comando de um arquivo MATLAB na linha de comando. Sintaxe: echo on; echo off. Descrio: echo on habilita a apresentao e echo off desabilita.

more

Propsito: habilita ou inibe a paginao do texto na tela de comandos. Sintaxe: more on; more off. Descrio: echo on habilita a paginao e echo off desabilita.

diary Propsito: salva todo o texto da sesso de trabalho em arquivo Sintaxe: diary on; diary off; diary(nome). Descrio: aps diary on todo texto que aparece na janela de comando tambm enviado para um arquivo nomeado automaticamente pelo MATLAB. diary off interrompe o salvamento em arquivo. diary(nome) salva o texto da janela de comando no arquivo cujo nome descrito pela string nome. Exemplo: diary on; diary off; diary(31-8-00).

format Propsito: determina o formato no qual os dados sero expressos na janela de comando. Sintaxe: format opo.

27

Descrio: expressa os dados conforme opo. opo: 1) short ou em branco: formato ponto decimal com 5 dgitos; 2) long: formato ponto decimal com 15 dgitos; 3) short e: formato ponto flutuante com 5 dgitos; 4) long: formato ponto flutuante com 15 dgitos; 5) short g: o MATALAB seleciona entre o formato ponto decimal com 5 dgitos ou ponto flutuante com 5 dgitos; 6) long g: o MATALAB seleciona entre o formato ponto decimal com 15 dgitos ou ponto flutuante com 15 dgitos; 7) hex: hexadecimal; 8) +: apresenta o sinal + ou para os valores; 9) bank: formato bancrio com $ e centavos; 10) rat: aproxima para a frao mais prxima do valor a ser expresso.

4.6 Comandos de Operao com o Sistema Operacional

cd Propsito: altera o diretrio de trabalho atual. Sintaxe: cd diretrio. Exemplo: cd c:\MATLAB\usuario.

pwd Propsito: exibe o diretrio de trabalho atual. Sintaxe: pwd.

dir Propsito: lista os arquivos do diretrio atual. Sintaxe: dir.

delete Propsito: exclui arquivo do diretrio. Sintaxe: delete arq. Exemplo: delete tarefa.m.

dos Propsito: executa comando do MS-DOS. Sintaxe: dos comando. Exemplo: dos copy a:\antigo.m a:\novo.m.

28

computer Propsito: definir o tipo de computador em uso. Sintaxe: computer. Descrio: retorna uma string com o tipo do computador em uso.

web Propsito: abrir pgina na internet ou arquivo html com o browser padro do sistema. Sintaxe: web arquivo; web endereo. Exemplo: web c:\paginas\info.htm; web http://www.mathworks.com.

Examine tambm os comandos: getenv; unix; vms; realmax; realmin; clock; cputime; date; etime; tic; toc.

29

5 COMANDOS BSICOS PARA MANIPULAO DE MATRIZES

zeros

Propsito: cria uma matriz esparsa (composta de zeros). Sintaxe: zeros(n); zeros(n,m); zeros(size(a)); Descrio: zeros(n) cria uma matriz quadrada composta de zeros; zeros(n,m) cria uma matriz n por m composta de zeros; zeros(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimenses da matriz a, composta de zeros. Exemplo: zeros(4); zeros(2,3); zeros(size(a)).

ones

Propsito: cria uma matriz com elementos iguais a 1. Sintaxe: ones(n); ones(n,m); ones(size(a)); Descrio: ones(n) cria uma matriz quadrada composta de elementos iguais a 1; zeros(n,m) cria uma matriz n por m composta de elementos iguais a 1; zeros(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimenses da matriz a, composta de elementos iguais a 1. Exemplo: ones(4); ones(2,3); ones(size(a)).

eye Propsito: cria uma matriz identidade ou matriz com diagonal 1. Sintaxe: eye(n); eye(n,m); ones(size(a)); Descrio: eye(n) cria uma matriz quadrada composta de elementos iguais a 1 na diagonal principal e demais elementos nulos; eye(n,m) cria uma matriz n por m composta de elementos iguais a 1 na diagonal principal e demais elementos nulos; eye(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimenses da matriz a, composta de elementos iguais a 1 na diagonal principal e demais elementos nulos. Exemplo: eye(4); eye(2,3); eye(size(a)).

rand Propsito: cria uma matriz com elementos gerados aleatoriamente. Sintaxe: rand(n); rand(n,m); rand(size(a));

30

Descrio: rand(n) cria uma matriz quadrada composta de elementos gerados aleatoriamente; rand(n,m) cria uma matriz n por m composta de elementos gerados aleatoriamente; rand(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimenses da matriz a, composta de elementos gerados aleatoriamente. Exemplo: rand(4); rand(2,3); rand(size(a)).

randn Propsito: o mesmo de rand, porm neste caso a distribuio segue o padro normal, enquanto rand segue padro uniforme.

diag Propsito: extrai diagonais de matrizes e cria um vetor com estes elementos. Sintaxe: diag(m,k); diag(m); Descrio: diag(m) cria um vetor com a diagonal principal da matriz m. diag(m,k) cria um vetor com a k-sima diagonal acima (k>0) ou abaixo (k

31

size Propsito: retorna a dimenso de uma matriz ou estrutura. Sintaxe: size(a). Descrio: retorna um vetor com as dimenses da matriz ou estrutura a.

length Propsito: retorna o comprimento de um vetor. Sintaxe: size(a). Descrio: retorna o comprimento do vetor a. Se a for matriz, size(a) retorna a mair dimenso de a.

tril ou triu Propsito: extrai a matriz triangular inferior (tril) ou a matriz triangular superior (triu). Sintaxe: tril(a) ou triu(a); tril(a,k) ou triu(a,k). Descrio: extrai a matriz triangular superior (triu) ou inferior (tril) diagonal principal. Extrai a matriz triangular superior (triu) ou inferior (tril) k-sima linha acima (k>0) ou abaixo (k

32

6 FUNES MATEMTICAS ELEMENTARES

abs Propsito: extrai o mdulo (valor absoluto) de um valor algbrico real ou complexo. Sintaxe: abs(arg).

acos

Propsito: determina o valor inverso (arco) do cosseno em radianos. Sintaxe: acos(arg).

acosh Propsito: determina o valor inverso (arco) do cosseno hiperblico em radianos. Sintaxe: acosh(arg).

angle Propsito: determina o ngulo em radianos de um nmero complexo. Sintaxe: angle(complexo).

asin Propsito: determina o valor inverso (arco) do seno em radianos. Sintaxe: asin(arg).

asinh Propsito: determina o valor inverso (arco) do asinh hiperblico em radianos. Sintaxe: asinh(arg).

atan

Propsito: determina o valor inverso (arco) da tangente em radianos. Sintaxe: atan(arg).

atanh Propsito: determina o valor inverso (arco) da tangente hiperblico em radianos. Sintaxe: atanh(arg).

