Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare:Appunti

Preparati da D.Gamba

November 12, 2009

Part I

Il Nucleo

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Chapter 1

Struttura nucleare

1.1 Introduzione

Nel secolo che segui’ la scoperta del nucleo atomico da partedi Rutherford, le ricerche sulla fisicanucleare ha portato allo sviluppo di tecniche sofisticate alla base di una grande varieta’ di appli-cazioni. Queste applicazioni hanno beneficiato: 1) delle proprieta’ del nucleo, 2) delle tecnichedi misure nucleari, 3) degli acceleratori di particelle, 4)dei sensori nucleari. Queste applicazionitrovano spazio nelle piu’ svariate discipline, come ad esempio la medicina, la biologia, l’arte,l’archeologia, l’energia, la scienza dei materiali, le scienze naturali,l’esplorazione spaziale, lo stu-dio dell’ambiente e non ultimo per importanza il settore bellico. C’e’ da rilevare che molte diqueste applicazioni sono molto specifiche ed hanno un piccolo impatto sulla vita quotidiana, men-tre altre ne hanno un grande impatto.

Gli argomenti trattati nel Corso riguardano solo alcuni aspetti degli impieghi delle tecniche difisica nucleare, in particolare nel campo dell’energia e dell’analisi strutturale.L’approccio ai diversi argomenti e’ fatto principalmente dal punto di vista sperimentale, partendodai principi fisici fondamentali, con esempi illustrativi.

1.2 Modelli del nucleo

I modelli del nucleo atomico sono molto piu’ rozzi se confrontati con i modelli dell’etomo. Laragione e’ duplice, primo che le forze nucleari sono molto complesse e secondo che anche conmodelli di forze nucleari approssimate il calcolo delle interazioni tra nucleoni all’interno delnucleo non e’ semplice. Tuttavia si sono sviluppati alcuni semplici modelli che permettono lainterpretazione e la previsione della maggior parte dei dati nucleari.

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Per introdurre i modelli nucleari e’ necessario rivedere alcune proprieta’ fondamentali del nucleo,le sistematicita’ dei nuclidi e cosa ci dicono queste osservazioni sulla sistemazione dei protoni eneutroni nel nucleo. Sono poi discussi i modellidrop liquid, nuclear shelle il compound model.

1.2.1 Proprieta’ fondamentali del nucleo

Gia’ le prime ricerche sulla struttura dell’atomo rivelarono importanti proprieta’ del nucleo.Esperimenti condotti da Thomso Aston ( 1919) mostrarono chele masse degli atomicorrispondevano a numeri interi (numeri di massa atomica) se si usava la scala di masse in cuil’atomo di ossigeno aveva numero 16. ( Trenta anni fa la scalaha fissato come riferimento ilCarbonio 12 ,126 C6).Rutherford( 1911) aveva dimostrato che la carica positiva ela maggior parte della massadell’atomo era concentrata in un nucleo molto piu’ piccolo di dimensioni≃10−14m, di quelle diun atomo,10−8cm .Misure successive con scattering di elettroni hanno mostrato che la densita’ dei protoni all’internodi un nucleo —em sferico e’ ben descritta dalla seguente formula di Fermi

ρp(r) =ρo

p

1 + exp[(r − R)/a], protoni/fm3 (1.1)

dover indica la distanza dal centro del nucleo,R e’ il ”raggio” del nucleo (intendendo la distanzaa cui la densita’ di protoni diventa la meta’ del suo valore centrale) eda lo spessore dello stratosuperficiale in cui la densita’ diventa trascurabile.

La ρp(r) si ottiene imponendo che il numero totale di protoni sia uguale a bf Z∫ ∫ ∫

ρp(r)dV = 4π

∫

∞

o

r2ρodr = Z (1.2)

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Figure 1.1: Nuclear Radius

Il rapporto della densita’ di neutroni alla densita’ di protoni in tutto il nucleo puo’ essere assuntocostante e pari aN/Z = (A-Z)/Z allora la densita’ nucleonica e’

ρ(r) = ρp + ρn = [1 +A − Z

Z]ρp = (A/Z)ρp, nucleoni/fm3 (1.3)

e la densita’ nucleonica all’interno del nucleo diviene

ρ(r) =ρo

1 + exp[(r − R)/a], nucleoni/fm3 (1.4)

doveρo = (A/Z)ρop. I risultati sperimentali indicano che al centro del nucleola densita’

Table 1.1: Parametri della densita’ nucleare per tre nucleisferici

Nuclide R(fm) a(fm) ρo(fm−3) A/A1/3

16O 2.61 0.513 0.156 1.036109Ag 5.33 0.523 0.157 1.116208Pb 6.65 0.526 0.159 1.122

nucleonica risulta essere circa

ρo = 0.16 × 1045, nucleoni/m−3 (1.5)

ed il raggioR del nucleo risulta proporzionale aA1/3,

R = 1.12A1/3fm (1.6)

La dipendenza daA1/3 del raggio, Fig. 1.2.1 , significa che ogni nucleone nel nucleo occupa lostesso volume perche’ il volume e’ proporzionale adA, il numero di nucleoni. Il nucleone ha unamassa di circa1.67 × 10−24g, la densita’ di massa nel nucleo sara’ circa (0.16 × 1039

nucleoni/cm−3)(1.67 × 10−24g/nucleone) =2.7 × 1014g/cm−3.Ogni modello del nucleo e delle forze che lo tengono assieme debbono spiegare il piccolo volumee la corrispondente grande densita’, inotre spiegare qualecombinazioni di protoni e neutronirendono i nuclei stabili e quali invece instabili o radioattivi.

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Figure 1.2: Potential Energies for proton (a) and neutron (b)

1.2.2 Modello protone-neutrone

Dopo la scoperta del neutrone ( Chadwick 1932) Heisenberg (1932( ipotizzo’ che il nucleo fossecomposto solo di protoni e neutroni, in questo modello un nucleo di numero di massa A e’formato da Z protoni e N =(A-Z) neutroni. Questo semplice modello spiega correttamente ilmomento angolare del nucleo, la radioattivita’ e altri fatti sperimentali. Questo modello prevedeche i protoni e neutroni siano tenuti assieme da una grande forza a corto range, laforza nucleareche attrae i nucleoni l’un l’altro. Uno dei compiti della fisica nucleare teorica, ancora al giornod’oggi, e’ di capire e quantificare la natura della forza nucleare.In un nucleo con molti protoni, la forza nucleare deve essereabbastanza forte da contrastare larepulsione Coulombiana, cioe’ per un raggio minore o al massimo uguale al raggio del nucleo,per poi decrescere radialmente molto rapidamente al di fuori dove diventa predominante la forzarepulsiva Coulombiana.

