appunti di fisica nucleare e subnucleare i - guido...

Università di Pisa – Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche,

Naturali

A.A.

2009/2010

Appunti di Fisica Nucleare

e Subnucleare I Guido Cioni

2

Sommario Proprietà generali dei nuclei Atomici ............................................................................................................... 4

Modello e-p del nucleo (Thomson) ............................................................................................................... 4

Reazioni Nucleari ........................................................................................................................................... 5

Sezione d’urto ............................................................................................................................................ 5

Bersaglio Sottile (Target Thickness) ........................................................................................................... 6

Sezione d’urto Rutherford ......................................................................................................................... 7

Sezione d’urto Mott ................................................................................................................................. 10

Fattore di Forma , Distribuzione di carica nei nuclei ............................................................................... 10

Atomo idrogenoide...................................................................................................................................... 13

Atomo idrogeno con nucleo finito (non puntiforme) .............................................................................. 13

Spostamento (shift) isotopico delle righe K dei raggi X ............................................................................... 15

Atomo Muonico ....................................................................................................................................... 16

Nuclei Speculari ........................................................................................................................................... 17

Decadimento radioattivo dei nuclei ............................................................................................................ 18

Legge del decadimento radioattivo - Attività .......................................................................................... 18

Tipi di decadimento ................................................................................................................................. 20

Datazione con il radiocarbonio ................................................................................................................ 21

Energia di legame del nucleo ....................................................................................................................... 22

Modello a goccia del nucleo e formula semiempirica di massa .................................................................. 24

Interazione Nucleare ...................................................................................................................................... 26

Cenni di Meccanica Quantistica .................................................................................................................. 26

Momento angolare .................................................................................................................................. 26

Operatori di salita e discesa .................................................................................................................... 28

Sistema di due fermioni identici .............................................................................................................. 29

Operatore di Parità .................................................................................................................................. 30

Deutone ....................................................................................................................................................... 30

Proprietà sperimentali ............................................................................................................................. 30

Autostati del potenziale nucleare ........................................................................................................... 30

Spin .......................................................................................................................................................... 33

Momento di quadrupolo nucleare (asimmetricità del nucleo) ................................................................... 34

Momento di quadrupolo nucleare del Deutone ..................................................................................... 34

Momento magnetico di dipolo ................................................................................................................ 35

Forze nucleari non centrali (correzione tensoriale) .................................................................................... 36

Vettori e scalari ........................................................................................................................................ 36

3

Operatore tensoriale 𝑺𝟏𝟐 ....................................................................................................................... 37

Momento magnetico dei nucleoni .............................................................................................................. 38

Scattering Nucleone-Nucleone .................................................................................................................... 39

Sviluppo ad onde parziali ......................................................................................................................... 41

Approssimazione semiclassica ................................................................................................................. 42

Caso di potenziale centrale a corto raggio .............................................................................................. 44

Lunghezza di scattering ........................................................................................................................... 45

Principali proprietà degli scattering p-p , n-n .............................................................................................. 46

Scattering p-p .............................................................................................................................................. 46

Sezione d’urto .......................................................................................................................................... 47

Scattering Coulombiano .......................................................................................................................... 47

Simmetria di carica .................................................................................................................................. 48

Spin isotopico ( o isospin) ............................................................................................................................ 49

Funzione d’onda di due Nucleoni ............................................................................................................ 50

Struttura dei nuclei ......................................................................................................................................... 51

Modello del nucleo a Gas di Fermi .............................................................................................................. 51

Energia totale e pressione ....................................................................................................................... 53

Miscela di due gas di fermi ideali ................................................................................................................ 54

Modello a Shell del nucleo .......................................................................................................................... 55

Numeri Magici ......................................................................................................................................... 56

Autostati del potenziale nucleare ............................................................................................................... 56

Potenziale a Buca infinita ........................................................................................................................ 57

Potenziale armonico ................................................................................................................................ 58

Potenziale di Saxon-Woods ..................................................................................................................... 58

Potenziale con interazione spin-orbita .................................................................................................... 58

Momenti magnetici nel modello a shell ...................................................................................................... 60

4

Proprietà generali dei nuclei Atomici

Modello e-p del nucleo (Thomson) Nell’atomo alla Thomson il nucleo è composto da A protoni e 𝐴 − 𝑍 elettroni ( non erano stati ancora scoperti i neutroni). La massa del nucleo si può calcolare come 𝑀 = 𝐴𝑚𝑝 + 𝐴 − 𝑍 𝑚𝑒~𝐴𝑚𝑝 mentre la

carica come 𝑄 = 𝐴𝑒 − 𝐴 − 𝑍 𝑒 = +𝑍𝑒. Questo modello risultò non soddisfacente in quanto vennero evidenziate le seguenti problematiche.

1. Energia di legame degli elettroni nucleari. Nell’atomo di Thomson il raggio è dell’ordine dei femtometri (fm) : 𝑅~5 𝑓𝑚 . Le distanze caratteristiche in questo sistema sono Δ𝑥~𝑅 quindi la relazione di indeterminazione Δ𝑥 ⋅ Δ𝑝𝑥 ≥ℏ/2 da 𝑝𝑥~ℏ/2𝑅 . Con questa approssimazione si può stimare l’energia cinetica dell’atomo , data da

𝑝𝑐 = 𝑐 𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦

2 + 𝑝𝑧2 =

3

2

ℏ𝑐

𝑅∼ 34,6 MeV

La quantità ℏ𝑐 è conosciuta e vale circa 200 𝑀𝑒𝑉 ⋅ 𝑓𝑚 . L’energia totale dell’elettrone è quindi data da 𝐸𝑒 = 𝑝𝑒𝑐

2 + 𝑚𝑒𝑐2 2 1/2 , quindi l’energia cinetica si può trovare togliendo l’energia

a riposo : 𝑇𝑒 = 𝐸𝑒 − 𝑚𝑒𝑐2~34 𝑀𝑒𝑉 , in accordo con quanto osservato prima. Ora dobbiamo

determinare la relazione tra questa energia e la potenziale di tipo Coloumbiano. Per una distribuzione a simmetria sferica si ha

𝑈𝑐𝑜𝑙𝑜𝑢𝑚𝑏 = −1

4𝜋휀0

𝐴𝑒2

𝑅= −

𝑒2

4𝜋휀0 ℏ𝑐

𝐴

𝑅

Possiamo definire, per semplicità, la quantità adimensionale

𝛼 ≡𝑒2

4𝜋휀0ℏ𝑐=

1

137 ∶ Costante di sruttura fine

In questo caso 𝑈𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 ~ − 12 𝑀𝑒𝑉 , quindi l’elettrone non viene mantenuto in orbita poiché l’energia cinetica è maggiore dell’attrazione Coulombiana. Secondo questo modello, dunque, l’atomo dovrebbe collassare in un tempo molto piccolo.

2. Spin del nucleo Il momento angolare del nucleo sarà dato dalla somma di tutti i momenti angolari delle

particelle che lo compongono : 𝐽 = 𝑆 + 𝐿 , dove S rappresenta i momenti di spin e L i momenti angolari orbitali. Si prenda ad esempio il caso del nucleo di Azoto 14 : in questo caso vi saranno 14 protoni e 7 elettroni. Seguendo la teoria, il momento angolare dovrebbe risultare semiintero mentre sperimentalmente si verifica che 𝐽𝑠 𝑁14 = 1.

3. Momento di dipolo magnetico del nucleo

L’elettrone ruota attorno al nucleo , quindi è equivalente ad una spira di momento magnetico

𝜇 = 𝑖𝑆 =𝑒

2𝑚𝑙 ⟹

𝜇 𝑙 = 𝑔𝑙

𝑒ℏ

2𝑚 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑜𝑛𝑒

𝑙

ℏ

𝜇 𝑠 = 𝑔𝑠

𝑒ℏ

2𝑚

𝑠

ℏ

5

Nel caso in cui 𝑚 = 𝑚𝑒 ⟹ 𝜇𝐵 =𝑒ℏ

2𝑚𝑒≡ magnetone di Bohr , altrimenti se 𝑚 = 𝑚𝑝 ⟹ 𝜇𝑁 =

𝑒ℏ/2𝑚𝑝 . Ci si aspettava che nuclei contenenti elettroni non appaiati avessero un momento

magnetico molto grande di quello osservato : in un atomo di deuterio , ad esempio , ci si aspetterebbe che il nucleo avesse un momento magnetico circa uguale a quello dell’elettrone mentre quello osservato sperimentalmente è circa la due millesima parte dello stesso.

Reazioni Nucleari Si definiscono reazioni nucleari1 i processi in cui vengono inviate particelle su un target (materiale) e vengono raccolti i prodotti della reazione (tipicamente su uno schermo sensibile). Il processo di diffusione delle particelle prodotte dalla reazione è detto scattering. Vi sono diversi tipi di reazioni : negli scattering elastici 𝑌 , 𝑏 si trovano nel loro stato fondamentale , viceversa negli scattering anelastici le particelle prodotte sono nel loro stato eccitato.

𝑎 + 𝑋 → 𝑋 + 𝑎 : scattering elastico 𝑎 + 𝑋 → 𝑋∗

𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑒𝑐𝑐𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜

+ 𝑎 → 𝑋 + 𝛾 + 𝑎 : scattering anelastico

Altri esempi di scattering anelastico sono dati da

𝑎 + 𝑋 → 𝑌 + 𝑏𝑊 + 𝑐

𝑍 + 𝑑 + 𝑓

Con le lettere maiuscole abbiamo indicato il materiale del target. Queste reazioni permettono di ricavare informazioni sulla struttura interna del bersaglio ed è per questo che sono importanti. Le osservabili misurate in una reazione nucleare sono date da

Energia delle particelle prodotte Direzione di emissione delle particelle prodotte Distribuzione angolare delle particelle prodotte

In particolare combinando queste tre osservabili si ottiene una variabile che rappresenta, nella sua interezza, il processo fisico di scattering. La sezione d’urto ( o , più precisamente, sezione d’urto differenziale ) è ottenuta dalla probabilità di osservare la particella 𝑏 con una certa energia e ad un certo angolo (𝜗, 𝜑) con riferimento all’asse del fascio.

