applications of ideal quantum systems -...

Chapter 5

Applications of Ideal QuantumSystems

Refs.: Huang, Landau & Lifshitz, Pathria

5.1 Introduction

Neste capıtulo estudaremos algumas aplicacoes simples de sistemas ideais quanticos. Ini-cialmente, discutiremos o calculo de valores medios para sistemas fermionicos utilizandoa densidade de estados de uma partıcula. Em seguida, veremos o comportamento mag-netico de um gas de Fermi – incluindo topicos como paramagnetismo de Pauli e diamag-netismo de Landau –, o gas de fotons e, finalmente, fonons.

5.2 Density of States for Fermionic Systems

Vamos agora generalizar a passagem para o contınuo das integrais fermionicas estudadasna Secao 4.4. Isto nos permitira obter resultados bastante gerais em termos da densi-dade de estados de uma partıcula, que e uma grandeza utilizada para descrever tantosistemas nao-interagentes quanto, ao menos de modo aproximado, sistemas interagentes.E importante frisar que, na maioria dos casos, a presenca de interacoes faz com que seperca a individualidade das partıculas; isto e, os autoestados da Hamiltoniana com in-teracao nao podem ser escritos como produtos sobre estados de uma partıcula. Apesardisto, pode-se obter uma densidade de estados em que as interacoes sejam introduzidasatraves de aproximacoes sistematicas.

Seja V o volume espacial (= Ld, para um hipercubo d-dimensional de lado L) ao qualas partıculas estao confinadas. No limite termodinamico, o espacamento entre os nıveisde energia diminui, ate formarem praticamente um contınuo de estados. O numero deestados com energia entre " e " + d" e, entao, dado por D(")d", definindo a densidadede estados de uma partıcula D("). Por exemplo, para uma partıcula livre com spin-1/2em tres dimensoes, com "

p

= p2/2m, ja vimos que

D(") =8⇡V

h3

p2m3 "1/2, (5.2.1)

91

92 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS

enquanto que em d dimensoes, D(") ⇠ "(d�2)/2 (mostre!).Assim, introduzindo o numero medio de ocupacao do nıvel de energia " (veja a

Fig. 4.2),

f(") =1

e�("�µ) + 1(5.2.2)

[supoe-se que a degenerescencia esteja incluıda em D(")], a media termodinamica dequalquer funcao da energia, Q("), fica

hQi =Z

d" D(")f(")Q("). (5.2.3)

Em particular,

hEi =Z

d" D(")f(")", (5.2.4)

e

hNi =Z

d" D(")f("). (5.2.5)

A partir destes exemplos fica claro que frequentemente encontraremos integrais do tipo

I =

Z 1

"0

d" G(")f("), (5.2.6)

onde "0

e a menor energia dos estados de uma partıcula, e G e uma funcao de ".De particular interesse e o comportamento destas integrais a baixas temperaturas.

Para obte-lo, suponhamos inicialmente que G seja uma funcao contınua e infinitamentediferenciavel em " = µ, e que seja lentamente variavel num intervalo da ordem de kBTem torno deste ponto. Seja (") a primitiva de G("), isto e, 0(") = G("), de modo quea integracao por partes de (5.2.6) fornece

I =

Z 1

"0

d" f(")d

d"= f(") (")

�

�

�

�

1

"0

�Z 1

"0

d" (")df

d", (5.2.7)

onde o primeiro termo no lado direito de (5.2.7) se anula porque f(1) = 0 e porquetambem supoe-se que ("

0

) = 0.E facil ver que, especialmente a baixas temperaturas, a funcao df/d" assume valores

muito pequenos, a nao ser num intervalo da ordem de kBT perto de " = µ; veja a Fig. 4.2.Logo, podemos levar a expansao de ("),

(") = (µ) + ("� µ) 0(µ) +1

2("� µ)2 00(") + . . . , (5.2.8)

na Eq. (5.2.7), para ser integrada termo a termo.Estendendo o limite inferior das integrais para �1 (o que nao causa alteracoes sig-

nificativas, pois os integrandos se anulam neste limite), e usando os seguintes resultadosZ 1

�1d"

df

d"= �1, (5.2.9)

5.2. DENSITY OF STATES FOR FERMIONIC SYSTEMS 93

Z 1

�1d" ("� µ)n

df

d"= 0 (n impar), (5.2.10)

Z 1

�1d" ("� µ)n

df

d"= � (kBT )

nZ 1

�1dx

xnex

(ex + 1)2=

= �2 (kBT )n n!

�

1� 21�n�

⇣(n) (n par), (5.2.11)

obtemos

I = (µ) +1X

r=1

2�

1� 21�2r�

⇣(2r) (kBT )2r (2r)(µ). (5.2.12)

Nas equacoes acima, ⇣(n) ⌘P1

l=1

l�n e a funcao ⇣ de Riemann, cuja relacao com osnumeros de Bernoulli, Br, e

⇣(2r) = 22r�1

⇡2r

(2r)!Br, (5.2.13)

com

B1

=1

6, B

2

=1

30, B

3

=1

42, B

4

=1

30, B

5

=5

66. (5.2.14)

Substituindo-se 0(") por G(") temos

Z 1

"0

d" G(")f(") =

Z µ

"0

d" G(") +⇡2

6(kBT )

2G0(µ) +7⇡4

360(kBT )

4G000(µ) + . . . (5.2.15)

Lembrando que a baixas temperaturas a diferenca entre o potencial quimico e a energiade Fermi e muito pequena, da ordem de ("

F

/kBT )2, podemos efetuar a aproximacao

Z µ

"0

d" G(") 'Z "

F

"0

d" G(") + (µ� "F

)G("F

). (5.2.16)

Com isto, a Eq. (5.2.15) pode finalmente ser escrita de uma forma que separa a con-tribuicao do estado fundamental (como uma integral ate "

F

) dos efeitos de temperaturanao-nula:

I ⌘Z 1

"0

d" G(")f(") =

Z "F

"0

d" G(") + (µ� "F

)G("F

) +⇡2

6(kBT )

2G0(µ) + . . . (5.2.17)

A partir daı o leitor deve deduzir os seguintes resultados:✓

@I

@T

◆

µ

=1

3⇡2k2BTG

0("F

) +O(T 3), (5.2.18)

✓

@I

@µ

◆

T

= G("F

) +O(T 2), (5.2.19)

e✓

@I

@T

◆

N

=1

3⇡2k2BT�

0("F

)D("F

) +O(T 3), (5.2.20)


onde � = G/D.Em particular, pode-se mostrar (veja o Exercıcio 5.2) que o potencial quımico a

baixas temperaturas e dado por

µ ' "F

"

1� ⇡2

6

✓

d lnD(")

d ln "

◆

"="F

✓

kBT

"F

◆

2

#

, (5.2.21)

e que o calor especıfico (a volume constante) e a entropia sao aproximadamente iguaisentre si:

CV ' S ' ⇡2

3D("

F

) k2BT. (5.2.22)

E importante notar que o comportamento dominante do calor especıfico com atemperatura pode ser obtido a partir de um argumento bem simples, com um pequenoerro nos pre-fatores numericos. O princıpio de exclusao de Pauli impoe que apenas osfermions com energias proximas a energia de Fermi possam ser excitados termicamente;sao apenas estes, portanto, que contribuem para a variacao da energia interna com atemperatura e daı para o calor especıfico. O numero de fermions num intervalo da ordemde kBT em torno da energia de Fermi e

�N ⇠ D("F

)⇥ kBT, (5.2.23)

pois D fornece o numero de estados por intervalo de energia, e ja inclui a degenerescenciade spin. A variacao na energia interna pode entao ser estimada como

�E ⇠ �N ⇥ kBT = (kBT )2D("

F

), (5.2.24)

o que nos daCV ⇠ D("

F

)k2B T ; (5.2.25)

este resultado deve ser comparado com (5.2.22). Este argumento tambem explica porque,no regime degenerado, o calor especıfico de um gas de fermions tem um comportamentolinear com a temperatura, para qualquer dimensao espacial e para qualquer dispersao, jaque estas duas grandezas entram apenas na densidade de estados.

