appunti del corso di istituzioni di fisica nucleare e

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Appunti del corso di

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

prof. Filippo Ceradinianno accademico 2001-2002

January 3, 2003

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Dipartimento di Matematica e Fisica

3 maggio 2021Cari studenti,

questi sono gli appunti delle lezioni del corso di Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnuclearetenute fino all’anno accademico 2001-02, l’ultimo anno del vecchio ordinamento del corsodi Laurea in Fisica all’Universita Roma Tre.

A partire dal 2003 questo corso e stato sostituito da due corsi, uno nel terzo anno dellaLaurea Triennale: Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare, e l’altro nel primo annodella Laurea Magistrale: Fisica Nucleare e Subnucleare. Comunque gli argomenti trattatinei due corsi non sono sostanzialmente diversi da quelli del corso precedente, e cambiatoun po’ l’ordine di presentazione degli argomenti, e alcuni ora vengono trattati in altri corsi”a scelta”.

Gli appunti sono divisi in 1-Metodologie, 2-Fisica Nucleare, 3-Fisica Subnucleare, esono corredati da numerose appendici, alcune sono richiami di argomenti gia trattati neicorsi della Laurea Triennale, altre sono approfondimenti di argomenti trattati nei corsidell’indirizzo di Fisica Subnucleare della Laurea Magistrale. L’intendimento e di unifor-mare definizioni, simboli e formule a quelli usati in queste lezioni. Nel 2015 i capitoli 24e 25 sono stati aggiornati con le misure recenti.

Questi appunti non possono sostituire un buon libro di testo perche gli argomenti sonotrattati in modo piuttosto schematico senza curare le connessioni logiche, le figure nonsono di buona qualita, mancano i riferimenti bibliografici, etc. . . , e soprattutto perchenon vogliono sostituire i libri di testo, ma unificare piu argomenti che sono trattati in testidiversi. Siete quindi caldamente invitati a studiare sui libri, e ce ne sono di ottimi. Buonostudio,

Filippo Ceradini

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Alcuni testi consigliati

• B.Povh, K.Rith, C.Scholtz and F.Zetsche: Particelle e Nuclei, Bollati - Boringhieri,1998, ISBN 88-339-5559-8, buon libro introduttivo, tradotto in italiano.

• A.Das and T.Ferbel: Introduction to Nuclear and Particle Physics, 2nd edition,World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-744-7, buon libro a livello elemen-tare, ben aggiornato.

• W.S.C.Williams, Nuclear and Particle Physics, Oxford Science Publications, 1997,ISBN 0-19-852046-8, buon libro introduttivo, corredato da un testo con soluzionidi esercizi − W.S.C.Williams, Solution Manual for Nuclear and Particle Physics,Oxford Science Publications, ISBN 0-19-851763-7.

• H.Fraunfelder and E.M.Henley: Subatomic Physics, 2nd edition, Prentice Hall, 1991,ISBN 0-13-859430-9, buon libro introduttivo.

• W.E.Burcham and M.Jobes: Nuclear and Particle Physics, Longam Scientific andTechnical, 1995, ISBN 0-582-45088-8, molto esauriente per la fisica delle particelle,meno per la fisica nucleare.

• K.S.Crane: Introductory Nuclear Physics, John Wiley & Sons, 1988, ISBN 0-471-80553-X, ottimo testo di fisica nucleare, poco aggiornato per la fisica delle particelle.

• J.L.Basdevant, J.Rich and M.Spiro: Fundamentals in Nuclear Physics, Springer,2004, ISBN 0-387-01672-4, ottimo testo di fisica nucleare e astrofisica nucleare, benaggiornato.

• D.H.Perkins: Introduction to High Energy Physics, 4th edition, Addison-WesleyPublishing Company, 2000, ISBN 0-521-62196-8, ottimo e ben aggiornato per lafisica delle particelle.

• A.Bettini: Introduction to Elementary Particle Physics, Cambridge University Press,2008, ISBN 978-0-521-88021-3, ottimo e ben aggiornato per la fisica delle particelle.

• R.N.Cahn and G.Goldhaber: The experimental Foundations of Particle Physics,Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-21-42425-9, ottimo testo di consultazioneper la fisica delle particelle, riproduce alcune pubblicazioni originali dalla scopertadel neutrone a quella dei bosoni vettori W± e Z0.

• E.Segre: Nuclei e Particelle, 2nd edition, Zanichelli, 1982, ISBN 88-08-05628-7, ot-timo testo per la fisica nucleare, poco aggiornato per la fisica delle particelle, e unpo’ datato ma e scritto da un premio Nobel.

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I Metodologie della fisica nucleare e subnucleare 15

1 Introduzione 171.1 Il protone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 L’elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 La carica dell’elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Il fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 Spettro del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 I raggi X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.4 L’effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Il modello atomico di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.1 Il magnetone di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Onde o particelle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6 Lo spin dell’elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Sezione d’urto 352.1 La sezione d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Sezione d’urto differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Sezione d’urto di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Sezione d’urto di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Acceleratori 433.1 Sorgenti di ioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Acceleratori a caduta di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1 Acceleratore Van de Graaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.2 Acceleratore Cockroft–Walton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Acceleratore Tandem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Acceleratori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Linac per ioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.2 Linac per elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.3 Linac RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Acceleratori circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.1 Il ciclotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.2 Il betatrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.3 Il sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Cavita a radiofrequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5.1 Guide d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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3.5.2 Guide d’onda cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.3 Cavita risonanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5.4 Accelerazione in cavita risonanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6 Oscillazioni di betatrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7 Trasporto dei fasci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.1 Emittanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8 Oscillazioni di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.9 Anelli di collisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.10 Radiazione di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.10.1 Sorgenti di radiazione di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.10.2 Traslatore di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.10.3 Magnete wiggler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.11 Sorgenti di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Interazioni tra particelle e materia 81

4.1 Interazioni delle particelle cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.1 Perdita di energia per ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.2 Fluttuazioni della perdita di energia per ionizzazione . . . . . . . . . 85

4.1.3 Percorso residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.4 Radiazione Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2 Radiazione di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.1 Scattering coulombiano multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.2 Irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3 Interazioni dei fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.1 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.2 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.3 Produzione di coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.4 Sciami elettrofotonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5 Metodi di rivelazione delle particelle 101

5.1 Rivelatori di tracce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.1 Camera a nebbia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.2 Camera a diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.3 Camera a bolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.4 Emulsioni nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1.5 Camera a scintilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.6 Camera a streamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2 Scintillatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3 Rivelatori Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4 Camere a ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4.1 Camera a fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4.2 Camera a deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.3 Camera a ionizzazione a liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.4 Camera a ionizzazione a semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.5 Metodi di misura delle variabili cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

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6 Leggi di conservazione e simmetrie 1116.1 Statistica di un sistema di particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2 Grandezze fisiche conservate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.3 Trasformazioni unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3.1 Trasformazioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4 Leggi di conservazione additive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.5 Leggi di conservazione moltiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.5.1 Parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.5.2 Coniugazione di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.5.3 Inversione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.5.4 Momento di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.5.5 Il positronio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.6 Il teorema CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7 Processi elettromagnetici 1257.1 Emissione e assorbimento di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2 Transizione di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3 Transizione al secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.3.1 Transizione di dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.3.2 Transizione di quadrupolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.4 Scattering di fotoni da una carica elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.5 Scattering di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.5.1 Fattore di forma elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.6 Scattering di una carica da un dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.6.1 Fattore di forma magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.7 Forma relativistica della sezione d’urto di Rutherford . . . . . . . . . . . . . 1357.8 Sezione d’urto di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.9 Sezione d’urto di Rosenbluth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8 Scattering da potenziale 1418.1 Scattering da potenziale radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Approssimazione di Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.3 Sviluppo in onde parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.4 Sezione d’urto elastica e di reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.5 Scattering da un disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.6 Sezione d’urto protone–protone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.7 Scattering elastico risonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

II Fisica nucleare 157

9 Proprieta dei nuclei 1599.1 Carica elettrica dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.2 Massa dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.3 Energia di legame dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.4 Raggio dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.5 Statistica e spin dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.6 Parita dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

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9.7 La scoperta del neutrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.8 Proprieta elettromagnetiche dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9.8.1 Interazione di dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.8.2 Interazione di quadrupolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.9 Momento magnetico del nucleone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10 Modelli del nucleo 181

10.1 Modello a gas di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.2 Modello a goccia di liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

10.3 I nuclei speculari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.4 Il modello a strati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

10.5 Momenti magnetici dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

11 Proprieta delle forze nucleari 195

11.1 L’isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

11.2 Il deutone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

11.3 Scattering neutrone–protone a bassa energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.4 Proprieta dell’interazione nucleone–nucleone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.5 Il modello di Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

12 Decadimenti dei nuclei 205

12.1 Legge di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

12.2 Larghezza di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

12.3 Decadimenti in cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12.4 Catene radioattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

12.5 Produzione di nuclei radioattivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

13 Decadimento γ 211

13.1 Radiazione di multipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

13.2 Conversione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.3 Spettroscopia γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

14 Decadimento α 217

14.1 Soglia di instabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

14.2 Teoria elementare del decadimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

14.3 Dipendenza dal momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

15 Decadimento β 223

15.1 L’ipotesi del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

15.2 Teoria elementare del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

15.3 La vita media del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

15.4 L’elemento di matrice del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

15.5 Decadimenti proibiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

15.6 Non conservazione della parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

15.7 L’interazione V–A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

15.7.1 L’elicita dell’elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

15.7.2 L’elicita del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

15.8 La scoperta del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

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16 Reazioni nucleari 241

16.1 Sezione d’urto di reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

16.2 Fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

16.3 Fissione indotta da neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

16.4 Fissione dell’Uranio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

16.5 Reattore nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.6 Fusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

16.7 Fusione nelle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

16.8 Nucleosintesi nelle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

16.9 Fusione in laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

III Fisica subnucleare 259

17 Particelle e interazioni 261

17.1 Raggi cosmici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

17.1.1 Raggi cosmici primari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

17.1.2 Raggi cosmici secondari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

17.2 I mesoni π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

17.3 Le particelle strane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

17.3.1 I mesoni K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

17.4 Il mesone η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

17.5 Simmetria dell’isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

17.6 Gli antibarioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

17.7 Risonanze adroniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

17.8 Risonanze barioniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

17.9 Risonanze mesoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

18 Modello statico a quark 285

18.1 Modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

18.2 Mesoni e barioni nel modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

18.3 Momenti magnetici dei barioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

18.4 Le masse degli adroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

18.5 Colore dei quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

19 Interazioni deboli 297

19.1 Il propagatore dell’interazione debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

19.2 Decadimento del muone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

19.3 Decadimenti leptonici dei mesoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

19.4 La Parita non si conserva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

19.5 Decadimenti semileptonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

19.6 L’angolo di Cabibbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

19.7 Decadimenti non leptonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

19.8 Decadimenti dei mesoni K neutri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

19.9 Il quarto quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

19.10Violazione della simmetria CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

19.11Altri quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

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Indice

20 Modello dinamico a quark 323

20.1 Scattering inelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

20.2 Scattering fortemente inelastico elettrone–nucleone . . . . . . . . . . . . . . 326

20.3 Modello a partoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

20.4 Carica elettrica dei partoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

20.5 Scattering fortemente inelastico neutrino–nucleone . . . . . . . . . . . . . . 333

20.6 Densita di quark e antiquark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

21 Interazioni fermione–antifermione 339

21.1 Annichilazione e+e− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

21.1.1 Annichilazione e+e− → µ+µ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

21.1.2 Produzione di coppie di mesoni pseudoscalari . . . . . . . . . . . . . 340

21.1.3 Produzione di risonanze mesoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

21.2 Il quarkonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

21.3 Annichilazione e+e− → adroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

21.4 Annichilazione quark–antiquark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

22 Interazioni adroniche 347

22.1 Fenomenologia delle interazioni adroniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

22.2 La cromodinamica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

22.2.1 I fattori di accoppiamento di colore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

22.2.2 I fattori di accoppiamento quark–gluone . . . . . . . . . . . . . . . . 355

22.3 La costante di accoppiamento della QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

22.4 Violazione della legge di scala di Bjorken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

22.4.1 Equazioni di evoluzione delle densita dei partoni . . . . . . . . . . . 361

22.4.2 Correzioni radiative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

22.5 Annichilazione elettrone–positrone in adroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

22.6 Produzione di jet adronici nell’annichilazione e+e− . . . . . . . . . . . . . . 363

22.6.1 Produzione di tre jet, e+e− → qqg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

22.7 Collisioni tra adroni: processi Drell–Yan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

22.8 Collisioni tra adroni: produzione di jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

22.8.1 Produzione di due jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

22.8.2 Produzione multipla di jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

22.8.3 Produzione inclusiva di jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

22.9 Collisioni tra adroni: produzione di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

22.10La misura di αs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

22.11Il quark–gluon plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

23 Interazione elettrodebole 381

23.1 Isospin e ipercarica debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

23.2 Angolo di Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

23.3 Misura dell’angolo di Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

23.4 Decadimenti dei bosoni W± e Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

23.5 Scoperta dei bosoni W± e Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

23.6 Proprieta dei bosoni W± e Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

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Indice

24 Il Modello Standard 395

24.1 Invarianza di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

24.2 Il campo di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

24.3 Il meccanismo di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

24.4 La simmetria del colore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

24.5 La massa dei fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

24.6 I parametri del Modello Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

24.7 La scoperta del bosone di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

25 Oscillazioni di neutrini 411

25.1 La massa dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

25.2 Oscillazioni nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

25.2.1 Esperimenti di scomparsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

25.2.2 Esperimenti di apparizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

25.3 Oscillazioni nella materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

25.4 Neutrini solari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

25.5 Neutrini da reattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

25.6 Neutrini atmosferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

25.7 Neutrini da acceleratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

25.8 I parametri delle oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

26 Universo e particelle 425

26.1 L’Universo in espansione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

26.2 La radiazione cosmica di fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

26.3 L’energia del vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

26.4 Il modello del Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

26.5 La nucleosintesi primordiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

26.6 La materia neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

IV Approfondimenti 441

27 Radiazione del corpo nero 443

28 Richiami di relativita ristretta 447

28.1 Il principio di relativita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

28.2 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

28.3 Quadrivettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

28.3.1 Trasformazione della velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

28.3.2 Il quadrivettore velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

28.3.3 Il quadrivettore quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

28.3.4 Il quadrivettore accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

28.4 Il tensore elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

28.5 L’esperimento di Michelson e Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

28.6 Il paradosso dei gemelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

28.7 La precessione di Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

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Indice

29 Cinematica relativistica 463

29.1 Trasformazioni delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

29.2 Energia di soglia di una reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

29.3 Urto elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

29.4 Energia trasferita in una collisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

29.5 Decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

30 Richiami di elettromagnetismo 469

30.1 Energia irraggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

30.1.1 Estensione relativistica della formula di Larmor . . . . . . . . . . . . 471

30.2 Il potenziale vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

31 Sviluppo in multipoli del campo elettromagnetico 473

31.1 Potenziale di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

31.2 Potenziale di dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

31.3 Potenziale di quadrupolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

31.4 Sviluppo in autofunzioni del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . 476

31.5 Momenti di multipolo del campo di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

32 Equazione di Schrodinger in una dimensione 479

32.1 Particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

32.2 Gradino di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

32.3 Barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

32.4 Buca di potenziale infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

32.5 Buca di potenziale finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

32.6 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

33 Il momento angolare 487

33.1 Rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

33.2 Autovalori del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

33.3 Rappresentazione dei generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

33.4 Somma dei momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

33.5 I coefficienti di Clebsch–Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

33.6 Matrici di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

33.7 Le armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

34 Equazione di Schrodinger in tre dimensioni 499

34.1 Potenziale centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

34.2 Particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

34.3 Sviluppo di un’onda piana in autofunzioni sferiche . . . . . . . . . . . . . . 501

34.4 Buca di potenziale infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

34.5 Buca di potenziale finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

34.6 Potenziale armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

34.7 Potenziale coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

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Indice

35 Simmetrie unitarie 511

35.1 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

35.2 SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

35.3 Stati coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

36 L’interazione elettromagnetica 517

36.1 Hamiltoniana di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

36.2 Quantizzazione del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

37 Legge di decadimento 521

38 Probabilita di transizione 523

39 Densita dello spazio delle fasi 527

40 Il modello atomico di Thomas–Fermi 531

41 Stelle di neutroni 535

42 Equazioni quantistiche relativistiche 539

42.1 Equazione di Klein–Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

42.2 Equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

42.3 Soluzioni di particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

42.4 Limite non relativistico dell’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 545

42.5 Matrici gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

42.6 Trasformazioni degli autostati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

42.7 Autostati di elicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

42.7.1 Conservazione dell’elicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

42.8 Soluzioni per massa nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

43 Il teorema CPT 553

44 La matrice CKM 555

45 Teoria delle perturbazioni 559

45.1 Il propagatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

45.2 I grafici di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

45.3 Correzioni radiative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

45.3.1 La polarizzazione del vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

45.3.2 La ”costante” di accoppiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

46 Calcolo di alcuni processi elementari 569

46.1 Spazio delle fasi invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

46.2 Processi a b→ c d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

46.2.1 Scattering e−µ+ → e−µ+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

46.2.2 Annnichilazione e−e+ → µ−µ+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

46.2.3 Scattering e−e+ → e−e+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

46.2.4 Scattering e−e− → e−e− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

46.2.5 Compton scattering γe− → γe− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

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Indice

46.2.6 Annichilazione e+e− → γγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57746.2.7 Scattering νee

− → e−νe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57846.2.8 Scattering νee

− → e−νe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57946.2.9 Scattering partone–partone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

46.3 Il decadimento del muone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

47 Il fattore giromagnetico dei leptoni 58347.1 Il fattore giromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58347.2 La misura di g–2 dell’elettrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58647.3 La misura di g–2 del muone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

48 La supersimmetria 59348.1 Le particelle supersimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59448.2 Il modello supersimmetrico minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59648.3 Fenomenologia del MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

Citazioni 603

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Volume I

Metodologie della fisica nucleare esubnucleare

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Capitolo 1

Introduzione

La fisica e lo studio dei fenomeni della natura e della loro interpretazione in base a leggi ilpiu semplici e generali possibile. Per questo si cerca di interpretare i fenomeni macroscopicicome una composizione e successione di interazioni a livello microscopico tra costituentielementari.

Ad esempio, la legge delle proporzioni chimiche di Dalton stabilı, all’inizio dell’800, chele reazioni chimiche avvengono rispettando semplici leggi di combinazione: due proporzionidi idrogeno combinate con una di ossigeno ne formano due di acqua, 2H2 +O2 → 2 H2O,che interpretato come fenomeno microscopico implica che le quantita in gioco dei singolielementi sono proporzionali ad alcune quantita elementari, cioe che la massa di una molee proporzionale alla masse di una molecola, ovvero

M(grammo molecola) = N ×M(molecola)

Un esempio tratto da fenomeni di conduzione elettrica e la legge di Faraday, dellameta dell’800, per cui in elettrolisi la formazione su un elettrodo di una mole di un ele-mento monovalente corrisponde ad una quantita fissa, F = 96500 C, di carica elettrica.Combinando questa osservazione con la precedente abbiamo per la costante di Faraday

F = 96500 C/mole = N × e

dove e e la carica elettrica elementare.Un altro esempio e la legge di Boyle. Per una mole di un gas ideale pV = RT . Sulla

base degli studi di termodinamica statistica di Maxwell, Boltzmann e Planck della secondameta dell’800, sappiamo che la costante dei gas ideali R e

R = N × k

dove k e la costante di Boltzmann.La quantita N che interviene in questi tre esempi di leggi della chimica, elettricita

e meccanica statitistica e la Costante di Avogadro [1] il cui valore venne determinatosperimentalmente con precisione solo nel ’900 studiando molti diversi fenomeni

N = 6.02 1023 mole−1

e possiamo definire la carica elettrica elementare

e = F/N = 1.60 10−19 C

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Capitolo 1. Introduzione

1.1 Il protone

Per il sistema atomico piu semplice, l’idrogeno, una mole ha la massa di 1 grammo. Lamassa dell’atomo di idrogeno e quindi mH = 1 grammo/N

mH = 1.66 10−27 kg

In queste lezioni useremo come unita di misura il sistema MKSA che e quello ufficialedell’Unione Europea. Per i sistemi microscopici e pero piu conveniente usare come unitadi misura di energia l’elettronVolt, eV = 1.60 10−19 J . Sfruttando l’equivalenza tra energiae massa espressa dalla relazione di Einstein, E = mc2, useremo come unita di massa eV/c2

(o i suoi multipli), dove c e la velocita della luce del vuoto

c = 3.00 108 m s−1

In queste unita la massa dell’atomo di idrogeno e

mHc2 = 1.66 10−27 kg × 9 1016 m2s−2 = 1.5 10−10 J =

1.5 10−10 J

1.6 10−19= 0.94 109 eV

Poiche l’atomo di idrogeno e uno stato legato protone-elettrone e la massa dell’elettrone emolto minore di quella del protone e l’energia di legame e trascurabile, questa e con buonaapprossimazione la massa del protone

mp = 938 MeV/c2

Il protone e il primo (dal greco πρωτoς) costituente elementare. E caratterizzato da caricaelettrica +e e massa mp.

1.2 L’elettrone

Alla fine dell’800 lo studio di molti fenomeni ha indicato che le sostanze contengono par-ticelle con carica elettrica negativa e che queste possono essere emesse come conseguenzadi diverse sollecitazioni elettriche o termiche o per esposizione a radiazione elettroma-gnetica. Le osservazioni erano fatte con gas molto rarefatti ed erano rese possibili dalperfezionamento delle tecniche di vuoto.

Nei suoi studi sulla formazione e propagazione di onde elettromagnetiche, HeinrichHertz osservo che le scariche elettriche inducevano il passaggio di corrente in un circuitoaperto. William Crookes osservo che in un tubo contente un gas molto rarefatto dovesi stabilisce una differenza di potenziale tra due elettrodi, si forma nei pressi del catodouna scarica a bagliore che si propaga verso l’anodo e che ha intensita che dipende dalladifferenza di potenziale e dalla pressione del gas [2].

In entrambe i casi si osservo che il fenomeno non dipendeva ne dal tipo di gas ne dalmateriale degli elettrodi. Inoltre il passaggio di corrente veniva fortemente influenzatodalla presenza di diaframmi nel tubo a vuoto o da campi magnetici. Ben presto si chiarıche questo fenomeno, chiamato emissione di raggi catodici, era dovuto all’emissione dicariche negative dal catodo e che queste non erano ioni negativi del catodo.

Nel 1897 Joseph Thomson 1 chiarı la natura di queste particelle e ne misuro il rappor-to tra carica elettrica e massa [3]. Il metodo sperimentale di Thomson e illustrato nella

1 premio Nobel per la fisica nel 1906

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1.2. L’elettrone

Fig.1.1. In un tubo a raggi catodici, per effetto di un forte campo elettrico, le particellenegative vengono emesse dal catodo C e accelerate verso l’anodo A in cui vi e un foro.Le particelle che attraversano il foro si muovono di moto rettilineo uniforme e il loro pas-saggio viene segnalato dalla fluorescenza prodotta sulla parte terminale del tubo. Questopermette di conoscere la traiettoria tra il foro e lo schermo. Lungo il percorso le parti-celle attraversano una regione in cui si puo stabilire un campo elettrico uniforme normalealla direzione di propagazione e un campo magnetico normale sia a questa che al campoelettrico. Chiamiamo x la direzione di propagazione, y la direzione del campo elettrico, zquella del campo magnetico e ` la lunghezza della zona in cui e presente il campo elettrico.

C

AE

S

T

x

y

z

l

Figura 1.1: Esperimento di J.J.Thomson

• In assenza di campo elettrico e magnetico le particelle vanno di moto rettilineo convelocita vx costante ma non nota perche vengono emessi dal catodo con velocitavariabile

vx =`

∆t

Le particelle cariche arrivano nel punto S dello schermo.

• In presenza di campo elettrico, Ey, le particelle di carica e acquistano una com-ponente della velocita vy = (eEy/m)∆t, e quindi lo spostamento dalla traiettorialineare nel tratto ` e

∆y =eEy2m

(∆t)2 =eEy2m

`2

v2x

Le particelle cariche arrivano nel punto T dello schermo.

• Per valutare la velocita vx Thomson applico un campo magnetico Bz in modo chela forza risultante, ~F = e( ~E + ~v × ~B), fosse nulla e le particelle cariche arrivasseronel punto S dello schermo

Fy = e(Ey − vxBz) = 0 vx =EyBz

• Il valore del rapporto tra la carica e la massa dell’elettrone si ottiene quindi dallamisura dello spostamento ∆y relativo ai due punti S e T sullo schermo

∆y =1

2

e

m

`2 B2z

Ey

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Thomson verifico che il valore e/m non dipende dal gas nel tubo a raggi catodici, nedal materiale del catodo. Quindi stabilı che questa e una particella elementare di caricanegativa contenuta nelle varie sostanze che venne chiamata elettrone (dal nome grecodell’ambra, ηλεκτρoν) come quantita elementare di carica negativa.

Il valore di e/m misurato da Thomson

e

m= 1.76 1011 C kg−1

era straordinariamente simile ad un’altra quantita misurata pochi mesi prima da PieterZeeman 2 studiando gli spettri di emissione degli atomi in presenza di campo magnetico.Zeeman aveva osservato che, quando si acccendeva un intenso campo magnetico, le righe diemissione di una sostanza venivano suddivise in piu righe e che la separazione in frequenzaera proporzionale all’intensita del campo [4].

Facciamo l’ipotesi che le sostanze contengano elettroni. Quando queste sono sottopostead una sollecitazione termica, o a una scarica elettrica, gli elettroni sono sollecitati adoscillare attorno alla posizione di equilibrio. Al primo ordine dello sviluppo del potenzialeche lega gli elettroni, questa sara un’oscillazione armonica con frequenza propria ω. Ilsistema si comporta come un dipolo oscillante ed emette radiazione con la stessa frequenza.Possiamo rappresentare il moto oscillatorio come la sovrapposizione di due moti circolaricon frequenza angolare +ω e −ω. In presenza di campo magnetico, alla forza di richiamo−k~r si sovrappone la forza di Lorentz e~v× ~B. L’equazione del moto nel piano x−y normalealla direzione di ~B e

mx = −kx+ eBy my = −ky − eBx

che, per un moto oscillatorio, ha soluzione

ω2 + 2ω∗ω − ω2 = 0 ω2

=k

mω∗ =

eB

2m

e, per ω∗ ω,ω = ω ± ω∗

Quindi l’oscillatore emette su due frequenze ω+ω∗ e ω−ω∗ e la differenza ∆ω = eB/me proporzionale al rapporto e/m.

Poiche il rapporto e/m misurato nell’esperimento di Thomson e nell’effetto Zeemane molto maggiore del rapporto tra carica elettrica e massa depositata sugli elettrodi nelcaso di elettrolisi di sostanze elettricamente neutre, si conclude che la massa dell’elettronee molto minore di quella degli atomi

e

me e

ma⇒ me ma

1.2.1 La carica dell’elettrone

La prima misura sufficientemente precisa della carica elementare fu fatta nel 1909 da Ro-bert Millikan 3 raffinando un metodo utilizzato da Thomson per studiare il comportamentodi gocce elettricamente cariche formate nel vapore di acqua. Millikan osservava col mi-croscopio il moto di gocce di olio che si caricavano elettricamente per attrito con l’aria [5](Fig.1.2).

2 premio Nobel per la fisica nel 19023 premio Nobel per la fisica nel 1923

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1.3. Il fotone

g

E

q

Figura 1.2: Esperimento di Millikan

• In assenza di campo elettrico le gocce si muovono di moto uniforme per effetto dellagravita. Assumendo che siano sferette di raggio r e densita ρ e che η sia il coefficientedi viscosita, il moto avviene con velocita costante v0

F =4πr3

3ρg − 6πηrv0 = 0

Misurando la velocita di caduta si ottiene il raggio r

r = 3η12

(v0

2ρg

) 12

• Se durante la caduta si accende un campo elettrico diretto lungo la verticale, lavelocita di caduta di una goccia con carica elettrica q cambia

F =4πr3

3ρg − 6πηrv1 − qE = 0

• Da queste relazioni si ottiene

qE = 6πηr(v1 − v0) = 18πη32

(v0

2ρg

) 12

(v1 − v0)

Millikan osservo che tutte le cariche misurate erano multipli interi di una carica elementare“e” e ottenne per “e” un valore entro l’1% uguale a quello noto oggi.

Dalle misure di Thomson e di Millikan conosciamo quindi la massa dell’elettrone

me = 0.511 MeV/c2 me

mp=

1

1836

1.3 Il fotone

Alla fine dell’800 l’interpretazione di due fenomeni, l’emissione di radiazione del corpo neroe l’effetto fotoelettrico, richiesero una profonda revisione delle leggi dell’elettromagnetismoe della meccanica.

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1.3.1 Spettro del corpo nero

Lo spettro di emissione del corpo nero e trattato nell’appendice 27. Consideriamo unacavita mantenuta a temperatura T in cui e praticato un piccolo foro, per questo sistemasi ha:

• l’energia irraggiata per unita di superficie e per unita di frequenza, il potere emissivospecifico, e proporzionale alla densita di energia per unita di frequenza nella cavita

e(ν, T ) =c

4u(ν, T )

• la radiazione all’interno e in equilibrio con le pareti della cavita;

• la densita di energia per unita di frequenza e espressa dalla legge di Wien 4

u(ν, T ) = ν3 F (ν/T )

dove F (ν/T ) e una funzione universale che dipende solo dal rapporto tra frequenzae temperatura [6].

La forma della funzione u(ν, T ) e stata derivata sulla base della meccanica statisticaclassica con le ipotesi seguenti

• nella cavita, all’equilibrio termico, le onde elettromagnetiche stazionarie hanno vet-tore d’onda kiì = 2πn con n intero (i = 1, 2, 3; ì sono le dimensioni della cavita;|~k| = 2πν/c);

• per ciascuna proiezione il numero di modi di vibrazione per unita di frequenza edni = (ì/c) dν

• tenendo conto che ci sono due stati di polarizzazione della radiazione, il numero dimodi di vibrazione per unita di volume e

dn = 24πν2

c3dν

• per il principio di equipartizione dell’energia ciascun modo di vibrazione contribuiscecon due gradi di liberta e quindi con un valore medio di energia 〈E〉 = kT

Ne deriva che la densita di energia specifica e

u(ν, T ) =8πν2

c3kT (1.1)

Questa forma della densita di energia specifica del corpo nero, nota come formula diRayleigh 5–Jeans, non rappresenta i risultati sperimentali a frequenze elevate e diverge adalta frequenza: la densita di energia, U(T ) =

∫u(ν, T )dν, e infinita. Questo effetto e stato

chiamato catastrofe ultravioletta.Nel tentativo di impostare una forma della densita di energia specifica del corpo ne-

ro che riproducesse i risultati sperimentali e seguisse le leggi della termodinamica, MaxPlanck 6 fu guidato dalle osservazioni di Hertz sulla emissione e assorbimento di radiazioneelettromagnetica da parte di dipoli oscillanti [7]. Le ipotesi di Planck sono

4 Wilhelm Wien, premio Nobel per la fisica nel 19115 John Strutt: Lord Rayleigh, premio Nobel per la fisica nel 19046 Max Planck, premio Nobel per la fisica nel 1918

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1.3. Il fotone

• le pareti della cavita in equilibrio termico con la radiazione sono rappresentate comeun insieme di oscillatori armonici lineari con frequenze pari a quelle della radiazioneelettromagnetica;

• in funzione delle variabili coniugate p e x l’energia meccanica di ciascun ocillatoredi massa m e

E =p2

2m+mω2x2

2

• secondo le leggi della meccanica statistica il numero di oscillatori nell’intervallo dpdxin equilibrio a temperatura T e

d2n = Ce−E/kTdpdx C = costante

• se gli oscillatori sono indipendenti, di modo che si conserva l’energia di ciascuno, larelazione E = costante definisce un ellisse nel piano p− x di area

A =

∫dpdx = πpmaxxmax = π(2mE)

12 (2E/mω2)

12 =

E

ν

• se si suddivide il piano p − x in anelli concentrici della stessa area h (Fig.1.3),il j-esimo anello contiene Nj = De−jhν/kT oscillatori di energia Ej = jhν, (j =0, 1, 2, . . .; D = costante);

• l’energia media per oscillatore, 〈E〉 =∑j EjNj/

∑j Nj , e uguale all’energia media

per modo di vibrazione della radiazione in equilibrio termico nella cavita.

x

p

h

Figura 1.3: Quantizzazione dell’oscillatore armonico

Ponendo z = hν/kT si ha

∞∑0

jhνe−jz = hν e−z(1 + 2e−z + 3e−2z + . . .) = hν e−z(1− e−z)−2

∞∑0

e−jz = (1 + e−z + e−2z + . . .) = (1− e−z)−1

〈E〉 =hν e−hν/kT

1− e−hν/kT=

hν

ehν/kT − 1

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La formula di Planck per la densita di energia specifica e

u(ν, T ) =8π

c3

hν3

ehν/kT − 1(1.2)

La forma della funzione soddisfa la legge di Wien. Inoltre la formula ottenuta daPlanck riproduceva bene i dati sperimentali: dal confronto con questi ottenne il valoredella costante di Planck, h = 6.55 10−34 J s, che e in buon accordo con il valore noto oggi

h = 6.626076± 0.000004 10−34 J s

Nel limite in cui la costante di Planck e piccola, h → 0, si ottiene la formula classica diRayleigh–Jeans

limh→0

hν

ehν/kT − 1=

hν

1 + hν/kT + . . .− 1= kT

Il risultato presentato da Planck nel 1900 era assolutamente sorprendente: gli oscillatoriarmonici in equilibrio termico con la radiazione elettromagnetica scambiano energia solosotto forma di multipli interi di un quanto di energia pari a hν. Ne risulta che l’energia diun oscillatore armonico lineare non puo variare in modo continuo, ma puo solo avere valoriquantizzati multipli della frequenza propria ν moltiplicata per la costante di Planck. Levariazioni discrete di energia tra due stati corrispondono all’emissione o all’assorbimentodi quanti di radiazione elettromagnetica di energia hν che sono chiamati fotoni.

1.3.2 Effetto fotoelettrico

L’emissione di cariche elettriche negative da materiali esposti a radiazione ultravioletta fuosservata da Hertz nel 1887. Ulteriori misure chiarirono che in un sistema costituito dadue elettrodi con differenza di potenziale ∆V

• l’esposizione alla luce di un elettrodo induce il passaggio di corrente;

• questo avviene solo per una polarita, quando l’elettrodo esposto ha carica negativa;

• le cariche raccolte all’anodo non sono ioni negativi del catodo.

A seguito della scoperta dell’elettrone ci si convinse che il passaggio di corrente era dovutoall’estrazione di elettroni provocata dall’interazione della luce sul catodo.

Una serie di misure piu raffinate fu eseguita da Philipp von Lenard 7 nel 1900 utiliz-zando un tubo a raggi catodici [8]. L’elettrodo C e esposto a radiazione elettromagneticae le cariche emesse possono essere accelerate dal potenziale variabile VC tra C e l’elettrodoA. Nella zona a valle di A sono opportunamente posizionati alcuni elettrodi raccoglitoridi carica, R, e in questa zona si puo produrre un campo magnetico ~B normale alla lineadi volo e quindi si puo misurare l’impulso delle particelle. Con questo strumento (Fig.1.4)Lenard misuro il rapporto tra carica elettrica e massa dei portatori di carica negativa e lotrovo in accordo con il valore misurato da Thomson: sono elettroni. Inoltre osservo che

• si ha passaggio di corrente solo per tensioni VC minori di 1÷ 2 V ;

• per intensita di luce costante, la corrente aumenta da questo valore fino a VC ' 0 esi mantiene costante per valori negativi;


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1.3. Il fotone

C

A

R

R

h n

magnet -2-4-6-8 +20 +4

i

V

Figura 1.4: Esperimento di Lenard sull’effetto fotoelettrico

• l’intensita di corrente dipende dall’intensita della luce, ma non dipende dalla fre-quenza;

• l’energia cinetica degli elettroni emessi dal catodo non dipende dalla intensita dellaluce, ma solo dalla frequenza;

• la relazione tra energia cinetica e frequenza e

Ec = h(ν − νo)

Questi risultati vennero raffinati da misure piu precise effettuate alcuni anni dopo daRichardson e Compton, e da Millikan. Ma gia nel 1905 Albert Einstein 8 diede unaspiegazione semplice dell’effetto fotoelettrico basata sui quanti di radiazione di Planckconsiderando il fotone non come un modo di vibrazione del campo elettromagnetico, macome una particella [9]

• la radiazione elettromagnetica di frequenza ν e formata da fotoni di energia E = hν;

• nell’interazione i fotoni cedono tutta l’energia agli elettroni legati nei materiali;

• parte dell’energia, eVo, e spesa per il lavoro di estrazione degli elettroni dal materiale;

• il resto e ceduta come energia cinetica agli elettroni liberi;

• la conservazione dell’energia e hν = eVo + Ec.

Pochi anni dopo Millikan misuro il coefficiente h della legge dell’effetto fotoelettrico [10],h = 6.56 10−34 J s, in ottimo accordo con la determinazione fatta da Planck.

1.3.3 I raggi X

Lavorando con un tubo a raggi catodici, nel 1895 Wilhelm Rongten 9 fece un’importantescoperta: le pareti del tubo investite dai raggi catodici producevano una radiazione moltopenetrante di natura allora sconosciuta che, per questo, chiamo raggi X [11]. Osservoinoltre che i raggi X non venivano deflessi da campi magnetici, ne rifratti da lenti, cheproducevano ionizzazione e che l’intensita dipendeva dalla densita del materiale postosul cammino dei raggi catodici. L’osservazione piu interessante e che se frapponeva un


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ostacolo, ad esempio una mano 10, tra la sorgente di raggi X e uno schermo fluorescente,si produceva sullo schermo la radiografia dell’ostacolo.

A seguito di molti altri esperimenti si chiarı la natura del fenomeno: gli elettroniattraversando un materiale vengono decelerati dalle interazioni con i nuclei atomici eproducono radiazione per frenamento, brems-strahlung (capitolo 4). La radiazione ha unospettro di frequenza continuo e il valore massimo e proporzionale all’energia cinetica deglielettroni, hνmax = Ke.

Nei primi anni del ’900 non era chiaro se i raggi X fossero di natura cospuscolare oondulatoria. Comunque era noto che avevano energia (lunghezza d’onda) molto maggiore(minore) della luce visibile e che, se erano onde, la lunghezza d’onda era confrontabile conle distanze interatomiche nella materia condensata.

Nel 1912 Max von Laue 11, sostenitore dell’interpretazione ondulatoria, dimostro lapossibilita di osservare l’interferenza di raggi X diffusi da materiali [12]. Ulteriori confermesperimentali furono ottenute da William e Lawrence Bragg 12 che osservarono lo scatteringcoerente di raggi X da cristalli. In un solido cristallino gli atomi occupano posizioni adintervalli regolari che formano un reticolo di centri di scattering allineati [13]. La radiazioneviene diffusa dagli atomi in tutte le direzioni ma si ha interferenza costruttiva solo nelledirezioni che soddisfano la condizione di Bragg come illustrato in Fig.1.5

θ′ = θ nλ = 2d sin θ

dove θ e l’angolo tra la direzione dei raggi X e il piano del reticolo, d e la distanza tra ipiani e λ e la lunghezza d’onda: la differenza del cammino ottico deve essere pari a duevolte un numero intero n di lunghezze d’onda.

q'

q

qq'

d

d sinq

θ

θ

θ’

θ’

dsinθ

Figura 1.5: Diffrazione di raggi X da un reticolo cristallino

I raggi X di bremsstrahlung hanno uno spettro di frequenza continuo. Nel 1914 CharlesBarkla 13 osservo un altro tipo di raggi X che chiamo characteristic X radiation [14]. Seun elemento e esposto a raggi X di frequenza ν, oltre allo scattering dei raggi X della stessafrequenza si osserva anche l’emissione di raggi X di frequenza νc < ν con valori discreticaratteristici del particolare elemento. Charles Barkla e Manne Siegbahn 14 misuraronoqueste frequenze caratteristiche e osservarono che sono raggruppate in bande, chiamate

10 E famosa la radiografia della mano della signora Anna Rongten.11 premio Nobel per la fisica nel 191412 premi Nobel per la fisica nel 191513 premio Nobel per la fisica nel 191714 premio Nobel per la fisica nel 1924

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1.4. Il modello atomico di Bohr

K,L,M, . . . con frequenze νK > νL > νM . . .. Studiando l’emissione dei raggi X dellabanda K di vari elementi, Henry Moseley osservo che la frequenza e una funzione linearedel numero atomico Z, che rappresenta la carica elettrica del nucleo atomico. Questopermise di riordinare e completare la tabella periodica degli elementi di Mendeleev.

1.3.4 L’effetto Compton

Studiando lo scattering di raggi X a diversi angoli, nel 1922 Arthur Compton 15 osservooltre alla fluorescenza, cioe emissione di radiazione della stessa lunghezza d’onda λ, l’e-missione di raggi X di lunghezza d’onda maggiore [15], λ′, e che la differenza dipendevasolo dall’angolo

λ′ − λ = λe(1− cos θ) (1.3)

osservo inoltre che λe e una costante indipendente dalla particolare sostanza investitadai raggi X e che, diminuendo la lunghezza d’onda λ l’intensita della radiazione diffusaaumenta rispetto a quella di fluorescenza (Fig.1.6).

llll llll'llll llll'λ λ’ λ λ’

Figura 1.6: Spettro dell’effetto Compton, lo spettro a destra si riferisce a raggi X dilunghezza d’onda minore (energia maggiore)

Al tempo della scoperta di Compton era ancora vivo il dibattito tra sostenitori del-l’interpretazione corpuscolare o ondulatoria dei raggi X anche se le evidenze sperimentalisulla interferenza, diffrazione e polarizzazione dei raggi X erano chiaramente a favore del-la seconda. Ma Compton dimostro che questo fenomeno si poteva spiegare solo con laprima come un urto elastico tra raggi X di energia E = hν = hc/λ e quantita di motop = hν/c = h/λ e un elettrone atomico. Se l’energia dei raggi X e molto maggiore del-l’energia di legame atomica, applicando le leggi della meccanica relativistica si ottiene lalegge di scattering Compton e il valore della costante λe in accordo con i risultati dellemisure. λe = h/mec = 2.4 10−12 m e una costante universale detta lunghezza d’ondaCompton dell’elettrone.

1.4 Il modello atomico di Bohr

I materiali a temperatura T irraggiano energia termica con uno spettro continuo. Invece sie osservato che la maggior parte degli elementi sotto forma di gas una volta eccitati emet-tono radiazione sotto forma di righe discrete. Inoltre, a partire dalla scoperta di Johann


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Balmer del 1885 sulla regolarita delle righe di emissione dell’idrogeno nel visibile [16], sie accumulata una enorme quantita di informazioni che dimostrano che le frequenze dellerighe spettrali degli elementi implicano l’esistenza di una struttura atomica semplice.

Queste evidenze intrigarono a lungo i fisici e un passo importante fu fatto nel 1911 daErnest Rutherford che dimostro sperimentalmente che un sistema atomico e costituito dauno stato legato di un nucleo di carica positiva circondato da una distribuzione di caricanegativa, gli elettroni [23], e che inoltre le dimensioni spaziali del nucleo sono molto piupiccole dell’estensione della distribuzione di carica negativa, cioe che il campo elettrico delnucleo si puo trattare con buona approssimazione come il campo coulombiano generatoda una carica puntiforme.

Sulla base di questa evidenza e nell’intento di spiegare le regolarita degli spettri de-gli elementi, Niels Bohr 16 nel 1913 propose un modello atomico che introdusse profondeinnovazioni nel modo di interpretare la struttura atomica [17]. Trattiamo in modo sempli-ficato il modello dell’atomo di idrogeno per introdurre alcune quantita e grandezze fisicheimportanti per il seguito. Le ipotesi di base sono

• l’atomo di idrogeno e costituito da un protone e un elettrone puntiformi legati dalpotenziale coulombiano;

• la massa del protone e molto maggiore di quella dell’elettrone per cui il baricentrodel sistema e essenzialmente il protone;

• l’atomo e in uno stato stazionario, cioe, contrariamente a quanto avverrebbe per unsistema planetario in meccanica classica, le cariche in moto accelerato non irraggianoenergia;

• quindi l’energia meccanica e conservata.

Consideriamo la massa ridotta del sistema m = (memp)/(me +mp) ' me. La traiettoriadell’elettrone (la particella leggera) e un ellisse. Semplifichiamo il problema consideran-do una circonferenza di raggio r percorsa con velocita angolare ~ω costante. La forzacoulombiana e il prodotto massa × accelerazione centripeta

F =e2

4πε0r2= mω2r

La conservazione di energia e momento angolare ammette un continuo di soluzioni

E =1

2mω2r2 − e2

4πε0r= −1

2

e2

4πε0r= costante

L = mωr2 = costante

Per ottenere soluzioni discrete, seguendo la via di Planck di quantizzazione del momentolineare dell’oscillatore armonico, Bohr introdusse la quantizzazione del momento angolare∮

Ldφ = n h ⇒ L = n h/2π = n h


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1.4. Il modello atomico di Bohr

(n = 1, 2, . . .) da cui si ottengono i valori dell’energia e del raggio degli stati stazionari

En = −m(e2/4πε0)2

2n2h2 rn =n2h2

me2/4πε0

Gli spettri di righe osservati corrispondono alle transizioni tra stati stazionari con emissione(o assorbimento) di radiazione di frequenza hνmn = Em−En. Introduciamo due quantitacostanti che ci saranno utili nel seguito (ε0 = 8.85 10−12 F/m, hc = 1.97 10−7 eV m)

costante di struttura fine α =e2

4πε0 hc=

1

137

raggio classico dell′elettrone re =e2

4πε0 mec2= 2.82 10−15 m

• La costante di struttura fine e il parametro adimensionale che compare nello sviluppoin serie quando si risolvono i problemi di elettromagnetismo con il metodo delleperturbazioni. Quindi α 1 garantisce che i calcoli approssimati sono di solitopiuttosto precisi.

• Il raggio classico dell’elettrone e quello di una sfera carica che ha energia elettro-statica pari alla massa dell’elettrone, mec

2. In effetti sappiamo che questo non eil raggio dell’elettrone perche nessun esperimento ha rivelato che l’elettrone abbiadimensioni finite ad un livello di sensibilita molto piu piccolo di re.

Usando queste grandezze si ha

En = − 1

2n2α2mec

2 rn = n2 reα2

(1.4)

Dalla prima relazione si osserva che la velocita dell’elettrone e v = αc/n c: questogiustifica l’uso della meccanica non relativistica.

Per l’atomo di idrogeno nello stato fondamentale, quello col minimo valore del momentoangolare (n = 1 nel modello di Bohr), si ha

raggio atomico di Bohr a = 0.53 10−10 m

energia di Rydberg R = 13.6 eV

in ottimo accordo con il valore sperimentale dell’energia di ionizzazione dell’atomo diidrogeno.

Le regole di quantizzazione di Bohr spiegano le regolarita osservate negli spettri diemissione degli atomi. Una importante verifica sperimentale fu fatta nel 1914 da JamesFranck e Gustav Hertz 17 [18]; l’esperimento e illustrato in Fig.1.7. Elettroni emessi daun filamento alla tensione del catodo sono accelerati verso la griglia dalla differenza dipotenziale ∆V = VG − VC e raccolti all’anodo. L’energia cinetica degli elettroni vienevariata cambiando ∆V e la differenza di potenziale VG − VA e mantenuta costante. Neltubo vi sono vapori di mercurio ed era noto che il mercurio ha una intensa riga di emissioneλ = 2.53 10−7 m. L’andamento della corrente anodica e mostrato in Fig.1.7: all’inizio

17 premi Nobel per la fisica nel 1925

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aumenta con ∆V perche aumenta il numero di elettroni raccolti, ma poi inizia a diminuireper ∆V ' 4.9 V , aumenta di nuovo fino a ∆V ' 2× 4.9 V , poi diminuisce e cosı via.

Questo vuol dire che gli atomi di mercurio sono trasparenti per elettroni di energiacinetica < 4.9 eV , mentre gli elettroni che raggiungono questo valore perdono energiain collisioni anelastiche con gli atomi e non contribuiscono alla corrente anodica. Se∆V > 4.9 V vengono accelerati di nuovo dopo una prima collisione e la corrente torna adaumentare, ma possono di nuovo cedere l’energia acquistata quando raggiungono 4.9 eV ,e cosı via. Franck e Hertz osservarono che quando ∆V e maggiore di 4.9 V , il tubo iniziaad emettere radiazione di lunghezza d’onda λ = hc

4.9 eV = 2.53 10−7 m e intensita cheaumenta con la differenza di potenziale. Infatti ora il tubo e pieno di atomi di mercurioeccitati che si diseccitano tornando allo stato iniziale.

5 10 15

DV (Volt)

IA

4.9 Volt

Hg

VG

VC VA

A

Figura 1.7: Esperimento di Franck e Hertz

1.4.1 Il magnetone di Bohr

L’atomo di idrogeno ha un momento magnetico prodotto dal moto dell’elettrone attornoal baricentro. Consideriamo l’orbita come una spira di raggio r percorsa dalla correntei = e/T = eω/2π. Il momento magnetico e pari al prodotto della corrente per la superficiedella spira (legge di Ampere) e ha direzione opposta (e < 0) al momento angolare ~L

~µ = πr2 e~ω

2π=e~L

2m

Nello stato fondamentale in cui L = h il momento magnetico e pari ad un

magnetone di Bohr µB =eh

2m= 5.8 10−5 eV/T (1.5)

1.5 Onde o particelle ?

Nelle interazioni con la materia, i raggi X si comportano sia come onde che danno luogo afenomeni di interferenza, sia come particelle che fanno urti elastici. D’altra parte, Einsteinaveva dimostrato che le leggi dell’elettromagnetismo e quelle della meccanica sono soggetteallo stesso principio di relativita e che energia, quantita di moto e massa sono legate dallarelazione E2 = (pc)2+(mc2)2. Per la radiazione di lunghezza d’onda λ questa e soddisfatta:E = hc/λ, p = h/λ, m = 0.

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1.5. Onde o particelle ?

Nel 1922 Louis de Broglie 18 suggerı che anche ad una particella con massa, ad esempiol’elettrone, potesse essere associata una lunghezza d’onda λ = h/p detta lunghezza d’ondadi de Broglie. Questa nuova idea ha importanti conseguenze perche comporta che unaparticella, come un’onda, non occupa una posizione ben definita nello spazio. Ad esempio,secondo il modello atomico di Bohr la relazione tra quantita di moto dell’elettrone e lasua distanza dal nucleo e L = pr = nh. Per l’atomo di idrogeno risulta che la lunghezzad’onda di de Broglie dell’elettrone nello stato di energia piu bassa, n = 1, e pari allacirconferenza dell’orbita di Bohr λ = h

p = 2πa. In altre parole, il valore della quantita dimoto, p = meαc, definisce la dimensione dell’atomo.

Se l’ipotesi di de Broglie e corretta, si devono poter osservare fenomeni di interferenzacon fasci di elettroni come nel caso dei raggi X. La verifica fu fatta nel 1927 con dueesperimenti. Il principio dell’esperimento di Clinton Davisson 19 e Lester Germer [19]e illustrato in Fig.1.8. Un filamento emette elettroni che vengono accelerati con unadifferenza di potenziale ∆V e inviati su un cristallo i cui piani di simmetria possono essereorientati rispetto alla direzione del fascio, e veniva misurato il flusso di elettroni emessiad un angolo θ rispetto ai piani del cristallo. La quantita di moto e p = (2mee∆V )

12 e la

lunghezza d’onda corrispondente e λ = λe(mec2

2e∆V )12

Figura 1.8: Esperimento di Davisson e Germer

• se si tiene fisso l’angolo di ossservazione θ e si varia ∆V , cioe si varia la lunghezzad’onda di de Broglie, si osserva che l’intensita degli elettroni ha massimi e minimiregolari: gli elettroni sono emessi secondo la legge di Bragg e i massimi corrispondonoa n = 2d sin θ

λ ;

• se poi si fissano i valori dell’angolo che producono i massimi di intensita e si deter-mina λ usando la legge di Bragg, λ = 2d sin θ

n , si osserva una relazione lineare tra la

lunghezza d’onda e (∆V )−12 .

L’altro esperimento fu fatto da George Thomson 20 e Alexander Reid inviando unfascio di elettroni su un cristallo i cui piani di simmetria possono essere orientati rispettoalla direzione del fascio e osservando l’intensita degli elettroni su una lastra fotograficaposta dietro il cristallo [20]. Le immagini che ottennero sono quelle tipiche del fenomenodi diffrazione in ottica (Fig.1.9).

18 premio Nobel per la fisica nel 192919 premio Nobel per la fisica nel 193720 premio Nobel per la fisica nel 1937

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e

crystal

photographic plate

Figura 1.9: Esperimento di Thomson e Reid

I fenomeni brevemente trattati, dalla radiazione di corpo nero al modello atomico diBohr alla dualita onda-particella, sono alla base della teoria della meccanica quantisticasviluppata da Werner Heisenberg 21, Erwin Schrodinger e Paul Dirac 22, Max Born 23

nella seconda meta degli anni ’20.

1.6 Lo spin dell’elettrone

Gli stati stazionari dell’atomo di idrogeno si ottengono risolvendo l’equazione di Schrodin-ger del moto dell’elettrone nel campo coulombiano del protone. Le soluzioni sono ricavatenell’appendice 34. Le autofunzioni sono fattorizzate in una funzione radiale Rnl(r) e unaangolare Ylm(θ, φ). Gli autostati dipendono da tre numeri quantici interi, |n, l,m〉: n e ilnumero quantico principale (n = 1, 2, . . .); l e l’autovalore del momento angolare orbitale~L in unita h (l = 0, . . . , n−1); m e l’autovalore della sua proiezione lungo un asse. Questapuo avere 2l + 1 valori, m = −l,−l + 1, . . . ,+l.

Le regole di quantizzazione del momento angolare sono trattate nell’appendice 33. Ingenerale l’operatore momento angolare ~J e caratterizzato dall’avere proiezioni con auto-valori hj con 2j+ 1 = intero positivo, quindi j puo essere un numero intero o semi-intero.Nel caso del momento angolare orbitale ~L gli autovalori sono interi.

Gli atomi emettono (o assorbono) radiazione elettromagnetica di frequenza νij passan-do da uno stato |ni, li,mi〉 ad un altro |nj , lj ,mj〉

hνij = |Ei − Ej |

Poiche gli autostati di energia sono discreti, gli spettri atomici sono costituiti da righe.L’intensita delle righe dipende dalla probabilita di transizione tra i due stati. Nel casodi sistemi atomici, in generale sono piu probabili le transizioni di dipolo elettrico in cuil’intensita e proporzionale alla quarta potenza della frequenza (appendice 31). In questetransizioni cambia la parita dello stato che e caratterizzata dall’autovalore, pari o dispari,del momento angolare orbitale e quindi l cambia di una unita, ∆l = ±1.

L’intensita diminuisce passando dall’ultravioletto al visibile all’infrarosso. Le serie dirighe osservate nell’emissione degli elementi alcalini sono state chiamate Sharp, Principal,

21 premio Nobel per la fisica nel 193222 premi Nobel per la fisica nel 193323 premio Nobel per la fisica nel 1954

32

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1.6. Lo spin dell’elettrone

Diffuse, Fundamental, caratterizzate da frequenze (e intensita) via via piu piccole. Inspettroscopia si usa una notazione di origine storica che associa lo stato di momentoangolare alle iniziali delle serie di righe

l = 0 1 2 3 4 5 . . .S P D F G H . . .

Ad esempio la serie Principal e costituita da transizioni P → S e la serie Diffuse daD → P . Studiando le righe di emissione si e pero osservato che queste non sono righesingole ma hanno una struttura fine, nel primo caso sono righe doppie e nel secondo casosono righe triple. Questo fenomeno si spiega assumendo che gli stati con l 6= 0 sianosdoppiati.

La chiave per interpretare questo fenomeno e stata fornita da Samuel Goudsmit eGeorge Uhlenbeck nel 1925 [21] con una proposta bizzarra:

• se l’elettrone non fosse puntiforme si comporterebbe come una trottola (spin) conun momento angolare intrinseco ~S;

• questo avrebbe autovalore sh e 2s+ 1 possibili proiezioni;

• per s = 1/2 l’elettrone potrebbe stare in due stati con proiezioni s = ±1/2.

Nonostante partissero dal presupposto errato che l’elettrone non sia puntiforme, questeipotesi si rivelarono corrette e in grado di spiegare la struttura fine e una serie di altrifenomeni osservati.

Assumiamo quindi che l’elettrone abbia un momento angolare di spin S = h/2 e unmomento magnetico associato

~µ = ge

2m~S

dove g e chiamato fattore giromagnetico. Lo stato del sistema e ora caratterizzato dalmomento angolare totale ~J = ~L + ~S che ha autovalori j = l ± 1/2 e molteplicita 2j + 1.Nella notazione spettroscopica questi stati sono rappresentati dal simbolo Xj dove X =S, P,D, F, . . . indica il momento angolare orbitale. Ad esempio, uno stato con l = 0 hasolo j = 1/2 (S1/2), uno stato con l = 1 si divide in due stati con j = 1/2 (P1/2) e j = 3/2(P3/2), uno stato con l = 2 si divide in due stati con j = 3/2 (D3/2) e j = 5/2 (D5/2).

Gli stati con valori di j diversi hanno energie diverse. Questo e dovuto all’energia diinterazione, E = −~µ · ~B, tra il momento magnetico di spin dell’elettrone e il campo ma-gnetico prodotto dal moto orbitale. Il moto relativo tra elettrone e nucleo e rappresentatodal momento angolare ~L cui e associata una corrente i = eω/2π = eL/2πmr2

~B =µ0i

2rn =

µ0

4π

e~L

mr3=

e

4πε0

~L

mc2r3

L’energia di interazione e

Els = −~µ · ~B =g

2

e2

4πε0

~L · ~Sm2c2r3

=g

2α

(hc)3

(mc2)2

~l · ~sr3

in questa formula compare un fattore 12 dovuto al moto di precessione dello spin

lungo l’orbita, la precessione di Thomas (appendice 28.7);

33

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• l’interazione responsabile della struttura fine dipende dal prodotto scalare ~l · ~s ed echiamata interazione spin–orbita;

• dipende da α = e2/4πε0hc, chiamata per questo costante di struttura fine.

Le transizioni P → S sono divise in due righe P3/2 → S1/2, P1/2 → S1/2, e le transizioniD → P sono divise in tre righe D5/2 → P3/2, D3/2 → P3/2, D3/2 → P1/2 (D5/2 → P1/2 nonavviene perche nelle transizioni di dipolo non puo essere ∆j ≥ 2). Dal confronto tra i valoricalcolati per Els e i valori sperimentali si ottiene il fattore giromagnetico dell’elettrone:g = 2. Quindi l’elettrone ha un momento magnetico intrinseco pari a un magnetone diBohr.

Un’altra evidenza sperimentale che gli stati degli atomi siano la sovrapposizione didue possibili orientazioni del momento magnetico associato allo spin era stata ottenutaalcuni anni prima dell’ipotesi di Goudsmit e Uhlenbeck, nel 1922 da Otto Stern 24 e daWalter Gerlach [22] con l’esperimento mostrato in Fig.1.10. Un fascio di atomi di Argentoe diretto lungo l’asse x e attraversa la regioni tra i poli di un magnete che ha il campomagnetico diretto lungo l’asse z e che ha un forte gradiente di campo ∂B

∂z . Gli atomi diargento sono raccolti su una lastra di vetro e la posizione del fascio viene misurata conmetodi fotografici. L’atomo di argento nello stato fondamentale ha momento angolareorbitale nullo. Se l’elettrone ha spin 1/2, lo stato e 2S1/2 e il momento magnetico atomicoha due possibili orientazioni lungo l’asse z. L’energia di interazione dell’atomo con ilcampo magnetico e E = −~µ · ~B e la forza ~F = −~∇E e diretta lungo l’asse z. Quindi,nell’attraversare il magnete gli atomi sono soggetti ad una forza Fz = ±µ∂B∂z che dipendedall’orientazione dello spin lungo l’asse z e il fascio si divide in due ciascuno con intensitapari a meta di quella del fascio originario.

S

Ag beam

glass plate

magnet

dBdz

x

z

y

Figura 1.10: Esperimento di Stern e Gerlach

Lo spin dell’elettrone ha un ruolo fondamentale nella struttura degli atomi ed e neces-sario per spiegare la tavola periodica degli elementi. E stato introdotto con un’ipotesi adhoc per spiegare i fenomeni osservati, ma la sua origine non trova spiegazione nell’ambitodella meccanica quantistica non relativistica. Inoltre il valore g = 2 per il fattore giroma-gnetico dell’elettrone viene dedotto a posteriori per riprodurre i dati sperimentali. Pochianni dopo l’introduzione dello spin dell’elettrone, nel 1928 Paul Dirac sviluppo una teoriaquantistica relativistica (appendice 42) che prevede l’esistenza dello spin dell’elettrone e ilvalore corretto per il suo momento magnetico.


34

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Capitolo 2

Sezione d’urto

2.1 La sezione d’urto

Consideriamo un esperimento in cui un fascio di Ni particelle incide su un bersaglio costi-tuito da Nb particelle e sia ~v la velocita relativa tra le particelle del fascio e del bersaglio.Il flusso di particelle incidenti, il numero di particelle che attraversano l’unita di superficienell’unita di tempo, e

Φ =Ni

∆S ∆t=

Ni ∆x

∆S ∆x ∆t=Ni v

V= ni v

Il numero di particelle bersaglio per unita di superficie investite dal fascio e

Nb

∆S=Nb ∆x

V= nb ∆x

ni e nb sono il numero di particelle del fascio e del bersaglio per unita di volume. Il flussoincidente viene attenuato dall’interazione col bersaglio e l’attenuazione e proporzionale alflusso incidente, alla densita di particelle, nb, e allo spessore del bersaglio, ∆x,

∆Φ = −Φ σnb ∆x

di modo che la frazione di flusso rimosso dal fascio per l’interazione con il bersaglio e parial numero di particelle bersaglio contenute in un volume σ∆x (Fig.2.1)

−∆Φ

Φ= nb σ ∆x

σ e la sezione d’urto del processo che si sta analizzando e ha le dimensioni di una superficie[cm2]. Nell’attraversare il bersaglio il flusso incidente e attenuato secondo la legge

Φ(x) = Φ0e−nbσx (2.1)

Per un processo di sezione d’urto σ e un bersaglio di densita nb, si definiscono

coefficiente di assorbimento µ = nbσ [cm−1]

lunghezza di attenuazione λ =1

µ=

1

nbσ[cm]

Il numero di atomi (o nuclei) per unita di volume in un materiale di peso atomico A edensita ρ e (N costante di Avogadro)

atomi

volume=

atomi

grammo atomo

grammi atomo

grammo

grammi

volume=Nρ

A[cm−3]

35

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Capitolo 2. Sezione d’urto

xN i N b

v

Wd

q

F s

Dx

s Dx

Figura 2.1: Sezione d’urto

2.2 Sezione d’urto differenziale

Parte del flusso delle particelle incidenti viene deflesso dalle particelle bersaglio. Supponia-mo che vengano rivelate le particelle deflesse in un angolo solido dΩ definito dagli angolipolare θ e azimutale φ, dΩ = d cos θdφ. Il numero di particelle che sono deflesse nell’unitadi tempo nell’angolo solido dΩ e proporzionale al flusso, al numero di particelle bersaglioe all’elemento di superficie efficace dσ

dNf = Nf dΩ = Φ Nb dσ

La sezione d’urto differenziale

dσ

dΩ=

Nf

ΦNb[cm2 sterad−1]

e misurata dal rapporto tra il numero di particelle osservate nell’unita di tempo nello statofinale f e la luminosita

L = ΦNb [cm−2 s−1]

La sezione d’urto del processo che fa passare dallo stato iniziale i allo stato finale f sipuo calcolare dalla probabilita di transizione nell’unita di tempo Pi→f per ogni particellabersaglio (Nb = 1)

dσ

dΩ=Nf

Ni

V

v= Pi→f

V

vΦ(x) = Φ0e

−nbσx (2.2)

Lo stato finale f puo essere in generale caratterizzato da diverse variabili della particellaosservata. Se, ad esempio, ~p′ e l’impulso della particella nello stato finale, la sezione d’urtosi ottiene integrando la

sezione d’urto differenzialedσ

d~p′[cm2 (eV/c)−3]

nell’intervallo delle variabili nello stato finale

σ =

∫f

dσ

d~p′d~p′

esplicitando d~p′ in opportune coordinate

d~p′ = dp′x dp′y dp

′z = p′2dp′ d cos θ′ dφ′ = p′Tdp

′T dp

′L dφ

′

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2.3. Sezione d’urto di Rutherford

Sezione d’urto invariante

Il sistema di riferimento naturale e il sistema del centro di massa delle particelle cheinteragiscono che, di solito, non coincide con il sistema di riferimento in cui si effettuala misura. Poiche le caratteristiche di un processo non devono dipendere dal particolaresistema di riferimento in cui si effettua la misura (la sezione d’urto σ e definita come unasuperficie normale alla direzione del moto e quindi invariante), e opportuno conoscere leleggi di trasformazione delle variabili dal sistema del laboratorio al sistema del centro dimassa e esprimere la sezione d’urto differenziale in funzione di variabili invarianti.

Le componenti dell’impulso si trasformano (c = 1)

p′L = γpL − βγE p′T = pT E′ = −βγpL + γE

quindi d~p non e invariante (dσ, dpT , dφ sono invarianti, mentre dpL non e invariante).

D’altra parte il rapporto dpL/E e invariante(E = [p2

T + p2L +m2]

12

)dp′L = γdpL − βγdE = γdpL − βγ

pLE

dpL =γE − βγpL

EdpL =

E′

EdpL

e quindi la

sezione d’urto invariante Edσ

d~p[cm2 eV (eV/c)−3] (2.3)

non dipende dal riferimento in cui si effettua la misura.

2.3 Sezione d’urto di Rutherford

Come primo esempio di sezione d’urto consideriamo lo scattering di una particella caricanel campo coulombiano di un’altra carica (scattering di Rutherford). L’esperimento diRutherford sullo scattering di particelle α da nuclei di oro ha avuto grande importanzanello sviluppo della conoscenza in fisica per una serie di motivi:

• ha introdotto il concetto di scattering nello studio della struttura della materia edelle proprieta dei suoi costituenti fondamentali;

• ha fornito risultati di importanza fondamentale per impostare il modello atomico;

• ha dimostrato la validita di tecniche strumentali innovative per la rivelazione delleparticelle ionizzanti.

L’esperimento, ideato da Ernest Rutherford e condotto nel 1911 da due giovani ricer-catori, Hans Geiger e Ernest Marsden, e basato su semplici considerazioni sullo scatteringdi una particella dotata di carica elettrica nel campo coulombiano prodotto dalla caricadi un’altra particella.

Consideriamo l’interazione tra una particella puntiforme di massa m e carica elettricaze e un’altra particella puntiforme di massa M e carica elettrica Ze. Sia ~v la velocitarelativa tra le due particelle. Facciamo l’ipotesi che v c, in modo da poter utilizzare leleggi della meccanica classica, e che sia mM , in modo da poter trascurare l’effetto delrinculo della particella M (nessuna di queste ipotesi e restrittiva e sono approssimativa-mente valide nel caso specifico dell’esperimento di Rutherford). Trattiamo il problema in

37

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un sistema di riferimento che ha origine nella posizione della particella M , e definiamo ilparametro d’urto, b, come la distanza tra la linea di volo della particella m e la posizionedella particella M (Fig. 2.2).

qy

b r p

p'Dp

Figura 2.2: Scattering di Rutherford

La forza che agisce tra le due particelle e

~F =zZe2

4πε0

r

r2

Il campo elettrico e conservativo e lo scattering della particella m nel campo della particellaM e elastico. Se ~p e ~p′ sono gli impulsi iniziale e finale, si ha

|~p′| = |~p| ∆p = |~p′ − ~p| = 2p sin θ/2

dove θ e l’angolo di scattering della particella m. Poiche l’energia totale e positiva, latraiettoria e aperta: la particella m descrive un’iperbole con asintoti definiti dalle direzioni~p e ~p′. L’impulso trasferito, ∆p, e per simmetria dovuto alla componente trasversa dellaforza coulombiana lungo la traiettoria della particella m

∆p =

∫ ∞−∞

FTdt =

∫ +∞

−∞

zZe2

4πε0

cosψ

r2dt

dove ψ e l’angolo tra l’asse di simmetria del moto e il raggio vettore ~r, ψ(t = −∞) =−(π/2− θ/2), ψ(t = +∞) = +(π/2− θ/2). La velocita della particella m e ~v = (d~r/dt) =(dr/dt)r + r(dψ/dt)n e il momento angolare e

~L = ~r × ~p = mdr

dt~r × r +mr

dψ

dt~r × n = mr2 dψ

dtr × n

L = mr2 dψ

dt= costante = pb

e, cambiando variabile di integrazione, dt/r2 = (m/pb)dψ

∆p =

∫zZe2

4πε0m

cosψ

pbdψ =

zZe2

4πε0

m

pb2 cos θ/2 = 2p sin θ/2

Da cui si deriva la relazione tra l’angolo di scattering e il parametro d’urto

tan θ/2 =zZe2

4πε0b

m

p2=energia potenziale a distanza 2b

energia cinetica iniziale

Per calcolare la sezione d’urto differenziale osserviamo (Fig.2.3) che l’elemento di superficie

38

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ii

ii

2.3. Sezione d’urto di Rutherford

db

dq

Figura 2.3: Relazione tra angolo e parametro d’urto

bersaglio che corrisponde ad un angolo di scattering θ e definito dalla corona circolarecompresa tra parametri d’urto b e b+ db

dσ = 2πbdb = 2π

(zZe2

4πε0

)2m2

p4

1

tan θ/2

dθ/2

sin2 θ/2=

(zZe2

4πε0

)2m2

p4

2π sin θ/2 cos θ/2 dθ/2

sin4 θ/2

Per cui concludiamo che la sezione d’urto differenziale per scattering coulombiano e

dσ

dΩ=

(zZe2

4πε0

)2m2

4p4 sin4 θ/2

cioe inversamente proporzionale alla quarta potenza dell’impulso trasferito, ∆p, nell’in-terazione. Introducendo il raggio classico dell’elettrone, re = e2/4πε0mec

2, si riconoscefacilmente che la sezione d’urto ha le dimensioni di una superficie

sezione d’urto di Rutherforddσ

dΩ= r2

e(zZ)2 (mec2)2

4p2v2 sin4 θ/2(2.4)

La sezione d’urto differenziale diverge per θ → 0, quindi non e definita su tutto l’angolosolido. Questo e dovuto al fatto che l’azione del potenziale coulombiano non si annullaper qualunque valore grande della distanza ~r. Nella realta non esistono cariche elettricheisolate: qualunque carica e in qualche modo schermata da cariche di segno opposto. Seconsideriamo, ad esempio, un sistema atomico in cui il raggio medio degli orbitali elettro-nici e 〈r〉, il valore minimo dell’angolo di scattering di una particella di energia cinetica Ke

tan θ/2 =zZ

2

re〈r〉

mec2

K

Esempio: distanza minima di avvicinamento

Esperimenti di scattering Rutherford vengono effettuati per studiare la struttura elettro-magnetica del bersaglio. Il potere risolutivo e legato alla distanza minima di avvicinamentodel proiettile al bersaglio. La minima distanza, rmin = ρ, si ha quando ~r e normale a ~p.Per la conservazione del momento angolare e dell’energia si ha

L = |~r × ~p| = ρ p = b p0 E =p2

2m+zZe2

4πε0ρ=

p20

2m

39

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ii


dove p0 e la quantita di moto iniziale, b e il parametro d’urto e l’angolo di scattering etan θ/2 = (zZe2/4πε0b)(m/p

20). Dalle relazioni precedenti si ha

ρ2 − 2b tan θ/2 ρ− b2 = 0

ρ = b tan θ/2 + b(1 + tan2 θ/2)12 = b

1 + sin θ/2

cos θ/2

Nell’urto con b = 0 si ha scattering all’indietro, θ = π, e la distanza e minima quando siannulla l’energia cinetica: ρ0 = 2mzZe2/4πε0p

20 = 2b tan θ/2. Quindi la distanza minima

di avvicinamento in funzione dell’angolo di scattering e dell’energia cinetica iniziale, K0, e

ρ = ρ01 + sin θ/2

2 sin θ/2= zZ re

mec2

K0

1 + sin θ/2

2 sin θ/2(2.5)

2.4 Sezione d’urto di Thomson

Come secondo esempio di calcolo della sezione d’urto di un processo elementare trattiamolo scattering della radiazione elettromagnetica da una carica elettrica, Thomson scattering.Consideriamo un’onda elettromagnetica che si propaga nella direzione z con il campoelettrico parallelo all’asse x e il campo magnetico parallelo all’asse y. Nel vuoto il flussodi energia incidente e

Φi = cε0E2x

Per azione della radiazione incidente, una particella di massa m e carica elettrica q esottoposta ad una accelerazione ax = qEx/m ed emette radiazione elettromagnetica dellastessa frequenza dell’onda incidente. Il flusso di energia emessa dalla carica accelerata(appendice 30) e

ΦΩ =1

4π

q2

4πε0

a2x

c3r2sin2 θx [eV cm−2 s−1]

θ e φ sono gli angoli polare e azimutale, r e la distanza dalla carica e θx e l’angolo tra ladirezione di osservazione ~r e la direzione dell’accelerazione (Fig.2.4)

q

a

θ

φ θ x

z

y

x

E

B

Figura 2.4: Scattering di Thomson

x = r sin θ cosφ sin2 θx = 1− cos2 θx = 1− sin2 θ cos2 φ

Se la radiazione incidente non e polarizzata, cioe il campo elettrico puo avere qualunqueorientazione nel piano x− y, occorre mediare sull’angolo azimutale φ e si ottiene

sin2 θx = 1− sin2 θ 〈cos2 φ〉 = 1− 1

2sin2 θ =

1

2(1 + cos2 θ)

40

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2.4. Sezione d’urto di Thomson

Quindi il flusso di energia della radiazione diffusa e

ΦΩ =1

4π

q2

4πε0

a2x

c3r2

1

2(1 + cos2 θ) =

(q2

4πε0

)21

(mc2)2

Φi

r2

1

2(1 + cos2 θ)

Il caso di interesse e quello di un elettrone debolmente legato, quando cioe l’energia dilegame e piccola rispetto all’energia della radiazione incidente hω. Per un elettrone (q = e,m = me, e

2/4πε0 = remec2) si ha

ΦΩ = Φi

(rer

)2 1

2(1 + cos2 θ)

La sezione d’urto, cioe l’area efficace del bersaglio che sottrae parte del flusso incidente elo diffonde nell’angolo solido dΩ, e

Φidσ = ΦΩr2dΩ

da cui si deriva la

sezione d’urto di Thomsondσ

dΩ=r2e

2(1 + cos2 θ) (2.6)

la sezione d’urto totale e

σT =r2e

2

∫ 2π

o

∫ +1

−1(1 + cos2 θ)d cos θdφ =

8π

3r2e

L’unita di misura della sezione d’urto e il barn, (1 b ≡ 10−24 cm2). Poiche r2e = (2.82 10−13 cm)2 ≈

0.08 b, il valore della sezione d’urto di Thomson e σT = 0.67 b.

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Capitolo 3

Acceleratori

Gran parte della fenomenologia dei nuclei e delle particelle e basata su risultati ottenutiin esperimenti con acceleratori. In questo capitolo trattiamo brevemente i metodi diaccelerazione di elettroni, protoni e nuclei, con qualche accenno ai metodi per produrrefasci secondari di altre particelle sia cariche che neutre. I metodi per accelerare particellecariche sono basati sull’azione di campi elettrici e magnetici. L’equazione del moto di unaparticella di carica elettrica q e

d~p

dt= q( ~E + ~v × ~B)

Il campo magnetico non compie lavoro e l’energia acquistata per unita di tempo, W =q~v· ~E, e fornita dal campo elettrico. Gli acceleratori lineari utilizzano esclusivamente campielettrici. Campi magnetici vengono utilizzati negli acceleratori circolari e, in generale, perdeflettere e per focalizzare i fasci di particelle.

3.1 Sorgenti di ioni

Una sorgente di elettroni e essenzialmente un filamento caldo, che emette elettroni pereffetto termoionico, immerso in un campo elettrico che estrae gli elettroni e− dalla sorgente(Fig.3.1). Allo stesso modo si realizza una sorgente di ioni positivi. Gli atomi sono immersi

- +

e

-+

i+

e

Figura 3.1: Sorgenti di elettroni e di ioni

in una regione in cui vi e un campo elettrico alternato per accelerare gli elettroni prodottidal filamento e un campo magnetico per farli spiralizzare. Gli elettroni cedono energiaagli atomi ionizzandoli. Un campo elettrico estrae gli ioni i+ dalla sorgente.

Il progresso degli acceleratori e fortemente legato al progresso delle tecniche di vuoto.Nelle regioni dell’acceleratore in cui viene trasportato il fascio di particelle occorre mante-nere pressioni molto basse in modo da limitare l’assorbimento e la dispersione sia angolare

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Capitolo 3. Acceleratori

che in energia del fascio. I fenomeni di interazione delle particelle cariche sono descrittinel capitolo 4.

3.2 Acceleratori a caduta di potenziale

I primi acceleratori sono stati realizzati con campi elettrici statici: una particella di caricaq viene accelerata con una differenza di potenziale ∆V . L’energia massima raggiungibilecon questa tecnica e limitata dalla differenza di potenziale che si puo stabilire in laboratoriotra due elettrodi, tipicamente non superiore a 10 MV .

3.2.1 Acceleratore Van de Graaff

Il primo esempio di acceleratore elettrostatico e stato realizzato da Robert Van de Graaffnel 1929 [24] (Fig.3.2). La differenza di potenziale si ottiene caricando un elettrodo di

+

-

+

+

+

+

+

+

+

++

++

+

+

++

++

+ + +

++

+

+

+

++

++

+++

source

beam

V1

V3

V5

V6

V4

V2

Figura 3.2: Principio di funzionamento degli acceleratori elettrostatici

capacita C per induzione elettrostatica. Una cinghia di materiale isolante passa vicinoad una punta dove vi e un intenso campo elettrico e si carica. La cinghia trasporta lecariche verso un elettrodo cavo che ha una forma il piu regolare possibile per limitare lescariche. Poiche il campo elettrico all’interno dell’elettrodo conduttore e nullo, la caricatrasportata si distribuisce sulla superficie. Il lavoro per caricare l’elettrodo e fornito dalmoto della cinghia. Se i(t) e la corrente trasportata dalla cinghia, la differenza di potenzialee ∆V =

∫i(t) dt/C ed e limitata dalle perdite del dielettrico che avvolge l’elettrodo.

Gli acceleratori elettrostatici sono di solito immersi in gas inerte ad alta pressione perevitare scariche. La sorgente di ioni e posta all’interno dell’elettrodo cavo e la differenzadi potenziale viene ripartita, con una serie di capacita o resistenze, lungo il tubo a vuotoin cui e accelerato il fascio. Acceleratori di Van de Graaff possono produrre differenze dipotenziale ∆V ≈ 10 MV e produrre fasci di ioni con correnti di fascio ≈ 100 µA e sonocomunemente utilizzati in ricerche di fisica nucleare.

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3.3. Acceleratori lineari

3.2.2 Acceleratore Cockroft–Walton

Il secondo esempio di acceleratore elettrostatico e quello realizzato da John Cockroft eErnest Walton 1 nel 1930 per studiare le prime reazioni nucleari in laboratorio [25]. L’e-nergia e fornita da un generatore alternato, ∆V = V0 sinωt e la differenza di potenzialee generata da una cascata di rettificatori. Questi sono alternativamente in conduzioneo in interdizione e caricano una serie di condensatori a tensioni via via crescenti. Conriferimento alla Fig.3.2, le tensioni sono V2k−1 = V0(k + sinωt), V2k = 2kV0. L’ultimostadio e connesso a un elettrodo cavo sferico che contiene la sorgente di ioni. Le tensioniV2k vengono distribuite lungo il tubo a vuoto in cui e accelerato il fascio. Accelerato-ri Cockroft–Walton possono produrre differenze di potenziale ∆V ≈ 5 MV con correnti≈ 20 µA.

Gli acceleratori a caduta di potenziale sono comunemente usati come stadi iniziali diaccelerazione e come iniettori di particelle in acceleratori piu potenti.

3.2.3 Acceleratore Tandem

L’energia massima di uno ione puo essere raddoppiata con acceleratori elettrostatitici adue stadi: acceleratori Tandem. Il primo stadio e, ad esempio, realizzato con un accele-ratore Van de Graaff con tensione +V e le tensioni Vk = V/k sono distribuite in modocrescente dalla sorgente di ioni a tensione V = 0 all’elettrodo carico a tensione +V e inmodo decrescente da questo al punto di estrazione del fascio, di nuovo a tensione V = 0.Consideriamo una sorgente di ioni i− (ad esempio uno ione idrogeno H−): gli ioni vengonoaccelerati all’energia eV nel primo stadio e vengono fatti passare attraverso una sottilelamina che cambia lo stato di carica dello ione sottraendo i due elettroni. Gli ioni i+

(i protoni) hanno ora una energia potenziale eV e nel secondo stadio vengono acceleratiall’energia cinetica 2eV . Acceleratori Tandem possono accelerare protoni fino ad energiacinetica ≈ 20 MeV .

3.3 Acceleratori lineari

Gli acceleratori a caduta di potenziale sono limitati dalla necessita di produre tensionicostanti molto elevate. Negli acceleratori lineari le particelle guadagnano energia con ac-celerazioni multiple prodotte da campi elettrici alternati. Il primo esempio di acceleratorelineare, LINAC, e stato sviluppato da Rolf Wideroe nel 1928 [26]. Il principio di funzio-namento dell’acceleratore a tubi a deriva realizzato da Ernest Lawrence e David Sloan nel1930 [27] e illustrato nella Fig.3.3.

S

L

wRF

DV

Figura 3.3: Principio di funzionamento del LINAC a tubi a deriva


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Consideriamo una serie di tubi di materiale conduttore coassiali di lunghezza Ln con-nessi alternativamente ai capi di un generatore di tensione alternata. All’interno dei tubi ilcampo elettrico e nullo mentre tra un tubo e il successivo vi e una differenza di potenziale∆V (t) = V0 cosωt. Una particella di carica q e massa m che procede lungo l’asse dei tubiviene accelerata nell’interspazio tra tubi consecutivi se giunge in fase con la differenzadi potenziale. L’aumento di energia cinetica e q∆V . Per mantenere la relazione di faseoccorre scegliere opportunamente la lunghezza dei tubi Ln = vnT/2, dove T e il periodo evn e la velocita della particella nel tubo n.

3.3.1 Linac per ioni

Per velocita vn c l’energia cinetica dopo il tubo n e Kn = mv2n/2 = nq∆V e si ottiene

vn =

(2nq∆V

m

) 12

= cn12

(2q∆V

mc2

) 12

Ln =cT

2n

12

(2q∆V

mc2

) 12

Poiche vengono accelerati solo gli ioni che sono in fase con ∆V , il fascio non e continuoma si divide in pacchetti. LINAC di questo tipo vengono utilizzati per accelerare protonie ioni con carica elevata fino a qualche decina di MeV per nucleone.

3.3.2 Linac per elettroni

Per elettroni si arriva rapidamente alla condizione in cui l’approssimazione non relativisticanon e valida e le relazioni di sopra vanno sostituite con Kn = mc2(γn − 1), 1 − β2

n =(1 + nq∆V/mc2)−2, da cui

vn = c(2nx)12

(1 + nx/2)12

1 + nxx =

q∆V

mc2

Per n → ∞, vn → c, Ln → cT/2. Per accelerare elettroni all’energia E occorre unacceleratore di lunghezza L = (2q∆V/cT )E, quindi e necessario avere un elevato gradientedi energia, ∆E/∆` = 2q∆V/cT , aumentando la differenza di potenziale e la frequenza.

3.3.3 Linac RF

Nei moderni LINAC per elettroni la camera a vuoto e costituita da una guida d’onda(Fig.3.4). La cavita e realizzata in modo che risuoni alla frequenza ωRF e che il campo

e

Figura 3.4: Guida d’onda del LINAC a radiofrequenza

elettrico sull’asse sia longitudinale. Il campo elettrico si puo scomporre in due onde pro-gressive che si propagano nelle due direzioni lungo l’asse della cavita. Poiche gli elettroni

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3.4. Acceleratori circolari

si muovono a velocita costante, ve ≈ c, ricevono continuamente energia dal campo elettricose la velocita di fase dell’onda progressiva, vf , e pari alla velocita ve. Un’altra condizionenecessaria e che i pacchetti di elettroni si mantengano in fase con l’onda progressiva; suquesto torneremo piu avanti.

3.4 Acceleratori circolari

Il moto di una particella di massa m e carica elettrica q in un campo di induzione magnetica~B e descritto dalla legge

d~p

dt=

d

dtmγ~v = q~v × ~B

Poiche la forza di Lorentz non compie lavoro, si ha γ = costante, |~p| = costante. Lacomponente della quantita di moto parallela alla direzione di ~B e invariata e la variazionedella componente normale si esprime in funzione della velocita angolare

d~p

dt= ~p× ~ω = mγ~v × ~ω ~ω =

q ~B

mγ

La particella descrive un’elica. Nel piano normale a ~B descrive una traiettoria circolarecon raggio di curvatura R con frequenza di rivoluzione ω

~p = mγ ~ω × ~R = q ~R× ~B R =p

qB

Per una carica unitaria, q = e, la relazione tra quantita di moto, raggio di curvatura ecampo magnetico e

pc [Joule] = e c B R = 1.6 10−19 [Coulomb] 3 108 [ms−1] B [Tesla] R [metro]

ovvero, in unita piu pratiche, ec = 0.3 GeV/T m,

pc [GeV ] = 0.3 B [Tesla] R [metro] (3.1)

Il fatto che una particella carica in un campo magnetico uniforme percorre un arco dicirconferenza viene sfruttato negli acceleratori circolari per far passare ripetutamente laparticella in una zona in cui e presente un campo elettrico accelerante. In questo modola particella guadagna progressivamente energia con accelerazioni multiple con frequenzalegata alla frequenza di rivoluzione.

3.4.1 Il ciclotrone

Il primo acceleratore circolare, il ciclotrone, e stato realizzato da Ernest Lawrence 2 nel1930 [27]. Lo schema di funzionamento e illustrato nella Fig.3.5. Un dipolo produce uncampo magnetico uniforme e costante in un cerchio di raggio R. All’interno del dipolo lacamera a vuoto e compresa tra due elettrodi cavi a forma di ′′D′′ e agli elettrodi e applicatauna differenza di potenziale alternata a frequenza ωRF , ∆V (t) = V0 cosωRF t. La distanzatra gli elettrodi e molto minore del raggio R del magnete. Il campo elettrico e nel pianonormale al campo magnetico. La sorgente di ioni e posta al centro della camera a vuoto.


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Gli ioni emessi dalla sorgente vengono accelerati dal campo elettrico ed entrano nelcavo di uno degli elettrodi dove il campo elettrico e nullo. Per effetto del campo magnetico,gli ioni percorrono una semicirconferenza di raggio ρ = p/qB e frequenza di rivoluzioneω = qB/mγ. Se e soddisfatta la condizione di risonanza, ω = ωRF , gli ioni attraversano dinuovo la zona tra i due elettrodi in fase con la differenza di potenziale e vengono di nuovoaccelerati. Quindi gli ioni percorrono una traiettoria a spirale con raggio via via crescentee l’aumento di energia per giro e ∆E = 2q∆V . Quando il raggio di curvatura e ugualea R gli ioni non sono piu soggetti all’azione del campo magnetico ed escono tangenti allatraiettoria.

La massima energia raggiungibile e limitata dal valore del campo, B, e dal raggio delmagnete, R. Per uno ione di carica Ze e peso atomico A:

pmaxc = 0.3ZBR Kmax = Amc2

[1 +

(0.3ZB

Amc2

)2] 1

2

− 1

Per B = 1 T , R = 1 m, si ha pmax = 300 Z MeV/c che corrisponde per un protone aduna energia cinetica Kmax = 47 MeV .

Per velocita v c, γ ' 1, la frequenza di rivoluzione e costante e la condizione dirisonanza e rispettata se ωRF = costante. Questo limita il valore dell’energia cinetica:per protoni Kmax ' 20 MeV . Per raggiungere energie piu elevate occorre variare (dimi-nuire) la frequenza ωRF durante il ciclo di accelerazione. Questo e quello che avviene nelsincro-ciclotrone.

Il ciclotrone isocrono funziona a frequenza ωRF costante e i poli del magnete sonosagomati in modo che il valore del campo B(r) aumenti con il raggio

ω =0.3ZB(0)c

Amc2B(r) =

A

Z

mc2

0.3 (c2/ω2 − r2)12

I moderni ciclotroni accelerano protoni e ioni fino ad energie cinetiche di circa 600 MeVe vengono usati per studiare reazioni nucleari nella regione delle energie intermedie e perprodurre fasci secondari di particelle.

ciclotrone betatrone

Figura 3.5: Schema del ciclotrone e del betatrone

3.4.2 Il betatrone

Il betatrone e stato sviluppato da Donald Kerst nel 1940 per accelerare elettroni ad energie,a quei tempi, elevate [29]. Il nome betatrone ha origine dai raggi beta, come erano chiamati

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3.4. Acceleratori circolari

gli elettroni emessi nei decadimenti dei nuclei. Nel betatrone gli elettroni percorrono unatraiettoria circolare di raggio R e la camera a vuoto e a forma di ciambella racchiusa trai poli di un magnete (Fig.3.5). Il campo magnetico e normale al piano della traiettoria.

Il betatrone funzione per induzione elettromagnetica. Non intervengono campi elettrici:si fa variare il campo magnetico e la forza elettromotrice e fornita dalla variazione delflusso del campo magnetico concatenato con la ciambella. Con riferimento alla Fig.3.6,chiamiamo 〈B〉 il valore del campo magnetico mediato su tutta la superficie delimitata

d<B>dt

<B>

Er

dpdt

Bo

Figura 3.6: Principio di funzionamento del betatrone

dalla ciambella e B0 il valore del campo magnetico lungo l’orbita. Se si fa variare il campomagnetico, il campo elettrico generato lungo la circonferenza di raggio R e∮

~E · d~= 2πRE = −dΦ〈B〉dt

= −πR2 d〈B〉dt

Una particella di carica q e soggetta alla forza tangenziale

d~p

dt= q ~E =

q

2~R× d〈 ~B〉

dt

Perche la particella percorra la circonferenza di raggio R costante, deve risultare

d~p

dt= q ~R× d ~B0

dt

Quindi e possibile accelerare un elettrone lungo una traiettoria di raggio costante se esoddisfatta la

condizione di betatroned〈 ~B〉dt

= 2d ~B0

dt〈 ~B〉 = 2 ~B0 + costante

che si puo ottenere sagomando opportunamente i poli del magnete.

3.4.3 Il sincrotrone

In acceleratori circolari costruiti con un magnete singolo la massima energia raggiungibilee limitata dal campo magnetico e dal raggio del magnete. Poiche il valore di B che si puoraggiungere, anche utilizzando bobine superconduttrici, e limitato ad alcuni Telsa, peraumentare l’energia occorre aumentare il raggio dell’acceleratore. Questo non si puo farecon un singolo dipolo, che sarebbe enorme, ma si costruiscono acceleratori con piu magneticurvanti distribuiti lungo la traiettoria delle particelle. Quindi il raggio di curvatura della

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traiettoria e fissato, R = costante, e la camera a vuoto e una ciambella contenuta tra ipoli dei magneti curvanti. Lungo la traiettoria circolare, in uno o piu punti, vi sono cavitaRF dove un campo elettrico alternato a frequenza ωRF cede energia alle particelle. Lafrequenza ωRF deve essere uguale alla frequenza di ciclotrone o pari a un multiplo interoh (numero di armonica) e le particelle devono attraversare la cavita in fase con ωRF .

Il sincrotrone e un acceleratore che opera in cicli: iniezione, accelerazione, estrazionedel fascio e ritorno alla fase iniziale e utilizza un primo stadio di accelerazione, usualmenteun acceleratore lineare, che inietta le particelle con impulso pi (Fig.3.7). Nella fase di

t

B(t)

t

ω(t)

iniez. accel. estraz.

iniez.

estraz.

Figura 3.7: Schema del sincrotrone

iniezione si ha

Bi = pi/qR ωi = qBi/mγi = βic/R

Nella fase di accelerazione si aumenta gradualmente il campo magnetico e si varia diconseguenza la frequenza ωRF = h qB/mγ. Quando e raggiunto il valore massimo delcampo magnetico, il fascio viene estratto impulsando dei magneti e dopo l’estrazione ilvalore del campo magnetico e della frequenza vengono riportati ai valori iniziali.

In un proto-sincrotrone occorre variare la frequenza ωRF durante la fase di accelerazione

ωRF = h ω = h βc/R

Se l’iniezione dei protoni avviene con quantita di moto pi non piccola rispetto a mc, labanda di frequenza in cui operano le cavita e limitata e questo comporta notevoli vantaggi.In un elettro-sincrotrone invece e sufficiente iniettare elettroni con energia di pochi MeV ,β ≈ 1, per operare le cavita a frequenza ωRF ≈ c/R = costante.

3.5 Cavita a radiofrequenza

Negli acceleratori le particelle cariche vengono accelerate con campi elettrici alternati confrequenze tipiche ∼ GHz. I campi elettromagnetici sono guidati e contenuti all’internodi conduttori, guide d’onda e cavita. Facciamo l’ipotesi che questi siano conduttori idealicon resistivita ρ ' 0 e che il mezzo dielettrico (aria a bassissima pressione) sia omogeneo

e isotropo con ε ' ε0 e µ ' µ0. La velocita nel dielettrico indefinito e v0 = (εµ)−12 ' c e la

lunghezza d’onda e λ0 = v0/ν. La frequenza e fissata dai dispositivi che eccitano i campie la velocita, v, all’interno della guida e definita dalle condizioni al contorno dei campielettromagnetici sulle superfici che separano conduttore e dielettrico; il campo elettrico e

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3.5. Cavita a radiofrequenza

perpendicolare alla superficie di un conduttore ideale, ~E · n = 0, e il campo magnetico eparallelo, ~B × n = 0.

In un dielettrico omogeneo e isotropo, in assenza di densita di carica e di corrente, leequazioni di Maxwell sono

~∇ · ~E = 0 ~∇ · ~B = 0 ~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇× ~B = εµ

∂ ~E

∂t

le componenti F (x, y, z, t) dei campi ~E, ~B, soddisfano l’equazione di d’Alembert

∂2F

∂x2+∂2F

∂y2+∂2F

∂z2− 1

c2

∂2F

∂t2= 0

e la soluzione si puo sviluppare come sovrapposizione di componenti di Fourier.

3.5.1 Guide d’onda

Consideriamo una guida d’onda rettangolare indefinita lungo la direzione z (Fig.3.8) eesprimiamo la soluzione come

F (x, y, z, t) = ψ(x, y) ei(kz−ωt)∂F

∂z= ikF

∂F

∂t= −iωF

in cui la funzione ψ(x, y) rappresenta il fronte d’onda che si propaga con velocita di fasev = ω/k lungo l’asse z. La funzione ψ soddisfa l’equazione

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+K2ψ = 0 K2 =

ω2

c2− ω2

v2

Perche l’onda si propaghi senza attenuazione le quantita k = ω/v e K devono essere reali.

Da questo (ω/v = [(ω/c)2 −K2]12 e quindi ω/c > K) si conclude che solo la radiazione di

lunghezza d’onda λ0 = 2πc/ω minore della lunghezza d’onda critica, λc = 2π/K, si puopropagare senza attenuazione all’interno della guida.

a

b

x

y

zx

y

z

f

ra

Figura 3.8: Guide d’onda rettangolare e cilindrica

La soluzione ψ(x, y) si puo esprimere come prodotto di due funzioni delle singolevariabili ψ(x, y) = ξ(x)η(y) di modo che l’equazione delle onde diventa

ξ′′η + ξη′′ +K2ξη = 0 ξ′′/ξ + η′′/η +K2 = 0

e si ottiene una soluzione oscillante ponendo

ξ′′ +K2aξ = 0 η′′ +K2

b η = 0 K2a +K2

b = K2

51

ii

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ii

ii


ψ(x, y) = C sin(Kax+ α) sin(Kby + β)

dove le costanti Ka, α, Kb, β, sono determinate dalle condizioni di continuita dei campisulle pareti della guida.

Le componenti trasverse dei campi, Ex, Ey, Bx, By, sono funzioni delle componentilongitudinali, ad esempio

−K2Ex = (∂x∂x + ∂y∂y)Ex =−∂x(∂yEy + ∂zEz) + ∂y∂yEx =−∂y(∂xEy − ∂yEx)− ∂x∂zEz = −∂y iωBz − ∂x i(ω/v)Ez

e analogamente per le altre componenti

−iK2Ex = +(ω/v)∂xEz + ω∂yBz −iK2Bx = −(ω/c2)∂yEz + (ω/v)∂xBz−iK2Ey = +(ω/v)∂yEz − ω∂xBz −iK2By = +(ω/c2)∂xEz + (ω/v)∂yBz

Quindi, per descrivere la propagazione delle onde elettromagnetiche nella guida, e suffi-ciente definire le componenti longitudinali dei campi, Ez e Bz. Consideriamo i casi in cuiuna delle due componenti sia nulla; si definiscono:

TM transverse magnetic mode: Bz = 0;ponendo che il campo elettrico sia normale alle superfici della guida (Ez = 0 perx = 0, x = a, y = 0, y = b, in Fig.3.8) si ottiene α = 0, Kaa = mπ, β = 0,Kbb = nπ, con m,n interi. La soluzione e

Ez,mn = C sin(mπx/a) sin(nπy/b) ei(kz−ωt) Bz = 0

TE transverse electric mode: Ez = 0;in questo caso le componenti trasverse del campo elettrico sono

−iK2Ex = ω∂yBz = ωKbC sin(Kax+ α) cos(Kby + β)+iK2Ey = ω∂xBz = ωKaC cos(Kax+ α) sin(Kby + β)

e ponendo che il campo elettrico sia normale alle superfici della guida (Ex = 0 pery = 0, y = b, in Fig.3.8; Ey = 0 per x = 0, x = a) si ottiene α = β = π/2,Kaa = mπ, Kbb = nπ:

Ez = 0 Bz,mn = C cos(mπx/a) cos(nπy/b) ei(kz−ωt)

La lunghezza d’onda critica dipende dalle dimensioni della guida e dal modo di propoga-zione

λc =2π

(K2a +K2

b )1/2=

2

(m2/a2 + n2/b2)1/2=

2ab

(m2b2 + n2a2)1/2

ad esempio

modo TM TM1,1 λc = 2ab/(b2 + a2)1/2 TM1,n1 λc ' 2b/nmodo TE TE1,0 λc = 2a TEm1,0 λc ' 2a/n

TE0,1 λc = 2b TE0,n1 λc ' 2b/n

La lunghezza d’onda nella guida e maggiore di quella nel dielettrico indefinito e, poiche lafrequenza non cambia, anche la velocita di fase nella guida e maggiore

λ =λ0

(1− λ20/λ

2c)

12

v =c

(1− λ20/λ

2c)

12

52

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 53 — #53 ii

ii

ii


La velocita di fase non e la velocita con cui si propaga energia nella guida. La velocita digruppo e quella con cui si propaga un pacchetto d’onda costituito dalla sovrapposizione difronti d’onda con energia leggermente diversa, ad esempio

ψ(x, y)[ei(kz−ωt) + ei([k+∆k]z−[ω+∆ω]t)

]= ψ(x, y)ei(kz−ωt)

[1 + ei(∆kz−∆ωt)

]L’ampiezza del pacchetto d’onda dipende da z e t, e l’energia si mantiene costante suifronti con A(z, t) = 1 + ei(∆kz−∆ωt) = costante, cioe z = (∆ω/∆k)t + costante. Poichek2 = ω2/v2 = ω2/c2 −K2 e K dipende solo dalle caratteristiche geometriche della guida,si ha kdk = ωdω/c2. La velocita di gruppo nella guida, vg, e minore sia della velocita difase, v, che della velocita nel dielettrico indefinito, c,

vg =dω

dk=

c2

ω/k=c2

v= c

(1− λ2

0

λ2c

) 12

La Fig.3.9 mostra la relazione tra frequenza e numero d’onda, ω/c = (k2 +K2)1/2, in una

k = 2p/l

w /c

v = c

v < cg

ω

π

Figura 3.9: Relazione di dispersione in una guida d’onda

guida d’onda. Un punto sulla curva fornisce la velocita di fase, v > c, mentre la derivatafornisce la velocita di gruppo vg = dω/dk < c; con vgv = c2. Per k K ( λ0 λc) si hav → c e vg → c.

3.5.2 Guide d’onda cilindriche

L’equazione delle onde in coordinate cilindriche r, φ, z (Fig.3.8) e

1

r

∂

∂r

(r∂F

∂r

)+

1

r2

∂2F

∂φ2+∂2F

∂z2− 1

c2

∂2F

∂t2= 0

Nel caso di guide a simmetria cilindrica conviene fattorizzare la soluzione come F (r, φ, z, t) =R(r)Φ(φ)ei(kz−ωt) che soddisfa l’equazione

1

rR

d

dr

(rdR

dr

)+

1

r2Φ

d2Φ

dφ2+K2 = 0 K2 =

ω2

c2− ω2

v2

Il primo e il terzo termine non dipendono dall’angolo φ per cui 1Φd2Φdφ2

= costante e si hauna soluzione oscillante se

d2Φ

dφ2+ n2Φ = 0 Φ(φ) = C sin(nφ+ α)

53

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 54 — #54 ii

ii

ii


L’equazione radiale diventa

1

ρ

d

dρ

(ρdR

dρ

)+

(1− n2

ρ2

)R = 0 ρ = Kr

e le soluzioni sono le funzioni di prima specie di Bessel di ordine n, R(Kr) = Jn(ρ). Questesono funzioni oscillanti che hanno un numero infinito di zeri, Jn(ζmn) = 0. La soluzionegenerale e del tipo

F (r, φ, z, t) = C Jn(Kr) sin(nφ+ α)ei(kz−ωt)

Le componenti trasverse dei campi si possono esprimere in funzione delle componentilongitudinali

−iK2Er = +(ω/v)∂rEz + (ω/r)∂φBz −iK2Br = −(ω/c2r)∂φEz + (ω/v)∂rBz−iK2Eφ = +(ω/vr)∂φEz − ω∂rBz −iK2Bφ = +(ω/c2)∂rEz + (ω/vr)∂φBz

TM Nei modi TM il campo magnetico forma linee chiuse nel piano normale all’asse z,mentre il campo elettrico ha componente longitudinale non nulla (Fig.3.10); per que-sto i modi TM possono essere utilizzati per accelerare particelle cariche lungo l’assez. Le soluzioni sono definite dalla condizione che la componente azimutale del campoelettrico sia nulla sulla parete della guida, Eφ(r=a) = 0. Poiche questa e propor-zionale alla funzione di Bessel, Eφ(r) ∝ Jn(Kr)/r, i modi TM sono caratterizzatidalla condizione Jn(Ka) = 0 che definisce infiniti valori Kmn. La lunghezza d’ondacritica e λmnc = 2π/Kmn.

Figura 3.10: Linee di campo per il modo TM11 in una guida d’onda cilindrica; campoelettrico: →; campo magnetico: × entrante, • uscente

TE Nei modi TE le linee di forza del campo elettrico sono normali all’asse z e il campomagnetico forma linee chiuse con componente longitudinale non nulla. La compo-nente azimutale del campo elettrico e proporzionale alla derivata della funzione diBessel, Eφ(r) ∝ J ′n(Kr)/r, e anche in questo caso la condizione J ′n(Ka) = 0 definisceinfiniti valori Kmn.

3.5.3 Cavita risonanti

Una guida d’onda non e adatta ad accelerare particelle cariche perche la velocita di fase esempre maggiore di quella delle cariche elettriche da accelerare. Se la guida d’onda e chiusada pareti conduttrici, si possono stabilire all’interno onde stazionarie se la lunghezza della

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ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 55 — #55 ii

ii

ii


guida, L, e pari ad un numero semi-intero di lunghezze d’onda, L = `λ/2. In questo modosi realizza una cavita caratterizzata dal modo di oscillazione e dalla frequenza di risonanza,quindi da tre numeri interi `,m, n.

Se consideriamo un dielettrico con conducibilita elettrica finita, σ, il campo elettro-magnetico induce una densita di corrente, ~j = σ ~E, sulle pareti della cavita e quindi si hadissipazione di energia per effetto Joule. Introducendo la densita di corrente nelle equa-zioni di Maxwell, ~∇ × ~H = ~j + ε∂ ~E/∂t, l’equazione delle onde sulle pareti della cavitaviene modificata con un termine dissipativo

∇2 ~E − σµ ∂ ~E

∂t− εµ ∂2 ~E

∂t2= 0

Questa e l’equazione dell’oscillatore armonico smorzato, quindi l’ampiezza dei campi, ~E,~B, diminuisce nel tempo con legge esponenziale.

Consideriamo la soluzione del tipo F (x, y, z, t) = ψ(x, y, z)χ(t) e facciamo l’ipotesi cheil termine dissipativo sia piccolo, cioe che la funzione ψ(x, y, z) sia soluzione dell’equazione∇2ψ + κ2ψ = 0 e che sia definita dalle condizioni al contorno dei campi elettromagneticisulle pareti della cavita (se si usa un conduttore di conducibilita elevata − rame, argen-to, o materiale superconduttore − le condizioni ~E · n = 0, ~B × n = 0, sono un’ottimaapprossimazione). Per brevita indichiamo ψn(x, y, z) la soluzione caratterizzata da trenumeri interi `,m, n, che individuano la condizione di risonanza e il modo di oscillazione.L’ampiezza χn(t) soddisfa l’equazione

εµ χn + σµ χn + κ2n χn = 0 χn +

1

τχn + ω2

n χn = 0 τ =ε

σωn =

κn√εµ

che ha soluzione χn(t) = e−t/2τ (AeiΩnt +Be−iΩnt) con Ωn = ωn(1− 1/4Q2)1/2.ω e la frequenza di risonanza della cavita senza perdite, Q = τω = (ε/µ)1/2κ/σ e ilfattore di merito della cavita. La banda di frequenza e definita da una curva Lorentzianacentrata sulla frequenza di risonanza con larghezza FWHM ∆ω = Ω/Q. Quindi unacavita risonante deve avere fattore di merito il piu elevato possibile, Q 1, in questo casoΩn = ωn.

Il fattore di merito e il rapporto tra l’energia immagazzinata alla frequenza di risonanzae l’energia dissipata in un periodo: Q = 2π〈E〉/

∫T Wdt = ω〈E〉/〈W 〉. In una cavita, come

in una guida d’onda, il campo elettromagnetico penetra per un piccolo spessore all’internodel conduttore, effetto pelle, generando correnti che dissipano energia per effetto Joule. Seεc, µc, sono le costanti del materiale di conducibilita σ, si ha ~∇ × ~H = σ ~E − iωεc ~E,~∇× ~∇× ~H = k2 ~H = iωµc(σ − iωεc) ~H, e quindi il vettore d’onda, k2 = ω2µcεc + iωµcσ,ha una parte diffusiva e una assorbitiva:

k =1

δ(1 + ωεc/σ) +

i

δδ = (2/ωµcσ)1/2

δ e lo spessore della pelle del conduttore. Per un buon conduttore, ad esempio il rame cheha resistivita ρ = 1/σ = 1.75 10−8 Ω m, alla frequenza di 1 GHz, si ha ωεc/σ ' 10−9 eδ ' 2 µm.

Per calcolare la potenza dissipata consideriamo ad esempio un modo TM in cui il cam-po magnetico ha solo la componente Hy sulla superficie del conduttore, x = 0 in Fig.3.11,

55

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 56 — #56 ii

ii

ii


H

d

y

ExEz

Sx

x

Figura 3.11: Effetto pelle sulle pareti di una guida d’onda

Hy = H0eix/δe−x/δ sinωt. Trascurando la corrente di spostamento nel conduttore, il cam-

po elettrico sulla superficie ha una componente longitudinale Ez = 1σ∂xHy = i−1

σδ Hy chegenera una corrente longitudinale jz = σEz. La potenza media e

W =1

2

∫jzEz dxdydz =

|Ho|2

σδ

∫ ∞0

e−2x/δdx Sx =|Ho|2

2σδSx

dove Sx e la superficie della cavita normale a x. L’energia media immagazzinata nellacavita e

E =

∫ (ε〈E2〉/2 + µ〈H2〉/2

)dxdydz ' µ|H0|2

2V

dove V e il volume della cavita. Estendendo a tutte le pareti della cavita si ottiene per ilfattore di merito

Q =ω〈E〉〈W 〉

' ωµσδ VS× f.g. =

µ

µc

V

Sδ× f.g.

dove f.g. ' 1 e un fattore geometrico che dipende dal modo di eccitazione e dalla formadella cavita. Quindi il fattore di merito e tanto maggiore quanto piu elevato e il rapportoV/S (per cavita sferica > cilindrica > rettangolare) e quanto piu piccolo e lo spessoredell’effetto pelle δ.

Esempio: cavita cilindrica

Consideriamo una cavita cilindrica di lunghezza L e raggio a; la soluzione per i campi edel tipo F (r, φ, z, t) = CJn(Kr) sin(nφ+ α)eikze−iωt con K2 = (ω/c)2 − k2

• per la condizione di risonanza si ha: k = π`/L con ` intero;

• consideriamo il modo TM (Bz = 0):le componenti trasverse del campo elettrico si annullano alle estremita della cavitaz = 0 e z = L dove la componente longitudinale Ez e massima; cioe eikz → cos kz =cos π`L z; quindi Ez = CJn(Kr) sin(nφ+ α) cos π`L z e

−iωt;

• la componente azimutale del campo elettricoEφ = ik

K2r∂φEz = iC π`n

K2LrJn(Kr) cos(nφ+ α) cos π`L z e

−iωt;si annulla sulla superficie laterale della cavita per r = a, la condizione Jn(Ka) = 0si verifica per Kmna = ζmn e definisce i modi trasversi della cavita;

56

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 57 — #57 ii

ii

ii


• le altre componenti dei campi sono:Er = ik

K2∂rEz = iC π`aζmnL

J ′n(ζmnr/a) sin(nφ+ α) cos π`L z e−iωt

Bφ = iωc2K2∂rEz = iC ωa

c2ζmnJ ′n(ζmnr/a) sin(nφ+ α) cos π`L z e

−iωt

Br = −iωc2K2r

∂φEz = −iC ωa2nc2ζ2mnr

Jn(ζmnr/a) cos(nφ+ α) cos π`L z e−iωt

• la lunghezza d’onda critica e λc = 2πa/ζmn

le lunghezze d’onda dei modi risonanti sono λ`mn = 2π/[(ζmn/a)2 + (π`/L)2

] 12

• le frequenze di risonanza sono ω`mn = c[(ζmn/a)2 + (π`/L)2

] 12

I primi zeri delle funzioni di Bessel, Jn(ζmn) = 0, sono:

n = 0 ζm0 = 2.405 5.550 8.654 . . .n = 1 ζm1 = 3.832 7.016 10.173 . . .

Il modo piu semplice e con n = 0 per cui non si ha dipendenza dei campi dall’angoloazimutale e risulta Eφ = 0, Br = 0. Per m = 1: λc = 2πa/ζ10 = 2.61a.

Nel modo TM010, ` = 0, non si ha dipendenza dei campi da z, la frequenza di risonanzae ω010 = cζ10/a; le componenti dei campi sono:

Ez = EoJ0(ζ10r/a) Bz = 0Er = 0 Br = 0

Eφ = 0 Bφ = iEoωac2ζ10

J ′0(ζ10r/a) = − iEoc J1(ζ10r/a)

Nel modo TM110, ` = 1, la frequenza di risonanza e ω110 = c[(ζ10/a)2 + (π/L)2]12 ; le

componenti dei campi sono:

Ez = EoJ0(ζ10r/a) cos πLz Bz = 0Er = Eo

πaζ10L

J1(ζ10r/a) sin πLz Br = 0

Eφ = 0 Bφ = Eoω110ac2ζ10

J1(ζ10r/a) sin πLz

La Fig.3.12 mostra le linee del campo elettrico per i modi TM010 e TM110 in una cavitacilindrica. Le linee del campo magnetico sono cinconferenze coassiali con l’asse z. Dallafigura e chiaro che il modo TM010 e il piu efficace per accelerare particelle cariche lungol’asse z.

TM 010 TM 110

Figura 3.12: Linee del campo elettrico per i modi TM010 e TM110 in una cavita cilindrica

57

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 58 — #58 ii

ii

ii


3.5.4 Accelerazione in cavita risonanti

In un acceleratore circolare, l’aumento di energia cinetica di una particella di carica q evelocita βc in un singolo passaggio e

∆E = q∆V =

∫ +L/2

−L/2qE0 cos(ωt+ φ)dz =

∫ +L/2βc

−L/2βcqE0βc cos(ωt+ φ)dt

dove, per φ = 0 la particella e in fase con il campo accelerante nella cavita. L’aumento divelocita in un singolo passaggio e trascurabile, β ' costante, e quindi

∆E = qE0LsinωL/2βc

ωL/2βccosφ

Il fattore di perdita, sin(ωL/2βc)/(ωL/2βc), non e significativamente minore di 1 se ωL/2βc =ζ10L/2βa ≤ 1 cioe L/a ≤ 0.8β. Questa condizione e facile da soddisfare se β ' 1, ma perβ 1 richiede che sia L a, cioe di avere cavita corte lungo la direzione di accelerazione.

In un acceleratore lineare si hanno tante cavita allineate lungo l’asse z e, per mantenerecoerenza di fase tra il campo accelerante e la particella, deve essere L = nβλ/2 doveL e la distanza tra le cavita e λ e la lunghezza d’onda della radiazione nelle cavita.Lo schema originario e quello di Wideroe con tubi a deriva adiacenti connessi ad ungeneratore alternato (Fig.3.13). In questo caso L = βλ/2 e il gradiente di energia edE/dz = ∆E/λ = βq∆V/2L. Un schema piu efficiente e quello di Alvarez, con L = βλche, a parita di campo elettrico, produce un gradiente di energia doppio, dE/dz = βq∆V/L.Inoltre in questo caso la corrente lungo le connessioni delle cavita e nulla e la dissipazionedi potenza e minore.

Figura 3.13: Schemi di Wideroe e di Alvarez per un acceleratore lineare

Nei moderni acceleratori LINAC-RF le particelle vengono accelerate in un guida d’ondain cui si fa in modo che la velocita di fase con cui si propaga il campo elettromagnetico siapari alla velocita βc. Consideriamo una guida d’onda cilindrica di raggio a in cui vengonoaccelerati elettroni di alta energia per cui β ' 1. Nella guida si possono propagare le ondeelettromagnetiche di frequenza ω > ωc = ζc/a, dove il fattore ζ dipende dal modo eccitatonella guida. Se nella guida sono disposti dei diaframmi di raggio b < a opportunamentespaziati a distanza L (L ' costante per β ' 1) si stabiliscono onde stazionarie di frequenzaω = ζ/b > ωc e numero d’onda k = `π/L. La velocita di gruppo e nulla per un’ondastazionaria e quindi dω/dk = 0 in corrispondenza dei valori k = `π/L e la relazione didispersione nella guida viene modificata nell’andamento periodico mostrato in Fig.3.14.

58

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 59 — #59 ii

ii

ii

3.6. Oscillazioni di betatrone

In questo modo e possibile realizzare la condizione in cui il campo elettromagnetico sipropaga con velocita di fase ≤ c e cede continuamente energia alla particella.

k = + /Lp

w /c

v = c

k = - /Lp

k = 2p/l

ab L

ω / c

2π/l

-‐ π/L + π/L

Figura 3.14: Guida d’onda a iride di un Linac-RF e relazione di dispersione nella guidad’onda

3.6 Oscillazioni di betatrone

In un acceleratore circolare occorre limitare la dispersione delle particelle durante i tantigiri che queste percorrono nell’anello ed e quindi opportuno studiare la configurazionedel campo magnetico che minimizzi la dispersione. Consideriamo una particella di caricaq e massa m che percorre una circonferenza di raggio R0 detta orbita di riferimento.Lungo l’orbita di riferimento il campo magnetico ha componenti Bx = By = 0, Bz =B0. Consideriamo un sistema di riferimento solidale con la particella, cioe rotante allafrequenza di ciclotrone ω = qB/mγ, con l’asse x parallelo alla direzione del moto, ~v =(v, 0, 0), l’asse y parallelo a ~r e l’asse z parallelo a ~B (Fig.3.15).

x || v y

Bo

z ||

R

v = w(R+y)

B

o

Figura 3.15: Orbita di riferimento e sistema di riferimento rotante

Le equazione del moto in questo riferimento sono

dpydt

=d

dtmγy = mγ(y − ω2R) = q(vzBx − vxBz) = −qvBz

59

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 60 — #60 ii

ii

ii


dpzdt

=d

dtmγz = mγz = q(vxBy − vyBx) = +qvBy

y +qvBzmγ

− ω2R = y +qω(R+ y)Bz

mγ− ω2R = 0

z − qvBymγ

= z − qω(R+ y)Bymγ

= 0

Per piccoli spostamenti dall’orbita di riferimento (y R, z R) le componenti del campomagnetico sono

Bz = (Bz)0 +

(∂Bz∂y

)0

y + . . . By = (By)0 +

(∂By∂z

)0z + . . .

Consideriamo il caso in cui i poli del magnete siano sagomati in modo che la componenteprincipale Bz sia

Bz = B0

(r

R

)−n= B0

(R+ y

R

)−n ∂Bz∂y

= −nB0

R

(R+ y

R

)−n−1

dove n e chiamato indice di campo. Poiche lungo l’orbita risulta ~∇ × ~B = 0, ∂Bz/∂y =∂By/∂z, si ha

By = −nB0z/R Bz = B0 − nB0y/R

Le equazioni del moto diventano

y +qBomγ

ω(R+ y)(1− n yR

)− ω2R = y − ω2(n− 1)y − ω2ny2

R= 0

z +qBomγ

ω(R+ y)nz

R= z + ω2nz + ω2n

yz

R= 0

Approssimando al primo ordine si ottiene

y + (1− n)ω2y = 0 z + nω2z = 0

cioe un moto oscillatorio nelle due direzioni nel piano trasverso al moto se e soddisfattala condizione 0 < n < 1. Si ha quindi, per piccoli spostamenti dall’orbita di riferimento,una forza di richiamo che produce oscillazioni di betatrone nel piano orizzontale e nelladirezione verticale con frequenza

ωH = ω√

1− n ωV = ω√n

Questo metodo di compensare piccoli spostamenti dall’orbita di riferimento e detto fo-cheggiamento debole. La lunghezza d’onda delle oscillazioni di betatrone (a parte il fattore2π) e chiamata funzione beta

ßH =R√

1− nßV =

R√n

60

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 61 — #61 ii

ii

ii

3.7. Trasporto dei fasci

3.7 Trasporto dei fasci

Per descrivere la traiettoria di una particella negli elementi di un acceleratore convieneutilizzare una rappresentazione che esprima per ciascun elemento le coordinate finali infunzione di quelle iniziali. Indichiamo con s la coordinata lungo la traiettoria di riferimento,con y(s), z(s) gli spostamenti radiale e verticale e con y′(s) = dy/ds = tan θy, z

′(s) =dz/ds = tan θz le derivate. Queste sono legate alle derivate rispetto al tempo da

y =dy

dt=dy

ds

ds

dt= vy′ y = v2y′′ . . .

dove v e la velocita lungo la traiettoria di riferimento. In una regione senza campimagnetici la particella percorre una retta

y(s) = y0 + y′0s y′(s) = y′0 . . .

che, per un tratto di lunghezza ∆s = `, si puo rappresentare con le trasformazioni(yy′

)=

(1 `0 1

)·(y0

y′0

)= My ·

(y0

y′0

)

e analoga per la proiezione verticale. Per il generico elemento k le matrici di trasportosono definite(

yy′

)k

= Mky ·(

yy′

)k−1

(zz′

)k

= Mkz ·(

zz′

)k−1

di modo che le coordinate e gli angoli rispetto alla traiettoria di riferimento all’uscitadell’elemento k si ottengono dai valori iniziali applicando la matrice prodotto delle matricidi trasporto dei singoli elementi(

yy′

)k

= Mky ·Mk−1

y . . .M1y ·(

yy′

)0

(zz′

)k

= . . .

Se non vi sono effetti dissipativi, le matrici di trasporto hanno determinate unitario,Det(M) = 1.

Le equazioni del moto in un magnete a focheggiamento debole sono

y′′ +1

ß2H

y = 0 z′′ +1

ß2V

z = 0

e hanno soluzioniy = A cos s/ß +B sin s/ß y(0) = A

y′ = −(A/ß) sin s/ß + (B/ß) cos s/ß y′(0) = B/ß(yy′

)=

(cos s/ßH ßH sin s/ßH

− 1ßH

sin s/ßH cos s/ßH

)·(y0

y′0

)e analoga per la coordinata verticale.

Le relazioni precedenti mostrano che le ampiezze delle oscillazioni di betatrone sonoproporzionali a ßHy

′0 e ßV z

′0. D’altra parte nella condizione di focheggiamento debole,

61

ii

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ii

ii


0 < n < 1, non si puo fare in modo che entrambe le funzioni beta siano piccole rispetto alraggio dell’orbita di accelerazione e questa e una seria limitazione per raggiungere energieelevate con un sincrotrone: aumentando il raggio aumenta l’ampiezza di oscillazione equindi la dispersione del fascio nel piano trasverso. Se facciamo in modo che sia n 1,cioe ßV = R/

√n R, le oscillazioni nel piano verticale sono di piccola ampiezza, ma il

fascio diverge nel piano orizzontale perche l’equazione del moto ha soluzione(yy′

)=

(cosh s/ßH ßH sinh s/ßH

1ßH

sinh s/ßH cosh s/ßH

)·(y0

y′0

)

con ßH = R/√n− 1 R.

Quindi un magnete con indice di campo n > 1 ha una azione focalizzante in unaproiezione e defocalizzante nell’altra. Consideriamo due magneti che abbiano i gradientidi campo scambiati e lunghezza ` minore delle lunghezze d’onda di betatrone in entrambele proiezioni. Per `/ß 1 le matrici di trasporto si approssimano al primo ordine

MF1 =

(cos `/ß1 ß1 sin `/ß1

− 1ß1

sin `/ß1 cos `/ß1

)≈(

1 `−`/ß2

1 1

)

MD2 =

(cosh `/ß2 ß2 sinh `/ß1

+ 1ß2

sinh `/ß2 cosh `/ß2

)≈(

1 `+`/ß2

2 1

)Queste relazioni sono simili a quelle delle lenti in ottica. Una lente di distanza focale f(Fig.3.16) e caratterizata da una matrice di trasporto(

yy′

)=

(a bc d

)(y0

y′0

)=

(ay0 + by′0cy0 + dy′0

)

La condizione di lente sottile, y = y0 ∀ y′0, comporta a = 1, b = 0. La condizione sul

yoq

yof f

q =y'tanq θ θ

tan θ = y’

Figura 3.16: Ottica delle lenti sottili

determinante, ad = 1, comporta d = 1. Per un fascio parallelo, y′0 = 0, la deflessione ey′ = y0/f per una lente divergente e y′ = −y0/f per una convergente. Quindi una lentesottile e caratterizzata dalle matrici di trasporto

MF =

(1 0−1/f 1

)MD =

(1 0

+1/f 1

)

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cioe una lente convergente ha il termine 1/f negativo. Una lente di spessore ` si puorappresentare come una lente sottile tra due spazi vuoti di lunghezza `/2(

1 `/20 1

)(1 0±1/f 1

)(1 `/20 1

)=

(1± `/2f `+ . . .±1/f 1± `/2f

)

e la matrice di trasporto e uguale a quella dei magneti con `/ß2 = 1/f .

Se i due magneti sono separati da una distanza δ la matrice di trasporto, per δ `, e

MF1 MδM

D2 =

(1 `

−`/ß21 1

)(1 δ0 1

)(1 `

+`/ß22 1

)≈(

1 + `2/ß22 2`

−`3δ/ß21ß2

2 1− `2/ß21

)

Se si cambia l’ordine (MD1 MδM

F2 ) si scambiano tra loro i termini diagonali ma non cam-

biano gli altri. Quindi l’azione combinata dei due magneti e focalizzante in entrambe leproiezioni. Questo metodo di trasporto e detto focheggiamento forte ed e utilizzato neisincrotroni che accelerano protoni ad energia elevata con una serie di dipoli con numerod’ordine n elevato a gradiente alternato (Fig.3.17).

Figura 3.17: Dipoli curvanti a gradiente alternato

Nello schema di focheggiamento forte con dipoli a gradiente alternato i magneti hannola duplice funzione di curvare la traiettoria delle particelle e di limitare l’ampiezza delleoscillazioni di betatrone. Questo schema e utilizzato con successo nei proto-sincrotroni,ma ha lo svantaggio di non essere flessibile. Inoltre, in alcuni casi, occorre focalizzare ilfascio di particelle per aumentarne il flusso.

I quadrupoli sono magneti con elevato gradiente di campo che hanno la proprieta difocalizzare le traiettorie delle particelle in una proiezione (ma di defocalizzarla nell’altraproiezione) in una lunghezza limitata. Un quadrupolo (Fig.3.18) e realizzato avvolgendoquattro bobine attorno a quattro espansioni polari simmetriche in modo da realizzarevicino all’asse un campo magnetico di componenti

Bx = 0 By = ± G z Bz = ± G y

G e il gradiente di campo che e positivo o negativo secondo il verso della corrente nellebobine, ma uguale nelle due proiezioni poiche ∂By/∂z = ∂Bz/∂y. Le equazioni del motodi una particella di carica q, massa m e che ha velocita v lungo l’asse x sono

dpy/dt = mγy = q(vzBx − vxBz) = ∓ qvBz = ∓ qvG y

dpz/dt = mγz = q(vxBy − vyBx) = ± qvBy = ± qvG z

63

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ii


y

z

Figura 3.18: Quadrupolo

Passando a coordinate lungo la traiettoria, le equazioni diventano

mγv2 y′′ = ∓ qvG y y′′ ± (qG/p) y = 0

mγv2 z′′ = ± qvG z z′′ ∓ (qG/p) z = 0

e, scegliendo uno dei due versi, si hanno le soluzioni gia trovate per i dipoli con gradientedi campo

MF =

(cos `/ß ß sin `/ß− 1

ß sin `/ß cos `/ß

)≈(

1 `−`/ß2 1

)

MD =

(cosh `/ß ß sinh `/ß

+ 1ß sinh `/ß cosh `/ß

)≈(

1 `+`/ß2 1

)

con ß =√p/qG. Invertendo il senso della corrente nelle bobine si inverte il segno del

gradiente G→ −G (equivale a ruotare il quadrupolo di π/2) e le conclusioni non cambiano.Un quadrupolo di lunghezza ` si comporta, per una particella di quantita di moto p, comeuna lente convergente in una proiezione e divergente nell’altra con distanze focali uguali,f = p/qG`. Una coppia di quadrupoli ha un’azione focalizzante in entrambe le proiezioni.I quadrupoli possono avere un gradiente di campo molto elevato e quindi una piccoladistanza focale anche con lunghezze limitate. I moderni sincrotroni a focheggiamentoforte sono costituiti da un reticolo in cui l’elemento base, la cella del reticolo, e una seriedi magneti curvanti con indice di campo n = 1 e una coppia di quadrupoli FD.

Finora abbiamo considerato un fascio monocromatico di particelle, cioe senza dispersio-ne in impulso. In realta le particelle durante l’accelerazione hanno impulsi diversi e seguonotraiettorie diverse. Introducendo il fattore di dispersione, δp/p = −δω/ω, l’equazione delmoto nel piano radiale viene modificata

y + ω2(1− n)y = −ωδωR = ω2Rδp

py′′ +

1− nR2

y =1

R

δp

p

Questa ha soluzione

y = A coss

ß+B sin

s

ß+

ß2

R

δp

py′ = −A

ßsin

s

ß+B

ßcos

s

ß

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ii


con le condizioni iniziali

y0 = A+ß2

R

(δp

p

)0

y′0 =B

ß

e la matrice di trasporto nel piano radiale diventa una matrice 3× 3 yy′

δp/p

=

cos s/ß ß sin s/ß ß2

R (1− cos s/ß)

− 1ß sin s/ß cos s/ß ß

R sin s/ß

0 0 1

· y

y′

δp/p

0

3.7.1 Emittanza

Per un fascio di particelle, come in un fluido in assenza di effetti dissipativi, vale ilteorema di Liouville: la densita f(~x, ~p, t) = d6n/d~rd~p si conserva durante il moto nel-l’acceleratore. Questo impone alcune proprieta delle matrici di trasporto che descrivonole traiettorie nel piano trasverso e nel piano radiale. Le matrici sono unitarie e hannoDet(M) = 1. In generale le matrici di trasporto nel reticolo dell’acceleratore si esprimono

M =

(1 00 1

)cosµ+

(η ß−ζ −η

)sinµ

dove η(s), ζ(s), ß(s) sono funzioni periodiche del reticolo e la condizione sul determinantee ζß− η2 = 1.

In un reticolo periodico le equazioni del moto sono del tipo

y′′ +

(1

R2+q

p

∂Bz∂y

)y =

δp/p

Rz′′ +

q

p

∂By∂z

z = 0

e la soluzione si puo esprimere nella forma

y(s) =√εyß(s) cos(µ(s) + φ) µ(s) =

∫ s+`

s

ds′

ß(s′)

dove ß(s) e la funzione di betatrone che ha dimensione [m], µ(s) e la fase di betatrone, ` eil periodo del reticolo, εy e φ sono costanti. E analoga soluzione si ha nel piano verticale.La derivata della soluzione e

y′ =

√ε

ß

ß′

2cos(µ+ φ)−

√εß µ′ sin(µ+ φ) =

√ε

ß

ß′

2cos(µ+ φ)−

√ε

ßsin(µ+ φ)

con le condizioni iniziali

y0 =√εß0 cosφ y′0 =

√ε

ß0

ß′02

cosφ−√ε

ß0sinφ

y0ß′02− ß0y

′0 =

√εß0 sinφ

Tenuto conto che per questa soluzione si ha η = −ß′/2, dalla relazione di unitarieta,ζß = 1 + ß′2/4, risulta

εß0 = y20(1 + ß′20 /4)− ß0ß′0y0y

′0 + ß2

0y′20 = ζ0ß0y

20 − ß0ß′0y0y

′0 + ß2

0y′20

65

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ii


ε = ζ0y20 − ß′0y0y

′0 + ß0y

′20

Se calcoliamo per la soluzione i valori y2, yy′, y′2

y2 = εß cos2 µ yy′ = ε

(ß′

2cos2 µ− sinµ cosµ

)

y′2 = ε

(ß′2

4ßcos2 µ− ß′

ßsinµ cosµ+

1

ßsin2 µ

)troviamo che εy e una costante del moto

ζy2 − ß′yy′ + ßy′2 = εy

Questa, tenuto conto della relazione tra i coefficienti, e l’equazione di un ellisse nel pianoy− y′, con centro in y = 0, y′ = 0, e ogni particella nel moto lungo l’acceleratore ha valoridelle coordinate y(s), y′(s) che cambiano da punto a punto, ma sempre su un ellisse. Nelcaso che sia ß′ = 0, ζ = 1

ß, l’equazione diventa

y2

ß+ ßy′2 = εy

e l’ellisse ha assi paralleli alle coordinate e semiassi uguali a√εyß e

√εy/ß. Tutte queste

cosiderazioni sono anche valide nel piano z−z′. L’area dell’ellissi e pari a πε, ed e chiamataemittanza [m × rad] e rappresenta l’estensione dello spazio delle fasi occupato dal fascionel piano y − y′ (z − z′).

Per ogni coppia di variabili coniugate (y, py), (z, pz), in assenza di effetti dissipativi,si ha lungo un ciclo

∮pydy = costante,

∮pzdz = costante

py = mγy = mcβγy′∮βγy′dy = βγπεy = costante

e analogamente βγπεz = costante. La quantita βγπε e chiamata emittanza invariante.Quando il fascio aumenta l’energia (l’aumento in un ciclo e molto piccolo) le emittanzeβγπε si mantengono costanti e lo spazio delle fasi, πε, occupato dal fascio nei piani y− y′,z − z′, diminuisce proporzionalmente a 1/βγ. Poiche l’emittanza definisce le dimensionidella camera a vuoto in cui circola il fascio e πε e molto maggiore all’iniezione che allafine del ciclo di accelerazione, per accelerare particelle ad energia elevata si usano di solitoacceleratori in cascata in modo da limitare l’emittanza all’iniezione.

3.8 Oscillazioni di sincrotrone

Gli acceleratori di alta energia funzionano con il principio di accelerazioni multiple e leparticelle, per aumentare l’energia, devono pasare nelle cavita RF in fase con il campoelettrico accelerante a frequenza ωRF . Poiche le particelle hanno una dispersione nel tempodi attraversamento delle cavia, δt, l’aumento di energia e possibile se piccole variarioni difase δφ = ωRF δt vengono compensate. Le condizioni per cui questo avviene, condizionidi stabilita di fase, sono state dismostrate da Vladimir Veksler e Edwin McMillan nel1945 [30, 31].

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ii

3.8. Oscillazioni di sincrotrone

Se ∆V = V0 sinωRF t e la differenza di potenziale nella cavita, una particella che laattraversa ha una variazione di energia qV0 sin(ωRF t+ φ), dove φ e la fase che tiene contodell’istante di attraversamento. Definiamo particella sincrona la particella che percorrel’orbita di riferimento e che sia sempre in fase: φs = costante, questa ha frequenza ωs =ωRF /h con h = intero e ha energia Es.

Consideriamo l’esempio dell’acceleratore lineare (Fig.3.19). Una generica particella ha

φ

V(φ)

φs

φa φ

r

T

Figura 3.19: Stabilita di fase nel LINAC

energia E = Es + δE, fase φ = φs + δφ e frequenza ω = ωs + δω. Dopo aver attraversatola cavita la particella ha energia

E′ = Es + δE + qV0 sin(φs + δφ) =

= Es + qV0 sinφs cos δφ+ δE + qV0 cosφs sin δφ ≈ E′s + δE + qV0δφ cosφs

La variazione di energia rispetto alla particella sincrona e δE′ = δE + qV0δφ cosφs. Sup-poniamo che la particella abbia energia maggiore di Es e che sia in anticipo di fase, δφ < 0:la variazione di energia e minore se δφ cosφs < 0, e la particella si avvicina alla particellasincrona se cosφs > 0. Se la particella ha energia minore di Es ed e in ritardo di fase,δφ > 0, la variazione di energia e maggiore se δφ cosφs > 0, e la particella si avvicinaalla particella sincrona se cosφs > 0. Quindi in entrambe i casi si ha stabilita di fase se−π/2 < φ < π/2. Poiche per aumentare l’energia deve essere 0 < φ < π, le particelleche attraversano la cavita con 0 < φ < π/2 vengono accelerate e oscillano attorno al-la fase della particella sincrona. Queste oscillazioni di fase (e di energia) sono chiamateoscillazioni di sincrotrone.

In un acceleratore circolare particelle di impulso diverso percorrono traiettorie diversee hanno frequenze angolari diverse (Fig.3.20). Il rapporto tra la variazione della lun-

ar

RF ra

φ

V(φ)

φs

φa φ

r

T

Figura 3.20: Stabilita di fase nell’acceleratore circolare

ghezza dell’orbita, `, e la variazione di impulso e un parametro dell’acceleratore chiamatofattore di compressione di impulso

αp =d`/`

dp/p

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ii


Il rapporto tra la variazione della frequenza angolare e la variazione di impulso

dω

ω=dβ

β− dr

r=

1

γ2

dp

p− αp

dp

p

dp

p=dβ

β+dγ

γ=dβ

β+ β2γ2dβ

β= γ2dβ

β

e legato a αp e dipende dall’energia

η =dω/ω

dp/p=

1

γ2− αp

quindi negli acceleratori circolari si puo avere stabilita di fase in condizioni diverse secondose la velocita aumenta piu rapidamente della lunghezza della traiettoria (a bassa energia)o piu lentamente (ad alta energia) passando per una energia di transizione quando 1/γ2 =αp.

Se indichiamo con ∆E = qV0 sinφ la variazione di energia per giro e se facciamol’ipotesi che le variazioni siano lente rispetto alla frequenza di rivoluzione, la variazionedella differenza di energia rispetto alla particella sincrona in un periodo T e

∆δE = qVo(sinφ− sinφs) ≈dδE

dtT

dδE

dt≈ qVo

2πωs(sinφ− sinφs)

la variazione della fase in un periodo e (δT/T = −δω/ω = −ηδp/p)

∆δφ ≈ ωsδT ≈ −ωRFTηδp

p= −ωRFTη

δE

β2E

dδφ

dt≈ ∆δφ

T= −ωRF η

β2sEs

δE

Da queste relazioni si ottiene l’equazione della fase

d2

dt2δφ = −ωRF η

β2sEs

d

dtδE = −h ω2

sη

2πβ2s

qVoEs

(sinφ− sinφs)

che, per piccoli sfasamenti, sinφ = sin(φs + δφ) ≈ sinφs + δφ cosφs, diventa

d2

dt2δφ+ Ω2

s δφ = 0 Ωs = ωs

(hη cosφs

2πβ2s

qVoEs

) 12

Si hanno oscillazioni di fase se Ωs e reale. Sotto l’energia di transizione, η > 0, si hastabilita di fase per cosφs > 0, cioe 0 < φ < π/2 come nel caso del LINAC. Infatti in unacceleratore lineare il raggio di curvatura e infinito, αp = 0 e η e sempre positivo. Sopral’energia di transizione, η < 0, si ha stabilita di fase per cosφs < 0, quindi π/2 < φ < π.Questo e il caso dell’elettro-sincrotrone in cui γ e grande e si fa in modo di operare sempresopra l’energia di transizione. La maggior parte dei protosincrotroni devono passare at-traverso l’energia di transizione durante il ciclo di accelerazione e quindi devono effettuareun cambiamento della fase di ωRF .

3.9 Anelli di collisione

In esperimenti di fisica subnucleare e importante convertire l’energia cinetica delle par-ticelle nello stato iniziale in energia disponibile nello stato finale per produrre particelledi massa elevata. Negli esperimenti in cui si invia un fascio di particelle di impulso ~p su

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ii

3.10. Radiazione di sincrotrone

un bersaglio fermo nel laboratorio parte dell’energia del fascio non e disponibile per pro-durre particelle perche viene utilizzata per conservare l’impulso totale. Se invece si fannocollidere due fasci che nel laboratorio hanno impulso uguale e opposto tutta l’energia edisponibile nello stato finale perche l’impulso totale nel laboratorio e nullo. L’energia nellostato finale e pari al modulo del quadri-impulso. Nella collisione a bersaglio fisso di dueparticelle di massa m1 e m2 si ha (c = 1), P1 = (~p1, E1), P2 = (0,m2)

(P1 + P2)2 = m21 +m2

2 + 2E1m2

In un esperimento a fasci collidenti, P1 = (~p,E1), P2 = (−~p,E2)

(P1 + P2)2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 + 2p2

Per E m si ha Ecm ≈√

2Em nel primo caso e Ecm = 2E nel secondo.Particelle di carica q con impulso ~p e antiparticelle di carica opposta −q con impulso

opposto −~p possono essere accelerate nello stesso anello utilizzando lo stesso campo elet-trico accelerante e lo stesso campo magnetico curvante. Infatti la forza accelerante e neidue casi parallela all’impulso e la forza centripeta e la stessa

d

dt~p = q ~E + q~v × ~B

d

dt(−~p) = −q ~E + q~v × ~B

Un parametro importante degli anelli di collisione e la luminosita che definisce il nu-mero di reazioni che avvengono nell’unita di tempo. Per un esperimento a bersaglio fissoabbiamo definito la luminosita come il prodotto flusso del fascio × numero di particellebersaglio. In un anello di collisione, con N1 e N2 particelle per fascio, la luminosita e

L =N1

S∆tN2 = f

N1N2

S(3.2)

dove f e la frequenza di incrocio dei fasci e S e la superficie di sovrapposizione dei fasci.Per avere luminosita elevata occorre ridurre al minimo la sezione dei fasci nel punto diincrocio cioe ridurre il valore di ß con quadrupoli focalizzanti.

Gli anelli di collisione, una volta accelerati i fasci all’energia di operazione, funzionanoin regime continuo. Il numero di particelle circolanti diminuisce col tempo per effetto delleinterazioni delle particelle con il gas residuo nella camera a vuoto e con le altre particel-le. Un’altro parametro importante e la vita media della luminosita che e tipicamente dialcune ore. Oltre agli anelli di collisione protone–antiprotone e elettrone–positrone, chefunzionano con un solo anello, sono utilizzati anche anelli di collisione protone–protonee elettrone–protone che pero funzionano con due anelli distinti che si incrociano in piupunti.

3.10 Radiazione di sincrotrone

Una carica elettrica accelerata emette radiazione elettromagnetica. L’energia emessa perunita di tempo e data dalla formula di Larmor (appendice 30) ed e invariante

W =2

3

q2

4πε0c3c2γ4

γ2

(~β · d

~β

dt

)2

+

(dβ

dt

)2 [eV s−1]

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ii


La potenza emessa dipende dalla quarta potenza di γ = E/mc2 e quindi, a parita dienergia, e molto maggiore per particelle di massa piccola (elettroni) che per masse grandi(protoni).

In un acceleratore lineare l’accelerazione e parallela alla velocita, d~β/dt ‖ ~β, e lapotenza e

W =2

3

q2

4πεocγ4(γ2β2 + 1)

(dβ

dt

)2

=2

3

q2

4πεocγ6(dβ

dt

)2

Poiche per valori grandi di γ, β → 1 e dβ/dt e molto piccolo, negli acceleratori li-neari l’energia emessa e molto piccola ed e facilmente compensata dal campo elettricoaccelerante.

In un acceleratore circolare vi e una accelerazione centripeta ortogonale alla velocita,d~β/dt ⊥ ~β. Trascurando l’accelerazione longitudinale, che e molto piu piccola, la potenzae

W =2

3

q2

4πε0cγ4(dβ

dt

)2

L’accelerazione centripeta e d~β/dt = ~ω × ~β. Se R e il raggio di curvatura, l’accelerazionee |dβ/dt| = β2c/R e la potenza e

W =2

3

q2

4πε0cβ4γ4

R2

L’energia emessa per giro, che deve essere fornita dalle cavita RF , e

∆Egiro =

∮Wdt ≈WT =

2πR

βc

2

3

q2

4πε0cβ4γ4

R2=

4π

3

q2

4πε0

β3γ4

R

Per un elettrone, e2/4πε0 = remec2,

W =2

3

rec

R2mec

2 β4γ4 ∆Egiro =4π

3

reRmec

2 β3γ4 (3.3)

La radiazione emessa si chiama radiazione di sincrotrone. Negli elettro-sincrotroni di altaenergia l’energia fornita dalle cavita RF e spesa per compensare l’energia emessa perradiazione di sincrotrone piu che per accelerare i fasci. Negli anelli di collisione elettrone–positrone, anche quando e stata raggiunta l’energia di operazione, occorre continuamenterifornire con le cavita RF l’energia irraggiata. Poiche ∆Egiro e inversamente proporzionalea R, gli anelli di collisione e+e− di alta energia sono costruiti con grandi raggi di curvatura.

La radiazione di sincrotrone ha comunque benefici effetti sul comportamento dei fascinegli acceleratori di elettroni. L’emissione di radiazione e un effetto non conservativo cheviola il teorema di Liouville e che puo essere utilizzato per attenuare l’ampiezza delleoscillazioni di betatrone e quindi per ridurre lo spazio delle fasi nel piano trasverso. Ladispersione angolare del fascio e 〈θ〉 =

√ε/ß mentre l’angolo di emissione della radiazione

e ≈ 1/γ, come illustrato nel seguito. Se 1/γ 〈θ〉 l’emissione di radiazione non cambiaapprezzabilmente la direzione dell’elettrone e il risultato e che si riducono sia la componentetrasversa che la componente longitudinale della quantita di moto, p′T = apT , p′L = apL,con a < 1. Le cavita risonanti accelerano l’elettrone nella direzione longitudinale inmodo da compensare l’energia irraggiata, p′′L = pL, con il risultato che si riduce l’angoloθ′′ = p′′T /p

′′L = aθ. Quindi, sfruttando l’emissione di radiazione di sincrotrone si possono

70

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 71 — #71 ii

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ottenere fasci di piccole dimensioni nel piano trasverso e questo permette di ottenereelevate luminosita negli anelli di collisione e+e−.

Una importante applicazione della radiazione di sincrotrone emessa da acceleratori cir-colari di elettroni e la produzione di sorgenti di radiazione elettromagnetica con particolaricaratteristiche di intensita, direzionalita e banda di frequenza. Nel riferimento solidale conla particella carica la distribuzione angolare della potenza emessa (appendice 30) e

dW

dΩ′=remec

2

4πc

(dβ

dt

)2

sin2 ψ

dove ψ e l’angolo tra l’accelerazione e la direzione di emissione (Fig.3.21). Nel riferimento

R Dq asin y

2

v

Dq ª 1/ g

Figura 3.21: Emissione di radiazione di sincrotrone

del laboratorio la carica ha velocita βc e la distribuzione della radiazione emessa ad angolopolare θ rispetto alla direzione della velocita e

dW

dΩ=remec

2

4πc

(dβ

dt

)2 1

(1− β cos θ)3

(1− 1− β2

(1− β cos θ)2sin2 θ cos2 φ

)

Per β → 1, β ≈ 1 − 1/2γ2, l’angolo solido si contrae, sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ2/2, e ladistribuzione angolare, mediando sull’angolo azimutale φ, diventa

dW

dΩ=remec

2

4πc

(dβ

dt

)2 8γ6

(1 + γ2θ2)3

(1− 2γ2θ2

(1 + γ2θ2)2

)(3.4)

Il valore massimo della distribuzione si ha per θ = 1/2γ e il valore quadratico medio delladistribuzione e

√< θ2 > = 1/γ: la radiazione di sincrotrone e concentrata in un cono di

semiapertura ≈ 1/γ attorno alla direzione del moto della carica.Il calcolo dello spettro di frequenza emesso e piuttosto complicato. Per valutare le

frequenze tipiche consideriamo una carica in moto in un anello di raggio R. Un osservatoresul piano dell’anello vede la radiazione emessa lungo un tratto ∆` ≈ R∆θ ≈ R/γ. Ladurata dell’impulso τ e la differenza tra il tempo di percorrenza del tratto ∆` a velocitaβc da parte dell’elettrone e il tempo di percorrenza della corda 2R sin ∆θ/2 a velocita cda parte della radiazione

τ =R

γβc− 2R sin 1/2γ

c=

R

βγc(1− β) ≈ R

βc

1

2γ3

Lo spettro in frequenza e la trasformata di Fourier della distribuzione temporale. Seassumiamo un impulso uniforme di durata τ , lo spettro in frequenza e approssimativamenteuniforme e si estende fino alla

frequenza critica ωc =1

τ= 2γ3ω0 (3.5)

71

ii

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ii

ii


dove ω0 = βc/R e la frequenza di rivoluzione del fascio. Acceleratori circolari di elettronidi alta energia producono fasci intensi e collimati di raggi X con energia fino a ≈ 10 keVcioe lunghezza d’onda λ ≈ 1A e vengono utilizzati per lo studio delle proprieta di strutturemolecolari e cristalline.

Calcoli accurati dimostrano che lo spettro di potenza emessa sotto forma di radiazionedi sincrotrone e rappresentato da una funzione universale del rapporto x = ω/ωc

dW

dω= hω

dNγ

dω=W

ωcS(ω/ωc)

con∫S(x)dx = 1. La funzione di distribuzione S(x) e mostrata in Fig.3.22. Per ω ωc

aumenta con una legge di potenza ben approssimata con S(x) = 1.333 x13 , mentre per

ω ωc decresce esponenzialmente: S(x) = 0.777 x12 e−x.

1 0- 2

1 0- 1

1 00

1 0- 4 1 0- 3 1 0- 2 1 0- 1 1 00 1 01

1.333 x1 / 3

0.777 x1 / 2 e- x

x = wwww //// wwwwc

S(x)

x = ωc / ω

Figura 3.22: Funzione universale che descrive lo spettro della radiazione di sincrotrone

3.10.1 Sorgenti di radiazione di sincrotrone

I magneti curvanti di un elettro-sincrotrone costituiscono una sorgente di radiazione di sin-crotrone. La radiazione e emessa nel piano di curvatura lungo la direzione degli elettroniin un cono di apertura angolare ∆θ ' 1/γ. L’intensita della radiazione e proporzionale alnumero di elettroni che circolano nell’anello e lo spettro di frequenza e dato dalla funzioneS(ω/ωc) che si estende fino a valori di energia poco superiori a hωc. L’energia perduta sot-to forma di radiazione viene continuamente rifornita agli elettroni dal campo accelerantea radio-frequenza, quindi gli elettroni producono continuamente radiazione di sincrotrone.Le caratteristiche della radiazione (intensita, spettro di frequenza, polarizzazione, . . .) pos-sono essere variate localmente nell’acceleratore inserendo opportuni componenti magneticiche non perturbino la struttura periodica dell’anello.

3.10.2 Traslatore di frequenza

Se nell’anello si inserisce un campo magnetico, B∗, di intensita maggiore di quello deimagneti curvanti, aumenta localmente la forza di Lorentz e quindi la frequenza angolare,ω0 = eB∗/mγ. In questo modo si aumenta la frequenza critica della radiazione emessalocalmente dal magnete superbend B∗.

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ii


Un traslatore di frequenza di questo tipo (Fig.3.23) si realizza, ad esempio, inserendo inuna sezione dritta dell’anello due magneti compensatori posti prima e dopo il magnete B∗

in modo che l’integrale di campo dei tre magneti sia nullo,∫Bd` = 0, per non cambiare

le caratteristiche del fascio di elettroni.

Figura 3.23: Traslatore di frequenza; sono mostrati due magneti curvanti dell’anello, i duemagneti compensatori e il magnete superbend

3.10.3 Magnete wiggler

Possiamo estendere il concetto del traslatore di frequenza in una struttura periodica incui il campo magnetico e ortogonale alla direzione degli elettroni e l’integrale di campoe nullo. Un magnete wiggler e realizzato con N elementi di lunghezza λp (Fig.3.24)realizzati con elettro-magneti o con magneti permanenti. L’intensita del campo magneticosi puo ottenere come sviluppo in serie di Fourier con componente fondamentale di periodoλp. Con riferimento alla Fig.3.24, x e la direzione iniziale degli elettroni che vengonodeflessi nel piano x–y. Assumendo per le componenti del campo magnetico Bz(x, y, z) =B0f(z) cos kx, con k = 2π/λp, e By(x, y, z) = 0, la soluzione deve soddisfare le condizioni

~∇× ~B = 0 ∂Bx/∂z = ∂Bz/∂x = −kB0f(z) sin kx~∇ · ~B = 0 ∂Bx/∂x = −∂Bz/∂z = −B0f

′(z) cos kx∂2Bx/∂x∂z = ∂2Bx/∂z∂x −k2B0f(z) cos kx = −B0f

′′(z) cos kx

L’equazione f ′′(z)−k2f(z) = 0 ha soluzione f(z) = a cosh kz+ b sinh kz con le condizioni

Figura 3.24: Magnete wiggler; la struttura periodica si estende per N periodi di lunghezzaλ

73

ii

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ii


al contorno f(0) = a = 1, f(−z) = f(+z) cioe b = 0. La componente Bx si ottieneintegrando una delle relazioni precedenti. Quindi le componenti del campo magneticosono

Bx = B0 sinh kz sin kx By = 0 Bz = B0 cosh kz cos kx

L’angolo di deflessione nel piano x–y in un quarto di periodo e

θp/4 =

∫ λp/4

0

eB0 cos kx

pdx =

eB0

kp

Ricordando che il valor medio dell’apertura del cono di emissione di radiazione di sin-crotrone e 〈θ〉 ' 1/γ, il rapporto tra l’angolo di deflessione in un quarto di periodo el’apertura del cono definisce il fattore di intensita del magnete wiggler

Q =θp/4〈θ〉

=eB0

kp

E

mc2=ecB0

kmc2E

pc' ec

2π mc2B0λp

ec = 0.3 GeV/T m, mc2 = 0.5 MeV ; quindi: Q ' 100 B0(T ) λp(m) = B0(T ) λp(cm).Tipicamente i magneti wiggler hanno Q ' 1. I magneti wiggler con Q 1 sono chiamationdulatori.

Gli elettroni sono soggetti ad una accelerazione nel piano normale alla direzione delcampo magnetico. Le equazioni del moto nel piano x–y sono

mγx = −e(vyBz − vzBy) = −eyBz x = −ω0y cos kxmγy = −e(vzBx − vxBz) = +exBz y = +ω0x cos kxmγz = −e(vxBy − vyBx) = 0

con ω0 = eB0/mγ. La soluzione approssimata della seconda equazione si ottiene assumen-do che la velocita lungo l’asse x sia costante, dx/dt ' costante = v0,

y = ω0v0

∫cos kx dt =

ω0

ksin kx+ C

con la condizione iniziale yx=0 = C = 0. Sostituendo nella prima equazione si ha

x = −ω20

k

∫sin kx cos kx dt = − ω2

0

2k2v0sin2 kx+ C

con la condizione iniziale xx=0 = C = v0

x = v0

(1− ω2

0

2k2v20

sin2 kx

)= v0

(1− Q2

2γ2sin2 kx

)

La componente vx della velocita degli ellettroni oscilla con periodo λp attorno al valormedio vx = v0(1 − Q2/4γ2). La componente vy ha valore massimo ω0/k = v0Q/γ v0.Integrando l’espressione di y

y(x) =ω0

k

∫sin kx dt =

ω0

k2v0cos kx+ C

si ottiene l’ampiezza dell’oscillazione trasversa ymax = (Q/2πγ)λp λp.

74

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ii

3.11. Sorgenti di neutroni

La potenza media emessa da un elettrone e (|x| |y|, y = cω0 cos kx)

W =2

3

remec2

c3γ4〈y2〉 =

1

3

remec2

cγ4ω2

0 =4π2

3mec

2 rec

λ2p

γ2Q2

e l’energia irraggiata da un elettrone in un ondulatore di N elementi e

∆E = NWλpβc

=4π2

3mec

2 reλp

Nγ2Q2

In un ondulatore costituito di N elementi gli elettroni compiono oscillazioni con pe-riodo T ' λp/βc ed emettono radiazione quasi monocromatica. In un periodo, la ra-diazione emessa ad angolo polare θ rispetto all’asse dell’ondulatore percorre la distanzacT = λp/β(1−Q2/γ2) e si ha emissione coerente se la differenza di percorso tra la radia-zione emessa da due punti a distanza λp e pari ad un numero intero di lunghezze d’onda(Fig.3.25)

λpβ(1−Q2/γ2)

− λp cos θ = nλ = n2πc

ω

Approssimando β = 1− 1/2γ2 + . . ., cos θ = 1− θ2/2 + . . ., si ottiene che lo spettro dellaradiazione e piccato attorno alle frequenze

ωn = n2γ2

1 +Q2/2 + γ2θ2

2πc

λp

La frequenza delle armoniche e massima per radiazione emessa in avanti, θ ' 0, e perQ 1, e la larghezza delle righe e inversamente proporzionale al numero di elementi, N .Si possono selezionare diverse bande di frequenza variando l’angolo di osservazione.

Figura 3.25: Radiazione quasi monocromatica emessa da un ondulatore

3.11 Sorgenti di neutroni

I neutroni, insieme ai protoni, sono i costituenti dei nuclei atomici (nucleoni); hannomassa mn = 939.6 MeV/c2, carica elettrica nulla, sono fermioni di spin 1/2 con momentomagnetico µn = −1.91 in unita eh/2mp. I neutroni non esistono liberi, decadono convita media sufficientemente lunga (τ = 900 s) per poterli utilizzare come proiettili inesperimenti. A differenza di fotoni, elettroni e protoni, i neutroni interagiscono moltodebolmente con gli elettroni atomici e, per questo, sono piu penetranti e particolarmenteindicati come sonde per studiare la struttura e le proprieta della materia.

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I neutroni termici, quelli con energia cinetica media kTamb = 0.025 eV , hanno lun-ghezza d’onda di de Broglie

λ =h

p=

2πhc

(2mc2 kT )12

= 1.8 10−10 m

confrontabile con le distanze interatomiche nei cristalli o in materiale organico. Questofu evidenziato da Bertran Brockhouse e Clifford Shull 3 che svilupparono il metodo dellaspettroscopia neutronica per lo studio della materia condensata [32, 33].

Sorgenti di neutroni termici si realizzano nei reattori nucleari (capitolo 16) che pro-ducono enormi flussi di neutroni nella fissione di nuclei pesanti, oppure con interazioninucleari di fasci di protoni (o ioni) su bersagli di nuclei pesanti. Nel primo caso si ha unasorgente continua, nel secondo caso si puo realizzare una sorgente pulsata alla frequenza diestrazione del fascio da un acceleratore e questo presenta notevoli vantaggi perche si puostabilire una coerenza temporale tra il ciclo dell’acceleratore e la produzione dei neutroni.

Il processo in cui si produce un gran numero di neutroni in una singola interazioneprotone–nucleo e chiamato spallazione. Se i protoni hanno lunghezza d’onda molto mi-nore della distanza tra i costituenti del nucleo, λ 10−15 m, ovvero energia cinetica> 500 MeV , e se il bersaglio e un nucleo con peso atomico elevato con un eccesso dineutroni rispetto ai protoni, il processo di spallazione si puo schematizzare sulla base delmodello nucleare statistico di Fermi (capitolo 10) nel modo seguente:

• l’interazione avviene tra il protone e un singolo nucleone che viene emesso dal nucleo;

• il nucleo viene a trovarsi in uno stato eccitato con un eccesso di energia di ∆E =50÷ 100 MeV;

• questa energia viene dissipata con l’emissione di ∆E〈Elegame〉 ≈ 10 ÷ 15 neutroni, eva-

porazione nucleare, mentre i protoni vengono trattenuti nel nucleo dalla barriera dipotenziale coulombiana;

• il nucleo residuo non e stabile perche contiene un eccesso di protoni ed e soggetto aduna serie di decadimenti β+ in cascata.

Il processo di evaporazione nucleare avviene in tempi molto brevi (τ ∼ 10−20 s). Lasezione d’urto differenziale dei neutroni prodotti con un fascio di protoni di 590 MeV emostrata in Fig.3.26 in funzione dell’energia e dell’angolo polare. Da questi risultati siosserva che

• l’energia cinetica media dei neutroni e ∼2 MeV;

• la maggior parte dei neutroni e prodotta in modo isotropo con energia minore di 10MeV;

• i neutroni con energia maggiore di ∼10 MeV sono emessi preferenzialmente in avanti,ma con probabilita molto piccola.

Come bersaglio si usano nulcei pesanti non soggetti a fissione, per evitare l’emissionedi neutroni ritardati : Tantalio, Tungsteno, Piombo, . . . . Il nucleo piu efficace come mo-deratore e l’Idrogeno, utilizzato sotto forma di H2O a temperatura ambiente, oppure H2


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ii


Figura 3.26: Sezione d’urto differenziale di neutroni di spallazione prodotti da protoni di590 MeV su un bersaglio di Pb

liquido a T = 20 K per produrre neutroni freddi con energia 2 meV e lunghezza d’ondaλ = 7 10−10 m.

In una collisione elastica di una particella di massa m e impulso p0 (p0 mc2) conuna particella di massa M a riposo, l’impulso nel centro di massa e p∗ = Mp0

M+m e la velocitadel centro di massa e p0

M+m (Fig.3.27). L’energia cinetica dopo la collisione e

E =(~p∗ + ~p′)2

2m=

p20

2m

M2 + 2Mm cos θ∗ +m2

(M +m)2

dove θ∗ e l’angolo di scattering nel centro di massa. In una collisione di un neutrone conun nucleo di massa Am l’energia cinetica e

E =A2 + 2A cos θ∗ + 1

(A+ 1)2E0 =

(1 + α

2+

1− α2

cos θ∗)E0

con α = (A−1)2

(A+1)2. L’angolo di scattering e

p sin θ = p∗ sin θ∗ cos θ =A+ cos θ∗

(A2 + 2A cos θ∗ + 1)12

p*

p*

p0

pp*

E

qqqq* qqqq

dndE

E0E0aaaa

Amp'

m

Figura 3.27: Collisione di un neutrone di massa m e impulso p0 con un nucleo di massaAm nel centro di massa e nel laboratorio

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Per energie cinetiche E0 ∼ 2 MeV la distribuzione angolare nel centro di massa euniforme, dn

d cos θ∗ = 12 , e l’energia dopo la collisione e compresa tra Emin = αE0, quando

θ∗ = π, e Emax = E0, quando θ∗ = 0, con distribuzione uniforme

dn

dE=

dn

d cos θ∗d cos θ∗

dE=

1

(1− α)E0

L’energia dei neutroni viene degradata nelle successive collisioni in modo esponenziale.Per calcolare il numero medio di collisioni necessarie a raggiungere l’equilibrio a energiakT conviene introdurre il decremento logaritmico lnE0/E che ha valor medio 4

ξ = 〈ln E0

E〉 =

∫ E0

ElnE0

E

dE

(1− α)E0= − 1

1− α

∫ 1

αlnx dx = 1− (A− 1)2

2AlnA+ 1

A− 1

ξ = 1 per Idrogeno, ξ ' 2/A per A 1. Il numero medio di collisioni per moderare unneutrone di energia E0 e

n =1

ξlnE0

E

Se E0 = 2 MeV e E = kTamb = 25 meV in diversi moderatori si ha

H D He C O . . . U

ξ 1.0 0.73 0.43 0.16 0.12 0.084n 18 25 43 115 152 2170

Se v e la velocita dei neutroni, il numero di collisioni in un intervallo di tempo δt e vδtλel

,

dove λel e il cammino libero medio per collisioni elastiche λel = ANoρσel

. La sezione d’urtoelastica dei neutroni dipende debolmente dall’energia, σel varia nell’intervallo 1 ÷ 5 barnper i nuclei leggeri. Il numero di collisioni nell’intervallo di tempo dt in cui l’energia ediminuita di dE e

1

ξd ln

E0

E= −1

ξ

dE

E= −2

ξ

dv

v=vdt

λel

Integrando questa relazione si ha

−∫ v

v0λel

dv

v2= 〈λel〉

v0 − vv0v

=ξ∆t

2∆t =

2〈λel〉ξv

per v0 v

La velocita di neutroni con energia cinetica E0 = 2 MeV e v0 = 2.0 107 m/s mentre lavelocita di neutroni con E = kTamb e v = 2.2 103 m/s. Il tempo per termalizzare neutronienergetici in acqua e ∆t ' 10−5 s e aumenta notevolmente (∼ σel/ξ) nei moderatori connuclei piu pesanti.

Durante questo tempo i neutroni diffondono nel moderatore e in parte vengono as-sorbiti. La densita di neutroni ha una distribuzione gaussiana in funzione della distanzadal bersaglio e l’estensione della sorgente, ∆r, dipende dalla sezione d’urto elastica, dallasezione d’urto di assorbimento e dal decremento di energia lnE0/E. Per neutroni termiciin acqua si ha ∆r ' 8 cm; ∆r aumenta notevolmente con il peso atomico del moderatore.L’energia ha una distribuzione di Maxwell–Boltzmann alla temperatura del moderatore.I neutroni vengono inviati dalla sorgente alle aree sperimetali mediante guide cave con le

4∫

lnx dx = x lnx− x

78

ii

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pareti realizzate con opportuni materiali in cui i neutroni vengono trasmessi per riflessio-ne totale (l’indice di rifrazione dei neutroni dipende dalla lunghezza d’onda λ(E) e dallaampiezza di scattering elastico f(E) con le pareti della guida).

In esperimenti in cui i neutroni subiscono scattering elastico la velocita viene misuratadopo il campione in esame dal tempo di volo dei neutroni prendendo come riferimentol’istante in cui il fascio di protoni urta il bersaglio della sorgente. Se L e la distanzatra il bersaglio e l’esperimento, l’errore nella misura della velocita dipende dal tempo ditermalizzazione, ∆t, e dall’estensione della sorgente, ∆r,

∆v = v

[(∆r

L

)2

+

(v∆t

L

)2] 1

2

se ∆r = 10 cm, ∆t = 10 µs per neutroni termici e L = 10 m, si ha ∆λλ = ∆v

v ' 10−2.

79

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80

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Capitolo 4

Interazioni tra particelle e materia

Le particelle cariche nell’attraversare i materiali sono soggette a interazioni elettromagne-tiche con gli elettroni e i nuclei atomici. A causa di queste interazioni le particelle perdonoparte dell’energia cinetica e cambiano direzione. I principali effetti sono:

interazioni delle particelle cariche

• perdita di energia per ionizzazione ed eccitazione degli atomi;

• scattering coulombiano nel campo dei nuclei atomici;

• irraggiamento nel campo dei nuclei atomici.