Sezione d’urto

Introduciamo ora il concetto di sezione d’urto di una reazione del tipo 𝑎 + 𝑋 → 𝑌 + 𝑏 . Indichiamo con 𝐼𝑎 il numero di particelle a inviate (per unità di tempo) , con 𝑅𝑏 il numero di particelle b prodotte (sempre nell’unit{ di tempo) e con 𝑁𝑥 il rapporto tra il numero di nuclei bersaglio X e la superficie F dove si fa la misura. Con queste nuove notazioni possiamo definire la sezione d’urto come

𝜍 ≡𝑅𝑏

𝐼𝑎𝑁𝑥

1 Nel seguito indicheremo gli elementi chimici con la seguente notazione

𝑋𝑁𝑍𝐴

dove Z sono i protoni , N i neutroni (insieme formano i nucleoni) , 𝐴 = 𝑍 + 𝑁 . Nuclei che hanno lo stesso Z sono chiamati isotopi , con lo stesso A sono isobari mentre nuclei con lo stesso N sono detti isotoni

6

Osserviamo che, dimensionalmente, 𝜍 =superficie ; nei processi di fisica nucleare si sceglie come unità di misura il barn : 1 𝑏𝑎𝑟𝑛 = 102 𝑓𝑚2 = 10−24𝑐𝑚2 La sezione d’urto è proporzionale alla probabilità che la reazione avvenga : per questo è molto importante il suo studio sperimentale. Si osservi che la densità di

particelle diffuse cambia al variare dell’angolo solido (non è detto che la diffusione sia isotropa) quindi conviene definire una sezione d’urto differenziale in modo da poter tener di conto di variazioni infinitesime. Indichiamo con 𝜗 l’angolo di diffusione sullo schermo e con 𝑑Ω l’angolo solido infinitesimo che sottende una porzione dello schermo : vale quindi l’immediata relazione tra i due angoli.

𝑑Ω = sin 𝜗 𝑑𝜗𝑑𝜑 La sezione d’urto differenziale è quindi data da

𝑑𝜍 Ω =𝑑𝑅𝑏

𝐼𝑎𝑁𝑥=

1

𝐼𝑎𝑁𝑥⋅ ℱ 𝜗, 𝜑 ⋅

𝑑Ω

4𝜋

Con ℱ 𝜗, 𝜑 abbiamo indicato la funzione di distribuzione angolare che deve essere determinata. Integrando sull’angolo solido ovviamente si ha che

1

4𝜋 ℱ 𝜗, 𝜑 𝑑Ω = 𝑅𝑏

per normalizzazione. La sezione d’urto differenziale si può quindi scrivere come

𝜍 Ω =𝑑𝜍

𝑑Ω=

1

4𝜋⋅ℱ 𝜗, 𝜑

𝐼𝑎𝑁𝑥⟹ 𝜍 = 𝜍 Ω 𝑑Ω ; 𝜍 = 𝑏𝑎𝑟𝑛/𝑠𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑

A volte conviene fare una misura dell’energia con cui arrivano le particelle dopo la reazione : a tale scopo si introduce la sezione d’urto doppiamente differenziale.

𝑑2𝜍 Ω, 𝐸𝑏

𝑑Ω 𝑑𝐸𝑏=

𝐹 Ω, 𝐸𝑏

4𝜋𝐼𝑎𝑁𝑥

Bersaglio Sottile (Target Thickness)

Cerchiamo infine di capire la condizione per cui il bersaglio si può considerare sottile. Fissato il bersaglio e proiettile possiamo avere diversi canali di reazione (reazioni di diverse) : definiamo quindi come sezione d’urto totale le somme di tutte le possibili sezioni d’urto dei canali di reazione, ovvero 𝜍𝑡𝑜𝑡 = 𝜍𝑖

𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑖 . Supponiamo ora di aver praticato il vuoto nel semispazio negativo delle z di un sistema

cartesiano di assi coodinati : inviamo un fascio di particelle su un bersaglio X che consideriamo dapprima di spessore infinito. Vogliamo capire quali sono le particelle a che troviamo ad una certa profondità z . A tal scopo consideriamo quindi la probabilità che la particella venga assorbita in uno spessore 𝑑𝑧 : 𝑃𝑎𝑑𝑧 . Il numero di particelle comprese in questo spessore è quindi dato da

7

𝑑𝒩𝑎 = −𝒩𝑎 𝑧 𝑃𝑎𝑑𝑧

Definendo 𝑛𝑥 come il numero di nuclei X su unità di volume possiamo scrivere la probabilità come 𝑃𝑎 = 𝑛𝑥𝜍𝑡𝑜𝑡 . Definiamo ora la quantità 𝜆𝑎 = 1/𝑃𝑎 = 1/𝑛𝑥𝜍𝑡𝑜𝑡 : è immediato verificare che questa quantità ha le dimensioni di una lunghezza , infatti viene definita come libero cammino medio delle particelle. Dall’equazione precedente si ricava quindi (risolvendo la differenziale) che il numero di particelle decresce in maniera esponenziale , quindi

𝒩𝑎 𝑧 = 𝒩𝑎 0 ⋅ exp{−𝑧/𝜆𝑎} Con Δ𝒩𝑎 = 𝒩𝑎 0 − 𝒩𝑎 𝑧 = 𝒩𝑎 0 [1 − 𝑒−𝑧/𝜆𝑎 ] si indica la variazione del numero di particelle e con 𝒩𝑏 𝑧 = (𝜍𝑏/𝜍𝑡𝑜𝑡 ) 𝒩𝑎 0 [1 − 𝑒−𝑧/𝜆𝑎 ] il numero di particelle b ; con 𝜍𝑏 invece abbiamo indicato la sezione d’urto delle particelle b prodotte. Dunque per caratterizzare la definizione di “sottile” dobbiamo confrontare il libero cammino medio con lo spessore del bersaglio : se il libero cammino medio è minore dello spessore allora il bersaglio è sottile ed è lecito supporre che non vi siano scattering multipli che modificherebbero ulteriormente l’angolo di deflessione. Quindi nel limite 𝑧 ≪ 𝜆𝑎 ( spessore sottile) 𝒩𝑏 𝑧 → 𝜍𝑏/𝜍𝑡𝑜𝑡 𝒩𝑎 0 𝑧/𝜆𝑎 , ovvero

𝜍𝑏 =𝒩𝑏

𝒩𝑎 0 ⋅ 𝑛𝑥 ⋅ 𝑧

Sezione d’urto Rutherford

Ora che abbiamo definito la sezione d’urto possiamo ritornare all’esperimento di Geiger per ricavare in maniera classica la sezione d’urto Rutherford. Ci riferiremo ad una situazione particolare in cui abbiamo un centro scatteratore ( non più un bersaglio colpito da particelle).

Supponiamo che le particelle incidano con un parametro d’impatto b e che vengano deflesse di un angolo Θ , per cui l’angolo solido è 𝑑Ω =sin Θ𝑑Θ 𝑑Φ . Supponiamo inoltre che il bersaglio abbia massa molto grande in modo che si possa considerare immobile. Il numero delle particelle che vengono raccolte sarà proporzionale al numero di quelle che vengono inviate per la superficie 𝑏𝑑Φ𝑑𝑏 , dove db è una variazione infinitesima del parametro d’impatto . Quindi la sezione d’urto differenziale è data da

𝑑𝜍 = 𝜍 Ω 𝑑Ω = 𝑏𝑑Φ𝑑𝑏𝐼

𝐼⟹ 𝜍 Ω =

𝑑𝜍

𝑑Ω=

𝑏𝑑𝑏

sin Θ 𝑑Θ=

𝑏

sin Θ

1𝑑Θ

𝑑𝑏

8

Indichiamo con Θ = Θ(𝑏) la funzione di deflessione che ci interessa ora ricavare. A questo scopo consideriamo la Lagrangiana del sistema definendo un sistema di assi cartesiani con asse z invertito rispetto a quello precedente ( gli angoli polare e azimutale sono 𝜗, 𝜑 )( Per una trattazione completa dell’argomento vd. Landau Vol.1 pg.93). La Lagrangiana è data da

ℒ =1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜗 2 − 𝑉(𝑟)

quindi dobbiamo studiare un moto in campo centrale. Riprendendo alcuni concetti di meccanica analitica sappiamo che gli integrali primi del moto sono dati dall’energia e dal momento angolare. Scriviamo quindi queste due leggi di conservazione ( 𝑝 = 𝑚𝑟𝜗 2 ) :

𝐸 =1

2𝑚𝑟 2 +

𝑙2

2𝑚𝑟2+ 𝑉 𝑟 =

1

2𝑚𝑟 2 + 𝑉eff(𝑟)

𝑙 = 𝑚𝑣∞𝑏 = 𝑝𝑏 = 2𝑚𝐸𝑏

dove 𝑣∞ rappresenta 𝑣 𝑟 = ∞ .