O procedimento adotado aqui, em termos da densidade de estados, sera utilizado naproxima secao.

5.3 Magnetic Behaviour of an Ideal Fermi Gas

Metais apresentam um comportamento paramagnetico bastante diferente de isolantes(estes foram discutidos na Secao 3.3). Em particular, veremos que a baixas temperaturasnao ha saturacao do momento magnetico resultante, e que a suscetibilidade nao dependeda temperatura. Para isolantes, ao contrario, existe saturacao do momento magneticoe a suscetibilidade diverge como 1/T a baixas temperaturas. A sugestao de Pauli, em1927, de que os eletrons de conducao em metais alcalinos deveriam ser tratados como um

5.3. MAGNETIC BEHAVIOUR OF AN IDEAL FERMI GAS 95

gas de fermions degenerado, possibilitou a compreensao deste fenomeno, hoje conhecidocomo paramagnetismo de Pauli.

Enquanto o paramagnetismo e proveniente do acoplamento do momento magneticointrınseco dos eletrons com o campo, a quantizacao de suas orbitas helicoidais, em pre-senca do mesmo campo, da origem ao diamagnetismo, fenomeno que nao tem analogoclassico. Este efeito, que foi previsto primeiramente por Landau em 1930, e caracteri-zado por uma suscetibilidade negativa. A altas temperaturas a suscetibilidade tem umcomportamento do tipo lei de Curie; quando T ! 0 ela independe de T , mas dependeda densidade de partıculas. Mais ainda, para campos fortes, a suscetibilidade a baixastemperaturas e oscilatoria, com perıodo da ordem de 1/H, onde H e o campo aplicado.Este comportamento e conhecido como efeito de Haas-van Alphen em homenagem aquem o observou pela primeira vez, em 1930; sua explicacao, todavia, so foi dada porPeierls em 1933.

Mais recentemente (c. 1980), o confinamento de eletrons a uma regiao bastante estre-ita, numa das interfaces de uma heteroestrutura semicondutora (i.e., uma justaposicaode camadas de materiais semicondutores), possibilitou o estudo de eletrons (quase) bi-dimensionais em presenca de campo magnetico. Descobriu-se que a resistividade Hall,ao inves de ter um comportamento linear com o campo aplicado, como previsto classi-camente, apresentava platos correspondentes a sub-multiplos de um quantum de resis-tividade. Este fenomeno ficou conhecido como Efeito Hall Quantico (conhecido pela suasigla em ingles, QHE). Medidas subsequentes mostraram que, na realidade, havia doistipos de QHE: o inteiro (IQHE) e o fracionario (FQHE). O FQHE ainda e, hoje, objetode intensa investigacao: uma das mais promissoras explicacoes para sua ocorrencia lancamao de concepcoes intrigantes como a de partıculas compostas e de fracionalizacao dacarga.

A seguir, discutiremos o paramagnetismo e o diamagnetismo de Landau separada-mente; basicamente, nosso objetivo sera calcular a magnetizacao e a suscetibilidade emcada caso. Em sequencia, faremos uma discussao elementar do QHE, apresentandoalgumas das novas ideias.

5.3.1 Pauli Paramagnetism

Consideremos inicialmente N fermions sem carga, com massa m e momento magneticoµµµ, em presenca de um campo externo H. A Hamiltoniana de cada partıcula e

H =p2

2m� µµµ ·H, (5.3.1)

representando o acoplamento de seu momento magnetico intrınseco com o campo. Ana-lisaremos aqui o caso de spin-1/2, de modo que o momento magnetico tem apenas duasorientacoes possıveis com relacao a H: µ = ±µB, onde µB e o magneton de Bohr.

Este sistema pode ser imaginado como se fossem dois gases coexistindo em equilıbrio:um, composto de partıculas com spin paralelo ao campo, e outro, com spin antiparalelo


¡F

(a) H = 0

D( ¡)D( ¡)

¡F

¡(b) H = 0/

D( ¡)D( ¡)

¡

B H+µ

<µB H

Figure 5.1: Schematic density of states for each spin channel, � =", #, for the threedimensional Fermi gas: (a) zero field; (b) non-zero field.

ao campo.1 A Fig. 5.1(a) mostra a densidade de estados (no eixo horizontal; a energiaaparece no eixo vertical) para estas duas especies de partıculas com H = 0. Quandoo campo e aplicado, todos os nıveis de energia para as partıculas com spin paralelo[antiparalelo] ao campo sofrem o mesmo deslocamento de �µBH [+µBH]. Portanto,como indicado na Fig. 5.1(b), a densidade de estados associada ao ‘canal’ de spin �(� = " $ � = +1; � = # $ � = �1) corresponde a densidade de estados sem campo,transladada de �µBH:

D�(") =1

2D("+ �µBH), (5.3.2)

onde D e dado por (5.2.1) no caso tri-dimensional com dispersao quadratica; o fator 1/2se deve ao fato de os estados que contribuem para D� tem agora degenerescencia g = 1.

O nıvel de Fermi e o mesmo para as duas especies e e determinado pela posicaoem que a soma das areas das duas curvas e igual ao numero total de partıculas. Ficatambem aparente da figura que a maioria das partıculas tem spin paralelo ao campo,dando origem a uma magnetizacao resultante, ao contrario do caso em que H = 0.

Para obter a magnetizacao e a suscetibilidade devemos calcular N" e N#, o que efeito adaptando-se as expressoes da Secao 5.2. Assim,

N� =

Z 1

�1d" D�(") f(") =

Z 1

�1d"

1

2D("+ �µBH) f("). (5.3.3)

Consideremos inicialmente T = 0, quando a funcao de Fermi, f("), restringe os

1De agora em diante usaremos a expressao ‘spin paralelo ao campo’ como sinonimo de ‘momento

magnetico paralelo ao campo’, mas sempre tendo em mente que, para eletrons, µµµ / �S.


limites superiores das integrais acima:

N� =

Z "F

��µB

Hd"

1

2D("+ �µBH) =

Z "F

+�µB

H

0

d"1

2D("), (5.3.4)

onde se supos, como na Fig. 5.1, que a menor energia possıvel para os fermions e ��µBH.No caso da densidade de estados (5.2.1), a integracao em (5.3.4) e imediata, e obtemos

a magnetizacao como

M = µB (N+

�N�) = µB4⇡V (2m)3/2

3h3

n

("F

+ µBH)3/2 � ("F

� µBH)3/2o

. (5.3.5)

Como µBH ⌧ "F

, temos

M ' 4⇡V (2m)3/2

3h3µB "1/2

F

(3µBH) =3

2

Nµ2

BH

"F

, (5.3.6)

onde N e o numero total de partıculas e "F

e dado por (4.4.7) com g = 2, de modo que

�0

⌘ 1

N

@M

@H=

3

2

µ2

B

"F

. (5.3.7)

Estes ultimos resultados sao muito importantes, e devem ser comentados. A magne-tizacao por partıcula e pequena – o termo µB vem multiplicado por um fator da ordemde µBH/"

F

–, quando comparada com a obtida em isolantes que, a T = 0, atinge asaturacao; isto e M = M/N = µB. Esta ausencia de saturacao e devido a apreciavelenergia de ponto zero que ocorre no gas de Fermi, de modo que flutuacoes quanticasperturbam o alinhamento total. Assim, um pequeno campo nao e capaz de aumentar amagnetizacao significativamente, o que se reflete na suscetibilidade finita a T = 0. Nocaso dos isolantes, a suscetibilidade diverge a T = 0 porque um pequeno campo consegueum alinhamento consideravel.