La Fig. 1.2(a) mostra l’energia potenziale di un protone come una funzione della distanza dalcentro del nucleo. Si vede come l’energia potenziale sia zero a grande distanza, ma come ilprotone si avvicina al nucleo, la forza repulsiva Coulombiana aumenti l’energia potenziale delprotone che si avvicina al nucleo. Quando il prtone raggiunge la superficie del nucleo, la forzanucleare lo attrae e lo lega al nucleo creando un’energia di potenziale negativa.Se un neutrone. d’altro canto, si avvicina al nucleo, 1.2(b), non subisce nessun potenziale, finche’non arriva alla superficie del nucleo dove e’ attratto dalla forza nucleare e viene legato conun’energia di potenziale negativo nel nucleo.

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Stabilita’ del nucleo

La carta dei nuclidi Fig. 1.3 mostra i 3200 nuclidi conosciuti in termini di numero di protoni eneutroni. I 266 nuclidi stabili sono indicati comedot , mentre le crocette indicano i nuclidiradioattivi.

La carta mostra che solo i nuclidi leggeri hanno un ugual numero di neutroni e protoni, N=Z; manmano che aumenta la massa dei nuclidi si ha un numero di neutroni maggiore dei protoni. Manmano che aumenta Z , aumenta la forza repulsiva dei protoni, quindi e’ necessario un maggiornumero di neutroni per bilanciare con la forza nucleare attrattiva la forza a lungo rangeelettromagnetica repulsiva. Tuttavia poiche’ la forza nucleare e’ a corto range, ordine del fermi,quando il numero di protoni, Z, supera 83, Bismuto, anche un numero maggiore di neutroni nonriesce piu’ a bilanciare la forza repulsiva, per cui per Z¿83tutti i nuclidi sono solo nuclidiradioattivi. Esaminando i plot dei nuclidi stabili si possono trarre importanti indicazioni su Z e N:

Dai plot si nota come ci siano molti piu’ nuclidi con N pari e/oZ pari di quelli con N dispari e/o Zdispari. In particolare si hanno 159 nuclidi con Z e N pari, 53nuclidi con Z pari e N dispari, 50con Z dispari e N pari e solo 4 con Z e N dispari. Questo indica che la stabilita’ e’ maggiorequando Z e N sono pari.Si osserva inoltre come quando Z e/o N sono uguali a 8, 20, 58, 82 o 126 si abbia un piu’ grandenumero di nuclidi stabili. Questi numeri sono chiamatinumeri magici. I nuclidi con questi numerimagici di nucleoni sono molto abbondanti in natura. Altra importante osservazione e’ che i nucleicon un numero di neutroni che uguaglia un numero magico sono meno disponibili ad accettare unnuovo neutrone di quegli isotopi con un neutrone in meno o di piu’. Questo indica che i neutroni eprotoni tendono a formare gruppi , o shell, analogamente agli elettroni atomici, che si chiudonoquando Z e/o N diventano magici.

Inoltre i nuclidi radioattivi decadono principalmentebeta, solo raramente decadono via protone oneutrone per raggiungere il punto di stabilita’; i nuclidi con Z>83 decadono emettendo particellealphae i nuclidi leggeri composti da substrutture di nucleialpha, come il8Be, 12C, 16O , 20Ne,sono estremamente stabili come dimostra la grande energia necesaria per disgregarli.

1.2.3 Modello a goccia di liquido

La densita’ all’interno del nucleo, come si e’ visto, e’ praticamente costante ed il volume e’proporzionale al numero di nucleoni A, questo significa che le forze che tengono insieme inucleoni sonosaturate, cioe’ che ogni nucleone interagisce solo con i suoi primi vicini. Questo e’quanto capita in una goccia di liquido in cui le molecole interagisono solo con le molecole piu’vicine, inoltre anche la densita’ quasi costante e’ simile alla incompressibilita’ della goccia. Inprima approssimazione, in questo modello, la massa del nucleo sara’ uguale alla somma dellemasse dei nucleoni:

m(AZX) = Zmp + (A − Z)mn (1.7)

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Figure 1.3: Tabella dei nuclidi conosciuti. I nuclidi stabili sono indicati come quadratini neri equelli radioattivi come crocette

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Figure 1.4: Numero di isotopi stabili per ciascun elemento oZ

Figure 1.5: Numero isotopi stabili per numero di neutroni o N

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dovemp emn sono rispettivamente le masse dei protoni e neutroni.Ma la massa del nucleo e’ minore della somma delle masse dei nucleoni, perche’ nel formare ilnucleo i protoni e neutroni liberano energia, una parte delle loro masse viene trasformata inenergia, e’ labinding enegydel nucleo, BE. Cosi’ la formula precedente deve essere riscrittacome

m(AZX) = Zmp + (A − Z)mn − BE/c2 (1.8)

Quindi la BE , o energia di legame, e’ una correzione alla formula della massa. Ma come siesprime? Non essendoci modelli teorici, ci si basa su osservazioni. Partendo dalla similitudinecon la goccia di liquido, i fenomeni da tener conto nel formulare le correzioni sono: 1) l’energiadi legame deve essere proporzionale al volume e quindi al numero di nucleoni, BEv2) i nucleoni vicino alla superficie del nucleo saranno meno legati di quelli interni al nucleo, BEs3) i protoni all’interno del nucleo saranno sorgente di forza repulsiva,BEc4) nuclidi leggeri stabili hanno un numero di protoni e neutroni uguale, quindi piu’ ci si allontanada questa simmetria meno il nucleo sara’ legato,BEa

5) si e’ visto che i nuclidi stabili con un numero di protoni e neutroni pari sono i piu’ numerosi,questo e’ indice di un legame piu’ forte all’interno del nucleo, tutte le altre combinazioni:pari-dispari, dispari-pari, dispari-dispari sono indicedi nucleo meno legato,BEpLa somma di tutte questi termini porta alla definizione dell’energia di legame come