Quindi possiamo esplicitare dalle relazioni seguenti 𝑟 , 𝜗 :

𝑟 =𝑑𝑟

𝑑𝑡=

2

𝑚 𝐸 − 𝑉eff 𝑟

𝜗 =𝑑𝜗

𝑑𝑡=

𝑙

𝑚𝑟2

Quindi

𝑑𝜗

𝑑𝑟=

𝑑𝜗

𝑑𝑡⋅𝑑𝑡

𝑑𝑟=

𝑙

𝑚𝑟2⋅

1

2

𝑚 𝐸 − 𝑉eff(𝑟)

Integrando tra due raggi 𝑟 ed 𝑟0 si ottiene la legge di variazione temporale

𝜗 − 𝜗0 = 𝑙 𝑑𝑟′

𝑟′2 2𝑚 𝐸 − 𝑉eff(𝑟)

𝑟

𝑟0

𝑙 = 2𝑚𝐸𝑏 ⟹ 𝜗 = 𝜗0 + 𝑏 𝑑𝑟′

𝑟′2 1 −𝑉 𝑟 ′

𝐸−

𝑏2

𝑟 ′ 2

𝑟

𝑟0

Esisterà un valore 𝑟𝑚𝑖𝑛 per cui 𝐸 = 𝑉𝑒𝑓𝑓 𝑟𝑚𝑖𝑛 : se la

regione della variazione di r è limitata dalla sola condizione 𝑟 ≥ 𝑟𝑚𝑖𝑛 il moto della particella è infinito : la sua traiettoria proviene dell’infinito e torna all’infinito. Se invece 𝑟 < 𝑟𝑚𝑖𝑛 il moto è possibile e si sviluppa entro due limiti ( ci interessa considerare solo 𝑟𝑚𝑖𝑛 in questo caso). Nel nostro caso per immediate considerazioni di simmetria Θ = 𝜋 − 2𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛 , quindi

Θ = 𝜋 − 2𝑏 𝑑𝑟′

𝑟′2 1 −𝑉 𝑟 ′

𝐸−

𝑏2

𝑟 ′ 2

𝑟𝑚𝑖𝑛

∞

9

Prendiamo quindi come potenziale la funzione 𝑉 𝑟 = 𝛼/𝑟 , dove 𝛼 ≡ 𝑍𝑒2𝑧/4𝜋휀0 ( z numero atomico particella, Z numero atomico nucleo). Con questa scelta l’integrale si riduce a

𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛 =acos

𝛼

2𝐸𝑏

1 + 𝛼

2𝐸𝑏

2= acos

𝑥

1 + 𝑥2

Da cui si ricava che

1 = 𝑥2 tan2 𝜗 ; 𝑥 =𝛼

2𝐸𝑏⟹ 𝑏2 =

𝛼2

4𝐸2tan2 𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛

Poiché 𝜗 𝑟𝑚𝑖𝑛 = (𝜋 − Θ)/2 si ha che

tanΘ

2=

1

𝑏

𝛼

2𝐸

Abbiamo ricavato la funzione di deflessione, possiamo quindi esplicitare la sezione d’urto differenziale ( sezione d’urto Rutherford) :

𝜍 Ω =𝑑𝜍

𝑑Ω=

𝛼

4𝐸

2 1

sin4 Θ

2

~𝑍2

𝐸2

1

sin4 Θ

2

L’andamento di questa funzione è ben visibile nel grafico seguente.

Come già detto il procedimento di scattering può essere utilizzato per avere informazioni sulla natura fisica del nucleo. Sappiamo che l’elettrone ha doppia natura ( corpuscolare e ondulatoria ) : alla particella , oltre alla carica , è associata una lunghezza d’onda data dalla relazione di De Broglie 𝜆 = 𝑕/𝑝 . Quindi per avere informazioni sul nucleo devo scegliere particelle che abbiano lunghezza d’onda confrontabile ( preferibilmente minore) del raggio atomico : 𝜆 ≤ 𝑅 . Utilizzando la dimensione del raggio atomico possiamo trovare il limite superiore per l’onda incidente :

𝜆 =𝑕

𝑝~𝑅 ⟹

2𝜋ℏ𝑐

𝑝𝑐~𝑅 ⟹ 𝑝𝑐~

2𝜋ℏ𝑐

𝑅≈ 250 𝑀𝑒𝑉

10

Quindi dobbiamo utilizzare fasci che abbiano almeno questa energia. Utilizzando la relazione più generale per l’energia dell’elettrone si può quindi ricavare l’energia cinetica :

𝐸 = 𝑝𝑐 2 + 𝑚𝑐2 2 1/2 ⟹ 𝑇 = 𝐸 − 𝑚𝑐2 Se inviamo un fascio di elettroni a 𝐸 = 420 𝑀𝑒𝑉 possiamo studiare la figura di diffrazione dell’Ossigeno 16. I massimi e minimi di questa figura possono essere facilmente calcolati considerando il nucleo come piatto e utilizzando quindi la formula per la diffrazione attraverso un foro circolare :

sin 𝜗 = 1,22 𝜆

2𝑅⟹ 𝑅~2,6 𝑓𝑚

Sezione d’urto Mott

La sezione d’urto Mott si definisce come una generalizzazione di quella di Rutherford. La formula valida per un nucleo puntiforme è la seguente :

𝑑𝜍

𝑑Ω

𝑀𝑜𝑡𝑡=

𝑑𝜍

𝑑Ω 𝑅𝑢𝑡 𝑕

1 −𝑣2

𝑐2sin2

𝜗

2

𝑣

𝑐→1

𝑑𝜍

𝑑Ω 𝑅𝑢𝑡 𝑕

cos2𝜗

2

Non verrà esposto il calcolo che porta alla derivazione di questa formula ( che deriva comunque dalla considerazione di effetti relativistici e di spin) ; vogliamo però correlare questa formula con la sezione d’urto rilevata sperimentalmente. Per questo ci servir{ introdurre un nuovo concetto.

Fattore di Forma , Distribuzione di carica nei nuclei

Si nota che la sezione d’urto sperimentale è data da

𝑑𝜍

𝑑Ω 𝐸𝑥𝑝

= 𝑑𝜍

𝑑Ω 𝑀𝑜𝑡𝑡

𝐹 𝑞 2

dove 𝑞 è il vettore impulso e 𝐹 𝑞 è una funzione dell’impulso detta fattore di forma nucleare. Matematicamente la 𝐹 𝑞 è la trasformata di Fourier della distribuzione di carica, ovvero

𝐹 𝑞 = 1

𝑍𝑒 𝑒𝑖𝑞 ⋅𝑟 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

con ovvia notazione dei simboli utilizzati. Il fattore di forma può essere ricavato a seconda della particolare situazione sperimentale. Consideriamo ora il caso in cui si ha uno scattering elastico con

angolo di deviazione 𝜗 . Indichiamo con 𝑘 = 𝑝 /ℏ l’impulso della particella che incide sul nucleo. L’impulso totale trasferito dopo la deviazione è dato dalla somma vettoriale dei due impulsi ( uguali in

modulo per l’elasticit{ dello scattering ma diversi in direzione ) : 𝑞 = 𝑘 − 𝑘 ′ . Con ovvie considerazioni

geometriche (triangolo isoscele con lati 𝑘 , 𝑘 ′ , 𝑞 ) si può ricavare il modulo di q che equivale a

𝑞 = 2𝑘 sin𝜗

2

Ora che abbiamo il modulo di q possiamo dedicarci a trovare la forma analitica per F. Ovviamente questa deriva dalla distribuzione di carica del nucleo 𝜌 𝑟 quindi prima dobbiamo trovare una funzione che la approssimi bene. La distribuzione di carica sferica

11

𝜌 𝑟 =

𝜌0 =

𝑍𝑒4

3𝜋𝑅3

, 𝑟 < 𝑅

0 , 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒

ha come trasformata la seguente funzione

𝐹 𝑞 = ℱ 𝜌 𝑟 =3

𝑞3𝑅3 3 sin 𝑞𝑅 − 𝑞𝑅 cos 𝑞𝑅

Infatti si deve calcolare l’integrale seguente

𝐹 𝑞 = 𝑒𝑖𝑞 ⋅𝑟 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

Indicando con 𝜗 l’angolo polare e con 𝜑 l’angolo azimutale si ha che 𝑞 ⋅ 𝑟 = 𝑞𝑟 cos 𝜗 (ricordiamo che abbiamo calcolato il modulo di q in precedenza!). Si ha quindi ( utilizzando le coordinate sferiche) :

𝐹 𝑞 = 𝑒𝑖𝑞𝑟 cos 𝜗𝑟2 sin 𝜗 𝑑𝜗𝑑𝜑𝑑𝑟

𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

= 2𝜋 𝜌 𝑟 𝑟2𝑑𝑟∞

0

𝑒𝑖𝑞𝑟 cos 𝜗 sin 𝜗+𝜋/2

−𝜋/2

𝑡=cos 𝜗 2𝜋 𝜌 𝑟 𝑟2𝑑𝑟

∞

0

𝑒𝑖𝑞𝑟𝑡 𝑑𝑡+1

−1

= 2𝜋 𝜌 𝑟 𝑟2𝑑𝑟∞

0

⋅ 𝑒𝑖𝑞𝑟𝑡

𝑖𝑞𝑟 −1

+1

= 4𝜋 𝑟2 sin 𝑞𝑟

𝑞𝑟𝜌 𝑟 𝑑𝑟

∞

0

=4𝜋

𝑞𝜌0 𝑟 sin 𝑞𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

=3

𝑞3𝑅3 sin 𝑞𝑅 − 𝑞𝑅 cos 𝑞𝑅

Abbiamo ricavato il risultato esposto prima. In realtà sperimentalmente conviene considerare una distribuzione di carica del tipo

𝜌 𝑟 =𝜌0

1 + exp 𝑟−𝑅

𝑎

∶ distribuzione di Saxon-Woods

La costante R indica la distanza radiale alla quale 𝜌 𝑟 si riduce alla metà del suo valore a 𝑟 = 0 e può quindi essere considerata come il raggio medio del nucleo atomico. Per nuclei medi e pesanti il numero di nucleoni per unità di volume è circa costante e vale

𝜌𝑁 =𝐴

4

3𝜋𝑅3

⟹ 𝑅 = 𝑟0𝐴1/3 , 𝑟0 = 1,2 fm

La costante a è determinata sperimentalmente. Si riporta il grafico della distribuzione di carica per alcuni nuclei.