A temperaturas finitas procedemos de modo analogo. A magnetizacao fica

M = µB(N" �N#) = µB

Z

d"1

2{D("+ µBH)�D("� µBH)} f("). (5.3.8)

Supondo µBH ⌧ "F

podemos expandir D, obtendo

� =MH

=µ2

B

N

Z 1

0

d" D0(")f("), (5.3.9)

onde D0(") ⌘ dD/d".A baixas temperaturas usamos a Eq. (5.2.20), com � = µ2

B D0/D, para obter

✓

@�

@T

◆

N

=⇡2

3Nµ2

Bk2

BTD("F

)

✓

d2 lnDd"2

◆

"="F

. (5.3.10)


Integrando com relacao a temperatura vem, finalmente,

� =µ2

BD("F

)

N

(

1 +1

6⇡2(kBT )

2

✓

d2 lnDd"2

◆

"="F

+ . . .

)

. (5.3.11)

E interessante notar que a suscetibilidade a T = 0 traz a assinatura da densidade deestados no nıvel de Fermi. Este aspecto se torna particularmente importante porquemuitas vezes a interacao entre as partıculas e incorporada – de modo aproximado, eclaro – como uma modificacao na densidade de estados. Logo, medidas experimentaisda suscetibilidade a baixas temperaturas revelam, por exemplo, se a densidade de estadosno nıvel de Fermi e grande ou pequena.

Especializando para eletrons livres em tres dimensoes, i.e., comD(") dado por (5.2.1),obtemos

M ' 3

2

µ2

B

"F

H

"

1� ⇡2

12

✓

kBT

"F

◆

2

#

, (5.3.12)

e

� ' 3

2

µ2

B

"F

"

1� ⇡2

12

✓

kBT

"F

◆

2

#

. (5.3.13)

No limite de altas temperaturas, kBT � "F

, podemos tomar f(") ' e��("�µ) naEq. (5.3.9) que, integrada por partes, fornece

� ' µ2

B

kBT. (5.3.14)

Como esperado, este resultado independe da densidade de estados e e semelhante aocomportamento paramagnetico de isolantes, do tipo lei de Curie.

5.3.2 Landau Diamagnetism

Na sub-secao anterior exploramos a interacao do momento magnetico intrınseco de umfermion com um campo magnetico, dando origem ao paramagnetismo. Todavia, umapartıcula carregada em presenca de um campo magnetico, H = H z, tem uma trajetoriahelicoidal, com eixo na direcao z do campo; isto e, o movimento no plano xy e circular,e na direcao z e o de uma partıcula livre. Poderıamos pensar que o movimento circularda origem a um outro momento magnetico (nao intrınseco), que tende a se alinharantiparalelamente ao campo. Apesar de atraente, esta imagem classica nao e suficientepara explicar o diamagnetismo, como previsto pelo Teorema de van Leeuwen: o fenomenodo diamagnetismo nao existe na Fısica Classica; a demonstracao deste teorema e pedidano Exercıcio 5.3.

Consideremos, portanto, o problema sob o ponto de vista quantico, partindo deum gas de eletrons independentes; nao levaremos em conta nesta discussao o spin doeletron, pois queremos enfatizar as alteracoes no movimento orbital. O problema de umapartıcula carregada em presenca de campo uniforme e exatamente soluvel (veja, p.ex.,


Landau e Lifshitz, Quantum Mechanics): os movimentos nas direcoes perpendicular eparalela ao campo sao separaveis, sendo que o primeiro contribui com a energia de umoscilador harmonico uni-dimensional, e o segundo com a de uma partıcula livre. Osnıveis de uma partıcula sao, portanto, dados por

" =

✓

j +1

2

◆

~! +p2z2m

, j = 0, 1, 2, . . . , (5.3.15)

onde ! e a frequencia de revolucao

! =eH

mc. (5.3.16)

A contribuicao tipo oscilador harmonico para este espectro corresponde aos chamadosnıveis de Landau. Para um gas tri-dimensional, a cada um dos nıveis de Landau se somaum espectro contınuo devido ao movimento livre ao longo da direcao z; e um espectrosem gaps. Se, por outro lado, o gas esta confinado as duas dimensoes perpendicularesao campo, o espectro corresponde apenas aos nıveis de Landau, e apresenta gaps.

A Fig. 5.2 mostra esquematicamente os espectros dos movimentos bi-dimensionais,com e sem campo magnetico. Pode-se imaginar que varios nıveis do sistema sem campocolapsam em um unico nıvel do sistema com campo. Assim, todos os g estados doquase-contınuo cujas energias estiverem numa faixa de largura ~! estarao associados aoestado quantizado mais proximo. Quantitativamente, g e dado pela area do espaco defase correspondendo a energia naquela faixa:

g =L2

h2

Z Z

j~!< p

2

x

+p

2

y

2m

<(j+1)~!

dpx dpy =L2

h2

Z

j~!< p

2

2m

<(j+1)~!

2⇡p dp =L2eH

hc. (5.3.17)

Note que g/L2 representa o numero de orbitas, por nıvel de Landau, que podem ser aco-modadas em cada cm2; isto e, fornece uma medida quantica da incerteza na localizacaoda orbita circular do eletron.

Os bons numeros quanticos para fermions sem spin em presenca de campo magneticosao, portanto, � ⌘ {pz, j,↵}, com ↵ = 1, 2, . . . , g. Assim como no caso sem campo, emais conveniente trabalhar no ensemble gran-canonico, no qual a funcao de particao efatorada como um produto sobre estados de uma partıcula:

Z =Y

�

⇣

1 + ze��"�

⌘

. (5.3.18)

Tomando o logaritmo, vem

lnZ =X

�

ln⇣

1 + ze��"�

⌘

=g

X

↵=1

1X

j=0

X

pz

ln⇣

1 + ze��"(↵,j,pz

)

⌘

=

=gV 1/3

h

Z 1

�1dp

1X

j=0

ln⇣

1 + ze��"�

⌘

, (5.3.19)


(a) H = 0

hththt

ht

(b) H = 0/

j =j =j =j =

0123

<

<

<

<

Figure 5.2: Planar contribution to the single-particle energy levels (schematic): (a)H = 0, and (b) H 6= 0.

e, lembrando que

hNi = z@

@zlnZ =

X

�

hn�i, (5.3.20)

obtemos

hNi = gV 1/3

h

Z 1

�1dp

1X

j=0

1

z�1e�" + 1. (5.3.21)

Analisemos agora os casos limites. A altas temperaturas devemos ter o comporta-mento classico com z ⌧ 1, e podemos expandir (5.3.19) e (5.3.21) em potencias de z,mantendo apenas o termo em ordem mais baixa,

lnZ ' zgV 1/3

h

Z 1

�1dp

1X

j=0

e��

p

2

2m

+~!(j+1/2)

�

=zV eH

hc

1

⇤

⇢

2 sinh~!