BE = BEv + BEs + BEc + BEa + BEp (1.9)

La formula della massa diventa quindi

m(AZX) = Zmp +(A−Z)mn −

1

c2{avA−asA

2/3 −acZ(Z − 1)

A1/3−aa

(N − Z)2

A− ap√

A} (1.10)

I valori delle costanti sono ricavati dal fit alla distribuzione della BE vs A. I valori piu’ recenti (WAPSTRA 1958) sono i seguentiav = 15.835 MeV,as = 18.330 MeV,ac = 0.714 MeV,aa =23.200 MeV, econap = +11.2 MeV per O-O , 0 per E-O,O-E e -11.2 MeV per E-E.Come esempio di calcolo di massa nucleare vedere la nota a pie’ di pagina.1

1Esempio: Calcolare la massa di un atomo di70Ga31 usando il modello a goccia di liquido.Se si trascura la BEe degli elettroni al nucleo la massa atomica si calcola come:

M(70Ga31) ≃ m(70Ga31) + 31me = [31mp + (70 − 31)mn − BE(70Ga31)/c2] + 31me (1.11)

dove l’energia di legame e’

BE(70Ga31)/c2 =

{

av70 − as702/3 − ac312

701/3− aa

(71 − 62)2

A− ap

√70

}

1

931.5MeV/u= 0.65280u (1.12)

Sviluppando il calcolo per la massa atomica si trova che

M(70Ga31) = 69.9277u (1.13)

da confrontarsi con il valore standardM(70Ga31) = 69.9260u

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Linea di stabilita’

Il modello a goccia non dice niente circa la struttura interna del nucleo, ma e’ molto utile perpredire la variazione di massa del nucleo al variare di A e Z. Infatti il modello a goccia permettedi predire i nuclei pesanti soggetti a fissione, i modi di decadimento radioattivo, l’energetica deinuclei instabili ed inoltre le masse di isotopi non ancora scoperti. Il modello a goccia si puo’ usareper predire quale combinazione di Z e N dara’ luogo al nuclidepiu’ stabile. Dalla carta deinuclidi, Fig. 1.3

si nota che, a parte i nuclidi piu’ leggeri, il numero di neutroni deve eccedere quello dei protoni equesta asimmetria aumenta al crescere di A.Per un dato numero di massa A , il nuclide piu’ stabile e’ l’isobaro con massa minore. Per trovareil numero Z di protoni che produce massa minore bisogna differenziare la equazione rispetto a Zed uguagliarla a zero.

(∂m(A

ZX)

∂Z)A = mp − mn +

1

c2{2ac

Z

A1/3− 4aa

(A − 2Z)

A} = 0 (1.14)

risolvendo perZ, perA costante

Z(A) = (2

3)1 + (mn − mp)c

2/(4aa)

1 + acA2/3/(4aa)(1.15)

si ottiene la curva di Z vs N=A-Z, che sovrapposta al grafico indica la posizione degi nuclidi piu’stabili.

Massa Atomica

La massa atomica di un nucleoAZX si ottiene aggiungendo alla formula di massa nucleare la

massa diZ elettroni. Si trascura cosi’ l’energia di legame degli elettroni al nucleo, ma questa e’ unfattore106 inferiore alla BE del nucleo e quindi si puo’ trascurare. La massa di un atomoAZA sipuo’ scrivere quindi come

M(AZX) = ZM(1

1H) + (A − Z)mn − 1

c2{avA − asA

2/3 − acZ(Z − 1)

A1/3− aa

(N − Z)2

A− ap√

A}

(1.16)

1.2.4 Modello nucleare a shell

Il modello a goccia di liquido si e’ dimostrato valido per il calcolo delle masse dei nuclidi, manon spiega come i nucleoni sono organizzati all’interno delnucleo. D’altra parte ci sono evidenze

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Figure 1.6: Potenziale realistico che riproduce la densita’ nucleonica

sperimentali che i nuclei che hanno un numero di 8, 20, 28, 50,82 protoni o 2, 20, 28, 50, 82, 126neutroni ( dettinumeri magici), sono sistemi molto stabili. Si osserva inoltre che le particelleα eβ dei decadimenti radioattivi di nuclei con un numero magico di neutroni hanno energie o moltograndi o molto piccole

Su questo fatto si basa l’ipotesi che i protoni e i neutroni siano organizzati inshell indipendentinel nucleo in analogia alle shell elettroniche dei sistemi atomici. Tuttavia il modello delle shellelettroniche non si puo’ adottare pari pari perche’ mentre l’interazione elettrone nucleo e’dominante, quella inter-elettroni e’ trascurabile e si manifesta solo come una schermatura dellacarica nucleare; l’ interazione tra nucleoni, essendo piuttosto forte, con l’assenza di un corpocentrale e’ un’interazione a multi-corpi ed e’ di diffilcilesoluzione.Un nucleo e’ un sistema quanto-meccanico ed una conseguenzadi cio’ e’ che il numero dipossibili collisioni nucleone-nucleone e’ limitato dal principio di esclusione. I nucleoni di unnucleo non eccitato si possono paragonare ad un gas degeneredi Fermi, con tutti gli stati chehanno energie minore del livello di Fermi occupati e quelli con energia maggiore liberi. Ilmodello assume:

1. Ciascun nucleone si muove indipendentemente nel nucleo,senza interagire con gli altrinucleoni

2. Ciascun nucleone si muove in una buca di potenziale che e’ costante dal centro del nucleoai bordi dove cresce rapidamente di decine di MeV, vedi Fig. 1.2.

