apostila modificada

Matemática Financeira

Revisada por Irma F. Lobosco (junho/2012)

PATRICIO TORRES

INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5

1 RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS .................................................................................................. 71.1 Proporções .........................................................................................................................................................................71.2 Proporção Múltipla .........................................................................................................................................................81.3 Grandezas Diretamente Proporcionais ...................................................................................................................91.4 Grandezas Inversamente Proporcionais .................................................................................................................91.5 Divisão Proporcional ...................................................................................................................................................101.6 Regra da Sociedade .....................................................................................................................................................111.7 Regra de Três ..................................................................................................................................................................121.8 Porcentagem ..................................................................................................................................................................141.9 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................151.10 Atividades Propostas ................................................................................................................................................15

2 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS ..................................................................................... 212.1 Noções de Custos .........................................................................................................................................................212.2 Ponto de Equilíbrio ......................................................................................................................................................222.3 Vendas com Lucro ........................................................................................................................................................232.4 Vendas com Prejuízo ...................................................................................................................................................242.5 Abatimentos Sucessivos ............................................................................................................................................242.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................252.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................25

3 JUROS E DESCONTOS SIMPLES ................................................................................................. 273.1 Cálculo do Juro Simples .............................................................................................................................................273.2 Taxas Equivalentes .......................................................................................................................................................283.3 Operações com Hot Money .......................................................................................................................................283.4 Método Hamburguês..................................................................................................................................................293.5 Desconto Comercial ....................................................................................................................................................293.6 Desconto Racional .......................................................................................................................................................303.7 Bonificação ......................................................................................................................................................................303.8 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................313.9 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................31

4 JURO E DESCONTO COMPOSTO ............................................................................................... 354.1 Cálculo do Montante ...................................................................................................................................................354.2 Taxas Equivalentes .......................................................................................................................................................364.3 Número de Períodos Fracionários ..........................................................................................................................374.4 Período da Taxa não Coincide com o de Capitalização ..................................................................................374.5 Valor Atual e Nominal em Capitalização Composta ........................................................................................384.6 Compra à Vista e Compra a Prazo ...........................................................................................................................384.7 Descontos Compostos ................................................................................................................................................394.8 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................404.9 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................40

SUMÁRIO

5 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ...................................................................................................... 435.1 Capitais Equivalentes ..................................................................................................................................................455.2 Conjunto de Capitais ...................................................................................................................................................465.3 Taxa Interna de Retorno .............................................................................................................................................475.4 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................485.5 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................48

6 ANUIDADES ............................................................................................................................................. 516.1 Modelo de Anuidade (Prestação) ...........................................................................................................................516.2 Modelo de Anuidade (Capitalização) ....................................................................................................................556.3 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................576.4 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................57

7 EMPRÉSTIMOS....................................................................................................................................... 597.1 SAF .....................................................................................................................................................................................597.2 SAC .....................................................................................................................................................................................617.3 Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) ......................................................................................................627.4 Inflação .............................................................................................................................................................................637.5 Taxa de Juros Aparente e Real .................................................................................................................................637.6 Aplicações de Curto/Médio Prazos ........................................................................................................................647.7 Aplicação a Médio/Longo Prazos ...........................................................................................................................657.8 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................667.9 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................66

8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 67

RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 69

REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 81

ANEXOS .......................................................................................................................................................... 83

5

Esta apostila destina-se aos(às) alunos(as) de cursos superiores que necessitam de um estudo re-ferente à Matemática Comercial e Financeira. Ela foi criada com a finalidade de orientar o(a) aluno(a) do Ensino a Distância (EaD) no desenvolvimento dos seus estudos.

Em sua elaboração, procurou-se criar uma linguagem diferenciada de livros, proporcionando que você tenha uma melhor compreensão.

A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, aplicações em forma de exercí-cios resolvidos, e exercícios de aprendizagem para melhor compreensão dos assuntos abordados, visan-do a atender aos seguintes objetivos gerais e específicos:

Objetivos gerais�� Desenvolver a capacidade e a habilidade de avaliação do valor do dinheiro ao longo do tempo;

�� Apreender os conhecimentos e técnicas de aplicação do dinheiro tanto em juros simples como em juros compostos;

�� Determinar operações de descontos avaliando a melhor aplicação;

�� Desenvolver a habilidade de cálculo e estudar as alternativas nas quais os investimentos ou os retornos obedecem a uma lei de formação;

�� Saber manusear os principais comandos básicos das calculadoras científicas e HP 12C.

Objetivos específicos�� Avaliar taxas de juros cobradas ou pagas pelos agentes financeiros;

�� Ensinar o valor do dinheiro no tempo;

�� Decidir sobre propostas de financiamento ou de investimento de acordo com os objetivos tra-çados;

�� Analisar a viabilidade financeira de operações de créditos;

�� Executar cálculos financeiros: juros, descontos, prazos, valores de prestações de acordo com as políticas traçadas;

�� Identificar os produtos financeiros mais adequados para as operações da empresa.

Espera-se, com este material, contribuir de forma expressiva no seu aprendizado na área da Mate-mática Financeira.

Aproveitamos para agradecer a todos aqueles que confiaram em nosso trabalho, e desejamos a você bons estudos e sucesso.

INTRODUÇÃO

7

1.1 Proporções

Caro(a) aluno(a), vamos começar nosso estu-do!

Considere, numa certa ordem, quatro núme-ros (a, b, c, d) diferentes de zero. Dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a, b) é igual à razão entre os dois últimos (c, d).

Observa-se que: a, c são antecedentes (nume-radores); b, d são consequentes (denominadores).

A propriedade fundamental das proporções é que “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. Veja!

Veja o exemplo 1: Mostre que os números 3, 7, 15 e 35 formam uma proporção, e escreva-a.

Vamos resolver: Pela propriedade funda-mental, temos que verificar se:

O que de fato justifica a sentença como ver-dadeira:

Dessa forma os números 3, 7, 15 e 35 formam uma proporção, e esta é:

Exemplo 2: Dois irmãos montam uma em-presa prestadora de serviços; um deles aplicou R$ 3500,00 a mais que o outro, ficando um com 900 cotas e o outro com 400. Quanto investiu cada um?

Vamos resolver: Considerando que o núme-ro de cotas é diretamente proporcional ao capital de cada um e admitindo que um irmão investiu x, logo o outro aplicou x + 3500. Escrevemos a pro-porção:

Simplificando a fração, resulta em:

dc

ba

=

cbda .. =

900400

3500=

+xx

94

3500=

+xx

RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS1

Hercules Sarti e Renan Faria

8

Resolvendo a equação, temos: Assim, um irmão investiu R$ 2800 e o outro R$ 6300.

28005

14000140005

1400049

==

=+=

x

xxx

AtençãoAtenção

Numa proporção, temos a propriedade: “o produto dos extremos é igual ao pro-duto dos meios”.

Pessoal, atenção!

Observe que:

A essa série de razões equivalentes, denomi-namos série de razões iguais ou proporção múl-tipla. Generalizando, temos:

Fazendo a razão comum igual a K, obtemos:

Donde:

Somando membro a membro, vem:

Pondo K em evidência, temos:

Isolando K no segundo membro:

O que nos leva à Propriedade Fundamen-tal:

“Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.”

Exemplo 3: Determine dois números, saben-

do que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 32

.

Vamos resolver: Chamando de x e y esses números, temos:

1.2 Proporção Múltipla

nm

dc

ba

=== ...

knmk

dck

ba

=== ,...,,

knm

kdckba

.

.

.

====

knkdkbmca ......... +++=+++

)...(... ndbkmca +++=+++

kndbmca

=++++++

......

nm

dc

ba

ndbmca

====++++++ ...

......

32

=yx

e

9

1.3 Grandezas Diretamente Proporcionais

1.4 Grandezas Inversamente Proporcionais

Alterando os meios, temos:

Pela propriedade fundamental, vem: C o m o , vem:

Logo, x = 28 e y = 42.e

e32yx

=

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo xky ⋅= , onde k é um nú-mero real diferente de zero ( *ℜ∈k ).

Dadas duas grandezas diretamente propor-cionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

Exemplo 4: Os números das sequências (6, 9, 20) e (2, 3, 6) são proporcionais?

Vamos resolver: Temos:

Logo, esses números não são proporcionais.

Exemplo 5: Sendo X e Y grandezas direta-mente proporcionais, calcule os valores de a e b nas sequências X (7, 9, b) e Y (21, a, 39).

Vamos resolver: Sendo k a razão de propor-

cionalidade, temos:

Logo:

332yyx

=++

232xyx

=++

e

Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y

são expressos por uma função do tipo x

ky 1⋅= ,

onde k é um número real e diferente de zero ( *ℜ∈k ).

Dadas duas grandezas inversamente propor-cionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores cor-respondentes da outra.

Exemplo 6: Verificar se são ou não inversa-mente proporcionais as sequências (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9).

Vamos resolver:

Temos:

Logo são inversamente proporcionais e o fa-tor de proporcionalidade é 90.


10

Exemplo 7: Determine os valores de a e b nas sequências de números inversamente propor-cionais (2, 3, b) e (15, a, 5).

Vamos resolver:

Temos:

Assim, vem:

Divisão em Partes Diretamente Proporcionais

Exemplo 8: O capital social de três sócios em um empreendimento é de R$ 360.000,00. Um deles detém 500 cotas, outro tem 300 cotas e o terceiro possui 100 cotas. Qual é a parte de cada um?

Vamos resolver: Supondo que suas partes respectivas sejam x, y e z, estabelecemos:

1.5 Divisão Proporcional

100300500100300500 ++++

===zyxzyx

900000.360

500=

x900

000.360300

=y

900000.360

100=

z

Sendo 000.360=++ zyx , temos:

Resultando em:

Divisão em Partes Inversamente Proporcionais

Exemplo 9: Considerando a distribuição de bens apurados para 5 herdeiros, cujas idades são: 7, 12, 14, 18 e 26 anos, um testamento requer que os bens apurados sejam divididos em partes inversamente proporcionais à expectativa de vida para cada um. Calcular os percentuais que cada um deles esperará receber.

Vamos resolver:

Temos que:


11

1.6 Regra da Sociedade

Como são 5 herdeiros, temos que:

Substituindo e dando continuidade aos cálculos, temos:

1=++++ edcba

Calculando os percentuais de cada herdeiro, vem:

Você já ouviu falar de regra da sociedade?

A regra da sociedade é uma aplicação da di-visão proporcional. Ela tem por objetivo distribuir lucros ou prejuízos entre sócios, que, no caso mais geral, consiste numa distribuição em que as cotas de capital são diferentes e os tempos de perma-nência também são diferentes.

Exemplo 10: Antônio e Márcio organizaram uma firma com um capital social de R$ 200.000,00, devendo cada um deles entrar com R$ 100.000,00. No ato da organização, 1º de março, Antônio inte-gralizou sua cota e Márcio contribuiu com apenas R$ 70.000,00, responsabilizando-se em integralizar sua cota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi pro-

For Evaluation Only.


12

cedido o balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 74.000,00. Qual a parte a ser creditada a cada sócio?

Vamos resolver: Antônio terá um lucro dire-tamente proporcional a R$ 100.000,00 durante os 10 meses. Ou seja, .

Quanto a Márcio, terá uma parte de seu lucro correspondente a R$ 70.000,00 duran-te 10 meses e a outra parte corresponden-te a R$ 30.000,00 durante 5 meses. Ou seja,

.

Dessa forma, temos um lucro de R$ 74.000,00 para repartir em 1.850.000 cotas.

1.7 Regra de Três

Regra de três você já deve ter visto!

Denominamos regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou in-versamente proporcional a uma ou mais grande-zas.

A regra de três pode ser simples (quando en-volve apenas duas grandezas) ou composta (quan-do envolve mais de duas grandezas).

Regra de Três Simples

Exemplo 11: Um grupo de 6 embaladores com a mesma produtividade cada completa 150 unidades de um produto industrial em 12 horas. Se aumentarmos para 9 o número de embalado-res, nas condições anteriores, em quanto tempo o trabalho ficará pronto?

Vamos resolver: Dispomos os dados do pro-blema em duas colunas, uma para cada grandeza.

Raciocinemos: se aumentar o contingente, o mesmo serviço será feito em menos ou mais tem-po? Obviamente, em menos tempo. Temos então

uma relação inversamente proporcional. Então, fi-xemos as setas em sentidos contrários, para indicar uma relação inversa.

Em seguida, invertemos os valores da coluna com a seta invertida, para ficar com o mesmo sen-tido da seta que contém a incógnita.

Por final, montemos a proporção:

Resposta: O trabalho ficará pronto em 8 horas.

Pessoas Tempo6 12 horas9 x




13

Regra de Três Composta

Exemplo 12: Suponhamos que duas impressoras gastem, para imprimir 109.375 exemplares, 70 minutos. O programador de produção precisa determinar o tempo de impressão de 468.750 exemplares iguais a estes, utilizando 5 impressoras. Ajude o programador a determinar esse tempo.

Vamos resolver: Dispomos os dados do problema em colunas, uma para cada grandeza.

Comparando o número de máquinas com o tempo, verificamos que mais máquinas significam maior produtividade e, portanto, menos tempo para fazer um serviço. Vemos que a primeira e a terceira colunas contêm variáveis que são inversamente proporcionais. Portanto, as setas têm sentidos contrários.

Fixamos a primeira coluna (suposta constante) e vamos raciocinar em termos da segunda e ter-ceira. Em relação à produção, esta cresce e consequentemente o tempo também deve crescer. Logo, as grandezas contidas nas colunas segunda e terceira são diretamente proporcionais e as setas têm o mesmo sentido.

