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1Apprendimento Automatico: Apprendimento ProbabilisticoRoberto Navigli

Roberto Navigli

Apprendimento Automatico:Apprendimento Bayesiano

Cap. 6.1-6.2, 6.9-6.11 [Mitchell] Cap. 14 [Russel & Norvig]Cap. 5.3 [Tan, Steinbech, Kumar]


Caratteristiche dell’Apprendimento Bayesiano

• Ogni esempio di addestramento progressivamente decrementa o incrementa la probabilità stimata che un’ipotesi sia corretta

• La conoscenza pregressa può essere combinata con i dati osservati per determinare la probabilità finale di un’ipotesi

• I metodi Bayesiani possono fornire predizioni probabilistiche (es. questo paziente ha il 93% di possibilità di guarire)

• Nuove istanze possono essere classificate combinando le predizioni di ipotesi multiple, pesate con le loro probabilità

• Anche quando i metodi Bayesiani sono intrattabili computazionalmente, possono fornire uno standard di decisione ottimale rispetto al quale misurare metodi più pratici


• Spazio di campionamento Ω è l’insieme degli esiti di una prova è l’esito di una prova (es. il lancio del dado ha esito 2)• A è un evento (sottoinsieme di Ω)• Indichiamo con P(A) la probabilità (massa di probabilità) di un evento A

(es: x=1, o x “pari”) • Per ogni coppia di eventi A e B:

6,4,25,3,1)(.

)(),(0)()(

)()()()()(

1)(

1)(0

BAdadolancies

esclusivemutuamenteBPAPseBAPBAPdove

BAPBAPBPAPBAP

trueP

AP

A B

Richiamo di concetti di calcolo delle probabilità


Probabilità congiunta

• Dati due eventi A e B, P(A) è la probabilità marginale dell’evento A e P(B) quella dell’evento B

• La probabilità congiunta che si verifichino entrambi gli eventi è P(A, B)

• Se i due eventi sono indipendenti, allora si ha:– P(A, B) = P(A) P(B)


Probabilità condizionata

• La probabilità condizionata dell’evento B dato l’evento A (probabilità di un evento A supponendo che sia verificato un evento B) è data da:

)()|()()|()(

0)( )(

)()|(

0)( )(

)()|(

APABPBPBAPBAP

APAP

BAPABP

BPBP

BAPBAP

A BAB


Teorema di Bayes

• Sfruttando la definizione di probabilità condizionata si ottiene:

)(

)()|()|(

BP

APABPBAP


Classificatore Naïve Bayes

• Si applica al caso in cui le ipotesi in H sono rappresentabili mediante una congiunzione di valori di attributi e la classificazione è scelta da un insieme finito Y. Le istanze x in X sono descritte mediante m-uple di valori (x1,x2, ..., xm) associati agli m attributi di x

• Il classificatore “naif” si basa sull’assunzione semplificativa che i valori degli attributi siano condizionalmente indipendenti, assegnato un valore della funzione obiettivo, cioè, dato un nuovo esempio x da classificare, calcoliamo:

)|()(maxarg

),...,,(

)()|,...,,(maxarg),...,,|(maxarg

21

2121

jj

Yc

m

m

Ycmj

YcNB

cxPcP

xxxP

cPcxxxPxxxcPc


Stima delle probabilità

• Le probabilità P(xi|c) vengono stimate osservando le frequenze nei dati di addestramento D

• Se D include ni esempi classificati ci, e nij di questi ni esempi contengono il valore xj per l’attributo j, allora:

i

ijij n

ncxP )|(


Naïve Bayes: Esempio

• Y = allergia, raffreddore, in_salute (possibili classi)

• x1 = starnuti (sì, no) ; x2 = tosse (sì, no) ; x3 = febbre (sì, no) (attributi booleani)

• x = (1, 1, 0) come lo classifico?

Prob in salute

raffred-dore

allergia

P(c) 0.9 0.05 0.05

P(x1 |c) 0.027 1.0 1.0

P(x2 |c) 0.027 0.5 0.5

P(x3 |c) 0.027 0.5 0.5

Dall’insieme D stimole prob. a priorie condizionatees:


Esempio (continua)

• 40 esempi, 36 classificati “in salute”, 2 raffreddore, 2 allergia

• Per stimare, ad esempio, P(x1=1|in-salute), contare sui 36 esempi nei quali c(x)= “in-salute” quanti hanno x1=1

se 1 su 36, P(x1=1|in-salute)=1/36=0,027Analogamente avrò, ad es.: - P(x1=1|raffreddore)=2/2=1- P(x1=1|allergia)=2/2=1- ecc.


• Devo calcolare il massimo al variare di c di:

• Quindi ad esempio per c=raffreddore

• Analogamente, troverò:

)|()( j

j cxPcP

0125,05,05,0105,0

)|()|()|()( 321

raffrnoxPraffrsìxPraffrsìxPeraffreddorP

0125,05,05,0105,0

)|()|()|()(

000017,0027,0027,0027.09,0

)|()|()|()(

321

321

allnoxPallsìxPallsìxPallergiaP

salnoxPsalsìxPsalsìxPsaluteinP

Esempio (continua)


Problemi con Naive Bayes

• Se D è piccolo, le stime sono inaffidabili (nell’esempio precedente alcune stime sono = 1!)

• Un valore raro xk può non capitare mai in D e dunque: c: P(xk | c) = 0.

• Analogamente, se ho un solo esempio di una classe c, xk: P(xk | c) = 1 o P(xk | c) = 0.