La radiazione elettromagnetica puo convertire parte o tutta la sua energia per interazionecon gli atomi e i nuclei atomici. I principali effetti sono:

interazioni dei fotoni

• effetto fotoelettrico;

• effetto Compton;

• produzione di coppie elettrone–positrone.

Questi effetti, che verranno trattati in modo approssimato, sono importanti per studiare letecniche di rivelazione di particelle cariche e di fotoni e per capire come vengono effettuatigli esperimenti nel campo della fisica nucleare e subnucleare.

4.1 Interazioni delle particelle cariche

4.1.1 Perdita di energia per ionizzazione

Consideriamo un atomo, costituito dal nucleo di carica Ze e Z elettroni, e una particelladi carica ze, massa M me e velocita ~v (Fig.4.1) e facciamo l’ipotesi che la velocitasia abbastanza grande da poter considerare l’elettrone quasi fermo durante la collisione.Facciamo anche l’ipotesi che l’impulso trasferito durante la collisione sia piccolo in modoche la particella non sia deflessa.

81

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Capitolo 4. Interazioni tra particelle e materia

Ze

e

ze

Mv

b

e-v

ze

2πbdb

x

Figura 4.1: Interazione coulombiana tra particella e elettroni atomici

La forza tra la particella e l’elettrone e e~E dove ~E e il campo elettrico generatodalla particella. Consideriamo l’interazione nel riferimento solidale con la particella in cuil’elettrone si muove con velocita −~v. In questo riferimento l’impulso trasferito all’elettrone∆~p′ =

∫~F ′dt′ e, per simmetria lungo la direzione del moto, dato dalla componente

trasversa del campo elettrico

p′e =

∫eE ′⊥dt′ =

∫eE ′⊥

dx′

v≈ e

v

∫E ′⊥dx′

dove abbiamo approssimato che la velocita della particella sia costante durante una colli-sione. Se b e il parametro d’urto e se consideriamo un cilindro con l’asse coincidente con ladirezione del moto relativo e raggio pari al parametro d’urto, il flusso del campo elettricoattraverso la superficie del cilindro e

Φ(~E ′) =

∫S′~E ′ · ~n′ dS′ = 2πb

∫E ′⊥dx′ =

ze

ε0

L’impulso trasferito all’elettrone e

p′e =e

v

ze

2πε0b=

ze2

4πε0b22b

v

cioe pari al prodotto della forza coulombiana a distanza b per un tempo d’urto ∆t′ =2b/v. L’impulso trasferito e invariante poiche nel riferimento dell’elettrone la componentetrasversa del campo elettrico della particella si espande E⊥ = γE ′⊥ e il tempo d’urto sicontrae ∆t = ∆t′/γ. Nell’ipotesi pe mec, l’energia cinetica dell’elettrone, e

Ee =p2e

2me=

(ze2

4πε0b

)22

mev2= 2z2

(e2

4πε0 mec2

)2(mec

2)2

b2 mev2= 2mec

2 z2

β2

r2e

b2

Questa e l’energia perduta dalla particella in un singolo urto. Se ne e il numero di elettroniper unita di volume, il numero di urti nel tratto di percorso d` con parametro d’urtocompreso tra b e b+ db e ne2πbdbd` e l’energia perduta e

d2E

dbd`= ner

2emec

2 4πb

b2z2

β2

L’energia perduta per unita di percorso si ottiene integrando questa relazione tra i limitiminimo e massimo del parametro d’urto

dE

d`=

∫4πner

2emec

2 z2

β2

db

b= 4πner

2emec

2 z2

β2lnbmaxbmin

82

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4.1. Interazioni delle particelle cariche

• Valori grandi del parametro d’urto corrispondono a tempi d’urto grandi. Se ∆t =b/γv e maggiore dell’inverso delle frequenze tipiche ωe degli elettroni atomici non epossibile il trasferimento di energia dalla particella all’elettrone. Quindi assumiamobmax ≈ γv/〈ωe〉.

• Il parametro d’urto non puo essere minore della dimensione dell’elettrone vista dallaparticella incidente. La lunghezza d’onda di de Broglie dell’elettrone e λ = h/p el’elettrone ha nel riferimento della particella impulso p = mecβγ . Quindi assumiamobmin ≈ h/meβγc.

Se il materiale ha numero atomico Z, peso atomico A e densita ρ, il numero di elettroniper unita di volume e ne = NoZρ/A. La formula della perdita di energia per unita dipercorso e stata derivata da Bohr nel 1915. Il risultato che otteniamo differisce da questasolo nel termine logaritmico

formula di BohrdE

d`= 4πr2

emec2 NoZρ

A

z2

β2lnmec

2β2γ2

h〈ωe〉[eV cm−1]

e dipende dai parametri del materiale, dal quadrato della carica della particella ed efunzione solo della velocita della particella βc. La formula di Bohr dipende linearmentedalla densita ed e conveniente esprimere lo spessore del materiale ∆` [cm] come ∆x =ρ∆` [g cm−2]. Tenendo conto del valore

C = 4πr2emec

2No = 0.30 MeV/g cm−2

la perdita di energia per unita di percorso e

dE

dx= C

Z

A

z2

β2lnmec

2β2γ2

〈I〉[MeV/g cm−2] (4.1)

dove 〈I〉 = h〈ωe〉 e il potenziale medio di ionizzazione. Nel modello atomico di Thomas-Fermi (appendice 40) 〈I〉 e approssimativamente uguale a Z volte quello dell’atomo diidrogeno (mec

2/〈I〉 ≈ 3.6 104/Z), quindi la perdita di energia per ionizzazione ha unapiccola dipendenza dal tipo di atomo: dE/dx ∝ (Z/A) ln(costante/Z).

La formula di Bohr e derivata in modo classico ed e una approssimazione molto buonaper particelle di massa M me. Un calcolo piu accurato e stato fatto da Hans Bethe eFelix Bloch nel 1930 tenendo conto di effetti quantistici [34]

formula di Bethe–BlochdE

dx= C

Z

A

z2

β2

(ln

2mec2β2γ2

〈I〉− β2

)(4.2)

Per elettroni e positroni il termine logaritmico nella formula di Bethe–Bloch va modificatoper tener conto del fatto che particella e bersaglio hanno massa uguale e che sono particelleidentiche.

La formula di Bethe–Bloch indica che la perdita di energia per unita di percorso diuna particella carica e proporzionale a 1/β2 per β 1, ha un minimo per β ≈ 0.8 e haun andamento crescente come ln γ2 per β → 1. In realta per valori grandi di γ i valorisperimentali si discostano da questo andamento asintotico e risulta dE/dx→ costante, equesto effetto e maggiore nei materiale a densita elevata. In effetti il valore bmax aumentalinearmente con γ e per valori grandi di γ l’integrazione si estende a valori del parametro

83

ii

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ii

ii


d’urto molto maggiori delle dimensioni atomiche. In questo caso il campo elettrico dellaparticella tende a polarizzare gli atomi del materiale e gli elettroni con grandi parametrid’urto sentono l’azione del campo elettrico parzialmente schermato e contribuiscono menoalla perdita di energia. Questo effetto densita e stato studiato da Fermi nel 1940 cheha introdotto nel termine logaritmico della formula di Bethe-Bloch alcune correzioni chedipendono dalla costante dielettrica del materiale εr e che sono importanti per velocitaβ > 1/

√εr .

La Fig.4.2 mostra l’andamento della perdita di energia per unita di percorso in diversimateriali in funzione di βγ = p/Mc per particelle di carica z = 1.

1

2

3

4

5

6

8

10

1.0 10 100 1000 10 0000.1

Pion momentum (GeV/c)

Proton momentum (GeV/c)

1.0 10 100 10000.1

1.0 10 100 10000.1

1.0 10 100 1000 10 0000.1

dE/d

x (M

eV g

1 cm

2 )

= p/Mc

Muon momentum (GeV/c)

H2 liquid

He gas

CAl

FeSn

Pb

Figura 4.2: (dE/dx)ion in diversi materiali in funzione di βγ per particelle di carica z = 1(S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

La sezione d’urto di collisione inelastica tra una particella e gli atomi si deriva dall’e-spressione del parametro d’urto in funzione dell’energia dell’elettrone

b2 = 2r2e

z2

β2

mec2

Eedσ = 2πbdb = 4πr2

e

z2

β2

mec2 dEeE2e

La sezione d’urto differenziale e

dσ

dEe= 2πr2

e

z2

β2

mec2

E2e

(4.3)

Va notato che gli urti con i nuclei atomici hanno un effetto molto minore rispetto aglielettroni. Infatti l’impulso trasferito e Z volte maggiore ma l’energia trasferita al nucleoper urto e molto piu piccola perche Mnucleo me. Inoltre il fattore Z e compensato dalfatto che ci sono Z elettroni per nucleo. Quindi il contributo dei nuclei alla perdita dienergia e trascurabile.

84

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 85 — #85 ii

ii

ii


4.1.2 Fluttuazioni della perdita di energia per ionizzazione

La perdita di energia per ionizzazione in un materiale di spessore ` e un processo statisticoche avviene con successive collisioni con gli elettroni degli atomi del mezzo. Il numero dicollisioni nel tratto d` con trasferimento di energia nell’intervallo Ee ÷ Ee + dEe e

f(Ee)dEed` =NZρ

Ad`

dσ

dEedEe =

NZρ

A2πr2

emc2 z2

β2

dEeE2e

d` =C

2

Zρ

A

z2

β2

dEeE2e

d`

L’energia ceduta in una singola collisione e caratterizzata dalla funzione di distribuzionef(Ee) e varia in un ampio intervallo dalla minima energia di eccitazione degli atomi delmezzo al valore massimo; per una particella di massa M m e energia E M2c2/m:Emaxe = 2mc2β2γ2 (appendice 29).

La perdita di energia per unita di percorso misurato in g−1cm2 (dx = ρd`) e

dE

dx= C

Z

A

z2

β2

(ln

2mc2β2γ2

〈I〉− β2

)

e l’energia perduta in media in uno spessore x e

∆ = 2

(ln

2mc2β2γ2

〈I〉− β2

)ξ con ξ =

C

2

Z

A

z2

β2x

L’energia perduta effettivamente nello spessore x fluttua attorno al valor medio ∆ ede caratterizzata dalla funzione di distribuzione f(x,∆). La determinazione di questafunzione e complicata dal fatto che, se l’energia della particella incidente e grande, questapuo perderne una frazione anche molto elevata in una singola collisione.

La trattazione delle fluttuazioni e stata fatta originariamente da Bohr con l’ipotesi chel’energia perduta nelle collisioni sia molto minore dell’energia della particella incidenteE0. Il numero di collisioni con trasferimento di energia Ee nello spessore x e f(Ee)dEe =(ξ/x)dEe/E

2e . Nell’ipotesi Ee E0 possiamo interpretare il valore di energia ξ come

quello per cui si ha in media una sola collisione con perdita di energia Ee > ξ nellospessore x

x

∫ Emaxe

ξf(Ee)dEe ' ξ

∫ ∞ξ

dEeE2e

= 1

Le altre ipotesi fatte da Bohr sono:

• lo spessore x e sufficientemente piccolo in modo che risulti ξ Emaxe ;

• lo spessore x e sufficientemente grande in modo da poter mediare su un grandenumero di collisioni.

In questo caso la funzione di distribuzione e gaussiana

f(x,∆) =1√

2πσ2e−(∆−∆)2/2σ2

con varianza

σ2 =

∫f(Ee)E

2edEedx =

C

2

Z

A

z2

β2(Emaxe − Emine )x ' CZ

Az2mc2 x

85

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 86 — #86 ii

ii

ii


La trattazione generale e stata fatta da Lev Landau (per questo sono chiamate fluttuazionidi Landau) considerando sia le perdite di energia Ee < ξ, che sono piu frequenti e seguonola distribuzione gaussiana, sia le perdite di energia Ee > ξ molto meno frequenti e quindisoggette a fluttuazioni poissoniane. Ne risulta una distribuzione f(x,∆) asimmetricacaratterizzata da un valore di picco ∆p < ∆ =

∫f(x,∆)∆d∆. La Fig.4.3 mostra la

distribuzione di ∆/x per mesoni π di impulso 500 MeV in spessori sottili di Silicio (Z/A =0.498; ρ = 2.33 gcm−3). In questo caso, per βγ = 3.5, si ha dE/dx = 1.66 MeV/gcm−2.

Figura 4.3: Distribuzione del rapporto ∆/x in diversi spessori di Silicio (S.Eidelman etal., Physics Letters B592, 1, 2004)

La distribuzione di Landau e espressa in funzione della variabile adimensionale λ =(∆−∆p)/ξ ed e normalizzata in modo che sia

∫Φ(λ)dλ =

∫f(x,∆)d∆. La distribuzione

e mostrata in Fig.4.4 insieme alla funzione di distribuzione di Moyal

f(λ) =1√2π

e−(λ+e−λ)/2

che e una buona approssimazione nel caso di spessori non molto sottili.

Figura 4.4: Distribuzioni di Landau e di Moyal

4.1.3 Percorso residuo

Nell’attraversare un materiale, le particelle cariche con massa M > me perdono energiaprevalentemente per ionizzazione. Se l’energia trasferita in media nelle collisioni e molto

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ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 87 — #87 ii

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ii


minore dell’energia inziale, occorrono moltissime collisioni perche la particella perda tuttal’energia cinetica e si arresti nel materiale. Il percorso residuo, chiamato usualmente range,dipende dalla carica elettrica e dall’energia della particella e dalle proprieta del materiale

R =

∫ R

0dx =

∫ 0

E0

dE

dE/dx

Poiche dE/dx e l’energia sono funzioni della velocita β, dE/dx = z2f(β, Z,A), dE =Mc2γ3βdβ, il range e funzione della velocita iniziale β0. Per particelle di carica e massadiverse si ha la relazione

R =

∫ 0

β0

Mc2γ3βdβ

z2f(β, Z,A)=Mc2

z2F (β0, Z,A)

z2

Mc2R = F (β0, Z,A)

La Fig.4.5 mostra l’andamento del rapporto R/Mc2 in diversi materiali in funzione diβγ = p/Mc per particelle di carica z = 1.

0.05 0.10.02 0.50.2 1.0 5.02.0 10.0Pion momentum (GeV/c)

0.1 0.50.2 1.0 5.02.0 10.0 50.020.0

Proton momentum (GeV/c)

0.050.02 0.1 0.50.2 1.0 5.02.0 10.0Muon momentum (GeV/c)

= p/Mc

1

2

5

10

20

50

100

200

500

1000

2000

5000

10000

20000

50000

R/M

(g cm

2 G

eV1 )

0.1 2 5 1.0 2 5 10.0 2 5 100.0

H2 liquidHe gas

Pb

FeC

Figura 4.5: Rapporto R/Mc2 in diversi materiali in funzione di βγ per particelle di caricaz = 1 (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

Le fluttuazioni della perdita di energia si riflettono in fluttuzioni del range δx =[dE/dx]−1δ∆, dove δ∆ e la fluttuazione della perdita di energia nel percorso dx. Se ilrange e sufficientemente grande, la perdita di energia ha una distribuzione gaussiana convarianza σ2

∆ = 〈(δ∆)2〉 proporzionale allo spessore di materiale attraversato (dσ2∆/dx =

(CZ/A)z2mc2). In questo caso il range ha una distribuzione gaussiana con varianza

σ2R = 〈(δx)2〉 =

∫ R

0

dσ2R

dx

dx

(dE/dx)2' σ2

∆

〈R〉

∫ 0

E0

dE

(dE/dx)3

87

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 88 — #88 ii

ii

ii


4.1.4 Radiazione Cerenkov

L’emissione di radiazione Cerenkov da parte di una particella carica e un effetto legato alleproprieta dielettriche del materiale e avviene quando la velocita della particella e maggioredella velocita di propagazione della luce nel materiale che attraversa. Questo fenomenoe stato osservato da Pavel Cerenkov nel 1934 [35]; la trattazione teorica e dovuta a IlyaFrank e Igor Tamm 1 nel 1937.

In un materiale con costante dielettrica relativa ε e indice di rifrazione n il campoelettrico prodotto dalla particella si propaga con velocita c/[ε(ω)]

12 = c/n(ω). Il campo

elettrico della particella polarizza gli atomi del materiale e la polarizzazione segue il motodella particella senza apprezzabile scambio di energia se la velocita della particella e βcc/n(ω). Se invece βc > c/n(ω) il materiale che si polarizza lungo la traiettoria dellaparticella emette radiazione. La radiazione e coerente sulla superficie di un cono con assela direzione della particella (Fig.4.6) e apertura angolare

cos θc =c/n(ω)

βc=

1

βn(ω)(4.4)

n(ω)

1/β

ω

∆ωβc

c/n

θc

b c > c / n

cos θ = 1/βnc

Figura 4.6: Effetto Cerenkov

L’energia emessa per unita di percorso e unita di frequenza da una particella con caricaelettrica ze e

d2E

dxdω=z2e2

4πεo

ω

c2

[1− 1

β2n2(ω)

]= z2αhω

csin2 θc(ω) (4.5)

e il numero di fotoni emessi con energia hω e

d2n

dxdω=z2α

csin2 θc(ω)

Il numero di fotoni emessi per unita di percorso si ottiene integrando nell’intervallo difrequenza ∆ω in cui n(ω) e positivo, ω < ω0, ed e soddisfatta la condizione per l’effettoCerenkov 1/β < n(ω) < n(ω0)

dn

dx=z2α

c

∫∆ω

sin2 θc(ω)dω ≈ z2α

c〈sin2 θc〉∆ω


88

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 89 — #89 ii

ii

ii

4.2. Radiazione di transizione

L’intervallo di frequenza per cui queste condizioni sono soddisfatte nei materiali trasparentialla radiazione e nel visibile e ultravioletto con h∆ω ≈ 2 eV e il numero medio di fotoniemessi per unita di percorso e

〈dndx〉 ≈ 600 fotoni cm−1 · z2 sin2 θc

L’emissione di radiazione Cerenkov non contribuisce apprezzabilmente alla perdita dienergia della particella poiche dE/dx ≈ z2 sin2 θc [keV cm−1]. L’effetto Cerenkov haimportanti applicazioni nella rivelazione di particelle cariche e nella misura della lorovelocita.

4.2 Radiazione di transizione

Un altro fenomeno legato alle proprieta dielettriche del materiale e l’emissione di radiazioneprodotta da una particella carica relativistica, β ≈ 1, quando passa da un materiale ad unaltro con diversa costante dielettrica. La radiazione di transizione e stata studiata da IlyaFrank e Vitaly Ginsburg nel 1946. Consideriamo una particella di carica elettrica q che simuove nel vuoto nella direzione z con velocita βc e incide normalmente sulla superficie diun materiale di indice di rifrazione n(ω) (Fig.4.7). Il campo elettrico della particella in unpunto ~r′ a distanza ρ′ dalla linea di volo ha componenti

EL =q

4πε

γβct

[ρ′2 + (γβct)2]32

ET =q

4πε

γρ′

[ρ′2 + (γβct)2]32

e polarizza il materiale. La polarizzazione nel punto r′ e tanto piu intensa quanto minore ela distanza ρ′ e produce un campo di radiazione (appendice 30) che si propaga con velocitadi fase c/n(ω)

A(~r) ≈ µo4π

eik′r

re−ik

′r·~r′ k′ =ωn(ω)

cLa radiazione emessa ad angolo polare θ nel piano z–x con frequenza ω ha una differenza

q

q

k

f'

r'

r'

x

y

z

z'

d(w)

Figura 4.7: Emissione di radiazione di transizione

di fase rispetto alla particella

∆φ ≈ kz′ − (k′z′ cos θ + k′ρ′ sin θ cosφ′) = (k − k′ cos θ)z′ − k′ρ′ sin θ cosφ′

con k = ω/βc. Lo spettro di frequenza si estende fino all’inverso del tempo d’urto ∆t =ρ′/γβc: ω ≈ 1/∆t = γβc/ρ′. Quindi radiazione coerente puo essere emessa se sonosoddisfatte le due condizioni

ωn(ω)

c

γβc

ωsin θ < 1 θ <

1

γβn(ω)

89

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 90 — #90 ii

ii

ii


(ω

βc− ωn(ω)

ccos θ

)z′ < 1 z′ <

c

ω

1

1/β − n(ω) cos θ

La prima condizione implica che la radiazione e emessa in avanti (θ < 1/γ), la secondache la radiazione e emessa in una regione, detta zona di formazione, immediatamente avalle della superficie del materiale. La radiazione e emessa con frequenze maggiori dellafrequenza di plasma ωp del materiale. Per un materiale di densita ≈ 1 g cm−3 si hatipicamente hωp ≈ 20 eV e l’emissione si estende dall’ultravioletto alla regione dei raggiX.

Approssimando β−1 ≈ 1 + 1/2γ2, n(ω) ≈ 1− ω2p/2ω

2, cos θ ≈ 1, la zona di formazionedella radiazione di transizione

d(ω) =c

ω

1

1/β − n(ω)=

2γc

ωp

1

ω/γωp + γωp/ω=

2γc

ωp

1

ν + 1/νν =

ω

γωp

ha il valore massimo per ν = 1: dmax = γc/ωp ≈ γ · 10 nm. L’energia irraggiata per unitadi frequenza da una particella di carica elettrica ze e

dE

dν=z2α

πγhωp

[(1 + 2ν2) ln(1 + 1/ν2)− 2

]L’energia totale irraggiata e

E =

∫dE

dνdν ≈ z2α

3γhωp ≈ z2γ × 0.05 eV

Quindi anche per una particella ultrarelativistica questa energia e molto piccola e noncontribuisce alla perdita di energia. Questo effetto e comunque di notevole interesse perchepermette di identificare le particelle con valori di γ elevati, tipicamente elettroni di altaenergia.

4.2.1 Scattering coulombiano multiplo

Nell’attraversare un materiale una particella carica perde energia nelle collisioni con glielettroni atomici senza cambiare apprezzabilmente direzione mentre viene deflessa nellecollisioni elastiche con i nuclei atomici senza perdita apprezzabile di energia cinetica. Lasezione d’urto di interazione col campo elettrico del nucleo (capitolo 2) e fortemente piccataa piccoli angoli di scattering

dσ

dΩ= r2

e(zZ)2 (mec2)2

4p2v2 sin4 θ/2

Se lo spessore del materiale non e piccolo, la particella subisce molte collisioni in cui epredominante l’effetto di scattering ad angoli piccoli (Fig.4.8). Se nN = Noρ/A e ilnumero di nuclei per unita di volume, il numero di collisioni per unita di percorso in cuila particella e deflessa nell’angolo solido dΩ e

d2n = nN dσ dx = 8πr2e(zZ)2 (mec

2)2

p2v2

θdθdx

θ4

dove abbiamo approssimato sin4 θ/2 ≈ θ4/16, dΩ ≈ θdθdφ e abbiamo integrato sull’an-golo azimutale φ. Nell’ipotesi che le successive collisioni siano indipendenti, e ragionevole

90

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 91 — #91 ii

ii

ii


Ze

e

ze

mp

θz

θy θ

∆x

Figura 4.8: Scattering coulombiano multiplo

assumere che la distribuzione nell’angolo di scattering sia gaussiana. Il valore quadraticomedio dell’angolo di scattering per unita di percorso e

θ2s =

d〈θ2〉dx

=

∫θ2 d

2n

dθdxdθ = 8πr2

e

Noρ

A(zZ)2 (mec

2)2

p2v2

∫θ2dθ

θ3

θ2s = 8πr2

e

Noρ

A(zZ)2 (mec

2)2

p2v2lnθmaxθmin

La relazione tra l’angolo di scattering e il parametro d’urto e

tan θ/2 = zZmec

2

Mv2

reb

e quindi, nell’approssimazione di piccoli angoli, possiamo sostituire θmax/θmin conbmax/bmin. Dato che il rapporto compare in un logaritmo una stima approssimata noncomporta errori di rilievo.

• Se il parametro d’urto e maggiore delle dimensioni atomiche la carica del nucleo eschermata da quella degli elettroni e il campo elettrico si annulla; quindi assumianobmax ≈ 〈ratomo〉. Nel modello atomico di Thomas-Fermi (appendice 40) il raggio

medio della distribuzione di carica nell’atomo e 〈ratomo〉 ≈ (re/α2)Z−

13 .

• Se il parametro d’urto e minore delle dimensioni del nucleo, la carica efficace diminui-sce e quindi anche la sezione d’urto; quindi assumiano bmin ≈ 〈rnucleo〉. La fenome-nologia dei nuclei atomici (capitolo 9) mostra che il raggio medio della distribuzione

di carica nel nucleo e 〈rnucleo〉 ≈ reA13 /2.

Con queste scelte si ha

θmaxθmin

=2

α2

(Z

A

)1/3

Z−23 =

(√2

α

(Z

A

) 16

Z−13

)2

≈ (183 Z−13 )2

e l’angolo quadratico medio per unita di percorso si esprime

θ2s = 16πr2

e

Noρ

A(zZ)2 (mec

2)2

p2v2ln 183 Z−

13

θ2s =

(4π(mec

2)2

α

)(z

pv

)2(

4r2eαNoZ

2ρ

Aln 183 Z−

13

)

91

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 92 — #92 ii

ii

ii


Il primo termine ha dimensioni [energia2]: Es = mec2[4π/α]1/2 ≈ 21 MeV . Il terzo

termine ha le dimensioni [cm−1] e definiamo il

cammino di radiazione1

X0= 4r2

eαN0Z

2ρ

Aln 183 Z−

13 (4.6)

Integrando su uno spessore finito di materiale, 〈θ2〉 =∫θ2sdx, l’angolo medio di scattering

coulombiano multiplo √〈θ2〉 = z

Espv

[x

X0

] 12

e proporzionale alla carica elettrica, inversamente proporzionale all’impulso e dipendedalla radice quadrata dello spessore di materiale misurato in cammini di radiazione. Ilcammino di radiazione, cosı chiamato perche e la lunghezza caratteristica dei processidi irraggiamento, e inversamente proporzionale al numero atomico Z e alla densita delmateriale. Se si misura la traiettoria di una particella in un piano, nella approssimazionedi angoli piccoli, 〈θ2〉 = 〈θ2

x〉+ 〈θ2y〉, l’angolo medio proiettato sul piano e

Es = mec2(2π/α)

12 = 14 MeV

√〈θ2proj〉 =

√〈θ2〉

2≈ z 14 MeV

pv

[x

X0

] 12

(4.7)

In realta la distribuzione misurata ha delle code non gaussiane dovute a collissioni congrandi angoli di deflessione e a effetti di correlazione che sono riprodotti con calcoli piuaccurati nella teoria di Moliere dello scattering multiplo [36].

4.2.2 Irraggiamento

Nelle collisioni elastiche con i nuclei atomici una particella carica viene accelerata e quindiemette radiazione elettromagnetica. La potenza emessa e proporzionale al quadrato del-l’accelerazione (appendice 30). Poiche la forza coulombiana non dipende dalla massa, lapotenza e inversamente proporzionale al quadrato della massa. Il fenomeno dell’irraggia-mento, detto anche bremsstrahlung, e molto piu importante per gli elettroni che per le altreparticelle. Per particelle piu pesanti diventa non trascurabile solo per valori di γ 1.Facciamo quindi l’ipotesi β ≈ 1 e che la velocita della particella non cambi apprezzabil-mente durante la collisione col nucleo. Tratteremo il fenomeno sulla base di considerazionisemplici e in modo approssimato. La trattazione accurata dell’irraggiamento di elettroninel campo dei nuclei

e− N → N e− γ

e stata fatta da Hans Bethe e Walter Heitler nel 1934 tenendo conto degli effetti quantistici.Consideriamo una particella di massa M , carica ze, con velocita ~v e parametro d’urto

b rispetto ad un nucleo di carica Ze e calcoliamo la potenza emessa per irraggiamentonel riferimento della particella, O′, dove la componente trasversa del campo elettrico delnucleo appare espansa del fattore γ (Fig.4.9). Abbiamo visto che in questo riferimentol’impulso trasferito e dato dal prodotto della componente trasversa del campo elettricoper un tempo d’urto pari a 2b/γv. Se la particella e soggetta ad una accelerazione a′, lapotenza irraggiata (appendice 30) e

a′ = γzZe2

4πε0b21

MW ′ =

2

3

(ze)2

4πε0

a′2

c3= γ2 2

3

z4Z2e6

(4πε0)3

1

b4M2c3

92

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 93 — #93 ii

ii

ii


Zeze

M

a

E

E'

Eγ

dE

dω

ω

Figura 4.9: Irraggiamento nel campo di un nucleo

L’energia emessa durante il tempo d’urto ∆t′ = 2b/γv e

∆E′ =

∫W ′dt′ = γ

4

3

z4Z2e6

(4πε0)3

1

b3M2c3v

Lo spettro di frequenza di un fenomeno impulsivo di durata ∆t′ = 2b/γv e approssima-tivamente uniforme fino alla frequenza di taglio ω′c = γv/2b (Fig.4.9) e quindi l’energiairraggiata per unita di frequenza e

dE′

dω′≈ ∆E′

ω′c=

8

3

z4Z2e6

(4πε0)3

1

b2M2c3v2

Lo spettro di frequenza dE/dω e una quantita invariante perche energia e frequenza sitrasformano allo stesso modo. Nel laboratorio la frequenza della radiazione e trasformataper effetto Doppler

ω = γω′(1− β cos θ′) tan θ =sin θ′

γ(cos θ′ − β)

e, tenendo conto che la distribuzione angolare della radiazione nel riferimento della parti-cella e approssimativamente uniforme (appendice 30), troviamo che

• lo spettro di energia irraggiata per unita di frequenza

dE

dω=

8

3z4Z2r2

e

e2

4πε0

m2e

M2

1

β2c

1

b2

e approssimativamente uniforme fino alla frequenza massima ωc ≈ βγ2c/2b;

• la radiazione e emessa ad angoli piccoli, θ ≈ 1/γ, e l’angolo di emissione non dipendedalla frequenza.

L’energia irraggiata viene emessa sotto forma di quanti, i fotoni, con energia Eγ = hω. Ilnumero di fotoni irraggiati per intervallo unitario di energia e

dn

dEγ=

1

Eγ

dE

dhω

In un materiale con nN = Noρ/A nuclei per unita di volume, il numero di collissioni perunita di percorso con parametro d’urto compreso tra b e b+db e 2πnNbdbd`. Il numerodi fotoni irraggiati per intervallo unitario di energia e per unita di percorso si ottieneintegrando sui possibili valori del parametro d’urto

d2n

dEγd`=

1

Eγ

8π

3

z4

β2r2eα

m2e

M2

NoZ2ρ

Alnbmaxbmin

93

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 94 — #94 ii

ii

ii


Nel fissare i limiti di integrazione del parametro d’urto occorre tener conto delle diversepossibili situazioni di schermaggio della carica del nucleo da parte degli elettroni atomici.La distribuzione del numero di fotoni emessi si esprime (x = ρ`)

d2n

dEγdx=z4

β2

m2e

M24r2eα

NoZ2

A

F (E,Eγ)

Eγ

dove E e l’energia della particella e F (E,Eγ) e una funzione che tiene conto dello schermag-gio. L’energia emessa per unita di percorso si ottiene integrando la relazione precedente

dE

dx=

∫ E

0

d2n

dEγdxEγdEγ =

z4

β2

m2e

M24r2eα

NoZ2

A

∫ E

0F (E,Eγ) dEγ

Poiche per particelle con massa M me la probabilita di irraggiamento e molto piccola,limitiamoci a considerare l’irraggiamento da parte di elettroni relativistici (z = 1, M = me,β ≈ 1). In questo caso

• per energia mec2 E mec

2Z−13 /α la carica del nucleo non e schermata e

l’integrale vale ∫ E

0F (E,Eγ) dEγ =

(ln

2E

mec2− 1

3

)E

• per energia E mec2Z−

13 /α la carica del nucleo e parzialmente schermata e

l’integrale vale ∫ E

oF (E,Eγ) dEγ =

(ln 183Z−

13 +

1

18

)E

Quindi la perdita di energia per unita di percorso aumenta con l’energia e, per energiaelevata, e approssimativamente proporzionale a E. Ricordando la definzione del camminodi radiazione, che abbiamo ottenuto assumendo bmin ≈ rnucleo e bmax ≈ ratomo, si ha

dE

dx= 4r2

eαNoZ

2

A

(ln 183Z−

13 +

1

18

)E ≈ E

X0(4.8)

Nell’attraversare un materiale di cammino di radiazione X0 un elettrone dissipa la suaenergia iniziale E0 con andamento esponenziale: E(x) = E0e

−x/X0 .

In questa trattazione molto approssimata abbiamo trovato che la distribuzione in ener-gia irraggiata e uniforme. In realta questa conclusione non e corretta, ma e una discretaapprossimazione per elettroni di energia elevata. Con questa approssimazione, cioe con-siderando F (E,Eγ) ≈ 〈F (E,Eγ)〉 ≈ ln 183Z−

13 , la sezione d’urto di irraggiamento per

elettroni di alta energia e

dσ

dEγ= 4r2

eαZ2 F (E,Eγ)

Eγ≈ 4r2

eα

EγZ2 ln 183Z−

13 (4.9)

E interessante notare che la sezione d’urto e proporzionale alla sesta potenza della caricaelementare (alla terza potenza della costante α) e su questo torneremo piu avanti.

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4.3. Interazioni dei fotoni

4.3 Interazioni dei fotoni

4.3.1 Effetto fotoelettrico

Fotoni di energia maggiore dell’energia di legame degli elettroni atomici vengono assorbitidagli atomi che vengono ionizzati. Gli elettroni sono emessi con energia cinetica

Ke = Eγ − Elegame

e il nucleo atomico assorbe parte dell’impulso del fotone. La sezione d’urto del processo

γ A → A+ e−

decresce approssimativamente come E−3γ e mostra delle discontinuita in corrispondenza

delle energie degli orbitali atomici . . .M, L, K dove si aprono i canali di assorbimento.Una trattazione rigorosa dell’effetto fotoelettrico e difficile perche richiede la conoscenzadelle funzioni d’onda degli stati atomici. Per energia maggiore dell’energia di legame degliorbitali K, la sezione d’urto di assorbimento dei raggi X e approssimativamente

σp.e. ≈ σT 4α4Z5

(mec

2

Eγ

)3

(4.10)

dove σT = (8π/3)r2e e la sezione d’urto di Thomson. La sezione d’urto ha una forte

dipendenza dal numero atomico Z: la probabilita del singolo processo di assorbimentoe proporzionale a Z4 e vi e un altro fattore Z per tener conto del numero di elettroni.Il coefficiente di assorbimento per effetto fotoelettrico in un materiale con nA atomi perunita di volume e

µp.e. = nA σp.e. =N0ρ

Aσp.e.

4.3.2 Effetto Compton

Per fotoni con energia molto maggiore dell’energia di legame degli elettroni atomici, questisi possono considerare liberi. L’effetto Compton rappresenta il processo elementare discattering elastico

γ e− → γ e−

Nel riferimento dell’elettrone un fotone di energia E viene deviato ad angolo polare θ conenergia E′ (appendice 29)

E′ =E

1 + (E/mec2)(1− cos θ)

La differenza tra la lunghezza d’onda della radiazione emessa e quella della radiazioneincidente dipende solo dall’angolo di scattering

λ′ − λ = λe(1− cos θ)

questa fu l’osservazione che fece Compton 2 e misuro la lunghezza d’onda Compton del-l’elettrone: λe = h/mec. L’elettrone acquista energia cinetica Ke ed e emesso ad angoloθe

Ke = E(E/mec

2)(1− cos θ)

1 + (E/mec2)(1− cos θ)tan θe =

1

(1 + E/mec2) tan θ/2


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l’energia dell’elettrone e massima quando il fotone e emesso all’indietro, θ = π. Se l’energiae E mec

2 il fotone cede la maggior parte della sua energia all’elettrone.La sezione d’urto e stata calcolata da Oskar Klein e Yoshio Nishina nel 1928 [37]

dσ

dΩ=r2e

2

(E′

E

)2 (E′E

+E

E′− sin2 θ

)(4.11)

Per piccoli valori dell’energia, E mec2, E′ → E, la sezione d’urto ha come limite

la sezione d’urto di Thomson dσ/dΩ = (r2e/2)(2 − sin2 θ). E interessante notare che la

sezione d’urto dell’effetto Compton, come la sezione d’urto di Rutherford, e proporzionalealla quarta potenza della carica elettrica (al quadrato della costante α). La sezione d’urtototale, con ε = E/mec

2, e

σC = 2πr2e

[1 + ε

ε2

(2(1 + ε)

1 + 2ε− 1

εln(1 + 2ε)

)+

1

2εln(1 + 2ε)− 1 + 3ε

(1 + 2ε)2

]Per ε 1 ha l’andamento asintotico

σC ≈ πr2e

mec2

E

(1

2+ ln

2E

mec2

)Il coefficiente di assorbimento per effetto Compton in un materiale con ne elettroni perunita di volume e

µC = neσC =N0Zρ

AσC

4.3.3 Produzione di coppie

Quando l’energia e sufficientemente elevata, un fotone puo essere assorbito convertendola sua energia nella massa di una coppia particella–antiparticella nel campo elettrico diun nucleo. Il rinculo del nucleo assicura la conservazione dell’impulso. In realta questoeffetto e importante solo per produzione di coppie elettrone–positrone che puo avvenirese l’energia del fotone e E > 2mec

2. Considerando che la corrente di un elettrone eequivalente a quella di un positrone con impulso opposto e che, come sara chiarito piuavanti, l’interazione elettromagnetica e invariante per inversione temporale, ci possiamoconvincere che il processo di produzione di coppie

γ N → N e+ e−

ha molte analogie con il processo di irraggiamento da parte di un elettrone nel campo delnucleo (Fig.4.10), e− N → e− N γ.

Molte delle considerazioni fatte per l’irraggiamento sono valide anche per la produzionedi coppie. Il bilancio di energia e impulso nel processo e

E = K ′ +K ′′ + 2mec2 +KN ~p = ~p′ + ~p′′ + ~pN

e possiamo trascurare l’energia cinetica del nucleo poiche pN ≈ mec, quindi si ha E′ =K ′ +mec

2 = E − E′′.La sezione d’urto differenziale per produzione di coppie e+e− e proporzionale al qua-

drato della carica del nucleo e si esprime

dσ

dE′= 4αr2

e Z2 F (E,E′)

E′

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Ze

γ

e

e

Ze

γ

e

e

Figura 4.10: Irraggiamento e produzione di coppie elettrone-positrone nel campo di unnucleo

dove E e l’energia del fotone, E′ e l’energia di una delle due particelle prodotte e F (E,E′)e una funzione che tiene conto dei limiti di integrazione sul parametro d’urto e delloschermaggio del campo elettrico del nucleo. L’angolo medio di produzione di elettroni epositroni rispetto alla direzione del fotone e θ ≈ mec

2/E. La sezione d’urto si ottieneintegrando la relazione precedente

σp.p. = 4αr2eZ

2∫ E−2mc2

0

F (E,E′)

E′dE′

• per energia 2mec2 E mec

2Z13 /α la carica del nucleo non e schermata e

l’integrale vale ∫ E−2mc2

o

F (E,E′)

E′dE′ =

7

9ln

2E

mec2− 109

54

• per energia E mec2Z

13 /α la carica del nucleo e parzialmente schermata e l’inte-

grale vale ∫ E−2mc2

0

F (E,E′)

E′dE′ =

7

9ln 183Z

13 − 1

54

La sezione d’urto di produzione di coppie e+e−, ha la soglia a E = 2mec2, cresce lentamente

con il logaritmo dell’energia del fotone e diventa approssimativamente costante a energiaE mec

2Z13 /α. Il coefficiente di assorbimento in un materiale che contiene nN nuclei

per unita di volume e µp.p. = (Noρ/A)σp.p. e, dalla definizione di cammino di radiazione,per fotoni di energia elevata e

µp.p. ≈ 4αr2e

NoZ2ρ

A

7

9ln 183Z

13 =

7

9

1

X0(4.12)

Quindi un fotone di energia elevata ha una probabilita di conversione pari a e−7x/9X0

nell’attraversare un materiale di spessore x.La sezione d’urto dei diversi processi con cui i fotoni interagiscono con gli atomi o

con i nuclei (effetto fotoelettrico, effetto Compton e produzione di coppie) dipende dall’e-nergia Eγ e dalle proprieta dei materiali (densita, numero atomico e peso atomico). LaFig.4.11 mostra la sezione d’urto totale (risultati sperimentali) e il risultato del calcolo deidiversi contributi alla sezione d’urto in funzione dell’energia in Carbonio e Piombo. Lasezione d’urto per effetto fotoelettrico decresce rapidamente con l’aumentare dell’energiae si osservano le soglie di eccitazione degli elettroni dei diversi orbitali atomici, la sezioned’urto per produzione di coppie elettrone-positrone aumenta rapidamente dopo la soglia(Eγ > 2me) e poi diventa approssimativamente costante, mentre il contributo dell’effetto

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Photon Energy

1 Mb

1 kb

1 b

10 mb10 eV 1 keV 1 MeV 1 GeV 100 GeV

(b) Lead (Z = 82) experimental tot

p.e.

e

Cro

ss s

ection

(ba

rns/

atom

)C

ross

sec

tion

(ba

rns/

atom

)10 mb

1 b

1 kb

1 Mb(a) Carbon (Z = 6)

Rayleigh

Rayleigh

Compton

Compton

nuc

nuc

e

p.e.

experimental tot

Figura 4.11: Sezione d’urto totale di fotoni in Carbonio e Piombo in funzione dell’energia(S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

Compton e piu importante nella regione di energia intermedia (Eγ = 100 keV ÷10 MeV ).

Il coefficiente di assorbimento dei fotoni e la somma dei vari contributi µγ = µp.e +µC + µp.p. La lunghezza di attenuazione λ = 1/µ, misurata in g cm−2, e mostrata inFig.4.12 in funzione dell’energia per diversi elementi.

4.3.4 Sciami elettrofotonici

Elettroni e positroni di energia E mec2 hanno elevata probabilita di emettere fotoni di

bremsstrahlung e−N → N e−γ; lo spessore di materiale che caratterizza questo processoe il cammino di radiazione, X0. D’altra parte, fotoni di alta energia hanno elevata proba-bilita di convertire in coppie elettrone-positrone γN → N e+e−; lo spessore di materialecaratteristico e 7X0/9. In entrambe questi processi l’energia cinetica della particella pri-maria, elettrone o fotone, e convertita in energia cinetica delle due particelle secondarie enon e ceduta agli atomi del materiale. Quindi un elettrone o un fotone di energia elevatada origine ad un fenomeno moltiplicativo di produzione di elettroni, positroni e fotonisecondari che continua finche l’energia dei secondari non e cosı piccola da far prevalere ifenomeni dissipativi di ionizzazione ed eccitazione degli atomi. L’assorbimento di fotoniper effetto fotoelettrico e importante solo per energie inferiori al MeV . Per elettroni epositroni il fenomeno di ionizzazione e importante solo a energie di qualche decina di MeV .

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Photon energy

100

10

10–4

10–5

10–6

1

0.1

0.01

0.001

10 eV 100 eV 1 keV 10 keV 100 keV 1 MeV 10 MeV 100 MeV 1 GeV 10 GeV 100 GeV

Abs

orpt

ion

len

gth

(

g/c

m2)

Si

C

Fe Pb

H

Sn

Figura 4.12: Lunghezza di assorbimento di fotoni in diversi elementi in funzionedell’energia (S.Eidelman et al., Physics Letters B592, 1, 2004)

Definiamo energia critica di un materiale l’energia per cui la perdita di energia perirraggiamento e uguale alla perdita di energia per ionizzazione(

dE

dx

)rad

= 4αr2e

NoZ2

AE ln 183Z

13

(dE

dx

)ion

= 4πr2emec

2NoZ

A

1

β2

(ln

2mec2β2γ2

〈I〉− β2

)

Per elettroni di alta energia, β ≈ 1, (dE/dx)ion e approssimativamente costante e si ha

(dE/dx)rad(dE/dx)ion

≈ α

π

E

mec2

ln 183Z−13

ln(2mec2γ2/〈I〉)≈ ZE

1600 mec2

energia critica Ec ≈1600

Zmec

2

Gli sciami elettrofotonici sono stati osservati in raggi cosmici da Patrick Blackett eGiuseppe Occhialini nel 1933. Uno studio approfondito dello sviluppo degli sciami e statofatto da Bruno Rossi e Kenneth Greisen nel 1940 [38]. Per spiegare il fenomeno in modoqualitativo e approssimato facciamo le ipotesi:

• la particella primaria ha energia molto maggiore dell’energia critica;

• il coefficiente di assorbimento e lo stesso per elettroni e fotoni: consideriamo uncammino di radiazione medio X0;

• in ogni lunghezza di dimezzamento, X0 ln 2, una particella produce due secondari(e± → e±γ oppure γ → e+e−) ciascuno con meta dell’energia;

• i secondari sono emessi ad angoli piccoli, θ ≈ mec2/E;

• i secondari non cedono energia al materiale se E > Ec.

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Con queste ipotesi il numero di secondari aumenta con legge esponenziale se hanno energiasufficiente ad alimentare lo sviluppo dello sciame. Se E0 e l’energia della particella cheinizia lo sciame, dopo uno spessore x di materiale si ha (t = x/X0)

• numero medio di secondari nsec(t) = 2t

• energia media dei secondari Esec(t) = E0/nsec(t) = E0/2t

• massimo sviluppo dello sciame t = tmax = lnE0/Ecln 2

• numero di secondari al massimo nsec(tmax) = E0/Ec

Quando lo sciame ha raggiunto il massimo sviluppo, allo spessore tmax, gli elettroni e ipositroni hanno energia media E ≈ Ec e iniziano a dissipare la loro energia in collisioniinelastiche con gli atomi del materiale e il numero di secondari decresce esponenzialmentecon il coefficiente di assorbimento µ definito dalla sezione d’urto di ionizzazione. Quindi losviluppo longitudinale di uno sciame elettrofotonico ha un andamento crescente fino allospessore tmax e poi un decadimento esponenziale. Il numero di secondari e usualmenteparametrizzato nella forma

nsec(x) = a(x/X0)be−µx

e il numero totale di secondari prodotti

ntot =

∫ ∞0

nsec(x)dx

e proporzionale all’energia della particella primaria.Nei fenomeni moltiplicativi di bremsstrahlung e produzione di coppie l’angolo di emis-

sione dei secondari, θ ≈ mec2/E, e minore dell’angolo medio di scattering coulombiano

multiplo in uno spessore X0, 〈θs〉 ≈ 21 MeV/E. Quindi lo sviluppo laterale dello sciamee determinato dallo scattering coulombiano dei secondari carichi e la dimensione tipica diuno sciame nel piano trasverso e

〈r⊥〉 ≈21 MeV

EcX0

detto raggio di Moliere.

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Capitolo 5

Metodi di rivelazione delleparticelle

Gran parte dei metodi di rivelazione delle radiazioni sono basati sulla perdita di energia perionizzazione delle particelle cariche nell’attraversare spessori di materiale. In questo caso,gli elettroni e gli ioni prodotti lungo il percorso sono la sorgente del segnale che rivela ilpassaggio della particella. Il numero di coppie di ioni i+e− per unita di percorso e chiamatoionizzazione specifica ed e il rapporto tra la perdita di energia per ionizzazione, (dE/dx)ion,e l’energia necessaria per produrre una coppia i+e−. Questa dipende dal materiale ed etipicamente 20 ÷ 30 eV . I metodi usati per rivelare fotoni dipendono dalla loro energia:a bassa energia, E < 100 keV , si rivelano gli elettroni emessi per effetto fotoelettrico, perE ≈ 1 MeV si sfrutta l’effetto Compton e ad alta energia il meccanismo di produzione dicoppie e+e− e la capacita di iniziare sciami elettrofotonici. I metodi per rivelare neutronisono basati sulle loro interazioni nucleari: ad energia sufficientemente elevata si rivelanole particelle cariche prodotte nelle reazioni nucleari, a bassa energia si usano materiali connuclei leggeri cui i neutroni cedono energia cinetica per urto elastico. I vari metodi sonoessenzialmente basati sui processi studiati nel capitolo 7. I parametri importanti sono laionizzazione specifica, per le particelle cariche, e il coefficiente di assorbimento per fotonie neutroni.

Le caratteristiche principali di un rivelatore sono:

• il potere risolutivo temporale: la capacita di definire l’istante di passaggio dellaparticella; per alcuni rivelatori si parla di tempo di sensibilita che e l’intervallo ditempo in cui il rivelatore e in grado di rivelare la particella;

• il potere risolutivo spaziale: la capacita di localizzare il passaggio della particella;

• l’efficienza di rivelare la particella;

• il tempo di recupero necessario per tornare in efficienza dopo aver registrato unaparticella.

Alcuni rivelatori hanno bisogno di un comando esterno, comunemente chiamato trigger,per essere in grado di rivelare una particella. Questo viene fornito da rivelatori con unpotere risolutivo temporale adatto e con risposta rapida.

Nel seguito diamo un elenco dei pricipali metodi per rivelare le particelle senza entrarenel dettaglio, ma per fornire informazione sufficiente a capire gli esperimenti. Alcuni

101

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Capitolo 5. Metodi di rivelazione delle particelle

rivelatori hanno un interesse storico per l’importante contributo alla conoscenza nel campodella fisica nucleare e subnucleare, ma non vengono piu utilizzati. Molti rivelatori sonochiamati camere: e una brutta traduzione dall’inglese ma e di uso corrente.

5.1 Rivelatori di tracce

Un rivelatore di tracce e usato per misurare molti punti vicini lungo il passaggio di unaparticella carica per ricostruirne la traiettoria.

5.1.1 Camera a nebbia

La camera a nebbia, detta anche camera di Wilson da Charles Wilson 1 che ideo la tecnicae realizzo la prima nel 1912 [39], ha avuto un ruolo fondamentale nei primi studi dei raggicosmici. Il principio di funzionamento e basato sulla proprieta di un gas sovrasaturo, intotale assenza di polveri, di produrre goccioline dove sono presenti ioni. La condizione disovrassaturazione si ottiene espandendo rapidamente (quindi riducendo la pressione) unvapore all’equilibrio con il suo fluido. Se l’espansione avviene entro un breve intervallo ditempo rispetto al passaggio di una particella ionizzante, le goccioline si formano attornoagli ioni prodotti. Il tempo di sensibilita e tipicamente di 10÷100 ms. In molti esperimentil’espansione della camera a nebbia e fatta in modo asincrono. Il tempo di sensibilita ecomunque abbastanza lungo perche si possa utilizzare un comando esterno. La posizionedelle goccioline viene registrata illuminando e fotografando la camera a nebbia subitodopo l’espansione. Il ritardo deve essere sufficientemente breve perche le goccioline nondiffondano nel gas. La risoluzione spaziale dipende dalle dimensioni e dalla diffusionedelle goccioline ed e tipicamente ≈ 0.5 mm. Il tempo di recupero necessario perche dopoun’espansione il gas sia nelle condizioni di rivelare il passaggio di un’altra particella e dialcuni secondi.

5.1.2 Camera a diffusione

Il principio di funzionamento della camera a diffusione e lo stesso della camera a nebbia, manon ha bisogno di espansione perche le condizioni di gas sovrasaturo per la formazione digoccioline attorno agli ioni vengono mantenute con un delicato procedimento di diffusionedel vapore all’interno della camera. La camera a diffusione ha il vantaggio di funzionare inmodo continuo e, poiche non e necessario espandere il gas, di poter funzionare a pressione.La camera a diffusione e stata utilizzata in esperimenti con fasci di particelle prodotti daacceleratori. La risoluzione spaziale e ≈ 0.5 mm ed e limitata dai moti convettivi delladiffusione del vapore all’interno della camera.

5.1.3 Camera a bolle

Il materiale sensibile in una camera a bolle e un liquido in cui la pressione idrostatica emantenuta per un breve intervallo di tempo piu bassa della tensione di vapore. In questecondizioni il liquido surriscaldato non bolle spontaneamente, le bolle si possono formaresolo se c’e un aumento locale di temperatura; questo e prodotto dall’energia rilasciata daparticelle ionizzanti. L’energia necessaria per produrre le condizioni di crescita di una


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5.1. Rivelatori di tracce

bolla e tipicamente 10 ÷ 100 eV . La camera a bolle e stata ideata da Donald Glaser 2

che realizzo la prima nel 1952 [41]. La camera a bolle funziona in modo ciclico: nellostato di riposo si ha p > pvap; una rapida espansione porta la camera nella condizione difunzionamento in cui p < pvap; segue una rapida compressione per tornare nella condizionedi riposo. Nella condizione di funzionamento il tempo di sensibilita e di circa 10 ms, ladurata del ciclo e tipicamente una frazione di secondo.

Le camere a bolle sono state usate in esperimenti presso acceleratori con il ciclo dioperazione sincronizzato con l’estrazione del fascio in modo che questo attraversi la cameradurante il periodo di sensibilita, le tracce formate dalle bollicine vengono illuminate efotografate entro un intervallo di tempo di qualche ms sufficiente a far formare le bolle,ma prima che queste siano troppo grandi per non degradare la risoluzione spaziale che etipicamente di 0.3 mm. Il liquido della camera a bolle costituisce anche il bersaglio: camerea bolle usate con idrogeno e deuterio liquido hammo permesso di studiare le reazioni diparticelle con protoni e neutroni. Liquidi nobili e liquidi organici piu pesanti sono usatiper aumentare la densita del bersaglio e quindi la luminosita di un esperimento.

5.1.4 Emulsioni nucleari

Henri Bequerel per primo osservo nel 1896 che le emulsioni fotografiche sono sensibili alleradiazioni. Da allora si e cercato di capire la natura di questo fenomeno e di svilupparemetodi di rivelazione basati sulle emulsioni fotografiche. Emulsioni capaci di rivelare traccedi particelle di bassa energia e altamente ionizzanti, come i raggi α, sono state utilizzatedal 1925. Nel 1939 Cecil Powell 3 in collaborazione con i laboratori Ilford realizzo le primeemulsioni sensibili a particelle al minimo di ionizzazione [40].

Le emulsioni nucleari sono costituite da grani di bromuro di argento, AgBr, di dimen-sioni della frazione di µm distribuiti in una gelatina con una densita di alcuni grani/10 µm.La particella ionizzante produce lungo il suo percorso elettroni che tendono a trasformarei grani in Ag metallico. Questa trasformazione viene completata quando, dopo l’esposizio-ne, l’emulsione viene sottomessa al processo chimico dello sviluppo per cui i grani di Ag,non trasparenti, riproducono la traccia della particella nella emulsione. Le emulsioni sonopreparate in lastre dello spessore di 300÷ 500 µm e della dimensione di circa 200 cm2 e,una volta sviluppate, vengono osservate al microscopio.

Le emulsioni nucleari non hanno alcuna risoluzione temporale poiche sono sensibilidal momento della produzione al momento dello sviluppo e durante questo periodo vannotenute in condizioni di bassa umidita, bassa temperatura e, possibilmente, schermate dasorgenti di radiazione che non si vuol rivelare. Hanno d’altra parte un’ottima risoluzionespaziale data dalla dimensione dei grani impressionati, ≈ 1 µm, e dalla loro distanza,< 10 µm. Con emulsioni nucleari si puo determinare la ionizzazione specifica di unaparticella, misurando la densita di grani impressionati, e la direzione della particella,osservando l’aumento della scattering coulombiano multiplo dovuto alla perdita di energialungo il percorso.


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5.1.5 Camera a scintilla

La camera a scintilla, sviluppata negli anni ’50, e costuita da lastre conduttrici piane,tipicamente distanziate di 1 cm, connesse atlernativamente a massa e ad un generatoreimpulsivo di tensione. Tra le lastre vi e un gas nobile che viene ionizzato dal passaggiodi una particella carica. Se immediatamente dopo il passaggio della particella, primache avvenga la ricombinazione degli ioni, si applica un campo elettrico di ≈ 10 kV/cmgli elettroni vengono fortemente accelerati e innescano una scarica lungo la traccia diionizzazione lasciata dalla particella. L’impulso di tensione deve essere comandato darivelatori rapidi entro il tempo di sensibilita, che e ≈ 0.5 µs, e deve essere breve, < 0.1 µs,per limitare l’energia e quindi la dimensione della scarica. Le scintille sono facilmentevisibili e possono essere fotografate. La risoluzione spaziale e definita dalla dimensione dellascarica ed e tipicamente < 1 mm per tracce normali agli elettrodi e peggiora leggermenteper tracce inclinate. Vi e un tempo di recupero di circa 1 ms per eliminare la ionizzazioneresidua prodotta dalla scarica.

5.1.6 Camera a streamer

Nella camera a streamer, come nella camera a scintilla, il mezzo sensibile e un gas nobileche viene ionizzato dal passaggio di una particella carica. In questo caso i due elettrodisono piu distanti tra loro e il campo elettrico, ≈ 20 kV/cm, viene eccitato per un tempomolto breve ≈ 10 ns. In questo breve intervallo di tempo gli elettroni sono fortementeaccelerati e producono altri elettroni secondari di ionizzazione che emettono radiazione,ma l’energia non e sufficiente a innescare la scarica. La radiazione emessa lungo la tracciadi ionizzazione e visibile e puo essere fotografata. Anche in questo caso c’e bisogno diun comando esterno: piu breve e il ritardo migliore e la risoluzione spaziale, tipicamente< 1 mm.

5.2 Scintillatori

Alcuni materiali emettono luce di scintillazione quando sono attraversati da particelleionizzanti. Questo fenomeno, osservato da William Crookes nel 1903, fu utilizzato perrivelare le particelle α nell’esperimento di Rutherford. Il metodo di rivelazione della lucedi scintillazione e stato reintrodotto nella sperimentazione in fisica nucleare da SamuelCurran e Walter Baker nel 1944.

Una particella ionizzante eccita le molecole del materiale e queste si diseccitano emet-tendo radiazione di fluorescenza. Se le caratteristiche dei livelli atomici o molecolari sonotali che la diseccitazione avviene attraverso stati intermedi, la radiazione non viene rias-sorbita e il materiale e trasparente alla luce di fluorescenza emessa. Per effetto degli statiintermedi i materiali scintillanti hanno usualmente una componente con tempo di deca-dimento rapida e una piu lenta. Esistono numerosi materiali scintillanti sotto forma dicristalli organici e inorganici, materiali plastici e liquidi che emettono luce di scintillazionenel visibile con tempi di decadimento 10−9÷ 10−8 s. L’energia necessaria per produrre unfotone e tipicamente 10 eV .

La luce emessa viene convogliata mediante guide di luce e inviata sul fotocatodo diun fotomoltiplicatore dove viene convertita per effetto fotoelettrico con efficienza quanticatipicamente 20%; i fotoelettroni prodotti sul fotocatodo vengono accelerati e moltiplicati

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5.3. Rivelatori Cerenkov

con opportuni campi elettrici in pochi ns con un fattore di guadagno 106 ÷ 108. Larisoluzione temporale di uno scintillatore e ≈ 1 ns e la risposta puo essere usata perfornire il trigger ad altri rivelatori. La risoluzione spaziale e definita dalle dimensioni delrivelatore. Il tempo di recupero e quello necessario a eliminare la carica accumulata daglielettrodi (dinodi) del fotomoltiplicatore ed e molto piccolo, tipicamente < 10 ns.

5.3 Rivelatori Cerenkov

La luce Cerenkov prodotta in un materiale di indice di rifrazione n da una particella convelocita β > 1/n e emessa in modo istantaneo ad un angolo cos θc = 1/βn rispetto allalinea di volo della particella. Il materiale puo esser solido, liquido o gassoso; in un gassi puo scegliere l’indice di rifrazione regolando la pressione. Il numero di fotoni emessiper unita di percorso e circa un fattore 30 minore che nel caso degli scintillatori e questoimplica una lunghezza adeguata del materiale radiatore e un elevata efficienza quantica delfotorivelatore. Convogliando la luce emessa sul fotocadoto di uno o piu fotomoltiplicatorisi puo selezionare una particella carica con velocita maggiore della soglia di emissione. Larisoluzione temporale di un rivelatore Cerenkov e circa 1 ns e la risposta puo essere usataper fornire il trigger ad altri rivelatori. La risoluzione spaziale e definita dalle dimensionidel rivelatore. Il tempo di recupero e molto piccolo.

Oltre a rivelatori a soglia, si possono costruire rivelatori Cerenkov differenziali : sfrut-tando l’angolo di emissione si puo misurare direzione e velocita di una particella carica.

5.4 Camere a ionizzazione

In questo tipo di rivelatori la carica elettrica prodotta per ionizzazione da una particellacarica viene raccolta con opportuni campi elettrici. Il materiale puo essere gas, liquido osolido. Le cariche prodotte migrano verso gli elettrodi seguendo le linee di forza del campo.Un parametro importante e la velocita di deriva delle cariche prodotte nel materiale chee molto diversa per ioni e per elettroni.

5.4.1 Camera a fili

In una camera a fili il materiale e un gas e l’anodo e costituito da fili che hanno la duplicefunzione di produrre il campo elettrico e di amplificare la carica di ionizzazione. I gastipicamente usati sono miscele di gas nobili e di idrocarburi in cui una particella conz = 1 al minimo di ionizzazione rilascia ≈ 30 coppie i+e− per cm a pressione atmosferica.La velocita di deriva degli elettroni dipende dal tipo di gas, dalla pressione e dal campoelettrico ed e tipicamente ≈ 5 cm/µs a pressione atmosferica nelle regioni in cui E ≈1 kV/cm. La velocita di deriva degli ioni positivi e circa 104 volte maggiore.

Nelle vicinanze del filo il campo elettrico ha l’andamento ∼ 1/r e, se il raggio del filoe piccolo, gli elettroni sono fortemente accelerati e producono elettroni secondari forman-do un effetto valanga. Il fattore di moltiplicazione dipende dal gas, dalla pressione e dalcampo elettrico e distingue diversi regimi di operazione di un rivelatore a fili. Se il fattoredi moltiplicazione e inferiore a ≈ 106, il numero di elettroni secondari e approssimativa-mente proporzionale alla carica di ionizzazione (camera a fili proporzionale). Per valorimaggiori il rivelatore funziona in regime saturato in cui il numero di elettroni secondarie approssimativamente costante (il contatore realizzato da Geiger e Muller nel 1928 e un

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esempio [42]). La moltiplicazione avviene nella regione di poche decine di µm attornoal filo in un intervallo di tempo di qualche ns e il segnale in corrente in un rivelatoreproporzionale e tipicamente di qualche µA.

Le camere a fili, sviluppate da Georges Charpack 4 nel 1967 [43], possono essere costrui-te in diverse configurazioni geometriche con l’anodo costituito da piani metallici, grigliedi fili, tubi, . . . La risoluzione temporale e definita dal tempo di raccolta della carica: seconsideriamo come esempio un piano di fili anodici distanziati di 1 cm dal catodo e di 1 cmtra loro questa e ≈ 100 ns e la risoluzione spaziale e ≈ 3 mm. Il filo e sempre attivo, maper effetto della densita di carica dovuta alla moltiplicazione, il campo elettrico si riduceper un breve tratto lungo il filo: quindi il recupero e un effetto locale.

5.4.2 Camera a deriva

Una camera a fili in cui si misura il tempo di deriva degli elettroni di ionizzazione rispettoad un riferimento temporale esterno si chiama camera a deriva. Il segnale di riferimentotemporale puo essere fornito da un altro rivelatore (ad esempio scintillatori) o, in esperi-menti presso acceleratori, da un segnale sincronizzato con il passaggio del fascio. In questorivelatore la distanza tra il catodo e i fili anodici puo essere grande: fino a ≈ 10 cm. Laposizione della particella e misurata dal tempo di deriva se si conosce la velocita di derivadegli elettroni di ionizzazione. La risoluzione spaziale e definita dagli effetti di diffusionedegli elettroni durante la migrazione verso l’anodo e dalla precisione con cui e nota lavelocita di deriva ed e tipicamente 100–200 µm. Disponendo opportunamente i piani difili si costruiscono rivelatori di tracce del tipo discusso in precedenza con tempo di recu-pero trascurabile. Le prestazioni di un rivelatore a gas di questo tipo migliorano con lapressione: aumenta la ionizzazione specifica e diminuisce la diffusione degli elettroni nelgas.

5.4.3 Camera a ionizzazione a liquido

L’utilizzo di un liquido in una camera a ionizzazione ha due vantaggi: la ionizzazionespecifica e molto maggiore che in un gas e la diffusione delle cariche durante la migrazioneverso gli elettrodi e molto minore. La maggiore densita ha pero due inconvenienti: emolto difficile raggiungere le condizioni per la moltiplicazione a valanga ed e necessaria unabassissima concentrazione di impurita elettronegative per ottenere un segnale. Per questeragioni nelle camere a ionizzazione a liquido si utilizzano liquidi nobili (Ar, Kr, Xe) a bassatemperatura e il campo elettrico e realizzato con elettrodi piani paralleli. In questi liquidila velocita di deriva degli elettroni e costante ≈ 0.5 cm/µs in un ampio intervallo del campoelettrico (≈ 10 kV/cm). In assenza di impurita elettronegative, il segnale indotto suglielettrodi dal moto degli elettroni e proporzionale alla ionizzazione prodotta dalla particella.La risoluzione temporale e definita dal tempo di raccolta della carica. La risoluzionispaziale e definita dalle dimensioni degli elettrodi che possono essere opportunamentesegmentati. Il campo elettrico e sempre attivo e, poiche non c’e moltiplicazione, il tempodi recupero in questo rivelatore e praticamente inesistente.


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5.5. Metodi di misura delle variabili cinematiche

5.4.4 Camera a ionizzazione a semiconduttore

La camera a ionizzazione a semiconduttore e realizzata con una giunzione polarizzatainversamente completamente svuotata. I materiali usati sono Si, Ge o GaAs con elevataresistivita per limitare la corrente attraverso la giunzione. In Silicio, che e il materiale piucomunemente usato, lo spessore della zona di svuotamento, tipicamente 200÷ 400 µm, siottiene con una differenza di potenziale di circa 200 V . L’energia necessaria per produrreuna coppia elettrone–lacuna e circa 3 eV . Con una densita 2.3 g/cm3, il numero di caricheprodotte da una particella con z = 1 al minimo di ionizzazione e circa 3 104 e. La velocitadi deriva e approssimativamente uguale per elettroni e lacune, ≈ 5 cm/µs. Il segnaledi carica indotta sugli elettrodi della giunzione ha un tempo di formazione di ≈ 1 ns.I rivelatori a semiconduttore hanno quindi ottima risoluzione temporale. La risoluzionespaziale e definita dalle dimensioni dagli elettrodi, che non le moderne tecniche sviluppateper i circuiti integrati, possono essere molto piccoli: si ottengono comunemente risoluzionidi ≈ 10 µm. Anche in questo caso il tempo di recupero e praticamente inesistente.

5.5 Metodi di misura delle variabili cinematiche

Negli esperimenti si misurano le variabili cinematiche delle particelle: direzione, impulso,velocita, energia, massa, . . . I metodi di misura dipendono dagli obiettivi e dalle condizionidel particolare esperimento.

Misura di carica elettrica

I metodi di rivelazione delle particelle che abbiamo illustrato dipendono dal quadrato dellacarica elettrica che e un multiplo intero della carica elementare e. Quindi qualunque sia ilmetodo di misura c’e una dipendenza dalla carica elettrica. Il segno della carica e misuratodal moto in campi elettrici o magnetici.

Misura di impulso

L’impulso di una particella carica si misura dalla curvatura della traiettoria in campo ma-gnetico. La componente dell’impulso normale alla direzione del campo e pn = 0.3 zB(`)ρ(in unita GeV, Tesla, metro) dove ρ e il raggio di curvatura, ze e la carica elettrica e ` ela coordinata lungo la traiettoria. Consideriamo l’esempio di impulso elevato, cioe raggiodi curvatura grande e angolo di deflessione piccolo, e particelle con z = 1.

• Se la misura e fatta con un rivelatore di tracce interno ad un campo magnetico uni-forme la sagitta dell’arco di circonferenza e inversamente proporzionale all’impulso

(ρ− s)2 + (`/2)2 = ρ2 s =`2

8ρ

1

pn=

4 s

0.3∫B(`)`d`

se l’errore di misura della sagitta e δs, la risoluzione in impulso e

δpnpn

= pn4 δs

0.3∫B(`)`d`

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• Se la misura e fatta con rivelatori esterni al campo magnetico, l’angolo di deflessionee

θ =`

ρ

1

pn=

θ

0.3∫B(`)d`

se si utilizzano due rivelatori a distanza D ciascuno con risoluzione spaziale (ango-lare) δs (δθ =

√2δs/D), la risoluzione e

δpnpn

=δθ

θ= pn

√2 δs/D

0.3∫B(`)d`

In entrambe i casi la precisione e definita dal potere risolutivo spaziale e peggiora conl’aumentare dell’impulso: δp/p ∝ p. Oltre agli errori strumentali occorre tener conto delloscattering coulombiano multiplo della particella carica lungo il percorso. In un tratto dilunghezza ` la particella viene deflessa con dispersione angolare δθ = (14MeV/pβc)(`/X0)1/2

e questo produce un errore sulla misura dell’impulso

δpnpn

=δθ

θ=

14 MeV

βc 0.3∫B(`)d`

[`

X0

] 12

Quindi, in generale, la risoluzione di una misura di impulso dipende dai due effetti noncorrelati: risoluzione spaziale dei rivelatori e scattering coulombiano multiplo

δp

p=[Am p2 +As

] 12

Misura di velocita

Misure di velocita si possono effettuare con rivelatori Cerenkov, con misure di tempo divolo, oppure misurando la ionizzazione specifica che e funzione solo di β:

• se si misura l’angolo di emissione della radiazione Cerenkov, cos θ = 1/nβ, larisoluzione e δβ/β = tan θ δθ;

• se si misura il tempo di volo con due rivelatori che hanno risoluzione temporale δtposti a distanza L, la risoluzione e δβ/β =

√2 (βc/L) δt;

• misure di ionizzazione specifica si possono fare campionando la perdita di energiaper ionizzazione di una particella piu volte lungo il suo percorso. Dato l’andamentodi dE/dx in funzione di β, la sensibilita e molto maggiore per velocita minori delvalore di minima ionizzazione.

Se e noto l’impulso, una misura di velocita puo determinare la massa della particella. Lasensibilita della misura peggiora all’umentare dell’impulso, quando cioe β → 1

p = mβcγδm

m=δ(βγ)

βγ=γ3δβ

βγ=

1

1− β2

δβ

β

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5.5. Metodi di misura delle variabili cinematiche

Misura di energia

Se sono note due grandezze tra massa, velocita e impulso e nota anche l’energia: E =mc2γ = pc/β. Una misura diretta di γ si puo fare con rivelatori sensibili alla radiazione ditransizione. Questo e un metodo di misura difficile perche l’intensita della radiazione ditransizione e bassa e la rivelazione dei raggi X non e molto efficiente. Per fotoni o elettronisi sfrutta lo sviluppo di sciami elettrofotonici. Un rivelatore capace di contenere tutto losviluppo di uno sciame e di misurare la ionizzazione dei secondari e chiamato calorimetro.La grandezza caratteristica dello sviluppo di uno sciame e la lunghezza di radiazione e lospessore di materiale necessario per assorbire l’energia di uno sciame aumenta lentamentecon il logaritmo dell’energia: quindi l’energia della particella primaria e assorbita in unnumero limitato di lunghezze di radiazione. Materiali con densita e Z elevati hanno unapiccola lunghezza di radiazione e possono assorbire gli sciami in dimensioni contenute. Uncalorimetro puo essere omogeneo o a campionamento. Il primo e realizzato con cristal-li scintillanti oppure con vetri di elevata densita che emettono radiazione Cerenkov. Ilsecondo e realizzato alternando strati di assorbitore con strati di rivelatore costituiti discintillatori, o rivelatori a gas, o camere a ionizzazione a liquido, o rivelatori a semicondut-tore. Poiche il numero di secondari e proporzionale all’energia della particella primaria,N =

∑nsec = κE e lo sviluppo dello sciame e un fenomeno statistico, la risoluzione in

energia dovuta alle fluttuazioni del numero di secondari (δN =√N , migliora con l’energia

δE

E=δN

N=

1√κE

Misura di massa

Se e nota la carica elettrica di una particella, se ne puo misurare la massa studiando ilmoto in campi elettrici e magnetici: e il metodo usato nel famoso esperimento di Thomson.Questo e il principio di funzionamento degli spettrometri di massa con cui si misurano lemasse dei nuclei atomici. Per particelle relativistiche occorrono campi elettrici troppoelevati e la massa si puo determinare misurando due variabili cinematiche tra velocita,impulso e energia. Nelle reazioni nucleari in cui si produce una particella, la sua massae determinata dal bilancio energetico della reazione, cioe dalla conservazione dell’energiae dell’impulso. La massa di una particella instabile si determina misurando l’impulsodei sui prodotti di decadimento. Se, ad esempio, una particella di massa M decade indue particelle di massa m1 e m2 note, e si misurano gli impulsi ~p1 e ~p2, la massa e pariall’energia totale delle due particelle, detta massa invariante

P 2 = M2 = (P1 + P2)2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 − 2p1p2 cos θ (c = 1)

Supponiamo, per semplificare i calcoli, che nel riferimento in cui si effettua la misurap m (E ≈ p)

M2 −m21 −m2

2 ≈ 2p1p2 (1− cos θ) = 4p1p2 sin2 θ/2

2MdM = 4p1p2 sin2 θ/2

(dp1

p1+dp2

p2+

dθ

tan θ/2

)109

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Se δp1 ≈ δp2 e δθ1 ≈ δθ2 sono gli errori di misura degli impulsi e degli angoli delle dueparticelle e non sono correlati, la risoluzione della misura di massa e

δM

M=M2 −m2

1 −m22

M2

[(δp

p

)2

+

(δθ

2 tan θ/2

)2] 1

2

Misura di vita media

Molti nuclei e molte particelle sono instabili e decadono con vita media τ definita dallalegge di decadimento N(t) = N0e

−t/τ . Come vedremo piu avanti, le misure di vita mediasi estendono in un intervallo di 40 ordini di grandezza e vi sono diversi metodi di misura.

Se τ e molto grande rispetto alla durata della misura ∆t (∆t/τ 1), la vita media sidetermina contando il numero di decadimenti Nd nell’intervallo di tempo ∆t se si conoscela popolazione del campione

Nd = N(t)−N(t+ ∆t) ≈ N(t)∆t

ττ =

N

Nd∆t

Questo e il metodo di misura per deterninare la vita media della maggior parte dei nucleiradioattivi. La risoluzione e determinata dall’errore statistico,

√Nd e, soprattutto, dalla

stima della popolazione del campione.Se τ e confrontabile con la durata della misura ed e possibile conoscere l’istante in cui

la particella e prodotta, la vita media si determina misurando la distribuzione dei tempidi decadimento

dN

dt=N0

τe−t/τ

Questa misura e possibile se la risoluzione temporale δt e molto minore di τ . Date lecaratteristiche dei rivelatori che abbiamo esaminato, la risoluzione ottenibile in una misuradi tempo non e migliore di circa 10−9 s, questo fissa il limite di sensibilita di questo metododi misura. Va tenuto conto pero che la vita media τ di una particella che ha velocita β ≈ 1nel laboratorio e misurata come γτ da un orologio fisso nel laboratorio e questo effettotende a ridurre il limite dovuto alla risoluzione δt.

La vita media di una particella in moto nel laboratorio si puo determinare misurandola distanza tra il punto di produzione e il punto di decadimento se si conosce la velocita. Sela particella ha velocita βc la vita media nel laboratorio e γτ e la funzione di distribuzionedella distanza percorsa nel laboratorio (dx = βcdt) e

dN

dx=dN

dt

dt

dx=N0 e

−x/βcγτ

γτ

1

βc=N0

λe−x/λ

dove λ = βγcτ = (p/mc)cτ e il valor medio del percorso della particella prima di decadere.Con un rivelatore che ha una risoluzione spaziale δx ≈ 30 µm si possono misurare vitemedie τ ≈ 10−13/βγ s.

Per particelle instabili con vita media molto piu piccola, questa si puo determinare conmisure della larghezza di decadimento Γ = h/τ che e legata all’intensita della interazionereponsabile del decadimento. Il valore di Γ si puo determinare da misure della massainvariante dei prodotti di decadimento della particella oppure da misure di sezione d’urtoin cui e prodotta la particella.

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Capitolo 6

Leggi di conservazione e simmetrie

Un sistema di particelle e definito dai suoi possibili stati |ψn〉 e l’evoluzione temporalee definita dall’operatore hamiltoniano H secondo l’equazione di Schrodinger. Spesso laforma della hamiltoniana non e nota a priori, ma si possono ricavare informazioni studian-do l’evoluzione del sistema e, in particolare, individuando le grandezze fisiche che sonoconservate. Se una grandezza fisica e conservata, esiste una proprieta di simmetria dellahamiltoniana. Viceversa, ad una proprieta di simmetria della hamiltoniana corrispondeuna legge di invarianza nell’evoluzione del sistema. Questo e il teorema di Noether for-mulato da Emmy Noether nel 1918 [44]. Ad esempio, l’osservazione sperimentale dellaconservazione dell’impulso in un sistema isolato di particelle definisce la forma della ha-miltoniana classica della particella libera che e invariante per trasformazioni di Galileo (odi Lorentz). Viceversa l’ipotesi del principio di relativita, la simmetria rispetto a tutti isistemi di riferimento inerziali, implica la conservazione dell’impulso (o del 4-impulso) inun sistema isolato.

Un insieme di particelle non interagenti e descritto dagli stati stazionari della hamil-toniana di particella libera, Ho = ΣiHoi. Se questo sistema interagisce per un intervallodi tempo limitato con un altro sistema descritto dalla hamiltoniana H ′o = ΣjH

′oj , l’inte-

razione e descritta dagli elementi di matrice della hamiltoniana di interazione, HI , tra lostato iniziale e finale che assumiamo siano sovrapposizioni di autostati della hamiltonianaHo + H ′o. Se nel processo di interazione osserviamo la conservazione di alcune grandez-ze fisiche, possiamo definire alcune proprieta di simmetria dell’operatore HI . Viceversa,se ipotizziamo alcune proprieta di simmetria dell’operatore HI , possiamo prevedere laconservazione di alcune grandezze fisiche.

Gli stati di un sistema di particelle sono definiti da numeri quantici che corrispondonoagli autovalori delle grandezze fisiche quantizzate. Alcune, come la carica elettrica, ilmomento angolare, l’energia, . . . , hanno un analogo classico, altre non hanno un analogoclassico e verranno definite sulla base delle leggi di conservazione osservate nelle interazionidi sistemi di particelle.

6.1 Statistica di un sistema di particelle

Le particelle caratterizzate dagli stessi numeri quantici sono indistinguibili. Un sistema didue particelle identiche esiste in due stati, |1, 2〉 e |2, 1〉. Per l’identita delle due particelle,le densita di probabilita dei due stati sono uguali. L’operatore di scambio, P↔ agisce sugli

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Capitolo 6. Leggi di conservazione e simmetrie

statiP↔|1, 2〉 = α|2, 1〉 P↔|2, 1〉 = α|1, 2〉

con |α| = 1 in entrambe i casi perche le particelle sono identiche, e inoltre

(P↔)2|1, 2〉 = |1, 2〉

Quindi P↔ ha autovalori ±1 e commuta con la hamiltoniana del sistema di due particelleidentiche. Quindi lo stato di due particelle identiche e simmetrico oppure antisimmetricorispetto allo scambio 1↔ 2

|2, 1〉 = ± |1, 2〉

• le particelle che sono in stati simmetrici rispetto allo scambio 1 ↔ 2 seguono lastatistica di Bose–Einstein e sono chiamati bosoni [45];

• le particelle che sono in stati antisimmetrici rispetto allo scambio 1↔ 2 seguono lastatistica di Fermi–Dirac e sono chiamati fermioni [46];

Un importante teorema di Pauli (1940) stabilisce la relazione tra la statistica dei sistemidi particelle identiche e lo spin delle particelle [47]

• i bosoni hanno spin intero: 0, 1h, 2h, . . .;

• i fermioni hanno spin semi-intero: h/2, 3h/2, . . .;

Quindi, se due particelle identiche sono nello stesso stato (hanno gli stessi numeri quantici)sono necessariamente bosoni. Invece, due fermioni identici non possono esistere nello stessostato (non possono avere gli stessi numeri quantici). Questo e il principio di esclusione diWolfgang Pauli 1 [48]. Ne risulta che i fermioni sono identificabili dallo stato e che quindi sipuo definire il numero di fermioni di un sistema. L’equazione di Dirac, che descrive il motodi fermioni di spin 1/2 (appendice 42), prevede che per ogni fermione di massa m, caricaelettrica q, momento magnetico µ, . . ., esista un anti-fermione con massa uguale, caricaelettrica −q, momento magnetico −µ, . . .. Poiche il numero di fermioni e osservabile,possiamo definire un numero quantico fermionico che si conserva in ogni interazione. Ilnumero fermionico e definito per convenzione positivo per i fermioni (elettrone, protone,neutrone, . . . ) e negativo per gli antifermioni (antielettrone, antiprotone, antineutrone,. . . ). Il numero fermionico di un sistema di fermioni (e anti-fermioni) e la somma algebricadei numeri fermionici.

6.2 Grandezze fisiche conservate

Consideriamo la grandezza osservabile, F , rappresentata dall’operatore hermitiano F . Ilrisultato di una misura dell’osservabile quando il sistema e nello stato |ψ〉 corrispondeal valore aspettato 〈F 〉 = 〈ψ|F |ψ〉. Se il sistema e descritto dalla hamiltoniana H, lavariazione nel tempo di 〈ψ|F |ψ〉

∂

∂t〈ψ|F |ψ〉 = − 1

ih〈ψ|HF |ψ〉+ 〈ψ|∂F

∂t|ψ〉+

1

ih〈ψ|FH|ψ〉 = 〈ψ|

[∂F

∂t+

1

ih[F,H]

]|ψ〉


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6.3. Trasformazioni unitarie

e nulla se l’operatore F non dipende dal tempo, come assumeremo nel seguito, e se com-muta con la hamiltoniana, [F,H] = 0. Quindi se F e invariante, gli operatori F e H hannoun sistema di autostati comuni

H|ψn〉 = En|ψn〉 F |ψn〉 = fn|ψn〉

Se la hamiltoniana non e nota, ma si e verificato sperimentalmente che alcune grandezzeFk sono conservate nell’interazione, si puo ipotizzare una forma della hamiltoniana comecombinazione degli operatori Fk. Se pero non si hanno sufficienti informazioni sperimentali,si possono cercare delle grandezze invarianti facendo ipotesi sulle proprieta di simmetriadella hamiltoniana di interazione.

6.3 Trasformazioni unitarie

Per studiare le proprieta di simmetria di un sistema che ha autostati della hamiltoniana|ψn〉, consideriamo un operatore U indipendente dal tempo che trasformi un autostato inun altro autostato del sistema

U |ψ〉 = |ψ′〉

La trasformazione U deve conservare la densita di probabilita

〈ψ′|ψ′〉 = 〈ψ|U+U |ψ〉

Quindi l’operatore U e unitario, U+U = I, U−1 = U+, e definisce una trasformazioneunitaria. Poiche gli stati |ψ〉 e |ψ′〉 sono autostati della hamiltoniana H, la trasformazioneunitaria U commuta con la hamiltoniana

ih∂

∂t|ψ′〉 = H|ψ′〉 = HU |ψ〉 ih

∂

∂t|ψ′〉 = ih

∂

∂tU |ψ〉 = UH|ψ〉

In generale la trasformazione non rappresenta una grandezza fisica osservabile, quindil’operatore U non e necessariamente hermitiano.

• Se l’operatore U e hermitiano, rappresenta un’osservabile che si conserva nell’inte-razione. Poiche una trasformazione unitaria hermitiana applicata due volte a unostato (U2 = U+U = I) riproduce lo stato iniziale, l’osservabile U ha autovalori ±1

U |ψ〉 = u|ψ〉 U2|ψ〉 = u2|ψ〉 = |ψ〉 u = ±1

e rappresenta una trasformazione discreta. L’operatore di scambio P↔ e un esempiodi trasformazione discreta.

• Se l’operatore U non e hermitiano, possiamo esprimere la trasformazione in terminidi operatori hermitiani nella forma

U = eiαG

dove α e una generica costante o una funzione reale. Infatti la condizione di unitarietacomporta

U+U = e−iα∗G+

eiαG = eiα(G−G+) = I ∀ α ⇒ G+ = G

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L’operatore G, detto generatore della trasformazione, rappresenta un’osservabileche si conserva nell’interazione. Poiche il valore del parametro α non e fissato apriori, una trasformazione unitaria non hermitiana rappresenta una trasformazionecontinua.

Trattiamo nel seguito alcune trasformazioni unitarie legate a leggi di invarianza della ha-miltoniana. Altre saranno trattate piu avanti quando avremo approfondito la conoscenzasulle proprieta dei nuclei e delle particelle.

6.3.1 Trasformazioni continue

Una trasformazione continua si puo considerare come limite per n→∞ di una successionedi trasformazioni infinitesime

δU = 1 + iδαG δα = limn→∞

α

n

U = (1 + iδα1G) · (1 + iδα2G) . . . = limn→∞

(1 + i

α

nG

)n= eiαG

Per individuare i generatori di una trasformazione finita e conveniente in alcuni casiconsiderare la corrispondente trasformazione infinitesima.

Traslazione

Una traslazione infinitesima in una coordinata spaziale trasforma lo stato |ψ〉 nel punto xnello stato nel punto x+ δx

U |ψ(x)〉 = |ψ(x+ δx)〉 = |ψ(x)〉+ δx∂

∂x|ψ(x)〉 =

(1 + δx

∂

∂x

)|ψ(x)〉

Il generatore della traslazione e l’operatore impulso, px = −ih∂/∂x. Una traslazione finitanello spazio e definita dall’operatore

U(∆~r) = e(i/h)∆~r·~p

Quindi le componenti dell’impulso, pk, generano la simmetria per traslazione degli sta-ti, ovvero la simmetria della hamiltoniana rispetto a traslazioni delle coordinate spazialicorrisponde alla conservazione dell’impulso.

Rotazione

Una rotazione infinitesima in un piano trasforma lo stato |ψ(φ)〉, nello stato |ψ(φ+ δφ)〉.Per una rotazione infinitesima attorno all’asse z le coordinate nel piano x–y si trasformano(

x′

y′

)=

(1 −δφδφ 1

)(xy

)=

(x− δφ yδφ x+ y

)

U |ψ(φ)〉 = |ψ(φ+ δφ)〉 = |ψ(φ)〉+ δφ

(x∂

∂y− y ∂

∂x

)|ψ(φ)〉 =

(1 +

iδφ

hLz

)|ψ(φ)〉

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6.3. Trasformazioni unitarie

Il generatore della rotazione attorno all’asse z e l’operatore momento angolare, Lz =−ih(x∂/∂y − y∂/∂x). Una rotazione finita attorno all’asse n e definita dall’operatore

U(∆α) = e(i/h)∆αn·~L

Le componenti del momento angolare, Lk, generano la simmetria per rotazione deglistati, ovvero la simmetria della hamiltoniana rispetto a rotazioni attorno ad un assen corrisponde alla conservazione del modulo ~L2 e della componente Ln del momentoangolare.

Rotazioni nello spazio vettoriale a due dimensioni

Per un sistema che puo esistere solo in due stati, questi sono combinazioni lineari degliautostati delle matrici di Pauli

|ψ〉 = a

(10

)+ b

(01

)|a|2 + |b|2 = 1

Le matrici di Pauli

σx =

(0 11 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

)σ2k = I

sono gli operatori che descrivono gli stati dei fermioni di spin s = h/2 e costituiscono unabase completa nello spazio vettoriale a due dimensioni: sono i generatori della simmetriaunitaria in due dimensioni SU(2) (appendice 35). Una rotazione finita attorno all’asse ke definita dall’operatore

U(∆α) = ei∆αsk = e(i/h)∆ασk/2

Le matrici di Pauli, σk, generano la simmetria SU(2) per rotazioni nello spazio a duedimensioni, ovvero la simmetria della hamiltoniana rispetto a trasformazioni di SU(2)corrisponde alla conservazione del modulo |~s| e della componente sz dello spin (di unsistema che puo esistere in due stati).

Trasformazioni di gauge

L’evoluzione temporale dello stato di una particella libera e definita dalla soluzione dell’e-quazione del moto

ψ(~r, t) = e(i/h)(~p·~r−Et)

Se la particella ha carica elettrica q, la hamiltoniana di interazione con il campo elettroma-gnetico rappresentato dal 4-potenziale A = ( ~A, V/c) (appendice 36) modifica l’evoluzionedello stato per un fattore di fase

ψI(~r, t) = e(i/h)[(~p−q ~A)·~r−(E−qV )t] = e(i/h)(~p·~r−Et) e(−iq/h)( ~A·~r−V t)

Le componenti del potenziale elettromagnetico sono definite a meno di una trasformazionedi gauge (appendice 30)

~A′ = ~A+ ~∇α V ′ = V − ∂α

∂t

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dove α(~r, t) e una qualunque funzione scalare reale. Quindi la fase dello stato potreb-be essere modificata localmente per un fattore arbitrario e questo non permetterebbe diosservare alcun fenomeno di coerenza.

La carica elettrica q e un’osservabile. Consideriamo la trasformazione unitaria generatadall’operatore carica elettrica

U(~r, t) = e(i/h)α(~r,t)q

Applicando questa trasformazione, lo stato iniziale viene modificato

UψI(~r, t) = e(i/h)αqψI(~r, t) = e(−iq/h)( ~A·~r−V t−α)ψ(~r, t)

per un fattore di fase che elimina la dipendenza dalla funzione arbitraria α(~r, t). Infattila variazione della fase

~∇( ~A · ~r − V t− α) = ~A− ~∇α − ∂

∂t( ~A · ~r − V t− α) = V +

∂α

∂t

e solo legata alla scelta del potenziale. Quindi la trasformazione di gauge del potenzialeelettromagnetico assicura la simmetria degli stati di interazione per una trasformazionedi fase che corrisponde alla conservazione della carica elettrica, e viceversa: un numeroquantico q conservato assicura la simmetria della hamiltoniana per una trasformazione digauge unitaria U = eiα(~r,t)q.

Se α e costante, la trasformazione si dice globale in quanto e la stessa in tutti i puntidello spazio-tempo. Se invece, come nell’esempio dell’interazione col campo elettroma-gnetico, α e una funzione del punto nello spazio-tempo, la trasformazione si dice locale.Il principio di relativita richiede che la trasformazione di gauge sia locale poiche non epossibile trasmettere informazione tra due punti dello spazio-tempo a velocita infinita.

6.4 Leggi di conservazione additive

Le trasformazioni unitarie continue hanno la forma U = eiαG dove G e un operatorehermitiano che rappresenta un’osservabile. Se il sistema e composto da piu particelle, latrasformazione applicata allo stato |1, 2, . . . , n〉 ha autovalori G1, G2, . . . , Gn

U |1, 2, . . . , n〉 = eiαG|1, 2, . . . , n〉 = eiα(G1+G2+...+Gn)|1, 2, . . . , n〉

Quindi per una trasformazione unitaria continua generata dall’operatore G che commutacon la hamiltoniana, la somma degli autovalori si conserva

G1 +G2 + . . .+Gn = costante

e la legge di conservazione e additiva, tenendo conto che per somma va intesa l’operazio-ne di addizione caratteristica dell’operatore G. Per un operatore scalare, come la caricaelettrica, e la somma algebrica, per un operatore vettoriale, come l’impulso, e la som-ma vettoriale, per l’operatore momento angolare e la legge di composizione dei momentiangolari, etc.

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6.5. Leggi di conservazione moltiplicative

Esempio

Esaminiamo come esempio il processo di bremsstrahlung

e− N → e− N γ

Lo stato iniziale e costituito da un elettrone e un nucleo, lo stato finale dall’elettrone, dalnucleo e da un fotone. Non concosciamo ancora la struttura dei nuclei, quindi supponiamosia il nucleo dell’atomo di idrogeno, il protone, che e un fermione di spin 1/2;

• conservazione del 4-impulso Pe + Pp = P ′e + P ′p + P ′γ

• conservazione del momento angolare ~se + ~sp + ~Lep = ~s′e + ~s′p + ~s′γ + ~L′epγdove ~si sono gli spin e ~L sono i momenti angolari orbitali;

• la carica elettrica nello stato iniziale e qe + qp = 0 e si conserva nello stato finale(il fotone ha carica nulla);

• il numero fermionico nello stato iniziale e fe + fp = +1 + 1 = 2 e si conserva nellostato finale (il fotone e un bosone).

Per il processo di produzione di coppie elettrone–positrone

γ N → e− e+ N

lo stato iniziale e costituito da un fotone e un protone, lo stato finale dal protone, unelettrone e un positrone che sono l’uno l’antiparticella dell’altro;

• si conserva il 4-impulso e il momento angolare;

• la carica elettrica nello stato iniziale e qp = +1 e si conserva nello stato finale(elettrone e positrone hanno carica opposta);

• il numero fermionico nello stato iniziale e fp = +1 e si conserva nello stato finale(elettrone e positrone hanno numero fermionico opposto).

6.5 Leggi di conservazione moltiplicative

Trasformazioni discrete

Le trasformazioni unitarie hermitiane possono rappresentare osservabili che commutanocon la hamiltoniana. Le osservabili hanno autovalori ±1 e per questo le trasformazionisono dette discrete. Se il sistema e composto da piu particelle, la trasformazione applicataallo stato |1, 2, . . . , n〉 ha autovalori U1, U2, . . . , Un

U |1, 2, . . . , n〉 = (U1 · U2 . . . Un)|1, 2, . . . , n〉

Quindi per una trasformazione unitaria continua generata dall’operatore U che commutacon la hamiltoniana, il prodotto degli autovalori si conserva

U1 U2 . . . Un = costante

e la legge di conservazione e moltiplicativa.

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6.5.1 Parita

La trasformazione di parita inverte le coordinate spaziali di uno stato

Pψ(~r, t) = ψ(−~r, t)

Un autostato dell’operatore P ha autovalori

Pψ(~r, t) = ±ψ(~r, t)

e possiamo definire il numero quantico parita di uno stato, positiva o negativa, e la paritaintrinseca di una particella. In coordinate sferiche la trasformazione ~r → −~r equivale alletrasformazioni θ → π− θ, φ→ π+φ e lascia invariato il modulo |~r|. Va notato che questatrasformazione non si puo ottenere con successive rotazioni attorno ai tre assi del sistemadi riferimento. La trasformazione di parita corrisponde ad una riflessione seguita da unarotazione di π attorno all’asse normale al piano di riflessione.

Se uno stato e espresso in funzione di autostati del momento angolare, le proprietadelle armoniche sferiche, Ylm(θ, φ), sotto trasformazione di parita danno indicazioni sullaparita dello stato

PYlm(θ, φ) = Ylm(π − θ, π + φ) = (−1)lYlm(θ, φ)

Se uno stato e autostato del momento angolare con autovalore hl, la parita e (−1)l.Per capire quali sono le caratteristiche che la hamiltoniana deve avere perche sia simme-

trica rispetto alla trasformazione di parita e utile esaminare l’azione dell’operatore paritasu alcune osservabili;

• un vettore polare (raggio vettore, velocita, impulso, campo elettrico, dipolo elettrico,. . .) si inverte

P ~r = − ~r Pd~r

dt= − d~r

dt

• un vettore assiale (momento angolare, spin, campo magnetico, dipolo magnetico,. . .) rimane invariato

P ~r × ~p = + ~r × ~p P ~s = + ~s

• uno scalare (energia, prodotto scalare di vettori polari, prodotto scalare di vettoriassiali, . . .) rimane invariato

P r = P (~r · ~r)12 = + r P ~d · ~E = + ~d · ~E

• uno pseudoscalare (prodotto scalare di un vettore polare e un vettore assiale, elicita,. . .) si inverte

P ~r · ~µ = − ~r · ~µ P ~s · ~p = − ~s · ~p

La parita commuta con la hamiltoniana di particella libera H = [m2 + p2]1/2, e si con-serva in un sistema di particelle non interagenti. Commuta anche con la hamiltoniana diinterazione elettromagnetica, H = [m2 + (p− qA)2]1/2 + qV , e si conserva nelle interazionielettromagnetiche. Vedremo piu avanti un esempio di interazione, l’interazione debole, in

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cui la parita non si conserva. La parita di un sistema di particelle e definita dalla paritaintrinseca di ogni particella e dallo stato di momento angolare. Se la parita si conservain una interazione, possiamo definire la parita delle particelle prodotte nello stato finaleconoscendo la parita dello stato iniziale.

Definiamo la parita intrinseca delle particelle che conosciamo: elettrone, protone, neu-trone e fotone. Poiche il numero fermionico si conserva e gli autovalori si moltiplicano, laparita dei fermioni non e in effetti un’osservabile ed e definita in modo convenzionale

P (e−) = P (p) = P (n) = +1

Secondo l’equazione di Dirac la parita dei corrispondenti antifermioni e definita negativa(appendice 42)

P (e+) = P (p) = P (n) = −1

Il fotone e emesso e assorbito dall’operatore campo elettromagnetico (appendice 36) che ecaratterizzato dal vettore di polarizzazione e dagli operatori scalari di creazione e distru-zione dell’oscillatore armonico. Quindi il fotone e autostato di un operatore vettore polaree ha parita intrinseca negativa

P |γ〉 = − |γ〉

6.5.2 Coniugazione di carica

La trasformazione coniugazione di carica cambia lo stato di una particella nella corrispon-dente antiparticella invertendo il segno della carica elettrica, del momento magnetico e delnumero fermionico. Se, ad esempio, |e〉 e lo stato di un elettrone rappresentato da massa,impulso, spin, carica elettrica, momento magnetico, numero fermionico, . . .

|e〉 = |m, ~p, ~s, −e, −2(eh/2m)~s, +f, . . .〉

lo stato coniugato di carica, il positrone, e definito dai numeri quantici

C|e〉 = |e〉 = |m, ~p, ~s, +e, +2(eh/2m)~s, −f, . . .〉

Se consideriamo una particella di carica q e l’azione degli operatori carica elettrica econiugazione di carica

Q |q〉 = q |q〉 C |q〉 = | − q〉

risulta che questi non commutano, infatti

C Q |q〉 = q C |q〉 = q | − q〉 Q C |q〉 = C | − q〉 = −q | − q〉

e lo stesso avviene per il momento magnetico e il numero fermionico. Quindi solo gli staticon carica, momento magnetico, numero fermionico (e altri numeri quantici che studieremopiu avanti) nulli possono essere autostati della coniugazione di carica. Sono autostati ilfotone e lo stato elettrone–positrone; non e autostato il neutrone perche ha momentomagnetico e numero fermionico non nulli.

Il campo elettromagnetico e generato da cariche e da correnti elettriche e si inverteper azione della coniugazione di carica. L’energia elettromagnetica dipende dai quadratiq2 e ~A2 e dal prodotto q ~A ed e invariante per inversione della carica. Ne concludiamo chela hamiltoniana dell’interazione elettromagnetica e invariante per coniugazione di carica,

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ovvero C e una simmetria della hamiltoniana di interazione, e che l’operatore campoelettromagnetico, ~A, si inverte per coniugazione di carica. Quindi il fotone ha autovaloredella coniugazione di carica negativo

C |γ〉 = − |γ〉

6.5.3 Inversione temporale

La trasformazione di inversione temporale inverte la direzione del tempo, t→ −t, nell’evo-luzione di uno stato, cioe inverte la direzione del moto. Sotto trasformazione di inversionetemporale

• l’impulso, il momento angolare, lo spin, la densita di corrente, il momento magnetico,il campo magnetico, . . . si invertono;

• le coordinate spaziali, la carica elettrica, il campo elettrico, l’energia, . . . sonoinvariati.

Le equazioni del moto classiche, in assenza di forze non conservative, sono invariantiper inversione temporale. Infatti le equazioni della meccanica e dell’elettromagnetismodipendono dalla derivata seconda rispetto al tempo. L’equazione di Schrodinger dipendedalla derivata prima rispetto al tempo e la trasformazione |ψ(~r, t)〉 → |ψ(~r,−t)〉 nonconserva la forma dell’equazione del moto

ih∂

∂t|ψ(~r, t)〉 = H|ψ(~r, t)〉 ⇒ −ih ∂

∂t|ψ(~r,−t)〉 = H|ψ(~r,−t)〉

che si conserva invece per la trasformazione T = inversione del tempo × coniugazionecomplessa

|ψ′(~r, t)〉 = T |ψ(~r, t)〉 = |ψ(~r,−t)〉∗ T ih∂

∂t= ih

∂

∂t

Questa relazione non e un’equazione agli autovalori e quindi la trasformazione T nonrappresenta un’osservabile, ma ha importanti proprieta nell’evoluzione degli stati di unsistema.

Consideriamo alcune proprieta degli stati di un sistema per inversione temporale

• un autostato della hamiltoniana di particella libera rimane invariato

T e(i/h)(~p·~r−Et) = e(i/h)(~p·~r−Et)

• il prodotto scalare di due stati si trasforma

〈f ′|i′〉 = 〈f | T+T |i〉 = 〈f |i〉∗ = 〈i|f〉

questa relazione definisce una trasformazione anti-unitaria;

• se la hamiltoniana di interazione HI e invariante per inversione temporale, l’elementodi matrice della transizione |i′〉 → |f ′〉 e uguale a quello della transizione inversa|f〉 → |i〉

〈f ′|HI |i′〉 = 〈f |T+HIT |i〉 = 〈f |HI |i〉∗ = 〈i|HI |f〉

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Esempio

Se consideriamo come esempio i processi di bremsstrahlung e di produzione di coppieelettrone–positrone, troviamo alcune importanti relazioni

• la simmetria della interazione elettromagnetica per coniugazione di carica assicural’uguaglianza degli elementi di matrice dei processi

e−p→ e−pγ e+p→ e+p γ

• la simmetria della interazione elettromagnetica per parita definisce una relazione trai momenti angolari degli stati iniziale e finale; per e−p→ e−pγ

P (e) P (p) (−1)L = P (e) P (p) P (γ) (−1)L′

(−1)` (−1)L = (−1)L′+`+1

dove L e l’autovalore del momento angolare relativo di elettrone e protone e ` e ilmomento angolare del fotone; e analogamente per il processo γp→ e+e−p

P (γ) P (p) (−1)L = P (e+) P (e−) P (p) (−1)L′

(−1)` (−1)L = (−1)L′+`

• la simmetria della interazione elettromagnetica per inversione temporale e per co-niugazione di carica assicura che, a parita di energia nel centro di massa, l’elementodi matrice del processo e−p→ e−pγ e uguale a quello del processo pγ → e−e+p.

6.5.4 Momento di dipolo elettrico

La tabella riassume le proprieta di simmetria di alcune grandezze per le trasformazionidiscrete di parita, coniugazione di carica e inversione temporale.

grandezza C P T

coordinate spaziali ~r +~r −~r +~rimpulso ~p +~p −~p −~p

spin ~s +~s +~s −~selicita’ ~s · ~p +~s · ~p −~s · ~p +~s · ~p

carica elettrica q −q +q +q

densita’ di corrente ~j −~j −~j −~jcampo elettrico ~E − ~E − ~E + ~E

campo magnetico ~B − ~B + ~B − ~B

L’invarianza dell’interazione elettromagnetica per trasformazione di parita o di inver-sione temporale ha come conseguenza che uno stato con parita definita abbia momento didipolo elettrico statico nullo. Stati con momento di dipolo elettrico non nullo sono neces-sariamente sovrapposizioni di stati con parita diversa. Uno stato non degenere ha paritadefinita mentre il momento di dipolo elettrico si inverte per trasformazione di parita

P |ψ(~r)〉 = ±|ψ(−~r)〉 P q~r = −q~r

quindi il valore aspettato del momento di dipolo e l’integrale di una funzione dispari

〈ψ(~r)| q~r |ψ(~r)〉 =

∫ψ∗(~r) q~r ψ(~r) d~r = 0

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L’argomento si puo generalizzare considerando l’interazione con un campo elettromagne-tico esterno. Se la particella ha spin nullo, ha una struttura simmetrica e non puo avereun momento di dipolo. Se ha spin, questo definisce la direzione di quantizzazione s el’interazione col campo esterno e del tipo

HI = −ρm s · ~B − ρe s · ~E

con ρm e ρe densita di momento magnetico e di carica. L’interazione magnetica e rap-presentata dal prodotto scalare di due vettori assiali che si comportano allo stesso mo-do per trasformazioni di parita (+ +) e di inversione temporale (− −) ed e invariante.L’interazione elettrica cambia segno per trasformazione di parita e di inversione temporale

P s · ~E = s · (− ~E) T s · ~E = (−s) · ~E

Quindi l’invarianza di HI richiede che ρe sia nullo. Una verifica stringente di questa pre-visione si ottiene dai risultati sperimentali delle misure dei momenti di dipolo elettricodei nuclei e delle particelle. Ad esempio, il neutrone ha carica elettrica nulla, ma ha unmomento magnetico non nullo prodotto da una densita di magnetizzazione estesa su unadimensione di ∼10−13 cm. Per avere momento di dipolo elettrico nullo, si deve annullarel’integrale lungo l’asse di quatizzazione della distribuzione delle cariche in moto che pro-ducono il momento magnetico. Il limite sperimentale sul valore del momento di dipoloelettrico del neutrone e 〈e~r〉n < e× 10−25 cm.

6.5.5 Il positronio

Il positronio e lo stato legato elettrone–positrone analogo allo stato dell’atomo di idrogeno.Il positronio si forma per cattura di positroni emessi nei decadimenti β+ dei nuclei (capi-tolo 15) e la sezione d’urto e inversamente proporzionale alla velocita relativa vee per cui vie elevata probabilita che avvenga nello stato fondamentale 1S [49]. I livelli di energia delpositronio sono simili a quelli dell’atomo di idrogeno, ma la distanza tra i livelli e minoredi un fattore 2 perche la massa ridotta del sistema legato e

mee =m2

2m=m

2mep =

mM

m+M≈ m

L’energia dello stato fondamentale e il raggio dell’orbita di Bohr sono

E1S =α2mc2

4=

13.6

2eV r1S =

2a0

α2= 2× 0.53 10−8 cm

Il positronio e uno stato con carica e numero fermionico nulli e puo decadere in stati didue o piu fotoni

e+e− → γγ e+e− → γγγ

Il primo processo, che e il piu probabile, e quello su cui si basa uno dei metodi piu accuratidi indagine tomografica, la Positron Emission Tomography : si somministra una sostanzaradioattiva β+ che ha la prorieta di fissarsi nelle zone del corpo da esaminare e si misurala densita dei punti sorgente di emissione di due fotoni collineari di energia Eγ = mc2.

Per esaminare le proprieta di simmetria del positronio, consideriamo l’elettrone e ilpositrone come due particelle identiche in diversi stati di carica elettrica. Lo stato di duefermioni identici dipende dalle coordinate, dagli spin e dagli stati di carica

|e1 e2〉 = |~r1 ~r2〉 |~s1 ~s2〉 |q1 q2〉

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ed e antisimmetrico rispetto allo scambio 1↔ 2.

• Lo scambio delle coordinate spaziali ~r1 ↔ ~r2 corrisponde alla trasformazione diparita

P (e+e−) = (−1)L

• Lo stato di spin e il risultato della combinazione di due spin 1/2 e si ottengonoquattro stati |~S, Sz〉, ~S = ~s1 +~s2 = 1, con Sz = +1, 0,−1; oppure ~S = 0, con Sz = 0

|1,+1〉 = |+ 1/2; +1/2〉|1, 0〉 = 1√

2|+ 1/2;−1/2〉 + 1√

2| − 1/2; +1/2〉

|1,−1〉 = | − 1/2;−1/2〉

|0, 0〉 = 1√2|+ 1/2;−1/2〉 − 1√

2| − 1/2; +1/2〉

Lo stato di tripletto, S = 1, e simmetrico rispetto allo scambio ~s1 ↔ ~s2, mentre lostato di singoletto, S = 0, e antisimmetrico. La simmetria e (−1)S+1.

• Lo scambio delle cariche corrisponde alla trasformazione coniugazione di carica eil positronio puo esistere in due autostati uno simmetrico, con C = +1, e unoantisimmetrico, con C = −1, rispetto allo scambio q1 ↔ q2

La simmetria dello stato e

(−1)L (−1)S+1 C = −1

Il positronio nello stato fondamentale ha L = 0 e l’autovalore C si conserva nel decadimentoper interazione elettromagnetica

e+e− → γγ C = C2γ = +1 ⇒ (−1)S+1 = −1 ⇒ S = 0

e+e− → γγγ C = C3γ = −1 ⇒ (−1)S+1 = +1 ⇒ S = 1

Quindi il positronio nello stato di singoletto 1S0 decade e+e− → γγ, mentre nello stato ditripletto 3S1 decade e+e− → γγγ.

I due stati hanno energia leggermente diversa per effetto dell’interazione tra i momentimagnetici che rimuove la degenerazione dello stato 1S. Poiche ~µ ‖ ~s la hamiltoniana diinterazione si puo esprimere nella forma HI = κ ~s1 ·~s2. Gli autovalori relativi ai due statisono

~S2 = ~s 21 + ~s 2

2 + 2 ~s1 · ~s2 ~s1 · ~s2 =S(S + 1)− s(s+ 1)− s(s+ 1)

2=S(S + 1)

2− 3

4

HI(S = 0) = −3κ

4HI(S = 1) = +

κ

4∆E = κ

Il valore sperimentale e E(3S1)−E(1S0) = 8.4 10−4 eV . A temperatura ambiente, kT ∆E, i due stati sono popolati in rapporto 3 : 1 definito dalle molteplicita 2S + 1.

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6.6 Il teorema CPT

La hamiltoniana dell’interazione elettromagnetica (appendice 36) e derivata dalle equazio-ni dell’elettromagnetismo ed e invariante per le tre trasformazioni discrete C, P e T . Si everificato sperimentalmente con buona accuratezza che anche la hamiltoniana dell’intera-zione nucleare e invariante per le trasformazioni C, P e T . La hamiltoniana dell’interazionedebole, reponsabile del decadimento β dei nuclei, non e invariante ne per la trasformazioneC ne per la trasformazione P .

Un importante teorema formulato indipendentemente da Julian Schwinger, GerhartLuders e Wolfgang Pauli, e da John Bell [50], stabilisce sotto ipotesi molto generali chela hamiltoniana di un sistema e invariante per l’azione di una trasformazione prodottodelle tre trasformazioni C, P e T in qualunque ordine di successione. Le ipotesi sono che isistemi e le interazioni siano invarianti per trasformazioni di Lorentz e le interazioni sianodescritte da una teoria di campo quantistica locale. Una conseguenza dell’invarianzadella hamiltoniana sotto l’azione della trasformazione CPT e che i valori della massa,momento magnetico e vita media di una particella e della corrispondente antiparticellasono uguali (appendice 43). Questa uguaglianza e verificata con grande precisione dairisultati sperimentali.

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Capitolo 7

Processi elettromagnetici

Nel capitolo 2 abbiamo esaminato alcuni processi elettromagnetici elementari sulla basedelle conoscenze di meccanica e elettromagnetismo classici. Ora esaminiamo alcuni proces-si elementari che interessano nuclei e particelle sulla base della hamiltoniana di interazioneelettromagnetica e del calcolo perturbativo della probabilita di transizione.

7.1 Emissione e assorbimento di fotoni

Consideriamo un sistema in un volume di normalizzazione V costituito di particelle dimassa mi e carica elettrica qi descritto dalla hamiltoniana H0. Gli autostati del sistemasono

ψn(~r, t) = un(~r)e−iEnt/h

e, in assenza di cariche elettriche esterne e trattando le particelle in approssimazione nonrelativistica, l’interazione con il campo elettromagnetico e rappresentata dalla hamiltonia-na

Hi = −∑i

qimi

~A(~r, t) · ~pi (7.1)

Il campo elettromagnetico e rappresentato in termini degli operatori di emissione e assor-bimento di fotoni (appendice 36)

~A(~r, t) =

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

k

∑s

εs(~k)[as(~k)ei(

~k·~r−ωt) + a+s (~k)e−i(

~k·~r−ωt)]

(7.2)

Per effetto dell’interazione, il sistema passa dallo stato inizale |i〉 con energia Ei allostato finale |f〉 con energia Ef e il campo elettromagnetico dallo stato |ni〉 allo stato |nf 〉emettendo o assorbendo fotoni di impulso h~k e energia hω. La probabilita di transizioneper unita di tempo si calcola con la regola d’oro di Fermi [51] (appendice 38)

dPi→f =2π

h|〈f |HI |i〉|2dNf

Per una particella l’elemento di matrice della hamiltoniana di interazione e

〈f |HI |i〉 = − q

m

∫Rψ∗f (~r) ~A · ~p ψi(~r) d~r

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Capitolo 7. Processi elettromagnetici

dove R e la regione di spazio in cui ψ(~r) 6= 0. Il campo elettromagnetico si puo svilupparein serie di multipoli (appendice 31)

ei~k·~r = 1 + i~k · ~r − (~k · ~r)2

2+ . . .

I contributi dei vari termini dello sviluppo al calcolo dell’elemento di matrice hanno valori≈ (kR)n = (EγR/hc)

n 1. Infatti per un sistema atomico EγR ≈ 1 eV × 10−8 cm eper un sistema nucleare EγR ≈ 1 MeV × 10−13 cm: in entrambe i casi EγR hc =2 10−11 MeV cm. Ci si puo quindi limitare ai primi termini dello sviluppo in serie.

7.2 Transizione di dipolo elettrico

L’elemento di matrice al primo ordine nello sviluppo in multipoli e

− q

m

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

k

∑s

∫u∗fe

iEf t/h〈nf |εs · ~p [ase−iωt + a+

s eiωt]|ni〉ui e−iEit/hd~r =

= − q

m

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

k

∑s

∫u∗f εs · ~p [ei(Ef−Ei−hω)t/h + ei(Ef−Ei+hω)t/h]uid~r

Calcolando il valor medio nel tempo, il primo termine ha valore non nullo per Ef = Ei+hωe rappresenta l’assorbimento di un fotone di energia hω, mentre il secondo termine havalore non nullo per Ef = Ei − hω e rappresenta l’emissione di un fotone di energia hω.La trattazione e equivalente e quindi possiamo esaminare uno solo dei due casi

〈f |HI |i〉 = − q

m

(h

2V ε0ω

) 12∫ ∑

s

(u∗f ~p ui) · εs d~r δ(Ef − Ei + hω)

Per calcolare l’integrale osserviamo che gli operatori ~p e ~r sono coniugati, ih~p = m [~r,H0],e che ui(~r), uf (~r) sono autofunzioni della hamiltoniana H0

〈uf | ~p |ui〉 =m

ih〈uf | ~rH0 −H0~r |ui〉 =

im

h(Ef − Ei) 〈uf | ~r |ui〉

quindi l’elemento di matrice al primo ordine

〈f |HI |i〉 = i

(hω

2V ε0

) 12 ∑

s

εs · 〈uf | q~r |ui〉

e proporzionale a (hω)1/2 e dipende dal prodotto scalare del versore polarizzazione edell’operatore dipolo elettrico

εs · q~r = qr sin θ cosφ

dove θ e l’angolo tra la direzione di emissione ~k e il dipolo q~r e φ e l’angolo di polarizzazionenel piano normale a ~k (Fig.7.1). Il numero di stati finali del sistema costituito dallaparticella di massa m hω/c2 e il fotone emesso con impulso h~k e

dN = 2V

(2πh)3h3k2dkd cos θdφ =

2V

(2π)3h

ω2

c3dEd cos θdφ

126

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 127 — #127 ii

ii

ii

7.3. Transizione al secondo ordine

e

k

dq

f

Figura 7.1: Emissione di radiazione di dipolo

(il fattore 2 tiene conto della somma∑s sugli stati di polarizzazione finali). Quindi la

probabilita per unita di tempo di emissione di un fotone di energia hω, integrata suglistati e angoli di polarizzazione (

∫cos2 φdφ = π) e

dPi→f =2π

h

hω

2V ε0|〈f |qr|i〉|2 2V

(2π)3h

ω2

c3π sin2 θd cos θ =

ω3

hc3

|〈f |qr|i〉|2

4πε0sin2 θ d cos θ

Integrando sull’angolo di emissione si ottiene la vita media dello stato |i〉 per transizionidi dipolo elettrico

1

τ= P =

4

3

ω3

hc3

|〈f |qr|i〉|2

4πε0

L’energia emessa per unita di tempo sotto forma di fotoni di energia hω

W =hω

τ=

4

3

ω4

c3

|〈f |qr|i〉|2

4πε0(7.3)

ha la stessa espressione ottenuta per un dipolo elettrico oscillante a frequenza ω: il valorequadratico medio del dipolo classico, 〈(q~r)2〉, viene sostituito in meccanica quantistica dalquadrato dell’elemento di matrice della hamiltoniana di interazione tra gli stati inziale efinale.

7.3 Transizione al secondo ordine

L’elemento di matrice al secondo ordine nello sviluppo in multipoli e

− iqm

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

k

∑s

∫u∗f εs · ~p [~k · ~r ei(Ef−Ei−hω)t/h − ~k · ~r ei(Ef−Ei+hω)t/h]ui d~r

Consideriamo solo il termine di emissione. L’integrale sulle funzioni d’onda∑s

〈uf | ~k · ~r εs · ~p |ui〉 =∑s

〈uf |∑jl

kjxjplεsl |ui〉

si puo scomporre in un termine antisimmetrico e un termine simmetrico

1

2

∑s

〈uf |∑jl

kjεsl ([xjpl − xlpj ] + [xjpl + xlpj ]) |ui〉

127

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 128 — #128 ii

ii

ii


7.3.1 Transizione di dipolo magnetico

Il primo termine contiene l’operatore momento angolare, ~L = ~r×~p, e l’elemento di matricesi esprime

iq

2m

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

s

〈uf |(~k × εs) · ~L|ui〉 = i

(h

2V ε0ω

) 12 ∑

s

~k × εs · 〈uf |q~L

2m|ui〉

dove compare l’elemento di matrice dell’operatore momento magnetico ~µ = q~L/2m

~k × εs · 〈uf | ~µ |ui〉 = k 〈uf | µ |ui〉 sin θ sinφ

con le stesse definizioni di sopra degli angoli. La densita degli stati finali e la stessacalcolata sopra, quindi la probabilita di emissione per unita di tempo, integrata sugli statie sugli angoli di polarizzazione, e:

dPi→f =2π

h

h

2V ε0ω

ω2

c2|〈uf | µ |ui〉|2 sin2 θ

2V

(2π)3h

ω2

c3d cos θ =

=ω3

hc5

|〈uf | µ |ui〉|2

4πε0sin2 θ d cos θ

La vita media per transizioni di dipolo magnetico e la potenza emessa sono

1

τ=

4

3

ω3

hc5

|〈uf | µ |ui〉|2

4πε0W =

4

3

ω4

c5

|〈uf | µ |ui〉|2

4πε0(7.4)

7.3.2 Transizione di quadrupolo elettrico

Il secondo termine, utilizzando come sopra le leggi di commutazione [xj , pl] = ihδjl diventa

〈f |HI |i〉 =iq

2m

(h

2V ε0ω

) 12 m(Ef − Ei)

ih〈uf |

∑s

∑jl

εsj kl (3xjxl − r2δjl)|ui〉

e, introducendo l’operatore di quadrupolo elettrico Q

Qjl = q (3xjxl − r2δjl)

con le proiezioni Qsl =∑j εsjQjl;

∑s

∑jl εsjklQjl =

∑s

∑l klQ

sl , si ottiene

〈f |HI |i〉 =1

2

(h

2V ε0ω

) 12

ωk〈uf | Q |ui〉 cos θ cosφ

dove θ e l’angolo tra la direzione del fotone emesso e l’asse che minimizza Qjl. Introducentogli altri fattori, si ha la probabilita per unita di tempo di transizione di quadrupolo elettrico

dPi→f =1

4π

ω5

hc5

|〈uf | Q |ui〉|2

4πε0cos2 θ cos2 φd cos θdφ

1

τ=

1

6

ω5

hc5

|〈uf | Q |ui〉|2

4πε0W =

1

6

ω6

c5

|〈uf | Q |ui〉|2

4πε0(7.5)

Come nei due casi precedenti, l’espressione quantistica si ottiene dall’espressione classicasostituendo il valore quadratico medio con il quadrato dell’elemento di matrice. Sulleproprieta di simmetria degli elementi di matrice e sulle regole di selezione torneremo piuavanti quando saranno trattati i decadimenti radiativi nei nuclei e delle particelle.

128

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 129 — #129 ii

ii

ii

7.4. Scattering di fotoni da una carica elettrica

7.4 Scattering di fotoni da una carica elettrica

Come secondo esempio di processo elementare trattiamo lo scattering di un fotone da unacarica libera, l’effetto Compton. Consideriamo un elettrone debolmente legato, Elegame hω, e un fotone di energia hω mec

2. In questo caso possiamo utilizzare l’appros-simazione non relativistica della hamiltoniana di interazione trascurando effetti di spindell’elettrone.

La transizione avviene dallo stato iniziale |i〉 = |ε, ~k, ~p〉 allo stato finale |f〉 = |ε′, ~k′, ~p′〉.Nel riferimento in cui l’elettrone e inizialmente a riposo (p = 0) il fotone di impulso ~kviene deviato ad angolo polare θ con impulso ~k′

k′ =k

1 + (k/mec)(1− cos θ)

Il campo elettromagnetico assorbe il fotone |ε, ~k〉 e emette il fotone |ε′, ~k′〉. Il termine dellahamiltoniana di interazione e HI = e2 ~A· ~A′/2m perche il termine [e ~A·~p/m]2 e trascurabilea bassa energia. Considerando solo il primo termine dello sviluppo dell’esponenziale,

ei~k·~r ≈ 1, la hamiltoniana di interazione e

HI =e2

2m

h

2V ε0(ωω′)1/2

∑ss′

εs · εs′ (as′e−iω′t + a+

s′eiω′t)(ase

−iωt + a+s e

iωt)

Nell’elemento di matrice 〈f |HI |i〉 l’operatore a+s′as assorbe il fotone nello stato iniziale e

emette il fotone nello stato finale. Calcolando il valor medio nel tempo il termine ei(ω−ω′)t

e l’analogo per le funzioni d’onda dell’elettrone danno la conservazione dell’energia

〈f |HI |i〉 =e2

2m

h

2V εo(ωω′)1/2Σss′ εs · εs′ δ(Ei − Ef )

L’energia nello stato finale e divisa tra il fotone e l’elettrone

E = k′c+mc2 +kk′

m(1− cos θ) dE =

[1 +

k

mc(1− cos θ)

]cdk′ =

kc

k′dk′

Otteniamo quindi il numero di stati finali

dN =2V

(2πh)3k′2dk′d cos θdφ =

V

4π3h3

k′3

kcdEd cos θdφ

e la probabilita di scattering nell’unita di tempo

dPi→f =

(e2

4πε0mc2

)2c

2V

(k′

k

)2

|ε · ε′|2 d cos θdφ =r2e

2

c

V

(k′

k

)2

|ε · ε′|2 d cos θdφ

Per calcolare |ε · ε′|2 consideriamo il vettore ~k parallelo all’asse z: la polarizzazione inizialeεs e nel piano x–y. Il vettore ~k′ ha componenti (k′ sin θ cosφ, k′ sin θ sinφ, k′ cos θ) econsideriamo due componenti di polarizzazione finale ε′ ⊥ ~k′

ε′1 = (cos θ cosφ, cos θ sinφ, − sin θ) ε′2 = (− sinφ, cosφ, 0)

129

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 130 — #130 ii

ii

ii


Per ε1 = (1, 0, 0) e ε2 = (0, 1, 0) abbiamo

ε ‖ x ⇒ |ε · ε′|2 = cos2 θ cos2 φ+ sin2 φ ε ‖ y ⇒ |ε · ε′|2 = cos2 θ sin2 φ+ cos2 φ

Sommando sugli stati di polarizzazione otteniamo

Σ|ε · ε′|2 = 1 + cos2 θ dPi→f =r2e

2

c

V

(k′

k

)2

(1 + cos2 θ) d cos θdφ

Dividendo per il flusso iniziale, Φi = c/V , si ottiene la sezione d’urto differenziale di effettoCompton in approssimazione non relativistica (per particella di spin 0)

dσ

dΩ=V

c

dP

dΩ=r2e

2

(k′

k

)2

(2− sin2 θ) (7.6)

che e il limite di bassa energia della sezione d’urto di Klein–Nishina (appendice 46) chetiene conto dello spin dell’elettrone

dσ

dΩ=r2e

2

(k′

k

)2 (k′k

+k

k′− sin2 θ

)Al limite k mec, k

′ ≈ k, si ottiene la sezione d’urto di Thomson.

7.5 Scattering di Rutherford

Come terzo esempio di processo elementare consideriamo lo scattering di una particella dicarica elettrica ze, massa m e spin 0 nel campo coulombiano di una particella di caricaelettrica Ze, massa M e spin 0. ~p e l’impulso relativo. Se p mc, in approssimazione nonrelativistica, la hamiltoniana della particella e la hamiltoniana di interazione coulombianasono

H0 =p2

2mHI = U(~r) =

zZ

4πεo

e2

r

Le autofunzioni della hamiltoniana H0, normalizzate in un volume V sono

un(~r) =1

V 1/2ei~kn·~r ~pn = h~kn

La transizione avviene dallo stato iniziale |i〉 = |~k〉 allo stato finale |f〉 = |~k′〉 caratterizzatodall’angolo polare θ e azimutale φ. L’impulso trasferito e ∆~p = h~q = h(~k− ~k′). L’elementodi matrice

〈f |HI |i〉 =

∫u∗f (~r) U(~r) ui(~r) d~r =

zZ

V 4πε0

∫e−i

~k′·~r e2

rei~k·~r d~r

risulta indefinito in quanto e l’integrale di una funzione oscillante esteso all’infinito. Nellarealta non esistono cariche elettriche libere e il potenziale della carica Ze risulta in qual-che modo schermato a distanza r Ratomo. Cerchiamo la soluzione considerando unpotenziale schermato del tipo

U(~r) =zZe2

4πε0

e−µr

r(7.7)

130

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 131 — #131 ii

ii

ii

7.5. Scattering di Rutherford

detto potenziale di Yukawa che studieremo piu avanti. In questo caso l’integrale e∫ei~q·~r e−µr

rd~r =

∫eiqr cosα e−µr

rr2drd cosαdφ = 2π

∫eiqr − e−iqr

iqre−µr rdr =

=2π

iq

∫(e−(µ−iq)r − e−(µ+iq)r)dr =

2π

iq

[1

µ− iq− 1

µ+ iq

]=

4π

q2 + µ2

Il potenziale coulombiano si ottiene con il limite µ→ 0 (µ q cioe ∆p hµ ≈ h/Ratomo).Quindi l’elemento di matrice

〈f |HI |i〉 =1

V

zZe2

4πε0

4π

q2

e proporzionale al prodotto delle cariche elettriche e alla trasformata di Fourier del po-tenziale coulombiano che e il propagatore del campo di interazione. Nell’ipotesi m Mpossiamo trascurare il rinculo della particella M e abbiamo |~k′| ≈ |~k|

q2 = |~k − ~k′|2 = ~k2 + ~k′2 − 2 ~k · ~k′ ≈ 2 k2(1− cos θ) =4p2

h2 sin2 θ/2

Calcolando il numero di stati finali

dNf =V

(2πh)3p′2dp′d cos θ dφ =

V

(2πh)3mp′ dEfd cos θdφ

otteniamo la probabilita di transizione per unita di tempo

dPi→f =2π

h

(zZe2

V ε0

)2(h2

4p2 sin2 θ/2

)2V

(2πh)3mp d cos θdφ =

=1

V

(zZe2

4πε0

)21

4p2v sin4 θ/2d cos θdφ

che, dividendo per il flusso incidente, Φi = v/V , da la sezione d’urto differenziale, Eq. (2.4)

dσ

dΩ= r2

e (zZ)2 (mec2)2

4p2v2 sin4 θ/2

7.5.1 Fattore di forma elettrico

La sezione d’urto che abbiamo trovato descrive lo scattering da una carica puntiforme. Sela particella bersaglio ha una struttura con una densita di carica Zeρ(~r′) in una regionedi spazio R (Fig.7.2), l’elemento di matrice viene modificato

〈f |HI |i〉 =zZe2

V 4πε0

∫ei~q·~r

∫R

ρ(~r′)

|~r − ~r′|d~r′ d~r

Cambiando la variabile di integrazione: ~r = ~r′ + ~s,

〈f |HI |i〉 =zZe2

V 4πε0

∫ei~q·~s

∫Rei~q·

~r′ ρ(~r′)

sd~r′ d~s =

131

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 132 — #132 ii

ii

ii


=zZe2

V 4πε0

∫ei~q·~s

sd~s

∫Rei~q·

~r′ ρ(~r′) d~r′ =zZe2

V 4πεo

4π

q2FE(~q)

La trasformata di Fourier della densita di carica e il

fattore di forma elettrico FE(~q) =

∫Rei~q·~rρ(~r)d~r (7.8)

con la normalizzazione

FE(q = 0) =

∫Rρ(~r)d~r = 1

Figura 7.2: Scattering da una distribuzione di carica

La sezione d’urto di scattering dalla distribuzione di carica e uguale al prodotto dellasezione d’urto di scattering da una carica puntiforme Ze nel baricentro della distribuzionedi carica per il quadrato del modulo del fattore di forma elettrico

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)punto

|FE(~q)|2 (7.9)

Sviluppando l’esponenziale in serie di potenze dell’impulso trasferito

ei~q·~r =∑n

(i~q · ~r)n

n!=∑n

in

n!

(∆~p · ~rh

)nsi ottiene lo sviluppo del fattore di forma in funzione dei momenti della distribuzione dicarica

F (~q) = 1 + i

∫R~q · ~r ρ(~r) d~r − 1

2

∫R

(~q · ~r)2 ρ(~r) d~r + . . .

Il potere risolutivo per studiare la distribuzione di carica di un sistema nucleare di dimen-sione R e tanto migliore quanto piu grande e l’impulso trasferito: ∆p = hq = 2p sin(θ/2)h/R.

Se la distribuzione di carica ha simmetria radiale, ρ(~r) = ρ(r), i momenti dispari delladistribuzione di carica sono nulli. Il secondo termine corrisponde al secondo momento edefinisce il raggio quadratico medio della distribuzione di carica

1

2

∫q2r2 cos2 θ ρ(r) r2drdΩ =

2π

3q2∫Rr4ρ(r)dr =

1

6q2∫Rr2ρ(~r)d~r =

1

6q2〈r2〉

In questo caso il fattore di forma e funzione del quadrato dell’impulso trasferito

F (~q) = F (q2) = 1− 1

6q2〈r2〉+

1

120q4〈r4〉+ . . .

132

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 133 — #133 ii

ii

ii

7.5. Scattering di Rutherford

e il raggio quadratico medio della distribuzione di carica si ottiene dalla derivata del fattoredi forma per q2 = 0

〈r2〉 = −6

(∂F

∂q2

)q2=0

(7.10)

Esempio 1: distribuzione di carica uniforme

Per una distribuzione di carica uniforme in una sfera di raggio R

ρ(r) = ρ0 =3

4πR3r ≤ R ρ(r) = 0 r > R

il fattore di forma e

ρ0

∫eiqr cos θ r2drd cos θdφ = ρ0 2π

∫eiqr − e−iqr

iqrr2dr = ρ0

4π

q

∫ R

0sin qr rdr

F (q2) =3

q3R3(sin qR− qR cos qR) = 1− q2R2

10+q4R4

280+ . . .

Il raggio quadratico medio della distribuzione di carica e 〈r2〉 = 3R2/5. Questo fattore diforma riproduce bene i risultati di misure di sezione d’urto di scattering di elettroni danuclei con peso atomico A grande.

Esempio 2: distribuzione di carica esponenziale

Per una distribuzione di carica ρ(r) = ρ0e−µr∫

ρ0e−µr r2drd cos θdφ = ρ0 4π

2

µ3= 1 ⇒ ρ0 =

µ3

8π

F (q) = ρ0

∫eiqr cos θe−µr r2drd cos θdφ = ρ0 2π

∫e−(µ−iq)r − e−(µ+iq)r

iqrr2dr =

= ρ02π

iq

[1

(µ− iq)2− 1

(µ+ iq)2

]= ρ0

8πµ

(q2 + µ2)2

F (q2) =µ4

(q2 + µ2)2=

1

(1 + q2/µ2)2= 1− 2q2

µ2+

3q4

µ4+ . . .

Il raggio quadratico medio della distribuzione di carica e 〈r2〉 = 12/µ2. Questo fattore diforma riproduce bene i risultati di misure di sezione d’urto di scattering di elettroni daprotoni e neutroni.

Esempio 3: distribuzione di carica gaussiana

La trasformata di Fourier di una distribuzione di carica gaussiana

ρ(r) =1

(2πσ2)3/2e−r

2/2σ2

con raggio quadratico medio 〈r2〉 = 3σ2, e una funzione gaussiana

F (q2) = e−q2σ2/2 = 1− q2σ2

2+q4σ4

8+ . . .

Il raggio quadratico medio della distribuzione di carica e 〈r2〉 = 3σ2. Questo fattore diforma riproduce bene i risultati di misure di sezione d’urto di scattering di elettroni danuclei con peso atomico A piccolo (He, Li, Be, . . . ).

133

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 134 — #134 ii

ii

ii


7.6 Scattering di una carica da un dipolo magnetico

Se la particella bersaglio ha spin 6= 0, una particella di carica elettrica ze e soggetta alcampo prodotto dal momento di dipolo magnetico ~µ della particella bersaglio. Poiche ilcampo magnetico generato da un dipolo ha una dipendenza dalla distanza ∼ 1/r3, l’intera-zione e di intensita molto minore che nel caso del campo coulombiano che ha l’andamento∼ 1/r2. L’intensita dell’interazione col momento magnetico e importante solo a piccoledistanze, cioe per grandi impulsi trasferiti. Ci sono particelle neutre dotate di momentodi dipolo magnetico (questo e il caso del neutrone) che hanno solo interazioni magnetiche.

Il potenziale prodotto da un dipolo magnetico a distanza r e

~A(~r) =µ0

4π

~µ× ~rr3

L’elemento di matrice di transizione tra lo stato |~p〉 e lo stato |~p′〉 e

〈~p′|HI |~p〉 = − ze

mV

µ0

4π〈~p′| ~µ× ~r

r3· ~p |~p〉

Osservando che (~µ× ~r) · ~p = (~p× ~µ) · ~r, l’integrale diventa∫eiqr cos θ (~p× ~µ) · ~r

r3r2drd cos θdφ = 〈(~p× ~µ) · ~q〉 4πi

q2

Quindi, a parte un fattore angolare, l’elemento di matrice e

|〈~p′| HI |~p〉|2 =z2

m2V 2

(eµ0

4π

)2 16π2 µ2p2

q2

La probabilita di transizione nell’unita di tempo per interazione tra la carica ze e ilmomento magnetico della particella bersaglio µ = eh/2M

dPi→f =2π

hz2(

e

4πε0c2

)2 ( eh

2M

)2 1

m2V 2

16π2h2p2

4p2 sin2 θ/2

V

8π3h3 pm dΩ =

=v

Vz2r2

e

(mec2)2

4p2 sin4 θ/2

1

c2

(∆p)2

(2Mc)2dΩ

ci da, dividendo per il flusso iniziale, la sezione d’urto di scattering

dσ

dΩ= z2r2

e

(mec2)2

4p2v2 sin4 θ/2· v

2

c2

(∆p)2

(2Mc)2(7.11)

proporzionale alla sezione d’urto di Rutherford e ad un fattore che dipende dalla velocitae dal quadrato del rapporto tra l’impulso trasferito e la massa della particella bersaglio eche quindi e molto piccolo se ∆pMc e se la particella incidente non ha energia elevata.

7.6.1 Fattore di forma magnetico

Se la particella bersaglio ha una struttura con una densita di magnetizzazione ~M(~r′) inuna regione di spazio R, l’integrale nell’elemento di matrice viene modificato∫

ei~q·~r∫R

~M(~r′)× (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

d~r′ d~r =

∫ei~q·~s

∫Rei~q·

~r′~M(~r′)× ~s

s3d~r′ d~s =

134

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 135 — #135 ii

ii

ii

7.7. Forma relativistica della sezione d’urto di Rutherford

=

∫Rei~q·

~r′ ~M(~r′)d~r′ ×∫ei~q·~s ~s

s3d~s

L’integrale contiene la trasformata di Fourier della densita di magnetizzazione cioe il

fattore di forma magnetico ~FM (~q) =

∫Rei~q·~r ~M(~r) d~r (7.12)

con la normalizzazione~FM (q = 0) =

∫R

~M(~r) d~r = ~µ

dove ~µ e il momento magnetico della particella. La sezione d’urto di scattering dalladistribuzione di magnetizzazione e uguale al prodotto della sezione d’urto di scattering dauna particella puntiforme con momento magnetico ~µ nel baricentro della distribuzione peril quadrato del modulo del fattore di forma magnetico

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)punto

|~FM (~q)|2 (7.13)

Possiamo quindi ripetere le considerazioni fatte sopra e definire i momenti della distribu-zione di magnetizzazione, il raggio quadratico medio della distribuzione etc.

7.7 Forma relativistica della sezione d’urto di Rutherford

Se la velocita relativa delle particelle non e piccola rispetto alla velocita della luce, occorreusare la cinematica relatistica (appendice 29). Questo permette anche di introdurre ladipendenza delle sezioni d’urto dallo spin delle particelle che e un fenomeno tipicamenterelativistico. Consideriamo lo scattering di una particella di massa m e 4-impulso P dauna particella di massa M e 4-impulso Po. Manteniamo l’ipotesi m M , che e veranella maggior parte degli esperimenti in cui si studia la struttura dei nuclei con fasci dielettroni, e facciamo l’ipotesi E mc2, anche questa verificata nella maggior parte deicasi di interesse. Nel riferimento in cui la particella M e in quiete abbiamo (usiamo laconvenzione c = 1 )

stato iniziale P = (~p,E) Po = (0,M)

stato finale P ′ = (~p′, E′) P ′o = (~p′o, E′o)

La conservazione di energia-impulso richiede

P + Po = P ′ + P ′o P − P ′ = q = P ′o − Po

dove q e il 4-impulso trasferito q = (~q, ν) = (~p− ~p′, E − E′)

q2 = (P − P ′)2 = P 2 + P ′2 − 2 EE′ + 2 ~p · ~p′ ≈ 2m2 − 2EE′(1− cos θ) ≈ −4pp′ sin2 θ/2

q2 e di tipo spazio (space-like). Analogamente per le variabili della particella bersaglio

q2 = (P ′o − Po)2 = P ′2o + P 2o − 2 EoE

′o + 2 ~po · ~p′o = 2M2 − 2ME′o

135

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 136 — #136 ii

ii

ii


Si ha scattering elastico se l’energia trasferita e molto piu piccola dell’energia che tienelegata la particella bersaglio, ν Elegameo M . In questo caso la particella bersagliorimane uno stato legato con massa M che rincula con energia cinetica ν e energia totale

E′o = M − q2

2M= M + ν

Il processo di scattering elastico e caratterizzato da

−q2 = 2Mν ~q 2 = ν2 − q2 = q2 q2

4M2− q2 ≈ −q2

La particella m e deflessa ad angolo polare θ con impulso

p′ ≈ p

1 + (p/M)(1− cos θ)=

p

1 + (2p/M) sin2 θ/2

dove abbiamo fatto l’ipotesi che l’energia della particella nello stato finale sia E′ mc2 (ela relazione dell’effetto Compton). L’elemento di matrice e lo stesso calcolato in precedenzaper lo scattering Rutherford. Nel calcolo della densita degli stati finali dobbiamo tenerconto dell’energia cinetica ceduta alla particella bersaglio

Ef = E′ + E′o ≈ p′ +M +2pp′ sin2 θ/2

MdEf =

(1 +

2p sin2 θ/2

Mc

)cdp′ =

cp

p′dp′

dove abbiamo re-introdotto i fattori c per tener conto delle dimensioni.La sezione d’urto si ottiene come nel caso precedente. Per una particella di carica e e

velocita v ≈ c risulta

dσ

dΩ= Z2r2

e

(mec2)2

4p2c2 sin4 θ/2

p′

p= Z2r2

e

(mec2)2

4p2c2 sin4 θ/2

1

1 + (2p/Mc) sin2 θ/2(7.14)

Possiamo esprimere la sezione d’urto in forma invariante in funzione del 4-impulso trasfe-rito, dq2 = −2pp′ d(1− cos θ) = 2pp′d cos θ = pp′dΩ/π

dσ

dq2=dσ

dΩ

dΩ

dq2= Z2 4r2

e(mec2)2

q4

p′3

p

π

pp′= Z2 4πα2(hc)2

q4

(p′

p

)2

(7.15)

7.8 Sezione d’urto di Dirac

La sezione d’urto di Rutherford non tiene conto dello spin delle particelle: e valida perparticelle di spin 0. L’equazione del moto di una particella relativistica di spin 1/2,l’equazione di Dirac (appendice 42), prevede che l’elicita, h = ~s · ~p/|~s||~p|, si conservi adalta energia nell’interazione con il campo elettromgnatico. Se un elettrone viene deflessoad angolo polare θ, la conservazione del momento angolare e dell’elicita introduce nuovifattori nella sezione d’urto differenziale che dipendono dallo spin della particella bersaglio.

Gli stati iniziale e finale sono autostati dell’operatore di spin, |~s|, e della componentesz rappresentati dalle matrici di Pauli

σx =

(0 11 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

)σ2 = σ2

x + σ2y + σ2

z

136

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 137 — #137 ii

ii

ii

7.8. Sezione d’urto di Dirac

Lo stato iniziale e |1/2,−1/2〉. Lo stato finale sara una combinazione dei due stati|1/2,+1/2〉 e |1/2,−1/2〉 che rappresentiamo come autostati delle matrici di Pauli

|1/2,+1/2〉 =

(10

)|1/2,−1/2〉 =

(01

)

con autovalori ±1/2. Nella transizione dallo stato iniziale (assumiamo pi ‖ z) allo statofinale interviene l’operatore di rotazione attorno ad un asse normale all’asse z (appendi-ce 33)

Ry(θ) = eisyθ = eiσyθ/2 = cos θ/2 + iσy sin θ/2 =

=

(cos θ/2 0

0 cos θ/2

)+ i

(0 −i sin θ/2

i sin θ/2 0

)=

(cos θ/2 sin θ/2− sin θ/2 cos θ/2

)Gli elementi di matrice della rotazione sono

〈1/2,−1/2|Ry(θ)|1/2,−1/2〉 =(

0 1)( cos θ/2 sin θ/2− sin θ/2 cos θ/2

)(01

)= cos θ/2

〈1/2,+1/2|Ry(θ)|1/2,−1/2〉 =(

1 0)( cos θ/2 sin θ/2− sin θ/2 cos θ/2

)(01

)= sin θ/2

Se la particella bersaglio ha spin 0 non puo modificare lo stato di momento angolare szdell’elettrone e si ha solo il primo elemento di matrice. La sezione d’urto viene modificataper il fattore |〈1/2,−1/2|Ry(θ)|1/2,−1/2〉|2 = cos2 θ/2 ed e chiamata sezione d’urto diMott [52]

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)Ruth

cos2 θ/2 (7.16)

Il fattore cos2 θ/2 sopprime la deflessione ad angoli grandi, θ ≈ π, che per la conservazionedell’elicita comporterebbe l’inversione dello spin.

• Nota: questa e l’espressione della sezione d’urto di Mott nel limite β → 1. Per unaparticella di velocita βc si ha(

dσ

dΩ

)Mott

=

(dσ

dΩ

)Ruth

(1− β2 sin2 θ/2)

Se la particella bersaglio ha spin 1/2, si hanno due contributi: lo scattering per interazionecon la carica elettrica, in cui compare il fattore cos2 θ/2, e l’interazione col momentomagnetico della particella bersaglio, con inversione degli spin, che e rappresentata dalfattore sin2 θ/2. Per un fermione di spin 1/2 e massa M , con fattore giromagnetico g =2 e momento magnetico µ = 2(e/2M)(h/2), la probabilita di interazione magnetica vasommata alla probabilita di interazione elettrica e si ottiene, per β → 1, la

sezione d’urto di Diracdσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)Ruth

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

](7.17)

Q2 = −q2 = 4pp′ sin2 θ/2 e il quadrato del 4-impulso trasferito e il fattore 2 tiene contodella molteplicita degli stati di spin 1/2.

137

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 138 — #138 ii

ii

ii


7.9 Sezione d’urto di Rosenbluth

Se la particella bersaglio ha fattore giromagnetico g 6= 2, cioe ha momento magneticoanomalo caratterizzato da g = 2(1 + κ), la sezione d’urto viene modifica nella forma

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)Ruth

[(1 +

Q2

4M2κ2

)cos2 θ/2 +

Q2

4M2(1 + κ)22 sin2 θ/2

]

Se inoltre la particella bersaglio ha una struttura caratterizzata da una densita di caricaρ(~r) e di magnetizzazione ~M(~r) (il momento magnetico anomalo e in effetti prodotto dauna distribuzione non puntiforme) si introducono i fattori di forma elettrico FE(q2) emagnetico FM (q2) e si ottiene la sezione d’urto di Rosenbluth [53]

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)Ruth

[(F 2E +

Q2

4M2κ2F 2

M

)cos2 θ/2 +

Q2

4M2(FE + κFM )22 sin2 θ/2

](7.18)

Per il protone e il neutrone la normalizzazione dei fattori di forma e

F pE(0) = F pM (0) = 1 FnE(0) = 0 FnM (0) = 1

In luogo di questi due fattori di forma si utilizzano di solito le combinazioni

GE(q2) = FE(q2)− Q2

4M2κFM (q2) GM (q2) = FE(q2) + κFM (q2)

con la normalizzazione

GpE(0) = 1 GnE(0) = 0 GpM (0) = 1 + κp = µp GnM (0) = 1 + κn = µn

e la sezione d’urto di Rosenbluth si esprime

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)Ruth

[G2E + (Q2/4M2)G2

M

1 +Q2/4M2cos2 θ/2 +

Q2

4M2G2M 2 sin2 θ/2

](7.19)

=

(dσ

dΩ

)Mott

[G2E + (Q2/4M2)G2

M

1 +Q2/4M2+

Q2

4M2G2M 2 tan2 θ/2

]Dall’analisi della forma della sezione d’urto possiamo osservare che

• per Q2 (2Mc2)2 domina il contributo dell’interazione con la carica elettrica delbersaglio, dσ/dΩ ≈ G2

E ;

• per Q2 (2Mc2)2 domina il contributo dell’interazione con il momento magneticodel bersaglio, dσ/dΩ ≈ G2

M ;

• misurando il modulo dell’impulso dell’elettrone nello stato finale, p′, e l’angolo discattering, θ, si possono misurare sia G2

E che G2M studiando la dipendenza della

sezione d’urto da Q2 e tan2 θ/2 (Fig.7.3);

• l’estrapolazione dei dati sperimentali a Q2 → 0 determina la carica Ze e il momentomagnetico µ della particella bersaglio.

138

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 139 — #139 ii

ii

ii

7.9. Sezione d’urto di Rosenbluth

0 . 0 0

0 . 0 1

0 . 0 2

0 . 0 3

0 . 0 4

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2

q2 = 3 GeV

2

t g2 /2q

sezio

ne

d'u

rto

ele

ttro

ne-p

ro

ton

e

Figura 7.3: Sezione d’urto elettrone-nucleone in funzione di tan2 θ/2

Per avere informazioni dettagliate sulle proprieta di particelle con una struttura di dimen-sione spaziale R occorrono due condizioni

• che la particella del fascio abbia caratteristiche ben note e, possibilmente, abbia unastruttura elementare; questa condizione e ben assicurata dagli elettroni;

• che la lunghezza d’onda associata all’impulso trasferito sia molto minore delle dimen-sioni della particella bersaglio h/∆p = h/(4pp′ sin2 θ/2)1/2 R, cioe che l’impulsodel fascio sia sufficientemente elevato.

1 0- 4

1 0- 3

1 0- 2

1 0- 1

1 00

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

Gm

/mp

(1 + q2/0 .71)- 2

q2 (GeV

2)

fatt

ore

di

form

a

ma

gn

eti

co

d

el

pro

ton

e

Figura 7.4: Fattore di forma magnetico del protone in funzione di q2

Le misure iniziate da Robert Hofstadter 1 nel 1958 [54] con fasci di elettroni e bersagli diprotoni, neutroni e nuclei leggeri (Fig.7.4) hanno fornito importanti risultati sulle proprietadi queste particelle (in realta non esistono neutroni liberi, le misure sono fatte con bersaglidi idrogeno e deuterio e le informazioni sul neutrone sono estratte per confronto)


139

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 140 — #140 ii

ii

ii


• i fattori di forma GpE(q2), GpM (q2)/µp, GnM (q2)/µn hanno la stessa dipendenza da

q2 che viene parametrizzata nella forma

G(q2) =1

(1 + q2/q20)2

da cui si deriva q20 = 0.71 GeV 2;

• questa e la trasformata di Fourier di una distribuzione di carica e di magnetizzazioneesponenziale

ρ(r) ≈M(r) ≈ e−q0r

• il raggio quadratico medio delle distribuzioni rappresenta l’estensione spaziale delprotone e del neutrone, il valore e√

〈 r2〉 =√

12hc

q0≈ 0.8 10−13 cm

• i momenti magnetici, espressi in magnetoni nucleari, sono

µp = +2.792 µN µn = −1.913 µN µN =eh

2mp

in ottimo accordo con i risultati delle misure effettuate con il metodo della risonanzamagnetica nucleare (capitolo 9).

140

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 141 — #141 ii

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ii

Capitolo 8

Scattering da potenziale

Nel capitolo 2 abbiamo introdotto la sezione d’urto e derivato alcuni esempi sulla basedelle conoscenze di fisica classica e nel capitolo 7 abbiamo calcolato la sezione d’urto dialcuni processi elementari sulla base dei metodi perturbativi della meccanica quantistica.Gli esempi che abbiamo trattato riguardano processi di interazione elettromagnetica. Irisultati sperimentali sono in accordo con le previsioni del modello teorico. I principalimotivi del successo del modello sono

• il potenziale e derivato dalle leggi ben verificate dell’elettromagnetismo classico;

• il modello e basato su solide leggi di simmetria: l’invarianza per trasformazioni diLorentz, di gauge, di coniugazione di carica, . . .;

• lo sviluppo in serie del calcolo perturbativo converge rapidamente perche la costanteadimensionale caratteristica dell’interazione elettromagnetica e piccola

α =e2

4πε0hc≈ 1

137 1

La trattazione delle interazioni nucleari e notevolmente piu complessa perche

• non c’e un analogo classico su cui basare ipotesi;

• la hamiltoniana di interazione non e nota;

• l’interazione e molto piu intensa dell’interazione elettromagnetica e i metodi pertur-bativi non danno risultati affidabili.

Poiche gran parte dell’informazione sperimentale e basata sullo studio di reazioni nuclearie di scattering di particelle da nuclei e opportuno impostare in modo piu generale lo studiodi questi processi.

8.1 Scattering da potenziale radiale

Consideriamo lo scattering di una particella di massa m1 dalla particella bersaglio di massam2 descritta in meccanica non relativistica dalla equazione del moto

ih∂

∂tψ(~r1, ~r2, t) =

[− h2

2m1∇2

1 −h2

2m2∇2

2 + U(~r1, ~r2)

]ψ(~r1, ~r2, t)

141

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 142 — #142 ii

ii

ii

Capitolo 8. Scattering da potenziale

La soluzione si puo fattorizzare nelle coordinate del moto relativo tra le particelle e nellecoordinate del baricentro

~r = ~r1 − ~r2~R =

m1~r1 +m2~r2

m1 +m2

L’equazione del moto si modifica nella forma

ih∂

∂tψ(~r, ~R, t) =

[− h2

2M∇2R −

h2

2m∇2r + U(~r)

]ψ(~r, ~R, t)

con M = m1 +m2 e m = (m1m2)/(m1 +m2). La soluzione

ψ(~r, ~R, t) = u(~r)v(~R)e−i(Er+ER)t/h

soddisfa le equazioni

− h2

2M∇2Rv(~R) = ERv(~R)

[− h2

2m∇2r + U(~r)

]u(~r) = Eru(~r)

• la prima equazione descrive il moto del centro di massa che si muove di moto rettilineouniforme;

• la seconda equazione, che e quella che ci interessa, descrive l’interazione delle dueparticelle nel sistema del centro di massa.

Tutte le considerazioni che seguono si riferiscono al sistema del centro di massa. Facciamole seguenti ipotesi aggiuntive

• il potenziale U(~r) si annulla per r →∞ con un andamento piu rapido di 1/r;

• se R e la dimensione del sistema in studio, le osservazioni sono fatte a distanzar R;

• il potenziale e a simmetria sferica, U(~r) = U(r).

Al tempo t = −∞ e a distanza r R si ha U(r)→ 0, l’equazione diventa

∇2u(~r) + k2u(~r) = 0 E =h2k2

2m

Lo stato iniziale e lo stato di particelle libere con impulso ~p = h~k (nel sistema del centrodi massa) che assumiamo parallelo all’asse z

ui(~r) =1

V 1/2eikz

Al tempo t = +∞ e a distanza r R ipotizziamo una soluzione del tipo

uf (~r) =1

V 1/2

[eikz + f(θ, φ)

eikr

r

](8.1)

sovrapposizione dell’onda piana ui(~r) e di un’onda sferica che ha origine nel centro dimassa del sistema e ha ampiezza f(θ, φ) detta ampiezza di scattering (Fig.8.1). Per otte-

142

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 143 — #143 ii

ii

ii

8.2. Approssimazione di Born

l

q

stato in.

eikz

e-ikr

re

+ikr

r

stato fin.

Figura 8.1: Scattering da potenziale

nere la sezione d’urto calcoliamo il flusso incidente e il flusso diffuso dal potenziale ad unangolo θ, φ

Φi =h

2im(u∗i∇ui − ui∇u∗i ) =

hk

V m

Φd =h

2imV|f(θ, φ)|2

[e−ikr

r

∂

∂r

eikr

r− eikr

r

∂

∂r

e−ikr

r

]=

1

r2

hk

V m|f(θ, φ)|2

Il numero di particelle emesse nell’unita di tempo con angolo di scattering Ω e nd(Ω) =Φdr

2 e quindi la sezione d’urto differenziale e pari al modulo quadro dell’ampiezza discattering

dσ

dΩ=nd(Ω)

Φi= |f(θ, φ)|2 (8.2)

8.2 Approssimazione di Born

Se il potenziale U(r) e noto, la soluzione dell’equazione non omogenea (normalizzata inun volume V = 1) e del tipo

u(~r) = eikz +2m

h2

∫eik|~r−

~r′|

4π|~r − ~r′|U(r′)ψ(r′)d~r′

che, per r →∞,

|~r − ~r′| reik|~r−

~r′|

|~r − ~r′|≈ eikr

re−i

~k′·~r′ ~k′ = kr

possiamo approssimare

u(~r) = eikz +m

2πh2

∫eikr

re−i

~k′·~r′ U(r′)ψ(r′)d~r′ = eikz +

+m

2πh2

eikr

r

∫e−i

~k′·~r′ U(r′)

[ei~k·~r′ +

m

2πh2

eikr′

r′

∫e−i

~k′· ~r′′ U(r′′)(ei~k· ~r′′ + . . .

)d~r′′

]d~r′

Con queste ipotesi la soluzione e rappresentata dallo sviluppo in serie

u(~r) = eikz +m

2πh2

eikr

r

∫ei(~k−~k′)·~r′ U(r′)d~r′ +

143

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 144 — #144 ii

ii

ii


+

(m

2πh2

)2 eikr

r

∫eikr

′

r′e−i

~k′·~r′ U(r′)

∫ei(~k−~k′)· ~r′′ U(r′′) d~r′′ d~r′ + . . .

Il primo termine della serie e l’ampiezza di scattering in approssimazione di Born [55]

f(θ, φ) =m

2πh2

∫ei~q·~r U(r)d~r ~q = ~k − ~k′

Se sostituiamo in questa relazione il potenziale coulombiano

U(r) =zZe2

4πε0r⇒ f(θ, φ) =

zZremec2

2pv sin2 θ/2

troviamo la sezione d’urto di Rutherford, Eq. (2.4).

8.3 Sviluppo in onde parziali

Se il potenziale U(r) non e noto, possiamo comunque cercare le proprieta dell’ampiezza discattering sulla base delle ipotesi che il potenziale sia a simmetria sferica e che si annulli perr → ∞. Nel sistema del centro di massa possiamo sviluppare la soluzione dell’equazionedel moto, l’onda piana incidente e l’onda diffusa, in autofunzioni del momento angolarefacendo una ipotesi aggiuntiva che

• lo stato iniziale e finale abbiano simmetria azimutale, cioe non dipendano dall’angoloφ

Con queste ipotesi, lo stato iniziale e finale si possono sviluppare in autofunzioni delmomento angolare ~l, lz, con lz = 0

Yl0(θ) =

(2l + 1

4π

) 12

Pl(cos θ)

dove Pl(cos θ) sono i polinomi di Legendre (appendice 33). Per lo stato iniziale

ui(r, θ) = eikr cos θ =∑l

il(2l + 1)jl(kr)Pl(cos θ) l = 0, 1, 2 . . .

le funzioni radiali che esprimono la dipendenza dalla distanza r sono le funzioni sferichedi Bessel che hanno come andamento asintotico, la forma di onde sferiche

limkrl

jl(kr) =sin(kr − lπ/2)

kr

Quindi lo stato iniziale e rappresentato dalla sovrapposizione di due onde sferiche unaconvergente verso il centro di massa e l’altra divergente, sfasate per il fattore (−1)l

limr→∞

ui(r, θ) =i

2k

∑l

(2l + 1)

[(−1)l

e−ikr

r− eikr

r

]Pl(cos θ)

Analogamente rappresentiamo lo stato finale come sovrapposizione di onde sferiche

uf (r, θ) = ui(r, θ) + f(θ)eikr

r=

i

2k

∑l

(2l + 1)

[(−1)l

e−ikr

r− al

eikr

r

]Pl(cos θ)

144

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 145 — #145 ii

ii

ii

8.4. Sezione d’urto elastica e di reazione

dove le ampiezze al rappresentano l’azione del potenziale sulla componente l dell’ondasferica divergente. L’azione del potenziale risulta in uno sfasamento e un coefficiente diassorbimento dello stato iniziale

al = ηl e2iδl con ηl δl reali 0 ≤ ηl ≤ 1

Lo scattering dal potenziale e rappresentato dallo stato

ud(r, θ) = uf (r, θ)− ui(r, θ) =i

2k

eikr

r

∑l

(2l + 1)(1− al)Pl(cos θ)

con ampiezza di scattering

f(θ) =i

2k

∑l

(2l + 1)(1− al)Pl(cos θ) (8.3)

Da Eq. (8.2) si ottiene la sezione d’urto differenziale

dσ

dΩ= |f(θ)|2 =

1

4k2

∑l

∑l′

(2l + 1)(2l′ + 1)(1− a∗l )(1− al′)PlPl′

e, usando la proprieta di ortonormalita dei polinomi di Legendre,∫Pl(cos θ)P ′l (cos θ) d cos θdφ =

4π

2l + 1δll′

troviamo la sezione d’urto di scattering∫dσ

dΩd cos θdφ =

1

4k2

∑l

∑l′

(2l + 1)(2l′ + 1)(1− a∗l )(1− al′)4π

2l + 1δll′

σd =πh2

p2cm

∑l

(2l + 1)|1− al|2 (8.4)

8.4 Sezione d’urto elastica e di reazione

Lo scattering elastico e caratterizzato da ηl = 1

1− al = 1− e2iδl = eiδl(e−iδl − eiδl) = −2ieiδl sin δl

In questo caso l’azione del potenziale non cambia l’ampiezza ma cambia solo la fasedell’onda diffusa. La sezione d’urto elastica

σel =4πh2

p2cm

∑l

(2l + 1) sin2 δl (8.5)

e la somma, pesata per il fattore di molteplicita 2l + 1, dei contributi dei diversi valoridel momento angolare relativo delle particelle m1,m2. Quando la fase della singola com-ponente e δl = π/2, l’ampiezza di scattering fl(θ) e puramente immaginaria e la sezioned’urto σl ha il valore massimo. Questa e chiamata condizione di risonanza per l’ondaparziale l.

145

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 146 — #146 ii

ii

ii


Se ηl < 1 lo scattering e inelastico perche parte del flusso incidente e assorbito dalbersaglio. Il flusso assorbito dell’onda parziale l e pari a Φi(1 − |al|2) e la sezione d’urtodi assorbimento o sezione d’urto di reazione

σabs =πh2

p2cm

∑l

(2l + 1)(1− |ηl|2) (8.6)

rappresenta i processi in cui una o entrambe le particelle cambiano natura nello statofinale.

Si puo avere scattering elastico senza altri processi: se ηl = 1 si ha σabs = 0. Ma nonsi puo avere scattering inelastico senza avere anche scattering elastico: come in ottica, unbersaglio che assorbe l’onda incidente produce anche diffrazione. L’ampiezza di scatteringdell’onda parziale l puo essere puramente immaginaria, ma, se ha una parte reale, ha ancheuna parte immaginaria.

La sezione d’urto totale e data dal contributo di scattering elastico e di assorbimento

σtot = σel + σabs =πh2

p2cm

∑l

(2l + 1)[(1− 2<al + |al|2) + (1− |al|2)

]

σtot =2πh2

p2cm

∑l

(2l + 1)(1−<al) (8.7)

Da queste considerazioni ricaviamo due importanti conclusioni

• La sezione d’urto di un processo, nello stato di momento angolare l, non puo superareil valore che corrisponde al massimo della probabilita di scattering

σl ≤4πh2

p2cm

(2l + 1) (8.8)

detto anche limite di unitarieta.

• L’ampiezza di scattering ha una parte immaginaria, legata allo scattering elastico, euna parte reale

f(θ) =h

2pcm

∑l

(2l + 1)[i(1−<al) + =al]Pl(cos θ)

La parte immaginaria dell’ampiezza di scattering in avanti, per θ → 0, Pl(cos θ)→ 1,

limθ→0=f(θ) =

h

2pcm

∑l

(2l + 1)(1−<al)

e proporzionale alla sezione d’urto totale

σtot =4πh

pcm=f(θ = 0) (8.9)

Questa relazione, dedotta da Niels Bohr e Rudolf Peierls [56], e chiamata teoremaottico.

146

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8.5. Scattering da un disco

8.5 Scattering da un disco

Consideriamo lo scattering di un’onda piana da un disco di raggio R normale alla direzionedi propagazione z e facciamo l’ipotesi che R rappresenti l’estensione di un nucleo, R ≈10−13 cm. L’asse z passante per il centro del disco e un asse di simmetria del processo discattering. Osserviamo lo stato finale rappresentato dall’onda diffusa a distanza r R eangolo polare θ. Il momento angolare e

l =|~r × ~p|h

= rk sin θ = kb

dove b e il parametro d’urto.

• A bassa energia, se pcm h/R ≈ 200 MeV/c, il contributo dominante e dovuto alloscattering nello stato di momento angolare l = 0 (onda S ). Torneremo su questo piuavanti.

• A energia elevata, pcm 200 MeV/c, vi e invece il contributo di molti stati dimomento angolare, l = 0, 1, 2, . . . , lmax = kR. Nel seguito consideriamo il caso dialta energia che, come abbiamo visto, e interessante per studiare la struttura di unaparticella di dimensione R.

Se il disco e completamente assorbente, disco nero, si ha ηl = 0 per ogni stato di momentoangolare e la sezione d’urto di scattering elastico e la sezione d’urto di assorbimento sonouguali

σel = σabs =π

k2

∑l

(2l + 1) (8.10)

Il contributo di ogni onda parziale e uguale all’area della corona circolare con raggio parial parametro d’urto, b = l/k, (Fig.8.2)

∆σl = π(b+ ∆b)2 − πb2 =π

k2[(l + 1)2 − l2] =

π

k2(2l + 1)

e la sezione d’urto si ottiene sommando su tutti i possibili valori di l

l

b

∆σ = 2πb∆b = πλ (2l+1)2

l h = b p

Figura 8.2: Scattering da un disco assorbente

σel + σabs =2π

k2

lmax∑l=0

(2l + 1) =2π

k2(lmax + 1)2 = 2π(R+ λ)2 λ =

h

pcm(8.11)

147

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• se R λ, σtot = 2πλ2, la sezione d’urto totale e definita dalla lunghezza d’onda diDe Broglie nel riferimento del centro di massa;

• se R λ, σtot = 2πR2, la sezione d’urto totale e pari al doppio dell’area del disco.

Quindi, nel caso di scattering da un disco nero a energia elevata, la sezione d’urto diassorbimento e pari all’area del disco, mentre la sezione d’urto totale e pari al doppiodell’area del disco. Questo e dovuto all’interfenza tra l’onda piana incidente e l’ondadiffusa che deve essere tale da annullare l’ampiezza di scattering in avanti nella zonad’ombra del disco.

In ottica, quando la lunghezza d’onda e molto minore delle dimensioni di un ostacolo,λ = h/p R, a distanza r R si osserva la diffrazione di Fraunhofer che ha le seguenticaratteristiche

• l’intensita della luce diffusa e concentrata ad angoli piccoli, θ < λ/R;

• si osservano minimi e massimi dell’intensita;

• l’ampiezza dell’onda diffusa e proporzionale alla trasformata di Fourier della densitasuperficiale dell’ostacolo.