Invertendo a seta das impressoras, que é a única em sentido contrário, e suas grandezas, ficamos com:

AtençãoAtenção

Denominamos regra de três os proble-mas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

Impressoras Produção Tempo2 109.375 705 468.750 x

Impressoras Produção Tempo2 109.375 705 468.750 x

Impressoras Produção2 109.3755 468.750

Tempo70x

Impressoras Produção2 109.3755 467.750

Tempo70x


14

Essas expressões são exemplos do uso da porcentagem.

Exemplo 13: Qual a taxa unitária correspon-dente a 9,8%?

Vamos resolver: 9,8% está na forma percen-tual.

Resposta: A taxa unitária é 0,098.

Exemplo 14: Um vendedor recebe 3% de co-missão nos negócios que realiza. Qual a sua comis-são numa venda de R$ 850,00?

Vamos resolver: Sendo o principal igual a R$ 850,00 e a taxa de 3% = 0,03, temos:

Logo, a comissão é de R$ 25,50.

O valor de x será dado pelo produto dos fatores que aparecem na linha e coluna de x, dividido pelo produto dos elementos restantes.

1.8 Porcentagem

O que é porcentagem?

A expressão ‘por cento’ é utilizada para in-dicar uma fração com denominador 100 (razão centesimal), sendo que outra representação das razões centesimais usadas nas operações econô-mico-financeiras é substituir o denominador 100 pelo símbolo %.

Em nosso dia a dia, você já deve ter ouvido as expressões:

�� “A vista com 5% de desconto”;

�� “A Caderneta de Poupança está renden-do hoje 0,615%”;

�� “Liquidação total, descontos de até 50%”.

098,0100

8,9%8,9 ==

Saiba maisSaiba mais

Transformação da forma porcentual para a forma unitária

Forma porcentual Transformação Forma unitária10% 10 ÷ 100 0,101% 1 ÷ 100 0,011,11 111 ÷ 100 0,111


15

1.9 Resumo do Capítulo

1.10 Atividades Propostas

Exemplo 15: Uma loja está remarcando seus preços com 3,5% de acréscimo. Atualizar o preço de um tênis de valor R$ 135,00.

Vamos resolver: A taxa de 3,5% = 0,035, temos:

Resposta: O tênis passará a custar R$ 139,73.

Outra forma de resolução, mais direta, é multiplicar por 1,035. Repare que:

1,035 = (1 + 0,035). O número 1 representa o valor unitário, e 0,035 é a taxa unitária de aumento.

Neste capítulo, que envolve as relações entre grandezas, estudamos os conceitos das proporções, trabalhando com as ideias de grandezas que são diretamente proporcionais e também com grandezas que são inversamente proporcionais. Tivemos a oportunidade de estudarmos a Regra da Sociedade, que consiste numa aplicação da divisão proporcional e revemos os conceitos de regra de três e porcentagem.

Agora faça os exercícios propostos.

1. Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a41

e cujos consequentes sejam 28 e 36.

2. Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a razão é94

.

3. Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação58

. Quais são esses números?

4. A idade de um pai está para a de seu filho como 7 está para35 . Se a soma das idades é 52, qual

a idade de cada um?

5. Decomponha o número em duas partes, tais que a razão entre elas seja 23

.

6. Qual é o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 assim como 28 está para 20?


16

7. Qual é o número que, diminuído de 3 unidades, está para o seu consecutivo assim como 5está para 6?

8. A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. Adiferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números?

9. A importância de R$ 588,00 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da primeiraestá para a da segunda como 5 para 7, e que a parte da segunda está para a da terceira como7 para 9, determine as três partes.

10. O número de dias gastos na construção de um muro é diretamente proporcional ao númerode operários empregados nesse serviço? Por quê?

11. Verifique se são ou não proporções os números (40, 38, 35) e (8, 7, 5).

12. Qual é a razão de proporcionalidade entre as sequências de números diretamente proporcio-nais (5, 8, 11) e (40, 64, 88)?

13. Determine os valores de a e b nas sequências de números proporcionais (6, a, 21) e (2, 5, b).

14. Determine o fator de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números proporcio-nais:

a) (4, 16, 20) e (12, 48, 60) b) e

15. Determine o coeficiente de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números in-versamente proporcionais: (6, 10, 5) e (20, 12, 24).

16. Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números:58,

45,

32,

83

.

17. Quais os menores números inteiros inversamente proporcionais aos números 3, 4, 5 e 8?

18. Determine os valores x, y e z nos grupos de números inversamente proporcionais:

9 , ,

543 ,8 z e ( )1 ,9 , , yx .

19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$ 12.000,00 a mais do que o outro.O capital é dividido em 13.000 cotas, ficando, dessa forma, o primeiro com 8.000 e o segundocom 5.000 cotas. Com quanto entrou cada um?

20. Na liquidação de uma falência, apura-se um ativo de R$ 240.000,00 e um passivo constituídopelas seguintes dívidas: o credor A = R$ 160.000,00, o credor B = R$ 240.000,00 e o credor C =R$ 200.000,00. Apure quanto receberá cada credor.


17

21. Um plano de Participação nos Resultados de uma empresa prevê premiar assiduidade, postoque este é um sério problema interno, e destinou uma verba suplementar de R$ 6.000,00 para premiar sua equipe, cujas faltas no período foram 2, 3, 6 e 9. Como é que fica essa distribuição?

22. Em um recipiente há 180 ml de uma mistura de duas substâncias, A e B, na proporção 5:1. Paraalterá-la na proporção 5:2, que quantidade da substância B deve ser acrescentada?

23. Uma transportadora, ao montar sua tabela de fretes, considera o preço do serviço prestadoem função da carga e da distância. Ela cobrou R$ 180,00 para transportar 1.200 kg por 110 km.Um novo pedido implica em transportar 850 kg por 75 km. Despreze os pedágios que seriamacrescentados ao preço. Ajude o orçamentista da transportadora a calcular o novo frete.

24. Para pavimentar 48 km de estrada foram precisos 8 trabalhadores, durante 15 dias de 10 ho-ras. Quantos dias de 8 horas serão necessários para 6 trabalhadores pavimentarem 196 km?

25. Determine x, y e z, diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, respectivamente, tais quex + 3y + 4z = 93.

26. Divida 183 em partes proporcionais a31

, 41

e 71

.

27. Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

28. Os departamentos A, B e C de uma empresa devem receber R$ 850.000,00 para investimentos.Por razões estratégicas, A deve ficar com a mesma quantia que os outros dois departamentosjuntos e B deve receber R$ 50.000,00 a mais do que C. Quanto receberá cada departamento?

29. Certo grupo de pessoas se cotiza para comprar um bem no valor de R$ 12.000,00. Ao final, umdeles desiste, o que leva os demais a aumentarem sua participação em R$ 1.000,00. Nessascondições, determine a participação que fora prevista para cada um, antes da desistência.

30. Em 180 ml de uma mistura de água e álcool há 25% de álcool. Determine a quantidade deágua que deve ser acrescentada para que o álcool passe a corresponder a 20% da mistura.

31. Um prêmio de R$ 2.000,00 deve ser dividido entre os três primeiros colocados de um con-curso, de forma proporcional à pontuação obtida. Se o primeiro colocado obteve 90 pontos,o segundo, 83 e o terceiro, 77, determine a diferença, em reais, entre os prêmios a que têmdireito o primeiro e o segundo colocados.

32. Uma máquina, que trabalhando sem interrupção fazia 90 fotocópias por minuto, foi substituí-da por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo númerode cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia. O valor hora/máquina da1ª é de R$ 560,00 e o da 2ª é de R$ 624,00. Quanto ficará fazer esse trabalho com a segundamáquina?


18

33. Uma empresa é aberta com dois sócios que firmam um contrato segundo o qual o lucro de-verá ser dividido em partes diretamente proporcionais ao capital investido e ao tempo de dedicação ao negócio. A tabela a seguir indica a participação de cada um.

Para cada R$ 50,00 de lucro que couberem ao sócio A, quanto que B deve receber?

34. Com a chegada do final do ano, as fábricas de camisetas procuram confeccionar o maior nú-mero de peças para atender à sua clientela. Numa dessas fábricas, 16 máquinas aprontaram720 camisetas em 3 dias de trabalho. Em 24 dias de trabalho, quantas máquinas seriam neces-sárias para confeccionar 2160 camisetas?

35. Uma obra é executada por dez operários trabalhando 8 horas diárias durante 15 dias. Se ajornada fosse reduzida para 6 horas e o prazo para conclusão da obra fosse reduzido para 10dias, quantos operários seriam necessários?

36. Sabe-se que quatro máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem quatrotoneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?

37. Vinte e cinco teares trabalhando oito horas por dia, durante 10 dias, fizeram 1.200 metros decerto tecido. Vinte teares trabalhando nove horas por dia durante dezoito dias produzirãoquantos metros do mesmo tecido?

38. Em uma fábrica, vinte e cinco máquinas produzem 15.000 peças de automóvel em doze dias,trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 30 máquinas, paraproduzirem 18.000 peças em 15 dias?

39. Certo trabalho é executado por 15 máquinas iguais, em 12 dias de 10 horas. Havendo defeitoem três das máquinas, quantos dias de 8 horas deverão trabalhar as demais, para realizar odobro do trabalho anterior?

40. Um retalho de fazenda com 12,5 m de comprimento custa R$ 55,00. Por um retalho da mesmafazenda com comprimento de 2,6 m, quanto você iria pagar?

41. Uma lebre está a 80 m à frente de um cão que a persegue. Enquanto a lebre percorre 19 m, ocão percorre 21 m. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre?

42. Em um acampamento militar com 300 soldados há víveres para 20 dias. Tendo chegado mais140 soldados, a quanto se deve reduzir a ração diária para que o alimento dure ainda o mesmotempo?

Capital investido Dedicação semanalSócio A R$ 100.000,00 20 horasSócio B R$ 80.000,00 40 horas


19

43. Um automóvel, correndo a velocidade de 84 km/h, deve percorrer uma certa distância em 9 h.Depois de 3 h de viagem houve um desarranjo no motor e o automóvel teve de parar durante 45 minutos. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar ao ponto final na hora fixada?

44. Paguei R$ 916,80 por um compromisso inicial de R$ 960,00. Qual a taxa de abatimento con-seguida?

45. Considere que no custo inicial de um livro, 60% seja devido ao papel e 40% à impressão, des-prezando os demais componentes. Se no ano, o papel subiu 15,59% e a impressão 32,5%, qualo aumento percentual total no custo industrial do livro?

46. Uma empresa oferece 3,5% para compras de grandes quantidades, mais 4,0% para pagamen-tos a vista, além de 5% para quem se encarrega do frete. Quanto pagará o cliente que se en-quadrar em todas as promoções?

47. Um investidor aplicou em ações. Algum tempo mais tarde, ele resgatou R$ 13.600,10, perden-do 11,40% sobre o valor aplicado. Quanto foi aplicado?

48. Uma duplicata no valor de R$ 1.080,00 sofreu um desconto e ficou reduzida a R$ 1.020,00.Qual a taxa de desconto aplicada pelo banco?

49. Uma empresa informa a seus clientes que este é o terceiro desconto igual e sucessivo que estápromovendo em sua tabela de preços, de modo que, no preço final, o reflexo seja de um aba-timento de 24,10%. Você é capaz de saber de quanto foram esses descontos parciais?

50. Em um trabalho, uma pessoa faz 35% e a outra faz 55% do que sobrou. Qual a porcentagemdesse trabalho a ser completada?

51. Carlos, Luís e Sílvio tinham juntos 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu umaaplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvio aplicou metade deseu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicaçãode risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham, juntos, 59mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.

52. Um comerciante aplicou um capital C, com rendimento de 30% a.a. (ao ano), no início de 2001.Naquela data, ele poderia comprar, com esse capital, exatamente 20 unidades de um determi-nado produto. Porém, o preço unitário do produto subiu 25% em 2001. A porcentagem a maisde unidades do produto que o comerciante podia comprar, no início de 2001, era de:

a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?

b) Qual o rendimento da aplicação de risco?

21

Caro(a) aluno(a), daremos continuidade es-tudando custos.

Duas classificações de custos são muito usa-das pelos analistas.

Os custos diretos são custos específicos de cada produto e, portanto, podem ser diretamente apropriados, enquanto que os custos indiretos são custos comuns a dois ou mais produtos e, dessa forma, dependem de um critério de distribuição.

Os custos fixos são aqueles que independem do volume de produção. Os custos variáveis são aqueles que mantêm uma relação direta com o vo-lume de produção. Os custos totais de um produto podem ser traduzidos por uma equação linear da forma:

Onde:

CT = custos totais de produção;

CF = custos fixos;

CV = custo variável unitário;

x = número de unidades produzidas.

Exemplo 16: Uma indústria apresenta um total de custos fixos de R$ 3.800,00 por mês, custo variável unitário de R$ 3,50 para os seguintes níveis de produção:

a) produção de 100 unidades;

b) produção de 200 unidades;

c) produção de 500 unidades;

Calcular os custos totais para cada item e ob-ter os custos unitários.

Vamos resolver: Substituindo os dados, te-mos:

a)

O custo unitário será de:

b)


2.1 Noções de Custos

OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS2

DicionárioDicionário

Custo fixo: é todo custo que ocorre independente-mente do ato produtivo.


22

c)


2.2 Ponto de Equilíbrio

87,50$0,50175 R=×

52,50$0,30175 R=×

35,00$0,20175 R=×

R$96,251,1087,50 =×

57,75$1,1052,50 R=×

AtençãoAtenção

Os custos fixos são aqueles que independem do volume de produção. Os custos variáveis são aqueles que mantêm uma relação direta com o volume de produção.

Muitas vezes, a empresa está interessada em obter o número de unidades que podem ser fabri-cadas e vendidas, para atingir um ponto em que custos e despesas se equilibram para um desejado lucro.

