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  • C F A / V I S H N O 2 0 1 6

    Application du controle actif sur un gong dopera chinoisM. Jossica, B. Chomettea, A. Mamou-Manib et D. Rozeb

    aInstitut Jean le Rond dAlembert (CNRS, UMR 7190), Case courrier 162, 4 placeJussieu, F-75252 Paris, France

    bIrcam STMS (CNRS, UMR 9912), 1 place Igor Stravinsky, 75004 Paris, Francemarguerite.jossic@dalembert.upmc.fr

    CFA 2016 / VISHNO 11-15 avril 2016, Le Mans

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  • Les instruments de musique de la famille des gongs se caractrisent par un comportement dynamique non linaireinduit par la gomtrie de linstrument et leurs vibrations grande amplitude. Dans le cas du gong dopra chinois,le xiaoluo, cette non-linarit se traduit par une variation de certaines frquences avec lamplitude de vibrationet lapparition de frquences supplmentaires aux frquences propres (distorsion harmonique et combinaison defrquences propres principalement). Lobjectif des travaux prsents est de contrler la dynamique du gong afinde modifier le son rsultant en utilisant des techniques de contrle actif. En premire approche, lapplicationdun contrle modal linaire, bas sur une identification linaire et un contrleur sur ltat modal de linstrumentpermet un contrle en amortissement du mode fondamental de faibles niveaux dexcitation. Les rsultatsexprimentaux obtenus montrent que le contrle agit galement sur le comportement non linaire du gong pourdes niveaux dexcitation plus importants. Plus particulirement, le contrle modal du mode fondamental agitnon seulement sur celui-ci, mais galement sur les harmoniques gnres par le comportement non linaire. Lesrsultats exprimentaux sont finalement compars la simulation dun contrle modal appliqu sur le modle dunoscillateur de duffing correspondant au mode fondamental du gong.

    1 Introductiontablir des liens entre les paramtres physiques objectifs

    dun instrument de musique et le son quil produit, attributsubjectif qui est formul par loreille musicale, est unequestion centrale en acoustique musicale. Le contrleactif modal, en permettant la modification des paramtresmodaux (frquences, amortissements) de structures donnes,se rvle tre un outil remarquable pour modifier le sonproduit par un instrument. Ainsi, il a t appliqu avecsuccs une table dharmonie de guitare [1] et une clarinettesimplifie [5].

    Les diffrentes caractristiques sonores des instrumentsde la famille des gongs dpendent pour lessentiel de non-linarits gomtriques qui apparaissent ds que lamplitudeavec laquelle linstrument est excit est assez grande [3].Ainsi, le gong dopra chinois xiaoluo a la particularit deproduire un glissement frquentiel ascendant de son modefondamental ds quil est frapp fortement en son centre [2].Ce glissement frquentiel peut reprsenter des variations deplusieurs dizaines de Hz et est caractristique de certainscomportements faiblement non linaires, comme parexemple les oscillateurs de Duffing [10]. Ce comportementsaccompagne de lapparition de frquences non modalesdues des rsonances internes entre modes linaires, ou dela distorsion de modes [9].

    Un exemple de ces phnomnes, dans le cas duneexcitation avec une mailloche en feutre, est illustr surla Figure 1 : faible amplitude dexcitation, le modefondamental du gong ne varie pas en frquence, et desphnomnes de distorsion harmonique sont visibles. Pourde fortes amplitudes dexcitation, le spectre est plus dense :de nouvelles composantes non-modales apparaissent, etle mode fondamental opre un glissement frquentielascendant.

    Le but de cette tude est dappliquer un contrlemodal linaire au gong xiaoluo, la fois en rgime defaibles amplitudes et de fortes amplitudes. Les rsultatsmontrent que le contrle modal en amortissement dumode fondamental de linstrument, en rgime de fortesamplitudes, ne permet pas de contrler le glissementfrquentiel. Toutefois, le contrle modal linaire mis enoeuvre agit la fois sur le mode cibl et sur les composantesfrquentielles issues de son comportement non linaire. Cesrsultats exprimentaux sont supports par des tudes ensimulation.

    Figure 1 Spectrogrammes sonores du gong xiaoluo frappen son centre avec une mailloche en feutre, en rgime de

    faibles amplitudes (haut) et fortes amplitudes (bas).

    2 Thorie du contrle modal

    2.1 Modle dtatLe contrle actif modal repose sur une formulation dans

    lespace dtat de lquation diffrentielle du mouvementdes systmes vibratoires. Celle-ci, une fois discrtise etprojete sur la base modale, se rduit un systme de nquations diffrentielles (n correspondant au nombre demodes considrs) :

    qi(t) + 2iiqi(t) + 2i qi(t) = fi 1 i n (1)

    o les (i), (i) et ( fi) reprsentent respectivement les nfrquences propres, les n amortissements propres et les nperturbations projetes dans la base modale. La formulationdans lespace dtat consiste dfinir un vecteur dtatX = [q(t); q(t)]t permettant de mettre le systme (1) de nquations diffrentielles du second ordre sous la forme duneunique quation du premier ordre :

    X(t) = AX(t) + Gw(t) (2)

    La matrice A contient alors les paramtres modaux (i) et(i) et la matrice G les perturbations ( fi). On dsigne par w(t)la perturbation impose au systme (un coup de maillochepar exemple). Les 2n ples (pi) du systme, dtermins parla condition de nullit du dterminant det(IA), scrivent :

    pi = ii ji

    1 2i (3)

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  • ObservateurContrleur

    Systme de contrle

    Systme

    -

    Figure 2 Schma du systme de contrle au complet.

