APPLICATION DES MODELES A

CHANGEMENT DE REGIME SUR

L’INDICE S&P 500

Luis Macavilca • Taylan Kunal

Yannick Le Pen

Janvier 2012

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S&P500 Index VIX

Sommaire

I. Introduction

II. Analyse de la série

III. Modélisation ARMA

IV. Estimation des modèles non linéaires

1. Threshold autoregressif (TAR)

2. Self-Exciting Threshold AutoRegressive (SETAR)

3. Smooth Threshold autoregressif (STAR)

4. Tests de non linéarité

V. Estimation d’un modèle à changement de régime de Markov

I. INTRODUCTION

L'incertitude qui entoure l'accord budgétaire européen et la peur d’une récession mondiale ont

maintenu une forte volatilité sur les marchés américains et une baisse des principaux indices

boursiers européens. L'indice S&P 500, référence des gérants de fonds, a reculé d'environ 3%

depuis le début 2011. Ici dans le cadre des séries temporelles financières, la modélisation par des

équations linéaires peut s’avérer insuffisante. En fait l’introduction des modèles non linéaires

permet de définir le comportement notre série en tenant compte des valeurs passées de la série et

d’analyser les effets de seuil (« Threshold effect »). Les modèles qui étudient ce phénomène sont

connus sous le nom de modèle à changement régime.

A cette fin, nous allons modéliser l’indice S&P 500 au moyen des modèles à changement de

régime de type TAR, STAR et des modèles à changement de régime Markovien afin de

reproduire la non-linéarité présente en moyenne tout en utilisant des outils statistiques et des tests

économétriques récents en vue d’examiner la dynamique des cours boursiers à court-terme.

II. ANALYSE DE LA SERIE

a) Données

Les données de l’indice S&P 500 ont été extraites du site Yahoo finance.

Les cours de l’indice ont été ajustées à la clôture des marchés afin de permettre une

comparaison dans le temps.

Les données sont hebdomadaires (4 à 5 données par mois) allant du 2 Janvier 2002 au 19

décembre 2011 soit un total de 521 observations.

Tout au long de ce projet nous allons réaliser des tests statistiques. Nous avons fixé un seuil de

confiance de 95%.

b) Etude Graphique

Graphique de l’indice S&P 500

Commentaire :

Le graphique de notre série fait ressortir des tendances haussières et baissières. Il semblerait que

cette série soit non stationnaire. En effet la moyenne et la variance ne sont pas constantes pour

tout intervalle de temps donné.

Par ailleurs nous pouvons remarquer que la série connait des chocs stochastiques qui

s’accumulent au cours du temps ce qui augmentent la variance du processus au fur et à mesure

que le temps passe. Il est toujours nécessaire de tester l’hypothèse de stationnarité ou de non

stationnarité par un test adapté que nous verrons par la suite.

Nous avons calculé le rendement logarithmique de notre série yt :

yt = log(pt/pt-1)

Correlogramme S&P 500

Commentaire :

Le corrélogramme de la série nous montre que a série est caractérisé par un processus non

stationnaire. En fait, les termes du corrélogramme décroissent très faiblement. Les séries non

stationnaires connaissent ce phénomène. Par ailleurs la fonction d’autocorrélation partielle (PAC)

indique le coefficient d’autocorrélation entre le cours de l’indice à un instant donné en fonction

d’un cours passé sans tenir compte de l’influence des autres cours précédents. Ici nous pouvons

voir que seul le premier terme est significativement différent de zéro (l’intervalle de confiance est

stylisé par les pointillés).

Graphique des Rendements de S&P 500

Commentaire :

Le graphique des rendements nous laisse présager que les rendements de l’indice S&P 500 sont

stationnaires.

Correlogramme rendement S&P 500

Commentaire :

Nous constatons dans le corrélogramme que tous les termes sont dans l’intervalle de confiance et

que la probabilité critique de la statistique de Ljung-Box est pour presque tous les retards,

supérieurs à 5% Par conséquent nous acceptions l’hypothèse nulle. Les rendements sont bien

stationnaires.

Statistiques descriptives

Commentaire :

Du 02 Janvier 2002 au 27/12/2011 le rendement moyen a été de +0.00760% avec une dispersion

autour de la moyenne de 2.69%. Pendant cette période le rendement le plus haut a été de +11.35%

et le plus bas de -20%.

Le rendement a été autant de temps en dessous des +0.1280% qu’au dessus.

Le coefficient d’asymétrie (Skewness) est négatif égal à -0.79 ce qu’indique que la partie gauche

de la distribution de la fonction de densité est légèrement supérieure à celle de droite. Un

Skewness égal à zéro représente une distribution strictement symétrique comme la loi normale.