Se as x unidades fabricadas forem vendidas a um preço unitário PV, a empresa obterá uma recei-ta total dada por:

O ponto de equilíbrio para um lucro bruto nulo poderá ser determinado por:

Fazendo as devidas substituições, temos:

Exemplo 17: Uma indústria fabrica calcu-ladoras, vendidas no varejo a R$ 210,00 cada. O lucro bruto deste ano foi de 20% sobre o custo dos produtos vendidos, atingido com a venda de 1500 unidades. O custo do material direto repre-senta 50%, a mão de obra direta representa 30% e o custo indireto de fabricação é de 20% do custocorrente dos produtos vendidos. No próximo ano, projeta-se um aumento nos custos da matéria-pri-ma e da mão de obra direta de 10% por unidade, e que os custos indiretos de fabricação cresçam em 15% por unidade. Um novo preço de venda de R$ 250,00 está fixado para compensar o aumento dos custos. Quantas unidades deverão ser vendidas no

próximo ano para que se obtenha a mesma mar-gem de lucro bruto deste ano?

Vamos resolver:

No ano 1, temos:

Preço de venda por unidade = R$ 210,00

Custo dos produtos vendidos = 210:1,20 (lu-cro de 20% sobre o custo) = R$ 175,00

Lucro bruto por unidade = 210 – 175 = R$ 35,00

Custo do material =

Custo de mão de obra =

Custos indiretos de fabricação =

No ano 2, temos:

Custo do material =

Custo de mão de obra =

(aumento de 10%)

(aumento de 10%)


23

Custos indiretos de fabricação =

Custo total =

Lucro bruto por unidade =

R$ 250,00 – R$ 194,25 = R$ 55,75

O lucro total obtido no ano 1 foi de:

Esse lucro deve ser mantido para o segundo ano, logo, temos:

Resposta: Deverão ser vendidas 942 unida-des no segundo ano para se manter a mesma mar-gem de lucro bruto do primeiro ano.

194,25$40,2557,7596,25 R=++

Prezado(a) aluno(a), vendas com lucro de-vem interessar!

A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este pode ser sobre o preço de custo ou so-bre o preço de venda. Temos:

PV = PC + L

Onde:

PV = preço de venda

PC = preço de custo

L = lucro

Exemplo 18: Um comerciante vendeu mer-cadorias com um lucro de 18% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.

Vamos resolver: Sendo o lucro sobre o cus-to, temos L = 0,18 PC:

Resposta: O preço de venda será de R$ 590,00.

Exemplo 19: Uma mercadoria foi adquirida por R$ 6.000,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser esse preço.

Resolvendo: Sendo o lucro sobre o preço de venda, temos L = 0,25 PV.

Resposta: O preço de venda será de R$ 8.000,00.

2.3 Vendas com Lucro

AtençãoAtenção

A venda de mercadorias pode oferecer um lu-cro e este pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

(aumento de 15%)


O ponto de equilíbrio é um conceito importante, pois identifica a situação em que as receitas totais estão em equilíbrio com os custos totais. A partir do ponto de equilíbrio, o negócio começa a ser rentável. É funda-mental conhecer o ponto de equilíbrio como ferra-menta gerencial.


24

2.4 Vendas com Prejuízo

2.5 Abatimentos Sucessivos

Uma mercadoria pode ser vendida com pre-juízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. Temos:

PV = PC – P

Onde:

PV = preço de venda

PC = preço de custo

P = prejuízo

Exemplo 20: Umas ações foram vendidas com um prejuízo de 40% sobre o preço de cus-to. Sabendo que o custo dessas ações foi de R$ 3.000,00, calcule o preço de venda.

Resolvendo: Sendo o prejuízo sobre o preço de custo, vem P = 0,40 PC.

Resposta: O preço de venda das ações foi de R$ 1.800,00.

Exemplo 21: Uma casa que custa R$ 960.000,00 foi vendida com um prejuízo de 6% so-bre o preço de venda. Calcule o preço de venda.

Vamos resolver: Sendo o prejuízo sobre o preço de venda, temos P = 0,06 PV.

Resposta: O preço de venda da casa foi de R$ 905.660,00.

Exemplo 22: Uma empresa oferece sobre o valor de uma fatura os descontos sucessivosde 10%, 4% e 5%. Sendo o valor da fatura de R$ 12.000,00, calcule o valor líquido a ser pago.

Vamos resolver: Sendo VL o valor líquido e concedendo os descontos, temos:

Resposta: O valor líquido a ser pago é de R$ 9.849,60.


25



Neste capítulo, trabalhamos com as operações sobre mercadorias. Estudamos os conceitos de cus-tos fixos e variáveis. Vimos um ponto em que despesas e custos se equilibram para um lucro desejado. Resolvemos problemas envolvendo vendas com lucro e vendas com prejuízo.

Agora faça os exercícios propostos:

1. Um produtor pode vender seu produto por R$ 100,00 a unidade. O custo total consiste emuma parte fixa de R$ 5.000,00, mais os custos de produção de R$ 50,00 por unidade. Julgue ositens a seguir:

2. Um restaurante a quilo vende 100 quilos de comida por dia a R$ 10,00 o quilo. Através de umaconsulta aos clientes, o gerente constatou que para cada R$ 1,00 de aumento no preço do qui-lo, o restaurante perderia 10 clientes com consumo de 500 gramas cada um, em média. Nessascondições, a receita que é dada em função do preço X pela equação R(X) = X [100 quilos – 5quilos (X – R$ 10,00)] será máxima se o valor cobrado por quilo for:

3. Um táxi cobra em cada corrida o valor fixo de R$ 3,20 (bandeirada) mais R$ 0,80 por quilôme-tro rodado.

4. Além do custo administrativo fixo, diário, de R$ 500,00, o custo de produção de x unidades decerto produto é de R$ 2,50 por unidade. Durante o mês de maio, o custo total de produção va-riou entre R$ 1.325,00 e R$ 1.200,00 por dia. Pode-se dizer que os níveis de produção máximoe mínimo durante o mês foram de:

I. A receita e o custo são iguais, se forem produzidas e vendidas 100 unidades do produto.

II. O produtor terá lucro mesmo se produzir e vender menos de 50 unidades.

III. O custo de produzir 30 unidades do produto é superior a R$ 6.000,00.

IV. A receita do produtor pode ser maior do que R$ 20.000,00, se ele produzir e vender mais de200 unidades do produto.

O número de itens corretos é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

a) Indique por x o número de quilômetros rodados e por P o preço a pagar por uma corrida Re-lacione P com x.

b) Determine a distância percorrida por um passageiro que dispõe apenas de R$ 28,00 para pa-gar.


26

5. Uma empresa mantém a seguinte estrutura de custos e de produção:

�� Custos e despesas fixos mensais de R$ 150.000,00;

�� Capacidade produtiva mensal de 30.000 unidades;

�� Custos e despesas variáveis unitários totais de R$ 5,50;

�� Preço unitário de venda (tabela única) de R$ 12,30.

Com esses dados, determine:

6. Suponha que o faturamento F, em reais, obtido na venda de n artigos seja dado por F = 2,5 ne que o custo C, em reais da produção desses n artigos, seja C = 0,7 n + 360. Para não haverprejuízo, que número de artigos deve ser fabricado e vendido?

7. O custo de um artigo é de R$ 104,00. Qual é o preço de venda se a expectativa de lucro for de48%: a) sobre o custo? b) sobre o preço de venda?

8. Necessito de R$ 40.000,00. Pelo tempo, pela taxa usual de mercado e pelas outras despesas,sei que o banco cobrará antecipadamente 36%. Quanto devo solicitar emprestado a esse ban-co, a fim de atingir minha necessidade?

9. Um orçamentista precisa formar o preço de venda de um determinado item, baseado nasseguintes informações: comissão do vendedor 10%; encargos 16%; impostos 19%; despesasfixas R$ 600,00; lucro desejado 20%. Se o preço de custo da mercadoria foi de R$ 2.200,00, emque valor ele chegará?

10. Numa concorrência, duas firmas apresentam o mesmo preço de tabela para um artigo. A pri-meira oferece descontos de 2,5% e 1,5%; a outra oferece descontos de 2,0%, 1,0% e 1,0%. Quala melhor oferta?

11. Um investidor aplica seu dinheiro, sucessivamente, em cinco empresas. Tempos depois, ve-rifica que numa delas apurou 100% de lucro, nas outras três perdeu 15% em cada uma, e naúltima ganhou 5%. Quanto ele ganhou sobre o capital?

12. Se a margem bruta sobre o custo de um determinado produto é de 25%, determine a respec-tiva margem bruta sobre as vendas.

13. Mestre Florindo, raizeiro famoso, vende suas garrafadas medicinais por R$ 5,00, cada uma, nafeira de Caruaru. Supondo que ele venda g unidades,

a) Monte sua função receita;

b) Se ele tem um custo em torno de 40% de sua receita, monte sua equação de custo;

c) Se, além disso, ele tem uma despesa de R$ 900,00, quantas garrafas deverá vender pararecuperar seus custos e despesas totais?

d) Expresse a equação do lucro, a partir dos dados anteriores;

e) Para obter um lucro de R$ 900,00, quantas garrafas deverá vender?

a) O ponto de equilíbrio alcançado em produção e venda mensal;

b) O ponto de equilíbrio alcançado em produção e venda mensal, para um lucro esperadode R$ 30.000,00.

27

Prezado(a) aluno(a), estudaremos as opera-ções com juro simples.

No regime de capitalização simples, a taxa de juros incide sempre sobre o capital e os juros são iguais em todos os períodos considerados.

Considerando um capital C, aplicado a juros simples e à taxa i, durante n períodos de tempo, temos a fórmula para o cálculo dos juros:

O montante M de uma aplicação (ou de um empréstimo) é a soma do capital com o juro obtido pela aplicação (ou pago pelo empréstimo).

Exemplo 23: Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado a juros simples durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. Calcular os juros do período e o montante da aplicação.

Vamos resolver: Sendo C = 5.000, n = 3 e i = 0,12, substituindo na fórmula do juro, temos:

Calculando o montante, temos:

3.1 Cálculo do Juro Simples

niCJ ⋅⋅=

)1( niCMniCCM

JCM

⋅+⋅=⋅⋅+=

+=

800.6800.1000.5

=+=

+=

MM

JCM

AtençãoAtenção

No regime de capitalização simples, a taxa de juros incide sempre sobre o capital e os juros são iguais em todos os períodos considera-dos.

JUROS E DESCONTOS SIMPLES3


Capitalização simples é a operação financeira em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados.


28

Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples, se aplicadas num mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo (múltiplos dos tempos a que se referem as taxas) produzem juros iguais.

Exemplo 24: Em juros simples, qual a taxa anual equivalente à taxa de 2,5% a.m. (ao mês).


Substituindo e calculando 1i , temos:

Você já ouviu falar em Hot Money?

São operações de empréstimos de curtíssi-mo prazo (geralmente de um ou dois dias) feitos pelas empresas junto às instituições financeiras.

As taxas são dadas em termos mensais e o critério de cálculo é o de juro simples.

Exemplo 25: Uma empresa recebeu um em-préstimo de R$ 100.000,00 através de uma opera-ção com hot money. Supondo que essa operação dure dois dias úteis, calcule o montante supondo que no 1º dia a taxa de operação seja de 14% a.m. e no 2º dia de 16% a.m.


1º dia:

2º dia:

Resposta: Após dois dias, a empresa deve pa-gar ao banco o valor de R$ 101.002,49.

3.3 Operações com Hot Money

3.2 Taxas Equivalentes

2211

2211

21

nininiCniC

JJ

⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅

=


Para determinar o número de dias entre duas datas, deve-se subtrair o número de dias correspondente à data posterior do número de dias da data anterior. Para anos bissextos, deve-se acrescentar 1(um) ao resulta-do encontrado, quando o final do mês de fevereiro estiver envolvido no prazo da aplicação.


29

Seja N o valor nominal de um título. O des-conto comercial simples ou “por fora” é o juro sim-ples aplicado sobre o valor nominal, a uma taxa chamada de desconto e durante um prazo igual ao de antecipação do resgate.

Indicaremos por DC o desconto comercial, por d a taxa de desconto e por n o número de pe-ríodos de antecipação.

A diferença entre o valor nominal e o descon-to comercial chama-se valor descontado comercial e é indicada por VC.

3.4 Método Hamburguês

3.5 Desconto Comercial

Data Histórico D/C Saldo D/C01/04/06 Transporte ----- 200,00 C13/04/06 Cheque 300,00 D 100,00 D19/04/06 Cheque 150,00 D 250,00 D21/04/06 Depósito 380,00 C 130,00 C28/04/06 Cheque 270,00 D 140,00 D

Data Saldo D/C Nº de dias devedor Nº de dias × saldo01/04/06 200,00 C - -13/04/06 100,00 D 6 600,0019/04/06 250,00 D 2 500,0021/04/06 130,00 C - -28/04/06 140,00 D 3 420,00

O método hamburguês é um processo que permite calcular os juros produzidos sobre a utili-zação de cheques especiais em conta-corrente. Os juros são calculados sobre os saldos devedores nos prazos correspondentes.

Exemplo 26: Um banco cobra 12% a.m. de juros sobre os saldos devedores de cheques espe-ciais. Calcular os juros cobrados pelo banco no se-guinte extrato apresentado por um cliente.

Vamos resolver: Para o cálculo dos juros, montamos a tabela:

Resposta: Os juros debitados foram de R$ 6,08 no mês de abril de 2006.


30

Exemplo 26: Um título de valor nominal igual a R$ 60.000,00 é descontado em um banco 2 meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Calcular o desconto comer-cial e o valor descontado comercial.

Vamos resolver: Substituindo, temos:

3.6 Desconto Racional

3.7 Bonificação

A bonificação significa oferecer mais merca-doria pelo mesmo preço. Por exemplo, se o pre-ço de 100 unidades de uma mercadoria é de R$

200,00, oferecer 10% em bonificação significa ofe-recer 100 + 100 X 0,10 = 110 unidades, pelo preço de R$ 200,00.