2kBT

��1

, (5.3.22)

e, portanto,

hNi ' lnZ ' zV

⇤3

x

sinhx, (5.3.23)

com

x ⌘ µ0HkBT

, (5.3.24)

onde

µ0 ⌘ eh

4⇡mc(5.3.25)

e o momento magnetico induzido.


A magnetizacao e obtida da maneira usual, isto e,

M =1

VkBT

✓

@

@HlnZ

◆

z,V,T

=z

⇤3

µ0⇢

1

sinhx� x coshx

sinh2 x

�

= �nµ0L(x), (5.3.26)

onde n ⌘ hNi/V e a funcao de Langevin e definida por

L(x) ⌘ cothx� 1

x. (5.3.27)

O resultado (5.3.26) e muito semelhante ao obtido pela Teoria de Langevin para dipolosclassicos, sendo que a diferenca fundamental esta no sinal de M que, sendo negativo,caracteriza o diamagnetismo. Outra observacao importante diz respeito ao aspecto pu-ramente quantico deste efeito: µ0 ! 0 quando h ! 0, concordando com a demonstracaomais formal do Teorema de van Leeuwen (veja Exercıcio 5.3).

Fazendo a hipotese adicional de que µ0H ⌧ kBT , temos que

L(x) ' x/3, (5.3.28)

de modo que

M ' �nµ02H3kBT

, (5.3.29)

e

� ' � nµ02

3kBT, (5.3.30)

evidenciando que o carater diamagnetico nao depende do sinal da carga da partıcula.Ademais, a suscetibilidade total e obtida somando-se as contribuicoes (5.3.14) e (5.3.30)onde, nesta ultima, a massa da partıcula que aparece na definicao de µ0 deve ser entendidacomo sua massa efetiva no sistema (p.ex., em um cristal):

� ' n

kBT

✓

µ2

B � 1

3µ02

◆

; µ0H ⌧ kBT. (5.3.31)

Se µ0 = µB, note que a contribuicao diamagnetica para eletrons e 1/3 da paramagnetica,a altas temperaturas.

Vejamos agora o outro extremo, isto e, o comportamento a baixas temperaturas,kBT ⌧ "

F

. Suponhamos que µ0H ⌧ kBT , de modo que a soma em j na Eq. (5.3.19)possa ser feita com o auxılio da formula de Euler,

1X

j=0

f(j + 1/2) 'Z 1

0

f(x) dx+1

24f 0(0), (5.3.32)

com o resultado

lnZ =eV H

h2c

"

Z 1

0

dx

Z 1

�1dp ln

✓

1 + ze��(2µ0Hx+ p

2

2m

)

◆

� 1

12

µ0HkBT

Z 1

�1dp

1

z�1e�p

2

2m + 1

#

.

(5.3.33)


HVH

I

V

t

w

Figure 5.3: Esquema de medida das tensoes longitudinal, V , e transversa (Hall), VH , emuma amostra de largura w e espessura t, percorrida por uma corrente I, em presenca deum campo magnetico perpendicular H.

Os calculos de ambas as integrais sao simplificados neste limite (veja Pathria, secao 8.2para detalhes), de modo que a correcao em ordem mais baixa, devido a quantizacao dasorbitas, fornece para a suscetibilidade a baixas temperaturas

� ' �1

2

nµ02

"F

, (5.3.34)

que, mais uma vez, traz a assinatura do diamagnetismo, independentemente do sinalda carga da partıcula. Note tambem que, ao contrario da contribuicao paramagnetica[Eq. (5.3.7)], a suscetibilidade diamagnetica a T = 0 depende da densidade de partıculas.

Supondo agora que µ0H ' kBT ⌧ "F

, pode-se mostrar (veja Pathria, Secao 8.2) quea suscetibilidade contem termos oscilatorios em H:

� ' ⇡3nµ02

2"F

kBT"1/2F

(µ0H)3/2sin(⇡"

F

/µ0H � ⇡/4)

sinh(⇡2/�µ0H). (5.3.35)

Este efeito, conhecido como ‘de Haas-van Alphen’, permite a determinacao experimentalda energia de Fermi do sistema atraves da medida do perıodo da suscetibilidade, 2µ0/"

F

.

5.3.3 The Quantum Hall E↵ect

Imagine uma corrente I passando por uma amostra. Ao aplicarmos um campo magnetico,H, perpendicular a corrente (veja a Fig. 5.3), as cargas serao defletidas em direcao a ex-tremidade anterior, devido a forca de Lorentz. Esta acumulacao de cargas gera umcampo eletrico transverso, E?, cujo sentido depende do sinal dos transportadores. Umanova situacao de equilıbrio ocorre quando a forca de Lorentz for contrabalancada por


esta forca eletrostatica; isto e, a corrente volta a fluir quando

E? =v

cH (CGS), (5.3.36)

onde v e a velocidade dos transportadores, determinada pela corrente I ou, equivalente-mente, pela densidade de corrente j:

v =j

nq=

I

nwt q. (5.3.37)

Nesta equacao, n e a densidade de transportadores com carga q, e w e t sao, respec-tivamente, a largura e a espessura da secao reta da amostra; como veremos adiante, econveniente definir a densidade superficial de transportadores como ns = n t.

Medindo-se a voltagem, V , ao longo da corrente (veja a Fig. 5.3), obtemos a magnetor-resistencia R = V/I. Podemos tambem definir a resistencia Hall como a razao entrea voltagem perpendicular, VH , e a corrente: RH = VH/I. Expressando VH em termosde E?, I em termos de j, e, usando (5.3.36) e (5.3.37), obtemos, finalmente, que aresistencia Hall depende linearmente do campo magnetico,

RH =1

nsqcH, (5.3.38)

conforme observado por Edwin Hall, em 1879. Este resultado e notavel, ja que um unicoparametro caracterıstico do material – a densidade eletronica superficial, ns – define aproporcionalidade entre RH e H, independentemente da forma da amostra.

O desenvolvimento de tecnicas de deposicao bastante apuradas, a partir de 1980,permitiu a fabricacao de heteroestruturas semicondutoras com alto grau de pureza, comoMOSFET’s (Metal-oxide-semiconductor field-e↵ect transistors) de Silıcio, compostos deuma camada de Si em contato com uma de SiO

2

.2 Estes dispositivos sao capazes deconfinar eletrons a interface entre as camadas, formando, essencialmente, um gas bi-dimensional. A restricao a duas dimensoes inibe a imersao do espectro da Fig. 5.2(b) emum contınuo de estados associados ao movimento livre na direcao z; e, como veremos aseguir, a presenca de gaps e crucial para os efeitos interessantes que surgem.

Quando submetidos a temperaturas de 4K e a campos magneticos da ordem de20 T, estes dispositivos entram num regime no qual espera-se que o efeito Hall sejadominado por efeitos quanticos, ja que os gaps no espectro se tornam comparaveis aenergia termica. Os resultados obtidos3 e mostrados na Fig. 5.4, foram surpreendentes.Em primeiro lugar, o crescimento de RH com H se da atraves de platos, ao inves docomportamento linear previsto classicamente; veja a Eq. (5.3.38). Em segundo lugar, damesma figura se nota que o valor de RH nestes platos e quantizado,

RH =1

⌫

h

e2, ⌫ = 1, 2, . . . , (5.3.39)

definindo o que passou a ser conhecido como o quantum de resistencia, h/e2 ' 25.8k⌦. E, finalmente, a magnetorresistencia apresenta valores extremamente baixos nosintervalos de H correspondentes aos platos na resistencia Hall.