12

Si voglia inoltre calcolare il raggio quadratico medio di carica per una distribuzione a simmetria sferica. La densità di carica è , con buona approssimazione , sferica e dunque vale la seguente

𝜌 𝑟 =

𝜌0 =

𝑍𝑒4

3𝜋𝑅3

𝑝𝑒𝑟 𝑟 ≤ 𝑅

0 𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅

Il raggio quadratico medio si calcola con la definizione statistica usuale :

𝑅2 =∫ 𝑟2𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

∫ 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

L’integrazione del denominatore è banale poiché 𝜌 𝑟 = 𝜌(𝑟) e l’integrazione sul solo volume produce la carica totale presente nella sfera, ovvero 𝑍𝑒 . Per calcolare l’integrale al numeratore basta passare a coordinate sferiche su una sfera : l’elemento infinitesimo di volume diventa

𝑑3𝑟 = 𝑟2 sin 𝜗 𝑑𝜗𝑑𝜑𝑑𝑟

dove –𝜋/2 ≤ 𝜗 ≤ 𝜋/2 , 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 . Si ottiene quindi

𝑅2 =∫ 𝑟2𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

∫ 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟=

2𝜋𝜌0 ∫ sin 𝜗 𝑑𝜗𝜋

0 ∫ 𝑟4𝑑𝑟𝑅

0

𝑍𝑒=

4𝜋𝜌0𝑅5

𝑍𝑒5=

4𝜋𝑅5

𝑍𝑒5⋅

𝑍𝑒4

3𝜋𝑅3

=3

5𝑅2 ⟹ 𝑅2 1/2 =

3

5𝑅

Si noti infine che si può sviluppare il termine esponenziale del fattore di forma tramite un’espansione in serie :

𝑒𝑖𝑞 ⋅𝑟 = 𝑖 𝑞 ⋅ 𝑟 𝑛

𝑛!

+∞

𝑛=0

13

Calcolando l’integrale i termini con n dispari vengono soppressi ( poiché hanno integrale nullo ) quindi rimangono solo i contributi con n pari. Possiamo quindi sviluppare la F in termini della 𝑞2 :

𝐹 𝑞2 = 1 −1

6𝑞2 𝑅2 + ⋯ 𝑐𝑜𝑛 𝑅2 = −6 𝑑𝐹 𝑞2

𝑑 𝑞2 𝑞2=0

Dove 𝑅2 rappresenta il termine calcolato prima.

Atomo idrogenoide L’atomo idrogenoide è la più semplice schematizzazione della struttura atomica : un elettrone di carica

– 𝑒 si muove intorno ad un nucleo di carica +𝑍𝑒 . Vogliamo studiare questo sistema da un punto di vista quantistico. L’Hamiltoniana del sistema è banale :

𝐻 =𝑝2

2𝑚+ 𝑉 𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑉 𝑟 = −

1

4𝜋휀0

𝑍𝑒2

𝑟

In questa prima parte supporremo che il nucleo possa essere considerato come puntiforme. Se indichiamo con 𝜓𝑛 𝑟 la funzione d’onda che descrive il moto dell’elettrone si avr{ che

𝐻𝜓𝑛 𝑟 = 𝐸𝑛𝜓𝑛 𝑟 Poiché il sistema ha simmetria sferica possiamo scrivere la funzione d’onda come prodotto di una funzione che dipende dal raggio e di una funzione con sola dipendenza angolare, ovvero 𝜓𝑛 𝑟 = 𝑅𝑛ℓ 𝑟 𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑 , dove 𝑛, ℓ, 𝑚 sono

rispettivamente il numero quantico principale , secondario(ℓ : momento angolare) e magnetico (m). Gli autostati di energia dell’elettrone si possono calcolare con la media dell’Hamiltoniana rispetto alla funzione d’onda dello stesso , ovvero

𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 𝐻 𝜓𝑛 ⇒ 𝐸𝑛 = −𝐸Ryd𝑍

2

𝑛2

La costante 𝐸Ryd è definita da

𝐸Ryd =𝑚𝑒𝑒

4

2 4𝜋휀0 2ℏ2=

1

2𝛼2𝑚𝑒𝑐

2 ≅ 13,6 eV

dove 𝛼 è la costante di struttura fine definita precedentemente. All’orbitale 1s, unico orbitale disponibile in un atomo idrogenoide , è associata la funzione d’onda seguente :

𝑌00 𝜗, 𝜑 =1

4𝜋⟹ 𝜓1𝑠 𝑟 =

1

4𝜋 2

𝑍

𝑎0

3/2

𝑒−

𝑍𝑟

𝑎0 ; 𝑎0 ≡4𝜋휀0ℏ2

𝑚𝑒𝑐2

= 0,529 ⋅ 10−10m = 5,29 ⋅ 104fm

Atomo idrogeno con nucleo finito (non puntiforme)

In questo caso cambia il potenziale all’interno della distribuzione di carica sferica. Risolvendo l’equazione

di Maxwell ∇ ⋅ 𝐸 = 𝜌/휀0 con le opportune condizioni al contorno si ha quindi che

14

𝑉 𝑟 = −1

4𝜋휀0×

𝑍𝑒2

𝑅

1

2 3 −

𝑟2

𝑅2 𝑝𝑒𝑟 𝑟 ≤ 𝑅

𝑍𝑒2

𝑟 𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅

Con questo potenziale la nuova Hamiltoniana si scrive come

𝐻 =𝑝2

2𝑚𝑒+ 𝑉 𝑟 = 𝐻 + Δ𝑉 𝑟 = 𝐻 + 𝑉 𝑟 − 𝑉 𝑟

Δ𝑉

Quindi dobbiamo utilizzare , come prima 𝐻 𝜓 𝑛 𝑟 = 𝐸 𝑛𝜓 𝑛 𝑟 ; 𝐸 𝑛 = 𝜓 𝑛 𝐻 𝜓 𝑛 . Nel seguito

utilizzeremo un’approssimazione tipica della teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo. Riscriviamo l’energia come

𝐸 𝑛 = 𝜓 𝑛 𝐻 𝜓 𝑛 + 𝜓 𝑛 Δ𝑉 𝜓 𝑛 Se la perturbazione 𝜓 𝑛 Δ𝑉 𝜓 𝑛 è piccola , la funzione d’onda non è disturbata quindi possiamo approssimare 𝜓 𝑛 ≅ 𝜓𝑛 ottenendo 𝐸 𝑛 ≅ 𝜓𝑛 𝐻 𝜓𝑛 + 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 . Consideriamo ora l’effetto di questa perturbazione indicandolo con Δ𝐸𝑛 = 𝐸 𝑛 − 𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 . Dobbiamo calcolare questo valore di aspettazione per valutare gli effetti dovuti a questa perturbazione. Indicando con Ω l’angolo si ha

Δ𝐸𝑛 = 𝜓𝑛 Δ𝑉 𝜓𝑛 = 𝜓𝑛∗ 𝑟 Δ𝑉𝜓𝑛 𝑟 𝑑3𝑟 = 𝑑Ω

Ω

𝑟2 𝜓𝑛 𝑟 2Δ𝑉 𝑟 𝑑𝑟∞

0

= 4𝜋 ⋅1

4𝜋 4

𝑍

𝑎0

3

𝑟2 𝑒−

2𝑍𝑟

𝑎0 Δ𝑉 𝑟 𝑑𝑟∞

0

= −1

4𝜋휀0⋅ 4 ⋅

𝑍

𝑎0

3

𝑍𝑒2 𝑟2𝑒−

2𝑍𝑟

𝑎0 3

2𝑅−

𝑟2

2𝑅3−

1

𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

Poiché 0 < 𝑟 < 𝑅 ∼ 10 fm , possiamo trascurare il rapporto 𝑟/𝑎0 , visto che quest’ultimo è dell’ordine di 104 𝑓𝑚 ( vd.sopra). Quindi l’esponenziale può essere posta uguale a 1 in quanto l’argomento è quasi nullo. Si ha quindi

Δ𝐸𝑛 = −1

𝜋휀0

𝑍

𝑎03 𝑍𝑒2 𝑟2

3

2𝑅−

𝑟2

2𝑅3−

1

𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

Con una semplice integrazione si ricava

Δ𝐸1𝑠 =2

5

1

4𝜋휀0

𝑍4𝑒2

𝑎03 𝑅2 ⟹ Δ𝐸 =

4

5𝐸𝑅𝑦𝑑

𝑍4𝑅2

𝑎02

Vogliamo quindi vedere quanto sia influente questa correzione rispetto al valore dell’energia per il livello 1s : si tratta di stimare il rapporto

Δ𝐸1𝑠

𝐸1𝑠 =

4

5 𝑍2

𝑅2

𝑎02

Per il 𝐶12 questo scarto vale 6 ⋅ 10−8 mentre per 𝑃𝑏208 vale 7 ⋅ 10−5 , quindi questo è trascurabile e l’approssimazione risulta efficiente. Inoltre anche inserendo correzioni relativistiche si ottengono valori differenti nell’ordine di Δ𝐸/𝐸 dunque anche questi effetti sono trascurabili.