33

atan2 Propsito: determina o valor inverso (arco) da tangente em radianos do ngulo de nmero complexo, nos quatro quadrantes. Sintaxe: atan2(parte-imag,parte-real)

ceil Propsito: arredonda para o primeiro inteiro algebricamente superior. Sintaxe: ceil(arg).

fix Propsito: arredonda para o inteiro mais prximo de zero. Sintaxe: fix(arg).

round Propsito: arredonda para o inteiro mais prximo (arredondamento matemtico convencional). Sintaxe: round(arg).

sign Propsito: retorna 1 se o argumento positivo e 0 se o argumento negado. Sintaxe: sign(arg).

imag Propsito: extrai a parte imaginria de um complexo. Sintaxe: imag(complexo).

real Propsito: extrai a parte real de um complexo. Sintaxe: real(complexo).

conj Propsito: extrai o conjugado de um complexo. Sintaxe: conj(complexo).

cos

Propsito: calcula o cosseno de um arco em radianos.

34

Sintaxe: cos(arco).

sin Propsito: calcula o seno de um arco em radianos. Sintaxe: sin(arco).

tan

Propsito: calcula a tangente de um arco em radianos. Sintaxe: tan(arco).

cosh Propsito: calcula o cosseno hiperblico de um arco em radianos. Sintaxe: cosh(arco).

sinh Propsito: calcula o seno hiperblico de um arco em radianos. Sintaxe: sinh(arco).

tanh Propsito: calcula a tangente hiperblica de um arco em radianos. Sintaxe: tanh(arco).

exp Propsito: calcula o valor de earg. Sintaxe: exp(arg).

pow2 Propsito: calcula o valor de 2arg. Sintaxe: pow2(arg).

sqrt Propsito: calcula o valor da raiz quadrada de arg. Sintaxe: sqrt(arg).

log Propsito: calcula o valor do logaritmo na base natural e (ln). Sintaxe: log(arg).

35

log10 Propsito: calcula o valor do logaritmo na base 10. Sintaxe: log10(arg).

log2 Propsito: calcula o valor do logaritmo na base 2. Sintaxe: log2(arg).

rem

Propsito: retorna o resto inteiro de uma diviso de x por y. Sintaxe: rem(x,y).

Examine tambm os comandos: sec; sech; asec; asech; csc; csch; acsc; acsch; cot; coth; acot; acoth; nextpow2; unwrap; isreal; cplxpair; mod.

36

7 COMANDOS DE CONTROLE GRFICO

7.1 Grficos Bidimensionais

plot Propsito: imprime o vetor em grfico bidimensional. Sintaxe: plot(x,y,cst) Descrio: imprime o vetor y na ordenada em relao ao vetor x na abcissa. x e y devem obrigatoriamente ter as mesmas dimenses. A string cst permite selecionar a cor (c=ymrcrgbwk), o tipo de smbolo (s=*.ox+sdv^ph), e o tipo de linha(t=--:-.--). Exemplo: plot(x,sin(x),m*-.) plota seno de x em cor magenta, com smbolos * para cada ponto e linha tracejada e pontilhada.

No comando plot os vetores de ordenada e abscissa devem ter as mesmas dimenses.

subplot Propsito: divide uma figura em vrios grficos. Sintaxe: subplot(n,m,p) Descrio: subplot(n,m,p) divide a figura em uma matriz nxm de grficos e seleciona o p-simo grfico. p contado da esquerda para a direita, continuando na linha de baixo. Exemplo: subplot(3,3,5) divide a figura em 9 grficos, distribudos em 3 linhas e 3 colunas, e seleciona o grfico central.

O comando subplot apenas seleciona um dos grficos da matriz nxm, mas o comando plot que executa a impresso.

loglog Propsito: o mesmo que plot, porm agora as escalas de ordenadas e abscissas so do tipo logartmicas. Sintaxe: loglog(x,y,cst)

37

semilogx Propsito: o mesmo que plot, porm agora a escala da abscissa do tipo logartmica. Sintaxe: semilogx(x,y,cst)

semilogy Propsito: o mesmo que plot, porm agora a escala da ordenada do tipo logartmica. Sintaxe: semilogy(x,y,cst)

polar Propsito: desenha grfico em formato polar. Sintaxe: polar(ang,raio,cst) Descrio: imprime cada elemento do vetor raio em relao ao elemento correspondente do vetor ang (ngulo). A string cst permite selecionar a cor (c=ymrcrgbwk), o tipo de smbolo (s=*.ox+sdv^ph), e o tipo de linha(t=--:-.--). Ex.: polar((linspace(0:2*pi),4*ones(1,100)) plota uma circunferncia de raio 4.

axis Propsito: controla a aparncia das escalas da abscissa e da ordenada. Sintaxe: axis([xmin xmax ymin ymax]). Descrio: ajusta a escala da abscissa para valores entre xmin e xmax, e a escala da ordenada para valores entre ymin e ymax. Exemplo: axis ([-3 4 0 10]) desenha o grfico com escalas de 3 a 4 para o eixo da abscissa e 0 a 10 para o eixo da ordenada.

grid Propsito: traa uma grade sobre o plot atual. Sintaxe: grid.

hold Propsito: retm o estado do plot atual de modo a permitir que o prximo grfico seja impresso sobre o atual. hold on liga o estado do comando e hold off desliga o estado do comando. Sintaxe: hold; hold on; hold off.

38

title Propsito: Cria texto de ttulo no plot atual. Sintaxe: title(texto).

xlabel Propsito: Cria texto para o eixo da abcissa. Sintaxe: xlabel(texto).

ylabel Propsito: Cria texto para o eixo da ordenada. Sintaxe: ylabel(texto).

gtext Propsito: Cria texto para ser posicionado com o mouse. Sintaxe: gtext(texto).

Examine tambm os comandos: plotyy; axes; box; legend; text; print; printopt; orient.

7.2 Grficos Tridimensionais

As funes de manipulao e controle de grficos em trs eixos e funes grficas mais avanadas so dadas no quadro a seguir:

Examine os comandos: plot3d; fill3; contour; contour3; clabel; contourc; pcolor; quiver; image; mesh; meshc; meshz; surf; surfc; surfl; waterfall; slice; view; viewmtx; hidden; shading axis; caxis; colormap; title; xlabel; ylabel; zlabel; text; gtext; grid; cylinder; sphere; figure; gcf; clf close; gca; caxis; hold; line; patch; text; surface; image; uicontrol; uimenu; set; ger; reset; delete; drawnow; print; printop; moviein; getframe; movie; ginput; ishold.

