Appunti di estimo

1

MATEMATICA FINANZIARIA – CAP. 1420 INTERESSE SEMPLICE Interesse semplice

nrCI

)1( nrCM n = frazione di anno [1]

Montante semplice di rate costanti

121............

121

121

121 321 knrRnrRnrRnrRM [2]

Poiché la formula è una progressione aritmetica, diviene

21krkRM R= importo rata; k= numero delle rate, +1 per le rate

anticipate, -1 per rate posticipate

INTERESSE COMPOSTO Interesse composto

C M

G F M A M G L A S O N D

R R R R R R R R R R R R M

G F M A M G L A S O N D

Primo anno

C0 M1

G F M A M G L A S O N D Secondo anno C1

M2

G F M A M G L A S O N D Terzo anno C2

M3

G F M A M G L A S O N D

……………

Appunti di estimo

2

)1(01 rCC )1(12 rCC )1(23 rCC

n

n rCC )1(0 nn qCC 0 )1(0 nqCI [3]

Ricorda che nq esprime il (CAPITALE + INTERESSE) per valori unitari (cioè di un euro!!!!); quindi se a nq detraggo un euro, ho il valore unitario degli interessi )1(0 nqCI ANNUALITÀ L’annualità è definita come l’importo pagabile/esigibile costantemente ogni anno. Esse possono essere:

limitate; illimitate;

nell’ambito di ogni anno esse possono essere: anticipate; posticipate; mediamente anticipate.

Accumulazione finale di annualità posticipate (An )

a a a a

An

Anno 1 Anno 2 Anno …… Anno n

aaqaqaqA nnn

n ...........321

)1...........( 321 nnnn qqqaA

trattandosi di una progressione geometrica, la formula sopra scritta…..diviene…..

rqaA

n

n1 [4]

Accumulazione finale di annualità anticipate (An)

a a a a

An

Anno 1 Anno 2 Anno ….. Anno n

Appunti di estimo

3

rqaqA

n

n1 ….in pratica moltiplicando la formula precedente [4] [5]

per “q”,aggiungo un anno!!!! Accumulazione finale di annualità mediamente anticipate (An)

a a a a

An

Anno 1 Anno 2 Anno …… Anno n

rqraA

n

n1

1261 ….in pratica moltiplicando la formula [4] per [5]

“

1261 r ”, aggiungo 6 mesi!!!!

Accumulazione iniziale (A0) Le accumulazioni finali delle annualità, nelle tre tipologie sopra esposte (posticipate, anticipate,

mediamente anticipate), possono essere anticipate al tempo attuale con il coefficiente

nq

1 ,

dividendo le rispettive formule per tale coefficiente. Pertanto si ha che:

Annualità posticipate

n

n

qrqaA 1

0 [7]

Annualità anticipate

n

n

qrqaqA 1

0 [8]

Annualità mediamente anticipate

n

n

qrqraA 1

12610 [9]

Appunti di estimo

4

Rata annua delle annualità Dalle formule precedenti è possibile ricavare le formule per calcolare l’importo della rata annua di annualità anticipate, posticipate o mediamente anticipate. Il calcolo può essere fatto sia partendo dalla accumulazione finale, sia da quella iniziale. Dalla accumulazione finale

Annualità posticipata 1

nn qrAa [10]

Annualità anticipata 1

1

nn qr

qAa [11]

Annualità mediamente anticipata 1

1261

1

nn qr

rAa [12]

Dalla accumulazione iniziale

Annualità posticipata 10

n

n

qrqAa [13]

Annualità anticipata 1

10

n

n

qrq

qAa [14]

Annualità mediamente anticipata 1

1261

10

n

n

qrq

rAa [15]

REINTEGRAZIONE E’ la quota annua da accantonare ogni anno per costituire in n anni un capitale sufficiente per reintegrare un bene. La formula da applicare è la [10].

1int

nfire qrVVQ iV valore iniziale del bene; fV valore finale del bene [16]

AMMORTAMENTO Si parla di ammortamento quando si ha a che fare con un debito. La quota di ammortamento è la cifra (=rata) che ogni anno (=annualità) si deve pagare per estinguere in n anni un debito. In questo caso la formula da applicare è la [13], nel caso appunto che l’annualità sia pagata posticipata.

Appunti di estimo

5

Rata annua posticipata 10

n

n

amm qrqAQ [17]

Frequentemente i mutui, per esempio per l’acquisto di una casa, hanno rate mensili; le formule da applicare in questo caso sono:

Rata mensile 11

10

kn

kn

kr

kr

kr

AR r=saggio interesse [18-a]

k= numero rate annue

…..dall’accumulazione finale 11

knn

krkr

AR [18-b]

….il debito residuo di un mutuo n

n

rrrkrkRDebito

)1(1)1(

21

[18-b]

k= numero rate annue; n= numero anni mancanti

Annualità illimitate Si presentano delle annualità illimitate quando ogni anno, per un periodo di tempo che tende a infinito, c’è un importo di denaro che si riceve/paga. E’ il caso del calcolo del valore di capitalizzazione (=accumulazione iniziale) di un bene, il quale viene calcolato partendo dal Bf.