Le kurtosis permet de connaitre le niveau d’aplatissement d’une densité, ici il est égal à 10.29.Le

kurtosis d’une loi normale est de 3 donc ici nous ne pouvons pas conclure que cette série à une

distribution normale.

Néanmoins le test de Jarque-Bera va nous permettre de déterminer si notre série suit une loi

normale. Ici la statistique de test JB=1205 et elle suit une loi de Chi-deux à 2 degré de liberté.

X20.95(2) < JB, par ailleurs la p-value est très en dessous de notre marge d’erreur de 5%. Par

conséquent nous n’acceptons pas l’hypothèse nulle : nos données ne sont pas gaussiennes.

c) Test de stationnarité

Les tests d’ADF, Phillips Perron et KPSS nous confirment notre intuition, les rendements de

l’indice S&P 500 n’ont pas de racine unitaire, ils sont donc bien stationnaires.

III. ESTIMATION DU MODELE ARMA

a) Estimation du modèle linéaire

Nous avons estimé 3 modèles linéaire AR, les ordres 1 et 2 ne semblent pas significatifs (les t-

Statistique sont inférieurs à 1.96 en valeur absolue). Seulement l’AR (3) est significatif, nous

allons donc analyser ses résidus.

b) Analyse des résidus

Correlogramme des résidus AR (3)

Commentaire :

Nous pouvons observer ici que les p-values associées aux statistiques de Ljung-Box sont

supérieures à 5%. Nous pouvons donc accepter l’hypothèse d’absence d’autocorrélation des

résidus.

Correlogramme des résidus au carré AR(3)

Commentaire :

Le corrélogramme des résidus au carré montre que les résidus sont hétéroscédastiques. En fait

tous les p-values sont inférieures à 5% nous concluons que les résidus sont hétéroscédastiques.

c) Test de ARCH

Commentaire :

Le test ARCH nous confirme cela, nous pouvons donc conclure que nos résidus sont

hétéroscédastiques mais non autocorréles. Ce ne sont pas des bruits blancs.

Nous pouvons conclure que les rendements de l’indice S&P 500 est une marché aléatoire

hétéroscedastique.

d) Test de Ramsey

Commentaire :

Ce test va nous permettre d’estimer les paramètres de notre modèle linéaire AR(3). Il va nous dire

si notre modèle est bien spécifiée (hypothèse nulle).

Nous constatons ici que les p-values associées à la F-stat et Log likehood ratios sont inférieures à

5%. Nous rejetons l’hypothèse, nulle notre modèle linéaire est mal spécifié. Nous pouvons

supposer que pour notre série, un modèle à changement de régime pourrait convenir davantage.

e) Tests de stabilité des paramètres

Ce test permet d’étudier la stabilité du modèle estimé au cours du temps.il y a un lien entre la

stabilité des paramètres et la linéarité d’un modèle. Il existe deux versions de ce test : le CUSUM

fondé sur la somme cumulée des résidus récursifs et le CUSUM Square fondé sur la somme

cumulée du carré des résidus récursifs.

Test Cumulative Sum of Residual (CUSUM)

Nous constatons ci-dessous que les résidus récursifs (en bleu) sont très proches de zéro, il est

largement à l’intérieur de l’intervalle de confiance (en rouge). Nous pouvons donc conclure qu’il

n’y a pas d’instabilité des paramètres dans le temps.

Test CUSUM Square

Ce test permet de détecter une instabilité dans la volatilité des résidus. Il est fondé sur la somme

cumulée du carré des résidus récursifs. Lorsque la courbe en trait plein traverse une des deux

lignes en pointillés, la variance résiduelle n’est pas instable au seuil de 5%

Récursive Residuals

Le graphique ci-dessous montre les résidus récursifs autour de zéro, 2 fois l’écart-type des erreurs

en valeurs absolu apparait également en pointillés rouge pour chaque point. Si les résidus sortent

de la bande des écart-types des erreurs on peut supposer une certaine instabilité dans les

paramètres de l’équation.

f) Test d’indépendance BDS

Commentaire :

Ce test va nous permettre de savoir si les variables sont indépendantes et identiquement

distribuées à partir de la notion d’autocorrélation. L’hypothèse nulle est que les variables sont iid.