2Para uma discussao mais detalhada, veja, p.ex., H. L. Stormer, Rev. Mod. Phys. 71, 875 (1999).3K. von Klitzing et al., Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)


Figure 5.4: Medidas tıpricas de resistencia como funcao do campo magnetico. A curvacom platos corresponde a resistencia Hall, RH , em undidades do quantum de resistencia,h/e2; as setas indicam o valor de ⌫ na Eq. (5.3.39). A resistencia longitudinal ex-ibe maximos entre os platos de RH e se anula nos platos. [Segundo HL Stormer,Rev.Mod.Phys.71, 875 (1999)].

A compreensao destes resultados e obtida por etapas. Em primeiro lugar, paraentender a existencia de uma regiao de magnetorresistencia nula, lembremos que a re-sistividade se deve a algum mecanismo de espalhamento (por vibracoes da rede, porimpurezas, ou por outros eletrons), que leva eletrons com energias perto da energia deFermi a estados finais com energias tambem proximas a "

F

. Imagine agora que algumefeito coletivo no sistema cause a abertura de um um gap em torno de "

F

, de modo queos estados finais possıveis estao agora separados dos estados iniciais por um limiar deenergia. Nestes processos de espalhamento as energias disponıveis para os eletrons naosao suficientes para vencer o gap, de modo que a transicao entre estados eletronicos naoocorre, e o transporte se da sem resistencia. Isto sugere que os gaps entre os nıveis deLandau, presentes no movimento bi-dimensional (perpendicular a H) sejam a fonte dequeda na magnetorresistencia.

Para ver como isto ocorre, consideremos inicialmente um sistema totalmente puro,para o qual a densidade de estados corresponde a funcoes-� igualmente espacadas, local-izadas nos nıveis de Landau; veja a Fig. 5.5(a). A razao entre o numero de eletrons e adegenerescencia de cada nıvel de Landau define o fator de preenchimento,

⌫ =N

g=

nshc

e

1

H, (5.3.40)


Figure 5.5: Densidade de estados para um gas de eletrons bi-dimensional em um campomagnetico: (a) na ausencia de impurezas, e (b) na presenca de impurezas. As impurezascausam um alargamento dos nıveis de Landau, que se tornam bandas de estados deslo-calizados (regioes hachuradas), ao mesmo tempo em que introduz estados localizadosentre sucessivos nıveis de Landau.

cujo inverso mede a ‘disponibilidade’ do nıvel. E importante notar a dependencia de1/⌫ com H, para uma densidade de eletrons fixa: se H = H

1

⌘ nshc/e, so o nıvel deLandau de mais baixa energia estara (totalmente) preenchido. A medida em que Hdiminui a partir deste valor, o nıvel mais baixo passa a nao acomodar todos os eletronse inicia-se uma ‘migracao’ para o segundo nıvel. Quando H = H

1

/2, os dois nıveis deLandau mais baixos estao totalmente preenchidos; uma diminuicao maior de H leva auma migracao em direcao ao terceiro nıvel, e assim por diante. Pode-se se pensar que,para H diminuindo entre H

1

e H1

/2, o nıvel de Fermi permanece ‘grudado’ no segundonıvel de Landau; quando H < H

1

/2, "F

salta para o terceiro nıvel de Landau, ficandogrudado ate que H < H

1

/3, etc.Vemos entao que valores do campo H = H

1

/⌫ sao especiais por representarempreenchimento completo de ⌫ nıveis de Landau. Levando estes valores na Eq. (5.3.38),obtemos a quantizacao de RH , descrita pela Eq. (5.3.39). Como para estes campos (ouvalores de ⌫) os gaps de Landau separam estados totalmente ocupados de estados total-mente desocupados, a resistencia e nula.

A discussao acima, no entanto, nao explica a presenca de platos nem o fato da mag-netorresistencia se anular em torno dos ⌫ inteiros. A origem destes efeitos esta no fato deque, por mais cuidadoso que seja o processo de crescimento, o sistema sempre apresentaimpurezas, as quais causam dois efeitos importantes. Em primeiro lugar, os nıveis deLandau se alargam, virando mini-bandas de estados deslocalizados (i.e., eletrons nestesestados podem conduzir corrente quando submetidos a um campo eletrico), represen-tadas na Fig. 5.5(b) pelas regioes hachuradas. Em segundo lugar, as impurezas apri-


Figure 5.6: FQHE: Resistencia Hall (RH) e Magnetorresistencia (R) como funcoes docampo magnetico aplicado, agora no caso de heteroestruturas de GaAs/AlGaAs. Deveser notado o aparecimento de mais platos em RH e de mais quedas em R do que naFig. 5.4. [Segundo HL Stormer, Rev.Mod.Phys.71, 875 (1999)].

sionam alguns eletrons, que ficam em estados localizados, nao participando, portanto,da conducao; estes estados ocupam as regioes entre as bandas de Landau, como mostraa Fig. 5.5(b). Suponha agora que, para um dado valor de H, o nıvel de Fermi estejano meio de uma das bandas de Landau; neste caso a magnetorresistencia nao e nula, eRH nao esta em um plato. A medida em que H diminui, o nıvel de Fermi agora au-menta continuamente, passando pela regiao de estados localizados, como indicado pelareta pontilhada na Fig. 5.5(b). Nesta regiao, os eletrons deslocalizados sentem um gapefetivo e, como no caso puro, nao apresentam resistencia; ademais, como as bandas deLandau permanecem totalmente preenchidas, RH se mantem nos valores quantizados.

Posteriormente, os MOSFET’s de Si foram substituıdos por heteroestruturas deGaAs/AlGaAs, com um ganho significativo na mobilidade dos eletrons; isto e, diminuıramsignificativamente a presenca de impurezas e a rugosidade nas interfaces [veja HL Stormer,op. cit.]. Isto, aliado a disponibilidade de campos magneticos mais intensos, permitiu es-tabelecer a presenca de platos tambem para valores racionais nao-inteiros de ⌫, dandoorigem ao Efeito Hall Quantico Fracionario (FQHE); veja a Fig. 5.6.

A origem do FQHE reside na interacao entre os eletrons, sendo, portanto, um efeitode muitos corpos. Todavia, a analise pode ser reduzida, de modo engenhoso, a um outro

5.4. THERMODYNAMICS OF BLACKBODY RADIATION 107

problema de partıculas nao interagentes. Para ver isto, devemos notar inicialmente queum campo magnetico H, cujo fluxo e dado por � = HL2 (L2 e a area), aplicado auma distribuicao uniforme de carga produz vortices, cada um dos quais associado aum quantum de fluxo magnetico �

0

= hc/e. A Eq. (5.3.17) nos permite escrever adegenerescencia de cada nıvel em termos de uma razao entre fluxos como

g =�

�0

, (5.3.41)

de modo que a Eq. (5.3.40) fornece

� =N

⌫�0

. (5.3.42)

O efeito das interacoes entre os eletrons pode ser levada em conta, de modo efetivo,ao ‘fixarmos’ quanta de fluxo nos eletrons, criando as chamadas partıculas compostas(PC’s). Isto leva a uma transmutacao estatıstica, pois ao trocarmos duas PC’s, a funcaode onda fica multiplicada por um fator de fase (�1)1+�/�

0 . Assim, eletrons com umnumero par de quanta de fluxo sao fermions compostos, enquanto que eletrons comum numero ımpar de fluxos se tornam bosons compostos. A partir destas ideias pode-secompreender uma boa parte dos platos e das correspondentes magnetorresistencias nulas[veja HL Stormer, op. cit., RB Laughlin, Rev. Mod. Phys. 71, 863 (1998), e referenciasla citadas].