39

8 OUTROS COMANDOS

8.1 Funes Lgicas

exist Propsito: verifica se uma varivel ou funo existe no caminho do MATLAB. Sintaxe: exist(arg). Descrio: exist(arg) retorna 1 se existir a varivel ou funo arg; caso contrrio retorna 0. Exemplo: exist(var1).

any Propsito: verifica se um vetor possui um elemento diferente de zero. Sintaxe: any(vet). Descrio: any(vet) retorna 1 se existir um nico elemento diferente de zero no vetor vet; caso contrrio retorna 0. Exemplo: any(nomes).

all Propsito: verifica se um vetor possui todos elementos diferentes de zero. Sintaxe: all(vet). Descrio: all(vet) retorna 1 se todos os elementos de vet forem diferentes de zero; caso contrrio retorna 0. Exemplo: all(nomes).

find Propsito: encontra os ndices dos elementos no-nulos de uma matriz. Sintaxe: find(mat). Exemplo: find(rand(3)).

isnan Propsito: verifica se h elementos do tipo NaN em uma matriz. Sintaxe: isnan(mat).

40

Descrio: isnan(vet) retorna uma matriz onde os elementos so 1 na posio onda h um elemento NaN na matriz original e 0 nas demais posies. Exemplo: isnan(mat).

isinf Propsito: verifica se h elementos do tipo inf em uma matriz. Sintaxe: isinf(mat). Descrio: isinf(mat) retorna uma matriz onde os elementos so 1 na posio onda h um elemento inf na matriz original e 0 nas demais posies. Exemplo: isinf(mat).

finite Propsito: verifica se h elementos finitos em uma matriz Sintaxe: finite(mat). Descrio: finite(mat) retorna uma matriz onde os elementos so 1 na posio onda h um elemento diferente de NaN ou de Inf na matriz original e 0 nas demais posies. Exemplo: finite(mat).

ischar Propsito: verifica se o argumento uma cadeia de caracteres (string). Sintaxe: ischar(arg). Descrio: ischar(arg) retorna 1 se arg for uma cadeia de caracteres; caso contrrio retorna 0. Exemplo: ischar(nome) retornar 1.

Examine tambm os comandos: isieee; isempty; issparse.

8.2 Funes de Controle de Fluxo de Programao

if, else, elseif e end Propsito: testar condio e determinar sentenas a serem executadas. Sintaxe:

41

IF exp1 stat1 ELSEIF exp2 stat2 ELSE stat3 END Descrio: testa exp1. Se exp1 for verdadeira executa as sentenas em stat1 e vai para end; caso contrrio, testa exp2. Se exp2 for verdadeira executa as sentenas em stat2 e vai para end; caso contrrio executa stat3. Exemplo: if I == J A(I,J) = 2; elseif abs(I-J) == 1 A(I,J) = -1; else A(I,J) = 0; end

for, end Propsito: cria, incrementa e testa ndice de controle para execuo de sentenas. Sintaxe: FOR var = expr, stat1, stat2,..., statn END Descrio: enquanto a varivel var for inferior ao limite estabelecido, as sentenas stat1, stat2 at statn sero executadas. Exemplo:

FOR I = 1:N, FOR J = 1:N, A(I,J) = 1/(I+J-1); END

END

while, end Propsito: testa a expresso de controle para execuo de outras sentenas.

42

Sintaxe: WHILE exp stats

END Descrio: enquanto a expresso exp for verdadeira, as sentenas stats sero executadas. Exemplo: E = 0*A; F = E + eye(size(E)); N = 1; while norm(E+F-E,1) > 0, E = E + F; F = A*F/N; N = N + 1; end

swtch, end Propsito: testa expresso de controle e seleciona um caso para executar. Sintaxe: SWITCH switch_expr CASE case_expr, stat1, ..., stat1n CASE {case_expr1, case_expr2, case_expr3,...} stat2, ..., stat2n ...

OTHERWISE, stat3, ..., stat3n END Descrio: Se switch_expr for igual a case_expr, ento as sentenas stat1 at stat1n sero executadas, e terminado o comando. Se switch_expr for igual a case_expr1 ou case_expr2 ou case_expr3 ..., ento as sentenas stat2 at stat2n sero executadas, e terminado o comando. Se switch_expr for diferente de todos as case_exprs anteriores, ento as sentenas stat3 at stat3n sero executadas, e terminado o comando.

43

Exemplo: switch lower(METHOD) case {'linear','bilinear'}, disp('Method is linear') case 'cubic', disp('Method is cubic') case 'nearest', disp('Method is nearest') otherwise, disp('Unknown method.')

end

break Propsito: encerra a execuo de comandos for ou while quando so encontrados. Sintaxe: break.

input Propsito: exibe mensagem na tela e d ao usurio um prompt para entrada de dados. Sintaxe: input(texto); input(texto,s). Descrio: input(texto) exibe o texto na tela da linha de comando e retorna o valor digitado at que seja pressionado enter. input(texto,s) utilizado para entrada de strings. Exemplo: id=input(Digite sua idade) guarda o nmero digitado em id; nom=input(Digite o seu nome, s) guarda a string digitada em nom.

disp Propsito: exibe texto na tela de comando. Sintaxe: disp(texto).

keyboard Propsito: invoca o teclado a partir de um arquivo MATLAB. Sintaxe: keyboard.

pause Propsito: gera pause na execuo de um arquivo MATALB. Sintaxe: pause; pause(n); pause on; pause off.

44

Descrio: pause interrompe a execuo at que o usurio aperte alguma tecla. Pause(n) interrompe a execuo por n segundos. Pause on (off) liga (desliga) o modo de pausa dos comandos subseqentes. Exemplo: pause; pause(5); pause on; pause off.

Examine tambm os comandos: return, eval; feval; evalin; builtin; assignin; run; script functio; global; mfilename; lists exist; isglobal; nargchk; nargin; nargout; varargin; varargout; inputname; error; warning; lasterr; errortrap; fprintf; sprintf; uimenu; uicontrol; dbstop.

8.3 Funes de Controle de Baixo Nvel

fopen Propsito: abrir arquivo para leitura e/ou escrita. Sintaxe: fopen(nome-do-arq,permisso) Descrio: abre arquivo com o nome especificado para as operaes descritas em permisso. Exemplo: fopen(novo.m,r) abre o arquivo novo.m para leitura.

fclose Propsito: fechar arquivo. Sintaxe: fopen(nome-do-arq).

fopen Propsito: abrir arquivo para leitura e/ou escrita. Sintaxe: fopen(nome-do-arq,permisso) Descrio: abre arquivo com o nome especificado para as operaes descritas em permisso. Exemplo: fopen(novo.m,r) abre o arquivo novo.m para leitura.

Examine tambm os comandos: fread; fwrite; fscanf; fprintf; fgetl; fgets; ferror; fseek; ftell; sprintf; sscanf.

45

8.4 Funes Especializadas: Matemticas, Matriciais, lgebra Linear

So funes de clculos algbricos com matrizes e clculos de lgebra linear.

Examine os comandos: cond; norm; rcond; rand; det; trace; null; orth; rref; chol; lu; qr; nnls; pinv; lscov; poly; hess; qz; rsf2csf; cdf2rddf; schur; balance; svd; expm; expm1; expm2; expm3; logm; log2m; sqrtm; funm; speye; sprandn; sprandsym; spdiags; sparse; full; spconvert; nnz; nonzeros; nzmax; spones; spalloc; issparse; spfun; spy; gplot; colmmd; symmmd; symrcm; colperm; tandperm; dmperm; normest; condest; sprank; symbfact; spparms; spaugment.; compan; hadamard; hankel; hilb; invhilb; pascal; rosser; toeplitz; vander; wilkinson.