Seja N o valor nominal de um título e V o valor atual (ou líquido) n períodos antes do vencimento. O desconto racional simples ou “por dentro” do tí-tulo resgatado n períodos antes do vencimento é a diferença entre o valor nominal e o atual.

O desconto racional será indicado por DR.

O valor atual V é calculado pela relação, onde i é a taxa de juros considerada.

Exemplo 27: Um título de valor nominal igual a R$ 60.000,00 é descontado em um banco 2 meses antes do vencimento, à taxa de juros sim-ples de 2% a.m. Calcular o desconto racional.

Vamos resolver: Substituindo, temos:

AtençãoAtenção

O desconto comercial simples ou “por fora” é o juro simples aplicado sobre o valor nominal, a uma taxa chamada de desconto e durante um prazo igual ao de antecipação do resgate.


31



No capítulo de juro e desconto simples, trabalhamos com algumas situações em que ocorre a práti-ca de juros simples. Uma delas é a operação com Hot Money, que consiste em empréstimos de curtíssimo prazo. A outra situação é o Método Hamburguês, que permite calcular os juros produzidos sobre a utiliza-ção de cheques especiais em conta-corrente. Vimos também a diferença entre descontos e bonificações. Esta última significa oferecer mais mercadorias pelo mesmo preço.


1. Qual o montante de uma aplicação de $ 600.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxade 80% a.a.?

2. Um capital de $ 1.000,00 é aplicado por um dia, a juros simples e à taxa de 1,5% a.m. Obtenhaos juros dessa aplicação, considerando um mês de 30 dias.

3. Mara aplicou $ 800,00 a juros simples e à taxa de 12% a.a. Se ela recebeu $ 384,00 de juros,obtenha o prazo de aplicação.

4. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. paraque duplique?

5. Um determinado capital, aplicado a juros simples, rende um certo juro. Em qual prazo devería-mos aplicar o quádruplo desse capital, se a taxa for a mesma e o juro for o mesmo?

6. Dividir $ 1.200,00 em duas partes, de tal maneira que a primeira, aplicada a juros simples em 2meses, a 8% a.m., renda a mesma quantia que a segunda em 3 meses e a 10% a.m.

7. Um determinado capital, acrescido dos seus juros simples de 8 meses, resulta em $ 1.960,00. Omesmo capital, acrescido dos seus juros simples de 13 meses, resulta em $ 2.560,00. Calcular ocapital e a taxa de juros simples mensal, supondo a mesma taxa nos dois casos.

8. Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preçodo produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 300,00 por saca. Três mesesmais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $ 240,00 a saca. Sabendo-seque a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data davenda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples.

9. Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta depreço do produto recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 5,00 por saca. Seismeses mais tarde vende o estoque a $ 12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simplesde mercado é de 12% a.m., calcule o lucro ou prejuízo real do produtor, utilizando o regimede juros simples.


32

10. Bruno, dispondo de $ 3.000,00, resolveu aplicá-los em duas financeiras. Na primeira aplicouuma parte a 8% a.m. por 6 meses e na segunda aplicou o restante a 10% a.m. por 8 meses. Sendo de $ 1.824,00 a soma dos juros auferidos nas duas aplicações, determine o valor dessas aplicações.

11. Uma empresa recebeu um empréstimo tipo hot money de $ 4.000.000,00. Sabendo-se queessa operação foi renovada por 3 dias úteis com as taxas de 14% a.m., 18% a.m. e 17% a.m.,pede-se:

12. Em 3 dias úteis vigoraram as seguintes taxas de hot money: 22% a.m., 22,5% a.m. e 23,4% a.m.Qual a taxa de juros acumulada no período?

13. O valor nominal de um título é de $ 50.000,00, sendo de 8 meses o prazo de seu vencimento.Considerando uma taxa de juros de 3% a.m., determine seu valor atual:

14. O valor nominal de um título é de $ 897,00, sendo que o seu vencimento ocorrerá daqui a 10meses e a taxa de juros simples corrente de mercado é de 48% a.a. Determine o valor atualdesse título:

15. Um banco cobra 25% a.m. de juros sobre os saldos devedores em cheques especiais. Quais osjuros pagos por uma pessoa que apresentou o extrato a seguir?

a) o montante;

b) a taxa de juros acumulada no período.

Data Histórico D/C Saldo D/C

01/05/04 Transporte ----- 2.000 C06/05/04 Cheque 2.500 D 500 D14/05/04 Cheque 1.000 D 1.500 D23/05/04 Depósito 1.800 C 300 C27/05/04 Cheque 600 D 300 D

a) hoje;

b) 3 meses antes do vencimento;

c) daqui a 2 meses.

a) na data focal zero (data atual);

b) 3 meses antes do vencimento;

c) daqui a 6 meses;

d) daqui a 8 meses.


33

16. Resolva o problema anterior, considerando o extrato a seguir:

17. Um título foi descontado à taxa de 2% a.m. Sabendo-se que o valor nominal era $ 7.144,40 e ovalor descontado racional $ 6.740,00, qual o prazo de antecipação?

18. Um título de valor nominal $ 200.000,00 foi descontado três meses antes do vencimento. Sen-do 96% a.a. a taxa de juros simples corrente, determine o desconto racional simples e o valoratual racional simples.

19. Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 é descontada em um banco dois meses an-tes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 5% a.m., pede-se:

20. Um banco oferece empréstimos pessoais, cobrando 5% a.m. de taxa de desconto comercial,mais 2% de despesas administrativas. Se uma pessoa necessita de $ 7.000,00 agora para pagardaqui a três meses, qual deve ser o compromisso assumido?

21. Se a taxa de desconto comercial é de 10% a.m., qual a taxa efetiva de juros simples mensal, seos prazos forem:

a) um mês b) dois meses c) três meses

22. Um desconto de 40% sobre o preço de venda de uma mercadoria, em quatro meses, que taxade juros simples representa ao mês?

23. Uma duplicata de valor nominal igual $ 4.000,00 é descontada em um banco. Sabendo-se quea taxa de desconto comercial simples utilizada pelo banco é de 3% a.m. e o prazo de venci-mento da duplicata é 45 dias, pede-se:

24. Todas as suas mercadorias estão com preço de venda marcado para que seu lucro seja de 60%sobre a venda. Se você resolve oferecer 20% de abatimento, sobre a etiqueta, para qualquercompra, qual o seu lucro real sobre a venda?

a) o desconto comercial;

b) o valor descontado comercial;

c) a taxa efetiva de juros simples da operação.

a) o desconto comercial;

b) a taxa de juros simples ao mês cobrada pelo banco;

c) o saldo médio que o banco deverá pedir para que a taxa de juros no período seja de 6%.

Data Histórico D/C Saldo D/C01/06/04 Transporte ----- 1.000 D04/06/04 Cheque 600 D 1.600 D14/06/04 O.P. 1.500 C 100 D18/06/04 Cheque 300 D 400 C28/06/04 Cheque 600 D


34

25. Se nas mesmas condições do problema anterior você oferecer 20% de bonificação, para que ocliente adquira outras mercadorias com o bônus, qual seu lucro real sobre a venda?

26. Vendo o modelo verde, misturando os modelos azul e amarelo em partes iguais, que inicial-mente possuíam custos iguais. O modelo azul aumentou 2,5% e o amarelo 4,0%. De quantodevo aumentar o modelo verde para atingir a mesma expectativa de lucro?

27. Vendia o modelo violeta por R$ 180,00, misturando em partes iguais os modelos azul e ver-melho, com participações no custo de R$ 30 e de R$ 50 respectivamente. O modelo azul foireajustado em 12,5% e o vermelho aumentou 15,5%. Qual o novo preço que devo cobrar pelovioleta mantendo a mesma expectativa porcentual de lucro?

28. O modelo que eu vendo é composto de três componentes A, B e C. O componente A custaunitariamente R$ 20,00 e utilizo 5 deles, o custo unitário de B é de R$ 40,00 e utilizo 3, e paraC temos R$ 50,00 e 4 respectivamente. Os três sofrem ajustes. A aumentou 3%, B aumentou2,5% e C baixou 1%. Qual a variação porcentual no meu custo devido a esses ajustes?

29. Uma mercadoria é vendida com um lucro bruto de 25%. Sobre o preço total da nota, 12% cor-respondem a despesas com fretes. Apure o lucro líquido do estabelecimento.

30. Se um lojista acrescenta ao preço de uma mercadoria 15% de lucro bruto, e concede, parapagamento à vista, um desconto de 15%, não estaria vendendo a preço de custo?

31. Um lojista concede a um cliente um desconto de 10% sobre o preço de venda de um artigo e,mesmo assim, consegue um lucro de 15% sobre o custo. Se o desconto não tivesse sido dado,seu lucro bruto seria, percentualmente, de:

32. Uma loja de departamentos divulga a seguinte promoção: à vista com 5% de desconto, ou emduas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira sendo paga no ato da compra. Quetaxa de juros está embutida nessa venda a prazo?

For Evaluation Only.Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007Edited by Foxit PDF Editor

35

É possível perceber, por generalização, que após n períodos o montante será:

As calculadoras financeiras permitem calcu-lar diretamente qualquer uma das quatro variáveis da fórmula, dados os valores das outras três. A sim-bologia utilizada é a seguinte:

PV (do inglês, present value) representa o ca-pital C;

FV (do inglês, future value) representa o mon-tante M;

I representa a taxa de juros;

n representa o número de períodos.

Dessa forma, a fórmula pode ser escrita da seguinte maneira:

Montante após 1 período (n =1):

Montante após 2 períodos (n =2):

Montante após 3 períodos (n =3):

Caro(a) aluno(a), estudaremos as operações com juro composto.

No regime de capitalização composta, os ju-ros gerados em cada período se agregam ao mon-tante do período anterior, passando esse novo

montante a produzir juros no período seguinte.

Considerando um capital C, uma taxa de ju-ros i e calculando o montante obtido a juros com-postos, após n períodos de tempo, temos:

4.1 Cálculo do Montante

JURO E DESCONTO COMPOSTO4



36

Exemplo 28: Qual é o capital que, aplicado à taxa de 11% a.a., a juros compostos, produz um montante de R$ 35.000,00 após 12 anos?

Vamos resolver: Temos: M = 35.000; i = 11% = 0,11; n = 12. Substituindo na fórmula, vem:

Resposta: O capital é de R$ 10.004,43.

Exemplo 29: Durante quanto tempo um capital de R$ 10.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a., para que produza um montante de R$ 16.105,10?

Vamos resolver: Temos: M = 16.105,10; C = 10.000; i = 10% = 0,10. Substituindo na fórmula e resolvendo a equação exponencial usando logarit-mos, vem:

Resposta: O capital deve ser aplicado duran-te 5 anos.

Duas taxas são equivalentes a juros compos-tos quando, aplicadas num mesmo capital e du-rante um mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Em geral, o intervalo de tempo considerado é o mínimo múltiplo comum entre os prazos a que se referem as taxas.

Sendo 1i e 2i as taxas, e 1n e 2n os núme-ros de períodos contidos no intervalo de tempo considerado, devemos ter:

Exemplo 30: Qual a taxa trimestral equiva-lente à taxa mensal de 15% a.m. no regime de juros compostos?

Vamos resolver: Adotando como intervalo de tempo um trimestre e chamando de 1i a taxa procurada, teremos:

1i = ?; 1n = 1; 2i = 0,15 a.m.; 2n = 3 meses.

Substituindo, vem:

Resposta: A taxa trimestral é de 52,09%.

21

21

)1()1(

)1()1(

21

21nn

nn

iiiCiC

+=+

+⋅=+⋅


O fator (1 + i)n é chamado fator de acumulação de capital.As taxas de juros e os prazos devem estar na mes-ma unidade de tempo.

4.2 Taxas Equivalentes



37

Exemplo 31: Vamos supor um capital de R$ 100.000,00 aplicado em regime de juros compos-tos, à taxa de 1% a.m., durante 3,5 meses (3 meses e meio).

Como o período a que se refere a taxa é o mês e temos um número não inteiro de meses, precisa-mos adotar alguma convenção para o cálculo do montante numa situação como essa. Existem vá-rias convenções utilizadas.

Uma delas é a não remuneração do capital no período fracionário. O aplicador só fará jus ao juro após um número inteiro de meses. Nesse caso, o montante após 3,5 meses será:

Um outro modo é quando utilizamos uma convenção linear, que considera remuneração a juros compostos durante a parte inteira do perío-do e, sobre o montante assim obtido, juros simples durante a parte não inteira do período considera-do.

No nosso exemplo, teremos:

Montante após 3 meses:

Juros simples sobre o montante anterior du-rante 0,5 mês:

Nesse caso, o montante final seria de:

A terceira maneira recebe o nome de con-venção exponencial. Trata-se daquela que consi-dera a fórmula do montante niCM )1( +⋅= aplicá-vel para n fracionário. No nosso exemplo, teremos:

É importante destacar que o montante obti-do a partir da convenção linear é maior que o obti-do pela convenção exponencial.

4.4 Período da Taxa não Coincide com o de Capitalização

AtençãoAtenção

Duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas num mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem mon-tantes iguais.

4.3 Número de Períodos Fracionários

Quando o período de capitalização não coin-cide com o período da taxa, adota-se a taxa por pe-ríodo de capitalização (taxa efetiva) como propor-cional à taxa considerada (taxa nominal).

Exemplo 32: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante um ano, à taxa de 12% a.a., po-rém com capitalização mensal dos juros. Qual o montante?



38

Vamos resolver: Temos: taxa nominal = 12% a.a.

Taxa efetiva no período = = 1% a.m.

Aplicando a fórmula para calcular o montan-te, vem:

É importante perceber a diferença entre o conceito de montante quando o período de capi-talização não coincide com o da taxa e o conceito de taxas equivalentes. Nesse último caso, as capita-lizações pelas taxas equivalentes são feitas de acor-do com os respectivos períodos.