Un potenziale realistico per il modello a shell puo’ essere approssimato qualitativamente da unpotenziale tipo oscillatore armonico della forma

V (r) = −V0[1 − (r/R)2] = −V0 +1

2Mω2R2 (1.17)

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Figure 1.7: Livelli energetici dei nucleoni nel nucleo

La soluzione numerica dell’equazione d’onda di Shrodinger, usando un potenziale attrattivo conuna distribuzione di Fermi, mostra che i nucleoni si distribuiscono in un certo numero di livellienergetici. Protoni e neutroni hanno livelli energetici indipendenti e i livelli energetici piu’ alti deiprotoni e neutroni si situano alla stessa energia altrimenti il nucleo decadrebbe via decadimentoβper portarsi allo stato energetico piu’ basso. La profondita’ della buca di potenziale dei protoni e’un po’ meno di quella dei neutroni, causa l’interazione Coulombiana tra protoni.L’energia di un oscillatore armonico 3D e’:

EN = ~ω(N + 3/2) − V0, N = n1 + n2 + n3, n = interi (1.18)

I livelli energetici piu’ vicini sono considerati appartenere ad una shell. Nel caso di un oscillatore3D, gruppi di livelli con differenti N sono considerati comedifferenti shell. Dall’analisi deglispettri appare che il potenziale del modello a shell deve essere corretto per tener conto delle fortiinterazione spin-orbita nei nuclei con un termine della forma

Vls = Clsls (1.19)

Un nucleone di momento orbitalel puo’ essere in due stati con momento angolare totalej=l + s =l±1/2 La separazione in energia tra i due stati△Els e’ proporzionale a(l + 1/2):

△Els = (l + 1/2)~2Cls (1.20)

L’ampiezza dello splitting spin-orbita aumenta conl e quindi e’ particolarmente importante per inuclei pesanti che possiedono grandil, vedi Fig. 1.7

1.2.5 Modello collettivo

Oltre ai modelli a goccia di liquido e a shell che sono quelli piu’ generali, esistono altri modelli,tra questi ilmodello collettivoo modello unificatosviluppato da Bohr e Mottelson. Il modello

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ingloba praticamente le proprieta’ del modello a goccia e del modello a shell. La principaleassunzione, che differisce dal modello a particelle indipendenti, e’ che nel modello unificato cisono un certo numero di nucleoni quasi liberi che si muovono in un campo di potenzialelentamente variabile dovuto a deformazioni del nucleo; la deformazione nella forma del nucleoporta a modi di eccitazione che sono classificati come vibrazionali e rotazionali.L’effetto di pairing nel modello a shell e’ importante praticamente solo in condizione di shellchiuse; lontano dainumeri magicisi manifestano effetti cooperativi dominanti tra nucleoniconmoti relativi tra nucleoni e core del nucleo. Questo significa che esistono stati quantici del sistemanucleare come un tutto unico. I nuclei con shell chiuse si puo’ pensare che abbiano simmetriasferica e indeformata, i moti collettivi di tali nuclei sonosemplicemente vibrazioni superficiali,analoghi alle onde superficiali di una goccia di liquido. Nelcaso di nuclei con simmetria nonsferica si possono attivare delle rotazioni come un tutto e questo modo di eccitazione porta allaformazione di bande energetiche rotazionali che si sovrappongono ai livelli energetici statici.Come risultato della deformazione si ha l’apparizione di unmomento di quadrupolo elettricostatico.L’espressione per il calcolo dell’energia per vibrazioni di quadrupolo (l = 2) assume una formaparticolarmente semplice , se si considerano solo le vibrazioni superficiali di una goccia nucleare:

~ωquad =≃ 26√

(2 − γ)/AMeV (1.21)

essendoγ il rapporto dell’energia di Coulomb di una sfera(3/5Z2e2/R) alla energia di superficieEs del nucleo indeformato che e’ uguale

γ = 0.047Z2/A (1.22)

Una stima approssimata degli stati vibrazionali piu’ bassi, con la relazione precedente,corrisponde ad energie dell’ordine del MeV, ad es. 1 MeV per l’Uranio, che e’ leggermentesuperiore a quella misurata, ma tuttavia accettabile in prima approssimazione.Un nucleo possiede uno o piu’ gradi di liberta’ propri di moticollettivi, tra questi le vibrazionidell’intera massa dei neutroni rispetto a tutti i protoni, chiamate vibrazioni di dipolo nucleare.Queste vibrazioni portano ad una vera e propria separazionedei neutroni relativamente ai protoni.Il fenomeno appare ad energie piu’ alte di quelle delle vibrazioni superficiali, tipicamente convalori attorno a 15-20 MeV. Una stima della frequenza di risonanza si calcola facilmentericordando che per ogni oscillatore la frequenza di risonanzaω0 e’ determinata dallarigidita’ k edalla massa oscillantem (ω0 =

√

k/m).Nel caso delle vibrazioni di dipolo al posto della forza elastica si ha la interazione tra i nucleonishiftatiall’interno del nucleo. Il numero di tali nucleoni e’ proporzionale alla superficie nuclearee quindi aR2, mentre la massa dei nucleoni vibranti sara’ proprzionale aR3 e quindi la relazioneper la frequenza e di conseguenza l’energia per larisonanza gigantesara’:

ω0 =√

k/m ∝√

R2/R3 ∝ R−1/2 ∝ A−1/6 (1.23)

che si accorda bene con i dati sperimentali.Ad energie di eccitazione di∼5-6 MeV il numero di livelli nucleari e’ molto grande ( inparticolare per nuclei medi e pesanti ) e quindi la separazione e’ molto piccola, per cui diventautile introdurre il concetto di densita’ dei livelli con caratteistiche quantistiche cioe’ numero di

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livelli per unita’ di intervalli di energia. La densita’ deilivelli dipende dall’energia di eccitazioneed e’ descritta abbastanza bene per mezzo di unmodello statisticodel nucleo che consideral’eccitazione come un riscaldamento del gas di Fermi e cosi’l’energia di eccitazione e’ connessacon la temperatura del nucleo.L’energia media e’ definita come:

E =∑

∑

giEie−Ei/kT

∑

gie−Ei/kT(1.24)

dove la somma e’ fatta su tutti i livelli ,k e’ la costante di Boltzman,T la temperatura nucleare egi e’ il peso statistico del livelloi-esimo.Sperimentalmente si trova che nella regione di energie di eccitazione attorno a 3-5 MeV i daticoncordano bene con un modello a temperatura costante descritto dalla relazione

ρ(E) ∝ 1

Texp(

E − E0

T) (1.25)

Ad energie di eccitazione maggiori, data la dipendenza esponenziale dall’energia della densita’dei livelli, la distanza tra i livelli nucleari△E = 1/ρ(E) diventa confrontabile con la larghezzadel livello e quindi si ha la regione del continuo,D ≃ Γ. Cosi’ a temperaturaZERO , cioe’nucleo non eccitato, la distanza tra i livelli e’ di circa 100KeV, nel nucleo eccitato i livellienergetici si ritucono di un fattore di circa108, cioe’ di circa 1 meV.Ogni stato eccitato ha una vita mediaτ finita per cui il nucleo ritorna allo stato fondamentale conemissione di particelle. Dal principio di incertezza si ha che la larghezza del livello di energia e’legato alla vita mediaΓτ ≃ ~ per cui a grandi energie di eccitazione corrispondono vite mediebrevi.