8.5 Funes de Integrao, Interpolao e Tratamento de Dados

So funes teis para soluo de equaes diferenciais; interpolao de curvas e tratamento de pontos.

Examine os comandos: roots; poly; polyval; polyvalm; residue; polyfit; polyfit; polyder; conv; deconv; interp1; intep2; interpft; griddata; ode23; ode45; quad; quad8; fmin; fmins; fzero; fplot.

8.6 Funes de Controle de Cores, Imagens e Caracteres

So funes teis para o controle de cores, manipulao de imagens, animao e controle de grficos.

Examine os comandos: colormap; caxis; shading; hsv; gray; hot; cool; bone; copper; pink; flag; hsv2rgb; rgb2hsv; brighten; spinmap; rgbplot; surfl; pecular; diffuse; surfnorm; sound; saxis; auwrite; auread; mu2lin; lin2mu; string; abs; setstr; str2mat; strcomp; upper; lower; num2str; int2str; str2num; sprintf; sscanf; hex2num; hex2dec; dec2hex.

46

9 PROGRAMANDO EM ARQUIVOS .m

Podemos elaborar programas utilizando instrues assemelhadas aos comandos das linguagens procedurais, lanando dos arquivos .m do MATLAB. Para isto basta criar um arquivo com extenso .m no diretrio /work ou /temp do seu computador.

9.1 Exemplos de Aplicao de Programa '.m'

Exemplo 9.1: Programa raizes.m, que calcula as razes de uma equao do 2 grau.

% Objetivo: Calcular raizes de uma equao do 2o.grau % Prof. Baleeiro

disp(' ==== Entre com a, b e c ==== '); a = input(' Coeficiente de x^2 '); b = input(' Coeficiente de x '); c = input(' Termo independente de x '); if a == 0. disp(' ==== A equacao nao e do segundo grau ==== '); a = input(' Coeficiente de x^2 - a 0 '); end

delta = b^2-4.*a*c; delta

if delta == 0. ch = 0; end if delta < 0. ch = -1; end if delta > 0. ch = 1; end x(1) = (-b + sqrt(delta))/(2.*a); x(2) = (-b - sqrt(delta))/(2.*a); x

switch ch case 0, disp(' Raizes reais e iguais.') case -1, disp(' Raizes complexas conjugadas.') otherwise,disp(' Raizes reais e desiguais.') end % Fim

47

Para executar este programa preciso apenas digitar no ambiente do MATLAB (isto , no prompt) o nome do programa sem a extenso:

>>raizes < ENTER >

As razes de qualquer polinmio podem ser encontradas de maneira mais direta no ambiente de trabalho do MATLAB. O comando utilizado denominado "roots", que tem o formato a seguir:

>>roots([A B C]) < ENTER >

Onde A coeficiente do termo x^2, B o coeficiente do termo x e C o termo independente.

Por exemplo, as razes da equao do 2o x^2 - 5x + 6 = 0 so:

Um outro exemplo de clculo da razes de um polinmio:

Ou seja, as razes do polinmio x^3-6x^2+11x-6 = 0 so: 1, 2 e 3.

Obs.: O comando poly faz a operao inversa do comando roots, ou seja, tendo-se as razes, obtm-se o polinmio correspondente. Assim,

poly([1 2 3])

ans =

1 -6 11 -6 (polinmio x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0)

roots([1 -6 11 -6])

ans =

3.0000 2.0000 1.0000

roots([1 -5 6])

ans = 3 2

48

Exemplo 9.2: Um outro exemplo de implementao de um cdigo .m no MATLAB mostrado a seguir em que a soluo de um sistema algbrico linear obtida pela aplicao do mtodo iterativo de Jacobi. Denominaremos este programa de jacobi.m.

% Metodo de Jacobi para solucionar Ax = b % Prof. Baleeiro

A = [6 -1 0;-1 4 1;0 1 6] b = [-1; 1 ; 2] [n,n] = size(A); x = zeros(n,1); r = zeros(n,1); % vetor de residuos tol = 1e-2;

% Matriz de iteracao:

D = diag(diag(A)) L = tril(A)-D; U = triu(A)-D; E = -inv(D)*(L + U); F = inv(D)*b;

% Autovalores de E

eig(E) k = 0;

maior = inf;

while maior > tol

x = E*x + F;

r = A*x-b;

maior = norm(r,inf) % norma infinita do vetor r pause

k = k + 1;

end;

x

k

49

Para compreender o cdigo mostrado anteriormente, segue uma breve descrio do mtodo iterativo de Jacobi para soluo de bAx = . O mtodo iterativo de Jacobi quando aplicado para resolver um sistema de equaes lineares algbricas simultneas, do tipo bAx = baseia-se numa partio da matriz dos coeficientes, da seguinte forma DULA ++= , onde L e U so matrizes triangulares inferior e superior obtidas de A , respectivamente, excluindo-se os elementos da diagonal, e D a matriz composta apenas dos elementos da diagonal da matriz A (observe que L , U e D no so matrizes resultantes da fatorao de A , trata-se apenas de uma partio).

Dessa forma, o sistema original pode ser reescrito como a seguir:

,

)(FExx

bxULDxbAx

+=

++=

=

de modo que,

bDFULDE 11 ),( =+= .

Designando E com a matriz de iterao, )(1 ULDE += , dado )0(x e uma tolerncia tol , o processo iterativo consiste em construir aproximaes do vetor soluo x do sistema algbrico, conforme a equao de iterao mostrada a seguir:

FExx kk +=+ )()1( , para ,3,2,1,0=k .

O processo iterativo deve continuar enquanto o critrio de convergncia no for alcanado. Uma forma que pode ser adequada para verificar a convergncia calcular

a norma-infinita do vetor de resduos, bAxr kk = ++ )1()1( , isto , se tolr k

+ )1(,

ento a )(kx a uma aproximao aceitvel para solucionar bAx = . Uma condio para convergncia do mtodo de Jacobi que o maior mdulo dos autovalores da matriz E seja inferior a 1.

Os passos do algoritmo do mtodo de Jacobi para soluo de sistemas bAx = so apresentados a seguir:

50

A = [-1, 2, 0; 1/2, 9, 3; 2, 4, 5] A = -1.0000 2.0000 0 0.5000 9.0000 3.0000 2.0000 4.0000 5.0000

b = [3; -2; 7] b = 3 -2 7 x = A\b

x =

-6.1923 -1.5962 5.1538

Dados A , b , tol e )0(x Calcule D diag(diag(A)), L , tril(A) D, U triu(A) D

)(1 ULDE +=

bDF 1=

Verifique se 1|)(| tol faa

FExx kk ++ )()1( , maior |)(| )1( bAxmximo k + , 1+ kk Fim enquanto Sada x e k

Exemplo 9.3: Soluo de sistema de equaes algbricas lineares

=

72

3

54239021

3

2

1

21

x

x

x

A soluo do exemplo 9.3 facilmente obtida informando ao MATLAB, no prprio prompt, a matriz A e o vetor independente b . A soluo x procurada para o sistema obtida com o comando x = A\b, como a seguir.