NiV n =+⋅ )1(Valor nominal de um título (N) é o valor na data do seu vencimento. Valor atual (V) de um títu-lo (ou valor presente), numa data anterior ao ven-cimento, é o valor que aplicado a juros compostos a partir dessa data, até o vencimento, produz um montante igual ao valor nominal, isto é:

NiV n =+⋅ )1( , onde n é o número de perío-dos entre as duas datas.

Exemplo 33: Um título tem valor nominal igual a R$ 10.000,00. Qual seu valor atual 3 meses antes do vencimento, sabendo-se que i = 2% a.m.?


Resposta: O valor do título 3 meses antes do vencimento é de R$ 9.423,22.

4.6 Compra à Vista e Compra a Prazo

R$ 800,00

Caso tenhamos que escolher entre pagar à vista ou a prazo, devemos calcular o valor atual da alternativa a prazo e comparar com o preço à vista. A melhor alternativa é aquela que produz o míni-mo entre os valores comparados.

Exemplo 34: Uma pessoa ao fazer uma com-pra de R$ 2.400,00 deve escolher entre pagar à vis-ta com 5% de desconto e pagar em três vezes de R$ 800,00; sendo a primeira no ato da compra e as demais para 30 e 60 dias. Supondo que a taxa de juros de mercado é de 3%, o que é melhor para o comprador?


Preço à vista:

Preço a prazo:

Valor presente referente à primeira parcela:

Valor presente referente à segunda parcela:

Valor presente referente à terceira parcela:

4.5 Valor Atual e Nominal em Capitalização Composta


Para você aprofundar ainda mais seus conhecimentos sobre os temas, consulte http://www.somatematica.com.br/.



39

Existem duas modalidades de descontos compostos: o racional e o comercial, sendo este úl-timo raramente usado na prática.

O desconto racional é a diferença entre o valor nominal do título e seu valor atual na data de resgate. Assim, sendo N o valor nominal, V o valor atual e DR o desconto racional, temos:

Lembrando que, NiV n =+⋅ )1( , n é o prazo de antecipação e i, a taxa de juros.

Exemplo 35: Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 é regatado 2 meses antes do vencimento, segundo o critério de desconto racio-nal composto. Sabendo que i = 3% a.m., qual é o desconto?

Vamos resolver: Calculando o valor atual, temos:

Portanto,

O desconto comercial consiste na aplicação sucessiva do conceito de desconto comercial sim-ples. Sendo VD o valor descontado comercial com-posto, temos:

O desconto comercial composto (DC) é dado por:

Exemplo 36: Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 é regatado 2 meses antes do vencimento, segundo o critério de desconto co-mercial composto. Se a taxa de desconto for de 4% a.m., qual o desconto e o valor descontado?

Vamos resolver: Calculando o valor descon-tado, temos:

Calculando o desconto comercial:

A taxa de juros da operação é:

Valor presente total: Portanto, a melhor alternativa é pagar à vista.

NiV n =+⋅ )1(

AtençãoAtenção

O desconto racional é a diferença entre o valor nominal do título e seu valor atual na data de resgate.

4.7 Descontos Compostos



40

No capítulo de juro e desconto composto, trabalhamos com alguns problemas de investimentos levando em consideração a taxa de aplicação, o período de aplicação e o valor aplicado. Vimos que a taxa pode ser anual, semestral, mensal, entre outras, e que as compras podem ser à vista ou a prazo. Estuda-mos também as modalidades de descontos compostos: o racional e o comercial.




1. Um capital de R$ 700,00 é aplicado a juros compostos, durante um ano e meio, à taxa de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no período.

2. Um banco remunera aplicações a juros compostos, cuja taxa é de 3% a.m. Se uma pessoa apli-ca hoje R$ 85.000,00 e R$ 100.000,00 daqui a 3 meses, qual será o montante daqui a 6 meses?

3. Qual é o capital que, aplicado a juros compostos durante nove anos, à taxa de 10% a.a., produz um montante de $ 175.000,00?

4. Um determinado capital, aplicado a juros compostos durante 10 meses, rendeu uma quantia de juros igual ao valor aplicado. Determine a taxa mensal dessa aplicação.

5. Um capital aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendeu um montante igual ao seu dobro. Determine a taxa mensal da aplicação.

6. Gisele aplicou $ 6.000,00, sendo uma parte no banco A, à taxa de 6% a.m., outra parte no banco B, à taxa de 5% a.m. O prazo das aplicações foi o mesmo, ou seja, 6 meses. Determine os capitais aplicados, considerando o regime de capitalização composta e que os saldos veri-ficados no banco A e no banco B são iguais.

7. Uma determinada empresa teve seu faturamento aumentado de $ 80.000,00 para $ 400.000,00, em apenas 3 anos. Determine o percentual de crescimento anual desse faturamento.

8. Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas:

a) 18% a.m. b) 25% a.b. (ao bimestre) c) 45% a.t. (ao trimestre) d) 250% a.s. (ao semestre)

9. Em juros compostos, qual é a taxa em 40 dias equivalente a 25% a.m.?

10. Em juros compostos, o que é preferível: aplicar $ 1.000,00 durante um ano à taxa de 25% a.m. ou a 80% a.t.?

11. Mário fez uma aplicação de $ 12.000,00 por 18 meses, à taxa de 22% a.a. Determine o montan-te recebido, utilizando-se da convenção linear e exponencial.



41

12. Determine o valor aplicado numa operação, cujo resgate foi de $ 170.000,00, após 160 dias, a uma taxa composta de 2,2% a.m., utilizando-se da convenção linear e exponencial.

13. Um capital de $ 5000,00 é aplicado durante 8 meses a juros compostos de 36% a.a. capitaliza-dos mensalmente. Qual o montante recebido?

14. Um banco concede empréstimos pessoais, cobrando juros compostos, à taxa de 20% a.s., com capitalização trimestral. Qual o montante a ser pago por um empréstimo de $ 6.000,00 duran-te 9 meses?

15. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de $ 20.000,00 para ser devolvido em 2 anos. Saben-do-se que a financiadora cobra taxa nominal composta de 24% a.a. com capitalização trimes-tral, calcule o montante a ser devolvido no vencimento (desprezar os centavos da resposta).

16. Um investidor depositou ¼ de seu capital à taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente, e o restante a 30% a.a., capitalizados semestralmente. Ao final de três anos retirou o montante de $ 331.192,29. Nessas condições, calcule o capital empregado (despre-zar os centavos da resposta).

17. Uma dívida de $ 80.000,00 vence daqui a 5 meses. Considerando uma taxa de juros compos-tos de 10% a.m., calcule seu valor atual nas seguintes datas:

18. Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 15% a.m. para fazer frente a um com-promisso de $ 270.000,00 daqui a 2 meses?

19. Uma dívida de $ 500.000,00 vence daqui a 2 meses e outra dívida de $ 600.000,00 vence daqui a 4 meses. Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 18% a.m. para fazer frente a esses compromissos?

20. Um equipamento é vendido por $ 500.000,00 para pagamento daqui a 2 meses. À vista há um desconto de 20%. Qual a melhor opção de pagamento, se a taxa de juros de mercado for de 10% a.m.?

21. O que é melhor para o comprador, pagar um valor daqui a 45 dias ou pagar à vista com 20% de desconto? Considerar a taxa de juros compostos de mercado igual a 18% a.m.

22. No problema anterior, qual a taxa de juros que equaliza as duas alternativas?

23. Um título de valor nominal de $ 5.000,00 foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa composta de 2,5% a.m. Calcule o valor líquido do título (desconto racional).

24. O desconto racional composto de um título de $ 50.000,00 foi de $ 12.698,22. Sendo a taxa de juros mensal cobrada de 5%, calcule o prazo de antecipação.

25. O valor do desconto real ou racional composto de uma nota promissória, que vence em três anos é de $ 11.318,19. Admitindo-se que a taxa nominal de descontos utilizada na operação é de 24% a.a., com capitalização trimestral, calcule o valor nominal do título.

a) hoje;

b) daqui a 2 meses;

c) 2 meses antes do vencimento.



42

26. O valor de resgate de um título é de R$ 250.000,00. Qual o tempo de antecipação do resgate, sabendo que para um desconto racional de R$ 32.000,00 a taxa de juros compostos cobrada é de 90% a.a.?

27. Um título de valor nominal igual a R$ 6.800,00 foi resgatado 2 meses antes do vencimento, segundo o critério do desconto comercial composto. Sendo de 3% a.m. a taxa de desconto, calcule o desconto e o valor líquido do título.

28. O valor nominal de um título é igual a 20 vezes seu desconto racional composto. Sendo o res-gate antecipado de 45 dias, calcule a taxa anual de desconto composto.

29. O desconto racional composto de um título de R$ 500.000,00 foi de R$ 126.892,00. Sendo de 5% a.m. a taxa de juros cobrada, calcule o prazo de antecipação do resgate.


43

Você deve prestar atenção! Bons estudos.

Se você tiver vários títulos a vencer em datas diferentes, poderá substitui-los por um único títu-lo com uma taxa de juros predefinida, ou mesmo, substituir um único título por vários. Veremos agora como proceder para conseguirmos isso, considerando o critério de juros compostos.

Mas antes vamos relembrar como calculamos o valor de um título a vencer M e seu valor antecipa-do, ou seja, seu valor atual Va.

Exemplo 37: Se temos um capital de R$ 1.000,00 e aplica-mos em um banco por 12 meses a uma taxa de juros de 2% a.m., ob-teremos um valor de resgate de:

Essa aplicação fica registra-da num documento a ser resgata-do no final dos 12 meses, o qual chamamos de valor nominal.

Mas pode acontecer que, precisando de di-nheiro, desejemos resgatar antecipadamente esse tí-tulo. Queremos então saber qual o valor atual desse título no mês 6.

Onde n é o tempo antecipado (6 meses) e a taxa de juros vigente “i” é também 2% a.m. Então:

na iNV

)1( +=

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS5


Valor nominal (N) ou de face: é definido como o valor do compromisso financeiro na data de seu vencimento.



44

Exemplo 38: Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de R$ 15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disso, possui R$ 20.000,00, hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m., duran-te dois anos. Considerando que a taxa de juros vigente no mercado é de 2% a.m., pergunta-se (MATHIAS; GOMES, 2004):

a) Quanto possui hoje?

b) Quanto possuirá daqui a um ano?

c) Quanto possuirá daqui a dois anos?

Vamos resolver: Representemos o problema graficamente:

Temos então:

a) Hoje:

b) Daqui a 1 ano:

c) Daqui a 2 anos:

Chamamos de data focal a data de referência ou a data em que queremos avaliar um conjunto de aplicações. Podemos, contudo, mudar a data focal para o mês que quisermos. Assim, o valor de y, com data focal 12, aplicado à taxa de 2% a.m. até a data focal 24 (total de tempo 12 meses) terá um montante de:

Que é igual ao valor de z quando a data focal era 24. Isso indica que não importa a data focal que escolhermos, os cálculos resultarão iguais. É impor-tante lembrar que essa propriedade só é válida para o regime de juros compostos.


Para você aprofundar ainda mais seus conhecimentos sobre os temas, consulte http://www.somatematica.com.br/.



45

Quando duas ou mais aplicações, com datas de resgates já determinadas, levadas para uma mesma data focal, à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais, diremos serem capitais equivalentes.

Exemplo 39: Considerando cinco títulos de valores nominais e seus respectivos prazos de venci-mentos (MATHIAS; GOMES, 2004):

Considerando a taxa de juros de 10% a.a., calculemos os valores atuais na data focal zero:

Para confirmar a propriedade de que não importa a data focal escolhida quando os capitais são equivalentes, vamos refazer as contas para a data focal 3 anos. Esquematicamente teremos:

5.1 Capitais Equivalentes

Capital (R$) Vencimento (anos)1.100,00 11.210,00 21.331,00 31.464,10 41.610,51 5

Verificamos que:

V1 = V2 = V3 = V4 = V5

Temos assim capitais equivalen-tes, significando que é indiferente receber, por exemplo, R$ 1.100,00 em 1 ano ou R$ 1.464,10 em 4 anos.



46

Nessa data, calcularemos Montantes para: C1, C2 e o Valor Atual para: C4, C5:

AtençãoAtenção

Quando duas ou mais aplicações, com datas de resgates já determinadas, levadas para uma mesma data focal, à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais, diremos serem capitais equi-valentes.

Exemplo 40: Se possuo três títulos, a vencerem em datas diferentes, qual o valor total que possuo agora?

Vejamos a tabela abaixo:

Considerando uma taxa de juros vigente de 2% a.m., teremos de calcular o valor atual desse con-junto de capitais na data focal zero (agora).

Vamos resolver:

Esse é o valor dos meus títulos (também chamado de carteira de valores) e, se eu fosse vendê-los, seria por este valor e o comprador estaria ganhando uma taxa de 2% a.m.

5.2 Conjunto de Capitais

Capital (R$) Vencimento (mês)

1.000,00 6

4.000,00 8

10.000,00 12

Verificamos que:

V’1 = V’2 = V’3 = V’4 = V’5

O que confirma serem capitais equivalentes.



47

5.3 Taxa Interna de Retorno

Exemplo 41: Quando uma pessoa faz várias aplicações em datas diferentes, após algum tempo começa a resgatá-las. Então teremos saídas e entradas de recursos, como, por exemplo, o fluxo de caixa a seguir (que é uma representação das entradas e saídas do dinheiro no tempo):

Fazendo um esquema desse fluxo de caixa:

Vamos então calcular o Valor Atual Líquido ( Val ) desse fluxo de caixa admitindo uma taxa de juros vigente de 3 % a.a.:

O valor atual sendo positivo indica que o investimento é rentável em R$ 63,06 à taxa de 3% a.m. Assim, quanto maior é esse valor atual líquido a uma dada taxa, melhor será o investimento.