raA 0 [19]

rBfVc [20]

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6

PERIODICITA’ La periodicità è un importo che si ripete costantemente ogni n anni per un numero di periodi o turni pari a t oppure pari a ∞. Esse possono essere:

periodicità limitate (turni pari a t); periodicità illimitate (turni pari a ∞).

nell’ambito di ogni turno esse possono essere: anticipate; posticipate;

Periodicità limitate

Accumulazione finale di periodicità limitate posticipate

P1 P2 P3 P... Pn

Ant

Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno n (5 anni)

PPqPqPqA tntntnnt ........)3()2()1(

Trattandosi di una progressione geometrica, la formula diventa:

11

n

nt

nt qqPA n = numero anni del turno; t = numero di turni [21]

Accumulazione finale di periodicità limitate anticipate (caso molto raro)

P1 P2 P3 P... Pn

Ant

Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno n (5 anni) In questo caso devo semplicemente applicare la formula precedente [21], “aggiungendo un turno con il coefficiente nq , la quale diviene:

nn

nt

nt qqqPA

11 [22]

Appunti di estimo

7

Accumulazione iniziale di periodicità limitate posticipate

P1 P2 P3 P... Pn

A0

Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno n (5 anni) Anche in questo caso devo semplicemente applicare la formula precedente [21] per trovare

l’accumulazione finale; poi il valore ottenuto lo sconto all’attualità con il coefficiente ntq1 .

ntn

nt

ntnt qqqP

qAA 1

111

0

Periodicità illimitate In questo caso ha senso trovare solo l’accumulazione iniziale, in quanto, poiché il numero di turni tendono a ∞, non esiste una accumulazione finale.

Periodicità illimitata posticipata

P1 P2 P3 P... P∞

A0

Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno ….(5 anni)

11

0 nq

PA [23]

Appunti di estimo

8

Periodicità illimitata anticipata

P1 P2 P3 P... P∞

A0

Turno 1 (5 anni) Turno 2 (5 anni) Turno 3 (5 anni) Turno …. (5 anni) Turno ….(5 anni) In questo caso, partendo dalla formula precedente [23], la moltiplico per il coefficiente nq

nn q

qPA

11

0 [24]

INTERESSI CONVERTIBILI La situazione degli interessi convertibili si presenta nel caso di mutui o prestiti al consumo; nel regime dell’interesse convertibile, l’interesse si somma al capitale che lo ha generato k volte in un anno a intervalli regolari. Se per esempio si stipula un mutuo con rate semestrali, gli interessi si sommano al capitale ogni sei mesi; detto in altri termini, gli interessi maturano con cadenza semestrale. Co M0,5

C0,5 M1

Primo semestre Secondo semestre

C1 M1,5

C1,5 M2

= Cn Terzo semestre Quarto semestre

Accumulazione finale kn

n krCC

10 k=numero rate all’anno; n = numero anni [25]

Accumulazione finale

kr

kr

RA

kn

n

11

[26]

= Cn

Capitale alla fine del quarto semestre

Appunti di estimo

9

Calcolo della rata 11

10

kn

kn

kr

kr

kr

AR [27]

Accumulazione iniziale data la rata….

kr

krkr

RA kn

kn

1

110 [28]

Accumulazione iniziale dato il capitale finale…. knn

kr

AA

1

10 [29]

Appunti di estimo

10

FORMULARIO DI MATEMATICA FINANZIARIA INTERESSE SEMPLICE

)1( nrCM

n = frazione di anno

[1]

INTERESSE COMPOSTO

n

n qCC 0 )1(0 nqCI

[2]

[3]

ANNUALITA’

ANNUALITA’ LIMITATA

POSTICIPATA

rqaA

n

n1

n

n

qrqaA 1

0

[4]

[5]

ANTICIPATA

rqaqA

n

n1

n

n

qrqaqA 1

0

[6]

[7]

MEDIAM. ANTICIPATA

rqraA

n

n1

1261

n

n

qrqraA 1

12610

[8]

[9]

ANNUALITA’ ILLIMITATA

raA 0

[10]

Appunti di estimo

11

PERIODICITA’

PERIODICITA’ LIMITATE

POSTICIPATA 11

n

nt

nt qqPA

ntn

nt

ntnt qqqP

qAA 1

111

0

[11]

[12] ANTICIPATA (caso

rarissimo!!!) n

n

nt

nt qqqPA

11

[13]

PERIODICITA’ ILLIMITATE

POSTICIPATA 1

10

nqPA

[14]

ANTICIPATA nn q

qPA

11

0

[15]

INTERESSE CONVERTIBILE

ACCUMULAZIONE FINALE k=numero rate all’anno n= numero di anni

kn

n krCC

10

kr

kr

RA

kn

n

11

[16]

[17]

Appunti di estimo

12

ACCUMULAZIONE INIZIALE

kr

krkr

RA kn

kn

1

110

knn

kr

AA

1

10

[18]

[19]

CALCOLO DELLA RATA

11

10

kn

kn

kr

kr

kr

AR

[20]

Ultima revisione: 23/09/2013