1.3 Energetica nucleare

In ogni reazione (nucleare, atomica, meccanica) in cui una quantita’ e’ cambiata in un’altraquantita’ viene emessa dell’enrgia ( reazione it esotermica) o assorbita energia ( reazioneendotermica). Questa energia deriva dalla variazione di massa∆M

∆E = ∆Mc2 = (M iniziale − Mfinale)c2 (1.26)

1.3.1 Binding Energy

Nella sua accezzione piu’ generale la Binding Energy (BE), oenergia di legame, e’ l’energiarichiesta per disassemblare un tutto nelle sue parti distinte. Una tipica reazione vede una o piu’entita’ ,A, B, .. entrare in contatto e formare una entita’ solaC

A + B + · · · → C (1.27)

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Un sistema legatoC ha una energia potenziale minore delle parti costituenti, questo e’ il motivoper cui si formaC; per convenzione si definisce positiva questa energia di legame, denotando unareazione esotermica. L’energia di legame quindi deriva dalla variazione della massa nella reazioneIl mass defect∆M e’ definito come la differenza tra la somma delle masse iniziali e la sommadelle masse finali

∆M = [massA + massB + · · ·] − massC (1.28)

da cui si ricava cheBE = ∆Mc2

Quindi in una reazione nucleare la Energia disponibile oQ-valuerisulta

∆E = BE(prodottifinali) − BE(elementiiniziali)

Bining Energy del nucleo

La formazione del nucleo partendo dai suoi costituenti e’ descritta dalla reazione

Zprotoni + (A − Z)neutroni → nucleo(AZX) + BE (1.29)

La BE e’ detrminata dalla variazione di massa tra la condizione iniziale e lo stato finale

MassDefect = BE/c2 = Zmp + (A − Z)mn − m(AZX) (1.30)

L’ultimo termine e’ lamassa nucleare, che pero’ non e’ misurata, mentre sono misurate congrande accuratezza lemasse atomiche; quindi in termini di massa atomica si ha

BE

c2= Z[M(1

1H) − me +BE1e

c2] + (A − Z)mn − [M(A

ZX) − me −BEZe

c2] (1.31)

Tenendo conto che, pur se in generale non conosciute, le due BE degli elettroni tendono adannullarsi e che in sostanza sono molto piccole2 , milioni di volte inferiori a quelle nucleari laBinding Energy del nucleo si puo’ scrivere come

BE

c2= ZM(1

1H) + (A − Z)mn − M(AZX) (1.33)

L’energia di legame nucleare cresce col numero atomico A e quindi per comodita’ si parla dienergia di legame per nucleone B/A, il cui andamento in funzione di A e’ mostrato in Fig. 1.92Per ionizzare un atomo di H sono necessari 16.6 eV. La energiadi legame dell’elettrone rappresenta una variazionedi massa di

BEZe/c2 = 13.6(eV )/(9.315× 108(eV/u) = 1.4 × 10−8u (1.32)

Trascurabile perfino rispetto alla massa dell’elettrone.

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Figure 1.8: Scala atomica

Figure 1.9: Binding energy per nucleone

16

1.3.2 Energia di separazione del nucleone

Legato al concetto di energia di legame e l’energia richiesta per separare un singolo nucleone daun nucleo. Si consideri l’energia rilasciata nell’aggiungere un singolo neutrone per formare unnucleo

A−1Z X + 1

0n → AZX (1.34)

L’energia rilasciata in questa reazione ,Sn(AZX), e’ l’energia richieta per RIMUOVERE un

singolo neutrone dal nucleoAZX; chiaramente questa energia e’ analoga all’energiadinionizzazione richiesta per rimuovere un elettrone delle schell esterne da un atomo. L’energia diseparazione del neutrone e’ uguale alla energia equivalente della diminuzione di massa dellareazione

Sn(AZX) = [m(A−1

Z X) + mn − m(AZX)]/c2 ≃ [M(A−1

Z X) + mn − M(AZX)]/c2 (1.35)

La energia di separazione puo’ essere anche espressa in termini di energia di legame

Sn(AZX) = BE(A

ZX) − BE(A−1Z X) (1.36)

Allo stesso modo si puo’ ricavare la energia di separazione per il protone

A−1Z−1X + 1

1p → AZY (1.37)

che e’ equivalente alla diminuzione della massa

Sp(AZY ) = BE(A

ZY ) − BE(A−1Z−1X) (1.38)

Come si puo’ ben capire la variazione diSn eSp con Z ed N fornisce informazioni sulla strutturanucleare, ad esempio i valori diSn eSp per nuclidi con un numero pari di protoni e/o neutronisono piu’ grandi rispetto ai nuclidi con numeri dispari,effetto di pairing. 3

1.4 Reazioni nucleari

Le reazioni nucleari giocano un ruolo importante nella scienza ed ingegneria nucleare e diconseguenza nelle applicazioni, perche’ e’ con queste reazioni vari tipi di radiazione sono

3Calcolare la BE dell’ultimo neutrone in168

O.La BE e’ l’energia rilasciata nella reazione

15

8 O + 1

0n → 16

8 O (1.39)

Le equazioni sono

Sn = [m(158

O) + mn − m(168

O)]/c2 ≃ [M(158

O) + mn − M(168

O)]/c2 (1.40)

Sn = [15.0030654 + 1.00866492− 15.9949140]u× 931.5MeV/u = 15.66MeV (1.41)

Come si vede e’ particolarmente grande per un singolo nucleone, infatti la BE media per nucleone del16

8O e’ di 7.98

MeV. Il grande valore diSn indica che16

8O e’ molto stabile rispetto al15

8O

17

prodotte o rivelate, o si hanno informazioni sulla struttura interna dei nuclei e quindi dellamateria. Tutte le reazioni nucleari si possono classificarein due grandi categorie:

1. Nella prima categoria il reattante e’ un singolo atomo o nucleo che spontaneamente simodifica emettendo una o piu’ particelle

X → Y1 + Y2 + · · · (1.42)

Tale reazione si chiamadecadimento radioattivo, questo tipo di reazione e’ necessariamenteesotermicai.e. la massa deve diminuire nel processo di di decadimento edeve essereemessa energia, generalmente sotto forma di energia cinetica dei prodotti della reazione

2. Nella seconda categoria si trovano lereazioni binariein cui due particelle nucleari ( nuclei,nucleoni, elettroni o fotoni ) interagiscono per formare particelle nucleari differenti. Lareazione piu’ comune si puo’ indicare come

x + X → Y + y, X(x, y)Y (1.43)

x ey indicano le particelle piu’ leggere della coppia.