15

Spostamento (shift) isotopico delle righe K dei raggi X In generale la presenza di termini aggiuntivi nel potenziale 𝑉(𝑟) comporta uno slittamento (o shift) dei livelli energetici. Nel capitolo precedente è stato osservato che lo spostamento relativo al termine che tiene conto della dimensione fisica del nucleo è trascurabile. Esistono casi invece in cui lo splitting energetico è ben visibile e può essere sfruttato per ricavarne importanti proprietà sulla struttura atomica. Con il guscio K intendiamo il guscio più interno dell’atomo. Possiamo misurare l’energia del passaggio dall’orbitale 1s al 2p in due diversi isotopi dello stesso elemento. Con questa misura si ottengono risultati diversi visto che il raggio cambia tra isotopi diversi. Utilizziamo quindi le quantità primate 𝐴′ , 𝑍′ per l’isotopo e le quantit{ (𝐴, 𝑍) per l’elemento principale. Le energie emesse dai due elementi sono date da

휀𝑋 𝐴 = 𝐸 2 𝐴 − 𝐸 1 𝐴 ; 휀𝑋 𝐴′ = 𝐸 2 𝐴′ − 𝐸 1 𝐴′ Quindi la differenza di energia nello stesso processo per i due elementi è data da

휀𝑋 𝐴 − 휀𝑋 𝐴′ = 𝐸 2 𝐴 − 𝐸 1 𝐴 − 𝐸 2 𝐴′ + 𝐸 1 𝐴′ Dobbiamo ora fare alcune considerazioni sulle quantità presenti in questa formula : in realtà , grazie ad un’argomentazione che illustreremo subito nel seguito , si possono eliminare le quantit{ 𝐸 2 𝐴 , 𝐸 2 𝐴′ poiché risultano pressoché identiche. Per dimostrare questo utilizzeremo la funzione d’onda per l’orbitale 2p in cui compare la parte radiale.

𝑅2𝑝 𝑟 =1

3⋅

𝑍

2𝑎0

3/2 𝑍

𝑎0 𝑟 𝑒

−𝑍𝑟

2𝑎0

Le due energie in esame si possono scrivere come

𝐸 2 𝐴 = 𝜓2𝑝 𝐻 𝐴 𝜓2𝑝 ; 𝐸 2 𝐴′ = 𝜓2𝑝 𝐻 𝐴′ 𝜓2𝑝

Le due Hamiltoniane differiranno solo per la parte potenziale 𝑉 𝐴 ≠ 𝑉 𝐴′ . Quindi ogni integrale sarà calcolato come

𝑟2𝑅2𝑝2 𝑟 𝑉 𝐴 𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

, 𝑟2𝑅2𝑝2 𝑟 𝑉 𝐴′ 𝑟 𝑑𝑟

𝑅′

0

trascurando la parte cinetica. Studiando la funzione integranda ci si accorge che :

i. La funzione 𝑟2𝑅2𝑝2 (𝑟) è limitata , ha massimo in un punto vicino a

𝑍𝑟

𝑎0= 5 e tende a 0 molto

velocemente verso gli estremi. ii. I potenziali elettrostatici , d’altra parte, differiscono solo per 𝑟 ≤ 𝑅 .

Quindi i potenziali differiscono di molto solo in una zona dove la funzione 𝑟2𝑅2𝑝

2 (𝑟) che moltiplica è

nulla, quindi non perdiamo di generalità supponendo che

𝑟2𝑅2𝑝2 𝑟 𝑉 𝐴 𝑟 𝑑𝑟

𝑅

0

≅ 𝑟2𝑅2𝑝2 𝑟 𝑉 𝐴′ 𝑟 𝑑𝑟

𝑅′

0

Possiamo quindi dire che 𝐸 2 𝐴 = 𝐸 2 𝐴′ con buona approssimazione, in modo da ottenere

16

휀𝑋 𝐴 − 휀𝑋 𝐴′ = −𝐸 1 𝐴 + 𝐸 1 𝐴′ = 𝐸1 𝐴′ + Δ𝐸1 𝐴′ − 𝐸1 𝐴 − Δ𝐸1 𝐴 = Δ𝐸1 𝐴′ − Δ𝐸1 𝐴

=4

5 𝐸𝑅𝑦𝑑

𝑍4

𝑎02 𝑅′2 − 𝑅2 =

4

5 𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍4

𝑟02

𝑎02 𝐴′

2

3 − 𝐴2

3

Negli ultimi passaggi abbiamo utilizzato l’ulteriore approssimazione 𝐸1(𝐴′) ≅ 𝐸1 𝐴 che risulta appropriata in virtù della poca differenza in massa efficace. Inoltre è stata messa in evidenza la dipendenza di A utilizzando la legge 𝑅 = 𝑟0𝐴1/3. Graficando i risultati sperimentali si può quindi arrivare ad una stima della costante 𝑟0 : in realt{ si osserva che l’andamento ottenuto è corretto ma il valore della costante 𝑟0 non è quello atteso. Questo si spiega osservando che la funzione d’onda dell’orbitale 1s utilizzata nel calcolo non è una buona approssimazione della vera funzione d’onda.

Atomo Muonico

La particolarit{ di questo atomo è che al posto dell’elettrone (atomo idrogenoide) è presente un muone , una particella con stessa carica elettrica e spin dell’elettrone ma con una massa pari a 207 volte quella dell’elettrone. Poiché i muoni sono sensibili soltanto alle forze deboli, elettromagnetiche e gravitazionali, gli atomi muonici sono governati con precisione elevatissima dall'interazione elettromagnetica : non ci sono complicazioni derivanti da forze forti tra il muone e il nucleo. Dato che un muone è più massivo di un elettrone, le orbite di Bohr sono più vicine al nucleo in un atomo muonico rispetto a un atomo ordinario e le correzioni dovute all'elettrodinamica quantistica sono più rilevanti. Lo studio dei livelli energetici degli atomi muonici così come i tassi di transizione dagli stati eccitati allo stato fondamentale permettono dunque test sperimentali riguardo all'elettrodinamica quantistica. Il muone non è stabile ma decade con la reazione 𝜇− → 𝑒− + 𝜈𝑒

− + 𝜈𝜇 con una vita media di 𝜏 ≅ 2,2 ⋅ 10−6𝑠 . Un fascio di muoni è

ottenibile dal decadimento di altre particelle, come vedremo tra poco. Studiamo ora le caratteristiche di quest’atomo. Analogamente a quanto fatto per il raggio di Bohr possiamo calcolare

𝑎𝜇 = 4𝜋휀0

ℏ

𝑚𝜇𝑒=

𝑚𝑒

𝑚𝜇 𝑎0 ≅

1

207 𝑎0

Gli autostati dell’energia si trovano utilizzando 𝐻𝜓𝑛 = 𝐸𝑛𝜓𝑛 , quindi

𝑝2

2𝑚−

1

4𝜋휀0

𝑍𝑒2

𝑟 𝜓𝑛 = 𝐸𝑛𝜓𝑛 ⟹ 𝐸𝑛 = −

𝑚𝜇

𝑚𝑒

𝐸𝑅𝑦𝑑

𝑛2𝑍2 𝑛 = 1,2,3 …

Vogliamo innanzitutto capire per quali Z il muone avr{ un’orbita compresa nel nucleo. Indichiamo con

ℛ𝑛𝑒 =

𝑛2

𝑍𝑎0

il raggio atomico dell’atomo idrogenoide. Nel caso dell’atomo muonico si ha quindi

ℛ𝑛𝜇

=𝑚𝑒

𝑚𝜇

𝑛2

𝑍𝑎0

Il caso che ci interessa è quello dell’orbitale 1s , dove 𝑛 = 1 : in questo stato il muone è nell’orbita più bassa e vicina al nucleo. Quindi ℛ1

𝜇= 𝑚𝑒𝑎0/𝑚𝜇𝑍 . Vogliamo che questo raggio sia uguale al raggio del

nucleo , indicato come 𝑟0𝐴1/3 . Da queste due relazioni si ottiene

𝑍𝐴1/3 =𝑚𝑒

𝑚𝜇

𝑎0

𝑟0⟹ 𝑍3𝐴 =

𝑚𝑒

𝑚𝜇

3

𝑎0

𝑟0

3

Nell’approssimazione 𝑁 ≅ 𝑍 ⟹ 𝐴 = 2𝑍 si ottiene

17

2𝑍4 = 𝑚𝑒

𝑚𝜇

3

𝑎0

𝑟0

3

⟹ 𝑍 ≅ 47

Quindi con un nucleo con 𝑍 ≥ 47 (i.e. l’argento) il raggio dell’orbita muonica cade dentro al nucleo. Consideriamo adesso un atomo muonico di Ferro. Vogliamo calcolare le quantità caratteristiche del processo di shift isotopico ovvero l’energia emessa dai raggi X nella transizione del muone 2𝑝 → 1𝑠 nel caso di nucleo puntiforme , il Δ𝐸 dovuto alla correzione per un nucleo di dimensione finita e la differenza

di energia dello shift isotopico tra i due isotopi del ferro 𝐹𝑒𝜇56 e 𝐹𝑒𝜇58 . Per il primo punto utilizziamo le formule gi{ considerate per gli autostati dell’energia. 휀𝑋 = 𝐸2𝑝 − 𝐸1𝑠 =3

4

𝑚𝜇

𝑚𝑒 𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍2

𝑍 𝐹𝑒 =26 1,427 MeV

La correzione dovuta al nucleo puntiforme si calcola come

Δ𝐸 =2

5

1

4𝜋휀0

𝑍4𝑒2

𝑎𝜇3 ℛ2 =

4

5

𝑚𝜇

𝑚𝑒

3

𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍4ℛ2

𝑎02

=4

5

𝑚𝜇

𝑚𝑒

3

𝐸𝑅𝑦𝑑 𝑍4𝑟0

2

𝑎02 𝐴2/3

≅ 0,33 MeV ⟹ Δ𝐸1𝑠

𝐸1𝑠 ≅ 10%

Infine per i due diversi isotopi si ha Δ휀𝑋 = 휀𝑋 𝐴 − 휀𝑋 𝐴′

=4

5

𝑚𝜇

𝑚𝑒

3

𝑍4𝑟0

2

𝑎02 𝐴′

2

3 − 𝐴2

3

≅ 8 KeV Nel seguente grafico è riportato lo shift isotopico per alcuni isotopi del ferro.