Nel caso dello scattering per interazione nucleare, lo stato iniziale e lo stato finale a distanzar R sono approssimati con stati di particella libera, analoghi ai raggi di luce in ottica,ed e quindi interessante esaminare le previsioni di un modello basato sull’analogia tra ladiffusione della luce da un disco assorbente e l’interazione nucleare tra particelle.

Se l 1 possiamo sostituire la somma sugli stati discreti con un integrale sul parametrod’urto e i polinomi di Legendre con le funzioni di Bessel

lmax∑l=0

→∫ kR

0dkb Pl(cos θ)→ J0(lθ)

Se siamo interessati allo scattering ad angoli piccoli, l’ampiezza di scattering in funzionedella componente trasversa dell’impulso nel centro di massa, q = k sin θ ≈ kθ = lθ/b, e

f(~q) =i

2k

∑l

(2l + 1) (1− al)Pl(cos θ)→ i

2k

∫(2kb+ 1)[1− a(b)]J0(qb) dkb

Usando la rappresentazione della funzione di Bessel J0(x), con x = qb = kθr,

J0(x) =1

2π

∫ 2π

0eix cosφdφ

l’ampiezza di scattering diventa un integrale sul vettore parametro d’urto, d~b = bdbdφ,

f(~q) =ik

2π

∫ei~q·

~b [1− a(~b)] d~b

dove [1 − a(~b)] e l’ampiezza dell’onda diffusa ad angolo polare θ dai punti del disco conparametro d’urto nell’intervallo b ÷ b + db. L’ampiezza di scattering e la trasformata diFourier in due dimensioni della funzione di profilo del disco, Γ(~b) = 1− a(~b).

148

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8.6. Sezione d’urto protone–protone

Se il disco e completamente assorbente, Γ(~b) = costante = 1, si ha

f(~q) = ik

∫ kθR

0

1

2π

∫ 2π

0eix cosφdφ

xdx

(kθ)2=

ik

k2θ2

∫ kθR

0xJ0(x)dx

e, tenendo conto della proprieta delle funzioni di Bessel,∫x′nJn−1(x′)dx′ = xnJn(x),

troviamo

f(~q) = ikR2 J1(kθR)

kθR

Quindi lo scattering da un disco completamente assorbente e caratterizzato da

• l’ampiezza di scattering e puramente immaginaria;

• la sezione d’urto di scattering elastico

dσ

dΩ= |f(~q)|2 = k2R4

[J1(kθR)

kθR

]2

e una funzione oscillante con il primo minimo per θ = 3.84/kR;

• la sezione d’urto di scattering elastico e pari alla sezione geometrica del disco

σel =

∫dσ

dΩdΩ = πR2

• il limite per q → 0 dell’ampiezza di scattering e

limx→0

J1(x) =x

2limq→0

f(~q) =ikR2

2

• la sezione d’urto totale e pari al doppio della sezione geometrica del disco

σtot =4π

k=f(~q = 0) =

4π

k

kR2

2= 2πR2

8.6 Sezione d’urto protone–protone

Le previsoni del modello ottico riproducono qualitativamente i risultati dello scatteringa energia elevata di protoni e neutroni da nuclei con peso atomico A grande. Nel casodello scattering protone–protone (neutrone–protone o antiprotone–protone) la previsioneσel/σtot = 1/2 non e confermata dai risultati sperimentali. Questo non e sorprendenteperche i risultati di esperimenti di scattering elastico di elettroni da protoni e neutroniindicano che la distribuzione di carica elettrica e di magnetizzazione e diversa dall’ipotesidel disco assorbente. Supponiamo che la funzione di profilo sia una distribuzione gaussiana

Γ(~b) = e−b2/R2

∫Γ(~b)d~b = πR2

In questo caso l’ampiezza di scattering e

f(~q) =ik

2π

∫ei~q·

~be−b2/R2

d~b =ik

2R2e−q

2R2/4

149

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e la sezione d’urto di scattering elastico e

dσ

dΩ= |f(~q)|2 =

k2R4

4e−q

2R2/2

Questa si puo esprimere in funzione del quadrato del 4-impulso trasferito

t = −4(pcmc)2 sin2 θ/2 ≈ −(hc)2k2θ2 dΩ ≈ 2πθdθ =

π

(hc)2k2dt

dσ

dt=dσ

dΩ

dΩ

dt=p2cmR

4

4h2 e(R/hc)2t/2

Da queste relazioni otteniamo la sezione d’urto di scattering elastico e la sezione d’urtototale

σel =

∫dσ

dtdt =

πR2

2σtot =

4π

pcm

pcmR2

2= 2πR2

Quindi per valutare il parametro R della funzione di profilo, cioe il raggio medio del protonein interazioni nucleari ad alta energia, possiamo fare due misure indipendenti

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 1 0 1 0 0

protone-antiprotone

protone-protone

energia totale (GeV)

b

(G

eV

2)

d /dt = ebts

Figura 8.3: Dipendenza da t della sezione d’urto elastica in funzione dell’energia nel centrodi massa.

• misurare l’andamento della sezione d’urto elastica in funzione del 4-impulso tra-sferito, dσ/dt (Fig.8.3). I risultati mostrano che, per piccoli valori dell’angolo discattering, t→ 0, la sezione d’urto ha un andamento esponenziale e che il parametro(R/hc)2/2 e approssimativamente indipendente dall’energia

(R/hc)2

2≈ 10 GeV −2 ⇒ R ≈ 0.9 10−13 cm

• misurare la sezione d’urto totale, σtot (Fig.8.4). I risultati mostrano che, per pcm Mpc, la sezione d’urto totale e approssimativamente indipendente dall’energia

σtot = 2πR2 ≈ 40 mb ⇒ R ≈ 0.8 10−13 cm

150

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8.7. Scattering elastico risonante

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

1 1 0 1 0 0

antiprotone-protone

protone-protone

energia totale (GeV)

sT

OT

(mb

arb

)

Figura 8.4: Sezione d’urto totale in funzione dell’energia nel centro di massa.

• inoltre il confronto tra i risultati dell’estrapolazione per t → 0 della misura dellasezione d’urto di scattering elastico e i risultati della misura della sezione d’urtototale confermano la validita del teorema ottico.

Da questi risultati possiamo concludere che la distribuzione di materia nucleare nel proto-ne, misurata in esperimenti di scattering protone–protone, neutrone–protone e antiprotone–protone, e consistente con la distribuzione di carica elettrica e di magnetizzazione misuratain esperimenti di scattering elettrone–protone.

8.7 Scattering elastico risonante

Lo scattering elastico di due particelle puo avvenire con la formazione di uno stato riso-nante

m1 +m2 →M → m1 +m2

La massa dello stato intermedio M e pari all’energia totale nel centro di massa. Se leparticelle m1, m2 hanno spin 0, lo spin dello stato M e pari al valore del momento angolarel.

Nel caso di scattering elastico, ηl = 1, 1− al = −2ieiδl sin δl, l’ampiezza di scattering

f(θ) =i

2k

∑l

(2l + 1)(1− al)Pl(cos θ) =1

k

∑l

(2l + 1)eiδl sin δlPl(cos θ)

e la somma pesata per il fattore di molteplicita, 2l+ 1, e per il coefficiente che esprime ladistribuzione angolare, Pl(cos θ), delle ampiezze delle onde parziali

fl = eiδl sin δl =sin δl

cos δl − i sin δl=

1

cot δl − i

che hanno il valore massimo quando lo sfasamento e δl = π/2. Se Er e il valore dell’energianel centro di massa per cui si ha formazione dello stato intermedio, Er = Mc2, per E ≈ Ersi ha

cot δl(E) = cot δl(Er) +

[d

dEcot δl(E)

]Er

(E − Er) + . . .

151

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Il primo termine dello sviluppo e nullo perche δl(Er) = π/2. Se definiamo la larghezzadello stato Γ

2

Γ=

[d

dEcot δl(E)

]Er

otteniamo la dipendenza dall’energia dell’ampiezza di scattering dell’onda parziale l

fl(E) =1

cotδl − i≈ 1[

ddE cotδl(E)

]Er

(E − Er)− i=

Γ/2

E − Er − iΓ/2

La sezione d’urto elastica per E ≈ Er e

σd =πh2

p2cm

∑l

(2l + 1)|1− al|2 =4πh2

p2cm

∑l

(2l + 1)|fl|2 =∑l

σl

σl(E) ≈ 4πh2

p2cm

(2l + 1)(Γ/2)2

(E − Er)2 + (Γ/2)2

in cui compare la funzione lorentziana dell’oscillatore armonico che ha frequenza propriaEr, coefficiente di smorzamento Γ/2 ed e eccitato alla frequenza E.

La formula che esprime la sezione d’urto di formazione di uno stato risonante di massaM e spin l e detta formula di Breit e Wigner [57] . La sezione d’urto ha il massimo perE = Er

σmax = σl(Er) =4πh2

p2cm

(2l + 1) =16π(hc)2

E2r

(2l + 1)

e per valori dell’energia E = Er±Γ/2 la sezione d’urto ha valore σl(Er±Γ/2) = σl(Er)/2.La differenza tra questi due valori di energia e la larghezza dello stato ∆E = Γ. La vitamedia dello stato risonante e (appendice 37)

τ = h/Γ

Le considerazioni fatte sono valide per interazione di particelle di spin 0. Se le particellehanno spin 6= 0, la sezione d’urto di Breit–Wigner va modificata per tener conto delpeso statistico degli stati di spin. Se ~s1, ~s2, sono gli spin delle particelle m1 e m2 equeste sono in uno stato di momento angolare relativo ~l, la sezione d’urto di formazionedello stato risonante di massa M e spin J ( ~J = ~s1 + ~s2 + ~l) nello scattering elasticom1 +m2 →M → m1 +m2 e

σJ(E) =4πh2

p2cm

2J + 1

(2s1 + 1)(2s2 + 1)

(Γ/2)2

(E −M)2 + (Γ/2)2(8.12)

Per E = Mc2 l’impulso nel centro di massa e (appendice 29)

pcm =[(M2 −m2

1 −m22)2 − 4m2

1m22]1/2

2M

152

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Volume II

Fisica nucleare

157

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Capitolo 9

Proprieta dei nuclei

L’interpretazione degli spettri di emissione degli atomi e dell’esperimento di Rutherfordsono alla base del modello atomico di Bohr–Sommerfeld

• l’atomo e costituito di un nucleo di carica +Ze;

• Z elettroni di carica −e sono legati al nucleo dal potenziale coulombiano Ze2/4πε0r;

• la massa del nucleo e molto maggiore della massa dell’elettrone;

• la carica elettrica del nucleo e concentrata in una regione di spazio di dimensionimolto piu piccole delle dimensioni dell’atomo.

Le grandezze che caratterizzano i nuclei atomici e che danno informazioni sulla lorostruttura sono

• la massa, il raggio, lo spin;

• la carica elettrica, il momento di dipolo magnetico, il momento di quadrupolo elet-trico, . . .

I nuclei sono degli stati legati con una struttura non elementare e l’interazione nucleare tra icostituenti ha caratteristiche (intensita, raggio d’azione, . . . ) molto diverse dall’interazioneelettromagnetica.

I nuclei sono indicati con il simbolo dell’elemento, X, il numero atomico, Z, e il pesoatomico, A,

AZX

Il numero atomico indica la carica elettrica del nucleo, il peso atomico indica il numero dinucleoni (protoni e neutroni) costituenti il nucleo. Nel piano delle variabili Z–A i nucleistabili sono concentrati in una stretta banda, detta banda di stabilita (Fig.9.1), che indicauna forte correlazione tra la carica elettrica e il numero di costituenti. I nuclei con lo stessovalore di Z e diverso valore di A hanno le stesse proprieta atomiche e sono chiamati isotopi(perche occupano la stessa posizione nella tavola di Mendeleev). Nuclei con lo stesso valoredi A e diverso valore di Z sono chiamati isobari (perche hanno massa approssimativamenteuguale).

159

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Capitolo 9. Proprieta dei nuclei

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

0 4 0 8 0 1 2 0 1 6 0 2 0 0 2 4 0

A = mass number

Z =

a

tom

ic n

um

ber

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0

N = number of neutronsZ

=

n

um

ber o

f p

ro

ton

s

Figura 9.1: Banda di stabilita dei nuclei

9.1 Carica elettrica dei nuclei

La carica elettrica dei nuclei e stata misurata studiando gli spettri di emissione dei raggiX degli elettroni negli orbitali K che non risentono dell’effetto di schermo da parte degliorbitali piu esterni. Nel 1913 Henry Moseley stabilı una relazione tra la frequenza deiraggi X e il numero atomico degli elementi [1] e mise in ordine nella tavola di Mendeleevtutti gli elementi allora noti

legge di Moseley hν =3

4Ry (Z − 1)2

(Ry = mec2α2/2 = 13.6 eV e l’energia di Rydberg) dimostrando che la carica nucleare e

un multiplo intero della carica elementare e.

9.2 Massa dei nuclei

La massa dei nuclei e determinata misurando la traiettoria di ioni in campi elettrici emagnetici. Il metodo di misura e essenzialmente quello usato nell’esperimento di Thomson(capitolo 1). Lo spettrometro di massa messo a punto da Francis Aston 1 [2] nel 1920 estato poi perfezionato fino a raggiungere precisione di misura di ∼ 10−6. Il principio difunzionamento e mostrato nella Fig.9.2. Gli ioni emessi dalla sorgente vengono acceleratida un campo elettrico e immessi nella zona tra due collimatori dove vi sono un campoelettrico e un campo magnetico ortogonali tra loro e ortogonali alla linea di volo in mododa selezionare gli ioni con carica q e velocita v

q E = q v B


160

ii

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ii

ii

9.2. Massa dei nuclei

Dopo il secondo collimatore vi e solo il campo magnetico e la traiettoria e un arco dicirconferenza di raggio

R =v

q BM

Per ridurre gli errori sistematici, le misure si fanno di solito per confronto tra nuclei che

S

∆V

EB

B

rivelatore

Figura 9.2: Principio di funzionamento dello spettrometro di massa

hanno differenza di massa molto piccola. Lo spettrometro di massa e anche usato perseparare gli isotopi di uno stesso elemento e misurarne l’abbondanza relativa. Il Carbonio,ad esempio, esiste in natura sotto forma di due isotopi con abbondanza relativa

126C 0.9889 13

6C 0.0111

il peso atomico del carbonio naturale e il valor medio, 〈A〉 = 12.01

In fisica nucleare si usa come unita di misura la Atomic Mass Unit, u, definita

massa dell’atomo dell’isotopo 126C ≡ 12 u

In queste unita, la massa dell’atomo di idrogeno e

M(11H) = 1.007825 u = 938.783 MeV/c2

Il fattore di conversione tra le unita di misura e

u = 931.494 MeV/c2 (9.1)

La tabella mostra il valore della massa atomica, in unita atomiche, e della massa nucleare,in MeV/c2, per alcuni nuclei leggeri

simbolo massa atomica (u) massa nucleare (MeV/c2)112

[126 C

]1 931.494

elettrone e 0.511protone p 938.272neutrone n 939.566idrogeno 1

1H 1.007825 938.373deuterio 2

1H 2.014102 1875.613trizio 3

1H 3.016049 2808.921elio 4

2He 4.002603 3727.379

161

ii

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ii

ii


9.3 Energia di legame dei nuclei

L’energia di legame (Binding Energy) e la differenza tra la massa del nucleo e la sommadelle masse dei costituenti che chiameremo nucleoni (moltiplicata per c2)

Mnucleoc2 =

A∑k=1

mkc2 −BE

Lo stato legato con massa piu piccola e il nucleo di deuterio che e un isotopo dell’idrogenocomposto da un protone e un neutrone (Z = 1, A = 2)

in unita atomiche BE = mp +mn +me −M(21H) = 0.002389 u

in unita nucleari BE = mp +mn −M(21H) = 2.225 MeV

Nel caso dell’atomo di deuterio l’energia di legame atomica e, a parte un piccolo fattoredovuto alla diversa massa ridotta, pari a quella dell’atomo di idrogeno, 13.6 eV , ed e moltopiu piccola dell’energia di legame del nucleo. In generale l’energia di legame dei nucleoninei nuclei e ∼ 106 volte maggiore dell’energia di legame degli elettroni negli atomi. Ilnucleo dell’atomo di elio, 4

2He, la particella α, e in una configurazione particolarmentestabile con energia di legame

in unita atomiche BE = 2mp + 2mn + 2me −M(42He) = 0.030379 u

in unita nucleari BE = 2mp + 2mn −M(42He) = 28.298 MeV

L’energia di legame dei nuclei con A piccolo non e una funzione regolare, ma per A ≥ 12(Carbonio) l’energia di legame e con buona approssimazione proporzionale al numero di nu-cleoni. Quindi l’energia di legame media di un nucleone nel nucleo e approssimativamentecostante (Fig.9.3)

BE

A≈ costante ≈ 8 MeV

nucleone. (9.2)

9.4 Raggio dei nuclei

Parlare di raggio dei nuclei e improprio: occorre fornire una definizione operativa su cosasi misura e il metodo di misura. Informazioni sull’estensione spaziale dei nuclei e sul raggiod’azione dell’interazione nucleare si ottengono con metodi diversi:

• con esperimenti di scattering (di particelle α, neutroni, protoni, elettroni, . . .);

• con misure di spettroscopia dei livelli atomici (questi dipendono dall’estensione dellacarica elettrica del nucleo);

• dall’analisi dell’energia di legame dei nuclei;

• dallo studio dei decadimenti nucleari.

162

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ii

ii

9.4. Raggio dei nuclei

0

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

0 4 0 8 0 1 2 0 1 6 0 2 0 0 2 4 0

en

erg

ia

di

leg

am

e

(M

eV

)

peso atomico (A)

7 . 0

7 . 5

8 . 0

8 . 5

9 . 0

0 4 0 8 0 1 2 0 1 6 0 2 0 0 2 4 0

en

erg

ia

di

leg

am

e

per

nu

cle

on

e

(M

eV

)

peso atomico (A)

Figura 9.3: Energia di legame dei nuclei stabili in funzione di A

La prima evidenza dell’estensione finita dei nuclei e stata ottenuta da Rutherford e Chad-wick studiando lo scattering di particelle α. La minima distanza di avvicinamento di unaparticella con carica elettrica ze e energia cinetica K ad un nucleo di carica Ze dipen-de dall’angolo di scattering θ ed e inversamente proporzionale a Z e a K. Rutherford eChadwick misero in evidenza una marcata deviazione dalla sezione d’urto di scatteringcoulombiano prevista per una carica puntiforme quando l’impulso trasferito e elevato, cioequando la minima distanza di avvicinamento e confrontabile con il raggio d’azione delleforze nucleari, Rnucl,

K sin θ/2 > Z mec2 reRnucl

Poiche l’energia delle particelle α prodotte nei decadimenti nucleari (capitolo 14) e con-tenuta in un piccolo intervallo, Kα = 4 ÷ 8 MeV , questo effetto era misurabile solo connuclei con Z piccolo. Da queste prime misure si ottenne che Rnucl e proporzionale allaradice cubica del peso atomico A

Rnucl = R0 A1/3 R0 ≈ 1.2 10−13 cm

Negli anni successivi, usando acceleratori di particelle, fu possibile raggiungere impulsitrasferiti piu elevati, ∆p > h/R, e studiare con molto maggior dettaglio la struttura deinuclei. Le informazioni che si ottengono dipendono dal tipo di particella usata come son-da. Particelle α e protoni sono soggetti sia all’interazione coulombiana che all’interazionenucleare. I neutroni sono soggetti alla sola interazione nucleare (l’interazione di dipolomagnetico e trascurabile a bassa energia). Gli elettroni non hanno interazioni nucleari edanno informazioni dettagliate sulla distribuzione di carica e di magnetizzazione dei nuclei.

I risultati di esperimenti di scattering di neutroni sono interpretati sulla base dello svi-luppo dell’ampiezza di scattering in onde parziali (capitolo 8). Perche la sezione d’urto siasensibile all’estensione del nucleo bersaglio, l’impulso nel centro di massa neutrone–nucleodeve essere pcm > h/R ≈ 100 MeV/c che corrisponde a energia cinetica nel laboratorioKn > 10 MeV . La sezione d’urto di scattering elastico e una funzione oscillante che

163

ii

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ii

ii


dipende dal raggio del nucleo, R,

dσ

dΩ= k2R4

(J1(kR sin θ)

kR sin θ

)2

pcm = hk

e quindi la posizione dei minimi e massimi 2 dipende da R. La sezione d’urto di reazionee la sezione d’urto totale dipendono dal quadrato del raggio del nucleo

σabs ' πR2 σtot ' 2πR2

Le misure della sezione d’urto differenziale e della sezione d’urto di reazione di neutroninon dipendono dalle proprieta elettromagnetiche del nucleo e forniscono risultati sul raggioquadratico medio della distribuzione di materia nucleare nel nucleo.

Con esperimenti di scattering elastico di elettroni di alta energia, Ee = 100÷1000MeV ,si misurano i fattori di forma elettromagnetici dei nuclei e da questi si estrae la densitadi carica elettrica ρ(r) e di magnetizzazione ~M(r). La sezione d’urto di scattering ela-stico in funzione dell’impulso trasferito e rapidamente decrescente e mostra le oscillazionitipiche prodotte da una distribuzione di carica uniforme in una sfera di raggio R. Unaparametrizzazione piu accurata si ottiene con una distribuzione del tipo

ρ(r) =ρ0

1 + e(r−R)/tcon ρ0 =

3

4πR3

1

1 + (πt/R)2(9.3)

detta distribuzione di Woods–Saxon [3], dove R e il valore del raggio per cui ρ(r) = ρ0/2 et misura lo spessore (thickness) della regione esterna del nucleo in cui la densita di caricadiminuisce rapidamente da ρ ≈ ρmax a zero.

Un altro metodo indipendente per determinare il raggio quadratico medio della distri-buzione di carica elettrica si basa sulla misura dell’energia elettrostatica dei nuclei isobari(capitolo 10).

Un terzo metodo si basa sulla misura dello spettro di raggi X degli elettroni atomici.Gli orbitali atomici piu interni sono infatti infuenzati dalle dimensioni finite del nucleo.L’interpretazione dei risultati dipende dalla parametrizzazione degli stati elettronici che,in un sistema atomico a molti elettroni, e nota solo in modo approssimato. Un metododi analisi spettroscopica piu sicuro si puo applicare agli atomi µ−mesici. Il mesone µ(capitolo 17) e una particella che ha caratteristiche simili a quelle dell’elettrone e massamolto maggiore, mµ = 105.66 MeV/c2 = 207 me. Esiste in due stati di carica, µ+ eµ− e decade con vita media τµ = 2.2 10−6 s. I mesoni µ− possono essere catturati dainuclei atomici e l’atomo decade con tempi τd τµ nello stato fondamentale in cui ilraggio dell’orbita di Bohr e molto minore che nel caso degli elettroni aµ ≈ aBohr/207 =2.6 10−11 cm. Quindi i livelli di energia degli atomi µ−mesici sono fortemente influenzatidall’estensione della carica nucleare e il confronto tra gli spettri di raggi X emessi da questiatomi e quelli normali fornisce informazioni sul raggio dei nuclei.

Tutti i metodi di misura danno risultati coerenti con piccole variazione dei parametri:

• la distribuzione di materia nucleare e approssimativamente uguale alla distribuzionedi carica elettrica;

• le distribuzioni hanno, con buona approssimazione, simmetria sferica;

2 J1(x) e la funzione di Bessel di prima specie

164

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9.5. Statistica e spin dei nuclei

• le distribuzioni sono approssimativamente uniformi in una sfera di raggio R;

• il raggio quadratico medio delle distribuzioni e proporzionale a A1/3 (Fig.9.4)

R = R0 A1/3 R0 = (1.2÷ 1.3) 10−13 cm (9.4)

e il valore del parametro R0 dipende solo leggermente dal metodo di misura;

• il volume del nucleo e proporzionale al numero di nucleoni, (4π/3)R3 ∝ A.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

e- nucleus scattering

muonic-atom X rays

1.25 10- 1 3

cm A1 / 3

< R

>

(10

-1

3 c

m)

A1 / 3

1 2C

5 6F e

2 0 8P b

Figura 9.4: Raggio medio dei nuclei in funzione di A

9.5 Statistica e spin dei nuclei

Lo stato di momento angolare, lo spin dei nuclei, e la somma vettoriale dei momentiangolari dei singoli nucleoni, che sono fermioni di spin 1/2, e dei momenti angolari orbitali

~I =A∑k=1

~sk + ~Lk

Si possono avere informazioni sullo spin dalle proprieta di simmetria legate alla statisticadegli stati. Altre informazioni si ottengono dalla conservazione del momento angolare nellereazioni nucleari o nei decadimenti dei nuclei, dalla struttura iperfine degli spettri atomicie dalla misura dei momenti magnetici nucleari.

Un interessante esempio di determinazione dello spin del nucleo basata sulle proprietadi simmetria degli stati e lo studio della spettroscopia di molecole biatomiche omonucleari,cioe composte da due nuclei uguali, come N2, O2, F2, . . .. Lo stato della molecola si puofattorizzare

|ψmolecola〉 = |ψel〉 |ψrot〉 |ψvibr〉 |ψnucl〉

Gli stati degli elettroni e gli stati vibrazionali sono simmetrici rispetto allo scambio 1↔ 2dei nuclei. La simmetria dello stato |ψrot〉 e (−1)L dove L e il momento angolare orbitaledel sistema. La simmetria dello stato |ψnucl〉 e diversa se lo spin nucleare, I, e intero(bosone) o semi-intero (fermione). Il numero degli stati di spin e

Nspin = (2I + 1) (2I + 1)

165

ii

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ii

ii


• se I = 0, vi e un solo stato simmetrico;

• se I = 1/2, vi sono 4 stati |I, Iz〉, uno stato antisimmetrico (singoletto) e 3 statisimmetrici (tripletto)

singoletto |0, 0〉 = 1√2

(| ⇑,⇓〉 − | ⇓,⇑〉)

|1,−1〉 = | ⇓,⇓〉tripletto |1, 0〉 = 1√

2(| ⇑,⇓〉+ | ⇓,⇑〉)

|1,+1〉 = | ⇑,⇑〉

Ad esempio la molecola di idrogeno si chiama orto-idrogeno nello stato simmetricoe para-idrogeno nello stato antisimmmetrico;

• in generale vi sono

2I + 1 stati con Iz uguale simmetrici2I(2I + 1) stati con Iz diverso di cui I(2I + 1) simmetrici

e I(2I + 1) antisimmetrici

cioe (I + 1)(2I + 1) stati simmetrici e I(2I + 1) stati antisimmetrici. I pesi statisticidegli stati antisimmetrici e simmetrici sono in rapporto

stati antisimmetrici

stati simmetrici=

I

I + 1

L’interazione tra i nuclei della molecola e di tipo coulombiano, dipende solo dalla distanzarelativa ed e simmetrica rispetto allo scambio 1↔ 2: la simmetria dello stato non cambiain una transizione radiativa. Le molecole biatomiche omonucleari non hanno momentodi dipolo elettrico e quindi l’emissione e assorbimento di radiazione avviene al secondoordine dello sviluppo in multipoli con variazione dello stato di momento angolare totale∆J = ±2. Le righe di assorbimento si studiano con la spettroscopia Raman 3 [4].

• se I e semi-intero i nuclei sono fermioni, la simmetria di spin nucleare e di momentoangolare totale implica

stato |ψnucl〉 simmetrico ⇔ J disparistato |ψnucl〉 antisimmetrico ⇔ J pari

con un rapporto di intensita delle righe di spettroscopia Raman

I = 1/2 I = 3/2J pari

J dispari = II+1

13

35

• se I e intero i nuclei sono bosoni e la simmetria di spin nucleare e di momentoangolare totale implica

stato |ψnucl〉 antisimmetrico ⇔ J disparistato |ψnucl〉 simmetrico ⇔ J pari

con un rapporto di intensita delle righe di spettroscopia Raman

I = 0 I = 1J dispariJ pari = I

I+1 0 12

3 Chandrasekhara Raman, premio Nobel per la fisica nel 1930

166

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9.6. Parita dei nuclei

La Fig. 9.5 mostra l’intensita relativa delle righe degli spettri delle molecole di Azoto,Ossigeno e Fluoro. Sulla base di questi argomenti, Franco Rasetti [5] determino nel 1930che il nucleo di Azoto 14

7N e un bosone e poi fu dimostrato che ha spin 1.

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 55 4 3 2 1 0 1 2 3 4 55 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

F2O2N2

J =

I = 1 I = 0 I = 1/2

Figura 9.5: Intensita degli spettri Raman di molecole biatomiche

A quel tempo non si conosceva l’esistenza del neutrone e un’ipotesi plausibile era che ilnucleo fosse costituito da A protoni e A–Z elettroni. Questo modello prevede che il nucleodi Azoto sia costituito da un numero dispari di fermioni e che debba quindi avere spinsemi-intero in contrasto con l’osservazione. Il modello aveva un secondo problema: se unaparticella e confinata in una regione di spazio R ≈ 10−13 cm, ha impulso pc ≥ hc/R ≈200 MeV , e se la particella e un elettrone, ha energia cinetica ≥ 200 MeV . Questo valore emolto maggiore dell’energia di legame media nucleare e quindi un elettrone non puo essereconfinato in un nucleo. Un altro problema e il piccolo valore del momento magnetico deinuclei: per una particella di carica q e massa m, questo e proporzionale a q/2m e, sei nuclei contenessero elettroni, il momento magnetico sarebbe molto maggiore di quantoosservato. Queste inconsistenze furono risolte con la scoperta del neutrone.

Se il nucleo e costituito di protoni e neutroni con∑protoni+

∑neutroni = A, i nuclei

con A dispari hanno spin semi-intero e sono fermioni, mentre i nuclei con A pari hannospin intero e sono bosoni. I risultati delle misure di spin nucleare hanno mostrato chequesto e sempre vero.

9.6 Parita dei nuclei

L’operatore parita e una trasformazione discreta e l’autovalore di un sistema di piu par-ticelle e il prodotto degli autovalori delle singole particelle e della parita dovuta al motorelativo. La parita dei nuclei e definita dalla parita intrinseca dei costituenti e dal lorostato di momento angolare. Il protone e il neutrone sono fermioni e l’assegnazione dellaparita intrinseca e definita positiva per convenzione (come per l’elettrone)

P (p) = P (n) = +1

quindi la parita di un nucleo e definita dagli stati di momento angolare orbitale dei nucleoni,Lk, che saranno esaminati piu avanti sulla base del modello a strati del nucleo (capitolo 10)

P (nucleo) =A∏k=1

(−1)Lk

Lo stato di un nucleo e indicato di solito dal momento angolare totale, spin del nucleo, edalla parita con il simbolo

IP = spinParita′

167

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 168 — #168 ii

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ii


Nel seguito faremo l’ipotesi che la parita si conservi nelle interazioni nucleari, cioe che lahamiltoniana di interazione nucleare sia invariante per trasformazione di parita. Questaipotesi e stata sempre confermata dai risultati sperimentali. La violazione della simmetriaper parita osservata nei decadimenti β dei nuclei non e dovuta all’interazione nucleare maall’interazione debole.

9.7 La scoperta del neutrone

Dopo la scoperta di Rutherford 4 e di Frederick Soddy 5 della trasformazione artificiale deinuclei esposti a particelle α, seguirono numerosi esperimenti per studiare questo fenomeno.Nel 1928 Walther Bothe 6 e Herbert Becker [6] osservarono che nella reazione di particelleα, emesse dal Polonio con energia di ≈ 5.4 MeV , con nuclei di Berillio venivano prodottiCarbonio e una radiazione non ionizzante, cioe neutra, molto penetrante

α+Be→ C + radiazione neutra penetrante

Nel 1930 Irene Curie e Frederic Joliot 7 [7] osservarono che questa radiazione neutra,nell’attraversare un assorbitore di materiale idrogenato emetteva protoni con energia cine-tica fino a circa 5.3 MeV e interpretarono la radiazione neutra come fotoni che emettonoprotoni per effetto Compton

42He+ 9

4Be→ 136C + γ γ + p→ γ + p

Nel 1931 James Chadwick 8 studio l’effetto della radiazione neutra su Idrogeno e altri nuclei(Elio, Azoto, Ossigeno, . . . ) determinando la velocita di rinculo dei nuclei da misure dipercorso in una camera a ionizzazione. Chadwick osservo [8] che

• per emettere un protone con energia cinetica fino a Kp = 5.3 MeV , pp = 100 MeV/c,per effetto Compton, i fotoni emessi nella reazione devono avere energia fino a Eγ =50 MeV ;

• questo valore di energia e troppo elevato e non e compatibile con la conservazionedell’energia nella reazione

Eγ 'Mα +M(94Be)−M(13

6C) = 3727.4 + 8392.8− 12109.6 ≈ 11 MeV

• la conservazione dell’energia e dell’impulso e invece assicurata se nella reazione vieneprodotta una particella neutra con massa approssimativamente uguale alla massa delprotone

42He+ 9

4Be→ 126C + n

in questo caso infatti: Kn ' Mα + M(94Be) −M(12

6C) −Mn = 3727.4 + 8392.8 −11174.9−Mn = 945.3−Mn e il neutrone ha energia cinetica massima ' 6 MeV seMn 'Mp.

4 premio Nobel per la chimica nel 19085 premio Nobel per la chimica nel 19216 premio Nobel per la fisica nel 19547 premi Nobel per la chimica nel 19358 premio Nobel per la fisica nel 1935

168

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ii

9.8. Proprieta elettromagnetiche dei nuclei

Chadwick determino la massa del neutrone con una precisione del 10%. Misure piu precisevennero fatte studiando altri processi di produzione di neutroni in reazione di particelle αcon nuclei.

Il nucleo di deuterio, l’isotopo 21H dell’Idrogeno, e stato scoperto [9] pochi mesi dopo il

neutrone da Harold Urey 9 ed e stato interpretato come uno stato legato protone–neutrone.Nel 1934 Chadwick e Goldhaber [10] ossevarono che la fotodisintegrazione del deutone

γ + 21H → p+ n

non avviene con fotoni di energia Eγ = 1.8 MeV , ma e prodotta da fotoni con Eγ =2.6 MeV e determinarono la massa del neutrone

939.1 MeV/c2 < mn < 939.9 MeV/c2

I valori attuali della massa e dell’energia di legame del deutone sono

mp = 938.27231± 0.00028 MeV/c2

mn = 939.56563± 0.00028 MeV/c2

md = 1875.61339± 0.00057 MeV/c2

BEd = 2.224589± 0.00002 MeV

9.8 Proprieta elettromagnetiche dei nuclei

Le proprieta elettromagnetiche dei nuclei sono descritte dalla densita di carica, ρ(~r, t), edalla densita di corrente, ~j(~r, t), nella regione di spazio di dimensione Rnucl. I nuclei sonosoggetti all’azione dei campi elettrici e magnetici prodotti dalle cariche e correnti deglielettroni atomici e di campi esterni prodotti in modo artificiale. La densita di carica edi corrente nucleare hanno come asse di simmetria la direzione dello spin del nucleo, ~I.Il campo elettromagnetico prodotto dagli elettroni atomici hanno come asse di simmetriala direzione del momento angolare totale atomico e sono rappresentati dal 4-potenzialeA ≡ ( ~A, V/c).

La densita di energia dell’interazione elettromagnetica del nucleo nel campo esterno edata dal prodotto scalare

U = Jnucl ·Aext = ρV −~j · ~A (9.5)

Per gli stati stazionari dei nuclei la 4-densita di corrente J(~r, t) e indipendente dal tempo.La densita di corrente, ~j(~r), ha divergenza nulla e quindi si puo rappresentare come ilrotore di un vettore ~M(~r) ≡ densita di magnetizzazione

∂ρ

∂t= 0 ⇒ ~∇ ·~j = 0 ⇒ ~j = ~∇× ~M

Le frequenze tipiche del moto degli elettroni atomici, hωatom ≈ eV , sono molto mino-ri di quelle che caratterizzano il moto dei nucleoni, hωnucl ≈ MeV , e quindi possiamoapprossimare il potenziale elettromagnetico esterno come indipendente dal tempo.

L’energia di interazione e l’integrale E =∫U(~r)d~r esteso alla regione di spazio R in

cui ρ(~r) 6= 0 e ~j(~r) 6= 0. Il primo termine e l’energia elettrica

EE =

∫RρV d~r

9 premio Nobel per la chimica nel 1934

169

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 170 — #170 ii

ii

ii


L’energia magnetica e

EM = −∫R

(~∇× ~M) · ~A d~r = −∫R

~∇ · ( ~M × ~A) d~r −∫R

~M · (~∇× ~A) d~r

il primo termine e il flusso del vettore ~M × ~A attraverso una superficie S esterna al nucleodove ~M = 0 e quindi e nullo (

∫R~∇ · ( ~M × ~A) d~r =

∫S( ~M × ~A) · n dS = 0). Il secondo

termine e l’integrale del prodotto della densita di magnetizzazione del nucleo × il campomagnetico esterno. Quindi l’energia di interazione elettromagnetica e

E =

∫Rρ(~r) V (~r) d~r −

∫R

~M(~r) · ~B(~r) d~r

Poiche le dimensioni R del nucleo sono molto minori di quelle del sistema atomico, icampi elettromagnetici hanno piccole variazioni nella regione di integrazione e possiamosviluppare in serie l’integrando attorno al punto r = 0

E =∫R ρ(~r)

(V (0) +

∑i

[∂V∂xi

]0xi + 1

2

∑ij

[∂2V∂xi∂xj

]0xixj + . . .

)d~r

−∫R~M(~r) ·

(~B(0) +

∑i

[∂ ~B∂xi

]0xi + 1

2

∑ij

[∂2 ~B∂xi∂xj

]0xixj + . . .

)d~r =

= V (0)

∫Rρ(~r)d~r +

∑i

[∂V

∂xi

]0

∫Rρ(~r)xid~r +

1

2

∑ij

[∂2V

∂xi∂xj

]0

∫Rρ(~r)xixjd~r + . . .

− ~B(0) ·∫R

~M(~r)d~r −∑i

[∂ ~B

∂xi

]0

·∫R

~M(~r)xid~r −1

2

∑ij

[∂2 ~B

∂xi∂xj

]0

·∫R

~M(~r)xixjd~r + . . .

Lo stato stazionario di un nucleo, |ψN 〉, e descritto in termini delle coordinate e degliimpulsi dei singoli nucleoni. Gli integrali sono sulle coordinate spaziali ~r1, ~r2, . . . , ~rA

|ψN 〉 = |~r1, ~r2, . . . , ~rA〉

Nel primo termine l’integrale e la carica totale del nucleo∫Rρ(~r) d~r =

Z∑k=1

〈~r1, . . . , ~rA|qk|~r1, . . . , ~rA〉 =Z∑k=1

qk

∫|ψN |2d~r1 . . . d~rA =

Z∑k=1

qk = Ze

Il secondo termine contiene il momento di dipolo elettrico del nucleo

~d =

∫Rρ(~r) ~r d~r =

Z∑k=1

〈~r1, . . . , ~rA|qk ~rk|~r1, . . . , ~rA〉

Gli stati stazionari dei nuclei hanno parita definita con autovalore ±1

P |~r1, . . . , ~rA〉 = | − ~r1, . . . ,−~rA〉 = ±|~r1, . . . , ~rA〉

e l’operatore ~d = q~r si inverte per trasformazione di parita. Quindi il momento di dipoloelettrico dei nuclei e nullo per la simmetria per parita degli autostati nucleari

~d =Z∑k=1

qk

∫~rk |ψN |2 d~r1 . . . d~rA = 0

Per gli stessi argomenti, sono nulli tutti i momenti elettrici di 2`–polo con ` dispari e tuttii momenti magnetici di 2`–polo con ` pari. Quindi l’energia di interazione diventa

E = EE0 + EE2 + . . .+ EM1 + EM3 + . . .

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ii

ii


• il primo termine e l’energia elettrostatica del nucleo nel campo esterno

EE0 = ZeV (0)

• il secondo termine e l’energia di dipolo magnetico

EM1 = − ~µ · ~B(0) ~µ = 〈ψN | ~M |ψN 〉 (9.6)

• il terzo termine e l’energia di quadrupolo elettrico

EE2 =1

2

∑ij

Qij

[∂2V

∂xi∂xj

]0

Qij =Z∑k=1

〈ψN |qk xixj |ψN 〉 (9.7)

9.8.1 Interazione di dipolo magnetico

Il protone e il neutrone hanno spin h/2 e momento magnetico

~µ = g µN ~s µN =eh

2mp= 3.15 10−8 eV/T

µN e il magnetone nucleare e g e il fattore giromagnetico. Il momento magnetico nuclearee prodotto dai momenti magnetici dei singoli nucleoni e dal moto orbitale dei protoni ede parallelo all’asse dello spin nucleare. Il fattore giromagnetico del nucleo, gI , puo esserepositivo o negativo

~µN = gI µN ~I (9.8)

Misure del momento magnetico dei nuclei si effettuano con diversi metodi basati sull’in-terazione del momento di dipolo con il campo magnetico atomico o con campi magneticiartificiali.

Struttura iperfina degli spettri atomici

L’energia di interazione con il campo magnetico atomico

Eµ = − ~µ · ~B(0)

produce la struttura iperfina dei livelli atomici. Il campo magnetico atomico e paralleloal momento angolare totale dell’atomo, ~J , e i vettori momento angolare dell’atomo e delnucleo si sommano a formare il momento angolare totale del sistema

~F = ~I + ~J F = |I − J |, . . . , I + J − 1, I + J

La molteplicita dei livelli e il piu piccolo tra i valori 2I + 1 e 2J + 1. Se indichiamo con~B(0) = fJ ~J il campo magnetico nell’origine, l’energia di interazione e proporzionale alprodotto scalare dei vettori momento angolare ~I · ~J

~F 2 = ~I2 + ~J2 + 2 ~I · ~J ~I · ~J =~F 2 − ~I2 − ~J2

2=F (F + 1)− I(I + 1)− J(J + 1)

2

e l’energia di interazione si esprime

EIJ = − gIfJµNF (F + 1)− I(I + 1)− J(J + 1)

2

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ii


Se I ≤ J la molteplicita delle righe di struttura iperfina, 2I + 1, misura lo spin del nucleo.Se invece I > J , la struttura iperfina e formata da 2J + 1 livelli e, se J e noto, il valoredi I si ottiene con la regola degli intervalli misurando le differenze di energia ∆EIJ . Ingenerale i livelli della struttura iperfine sono equispaziati

∆EIJ = gIfJµN (〈~I · ~J〉F+1 − 〈~I · ~J〉F ) = gIfJµN F

con ∆EIJ ≈ 10−6 eV corrispondente a frequenze (0.1÷ 1) GHz.Alcune irregolarita nella distribuzione dei livelli sono dovute all’energia di interazione

di quadrupolo elettrico del nucleo che e tipicamente ≈ 10−8 eV corrispondente a frequenze(1÷ 10) MHz.

Per determinare il momento di dipolo magnetico del nucleo occorre conoscere il campomagnetico ~B(0). Il calcolo del valore di ~B(0) e piuttosto complesso e si hanno buoneapprossimazioni nel caso di configurazioni semplici come quelle degli atomi alcalini. Nellostato fondamentale S 1

2il momento angolare orbitale atomico e nullo e l’autofunzione ha

valore 6= 0 nell’origine. Il campo magnetico e dovuto al momento magnetico dell’elettrone,~µe = 2µB~s, che produce una densita di magnetizzazione a simmetria sferica ~M(r) =|ψe(r)|2~µe. Il campo magnetico nell’origine vale

~B(0) =2µ0

3|ψe(0)|2 ~µe

Ad esempio, nel caso dell’atomo di idrogeno nello stato n = 1, ` = 0

ψe(r) =1√4π

(Z

a0

)3/2

2e−Zr/ao Z = 1

si ha (con µ0 = 4π 10−7 Hm−1, a0 = 0.53 10−10 m, µB = 9.3 10−24 J/T )

B(0) =2µ0

3

µBπa3

0

≈ 17 T

Un metodo piu accurato per misurare i momenti magnetici nucleari e l’analisi della strut-tura iperfina prodotta con un campo magnetico esterno. L’energia di interazione ha trecontributi

• l’interazione del momento magnetico nucleare nel campo atomico;

• l’interazione del momento magnetico nucleare nel campo esterno;

• l’interazione dei momenti magnetici degli elettroni nel campo esterno;

E = −gIfJµN ~I · ~J − ~µI · ~Bext + ~µJ · ~Bext (9.9)

Nel caso di campo esterno debole, Bext 10−6 eV/µB ≈ 0.02 T , si ha effetto Zeemanin cui F e un buon numero quantico e ciascun livello della struttura iperfina si divide in2F + 1 livelli equispaziati

E = −gIfJµN ~I · ~J + gFµBFzBext

gF = gJF (F + 1) + J(J + 1)− I(I + 1)

2F (F + 1)+ gI

µNµB

F (F + 1)− J(J + 1) + I(I + 1)

2F (F + 1)

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ii


dove il secondo termine ∼ µN/µB e trascurabile.Piu interessante e il caso di campo esterno forte (Bext 0.02 T ) in cui i momenti

magnetici interagiscono in modo indipendente col campo esterno (effetto Paschen–Back)

E = −gIfJµN ~I · ~J − gIµNIzBext + gJµBJzBext

In questo caso i 2J + 1 livelli elettronici si separano sensibilmente e ciascuno si suddividein 2I + 1 livelli equispaziati in modo da poter determinare sia il momento angolare I cheil momento magnetico gIµN . Un esempio di questo metodo e la misura del momentomagnetico del protone.

Metodo della risonanza magnetica con fasci atomici

Questo metodo, introdotto col famoso esperimento di Stern e Gerlach nel 1921, e perfezio-nato da Isaac Rabi 10 nel 1934, utilizza fasci atomici o molecolari [11, 12]. Una sorgente,a temperatura T , emette atomi o molecole con velocita distribuite secondo la funzionedi distribuzione di Maxwell e il fascio e collimato con fenditure disposte opportunamentein due regioni in cui vi sono due campi magnetici non omogenei con gradienti uguali eopposti (Fig. 9.6). La forza che agisce sul momento di dipolo magnetico

Figura 9.6: Metodo dei fasci molecolari sviluppato da Stern e Rabi

E = −gIµNIzB Fz = −∂E∂z

= gIµNIz∂B

∂z

separa il fascio in 2I + 1 componenti. Poiche l’effetto dovuto al momento magnetico deglielettroni e molto maggiore, si usano atomi o molecole con momento angolare totale J = 0in cui la separazione del fascio e dovuta al solo contributo del momento magnetico nucleare.Se il campo magnetico nelle due regioni e indipendente dal tempo, non induce transizionitra i livelli di energia e gli atomi emessi con velocita opportuna percorrono due traiettorieparaboliche e vengono raccolti dal rivelatore. Se in una regione intermedia vi e un campomagnetico uniforme e costante ~B0 ‖ ~z i livelli di energia sono

EI = −gIµNIzB0


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Se in questa regione e anche presente un campo magnetico oscillante a frequenza ω conla componente Bxy(ω) normale alla direzione di B0, questo induce transizioni tra gli statiquando la frequenza corrisponde alla differenza di energia tra i livelli

hω∗ = ∆EI = gIµNB0 ∆Iz ∆Iz = ±1,±2, . . .

la traiettoria cambia nel secondo magnete e il fascio non e piu focalizzato sul rivelatore. Lacondizione di assorbimento di risonanza si puo ottenere variando sia B0 che ω. Il momentomagnetico si determina dal rapporto gIµN = hω∗/B0.

Metodo della risonanza magnetica nucleare

Questo metodo sfrutta l’assorbimento risonante di radiazione elettromagnetica in campionidi materiali polarizzati. La magnetizzazione di un campione contenente n nuclei per unitadi volume a temperatura T e

〈M〉 = nµ〈cos θ〉 = nµ

∫eµB cos θ/kT cos θ d cos θ∫eµBcosθ/kT d cos θ

= nµ L(µB/kT ) ≈ nµ µB

3kT

L(z) = ez+e−z

ez−e−z −1z e la funzione di Langevin, L(z) ≈ z/3 per z 1. A temperatura

ambiente con B = 1 T si ha 〈cos θ〉 ' 10−6, quindi l’effetto e molto piccolo.La trattazione quantistica della risonanza della magnetizzazione nucleare in un cam-

pione di materiale e stata fatta da Bloch che ha mostrato che

• il moto statistico dei singoli atomi con energia ≈ kT non diluisce l’effetto;

• i meccanismi di scambio di energia tra i momenti magnetici nucleari e gli atomidel materiale ha tempi di rilassamento molto maggiori dell’inverso della frequenzadi risonanza in modo da preservare l’eccesso di popolazione statistica indotto dalcampo magnetico esterno.

In queste condizioni l’assorbimento risonante di radiazione elettromagnetica e osservabile.Se indichiamo con ~I il momento angolare nucleare per unita di volume [J s m−3]

~M = γ ~I γ = gIe

2mp

e

2mp= 4.8 107 rad s−1 T−1

l’equazione del moto in un campo magnetico costante e

d ~M

dt= γ

d~Idt

= γ ~M × ~B −~M

τ

dove τ e il tempo di rilassamento. Il metodo della risonanza magnetica nucleare e statosviluppato da Edward Purcell e Felix Bloch 11 nel 1946 [13, 14] (Fig. 9.7). Si utilizza uncampo magnetico costante elevato, Bz, per polarizzare il campione e un campo alternatocon componenti a frequenza angolare ω nel piano normale Bxy(ω). Se e soddisfatta lacondizione τ 1/γBz, il vettore magnetizzazione del campione segue nel piano x–y ilcampo oscillante e alla frequenza di risonanza, ω∗ = γBz, assorbe energia dal campoBxy(ω) cambiando la componente lungo l’asse z. La condizione di risonanza e rivelatadalla corrente generata per induzione in una bobina avvolta attorno al campione.


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BoBo

Mω

B(ω RF)ωo

segnale indotto

Figura 9.7: Metodo della risonanza magnetica nucleare sviluppato da Bloch e Purcell

9.8.2 Interazione di quadrupolo elettrico

Se consideriamo un sistema atomico con distribuzione di carica a simmetria assiale attornoalla direzione del mometo angolare ~J ‖ z, con densita di carica nell’origine in media nulla〈ρel(0)〉 = 0, l’equazione del potenziale nella regione occupata dal nucleo, ∇2V = 0,implica una relazione di simmetria nel piano x–y

∑i

∂2V

∂x2i

= 0∂2V

∂x2=∂2V

∂y2= −1

2

∂2V

∂z2

e l’energia di interazione di quadrupolo elettrico si esprime

EQ =e

2

∑ij

〈ψN |xixj |ψN 〉(

∂2V

∂xi∂xj

)0

=e

4〈ψN | (−x2 − y2 + 2z2) |ψN 〉

(∂2V

∂z2

)0

EQ =e

4Q

(∂2V

∂z2

)0

Q = 〈ψN | 3z2 − r2 |ψN 〉 (9.10)

dove x, y, z sono le coordinate nel sistema di riferimento dell’atomo. Se il nucleo hamomento angolare I = 0, ha cioe simmetria sferica, il momento di quadrupolo Q e nullo.Se I 6= 0, l’asse z′ ‖ ~I e un asse di simmetria cilindrica del nucleo. Nuclei con momento diquadrupolo Q > 0 hanno distribuzione di carica allungata (prolata) nella direzione di ~I;nuclei con Q < 0 hanno distribuzione di carica schiacciata (oblata) (Fig. 9.8). Il momento

Q < 0 Q = 0 Q > 0

Q = 3 z - r2 2

Figura 9.8: Momento di quadrupolo elettrico

di quadrupolo nel riferimento del nucleo si ottiene con una rotazione nel piano z–z′

z′ = z cos θ + x sin θ x′ = −z sin θ + x cos θ y′ = y

Il valor medio 〈ψN | 3z′2 − r′2 |ψN 〉 nel riferimento del nucleo e

〈 3z′2 − r′2 〉 = 〈 3(z2 cos2 θ + 2xz sin θ cos θ + x2 sin2 θ)− r2 〉 =

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= 〈 3z2 cos2 θ + 3x2 sin2 θ − x2 − y2 − z2 〉 = 〈 (3 cos2 θ − 1) (z2 − x2) 〉 =

=(3 cos2 θ − 1)

2〈 2z2 − x2 − y2 〉 = P2(cos θ) 〈 3z2 − r2 〉

Quindi il momento di quadrupolo elettrico nucleare e

QN = 〈ψN | 3z′2 − r′2 |ψN 〉 = P2(cos θ) 〈ψN | 3z2 − r2 |ψN 〉

Il polinomio di Legendre P2(cos θ) dipende dalla proiezione dello spin nucleare

cos2 θ =I2z

I(I + 1)P2(cos θ) =

3I2z − I(I + 1)

2I(I + 1)

e quindi

• un nucleo con spin I = 1/2, Iz = ±1/2, ha momento di quadrupolo nullo

3I2z − I(I + 1) = 0

• i nuclei con I ≥ 1 hanno 2I + 1 stati di energia nel campo elettrico atomico, gli staticon lo stesso valore |Iz| sono degeneri con molteplicita m = 2

• ad esempio, un nucleo con I = 1 ha due stati di energia

Iz = 0 P2(cos θ) = −1/2 m = 1Iz = ±1 P2(cos θ) = +1/4 m = 2

• anche un nucleo con I = 3/2 ha due stati di energia

Iz = ±1/2 P2(cos θ) = −2/5 m = 2Iz = ±3/2 P2(cos θ) = +2/5 m = 2

L’energia di interazione di quadrupolo elettrico si misura analizzando i livelli della strutturaiperfine. Il momento di quadrupolo elettrico si puo determinare se si conosce il potenzialeatomico e si sa calcolare il fattore (∂2V/∂z2)0.

L’unita di misura del momento di quadrupolo elettrico e e × b (b = 10−24 cm2).Poiche i nuclei hanno estensione spaziale Rnucl ≈ 10−13 cm, i valori tipici del momento diquadrupolo elettrico sono Q ≈ e× 10−2 b.

9.9 Momento magnetico del nucleone

Il fattore giromagnetico dell’elettrone, misurato per primo da Polykarp Kush 12 [15], e notocon grande precisione. L’equazione di Dirac prevede g = 2 per un fermione di spin 1/2.L’elettrodinamica quantistica prevede una piccola differenza dal valore g = 2 dovuta alcontributo delle correzioni radiative (appendice 45.3). La anomalia (a = g−2

2 ), e calcolatacome sviluppo in serie di potenze della costante di struttura fine

ae =ge − 2

2= 0.5

α

π− 0.32848

(α

π

)2

+ 1.19

(α

π

)3

+ . . .


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9.9. Momento magnetico del nucleone

Gli esperimenti misurano direttamente il fattore ae, il risultato e

ae =ge − 2

2= (1 159 652.4± 0.2) 10−9

Il protone e il neutrone sono particelle con struttura e il fattore giromagnetico e notevol-mente diverso dal valore previsto per un fermione di spin 1/2 puntiforme. Il modello delleinterazioni nucleari, la cromodinamica quantistica (capitolo 22), non e in grado di fareprevisioni a bassa energia, ma gli esperimenti hanno raggiunto una notevole precisionenella misura dei momenti magnetici dei nucleoni.

Il momento magnetico del protone [16] e stato determinato misurando la frequenza delletransizioni tra i livelli della struttura iperfine dell’atomo di idrogeno in campo magneticoelevato (effetto Paschen–Back). In assenza di campo magnetico lo stato fondamentale,1S 1

2, e diviso in due livelli

EIJ = −gpfJµN ~I · ~J I = J = 1/2 F = 0, 1

stato di singoletto F = 0 ~I · ~J = −3/4

stato di tripletto F = 1 ~I · ~J = +1/4

La differenza di energia e ∆E = gpfJµN . Un campo magnetico esterno, ~B, rimuove ladegenerazione e si hanno quattro livelli (Fig. 9.9).

+DE/4

-3DE/4

E

B

E4

E3

E2

E1

Figura 9.9: Livelli della truttura iperfina dell’atomo di idrogeno in funzione del campomagnetico

EIJ = −gpfJµN ~I · ~J − gpµN ~I · ~B + geµB ~J · ~B

con valori di energia

Iz Jz EIJ+1/2 −1/2 E1 = (−3/4) ∆E −R µe B − µe B−1/2 −1/2 E2 = (+1/4) ∆E +R µe B − µe B+1/2 +1/2 E3 = (+1/4) ∆E −R µe B + µe B−1/2 +1/2 E4 = (+1/4) ∆E +R µe B + µe B

dove R = µp/µe 1. Le frequenze delle transizioni tra i livelli dipendono sia da µp che daµe e l’ottima precisione con cui e noto µe permette una misura precisa di µp senza dover

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fare affidamento su una determinazione molto accurata del campo magnetico esterno. Lamisura delle frequenze fornisce

E4 − E3 = 2RµeBE3 − E2 = 2(1−R)µeBE2 − E1 = ∆E + 2RµeB

da cui si ottengono i valori di ∆E, R = µp/µe, e del campo magnetico B. La precisione delvalore del momento magnetico, µp, dipende solo dalla precisione di misura delle frequenzee del valore del momento magnetico dell’elettrone µe

µp = +2.7928456± 0.0000011 µN (9.11)

Il momento magnetico del neutrone [17] e stato determinato misurando, nelle stesse condi-zioni sperimentali, la frequenza di assorbimento di risonanza di neutroni e protoni polariz-zati. I neutroni sono prodotti da un reattore nucleare e vengono polarizzati attraversandouno spessore di ferro magnetizzato. L’esperimento misura il rapporto µn/µp: le preci-sioni con cui sono noti i momenti magnetici di neutrone e protone sono confrontabili. Ilmomento magnetico del neutrone e negativo, cioe diretto in verso opposto allo spin

µn = −1.91304184± 0.00000088 µN (9.12)

Il momento magnetico del deutone e stato misurato con il metodo della risonanza ma-gnetica con un fascio di molecole di deuterio D2. La simmetria degli stati della molecolabiatomica e la molteplicita dei livelli in un campo magnetico esterno indicano che il deutoneha spin I = 1. La misura del momento magnetico fornisce il valore

µd = +0.8574376± 0.0000004 µN (9.13)

che e approssimativamente uguale alla somma dei momenti magnetici di protone e neu-trone.

Il momento di quadrupolo elettrico del deutone e stato determinato dal confronto deglispettri di struttura iperfina della molecola di deuterio, D2, e di idrogeno, H2, tenendo contoche il protone non ha momento di quadrupolo elettrico

Qd = +0.00288± 0.00002 e× b (9.14)

Nella tabella che segue sono riportati i momenti di dipolo magnetico e di quadrupolo elet-trico di alcuni nuclei leggeri.

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9.9. Momento magnetico del nucleone

Z A nucleo IP µ [µN ] Q/e [barn]

0 1 n 1/2+ − 1.9131 1 p 1/2+ + 2.7931 2 2H 1+ + 0.857 + 0.002881 3 3H 1/2+ + 2.9792 3 3He 1/2+ − 2.1273 6 6Li 1+ + 0.822 + 0.000643 7 7Li 3/2− + 3.256 − 0.03664 9 9Be 3/2− − 1.177 + 0.025 10 10B 3+ + 1.800 + 0.0855 11 11B 3/2− + 2.688 + 0.0366 13 13C 1/2− + 0.7027 14 14N 1+ + 0.404 + 0.027 15 15N 1/2− − 0.2838 17 17O 5/2+ − 1.893 − 0.026

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Capitolo 10

Modelli del nucleo

10.1 Modello a gas di Fermi

Il modello di Fermi e un modello statistico a particelle indipendenti basato sulle seguentiipotesi

• il nucleo e costituito di fermioni di spin 1/2: Z protoni e A–Z neutroni;

• il singolo nucleone e soggetto all’azione di tutti gli altri rappresentata da una bucadi potenziale U(r) a simmetria sferica che si estende in una regione di dimensioneR = R0A

1/3;

• il gas di nucleoni e degenere, cioe l’energia cinetica e molto maggiore dell’energia del-l’ambiente kT di modo che i nucleoni sono nello stato di energia piu bassa accessibileper il principio di esclusione di Pauli.

Sulla base di queste semplici ipotesi, il modello di Fermi fornisce indicazioni sulla densitadegli stati (Fig. 10.1) e sull’energia cinetica dei nucleoni per i nuclei con A sufficientementegrande da poter utilizzare criteri statistici (A ≥ 12). Il numero di stati di un fermione

BE/A

EF

U

R

n pE

dn/dE

Figura 10.1: Livelli di energia nel modello a gas di Fermi

di spin 1/2 e d6n = 2d~rd~p/(2πh)3. Integrando in un volume V = (4π/3)R30A e sulle

direzioni di ~p si ha

dn =

∫V

∫Ωd6n = 2

4πV

8π3h3 p2dp =4

3π

(R0

h

)3

Ap2dp (10.1)

181

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Capitolo 10. Modelli del nucleo

La densita degli stati e dn/dp ∝ p2, dn/dE ∝ E1/2. Il valore massimo dell’impulso,l’impulso di Fermi, e definito dal numero di nucleoni∫

dnp =4

9π

(R0

h

)3

Ap3p = Z

∫dnn =

4

9π

(R0

h

)3

Ap3n = A− Z

ppc =

(9π

8

)1/3 hc

R0

(2Z

A

)1/3

pnc =

(9π

8

)1/3 hc

R0

(2(A− Z)

A

)1/3

dove [2Z/A]1/3 e [2(A − Z)/A]1/3 sono ≈ 1 e lentamente variabili (Fig. 9.1). Se fissiamoR0 = 1.25 fm, per i nuclei leggeri con Z = A/2 si ha pp = pn ≈ 240 MeV/c. L’energiacinetica corrispondente e chiamata energia di Fermi, EF ≈ 30 MeV . Qui e nel seguitousiamo l’approssimazione non relativistica che e sufficientemente accurata. Per i nucleipesanti l’energia di Fermi dei neutroni e leggermente maggiore di quella dei protoni; adesempio, per l’uranio (Z = 92, A = 238) si ha EFp = 28 MeV , EFn = 32 MeV . Laprofondita della buca di potenziale e pari alla somma dell’energia di Fermi e dell’energiadi legame per nucleone

U = EF +BE/A BE/A ≈ 8 MeV/nucleone U = (35÷ 40) MeV

Per i protoni, la buca di potenziale e deformata dall’energia elettrostatica che produce unabarriera di potenziale di altezza

U(R) =Ze2

4πε0R=

αhc Z

R0A1/3≈ 1.2× ZA−1/3 MeV

e che ha andamento ∼ 1/r per r > R.L’energia cinetica media per nucleone e

〈Ec〉 =

∫(p2/2m) dn∫

dn=

1

A

4

3π

(R0

h

)3

A

∫p4

2mdp =

=4

3π

(R0

h

)3(

p5p

10mp+

p5n

10mn

)=

=4

3π

(R0

hc

)3 1

10mc2

(9π

8

)5/3 ( hcR0

)5[(

2Z

A

)5/3

+

(2(A− Z)

A

)5/3]

approssimando mp = mn. I nuclei leggeri hanno 2Z ≈ A mentre i nuclei pesanti hanno unleggero eccesso di neutroni. Ponendo 2Z/A = 1− x, 2(A−Z)/A = 1 + x e sviluppando inserie nella variabile x

(1−x)5/3+(1+x)5/3 = 1− 5x

3+

5x2

9+. . .+1+

5x

3+

5x2

9+. . . = 2

[1 +

5

9

(A− 2Z

A

)2

+ . . .

]

〈Ec〉 =

(9π

8

)2/3 ( hcR0

)2 3

10 mc2

[1 +

5

9

(A− 2Z

A

)2]

(10.2)

Per effetto del principio di Pauli l’energia cinetica media e minima per i nuclei con ugualnumero di protoni e neutroni

A = 2Z 〈Ec〉 ≈ 20 MeV 〈p〉 ≈ 200 MeV/c

e aumenta leggermente per i nuclei con A grande: per 23892 U il fattore correttivo e solo il

3%.

182

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 183 — #183 ii

ii

ii

10.2. Modello a goccia di liquido

10.2 Modello a goccia di liquido

Il modello a goccia e un modello collettivo del nucleo che rappresenta con pochi parametril’energia di legame in analogia con l’energia di una goccia di liquido. Il modello si basasulle seguenti ipotesi

• l’energia di interazione tra due nucleoni e indipendente dal tipo e numero di nucleoni;

• l’interazione e attrattiva e a breve raggio d’azione, Rint (come nel caso delle goccedi liquido in cui le molecole hanno interazioni dipolo–dipolo);

• l’interazione e repulsiva a distanze r Rint;

• l’energia di legame del nucleo e proporzionale al numero di nucleoni.

Queste ipotesi [18] implicano che le forze nucleari sono saturate, cioe che ciascun nucleonee fortemente legato solo a pochi nucleoni. Infatti se indichiamo con 〈U〉 l’energia diinterazione tra due nucleoni, l’energia di legame del nucleo non e data dalla somma sututte le coppie di nucleoni, 〈U〉×A(A−1)/2 ∝ A2, ma e la somma sulle coppie di nucleonivicini contenuti entro un volume di interazione Vint minore del volume del nucleo Vnucl

BE =∑

r<Rint

U =A(A− 1)

2

VintVnucl

〈U〉 ∝ A

e questa relazione e soddisfatta se Vint e costante e se Vnucl ∝ A.

Il modello a goccia parte dall’ipotesi che l’energia di legame del nucleo sia essenzial-mente energia potenziale di volume

BE = b0 A+ . . .

L’energia di legame e diminuita per un effetto di superficie poiche i nucleoni sullasuperficie del nucleo hanno un minor numero di nuclei vicini e sono meno legati. Lasupeficie del volume nucleare e proporzionale a A2/3, quindi

BE = b0 A− b1 A2/3 + . . .

La repulsione coulombiana tra i protoni contribuisce a ridurre l’energia di legame. Lemisure dei fattori di forma elettromagnetici mostrano che i nuclei hanno distribuzione dicarica approssimativamente uniforme. L’energia elettrostatica di una sfera con densita dicarica uniforme, ρ = 3Ze/4πR3 per r ≤ R, e∫ R

0V (r)ρ(r)4πr2dr =

∫ R

0

Ze

4πε0r

(r

R

)3 3Ze

4πR34πr2dr =

3

5

(Ze)2

4πε0R

Quindi

BE = b0 A− b1 A2/3 − b2Z2

A1/3+ . . .

L’energia di legame e ulteriormente ridotta del contributo dell’energia cinetica deinucleoni. Possiamo utilizzare la stima basata sul modello a gas di Fermi che tiene contodegli effetti della statistica dei fermioni e del principio di esclusione di Pauli che favorisce

183

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 184 — #184 ii

ii

ii


le configurazioni nucleari con numero uguale di protoni e neutroni, Eq.(10.2). L’energiacinetica totale e

Ec = A〈Ec〉 ≈ 20 MeV

(A+

5

9

(A− 2Z)2

A

)Il primo termine, proporzionale a A, si aggiunge al termine di energia di volume e quindidobbiamo aggiungere il secondo termine

BE = b0 A− b1 A2/3 − b2Z2

A1/3− b3

(A− 2Z)2

A+ . . .

Se consideriamo i nuclei isobari (A = costante), notiamo che la dipendenza dell’energiadi legame da Z e una parabola

BE = (b0 − b3)A− b1A2/3 + 4b3Z − (b2 A−1/3 + 4b3A

−1)Z2

e questo e ben verificato dai dati sperimentali, ma vi e una differenza sistematica tra leconfigurazioni con numero di protoni e neutroni pari o dispari. Quindi si introduce nellaformula un termine correttivo, b4/A

1/2, per tener conto di questo effetto

A Z N = A− Zpari pari pari b4 = +12 MeV piu′ stabili

dispari b4 = 0 intermedipari dispari dispari b4 = −12 MeV meno stabili

BE = b0 A− b1 A2/3 − b2Z2

A1/3− b3

(A− 2Z)2

A± b4A1/2

Il risultato e la formula delle masse di Bethe e Weizsacker [19] (Fig. 10.2) che esprimela massa del nucleo in funzione di A e Z e alcuni parametri

M(A,Z) = Zmp + (A− Z)mn − b0A+ b1A2/3 + b2

Z2

A1/3+ b3

(A− 2Z)2

A∓ b4A1/2

(10.3)

Il valore dei parametri bk si ottiene dai dati sperimentali

b0 b1 b2 b3 b415.6 17.2 0.70 23.3 ±12 oppure 0 MeV

(10.4)

La formula di Bethe–Weizsacker e utile per definire alcuni criteri di stabilita dei nuclei.Ad esempio, la relazione tra A e Z per i nuclei stabili si ottiene richiedendo che l’energia,M(A,Z)c2, sia minima. Introducendo la differenza di massa tra neutrone e protone,∆m = mn −mp = 1.293 MeV/c2,

M = (mn − b0 + b3)A+ b1A2/3 + b4A

−1/2 − (∆m+ 4b3)Z + (b2A−1/3 + 4b3A

−1)Z2

∂M

∂Z= −(∆m+ 4b3) + 2 (b2A

−1/3 + 4b3A−1) Z = 0

Z =A

2

1 + ∆m/4b31 + (b2/4b3)A2/3

≈ A

2

1.014

1 + 0.0076 A2/3

184

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 185 — #185 ii

ii

ii

10.3. I nuclei speculari

0

5

1 0

1 5

2 0

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0

volume energy

surface energy

electrostatic energy

pairing energy

A

bin

din

g

en

erg

y

per

nu

cle

on

(MeV

)

Figura 10.2: Contributi all’energia di legame in funzione di A

10.3 I nuclei speculari

Sono chiamati speculari le coppie di nuclei con lo stesso valore di A in cui il numero diprotoni, Z, e il numero di neutroni, N = A − Z, sono scambiati. I nuclei speculari sonocaratterizzati da

A = dispari Z =A∓ 1

2N =

A± 1

2

Le energie di legame dei nuclei isobari speculari differiscono solo per il termine di energiacoulombiana. Infatti il termine b4 e nullo per i nuclei con A = dispari, il termine di Paulie lo stesso per i nuclei speculari e gli altri termini dipendono solo da A. Quindi il confrontotra le energie di legame dei nuclei isobari speculari fornisce importanti informazioni

• per verificare che l’energia di interazione nucleare e indipendente dalla carica elet-trica;

• per determinare i parametri della distribuzione di carica del nucleo.

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6

bin

din

g

en

erg

y

dif

feren

ce

(M

eV

)

A2 / 3

slope = 0.709

Figura 10.3: Differenza di energia di legame di coppie di nuclei speculari

185

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 186 — #186 ii

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ii


L’energia di interazione coulombiana dei protoni nel nucleo e

U =3

5

αhcZ2

R= κ

Z2

Rκ ' 0.86 MeV fm

La differenza di energia di legame dei nuclei speculari e (Fig. 10.3)

∆BE =

[(A+ 1)2

4− (A− 1)2

4

]κ

R= A

κ

R=

κ

R0A2/3

La tabella mostra l’energia di legame di alcuni nuclei speculari

A Z N nucleo BE (MeV ) ∆BE (MeV )

3 1 2 3H 8.482 0.7643 2 1 3He 7.718

13 6 7 13C 97.109 3.00313 7 6 13N 94.106

21 10 11 21Ne 167.406 4.31921 11 10 21Na 163.087

37 18 19 37Ar 315.510 6.92337 19 18 37K 308.587

L’analisi di questi dati mostra che

• i nuclei con N − Z = +1 hanno energia di legame sistematicamente maggiore deinuclei con N − Z = −1;

• la differenza di energia di legame, ∆BE, dipende linearmente da A2/3;

• la dipendenza da A del raggio nucleare e R ≈ 1.25A1/3 fm, in accordo con le altremisure riportate nel capitolo 9.

10.4 Il modello a strati

Il modello a strati del nucleo e un modello a particelle indipendenti costruito in analogiacon quello atomico. Il modello atomico di Bohr–Sommerfeld–Dirac fondato su

• potenziale coulombiano a simmetria radiale (Rnucleo Ratomo);

• centro del potenziale ben definito (Mnucleo melettroni);

• leggi di quantizzazione del momento angolare;

• principio di Pauli;

riproduce con successo la fenomenologia degli atomi: i livelli energetici, la tavola periodicadegli elementi, la valenza, . . . Gli autostati sono definiti dai numeri quantici |n, `,m, s〉

n = 1, 2, 3, . . . ` = 0, . . . , n− 1 m = −`, . . . , `− 1, ` s = ±1/2

186

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 187 — #187 ii

ii

ii

10.4. Il modello a strati

e il numero di stati, definisce le proprieta atomiche. Il numero di stati, cioe di elettroni,per strato e

Zn =n−1∑`=0

2(2`+ 1) = 2n2

In particolare gli elementi nobili (Elio, Neon, Argon, Kripton, . . . ), Z = 2, 10, 18, 36, . . .,sono caratterizzati da momento angolare totale J = 0, energia di legame elevata, bassareattivita.

Nel caso dei nuclei si osservano delle configurazioni particolarmente stabili quando ilnumero di protoni, Z, oppure il numero di neutroni, N = A− Z, e uguale a

2 8 20 28 50 82 126

detti numeri magici [20]. I nuclei con numeri magici hanno particolari caratteristiche

• esistono molti nuclei isobari;

• hanno spin I = 0, momento di dipolo magnetico e di quadrupolo elettrico nulli;

• hanno energia di legame grande;

• hanno una piccola sezione d’urto nucleare.

Le ultime due proprieta sono accentuate nei nuclei doppiamente magici quali

42He

168O

4020Ca . . . 208

82Pb

Si e quindi cercato di impostare un modello del nucleo basato sulla soluzione di un’equa-zione del moto e che fosse in grado di riprodurre i numeri magici. La soluzione presentauna serie di difficolta perche

• la forma del potenziale nucleare non e nota;

• se si assume un potenziale a simmetria radiale, il centro di simmetria non e bendefinito poiche tutti i nucleoni sono sorgente del campo nucleare;

• i nucleoni occupano in modo continuo il nucleo e non e ovvio estendere a questaconfigurazione il concetto di orbitale del modello atomico.

La terza difficolta e in parte ridotta dal principio di Pauli e dal successo del modello agas di Fermi nel definire l’energia cinetica dei nucleoni: se il gas di nucleoni e fortementedegenere, ciascun nucleone e in uno stato quantico univoco e non viene in collisione conun altro nucleone se non con un meccanismo di scambio. Questo induce a impostareun’equazione del moto per il singolo nucleone cioe un modello a particelle indipendenti.

Se si vuole risolvere un’equazione agli autovalori in modo analitico, la scelta del poten-ziale si riduce a pochi esempi: il potenziale coulombiano, la buca di potenziale infinita, ilpotenziale armonico, . . . Il primo non e sicuramente adatto perche l’interazione nucleare ea breve raggio d’azione e perche non puo riprodurre la saturazione delle forze nucleari. Ilsecondo non e molto realistico perche non puo riprodurre l’energia cinetica e potenziale deinucleoni. Il potenziale armonico puo costituire un buon punto di partenza per descrivereuno stato vicino all’equilibrio.

187

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 188 — #188 ii

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ii


Gli autostati di una particella di massa m in un potenziale armonico a simmetria sfe-rica, ψ(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ) si ottengono risolvendo l’equazione radiale con unl(r) =rRnl(r) [

− h2

2m

d2

dr2+ U(r) +

h2`(`+ 1)

2mr2

]u(r) = E u(r)

Il potenziale armonico

U(r) =1

2kr2 =

1

2k(x2 + y2 + z2) ω2

0 =k

m

ha autofunzioni che dipendono solo dal numero quantico radiale (appendice 34)

un(r) = vn(r) e−r2/2σ2

kσ2 = hω0

e autovalori

En =

(n+

3

2

)hω0 n = nx + ny + nz = 2(ν − 1) + `

Il numero quantico n assume i valori interi, e l’autovalore del momento angolare, `, ha lastessa parita di n

n = 0, 1, 2, . . . ` = . . . , n− 2, n

e ciascun autostato di ` ha grado di degenerazione 2(2`+ 1)

m = −`, . . . , `− 1, ` s = ±1/2

Il numero di protoni o di neutroni per strato e

Z oppure N = (n+ 1)(n+ 2)

In analogia col modello atomico possiamo definire gli orbitali caratterizzati dal numeroquantico principale ν e dal momento angolare `h. Il primo autostato, n = 0, si puo realiz-zare in una sola combinazione: nx = ny = nz = 0. Il secondo autostato si puo realizzarecon le tre combinazioni [1,0,0] + permutazioni. Il terzo autostato si puo realizzare con seicombinazioni [2,0,0] + permutazioni e [0,1,1] + permutazioni, e cosı via

n ν ` stato 2(2`+ 1) Z (N) energia

0 1 0 1s 2 2 3hω0/2

1 1 1 1p 6 8 5hω0/2

2 1 2 1d 10 182 0 2s 2 20 7hω0/2

3 1 3 1f 14 342 1 2p 6 40 9hω0/2

4 1 4 1g 18 582 2 2d 10 683 0 3s 2 70 11hω0/2

5 1 5 1h 22 922 3 2f 14 1063 1 3p 6 112 13hω0/2

6 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 189 — #189 ii

ii

ii

10.4. Il modello a strati

• il potenziale armonico e caratterizzato da 〈energia cinetica〉 = 〈energia potenziale〉(l’energia totale non dipende dallo stato di momento angolare)

hω0 =〈p2〉2m

+k〈r2〉

2≈ 40A−1/3 MeV

• gli autostati dipendono solo dal numero quantico principale e hanno degenerazione(n+ 1)(n+ 2);

• i livelli di energia En sono equispaziati con ∆E = hω0;

• il potenziale armonico produce la sequenza di strati chiusi con∑(n+ 1)(n+ 2) = 2 8 20 40 70 112 . . .

quindi e in grado i riprodurre solo i primi tre numeri magici.

Si puo risolvere numericamente l’equazione del moto con il potenziale Woods–Saxon(Fig. 10.4)

UWS(r) = − U0

1 + e(r−R)/t

che riproduce meglio del potenziale armonico la distribuzione radiale della densita di nu-cleoni. Questa forma del potenziale ha una diversa dipendenza dalla distanza r e rimuovela degenerazione degli stati con diverso momento angolare orbitale. Gli stati con ` granderisultano maggiormente legati degli stati corrispondenti dell’oscillatore armonico: a paritadi numero quantico principale ν si ha

. . . E`+1 < E` < E`−1 . . .

La differenza di energia e pero piccola, ∆E` hω0, e quindi il potenziale Woods–Saxonnon cambia sostanzialmente la sequenza dei numeri di occupazione degli strati.

Woods-Saxon

harmonic oscillator

R

- U o

en

erg

y

E = 0

Figura 10.4: Potenziale dell’oscillatore armonico e Woods-Saxon

Un importante progresso e stato fatto da Maria Mayer e Hans Jensen 1 con l’introdu-zione di un termine di interazione spin-orbita [21]

U(r) = UWS(r) + ULS(r) ~ · ~s

L’aggiunta di questo termine e suggerita dall’osservazione che l’interazione tra nucleoni hauna forte dipendenza dallo stato di spin. A differenza dall’analoga interazione atomica,


189

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 190 — #190 ii

ii

ii


il termine spin-orbita nei nuclei non ha origine dall’interazione del momento di dipolomagnetico col campo prodotto dal moto delle cariche. Questa infatti produce spostamentodei livelli, ∆E = −~µ · ~B, molto minori di quelli osservati. Per effetto dell’interazione spin-orbita il mometo angolare orbitale e lo spin si combinano a formare il momento angolaretotale ~j = ~+ ~s e i livelli di energia si modificano

Enj = En` + 〈n, `,m, s| ULS(r) ~ · ~s |n, `,m, s〉

L’operatore ~l ·~s ha autovalori [j(j+ 1)− `(`+ 1)− s(s+ 1)]/2 e quindi i livelli di energiasono

j = `+ 1/2 Enj = En` + 〈ULS(r)〉 `/2j = `− 1/2 Enj = En` − 〈ULS(r)〉 (`+ 1)/2

L’analisi dei livelli dei nuclei mostra che lo stato con j = `+ 1/2 e maggiormente legato diquello con j = ` − 1/2 (nel caso atomico si ha l’opposto perche elettrone e nucleo hannocarica elettrica opposta, mentre protone e neutrone hanno la stessa carica nucleare)

En(j = `+ 1/2) < En(j = `− 1/2) ∆En` = 〈ULS(r)〉 2`+ 1

2

con 〈ULS(r)〉 ≈ −20A−2/3 MeV . Tenendo conto di questo valore, l’accoppiamento spin-orbita riproduce la struttura con strati completi corrispondenti ai numeri magici (Fig. 10.5).

Il modello a strati a particelle indipendenti, Independent Particle Shell Model, puofare previsioni sullo spin, parita, momento di dipolo magnetico e di quadrupolo elettricodei nuclei. Data la semplicita del modello, queste previsioni non sono molto accurate,ma costituiscono una utile base per esaminare la fenomenologia dei nuclei e impostareestensioni del modello per tener conto delle differenze osservate. Nel modello IPSM ilnucleo e rappresentato dagli stati occupati

(ν`j)p (ν`j)

n

dove p e n sono i numeri di protoni e di neutroni nello stato e hanno valore massimo parialla molteplicita 2j + 1. Le principali conclusioni sono

• il momento angolare totale di uno strato pieno e nullo;

• due protoni o due neutroni nello stesso stato tendono ad avere momento angolaretotale nullo;

• lo spin dei nuclei Z = pari, N = pari, e nullo;

• lo spin dei nuclei con A = dispari e uguale al momento angolare totale del nucleonenon accoppiato;

• la parita del nucleo e uguale al prodotto delle parita dei singoli nucleoni (positivaper convenzione) per la parita orbitale

P =A∏k=1

(−1)`k

• la parita dei nuclei pari–pari e +1;

190

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 191 — #191 ii

ii

ii

10.5. Momenti magnetici dei nuclei

1s

1p

1d 2s

1f 2p

1g 2d 3s

1h 2f 3p

1i 2g 3d 4s

1s

1p

1d2s

1f2p

2d

3s

1g

2f

3p

1h

1i

1s1/2

1p3/2

1p1/2

1d5/2

2s1/2

1d3/2

1f7/2

2p3/21f5/2

2p1/2

1g9/2

1g7/2

2d5/2

2d3/23s1/2

1h11/2

1h9/2

2f7/2

2f5/23p3/2

3p1/2

1i13/2

2

4 2

6 2 4

8

4 6 210

8 6 4 212

10 8 6 4 214

2

6 8

141620

28

32384050

5864687082

92100106110112126

2

8

20

40

70

112

harmonicpotential

Woods-Saxonpotential

spin-orbitcoupling

168

Σ 2 (2l + 1) 2j+1 Σ 2j+1

Figura 10.5: Livelli di energia nel modello a strati a particelle indipendenti

• la parita dei nuclei con A = dispari e la parita del nucleone non accoppiato;

• i nuclei dispari–dispari hanno un protone e un neutrone non accoppiati, il momentoangolare totale ~j = ~jp +~jn ha autovalore |jp − jn| < j < jp + jn e il modello non faprevisioni definite;

• se protone e neutrone sono nello stesso stato ` la parita del nucleo e +1;

• se protone e neutrone hanno `p = `n ± 1 la parita del nucleo e −1.

10.5 Momenti magnetici dei nuclei

Il momento magnetico del nucleo e definito dalla direzione dello spin, ~µ = gµN ~I, e haautovalore pari al valore massimo della proiezione lungo l’asse dello spin nucleare, µ =gµNI

maxz = gµNI. Tenendo conto che lo spin e definito dal momento angolare dei nucleoni

non accoppiati possiamo fare le ipotesi

• il momento magnetico dei nuclei pari–pari e nullo;

• il momento magnetico dei nuclei con A = dispari e definito dallo stato del nucleonenon accoppiato.

191

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 192 — #192 ii

ii

ii


Il momento magnetico di un nucleone e la somma vettoriale del momento magneticooriginato dal moto orbitale (se e un protone) e dallo spin

~µ = g ~j µN = (g` ~+ gs ~s) µN (10.5)

Se esprimiamo i prodotti scalari (~ ·~j) e (~s ·~j) con gli autovalori, il fattore giromagneticodel nucleo e

g = g`j(j + 1) + `(`+ 1)− s(s+ 1)

2j(j + 1)+ gs

j(j + 1)− `(`+ 1) + s(s+ 1)

2j(j + 1)=

=g` + gs

2+g` − gs

2

`(`+ 1)− 3/4

j(j + 1)

Quindi possiamo calcolare il momento magnetico, µ = gµNj, nello stato j = `± 1/2

j = `+ 1/2µ

µN= g` j +

gs − g`2

j = `− 1/2µ

µN=

[(j +

3

2

)g` −

gs2

]j

j + 1

• se il nucleone non accoppiato e un protone, g` = +1, gs/2 = +2.79,

j = `+ 1/2µ

µN= j + 2.29 j = `− 1/2

µ

µN= (j − 1.29)

j

j + 1

• se il nucleone non accoppiato e un neutrone, g` = 0, gs/2 = −1.91,

j = `+ 1/2µ

µN= −1.91 j = `− 1/2

µ

µN= +1.91

j

j + 1

Questa previsione del modello, sviluppata da Theodor Schmidt nel 1937, identifica perprotone e neutrone due linee in funzione dello spin nucleare, I, dette linee di Schmidt,su cui si dovrebbero allineare i valori dei momenti magnetici dei nuclei con A = dispari.In effetti, come mostrato in Fig. 10.6, i valori sperimentali dei momenti magnetici sono,in valore assoluto, piu piccoli della previsione del modello e, pur con alcune fluttuazioni,sono raggruppati lungo linee che sono all’interno dei limiti definiti dalle linee di Schmidt.Il fattore giromagnetico del protone e del neutrone gs 6= 2 e generato dall’interazionenucleare ed e quindi plausibile supporre che, quando sono in interazione con molti altrinucleoni, protone e neutrone non abbiamo necessariamente lo stesso fattore giromagneticodel nucleone libero. Se facciamo questa ipotesi, i valori sperimentali si accordano megliocon il modello se gs ≈ 0.6 gliberos .

I valori dei momenti magnetici dei nuclei con A piccolo sono in discreto accordo conla previsione del modello a strati IPSM come mostrato nella tabella seguente.

192

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 193 — #193 ii

ii

ii

10.5. Momenti magnetici dei nuclei

1/2 3/2 5/2 7/2 9/2 1/2 3/2 5/2 7/2 9/2

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

odd proton odd neutron

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

nucl

eus m

agne

tic m

omen

t

odd nucleon spinl + 1/2

l - 1/2

l + 1/2

l - 1/2

Figura 10.6: Linee di Schmidt e valori del momento magnetico di alcuni nuclei con Adispari in funzione dello spin.

nucleo protoni neutroni IP µ [µN ] valoresperimentale

2H 1s1/2 1s1/2 0+ 1+ +0.88 +0.857 (1)3H 1s1/2 (1s1/2)2 1/2+ −1.91 −2.127

3He (1s1/2)2 1s1/2 1/2+ +2.79 +2.9794He (1s1/2)2 (1s1/2)2 0+ 0

(2)6Li 1p3/2 1p3/2 0+ 1+ 2+ 3+ +0.88 +0.822 (3)7Li 1p3/2 (1p3/2)2 3/2− +3.79 +3.2568Be (4)9Be (1p3/2)2 (1p3/2)3 3/2− −1.91 −1.17710B (1p3/2)3 (1p3/2)3 0+ 1+ 2+ 3+ +1.88 +1.801 (5)11B (1p3/2)3 (1p3/2)4 3/2− +3.79 +2.68811C (1p3/2)4 (1p3/2)3 3/2− −1.91 −1.03012C (1p3/2)4 (1p3/2)4 0+ 013C 1p1/2 1/2− +0.64 +0.70213N 1p1/2 1/2− −0.26 −0.32214N 1p1/2 1p1/2 0+ 1+ +0.38 +0.404 (6)15N 1p1/2 (1p1/2)2 1/2− −0.26 −0.28315O (1p1/2)2 1p1/2 1/2− +0.64 +0.71916O (1p1/2)2 (1p1/2)2 0+ 017O 1d5/2 5/2+ −1.91 −1.89317F 1d5/2 5/2+ +4.79 +4.722

. . .

193

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1) il valore sperimentale e I = 12) non esistono nuclei stabili con A = 53) il valore sperimentale e I = 14) in nucleo 8

4Be non e stabile5) il valore sperimentale e I = 36) il valore sperimentale e I = 1

194

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Capitolo 11

Proprieta delle forze nucleari

11.1 L’isospin

I dati sperimentali sull’energia di legame dei nuclei dimostrano che, se si tiene contodell’energia elettrostatica dei protoni, l’interazione nucleone–nucleone e indipendente dallacarica elettrica. Le stesse conclusioni si ottengono considerando i livelli di energia dei nucleiisobari che, se si trascurano gli effetti dovuti all’interazione elettromagnetica, risultanosimili.

Se assumiamo che le interazioni nucleari p–p, p–n, n–n sono uguali, possiamo conside-rare il protone e il neutrone come un’unica particella, il nucleone, che esiste in due statidi carica, autostati dell’operatore di isospin, ~τ . La simmetria dell’isospin e una simme-tria nello spazio vettoriale a due dimensioni e i generatori della simmetria sono le matricidi Pauli. In base a questo formalismo, suggerito da Werner Heisenberg nel 1932 [22], ilprotone e il neutrone sono autostati degli operatori τ2 e τ3 con autovalori τ3(p) = +1/2,τ3(n) = −1/2

| p 〉 =

(10

)| n 〉 =

(01

)(11.1)

L’indipendenza dell’interazione nucleare dalla carica elettrica si traduce in una legge diconservazione ovvero in una proprieta di simmetria

• l’isopsin si conserva nelle interazioni nucleari;

• la hamiltoniana di interazione nucleare commuta con l’operatore di isospin ed e inva-riante per le trasformazioni generate da ~τ , cioe le rotazioni nello spazio dell’isospin.

La carica elettrica del nucleone e legata alla terza componente dell’isospin dalla relazione

q =1

2+ τ3

la conservazione della carica elettrica equivale alla conservazione della terza componentedell’isospin τ3; la conservazione dell’isospin ~τ (indipendenza dalla carica elettrica) e unalegge piu restrittiva che non la conservazione della carica elettrica.

Analogamente al caso dello spin, due nucleoni esistono in quattro stati di isospin |T, T3〉con moteplicita 2T + 1

singoletto |0, 0〉 = [ |p n〉 − |n p〉 ]/√

2

195

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Capitolo 11. Proprieta delle forze nucleari

|1,+1〉 = |p p〉tripletto |1, 0 〉 = [ |p n〉+ |n p〉 ]/

√2

|1,−1〉 = |n n〉

Lo stato di singoletto e antisimmetrico e lo stato di tripletto e simmetrico. Il nucleone eun fermione di spin 1/2 e il principo di Pauli si puo generalizzare: lo stato di due nucleoniidentici

|N1, N2〉 = |~r1, ~r2, ~s1, ~s2, ~τ1, ~τ2〉

e antisimmetrico rispetto allo scambio dei nucleoni, cioe delle coordinate spaziali, dello spine dell’isospin. Se i nucleoni sono in stato di momento angolare orbitale L, la simmetriadello stato e

(−1)L (−1)S+1 (−1)T+1 = −1 ⇒ L+ S + T = dispari

Se due nucleoni formano uno stato legato, e plausibile supporre che lo stato di energia piubassa corrisponda a L = 0 quindi S + T = dispari. Poiche non si osservano stati legati ditripletto p–p ne n–n, la simmetria dell’isospin richiede che lo stato fondamentale p–n, cioeil deutone, sia lo stato di singoletto con isospin Td = 0. Quindi il principio di Pauli richiedeche il deutone abbia spin 1, Id = 1, e questo e quello che si osserva sperimentalmente.

Il deutone e stabile e non si osservano stati eccitati del deutone. La simmetria dell’i-sospin e in accordo con il fatto che esista un solo stato stabile, singoletto di isospin, condue nucleoni, A = 2

Td = 0 Id = 1 qd =A

2+ T3 = +1

Esistono due nuclei con A = 3 che costituiscono un doppietto di isospin, T = 1/2

31H T3 = −1/2 q = A/2 + T3 = +1

32He T3 = +1/2 q = A/2 + T3 = +2

Esiste un solo nucleo con A = 4, il nucleo 42He, che e un singoletto di isospin, T = 0

ed e una configurazione particolarmente stabile con energia di legame BE = 28.3 MeV .Non esistono nuclei stabili con A = 5. Esistono tre nuclei con A = 6 che costituiscono untripletto di isospin, T = 1

62He T3 = −1 q = A/2 + T3 = +263Li T3 = 0 q = A/2 + T3 = +364Be T3 = +1 q = A/2 + T3 = +4

11.2 Il deutone

Il deutone e lo stato nucleare legato piu semplice e costituisce per l’interazione nuclearel’analogo dell’atomo di idrogeno per l’interazione elettromagnetica. L’energia di legamedel deutone e pero cosı bassa da non formare stati eccitati. Quindi l’informazione sul-l’interazione nucleone-nucleone e limitata allo studio delle proprieta del deutone e delloscattering n–p e p–p a bassa energia. Le caratteristiche del deutone sono

• spinparita′ = 1+

196

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11.2. Il deutone

• energia di legame BE = 2.225 MeV

• momento di dipolo magnetico µ = +0.8574 µN

• momento di quadrupolo elettrico Q = +2.88 e×mb

La conservazione della parita nelle reazioni nucleari o elettromagnetiche in cui vi e unnucleo di deuterio nello stato iniziale o nello stato finale permette la determinazione dellaparita del deutone: Pd = +1.

Nel paragrafo precedente abbiamo fatto l’ipotesi che il deutone sia in uno stato dimomento angolare orbitale L = 0, cioe 3S1. Nello stato L = 0 e con gli spin di protone eneutrone paralleli, I = 1, il momento magnetico risulta

~µd = gdµN ~I = gpµN~sp + gnµN~sn µd =gp + gn

2µN = +0.8798 µN

che e sicuramente diverso dal valore misurato poiche la precisione di misura dei momentimagnetici e < 10−6. Una possibile interpretazione di questa differenza e che l’interazionetra nucleoni cambi il valore dei momenti magnetici di protone e neutrone nello stato legato,oppure che lo stato fondamentale sia una combinazione di stati con diverso valore delmomento angolare orbitale. Poiche la parita del deutone e positiva, il momento angolareorbitale puo solo essere pari L = 0, 2, . . . Inoltre, se il deutone fosse esclusivamente in ondaS avrebbe momento di quadrupolo elettrico nullo. Infatti l’autofunzione Y00 e costante enon puo produrre un momento di quadrupolo elettrico

Q = 〈3S1| 3z2 − r2 |3S1〉 = costante

∫ +1

−1(3 cos2 θ − 1) d cos θ = 0

Queste due evidenze inducono a supporre che il deutone sia in uno stato di momentoangolare misto sovrapposizione dello stato 3S1 (L = 0) e 3D1 (L = 2)

|d〉 = AS |3S1〉+AD|3D1〉 (11.2)

I momenti angolari ~L, ~sp, ~sn, si sommano a formare lo spin del deutone I = 1, quindi,anche nello stato di momento angolare orbitale L = 2 protone e neutrone sono nello statodi tripletto con S = 1. Il fattore giromagnetico e

g = gLI(I + 1) + L(L+ 1)− S(S + 1)

2I(I + 1)+ gS

I(I + 1)− L(L+ 1) + S(S + 1)

2I(I + 1)

dove gL = 0.5, poiche solo il protone contribuisce al momento magnetico orbitale, e gS =0.8798. Quindi

g = gL3

2− gS

1

2= 0.3101

Con queste ipotesi, il momento magnetico del deutone e

〈d| ~µ |d〉 = A2S 〈3S1| ~µ |3S1〉+A2

D 〈3D1| ~µ |3D1〉 = A2S × 0.8798 +A2

D × 0.3101

Con la condizione di normalizzazione A2S +A2

D = 1, si ottiene

A2S = 0.96 A2

D = 0.04

197

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Questa stima si basa sull’ipotesi che i momenti magnetici di protone e neutrone non sianomodificati dall’interazione nucleare che, come abbiamo visto, non e ben verificata nel casodi nuclei pesanti. Il momento di quadrupolo elettrico

〈d| Q |d〉 = 2ASAD 〈3S1| Q |3D1〉+A2D 〈3D1| Q |3D1〉

puo fornire altre informazioni sui coefficienti AS , AD, ma le funzioni d’onda radiali del deu-tone non sono note con sufficientemente accuratezza. Possiamo concludere che il deutonenon e esclusivamenete in onda S e che il contributo di onda D e piccolo.

La funzione d’onda del deutone si ottiene risolvendo l’equazione del moto[− h2

2m∇2 + U(~r)

]ψ(~r) = E ψ(~r)

Se facciamo l’ipotesi che il potenziale U(~r) sia a simmetria sferica e che il deutone siaprevalentemente nello stato di momento angolare L = 0, la parte radiale della funzioned’onda ψ(r, θ, φ) = un(r)Y`,m(θ, φ)/r soddisfa l’equazione[

− h2

2m

d2

dr2+ U(r)

]u(r) = E u(r) m =

MpMn

Mp +Mn=M

2

Per una buca di potenziale sferica di profondita U0

U(r) = −U0 per r < R U(r) = 0 per r > R

la soluzione con energia −E0 = −2.225 MeV < U0, e

r < R u(r) = A sin kir +A′ cos kir ki =√M(U0 − E0)/h

r > R u(r) = Be−ker +B′e+ker ke =√ME0/h

La soluzione ψ(r, θ, φ) deve soddisfare le seguenti condizioni

• deve avere valore finito per r → 0, limr→0 u(r) ∼ r, quindi A′ = 0;

• deve annullarsi per r →∞, quindi B′ = 0;

• la soluzione e la derivata devono essere continue per r = R.

La soluzione e la derivata

r < R u(r) = A sin kir u′(r) = Aki cos kir

r > R u(r) = Be−ke(r−R) u′(r) = −keBe−ke(r−R)

e la condizione di continuita per r = R, A sin kiR = B, Aki cos kiR = −keB, definisconole relazioni

ki cot kiR = −ke Aki = B(k2i + k2

e)1/2

con ke = 0.232 fm−1. La prima equazione si risolve numericamente (Fig. 11.1) e, sesupponiamo che il raggio della buca di potenziale sia R = 2 fm, otteniamo ki ≈ 0.91 fm−1

e U0 ≈ 35 MeV . La condizione di normalizzazione

4πA2∫ R

0sin2 kir dr + 4πB2

∫ ∞R

e−2ke(r−R)dr = 1

definisce le ampiezze A ≈ B ≈ 0.17 fm−1/2, da cui si deduce che la probabilita che ladistanza tra protone e neutrone sia maggiore di R e approssimativamente 2/3 a riprovadel fatto che il deutone e uno stato debolmente legato.

198

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ii

11.3. Scattering neutrone–protone a bassa energia

0

1

2

3

4

5

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 . 7 5 1 . 8 0 1 . 8 5 1 . 9 0 1 . 9 5

k ( fm- 1

)

R ( fm )

U ( MeV )

k R

k cot kR = - 0.232 fm- 1

0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0

r ( fm )

deuteron radial wave function

R = 2 fm

Figura 11.1: Soluzione e funzione d’onda del nucleo di deuterio

11.3 Scattering neutrone–protone a bassa energia

I parametri determinati dallo studio del sistema legato neutrone–protone possono essereutilizzati per analizzare lo scattering elastico, cioe lo stato neutrone–protone non legato.Poiche abbiamo fatto l’ipotesi che il deutone sia prevalentemente nello stato di momentoangolare L = 0, consideriamo lo scttering in onda S, cioe il limite di bassa energia per cuil’impulso nel centro di massa soddisfa la condizione pR = L h

Kn =p2n

2M=

2p2

M 2h2

MR2≈ 20 MeV

dove pn e Kn sono l’impulso e l’energia cinetica del neutrone nel laboratorio. La parteradiale della funzione d’onda per r > R si puo esprimere (capitolo 8)

u(r) =1

ksin(kr + δ0) hk = p

dove compare solo lo sfasamento per ` = 0, δ0, che definisce la sezione d’urto elastica

σ0el =

4π

k2sin2 δ0

Nel limite di bassa energia (k → 0) la funzione d’onda e la derivata si possono approssimare

u(r) =1

ksin δ0 + r cos δ0 + . . . u′(r) = cos δ0 − kr sin δ0 + . . .

e richiedendo la continuita per r = R con la soluzione trovata per r < R per lo stato nonlegato (E = 0) si ha la relazione

tan δ0

k+R =

tan kiR

kiki ≈

√MU0/h

199

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ii


Nel limite k → 0 deve risultare δ0 → 0 perche l’ampiezza di scattering sia finita. Definiamola

lunghezza di scattering a = − limk→0

tan δ0

k(11.3)

che ha le seguenti caratteristiche

• definisce l’andamento della funzione d’onda per r > R

limk→0

u(r) = (r − a) cos δ0

• definisce l’andamento della sezione d’urto di scattering elastico

σ0el =

4π

k2 + k2 cot2 δ0limk→0

σ0el = 4πa2

Con i valori definiti per il deutone, R = 2 fm, U0 = 35 MeV , troviamo

a = − 5.9 fm limk→0

σ0el = 4.4 b

La parametrizzazione che abbiamo trovato prevede che la sezione d’urto di scatteringelastico neutrone–protone sia costante per valori dell’impulso nel centro di massa p < h/a.Questo e confermato dai dati sperimentali, ma il valore sperimentale della sezione d’urtolimk→0 σel = 20.4 b e molto maggiore di quello previsto. In effetti i dati utilizzati siriferiscono allo stato legato con spin T = 1, lo stato di tripletto, mentre lo scatteringelastico puo avvenire anche nello stato di singoletto con spin T = 0. Poiche il sistemaneutrone–protone non forma uno stato legato di singoletto, e prevedibile che il potenzialesia minore che nello stato di tripletto, U0s < U0t, e che la lunghezza di scattering disingoletto sia maggiore, as > at. Tenendo conto dei pesi di molteplicita degli stati, lasezione d’urto si esprime

σel =1

4σs +

3

4σt = π

(1

k2 + a−2s

+3

k2 + a−2t

)

Nel limite di bassa energia, σexp = 20.4 b , σt = 4.4 b , troviamo

σs = 4πa2s = 4 [20.4− (3/4) σt] = 68 b as = ±23 fm

La sezione d’urto non definisce il segno della lunghezza di scattering, questo si puo de-terminare studiando l’interferenza dello scattering da molecole di para-idrogeno e orto-idrogeno. La lunghezza di scattering nello stato di singoletto e negativa, as = −23 fm, equesto conferma che il sistema neutrone–protone non e legato nello stato di singoletto.

Conclusioni simili si ottengono dallo studio dello scattering elastico protone–protone abassa energia, ma vi sono alcune differenze

• per il principio di Pauli, lo scattering protone–protone in onda S puo avvenire solonello stato di spin 0 (singoletto);

• oltre all’interazione nucleare si deve tener conto dell’interazione coulombiana tra iprotoni e questa limita la regione di bassa energia a valori Kp > 1 MeV ;

200

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11.4. Proprieta dell’interazione nucleone–nucleone

• occorre tener conto del fatto che i due protoni sono identici.

I risultati mostrano che la lunghezza di scattering a = −17 fm e negativa e questoconferma che il sistema protone–protone non e legato.

I parametri dello scattering neutrone–neutrone non sono direttamente misurabili inesperimenti di scattering elastico poiche non esistono bersagli di neutroni liberi. Si possonosfruttare reazioni in cui vengono prodotti due neutroni nello stato finale in moto relativonel potenziale di interazione come, ad esempio, n 2

1H → n n p. In queste reazioni e presentenello stato finale un terzo nucleo che interagisce con i due neutroni e occorre tener contodi questi effetti. Anche in questo caso i risultati mostrano che la lunghezza di scatteringa = −17 fm e negativa e questo conferma che il sistema neutrone–neutrone non e legato.

11.4 Proprieta dell’interazione nucleone–nucleone

L’analisi dell’energia di legame dei nuclei, delle caratteristiche del deutone e dello scatteringelastico nucleone–nucleone a bassa energia forniscono informazioni sulle proprieta delleforze tra nucleoni

• l’interazione e attrattiva e a breve raggio d’azione, R = 1÷2 fm e puo essere descrittada un potenziale centrale −Uc(r)

La forma del potenziale non e nota a priori, scelte diverse, quali la buca quadrata, ilpotenziale di Woods–Saxon o il potenziale dell’oscillatore armonico, portano a conclusionisimili se si usano valori simili dei parametri: raggio del potenziale R ≈ 2 fm, profonditadel potenziale U0 ≈ 40 MeV .

• l’interazione e simmetrica rispetto alla carica elettrica

Lo studio dell’energia di legame e dei livelli di energia dei nuclei isobari speculari mostranoche l’interazione protone–protone e neutrone–neutrone sono simili; alla stessa conclusionesi giunge confrontando lo scattering elastico neutrone–neutrone e protone–protone a bassaenergia.

• l’interazione e indipendente dalla carica elettrica

Lo studio dell’energia di legame dei nuclei, del deutone e dello scattering elastico neutrone–protone a bassa energia mostrano che l’interazione e indipendente dalla carica elettrica.Questa proprieta e tradotta nella conservazione dell’isospin nell’interazione nucleare.

• l’interazione e invariante per trasformazioni di parita e inversione temporale

I nuclei non hanno momento di dipolo elettrico, ne momento di quadrupolo magnetico.

• l’interazione dipende dallo spin

Lo stato nucleone–nucleone con spin I = 0 (singoletto) ha proprieta diverse da quel-le dello stato con spin I = 1 (tripletto); questo suggerisce una dipendenza dallo spindell’interazione e l’introduzione di un potenziale del tipo

US(r) = Us(r) ~s1 · ~s2 − Ut(r) ~s1 · ~s2

attrattivo nello stato di tripletto e repulsivo nello stato di singoletto.

201

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ii


• l’interazione ha anche un potenziale non centrale.

Per rendere conto del momento di dipolo magnetico e del momento di quadrupolo elet-trico del deutone si fa l’ipotesi che questo sia uno stato misto sovrapposizione di stati dimomento angolare L = pari. Ma un potenziale a simmetria radiale non produce autosta-ti stazionari degeneri con diversi valori di L. Quindi l’interazione nucleone–nucleone haanche un termine non radiale detto potenziale tensoriale UT (~r). Poiche l’unica direzionedefinita e lo spin, il potenziale tensoriale si puo costruire con combinazioni dipendenti dallospin e dalla distanza, del tipo (~s ·~r) oppure (~s×~r), che siano invarianti per trasformazionedi parita e di inversione temporale.

• l’interazione e repulsiva a piccole distanze

I nuclei hanno energia e volume proporzionale al numero di nucleoni: questo fa presupporreche oltre al potenziale attrattivo con raggio d’azione R vi sia un potenziale repulsivo adistanza r R. Questo e confermato dallo studio dello scattering nucleone–nucleone: abassa energia lo sfasamento e positivo (potenziale attrattivo) mentre a energia intermedia(pcm > 400 MeV/c cioe r < 0.5 fm) lo sfasamento diventa negativo (potenziale repulsivo).L’effetto e legato al principio di esclusione di Pauli per cui due nucleoni con gli stessinumeri quantici non possono trovarsi nella stessa posizione. Un potenziale repulsivo sipuo costruire con le stesse combinazioni degli operatori di spin che generano il potenzialetensoriale.

• tra i nucleoni agiscono forze di scambio

La sezione d’urto differenziale di scattering elastico protone–protone mostra una simmetriatra θ e π−θ poiche le particelle sono identiche. Lo stesso fenomeno si osserva nel caso delloscattering elastico neutrone–protone a energia intermedia e questo effetto non si giustificain base alla dinamica del processo. Infatti, se supponiamo che l’angolo di scattering sialegato all’impulso trasferito nella collisione

θ ≈ ∆p

p≈ energia potenziale

energia cinetica

lo scattering ad angoli grandi non dovrebbe verificarsi all’aumentare dell’energia cinetica,contrariamente a quanto si osserva. Questo effetto puo essere spiegato se sono presentiforze di scambio che agiscono sulle coordinate e sullo spin dei nucleoni. Sono state propostidiversi tipi di forze di scambio (Heisenberg, Majorana, Bartlett) che possono spiegarequesto effetto e anche l’effetto di saturazione delle forze nucleari.

11.5 Il modello di Yukawa

Nel 1935 Hideki Yukawa 1 propose un modello basato su una teoria di campo per inter-pretare la fenomenologia dell’interazione nucleare [23]. L’ipotesi del modello e:

• i nucleoni sono le sorgenti del campo e l’interazione tra nucleoni avviene mediantelo scambio di bosoni, i quanti del campo di interazione nucleare;

il campo di interazione deve avere le seguenti proprieta:


202

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11.5. Il modello di Yukawa

• l’interazione e a piccolo raggio d’azione;

• e indipendente dalla carica elettrica;

• dipende dallo stato di spin del sistema di nucleoni;

e, per semplificare la trattazione,

• il potenziale e a simmetria sferica.

L’equazione relativisticamente invariante che descrive un campo di bosoni di massa m el’equazione di Klein–Gordon (appendice 42)

(∇2 − 1

c2

∂

∂t

)φ(~r, t) =

(mc

h

)2

φ(~r, t)

che si riduce all’equazione di d’Alembert nel limite m → 0. Consideriamo la soluzione incondizioni statiche. L’equazione

∇2φ(r) =1

r

d2

dr2rφ(r) = µ2φ(r) µ =

mc

h

ha, nell’ipotesi φ(r →∞) = 0, soluzione

φ(r) = ηe−µr

r

dove η e una costante arbitraria. Nel caso dell’elettromagnetismo, µ = 0, η = q/4πε0,l’energia di interazione tra due cariche elettriche e U(r) = qq′/4πε0r. Se queste sono parialla carica elementare:

Uem(r) =e2

4πε0r=αhc

rα =

1

137

Nel caso dell’interazione nucleare, η e il valore della ”carica nucleare” sorgente del campoe il potenziale (attrattivo) di interazione tra due nucleoni e

Un(r) = −ηη′ e−µr

r(11.4)

Possiamo fare le seguenti osservazioni

• il raggio d’azione dell’interazione determina il valore della massa del bosone

1/µ ≈ 1÷ 2 fm ⇒ mc2 ≈ 100÷ 200 MeV

• per l’equivalenza dell’interazione p–p, p–n, n–n, il bosone esiste in tre stati di caricaelettrica (− 0 +): e uno stato di isospin = 1;

• le costanti η e η′ non dipendono dal tipo di nucleone: η = η′.

203

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 204 — #204 ii

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Per valutare l’ordine di grandezza della costante di accoppiamento, consideriamo la sezioned’urto di interazione nucleone–nucleone. Se M e la massa del nucleone e h~q e l’impulsotrasferito da un nucleone all’altro, l’ampiezza di scattering nell’approssimazione di Born(capitolo 8) e

f(~q) =M/2

2πh2

∫ei~q·~r Un(r) d~r = − M

4πh2

∫ei~q·~r αnhc

e−µr

rd~r

dove abbiamo introdotto la costante adimensionale αn = η2/hc in analogia con l’interazio-ne elettromagnetica. L’integrale, la trasformata di Fourier del potenziale di interazione, eil propagatore del campo bosonico∫

ei~q·~re−µr

rd~r =

4π

q2 + µ2(11.5)

La sezione d’urto di scattering nucleone–nucleone, σ =∫|f(~q)|2dΩ, e approssimativamente

uguale a πR2 ≈ π/µ2

|f(~q)|2 = (αnhc)2 M2

[p2(1− cos θ) + (mc)2]2

σ =

∫|f(~q)|2d cos θ dφ ' α2

nh2 (Mc)2

(mc)4

2π

1 + (2p/mc)2' π h2

(mc)2

Il valore della costante di accoppiamento e αn ≈ m/M α come ci si aspetta dal fattoche a distanza r ≈ 1/µ l’interazione nucleare tra protoni deve risultare molto maggioredella repulsione coulombiana.

Il modello di Yukawa ha avuto una notevole influenza sugli sviluppi teorici e sullaricerca sperimentale. Alcune particelle di spin intero, dette mesoni, furono scoperte alcunianni dopo (capitolo 17). Nel 1947 fu osservato il mesone π in due stati di carica, π±,con massa mπ ≈ 140 MeV/c2 e successivamente fu osservato anche il mesone neutro,π0, con valore simile della massa. I mesoni π hanno spin 0. Piu tardi furono scoperti imesoni ρ− ρ0 ρ+ con massa mρ ≈ 770 MeV/c2 e spin 1. In entrambe i casi costituisconoun tripletto di isospin: T = 1. Per quanto oggi sappiamo che i mesoni osservati nonsono i bosoni mediatori dell’interazione nucleare, ma sono particelle con struttura, le basiteoriche del modello di Yukawa sono tuttora valide.

204

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Capitolo 12

Decadimenti dei nuclei

La scoperta della radioattivita naturale, fatta da Henri Bequerel 1 nel 1896 [24], e all’originedello studio della fisica nucleare. Ci vollero molti anni per capire la natura dei decadimentidei nuclei che avvengono in diversi modi

• decadimento α: emissione di nuclei di elio;

• decadimento β: emissione di elettroni (o positroni) e neutrini;

• decadimento γ: emissione di radiazione elettromagnetica;

• fissione: scissione in due o piu nuclei;

in cui un nucleo di massa M1 decade in un nucleo di massa M2 < M1 e la differenza dimassa si converte in massa e energia cinetica dei prodotti di decadimento.

12.1 Legge di decadimento

Gia nei primi anni di studio dei decadimenti delle sostanze radioattive si dimostro chel’attivita, definita come il numero di decadimenti nell’unita di tempo, decresce nel tempocon legge esponenziale e che il processo di decadimento e di natura casuale. Questaevidenza porto a concludere che il decadimento radioattivo non e originato dalla mutazionedelle caratteritiche chimiche della sostanza, ma risulta dalla successione di piu processi checoinvolgono i singoli atomi. Il fenomeno del decadimento di una sostanza radioattiva sipuo interpretare sulla base delle seguenti ipotesi:

• la probabilita di decadimento nell’unita di tempo e una proprieta della sostanza edel processo di decadimento e non dipende dal tempo;

• in una sostanza contenente N nuclei, la probabilita di decadimento nell’unita ditempo del singolo nucleo non dipende da N .

Quindi la probabilita di decadimento in un intervallo di tempo dt e

dP = λdt


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Capitolo 12. Decadimenti dei nuclei

dove λ e la costante di decadimento caratteristica del processo e ha dimensioni [s−1]. Sela sostanza contiene N nuclei e se il numero N e grande in modo da poterlo trattare comeuna variabile continua, la variazione (diminuzione) del numero di nuclei nell’intervallo ditempo dt e

−dN = λNdt

Conoscendo il valore di N a un certo istante, N(t = 0) = N0, si ottiene l’andamento neltempo del numero di nuclei e dell’attivita della sostanza

N(t) = N0e−λt A(t) = λN(t) = λN0e

−λt (12.1)

Il valore medio della distribuzione e la vita media del decadimento

τ =

∫∞o t N(t) dt∫∞o N(t) dt

=1

λ(12.2)

In fisica delle particelle si quota la vita media mentre in fisica dei nuclei si quota di solito iltempo di dimezzamento, t1/2, definito come l’intervallo di tempo in cui il numero di nucleisi dimezza∫ t1/2

0λN(t)dt =

∫ ∞t1/2

λN(t)dt =N0

2⇒ t1/2 = τ ln 2 = 0.693 τ

L’unita di misura comunemente usata per l’attivita e il Curie 2, definito come l’attivitadi un grammo di radio

1 Ci = 3.7 1010 disintegrazioni/secondo (12.3)

• Il nucleo 22688Ra decade emettendo particelle α di energia cinetica 4.9 MeV con un

tempo di dimezzamento t1/2 = 1602 anni. La vita media e τ = 1602×π 107/0.693 =7.3 1010 s. L’attivita di un grammo di 226

88Ra e

A =N

τ=

6.02 1023

226× 7.3 1010 s= 3.7 1010 s−1

Un’altra unita di misura e il Bequerel che corrisponde a una disintegrazione al secondo,1 Bq = 0.27 10−10 Ci.

12.2 Larghezza di decadimento

Il fenomeno casuale del decadimento non si puo interpretare in base alle leggi della mec-canica classica. In meccanica quantistica la probabilita di decadimento dallo stato |i〉 allostato |f〉 si puo calcolare con i metodi della teoria delle perturbazioni con le ipotesi

• gli stati |i〉 e |f〉 sono autostati della hamiltoniana H0 che descrive il sistema nuclearee si possono calcolare, ad esempio, a partire dal potenziale di interazione nel modelloa strati;

• la transizione |i〉 → |f〉 avviene per effetto della hamiltoniana HI che descrivel’interazione;

2 da Maria Sklodowska Curie premio Nobel per la fisica nel 1903

206

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12.3. Decadimenti in cascata

• la perturbazione e piccola, |〈f |HI |i〉| |〈i|H0|i〉|.

Per effetto dell’interazione, gli autovalori dell’energia vengono modificati Ei → E′i = Ei +∆Ei− iΓi/2 e lo stato non conserva la densita di probabilita per l’introduzione del termineimmaginario nell’evoluzione temporale

|i〉 = |i0〉 e−i(Ei+∆Ei−iΓi/2)t/h 〈i|i〉 = 〈i0|i0〉 e−Γit/h

Otteniamo la legge di decadimento esponenziale (appendice 37). Γi e chiamata larghezzadi decadimento e rappresenta l’indeterminazione dell’energia dello stato non stazionario:se il sistema ha un valor medio del tempo di sopravvivenza nello stato |i〉 pari a τ , la suaenergia e nota con una incertezza Γ definita dalla relazione di indeterminazione

Γ τ = h

La funzione di distribuzione dell’energia dello stato |i〉 attorno al valor medio Ei e unacurva lorentziana con larghezza pari a Γ (appendice 37)

f(E) =1

π

Γ/2

(E − Ei)2 + (Γ/2)2

La probabilita di decadimento nell’unita di tempo dallo stato |i〉 allo stato |f〉 si calcola coni metodi della teoria delle perturbazioni (appendice 38). Al primo ordine dello sviluppoperturbativo:

1

τ= λ =

2π

h|〈f |HI |i〉|2ρ(Ef ) (12.4)

Nei decadimenti dei nuclei la variazione di energia e ∆E ' 100 keV ÷ 10 MeV . I de-cadimenti radiativi con le vite medie piu brevi, τ ∼ 10−16 s, hanno larghezza di decadi-mento Γ ∼ 10 eV , quindi gli stati di energia non si sovrappongono e, a tutti gli effetti, ildecadimento dei nuclei avviene tra stati quasi stazionari.

Uno stato |i〉 puo decadere in diversi stati finali |fk〉 con diverse probabilita per unita ditempo λk. Γk = 2π|〈fk|HI|i〉|2ρ(Ek) sono le larghezze di decadimento parziali, e Γ =

∑k Γk

e la larghezza di decadimento totale. Vi e una sola vita media τ =∑k

1λk

. Le frazioni di

decadimento (o rapporti di diramazione) sono Bk = ΓkΓ con

∑k Bk = 1.

12.3 Decadimenti in cascata

Se un nucleo prodotto in un decadimento e a sua volta radioattivo si producono decadi-menti in cascata. Questo fenomeno interessa principalmente i nuclei pesanti che dannoorigine a catene radioattive con molti decadimenti in cascata. Se τ1 e la vita media deldecadimento nucleo1 → nucleo2 e questo a sua volta decade con vita media τ2, abbiamo

dN1 = −λ1N1dt dN2 = −λ2N2dt+ λ1N1dt

La soluzione per il numero di nuclei2 e del tipo

N2(t) = ae−λ1t + be−λ2t

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Supponiamo che all’istante t = 0 il numero di nuclei1 sia N0 e che non ci siano nuclei2,N2(0) = 0. In questo caso la variazione del numero di nuclei2 all’istante t = 0 e ugualeall’attivita dei nuclei1

N2(t = 0) = a+ b = 0

(dN2

dt

)t=0

= −aλ1 − bλ2 = λ1N0

e, determinando le costanti con le condizioni inizali, a = −b = N0λ1/(λ2−λ1), si ottengonole attivita dei nuclei in funzione del tempo

A1(t) = N0λ1e−λ1t A2(t) =

N0λ1λ2

λ2 − λ1(e−λ1t − e−λ2t)

Esempio: τ2 < τ1 (λ2 > λ1)

In questo caso il nucleo2 decade piu rapidamente nel nucleo che lo genera e la sua attivita,nulla a t = 0, aumenta fino a superare l’attivita del nucleo1 al tempo t∗ = (lnλ2/λ1)/(λ2−λ1) e poi diminuisce. Per t t∗ si raggiunge una situazione di equilibrio in cui il rapportotra le attivita e approssimativamente costante (Fig. 12.1)

A2(t)

A1(t)=

λ2

λ2 − λ1

[1− e−(λ2−λ1)t

]limt→∞

A2(t)

A1(t)=

λ2

λ2 − λ1

Questa situazione si definisce di equilibrio transiente. Se τ2 τ1, all’equilibrio i nuclei2decadono non appena vengono formati e le attivita sono approssimativamente ugualiλ2N2 = λ1N1. Questa situazione si definisce di equilibrio secolare.

Esempio: τ2 > τ1 (λ2 < λ1)

In questo caso l’attivita dei nuclei2 aumenta rapidamente per effetto dei decadimenti deinuclei1 e raggiunge il valore massimo al tempo t∗ = (lnλ1/λ2)/(λ1 − λ2). A tempi t t∗

il numero di nucleo1 e molto diminuito e l’attivita dei nuclei2 decresce esponzialmente convita media τ2 (Fig. 12.1). In questo caso non si raggiunge una situazione di equilibrio trale attivita.

12.4 Catene radioattive

Se sono coinvolti piu nuclei, abbiamo

dN1 = −λ1N1dtdN2 = −λ2N2dt + λ1N1dt. . .

dNn = −λnNndt + λn−1Nn−1dt

(12.5)

e la soluzione per le popolazioni dei nuclei e del tipo

N1(t) = N11e−λ1t

N2(t) = N21e−λ1t + N22e

−λ2t

. . .Nn(t) = Nn1e

−λ1t + Nn2e−λ2t + . . . +Nnne

−λnt

208

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12.4. Catene radioattive

0 . 0

0 . 1

1 . 0

0 2 4 6 8 10

parent nucleus

daughter nucleus

t / t2

t1 > t

2

0 . 0

0 . 1

1 . 0

0 2 4 6 8 1 0

parent nucleus

daughter nucleus

t1 < t

2

t / t1

Figura 12.1: Attivita dei nuclei nei decadimenti in cascata

in cui la popolazione di nucleik al tempo t e espressa in funzione delle costanti di decadi-mento dei nuclei 1, 2, . . . , k − 1. La soluzione si semplifica se inizialmente sono presentisolo i nuclei1 (N1(0) = N0 e N2(0) = N3(0) = . . . = Nk(0) = 0). In questo caso icoefficienti sono

Njk = N0

∏i 6=j λi∏

i 6=j (λi − λk)= N0

λ1 . . . λk(λ1 − λk) . . . (λj − λk)

In alcuni casi particolari, quando il primo nucleo della catena e molto piu stabile deisuccessivi, λ1 λ2 < . . . λn, si raggiunge una situazione di equilibrio secolare in cuiN1λ1 = N2λ2 = . . . = Nnλn.

Esempio: decadimenti in cascata N1 → N2 → N3 → N4(nucleo stabile)

Nell’ipotesi che all’istante iniziale N1(0) = N0 e N2(0) = N3(0) = 0

N1(t) = N0e−λ1t

N2(t) = N0λ1λ2−λ1

[e−λ1t − e−λ2t

]N3(t) = N0λ1λ2

[e−λ1t

(λ2−λ1)(λ3−λ1) + e−λ2t

(λ3−λ2)(λ1−λ2) + e−λ3t

(λ1−λ3)(λ2−λ3)

]Se τ1 > τ2 > τ3 (λ1 < λ2 < λ3) le popolazioni dei nuclei sono

N2(t) = N0λ1λ2

11−λ1/λ2


]N3(t) = N0

[λ1λ3

e−λ1t

(1−λ1/λ2)(1−λ1/λ3) −λ1λ3

e−λ2t

(1−λ1/λ2)(1−λ2/λ3) + λ1λ3

λ2λ3

e−λ3t

(1−λ1/λ3)(1−λ2/λ3)

]Per le attivita si ha

A1(t) = N0λ1e−λ1t

A2(t) = N0λ11

1−λ1/λ2


]= A1(t) 1

1−λ1/λ2

[1− e−(λ2−λ1)t

]209

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A2(t)→ A1(t)1

1− λ1/λ2per t τ2

1

1− τ2/τ1

A3(t) = N0λ1

[e−λ1t

(1−λ1/λ2)(1−λ1/λ3) −e−λ2t

(1−λ1/λ2)(1−λ2/λ3) + λ2λ3

e−λ3t

(1−λ1/λ3)(1−λ2/λ3)

]= A1(t) 1

(1−λ1/λ2)(1−λ1/λ3)

[1− 1−λ1/λ3

1−λ2/λ3 e−(λ2−λ1)t + λ2

λ3

1−λ1/λ21−λ2/λ3 e

−(λ3−λ1)t]

A3(t)→ A1(t)1

(1− λ1/λ2)(1− λ1/λ3)

Esistono diverse catene radioattive iniziate da nuclei pesanti (con A > 230) che hannovite medie lunghe e decadono in cascata tramite multipli decadimenti α (capitolo 14) e β(capitolo 15) fino a raggiungere il 208

82Pb, nucleo doppio-magico particolarmente stabile.Serie del Torio

23290Th

α→

1.4 1010y

22888Ra

β→

5.7y

22889Ac

β→

6.1h

22890Th

α→

1.9y

22488Ra

α→

3.6d

22086Rn . . .→ 208

82Pb

Serie dell’Uranio

23892U

α→

4.5 109y

23490Th

β→24d

23491Pa

β→

1.2m

23492U

α→

2.5 105y

23090Th

α→

7.5 104y

22688Ra . . .→ 208

82Pb

Queste catene radioattive sono utilizzate per la datazione delle rocce che contengonoelementi radioattivi.

12.5 Produzione di nuclei radioattivi

Se un nucleo radioattivo che ha vita media τ viene prodotto ad un tasso Λ costante, adesempio con una reazione nucleare in cui il flusso di proiettili e costante, si ha

dN = Λdt− λNdt dλN

λN − Λ= −λdt

La soluzione e

N(t) =1

λ(Λ + Ce−λt) = τ(Λ + Ce−t/τ )

Se non ci sono nuclei radioattivi all’istante iniziale, N(0) = τ(Λ + C) = 0, si ha

N(t) = Λτ(1− e−t/τ ) limt→∞

N(t) = Λτ. (12.6)

210

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 211 — #211 ii

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Capitolo 13

Decadimento γ

Un nucleo puo trovarsi in uno stato eccitato e decadere allo stato fondamentale, o a unostato di energia piu bassa, mediante emissione di radiazione elettromagnetica

AZX∗ → A

ZX + γ

Le differenze tra i livelli di energia dei nuclei sono tipicamente comprese nell’intervallo0.1÷10 MeV . La differenza di energia si divide tra l’energia del fotone e l’energia cineticadi rinculo del nucleo A

ZX: ∆E = Eγ + KN (KN ∆E ma in alcune applicazioni non etrascurabile). Nel decadimento γ si conserva il momento angolare e la parita e quindi lamisura delle caratteristiche della radiazione γ fornisce informazioni sui livelli di energia esullo spin e parita degli stati dei nuclei.

13.1 Radiazione di multipolo

L’osservazione della radiazione γ si fa a distanza molto grande rispetto alle dimensionidel nucleo e la lunghezza d’onda e λ = 2πhc/Eγ = 102 ÷ 104 fm, sono quindi validele approssimazione per lo sviluppo del campo elettromagnetico in multipoli nella zonadi radiazione (appendice 31). Il campo elettromagnetico prodotto da cariche e correntidipendenti dal tempo si puo ottenere come sviluppo in serie di Fourier delle componenti difrequenza ω e come sviluppo in multipoli caratterizzati dal valore del momento angolaredella radiazione emessa. La potenza irraggiata a frequenza ω e con momento angolare l e

WElm =

c

2εo|aElm|2 =

c

2εo

1

[(2l + 1)!!]2

(l + 1

l

)(ω

c

)2l+2

|Qlm +Q′lm|2

WBlm =

cµo2|aBlm|2 =

cµo2

1

[(2l + 1)!!]2

(l + 1

l

)(ω

c

)2l+2

|Mlm +M ′lm|2

dove Qlm e Mlm sono i momenti di 2l–polo elettrici e magnetici: dipolo (l = 1), quadrupolo(l = 2), ottupolo (l = 3), . . .. Non esiste radiazione di monopolo perche la carica totale siconserva. Per una particella di carica e, massa m e momento magnetico µ = geh/2m

Qlm = erlY ∗lm(θ, φ) Mlm =eh

2mcrl−1

[g − 2l

l + 1

]Y ∗lm(θ, φ)

211

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Capitolo 13. Decadimento γ

I momenti di 2l–polo hanno parita diversa per le componenti di radiazione elettrica emagnetica perche il campo elettrico e un vettore polare, P · ~E = − ~E, e il campo magneticoe un vettore assiale, P · ~B = + ~B,

P (Qlm) = (−1)l P (Mlm) = (−1)l−1

Per calcolare la costante di decadimento del processo AZX∗ → A

ZX + γ seguiamo ilprocedimento illustrato nel capitolo 7

• quantizzare le sorgenti del campo, cioe definire le funzioni d’onda del nucleo nellostato iniziale e finale;

• quantizzare il campo di radiazione (appendice 36);

• sostituire ai momenti di 2l–polo gli operatori che agiscono sullo stato iniziale delnucleo |iN 〉 e producono lo stato finale |fN 〉 e un fotone in stato di momento angolare|l,m〉;

• calcolare gli elementi di matrice degli operatori di multipolo tra lo stato iniziale elo stato finale, questo seleziona la componente del campo di radiazione a frequenzaω = Eγ/h;

• calcolare la costante di decadimento con la regola d’oro di Fermi che, come abbiamovisto, corrisponde a calcolare il rapporto tra la potenza emessa nella transizione|iN 〉 → |fN 〉 e l’energia Eγ .

Supponiamo di descrivere il nucleo col modello a strati a particelle indipendenti e che lefunzioni d’onda siano fattorizzabili in una dipendenza radiale e una angolare ψ(r, θ, φ) =u(r)Y (θ, φ). Il calcolo degli elementi di matrice 〈fN |Qlm|iN 〉, 〈fN |Mlm|iN 〉, e difficileperche la parte radiale delle funzioni d’onda in generale non e nota. D’altra parte ilprincipio di esclusione di Pauli, per cui un nucleone non puo stare in uno stato gia occupato,impedisce che la funzione d’onda di un nucleone possa variare molto. Facciamo quindil’ipotesi che l’emissione di radiazione sia legata alla variazione della parte angolare dellafunzione d’onda e che la parte radiale sia cambiata poco.

Separando la dipendenza radiale e angolare degli operatori di multipolo l’elemento dimatrice si esprime∫

u∗f (r)Y ∗IfMf(θ, φ) R(r)Y ∗lm(θ, φ) ui(r)YIiMi(θ, φ) r2drd cos θdφ

L’integrazione sugli angoli produce le regole di selezione

|Ii − If | ≤ l ≤ Ii + If ma non Ii = 0→ If = 0 m = Mi −Mf

e l’integrale della parte radiale ha valore medio

〈R〉 =

∫u∗f (r) R(r) ui(r) r

2dr∫u∗f (r) ui(r) r2dr

Se facciamo l’ulteriore ipotesi che la funzione d’onda radiale varii poco in una regione delledimensioni del nucleo e che sia nulla per r > R otteniamo

〈fN |Qlm|iN 〉 ≈ e∫ R

0 rl+2dr∫ R0 r2dr

= e3

l + 3Rl

212

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 213 — #213 ii

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13.2. Conversione interna

〈fN |Mlm|iN 〉 ≈eh

2mc

[g − 2l

l + 1

] ∫ R0 rl+1dr∫ R0 r2dr

=eh

mc

[g

2− l

l + 1

]3

l + 2Rl−1

dove m e la massa del nucleone e g/2 e il momento magnetico espresso in magnetoninucleari.

I valori che si ottengono per la costante di decadimento λlm = Wlm/Eγ , detti stime diWeisskopf della costante di decadimento [25], sono molto approssimati ma possono fornireutili informazioni per distinguere i modi di decadimento γ. Sostituendo le espressionitrovate:

λ(El) =1

E

c

2εo

l + 1

l[(2l + 1)!!]2

(E

hc

)2l+2

|〈fN |Qlm|iN 〉|2 =

= παcl + 1

l[(2l + 1)!!]218

(l + 3)2

E2l+1 R2l

(hc)2l+1

λ(Ml) =1

E

cµo2

l + 1

l[(2l + 1)!!]2

(E

hc

)2l+2

|〈fN |Mlm|iN 〉|2 =

= παcl + 1

l[(2l + 1)!!]218

(l + 2)2

[µ− l

l + 1

]2 E2l+1 R2l−2

(hc)2l−1 (mc2)2

Introducendo la dipendenza del raggio del nucleo dal numero di nucleoni, R = R0A1/3,

troviamo il valore approssimato della costante di decadimento, espresso in s−1, in funzionedell’energia, espressa in MeV , e del peso atomico

decadimento parita

λ(E1) = 3.8 1014 A2/3E3 −1

λ(E2) = 3.2 108 A4/3E5 +1λ(E3) = 1.7 102 A2E7 −1

λ(E4) = 7.6 10−3 A8/3E9 +1. . .

λ(M1) = 8.8 1013 E3 +1

λ(M2) = 6.5 107 A2/3E5 −1

λ(M3) = 3.3 101 A4/3E7 +1λ(M4) = 1.1 10−5 A2E9 −1

. . .

La tabella definisce una chiara gerarchia di valori della probabilita di decadimento per lediverse transizioni. Ad esempio un nucleo con spin 3/2 puo decadere in uno stato con spin1/2 emettendo raggi γ con l = 1 o l = 2. Se gli stati dei nuclei hanno la stessa parita latransizione avviene come M1 oppure E2, con λ ≈ λ(M1) λ(E2). Se gli stati hannoparita opposta la transizione avviene come E1 oppure M2, con λ ≈ λ(E1) λ(M2).

13.2 Conversione interna

Un nucleo in uno stato eccitato AZX∗ puo decadere allo stato fondamentale A

ZX senzaemettere radiazione γ, ma cedendo l’energia di eccitazione a un elettrone atomico. Laconversione interna produce elettroni monocromatici di energia cinetica

Ke = ∆Mc2 −BEe

213

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 214 — #214 ii

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dove BEe e l’energia di legame dell’elettrone. L’espulsione di un elettrone e usualmenteaccompagnata dall’emissione di raggi X.

Per effetto della conversione interna la vita media di uno stato eccitato e piu brevedi quanto previsto dal solo processo di decadimento radiativo poiche le probabilita didecadimento si sommano

λ = λγ + λe = λγ(1 + κ)

κn = λe/λγ (n indica il numero principale dell’orbitale atomico) e il coefficiente di con-versione interna ed e di solito piccolo per n > 1 e per nuclei con Z piccolo. Sviluppandoil campo elettromagnetico del nucleo in momenti di multipolo, un calcolo approssimatoin cui si trascurano la variazione delle funzioni d’onda degli elettroni atomici all’internodel volume del nucleo ed effetti relativistici sulla funzione d’onda dell’elettrone emesso,fornisce la seguente dipendenza per transizioni di 2l–polo elettrico e magnetico

κn(E, l) = α4 Z3

n3

l

l + 1

(2mec

2

E

)l+5/2

κn(M, l) = α4 Z3

n3

(2mec

2

E

)l+3/2

dove α e la costante di struttura fine e E = ∆Mc2.

13.3 Spettroscopia γ

Il dettaglio dell’informazione che si ottiene nello studio della radiazione γ dipende dallarisoluzione con cui si riescono a fare le misure spettroscopiche. Le misure di spettroscopiasi possono fare in emissione o in assorbimento. Nel primo caso la risoluzione e quella dellostrumento di misura che, nell’intervallo di energia dei raggi γ, e tipicamente 2 ÷ 3 keV .D’altra parte la larghezza intrinseca delle righe di emissione γ e molto piu piccola (perle transizioni con le costanti di decadimento piu grandi si ha Γ = hλ ≈ 1 eV ) e quindila risoluzione non e limitata da effetti quantistici. Nella spettroscopia in assorbimentola risoluzione e limitata dalla risoluzione della sorgente che emette, ma nella regione dienergia dei raggi γ non e facile realizzare una sorgente di frequenza variabile. Inoltre,appunto perche la larghezza di riga e piccola, l’assorbimento da uno spettro continuo emolto ridotto e per le transizioni γ dei nuclei non si riesce a osservare l’assorbimentorisonante, la fluorescenza nucleare. In questo caso infatti l’energia cinetica di rinculo delnucleo e sufficiente a spostare l’energia dei raggi γ fuori risonanza.

Se ∆E e la differenza di energia dei livelli del nucleo, in emissione si ha ∆E = Eγ+KN ,~pγ + ~pN = 0

∆E = Eγ +E2γ

2Mc2Eemγ = ∆E − (∆E)2

2Mc2+ . . .

In assorbimento si ha Eγ = ∆E +KN , ~pγ = ~pN

Eγ = ∆E +E2γ

2Mc2Eassγ = ∆E +

(∆E)2

2Mc2+ . . .

Se, ad esempio, ∆E = 0.5 MeV e consideriamo un nucleo con A = 64, massa Mc2 =6 104 MeV , la differenza tra l’energia in assorbimento e in emissione e Eassγ −Eemγ = 4.2 eV ,

214

ii

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13.3. Spettroscopia γ

mentre la larghezza di riga, nel caso piu favorevole di decadimento E1, e Γ = 0.5 eV(Fig. 13.1).

D’altra parte l’allargamento di riga dovuto all’agitazione termica e anch’esso piccolo.Per valutare l’effetto, consideriamo un nucleo con velocita vx nella direzione di osservazionedella radiazione. L’energia viene modificata per effetto Doppler: E′γ = Eγ (1 ± vx/c). Atemperatura T le velocita dei nuclei seguono la distribuzione di Maxwell con andamento∼ exp(−Mv2

x/2kT ) e la distribuzione di energia attorno al valor medio Eγ ha l’andamento∼ exp[−Mc2(E′γ − Eγ)2/2E2

γkT ] con varianza σ2 = E2γkT/Mc2 e larghezza

ΓT = 2σ(2 ln 2)1/2 = 2Eγ

(2 ln 2

kT

Mc2

)1/2

A temperatura ambiente, kT = 0.025 eV , abbiamo ΓT = 1.2 10−5 Eγ/A1/2. Con i dati

dell’esempio precedente: ΓT = 0.8 eV .

0 . 0

1 . 0

2 . 0

3 . 0

4 . 0

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

natural width = 0.2 eV

doppler width = 0.8 eV

energy (eV)

Figura 13.1: Righe in emissione e assorbimento e larghezza di riga

Si puo ottenere assorbimento di risonanza sfruttando l’effetto Doppler con la sorgentee l’assorbitore in moto relativo con velocita v, ma occorrono velocita molto elevate

Eγv

c=

(∆E)2

Mc2v = c

EγMc2

Con i dati dell’esempio precedente: v = 2500 m/s! Esperimenti di questo tipo sono statieffettuati con radiazione di bassa energia e con nuclei pesanti.

Un metodo di assorbimento di risonanza comunemente usato e particolarmente inge-gnoso e basato sull’effetto Mossbauer 1 in cui si sfrutta l’assenza di rinculo del nucleo sequesto e vincolato in un reticolo cristallino [26]. In questo caso e l’intero cristallo cheassorbe l’energia di rinculo del nucleo e la dissipa in modi vibrazionali del reticolo se siverificano le condizioni

• l’energia di rinculo del nucleo non e grande rispetto all’energia di legame dell’atomonel reticolo, che e tipicamente di qualche eV ;

1 Rudolf Mossbauer, premio Nobel per la fisica nel 1961

215

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ii

ii


• il cristallo ha una temperatura di Debye 2 elevata in modo da avere un’ampia bandadi modi vibrazionali (h∆ω = kΘD) per dissipare l’energia di rinculo del nucleo (valoritipici della temperatura di Debye sono ΘD ≈ 500 K).

La frazione di nuclei che non hanno rinculo per emissione o assorbimento di radiazione γdi energia E e

fbound = exp

− 3E2

4Mc2 kΘD

[1 + 4

[T

ΘD

]2 ∫ ΘD/T

0

xdx

ex − 1

]

Operando a temperatura T ΘD il secondo termine della relazione precedente sipuo trascurare. Si ottengono frazioni fbound apprezzabili con Eγ piccoli, nuclei pesantie temperature di Debye elevate. In spettroscopia Doppler usando l’effetto Mossbauer larisoluzione e definita dalla velocita relativa tra sorgente e assorbitore, δEγ/Eγ = v/c: convelocita v ' 1 cm/s si risolvono larghezze di decadimento Γ ' 10−6 eV di transizioni conEγ ' 100 keV , con una precisione relativa di 10−11.

2 Peter Debye, premio Nobel per la chimica nel 1936

216

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Capitolo 14

Decadimento α

I nuclei pesanti emettono radiazione poco penetrante sotto forma di particelle con caricapositiva. Questo fenomeno fu studiato fin dai primi anni del ’900 da Marie Curie e ErnestRutherford. Nel 1903 Rutherford misuro il rapporto q/m studiando la deviazione delletraiettorie in presenza di campo magnetico e campo elettrico e ottenne un valore pari a 2/3del valore del protone. Nel 1909 facendo decadere una sostanza sotto vuoto e analizzandoil gas osservo che questo conteneva Elio: scoprı che le particelle α sono nuclei di Elio.Con studi sistematici fatti negli anni seguenti con diverse sorgenti di radiazione α HansGeiger e John Nuttal [27] mostrarono che le particelle α emesse da diversi nuclei radioattivihanno energia cinetica in un intervallo di pochi MeV e che la vita media varia su moltiordini di grandezza con dipendenza dall’energia approssimativamente esponenziale. Lacaratteristiche principali del decadimento α si possono cosı riassumere

• gran parte dei nuclei con A > 200 decadono α;

• le particelle α sono nuclei di Elio (il nucleo di Elio e uno stato molto stabile conenergia di legame BE = 28.3 MeV );

• le particelle α emesse in un decadimento sono monocromatiche: si tratta di undecadimento a due corpi

AZX → A−4

Z−2Y + 42He

• l’energia cinetica delle particelle α varia in un piccolo intervallo, tipicamente 4 <Kα < 8 MeV ;

• la vita media ha una forte dipendenza dall’energia cinetica e nell’intervallo 4÷8 MeVvaria per piu di 20 ordini di grandezza (Fig. 14.1) secondo la

legge di Geiger–Nuttal ln τ = a− b lnK (14.1)

• a parita di energia la vita media aumenta col peso atomico A.

La cinematica del decadimento α e semplice. Nel riferimento del nucleo genitore: MXc2 =

MY c2 +Mαc

2 +KY +Kα , ~pY + ~pα = 0

(MX −MY −Mα)c2 = Q =p2

2My+

p2

2Mα=

p2

2Mα

[1 +

Mα

MY

]

217

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Capitolo 14. Decadimento α

1 0- 8

1 0- 6

1 0- 4

1 0- 2

1 00

1 02

1 04

1 06

1 08

1 01 0

1 01 2

1 01 4

1 01 6

4 5 6 7 8 9 1 0

P o

Rn

Ra

Th

U

Pu

Cm

Cf

energy (MeV)

life

tim

e (s

)

Figura 14.1: Vita media del decadimento α in funzione dell’energia cinetica

e, poiche i nuclei che decadono hanno massa M Mα, l’energia cinetica della particellaα e approssimativamente uguale all’energia disponibile e l’energia cinetica di rinculo delnucleo Y e piccola

Kα =Q

1 +Mα/MY≈ Q

(1− 4

A

)KY = Q

Mα/MY

1 +Mα/MY≈ Q 4

AKα KY

14.1 Soglia di instabilita

Definiamo per quali valori di A e Z il decadimento α e energeticamente possibile. Inun decadimento parte della massa dello stato inziale e convertita in energia cinetica deiprodotti nello stato finale. La massa del nucleo e pari alla somma delle masse dei nucleonicostituenti meno l’energia di legame e, poiche nell’emissione α i nucleoni non cambianonatura, il decadimento puo avvenire solo se l’energia di legame per nucleone aumenta.L’andamento dell’energia di legame per nucleone, BE = BE/A, in funzione di A indicache questo avviene nella regione dei nuclei con A > 60 dove ∂BE/∂A < 0. L’energiarilasciata nel decadimento (c = 1) e

Q = MX −MY −Mα = A(BEY −BEX)− 4(BEY −BEα) > 0

L’energia di legame media della particella α (BEα = 7.1 MeV ) e minore di quella deinuclei pesanti: il secondo termine e positivo e quindi la soglia di instabilita sara nettamentemaggiore di A = 60.

Possiamo rendere l’argomento piu quantitativo usando la formula di Bethe–Weizsacker

M(A,Z) = Zmp + (A− Z)mn − b0A+ b1A2/3 + b2Z

2A−1/3 + b3(A− 2Z)2A−1

L’energia rilasciata, Q = M(A,Z)−M(A− 4, Z − 2)−Mα = BEα −∆BE, e

Q ≈ BEα − 4bo + 4

[2

3b1 + b2Z

(1− Z

3A

)]A−1/3 − 4b3

(1− 2Z

A

)2

218

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14.2. Teoria elementare del decadimento α

Introducendo i valori dei parametri bk del modello a goccia di liquido (capitolo 10) siottengono le linee Q = costante nel piano A–Z corrispondenti alle soglie di instabilitadel decadimento per emissione di particelle α con energia cinetica Kα ≈ Q (Fig. 14.2).Osserviamo che A ≈ 140 per Q = 0, A ≈ 200 per Q = 4 MeV e A ≈ 240 per Q = 8 MeV .Quindi il decadimento α e energeticamente possibile anche per nuclei con A < 200 ma,come abbiamo gia detto, vi e una fortissima dipendenza della vita media dall’energia cine-tica e i decadimenti con Q < 4 MeV hanno vite medie cosı lunghe da renderli difficilmenteosservabili. I nuclei emettitori α con Q < 4 MeV sono essenzialmente nuclei stabili.

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

1 1 0

1 2 0

1 0 0 1 4 0 1 8 0 2 2 0 2 6 0 3 0 0

stable nuclei

Q = 0 MeV

Q = 2 MeV

Q = 4 MeV

Q = 6 MeV

Q = 8 MeV

A

Z

threshold for a decay

Figura 14.2: Linee di instabilita per il decadimento α

14.2 Teoria elementare del decadimento α

Il decadimento avviene con l’espulsione della particella α da un nucleo con peso atomicoA grande. Dopo l’espulsione la particella α ha energia cinetica K ≈ Q. Per capire ilmeccanismo del fenomeno facciamo queste ipotesi

• il nucleo AZX e uno stato legato composto dal nucleo A−4

Z−2Y e da una particella α(questa ipotesi e giustificata dal fatto che la particella α e uno stato fortementelegato di due protoni e due neutroni);

• il potenziale del sistema A−4Z−2Y –α e rappresentato da una buca di potenziale a sim-

metria sferica per r < R e dal potenziale coulombiano per r > R (Fig. 14.3); r ela distanza tra la particella α e il centro di simmetria del sistema e R e il raggio disovrapposizione del nucleo A−4

Z−2Y e della particella α, R2 = R2Y +R2

α

U(r) = −U0 r < R U(r) =2(Z − 2)e2

4πε0r= αhc

2(Z − 2)

rr > R

• la particella α all’interno della buca di potenziale ha energia positiva pari all’energiacinetica che acquista nel decadimento, E = Kα.

219

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ii


Per un nucleo con A > 200 il raggio della buca di potenziale e tipicamente R ≈ 7÷ 8 fm,la profondita della buca di potenziale e tipicamente U0 ≈ 40 MeV , l’altezza della barrieradi potenziale coulombiana, U(R) = αhc2(Z − 2)/R, e tipicamente 30 MeV . Quindi laparticella α con energia E < U(R) non puo superare la barriera di potenziale coulombiana.

rr

1r

0

-Uo

E = 0

Eα

Figura 14.3: Modello di Gamow del decadimento α

In meccanica quantistica la particella α puo attraversare la barriera di potenzialeper effetto tunnel. Questa ipotesi per spiegare il decadimento α fu elaborata da GeorgeGamow [28] e, indipendentemente, da Edward Condon e Ronald Gurney [29] nel 1928 eriproduce con buona approssimazione la legge di Geiger–Nuttal. Si tratta di uno dei primisuccessi della meccanica quantistica sviluppata in quegli anni.

All’interno della buca di potenziale la particella α ha energia E positiva e quindi oscillaurtando la barriera con frequenza f . La probabilita di decadimento nell’unita di tempo sipuo determinare dalla frequenza e dalla probabilita di attraversamento della barriera pereffetto tunnel, T ,

1

τ= λ = f × T (14.2)

Per una particella di massa m e energia E, il coefficiente di trasmissione attraverso unabarriera di potenziale unidimensionale (appendice 32) di altezza media U e larghezza L e

T =16k2k2

b

(k2 + k2b )

2e−2kbL

dove h~k e l’impulso della particella libera e h~kb e l’impulso della particella all’interno dellabuca

hk = (2mE)1/2 hkb = [2m(U − E)]1/2

Nel caso delle particelle α (m = 3727 MeV/c2) con i valori tipici dell’energia e del poten-ziale abbiamo kb ≈ 2k. Poiche la dipendenza del coefficiente di trasmissione dall’energiae contenuta essenzialmente nel termine esponenziale, possiamo approssimare T ≈ e−2kbL.Nel caso di una barriera di potenziale tridimensionale a simmetria sferica, dobbiamo uti-lizzare l’equazione di Schrodinger in coordinate sferiche (appendice 34) e abbiamo, oltreal potenziale U(r), il termine di energia rotazionale h2`(`+ 1)/2mr2 dove ` e il momentoangolare della particella α. Trascuriamo per il momento questo effetto che, come vedremo,introduce una piccola correzione. Il coefficiente di trasmissione e T ≈ e−2G dove G e il

fattore di Gamow G =1

h

∫ r1

r0(2m[U(r)− E])1/2 dr (14.3)

220

ii

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14.2. Teoria elementare del decadimento α

e l’integrale va esteso all’intervallo in cui U(r) ≥ E: r0 e il raggio della buca di potenzialee r1 e la distanza per cui U(r1) = E, cioe r1 = 2(Z − 2)αhc/E, e U(r)−E = E(r1/r− 1)

G =(2mE)1/2

h

∫ r1

r0

(r1

r− 1

)1/2

dr =(2mE)1/2

hr1

∫ 1

x0

(1

x− 1

)1/2

dx

con x = r/r1, x0 = r0/r1 = RE/2(Z − 2)αhc.

• L’integrale nella relazione precedente si calcola sostituendo la variabile

x→ y = x1/2∫ 1

x0(1− x)1/2x−1/2dx =

∫ 1

y02(1− y2)1/2dy

y → φ = arccos y

∫ 1

y02(1− y2)1/2dy =

∫ 0

φ02 sinφ d cosφ = [sinφ cosφ− φ]0φ0∫ 1

x0

(1

x− 1

)1/2

dx = F (x0) = arccosx1/20 − x1/2

0 (1− x0)1/2

La funzione F (r0/r1) dipende leggermente dai parametri dei nuclei e, poiche si ha tipica-mente r1/r0 = 6÷ 8, si puo approssimare

F (x0) = arccosx1/20 − x1/2

0 (1− x0)1/2 ≈ π/2− 2 x1/20 + . . .

Quindi otteniamo il fattore di Gamow in funzione della carica elettrica Z, del raggio R(che dipende da A) e dell’energia E

G = 2(Z − 2)α

[2mc2

E

]1/2

F (Z,R,E)

La frequenza con cui la particella α oscilla all’interno della buca di potenziale e il rapportotra la velocita, viα, e il raggio R. Poiche la particella α e un bosone, il suo moto non eimpedito all’interno della buca di potenziale e l’energia e E + U0 e la velocita

viα =

[2(E + U0)

m

]1/2

= c

[2(E + U0)

mc2

]1/2

e tipicamente viα ≈ 0.15c. La frequenza f = viα/R dipende leggermente dall’energia E.Con R ≈ 6÷ 8 fm si ha f ≈ (5÷ 6) 1021 s−1.

Quindi per la vita media si ha

1

τ=viαR

exp

−8α(Z − 2)

[2mc2

E

]1/2 [π

4−(

RE

2(Z − 2)αhc

)1/2

+ . . .

]La formula di Gamow, che possiamo scrivere

ln τ = a− ln(E + b)−1/2 + cE−1/2

con a, b, c parametri che dipendono dalle caratteristiche del nucleo, riproduce la dipenden-za osservata della vita media dall’energia della particella α e rende conto della variazionesu piu di 20 ordini di grandezza. Spiega inoltre che l’emissione con energia Kα < 4 MeV

221

ii

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ii

ii


avviene con vite medie molto grandi tali da rendere il fenomeno difficilmente osservabile.I dati sperimentali mostrano che, a energia Kα = costante, la vita media aumenta colpeso atomico. Infatti, all’aumentare di A, aumenta sia la carica elettrica che il raggio delnucleo e quindi aumenta il fattore di Gamow che dipende dall’altezza e dalla larghezzadella barriera di potenziale.

Va notato che il fattore di Gamow e grande, G ∼ 30 ÷ 50, e che anche una piccolaindeterminazione dei parametri comporta una grande variazione del valore di e−2G. Ilparametro piu incerto e il raggio R utilizzato per calcolare il fattore di Gamow poichei nuclei emettitori α hanno molti nucleoni e configurazioni irregolari. Se, ad esempio,calcoliamo la vita media di decadimento di alcuni isotopi del Radio in transizioni 0+ → 0+,assumendo la dipendenza del raggio del nucleo, R = R0A

1/3, con R0 = 1.25 fm otteniamoun valore della vita media circa 40 volte maggiore del valore misurato. Con un aumentodel 10% del parametro R0, che corrisponde ad un aumento del 5% del fattore di Gamow,si ottiene un accordo nettamente migliore.

decadimento Kα (MeV ) τ (s) R0 = 1.25 fm R0 = 1.375 fm22688Ra→ 222

86Rn 4.9 7.3 1010 3.0 1012 1.1 1011

22488Ra→ 220

86Rn 5.8 4.6 105 1.8 107 6.6 105

22288Ra→ 218

86Rn 6.7 5.5 101 1.6 103 6.7 101

La grande sensibilita del valore della vita media dei nuclei emettitori α dal raggio delnucleo fornisce quindi un metodo per misurare il raggio medio dei nuclei pesanti.

14.3 Dipendenza dal momento angolare

Decadimenti α possono avvenire con cambio dello spin e della parita del nucleo. Poiche laparticella α ha IP = 0+, la conservazione del momento angolare e della parita implica

|If − Ii| ≤ ` ≤ If + Ii Pf = (−1)`Pi

se la particella α viene emessa con momento angolare orbitale `. Se nella transizionecambia lo spin del nucleo, ` 6= 0, occorre considerare oltre al potenziale coulombiano ilpotenziale centrifugo

U(r) = UC(r) +h2`(`+ 1)

2mr2

che risulta in un piccolo aumento della barriera di potenziale. Il fattore di Gamow eproporzionale al raggio esterno della barriera che si ottiene dalla relazione

2(Z − 2)αhc

r1+h2`(`+ 1)

2mr21

= E

da cui risulta che r1 aumenta di ∼ 1% per ` = 1. Un aumento dell’1% del fattore diGamow produce un aumento di un fattore 2÷ 3 della vita media e l’effetto e maggiore per` > 1. Comunque questo effetto non e grande tenuto conto della grande variabilita dellavita media.

Se la transizione AZY →

A−4Z−2Y non e permessa dalle regole di selezione, il nucleo A

ZY

puo decadere in uno stato eccitato A−4Z−2Y

∗ che a sua volta decade nello stato fondamentalecon emissione di raggi γ. In questo caso Q ≈ Kα+Eγ . In effetti gran parte dei decadimentiα sono seguiti dall’emissione di raggi γ tipicamente di bassa energia.

222

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 223 — #223 ii

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ii

Capitolo 15

Decadimento β

Gia nel 1900 Rutherford osservo l’emissione di particelle di carica negativa chiamate al-l’inizio particelle β e successivamente identificate come elettroni. Negli anni seguenti irisultati degli esperimenti mostrarono che con l’emissione β una sostanza cambia numeroatomico e che decadimenti β avvengono in nuclei sia leggeri che pesanti e con vite mediedistribuite su un grandissimo intervallo, da millisecondi a miliardi di anni. Chadwick stu-dio la distribuzione dell’energia dei raggi β [30] e dimostro che, oltre agli elettroni prodottiper conversione interna, che hanno energia ben definita, i nuclei emettono elettroni conuna distribuzione di energia continua e che in una transizione

AZX → A

Z+1X + e− + . . .

il valore massimo dell’energia dell’elettrone e approssimativamente uguale alla differenzadi massa tra i nuclei

Emaxe ≈ (MX −MY )c2 Ee = [(pec)2 + (mec

2)2]1/2

Se quindi gli elettroni emessi non sono elettroni atomici, il processo deve avere origine nelnucleo e, poiche i nuclei non contengono elettroni, deve corrispondere a una variazione delnucleo stesso. Nel 1933 Sargent analizzo la dipendenza della vita media di decadimentodall’energia degli elettroni e osservo che, per energie Emaxe mec

2, la vita media haandamento proporzionale a (Emaxe )−5 [31].

15.1 L’ipotesi del neutrino

In un decadimento β l’elettrone e emesso con una distribuzione continua di energia. Quin-di, per conservare l’energia e l’impulso, oltre all’elettrone e al nucleo Y si deve emettereenergia sotto forma di radiazione neutra, ma le misure hanno mostrato che in un decadi-mento β non vengono emessi fotoni. Misure accurate effettuate con tecniche calorimetrichehanno dimostrato che l’elettrone non perde energia nella sostanza e che in effetti il proces-so di emissione β e caratterizzato da un difetto di energia: parte dell’energia dello statoiniziale non viene misurata nello stato finale.

Oltre al problema dell’energia mancante, se si interpreta il decadimento β come unprocesso A

ZX → AZ+1X+e−, sorgono altri problemi legati alla statistica e alla conservazione

del momento angolare. Infatti i nuclei X e Y hanno lo stesso numero di nucleoni, sonoentrambe bosoni o entrambe fermioni: non e possibile avere solo un nuovo fermione nello

223

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 224 — #224 ii

ii

ii

Capitolo 15. Decadimento β

stato finale. Se i nuclei sono bosoni, il momento angolare totale e un multiplo intero dih nello stato iniziale e semi-intero nello stato finale, e viceversa se sono fermioni. Questospiega anche perche l’energia mancante nel decadimento β non e dovuta a emissione diradiazione γ.

Nel 1930 Pauli propose una soluzione anticonformista [32] che suscito molto scetti-cismo e che si rivelo l’interpretazione corretta: nel decadimento β viene emessa insiemeall’elettrone una nuova particella neutra, che non interagisce ne in modo elettromagneticone in modo nucleare e che e un fermione di spin 1/2. Questa nuova particella fu chiamataneutrino da Fermi. L’ipotesi del neutrino risolve il problema dell’energia mancante (ilneutrino non interagisce nei rivelatori), della statistica e della conservazione del momentoangolare. Poiche l’energia dell’elettrone si estende fino a (MX −MY )c2 il neutrino deveavere massa molto piccola.

Due altri fenomeni sono associati al decadimento β−. Nel 1934 Irene Curie e FredericJoliot scoprirono l’emissione di positroni da parte dei nuclei [33]: il decadimento β+, enel 1938 Luis Alvarez 1 scoprı la cattura di elettroni atomici da parte dei nuclei [34]. Lostudio dei raggi X che seguono la cattura elettronica mostra che questa avviene quandol’elettrone e in un orbitale S cioe con una funzione d’onda che si sovrappone al nucleo. Ildecadimento β e un processo a tre corpi

decadimento β− AZX → A

Z+1X + e− + ν (15.1)

decadimento β+ AZX → A

Z−1X + e+ + ν (15.2)

la cattura elettronica e equivalente al decadimento β+ per simmetria di incrocio (appen-dice 46)

cattura elettronica e− + AZX → A

Z−1X + ν (15.3)

15.2 Teoria elementare del decadimento β

Nel 1934 Enrico Fermi propose una teoria di campo che spiega il decadimento β conun nuovo tipo di interazione [35]. L’idea di Fermi e la base dello sviluppo della teoriadelle interazioni deboli che descrive molti altri processi che interessano nuclei e particelleelementari. Le ipotesi sono:

• nel decadimento β− un neutrone del nucleo si trasforma in un protone con l’emis-sione di un elettrone e di un anti-neutrino (e analogamente per il decadimento β+):interazione a quattro fermioni (Fig. 15.1)

decadimento β− n→ p e− νdecadimento β+ p→ n e+ ν

• la hamiltoniana di interazione e un operatore che agisce sui campi fermionici me-diante assorbimento o emissione di fermioni;

• l’interazione e a corto raggio d’azione che si puo approssimare come interazione acontatto


224

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 225 — #225 ii

ii

ii

15.2. Teoria elementare del decadimento β

XA

e

νY

Z

A

Z+1

n p

eν

n p

1

2

Figura 15.1: Decadimento β del nucleo e interazione a contatto

Consideriamo il processo n→ p e− ν in cui il neutrone e il protone sono legati nel nucleo.La costante di decadimento e

λ =2π

h|〈p e− ν|HI |n〉|2ρ(Ef )

L’operatore HI assorbe un neutrone e emette un protone nel punto r1 e emette un elettronee un anti-neutrino nel punto r2. Per le proprieta di simmetria dei fermioni (appendice 42)l’elemento di matrice e lo stesso se l’operatore HI assorbe un neutrone e emette un protonenel punto r1 e assorbe un neutrino e emette un elettrone nel punto r2

〈p e−|HI |n ν〉 =

∫ψ∗p(~r1)ψ∗e(~r2) HI(~r1 − ~r2) ψn(~r1)ψν(~r2) d~r1d~r2

Se l’interazione e a contatto la hamiltoniana di interazione diventa

HI(~r1 − ~r2) = g δ(~r1 − ~r2) (15.4)

dove e stata introdotta la nuova costante di accoppiamento, g, che ha dimensioni [energia×volume]. Quindi l’elemento di matrice diventa

〈p e−|HI |n ν〉 = g

∫Nψ∗p(~r)ψ

∗e(~r) ψn(~r)ψν(~r) d~r

dove l’integrale e esteso alla regione del nucleo. Poiche l’elettrone e il neutrino non hannointerazione nucleare assumiamo che ψe e ψν siano autofunzioni di particella libera

ψe(~r) = V −1/2 ei~ke·~r ψν(~r) = V −1/2 ei

~kν ·~r

Gli impulsi di elettrone e neutrino sono tipicamente ∼ MeV/c e possiamo assumere chele funzioni d’onda siano variate di poco all’interno del volume di integrazione, ~k · ~r 1,

ei~k·~r = 1 + ~k · ~r + . . . ≈ 1. Al primo ordine l’elemento di matrice della hamiltoniana

di interazione si riduce all’integrale delle funzioni d’onda del protone e del neutrone nelvolume del nucleo

〈f |HI |i〉 =g

V

∫Nψ∗p(~r) ψn(~r) d~r =

g

VMfi (15.5)

dove Mfi e adimensionale. Per calcolare la densita di energia ρ(Ef ) analizziamo la cine-matica del decadimento X → Y e−ν. Definiamo W = (MX −MY )c2 = KY + Ee + Eνl’energia a disposizione nello stato finale

W =p2Y

2MY+ [(pec)

2 + (mec2)2]1/2 + [(pνc)

2 + (mνc2)2]1/2 ~pY + ~pe + ~pν = 0

225

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ii

ii


L’impulso ~pY e massimo quando l’elettrone e il neutrino sono emessi nella stessa direzione e,poiche mν me, quando ~pe = 0, ~pY = −~pν . Poiche la differenza di massa nei decadimentiβ e dell’ordine del MeV , anche nel caso piu favorevole

W =p2

2MY+mec

2 + [(pc)2 + (mνc2)2]1/2

l’energia cinetica del nucleo Y e trascurabile e l’energia disponibile nello stato finale eW ≈ Ee + Eν . Il numero di stati in funzione degli impulsi e∫

d6ned6nν =

V 2

(2πh)64πp2

edpe 4πp2νdpν (15.6)

Gli impulsi di elettrone e neutrino sono legati dalla conservazione dell’energia e, esprimen-do pν in funzione dell’energia totale W ,

p2νc

2 = (W − Ee)2 − (mνc2)2 pνdpνc

2 = (W − Ee)dW

p2νdpνc

3 = (W − Ee)[(W − Ee)2 − (mνc2)2]1/2dW

troviamo la densita di energia nello stato finale in funzione dell’unica variabile che simisura, l’impulso dell’elettrone pe

ρ(W )dpe =(4π)2V 2

(2πh)6

1

c3(W − Ee)[(W − Ee)2 − (mνc

2)2]1/2 p2e dpe

Poiche l’integrale sulle funzioni d’onda dei nucleoni, Mfi, non dipende dall’energia dell’e-lettrone, questa relazione rappresenta la distribuzione in energia degli elettroni emessi neldecadimento

dλ =2π

h

g2

V 2|Mfi|2

(4π)2V 2

(2πh)6

1

c3(W − Ee)[(W − Ee)2 − (mνc

2)2]1/2 p2edpe =

=g2

2π3c3h7 |Mfi|2 (W − Ee)[(W − Ee)2 − (mνc2)2]1/2 p2

edpe

Per poter confrontare la distribuzione con i risultati sperimentali, occorre introdurre unacorrezione che tiene conto degli effetti di interazione dell’elettrone con il campo coulombia-no del nucleo. L’effetto e diverso per il decadimento β−, in cui il potenziale e attrattivo,e per il decadimento β+, in cui il potenziale e repulsivo. La Fig. 15.2 mostra l’effettonella distribuzione dell’impulso di elettrone e positrone emessi nei decadimenti del Rame6429Cu → 64

30Zn e−ν, 6429Cu → 64

28Ni e+ν. La correzione e stata calcolata da Fermi in

funzione del numero atomico e dell’energia dell’elettrone. La distribuzione diventa

dn

dpe= costante× F (±Z,Ee)× (W − Ee)

[(W − Ee)2 − (mνc

2)2]1/2

p2e (15.7)

dove F (±Z,Ee) e la funzione di Fermi che e apprezzabilmente diversa da 1 solo per valoridi Z grandi e per energie piccole. La funzione di Fermi si puo approssimare con

F (±Z,Ee) =2πη

1− e−2πηη =

α(Z ± 1)

βe

226

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15.3. La vita media del decadimento β

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2

6 4

Cu b-

6 4

Cu b+

pe (MeV/c)

dn

/ d

pe

Figura 15.2: Distribuzione di impulso degli elettroni e positroni emessi nei decadimenti βdel 64

29Cu.

dove Z e il numero atomico del nucleo genitore, βe e la velocita dell’elettrone, e ± siriferisce al decadimento β∓.