1.4.1 Esempi di reazioni nucleari binarie

Le semplici regole per scrivere una reazione nucleare sono:conservazione della carica e delnumero di massa.

reazione(α, p) : La prima reazione nucleare fu descritta da Rutherford

42He + 14

7 N →178 O + 1

1H, 147 N(α, p) 17

8 O

reazione(α, n) : Nel 1932 Chadwick scopri’ il neutrone bombardando berillio conparticelleα

42He + 9

4Be→126 C + 1

0n94Be(α, n) 12

c C

reazione(γ, n) : Neutroni si possono produrre bombardando ad es. deuterio con raggigamma energetici

γ+21H →11H + 1

0n21H(γ, n) 1

1H o 21H(γ, p) 1

0n

18

reazione(p, γ) : I protoni possono indurre reazioni nucleari tipo la cattura radiativa delprotone es.

11H + 7

3Li →84Be +γ 7

3Li(p, γ) 84Be

Il prodotto84Be non e’ legato e si scinde quasi immediatamente in due particelleα (

decadimento radioattivo).

84Be→4

2He + 42He

reazione(γ, αn) : Esempio di reazione con uno stato finale a tre corpi, un fotone di altaenergia incide su17O che a sua volta si scinde in12C , unα ed un neutrone con la reazione

γ+178 O→12

6 C + 42He + 1

0n o 178 O(γ, n)17

6 C

reazione(n,p) : I neutroni veloci possono causare diversi tipi di reazioni nucleari. Lareazione procede chiaramente in due passi con la formazionedi un nucleo composto chepoi decade radoattivamente in piu’ prodotti

10n + 16

8 O→167 N + 1

1p o 168 O(n, p)16

7 N

1.4.2 Reazioni a stato finale multiplo

In generale quando una particellax interagisce con un nucleoX si possono avere piu’ tipi direazioni a cui e’ associato uno stato finale. Ad es. nell’urtodi un neutrone di media alta energia (∼ MeV) con il nucleo32

16S si possono averescattering elastico

10n + 32

16S→3216S + 1

0n

Questa e’ una reazione(n, n). Un secondo tipo di reazione e’ unoscattering inelasticoin cui il3216S e’ lasciato in uno stato nucleare eccitato

10n + 32

16S→ (3216S)∗+1

0n’

19

con(3216S)∗ stato eccitato del nucleo3216S e con il neutrone che cede energia nell’urto inelastico.

Il neutrone incidente puo’ essere assorbito ed espellere unprotone

10n + 32

16S→3215P + 1

0p

quindi una reazione(n, p), oppure semplicemente catturato con emissione di un gamma

10n + 32

16S→3316S +γ

quindi una reazione dicattura radiativa o reazione(n, γ) in cui la BE del neutrone al nucleo e’emessa come raggio gamma.Le condizioni cinematiche di queste reazioni sono diverse,lo scattering elastico e la cattura sonopossibili a tutte le energie, lo scattering inelastico mentre per le altre e’ necessario che il neutroneabbia una certa energia cinetica per superare una certa soglia.

1.5 Q-value di una reazione

In ogni reazione nucleare l’energia totale deve essere conservata∑

i

[Ei + mic2] =

∑

i

[E ′

i + m′

ic2] (1.44)

essendoEi(E′

i) l’energia cinetica nello stato iniziale (finale) emi(m′

i) le masse a riposo.questo significa che ogni variazione di energia cinetica totale prima e dopo ogni reazione deveessere accompagnata da una equivalente variazione delle masse a riposo.

Q = KEf − KEi = (∑

i

m −∑

i

m′) (1.45)

La reazione si diceesotermicaquandoQ < 0, enrgia cinetica nello stato finale maggiore diquella nello stato iniziale o massa a riposo nello stato iniziale maggiore della massa nello statofinale, si ha una reazioneendotermicaquando inveceQ < 0, che significa che l’energia cineticadello stato iniziale viene convertita in massa a riposo dello stato finale. Questo tipo di reazionerichiede che le particelle nello stato inziale abbiano una certa energia cinetica per superare lasoglia di reazione.Da ricordare in ogni reazione nucleare, in cuiil numero di neutroni e protoni e’ conservatoilQ-value deve essere calcolato sostituendo ogni particellacarica con il suo atomo neutro.Nel caso di reazioni che producono nuclei eccitati il Q-value deve essere calcolato tenendo contoche la massa del nucleo eccitato e’ maggiore del corrispondente nucleo nello stato fondamentaledi una quantita’ pari aE∗/c2, doveE∗ e’ l’energia di eccitazione. La massa di un atomo eccitatoquindi sara’

M(AZX∗) = M(A

ZX) + E∗/c2 (1.46)

20

essendoM(AZX) la massa dell’atomo nello stato fondamentale4

1.6 Reazioni nucleari binarie

Le reazioni binarie ( vedi sopra) sono le piu’ importanti trale reazioni nucleari. Tutti i nuclidi conpiu’ di qualche protone sono stat creati dalle reazioni binarie nelle stelle e l’energia rilasciata daqueste reazioni sono essenziali per la vita. Schematicamente le reazioni binarie sono descrittecome