Mas, se o valor atual líquido der negativo, o investimento não é rentável, não cobre os custos desse investimento.

Fica então a possibilidade do valor atual líquido ser zero.

Data (anos) 0 1 2 3 4Entrada (1) - 10,00 40,00 45,00 60,00Saída (2) 50,00 20.00,00 10,00 - -Saldo (1)-(2) -50,00 -10 30,00 45,00 60,00



48

Basicamente, a resolução desse problema consiste em calcular o valor presente líquido para várias taxas e ver aquela que mais irá fazer o Val se aproximar de zero.

O cálculo da taxa interna de retorno é complexo e exige um método chamado de interpolação. Mas, na prática, utilizamos calculadoras, em particular as financeiras que facilitam esse procedimento.

Veremos, quando aprendermos a usar a HP 12C como calcular essa Taxa Interna de Retorno (TIR).

No nosso exemplo, ela será: TIR= 31,19%

O que demonstra uma boa aplicação.

AtençãoAtenção

Definimos: a taxa interna de retorno é a taxa de juros que torna o valor atual líquido nulo.

Val = 0

Neste capítulo referente à equivalência de capitais, vimos que vários títulos a vencer em datas di-ferentes podem ser equivalentes se seus valores atuais forem iguais, de acordo com a taxa de juros de cada um deles. Trabalhamos com os conceitos de conjunto de capitais e a taxa interna de retorno em problemas de aplicações.



1. A Comercial Vende Tudo Ltda. detém 3 títulos para pagamento nos seguintes vencimentos:

Título 1: Valor R$ 80.000,00 com vencimento para 4 meses.



Sabendo que a taxa de juros compostos poderá ser de 2,3% a.m., qual será a quantia que a Comercial Vende Tudo Ltda. deve aplicar hoje para ter o montante necessário para saldar es-ses compromissos?

2. Um computador é vendido por R$ 1.660,00 à vista ou a prazo no seguinte plano de paga-mento: 20% de entrada; saldo em mais 2 parcelas mensais e consecutivas, cujo 1º vencimento ocorrerá 3 meses após a compra, sendo o valor da 2ª parcela a metade do valor da 1ª parcela. Qual é o valor de cada parcela se a loja trabalha com a taxa de juros compostos de 2% a.m.?



49

3. O Sr. João tem uma dívida de R$ 10.000,00 com vencimento em 1 ano e uma dívida de R$ 30.000,00 com vencimento em 3 anos. Consultando o gerente do seu banco, o Sr. João aceitou fazer um acordo para pagar R$ 20.000,00 hoje e o saldo restante daqui a 2 anos. Quanto o Sr. João deve pagar daqui a 2 anos, sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 5% a.s.?

4. Qual das alternativas de pagamento é a melhor para uma taxa de juros compostos de 7,5% a.m.?

1ª alternativa: Pagamento de R$ 150.000,00 à vista.

2ª alternativa: Entrada de R$ 50.000,00; R$ 80.000,00 em 90 dias; R$ 60.000,00 em 140 dias.


51

6.1 Modelo de Anuidade (Prestação)

Quando queremos acumular um capital por meio de pagamentos periódicos, estamos num pro-cesso de capitalização, e quando fazemos pagamentos periódicos para pagar uma dívida, por exemplo, estamos num processo de amortização.

Quando nos pagamentos não ocorrem amortizações, estamos no caso dos aluguéis.

Vamos estudar aqui o caso de Rendas Certas ou Anuidades em que a duração do prazo e dos paga-mentos é predeterminada, não dependendo das condições externas sob o regime de juros compostos.

Neste modelo são considerados os seguintes critérios:

a) Temporário: os pagamentos ou recebimentos têm duração limitada.

b) Constantes: todos os valores ou termos da anuidade são iguais.

c) Imediatas: quando os termos ou pagamentos são a partir do primeiro período.

d) Postecipadas: os pagamentos são exigíveis no fim do período.

e) Periódicas: quando todos os períodos de pagamentos são iguais.

f ) A taxa de juros é a mesma durante o período de pagamentos.

ANUIDADES6

Chamaremos de:

R1, R2, R3, ........, Rn: valores dos pagamentos ou recebimentos, também conhecidos como termos.n1, n2, n3, ......., n: datas de vencimentos.i: a taxa de juros.P: é o principal, ou seja, o valor a vista do pagamento.

Obs.: Tudo referido a uma dada data focal, geralmente a data zero.



52

Se tivermos um principal P a ser pago em n prestações iguais a R, imediatos, postecipados e perió-dicos com uma taxa de juros compostos de valor i; uma representação do fluxo de caixa dos pagamentos será:

Cada uma das prestações será calculada na data zero, ou seja, vamos calcular os valores atuais des-ses pagamentos na data focal zero. Somando todos eles, teremos o valor do principal P. Então:

Em todos os termos dessa soma, R é um fator constante, então vamos colocá-lo em evidência:

A soma entre parênteses chamamos de:

Que se deve ler como: “a, n cantoneira i”

Essa soma de termos é uma progressão geométrica com:

Que substituindo resulta em:

ninR

iR

iR

iRP

)(...........

)1()1()1( 32 +++

++

++

+=

))1(

1........)1(

1)1(

1)1(

1( 32 niiiiRP

+++

++

++

+=

))1(

1........)1(

1)1(

1)1(

1( 32 niiii +++

++

++

+=¬ina

n

n

in iiia

)1(1)1(

+−+

=¬

A soma dos termos de uma PG é dada pela fórmula:

1

1n

na a qS

q−

=−



53

Os valores para o “a, n cantoneira i” foram tabelados para vários valores de n e i. Contudo, é mais eficiente calcularmos com uma calculadora financeira ou mesmo científica.

Assim:

P=R. ina ¬

Logo, o valor da prestação será:

Exemplo 42: Uma geladeira à vista custa R$ 1.000,00. Mas, financia-se, sem entrada, em 5 presta-ções mensais, a uma taxa de juros de 2% a.m. Qual o valor da prestação a ser paga?

Vamos resolver:

P=1000

I=0,02

n=5

Calculando primeiro ina ¬ temos:

Portanto, a prestação será:

Logo, iremos pagar cinco prestações iguais de R$ 212,14.

Exemplo 43: O anúncio de venda de um car-ro informa: entrada de R$ 5.000,00 e 12 prestações mensais iguais de R$ 1.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 2% a.m., qual seria o pre-ço à vista?

Vamos resolver:

Sabemos que: P=R. ina ¬

Ao darmos uma entrada “E”, descontamos de P esse valor E. Então:

P-E=R ina ¬

inaPR¬

=


A sequência uniforme diferida é uma sequência uni-forme que apresenta períodos de carência (m). No pe-ríodo após a carência serão efetuados os pagamento ou recebimentos.



54

Portanto, o valor à vista (o principal) será:

P=E+R. ina ¬

Em nosso problema:

E=5.000

R=1.200

Assim:

P=5000 + 1200 x 10,575340

P=17.690,41

O valor do carro à vista é: R$ 17.690,41.

Exemplo 44: Um carro é vendido por R$ 20.000 à vista, ou em 12 prestações mensais de R$ 1.949,74. Qual a taxa de juros que está sendo cobrada? (MATHIAS; GOMES, 2004).

Vamos resolver:

Substituindo a expressão de ina ¬ , teremos:

Essa equação não se resolve diretamente. Pode-se usar o processo de interpolação por meio de gráficos, mas é bem complexo e demorado. O melhor é usar calculadoras financeiras, que a resolvem facilmente.

O que resultará numa taxa de juros de:

I=2,5% a.m.

(1 ) 1 10,257778(1 )

n

ni

i i+ −

=+



55

A capitalização é o resultado de pagamentos no sentido de acumular capital, logo teremos somas de n parcelas periódicas, cada uma de valor R, que resultarão cada uma num montante na data focal n, obtendo-se uma soma total final S, a uma taxa de juros i.

Esquematicamente:

6.2 Modelo de Anuidade (Capitalização)

12 )1(........)1()1( −+++++++= niRiRiRRS


Capitalização: tipo de aplicação em que se objeti-va formar um montante numa data futura.

Colocando-se r em evidência:

Sendo: ins ¬ = [ ]12 )1(.......)1()1(1 −+++++++ niii

Onde: ins ¬ lê-se: “S, n cantoneira i”.

É a soma dos termos de uma Progressão Geo-métrica.



56

Na Progressão Geométrica temos:

Soma dos Termos da PG:

Substituindo e simplificando:

Assim o montante final ou o capital acumulado será:

Exemplo 45: Desejo fazer um plano de capitalização, depositando mensalmente um valor de R$ 200,00 por 2 anos, com uma taxa de juros de 2% a.m. Quanto terei no final desse período?

Vamos resolver:

R=200

S=200 x 30,421862

S= 6.084,37

qqaa

S nn −

−=

11

iis

n

in1)1( −+

=¬

ins ¬.RS =



57



Neste capítulo referente à Anuidade, desenvolvemos duas situações. Uma delas é a de acumular um capital por meio de pagamentos periódicos, o que chamamos de processo de capitalização. A outra situação consiste quando fazemos pagamentos periódicos para pagar uma dívida, por exemplo, o que chamamos de processo de amortização.

1. Maria deposita no final de cada mês, durante 7 meses, a quantia de R$ 4.500,00 em um fundo que paga juros a uma taxa de 2,5% a.m. Qual o montante no instante do último depósito?

2. Uma máquina é vendida em 10 prestações mensais, sendo 5 prestações iniciais de R$ 5.000,00 postecipadas e 5 prestações finais de R$ 8.000,00. Considerando uma taxa de juros de 5% a.m., qual é o preço da máquina?


59

Caro(a) aluno(a), o que iremos aprender ago-ra refere-se a pagamento de dívidas contraídas a longo prazo (acima de 3 anos). A anuidade que estudamos antes se refere a pagamentos de curto e médio prazo (até 3 anos). Sendo assim, a amor-tização da dívida sofre um tratamento específico, que, de modo geral, exige a explicitação do modo de pagamento da dívida. É importante notar que o cálculo dos juros será sempre sobre o regime de juros compostos.

Quando falamos de prestação, devemos en-tender que ela é a soma de duas partes: uma para saldar a dívida contraída e a outra é para pagar os juros que incidiram no valor emprestado.

Quando falamos de amortização, queremos dizer que o saldo devedor do principal, a cada pa-gamento, será reduzido, amortizado.

Se emprestamos um valor P a ser pago por prestações de valor R, em cada uma dessas pres-tações estão distribuídas o valor da amortização (que diminui o principal) e o valor dos juros e, de-pendendo do tipo de amortização empregado, a composição da prestação varia.

Veremos aqui dois tipos de amortização: o Sistema de Amortização Francês (SAF) e o Sistema de Amortização Constante (SAC).

EMPRÉSTIMOS7

7.1 SAF

Nesse sistema, as prestações são calculadas de modo que a amortização aumenta e os juros diminuem, sendo o valor da prestação o mesmo, constante, até a quitação da dívida. Esquematica-mente:



60

Vamos agora elaborar uma planilha que de-monstrará todos os cálculos que devem constar para fins de prestação de contas conforme a lei.

Exemplo 46: Uma empresa faz empréstimo num banco no valor de R$ 100.000,00 sem carência (sem prazo para começar a pagar). Os pagamentos serão iguais, postecipados, com uma taxa de juros combinada de 10% a.a., a ser pago em cinco pres-tações (MATHIAS; GOMES, 2004).

Vamos resolver:

O valor da prestação será calculado como o da anuidade:

Os juros serão calculados aplicando a taxa sobre o saldo devedor e a amortização pela dife-rença entre a prestação e o valor dos juros. Já o sal-do devedor será calculado pela diferença do saldo devedor anterior e a amortização do período.

A tabela financeira fica:

inaPR¬

=

Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 100.000,00 - - -1 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,752 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,753 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,754 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,755 - 23.981,58 2.398,16 26.379,75

Total - 100.000,00 31.898,74 131.898,74

No ano zero, lança-se apenas o valor empres-tado na coluna do saldo devedor, pois só se come-ça a pagar após o primeiro mês.

No primeiro ano, lança-se a primeira presta-ção, depois os juros que serão de 10% sobre o saldo

devedor anterior (10% de 100.000,00=10.000,00), depois se subtrai da prestação do período o valor dos juros (26.379,75-10.000,00), lança-se na amor-tização e finalmente subtrai-se do saldo devedor anterior o valor da amortização do período.



61

Repete-se o processo até obter-se saldo de-vedor zero.

Essa tabela financeira precisa constar do balanço da empresa com fins fiscais. Normalmen-te essa tabela é construída automaticamente em softwares de planilhas financeiras.

Observação:

Se a taxa dada for anual e o período for me-nor, por exemplo, em mês, usamos a taxa pro-porcional, ou seja, divide-se a taxa anual por 12 e obtém-se a taxa mensal, e procede-se da mesma maneira ao preencher a tabela.

Nessas condições o SAF é agora chamado de Sistema Price.

AtençãoAtenção

Na realidade, o saldo devedor final não fica com o valor zero exato, mas com uma pequena diferen-ça. Nesse caso, soma-se esse pequeno valor nos juros e refaz-se a conta para zerar o saldo devedor final.


• A taxa de juros deve estar na mesma unidade do período de capitação.

• Quando o período da taxa não coincide com o período de capitação, usamos a taxa por perío-do de capitalização (taxa efetiva).

• O saldo devedor em um determinado instante é igual ao valor atual das prestações a vencer.

7.2 SAC

Nesse sistema, o que é constante é o valor da amortização e a prestação, que é decrescente, é calculada pela soma da amortização mais os ju-ros. O saldo devedor será calculado pela diferença entre o saldo anterior com a amortização e os juros

serão a taxa combinada sobre o saldo devedor an-terior.