5.4 Thermodynamics of Blackbody Radiation

Uma das mais importantes aplicacoes da estatıstica de Bose-Einstein e na descricao deradiacao eletromagnetica em equilıbrio termodinamico, chamada de radiacao de corponegro. Ela pode ser pensada como um ‘gas’ de fotons. A linearidade das equacoes daeletrodinamica implica na ausencia de interacoes entre os fotons, de modo que este gase, de fato, um gas ideal.

Para tratar a radiacao em um meio material – e nao no vacuo – ainda como umgas ideal, a interacao entre os fotons e a materia deve ser pequena. Para gases, estacondicao e satisfeita para todo o espectro, com excecao de frequencias proximas dospicos de absorcao; para meios materiais mais densos, a interacao so pode ser consideradapequena a altas temperaturas. Por outro lado, deve-se ter em mente que a materia devesempre estar presente, pois e ela que fornece o mecanismo – atraves da emissao e absorcaode fotons – para a radiacao atingir o equilıbrio termodinamico. Por esta razao, o numerode fotons N nao e definido, ao contrario do que ocorre em um gas material. Assim, pararadiacao em equilıbrio em uma cavidade de volume V , a temperatura T (fixos), N deveser determinado a partir das condicoes de equilıbrio do sistema; a condicao de mınimoda energia livre do gas de fotons fornece

✓

@A

@N

◆

T,V

= µ = 0, (5.4.1)


ou seja, o potencial quımico do gas de fotons e zero. Esta condicao ocorre sempre que aspartıculas em estudo corresponderem a excitacoes de algum sistema como, por exemplo,fonons, magnons, etc.

Os fotons se distribuem entre os diferentes modos normais, caracterizados por vetoresde onda k, com energias "

k

= ~!k

e relacao de dispersao ! = c|k|; os valores possıveisde k dependem das condicoes de contorno impostas a cavidade. Consideraremos semprecondicoes de contorno periodicas em uma caixa cubica de volume V , que fornecem

k↵ =2⇡

V 1/3n↵, n↵ = 0,±1,±2, . . . , (5.4.2)

onde ↵ = x, y, z. O numero medio de fotons com vetor de onda k e dado pela Eq. (4.3.2)com µ = 0,

hnk

i = 1

e�~!k � 1, (5.4.3)

que e a conhecida distribuicao de Planck.Supondo o volume grande o suficiente, podemos passar para uma distribuicao contınua

de modos normais. O numero de modos com vetores de onda no intervalo dk centradoem k e (V/(2⇡)3)dk, que, devido a isotropia da relacao de dispersao, deve ser o mesmoque o numero de modos, com modulo do vetor de onda no intervalo dk centrado em k.Temos entao, para a densidade de modos (isto e, o numero de modos por intervalo)

g(k) =V

(2⇡)34⇡k2. (5.4.4)

Para relacionar g(k) com g(!), usamos a relacao de dispersao e notemos que o campoeletromagnetico tem apenas duas direcoes de polarizacao (denotadas por e

1

e e2

, demodo que a densidade de modos com frequencia entre ! e ! + d! fica, finalmente,

g(!) = 2⇥ V

2⇡2c2!2. (5.4.5)

O numero de fotons com frequencia neste intervalo e obtido multiplicando-se aEq. (5.4.3) por g(!)d!:

dN! =V

⇡2c3!2d!

e�~! � 1. (5.4.6)

A energia irradiada nesta faixa do espectro e obtida como ~! · dN!, ou

dE! =V ~⇡2c3

!3d!

e�~! � 1, (5.4.7)

que e conhecida como a formula de Planck para a radiacao de corpo negro; veja a Fig. 5.7.A baixas frequencias (~! ⌧ kBT ), recupera-se o resultado de Rayleigh-Jeans,

dE! =V !2

⇡2c3kBTd!, (5.4.8)

5.4. THERMODYNAMICS OF BLACKBODY RADIATION 109

Figure 5.7: Distribuicao espectral da energia [(u0 ⌘ dE!/d!, Eq. (5.4.7)] na radiacao decorpo negro, mostrando os resultados de Planck, Rayleigh-Jeans e Wien; x ⌘ ~!/kBT .

enquanto que a altas frequencias obtemos a lei de Wien,

dE! =V ~⇡2c3

!3e��~!d!. (5.4.9)

Para o calculo de outras grandezas termodinamicas necessitamos a funcao de particao,

Z =X

{nk},êe��

Pk,ê ~!knk,ê =

Y

k,ê

1X

n=0

e��~!kn =Y

k,ê

1

1� e��~!k, (5.4.10)

cujo logaritmo nos da

lnZ = �X

k,ê

ln(1� e��~!k) = �2X

k

ln(1� e��~!k). (5.4.11)

A energia interna e dada por

E = � @

@�lnZ =

X

k

2~!k

e��~!k

1� e��~!k=

X

k

2~!k

hnk

i, (5.4.12)

onde hnk

i e dado pela Eq. (5.4.3) e nao inclui a degenerescencia devido aos dois modostransversos de polarizacao. De modo analogo, a pressao fica

P =1

�

@

@VlnZ =

1

3V

X

k

2~!k

hnki, (5.4.13)


onde deve-se lembrar que a dependencia em V vem atraves de !k

= ck, com k dado pelaEq. (5.4.2). Comparando as Eqs. (5.4.12) e (5.4.13), obtemos a equacao de estado,

PV =1

3E, (5.4.14)

que e um resultado bastante conhecido para a pressao da radiacao de corpo negro. Deve-se notar que o fator 1/3 representa, na realidade, a razao entre o expoente s da relacaode dispersao ("

p

⇠ ps) e a dimensao espacial d.Tomando agora V ! 1, as somas em k podem ser substituıdas por integrais, e

E =V

(2⇡)3

Z

dk 4⇡k2~ck

e�~ck � 1=

V ~⇡2c3

Z 1

0

d!!3

e�~! � 1, (5.4.15)

ouE

V=⇡2

15

(kBT )4

(~c)3 . (5.4.16)

O calor especıfico do gas de fotons fica sendo

CV =4⇡k4B15(~c)3 T 3, (5.4.17)

Devemos comparar as diferentes contribuicoes do calor especıfico a baixas temperat-uras. Para o gas de bosons materiais a 3 dimensoes, temos CV ⇠ T 3/2 e para o gas defotons tambem a 3 dimensoes, CV ⇠ T 3. Estes resultados podem ser generalizados daseguinte forma: CV ⇠ T d/s para um gas de bosons. Esta dependencia com o expoenteda relacao de dispersao e com a dimensionalidade do sistema deve ser contrastada como comportamento de um gas de fermions, CV ⇠ T , para quaisquer s e d.