Se nella relazione precedente trascuriamo la massa del neutrino, osserviamo che lafunzione [

1

p2e

dn

dpe

]1/2

= costante× [F (±Z,Ee)]1/2 (W − Ee) (15.8)

dipende linearmente dall’energia dell’elettrone (tenuto conto della dipendenza della fun-zione di Fermi) e la retta interseca l’asse dell’energia nel punto Ee = W . Questo mo-do di presentare i dati sperimentali e detto grafico di Fermi–Kurie [36]. La confermasperimentale dell’andamento previsto costituisce il primo successo della teoria di Fermi.

La misura della distribuzione vicino al valore Emaxe , detto end point della distribuzione,fornisce un metodo per misurare la massa del neutrino. La misura piu precisa e stata fattastudiando il decadimento del Trizio (Fig. 15.3)

31H → 3

2He e− ν

che offre due vantaggi: i nuclei sono semplici e le correzioni nucleari facili da valutare;l’energia disponibile nello stato finale e piccola, W = 530 keV , e questo aumenta lasensibilita della misura. Il limite ottenuto sulla massa del neutrino e mν < 2 eV/c2. Nelseguito assumeremo mν = 0.

15.3 La vita media del decadimento β

La teoria di Fermi riproduce i dati sperimentali della distribuzione di energia degli elettroniemessi nel decadimeto β dei nuclei con la funzione

dλ =g2

2π3c3h7 |Mfi|2F (±Z,E)(W − E)2 p2dp

che, a parte la correzione di Fermi, rappresenta la distribuzione dello spazio delle fasi neldecadimento a tre corpi in cui MY me mν . L’integrale della distribuzione e la vita

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0

1 0

2 0

3 0

4 0

1 8 . 2 1 8 . 3 1 8 . 4 1 8 . 5 1 8 . 6 1 8 . 7

Ke (keV)

[(1

/p2 F

) d

n /

dK

e]1

/2

Figura 15.3: Grafico di Fermi-Kurie del decadimento del Trizio vicino all’end point, lalinea rappresenta l’andamento per un neutrino di massa ∼0.1 keV/c2.

media di decadimento ∫ pmax

0dλ =

1

τ

e quindi possiamo ottenere dalla misura di τ il valore del prodotto della costante diaccoppiamento per l’elemento di matrice g|Mfi|.

Per calcolare l’integrale conviene usare le variabili adimensionali

E = ε mec2 p = η mec ε2 = η2 + 1

in modo da rendere esplicita la dipendenza dalla massa dell’elettrone. L’integrale dipendesolo dal limite superiore

pmaxc = [E2max − (mec

2)2]1/2 = η0 mec2 Emax = W = ε0 mec

2

Nelle nuove variabili la funzione di distribuzione e

(W − E)2 p2dp = (mc2)2(ε0 − ε)2 (mc)3η2dη

dλ =(mc2)5

2π3h (hc)6g2|Mfi|2 F (±Z, η)(ε0 − ε)2 η2dη

Quindi otteniamo l’espressione della vita media di decadimento

1

τ=

(mc2)5

2π3h (hc)6g2|Mfi|2f(±Z, η0) (15.9)

come prodotto di

• una costante: (mc2)5/2π3h(hc)6 = 1.46 104 MeV −2 fm−6 s−1;

• il quadrato della costante di accoppiamento che ha dimensioni [fm6 MeV 2];

• il quadrato dell’elemento di matrice adimensionale della transizione nucleare |Mfi|2;

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15.4. L’elemento di matrice del decadimento β

• una funzione adimensionale che dipende dalla carica elettrica del nucleo e dal limitesuperiore di integrazione η0 = pmax/mc

f(Z, η0) =

∫ η0

0F (±Z, η) [2 + η2

o + η2 − 2(1 + η20)1/2(1 + η2)1/2] η2dη

La funzione f(Z, η0) e calcolabile sulla base dei modelli del nucleo. Se facciamo l’ipotesiF (±Z, η) ≈ 1 troviamo la dipendenza dal valore massimo dell’impulso dell’elettrone

f(Z, η0) = −1

4η0 −

1

12η3

0 +1

30η5

0 +1

4(1 + η2

0)1/2 ln[η0 + (1 + η20)1/2]

Nei decadimenti in cui l’energia disponibile e W mc2, l’elettrone ha mediamente im-pulso grande e l’approssimazione F (±Z, η) ≈ 1 e giustificata. In questo caso abbiamopmaxc ≈ Emax = W , η0 1 e si puo usare l’approssimazione f(Z, η0) ≈ η5

0/30. Quindinei decadimenti con W mc2 la vita media dipende dalla quinta potenza dell’energiadisponibile nello stato finale, W , in accordo con le osservazioni di Sargent

1

τ≈ W 5

60π3h (hc)6g2|Mfi|2 (15.10)

Questa approssimazione e chiamata legge di Sargent.

15.4 L’elemento di matrice del decadimento β

Nella teoria di Fermi il quadrato dell’elemento di matrice e inversamente proporzionalealla vita media

g2|Mfi|2 =costante

f τ

Esaminiamo i valori misurati in alcuni decadimenti β (vite medie in s, energie e impulsiin MeV , g2|Mfi|2 in MeV 2 fm6)

decadimento transizione τ (s) W pmaxe f τ g2 |Mif |2

n→ p e− ν 12

+ → 12

+890 1.29 1.18 1.61 103 4.25 10−8

31H → 3

2He e− ν 1

2

+ → 12

+5.60 108 0.53 0.14 1.63 103 4.20 10−8

148O → 14

7N∗ e+ ν 0+ → 0+ 102 2.32 2.26 4.51 103 1.52 10−8

3417Cl→ 34

16S e+ ν 0+ → 0+ 2.21 4.97 4.94 4.54 103 1.51 10−8

62He→ 6

3Li e− ν 0+ → 1+ 1.15 4.02 3.99 1.17 103 5.85 10−8

135B → 13

6C e− ν 32

− → 12

−2.51 10−3 13.4 13.4 1.11 103 6.17 10−8

Nonostante la grande variazione della vita media, dovuta alla forte dipendenza dell’integra-le f(Z, η0) da pmaxe , il prodotto g2|Mfi|2 e approssimativamente lo stesso nei decadimenti,ma si osserva una dipendenza dalla variazione dello spin nella transizione del nucleo. Nellatrattazione abbiamo assunto che l’elettrone e il neutrino siano emessi in uno stato di mo-mento angolare ` = 0, infatti con i valori tipici dell’impulso e delle dimensioni del nucleo|~r× ~pc|/hc 1. In questo caso la variazione dello spin del nucleo e pari alla somma deglispin dell’elettrone e del neutrino. Per l’orientazione degli spin di elettrone e neutrino:

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• nelle transizioni 0→ 0, gli spin sono antiparalleli (stato di singoletto);

• nelle transizioni 0↔ 1 gli spin sono paralleli (stato di tripletto);

• nelle transizioni 1/2 → 1/2 gli spin possono essere antiparalleli (lo spin del nucleonon cambia) o paralleli (lo spin del nucleo cambia direzione).

Le transizioni del primo tipo sono dette transizioni di Fermi, quelle del secondo tipotransizioni di Gamow–Teller [37]

Fermi ∆I = 0 singoletto ⇑ ⇓Gamow −−Teller ∆I = 0, ±1 ma non 0→ 0 tripletto ⇑ ⇑

In entrambe i casi la parita non cambia.L’elemento di matrice Mfi dipende dalle funzioni d’onda di neutrone e protone nel

nucleo e occorre tener conto del principio di esclusione di Pauli che impedisce che in unatransizione, ad esempio n → p, il nuovo nucleone vada in uno stato gia occupato. Nelcalcolare Mfi occorre tener conto di due effetti: la molteplicita di stati di isospin in cuipuo formarsi il nuovo stato nucleare e la molteplicita di stati di spin. Ad esempio:

• decadimento 148O → 14

7N∗ e+ ν

Nello stato iniziale ci sono due protoni nello stato 1p1/2 con spin antiparalleli, Ii = 0,e uno dei due si trasforma in un neutrone che occupa lo stesso stato, If = 0: ci sonodue possibilita e la molteplicita di isospin e 2. La transizione avviene con ∆I = 0 ela molteplicita di spin e 1. E una transizione di Fermi con |MF |2 = 2.

• decadimento 62He→ 6

3Li e− ν

Nello stato iniziale ci sono due neutroni nello stato 1p3/2 con spin antiparalleli Ii = 0e uno dei due si trasforma in un protone che occupa lo stesso stato, ma con spinparallelo a quello dell’altro neutrone, If = 1. Il peso di isospin e 2. La transizione

avviene con |∆I| = 1 e la molteplicita di spin e 3. E una transizione di Gamow–Tellercon |MGT |2 = 6.

• decadimento 31H → 3

2He e− ν

In questo decadimento, come in tutte le transizioni tra nuclei speculari, il nucleoneche si trasforma va occupare lo stesso stato: la molteplicita di isospin e 1. Il decadi-mento puo avvenire sia con ∆I = 0, con elettrone e neutrino nello stato di singoletto(molteplicita 1), sia con |∆I| = 1, con elettrone e neutrino nello stato di tripletto(molteplicita 3). E una transizione mista con |MF |2 = 1, |MGT |2 = 3.

Se assumiamo che non ci sia interferenza tra le ampiezze dei due tipi di transizioni,possiamo scrivere l’elemento di matrice del decadimento β

g2|Mfi|2 = g2[C2V |MF |2 + C2

A|MGT |2]

dove CV e CA rappresentano i pesi relativi. Con i dati della tabella e con quelli dialtri decadimenti otteniamo il valore dei pesi relativi delle transizioni e della costante diaccoppiamento g

|CA||CV |

= 1.25± 0.01 CV = 1 ⇒ g = (0.876± 0.002) 10−4 MeV fm3

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15.5. Decadimenti proibiti

L’interazione responsabile del decadimento β e chiamata interazione debole perche, aparita di energia disponibile nello stato finale, la costante di decadimento e molto piupiccola che nei decadimenti γ. La dipendenza dall’energia sia dell’elemento di matrice chedella densita degli stati finali e pero molto diversa nei due processi di decadimento. Perconfrontare l’intensita delle interazioni elettromagnetiche e deboli conviene rappresentarel’interazione nello spazio degli impulsi. La hamiltoniana di interazione e Hem = αhc/r,HW = gδ(~r). Il propagatore, la trasformata di Fourier in una interazione con impulsotrasferito ~q, e rispettivamente 4πα(hc)3/(qc)2 e g. L’impulso trasferito nei decadimentiβ dei nuclei e tipicamente qc ' 1 MeV , per questo valore abbiamo

4πα

(qc)2≈ 0.1 MeV −2 g

(hc)3≈ 10−11 MeV −2

Va notato che i propagatori dell’interazione hanno una dipendenza completamente diversadall’impulso trasferito e che otteniamo valori confrontabili se l’impulso trasferito e qc '105 MeV .

Il rapporto G = g/(hc)3 e la costante di Fermi. Il valore misurato nel decadimento β e

G =g

(hc)3= (1.140± 0.002)× 10−5 GeV −2

leggermente diverso dal valore della

costante universale di Fermi GF = (1.166379± 0.000001)× 10−5 GeV −2 (15.11)

per una ragione che chiariremo piu avanti, nel capitolo 19.

15.5 Decadimenti proibiti

La denominazione di decadimenti ”proibiti” ha origine storica. Fermi suddivise i decadi-menti in transizioni super-permesse, transizioni primo-permesse, . . . e transizioni proibite.Gli elementi di matrice sono calcolati rappresentando elettrone e neutrino con funzionid’onda di particella libera. Poiche tipicamente p ' 1 MeV/c, nel volume del nucleo si ha~p · ~r/h 1 e lo sviluppo in serie converge rapidamente

ei~p·~r/h = 1 +i~p · ~rh− (~p · ~r)2

2h2 + . . .

Il primo termine produce gli elementi di matrice delle transizioni permesse in cui elettronee neutrino sono emessi in stato di momento angolare ` = 0 e la parita del nucleo noncambia.

Se la parita del nucleo cambia, l’elemento di matrice al primo ordine si annulla e occorreconsiderare gli altri termini dello sviluppo

Mfi =i

h

∫Nψ∗p(~r) ~p · ~r ψn(~r) d~r + . . .

Il secondo termine corrisponde a transizioni con ` = 1 e cambio di parita. Per impulsip ' 1 MeV/c e nuclei di estensione R ' 5 fm abbiamo

|Mfi| ≈〈~p · ~r〉N

h∼ 10−2

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Quindi la vita media di un decadimento primo-proibito e ≈ 104 piu lunga che per undecadimento permesso. Elettrone e neutrino possono essere emessi con spin totale S = 0oppure S = 1, e la conservazione del momento angolare, ∆~I = ~S + ~, produce le regole diselezione delle transizioni proibite al primo ordine

• transizioni di Fermi, S = 0

∆I = 0, ±1 ma non 0→ 0

• transizioni di Gamow–Teller, S = 1

∆I = 0, ±1 ± 2

Decadimenti con ∆I ≥ 2 senza cambio di parita possono avvenire solo con il terminesuccessivo

Mfi = − 1

2h2

∫Nψ∗p(~r) (~p · ~r)2 ψn(~r) d~r + . . .

e sono ancora piu sfavoriti. Sono stati osservati decadimenti proibiti fino al terzo e quartoordine con vite medie maggiori di 109 anni.

15.6 Non conservazione della parita

L’idea che la parita non si conservasse nell’interazione debole e maturata nel 1955 a seguitodell’evidenza che una stessa particella, il mesone K, decade in due stati di parita opposta(capitolo 17). Nel 1956 Tsung Dao Lee e Chen Ning Yang 2 fecero una analisi critica deirisultati ottenuti con lo studio dei processi deboli e conclusero che in nessun esperimentosi era studiata la dipendenza dell’interazione da termini pseudoscalari che cambiano segnoper trasformazione di parita come, ad esempio, l’elicita dell’elettrone, ~se · ~pe, o il prodottodell’impulso e lo spin del nucleo, ~I · ~pe. Lee e Yang [38] osservarono che la hamiltonianadell’interazione debole, espressa come sovrapposizione dei termini di Fermi e Gamow–Teller, entrambe scalari, e invariante per parita e proposero una formulazione piu generaledella hamiltoniana. Proposero anche alcuni esperimenti per mettere in luce una possibileviolazione della parita nei decadimenti deboli. Tre esperimenti, sul decadimento di nucleipolarizzati, sul decadimento del leptone µ (capitolo 19), e sul decadimento del barione Λ0

(capitolo 17) vennero eseguiti nei mesi successivi e dimostrarono chiaramente che la paritanon si conserva nell’interazione debole.

Il decadimento del Cobalto polarizzato e stato studiato da Chien-Shiung Wu, ErnestAmbler e collaboratori nel 1956 [39] (detto esperimento di Madame Wu). Il nucleo 60

27Coha spin ICo = 5 e decade per transizione Gamow–Teller in uno stato eccitato del nucleodi Nichel 60

28Ni∗ con spin INi = 4. La vita media e 7.5 anni. L’energia disponibile e

Q = 0.32 MeV .6027Co(5

+)→ 6028Ni

∗(4+) e− ν

L’elettrone e l’antinuetrino sono emessi con spin paralleli allo spin del 6027Co. Il nucleo

6028Ni

∗ decade allo stato fondamentale con due emissioni radiative di quadrupolo elettricocon energie Eγ = 1.17 e 1.33 MeV

6028Ni

∗(4+)→ 6028Ni

∗(2+) γ 6028Ni

∗(2+)→ 6028Ni(0

+) γ


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15.7. L’interazione V–A

Il nucleo 6027Co ha momento magnetico µ ≈ 3µN . Per ottenere una polarizzazione apprez-

zabile la sorgente e inserita in un criostato e raffreddata a 0.01K per demagnetizzazioneadiabatica. Raggiunta la temperatura di operazione la sorgente viene polarizzata nel cam-po magnetico di un solenoide. Un piccolo scintillatore inserito nel criostato rivela glielettroni emessi entro un piccolo angolo nella direzione del campo magnetico. Due cristalliscintillanti sono usati per rivelare i fotoni emessi in direzione parallela e normale al campomagnetico. La distribuzione angolare dei fotoni emessi nel decadimento del nucleo 60

28Ni∗

polarizzato non e isotropa, dipende dall’angolo tra la direzione di emissione e lo spin, ma esimmetrica rispetto all’inversione della polarizzazione. La differenza di conteggio dei duecristalli viene usata per controllare il grado di polarizzazione della sorgente.

Il nucleo 6027Co ha lo spin orientato nella direzione del campo e quindi anche l’elettrone

e l’antinuetrino. Se si inverte il campo magnetico cambia l’elicita degli elettroni rivelatinello scintillatore: l’esperimento e cioe sensibile ad una quantita pseudoscalare ~se · ~pe(Fig. 15.4). Le misure hanno dimostrato che quando si inverte il campo magnetico cambiail conteggio di elettroni e che questi tendono ad essere emessi in direzione opposta allapolarizzazione del nucleo. L’asimmetria nel conteggio degli elettroni dipende dal grado dimagnetizzazione della sorgente.

Co Ni e νB

Co

γ

γ

e

Co

γ

γ

e

Figura 15.4: Decadimento del Cobalto polarizzato: l’immagine speculare non e possibile

La distribuzione dell’angolo tra la direzione di emissione dell’elettrone e la polarizza-zione del campione (µ e il versore di polarizzazione ‖ ~se)

dn

d cos θ= 1 + α

µ · ~peEe

= 1 + αβe cos θ

mostra che α ≈ −1.

L’esperimento dimostra una evidente violazione della parita. Se applichiamo all’espe-rimento la trasformazione di inversione spaziale, non cambiamo i vettori assiali, campomagnetico e spin, mentre si invertono sia gli impulsi che la posizione del rivelatore. Se siconserva la parita il conteggio di elettroni non puo cambiare.

15.7 L’interazione V–A

Per capire l’origine delle transizioni di Fermi e Gamow–Teller e della violazione dellaparita, consideriamo le soluzioni dell’equazione di Dirac (appendice 42). La hamiltonianadi interazione si puo esprimere in funzione di combinazioni delle autofunzioni del tipoψfOψi dove l’operatore O e formato con le matrici di Dirac. Le possibili combinazioni

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che si trasformano secondo le trasformazioni di Lorentz sono

Scalare Vettoriale Assialvettoriale Pseudoscalare Tensorialeψf ψi ψf γλ ψi ψf γλγ5 ψi ψf γ5 ψi ψf γλγµ ψi

Si puo dimostrare che il contributo del termine pseudoscalare e trascurabile nel de-cadimento β e che la correlazione angolare tra la direzione di emissione dell’elettrone edell’antineutrino e

V oppure A S oppure T

singoletto ⇑ ⇓ 1 + βe cos θ 1− βe cos θ

tripletto ⇑ ⇑ 1− 13 βe cos θ 1 + 1

3 βe cos θ

dove βec e la velocita dell’elettrone e θ e l’angolo tra ~pe e ~pν . La distinzione tra i duetipi di interazione, V & A oppure S & T , e fatta sulla base dei risultati sperimentali. Irisultati hanno escluso l’ipotesi S & T e hanno mostrato che l’interazione responsabile deldecadimento β e di tipo sia vettoriale che assialvettoriale. In una interazione di tipo Vo di tipo A si conserva l’elicita dei fermioni ~s · ~p/|~s · ~p| quando β → 1 (appendice 42).In una interazione V & A, elettrone e antineutrino [positrone e neutrino] nello stato disingoletto tendono ad avere la stessa direzione mentre nello stato di tripletto tendono adessere emessi in direzioni opposte (Fig. 15.5).

0π π/2 0π π/2

θ eν

eν

dn / dcos θeν

Figura 15.5: Distribuzione angolare per interazione vettoriale oppure assialvettoriale

Fermi scelse, in analogia con l’interazione elettromagnetica, una interazione di tipovettoriale

〈p e−|HI |n ν〉F = gCV

∫ ∑λ

ψp(x)γλψn(x) ψe(x)γλψν(x) d4x

che da origine alle transizioni di Fermi. Le transizioni di Gamow–Teller sono originatedall’interazione assialvettoriale

〈p e−|HI |n ν〉GT = gCA

∫ ∑γ

ψpγλγ5ψn ψeγλγ5ψν d4x

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La hamiltoniana ottenuta combinando le due interazioni

H =g√2

[CV ψpγλψn ψeγλψν + CA ψpγλγ5ψn ψeγλγ5ψν

]e la somma di termini scalari e non puo generare termini misti che cambiano segno per tra-sformazione di parita. Un termine pseudoscalare si puo introdurre combinando le matriciγλ e la matrice antisimmetrica γ5, ad esempio

H =g√2

[ψpγλψn ψeγλ(CV + C ′V γ5)ψν + ψpγλγ5ψn ψeγλγ5(CA + C ′Aγ5)ψν

]dove i coefficienti C e C ′ sono in generale numeri complessi. Se consideriamo le trasfor-mazioni C, P, T delle soluzioni dell’equazione di Dirac (appendice 42) possiamo verificareche i coefficienti cambiano nel modo seguente

trasformazione : C P T

C → C∗ C C∗

C ′ → −C ′∗ −C ′ C ′∗

e che la hamiltoniana non e invariante per trasformazioni di coniugazione di carica edi parita. Se facciamo l’ipotesi che sia invariante per CP e per T , allora i coefficientisono reali. L’estensione a fermioni di massa nulla richiede inoltre C ′ = ±C. La misuradell’elicita degli elettroni e dei neutrini emessi nel decadimento β definisce il segno relativoC ′ = −C e la hamiltoniana dell’interazione V–A si esprime

H =g√2

[CV ψpγλψn ψeγλ(1− γ5)ψν + CA ψpγλγ5ψn ψeγλγ5(1− γ5)ψν

]H =

g√2

[ψpγλ(CV − CAγ5)ψn ψeγλ(1− γ5)ψν

](15.12)

15.7.1 L’elicita dell’elettrone

La vita media del decadimento β si ottiene integrando su tutte le variabili e dipende dag2|Mfi|2, fornisce quindi il valore della costante di Fermi e il peso relativo degli elementidi matrice di Fermi e Gamow–Teller, ma non da informazioni ulteriori sulla strutturadell’interazione.

Il peso relativo dei diversi tipi di interazione, S, V, A, T , dipende dal fattore

~pe · ~pνEeEν

= βe cos θeν

La misura di θeν non e facile perche il neutrino non e rivelato e occorre misurare l’impulsodell’elettrone e del rinculo del nucleo Y che ha energia cinetica molto piccola. Misure delladistribuzione angolare, parametrizzata come

dn

d cos θeν∼ 1 + αβe cos θeν

sono state effettuate studiando diversi tipi di decadimento (transizioni di Fermi, di Gamow–Teller e miste) con energie di decadimento, W , elevate e nuclei leggeri per facilitare la

235

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misura dell’impulso di rinculo del nucleo.

decadimento transizione W (MeV ) pmaxY (MeV ) KmaxY (eV ) α

n→ p e− ν 12

+ → 12

+1.29 1.18 750 −0.102± 0.005

62He→ 6

3Li e−ν 0+ → 1+ 1.15 1.03 95 −0.334± 0.003

1910Ne→ 19

9 F e+ν 12

+ → 12

+3.24 3.20 90 0.00± 0.08

3518Ar → 35

17Cl e+ν 3

2

+ → 32

+5.96 5.45 91 0.97± 0.14

I risultati di queste misure hanno mostrato che in transizioni di Fermi (spin antiparalleli)elettrone e antineutrino [positrone e neutrino] tendono a formare angoli piccoli, mentre intransizioni di Gamow–Teller (spin paralleli) tendono a formare angoli grandi. Per transi-zioni miste, si osserva la sovrapposizione delle due distribuzioni con pesi relativi C2

V e C2A/3.

I risultati sono in accordo con le previsioni dell’interazione vettoriale e assialvettoriale.La correlazione angolare e dovuta alla conservazione dell’elicita dei fermioni ed e tanto

piu evidente quanto maggiore e il valore della velocita. Infatti la teoria di Dirac prevedeche nel limite β → 1 gli autostati dell’equazione del moto siano autostati dell’elicita e cheil neutrino possa esistere in un solo stato di elicita h = +1 oppure h = −1. L’antineutrinoesiste nello stato di elicita opposta. Per un elettrone [positrone] emesso con velocita βc,l’equazione di Dirac prevede una polarizzazione pari a ±β [ ∓β]. La teoria e simmetrica esolo la misura puo definire quale e l’assegnazione corretta. La misura della elicita di fer-mioni e antifermioni definisce il segno relativo dell’interazione vettoriale e assialvettoriale:V +A oppure V −A.

La misura della polarizzazione di elettroni e positroni emessi nel decadimento β estata fatta sudiando diversi decadimenti. Gli elettroni [positroni] vengono fatti diffondereda una sottile lamina di ferro magnetizzato e nella misura si sfrutta la dipendenza dellasezione d’urto Møller, e−e− → e−e−, [Bhabha, e+e− → e+e−], dalla orientazione relativadegli spin. La dipendenza dell’effetto e studiata in funzione della velocita dell’elettrone[positrone] e della magnetizzazione del ferro. Risulta che la polarizzazione degli elettronie negativa e quella dei positroni e positiva

h(e−) = −1 h(e+) = +1

Il decadimento n→ pe−ν e stato studiato in dettaglio usando neutroni polarizzati chedecadono in volo. Si misura la direzione di volo, la direzione dello spin del neutrone el’angolo di emissione dell’elettrone e del protone. L’analisi delle distribuzioni in funzionedi ~pe · ~sn, ~pν · ~sn, ~pe · ~pν , permette una misura completa dei parametri del decadimento βe, in particolare, del segno relativo dell’interazione vettoriale e assialvettoriale: CV e CAhanno segno opposto e |CA/CV | = 1.26± 0.01.

15.7.2 L’elicita del neutrino

Una conferma cruciale della interazione V –A e la misura diretta della elicita del neutrinofatta da Maurice Golhaber, Lee Grodzins e Andrew Sunyar nel 1958 [40]. L’esperimentosfrutta la fluorescenza nucleare che, come abbiamo detto, si osserva solo se nucleo emet-titore e nucleo assorbitore sono in moto relativo con velocita opportuna. Descriviamo ilmetodo dell’esperimento

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• Il nucleo Europio 15263Eu ha spin IEu = 0 e decade per cattura elettronica in uno

stato eccitato del nucleo Samario 15262Sm

∗ con spin ISm∗ = 1 e un neutrino di 840keV

e− 15263Eu→ 152

62Sm∗ ν Eν = 840 keV

La cattura elettronica avviene da orbitale S, lo stato iniziale ha momento angolareJi = 1/2. Quindi nello stato finale Sm∗ e ν hanno spin opposti.

• Il nucleo formato decade allo stato fondamentale del Samario con spin ISm = 0emettendo un fotone di 960 keV

15262Sm

∗ → 15262Sm γ Eγ = 960 keV

il fotone ha lo stesso spin del Sm∗ e spin opposto a quello del neutrino. La vitamedia, τ = 3 10−14 s, del decadimento radiativo e cosı breve che il nucleo decadeprima di aver dissipato l’energia cinetica: il decadimento avviene in volo.

• Un assorbitore di 15262Sm puo assorbire la radiazione γ solo se l’energia emessa e

aumentata per effetto Doppler, cioe se il fotone e emesso nella direzione di volo delnucleo Sm∗.

• L’osservazione dell’emissione di fluorescenza nucleare da parte dell’assorbitore

Eγ > 960 keV γ Sm → Sm∗ → Sm γ

seleziona quindi i fotoni emessi in direzione opposta al neutrino e con spin opposto.L’elicita del fotone e uguale a quella del neutrino.

e Eu Sm* n

SmSm* g

n

Sm*

Sm202

Eu

g

Figura 15.6: Misura dell’elicita del neutrino.

L’esperimento (Fig. 15.6) e effettuato con una sorgente di 15263Eu e un diffusore di 152

62Smla cui radiazione di fluorescenza e osservata con un cristallo scintillante opportunamenteschermato. Tra la sorgente e il diffusore vi e uno spessore di ferro, i fotoni emessi neldecadimento del 152

62Sm∗ attraversano il ferro prima di produrre fluorescenza nel diffusore.

Il ferro puo essere magnetizzato in direzione concorde o opposta alla direzione dei fotoni.I fotoni interagiscono nel ferro per effetto Compton e l’assorbimento dipende dall’orienta-zione relativa dello spin del fotone e degli spin degli elettroni polarizzati. La sezione d’urto

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e maggiore per spin antiparalleli che per spin paralleli perche nel primo caso contribuisco-no due ampiezze A1/2 e A3/2 (il fotone puo cedere il momento angolare all’elettrone checambia spin), mentre nel secondo solo A3/2. Osservando alternativamente l’assorbimentocon diverse orientazioni del campo magnetico si e determinato che il neutrino ha elicitanegativa.

Con un diverso esperimento si e determinato che gli antineutrini hanno elicita positiva.Quindi

h(ν) = −1 h(ν) = +1

15.8 La scoperta del neutrino

I neutrini sono debolmente interagenti e sono passati piu di 25 anni dalla proposta diPauli alla osservazione dei neutrini in un esperimento. Per valutare il valore della sezioned’urto di interazione consideriamo il decadimento β del neutrone, n → p e− ν. Nell’in-terpretazione di Fermi l’interazione e tra due correnti che cambiano la carica elettrica:J+(n→ p) · J−(ν → e−). I neutrini possono interagire con i processi

ν n→ p e− ν p→ n e+

Consideriamo il secondo processo a bassa energia, Eν mp,

Eν +mp = mn +Kn + Ee Kn ≈ 0

La soglia di reazione e Eν ≥ mn−mp+me = 1.8 MeV e l’elettrone e emesso con impulsope = [(Eν −∆m)2 −m2

e]1/2. Se le funzioni d’onda sono normalizzate in un volume V , la

densita degli stati finali e proporzionale a 4πV peEe/c2 e il flusso di neutrini e c/V . La

sezione d’urto e

σ(ν p→ n e+) =V

c

2π

h|〈n e+|HI |ν p〉|2

V

(2πh)3

4πpeEec2

Il processo e equivalente al decadimento β del neutrone per simmetria di incrocio e, usandoil valore misurato dell’elemento di matrice, abbiamo

σ =g2

π(hc)4|Mfi|2 pec Ee =

G2(hc)2

π|Mfi|2 pec Ee ≈ 10−43 cm2MeV −2 × E2

ν (15.13)

La sezione d’urto e molto piccola. Per rivelare l’interazione occorre una sorgente con flussoelevato e un bersaglio di grande massa.

L’esperimento e stato fatto da Clyde Cowan e Frederick Reines 3 nel 1956 presso unreattore nucleare [41]. Nei decadimenti β che seguono una reazione di fissione (capitolo 16)vengono prodotti antineutrini che hanno energia totale ≈ 12 MeV /fissione. Il numero diantineutrini con Eν ≥ 1.8 MeV e ≈ 0.5/fissione. La misura e stata fatta presso il reattoreda 1 GW del Savannah-River Plant con un flusso di antineutrini di circa 1013 cm−2 s−1.Il bersaglio era costituito da circa 1000 litri di acqua con cloruro di Cadmio, CdCl2, incontenitori alternati ad altri contenitori con scintillatore liquido. Il segnale da rivelare emolto caratteristico e quindi distinguibile dal fondo. Il positrone annichila non appena


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15.8. La scoperta del neutrino

prodotto con vita media τ(e+e− → γγ) = 1.3 10−10 s, mentre il neutrone viene terma-lizzato negli urti con nuclei di idrogeno in un intervallo di tempo di ≈ 10−5 s. Il nucleo11448Cd ha una grande sezione d’urto di cattura di neutroni termici e il nucleo 115

48Cd∗ che si

forma si diseccita immediatamente emettendo raggi γ con energia totale di circa 6 MeV .Cowan e Reines rivelarono un numero di questi eventi caratteristici quando il reattoreera in funzione decisamente maggiore del numero di eventi registrati a reattore spentoottenendo il risultato

σ(ν p→ n e+) = (1.1± 0.3) 10−43 cm2

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240

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Capitolo 16

Reazioni nucleari

In una reazione nucleare due particelle o due nuclei cambiano stato per effetto della lorointerazione

a+ b→ c+ d +Q

Q indica la differenza di massa tra lo stato iniziale e finale, Q = (ma +mb −mc −mc)c2.

Reazioni con Q > 0 sono chiamate esotermiche: massa viene convertita in energia cineticadello stato finale. Reazioni con Q < 0 sono endotermiche: energia cinetica viene conver-tita in massa. Poiche l’interazione nucleare e a corto raggio d’azione, se le particelle nellostato iniziale hanno carica elettrica occorre fornire energia per superare la repulsione cou-lombiana. Nelle reazioni per interazione nucleare si conservano, oltre a energia, impulso,momento angolare e carica elettrica, il numero fermionico, l’isospin, la coniugazione dicarica e la parita.

Il primo cambiamento di una sostanza dovuto a un processo nucleare fu osservatoda Rutherford nel 1919 utilizzando particelle α emesse dal Polonio con energia cineticasufficiente a compensare il valore negativo di Q e la repulsione coulombiana

α+ 147 N → 17

8 O + p Q = −1.19 MeV

La prima reazione in cui sono stati usati protoni accelerati in modo articifiale e stataprodotta da Cockroft e Walton nel 1931 [42]

p+ 73Li→ α+ α Q = +17.35 MeV

La reazione con cui Chadwick scoprı il neutrone nel 1932

α+ 94Be→ 12

6 C + n Q = +5.71 MeV

aprı nuove possibilita di indagine della struttura del nucleo e delle interazioni nucleariperche i neutroni non risentono della repulsione coulombiana e possono iniziare reazioninucleari anche con energia molto piccola.

Oltre alle reazioni nucleari, vi sono reazioni dovute a interazioni elettromagnetiche odeboli, ad esempio

n+ p→ 21H + γ Q = 2.22 MeV p+ p→ 2

1H + e+ + ν Q = 0.42 MeV

che hanno un ruolo fondamentale nella nucleosintesi e nel meccanismo di produzione dienergia nelle stelle.

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Capitolo 16. Reazioni nucleari

16.1 Sezione d’urto di reazione

Il calcolo delle sezioni d’urto di reazioni nucleari e basato sui metodi presentati nel capi-tolo 8. Per il potenziale nucleare si fanno ipotesi basate sui modelli del nucleo. La sezioned’urto di reazione e σr = π(R + k−1)2, dove R e l’estensione del potenziale nucleare ehk e l’impulso delle particelle a e b nel centro di massa. Se l’energia cinetica e piccolarispetto al potenziale nucleare occorre tener conto dell’effetto della buca di potenziale sullefunzioni d’onda. Ad esempio, la sezione d’urto di cattura di un neutrone di impulso h~knel campo di un nucleo rappresentato da una buca di potenziale di profondita U0 e datadal prodotto della sezione d’urto di reazione per il coefficiente di riflessione dalla buca dipotenziale (appendice 32)

σc = π(R+ k−1)2 4kkN(k + kN )2

hk = [2mE]1/2 hkN = [2m(E + U0)]1/2

A bassa energia, k R−1, k kN , la sezione d’urto di cattura e inversamente propor-zionale alla velocita relativa

limk→0

σc =π

k2

4kkNk2N

=4π

kkN≈ 10−26 cm2 × c

v(16.1)

Se la reazione avviene attraverso la formazione di una risonanza di spin I e massa M lasezione d’urto ha il tipico andamento Breit–Wigner

σr =4π

k2

2I + 1

(2Ia + 1)(2Ib + 1)

ΓiΓf/4

(E −M)2 − (Γ/4)2

dove Γ e la larghezza della risonanza e Γi, Γf , sono le larghezze parziali di decadimentonello stato iniziale e finale.

In generale, se si conosce l’elemento di matrice 〈cd|HI |ab〉, la sezione d’urto e

σ(ab→ cd) =1

Φi

2π

h|〈cd|HI |ab〉|2ρ(Ef )

Φi =vabV

ρ(Ef ) = gfV

(2πh)3

4πp2bc

vbc

dove vab e la velocita relativa delle particelle nello stato iniziale e gf = (2Ic + 1)(2Id + 1)e la molteplicita di spin dello stato finale

σ(ab→ cd) =V 2

πh4 |〈cd|HI |ab〉|2 (2Ic + 1)(2Id + 1)p2bc

vab vbc

Se la hamiltoniana di interazione nucleare e invariante per inversione temporale si ha larelazione H∗fi = Hif tra gli elementi di matrice (capitolo 6). C’e quindi una importanterelazione tra la sezione d’urto del processo ab→ cd e quella del processo inverso, cd→ ab:

principio del bilancio dettagliatoσ(cd→ ab)

σ(ab→ cd)=

(2Ia + 1)(2Ib + 1)

(2Ic + 1)(2Id + 1)

p2ab

p2cd

(16.2)

242

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16.2. Fissione

16.2 Fissione

La scoperta del neutrone fu seguita da una intensa attivita per produrre reazioni nucleariiniziate da neutroni. Enrico Fermi 1 studio le reazioni di cattura di neutroni per produrrenuclei pesanti e i loro decadimenti β [43]. Nel 1938 Otto Hahn 2 e Fritz Strassmannosservarono che in collisioni di neutroni con nuclei di Uranio si producono elementi connumero atomico pari a circa la meta di quello dell’Uranio [44], ad esempio

n+ 92U → 56Ba+ 36Kr

Nel 1939 Lise Meitner e Otto Frisch proposero che la produzione di elementi con numeroatomico intermedio fosse dovuta alla fissione del nucleo pesante indotta da neutroni [45].Il processo di fissione in cui un nucleo pesante si scinde in due nuclei con peso atomicointermedio

AZN → A−a

Z−zX + azY +Q

e energeticamente favorito dal fatto che, per i nuclei con A ∼ 240, l’energia di legameper nucleone e, BE ≈ 7.6 MeV , mentre per i nuclei con A ∼ 120 si ha BE ≈ 8.5 MeV .Quindi in una reazione di fissione si producono ≈ 0.9 MeV per nucleone. Nella fissionedell’Uranio si ha Q ≈ 210 MeV .

La fissione spontanea e pero impedita dal potenziale attrattivo dei nucleoni. Consi-deriamo il modello a goccia in cui un nucleo e in una configurazione sferica. Se questaviene deformata in un ellissoide di semiassi a, b, b, l’interazione nucleone–nucleone tendea mantenere costante il volume

V =4π

3ab2 =

4π

3R3 ⇒ a = R(1 + ε) b = R(1 + ε)−1/2

e ne deriva che la superficie del nucleo aumenta e anche la distanza media tra nucleoniaumenta

S = 4πR2

(1 +

2ε2

5

)〈1r〉 =

3

5R

(1− ε2

5

)Usando la formula di Bethe–Weizsacker, la variazione di energia del nucleo e

∆M = b1A2/3

(−2ε2

5

)+ b2

Z2

A1/3

(ε2

5

)=ε2

5A2/3

[−2b1 + b2

Z2

A

]

Introducendo il valore dei parametri b1 = 17.2 MeV , b2 = 0.70 MeV , la condizione distabilita

∆M =ε2

5A2/3

[−34.4 + 0.70

Z2

A

]≤ 0

comporta Z2/A < 47 che e soddisfatta da tutti i nuclei stabili,(Z2/A

)max = 35. Questo

esempio mostra che, per un nucleo leggermente deformato, l’aumento di energia si opponealla deformazione e quindi alla fissione spontanea. Se immaginiamo il nucleo A

ZN in unostato intermedio composto dei due nuclei A−a

Z−zX e azY , la buca di potenziale delimitata

dalla barriera coulombiana impedisce la fissione spontanea. La fissione puo essere indottada neutroni (Fig. 16.1) che forniscono la necessaria energia di attivazione per superare labarriera di potenziale.

1 premio Nobel per la fisica nel 19382 premio Nobel per la chimica nel 1944

243

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NA

Z N*A+1

Z XA-a

Z-z Ya-1

zn n n

Figura 16.1: Fissione indotta da neutroni

16.3 Fissione indotta da neutroni

La teoria della fissione dei nuclei pesanti e stata formulata da Niels Bohr e John Wheelersulla base del modello a goccia del nucleo [46]. Consideriamo la fissione di un nucleo A

ZN

in due nucleiA/2Z/2X. La variazione di energia e

Q = b1

[A2/3 − 2

(A

2

)2/3]

+ b2

[Z2A−1/3 − 2

Z2

4

(A

2

)−1/3]

=

= A2/3

[b1(1− 21/3) + b2

Z2

A(1− 2−2/3)

]Usando i valori dei parametri bk, la fissione puo avvenire se

Q = A2/3

[−4.42 + 0.26

Z2

A

]≥ 0 ⇒ Z2

A≥ 17

Per un nucleo con Z2/A ≥ 17, i nuclei X e Y si trovano in uno stato di energia Q positivama rimangono legati dal potenziale nucleare se la distanza di separazione e minore dellasomma dei raggi (Fig. 16.2)

r < R = RX +RY ≈ 2R0(A/2)1/3

r

E

Eb

Q

r

Z /A ≥ 472

Eb

Q

R

Figura 16.2: Energia in funzione della distanza di separazione dei nuclei

L’altezza della barriera di potenziale coulombiana a distanza di separazione R e

Eb = αhc(Z/2)2

2R0(A/2)1/3= 0.16

αhcZ2

R0A1/3

Per Uranio Eb ≈ 230 MeV . Quindi abbiamo:

244

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16.4. Fissione dell’Uranio

• per i nuclei con Z2/A > 47, cioe A > 300, la differenza di energia e positiva,Q− Eb > 0: i nuclei sono instabili per fissione spontanea;

• per i nuclei vicino alla soglia di instabilita cioe Z2/A > 17, A ≈ 100, la differenza dienergia e molto grande Eb−Q ≈ 60 MeV : questi nuclei non sono soggetti a fissione;

• per i nuclei stabili piu pesanti, A ≈ 240, la differenza di energia e piccola e il processodi fissione indotta e facilitato dalla probabilita di attraversamento della barriera dipotenziale per effetto tunnel. Tenuto conto di questo effetto si ha Eb−Q ≈ 6 MeV .

L’energia di attivazione necessaria per innescare la fissione, Eb − Q, e stata calcolata daBohr e Wheeler. E diversa per i nuclei A-dispari e per i nuclei A-pari. Consideriamo, adesempio, la fissione dell’Uranio

• nel caso di 23592U , per cattura di un neutrone si forma lo stato intermedio 236

92U ; ladifferenza di massa e

∆M = M(23592U) +mn −M(236

92U) = 6.5 MeV

l’energia di attivazione della fissione del 23592U e 6.2 MeV : quindi non occorre che i

neutroni abbiano energia cinetica, la fissione del 23592U si ottiene con neutroni termici ;

• nel caso di 23892U , si forma lo stato intermedio 239

92U ; la differenza di massa e

∆M = M(23892U) +mn −M(239

92U) = 4.8 MeV

l’energia di attivazione della fissione del 23892U e 6.6 MeV : quindi per attivare la

fissione del 23892U occorrono neutroni con energia cinetica > 1.8 MeV .

In questo esempio e importante il contributo del termine b4A−1/2 nell’energia di legame

dei nuclei (capitolo 10). Infatti nella massa dei nuclei pari–pari come 23692U e 238

92U vasottratto il termine b4A

−1/2 = 12 MeV/√

236 ≈ 0.8 MeV . Nel primo caso questa energiae disponibile mentre nel secondo caso occorre fornirla: i due valori di ∆M differisconoapprossimativamente di 1.6 MeV .

16.4 Fissione dell’Uranio

L’uranio naturale e composto di due isotopi stabili 23892U e 235

92U con abbondanza relativadi 99.28% e 0.72%. La fissione del 235

92U e iniziata da neutroni termici con sezione d’urtoσ235 = 580 b, mentre quella del 238

92U da neutroni con energia cinetica Kn > 1.8 MeV consezione d’urto molto piu piccola, σ238 ≈ 0.5 b (Fig. 16.3). Nella fissione si libera energiaQ ≈ 210 MeV con un rendimento di massa Q/M = 210 MeV/220 GeV ≈ 10−3. Nellostato finale sono prodotti nuclei con AX ≈ 95, AY ≈ 140, ad esempio

n + 23592U → 87

35Br + 14857La+ n n + 235

92U → 9337Rb + 141

55Cs+ n+ n

e un numero medio 〈nn〉 ≈ 2.5 di neutroni immediati con energia cinetica Kn ≈ 2 MeV .La fissione avviene con tempi di reazione brevissimi τ = (10−16÷10−14) s e l’emissione

di neutroni e accompagnata dall’emissione di fotoni immediati. L’energia dei prodottileggeri e En ≈ 5 MeV , Eγ ≈ 8 MeV . Il resto dell’energia e energia cinetica dei due

245

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 246 — #246 ii

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nuclei. Questi hanno un eccesso di neutroni e raggiungono la banda di stabilita nel pianoA − Z con emissioni successive β−. L’energia rilasciata nei decadimenti β e in mediaEβ ≈ 20 MeV , di cui approssimativamente 12 MeV in anti-neutrini. Nei decadimenti siformano anche nuclei in stati eccitati che decadono emettendo raggi γ con Eγ ≈ 8 MeV .Quindi la reazione di fissione e una sorgente di neutroni, fotoni, elettroni e anti-neutrini.

1 0- 2

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

1 03

1 0- 2 1 00 1 02 1 04 1 06

2 3 5U

2 3 8U

energy (eV)

cro

ss s

ecti

on

(b

arn

)

kT

1 0- 4

1 0- 3

1 0- 2

1 0- 1

7 0 9 0 1 1 0 1 3 0 1 5 0 1 7 0A

fission fragments of 2 3 5U

Figura 16.3: Sezione d’urto di cattura di neutroni in funzione dell’energia - Distribuzionedei frammenti di fissione del 235

92 U

16.5 Reattore nucleare

Nella reazione di fissione si produce tipicamente un numero di neutroni > 1 e questipossono a loro volta produrre altre reazioni di fissione. Si possono quindi realizzare lecondizioni per autoalimentare la reazione di fissione in un processo di reazione a catenae produrre energia dalla fissione. La prima pila nucleare e stata realizzata da Fermi ecollaboratori nel 1942 [47]. Esistono diversi metodi per realizzare un reattore nuclearebasato su reazioni a catena controllate, secondo il tipo di utilizzo

• per produrre energia;

• per produrre sorgenti di neutroni per la ricerca;

• per produrre radio-isotopi o altre sostanze fissili, quali 23994Pu o 233

92U , che possono aloro volta essere utilizzati in reattori.

Un tipico reattore nucleare per produrre energia e basato su reazioni a catena in Uranio.In ogni reazione di fissione si producono in media ∼ 200 MeV e ∼ 2.5 neutroni energetici.La sezione d’urto di cattura di neutroni energetici e piccola, ma, se i neutroni vengonomoderati facendogli perdere energia in successive collisioni con nuclei leggeri (capitolo 3),

246

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16.6. Fusione

la sezione d’urto di neutroni termici in 23592U e grande e cosı la probabilita di produrre

successive reazioni di fissione. Quindi l’elemento centrale di un reattore nucleare a Uranioe costituito da uranio arricchito in 235

92U (tipicamente 3%–4%) e da un materiale moderatoreper ridurre l’energia cinetica dei neutroni.

Per moderare i neutroni si usano di solito H2O, D2O o C. Il Carbonio non e moltoefficiente, ma si puo distribuire in modo efficace nel combustibile. Il vantaggio dell’acqua(pesante) e che puo anche costituire il mezzo per raffreddare il reattore. Il nucleo diidrogeno e molto efficiente per moderare neutroni, ma ha una elevata sezione d’urto n+p→21H + γ che sottrae neutroni al bilancio della reazione a catena. Il nucleo di deuterio hauna sezione d’urto n + 2

1H → 31H + γ molto piu piccola, ma produce trizio radioattivo

che va filtrato nel sistema di raffreddamento.

Con una opportuna combinazione di combustibile e moderatore si puo raggiungerela situazione in cui vi e in media un neutrone termico prodotto per reazione di fissione:reattore critico. Per evitare che questo fattore superi l’unita e che il reattore funzioniin regime super-critico con il rischio di esplosione, e necessario inserire nel combustibileun materiale con elevata sezione d’urto di cattura di neutroni termici. Il materiale piuindicato e il Cadmio che ha una serie di risonanze che assorbono neutroni termici.

In un reattore che opera in condizione critica, un grammo di 23592U produce energia

6 1023

235200 MeV ≈ 0.8 1011 J

pari a circa tre volte l’energia prodotta nella combustione di una tonnellata di carbone.

16.6 Fusione

Nella reazione di fusione due nuclei fondono per formare un nucleo con peso atomicomaggiore. L’andamento dell’energia media di legame dei nuclei, BE, in funzione del pesoatomico, A, mostra che nella reazione di fusione

azX + A−a

Z−zY →AZN +Q

si libera energia Q > 0 se ∂BE/∂A > 0, cioe per A < 60. Poiche l’interazione nucleare e abreve raggio d’azione, la reazione di fusione puo avvenire solo se i nuclei hanno inizialmentesufficiente energia cinetica per compensare la repulsione coulombiana e portare i due nuclei”a contatto”. Ad esempio, nella reazione

126C + 12

6C → 2412Mg

si produce energia Q = 2MC−MMg = 13.9 MeV , ma occorre che inizialmente i due nuclei126C abbiano energia

E > αhcZ2

R=

αhcZ2

2R0A1/3' 9.0 MeV

Spendendo 9.0 MeV si producono 13.9 MeV . Il rendimento in energia (Q/2MC ≈ 6 10−4

in questo esempio) e tanto piu elevato quanto minore e la massa dei nuclei che fondono.

L’energia liberata nella fusione si trasforma in energia cinetica dei nuclei e, se esisteun campo di forze che tiene i nuclei confinati, aumenta la temperatura di modo che si puo

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raggiungere una situazione di equilibrio in cui la reazione di fusione e capace di autoa-limentarsi e quindi produrre energia. Per i nuclei leggeri con Z ≈ A/2, la temperaturanecessaria per compensare la repulsione coulombiana e

kT =αhcA5/3

8R0≈ A5/3 × 0.14 MeV T ≈ A5/3 × 1.6 109 K

Per valutare la probabilita che avvenga la reazione di fusione, consideriamo un gas di nucleidi massa m a temperatura T . Il numero di nuclei con velocita v segue la distribuzione diMaxwell

dn

dv=

v2

(2kT/m)3/2e−mv

2/2kT

La sezione d’urto di reazione e inversamente proporzionale alla velocita relativa e allaprobabilita di trasmissione attraverso la barriera di potenziale coulombiano, e−2G, con ilfattore di Gamow, Eq. (14.3),

G = 2αZXZYc

v

(π

2+ . . .

)La probabilita che avvenga la reazione di fusione e proporzionale al prodotto del flusso dinuclei per la sezione d’urto, 〈nvσ〉,

〈nvσ〉 ∝ v2 exp

(− v

2

v2T

− vGv

)vT = c

(2kT

mc2

)1/2

vG = 2παcZXZY (16.3)

che ha un massimo, detto picco di Gamow, per

2

v− 2v

v2T

+vGv2

= 0 ⇒ v∗ '(v2T vG/2

)1/3

Quindi, anche se i nuclei hanno energia cinetica media kT molto minore dell’energia ne-cessaria a superare la barriera coulombiana, le fluttuazioni statistiche della distribuzionedi Maxwell e la probabilita di effetto tunnel attraverso la barriera rendono possibile lafusione nucleare con energia cinetica media mv∗2/2 (Fig. 16.4).

1 0- 4

1 0- 2

1 00

1 02

1 0- 3

1 0- 2

1 0- 1

1 00

kinetic energy (MeV)

MaxwellGamow

arb

itra

ry

u

nit

s

Figura 16.4: Distribuzione in energia dei protoni a temperatura T = 1.5 107 K e fattoredi Gamow per la fusione protone–protone

248

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ii

16.7. Fusione nelle stelle

16.7 Fusione nelle stelle

Le stelle giovani, come oggi il Sole, producono energia per fusione: quattro protoniformano un nucleo di Elio liberando circa 26 MeV con un rendimento molto elevato,26 MeV/3.75 GeV = 0.007. La temperatura all’interno del Sole e T ≈ 1.5 107 K, corri-spondente ad un’energia cinetica dei protoni Ep ≈ 1.3 keV molto minore dell’energia direpulsione coulombiana ≈ 0.8 MeV .

La materia formatasi nella fase iniziale dell’evoluzione dell’universo, nella nucleosintesipimordiale (capitolo 26), e costituita per 3/4 da protoni, 1/4 da nuclei di Elio e solo percirca 1% da nuclei piu pesanti. Le fluttuazioni della densita di particelle e l’attrazionegravitazionale hanno prodotto concentrazioni di materia e, quando la densita e diventatasufficientemente elevata si e innescato il ciclo della fusione.

La prima reazione del ciclo avviene per interazione debole

p p→ 21H e+ ν Q = 0.42 MeV

La sezione d’urto a bassa energia e estremamente piccola, σ ≈ 10−55 cm2: questa e laragione per cui il Sole brucia molto lentamente. La probabilita di reazione e molto minoredi quella della reazione successiva in cui il deutone formatosi reagisce con i protoni

p 21H → 3

2He γ Q = 5.49 MeV

Quindi i deutoni sono consumati non appena prodotti. La reazione p 32He→ 4

3Li γ non eutile per sostenere il ciclo perche il nucleo 4

3Li non e stabile. Quando la densita di nuclei32He ha raggiunto valori sufficientemente elevati, avviene la reazione

32He

32He→ 4

2He p p Q = 12.86 MeV

in cui si formano Elio e due protoni che sono disponibili per iniziare altri cicli. Questo eil modo principale del ciclo protone–protone

4p→ 42He 2e+ 2γ 2ν

L’energia liberata e 4mp − mα − 2me = 24.7 MeV , cui va aggiunta l’energia prodottanell’annichilazione e+e− → γγ pari a 2 × 2me = 2.0 MeV . Ciascun neutrino vieneprodotto con energia media 〈Eν〉 ≈ 0.3 MeV che viene sottratta al ciclo poiche i neutrininon interagiscono nella stella. Quindi il bilancio energetico del ciclo e di circa 26 MeV .

Vi e un’altra reazione con cui possono interagire i nuclei 32He che avviene con proba-

bilita ≈ 15%32He

42He→ 7

4Be γ Q = 1.59 MeV

seguita dal decadimento per cattura elettronica in cui vengono emessi neutrini monocro-matici

e− 74Be→ 7

3Li ν Q = 0.86 MeV

e di nuovo dalla formazione di Elio

p 73Li→ 4

2He42He Q = 17.35 MeV

Con probabilita molto piu piccola, ≈ 2 10−4, si ha formazione di Boro

p 74Be→ 8

5B γ Q = 0.14 MeV

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seguito dal decadimento β+ in cui vengono emessi neutrini con Emaxν ≈ 14 MeV

85B → 8

4Be∗ e+ ν Q = 14.02 MeV

Il nucleo 84Be

∗ non e stabile e decade appena formato in due nuclei di Elio chiudendo dinuovo il ciclo

84Be

∗ → 42He

42He Q = 3.03 MeV

L’energia cinetica dei vari prodotti del ciclo si trasferisce tramite moltissimi altri pro-cessi verso la superficie del Sole, la fotosfera, mentre i neutrini non sono assorbiti e possonoessere osservati sulla Terra fornendo una evidenza diretta del modo in cui si svolgono iprocessi di fusione nel Sole.

16.8 Nucleosintesi nelle stelle

Il Sole brucia idrogeno in Elio da circa 5 109 anni. Il valore della massa solare e lapotenza emessa indicano che continuera ancora per altri 5 109 anni. Una stella che haapprossimativamente la massa del Sole, quando l’idrogeno e esaurito, tende a contrarsiaumentando di densita poiche l’energia prodotta non e piu in grado di bilanciare l’energiapotenziale gravitazionale. Nella contrazione l’energia gravitazionale si converte in energiacinetica dei nuclei di modo che aumenta la temperatura e si possono innescare altre reazionidi fusione che formano nuclei piu pesanti.

Il punto critico e quello della formazione del Carbonio. In una stella formata essenzial-mente di nuclei 4

2He si forma continuamente 84Be che ha pero massa leggermente maggiore

di due volte la massa del 42He

42He

42He→ 8

4Be Q = −0.09 MeV

e quindi decade immediatamente

84Be→ 4

2He42He τ = 0.7 10−16 s

Anche con una densita di nuclei 42He estremamente elevata, e molto improbabile la forma-

zione di Carbonio per fusione 42He

84Be → 12

6 C γ. La reazione di fusione e resa possibiledal fatto che il Carbonio ha uno stato eccitato con massa di poco superiore alla sommadelle masse di Elio e Berillio. La fusione avviene attraverso questo stato risonante

42He

84Be→ 12

6 C∗ Q = 0.29 MeV

che decade prevalentemente α nello stato di partenza, ma che ha anche una piccolaprobabilita, ' 4 10−4, di decadere in modo radiativo allo stato fondamentale

126C∗(0+)→ 12

6C∗(1−) γ 12

6C∗(1−)→ 12

6C(0+) γ

Il Carbonio ha nell’universo abbondanza relativa elevata e puo essere presente anche nellestelle che non hanno esaurito il ciclo energetico del protone. In presenza di protoni ilnucleo 12

6C agisce come catalizzatore di un altro ciclo, analogo al ciclo protone–protone,

250

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16.8. Nucleosintesi nelle stelle

che produce energia trasformando protoni in nuclei di Elio: il ciclo C-N-O :

reazione Q (MeV )

p 126C → 13

7N γ 1.94

137N → 13

6C e+ ν 1.20

p 136C → 14

7N γ 7.55

p 147N → 15

8O γ 7.29

158O → 15

7N e+ ν 1.74

p 157N → 12

6C42He 4.96

4p → 42He 2e+ 3γ 2ν. Sommando le energie e quella prodotta nell’annichilazione dei

positroni si ottiene di nuovo∑Q = 26.7 MeV .

Il 126C e un nucleo fortemente legato ed e il punto di partenza per la formazione di

nuclei pesanti per fusione, ad esempio

reazione Q (MeV ) energia coulombiana (MeV )42He

126C → 16

8O γ 7.16 3.6

42He

168O → 20

10Ne γ 4.73 4.5

42He

2010Ne→ 24

12Mg γ 9.31 5.4

Poiche la barriera di potenziale aumenta col numero atomico, l’abbondanza relativa deinuclei diminuisce all’aumentare di A.

Una volta esaurito l’Elio come combustibile, la stella, se ha massa sufficientementeelevata, tende di nuovo a contrarsi aumentando densita e temperatura e puo iniziare a uti-lizzare come combustibile Carbonio e Ossigeno. La barriera di potenziale e rispettivamente9.0 e 14.6 MeV e, per sostenere le reazioni di fusione occorrono temperature T > 109 K

reazione Q(MeV ) reazione Q(MeV )126C

126C → 20

10Ne α 4.62 168O

168O → 28

14Si α 9.59

126C

126C → 23

11Na p 2.24 168O

168O → 31

15P p 7.68

126C

126C → 23

12Mg n −2.61 168O

168O → 31

16S n 1.46

126C

126C → 24

12Mg γ 13.93 168O

168O → 32

16S γ 16.54

In queste reazioni, oltre ai nuclei pesanti, si producono fotoni, protoni, neutroni e particelleα con energie sufficientemente elevate da produrre altri nuclei pesanti a partire dai nuclei2814Si e 32

16S. Queste reazioni sono energeticamente favorite rispetto a reazioni di fusione deltipo 28

14Si2814Si→ 56

28Ni γ che richiede una temperatura ancora piu elevata.La nucleosintesi per fusione nucleare procede fino alla formazione dei nuclei con A ≈ 60.

Per A > 60 si ha ∂BE/∂A < 0 e quindi la fusione diventa endotermica: occorre fornireenergia per produrre nuclei piu pesanti. La formazione di nuclei pesanti e molto piuprobabile con neutroni energetici che non con particelle cariche, protoni o particelle α.Quindi la produzione di nuclei con peso atomico maggiore procede per cattura di neutronie per decadimento β−

n AZX → A+1

Z X γ A+1Z X → A+1

Z+1Y e− ν

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L’abbondanza relativa dei nuclei pesanti dipende dalla probabilita di cattura neutronicanell’unita di tempo λn e dalla costante di decadimento λβ

• se λn λβ il nucleo A+1Z X formato per cattura di un neutrone ha tempo di decadere

β− e quindi i nuclei si formano lungo la banda di stabilita; poiche λn e piccolo e lereazioni avvengono con frequenza bassa, questi sono chiamati processi-s (slow);

• se λn λβ il nucleo formato non decade e con successive reazioni gli isotopi siallontanano dalla banda di stabilita (AZX → A+1

Z X → A+2Z X → . . .) aumentando

il numero di neutroni e quindi anche l’instabilita per decadimento β−; poiche λn egrande e le reazioni avvengono con frequenza elevata, questi sono chiamati processi-r(rapid).

La maggior parte della materia e concentrata in nuclei di Idrogeno (75%) e Elio (24%)formati nella nucleosintesi primordiale (capitolo 26). La nucleosintesi nelle stelle nonaumenta l’abbondanza dei nuclei leggeri, Litio, Berillio e Boro, che sono particolarmenterari. I nuclei piu diffusi sono quelli formati con particelle α, (Carbonio, Ossigeno, Neon,Magnesio, Silicio, . . . ) e i nuclei con A ≈ 60 vicino al valore massimo dell’energia dilegame media, BE/A, (Ferro, Nichel, . . . ). I nuclei con A > 60 hanno abbondanza relativache diminuisce con A, con un valore maggiore in corrispondenza dei numeri magici. LaFig. 16.5 mostra l’abbondanza relativa degli elementi nel sistema solare.

1 00

1 02

1 04

1 06

1 08

1 01 0

0 1 0 2 0 3 0 4 0

H

He

C

Z

rela

tiv

e a

bu

nd

an

ce

O

S i F e

Figura 16.5: Abbondanza relativa degli elementi nel sistema solare

16.9 Fusione in laboratorio

La fusione ha un rendimento energetico maggiore della fissione e, usando come combustibilenuclei leggeri, non produce materiali radioattivi. E pero molto piu difficile realizzaree mantenere in laboratorio le condizioni di temperatura e densita per produrre energiadalla fusione. La barriera di potenziale coulombiana aumenta col numero atomico Z eper nuclei leggeri e tipicamente di ' 1 MeV . Tenendo conto della probabilita di effettotunnel occorre comunque raggiungere energie ' 10 keV cioe temperature ' 108 K. Inqueste condizioni gli atomi sono completamente ionizzati e si produce un plasma di ioni e

252

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16.9. Fusione in laboratorio

elettroni. In un plasma ad alta densita gli elettroni, accelerati nei forti campi elettrici deinuclei emettono radiazione di bremsstrahlung (capitolo 4) sottraendo energia al plasma.La potenza irraggiata e proporzionale a Z2. Quindi le condizioni per poter alimentare lereazioni di fusione e produrre energia sono

• utilizzare nuclei con numero atomico Z piccolo;

• operare a temperatura elevata, T > 108 K;

• operare a densita elevata;

• utilizzare reazioni con sezione d’urto grande e che producono energia elevata nellostato finale.

Alcune reazioni di fusione di nuclei leggeri sono

reazione Q (MeV )21H

21H → 4

2He γ 23.8

21H

21H → 3

2He n 3.3

21H

21H → 3

1H p 4.0

21H

31H → 4

2He n 17.6

21H

32He→ 4

2He p 18.3

La prima reazione ha una sezione d’urto piccola. Le reazioni di fusione 21H

21H hanno un

rendimento energetico basso. La fusione 21H

31H ha, nelle stesse condizioni, un rendimento

molto maggiore. La fusione 21H

32He richiede temperatura piu elevata perche l’Elio ha

Z = 2. Quindi la reazione piu promettente e la fusione deuterio–trizio. C’e lo svantaggioche l’energia viene convertita prevalentemente in energia cinetica del neutrone, Kn =14.1 MeV , ma in condizioni di densita molto elevata questo cede rapidamente l’energiaagli altri nuclei.

La difficolta maggiore nel realizzare la fusione in laboratorio e il confinamento delplasma in modo da mantenere le condizioni di densita elevata durante la fusione. I metodiche sembrano piu promettenti sono

• il confinamento magnetico;

• il confinamento inerziale.

Nel primo si sfrutta la forza di Lorentz, ad esempio con un campo magnetico toroidale,per mantenere le particelle cariche, ioni e elettroni, in una limitata regione di spazio. Nelsecondo si utilizza per il confinamento l’energia di fasci laser o fasci di ioni opportunamentediretti e focalizzati.

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Bibliografia

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Bibliografia

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Volume III

Fisica subnucleare

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Capitolo 17

Particelle e interazioni

I costituenti elementari degli atomi sono il protone, il neutrone e l’elettrone. Nei deca-dimenti β dei nuclei sono emesse, oltre l’elettrone, alcune nuove particelle: il positrone,i neutrini e gli antineutrini. Tutte queste particelle sono fermioni di spin 1/2. Nei deca-dimenti radiativi di atomi e nuclei sono emessi fotoni, bosoni di spin 1. Il quadro delleparticelle in fisica dei nuclei e:

fermioni antifermioni bosoni

p ν ν γn e− e+

Le interazioni tra i fermioni sono descritte da campi bosonici e la loro intensita e definitada costanti di accoppiamento. Ad esempio, l’interazione tra due cariche elettriche haintensita proporzionale al prodotto delle cariche e all’inverso della distanza: e mediata daun campo di bosoni di massa nulla, i fotoni, e la costante di accoppiamento e proporzionaleal prodotto delle cariche elettriche.

Se HI e la hamiltoniana che descrive l’interazione, la probabilita che avvenga un pro-cesso fisico da uno stato iniziale |i〉 a uno stato finale |f〉 e proporzionale a |〈f |HI |i〉|2.Se il campo di interazione e descritto da un potenziale U(~r, t) l’elemento di matrice e latrasformata di Fourier del campo, il propagatore (appendice 45), ed e una funzione del4-impulso trasferito nell’interazione, q = (~q, ν).

L’interazione elettromagnetica tra due cariche elettriche e descritta da un potenzialeU(~r) ∝ QQ′/r e per l’ampiezza di transizione si ha 〈f |HI |i〉 ∝ 4πQQ′/q2. Nella teoriadi Fermi del decadimento β dei nuclei (capitolo 15) l’interazione debole e descritta conun potenziale di interazione a contatto, U(~r) ∝ δ(~r), e l’ampiezza di transizione e costan-te. Nel modello di Yukawa (capitolo 11) l’interazione nucleare a corto raggio d’azione edescritta con un potenziale U(~r) ∝ e−µr/r, dove µ e la massa del bosone che trasmettel’interazione. L’ampiezza di transizione e 〈f |HI |i〉 ∝ 4π/(q2 + µ2).

Per l’interazione elettromagnetica la costante di accoppiamento adimensionale e α =e2/4πε0hc = 1/137. Le costanti di accoppiamento dell’interazione debole e dell’interazionenucleare sono definite in modo analogo e dipendono dalle cariche rispettivamente di tipodebole e di tipo nucleare (Fig. 17.1)

interazione campo propagatore costante di accoppiamento

elettromagnetica αhc/r α/q2 α = 1/137debole gδ(~r) g/(hc)3 G = 1.16 10−5 GeV −2

nucleare αshce−µr/r αs/(q

2 + µ2) αs ' µ/mp

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Capitolo 17. Particelle e interazioni

e

pp

e

g

e

pn

p

np

n

pW

n

Figura 17.1: Rappresentazione dello scattering e−p → e−p con scambio di un fotone,νn→ e−p con scambio di un bosone W, np→ pn con scambio di un mesone π

L’interazione a contatto di Fermi definisce una costante di accoppiamento G = g/(hc)3

non adimensionale. Vedremo nel seguito che il modello con un propagatore costantedescrive in modo accurato le interazioni deboli a bassa energia ma non puo trattare in modocorretto le interazioni a energia elevata e modificheremo il propagatore G → GM2/(q2 +M2). La massa del bosone che trasmette l’interazione e molto grande e quindi finche q2 M2 la teoria di Fermi da risultati corretti. La costante adimensionale ha un valore similealla costante di accoppiamento dell’interazione elettromagnetica: GM2 ≈ α (capitolo 23).

Con lo studio delle reazioni prodotte dai raggi cosmici e, a partire dalla meta del ’900, direazioni prodotte con l’impiego di acceleratori furono scoperte moltissime nuove particelle.La maggior parte di queste, inclusi il protone e il neutrone non sono particelle elementari,ma sono formate da costituenti elementari che sono chiamati quark (capitolo 18). Questi,come l’elettrone e il neutrino, sono fermioni di spin 1/2. La suddivisione delle particelle infermioni di spin 1/2 sorgenti dei campi, e bosoni di spin 1 mediatori delle tre interazioninon viene sostanzialmente cambiata.

17.1 Raggi cosmici

Gia all’inizio del ’900 era noto che sostanze radioattive producono ionizzazione, ma erastato osservato che la ionizzazione, ad esempio in un gas, veniva prodotta anche in assenzadi sorgenti radioattive. Nel 1912 Victor Hess 1 misuro il livello di radiazione ionizzantecon rivelatori montati su palloni aerostatici [1] e registro un notebole aumento di attivitacon l’aumentare della quota: scoprı che l’atmosfera e investita da particelle ionizzanti chevengono dall’alto. Negli anni successivi furono fatti molti esperimenti a livello del mare ead alta quota per studiare i raggi cosmici. Quelli che venivano osservati sono la componentesecondaria della radiazione cosmica prodotta nell’interazione dei raggi cosmici primari conl’atmosfera terrestre. Quando l’energia e molto elevata vengono prodotte molte particellesecondarie e queste a loro volta possono fare nuove interazioni e moltiplicare il numero disecondari. La grandezza che caratterizza la produzione di questi sciami di particelle e lalunghezza di interazione nucleare

λint =1

nσnucl=

A

Nρ

1

πR2oA

2/3' 34 g cm−2 × A1/3

ρ

Per Azoto e una densita media dell’atmosfera ρ ' 2 10−4 g cm−3 si ha λint ' 4 kmmolto minore dello spessore dell’atmosfera terrestre. Quindi tutti i raggi cosmici primariproducono interazioni nell’atmosfera.


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17.1. Raggi cosmici

17.1.1 Raggi cosmici primari

Lo studio di questi sciami atmosferici estesi a livello del mare e in quota permette diavere informazioni sull’energia, sulla direzione e sul tipo di particella primaria. In annipiu ecenti sono stati fatti anche esperimenti su satelliti e su sonde spaziali per studiaredirettamente i raggi cosmici primari. L’energia si estende su un enorme intervallo da108 eV a circa 1020 eV che costituisce l’attuale limite di sensibilita delle misure. A bassaenergia, E < 109 eV , la distribuzione angolare e di energia e fortemente influenzata dallaradiazione solare e dal campo magnetico terrestre. Per energie maggiori la distribuzioneangolare e approssimativamente isotropa.

Il flusso di raggi cosmici che investe l’atmosfera e circa 1000 cm−2 s−1. Il flusso(Fig. 17.2) diminuisce rapidamente con l’energia seguendo una legge di potenza, Φ ∝ E−γ ,con γ = 2.7 nell’intervallo E = 1010 ÷ 3 1015 eV e γ = 3.0 nell’intervallo E = 3 1015 ÷3 1018 eV . Il punto E = 3 1015 eV e chiamato ginocchio (knee). Per E > 3 1018 eV ,chiamato caviglia (ankle), il valore dell’esponente diminuisce leggermente.

1 0-29

1 0-26

1 0-23

1 0-20

1 0-17

1 0-14

1 0-11

1 0-8

1 0-5

1 0-2

1 01

1 04

1 09 1 011 1 013 1 015 1 017 1 019 1 021

knee

ankle

energy (eV)

flu

x

(m

-2 s

-1 st

era

d-

1 G

eV

-1)

Figura 17.2: Flusso dei raggi cosmici primari

Per energia minore di 1015 eV il flusso e sufficientemente elevato per studiare la com-posizione dei raggi cosmici. Si e osservato che questi sono costituiti per il 98% da nuclei(85% protoni, 12% particelle α, 1% nuclei piu pesanti) e solo per il 2% da elettroni. L’ab-bondanza relativa di elementi osservata nei raggi cosmici riproduce approssimativamentequella osservata nel sistema solare, ma c’e un eccesso di nuclei con massa maggiore del-l’Elio. Questo fa ritenere che le sorgenti di raggi cosmici in questo intervallo di energiasiano connesse a esplosioni di stelle che hanno completato la nucleosintesi degli elementi.Nei raggi cosmici primari non si osservano positroni, ne antiprotoni, ne antiparticelle α:la radiazione cosmica primaria non contiene antimateria.

Le informazioni sullo spettro di energia e sulla distribuzione angolare permette di fareipotesi sulle sorgenti, sui meccanismi di accelerazione e sulla propagazione dei raggi cosmicinello spazio [2]. Si ritiene che le sorgenti di raggi cosmici che producono l’andamento a

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potenza fino alla regione della caviglia sia all’interno della Galassia, mentre per spiegarelo spettro di energia per E > 1019 eV e necessario ipotizzare sorgenti extragalattiche conpotenza notevolmente superiore a quella di esplosioni di supernovae. In questa regione dienergia i campi magnetici nella Galassia, 〈B〉 ' 2 10−10 T , non sono sufficienti a deviareapprezzabilmente la traiettoria e quindi la direzione con cui i raggi cosmici arrivano sullaTerra da informazioni sulla locazione delle sorgenti. Informazioni si possono anche otteneresu tutto lo spettro studiando la distribuzione angolare di raggi γ e neutrini, ma le sezionid’urto di interazione sono molto piu basse.

17.1.2 Raggi cosmici secondari

Il flusso di raggi cosmici secondari a livello del mare e circa 100 cm−2 s−1. I primi espe-rimenti erano fatti con camere a nebbia (cloud chamber, capitolo 5) in campo magneticoper misurare impulso e carica elettrica delle particelle (Fig. 17.3). Lo sviluppo di questometodo sperimentale negli anni ’30 e dovuto essenzialmente a Patrick Blackett 2. All’in-terno del rivelatore era inserito un piccolo spessore di materiale di densita elevata in mododa poter misurare la perdita di energia e quindi determinare la direzione delle particelle.

Figura 17.3: Traiettoria di una particella carica in camera a nebbia

Con questa tecnica nel 1931 Carl Anderson 3 osservo la produzione di particelle dicarica elettrica positiva che non potevano essere identificate con protoni [3]. Studiando ilpercorso residuo di queste particelle nel rivelatore concluse che la massa e molto minoredi quella del protone: quindi non si tratta di protoni: scoprı l’anti-elettrone e confermo lateoria formulata da Dirac solo due anni prima.

Nel 1936 Carl Anderson e Seth Neddermeyer individuarono due diversi comportamentidei raggi cosmici secondari [4],

• una componente penetrante per cui la perdita di energia per ionizzazione e indipen-dente dall’energia;

• e una componente non penetrante per cui la perdita di energia e proporzionaleall’energia.

La componente non penetrante e originata da fotoni o elettroni che producono cascateelettrofotoniche (capitolo 4). La componente penetrante e invece costituita da particelledi carica elettrica sia positiva che negativa che non erano identificate ne con elettroni ne


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17.1. Raggi cosmici

con protoni e che avevano una massa intermedia me < m < mp. Per questa ragione questeparticelle vennero chiamate mesoni (particelle di massa intermedia).

Pochi mesi dopo, Jabez Street e Edward Stevenson, misurando l’impulso e la perditadi energia di queste particelle, stimarono il valore della massa: m = (100÷ 200)me [5]. Ilmesone della componente penetrante dei raggi cosmici fu chiamato µ (muone). La massae mµ = 106 MeV/c2. Si osservo che i muoni sono particelle instabili che decadono inelettroni e radiazione neutra che non era rivelata dagli strumenti, quindi non si tratta diraggi γ. Nel 1941 Franco Rasetti [6], e indipendentemente Bruno Rossi e Norris Nerenson,misurando il ritardo tra il passaggio di un muone e l’emissione dell’elettrone, determinaro-no la vita media: τµ ' 2.2 10−6 s. Gli elettroni sono emessi con una distribuzione continuadi energia come nel caso del decadimento β dei nuclei e con valore massimo Emax ' mµ/2:quindi le particelle neutre sono almeno due e hanno massa molto minore della massa delmuone. Se si tratta di due neutrini il muone deve essere un fermione. Se e un fermione,in base alla teoria di Dirac, esiste il corrispondente antifermione con la stessa massa e lastessa vita media. Il decadimento fu interpretato

µ± → e± ν ν

L’esistenza di particelle di massa m = 100 ÷ 200 MeV/c2 era prevista nel modello diYukawa come mediatori dell’interazione nucleare (capitolo 11), ma questi devono esserebosoni. Nel 1946 Marcello Conversi, Ettore Pancini e Oreste Piccioni fecero un esperimen-to per misurare l’intensita dell’interazione dei mesoni [7]. Osservarono che i mesoni µ+

assorbiti in un materiale decadono senza interagire, mentre i mesoni µ− vengono catturatidai nuclei e poi decadono. Studiando il comportamento in diversi materiali conclusero cheil muone non e soggetto a interazione nucleare e che quindi non e il mesone di Yukawa.

L’anno successivo studiando le interazioni di raggi cosmici ad alta quota in emulsioninucleari (capitolo 5) Cesar Lattes, Giuseppe Occhialini e Cecil Powell [8] osservarono delleparticelle cariche che, arrivate a fine percorso nel rivelatore, decadono in una particellacarica che ha una lunghezza di traccia costante, cioe energia costante. Questa a sua volta,come la particella µ, decade in un elettrone. Quindi la nuova particella, chiamata mesoneπ, decade in una particella µ e una particella neutra non rivelata. Se questa e un neutrino,il bilancio energetico del decadimento

π → µ ν

fornisce una stima del valore della massa mπ ' 1.3 mµ. La particella π decade in duefermioni: e un bosone e quindi puo essere identificata con il mesone di Yukawa. Il mesoneπ e stato identificato in due stati di carica elettrica, π+ e π−, la massa e 140 MeV/c2

e la vita media e τπ = 2.6 10−8 s. Il valore della vita media indica che si tratta di undecadimento per interazione debole come nel caso del decadimento µ→ eνν.

Le interazioni nucleari non dipendono dalla carica elettrica delle particelle e il mo-dello di Yukawa prevede l’esistenza di mesoni in tre stati di carica elettrica. Quindinell’interazione dei raggi cosmici primari si producono mesoni π−, π0, π+ con uguale ab-bondanza. Subito dopo la scoperta del mesone π± Robert Oppenheimer propose che lacomponente non penetrante dei raggi cosmici fosse originata dal decadimento del mesoneneutro, π0 → γγ. I raggi γ interagendo con i nuclei dell’atmosfera originano a loro voltacascate elettrofotoniche costituite da molti elettroni, positroni e fotoni. Questo decadi-mento avviene per interazione elettromagnetica, quindi con vita media molto piu brevedel decadimento π → µν.

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Il mesone π0 fu osservato nel 1950 [9] in uno dei primi esperimenti fatti con fascisecondari presso un acceleratore di protoni (capitolo 3). Il fascio primario interagendo suun bersaglio produce mesoni e i mesoni carichi possono essere guidati con campi magneticisu altri bersagli. La sezione d’urto di reazione e quella tipica dell’interazione nucleare,σ ' π(R + h/p∗)2, dove R e il raggio del nucleo bersaglio e p∗ e l’impulso nel centro dimassa della reazione. Nell’interazione di mesoni di bassa energia su nuclei fu osservata laproduzione di fotoni con energia ≈ 70 MeV che fu intepretata

π+ N → π0 X π0 → γ γ

La misura dell’energia e della direzione dei due fotoni permette di ricostruire la massadalla relazione m2 = 2E1E2(1 − cos θ). Il valore misurato e mπ0 = 135 MeV/c2. La vitamedia e τπ0 = 0.84 10−16 s.

17.2 I mesoni π

Il muone e un fermione di spin 1/2 e ha le stesse caratteristiche dell’elettrone. E soggettosolo ad interazione elettromagnetica e debole. Il neutrino e anch’esso un fermione di spin1/2 soggetto solo all’interazione debole. Le particelle che non sono soggette a interazionenucleare, l’elettrone, il muone e il neutrino, sono chiamati leptoni (particelle di massapiccola). I leptoni sono particelle elementari, cioe non hanno una struttura interna, esoddisfano l’equazione di Dirac. L’elettrone e per convenzione un fermione e il positroneil corrispondente antifermione. Per la conservazione del numero fermionico e della caricaelettrica µ− e un fermione e µ+ un antifermione. Come verra mostrato nel seguito idue neutrini prodotti nel decadimento del leptone µ sono distinguibili, uno e associatoall’elettrone e l’altro al muone. Quindi il decadimento dei due stati coniugati di carica e

µ+ → νµ e+ νe µ− → νµ e

− νe

I mesoni π, chiamati pioni, sono invece bosoni, sono soggetti oltre alle interazioni elet-tromagnetica e debole anche all’interazione nucleare e non sono particelle elementari, mahanno una estensione spaziale finita e una struttura interna. I numeri quantici dei mesoniπ sono definiti dalle leggi di conservazione. Facciamo alcuni esempi, che hanno per lo piuinteresse storico, di reazioni con cui sono stati determinati i numeri quantici.

Spin

La simmetria dell’interazione nucleare per inversione temporale definisce una relazione trale sezioni d’urto π+d → pp e pp → π+d (capitolo 16), d e il nucleo di deuterio che e unostato spinparita‘ = 1+

dσ

dΩ

(π+d→ pp

)= costante× |〈pp|H|π+d〉|2(2sp + 1)2 p2

p

vπdvpp

dσ

dΩ

(pp→ π+d

)= costante× |〈π+d|H|pp〉|2(2sd + 1)(2sπ + 1)

p2π

vπdvpp

Misure delle due sezioni d’urto [10] sono state effettuate a valori simili dell’energia totalenel centro di massa, E∗ ' 2040 MeV . Integrando sull’angolo Ω, tenendo conto che i due

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17.2. I mesoni π

protoni nello stato finale sono indistinguibili, si ottiene

σ(pp→ π+d)

σ(π+d→ pp)=

(2sπ + 1)(2sd + 1)

(2sp + 1)2/2

p2π

p2p

=3

2(2sπ + 1)

p2π

p2p

I risultati delle misure sono

Kp = 340 MeV pcm = 400 MeV σ(pp→ π+d) = 0.18 mbKπ = 24 MeV pcm = 80 MeV σ(π+d→ pp) = 3.1 mb

da cui otteniamo 2sπ + 1 ' 1 e si conclude che il pione carico ha spin zero.

Il pione neutro decade π0 → γγ in uno stato di due bosoni identici, il momento angolaredello stato finale e pari : sπ = 0, 2, . . .. Inoltre la simmetria dell’sospin dell’interazionenucleare richiede che vengano prodotti mesoni neutri con la stessa molteplicita 2sπ + 1 deimesoni carichi, quindi e escluso che sia s ≥ 2 e si conclude che anche il mesone π0 ha spinzero.

Parita

Per un bosone si puo definire la parita intrinseca studiando reazioni in cui si conservala parita, cioe nelle interazioni elettromagnetiche e nucleari. A bassa energia, pπ → 0,la reazione π−d → nn avviene per cattura del pione in uno stato di momento angolareorbitale ` = 0, (onda S). La reazione π−d→ nnπ0 e energeticamente possibile anche perpπ → 0 ma si osserva solo a energia maggiore di circa 100 MeV .

Nella prima reazione il momento angolare totale e ~J = ~sπ +~sd + ~= ~sd = 1. La paritanello stato iniziale e finale e

P (π−d) = PπPd(−1)` = Pπ P (nn) = P 2n(−1)L = (−1)L

Lo stato finale e costituito da due fermioni identici ed e antisimmetrico rispetto alloscambio n ↔ n. Lo stato di singoletto (⇑⇓, S = 0) e antisimmetrico, quindi deve es-sere L = pari, ma questo non e possibile perche non conserva il momento angolare~J = ~S + ~L 6= 1. Lo stato di tripletto (⇑⇑, S = 1) e simmetrico, quindi deve essereL = dispari. Ne consegue che il pione carico ha parita negativa: Pπ = −1.

Consideriamo lo stato finale nnπ0 in cui L0 e il momento angolare orbitale del mesonerispetto al centro di massa nn. A bassa energia, quando le particelle nello stato finalehanno impulso p ≈ 0, si ha L0 = 0. Se Pπ0 = Pπ± le parita dello stato iniziale e finalesono diverse

Pi = Pπ± Pf = (−1)L(−1)L0Pπ0 = −Pπ0

La reazione puo avvenire solo a energia sufficientemente elevata per cui si ha ` 6= 0 oppureL0 6= 0. Quindi il mesone π0 ha la stessa parita del mesone π±.

Il mesone π e uno stato spinparita‘ = 0− ed e chiamato mesone pseudo-scalare.

Coniugazione di carica

Dai decadimenti π+ → µ+νµ, π− → µ−νµ, osserviamo che gli stati π+ e π− sono uno ilconiugato di carica dell’altro: C|π+〉 = α|π−〉, C|π−〉 = α|π+〉, con |α|2 = 1. Il mesoneneutro ha carica elettrica nulla, momento magnetico nullo, numero fermionico nullo, quindi

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e un autostato della coniugazione di carica. L’interazione elettromagnetica conserva laconiugazione di carica e il decadimento π0 → γγ permette di definire l’autovalore

C|γ〉 = −|γ〉 ⇒ C|π0〉 = (−1)2|π0〉 = +|π0〉

Ne consegue che il decadimento π0 → γγγ in uno stato con C = (−1)3 = −1 non epermesso dalla conservazione della coniugazione di carica. Il limite sperimentale sullaprobabilita di decadimento e 3× 10−8.

Isospin

L’operatore di isospin e stato introdotto nel capitolo 16 per rappresentare con una leggedi simmetria l’indipendenza delle interazioni nucleari dallo stato di carica elettrica: lahamiltoniana e invariante per rotazioni nello spazio dell’isospin. Protone e neutrone sonodue autostati di isospin I = 1/2 della stessa particella, il nucleone. La terza componentedell’isospin I3 e legata alla carica elettrica e al peso atomico dalla relazione

Q =A

2+ I3 (17.1)

Il numero A di nucleoni (fermioni) si conserva. Questo non e necessario per i mesoni(bosoni). Il nucleone e anche chiamato barione (particella pesante). Per estendere larelazione ai mesoni definiamo il numero barionico

• A = +1 per i barioni;

• A = 0 per i mesoni.

Il mesone π esiste in tre stati di carica: e un multipletto di isospin con molteplicita2I + 1 = 3, quindi Iπ = 1. La terza componente dell’isopsin e I3 = Q.

nucleone I = 1/2 n = |1/2,−1/2〉 p = |1/2,+1/2〉pione I = 1 π− = |1,−1〉 π0 = |1, 0〉 π+ = |1,+1〉

Le interazioni nucleari hanno intensita molto maggiore delle altre e per questo sono anchechiamate interazioni forti o interazioni adroniche (dal greco αδρoς = forte). Barioni emesoni sono chiamati adroni.

Possiamo quindi fare una prima classificazione delle particelle in base alle definizionefatte

fermioni fermioni bosoni

νe νµ p νe νµ π+

e− µ− n e+ µ+ γ π0

π−

Gli adroni sono soggetti all’interazione debole, elettromagnetica e adronica; i leptoni cari-chi all’interazione debole e elettromagnetica; i neutrini solo all’interazione debole e i fotonisolo all’interazione elettromagnetica.

interazione debole elettromagnetica adronica

fermioni νe νµ√

e− µ−√ √

barioni√ √ √

bosoni fotone√

mesoni√ √ √

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17.3. Le particelle strane

17.3 Le particelle strane

Le particelle strane furono osservate nel 1947 nelle interazioni dei raggi cosmici in cameraa nebbia con campo magnetico [11]. Furono cosı chiamate per il loro comportamentobizzarro. Infatti sono prodotte con sezioni d’urto grandi, tipiche dell’interazione adronica,e decadono in mesoni π e in nucleoni che sono particelle adroniche, ma con vite medietipiche dei decadimenti deboli τ ' 10−10 s (cτ ' 3 cm). Inoltre in una stessa interazionesi osserva la produzione associata di due particelle strane [12].

La vita media e determinata misurando l’impulso delle particelle cariche e il percorsotra il punto di produzione e il punto di decadimento che ha valor medio

λ = βγcτ =p

mccτ

La massa delle nuove particelle e determinata dalla cinematica dei prodotti di decadimentofacendo ipotesi sul valore della massa di questi, ad esempio mesoni π oppure nucleoni

m2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 − 2~p1 · ~p2

Esempi di particelle strane e dei modi di decadimento sono

particella massa (MeV/c2) decadimento vita media (s)

K± 494 K± → π±π0 1.24 10−8

K0 498 K0 → π−π+ 0.89 10−10

Λ0 1116 Λ0 → pπ− 2.63 10−10

La particella Λ decade in un barione e un mesone: e un barione (spin semi-intero), laparticella K decade in due mesoni: e un mesone (spin intero). Esempi di produzioneassociata di particelle strane in interazioni pione–nucleone sono

π−p→ K0Λ0 π−p→ K0K−pπ+n→ K+Λ0 π+n→ K+K−p

ma non si osserva π−n→ K−Λ0. Un’altra peculiarita osservata e:

probabilita di produzione di K+ probabilita di produzione di K−

probabilita di interazione di K+ probabilita di interazione di K−

Le stranezze delle particelle strane furono interpretate da Abraham Pais e Murray Gell-Mann con queste ipotesi

• le particelle strane sono caratterizzate da un nuovo numero quantico additivo chia-mato stranezza e indicato con S;

• la stranezza e nulla per le particelle note: leptoni, nucleoni e mesoni π;

• la stranezza si conserva nell’interazione adronica e nell’interazione elettromagnetica;

• la stranezza non si conserva nell’interazione debole.

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In base a queste ipotesi, poiche lo stato iniziale delle reazioni di produzione ha stranezzanulla, si conclude che• K0 e Λ0 hanno stranezza opposta;• K0 e K− hanno stranezza opposta;• K+ e K0 hanno stranezza uguale;• K− e Λ0 hanno stranezza uguale.Come nel caso del nucleone e del mesone π esistono due stati di carica del mesone K conmasse simili e che hanno lo stesso valore di stranezza. Invece il barione Λ0 esiste in unsolo stato di carica. Gell-Mann e Kazuhiko Nishijima [13, 14] proposero di estendere larelazione tra carica elettrica, numero barionico e isospin introducendo il numero quanticoipercarica: Y = A+ S

legge di Gell-Mann e Nishijima Q =Y

2+ I3 =

A+ S

2+ I3 (17.2)

• il barione Λ0 e un singoletto di isospin I = 0, I3 = 0 e ha numero barionico A = +1,quindi Y (Λ) = 0, S(Λ) = −1;

• i mesoni K0, K+, hanno numero barionico nullo, Y (K) = S(K) = +1 e costituisconoun doppietto di isospsin

K0 = |1/2,−1/2〉 K+ = |1/2,+1/2〉

• esiste un altro doppietto di isospin con Y (K) = S(K) = −1 ottenuto applicando laconiugazione di carica

C|K+〉 = α|K−〉 C|K0〉 = α|K0〉 |α|2 = 1

In interazioni pione–nucleone, oltre al barione Λ0, e stata osservata la produzione di unbarione chiamato Σ che esiste in tre stati di carica

π−p→ K0Σ0 π−p→ K+Σ−

π+n→ K+Σ0 π+n→ K0Σ+ π+p→ K+Σ+

con valori di massa m(Σ+) = 1189, m(Σ0) = 1193, m(Σ−) = 1197 MeV/c2 e modi didecadimento

Σ+ → pπ0 Σ+ → nπ+ τ = 0.80 10−10 sΣ− → nπ− τ = 1.48 10−10 s

Il barione Σ e un triletto di isospin I = 1, I3 = −1, 0,+1, con numero barionico A = +1:quindi Y (Σ) = 0, S(Σ) = −1

Σ− = |1,−1〉 Σ0 = |1, 0〉 Σ+ = |1,+1〉

Poiche il tripletto Σ e il singoletto Λ hanno gli stessi numeri quantici, il barione Σ0 puodecadere per interazione elettromagnetica che conserva la stranezza. La probabilita didecadimento e molto maggiore dei modi di decadimento per interazione debole

Σ0 → Λ0 γ τ = 7.4 10−20 s

I due barioni hanno la stessa parita: si tratta di una transizione di dipolo magnetico(capitolo 13).

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Interazioni dei mesoni K

I mesoni K vengono prodotti nelle interazioni di fasci di protoni o mesoni π su nucleonie si possono utilizzare fasci di mesoni K± per produrre altre reazioni adroniche in cui siconserva la stranezza, ad esempio

K+p→ K+pK+n→ K+n K0p

K−p→ K−p K0n π0Λ0 π+Σ− π0Σ0 π−Σ+

K−p→ K0Ξ0 K+Ξ−

K−n→ K−n π−Λ0 π0Σ−

K−n→ K0Ξ−

E evidente che i mesoni K− possono produrre molti piu stati finali che non i mesoni K+.In particolare nelle interazioni dei mesoni K− (S = −1) si possono produrre mesoni K(S = +1) e due stati di un barione con stranezza S = −2, chiamato Ξ [15], che formano undoppietto di isospin I = 1/2, I3 = −1/2,+1/2. I barioni Ξ0 e Ξ− decadono per interazionedebole prevalentemente nel barione Λ0 e in un mesone π

barione massa (MeV/c2) decadimento vita media (s)

Ξ0 1315 Ξ0 → Λ0π0 2.90 10−10

Ξ− 1321 Ξ− → Λ0π− 1.64 10−10

I barioni dotati di stranezza sono anche chiamati iperoni. La tabella mostra l’assegnazionedei numeri quantici ai mesoni e ai barioni in base alla legge di Gell-Mann e Nishijima

barioni 12

+A S Y I3 Q mesoni 0− A S Y I3 Q

p +1 0 +1 +1/2 +1 K+ 0 +1 +1 +1/2 +1n +1 0 +1 −1/2 0 K0 0 +1 +1 −1/2 0Λ0 +1 −1 0 0 0 η0 0 0 0 0 0Σ+ +1 −1 0 +1 +1 π+ 0 0 0 +1 +1Σ0 +1 −1 0 0 0 π0 0 0 0 0 0Σ− +1 −1 0 −1 −1 π− 0 0 0 −1 −1

Ξ0 +1 −2 −1 +1/2 0 K0 0 −1 −1 +1/2 0Ξ− +1 −2 −1 −1/2 −1 K− 0 −1 −1 −1/2 −1

Si nota una completa simmetria dei vari stati degli adroni nelle variabili isospin e ipercarica(Fig. 17.4): i mesoni e i barioni formano un ottetto e sono gli autostati della SimmetriaSpeciale Unitaria in tre dimensioni SU(3) (appendice 35). Nella tabella e stato introdottoun nuovo mesone pseudoscalare η0 singoletto di isospin.

17.3.1 I mesoni K

Ogni particella decade in stati di massa piu piccola. La probabilita di decadimento edefinita dalla hamiltoniana di interazione e dallo spazio delle fasi. Per i mesoni di massa

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-1 0

+1

0

Y

I3

+1

-1

p

X-

n

S+S- SoLo

oX

barioni 1/2+

-1 0

+1

0

Y

I3

+1

-1

K+

K-

Ko

Ko

p+p- poho

mesoni 0-

Figura 17.4: Rappresentazione degli stati dei barioni 12

+e dei mesoni 0− nelle variabili

I3 × Y

piu piccola, i mesoni π, i modi e le frazioni di decadimento sono

π0 → γγ 0.988 interazione elettromagneticaπ0 → e+e−γ 0.012 τ = 0.84 10−16 sπ0 → e+e− 6.5 10−8

π+ → µ+νµ 1.000 interazione deboleπ+ → e+νe 1.2 10−4 τ = 2.60 10−8 sπ+ → π0e+νe 1.0 10−8

I modi di decadimento dei mesoni K carichi e le probabilita di decadimento sono

K+ → µ+νµ 0.635 decadimentie+νe 1.6 10−5 leptonici

π0e+νe 0.048 decadimentiπ0µ+νµ 0.032 semileptonici

π+π0 0.212 decadimentiπ+π+π− 0.056 adroniciπ+π0π0 0.017

I decadimento dei mesoni K neutri sono trattati nel capitolo 19. I decadimenti leptonicisono in tutto simili a quelli dei mesoni π. Questo indica che sono mesoni pseudoscalaricon spinparita‘ = 0−. I decadimenti semileptonici sono simili ai decadimenti β dei nuclei.Inoltre i mesoni K possono decadere in stati adronici con due o tre mesoni π.

Dato che i mesoni π hanno spin zero, nel decadimento K+ → π+π0 lo spin del mesoneK e uguale al momento angolare orbitale Lππ. La parita del mesone K, se si conserva neldecadimento, e

PK = P 2π (−1)Lππ

I possibili stati di spinparita‘ sono: 0+, 1−, 2+, . . ..Nel decadimento K+ → π+π+π−, K+ → π+π0π0, chiamiamo L il momento angolare

orbitale dei due mesoni identici e ` il momento angolare del terzo mesone nel centro dimassa dei primi due. Per la simmetria dei bosoni L e pari. Il momento angolare totale e

~J = ~L+ ~ |L− `| ≤ J ≤ L+ `

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La parita dello stato e: PK = P 3π (−1)L(−1)` = (−1)`+1. Le possibili combinazioni sono

L = 0 0 0 0 2 2 2` = 0 1 2 . . . 0 1 . . .JP = 0− 1+ 2− 2− 1+2+3+

Lo stato di momento angolare J si puo determinare sperimentalmente. Infatti per undecadimento del tipo K → πππ la conservazione di energia, E1 +E2 +E3 = m, e impulso,~p1 + ~p2 + ~p3 = 0, definisce due variabili indipendenti, ad esempio E1 e E2. La densita dellospazio delle fasi d2n/dE1dE2 e uniforme (appendice 46). La probabilita di decadimentoin funzione delle due variabili

d2Γ

dE1dE2∝ |〈πππ|H|K〉|2 d2n

dE1dE2(17.3)

e proporzionale al quadrato dell’elemento di matrice. Quindi si puo misurare la dipen-denza dell’elemento di matrice dalle variabili cinematiche. Questo metodo di analisi estato proposto da Richard Dalitz nel 1955 [16] per determinare gli stati di spinparita‘ deldecadimento K → πππ: il diagramma della probabilita di decadimento in funzione delledue variabili indipendenti e chiamato diagramma di Dalitz.

In particolare, se il momento angolare totale e nullo non si ha alcuna direzione definitanello spazio e la densita nel diagramma di Dalitz e uniforme. Questo e stato osservatonel decadimento K → πππ per cui si e concluso che il mesone K ha spin zero. Quindilo stato finale del decadimento K → πππ ha spinparita‘ = 0− mentre nel decadimentoK → ππ ha spinparita‘ = 0+. Per alcuni anni il mesone K± e stato considerato come dueparticelle distinte (τ–θ puzzle) perche non era credibile che la parita non si conservasse neldecadimento. Ma era anche difficilmente credibile che due particelle con la stessa massa ela stessa vita media potessero esistere in due stati diversi.

L’analisi fatta da Lee e Yang nel 1956 (capitolo 15) mostro che non esisteva alcunaevidenza sperimentale di conservazione della parita nelle interazioni deboli. Lee e Yangproposero alcuni esperimenti per mettere in luce eventuali effetti di violazione della sim-metria per parita. Il primo di questi esperimenti, il decadimento del nucleo di Cobaltopolarizzato (capitolo 15) confermo che la parita non e conservata nell’interazione debole.Altri due esperimenti, fatti pochi mesi dopo, mostrarono che la parita non si conserva neldecadimento del mesone π e del barione Λ.

Raggio dei mesoni

Protone e neutrone hanno una dimensione spaziale di 0.8÷0.9 fm che si puo determinaresia misurando i fattori di forma elettromagnetici, ad esempio con esperimenti di scatteringelastico elettrone–protone o elettrone–deuterio, sia misurando la sezione d’urto adronicaprotone-protone o neutrone-protone ad alta energia. Nel primo caso si misura la distribu-zione di carica elettrica e di magnetizzazione, nel secondo la distribuzione della materiaadronica.

Poiche non si hanno bersagli di mesoni, per misurare il fattore di forma dei mesoniπ± e K±, si possono fare esperimenti di scattering elastico di fasci secondari di mesonisu elettroni atomici, ad esempio usando un bersaglio di idrogeno o deuterio liquido. Inquesto caso, per distinguere le reazioni di interazione mesone–nucleo che sono molto piuprobabili, occorre osservare l’elettrone emesso nello stato finale e misurarne le variabili

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cinematiche, energia e impulso. Nel riferimento in cui l’elettrone e inizialmente in quiete,per Eπ mπ, si ha −q2 = 2EπE

′π−2pπp

′π cos θ = 2meE

′e. La sezione d’urto di scattering

di particelle di spin zero, sezione d’urto di Mott (capitolo 7), e modificata per il fattore diforma elettrico

dσ

dΩ= r2

e

(mec2)2

4p2c2 sin4 θ/2

p′

pcos2 θ/2 |FE(q2)|2

Un fattore di forma del tipo FE(q2) =(1 + 〈r2〉q2/6

)−1riproduce bene i dati sperimentali.

Dai risultati si estrae il raggio quadratico medio dei mesoni√〈r2π〉 = 0.66 fm

√〈r2K〉 = 0.58 fm (17.4)

La misura della sezione d’urto totale di interazione di mesoni su protone ad alta energia,σ(π±p) ' 23 mb, σ(K±p) ' 20 mb, interpretata con il modello di scattering da un discoassorbente (capitolo 8), fornisce valori simili per il raggio dei mesoni.

17.4 Il mesone η

Nella tabella che mostra le proprieta degli adroni, per completare la simmetria, e statointrodotto il mesone η0 che e il singoletto di isospin con gli stessi numeri quantici del mesoneπ0. Il mesone η0 e stato osservato nel 1960 studiando la reazione π+d → π+π0π−pp [17]in cui i tre mesoni π formano uno stato legato che decade con vita media breve, tipicadell’interazione elettromagnetica

mη = 547 MeV/c2 τη = 0.51 10−18 s

I decadimenti piu probabili e le frazioni di decadimento sono

η0 → γγ 0.393π0π0π0 0.322π+π−π0 0.230

I numeri quantici del mesone η0 sono

• J = 0: dall’analisi del diagramma di Dalitz del decadimento η → πππ si deduce chelo spin e zero;

• P = -1: non si osserva il decadimento η → ππ: se ne deduce che la parita e negativa.Infatti due mesoni π in uno stato di momento angolare orbitale L = 0 hanno paritapositiva: P = P 2

π (−1)L = +1;

• C = +1: il mesone η0 e autostato della coniugazione di carica, il decadimentoη0 → γγ indica che l’autovalore e +1 (il decadimento η → γγγ non e mai statoosservato);

• I = 0: se fosse I 6= 0 il decadimento η → πππ avverrebbe per interazione adronicacon vita media molto piu breve di quella osservata.

Oltre al mesone η0 e stata osservata un’altra particella con gli stessi numeri quantici,spinparita‘ = 0−, chiamata η′. Ha massa 958 MeV/c2 e, come il mesone η0, decade convita media breve, τη′ = 3.3 10−21 s. Non si tratta di uno stato eccitato del mesone η0

perche non puo decadere ne η′ → η0γ (non esistono transizioni radiative spin zero → spinzero), ne η′ → η0π (non si conserva la parita). Il decadimento piu frequente e η′ → η0ππ.

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17.5. Simmetria dell’isospin

17.5 Simmetria dell’isospin

Esistono gruppi di particelle soggette all’interazione adronica che hanno valori di massamolto simili, ma valori diversi della carica elettrica. Poiche l’interazione adronica e indi-pendente dalla carica elettrica le particelle dello stesso multipletto sono state identificatecome una singola particella autostato dell’operatore di isospin ~I con molteplicita 2I + 1pari al numero di stati di carica. L’operatore di isospin cosı definito ha le stesse proprietadi un generatore di rotazioni e commuta con la hamiltoniana dell’interazione adronica.Nell’interazione adronica si conserva sia il modulo dell’isospin che la componente I3.

Gli autovalori di isospin di un sistema di particelle si ottengono seguendo le leggi dicomposizione dei momenti angolari. Se due particelle hanno isospin |j1,m1〉, |j2,m2〉, ipossibili stati di due particelle |J,M〉 con

|j1 − j2| ≤ J ≤ j1 + j2 M = m1 +m2

sono|J,M〉 =

∑m1m2

〈j1,m1; j2,m2|J,M〉 · |j1,m1; j2,m2〉

i coefficienti di Clebsch–Gordan 〈j1,m1; j2,m2|J,M〉 sono calcolati nell’appendice 33 peralcuni casi semplici.

Esempio 1

Le reazioni pp→ dπ+, np→ dπ0, hanno la stessa distribuzione angolare, ma sezione d’urtoσ(pp→ dπ+) = 2 σ(np→ dπ0)

dσ

dΩ

(pp→ dπ+) = costante× |〈dπ+|H|pp〉|2(2sd + 1)(2sπ + 1)

p2π

vppvπd

dσ

dΩ

(np→ dπ0

)= costante× |〈dπ0|H|np〉|2(2sd + 1)(2sπ + 1)

p2π

vnpvπd

Le masse delle particelle sono approsimativamente uguali e, per gli stessi valori di energia,i fattori cinematici sono uguali. Quindi il rapporto tra le sezioni d’urto dipende solo dalrapporto tra gli elementi di matrice. Gli stati di isospin sono

p = |1/2,+1/2〉 n = |1/2,−1/2〉 d = |0, 0〉 π0 = |1, 0〉 π+ = |1,+1〉

Gli stati combinati sono

pp = |1,+1〉 np = 1√2

(|1, 0〉 − |0, 0〉)dπ+ = |1,+1〉 dπ0 = |1, 0〉

Gli elementi di matrice tra gli autostati di isospin sono

〈dπ+|H|pp〉 = 〈1|H|1〉〈dπ0|H|np〉 =〈1|H|1〉 − 〈1|H|0〉√

2

ma 〈1|H|0〉 = 0 perche la hamiltoniana commuta con ~I, quindi

σ(pp→ dπ+)

σ(np→ dπ0)=|〈dπ+|H|pp〉|2

|〈dπ0|H|np〉|2= 2

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Esempio 2

Le sezioni d’urto delle reazioni π+d→ pp, π−d→ nn, sono uguali perche

pp = π+d = |1,+1〉 nn = π−d = |1,−1〉

Esempio 3

Il mesone η0 e autostato di isospin |0, 0〉 e autostato di coniugazione di carica con autovaloreC = +1 e decade con vita media molto piu lunga di quella tipica dei decadimenti perinterazione adronica (capitolo 18):

• il decadimento η0 → ππ e vietato dalla conservazione della parita;

• il decadimento η0 → πππ viola la conservazione dell’isospin. Infatti l’isospin dellostato πππ e

~Iπππ = ~Iππ + ~Iπ Iπ = 1

quindi per avere Iπππ = 0 deve essere Iππ = 1. I possibili stati Iππ sono

|1,+1〉 =π+π0 − π0π+

√2

|1, 0〉 =π+π− − π−π+

√2

|1,−1〉 =π0π− − π−π0

√2

tutti antisimmetrici per lo scambio π ↔ π. Quindi lo stato π+π0π− con I = 0 haconiugazione di carica C = −1. L’altra combinazione, lo stato π0π0π0, e simmetricarispetto ad ogni scambio π0 ↔ π0 e non puo avere I = 0;

• il decadimento η0 → ππππ non avviene perche mη < 4mπ.

17.6 Gli antibarioni

I barioni, protone, neutrone e gli iperoni, sono fermioni di spin 1/2. In base alla teoriadi Dirac devono esistere i corrispondenti stati coniugati di carica, gli antibarioni, connumero fermionico, carica elettrica, momento magnetico e stranezza opposti. La teoria econfermata dai leptoni: esiste il positrone (e+), il leptone µ+ e l’antineutrino.

Per verificare la predizione di Dirac fu costruito nel 1955 un acceleratore di protoniche potesse raggiungere la soglia di produzione di antibarioni. Un antiprotone puo essereprodotto in interazioni di protoni su nuclei con le reazioni pp → pppp, pn → pppn, checonservano il numero barionico e la carica elettrica, se l’energia cinetica del fascio e mag-giore di 6mp = 5.6 GeV . In effetti l’energia puo essere leggeremente minore se si tieneconto del moto di Fermi dei nucleoni legati nel nucleo (capitolo 10).

La produzione dell’antiprotone e segnalata dalla presenza nello stato finale di unaparticella di carica negativa e massa pari a quella del protone. A questa energia, nell’inte-razione protone–nucleo vengono prodotti mesoni π− e mesoni K− con probabilita moltomaggiore, quindi e necessario selezionare particelle con massa mp facendo misure sia di im-pulso che di velocita delle particelle prodotte. L’esperimento fu fatto utilizzando magneticurvanti per selezionare le particelle di carica negativa e sia tecniche di tempo di volo cherivelatori Cerenkov (capitolo 4) per misurarne la velocita. Nel 1956 Owen Chamberlain,Emilio Segre 4 e collaboratori scoprirono l’antiprotone [18].


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17.7. Risonanze adroniche

Una volta scoperto il metodo per produrre un fascio secondario di antiprotoni, que-sto puo essere utilizzato per produrre altri antibarioni in reazioni di annichilazione pp→barione antibarione. Nel 1957 Bruce Cork, Glen Lambertson e Oreste Piccioni scoprironoin questo modo l’antineutrone [19]. L’esperimento fu fatto osservando la scomparsa del-l’antiprotone in un bersaglio che era anche rivelatore di ionizzazione, questo era seguitoda un rivelatore di veto che segnalava l’assenza di ionizzazione (i neutroni non ionizzano)e da un terzo rivelatore capace di misurare l’energia totale rilasciata nella annichilazionedell’antineutrone prodotto nn, E = 2mn.

Con fasci di antiprotoni si possono produrre altri antibarioni. Ad esempio, Λ0 e statoasservato nell’annichilazione di antiprotoni in camera a bolle (capitolo 5) a idrogeno li-quido pp → Λ0Λ0 [20]. Si osserva la traccia dell’antiprotone fino al punto in cui avvienel’interazione e piu avanti le tracce dei prodotti di decadimento Λ0 → pπ+, Λ0 → pπ−. Ilcammino delle particelle Λ, neutre e quindi non visibili nella camera a bolle, e in mediaλ = (pΛ/mΛc)cτΛ, con cτΛ = 7.9 cm.

Con questo metodo sono stati scoperti gli altri antibarioni Σ,Ξ, . . .: per ogni barionee stato osservato il corrispondente antibarione. Gli antibarioni hanno numero barioniconegativo, A = −1 per p, n,Λ0, . . .; A = −2 per l’antideutone; e decadono negli staticoniugati di carica dei corrispondenti barioni, ad esempio l’antineutrone decade β+, n→pe+νe; Λ0 → pπ+ oppure Λ0 → nπ0; Σ0 → Λ0γ, . . . .

17.7 Risonanze adroniche

Barioni e mesoni sono soggetti a decadimenti elettromagnetici o deboli. Nelle interazioniadroniche si possono produrre degli stati eccitati che sono chiamati risonanze. Nel caso diatomi o nuclei si possono formare stati eccitati che decadono emettendo fotoni, i bosonidel campo elettromagnetico. Allo stesso modo le risonanze adroniche decadono emettendomesoni

γN → N∗e.m. → Nγ πN → N∗hadr → Nπ

La larghezza di una risonanza e tipicamente Γ ≈ mπc2 e a questa corrisponde una vita

media τ = h/mπc2 ≈ 10−23 s. In questo brevissimo intervallo di tempo il cammino di

decadimento e pari al raggio d’azione dell’interazione adronica cτ = hc/mπc2 ≈ 1 fm. E

chiaro che la vita media di una risonanza non si puo determinare ne con misure di tempone con misure di distanze. La larghezza si determina misurando la curva di eccitazionedella risonanza oppure misurando la massa invariante delle particelle nello stato finalem2 = (ΣkPk)

2 con Pk = (~pk, Ek).

Le risonanze possono essere stati eccitati barionici con spin semi-intero oppure statieccitati mesonici con numero barionico nullo e spin intero. Sono caratterizzate dai numeriquantici, carica elettrica, spin, isospin, parita e coniugazione di carica che si conservanonel decadimento per interazione adronica.

La risonanza ∆

La prima risonanza adronica fu ossevata da Fermi e Anderson nel 1949 studiando loscattering elastico di mesoni π+ da un bersaglio di idrogeno liquido (π+p→ π+p) [21]. Ladipendenza della sezione d’urto dall’energia si puo rappresentare come sviluppo in onde

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parziali (capitolo 8)

σ =πh2

p2cm

∑`

(2`+ 1) |1− a`|2

pcm e l’impulso nel centro di massa della reazione e a` sono le ampiezze delle onde parziali,a` = η`e

2iδ` . Per lo scattering elastico si ha η` = 1. Se si eccita una risonanza di massa mche ha spin ~J la sezione d’urto ha un massimo per δJ = π/2 e la dipendenza dall’energiae caratterizzata dalla curva di eccitazione Breit–Wigner

σ(ab→ N∗J ) =4πh2

p2cm

2J + 1

(2sa + 1)(2sb + 1)

(Γ/2)2

(Ecm −m)2 + (Γ/2)2

che ha il massimo per Ecm = m e larghezza a meta altezza pari a Γ.

La sezione d’urto di scattering elastico π+p in funzione dell’impulso del pione e mo-strata in Fig. 17.5. Il valore di picco della sezione d’urto si ha per Eπ ' 330 MeVche corrisponde all’energia totale nel centro di massa m = (m2

π + m2p + 2mpEπ)1/2. La

risonanza ∆++ ha massa m∆ = 1232 MeV/c2 e larghezza Γ∆ ' 120 MeV .

0

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0

pion laboratory momentum (MeV/c)

pio

n+-p

ro

ton

cro

ss

secti

on

(mb

)

Figura 17.5: Sezione d’urto π+p→ π+p in funzione dell’impulso del mesone π+

Il picco della risonanza corrisponde al valore pcm = 230 MeV/c e il valore di picco dellasezione d’urto e σmax = 200 mb. Da questi valori si puo derivare lo spin della risonanza

σmax =4π(hc)2

(pcmc)2

2J + 1

2' 200 mb ⇒ 2J + 1 = 4 J = 3/2

Spin. Lo spin della risonanza si puo anche determinare dalla distribuzione angolare delpione e del protone nel centro di massa della reazione. Il momento angolare e ~J = ~sπ+~sp+~

(sπ = 0, ~ e il momento angolare orbitale). Consideriamo come asse di quantizzazione lalinea di volo π–p: il momento angolare ~ ha componente m = 0, quindi nello stato iniziale~J ha componente M = 1/2.

• se ` = 0, l’ampiezza di scattering e proporzionale all’armonica sferica Y0,0(θ, φ) =1/√

4π = costante;

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17.8. Risonanze barioniche

• se ` = 1, si puo avere J = 1/2 oppure J = 3/2; le combinazioni dei momenti angolarisono

J = 1/2 |1/2,+1/2〉 =√

2/3 Y1,1(θ, φ) |1/2,−1/2〉 −√

1/3 Y1,0(θ, φ) |1/2,+1/2〉

= −√

1/4π sin θeiφ |1/2,−1/2〉 −√

1/4π cos θ |1/2,+1/2〉

J = 3/2 |3/2,+1/2〉 =√

1/3 Y1,1(θ, φ) |1/2,−1/2〉+√

2/3 Y1,0(θ, φ) |1/2,+1/2〉

= −√

1/8π sin θeiφ |1/2,−1/2〉+√

1/2π cos θ |1/2,+1/2〉

• per J = 1/2, |f(θ)|2 = (sin2 θ + cos2 θ)/4π = costante;

• per J = 3/2, |f(θ)|2 = (1 + 3 cos2 θ)/8π; i risultati sono in accordo con questaseconda ipotesi e quindi confermano che la risonanza ha spin 3/2.

Isospin. Poiche Iπ = 1 e IN = 1/2 le combinazioni π–N hanno isospin I = 1/2 oppureI = 3/2. La risonanza ∆++ ha terza componente dell’isospin I3 = Q − A/2 = +3/2 e faparte di un multipletto di stati risonanti π–N con isospin I = 3/2

|3/2,+3/2〉 = π+p ∆++

|3/2,+1/2〉 =√

1/3 π+n+√

2/3 π0p ∆+ |1/2,+1/2〉 =√

2/3 π+n−√

2/3 π0p|3/2,−1/2〉 =

√2/3 π0n+

√1/3 π−p ∆0 |1/2,−1/2〉 =

√1/3 π0n−

√2/3 π−p

|3/2,−3/2〉 = π−n ∆−

Esistono quindi quattro stati con isospin I = 3/2 e spin J = 3/2 con massa approssimati-vamente uguale; i modi e le frazioni di decadimento sono

∆++ → π+p 1∆+ → π0p 2/3 ∆+ → π+n 1/3∆0 → π0n 2/3 ∆0 → π−p 1/3∆− → π−n 1

Parita. La parita delle risonanze ∆ puo essere determinata dalla parita degli stati finaliπ–N che hanno momento angolare orbitale ` = 1: la parita e P∆ = PπPN (−1)` = +1.

17.8 Risonanze barioniche

p

p

+ p+

D++

p

p+

p

p+

p+

n

n

D+

Figura 17.6: Eccitazione e produzione della risonanza ∆

Una risonanza si puo osservare come eccitazione nello scattering elastico (esempioprecedente) oppure in formazione producendo uno stato finale con massa e numeri quantici

279

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 280 — #280 ii

ii

ii


definiti. La Fig. 17.6 mostra questi due modi per la risonanza ∆. Nel secondo caso, perindividuare uno stato risonante occorre identificare le particelle prodotte nel decadimento(o fare ipotesi sul valore della massa) e misurarne l’impulso in modo da poter calcolarela massa invariante. Lo strumento utilizzato in questo tipo di esperimenti negli anni ’50e ’60 e la camera a bolle (capitolo 5) e i metodi di analisi sono stati sviluppati da LuisAlvarez 5 e collaboratori. Nelle interazioni di fasci di mesoni K− con bersagli di idrogenoo deuterio si producono risonanze barioniche con stranezza S = −1 [22] come illustrato inFig. 17.7

K−p→ π−Σ∗+ K−p→ π0Σ∗0 K−p→ π+Σ∗−

La risonanza Σ∗ ha larghezza Γ ' 37 MeV . Le masse (in MeV/c2) e i modi di decadimentosono

Σ∗+(1382.8)→ Λ0π+ Σ∗0(1383.7)→ Λ0π0 Σ∗−(1387.2)→ Λ0π−

Lo spin, J = 3/2, si misura studiando la distribuzione angolare dei prodotti di decadi-mento. L’isopin, ~IΣ = ~IΛ + ~Iπ, e IΣ = 1. Allo stesso modo, con fasci di mesoni K−

si producono risonanze barioniche con stranezza S = −2 in associazione con mesoni K(S = +1)

K−p→ K0Ξ∗0 K−p→ K+Ξ∗−

La risonanza Ξ∗ ha numeri quantici J = 3/2, I = 1/2, ha larghezza Γ ' 9 MeV e decade

Ξ∗0(1531.8)→ Ξ−π+ oppure → Ξ0π0

Ξ∗−(1531.8)→ Ξ−π0 oppure → Ξ0π−

p

p

p+

n

S*

K

p

p

p+

K

LoLo

X*

X o

Figura 17.7: Esempi di produzione di risonanze barioniche con stranezza

Tutte queste risonanze hanno numero barionico A = +1, spin 3/2, parita positiva. Glialtri numeri quantici sono

barioni 32

+S Y I3 Q

∆++ 0 +1 +3/2 +2∆+ 0 +1 +1/2 +1∆0 0 +1 −1/2 0∆− 0 +1 −3/2 −1Σ∗+ −1 0 +1 +1Σ∗0 −1 0 0 0Σ∗− −1 0 −1 −1Ξ∗0 −2 −1 +1/2 0Ξ∗− −2 −1 −1/2 −1Ω− −3 −2 0 −1


280

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 281 — #281 ii

ii

ii

17.9. Risonanze mesoniche

La rappresentazione delle risonanze barioniche nelle variabili I3×Y e mostrata in Fig. 17.8dove e stato aggiunto il barione Ω−. L’esistenza di questa particella di stranezza S = −3e isospin I = 0, e il valore della massa, erano stati previsti da Gell-Mann prima che fosseosservata. Si nota infatti una regolarita dei valori delle masse

• le particelle nello stesso multipletto di isospin, allineate lungo l’asse I3, differisconoper il valore della carica elettrica: la piccola perturbazione dovuta all’interazioneelettromagnetica produce una differenza di massa di circa 1 MeV ;

• le particelle con la stessa carica elettrica sono allineate lungo un asse inclinato a120 e hanno stranezza che differisce di una unita: la differenza di massa e di circa150 MeV .

-1 0

+1

0

Y

I3+1

-1

p

X-

n

S+S- SoLo

oX

ottetto barioni 1/2+

-1 0

+1

0

Y

I3+1

-1

decupletto barioni 3/2+

-2

X*-

S*+S*- S*o

*oX

D- Do D+ D++

W- 1672.5

1535.0 1531.8

1387.2 1383.7 1382.8

1235 1233.5 1231.7 1230.8

massa (MeV)

Figura 17.8: Ottetto di barioni 1/2+ e decupletto di barioni 3/2+

In effetti Ω− non decade per interazione adronica, quindi non e una risonanza. Questoperche nell’ottetto dei barioni 1/2+ non esiste una particella con stranezza S = −3 e neldecupletto 3/2+ la differenza di massa che corrisponde a ∆S = 1 e minore della massadel mesone K. Ω− non decade neppure per interazione elettromagnetica che conserva lastranezza. Decade per interazione debole con cambio di stranezza di una unita, come lealtre particelle strane

Ω− → Ξ0π− Ω− → Ξ−π0 Ω− → Λ0K− τ = 0.82 10−10 s

17.9 Risonanze mesoniche

In modo analogo si producono risonanze mesoniche con numero barionico A = 0 chedecadono in stati di due o piu mesoni pseudoscalari. L’analisi della distribuzione angolaredei prodotti di decadimento indica che hanno spin J = 1 e per questo sono chiamatimesoni vettori. Si possono quindi rappresentare come stati legati di mesoni di spin zerocon momento angolare orbitale ` = 1 e hanno parita negativa: P = PaPb(−1)` = −1. LaFig. 17.9 mostra alcuni esempi di produzione di risonanze mesoniche.

• La risonanza K∗ [23] e uno stato π–K costituito da due doppietti di isospin I = 1/2.

• La risonanza ρ [24] esiste in tre stati di carica con modi di decadimento

ρ+ → π+π0 ρ0 → π+π− ρ− → π0π−

281

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 282 — #282 ii

ii

ii


p

p+

p p

fK

o

r

+

po

K+*

p

K

po

p+

p

p+

po

+

K K

K+

K+

Lo

Figura 17.9: Esempi di produzione di risonanze mesoniche

e uno stato tripletto di isospin, I = 1, gli autostati di isospin in cui il mesone ρdecade, ρ+ → |1,+1〉, ρ0 → |1, 0〉, ρ− → |1,−1〉, sono antisimmetrici per lo scambioπ ↔ π

ρ+ =π+ π0 − π0π+

√2

ρ0 =π+ π− − π−π+

√2

ρ− =π0 π− − π−π0

√2

Il decadimento ρ0 → π0π0 non avviene perche lo stato finale con momento angolareJ = 1 e antisimmetrico per lo scambio di due particelle e quindi non ammesso perbosoni identici. Il mesone ρ0 e autostato di coniugazione di carica con autovaloreC = −1. Infatti la trasformazione di coniugazione di carica π+π− → π−π+ corri-sponde all’inversione delle coordinate spaziali e cioe alla trasformazione di parita:C|π+π−〉 = (−1)`|π−π+〉 = −|π−π+〉.

• La risonanza ω [25] e un singoletto di isospin con carica elettrica nulla. E uno statosimmetrico dell’isospin e quindi non decade in uno stato π–π che e antisimmetricoper lo scambio π ↔ π. Il modo di decadimento e ω → π+π0π−.

• Esiste un altro stato singoletto di isospin con massa maggiore di 2mK , la risonanzaφ [26], che decade prevalentemente in stati K–K antisimmetrici rispetto allo scambio(i mesoni K hanno isospin 1/2), ad esempio

φ = |0, 0〉 =K+K− −K−K+

√2

Come ρ0, i mesoni vettori ω e φ sono autostati della coniugazione di carica conautovalore C = −1.

La massa e larghezza delle risonanze mesoniche 1− sono elencate nella tabella che seguecon i principali modi di decadimento

m (MeV/c2) Γ (MeV ) decadimento

K∗ 892 50 Kπρ 770 150 ππω 783 8.5 π+π0π−

φ 1019 4.3 K+K− K0K0 π+π0π−

282

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 283 — #283 ii

ii

ii

17.9. Risonanze mesoniche

I numeri quantici mostrano le stesse regolarita dei mesoni pseudoscalari

mesoni 1− S Y I3 Q

K∗+ +1 +1 +1/2 +1K∗0 +1 +1 −1/2 0ρ+ 0 0 +1 +1ρ0 0 0 0 0ρ− 0 0 −1 −1ω 0 0 0 0K∗0 −1 −1 +1/2 0K∗− −1 −1 −1/2 −1φ 0 0 0 0

La Fig. 17.10 mostra la rappresentazione dei numeri quantici dei mesoni pseudoscalari edei mesoni vettori come un ottetto e un singoletto della simmetria SU(3).

-1 0

+1

0

Y

I3

+1

-1

K+

K-

Ko

Ko

p+p- poho

mesoni 0-

h'

ottetto singoletto

-1 0

+1

0

Y

I3

+1

-1

K*+

K*-

K*o

K*o

r+r- row

mesoni 1-

f

ottetto singoletto

Figura 17.10: Ottetto e singoletto dei mesoni pseudoscalari e vettori

283

ii

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ii


284

ii

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ii

Capitolo 18

Modello statico a quark

I numeri quantici delle particelle soggette a interazione adronica mostrano una interessanteregolarita sia per i barioni (fermioni) che per i mesoni (bosoni). Questo ordine deve quindicorrispondere a qualche legge di simmetria della hamiltoniana di interazione che e piugenerale che non le leggi di conservazione delle singole grandezze: carica elettrica, isospin,ipercarica e numero barionico. Infatti queste grandezze sono legate dalla relazione diGell-Mann e Nishijima Q = Y/2 + I3.

Le particelle senza stranezza si possono costruire a partire dagli autostati di isospin1/2 che corrispondono al protone e al neutrone e alle relative antiparticelle

p = |1/2,+1/2〉 p = |1/2,−1/2〉 n = |1/2,−1/2〉 n = |1/2,+1/2〉

Con questi due stati si costruisce un tripletto e un singoletto con numero barionico nullo

|1,+1〉 = −pn|1, 0〉 = (pp− nn)/

√2 |0, 0〉 = (pp+ nn)/

√2

|1,−1〉 = np

che corrispondono ai numeri quantici dei mesoni pseudoscalari π e η0, se si considera lostato di due fermioni con momento angolare orbitale ` = 0 e spin opposti, oppure aimesoni vettori ρ e ω, nello stato di spin paralleli. In entrambe i casi la parita dello statoe negativa perche fermione e antifermione hanno parita opposta. In questo esempio eimplicita l’invarianza della hamiltoniana di interazione per coniugazione di carica. Questoe il primo tentativo, dovuto a Enrico Fermi e Shoichi Sakata [27], di riprodurre i numeriquantici dei mesoni.

18.1 Modello a quark

La simmetria degli stati di isospin 1/2 e chiamata SU(2) e i generatori della simmetriasono le tre matrici di Pauli (moltiplicate per 1

2) di cui una e diagonale. Per riprodurreanche i numeri quantici delle particelle strane, oltre alla conservazione dell’isospin occorreintrodurre la conservazione della stranezza. Nella simmetria SU(3) (appendice 35) i ge-neratori sono otto e di questi due sono diagonali: uno e associato alla terza componentedell’isospin e l’altro all’ipercarica. I generatori sono le matrici di Gell-Mann moltiplicate

285

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 286 — #286 ii

ii

ii

Capitolo 18. Modello statico a quark

per 12

G1 =1

2

0 1 01 0 00 0 0

G2 =1

2

0 −i 0i 0 00 0 0

G3 =1

2

1 0 00 −1 00 0 0

G4 =1

2

0 0 10 0 01 0 0

G5 =1

2

0 0 −i0 0 0i 0 0

G6 =1

2

0 0 00 0 10 1 0

G7 =1

2

0 0 00 0 −i0 i 0

G8 =1

2√

3

1 0 00 1 00 0 −2

Esiste una terza matrice diagonale, combinazione delle precedenti,

G2 =∑k

G2k =

4

3

1 0 00 1 00 0 1

Gli autostati sono i vettori di base

u =

100

d =

010

s =

001

(18.1)

Se SU(3) e una simmetria dell’interazione adronica

• tutte le particelle a interazione adronica si rappresentano come combinazione diquesti stati;

• tutte le grandezze conservate sono operatori diagonali in questa rappresentazione.

G1, G2, G3 sono le componenti dell’operatore isospin

G3u = +1

2u G3d = −1

2d G3s = 0

u, d formano un doppietto di isospin 1/2, s e un singoletto. L’operatore stranezza

S =

0 0 00 0 00 0 −1

ha autovalori Su = 0, Sd = 0, Ss = −s. Gli autostati hanno gli stessi autovaloridi protone, neutrone e Λ0, che hanno numero barionico A = +1. L’operatore numerobarionico

A =∑k

G2k − 1 =

1

3

1 0 00 1 00 0 1

286

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 287 — #287 ii

ii

ii

18.2. Mesoni e barioni nel modello a quark

ha autovalore A = +1 per la combinazione u + d + s. Gli operatori ipercarica e caricaelettrica sono

Y = A+ S =1

3

1 0 00 1 00 0 −2

Q = Y/2 +G3 =1

3

2 0 00 −1 00 0 −1

Gli autovalori delle grandezze fisiche che si conservano sono

A I I3 S Y Q

u +1/3 1/2 +1/2 0 +1/3 +2/3d +1/3 1/2 −1/2 0 +1/3 −1/3s +1/3 0 0 −1 −2/3 −1/3

(18.2)

I vettori di base sono chiamati quark. Il modello a quark basato sulla simmetria SU(3)fu introdotto da Murrey Gell-Mann 1 e da George Zweig nel 1964 [28]. Per dare unsignificato fisico agli autostati di SU(3) occorre fare un’altra importante ipotesi: i quarksono fermioni di spin 1/2. Quindi secondo la teoria di Dirac esistono gli stati coniugati dicarica, gli antiquark. La trasformazione da uno stato all’altro e la coniugazione complessae i generatori della simmetria degli antiquark si ottengono con la trasformazione Gk →−G∗k. Gli elementi di matrice dei generatori diagonali hanno il segno opposto. Quindi gliautovalori degli antiquark hanno tutti segno opposto dei corrispondenti quark

A I I3 S Y Q

u −1/3 1/2 −1/2 0 −1/3 −2/3d −1/3 1/2 +1/2 0 −1/3 +1/3s −1/3 0 0 +1 +2/3 +1/3

I quark sono chiamati up, down e strange. I differenti tipi di quark sono detti sapori. Larappresentazione nel piano I3 × Y e mostrata in Fig. 18.1.

-1/2 +1/2

+1/3

-2/3

ud

s

Y

I3

-1/2 +1/2

+2/3

-1/3

u d

sY

I3

Figura 18.1: Rappresentazione grafica degli stati di quark e antiquark

18.2 Mesoni e barioni nel modello a quark

Le particelle adroniche sono rappresentate come combinazioni di quark e antiquark


287

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 288 — #288 ii

ii

ii


• i mesoni sono costituiti da una coppia quark–antiquark q1q2: hanno spin intero enumero barionico nullo;

• i barioni sono costituiti da tre quark q1q2q3: hanno spin semi-intero e numerobarionico A = +1;

• gli antibarioni sono costituiti da tre antiquark q1q2q3: hanno spin semi-intero enumero barionico A = −1.

Le combinazioni si ottengono agendo sugli stati dei quark con gli operatori I± = G1± iG2,U± = G4 ± iG5, V ± = G6 ± iG7, analoghi agli operatori di salto del momento angolare,che aumentano e diminuiscono gli autovalori lungo i tre assi di simmetria, l’asse I3 e dueassi inclinati a ±120.

Mesoni

Le combinazioni qq sono nove e formano un ottetto e un singoletto. Formalmente questosi indica con il simbolo 3⊗3 = 8⊕1. La rappresentazione grafica e illustrata in Fig. 18.2.I mesoni pseudoscalari hanno spin J = 0: quark e antiquark sono nello stato di minima

3 3

8 1

Figura 18.2: Rappresentazione grafica dell’ottetto e del singoletto degli stati qq

energia cinetica, con momento angolare orbitale ` = 0, e hanno spin opposti (⇑⇓). Lacorrispondenza tra i mesoni pseudoscalari e gli stati qq e

K+ = us K− = us π+ = ud

K0 = ds K0 = ds π+ = ud

Esistono tre stati con Q = 0, I3 = 0, Y = 0, per rappresentare i mesoni π0, η0, η′.Questi si rappresentano con combinazioni auuu+ addd+ asss, con ampiezze normalizzate|au|2 + |ad|2 + |as|2 = 1. Uno di questi stati e il singoletto, simmetrico per scambio deisapori: au = ad = as = 1/

√3. Gli altri due stati fanno parte dell’ottetto e sono simmetrici

per coniugazione di carica, C = +1, e antisimmetrici per scambio delle coordinate, P = −1,e degli spin, J = 0. Poiche lo stato di due fermioni identici deve essere antisimmetrico,la combinazione di uu e dd con isospin I = 1 (π0, simmetrica) e antisimmetrica perscambio dei sapori u ↔ d, mentre quelle con isospin I = 0 (η0, η′, antisimmetriche) sonosimmetriche. Tenendo conto che i tre stati sono tra loro ortogonali, aua

′u+ada

′d+asa

′s = 0,

si ottengono queste combinazioni

π0 =uu− dd√

2η0 =

uu+ dd− 2ss√6

η′ =uu+ dd+ ss√

3

I mesoni vettori hanno spin J = 1: quark e antiquark hanno spin paralleli (⇑⇑). Larappresentazione come un ottetto e un singoletto di SU(3) e identica alla precedente. Va

288

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 289 — #289 ii

ii

ii

18.2. Mesoni e barioni nel modello a quark

notato che i tre stati con Q = 0, I3 = 0, S = 0, sono ora antisimmetrici per coniugazionedi carica, C = −1, ma simmetrici per scambio degli spin J = 1. I mesoni ρ0 e ω hannomasse simili ma decadono in stati 2π e 3π rispettivamente, mentre il mesone φ decade instati di particelle strane KK; la rappresentazione naturale di questi tre stati e

ρ0 =uu− dd√

2ω =

uu+ dd√2

φ = ss

L’ottetto dei mesoni e mostrato in Fig. 18.3.

-1 0

+1

0

Y

I3

+1

-1

usds

usds

udduuu

ss

dd

Figura 18.3: Costruzione grafica dell’ottetto dei mesoni

Barioni

I barioni sono combinazioni q1q2q3. Combinando due quark si ottiene 3 ⊗ 3 = 6 ⊕ 3.Combinando questi con il terzo quark (6 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8, 3 ⊗ 3 = 8 ⊕ 1) si ottiene undecupletto, due rappresentazioni equivalenti di ottetto e un singoletto

3⊗ 3⊗ 3 = 10⊕ 8⊕ 8⊕ 1

L’otteto rappresenta i barioni di spin 1/2. I tre quark hanno momento angolare orbitale` = 0 e la somma degli spin J = 1/2 (⇑⇑⇓). Ci sono due stati uds, con Q = 0, I3 = 0,Y = 0: Σ0 e uno stato di isospin I = 1 simmetrico ed e simmetrico anche per lo scambiou↔ d, mentre il singoletto di isospin Λ0 e antisimmetrico:

Λ0 =(ud− du)s√

2Σ0 =

(ud+ du)s√2

Il decupletto rappresenta gli stati dei barioni con spin 3/2. In questo caso i tre quarkhanno spin paralleli (⇑⇑⇑). Il singoletto rappresenta un barione simile a Λ0 con spin 3/2e massa 1520 MeV . La costruzione grafica dell’ottetto e del decupletto e mostrata inFig. 18.4

Il decupletto di spin 3/2 (⇑⇑⇑) contiene tre stati che non sono presenti nell’ottettodei barioni 1/2+: ∆++ = uuu, ∆− = ddd, Ω− = sss. Questo e sorprendente perchequesti stati sono completamente simmetrici rispetto allo scambio di ogni coppia di fermioniidentici: una chiara violazione del principio di Pauli.

289

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 290 — #290 ii

ii

ii


-1/2

I3

+1/2

uuu

suu

uus

sdd

dds

duuuududdddu

-2

ddd

ssu

uss

ssd

dss

sss

dus sdu

usd

-3/2 +3/2-1 0

+1

0

Y

+1

-1

uu

ss

dd duud

su

us

sd

ds

3 3 6 3

Figura 18.4: Costruzione grafica dell’ottetto dei barioni 1/2+ e del decupletto dei barioni3/2+: 3⊗ 3⊗ 3 = 10⊕ 8⊕ 8⊕ 1

18.3 Momenti magnetici dei barioni

Nel modello a quark i barioni 1/2+ sono rappresentati da stati |q1 ⇑ q2 ⇑ q3 ⇓〉 in tuttele possibili combinazioni di sapore e orientamento degli spin. Se j12 = 1 e lo spin dellacoppia q1q2 e j3 = 1/2 lo spin del terzo quark, la combinazione dei tre spin e

|J,M〉 = |1/2,+1/2〉 =√

2/3 |1,+1; 1/2,−1/2〉 −√

1/3 |1, 0; 1/2,+1/2〉

Ci sono due possibilita: quark uguali hanno spin paralleli, oppure quark uguali hanno spinopposti. La prima viola il principio di Pauli. Calcoliamo il momento magnetico di protonee neutrone nei due casi con l’ipotesi che i quark siano fermioni di Dirac con momentomagnetico ~µq = g(Qeh/2mq)~s con g = 2 (Qe e la carica elettrica).

µu = +2

3

eh

2muµd = −1

3

eh

2mdµs = −1

3

eh

2ms

Poiche gli adroni nello stesso multipletto di isospin hanno massa molto simile, facciamol’ipotesi che la massa dei quark u e d sia uguale: mu = md.

• Nel primo caso: |p〉 = |u ⇑ u ⇑ d ⇓〉, |n〉 = |d ⇑ d ⇑ u ⇓〉

µp = 〈p|µ|p〉 =2

3(2µu − µd) +

1

3µd =

4

3µu −

1

3µd = +

eh

2mu

µn = 〈n|µ|n〉 =2

3(2µd − µu) +

1

3µu = −1

3µu +

4

3µd = −2

3

eh

2mu

Ricordando i valori sperimentali, µp = +2.793µN , µn = −1.913µN , osserviamo cheil modello da una previsione corretta del segno dei momenti magnetici e del lororapporto.

• Nel secondo caso: |p〉 = |u ⇑ d ⇑ u ⇓〉, |n〉 = |d ⇑ u ⇑ d ⇓〉

µp =2

3(µu + µd − µu) +

1

3(µu − µd + µu) =

1

3µd +

2

3µu =

1

3

eh

2mu

290

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 291 — #291 ii

ii

ii

18.4. Le masse degli adroni

µn =2

3(µd + µu − µd) +

1

3(µd − µu + µd) =

1

3µu +

2

3µd = 0

la previsione del modello e chiaramente errata.

Quindi si ottiene di nuovo che il principio di Pauli e violato nelle configurazioni in cui iquark formano i barioni. Questo risultato e confermato dalla previsione per i momentimagnetici degli iperoni

barione stato previsione misura (µN )

Λ0 (u ⇑ d ⇓ − d ⇑ u ⇓)s ⇑ µs −0.613± 0.004Σ+ u ⇑ u ⇑ s ⇓ (4µu − µs)/3 +2.46± 0.01Σ− d ⇑ d ⇑ s ⇓ (4µd − µs)/3 −1.16± 0.03Ξ0 s ⇑ s ⇑ u ⇓ (4µs − µu)/3 −1.25± 0.01Ξ− s ⇑ s ⇑ d ⇓ (4µs − µd)/3 −0.651± 0.003Ω− s ⇑ s ⇑ s ⇑ 3µs −2.02± 0.05

Il barione Σ0, che e nello stato simmetrico rispetto allo scambio u ↔ d, ha una vitamedia troppo breve per poter misurare il momento magnetico. L’elemento di matricedella transizione di dipolo magnetico Σ0 → Λ0γ si puo calcolare nel modello a quark e ilrisultato e in accordo con quello che si ottiene dalla misura della larghezza di decadimento.

Massa dei quark costituenti

Dal confronto tra la previsione del modello e i risultati sperimentali dei momenti magneticidei barioni si puo dare una stima della massa dei quark

mu ≈ md ≈ 330 ms ≈ 500 MeV/c2

Questo valore deve essere inteso come la massa dei costituenti quando sono legati neglistati adronici.

18.4 Le masse degli adroni

Se la simmetria SU(3) fosse esatta le masse degli adroni dello stesso multipletto JP sa-rebbero uguali, invece sono piuttosto diverse. Se consideriamo come assi di simmetria laterza componente dell’isospin I3 e l’ipercarica Y possiamo esprimere la massa come sommam0 + δmI + δmY . La differenza di massa di adroni dello stesso multipletto di isospin eassociata al diverso stato di carica elettrica Q, e δmI e di pochi MeV . Questo suggerisceche la massa dei quark u e d sia approssimativamente uguale, con md > mu perche siosserva che la massa dei barioni aumenta con il numero di quark d. La differenza di massadi adroni con ipercarica diversa e piu grande, δmY = 100÷ 200 MeV , e questo indica chela massa del quark s e maggiore: ms ∼ mu + δmY .

La differenza di massa di adroni nello stesso multipletto deve dipendere da quantitainvarianti di SU(3), cioe il modulo dell’isospin e l’ipercarica, e si puo esprimere comecombinazione lineare di queste secondo la legge di Gell-Mann e Okubo [29]

δm = m1Y +m2

[I(I + 1) + Y 2/4

]Per analizzare la differenza di massa che dipende da Y e non dipende da Q convieneconsiderare come assi di simmetria la terza componente dell’U-spin U3 (ottenuto ruotando

291

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 292 — #292 ii

ii

ii


l’asse I3 di 120) e la carica Q. In questa rappresentazione Y = Q/2+U3. Il decupletto deibarioni 3/2+ e rappresentato in Fig. 17.8; la differenza di massa dei multipletti di U-spine approssimativamente uguale

mΩ −mΞ∗ = mΞ∗ −mΣ∗ = mΣ∗ −m∆ ' 150 MeV

e questa osservazione e alla base della previsione di Gell-Mann dell’esistenza del barioneΩ− con massa ' 1670 MeV .

Per l’ottetto dei barioni 1/2+ (Fig. 18.5) occorre distinguere i due stati di singolettoe di tripletto di U-spin. Questi si possono esprimere come combinazioni lineari degli statidi isospin Σ0 e Λ0: Σ0

U = aΣ0 + bΛ0, Λ0U = −bΣ0 + aΛ0:

• n, p formano un doppietto I = 1/2,

• Σ−, Σ0, Σ+ formano un tripletto I = 1 e Λ0 e il singoletto,

• p, Σ+ formano un doppietto U = 1/2,

• n, Σ0U , Ξ0 formano un tripletto U = 1 e Λ0

U e il singoletto.

Figura 18.5: Ottetto dei barioni 1/2+.

Utilizzando gli operatori di salto del momento angolare

J±|J, J3〉 = [J(J + 1)− J3(J3 ± 1)]1/2 |J, J3 ± 1〉

e tenendo conto che [I+, U−] = 0, si ha

• I+|n〉 = I+|1/2,−1/2〉 = |1/2,+1/2〉 = |p〉;

• U−I+|n〉 = U−|p〉 = U−|1/2,+1/2〉 = |1/2,−1/2〉 = |Σ+〉;

• U−|n〉 = U−|1,+1〉 =√

2|1, 0〉 =√

2Σ0U =√

2|aΣ0 + bΛ0〉;

• I+U−|n〉 = I+√

2|aΣ0 + bΛ0〉 =√

2aI+|1, 0〉 =√

2a√

2|1, 1〉 = 2a|Σ+〉

292

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 293 — #293 ii

ii

ii

18.4. Le masse degli adroni

da cui si deduce a = 12 , b = ±

√3

2 , e quindi

Σ0U =

Σ0 +√

3Λ0

2Λ0U =

−√

3Σ0 + Λ0

2

Per la simmetria di U-spin: mΞ0 −mΣ0U

= mΣ0U−mn, ovvero

mΞ0 +mn

2=mΣ0 + 3mΛ0

4

I valori, 1127 e 1135 MeV, confermano la validita della legge di Gell-Mann–Okubo.Per applicare le stesse regole di simmetria ai mesoni, occorre notare che nella equazione

del moto (appendice 42) compare il quadrato della massa e non la massa come nel caso deifermioni. Inoltre esistono tre mesoni combinazioni neutre qq dello stesso sapore. Mentree evidente che π0 e ρ0 fanno parte dell’ottetto, non e ovvio quale degli altri due mesoni diisospin I = 0 assegnare all’ottetto e quale al singoletto. Le masse dei mesoni pseudoscalarie dei mesoni vettori sono riportate nella tabella insieme ai principali modi di decadimento

I m → B I m → Bπ0 1 135.0 γγ 0.99 ρ0 1 775.8 π+π− 1.00

η 0 547.7 γγ 0.39 ω 0 782.6 π+π0π− 0.89π0π0π0 0.32 π0γ 0.09π+π0π− 0.23

η′ 0 957.8 ηπ+π− 0.44 φ 0 1019.4 K+K− 0.49

ηπ0π0 0.21 K0K0 0.34ρ0γ 0.30 π+π0π− 0.15

Se applichiamo la formula precedente, la massa dello stato |0, 0〉 dell’ottetto e

m28P =

4m2K0 −m2

π0

3m2

8V =4m2

K∗0 −m2ρ0

3

i valori sono: m8P = 569 MeV 6= mη,mη′ ; m8V = 930 MeV 6= mω,mφ e quindi nessunodei due e uno stato di ottetto o singoletto. Invertendo l’argomento, possiamo utilizzare ivalori di m8 per determinare la combinazione degli stati qq che rappresentano i mesoni. Imesoni ω e φ sono combinazioni lineari degli stati |0, 0〉1 e |0, 0〉8

φ = cos θ|1〉+ sin θ|8〉 |1〉 = (uu+ dd+ ss)/√

3

ω = − sin θ|1〉+ cos θ|8〉 |8〉 = (uu+ dd− 2ss)/√

6

e analogamente per i mesoni η e η′. I valori delle masse sono

m2φ = m2

1 cos2 θ +m28 sin2 θ +m2

18 2 sin θ cos θ

m2ω = m2

1 sin2 θ +m28 cos2 θ −m2

18 2 sin θ cos θ0 = −m2

1 sin θ cos θ +m28 sin θ cos θ +m2

18(cos2 θ − sin2 θ)

e, risolvendo il sistema di equazioni, si ottiene

tan2 θP =m2

8 −m2η

m2η′ −m2

8

tan2 θV =m2

8 −m2ω

m2φ −m2

8

293

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 294 — #294 ii

ii

ii


θP = −11, θV = −50 per i mesoni pseudoscalari e i mesoni vettori, per cui (con buonaapprossimazione) la rappresentazione dei mesoni e

π0 η η′ ρ0 ω φuu−dd√

2uu+dd−ss√

3uu+dd+2ss√

6uu−dd√

2uu+dd√

2ss

Questo spiega la piccola differenza di massa ρ–ω e il motivo per cui il mesone φ decadeprevalentemente in stati KK anche se il decadimento φ → πππ ha un fattore di spaziodelle fasi molto maggiore.

Gli adroni rappresentati dalla stessa combinazione di quark appartenenti a multiplettiJP diversi hanno valori di massa diversi, ad esempio m∆+ 6= mp. Questo indica che lamassa dipende dallo stato di spin dei quark. Nel caso dell’interazione elettromagnetica,la differenza di energia dei livelli della struttura iperfina e originata dall’interazione tra imomenti magnetici (capitolo 7)

∆E =2

3~µ1 · ~µ2 |ψ(0)|2 =

8πα

3

~s1 · ~s2

m1m2|ψ(0)|2

dove ψ(0) e il valore della funzione d’onda dello stato legato 1–2 a distanza r = 0 e~µ = 2 e

2m~s e il momento magnetico di un fermione di massa m. L’interazione tra quarkall’interno degli adroni puo essere rappresentata dal potenziale (capitolo 22)

Uqq(r) = −4αs3r

Uqqq(r) = −2αs3r

dove αs e la costante di accoppiamento dell’interazione adronica. Seguendo l’analogia siha

∆Emesone =32παs

9|ψm(0)|2 ~s1 · ~s2

m1m2∆Ebarione =

16παs9|ψb(0)|2

∑j<k

~sj · ~skmjmk

Quindi in generale possiamo esprimere la massa di mesoni e barioni

m(q1q2) = m1 +m2 + a~s1 · ~s2

m1m2m(q1q2q3) = m1 +m2 +m3 + b

∑j<k

~sj · ~skmjmk

Il prodotto scalare degli spin si ottiene dalla relazione

~J 2 = (~s1 + ~s2 + ~s3)2 = s21 + s2

2 + s32 + 2(~s1 · ~s2 + ~s2 · ~s3 + ~s3 · ~s1)

J = 0 1 1/2 3/2∑~sj · ~sk = −3/4 +1/4 −3/4 +3/4

Facendo l’ipotesi aggiuntiva mu = md, si ha, per i mesoni:

π : mπ = 2mu − 34am2u

K : mK = mu +ms − 34

amums

η : uu+dd−ss√3

; mη = 43mu + 2

3ms − 12am2u− 1

4am2s

η′ : uu+dd+2ss√6

; mη′ = 23mu + 4

3ms − 14am2u− 1

2am2s

294

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 295 — #295 ii

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ii

18.5. Colore dei quark

ρ ω : uu∓dd√2

;mρ+mω

2 = 2mu + 14am2u

K∗ : mK∗ = mu +ms + 14

amums

φ : mφ = 2ms + 14am2s

per i barioni:

N : mN = 3mu − 34bm2u

Λ : lo stato e antisimmetrico per lo scambio u ↔ d, quindi Jud = 0, ~su · ~sd = −3/4,(~su + ~sd) · ~ss = 0; mΛ = 2mu +ms − 3

4bm2u

Σ : lo stato e simmetrico per lo scambio u ↔ d, quindi Jud = 1, ~su · ~sd = +1/4,(~su + ~sd) · ~ss = −3/4− 1/4 = −1; mΣ = 2mu +ms + 1

4bm2u− b

mums

Ξ : analogo al precedente scambiando u↔ s; mΣ = mu + 2ms + 14bm2s− b

mums

∆ : nel caso di spin 3/2 ciascuna coppia di quark contribuisce con un termine +1/4,m∆ = 3mu + 3

4bm2u

Σ∗ : mΣ∗ = 2mu +ms + 14bm2u

+ 12

bmums

Ξ∗ : mΞ∗ = mu + 2ms + 14bm2s

+ 12

bmums

Ω : mΩ = 3ms + 34bm2s

I valori delle masse che si ottengono sono leggermente diversi nei due casi

mu (GeV ) ms (GeV ) GeV 3

mesoni 0.31 0.49 a = 0.060barioni 0.36 0.54 b = 0.026

I parametri a e b sono determinati dal valore di αs e dalla dimensione dell’adrone. Seassumiamo che la funzione d’onda soluzione del potenziale sia del tipo ψ(r) = 1√

πR3e−r/R

(appendice 34) si ha

a =32αs

9

(hc)3

R3m

b =16αs

9

(hc)3

R3b

Introducendo i valori del raggio quadratico medio dei mesoni e dei barioni si ha αs = 0.5÷1.

18.5 Colore dei quark

Il modello a quark riproduce i numeri quantici degli adroni assumendo che i quark costi-tuenti siano fermioni di spin 1/2. Inoltre la previsione dei momenti magnetici e basatasull’ipotesi che siano puntiformi. La verifica sperimentale di queste ipotesi e presentatanel capitolo 20. Ma quark identici si trovano in uno stato simmetrico rispetto allo scambiodi coordinate, spin e sapore e questo non e possibile.

In effetti i quark sono caratterizzati da un’altro numero quantico: la carica adronicache e la sorgente del campo dell’interazione adronica. Questa carica e chiamata colore.

295

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 296 — #296 ii

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ii


Per rendere antisimmetriche le combinazioni dei quark che corrispondono agli stati degliadroni, occorre che ci siano tre colori: ciascun sapore di quark esiste in tre stati di colore.Questi sono di solito indicati con red, blue, green R,B,G. La simmetria degli stati dicolore e la stessa simmetria SU(3) introdotta per gli stati di sapore. I generatori dellasimmetria sono otto e corrispondono agli otto modi con cui i colori dei quark possonointeragire tra loro

RB BG GR (RR−BB)/√

2

BR GB RG (RR+BB − 2GG)/√

6

Oltre a questi esiste lo stato simmetrico, singoletto di colore, (RR+BB+GG)/√

3 in cuile tre combinazioni incolori hanno lo stesso peso.

I colori dei quark sono le sorgenti dell’interazione adronica e l’interazione e trasmessacon otto campi bosonici chiamati gluoni. Il nome ha origine dalla natura dell’interazione:gli adroni interagiscono fortemente quando sono ”incollati”. Per spiegare perche nelleinterazioni degli adroni non si osserva un’intensa radiazione di colore si fa l’ipotesi che leparticelle osservate siano sempre in uno stato incolore. Per gli stati dei mesoni, questocorrisponde alle combinazioni qR1 q

R2 , . . .. Gli stati dei barioni sono rappresentati dalle

combinazioni antisimmetriche ΣRBG εRBG qR1 qB2 q

G3 in cui sono presenti i tre colori.

Esempio: decadimento π0 → γγ

I quark sono dotati di carica elettrica e quindi sono anche autostati dell’interazione elettro-magnetica. Come verifica dell’esitenza di tre stati di colore consideriamo il decadimentoelettromagnetico del mesone π0. Lo stato iniziale e costituito dalla combinazione di coppiequark–antiquark: π0 = (uu−dd)/

√2. La transizione qq → γγ (Fig. 18.6) e simile a quella

del positronio (capitolo 6), ma occorre tener conto della carica frazionaria dei quark, delnumero di stati di colore, Nc, e della funzione d’onda della coppia qq nel pione, fπ,

〈γγ|Hem|(uu− dd)/√

2〉 ∝ fπNc1√2

(4e2

9− e2

9

)

La larghezza di decadimento e quindi proporzionale al quadrato del numero di colori:Γ(π0 → γγ) ∝ |fπ|2N2

c α2/18. Il confronto con il valore misurato indica che il numero di

colori e Nc = 3.

Qe

Qe

q

q

g

g

p0

Figura 18.6: Decadimento π0 → γγ nel modello a quark

296

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 297 — #297 ii

ii

ii

Capitolo 19

Interazioni deboli

Il modello a quark ha portato una notevole semplificazione nel panorama delle particelle:gli adroni non sono particelle elementari ma sono costituiti da fermioni di spin 1/2 punti-formi, come i leptoni, ma dotati di una carica di colore sorgente dell’interazione adronica.L’interazione adronica avviene mediante lo scambio di gluoni, bosoni di spin 1. I quarksono dotati di carica elettrica e quindi partecipano anche all’interazione elettromagnetica.Gli adroni sono soggetti anche all’interazione debole: esempi sono il decadimento β deinuclei (capitolo 15), il decadimento del pione e delle particelle strane. In questi decadi-menti sono emessi leptoni µ±, e±, ν, ν, e adroni quindi anch’essi soggetti all’interazionedebole.

L’interazione debole e universale: coinvolge tutti i fermioni, quark e leptoni, e lacostante di accoppiamento e la stessa per quark e per leptoni: la costante universale diFermi con diversi pesi secondo il sapore dei quark.

19.1 Il propagatore dell’interazione debole

Nella teoria di Fermi dell’interazione a contatto il propagatore e costante, ma questo nonpuo descrivere le interazioni deboli a energia elevata. Consideriamo lo scattering elasticodi neutrini da un bersaglio di elettroni νµe

− → µ−νe. Il quadrato dell’energia totales = (Pν + Pe)

2 e invariante. Nel riferimento del laboratorio s = 2mec2Eν . Nel centro di

massa della reazione s = (2pc)2. A energia√s mec

2 il neutrino e l’elettrone hanno lastessa elicita e impulsi opposti, quindi lo stato di momento angolare totale e J = 0: lasezione d’urto non dipende dall’angolo di scattering. La sezione d’urto e

dσ

dΩ=

1

c

2π

h|〈µν|Hw|νe〉|2

p2

8π3h3c

L’elemento di matrice e lo stesso che interviene nel decadimento del muone ed e unacostante, quindi la sezione d’urto aumenta con l’energia

σ(νµe− → µ−νe) =

G2(hc)2

πs

Ma la sezione d’urto non puo superare il limite di unitarieta definito dallo sviluppo in ondeparziali (capitolo 8)

σ ≤ 4π(hc)2

(pc)2

∑`

(2`+ 1)

297

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 298 — #298 ii

ii

ii

Capitolo 19. Interazioni deboli

Per un’interazione a contatto contribuisce solo lo stato ` = 0 e quindi si ha il vincoloG2s/π ≤ 16π/s, per cui il modello con interazione a contatto puo essere valido soloper energie minori di

√s =

√4π/G ≈ 103 GeV . Di qui la necessita di introdurre un

propagatore dell’interazione, ad esempio nella forma (1 + q2/M2)−1 (M e la massa delbosone mediatore dell’interazione), in modo che per valori dell’impulso trasferito q > Mla sezione d’urto diminuisca proporzionalmente a G2(1 + q2/M2)−2.

19.2 Decadimento del muone

Nella teoria di Fermi la hamiltoniana di interazione e costruita con due correnti fermioni-che, J+ e J−, che si comportano come gli operatori dell’isospin G± = G1± iG2: cambianola carica elettrica di una unita

G+u = 0 G+d = u G−u = d G−u = 0

l’interazione debole e quindi mediata da due bosoni dotati di carica elettrica, chiamatiW±, W per weak (capitolo 23).

Nel decadimento β−, AZX → A

Z+1Y e− νe, un neutrone del nucleo X si trasforma in unprotone del nucleo Y emettendo un bosone W− che produce la coppia leptone–antileptonee−νe. E analogamente per il decadimento β+. Lo stesso avviene con i quark, ad esempionel decadimento del neutrone un quark d si trasforma in un quark u emettendo un bosoneW−

n = udd→ ud uW− → udu e−νe = pe−νe

e analogamente per un protone legato in un nucleo. La vita media del decadimento β,derivata nel capitolo 15, e

h

τ=

G2

2π3|Mif |2

∫ pmax

0(. . .) dpe

dove Mif e l’elemento di matrice della transizione adronica e l’integrale, nel limite pmax mec, e proporzionale a p5

max (legge di Sargent). Le transizioni β, rappresentate in modo

u

d

d

u

d

u

n

e

d

u

u

d

ud

n

e

e e

Figura 19.1: Decadimento β− del neutrone e decadimento β+ di un protone legato nelnucleo

grafico in Fig. 19.1, sono simili al decadimento del muone. In questo caso sono coinvoltisolo leptoni (Fig. 19.2) e il calcolo dell’elemento di matrice non ha incertezze dovute aeffetti di interazione adronica. La probabilita di decadimento del muone (appendice 46) e

d2Γ(µ±)

dEe d cos θ=

4π2G2F

3(2π)5[(3mµ − 4Ee)∓ (mµ − 4Ee) cos θ]

1± he2

mµpeEe

298

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 299 — #299 ii

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ii

19.2. Decadimento del muone

dove θ e l’angolo tra lo spin del muone e l’impulso dell’elettrone e he = ~se · ~pe/sepe el’elicita dell’elettrone. I positroni sono emessi con elicita he+ = +1 e gli elettroni conelicita he− = −1. L’elettrone ha impulso massimo quando e emesso in direzione opposta

n

e

n

em

e

nm

m

nm

e

Figura 19.2: Decadimento del muone

ai due neutrini e poiche me mµ si ha Emax ' pmax ' mµ/2. Introducendo la variabileadimensionale ε = Ee/Emax si ha

d2Γ(µ±)

dε d cos θ=G2Fm

5µ

192π3[(3− 2ε)∓ (1− 2ε) cos θ] ε2 (19.1)

La distribuzione in energia dell’elettrone aumenta con ε ed e massima per ε = 1

dΓ

dε=G2Fm

5µ

192π32 (3− 2ε) ε2

La distribuzione angolare mostra che l’elettrone [positrone] ha maggiore probabilita diessere emesso nella direzione opposta [concorde] a quella dello spin del muone

dΓ(µ±)

d cos θ=G2Fm

5µ

192π3

1

2

(1± cos θ

3

)Nel limite β → 1 l’elicita si conserva in una interazione vettoriale o assialvettoriale (appen-dice 42) e questo fa in modo che l’elettrone sia emesso con impulso mediamente maggioredi quello dei neutrini e che la direzione di emissione sia correlata con quella dello spin delmuone come illustrato in Fig. 19.3. La vita media del muone dipende solo dalla massa e

e

nnm

e sm s s sn ne

q

10.50 +10-1e

G ed /d G qd /d cos

qcos

Figura 19.3: Decadimento µ− → νµe−νe: distribuzione dell’energia dell’elettrone e

correlazione tra le direzioni dell’impulso e dello spin del muone

dalla costante universale di Fermi GF ; questa e appunto determinata dalla misura di τµ

Γ(µ→ eνν) =h

τµ=G2Fm

5µ

192π3⇒ GF = 1.166379± 0.00001× 10−5 GeV −2 (19.2)

Il valore di GF e leggermente maggiore di quello che si ottiene dallo studio dei decadimentiβ dei nuclei: l’accoppiamento del campo debole con i leptoni non e esattamente uguale aquello con i quark (W+ → e+νe = W+ → µ+νµ 6= W+ → ud).