51

10 MATEMTICA SIMBLICA

Exemplo 10.1: Soluo de integral definida

dxx

+

1

0 121

O exemplo 10.1, para ser resolvido, requer que seja informado ao MATLAB que h uma varivel x , que deve ser tratada como um dado simblico. Isto feito atravs do comando:

Os comandos seguintes mostram a finalizao da soluo do exemplo 10.1:

Realmente, o valor resultante da integrao da funo 1

1)( 2 +=

xxf entre 0 e 1

de fato 4pi

.

Exemplo 10.2: Sistema massa-mola. Este sistema ser, tambm, analisado usando o Simulink, na seo 11 deste texto.

Fig. 10.1: Sistema massa-mola.

syms x

int(1/(x^2 + 1),0,1)

ans =

1/4*pi

x

m

F m

0

52

As equaes do sistema massa-mola so dadas na seo 11 e, assim, passa-se diretamente ao programa .m desenvolvido e os resultados mais importantes.

Selecionou-se para este exemplo os grficos de energia versus deslocamento e velocidade versus deslocamento, que sero comparados com os resultados equivalentes, quando da utilizao do Simulink. Observar que, no presente resultado, a velocidade mostrada apenas no sentido do deslocamento negativo para o positivo. A velocidade no sentido inverso (que mostrada no modelo do Simulink) negativa.

% Sistema massa-mola % Prof. Jos Wilson

k =input('constante de elasticidade da mola (N/m)Ex.:700= '); xmax=input('deslocamento mximo da mola xmax (cm);Ex.: 20= '); m =input('massa do bloco ligado mola (g); Ex.:500= ');

xmax = xmax/100; m = m/1000;

x = [-xmax:0.001:xmax];

Etotal = (1/2)*k*(xmax^2); % Energia total

F = -k*x; % Fora na mola

Ep = (1/2)*k*(x.^2); % Energia potencial

Ec = Etotal - Ep; % Energia cintica - Conservao de energia

v = sqrt(2*Ec./m); % Velocidade da massa-Conservao de energia vmax = sqrt(2*Etotal/m); % Velocidade mxima

figure(1) plot(x*100,Ep,'r') hold on plot(x*100,Ec,'k') plot(x*100,Etotal,'m') axis([-xmax*100 xmax*100 0 Etotal]) xlabel('deslocamento (cm)') ylabel('energia cintica, potencial e total (J)') grid on hold off

figure(2) plot(x*100,v) axis([-xmax*100 xmax*100 0 vmax]) xlabel('deslocamento (cm)') ylabel('velocidade da massa (m/s)') grid on

53

Fig. 10.2: Energia Cintica, Potencial e Total versus Deslocamento

Fig. 10.3: Velocidade versus Deslocamento

Exemplo 10.3: Lanamento de projtil. Neste exemplo entra-se com os dados de altura inicial, velocidade inicial, posio horizontal inicial e ngulo de lanamento. O programa calcula o tempo transcorrido at o projtil atingir o solo, a velocidade no momento em que toca o solo e a altura mxima atingida.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12

14

deslocamento (cm)

ene

rgia

ci

ntic

a, po

tenc

ial e

to

tal (J

)

Energia Potencial

Energia Cintica

Energia Total

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

deslocamento (cm)

velo

cida

de da

m

assa

(m

/s)

54

Fig. 10.4: Lanamento de projtil

VO VOY

VOX

h

d

dO

hO

% Lanamento de projtil % Prof. Jos Wilson

ho = input('Altura inicial ho (m) Ex.: 40 = '); vo = input('velocidade inicial vo (m/s) Ex.: 25 = '); alfa = input('ngulo de lanamento alfa (grau) Ex.: 45 = '); do = input('posio inicial do projtil (m) Ex.: 0 = ');

alfa = alfa*pi/180; vxo = vo*cos(alfa); vyo = vo*sin(alfa); g = -9.8; % Acelerao da gravidade

h = [0.5*g vyo ho]; % Para clculo do tempo mximo

tlimites = roots(h); % Clculo do tempo limite - tem 2 valores

if tlimites(1) > 0 tmax = tlimites(1); else tmax = tlimites(2); end

t = [0:0.01:tmax];

vx = vxo; vy = vyo + g*t;

thmax = abs(vyo/g); % tempo para atingir altura maxima

d = do + vxo*t; h = ho + vyo*t + 0.5*g.*t.^2;

55

Fig. 10.5: Altura do projtil versus alcance horizontal

A altura mxima, a distncia mxima e o tempo decorrido at atingir o solo so:

hmax = 55,9 m dmax = 91,6 m tmax = 5,18 s

hmax = ho + vyo*thmax + 0.5*g*thmax^2; % altura maxima vmax = vyo + g*tmax; % velocidade maxima dmax = do + vxo*tmax; % distancia maxima alcancada

figure(1) plot(d,h) axis([0 dmax 0 hmax]) xlabel('distncia horizontal (m)') ylabel('altura (m)') grid on

figure(2) plot(t,h) axis([0 tmax 0 hmax]) xlabel('tempo (s)') ylabel('altura (m)') grid on

figure(3) plot(t,d) axis([0 tmax 0 dmax]) xlabel('tempo (s)') ylabel('distncia horizontal (m)') grid on

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

10

20

30

40

50

distncia horizontal (m)

altu

ra (m

)

56

10.1 Uso da Matemtica Simblica

O MATLAB possui um Toolbox que permite ao usurio operar com matemtica simblica. Sabemos que variveis numricas so usadas para armazenar valores numricos (e.g., x = 2) e vetores de caracteres so usados para armazenar textos (e.g., s = Jonas). O Toolbox de Matemtica Simblica usa objetos simblicos para representar variveis e operaes (e.g., x = sym( x )). Neste tipo de aplicao no necessrio que as variveis tenham um valor numrico predefinido.

A matemtica simblica consiste da resoluo de equaes simblicas (isto , na forma literal) e da execuo de operaes de clculo diferencial/integral e lgebra por meio da aplicao de regras conhecidas e identidades a determinados smbolos, exatamente como voc aprendeu a resolv-las nos cursos de clculo e lgebra.