On peut s’apercevoir que la p-value associée à la statistique de test est égal à zéro, par conséquent

nous rejetons l’hypothèse nulle, nos résidus ne sont pas iid (ce ne sont pas des bruits blancs), par

conséquent l’hypothèse de linéarité ne peut pas être accepté. La série est donc non linéaire

IV. ESTIMATION DES MODELES NON LINEAIRES

Depuis des années il est reconnu que la plupart des séries financières présentent des dynamiques

non linéaires, des asymétries, des distributions multimodales. Etant donné qu’il est impossible de

rendre compte de ces phénomènes à partir des modèles linéaires autorégressifs usuels de type

ARMA, on a nécessairement recours à des processus non linéaires capables de reproduire ces

caractéristiques. Ce le but de ce chapitre.

1. Threshold autoregressif (TAR)

La variable de seuil qt est supposée connue. Afin d’illustrer la relation entre le marché des

actions et la volatilité, nous avons choisi comme variable de changement de régime l’indice VIX.

L’indice VIX est un indicateur de volatilité du marché financier américain ( le S&P 500 étant

censé représenter le marché américain), il est calculé en faisant la moyenne des volatilités sur les

options d’achat (call) et les options de vente (put) sur l’indice Standard & Poor’s 500. Plus la

valeur de cet indice est forte, plus les marchés ont une nervosité élevée et donc un pessimisme

élevé. Une faible valeur, à l’inverse, indique un relatif optimisme sur le marché financier

américain.

Evolution de l’indice VIX depuis 2002

Nous allons utiliser ici des critères d’information spécifiques aux modelés de changement de

régime afin de choisir le bon ordre de l’AR.

Nous avons fixé d=1 comme retard de la variable à seuil car après plusieurs estimations nous

avons constaté que cela a très peu d’impact sur les estimations et ceci se reporte sur les critères

AIC et BIC.

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AIC(p1, p2 ) = n1 lns1

2 + n2 lns 2

2 + 2(p1 +1)+ 2(p2 +1)

BIC(p1, p2 ) = n1 lns1

2 + n2 lns 2

2 + ln(n1)(p1 +1)+ ln(n2 )(p2 +1)

Pi = nombre de retard dans le régime i

Ni = nombre d’observations dans le régime i

s 2

i = variance résiduelle dans le régime i

Wong et Li ont montré par simulations que le critère AIC est plus adapté aux petits échantillons

et que généralement le critère BIC était le plus adapté aux grands échantillons.

AIC – BIC (Wong & Li)

Commentaire :

Nous pouvons constater que nous sommes face à une divergence de résultat. Le critère AIC nous

conduit à choisir un retard égal à 4 alors que le critère BIC nous pousse à prendre un seul retard.

Estimations TAR (1,1 1)

Commentaire :

Nous avons estimés les deux modèles. Le premier tableau nous montre un TAR (1,1,1). Nous

sommes dans le régime 1 si la valeur du VIXt-1 est inférieure ou égale au seuil optimal de 1,8% et

nous serons dans le régime 2 si VIXt-1 > 1,8%.

Avec cette spécification le coefficient AR dans le régime 1 est négatif et significatif alors que

celui du régime 2 est positif mais pas significatif.

Le régime 1 semble être une période de baisse de l’indice S&P 500 car le coefficient de l’AR est

négatif et significatif, sachant qu’on est dans le régime 1 seulement si la variation de l’indice VIX

est inférieure ou égale à 1,8%.

S&P 500 Index vs VIX Index

Commentaire :

Empiriquement il existe une relation inverse entre la performance de l’indice S&P500 et la

variation de l’indice VIX, en fait en période haussière de l’indice de marché la volatilité a

tendance à baisser alors qu’en période baissière la volatilité augmente. Dans le graphique de

l’évolution de ces deux indices, nous pouvons voir le cours des deux indices depuis 2002. Nous

pouvons voir que les deux indices sont négativement corrélés.

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Estimations TAR (4,4 1)

Commentaire :

Nous avons estimé un TAR (4, 4,1), nous constatons rapidement que le régime 2 possède plus de

variables significatives que le régime 1. Ce modèle illustre mieux la réalité car dans le régime 2

tous les coefficients AR sont négatifs ce qui représente une période de baisse de l’indice lorsque

la variation du VIXt-1 dépasse notre seuil optimal de 1,5%. Donc nous constatons avec cette

spécification qu’une hausse de la volatilité lorsque le marché est baissier.

Intervalle de Confiance du seuil pour un TAR (1, 1,1)

Commentaire :

Hansen propose d’utiliser la méthode de moindres carrés séquentiels pour estimer notre seuil

optimal. On évalue la variance résiduelle du modèle à seuil conditionnellement à cette valeur du

seuil. L’estimation du seuil est alors la valeur qui minimise la variance résiduelle. Nous pouvons

également utiliser un intervalle de confiance pour le seuil, basé sur la distribution asymptotique

de la statistique du rapport de vraisemblance.