299

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 300 — #300 ii

ii

ii


19.3 Decadimenti leptonici dei mesoni

I mesoni pseudoscalari decadono per interazione debole. La tabella indica i modi didecadimento con solo leptoni nello stato finale, le frazioni di decadimento e la vita media

∆S = 0 π+ → µ+νµ 1.00 π+ → e+νe 1.23 10−4 τ = 2.60 10−8 s∆S = 1 K+ → µ+νµ 0.635 K+ → e+νe 1.55 10−5 τ = 1.24 10−8 s

La stranezza non si conserva nell’interazione debole: esistono decadimenti con ∆S = 0 edecadimenti con ∆S = 1. Poiche l’interazione e mediata da un bosone carico le transizionitra quark sono

∆S = 0 u↔ d ∆S = 1 u↔ s

e non esistono transizioni deboli d ↔ s (Fig. 19.4). Prendendo come esempio il decadi-

ud

s

Y

I3

u d

s

Y

I3

Figura 19.4: Transizioni deboli dei quark con ∆S = 0 e ∆S = 1

mento π+ → µ+νµ, la larghezza e

dΓ(π → µν) = costante× |〈µν|Hw|ud〉|2 p2 dp

dEdΩ

I mesoni π e K hanno spin zero e quindi la probabilita di decadimento non ha dipendenzaangolare. I mesoni hanno parita negativa e quindi l’operatore che agisce nella hamiltonianadeve assorbire lo stato |0−〉 e l’elemento di matrice e di tipo assialvettoriale. I decadimentileptonici dei mesoni pseudoscalari sono rappresentati in Fig. 19.5. L’impulso del muone e

d

u m

nm

p

s

u m

nm

K

Figura 19.5: Rappresentazione grafica dei decadimenti leptonici dei mesoni π e K

del neutrino e p = (M2 −m2)/2M (M e la massa del mesone, m e la massa del leptonecarico). Il fattore di spazio delle fasi e

p2 dp

dE=

(M2 −m2)2

4M2

M2 +m2

2M2

L’elemento di matrice dipende dalla costante di accoppiamento, e dalla funzione d’ondadei quark nel pione fπ. Inoltre occorre tener conto che in uno stato di momento angolare

300

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 301 — #301 ii

ii

ii

19.3. Decadimenti leptonici dei mesoni

totale J = 0 i leptoni sono emessi con la stessa elicita. Il neutrino e un autostato di elicitahν = −1. La probabilita che il µ+ (antifermione) abbia elicita negativa e

1− βµ2

=m2

M2 +m2

Quindi la larghezza di decadimento e proporzionale al quadrato della massa del leptone.Questo spiega perche i decadimenti in elettrone siano fortemente soppressi rispetto aidecadimenti in muone. Introducendo i vari fattori, la larghezza dei decadimenti leptonicidei mesoni pseudoscalari e

Γ(π → `ν) =G2d

8πf2πmπ m

2` (1−m2

`/m2π)2 Γ(K → `ν) =

G2s

8πf2KmK m2

` (1−m2`/m

2K)2

Nel primo caso (∆S = 0) si ha una transizione ud → W+ → `+ν: la costante Gd equella del decadimento β dei nuclei. Nel secondo caso (∆S = 1) si ha una transizioneus → W+ → `+ν e la costante Gs non e necessariamente uguale a Gd. Il rapporto traqueste costanti si puo estrarre dai risultati sperimentali

Γ(K → µν)

Γ(π → µν)=B(K → µν)

B(π → µν)

τπτK

= 1.33 =G2s

G2d

f2KmK

f2πmπ

(1−m2µ/m

2K)2

(1−m2µ/m

2π)2

Il rapporto che si ottiene dai decadimenti leptonici dei mesoni pseudoscalari per le transi-zioni di tipo assiale e

|A(∆S = 1)|2

|A(∆S = 0)|2=G2s

G2d

≈ 0.05

dove la maggiore incertezza deriva dalla conoscenza delle funzioni d’onda, chiamate (im-propriamente) costanti di decadimento, fπ ' 130 MeV e fK ' 160 MeV .

Fasci di neutrini

I neutrini sono fermioni puntiformi soggetti solo all’interazione debole ed e quindi di grandeinteresse avere a disposizione intensi fasci di neutrini per studiarne le interazioni su bersaglidi nuclei o di elettroni. Il metodo di produrre fasci di neutrini e stato suggerito da BrunoPontecorvo e Melvin Schwarz [30, 31] (Fig. 19.6).

Figura 19.6: Fascio di neutrini νµ.

Se si invia un fascio di protoni di alta energia su un bersaglio si producono mesoniπ± e K±. I mesoni emessi in avanti con impulso elevato si possono selezionare con unopportuno sistema magnetico, una lente magnetica, che ha il fuoco nel bersaglio e produce

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un fascio quasi parallelo di mesoni con carica elettrica positiva [negativa] e defocalizzaquelli con carica negativa [positiva]. I mesoni decadono a valle del bersaglio: quelli dicarica positiva producono neutrini νµ, quelli di carica negativa antineutrini νµ. Scegliendola polarita dei magneti si selezionano νµ oppure νµ.

Il cammino di decadimento dei mesoni e λ = (p/mc)cτ , tipicamente di alcune centinaiadi metri. A valle del bersaglio si lascia un lungo spazio vuoto in cui gran parte dei mesonidecadono. In questo canale di decadimento si propagano i neutrini, i muoni e i mesoniche non sono decaduti. A valle del canale di decadimento c’e un lungo assorbitore dimateriale di elevata densita in cui i mesoni residui sono assorbiti per interazione nuclearee i muoni perdono energia per ionizzazione. I neutrini, soggetti solo ad interazione debole,lo attraversano indisturbati.

Consideriamo un mesone con impulso p e energia E (E ≈ p). Nel riferimento delmesone l’impulso e l’energia del neutrino e del muone sono

p∗ =M2 −m2

2M= E∗ν E∗µ =

M2 +m2

2M

Il mesone ha spin zero e quindi la distribuzione angolare nel suo riferimento e uniforme.Nel riferimento del laboratorio le componenti trasversa e longitudinale dell’impulso sono

pT = p∗ sin θ∗ pL = γp∗ cos θ∗ + βγE∗ =E

Mp∗ cos θ∗ +

p

ME∗

Tipicamente γ e molto grande e quindi pL pT . La distribuzione della componentelongitudinale e uniforme

dn

dpL=

dn

d cos θ∗d cos θ∗

dpL=

1

2γp∗= costante

Il valore minimo dell’energia del neutrino si ha quando e emesso all’indietro nel riferimentodel mesone (cos θ∗ = −1) pmin = 0; il valore massimo quando e emesso in avanti (cos θ∗ =+1) pmax = (2p∗/M)p.

Se invece si vuole selezionare un fascio di muoni si riduce lo spessore dell’assorbitore inmodo da eliminare solo i mesoni. Il valore minimo dell’impulso e pµmin = pνmax, e il valoremassimo e pari all’impulso del mesone. Si possono realizzare fasci di muoni, µ+ oppureµ−, con energia molto maggiore dei fasci di elettroni perche questi perdono energia perirraggiamento ed e piu difficile raggiungere energie elevate. Inoltre i fasci di muoni sononaturalmente polarizzati: un µ+ con impulso minimo ha elicita positiva e con impulsomassimo ha elicita negativa, e l’inverso avviene per un µ−.

Due diversi neutrini

Uno dei primi esperimenti con un fascio di neutrini fu fatto nel 1961 da Leon Lederman,Melvin Schwartz e Jack Steinberger 1 e collaboratori e aveva lo scopo di verificare se idue neutrini emessi nel decadimento del muone fossero diversi [32]. Se esiste un solo tipodi neutrino, questo nell’interazione con i nuclei di un bersaglio puo produrre con ungualeprobabilita sia elettroni che muoni: σ(νN → e−X) = σ(νN → µ−X). Se invece i dueneutrini sono diversi, il fascio contiene essenzialmente neutrini νµ perche i mesoni hanno


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19.4. La Parita non si conserva

bassa probabilita di decadere in elettroni. In questo caso si deve ossevare solo la produzionedi muoni nello stato finale: νµN → µ−X. Questo e quanto si e osservato nell’esperimentoper cui si e concluso che esistono due distinte famiglie di leptoni e che il numero leptonicoassociato all’elettrone e al neutrino νe si conserva separatamente da quello associato almuone e al neutrino νµ.

leptoni

(νee−

) (νµµ−

)antileptoni

(νee+

) (νµµ+

)

19.4 La Parita non si conserva

La parita di uno stato non si conserva necessariamente nell’interazione debole. Questofenomeno, osservato nel decadimento dei mesoni K±, e confermato dallo studio dei de-cadimenti β di nuclei polarizzati (capitolo 15). Un secondo esempio e il decadimentoleptonico dei mesoni π e K, ad esempio π+ → µ+νµ (Fig. 19.7). Il pione ha spin zeroe quindi µ+ e νµ hanno la stessa elicita negativa (il neutrino e autostato dell’elicita conhν = −1)

p mn pm n

p mn pm n

P

C CP

Figura 19.7: Decadimento π+ → µ+νµ

• se si applica a questo stato la trasformazione di parita, gli spin rimangono invariatie gli impulsi cambiano direzione: si ottiene uno stato in cui µ+ e νµ hanno elicitapositiva, questo non e uno stato possibile;

• se si applica allo stato iniziale la trasformazione di coniugazione di carica, π+ → π−,µ+νµ → µ−νµ, si ottiene un antineutrino nello stato di elicita negativa: anche questonon e uno stato possibile;

• se si applicano le due trasformazioni, parita × coniugazione di carica, si passa dallostato µ+νµ con elicita negativa allo stato µ−νµ con elicita positiva che sono i solidue stati possibili.

Quindi l’interazione debole non rispetta la simmetria per parita ne quella per coniugazionedi carica, ma rispetta la simmetria CP.

Lo stesso avviene per il decadimento del muone, µ− → νµe−νe (Fig. 19.8). La pro-

babilita di decadimento dipende da una quantita pseudoscalare, il prodotto ~sµ · ~pe, chesi inverte per trasformazione di parita. Se si ha un µ− polarizzato, l’elettrone e emessopreferenzialmente nella direzione opposta allo spin ~sµ. Applicando la trasformazione P ,~sµ non cambia direzione ma ~pe si inverte: non si ha la configurazione del decadimento

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Figura 19.8: Decadimento µ− → νµe−νe e µ+ → νµe

+νe

di partenza. Applicando la trasformazione C, cambia il segno della carica elettrica e ladirezione del campo magnetico, ma non la direzione di emissione del positrone: di nuovonon si ha una configurazione possibile. Applicando la trasformazione CP si ottiene ildecadimento µ+ → νµe

+νe con il positrone emesso preferenzialmente nella direzione dellospin del µ+.

Questo e stato verificato sperimentalmente. Il primo esperimento fu fatto da RichardGarwin, Leon Lederman e Marcel Weinreich nel 1957 [33] pochi mesi dopo l’esperimentosul decadimento del 60Co polarizzato. Si usa un fascio di mesoni π+ di bassa energia e ipioni perdono tutta l’energia cinetica in un assorbitore di Carbonio ”C” prima di decadere(Fig. 19.9). La coincidenza temporale di due rivelatori, ”A” e ”D”, posti lungo la direzione

pA D B

E

F

C

e

m

Figura 19.9: Decadimento π+ → µ+νµ, µ+ → νµe+νe: misura della correlazione tra

l’impulso del positrone e lo spin del muone

di volo dei π+ prima e dopo l’assorbitore segnala che i µ+ sono emessi in avanti e quindisono naturalmente polarizzati con elicita negativa. I µ+ perdono l’energia cinetica e siarrestano in un secondo assorbitore, ”B”, dove decadono µ+ → νµe

+νe. L’assorbitore ecircondato da rivelatori, ”E” e ”F”, che segnalano la direzione di emissione dei positroni.Tra questi rivelatori c’e uno spessore di materiale e si possono selezionare i positronicon energia elevata, prossima al valore massimo Emax = mµ/2. Si osserva che questisono emessi preferenzialmente nella direzione opposta a quella del fascio di π+, cioe nelladirezione dello spin dei µ+. Quindi la direzione (e il modulo) dell’impulso del positrone,~pe, e correlata con la direzione dello spin del muone ~sµ secondo la previsione della teoriaV –A dell’interazione debole.

Per verificare che l’interpretazione del risultato fosse corretta, il secondo assorbitore fuimmerso in un campo magnetico con direzione normale alla linea di volo dei π+. In questocaso il momento della forza che agisce sul momento magnetico del muone, ~µ× ~B, produce la

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19.4. La Parita non si conserva

precessione del momento magnetico ~µ = g e2mµ

~s attorno alla direzione del campo e quindi

anche la rotazione dell’impulso dell’elettrone con la stessa frequenza ω = gµeB/2mµ. Il

risultato e che il numero di positroni rivelato ad un certo angolo nel piano normale a ~Be modulato dalla frequenza ω. Con questo metodo fu fatta la prima misura del fattoregiromagnetico del muone, gµ, e fu dimostrato che e uguale a quello dell’elettrone, gµ ' 2.

Un altro esperimento suggerito da Lee e Yang per verificare la violazione della paritanell’interazione debole, anche in processi in cui non sono coinvolti neutrini, e la misuradell’asimmetria nella distribuzione angolare del decadimento del barione Λ0 [34]. Nell’e-sperimento, eseguito nel 1957, i barioni Λ0 sono prodotti in interazioni di un fascio dimesoni π− di energia Eπ ' 1 GeV in camera a bolle e si misura la distribuzione angolaredel decadimento nel riferimento del Λ0

π−p→ Λ0K0 Λ0 → π−p

La figura 19.10 mostra lo schema della misura. La direzione del fascio e del Λ0 definisconoil piano di produzione, l’impulso nel centro di massa di Λ0 e K0 e pcm ' 250 MeVe Λ0 e prodotto con polarizzazione Pn nella direzione normale al piano di produzione,n ‖ ~pfascio × ~pΛ. Gli impulsi di protone e π− definiscono il riferimento del Λ0 e il piano didecadimento in questo riferimento. Nell’esperimento si misura la distribuzione dell’angolodi emissione del pione rispetto alla normale al piano di produzione rappresentata con

dn

d cos θπ= 1 + α〈P 〉 cos θπ

dove 〈P 〉 e il valore medio della polarizzazione e α (−1< α <+1) misura la anisotropianel decadimento. Si osserva che la distribuzione non e isotropa, una chiara evidenza diviolazione della parita e che α〈P 〉 > 0, cioe π− e emesso prevalentemente nella direzionedi n e il protone nella direzione opposta.

π – p → Λ0 K0 Λ0 → π

– p

π –

Λ0

p

π –

θ

p

π –

p

production plane

Figura 19.10: Misura dell’asimmetria del decadimento Λ0 → π−p.

Il barione Λ0 e rappresentato dallo stato antisimmetrico ud−du√2s e la direzione dello

spin del quark s e quella della polarizzazione Pn. Nella transizione s→ uud il pione (ud)ha spin 0 e il fermione, il quark u che forma il protone, viene emesso prevalentemente nelladirezione opposta a n.

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19.5 Decadimenti semileptonici

Decadimenti semileptonici dei mesoni

I mesoni π e K possono decadere in un adrone e una coppia elettrone–antineutrino, comeavviene nel decadimento β. La tabella indica i modi possibili e le relative frazioni didecadimento

∆S = 0 π+ → π0e+νe 1.0 10−8

∆S = 1 K+ → π0e+νe 0.048 K+ → π0µ+νµ 0.032

I mesoni nello stato iniziale e finale hanno spin zero: si tratta di una transizione di Fermi0− → 0− e quindi l’elemento di matrice e di tipo vettoriale. Nelle transizioni con ∆S 6= 0cambia l’isospin e la carica elettrica dell’adrone

s→ u K− → π0e−νe ∆I = 1/2 ∆S = ∆Q = −1s→ u K+ → π0e+νe ∆I = 1/2 ∆S = ∆Q = +1

La rappresentazione dei decadimenti semileptonici dei mesoni e mostrata in Fig. 19.11.Nel caso del decadimento del mesone π si puo utilizzare l’approssimazione della legge diSargent con pmax ' ∆m = mπ+ − mπ0 me. Nel secondo caso l’approssimazione conpmax = (mK/2)(1−m2

π/m2K) e meno accurata. Le larghezze di decadimento sono

Γ(π+ → π0e+νe) ' 2G2d

2π3

∆m5

30Γ(K+ → π0e+νe) '

G2s

48π3

m5K(1−m2

π/m2K)5

32

Il valore misurato del rapporto tra le larghezze di decadimento e

u

d

u

u

n

e

e

u

d

d

n

e

e

s

d

u

u

u

n

e

e

p po

po

K

Figura 19.11: Rappresentazione grafica dei decadimenti semileptonici π+ → π0e+νe eK+ → π0e+νe

Γ(K+ → π0e+νe)

Γ(π+ → π0e+νe)=B(K+ → π0e+νe)

BB(π+ → π0e+νe)

τπτK

= 9.9 106

Da questo si ottiene che il rapporto tra le costanti di accoppiamento per le transizioni ditipo vettoriale e simile a quello per le transizioni di tipo assiale

|V (∆S = 1)|2

|V (∆S = 0)|2=G2s

G2d

≈ 0.05

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19.6. L’angolo di Cabibbo

Decadimenti semileptonici dei barioni

Anche i barioni con stranezza decadono β come il neutrone. I grafici sono simili a quellidella Fig. 19.1. Esempi dei modi semileptonici con ∆S = 0 e ∆S = 1 e delle frazioni didecadimento sono

∆m (MeV ) B τ (s)

∆S = 0 n→ pe−νe 1.29 1 887Σ+ → Λ0e+νe 73.7 0.20 10−4 0.80 10−10

Σ− → Λ0e−νe 81.7 0.57 10−4 1.48 10−10

∆S = 1 Λ0 → pe−νe 177.4 8.32 10−4 2.63 10−10

Σ− → ne−νe 257.8 1.02 10−3 1.48 10−10

Ξ0 → Σ+e−νe 125.5 2.7 10−4 2.90 10−10

Ξ− → Λ0e−νe 205.6 5.63 10−4 1.64 10−10

Ξ− → Σ0e−νe 128.7 0.87 10−4 1.64 10−10

Gli antibarioni decadono allo stesso modo negli stati coniugati di carica, ad esempio:Σ+ → Λ0e−νe, Λ0 → pe+νe, . . . Esistono anche i decadimenti con muoni nello statofinale, ad esempio Λ0 → pµ−νµ, che confermano che gli accoppiamento dei doppietti dileptoni (µ−, νµ), (e−, νe) sono identici. Le relazioni ∆I = 1/2, ∆Q = ∆S, sono valide pertutti i decadimenti con ∆S = 1 osservati. Ad esempio, non si osservano i decadimentiΣ+ → ne+νe, Ξ0 → Σ−e+νe.

I barioni nello stato iniziale e finale sono 1/2+ e quindi l’elemento di matrice e unacombinazione di transizioni vettoriali e assiali. Per questi decadimenti la legge di Sargent euna buona approssimazione perche il barione nello stato finale assorbe una piccola frazionedell’energia cinetica e ∆m me, per cui Γ ' (G2/2π3) (∆m5/30). Il rapporto tra lecostanti di accoppiamento G(∆S = 1)/G(∆S = 0) si ottiene dai dati della tabella. Adesempio

Γ(Σ− → ne−νe)/∆m5Σn

Γ(Σ− → Λ0e−νe)/∆m5ΣΛ

' 0.05 ' G2s

G2d

Anche nel caso dei decadimenti semileptonici dei barioni si conferma che gli elementi dimatrice delle transizioni ∆S = 1 e ∆S = 0 sono diversi e che il rapporto tra le costantidi accoppiamento, G2

s/G2d ≈ 0.05 e lo stesso indipendentemente dal tipo di transizione tra

adroni: quindi deve riflettere una proprieta dei quark costituenti.

19.6 L’angolo di Cabibbo

L’analisi dei decadimenti semileptonici di mesoni e barioni fornisce un quadro coerente conl’ipotesi che questi siano costituiti di quark. Inoltre sia i decadimenti leptonici che quellisemileptonici mostrano che l’accoppiamento dei doppietti di leptoni (e−, νe), (µ−, νµ), conil campo debole e lo stesso. I leptoni sono autostati dell’interazione debole e i quark sonoautostati dell’interazione adronica. Nicola Cabibbo nel 1964 mostro che i quark sono ancheautostati dell’interazione debole. Se i leptoni e i quark sono le sorgenti dell’interazionedebole

• l’accoppiamento degli elettroni al campo debole e proporzionale a una carica debole,geν ;

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• l’accoppiamento dei muoni e proporzionale a gµν e queste due cariche sono uguali:gµν = geν ;

• l’accoppiamento dei quark (u, d) genera le transizioni con ∆S = 0 ed e proporzionalea gud;

• l’accoppiamento dei quark (u, s) genera le transizioni con ∆S = 1 ed e proporzionalea gus.

Gli elementi di matrice delle transizioni che coinvolgono solo leptoni sono proporzionali allacostante di Fermi: 〈f |Hw|i〉 ∝ g2

`ν = GF . Gli elementi di matrice dei processi semileptonicisono

〈f |Hw|i〉∆S=0 ∝ geνgud = Gd 〈f |Hw|i〉∆S=1 ∝ geνgus = Gs

L’ipotesi di Cabibbo (Fig. 19.12) e che l’interazione debole sia universale, cioe che un soloparametro, la costante universale di Fermi (che nel seguito e indicata con G), descrival’accoppiamento del campo debole a leptoni e quark

G = g2eν = g2

ud + g2us ⇒ gud = geν cos θc gus = geν sin θc

Quindi i quark sono anche autostati dell’interazione debole se considerati come un doppiet-

e n m nme du su

g en g ud g usgmn

Figura 19.12: Accoppiamento debole dei leptoni (e−, νe), (µ−, νµ) e dei quark (u, d), (u, s)

to composto dal quark up con carica elettrica +2/3 e da un nuovo quark down combinazio-ne lineare dei quark con carica −1/3: d′ = d cos θc+s sin θc [35]. Questo corrisponde ad unarotazione che conserva il modulo: l’intensita dell’accoppiamento dei quark con il campodebole e la stessa dei leptoni. (Il significato dell’altro stato ”ruotato”, −d sin θc + s cos θc,sara chiarito piu avanti). L’angolo di rotazione e chiamato angolo di Cabibbo e il suo valoree determinato dalla misure delle larghezze di decadimento degli adroni

sin θc = 0.223± 0.001

Gli autostati dell’interazione debole si possono rappresentare con tre doppietti

leptoni

(νee−

) (νµµ−

)quark

(u

d cos θc + s sin θc

)(19.3)

19.7 Decadimenti non leptonici

Le particelle strane decadono per interazione debole anche in stati che contengono soloadroni, e a questo devono il loro nome. Nelle transizioni s ↔ u, s ↔ u, cambia l’isospin,la stranezza e la carica elettrica dei quark e questo si riflette nelle relazioni

|∆I| = 1/2 ∆S = ∆Q

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19.7. Decadimenti non leptonici

gia osservate per i decadimenti semileptonici. La costante di accoppiamento e G sin θc.

L’interazione debole non conserva l’isospin, ma produce uno stato con isospin ~I =~Ii+∆~I. L’interazione adronica conserva l’isospin e quindi gli adroni nello stato finale hannoisospin |I, I3〉 e si formano con probabilita relative definite dai coefficienti di Clebsch–Gordan.

Esempio: decadimento Λ0 → pπ−, Λ0 → nπ0

La transizione con ∆S = 1 e Λ0 = uds → uduW− → uduud, questo e uno stato pione–nucleone. Il barione Λ0 ha isospin IΛ = 0 e decade in uno stato con isospin I = 1/2.Lo stato pione-nucleone ha numero barionico A = +1, carica Q = 0 e terza componentedell’isospin I3 = Q−Y/2 = −1/2; ci sono due combinazioni: p(uud)π−(ud) e n(udd)π0(uu)

|1/2,−1/2〉 =√

1/3 |π0n〉 −√

2/3 |π−p〉

La larghezza di decadimento e proporzionale alla costante di accoppiamento debole, alquadrato dell’elemento di matrice tra lo stato |1/2,−1/2〉 e lo stato adronico, e al fattoredello spazio delle fasi. Questo, per un decadimento in due particelle, e proporzionaleall’impulso nel centro di massa (appendice 46)

Γ(Λ0 → pπ−) = costante × G2sin2θc |〈pπ−|1/2,−1/2〉|2 ppπ−Γ(Λ0 → nπ0) = costante × G2sin2θc |〈nπ0|1/2,−1/2〉|2 pnπ0

Per cui si ha Γ(Λ0 → nπ0)/Γ(Λ0 → pπ−) = pnπ0/2ppπ− ' 1/2. I valori sperimentali dellefrazioni di decadimento sono B(Λ0 → nπ0) = 0.358, B(Λ0 → pπ−) = 0.639.

Esempio: decadimento K0 → π+π−, K0 → π0π0

Allo stesso modo si ottiene un buon accordo con i valori sperimentali delle frazioni didecadimento K0 → ππ. Il mesone K ha isospin I = 1/2: lo stato ππ ha I = 0 oppureI = 1 con terza componente I3 = Q − Y/2 = 0. Ma lo stato di due pioni con momentoangolare totale J = 0, simmetrico per lo scambio delle coordinate, deve essere anchesimmetrico nello spazio dell’isospin; quindi Iππ = pari = 0. Lo stato |0, 0〉 ha pesi ugualiper i tre stati ππ

|0, 0〉 =π+π− − π0π0 + π−π+

√3

⇒ Γ(K0 → π0π0)

Γ(K0 → π+π−)=

p00

2p+−' 1

2

I valori sperimentali delle frazioni di decadimento sono: B(K0 → π0π0) = 0.307, B(K0 →π+π−) = 0.692.

Esempio: decadimento dei barioni Σ

Le larghezze del decadimento adronico dei barioni Σ sono approssimativamente uguali:Γ(Σ+ → pπ0) ' Γ(Σ+ → nπ+) ' Γ(Σ− → nπ−). Il barione Σ+ ha vita media τ+ =0.80 10−10 s e frazioni di decadimento B(Σ+ → pπ0) = 0.516, B(Σ+ → nπ+) = 0.483. Ilbarione Σ− ha un solo modo di decadimento e quindi vita media pari a circa il doppio,τ− = 1.48 10−10 s.

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19.8 Decadimenti dei mesoni K neutri

I mesoni K0, K0, sono prodotti in interazioni adroniche che conservano la stranezza, adesempio

π−p→ K0Λ0 π+p→ K0K+p

quindi sono distinguibili: e possibile conoscere se si e prodotto un K0 oppure un K0

osservando le particelle associate. Inoltre, una volta prodotti, e possibile distinguerliperche nelle interazioni con bersagli di nuclei producono particelle con stranezza oppostae con sezioni d’urto diverse, σ(K0N) < σ(K0N) perche nel secondo caso esistono piu statifinali accessibili

K0p→ K0p K+n K0p→ K0p π+Λ0 π+Σ0 π0Σ+ . . .

K0n→ K0n K0n→ K0n K−p π0Λ0 π0Σ0 π−Σ+ . . .

I mesoni K neutri decadono per interazione debole e seguono le stesse leggi osservate per idecadimenti degli altri mesoni e dei barioni. Possono decadere in stati ππ oppure in statiπππ

K0

K0 → π+π− π0π0 K0

K0 → π+π0π− π0π0π0

e in effetti si osservano tutti questi decadimenti, ma i decadimenti nello stato ππ avvengonocon vita media (τShort) molto piu breve di quella (τLong) dei decadimenti nello stato πππ

K0 (K0)→ ππ τS = 0.89 10−10 s K0 (K0)→ πππ τL = 5.2 10−8 s

Ma questo non e possibile se a decadere e la stessa particella. In effetti K0 e K0 non sonoautostati della simmetria CP e quindi non possono decadere per interazione debole checonserva CP . Invece gli stati finali ππ e πππ sono autostati di CP con autovalori diversi.I pioni sono prodotti in uno stato di momento angolare totale J = 0

• per lo stato ππ, la coniugazione di carica corrisponde all’inversione delle coordinate,quindi CP |ππ〉 = +|ππ〉;

• per lo stato πππ, se ~ e il momento angolare del terzo pione nel riferimento dei primidue, CP |πππ〉 = Pπ(−1)`|πππ〉; l’energia a disposizione, mK − 3mπ ' 90 MeV , etroppo piccola perche sia ` 6= 0; quindi CP |πππ〉 = −|πππ〉.

Non sono quindi i mesoni K0, K0, autostati dell’interazione adronica, a decadere per inte-razione debole. Gell-Mann e Pais [36] osservarono che e possibile formare due combinazionilineari dei mesoni K neutri che sono autostati della simmetria CP , cioe dell’interazionedebole, e che questi corrispondono alle particelle che decadono nei due diversi stati diCP . I mesoni K hanno parita negativa e C|K0〉 = α|K0〉, C|K0〉 = α|K0〉 (con |α|2 = 1,usualmente si sceglie α = −1). Con questa convenzione

CP |K0〉 = +|K0〉 CP |K0〉 = +|K0〉

Le due combinazioni simmetrica e antisimmetrica

|K1〉 =(|K0〉+ |K0〉

)/√

2 |K2〉 =(|K0〉 − |K0〉

)/√

2 (19.4)

310

ii

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ii

ii

19.8. Decadimenti dei mesoni K neutri

sono autostati di CP con autovalori ±1

CP |K1〉 =(|K0〉+ |K0〉

)/√

2 = +|K1〉 CP |K2〉 =(|K0〉 − |K0〉

)/√

2 = −|K2〉

Si ottengono quindi due stati distinti, combinazioni degli autostati dei quark, che possonoavere masse diverse e decadere in stati finali diversi

K1 (|ds〉+ |sd〉)/√

2 CP = +1 → ππ

K2 (|ds〉 − |sd〉)/√

2 CP = −1 → πππ

Il fattore dello spazio delle fasi del decadimento K1 → ππ e molto maggiore di quello deldecadimento K2 → πππ e questo giustifica le due vite medie molto diverse. Le particelleosservate sono chiamate KS (Short) e KL (Long), i modi di decadimento piu probabili ele frazioni di decadimento sono

KS → π+π− 0.692 τS = 0.895 10−10 sπ0π0 0.307

KL → π+π0π− 0.126 τL = 5.12 10−8 sπ0π0π0 0.195π±e∓νe 0.405π±µ∓νµ 0.270

A seguito dell’ipotesi di Gell-Mann e Pais fu fatta una serie di esperimenti, i primi da Paise Piccioni, che verificarono la correttezza dell’interpretazione di queste nuove stranezze deimesoni strane [37].

Nelle interazioni adroniche si possono produrre fasci secondari di mesoni K neutri estudiarne i decadimenti in volo. Consideriamo la produzione associata di particelle straneπ−p → K0Λ0, l’osservazione del decadimento del Λ0 garantisce che si forma un fascio dimesoni K0. Questo e una sovrapposizione dei due austati di CP : K0 = (K1 + K2)/

√2.

Immediatamente a valle del bersaglio si osservano i decadimenti K1 → π+π− che hanno uncammino libero medio λS ≈ cτS = 2.7 cm. A distanza L λS dal bersaglio la componenteK1/√

2 del fascio si e esaurita e si osservano solo i decadimenti K2 → π+π0π− con camminolibero medio molto maggiore λL ≈ cτL = 15.3 m (Fig. 19.13). Ora il fascio, inizialmentecomposto di soli mesoni K0, e composto solo di stati K2 e quindi contiene un numero

uguale di mesoni K0 e di mesoni K0, lo stato e K0−K0

2

pp

Lo

Ko

pp

t

K (t)1

K (t)2

K1 ppK1pppK2

Figura 19.13: Decadimento e rigenerazione di un fascio di mesoni K0

Questo si puo verificare ponendo un assorbitore a distanza L λS dal bersaglio.Infatti la sezione d’urto di interazione delle due componenti e diversa, σ(K0N) > σ(K0N),e la componente K0 e assorbita piu dell’altra. Se f e f sono i fattori di attenuazione perK0 e per K0, lo stato dopo l’assorbitore e

f K0 − f K0

2=

1√2

(f + f

2K2 +

f − f2

K1

)

311

ii

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ii

ii


e poiche f > f si rigenera lo stato K1: subito a valle dell’assorbitore si osservano di nuovoi decadimenti K1 → π+π−.

Analogamente si puo produrre un fascio di mesoni K0, ad esempio in interazioni π+p→K0K+p (se si osserva il decadimento del mesone K+ si e prodotto un K0). Studiandol’evoluzione temporale di un fascio di mesoni K0, oppure K0, si puo verificare che leparticelle K1 e K2 hanno effettivamente masse diverse e misurarne la differenza [38]. Semj e Γj sono le masse e le larghezze di decadimento (Γ1 Γ2) l’evoluzione temporale nelriferimento della particella e (h = 1, c = 1)

K1(t) = K1(0) e−i(m1−iΓ1/2)t K2(t) = K2(0) e−i(m2−iΓ2/2)t

Per un fascio di K0, oppure K0, si ha

K0(t) =[K1(0)e−im1te−Γ1t/2 +K2(0)e−im2te−Γ2t/2

]/√

2

K0(t) =[K1(0)e−im1te−Γ1t/2 −K2(0)e−im2te−Γ2t/2

]/√

2

Se si produce un fascio di N mesoni K0 si ha la condizione iniziale |K0(0)|2 = N ,|K0(0)|2 = 0, cioe K1(0) = K2(0) =

√N/2 e l’intensita del fascio per t τL e

|K0(t)|2 ' N(1 + e−Γ1t + 2e−Γ1t/2 cos ∆mt

)/4

|K0(t)|2 ' N(1 + e−Γ1t − 2e−Γ1t/2 cos ∆mt

)/4

con ∆m = m2−m1. La composizione del fascio si puo determinare misurando le interazioniprodotte dai mesoni K0 e K0 in un secondo bersaglio posto a distanza variabile x dalbersaglio primario: se si conosce l’impulso p, il tempo proprio e t = mx/p (Fig. 19.14). Ilrisultato della misura e

∆m = 0.47 h/τS ∆m = 3.5 10−6 eV

la differenza di massa tra i due stati K1 e K2 e nota con una precisione relativa ∆m/m '10−14 !

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 0 2 . 0 4 . 0 6 . 0 8 . 0 1 0 . 0 1 2 . 0

K0

antiK0

Shortt

bea

m in

ten

sity

proper time /

Figura 19.14: Intensita di un fascio di mesoni K0 in funzione del tempo proprio

312

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 313 — #313 ii

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ii

19.9. Il quarto quark

19.9 Il quarto quark

I mesoniK0 eK0 sono stati coniugati di carica e hanno la stessa massa. Ma le combinazioniK1 e K2 rappresentano due particelle diverse con massa diversa. Il valore della differenza∆m = m2 −m1 si puo calcolare nel modello a quark

m1 =〈K0 +K0|Hw|K0 +K0〉

2m2 =

〈K0 −K0|Hw|K0 −K0〉2

∆m e proporzianle all’elemento di matrice della transizione K0 ↔ K0 con ∆S = 2

∆m = 〈K0|Hw|K0〉+ 〈K0|Hw|K0〉 = 2〈ds|Hw|ds〉

Si tratta di una transizione del secondo ordine. Il calcolo di questo elemento di matrice,considerando il solo contributo dei quark u, d, s da un valore molto piu grande del risultatosperimentale. Il valore di ∆m si calcola integrando lungo le linee chiuse dei grafici inFig. 19.15 dal valore minimo mu al valore massimo mW e si ottiene un valore proporzionalea m2

W . Deve quindi esistere un qualche nuovo fenomeno che impedisce le transizioni incui cambia il sapore dei quark ma non cambia la carica elettrica. Questo e stato messoin luce da Sheldon Glashow, Ioannis Iliopoulos e Luciano Maiani nel 1970 che proposerol’esistenza di un quarto quark [39].

g cos

d

s

q

K0

s

d

u u

g sin q g cosq

g sin q

K0

g cos

d

s

q

s

d

u

u

g sin q g cosq

g sin q

Figura 19.15: Grafici di Feynman della transizione K0 ↔ K0

In effetti gli autostati dell’interazione debole sono i due doppietti di leptoni e un solodoppietto di quark, (u, d′), costruito con un quark di carica elettrica +2/3 e due quark dicarica −1/3. Il risultato corretto per il calcolo di ∆m si puo ottenere se si fa l’ipotesi cheesista un quarto quark di tipo up che fu chiamato charm e indicato con c. Il nuovo quarkha queste caratteristiche:

• carica elettrica +2/3, isospin I = 0, stranezza S = 0 e numero barionico A = 1/3;

• ha un nuovo numero quantico C che, in analogia con la stranezza, si conserva nel-l’interazione adronica e elettromagnetica e non si conserva nell’interazione debole;l’ipercarica e Y = A+ S + C e la relazione di Gell-Mann e Nishijima e modificata

Q = (A+ S + C)/2 + I3 (19.5)

• e autostato dell’interazione debole e forma un secondo doppietto di quark con ilsecondo stato ”ruotato” della teoria di Cabibbo s′ = −d sin θc + s cos θc; quindil’accoppiamento con il campo debole e(

c−d sin θc + s cos θc

)c↔ s G cos θc c↔ d −G sin θc

313

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ii


Con queste ipotesi, si hanno due doppietti di leptoni e due doppietti di quark

leptoni

(νee−

) (νµµ−

)quark

(ud′

) (cs′

)(19.6)

I quark down autostati dell’interazione debole sono d′ e s′ e sono ottenuti con una rotazionedei quark down autostati di SU(3)(

d′

s′

)=

(cos θc sin θc− sin θc cos θc

)(ds

)(19.7)

Nel calcolo dell’elemento di matrice rappresentato dai grafici di Fig. 19.16 ci sono piucontributi, lo scambio del quark u e lo scambio del quark c, che hanno segno opposto e chedipendono dal valore della massa dei quark. Nel risultato dell’integrazione si cancellano itermini che dipendono da m2

W e la differenza di massa e proporzionale al quadrato dellamassa del quark c (se m2

c m2u),

∆m =G2

4π2cos2 θc sin2 θc f

2KmKm

2c

Si ottiene un buon accordo con il valore sperimentale di ∆m se si assume per la massa delnuovo quark mc ≈ 1.5 GeV .

K0 K0d_

d

s_

su

u_

cosθ

cosθsinθ

sinθ

d_

d

s_

sc

u_

-sinθ

cosθsinθ

cosθ

d

d_

s_

su

c_

cosθ

-sinθcosθ

sinθ

d

d_

s_

sc

c_

-sinθ

-sinθcosθ

cosθ

Figura 19.16: Grafici di Feynman della transizione K0 ↔ K0 con il contributo dei quarku e c

I numeri quantici di questo nuovo quark sono rappresentati in Fig. 19.17

S

I

C

3

c

du

s

Figura 19.17: Rappresentazione dei quattro quark

A I3 S C Q

u 1/3 +1/2 0 0 +2/3d 1/3 −1/2 0 0 −1/3c 1/3 0 0 +1 +2/3s 1/3 0 −1 0 −2/3

(19.8)

314

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19.9. Il quarto quark

Se l’interpretazione di Glashow, Iliopoulos e Maiani e corretta, la simmetria del modelloa quark va estesa da SU(3) a SU(4) e devono esistere nuove particelle che contengono ilquark c: devono esistere 4 × 4 stati di mesoni pseudoscalari, di cui nove sono gia noti,che formano un 15-pletto e un singoletto, e altrettanti mesoni vettori; 20 barioni di spin1/2, di cui otto gia noti, etc. Ad esempio, la rappresentazione dei mesoni e mostrata inFig. 19.18.

sdsu

uddu

ussu

cdcu

sc

cs

dcuc

dd uuccss

CS

I3

Figura 19.18: Rappresentazione degli stati dei mesoni nella simmetria SU(4)

La prima particella con charm e stata scoperta nel 1974 da Samuel Ting e BurtonRichter 2 e collaboratori [40, 41], si tratta di un mesone vettore JP = 1− che e rappre-sentato come lo stato cc ed e chiamato J/ψ (due nomi diversi furono assegnati da Tinge da Richter). Il mesone J/ψ ha massa mψ = 3097 MeV . Pochi anni piu tardi sonostati osservati i mesoni pseudoscalari [42], JP = 0−, che decadono per interazione deboleprevalentemente in mesoni K perche la costante di accoppiamento per transizioni c → se proporzionale a G cos θc, i loro stati eccitati JP = 1−, e i barioni JP = 1/2+. Alcuniesempi sono

stato m (MeV ) τ (s)

mesoni D+ dc 1869 1.04 10−12

D0 uc 1865 0.41 10−12

D+s sc 1968 0.50 10−12

barioni Λ+c udc 2286 0.20 10−12

Il terzo leptone

I mesoni con charm furono scoperti nel 1976 come prodotti della annichilazione elettrone-positrone e+e− → D+D−, e+e− → D0D0. Questi possono decadere in modo semileptonico

D+ = dc→ dsW+ → K0e+νe K0µ+νµD− = dc→ dsW− → K0e−νe K0µ−νµD0 = uc→ usW+ → K−e+νe K−µ+νµD0 = uc→ usW− → K+e−νe K0µ−νµ

Analizzando la produzione associata di coppie di leptoni e+e−, µ+µ−, e+µ−, µ+e−, si os-servo che queste venivano prodotte anche in assenza di mesoni K. Questo fenomeno venne


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interpretato da Martin Perl 3 e collaboratori con la produzione di un nuovo leptone [43],chiamato leptone τ , che ha massa simile a quella dei mesoni D. Il leptone τ ha massamτ = 1777 MeV e ha le stesse caratteristiche del leptone µ: puo decadere in un elettroneo in un muone

τ− → ντe−νe τ− → ντµ

−νµ

Se l’accoppiamento con il campo debole e universale, le due probabilita di decadimentosono approssimativamente uguali perche mτ mµ, mτ me. I risultati delle misuresono

B(τ → ντeνe) ≈ B(τ → ντµνµ) = 0.18

La larghezza di decadimento si ricava allo stesso modo che per il muone

Γ(τ → ντeνe) ≈ Γ(τ → ντµνµ) =G2(mτ c

2)5

192π3=h

τB

e la vita media e ττ = 0.29 10−12 s in ottimo accordo con i risultati delle misure.Il neutrino ντ associato al nuovo leptone e l’ultima particella elementare osservata (nel

2000) ed e diverso dagli altri due neutrini νe e νµ. Questo e stato dimostrato producendoun fascio di neutrini ντ e osservando le interazioni che producono [44]. Nelle interazioni diprotoni di alta energia vengono prodotti mesoni π, K, e con probabilita molto piu piccolaanche mesoni D. I mesoni π e K hanno cammini di decadimento di alcuni metri e, selo spessore e la densita del bersaglio sono grandi, vengono assorbiti prima di decadere, imesoniD invece decadono prima di essere assorbiti perche cτ ' 0.3mm λass. Gli adroniprodotti nei decadimenti sono anch’essi assorbiti e i neutrini prodotti nei decadimentisemileptonici D → Keνe, D → Kµνµ, e leptonici D+, D+

s → τ+ντ , D−, D−s → τ−ντ , sipropagano attraverso il bersaglio-assorbitore senza interagire. I neutrini ντ hanno energiamaggiore dei neutrini νe e νµ. A valle dell’assorbitore si osservano le interazioni cheproducono leptoni τ nello stato finale: ντN → τ−X, ντN → τ+X.

Tutte le caratteristiche del leptone τ sono in accordo con l’ipotesi della conservazionedel nuovo numero leptonico e dell’universalita dell’accoppiamento con il campo debole,quindi il quadro dei fermioni sorgenti delle interazioni fondamentali ora diventa

leptoni

(νee−

) (νµµ−

) (νττ−

)quark

(ud′

) (cs′

)(19.9)

19.10 Violazione della simmetria CP

L’interazione debole non conserva ne la parita ne la coniugazione di carica. Nella teoria diLee e Yang (capitolo 15) questo e originato dalla forma della corrente fermionica costruitacome sovrapposizione di una corrente vettoriale e di una corrente assiale, J+ = V +−A+, edella corrente hermitiana coniugata, J− = V −−A−. Tutte le interazioni finora esaminatesono descritte in modo molto accurato trascurando l’effetto del propagatore del campodebole, cioe assumendo un’interazione a contatto tra le correnti nella forma

J+J− = (V + −A+)(V − −A−) = V +V − − V +A− −A+V − +A+A−

In questa espressione la corrente vettoriale cambia segno per trasformazione di parita equella assiale per trasformazione di coniugazione di carica e quindi i termini V +A− e A+V −


316

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 317 — #317 ii

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ii

19.10. Violazione della simmetria CP

non sono invarianti ne per C ne per P , ma lo sono per la trasformazione combinata CP . Lafenomenologia delle oscillazioni e dei decadimenti dei mesoni K neutri e ben interpretatacon l’ipotesi di Gell-Mann e Pais dei due autostati K1 e K2 della trasformazione CP .Questo induce a identificare i mesoni K neutri che decadono con vita media τS e τL congli autostati di CP

KS = K1 CP = +1 KL = K2 CP = −1

Ma nel 1964 James Cronin, Valentine Fitch 4 e collaboratori osservarono una ulteriorestranezza dei mesoni K neutri: i mesoni a vita media lunga, KL, decadono anche in statiππ se pur con probabilita piccola [45]

B(KL → π+π−) = 1.97 10−3 B(KL → π0π0) = 0.86 10−3

Se la stessa particella decade in stati πππ con CP = −1 e in stati ππ con CP = +1: anchela simmetria CP e violata nell’interazione debole. Studiando i decadimenti KS → ππ eKL → ππ in funzione del tempo proprio sono stati misurati i rapporti e gli sfasamenti trale ampiezze di decadimento

〈π+π−|Hw|KL〉〈π+π−|Hw|KS〉

= η+− eiφ+− 〈π0π0|Hw|KL〉

〈π0π0|Hw|KS〉= η00 e

iφ00

I risultati sono: η+− ' η00 = 2.23 10−3, φ+− ' φ00 ' π/4.I parametri η e gli sfasamenti φ sono misurati osservando lo sviluppo temporale di

un fascio di mesoni K neutri che decade nello stato π+π− oppure π0π0. L’ampiezza didecadimento in funzione del tempo proprio e

K0 → ππ(t)

K0 → ππ(t)=

1√2

[〈ππ|H|KS〉e−i(mS−iΓS/2)t ± 〈ππ|H|KL〉e−i(mL−iΓL/2)t

]e la probabilita di decadimento e la sovrapposizione di due funzioni esponenziali e un ter-mine di interferenza proporzionale a η e modulato dalla funzione cos(∆mt−φ) (Fig. 19.19).

|K0 → ππ|2(t)

|K0 → ππ|2(t)=

1

2|〈ππ|H|KS〉|2

[e−ΓSt ± 2η cos(∆mt− φ)e−(ΓS+ΓL)t/2 + η2e−ΓLt

]Quindi le particelle che decadono, KS e KL, non si possono identificare con gli autostati

di CP K1 e K2, ma si possono rappresentare come combinazioni lineari

KS =K1 + εK2

[1 + |ε|2]1/2KL =

εK1 +K2

[1 + |ε|2]1/2|ε| = 2.23 10−3 (19.10)

ovvero, in termini degli autostati dell’interazione adronica

KS =(1 + ε)ds+ (1− ε)ds

[2(1 + |ε|2)]1/2KL =

(1 + ε)ds− (1− ε)ds[2(1 + |ε|2)]1/2

La correttezza di questa interpretazione e stata confermata studiando i decadimenti se-mileptonici dei mesoni KS e KL. Questi ultimi possono decadere KL → π+e−νe e nello


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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 318 — #318 ii

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10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

5 10 15 20 25t / τ

S

K0 -> π π

anti-K0 -> π πdn / dt

Figura 19.19: Interferenza K0 → π+π− ×K0 → π+π−

stato coniugato di carica KL → π−e+νe. Se non ci fosse violazione della simmetria CP ledue probabilita sarebbero uguali. Si osserva invece una asimmetria [46]

Γ(KL → π−e+νe)− Γ(KL → π+e−νe)

Γ(KL → π−e+νe) + Γ(KL → π+e−νe)=|1 + ε|2 − |1− ε|2

|1 + ε|2 + |1− ε|2=

2<ε1 + |ε|2

' 2<ε

Il risultato della misura e 2<ε = 3.3 10−3 in buon accordo con i valori delle ampiezze ηeiφ.La stessa differenza si misura nei decadimenti KL → π+µ−νµ, KL → π−µ+νµ.

Questo e uno dei pochissimi esempi in cui si osserva una asimmetria tra materiae antimateria. Nel decadimento semileptonico dei mesoni KL l’elettrone e emesso conprobabilita piu piccola del positrone. La definizione e− = materia, e+ = antimateriae fatta inizialmente per convenzione. Una volta fatta, ne segue protone = materia,idrogeno = p+e− = materia e cosı via, e analogamente per antiprotone, anti-idrogeno,. . .. Nel decadimento n→ pe−νe [n→ pe+νe] si emettono antineutrini [neutrini] autostatidi elicita positiva [negativa]: i due stati finali non sono simmetrici ne per P ne per C.Ma la violazione delle simmetrie C e P non e sufficiente a rompere la simmetria dellaconvenzione materia/antimateria. Ad esempio un anti-osservatore in un anti-mondo po-trebbe fare le convenzioni sulla carica elettrica ±, sulla parita destra–sinistra in mododiverso. Osserverebbe lo stesso fenomeno del decadimento del nucleo di anti-cobalto 60Copolarizzato con un anti-magnete in cui un anti-elettrone e emesso preferenzialmente nelladirezione dello spin del 60Co, e ne concluderebbe che non c’e simmetria per parita e che,se riuscisse a fare lo stesso esperimento con nuclei 60Co, non c’e neppure simmetria per co-niugazione di carica. Ma, osservando i decadimenti semileptonici dei mesoni KL capirebbese la convenzione e la stessa oppure se e opposta a quella che si usa nel nostro mondo dimateria.

Una delle ipotesi alla base del modello del Big Bang e che all’inizio dell’evoluzionedell’Universo ci fosse simmetria tra materia e antimateria. Ma non si osserva antima-teria nell’Universo. La violazione della simmetria CP e una condizione necessaria, ma

318

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19.11. Altri quark

non sufficiente, per spiegare l’evoluzione di un Universo inizialmente simmetrico in quelloasimmetrico che si osserva oggi in cui non c’e antimateria.

19.11 Altri quark

La teoria dell’interazione debole con due doppietti di quark non e in grado di produrre laviolazione della simmetria CP . La corrente fermionica associata alle transizioni da quarkdown con carica −1/3 a quark up con carica +2/3 e

Jα = (u c) γα(1− γ5)

(cos θc sin θc− sin θc cos θc

)(ds

)

La matrice di Cabibbo dipende da un solo parametro reale. La coniugazione di caricaimplica la coniugazione complessa e per produrre la violazione della simmetria CP occorreche Jα contenga un parametro complesso.

Nel 1973 Makoto Kobayashi e Toshihide Maskawa 5 osservarono che questo si puorealizzare introducendo un nuovo doppietto di quark [47]. Il nuovo doppietto contiene unquark di tipo up, chiamato top, e un quark di tipo down, chiamato bottom o beauty. Inquesto caso la matrice che trasforma gli autostati dell’interazione adronica e una matrice3× 3 e, per rispettare l’universalita dell’accoppiamento al campo debole, la matrice deveessere unitaria.

Con queste ipotesi la corrente fermionica dei quark e

Jα = (u c t) γα(1− γ5)

d′

s′

b′

d′

s′

b′

=

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

dsb

(19.11)

Una matrice complessa 3 × 3 dipende da 18 parametri reali. Nell’espressione di Jαciascun campo di quark puo essere variato per una fattore di fase q → eiφqq e cinque deisei fattori non cambiano la forma di Jα. Se la matrice e unitaria ci sono nove vincoli∑j VajV

∗bj = δab. Quindi una matrice unitaria 3 × 3 dipende da 18 - 5 - 9 = 4 parametri

indipendenti di cui tre sono reali, tre angoli di Eulero di rotazione dei doppietti di quark,e il quarto e complesso.

Introducendo gli angoli di rotazione dei doppietti (θ1 = 2→ 1, θ3 = 1→ 3, θ2 = 3→ 2;ck = cos θk, sk = sin θk) e un parametro complesso eiδ, la matrice di Cabibbo–Kobayashi–Maskawa si rappresenta con il prodotto di tre rotazioni

VCKM =

1 0 00 c2 s2

0 −s2 c2

c3 0 s3e

iδ

0 1 0−s3e

−iδ 0 c3

c1 s1 0−s1 c1 0

0 0 1

=

=

c1c3 s1c3 s3eiδ

−s1c2 − c1s2s3e−iδ c1c2 − s1s2s3e

−iδ s2c3

s1s2 − c1c2s3e−iδ −c1s2 − s1c2s3e

−iδ c2c3

Poiche la matrice 2×2 di Cabibbo fornisce una buona approssimazione dei decadimenti re-lativi ai primi due doppietti di quark, si ha c1c3 ' c1c2 ' cos θc, s1c3 ' s1c2 ' sin θc: risul-ta che anche i termini sin θ2 e sin θ3 sono piccoli. La matrice CKM e approssimativamente


319

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simmetrica con i termini diagonali ≈ 1.

VCKM =≈

c1c2 s1c2 s3eiδ

−s1c2 c1c2 s2c2

−c1c2s3e−iδ −c1s2 c2c3

La prima particella con beauty e stata scoperta nel 1977 studiando le interazioni pN →

µ+µ−X [48]. Si tratta, come nel caso del charm, di un mesone vettore (JP = 1−) bbchiamato Υ che ha massa mΥ = 9460 MeV . Successivamente sono stati osservati i mesonipseudoscalari (JP = 0−) e i barioni (JP = 1/2+) previsti dalla estensione alla simmetriaSU(5) del modello a quark. Alcuni esempi sono

stato m (MeV ) τ (s)

mesoni B+ , B− bu , ub 5279 1.64 10−12

B0 , B0 bd , db 5280 1.52 10−12

B0s , B

0s bs , sb 5367 1.51 10−12

B+c , B−c bc , cb 6275 0.51 10−12

barioni Λ0b udb 5620 1.47 10−12

Le particelle con beauty decadono prevalentemente in particelle con charm con larghezza didecadimento Γ(b→ c) proporzionale aG2|Vcb|2; dalle misure si ottiene |Vcb| = 0.042±0.001.I decadimenti senza particelle con charm nello stato finale hanno larghezza di decadimentoΓ(b→ u) proporzionale a G2|Vub|2 e dalle misure si ottiene |Vub| = 0.0039± 0.0004.

Il quark top ha una massa molto maggiore degli altri quark, mt = 173 GeV , ed estato scoperto nel 1995 studiando le interazioni antiprotone–protone a

√s = 1.8 TeV [49,

50]. Poiche la massa e maggiore di quella del bosone mediatore dell’interazione debole(capitolo 23) il quark t decade nel quark b e in un bosone W : t → bW+, t → bW−, con|Vtb| ' 1. Non si conoscono stati legati formati con il quark t.

Il quadro delle interazioni deboli dei leptoni e degli adroni si puo riassumere:

• leptoni e quark sono fermioni di spin 1/2 e sono suddivisi in famiglie ciascuna formatada un fermione di tipo up e uno di tipo down;

• la fenomenologia dei decadimenti deboli dei leptoni e decritta con tre famiglie dileptoni; i neutrini si suppongono di massa nulla (i limiti sperimentali sono: nνe <2 eV , nνµ < 0.2 MeV , nντ < 18 MeV );

• l’accoppiamento delle correnti J+` e J−` (che producono le transizioni `− → ν e

ν → `−) con il campo debole e definito da un solo paramtero, la costante universaledi Fermi, G;

• il numero leptonico si conserva separatamente per ciascuna famiglia: non si osservanotransizioni tra le famiglie;

• i decadimenti deboli degli adroni sono descritti con tre famiglie di quark che sonocombinazioni lineari degli autostati dell’interazione adronica; queste si ottengonocon una matrice unitaria 3× 3;

• l’accoppiamento delle correnti J+q e J−q (che producono le transizioni down → up e

up→ down) con il campo debole e definito dalla stessa costante universale di Fermie dai quattro parametri della matrice di Cabibbo–Kobayashi–Maskawa.

320

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 321 — #321 ii

ii

ii

19.11. Altri quark

Il quadro delle particelle elementari e

leptoni

(νee−

) (νµµ−

) (νττ−

)quark

(ud′

) (cs′

) (tb′

)(19.12)

321

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 322 — #322 ii

ii

ii


322

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 323 — #323 ii

ii

ii

Capitolo 20

Modello dinamico a quark

Gli adroni non sono particelle elementari, ma sono caratterizzati da una estensione nellospazio di circa 1 fm e, se hanno spin, da un momento magnetico anomalo. I leptoniinvece si comportano come fermioni di spin 1/2 puntiformi. Il modello a quark degliadroni identifica i barioni e i mesoni con combinazioni di quark e antiquark, fermioni dispin 1/2 caratterizzati dal sapore e da carica elettrica frazionaria. Questa interpretazionee confermata dalla fenomenologia dei decadimenti elettromagnetici e deboli degli adroni.Il passo successivo e di verificare se i quark sono particelle prive di struttura e se si puoimpostare un modello dell’interazione adronica basato sulla dinamica dei quark costituenti.

Per studiare le proprieta statiche degli adroni, ad esempio per misurare la densitadi carica elettrica e di magnetizzazione, si utilizzano collisioni elastiche con particelleelementari cariche. In una collisione elastica il potere risolutivo e definito dall’impulsotrasferito ∆~p: si puo esplorare una regione spaziale di dimensione R ' h/∆p. In questocaso l’adrone rimane uno stato legato dei suoi eventuali costituenti e l’energia trasferitae solo energia cinetica. Se invece si vuole studiare la struttura dinamica di un adrone eeventualmente frammentarlo nei suoi costituenti occorre studiare le collisioni inelatiche incui si trasferisce sia impulso ∆~p che energia ∆E.

La struttura dinamica del protone e del neutrone si puo studiare sia mediante l’in-terazione elettromagnetica con fasci di elettroni o muoni di alta energia, sia mediantel’interazione debole utilizzando fasci di neutrini e antinuetrini. I bersagli possono esserecostituiti da Idrogeno, Deuterio o nuclei piu pesanti. Le reazioni sono

e−N → e−X µ±N → µ±X νµN → µ−X νµN → µ+X

in cui X rappresenta qualunque stato adronico accessibile. Consideriamo un nucleone inquiete nel laboratorio e un elettrone di energia E me. I 4-impulsi sono

P = (~p,E) P ′ = (~p′, E′) P0 = (0,M) W = (~p′0, E′0)

Il 4-impulso trasferito e q = (~p− ~p′, E−E′) = (~q, ν). L’energia totale nel centro di massa,il quadrato del 4-impulso trasferito e l’energia trasferita sono invarianti; trascurando lamassa dell’elettrone si ha

s = (P + P0)2 = M2 + 2ME q2 = (P − P ′)2 = −4EE′ sin2 θ/2 P0 · q = Mν

Nel seguito usiamo Q2 = −q2 > 0.

323

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 324 — #324 ii

ii

ii

Capitolo 20. Modello dinamico a quark

Scattering elastico

Nel caso di scattering elastico (Fig. 20.1) l’energia E′ e l’angolo θ non sono indipendenti,ma sono legati dalla relazione

E′ =E

1 + (2E/M) sin2 θ/2=

E

1 +Q2/2ME′E = E′ +

Q2

2M(20.1)

per cui si ha ν = E −E′ = Q2/2M : Q2 = 2Mν. Se il nucleone fosse un fermione di spin1/2 puntiforme lo scattering elettrone–nucleone per interazione elettromagnetica sarebbedescritta dalla sezione d’urto di Dirac (capitolo 7)

dσ

dΩ=

α2(hc)2

4E2 sin4 θ/2

E′

E

(cos2θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

)

che si puo scrivere in funzione delle variabili Ω, E′ (nel seguito h = 1, c = 1)

d2σ

dΩdE′=

α2

4E2 sin4 θ/2

(cos2θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

)δ(ν −Q2/2M) (20.2)

PP'

Po

W

qq

p

p'

Figura 20.1: Scattering elastico rappresentato nel riferimento del laboratorio e come graficodi Feynman

nota :∫F (x)δ[f(x)]dx =

∑k

[F (xk)/| dfdx |

]f(xk)=0

δ(ν −Q2/2M) = δ[E − E′ − (2EE′/M) sin2 θ/2]∣∣∣ d

dE′(E − E′ − (2EE′/M) sin2 θ/2)

∣∣∣ =∣∣−1− (2E/M) sin2 θ/2

∣∣ = E/E′

dσ

dΩ=

∫F (E,E′)δ[E − E′ − (2EE′/M) sin2 θ/2]dE′ = F (E,E′)

E′

E

Per un bersaglio non puntiforme la collisione e descritta dalla sezione d’urto di Rosenbluth(capitolo 7) introducendo due fattori di forma che moltiplicano l’ampiezza di scattering incui il nucleone non cambia (∼ cos θ/2) oppure cambia (∼ sin θ/2) direzione dello spin:

d2σ

dΩdE′=

α2

4E2 sin4 θ/2

(F 2

2 (Q2) cos2 θ

2+

Q2

4M2F 2

1 (Q2)2 sin2 θ

2

)δ

(ν − Q2

2M

)(20.3)

I fattori di forma hanno l’andamento F (Q2)→ 0 per Q2 M2.

324

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 325 — #325 ii

ii

ii

20.1. Scattering inelastico

20.1 Scattering inelastico

Nel caso di scattering inelastico (Fig. 20.2), il bersaglio frammenta in uno stato di massaW > M e l’energia e l’angolo dell’elettrone nello stato finale sono variabili indipendenti.La massa del sistema X e

W 2 = (P0 + q)2 = M2 + q2 + 2Mν = M2 −Q2 + 2Mν > M2 ⇒ 2Mν > Q2

PP'

PoW

qpq

p'

Figura 20.2: Scattering inelastico rappresentato nel riferimento del laboratorio e comegrafico di Feynman

Il 4-impulso e l’energia trasferita sono variabili indipendenti e si possono definire diverseregioni nel piano Q2 × 2Mν (Fig. 20.3)

• limite di scattering elastico W 2 →M2, 2Mν → Q2;

• eccitazione di stati risonanti del nucleone con massa M∗: W 2 = M∗2, 2Mν =Q2 + costante;

• continuo dello scattering elastico: 0 < Q2/2Mν < 1.

Q2

2Mn

elas

tic sc

atte

ring

deep

inel

astic

scat

tering

reso

nance

s

Figura 20.3: Regioni del piano Q2 × 2Mν

La sezione d’urto si esprime in analogia con Eq. (20.3) introducendo due funzioni distruttura che sono funzioni delle due variabili indipendenti Q2 e ν

d2σ

dΩdE′=

α2

4E2 sin4 θ/2

(W2(Q2, ν) cos2 θ/2 +W1(Q2, ν)2 sin2 θ/2

)In funzione degli invarianti Q2 e ν:

d2σ

dQ2dν=

π

EE′d2σ

dΩdE′=

4πα2

Q4

E′

E

(W2(Q2, ν) cos2 θ/2 +W1(Q2, ν)2 sin2 θ/2

)(20.4)

325

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 326 — #326 ii

ii

ii


nota : d2σ/dQ2dν = |Jacobiano| × d2σ/dΩdE′

dQ2dν =

∣∣∣∣ ∂Q2/∂E′ ∂Q2/∂Ω∂ν/∂E′ ∂ν/∂Ω

∣∣∣∣ dΩdE′ =

∣∣∣∣ Q2/E′ −EE′/π−1 0

∣∣∣∣ dΩdE′ =EE′

πdΩdE′

∂

∂E′2EE′(1− cos θ) =

Q2

E′∂

∂ cos θ2EE′(1− cos θ) = −2EE′

∂

∂E′(E − E′) = −1

20.2 Scattering fortemente inelastico elettrone–nucleone

La regione di scattering fortemente inelastico e definita dalla condizione Q2 M2, ν M . Se il nucleone e costituito di particelle puntiformi l’interazione fortemente inelasticacon una particella elementare (elettrone, muone o neutrino) sara il risultato dello scatteringelastico con i costituenti e, se questi hanno massa m e se l’energia trasferita ν e moltomaggiore dell’energia di legame dei costituenti, sara la somma incoerente dei vari contributi(

d2σ

dQ2dν

)elastic

=4πα2

Q4

E′

E

(cos2 θ/2 +

Q2

4m22 sin2 θ/2

)δ(ν −Q2/2m)

dove le funzioni di struttura in Eq. (20.4) tendono a

W2(Q2, ν)→ 1

νδ(1−Q2/2mν) W1(Q2, ν)→ Q2

4m2νδ(1−Q2/2mν)

Nel 1968 James Bjorken dimostro che nella regione fortemente inelastica

Q2 M2 ν M x = Q2/2Mν = finito 0 < x < 1

le funzioni di struttura hanno, per Q2 → ∞ e ν → ∞, limiti finiti che non dipendonoseparatamente da Q2 e ν, ma solo dal rapporto adimensionale x = Q2/2Mν [51]

limQ2,ν→∞

νW2(Q2, ν) = F2(x) limQ2,ν→∞

MW1(Q2, ν) = F1(x) (20.5)

Questo implica che le funzioni che descrivono la struttura del nucleone non dipendono davariabili che hanno dimensioni fisiche, cioe non dipendono, come nel caso dello scatteringelastico, Eq. (20.3), dal 4-impulso trasferito Q2 e quindi dalle dimensioni del nucleone.Questa proprieta e chiamata legge di scala di Bjorken.

Un’importante serie di esperimenti fu fatta a partire dal 1968 da Jerome Friedman,Henry Kendall, Richard Taylor 1 e collaboratori con elettroni accelerati fino a 20 GeVusando bersagli di idrogeno e deuterio [52]. In questi esperimenti si misura l’energia E′ el’angolo θ dell’elettrone nello stato finale: da questi valori si determinano le variabili Q2, νe W . La Fig. 20.4 mostra la sezione d’urto differenziale d2σ/dΩdE′ in funzione dell’energiadello stato adronico W : si nota l’eccitazione di risonanze barioniche di massa M∗ (la primae la risonanza ∆ di massa 1.232 GeV ) e una distibuzione continua per valori W > M∗. Lafigura non mostra il picco dello scattering elastico, centrato a W = M . Questo diminuiscerapidamente all’aumentare di Q2 per effetto del fattore di forma F (Q2). Con l’aumentaredel 4-impulso trasferito, la sezione d’urto diminuisce, ma diventa sempre piu importanteil contributo del continuo inelastico rispetto allo scattering elastico e all’eccitazione dirisonanze.


326

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 327 — #327 ii

ii

ii

20.3. Modello a partoni

1 00

1 01

1 02

0 . 8 0 1 . 2 1 . 6 2 . 0 2 . 4 2 . 8 3 . 2

Q2 = 0.2 GeV

2

Q2 = 0.6

Q2 = 1.2

Q2 = 2.0

W (GeV)

d2 /d

d

E'

(

b

/GeV

)s

W

m

ela

stic

p

ea

k

Figura 20.4: Sezione d’urto differenziale in funzione dell’energia dello stato adronico W

Il rapporto tra la sezione d’urto inelatica e quella elastica e mostrato nella Fig. 20.5in funzione del 4-impulso trasferito. La sezione d’urto inelastica diventa molto maggioredi quella elastica gia per valori di Q2 poco piu grandi dei valori corrispondenti all’eccita-zione di risonanze e, per valori fissi di W 2 = M2 + 2Mν − Q2, il rapporto si mantieneapprossimativamente costante: non dipende da Q2.

Figura 20.5: Rapporto tra la sezione d’urto elastica e inelastica e la sezione d’urto di Mott(bersaglio puntiforme) in funzione del 4-impulso trasferito

La prima importante conclusione e che la legge di scala di Bjorken e soddisfatta nellaregione del continuo inelastico dove non e piu importante l’eccitazione di risonanze bario-niche: i risultati degli esperimenti confermano l’ipotesi che il protone e il neutrone sonocostituiti da particelle puntiformi.

20.3 Modello a partoni

La relazione (20.1) valida per lo scattering elastico e modificata in

E′ =E

1 + (2E/Mx) sin2 θ/2

327

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 328 — #328 ii

ii

ii


Per interpretare il significato della variabile x di Bjorken e delle funzioni F2(x), F1(x),conviene esprimere la sezione d’urto in funzione di x (|∂x/∂ν| = ν/x)

d2σ

dQ2dx=ν

x

d2σ

dQ2dν=

4πα2

Q4

E′

E

1

x

(νW2(Q2, ν) cos2 θ/2 + νW1(Q2, ν)2 sin2 θ/2

)=

=4πα2

Q4

E′

E

1

x

(F2(x) cos2 θ/2 +

νF1(x)

M2 sin2 θ/2

)=

=4πα2

Q4

E′

E

1

x

(F2(x) cos2 θ/2 + 2xF1(x)

Q2

4M2x22 sin2 θ/2

)Se i costituenti del nucleone sono fermioni di spin 1/2 le due funzioni di struttura diBjorken non sono indipendenti. Infatti confrontando la forma della sezione d’urto conquella della interazione elastica (di Mott per spin 0, o di Dirac per spin 1/2) da particelledi massa m = Mx, si conclude che

• per costituenti di spin 0 si ha F1(x) = 0;

• per costituenti di spin 1/2 si ha F2(x) = 2xF1(x).

0

0 . 5

1

1 . 5

2

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1x

2xF 1(x

) /

F 2(x)

Figura 20.6: Rapporto 2xF1(x)/F2(x) in funzione della variabile x per diversi valori diQ2; 〈Q2〉 = 1.5–4 (verde), 5–11 (nero), 12–16 (blu) GeV 2

La Fig. 20.6 mostra il valore di 2xF1(x)/F2(x) misurato per diversi valori di Q2 e ν: ilrapporto e chiaramente diverso da zero e si mantiene costante e circa uguale a 1. Quindii risultati degli esperimenti sullo scattering fortemente inelastico di elettroni su protoni eneutroni mostrano che questi

• sono costituiti di particelle puntiformi;

• i costituenti hanno spin 1/2.

La forma della sezione d’urto

d2σ

dQ2dx=

4πα2

Q4

E′

E

F2(x)

x

(cos2 θ/2 +

Q2

4M2x22 sin2 θ/2

)(20.6)

ha una suggestiva interpretazione nel modello a partoni introdotto da Feynman nel 1969 [53]considerando la collisione inelastica in un riferimento in cui l’adrone bersaglio ha impul-so elevato (|~p0| M) in modo da poter trascurare la massa e l’impulso trasverso deicostituenti:

328

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 329 — #329 ii

ii

ii

20.3. Modello a partoni

• l’adrone e costituito da particelle puntiformi cariche chiamati partoni ;

• il 4-impulso dell’adrone, P0, e distribuito tra i partoni;

• l’interazione inelastica con 4-impulso trasferito Q e energia trasferita ν e il risultatodi interazioni elastiche con un partone che ha 4-impulso xP0;

• la funzione di struttura F2(x)/x rappresenta la funzione di distribuzione dei partoninel nucleone.

La funzione F2(x) misurata nello scattering fortemente inelastico elettrone–protone emostrata in Fig. 20.7 per valori del 4-impulso trasferito 2 < Q2 < 18 GeV 2

0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1x

F2(x )

Figura 20.7: Funzione di struttura del protone, F ep2 (x), in funzione della variabile x

Un’interazione inelastica con 4-impulso trasferito Q e energia trasferita ν molto mag-giore dell’energia di legame dei partoni nell’adrone bersaglio e rappresentata in Fig. 20.8:l’interazione avviene tra l’elettrone e un partone con 4-impulso xP0, il quadrato dell’ener-gia totale elettrone–partone e s = (P + xP0)2 = 2EMx+ x2M2 ' 2EMx (per E M),il 4-impulso Q e scambiato tra l’elettrone e il partone che dopo l’interazione ha 4-impulso

(q + xP0)2 = −Q2 + 2Mνx+ x2M2 = (xM)2 = m2 W 2

e l’adrone frammenta in uno stato finale di massa W formato dal partone interessatoe dagli altri partoni che hanno 4-impulso (1 − x)P0. La Fig. 20.8 mostra lo scattering

PP'

Po

W

q

xPo

p

-p

xPo

-xPo

(1-x)Po

Figura 20.8: Scattering inelastico nel riferimento di Breit e grafico di Feynman nel modelloa partoni

fortemente inelastico nel riferimento di Breit in cui l’energia trasferita tra l’elettrone e ilpartone e nulla, q = (2~p, 0), e entrambi invertono l’impulso.

329

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 330 — #330 ii

ii

ii


Il modello a partoni ha una semplice interpretazione se si considera la collisione nelriferimento del centro di massa elettrone–nucleone. Trascurando i valori delle masse, siha s = (P + P0)2 = 4(p∗c)2, q2 = (P − P ′)2 = −2(p∗c)2(1 − cos θ∗). Per un bersagliopuntiforme la sezione d’urto e

dσ

dΩ∗=

2π

h|〈f |H|i〉|2 (p∗c)2

8π3(hc)3

1

2c〈f |H|i〉 =

4πα(hc)3

Q2F (θ∗)

dove F (θ∗) e la distribuzione angolare dello scattering elastico. Ci sono due casi

• elettrone e nucleone hanno spin opposti (⇒ ⇐; ⇐ ⇒), il momento angolare totalee J = 0 e la distribuzione angolare e isotropa: F (θ∗) = 1;

• elettrone e nucleone hanno spin paralleli (⇒ ⇒; ⇐ ⇐) il momento angolare totale eJ = 1 e la distribuzione angolare e descritta dalle autofunzioni di rotazione di spin1 (appendice 33)

F (θ∗) =1 + cos θ∗

2

Le due ampiezze non interferiscono per cui la sezione d’urto e (h = c = 1)

dσ

dΩ∗=

α2

2Q4s

[1 +

(1 + cos θ∗

2

)2]

Nel riferimento del laboratorio, dopo la collisione l’elettrone ha energia

E′ = βγp∗ cos θ∗ + γE∗ =p

2E∗p∗ cos θ∗ +

E +M

2E∗E∗ ' E 1 + cos θ∗

2

da cui si ottiene ν = E − E′ = E(1 − cos θ∗)/2. La variabile adimensionale inelasticita,y = ν/E = (1 − cos θ∗)/2, e quindi direttamente connessa con l’angolo di scatteringnel centro di massa e la sezione d’urto differenziale si puo esprimere in funzione di y(|∂Ω∗/∂y| = 4π)

dσ

dy=

2πα2

Q4s[1 + (1− y)2

]1− y =

1 + cos θ∗

2

Per interpretare lo scattering inelastico elettrone–nucleone nel modello a partoni convieneesprimere la sezione d’urto differenziale (20.6) in funzione delle due variabili adimensionalix, y

Q2 = 4EE′ sin2 θ/2 = 2MExy E′ = E(1− y) sin2 θ/2 =Mxy

2E(1− y)

d2σ

dxdy=

∣∣∣∣∣∂Q2

∂x

∣∣∣∣∣ d2σ

dQ2dν= 2MEx

d2σ

dQ2dν=

=4πα2

Q42MEx(1− y)

F2(x)

x

[1− Mxy

2E(1− y)+

Q2

4M2x2

Mxy

E(1− y)

]=

=4πα2

Q42MEx

F2(x)

x

[1− y − Mxy

2E+y2

2

]

330

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 331 — #331 ii

ii

ii

20.4. Carica elettrica dei partoni

che, per E M , s ' 2ME, diventa

d2σ

dxdy=

2πα2

Q4sx

F2(x)

x

[1 + (1− y)2

](20.7)

in cui e chiaramente espressa la dipendenza della sezione d’urto differenziale dello scatte-ring fortemente inelastico elettrone–adrone dai vari termini:

• (costante di accoppiamento × propagatore)2;

• (energia totale del sistema elettrone–partone)2 = sx;

• densita dei partoni nell’adrone F2(x)/x;

• distribuzione angolare nel riferimento elettrone–partone.

20.4 Carica elettrica dei partoni

Il nucleone e costituito di partoni puntiformi di spin 1/2. I quark hanno carica elettricafrazionaria, eu = 2/3, ed = es = −1/3, . . . (in unita della carica elementare). Il passosuccessivo e verificare se si possono identificare i partoni con i quark. La sezione d’urto diinterazione elettromagnetica e proporzionale al quadrato delle cariche elettriche interagentiper cui, se si indica con fk(x) la densita dei quark di sapore k, la funzione di strutturaF2(x) si puo esprimere

F2(x) =∑k

e2k xfk(x) (20.8)

In un’interazione fortemente inelastica si possono formare anche coppie quark–antiquarkdello stesso sapore e l’interazione elettromagnetica ha lo stesso accoppiamento per quarke per antiquark per cui conviene definire

• quark di valenza quelli che definiscono i numeri quantici dell’adrone, ad esempiop = |uud〉 con carica +1, n = |udd〉 con carica 0, . . .;

• quark del mare (sea-quark) quelli costituiti dalle possibili coppie quark–antiquarkprodotte nell’interazione, ad esempio coppie ss.

Nelle interazioni elettrone–protone e elettrone–neutrone si misurano le funzioni di struttura

F ep2 (x) = x

[4

9up(x) +

1

9dp(x) + . . .

]F en2 (x) = x

[4

9un(x) +

1

9dn(x) + . . .

]dove up(x) e dp(x) sono le densita di quark u e d del protone, un(x) e dn(x) quelle delneutrone. Le possibili coppie quark–antiquark del mare, uu, dd, ss hanno approssima-tivamente la stessa densita e si puo trascurare il contributo dei quark con massa piuelevata

4

9u(x) +

4

9u(x) +

1

9d(x) +

1

9d(x) +

1

9s(x) +

1

9s(x) + . . . ≈ 12

9s(x)

La simmetria dell’isospin dell’interazione adronica permette di ipotizzare che la densita diquark di valenza u del protone sia uguale alla densita di quark di valenza d del neutrone

up(x) = dn(x) = uv(x) dp(x) = un(x) = dv(x)

331

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 332 — #332 ii

ii

ii


Con queste ipotesi le funzioni di struttura del nucleone sono

F ep2 (x) = x

[4

9uv(x) +

1

9dv(x) +

12

9s(x)

]F en2 (x) = x

[1

9uv(x) +

4

9dv(x) +

12

9s(x)

]Il rapporto tra le funzioni di struttura e mostrato in Fig. 20.9: si osserva che per x → 0il rapporto e F en2 (x)/F ep2 (x) ' 1: la densita di quark di valenza e del mare e simile perpiccoli valori dell’impulso dei partoni; mentre per x→ 1 il rapporto F en2 (x)/F ep2 (x) ' 1/4indica che e importante solo il contributo dei quark uv(x). Questa non e una evidenzadiretta che i partoni hanno la carica frazionaria prevista nel modello a quark, ma indicache il modello e consistente con questa ipotesi.

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0

x

Fe

n(x

) /

Fe

p(x

)

Figura 20.9: Rapporto tra le funzioni di struttura di neutrone e protone, F en2 (x)/F ep2 (x),in funzione della variabile x

In un bersaglio con ugual numero di protoni e neutroni, ad esempio deuterio, l’intera-zione avviene con uguale probabilita con i quark u e d e si ottiene una funzione di strutturamediata sul contenuto di quark di valenza

F eN2 (x) =F ep2 (x) + F en2 (x)

2= x

[5

18uv(x) +

5

18dv(x) + . . .

]' 5

18x [q(x) + q(x)]

dove q(x) e q(x) indicano le densita di quark e antiquark. Il fattore 5/18 rappresenta ilvalor medio del quadrato delle cariche dei quark e degli antiquark che contribuiscono alloscattering fortemente inelastico elettrone–deuterio.

L’integrale della funzione x[q(x) + q(x)] su tutti i valori della variabile x rappresentail contributo di tutti i quark e gli antiquark all’interazione e dovrebbe essere pari a 1. Ilvalore sperimentale e invece∫ 1

0x [q(x) + q(x)] dx ' 18

5

∫ 1

0F eN2 (x)dx ' 0.5 (20.9)

Questo valore si ottiene da misure dello scattering inelastico di elettroni e di muoni (chepossono raggiungere energie piu elevate) su diversi bersagli con ugual numero di protonie neutroni (Deuterio, Carbonio, . . .) ed e approssimativamente indipendente dai valori diQ2 e ν. Un’ipotesi per spiegare questo risultato e che non tutti i partoni del nucleone siaccoppiano con il campo elettromagnetico. Questa ipotesi si basa su una seconda ipotesi,che i partoni si possano identificare con i quark con carica frazionaria. La verifica di questasi ottiene studiando l’interazione fortemente inelastica neutrino–nucleone: infatti in questocaso l’interazione non dipende dalla carica elettrica dei quark.

332

ii

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ii

ii

20.5. Scattering fortemente inelastico neutrino–nucleone

20.5 Scattering fortemente inelastico neutrino–nucleone

Nel capitolo 19 e mostrato come si realizzano intensi fasci di neutrini νµ e antineutrini νµ.Le reazioni di scattering fortemente inelastico su nucleone sono

νµN → µ−X νµN → µ+X

Si tratta di reazioni che avvengono per interazione debole con sezioni d’urto molto piccole,quindi negli esperimenti occorre avere bersagli molto grandi. Inoltre in un fascio di neutrinisi conosce il flusso di neutrini per unita di energia, dΦ/dEν , ma non si conosce l’energiadei singoli neutrini, quindi per conoscere l’energia dei neutrini che interagiscono occorremisurare sia la direzione e l’energia del muone che la direzione e l’energia del sistemaadronico X che si forma nella frammentazione del nucleone.

La sezione d’urto differenziale di scattering elastico dipende da tre funzioni di strutturaWk(Q

2, ν)

d2σ

dQ2dν=G2(hc)2

2π

E′

E

(W2 cos2 θ/2 +W12 sin2 θ/2∓ E + E′

MW3 sin2 θ/2

)− ν+ ν

La differenza con l’interazione elettromagnetica e che l’interazione debole e costruita apartire da una corrente vettoriale e una assiale. Si hanno quindi quattro termini checorrispondono alle ampiezze per cui il nucleone cambia (∼ sin θ/2) oppure non cambia(∼ cos θ/2) direzione dello spin. Neutrini e antineutrini sono autostati di elicita con valoriopposti e questo origina la differenza di segno nella somma di questi termini.

La dipendenza dall’angolo di emissione del muone, θ, permette di misurare le funzioniW2 e 2W1 ∓W3(E +E′)/M . La misura di interazioni di neutrini e antineutrini permettedi determinare le funzioni W1 e W3.

La legge di scala di Bjorken (20.5) prevede che nel limite Q2 M2, ν M , le funzionidi struttura siano funzioni solo di x = Q2/2Mν

νW2(Q2, ν)→ F2(x) MW1(Q2, ν)→ F1(x) νW3(Q2, ν)→ F3(x) (20.10)

La sezione d’urto differenziale in funzione delle variabili adimensionali x, y e (h = 1, c = 1)

d2σ

dxdy=G2

2π2ME

[F2(x)

(1− y − Mxy

2E

)+ 2xF1(x)

y2

2∓ xF3(x)

(y − y2

2

)]Facendo l’ipotesi 2xF1(x) = F2(x), verificata nel caso di interazione elettromagnetica deipartoni, per E M , s ' 2ME, la sezione d’urto differenziale e

d2σ

dxdy=G2

2πs

[F2(x)

(1− y +

y2

2

)∓ xF3(x)

(y − y2

2

)]− ν+ ν

(20.11)

Come nel caso dello scattering fortemente inelastico per interazione elettromagnetica que-ste relazioni acquistano un significato piu esplicito esaminando l’interazione nel sistemadel centro di massa neutrino–partone. Nell’interazione debole i fermioni (νµ, µ

−, quark) siaccoppiano col campo con elicita negativa e gli antifermioni (νµ, µ

+, antiquark) con elicitapositiva. Quindi le possibili interazioni sono (Fig. 20.10)

νd→ µ−u ⇐ ⇒ J = 0νu→ µ−d ⇐ ⇐ J = 1νu→ µ+d ⇒ ⇒ J = 1νd→ µ+u ⇒ ⇐ J = 0

333

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Figura 20.10: Scattering elastico (anti)neutrino–(anti)quark nel riferimento del centro dimassa

La sezione d’urto differenziale e (capitolo 19, con h = 1, c = 1)

dσ

dΩ∗=

G2c

8π2s∗ J = 0

dσ

dΩ∗=

G2c

8π2s∗(

1 + cos θ∗

2

)2

J = 1

con G2c = G2 cos2 θc. Espressa in termini dell’inelasticita

dσ

dy=G2c

2πs∗ J = 0

dσ

dy=G2c

2πs∗(1− y)2 J = 1

Introducendo le densita di quark e antiquark, e considerando anche i contributi dei quarkdel mare, νs→ µ−u, νu→ µ+s, che hanno accoppiamento ∼ G sin θc si ha

νd2σ

dxdy=G2

2πs∗[q(x) + q(x)(1− y)2

]=G2

2πsx[q(x) + q(x)− 2q(x)(y − y2/2)

]

νd2σ

dxdy=G2

2πs∗[q(x)(1− y)2 + q(x)

]=G2

2πsx[q(x) + q(x)− 2q(x)(y − y2/2)

]

20.6 Densita di quark e antiquark

Dalle misure delle funzioni di struttura nella scattering fortemente inelastico neutrino–nucleone e antineutrino–nucleone si possono determinare separatamente le densita di quarke antiquark del nucleone. Dalle equazioni (20.11):

d2σνdxdy

+d2σνdxdy

=G2

πsF2(x)

(1− y +

y2

2

)F2(x) =

F νN2 (x) + F νN2 (x)

2

d2σνdxdy

− d2σνdxdy

= −G2

πsxF3(x)

(y − y2

2

)F3(x) =

F νN3 (x) + F νN3 (x)

2

Confrontando queste espressioni con quelle delle sezioni d’urto differenziali con quark eantiquark si estraggono le densita di quark e antiquark

x[q(x) + q(x)] = F2(x) x[q(x)− q(x)] = −xF3(x)

334

ii

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ii

20.6. Densita di quark e antiquark

0

0 . 3

0 . 6

0 . 9

1 . 2

1 . 5

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

F2 (x) = x [q(x) + q(x)]

x q(x)

x q(x)

----

----

x

Figura 20.11: Densita di quark e antiquark misurate nello scattering fortemente inelasticodi neutrini e antinuetrini

xq(x) =F2(x)− xF3(x)

2xq(x) =

F2(x) + xF3(x)

2

I risultati sperimentali, mostrati in Fig. 20.11, portano ad alcuni importanti conclu-sioni:

• i quark del mare contribuiscono solo per piccoli valori di x;

• la densita dei quark di valenza si estende anche a grandi valori di x;

• come nel caso dell’interazione elettromagnetica, per bersagli che contengono ugualnumero di protoni e neutroni, l’integrale sul contributo di tutti i quark e antiquarke 6= 1 ∫ 1

0F νN2 (x)dx =

∫ 1

0x[q(x) + q(x)]dx ' 0.5 (20.12)

cioe protone e neutrone sono costituiti anche di partoni che non si accoppiano necon il campo elettromagnetico ne con il campo debole;

• confrontando i risultati dell’interazione elettrone (muone)-nucleone, Eq. (20.8), eneutrino (antineutrino)-nucleone si ottiene

F νN2 (x) ' 18

5F eN2 (x) (20.13)

e, poiche l’interazione debole non dipende dalla carica elettrica, questo risultatoconferma che il valor medio dei quadrati delle cariche dei partoni e 〈Σke

2k〉 = 5/18

in accordo con i valori delle cariche frazionarie del modello a quark.

La conferma che gli antiquark hanno un ruolo importante nella struttura dinamica delnucleone si ottiene misurando la sezione d’urto differenziale di neutrini e antineutrini infunzione dell’inelasticita, dσν/dy, dσν/dy, mostrata in Fig. 20.12. Nel modello a partoni,queste hanno la forma

dσνdy

=

∫ 1

0

d2σ

dxdydx =

G2

2π2ME

[∫xq(x)dx+ (1− y)2

∫xq(x)dx

]dσνdy

=

∫ 1

0

d2σ

dxdydx =

G2

2π2ME

[(1− y)2

∫xq(x)dx+

∫xq(x)dx

]335

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 336 — #336 ii

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per cui si puo estrarre dalle misure il contributo globale di quark e antiquark

Q =

∫ 1

0xq(x)dx Q =

∫ 1

0xq(x)dx

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0y

d

/d

ys

n

n-

Figura 20.12: Sezione d’urto differenziale di neutrini e di antineutrini in funzionedell’inelasticita

La sezione d’urto totale [54] e mostrata in Fig. 20.13 in funzione dell’energia del fascio.Nel modello a partoni questa si ottiene integrando su tutti i valori di inelasticita

σ(νN → µ−X) =

∫ 1

o

dσνdy

dy =G2(hc)2

2π2ME

(Q+Q/3

)

σ(νN → µ+X) =

∫ 1

o

dσνdy

dy =G2(hc)2

2π2ME

(Q/3 +Q

)G2(hc)2M/π = 1.58 10−38 cm2/GeV . I risultati mostrano che

Figura 20.13: Sezione d’urto totale di neutrini e di antinuetrini in funzione dell’energia

• la sezione d’urto di interazione di neutrini e antineutrini cresce linearmente conl’energia

σ(νN → µ−X) = (0.677± 0.014) 10−38 cm2/GeV × E (GeV )

σ(νN → µ+X) = (0.334± 0.008) 10−38 cm2/GeV × E (GeV )

336

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20.6. Densita di quark e antiquark

• il rapporto tra le sezioni d’urto

σνσν

=1 + 3Q/Q3 +Q/Q

= 0.49

indica che il rapporto tra il contributo degli antiquark alla struttura del nucleone equello dei quark e Q/Q = 0.20.

La sezione d’urto e proporzionale all’energia di neutrini e antineutrini, quindi anche allamassima energia dei fasci oggi disponibili (E ' 300 GeV ) la sezione d’urto non e sensibileall’effetto del propagatore del campo debole. Infatti il propagatore modifica la dipendenzalineare dall’energia, E

σ ' G2(hc)2

2π

2ME

(1 +Q2/M2W )2

Q2 = 2MExy

e si deduce che la massa del bosone W e molto grande: M2W 2MExy ' 100 GeV 2.

In conclusione, lo studio delle interazioni elettromagnetiche e deboli di fermioni pun-tiformi (elettroni, muoni e neutrini) con nucleoni mostra che

• questi sono costituiti di fermioni puntiformi di spin 1/2;

• l’accoppiamento con il campo elettromagnetico e proporzionale al quadrato dellacarica frazionaria dei quark;

• l’accoppiamento con il campo debole e proporzionale alla costante universale di Fermie, per i diversi sapori di quark, ai parametri della matrice di Cabibbo–Kobayashi–Maskawa;

• l’integrale sulla densita di quark e antiquark,∫x[q(x) + q(x)]dx ' 0.5, indica che

solo la meta dei partoni interagisce con il campo elettromagnetico e con il campodebole;

• i nucleoni sono costituiti anche di partoni che non si accoppiano ne con il campoelettromagnetico ne con il campo debole;

• questi si possono interpretare come i quanti dell’interazione adronica, i gluoni, chelegano i quark e gli antiquark negli adroni.

337

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338

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Capitolo 21

Interazioni fermione–antifermione

Le conclusioni sul modello dinamico a quark sono confermate con numerose altre misurefatte con anelli di collisione elettrone–positrone (capitolo 3) per studiare la reazione diannichilazione e+e− → adroni o studiando interazioni adroniche in cui sono prodottecoppie leptone–antileptone nello stato finale, ad esempio pp→ e+e−X.

21.1 Annichilazione e+e−

L’idea originale di realizzare anelli di collisione elettrone–positrone e di Bruno Touscheked e stata sperimentata negli anni ’60 presso i Laboratori di Frascati con la costruzionedi un piccolo anello di accumulazione chiamato ADA [55]. Da allora sono stati costruitimolti anelli di collisione e+e− con energia dei fasci da 200 MeV fino a 100 GeV che hannoprodotto una grande quantita di informazione sulla annichilazione e+e−.

Al primo ordine dello sviluppo in teoria delle perturbazioni l’annichilazione elettrone–positrone [56] e descritta con lo scambio di un fotone di 4-impulso

Q2 = s = (P+ + P−)2 = 2m2e + 2E+E− − 2~p+ · ~p− ' 4E+E−

Lo stato finale f prodotto nell’annichilazione e+e− → f ha i numeri quantici del fotone:J = 1, P = −1, C = −1.

Nel riferimento del centro di massa si ha E+ = E−, s = 4E2. Se elettrone e positronesono accelerati nello stesso anello, il riferimento del centro di massa coincide con quellodel laboratorio.

21.1.1 Annichilazione e+e− → µ+µ−

Figura 21.1: Diagramma di Feynman dell’annichilazione e+e− → µ+µ−

339

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Capitolo 21. Interazioni fermione–antifermione

Il processo elementare e l’annichilazione in due fermioni puntiformi con numero lepto-nico diverso e+e− → µ+µ− (Fig. 21.1). La sezioned d‘urto differenziale e

dσ

dΩ=

1

c

2π

h|〈f |H|i〉|2 p2

8π3h3

dp

dEtot=

∣∣∣∣4παhcq2f(θ)

∣∣∣∣2 E2β

8π2(hc)4

Il propagatore del fotone e time-like, (hc)2q2 = s = (2E)2, e la distribuzione angolare e lasomma di due ampiezze (Fig. 21.2) che rappresentano la rotazione di spin 1 di θ e π − θ(appendice 33)

f(θ) =1 + cos θ

2f(π − θ) =

1− cos θ

2

Figura 21.2: Angolo di produzione della coppia µ+µ−

Le due ampiezze non interferiscono e la sezione d’urto e

dσ

dΩ=α2(hc)2β

2s

1 + cos2 θ

2(21.1)

σ(e+e− → µ+µ−) =4π

3

α2(hc)2

sβ

4πα2(hc)2

3= 8.6 10−32 cm2 GeV 2

con β → 1 quando E mµ. Un altro processo di interesse, l’annichilazione e+e− → γγ,e trattato nell’appendice 46. Misure dell’annichilazione e+e− → γγ e e+e− → µ+µ− sonostate fatte fino a 4-impulsi trasferiti Q > 100 GeV e si e dimostrato che elettrone e muonesono fermioni puntiformi con dimensioni molto minori di 10−16 cm.

21.1.2 Produzione di coppie di mesoni pseudoscalari

Nell’annichilazione e+e− → π+π−, e+e− → K+K−, i mesoni di spin zero vengono emessiin uno stato di momento angolare orbitale ` = 1 con dipendenza angolare f(θ) = sin θ/

√2

(appendice 33), quindi l’energia di rotazione aggiunge un fattore β2. La sezione d’urto

dσ

dΩ=α2(hc)2β3

2s

sin2 θ

2|F (s)|2 σ(e+e− → π+π−) =

2π

3

α2(hc)2

2sβ3|F (s)|2 (21.2)

e fortemente soppressa dal fattore di forma elettromagnetico (F (s) → 0 per s 4m2).Quindi la produzione di mesoni pseudoscalari non da un contributo importante alla pro-duzione di adroni.

340

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ii

21.2. Il quarkonio

21.1.3 Produzione di risonanze mesoniche

I mesoni vettori sono rappresentati nel modello a quark come stati legati quark–antiquarkcon momento angolare orbitale ` = 0 e spin paralleli. Hanno i numeri quantici del fotoneJPC = 1−− e possono esser prodotti nell’annichilazione e+e− quando s ' m2

V . La sezioned’urto di produzione (capitolo 8) dipende dalla larghezza di decadimento Γee = Γ(V →e+e−)

σ(e+e− → V ) =16π(hc)2

s

2J + 1

(2Se + 1)2

ΓeeΓ/4

(√s−mV c2)2 + Γ2/4

(21.3)

σ(s = m2V c

4) =16π(hc)2

m2V c

4

3

4

ΓeeΓ

=12π(hc)2

m2V c

4BRee

Le risonanze mesoniche decadono in stati finali costituiti per lo piu di adroni. L’annichi-lazione e+e− → V si manifesta quindi come un picco di larghezza Γ nella sezione d’urtodi produzione e+e− → adroni. I parametri delle risonanze mesoniche sono

m (MeV ) Γ (MeV ) BReeρ 770 150 4.7 10−5

ω 783 8.4 7.3 10−5

φ 1019 4.3 3.0 10−4

J/ψ 3097 0.093 6.0 10−2

Υ 9460 0.054 2.4 10−2

21.2 Il quarkonio

Negli esperimenti di annichilazione e+e− vengono misurate con precisione le masse e lelarghezze delle risonanze e si possono studiare i loro modi di decadimento. In particolare,per i mesoni vettori si osserva che i valori delle larghezze di decadimento Γee sono similinonostante le masse siamo molto diverse. Il decadimento V → e+e− avviene per interazio-ne elettromagnetica e la larghezza parziale si calcola in modo analogo alla sezione d’urtoe+e− → qq, Eq. (21.5)

Γee = 2π|〈ee|H|V 〉|2ρ(Ef ) =4πα2(hc)3

3m2V

∣∣∣∑ eqψqq(0)∣∣∣2 (21.4)

dove ψqq(0) e la funzione d’onda dello stato legato qq a distanza r = 0. La somma e estesaal numero di quark, numero di colori (×3) e stati di spin del sistema qq (×4), e si ottieneΓee = 16πα2(hc)3|

∑eq|2|ψ(0)|2/m2

V . Confrontando i valori misurati con la previsione delmodello a quark

V stato Γee (keV ) |∑eq|2 |ψ(0)|2/m2

V

ρ uu−dd√2

7.04 1/2 0.68

ω uu+dd√2

0.60 1/18 0.53

φ ss 1.27 1/9 0.56J/ψ cc 5.55 4/9 0.59Υ bb 1.34 1/9 0.58

si osserva che |ψ(0)|2/m2V ' 0.6 GeV −2fm−3 e approssimativamente costante. In un

modello di potenziale non relativistico, che e una buona approssimazione perche le masse

341

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 342 — #342 ii

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ii


dei quark non sono piccole rispetto all’energia totale, |ψ(0)|2 e proporzionale a 1/R3V e

quindi M2VR

3V ' costante. Questo suggerisce che il potenziale di interazione qq non sia

semplicemente coulombiano, per cui si ha MR = costante, ma che aumenti con la distanzaq–q.

Informazioni piu quantitative si ottengono analizzando gli spettri di massa dei mesoniqq. Questo e possibile per i quark c e b che formano molti stati legati che, in analogiacon il positronio (e+e−), vengono chiamati quarkonio. Gli stati del quarkonio come quellidell’atomo di idrogeno sono identificati dai numeri quantici n, L, S, J . La parita eP = PqPq(−1)L = (−1)L+1. La coniugazione di carica e definita dalla simmetria perscambio q ↔ q; (−1)S+1(−1)LC = −1 per fermioni identici di spin 1/2; cioe C = (−1)L+S .

Le masse degli stati del quarkonio sono mostrate in Fig. 21.3, per diversi valori deinumeri quantici JPC , insieme ai livelli energetici del positronio. Gli stati n1S0 sono mesonipseudoscalari 0−+ come le particelle η; gli stati n3S1 sono i mesoni vettori 1−−; gli statin3PJ sono mesoni indicati con la lettera χ.

Figura 21.3: Masse dei mesoni del quarkonio e livelli energetici del positronio (la differenzadei livelli non e in scala)

L’analogia con il positronio e notevole. La scala di energia dei livelli del positronio edefinita dalla costante di struttura fine αem e dalla massa dell’elettrone, mentre quella delquarkonio dalla costante dell’interazione qq, αs (s per strong), e dalle masse dei quark. Ilivelli di energia del quarkonio sono ben riprodotti da un potenziale che aumenta con ladistanza, U(r) = −4αs/3r+βr, con αs ' 0.3 e β ' 1 GeV/fm. La forma del potenziale e ivalori dei parametri sono in accordo con le previsioni della teoria di campo dell’interazioneadronica, la cromodinamica quantistica (capitolo 22).

21.3 Annichilazione e+e− → adroni

Nell’annichilazione e+e− → X si puo produrre qualunque stato finale formato da adroniche abbia i numeri quantici dello stato iniziale. A energia elevata si osserva la produzionedi molti mesoni (prevalentemente mesoni π e piu raramente mesoni K), la produzione di

342

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 343 — #343 ii

ii

ii

21.3. Annichilazione e+e− → adroni

barioni e fortemente soppressa dal valore piu elevato della massa e dalla conservazione delnumero barionico (si devono produrre coppie barione–antibarione).

10-1

1

10

10 2

10 3

1 10 102

ρω φ

J/ψψ(2S)

R

Z

√s (GeV)

Figura 21.4: Rapporto σ(e+e− → adroni)/σ(e+e− → µ+µ−) in funzione dell’energiatotale (S.Eidelman et al., Physics Letters B 592, 1, 2004)

La Fig. 21.4 mostra il rapporto tra la sezione d’urto di produzione di adroni e lasezione d’urto σ(e+e− → µ+µ−) in funzione dell’energia totale

√s. Si osserva che la

produzione di adroni ha la stessa dipendenza prevista per l’annichilazione in coppie difermioni puntiformi, cioe che non risente di alcun effetto dovuto a fattori di forma. Questaosservazione ha una semplice interpretazione nel modello a quark [57] in cui la sezioned’urto di annichilazione in una coppia quark–antiquark di sapore k e carica elettrica ek e(h = 1, c = 1)

σ(e+e− → qkqk) =4πα2

3se2k (21.5)

Poiche i quark hanno carica di colore, mentre lo stato adronico osservato non ha colore,la coppia qkqk interagisce per produrre adroni incolori (Fig. 21.5). La sezione d’urtoσ(e+e− → adroni) e quindi la somma su tutti gli stati di colore e su tutti gli stati disapore con

√s > 2mk

σ(e+e− → adroni) =∑colore

∑k

σ(e+e− → qkqk) =4πα2

3s

∑k

3e2k (21.6)

R =σ(e+e− → adroni)

σ(e+e− → µ+µ−)=

∑√s>2mk

3e2k

Il modello a quark prevede R = 3(4/9 + 1/9 + 1/9) = 2 per√s > mss; R = 10/3 per√

s > mcc. In Fig. 21.4 e riportato anche il contributo degli stati eccitati delle risonanzemesoniche (ρ, ω, φ, ψ, ψ′, . . .) che si somma al continuo della produzione di adroni.

Quando l’impulso dei quark e molto maggiore delle masse delle particelle nello statofinale (prevalentemente mesoni π) queste sono raggruppate in due coni in emisferi opposti,formano cioe due jet adronici con impulsi opposti [58]. Se i quark sono fermioni di spin

343

ii

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ii

ii


eq

e

e eq

q

qqqq

e e

q

q

Figura 21.5: Diagramma di Feynman dell’annichilazione e+e− → qq

1/2, la distribuzione angolare dell’asse dei jet rispetto all’asse di collisione e+e− ha laforma dnjet/d cos θ = 1 + cos2 θ. Anche questo e stato verificato negi esperimenti.

In anelli di collisione e+e−, quando l’energia e maggiore del valore di soglia per la pro-duzione di coppie qq di sapore k (

√s > 2mk), queste formano mesoni contenenti il sapore

k. In questo modo sono stati osservati le particelle con charm e beauty (capitolo 19). Ilquark top non e stato osservato in interazioni e+e− perche non esistono anelli di collisione dienergia sufficientemente elevata; e stato osservato nell’annichilazione antiprotone–protone.

21.4 Annichilazione quark–antiquark

Gli adroni sono costituiti di quark e quindi in interazioni adroniche si puo osservare ilprocesso inverso di annichilazione quark–antiquark in coppie di leptoni qq → `+`−. Laproduzione di coppie e+e− e µ+µ− e stata studiata in interazioni di fasci di protoni,o mesoni su bersagli di protoni o nuclei e con anelli di collisione antiprotone–protone,protone–protone. Le reazioni di produzione di coppie di leptoni, ad esempio

pp→ `+`−X π±p→ `+`−X K±p→ `+`−X

sono chiamati processi Drell–Yan [59], X e qualunque stato finale risultato della frammen-tazione dei due adroni interagenti (Fig. 21.6)

Figura 21.6: Diagramma di Feynman del processo Drell–Yan pp→ µ+µ−X

Negli esperimenti si misurano gli impulsi dei due leptoni, ~p+, ~p− e con questi sidetermina la massa invariante

M2 = (P+ + P−)2 = 2m2 + 2E+E− − 2~p+ · ~p− ' 4p+p− sin2 θ+−/2

Gli adroni interagenti hanno 4-impulsi P1 e P2 e energia totale s = (P1 + P2)2. La coppia`+`− e prodotta nell’annichilazione di un quark con 4-impulso x1P1 e un antiquark con4-impulso x2P2 (o viceversa) e l’energia totale nel centro di massa quark–antiquark epari alla massa invariante dei due leptoni. Trascurando i valori delle masse, il 4-impulsotrasferito e

(x1P1 + x2P2)2 = x1x2s

344

ii

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ii

ii

21.4. Annichilazione quark–antiquark

La sezione d’urto differenziale in funzione della massa invariante si ottiene integrando sulledensita dei quark con il vincolo x1x2s = M2

d2σ =1

3

∑k

[q(x1)q(x2) + q(x1)q(x2)]σ(qkqk → `+`−) dx1dx2 =

=1

3

∑k

[q(x1)q(x2) + q(x2)q(x1)]σ(qkqk → `+`−) dx1dx2

Il fattore 1/3 e introdotto perche tra tutte le combinazioni qkqk solo quelle con lo stessocolore possono accoppiarsi con il campo elettromagnetico. La sezione d’urto di annichila-zione e σ(qkqk → `+`−) = (4π/3)α2e2

k/M2. Quindi per la sezione d’urto differenziale si

ha

d3σ =1

3

4π

3

α2

M2

∑k

e2k [q(x1)q(x2) + q(x2)q(x1)] δ(x1x2s−M2)dx1dx2dM

2 =

=4π

9

α2

M2

∑k

e2k [q(x1)q(x2) + q(x2)q(x1)]

x1x2

M2δ(x1x2 −M2/s)dx1dx2dM

2

Introducendo le funzioni di struttura di quark, Fq(x) = xq(x), e antiquark, Fq(x) = xq(x),

dσ

dM2=

4π

9

α2

M4

∫ 1

0

∫ 1

0

∑k

e2k [Fq(x1)Fq(x2) + Fq(x2)Fq(x1)] δ(x1x2−M2/s)dx1dx2 (21.7)

L’integrale sulle funzioni di struttura e funzione solo della variabile adimensionale M2/s,per cui si ottiene

dσ

dM2=

4π

9

α2

M4G(M2/s) M3 dσ

dM=

8π

9α2G(M2/s)

Le misure effettuate a diverse energie hanno verificato che

• la sezione d’urto differenziale non dipende separatamente dalla massa invariante Me dall’energia totale degli adroni,

√s, ma solo dal rapporto M2/s;

• le funzioni di struttura di quark a antiquark misurate nello scattering inelasti-co neutrino-nucleone riproducono la funzione G(M2/s) misurata nelle interazioniprotone-protone e antiprotone-protone;

• il confronto di queste misure con quelle fatte con fasci di mesoni π e K permette dimisurare le funzioni di struttura dei mesoni.

345

ii

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ii


346

ii

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ii

Capitolo 22

Interazioni adroniche

Nei capitoli precedenti abbiamo esaminato alcune proprieta delle particelle soggette ainterazione adronica che possiamo cosı riassumere

• gli stati degli adroni, barioni e mesoni, mostrano una serie di regolarita che sono allabase del modello statico a quark;

• la dinamica delle interazioni elettromagnetiche e deboli degli adroni, studiata nel-lo scattering fortemente inelastico di elettroni, muoni e neutrini, l’annichilazioneelettrone–positrone in adroni e i processi Drell–Yan, e in accordo con l’ipotesi chegli adroni siano costituiti di quark e che questi siano fermioni puntiformi di spin 1/2e carica elettrica frazionaria;

• la misura dei fattori di forma elettromagnetici degli adroni e della sezione d’urto diinterazione adronica mostra che i quark costituenti sono confinati in una regione didimensione di poco meno di 1 fm.

Sulla base di queste evidenze sperimentali vediamo se e possibile impostare una teoriadelle interazioni adroniche in grado di interpretare anche i fenomeni in cui sono coinvoltisolo adroni.

22.1 Fenomenologia delle interazioni adroniche

Consideriamo la reazioneh1 h2 → p1 p2 . . . pn

in cui due adroni collidono a formare uno stato di n particelle di impulso ~pk. Nel capi-tolo 8, sulla base di considerazioni generali sullo scattering da potenziale, si e mostratoche la sezione d’urto totale e la sezione d’urto elastica tendono ad un valore indipendentedall’energia totale quando l’impulso nel centro di massa e molto maggiore di h/R, doveR e la dimensione spaziale degli adroni, σtot → 2πR2. La Fig. 22.1 mostra l’andamentodella sezione d’urto totale e della sezione d’urto elastica (σtot = σel + σinel) in intera-zioni protone–protone e antiprotone–protone in funzione dell’energia nel centro di massa,√s = 2(m2

p + p2cm)1/2. Per

√s 2mp la sezione d’urto e approssimativamente costante,

σ ' 40 mb, ma poi cresce lentamente con ln s. A energia elevata le sezioni d’urto protone–protone e antiprotone–protone sono uguali; le stesse conclusioni si hanno studiando lereazioni π±p, K±p con fasci di mesoni:

347

ii

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ii

ii

Capitolo 22. Interazioni adroniche

10

10 2

10 -1 1 10 102 103 104 105 106 107 108

elastic

total

pp

Plab GeV/c

Cros

s sec

tion

(mb)

10

10 2

10 -1 1 10 102 103 104 105 106 107 108

Plab GeV/c

elastic

total

p_p

Cros

s sec

tion

(mb)

s GeV1.9 2 10 102 103 104

Figura 22.1: Sezione d’urto totale e elastica protone–protone e antiprotone–protone infunzione dell’energia nel centro di massa,

√s (S.Eidelman et al., Physics Letters B 592, 1,

2004) .

Consideriamo la regione in cui pcm h/R (√s 2mp). Se l’energia nel centro di

massa e molto maggiore delle masse degli adroni, si possono produrre molti mesoni nellostato finale. La sezione d’urto differenziale in funzione del 4-impulso (~p,E) del genericoadrone emesso nello stato finale si puo fattorizzare in una funzione della componentetrasversa dell’impulso, pT (invariante per trasformazioni di Lorentz), e della componentelongitudinale, pL. In un sistema di riferimento in cui l’asse z rappresenta la direzione delmoto relativo degli adroni h1 e h2 (Fig. 22.2) si ha: p2

x+p2y = p2

T , pz = pL, θ = arctan pT /pLe l’angolo polare, φ = arctan py/px e l’angolo azimutale. Se fascio e bersaglio non sonopolarizzati, cioe non si ha una direzione preferita degli spin, la sezione d’urto non dipendedall’angolo azimutale φ.

pL

pT-pcm

+pcm

Figura 22.2: Produzione inclusiva di adroni nella reazione h1h2 → hX.

Se√s e l’energia totale nel centro di massa, la sezione d’urto inclusiva per la formazione

del generico adrone h di impulso ~p (h1h2 → hX) si esprime in forma invariante (capitolo 2)

348

ii

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ii

ii

22.1. Fenomenologia delle interazioni adroniche

in funzione di pT , pL e√s

d3σ

d~p/E=

d3σ

dpxdpydpz/E=

d3σ

pTdpTdφdpL/E= F (pT , pL,

√s) (22.1)

Il differenziale dy = dpL/E e invariante e definisce la rapidita

y =

∫ +pL

−pL

dpLE

=1

2lnE + pLE − pL

=1

2ln

(E + pL)2

E2 − p2L

= lnE + pLET

(22.2)

Dalla definizione si ricavano l’energia e l’impulso longitudinale di una generica particella

E = ET cosh y pL = ET sinh y (22.3)

In una trasformazione di Lorentz, ad esempio dal riferimento del laboratorio al riferimentodel centro di massa della reazione, la rapidita si trasforma secondo la relazione

y′ =1

2lnE′ + p′LE′ − p′L

=1

2lnγE + βγpL + γpL + βγE

γE + βγpL − γpL − βγE= y +

1

2ln

1 + β

1− β

La differenza di rapidita ∆y tra ogni coppia di adroni prodotti e invariante.Nell’ipotesi che gli adroni siano costituiti di quark confinati nella regione R con impulso

pq ' h/R si puo supporre che il generico adrone sia emesso con impulso trasverso pT '√2pq e impulso longitudinale pL pT , e che l’impulso trasverso sia caratterizzato da una

distribuzione statistica del tipodn

pTdpT= ae−bET

dove ET e l’energia trasversa, ET = (p2T + m2)1/2. Per R ' 0.8 fm, pT ' 300 MeV/c e

per la maggior parte degli adroni prodotti (mesoni π) si puo approssimare ET ' pT . Conqueste semplici ipotesi ci si aspetta che la sezione d’urto inclusiva in funzione dell’impulsotrasverso abbia un andamento del tipo

dσ

dpT= apT e

−bpT con valor medio 〈pT 〉 =

∫p2T e−bpT dpT∫

pT e−bpT dpT=

2

b

e che gli adroni siano emessi prevalentemente con impulso trasverso piccolo per qualunquevalore della loro energia E. Questo e verificato per valori dell’impulso trasverso fino acirca 1 GeV , il valor medio e 〈pT 〉 ≈ 350 MeV anche per valori dell’impulso longitudinalemolto maggiori di 1 GeV e dipende debolemente da

√s. Questo permette di fattorizzare

la forma della sezione d’urto inclusiva (Eq. 22.1) in

1

2π

d2σ

pTdpTdy= f(pT )g(y,

√s)

La sezione d’urto differenziale in funzione dell’impulso longitudinale rappresenta comegli n adroni prodotti si dividono l’energia totale a disposizone. L’integrale della sezioned’urto inclusiva e pari al prodotto della sezione d’urto inelastica e il numero medio diparticelle prodotte

σ(h1h2 → p1p2 . . . pn) =

∫f(pT )dpT

∫g(y,√s)dy = 〈n〉σinel

349

ii

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ii

ii


dove il primo integrale e σinel sono approssimativamente costanti al variare dell’energia nelcentro di massa. Quindi, poiche l’impulso longitudinale non contiene informazione sulladinamica del processo di reazione, ma solo sulla cinematica, si puo supporre

dσ

dy' costante 〈n〉σinel = costante× ymax

Quando l’energia nel centro di massa e molto maggiore delle masse degli adroni siproducono molte particelle nello stato finale e il numero di adroni, n, ha una distribuzionestatistica con valor medio 〈n〉. Questi sono prevalentemente mesoni π che sono gli adronicon la massa piu piccola, ma vengono prodotti anche mesoni K (tipicamente nK/nπ ' 0.1)e mesoni vettori (ρ, ω, φ, . . .) che decadono in mesoni π o K. La probabilita di produrreadroni di massa maggiore e trascurabile. Per la simmetria dell’isospin si ha nπ± = 2nπ0

(Iπ = 1) e nK± = nK0 (IK = 1/2), quindi con buona approssimazione il numero diparticelle cariche e il doppio delle particelle neutre. Poiche σinel ' costante, le conside-razioni precedenti implicano che il numero medio di adroni prodotti, la molteplicita, siaapprossimativamente proporzionale al valore massimo della rapidita

ymax = ln(Emax + pL,max)

ET,min' ln

√s/mp

cioe che la molteplicita aumenti linearmente con il logaritmo dell’energia

〈n〉 = c+ d ln s

Per E m, la rapidita si puo approssimare con la variabile pseudorapidita, η =− ln tan θ/2, che dipende solo dall’angolo polare θ

y =1

2ln

(p2 +m2)1/2 + p cos θ

(p2 +m2)1/2 − p cos θ=

1

2ln

1 + cos θ + p2/4m2 + . . .

1− cos θ + p2/4m2 + . . .' − ln tan θ/2

Questo ha il vantaggio che le misure di molteplicita si possono fare senza usare campimagnetici e quindi con ampia accettanza e buona uniformita. La Fig. 22.3 (sinistra) mostrala molteplicita di particelle cariche per unita di pseudorapidita prodotte in interazioniprotone–protone e antiprotone–protone [60] per diversi valori dell’energia nel centro dimassa.

Dall’andamento della densita di particelle cariche dnch/dη1 si deduce dnch/dy '

costante in un ampio intervallo, detto plateau di rapidita, che si estende all’aumentare di√s, e una diminuzione di dnch/dy per |y| → ymax; ymax(63 GeV ) ' 4.2, ymax(900 GeV ) '

6.8. Questo e in accordo qualitativo con le ipotesi fatte, ma si nota che dnch/dy|y=0 au-menta con l’energia nel centro di massa. La Fig. 22.3 (destra) mostra la molteplicita diparticelle cariche in funzione dell’energia nel centro di massa, nch =

∫(dnch/dy)dy dove

l’integrale va esteso da −ymax a +ymax. La molteplicita non ha un andamento lineare conln s, ma piuttosto con (ln s)2 poiche sia dnch/dy|y=0 che ymax aumentano con andamentoproporzionale a ln s.Dalle osservazioni precedenti si deduce che, a energia fissa, la sezione d’urto invariantenon dipende dalla rapidita in un ampio intervallo ∆y

dσ

dy=

∫d3σ

d~p/EdpTdφ ' costante

1 La densita di particelle dndη

= dndy

dydη

= dndy

pE

e minore di dndy

per y → 0 e dndη' dn

dyper y > 2.

350

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ii

ii

22.1. Fenomenologia delle interazioni adroniche

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

1 0 1 0 0 1000

n ch

s1 / 2 (GeV)

0 . 0

1 . 0

2 . 0

3 . 0

4 . 0

5 . 0

0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0

53 GeV200 GeV900 GeV

hhhh

dnch

/dhhhh

Figura 22.3: Molteplicita di particelle cariche per unita di pseudorapidita in interazio-ni protone–protone e antiprotone–protone. Molteplicita di particelle cariche in funzionedell’energia nel centro di massa,

√s.

La Fig. 22.4 mostra la sezione d’urto invariante mediata nel plateau di rapidita infunzione dell’impulso trasverso

dσ

pTdpT=

∫d3σ

d~p/Edydφ

Per pT < 1 GeV/c i valori della sezione d’urto sono ben rappresentati da una legge espo-nenziale e il valore medio dell’impulso trasverso e approssimativamente uguale a quelloprevisto dal modello a quark. La linea in Fig. 22.4 rappresenta l’andamento dei dati spe-rimentali per pT < 1 GeV/c e

√s = 63 GeV: in questo caso 〈pT 〉 ' 2/6 = 0.33 GeV/c. I

risultati si discostano dalla legge esponenziale per valori di impulso trasverso maggiori el’effetto e piu evidente all’aumentare dell’energia nel centro di massa [61].

Le interazioni di fasci di mesoni π o di mesoni K con bersagli di protoni o deutonimostrano le stesse caratteristiche. In questo caso pero l’energia nel centro di massa elimitata a valori minori di 40 GeV.

Dall’analisi di questi risultati possiamo concludere che

• la sezione d’urto inelatica non ha un andamento asintotico costante, ma aumentalentamente con l’energia ∼ ln s;

• la sezione d’urto differenziale dσ/dy e approssimativamente costante in un ampiointervallo di rapidita, ma aumenta lentamente con l’energia ∼ ln s;

• la molteplicita non aumenta ∼ ln s, ma piuttosto ∼ (ln s)2;

• la sezione d’urto differenziale dσ/pTdpT segue una legge esponenziale, ma solo pervalori dell’impulso trasverso pT < 1 GeV/c.

Quindi, le caratteristiche generali delle interazioni adroniche sono in accordo qualitativocon un semplice modello di adroni costituiti di quark con impulso trasverso pq ' 250

351

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ii


1 0- 4

1 0- 3

1 0- 2

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

0 1 2 3 4 5 6

63 GeV

200 GeV

900 GeV

200 mb e- 6 p T

pT (GeV/c)

E d3

/dp3

(m

b G

eV-

2 c3 )

ssss

Figura 22.4: Sezione d’urto invariante di particelle cariche in funzione dell’impulsotrasverso per diversi valori dell’energia nel centro di massa.

MeV/c, analogo al modello statistico a gas di Fermi dei nuclei, ma se ne discostano sen-sibilmente quando gli adroni prodotti hanno impulso trasverso molto maggiore di pq. Laprobabilita che questo avvenga e piccola (Fig. 22.4), ma sicuramente maggiore di quan-to previsto da un modello statistico. Inoltre, la produzione di reazioni con molteplicitaelevata e fortemente correlata con la presenza di adroni con impulso trasverso elevato equesto e presumibilmente un segnale di come si manifesti la dinamica delle interazioni trai costituenti degli adroni.

22.2 La cromodinamica quantistica

La cromo-dinamica quantistica, QCD per Quantum Chromo Dynamics, e la teoria di cam-po sviluppata per interpretare la fenomenologia delle interazioni adroniche. Nel capitolo 18abbiamo visto che il modello statico a quark e in grado di riprodurre i numeri quantici deimultipletti JP dei mesoni e dei barioni introducendo tre cariche di colore in modo che lecombinazioni di quark che realizzano gli stati delle particelle osservate siano antisimme-triche rispetto allo scambio dei quark e che questi stati siano incolori. La simmetria delcolore e la simmetria SU(3) delle matrici di Gell-Mann (appendice 35). Il nome colorederiva dal fatto che si possono ottenere immagini colorate o, nel caso degli adroni, bianchea partire da tre colori di base: red, blue, green. Inoltre il modello a partoni, discusso nelcapitolo 20, spiega la dinamica di alcuni processi fisici ad elevato impulso trasferito comeinterazione tra quark puntiformi, sorgenti del campo, e quanti di massa nulla e spin 1(queste ultime due ipotesi vanno convalidate con altre verifiche sperimentali).

Le ipotesi di base della QCD sono:

• gli adroni sono costituiti di particelle puntiformi, i quark;

352

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 353 — #353 ii

ii

ii

22.2. La cromodinamica quantistica

• i quark sono fermioni di spin 1/2 e numero barionico 1/3, gli antiquark sono icorrispondenti antifermioni con numero barionico -1/3;

• hanno interazione adronica per effetto della carica di colore (gli antiquark hannocarica di colore opposta, red, blue e green);

• l’interazione adronica e mediata da quanti che si accoppiano alla carica di colore, igluoni;

• i gluoni sono bosoni di massa nulla e spin 1.

Inoltre i quark hanno interazione elettromagnetica per effetto della carica elettrica (frazio-naria), e hanno interazione debole come combinazioni di stati definiti dai parametri dellamatrice CKM.

Sulla base di queste ipotesi i barioni sono costituiti da tre quark nello stato di momentoangolare orbitale ` = 0 nelle combinazioni di spin 1/2 oppure spin 3/2, e hanno paritapositiva = (+1)3. Analogamente gli antibarioni sono costituiti da tre antiquark e hannoparita negativa = (−1)3. Ad esempio, il barione ∆++, con carica elettrica +2, numerobarionico +1, spin 3/2, e costituito dalla combinazione incolore di tre quark u tutti concomponente dello spin +1/2

|∆++, 3/2+〉 =1√6

∑rbg

εrbg|ur ↑ ub ↑ ug ↑〉

∆++ = 1√6

(urubug − urugub + ubugur − uburug + ugurub − ugubur)I mesoni sono costituiti da un quark e un antiquark nello stato di momento angolare

orbitale ` = 0 nelle combinazioni di spin 0 oppure spin 1, la parita e negativa, (+1)(−1).Ad esempio, il mesone π+, con carica +1, numero barionico 0, spin 0 e parita negativa,e costituito da una coppia quark u−antiquark d con componenti opposte degli spin nellecombinazioni incolori rr, bb, gg

|π+, 0−〉 =1√6

(ur ↑ dr ↓ + ur ↓ dr ↑ + ub ↑ db ↓ + ub ↓ db ↑ + ug ↑ dg ↓ + ug ↓ dg ↑

)I vettori di base della simmetria SU(3) sono i tre colori

r =

100

b =

010

g =

001

che possiamo rappresentare in un piano

b rg

gr b

I gluoni sono bosoni con numero fermionico 0 e carica elettrica nulla che hanno i numeriquantici di coppie qq dello stesso sapore, e sono rappresentati dalle combinazioni colore–anticolore. Queste formano un ottetto e un singoletto, otto combinazione dotate di coloree una incolore

ottetto

G1 = bg G2 = rg

G4 = br G3, G8 G5 = rb

G6 = gr G7 = gb

singoletto G0

353

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 354 — #354 ii

ii

ii


la combinazione del singoletto e simmetrica: G0 = (rr + bb + gg)/√

3, le altre duecombinazioni, G3 e G8, sono ortogonali tra loro e ortogonali a G0:

G3 =rr − bb√

2G8 =

rr + bb− 2gg√6

L’interazione tra quark viene mediata dagli otto campi di gluoni rappresentati dall’ottettoe quindi i gluoni portano colore. Questa e una importante differenza tra l’elettrodinamica,QED, in cui esistono due stati di carica elettrica e un bosone mediatore neutro, il fotone, ela QCD in cui esistono tre stati di carica di colore (e tre coniugati) e otto bosoni colorati.

22.2.1 I fattori di accoppiamento di colore

In QED la costante di accoppiamento e definita dall’energia di interazione tra caricheelettriche U(r) = e1e2/4πε0r; se e e la carica elementare U(r) = ±α/r. Per definire, inanalogia, la costante di accoppiamento dell’interazione adronica occorre calcolare i prodottidelle cariche di colore c1c2, chiamati fattori di colore, nelle loro possibili combinazioni. Adesempio, come mostrato in Fig. 22.5

b

b

b

b

r

b

r

b

r

b

b

r

c 2/3

c 2/3

c/ 3

c/ 3

c

c

bb bb rr+ br

Figura 22.5: Fattori di colore dello scattering qq → qq

• nello scattering quark–quark rr → rr vengono scambiati i gluoni G3 e G8, il fattoredi colore e C = c√

2c√2

+ c√6c√6

= 2c2

3 ;

• lo stesso si ha per lo scattering bb → bb e gg → gg; quest’ultimo e mediato dal sologluone G8: C = −2c√

6−2c√

6= 2c2

3 ;

• rb→ rb e mediato dai gluoni G3 e G8, C = −c√2c√2

+ c√6c√6

= −c23 ;

• rg → rg e bg → bg sono mediati dal gluone G8, C = −2c√6

c√6

= −c23 ;

• per i processi di scambio di colore rb → br, bg → gb, . . . , mediati dai gluoniG4, G1, . . ., il fattore di colore e c2;

• nello scattering quark–antiquark (qq) le due cariche di colore hanno segno oppostoe il fattore di colore e l’opposto di quello del corrispondente processo qq: C(qq) =−C(qq), mentre nei processi qq cambia il segno di entrambe le cariche e C(qq) =+C(qq).

Riassumendo:

〈rr|rr〉〈bb|bb〉〈gg|gg〉 +2/3 〈rr|rr〉 . . . . . . −2/3〈rb|rb〉〈bg|bg〉〈gr|gr〉 −1/3 〈rb|rb〉 . . . . . . +1/3〈rb|br〉〈bg|gb〉〈gr|rg〉 +1 〈rb|rb〉〈rr|bb〉 . . . −1

354

ii

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ii

ii

22.2. La cromodinamica quantistica

Fattori di colore positivi corrispondono a interazione repulsiva, fattori di colore negativicorrispondono a interazione attrattiva, quindi per formare gli adroni che si osservanooccorre che il fattore di colore sia negativo e che le combinazioni di quark e/o antiquarksiano nello stato di singoletto incolore

• un mesone e un singoletto di colore quark–antiquark, |qq〉sing = 1√3

(rr + bb+ gg

).

Il processo rr → rr contribuisce con un fattore −2c2

3 e analogamente gli altri tre.

Il processo rr → bb contribuisce con un fattore −c2

3 , poiche C(rb → rb) + C(rb →br) = −2c2

3 + c2, e analogamente gli altri sei. Quindi C(|qq〉sing) = −8c2

3 .

• un barione e un singoletto di colore di tre quark, |qqq〉sing = 1√6(r[bg − gb] + b[gr −

rg] + g[rb− br]). Per ciascun termine si ha

〈bg − gb|bg − gb〉 = 〈bg|bg〉 − 〈gb|bg〉 − 〈bg|gb〉+ 〈gb|gb〉 =−8c2

3

e quindi C(|qqq〉sing) = 36−8c2

3 = −4c2

3

22.2.2 I fattori di accoppiamento quark–gluone

In analogia con la QED possiamo costruire l’interazione tra quark e gluoni con una densitahamiltoniana H(x) = J(x) ·A(x) dove J e la corrente associata ai quark e A e il campo deigluoni. Gli elementi di matrice dei processi di scattering sono definiti dai fattori di colore.Vi e pero una importante differenza poiche i gluoni hanno carica di colore e quindi, oltreai vertici qGq, esistono anche vertici GGG.

All’ordine piu basso dello sviluppo perturbativo esistono tre tipi di vertice di interazione(Fig. 22.6): radiazione di gluoni da quark q → qG, radiazione da gluoni G → GG eproduzione di coppie G→ qq

4/3 3 1/2

Figura 22.6: Grafici dei vertici di interazione quark–gluone. I pesi relativi sono√4/3,√

3,√

1/2.

q → qG Al vertice rGx contribuiscono tre termini: rGr + rGb + rGg con fattori di colore2c2

3 + c2 + c2 = 8c2

3 e analogamente per gli altri tre casi. Il contributo del verticequark–gluone–quark all’elemento di matrice e

|〈Gq|H|q〉|2 = CF =8c2

3

G→ GG Per valutare il contributo del vertice GGG consideriamo un gluone Gin di colore xye uno Gout = xz rappresentati in Fig. 22.7. Poiche 〈xy|xy〉 = 〈xx|yy〉 il terzo gluonee G = yz oppure zy. Se x = r abbiamo i seguenti pesi per Gout: C(rr) = 2/3,C(rb) = 1/3, C(rg) = 1. La somma dei contributi dei tre grafici in Fig. 22.7 e 2c2.

355

ii

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ii

ii


Le altre possibili combinazioni danno lo stesso risultato. Il fattore 2c2 si riferisce atre degli otto possibili stati di Gin e ci sono otto possibili stati del gluone G, quindiper ogni stato Gin il contributo del vertice gluone–gluone–gluone all’elemento dimatrice e

|〈GG|H|G〉|2 = CT =3

8× 8× 2c2 = 6c2

G→ qq Per la simmetria del colore tutti i gluoni hanno lo stesso peso unitario

|〈qq|H|G〉|2 = CA = c2

r r

r

r

r r r r

b

b

g

g

x

x

x

x

x

x

Figura 22.7: Grafici dei vertici di interazione gluone–gluone

22.3 La costante di accoppiamento della QCD

Se le sorgenti del campo sono puntiformi e i quanti hanno massa nulla l’energia di intera-zione ha la forma U(r) = c1c2/r. La costante di accoppiamento dell’interazione adronica ointerazione forte αs (s per strong) e definita in analogia con quella della QED come il pro-dotto delle cariche c1c2. Vi e pero una differenza dovuta alla definizione dei generatori dellasimmetria SU(n). I generatori della simmetria del colore sono gli operatori λj/2 (le matricidi Gell-Mann ×1

2) che soddisfano le regole di commutazione [λj/2, λk/2] = iCjklλl/2 (ap-

pendice 35) e questo comporta che la corretta definizione della carica di colore e c/√

2 e chela costante di accoppiamento e αs = c2/2. Con questa definizione l’energia di interazionequark–quark negli adroni e

U(qqqsing) = −2αs3r

U(qqsing) = −4αs3r

(22.4)

e i contributi agli elementi di matrice dei vertici di interazione (Fig. 22.6) sono

|〈Gq|H|q〉|2 =4αs3

|〈GG|H|G〉|2 = 3αs |〈qq|H|G〉|2 =αs2

Come nel caso della QED, la costante di accoppiamento non e costante, ma dipende dal4-impulso trasferito nell’interazione per effetto delle correzioni radiative (appendice 45.3).Vi e pero una importante differenza poiche ai grafici di polarizzazione del vuoto contribui-sce anche l’interazione gluone–gluone come mostrato in Fig. 22.8. Questi gluoni possonoavere polarizzazione longitudinale o trasversa e quindi ci sono tre contributi che modifi-cano il propagatore: grafici chiusi G → qq → G, G → GLGL → G e G → GTGT → G.L’andamento della costante di accoppiamento in funzione del 4-impulso trasferito e

αs(Q2) =

αs(µ2)

1− bαs(µ2)

4π ln Q2

µ2

356

ii

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ii

ii

22.3. La costante di accoppiamento della QCD

dove µ2 e un valore di riferimento.

q p q-p T L

c c c c

c

c

c

c

c

c

Figura 22.8: Propagatore e grafici di polarizzazione del vuoto in QCD

In QED il fattore b e positivo b = 4n`/3 (n` e il numero dei leptoni) e la costante diaccoppiamento aumenta molto lentamente con q2. In QCD i contributi dei tre grafici nonhanno lo stesso segno: b = 2nf/3 + 5− 16. Il primo termine e analogo a quello della QED(nf e il numero di sapori di quark che contribuiscono quando Q2 > 4m2

f ), gli altri duetermini sono generati dall’auto-accoppiamento dei gluoni. In particolare il terzo terminee negativo e comporta un effetto antischermante della carica di colore. Poiche nf ≤ 6,risulta che il fattore b e negativo e la costante di accoppiamento diminuisce all’aumentaredi Q2

αs(Q2) =

αs(µ2)

1 + αs(µ2)12π (33− 2nf ) ln Q2

µ2

(22.5)

La dipendenza della costante di accoppiamento dall’energia di interazione tra quark egluoni e stata studiata da David Gross, David Politzer e Frank Wilczek 2 che hanno mo-strato che l’interazione e forte a basso 4-impulso trasferiti, e questo assicura che gli adronisono fortemente legati, e diventa debole a grande 4-impulso trasferito, e questo compor-ta che i quark sono debolemente legati nelle interazioni ad alto Q2, che e l’osservazionealla base del modello a partoni. Questo andamento si traduce nell’espressione la QCD easintoticamente libera [62].

Poiche il calcolo con il metodo perturbativo risulta in uno sviluppo in serie di potenzedella costante di accoppiamento, i risultati dei calcoli di elementi di matrici e sezionid’urto sono tanto piu affidabili quanto maggiore e l’energia di interazione, ma sono didifficile applicazione a bassa energia dove αs(Q

2) non e piccola rispetto a 1. Nel seguitosono presentati diversi modi di misurare αs e alcuni risultati sono mostrati in Fig. 22.24in funzione di Q2. Si usa di solito quotare il valore di αs alla massa del bosone Z0

(capitolo 23), il valore misurato e

αs(m2Z) = 0.118± 0.001

La costante di accoppiamento aumenta per piccoli valori di Q2; il valore alla massadel nucleone e αs(1 GeV ) ' 0.4. Il valore per cui αs diverge e detto parametro di scaladella QCD, ΛQCD, ed e una stima del valore di energia per cui i quark sono fortemente

legati e formano gli adroni. Per Q2 = Λ2 si ha 1 + bαs(µ2)

4π ln Λ2

µ2= 0, αs(µ

2) = − 4πb ln Λ2/µ2

e possiamo esprimere αs in funzione di Λ

αs(Q2) =

4π

b ln Q2

µ2− b ln Λ2

µ2

=12π

(33− 2nf ) ln Q2

Λ2

(22.6)


357

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ii


Dal valore di αs, tenendo conto del numero di quark che contribuiscono, si ottiene ΛQCD '200 MeV , ovvero 1/ΛQCD ' 1 fm che corrisponde alla dimensione di protone e neutro-ne. Comunque il parametro ΛQCD e misurato con grande errore perche l’evoluzione deifenomeni studiati dipende dal logaritmo di ΛQCD.

La teoria deve inoltre tener conto di altre due evidenze sperimentali

• l’interazione nucleare e a breve raggio di azione R ∼ 1 fm,

• non sono mai stati osservati quark o gluoni liberi.

Invece il potenziale U(r) = −4αs(r)/3r diminuisce con la distanza e questo non impediscela liberazioni dei quark dagli adroni. Consideriamo due quark a distanza r in un nucleone,cioe uno stato di colore 6= 0, e supponiamo che la forma del potenziale sia

U(r) = −4αs(r)

3r+ βr (22.7)

Per r 1 fm il campo delle cariche di colore e approssimativamente coulombiano e lelinee di forza si estendono nello spazio, ma per r 1 fm le linee di forza sono concentratein un tubo (Fig. 22.9). Per allontanare le cariche di colore occorre fornire energia e quandoquesta e maggiore di 2mq si puo formare una coppia qq. Questo ha come effetto che lelinee di campo rimangono concentrate in regioni a forma di tubo tra i quark, cioe il colorerimane confinato in una regione di estensione ∼ 1 fm. Se in una collisione inelasticaviene ceduta al nucleone energia ∆E 2mq, si formano molte coppie qq che si combinanoin stati incolori di quark e antiquark cioe mesoni e barioni. In questo modo i quark siadronizzano e il nucleone cosı eccitato frammenta in diversi adroni incolori.

q1 q2 q1 q2

c1 c2 c1 c2

r

Figura 22.9: Linee di forza di dipolo elettrico e dipolo di colore

22.4 Violazione della legge di scala di Bjorken

Gli esperimenti di scattering fortemente inelastico di elettroni e muoni (per interazioneelettromagnetica) o neutrini e antineutrini (per interazione debole) mostrano che il nucleo-ne e costituito di quark, antiquark e gluoni (capitolo 20). La sezione d’urto differenziale efunzione di due variabili indipendenti, Q2 e x, e dalle misure si estraggono le funzioni distruttura, F (x,Q2),

d2σ

dQ2dx=

4πα2

Q4

E′

E

(F2

xcos2 θ/2 +

Q2

4M2x22F1 sin2 θ/2

)

358

ii

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ii

ii

22.4. Violazione della legge di scala di Bjorken

d2σ

dQ2dx=G2

2π

E′

E

(F2

xcos2 θ/2 +

Q2

4M2x22F1 sin2 θ/2∓ E + E′

MF3 sin2 θ/2

)− ν+ ν

La legge di scala di Bjorken prevede che le funzioni di struttura dipendano dalla solavariabile adimensionale x = Q2/2Mν, e cioe che l’interazione non dipenda da una energia(o da una lunghezza) caratteristica. Questa ipotesi e stata confermata dalle prime misuredi scattering inelastico (capitolo 20) che hanno ispirato il modello a partoni di Feynman.In effetti si tratta di una (fortunata) coincidenza: le prime misure erano effettuate a valoridi Q2 relativamente piccoli (5 - 20 GeV 2) in un intervallo di x in cui le funzioni di strutturanon mostrano una dipendenza da Q2. D’altra parte la QCD prevede che quark e gluoni sipossono considerare asintoticamente liberi, ma che a energia finita l’interazione adronicasia caratterizzata da una scala di energia Λ ∼ 200MeV e quando furono effettuate misure avalori di Q2 piu grandi fu osservato che le funzioni di struttura dipendono anche da Q2 [63]. Questo fenomeno e detto violazione della legge di scala ed e illustrato in Fig. 22.11.

Consideriamo l’interazione tra un fotone di 4-impulso (~q, ν) e un quark di tipo i impulsopi caratterizzata da x = Q2/2pi ·q. Nel campo di colore del nucleone il quark puo emettereun gluone, come mostrato in Fig. 22.10 in un processo simile all’effetto Compton γ∗q → qg(γ∗ indica che il fotone non e reale, cioe q2 < 0). Prima dell’interazione il quark hauna frazione dell’impulso longitudinale del nucleone pi = yp maggiore di xp (x < y) el’interazione γ∗q e caratterizzata dalla variabile z = Q2/2yp · q = x/y.

La definizione delle funzioni di struttura come densita di partoni

F2(x)

x=∑i

e2i fi(x) =

∑i

e2i

∫fi(y)δ(y − x)dy =

∑i

e2i

∫ 1

xfi(y)δ(1− x/y)

dy

y

viene modificata dall’interazione γ∗q → qg. Se chiamiamo s, t, u, le variabili di Mandelstan(appendice 46) la sezione d’urto dell’effetto Compton in funzione dell’impulso trasversodel quark e approssimativamente

dσ

dp2T

=8π

3

e2iααss

1

p2T

e dipende (al primo ordine) dal prodotto ααs. La probabilita dell’interazione γ∗q → qg eproporzionale a

σ(γ∗q → qg) =

∫8π

3

e2iααss

dp2T

p2T

' 4π2e2iα

s

αs2π

lnQ2

µ2Pqq(z)

dove si e introdotto un limite inferiore di integrazione, µ, per evitare la divergenza perpT → 0. Pqq(z) = 4

31+z2

1−z e la probabilita che un quark di impulso longitudinale yp riducail suo impulso al valore xp ed emetta un gluone di impulso (1 − z)yp. La funzione distruttura del modello a partoni viene quindi modificata con l’aggiunta di un fattore che

dipende da Q2 proporzionale a αs(Q2)2π ln Q2

µ2

F2(x)

x q→qg=∑i

e2i

∫ 1

xfi(y)

[δ(1− x/y) +

αs(Q2)

2πlnQ2

µ2Pqq(x/y)

]dy

y(22.8)

Dalle misure di scattering fortemente inelastico di elettroni, muoni e neutrini si puodeterminare il contributo dei gluoni alle funzioni di struttura del nucleone, la densita di

359

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 360 — #360 ii

ii

ii


e ec

e ce ce ce

c

ee

c

Figura 22.10: Modifiche al vertice di interazione γ∗q

gluoni g(x). I gluoni non interagiscono con il campo di fotoni o bosoni W± e l’interazionee prodotta mediante annichilazione in coppie quark–antiquark γ∗g → qq (Fig. 22.10).Analogamente al caso precedente si ottiene il contributo dei gluoni

F2(x)

x g→qq=∑i

e2i

∫ 1

xfi(y)

αs(Q2)

2πlnQ2

µ2Pgq(x/y)

dy

y(22.9)

dove Pgq(z) = z2+(1−z)22 e la probabilita che un gluone di impulso longitudinale yp produca

una coppia qq di impulso zyp e impulso (1− z)yp.

Q2 (GeV2)

F 2(x,Q

2 )*2i x

BCDMS

E665NMCSLAC

10-3

10-2

10-1

1

10

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

10 7

10 8

10 9

10 -1 1 10 10 2

Figura 22.11: Funzione di struttura F2(x,Q2) misurata con deuterio (S. Eidelman et al.,Phys. Lett. B 592, 1, 2004) nota: ×2 per x = 0.85, ×4 per x = 0.75, . . .

360

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 361 — #361 ii

ii

ii

22.4. Violazione della legge di scala di Bjorken

Le funzioni di struttura sono mostrate in Fig. 22.11 per un bersaglio di deutoni percui le densita di quark u e d sono uguali. All’aumentare del 4-impulso trasferito Q2

migliora il potere risolutivo con cui si studia la struttura del nucleone e si osserva chediminuisce il numero di partoni con impulso grande (x > 0.25) che interagiscono conil campo elettromagnetico o debole, mentre aumenta il numero di partoni con impulsopiccolo (x < 0.15). Per 0.15 < x < 0.25 la legge di scala di Bjorken e rispettata conbuona approssimazione. Dalla dipendenza delle funzioni di struttura da Q2 si puo quindideterminare il valore della costante di accoppiamento αs(Q

2).

22.4.1 Equazioni di evoluzione delle densita dei partoni

La dipendenza da Q2 delle densita dei quark di tipo i si puo esplicitare nella forma

d

d lnQ2fi(x,Q

2) =αs(Q

2)

2π

∫ 1

x

[fi(y,Q

2)Pqq(x/y) + g(y,Q2)Pqg(x/y)] dyy

e analogamente per la densita dei gluoni

d

d lnQ2g(x,Q2) =

αs(Q2)

2π

∫ 1

x

[∑i

fi(y,Q2)Pgq(x/y) + g(y,Q2)Pgg(x/y)

]dy

y

dove Pgq(z) e Pgg(z) sono rispettivamente le probabilita dei processi radiativi q → gq eg → gg.

Queste relazioni, dette equazioni di evoluzione DGLAPP [64] (Dokshitzer–Gribov–Lipatov–Altarelli–Parisi), permettono, una volta misurate le densita dei partoni per unvalore di Q2, di calcolarne il valore in regioni di Q2 non esplorate dagli esperimenti discattering inelastico. Questo e particolarmente utile per calcolare le sezioni d’urto quark–quark o gluone–quark in collisione tra adroni ad alta energia, ad esempio processi Drell–Yan o produzione di jet adronici.

22.4.2 Correzioni radiative

Come nel caso della QED, il propagatore dei quark viene modificato dai grafici di emissionee riassorbimento di gluoni e il vertice di interazione qγq viene modificato da correzioniradiative di ordine αs. I contributi al vertice di interazione in Fig. 22.12 corrispondonoa diverse potenze della costante di accoppiamento e la probabilita del processo in studio,sviluppata in serie di potenze di αs, e

A∗Aα+ (A∗B +AB∗ + C∗C)ααs +O(α2s)

Il termine C e proporzionale a lnQ2/µ2 e diverge per µ → 0 e il termine B ha un anda-mento simile (appendice 45.3). D’altra parte tutti i termini contribuiscono alla adroniz-zazione dello stato finale e i diversi contributi non sono sperimentalmente distinguibili macomunque devono dare un contributo finito alla sezione d’urto. In effetti, come in QED,i contribuiti divergenti dei grafici C e dell’interferenza A–B si cancellano al primo ordinedello sviluppo in serie in αs e quindi il termine di ordine αs risulta finito e la sezione d’urtoe proporzionale a α2[1 + a1αs +O(α2

s)]. La cancellazione avviene anche per i termini conpotenze superiori di αs.

361

ii

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ii

ii


e e cc

ec

e c

e e

c cc

c

A B B B

C C

1 2 3

1 2

2

2

Figura 22.12: Modifiche al vertice di interazione γ∗q

22.5 Annichilazione elettrone–positrone in adroni

La sezione d’urto di annichilazione in una coppia fermione–antifermione di massa m E,ad esempio µ+µ−, Eq. (21.1), e

dσ

dΩ(e+e− → µ+µ−) =

α2

2s

1 + cos2 θ

2σ(e+e− → µ+µ−) =

4π

3

α2

s

Per energia molto maggiore della massa dei mesoni, il modello a quark prevede, Eq. (21.6)

σ(e+e− → adroni) =∑q

Nc e2q

4π

3

α2

s

dove Nc = 3 e il numero dei colori e la somma e estesa alle cariche dei quark con massamq <

√s/2. Il rapporto tra la sezione d’urto di annichilazione in adroni e quella in una

coppia fermione–antifermione puntiformi

R =σ(e+e− → adroni)

σ(e+e− → µ+µ−)

e stato misurato su un grande intervallo di energia e i risultati sono mostrati in Fig. 21.4

Si nota la formazione di stati risonanti con i numeri quantici del fotone, i mesonivettori JPC = 1−−, e l’aumento del valore di R quando viene superata l’energia di sogliaper produrre coppie qq. Le altre evidenze sperimentali in favore dell’interpretazione intermini di annichilazione in coppie qq sono

• per√s 2mq le particelle sono emesse in fiotti collimati di adroni chiamati jet

adronici ;

• i jet adronici sono caratterizzati da un impulso totale ~pJ = Σi~pi, dove pi sono gliimpulsi degli adroni associati al jet;

• la distribuzione di particelle all’interno del jet, in termini di molteplicita, impulsolongitudinale e impulso trasverso rispetto all’asse del jet, sono simili a quelle mostratein Fig. 22.3 e Fig. 22.4;

• nella maggior parte dei casi si osserva la produzione di due jet con ~pJ1 + ~pJ2 = 0e pJ '

√s/2 emessi con la distribuzione angolare caratteristica della produzione di

coppie fermione–antifermione ∼ 1 + cos2 θ

362

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 363 — #363 ii

ii

ii

22.6. Produzione di jet adronici nell’annichilazione e+e−

• con probabilita minore vengono prodotti tre, quattro, . . . jet adronici con∑i ~pJi = 0,

sumi|~pJi| =√s;

• la sezione d’urto σ(e+e− → adroni) e leggermente maggiore di quella prevista dalsemplice modello a partoni.

22.6 Produzione di jet adronici nell’annichilazione e+e−

Queste caratteristiche trovano una interpretazione diretta e quantitativa nell’ambito dellaQCD. Al primo ordine dello sviluppo perturbativo il processo σ(e+e− → adroni) e mediatoda un fotone di 4-impulso

√s che si materializza in una coppia qq ciascuno con impulso

pq '√s/2. Quando le cariche di colore si allontanano, il campo di colore genera altre

coppie qq e inoltre i quark irraggiano gluoni; si produce uno sciame di partoni che siricombinano a formare adroni incolori (in prevalenza mesoni π, K, η, ρ, . . . ). Gli sciamidi partoni si sviluppano attorno alla direzione del partone originario e gli adroni sonoraggruppati in jet in modo da conservare impulso, energia e gli altri numeri quantici(Fig. 22.13).

D (z)q

D (z)q

Figura 22.13: Produzione di due jet adronici nell’annichilazione e+e−

La distribuzione dell’energia del singolo adrone h in un jet e detta funzione di fram-metazione del jet ed e espressa in funzione della variabile adimensionale z = Eh/EJet. Lafunzione di frammentazione non si puo calcolare con metodi perturbativi perche l’energiadel jet e divisa tra molti adroni con piccolo impulso trasverso rispetto all’asse del jet,pT ' 300 MeV . Questa e la grandezza che caratterizza il processo di frammentazione eαs(p

2T ) ' 1. La sezione d’urto inclusiva di produzione di un generico adrone di energia

Eh, e+e− → hX (X rappresenta qualunque stato finale) e

d

dzσ(e+e− → hX) =

∑q

σ(e+e− → qq)[Dhq (z) +Dh

q (z)]

(22.10)

dove Dhq (z) e la funzione di distribuzione della frammentazione del quark q nel generico

adrone h. La funzione di frammentazione e normalizzata in modo che la somma delleenergie di tutti gli adroni sia uguale all’energia del jet

∑h

∫ 1

0zDh

q (z)dz = 1

363

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 364 — #364 ii

ii

ii


e che la somma delle probabilita di produrre l’adrone h sia pari alla molteplicita di questoadrone nei jet ∑

q

∫ 1

0

[Dhq (z) +Dh

q (z)]dz = nh

Quindi nel modello a partoni ci si aspetta che la sezione d’urto sia funzione della variabileadimensionale z e non dipenda da Q2

1

σ

dσ

dz=

∑q e

2q [Dh

q (z) +Dhq (z)]∑

q e2q

cioe una legge di scala analoga a quella delle funzioni di struttura. La Fig. 22.14 mostrala sezione d’urto in funzione di z per diversi valori di Q2 ed e evidente che si osservanoviolazioni della legge di scala che si interpretano con l’evoluzione delle densita di partoninel processo di frammentazione. Anche in questo caso la QCD prevede delle equazioni dievoluzione per cui le funzioni di frammentazione dipendono dal valore di Q2

d

d lnQ2D(z,Q2) =

αs(Q2)

2π

∫ 1

zD(y,Q2)P (z/y)

dy

y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

100

100

100

100

100

100

100

100

100

10

1

0.1

0.01

0.001

TASSO 22 GeV

TPC/2 29

MKII 29

TASSO 35

CELLO 35

TASSO 43.7

AMY 55.2

DELPHI 91.2

ALEPH 91.2

x

1/to

t d/d

x

Figura 22.14: Funzione di frammentazione nella annichilazione e+e− → hX per diversivalori di

√s (indicati accanto alla sigla dell’esperimento)

La Fig. 22.15 mostra la funzione di frammentazione in funzione della variabile x =p/pmax ' 2p/

√s ' z, per diversi tipi di adroni: mesoni π, mesoni K e nucleoni. Va

notato che

• si tratta di una distribuzione inclusiva, quindi sono rappresentati sia gli adronih prodotti direttamente che quelli prodotti nei decadimenti di adroni a breve vitamedia, H → h;

364

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 365 — #365 ii

ii

ii

22.6. Produzione di jet adronici nell’annichilazione e+e−

• le violazioni della legge di scala delle funzioni di frammentazione riguarda i valori dix grandi (i dati si separano sensibilmente per x piccoli perche a bassa energia nonvengono prodotti adroni con massa elevata che decadono H → h);

• l’integrale e pari alla molteplicita totale del tipo di adrone e risulta nπ nK np;

• la molteplicia aumenta proporzionalmente a (ln s)2.

0.010.03

0.10.3

13

1030

100300

1/ha

d d/dx

1/ha

d d/dx

1/ha

d d/dx

± ( s = 91 GeV)± ( s = 29 GeV)± ( s = 10 GeV)

(a)

0.010.03

0.10.3

13

1030

K± ( s = 91 GeV)K± ( s = 29 GeV)K± ( s = 10 GeV)

(b)

0.010.03

0.10.3

13

1030

0.005 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1xp = p/pbeam

p, _p ( s = 91 GeV)

p, _p ( s = 29 GeV)

p, _p ( s = 10 GeV)

(c)

Figura 22.15: Distribuzione inclusiva di mesoni e barioni, 1σdσdx , nella annichilazione

e+e− → hX (S.Eidelman et al., Physics Letters B 592, 1, 2004)

Quindi possiamo spiegare l’aumento della molteplicita proporzionale a (ln s)2 con la sommadi due effetti, uno statistico dovuto all’aumento dell’intevallo di rapidita ∼ ln s, e unodinamico dovuto alla variazione della funzione di frammentazione dei partoni ∼ lnQ2.Le stesse considerazioni sono valide per le interazioni puramente adroniche non mediatedall’interazione elettromagnetica.

22.6.1 Produzione di tre jet, e+e− → qqg

Nello sviluppo iniziale dello sciame di partoni puo avvenire che un quark irraggi un gluonecon impulso trasverso elevato e che questo dia origine ad un jet adronico separato da quelliassociati alla coppia qq. L’osservazione di eventi con tre (quattro, . . . ) jet adronici e unaconferma diretta dell’emissione di gluoni prevista dalla QCD e il rapporto tra le sezionid’urto di produzione di tre jet e due jet e proporzionale al valore di αs(Q

2) (Fig. 22.16).

Consideriamo il processo elementare e+e− → qqg. Se chiamiamo xq = 2Eq/√s, xq =

2Eq/√s, xg = 2Eg/

√s, le energie normalizzate dei partoni, si ha xq+xq+xg = 2 e solo due

delle variabili sono indipendenti. La sezione d’urto differenziale si puo calcolare a partire

365

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 366 — #366 ii

ii

ii


D (z)q

D (z)q

D (z)gpT

z q

z gz q

Figura 22.16: Produzione di tre jet adronici nell’annichilazione e+e−

dal processo γ∗ → qqg analogo all’effetto Compton γ∗q → qg analizzato in precedenza, erisulta

d2σ

dxqdxq= σ(e+e− → qq)× 4αs

3π

x2q + x2

q

(1− xq)(1− xq)(22.11)

che diverge per xq → 1, xq → 1. Questa condizione e soddisfatta solo se si annullal’impulso trasverso del gluone rispetto alla direzione del partone che lo ha generato. D’altraparte se l’impulso trasverso del gluone e piccolo i due jet si sovrappongono e non sonosperimentalmente distinguibili. Quindi, se si integra la sezione d’urto in un intervallo dellevariabili xq e xq in cui i tre jet sono distinguibili, il risultato e finito e la sezione d’urto eproporzionale a αs

1

σ(e+e− → qq)

∫pT>0

d2σ

dxqdxqdxqdxq = fattore× αs(Q2)

Il rapporto tra le sezioni d’urto σ(e+e−→3jet)σ(e+e−→2jet) fornisce un metodo di misura della costante

di accoppiamento αs. Inoltre la misura della distribuzione angolare dei tre jet confermal’ipotesi che il gluone abbia spin 1 e massa trascurabile.

Se si vuole confrontare il calcolo con una misura inclusiva della annichilazione e+e− →adroni, l’integrale va esteso a tutto l’intervallo 0 ≤ xq ≤ 1, 0 ≤ xq ≤ 1 e diverge perxg → 0.

1

σ(e+e− → qq)

∫ 1

0

d2σ

dxqdxqdxqdxq = fattore× αs(Q2) lnxg

Per evitare la divergenza, come nel caso della QED, si introduce un limite inferiore xg =mg/√s rappresentato dalla ”massa del gluone”. Comunque, come osservato in precedenza,

questa divergenza si cancella con quella originata dall’interferenza tra i grafici γ∗ → qq equelli con emissione e riassorbimento di gluoni e il contributo del processo e+e− → qqgalla sezione d’urto inclusiva di produzione di jet risulta finito. Quindi la sezione d’urtoσ(e+e− → adroni) si puo sviluppare in serie di potenze della costante di accoppiamentodella QCD

R(Q2) = 3∑q

e2q

[1 + a1

αs(Q2)

π+ a2

α2s(Q

2)

π2+ . . .

]il valore dei parametri e a1 = 1, a2 = 1.4, . . .

22.7 Collisioni tra adroni: processi Drell–Yan

I metodi perturbativi della QCD forniscono stime abbastanza accurate delle sezioni d’urtoquando la costante di accoppiamento e piccola ovvero l’impulso trasferito nell’interazione

366

ii

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ii

ii

22.7. Collisioni tra adroni: processi Drell–Yan

e grande. Le collisioni tra adroni sono piu complesse dei fenomeni che abbiamo esaminatoperche coinvolgono effetti non perturbativi sia nello stato iniziale, le funzioni di strut-tura, che nello stato finale, la frammentazione dei partoni. Questo secondo aspetto noninterviene nella produzione di coppie leptone–antileptone in collisioni di adroni, i processiDrell–Yan (capitolo 21), poiche lo stato finale `+`− non e soggetto a interazione adronica.

Nel modello a partoni questi sono descritti dalla annichilazione di un quark con frazionex1 dell’impulso longitudinale di un adrone, con un antiquark con frazione x2 dell’altroadrone (Fig. 22.18). Il 4-impulso trasferito nella annichilazione e pari alla massa invariantedella coppia `+`−, Q2 = M2. La massa invariante e l’impulso ~p = ~p+ + ~p− sono legati aivalori di x e all’energia totale degli adroni

√s

M2

s= τ = x1x2 y =

1

2lnE + pLE − pL

=1

2lnx1

x2

e quindi negli esperimenti si ha informazione sui valori di x1 e x2 (y e la rapidita dellacoppia `+`−). La sezione d’urto differenziale si ottiene come convoluzione delle funzionidi struttura degli adroni, Eq. (21.7)

dσ

dM=

8π

9

α2

M3

∫ 1

τ

∑i

e2i [Fq(x)Fq(τ/x) + Fq(τ/x)Fq(x)]

dx

x

.

Figura 22.17: pN → µ+µ−X: sezione d’urto differenziale M3 dσdM in funzione di m√

sper

diversi valori di√s

In assenza di violazioni della legge di scala l’integrale e funzione della sola variabileadimensionale τ e ci si aspetta che il prodotto M3 dσ

dM non dipenda dall’energia dellacollisione

√s ma solo dal rapporto M2/s. Dato che le funzioni di struttura variano con il

logaritmo di M2 questa e solo un’approssimazione. La Fig. 22.17 mostra la sezione d’urtodifferenziale per produzione di coppie µ+µ− in collisioni protone–nucleone per diversi valoridell’energia totale. I risultati degli esperimenti mostrano che

• la legge di scala M3 dσdM = funzione(τ) e una buona approssimazione, ma vi sono

evidenti deviazioni;

367

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 368 — #368 ii

ii

ii


• la coppia `+`− puo essere prodotta con impulso trasverso molto maggiore del valoreintrinseco dei quark negli adroni (pq ∼ 300 MeV);

• quando l’impulso trasverso e elevato ( 1 GeV ), questo viene bilanciato dall’emis-sione di jet adronici;

• la sezione d’urto differenziale e maggiore, per un fattore 1.2 ÷ 1.4, detto K–factor,di quella calcolata sulla base del semplice modello a partoni.

F (x)1

F (x)2

x2

x1

Figura 22.18: Produzione di coppie `+`− in collisioni adroniche, contributi α2, α2αs, α2α2

s

Questi effetti vengono interpretati nell’ambito della QCD e introducono correzioni allasezione d’urto che si possono sviluppare in serie di potenze della costante di accoppiamentoαs. Infatti, oltre al processo di annichilazione qq → γ∗, intervengono l’annichilazioneqq → gγ∗, l’interazione quark–gluone (antiquark–gluone) mediante l’effetto Compton qg →gγ∗, al primo ordine in αs; e l’interazione gluone–gluone gg → qqγ∗, al secondo ordinein αs, . . . come mostrato in Fig. 22.18. In questi casi i partoni emessi nell’interazioneframmentano e, se l’impulso trasverso e elevato, producono jet adronici distinti da quelliprodotti dalla frammentazione dei due adroni. Inoltre, poiche negli adroni bersaglio ladensita dei gluoni e maggiore di quella degli antiquark, il contributo dei gluoni fa aumentaresensibilmente la sezione d’urto rispetto al valore calcolato senza correzioni O(αs). Lasituazione e diversa nel caso di fasci di mesoni o antiprotoni che contengono antiquark divalenza.

Nell’annichilazione qq vengono prodotte anche risonanze adroniche JPC = 1−−, i me-soni vettori J/ψ, ψ′, . . .Υ,Υ′, . . . che si osservano nella Fig. 21.4 e in effetti alcuni di questimesoni sono stati scoperti come stati risonanti della sezione d’urto pN → `+`−X. Questerisonanze non compaiono nei dati della Fig. 22.17 perche l’effetto e diluito dalla scala edalla risoluzione sperimentale.

22.8 Collisioni tra adroni: produzione di jet

Gran parte dell’informazione sulle collisioni tra adroni a energia elevata viene da misurefatte presso gli anelli di collisione antiprotone–protone SppS a

√s = 630 GeV, e TeVatron

a√s = 1800 GeV. La maggior parte delle collisioni inelastiche pp e caratterizzata dalla

produzione di molte particelle, in media 30 adroni carichi e altrettanti neutri (Fig. 22.3),

368

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 369 — #369 ii

ii

ii

22.8. Collisioni tra adroni: produzione di jet

emesse con impulso trasverso piccolo pT ∼ 0.4 GeV (Fig. 22.4). La QCD non e in gradodi fare previsioni sul meccanismo di produzione di particelle in interazioni con impulsotrasferito piccolo perche il valore della costante di accoppiamento αs e grande. In Fig. 22.4si osserva che all’aumentare dell’energia nel centro di massa aumenta sensibilmente laproduzione di adroni con impulso trasverso pT 0.4 GeV. La distribuzione dell’energiatrasversa prodotta in un’interazione, ET = ΣipT i, ha valor medio 〈ET 〉 = 〈n〉pT ' 15 GeVe si estende fino a valori piuttosto elevati. In particolare, quando il rapporto ET /

√s non e

piccolo si osserva che l’energia trasversa e concentrata in due o piu jet adronici. In questocaso la variabile che caratterizza la produzione di jet, Q2 ' p2

T,jet, e grande e i metodiperturbativi della QCD permettono di calcolare la sezione d’urto.

La definizione sperimentale di jet e il calcolo teorico sono molto piu complessi che nonper l’annichilazione e+e− e i processi Drell–Yan perche

• la frammentazione dei jet si sovrappone a quella degli adroni nello stato iniziale enon e ovvio distinguere quali particelle sono originate in un processo o nell’altro;

• esiste una interazione forte tra i partoni che partecipano a questi due fenomeni;

• la risoluzione sperimentale nella definizione dell’impulso dei jet e peggiore che nelcaso dell’annichilazione e+e− o dei processi Drell–Yan in cui si puo applicare unvincolo sulla conservazione del 4-impulso nell’annichilazione qq ↔ e+e−;

• oltre all’annichilazione quark–antiquark, qq → qq, contribuiscono alla sezione d’urtoi processi di scattering qq → qq, qq → qq, qg → qg, gg → gg al primo ordine in αs,e molti altri agli ordini successivi;

• il valore del 4-impulso trasferito nell’interazione tra partoni, Q2, non e definito inmodo univoco.

22.8.1 Produzione di due jet

Quando l’energia trasversa totale e grande, il processo che avviene con maggiore frequen-za e la produzione di due jet [65] con impulso ~p1, ~p2 e componente trasversa approssi-mativamente uguale pT = p1 sin θ1 ' p2 sin θ2. Questi sono il risultato dello scatteringelastico o dell’annichilazione partone–partone e della successiva frammentazione dei par-toni nello stato finale. Se x1 e x2 sono le frazioni di impulso dei partoni nello statoiniziale (Fig. 22.19), il riferimento dell’interazione partone–partone si muove con velo-cita β = pL

E = (x1 − x2)/(x1 + x2) rispetto al centro di massa dei due adroni e, dallamisura dell’energia e della direzione dei jet, si puo studiare la dinamica dell’interazionepartone–partone in termini della variabili di Mandelstam s, t, u (appendice 46)

s = x1x2s t = − s2

(1− cos θ∗) u = − s2

(1 + cos θ∗)

dove θ∗ e l’angolo polare nel riferimento partone–partone. Se pT = (pT,jet1 + pT,jet2)/2e l’impulso trasverso e y1, y2, la rapidita dei jet (oppure la pseudorapidita y ' η =− ln tan θ/2 che implica solo misure di angolo)

y1 = y∗ +1

2lnx1

x2y2 = −y∗ +

1

2lnx1

x2(22.12)

369

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 370 — #370 ii

ii

ii


si ricavano le variabili del processo partone–partone. Dalla relazione (22.3) per l’im-pulso longitudinale si ha pL = pL1 + pL2 = (x1 − x2)

√s/2 = pT (sinh y1 + sinh y2) =

pT2 [(ey1 + ey2)− (e−y1 + e−y2)], e per l’energia

√x1x2s = 2pT cosh y1+y2

2 . Le variabili deipartoni interagenti e l’angolo di scattering sono

x1 =pT√s

(ey1 + ey2) x2 =pT√s

(e−y1 + e−y2) sin θ∗ =2pT√x1x2s

y1

y2

x p1 cm -x p2 cm

+y *

-y *

s2 + s

2 -

Figura 22.19: Produzione di jet jet X in collisioni adroniche

La sezione d’urto si ottiene come convoluzione delle densita dei partoni e delle sezionid’urto invarianti dei processi elementari ij → kl che si possono esprimere in funzionedell’impulso trasverso e della rapidita y∗ = 1

2 ln 1+cos θ∗

1−cos θ∗ = 12(y1 − y2)

d3σ(ij → kl)

d~pk/Ek= 2π

d2σ(ij → kl)

pTdpTdy∗

Introducendo le densita dei partoni e il vincolo s = x1x2s si ha la sezione d’urto in funzionedell’impulso trasverso e rapiditita dei jet

d4σ(pp→ jet1jet2X) =

∑ijkl

fi(x1)fj(x2)

[d3σ(ij → kl)

d~pk/Ek

]2πpTdpTdy

∗dx1dx21

sδ(x1x2 − s/s)

Definendo τ = s/s = x1x2 e la rapidita del sistema jet–jet y = 12(y1 + y2) = 1

2 ln x1x2

si hadτdy = dx1dx2, dy1dy2 = 2dy∗dy, e si ottiene la sezione d’urto differenziale

d3σ

pTdpTdy1dy2=π

s

∑ijkl

fi(x1)fj(x2)

[d3σ(ij → kl)

d~pk/Ek

](22.13)

pari alla somma pesata per le densita dei partoni delle sezioni d’urto dei processi ele-mentari. I processi partone–partone sono molti (appendice 46) e alcuni sono mostrati inFig. 22.20.