Nuclei Speculari Un altro processo che ci permette di stabilire il valore di 𝑟0 è lo studio dei nuclei speculari, ovvero nuclei che si ottengono scambiando il numero di protoni con il numero di elettroni. Per due atomi con nuclei speculari abbiamo quindi che 𝑍, 𝑁, 𝐴 = 𝑁 + 𝑍 ⟹ 𝑍′ = 𝑁, 𝑁′ = 𝑍 , 𝐴′ = 𝐴 . Nel seguito considereremo

nuclei speculari che differiscono di una sola unità : 𝑁713

6 ↔ 𝐶613

7 ; 𝐶𝑎2039

19 ↔ 𝐾1939

20 . Se gli atomi differiscono di una sola unità significa che 𝐴 = 𝑍′ + 𝑁′ = 𝑍 − 1 + 𝑍 = 2𝑍 − 1 , infatti 𝑍′ = 𝑍 − 1 , 𝑁′ =𝑁 + 1 . La massa totale del nucleo sarà data da 𝑀 = 𝑚𝑖𝑖 − 𝐵 , dove B è una costante ricavata sperimentalmente : attraverso la misura della massa si potrà risalire alla differenza di energia tra i due nuclei. Questa differenza può essere imputata alla sola differenza di energia Coulombiana poiché gli altri termini , come già detto, non sono rilevanti. L’energia di Coulomb per una sfera uniformemente carica di raggio 𝑅 è data da

𝐸𝑐 =3

5

1

4𝜋휀0

𝑄2

𝑅

La variazione di energia tra i due nuclei speculari è data da

18

Δ𝐸𝑐 =3

5

𝑒2

4𝜋휀0

1

𝑟0𝐴1

3

𝑍2 − 𝑍′2 =3

5

𝑒2

4𝜋휀0

1

𝑟0𝐴1

3

𝑍2 − 𝑍 − 1 2 =3

5

𝑒2

4𝜋휀0

1

𝑟0𝐴1

3

2𝑍 − 1 =3

5

𝑒2

4𝜋휀0

1

𝑟0 𝐴1/3

Dall’esperienza si ricava 𝑟0 ≅ 1,22 𝑓𝑚 , avendo misurato Δ𝐸𝑐 come differenza di massa.

Decadimento radioattivo dei nuclei Consideriamo il processo di decadimento più generale

𝐴 𝑀

→ 𝑎1 𝑚1

+ 𝑎2 𝑚2

Prendiamo come riferimento il sistema a riposo della massa M : possiamo scrivere la conservazione dell’energia 𝑐 = 1 :

𝑀 = 𝑒10 + 𝑒20 = 𝑚1 + 𝐾10 + 𝑚2 + 𝐾20 ≥ 𝑚1 + 𝑚2 Definiamo il Q-valore del decadimento come

𝑄 = 𝑀 − 𝑚1 + 𝑚2

questo indice ci dice quanta energia iniziale è stata trasferita in energia cinetica delle particelle. Affinché il processo possa avvenire spontaneamente occorre quindi che 𝑀 − 𝑚1 + 𝑚2 > 0 : non è detto comunque che , con valori di Q strettamente positivi, la reazione avvenga, e in tempi ragionevolmente brevi. L’energia nei due riferimenti delle masse 𝑚1 , 𝑚2 sarà invece

𝑒10 =

𝑀2 + 𝑚12 − 𝑚2

2

2𝑀

𝑒20 =𝑀2 − 𝑚1

2 + 𝑚22

2𝑀

Nel caso particolare del decadimento Λ → 𝑝 + 𝜋− 𝑜 𝑛 + 𝜋0 si ottiene 𝑄 = 37,7 𝑀𝑒𝑉 . Il processo di decadimento radioattivo si può quindi schematizzare con la reazione 𝐴 → 𝐵 + 𝑏 , dove A è il nucleo madre, B il nucleo figlio e b un altro prodotto della reazione.

Legge del decadimento radioattivo - Attività

Ovviamente il processo è di natura statistica : possiamo considerare una densità di probabilità 𝜆 costante nel tempo che esprime il tasso di variazione dei nuclei tra gli istanti 𝑡 e 𝑡 + 𝑑𝑡 . Se individuiamo con 𝑁(𝑡) il numero di nuclei totali avremo quindi che 𝑑𝑁 = −𝑁 𝑡 𝜆 𝑑𝑡 , da cui si ricava la differenziale di immediata risoluzione

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜆𝑁 𝑡 ⟹ 𝑁 𝑡 = 𝑁0 𝑒−𝜆𝑡

Tale relazione va sotto il nome di “Legge del decadimento radioattivo”. Avendo enunciato questa legge risulta immediato individuare con 𝜏 ≡ 1/𝜆 la vita media della particella. Ovviamente quando 𝑡 = 𝜏 ⟹𝑁 𝜏 = 𝑁0/𝑒 . Un’altra quantit{ che si definisce è il tempo di dimezzamento della reazione ricavabile dalla seguente : 𝑁(𝑇1/2) = 𝑁0/2 ⟹ 𝑇1/2 = 𝜏𝑙𝑜𝑔 2 ≅ 0,693 𝜏 . Generalmente la vita media può variare di

svariati ordini di grandezza : l’uranio 236 per esempio ha 𝜏 ≅ 23,4 ⋅ 106 𝑦𝑟 mentre esistono particelle che esistono solo per pochi microsecondi. In realtà la variazione 𝑑𝑁/𝑑𝑡 assume un importante significato nelle reazioni nucleari : per questo viene definita come attività della reazione.

19

𝒜 ≡ 𝑑𝑁

𝑑𝑡 = 𝜆𝑁(𝑡)

Se definiamo poi con 𝒜0 ≡ 𝜆𝑁0 ⟹ 𝒜 = 𝒜0𝑒−𝜆𝑡 . In realtà sperimentalmente non si riesce a misurare l’attivit{ ad un certo istante , ma solo l’attivit{ mediata su un periodo. In altre parole non è possibile misurare direttamente N ma solo il numero di nuclei che decadono in un certo intervallo temporale. Si ottiene quindi che il numero di nuclei che decadono in un tempo Δ𝑡 è dato dalla variazione

Δ𝑁 = 𝑁 𝑡 − 𝑁 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 1 − 𝑒−Δ𝑡/𝜏

Se l’intervallo di misura Δ𝑡 ≪ 𝑇1/2 allora Δ𝑁 ≃ 𝜆𝑁0𝑒−𝜆𝑡Δ𝑡 , quindi l’attività media può essere definita

come 𝒜 = 𝜆𝑁0𝑒−𝜆𝑡 . L’unit{ di misura è ovviamente il rapporto del numero di decadimenti con il tempo : vengono utilizzati il Curie = Ci = 3,7 ⋅ 106 decadimenti/s o il Bequerel = Bq = 1 decadimenti/s . Utilizzando questa definizione è immediato verificare che integrando l’attivit{ sul tempo si ottiene il numero di nuclei iniziale :

𝒜 𝑡 = 𝜆𝑁 𝑡 ⟹ 𝒜 𝑡 𝑑𝑡∞

0

= 𝑁0

Inoltre ,per verificare le definizioni date prima, possiamo calcolare il tempo medio di decadimento (ovvero la vita media ) verificando che questo valore è proprio 𝜏 . Si ha infatti

𝑡 =∫ 𝑡𝒜 𝑡 𝑑𝑡

∞

0

∫ 𝒜 𝑡 𝑑𝑡∞

0 𝑁0

=1

𝑁0 𝜆𝑡𝑁 𝑡 𝑑𝑡

∞

0

=1

𝑁0 𝜆𝑡𝑁0𝑒−𝜆𝑡𝑑𝑡

∞

0

=1

𝜆= 𝜏

Consideriamo ora un nucleo che decade in due diverse reazioni :

𝐴 → 𝐵1 + 𝑏1 𝜆1 , 𝐴 → 𝐵2 + 𝑏2 𝜆2 La variazione dei nuclei è data dalla somma delle variazioni dei due processi , quindi si ha che

𝑑𝑁 = −𝜆1𝑁𝑑𝑡 − 𝜆2𝑁𝑑𝑡 = − 𝜆1 + 𝜆2 𝑁𝑑𝑡 Se definiamo 𝜆 ≡ 𝜆1 + 𝜆2, il risultato precedente si scrive come

𝑑𝑁 = −𝜆𝑁𝑑𝑡 ⟹ 𝑁 𝑡 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 La vita media totale è data da

𝜏 =1

𝜆=

1

𝜆1 + 𝜆2

Se definiamo poi con 𝜏𝑖 𝑖 = 1,2 le vite medie individuali possiamo riscrivere la relazione precedente come