Dans le graphique ci-dessus la ligne rouge représente la statistique du rapport de vraisemblance

LR pour diffèrent valeurs du seuil. Tous les points qui sont en dessous de la ligne de confiance

sont tous les seuils qui font partie de l’intervalle de confiance. Autrement dit dans le cas d’un

TAR(1,1,1), nous avons 95% de chance que la valeur du vrai seuil soit compris dans l’intervalle

[0,0092 ;0,0218] et 90% qu’il soit dans l’intervalle [0,0095 ;0,0218]. Nous pouvons constater

également que l’intervalle de confiance est imprécis car il est assez large.

1. Self-Exciting Threshold AutoRegressive (SETAR)

On suppose maintenant que la variable de changement de seuil qt est un retard quelconque

qt=yt-d. Ici nous avons pris d=1. Le changement de régime est déterminé par des valeurs

retardées de la série. Nous appliquons la même méthode précédente et nous cherchons l’ordre p

qui minimise les critères AIC et BIC. Le retard p=3 minimise le critère AIC alors que le retard

p=1 minimise le critère BIC.

Nous estimons les deux modèles SETAR, la première spécification nous montre que le régime 1

n’est pas du tout significatif alors que dans le régime 2 la constante et le coefficient de l’AR sont

significatifs. Le seuil optimal est maintenant négatif -2.12%, nous pouvons supposer que le

regime1 correspond à des périodes de performances négatives de l’indice. Pour la deuxième

spécification presque tous les coefficients sont significatifs dans le régime 1 à l’exception de l’AR

(2) alors que dans le régime 2 aucun des coefficients sont significatif.

Estimations SETAR

2. Smooth Threshold autoregressif (STAR)

Pour le modèle SETAR, le passage entre les deux régimes se fait brusquement en fonction du

signe de yt-1 (d=1). On peut trouver une fonction continue G(yt-1,g ,c) qui lisse le passage de 0

à 1. Ce type de modèle s’appelle Smooth TAR (STAR). Une telle fonction est la fonction

logistique définie par :

G(yt-1,g ,c) =1

1+ exp(-g [yt-1 - c])

Le paramètre c est la valeur du seuil entre les deux régimes, g est le paramètre qui détermine la

vitesse de transition d’un régime à l’autre, c’est à dire plus g est grand et plus la transition d’un

régime à l’autre se fera rapidement et est la variable de changement de régime. G(yt-1,g ,c)

est une fonction croissante de yt-1.

L’équation devient :

yt = (f0,1 +f1,1yt-1)(1-G(yt-1,g ,c))+ (f0,2 +f1,2yt-1)G(yt-1,g ,c)+et

Si G(yt-1,g ,c) = 0 nous sommes dans le régime 1

Si G(yt-1,g ,c)= 1 nous sommes dans le régime 2

Nous allons estimer le modèle STAR par la méthode de moindres carrés non linéaires (Non-

Linear Least Squares). En fait ici nous cherchons à estimer les paramètres suivants :

q = (f01,f11,f02,f12,g ,c)'

yt-1

Ces paramètres doivent satisfaire la relation suivante :

q = argminq (yt - F(yt-1,q))2

t=1

n

å

Où F(yt-1) = (f0,1 +f1,1yt-1)(1-G(yt-1,g ,c))+ (f0,2 +f1,2yt-1)G(yt-1,g ,c)

Il n’y a pas de solution analytique pour résoudre ce programme. Afin de résoudre ce programme

nous devons utiliser une procédure d’optimisation numérique qui demande le choix des valeurs

initiales. Le choix des valeurs initiales est important pour l’algorithme. Nous devons supposer au

début que g et c sont connus, on va donc se donner un ensemble des valeurs possibles pour ces

deux paramètres. On va estimer par les moindres carrés les valeurs initiales de g et c qui

minimisent la variance du résidu. Une fois que les valeurs initiales sont connues on peut estimer

par NLS les autres paramètres en appliquant l’algorithme à la fonction objective présentée sous

cette forme :

Qn(g ,c) = (yt -j(t=1

n

å g ,c)'xt (g ,c))2

Cette fonction nous permet de réduire considérablement le nombre de paramètres à estimer par la

NLS. Les valeurs initiales de g et c va nous permettre d’estimer les autres paramètres restants

grâce à la fonctionQn(g ,c) qui dépend elle-même de ces deux paramètres.