Per impulsi trasversi pT /√s < 0.05 sono piu frequenti i processi iniziati da gluoni, per

0.05 < pT /√s < 0.15 quelli dovuti a interazioni quark–gluone, mentre per pT /

√s > 0.15

sono prevalenti i processi di scattering elastico qq, qq o di annichilazione. Il contributorelativo e mostrato in Fig. 22.21 per

√s = 1800 GeV. Il rapporto tra le sezioni d’urto dei

370

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 371 — #371 ii

ii

ii

22.8. Collisioni tra adroni: produzione di jet

F (x)1

F (x)2

x2

x1

D (z)3

D (z)4

s(12 34)

qq qq qq gg

qg qg

gg qqgggg

Figura 22.20: Alcuni processi partone-partone che contribuiscono alla sezione d’urto pp→jet jet X.

processi elementari e determinato dai fattori di colore degli accoppiamenti gg, gq, qq e qqe risulta

σgg : σgq : σqq ≈9

4: 1 :

4

9

per cui la densita effettiva dei partoni e

F (x) = fg(x) +4

9

∑i

[fqi(x) + fqi(x)]

dove la somma e estesa ai sapori dei quark con mq < pT .La misura della distribuzione angolare dei jet nel riferimento dell’interazione partone-

partone conferma l’ipotesi che l’interazione sia mediata da gluoni di massa nulla e spin 1.Inoltre per impulsi trasversi elevati si puo verificare con elevato potere risolutivo l’ipotesiche i quark siano puntiformi. La produzione di jet con impulso trasverso di 400 GeVcorrisponde a un potere risolutivo δr ∼ h/pT ' 10−16 cm. Il limite attuale sulla dimensionespaziale dei quark e 10−17 cm.

La sezione d’urto differenziale in funzione di pT si ottiene integrando la (22.13) tenendoconto delle relazioni (22.12)

dσ

pTdpT=π

s

∫ ∑ijkl

fi(x1)fj(x2)

[d3σ(ij → kl)

d~pk/Ek

]dy1dy2

22.8.2 Produzione multipla di jet

Nelle interazioni con energia trasversa elevata si osserva anche la produzione di tre, quattro,. . . jet. L’identificazione dei jet non e molto piu complessa che nel caso precedente, maaumenta l’incertezza nella definizione delle variabili cinematiche dei jet, impulso trasversoe rapidita. Diventano pero molto piu complessi i calcoli in QCD perturbativa percheaumenta molto il numero di processi elementari che contribuiscono alla sezione d’urto.

371

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 372 — #372 ii

ii

ii


0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0pT (GeV)

g g

q gqq scattering

qq annihilation

Figura 22.21: Contributi dell’interazione partone-partone alla sezione d’urto inclusivapp→ jetX per

√s = 1800 GeV

Inoltre, anche nel caso di produzione di due jet, vi e una ambiguita nella definizonedel valore del 4-impulso trasferito Q da utilizzare nel calcolo. Supponionamo che il calcolosia effettuato all’ordine α3

s e i termini successivi non siano noti, la sezione d’urto e

σ = A(Q)α2s(Q) +B(Q)α3

s(Q) + . . .

Nel caso di produzione di due jet possiamo definire Q = pT , oppure Q =√s/2, oppure

. . . , e se modifichiamo la definizione Q→ zQ cambia il valore di αs secondo la dipendenzada lnQα(Q) = α

1+bα lnQ → α(zQ) = α1+bα lnQ+bα ln z = α

1+bα lnQ1

1+b ln z [α/(1+bα lnQ)]

α(zQ) ' α(Q) + h(z)α2(Q) + . . .

α2s(zQ) = α2

s(Q) + h2(z)α3s(Q) + . . . α3

s(zQ) = α3s(Q

2) + h3(z)α4s(Q) + . . .

per cui il risultato del calcolo all’ordine α3s cambia in

σ′ = A(zQ)α2s(Q) + [B(zQ) + h2(z)] α3

s(Q) + . . .

Il confronto con i risultati delle misure oppure la definizione di Q che minimizza la funzioneh2(z) possono aiutare a risolvere l’ambiguita.

La produzione di tre jet e interpretata come radiazione di gluoni e quark (q → qg,g → qq, g → gg) nello stato iniziale o nello stato finale. La sezione d’urto al primo ordine

e proporzionale a α3s e il rapporto σ(3jet+X)

σ(2jet+X = α3s(1+...)α2s(1+...)

permette di misurare αs in funzione

del 4-impulso trasferito [66].

22.8.3 Produzione inclusiva di jet

Per confrontare i risultati delle misure con i calcoli di QCD conviene riferirsi alla pro-duzione inclusiva di jet pp → jet X. La Fig. 22.22 mostra la sezione d’urto inclusiva

372

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 373 — #373 ii

ii

ii

22.9. Collisioni tra adroni: produzione di fotoni

d2σ(pp → jet X)/dpTdy in funzione dell’impulso trasverso in un intervallo di rapiditaintorno a y = 0 misurata a diversi valore di

√s. Il calcolo QCD e effettuato all’ordine α3

s ele densita dei partoni sono estratte dalle misure di scattering inelastico leptone–nucleoneche coprono l’intervallo di x e Q2 mostrato in Fig. 22.11 e estrapolate con le equazioni dievoluzione. L’accordo e molto soddisfacente su piu di otto ordini di grandezza.

(GeV)TE10 102

) (nb

/GeV

) d T

/(dE

2 d

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

10

102

103

104

|<0.7) at 1.8 TeV, 0.1<|pCDF (p|<0.7) at 1.8 TeV, 0.1<|p (pD

|<0.5) at 630 GeV, |p (pD

, CTEQ4HJ2TE

=µNLO-QCD,

|<0.7) at 540 GeV, 0.1<|pCDF (p|<0.7) at 630 GeV, |pUA1 (p|<0.85) at 630 GeV, |pUA2 (p

=0)R807 (pp at 63 GeV, =0)R807 (pp at 45 GeV,

Figura 22.22: Sezione d’urto di produzione inclusiva di jet in collisioni pp in funzionedell’impulso trasverso del jet (S.Eidelman et al., Physics Letters B 592, 1, 2004)

22.9 Collisioni tra adroni: produzione di fotoni

Alcune delle incertezze sia sperimentali che teoriche dell’analisi della produzione di jetvengono ridotte nel caso di produzione di fotoni con grande impulso trasverso, pp →γX [67]. La QCD prevede che la produzione associata di jet adronici e fotoni con pT,γ 'pT,jet sia mediata, al primo ordine in αs, dai processi elementari di annichilazione qq → gγe scattering Compton gq → qγ con sezione d’urto proporzionale a ααs. Le semplificazionidell’analisi sono

• l’energia del fotone emesso nell’interazione viene misurata direttamente negli espe-rimenti senza le incertezze dovute alla frammentazione;

• il numero di processi elementari che contribuiscono al primo ordine in αs e fortementeridotto rispetto al caso di produzione di jet;

• e, per la stessa ragione, il calcolo dei contributi alla sezione d’urto all’ordine α2s, . . .

e notevolmente semplificato.

373

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 374 — #374 ii

ii

ii


La Fig. 22.23 mostra la sezione d’urto inclusiva d2σ(pp→ γX)/dpTdy in funzione dell’im-pulso trasverso in un intervallo di rapidita intorno a y = 0 misurata a diversi valore di

√s.

Per confronto e riportato il calcolo QCD all’ordine α2s. Anche in questo caso l’accordo su

piu di sei ordini di grandezza e molto soddisfacente. Il confronto tra Fig. 22.22 e Fig. 22.23permette di stimare il rapporto αs/α in funzione di Q2.

(GeV/c)Tp0 20 40 60 80 100 120

)2 (p

b/G

eV3

/dp

3E

d

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

10

102

103

104

|<0.9) at 1.8 TeV, |pD0 (p

, CTEQ5MT=EµNLO-QCD,

|<0.9) at 1.8 TeV, |pCDF (p|<2.5) at 1.8 TeV, 1.6<|pD0 (p

|<0.9) at 630 GeV, |pD0 (p

|<2.5) at 630 GeV, 1.6<|pD0 (p

at 24.3 GeV, <y>=0.4)pUA6 (p=0)R806 (pp at 63 GeV,

=0) at 630 GeV, pUA1 (p=0) at 630 GeV, pUA2 (p

Figura 22.23: Sezione d’urto di produzione di fotoni in collisioni pp in funzione dell’impulsotrasverso (S.Eidelman et al., Physics Letters B 592, 1, 2004)

22.10 La misura di αs

La costante di accoppiamento dell’interazione adronica, come la costante di struttura fine ela costante universale di Fermi, e un parametro libero della teoria e quindi va determinatosperimentalmente. La QCD prescrive una precisa dipendenza dal 4-impulso trasferitonell’interazione e fa previsioni su diversi fenomeni che permettono di determinare il valoredi αs. Alcuni sono stati descritti, altri sono qui elencati

• decadimenti del leptone τ in stati finali adronici: τ → ντh (Q = 1.77 GeV);

• evoluzione delle funzioni di struttura del nucleone misurate in esperimenti di scatte-ring inelastico eN → eX, µN → µX, νN → µX (Q = 2÷ 50 GeV);

• produzione di jet nella scattering inelastico ep→ eX (Q = 2÷ 50 GeV);

• analisi dei livelli energetici degli stati legati qq (quarkonio) (Q = 1.5÷ 5 GeV);

• decadimenti dei mesoni vettori Υ, Υ′ (Q = 5 GeV);

• sezione d’urto di annichilazione e+e− → adroni (Q = 10÷ 200 GeV);

374

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ii

22.11. Il quark–gluon plasma

• funzione di frammentazione dei jet prodotti in e+e− → adroni (Q = 10÷ 200 GeV);

• decadimenti del bosone Z0 in adroni (Q = 91 GeV, capitolo 23);

• produzione di jet in interazioni pp, pp (Q = 50÷ 1000 GeV);

• produzione di fotoni in interazioni pp, pp (Q = 30÷ 500 GeV).

Figura 22.24: Costante di accoppiamento αs in funzione dell’energia

Alcuni risultati sono mostrati in Fig. 22.24 nell’intervallo 2 < Q < 200 GeV. I risultatimostrano un chiaro andamento in accordo con quello previsto dalla teoria [68]. Il valorequotato alla massa del bosone Z0 e αs(m

2Z) = 0.118± 0.001

22.11 Il quark–gluon plasma

Il plasma e lo stato della materia gassosa in cui gli atomi sono ionizzati. Le condizioni perottenere il plasma sono elevata densita e temperatura. La densita di portatori di carica ni,elettroni e ioni, in un mezzo di costante dielettrica ε origina un potenziale V (~r) secondol’equazione di Poisson, ε∇2V (~r) = −

∑i qini(~r) − qδ(~r), dove q e una carica puntiforme

del mezzo. Se il sistema di cariche e in equilibrio a temperatura T la densita media,∑i qini = e(np − ne), nulla in un mezzo neutro, viene modificata

ε∇2V (~r) = −∑i

qinie−qiV (~r)/kT − qδ(~r)

A temperatura elevata, kT qV (~r), nell’ipotesi di distribuzione a simmetria sferica si ha

ε1

r

∂2

∂r2rV (r) = −

∑i

qini +∑i

qiniqiV (r)

kT+ . . .− qδ(~r)

dove il primo termine e in media nullo e il secondo termine modifica il potenziale generatodalla carica q

∂2

∂r2rV (r)−

(∑i

niq2i

εkT

)rV (r) = −qδ(~r)

εV (r) =

q

4πεre−r/λD

375

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ii


Il potenziale generato dalle cariche viene schermato e la dimensione della zona in cuil’interazione tra le cariche viene ridotta e definita dalla lunghezza di Debye

λD =

(εkT

nq2

) 12

(22.14)

Se la lunghezza di Debye e minore delle distanze interatomiche, n−13 , le cariche elettriche

non sono vincolate e il mezzo passa dalla fase gassosa alla fase di plasma e diventa con-duttore. Il diagramma di temperatura×densita definisce la separazione tra stato gassosoe stato di plasma. Ad esempio, con e2/ε0 = 4παhc = 1.8 10−6 eV cm, nella ionosfera(kT ' 0.1 eV, n ' 106 cm−3): λD ' 0.1 cm; nel centro del Sole (kT ' 1 keV, n ' 1026

cm−3): λD ' 10−9 cm.Un fenomeno simile e previsto per la materia adronica a valori di densita e temperatura

molto piu elevati. Gli adroni hanno dimensioni rh ' 1 fm, massa mh ' 1 GeV e sonoincolori. Sono costituiti di quark fortemente legati, confinati dai campi di interazione, igluoni; quark e gluoni hanno carica di colore. Nella materia adronica ordinaria, costituitada due tipi di quark, u e d, la massa effettiva dei quark e mq ' 300 MeV (capitolo 18)mentre in interazioni a grande 4-impulso trasferito la costante di accoppiamento dellacromodinamica quantistica diminuisce e i quark si comportano come particelle libere conmassa mq → 0. La densita di energia della materia adronica e ρh = 3mh

4πr3h' 0.2 GeV fm−3.

La produzione inclusiva di mesoni con piccolo impulso trasverso segue l’andamento tipicodella termodinamica statistica dσ

dpT' pT e

−bpT con 〈pT c〉 = 2/b ' 300 MeV che suggerisceuna temperatura dei costituenti degli adroni kTh = 1/b ' 150 MeV.

Queste considerazioni inducono a ipotizzare che per densita e temperatura maggiori av-venga anche per la materia adronica una transizione dallo stato di quark e gluoni confinatiin particelle incolori allo stato di plasma di quark e gluoni in cui questi sono deconfinatie che si comporta come un conduttore di colore [69, 70]. Queste ipotesi implicano che ilfenomeno inverso, la condensazione di quark e gluoni a formare gli adroni, sia avvenutonella prima fase di espansione dell’Universo quando la densita di energia e diminuita sottoil valore di equilibrio del plasma. L’epoca della bariogenesi risale a circa 10 µs dopo il BigBang (capitolo 26).

Per stimare le condizioni di temperatura e densita della transizione dalla materia adro-nica allo stato di plasma, consideriamo un gas di mesoni π a temperatura T tale da consi-derare la massa trascurabile. La pressione del gas e data dalla legge di Stefan–Boltzmann(appendice 27)

Pπ =1

3uπ =

gπ3(2πh)3

∫pc

p2dpdΩ

epc/kT − 1= gπ

4πk4T 4

3(2πhc)3

∫x3dx

ex − 1=

1

(hc)3

3π2

90k4T 4

dove la gπ = 3 e la molteplicita di isospin. Per un gas costituito da due tipi di quark eantiquark di spin 1

2 e 3 colori, e 8 campi di gluoni di spin 1 la pressione e

Pqg =1

3uqg =

[7

8(3× 2× 2× 2) + 8× 2

]1

(hc)3

π2

90k4T 4 −B =

1

(hc)3

37π2

90k4T 4 −B

dove il fattore 78 tiene conto della diversa statistica (capitolo 26) e B e la pressione di

contenimento. Questa e stimata nel modello a sacca, bag model, in cui gli adroni sonorappresentati da una sacca in cui sono confinati i quark da una barriera di potenziale

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ii


che esercita la pressione di contenimento. Questa e pari alla densita di energia all’internodella sacca B = uh ' 0.2 GeV/fm3. Il quark–gluon plasma e stabile se Pqg > Ph e latemperatura critica della transizione corrisponde a

Pqg(Tc) = Pπ(Tc)1

(hc)3

34π2

90k4T 4

c = B kTc =

(90(hc)3B

34π2

) 14

' 150 MeV

(22.15)Nella transizione della materia adronica allo stato di plasma la densita di energia ha unadiscontinuita che corrisponde al calore latente di fusione

upg − uπ = B +k4T 4

c

(hc)3

34π2

30= 4B ' 0.8 GeV fm−3

I calcoli basati sulla QCD prevedono un valore della temperatura critica kTc = 175 MeV.Il diagramma di temperatura×densita barionica e la densita di energia u/T 4 previsti dallaQCD sono mostrati in Fig. 22.25.

2 4 6 1 3 5

~175

100

50

Baryonic density ρ / ρ0

Temperature [ MeV ]

nuclei

hadron gas

quark-gluon plasma

neutron stars

1 2 3

Temperature T / Tc

Energy density / k4T4 [ GeV-3 fm-3 ]

600

300

900

Figura 22.25: Diagramma temperatura×densita barionica. Transizione di fase tra gas diadroni e quark–gluon plasma.

La ricerca di formazione del quark–gluon plasma e stata incentrata sullo studio di col-lisioni di nuclei pesanti relativistici in anelli di collisione ad alta energia [71], al RelativisticHeavy Ion Collider (RHIC) e al Large Hadron Collider (LHC). Nel primo caso con ionidi Oro, 197

79Au, fino a energia nucleone–nucleone√sNN = 200 GeV, nel secondo caso con

ioni di Piombo, 20882Pb fino a energia nucleone–nucleone

√sNN = 5.0 TeV. Nello stesso

anello si possono accelerare sia protoni che ioni pesanti in modo da confrontare i risultatidi collisioni pp, pA, AA. Se pp e l’impulso del fascio di protoni, definito dal valore delcampo magnetico e del raggio di curvatura dei magneti,

√s = 2ppc, l’impulso del nucleo

e pA = Zpp, l’energia totale e√sAA = Z

√s e l’energia di collisione di due nucleoni e√

sNN = ZA

√s. L’energia totale effettiva dipende dal parametro d’urto della collisione tra

nuclei, b, come mostrato in Fig. 22.26. Questo determina la centralita della collisione, c,definita come la percentuale di collisioni che hanno la piu elevata molteplicita di particelleprodotte,

c(N) =1

σAA

∫ ∞N

dσ

dndn ' π[b(n)]2

σAAcon n =

1

σAA

∫ ∞N

dσ

dnndn (22.16)

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b x

y

bz

R

Figura 22.26: Collisione tra due nuclei; nella proiezione longitudinale z i nuclei sonocontratti per il fattore di Lorentz γ. Distribuzione della molteplicita di particelle in classidi centralita.

Il valore della centralita di una collisione e determinata misurando la molteplicitadi particelle n o la somma dall’energia trasversa

∑ET . Le collisioni centrali (0–10%

in Fig. 22.26) producono elevata molteplicita di particelle e elevata energia trasversa,in quelle periferiche (90–100%) la molteplicita e l’energia trasversa sono simili ai valorimisurati nelle interazioni protone–nucleo.

I due nuclei sono fortemente contratti dal fattore di Lorentz γ =√sNN

2mN, la dimensione

longitudinale e ∼ 10−2 fm. Al tempo t = 0 i nuclei collidono e si producono le interazioniad elevato 4-impulso trasferito Q > 10 GeV per t ∼ h/Q < 0.1 fm/c. Al tempo t ∼ 0.1fm/c le interazioni piu probabili avvengono tra partoni con piccoli valori di x e si forma ilgas di quark e gluoni ad elevata densita di energia (Fig. 22.27). Maggiore e la centralitadella collisione (piccolo parametro d’urto) maggiore e il numero di occupazione del gas. Altempo t ∼ 1 fm/c il gas termalizza e si hanno le condizioni per la formazione del plasma.Il plasma si espande, la densita di energia e la temperatura diminuiscono, e per t ∼ 10fm/c quark e gluoni condensano a formare le migliaia di adroni che si osservano negliesperimenti.

t ≈ 1 fm/c t ≈ 0.1 fm/c t ≈ 10 fm/c

Figura 22.27: Collisione centrale tra nuclei e evoluzione del gas di partoni.

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Per verificare le caratteristiche delle collisioni nucleo–nucleo e la formazione del quark–gluon plasma si misurano vari effetti in funzione della centralita delle collisioni. LaFig. 22.28 mostra la distribuzione di densita di particelle cariche dnch

dη per diversi valo-ri della centralita in interazioni PbPb a

√sNN = 5.02 TeV. Nelle collisioni centrali (0–5%)

si ha dnchdη |η=0 ' 2000 mentre in collisioni protone–protone alla stessa energia si hanno 6

particelle cariche per unita di pseudorapidita.

Figura 22.28: Distribuzione della densita di particelle cariche dnchdη in interazioni PbPb a√

sNN = 5.02 TeV per diversi classi di centralita.

Per confrontare le collisioni pp, pA, AA, e verificare le ipotesi sullo sviluppo delle in-terazioni del gas di partoni e la formazione del plasma, si introducono alcune funzioniche dipendono dalla densita di nucleoni e dal parametro d’urto. Se consideriamo unadensita uniforme n(~r) = 3A

4πR3 per r < R, la proiezione lungo la linea di collisione en(s, z)dz = nRd cos θ e lo spessore effettivo, thickness function, e TA(s) =

∫n(s, z)dz =

2nR√

1− s2/R2 = 3A2πR2

√1− s2/R2. Nei calcoli si usano funzioni densita piu realistiche,

ad esempio la funzione di Woods–Saxon (capitolo 10). Nella collisione di due nuclei AB conparametro d’urto b la funzione di sovrapposizione e TAB(~b) =

∫TA(~s)TB(~b−~s)d~s. La pro-

babilita che un nucleone attraversi il nucleo senza interagire e P (0) =[1− 1

AσppTA(s)]A→

e−σppTA(s) per A 1. La sezione d’urto geometrica e

σgeo =

∫ RA+RB

0

(1− e−σppTAB(~b)

)d~b

Per sovrapposizione completa, b = 0, e collisione tra nuclei uguali si ha TAA(0) = 98π

A2

R2 .

Per Pb con R = 1.2A1/3 fm e σpp = 70 mb si ha TPbPb(0) = 98π

A4/3

15 mb = 28 mb−1,σgeo = 4πR2 ' 6 b. Il numero di nucleoni partecipanti e

Npart(~b) =

∫ [TA(~s)

(1− e−σppTB(~b−~s)

)+ TB(~s)

(1− e−σppTA(~b−~s)

)]d~s

e il numero di collisione binarie nucleone–nucleone e Ncoll(~b) = σppTAB(~b). Valori tipiciin collsioni centrali PbPb a

√sNN = 5 TeV sono: 〈Npart〉 ' 400, 〈Ncoll〉 ' 2000.

Se si misurano in collisioni pA e AA le variabili di particelle di tipo k, ad esempiorapidita e impulso trasverso, la funzione di distribuzione d2nk

dydpTviene riferita alla analoga

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 380 — #380 ii

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distribuzione misurata in collisioni pp definendo il rapporto (nuclear modification factor)

RAA =1

〈Ncoll〉

d2nkdydpT

|AAd2nkdydpT

|ppRpA =

1

〈Ncoll〉

d2nkdydpT

|pAd2nkdydpT

|pp(22.17)

Determinando la dipendenza di RAA dalla centralita delle collisioni per diverse particellesi sono verificate le ipotesi sulla formazione del gas di partoni e del quark–gluon plasma:

• le caratteristiche della produzione di bosoni W e Z (capitolo 23), e di fotoni diretti,quelli prodotti ad elevato pT nelle interazioni primarie quark–gluone, sono sostan-zialmente immutate perche queste particelle sono prodotte all’inizio dell’evoluzionedel sistema e interagiscono debolmente con il gas di partoni;

• la produzione di mesoni vettori, ψ,ψ′, ...,Υ,Υ′, ..., che risultano dalla ricombinazionedi quark con lo stesso sapore e soppressa e il grado di soppressione di stati con diversaenergia di legame da informazione sulla temperatura del mezzo;

• le caratteristiche dei jet adronici con elevato impulso trasverso prodotti all’iniziodell’evoluzione del sistema risente fortemente delle interazioni di colore nell’attra-versare il mezzo, sia nella distribuzione in pT che nella funzione di frammentazione(Fig. 22.29);

• la distribuzione dell’angolo azimutale rispetto alla normale al piano di produzionedelle particelle prodotte nella fase di raffreddamento, risente dei moti collettivi delmezzo;

• in collisioni pA il rapporto RpA non mostra forti deviazioni da uno.

Figura 22.29: Produzioni di jet adronici che inizialmente bilanciano l’impulso trasverso.Immagine di una collisione con centralita intermedia.

Molte altre misure hanno prodotto verifiche quantitative dell’evoluzione dello stato delgas di partoni prodotto nelle interazioni: la termalizzazione, la formazione del plasma, latransizione per un valore di temperatura kTc = 160–190 MeV, e la produzione di adroninella successiva fase di raffreddamento.

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Capitolo 23

Interazione elettrodebole

Le particelle elementari, leptoni e quark, sono fermioni di spin 1/2. Le interazioni traqueste sono mediate da campi di bosoni di spin 1 e sono descritte dal prodotto scalare dellacorrente fermionica e del campo di interazione. Nel caso dell’interazione elettromagneticaquesto e eJ ·A; e e la carica elettrica; Jµ = ψγµψ (µ = 1, 2, 3, 4) sono le componenti dellacorrente fermionica (appendice 42); Aµ sono le componenti del campo elettromagnetico.(Qui e nel seguito h = 1, c = 1, e2 = 4πα). Nel caso dell’interazione debole ci sonodue correnti J+

µ e J−µ , ciascuna con una componente vettoriale e una assiale. Questeagiscono come gli operatori di isospin 1/2 τ± e sono accoppiate a due campi W−µ e W+

µ

che trasmettono carica elettrica. Il fotone ha massa nulla, i bosoni W± hanno massa.L’interazione elettromagnetica e invariante per una trasformazione che dipende da un

solo parametro, U = eiα(x)Q, in cui Q e il generatore della carica elettrica e α(x) e unafunzione reale delle coordinate spazio-temporali. L’analoga trasformazione per l’intera-zione debole e quella generata dall’operatore di isospin 1/2, U = eiΣkαk(x)τk (k = 1, 2, 3)ma, per completare la simmetria, manca la componente τ3 associata ad un campo deboleneutro.

L’esistenza di un campo debole neutro e stata ipotizzata da Sheldon Glashow 1 nel1961 [72]. In effetti nell’interazione elettromagnetica la sezione d’urto di annichilazionee+e− → γγ, descritta dal primo grafico in Fig. 23.1 (appendice 46), da un risultato finitoin accordo con i risultati sperimentali, mentre il calcolo della sezione d’urto per l’analogoprocesso per interazione debole νν → W+W− da un risultato che cresce con il quadratodell’energia, σ ∝ s, e che diverge per s 4M2

W . Infatti in questo caso il propagatoredel campo debole non interviene a modificare l’accoppiamento a contatto. Si puo inveceottenere un risultato finito se si ipotizza che, oltre al secondo grafico in Fig. 23.2, esistal’accoppiamento con un campo debole neutro, Z0, descritto da un propagatore con massaMZ ≈MW .

Lo stesso effetto si ha per l’annichilazione e+e− →W+W− in cui intervengono i graficimostrati in Fig. 23.2: si ottiene un risultato finito per s → ∞ aggiungendo il contributodi un campo debole neutro. In questo caso la condizione che la sezione d’urto non divergadefinisce una relazione tra le due costanti di accoppiamento, la carica elettrica elementaree la costante universale di Fermi.


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Capitolo 23. Interazione elettrodebole

Figura 23.1: Grafici di Feynman dell’annichilazione e+e− → γγ e νν →W+W−

Figura 23.2: Grafici di Feynman dell’annichilazione e+e− →W+W−

23.1 Isospin e ipercarica debole

Da questi argomenti e tenendo conto che la carica elettrica interviene direttamente nell’ac-coppiamento dei fermioni con il campo elettromagnetico mentre la stessa carica e trasmessada un fermione all’altro nelle interazioni con i campi deboli, si puo ipotizzare che esistauna simmetria piu generale che descrive le due interazioni. Lo studio di questa simmetriae stato fatto da Steven Weinberg e Abdus Salam 2 che nel 1967 hanno messo le basi dellateoria dell’interazione elettro–debole [73] .

Per individuare le trasformazioni che generano questa simmetria e opportuno ricordareche

• quark e leptoni carichi, `±, si accoppiano con il campo elettromagnetico;

• tutti i fermioni si accoppiano con il campo debole;

• quark e leptoni carichi hanno due stati di elicita, Left e Right ;

• l’interazione elettromagnetica non dipende dallo stato di elicita dei fermioni;

• l’interazione debole non dipende dallo stato di carica elettrica dei fermioni;

• l’interazione debole agisce su fermioni L e antifermioni R;

• rispetto all’interazione debole, quark e leptoni si possono rappresentare con dop-pietti caratterizzati dal sapore; la carica elettrica distingue i componenti di ciascundoppietto, Eq. (19.12)(

νee−

) (νµµ−

) (νττ−

) (ud′

) (cs′

) (tb′

)2 premi Nobel per la fisica nel 1979

382

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23.1. Isospin e ipercarica debole

e la stessa rappresentazione si ha per gli antifermioni.

Queste caratteristiche si possono riassumere introduncendo l’operatore di isospin debole,~I, che genera doppietti di fermioni L e singoletti di fermioni R

doppietto

(νee−

)L

(νµµ−

)L

(νττ−

)L

(ud′

)L

(cs′

)L

(tb′

)L

singoletto e−R µ−R τ−RuR cR tRd′R s′R b′R

La connessione tra la simmetria SU(2) generata dall’isospin debole e la simmetria U(1)generata dalla carica elettrica e stabilita da una relazione analoga a quella di Gell-Manne Nishijima (capitolo 17) tra carica elettrica, ipercarica debole Y e terza componentedell’isospin debole

Q = Y/2 + I3

I generatori della simmetria dell’ipercarica debole e dell’isospin debole sono rispettivame-nete una costante e le matrici di Pauli

U(1)Y 1 SU(2)L1

2

(0 11 0

)1

2

(0 −ii 0

)1

2

(1 00 −1

)

Per i fermioni L e R gli autovalori sono (e = µ = τ , u = c = t, d′ = s′ = b′)

νL eL eR uL d′L uR d′RI 1/2 1/2 0 1/2 1/2 0 0I3 +1/2 −1/2 0 +1/2 −1/2 0 0Y −1 −1 −2 +1/3 +1/3 +4/3 −2/3Q 0 −1 −1 +2/3 −1/3 +2/3 −1/3

(23.1)

gli autovalori relativi agli antifermioni hanno segno opposto.La simmetria e quindi U(1)Y ⊗ SU(2)L. U(1)Y = eiα(x)Y descrive l’interazione tra

una corrente fermionica JY e un campo bosonico BY con una costante d’accoppiamentogY . SU(2)L = eiΣkαk(x)Ik descrive l’interazione tra tre correnti JkI e tre campi Bk

I conuna seconda costante d’accoppiamento gI . L’interazione corrente · campo prevista dallasimmetria e

1

2gY J

YBY + gI(J1B1 + J2B2 + J3B3

)(23.2)

Esistono quindi due correnti fermioniche cariche associate agli operatori I1 ± iI2

J+µ = (ν e)L γµ

(0 10 0

)(νe

)L

= (ν e)L γµ

(e0

)L

= νLγµeL

J−µ = (ν e)L γµ

(0 01 0

)(νe

)L

= (ν e)L γµ

(0ν

)L

= eLγµνL

e due correnti fermioniche neutre associate a I3 e Y

J3µ = (ν e)L γµ

1

2

(1 00 −1

)(νe

)L

= (ν e)L γµ

(ν−e

)L

=1

2νLγµνL −

1

2eLγµeL

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 384 — #384 ii

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JYµ = (ν e)L γµ

(−1 00 −1

)(νe

)L

+ eR (−2) γµeR = −νLγµνL − eLγµeL − 2eRγµeR

La corrente elettromagnetica, associata all’operatore Q, e rappresentata dalla combinazio-ne

Jemµ =1

2JYµ + J3

µ = −eLγµeL − eRγµeR

23.2 Angolo di Weinberg

Le tre correnti J+, J−, Jem, sono associate alle interazioni debole e elettromagnetica sesi identificano i campi corrispondenti come combinazioni dei campi di U(1)Y ⊗ SU(2)L

• due campi carichi

W+ =B1 + iB2

√2

W− =B1 − iB2

√2

• due campi neutri

A = BY cos θW +B3 sin θW Z = −BY sin θW +B3 cos θW

Le interazioni mediate dai campi carichi sono

J1B1 + J2B2 =J+ + J−

2

W+ +W−√2

+J+ − J−

2i

W+ −W−√2i

=J+W− + J−W+

√2

Le interazioni mediate dai campi neutri sono

1

2gY J

YBY + gIJ3B3 =

1

2gY J

Y (A cos θW − Z sin θW ) + gIJ3(A sin θW + Z cos θW ) =

=

(1

2gY J

Y cos θW + gIJ3 sin θW

)A+

(−1

2gY J

Y sin θW + gIJ3 cos θW

)Z

Il primo termine rappresenta l’interazione elettromagnetica e(12J

Y + J3) · A. Quindi siottiene una relazione tra le costanti di interazione gI e gY e la carica elementare

gY cos θW = gI sin θW = egYgI

= tan θW (23.3)

L’angolo con cui sono combinati i due campi neutri e chiamato angolo di Weinberg. Ilsecondo termine si puo esprimere in funzione della corrente elettromagnetica

− gIcos θW

sin2 θW (Jem − J3) +gI

cos θWcos2 θWJ

3 =gI

cos θW

(J3 − Jem sin2 θW

)Quindi da Eq. (23.2) i quattro tipi di interazione sono (Fig. 23.3)

eJemA+gI√

2

(J+W− + J−W+)+

gIcos θW

(J3 − Jem sin2 θW

)Z (23.4)

e dipendono solo da due parametri: la carica elementare e la costante di accoppiamentogI . L’angolo di Weinberg e legato alle due costanti di accoppiamento dalla relazionegI sin θW = e.

384

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23.3. Misura dell’angolo di Weinberg

Figura 23.3: Rappresentazione delle interazioni elettro–deboli, g sin θW = e

Le relazioni precedenti definiscono i valori di massa dei bosoni W± e Z0. Gli elemen-ti di matrice dipendono dal prodotto delle costanti per il propagatore. Introducendo ipropagatori, nel limite di interazione a contatto (q2 M2) si ha:

gI√2

1

q2 +M2W

gI√2→ 4G√

2

gIcos θW

1

q2 +M2Z

gIcos θW

→ 8G√2

M2W =

g2I

4√

2G=

πα√2G sin2 θW

M2Z =

g2I

4√

2G cos2 θW=

M2W

cos2 θW

L’accoppiamento dei fermioni con il campo debole neutro e definito dagli autovalori diI3 −Q sin2 θW (gli autovalori relativi agli antifermioni hanno segno opposto)

ν e u d′

gL = I3 −Q sin2 θW12 −1

2 + sin2 θW12 −

23 sin2 θW −1

2 + 13 sin2 θW

gR = −Q sin2 θW 0 + sin2 θW −23 sin2 θW

13 sin2 θW

23.3 Misura dell’angolo di Weinberg

La teoria di Weinberg e Salam prevede che esistano interazioni di neutrini del tipo νµN →νµX, νµN → νµX, dette interazioni di corrente neutra, con sezione d’urto simile a quelladi interazioni di corrente carica (capitolo 20). Le misure sono piu difficili che nel casodi interazioni νµN → µ−X, νµN → µ+X perche non si conosce l’energia del neutrinoincidente e non si osserva il neutrino dopo la collisione.

La prima conferma dell’esistenza di queste interazioni si e avuta nel 1973 osservandoappunto interazioni di neutrini senza l’emissione di muoni [74]. Il confronto tra interazioniper corrente carica, CC, in cui si osserva sia il muone che lo stato X in cui frammenta ilnucleone bersaglio, e interazioni per corrente neutra, NC, in cui non si osserva il neutrino,ma solo lo stato X, permette di fare ipotesi sul neutrino non osservato nello stato finale.Il valore dell’angolo di Weinberg e stato determinato misurando il rapporto tra le sezionid’urto di neutrini e antineutrini.

Nel caso di interazioni su nuclei si hanno contributi dovuti alla presenza sia di quark chedi antiquark nel bersaglio. Piu semplice e l’interpretazione delle misure di sezione d’urtousando come bersaglio gli elettroni atomici perche il bersaglio e costituito solo da fermioni.In questo caso pero le misure sono molto piu difficili perche la sezione d’urto, proporzionalea s = 2meEν , e molto piu piccola. L’osservazione dell’elettrone e la misura dell’energiae dell’angolo con cui e emesso permette di distinguere le interazioni per corrente neutra,νµe− → νµe

−, νµe− → νµe

−. Dalla conservazione del 4-impulso si ha (Pν + Pe − P ′e)2 =

385

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 386 — #386 ii

ii

ii


P ′2ν = 0, e per E′e me: (Eν −E′e)me = EνE′e(1− cos θ), E′e(1− cos θ) < me. L’elettrone

emesso ad angoli piccoli, E′eθ2 < 2me, caratterizza le interazioni per corrente neutra.

La sezione d’urto differenziale dσ/dy delle interazioni elastiche

νµe− → νµe

− νµe− → νµe

−

e definita dalla configurazione di elicita. In diverse configurazioni di elicita pesano in mododiverso gli autovalori di I3 −Q sin2 θW

νLeL ⇐ ⇒ 12

[−1

2 + sin2 θW]

νLeR ⇐ ⇐ 12

[0 + sin2 θW

]νReL ⇒ ⇒ −1

2

[−1

2 + sin2 θW]

νReR ⇒ ⇐ −12

[0 + sin2 θW

]e, pesando i contributi per le distribuzioni angolari, si ha:

dσνdy

=4G2

π2meEν

(1

4

[−1

2+ sin2 θW

]2

+1

4

[sin2 θW

]2(1− y)2

)

dσνdy

=4G2

π2meEν

(1

4

[−1

2+ sin2 θW

]2

(1− y)2 +1

4

[sin2 θW

]2)Per cui il rapporto tra le sezioni d’urto dipende solo dall’angolo di Weinberg

σ(νe)

σ(νe)=

1

3

1− 4 sin2 θW + 16 sin4 θW1− 4 sin2 θW + (16/3) sin4 θW

Il valore dell’angolo di Weinberg ottenuto da misure di scattering elastico νe, νe e

sin2 θW = 0.232± 0.008

Il risultato piu preciso si ottiene misurando i rapporti delle sezioni d’urto su nucleoniσNC(νµN → νµX)/σCC(νµN → µ−X) e σNC(νµN → νµX)/σCC(νµN → µ+X). Inquesto caso vanno introdotti gli autovalori di I3 − Q sin2 θW dei diversi sapori di quarke antiquark pesati per le relative densita partoniche. Il valore dell’angolo di Weinbergottenuto da queste misure e

sin2 θW = 0.226± 0.004

Una conferma dell’effetto del propagatore del bosone Z0 si e avuta pochi anni dopo(1978) studianto lo scattering inelastico di elettroni polarizzati [75]. Elettroni di energiaEe = 16 ÷ 22 GeV con polarizzazione longitudinale eL e eR erano alternativamente ac-celerati con il LINAC dello Stanford Linear Accelerator Center e inviati su un bersagliodi deuterio liquido. La sezione d’urto dipende dal propagatore del fotone, ∝ eeq

Q2 , e del

bosone Z0, ∝ gegqQ2+m2

Zed e sensibile al termine di interferenza γ−Z. Le misure erano fatte

a valori di Q2 = 1÷ 2 GeV 2 m2Z , x > 0.2 e inelasticita y ∼ 0.2. Integrando le funzioni

di struttura di protone e neutrone nella regione x > 0.2 la sezione d’urto differenziale epoco sensibile alla densita di antiquark:

dσdy (eLuL) ∝ |2πα

Q2−23 + G√

2geLg

uL|2 dσ

dy (eLdL) ∝ |2παQ2

+13 + G√

2geLg

dL|2

dσdy (eLuR) ∝ |2πα

Q2−23 + G√

2geLg

uR|2(1− y)2 dσ

dy (eLdR) ∝ |2παQ2

+13 + G√

2geLg

dR|2(1− y)2

dσdy (eRuL) ∝ |2πα

Q2−23 + G√

2geRg

uL|2(1− y)2 dσ

dy (eRdL) ∝ |2παQ2

+13 + G√

2geRg

dL|2(1− y)2

dσdy (eRuR) ∝ |2πα

Q2−23 + G√

2geRg

uR|2 dσ

dy (eRdR) ∝ |2παQ2

+13 + G√

2geRg

dR|2

386

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 387 — #387 ii

ii

ii

23.4. Decadimenti dei bosoni W± e Z0

La sezione d’urto differenziale per elettroni eR e eL, per uguale densita di quark u e d etrascurando il termine ∼ G2, e proporzionale a:

dσRdy ∝

4π2α2

Q4

[(59 +R

(−4

3geRg

uR + 2

3geRg

dR

))+(

59 +R

(−4

3geRg

uL + 2

3geRg

dL

))(1− y)2 + . . .

]dσLdy ∝

4π2α2

Q4

[(59 +R

(−4

3geLg

uL + 2

3geLg

dL

))+(

59 +R

(−4

3geLg

uR + 2

3geLg

dR

))(1− y)2 + . . .

]Il termine di interferenza γ–Z e diverso per eL e eR ed e proporzionale a

R = GQ2

2√

2πα' 3× 10−4. L’esperimento ha misurato l’asimmetria

A =dσR/dy − dσL/dydσR/dy + dσL/dy

= − GQ2

2√

2πα

9

10

[(1− 20

9sin2 θW

)+(1− 4 sin2 θW

) 1− (1− y)2

1 + (1− y)2

]

e determinato l’angolo di Weinberg: sin2 θW = 0.22± 0.02.

23.4 Decadimenti dei bosoni W± e Z0

La misura dell’angolo di Weinberg fissa i valori della massa dei bosoni: MW ' 80 GeV ,MZ ' 90 GeV e dell’accoppiamento dei bosoni con coppie fermione–antifermione. Lelarghezze di decadimento sono

W → fafbdΓ

dΩ=g2I

2|Vab|2Nc

1

(2π)2

1

2MWp2f [F (θ)]2

Z → fafadΓ

dΩ=

g2I

cos2 θW

[g2L + g2

R

]Nc

1

(2π)2

1

2MZp2f [F (θ)]2

Vab sono i parametri della matrice CKM (per i leptoni Vab = 1), Nc e la molteplicitadel colore (Nc = 3 per i quark e Nc = 1 per i leptoni), pf e l’impulso dei fermioni,F (θ) = (1 − cos θ)/2 e la distribuzione angolare e θ e l’angolo tra lo spin del bosone e ladirezione del fermione. I possibili accoppiamenti sono

W+ νee+ νµµ

+ νττ+ ud cd td

us cs tsub cb tb

Z0 e−e+ νeνe µ−µ+ νµνµ τ−τ+ ντ ντuu cc tt dd ss bb

e quelli coniugati di carica per il bosone W−. Il quark t ha massa maggiore di quelladei bosoni W e Z e quindi gli stati finali con il quark t non sono accessibili. Per tuttele altre coppie fermione–antifermione si ha mf M per cui pf ' M/2. Le larghezze didecadimento sono

Γ(W → fafb) =GM3

W

6π√

2|Vab|2Nc Γ(Z → fafa) =

GM3Z

3π√

2

[g2L + g2

R

]Nc (23.5)

Per il bosone W± si ha Γ`νW = Γ(W → `ν) = GM3W /6π

√2 ' 0.23 GeV . Tenendo conto

che l’accoppiamento debole e universale e che la matrice CKM e unitaria si ha∑q

Γ(W → qq) = 6 Γ`νW ΓW = 9 Γ`νW = 2.1 GeV

387

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 388 — #388 ii

ii

ii


Per il bosone Z0 si ha ΓννZ = Γ(Z → νν) = GM3Z/12π

√2 ' 0.17 GeV . La larghezza

di decadimento negli altri stati finali dipende dall’angolo di Weinberg tramite le costantig2L + g2

R che sono

νν `¯ uu dd14

14 − sin2 θW + 2 sin4 θW

14 −

23 sin2 θW + 8

9 sin4 θW14 −

13 sin2 θW + 2

9 sin4 θW

La teoria prevede: Γ``Z ' 0.5 ΓννZ , ΓuuZ ' 1.8 ΓννZ , ΓddZ ' 2.3 ΓννZ , e quindi

ΓZ ' 15 ΓννZ = 2.5 GeV

23.5 Scoperta dei bosoni W± e Z0

I bosoni W± e Z0 possono essere prodotti nell’annichilazione quark-antiquark median-te processi Drell–Yan (capitolo 21) come illustrato in Fig. 23.4. Dal valore dell’angolodi Weinberg misurato in esperimenti di scattering di neutrini di alta energia si sapevaalla fine degli anni ’70 che i valori di massa erano circa 80 − 90 GeV . La soglia di pro-duzione con esperimenti a bersaglio fisso, ad esempio in interazioni protone–protone, eEp > M2/2mp ' 4000 GeV cioe 10 volte maggiore dell’energia del piu grande protosin-crotrone allora in funzione. Carlo Rubbia 3 propose di convertire il protosincrotrone delCERN in un anello di collisione antiprotone–protone per poter raggiungere l’energia suffi-ciente a produrre i bosoni W± e Z0. Il problema di produrre e immagazzinare nell’anellodi collisione un fascio sufficientemente intenso di antiprotoni fu brillantemente risolto daSymon van der Meer 4.

Figura 23.4: Produzione dei bosoni W− e Z0 in interazioni antiprotone-protone

La sezione d’urto di produzione di bosoni W± di massa M nell’annichilazione quark–antiquark con energia totale

√sab e

σ(qaqb →W ) =4π(hc)2

sab/4

1

3

1

3

3

4

ΓabΓ/4

(√sab −M)2 + (Γ/2)2

il primo fattore 1/3 perche solo quark-antiquark dello stesso colore possono produrre unostato incolore, il secondo fattore 1/3 perche solo gli stati di spin 1 di quark–antiquarkcontribuiscono, la media sugli stati di spin e 2J+1

(2s+1)(2s+1) = 34 . Approssimando sab ' M2

nella formula di Breit–Wigner (h = 1, c = 1)

σ(qaqb →W ) =4π

3M2

ΓabΓ

M2(Γ/2)2

(sab −M2)2 +M2(Γ/2)2' 2π2

3MΓabδ(sab −M2)


388

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 389 — #389 ii

ii

ii

23.5. Scoperta dei bosoni W± e Z0

usando l’approssimazione lima→0a2

(s−m2)2+a2= πaδ(s−m2).

Se ~p e l’impulso del protone, −~p quello dell’antiprotone,√s ' 2p l’energia totale e

x1p, −x2p gli impulsi di quark e antiquark, il quadrato dell’energia totale e sab = x1x2s.Introducendo le densita di quark e antiquark (la densita di quark nel protone e uguale alladensita di antiquark nell’antiprotone) la sezione d’urto di produzione del bosone W e

σ(pp→WX) =2π2

3MΓab

∫ 1

0

∫ 1

0[qp(x1)qp(x2) + qp(x1)qp(x2)]

1

sδ(x1x2 −M2/s)dx1dx2

trascurando la densita dei quark del mare, qp(x) qp(x), qp(x) qp(x),

σ(pp→WX) ' 2π2

3M3Γab

∫ 1

0

∫ 1

0x1qp(x1)x2qp(x2)δ(x1x2 −M2/s)dx1dx2 =

=2π2

3M3Γab

∫ 1

τF1(x)F2(τ/x)

dx

xτ =

M2W

s

xq(x) = F (x) sono le funzioni di struttura misurate nello scattering inelastico leptone–nucleone e l’integrale F(τ) dipende solo dal rapporto tra la massa del bosone e l’energiatotale pp.

Per du→W+, ud→W−, si ha

ΓudM3W

=G

6π√

2cos2 θc σ(pp→WX) =

πG(hc)2

3√

2cos2 θc F±(M2

W /s)

Analogamente per uu→ Z0, dd→ Z0

ΓqqM3Z

=G

3π√

2(g2L + g2

R) σ(pp→ ZX) =2πG(hc)2

3√

2(g2L + g2

R) F0(M2Z/s)

I bosoni W± e Z0 furono scoperti nel 1983 nelle interazioni antiprotone–protone aenergia di circa

√s = 300 + 300 GeV osservando i decadimenti in coppie di leptoni

W+ → e+νe W+ → µ+νµ Z0 → e+e− Z0 → µ+µ−

e i coniugati di carica per il W−. Nel caso del bosone W± [76] viene identificato il leptone(` = e, µ, τ), ma i neutrini non sono osservati direttamente: viene misurata la sommavettoriale degli impulsi di tutte le particelle osservate e si verifica che ~pν = −

∑k ~pk soddisfi

la cinematica prevista per il decadimento W → `ν. La massa del bosone W viene misuratadalla distribuzione dell’impulso trasverso del leptone carico. Questa e dn

dpT`= dn

d cos θd cos θdp`T

con θ l’angolo tra lo spin del W e la direzione di ~p` nel riferimento del W

dn±

d cos θ=

[1± cos θ

2

]2

L’impulso trasverso e invariante e, se l’impulso trasverso del bosone W e piccolo (pTW MW /2), si ha pT` = p∗` sin θ = (MW /2)

√1− cos2 θ, cos θ =

√1− (2pT`/M)2

dn

dp`T∝ 〈(1± cos θ)2〉 pT`/M

2W√

1− (2pT`/MW )2

389

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 390 — #390 ii

ii

ii


Nel valor medio 〈(1 ± cos θ)2〉 il termine ±2 cos θ si annulla e la distribuzione e la stessaper `+ e `−. La distribuzione aumenta e tende a divergere per pT` = MW /2 detto piccoJacobiano della trasformazione dal riferimento del W al centro di massa pp. La distri-buzione e allargata per diversi effetti: la larghezza intrinseca del W (ΓW = 2.1 GeV ),l’impulso trasverso pTW e la risoluzione sperimentale: il punto di flesso della distribuzionecorrisponde approssimativamente a MW /2 (Fig. 23.5).

Nel caso del bosone Z0 [77] si misurano gli impulsi di entrambe i leptoni e la massa eM2Z = (P+ + P−)2.

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 10 20 30 40 50

dn/dpT

µ [GeV-1]

pTµ [GeV]

Figura 23.5: Distribuzione dndpT`

nel decadimento W → `ν

L’esperimento verifico la natura V –A dell’accoppiamento del bosone W± e determino ilvalore dello spin misurando la distribuzione angolare dei leptoni carichi. Nell’annichilazio-ne quark–antiquark il bosone e prodotto con lo spin parallelo alla direzione dell’antiquark,cioe, trascurando il contributo dei quark del mare, nella direzione dell’antiprotone. Nel de-cadimento del W+ l’antileptone `+ e emesso con distribuzione angolare F (θ) = (1+cos θ)2

rispetto alla direzione dello spin del bosone, mentre nel decadimento del W− il leptone `−

e emesso con distribuzione angolare F (θ) = (1−cos θ)2: `− e emesso prevalentemente nelladirezione del fascio di protoni+ e `+ nella direzione del fascio di antiprotoni− (Fig. 23.6).

Figura 23.6: Correlazione angolare nel decadimento dei bosoni W±

23.6 Proprieta dei bosoni W± e Z0

Le proprieta, massa, larghezza e frazioni di decadimento dei bosoni W e Z sono statemisurate con precisione in interazioni antiprotone–protone a energia ancora maggiore

√s =

390

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 391 — #391 ii

ii

ii

23.6. Proprieta dei bosoni W± e Z0

900 + 900 GeV sfruttando il fatto che il fattore F(M2/s), e quindi la sezione d’urto,aumenta considerevolmente con l’energia.

Le proprieta del bosone Z sono state misurate con precisione molto maggiore in in-terazioni elettrone–positrone all’energia

√s = MZ [78]. In questo caso la sezione d’urto

e

σ(e+e− → Z) =4π(hc)2

s/4

3

4

ΓeeΓ/4

(√s−MZ)2 + (Γ/2)2

In un anello di collisione e+e− l’energia dei fasci e nota con grande precisione e si puovariare attorno al valore MZ ricostruendo la curva di risonanza della sezione d’urto: inquesto modo si misurano la massa e la larghezza. La sezione d’urto ha il valore massimo

σmax =12π(hc)2

M2Z

ΓeeΓ' 5.8 10−32 cm2

Selezionando diversi prodotti di decadimento si misurano le larghezze di decadimentoparziali in coppie fermione–antifermione

σ(e+e− → Z → ff) =12π(hc)2

M2Z

Γee ΓffΓ2

La misura della sezione d’urto σ(e+e− → Z → ff) e della larghezza di decadimento hareso possibile anche la misura della sezione d’urto in stati finali non osservati direttamente(Z → νν) e di stabilire che il numero di neutrini leggeri, cioe quelli con massa minore diMZ/2, e uguale a tre: Nν = 2.99± 0.01 (Fig. 23.7)

87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 0

5

10

15

20

25

30

35

40

(n

b)

= Ecm (GeV)

2 's3 's4 's

L3

ALEPHDELPHI

OPAL

s

Figura 23.7: Sezione d’urto σ(e+e− → Z → adroni) in funzione dell’energia dei fasci(S.Eidelman et al., Physics Letters B 592, 1, 2004).

Le proprieta dei bosoni W sono anche state studiate mediante l’annichilazione e+e− →W+W− a energie

√s > 2MW [79]. Tre grafici di Feynman contribuiscono alla produzione

di coppie W+W− (Fig. 23.2): (1) lo scambio di νe nel canale t, (2) e lo scambio di γ e (3)di Z0 nel canale s. Le ampiezze sono proporzionali rispettivamente a:

α

t

1

s2W

con t = M2W −

s

2[1− β cos θ]

α

s

α

s−m2Z

cWsW×[

1 eR1− 1

2s2WeL

]

391

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 392 — #392 ii

ii

ii


(sW = sin θW , cW = cos θW ). Le tre ampiezze interferiscono a formare la sezione d’urto.Il contributo del primo termine tende a divergere per cos θ → 1. I termini con scambio diγ e Z0 interferiscono negativamente e il secondo tende a ridurre la sezione d’urto rispettoal solo contributo del fotone. La sezione d’urto differenziale e

dσ

dΩ=α2

s

1

4s4W

β

[1 + 4

2− 3s2W

3− 4s2W

β cos θ +O(β2)

]β =

√1− 4M2

W /s

Il termine ∝ β2 si annula nell’integrazione sull’angolo polare; la sezione d’urto totale

σ(e+e− →W+W−) =πα2

s

[1

s4W

β +O(β3)

]

e mostrata in Fig. 23.8 in funzione dell’energia (β da ' 0 a ' 0.6) per la previsione dellateoria e per diversi valori misurati dalla soglia fino a 210 GeV. Il valore della massa chesi ottiene da queste misure e in ottimo accordo con quelli della produzione in anelli dicollisione pp e pp.

-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ only νe exchange

-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ no ZWW vertex

Figura 23.8: Sezione d’urto e+e− →W+W− in funzione dell’energia.

Le misure di scattering inelastico leptone–nucleone fatte con esperimenti a bersagliofisso (capitolo 20) raggiungono energie nel centro di massa

√s ≈ 25 GeV e valori di

4-impulso trasferito Q2 ≈ 100 GeV. Per raggiungere valori piu elevati e per osservaregli effetti dei bosoni W± e Z0 sullo scattering leptone–nucleone, e stato costruito undoppio anello in cui collidono elettroni o positroni di 28 GeV e protoni di 800 GeV.L’energia nel centro di massa e 300 GeV, il centro di massa delle collisioni e in moto nellaboratorio con velocita β = 0.93. La Fig. 23.9 mostra le funzioni di struttura del protoneF2(x,Q2) che estendono quelle degli esperimenti a bersaglio fisso (Fig. 22.11) fino a valoridi Q2 ≈ 104 GeV 2 [63].

Per valori del 4-impulso trasferito confrontabili con le masse dei bosoni vettori loscattering inelastico e−p → νeX, e+p → νeX e sensibile alla massa del bosone W [80].La sezione d’urto dσ

dQ2 (Fig. 23.10) mostra un andamento approssimativamente costante

per Q2 M2W (equazione 20.11), come osservato nello scattering inelastico di neutrini

e antineutrini, e poi tende ad un andamento ≈ 1Q4 per Q2 > M2

W . Il diverso valore

392

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 393 — #393 ii

ii

ii

23.6. Proprieta dei bosoni W± e Z0

Figura 23.9: Funzioni di struttura del protone F2(x,Q2) misurate nello scattering inelasticoep a

√s = 300 GeV (S.Eidelman et al., Physics Letters B 592, 1, 2004).

delle due sezioni d’urto e dovuto al diverso contributo di quark e antiquark. La sezioned’urto e±p→ e±X ha l’andamento ≈ 1

Q4 per Q2 M2Z dovuto al propagatore del fotone

(equazione 20.6) e poi risente dell’interferenza γ–Z che ha contributi diversi per elettrone epositrone dovuti ai diversi accoppiamenti di e± con il bosone Z0 e al variare del contributodi quark e antiquark. I risultati mostrati in figura costituiscono una evidente confermadella unificazione elettro–debole presentata nel capitolo 23.

I valori delle masse, larghezze e frazioni di decadimento misurati studiando la produ-zione e i decadimenti dei bosoni W± e Z0 sono riassunti nella tabella seguente

MW 80.39± 0.02 MZ 91.188± 0.002 GeVΓW 2.09± 0.04 ΓZ 2.495± 0.002 ”

BR(W → eνe) 10.7± 0.2 BR(Z → e+e−) 3.363± 0.004 10−2

BR(W → µνµ) 10.6± 0.2 BR(Z → µ+µ−) 3.366± 0.006 ”BR(W → τ ντ ) 11.3± 0.2 BR(Z → τ+τ−) 3.370± 0.008 ”

BR(Z → νν) 20.00± 0.06 ”BR(W → qq) 67.41± 0.27 BR(Z → qq) 69.91± 0.06 ”

e da questi valori si determina l’angolo di Weinberg: sin2 θW = 0.2313± 0.0001.

393

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 394 — #394 ii

ii

ii


Figura 23.10: Sezione d’urto differenziale dσdQ2 per ep→ νeX (in rosso) e ep→ eX (in blu)

a√s = 300 GeV .

394

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 395 — #395 ii

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Capitolo 24

Il Modello Standard

Il Modello Standard delle interazioni fondamentali e una teoria di campo efficace chedescrive le interazione elettromagnetiche, deboli e adroniche tra i costituenti elementaridella materia. La teoria e basata sul minimo di assunzioni a priori, essenzialmente suprincipi di simmetria, ed e detta efficace in quanto necessita di alcune informazioni che sipossono ottenere solo da misure: i parametri del modello.

Le leggi che descrivono un sistema rappresentato con n variabili coniugate, qi, qi, siottengono minimizzando l’azione S =

∫L(q1, q2, . . . , q1, q2, . . .)dt, dove L = K − U e la

Lagrangiana del sistema, ovvero da n equazioni di Eulero–Lagrange

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi= 0 (24.1)

In una teoria di campo quantistica invariante per trasformazioni di Lorentz, i campi φisono funzioni delle coordinate dello spazio-tempo xµ e le equazioni (24.1) si scrivono intermini della densita lagrangiana L(φi, ∂µφi) tale che L =

∫Ld3x

∂L∂φi− ∂

∂xµ

∂L∂(∂µφi)

= 0 (24.2)

Qui e nel seguito usiamo unita naturali (h = 1, c = 1), la notazione ∂µ = ∂∂xµ

e lasomma implicita sugli indici ripetuti: AµBµ con µ = 1, . . . , 4, e il prodotto scalare di duequadrivettori. In queste unita L ha dimensione energia

volume = energia4.

• Per un campo scalare di particelle di massa m e spin 0

Lφ =1

2∂µφ ∂µφ−

1

2m2φ2 (24.3)

si ottiene l’equazione di Klein–Gordon (appendice 42)

∂L∂φ

= −m2φ∂L

∂(∂µφ)= ∂νφ ⇒ ∂µ∂µφ+m2φ = 0

• per un campo di fermioni di spin 1/2

Lψ = iψγµ∂µψ −mψψ (24.4)

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Capitolo 24. Il Modello Standard

si ottiene l’equazione di Dirac

∂L∂ψ

= −mψ ∂L∂(∂µψ)

= iψγµ ⇒ i∂µψγµ +mψ = 0

e l’equazione coniugata iγµ∂µψ −mψ = 0

• per il campo elettromagnetico (campo vettoriale, spin 1)

LA = −1

4FµνF

µν (24.5)

dove Fµν = ∂µAν − ∂νAµ e il tensore elettromagnetico (appendice 28), si ottengonole equazioni di Maxwell in assenza di cariche e correnti

∂L∂Aµ

= 0∂L

∂(∂µAν)= −Fµν ⇒ ∂µFµν = 0

Se sono presenti sorgenti di carica rappresentate dal 4-vettore densita di corrente jν ,si ha ∂µFµν = jν .

24.1 Invarianza di gauge

La Lagrangiana (24.5) e invariante per trasformazioni di gauge (appendice 30)

A′µ(x) = Aµ(x)− ∂µΛ(x) (24.6)

dove Λ(x) e una generica funzione reale. Per dedurre dalla (24.4) la forma dell’interazionedei fermioni col campo elettromagnetico, consideriamo la trasformazione unitaria globaleψ′ = eiαψ con α costante reale. L’invarianza di (24.4), δL = 0, implica α∂µ(ψγµψ) = 0∀ α, cioe che il 4-vettore ψγµψ e una corrente conservata (appendice 42). Se si moltiplicaα per un parametro reale q, questo corrisponde alla conservazione della corrente qψγµψ epossiamo interpretare q come carica elettrica.

Pero, perche la teoria sia relativisticamente invariante e necessario che α dipenda dallospazio-tempo, cioe che la trasformazione sia locale. La trasformazione unitaria locale

U(x) = eiqΛ(x) ψ → ψ′ = eiqΛ(x)ψ (24.7)

non preserva l’invarianza della Lagrangiana perche ∂µψ′ = eiqΛ(x)[∂µ + iq∂µΛ(x)]ψ e

L′ψ = iψγµ[∂µ + iq∂µΛ(x)]ψ −mψψ

La Lagrangiana totale diventa

L′ψ + L′A = iψ(γµ∂µ −m)ψ − qψγµ(∂µΛ)ψ − 1

4FµνF

µν

il termine che compare, −qψγµψ∂µΛ(x), si puo interpretare come l’interazione tra cor-rente e campo, −qjµAµ, se il campo soddisfa la trasformazione di gauge (24.6). Quin-di l’ipotesi di invarianza per la trasformazione unitaria (24.7) richiede l’esistenza di uncampo vettoriale Aµ. Se i quanti del campo avessero massa, la Lagrangiana (24.5)dovrebbe contenere un termine 1

2m2AAµA

µ, analogo alla (24.3), che non e invariante:

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24.1. Invarianza di gauge

A′µA′µ = (Aµ − ∂µΛ)(Aµ − ∂µΛ) 6= AµA

µ. Quindi i quanti del campo devono averemassa nulla e questo e verificato solo per il campo elettromagnetico.

La trasformazione unitaria equivale a trasformare il 4-impulso pµ → pµ− qAµ (appen-dice 30), cioe l’operatore di derivazione ∂µ → ∂µ + iqAµ e la Lagrangiana e invariante sesi introduce la derivata covariante

∂µ → Dµ = ∂µ + iqAµ

che si trasforma D′µ = UDµU+. La trasformazione di gauge eiqΛ(x) e definita da un parame-tro q, la costante di accoppiamento, e da una funzione scalare reale: e una trasformazioneunitaria in una dimensione, U(1).

L’interazione elettro-debole e caratterizzata dalla conservazione dell’isospin e dell’iper-carica debole legati alla carica elettrica dalla relazione q = Y/2 + τ3

1. La conservazionedell’ipercarica e descritta da una trasformazione U(1) simile alla precedente. Introducendola costante di accoppiamento g′ dei fermioni con il campo BY si ha

U = eig′Λ(x) Dµ = ∂µ + ig′(Y/2)BY

µ (24.8)

L’isospin invece e un vettore a due componenti e la trasformazione e una rotazione nellospazio a due dimensioni, SU(2), i cui generatori sono le matrici di Pauli. Nel 1954 ChenNing Yang e Robert Mills estesero l’invarianza di gauge alla simmetria di isospin delsistema protone–neutrone [81]. Nel caso dell’isospin debole si hanno doppietti (e singoletti)di leptoni e quark

Yang–Mills

(pn

)→

(νee−

)L

. . .

(ud

)L

. . .

Per un doppietto di fermioni di massa m1, m2, ψ(x) e un vettore a due componenti e laLagrangiana (24.4) e

Lψ = (ψ1 ψ2)

[γµ∂µ −

(m1 00 m2

)](ψ1

ψ2

)(24.9)

In questo caso la trasformazione di gauge e U(x) = eig~τ ·~Λ(x) dove g e la costante di

accoppiamento dei fermioni con tre campi ~Bµ associati alle tre componenti dell’isospin. Inanalogia con il caso di U(1) la derivata covariante e

U(x) = eig~τ ·~Λ(x) Dµ = ∂µ + ig~τ · ~Bµ (24.10)

che si trasforma D′µ = eig~τ ·~Λ(∂µ + ig~τ · ~Bµ)e−ig~τ ·

~Λ. Dato che [τa, τb] = iεabcτc la trasforma-zione di gauge dei campi e

~B′µ = ~Bµ + ∂µ~Λ− g~Λ× ~Bµ (24.11)

Come conseguenza, i tensori dei campi che preservano l’invarianza della Lagrangiana sonole tre componenti del vettore

~Bµν = ∂µ ~Bν − ∂ν ~Bµ + g ~Bµ × ~Bν (24.12)

1

τ1 =1

2

(0 11 0

)τ2 =

1

2

(0 −ii 0

)τ3 =

1

2

(1 00 −1

)Y =

(1 00 1

)

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che contiene un termine di auto-interazione: i campi Bj interagiscono tra loro.Introducendo il doppietto ψL e il singoletto ψR di fermioni, la Lagrangiana L = Lψ +

LY + LB e

L = iψL(γµDLµ −mL)ψL + iψR(γµDRµ −mR)ψR −1

4BYµνB

Y µν − 1

4~Bµν · ~Bµν (24.13)

con DLµ = ∂µ + ig′(Y/2)BYµ + ig~τ · ~Bµ; DRµ = ∂µ + ig′(Y/2)BY

µ . In funzione dei campi icontributi alla Lagrangiana sono (Fig. 24.1):

• i campi liberi di fermioni e bosoni ψψ, B2;

• i termini di interazione gψψB;

• i termini di auto-interazione gB3, g2B4.

Figura 24.1: Termini che descrivono la propagazione dei campi di fermioni e bosoni e leinterazioni.

Come nel caso del campo elettromagnetico, la (24.13) non e invariante se i quanti delcampo hanno massa, ma le interazioni deboli sono a breve raggio d’azione e quindi devonoessere mediate da bosoni con massa. Inoltre la Lagrangiana (24.9) e invariante solo nelcaso che le masse dei fermioni del doppietto ψL sono uguali e questo non e verificato neper i leptoni (mν 6= m`−) ne per i quark. Quindi anche i termini di massa dei fermioninon preservano l’invarianza della Lagrangiana.

24.2 Il campo di Higgs

Una teoria dell’interazione elettro-debole invariante per le trasformazioni di gauge (24.8)e (24.10) in U(1)Y ⊗ SU(2)L deve necessariamente partire dall’ipotesi che i fermioni ei bosoni di gauge abbiano massa nulla. Ma non esiste un tripletto di bosoni di massanulla e questa fu l’evidenza che mise in crisi la teoria di gauge di Yang–Mills basata sullasimmetria dell’isospin. Inoltre gia prima della loro scoperta si sapeva che i bosoni mediatoridell’interazione debole dovevano avere massa e che questa fosse grande, 1 GeV .

Invece di abbandonare l’approccio dell’invarianza di gauge, che ha solide basi teoriche,fu fatta l’ipotesi che la simmetria per trasformazioni di gauge U(1)Y ⊗ SU(2)L fosse vali-da, ma che fosse manifesta solo a energia confrontabile con la massa dei bosoni di gauge eche fosse nascosta a energia piu bassa. Un fenomeno analogo e noto nel ferromagnetismoche e originato dall’interazione tra momenti magnetici atomici. A livello microscopico ilmomento di dipolo magnetico e proporzionale allo spin e genera un campo magnetico chetende ad orientare i dipoli, cioe gli spin, degli atomi vicini. La hamiltoniana di interazionetra momenti magnetici e del tipo H = κ~s1 · ~s2, scalare e quindi non preferisce alcuna

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24.2. Il campo di Higgs

direzione nello spazio. La Lagrangiana e quindi invariante per rotazione e infatti a tempe-ratura elevata, maggiore della temperatura di Curie, i momenti magnetici sono orientati inmodo casuale, la simmetria per rotazione e manifesta. Ma sotto la temperatura di Curie(Fig. 24.2) lo spin ~s2 tende ad allinearsi nella direzione di ~s1 e cosı ~s3, . . . : la simmetriaper rotazione e rotta, in modo spontaneo perche la direzione in cui gli spin si allineano ecasuale.

T < Tc T > Tc

Figura 24.2: Per T > TC c’e simmetria per rotazione, quando T < TC la simmetria escomparsa e i momenti di dipolo si orientano a formare i domini magnetici.

Nel 1964 Peter Higgs, e indipendentemente Robert Brout, Francois Englert 2 e altriproposero una teoria di campo che poteva generare in modo naturale il fenomeno dellarottura spontanea della simmetria e quindi generare la massa dei bosoni di gauge e deifermioni [82]. Il campo di Higgs non deve individuare una particolare direzione nellospazio: deve essere un campo scalare; deve essere un doppietto di isospin di campi dotatidi massa e auto-interagenti; deve avere carica elettrica nulla e carica di colore nulla. Seper semplicita ci limitiamo ad una sola componente del campo, la Lagrangiana e la (24.3)con l’aggiunta di un termine di auto-interazione

L =1

2∂νφ∂νφ−

1

2µ2φ2 − 1

4λφ4 (24.14)

con µ2 e λ costanti (λ > 0), ed e simmetrica per φ→ −φ. Il termine di energia potenziale,U(φ2), e minimo per

∂U

∂φ= 0 ⇒ φ(µ2 + λφ2) = 0

per cui φmin = 0 se µ2 > 0, oppure φmin = ±v = ±√−µ2/λ se µ2 < 0. Lo stato di minima

energia e lo stato di assenza di particelle, il vuoto, e v e detto valore di aspettazione delvuoto. Il primo caso e quello di un campo scalare con massa µ; nel secondo caso iltermine di massa e immaginario e vi sono due minimi simmetrici (Fig. 24.3). Il calcoloperturbativo va fatto a partire dallo stato di minima energia e la scelta tra i due valori ea priori arbitraria. Se si sceglie di sviluppare il campo attorno al minimo +v

φ(x) = v + χ(x)

χ(x) rappresenta le fluttuazioni del campo attorno al valore di minimo. Eliminando µ2 =−λv2 la Lagrangiana diventa

L =1

2∂νχ∂νχ− λv2χ2 −

(λvχ3 +

1

4χ4)

+1

4λv4 (24.15)

2 Peter Higgs e Francois Englert premi Nobel per la fisica nel 2013

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Il secondo termine ha ora il segno corretto e mχ =√

2λv2 e la massa del campo di Higgs,il terzo rappresenta i termini di auto-interazione, e il quarto e una costante (inessenziale).Un risultato simile si ottiene sviluppando attorno al minimo −v.

La (24.14) e la (24.15) rappresentano lo stesso sistema fisico, ma nel primo caso lamassa e nascosta e la Lagrangiana e simmetrica, mentre nel secondo la dipendenza dallamassa e manifesta e la Lagrangiana non e simmetrica per χ → −χ: la simmetria inizialee rotta in modo spontaneo senza alcun intervento esterno al sistema.

Per un campo scalare nello spazio dell’isospin(φuφd

)=

1√2

(φ1 + iφ2

φ3 + iφ4

)(24.16)

con numeri quantici τ3 =

(+1/2−1/2

), q =

(+10

), Y =

(+1+1

), la Lagrangiana simile

alla (24.14) eL = ∂νφ+∂νφ− µ2φ+φ− λ(φ+φ)2 (24.17)

con φ+φ = 12

∑j φ

2j . Per µ2 < 0 il luogo dei minimi e ora una circonferenza (Fig. 24.3)

e possiamo arbitrariamente definire lo stato di vuoto, ad esempio quando φu = 0 e φd ereale

φmin =1√2

(0v

)v =

√−µ2/2λ (24.18)

Figura 24.3: Energia del campo di Higgs.

Analogamente al caso precedente, le perturbazioni del campo attorno al minimo siottengono aggiungendo una funzione ρ(x) e applicando una trasformazione di gauge (24.10)cioe una rotazione nello spazio dell’isospin. La variazione del campo e

χ(x) = φ′(x)− φmin = ei~τ ·~Λ(x)

(0

v+ρ(x)√2

)−(

0v√2

)(24.19)

Per una trasformazione con componenti Λk(x) 1, ei~τ ·~Λ(x) ' 1 + i~τ · ~Λ(x), si ha

χ(x) =1√2

([Λ2(x) + iΛ1(x)]v/2 + . . .ρ(x)− iΛ3(x)v/2 + . . .

)(24.20)

e i termini che contribuiscono alla Lagrangiana sono

∂νχ+∂νχ =1

2

(∂ν~Λ · ∂ν~Λ

) v2

4+

1

2∂νρ∂νρ+ . . . χ+χ =

1

2ρ2 + . . .

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24.3. Il meccanismo di Higgs

per cui, in funzione dei quattro campi ρ(x), ~Λ(x), la Lagrangiana (24.17) e

L =1

2

(∂ν~Λ

v

2· ∂ν~Λ

v

2

)+

1

2∂νρ∂νρ−

1

22λv2ρ2 +O(ρ3) (24.21)

e si riconosce la forma della Lagrangiana che descrive un campo scalare con massa m2ρ =

2λv2 e tre campi scalari Λ(x)v/2. Questi hanno massa nulla perche la (24.21) non contienetermini in Λ2

k. Di nuovo, da un campo simmetrico nello spazio dell’isospin descritto dallaLagrangiana (24.17) con µ2 < 0 si ha un luogo di stati di vuoto φmin = v 6= 0 equivalenti,e con una scelta 3 tra queste soluzioni equivalenti si ottiene una rottura spontanea dellasimmetria che genera un campo con massa, ma lascia tre campi scalari senza massa, dettibosoni di Goldstone.

24.3 Il meccanismo di Higgs

Il passo successivo e di aggiungere alla (24.17) i campi di gauge di U(1) ⊗ SU(2) el’interazione con il campo di Higgs sostituendo ∂µ con la derivata covariante

∂µ → Dµ = ∂µ + ig~τ · ~Bµ + ig′(Y/2)BYµ

e la (24.17) diventa

L = (Dµφ)+Dµφ− µ2φ+φ− λ(φ+φ)2 − 1

4~Bµν · ~Bµν − 1

4BYµνB

Y µν (24.22)

Ora la (24.22) e invariante per trasformazioni U(1)⊗ SU(2) e qualunque scelta del valoreφmin e lecita, in particolare la (24.18). Se si sviluppa φ(x) per piccole variazioni dello stato

di vuoto φmin = v+ρ(x)√2

, il primo termine della (24.22) e

(Dµφ)+Dµφ =1

2∂µρ∂µρ+

1

8g2(B1µB

µ1 +B2µB

µ2 )v2 +

1

8(gB3µ−g′BY µ)(gBµ

3 −g′BµY )v2 + . . .

che contiene un prodotto della combinazione dei campi B3 e BY . Questo si puo diagona-lizzare introducendo le combinazioni (capitolo 23)

A = BY cos θ +B3 sin θ BY = A cos θ − Z sin θZ = −BY sin θ +B3 cos θ B3 = A sin θ + Z cos θ

e l’angolo di Weinberg, tan θ = g′/g. In funzione dei nuovi campi si ha

(gB3µ − g′BY µ)(gBµ3 − g′B

µY ) =

ZµZµ

cos2 θ, ~Bµν · ~Bµν +BY

µνBY µν = AµνA

µν + ZµνZµν ,

e la Lagrangiana (24.22) che descrive i campi diventa

L = 12∂

µρ∂µρ− 12m

2ρρ

2 −14B

1µνB

1µν + 18g

2v2B1µB

1µ

−14B

2µνB

2µν + 18g

2v2B2µB

2µ

−14ZµνZ

µν + 18g2v2

cos2 θZµZ

µ

−14AµνA

µν + . . . . . .

(24.23)

in cui . . . indica i termini di auto-iterazione dei campi. La forma della (24.23) mostra chel’interazione del campo di Higgs con i campi di gauge di U(1)⊗ SU(2) produce tre campi

3 La particolare scelta (24.18) del minimo del campo di Higgs e tale che l’operatore carica elettrica,Q = Y/2 + τ3, ha autovalore zero qualunque sia il valore di v.

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vettoriali con massa, un doppietto con mB = gv/2, un campo con mZ = gv/2 cos θ, e uncampo A di massa nulla. Questo e il campo elettromagnetico che si trasforma secondo la(24.6). Nella Lagrangiana non compaiono i tre bosoni di Goldstone, questi sono scomparsie hanno dato origine ai tre nuovi gradi di liberta: la polarizzazione longitudinale dei trecampi vettoriali con massa.

Le combinazioni W±ν = (B1ν ± iB2

ν)/√

2 che corrispondono ai generatori τ± = τ1 ± iτ2

hanno carica elettrica ±e legata alle costanti di accoppiamento di U(1) ⊗ SU(2) dallarelazione e = g sin θ. Il valore di aspettazione del vuoto del campo di Higgs e quindideterminato dalla massa dei bosoni W± e Z0:

v =2mW sin θ

e=

2mW sin θ√4πα

= (√

2G)−1/2 = 246 GeV

Questo e il valore di energia a cui avviene la rottura spontanea della simmetria dell’inte-razione elettro-debole ed e chiamato scala di energia di Fermi. Il valore della massa delbosone di Higgs, mH = v

√2λ, rimane indeterminato poiche λ e un parametro libero non

vincolato dalla teoria.

24.4 La simmetria del colore

Per estendere il modello all’interazione adronica, partiamo dalla Lagrangiana dei quark edall’interazione col campo di colore. Introducendo l’indice di colore dei quark, j = 1, 2, 3,la Lagrangiana dei fermioni (24.4) e

Lq =∑q

qj(x)iγµ∂µqk(x)−

∑q

mq qj(x)qj(x)

La costante di accoppiamento si introduce richiedendo che la Lagrangiana sia invarianteper trasformazioni locali di gauge della simmetria del colore SU(3)C

q(x)→ q′(x) = eigsTaΛa(x)q(x) a = 1, 2, . . . 8 (24.24)

dove gs e la costante di accoppiamento, Ta sono i generatori di SU(3), le matrici di Gell-Mann (appendice 35), che soddisfano le relazioni di commutazione [Ta, Tb] = ifabcTc, e fabcsono le costanti di struttura (reali) di SU(3). L’invarianza per la trasformazione (24.24)e garantita se si introducono otto campi vettoriali, i gluoni, che si trasformano secondo larelazione

Gaµ → Gaµ − ∂µΛa(x)− gsfabcΛb(x)Gcµ

e la derivata covariante ∂µ → Dµ = ∂µ + igsTaGaµ. Nella Lagrangiana compare il termine

di interazione della corrente dei quark con i campi di colore Lint = −gs(qγµTaq)Gaµ. Iltensore del campo e

Gaµν = ∂µGaν − ∂νGaµ − gsfabcGbµGcν

e quindi, come nel caso di SU(2), nella lagrangiana dei campi, L = −14G

aµνG

µνa , compaiono

termini di auto-interazione dei campi di colore. La Lagrangiana che descrive le interazionidi quark e gluoni e

Lq =∑q

qj(x)iγµDµqk(x)−∑q

mq qj(x)qj(x)− 1

4GaµνG

µνa (24.25)

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24.5. La massa dei fermioni

Nella (24.25) non compare un termine di massa dei campi Gaµ che non e invariante perla trasformazione (24.24): i gluoni hanno massa nulla. Come nel caso del campo elettro-magnetico, l’interazione con il campo di Higgs non produce un termine di massa poiche ilcampo di Higgs non ha colore.

I quark partecipano anche all’interazione elettro-debole come doppietti e singoletti diisospin; questi sono formati da combinazioni dei sapori q′r =

∑s Vrsqs. Nel modello con

sei sapori di quark Vrs e una matrice 3 × 3 unitaria, la matrice di Cabibbo–Kobayashi–Maskawa (capitolo 19), che e definita da quattro parametri. Come nel caso dei leptoni,i termini di massa mq qq non sono invarianti per trasformazioni di SU(2) e quindi laLagrangiana che descrive l’interazione elettro-debole dei quark non puo contenere terminidi questo tipo: nella Lagrangiana i quark hanno massa nulla.

24.5 La massa dei fermioni

La (24.13) e la (24.25) non contengono termini di massa dei fermioni. Per i leptoni questisono del tipo m`

¯(x)`(x) e, usando i proiettori di elicita (appendice 42),

m`¯ = m`

¯(

1− γ5

2+

1 + γ5

2

)` = m`

(¯L`R + ¯

R`L)

si vede che al termine di massa contribuiscono combinazioni di un doppietto e di unsingoletto non invarianti per la trasformazione (24.10) di SU(2). I termini di massadella Lagrangiana sono generati da un’interazione scalare con il campo di Higgs, det-ta accoppiamento di Yukawa. Introducendo la costante di accoppiamento g` > 0 si haL` = −g`

(¯Lφ`R + ¯

Rφ`L)

L` = −g`

[(ν` ¯)

L

(φuφd

)`R + ¯

R (φ∗u φ∗d)

(ν``

)L

](24.26)

= −g`[ν`φu`R + ¯

Lφd`R + ¯Rφ∗uν` + ¯

Rφ∗d`L]

infatti i numeri quantici del campo di Higgs permettono l’accoppiamento tra doppietto esingoletto (Fig. 24.4)

νL `L `R φu φdτ3 +1/2 −1/2 0 +1/2 −1/2q 0 −1 −1 +1 0Y −1 −1 −2 +1 +1

Se si rompe la simmetria scegliendo il valore minimo del campo di Higgs, φu = 0,φd = v+ρ(x)√

2, la Lagrangiana (24.26) per variazione del campo attorno a φmin diventa

L` = −g`v√2

(¯L`R + ¯

R`L)− g`√

2

(¯L`R + ¯

R`L)ρ(x)

che mostra che l’interazione ha generato un termine di massa m` = g`v/√

2 e un terminedi interazione con il campo di Higgs che ha intensita proporzionale al valore della massadel leptone

L` = −m`¯ − m`

v¯ρ` (24.27)

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Figura 24.4: Accoppiamento di Yukawa `L–`R con il campo di Higgs.

Il valore delle costanti di accoppiamento g` non e definito dalla teoria e quindi le massedei leptoni rimangono parametri liberi. La scelta del valore di minimo del campo, φu = 0,non accoppia i leptoni L di isospin +1/2 (antileptoni R di isospin -1/2) col campo diHiggs: nel Modello Standard i neutrini sono fermioni di Dirac left-handed di massa nulla.Negli ultimi venti anni si e accumulata evidenza sperimentale che i neutrini hanno massadiversa da zero (capitolo 25), la teoria dovra quindi essere estesa per descrivere neutrinicon massa.

Con lo stesso meccanismo si genera la massa dei quark. Per i leptoni vi e differenza dicarica tra stati L e stati R, mentre per i quark non vi e differenza di colore. Per simmetria,oltre al campo di Higgs (24.16) occorre introdurre il campo ottenuto con una rotazione diπ nello spazio dell’isospin 4

φ = eiπτ2

(φuφd

)=

(φd−φu

)

Per due sapori di quark, l’analoga della (24.26) e

Lq = −gu(uL dL

)( φd−φu

)uR − gd

(uL dL

)( φuφd

)dR + h.conj.

= −gu(uLφduR − dLφuuR

)− gd

(uLφudR + dLφddR

)+ h.conj.

e, procedendo come sopra, per variazioni del campo attorno a φmin si ha

Lu = −guv√2uu− g`√

2uρu ⇒ mu =

guv√2

Ld = . . .

24.6 I parametri del Modello Standard

Nel Modello Standard le sorgenti dei campi sono tre famiglie di leptoni e tre famiglie diquark organizzate in doppietti e singoletti di isospin debole(

νee−

)L

e−R . . .

(ud

)L

uR dR . . .

e i rispettivi antifermioni. Le interazioni elettro-debole e adronica sono mediate dai campivettoriali della simmetria U(1)Y ⊗ SU(2)L ⊗ SU(3)C : il fotone, tre bosoni W± Z0, otto

4 eiθτ2 =

(cos θ/2 sin θ/2− sin θ/2 cos θ/2

)404

ii

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ii

ii

24.7. La scoperta del bosone di Higgs

gluoni, e hanno intensita che dipende da tre costanti di accoppiamento g, g′, gs. Le massedei fermioni e dei bosoni W± Z0 sono generate dall’interazione con il campo scalare diHiggs. Questo e un doppietto di isospin debole con valore di minima energia v 6= 0 e, nelvuoto, il campo ha carica elettrica nulla e carica di colore nulla. Il campo elettromagneticoe i campi di colore non hanno massa. I campi W e Z hanno massa proporzionale a gv; ifermioni hanno ciascuno massa proporzionale a gfv.

La teoria dipende da un numero di parametri liberi e il loro valore si determina damisure:

• le tre costanti di accoppiamento: G, α, αs ↔ g, g′, gs;

• tre valori di massa dei leptoni carichi: m` ↔ g`;

• sei valori di massa dei quark: mq ↔ gq;

• quattro parametri della matrice di Cabibbo–Kobayashi–Maskawa;

• la massa del bosone di Higgs mH ↔ λ.

Questi diciassette parametri sono misurati, la maggior parte con grande precisione, il lorovalore dipende dalla scala di energia, Q2, a cui si effettua la misura, ma la teoria prevedeil loro andamento in funzione di Q2 e, a volte, l’andamento di un parametro in funzionedel valore di altri.

24.7 La scoperta del bosone di Higgs

Il bosone di Higgs si accoppia con tutti i fermioni e con i bosoni W , Z, e quindi puodecadere in coppie ff o in coppie di bosoni vettori W+W− o Z0Z0. La larghezza didecadimento H → ff e

Γff = 2π|M|2ρ(E) = Nc

√2GMHm

2f

8πβ3 (24.28)

con Nc = 3 per i quark e Nc = 1 per i leptoni. L’elemento di matrice e M =mfv√

2E,

ρ = 4πp2

8π3dpdE , p = MH

2 β, β = (1 − 4m2f/M

2H)

12 e la velocita dei fermioni. Se MH < 2mW

il contributo maggiore e dovuto al decadimento in quark beauty H → bb. Se MH >2mZ ' 180 GeV contribuiscono i decadimenti H → W+W−, H → Z0Z0, con larghezzaapprossimativamente proporzionale a M3

H

ΓWW '√

2GM3H

16πβ3 ΓZZ '

1

2ΓWW (24.29)

Se MH > 2mt ' 350 GeV contribuisce anche il decadimento in coppie di quark topsecondo la (24.28). Il bosone di Higgs puo essere prodotto in interazioni e+e− oppure ininterazioni adroniche, qq, qq, gg, . . . , in collisioni antiprotone–protone o protone–protone.Negli esperimenti si cerca di identificare gli stati finali risonanti che corrispondono aidecadimenti piu probabili. Il Modello Standard e autoconsistente e predice sezioni d’urtoe probabilita di decadimento del bosone di Higgs in funzione della sua massa.

405

ii

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ii

ii


La produzione del bosone di Higgs e stata cercata studiando le collisioni e+e− allamassima energia del LEP 5 √s = 209 GeV . Dato che la sezione d’urto di annichilazionee+e− → H e proporzionale a (me/v)2, con v = 246 GeV, e quindi piccolissima, nonc’e sensibilita nell’annichilazione diretta; si cerca la produzione associata e+e− → Z0Hche avviene tramite un bosone Z0 virtuale come illustrato in Fig. 24.5 sfruttando il forteaccoppiamento Z–H–Z; in questo caso non si possono produrre masse maggiori di

√s−mZ .

In questa regione di massa il decadimento piu probabile e in coppie quark–antiquark beautye quindi si e cercato di identificare gli stati finali Z0H → qqbb.

e Z-

e+ HZ*

Figura 24.5: Produzione del bosone di Higgs in collisioni e+e−.

La ricerca non ha dato risultato positivo e si e stabilito un limite inferiore mH >114 GeV . Vari parametri del Modello Standard, in particolare i valori di mW e dellamassa del quark top, dipendono dalla massa del bosone di Higgs attraverso le correzioniradiative a vari processi (appendice 45.3). La dipendenza e ∼ ln(mH) quindi piuttostodebole, ma alcune misure sono molto precise per cui e stato possibile definire anche unlimite superiore. I vincoli definiti dal limite sperimentale e da varie misure dei parametridel Modello Standard sono combinati in Fig. 24.6 che rappresenta la probabilita del bosonedi Higgs in funzione della massa, per cui a conclusione della campagna sperimentale alLEP si e potuto stabilire 114 < mH < 160 GeV . Inoltre, dato che λ = 1

2(mH/v)2, la

Figura 24.6: Probabilita del bosone di Higgs in funzione della massa.

coerenza del modello impone un limite superiore alla massa del bosone di Higgs perche seλ e grande aumenta il potenziale di autointerazione dei campi nella relazione (24.14) e si

5Large Electron Positron collider

406

ii

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ii


raggiunge il limite di unitarieta per la sezione d’urto di alcuni processi elementari quali loscattering WW →WW . Inoltre va notato che all’aumentare di mH aumenta la larghezzatotale ΓH =

∑i Γi (per mH > 700 GeV si ha Γ > 200 GeV ) per cui diventa problematico

definire uno stato risonante.Il bosone di Higgs e stato scoperto studiando le collisioni protone–protone al LHC 6,

all’energia nel centro di massa di 8 TeV [83]. La sezione d’urto e prevista dai parametridella teoria σ(pp→ H+X) = (1÷3) pb nell’intervallo piu probabile di esistenza del bosoneH. Diversi processi contribuiscono e i piu probabili sono quelli mediati da particelle dimassa grande che hanno un forte accoppiamento con il campo di Higgs, il quark t e i bosoniW e Z. Le sezioni d’urto dei processi elementari di fusione gluone–gluone, gg → tt→ H,o di scattering quark–antiquark, ad esempio qq → qqH, qq → ZH, vanno pesate conle densita dei partoni previste per protoni di energia

√s = 8 TeV , 4-impulso trasferito

Q ∼ 0.2 TeV , x ∼ 0.02. Queste vengono estrapolate dalle misure a bassa energia con leequazioni di evoluzione DGLA (capitolo 20) e sono mostrate in Fig. 24.7 in cui si osservache la fusione gluone–gluone e fortemente favorita.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1

x

x f(x

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1

x

x f(x

)

Figura 24.7: Densita dei partoni xf(x) a basso 4-impulso trasferito (a sinistra) estrapolatea Q = 100 GeV (a destra). La densita dei gluoni xg(x) va moltiplicata ×10.

I diagrammi di Feynman che contribuiscono alla produzione del bosone di Higgs, conH accoppiato alle particelle di massa piu elevata, sono mostrati in Fig. 24.8:

a) la fusione gg → tt→ H (gluon–gluon fusion),

b) lo scattering qq, qq, con scambio di due bosoni W o Z (vector-boson fusion),

c) l’annichilazione qq →W (Z) con radiazione di H (Higgsstrahlung),

d) la produzione associata con una coppia tt.

La sezione d’urto σ(pp → H + X) dei vari processi e mostrata in Fig. 24.9 in fun-zione della massa mH : vector-boson fusion in rosso, W–Higgsstrahlung in verde, Z–Higgsstrahlung in nero, ttH in violetto e il totale, gluon–gluon fusion + gli altri processi,in blu.

6Large Hadron Collider

407

ii

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ii

ii


g

g

t

tW, Z

W, Z

q

q

g

g

q

q

q

q(a) (b)

(c) (d)

H

HH

H

Figura 24.8: Diagrammi di Feynman di produzione del bosone di Higgs.

[GeV] HM100 150 200 250 300

H+

X)

[pb]

→(p

p σ

-210

-110

1

10

210= 8 TeVs

LH

C H

IGG

S X

S W

G 2

012

H (NNLO+NNLL QCD + NLO EW)

→pp

qqH (NNLO QCD + NLO EW)

→pp

WH (NNLO QCD + NLO EW)

→pp

ZH (NNLO QCD +NLO EW)

→pp

ttH (NLO QCD)

→pp

Figura 24.9: Sezione d’urto σ(pp→ H+X) in funzione della massa mH (LHC Higgs WorkingGroup).

Negli esperimenti si cerca uno stato risonante che decade negli stati finali piu accessibili,cioe quelli con particelle facilmente rivelabili che si possano distinguere dal fondo, e cheabbiano una elevata frazione di decadimento. Per valori della massa mH < 400 GeV lalarghezza di decadimento ΓH e minore di 10 MeV come si ricava dalle relazioni (24.28) e(24.29), quindi la larghezza osservata dello stato risonante e determinata dalla risoluzionesperimentale che deve essere la migliore possibile. Le frazioni di decadimento piu favorevolisono quelle in coppie di bosoni o fermioni con la massa piu elevata (bb), le previsioni dellateoria sono mostrate in Fig. 24.10 in funzione della massa mH .

Gli stati finali inizialmente cercati al LHC sono quelli con la migliore risoluzione spe-rimentale in modo da poter osservare un picco nella massa invariante dei prodotti didecadimento chiaramente distinguibile dal fondo costituito per lo piu dalla produzione dijet adronici. I decadimenti piu favorevoli sono H → γγ, nonostante il piccolo valore dellafrazione di decadimento, H → Z0Z0 con Z0 → e+e− o Z0 → µ+µ−, e H → W+W− conW± → e±νe o W± → µ±νµ. Le distribuzioni di massa invariante γγ o quattro leptonicarichi, 4e, 2e2µ o 4µ, hanno mostrato un chiaro picco che ha permesso di misurare lamassa con grande precisione: mH = 125 GeV , l’errore di misura e circa 200 MeV [84].

I decadimenti in coppie di bosoni W non permettono una misura precisa della massa

408

ii

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ii

ii


[GeV]HM80 100 120 140 160 180 200

Hig

gs B

R +

Tot

al U

ncer

t-410

-310

-210

-110

1

LHC

HIG

GS

XS W

G 2

013

bb

µµ

cc

gg

Z

WW

ZZ

Figura 24.10: Frazioni di decadimento del bosone di Higgs in diversi stati finali in funzionedella massa (LHC Higgs Working Group).

invariante perche si misura solo la componente trasversa dell’impulso dei neutrini (capi-tolo 23), l’osservazione della produzione di coppie W+W− ha comunque confermato chequeste sono prodotte nel decadimento del bosone H. Queste misure hanno dimostrato cheH decade in stati di coppie di bosoni. Una volta individuata la regione di massa da esplora-re, sono stati osservati anche i decadimenti in stati finali in coppie fermione–antifermione,H → bb, H → τ+τ−, che sono piu difficili da separare dal fondo.

Figura 24.11: Valori relativi delle costanti di accoppiamento con il campo di Higgs infunzione della massa dei fermioni e dei bosoni vettori (Journal of High Energy Physics 08 (2016)045).

La misura delle sezioni d’urto σ(pp → H + X) × BR(H → stato finale) ha permessodi determinare le frazioni relative dei modi di produzione piu favorevoli, (a), (b) e (c)in Fig. 24.8, e le costanti di accoppiamento del bosone di Higgs con i bosoni W e Z econ i fermioni, i quark b, t e il leptone τ . Il decadimento H → µ+µ− non e ancora statoosservato, esiste solo un limite superiore alla frazione di decadimento. La Fig. 24.11 mostradi quanto le costanti di accoppiamento si discostano dai valori previsti dalla teoria. Queste

409

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ii


sono proporzionali a mFv per i fermioni e

m2Vv per i bosoni vettori (capitolo 24), κF e

√κV

sono parametri determinati dai dati sperimentali pari a circa 1, e v = 246 GeV e il valoredi aspettazione del vuoto del campo di Higgs.

Lo studio dei modi decadimento osservati ha permesso di determinare i numeri quan-tici del bosone H. Il decadimento H → γγ esclude l’ipotesi di spin 1. La misura delladistribuzione angolare dei prodotti di decadimento in H → Z0Z0 e H → W+W− favo-risce fortemente l’ipotesi di spin–parita JP = 0+. La misura della massa del bosone Hdetermina l’unico parametro libero del campo di Higgs nel Modello Standard, λ = 0.129.

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Capitolo 25

Oscillazioni di neutrini

I neutrini sono fermioni di spin 12 con carica eletrica nulla e momento magmetico nullo; si

manifestano in tre sapori: νe, νµ, ντ , con numeri leptonici, Le, Lµ, Lτ , che si conservanoseparatamente. Hanno massa molto piccola, i limiti di massa sono

m(νe) < 1 eV m(νµ) < 0.19 MeV m(ντ ) < 18 MeV (25.1)

Osservazioni cosmologiche, che dipendono da ipotesi del modello, implicano per la sommadelle masse

∑αmνα < 1 eV .

Nel Modello Standard, basato sull’equazione di Dirac per i fermioni, si assume che ineutrini abbiano massa nulla e che siano autostati di elicita, come i corrispondenti anti-neutrini, νL e νR: non esistono νL ne νR. Ma molti esperimenti hanno messo in evidenzatransizioni tra neutrini di diverso sapore e questo non e possibile se questi stati sono de-generi in massa e mν = 0. In effetti l’ipotesi di oscillazioni di neutrini era stata fattada Bruno Pontecorvo nel 1957 [85], in analogia con quella di oscillazioni dei mesoni K0

proposta da Gell-Mann e Pais due anni prima (capitolo 19), e prima della scoperta delsecondo neutrino, νµ.

25.1 La massa dei neutrini

L’origine della massa dei neutrini non e ancora chiarita, comunque perche i neutrini ab-biano massa e necessario modificare il Modello Standard. La massa di leptoni carichi equark e originata dall’accoppiamento delle componenti left-handed e right-handed con ilcampo di Higgs che produce un termine g`(¯

Lφd`R + ¯Rφ∗u`L) (capitolo 24), ma questo e

nullo per i neutrini. Per originare la massa dei neutrini di Dirac, si possono introdurre adhoc le componenti νR e νL, che pero non si accoppiano con il campo debole, ne con altricampi di interazione tranne il campo gravitazionale, e quindi sono neutrini sterili. Questonon contraddice l’evidenza che si osservano solo νL e νR.

Ma c’e una seconda possibilita basata sulla Teoria simmetrica dell’elettrone e del po-sitrone formulata nel 1937 da Ettore Majorana [86]. Secondo questa teoria, gli stati difermione e antifermione coincidono se non hanno carica elettrica. Il campo del neutrinoha due componenti: |ν〉 e il suo coniugato per la trasformazione CP , che e con ottimaapprossimazione una simmetria dell’interazione debole: |νc〉 = CP |ν〉. La trasformazioneCP e rappresentata formalmente con la coniugazione complessa e le matrici γ di Dirac(appendice 42). Questa rappresentazione dei fermioni ha due importanti conseguenze:

411

ii

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ii

ii

Capitolo 25. Oscillazioni di neutrini

• poiche la trasformazione CP cambia lo stato di elicita, i neutrini hanno due stati dielicita e possono acquistare massa con l’accoppiamento col campo di Higgs;

• poiche CP e una trasformazione discreta, la legge di combinazione del numero lep-tonico e moltiplicativa e non additiva: si conserva la parita leptonica e non necessa-riamente il numero leptonico, L = Le + Lµ + Lτ . Questo permette, ad esempio, ildecadimento doppio-β senza emissione di neutrini, AZX → A

Z+2Y e−e−, che conserva

la parita leptonica ma non il numero leptonico (Fig. 25.1) ed e vietato per i neutrinidi Dirac. Questo decadimento non e ancora stato osservato.

Figura 25.1: Decadimento 2β senza emissione di neutrini.

25.2 Oscillazioni nel vuoto

Non sappiamo quale delle due versioni, neutrini di Dirac o neutrini di Majorana, rap-presenti meglio le osservazioni, comunque esistono modifiche del Modello Standard chepossono originare la massa dei neutrini. Assumiamo che ci siano tre autostati di sapore etre autostati di massa

(νe νµ ντ ) (ν1 ν2 ν3)

e che si possano convertire uno nell’altro tramite una matrice unitaria 3×3: |να〉 = U|νi〉

U =

Ue1 Ue2 Ue3Uµ1 Uµ2 Uµ3

Uτ1 Uτ2 Uτ3

che soddisfa la condizione U†U = 1∑

j

U∗αjUβj = δαβ∑α

U∗αjUαk = δjk (25.2)

La matrice U che mescola gli autostati di sapore e gli autostati di massa, detta matricePontecorvo–Maki–Makagawa–Sakata [87] , ha le stesse proprieta della matrice CKM (ca-pitolo 19) e dipende da tre angoli di mixing e un parametro complesso. La matrice si puorappresentare come la combinazione di tre rotazioni con angoli di Eulero θjk (cjk = cos θjk,sjk = sin θjk) UPMMS = R23R13R12

UPMMS =

1 0 00 c23 s23

0 −s23 c23

c13 0 s13e

−iδ

0 1 0−s13e

iδ 0 c13

c12 s12 0−s12 c12 0

0 0 1

(25.3)

412

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 413 — #413 ii

ii

ii

25.2. Oscillazioni nel vuoto

=

c12c13 s12c13 s13e−iδ

−s12c23 − c12s23s13eiδ c12c23 − s12s23s13e

iδ s23c13

s12s23 − c12c23s13eiδ −c12s23 − s12c23s13e

iδ c23c13

Nel caso di neutrini di Majorana si aggiungono due parametri complessi

UPMMS = R23R13R12

eiφ1 0 00 eiφ2 00 0 1

Nel vuoto l’equazione del moto degli autostati di massa e ih d

dt |νj〉 = Hm|νj〉, gli au-

tovalori sono Ej = ((pc)2 + (mjc2)2)

12 e l’evoluzione temporale e |νj(t)〉 = |νj(0)〉e−iEjt/h.

Poiche la massa dei neutrini e molto piccola Ej ' pc+ (mjc2)2/2pc ' pc+m2

jc4/2E. Nel

seguito: h = 1, c = 1. La hamiltoniana e diagonale

Hm = p+1

2E

m21 0 0

0 m22 0

0 0 m23

(25.4)

Se al tempo t = 0 si ha un fascio di soli neutrini di sapore α, νβ(0) =∑j Uβj |νj〉 = δβα,

l’evoluzione temporale del fascio e

νβ(t) =∑j

Uβj |νj〉e−iEjt

e 〈νβ(t)|να(0)〉 =∑jk U

∗βjUαke

−iEkt〈νj |νk〉 =∑j U∗βjUαje

−iEjt. La probabilita di avereneutrini di sapore β al tempo t e

Pα→β(t) = |〈νβ(t)|να(0)〉|2 = |∑j

U∗βjUαje−iEjt|2 =

∑kj

U∗αkUαjUβkU∗βje

i(Ek−Ej)t

Pα→β(t) =∑j

|Uβj |2|Uαj |2 + 2∑j>k

<(U∗βjUβkUαjU∗αk) cos(Ej − Ek) (25.5)

La probabilita di transizione e modulata nel tempo dall’ultimo termine, per questo si parladi oscillazione di neutrini, e la condizione di unitarieta (25.2) assicura che la somma delleprobabilita sia

∑β Pα→β(t) = 1 ∀ t.

Se consideriamo per semplicita il caso di due neutrini, vi e solo un angolo di mixing(νανβ

)=

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)(ν1

ν2

)

e l’evoluzione temporale e

|να(t)〉 = cos θe−iE1t|ν1〉+ sin θe−iE2t|ν2〉|νβ(t)〉 = − sin θe−iE1t|ν1〉+ cos θe−iE2t|ν2〉

Se al tempo t = 0 sono presenti solo neutrini να, al tempo t si ha

〈να(t)|να(0)〉 = cos2 θeiE1t + sin2 θeiE2t

413

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 414 — #414 ii

ii

ii


e la probabilita di sopravvivenza di neutrini να e

Pα→α(t) = |〈να(t)|να(0)〉|2 = cos4 θ + sin4 θ + 2 sin2 θ cos2 θ cos(E2 − E1)t= cos2 2θ + 1

2 sin2 2θ + 12 sin2 2θ cos(E2 − E1)t

= 1− sin2 2θ sin2(E2 − E1)t/2

Se invece si ha una transizione να → νβ

〈νβ(t)|να(0)〉 = sin θ cos θ(eiE2t − eiE1t)

dalla relazione (25.5) la probabilita di transizione e

Pα→β(t) = |〈νβ(t)|να(0)〉|2 = 2 sin2 θ cos2 θ(1− cos(E2 − E1)t)= sin2 2θ sin2(E2 − E1)t/2= 1− Pα→α(t)

Il termine sin2 2θ indica l’intensita dell’accoppiamento να–νβ, e la probabilita e modulatanel tempo dal fattore sin2(E2−E1)t/2, con E2−E1 ' (m2

2−m21)/2E. A distanza L dalla

sorgente dei neutrini να si ha

sin2(E2 − E1)t/2 ' sin2(m22 −m2

1)t/4E = sin2(m22 −m2

1)c4L/4Ehc

che dipende dal valore della differenza ∆m2 = m22−m2

1. Dato che i limiti sui valori di massadei neutrini sono ∼eV , le unita naturali per esperimenti sulle oscillazioni di neutrini sono:

mc2 in eV , E/L in GeV/Km = MeV/m. In queste unita si ha 14hc = 1.27 GeV

eV 2Km

(MeVeV 2m

)

Pα→β(t) = sin2 2θ sin2

(1.27

∆m2 [eV 2]× L [Km]

E [GeV ]

)(25.6)

e la lunghezza d’onda di oscillazione e

λ [Km] =πE

1.27∆m2= 2.48

E [GeV ]

∆m2 [eV 2](25.7)

Nella base dei sapori, l’equazione del moto nel vuoto e i ddt |να〉 = Hf |να〉 con Hf = UHmU†

Hf =

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)[p+

1

2E

(m2

1 00 m2

2

)](cos θ − sin θsin θ cos θ

)

= p+Σm2

4E+

∆m2

4E

(− cos 2θ sin 2θsin 2θ cos 2θ

)(25.8)

Esistono diverse condizioni favorevoli allo studio di oscillazioni di neutrini per diversivalori dell’energia E e della distanza L tra sorgente e osservatore

• i neutrini solari νe sono prodotti nel Sole con le reazioni termonucleari descritte nelcapitolo 16 con energia da zero a pochi MeV, la distanza e 108 Km;

• i reattori nucleari producono νe con energia da zero ad alcuni MeV e si possonoosservare a distanze da ∼10 m a molti Km;

414

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 415 — #415 ii

ii

ii

25.2. Oscillazioni nel vuoto

• i neutrini atmosferici sono originati nei decadimenti di adroni prodotti nelle intera-zioni dei raggi cosmici primari(capitolo 17) con l’atmosfera. Sono prevalentementeνµ, νµ dai decadimenti leptonici dei mesoni π e K; con minore probabilita νe, νe pro-dotti nei decadimenti dei muoni e decadimenti semileptonici dei mesoni; i neutriniντ , ντ sono trascurabili. L’energia va da ∼1 a ∼50 GeV . La distanza puo variareda ∼10 Km, se prodotti nell’atmosfera sopra il laboratorio, a ∼104 Km se prodottinell’altro emisfero e attraversano la Terra prima di essere rivelati.

• acceleratori di protoni producono intensi fasci secondari di neutrini νµ, νµ (capito-lo 19) con energia E = 1–100 GeV che possono essere rivelati a distanze da ∼ 100 ma ∼ 1000 Km.

Diverse condizioni sperimentali hanno diversa sensibilita alla misura della differenza dimassa secondo la relazione (25.6); le condizioni sono riassunte nella Tabella 25.1.

sorgente ν energia [GeV] distanza [Km] ∆m2 [eV2]

sole νe 10−3 108 10−10

reattore νe 10−3 1–100 10−5–10−3

atmosfera νµ νµ (νe νe) 1–20 10–104 10−4–1acceleratore νµ νµ 1–100 1–103 10−3–10

Tabella 25.1: Sensibilita in ∆m2 per diverse sorgenti di neutrini.

Ci sono due possibili approcci sperimentali per misurare oscillazioni dei neutrini:esperimenti di scomparsa e esperimenti di apparizione.

25.2.1 Esperimenti di scomparsa

Se si conosce una sorgente che emette solo neutrini να e si conosce il flusso all’origine,Φα(0), la misura del flusso a distanza L di neutrini dello stesso sapore fornisce, tramiteil rapporto Φα(L)/Φα(0), la probabilita di sopravvivenza |〈να(t)|να(0)〉|2. Questo tipo diesperimento non fornisce informazione sul tipo di neutrino in cui να ha eventualmenteoscillato. E il caso di esperimenti fatti con neutrini solari νe, o da reattore νe: infattiquesti hanno energia bassa e oscillazioni νe → νµ o νe → ντ non sono osservabili poichel’energia di questi ultimi e molto minore dell’energia di soglia per produrre leptoni µ (110MeV ) o τ (3.5 GeV ). Nel caso di neutrini da reattore si puo misurare il flusso Φνe(L) adiverse distanze dalla sorgente, mentre la distanza Terra–Sole e quasi costante.

25.2.2 Esperimenti di apparizione

Questo e il caso di esperimenti con fasci di neutrini νµ o νµ prodotti con acceleratori:il flusso di neutrini e conosciuto bene e la contaminazione di neutrini di altro saporee piccola. Leptoni e o leptoni τ prodotti in reazioni νeN → e−X o ντN → τ−X (econiugate di carica) in un rivelatore a distanza L dalla sorgente misurano la probabilitadi oscillazione |〈να(t)|νµ(0)〉|2. L’energia del fascio e sufficiente a produrre le reazioni chesegnalano l’oscillazione di neutrini.

Nel caso di esperimenti con raggi cosmici, il flusso di neutrini non e ben conosciutone in intensita ne nel tipo di sapore. Questi esperimenti hanno pero il vantaggio che sial’energia E che la distanza dalla sorgente L sono variabili e questo estende l’intervallo disensibilita in ∆m2.

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25.3 Oscillazioni nella materia

Se i neutrini si propagano nella materia, si possono verificare oscillazioni anche nel casodi mν = 0 se esiste qualche differenza nel comportamento dei diversi sapori di neutrini.Questo e stato studiato da Stanislav Mikheyev, Aleksej Smirnov e Lincoln Wolfenstein ede chiamato effetto MSW ; e dovuto allo scattering coerente in avanti che distingue i νe daglialtri neutrini [88]. Lo scattering coerente e proporzionale all’ampiezza di scattering f(q =0) e al numero di bersagli per unita di volume N , mentre l’assorbimento e proporzionale alquadrato, ∼ |f(0)|2. L’effetto e analogo alla propagazione della luce in un mezzo, l’indicedi rifrazione n = 1 + 2πN

k2f(0) introduce uno sfasamento nella propagazione di onde con

indici diversi: ei(n2−n1)kx.Poiche f(0) e proporzionale alla costante di Fermi G e l’assorbimento e proporzionale

a G2, questo e trascurabile, ma lo scattering coerente puo produrre un effetto importantese il fascio si propaga per grandi distanze in un mezzo di densita elevata. Consideriamodue sapori di neutrini, νe e νµ: le interazioni elastiche con emissione di neutrini a q = 0per correnti neutre sono uguali, ma quelle per correnti cariche sono diverse

νe νµνee− → νee

− νµe− → νµe

−

NC νen→ νen νµn→ νµnνep→ νep νµp→ νµp

CC νee− → e−νe νµe

− → µ−νe

e la differenza e legata alla densita di elettroni nel mezzo. Questo comporta che in unmezzo di densita ρ si introduce uno sfasamento per unita di lunghezza tra le onde

2πhf(0)Ne

p=√

2G(hc)2Ne = 3.8 10−9 cm−1 × Z

Aρ (25.9)

dove ρ e in g/cm3. L’effetto e importante nel caso della propagazione dei neutrini dalcentro alla superficie del Sole (L = 0.7 1011 cm) tenendo anche conto che la densitacambia notevolmente; e meno importante su distanze pari all’attraversamento della Terra(L ' 108 cm). La combinazione con le oscillazione nel vuoto modifica i parametri dellamatrice di evoluzione, in particolare il termine νe → νe, cui si aggiunge lo sfasamento(25.9) che interviene come una differenza di energia di interazione

√2G(hc)3Ne = 7.6 10−14 eV × Zρ

A

modificando la parte non diagonale della matrice (25.8) (nel seguito h = 1, c = 1)

Hf = (. . .) +

(−(∆m2/4E) cos 2θ +

√2GNe (∆m2/4E) sin 2θ

(∆m2/4E) sin 2θ (∆m2/4E) cos 2θ

)(25.10)

Gli angoli di mixing e la differenza ∆m2 si ottengono da (25.8) e (25.10)

sin 2θ∗

cos 2θ∗=

2Hf21

Hf22 −Hf11=

sin 2θ

cos 2θ − χχ =√

2GNe2E

∆m2= 1.5 10−7 E [MeV ]

∆m2 [eV 2]× Zρ

A

sin 2θ∗ =sin 2θ√

(cos 2θ − χ)2 + (sin 2θ)2∆∗m2 = ∆m2

√(cos 2θ − χ)2 + (sin 2θ)2

(25.11)

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25.4. Neutrini solari

e la probabilita di oscillazione (25.6) diventa

Pα→β(t) = sin2 2θ∗ sin2(1.27∆∗m2L/E)

Dalla relazione (25.11) se χ ' cos 2θ l’angolo di mixing osservato e θ∗ ' 45, simulandooscillazione massima, qualunque sia l’effettivo mixing dei neutrini.

25.4 Neutrini solari

Le reazioni nucleari che producono energia nel Sole sono presentate nel capitolo 16; laFig. 25.2 mostra lo spettro di energia dei neutrini νe emessi nelle reazioni. Il flusso dineutrini e valutato sulla base del Modello Solare Standard (SSM) che tiene conto dellesezioni d’urto e del bilancio energetico delle reazioni, della termodinamica e fluodinamicasolare e dell’energia di radiazione solare misurata sulla Terra. Gli esperimenti per rive-lare i neutrini sulla Terra sono condotti in laboratori sotterranei a grande profondita perschermare i rivelatori dai raggi cosmici, e hanno un bersaglio di grande massa (da decinea migliaia di tonnellate) perche la sezione d’urto e molto piccola. Si misura il flusso dineutrini νe e, dal flusso previsto dal SSM, la probabilita Pνe→νe(L), L = 1.5 108 Km.

Figura 25.2: Flusso di neutrini solari in funzione dell’energia.

Sono stati fatti due tipi di esperimenti: con metodi radiochimici e con rivelatori dielettroni emessi nelle reazioni νeN → e−N ′. Gli esperimenti radiochimici sono piu sensibilia neutrini di bassa energia. Si misura il numero di reazioni νe

AZX → e− A

Z+1Y in undato intervallo di tempo ∆t1. Si sceglie una reazione che abbia una soglia bassa e cheproduca un nucleo Y soggetto a cattura elettronica con vita media τ . In questo modo none necessario rivelare gli elettroni prodotti che hanno energia molto piccola, ma si registrail numero di eventi e− A

Z+1Y → AZX νe contando in un intervallo di tempo ∆t2 i raggi X

di energia caratteristica emessi immediatamente dopo la cattura elettronica. Si eseguonodiversi cicli di attivazione e conteggio: se Λ = σνΦνNb e il numero di interazioni perunita di tempo, il numero di nuclei Y formati e nY (1) = Λτ(1 − e−∆t1/τ ) e il numero didecadimenti registrati e nY→X(2) = Λτ(1− e−∆t1/τ )(1− e−∆t2/τ ).

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Il primo esperimento pioneristico di questo tipo e stato fatto da Raymond Davis 1

usando come bersaglio il 3717Cl, un isotopo stabile del Cloro con abbondanza relativa 24%.

L’esperimento e stato fatto in una miniera a 1600 metri di profondita con un bersaglio di∼1000 tonnellate di C2Cl4 [89]. Nella cattura dei neutrini si produce 37

18Ar che decade al100% per cattura elettronica

νe3717Cl→ 31

18Ar e− e− 31

18Ar → 3717Cl νe τ = 24.3 giorni

La soglia di reazione e Eminν = 0.814 MeV , quindi l’esperimento non e sensibile allamaggior parte dei neutrini solari, ma solo a quelli emessi dal decadimento del Boro 8

5B e,in parte, a quelli del ciclo CNO, (Fig.25.2). Questo esperimento fu il primo a registrareun deficit di neutrini solari, cioe Pνe→νe < 1. Misuro un tasso di conteggio ∼1

3 di quelloprevisto dal SSM con un errore relativo del 10%.

Altri esperimenti sono stati fatti con il 7131Ga, un isotopo stabile del Gallio con abbon-

danza relativa 40%. Si produce 7132Ge che decade al 100% per cattura elettronica

νe7131Ga→ 71

32Ge e− e− 71

32Ge→ 7131Ga νe τ = 7.9 giorni

La soglia di reazione, Eminν = 0.233 MeV , e notevolmente piu bassa e gli esperimenti sonosensibili a gran parte dei neutrini del ciclo protone-protone. Questi esperimenti hannomisurato un tasso di conteggio (53 ± 3)% di quello previsto dal SSM confermando laeffettiva scomparsa dei neutrini νe [90].

Gli esperimenti che rivelano l’emissione di elettroni sono costruiti con grandi recipienticon acqua, o acqua pesante, per studiare le reazioni di νe su elettroni atomici o su nucleo(protone, deutone). Questo metodo di misura e stato sviluppato da Masatoshi Koshiba 2

e applicato in un esperimento sotterraneo, Kamiokande, che conteneva inizialmente 3000tonnellate di acqua. La rivelazione dei neutrini e fatta osservando la radiazione Cerenkov(capitolo 4) emessa dagli elettroni che si trasmette nel mezzo trasparente. Gli esperimentimisurano la velocita degli elettroni e la direzione, questa e correlata con la direzione delSole e permette di ridurre il fondo da altre sorgenti. Il valore minimo di velocita e βe ' 0.9e la soglia di reazione e di alcuni MeV , quindi questi esperimenti sono sensibili ai neutrinidi alta energia. Con lo studio della reazione elastica νee

− → νee− e stato misurato un

tasso di conteggio pari al (47 ± 3)% di quello previsto dal SSM. Esperimenti che usanograndi recipienti con scintillatore liquido (capitolo 5) hanno soglie di rivelazione ∼1 MeV ,e sono sensibili a neutrini di bassa energia.

Con un bersaglio e di acqua pesante, si possono studiare diverse reazioni neutrino-deuterio

(a) νe d→ p p e−, prodotta solo da νe per CC;

(b) να d→ να p n, prodotta da ogni tipo di neutrino per NC;

(c) να e− → να e

−, prodotta da ogni tipo di neutrino per NC, e da νe anche per CC.

Questo metodo e stato usato nel Sudbury Neutrino Observatory, a 2000 m di profondita,da Arthur McDonald 3 e collaboratori, utilizzando 1000 tonnellate di D2O [91]. Le reazioni

1 Premio Nobel per la Fisica nel 2002.2 premio Nobel per la Fisica nel 2002.3 premio Nobel per la Fisica nel 2015

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25.5. Neutrini da reattori

(a) e (c) sono osservate con la rivelazione dell’elettrone, la reazione (b) con la rivelazionedi sciami elettrofotonici prodotti da raggi γ emessi nella reazione di cattura neutronica conformazione di Trizio, n d → 3

1H γ con Eγ = 6.5 MeV . E un’esperimento di scomparsaper le reazioni (a) e (c) e un esperimento di apparizione di neutrini νµ e ντ (tra loroindistinguibili) per la reazione (c). Il flusso dei neutrini si ottiene dal numero di reazioniosservate e dai valori di sezione d’urto. Si hanno tre relazioni

na = Φ(νe)σCC(νed)Nd

nb = [Φ(νe) + Φ(νµ + ντ )]σNC(ναd)Nd

nc =[(Φ(νe)σ

NC+CC(νee) + Φ(νµ + ντ )σNC(ναe)]Ne

da cui si estrae il flusso di neutrini Φ(νe) e Φ(νµ + ντ ) tenendo conto che la sezione d’urtoper NC e la stessa per ogni tipo di neutrino, e inoltre si puo verificare (capitolo 24) che

σNC(νee)

σNC+CC(νee)=

g2L + g2

R/3

(1 + gL)2 + g2R/3

=1− 4 sin2 θW + (16/3) sin4 θW1 + 4 sin2 θW + (16/3) sin4 θW

' 0.16

Il risultato conferma le osservazioni degli altri esperimenti e inoltre dimostra la validitadel SSM nel predire il flusso di neutrini solari

Φ(νe) + Φ(νµ + ντ )

ΦSSM (νe)= 1.01± 0.14

Φ(νe)

Φ(νe) + Φ(νµ + ντ )= 0.34± 0.04

quindi 23 dei neutrini νe prodotti nel Sole hanno cambiato sapore prima di raggiungere la

Terra. Dalle misure delle interazioni neutrino–deutone si deduce che

• la previsione del Modello Solare Standard del flusso di neutrini Φ(νe) e corretta;

• il flusso di neutrini misurato dipende dall’energia dei neutrini per l’effetto MSW e irisultati di esperimenti con soglie diverse vanno corretti secondo la (25.11);

• corretti i risultati, la probabilita di sopravvivenza a distanza L per diversi intervallidi energia E fornisce i parametri di oscillazione

Pνe→νe = 1−cos4 θ13 sin2 2θ12 sin2(∆m212L/4E)−sin2 2θ13 sin2(∆m2

13L/4E) (25.12)

• per piccoli valori di θ13 (da misure con neutrini da reattore) le oscillazioni dei neutrinisolari si riducono al caso di due stati: |ν1〉 e |ν2〉, e la matrice di mixing e R12

Pνe→νe ' 1− sin2 2θ12 sin2(∆m212L/4E)

• e si ottiene: θ12 = 33, ∆m212 = 7 10−5 eV 2.

25.5 Neutrini da reattori

I reattori nucleari sono un’intensa sorgente di antineutrini νe con energia che si estendeda zero ad alcuni MeV . Gli esperimenti usano grandi rivelatori di scintillatore liquido,materiale organico ricco di protoni, con l’aggiunta di nuclei N0 che hanno un grandesezione d’urto di cattura di neutroni di bassa energia, nN0 → N∗1 → N1γ. Il metodo dirivelazione e sostanzialmente quello che ha portano alla scoperta del neutrino descritta nel

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capitolo 15. Si sfrutta la reazione νe p → e+ n che ha un’energia di soglia di 1.8 MeV .La produzione del positrone e segnalata dalla misura di E ∼ 1 MeV dall’annichilazionee+e− → γγ, il neutrone viene moderato nelle collisioni elastiche con i protoni e catturatodal nucleo N0 dopo un tempo caratteristico del processo di moderazione ∆t0.

Esperimenti fatti a piccola distanza dal reattore, da 10 m a 1 Km, non hanno mostratoevidenza di scomparsa di νe, il valore misurato e ΦL(νe)

Φ0(νe)' 1 con errori relativi di pochi %.

Invece a distanza maggiore L ' 150 Km si osserva la scomparsa di 13 di νe [93]

ΦL(νe)

Φ0(νe)= 0.66± 0.06 〈Eνe〉 = 4 MeV

I risultati in funzione della distanza sono mostrati in Fig. 25.3. Gli esperimenti misurano ilrapporto ΦL(νe)

Φ0(νe)integrando in un intervallo di energia dal valore di soglia al valore massimo

ΦL(ν)

Φ0(ν)= 1− Sf(L) f(L) =

1

∆k

∫sin2 kL dk k =

∆m2

4E

f(L) =1

(k2 − k1)L

∫ k2

k1sin2 kL dk =

1

2− sin 2k2L− sin 2k1L

4(k2 − k1)L(25.13)

Questa funzione e nulla per kL 1, alta energia e/o piccole distanze, oscilla per kL ' π/2e tende al valore 1

2 per kL 1, bassa energia e/o grandi distanze.

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

1 . 2

1 0- 2 1 0- 1 1 00 1 01 1 02

L (km)

Figura 25.3: Flusso di νe in funzione della distanza dal reattore.

Il confronto con gli esperimenti con i neutrini solari indica

• per L < 3 Km il termine sin2(∆m212L/4E) e trascurabile e quindi (25.12) si riduce

aPνe→νe = 1− sin2 2θ13 sin2(∆m2

13L/4E) (25.14)

gli esperimenti con reattori a distanza L ∼ 1.5 Km, hanno misurato il valoredell’angolo di mixing: θ13 = 9 [94];

• usando (25.12) con cos4 θ13 ' 0.95, la misura di attenuazione di νe da reattori lontanipermette di migliorare il risultato ottenuto con i neutrini solari:

θ12 = 32.4 ∆m212 = 7.9 10−5 eV 2

420

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25.6. Neutrini atmosferici

25.6 Neutrini atmosferici

Gli esperimenti che studiano i neutrini prodotti nell’atmosfera sono fatti in laboratorisotterranei e usano come bersaglio l’acqua. Rivelano la produzione di elettroni e muonimediante la radiazione Cerenkov, misurano la direzione e il percorso nel rivelatore, laprima e fortemente correlata con la direzione dei neutrini, il secondo fornisce una stima(non precisa) dell’energia. Elettroni e muoni sono prodotti nel rivelatore con le reazioni

νeN → e−N ′ νµN → µ−N ′ (25.15)

e le reazioni coniugate di carica iniziate da antineutrini che producono e+ e µ+, ma irivelatori Cerenkov non distinguono la carica elettrica.

Figura 25.4: Interazioni di neutrini atmosferici in un rivelatore Cerenkov. Un neutrinoattraversa la Terra percorrendo la distanza L =

√R2 cos2 θ + 2Rh− R cos θ. Il rivelatore

(a destra) misura l’angolo θ.

Nell’atmosfera vengono prodotti neutrini e antineutrini nei decadimenti in cascata deimesoni

νµ νµ νe νeπ+ → µ+νµ µ+ → e+νµνe × × ×K+ → µ+νµ µ+ → e+νµνe × × ×K → πµ+νµ µ+ → e+νµνe × × ×K → πe+νe ×

e i decadimenti coniugati di carica per cui ν ↔ ν. Il rapporto tra la frequenza delle duereazioni (25.15) dipende dall’energia dei neutrini e non e molto diverso da µ : e = 2 : 1.Lo studio delle oscillazioni e stato fatto dividendo le osservazioni in quattro categorie

µ di alta energia e di alta energiaµ di bassa energia e di bassa energia

La direzione fornisce una misura della distanza L come mostrato in Fig. 25.4, mentre laclassificazione in energia fornisce un’indicazione sull’energia dei neutrini, E.

Misure sono state fatte con l’esperimento Super-Kamiokande, diretto da Takaaki Ka-jita 4, con 50000 tonnellate di acqua [92]. Confrontando il risultato con quanto previstodal flusso di raggi cosmici si osserva che:

4 premio Nobel per la Fisica nel 2015

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• non ci sono deviazioni per gli elettroni ne in funzione dell’angolo, ne in funzionedell’energia;

• si osserva una chiara diminuzione del flusso dei muoni per cos θ < 0 (grande distanza)

sia per bassa energia che per alta energia,ΦL(νµ)Φ0(νµ) →

12 ;

• l’effetto diminuisce per cos θ → 1 (piccola distanza) per muoni di bassa energia e siannulla per muoni di alta energia.

Non si osservano oscillazioni di νe, mentre vi e una chiara evidenza di oscillazioni di νµ chedipendono da L/E. Il valore di sin2 ∆m2

12L/4E e troppo piccolo per produrre un effettonell’intervallo di distanze e energie esplorate, se ne deduce che la differenza di massa e∆m2

23 ∆m212 e/o ∆m2

13 ∆m212. Gli esperimenti con neutrini da acceleratori indicano

che ∆m213 ' ∆m2

23, quindi si possono esprimere le probabilita di oscillazione in funzionedi un solo valore di ∆m2

Pνe→νµ = sin2 2θ13 sin2 θ23 sin2 ∆m223L/4E

Pνe→ντ = sin2 2θ13 cos2 θ23 sin2 ∆m223L/4E

Pνe→νe = 1− sin2 2θ13 sin2 ∆m223L/4E

Pνµ→νe = Pνe→νµPνµ→ντ = cos4 θ13 sin2 2θ23 sin2 ∆m2

23L/4EPνµ→νµ = 1− (sin2 2θ13 sin2 θ23 + cos4 θ13 sin2 2θ23) sin2 ∆m2

23L/4E

(25.16)

Le oscillazioni di νe sono soppresse perche sin2 2θ13 ' 0.1 e analogamente le oscillazioniνµ → νe, quindi la diminuzione del flusso di muoni e interpretata come oscillazioni νµ → ντ .La Fig. 25.5 mostra la funzione 1 − Sf(L), nel caso S = 1, per νµ di bassa energia(Eν < 0.5 GeV ) e alta energia (Eν > 1.5 GeV ) e la correlazione tra L e cos θ. I neutriniνµ di bassa energia oscillano sempre, quelli di alta energia solo per valori grandi delladistanza. Dato che il flusso si riduce di 1

2 a grande distanza, questo indica che S =sin2 2θ13 sin2 θ23 + cos4 θ13 sin2 2θ23 ' sin2 2θ23 ' 1, cioe il mixing νµ → ντ e massimo.Dalle misure si ottiene

θ23 = 45 ∆m223 = 2.5 10−3 eV 2 (25.17)

25.7 Neutrini da acceleratori

Dalla Tabella 25.1 si osserva che gli esperimenti di scomparsa di neutrini νµ e νµ prodotticon acceleratori sono poco sensibili a piccoli valori di ∆m2. Gli esperimenti di apparizionedi νe sono sensibili a

Pνµ→νe = sin2 2θ13 sin2 θ23 sin2 ∆m213L/4E

se L/E ' 100 Km/GeV . Misure fatte in queste condizioni hanno confermato che θ13 epiccolo, θ13 < 10, e ha misurato ∆m2

13 = 2.8 10−3 eV 2 ' ∆m223

L’indicazione dei neutrini atmosferici e che le oscillazioni νµ → ντ sono massime, questova pero confermato con esperimenti di apparizione di ντ . Questi esperimenti devono usarefasci di energia elevata per superare la soglia di produzione ντN → τ−N ′ e quindi distanze

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25.8. I parametri delle oscillazioni

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

- 1 . 0

- 0 . 5

0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 0 1 02

1 03

1 04

L (km)

f ( L ) c o s q

E > 1.5 GeVE < 0.5 GeV

Figura 25.5: Funzione 1−Sf(L) con S = 1 per νµ di bassa e alta energia per l’esperimentodi Fig.25.4 (scala a sinistra). Angolo di zenith (scala a destra).

L 100 km. Inoltre l’identificazione del leptone τ richiede impulsi elevati, p > mτ , erivelatori con ottima risoluzione spaziale perche la lunghezza di decadimento e moltopiccola, λτ = p

mτcττ con mτ = 1.78 GeV/c2 e cττ = 0.087 mm. Esperimenti con neutrini

νµ da accceleratori a distanza L ∼ 750 Km hanno osservato le oscillazioni νµ → ντ [95] ehanno misurato ∆m2

23 = 2.7 10−3 eV 2.

25.8 I parametri delle oscillazioni

Le osservazioni su neutrini solari, da reattore e atmosferici forniscono informazioni com-plementari che riflettono la fattorizzazione della matrice UPMMS in tre rotazioni di:

UPMMS = R23 × R13 × R12

neutrini atmosferici da reattore solari

sin2 θ12 0.30 ± 0.02sin2 θ23 0.50 ± 0.04sin2 θ13 0.021 ± 0.001∆m2

12 7.5 ± 0.2 10−5 eV 2

∆m223 2.5 ± 0.1 10−3 eV 2

∆m213 ' ∆m2

23

Tabella 25.2: Parametri di oscillazione di neutrini.

Dal confronto delle varie misure si ottengono i valori di Tabella 25.2. Non si hannoinformazioni sulla fase δ che rappresenta la violazione della simmetria CP per i leptoni.Gli angoli di mixing sono rappresentati in Fig. 25.6. Nell’ipotesi sin θ13 1, cos θ13 ' 1,la matrice di mixing si approssima con

UPMMS '

c12 s12 s13

−s12c23 c12c23 s23

s12s23 −c12s23 c23

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 424 — #424 ii

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Figura 25.6: Angoli di rotazione per gli autostati dei neutrini.

Poiche sin2 θ23 ' 12 e sin2 θ12 ' 1

3 gli autostati di massa si possono approssimare con

|ν1〉 '2|νe〉 − |νµ〉+ |ντ 〉√

6|ν2〉 '

|νe〉+ |νµ〉 − |ντ 〉√3

|ν3〉 '|νµ〉+ |ντ 〉√

2

e, poiche ∆m212 ∆m2

23, i valori di massa dei neutrini che contengono |νe〉 sono simili:m1 ' m2. Esistono due possibili ordinazioni di massa, quella normale: m3 m2 > m1,e quella invertita: m2 > m1 m3, rappresentate in Fig. 25.7. Qualunque sia l’ordine, ivalori effettivi delle masse non sono noti perche si misurano solo le differenze ∆m2

jk e siconoscono solo i limiti superiori (25.1) delle masse mνα .

Figura 25.7: Valori delle differenze di massa m2j −m2

k.

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Capitolo 26

Universo e particelle

L’Universo, come lo osserviamo oggi, non e statico e la sua estensione e finita. Gia Gio-vanni Keplero aveva osservato che in un Universo statico e infinito e con densita di stelleuniforme, come si riteneva all’inizio del ’600, la notte il cielo non dovrebbe essere scuroma luminoso. Il paradosso del cielo scuro di notte e stato analizzato da Heinrich Olbersnel 1823 ed e noto come paradosso di Olbers.

Il flusso di energia che si osserva emesso da una stella di luminosita L a distanza re Φ = L/4πr2. Se si fa l’ipotesi che le stelle abbiano una densita uniforme ρ, il flusso

totale di energia e Φ =∫ 〈L〉

4πr2ρ4πr2dr. Questo e infinito nelle ipotesi che la luminosita non

dipenda dalla distanza, la densita sia uniforme e che l’integrale vada esteso a r →∞. Perrisolvere il paradosso alcune di queste ipotesi devono essere false. Le sorgenti luminose sonoin effetti raggruppate in galassie e ammassi di galassie, ma se osservato su grande scala,l’Universo ha una densita di sorgenti abbastanza uniforme. Le altre due ipotesi invece nonsono verificate. L’Universo non e statico, tutte le sorgenti luminose si allontanano dallaTerra con velocita che aumenta con la distanza: la luce che si osserva diminuisce con ladistanza. Se questo e vero, tutte le sorgenti si allontanano tra loro ed e plausibile che ilmoto di allontanamento sia iniziato ∆t tempo fa e che quindi si possa osservare solo laluce emessa entro un orizzonte finito pari a c∆t.

26.1 L’Universo in espansione

La prima fondamentale osservazione fu fatta da Edwin Hubble nel 1929 che scoprı cheogni galassia si allontana dalla Terra con velocita proporzionale alla sua distanza [96].La distanza era determinata dalla luminosita, la velocita dallo spostamento verso il ros-so, redshift 1, delle righe degli spettri atomici rispetto a quelli osservati sulla Terra; il

1 Se una sorgente luminosa emette radiazione con frequenza ν e si muove ripetto all’osservatore con velo-cita u = ±βc lungo la direzione di osservazione, per la legge di trasformazione del 4-impulso (appendice 28),la frequenza osservata e

ν′ = ∓βγν + γν =1∓ β

(1− β2)1/2ν =

((1∓ β)2

(1 + β)(1− β)

)1/2

ν

Se la sorgente si allontana, ν′ =√

(1− β)/(1 + β)ν, λ′ =√

(1 + β)/(1− β)λ, l’osservatore misura una

lunghezza d’onda λ′ maggiore, spostata verso il rosso. Il redshift e il rapporto z = λ′−λλ

; 1 + z =√(1 + β)/(1− β).

425

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Capitolo 26. Universo e particelle

rapporto tra velocita e distanza, H = r/r e chiamato costante di Hubble anche se non epropriamente costante. Questa osservazione mostra che l’Universo e in espansione e chel’espansione e iniziata approssimativamente H−1 tempo fa dopo una fase iniziale esplo-siva come ipotizzato gia nel 1923 da Georges Lemaıtre. Il modello del Big Bang e statoformulato in modo piu quantitativo venti anni dopo da George Gamow.

Se consideriamo due osservatori che partono dallo tesso punto al tempo t0 e procedonocon velocita ~v1 e ~v2, la loro velocita relativa al tempo t sara ~v = d

dt(~r2−~r1) = d~rdt , e la loro

distanza sara r =∫|~v2−~v1|dt = v(t− t0) se hanno proceduto a velocita costante. In realta

la velocita sara diminuita per effetto dell’attrazione gravitazionale e quindi la costante diHubble viene a dipendere dal tempo. Il valore misurato oggi e H0 = 100h Km s−1/Mpc, ilMegaParSec 2 e pari a 3.09 1019 Km e il valore del parametro di Hubble h tiene conto dellavariabilita delle definizioni: h = 0.73± 0.04. Per le considerazioni che seguono assumiamo

H0 = 2.36 10−18 s−1 H−10 = 13.4 109 anni

che corrisponde ad un orizzonte di ∼ 1026 m. I valori delle grandezze misurate, o derivate,qui e nel seguito hanno in generale un’incertezza del (5÷10)%.

L’evoluzione dell’Universo e definita dall’equazione di campo di Einstein della relativitagenerale [97]. Per una distribuzione di materia omogenea e isotropa, la soluzione perl’estensione di spazio R e fornita dalle equazioni di Friedmann-Lemaıtre [98]

R

R= −4πG

3c2(ρ+ 3p) +

Λ

3c2(26.1)

H2 =

(R

R

)2

=8πGρ

3c2− k

R2− Λ

3c2(26.2)

G = 0.67 10−10 m3Kg−1s−2 = 1.07 10−20 GeV −1m5s−4 e la costante di Newton, ρ ela densita di energia, p e la pressione, k e il parametro di curvatura dello spazio e Λ ela costante cosmologica introdotta da Einstein, prima dell’affermazione del concetto diespansione dell’Universo, per evitare l’implosione gravitazionale e ottenere una soluzionestazionaria.

La relazione tra densita e pressione si ottiene derivando la (26.2) rispetto al tempo e

dividendo per 2R/R: RR −

R2

R2 = 4πG3c2

ρR

R+ k

R2 ;

sostituendo la (26.1) si ha: RR = 4πG

3c2

(ρR

R+ 2ρ

)+ Λ

3c2= −4πG

3c2(ρ+ 3p) + Λ

3c2;

ρ = −3R

R(ρ+ p) (26.3)

• se ρ ∼ R−3, come previsto per la materia, ρ = −3ρR/R e quindi p = 0;

• se ρ ∼ R−4, come previsto per la radiazione, ρ = −4ρR/R e quindi p = ρ/3: lapressione di radiazione si aggiunge alla gravita;

• se ρ fosse costante si otterrebbe p = −ρ: la pressione si oppone alla gravita.

2 Il parallasse-secondo e la distanza che corrisponde all’osservazione di una stella sotto l’angolazionedi un secondo d’arco (2π/60× 60× 360 = 4.85 µrad) da due punti distanti una unita astronomica (AU =1.5 1011 m): pc = 3.09 1016 m.

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26.1. L’Universo in espansione

La soluzione con Λ = 0, e quella che si ottiene con la meccanica classica. Se infatticonsideriamo una massa m all’interno del campo gravitazionale prodotto da una distri-buzione di materia uniforme, posta a distanza r dal centro della distribuzione di materia,la legge di gravitazione e mr = −GmM/r2. La somma dell’energia cinetica e dell’ener-gia potenziale della massa m e una costante del moto che possiamo esprimere in terminidell’energia di riposo mc2

1

2mr2 − GmM

r= −κ

2mc2

Nell’ipotesi di densita di energia uniforme, la massa M all’interno della sfera di raggio re M = 4πρr3/3c2 e si ha

1

2mr2 − 4πGmρr2

3c2= −κ

2mc2 r2 =

8πGρ

3c2r2 − κc2

Se κ = −1, la curvatura e positiva e l’energia totale e positiva: il sistema tendera adespandersi indefinitivamente e, poiche ρr3 e costante ρr2 → 0, il valore asintotico dellavelocita e limt→∞ r = c. Se κ = +1, la curvatura e negativa e l’energia e negativa: ilsistema raggiungera una dimensione massima e poi tendera a collassare. Se κ = 0, lospazio e piatto e l’energia totale e nulla: il sistema si espande con velocita asintotica nulla,limt→∞ r = 0.

Poiche nella descrizione dell’evoluzione dell’Universo possiamo considerare solo distan-ze relative ad un certo istante, definiamo la distanza al tempo t come prodotto delladistanza misurata al tempo t0 per un fattore di scala: ~r(t) = ~r0R(t); la Fig.26.1 mostral’andamento di R(t) per un Universo chiuso (k = +1), piatto (k = 0) o aperto (k = −1).L’equazione di evoluzione di R(t) e

r20R

2 =8πGρ

3c2r2

0R2 − κc2 ⇒ R2

R2=

8πGρ

3c2− k

R2

Nel caso di Universo piatto, con k = 0, Λ = 0, l’Universo di Einstein-de Sitter, si ha

R(t)

tDt

t0

k = 0

k = -1

k = +1

Figura 26.1: Fattore di scala dello spazio per i tre valori del parametro di curvatura; lemisure son fatte oggi al tempo t0.

H2 =R2

R2=

8πGρ

3c2

Il valore di densita di energia per cui si ha un Universo piatto e chiamata densita critica

ρc =3c2H2

0

8πG= 5.6 GeV/m3

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Se il valore misurato e ρ < ρc l’Universo tendera ad espandersi indefinitivamente, se ρ > ρctendera a contrarsi. Alla densita di energia contribuisce la materia non relativistica (ba-rioni) e la radiazione (fotoni e neutrini); le misure mostrano che il contributo di materiabarionica e radiazione e molto minore di ρc. Inoltre le misure dei moti delle galassie mo-strano che queste si muovono con velocita maggiori di quelle previste se fossero soggetteall’attrazione gravitazionale della materia visibile con cui interagiscono. Da queste os-servazioni si deduce che nell’Universo e presente un grande quantita di materia che nonemette radiazione, materia oscura, con densita di energia maggiore della materia barionicavisibile. La densita di energia totale della materia e della materia barionica visibile e

ρm = 1.33 GeV/m3 ρb = 0.23 GeV/m3

e la densita di energia della materia oscura e ρdm = 1.10 GeV/m3. In un Universodominato dalla materia, la densita e inversamente proporzionale a R3 e, se l’Universo epiatto, si ha ρR3 = ρcR

30

R2

R2=

8πGρc3c2R3

R =

(8πGρc3c2R

) 12

In un Universo piatto dominato dalla materia lo spazio si espande proporzionalmente at2/3 ∫

R1/2dR =2

3R3/2 =

(8πGρc

3c2

) 12

t R(t) =

(6πGρc

3c2

) 13

t23

e il tempo di espansione e t0 = 23H0 ' 9 109 anni, un po’ piu breve di quello che si ottiene

da varie informazioni astronomiche.

26.2 La radiazione cosmica di fondo

La seconda fondamentale scoperta fu fatta da Arno Penzias e Robert W. Wilson 3 chenel 1965 osservarono che la potenza emessa dal cosmo sotto forma di radiazione elettro-magnetica si comporta come quella di un corpo nero a temperatura di circa 2.7 K [99].La radiazione cosmica di fondo e emessa in modo isotropo da ogni parte dell’Universocon una distribuzione in frequenza che segue rigorosamente la distribuzione di Planck.La temperatura dell’Universo e oggi T = (2.725 ± 0.002) K. La densita di energia dellaradiazione si ottiene dalla legge di emissione del corpo nero (appendice 27)

ργ =4

cσT 4 = 0.26 10−3 GeV/m3

σ = 354 GeV s−1m−2K−4 e la costante di Stefan–Boltzmann. Poiche ργ ρm, oggil’Universo e dominato dalla materia.

La legge di espansione della radiazione nello spazio e pero diversa da quella dellamateria perche la lunghezza d’onda aumenta con R e l’energia diminuisce, la radiazione siraffredda. Poiche ργ ∼ R−4, il termine di curvatura ∼ R−2 si puo trascurare nell’equazione(26.2) per R→ 0; da questo si deduce che c’e stata un’epoca, prima che si formassero gli


428

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26.2. La radiazione cosmica di fondo

atomi, in cui la densita della radiazione era maggiore di quella della materia. La legge diespansione della radiazione e

R2

R2=

8πGργ3c2

ργργ

= −4R

R= −4

(8πGργ

3c2

) 12

ρ1/2γ

Risolvendo l’equazione ργ = −4√

8πGργ/3c2 ρ3/2γ si ha

ργ =

(3c2

32πG

)t−2 =

4σ

cT 4 (26.4)

quindi nell’epoca dominata dalla radiazione R(t) ∼ t1/2 ∼ T−1.

Alla densita della radiazione elettromagnetica va aggiunta quella di fermioni ultrare-lativistici, i neutrini che assumiamo abbiano massa nulla. Non si hanno misure del fondodi neutrini cosmici, ma da argomenti sulla produzione e separazione dei neutrini dallamateria barionica si puo stimare che abbia oggi una temperatura di 1.9 K. Considerandoil numero di specie di neutrini e antineutrini, e assumendo che abbiano massa nulla, lastima della densita di energia della radiazione e

ρνργ

=6

2

7

8

T 4ν

T 4γ

= 0.68 ρr = ργ + ρν = 0.43 10−3 GeV/m3

• Riassumiamo le relazioni delle statistiche di bosoni e fermioni:

dn = g±4πp2dp

8π3h3

1

eE/kT ± 1= g±

1

2π2(hc)3

E2dE

eE/kT ± 1

n =

∫dn = g±

(kT )3

2π2(hc)3

∫x2dx

ex ± 1(26.5)

ρ =

∫Edn = g±

(kT )4

2π2(hc)3

∫x3dx

ex ± 1(26.6)

Bose–Einstein:∫ xsdxex−1 = s!ζ(s+ 1); Fermi–Dirac:

∫ xsdxex+1 = s!(1− 2−s)ζ(s+ 1);

ζ e la funzione di Riemann: ζ(s) =∑n s−n;

con N = 1/2π2(hc)3 = 6.6 1036 MeV −3m−3, Z3 = 2ζ(3) = 2.404; Z4 = 6ζ(4) =π4/15, si ha per fotoni e per specie di neutrino:

g n ρ 〈E〉 = ρ/n

γ 2 2NZ3(kT )3 2NZ4(kT )4 2.70 kTν + ν 2 23

4NZ3(kT )3 278NZ4(kT )4 3.15 kT

Per le densita di particelle, si ha: nb = ρb/mbc2 = 0.24 m−3, nγ = ργ/2.7kTγ =

4.1 108 m−3, nν = ρν/3.15kTν = 3.3 108 m−3. Il rapporto tra barioni e fotoni e

nbnγ

= 0.58 10−9 (26.7)

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26.3 L’energia del vuoto

Indicando con Ωi = ρi/ρc la densita di energia normalizzata alla densita critica, si haΩT =

∑i Ωi = 0.24

barioni materia oscura radiazioneΩ = 0.042 0.20 7.8 10−5

Le osservazioni astronomiche danno altre informazioni importanti:

• l’isotropia della radiazione cosmica di fondo indica che l’Universo si sta espandendocon ρ ' ρc e questo richiede ΩT ' 1;

• nella distribuzione della radiazione cosmica di fondo si osserva un piccola anisotropia,al livello di ∼ 10−5, che indica che fluttuazioni di densita, che presumibilmente hannodato poi origine alle galassie, erano presenti in epoca anteriore alla separazione dellaradiazione dalla materia; questo implica che la materia oscura sia di natura nonrelativistica, cioe fredda, per cui e improbabile che questa sia formata da neutrini;

• la misura di alcune sorgenti ad elevato redshift (z = 0.5÷1) mostra che queste hannovelocita di recessione maggiore di quella prevista dalla legge lineare di Hubble; questoimplica una accelerazione dell’espansione dell’Universo, contrariamente a quanto cisi aspetterebbe nel caso di densita critica se questa fosse soggetta alla sola attrazionegravitazionale.

Questa ultima osservazione, davvero sorprendente, puo trovare una spiegazione se si fal’ipotesi di un contributo alla densita di energia costante nel tempo che puo essere legatoalla costante cosmologica. Infatti nell’equazione (26.1) una sorgente di energia con densitacostante produce una pressione negativa p = −ρ che, come la costante cosmologica, tendead accelerare l’espansione

R

R= +

8πGρ

3c2

Dato che la densita di energia della materia e della radiazione cambiano nel tempo, siritiene che questo contributo sia originato dalle fluttuazioni del vuoto (che non cambianonel tempo) e, per questo, si parla di energia del vuoto.

Alcune misure sull’anisotropia della radiazione cosmica di fondo indicano che la densitadi energia del vuoto, ΩΛ ' 0.75, sia tale da ottenere l’energia critica: ΩT ' 1. L’originedella materia oscura e dell’energia del vuoto sono tuttora misteriosi e sono oggetto di unintenso lavoro di ricerca teorica e sperimentale per trovare spiegazione.

26.4 Il modello del Big Bang

Sulla base dell’informazione disponibile, si cerca di andare indietro nel tempo e ricostruirele fasi dell’espansione dell’Universo. Trascuriamo la fase esplosiva iniziale e quella im-mediatamente successiva che sono di difficile rappresentazione. L’Universo e inizialmentedominato dalla radiazione e per t → 0 la densita di energia aumenta ∼ T 4 e, per questo,si parla di Hot Big Bang. A temperatura kT maggiore della massa delle particelle, queste– bosoni e fermioni, e le rispettive antiparticelle – sono in equilibrio con popolazione pro-porzionale al loro peso statistico di spin e isospin. Anche le particelle fortemente instabili

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26.4. Il modello del Big Bang

sono mantenute in equilibrio fintanto che il tasso di produzione λp = nσv e maggiore dellacostante di decadimento λd = 1/τ e le reazioni di produzione bilanciano i decadimenti, adesempio qiqj ↔W±. La densita di energia, dalla relazione (26.6), e

ρ =π2

30(hc)3g(kT )4 g =

∑gB +

7

8

∑gF

e la somma e fatta sui pesi statistici di bosoni e fermioni di massa mc2 > kT . Dall’equa-zione (26.4) si ha il tempo di espansione

t =

(3c2

32πGρ

)1/2

=

(90c2(hc)3

32π3G

)1/21

g1/2(kT )2=

1

g1/2

(1.55 MeV

kT

)2

s

che dipende, oltre ∼ T−2, anche dal numero di particelle in equilibrio con la radiazione.A temperatura kT compresa tra la massa del protone e ΛQCD ∼ 200 MeV si ha unaimportante transizione da una fase in cui quark e gluoni sono liberi alla condensazione inadroni. Prima della transizione si ha

γ gluoni gB quark u+ d e µ ν gF2 2× 8 18 3× 8 4 4 6 38 g = 205/4

Dopo la transizione il numero di stati si e ridotto a 1/3

γ gB e µ ν gF2 2 4 4 6 14 g = 57/4

A temperatura kT ' 200 MeV , si sono formati protoni e neutroni, che non sono rela-tivistici, il tempo di espansione e t ' 20 µs, i pioni decadono mentre i muoni inizianoa decadere. Barioni e antibarioni dovrebbero avere la stessa densita, un po’ piu bassadella densita dei fotoni perche inizia a diminuire piu rapidamente ∼ emc

2/kT . A questatemperatura la reazione γγ ↔ pp (nn) non e piu all’equilibrio e si ha solo l’annichilazio-ne nucleone–antinucleone che avviene fintanto che nσppvpp > 1/t. Quando la densita dinucleoni e divenuta troppo piccola l’annichilazione si arresta. Secondo stime basate sullalegge di espansione e sulla sezione d’urto di annichilazione, a temperatura kT ∼ 10 MeVsi ha nb/nγ = nb/nγ ' 10−18, e questo valore si dovrebbe conservare fino a oggi. Maoggi non si osserva presenza di antibarioni nell’Universo e il rapporto di densita nb/nγmisurato (26.7) e diverso per un fattore ∼ 109! Quindi si deve supporre che la scomparsadell’antimateria sia dovuta a fenomeni avvenuti a temperatura molto piu elevata e checoinvolgano quark e antiquark. Le condizioni necessarie per la scomparsa dell’antimateriasono state enunciate da Andrej Sakharov nel 1966 [100] e sono:

• l’intervento di un’interazione che non conserva il numero barionico;

• questa interazione agisce in condizioni di non equilibrio termico;

• la violazione delle simmetrie C e CP.

Quando l’Universo ha raggiunto la temperatura kT ' 10 MeV , la densita di barioni sie stabilizzata, le particelle leggere (γ, e+, e−, ν, ν) sono in equilibrio termico con pesistatistici gB = 2, gF = 10, g = 43/4, il tempo di espansione e t ' 7 ms, protoni e neutroni(τn = 980 s) sono stabili e hanno la stessa molteplicita.

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26.5 La nucleosintesi primordiale

La terza importante osservazione quatitativa in supporto al modello del Big Bang e lamisura dell’abbondanza di nuclei leggeri presenti nell’Universo [101]. Infatti a temperaturapiu bassa, nei minuti successivi, si verificano le condizioni per la fusione di protoni eneutroni a formare i nuclei leggeri, Deuterio, Elio, . . . , e le abbondanze relative prodotte inquesta fase sono rimaste invariate fino all’inizio della nucleosintesi nelle stelle (capitolo 16).

Fintanto che la tempertura e maggiore della differenza di massa tra neutrone e protone,∆m = 1.29 MeV , e della massa dell’elettrone, 0.51 MeV , le reazioni

γγ ↔ e+e− νeνe ↔ e+e− νep↔ e+n νen↔ e−p

mantengono l’equilibrio tra le diverse specie di particelle. I neutroni non hanno ancora iltempo di decadere, e protone e neutrone non hanno modo di fondere a formare il Deuterioperche questo, non appena formato con la reazione pd → 2Hγ viene immediatamentescisso con la reazione inversa dato che nγ nb.

A temperatura kT = 1 MeV , la sezione d’urto dei neutrini e σν ' G2F (hc)2E2

ν/π '10−47 m2 (capitolo 15) e la densita dei neutrini e nν = 1.2 1037 m−3 per specie. La velocitadi interazione, nνσνc ' 0.1 s−1, e ormai minore dell’inverso del tempo di espansione,t ' 1 s. A questo punto i neutrini νe si disaccoppiano e, data la piccola sezione d’urto,non interagiranno piu col resto dell’Universo (i neutrini νµ e ντ si sono disaccoppiati datempo).

A temperatura kT < mec2 la densita di elettroni e positroni inizia a diminuire ri-

spetto a quella dei fotoni. Come nel caso dei barioni, c’e un piccolo eccesso di elettronie l’annichilazione e+e− → γγ consuma il resto dei positroni. Quando kT ' 20 keV ilnumero di elettroni si e stabilizzato e non cambiera piu. Durante questa fase, per effettodell’annichilazione, la densita di fotoni non e diminuita ∼ T 4, ma piu lentamente. Nellatrasformazione si conserva la densita di entropia, s = ρ+p/3

T = 4ρ3T , fintanto che e+, e−, γ,

sono in equilibrio. Se T1 e T2 sono le temperature iniziale e finale:

g1T31 = g2T

32

(T2

T1

)3

=2 + 4× 7/8

2=

11

4

Quindi Tγ e maggiore della temperatura dei neutrini, Tν , e il rapporto si e mantenuto du-rante l’espansione fino ad oggi se i neutrini hanno massa nulla, e oggi dovremmo osservareTν = (4/11)1/3 2.725 K = 1.95 K.

I neutrini si disaccoppiano dai nucleoni quando kT ' 0.9 MeV e t ' 1 s, il rapporto traneutroni e protoni e n0

n/n0p = e−∆m/kT ' 0.24 e i neutroni iniziano a decadere n→ pe−ν

con vita media τ = 890 s. Al tempo t si ha nn(t) = n0ne−t/τ , np(t) = n0

p + n0n(1− e−t/τ ) e

il rapporto cambiann(t)

np(t)=

0.24 e−t/τ

1.24− 0.24 e−t/τ

La reazione pn → 2Hγ e esotermica con Q = 2.23 MeV , l’energia media dei fotoni ediventata molto minore di Q, ma la formazione del Deuterio e ritardata perche nγ nb. Irapporti delle densita di p, n, 2H e γ si stabilizzano quando la densita dei fotoni non e piusufficiente a produrre la fotodisintegrazione γ2H → np; per kT ' 0.05 MeV e t ' 400 ssi e formata una piccola quantita di 2H e ora il rapporto e

r =nnnp

= 0.14

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26.6. La materia neutra

Una volta formato, il Deuterio partecipa alle reazioni di fusione

p 2H → 3He γ Q = 5.5 n 3He→ 4He γ Q = 20.6 MeVn 2H → 3H γ Q = 6.3 p 3H → 4He γ Q = 19.8 MeV

Tutte queste reazioni sono fortemente esotermiche, Q kT , e procedono in tempi moltobrevi solo nel verso →. Si formano l’Elio e piccole quantita di 2H, 3He, 3H che poidecadra in 3He. Con un rapporto r di 2 neutroni ogni 14 protoni, il rapporto nHe/nH e

1/12 (= r/21−r ). La frazione di massa di Elio formata (mHe ' 4mH) e

Y =4nHe

nH + 4nHe=

2r

1 + r= 0.25

Non si formano nuclei con A = 5, ma piccolissime quantita di 6Li, 7Li, e 7Be (fortementeinstabile), poi la nucleosintesi non puo avanzare perche le densita di nuclei con A = 6–7 etroppo piccola e il nucleo 8Be non si forma nella fusione 4He4He.

Le abbondanze relative dei nuclei leggeri formati in questa fase di evoluzione dell’U-niverso dipende dal rapporto nb/nγ e si e mantenuta costante fin quando, molto tempodopo, e iniziata la nucleosintesi nelle stelle che pero ha variato di poco i rapporti. Lemisure forniscono oggi questi risultati

Y = 0.25± 0.012H

H= (2.8± 0.3) 10−5

7Li

H= (1.7+1.0

−0.1) 10−10

La Fig. 26.2 mostra il confronto tra questi risultati e la previsione del modello del BigBang in funzione del rapporto nb/nγ . Le abbondanze relative sono in buon accordo conil valore nb/nγ = (0.56 ± 0.5) 10−9 che si ottiene da misure della radiazione cosmica difondo.

0 . 2 0

0 . 2 1

0 . 2 2

0 . 2 3

0 . 2 4

0 . 2 5

0 . 2 6

0 . 2 7

0 . 2 8

1 0- 1 1

1 0- 1 0

1 0- 9

1 0- 8

1 0- 7

1 0- 6

1 0- 5

1 0- 4

1 0- 3

1 0- 1 0 1 0- 9

7Li/H

3He/H

D/H

Y

nb/ngamma

Figura 26.2: Previsione del modello del Big Bang per il rapporto Y di Elio/Idrogeno (scalaa sinistra) e di altri nuclei leggeri (scala a destra) in funzione di nb/nγ .

26.6 La materia neutra

Protoni, nuclei leggeri ed elettroni sono rimasti sotto forma di plasma in equilibrio conla radiazione fintanto che l’energia termica si e mantenuta maggiore dell’energia di ioniz-zazione. Per kT < 1 eV inizia la formazione degli atomi che procede lentamente perche

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nb nγ ; al tempo t ' 106 anni, si sono formati gli atomi, la materia barionica dell’Uni-verso e costituita per 3/4 di Idrogeno, 1/4 di Elio e una piccola frazione di Deuterio, Elio3,. . . , ed e divenuta trasparente alla radiazione γ. Questa, che ha kT ' 0.1 eV , continua araffreddarsi ∼ T 4, ed e la stessa che si osserva dopo 13 miliardi di anni come radiazionecosmica di fondo con kT = 0.23 meV .

Da questo momento inizia l’epoca della materia che e neutra e non interagisce piucon la radiazione, e si raffredda ∼ T 3. Ma ha memoria di alcune fluttuazioni di densitaformatesi nella prima fase di espansione; inizia a lavorare la gravitazione che sulla base diqueste fluttuazioni di densita, forma le galassie e gli ammassi.

La Fig. 26.3 mostra l’andamento della densita di energia in funzione del tempo da 1microsecondo dopo il Big Bang, quando si sono formati gli adroni, a t0 = oggi. La tabellariassume alcune tappe importanti della storia.

t kT ρ (GeV/m3)

1 µs 1 GeV 1047 quark+gluoni→ adroni1 s 1 MeV 1035 ν si disaccoppiano, e+ annichilano5 minuti 50 keV 1029 si formano i nuclei leggeri0.4M anni 0.3 eV 109 si formano gli atomi, γ si disaccoppiano100M anni 10 meV 105 si formano le galassie13G anni 0.2 meV 1 oggi

- 2 0

- 1 0

0 . 0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

- 1 0 - 5 0 5 1 0 1 5 2 0

log

ener

gy d

ensi

ty

(GeV

/m3 )

log time (s)

radiation

matter

vacuum

hadronsnucleosynthesis recombination today

Figura 26.3: Densita di energia della radiazione, materia e vuoto in funzione del tempo diespansione dell’Universo.

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Volume IV

Approfondimenti

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Capitolo 27

Radiazione del corpo nero

Un corpo in equilibrio termico a temperatura T irraggia energia, la radiazione ha unospettro di frequenza continuo che dipende solo dalla frequenza e dalla temperatura e nondalla forma ne dal materiale. La potenza emessa per unita di frequenza dall’elementodi superficie dS nell’angolo solido dΩ che forma un angolo θ rispetto alla normale allasuperficie (Fig. 27.1) e

d3W =e(ν, T )

πcos θdSdΩdν

dove e(ν, T ) e il potere emissivo specifico [J m−2]. Questo e pari alla potenza irraggiatain un emisfero per unita di superficie e per unita di frequenza

d2W

dSdν=e(ν, T )

π

∫ 1

0

∫ 2π

0cos θd cos θdφ = e(ν, T )

Se il corpo e esposto a radiazione, parte di questa sara riflessa o diffusa e l’altra parte sara

Figura 27.1: Radiazione emessa da una superficie

assorbita. La frazione di energia assorbita, a(ν, T ), e il potere assorbente specifico ed e unaquantita adimensionale. La legge di Kirchhoff, del 1859 [1], stabilisce che il rapporto tra ilpotere emissivo e il potere assorbente di un corpo e una funzione universale di frequenzae temperatura, questa e il potere emissivo del corpo nero

e(ν, T )

a(ν, T )= eo(ν, T ) (27.1)

Il corpo nero ha potere assorbente specifico unitario per ogni frequenza, a(ν, T ) = 1. Perprovare questa legge, Kirchhoff considero due superfici inizialmente alla stessa temperatura

443

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Capitolo 27. Radiazione del corpo nero

T . Se il rapporto tra potere emissivo e potere assorbente fosse diverso per le due superfici, sistabilirebbe un passaggio di energia da una all’altra e queste acquisterebbero temperaturediverse. Con queste due sorgenti si potrebbe realizzare una macchina termica capace diconvertire energia termica in lavoro senza altri cambiamenti del sistema, in contraddizionecon il secondo principio della termodinamica.

Per realizzare una sorgente che rappresenti un corpo nero, Gustav Kirchhoff considerouna cavita mantenuta a temperatura T in cui e praticato un foro piccolo rispetto allasuperficie della cavita. La radiazione che penetra all’interno della cavita attraverso il foroha una piccola probabilita di uscire dal foro e, anche se le pareti interne non sono moltoassorbenti, sara totalmente assorbita dopo riflessioni multiple all’interno.

Le misure fatte da Otto Lummer e altri nel 1898 sul potere emissivo di cavita conferma-rono le previsioni basate sulla trattazione della radiazione come un fluido termodinamicoe, in particolare che

• lo spettro emissivo del corpo nero a temperatura T e una funzione universale,indipendente dal materiale, che tende a zero per ν → 0 e per ν →∞;

• il rapporto tra la frequenza per cui si ha il massimo dello spettro e la temperaturadel corpo e una costante (legge dello spostamento di Wien)

νmaxT

= costante (27.2)

• l’energia totale irraggiata e proporzionale alla quarta potenza della temperatura,legge di Stefan–Boltzmann [2].