𝜏 =1

1

𝜏1+

1

𝜏2

=𝜏1𝜏2

𝜏1 + 𝜏2

𝜆1≫𝜆2⟹𝜏1≪𝜏2 𝜏1

Conviene definire un parametro noto come “branching ratio” , ovvero il rapporto tra il tempo di decadimento totale e quello individuale del componente :

20

𝑅𝑖 =𝜆𝑖

𝜆=

𝜏

𝜏𝑖 𝜏 = 𝜏𝑖

𝑖

, 𝜆 = 𝜆𝑖

𝑖

Per il Berillio 𝐵𝑒10 ad esempio vale 𝑅 = 0,849. Ora che abbiamo individuato i parametri utili per descrivere la reazione possiamo supporre che il nucleo figlio B della reazione 𝐴 → 𝐵 + 𝛽 𝜆𝐴 sia a sua volta instabile (ipotesi più realistica)e che decada anch’esso 𝐵 + 𝛽 → 𝐶 + 𝛾 𝜆𝐵 . Possiamo considerare la variazione dei nuclei per i diversi componenti ed in seguito unire le due relazioni per ricavare quella più generale

𝑑𝑁𝐵 = 𝜆𝐴𝑁𝐴𝑑𝑡 − 𝜆𝐵𝑁𝐵𝑑𝑡 ⟹𝑑𝑁𝐵

𝑑𝑡= 𝜆𝐴𝑁𝐴 − 𝜆𝐵𝑁𝐵

Visto che 𝑁𝐴 𝑡 = 𝑁𝐴

0𝑒−𝜆𝐴 𝑡 , si ottiene

𝑑𝑁𝐵

𝑑𝑡= 𝜆𝐴𝑁𝐴

0𝑒−𝜆𝐴 𝑡 − 𝜆𝐵𝑁𝐵 ⟹𝑑𝑁𝐵

𝑑𝑡+ 𝜆𝐵𝑁𝐵 = 𝜆𝐴𝑁𝐴

0𝑒−𝜆𝐴 𝑡

Questa differenziale è risolta da una soluzione composta da una soluzione generale 𝐶𝑒−𝜆𝐵 𝑡 e da una particolare 𝐷𝑒−𝜆𝐴 𝑡 , delle quali dobbiamo determinare i coefficienti. Sostituendo nell’equazione differenziale si ricava il valore della costante D :

𝐷 =𝜆𝐴

𝜆𝐵 − 𝜆𝐴𝑁𝐴

0

Quindi la soluzione generale è data da

𝑁𝐵 𝑡 = 𝐶𝑒−𝜆𝐵𝑡 +𝜆𝐴


0 ⋅ 𝑒−𝜆𝐴 𝑡

Infine per ricavare la costante C dobbiamo porre la condizione iniziale 𝑁𝐵

0 ≡ 𝑁𝐵 0 da cui si ricava

𝐶 = 𝑁𝐵0 −

𝜆𝐴


0

Si può scrivere quindi la soluzione come

𝑁𝐵 𝑡 = 𝑁𝐵0𝑒−𝜆𝐵 𝑡 +

𝜆𝐴


0 𝑒−𝜆𝐴 𝑡 − 𝑒−𝜆𝐵 𝑡

Tipi di decadimento

Riportiamo ora una lista dei decadimenti che verranno studiati nel seguito : Decadimenti 𝛼 :

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍−2𝐴−4

𝑁−2 + 𝛼 , 𝛼 ≡ 𝐻𝑒224

Decadimenti 𝛽−:

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍+1𝐴

𝑁−1 + 𝑒− + 𝜈 𝑒 Dentro al nucleo avviene una reazione del tipo 𝑛 → 𝑝 + 𝑒− + 𝜈 𝑒 (𝑄 > 0)

21

Decadimenti 𝛽+:

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍−1𝐴

𝑁+1 + 𝑒+ + 𝜈𝑒 Dentro al nucleo avviene una reazione del tipo 𝑝 → 𝑛 + 𝑒+ + 𝜈𝑒 . Poiché per questa reazione 𝑄 < 0 il processo non avviene spontaneamente.

Cattura elettronica ( 휀 ) : Uno dei protoni del nucleo può catturare uno degli elettroni atomici

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍−1𝐴

𝑁+1 + 𝜈𝑒 Nel nucleo avviene il processo 𝑝 + 𝑒− → 𝑛 + 𝜈𝑒

Decadimento 𝛾 :

𝑋𝑍𝐴

𝑁∗ → 𝑌𝑍

𝐴𝑁 + 𝛾

Fissione spontanea

𝑋𝑍𝐴

𝑁 → 𝑌𝑍1

𝐴1 + 𝑊𝑍2

𝐴2 + 𝑘 ⋅ 𝑛 (𝑘 = 1,2)

Datazione con il radiocarbonio

I primi studi per la datazione di reperti tramite l’utilizzo di radiocarbonio sono dovuti a Libby (1952). In natura esistono due isotopi stabili del Carbonio : Carbonio 12 ( 98,89 % ) ed il Carbonio 13 (1,11 %) . Gli isotopi instabili (Carbonio 9-10-11) costituiscono solo una piccola parte della composizione ed hanno un tempo di dimezzamento di circa 30 minuti. L’isotopo del 𝐶14 ha un’abbondanza ( definita come rapporto

tra i nuclei di 𝐶14 ed i nuclei totali di carbonio ) 𝑥 ≅ 1,2 ⋅ 10−12 . Essendo un elemento instabile tende

inoltre a decadere in Azoto con un decadimento di tipo 𝛽 : 𝐶14 → 𝑁14 + 𝑒− + 𝜈 𝑒 con 𝜏 = 8227 yr =

2,609 ⋅ 1011s . L’esistenza del 𝐶14 è dovuta alla sua sintesi durante le reazioni che hanno portato alla formazione del sistema solare. La sua permanenza al giorno d’oggi è dovuta all’esistenza di un meccanismo che continuamente provvede a formarne di nuovo : questo processo è dovuto ai raggi cosmici , una radiazione di grande energia composta da protoni , particelle 𝛼 ed elettroni che ,attraversando la zona superiore dell’atmosfera, frammentano il nucleo delle particelle ivi presenti. Vengono prodotti mediamente 2 neutroni al secondo per 𝑐𝑚2 : questi interagiscono con altri nuclei dell’atmosfera e vengono rallentati fino a quando passano ad energie dell’ordine di 0,025 eV . Quindi i neutroni incontrano un nucleo di Azoto e innescano le reazione 𝑁14 + 𝑛 → 𝐶14 + 𝑝 . Dopo che il 𝐶14 si è formato questo viene trascinato nella bassa atmosfera in tempi molto lunghi ( dell’ordine di 1000 anni) e viene assorbito dalla specie naturali. Definiamo con Q il rate di formazioni di 𝐶14 da 𝑁14 e supponiamo

che questo sia costante nel tempo. Se indichiamo con 𝑁(𝑡) il numero di nuclei di 𝐶14 presenti ad un tempo t la variazione ad un tempo infinitesimo è data da

𝑑𝑁 𝑡

𝑑𝑡= 𝑄 − 𝜆𝑁 𝑡 ⟹ 𝑁 𝑡 =

𝑄

𝜆 1 − 𝑒−𝜆𝑡

Quindi per 𝑡 → ∞ si raggiunge l’equilibrio alla concentrazione 𝑄/𝜆 . Fin tanto che un organismo è in vita il carbonio 14 viene riprodotto tramite processi di fotosintesi, etc… Quando l’organismo muore però la

produzione di 𝐶14 si ferma. Utilizziamo quindi la legge del decadimento radioattivo integrando tra gli istanti 𝑡1 (di misura) e 𝑡0 di produzione.

𝑡1 − 𝑡0 = 𝜏 ln𝑁0

𝑁 𝑡1

22

Per risolvere questa formula dobbiamo però determinare la costante 𝑁0 ,ovvero il numero di nuclei di carbonio alla sua formazione. Non è quindi possibile calcolare direttamente questa quantità ma si può supporre che questa debba mantenersi costante, in modo che 𝑁 𝑡1 + 𝑁𝐵 𝑡1 = 𝑁0 𝑁𝐵 𝑡0 = 0 , dove abbiamo indicato con 𝑁𝐵 il numero di nuclei di azoto. Quindi il problema si risolve calcolando il numero di nuclei di azoto: questo è possibile grazie alla tecnica AMS (accelerator mass spectroscopy). La legge viene quindi modificata come segue

𝑡1 − 𝑡0 = 𝜏 ln 1 +𝑁𝐵 𝑡1

𝑁 𝑡1

Un altro metodo consiste nel misurare l’attivit{.

𝑡1 − 𝑡0 = 𝜏 ln 𝒜0

𝒜 𝑡1

supponendo che l’attività specifica di un essere vivente si mantenga costante, ovvero che 𝒜

0 = 𝒜 viv 𝑡1 .

In questo caso dobbiamo quindi valutare l’attivit{ specifica di un campione di carbonio.