    2.2 Systme de contrleUn systme de contrle peut tre adjoint au systme

    vibratoire dcrit par lquation (2) ; celle-ci devient alors :

    X(t) = AX(t) + Bu(t) + Gw(t)Y(t) = CX(t)

    (4)

    Les matrices B et C contiennent respectivement lescaractristiques des actionneurs et des capteurs, et le scalaireu(t) dsigne la commande de contrle. Les matrices A, B etC sont identifies laide dun algorithme Rational FractionPolynomial (RFP) [8]. Dans le cas dun contrle par retourdtat, la commande scrit u(t) = KX(t), o K est le gainde commande, et X dsigne lestimation du vecteur X par unobservateur de Luenburger [4]. Ce dernier est caractris parle gain L et est dcrit par :

    X(t) = (Am BmK)X(t) + L(Y Y)Y(t) = Cm X(t)

    (5)

    Les matrices Am Bm et Cm dsignent respectivement lesmatrices du systme, des actionneurs et des capteursmodliss dans lobservateur. Lintroduction de lacommande u modifie les ples du systme : ils correspondentnon plus au spectre de la matrice A mais celui de la matriceABK. Les ples cibles du systme sont dtermins laidedes amortissements et pulsations cibles et de la relation (3),et les gains K et L laide dun algorithme de placementde ples. La Figure 2 prsente le schma du systme decontrle au complet.

    3 Dispositif exprimental

    3.1 Analyse modale prliminaireUne analyse modale exprimentale du gong a t

    ralise afin didentifier les modes propres destins trecontrls. Elle a t effectue en excitant le gong ctde son centre avec un marteau dimpact. Le gong est pos lhorizontale sur deux blocs de mousse, garantissantdans une moindre mesure la prservation de conditionsaux limites libres, comme en situation de jeu. Le signalde vitesse verticale est mesur grace un vibromtre laserplac la verticale de linstrument. La surface du gong at discrtise en un quadrillage de 429 points. Pour chacundeux, la fonction de transfert est calcule partir de la

    mesure des signaux du marteau dimpact et du vibromtre.Les cinq premires dformes oprationnelles issues decette analyse modale sont prsentes Figure 3. Elles sontcompares aux dformes oprationnelles obtenues pourle gong instrument (voir 3.2). Le mode fondamental,contrl dans la suite de ltude, se situe 448 Hz, et estprincipalement localis au centre du gong. Ces dformesoprationnelles sont comparables celles trouves par Tsaiet al. sur un gong xiaoluo [11].

    f =163 Hz f = 174 Hz f = 448 Hz f = 815 Hz f = 865 Hz

    f =161 Hz f = 174 Hz f = 451 Hz f = 816 Hz f = 865 Hz

    Gong non instrument

    Gong instrument

    Figure 3 Dformes oprationnelles du gong xiaoluo sanset avec instrumentation (capteur + actionneur).

    3.2 InstrumentationLa chane de contrle dveloppe (Figure 2) utilise un

    seul capteur et un seul actionneur. Un capteur pizolectriqueMicro Fiber Composite et un actionneur lectrodynamiqueHIAX11C005-12 ont t choisis. Ils sont colocaliss sur lacouronne du gong, le capteur tant positionn sur la facesuprieure du gong, et lactionneur sur la face infrieure(Figure 4). Ce positionnement sur la couronne vite uneperturbation trop importante du mode fondamental, localisau centre du gong (Figure 3).

    Le contrleur et lobservateur sont constitus par lesystme COALA [7]. Les matrices Am, Bm, Cm, K et L,sont calcules en amont comme expliqu la section 2 etimportes sur le serveur de la plateforme. La boucle decontrle est ralise une frquence dchantillonnage de20 000 Hz.

    Deux systmes dexcitation du gong sont disponibles :un balayage sinus, envoy dans lactionneur plac sur lacouronne du gong, et une excitation impulsionnelle laide

    Figure 4 Photographies du gong instrument. A gauche :Localisation du capteur MFC sur le gong et position de

    frappe de la mailloche (croix rouge). A droite : position delactionneur sur le gong, colocalis avec le capteur.

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  • dune mailloche en feutre, au centre (Figure 4). Le gongest suspendu la verticale par une cordelette, attache un systme mcanique permettant une frappe reproductiblepour diffrentes quantits de mouvement de la mailloche -correspondant diffrents angles de dpart.

    4 Contrle en amortissement du modefondamental en faibles amplitudes.

    Cette section prsente les rsultats exprimentaux etles rsultats de simulation dun contrle en amortissementlinaire du mode fondamenta