5.5 Phonons

O problema de modos vibracionais de um solido pode ser estudado considerando osistema tanto como um conjunto de osciladores harmonicos, quanto como um gas dequanta de som, os chamados fonons. Para ilustrar isto, consideremos a Hamiltonianade um solido classico de N atomos, cujas posicoes no espaco sao especificadas pelascoordenadas (x

1

, x2

, x3

, . . . x3N ). As vibracoes dos atomos em torno de suas posicoes

de equilıbrio (x1

, x2

, x3

, . . . x3N ) sao descritas pelos deslocamentos ⇠i = (xi � xi), onde

i = 1, . . . 3N . A energia cinetica do sistema na configuracao {xi} e, entao, dada por

Ec =1

2m

3NX

i=1

x2i =1

2m

X

i

⇠2i , (5.5.1)

e a energia potencial por

� = �(xi) = �(xi)+X

i

✓

@�

@xi

◆

{xi

}={xi

}⇠i+

X

i,j

1

2

✓

@2�

@xi@xj

◆

{xi

}={xi

}⇠i⇠j + . . . (5.5.2)

5.5. PHONONS 111

O termo �(xi) representa a energia (mınima) do solido, �0

, quando todos os N atomosestao em repouso em suas posicoes de equilıbrio. O termo seguinte e identicamentenulo porque � deve ter um mınimo em (xi). Os termos de segunda ordem represen-tam, entao, a componente harmonica das vibracoes atomicas. Trabalharemos aqui naaproximacao harmonica, baseada na hipotese de que as vibracoes tem pequenas ampli-tudes, permitindo-nos desprezar termos de ordem mais alta. Podemos entao escrever aHamiltoniana como

H = �0

+

8

<

:

X

i

1

2m⇠2i +

X

i,j

↵ij⇠i⇠j

9

=

;

, (5.5.3)

onde

↵ij =1

2

✓

@2�

@xi@xj

◆

, (5.5.4)

inclui tambem o acoplamento entre vibracoes em torno de diferentes sıtios.Agora introduzimos uma transformacao linear, das coordenadas ⇠i para as chamadas

coordenadas normais, qi, de modo que a nova expressao para a Hamiltoniana nao contemtermos cruzados,

H = �0

+X

i

1

2m(q2i + !2

i q2i ), (5.5.5)

onde os !i, i = 1, 2, . . . , 3N sao as frequencias caracterısticas dos chamados modosnormais do sistema. Elas sao determinadas, essencialmente, pelos ↵ij , que refletemdetalhes do potencial de interacao �(xi). Ademais, a Eq. (5.5.5) sugere que o solido secomporta como um conjunto de 3N osciladores harmonicos nao-interagentes com umespectro de frequencias naturais, !i.

Classicamente, entao, cada um dos 3N modos normais corresponde a uma distorcaodos pontos da rede; isto e, a uma onda sonora. Quanticamente, estes modos dao origema quanta, chamados de fonons, em analogia com os modos do campo eletromagneticodando origem a fotons. Uma diferenca importante entre estes dois casos e que, enquantoo numero de modos normais no caso do campo eletromagnetico e indefinido, o numero demodos normais no caso de solidos e especificado pelo numero de sıtios da rede. Todavia,o numero de fonons, bem como o numero de fotons, e tambem indefinido, resultando numpotencial quımico identicamente nulo; veja Secao 5.4. Estas diferencas se manifestamapenas nos comportamentos termodinamicos destes sistemas envolvendo modos de altasfrequencias, como pode ser verificado pelos resultados que serao deduzidos nesta secao.

A contribuicao dos fonons para a termodinamica do solido pode entao ser obtidada maneira usual, lembrando, em primeiro lugar, que os autovalores da Hamiltonianaquantica sao dados por

E{ni} = �0

+X

i

✓

ni +1

2

◆

~!i, (5.5.6)

onde os numeros ni definem o estado de excitacao dos diversos osciladores; equivalen-temente, estes numeros definem as ocupacoes dos varios nıveis dos fonons. A energia


interna do sistema e, entao,

E(T ) =

(

�0

+X

i

1

2~!i

)

+X

i

~!i

e~!i

/kB

T � 1. (5.5.7)

A expressao entre colchetes e a energia do solido no zero absoluto e determina a energiade ligacao da rede. O ultimo termo e que determina o calor especıfico,

CV (T ) =

✓

@E

@T

◆

V

= kBX

i

(~!i/kBT )2e~!i

/kB

T

(e~!i

/kB

T � 1)2(5.5.8)

Para prosseguirmos alem deste ponto necessitarıamos de informacoes sobre o espectrode frequencias, que nao e simples de ser obtido a partir de primeiros princıpios. Alter-nativamente, lanca-se mao de espectros obtidos experimentalmente, ou faz-se hipotesessimplificadoras a seu respeito. No modelo de Einstein (1907), supoe-se que todas asfrequencias tem o mesmo valor: !i = !E 8i. O calor especıfico e, entao, dado por

CV (T ) = 3NkB E(x), (5.5.9)

onde a funcao de Einstein e

E(x) = x2ex

(ex � 1)2, x =

~!E

kBT⌘ ⇥E

T, (5.5.10)

definindo a temperatura de Einstein ⇥E . A altas temperaturas, T � ⇥E , obtemosCV ⇠ 3NkB, que e o resultado classico (c.f., o teorema da equiparticao da energia)como deveria ser. Ja a baixas temperaturas, T ⌧ ⇥E , temos CV ⇠ e�x, que decai muitomais rapido que o previsto experimentalmente (em 3 dimensoes) ⇠ T 3. Como vimosanteriormente, o comportamento exponencial do calor especıfico sinaliza a presenca deum gap de energia que, neste caso, e atribuıdo a artificialidade do modelo.

No modelo de Debye (1912) considera-se um espectro contınuo, ate uma determinadafrequencia de corte, !D, a qual e determinada impondo que o numero total de modos devibracao seja igual a 3N ; isto e,

Z !D

0

g(!) d! = 3N, (5.5.11)

onde g(!)d! fornece o numero de modos normais entre ! e !+ d!. Para g(!) podemosusar a expressao (5.4.5), desde que adaptada para levar em conta os seguintes aspectos:(1) os modos de vibracao podem ser longitudinais e transversais (estes ultimos sao du-plamente degenerados); (2) as velocidades de propagacao dos modos longitudinais (cL)e transversais (cT ) podem ser diferentes. Assim,

g(!) =V !2

2⇡2c3L+

V !2

⇡2c3T, (5.5.12)

5.5. PHONONS 113

de modo que

!3

D = 18⇡2N

V

✓

1

c3L+

2

c3T

◆�1

. (5.5.13)

Deste modo o espectro de frequencias de Debye e dado por

g(!) =

(

(9N/!3

D)!2, se ! !D

0, se ! > !D.(5.5.14)

Neste ponto devemos fazer duas observacoes. Em primeiro lugar, o espectro defrequencias de Debye e, claramente, uma idealizacao, como fica aparente ao ser com-parado com um espectro real tıpico; veja a Fig. 5.8. Se para os modos de baixa frequencia– os chamados fonons acusticos – a aproximacao de Debye e razoavel, para os modos dealta frequencia – fonons oticos – as discrepancias sao aparentes. Felizmente, para quanti-dades medias como a energia interna e, por conseguinte, para o calor especıfico, detalhesfinos do espectro nao sao muito importantes. Em segundo lugar, os modos longitudinaise transversais tem suas proprias frequencias de corte, !D,L e !D,T , ao inves de um valorcomum, !D, simplesmente porque ha 2N modos transversos e N longitudinais. Todavia,ambas as frequencias de corte correspondem a um mesmo comprimento de onda mınimo,�min