Exemplo 10.4: Obter, de forma literal, a derivada em relao a x da funo f(x) dada a seguir:

bxaxxf += 2)(

necessrio, em primeiro lugar, informar ao MATLAB que x, a, b e f no so objetos simblicos, ou seja, no possuem valores numricos. Ento:

Em seguida, define-se a funo e utiliza-se o comando diff para concluir a operao simblica de derivao.

syms x a b f

f = a*x^2 + b*x

f =

a*x^2+b*x

diff(f,x)

ans =

2*a*x+b

57

Exemplo 10.5: Outro exemplo (mais complexo) do uso da matemtica simblica do MATLAB. Clculo da rea interna de uma elipse dada no sistema de coordenadas xy pela equao:

122

2

2=+

by

a

x

Deseja-se obter uma frmula para calcular sua rea interna A dados a e b . A integral mostrada a seguir usada no clculo dessa rea.

dxxaa

bAa

=0

224

A soluo deste problema conhecida dos estudantes que fizeram cursos de clculo diferencial e integral. O resultado A=piab. Utilize a Toolbox de Matemtica Simblica para comprovar este resultado. No caso, voc dever lanar mo do comando int, que calcula integral de uma funo dada em intervalo definido.

10.2 Grficos em Duas Dimenses

Embora existam vrias formas para se fazer grficos, nesta seo vamos nos ater apenas exemplificao do emprego do comando plot. Esse comando j foi utilizado em alguns exemplos anteriores.

Exemplo 10.6: Grfico em duas dimenses

Esse exemplo cria 30 pontos no intervalo 22 x para formar o eixo

horizontal do grfico e cria o vetor y contendo a exponencial 2xe dos pontos em x. O

x = linspace(-2,2,30);

y = exp(-x.^2);

plot(x,y)

58

comando plot abre uma janela grfica, ajusta os eixos para acomodar os dados, marca os pontos e conecta-os a linhas retas. O resultado ilustrado na Fig. 10.6.

Fig. 10.6: Sada grfica obtida com os comandos indicados anteriormente.

10.3 Grficos em Trs Dimenses

Para elaborar grficos tridimensionais o MATLAB possui diversos comandos poderosos. Sugerimos que voc tente as seqncias de comandos propostas nos exemplos que seguem.

Exemplo 10.7: Use do comando plot3 para desenhar uma hlice, de acordo com a seqncia:

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t = linspace(0, 10*pi);

plot3(sin(t),cos(t),t)

59

x = -7.5:.5:7.5;

y = x;

[X,Y] = meshgrid(x,y);

R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps;

Z = sin(R)./R;

mesh(X,Y,Z)

Exemplo 10.8: Uso do comando mesh para grficos tridimensionais. Use a seqncia de comandos para desenhar uma superfcie.

Fig. 10.7: Sada grfica obtida com a seqncia de comandos do exerccio 3.

60

11 SIMULINK

O SIMULINIK um Programa de Simulao dinmica de sistemas a partir de seu modelo no espao de estados, do seu modelo no domnio da freqncia ou do seu modelo no domnio do tempo. O simulink iniciado digitando-se simulink na linha de comando do MATLAB, ou ainda selecionando-se o boto de incio do SIMULINK. Uma vez iniciado apresentada a tela da figura a seguir:

Fig. 11.1: Tela Inicial do Simulink

Fig. 11.2: Funes disponveis para a classe linear do Simulink.

61

Os diversos blocos de simulao podem ser arrastados para o arquivo, com a finalidade de montar o modelo para simulao. Cada classe de funes possui uma janela prpria (caixa), veja por exemplo os blocos disponveis para as funes da classe linear na figura anterior. A seguir so dados alguns exemplos de emprego do Simulink em problemas de Matemtica, Fsica, Circuitos Eltricos, Controle de Processos e Outros.

Exemplo 11.1: Equao Diferencial de Primeira Ordem

Considere .,),( RR = tutuu Seja a equao diferencial de primeira ordem em )(tu , com valor inicial conhecido, .1)0( =u

02 =+ utdtdu

(11.1)

Analiticamente fcil mostrar que uma soluo dessa equao diferencial :

22 )()0()( tt etueutu == (11.2)

Vamos resolver a equao diferencial (11.1) utilizando o Simulink e, ao final, obteremos a resposta na forma grfica.

Soluo:

PASSO 1: Inicialmente escreve-se a equao (11.1) de uma forma mais adequada para diagrama de blocos. Transpondo os termos, chega-se forma indicada em (11.3):

= dtutu 2 (11.3)

Ao fator 2 chamamos de ganho; o integrando resultado de um produto de duas funes, t e u . Portanto, a resposta u a resultante da sada de um integrador

multiplicado pelo ganho 2.

62

PASSO 2: A partir da janela mostrada na Figura 11.1, selecionamos os blocos necessrios para expressar a relao (11.3).

Fig. 11.3: Diagrama de blocos para resolver o Exemplo 11.1

A condio inicial informada ao bloco integrador. O eixo dos tempos representado pelos blocos Clock e To Workspace. Em ambos os blocos To Workspace preciso definir o nmero de pontos e o tamanho do passo numrico (neste exemplo, tomamos 5000 e 0.01, respectivamente).

PASSO 3: Para executar o arquivo criado, definido pelo diagrama de blocos, nos cones da mesma janela, pressionamos Simulation e, em seguida, Start.

Fig. 11.4: Para executar o arquivo de blocos.

PASSO 4: Para visualizar o resultado, no prompt do MATLAB, digitamos o comando:

A sada grfica da resposta ttu )( como ilustra a Fig. 11.5.

plot(t,u)

63

Fig. 11.5: Grfico de ttu )( para 0t .

Finalizamos, desse modo, a soluo da equao diferencial (11.1), que resultou na representao grfica da funo

2te para 0t .

Exemplo 11.2: Sistema Massa-Mola

Fig. 11.6: Representao do Sistema Massa-Mola

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

m

F m

0

64

Equaes bsicas da Fsica:

Acelerao: 22

dtxd

dtdv

a == ( 11.4 )

Velocidade: == adtdtdx

v ( 11.5 )

Deslocamento: = vdtx ( 11.6 )

Equaes bsicas do Sistema massa-mola:

Fora: makxF == 22

dtxd

mkx = xm

kdt

xda == 2

2 ( 11.7 )

Energia potencial: 221 kxE p = ( 11.8 )

Energia cintica : 221

mvEc = ( 11.9 )

Verifica-se das equaes que a acelerao, no sistema massa-mola, diretamente proporcional ao deslocamento 'x'. O fator de proporcionalidade a constante '-k/m'. Essa a informao inicial para comear o modelo dado na Fig. 11.7.

Fig. 11.7: Modelo do Simulink para o Sistema Massa-Mola

Para a simulao do sistema necessrio fornecer um valor inicial para um dos dois blocos de integrao. Essa informao ser, no caso, o limite para a varivel de sada. Por exemplo, desejando-se limitar o deslocamento 'x' entre os valores -20 cm (-0.2 m) e 20 cm, fixa-se em 0.2 o valor inicial da segunda integral. Uma outra

xva

v

velocidade

t

tempo

x

posio

ac

acelerao

s

1

Integrator1s

1

Integrator

k/2

m/2

-k/m

EpEn. Potencial

Ec

En. Cinetica

Clock

65

informao fundamental o valor da constante de proporcionalidade 'k' e o valor da massa 'm'. Esses valores podem ser digitados diretamente no prompt (rea de trabalho do MATLAB), como mostrado a seguir:

As figuras que seguem so resultantes do modelo da Fig. 11.7.