Il potere emissivo di una cavita, la quantita che si misura negli esperimenti, e proporzionalealla densita di energia per unita di volume e per unita di frequenza, quantita che si puocalcolare in base a considerazioni di termodinamica. Consideriamo una superficie chiusa(Fig. 27.1); la potenza irraggiata per unita di frequenza dall’elemento di superficie dS e

d3W

dν=eo(ν, T )

πcos θdSdΩ

Questa si propaga con velocita c all’interno della cavita; l’energia contenuta nell’elementodi volume dV e

d4E

dν=d3W

dνdt =

eo(ν, T )

πcos θdSdΩ

dr

c

L’elemento di volume all’interno della cavita e dV = r2drdΩ = dS cos θdr

d3E

dν=eo(ν, T )

π

dV

cdΩ

Integrando sull’angolo solido otteniamo la densita di energia specifica

u(ν, T ) =d2E

dV dν=

4

ceo(ν, T )

Trattando la radiazione all’interno della cavita come un fluido termodinamico, WilhelmWien ottenne nel 1894 una relazione funzionale per la densita di energia specifica

u(ν, T ) = ν3F (ν/T ) (27.3)

444

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dove F (ν/T ) e una funzione universale che dipende solo dal rapporto tra frequenza etemperatura. Integrando lo spettro si ottiene la legge di Stefan–Boltzmann

U(T ) =

∫ ∞0

u(ν, T )dν =

∫ ∞0

ν3F (ν/T )dν = T 4∫ ∞

0x3F (x)dx = costante× T 4

con x = ν/T . Introducendo la formula di Planck della densita di energia per unita difrequenza

e(ν, T ) =c

4

8π

c3

hν3

ehν/kT − 1∫e(ν, T )dν =

2π(kT )4

h3c2

∫x3dx

ex − 1=

(kT )4

4π2h3c2

π4

15= σT 4 (27.4)

si ottiene il valore della costante di Stefan–Boltzmann

σ =π2k4

60h3c2= 5.67 10−8 Wm−2K−4

Calcolando il massimo dello spettro, νmax, si ottiene la legge dello spostamento di Wien

d

dνu(ν, T ) = x2T 2 [3F (x) + xF ′(x)

]= 0

infatti la soluzione dell’equazione differenziale, se esiste, si ha per xmax = costante

νmaxT

= 5.9 1010 s−1K−1

445

ii

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ii

Capitolo 27. Radiazione del corpo nero

446

ii

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ii

Capitolo 28

Richiami di relativita ristretta

28.1 Il principio di relativita

Consideriamo due sistemi di riferimento in moto relativo con velocita costante e suppo-niamo per semplicita che le terne di assi siano parallele. L’osservatore O e in quiete nelriferimento ~x = (x, y, z). L’osservatore O′ e in quiete nel riferimento ~x′ = (x′, y′, z′) e simuove con velocita ~u = (u, 0, 0) rispetto all’osservatore O. La relativita galileiana assumeche il tempo sia lo stesso per i due osservatori t′ = t. Le leggi di trasformazione sono, perle coordinate

x′ = x− ut y′ = y z′ = z

per le componenti della velocita

~v′ =d~x′

dt′=d~x′

dtv′x = vx − u v′y = vy v′z = vz

e per l’accelerazione

~a′ =d~v′

dt′=d~v′

dt= ~a = invariante

Quindi, se la massa (il coefficiente di inerzia al moto) non dipende dal sistema di riferimentole leggi della meccanica sono valide in qualunque riferimento inerziale.

Le leggi dell’elettromagnetismo prevedono che l’evoluzione temporale delle componentidel campo elettromagnetico nel vuoto soddisfi l’equazione di d’Alembert

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2=

1

c2

∂2φ

∂t2c =

1√εoµo

che non e invariante per trasformazioni di Galileo. D’altra parte, il principio di relativitadeve essere valido sia per le leggi della meccanica che per quelle dell’elettromagnetismo,a meno che non si assuma ad hoc che esista un mezzo in cui si propagano le onde elet-tromagnetiche con velocita c solidale con un sistema di riferimento privilegiato, l’etere.L’esperimento fatto da Albert Michelson e Edward Morley nel 1887 [3] ha dimostrato chela velocita della luce e indipendente dal moto relativo tra la sorgente e l’osservatore e checioe non esiste un sistema di riferimento privilegiato, l’ipotetico etere in cui si propaganole onde elettromagnetiche. Rimangono quindi due ipotesi possibili perche sia le leggi dellameccanica che quelle dell’elettromagnetismo rispettino il principio di relativita

447

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Capitolo 28. Richiami di relativita ristretta

• le leggi della meccanica non sono formulate in modo corretto;

• le leggi dell’elettromagnetismo non sono formulate in modo corretto.

Il Principio di Relativita enunciato da Albert Einstein nel 1905 [4] prevede che

• le leggi della fisica (meccanica e elettromagnetismo) sono le stesse in ogni riferimentoinerziale;

• la velocita della luce nel vuoto, c = 1√ε0µ0

, e un proprieta del vuoto ed e la stessa in

ogni riferimento inerziale.

Le conseguenze dell’enunciato sono

• il tempo non e invariante;

• la relativita galileiana e le leggi della meccanica newtoniana non sono formulate inmodo corretto, ma sono valide solo nell’approssimazione u/c 1.

28.2 Le trasformazioni di Lorentz

Le leggi di trasformazione dello spazio-tempo che soddisfano il principio di relativita diEinstein sono state ricavate da Hendrik Lorentz 1 nel 1890 per assicurare l’invarianzadelle leggi dell’elettromagnetismo [5]. Per rispettare l’isotropia dello spazio-tempo, cioel’equivalenza di tutti i sistemi di riferimento inerziali, le leggi di trasformazione devonoessere lineari nelle quattro coordinate

x′ = a11x+ a12y + a13z + a14ty′ = a21x+ a22y + a23z + a24tz′ = a31x+ a32y + a33z + a34tt′ = a41x+ a42y + a43z + a44t

Facendo riferimento alla Fig. 28.1 si ha a21 = a23 = a24 = 0; a31 = a32 = a34 = 0;a22 = a33 = 1; e, per simmetria del moto lungo gli assi x− x′, a12 = a13 = a42 = a43 = 0.Senza perdere di generalita, le trasformazioni diventano

x′ = a11x+ a14ty′ = yz′ = zt′ = a41x+ a44t

Inoltre, poiche quando x′ = 0 si ha x = ut per ogni valore di t, risulta a14 = −ua11. Le re-lazioni tra gli altri parametri liberi si ottengono imponendo che la velocita di propagazionedella luce sia la stessa nei due riferimenti

x2 + y2 + z2 = c2t2 x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2

a211 − c2a2

41 = 1 c2a244 − u2a2

11 = c2 c2a41a44 + ua211 = 0


448

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ii

28.2. Le trasformazioni di Lorentz

x

y

z

x'

y'

z'

O O'

u

t t'

Figura 28.1: Due riferimenti inerziali in moto relativo

Da cui si ottiene:

a11 = a44 = ± 1√1− (u/c)2

a41 = ∓ u/c2√1− (u/c)2

Quindi, introducendo i parametri β = u/c, γ = 1/√

1− β2, e fissando la direzione (±) delmoto di x′ rispetto a x, si ha

x′ = γ(x− βct)y′ = yz′ = zt′ = γ(−βx/c+ t)

Definendo il quadrivettore posizione, X = (x, y, z, ct) = (~x, ct), la trasformazione diLorentz e X ′ = L(β) ·X

x′

y′

z′

ct′

=

γ 0 0 −βγ0 1 0 00 0 1 0−βγ 0 0 γ

·

xyzct

=

γx− βγct

yz

−βγx+ γct

(28.1)

La matrice di trasformazione L(β) ha determinante unitario, det(L) = γ2−β2γ2 = 1 , cioeuna trasformazione di Lorentz e una rotazione nello spazio-tempo. Per la trasformazioneinversa si ha X = L−1(β) ·X ′, con L−1(β) = L(−β)

xyzct

=

γ 0 0 βγ0 1 0 00 0 1 0βγ 0 0 γ

·

x′

y′

z′

ct′

=

γx′ + βγct′

y′

z′

βγx′ + γct′

Nell’approssimazione non relativistica, u c, β 1, γ = 1 + β2/2 + . . ., al primo ordinein β si ha:

x′ = (1 + β2/2 + . . .)x− β(1 + β2/2 + . . .)ct = x− βct+ . . . ≈ x− ut

t′ = −(β/c)(1 + β2/2 + . . .)x+ (1 + β2/2 + . . .)t = t− β2x/u ≈ t

Alcune conseguenze delle trasformazioni di Lorentz sulle misure di distanze e intervalli ditempo sono:

449

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ii

ii


• Contrazione delle distanze. L’osservatore O′ misura la distanza tra due punti d0 =x′2 − x′1. Questa si trasforma: x′2 − x′1 = γ(x2 − x1)− βγc(t2 − t1). L’osservatore Omisura le posizioni corrispondenti x2, x1 allo stesso istante t2 = t1: quindi misurala distanza d = x2 − x1 = d0/γ.

• Dilatazione degli intervalli di tempo. L’osservatore O′ misura l’intervallo tra dueistanti: T0 = t′2 − t′1 nello stesso punto x′2 = x′1. L’osservatore O misura l’intervallodi tempo T = (βγ/c)(x′2 − x′1) + γ(t′2 − t′1) = γT0. Quindi gli intervalli di temponon sono invarianti. L’intervallo di tempo misurato nel sistema di quiete e chiamatointervallo di tempo proprio: dt0 = dt/γ.

28.3 Quadrivettori

Le trasformazioni di Lorentz assicurano che la relazione ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 = c2∆t2 siavalida in ogni sistema di riferimento, ovvero

c2∆t2 −∆x2 −∆y2 −∆y2 = invariante

Se consideriamo il quadrivettore posizione X = (x, y, z, ct), l’indipendenza della velocitadella luce dal sistema di riferimento corrisponde all’invarianza del prodotto scalare traquadrivettori posizione definendo il tensore metrico

gαβ =

−1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

(28.2)

L’invarianza per trasformazioni di Lorentz implica che il prodotto scalare di due quadri-vettori e invariante

• se X, Y , sono due quadrivettori definiti nel riferimento dell’osservatore O e X ′ =L(β)X, Y ′ = L(β)Y i quadrivettori corrispondenti nel riferimento dell’osservatoreO′ di componenti

x′α = ΣγLαγxγ y′β = ΣδLβδyδ

il prodotto scalare e

X ′ · Y ′ = Σαβx′αgαβy

′β = Σαβ ΣγLαγgαβ ΣδLβδyδ =

= ΣγΣδxγ(ΣαβLαγgαβLβδ)yδ = Σγδxγgγδyδ = X · Y

Nello spazio-tempo (~x, ct) l’ipercono X2 = c2t2 − ~x2 = 0, x = ±ct, detto cono di luce,definisce tre zone (Fig. 28.2):

• nella la zona X2 < 0 due eventi dello spazio-tempo possono essere contemporanei:questa zona rapresenta quindi il presente. Quadrivettori con V 2 < 0 sono definiti ditipo spazio;

• due eventi nella la zona X2 > 0 non possono essere contemporanei. Quadrivettoricon V 2 > 0 sono definiti di tipo tempo;

• la zona t > 0 rappresenta il futuro;

• la zona t < 0 rappresenta il passato.

450

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ii

28.3. Quadrivettori

x

ct

presente

presente

futuropassato

Figura 28.2: Cono di luce

28.3.1 Trasformazione della velocita

Se un corpo ha velocita ~v′ = d~x′/dt′ nel riferimento dell’osservatore O′ e questo si muovecon velocita ~u rispetto al riferimento dell’osservatore O, la velocita del corpo rispettoall’osservatore O ha componenti

vx = dxdt = dx

dt′dt′

dt =ddt′ (γx

′+βγct′)ddt′ (βγx

′/c+γt′)= γv′x+βγc

βγv′x/c+γ= v′x+βc

1+βv′x/c

vy = dydt = dy

dt′dt′

dt =v′y

γ(1+βv′x/c)

vz = dzdt = dz

dt′dt′

dt = v′zγ(1+βv′x/c)

La trasformazione inversa si ottiene cambiando +β in −β.

28.3.2 Il quadrivettore velocita

Il quadrivettore velocita e definito come la derivata rispetto al tempo proprio del quadri-vettore posizione: U = dX/dt0 = d(~x,ct)

dt0. Poiche dt0 = dt/γ, si ha

d~x

dt0=d~x

dt

dt

dt0= γ~v

dct

dt0= γc U =

dX

dt0= (γ~v, γc)

Le componenti del quadrivettore velocita si trasformano secondo le trasformazioni diLorentz, U ′ = L(β) · U e il prodotto scalare di quadrivelocita e invariante.

U ′x = dx′

dt0= d

dt0(γx− βγct′) = γUx − βγU4

U ′y = dy′

dt0= dy

dt0= Uy

U ′z = dz′

dt0= dz

dt0= Uz

U ′4 = dct′

dt0= d

dt0(−βγx+ γct) = −βγUx + γU4

Il modulo della quadri-velocita e chiaramente invariante

U ′2 = U2 = U24 − U2

x − U2y − U2

z = γ2c2 − γ2~v2 = γ2c2(1− β2) = c2

28.3.3 Il quadrivettore quantita di moto

In meccanica classica la quantita di moto ~p = m~v = md~x/dt si conserva in un sistemaisolato. Poiche la velocita non e invariante, per preservare la conservazione della quantita

451

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 452 — #452 ii

ii

ii


di moto occorre supporre che la massa non sia invariante. Se definiamo m0 la massamisurata nel riferimento di quiete, la quantita di moto e

~p = m0d~x/dt0 = m0γd~x/dt = γm0~v = m~v

si ha cioe la definizione della meccanica classica se definiamo m = γm0. La massa, ilcoefficiente di inerzia al moto, aumenta con la velocita. Definiamo il

quadrivettore quantita di moto P = m0U = (m0γ~v,m0γc)

Il modulo della quadri-quantita di moto, o quadri-impulso, e invariante

P 2 = m2c2 − ~p2 = m2(c2 − ~v2) = m20c

2γ2(1− β2) = m20c

2

quindi dP 2 = 2c2mdm − 2~p · d~p = 0. L’energia cinetica e K = ~p2/2m e la variazione dienergia cinetica e

dK = ~p · d~p/m = c2dm K =

∫ p

0dK = c2∆m = mc2 −m0c

2

Se interpretiamo m0c2 come energia di riposo, l’energia meccanica totale e proporzionale

alla quarta componente del quadri-impulso

E = m0c2 +K = mc2 = γm0c

2

Nel limite non relativistico, β 1, γ = 1 + β2/2 + 3β4/8 + . . .,

E = m0c2 +

1

2m0β

2c2

Le componenti del quadrivettore quantita di moto, P = m0U = (~p,E/c), si trasformanosecondo le trasformazioni di Lorentz

p′x = γpx − βγE/cp′y = pyp′z = pzE′/c = −βγpx + γE/c

Per una particella di massa m0 e velocita βc si ha

p = βγm0c E = γm0c2 E2 = (m0c

2)2 + (pc)2

ovvero

β =pc

Eγ =

E

m0c2βγ =

p

m0c

Il valore dell’energia si esprime di solito in eV (o nei multipli: keV , MeV , GeV , . . . ),quindi e pratica usuale esprimere i valori di massa in MeV/c2 e i valori di quantita di motoin MeV/c. In questo modo si puo omettere c in tutte le relazioni tra massa, quantita dimoto e energia.

452

ii

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ii

ii

28.3. Quadrivettori

28.3.4 Il quadrivettore accelerazione

Il quadrivettore accelerazione e definito come la derivata rispetto al tempo proprio dellaquadri-velocita

A =dU

dt0≡(d

dt0γ~v,

d

dt0γc

)=

1

m0

dP

dt0

Le componenti della quadri-accelerazione si trasformano secondo le trasformazioni diLorentz, A′ = L(β) ·A. Per trovare le componenti osserviamo che

dγ

dt0= γ

d

dt(1− ~β2)−

12 = γ4~β · d

~β

dt

d~v

dt0= γc

d~β

dt

Le componenti sono

d

dt0γ~v = γ4c

(~β · d

~β

dt

)~β + γ2c

d~β

dt

d

dt0γc = γ4c~β · d

~β

dt

Il modulo quadro del quadrivettore e

A2 = γ8c2

(~β · d

~β

dt

)2

− γ8c2

(~β · d

~β

dt

)2

β2 − 2γ6c2

(~β · d

~β

dt

)2

β2 − γ4c2

(d~β

dt

)2

= γ8c2

(~β · d

~β

dt

)2

(1− β2)− 2γ6c2

(~β · d

~β

dt

)2

β2 − γ4c2

(d~β

dt

)2

A2 = −γ4c2

γ2

(~β · d

~β

dt

)2

+

(dβ

dt

)2 = −γ4 [γ2(~v · ~a)2 + ~a2]

Nel limite non relativistico β 1, γ → 1, si ha A2 → −c2(dβdt )2 = −~a2, e poiche A2 e

invariante, il valore dell’accelerazione, a =√−A2, e invariante.

Il quadrivettore forza

Se nel riferimento dell’osservatore O′ agisce la forza ~f ′ su un corpo in moto con velocita~v′, le componenti della forza ~f nel riferimento O sono (Fig. 28.3)

fx = dpxdt =

ddt′ (γp

′x+βγE′/c)

ddt′ (βγx

′/c+γt′)= f ′x+β ~f ′·~v′/c

1+βv′x/c

fy =dpydt =

f ′yγ(1+βv′x/c)

fz = dpzdt = f ′z

γ(1+βv′x/c)

e la potenza e

dE

dt=

ddt′ (βγp

′xc+ γE′)

ddt′ (βγx

′/c+ γt′)~f · ~v =

βcf ′x + ~f ′ · ~v′

1 + βv′x/c

Il quadrivettore forza, definito come derivata rispetto al tempo proprio del quadri-impulso,

F =dP

dt0≡(d~p

dt0,dE/c

dt0

)453

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ii


x

y

z

x'

y'

z'O O'u

t t'

F'

v'

Figura 28.3: Trasformazione delle componenti di una forza

si trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, F ′ = L(β) · F . Se il corpo e in quietenel riferimento dell’osservatore O′, (~v′ = 0, ~v = ~u), la componente longitudinale, fL = fx,e la componente trasversa, fT = (f2

y + f2z )1/2, della forza nel riferimento dell’osservatore

O sonofL = f ′L fT = f ′T /γ

La componente longitudinale della forza rimane invariata, mentre la componente trasversasi riduce del fattore 1/γ. Poiche dt = γdt′, la componente trasversa dell’impulso fTdt einvariante.

Per ricavare la legge di trasformazione delle componenti dei campi elettrici e magnetici,consideriamo una carica elettrica q in quiete nel riferimento dell’osservatore O′, (~v′ = 0,~v = ~u) e soggetta all’azione dei campi ~E e ~B. La forza che agisce sulla carica e ~f =q( ~E + ~v × ~B). L’invarianza di gauge dell’elettromagnetismo (appendice 30) assicura chela carica elettrica e invariante. L’osseratore O′ misura una forza ~f ′ = q( ~E′ + ~v′ × ~B′). Lecomponenti del campo elettrico sono:

f ′x = fx ⇒ E′x = Exf ′y = γfy ⇒ E′y = γ(Ey − uBz)f ′z = γfz ⇒ E′z = γ(Ez + uBy)

e, invertendo la relazione, si ha

Ey = γ(E′y + uB′z) Ez = γ(E′z − uB′y)

Per le componenti del campo magnetico si ha

B′x = Bx B′y = γ(By + uEz/c2) B′z = γ(Bz − uEy/c2)

Quindi le componenti longitudinali del campo elettrico e del campo magnetico sono in-variate, la componente trasversa del campo elettrico [magnetico] aumenta del fattore γ edipende anche dal valore del campo magnetico [elettrico] nel riferimento dell’osservatoreO

E′L = EL E′T = γ(ET + c (~β × ~B)T

)B′L = BL B′T = γ

(BT − 1

c (~β × ~E)T)

Ad esempio, una carica q produce un campo elettrico a simmetria sferica nel riferimento diquiete e il campo magnetico e nullo. Nel riferimento in cui ha velocita ~u (Fig. 28.4) le lineedi campo si addensano per la contrazione delle distanze e inoltre e presente una correnteelettrica lungo l’asse del moto x, ix = q~u, che produce un campo magnetico secondo lalegge di Biot–Savart.

454

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ii

28.4. Il tensore elettromagnetico

Analogamente per un dipolo magnetico ~µ. Nel riferimento di quiete vi e il campomagnetico di dipolo e il campo elettrico e nullo. Nel riferimento in cui ha velocita ~u lelinee di campo si addensano e si osserva un campo elettrico indotto dalla variazione diflusso del campo magnetico.

E E'

B'

uq

B B'

x E'mu

Figura 28.4: Trasformazione dei campi generati da una carica elettrica e da un dipolomagnetico in moto con velocita ~u

Le trasformazioni delle componenti del campo elettromagnetico sono

B′x = Bx E′x = ExB′y = γBy + βγEz/c E′y = γEy − βγcBzB′z = γBz − βγEy/c E′z = γEz + βγcBy

ovvero

B′xB′yB′zE′x/cE′y/c

E′z/c

=

1 0 0 0 0 00 γ 0 0 0 +βγ0 0 γ 0 −βγ 00 0 0 1 0 00 0 −βγ 0 γ 00 +βγ 0 0 0 γ

BxByBzEx/cEy/cEz/c

28.4 Il tensore elettromagnetico

Usando la definizione del 4-vettore potenziale elettromagnetico (appendice 30), A =( ~A, V/c) e del 4-gradiente, ∇ = (~∇, ∂/∂ct), che si trasformano

A′α =∑β

LαβAβ ∂′α =∑β

Lαβ ∂β

si definisce il tensore elettromagnetico (antisimmetrico) come 4-rotore del 4-potenzialeelettromagnetico, F = ∇×A, con componenti Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα che si trasformano

F ′αβ =∑γδ

Lαγ Lβδ Fγδ

455

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ii


Le componenti del tensore elettromagnetico sono

F12 = ∂xAy − ∂yAx = +BzF23 = ∂yAz − ∂zAy = +BxF13 = ∂xAz − ∂zAx = −ByF41 = ∂4Ax − ∂xA4 = Ex/cF42 = ∂4Ay − ∂yA4 = Ey/cF43 = ∂4Az − ∂zA4 = Ez/c

Fαβ =

0 Bz −By −Ex/c−Bz 0 Bx −Ey/cBy −Bx 0 −Ez/cEx/c Ey/c Ez/c 0

e si trasformano

F ′12 = ∂′xA′y − ∂′yA′x = (γ∂x − βγ∂4)Ay − ∂y(γAx − βγA4) = γF12 − βγF42

F ′13 = ∂′xA′z − ∂′zA′x = (γ∂x − βγ∂4)Az − ∂z(γAx − βγA4) = γF13 − βγF43

F ′23 = ∂′yA′z − ∂′zA′y = ∂yAz − ∂zAy = F23

F ′41 = ∂′4A′x − ∂′xA′4 = (γ∂4 − βγ∂x)(γAx − βγA4)− (γ∂x − βγ∂4)(γA4 − βγAx) =

= (γ2 − β2γ2)(∂4Ax − ∂xA4) = F41

F ′42 = ∂′4A′y − ∂′yA′4 = (γ∂4 − βγ∂x)Ay − ∂y(γA4 − βγAx) = γF42 − βγF12

F ′43 = ∂′4A′z − ∂′zA′4 = (γ∂4 − βγ∂x)Az − ∂z(γA4 − βγAx) = γF43 − βγF13

Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz e si scrivono inmodo compatto

~∇ · ~D = ρ ~∇× ~H − ∂ ~D

∂t= ~j ⇒

∑α

∂αFβα = µ0jβ

~∇ · ~B = 0 ~∇× ~E +∂ ~B

∂t= 0 ⇒

∑α

εαβγ∂αFβγ = 0

e la densita di energia del campo elettromagnetico, u = 12( ~E · ~D + ~H · ~B), e

1

4

∑αβ

FαβFαβ =1

2

(E2

c2+B2

)= µ0u

28.5 L’esperimento di Michelson e Morley

Se esiste un mezzo in cui si propagano le onde elettromagnetiche, l’etere, un osservatorein moto rispetto ad esso deve essere in grado di rivelare l’effetto della velocita relativa. Inparticolare, un osservatore sulla Terra si trova in un riferimento che si muove con velocitamedia u = 3 104 m s−1 (β = 10−4) attorno al Sole. (La velocita di rotazione attornoall’asse terrestre e circa 100 volte piu piccola e quindi trascurabile).

L’esperimento per osservare l’effetto della volicita relativa tra una sorgente e l’ipote-tico etere fu fatto nel 1887 usando l’interferometro messo a punto da Albert Michelson 2

(Fig. 28.5). Una sorgente S invia un fascio luminoso la cui intensita e in parte trasmessae in parte riflessa da una lastra di vetro semi-argentata P che forma un angolo di 45 con


456

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28.5. L’esperimento di Michelson e Morley

la direzione del fascio. I due fasci percorrono i tratti di lunghezza `1 e `2 e vengono riflessidagli specchi M1 e M2. Poi il primo fascio viene riflesso dalla lastra P e il secondo la at-traversa di modo che i due fasci raggiungono il telescopio T dove si osserva l’interferenza.Se `1 = `2 e l’interferometro e in quiete rispetto all’etere, i due fasci giungono in fase el’interferenza e costruttiva.

S

T

S

T

M2

M1MPP

l2

l 1

u

Figura 28.5: Esperimento di Michelson e Morley

Se l’interferometro si muove con velocita u parallela a `1,

• il primo raggio percorre il tratto `1 prima a velocita c + u e poi a velocita c − u eimpiega il tempo

t1 =`1

c+ u+

`1c− u

=2`1c

c2 − u2=

2`1c

1

1− β2= γ2 2`1

c

• il secondo raggio percorre due volte il tratto di lunghezza ` = [`22 + (ut2)2]1/2 avelocita c; t22 = `2/c2 = `22/c

2 + u2t22/c2; t22(1− β2) = `2/c2; e impiega il tempo

t2 = γ2`2c

Se `1 = `2, la differenza in tempo e

∆t = t1 − t2 =2`

c(γ2 − γ) =

2`

c(1 + β2 + . . .− 1− β2/2− . . .) ' `

cβ2

Nell’esperimento si utilizzava come sorgente una lampada di Sodio che emette luce dilunghezza d’onda λ = 0.59 10−10 m e i bracci dell’interferometro erano lunghi circa 10 m.Quindi l’esperimento era sicuramente in grado di misurare una differenza di fase dovutaal moto rispetto all’etere con velocita β ' 10−4, φ = 2πc∆t/λ = 2πβ2`/λ ' 1 rad, manon fu osservato alcun effetto di interferenza. L’interferometro era flottante su un bagnodi mercurio e poteva essere ruotato in ogni direzione rispetto alla velocita u della Terra.In particolare, ruotando di 90 si scambiava il tempo di percorrenza della luce lungo i duebracci.

L’esperimento fu ripetuto con diverse orientazioni dei bracci dell’interferometro e in di-versi periodi dell’anno senza mai osservare alcun effetto del moto rispetto all’etere. Alcune

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ipotesi ad hoc per sotenere l’ipotesi dell’esistenza dell’etere, come quella del trascinamentoda parte della Terra oppure della contrazione dei bracci dell’interferometro lungo la di-rezione della velocita u, si dimostrarono infondate. Quindi fu concluso che non esiste unriferimento privilegiato per la propagazione delle onde elettromagnetiche.

28.6 Il paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli e un effetto reale, verificato con precisione in molti esperimenti.Condideriamo due orologi identici, ad esempio, due particelle instabili identiche che hannovita media τ , e hanno carica elettrica. La prima e ferma nel laboratorio, la seconda evincolata da un campo magnetico a percorrere una circonferenza di raggio R con velocitaangolare costante ω e periodo T (misurato dall’orologio del laboratorio). Le due particellesi incontrano nello stesso punto dopo ogni periodo, ma per un osservatore nel laboratoriola particella ferma ha vita media τ mentre la particella in moto ha vita media γτ conγ = (1− ω2R2/c2)−

12 > 1. Quindi la seconda invecchia piu lentamente della prima. Dopo

n giri, la probabilita di sopravvivenza della particella in quiete e P = e−nT/τ minore diquella della particella in moto P ′ = e−nT/γτ . La simmetria tra due sistemi di riferimentoe assicurata se questi sono inerziali, ma in questo caso il secondo orologio non e in motorettilineo uniforme rispetto al primo e quindi la simmetria non sussiste: da qui il paradosso.

Consideriamo due riferimenti inerziali in moto relativo con velocita costante ~v lun-go l’asse x. Rispetto alle quantita misurate dall’osservatore O del primo riferimentol’osservatore O′ misura

x′ = γx− βγct ct′ = −βγx+ γct

e la trasformazione e rappresentata nel piano x×ct in Fig. 28.6. La retta x′ = costante enel cono del futuro, mentre la linea di simultaneita, t′ = costante, e nel cono del presente.Proiettando sull’asse ct un punto lungo la retta x′ = costante si ottiene che O osservache i tempi si dilatano per l’osservatore O′. L’effetto e simmetrico se facciamo la stessarappresentazione dell’osservatore O che si muove con velocita −~v rispetto all’osservatoreO′: x = γx′ + βγct′ , ct = βγx′ + γct′.

x

ct

x - vt

= co

stant

e

ct - vx/c = costante

x = ct

presentefuturo

Figura 28.6: Rappresentazione del moto di O′ visto da O.

Consideriamo ora due gemelli che sincronizzano gli orologi nello stesso punto, x = x′ =0. Il gemello O rimane fermo, il gemello O′ si muove con velocita costante v1 fino ad un

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28.6. Il paradosso dei gemelli

punto a distanza d, qui inverte il moto e torna al punto di partenza con velocita costantev2. Quando si incontrano, se per semplicita assumiamo v2 = −v1, il primo gemello hamisurato un intervallo di tempo T = 2d/v, il secondo ha misurato

T ′ =

∮dt′ =

∫dt

γ1+

∫dt

γ2=T

γ< T (28.3)

ed e quindi piu giovane.

La storia dei gemelli e rappresentata nel piano x×ct in Fig. 28.7. Il gemello O percorrela linea x = costante = 0. Nel primo tratto, il gemello O′ percorre la linea x − vt = 0fino al punto x = d. Qui inverte il moto e percorre la linea x = d− v(t− td) = 2d− vt eincontra il gemello O al tempo 2td = 2d/v. Le linee di simultaneita durante il moto sonoγ(ct− vx/c) = costante nel primo tratto, e γ(ct+ vx/c) = costante nel secondo. Quindinel primo tratto il gemello O′ vede il gemello O piu giovane, ma nel punto di inversionedel moto vi e una discontinuita e O diventa improvvisamente piu vecchio di un intervallodi tempo ∆t. Anche nel secondo tratto il gemello O′ vede che l’orologio di O scorre piulentamente, ma l’effetto totale al momento dell’incontro e che O risulta piu vecchio.

d x

ct

tdDt

x

ct

d

td

Figura 28.7: Linee orarie del viaggio andata-ritorno di O′ visto da O.

Il tempo trascorso per l’orologio di O e 2td. Le due linee di simultaneita che siincrociano nel punto di inversione sono

t = td ±v

c2(x− d)

L’intervallo di tempo tra queste due linee per x = 0 e ∆t = 2vd/c2 = 2tdβ2. Ma per il

gemello O′ risulta ∆t′ = 0. Il tempo trascorso per l’orologio di O′ e secondo la (28.3)2t′d = 2td/γ e al momento dell’incontro O′ e piu giovane. Ma il tempo trascorso senzacontare ∆t e 2td −∆t = 2td(1− β2) = 2td/γ

2, 2t′d = γ(2td −∆t) e quindi O′ si immaginache al momento dell’incontro O sia piu giovane mentre invece e piu vecchio.

Quindi l’effetto gemelli e dovuto alla asimmetria tra i due riferimenti, cioe alla acce-lerazione del riferimento O′ che, in questo caso, e trattata come una discontinuita. Allestesse conclusioni si arriva se il riferimento O′ e accelerato con continuita come mostratoin Fig. 28.7 a destra.

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28.7 La precessione di Thomas

Il moto di precessione di un vettore in un riferimento rotante e un effetto relativistico: fucalcolato da Llewellyn Thomas nel 1926 [6] e chiarı l’origine del fattore ×2 introdotto adhoc da Goudsmit e Uhlenbeck nel fattore giromagnetico relativo allo spin dell’elettrone(capitolo 1). La precessione di Thomas e originata dall’osservazione che due successi-ve trasformazioni di Lorentz in direzioni diverse equivalgono ad una traslazione piu unarotazione attorno all’asse normale al piano delle due.

La trasformazione di Lorentz di un generico 4-vettore A rispetto a due riferimentiinerziali in moto relativo con velocita ~β e

A′0 = γA0 − γ~β · ~A~A′ = −γ~βA0 + ~A⊥ + γ ~A‖ = −γ~βA0 + ~A+ (γ − 1)(β · ~A)β

A′0 = γA0 − γ∑k βkAk

A′j = −γβjA0 +∑k

(δjk + γ−1

β2 βjβk)Ak

L(~β) =

γ −γβx −γβy −γβz−γβx 1 + γ−1

β2 β2x

γ−1β2 βxβy

γ−1β2 βxβz

−γβy γ−1β2 βyβx 1 + γ−1

β2 β2y

γ−1β2 βyβz

−γβz γ−1β2 βzβx

γ−1β2 βzβy 1 + γ−1

β2 β2z

Per una rotazione attorno all’asse z si ha

L(φ) =

1 0 0 00 cosφ sinφ 00 − sinφ cosφ 00 0 0 1

Consideriamo una trasformazione con velocita ~β lungo l’asse x seguita da una trasfor-mazione con velocita δ~β nel piano x–y. Le trasformazioni del 4-vettore spazio-temposono:

X1 = L(~β)X0 X2 = L(~β + δ~β)X0

per cui si passa da X1 a X2 con la trasformazione

X2 = L(~β + δ~β)L(−~β)X1

Sviluppando al primo ordine in δ~β si ha

δγ = γ3~β · δ~β δγ~β = γδ~β + ~βδγ = γδ~β + γ3(~β · δ~β)~β = γ(1 + γ2β2)δ~β = γ3δ~β

L(~β + δ~β) =

γ + γ2δβx −(γβ + γ3δβx) −γβy 0

−(γβ + γ3δβy) γ + γ2δβxγ−1β δβy 0

−γβy γ−1β δβy 1 0

0 0 0 1

L(−~β) =

γ γβx 0 0γβx γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

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28.7. La precessione di Thomas

L(~β + δ~β)L(−~β) =

1 −γ2δβx −γδβy 0

−γ2δβx 1 γ−1β δβy 0

−γδβy −γ−1β δβy 1 0

0 0 0 1

Questa e la combinazione di due trasformazioni di Lorentz tra riferimenti inerziali convelocita δβx e δβy, ma il sistema di riferimento risulta ruotato attorno all’asse z di unangolo δφ = γ−1

β2 βδβ. La velocita angolare della precessione di Thomas e

~ωT = limδt→0

γ − 1

β2

~β × δ~βδt

=γ − 1

β2~β × d~β

dt(28.4)

Per β 1, γ = 1 + β2/2 + . . .

~ωT =1

2~β × d~β

dt=~v × ~a2c2

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Capitolo 29

Cinematica relativistica

Le variabili cinematiche di una particella di massa m, velocita ~v = ~βc e fattore di Lorentzγ = (1− β2)−1/2, sono• impulso: ~p = ~βγmc• energia totale: E = γmc2

• energia cinetica: K = E −mc2 = (γ − 1)mc2

• 4-impulso: P = (~p,E/c)Il prodotto scalare di 4-vettori, A · B = A4B4 − ~A · ~B, e invariante per trasformazioni diLorentz, per cui risulta P 2 = E2/c2 − p2 = (mc)2. Le variabili mc2, pc, E, hanno tuttele stesse dimensioni e quindi nelle relazioni si puo omettere la velocita della luce c e usarecome unita di misura MeV/c2, MeV/c e MeV .Per una particella: P 2 = E2 − p2 = m2;per due particelle: (P1 + P2)2 = P 2

1 + P 21 + 2P1 · P2 = m2

1 +m22 + 2E1E2 − 2~p1 · ~p2.

29.1 Trasformazioni delle variabili

Il riferimento naturale di un sistema di due o piu particelle e quello del centro di massain cui ~p =

∑k ~pk = 0. Spesso pero il riferimento dell’osservatore, detto riferimento del

laboratorio, e quello in cui una delle particelle e inizialmente in quiete. Se nel riferimentodel laboratorio la particella m e in moto con impulso ~p e la particella M e in quiete(Fig. 29.1)

lab P1 = (~p,E) P2 = (0,M) P = (~p,E +M)

c.m. P ∗1 = (+~p∗, E∗1) P ∗2 = (−~p∗, E∗2) P ∗ = (0, E∗)

E∗ = E∗1 +E∗2 e la massa totale del sistema. Il quadrato dell’energia nel centro di massa

m M m M

p +p* -p*

bo

lab c.m.

Figura 29.1: Riferimenti del laboratorio e del centro di massa

eP 2cm = E∗2 = P 2

lab = m2 +M2 + 2EM

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Capitolo 29. Cinematica relativistica

per cui la velocita del centro di massa nel laboratorio β0 e

β0 =p

E +Mγ0 =

E +M

E∗β0γ0 =

p

E∗

con E∗ = (m2 + M2 + 2EM)1/2. La trasformazione di Lorentz dal riferimento dellaboratorio a quello del centro di massa p∗L

p∗TE∗

=

γ0 0 −β0γ0

0 1 0−β0γ0 0 γ0

pLpTE

(in questo caso p = pL, pT = 0) definisce i valori dell’impulso e delle energie in quest’ultimo

p∗1 = γ0p− β0γ0E =(E +M)p

E∗− pE

E∗=Mp

E∗p∗2 = −β0γ0M = −Mp

E∗

E∗1 = −β0γ0p+ γ0E = − p2

E∗+

(E +M)E

E∗=ME +m2

E∗E∗2 = γ0M =

ME +M2

E∗

29.2 Energia di soglia di una reazione

Nell’urto tra una particella di massa m e energia E e una particella di massa M in quietenel laboratorio si possono produrre due o piu particelle di massa m1,m2,m3, . . . se l’energiaE e maggiore della soglia di reazione definita dalla relazione

P 2lab ≥

(P 2cm

)min

m2 +M2 + 2EM ≥ (Σkmk)2

perche all’energia di soglia le particelle nello stato finale hanno impulso nullo nel riferi-mento del centro di massa. L’energia cinetica di soglia della particella m e

m2 +M2 + 2(Kmin +m)M = (Σkmk)2 Kmin =

(Σkmk)2 − (m+M)2

2M

Esempio

L’antiprotone e stato scoperto in urti protone–nucleone producendo la reazione pN →pNpp. Se il nucleone e libero, cioe usando un bersaglio di idrogeno, m = M = 0.94 GeV

Kmin =[(4m)2 − (2m)2

]/2m = 6m = 5.6 GeV

Se il nucleone e legato in un nucleo, allora e soggetto al moto di Fermi con impulsop ≤ pF ' 0.24 GeV . Questo e diretto in modo casuale rispetto alla direzione di collisione.Il valore minimo [massimo] dell’energia di soglia si ha quando ~pF e antiparallelo [parallelo]a ~p. L’energia del nucleone e EF = (p2

F + m2)1/2. L’energia di soglia e definita dallarelazione

P 2lab = 2m2 + 2EEF − 2~p · ~pF = 2

(m2 + EEF ± ppF

)≥ 16m2

approssimando EF = m+ p2F /2m+ . . ., p ' E,

EEF ± ppF = E(m± pF + p2F /2m) ≥ 7m2 E ≥ 7M

1± pF /m+ p2F /2m

2

l’energia cinetica minima e K+min = 4.2 GeV , K−min = 7.5 GeV , nei due casi.

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29.3. Urto elastico

Esempio

Il valor medio dell’energia della radiazione del fondo cosmico di 2.7 K e 〈Eγ〉 = 3.5 kT =8.1 10−4 eV . Nell’urto di protoni dei raggi cosmici con la radiazione di fondo si possonoprodurre coppie e+e− con la reazione γp→ e+e−p

Pγ = (−~pγ , pγ) P = (~p,E) m2p + 2pγE + 2pγp ≥ (mp + 2me)

2

E + p ' 2E ≥ 4m2(mp +me)

2pγ= 6 1011 MeV

L’energia di soglia, E = 3 1017 eV , e vicina alla massima energia oggi raggiunta nell’os-servazione dei raggi cosmici (Fig. 17.2 del capitolo 17).

29.3 Urto elastico

Nell’urto elastico tra una particella di massa m e impulso p e una particella di massa M inquiete nel riferimento del laboratorio si ha una relazione tra l’energia e la direzione delleparticelle nello stato finale

P1 = (~p,E) P2 = (0,M) P ′1 = (~p′, E′) P ′2 = ( ~p′′, E′′)

La conservazione di energia e impulso e riassunta nella relazione P1 + P2 = P ′1 + P ′2

(P ′2)2 = M2 = (P1 + P2 − P ′1)2 = m2 +M2 +m2 + 2EM − 2EE′ + 2pp′ cos θ − 2E′M

dove θ e l’angolo di scattering della particella m nel riferimento del laboratorio

EE′ − pp′ cos θ + E′M = EM +m2

Se E m, E′ m, cioe p ' E, p′ ' E′,

E′[E(1− cos θ) +M ] = EM E′ =E

1 + (E/M)(1− cos θ)

Questo si applica sicuramente allo scattering di un fotone (m = 0) di energia E = hν eimpulso p = hν/c

ν ′ =ν

1 + (hν/Mc2)(1− cos θ)λ′ = λ+

h

Mc(1− cos θ)

Quest’ultima e la relazione dell’effetto Compton, γe→ γe, e λe = h/mec = 2.4 10−10 cme la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone.

29.4 Energia trasferita in una collisione

Consideriamo la collisione tra una particella di massa M e impulso ~p (p = βγM) e unaparticella di massa m in quiete. Se ~p1 e ~p2 sono gli impulsi dopo la collisione, si ha:E +m = E1 +E2; ~p = ~p1 + ~p2. La particella di massa m e emessa ad angolo polare θ conenergia E2 (Fig. 29.2)

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Figura 29.2: Collisione tra una particella di massa M e impulso ~p e una particella di massam in quiete

E1 = E +m− E2 = [M2 + p21]1/2 = [M2 + (~p− ~p2)2]1/2

E2 +m2 + E22 + 2mE − 2EE2 − 2mE2 = M2 + p2 + p2

2 − 2pp2 cos θ

sostituendo E2 = M2 + p2 e E22 = m2 + p2

2;

(E +m)2E22 − 2m(E +m)2E2 +m2(E +m)2 = p2E2

2 cos2 θ −m2p2 cos2 θ

[(E +m)2 − p2 cos2 θ]E22 − 2m(E +m)2E2 +m2[(E +m)2 + p2 cos2 θ] = 0

la soluzione dell’equazione e

E2 = m(E +m)2 + p2 cos2 θ

(E +m)2 − p2 cos2 θ

L’energia trasferita e massima per cos θ = 1

Emax2 = m(E +m)2 + p2

(E +m)2 − p2= m+

2mp2

m2 + 2mE +M2

dove di solito si indica con s il quadrato dell’energia nel centro di massa, s = m2 + 2mE+M2. L’energia cinetica massima trasferita e

Kmax2 =

2mp2

m2 + 2mE +M2

Se M m, come nel caso di collisioni di particelle con gli elettroni atomici, si ha

• per E M2/2m

Kmax2 =

2mp2

2mE +M2' 2mp2

M2= 2mβ2γ2

• per E M2/2m, quasi tutta l’energia E viene trasferita alla particella di massa m

Kmax2 ' 2mp2

2mE= β2E

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29.5. Decadimento

29.5 Decadimento

L’esempio piu semplice e il decadimento in due particelle M → m1m2. Nel riferimentodella particella M

P = (0,M) P1 = (+~p∗, E∗1) P2 = (−~p∗, E∗2)

M2 = m21 +m2

2 + 2E∗1E∗2 + 2p∗2

M2 −m21 −m2

2 − 2p∗2 = 2(m21 + p∗2)1/2(m2

2 + p∗2)1/2

(M2 −m21 −m2

2)2 − 4(M2 −m21 −m2

2)p∗2 + 4p∗4 = 4m21m

22 + 4(m2

1 +m22)p∗2 + 4p∗4

(M2 −m21 −m2

2)2 − 4m21m

22 = 4M2p∗2

Nel centro di massa le due particelle hanno impulso

p∗ =[(M2 −m2

1 −m22)2 − 4m2

1m22]1/2

2M

e energia

E∗1 = (m21 + p∗2)1/2 =

M2 +m21 −m2

2

2ME∗2 = (m2

2 + p∗2)1/2 =M2 −m2

1 +m22

2M

Se nel laboratorio la particella M ha impulso ~p, gli impulsi delle due particelle sono definitidalla trasformazione di Lorentz con β = p/E, βγ = p/M (Fig. 29.3)

q*

p-q*

p*

p*

p1

p2

q1

q2

pb = p/E

c.m. lab

Figura 29.3: Decadimento M → m1m2 nel riferimento del centro di massa e del laboratorio

p1 cos θ1 = γp∗ cos θ∗ + βγE∗1 p2 cos θ2 = −γp∗ cos θ∗ + βγE∗2p1 sin θ1 = p∗ sin θ∗ p2 sin θ2 = p∗ sin θ∗

E1 = βγp∗ cos θ∗ + γE∗1 E2 = −βγp∗ cos θ∗ + γE∗2

L’angolo di emissione rispetto alla linea di volo della particella M e

tan θk =p∗ sin θ∗

±γp∗ cos θ∗ + βγE∗k=

sin θ∗

γ(± cos θ∗ + β/β∗k)

con β∗1 = p∗/E∗1 , β∗2 = p∗/E∗2 . Quindi, se β∗k < β si ha θk > 0 e la particella k e emessanell’emisfero in avanti per qualunque valore di θ∗. Il valore massimo dell’angolo θ si haquando d tan θ/dθ∗ = 0

d tan θ

dθ∗=

1 + cos θ∗β/β∗

γ(cos θ∗ + β/β∗k)2= 0 cos θ∗ = −β

∗

β

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tan θmax =[1− (β∗/β)2]1/2

γ(β/β∗ − β∗/β)=

1

γ[(β/β∗)2 − 1]1/2

L’angolo θ = θ1 + θ2 tra le due particelle si ottiene dalla relazione

P 2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 − 2p1p2 cos θ = M2

cos θ =m2

1 +m22 + 2E1E2 −M2

2p1p2

Nel limite Ek mk, cioe pk ' Ek, si ha

2E1E2(1− cos θ) = 4E1E2 sin2 θ/2 = M2 −m21 −m2

2 sin θ/2 =(M2 −m2

1 −m22)1/2

2(E1E2)1/2

L’angolo minimo di apertura si ha quando E1 = E2.

Massa invariante

La massa di una particella che decade M → m1 +m2 +m3 + . . . si determina misurandol’impulso ~pk e la massa mk di tutte le particelle prodotte (o facendo ipotesi sul valore dellemasse)

P 2 = M2 = (ΣkPk)2 = (ΣkEk)

2 − (Σk~pk)2

Nel caso di due particelle

M2 = (E1 + E2)2 − (~p1 + ~p2)2 = m21 +m2

2 + 2E1E2 − 2p1p2 cos θ

Se Ek mk la relazione si semplifica

M2 = m21 +m2

2 + 2p1p2(1− cos θ) M2 −m21 −m2

2 = 4p1p2 sin2 θ/2

Differenziando questa relazione si ha

dM2 = 2MdM = 4p1p2 sin2 θ/2

(dp1

p1+dp1

p1+

dθ

tan θ

)Se δp e δθ sono gli errori con cui si misurano gli impulsi e l’angolo, e gli errori non sonocorrelati, la risoluzione nella misura della massa e

δM

M=M2 −m2

1 −m22

2M2

[(δp1

p1

)2

+

(δp2

p2

)2

+

(δθ

tan θ

)2]1/2

Vita media

Una particella di massa m e vita media τ decade con funzione di distribuzione

dn

dt=e−t/τ

τ

dove t e il tempo proprio. Se nel riferimento del laboratorio ha velocita βc, la funzione didistribuzione nello spazio si ottiene con la trasformazione x = βcγt

dn

dx=dn

dt

dt

dx=e−x/λ

λ

λ e la lunghezza media di decadimento λ = βcγτ = pmccτ

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Capitolo 30

Richiami di elettromagnetismo

In presenza di densita di carica ρ(~r, t) e di densita di corrente ~j(~r, t), le equazioni diMaxwell che descrivono i campi sono

~∇ · ~D = ρ ~∇ · ~B = 0 ~D = ε0 ~E + ~P

~∇× ~E = −∂~B

∂t~∇× ~H = ~j +

∂ ~D

∂t~B = µ0

~H + ~M

dove ~P e ~M sono i momenti di dipolo elettrico e magnetico per unita di volume. Laconservazione della carica elettrica e espressa dall’equazione di continuita

~∇ ·~j +∂ρ

∂t= 0

La forza che agisce su una carica q in moto con velocita ~v e ~F = q( ~E+~v× ~B) e il lavorofatto dal campo nell’unita di tempo, la potenza dissipata in effetto Joule, e W = q~v · ~E.Per una densita di carica ρ e di corrente ~j = ρ~v

W =

∫~j · ~E d~r =

∫ (~∇× ~H − ∂ ~D

∂t

)· ~E d~r

e, tenendo conto della relazione ~∇ · ( ~E × ~H) = − ~E · (~∇× ~H) + ~H · (~∇× ~E) , si ha

W = −∫ (

~E · ∂~D

∂t+ ~H · ∂

~B

∂t

)d~r −

∫~∇ · ( ~E × ~H) d~r

La relazione precedente rappresenta la conservazione dell’energia: nel volume di integra-zione il lavoro fatto dal campo nell’unita di tempo e pari alla somma della variazionedell’energia del campo e del flusso di energia attraverso la superficie, con le definizioni

densita di energia u =1

2( ~E · ~D + ~H · ~B) (30.1)

flusso di energia ~S = ~E × ~H (30.2)

469

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 470 — #470 ii

ii

ii

Capitolo 30. Richiami di elettromagnetismo

30.1 Energia irraggiata

Nel vuoto le equazioni di Maxwell sono

~∇ · ~E =ρ

ε0~∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B

∂t~∇× ~B = µ0

~j + ε0µ0∂ ~E

∂t

Una carica q sottoposta ad un’accelerazione ~a produce un campo elettromagnetico di

a r

B

θ

q

E

Figura 30.1: Campo di radiazione di una carica accelerata

radiazione. Nelle ipotesi v c, r λ (lunghezza d’onda della radiazione emessa), ilcampo di radiazione a distanza r e (Fig. 30.1)

~E =q

4πε0

r × (r × ~a)

c2r~B =

1

cr × ~E E =

1

4πε0

qa

c2rsin θ

dove θ e l’angolo tra i vettori ~a e ~r. I campi ~E e ~B sono ortogonali tra loro e al vettore ~r.La densita di energia irraggiata a distanza r e

u =1

2

(ε0 ~E

2 +1

µ0

~B2)

=q2

4πε0

~a2

4πc4r2sin2 θ [eV m−3]

il flusso di energia irraggiata e

S =1

µ0| ~E × ~B| = cu =

q2

4πε0

~a2

4πc3r2sin2 θ [eV m−2 s−1]

la potenza irraggiata e

W = Φ(~S) =

∫q2

4πε0

~a2

4πc3r2r2 sin2 θd cos θdφ [eV s−1]

formula di Larmor W =2

3

q2

4πε0

~a2

c3(30.3)

Se la carica q oscilla a frequenza ω, la potenza emessa dal dipolo elettrico ~d = q~x0eiωt e

proporzionale al quadrato della derivata seconda del momento di dipolo elettrico, q~a =d2~d/dt2 = −ω2~d, cioe proporzionale alla quarta potenza della frequenza,

W =2

3

d2

4πε0

ω4

c3=

4

3

〈d2〉4πε0

ω4

c3

470

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 471 — #471 ii

ii

ii

30.2. Il potenziale vettore

dove 〈d2〉 e il valore quadratico medio del momento di dipolo elettrico. Analogamente, perun dipolo magnetico ~µ oscillante si ottiene

W =2

3

µ0

4π

µ2ω4

c3=

2

3

1

4πε0

µ2ω4

c5=

4

3

〈µ2〉4πε0

ω4

c5

dove 〈µ2〉 e il valore quadratico medio del momento di dipolo magnetico.

30.1.1 Estensione relativistica della formula di Larmor

La formula di Larmor che esprime la potenza emessa come radiazione elettromagneticadi una carica q soggetta ad accelerazione ~a e valida per velocita v c. Per ottenereuna relazione valida per ogni valore di v occorre sostituire al valore ~a2 la corrispondenteespressione relativistica (appendice 28)

−A2 = γ4c2

γ2

(~β · d

~β

dt

)2

+

(d~β

dt

)2

La potenza irraggiata da una carica accelerata e quindi

W =2

3

q2

4πε0c3γ4c2

γ2

(~β · d

~β

dt

)2

+

(d~β

dt

)2 (30.4)

Poiche la carica e invariante, anche la potenza irraggiata e invariante per trasformazionidi Lorentz.

30.2 Il potenziale vettore

Il campo induzione magnetica ~B ha divergenza nulla e si puo esprimere come il rotore diun generico vettore ~A poiche ~∇ · (~∇× ~A) = 0 ∀ ~A. Definiamo il potenziale vettore ~A(~r, t)

~B = ~∇× ~A

legato al campo elettrico dalla relazione

~∇× ~E = −∂~B

∂t= − ∂

∂t~∇× ~A = −~∇× ∂ ~A

∂t

Il vettore ~E+∂ ~A/∂t ha rotore nullo e, poiche ~∇× (~∇V ) = 0 ∀ V , si puo esprimere comeil gradiente di una funzione scalare V (~r, t). Il campo elettrico e

~E = −∂~A

∂t− ~∇V

dove V (~r, t) e il potenziale elettrico. La divergenza del campo elettrico e

~∇ · ~E = −~∇ ·(∂ ~A

∂t+∇V

)= − ∂

∂t~∇ · ~A−∇2V =

ρ

ε0

471

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 472 — #472 ii

ii

ii

Capitolo 30. Richiami di elettromagnetismo

Il rotore del campo induzione magnetica e

~∇× ~B = ~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A = µ0~j − ε0µ0

∂

∂t

(~∇V +

∂ ~A

∂t

)

−∇2 ~A+1

c2

∂2 ~A

∂t2= µ0

~j − ~∇(~∇ · ~A+

1

c2

∂V

∂t

)Il potenziale vettore ~A e definito a meno del gradiente di una funzione scalare Φ(~r, t).Infatti la trasformazione ~A′ = ~A+ ~∇Φ lascia invariata la definizione del campo induzionemagnetica poiche ~∇× ~∇Φ = 0 ∀ Φ. E la definizione del campo elettrico

~E′ = −∂~A′

∂t− ~∇V ′ = −∂

~A

∂t− ~∇∂φ

∂t− ~∇V ′

rimane invariata per una trasformazione V ′ = V − ∂Φ/∂t. Quindi i campi elettrico emagnetico sono invarianti per una

trasformazione di gauge ~A′ = ~A+ ~∇Φ V ′ = V − ∂Φ

∂t(30.5)

In particolare si puo scegliere la funzione Φ(~r, t) in modo che soddisfi la

condizione di Lorentz ~∇ · ~A+1

c2

∂V

∂t= 0

In questo caso le equazioni dei potenziali elettromagnetici diventano

−∇2V +1

c2

∂2V

∂t2=

ρ

ε0−∇2 ~A+

1

c2

∂2 ~A

∂t2= µ0

~j

che hanno soluzioni

V (~r, t) =1

4πε0

∫ρ(~r′, t− |~r − ~r′|/c)

|~r − ~r′|d~r′ ~A(~r, t) =

µ0

4π

∫ ~j(~r′, t− |~r − ~r′|/c)|~r − ~r′|

d~r′

La densita di carica ρ = d3q/dxdydz non e invariante. Se ρ0 e la densita di carica nelriferimento di quiete, la densita di carica in un riferimento in moto con velocita ~v e ρ = γρ0

poiche la dimensione longitudinale risulta contratta. Nel riferimento in moto la densita dicorrente e ~j = ρ~v = γρ0~v. Ricordando la definizione del quadrivettore velocita, definiamola

quadri-densita di corrente J = ρ0U = (~j, ρc)

che si trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz. L’equazione di continuita si rappre-senta come il prodotto scalare di due quadrivettori

∇ · J = 0

Introducendo il quadri-potenziale elettromagnetico A = ( ~A, V/c) le equazioni del po-tenziale vettore e del potenziale scalare si scrivono in forma invariante (∇2 = −~∇2 +∂2/∂c2t2 )

∇2 ·A = µ0J

472

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 473 — #473 ii

ii

ii

Capitolo 31

Sviluppo in multipoli del campoelettromagnetico

Consideriamo un sistema atomico o nucleare costituito da cariche in moto in una regionedi estensione R e rappresentato da una densita di carica ρ(~r, t) e di corrente ~j(~r, t). Il cam-po elettromagnetico prodotto si puo ottenere come sviluppo di Fourier delle componentiarmoniche di frequenza ω. Se J(~r, t) = J(~r)e−iωt e la 4-densita di corrente, il potenzia-le elettromagnetico ha la forma A(~r, t) = A(~r)e−iωt con A(~r) soluzione dell’equazione diHelmoltz

∇2A(~r) + k2A(~r) = −µ0J(~r) k = ω/c

~A(~r) =µ0

4π

∫R

~j(~r′) eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|d~r′ V (~r) =

1

4πε0

∫R

ρ(~r′) eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|d~r′

dove l’integrale va esteso al volume occupato dal sistema (R ≈ 10−8 cm per un atomo,R ≈ 10−13 cm per un nucleo). Cerchiamo la soluzione approssimata a distanza r moltomaggiore della lunghezza d’onda della radiazione e della dimensione della sorgente (r λ R) detta zona di radiazione, cioe per energie hω hc/R (hω 1 keV per un atomo,hω 100 MeV per un nulcleo). In questa approssimazione

|~r − ~r′| = (~r2 − 2~r · ~r′ + ~r′2)1/2 = r − ~r · ~r′

r+ . . .

1

|~r − ~r′|=

1

r+~r · ~r′r3

+ . . .

la soluzione per il potenziale vettore e

~A(~r) =µ0

4π

∫ (1

r+r · ~r′r2

+ . . .

)eik(r−r·~r′+...) ~j(~r′) d~r′

~A(~r) ≈ µ0

4π

eikr

r

∑n

(−ik)n

n!

∫(r · ~r′)n~j(~r′)d~r′

31.1 Potenziale di dipolo elettrico

Il primo termine dello sviluppo, n = 0, si ottiene calcolando l’integrale per parti

~A(~r) =µ0

4π

eikr

r

∫~j(~r′)d~r′ = −µ0

4π

eikr

r

∫~r′ [~∇′ ·~j(~r′)]d~r′

473

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 474 — #474 ii

ii

ii

Capitolo 31. Sviluppo in multipoli del campo elettromagnetico

Usando l’equazione di continuita per la componente a frequenza ω

~∇′ ·~j(~r′) = −∂ρ(~r′)

∂t= iωρ(~r′)

e introducendo il momento di dipolo elettrico, ~d =∫ρ(~r′)~r′d~r′, si ottiene il primo termine

dello sviluppo

potenziale di dipolo elettrico ~A(~r) = −µ0

4πiω

eikr

r

∫ρ(~r′)~r′ d~r′ = −µ0

4πiω~d

eikr

r

Le derivate spaziali del potenziale vettore sono

∂xAy = −µ0

4πiω

(eikr

rik

x

r− eikr x

r3

)dy = −µ0

4πωk

eikr

r2

(i− 1

kr

)xdy ∂yAx = . . .

e per kr 1 troviamo i campi ~B e ~E del termine di dipolo elettrico

~B(~r) = ~∇× ~A(~r) ≈ ikr × ~A(~r) =µ0

4π

ω2

c

eikr

rr × ~d ~E(~r) = c ~B(~r)× r

Il flusso di energia e

S =1

µo| ~E × ~B| = µ0

(4π)2

ω4

c

d2

r2sin2 θ =

1

4π

1

4πε0

ω4

c3

d2

r2sin2 θ

e la potenza emessa e

dW

dΩ=

1

4π

1

4πε0

ω4

c3d2 sin2 θ W =

2

3

1

4πε0

ω4

c3d2

Il secondo termine dello sviluppo del potenziale vettore, n = 1, e

~A(~r) = −µ0

4πikeikr

r

∫(r · ~r′) ~j(~r′)d~r′

Poiche (~r′ ×~j)× r = (~r′ ·~j)r − (~r′ · r)~j possiamo scomporre l’integrando in due termini

(~r′ · r)~j = (~r′ ×~j)× r − (~r′ ·~j)r

31.2 Potenziale di dipolo magnetico

Nel primo termine compare il prodotto vettore ~M(~r′) = ~r′×~j(~r′) che e la magnetizzazioneprodotta dalla corrente. Introducendo il momento di dipolo magnetico, ~µ = 1

2

∫~M(~r′)d~r′,

troviamo il

potenziale di dipolo magnetico ~A(~r) = −µ0

4πikeikr

rr × ~µ

Nel limite kr 1 i campi ~B e ~E del termine di dipolo magnetico sono

~B(~r) = ikr × ~A(~r) =µ0

4π

ω2

c2

eikr

rr × (r × ~µ) ~E(~r) = c ~B(~r)× r

474

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 475 — #475 ii

ii

ii

31.3. Potenziale di quadrupolo elettrico


S =1

µo| ~E × ~B| = µ0

(4π)2

ω4

c3

µ2

r2sin2 θ =

1

4π

1

4πε0

ω4

c5

µ2

r2sin2 θ

e la potenza emessa e

dW

dΩ=

1

4π

1

4πε0

ω4

c5µ2 sin2 θ W =

2

3

1

4πε0

ω4

c5µ2

31.3 Potenziale di quadrupolo elettrico

Nel secondo termine compare il prodotto scalare ~r′ ·~j(~r′) e calcolando l’integrale per partisi ottiene ∫

~r′ ·~j(~r′)d~r′ = −1

2

∫~r′

2[~∇′ ·~j(~r′)]d~r′ = − iω

2

∫(r · ~r′)r′ρ(~r′)d~r′

per cui il potenziale vettore e

~A(~r) =µ0

4π

kω

2

eikr

r

∫(r · ~r′)~r′ρ(~r′)d~r′

Nel limite kr 1 i campi ~B e ~E sono

~B(~r) = ikr × ~A(~r) =µ0

4π

ω3

2c2

eikr

r

∫(r × ~r′)(r · ~r′)ρ(~r′)d~r′ ~E(~r) = c ~B(~r)× r

Nell’integrale compaiono le componenti del

momento di quadrupolo elettrico Qij =

∫(3xixj − r2δij)d~r

Se consideriamo i vettori ~Qi = ΣjQij~xj/r e osserviamo che le componenti dell’integrale∫(r × ~r′)(r · ~r′)ρ(~r′)d~r′ sono[ ∫ ]

z= 3(y′ − x′)(x′ + y′ + z′) = Qy −Qx . . .

troviamo i campi ~B e ~E del termine di quadrupolo elettrico

~B(~r) =µ0

4π

ω3

c2

eikr

r

r × ~Q

6~E(~r) =

µ0

4π

ω3

c

eikr

r

(r × ~Q)× r6


S =1

µ0| ~E × ~B| = µ0

(4π)2

ω6

c3

〈Σij |Qij |2〉36 r2

sin2 θ =1

4π

1

4πε0

ω6

c5

〈Σij |Qij |2〉36 r2

sin2 θ

dove 〈Σij |Qij |2〉 e il valore quadratico medio del momento di quadrupolo. La potenzaemessa e

dW

dΩ=

1

4π

1

4πε0

ω6

c5

〈Σij |Qij |2〉36 r2

sin2 θ W =1

54

1

4πε0

ω6

c5〈Σij |Qij |2〉

475

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 476 — #476 ii

ii

ii


31.4 Sviluppo in autofunzioni del momento angolare

I sistemi atomici e nucleari sono autostati del momento angolare ed e conveniente espri-mere il potenziale elettromagnetico come sviluppo in serie di armoniche sferiche. Oltreal momento angolare orbitale occorre tener conto dello spin delle particelle che produceuna magnetizzazione intrinseca ~M(~r, t) = ~M(~r)e−iωt. Questa contribuisce alla densita dicorrente con un termine a divergenza nulla, ~jM (~r) = ~∇× ~M(~r), e le equazioni del camposono

~∇ · ~E = ρ/ε0 ~∇ · ~B = 0

~∇× ~E = iωB ~∇× ~B = µ0(~j + ~∇× ~M)− iωε0µ0~E

che si possono rendere simmetriche considerando il campo a divergenza nulla ~E∗ = ~E +(i/ωε0)~j

~∇ · ~E∗ = 0 ~∇ · ~B = 0

~∇× ~E∗ − iωB = (i/ωε0) ~∇×~j ~∇× ~B + iωε0µ0~E∗ = µo~∇× ~M

Da queste relazioni, osservando che ~∇× ~∇× ~U = −∇2~U per un vettore a divergenza nulla,si ottengono le equazioni del campo elettrico e di induzione magnetica

(∇2 + k2) ~E∗ = −ikcµ0~∇×

(~M +

1

k2~∇×~j

)(∇2 + k2) ~B = −µ0

~∇× (~j+ ~∇× ~M)

Per esprimere le soluzioni in autofunzioni del momento angolare ~L = −i~r× ~∇, osserviamoche, per un vettore a divergenza nulla si ha ∇2(~r · ~U) = ~r ·∇2~U , e quindi che le equazionidei prodotti scalari ~r · ~E∗ e ~r · ~B sono

(∇2 + k2)~r · ~E∗ = −ikcµ0~r · ~∇×(~M +

1

k2~∇×~j

)= −ikcµ0(~r × ~∇)

(~M +

1

k2~∇×~j

)(∇2 + k2)~r · ~B = −µ0~r · ~∇× (~j + ~∇× ~M) = −µ0(~r × ~∇)(~j + ~∇× ~M)

e, introducendo il momento angolare, si ha

(∇2 +k2)~r · ~E∗ = kcµo~L ·(~M +

1

k2~∇×~j

)(∇2 +k2)~r · ~B = −iµ0

~L · (~j+ ~∇× ~M)

Queste equazioni hanno soluzioni

~r · ~E∗ = − k

4πε0c

∫R

eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|~L′ ·

(~M +

1

k2~∇′ ×~j

)d~r′

~r · ~B =iµ0

4π

∫R

eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|~L′ · (~j + ~∇′ × ~M)d~r′

utilizzando lo sviluppo della funzione di Green in autofunzioni del momento angolare

G(~r − ~r′) =eik|~r−

~r′|

|~r − ~r′|=∑lm

gl(r, r′)Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ)J(r′, θ′, φ′)

si ottengono i valori dei campi

E(r, θ, φ) =eikr

r

∑lm

aElmYlm(θ, φ) B(r, θ, φ) =eikr

r

∑lm

aBlmYlm(θ, φ)

476

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 477 — #477 ii

ii

ii

31.5. Momenti di multipolo del campo di radiazione

31.5 Momenti di multipolo del campo di radiazione

Nel limite r R, kr 1, i coefficienti di multipolo elettrico sono 1

aElm = − i

ε0

1

(2l + 1)!!

(l + 1

l

)1/2

kl+1(Qlm +Q′lm)

con i momenti di multipolo elettrico

Qlm =

∫RrlY ∗lm(θ, φ)ρ(~r)d~r

Q′lm = − 1

l + 1

k

c

∫RrlY ∗lm(θ, φ)~∇ · [~r × ~M(~r)]d~r

I coefficienti di multipolo magnetico sono

aMlm = iµ01

(2l + 1)!!

(l + 1

l

)1/2

kl+1(Mlm +M ′lm)

con i momenti di multipolo magnetico

Mlm = − l

l + 1

1

c

∫RrlY ∗lm(θ, φ)~∇ · [~r ×~j(~r)]d~r

M ′lm = −1

c

∫RrlY ∗lm(θ, φ) ~∇ · ~M(~r)d~r

Per valutare il contributo dei momenti di multipolo, consideriamo un sistema di particellepuntiformi di massa mi, carica elettrica qi e momento magnetico ~µi

ρ(~r) = Σiqiδ(~r − ~ri) ~j(~r) = Σiqi~viδ(~r − ~ri) ~M(~r) = Σi~µiδ(~r − ~ri)

e supponiamo che il moto delle particelle sia centrale e le coordinate esprimibili in terminidelle autofunzioni del momento angolare. In questo caso i momenti di multipolo sono

Qlm =

∫rlY ∗lmΣiqiδ(~r − ~ri)d~r = Y ∗lm Σiqir

li

Q′lm = − 1

l + 1

ω

c2

∫rlY ∗lm

~∇ · ~r × Σi~µiδ(~r − ~ri)d~r = − 1

l + 1

ω

c2Y ∗lm Σiµir

li

Mlm = − 1

l + 1

1

c

∫rlY ∗lm

~∇ · ~r × Σiqi~viδ(~r − ~ri)d~r = − 1

l + 1

1

cY ∗lm Σi(qiLi/mi)r

l−1i

M ′lm =1

c

∫rlY ∗lm

~∇ · Σi~µiδ(~r − ~ri)d~r =1

cY ∗lm Σiµir

l−1i

• I multipoli elettrici sono generati dalla carica elettrica e dal momento magneticoassociato allo spin µ = g(hq/2m)

Qlm +Q′lm = rlY ∗lm

(q − 1

l + 1

ω

c2ghq

2m

)= qrlY ∗lm

(1− 1

l + 1

g

2

hω

mc2

)dove il secondo termine e trascurabile poiche nelle transizioni atomiche o nuclearil’energia emessa e hω mc2.

1 (2l + 1)!! = (2l + 1)(2l − 1)(2l − 3) . . . 1

477

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 478 — #478 ii

ii

ii


• I multipoli magnetici sono generati dal momento magnetico prodotto dal moto or-bitale, µ(l) = qhl/2m, e dal momento magnetico intrinseco e i due contributi sonoconfrontabili

Mlm +M ′lm =1

crl−1Y ∗lm

hq

2m

(g − 2l

l + 1

)La potenza emessa dal sistema di cariche in moto nella zona di radiazione

W =c

2

∫ (ε0| ~E|2 + | ~B|2/µ0

)r2dΩ =

=cε02

Σl′m′ΣlmaE∗l′m′a

Elm

∫Y ∗l′m′YlmdΩ +

c

2µ0Σl′m′Σlma

B∗l′m′a

Blm

∫Y ∗l′m′YlmdΩ =

=cε02

Σlm|aElm|2 +c

2µ0Σlm|aBlm|2

si ottiene come sovrapposizione dei contributi dei momenti di multipolo del campo diradiazione

WElm =

c

2ε0|aElm|2 =

c

2εo

1

[(2l + 1)!!]2

(l + 1

l

)(ω

c

)2l+2

|Qlm +Q′lm|2

WBlm =

cµ0

2|aBlm|2 =

cµ0

2

1

[(2l + 1)!!]2

(l + 1

l

)(ω

c

)2l+2

|Mlm +M ′lm|2

478

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 479 — #479 ii

ii

ii

Capitolo 32

Equazione di Schrodinger in unadimensione

32.1 Particella libera

L’equazione di Schrodinger per una particella libera di massa m e

− h2

2m

d2ψ(x)

dx2= Eψ(x)

E > 0 e l’energia cinetica. In funzione dell’impulso hk = p =√

2mE l’equazione e

d2ψ(x)

dx2+ k2ψ(x) = 0

e la soluzione e la sovrapposizione di due onde piane che si propagano nella direzione +xe −x

ψ(x) = Aeikx +Be−ikx

La densita di corrente e

j =h

2im

(ψ∗dψ

dx− dψ∗

dxψ

)=hk

m

(|A|2 − |B|2

)Se consideriamo un fascio di N/V particelle per unita di volume che si propaga nelladirezione +x, le condizioni al contorno sono: B = 0, j = Nv/V = v|A|2, cioe A =(N/V )1/2. Per una particella

ψ(x) = V −1/2 eikx

32.2 Gradino di potenziale

L’equazione in una dimensione e[− h2

2m

d2

dx2+ U(x)

]ψ(x) = Eψ(x)

Se l’energia potenziale e una funzione a gradino

U(x) = 0 per x < 0 U(x) = U0 > 0 per x > 0

479

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 480 — #480 ii

ii

ii

Capitolo 32. Equazione di Schrodinger in una dimensione

abbiamo due casi:E > U0 - La soluzione e una sovrapposizione di onde piane nelle due regioni

x < 0 ψ1(x) = A1eik1x +B1e

−ik1x hk1 = [2mE]1/2

x > 0 ψ2(x) = A2eik2x +B2e

−ik2x hk2 = [2m(E − Uo)]1/2

j+1 = (hk1/m)|A1|2 e il flusso incidente, j−1 = (hk1/m)|B1|2 e il flusso riflesso dal gradino

di potenziale, j+2 = (hk2/m)|A2|2 e il flusso trasmesso nella regione x > 0 e, poiche non vi

sono altri vincoli in questa regione, si deve avere B2 = 0.

Imponendo la condizione di continuita della soluzione in corrispondenza del gradino,cioe che la soluzione e la derivata siano uguali per x = 0

ψ1(0) = ψ2(0) A1 +B1 = A2

ψ′1(0) = ψ′2(0) k1(A1 −B1) = k2A2

si ottengono i valori dei coefficienti B1 e A2

B1 =k1 − k2

k1 + k2A1 A2 =

2k1

k1 + k2A1

e possiamo definire il coefficiente di riflessione dal gradino e il coefficiente di trasmissionecon R+ T = 1

R =j−1j+1

=|B1|2

|A1|2=

(k1 − k2)2

(k1 + k2)2T =

j+2

j+1

=k2|A2|2

k1|A1|2=

4k1k2

(k1 + k2)2

E < Uo - In questo caso la soluzione nella regione x > 0 e la sovrapposizione di due funzioniesponenziali reali

x < 0 ψ1(x) = A1eik1x +B1e

−ik1x hk1 = [2mE]1/2

x > 0 ψ2(x) = A2ek2x +B2e

−k2x hk2 = [2m(Uo − E)]1/2

Perche la soluzione sia finita per ogni valore di x deve essere A2 = 0. La condizione dicontinuita

ψ1(0) = ψ2(0) A1 +B1 = B2

ψ′1(0) = ψ′2(0) ik1(A1 −B1) = −k2B2

implica

B1 =k1 − ik2

k1 + ik2A1 B2 =

2k1

k1 + ik2A1

Da queste relazioni si ottiene |B1|2 = |A1|2, cioe il flusso riflesso e pari al flusso incidentee il flusso trasmesso e nullo. La particella ha una probabilita di penetrare il gradino dipotenziale che decresce esponenzialmente: |ψ2(x)|2 = |ψ1(0)|2e−2k2x.

480

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 481 — #481 ii

ii

ii

32.3. Barriera di potenziale

Uo

E = 0

E > Uo

E < Uo

Uo

E > Uo

E < Uo

E = 0

Figura 32.1: Soluzioni per il gradino e la barriera di potenziale

32.3 Barriera di potenziale

L’energia potenziale e la sovrapposizione di due funzioni a gradino

U(x) = 0 per x < 0 x > ` U(x) = U0 > 0 per 0 ≤ x ≤ `

E > U0 - La soluzione e una sovrapposizione di onde piane

x < 0 ψ1(x) = A1eik1x +B1e

−ik1x

0 ≤ x ≤ ` ψ2(x) = A2eik2x +B2e

−ik2x

x > ` ψ3(x) = A3eik1x +B3e

−ik1x

Anche in questo caso, poiche non si ha onda riflessa per x > `, B3 = 0. La condizione dicontinuita per x = 0

ψ1(0) = ψ2(0) A1 +B1 = A2 +B2

ψ′1(0) = ψ′2(0) k1(A1 −B1) = k2(A2 −B2)

implica

A1 =k1 + k2

2k1A2 +

k1 − k2

2k1B2 B1 =

k1 − k2

2k1A2 +

k1 + k2

2k1B2

La condizione di continuita per x = `

ψ2(`) = ψ3(`) A2eik2` +B2e

−ik2` = A3eik1`

ψ′2(`) = ψ′3(`) k2(A2eik2` −B2e

−ik2`) = k1A3eik1`

implica

A2 =k2 + k1

2k2eik1` e−ik2`A3 B2 =

k2 − k1

2k2eik1`eik2` A3

e si ottiene una relazione tra l’ampiezza dell’onda incidente e quella dell’onda trasmessa

A1 =[(k1 + k2)2e−ik2` − (k1 − k2)2eik2`

] eik1`4k1k2

A3

|A1|2 =

[1 +

(k21 − k2

2)2

4k21k

22

sin2 k2`

]|A3|2

481

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 482 — #482 ii

ii

ii


Il coefficiente di trasmissione attraverso la barriera e

T =j+3

j+1

=|A3|2

|A1|2=

1

1 +(k21−k

22)2

4k21k22

sin2 k2`

E < U0 - In questo caso la soluzione per 0 ≤ x ≤ ` e la sovrapposizione di due funzioniesponenziali reali, ψ2(x) = A2e

k2x +B2e−k2x, e la condizione di continuita della soluzione

per x = 0 e x = ` implica

A1 =k1 − ik2

2k1A2 +

k1 + ik2

2k1B2 B1 =

k1 + ik2

2k1A2 +

k1 − ik2

2k1B2

A2 =k2 + ik1

2k2eik1è−k2À3 B2 =

k2 − ik1

2k2eik1èk2À3

da cui, seguendo l’esempio precedente, si ottiene il coefficiente di trasmissione

T =|A3|2

|A1|2=

1

1 +(k21+k22)2

4k21k22

sinh2 k2`

Nel caso in cui k2` 1, sinh2 k2` ' e2k2`/4 si ha

T =16k2

1k22

(k21 + k2

2)2e−2k2`

32.4 Buca di potenziale infinita

Se la buca si estende nell’intervallo a ≤ x ≤ a+ ` la particella e vincolata a oscillare e lasoluzione ψ(x) = Aeikx +Be−ikx si annulla agli estremi. Dalle condizioni al contorno

ψ(a) = eika(A+B) = 0 ψ(a+ `) = eika(Aeik` +Be−ik`) = 0

si ottiene la quantizzazione degli autovalori

sin kn` = 0 kn =nπ

Èn =

h2π2

2m`2n2 n = 1, 2, . . .

La condizione di normalizzazione delle autofunzioni, ψn(x) = C sin knx, fissa il valoredell’ampiezza

∫ a+`

aψ∗n(x)ψ(x)ndx = |C|2

∫ a+`

asin2 knxdx =

|C|2`nπ

∫ nπ

0sin2 φdφ = 1

da cui si ottiene

ψn(x) =

(2

`

)1/2

sinnπ

`x

Ovviamente nessuno dei risultati ottenuti dipende dal valore di a.

482

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 483 — #483 ii

ii

ii

32.5. Buca di potenziale finita

32.5 Buca di potenziale finita

L’energia potenziale e U(x) = −U0 per −` ≤ x ≤ +` e nulla negli altri punti (abbiamovisto che la soluzione non dipende dalla posizione dell’intervallo in x). Per E > 0 lasoluzione e simile a quella della barriera di potenziale. Consideriamo il caso di stati legati,E < 0. La soluzione e

x < −` ψ1(x) = A1ek1x +B1e

−k1x

−` ≤ x ≤ ` ψ2(x) = A2eik2x +B2e

−ik2x

x > ` ψ3(x) = A3ek1x +B3e

−k1x

con hk1 = [−2mE]1/2, hk2 = [2m(E + U0)]1/2. Perche la soluzione sia finita per ognivalore di x si ha B1 = A3 = 0. La condizione di continuita per x = −`

A2e−ik2` +B2e

ik2` = A1e−k1` ik2 (A2e

−ik2` −B2eik2`) = k1A1e

−k1`

e quella analoga per x = ` comportano |A2|2 = |B2|2, che corrisponde all’annullarsi delladensita di corrente all’interno della buca, e, poiche non ci sono termini del tipo A∗B o AB∗,che la soluzione sia pari, se A2 = B2, oppure dispari, se A2 = −B2, rispetto all’inversionedell’asse x. Abbiamo quindi due casi

soluzioni pari k2 tan k2` = k1

soluzioni dispari − k2 cot k2` = k1

Queste sono due equazioni trascendenti che si risolvono numericamente. Poiche si ha(hk1)2 + (hk2)2 = 2mU0, le due equazioni si possono esprimere in funzione delle variabiliα = k2`, β = (2mU0)1/2`/h

α tanα = (β2 − α2)1/2 − α cotα = (β2 − α2)1/2

0 . 0 0

1 . 5 7

3 . 1 4

4 . 7 1

6 . 2 8

7 . 8 5

9 . 4 2

0 . 0 0 1 . 5 7 3 . 1 4 4 . 7 1 6 . 2 8

α tan α -α cotan α

√ (β2 - α

2)

α

Figura 32.2: Soluzione per gli stati legati in una buca di potenziale

Le soluzioni sono rappresentate in modo grafico in Fig. 32.2, dove si e scelto β = 2π,e sono date dai punti di intersezione delle curve: l’esempio mostra quattro stati legati. Ilcaso piu interessante e quello delle soluzioni dispari che si annullano per x = 0, infatti nelcaso di buca di potenziale in tre dimesioni la soluzione si deve annullare per r → 0.

483

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 484 — #484 ii

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ii


32.6 Oscillatore armonico

Per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio, un generico potenziale puo essereapprossimato con quello di una forza elastica con costante di richiamo k

U(x) = U0 +

(dU

dx

)0x+

1

2

(d2U

dx2

)0

x2 + . . . ' costante+1

2kx2

In un potenziale armonico una particella di massa m oscilla attorno alla posizione x = 0con frequenza angolare ω =

√k/m. La hamiltoniana dipende dal quadrato delle variabili

coniugate x e p

H =1

2mp2 +

mω2

2x2 = hω(X2 + P 2)

e si puo esprimere in modo simmetrico in termini dei due operatori hermitiani

X =

(mω

2h

) 12

x P =

(1

2mhω

) 12

p

o delle loro combinazioni lineari

a = X + iP a+ = X − iP

che soddisfano le relazione di commutazione

[a, a+] = −2i[X,P ] = − ih

[x, p] = 1

L’operatore hermitiano

N = a+a = X2 + P 2 + i[X,P ] = X2 + P 2 +i

2h[x, p] = X2 + P 2 − 1

2

commuta con la hamiltoniana e quindi gli autostati diN sono autostati diH = hω(N+1/2)

N |n〉 = n|n〉 H|n〉 = En|n〉

Per trovare gli autostati della hamiltoniana studiamo l’azione degli operatori a e a+ suglistati |n〉. Osserviamo che a|n〉 e a+|n〉 sono anch’essi autostati, infatti dalle relazioni dicommutazione

[N, a] = −[a, a+]a = −a [N, a+] = a+[a, a+] = a+

otteniamo

Na|n〉 = (−a+ aN)|n〉 = (n− 1)a|n〉 Na+|n〉 = (a+ + a+N)|n〉 = (n+ 1)a+|n〉

Quindi: a|n〉 = α|n − 1〉, a+|n〉 = β|n + 1〉 e i valori di α e β si ottengono dallanormalizzazione degli autostati

〈n|a+a|n〉 = 〈n|N |n〉 = n = |α|2 〈n|aa+|n〉 = 〈n|(N + 1)|n〉 = n+ 1 = |β|2

L’azione degli operatori a e a+ e quella di far passare da un autostato ad un altro

a|n〉 = n1/2|n− 1〉 a+|n〉 = (n+ 1)1/2|n+ 1〉

484

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 485 — #485 ii

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ii

32.6. Oscillatore armonico

e applicando piu volte l’operatore a ad un autostato di N

ak|n〉 = [n(n− 1) . . . (n− k + 1)]1/2 |n− k〉

si dimostra che gli autovalori n sono i numeri interi non negativi, n = 0, 1, 2, . . .. Gliautovalori dell’energia sono

En = hω(n+ 1/2)

e quindi gli operatori a+, a fanno aumentare o diminuire l’energia dell’oscillatore di unquanto hω e sono chiamati operatori di creazione e distruzione.

Per studiare il comportamento delle variabili x e p e opportuno esprimerle in funzionedegli operatori a e a+

X =a+ a+

2P =

a− a+

2i

X e P hanno in ogni stato dell’oscillatore valor medio nullo perche 〈n|a|n〉 = 〈n|a+|n〉 = 0e hanno varianza

〈X2〉n = 〈P 2〉n =〈n|aa+|n〉+ 〈n|a+a|n〉

4=

2n+ 1

4

Quindi per le variabili x e p si ha

〈x2〉n =h

mω(n+ 1/2) = σ2(n+ 1/2) 〈p2〉n = mhω(n+ 1/2) =

h2

σ2(n+ 1/2)

dove σ2 = h/mω e h2/σ2 sono le varianze delle distribuzioni di x e p per modo divibrazione. E si ottiene la relazione di indeterminzione per l’oscillatore

(∆x∆p)n =√〈x2〉n

√〈p2〉n = h(n+ 1/2)

e l’equipartizione dell’energia cinetica e potenziale per modo di vibrazione

1

2m〈p2〉n +

mω2

2〈x2〉n =

hω

2(n+ 1/2) +

hω

2(n+ 1/2)

Per trovare le autofunzioni nello spazio della coordinata x, osserviamo che per lo statodi energia piu bassa, lo stato vuoto, E0 = hω/2, si ha a|0〉 = 0 e quindi l’autofunzioneψ0(x) soddisfa l’equazione differenziale

(X + iP )ψ0(x) =

[x

σ√

2+i

h

σ√2

(−ih d

dx

)]ψ0(x) = 0

x

σ√

2ψ0 +

σ√2

dψ0

dx= 0

la cui soluzione che soddisfa la condizione di normalizzazione∫ψ∗0(x)ψ0(x) dx = 1 e una

funzione gaussianaψ0(x) = (πσ2)−1/4 e−x

2/2σ2

Le altre autofunzioni si ottengono dalla relazione (a+)n|0〉 = (n!)1/2|n〉, ovvero

ψn(x) =1

(n!)1/2

[x√2σ− σ√

2

d

dx

]nψo(x)

Le soluzioni sono i polinomi di Hermite, Hn(z), moltiplicati per una gaussiana

ψn(z) =1

(πσ2)1/4

1

2n/2(n!)1/2Hn(z)e−z

2/2 z = x/σ

485

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 486 — #486 ii

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n En ψn(z)

0 hω/2 (πσ2)−1/4[e−z

2/2]

1 3hω/2 (πσ2)−1/4[2−1/2 2z e−z

2/2]

2 5hω/2 (πσ2)−1/4[2−3/2 (4z2 − 2) e−z

2/2]

3 7hω/2 (πσ2)−1/4[6−1/22−3/2 (8z3 − 12z) e−z

2/2]

. . .

486

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 487 — #487 ii

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ii

Capitolo 33

Il momento angolare

33.1 Rotazioni

Una rotazione e una trasformazione continua dallo stato |ψ〉 allo stato |ψ′〉 = R|ψ〉. Perchesia consevata la densita di probabilita, 〈ψ′|ψ′〉 = 〈ψ|R+R|ψ〉 = 〈ψ|ψ〉, la rotazione e unatrasformazione unitaria: R−1 = R+. Se lo stato e espresso in funzione delle coordinatespaziali ~r = (x, y, z), si ha ψ′(~r) = Rψ(~r) = ψ(~r0) con ~r0 = R−1~r. Le rotazioni dellecoordinate sono rappresentate da matrici 3× 3

Rx(α) =

1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα

Ry(β) =

cosβ 0 sinβ0 1 0

− sinβ 0 cosβ

Rz(γ) =

cos γ − sin γ 0sin γ cos γ 0

0 0 1

Le rotazioni attorno ad assi diversi non commutano e le relazioni di commutazione defi-niscono le proprieta dei generatori delle rotazioni. Consideriamo le rotazioni infinitesimeattorna agli assi x, y, z e definiamo

Rx(εx) = 1− iεxGx Rx(εy) = 1− iεyGy Rx(εz) = 1− iεzGz

con gli angoli infinitesimi εk reali e gli operatori Gk hermitiani. Applichiamo in successionedue rotazioni infinitesime attorno ad assi diversi. Sviluppando al secondo ordine in ε

Rx(εx)Ry(εy) =

1− ε2y 0 εyεxεy 1− ε2x −εx−εy εx 1− ε2x/2− ε2y/2

Ry(εy)Rx(εx) =

1− ε2y εxεy εy0 1− ε2x −εx−εy εx 1− ε2x/2− ε2y/2

[Rx(εx), Ry(εy)] =

0 −εxεy 0εxεy 0 0

0 0 0

= Rz(εxεy)− 1

487

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 488 — #488 ii

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ii

Capitolo 33. Il momento angolare

[1− iεxGx, 1− iεyGy] = −εxεy[Gx, Gy] = −iεxεyGz

e lo stesso permutando i generatori Gk. Troviamo quindi le relazioni di commutazione

[Gj , Gk] = iεjklGl

dove εjkl e il tensore antisimmetrico di Levi Civita. Queste sono le relazioni di com-

mutazione delle componenti del momento angolare ~L = ~r × ~p. Per ottenere la relazionetra i generatori delle rotazioni e le componenti del momento angolare consideriamo unarotazione di uno stato

ψ′(x, y, z) = Rz(φ) ψ(x, y, z) = ψ(x cosφ+ y sinφ,−x sinφ+ y cosφ, z)

Per una rotazione infinitesima

Rz(δφ) ψ(x, y, z) = ψ(x+ yδφ,−xδφ+ y, z) =

[1− δφ

(x∂

∂y− y ∂

∂x

)]ψ(x, y, z)

Rz(δφ) = 1− (i/h)δφLz

dove Lz e la terza componente del momento angolare, Lz = −ih(x∂/∂y− y∂/∂x). Quindil’operatore momento angolare e il generatore delle rotazioni e per una rotazione finita diun angolo α attorno all’asse n si ha

Rn(α) = e−(i/h)αn~L

33.2 Autovalori del momento angolare

L’operatore momento angolare ha dimensione h [eV s] ed e proporzionale al generatoredelle rotazioni ~J = h ~G. Con le componenti Gk possiamo costruire il modulo quadro,G2 = G2

x +G2y +G2

z, che commuta con le tre componenti, [G2, Gk] = 0. Poiche queste noncommutano tra loro possiamo trovare un sistema di autostati comune a G2 e ad una solodelle componenti che fissiamo per convenzione Gz. Chiamiamo |λ, µ〉 un autostato di G2

e Gz e λ, µ i rispettivi autovalori

G2|λ, µ〉 = λ|λ, µ〉 Gz|λ, µ〉 = µ|λ, µ〉

Consideriamo gli operatori non hermitiani G± = Gx± iGy che hanno le seguenti relazionidi commutazione

[G+, G−] = 2Gz [G±, G2] = 0 [G±, Gz] = ±G±

Gli stati G±|λ, µ〉 sono autostati di G2 e Gz, infatti abbiamo

G2G±|λ, µ〉 = G±G2|λ, µ〉 = λG±|λ, µ〉

GzG±|λ, µ〉 = (G±Gz + [Gz, G±])|λ, µ〉 = (µ± 1)G±|λ, µ〉

L’azione degli operatori G± e quindi di far passare da un autostato ad un altro

G−|λ, µ〉 = ν−|λ, µ− 1〉 G+|λ, µ〉 = ν+|λ, µ+ 1〉

488

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 489 — #489 ii

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33.2. Autovalori del momento angolare

Per verificare che la successione sia limitata, cioe che µ sia finito, consideriamo gli operatoriG+G− e G−G+

G+G− = G2x +G2

y − i[Gx, Gy] = G2 −G2z +Gz

G−G+ = G2x +G2

y + i[Gx, Gy] = G2 −G2z −Gz

e osserviamo che gli elementi di matrice dell’operatore G2−G2z sono definiti positivi poiche

G2 −G2z =

G+G− +G−G+

2con G+G− = G+

−G− e G−G+ = G++G+

〈λ, µ| G2 −G2z |λ, µ〉 = λ− µ2 ≥ 0 → µ2 ≤ λ

Quindi esiste un valore minimo e un valore massimo di µ per cui

G−|λ, µmin〉 = 0 G+|λ, µmax〉 = 0

Per questi autostati deve anche essere

G+G−|λ, µmin〉 = (G2 −G2z +Gz)|λ, µmin〉 = (λ− µ2

min + µmin)|λ, µmin〉 = 0

G−G+|λ, µmax〉 = (G2 −G2z −Gz)|λ, µmax〉 = (λ− µ2

max − µmax)|λ, µmax〉 = 0

cioe µ2min − µmin = µ2

max + µmax. Quindi µ e limitato nell’intervallo

µmin ≤ µ ≤ µmax con µmin = −µmax

Poiche si va da µmin a µmax con un numero finito di passi, risulta µmax = µmin + n con nintero positivo, cioe

µmin = −n/2 µmax = n/2 µ = −n/2, −n/2 + 1, . . . , n/2

λ = µmax(µmax + 1) = (n/2)(n/2 + 1)

Passando al momento angolare ~J = h ~G e definendo |j,m〉 gli autostati

J2|j,m〉 = h2j(j + 1)|j,m〉 Jz|j,m〉 = hm|j,m〉

abbiamo che

• esistono 2j + 1 proiezioni del vettore ~J con autovalori mh

m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j

• il modulo di ~J ha autovalore h√j(j + 1)

• i possibili valori di j sono i numeri interi e semi-interi positivi

• gli elementi di matrice tra autostati (che supponiamo normalizzati) sono

〈j′,m′|J2|j,m〉 = h2j(j + 1) δj′jδm′m

〈j′,m′|Jz|j,m〉 = hm δj′jδm′m

489

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 490 — #490 ii

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ii


Gli elementi di matrice degli operatori J+ e J− si ottengono dalle relazioni

J−|j,m〉 = hν−|j,m− 1〉 J+|j,m〉 = hν+|j,m+ 1〉

〈j′,m′|J+J−|j,m〉 = h2[j(j + 1)−m2 +m] δj′jδm′m = h2|ν−|2

〈j′,m′|J−J+|j,m〉 = h2[j(j + 1)−m2 −m] δj′jδm′m = h2|ν+|2

e quindi, a meno di un fattore di modulo 1, si ha

ν− =√j(j + 1)−m2 +m ν+ =

√j(j + 1)−m2 −m

〈j′,m′|J±|j,m〉 = h√j(j + 1)−m2 ∓m δj′jδm′m±1

33.3 Rappresentazione dei generatori

Dall’ultima relazione troviamo gli elementi di matrice degli operatori G± e da questi larappresentazione dei generatori Gk usando le relazioni

Gx =G+ +G−

2Gy =

G+ −G−2i

iGz = [Gx, Gy]

Facciamo due semplici esempi

• Spin 1/2: j = 1/2 m = ±1/2

Gli elementi di matrice non nulli sono

〈1/2,+1/2|G+|1/2,−1/2〉 = 1 〈1/2,−1/2|G−|1/2,+1/2〉 = 1

quindi le matrici G± sono

G+ =

(0 10 0

)G− =

(0 01 0

)

e i generatori Gk sono, a meno dell’autovalore 1/2, le matrici di Pauli nella rappresenta-zione in cui Gz e diagonale

Gx =1

2

(0 11 0

)Gy =

1

2

(0 −ii 0

)Gz =

1

2

(1 00 −1

)

Anche le matrici G2k sono diagonali, G2

k = 1/4, e quindi

G2 =3

4

(1 00 1

)j(j + 1) =

3

4

• Spin 1: j = 1 m = −1, 0, +1

490

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 491 — #491 ii

ii

ii

33.4. Somma dei momenti angolari

Gli elementi di matrice non nulli sono

〈1, 0|G+|1,−1〉 =√

2 〈1,−1|G−|1, 0〉 =√

2

〈1, 1|G+|1, 0〉 =√

2 〈1, 0|G−|1,+1〉 =√

2

quindi le matrici G± sono

G+ =√

2

0 1 00 0 10 0 0

G− =√

2

0 0 01 0 00 1 0

e i generatori Gk sono

Gx =1√2

0 1 01 0 10 1 0

Gy =1√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

Gz =

1 0 00 0 00 0 −1

e abbiamo

G2x =

1

2

1 0 10 2 01 0 1

G2y =

1

2

1 0 −10 2 0−1 0 1

G2z =

1 0 00 0 00 0 1

G2 = 2

1 0 00 1 00 0 1

j(j + 1) = 2

33.4 Somma dei momenti angolari

Consideriamo due autostati del momento angolare |j1,m1〉 e |j2,m2〉. Vogliamo saperequali sono gli autovalori dell’operatore somma, ~J = ~j1 + ~j2, tali che la proiezione lungol’asse z sia Jz = j1z + j2z. Definiamo |j1 m1, j2 m2〉 l’autostato somma nella base deivettori di partenza in cui j2

1 , j1z, j22 , j2z sono diagonali, e nel seguito poniamo h = 1

j21 |j1 m1, j2 m2〉 = j1(j1 + 1)|j1 m1, j2 m2〉 j1z|j1 m1, j2 m2〉 = m1|j1 m1, j2 m2〉

j22 |j1 m1, j2 m2〉 = j2(j2 + 1)|j1 m1, j2 m2〉 j2z|j1 m1, j2 m2〉 = m2|j1 m1, j2 m2〉

Definiamo |J,M〉 l’autostato somma nella nuova base in cui J2 e Jz sono diagonali

J2|J,M〉 = J(J + 1)|J,M〉 Jz|J,M〉 = M |J,M〉

Gli autostati somma possono esprimersi come combinazione lineare degli autostati dipartenza

|J,M〉 =∑m1

∑m2

|j1 m1, j2 m2〉〈j1 m1, j2 m2|J,M〉

dove i prodotti scalari 〈j1 m1, j2 m2|J,M〉 sono chiamati coefficienti di Clebsch–Gordan.Per trovare l’autovalore M osserviamo che l’elemento di matrice dell’operatore Jz−j1z−j2ze nullo:

〈J,M |Jz − j1z − j2z|j1 m1, j2 m2〉 = (M −m1 −m2)〈J,M |j1 m1, j2 m2〉 = 0

491

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 492 — #492 ii

ii

ii


Per trovare i possibili autovalori di J osserviamo che la molteplicita della somma e pari alnumero di stati N = (2j1 +1)(2j2 +1). Se Jmin e Jmax sono i limiti in cui varia J abbiamo

N =Jmax∑Jmin

(2J + 1) = (Jmax + 1)2 − ((Jmin − 1) + 1)2 = J2max + 2Jmax + 1− J2

min =

= (Jmax + Jmin + 1)(Jmax − Jmin + 1)

da cui otteniamo 2j1 = Jmax+Jmin, 2j2 = Jmax−Jmin (o viceversa) cioe: Jmin = |ji−j2|,Jmax = ji + j2. Quindi gli autovalori della somma soddisfano le relazioni

|ji − j2| ≤ J ≤ ji + j2 M = m1 +m2

33.5 I coefficienti di Clebsch–Gordan

Troviamo le relazioni cui soddisfano i coefficienti di Clebsch–Gordan. Usando l’operatoreJ+ si ha

J+|J,M〉 =√J(J + 1)−M2 −M |J,M + 1〉 =

(J1+ + J2+)∑n1

∑n2

|j1 n1, j2 n2〉〈j1 n1, j2 n2|J,M〉 =

∑n1

∑n2

√j1(j1 + 1)− n2

1 − n1 |j1 n1 + 1, j2 n2〉〈j1 n1, j2 n2|J,M〉 +

∑n1

∑n2

√j2(j2 + 1)− n2

2 − n2 |j1 n1, j2 n2 + 1〉〈j1 n1, j2 n2|J,M〉

Moltiplicando per 〈j1 m1, j2 m2| e sfruttando le relazioni di ortonormalita degli autostati,〈j1 m1, j2 m2|j1 n1, j2 n2〉 = δm1n1δm2n2 , si ottiene√

J(J + 1)−M2 −M |J,M + 1〉 =√j1(j1 + 1)−m2

1 +m1 〈j1 m1 − 1, j2 m2|J,M〉 +

√j2(j2 + 1)−m2

2 +m2 〈j1 m1, j2 m2 − 1|J,M〉

e analogamente, usando l’operatore J−,√J(J + 1)−M2 +M |J,M − 1〉 =

√j1(j1 + 1)−m2

1 +m1 〈j1 m1 + 1, j2 m2|J,M〉 +

√j2(j2 + 1)−m2

2 +m2 〈j1 m1, j2 m2 + 1|J,M〉

Da queste relazioni di ricorrenza si possono ottenere i valori dei coefficienti di Clebsch–Gordan a meno di un fattore di modulo 1 che viene fissato in modo convenzionale.Facciamo alcuni semplici esempi:

• spin 1/2 + spin 1/2

492

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 493 — #493 ii

ii

ii

33.5. I coefficienti di Clebsch–Gordan

Con j1 = 1/2, j2 = 1/2 si hanno quattro possibili combinazioni, per la somma questesono: J = 1,M = +1, 0,−1 e J = 0,M = 0. Nel caso m1 = m2 = +1/2 vi e una solacombinazione e lo stesso nel caso m1 = m2 = −1/2

|1,+1〉 = |1/2 + 1/2, 1/2 + 1/2〉 |1,−1〉 = |1/2 − 1/2, 1/2 − 1/2〉

Applicando J− al primo (oppure J+ al secondo) si ha

J−|1,+1〉 =√

2|1, 0〉 = |1/2 + 1/2, 1/2 − 1/2〉+ |1/2 − 1/2, 1/2 + 1/2〉

Anche lo stato |J,M〉 = |0, 0〉 e una sovrapposizione degli stessi due autostati con m1 +m2 = 0

|0, 0〉 = a|1/2 − 1/2, 1/2 + 1/2〉+ b|1/2 + 1/2, 1/2 − 1/2〉

con |a|2 + |b|2 = 1. Applicando J+ (oppure J−) si ha

J+|0, 0〉 = a|1/2 + 1/2, 1/2 + 1/2〉+ b|1/2 + 1/2, 1/2 + 1/2〉 = 0

da cui a = −b. Quindi otteniamo tre stati con J = 1 simmetrici rispetto allo scambiodello spin e uno stato con J = 0 antisimmetrico. I coefficienti di Clebsch–Gordan sonoriassunti nella tabella seguente

j1 = 1/2 j2 = 1/2 J 1 1 0 1m1 m2 M +1 0 0 -1

+1/2 +1/2 1

+1/2 -1/2√

1/2√

1/2

-1/2 +1/2√

1/2 −√

1/2-1/2 -1/2 1

• spin 1 + spin 1/2

Con j1 = 1, j2 = 1/2 si hanno sei possibili combinazioni, per la somma queste sono:J = 3/2,M = +3/2,+1/2,−1/2,−3/2 e J = 1/2,M = +1/2,−1/2. Nel caso m1 = +1,m2 = +1/2 vi e una sola combinazione e lo stesso nel caso m1 = −1, m2 = −1/2

|3/2,+3/2〉 = |1 + 1, 1/2 + 1/2〉 |3/2,−3/2〉 = |1 − 1/2, 1/2 − 1/2〉

Operando come nel caso precedente

J−|3/2,+3/2〉 =√

3|3/2,+1/2〉 = |1 + 1, 1/2 − 1/2〉+√

2|1 0, 1/2 + 1/2〉

J+|3/2,−3/2〉 =√

3|3/2,−1/2〉 = |1 − 1, 1/2 + 1/2〉+√

2|1 0, 1/2 − 1/2〉

Ponendo |1/2,+1/2〉 = a|1 + 1, 1/2 − 1/2〉+ b|1 0, 1/2 + 1/2〉 otteniamo

J+|1/2,+1/2〉 = a|1 + 1, 1/2 + 1/2〉+√

2b|1 + 1, 1/2 + 1/2〉 = 0

cioe a +√

2b = 0 e, utilizzando la relazione di ortonormalita degli autostati, a =√

2/3,b = −

√1/3

J−|1/2,+1/2〉 = |1/2,−1/2〉 = (√

2a+ b)|1 0, 1/2 − 1/2〉+√

2b|1 − 1, 1/2 + 1/2〉

Quindi abbiamo

493

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 494 — #494 ii

ii

ii


j1 = 1 j2 = 1/2 J 3/2 3/2 1/2 1/2 3/2 3/2m1 m2 M +3/2 +1/2 +1/2 -1/2 -1/2 -3/2

+1 +1/2 1

+1 -1/2√

1/3√

2/3

0 +1/2√

2/3 −√

1/3

0 +1/2√

1/3√

2/3

-1 +1/2 −√

2/3√

1/3-1 -1/2 1

• spin 1 + spin 1

Gli autostati |J,M〉 sonoJ = 2 M = +2 +1 0 -1 -2J = 1 M = +1 0 -1J = 0 M = 0

j1 = 1 j2 = 1 J 2 2 1 2 1 0 1 2 2m1 m2 M +2 +1 +1 0 0 0 -1 -1 -2

+1 +1 1

+1 0√

1/2√

1/2

+1 -1√

1/6√

1/2√

1/3

0 +1√

1/2 −√

1/2

0 0 −√

2/3 0 −√

1/3

0 -1√

1/2√

1/2

-1 +1√

1/6 −√

1/2√

1/3

-1 0 −√

1/2√

1/2-1 -1 1

33.6 Matrici di rotazione

Una generica rotazione nello spazio puo essere ottenuta come successione di rotazioniattorno a tre assi. Consideriamo in successione (Fig. 33.1)

1 - rotazione di α attorno all’asse z: x→ x′, y → y′

2 - rotazione di β attorno all’asse y′: x′ → x′′, z → z′

3 - rotazione di γ attorno all’asse z′: x′′ → x′′′, y′ → y′′

α, β, γ sono gli angoli di Eulero e la rotazione e espressa

R(α, β, γ) = Rz′(γ) Ry′(β) Rz(α)

Un operatore generico si trasforma per rotazione nel modo O′ = ROR−1. Quindi laseconda rotazione puo essere espressa come Ry′(β) = Rz(α)Ry(β)R−1

z (α). Analogamenteper la terza rotazione: Rz′(γ) = Ry′(β)Rz(γ)R−1

y′ (β), e otteniamo

Rz′(γ)Ry′(β)Rz(α) = Ry′(β) Rz(γ)R−1y′ (β) Ry′(β)Rz(α) = Ry′(β)Rz(γ)Rz(α) =

= Rz(α)Ry(β)R−1z (α)Rz(γ)Rz(α) = Rz(α)Ry(β)R−1

z (α)Rz(α)Rz(γ) =

= Rz(α)Ry(β)Rz(γ)

494

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 495 — #495 ii

ii

ii

33.6. Matrici di rotazione

x

z

x' y

y'

z

x'

y'

x''

z'

y'

x''

z'

y''

x'''α

β

γ

Figura 33.1: Rotazioni e angoli di Eulero

e, passando alla rappresentazione con i generatori,

R(α, β, γ) = e−iαJze−iβJye−iγJz

In una rotazione si conserva il modulo del momento angolare poiche J2 commuta conle sue componenti. La rotazione fa passare da un autostato |j,m〉 ad un autostato |j,m′〉.Consideriamo gli elementi di matrice di una generica rotazione

Djmm′(α, β, γ) = 〈j,m′|e−iαJze−iβJye−iγJz |j,m〉 =

= eiαm′〈j,m′|e−iβJy |j,m〉e−iγm = ei(αm

′−γm) djmm′(β)

Possiamo quindi esprimere gli elementi di matrice in funzione dell’angolo di rotazione βattorno ad un asse normale all’asse di quantizzazione z, a parte un fattore di modulo 1.Gli elementi di matrice djmm′(β) sono chiamati funzioni di Wigner.

Rotazione di spin 1/2 I generatori delle rotazioni di spin 1/2 sono le matrici di Pauli,~J = ~σ/2, e l’operatore di rotazione si esprime

e−iβσy/2 = 1− iβ2σy −

i2

2

(β

2

)2

σ2y + . . . = cosβ/2

(1 00 1

)− i sinβ/2

(0 −ii 0

)

d1/2mm′(β) =

(cosβ/2 − sinβ/2sinβ/2 cosβ/2

)

Rotazione di spin 1 Il generatore della rotazione di spin 1 attorno all’asse y e

Jy =i√2

0 −1 01 0 −10 1 0

che ha la proprieta J2n

y = J2y , J2n+1

y = Jy, con n = 1, 2, . . .

e−iβJy = 1− iβJy − i2β2

2J2y + . . . = 1− i sinβJy − (1− cosβ)J2

y =

495

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 496 — #496 ii

ii

ii


=

1 0 00 1 00 0 1

+sinβ√

2

0 −1 01 0 −10 1 0

− 1− cosβ

2

1 0 −10 2 0−1 0 1

d1mm′(β) =

(1 + cosβ)/2 − sinβ/√

2 (1− cosβ)/2

sinβ/√

2 cosβ − sinβ/√

2

(1− cosβ)/2 sinβ/√

2 (1 + cosβ)/2

33.7 Le armoniche sferiche

Le funzioni armoniche sferiche sono le autofunzione del momento angolare orbitale, ~L =~r × ~p, nella rappresentazione degli operatori in funzione delle coordinate spaziali (h = 1)

Lx = −i(y∂

∂z− z ∂

∂y

)Ly = −i

(z∂

∂x− x ∂

∂z

)Lz = −i

(x∂

∂y− y ∂

∂x

)

L+ = z

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)− (x+ iy)

∂

∂zL− = −z

(∂

∂x− i ∂

∂y

)+ (x− iy)

∂

∂z

Conviene usare coordinate polari

x = r sin θ cosφ y = r sin θ sinφ z = r cos θ

La matrice di tasformazione jacobiana

∂(xyz)

∂(rθφ)=

sin θ cosφ r cos θ cosφ −r sin θ sinφsin θ sinφ r cos θ sinφ r sin θ cosφ

cos θ −r sin θ 0

ha determinante D = r2 sin θ, e la matrice inversa e

∂(rθφ)

∂(xyz)=

sin θ cosφ cos θ cosφ/r − sinφ sin θ/rsin θ sinφ cos θ sinφ/r cosφ sin θ/r

cos θ − sin θ/r 0

da cui si ottiene

∂

∂x= sin θ cosφ

∂

∂r+

cos θ cosφ

r

∂

∂θ− sinφ

r sin θ

∂

∂φ

∂

∂y= sin θ sinφ

∂

∂r+

cos θ sinφ

r

∂

∂θ+

cosφ

r sin θ

∂

∂φ

∂

∂z= cos θ

∂

∂r− sin θ

r

∂

∂θ

In coordinate polari gli operatori del momento angolare orbitale sono

Lz = −i ∂∂φ

L± = e±iφ(± ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)Esprimendo gli autostati in funzione degli angoli, |l,m〉 = Ylm(θ, φ), le equazioni agliautovalori sono

LzYlm(θ, φ) = mYlm(θ, φ) L2Ylm(θ, φ) = l(l + 1)Ylm(θ, φ)

496

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 497 — #497 ii

ii

ii

33.7. Le armoniche sferiche

Nella prima Lz determina solo la dipendenza da φ quindi le autofunzioni si possonofattorizzare: Ylm(θ, φ) = Θlm(θ)Φm(φ)

−i ∂∂φ

Φm(φ) = mΦm(φ) ⇒ Φm(φ) = Nmeimφ

con Nm = 1/√

2π. Poiche il sistema non varia per una rotazione di 2π attorno all’asse z

Φm(φ+ 2π) = Φm(φ) ⇒ ei2πm = 1

i valori di m, e quindi anche di l, sono interi.Per trovare Θlm(θ) osserviamo che si ha L+Yl,l(θ, φ) = 0, L−Yl,−l(θ, φ) = 0. La prima

equazione

L+ = eiφ(∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)Θll(θ)e

ilφ = ei(l+1)φ(∂Θll

∂θ− l cot θ Θl,l

)= 0

ha come soluzione Θll(θ) = Nl sinl θ. Le altre soluzioni si ottengono ricordando che Ylm

sono autofunzioni che soddisfano le relazioni L−Ylm =√l(l + 1)−m2 +m Yl m−1

L−Yll(θ, φ) = e−iφ(− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

)sinl θ eilφ = −ei(l−1)φ

(∂

∂θ+ l cot θ

)sinl θ

Osserviamo che per una generica funzione f(θ) si ha(∂

∂θ+ l cot θ

)f(θ) =

1

sinl θ

∂

∂θsinl θf(θ)

e quindi, per f(θ) = sinl θ, si ha

L−Yll(θ, φ) =ei(l−1)φ

sinl−1 θ

(− 1

sin θ

∂

∂θ

)sin2l θ

L−L−Yll(θ, φ) =ei(l−2)φ

sinl−2 θ

(− 1

sin θ

∂

∂θ

)(− 1

sin θ

∂

∂θ

)sin2l θ

e cosi di seguito. Ponendo − sin θdθ = d cos θ, sin2l θ = (1− cos2 θ)l, si ha

Ylm(θ, φ) = Nlmeimφ

sinm θ

(d

d cos θ

)l−m(1− cos2 θ)l

Le costanti Nlm si determinano dalla condizione di normalizzazione∫ 2π0

∫+1−1 Y

∗lm(θ, φ) Ylm(θ, φ) d cos θ dφ = 1

Nlm =(−1)l

2l l!

(2l + 1

4π

)1/2 ((l +m)!

(l −m)!

)1/2

Le prime armoniche sferiche sono

l = 0 Y00 = 1√4π

l = 1 Y10 =√

34π cos θ Y11 = −

√3

8π sin θeiφ

497

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 498 — #498 ii

ii

ii


l = 2 Y20 =√

516π (3 cos2 θ − 1) Y21 = −

√158π sin θ cos θeiφ Y22 =

√15

32π sin2 θe2iφ

Dalle relazioni precedenti osserviamo che

• gli autovalori del momento angolare orbitale sono multipli interi di h

• le autofunzioni Yl0 sono i polinomi di Legendre Pl(cos θ)

• per coniugazione complessa si ha: Y ∗lm(θ, φ) = Yl −m(θ, φ)

• per trasformazioni di parita, θ → π − θ, φ→ φ+ π,

sin(π − θ) = sin θ cos(π − θ) = − cos θ eim(φ+π) = (−1)m eimφ

le armoniche sferiche si moltiplicano per (−1)l−m(−1)m

P · Ylm(θ, φ) = (−1)lYlm(θ, φ)

498

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 499 — #499 ii

ii

ii

Capitolo 34

Equazione di Schrodinger in tredimensioni

Consideriamo una particella di massa m soggetta al potenziale U(~r). L’equazione agliautovalori e (

− h2

2m~∇2 + U(~r)

)ψ(~r) = Eψ(~r)

Se la sorgente del potenziale e una particella di massa M , la massa che compare nell’e-quazione e la massa ridotta, m′ = mM/(m + M), e ~r e la coordinata di m′ nel centro dimassa.

34.1 Potenziale centrale

Se il potenziale descrive un campo di forze a simmetria sferica, U(~r) = U(|~r|), si conservail momento angolare e gli autostati della hamiltoniana sono anche autostati dell’operatoremomento angolare che in coordinate polari ha componenti

Lx = ih

(sinφ

∂

∂θ+ cot θ cosφ

∂

∂φ

)Ly = ih

(− cosφ

∂

∂θ+ cot θ sinφ

∂

∂φ

)

Lz = −ih ∂

∂φ~L2 = h2

(1

sin θ

∂

∂θsin θ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂

∂φ

)Esprimendo l’operatore ~∇2 in coordinate polari

~∇ · ~∇ =1

r2

∂

∂rr2 ∂

∂r+

1

r2

(1

sin θ

∂

∂θsin θ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂

∂φ

)l’equazione agli autovalori diventa(

− h2

2m

1

r2

∂

∂rr2 ∂

∂r+

~L2

2mr2+ U(r)

)ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ)

La soluzione si puo fattorizzare nel prodotto di una funzione di r e delle autofunzioni deglioperatori ~L2, Lz, con autovalori l,m: ~L2Ylm(θ, φ) = h2l(l + 1)Ylm(θ, φ), LzYlm(θ, φ) =hmYlm(θ, φ).

ψElm(r, θ, φ) = REl(r)Ylm(θ, φ)

499

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 500 — #500 ii

ii

ii

Capitolo 34. Equazione di Schrodinger in tre dimensioni

La funzione radiale dipende dall’energia e da l e soddisfa l’equazione agli autovalori(− h2

2m

1

r2

d

drr2 d

dr+h2l(l + 1)

2mr2+ U(r)

)REl(r) = EREl(r)

• Nota: 1r2

ddrr

2 dRdr = 1

rd2

dr2rR = d2R

dr2+ 2

rdRdr

(− h2

2m

1

r

d2

dr2r +

h2l(l + 1)

2mr2+ U(r)

)REl(r) = EREl(r)

La funzione uEl(r) = rREl(r) soddisfa l’equazione di Schrodinger in una dimensione(− h2

2m

d2

dr2+h2l(l + 1)

2mr2+ U(r)

)uEl(r) = EuEl(r)

dove, oltre al potenziale U(r), compare il potenziale repulsivo h2l(l+ 1)/2mr2 (potenzialecentrifugo) dovuto all’energia cinetica di rotazione L2/2mr2 attorno al centro di forza. Adesempio, l’effetto di una buca di potenziale viene modificato in funzione della distanza dalcentro come mostrato in Fig. 34.1. L’equazione radiale ha soluzione se limr→∞ U(r) = 0,limr→0 r

2U(r) = 0, e la soluzione deve soddisfare la condizione limr→0 u(r) = 0.

rE = 0

U(r)h l(l+1)

2mr 2

2

Figura 34.1: Buca di potenziale e potenziale centrifugo

34.2 Particella libera

Nel caso U(r) = 0 l’equazione radiale diventa

d2u

dr2+

(2mE

h2 − l(l + 1)

r2

)u = 0

definendo hk = (2mE)1/2 e la variabile adimensionale x = kr

d2u

dr2+

(k2 − l(l + 1)

r2

)u = 0

d2u

dx2+

(1− l(l + 1)

x2

)u = 0

Per l = 0 la soluzione e del tipo u0(x) = A sinx + B cosx. La soluzione sinx e disparie si annulla per x = 0, mentre la soluzione cosx e pari e non soddisfa la condizionelimx→0 u(x) = 0. Quindi la soluzione per l = 0 e R0(x) = A sinx/x. Le soluzioni sono

500

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 501 — #501 ii

ii

ii

34.3. Sviluppo di un’onda piana in autofunzioni sferiche

le funzioni di Bessel sferiche, jl(x), dispari, e le funzioni di Neumann sferiche, nl(x), pari.Queste soddisfano le condizioni

jl(x) = (−1)l(−1

x

d

dx

)l sinx

xnl(x) = −(−1)l

(−1

x

d

dx

)l cosx

x

Le prime funzioni di Bessel sono

j0(x) =sinx

xlimx→0

j0(x) = x0

j1(x) =sinx

x2− cosx

xlimx→0

j1(x) =x

1 · 3

j2(x) =3 sinx

x3− 3 cosx

x2− sinx

xlimx→0

j2(x) =x2

1 · 3 · 5

j3(x) =15 sinx

x4− 15 cosx

x3− 6 sinx

x2+

cosx

xlimx→0

j3(x) =x3

1 · 3 · 5 · 7I limiti delle funzioni di Bessel sferiche sono

limx→0

jl(x) =xl

(2l + 1)!!limxl

jl(x) =sin(x− lπ/2)

x

La seconda relazione definisce il limite asintotico della funzione radiale della particellalibera

limkrl

jl(kr) =1

2ikr

(eikre−ilπ/2 − e−ikreilπ/2

)=

=1

2ikr

((−i)leikr − (i)le−ikr

)=

i

2kil(e−ikr

r− (−1)l

eikr

r

)come sovrapposisione di un’onda sferica entrante e di un’onda sferica uscente dal centrodel potenziale in fase per l dispari e contro fase per l pari.

34.3 Sviluppo di un’onda piana in autofunzioni sferiche

L’autofunzione della particella libera, ψ(~r) = ei~k·~r, si puo esprimere come sovrapposizione

delle autofunzioni radiali jl(kr) e delle armoniche sferiche

ψ(~r) = eikr cos θ =∑lm

Nlmjl(kr)Ylm(θ, φ)

Poiche ψ(~r) non dipende dall’angolo azimutale φ, la somma va estesa alle sole autofunzionicon m = 0

Yl0(θ, φ) =

(2l + 1

4π

)1/2

Pl(cos θ)

Usando le relazioni di ortonormalita∫Pl′(cos θ)Pl(cos θ)d cos θ = 2δl′l/(2l + 1) abbiamo∫ +1

−1eikr cos θPl(cos θ)d cos θ =

501

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 502 — #502 ii

ii

ii


∑l′

Nl′jl′(kr)

∫ +1

−1

(2l + 1

4π

)1/2

Pl′(cos θ)Pl(cos θ)d cos θ =Nljl(kr)

[2π(2l + 1)]1/2

Consideriamo il comportamento per piccoli valori di r e sviluppiamo in serie eikr cos θ

Nljl(kr) = Nl(kr)l

(2l + 1)!!' [2π(2l + 1)]1/2

∫ +1

−1

∑n

(ikr)n

n!unPl(u)du

I polinomi di Legendre Pl(u) sono definiti (appendice 33) dalla relazione

Pl(u) =(−1)l

2l l!

(d

du

)l(1− u2)l =

2l(2l − 1) . . . (l + 1)

2l l!ul + fattore× ul−2

Quindi la potenza un si puo esprimene come la somma di polinomi di Legendre

un =2nn!

2n(2n− 1) . . . (n+ 1)Pn(u) + fattore× Pn′(u) n′ > n

Sostituendo questa espressione nella relazione precedente

Nl(kr)l

(2l + 1)!!= [2π(2l + 1)]1/2

∫ +1

−1

∑n

in(kr)n

n!

2n n!

2n(2n− 1) . . . (n+ 1)Pn(u)Pl(u)du =

= [2π(2l + 1)]1/2il(kr)l2l

2l(2l − 1) . . . (l + 1)

2

2l + 1

otteniamo i coefficienti Nl

Nl = il[4π(2l + 1)]1/2[

2l(2l + 1)!!

(2l + 1)2l(2l − 1) . . . (l + 1)

]= il[4π(2l + 1)]1/2

Le autofunzioni jl(kr)Pl(cos θ) sono pesate per la molteplicita dell’autovalore di momentoangolare, 2l + 1, e sono sfasate di un angolo lπ/2

ei~k·~r =

∞∑l=0

il(2l + 1)jl(kr)Pl(cos θ)

Il limite asintotico e

limkrl

ei~k·~r =

i

2k

∞∑l=0

(2l + 1)

((−1)l

e−ikr

r− eikr

r

)

34.4 Buca di potenziale infinita

Consideriamo una particella confinata in una sfera di raggio ρ

U(r) = 0 per r < ρ U(r) =∞ per r > ρ

Per r < ρ le soluzioni sono le funzioni jl(kr) che si devono annullare per r = ρ. Lacondizione jl(kρ) = 0 definisce i possibili valori di k e gli autovalori di energia, E =h2k2/2m, risultano quantizzati. Gli zeri delle prime funzioni di Bessel sferiche sono

l = 0 j0(x) =sinx

x= 0 knρ = xn = nπ = 3.14, 6.28, 9.42, 12.57, . . .

502

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 503 — #503 ii

ii

ii

34.5. Buca di potenziale finita

l = 1 j1(x) = 0 tanx = x knρ = xn = 4.49, 7.73, 10.90, 14.07, . . .

l = 2 j2(x) = 0 tanx =x

1− x2/3knρ = xn = 5.76, 9.10, 12.32, . . .

Gli autostati sono degeneri con molteplicita 2l + 1 e, se consideriamo particelle con spin1/2 vincolate nella buca di potenziale, la molteplicita e 2(2l + 1). La tabella mostra pervalori crescenti degli zeri della soluzione radiale, cioe per valori crescenti di energia, glistati e la loro molteplicita. L’ultima colonna riporta il numero totale di fermioni di spin1/2 vincolati nella buca di potenziale.

knρ n l stato E/E0 2l + 1∑

2(2l + 1)

3.14 1 0 1s 1.00 1 24.49 1 1 1p 2.04 3 85.76 1 2 1d 3.36 5 186.28 2 0 2s 4.00 1 206.99 1 3 1f 4.95 7 347.73 2 1 2p 6.05 3 408.18 1 4 1g 6.78 9 589.10 2 2 2d 8.39 5 689.36 1 5 1h 8.88 11 909.42 3 0 3s 9.00 1 92. . .

34.5 Buca di potenziale finita

Per una buca di potenziale finita

U(r) = −U0 per r < ρ U(r) = 0 per r > ρ

l’equazione radiale e

r < ρ

(d2

dr2+

2

r

d

dr− l(l + 1)

r2+ k2

i

)R = 0 hki = [2m(E + U0)]1/2

r > ρ

(d2

dr2+

2

r

d

dr− l(l + 1)

r2+ k2

)R = 0 hk = (2mE)1/2

La soluzione per r < ρ che soddisfa la condizione limr→0 rR(r) = 0 e del tipo Rl(r) =Aijl(kir), e la soluzione per r > ρ e del tipo Rl(r) = Ajl(kr) +Bnl(kr) con i coefficienti Ae B reali. La condizione di continuita della soluzione e della derivata per r = ρ definisce ivalori dei coefficienti

Ai jl(kiρ) = Ajl(kρ) +Bnl(kρ)

kiAi

(djldx

)kiρ

= kA

(djldx

)kρ

+ kB

(dnldx

)kρ

Si ottengono delle equazioni trascendentali che vanno risolte numericamente.Nel caso di stati legati, −U0 < E < 0, la soluzione per r > ρ e di tipo esponenzia-

le: contiene le potenze delle funzioni e−kr, e+kr, e solo le prime soddisfano l’andamentoasintotico per r →∞.

503

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 504 — #504 ii

ii

ii


Nel caso E > 0, scattering, l’andamento asintotico e

limkrl

Rl(r) = Asin(kr − lπ/2)

kr+B

cos(kr − lπ/2)

kr=

=iA

2kr

(−(−i)leikr + ile−ikr

)+

B

2kr

((−i)l eikr + i ile−ikr

)=

=i(A− iB)

2kril(e−ikr − (−1)l

A+ iB

A− iBeikr

)Osserviamo che

• per B = 0 (ρ → ∞) la funzione radiale ha solo la componente jl(kr) e la soluzioneasintotica e un’onda piana,

• il rapporto tra l’ampiezza dell’onda sferica uscente dal centro del potenziale e quelladell’onda sferica entrante ha modulo unitario e si puo scrivere come un fattore difase che dipende dal valore di l∣∣∣∣A+ iB

A− iB

∣∣∣∣ = 1 ⇒ A+ iB

A− iB= e2iδl ⇒ B

A= tan δl

• l’onda sferica uscente risulta sfasata di 2δl rispetto a quella entrante,

• l’andamento asintotico della soluzione e

limkrl

Rl(kr) =sin(kr − lπ/2 + δl)

kr

34.6 Potenziale armonico

Per un oscillatore armonico isotropo la costante di richiamo non dipende dalla direzione epossiamo esprimere la hamiltoniana

H =~p2

2m+k~r2

2= Hx +Hy +Hz Hj =

p2j

2m+kr2j

2

Ciascun operatore Hj ha autostati di un oscillatore armonico unidimensionale (appendi-ce 32) e questi sono tra loro indipendenti. Definiamo gli operatori di creazione e distruzionedei modi di vibrazione unidimensionali

aj = Xj + iPj a+j = Xj − iPj [a+

j , ak] = δjk

Nj = a+j aj Nj |nj〉 = nj |nj〉 Hj = Nj +

1

2

Con gli autostati |nj〉 dei modi di vibrazione unidimensionali possiamo costruire gli auto-stati dell’oscillatore nello spazio che hanno autovalori

N |nx ny nz〉 = n|nx ny nz〉 n = nx + ny + nz

H|nx ny nz〉 = En|nx ny nz〉 En =

(n+

3

2

)hω

504

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 505 — #505 ii

ii

ii

34.6. Potenziale armonico

Gli autovalori En dipendono solo dal numero quantico n e hanno degenerazione

(n+ 2)!

n!2!=

(n+ 1)(n+ 2)

2

L’operatore momento angolare commuta con la hamiltoniana e ha gli stessi autostati conautovalori

L2|nx ny nz〉 = h2l(l + 1)|nx ny nz〉 Lz|nx ny nz〉 = hm|nx ny nz〉

Le componenti del momento angolare si possono esprimere in funzione degli operatori aj ,a+j

Lz = ypx − xpy = 2h

(ax + a+

x

2

ay − a+y

2i−ay + a+

y

2

ax − a+x

2i

)= ih(axa

+y − aya+

x )

Lx = ih(aya+z − aza+

y ) Ly = ih(aza+x − axa+

z )

Avendo scelto la componente Lz diagonale conviene usare come coordinate nel piano x–y lecombinazioni x± iy e definire gli operatori di creazione e distruzione dei modi di rotazione

a+ =ax − iay√

2a+

+ =a+x + ia+

y√2

N+ = a++a+

a− =ax + iay√

2a+− =

a+x − ia+

y√2

N− = a+−a−

Gli operatori N+ e N− commutano con la hamiltoniana e hanno gli stessi autostatiN+|nx ny nz〉 = n+|nx ny nz〉, N−|nx ny nz〉 = n−|nx ny nz〉

N+ =(a+x + ia+

y )(ax − iay)2

=1

2

(a+x ax + i(axa

+y − aya+

x ) + a+y ay

)N− =

(a+x − ia+

y )(ax + iay)

2=

1

2

(a+x ax − i(axa+

y − aya+x ) + a+

y ay)

ovvero

N+ =1

2(Nx +Ny + Lz/h) N− =

1

2(Nx +Ny − Lz/h)

N+ +N− = Nx +Ny = N −Nz N+ −N− = Lz/h

e otteniamo le relazioni tra gli autovalori n++n− = n−nz, n++n− = m, da cui osserviamoche i valori minimo e massimo di m corrispondono a −n e +n.

Per stabilire la corrispondenza tra gli autostati |nx ny nz〉 e gli autostati |n l m〉osserviamo che gli operatori aj e a+

j si invertono per trasformazione di parita e quindicambiano la parita degli stati. Per lo stato vuoto |0 0 0〉 abbiamo n = l = m = 0 e paritapositiva. Gli stati con n = 1, |nx ny nz〉 = |0 0 1〉, |0 1 0〉, |1 0 0〉, hanno parita negativa,etc. Poiche la parita di uno stato e (−1)l, gli autovalori di l sono pari per n = pari edispari per n = dispari e assumono i valori positivi

l = . . . (n− 4), (n− 2), n

con degenerazione 2l + 1. Gli autovalori dei primi stati sono elencati nella tabella

505

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 506 — #506 ii

ii

ii


n nx ny nz n+ n− m l stato 2l + 1∑

2(2l + 1) E

0 0 0 0 0 0 0 0 1s 1 2 3hω/2

1 0 0 1 0 0 0 1 1p 3 8 5hω/20 1 0 0 1 -1 11 0 0 1 0 +1 1

2 0 0 2 0 0 0 0 2s 1 10 7hω/20 2 0 0 2 -2 2 1d 5 202 0 0 2 0 +2 21 1 0 1 1 0 21 0 1 0 1 -1 20 1 1 1 0 +1 2

3 0 0 3 0 0 0 1 2p 3 26 9hω/20 3 0 1 2 -1 13 0 0 2 1 +1 11 1 1 1 1 0 3 1f 7 400 1 2 0 1 -1 30 2 1 0 2 -2 31 0 2 1 0 +1 32 0 1 2 0 +2 31 2 0 0 3 -3 32 1 0 3 0 +3 3

34.7 Potenziale coulombiano

L’energia potenziale di una particella di carica elettrica −e nel campo prodotto da unacarica puntiforme di carica +Ze e

U(r) = − Ze2

4πε0r= −Zαhc

r

L’equazione radiale e(h2

2m

[d2

dr+

2

r

d

dr

]− h2

2m

l(l + 1)

r2+Zαhc

r

)REl = EREl

Consideriamo gli stati legati, E < 0. Nel modello atomico di Bohr, il raggio dell’orbita el’energia dello stato fondamentale sono

r0 =a0

Z=

1

Z

hc

αmc2E0 = Z2ERy = −Z2α

2mc2

2

Con le variabili adimensionali

ν =

(E0

E

)1/2

x =(2m|E|)1/2

h2r =

Z

ν

2r

a0

l’equazione radiale diventa(d2

dx2+

2

x

d

dx− l(l + 1)

x2+ν

x− 1

4

)R = 0

Consideriamo il comportamento della soluzione per x→ 0 e per x→∞

506

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 507 — #507 ii

ii

ii

34.7. Potenziale coulombiano

• Per x→∞d2R

dx2− R

4= 0 lim

x→∞R(x) = e−x/2

Ponendo R(x) = e−x/2S(x)

R′ = (S′ − S/2)e−x/2 R′′ = (S′′ − S′ + S/4)e−x/2

la funzione S(x) soddisfa l’equazione

S′′ +

(2

x− 1

)S′ −

(l(l + 1)

x2− ν − 1

x

)S = 0

• Per x→ 0 la funzione ha andamento S(x) = xlT (x) con limx→0 T (x) = costante

S′ = xlT ′ + lxl−1T S′′ = xlT ′′ + 2lxl−1T ′ + l(l − 1)xl−2T

la funzione T (x) soddisfa l’equazione

xT ′′ + (2(l + 1)− x)T ′ + (ν − l − 1)T = 0

L’andamento per x→ 0 della funzione e soddisfatto da un polinomio T (x) =∑k akx

k con

T ′ =∑k

kakxk−1 T ′′ =

∑k

k(k − 1)akxk−2

e i coefficienti ak soddisfano l’equazione∑k

[k((k − 1) + 2(l + 1))akx

k−2 + (ν − l − 1− k)akxk−1

]= 0

ovvero ∑k

[(k + 1)(k + 2(l + 1))ak+1 + (ν − l − 1− k)ak]xk−1 = 0

Perche l’equazione sia soddisfatta i termini si devono annullare a ciascun ordine e ottenia-mo la relazione

ak+1 = akk + l + 1− ν

(k + 1)(k + 2l + 2)

Perche la serie sia finita deve esistere un valore di k per cui ak+1 = 0, cioe k = ν − l − 1.Quindi otteniamo le condizioni sul parametro ν

• ν e un numero intero;

• ν ≥ l + 1.

ν e il numero quantico principale n: n = ν = 1, 2, 3, . . . Gli autovalori di energiadipendono solo dal numero quantico principale

En =E0

n2= −Z

2

n2

α2mc2

2

Gli autostati sono degeneri con molteplicita 2l+1; 2(2l+1) se consideriamo particelle conspin 1/2. La tabella mostra gli stati e la loro molteplicita per valori crescenti di energiacome sono effetivamente osservati. La degenerazione degli stati e rimossa dall’interazionetra lo spin e il momento angolare orbitale e gli autovalori di energia sono leggermentemodificati (struttura fine). L’ultima colonna riporta il simbolo dell’elemento con Z =∑

2(2l + 1).

507

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 508 — #508 ii

ii

ii


n l stato E/Eo 2l + 1∑

2(2l + 1)

1 0 1s 1 1 2 He2 0 2s 1/4 1 4 Be2 1 2p 1/4 3 10 Ne3 0 3s 1/9 1 12 Mg3 1 3p 1/9 3 18 Ar4 0 4s 1/16 1 20 Ca3 2 3d 1/9 5 30 Zn4 1 4p 1/16 3 36 Kr5 0 5s 1/25 1 38 Sr4 2 4d 1/16 5 48 Cd5 1 5p 1/16 3 54 Xe. . .

I polinomi T (x) che soddisfano le relazioni dei coefficienti ak sono i polinomi di Laguerre,Lqp(x), definiti dalle relazioni

L0p(x) = ex

dp

dxpxpe−x Lqp(x) = (−1)q

dq

dxqL0p+q(x)

che sono le soluzioni dell’equazione differenziale(xd2

dx2+ (1 + q − x)

d

dx+ p

)Lqp(x) = 0

e che hanno le relazioni di ortonormalita∫ ∞0

e−xxqLqp′(x)Lqp(x)dx =[(p+ q)!]3

p!δp′p

L00 = 1 L0

1 = 1− x L02 = 2− 4x+ x2 L0

3 = 6− 18x+ 9x2 − x3

L10 = 1 L1

1 = 4− 2x L12 = 18− 18x+ 3x2 L1

3 = 96− 144x+ 48x2 − 4x3

L20 = 2 L2

1 = 18− 6x L22 = 144− 96x+ 12x2 L2

3 = 1200− 1200x+ 600x2 − 20x3

L30 = 6 L3

1 = 96− 24x L32 = 1200− 600x+ 60x2

L40 = 24 L4

1 = 600− 120x

L50 = 120

Le autofunzioni radiali contengono i polinomi Lpp(x) con q = 2l + 1, p = n− l − 1

Rnl(x) = Nnl e−x/2 xl L2l+1

n−l−1(x)

e i fattori Nnl sono definiti dalla condizione di normalizzazione∫

[Rnl(r)]2r2dr = 1

Nnl =

(2Z

na0

)3/2 ( (n− l − 1)!

2n[(n+ l)!]3

)1/2

Le prime autofunzioni radiali sono

R10 =1√2

(2Z

a0

)3/2

e−Zr/a0

R20 =1√2

(Z

a0

)3/2 (1− 1

2

Zr

ao

)e−Zr/2a0

508

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 509 — #509 ii

ii

ii

34.7. Potenziale coulombiano

R21 =1

2√

6

(Z

ao

)3/2 Zr

a0e−Zr/2a0

R30 =1√2

(2Z

3a0

)3/2(

1− 2

3

Zr

a0+

2

27

(Zr

a0

)2)e−Zr/3a0

R31 =2

9

(2Z

3a0

)3/2 Zr

a0

(1− 1

6

Zr

a0

)e−Zr/3a0

R32 =1

27√

5

(2Z

3a0

)3/2 (Zra0

)2

e−Zr/3a0

Le autofunzioni del potenziale coulombiano sono

ψnlm(r, θ, φ) = Nnl e−Zr/na0

(2Zr

na0

)lL2l+1n−l−1(2Zr/na0)Ylm(θ, φ)

Solo le autofunzioni con l = 0 hanno un valore non nullo nella regione del nucleo r ' 0.

509

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 510 — #510 ii

ii

ii


510

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 511 — #511 ii

ii

ii

Capitolo 35

Simmetrie unitarie

Le simmetrie unitarie sono una generalizzazione delle rotazioni (appendice 33). Consideria-mo la spazio vettoriale complesso a n dimensioni, e in questo spazio n vettori linearmenteindipendenti |ψn〉 che formano una base. Il generico vettore |ψ〉 si puo esprimere comecombinazione dei vettori di base con an numeri complessi

|ψ〉 =∑n

an|ψn〉

Consideriamo una trasformazione tra due stati, |ψ′〉 = U |ψ〉, che conservi la densita diprobabilita. Questa trasformazione e unitaria

〈ψ′|ψ′〉 = 〈ψ|U+U |ψ〉 = 〈ψ|ψ〉 ⇒ U+U = 1 (35.1)

Nello spazio a n dimensioni l’operatore U si puo rappresentare come una matrice quadrataunitaria n× n. Il determinante della matrice U+U ha modulo 1

det[U+U ] = 1 = det[U+] det[U ] = (det[U ])∗ det[U ] = |det[U ]|2

e quindi si puo esprimere det[U ] = eiα con α numero reale.L’insieme delle matrici unitarie n × n formano un gruppo, soddisfano cioe le seguenti

condizioni

• il prodotto di due matrici unitarie, U1U2, e una matrice unitaria, cioe appartiene algruppo

(U1U2)+ (U1U2) = U+2 U

+1 U1U2 = 1 ;

• la matrice identita appartiene al gruppo;

• la matrice inversa U−1 di una matrice unitaria appartiene al gruppo;

• le matrici del gruppo soddisfano la proprieta associativa

U1 (U2U3) = (U1U2)U3 .

Il gruppo delle trasformazioni unitarie nello spazio a n dimensioni e il gruppo unitarioU(n). Se un sistema e invariante per le trasformazioni del gruppo U(n) la hamiltonianache descrive il sistema e invariante per le trasformazioni

H → H ′ H ′ = UHU+

511

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Capitolo 35. Simmetrie unitarie

Consideriamo la trasformazione U = eiφUs , con φ numero reale, tale che Us sia unatrasformazione unimodulare cioe con det[Us] = +1. Se la hamiltoniana e invariante per latrasformazione eiφHe−iφ, che corrisponde alla conservazione di un numero quantico additi-vo (ad esempio la carica elettrica oppure il numero barionico), allora possiamo considerareinvece delle trasformazioni U le corrispondenti trasformazioni unimodulari Us. Il gruppodelle trasformazioni unitarie unimodulari nello spazio a n dimensioni e il gruppo specialeunitario SU(n).

Le trasformazioni del gruppo SU(n) si possono scrivere

U = ei∑

kαkGk (35.2)

con αk numeri reali e Gk operatori hermitiani detti generatori della trasformazione. Nellospazio a n dimensioni i generatori si possono rappresentare come matrici n× n che hannole seguenti proprieta

• il numero di generatori, l’ordine del gruppo di simmetria, e n2 − 1;

• tra questi ci sono r = n−1 generatori che commutano e che si possono rappresentarecon matrici n× n diagonali, r e chiamato il rango del gruppo di simmetria;

• i generatori sono rappresentati da matrici n× n a traccia nulla

det[ei∑

kαkGk

]=∏k

det[eiαkGk

]= 1 ⇒ det

[eiαkGk

]= eiαkTr[Gk] = 1 ;

• il commutatore di due generatori e anch’esso, a parte un fattore, un generatore dellasimmetria e le proprieta del gruppo di simmetria sono definite dalle relazioni dicommutazione tra generatori

[Gj , Gk] = gjklGl

con i parametri gjkl detti costanti di struttura del gruppo di simmetria che soddisfanole relazioni

gkjl = −gjkl∑l

(gjklglmn + gkmlgljn + gmjlglkn) = 0 .

La seconda relazione e conseguenza della identita di Jacobi che si ottiene ruotando su treindici

[[Gj , Gk], Gm] + [[Gk, Gm], Gj ] + [[Gm, Gj ], Gk] = 0

tenendo conto delle relazioni di commutazione e del fatto che i generatori sono linearmenteindipendenti

[[Gj , Gk], Gm] =∑l

gjkl [Gl, Gm] =∑l

gjklglmnGn

∑l

(gjklglmpGp + gkmlgljqGq + gmjlglkrGr) = 0

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35.1. SU(2)

35.1 SU(2)

Nello spazio vettoriale a due dimensioni in cui scegliamo come vettori di base u = |up〉,d = |down〉

u =

(10

)d =

(01

)

ci sono 22 − 1 = 3 generatori e il rango del gruppo di simmetria e r = 2− 1 = 1, cioe unodei generatori e diagonale. Nella rappresentazione con G3 diagonale i generatori sono lematrici di Pauli ×1

2

G1 =1

2

(0 11 0

)G2 =

1

2

(0 −ii 0

)G3 =

1

2

(1 00 −1

)

che soddisfano le relazioni di commutazione [Gj , Gk] = iεjklGl, dove εjkl e il tensorecompletamente antisimmetrico

ε123 = ε231 = ε312 = +1 ε321 = ε213 = ε132 = −1

I generatori G1, G2, G3, costituiscono la rappresentazione fondamentale di SU(2) indue dimensioni cioe del gruppo di rotazioni di isospin 1/2. Esiste un generatore diagonale,G3, che rappresenta una componente dell’isospin, oltre al modulo quadro dell’isospin chee proporzionale alla matrice identita 2× 2,

∑kG

2k = (3/4)× 1.

Analogamente, nella rappresentazione in piu dimensioni. Ad esempio, in tre dimensionisi ha il gruppo di rotazioni di isospin 1. Le tre matrici 3× 3 che soddisfano le relazioni dicommutazione sono (appendice 35)

G1 =1√2

0 1 01 0 10 1 0

G2 =1√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

G3 =

1 0 00 0 00 0 −1

Esiste un generatore diagonale, G3, oltre al modulo quadro dell’isospin,

∑kG

2k = 2 × 1,

proporzionale alla matrice identita 3× 3.

Gli autostati si ottengono come combinazione di due stati di isospin 1/2 utilizzando icoefficienti di Clebsch–Gordan (appendice 33). Ci sono quattro possibili combinazioni esi ottengono quattro autostati, un tripletto di isospin 1, simmetrico rispetto allo scambiou↔ d,

|1,+1〉 = uu |1, 0〉 =ud+ du√

2|1,−1〉 = dd

e un singoletto, antisimmetrico

|0, 0〉 =ud− du√

2

La decomposizione in multipletti costituisce la rappresentazione non riducibile di SU(2)che si esprime in modo simbolico 2

⊗2 = 3

⊕1 e si rappresenta in modo grafico come

illustrato in Fig. 35.1: si sovrappone il primo doppietto g3 = ±1/2 al secondo sfalsatorispettivamente di -1 e +1.

513

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+ 1/2- 1/2 + 1/2- 1/2 0- 1 + 1

G = 0

G = 1

Figura 35.1: Costruzione grafica della combinazione di due isospin 1/2

35.2 SU(3)

Nello spazio vettoriale a tre dimensioni in cui scegliamo come vettori di base

u =

100

d =

010

s =

001

ci sono 32 − 1 = 8 generatori. Il rango del gruppo di simmetria e r = 3 − 1 = 2 e quindici sono due generatori diagonali. Nella rappresentazione in cui G3 e G8 sono diagonali igeneratori sono le matrici di Gell-Mann

G1 =1

2

0 1 01 0 00 0 0

G2 =1

2

0 −i 0i 0 00 0 0

G3 =1

2

1 0 00 −1 00 0 0

G4 =1

2

0 0 10 0 01 0 0

G5 =1

2

0 0 −i0 0 0i 0 0

G6 =1

2

0 0 00 0 10 1 0

G7 =1

2

0 0 00 0 −i0 i 0

G8 =1

2√

3

1 0 00 1 00 0 −2

I prime sette generatori sono costruiti con le matrici di Pauli e G8 e definito delle relazionidi commutazione, [Gj , Gk] = iγjklGl. Le costanti di struttura di SU(3) sono

γ123 = 1 γ147 = γ165 = γ246 = γ257 = γ345 = γ376 = 1/2 γ458 = γ678 =√

3/2

La somma dei quadrati dei generatori e proporzionale alla matrice identita 3×3,∑kG

2k =

(4/3)× 1. Gli autovalori dei generatori diagonali sono

g3 =

(+

1

2, −1

2, 0

)g8 =

(+

1

2√

3, +

1

2√

3, − 1√

3

)

35.3 Stati coniugati

Supponiamo che la trasformazione di coniugazione C, C|ψ〉 = |ψ〉∗, commuti con la hamil-toniana che descrive il sistema di modo che gli stati |ψ〉∗ siano anch’essi stati del sistema.Se U e una trasformazione unitaria unimodulare con generatori Gk, i generatori dellatrasformazione U∗ sono gli operatori Gk = −G∗k

|ψ′〉∗ = U∗|ψ〉∗ U∗ = e−i∑

kα∗kG

∗k = ei

∑kαk(−G∗k) = ei

∑kαkGk

514

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35.3. Stati coniugati

Se rappresentiamo i generatori con matrici hermitiane n×n, G∗k sono le matrici trasposte

Gµνk = −G∗µνk = −Gνµk

e per i generatori diagonali si ha Gk = −Gk. Quindi gli autovalori degli stati coniugatisono uguali a quelli degli stati di partenza con il segno cambiato.

Nel caso di SU(2) e semplice trovare una trasformazione per passare dalla rappresen-tazione 2 alla rappresentazione 2: questa e una rotazione di π nello spazio dell’isospin.Per una rotazione si ha

R(θ) = e−iθG2 =∑n

(−iθ)n

n!Gn2 = cos θ/2

(1 00 1

)− i sin θ/2

(0 −ii 0

)

Rπ =

(0 −11 0

)R+π =

(0 1−1 0

)I generatori della simmetria degli stati coniugati, Gk = RπGkR

+π , sono G1 = −G1, G2 =

G2, G3 = −G3 e gli autostati sono

u = Rπu = d d = Rπd = −u

che hanno autovalori di G3: g3(u) = −1/2, g3(d) = +1/2.Combinando un doppietto di 2 con uno di 2 si ottiene di nuovo un tripletto, ora

antisimmetrico, e un singoletto simmetrico, 2⊗

2 = 3⊕

1

|1,+1〉 = −ud |1, 0〉 =uu− dd√

2|1,−1〉 = du

|0, 0〉 =uu+ dd√

2

Nel caso di SU(3) non esiste una semplice trasformazione Gk → Gk. I generatori dellasimmetria degli stati coniugati sono G1 = −G1, G2 = G2, G3 = −G3, G4 = −G4,G5 = G5, G6 = −G6, G7 = G7, G8 = −G8. Gli autovalori dei generatori diagonali G3 eG8 corrispondenti agli autostati (u, d, s) sono rispettivamente

g3 =

(−1

2, +

1

2, 0

)g8 =

(− 1

2√

3, − 1

2√

3, +

1√3

)

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516

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Capitolo 36

L’interazione elettromagnetica

36.1 Hamiltoniana di interazione

Per descrivere l’interazione tra particelle e campo elettromagnetico e opportuno usare ilformalismo invariante per trasformazioni di Lorentz. L’approssimazione non relativisticae comunque adeguata per descrivere gran parte dei fenomeni in fisica atomica e fisicanucleare.

Il principio di minima azione richiede che le equazioni che descrivono l’evoluzionedel sistema nel tempo si ottengono minimizzando l’integrale della lagrangiana

∫∆t Ldt. Il

principio di relativita richiede che questo avvenga in ogni riferimento inerziale. L’intervallodi tempo proprio, dt0 = dt/γ, e invariante. Quindi una lagrangiana espressa in termini diinvarianti e proporzionale a γ−1 assicura che sia rispettato il principio di relativita.

La lagrangiana funzione della massa, velocita, carica della particella e del campoelettromagnetico si puo esprimere

L(m,xj , xj) = −mc2 + q U ·A

γU = (γ~v, γc) A = ( ~A, V/c)

Le componenti del momento coniugato sono

pi =∂L

∂xi= − ∂

∂vi

(mc2

γ− q~v · ~A+ qV

)= mγvi + qAi

La hamiltoniana e

H = ~p · ~v − L = mc2/γ + ~p · (~p− q ~A) + qV

La velocita in funzione del momento coniugato e

(mγ~v)2 = (~p− q ~A)2 (mγc)2 = (mc)2 + (~p− q ~A)2

~v = c~p− q ~A√

(mc)2 + (~p− q ~A)2γ =

√(mc)2 + (~p− q ~A)2

mc

Sostituendo i valori di γ e v si ottiene la hamiltoniana

H = c√

(mc)2 + (~p− q ~A)2 + qV (36.1)

517

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 518 — #518 ii

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Capitolo 36. L’interazione elettromagnetica

Se H` e ~p` sono la hamiltoniana e l’impulso della particella libera, la hamiltoniana dellaparticella in interazione col campo elettromagnetico si ottiene con la trasformazione

~p` → ~p− q ~A H` → H − qV

dove ~A e V sono definiti a meno di una trasformazione di gauge. In approssimazione nonrelativistica p mc, qA mc, si ha

H = mc2 +(~p− q ~A)2

2m+ qV = mc2 +

p2

2m− q

m~A · ~p+ qV +

q2 ~A2

2m

che rappresentano l’energia di riposo, l’energia cinetica e l’energia di interazione tra unaparticella di massa m e carica elettrica q e il campo elettromagnetico.

36.2 Quantizzazione del campo

In meccanica quantistica la hamiltoniana e espressa in termini di operatori. L’operatoreimpulso e −ih~∇. L’operatore campo elettromagnetico viene definito in termini di operatoridi creazione e distruzione degli autostati che sono i modi normali di vibrazione del campo.

In assenza di cariche l’equazione del potenziale vettore e l’equazione di d’Alembert. Lasoluzione si puo esprimere come serie di Fourier. La dipendenza dalle coordinate spazialie definita in un volume V dalle funzioni

V −1/2 εs(~k)ei~k·~r

dove εs(~k) sono versori di polarizzazione ortogonali tra loro e ortogonali al vettore ~k,(s = 1, 2). I modi normali di vibrazione sono definiti dalle condizione

kx =2π

Lxn , . . . LxLyLz = V n = 0, 1, 2 . . .

La soluzione per il campo, a meno di un fattore di normalizzazione, e

~A(~r, t) =∑~k

∑s

εs(~k)[as(~k, t)e

i~k·~r + a∗s(~k, t)e−i

~k·~r]

L’ampiezza as(~k, t) soddisfa l’equazione dell’oscillatore armonico

∂2

∂t2as(~k, t) + ω2

kas(~k, t) = 0 ωk = c|~k|

In analogia con l’oscillatore armonico quantistico consideriamo le ampiezze come operatoridi creazione e distruzione dei modi normali di vibrazione del campo caratterizzati daimpulso h~k e energia hω~k

a|n〉 = n1/2|n− 1〉 a+|n〉 = (n+ 1)1/2|n+ 1〉 [a, a+] = 1

L’operatore campo elettromagnetico e l’operatore vettoriale

~A(~r, t) = A sum~k

∑s

εs(~k)[as(~k)ei(

~k·~r−ωt) + a+s (~k)e−i(

~k·~r−ωt)]

(36.2)

518

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36.2. Quantizzazione del campo

dove A e un fattore di normalizzazione.Gli autostati |n, s,~k〉 sono caratterizzati da n fotoni con polarizzazione εs, impulso h~k

e energia hωk = hck. L’operatore as(~k) assorbe un fotone e l’operatore a+s (~k) emette un

fotone con le regole di commutazione [as(~k), a+s′(~k′)] = δs,s′δk,k′ . Gli operatori vettoriali

campo elettrico e campo magnetico sono

~E = −∂~A

∂t= A

∑~k

∑s

iωk εs(~k)[as(~k)ei(

~k·~r−ωt) − a+s (~k)e−i(

~k·~r−ωt)]

~B = ~∇× ~A = A∑~k

∑s

i~k × εs(~k)[as(~k)ei(

~k·~r−ωt) − a+s (~k)e−i(

~k·~r−ωt)]

I moduli quadri dei valori di aspettazione per stati di n fotoni sono

|〈n| ~E|n〉|2 = 2nω2A2 |〈n| ~B|n〉|2 = 2n~k2A2

Il fattore di normalizzazione e definito dal valore dell’energia del campo nel volume dinormalizzazione V

U =V

2

(ε0〈 ~E2〉+ 〈 ~B2〉/µ0

)= nV ε0

(ω2 + c2~k2

)A2 = nhω A =

(h

2V ε0ω

)1/2

519

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Capitolo 36. L’interazione elettromagnetica

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Capitolo 37

Legge di decadimento

La probabilita di decadimento di un sistema nell’intervallo di tempo infinitesimo dt edefinita dalla costante di decadimento, λ, che ha le dimensioni dell’inverso di un tempo ede una grandezza caratteristica del sistema e dell’interazione che produce il decadimento

dP = λdt

Se si hanno N sistemi identici, se il numero N e sufficientemente grande da poterlo consi-derare come una variabile continua e se i decadimenti sono indipendenti, la variazione delnumero N per effetto del decadimento e

−dN = λNdt

Integrando l’equazione con la condizione N(t = 0) = N0 si ha la legge di decadimento

N(t) = N0e−λt

Il numero di sistemi sopravvissuti al tempo t e caratterizzato dalla funzione di distribuzione

f(t) = λe−λt∫ ∞

0f(t) dt = 1

Il valor medio della distribuzione e la vita media di decadimento

τ = 〈 t 〉 =

∫ ∞0

λe−λttdt =1

λ

Il decadimento e un fenomeno statistico casuale che non trova spiegazione nella meccanicaclassica deterministica. In meccanica quantistica un sistema e descritto dagli autostatidefiniti ad un certo istante, t = 0, e dalla loro evoluzione temporale. Se Ek sono gliautovalori di energia, e il sistema si trova al tempo t = 0 nello stato stazionario |ψj〉, conautovalore Ej0, l’autostato al tempo t

|ψj(t)〉 = |ψj0〉 e−iEjt/h

conserva la densita di probabilita: 〈ψj(t)|ψj(t)〉 = 〈ψj0|ψj0〉, cioe il sistema e stabile. Se ilsistema e soggetto ad una interazione dipendente dal tempo descritta dalla hamiltonianaHI l’autovalore di energia viene modificato dall’interazione

Ej → Ej + 〈j|HI |j〉+∑k 6=j

|〈k|HI |j〉|2

Ek − Ej− iπ

∑k 6=j|〈k|HI |j〉|2 δ(Ek − Ej) + . . .

521

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 522 — #522 ii

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Capitolo 37. Legge di decadimento

e lo stato non e piu stazionario per effetto del fattore immaginario nell’evoluzione tempo-rale. La grandezza

Γj = 2π∑k 6=j|〈k|HI |j〉|2δ(Ek − Ej)

e chiamata larghezza di decadimento. L’evoluzione temporale dello stato diventa

|ψj(t)〉 = |ψj0〉e−iEjt/he−Γjt/2h

e la densita di probabilita decresce in modo esponenziale nel tempo

〈ψj(t)|ψj(t)〉 = 〈ψj0|ψj0〉e−Γt/h

La larghezza di decadimento rappresenta l’incertezza con cui e nota l’energia dello stato|ψj〉 non stazionario ed e legata alla vita media dello stato dalla relazione di indetermina-zione

Γτ = h

Per ottenere la funzione di distribuzione dell’energia attorno al valor medio Ej consideria-mo la trasformata di Fourier dell’evoluzione temporale dello stato |ψj〉

χ(E) = κ

∫eiEt/hψ(t)dt = κ

∫ψj0 e

(i/h)(E−Ej+iΓ/2)t dt = κψj0h/i

E − Ej + iΓ/2

La probabilita che il sistema abbia energia E e

P (E) = |χ(E)|2 = κ2|ψj0|2h2

(E − Ej)2 + (Γ/2)2

dove la costante κ e definita dalla condizione di normalizzazione∫P (E)dE = 1

P (E) =1

π

Γ/2

(E − Ej)2 + (Γ/2)2

Quindi uno stato instabile che ha vita media τ ha una distribuzione in energia attorno alvalore Ej che e una funzione lorentziana con larghezza a meta altezza pari a Γ.

Se il sistema decade nello stato |ψf 〉 per effetto della hamiltoniana di interazione HI ,la largezza di decadimento, al primo ordine dello sviluppo perturbativo, si calcola con laregola d’oro di Fermi (appendice 38)

Γj→f = 2π|〈ψf |HI |ψj〉|2ρ(Ef )

Il sistema puo decadere in piu stati: in questo caso il decadimento |ψj〉 → |ψk〉 e caratte-rizzato dalla larghezza parziale di decadimento Γk. La larghezza (totale) e la somma dellelarghezze parziali (la probabilita di decadimento e la somma delle probabilita dei diversicanali di decadimento) e la vita media dello stato |ψj〉 e

h

τ= Γ =

∑k

Γk

Il rapporto Γk/Γ e chiamato frazione di decadimento o branching ratio

BRk =ΓkΓ

∑k

BRk = 1

522

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Capitolo 38

Probabilita di transizione

Consideriano un sistema descritto dalla hamiltoniana H0 indipendente dal tempo. L’evo-luzione temporale del sistema si esprime

|ψ0(~r, t)〉 =∑n

an|un(~r)〉e−iEnt/h

dove un(~r) e un insieme completo di autostati stazionari di H0, 〈um|un〉 = δmn, conautovalori En. Se il sistema e soggetto ad una interazione descritta dalla hamiltonianadipendente dal tempo HI(t), la soluzione dell’equazione del moto

ih∂

∂t|ψ(~r, t)〉 = [H0 +HI(t)] |ψ(~r, t)〉 (38.1)

si puo approssimare con il metodo delle perturbazioni dipendenti dal tempo. Consi-deriamo una soluzione sovrapposizione degli autostati della hamiltoniana imperturbatacon coefficienti dipendenti dal tempo an(t) che soddisfano la relazione di normalizzazioneΣn|an(t)|2 = 1

|ψ(~r, t)〉 =∑n

an(t)|un(~r)〉e−iEnt/h (38.2)

am(t) e l’ampiezza dell’autostato |um〉 al tempo t. Introducendo questa soluzione nell’e-quazione del moto

ih∑n

an|un〉e−iEnt/h +∑n

an|un〉Ene−iEnt/h =

=∑n

anHo|un〉e−iEnt/h +∑n

anHI |un〉e−iEnt/h

e calcolando il prodotto scalare tra due stati

ih∑n

an〈um|un〉e−iEnt/h =∑n

an〈um| HI |un〉e−iEnt/h

si ottiene l’equazione differenziale che descrive l’evoluzione dei coefficienti am(t)

iham(t) =∑n

an(t)〈um|HI |un〉ei(Em−En)t/h

Supponiamo che la hamiltoniana di interazione sia spenta per t < 0, che all’istante t = 0 ilsistema si trovi nell’autostato |uj〉, an(0) = δjn, e che per t > 0 l’azione della hamiltoniana

523

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Capitolo 38. Probabilita di transizione

HI(t) possa considerarsi come una perturbazione, cioe che per gli elementi di matrice sipossa approssimare

HnmI (t) = 〈un|HI(t)|um〉〈un|H0|um〉

in un intervallo di tempo ∆t sufficiente a permettere al sistema di evolvere nello statofinale considerato. Sviluppando in serie i coefficienti an(t) per n 6= j

an(t) = an(0) + an(0)t+ . . . = an(0)− i

h

∑k

ak(0)HknI t+ . . .

le ampiezze soddisfano l’equazione differenziale

iham(t) =∑n

[an(0)− i

h

∑k

ak(0)HknI t+ . . .

]HnmI eiωnmt =

=∑n

an(0)HnmI eiωnmt − i

h

∑nk

ak(0)HknI Hnm

I eiωnmtt+ . . . =

=∑n

δjnHnmI eiωnmt − i

h

∑nk

δjkHknI Hnm

I eiωnmtt+ . . . =

= HjmI eiωjmt − i

h

∑n

HjnI Hnm

I eiωnmtt+ . . .

che ha la soluzione approssimata

am(t) = − ih

∫ t

0HjmI eiωjmt

′dt′ +

1

h2

∫ t

0

∑n

HjnI Hnm

I eiωnmt′t′dt′ + . . .

Il primo termine dello sviluppo in serie e

am(t) = − HjmI

hωjm(1− eiωjmt) =

HjmI

hωjm2ieiωjmt/2 sinωjmt/2

dove HjmI e il valor medio dell’elemento di matrice nell’intervallo di tempo 0 ÷ t. La

probabilita di trovare il sistema nello stato |um〉 al tempo t e

Pj→m(t) = |am(t)|2 = 4|HjmI |

2 sin2(Em − Ej)t/2h(Em − Ej)2

La probabilita di transizione dallo stato iniziale |ui〉 ad un qualunque stato finale |uf 〉 siottiene sommando sugli stati finali accessibili al sistema

Pi→f (t) = 4∑f

|H ifI |

2 sin2(Ef − Ei)t/2h(Ef − Ei)2

Se si ha una distribuzione continua di stati con densita di energia ρ(Ef ) = dn/dEf , lasomma diventa un integrale sull’energia dello stato finale Ef

Pi→f (t) =1

h2

∫|H if

I |2 sin2(Ef − Ei)t/2h

[(Ef − Ei)/2h]2ρ(Ef ) dEf (38.3)

524

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 525 — #525 ii

ii

ii

La funzione sin2 ωt/ω2 e oscillante con valori rapidamente decrescenti, cioe il contributoall’integrale e limitato ad un intervallo di energia attorno a Ei in cui ∆E t ≈ 2πh. Sefacciamo una osservazione del sistema dopo un tempo t 2πh/∆E ≈ (4 10−15 eV/∆E)secondi, otteniamo

limt→∞

1

π

sin2 ωt

ω2= tδ(ω)

Pi→f (t) ≈ 2π

ht

∫|H if

I |2δ(Ef − Ei)ρ(Ef ) dEf

La probabilita di transizione nell’unita di tempo dallo stato iniziale |i〉 allo stato finale|f〉, calcolata al primo ordine dello sviluppo perturbativo in meccanica quantistica nonrelativistica e data dalla relazione

Pi→f =2π

h|〈f |HI |i〉|2ρ(Ef ) (38.4)

nota come regola d’oro di Fermi.

525

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 526 — #526 ii

ii

ii

Capitolo 38. Probabilita di transizione

526

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 527 — #527 ii

ii

ii

Capitolo 39

Densita dello spazio delle fasi

Nell’appendice 38 abbiamo derivato la probabilita di transizione nell’unita di tempo chedipende dal numero di stati finali per intervallo unitario di energia. Il numero di stati diun sistema e definito nello spazio delle fasi delle variabili coniugate (~r, ~p). Il principio diindeterminazione stabilisce la condizione per cui si possano definire simultaneamente duevariabili coniugate

∆x∆px > h

per cui il numero di stati di un sistema in una dimensione e il rapporto tra il volume dellospazio delle fasi accessibile al sistema e la dimensione della cella elementare∫

dxdpx∆x∆px

Per definire il fattore ∆x∆px consideriamo il moto di una particella in una dimensione ele autofunzioni normalizzate su una distanza L

ψn(x) =1

L1/2eipnx/h

La condizione al contorno

ψn(x) = ψn(x+ L) ⇒ pn = (2πh/L)n

definisce gli autovalori degli stati stazionari e il numero di stati per intervallo unitario nellevariabili coniugate

∆n =pL

2πhd2n =

dxdpx2πh

Per un sistema in tre dimensioni si ha

d6n = gdxdydzdpxdpydpz

(2πh)3= g

d~rd~p

(2πh)3

dove il fattore g tiene conto della molteplicita di ciascuno stato dovuta a gradi di libertadiversi dalle variabili coniugate, ad esempio i possibili stati di spin.