Esquematicamente teremos:



62

Exemplo 47: Consideremos o mesmo pro-blema anterior: empréstimo de R$ 100.000,00 com taxa de 10% a.a. para ser pago em 5 anos.

O valor de cada amortização é calculado as-sim: A tabela financeira fica:

Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0 100.000,00 - - -1 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,002 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,003 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,004 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,005 0 20.000,00 2.000,00 22.000,00

Total - 100.000,00 30.000,00 130.000,00

Ano Saldo Devedor IOF Amortização Juros Prestação

0 100.000,00 - - -1 80.000,00 1.300,00 20.000,00 10.000,00 31.300,002 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,003 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,004 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,005 0 20.000,00 2.000,00 22.000,00

Total - 1.300,00 100.000,00 30.000,00 131.300,00

Reparem que no sistema SAC, o valor final a ser pago é menor. Esse é o sistema utilizado pelo governo para financiamento da casa própria, atra-vés da Caixa Econômica Federal.

Contudo, o sistema que será utilizado virá como acordo entre as partes.

7.3 Imposto sobre Operações Financeiras (IOF)

Na prática, ocorre também a incidência do IOF, que as instituições costumam cobrar.

Exemplo 48: No nosso exemplo 47, se o IOF fosse de 1% sobre o total de amortizações e juros, cobrados já na primeira prestação, a tabela ficaria assim:

IOF=1% x 100.000 + 1% x 30.000

IOF=0,01 x 100.000 + 0,01 x 30.000

IOF= 1.000 + 300

IOF=1.300,00



63

Todas as avaliações financeiras que fizemos até agora não levam em conta a inflação que es-taria ocorrendo durante o período das aplicações e isso pode acarretar prejuízo para o aplicador. É necessário então saber qual a inflação no período e avaliar a taxa de juros que realmente está incidin-do na aplicação.

Isso será medido por meio da Taxa de Juros aparente e da Taxa de Juros Real.

O valor da inflação normalmente é auferido por meio de índices que avaliam os preços. Um dos mais usados é o Índice Geral de Preços - Disponibi-lidade Interna (IGP-DI).

Chamamos de taxa aparente a taxa que é estabelecida no momento da aplicação pela insti-tuição financeira. Por meio dela, até agora, avalia-mos os ganhos de nossas aplicações. Mas, quando consideramos as taxas de inflação, os ganhos reais são menores, daí a importância de calcular qual a taxa real e não a aparente de juros para saber se a aplicação valerá a pena.

Vamos considerar que:

C0= capital inicialI= taxa aparenter= taxa realj= taxa de inflação

1) Sem Inflação:

Nesse caso, teremos que i = r, ou seja, a taxa aparente é igual a real, pois não há perdas durante o período da aplicação.

2) Com Inflação:

Após um período de tempo de aplicação, o montante obtido (que será aparente) será:

Devemos entender que, devido à inflação, teremos um ganho aparente e um ganho real, em que: ganho real = ganho aparente – inflação.

Consideremos agora só a taxa de inflação “j” e avaliemos que montante seria obtido com ela no primeiro período:

A ideia que temos é a seguinte:

7.4 Inflação


Inflação: é um fenômeno que atinge a maioria das economias mundiais e é caracterizada por alta persistente e generalizada dos preços de bens de consumo, capitais, produção, insumos e mão de obra.

7.5 Taxa de Juros Aparente e Real

)1(01 iCC +=

)1(' 01 jCC +=



64

Os índices de inflação são definidos por di-versos índices, tal como o IGP-DI, e variam de acor-do com o índice escolhido. Uma característica aqui é que costumam ser prefixados, ou seja, já se prevê uma inflação.

Exemplo 49: Seja um capital de R$ 1.000,00, que será aplicado por 5 meses a uma taxa nominal de 24% a.a. Considerando a inflação no período de 0,5% a.m. Qual a taxa real de ganho?

Vamos resolver:

A taxa nominal proporcional será:

Usando a fórmula teremos:

Vemos assim que por causa da inflação o lu-cro não será com 2% a.m., mas sim com 1,49% a.m. descontada a inflação.

O montante aparente C1 será igual ao mon-tante devido à inflação C1, que por sua vez será aplicado a uma taxa de juros real para que se ob-tenha um montante C’’1 e se iguale ao montante aparente.

Assim teremos:

Mas como

Igualando:

Que é a fórmula para se determinar a taxa real r conhecendo-se as taxas aparente i e de in-flação j.

)1(''' 11 rCC +=

)1('' 01 iCC +=

7.6 Aplicações de Curto/Médio Prazos



65

Aqui a correção da inflação costuma ser pós--fixada, ou seja, avaliam-se as taxas que já ocorre-ram. E a correção monetária, que é um recurso que o governo criou para corrigir a inflação, é bastante utilizada. Por exemplo: se para um empréstimo a taxa nominal for de 10% a.a., acrescenta-se uma taxa de correção monetária para corrigir a inflação.

Exemplo 50: Se emprestarmos R$ 100.000,00 de um banco com juros de 10% a.a. mais a corre-ção monetária. Supondo que o empréstimo será amortizado em 5 parcelas anuais, vamos construir a tabela financeira pelo sistema SAC.

Sem correção monetária temos:

7.7 Aplicação a Médio/Longo Prazos

Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0 100.000,00 - - -1 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,002 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,003 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,004 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,005 0 20.000,00 2.000,00 22.000,00

Total - 100.000,00 30.000,00 130.000,00

Se considerarmos uma correção de inflação anual, estaremos multiplicando os valores do saldo

devedor, amortização, juros e prestação pelos res-pectivos índices de inflação:

Ano Índice Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0 100.000,00 - - -1 1,20 96.000,00 24.000,00 12.000,00 36.000,002 1,25 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,003 1,29 51.500,00 25.800,00 7.740,00 33.540,004 1,31 26.300,00 26.200,00 5.240,00 31.440,005 1,40 0 28.000,00 2.800,00 30.800,00

Total - 129.000,00 37.780,00 166.780,00

A taxa interna de retorno será: 20,58% a.a., portanto para quem empresta é bastante rentável.



66

Neste capítulo referente a Empréstimos, estudamos o Sistema Francês de Amortização, conhecido por tabela Price e o Sistema de Amortização Constante. Trabalhamos com a ideia de inflação e IOF. Vimos também as aplicações a curto, médio e longo prazos.



1. Para um empréstimo de R$ 40.000,00 pelo sistema de amortização francês em 60 prestações mensais a uma taxa de juros de 2,8% a.m., qual é o valor da prestação e o saldo devedor de-pois de pagar a 20ª prestação?

2. Elabore um plano de amortização para o empréstimo de R$ 20.000,00 com o pagamento em 5 prestações bimestrais pelo sistema de amortização constante com juros de 8% a.b.


67

Este material foi elaborado para os(as) alunos(as) dos cursos de Ensino a Distância. Com a leitura desta apostila e a realização dos exercícios propostos, espera-se que os(as) alunos(as) consigam desen-volver as habilidades e os conhecimentos que contribuem com a formação profissional.

O aprofundamento dos assuntos apresentados e a ampliação de outros conhecimentos podem ser adquiridos através dos livros citados nas referências e em outras obras relacionadas com esses temas.

Para o aproveitamento completo da disciplina, é fundamental que o(a) aluno(a) utilize os recursos disponíveis no portal (correio, chat e fórum), assista às aulas web e às aulas transmitidas via satélite, e realize as atividades avaliativas e a prova presencial de maneira satisfatória.

Espera-se que as expectativas dos(as) alunos(as) possam ser atingidas. Colocamo-nos à disposição para as críticas em relação a esta obra.

Um forte abraço a todos(as).

Prof. Hercules Sarti e Prof. Renan Faria

CONSIDERAÇÕES FINAIS8


69

CAPÍTULO 1

1. Montemos a proporção:

Resolve-se cada equação separadamente:

Logo, a proporção procurada é:

2. Chama-se os números de x e y.

x + y = 169

Na equação x + y = 169, isola-se uma variável.x = 169 – y

Substituir na outra equação.

Resolvendo a equação, tem-se y = 117.Logo: x = 169 – y = 169 – 117 = 52Resposta: os números são 52 e 117.

94

=yx

94169

=−

yy

RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS



70

3. Chama-se os números de x e y.x – y = 12

Resolver o sistema conforme o exercício 2.Resposta: os números são 32 e 20.

4. Idade do pai = xIdade do filho = yx + y = 52

Substituindo x + y = 52, vem:

Logo, y = 10. Resposta: idade do pai = 42 anos. Idade do filho = 10 anos.

5. x + y = 35/6x/y = 3/2x/3 = y/2x/3 = (x+y)/(3+2)x/3 = 35/6 : 5 = 7/6x = 3 . 7/6 => x = 21/6 = 7/2Substituindo, temos y = 7/3.

6. Chama-se o número procurado de x. Monta-se a proporção:

Resolve-se a equação. Tem-se x = 5.Resposta: o número é 5.

58

=yx



71

7. Chama-se o número de x.

O consecutivo de x é x + 1.

A equação será:

Resolvendo a equação:

6.(x - 3) = 5.(x + 1)

x = 23

Resposta: o número é 23.

8. a + b + c = 555

baba 85

58

=⇒=

a – b = 69

Resolve-se o sistema usando a segunda e a terceira equação, obtendo os valores de a e b.

Resposta: os números são 184, 115 e 256.

9.

1ª parte = x

2ª parte = y

3ª parte = z

x + y + z = 588

975975 ++++

===zyxzyx

(proporção múltipla)

Substituindo x + y + z por 588, temos:

140975

5885

=⇒++

= xx

196975

5887

=⇒++

= yy

252975

5889

=⇒++

= zz

Resposta: as partes são 140, 196 e 252.



72

10. Não. É inversamente proporcional, pois ao multiplicar o número de operários por um nº, a quantidade de dias gastos fica dividida por esse nº.

11. Não são proporcionais.

12. A razão de proporcionalidade é 8.

13. Os valore são a =15 e b = 7.

14.

15.

Portanto, o coeficiente de proporcionalidade é 120.

16.

Calcular o mmc(8, 3, 4, 5) = 120

150

45120 =×

192

58120 =×

Resposta: os quatro menores números inteiros são 45, 80, 150 e 192.

17. Os números são 40, 30, 24 e 15.

18. Sendo os números inversamente proporcionais, o coeficiente de proporcionalidade é obtido através do 4º elemento de cada série.

919' =×=k

Dessa forma, igualamos cada produto a 9.

1. z99z =⇒=⋅

19.

1º sócio = x + 12000

2º sócio = x

50008000

x12000x

=+

Resolvendo a equação, tem-se: x = 20 000.

Resposta: o 1º entrou com $ 32.000 e o 2º com $ 20.000

20. Resposta: o credor A receberá 64.000,00; B receberá 96.000,00 e C receberá 80.000,00.

21. 2.700,00; 1.800,00; 900,00; 600,00.



73

22. 30 ml.

23. R$ 86,93

24. 102,08 dias

25.

53y

2x z

==

23

3y

2x xy =⇒=

25

5

2x xzz

=⇒=

Substituindo em x + 3y + 4z = 93, temos:

(Resolvendo a equação, obtemos x)

x = 6

Resposta: x = 6, y = 9 e z = 15.

26. 84, 63 e 36.

27. 120, 80 e 60.

28.

Depto. C = x

Depto. B = 50.000 + x

Depto. A = 50.000 + 2x

A + B + C = 850.000

Substituindo e resolvendo a equação, tem-se:

50.000 + 2x + 50.000 + x + x = 850.000

x = 187.500

Resposta: receberão: A = R$ 425.000,00; B = R$ 237.000,00; e C = R$ 187.500,00.

29. R$ 3.000,00

30. 45 ml

31. R$ 56,00



74

32.

1ª máquina = 90 cópias/min = 5.400 cópias/h

2ª máquina = 135 cópias/min = 5.400 cópias/40 min

Custo da 1ª máquina por hora = $ 560,00

Custo da 2ª máquina por hora = $ 624,00

Custo da 2ª máquina por 40’ = $ 416,00

33. R$ 80,00

34. 6 máquinas

35. 20 operários

36. 13,5

37. 1.944 m

38. 8 h

39. 37,5 dias

40. R$ 11,44

41. Enquanto a lebre percorre 19 m, o cão percorre 21 m. Logo, o cão percorre 2 m a mais. Como a lebre está 80 m à frente do cão, o cão terá que percorrer 40 intervalos de 21 m.

40 x 21 = 840 metros.

42. 227

43. 96 km/h

44. 4,5%

45. 22,35%

Assistir à aula Web 03.

46.

035,0100

5,3%5,3 ==

965,0035,01 =−

Resposta: o cliente pagará 88,01% do preço.



75

47. R$ 15.350,00

48. 5,56%

49. 8,78%

Resolvido na aula Web 03.

50. 29,25%

51. a) R$ 20.000,00; R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00; respectivamente. b) 60%

52. 4%

CAPÍTULO 2

1. D

2. R$ 15,00

3. a) P = 3,20 + 0,80x b) 31 km

4. 330 e 280 unidades

5. a) 22.059 unidades; R$ 271.325,70 b) 26471 unidades; R$ 325.593,30

6. Resolvido na aula Web 04.

7. 200

8. a) R$ 153,92 b) R$ 200,00

9. O enunciado nos traz a seguinte equação.

x = R$ 62.500,00

10. R$ 8.000,00

11. A primeira.

Resolvido na aula Web 04.

12. 28,97%

13. 20%

14. a) R(g) = 5 g b) C(g) = 2 g c) 300 garrafas

d) L(g) = 3g – 9000 e) 600 garrafas.



76

CAPÍTULO 3

1. Calcula-se a taxa.

2211 nini ×=×

..0667,01 mai =

Calcula-se os juros.

niCJ ⋅⋅=

50667,0000.600 ⋅⋅=J

000.200=J

Calcula-se o montante.

000.200000.600 +=M

Resposta: o montante é de $ 800.000,00.