Nous pouvons voir ci-dessous la estimation du modèle STAR, on peut constater que le paramètre

Gamma est relativement élevé ce qui entraine un niveau de transition assez rapide. Par ailleurs

nous avons un seuil de -34% qui est assez éloigné de celui de -2.12% du modèle SETAR.

Estimation STAR

Dans ce graphique nous pouvons voir les différentes valeurs de la fonction G, on constate qu’au

fur et à mesure que yt-1 augmente, G augmente également jusqu’à ce que G soit égale à 1, par

conséquent nous sommes dans le régime 2. Il semble que la transition d’un régime à l’autre se fait

très rapidement. Pour réaliser ce graphique nous avons considéré un paramètre gamma maximal

égal à 1 pour que l’algorithme puisse trouver les valeurs qui maximisent le log vraisemblance

G(yt-1,g ,c)

3. Tests de non linéarité contre un modèle SETAR

Ici nous allons tester un modèle linéaire contre un modèle non linéaire. L’hypothèse nulle nous

dit que les coefficients dans les deux régimes sont égaux donc nous sommes face à un modèle

linéaire alors que l’hypothèse alternative nous dit que les coefficients sont différents et donc le

modèle qui représente le mieux notre série est un modèle non linéaire.

H0 :f1 = f2

H1 :fi,1 ¹ fi,2,iÎ 0,...,{ p}

Ici nous sommes face à un problème d’identification car les modèles non linéaires contiennent

des paramètres non identifiables sous Ho. Par exemple dans le cas d’un modèle SETAR la

variable c n’est pas identifiable sous Ho. Donc les procédures de test standard ne permettent plus

de déterminer la loi asymptotique de la statistique de test. Comme on connaît que c qui minimise

la variance résiduelle alors la statistique de test qu’on va utiliser est :

cÎC

supF(c) =cÎC

supT (s e

2 -s 2

e (c)

s 2

e (c))

s e = variance résiduel du modèle linéaire AR (p)

s 2

e (c) = variance résiduelle du modèle SETAR

Dans la première partie du projet nous avons retenu un AR (3) comme modèle linéaire. Le

tableau ci-dessous nous donne le résultat du test que nous avons effectué :

Nous constatons que notre statistique de test est inférieure à la valeur critique et la p-value est

supérieure à 5%, par conséquent au seuil de 5% nous acceptons l’hypothèse nulle les coefficients

de l’AR sont identiques dans les différents régimes. Notre modèle est donc linéaire.

A titre d’informatif nous avons aussi testé un SETAR contra un AR(1), le test nous indique qu’un

modèle SETAR est le plus indiqué pour modéliser notre série, en fait nous pouvons voir que la

statistique de test est supérieure à la valeur critique donc nous rejetons Ho.

V. MODELE A CHANGEMENT DE REGIME MARKOVIEN

Hamilton (1989) montre que l’on peut aussi chercher à modéliser le processus de la série comme

un processus à changement de régime markovien. Le régime à la date t est déterminé par une

variable inobservable. On suppose que cette variable est générée par un processus de Markov

d’ordre 1 (noté St). St prend 2 états possibles : 1 et 2.

Estimation du modele à changement de régime Markovien

Estimation Ecart type P.Value

Régime 1 C 0.0049 0.0011 0

AR(1) -0.2335 0.0425 0

AR(2) -0.0246 0.0486 0.61

AR(3) -0.1898 0.0458 0

Régime 2 C -0.0185 0.0033 0

AR(1) 0.9513 0.1306 0

AR(2) 0.2519 0.093 0.01

AR(3) 0.1815 0.1094 0.1

AIC -2.35E+03 BIC -2.30E+03

---> Transition Probabilities Matrix (std. error, p-value) <---

Régime 1 Régime 2

0.82 (0.03,0.00) 0.86 (0.09,0.00)

0.18 (0.02,0.00) 0.14 (0.09,0.12)

Le coefficient du modèle AR(2) pour le régime 1 est significativement différent de zéro à un seuil

de 5%. Le coefficient de AR(3) pour le régime 2 est significativement different de zero à un seul

de 5%.

Concernant les probabilités de transition :

la probabilité de passer du régime 2 en t-1 au régime 1 en t est estimée à 0.86 et n’est pas

significativement différent de zéro.

la probabilité de passer du régime 1 en t-1 au régime 2 en t est estimée à 0,82 et n’est pas

significativement différent de zéro

Commentaire :

Le premier graphique représente la volatilité de notre série et le troisième graphique représente

les changements de probabilité entre deux régimes. Nous pouvons constater les changements de

régimes dans les périodes de forte volatilité. (0 à 100, 300 à 500)