Fig. 11.8: Energia cintica e potencial versus deslocamento

Fig. 11.9: Energia cintica e potencial versus velocidade

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

5

10

15

posio (m)

Ene

rgia

Ci

ntic

a e

Po

tenc

ial (J

)

Energia Cintica

Energia Potencial

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

5

10

15

velocidade (m/s)

Ene

rgia

Ci

ntic

a e

Po

tenc

ial (J

)

Energia Cintica

Energia Potencial

k = 700; m = 0.5;

66

Fig. 11.10: Velocidade versus deslocamento

Exemplo 11.3: Circuito RC Srie

Considere o circuito eltrico da Fig. 11.11, que possui um resistor e um capacitor em srie alimentados por uma fonte constante. O capacitor possui uma tenso inicial

Vv 10)0( = e deseja-se obter a resposta ttv )( para .0t

Fig. 11.11: Circuito eltrico RC srie com uma fonte de tenso contnua.

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

velo

cida

de (m

/s)

posio

67

Modelagem Matemtica do Circuito

A modelagem matemtica do circuito obtida aplicando-se a 2a Lei de Kirchhoff ao percurso fechado, e usando a forma genrica e , para expressar tenso:

0= vve R

Por outro lado, sabemos relacionar a tenso no resistor e a tenso no capacitor com a corrente que os atravessam, )(ti :

)(tRivR =

dtdvCti =)(

0)( = vtRie ou 0= vdtdvRCe

Assim, a equao diferencial geral fica:

eRC

vRCdt

dv 11=+

Substituindo os valores de R = 1k e C = 1mF e VEe 5== na equao

anteriormente mostrada, resulta na equao mostrada a seguir:

5=+ vdtdv

onde 10)0( =v .

Soluo do Circuito Utilizando o Simulink

Para utilizar o Simulink devemos expressar a equao diferencial da seguinte maneira:

= dtveRCv )(1

A expresso acima conseguida facilmente apenas isolando o termo dtdv e

depois aplicando a integrao (que a operao inversa da derivao). Essa forma

68

ideal para a simulao usando o Simulink. Constri-se ento o modelo mostrado na Fig. 11.12.

Fig. 11.12: Diagrama de blocos do Simulink para o circuito eltrico da Fig. 11.11

Fig. 11.13: Sada grfica ttv )( para 0t para o circuito eltrico da Fig. 11.11.

0 2 4 6 8 105

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

69

12 EXERCCIOS RESOLVIDOS

01) Considere a seguinte equao diferencial: )(32321222

tuydtdy

dtyd

=++ . Obter a

soluo y(t) supondo todas as condies iniciais iguais a zero, usando a transformada Laplace. A transformada Laplace :

ssYssYsYs 32)(32)(12)(2 =++

A soluo para )(sY :

sssssssY

321232

)3212(32)( 232 ++

=

++=

Resolver a equao diferencial utilizando a funo residue do MATLAB. Soluo: >> numy = 32 >> deny = [1 12 32 0] >> [r p k] = residue(numy,deny)

O resultado obtido o seguinte: r =

1 -2 1 p =

-8 -4 0

k = [] que se traduz em:

70

)8(1

)4(21)(

++

+=

ssssY

)21()( 84 tt eety += .

02) O movimento da massa, designado por )(ty , descrito pela equao diferencial: ( ) ( ) ( ) ( )trtky

dttdyb

dttydM =++2

2

onde: M = massa em kg, b = forca de atrito (amortecimento viscoso), k = constante de mola de uma mola ideal, r = fora em Newton. A resposta dinmica livre, )(ty , do sistema

)21(21

)0()(

+

= tnsentne

yty

onde:

= relao de amortecimento = kMb

2

n = freqncia natural do sistema = Mk

e 1cos= .

Fazendo-se )0(y = 0.15 m, M = 1kg, k = 2, para 1=b , simule no MATLAB para obter o grfico referente a resposta natural do sistema e verifique que a resposta subamortecida. Soluo: >> y0 = 0.15; >> wn = sqrt(2); >> quisi = 1/(2*sqrt(2*1)); >> c1 = (y0/sqrt(1-quisi^2)); >> teta = acos(quisi); >> t=[0:0.1:10]; >> c2 = exp(-quisi*wn*t); >> c3 = sin(wn*sqrt(1-quisi^2)*t+teta); >> y=c1*c2.*c3; >> plot(t,y)

71

O grfico da resposta natural do sistema obtido com o MATLAB para os parmetros dados mostrado na Fig. 12.1.

Fig. 12.1: Sada grfica tty )( para 0t .

03) Dada a funo de transferncia, obtenha o que se pede: a) calcular zeros e plos; b) exibir a funo de transferncia; c) obter o mapa dos zeros e plos.

200307010)( 2 ++

+=

ss

ssG

Soluo: >> numg = [10 70]; >> zeros = roots(numg) >> deng = [1 30 200] >> polos = roots(deng) >> tfout(numg,deng) >> sys = zp(zeros,polos,1); >> pzmap(sys)

72

04) Um sistema dinmico linear representado no espao de estados pelas seguintes equaes matriciais:

DuCxyBuAxx

+=

+=

Obtenha a representao no espao de estados sob a forma de variveis de fase das seguintes funes de transferncia usando a funo tf2ss do MATLAB:

9712)( 21 ++

+=

ss

ssT

Soluo: >> num=[2 1] >> den=[1 7 9] >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

As matrizes resultantes so:

A =

-7 -9 1 0

B =

1 0 C =

2 1 D =

0

05) Sejam as seguintes funes de transferncia nos blocos em cascata:

)14)(2)(5()4)(2()(++

=

sss

sssGR(s)

U(s)Y(s)

25001)(s

ssH +=

Use a funo series do MATLAB para transform-las em uma s.

73

Soluo; >> n1=[1 -2] >> n2=[1 -4] >> ng=conv(n1,n2) >> d1=[1 5] >> d2=[1 2] >> d3=[1 -14] >> dg=conv(d1,conv(d2,d3)) >> nh=[1 1] >> dh=[500 0 0] >> [n,d]=series(ng,dg,nh,dh)

A funo de transferncia resultante dos dois blocos em cascata a seguinte:

2345

23

70000440003500500825

ssss

sss

++.