A + B → C + D + E +· · ·

In tutte le reazioni in cui sono coinvolte solo le forze nucleari sono conservate parecchie quantita’: l’energia totale, il momento angolare (spin), il momento lineare, la carica, il numero barionico,ed altre quantita’ meccano-quantistiche che in questo contesto non sono considerate.Sebbene in una reazione binaria i prodotti della reazione possono essere piu’ di due, di gran lungaquelle piu’ frequenti hanno solo due prodotti

x + X → y + Y o semplicemente X(x, y)Y

1.6.1 Meccanismi delle reazioni

Nucleoni o nuclei leggeri con energie cinetiche maggiori dicirca 40 MeV hanno lunghezzed’onda di de Broglie comparabili con le dimensioni dei nucleoni in un nucleo targhetta e quindihanno la possibilita’ di interagire o con un singolo nucleone o con pochi vicini. Questo tipo direazione e’ chiamatainterazione diretta, i rimanenti nucleoni del nucleo targhetta non sonointeressati. Questo tipo di reazione e’ anche chiamatainterazione periferica.Se il proiettile ha energia di pochi MeV, la sua lunhezza d’onda di de Broglie e’ grande econfrontabile con le dimensioni del nucleo per cui l’interazione avverra’ con tutto il nucleo, cioe’

4Esempio- Qual’e’ il valore del Q-value della reazione10B(n, α)7Li* in cui il nucleo di 7Li* e’ lasciato in unostato eccitato (0.48 MeV) sopra il suo stato fondamentale?

Q = [mn + M(105 B) - M(42He) -M(73Li*)]c 2

essendo quindiM(73Li*) = M(7

3Li) + 0.48 MeV/c2 il calcolo diventa

Q = [mn + M(105 B) - M(42He) -M(73Li)]c2 - 0.48 MeV= [ 1.0086649 + 10.0129370 - 4.0026032 - 7.0160040] u× 931.5 MeV/u - 0.48 MeV = 2.310 MeV

.

21

con tutti i nucleoni simultaneamente, formando inizialmente unnucleo compostoaltamenteeccitato. Questo nucleo decade in circa 10−14 s dalla sua formazione in uno dei differenti modipossibili con differenti prodotti di reazione.

Nucleo composto

Nelle reazioni nucleari, quando la particella incidente hapochi MeV di energia cinetica, essainteragisce col nucleo intero, nel senso che viene assorbita e la sua energia cinetica trasferita alnucleo come un tutto. Il nucleo eccitato ha una vita media ( 10−15 - 10−13 s) molto maggiore dellanuclear lifetime, il tempo che impiegherebbe il proiettile ad attraversare il nucleo targhetta che e’tra 10−21 e 10−17 s.Gli stati eccitati del nucleo composto sono chiamatistati virtuali o livelli virtuali perche’ essodecade con emissione di particelle, da distinguersi daglistati legatidel nucleo eccitato che decadesoloper emissione di raggiγ.Reazioni che coinvolgono un nucleo composto sono reazioni che avvengono in due tempi: primasi forma un nucleo eccitato a vita media lunga e successivamente c’e’ il decadimento in due o piu’prodotti.

x + X → (x + X)∗ → y + Y

A causa della vita media relativamente lunga il nucleo composto si dimentica di come si e’formato e della direzione della particella incidente, per cui nella disintegrazione i prodotti sonoemessi in tutte le direzioni e i modi di decadimento sono indipendenti da come si e’ formato ilnucleo. Questo e’ verificato sperimentalmente, ad es. in questa reazione ( Mayo 1998)

p +63 Cuα +60 Ni

→64 Zn∗ →

63Zn + n62Cu + n + p

62Zn + 2n

I differenti modi in cui il nucleo composto si disintegra si diconocanali di uscita, la probabilita’di osservare una particolare uscita e’ indipendente dal modo con cui il nucleo si e’ formato.

1.6.2 Cinematica delle reazioni binarie a due corpi

Dai constraint imposti dalla conservazione dell’energia totale e momento lineare si determinanol’energia e la direzione dei prodotti. Di seguito si assumera’ che il nucleo bersaglio sia a riposo.

Indicando conEi l’energia dell’i-esimo nucleo eQ il Q-value, essendoEX = 0, la conservazionedell’energia totale richiede, essendoEX = 0

22

Ex = Ey + EY + Q

Per il momento lineare, si deve tener conto che i momenti delle tre particelle, quella incidente edei due prodotti, debbono giacere su uno stesso piano, quindi

p2Y = p2

x + p2y + 2pxpycosθy (1.47)

Per particelle non relativistiche si ha chepi =√

2miEi per cui sostituendo si puo’ ricavarel’espressione dell’energia della particella piu’ leggera

√

Ey =√

mxmyEx

(my+mY )2cosθy ±

√

mxmyEx

(my+mY )2cosθ2

y + [ mY −mx

(my+mY )Ex + mY Q

(my+mY )]

La soluzione ha forma√

Ey = a ±√

a2 + b, da cui si capisce che per√

Ey possono esserco ozero, una o due soluzioni accettabili, dipendeno dal segno di a2 + b, in ogni caso perche’ unaoluzione sia realistica e’ necessario che essa sia reale e positiva. Se(a2 + b < 0) la soluzione e’non fisica e la reazione non puo’ avvenire. I termini che possono contribuire a rendere lasoluzione energeticamente impossibile sono: 1)un valore di Q-value negativo, 2) un proiettilepesante cosicche’mY − mx < 0 e 3) un grande angolo di scattering tale checosθy < 0.Reazione esoenergetica ( Q>0) SeQ > 0 emY > mx , il termine sotto radice e’ semprepositivo e solo la soluzioneEy = (a +

√a2 + b) con il segno+ ha significato.

PerEx → 0 la√

Ey →√

b che significa che il Q-value e’ semplicemente la somma delle energiecinetiche dei prodotti,Q = Ey + EY

Ey → mY

my + mYQ (1.48)

Reazioni endoenergetiche (Q<0) Il termine(a2 + b) risulta minore di zero seQ < 0, mY > mx

maEx e’ troppo piccolo, in questo caso la reazione non e’ possibile. Al crescere diEx pero’ iltermine sotto radice diventa positivo, e sono possibili duesoluzioni per

√

Ey concosθ > 0.Questi due valori diEy corrispondono a due gruppi di particelley che sono emesseavantieindietronel centro di massa .Quindi nel caso di reazioni endoenergetiche e’ necessario che la particella incidente abbia unminimo di energia cinetica affinche’ la reazione avvenga, cioe’ prima che il valore diEy abbiasignificato fisico, questo indica che c’e’ una soglia minima per la reazione,soglia di reazione.