Smoothing

• Per tener conto di eventi rari, si operano degli aggiustamenti sulle probabilità detti smoothing

• Laplace smoothing con una M-stima assume che ogni evento xj abbia una probabilità a priori p, che si assume essere stata osservata in un campione virtuale di dimensione M > del campione reale

• Nell’esempio precedente, ad es.

• M è una costante che determina il peso dello smoothing• In assenza di altre informazioni, si assume p = 1/k dove k è il numero

di valori dell’attributo j in esame

Mn

MpncxP

i

ijij

)|(

M

MraffxP

2

5,00)|0( 1


Un esempio

• Classificazione automatica di documenti– Un documento rappresentato come un elenco di termini

tj (j=1,…,|V|), dove V è il vocabolario– Rappresentiamo un documento x con il vettore x =

(x1,x2…,x|V|) dove xj=1 se il termine tj è presente (0 altrimenti)

– D = (xi, yi) insieme di addestramento di documenti già classificati

– Y = sport, politica, ..., scienze – Stimare, sulla base di D, le P(tj|c)


Reti Bayesiane

• Una semplice notazione grafica per:– l’asserzione di indipendenza condizionata– la specifica compatta di distribuzioni congiunte

• Un grafo diretto G = (V, E) dove:– I vertici sono le variabili aleatorie del problema– Gli archi diretti (x, y) descrivono le dipendenze tra

variabili aleatorie


Variabili aleatorie

• Una variabile aleatoria X è una funzione dell’esito di un esperimento:

che associa un valore a ogni esito. Ad esempio, dato l’evento “lancio di dado”, la funzione può essere definita come:

:X

6" faccia la esce"6

1" faccia la esce"1

X


Reti Bayesiane: esempio (da Tan, Steinbech, Kumar)

• La topologia della rete codifica le asserzioni di dipendenza/indipendenza

• Nell’esempio, l’esercizio è indipendente dalle altre variabili, la cardiopatia dipende dall’esercizio e dalla dieta.

Esercizio Dieta

Cardiopatia Bruciore di stomaco

Doloreal petto

Pressionesanguigna


Reti Bayesiane: esempio (da Russel & Norvig)

• Sono al lavoro e il vicino John mi chiama per dire che suona l’allarme, but la vicina Mary non chiama. A volte viene attivato da piccole scosse di terremoto. C’e’ un furto in corso?

• Variabili (booleane): Burglary (furto), Earthquake (terremoto), Alarm (allarme), JohnCalls, MaryCalls

• La topologia della rete riflette la conoscenza “causale” • Un furto o un terremoto possono causare l’attivazione

dell’allarme• L’allarme può causare una chiamata di John o Mary


Reti Bayesiane: esempio (da Russel & Norvig)


Semantica delle Reti Bayesiane

• La distribuzione congiunta di tutte le variabili è data dal prodotto delle probabilità condizionate “locali”:

• Perché? “Chain rule”

m

iiim XParentsXPXXXP

121 ))(|(),...,,(


Esempio

Qual è la probabilità che date le chiamate di John e Mary per via dell’allarme non si sia verificato né un terremoto né un furto?

P(J=true, M=true, A=true, B=false, E=false)

= P(j, m, a, ¬b, ¬e) = P(j|a)P(m|a)P(a| ¬b, ¬e)P(¬b)P(¬e)

= 0.9 * 0.7 * 0.001 * 0.999 * 0.998

= 0.000628


Naive Bayes visto come Rete Bayesiana

C

X1 X2 X3 Xm…


Compattezza delle Reti Bayesiane

• Una tabella di probabilità condizionate per la variabile booleana Xi con k genitori booleani ha 2k righe (combinazioni dei valori dei genitori)

• Ogni riga richiede un valore di probabilità per Xi = true (il numero per Xi = false è 1-p)

• Se ogni variabile non ha più di k genitori, la rete completa richiede O(m2k) numeri dove m è il numero di variabili (nodi) della rete

• Ovvero lo spazio richiesto cresce linearmente con m• Di quanti numeri avrei bisogno invece se codificassi

l’intera distribuzione congiunta delle m variabili?


Costruzione di una Rete Bayesiana

• Scegli un ordinamento delle variabili aleatorie X1, … ,Xm

• For i = 1 to m– aggiungi Xi alla rete

– seleziona i genitori da X1, … ,Xi-1 tali che

P (Xi | Parents(Xi)) = P (Xi | X1, ... Xi-1)


Costruzione di una Rete Bayesiana: Esempio

• Supponiamo l’ordinamento: M, J, A, B, E

• P(J | M) = P(J)?




• P(J | M) = P(J)? No• P(A | J, M) = P(A | J)? P(A | J, M) = P(A)?



• Decidere l’indipendenza condizionata è difficile se si procede in direzione “non causale”

• Decidere sulle causalità è molto più semplice per gli umani che non per le macchine!


Apprendimento automatico delle tabelle delle probabilità condizionate

• Dato un insieme di addestramento, si procede in modo simile a quanto fatto con Naive Bayes

• Si calcola la probabilità condizionata:

))((

))(,())(|(

i

iiii XParentscount

XParentsXcountXParentsXP


Esempio: il Buon Ricercatore Sperimentale

Abilità Ricercatore

QualitàScrittura

QualitàRisultati

Articoloaccettato


Apprendimento Bayesiano “in a nutshell”

• Le reti bayesiane forniscono una rappresentazione naturale per l’indipendenza condizionata indotta in modo causale

• Naïve Bayes è una caratterizzazione estrema del dominio, ma funziona generalmente bene

• Data la topologia e le tabelle di probabilità condizionate, si ottiene una distribuzione congiunta compatta

• Semplice per gli esperti di dominio costruire una rete

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