La regola d’oro di Fermi e usata di frequente per calcolare la costante di decadimentooppure la sezione d’urto come funzioni di alcune particolari variabili. In questo caso ladensita degli stati si ottiene integrando d6n su tutte le altre variabili e derivando rispettoall’energia totale

ρ(E) =dn

dE=

d

dE

∫d6n

527

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 528 — #528 ii

ii

ii

Capitolo 39. Densita dello spazio delle fasi

Esempio

Stati di una particella di massa m e spin 0 normalizzati in un volume V . Integrando sullevariabili spaziali e esprimendo d~p in coordinate polari

ρ(E)dpdΩ =

[V

(2πh)3p2 dp

dE

]dpdΩ

• in meccanica non relativistica, E = p2/2m, dE = pdp/m,

ρ(E) =V

(2πh)3mp

• in meccanica relativistica, E2 = (mc2)2 + (pc)2, EdE = c2pdp

ρ(E) =V

(2πh)3

pE

c2

nel limite p mc, E ' mc2 si ottiene il caso precedente.

Per un fotone (E = pc = hν) con due stati di polarizzazione

ρ(E)dpdΩ =2V

(2πh)3

p2

cdpdΩ =

2V

c3ν2dνdΩ

e, integrando sugli angoli, il numero di stati per unita di frequenza e

dn =8π

c3ν2dν

Esempio 2

Per un sistema di due particelle, ad esempio lo scattering m1 m2 → m′1 m′2 oppureil decadimento M → m1 m2, la conservazione dell’energia e dell’impulso costituisce unvincolo per cui le variabili delle due particelle non sono indipendenti. Nel riferimento delcentro di massa ~p1 + ~p2 = 0, p2

1 = p22, p1dp1 = p2dp2

dE = dE1 + dE2 =p1c

2

E1dp1 +

p2c2

E2dp2 =

E1 + E2

E1E2c2p1dp1

la densita degli stati in funzione delle variabile di una delle due particelle e

ρ(E) dp1dΩ1 =V

(2πh)3

E1E2

E

p1

c2dp1dΩ1

Nel limite E1 E2 abbiamo il caso dell’esempio precedente.

Esempio

Per un sistema di tre particelle, E1 + E2 + E3 = E, ~p1 + ~p2 + ~p3 = 0, le variabili di dueparticelle sono indipendenti e la densita dello spazio delle fasi in funzione delle variabili didue particelle e

d12n =d~r1d~r2d~p1d~p2

(2πh)6ρ3(E) =

V 2

(2πh)6

d

dE

∫d~p1d~p2

528

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 529 — #529 ii

ii

ii

Analogemte, per un sistema di n particelle la densita dello spazio delle fasi della particellan−esima in funzione delle variabili delle particelle 1, 2, . . . , n− 1 e

ρn(E) =V n−1

(2πh)3(n−1)

d

dE

∫d~p1 . . . d~pn−1

Introducendo esplicitamente nell’integrale il vincolo di conservazione di energia e impulso

ρn(E) =V n−1

(2πh)3(n−1)

d

dE

∫δ3 (Σn~pn) δ (ΣnEn − E) d~p1 . . . d~pn

529

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 530 — #530 ii

ii

ii

Capitolo 39. Densita dello spazio delle fasi

530

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 531 — #531 ii

ii

ii

Capitolo 40

Il modello atomico diThomas–Fermi

Il modello atomico di Thomas–Fermi e un modello statistico che descrive il sistema co-stituito dal nucleo di carica +Ze e di N elettroni (N 1) di carica −e confinati in unaregione di volume V da un potenziale U(~r). Il potenziale che agisce su un elettrone e ilrisultato dell’azione attrattiva del nucleo e di quella repulsiva degli altri elettroni. Peratomi neutri N = Z. Per ioni positivi di carica ze si ha N = Z − z. Il potenziale U(~r)soddisfa le seguenti ipotesi:

• e a simmetria sferica con origine nel nucleo;

• U(r)→ 0 per r →∞.

Il sistema e trattato come un gas degenere di fermioni di spin 1/2. Il numero di statioccupati e ∫

d6n =

∫2d~rd~p

(2πh)3=

2V

(2πh)3

4π

3p3F = N

dove pF e l’impulso di Fermi. La densita di elettroni e

ρ(r) =N

V=

p3F

3π2h3

Poiche il sistema legato e in uno stato di equilibrio, il valore massimo dell’energia totaledi un elettrone non puo dipendere da r ed e negativo nel volume V

Emax =p2F

2m+ U(r) < 0

La funzione

φ(r) = −U(r)

e+Emaxe

e legata alla densita dalla relazione

ρ(r) =1

3π2h3 [2meφ(r)]3/2 per φ(r) > 0 ρ(r) = 0 per φ(r) ≤ 0

531

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 532 — #532 ii

ii

ii

Capitolo 40. Il modello atomico di Thomas–Fermi

φ(r) si annulla sulla superficie che delimita il volume V dove si ha U(r) = Emax. Per unatomo neutro Emax = 0, per uno ione positivo Emax < 0. La funzione φ(r) e il potenzialeelettrostatico a meno di una costante e soddisfa l’equazione di Poisson

∇2φ(r) =1

r

d2

dr2rφ(r) =

eρ(r)

ε0

Dalle due relazioni precedenti si ottiene l’equazione del potenziale

1

r

d2

dr2rφ(r) =

e

3π2ε0

[2me

h2

]3/2

[φ(r)]3/2 φ(r) > 0

con le condizioni al contorno

• la densita di carica e nulla all’esterno del volume V ;

• il potenziale per r → 0 e il potenziale coulombiano prodotto dalla carica del nucleo;

1

r

d2

dr2rφ(r) = 0 φ(r) ≤ 0 lim

r→0rφ(r) =

Ze

4πε0

Possiamo esprimere l’equazione del potenziale in termini della variabile adimensionale x edella funzione adimensionale Φ(x)

r = ax rφ(r) =Ze

4πε0Φ(x)

d2Φ

dx2=

4

3π22/3Z1/2a3/2

[me2

4πε0h2

]3/2Φ3/2

x1/2= f(Z)

Φ3/2

x1/2

Il parametro a rappresenta la scala di estensione della densita di carica e del potenziale.Ponendo f(Z) = 1, a e definito dalla carica del nucleo e del raggio atomico di Bohr(a0 = 4πε0h

2/me2):

a =

(9π2

128

)1/3

a0Z−1/3 = 0.885 a0Z

−1/3

L’estensione spaziale della densita di elettroni nell’atomo diminuisce all’aumentare dellacarica in modo proporzionale a Z−1/3. La densita e

ρ(x) =Z

4πa3

Φ3/2

x3/2Φ > 0 ρ(r) = 0 Φ ≤ 0

Il potenziale soddisfa l’equazione di Thomas–Fermi

d2Φ

dx2=

Φ3/2

x1/2Φ > 0

con le condizioni al contorno

d2Φ

dx2= 0 Φ ≤ 0 Φ(0) = 1

Le condizioni sulla funzione Φ(x) implicano che questa si annulli in un punto X nell’in-tervallo 0 < x < ∞. La distanza R = aX definisce il volume V in cui ρ(r) 6= 0. I

532

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 533 — #533 ii

ii

ii

valori della funzione Φ e della derivata Φ′ nel punto x = X sono legati dalla condizione dinormalizzazione della densita,

∫ρ(r)d~r = N∫

Vρ(r)4πr2dr =

∫ X

0

Z

4πa3

Φ3/2

x3/24πa3x2dx = Z

∫ X

0Φ3/2x1/2dx = Z

∫ X

0

d2Φ

dx2xdx =

= Z[xΦ′ − Φ

]X0 = Z[XΦ′(X) + 1] = N ⇒ XΦ′(X) =

N − ZZ

= − zZ

L’andamento del potenziale Φ(x) e mostrato nella Fig. 40.1 per atomi neutri e ioni positivi

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0

neutral atom

positive ion

x

F

z/Z

(x)

Figura 40.1: Potenziale del modello di Thomas–Fermi

• per un atomo neutro, N = Z, la funzione e la derivata sono entrambe nulle nel puntoX e quindi risulta X =∞, cioe la densita di carica si annulla all’infinito;

• per uno ione di carica +ze si ha XΦ′(X) = −z/Z, il limite del volume dell’atomo efinito e la tangente Φ′(X) interseca l’asse x = 0 nel punto +z/Z;

• L’equazione di Thomas–Fermi non ha soluzioni per ioni negativi.

Il modello statistico non e in grado di riprodurre l’andamento del potenziale del singoloelettrone. Fornisce comunque informazioni sull’energia di ionizzazione media. Il valormedio dell’energia cinetica degli elettroni e

〈Ec〉 =1

N

∫ pF

0

p2

2m

8πV

(2πh)3p2dp =

3

5

p2F

2m=

3

5eφ(r)

Il valore medio dell’energia totale e quindi

〈E〉 = − 1

N

2

5

∫Veφ(r)ρ(r)d~r = − 2

5N

∫ X

0

Ze2

4πε0

Z

4πa3Φ

Φ3/2

x3/24πa2xdx =

= − 2

5N

Z2e2

4πε0a

∫ X

0ΦΦ′′dx

L’integrale non dipende dalla carica ne dalle dimensioni dell’atomo. L’energia di legamemediata su tutti gli elettroni e proporzionale all’energia di legame dell’atomo di idrogeno(e2/4πε0a0) e, per N = Z, e proporzionale a Z4/3.

Queste considerazioni mettono in luce alcune differenze sostanziali tra i sistemi atomici,in cui il potenziale e ∼ 1

r , e i sistemi nucleari in cui il potenziale e a breve raggio di azione:

533

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 534 — #534 ii

ii

ii

Capitolo 40. Il modello atomico di Thomas–Fermi

• il raggio medio di un atomo con Z elettroni e proporzionale a Z−1/3;

• l’energia di legame media degli elettroni e proporzionale a Z4/3;

• il raggio medio di un nucleo con A nucleoni e proporzionale a A1/3;

• l’energia di legame media dei nucleoni e costante.

534

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 535 — #535 ii

ii

ii

Capitolo 41

Stelle di neutroni

L’evoluzione di una stella e determinata dall’equilibrio tra l’energia gravitazionale e l’ener-gia cinetica dei nuclei e elettroni che la costituiscono. In una stella relativamente giovane,come il Sole oggi, l’energia e prodotta dalle reazioni nucleari, prevalentemente la fusione diIdrogeno in Elio. La potenza irraggiata e ∼ 3.8 1026 W e, nell’ipotesi che questa sia pro-dotta dai cicli di fusione dell’idrogeno, si ottiene che le condizioni al centro del Sole sono:densita ρ ∼ 150 g/cm3, temperatura T ∼ 1.5 107 K. In queste condizioni, kT ∼ 1.3 keV ,gli atomi degli elementi leggeri sono ionizzati e l’ambiente e un plasma di nuclei e elettroni.

Nelle reazioni di fusione la frazione di nuclei leggeri (Idrogeno) diminuisce a favoredella frazione di nuclei pesanti (Elio), diminuisce il tasso di produzione di energia, la stellasi contrae convertendo l’energia gravitazionale in energia cinetica, aumenta la densita ela temperatura rendendo possibile la fusione dei nuclei con carica elettrica maggiore e laformazione di Carbonio, Ossigeno e eventualmente nuclei di massa maggiore. Le condizionidi temperatura assicurano che nuclei ed elettroni siano disaccoppiati nello stato di plasma.Gli elettroni formano un gas di Fermi (capitolo 10), che possiamo considerare degenere,con densita

d6n = 2d~rd~p

8π3h3 dn =V p2dp

π2h3 Ne =

∫ pF

0dn =

V

3π2h3 p3F

pF c =

(Ne

V

) 13

(3π2)13 hc = n

13e × (6.1 10−11 MeV cm) (41.1)

Quando la stella e nelle condizioni di sintetizzare il Carbonio la temperatura ha raggiuntokT ∼ 10 keV e la densita centrale e maggiore di ∼ 105 g/cm3

pF c > 200 keV ne > 3 1028 cm−3 ρ =A

ZN0ne > 105 g cm−3

l’energia di Fermi e maggiore dell’energia termica e gli elettroni sono relativistici. In questecondizioni l’equilibrio della stella e determinato dal bilancio tra l’energia gravitazionale el’energia del gas di Fermi. L’energia media e

〈Ee〉 =1

Ne

∫ pF

0

[(mc2)2 + (pc)2

] 12 V p

2dp

π2h3 =1

ne

(mc2)4

π2(hc)3

∫ x

0(1 + z2)

12 z2dz x =

pFmc

〈Ee〉 =1

ne

mc2

π2λ3e

f(x) =1

nef(x)× (0.90 1030 MeV cm−3) (41.2)

535

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 536 — #536 ii

ii

ii

Capitolo 41. Stelle di neutroni

λe = hmc = 3.86 10−11 cm e la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone e

f(x) =1

8

[(1 + x2)

12 (x+ 2x3)− ln(x+ (1 + x2)

12 )]

L’evoluzione della stella dipende dalla sua massa e dalla densita che puo raggiungere.Distinguamo due casi estremi

• x 1∫ x

0

(1 + 1

2z2 + . . .

)z2dz = 1

3x3 + 1

10x5 + . . .

• x 1∫ x

0 (1 + z2)12 z2dz = 1

4x2 + 1

4x4 + . . .

L’energia totale del gas di elettroni e

Ee = Ne〈Ee〉 = Vmc2

π2λ3e

f(x)

La pressione del gas di elettroni si deriva considerando una trasformazione senza scambiodi energia (adiabatica)

dEe + PedV = δQ = 0 Pe = −∂Ee∂V|Q = − mc

2

π2λ3e

[f(x) + V

∂f(x)

∂x

∂x

∂V

]∂f(x)

∂x= x2

√1 + x2 x = (3π2Ne)

13V −

13λe

∂x

∂V= −1

3

x

V

Pe =mc2

π2λ3e

[1

3x3√

1 + x2 − f(x)

]Per x 1

Pe =mc2

π2λ3e

1

15x5 (41.3)

Per x 1

Pe =mc2

π2λ3e

1

12(x4 − x2) (41.4)

L’energia gravitazionale di una stella di massa M e raggio R e

E =

∫ R

0ρ(r)U(r)dV U(r) = −Gm(r)

rdm(r) = ρ(r)dV

Assumendo simmetria sferica e densita che decresce per r → R, ad esempio ρ(r) = ρ0[1−(r/R)n] con n > 0 (il caso di densita uniforme, ρ(r) = ρ0 = 3M

4πR3 , si ha per n→∞)

m(r) =

∫ r

0ρ0[1− (r′/R)n]4πr′2dr′ =

4π

3ρ0r

3[1− 3

3 + n

(r

R

)n]

m(R) = M ρ0 =3M

4πR3

3 + n

n

E = −3

5

GM2

Rζ(n) con ζ(n) ' 1

La pressione esercitata dalla gravita e

d~P = −Gρ(r)m(r)

r2d~r =

3GM2

4πR6

[3 + n

n

]2 [1−

(r

R

)n] [1− 3

3 + n

(r

R

)n]rd~r

536

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 537 — #537 ii

ii

ii

Integrando con la condizione P (R) = 0 e approssimando P = P (r → 0)

P =3

8π

GM2

R4η(n) con η(n) ' 1

All’equilibrio la pressione gravitazionale uguaglia quella del gas di elettroni. Nel casodi stelle di bassa densita e temperatura, per cui gli elettroni non sono relativistici, ρ <105 g/cm3, x 1, dalla relazione (41.3) si ha

1

15π2

mc2

λ3e

x5 =3

8π

GM2

R4η

Esprimendo la densita di elettroni NeV = 1

2NpV = 1

2Mmp

34πR3 , (mp = 10−3 Kg

6 1023) si ha

1

15π2

mc2

λ3e

λ5e

(9π

8

) 53

(M

mp

) 53 1

R5= η

3

8π

Gm2p

R4

(M

mp

)2

La costanteGm2p ha dimensione di energia×lunghezza: Gm2

p = 6.67 10−11(

10−3

6 1023

)2J m =

1.16 10−51 MeV m = κhc, con κ = 5.9 10−39

0.464λeR

= κη

(M

mp

) 13 λe

R= 1.27 10−38 η

(M

mp

) 13

Nelle stelle che non hanno massa e densita elevate, per x 1, il volume e inversamenteproporzionale alla massa. Per una massa pari a quella del Sole, M = M = 1.99 1030 Kg,Mmp

= 1.2 1057, si ha R ∼ 3 106 m simile al raggio della Terra. La stella non raggiunge lecondizioni per la sintesi di nuclei di massa maggiore del Carbonio e esaurisce lentamenteil combustibile nucleare. La temperatura superficiale e ∼ 104 K e lo spettro di luce ebianco, sono dette nane bianche.

Nel caso di elevata densita e temperatura, per elettroni relativistici, x 1, dallarelazione (41.4) si ha

1

12π2

mc2

λ3e

(x4 − x2) = η3

8π

GM2

R4

2

9π

mc2

λ3e

λ4e

(9π

8

) 43

(M

mp

) 43 1

R4− λ2

e

(9π

8

) 23

(M

mp

) 23 1

R2

= ηGm2

p

R4

(M

mp

)2

A

(M

mp

) 23

−B(R

λe

)2

= C

(M

mp

) 43

A =2

9π

(9π

8

) 43

B =2

9π

(9π

8

) 23

C = κη

(R

λe

)2

=A

B

(M

mp

) 23

1− C

A

(M

mp

) 23

Si ha equilibrio se

M

mp<

(A

C

) 32 M

M<

(A

C

) 32 mp

M= 1

537

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 538 — #538 ii

ii

ii

Capitolo 41. Stelle di neutroni

Il limite e approssimativamente la massa del Sole. In una stella di massa maggiore di questolimite la pressione del gas di elettroni non riesce a bilanciare la pressione gravitazionale, lastella tende a implodere aumentando la densita. Un modello realistico della densita ρ(r)determina il valore limite per la massa di una nana bianca, detto limite di Chandrasekar 1,pari a circa 1.4M [7]. Questo valore di massa si riferisce ad una stella dopo aver convertitogran parte della massa in energia, che e pari a circa un quarto della massa iniziale.

In una stella con massa maggiore del limite di Chandrasekar l’energia gravitazionalesi converte in energia cinetica e aumenta la temperatura rendendo possibile la fusione dinuclei di massa maggiore del Carbonio. Questo processo si arresta con il nucleo di 56

26Feche ha il massino rapporto tra energia di legame e massa (capitolo 9). In queste condizionigli elettroni sono relativistici e si produce la cattura elettronica (decadimento β inverso)

e− p→ n ν

L’energia cinetica di soglia e K = mn −mp −me = 0.78 MeV e per rendere possibile lacattura elettronica l’energia media degli elettroni e almeno 〈Ee〉 = 1.29 MeV . Usandol’approssimazione per x 1, dalla relazione (41.2) si ha

〈Ee〉 =3

4

(pF c+

(mc2)2

pF c+ . . .

)→ pF c > 1.5 MeV

e dalla relazione (41.1) si ha

ne > 1.6 1031 cm−3 ρ =56

26

neN0

> 6.0 107 g cm−3

In queste condizioni l’energia di Fermi e EF = 1.6 MeV e la temperatura corrispondentee 1.9 1010 K molto maggiore della temperatura della stella. Il gas di elettrone e dege-nere, tutti gli stati di elettroni di energia minore dell’energia di Fermi sono occupati e ildecadimento β dei neutroni e impedito. Il processo di conversione di protoni in neutroni,la neutronizzazione della stella, e quindi irreversibile. Lo stesso accade per la catturaelettronica da parte dei nuclei prodotti nella stella e− A

ZX → AZ−1Y ν.

Nel processo di neutronizzazione diminuisce la densita di elettroni e l’effetto della repul-sione coulombiana tra i protoni, e dimuisce l’energia cinetica poiche i neutrini interagendosolo debolmente non contribuiscono al bilancio energetico. La stella evolve rapidamentein una supernova, espelle i neutrini e si contrae ulteriormente fino a raggiungere uno statoin cui la frazione di elettroni e protoni e molto minore di quella dei neutroni, la pressionegravitazionale e bilanciata da quella del gas di neutroni e la densita e approssimativamenteuguale alla densita nucleare (capitolo 9)

ρ =3

4π

1

R3NN0

= 3 1014 g cm−3

Una stella che ha inizialmente dieci volte la massa del Sole diventa una stella di neutronicon raggio R = (MN0)

13RN ∼ 20 Km.

1 Premio Nobel per la fisica nel 1983

538

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 539 — #539 ii

ii

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Capitolo 42

Equazioni quantisticherelativistiche

Richiamiamo brevemente le proprieta dell’equazione del moto di Schrodinger:

• l’equazione di evoluzione degli stati di un sistema

ih∂

∂tψ = Hψ

e definita dall’operatore hamiltoniano che rappresenta l’energia del sistema in fun-zione delle variabili coniugate (~r, ~p);

• l’energia e l’impulso sono rappresentati dagli operatori

E = ih∂

∂t~p = −ih~∇

• gli stati del sistema sono rappresentati dalla funzione d’onda ψ(~r, t);

• la densita di probabilita e la densita di corrente per una particella di massa msoddisfano l’equazione di continuita

ρ = ψ∗ψ ~j =h

2im(ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗) ~∇ ·~j +

∂ρ

∂t= 0

Se H = (−ih~∇)2/2m e la hamiltoniana della particella libera, l’equazione di Schrodingernon e invariante per trasformazioni di Lorentz. Cerchiamo di impostare un’equazione delmoto che conservi le proprieta dell’equazione di Schrodinger e che sia relativisticamenteinvariante.

42.1 Equazione di Klein–Gordon

Il 4-vettore energia-impulso, P = (~p,E/c) = (−ih~∇, ih∂/∂ct), definisce un invariante

P 2 = −~p 2 + E2/c2 = (mc)2

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Capitolo 42. Equazioni quantistiche relativistiche

che possiamo utilizzare per impostare l’equazione del moto della particella libera

equazione di Klein–Gordon

[h2~∇2 − h2

c2

∂2

∂t2

]φ = (mc)2φ (42.1)

dove φ(~r, t) e una funzione scalare.Nel seguito usiamo la convenzione h = 1, c = 1. Introducendo l’operatore d’alember-

tiano ∆2 = −~∇2 + ∂2/∂t2, l’equazione di Klein–Gordon si esprime in modo compatto

(∆2 +m2)φ = 0

Questa equazione ha come soluzione una sovrapposizione di onde piane del tipo

φ(~r, t) = Nei(~p·~r−Et) = Ne−ip·x

dove N e una costante di normalizzazione; p · x = Σµνgµνpµxν ; µ, ν = 1, 2, 3, 4; gµν e iltensore metrico. Sostituendo la soluzione nell’equazione del moto si ottengono autovaloridell’energia sia positivi che negativi: E = ±[p2 +m2]1/2. Qui incontriamo un serio proble-ma poiche valori negativi dell’energia non corrispondono a stati di una particella libera.Un secondo serio problema si incontra nella definizione della densita di probabilita. Seconsideriamo l’equazione di Klein–Gordon e l’equazione coniugata

(∆2 +m2)φ = 0 (∆2 +m2)φ∗ = 0

e moltiplichiamo la prima per φ∗ e la seconda per φ, otteniamo la relazione

φ∗∆2φ = φ∆2φ∗

e possiamo verificare che esiste una equazione di continuita, ∂ρ/∂t = −~∇ ·~j, soddisfattadalle funzioni

ρ = i(φ∗∂φ

∂t− φ∂φ

∗

∂t) = |N |22E ~j = −i(φ∗~∇φ− φ~∇φ∗) = |N |22~p

La densita di corrente e definita come nel caso non relativistico, ma la densita di probabilitadipende dalla variazione nel tempo della funzione d’onda. Inoltre la densita di probabilitanon e definita positiva.

La costante di normalizzazione viene fissata richiedendo che ρdV sia invariante. In unatrasformazione di Lorentz il volume si contrae ∼ γ−1 e quindi |N |22EdV e indipendentedal volume di normalizzazione. Nel seguito consideriamo la normalizzazione in un volumeunitario che corrisponde a normalizzare gli autostati dell’equazione di Klein–Gordon condue particelle per unita di volume corrispondenti ai due autostati di energia.

L’equazione di Klein–Gordon ammette soluzioni con energia e densita di probabilitanegative e quindi non puo rappresentare l’equazione del moto di una particella con massam 6= 0. Nel caso m = 0 si ha l’equazione di d’Alembert che descrive il campo elettro-magnetico e gli autovalori E = ±p rappresentano due stati di propagazione del camposimmetrici per inversione della direzione del moto, o simmetrici per inversione del tempo.Vedremo che la simmetria per inversione temporale permette di interpretare le soluzioni aenergia negativa dell’equazione di Klein–Gordon come soluzioni a energia positiva che sipropagano all’indietro nel tempo.

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42.2. Equazione di Dirac

42.2 Equazione di Dirac

Le difficolta incontrate nell’interpretazione dell’equazione di Klein–Gordon sono originatedal fatto che l’evoluzione degli stati dipende dalla derivata seconda ∂2/∂t2. Nel 1927 PaulDirac propose un’equazione relativisticamente invariante che descrive il moto di fermioni.Dirac parte dall’ipotesi che l’evoluzione degli stati di fermioni deve essere descritta dalladerivata prima ∂/∂t. Perche l’equazione del moto sia relativisticamente invariante, lahamiltoniana deve dipendere linearmente dall’impulso e dalla massa

equazione di Dirac i∂

∂tψ = Hψ = (

∑j

αjpj + βm)ψ (42.2)

dove (αj , β) sono quattro operatori hermitiani che non dipendono dalle variabili ~r, t.L’equazione del moto deve soddisfare la relazione tra massa, impulso e energia E2 = p2+m2

H2ψ = (∑j

αjpj + βm)(∑k

αkpk + βm)ψ = (p2 +m2)ψ

1

2

∑jk

(αjαk + αkαj)pjpk +∑j

(αjβ + βαj)pjm+ β2m2

ψ = (p2 +m2)ψ

Questa relazione definisce le proprieta degli operatori αj e β

• αjαk + αkαj = 2δjk

• αjβ + βαj = 0

• α2j = 1 β2 = 1

Gli operatori αj e β hanno modulo unitario e le relazioni di anticommutazione sono sod-disfatte se sono quattro matrici linearmente indipendenti. La dimensione minima persoddisfare le relazioni di anticommutazione e 4. Quindi gli operatori αj e β si possonorappresentare come quattro matrici hermitiane 4× 4 e la funzione d’onda ψ e un vettorea 4 componenti

ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

ψ+ =(ψ∗1 ψ∗2 ψ∗3 ψ∗4

)

La densita di probabilita e la densita di corrente si definiscono nel modo usuale dall’equa-zione del moto e dall’equazione hermitiana coniugata

i∂

∂tψ = −i~α · ~∇ψ + βmψ

−i ∂∂tψ+ = i(~α · ~∇ψ)+ + (βmψ)+ = i~∇ψ+ · ~α+ +mψ+β+

Moltiplicando la prima per ψ+ e la seconda per ψ, e tenendo conto che α+j = αj e β+ = β,

otteniamo le relazioni

iψ+∂ψ

∂t= −iψ+~α · ~∇ψ +mψ+βψ i

∂ψ+

∂tψ = −i~∇ψ+ · ~αψ −mψ+βψ

Sommando queste due relazioni e definendo

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• densita di probabilita ρ = ψ+ψ = Σj |ψj |2 > 0

• densita di corrente ~j = ψ+~αψ

si ottiene una densita di probabilita definita positiva che soddisfa l’equazione di continuita∂ρ/∂t+ ~∇ ·~j = 0.

42.3 Soluzioni di particella libera

Le matrici di Dirac sono quattro matrici hermitiane 4 × 4 linearmente indipendenti esi possono rappresentare con le matrici di Pauli che costituiscono una base dello spaziovettoriale a due dimensioni e hanno le proprieta σ2

j = 1, σjσk = iεjklσl

αj =

(0 σjσj 0

)β =

(I 00 −I

)

dove I e la matrice identita 2 × 2. La soluzione dell’equazione di Dirac per la particellalibera si puo esprimere

ψn(~r, t) = un(~p)ei(~p·~r−Et) n = 1, 2, 3, 4

dove le ampiezze un(~p) descrivono un nuovo grado di liberta della particella. Sostituendola soluzione nell’equazione del moto

i∂ψn∂t

= Eψn ⇒ −i~α · ~∇ψn = ~α · ~p ψn

otteniamo un sistema di equazioni agli autovalori

(~α · ~p+ βm)u =

(m I ~σ · ~p~σ · ~p −m I

)(uAuB

)= E

(uAuB

)

dove uA(~p), uB(~p) sono vettori a due componenti che rappresentano i quattro autostatidell’equazione

(E −m) I uA − ~σ · ~p uB = 0

−~σ · ~p uA + (E +m) · I uB = 0

Gli autovalori si ottengono annullando il determinante del sistema di equazioni∣∣∣∣∣ E −m ~σ · ~p~σ · ~p E +m

∣∣∣∣∣ = E2 −m2 − (~σ · ~p)2 = 0

• Nota: se ~a e ~b sono due vettori che commutano con le matrici σj si ha

(~σ · ~a) (~σ ·~b) =∑jk

σjajσkbk =∑jk

σjσkajbk =

=∑j

σ2jajbj +

∑j 6=k

iεiklσlajbk = ~a ·~b+ i~σ · (~a×~b)

quindi (~σ · ~p)2 = p2

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42.3. Soluzioni di particella libera

Si ottengono due soluzioni con energia positiva e due con energia negativa che possiamoassociare in modo arbitrario ai due autostati

E+ = +E0 E− = −E0 E0 =√p2 +m2 > 0

Associando E− alla prima equazione e E+ alla seconda equazione si ottiene

ψE<0 =

(−~σ·~pE0+muBuB

)ψE>0 =

(uA

+~σ·~pE0+muA

)

Esplicitando la matrice

~σ · ~p =

(p3 p1 − ip2

p1 + ip2 −p3

)e definendo uA e uB come vettori unitari abbiamo:

• dalla prima equazione

uB =

(10

)⇒ −(E0 +m) u1 = p3

−(E0 +m) u2 = p1 + ip2

uB =

(01

)⇒ −(E0 +m) u1 = p1 − ip2

−(E0 +m) u2 = −p3

• dalla seconda equazione

uA =

(10

)⇒ (E0 +m) u3 = p3

(E0 +m) u4 = p1 + ip2

uA =

(01

)⇒ (E0 +m) u3 = p1 − ip2

(E0 +m) u4 = −p3

Quindi le quattro soluzioni dell’equazione agli autovalori, un(~p) chiamati spinori, sono

N

10p3

E+mp1+ip2E+m

N

01

p1−ip2E+m

− p3E+m

N

− p3|E|+m−p1+ip2|E|+m10

N

−p1−ip2|E|+mp3

|E|+m01

dove |E| = +E0 nelle soluzioni a energia negativa e N e un fattore di normalizzazione chesi determina richiedendo che ρdV sia invariante

ρ = ψ+ψ =∑j

u∗juj = 4|N |2(

1 +p2

(|E|+m)2

)= 4|N |2 2|E|

(|E|+m)2

Fissando un volume di normalizzazione unitario e |N |2 = (|E| + m)2/4 si ha la stessanormalizzazione degli autostati dell’equazione di Klein–Gordon con due particelle per unitadi volume.

Dirac diede una interpretazione degli stati di energia negativa e dell’esistenza di tran-sizioni tra stati di energia positiva, E > m, e energia negativa, E < −m. Gli elettroni,

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in base al principio di Pauli, occupano tutti gli stati con energia minore dell’energia diFermi e quindi, se esistono elettroni liberi, tutti gli stati di energia E < −m devono essereoccupati. Se si cede energia ∆E > 2m ad un elettrone di energia negativa, si produce unelettrone libero e una locazione vuota (Fig. 42.1). Poiche la transizione puo avvenire perinterazione con il campo elettromagnetico senza variazione di carica elettrica, la produ-zione di una locazione vuota con carica −e corrisponde alla comparsa di una particella dicarica +e con energia negativa. Questa e l’interpretazione della conversione di fotoni conenergia Eγ > 2m nel campo elettromagnetico dei nuclei. D’altra parte, se esistono locazio-ni vuote, un elettrone libero tende a diminuire il suo stato di energia andando ad occupareuno stato di energia E < −m: scompare la carica dell’elettrone libero, −e e quella dellalocazione vuota, +e e l’energia viene emessa sotto forma di fotoni Eγ > 2m. Con questainterpretazione, Dirac previde l’esistenza di antielettroni con massa me e carica +e.

∆E = 2m E = 0

E > 2m

Figura 42.1: Interpretazione di Dirac degli stati a energia negativa

Costanti del moto

Le due coppie di soluzioni dell’equazione di Dirac sono funzioni dell’impulso ~p e corrispon-dono a due autovalori dell’energia E−, E+. Perche le quattro soluzioni siano indipendentideve esistere un altro osservabile indipendente da ~p che commuta con la hamiltoniana.L’operatore

elicita Λ =

(~σ · p 0

0 ~σ · p

)commuta con ~p e con la hamiltoniana, [Λ, ~p] = 0, [Λ,H] = 0, e quindi rappresenta unacostante del moto. Nella rappresentazione delle matrici di Pauli in cui σ3 e diagonaleconviene scegliere il versore impulso p = (0, 0, 1) e cioe

Λ =

(σ3 00 σ3

)

Per le soluzioni si ha

E = +√p2 +m2 Λu1 = +u1 Λu2 = −u2

E = −√p2 +m2 Λu3 = +u3 Λu4 = −u4

Quindi l’operatore elicita ha due autovalori, Λ = ±1, che distinguono gli autostati con lostesso autovalore di energia.

L’operatore costruito con le matrici di Pauli

~s =1

2

(~σ 00 ~σ

)

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42.4. Limite non relativistico dell’equazione di Dirac

non commuta con la hamiltoniana. Infatti [~s,H] contiene il commutatore [~σ, ~σ · ~p] che hacomponenti

σj(Σkσkpk)− (Σkσkpk)σj = Σk(σjσk − σkσj)pk = Σk2iεjklσlpk = −2i(~σ × ~p)j

e quindi[~s,H] = −i~α× ~p

Per interpretare il significato dell’operatore ~s consideriamo la particella in un campo ester-no in cui sia definito un centro di simmetria. L’operatore momento angolare orbitale~L = ~r × ~p non commuta con la hamiltoniana. Infatti per una componente si ha

[L3, H] = [x1p2 − x2p1,Σjαjpj ] = α1[x1, p1]p2 − α2[x2, p2]p1 = i(α1p2 − α2p1)

e quindi anche in questo caso il commutatore non si annulla

[~L,H] = +i~α× ~p

L’operatore ~s e un vettore assiale che soddisfa le regole di commutazione del momentoangolare e l’operatore

momento angolare totale ~J = ~L+ ~s

commuta con la hamiltoniana, quindi possiamo interpretare ~s = ~σ/2 come l’operatorelegato a un nuovo grado di liberta: il momento angolare intrinseco o spin del fermione. Leautofunzioni dell’equazione del moto sono individuate dalle tre componenti dell’impulso,~p, e dalla proiezione dello spin lungo la direzione del moto che ha due autovalori s = ±h/2

ψn = un(~p, s)ei(~r·~p−Et)

42.4 Limite non relativistico dell’equazione di Dirac

Le matrici di Pauli hanno le proprieta dell’operatore momento angolare nello spazio vet-toriale a due dimensioni e l’interpretazione dello spin come momento angolare intrinsecocomporta che un fermione con carica elettrica q abbia un momento magnetico. L’equazionedel moto in campo elettromagnetico si ottiene con la sostituzione ~p→ ~p−q ~A, E → E−qV(appendice 36); l’equazione agli autovalori diventa

(E −m− qV ) · I uA − ~σ · (~p− q ~A) uB = 0

−~σ · (~p− q ~A) uA + (E +m− qV ) · I uB = 0

e, sostituendo per una delle due soluzioni, si ha[~σ · (~p− q ~A)

1

E +m− qV~σ · (~p− q ~A)

]u = (E −m− qV )u

Questa equazione ha una semplice interpretazione nel limite non relativistico in cui l’ener-gia cinetica K = E −m e l’energia potenziale qV sono m

E +m− qV = K + 2m− qV ≈ 2m E −m− qV = K − qV

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In questa approssimazione l’equazione agli autovalori diventa[~σ · (~p− q ~A) ~σ · (~p− q ~A)

2m+ qV

]u = Ku

Applicando la regola del prodotto ricavata in precedenza all’operatore −i~∇− q ~A

[~σ · (i~∇+ q ~A) ~σ · (i~∇+ q ~A)]u = [(i~∇+ q ~A)2 + i~σ · (i~∇+ q ~A)× (i~∇+ q ~A)]u

notiamo che il secondo termine contiene il prodotto scalare dell’operatore di spin e ilvettore campo magnetico ~B = ~∇× ~A. Infatti ~∇× ~∇u = 0, ~A× ~A = 0, e

(~∇× ~A+ ~A× ~∇)u = (~∇× ~A)u+ ~∇u× ~A+ ~A× ~∇u = (~∇× ~A)u

Quindi l’equazione agli autovalori[(i~∇+ q ~A)2

2m+ qV − q

2m~σ · ~B

]u = Ku

contiene la hamiltoniana di interazione elettromagnetica (appendice 36) e un termine diinterazione di dipolo magnetico −~µ · ~B. Si deduce che il momento magnetico associatoallo spin s = h/2 di un fermione con carica elettrica e e ~µ = (eh/2m)~σ e che il fermioneha fattore giromagnetico g = 2

~µ = geh

2m~s con g = 2

42.5 Matrici gamma

L’equazione di Dirac si esprime in forma covariante usando quattro matrici γµ che formanoun 4-vettore: γj = βαj , γ4 = β, γ = (β~α, β)

γj =

(I 00 −I

)(0 σjσj 0

)=

(0 σj−σj 0

)γ4 =

(I 00 −I

)

Le matrici γ hanno le proprieta di anticommutazione

γjγk + γkγj = βαjβαk + βαkβαj = −β2(αjαk + αkαj) = −2δjk

γjγ4 + γ4γj = βαjβ + ββαj = 0

che si riassumono inγµγν + γνγµ = 2gµν

dove gµν e il tensore metrico delle trasformazioni di Lorentz. Le matrici hermitianeconiugate hanno le proprieta

γ+j = (βαj)

+ = α+j β

+ = αjβ = ββαjβ = γ4γjγ4 ; γ+4 = γ4γ4γ4 ⇒ γ+

µ = γ4γµγ4

Moltiplicando per la matrice β l’equazione di Dirac

iβ∂ψ

∂t= −iβ~α · ~∇ψ +mβ2ψ ⇒ iγ4∂4ψ + i~γ · ~∇ψ = mψ

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42.6. Trasformazioni degli autostati

otteniamo la forma covariante dell’equazione di Dirac

iγµ∂µψ = mψ (42.3)

L’equazione hermitiana coniugata si esprime in modo covariante definendo ψ = ψ+γ4

(ψ+ = ψγ4)

−i∂µψ+γµ+ = −i∂µγ4γµγ4 = mψ+γ4γ4 ⇒ −i∂µψγµ = mψ

La densita di probabilita e di corrente

ρ = ψ+ψ = ψγ4ψ ~j = ψ+~αψ = ψ~γψ

sono le componenti di un 4-vettore a divergenza nulla, la corrente fermionica

jµ = ψγµψ ∂µjµ = 0

Oltre alle quattro matrici γ e utile introdurre la matrice antisimmetrica

γ5 = −iγ1γ2γ3γ4

[γ5 =

1

i4!ελκµνγ

λγκγµγν]

che e hermitiana e anticommuta con le matrici γµ

γ+5 = γ5 γ5γµ + γµγ5 = 0

Nella rappresentazione usata per le matrice γµ, la matrice γ5 e

γ5 = −i(

0 σ1σ2σ3

σ1σ2σ3 0

)= −i

(0 ii 0

)=

(0 II 0

)

42.6 Trasformazioni degli autostati

Se ψ e una soluzione dell’equazione di Dirac che si trasforma nella funzione ψ′ per azionedella trasformazione U

ψ → ψ′ = Uψ

la funzione ψ′ e una soluzione dell’equazione trasformata, [iγµ∂′µ −m]ψ′ = 0, se

U−1[iγµ∂′µ −m]U = iγµ∂µ −m

e ψ′ e una soluzione dell’equazione hermitiana coniugata se U−1 = γ4U+γ4; infatti

ψ′ = ψ′+γ4 = ψ+U+γ4 = ψ+γ4γ4U+γ4 = ψU−1

Trasformazioni di Lorentz

L’equazione di Dirac e invariante per costruzione. Consideriamo la trasformazione dellecoordinate e delle derivate

x′µ = L−1µν xν xλ = Lλµx

′µ ∂′µ =

∂

∂x′µ=∂xν∂x′µ

∂

∂xν= Lµν∂ν

L’invarianza dell’equazione per la trasformazione U implica che U−1γµU si trasformi comele coordinate; infatti

U−1γµ∂′µU = U−1γµLµν∂νU = γν∂ν U−1γµLµνU = γν U−1γλU = Lλνγν

Possiamo quindi dedurre che

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• ψψ e uno scalare, S ψ′ψ′ = ψU−1Uψ = ψψ

• ψγµψ e un vettore polare, V ψ′γµψ′ = ψU−1γµUψ = Lµνψγνψ

• ψγµγνψ e un tensore, T ψ′γµγνψ′ = ψU−1γµUU

−1γνUψ = LµκLνλψγκγλψ

• ψγ5ψ e uno pseudoscalare, P

• ψγµγ5ψ e un vettore assiale, A

dove le ultime due considerazione derivano dalla proprieta di antisimmetria della matriceγ5 rispetto all’inversione delle coordinate spaziali (cioe allo scambio di due matrici σ).

Coniugazione di carica

In presenza di un campo elettromagnetico, l’equazione del moto si ottiene con la trasfor-mazione pµ → p′µ = pµ − qAµ,

[γµ(i∂µ − qAµ)−m]ψ =[i~γ · ~∇+ q~γ · ~A+ iγ4∂4 − qγ4A4 −m

]ψ = 0

Consideriamo la trasformazione che cambia il segno della carica elettrica della particella,l’equazione diventa

[γµ(i∂µ + qAµ)−m]ψ = 0

La coniugazione di carica fa passare da stati di energia positiva a stati di energia ne-gativa e, poiche l’energia compare nella fase della funzione d’onda, l’operatore contienela coniugazione complessa C, CeiEt/h = ei(−E)t/h. Applicando la coniugazione complessal’equazione trasformata e

[γµ∗(−i∂µ + qAµ)−m]ψ = [(−γµ∗)(i∂µ − qAµ)−m]ψ = 0

Nella rappresentazione usata per le matrici gamma, γ2 e immaginaria e ha la proprietaγ∗2 = −γ2, γ2γ

∗µγ2 = γµ. L’operatore C = γ2C soddisfa le proprieta

C2 = γ2Cγ2C = γ2γ∗2C2 = −γ2γ2 = I C−1 = C

e non cambia la forma dell’equazione del moto

C−1(−γµ∗)C = γ2C(−γµ∗)γ2C = γ2(−γµ)(−γ2) = γ2γµγ2 = γµ

Quindi possiamo interpretare C = γ2C come l’operatore coniugazione di carica che agiscesugli spinori

Cu1(~p)e−ip·x = −iu4(−~p)e+ip·x Cu2(~p)e−ip·x = +iu3(−~p)e+ip·x

Cu3(~p)e−ip·x = +iu2(−~p)e+ip·x Cu4(~p)e−ip·x = −iu1(−~p)e+ip·x

trasformando stati a energia positiva con carica q in stati di energia negativa con carica−q, cioe fermioni in antifermioni.

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42.6. Trasformazioni degli autostati

Inversione temporale

La trasformazione di inversione temporale, cambia ∂4 → −∂4, ~A→ − ~A nell’equazione delmoto e lascia invariati ∂j e il potenziale scalare A4. La matrice γ1γ2γ3 commuta con ~γe anticommuta con γ4: rappresenta l’inversione dell’asse del tempo (∂4 → −∂4). Questaagisce sulla fase della funzione d’onda eiEt → eiE(−t) = ei(−E)t come la trasformazioneconiugazione di carica. Consideriamo la trasformazione

γ1γ2γ3 γ2C = γ1γ3C

che ha le proprieta

(γ1γ3C)−1 = γ1γ3C (γ1γ3C)+ = −γ1γ3C

Quindi possiamo interpretare T = γ1γ3C, che contiene la trasformazione t → −t ed eantiunitaria, come operatore di inversione temporale che agisce sugli spinori

Tu1(~p)e−ip·x = +u2(−~p)e+ip·x Tu2(~p)e−ip·x = −u1(−~p)e+ip·x

Tu3(~p)e−ip·x = +u4(−~p)e+ip·x Tu4(~p)e−ip·x = −u3(−~p)e+ip·x

trasformando lo stato di spin e invertendo la direzione del moto.

Parita

La parita dei fermioni e definita in modo convenzionale poiche il numero fermionico siconserva. La trasformazione di inversione spaziale, Pψ(~r, t) = ψ(−~r, t) = ψP , cambia∂j → −∂j , ~A→ − ~A nell’equazione del moto e lascia invariati ∂4 e il potenziale scalare A4[

i~γ · ~∇+ q~γ · ~A+ iγ4∂4 − qγ4A4 −m]ψ = 0 ⇒

⇒[−i~γ · ~∇− q~γ · ~A+ iγ4∂4 − qγ4A4 −m

]ψP = 0

La matrice γ4 anticommuta con ~γ e quindi agisce come inversione delle coordinate spaziali,inoltre ha la proprieta γ4γ4 = I. Moltiplicando l’equazione trasformata per γ4 osserviamoche γ4ψ(−~r, t) e autofunzione dell’equazione di Dirac

γ4 [. . .]ψP =[i~γ · ~∇+ q~γ · ~A+ iγ4∂4 − qγ4A4 −m

]γ4ψP = 0

e possiamo interpretare γ4 come l’operatore di parita che agisce sugli spinori

γ4ψ =

(1 00 −1

)(uA(~p)uB(~p)

)=

(+uA(−~p)−uB(−~p)

)

e che ha autovalori +1 per le soluzioni a energia positiva e autovalori −1 per le soluzionia energia negativa. E concludiamo che i fermioni e i corrispondenti antifermioni hannoparita opposta.

549

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Stati a energia negativa

L’interpretazione di Dirac dei positroni come elettroni con energia negativa ha come pre-supposto l’esistenza di un numero infinito di stati di energia negativa che sono tutti occu-pati: e chiaramente insoddisfacente. Una interpretazione piu convincente e quella propostaanni dopo da Stuckelberg e Feynman basata sulle simmetrie degli autostati: fermioni dicarica elettrica +q con valori di energia negativa che si propagano in avanti nel tempo sonoequivalenti a valori di energia positiva e carica elettrica −q, che si propagano indietro neltempo, (−E− qV )t↔ (+E+ qV )(−t). Questa interpretazione degli antifermioni soddisfatutte le propieta di simmetria dell’equazione di Dirac senza presupporre l’esistenza di staticon energia negativa.

42.7 Autostati di elicita

Gli operatori costruiti con la matrice antisimmetrica γ5

Λ+ =1 + γ5

2=

1

2

(1 11 1

)Λ− =

1− γ5

2=

1

2

(1 −1−1 1

)

sono hermitiani e hanno le proprieta dei proiettori

Λ+ + Λ− = 1 Λ+Λ− = Λ−Λ+ = 0 Λ+Λ+ = Λ+ Λ−Λ− = Λ−

Applicando i proiettori agli autostati otteniamo due ampiezze

u(~p, s) = uR(~p, s) + uL(~p, s)

Per gli stati a energia positiva

uR = Λ+u =N

2

(1 11 1

)(uA

+~σ·~pE+muA

)=N

2

((1 + ~σ·~p

E+m)uA(1 + ~σ·~p

E+m)uA

)

uL = Λ−u =N

2

(1 −1−1 1

)(uA

+~σ·~pE+muA

)=N

2

((+1− ~σ·~p

E+m)uA(−1 + ~σ·~p

E+m)uA

)Nel caso ultra-relativistico, E m, p ≈ E, ~σ · ~p/(E +m) ≈ ~σ · p = Λ

• u ≈ uR per gli stati a elicita Λ = +1, right-handed ;

• u ≈ uL per gli stati a elicita Λ = −1, left-handed ;

• la correlazione e invertita per gli stati a energia negativa.

uR e uL sono gli autostati di elicita e gli operatori Λ+ e Λ− sono chiamati proiettori dielicita. Le probabilita degli autostati di elicita sono

|uR|2 =N2

4

∣∣∣∣1 +p

E +m

∣∣∣∣2 |uL|2 =N2

4

∣∣∣∣1− p

E +m

∣∣∣∣2con |uR|2 + |uL|2 = 1, e la polarizzazione dello stato e proporzionale alla velocita

P =|uR|2 − |uL|2

|uR|2 + |uL|2' p

E= β ⇒ |uR,L|2 =

1± β2

550

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42.8. Soluzioni per massa nulla

42.7.1 Conservazione dell’elicita

A energia E m le soluzioni dell’equazione di Dirac sono autostati dell’elicita. Lahamiltoniana di interazione di un fermione con un campo esterno si puo esprimere intermini di combinazioni invarianti ψOψ con l’operatore O formato con le matrici γ. Unasoluzione di particella libera si puo esprimere come sovrapposizione di autostati left-handede right-handed usando i proiettori di elicita

uL =1− γ5

2u uR =

1 + γ5

2u

1± γ5

2

1∓ γ5

2= 0

e, per le proprieta γ+5 = γ5, γ5γµ + γµγ5 = 0,

uL = u+ 1− γ+5

2γ4 = u+γ4

1 + γ5

2= u

1 + γ5

2

uR = u+ 1 + γ+5

2γ4 = u+γ4

1− γ5

2= u

1− γ5

2

Il termine di interazione uOu conserva l’elicita se si esprime come sovrapposizione diautostati left-handed e right-handed

(uL + uR)O(uL + uR) = uLOuL + uROuR

Nel caso di interazione scalare, pseudoscalare o tensoriale, gli operatori I, γ5, γµγν com-mutano con i proiettori e quindi l’interazione non conserva l’elicita

uLOuL = u1 + γ5

2O1− γ5

2u = 0 uROuR = u

1− γ5

2O1 + γ5

2u = 0

Nel caso invece di interazione vettoriale o assial-vettoriale, gli operatori γµ e γµγ5 anti-commutano con γ5 e si annullano i termini misti

uLOuR = u1 + γ5

2O1 + γ5

2u = 0 uROuL = u

1− γ5

2O1− γ5

2u = 0

Quindi a energia elevata l’elicita dei fermioni si conserva in interazioni vettoriali o assial-vettoriali.

42.8 Soluzioni per massa nulla

Il limite m → 0 dell’equazione di Dirac descrive gli stati dei fermioni di massa nulla, ineutrini. L’equazione diventa γµ∂µψ = 0 e le equazioni agli autovalori diventano(

0 ~σ · ~p~σ · ~p 0

)(uAuB

)= E

(uAuB

)E = ±|~p| ⇒ ~σ · ~puB = puA

~σ · ~puA = −puB

Gli autostati di queste equazioni coincidono con gli autostati di elicita, ma questo e pos-sibile solo per due soluzioni e non per quattro. Infatti le equazioni agli autovalori sonodegeneri per m = 0 e l’equazione di Dirac si riduce ad una equazione a due sole componen-ti. Le due equazioni, corrispondenti ai due valori di energia, si ottengono l’una dall’altracon la trasformazione di parita, P ~σ · ~p = −~σ · ~p.

551

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L’equazione a due componenti era stata originariamente introdotta da Hermann Weylnel 1929, ma non aveva avuto molto seguito appunto perche non e invariante per trasfor-mazione di parita. Infatti, se il vettore a due componenti ψ(~r, t) soddisfa l’equazione diWeyl

(i~σ · ~∇+ i∂4)ψ = 0

non esiste una matrice 2× 2 che trasformi l’equazione in modo che ψ(−~r, t) = Pψ(~r, t) siauna soluzione

P−1(−i~σ · ~∇+ i∂4)P 6= i~σ · ~∇+ i∂4

Molti anni dopo si e osservato che le interazioni dei neutrini non conservano la parita.Gli stati possibili per i neutrini sono due, uR e uL, e non sono possibili transizioni tra

i due stati mediante una trasformazione di Lorentz. D’altra parte le coppie di soluzionidell’equazione di Dirac si ottengono l’una dall’altra con la trasformazione di coniugazionedi carica. Quindi, delle quattro combinazioni, solo due sono possibili

neutrino right-handed e antineutrino left-handedoppure neutrino left-handed e antineutrino right-handed

La misura dell’elicita del neutrino (capitolo 12) mostra che la seconda e la combinazionecorretta: i possibili stati sono |ν, L〉 e |ν,R〉. Con un ragionamento simile al precedentepossiamo convincerci che l’equazione di Weyl non e neppure invariante per coniugazionedi carica. Quindi

P |ν, L〉 = 0 C|ν, L〉 = 0 P |ν,R〉 = 0 C|ν,R〉 = 0

La trasformazione Coniugazione di carica × Parita non cambia la forma dell’equazione diWeyl che e quindi invariante per trasformazione CP e gli autostati si trasformano l’unonell’altro

CP |ν, L〉 = |ν,R〉 CP |ν,R〉 = |ν, L〉

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Capitolo 43

Il teorema CPT

Le trasformazioni di parita, coniugazione di carica e inversione temporale sono trasforma-zioni discrete e gli autostati hanno autovalori ±1. Il teorema CPT, dimostrato da GerhartLuders e Wolfgang Pauli nel 1954, e indipendentemente da John Bell, stabilisce che ogniteoria di campo quantistica basata sull’invarianza di Lorentz, localita e unitarieta sia in-variante per il prodotto delle tre trasformazioni, parita, coniugazione di carica e inversionetemporale, qualunque sia l’ordine in cui sono applicate. Le trasformazioni C e P sono uni-tarie, la trasformazione T e antiunitaria, quindi CPT e una trasformazione antiunitaria.Inoltre la trasformazione C implica la coniugazione complessa.

Una trasformazione di Lorentz lungo l’asse z con velocita β (rapidita y = 12 ln 1+β

1−β )(z′

ct′

)=

(cosh y sinh ysinh y cosh y

)(zct

)=

(cosα i sinαi sinα cosα

)(zct

)

ey =√

1+β1−β = γ(1 + β) e−y =

√1−β1+β

= γ(1− β) cosh y = γ sinh y = βγ

e rappresentata da una rotazione di un angolo immaginario y = iα, nelle coordinate z–t.Entrambe gli assi sono invertiti per α = π(

z′

ct′

)=

(−1 00 −1

)(zct

)

Una trasformazione di Lorentz e una rotazione nel piano trasverso x–y ex′

y′

z′

ct′

= L(φ, y)

xyzct

=

cosφ sinφ 0 0− sinφ cosφ 0 0

0 0 cosα i sinα0 0 i sinα cosα

xyzct

quindi una trasformazione simultanea per inversione temporale e parita corrisponde aduna rotazione nello spazio-tempo con φ = π, y = iπ.

L(π, iπ) = −1 and L(2π, 2iπ) = +1

L’estensione delle trasformazioni di Lorentz alla dimensione immaginaria richiede comesola condizione che l’energia sia finita.

553

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Capitolo 43. Il teorema CPT

L’invarianza per CPT ha alcune importanti implicazioni. Per la trasformazione O ≡CPT le variabili di una particella si trasformano

C P T O~p + − − +~ + + − −q − + + −

~s× ~p + − − +

Per le interazioni tra particelle, ad esempio l’interazione ellettromagnetica rappresentatadalla densita hamiltoniana

HI(x) = J(x) ·A(x) J = (~j, ρ) A = ( ~A, V )

le correnti e i campi si trasformano

CJ = (−~j,−ρ) PJ = (−~j, ρ) TJ = (−~j, ρ)

CA = (− ~A,−V ) PA = (− ~A, V ) TA = (− ~A, V )

e la hamiltoniana e invariata, OHIO† = HI.Per lo stato di una particella |ψ〉 = |pµ, s, h, q〉 definito da 4-impulso, modulo dello

spin, elicita e carica, lo stato coniugato per CPT e |Oψ〉 = |pµ, s,−h,−q〉. Come con-seguenza dell’invarianza CPT la massa,

√pµpµ, di una particella e uguale a quella della

corrispondente antiparticella, m = m.Per uno stato non stazionario la probabilita di transizione per unita di tempo dallo

stato |i〉 ad uno stato |f〉 e Γi→f = 2π|〈f |HI|i〉|2ρ(Ef ). Per gli stati della corrispondenteantiparticella si ha |i〉 = |Oi〉, |f〉 = |Of〉, ρ(Ef ) = ρ(Ef )

Γi→f = 2π|〈f |HI|i〉|2ρ(Ef ) = 2π|〈f |O†HIO|i〉∗|2ρ(Ef ) = Γi→f

Quindi l’invariaza per CPT implica che la vita media di una particella e uguale a quelladella corrispondente antiparticella, τ = τ .

554

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Capitolo 44

La matrice CKM

Se u, c, t, d, s, b sono i quark autostati dell’interazione adronica i relativi autostati dell’in-terazione debole sono i doppietti dell’isospin debole(

ud′

)(cs′

)(tb′

)

in cui gli stati con isospin −12 sono combinazioni dei quark d, s, b descritte dalla matrice

di mixing di Cabibbo–Kobayashi–Maskawa d′

s′

b′

=

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

dsb

La corrente fermionica che interviene nell’ampiezza di un processo che coinvolge un quarkup e un quark down e

(u c t

)γµ

1− γ5

2V

dsb

=∑k

uLj γµVjkdLk (44.1)

Se non esistono altri quark la matrice CKM 3 × 3 dipende da 9 parametri complessi (18reali) ed e unitaria. La condizione di unitarieta VV† = 1 corrisponde a nove relazioni trai parametri

|Vud|2 + |Vus|2 + |Vub|2 = 1|Vcd|2 + |Vcs|2 + |Vcb|2 = 1|Vtd|2 + |Vts|2 + |Vtb|2 = 1

(44.2)

VudV∗us + VcdV

∗cs + VtdV

∗ts = 0 VudV

∗ub + VcdV

∗cb + VtdV

∗tb = 0

VusV∗ud + VcsV

∗cd + VtsV

∗td = 0 VusV

∗ub + VcsV

∗cb + VtsV

∗tb = 0

VubV∗ud + VcbV

∗cd + VtbV

∗td = 0 VubV

∗us + VcbV

∗cs + VtbV

∗ts = 0

(44.3)

La corrente (44.1) e invariata se ciascun campo di quark e modificato indipendentementeper un fattore di fase q′ = eiφq e la matrice V′ = e−iφV. Tra i sei fattori arbitrari unfattore globale non e vincolato. Quindi tra i 18 parametri ci cono 9 + 5 vincoli, la matriceCKM dipende da quattro parametri indipendenti.

555

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 556 — #556 ii

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Capitolo 44. La matrice CKM

Nella rappresentazione di Chau e Keung [8] i quattro parametri sono tre angoli diEulero e una fase; la terza matrice di rotazione e quella di Cabibbo, con s1 = sin θC , e ilparametro δ implica violazione della simmetria CP

V =

1 0 00 c2 s2

0 −s2 c2

c3 0 s3e

iδ

0 1 0−s3e

−iδ 0 c3

c1 s1 0−s1 c1 0

0 0 1

=

c1c3 s1c3 s3eiδ

−s1c2 − c1s2s3e−iδ c1c2 − s1s2s3e

−iδ s2c3

s1s2 − c1c2s3e−iδ −c1s2 − s1c2s3e

−iδ c2c3

I valori sperimentali indicano |Vud|2 + |Vus|2 ' 1 e la rappresentazione si puo approssimarecon

V '

c1c2 s1c2 s3eiδ

−s1c2 c1c2 s2c2

−c1c2s3e−iδ −c1s2 c2c3

Nella rappresentazione di Lincoln Wolfenstein [9] i parametri sono

V =

1− λ2/2 λ Aλ3(ρ− iη)−λ 1− λ2/2 Aλ2

Aλ3(1− ρ− iη) −Aλ2 1

+O(λ4)

con λ = sin θC = |Vus|2√|Vud|2+|Vus|2

.

I valori assoluti dei parametri della matrice CKM si misurano in vari decadimentideboli. |Vud| si misura nei decadimenti β 0+ → 0+ dei nuclei; |Vus| nei decadimentisemileptonici dei mesoni strani K → π`ν; |Vcd| nei decadimenti leptonici e semileptoniciCabibbo-soppressi dei mesoni con charm D → µν, D → π`ν; |Vcs| nei decadimenti semi-leptonici dei mesoni D → K`ν; |Vbc| nei decadimenti semileptonici dei mesoni B → D`ν;|Vub| nei decadimenti dei mesoni B senza particelle con charm. I parametri |Vtd| e |Vts| sonodeterminati dall’effetto del quark t sulla differenza di massa ∆m che induce le oscillazionidei quark B neutri B0

d e B0s (come avviene per i mesoni K0). |Vtb| si misura studiando i

decadimenti t→Wb. I valori misurati sono 0.9742± 0.0002 0.2243± 0.0005 (3.94± 0.36)× 10−3

0.218± 0.004 0.997± 0.017 (42.2± 0.8)× 10−3

(8.1± 0.5)× 10−3 (39.4± 2.3)× 10−3 1.019± 0.025

Da questi valori si ottiene: A = 0.83± 0.02, ρ = 0.12± 0.02, η = 0.35± 0.01.

La relazione di unitarieta della prima riga di (44.2) e soddisfatta con ottima precisione:|Vud|2 + |Vus|2 + |Vub|2 = 0.9994 ± 0.0005. Le equazioni (44.3) definiscono sei triangoli diunitarieta. Se consideriamo tre vettori ~u = ueiφ, ~v = veiχ, ~w = weiψ, che formanoun triangolo come in Figura 44.1, si ha ueiφ + veiχ + weiψ = 0. L’area del triangolo e12 |~u × ~v| = 1

2uv sin(φ − χ) = 12=(uv∗), e analogamente per ogni altra coppia di lati. La

condizione di unitarieta implica che l’area di tutti i triangoli sia uguale e pari a

1

2J =

1

2=(VijV

∗ikV∗ljVlk)

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 557 — #557 ii

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detto invariante di Cecilia Jarlskog [10]. L’area dei triangoli di unitarieta misura l’entitadella violazione della simmetria CP . Nella parametrizzazione di Wolfenstein si ha J =(1−λ2/2)A2λ6η, nella parametrizzazione di Chau–Keung J = c1c2c

23s1s2s3 sin δ; il valore

e J = (3.2± 0.2) 10−5. I triangoli sono rappresentati con un lato normalizzato all’unita eallineato sull’asse reale, con i vertici nei punti (0, 0), (1, 0), (x, y). Gli angoli ai tre verticisono indicati rispettivamente con γ, β, α.

Re

Im

w

u

v

Re

Im

(0,0) (1,0)

α

β γ

(x,y)

α β

γ

Figura 44.1: Triangolo di unitarieta.

Il primo triangolo nelle relazioni (44.3), strangness triangle, ha due lati quasi uguali|VudV ∗us| ' |VcdV ∗cs| = λ(1−λ2/2) e il terzo molto piu corto |VtdV ∗ts| = A2λ4

√(1− ρ)2 + η2.

Gli angoli sono α ' β ' π e γ ' y.Il secondo triangolo, beauty triangle, ha i lati di lunghezza confrontabile |VudV ∗ub| =

Aλ3√ρ2 + η2, |VcdV ∗cb| = Aλ3 e |VtdV ∗tb| = Aλ3

√(1− ρ)2 + η2, con il vertice a (x, y) =

(ρ, η). Il rapporto tra i lati del triangolo, vu = ei(φ−χ), u

w = ei(χ−ψ), wv = ei(ψ−φ) definisce

gli angoli

α = argVtdV

∗tb

VudV∗ub

β = argVcdV

∗cb

VtdV∗tb

γ = argVudV

∗ub

VcdV∗cb

Il valore degli angoli e ottenuto combinando varie misure dei decadimenti di particellecon beauty e delle oscillazioni dei mesoni B0 ↔ B0. Come nel caso dei mesoni K0, K0

(capitolo 19) nei diagrammi chiusi che descrivono oscillazioni o interferenze intervengonogli accoppiamenti con i quark di massa piu elevata, in particolare con il quark t. L’angoloα e determinato studiando l’evoluzione temporale dei decadimenti dei mesoni B in staticon stranezza nulla, b → uud, B0 → ππ, ρπ, ρρ; α = (85± 6). L’angolo β e determinatostudiando le transizioni b→ ccs nell’evoluzione temporale dei decadimenti dei mesoni B,B0 → J/ψK0

L, J/ψK0S ; β = (22 ± 1). L’angolo γ e determinato studiando le transizioni

b → c(us), b → u(cs) nei decadimenti B± → D0K±, B± → D0K±; γ = (74 ± 5). Lasomma degli angoli e (181± 8).

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Capitolo 44. La matrice CKM

558

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Capitolo 45

Teoria delle perturbazioni

L’ampiezza di transizione dallo stato iniziale ψi allo stato finale ψf per effetto di unahamiltoniana di interazione H dipendente dal tempo si ottiene come sviluppo in serie

Ai→f =1

ih

∫ t

0

∫rψ∗f (~r)H(~r, t′)ψi(~r)e

i(Ef−Ei)t′/hd~rdt′ + . . .

In teoria quantistica relativistica dei campi si deriva una forma analoga dove ψi e ψ∗f sonooperatori di assorbimento e di emissione, ripettivamente dello stato |i〉 e dello stato |f〉, inanalogia con quelli introdotti per rappresentare il campo elettromagnetico (appendice 36).

45.1 Il propagatore

Per calcolare l’evoluzione degli stati di particelle soggette a mutua interazione per effettodi una hamiltoniana dipendente dal tempo H(~r, t) facciamo l’ipotesi che le soluzioni pert→ ±∞ siano autofunzioni della hamiltoniana della particella libera, cioe H(r, t)→ 0 pert → ±∞. Se ψ0(~r, t) e una soluzione della hamitoniana H0 nel punto (~r, t), l’equazionedel moto [

ih∂

∂t−H0

]ψ(~r, t) = H(~r, t)ψ(~r, t)

si puo risolvere sotto forma di equazione integrale

ψ(~r, t) = ψ0(~r, t) +1

ih

∫G0(~r, t; ~r′, t′)H(~r′, t′)ψ(~r′, t′)d~r′dt′ (45.1)

dove G0(~r, t; ~r′, t′) e la soluzione per una sorgente di interazione puntiforme[ih∂

∂t−H0

]G0(~r, t; ~r′, t′) = ihδ(~r′ − ~r)δ(t′ − t)

e H e l’operatore densita hamiltoniana, H(~r, t) = ∂∂~rH(~r, t). La funzione di Green

G0(~r, t; ~r′, t) e il propagatore della particella libera dal punto (~r, t) al punto (~r′, t′). Se l’in-terazione e invariante per traslazioni nello spazio-tempo il propagatore G0(x, x′) e funzionedella differenza x− x′, dove x e il 4-vettore (~r, ct).

La soluzione dell’equazione (45.1) si ottiene come sviluppo in serie

ψ(x) = ψ0(x) +1

ihc

∫G0(x− x1)H(x1)ψ(x1)d4x1

559

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 560 — #560 ii

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Capitolo 45. Teoria delle perturbazioni

= ψ0(x) +1

ihc

∫G0(x− x1)H(x1)

[ψ0(x1) +

1

ihc

∫G0(x1 − x2)H(x2)ψ(x2)d4x2

]d4x1

= ψ0(x) +1

ihc

∫1G0(x− x1)H(x1)ψ0(x1)d4x1

+1

(ihc)2

∫12G0(x− x1)H(x1)G0(x1 − x2)H(x2)ψ0(x2)d4x1d

4x2

+1

(ihc)3

∫123

G0(x− x1)H(x1)G0(x1 − x2)H(x2)G0(x2 − x3)H(x3)ψ0(x3)d4x1d4x2d

4x3

+ . . ., e rappresenta la propagazione della particella libera tra i punti xk in cui avvienel’interazione e l’integrale va calcolato sul prodotto tempo-ordinato tk > . . . > t2 > t1. Nellimite t′ → −∞, t → +∞, ψ(x′) e ψ(x) sono soluzioni di particella libera. Questa con-dizione e ben verificata se l’osservazione dello stato iniziale e dello stato finale avvengonomolto prima e molto dopo l’interazione.

La soluzione si esprime in modo simbolico

|ψ〉 = |ψ0〉+ κGH|ψ0〉+ κ2GHGH|ψ0〉+ κ3GHGHGH|ψ0〉+ . . .

L’ampiezza di transizione dallo stato iniziale allo stato finale e

Ai→f = 〈f |H|i〉+ κ〈f |HGH|i〉+ κ2〈f |HGHGH|i〉+ . . . =∑k

A(k)fi (45.2)

La densita hamiltoniana e il prodotto della corrente fermionica per il campo di interazionee la costante di accoppiamento, H = gψ(x)γµψ(x)Aµ(x), e l’integrazione nello spazio-tempo assicura la conservazione di energia-impulso. Il primo termine della serie (45.2) e

A(1)fi = δfi. Gli altri termini sono proporzionali alle potenze della costante κ = g2/hc e la

serie converge rapidamente se κ 1.

A(2)fi =

g2

ihc

∫t2>t1

[ψf (x1)γµψf (x1)Aµ(x1)]G(x2 − x1)[ψi(x2)γνψi(x2)Aν(x2)]d4x1d4x2

Per derivare la forma esplicita del propagatore di una particella con 4-impulso q,consideriamo la anti-trasformata di Fourier

G(x2 − x1) =1

(2π)4

∫G(q)e−iq·(x2−x1)d4q

• per l’equazione di Klein–Gordon abbiamo[gµν∂µ∂ν +m2

]G0(x− x1) =

1

(2π)4

∫G(q)

[−q2 +m2

]e−iq·(x−x1)d4q

• per l’equazione di Dirac il propagatore e una matrice 4× 4

[iγµ∂µ −m]G0(x− x1) =1

(2π)4

∫G(q) [γµqµ −m] e−iq·(x−x1)d4q

Esprimendo la funzione di Dirac, δ4(x2−x1) = 1(2π)4

∫e−iq·(x2−x1) d4q, otteniamo la forma

del propagatore nello spazio degli impulsi per un bosone e per un fermione

GB(q) =1

q2 −m2

(gµν +

qµqνm2

)GF (q) =

1

γµqµ −m=γµqµ +m

q2 −m2(45.3)

Nota: q2 = m2 per la particella libera, ma q2 6= m2 per il propagatore della particellavirtuale nel percorso tra l’interazione H(x1) e l’interazione H(x2).

560

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45.2. I grafici di Feynman

45.2 I grafici di Feynman

I grafici di Feynman rappresentano in modo grafico il metodo di calcolo dell’ampiezza ditransizione dei processi di interazione in teoria dei campi. Diamo alcune definizioni:

• per il processo 1+2→ 3+ . . .+n gli stati iniziali e finali sono autostati di particellalibera

ψ(x) = u(~p)ei(~p·~r−Et)/h

dove la funzione u(~p) caratterizza il tipo di particella, bosone o fermione;

• l’ampiezza di transizione dallo stato iniziale ψi(x) allo stato finale ψf (x′) per azionedella hamiltoniana di interazione H e espressa dallo sviluppo in serie (45.2);

• i campi dei fermioni e dei bosoni si esprimono in funzione degli operatori di emissionee assorbimento:ψ+p (x) emette una particella con 4-impulso p nel punto x dello spazio tempo,ψp′(x

′) assorbe una particella con 4-impulso p′ nel punto x′;

• lo spazio-tempo e rappresentato nel piano ~r− t; per ciascun punto nel piano il conodi luce, r = ±ct, definisce passato, presente e futuro;

• una particella con 4-impulso p e rappresentata da una linea nel piano; linee conp2 = m2 rappresentano particelle libere, con p2 > m2 rappresentano propagatori ditipo tempo, con p2 < −m2 propagatori di tipo spazio;

• particelle con 4-impulso p che si propagano nel verso +t sono equivalenti a anti-particelle che si propagano nel verso −t;

• l’emissione di una particella con 4-impulso p nel punto x dello spazio-tempo e equi-valente all’assorbimento nello stesso punto di una anti-particella con lo stesso valoredi 4-impulso;

• in una interazione nel punto x, rappresentata dal fattore H(x), si conservano tuttele grandezze che commutano con H.

Consideriamo come esempio l’interazione elettromagnetica dei fermioni. La teoria dellaelettrodinamica quantistica, QED, e stata sviluppatata da Richard Feynman, Julian Sch-winger e Sin-Itiro Tomonaga 1. La hamiltoniana di interazione e il prodotto scalare della4-densita di corrente per il 4-potenziale elettromagnetico

H(x) = e J(x) ·A(x) J(x) = (~j, ρc) A = ( ~A, V/c)

Nel seguito usiamo la convenzione h = 1, c = 1. Esprimendo le correnti e i campi infunzione degli operatori di emissione e assorbimento, il primo termine dello sviluppo inserie e proporzionale all’integrale di

∑µ eψ1(x)γµψ2(x)Aµ(x) con

ψ1(x) = (2E1)−12u+(p1, s1)γ4e

−ip1·x ψ2(x) = (2E2)−12u(p2, s2)e+ip2·x

Aµ(x) = (2ω)−12 εµ

[a(k)e+ik·x + a+(k)e−ik·x

]I grafici al primo ordine (Fig. 45.1) sono rappresentati da un vertice in cui confluisconotre linee e le ampiezze di transizione sono proporzionali alla carica elettrica e:

1 premi Nobel per la Fisica nel 1965

561

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• emissione di un fotone da un elettrone (positrone): e− → e−γ ( e+ → e+γ);

• assorbimento di un fotone da un elettrone (positrone): γe− → e− ( γe+ → e+);

• annichilazione elettrone–positrone in un fotone e−e+ → γ;

• conversione di un fotone in elettrone–positrone γ → e−e+.

j(x)

A(x)

e

p p'

q = p - p' A(x)

p'

p

j(x)e

q = p + p'

Figura 45.1: Grafici di Feynman al primo ordine

L’integrale della funzione ei(p2−p1±q)·x implica la conservazione del 4-impulso nel vertice;quindi nessuno di questi processi rappresenta un fenomeno fisico perche non si conservail 4-impulso. (Nella trattazione nel capitolo 7 dell’emissione e assorbimento di fotoni daelettroni abbiamo fatto l’ipotesi che il nucleo atomico con massa M me, M Eγ ,bilanciasse l’impulso senza acquistare energia cinetica.)

e ee e

e

e

j(x1)

e

e

j(x2)

p1'

p2'p

2

p1

Figura 45.2: Esempi di grafici di Feynman al secondo ordine

Nei grafici al secondo ordine (Fig. 45.2) una particella emessa (assorbita) nel vertice1 viene assorbita (emessa) nel vertice 2 e si somma su tutti i possibili percorsi dallo statoiniziale allo stato finale: |i〉 → 1 → 2 → |f〉, |i〉 → 2 → 1 → |f〉. L’interazione in ognivertice e proporzionale alla carica elettrica. L’ampiezza di transizione e proporzionale ae2 e al propagatore della particella con 4-impulso q scambiata nel percorso 1↔ 2.

Processi al secondo ordine sono:

• scattering e−e− → e−e−, e+e+ → e+e+, e+e− → e+e−: q = p1 − p′1;

• effetto Compton γe− → γe− ( γe+ → γe+): q = p1 + p2;

• annichilazione e+e− → γγ (γγ → e+e−): q = p1 − p′1;

562

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45.2. I grafici di Feynman

• annichilazione e+e− → e+e−: q = p1 + p2.

Nei processi di scattering e annichilazione e+e− → e+e− gli stati iniziali e finali sonouguali e quindi l’ampiezza e la somma delle due ampiezze.

Esempi di processi al terzo ordine (Fig. 45.3) con ampiezza di transizione proporzionalea e3:

• irraggiamento ee→ eeγ;

• produzione di coppie γe→ e+e−e;

• annichilazione e+e− → γγγ.

e

e

e

e

e

e

e e

e

e

e

e

Figura 45.3: Esempi di grafici di Feynman al terzo ordine

Per un processo elettromagnetico con stato iniziale ψi e stato finale ψf la sezione d’urtoe proporzionale al modulo quadro dell’ampiezza di transizione Ai→f che si esprime comeserie di potenze della costante di accoppiamento α (Fig. 45.4)

σ ∝ |αA2 + α2A4 + . . . |2 = α2|A2|2 + α3(A∗2A4 +A2A∗4) + α4(|A4|2 + . . .) + . . .

La serie converge rapidamente perche α 1 e in alcuni casi il calcolo all’ordine α2 fornisce

Figura 45.4: Sezione d’urto come somma di grafici di Feynman

una approssimazione sufficientemente accurata.

563

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45.3 Correzioni radiative

Nei capitoli precedenti abbiamo studiato l’interazione tra cariche elettriche e abbiamo rica-vato le sezioni d’urto utilizzando la hamiltoniana di interazione elettromagnetica corrente–campo H(x) = eJµ(x)Aµ(x). L’elemento di matrice e proporzionale al prodotto delle ca-riche elettriche delle particelle interagenti e al propagatore del campo. Questo, al primoordine dello sviluppo perturbativo, O(e2), e I1(q2) = 1/q2. Per avere il valore completodello sviluppo in serie dobbiamo tener conto dei contributi al secondo, terzo, . . . ordine.I grafici al secondo ordine, O(e4), che cambiano l’elemento di matrice sono mostrati inFig. 45.5. Il contributo al propagatore per un fermione di massa m dovuto al grafico diFig. 45.5a e

I2(q2) = I1(q2)[−q2J (q2)

]I1(q2)

J (q2) =α

3π

∫ ∞m2

dp2

p2− 2α

π

∫ 1

0ln

[1− x(1− x)

q2

m2

]x(1− x)dx

con α = e2/4π. Il primo integrale va esteso a tutti i possibili valori dell’impulso della coppiafermione–antifermione e diverge. Si introduce quindi un limite superiore di integrazione Mche pero non deve avere influenza sul risultato finale del calcolo perche il risultato di unamisura e una quantita finita. q2 e negativo per 4-impulsi space-like; usiamo Q2 = −q2 > 0se vi sono logaritmi. Il risultato dell’integrale e

• per Q2 m2: J (q2) = α3π ln M2

m2 − α15π

Q2

m2

• per Q2 m2: J (q2) = α3π ln M2

m2 − α3π ln Q2

m2 = α3π ln M2

Q2

p q-pq

e

a b c de

Figura 45.5: Grafici al primo ordine, O(e2), e al secondo ordine, O(e4), dell’interazioneelettromagnetica

Il propagatore viene modificato dai contributi degli ordini superiori dello sviluppo inserie; per Q2 m2 si ha

1

q2→ 1

q2− 1

q2

(α

3πlnM2

m2− α

15π

Q2

m2

)+ . . .

Definendo la carica elettrica, e20 = 4πα, l’elemento di matrice e proporzionale a

H(q2) ∝ e20

q2

(1− e2

0

12π2lnM2

m2+

e20

60π2

Q2

m2+ . . .

)e diverge per M →∞. Possiamo assorbire il contributo del termine divergente ridefinendola carica elettrica

e2 = e20

(1− e2

0

12π2lnM2

m2

)

564

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45.3. Correzioni radiative

dove e0 e la carica elettrica nuda, cioe non rivestita dagli effetti dell’interazione con ilcampo elettromagnetico agli ordini superiori, mentre e e la carica elettrica effettiva, quellache si misura in un esperimento con 4-impulso trasferito q. Con questa ridefinizione dellacarica elettrica l’elemento di matrice diventa una quantita finita

H(q2) ∝ e2

q2

(1− e2

60π2

q2

m2+ . . .

)

Il contributo del grafico di Fig. 45.5b introduce una correzione al vertice di interazione

1

q2→ 1

q2

(1 +

α

3π

q2

m2

[lnm2

m2γ

− 3

8

]+

α

2π

i~σ · ~q2m

)

dove si e introdotta una massa del fotone per evitare la divergenza del secondo termineper mγ → 0, e ~σ sono le matrici di Pauli. Il terzo termine introduce una modifica almomento magnetico del fermione. Questo e definito ~µ = e

2m~s e ~s = ~σ/2 e lo spin. Ilfattore giromagnetico del fermione viene modificato rispetto al valore g = 2 della teoria diDirac (appendice 42)

g = 2

(1 +

α

2π+ . . .

)I grafici di Fig. 45.5c e 45.5d indroducono una correzione di ordine α anche essa pro-

porzionale a q2

m2 ln m2

m2γ

con il risultato che le divergenze per mγ → 0 dei grafici 45.5b, 45.5c

e 45.5d si cancellano esattamente. Quindi il risultato delle correzioni radiative al primoordine e

• la carica elettrica e modificata dal grafico di Fig. 45.5a;

• la carica elettrica effettiva e definita dalla carica elettrica nuda e da un fattore infinitonel limite M →∞ e non e costante ma dipende dal valore del 4-impulso trasferito;

• il momento magnetico e modificato per un termine 1+ α2π + . . . per effetto del grafico

di Fig. 45.5b;

• per effetto della cancellazione dei contributi dei grafici b, c e d di Fig. 45.5 la caricaelettrica effettiva di fermioni di massa diversa e la stessa.

La tecnica di assorbire i termini divergenti ∼ lnM nella ridefinizione della caricaelettrica e chiamata rinormalizzazione. Una teoria e rinormalizzabile se i termini divergentisi cancellano a ogni ordine dello svilluppo in serie in modo che il valore calcolato dellequantita misurabili risulta finito a ogni ordine dello svilluppo in serie.

45.3.1 La polarizzazione del vuoto

Il fenomeno responsabile della dipendenza della carica elettrica dal 4-impulso trasferito echiamato polarizzazione del vuoto. Una carica elettrica q immersa in un materiale polarizzail dielettrico e il valore del campo elettrico a distanza r e q/4πεr2 dove ε > ε0 e la costantedielettrica del materiale: la carica effettiva q/ε risulta piu piccola, cioe schermata. Inmeccanica quantistica la carica elettrica puo polarizzare il vuoto. Infatti cariche elettrichedi segno opposto, ad esempio coppie e+e−, si possono materializzare nel vuoto per effettodel principio di indeterminazione a condizione che l’energia necessaria ∆E soddisfi la

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relazione ∆E∆t < h. Per effetto del campo generato dalla carica i dipoli e+e− produconouna densita di carica localmente diversa da zero e la carica q viene parzialmente schermata(Fig. 45.6); l’effetto di schermo e minore per piccole distanze ovvero per 4-impulsi trasferitigrandi, cioe la carica elettrica effettiva aumenta con q2.

qr

Figura 45.6: Polarizzazione del vuoto

45.3.2 La ”costante” di accoppiamento

Per rendere quantitativa questa immagine calcoliamo il valore della carica elettrica effet-tiva. Nello sviluppo in serie il propagatore viene modificato dai grafici di Fig. 45.7

I1 =1

q2I2 = I1

[−q2J

]I1 I3 = I1

[−q2J

]I1

[−q2J

]I1 . . .

La somma dei contributi ai vari ordini e I(q2) = 1q2

[1− J + J 2 − J 3 + . . .

]e la carica

elettrica effettiva risulta

e2(q2) = e20

[1− J + J 2 − J 3 + . . .

]=

e20

1 + J (q2)

Per valori di Q2 m2, J ' α3π ln M2

Q2 . La ”costante” di accoppiamento, α, non e quindicostante, ma viene modificata

α(Q2) =α0

1− α03π ln Q2

M2

In questa espressione la costante di accoppiamento nuda α0 non e una quantita definita

Figura 45.7: Rinormalizzazione della carica elettrica

e c’e ancora un termine divergente ∼ lnM . Invertendo la relazione, possiamo definire α0

ad un valore di riferimento, Q2 = µ2, detta energia di rinormalizzazione

α0 =α(µ2)

1 + α(µ2)3π ln µ2

M2

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45.3. Correzioni radiative

e quindi esprimere la costante di accoppiamento in funzione del 4-impulso trasferito e delparametro µ2

α(Q2) =α(µ2)

1− α(µ2)3π ln Q2

µ2

(45.4)

La costante di struttura fine e usualmente definita alla massa dell’elettrone, µ2 = m2e, ed

e misurata con la precisione migliore di una parte per miliardo!1/α(m2

e) = 137.035 999 14± 0.000 000 03In effetti non solo le coppie e+e− contribuiscono ai grafici di polarizzazione del vuoto,

ma anche tutte le coppie fermione–antifermione con massa 4m2f < Q2. Quindi il fattore

13π va moltiplicato per il numero di fermioni (leptoni e quark) pesati per il valore dimolteplicita (1 per i leptoni, 3 per i quark) e per il quadrato del valore della carica elettrica(ed = −1

3 , eu = 23)

1

3π→ 1

3π

(n` +

1

3nd +

4

3nu

)La costante di accoppiamento alla massa del bosone Z0, α(m2

Z) = 1/128, differisce di circail 6% dal valore alla massa dell’elettrone.

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Capitolo 46

Calcolo di alcuni processielementari

46.1 Spazio delle fasi invariante

Il fattore d~rd~p/(2π)3 introdotto nella densita degli stati non e invariante per trasformazionidi Lorentz. Introducendo la condizione di normalizzazione della densita di probabilita con2E particelle per unita di volume, il fattore invariante, per una particella, e

d6n =d~rd~p

(2π)32E

e per k particelle nello stato finale con 4-impulso totale P

d6kn = (2π)4δ4 (ΣjPj − P )k∏j=1

V d~pj(2π)32Ej

(46.1)

dove la funzione δ4(. . .) tiene conto della conservazione del 4-impulso e j = 1 . . . k. SeV −1/2 e il fattore di normalizzazione delle funzioni d’onda, l’ampiezza di transizione Afidel processo a b → α β . . . κ viene moltiplicata per il fattore V −(2+k)/2. La sezioned’urto differenziale si ottiene mediando |Afi|2 sugli stati di spin delle particelle inizialia b, sommando sugli stati finali, integrando la densita degli stati finali nell’intervallo dellevariabili e dividendo per il flusso dello stato iniziale

dσi→f =1

Φi

V k

V 2+k

∫f|Afi|2(2π)4 δ4 (ΣjPj − P )

k∏j=1

d~pj(2π)32Ej

Il flusso iniziale, con la stessa condizione di normalizzazione, e

Φi =|~vab|

(V/2Ea)(V/2Eb)

Nell’espressione della sezione d’urto

dσi→f =1

|~vab|(2π)4

2Ea 2Eb

∫f|Afi|2 δ4 (ΣjPj − P )

k∏j=1

d~pj(2π)32Ej

(46.2)

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Capitolo 46. Calcolo di alcuni processi elementari

non compare il valore del volume di normalizzazione che nel seguito assumiamo unitario.I termini d~p/E sono invarianti. Anche il termine |~vab|EaEb e invariante. Infatti, ~va ‖ ~vb esi ha:∣∣∣∣ ~paEa − ~pb

Eb

∣∣∣∣EaEb = |~paEb − ~pbEa| = |~pa|Eb + |~pb|Ea =[(Pa · Pb)2 − (mamb)

2]1/2

Analogamente, per la larghezza di decadimento del processo a → α β . . . κ. Nel riferi-mento della particella a la probabilita di decadimento e

dΓi→f =1

2ma

∫f|Afi|2δ4 (ΣjPj − P )

k∏j=1

d~pj(2π)32Ej

(46.3)

Esempio: decadimento M → m1 m2

Il decadimento e descritto da 6 variabili con 4 condizioni, quindi 2 variabili libere che sonoi due angoli di decadimento θ φ, nel riferimento della particella M

ρ(E)dΩ =

∫1

2Mδ3(~p1 + ~p2)δ(E1 + E2 −M)

d~p1

2E1

d~p2

2E2=

=

∫1

8ME1E2δ(E1 + E2 −M)p2

1dp1dΩ1 =

∫1

8ME1E2δ[f(p1)]p2

1dp1dΩ1 =

• f(p) = (p2 +m21)1/2 + (p2 +m2

2)1/2 −M ; ∂f∂p = p

E1+ p

E2= E1+E2

E1E2p

=

∫1

8ME1E2

E1E2

Mp1p2

1 dΩ1 =p1

8M2dΩ1

e quindi otteniamo la largezza di decadimento in funzione dell’impulso e dell’angolo delledue particelle nel centro di massa

dΓ(M → m1 m2) = |Afi|2p

8M2dΩ

Esempio: decadimento M → m1 m2 m3

In questo caso ci sono 9 variabili con 4 condizioni, quindi 5 variabili libere∫1

2Mδ3(~p1 + ~p2 + ~p3)δ(E1 + E2 + E3 −M)

d~p1

2E1

d~p2

2E2

d~p2

2E2=

=

∫1

16ME1E2E3δ(E1 + E2 + E3 −M) p2

1dp1dΩ1 p22 dp2dΩ2 =

possiamo integrare nella direzione di una particella, dΩ1, e nell’angolo azimutale dellaseconda particella rispetto alla direzione della prima, dφ2, e rimangono 2 variabili libere

=

∫8π2

16ME1E2E3δ(E1 + E2 + E3 −M) p2

1p22dp1dp2d cos θ =

=

∫π2

2ME1 E2E3δ[f(pi, p2, cos θ)] p2

1p22dp1dp2d cos θ =

570

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46.2. Processi a b→ c d

• f(p1, p2, cos θ) = (p21 +m2

1)1/2 + (p22 +m2

2)1/2 + (p21 + 2p1p2 cos θ+ p2

2 +m23)1/2−M ;

∂f/∂ cos θ = p1p2/E3

=

∫π2

2ME1E2E3

E3

p1p2p2

1p22dp1dp2 =

∫π2

2ME1E2E3E3E1E2 dE1dE2

Risulta che la densita degli stati di tre particelle e uniforme

ρ(E)dE1dE2 =π2

2MdE1dE2

e la larghezza di decadimento in funzione delle energie di due particelle e

d2Γ(M → m1 m2 m3) = |Afi|2π2

2MdE1dE2

46.2 Processi a b→ c d

Questi processi sono rappresentati da grafici di Feynman al secondo ordine. I 4-impulsidelle quattro particelle sono legati dalla relazione Pa + Pb = Pc + Pd e possiamo costruiredue invarianti relativistici indipendenti. E comodo introdurre gli invarianti di Mandelstam

s = (Pa + Pb)2 t = (Pa − Pc)2 u = (Pa − Pd)2

che sono legati dalla relazione

s+ t+ u = P 2a + 2Pa · Pb + P 2

b + P 2a − 2Pa · Pc + P 2

c + P 2a − 2Pa · Pd + P 2

d =

= P 2a + P 2

b + P 2c + P 2

d + 2Pa · (Pa + Pb − Pc − Pd) =4∑

k=1

m2k

s e il quadrato dell’energia totale, t e u sono il quadrato del 4-impulso trasferito a → c,a → d. Per la proprieta di simmetria dei grafici di Feynman rispetto all’assorbimento eemissione di particelle e antiparticelle, l’ampiezza dei processi ac → bd e db → ca siottengono dall’ampiezza del processo ab → cd con opportuno scambio delle variabili diMandelstam. Questa proprieta e detta simmetria di incrocio.

Calcoliamo la sezione d’urto differenziale

dσ(ab→ cd) =1

64π2

1

|~vab|EaEb

∫f|Afi|2 δ4(Pa + Pb − Pc − Pd)

d~pcEc

d~pdEd

nel riferimento del centro di massa

~pa + ~pb = ~pc + ~pd = 0 pi = |~pa| = |~pb| pf = |~pc| = |~pd| s = (Ea + Eb)2

|~vab|EaEb = |~pa|Eb + |~pb|Ea = pi√s

le variabili libere sono gli angoli di scattering θ, φ∫δ4(Pa + Pb − Pc − Pd)

d~pcEc

d~pdEd

=

∫δ(√s− Ec − Ed)

pcEcdEcdΩc

EcEd=

pf√sdΩ

(dσ

dΩ

)cm

=1

64π2

1

s

pfpi|Afi|2 (46.4)

571

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46.2.1 Scattering e−µ+ → e−µ+

Il grafico di Feynman e mostrato in Fig. 46.1: nel punto x1 viene assorbito l’elettrone di4-impulso pa, emesso l’elettrone di 4-impulso pc e emesso (assorbito) un fotone virtuale di4-impulso q = pa − pc (q = −pa + pc); nel punto x2 viene assorbito il µ di 4-impulso pb,emesso il µ di 4-impulso pd e assorbito (emesso) il fotone virtuale di 4-impulso q = −pb+pd(q = pb − pd). L’ampiezza di transizione e l’integrale

A =

∫jλe (x1) G(x1 − x2) jµλ(x2) d4x1d

4x2

jλ = eψγλψ ψ = u(p, s)e−ip·x ψ = u(p, s)eip·x

e G(x1 − x2) e il propagatore del campo elettromagnetico

A =

∫eucγ

λua ei(pa−pc)·x1 e

−iq·(x1−x2)

(2π)4q2eudγλub e

i(pb−pd)·x2 d4x1d4x2

=1

(2π)4

∫ucγ

λuae2

q2udγλub e

i(pa−pc−q)·x1 ei(pb−pd+q)·x2 d4x1d4x2

= ucγλua

e2

q2udγλub (2π)4δ4(pa + pb − pc − pd)

x1

x2

pc

pd

pb

pa

qq

pb

pa

pd

pc

x2x1

Figura 46.1: Grafici di Feynman ab→ cd al secondo ordine: scattering e annichilazione

La media sugli spin dello stato iniziale e la somma sugli spin dello stato finale e uncalcolo complesso che non riportiamo; il risultato e

|Afi|2 =8e4

q4

[(pa · pb)(pc · pd) + (pa · pd)(pc · pb)−m2

a pb · pd −m2b pa · pc + 2m2

am2b

]• Consideriamo l’urto nel riferimento in cui la particella b e inizialmente in quiete

pa = (~p,E) pb = (0,M) pc = (~p′, E′) q = (~q, ν) = (~p− ~p′, E − E′)

e supponiamo che E ma, E′ mc, cioe p2

a = p2c ≈ 0, q2 ≈ −2pa · pc; con queste

ipotesi

q2 = −2EE′ + 2~p · ~p′ ≈ −2EE′(1− cos θ) = −4EE′ sin2 θ/2 = −Q2

p2d = (pb + q)2 M2 = M2 + q2 + 2pb · q Q2 = 2Mν

572

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 573 — #573 ii

ii

ii


Sostituendo pd = pa + pb − pc e trascurando i termini in m2a

|Afi|2 =8e4

Q4

[(pa · pc)(pa · pb − pc · pb) + 2(pa · pb)(pc · pb)−M2 pa · pc

]

=8e4

Q4

[Q2

2(EM − E′M) + 2 EM E′M − M2Q

2

2

]

=8e4

Q42M2EE′

[1− Q2

4EE′+

Q2

4M2

M(E − E′)EE′

]

=16e4

Q4M2EE′

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

]La sezione d’urto, con |~vab| ≈ c = 1, si ottiene integrando sulle variabili di stato finale

dσ =1

64π2

1

EM

∫|Afi|2 δ4(pa + pb − pc − pd)

d~pcEc

d~pdEd

=1

64π2

1

EM

∫|Afi|2 δ4(q + pb − pd) EcdEcdΩc

d~pdEd

=1

64π2

1

EM

∫|Afi|2 δ3(~q − ~pd)δ(ν +M − Ed) EcdEcdΩc

d~pdEd

=1

64π2

1

EM|Afi|2

1

Mδ(ν −Q2/2M) E′dE′dΩ′

Introducendo l’espressione dell’ampiezza di transizione e α = e2/4π(d2σ

dE′dΩ′

)lab

=1

64π2

1

EM

16e4

Q4M2EE′

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

]E′

Mδ(ν −Q2/2M)

=4α2

Q4E′2

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

]δ(ν −Q2/2M)

Se la particella b non ha struttura, come abbiamo supposto, ci sono solo due variabili libere,gli angoli Ω′ = (θ′, φ′). La funzione δ(ν − Q2/2M) esprime la conservazione dell’energiaper una particella bersaglio puntiforme

ν − Q2

2M= E − E′ − 4EE′

2Msin2 θ/2 = 0 E′ =

E

1 + (2E/M) sin2 θ/2

Integrando sull’energia E′

dσ

dΩ′=

∫σ(E′, Q2) δ[E − E′ − (2EE′/M) sin2 θ/2] dE′ =

=σ(E′, Q2)∣∣∣ ∂

∂E′ E − E′ −2EE′

M sin2 θ/2∣∣∣ =

σ(E′, Q2)

1 + 2EM sin2 θ/2

= σ(E′, Q2)E′

E

otteniamo la sezione d’urto di Dirac(dσ

dΩ

)lab

=α2

4E2 sin4 θ/2

E′

E

[cos2 θ/2 +

Q2

4M22 sin2 θ/2

]

573

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 574 — #574 ii

ii

ii


Se possiamo trascurare anche la massa della particella b, l’espressione dell’ampiezza ditransizione si semplifica ulteriormente

|Afi|2 =8e4

q4[(pa · pb)(pc · pd) + (pa · pd)(pc · pb)]

In questo caso i prodotti scalari dei 4-impulsi si esprimono direttamente in funzione degliinvarianti di Mandelstam

s = (pa + pb)2 = (pc + pd)

2 = 2pa · pb = 2pc · pd

t = (pa − pc)2 = (pd − pb)2 = −2pa · pb = −2pb · pd = q2

s = (pa − pd)2 = (pc − pb)2 = −2pa · pd = −2pc · pb

|Afi|2 =8e4

q4

s2 + u2

4= 2e4 s2 + u2

t2

• Nel riferimento del centro di massa, ~pa + ~pb = ~pc + ~pd = 0,

s = 4p2 t = −2p2(1− cos θ) u = −2p2(1− cos(π − θ)) = −2p2(1 + cos θ)

e la sezione d’urto differenziale, con |~vab| = c = 1, pi = pf , e(dσ

dΩ

)cm

=1

64π2

2e4

s

s2 + u2

t2=α2

2s

1 + cos4 θ/2

sin4 θ/2

46.2.2 Annnichilazione e−e+ → µ−µ+

Nel processo di scattering e−µ+ → e−µ+ il fotone virtuale e di tipo spazio (q2 < 0): e unprocesso nel canale t. Il processo di annichilazione e−e+ → µ−µ+ si ottiene dal precedenteper simmetria di incrocio

e µ→ e µ ⇔ e e→ µ µ

scambiando i 4-impulsi pb ↔ −pc. Questo corrisponde allo scambio s ↔ t. Il fotonevirtuale e di tipo tempo (q2 = s > 0): e un processo nel canale s (Fig. 46.1). L’ampiezzadi scattering diventa

|Afi|2 =8e4

q4[(−pa · pc)(−pb · pd) + (pa · pd)(pc · pb)] =

8e4

q4

t2 + u2

4= 2e4 t2 + u2

s2

• Nel riferimento del centro di massa

|Afi|2 = 2e4 (1− cos θ)2 + (1 + cos θ)2

4

dove θ e l’angolo e ∧ µ = e ∧ µ.

Al primo ordine dello sviluppo perturbativo l’annichilazione ee → µµ avviene in unostato JP = 1−, fermione e antifermione hanno nello stato iniziale e nello stato finale

574

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 575 — #575 ii

ii

ii


elicita opposta. |Afi|2 risulta dalla somma di due ampiezze che non interferiscono e checorrispondono ai quattro casi

eLeR → µLµR eReL → µRµL A ∼ (1 + cos θ)/2

eLeR → µRµL eReL → µLµR A ∼ (1− cos θ)/2

Per la conservazione dell’elicita, la prima si annulla per scattering indietro, θ = π, laseconda per scattering in avanti, θ = 0.

La sezione d’urto differenziale e, con le solite ipotesi,(dσ

dΩ

)cm

=1

64π2

2e4

s

1 + cos2 θ

2=α2

4s(1 + cos2 θ)

e, integrando sull’angolo solido

σcm(e−e+ → µ−µ+) =

∫α2

4s(1 + cos2 θ) d cos θ dφ =

4π

3

α2

s

46.2.3 Scattering e−e+ → e−e+

Questo processo puo avvenire sia come scattering nel canale t, con q2 = (pa − pc)2 < 0,che come annichilazione nel canale s, con q2 = (pa + pb)

2 > 0. L’ampiezza di transizionee la somma dei due contributi e |Afi|2 contiene i termini di scattering, di annichilazione eil termine di interferenza

|Afi|2 = 2e4

[s2 + u2

t2+

2u2

st+t2 + u2

s2

]

La sezione d’urto nel riferimento del centro di massa e la sezione d’urto di Bhabha(dσ

dΩ

)cm

=α2

2s

[1 + cos4 θ/2

sin4 θ/2− 2

cos4 θ/2

sin2 θ/2+

1

2(1 + cos2 θ)

]

46.2.4 Scattering e−e− → e−e−

Questo processo avviene nel canale t, con q2 = (pa − pc)2 < 0. Poiche si tratta di dueparticelle indentiche, l’ampiezza di transizione e la somma di due contributi

e1e2 → e1e2 + e1e2 → e2e1

Il processo e e→ e e si ottiene dallo scattering Bhabha per simmetria di incrocio

e e→ e e ⇔ e e→ e e

scambiando i 4-impulsi pb ↔ −pd. Questo corrisponde allo scambio s↔ u.

|Afi|2 = 2e4

[s2 + u2

t2+

2s2

ut+t2 + s2

u2

]

La sezione d’urto nel riferimento del centro di massa e la sezione d’urto di Møller(dσ

dΩ

)cm

=α2

2s

[1

sin4 θ/2− 2

sin2 θ/2 cos2 θ/2+

1

cos4 θ/2

]

575

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 576 — #576 ii

ii

ii


46.2.5 Compton scattering γe− → γe−

Lo scattering Compton e rappresentato da due grafici di Feynman (Fig. 46.2). Nel primo,nel punto x1 viene assorbito il fotone di 4-impulso ka, assorbito l’elettrone di 4-impulsopb e emesso l’elettrone virtuale di 4-impulso q = ka + pb; nel punto x2 viene assorbitol’elettrone virtuale di 4-impulso q = kc + pd, emesso il fotone di 4-impulso kc e emessol’elettrone di 4-impulso pd. Il propagatore ha 4-impulso q2 = (ka + pb)

2 = m2 + 2ka · pb.Il secondo grafico (ka e assorbito in x2 e kc e emesso in x1) si ottiene dal primo persimmetria di incrocio con lo scambio ka ↔ −kc, cioe s ↔ u. Il propagatore ha 4-impulsoq2 = (−kc + pb)

2 = m2 − 2kc · pb.

x2pd

pb

x1

kcka

x2pd

pb

x1

kcka

Figura 46.2: Grafici di Feynman dell’effetto Compton

L’ampiezza di transizione e la somma di due contributi

A1,fi =

∫eudε

∗µcγ

µ e−i(kc+pd)x2 γλqλ +m

(2π)4(q2 −m2)eiq(x1−x2) eγνενaub e

i(ka+pb)x1 d4x1d4x2

=1

(2π)4

∫eudε

∗µcγ

µ γλqλ +m

q2 −m2eγνενaub e

i(ka+pb−q)x1 ei(q−kc−pd)x2 d4x1d4x2

=e2

q2 −m2[udε

∗µcγ

µ] [γλqλ +m] [γνενaub] (2π)4 δ4(ka + pb − kc − pd)

con q = ka + pb = kc + pd, q2−m2 = 2ka · pb = 2kc · pd. Il secondo contributo si ottiene in

modo analogo

A2,fi =e2

q2 −m2[udεµaγ

µ] [γλqλ +m] [γνε∗νcub] (2π)4 δ4(ka + pb − kc − pd)

con q = −kc + pb = −ka + pd, q2 −m2 = −2kc · pb = −2ka · pd.

Introducendo le variabili s = 2ka · pb = 2kc · pd, u = −2kc · pb = −2ka · pd, cheapprossimano gli invarianti di Mandelstam nel limite m2 → 0, sommando sugli stati dipolarizzazione dei fotoni e di spin degli elettroni, si ottiene

|Afi|2 = 2e4

[− su− u

s+ 4m2

(1

s+

1

u

)+ 4m4

(1

s+

1

u

)2]

Nel riferimento in cui l’elettrone e inizialmente in quiete la cinematica e la stessa delprocesso eµ→ eµ, dove pero abbiamo trascurato me,

ka = (k, ω) pb = (0,m) kc = (k′, ω′) ω′ =mω

m+ ω(1− cos θ)

e con s = mω, u = −mω′

cos θ = 1−(m

ω′− m

ω

)= 1+

(2m2

s+

2m2

u

)sin2 θ = −4m2

(1

s+

1

u

)−4m4

(1

s+

1

u

)2

576

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 577 — #577 ii

ii

ii


|Afi|2 = 2e4[ω′

ω+ω

ω′− sin2 θ

]e, integrando come nel processo eµ→ eµ,

1

64π2

1

mω

∫|Afi|2 δ4(ka + pb − kc + pd)

d~kcωc

d~pdEd

otteniamo la sezione d’urto di Klein–Nishina(dσ

dΩ

)lab

=α2

2m2

ω′2

ω2

[ω′

ω+ω

ω′− sin2 θ

]

46.2.6 Annichilazione e+e− → γγ

Anche in questo caso il processo e descritto da due grafici di Feynman poiche i fotoni nellostato finale sono indistinguibili (Fig. 46.3). Il processo si ottiene dallo scattering Compton

pa

pb

kc

kdx2

x1pa

pb

kc

kdx2

x1

Figura 46.3: Grafici di Feynman dell’annichilazione e+e− → γγ

per simmetria di incrocio

γe− → γe− ⇔ e+e− → γγ

scambiando i 4-impulsi pa ↔ −pd che corrisponde allo scambio s ↔ −t. Nel limite|t| m2, |u| m2, che e il caso di interesse negli anelli di collisione e+e−, l’elemento dimatrice e

|Afi|2 = 2e4[t

u+u

t

]Nel riferimento del centro di massa, s = 4p2, t = −2p2(1 − cos θ), u = −2p2(1 + cos θ),|Afi|2 e simmetrica rispetto all’angolo θ tra la direzione e+e− e la direzione γγ

|Afi|2 = 2e4[

1− cos θ

1 + cos θ+

1 + cos θ

1− cos θ

]= 4e4 1 + cos2 θ

1− cos2 θ

e la sezione d’urto, con |~vee| = c = 1, pf = pi = p, e

(dσ

dΩ

)cm

=1

64π2s|Afi|2 =

α2

s

1 + cos2 θ

1− cos2 θ

Da notare che l’approssimazione |t| m2, |u| m2 non e valida nel limite cos θ → ±1.

577

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 578 — #578 ii

ii

ii


46.2.7 Scattering νee− → e−νe

Il grafico di Feynman nel canale t e mostrato in Fig. 46.4: nel punto x1 viene assorbitoil neutrino di 4-impulso pa, emesso l’elettrone di 4-impulso pc e emesso un bosone W+

virtuale di 4-impulso q = pa − pc; nel punto x2 viene assorbito l’elettrone di 4-impulso pb,emesso il neutrino di 4-impulso pd e assorbito il bosone virtuale di 4-impulso q = −pb+pd.L’ampiezza di transizione e l’integrale

A =

∫jλ(x1) Gλµ(x1 − x2) [jµ(x2)]+ d4x1d

4x2

dove jλ, (jλ)+ sono le correnti deboli cariche con ∆Q = ±1

jλ =g√2ψfγλ

1− γ5

2ψi [jλ]+ =

g√2

[ψfγλ

1− γ5

2ψi

]+

=g√2ψiγλ

1− γ5

2ψf

e Gλµ(x1 − x2) e il propagatore del campo debole

Gλµ(x1 − x2) =e−iq·(x1−x2)

(2π)4

gλµ − qλqµ/M2

q2 −M2

A =g2

2

∫ucγλ

1− γ5

2uae

i(pa−pc)·x1 Gλµ(x1 − x2) udγµ1− γ5

2ube

i(pb−pd)·x2 d4x1d4x2

Nella maggior parte dei casi di interesse q2 M2 (M ' 80 GeV ) e, introducendo la

Figura 46.4: Grafici di Feynman dello scattering νee− → e−νe per corrente carica e neutra

costante universale di Fermi, G/√

2 = g2/8M2,

A =G√

2[ucγλ(1− γ5)ua] [udγλ(1− γ5)ub] (2π)4δ4(pa + pb − pc − pd)

Mediando sugli spin dello stato iniziale e sommando sugli spin dello stato finale

|Afi|2 = 64G2(pa · pc)(pb · pd)

La cinematica e la stessa di processi gia studiati. Nel riferimento del centro di massaabbiamo (

dσ

dΩ

)cm

=1

64π2s16G2s2 =

G2

4π2s

cioe la sezione d’urto differenziale del processo νee− → e−νe non dipende dall’angolo di

scattering, e

σ(νee− → e−νe) =

G2

πs

Qui non e stato considerato lo scattering νee− → νee

− mediato dal campo debole neutro.

578

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 579 — #579 ii

ii

ii


46.2.8 Scattering νee− → e−νe

L’ampiezza di questo processo si ottiene dal precedente per simmetria di incrocio scam-biando pa ↔ −pd, cioe s↔ t, ed e un processo di annichilazione nel canale s (Fig. 46.5).

Figura 46.5: Grafici di Feynman dello scattering νee− → e−νe per corrente carica e neutra

Trattando, come sopra, solo lo scattering per corrente debole carica:

|Afi|2 = 64G2 (−pd · pc) (−pb · pa) = 64G2 t2 = 64G2 s2(1− cos θ)2

dove θ e l’angolo νin ∧ e−out (se θ∗ e l’angolo νin ∧ νout: cos θ∗ = − cos θ).(dσ

dΩ

)cm

=G2

4π2s

(1− cos θ)2

4

σ(νee− → e−νe) =

G2

3πs

σ(νee− → e−νe)

σ(νee− → e−νe)=

1

3

La dipendenza delle sezioni d’urto dall’angolo di scattering si spiega con la conservazionedell’elicita dei fermioni:

• Nello scattering νee− → e−νe (νee

+ → e+νe) fermione e antifermione hanno elicitauguale e il momento angolare e J = 0: la distribuzione angolare nel centro di massae isotropa.

νLeL → eLνL νReR → eRνR A ∼ costante

• Nell’annichilazione νee− → e−νe (νee

+ → e+νe) fermione e antifermione hanno eli-cita opposta e il momento angolare e J = 1 con Jz = +1 (Jz = −1): la distribuzioneangolare nel centro di massa corrisponde alla rotazione del momento angolare J = 1attorno ad un asse ⊥ z

νReL → eLνR νLeR → eRνL A ∼ (1− cos θ)/2

Nello stato finale, per la conservazione dell’elicita si ha Jz′ = −1 (Jz′ = +1) lungol’asse z′, cioe una sola proiezione su 2J + 1 = 3.

46.2.9 Scattering partone–partone

Alla sezione d’urto invariante di produzione di jet in interazioni adroniche (capitolo 22)contribuiscono piu processi di scattering o annichilazione dei partoni constituenti degliadroni nello stato iniziale, e ciascun processo e pesato per la convoluzione delle densita dei

579

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 580 — #580 ii

ii

ii


partoni. Consideriamo solo i processi in cui due partoni i, j nello stato iniziale produconodue partoni k, l nello stato finale e descriviamo i processi nel centro di massa partone–partone.

Se s0 e il quadrato dell’energia totale degli adroni interagenti, s0 = (P1 + P2)2, e x1,x2 sono le frazioni di impulso dei partoni, le variabili di Mandelstam che descrivono iprocessi sono il quadrato dell’energia totale dei partoni i, j, uguale alla massa invariantedei partoni k, l, e i due 4-impulsi trasferiti

s = (Pi +Pj)2 = x1x2s0 t = (Pi−Pk)2 = −s

2(1− cos θ) u = (Pi−Pl)2 = −s

2(1 + cos θ)

dove θ e l’angolo di scattering. La sezione d’urto invariante dell’interazione partone–partone in funzione dell’angolo azimutale, l’impulso trasverso e la rapidita e:

d3σ

dφpTdpTdycon pT =

√s

2sin θ y =

1

2ln

1 + cos θ

1− cos θ

I contributi piu importanti dei processi ij → kl, ciascuno pesato per i fattori di coloredell’interazione partone–partone e calcolati al primo ordine dello sviluppo perturbativo,sono elencati nella tabella seguente. Tutti sono proporzionali a αs(s).

ij → kl d3σ/dφpTdpTdy c = cos θ

qq′ → qq′ 12s

49s2+u2

t21s

[29

4+(1+c)2

(1−c)2]

qq → qq 12

12s

[49

(s2+u2

t2+ s2+t2

u2

)− 8

27s2

ut

]1s

[19

(4+(1+c)2

(1−c)2 + 4+(1−c)2(1+c)2

)− 8

271

1−c2]

qq → q′q′ 12s

49u2+t2

s21s

[1+c2

9

]qq → qq 1

2s

[49

(s2+u2

t2+ u2+t2

s2

)− 8

27u2

st

]1s

[19

(4+(1+c)2

(1−c)2 + 1+c2

2

)+ 4

271+c2

1−c2]

qq → gg 12

12s

[3227u2+t2

ut −83u2+t2

s2

]1s

[827

4+(1−c)21−c2 − 1+c2

3

]gg → qq 1

2s

[16u2+t2

ut −38u2+t2

s2

]1s

[112

4+(1+c)2

1−c2 − 3(1+c2)32

]gq → gq 1

2s

[−4

9s2+u2

su + s2+u2

t2

]1s

[19

4+(1+c)2

1+c + 4+(1+c)2

2(1−c)2]

gg → gg 12

12s

92

[3− ut

s2− su

t2− st

u2

]1s

[278 −

9(1+c2)32 + 9

41+c

(1−c)2 + 94

1−c(1+c)2

]Per tutti i processi la sezione d’urto e proporzionale a 1

s . La distribuzione angolarefavorisce l’emissione ad angoli piccoli perche nei processi di scattering e proporzionale a

1(1−cos θ)2

= 12 sin4 θ/2

, mentre nei processi di annichilazione e proporzionale a 1+cos2 θ. Per

piccoli valori dell’angolo di scattering i contributi sono approssimativamente in rapportogg : gq : qq ≈ 9

4 : 1 : 49

46.3 Il decadimento del muone

Il decadimento del muone, µ− → νµe−νe (µ+ → νµe

+νe) e rappresentato dal grafico dellaFig. 46.6. L’interazione corrente–campo e

H =g√2

[ψ(x)γα

1− γ5

2ψ(x)Wα(x) + hermitiano coniugato

]dove g e la ”carica” debole, ψ(x) = u(s)

2E e−ipx e la funzione d’onda dei fermioni e W (x) e

il campo di interazione debole. L’elemento di matrice si ottiene integrando

H =g√2ψ1(x)γα

1− γ5

2ψµ(x)Wα(x)

g√2ψe(y)γβ

1− γ5

2ψ2(y)W β(y)

580

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 581 — #581 ii

ii

ii

46.3. Il decadimento del muone

n

e

n

em

e

nm

m

nm

e

Figura 46.6:

Per valori del 4-impulso trasferito q2 = (pµ − p1)2 = (pe + p2)2 m2W il propagato-

re del campo egαβm2W

con gαβ tensore metrico, e l’integrale e∫e−ipµxeipexeip1xeip2xd4x =

(2π)4δ4(pµ − pe − p1 − p2). Introducendo la costante di Fermi g√2

1m2W

g√2

= 4G√2

si ha

H =G√

2[u1γα(1− γ5)uµ] [ueγα(1− γ5)u2] (46.5)

dΓ = (2π)4δ4(pµ − pe − p1 − p2)1

2Eµ

d3pe2Ee(2π)3

d3p1

2E1(2π)3

d3p2

2E2(2π)3|H|2 (46.6)

dove |H|2 e la media sugli stati di spin.

|H|2 =G2

2tr[u1u1γα(1− γ5)uµuµγα(1− γ5)] tr[ueueγβ(1− γ5)u2u2γβ(1− γ5)]

= 32G2 [(pµ −mµsµ) · p1] [(pe −mese) · p2]

sµ e se sono le polarizzazioni (4-versori) di muone e elettrone. Integrando sulle variabilidei neutrini, p1, p2

dΓ =

∫2G2

(2π)5[(pµ −mµsµ) · p1] [(pe −mese) · p2] δ4(q − p1 − p2)

1

Eµ

d3peEe

d3p1

E1

d3p2

E2

dΓ =2G2

(2π)5(pµ −mµsµ)α(pe −mese)β Iαβ

d3peEµEe

(46.7)

L’integrale sui 4-impulsi dei neutrini e un invariante che si puo esprimere in funzione di q

Iαβ =

∫p1,p2

pα1 pβ2 δ

4(q − p1 − p2)d3p1

E1

d3p2

E2= Aq2gαβ +Bqαqβ

e si ottiene (p21 = p2

2 = 0)

gαβIαβ = 4Aq2 +Bq2 =

∫p1,p2

(p1 · p2) δ4(q − p1 − p2)d3p1

E1

d3p2

E2

qαqβIαβ = Aq4 +Bq4 =

∫p1,p2

(p1 · p2)2 δ4(q − p1 − p2)d3p1

E1

d3p2

E2

Nel riferimento in cui ~q = ~p1 + ~p2 = 0, si ha E1 = E2, p1 · p2 = 2E21 , q2 = q2

0 = (2E1)2

gαβIαβ =

∫8πE2

1dE1δ(q0 − 2E1) δ3(~q − ~p1 − ~p2)d3p2 = πE21 = πq2

581

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 582 — #582 ii

ii

ii


qαqβIαβ =

∫16πE4

1dE1δ(q0 − 2E1) δ3(~q − ~p1 − ~p2)d3p2 = 2πE41 =

π

2q4

quindi: A = π/6, B = π/3; sostituendo Iαβ = π6 (q2gαβ + 2qαqβ) nell’equazione (46.7)

d3Γ =πG2

3(2π)5(pµ −mµsµ)α(pe −mese)β (q2gαβ + 2qαqβ)

d3peEµEe

(46.8)

Nel riferimento del muone Eµ = mµ, q = (mµ−Ee,−~pe), sµ = (0, sµ), mese = (Eehe, ~pehe)

dove he = ~pe·seEe

e l’elicita dell’elettrone e se e la polarizzazione nel riferimento dell’elettrone.Trascurando la massa dell’elettrone (|~pe| = Ee), il prodotto nell’equazione (46.8) e

(pµ −mµsµ)α (pe −mese)β (q2gαβ + 2qαqβ) =mµEe(1− he) (3m2

µ − 6mµEe + 2E2e )

+ mµ(1− he)~pe · 2(mµ − Ee)~pe− mµsµ · ~pe (1− he) 2(mµ − Ee)Ee+ mµsµ · ~pe (1− he) (m2

µ − 2mµEe − 2E2e ) =

(1− he) m2µEe [(3mµ − 4Ee) + (mµ − 4Ee) cos θ]

θ e l’angolo tra lo spin del muone e l’impulso dell’elettrone

d3Γ =πG2

3(2π)5(1− he)mµ[(3mµ − 4Ee) + (mµ − 4Ee) cos θ]E2

e dEedφd cos θ

e, integrando sull’angolo azimutale φ, si ha

d2Γ(µ→ νµeνe) =G2

3(2π)3

1− he2

mµ[(3mµ − 4Ee) + (mµ − 4Ee) cos θ]E2e dEed cos θ

Nel caso del decadimento µ+ → νµe+νe cambia l’elemento di matrice (46.5)

H =G√

2[uµγα(1 + γ5)u1] [u2γα(1 + γ5)ue]

e quindi i segni nell’equazione (46.8), p−ms→ p+ms

d2Γ(µ→ νµeνe) =G2

3(2π)3

1 + he2

mµ[(3mµ − 4Ee)− (mµ − 4Ee) cos θ]E2e dEed cos θ

Nel decadimento l’elettrone e emesso con elicita negativa (he = −1) e il positrone conelicita positiva (he = +1).

582

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ii

Capitolo 47

Il fattore giromagnetico dei leptoni

47.1 Il fattore giromagnetico

Consideriamo un corpo rigido di massa m a simmetria cilindrica che e in rotazione con velo-cita angolare ~ω attorno all’asse di simmetria, Fig. 47.1. Il momento angolare di rotazione,spin, e proporzionale al momento di inerzia

~s = I~ω = ~ω

∫r2dm

dove r e la distanza dall’asse di simmetria dell’elemento dm = ρmrdrdzdφ e ρm e la densitadi massa. Se il corpo ha carica elettrica q e densita di carica ρq, l’elemento di carica dq

genera una corrente di = dqT = ω

2πdq e quindi un momento di dipolo magnetico dµ = πr2diparallelo a ~ω

~µ =1

2~ω

∫r2dq

Il rapporto tra momento magnetico e spin e

~µ =1

2

∫r2dq∫r2dm

~s =〈r2〉q〈r2〉m

q

2m~s = g

q

2m~s (47.1)

g = 〈r2〉q/〈r2〉m e il fattore giromagnetico. Per densita di massa e di carica elettrica inrapporto costante si ha g = 1, ~µ = q

2m~s.L’ipotesi che l’elettrone avesse un momento angolare intrinseco s = h/2 fu introdotta

da Goudschmit e Uhlenbeck per spiegare la molteplicita della struttura fine degli spettriatomici. Con questa ipotesi i livelli energetici risultano sdoppiati per l’interazione delmomento magnetico dell’elettrone ~µe = ge

e2me

~s con il campo magnetico atomico ~Ba, E =

−~µ · ~Ba = ∓ge eh4me

Ba. Le osservazioni erano invece in accordo con ∆E = eh2me

Ba, cioege = 1. Questo era pero in contraddizione con le osservazioni dell’interazione con campimagnetici esterni, l’effetto Zeeman anomalo. In questo caso si misurava ∆E = eh

meBext,

cioe ge = 2. La contraddizione fu spiegata dall’effetto relativistico della precessione diThomas (appendice 28.7): il riferimento dell’elettrone non e in quiete nel riferimentodell’osservatore, ma e soggetto ad accelerazione.

Consideriamo un elettrone nel campo elettrico atomico a simmetria sferica del nucleo.Nel riferimento di quiete la variazione dello spin e:

d~s

dt0= ~µ× ~B0 = g

e

2m~s× ~B0

583

ii

“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 584 — #584 ii

ii

ii

Capitolo 47. Il fattore giromagnetico dei leptoni

Figura 47.1: Momento magnetico e momento angolare di un corpo rigido in rotazione.

t0 e il tempo proprio e B0 e il campo nel riferimento dell’elettrone. ~s e un vettore dimodulo costante per cui

d~s

dt0= ~s× ~ωs ~ωs = g

e ~B0

2m(47.2)

Se ~βc e la velocita dell’elettrone, e ~E, ~B‖, ~B⊥ sono il campo elettrico e le componenti del

campo magnetico nel riferimento del laboratorio, il campo ~B0 e

~B0 = ~B‖ + γ(~B⊥ − ~β × ~E/c

)Il campo elettrico atomico e centripeto, e ~E = −~∇U = dU

dr r; per β 1, γ ' 1, si ha

~ωB = ge ~B⊥2m

~ωE = −g 1

2mc~β × ~r 1

r

dU

dr= g

1

2m2c2~L

1

r

dU

dr

dove ~L e il momento angolare orbitale e U(r) e l’energia di interazione nel campo coulom-biano. La precessione di Thomas e attorno all’asse normale alla direzione del moto ~β edell’accelerazione d~β/dt, la velocita angolare e

~ωT =γ − 1

β2~β × d~β

dt(47.3)

Nell’ipotesi β 1, γ − 1 ' β2/2:

~ωT =1

2c2~v × ~a =

1

2c2

~p

m× e ~E

m= − 1

2m2c2~L

1

r

dU

dr

Quindi l’energia di interazione del momento magnetico dell’elettrone

E = −g e

2m~s · ~B − g − 1

2m2c2~s · ~L 1

r

dU

dr

riproduce i risultati dell’effetto Zeeman e della struttura fine se g = 2.Per un fermione puntiforme di spin 1/2, l’equazione di Dirac (appendice 42) prevede

g = 2. In effetti le correzioni radiative (appendice 45.3) comportano che g sia leggermente

584

ii

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ii

47.1. Il fattore giromagnetico

maggiore: g = 2(1 + a). a e chiamata anomalia e si calcola in teoria delle perturbazionicome una serie di potenze della costante di struttura fine. Il primo termine dello sviluppoin serie e indipendente dalla massa. Le correzioni agli ordini superiori dipendono dall’inte-grazione su tutti i possibili valori del 4-impulso dei bosoni virtuali (γ,W,Z, . . .) scambiati,e di coppie fermione–antifermione, e quindi dipendono dalla massa del fermione

g = 2

(1 +

α

2π+ . . .

)α

2π= 1.16 10−3

L’elettrone e il leptone µ si comportano come fermioni puntiformi. Il fattore giroma-gnetico di elettrone e muone sono misurati con grande precisione. Protone e neutrone sonofermioni di spin 1/2 dotati di struttura interna e hanno fattori giromagnetici sensibilmentediversi da 2. Anche in questo caso i valori dei momenti magnetici (capitolo 18) sono mi-

surati con grande precisione e, insieme con quelli dei barioni 12

+, forniscono informazioni

sul modello a quark degli adroni.Le misure del fattore giromagnetico sono fatte studiando il moto in campo magnetico.

Una particella di carica e, massa m e momento magnetico µ percorre istante per istanteuna traiettoria circolare con frequenza angolare ωc, frequenza di ciclotrone,

d~p

dt0= e~v × ~B0 = ~p× ~ωc ~ωc =

e ~B0

m(47.4)

e lo spin ha un moto di precessione attorno alla direzione del campo con frequenza angolareωs (47.2). Per piccoli valori della velocita della particella nel laboratorio, β 1, γ ' 1, iltempo proprio e il campo B0 coincidono con quelli dello sperimentatore. Se g = 2(1+a) >2, la direzione dello spin precede con velocita angolare maggiore di quella dell’impulso dellaparticella e la velocita angolare relativa e proporzionale all’anomalia a

ωa = ωs − ωc = geB

2m− eB

m=g − 2

2

eB

m= a

eB

m(47.5)

Questo si verifica nel caso della misura del fattore giromagnetico dell’elettrone che vieneeffettuata con valori di velocita βe 1. Invece, nel caso del muone, si sfrutta il decadi-mento µ → eνν e la velocita e β ∼ 1: occorre tener conto dell’accelerazione centripetanel laboratorio e della trasformazione di Lorentz del campo magnetico. Se ~B e ~E sono icampi nel laboratorio con componenti longitudinale ‖ e trasversa ⊥ si ha 1:

~B0 = ~B‖ + γ(~B⊥ − ~β × ~E/c

)= γ ~B − (γ − 1) ~B‖ − γ~β × ~E/c

~E0 = ~E‖ + γ(~E⊥ + ~βc× ~B

)= γ ~B − (γ − 1) ~E‖ + γ~βc× ~B

Nel riferimento non accelerato del muone, da (47.2), si ha

d~s

dt n.a.=

1

γ

d~s

dt0= ~s× ~ωs ~ωs = g

e

2m

(~B − γ − 1

γ~B‖ − ~β × ~E/c

)(47.6)

ma, per effetto della forza di Lorentz, questo riferimento e accelerato nel laboratorio egli assi di riferimento sono soggetti istante per istante alla precessione di Thomas (47.3).Dalla definizione di ~β e dalle equazioni del moto si ha

~β =~pc

Ed~β

dt=

1

E

(d~pc

dt− ~pc

EdEdt

)=

e

γm

(~E/c+ ~β × ~B − ~β(~β · ~E/c)

)1 Per un vettore di componenti ~V‖, ~V⊥, si ha: ~β × ~V = ~β × ~V⊥, ~β × ~β × ~V = −β2~V⊥ = −β2(~V − ~V‖)

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ii

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ii

ii


~β × d~β

dt=

e

mγ

(~β × ~E/c+ ~β × (~β × ~B)− (~β × ~β)(~β · ~E/c)

)~ωT =

e

m

γ − 1

γ

(~β × ~E/β2c− ( ~B − ~B‖)

)(47.7)

La frequenza angolare dello spin nel laboratorio risulta

~ωs + ~ωT =e

m

([g − 2

2+

1

γ

]~B −

[g − 2

2

γ − 1

γ

]~B‖ −

[g − 2

2+

1

γ + 1

]~β × ~E/c

)Negli esperimenti che misurano gµ, muoni di energia opportuna vengono accumulati in unanello magnetico e si realizzano le condizioni per cui le componenti longitudinali dei campisiano nulle, ~B‖ = ~E‖ = 0; ~B = ~B⊥, ~E = ~E⊥. In questo caso il secondo termine si annulla

~ωs + ~ωT =e

m

([a+

1

γ

]~B −

[a+

1

γ + 1

]~β × ~E/c

)(47.8)

La frequenza di ciclotrone e

~p× ~ωc =d~p

dt= e ~E + e~βc× ~B = ec~β ×

(~B − ~β × ~E/β2c

)=

e~p

mγ×(~B − ~β × ~E/β2c

)~ωc =

e

mγ

(~B − ~β × ~E/β2c

)(47.9)

La frequenza angolare relativa tra la direzione dello spin e la direzione del moto e

~ωs + ~ωT − ~ωc =e

m

(a ~B −

[a+

1

1 + γ− 1

β2γ

]~β × ~E/c

)Per minimizzare la dipendenza dal valore del campo elettrico lungo la traiettoria, si scegliel’energia in modo da annullare il secondo termine

a+1

1 + γ− γ2

(γ2 − 1)γ= a− 1

γ2 − 1= 0

L’energia del muone per cui γ =√

1 + 1/a = 29.3, Eµ = 3.1 GeV, e detta energia magica.In queste condizioni si ha

ωa = ωs + ωT − ωc = aeB

m

e il valore dell’anomalia si ottiene direttamente dalla misura della frequenza di precessione.

47.2 La misura di g–2 dell’elettrone

L’anomalia dell’elettrone ae = ge−22 e stata misurata con grande precisione in una serie

di esperimenti in cui elettroni (o positroni) vengono intrappolati in una particolare confi-gurazione di campi elettrici e magnetici detta Penning trap 2. Un esempio e mostrato inFig. 47.2; la trappola ha simmetria cilindrica attorno all’asse z e gli elettrodi formano uncampo elettrico quadrupolare. In coordinate cilindriche il potenziale ha la forma

V (r cosφ, r sinφ, z) =V0

r20 + 2z2

0

(r20 − r2 + 2z2)

2 da Frans Michel Penning

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47.2. La misura di g–2 dell’elettrone

e il campo elettrico ha componenti

Ex = Gx/2 Ey = Gy/2 Ez = −Gz G =4V0

r20 + 2z2

0

Il campo magnetico e prodotto da un solenoide parallelo all’asse z, ~B = (0, 0, B0). Le

z0

r0

E

B

Figura 47.2: Configurazione dei campi elettrico e magnetico in una Penning trap.

equazioni del moto di un elettrone sono:

mx = eEx + evyBz x− ωcy − ω2zx/2 = 0

my = eEy − evxBz y + ωcx− ω2zx/2 = 0

mz = eEz z + ω2zz = 0 ωc = eB0

m ω2z = eG

m

L’elettrone ha oscillazioni assiali z(t) = Z cosωzt e percorre una cicloide nel piano x–yformata da un moto circolare lento con frequenza ω− e uno molto piu rapido con frequenzaω+

x(t) = R− cosω−t+R+ cosω+t y(t) = R− sinω−t+R+ sinω+t R+ R−

ω± =1

2

[ωc ± (ω2

c − 2ω2z)

1/2]

Poiche con i valori tipici dei campi la frequenza di ciclotrone ωc e molto maggiore dellafrequenza assiale ωz si ha ω− ω+; la frequenza di ciclotrone perturbata e ω+ ' ωc; lafrequenza di magnetrone e ω− ' ωc − ω+. Si arriva a confinare nella trappola anche unsingolo elettrone: si costruisce cosı un geonium atom 3 in cui i campi elettrico e magneticodella trappola sostituiscono il nucleo atomico. Questa tecnica della cella mono-atomica estata introdotta da Hans Dehmelt 4 e collaboratori appunto per la misura del fattore g–2dell’elettrone.

I livelli energetici del sistema dipendono dal numero del modo di oscillazione n =0, 1, 2, . . ., dal numero magnetico ms = ±1

2 e da alcune piccole correzioni

E(n,ms) =

(n+

1

2

)hω+ +ms

ghωc2

+ . . .

3 Nome fantasioso per ”costruito sulla Terra”.4 Premio Nobel per la Fisica nel 1989

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La differenza di energia tra i livelli E(n,+1/2)−E(n+1,−1/2) e proporzionale all’anomaliadell’elettrone (Fig.47.3)

∆Eh

=

(n+

1

2

)ω+ +

1

2

g

2ωc −

(n+

3

2

)ω+ +

1

2

g

2ωc =

g

2ωc − ω+ = aωc + ω− ' aωc

Figura 47.3: Livelli energetici dell’elettrone in una Penning trap.

Le frequenze sono misurate e calibrate con estrema precisione e le oscillazioni di fre-quenza ∆E/h inducono segnali osservabili. I valori tipici di una Penning trap per questamisura sono: temperatura T ∼ 4 K, campo magnetico B0 ∼ 5 T , gradiente di campo elet-trico G ∼ 10 V/mm2, per cui si ottiene: ν+ ∼ 100 GHz, νz ∼ 100 MHz, ν− ∼ 100 kHz.La misura del fattore g–2 dell’elettrone [11] e oggi la misura assoluta piu precisa di unagrandezza fisica

amise = (1 159 652 180.9± 0.8)× 10−12

la precisione e di 0.7×10−12 ! Il valore di ae e calcolato in elettrodinamica quantisticacome serie di potenze della costante di struttura fine. Se si usa il valore di α determinatoin modo indipendente dalla misura di ae

1/α = 137.035 999 31± 0.000 000 70

si ottiene il valore teorico

athe = (1 159 652 178.1± 6.0)× 10−12

l’accordo e ottimo: amise − athe = (2.8 ± 6.1) × 10−12. Dato che l’errore sperimentale emolto piu piccolo dell’incertezza teorica, si puo ricavare una determinazione piu precisa diα dalla misura di ae

1/α = 137.035 999 07± 0.000 000 10

47.3 La misura di g–2 del muone

Anche la misura del fattore g–2 del muone e fatta con grande precisione, se pur infe-riore a quella dell’elettrone. La misura e particolarmente interessante perche i grafi-ci di Feymnan agli ordini superiori sono piu sensibili allo scambio di bosoni e coppiefermione–antifermione in rapporto (mµ/me)

2.I muoni sono prodotti polarizzati nel decadimento di mesoni (prevalentemente π) pro-

dotti nell’interazione di protoni di alta energia su un bersaglio: i pioni sono focalizzati in

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 589 — #589 ii

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47.3. La misura di g–2 del muone

un canale magnetico dove decadono e si selezionano muoni in una stretta banda di impulsointorno al valore magico γ = 29.3, pµ = 3.09 GeV/c. Questi vengono immessi in un anellodi 7.1 m di raggio, con campo magnetico curvante B = 1.45 T e decadono con vita mediaγτµ = 64.4 µs. La velocita angolare e ωc = eB

γm = 4.22 107 rad/s; il periodo di rivoluzionee 0.149 µs e i muoni percorrono in media 430 giri prima di decadere.

Durante il moto nell’anello (Fig. 47.4), lo spin del muone, inizialmente parallelo a ~p,ha un moto di precessione con velocita angolare leggermente maggiore

ωs + ωT =eB

m

(g

2− γ − 1

γ

)e quindi l’angolo tra la direzione dello spin e la direzione dell’impulso cambia in modoperiodico con frequenza angolare

ωa = ωs + ωT − ωc = aµeB

m

e periodo Ta = 4.36 µs piccolo rispetto a γτµ, lo spin fa in media 15 precessioni prima cheil muone decada.

Figura 47.4: Moto di rivoluzione del muone e di precessione dello spin.

Quando il muone decade, l’elettrone conserva memoria della direzione dello spin: e+

(e−) di alta energia sono emessi prevalentemente in direzione parallela (antiparallela) allospin del µ+ (µ−). Infatti la distribuzione degli elettroni nel riferimento del muone e(capitolo 19)

d2n±

dε d cos θ∗= (3− 2ε)ε2

[1∓ 1− 2ε

3− 2εcos θ∗

]= n(ε) [1∓ α(ε) cos θ∗]

con ε = 2E∗/m. La Fig. 47.5 mostra che il numero di elettroni n(ε) e l’asimmetria α(ε)aumentano con ε. L’energia dell’elettrone nel laboratorio e

Ee = βγp∗ cos θ∗ + γE∗ ' γE∗(1 + cos θ∗) =Em

mε

2(1 + cos θ∗)

e il rapporto tra l’energia dell’elettrone e quella del muone e Ee/E = ε(1 + cos θ∗)/2.Se si richiede che l’energia dell’elettrone sia maggiore di un certo valore di soglia, ε(1 +cos θ∗)/2 > S, si restringe l’intervallo di cos θ∗ e si selezionano i positroni (elettroni) emessicon θ∗ ' 0 (θ∗ ' π).

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 590 — #590 ii

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Figura 47.5: Numero di elettroni n(ε) e asimmetria α(ε) nel riferimento del muone.

Poiche e± hanno impulso ~pe leggermente minore di ~pµ, vengono deflessi dal campo ma-gnetico all’interno dell’anello dove sono disposti i rivelatori. Quindi la frequenza di conteg-gio di elettroni con energia maggiore del valore di soglia diminuisce con legge esponenzialeed e modulata dalla frequenza ωa

Ne = N0e−t/γτ [1 +A sin(ωat+ φa)]

dove i valori delle costanti N0, A e φa dipendono dal valore dell’energia di soglia deirivelatori. La Fig. 47.6 mostra i dati relativi a 4 miliardi di decadimenti µ+ → νµe

+νemisurati con un valore di soglia S ' 2/3 su un intervallo di tempo di 800 µs pari a circa12 vite medie.

Figura 47.6: Conteggio di e+ in funzione del tempo per la misura dell’anomalia del µ+

(G.W.Bennett et al., Physical Review D 73, 072003, 2006).

Il risultato [12], mediato sui valori misurati con µ+ e µ−, e

amisµ = (116 592 080± 63)× 10−11

Poiche mµ me, in questo caso i contributi dei bosoni W ,Z e di coppie quark–antiquarkal valore calcolato dalla teoria non sono trascurabili. In particolare il secondo e grande ed e

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47.3. La misura di g–2 del muone

dominato dalla produzione di coppie qq di bassa energia dove la cromodinamica quantisticanon da risultati affidabili. Per calcolarlo si usano i dati sperimentali sulla sezione d’urtoe+e− → adroni (capitolo 21) e questo e il termine con l’errore maggiore. I contributielettromagnetico, debole e adronico sono

ae.m.µ 116 584 718

aweakµ 154

ahadµ 6 921 ± 68

athµ 116 591 793 ± 68 ×10−11

Il confronto mostra che non vi e buon accordo tra la misura e il calcolo teorico: amisµ −athµ =

(287± 92)× 10−11; o il termine athµ non e calcolato correttamente, o esiste qualche effettonuovo di cui la teoria non tiene conto.

591

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“output” — 2021/5/3 — 14:09 — page 593 — #593 ii

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Capitolo 48

La supersimmetria

Nel Modello Standard (capitolo 24) le sorgenti dei campi e i campi di interazioni seguo-no due statistiche diverse: quella di Fermi–Dirac e quella di Bose–Einstein. Il teoremadi spin-statistica di Pauli assegna spin semi-intero ai fermioni e spin intero ai bosoni.Nell’intervallo di energia oggi esplorato, la fenomenologia delle interazioni fondamentali,elettromagnetica, adronica e debole, e descritta con successo da campi di fermioni pun-tiformi di spin 1/2, da campi di interazione di spin 1 e da tre costanti di accoppiamentorelative alle trasformazioni di gauge U(1), SU(2), SU(3). Le masse sono introdotte tramitel’interazione dei campi di fermioni e dei campi di gauge con il campo scalare di Higgs.

Nonostante i grandi successi nella descrizione dei fenomeni e il notevole potere predit-tivo, la situazione non e del tutto soddisfacente perche occorre introdurre nel modello unnumero di parametri, le costanti di accoppiamento di Yukawa e dei campi di gauge, i cuivalori vanno dedotti da misure. Inoltre, sulla base dell’esperienza maturata nello sviluppodella teoria, e naturale attendersi che le leggi di simmetria del modello che sono violatea bassa energia si possano ricondurre ad una simmetria piu generale che operi ad energiapiu elevata. Alcune indicazioni mostrano che l’energia di grande unificazione sia intorno alvalore ΛGU ∼ 1015÷16 GeV. Infine c’e la speranza che questa simmetria sia anche in gradodi descrivere l’interazione gravitazionale ad una scala di energia non superiore all’energiadi Planck, MP c

2 ' 1.2 1019 GeV 1.Quindi si ritiene che il Modello Standard fornisca un quadro teorico incompleto delle

interazioni. Oltre a questo, fornisce anche un quadro non soddisfacente perche e affettoda alcune patologie, in particolare la definizione stessa della massa del campo di Higgs.Poiche questo si accoppia a tutti i campi, la massa e soggetta a correzioni radiative chesono grandi se l’energia tipica a cui questi campi agiscono e grande (∼ΛGU ). Per ognicampo di fermioni di massa mf = gfv/

√2, che si accoppia col campo di Higgs secondo la

(24.27), la correzione e

δm2H = −gf

∫ Λ 1

(2π)4

d4q

q2' − gf

4π2Λ2 (48.1)

dove, per evitare la divergenza, si e introdotto il limite superiore di integrazione Λ. Questonon puo che dipendere dalla scala di energia a cui si manifesta la nuova simmetria diunificazione delle interazioni. Se consideriamo Λ ' 1015 GeV e il quark top, con gt =√

2mt/v ' 1, la correzione e δmH ' Λ/2π ' 1014 GeV. Dato il valore della massa del

1 La massa di Planck e definita dalla relazione GNM2P /hc = 1, GN e la costante di Newton

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Capitolo 48. La supersimmetria

bosone di Higgs, mH = 125 GeV, questo implica che la teoria deve essere regolata daqualche meccanismo con la precisione di 1/1012 ! Se pero esistono dei campi scalari dimassa ms e costante di accoppiamento col campo di Higgs gs, questi introducono un’altracorrezione di segno opposto

δm2H =

gs4π2

(Λ2 −m2

s lnΛ2

m2s

)(48.2)

Quindi, se esiste una legge di simmetria per cui ad ogni fermione di spin 1/2 corrispondeun campo scalare complesso (una coppia di bosoni di spin 0) con massa simile, allorai due contributi proporzionali a Λ2 in (48.1) e (48.2) si cancellano. Questa legge, lasupersimmetria, SUSY [13], e generata da un operatore che trasforma i campi di fermionie in campi di bosoni e viceversa

Q|f〉 = |b〉 Q|b〉 = |f〉 (48.3)

Dato che la trasformazione agisce sui due campi cambiando lo spin di 1/2, l’operatore Qsi comporta come uno spinore di Dirac e, allo stesso modo, l’operatore Q†. Quindi Q e Q†

soddisfano regole di anticommutazione e, poiche operano sul momento angolare, generanouna simmetria dello spazio-tempo. Questa simmetria deve essere inquadrata con le altreleggi di simmetria del modello: invarianza di Lorentz e invarianza per trasformazioni digauge U(1), SU(2), SU(3). Le regole delle trasformazioni della supersimmetria sono

Qr, Q†r = 2σµrrPµ

Qr, Qs = Q†r, Q†s = 0 (48.4)

[Qr, Pµ] = [Q†r, Pµ] = 0

dove Pµ e l’operatore 4-impulso che si trasforma come un 4-vettore.

48.1 Le particelle supersimmetriche

Dalle ipotesi precedenti e dalle relazioni (48.4) seguono importanti osservazioni

• le particelle e le corrispondenti super-particelle generate dalle trasformazioni dellasupersimmetria appartengono a super-multipletti ;

• l’operatore P 2 commuta con i generatori della supersimmetria, quindi le particellee le corrispondenti superparticelle hanno lo stesso autovalore di P 2, cioe hanno lastessa massa;

• i generatori delle simmetrie di gauge commutano con i generatori della supersimme-tria, quindi le particelle e le corrispondenti superparticelle hanno le stesse costantidi accoppiamento;

• un supermultipletto contiene un ugual numero di stati di fermioni e di bosoni. Infatti,se s e lo spin, l’operatore (−1)2s ha autovalore +1 se agisce su un bosone, e autovalore–1 se agisce su un fermione

(−1)2s|b〉 = +|b〉 (−1)2s|f〉 = −|f〉

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48.1. Le particelle supersimmetriche

e quindi anticommuta con gli operatori Q, Q†. Consideriamo l’insieme di stati|n〉 di un supermultipletto con autovalore del 4-impulso Pµ. Gli operatori Q, Q†

producono un nuovo stato |n′〉 con lo stesso valore Pµ e quindi per questo insieme siha∑n |n〉〈n| = 1. Dalla (48.4) si ha∑n〈n|(−1)2sPµ|n〉 =

∑n〈n|(−1)2sQQ†|n〉+

∑n〈n|(−1)2sQ†Q|n〉

=∑n〈n|(−1)2sQQ†|n〉+

∑n

∑m〈n|(−1)2sQ†|m〉〈m|Q|n〉

=∑n〈n|(−1)2sQQ†|n〉+

∑m〈m|Q(−1)2sQ†|m〉

=∑n〈n|(−1)2sQQ†|n〉 −

∑m〈m|(−1)2sQQ†|m〉 = 0∑

n〈n|(−1)2sPµ|n〉 e proporzionale a nb − nf nell’insieme considerato se Pµ 6= 0, equindi

nb = nf

• ad un fermione con due stati di elicita, nf = 2, corrispondono due campi scalari realicon nb = 1;

• un bosone di spin 1 di massa nulla (prima della rottura spontanea della simmetria digauge) ha due stati di elicita, nb = 2: a questo corrisponde un fermione con nf = 2.

Vediamo come la supersimmetria puo curare la patologia del Modello Standard della defi-nizione della massa del campo di Higgs e, al tempo stesso, preservare le altre caratteristichedel modello, cioe l’invarianza per trasformazioni di gauge.

Ad ogni particella nota si aggiunge un super-partner che differisce di 1/2 unita di spine che ha le stesse interazioni. I superpartner dei leptoni e dei quark sono bosoni di spin0 e sono identificati dal prefisso s (per scalare), sleptoni e squark, e indicati con lo stessosimbolo con una tilde: e e il superpartner scalare dell’elettrone. Le componenti left-handede right-handed dei fermioni hanno proprieta diverse e quindi hanno partner scalari diversi;ad esempio (

νeeL

)⇒

(νeeL

)eR ⇒ eR

• νe ha carica elettrica nulla, si accoppia con i campi W e Z;• eL ha carica negativa, si accoppia con i campi A, W e Z;• eR ha carica negativa, si accoppia con i campi A e Z, ma non con W ;• tutti hanno spin zero; quindi il suffisso L,R non indica l’elicita del selettrone, ma quelladel superpartner elettrone.

I partner dei bosoni di gauge sono fermioni di spin 1/2 chiamati gaugini. I campivettoriali della simmetria dell’isospin, Bk, e dell’ipercarica, BY , si combinano a formare icampi A, W e Z; allo stesso modo i superpartner Bk e BY formano i fermioni: γ (fotino),W± (wino) e Z0 (zino). Agli otto campi di colore, i gluoni, corrispondono otto fermionidetti gluini, g.

Il campo di Higgs e costituito da un doppietto di isospin di campi scalari con ipercaricadebole Y = +1. Il superpartner sarebbe un fermione di spin 1/2 con lo stesso valoredell’ipercarica ma, per evitare le anomalie introdotte da diagrammi di Feynman chiusi,occorre che esistano due fermioni con ipercarica opposta, Y = ±1. Quindi, nel modellosupersimmetrico, esistono due doppietti di Higgs scalari (otto campi reali)

Y = +1 Hu =

(H+u

H0u

)Y = −1 Hd =

(H0d

H−d

)

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Questi campi hanno valori di aspettazione nel vuoto diversi da zero

Hminu =

(0vu

)Hmind =

(vd0

)(48.5)

e, con un meccanismo simile a quello descritto nel capitolo 24 danno origine rispettivamentealle masse dei fermioni di tipo u e di tipo d. I partner supersimmetrici sono quattro fermionidi spin 1/2 chiamati higgsini e indicati con H+

u , H0u, H0

d , H−d .La tabella 48.1 mostra il quadro dei supermultipletti previsti dalla supersimmetria.

Sono indicati gli autovalori dell’ipercarica e la molteplicita di isospin e di colore. Vanotato che l’algebra usata per gli spinori implica che il partner del s-leptone (s-quark)left-handed e l’antileptone (antiquark) right-handed in modo che in ogni supermultiplettorisulti ΣkYk = 0. Il numero di stati di fermioni in un supermultipletto e uguale al numerodi stati di bosoni.

superpartner spin 0 spin 1/2 spin 1 U(1)Y SU(2)L SU(3)Csleptoni (νL eL) (νL eL) -1 2 1×3 eR eR 2 1 1

squark (uL dL) (uL dL) 1/3 2 3×3 uR uR -4/3 1 3

dR dR 2/3 1 3

bini B1 B2 B3 B1 B2 B3 0 3 1

BY BY 0 1 1

gluini g g 0 1 8

higgsini (H+u H0

u) (H+u H0

u) +1 2 1

(H0d H

−d ) (H0

d H−d ) -1 2 1

Tabella 48.1: Particelle supersimmetriche e molteplicita degli stati. I superpartner delleparticelle note sono indicati con˜.

48.2 Il modello supersimmetrico minimale

Le particelle e le corrispondenti superparticelle della tabella costituiscono il Modello Stan-dard SuperSimmetrico Minimale, MSSM, cui va aggiunta l’interazione con il campo gra-vitazionale che non e trattata qui. Le superparticelle della terza colonna, bini e higgsini,si mescolano a formare fermioni carichi e neutri chiamati chargini, χ±1 e χ±2 , e neutralini,χ0

1, χ02, χ0

3 e χ04. Il campo di Higgs e costituito da otto campi reali che, per effetto della

rottura spontanea della simmetria elettrodebole, danno origine alla massa di tre bosonidi gauge W± e Z0 e a cinque bosoni di Higgs: due carichi H± e due neutri h0 e A0 conautovalori opposti di CP , oltre al bosone H0 del Modello Standard. La Fig. 48.1 mostracome gli accoppiamenti di particelle e campi sono rappresentati con l’introduzione deisuperpartner.

Se la supersimmetria fosse una simmetria esatta, le particelle e le corrispondenti super-particelle avrebbero lo stesso valore di massa. Ma non e stata osservata alcuna superpar-ticella (con valore di massa minore di circa 500 GeV ) e quindi la supersimmetria e rottaa bassa energia. Diversi meccanismi sono stati introdotti per descrivere questo fenomeno:

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48.2. Il modello supersimmetrico minimale

Figura 48.1: Accoppiamenti di particelle e campi e dei corrispondenti superpartner.Fermione: linea continua, bosone scalare: linea tratteggiata, bosone di gauge: lineaondulata.

rottura spontanea oppure mediata da qualche legge. Il meccanismo di rottura della su-persimmetria determina la gerarchia dei valori di massa delle particelle supersimmetrichee quindi guida lo studio di processi che possano produrle in interazioni di alta energia sucui torneremo brevemente nel seguito.

La R-parita. Il Modello Standard non prescrive la conservazione separata dei numeribarionico A e leptonico L, questa viene aggiunta had hoc sulla base delle osservazioniquali, ad esempio, il limite sulla vita media del protone, τp > 1033 anni [14]. I possibilicontributi al decadimento del protone sono comunque molto piccoli. Nel MSSM inveceil processo p → e+π0 (o analoghi con muoni o neutrini o mesoni K) puo essere mediatodallo scambio di uno squark, uud→ uq∗ → uue+, con cambio di una unita di A e L. Perevitare questo tipo di processi non e necessario ipotizzare la conservazione separata delnumero barionico e leptonico, ma e sufficiente ipotizzare l’invarianza della supersimmetriarispetto ad una trasformazione discreta di parita della materia, PM = (−1)3A−L. Infatti,nel decadimento del protone o in casi analoghi, ad esempio transizioni n→ n, PM cambiasegno.

D’altra parte l’operatore (−1)2s ha autovalori opposti se applicato a fermioni o bosoni,quindi la parita si puo estendere alla supersimmetria introducendo l’operatore di R-parita

R = (−1)3A−L+2s (48.6)

che ha autovalore R = +1 per le particelle e R = −1 per le superparticelle. Nel MSSM siipotizza la conservazione della R-parita. Questo ha alcune importanti conseguenze

• in interazioni di particelle ordinarie, le superparticelle vengono prodotte in coppia;

• una superparticella instabile decade in almeno una superparticella.

Da questo segue che la superparticella piu leggera, LSP , deve essere stabile e, poiche non estata ancora osservata, e plausibile che abbia massa elevata e che interagisca debolmente.Quindi la LSP e un buon candidato per interpretare la materia oscura fredda presente nel-l’Universo (capitolo 26). Nella maggior parte dei modelli di rottura della supersimmetria,la LSP e il neutralino χ0

1, un fermione neutro soggetto solo a interazione debole.

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48.3 Fenomenologia del MSSM

La teoria supersimmetrica, oltre all’elegante unificazione della statistica di fermioni ebosoni, e alla stabilizzazione del campo di Higgs, ha altri notevoli punti interessanti.

Il primo e che non introduce nuove interazioni, quindi gli elementi di matrice per laproduzione di particelle supersimmetriche e per calcolare le probabilita di produzione edecadimento sono calcolabili. Purtroppo non e noto il valore delle masse, ne la gerarchiadei valori di massa, quindi i fattori cinematici nel calcolo delle probabilita di interazione odecadimento non sono noti. Comunque, se le superparticelle esistono, devono influenzarele interazioni delle particelle note attraverso le correzioni radiative. Sulla base dei risultatidi molte misure di precisione dei parametri del Modello Standard, si conclude che i valoridi massa sono maggiori di ∼ 100 GeV . Inoltre, sulla base di argomenti generali sullaconsistenza della teoria, si deduce che la scala di energia delle particelle supersimmetrichenon e molto maggiore di ∼ 1 TeV .

I parametri di partenza per stimare i valori di massa sono diversi per i diversi modelliproposti per la rottura della supersimmetria. In generale sono tre parametri relativi allesimmetrie di gauge, m1, m2 e m3, per U(1), SU(2) e SU(3), e i valori di aspettazionedel vuoto del campo di Higgs, vu e vd della (48.5), con v2

u + v2d = v2 = (246 GeV )2, e il

rapporto tanβ = vu/vd.

Ricerche dirette di produzione di particelle supersimmetriche sono state effettuate ininterazioni e+e− al LEP fino a

√s ∼200 GeV di energia nel centro di massa, in inte-

razioni protone–antiprotone al TeVatron Collider (√s ∼2 TeV) e in interazioni protone-

protone al LHC (√s ∼13 TeV). Nell’ipotesi di conservazione della R-parita le particelle

supersimmetriche sono prodotte in coppia, ad esempio:

e+e− → χ+j χ−j → χ0

j χ0k → ˜+ ˜− → qq∗

pp pp qq → gg qg → gq gg → gg gg → qq∗

e le superparticelle prodotte decadono rapidamente in LSP che prendono una frazioneconsiderevole dell’energia a disposizione nel centro di massa e non vengono rivelate (perchedebolmente interagenti). Quindi la produzione di questi stati finali e caratterizzata da unagrande energia mancante. Queste ricerche non hanno dato risultati positivi, ma hannopermesso di porre limiti inferiori al valore delle masse

m(χ01) > 300 m(χ±1 ) > 500 m(˜) > 400 m(q) > 800 m(g) > 1000 GeV

Il secondo punto che rende attraente la supersimmetria riguarda l’unificazione dellecostanti di accoppiamento dei gruppi di gauge. Nell’appendice 45.3 abbiamo mostrato chela costante di accoppiamento dell’elettromagnetismo, α, cresce con il 4-impulso trasferitoQ per effetto delle correzioni radiative

α(Q2) =α(µ2)

1− (b/4π)α(µ2) lnQ2/µ2(48.7)

dove µ e un valore di riferimento del 4-impulso trasferito e il parametro b tiene contodell’effetto di tutte le particelle di massa m2 < Q2/4 che si accoppiano con il campo: b epositivo per il campo elettromagnetico. Lo stesso avviene per la costante di accoppiamentorelativa al gruppo abeliano U(1)Y . Invece le costanti di accoppiamento dei gruppi non

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48.3. Fenomenologia del MSSM

abeliani SU(2)L e SU(3)C hanno andamento opposto per effetto dell’autointerazione deicampi: b e negativo. Per i gruppi di gauge abbiamo

α1 =5

3

α

cos2 θWα2 =

α

sin2 θWα3 = αs

e i valori misurati a Q2 = m2Z sono: α1 = 0.0168, α2 = 0.0335, α3 = 0.118. Nel Modello

Standard i valori del parametro b sono b1b2b3

=

0−22/3−11

+

4/34/34/3

× nf +

1/101/60

× nhiggs =

41/10−19/6−7

nf = 3 e il numero di generazioni di fermioni e nhiggs = 1 il numero di doppietti delcampo di Higgs. Quindi, se non esistono altre particelle di massa elevata, l’andamento(48.7) di αi non prevede che ci sia un valore di energia di grande unificazione per cui ivalori delle tre costanti di accoppiamento siano confrontabili, come si osserva in Fig. 48.2che mostra l’andamento dell’inverso delle tre costanti di accoppiamento in funzione del4-impulso trasferito (linee tratteggiate)

1

αi(Q2)=

1

αi(m2Z)− bi

4πlnQ2

m2Z

Figura 48.2: Costanti di accoppiamento dei campi di gauge, 1/αi, in funzione della scaladi energia di interazione. Modello Standard: linee tratteggiate, MSSM: linee continue.

Nel MSSM anche le particelle supersimmetriche contribuiscono al valore di b quandoQ > mSUSY . In questo caso si ha b1

b2b3

=

0−6−9

+

222

× 3 +

3/101/20

× 2 =

66/101−3

Con ipotesi sul valore di mSUSY basate sui limiti di massa stabiliti dagli esperimenti esulla consistenza del MSSM che prevede mSUSY dell’ordine di 1 TeV si ottiene invece unandamento diverso e le tre costanti di accoppiamento hanno un valore comune, α ' 0.04,per Q ∼ 1016 GeV . Questo potrebbe essere il valore dell’energia di grande unificazione erisulta minore dell’energia di Planck.

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Bibliografia

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Bibliografia

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Citazioni

Premi Nobel citati nel testo

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Bibliografia

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1902 Hendrik Lorentz influenza del magnetismo sull’emissione di radiazione

Pieter Zeeman1903 Henri Becquerel scoperta della radioattivita

Pierre Curie, Marie Curie studio dell’emissione di sostanze radioattive

1904 Lord Rayleigh studio della densita dei gas

1905 Philipp Lenard ricerche sui raggi catodici

1906 Joseph Thomson studio della conducibilita nei gas

1907 Albert Michelson realizzazione dello spettrometro di Michelson

1908 Ernest Rutherford ∗ studio delle proprieta di sostanze radioattive

1911 Wilhelm Wien leggi della radiazione termica

1911 Marie Curie ∗ scoperta del radio e del polonio

1914 Max von Laue scoperta della diffrazione dei raggi X dai cristalli

1915 William Bragg studio della struttura cristallina con raggi X

Lawrence Bragg1917 Charles Barkla scoperta dell’emissione di raggi X atomici

1918 Max Planck scoperta dei quanti di energia

1921 Albert Einstein leggi dell’effetto fotoelettrico

1921 Frederick Soddy ∗ ricerche sulla natura degli isotopi

1922 Niels Bohr teoria della struttura atomica

1922 Francis Aston ∗ sviluppo dello spettrometro di massa

1923 Robert Millikan carica elettrica elementare e studio dell’effetto fotoelettrico

1924 Manne Siegbahn ricerche sulla spettroscopia a raggi X

1925 James Franck studio dello scattering di elettroni dagli atomi

Gustav Hertz1927 Arthur Compton scoperta dell’effetto Compton

Charles Wilson invenzione della camera di Wilson

1929 Louis de Broglie teoria ondulatoria dell’elettrone

1930 Venkata Raman scattering della luce e effetto Raman

1932 Werner Heisenberg teoria della meccanica quantistica

1933 Erwin Schrodinger teoria quantistica dell’atomo

Paul Dirac1934 Harold Urey ∗ scoperta del deuterio

1935 James Chadwick scoperta del neutrone

1935 Frederic Joliot ∗ scoperta di nuovi elementi radioattivi

Irene Curie ∗

1936 Victor Hess scoperta della radiazione cosmica

Carl Anderson scoperta del positrone

∗ premio Nobel per la Chimica

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Bibliografia

1937 Clinton Davisson scoperta della diffrazione di elettroni da cristalliGeorge Thomson

1938 Enrico Fermi studio di reazioni indotte da neutroni

1939 Ernest Lawrence invenzione del ciclotrone e produzione di elementi radioattivi

1943 Otto Stern metodo dei raggi molecolari e momento magnetico del protone

1944 Isidor Rabi metodo della risonanza magnetica nucleare

1944 Otto Hahn ∗ scoperta della fissione dei nuclei pesanti

1945 Wolfgang Pauli scoperta del principio di esclusione

1948 Patrick Blackett metodi di osservazione della radiazione cosmica

1949 Hideki Yukawa studio delle forze nucleari e previsione dell’esistenza dei mesoni

1950 Cecil Powell sviluppo delle emulsioni nucleari e scoperta dei mesoni

1951 John Cockcroft metodi di accelerazione di particelle e studio di reazioni nucleari

Ernest Walton1951 Edwin McMillan ∗ studio di elementi transuranici

Glenn Seaborg ∗

1952 Felix Bloch, Edward Purcell sviluppo della risonanza magnetica nucleare

1954 Max Born interpretazione statistica della funzione d’onda

Walter Bothe metodo della coincidenza temporale

1955 Willis Lamb struttura fine dello spettro dell’idrogeno

Polykarp Kusch misura del momento magnetico dell’elettrone

1957 Chen Yang, Tsung-Dao Lee studio dell’invarianza per trasformazione di parita

1958 Pavel Cherenkov scoperta e interpretazione dell’effetto Cherenkov

Il’ja Frank, Igor Tamm1959 Emilio Segre scoperta dell’antiprotone

Owen Chamberlaim1960 Donald Glaser invenzione della camera a bolle

1960 Willard Libby ∗ metodo di datazione con il Carbonio-14

1961 Robert Hofstadter ricerche sullo scattering di elettroni da nuclei

Rudolf Mossbauer ricerche sull’assorbimento di risonanza di fotoni

1963 Eugene Wigner studi sulle leggi di simmetria delle particelle

Maria Mayer, Hans Jensen studi sulle leggi di simmetria dei nuclei

1965 Julian Schwinger sviluppo dell’elettrodinamica quantistica

Richard FeynmanSin-Itiro Tomonaga

1967 Hans Bethe teoria delle reazioni nucleari

1968 Luis Alvarez scoperta di stati risonanti delle particelle

1969 Murray Gell-Mann scoperta delle leggi di simmetria delle interazioni adroniche

1975 Aage Bohr, Ben Mottelson modelli collettivi dei nuclei

Leo Rainwater1976 Burton Richter scoperta della risonanza J/ψ

Samuel Ting

∗ premio Nobel per la Chimica

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Robert Wilson1979 Sheldon Glashow, Abdus Salam teoria elettro-debole delle interazioni fondamentali

Steven Weinberg1980 James Cronin, Val Fitch scoperta della violazione della simmetria CP

1983 William Fowler studio delle reazioni nucleari e formazione degli elementi

1984 Carlo Rubbia scoperta dei bosoni vettori W e Z

Simon van der Meer1988 Leon Lederman, Melvin Schwartz scoperta del neutrino µ

Jack Steinberger1989 Hans Dehmelt, Wolfgang Paul metodo della trappola di ioni

1990 Jerome Friedman studio della struttura a quark del nucleone

Henry Kendall, Richard Taylor1992 Georges Charpak sviluppo dei rivelatori di particelle ionizzanti

1994 Bertran Brockhouse sviluppo della spettroscopia neutronica

Clifford Shull sviluppo della diffrazione di neutroni

1995 Frederick Reines scoperta del neutrino

Martin Perl scoperta del leptone τ

1999 Gerardus ’t Hooft consistenza quantistica della teoria elettro-debole

Martinus Veltman2002 Raymond Davis osservazione dei neutrini solari

Masatoshi Koshiba osservazione dei neutrini di origine cosmica

2004 David Gros, David Politzer teoria della cromodinamica quantistica

Frank Wilczek2005 Roy Glauber scattering da potenziale

2008 Yoichiro Nambu rottura spontanea di simmetria

Makoto Kobayashi simmetrie dei quark ”pesanti”

Toshihide Maskawa2013 Francois Engler, Peter Higgs origine della massa delle particelle

2015 Takaaki Kajita oscillazioni di neutrini

Arthur McDonald

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appunti del corso di istituzioni di fisica nucleare e

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