1.6.3 Energia di soglia di reazione

Per le reazioni con Q< 0, o anche per Q> 0 quandomY < mx, la particella incidente devefornire una certa quantita’ minima di energia Ex perche’ la reazione avvenga,energia di soglia; cisono due tipi di energia di soglia di reazione: soglia cinematica e soglia della barrieraCoulombiana.

23

Soglia cinematica

Per le reazioni endoenergetiche, affinche’ la reazione sia possibile l’energia minima dellaparticella incidente (dalla 24)deve essere tale che

(Ex)θy>

mY (my + mY )Q

(my + mY )(mY − mx) + mxmycos2θy(1.49)

In questa espressione si ha il minimo di enegia quanfo il denominatore ha valore massimo, quindiquandoθy e’ uguale a zero, cosi’ l’energia di soglia cinematica dellareazione e’

Ethx = − my + mY

my + mY − mx

Q (1.50)

Nella maggior parte delle reazionimi >> Q/c2, my + mY ≃ mx + mX emy + mY −mx ≃ mX

per cui si ha la semplificazione:

Ethx ≃ −(1 +

mx

mX

)Q (1.51)

La particella finaley e’ emessa dal nucleo composto, alla soglia della reazione, con velocita’trascurabile; man mano che l’energia della particella incidenteEx cresce, la particellamy e’priettata in avanti con angoloθy con due distinte energie, dettate dal doppio segno±, ma che siriduce al solo termine composto da segno + perEx grande in modo cheEy abbia un valorerealistico.

Soglia della barriera coulombiana

Se la particella proiettile incidente e’ un neutrone od un raggio gamma non c’e’ la barrieracoulombiana per cui la sola soglia possibile e’ quella cinematica. Per reazioni esoenergetiche(Q > 0), neutroni e fotoni necesitano solo di una energia trascurabile per attivare una reazione,mentre nel caso di(Q < 0) c’e’ l’energia di soglia (27).Nel caso di un nucleo, (i.e. di H) esso e’ carico positivamente e quindi soggetto alla repulsionecoulombiana. Solo se ha energia sufficiente riesce ad arrivare a distanze , ordine del fm, tali che leforze nucleari entrino in gioco e si attivi una reazione nucleare, cio’ indipendentemente dal valoredi Q.La forza repulsivaCoulombiana tra la il proiettile incidentex ( caricaze) e il nucleo bersaglioX(carica Ze) quando sono separato da una distanzar vale

FC =zZe2

4πǫ0r2(1.52)

24

Il lavoro fatto dal proiettile contro il campo elettrico perarrivare ad una distanzab dalla targhettasara’

WC = −∫ b

∞

Fc · dr = −zZe2

4πǫ0

∫

dr

r2=

zZe2

4πǫ0b(1.53)

Il lavoro sara’ fatto a spese dell’energia cinetica del proiettile per lo stesso ammontare. Perche’avvenga la reazione nucleare il nucleo proiettile ed il nucleo bersaglio debbon essere a distanzadella forza nucleare, ordine delfm, per cui sosrtituendo i valori delle costanti perche sia superatala barriera Coulombiana l’energia cinetica del proiettiledeve essere

ECx ≃ WC = 1.2

zZ

A1/3x + A

1/3X

(MeV ) (1.54)

Il lavoro speso si trasforma prima in energia di eccitazioneed energia cinetica di rinculo delnucleo composto, successivamente in massa ed energia cinetica dei prodotti di decadimento.

Energia di soglia totale

Ricapitolando, per reazioni con neutri ( neutroni e gamma) non ci sono energie di soglia , perreazioni con nuclei bisogna tener conto del tipo di reazionese e’ endotermica o esotermica. Ingenerale per queste reazioni si puo’ scrivere la reazione seguente per l’energia minima perinnestare la reazione

(Ethx )min = max(EC

x , Ethx ). (1.55)

e l’energia cinetica minima dei prodotto tella reazione sara’ data da(Ey + EY ) = Q + (Ethx )min.

Reaction Q-value ECx Eth

x Reaction min(Ey + EY )Path (MeV) (MeV) (MeV) Condition (MeV)13C(d, t)12C 1.311 1.994 0 Ex > EC

x 3.30514C(p, n)14N -0.6259 2.111 o.6706 Ex > EC

x 3.30514N(n, α)11B -0.1582 0 0.1695 Ex > Eth

x 3.305

1.6.4 Applicazioni delle reazioni binarie

Le reazioni binarie sono all’origine di molte applicazioni, tra cui le reazioni per la rivelazione dineutroni o per la produzione di neutroni.Una reazione per la rivelazione di neutroniI neutroni non ionizzano direttamente la materia attraversandola, quindi per rivelarli bisognaprima che i neutroni interagiscano con un nucleo e che la reazione produca una particella caricache sara’ rivelata. Una reazione tipica per rivelare neutroni e’ la seguente3He(n, p)3H con unprotone nello stato finale. E’ una reazione esoenergetica, con un un Q = 0.764 MeV, che nonnecessita di soglia Coulombiana, vedi Fig. 1.10 .

25

Figure 1.10: Proton energy vs neutron energy

Per neutroni con energia cinetica trascurabile , il protoneed il trizio si suddividono l’energia Qdisponibile, il protone acquista un’energia cinetica diEp = 0.573 MeV mentre il nucleo di triziorincula con un’energia di 0.191 MeV. Al crescere dell’energia del neutrone incidente, si puo’vedere dalla figura che l’energia del protone diventa lineare, in funzione dell’angolo di scattering.Una reazione per produzione di neutroniI neutroni possono essere prodotti in molte reazioni binarie, una di queste ad es. e’ la7Li(p, n)7Be. Questa e’ una reazione endoenergetica con Q=-1.644 MeV,e quindi c’e’ unapiccola regione di Ep del protone in cui il neutrone puo’ avere cinematicamente due valori dienergia.

La reazione ha due soglie di energia: la soglia cinematica e Coulombiana, rispettivamente di1.875 e 1.236 MeV, vedi Fig. 1.11 .

26

Figure 1.11: Neutron Energy vs Proton Energy

27