= (4⇡V/3N)1/3, que e da ordem da distancia interatomica no solido.Retomando os calculos na aproximacao de Debye, e lembrando que na Eq. (5.5.8) a

passagem para o contınuo contribui com g(!) / !2, obtemos

CV (T ) = 3NkB D(x0

), (5.5.15)

onde D(x0

) e a funcao de Debye,

D(x0

) =3

x30

Z x0

0

dxx4ex

(ex � 1)2, (5.5.16)

com

x0

=~!D

kBT⌘ ⇥D

T, (5.5.17)

o que define a temperatura de Debye para o solido. Fazendo a integral em (5.5.16) porpartes, obtemos

D(x0

) = � 3x0

ex0 � 1+

12

x30

Z x0

0

dxx3

ex � 1. (5.5.18)

Para T � ⇥D, a funcao D(x0

) pode ser expressa em uma serie de potencias em x0

:

D(x0

) ' 1� x20

20, (5.5.19)

e o calor especıfico neste limite fica

CV ' 3NkB, (5.5.20)


Figure 5.8: Distribuicao de frequencias, g(!), para o Al. A linha cheia e obtida porespalhamento de raios-X [C B Walker, Phys. Rev. 103 547, (1956)] e a linha tracejadacorresponde a aproximacao de Debye.

que e o resultado classico. A baixas temperaturas, T ⌧ ⇥D, podemos estender o limitesuperior de integracao para 1 em (5.5.18),

D(x0

) =12

x30

Z 1

0

dxx3

ex � 1+O(e�x

0), (5.5.21)

recaindo nas conhecidas integrais bosonicas, gn(z); veja Eq. (4.5.8). Logo,

D(x0

) ' 12

x30

�(4)g4

(1) =4⇡4

5

✓

T

⇥D

◆

3

, (5.5.22)

e, portanto,

CV ' NkB12⇡4

5

✓

T

⇥D

◆

3

, (5.5.23)

reproduzindo o comportamento conhecido como a Lei-T 3 de Debye, indicando a ausenciade um gap, contrariamente ao previsto pelo modelo de Einstein. Deve-se notar que adependencia de CV com T a baixas temperaturas pode ser extraıda sem nos referirmosas integrais bosonicas: com efeito, a integral em (5.5.21) contribui com um numero,enquanto que a dependencia com T ja esta contida em x�3

0

que, por sua vez, resultou deuma mudanca de variavel de integracao.

5.6. EXERCISES 115

Medidas experimentais do calor especıfico de solidos a baixas temperaturas servem deteste para o modelo de Debye, atraves de estimativas para⇥D, que devem ser comparadascom as obtidas a partir de constantes elasticas; o resultado favorece a teoria de Debye.Valores tıpicos de ⇥D cobrem o intervalo de 100 a 1000K.

Finalizando, esta analise indica que se o calor especıfico a baixas temperaturas deum dado sistema obedece a lei-T 3, entao suas excitacoes termicas sao explicadas apenaspor fonons.

5.6 Exercises

1. Obtenha os resultados (5.2.18), (5.2.19) e (5.2.20).

2. Mostre que, para um gas de fermions a baixas temperaturas temos, de uma maneirageral,

µ ' "F

"

1� ⇡2

6

✓

d ln g(")

d ln "

◆

"="F

✓

kB

T

"F

◆

2

#

e CV ' S ' ⇡2

3k2B

Tg("F

),

onde g(") e a densidade de estados de uma partıcula. Discuta estes resultados paraum gas com espectro de energia "

p

= apn em um espaco d-dimensional.

3. Mostre que o diamagnetismo nao existe na Fısica Classica. [Sugestao: A Hamiltonianapara partıculas carregadas em presenca de um campo magnetico B = r⇥A e umafuncao de pj + (ej/c)A(rj). Deve-se mostrar, entao, que a funcao de particao dosistema e independente do campo aplicado.]

4. Considere um gas ideal de eletrons bi-dimensional, cuja densidade (numero de eletronspela area do sistema) e n. Obtenha a contribuicao dos momentos magneticos intrınsecospara a suscetibilidade deste sistema a T = 0.

5. Considere eletrons nao interagentes em 3 dimensoes, em presenca de um campomagnetico uniforme H; a Hamiltoniana de uma partıcula e dada pela Eq. (5.3.1).

(a) Mostre que a energia de uma dada configuracao de spins pode ser escrita como

E =X

p

Ep

(np", np#),

onde np� (= 0 ou 1) e o numero de partıculas com spin � = ±1 (ou ", #) e

momento p, e

Ep

(np", np#) = n

p

p2

2m�m

p

µBH,

com np

⌘ np" + n

p# e mp

⌘ np" � n

p#.


(b) Mostre que a gran-funcao de particao pode ser escrita como

Z = Z0

(µ+ µBH)Z0

(µ� µBH),

ondeZ0

(⌫) =Y

p

h

1 + e�(⌫�p2/2m)

i

.

(c) Mostre que o gran-potencial pode ser expresso como

J = kBTV

⇤3

h

f5/2(ze

�µB

H) + f5/2(ze

��µB

H)i

,

onde as integrais fermionicas f5/2(w) foram definidas na Eq. (4.4.11).

(d) Denotando porN� o numero medio de partıculas com spin �, mostre que o numerototal de eletrons e a magnetizacao sao dados por

N = N" +N# =V

⇤3

h

f3/2(ze

�µB

H) + f3/2(ze

��µB

H)i

,

e

M = µB(N" �N#) = µBV

⇤3

h

f3/2(ze

�µB

H)� f3/2(ze

��µB

H)i

,

respectivamente.

(e) Discuta os limites de altas e baixas temperaturas, comparando com os resultadosda Secao 5.3.1.

6. Ondas de spin sao perturbacoes a baixas temperaturas sobre um estado com spins(classicos) totalmente alinhados [parte (a) da figura abaixo]. Elas correspondem,essencialmente, a um desvio transversal sendo compartilhado por todos os spins; vejaa parte (b) da figura abaixo. Magnons sao os quanta destas excitacoes, que temrelacao de dispersao ! = Ak2, onde A e uma constante.

Figure 5.9: Problema 6

(a) Faca esbocos das densidades de estados de magnons, D("), como funcoes daenergia ", para dimensoes espaciais d = 1, 2 e 3. Coloque no mesmo grafico onumero medio de magnons com energia ".

5.6. EXERCISES 117

(b) Obtenha o numero medio total de magnons em um sistema de dimensao d.

(c) Discuta cuidadosamente seus resultados. Comente, em particular, as consequenciaspara o alinhamento quando d 2.

(d) Suponha agora que lim"!0

g(") = �, onde � e uma constante positiva. Comoisto alteraria as conclusoes do ıtem anterior?

7. Supondo que a relacao de dispersao para vibracoes em solidos seja ! = Aks, mostreque a respectiva contribuicao para o calor especıfico a baixas temperaturas e propor-cional a T 3/s. Generalize este resultado para d dimensoes. (Obs.: s = 1 correspondea fonons, e s = 2 corresponde a magnons.)

8. Um gas ideal de bosons se movimenta em bloco com velocidade v em relacao a umreferencial inercial.

(a) Mostre que o numero medio de ocupacao hnp

i de um estado com energia "p

edado por

hnp

i = 1

e�("p�µ�v·p) � 1,

onde µ e o potencial quımico.

(b) Mostre, a partir daı, que a densidade de ‘massa inercial’ de um gas de fonons,com relacao de dispersao ! = ck, movendo-se em bloco com velocidade v e

⇢ =16⇡5(kBT )4

45h3c51

(1� v2/c2)3.

applications of ideal quantum systems -...

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