06) Analise a seqncia de comandos do MATLAB apresentada a seguir.

a) extraindo e inserindo

A = [ 1 3 4; -1 3 0; 6 -1 2] C = [1 + i, 1 - i; 2i, 1 i] b = [1; 3; -1] A(:,2) A(1,:) A(2,3) M = [A,b] M(end) transpose(C) % diferente de C' se C for complexa C'

A(3:6) A(:,2) = [0; 0; 0] % insere o vetor da direita no lugar da coluna 2

74

b) criando matrizes

>> D = ones(3) >> Z = eye(3) >> R = rand(3)

c) operaes sobre matrizes e sobre elementos de matrizes

>> trace(A) % soma algbrica dos elementos da diagonal de A >> [m,n] = size(A) >> [L,U,P] = lu(A) % obtem a fatorao PLU de A >> chol(A) % somente para matriz definida positiva

d) decomposio espectral

Y = [4+i, -1+i, -3-2i;-1+i, 3-i, -2+i;-3-2i, -2+i, 5+i]

[P,D] = eig(Y)

W = P*D*P^-1

Y-W

Z = inv(Y) disp(' o produto tem que resultar na matriz identidade'); Z*Y

H = P^-1;

B = (D^-1)*H; U = P*B

Z-U

07) Obtenha uma raiz da funo unidimensional 1)( += xexf x com estimativa inicial 8.0)0( =x .

Soluo:

75

>> fzero('exp(-x)-x+1',0.8) % obtem um zero da funcao

08) Dada a funo de transferncia

11

)()()(

+==

ssRsC

sT ,

determine a resposta do sistema ao degrau unitrio, s

sR 1)( = .

Soluo: >> clf

>> numg = [0 1]; >> deng = [1 1]; >> G = tf(numg,deng) >> step(G) >> title(' Amplitude versus tempo ') pause

A resposta como mostrada na Fig.12.2.

Fig. 12.2: Sada grfica )(tc com entrada )()( tutr = , para 0t .

76

09) Obtenha 5 termos do desenvolvimento em Srie de Taylor da funo xxf cos)( = .

Soluo: >> syms x

>> taylor(cos(x),5)

ans =

1-1/2*x^2+1/24*x^4

10) Ao final de sua seo de trabalho no prompt salve-a com o comando save em um arquivo com extenso .mat.

Soluo: >> save hoje.mat

Dessa forma,o comando save salva o workspace em um arquivo .mat. Em seguida, utilize o comando clear all para limpar o contedo da memria. Atravs do comando load hoje.mat possvel carregar o contedo da memria permitindo a retomada do trabalho que estava sendo realizado.

11) Elabore um programa em arquivo .m que utilize a function do MATLAB. Soluo: function [f] = fun2(a,b,x) % em arquivo .m separado global f;

f = (b/a)*sqrt(a^2 - x.^2); return;

% o conteudo a seguir em arquivo .m separado global f;

a = input(' Valor de a: '); b = input(' Valor de b: '); N = input(' No. de simulacoes: '); k = 0;

77

for j = 1:N, x = a*rand; y = b*rand;

fun2(a,b,x); if y

78

13 EXERCCIOS PROPOSTOS

01) Dada a matriz 33 , simtrica e definida positiva,

=

610141016

A , e dado o vetor

de termos independentes,

=

211

b ,

a) use o comando chol(A)e obtenha a fatorao Cholesky da matriz A ; b) verifique que CCA T= usando o comando transpose; c) a partir dos fatores Cholesky de A , calcule a soluo Txxxx ][ 321= de bAx = .

02) Dada a matriz literal 33 ,

+

=

daadaa

adaA

0

0, e dado o vetor de termos

independentes, tambm literal,

+

=

0a

dab , utilize os recursos da matemtica simblica

para obter a soluo Txxxx ][ 321= . Primeiro aplique a funo inv(A) para obter x . Em seguida, empregue as funes simplify e pretty para melhorar a visualizao da resposta.

03) Dados

=

321112

231A

e

=

457

b , utilize o comando rref sobre a matriz

aumentada para obter forma escalonada reduzida e mostre que o sistema bAx = incompatvel. Para maior clareza, sugere-se que, antes de empregar o comando rref, declare os clculos na forma de fraes usando format rat.

04) Determine o zero da funo transcendental xexf x = 4)( utilizando a funo fzero com estimativa inicial 0.1. Confira no grfico atravs de

79

>> ezplot('exp(-4*x)-x',0,1).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

exp(-4*x)-x

05) Dada a equao diferencial 0)(2)(3)(2

=++ txdt

tdxdt

txd, com 1)0( =x e 0)0( =

dtdx

.

Utilize o comando dsolve para obter a soluo )(tx . Em seguida, visualize o grfico da resposta obtida, )(tx , no intervalo 20 t .

06) Dados os binmios 1+x , 2x e 4+x . Multiplique-os usando conv. A partir do polinmio que resultou da multiplicao calcule as razes usando roots.

07) Desejamos calcular a soluo analtica do seguinte sistema de equaes

=+

+=+

=+

1)(21

1

22

2

22

babaxy

yx.

Para tal, utilize o comando solve:

>> [b,x,y]=solve('x^2+y^2=1','1 + 2*x*y=(a + b)^2','a^2 + b^2=1').

As solues esperadas so: ax = , by = ou ax = , by = .

80

[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); [px,py] = gradient(z,.2,.2); contour(z), hold on, quiver(px,py), hold off

08) Sabemos que a derivada primeira da funo )()( xtgxf = )(sec1 2 xdxdf

+= , sendo

)cos(1)sec( xx = . Verifique este fato usando o comando diff('sin(x)/cos(x)')

seguido logo aps pelo comando simplify(ans).

09) Calcule a rea sobe a curva da funo 214)(x

xf+

= no intervalo 10 x . Use o

comando int com limites de integrao definidos.

10) No Curso de Clculo Diferencial e Integral, o professor ensina que a seguinte integral indefinida

)(22 axtgarcabdx

xa

b=

+

pode ser solucionada aplicando substituio trigonomtrica. Comprove o resultado mostrado anteriormente utilizando matemtica simblica e o comando int sem limites de integrao.

11) Utilize o comando pretty(diff(1/a*atan(x/a)*b,x)) e verifique que o resultado do exerccio 10 est correto.

12) Um importante conceito associado com a derivada de funes escalares n dimensionais o gradiente. Digite a seqncia de instrues no prompt do

MATLAB:

Para entender melhor o que foi calculado com as instrues anteriores utilize surf(x,y,z).

81

14 BIBLIOGRAFIA

[1] HANSELMAN, Duane e LITTLEFIELD, Bruce. "MATLAB 5 Verso do Estudante, Guia do Usurio, Makron Books, So Paulo, 1999. 413 p. ISBN: 85-346-1058-4.

[2] ALVES, Antnio Csar Baleeiro. Notas de Aulas do Curso de Circuitos Eltricos da EEEC/UFG.

[3] RESNICK, Robert e HALLIDAY, David, "Fsica 1," 3a ed., Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1981, ISBN: 85-216-0076-3.

[4] CHAPMAN, S. J. Programao em MATLAB para engenheiros. Thomson Pioneira.

[5] MATSUMOTO, E. Y. "MATLAB 7, Editora rica.

[6] UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO (UERJ). Curso de MATLAB 5.1: Introduo soluo de problemas de engenharia. 2 edio. 181p.

[7] VALLE, Walkria Nascente. Notas de Aulas do Curso de Laboratrio de Controle de Processos do CMP/UCG.