2. $ 0,50

3. 4 anos

4. 12,5 anos

5. Num prazo 4 vezes menor que o anterior.

6. Monta-se a equação:

x . 0,08 . 2 = (1200 – x) . 0,10 . 3

0,16 x = 360 – 0,30x

x = 782,61

Resposta: a primeira parte é $ 782,61 e a segunda parte é $ 417,39.

7. i = 12% a.m.; C = $ 1.000

8. $ 105.000,00

9. Lucro de $102.000,00

10. $ 1.800,00 e $ 1.200,00



77

11. Resolução do item a:

Resolução do item b:

12. 2,28%

13. a) 40.322,58 b) $ 45.871,88 c) 42.372,88

14. a) $640,71 b) $800,89 c) $773,28 d) $830,56

15. $ 158,33

16. $ 220,00

17. NniVV =⋅⋅+

3=n

Resposta: o prazo de antecipação é de 3 meses.

18. $ 38.709,68 e $ 161.290,32

19. a) $ 900,00 b) $ 8.100,00 c) 11,11% em dois meses

20. 8.433,73

21. a) 11,11% a.m. b) 12,50% a.m. c) 14,29% a.m.

22. 16,67% a.m.

23. a) $ 180,00 b) 3,14% a.m. c) $ 820,00 ou 20,50%.

24. 50%

25. 52%

26. 3,25%

27. R$ 205,88



78

28.

Custo antes dos reajustes = 100 + 120 + 200 = $ 420

Custo após os reajustes = 103 + 123 + 198 = $ 424

Resposta: a variação foi de um aumento de 0,95% em seu custo.

29. 8%

30. Não. A loja teria um prejuízo de 2,25%.

31. 27,78%

32. 11,11%

CAPÍTULO 4

1. R$ 391,76

2. R$ 210.767,14

3. $ 74.217,08

4.

Sendo os juros iguais ao valor aplicado, temos: J = C

M = C + J

M = 2C

niCC )1(2 +⋅=

Resposta: a taxa é de 7,18% a.m.

5. 8% a.m.

6. $ 2.914,72 e $ 3.085,28



79

7. 71% a.a.

8. a) 628,76% a.a. b) 281,47% a.a. c) 342,05% a.a. d) 1125% a.a.

9. 34,65%

10. 25% a.m.

11. Linear: $ 16.250,40; exponencial: $ 16.170,41

12. Linear: $ 151.365,33; exponencial: $ 151.371,51

13. $ 6.333,85

14. $ 7.986,00

15. $ 31.876,00

16. $ 147.996,00

17. a) $ 49.673,71 b) $ 60.105,18 c) $ 66.115,70

18. $ 204.158,79

19. $ 668.565,54

20. À vista.

21. Pagar daqui a 45 dias.

22. 16,04% a.m.

23. $ 4.643,00

24. 6 meses

25. $ 22.500

26. 77 dias

27. 401,88 e 6.398,12

28. 50,73% a.a.

29. 6 meses



80

CAPÍTULO 5

1. V =73.044,49 + 119.490,92 + 142.198,66V = 334.734,07

2. 1ª prestação = 945,702ª prestação = 945,70 ÷ 2 = 472,85

3. X = 11.456,75 (1,05)4

X = 13.925,75

4. Alternativa A R$ 150.000,00Alternativa BV = 50.000 + 80.000 ÷ (1 + 0,075)3 + 60.000 ÷ (1 + 0,075)140÷30V = 157.210,12A melhor alternativa é a “A”.

CAPÍTULO 6

1. M = 4.500 x 7,547430 = 33.963,44

2. R = 50.000 . a5 ¬5i + 8000 . a5 ¬5i ÷ (1,05)5a5 ¬5 = 4,329477V = 5000 x 4,329477 + 8000 x 4,329477 ÷ 1,276282V = R$ 48.785,44

CAPÍTULO 7

1. R = R .an ¬i40000 = R 28,902592R = 40000 ÷ 28,902592 = 1383,96S20 = 1383,96 [ (1,028)40 – 1 ÷ (1,028)40 . 0,028]S20 = 1383,96 . 23,880672 = 33049,90

2. A = 20000 ÷ 5 = 4000

n Amortização Juros Prestação Saldo Devedor

0 - 20.000,001 4.000,00 1.600,00 5.600,00 16.000,002 4.000,00 1.280,00 5.280,00 12.000,003 4.000,00 960,00 4.960,00 8.000,004 4.000,00 640,00 4.640,00 4.000,005 4.000,00 320,00 4.320,00 -

Total 20.000,00 4.800,00 24.800,00 -


81

ALMEIDA, G.; GUERRA, F. Integrando a matemática financeira com o Excel. Florianópolis: VisualBooks, 2003.

APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA: curso de treinamento do Bradesco (ISO 9001). São Paulo: Bradesco, 2003.

CRESPO, A. A. Matemática comercial e financeira fácil. São Paulo: Saraiva, 2006.

HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira: métodos quantitativos. São Paulo: Atual, 1993.

MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2004.

MILTON, J. Praticando e aplicando matemática financeira. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2003.

SÓ MATEMÁTICA – O seu portal matemático. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: jun. 2012.

VENÂNCIO, A.; VENÂNCIO, P. S. S. O uso da matemática nas operações comerciais e financeira. São Paulo: Edicon, 2005.

REFERÊNCIAS


83

ANEXO A – MATEMÁTICA FINANCEIRA COM CALCULADORA CIENTÍFICA

CALCULADORA CIENTÍFICA

Os cálculos financeiros, muitos deles complexos, exigem tempo para sua resolução. Mas, com o advento das calculadoras científicas, ficaram muito facilitados e rápidos esses cálculos.

Neste anexo, vamos treinar as principais funções que ela nos oferece para os cálculos financeiros.

Cálculos Básicos

Vamos começar com as operações fundamentais: soma, subtração, multiplicação e divisão.

Significado das teclas:

ANEXOS



84

Com essas teclas realizamos as operações básicas. Vejamos alguns exemplos:

1) 632 =x

Digite exatamente na sequência: tecla 2, tecla vezes, tecla 3, tecla igual e veja a resposta.

2) =+ 532 x

Esse tipo de cálculo costuma causar confusão no sentido de que, dependendo de qual opera-ção realizar primeiro, o resultado será diferente.

a) se fizer a soma primeiro, o resultado será:

b) se fizer a multiplicação primeiro, o resultado será:

Qual é o modo correto?

Nesse caso existe uma ordem de resolução das operações: primeiro as multiplicações e divisões, e depois as somas e subtrações. Portanto, o resultado correto é o modo b).

Uma maneira de evitar esse equívoco que às vezes ocorre é usar o parênteses, pois, nas expressões numéricas (como o exemplo 2), resolve-se tudo que existir de operações dentro dos parênteses sem se confundir com as operações externas aos parênteses. Assim, uma maneira de expressar o exercício 2 será:

Embora seja claro que não há, nesse caso, a necessidade dos parênteses, pois sabemos a ordem de resolução.

Numa expressão como:

O valor “-2” multiplica o resultado dos parênteses:



85

Mas, com a calculadora científica, fica fácil, é só apertar as teclas na ordem da própria expressão, ou seja:

Cálculos com Juros Simples

A fórmula do montante a juros simples é: Assim, para resolver esse cálculo com a calculadora basta digitar na ordem. Exemplos:

1) Se alguém deseja aplicar um capital de R$ 2.000,00 por 1 ano e 6 meses a uma taxa de juros simples de 24% a.a., recuperará o capital mais os juros pelo valor do montante de?

Solução:

É fácil, basta substituirmos os valores e depois digitarmos, na calculadora, exatamente na ordem em que aparecem.

C=2000

N=1a 6m = 18 meses

2) Se no exercício anterior soubéssemos o montante e quiséssemos determinar qual o capital que deve ser investido para obter esse montante, deveremos fazer:

Solução:

).1( niMC+

=



86

Basta digitar na ordem:

E teremos a resposta: R$ 2.000,00

1) Se quiséssemos determinar a taxa de juros, do exercício anterior, conhecendo o restante, de-veríamos preparar a fórmula primeiro.

Solução:

Substituindo os valores:

Quando o numerador e o denominador são expressões numéricas, convém colocar parênteses em ambos para não errarmos. Assim:

Agora é só digitar na ordem e obter o valor i=0,02 = 2% a.m.

E, assim, você irá proceder com todas as expressões matemáticas que usará.

Cálculo com Juros Compostos

A fórmula do montante a juros compostos é: niCM )1( +=Assim como fizemos em juros simples, faremos em juros compostos.



87

Exemplos:1) Um capital de R$ 100,00 será aplicado por 6 meses a uma taxa nominal de 12% a.a. Qual o

montante no final da aplicação?

Solução:

Basta digitar as teclas na ordem:

Nesse exercício, a taxa nominal dada, 12% a.a., foi transformada a uma taxa proporcional de 1% a.m. Mas, como sabemos, em juros compostos, isso faz com que a taxa anual verdadeiramente cobrada não seja mais a nominal dada. Para calcularmos a taxa anual equivalente cobrada (taxa efetiva: ) devemos usar a fórmula:

Onde:

ieq – taxa para o prazo que eu quero

it – taxa para o prazo que tenho

q – prazo que eu quero

t – prazo que eu tenho

Em nosso exercício:

it = 1% a.m. = 0,01

q = 12 meses

t = 1 mês

Assim, substituindo termos:

,



88

É só digitar na ordem que obteremos:

Como vimos, a taxa equivalente, que é a efetivamente cobrada durante a aplicação, corresponde a 12,68 % a.a. e não à nominal de 12% a.a.



89

ANEXO B – MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP 12C

CALCULADORA HP 12C

A HP 12C é uma calculadora científica capaz de realizar todos os cálculos financeiros de que se precisa em qualquer área de trabalho: Administração, Economia, Engenharia etc.

Há outras calculadoras financeiras tão boas quanto, mas ela acabou se tornando uma referência mundial na área financeira. Assim, iremos aprender a utilizá-la, o que servirá também para as outras.

Vamos agora aprender os comandos básicos e as principais funções financeiras.

Ligar/Desligar

Para ligar a sua HP 12C, pressione a tecla . Se pressionar novamente, ela desliga.

O Teclado

Várias teclas realizam duas ou três funções, sendo:

Para usar as funções impressas em branco, basta pressioná-la.

Para usar as funções em amarelo, pressione primeiro a tecla amarela e, em seguida, pressione a função desejada.

a) Para usar as funções em azul, pressione primeiro a tecla azul e, em seguida, pressione a função desejada.

A Vírgula

Se, ao ligar, a calculadora apresenta a parte decimal separada com ponto, é porque ela está confi-

gurada para trabalhar com o padrão numérico americano. Para transformar no padrão numérico portu-

guês, basta desligá-la e em seguida pressionar simultaneamente as teclas e soltando

em seguida primeiro a tecla .

Operações Numéricas

A HP 12C trabalha com um processo chamado de (RPN) para realizar operações numéricas. Para

isso é importante usar a tecla .

Exemplo:

Se quisermos fazer a operação: 12 x 5 = devemos digitar:

Aparecerá no visor o valor 60,00.



90

Casas Decimais

Você pode configurar a quantidade de casas decimais com as quais a calculadora irá trabalhar. Para

isso, basta digitar e em seguida um número entre 0 e 9. Por exemplo:

Se digitar , aparecerá a resposta com quatro casas decimais.

Outro exemplo:

Façamos a operação: 2 x 12 + 5 = devemos digitar:

Que aparecerá no visor o valor 29,00.

Limpa Registro

Para limpar o visor tecle , se quiser apagar todos os registros aperte .

Troca de Sinais

Quando quiser trocar o sinal de algum número, é só digitar o número e em seguida pressionar a tecla .

Exemplo: 3 + 5 x (-2) =

A Função Exponencial

Para calcular: =82Digite:

O que dará a resposta 8,00.



91

Juros Simples

A HP 12C calcula automaticamente juros simples, bastando para isso inserir certos dados. Como estamos lidando com operações a curto prazo, ela foi configurada para que expressemos o período em dias. Ela automaticamente, também, calcula ano comercial (360 dias) e ano exato (365 dias). O procedi-mento geral é:

a) digite o número de dias e aperte .

b) digite a taxa de juros anual e aperte .

c) digite o valor do capital e aperte .

d) aperte para exibir o valor dos juros comercial.

e) se quiser exibir o valor dos juros exatos, aperte .

f ) aperte para calcular o total do capital mais o valor dos juros exibidos.

Um exemplo:

Você aplica um capital de R$ 450,00 por 60 dias a uma taxa de juros de 7% a.a. Qual o valor dos juros recebidos e do montante no final do período?



92

Juros Compostos

A HP 12C também calcula automaticamente o montante, o capital, a taxa de juros, o período e o valor da prestação para qualquer valor de empréstimo. Tome apenas o cuidado de fazer a taxa de juros e o período estarem no mesmo valor de tempo (tudo ao mês, tudo ao ano etc.).

Um exemplo:

Uma pessoa deseja aplicar um valor de R$ 1.000,00 por 6 meses a uma taxa anual de 24% a.a. Qual o valor do montante?

Suponhamos agora que compremos um fogão com preço à vista de R$ 900,00 e queremos pagar em 12 prestações iguais. O vendedor informa que a taxa de juros será de 36% a.a. Qual o valor de cada prestação?

Observação:

Antes de cada cálculo, pressione para limpar as memórias.

Taxa Interna de Retorno (TIR)

O cálculo da TIR é simples com a HP 12C. Basta inserir um conjunto de capitais, informar a taxa de

juros cobrada e pressionar as teclas .



93

No exemplo da apostila:

Esse conjunto de capitais fornece Um Valor Presente Líquido e, a partir dele, calculamos a taxa in-terna de retorno.

O valor da taxa interna de retorno será: 31,19% no período.


apostila modificada

Documents