𝒜 ≡𝒜

1 g di carbonio naturale

Sapendo che la massa molecolare del carbonio è 𝑀 ≅ 12,011 g potremo ricavare il numero di atomi di carbonio in 1 g :

𝑁 =𝒩𝐴

12,011 𝑔 𝑥 ≅ 6,016 ⋅ 1010

nuclei

g

Quindi l’attivit{ specifica è uguale a

𝒜 = 𝑁 ⋅ 𝜆 =𝑁

𝜏≅ 0,23 ⋅

Bq

g= 14

decadimenti

minuto⋅g

Ma poiché gli eventi sono evidentemente radi (14/minuto) le fluttuazioni statistiche sono molto evidenti : occorrerà quindi una misura molto precisa per ridurre gli errori statistici. In realtà la supposizione che la concentrazione di carbonio 14 non cambi non è del tutto esatta. Tale inesattezza è evidente soprattutto se si confrontano alcuni risultati di questa tecnica con quelli ottenuti tramite la dendrocronologia , ovvero la datazione fatta utilizzando gli anelli dei tronchi d’albero. Facendo combaciare vari campioni si ha infatti un andamento generale su scale di 1000 anni e si verifica che su tempi molto grandi la tecnica del carbonio 14 tende a sottostimare la datazione effettiva. Le motivazioni dell’inesattezza di questa misura sono principalmente le seguenti :

i. Attività solari : macchie solari o esplosioni sulla superficie solare influenzano la produzione di carbonio 14.

ii. Emissione di prodotti dall’utilizzo di combustibili fossili. iii. Attività nucleare eccessiva : la corsa agli armamenti nucleari durante la guerra fredda segnò un

rapido incremento della produzione di Carbonio 14. Infatti nelle esplosioni vengono liberati neutroni che possono dare luogo alla formazione del carbonio ( come succede nell’alta atmosfera) . Ecco perché per rendere più accurate le misure si utilizzano dati di concentrazione risalenti agli anni 50.

Energia di legame del nucleo Supponiamo di avere N particelle di massa a riposo 𝑚𝑖 , provenienti da distanza infinita. Supponiamo di avvicinarle e di creare un sistema di una particella legata. In generale non è vero che la massa di questa

23

particella legata M è la somma delle masse delle singole particelle. In effetti vale solo la conservazione dell’energia :

𝐸 = 𝑐2𝑀 = 𝑐2 𝑚𝑖

𝑖

+ 𝐸𝑐𝑖𝑛 + 𝐸𝑖𝑛𝑡 ⟹ 𝐸′ ≡ 𝑐2 𝑀 − 𝑚𝑖

𝑖

= 𝐸𝑐𝑖𝑛 + 𝐸𝑖𝑛𝑡 < 0 (stato legato)

Definiamo l’energia di legame , B (binding Energy) , come

𝐵 = −𝐸′ = 𝑚𝑖

𝑖

− 𝑀 𝑐2 > 0

Vediamo di analizzare quindi il caso particolare del nucleo. L’energia di legame , in questo caso, è data da

𝐵 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀

dove M è la massa del nucleo. Dobbiamo riscrivere questa relazione in funzione della massa dell’atomo

𝑀𝑎 𝑋𝐴 . Poiché anche l’atomo è un sistema composto possiamo riscrivere la massa come 𝑀𝑎 𝑋𝐴 =

𝑀 + 𝑍𝑚𝑒 − 𝐵𝑒 , dove abbiamo indicato con 𝐵𝑒 l’energia di legame di tutti gli elettroni nell’atomo. Quindi

𝐵 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 + 𝑍𝑚𝑒 − 𝐵𝑒 − 𝑀𝑎 𝑋𝐴 = 𝑍 𝑚𝑝 + 𝑚𝑒 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝑋𝐴 − 𝐵𝑒

= 𝑍 𝑀𝑎 𝐻1 + 𝑏𝑒 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝑋𝐴 − 𝐵𝑒

Infatti la massa dell’atomo di idrogeno è data da 𝑀𝑎 𝐻1 = 𝑚𝑝 + 𝑚𝑒 − 𝑏𝑒 , dove 𝑏𝑒 è l’energia di

legame dell’elettrone nell’atomo di idrogeno. Si ottiene quindi

𝐵 = 𝑍𝑀𝑎 𝐻1 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝑋𝐴 + 𝑍𝑏𝑒 − 𝐵𝑒

La parte 𝑍𝑏𝑒 − 𝐵𝑒 è trascurabile rispetto all’energia totale ( rispettivamente ordine di KeV e MeV )

quindi 𝐵 ≅ 𝑀𝑎 𝐻1 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑎 𝑋𝐴 . Nella tabella seguente riportiamo alcuni dati sperimentali

Z N A Nucleo 𝑩(𝑴𝒆𝑽) 𝑩/𝑨

1 1 2 2H 2,22 1,11 2 1 3 3He 7,72 2,57 2 2 4 4He 28,30 7,07 3 3 6 6Li 32 5,33

24

Visto che l’energia di legame cresce (quasi) linearmente con A , non è raro graficare l’energia media per nucleone , 𝐵/𝐴 , come funzione di 𝐴 , come visualizzato nel seguente grafico. Si nota innanzitutto che la curva è relativamente costante eccetto che per nuclei molto leggeri.

Secondariamente si nota che la curva raggiunge un massimo per 𝐴 ≃ 60 , dove i nuclei sono saldamente legati : questa separazione porter{ all’elaborazione della fusione e della fissione nucleare. Lo studio più attento della relazione che intercorre tra 𝐵 ed 𝐴 porta invece alla formulazione di un nuovo modello.

Modello a goccia del nucleo e formula semiempirica di massa Dalla figura si vede che l’energia di legame ed il numero atomico A non sono legati (quasi) in alcun modo : questa indipendenza suggerisce di ipotizzare un modello “a goccia” per il nucleo atomico. Infatti, come nelle gocce d’acqua il calore di evaporazione (grandezza che stima la probabilit{ che una particella d’acqua si vaporizzi, lasciando la goccia) non dipende dalla sua grandezza , così nel modello a goccia del nucleo l’energia che lega le particelle esterne a quelle interne non dipende da A. La formula accurata per questo tipo di modello è data da

𝐵 = 𝑎𝑟𝐴 − 𝑎𝑠𝐴2/3 − 𝑎𝐶

𝑍2

𝐴1/3− 𝑎𝑠𝑦𝑚

𝑁 − 𝑍 2

𝐴+ 𝛿

Vediamo di discutere il significato fisico di ogni termine.

i. (𝑎𝑟𝐴) : Il raggio del nucleo è del tipo 𝑅 = 𝑟0𝐴1/3 , come già visto in precedenza . Quindi il primo termine , dominante, è proporzionale alle dimensioni del nucleo ( ~𝑅3 ) .

ii. (−𝑎𝑠𝐴2/3) : I nucleoni posti sulla superficie sono meno legati rispetto a quelli presenti nel centro,

in quanto risentono meno della attrazione con gli altri. Questi nucleoni non contribuiscono a B come quelli posti nel centro , quindi bisogna sottrarre al primo termine (di volume) un termine proporzionale all’area del nucleo , ovvero ∝ 𝑅2 . Visto che 𝑅 ∝ 𝐴1/3 allora il termine dovrà essere proporzionale a 𝐴2/3 .

iii. (𝑎𝐶 𝑍2/𝐴1/3) : Il terzo termine tiene conto dell’attrazione Couloumbiana. Per capire l’andamento di questo termine si può prendere come modello una goccia uniformemente carica e calcolare il lavoro necessario per assemblare una distribuzione del genere. A meno di costanti moltiplicative questo dipende da 𝜌2/𝑟 .

𝐸𝐶~𝑍2𝑒2

𝑅~

𝑍2

𝑅~

𝑍2

𝐴1/3 = 𝑍2𝐴−1/3

Quindi il termine Couloumbiano è dato da 𝑍2𝐴−1/3 . Il segno negativo è dovuto al fatto che la repulsione dei protoni tende a renderli meno legati, quindi a diminuire l’energia di legame.

iv. (𝑎𝑠𝑦𝑚 𝑁 − 𝑍 2/𝐴) : c’`e una tendenza in natura ad una simmetria tra Z e (A − Z), almeno per

nuclei leggeri. Questo fatto ci induce ad introdurre un termine, proporzionale ad A e dipendente

25

da 𝛽 ≡ (𝐴 − 𝑍)/𝑍 , che abbia un minimo per A = 2Z . Tali proprietà vengono soddisfatte dalla funzione

𝑎𝑠𝑦𝑚 𝑁 − 𝑍 2

𝐴

Ovviamente questo termine è legato fortemente a quello Couloumbiano.

v. (𝛿): L’ultimo contributo è detto termine di pairing :

𝛿 =

𝑎𝑝𝐴−3/4 , 𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑖 − 𝑝𝑎𝑟𝑖

0 , 𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑖 − 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖

−𝑎𝑝𝐴−3/4, 𝑐𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 − 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖

Dove con le diciture pari, dispari si intendono i casi in cui 𝐴 − 𝑍 e Z sono rispettivamente pari o dispari. L’atomo più sfavorito è quello dispari-dispari.

La formula, che riportiamo nuovamente , è detta formula semi-empirica di Bethe-Weizsaker.

𝐵 = 𝑎𝑟𝐴 − 𝑎𝑠𝐴2/3 − 𝑎𝐶

𝑍2

𝐴1/3− 𝑎𝑠𝑦𝑚

𝑁 − 𝑍 2

𝐴+ 𝛿

Dai dati sperimentali si ricavano i valori 𝑎𝑟 ≅ 15,68 MeV , 𝑎𝑠 ≅ 28,56 MeV, 𝑎𝐶 = 0,717 MeV , 𝑎𝑠𝑦𝑚 =

28,1 MeV , 𝑎𝑝 ≅ 34 MeV . Se consideriamo nuclei isobari ( A costante ) possiamo combinare la formula

della massa

𝑀 𝐴, 𝑍 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝐵 𝐴, 𝑍

26

e utilizzare la formula semi-empirica per la Binding Energy , ricavando così la formula semi empirica di massa , la cui dipendenza da Z è evidenziata nella seguente schematizzazione

𝑀 𝑍 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑎𝑟𝐴 + 𝑎𝑠𝐴2/3 + 𝑎𝐶

𝑍2

𝐴1/3+ 𝑎𝑠𝑦𝑚

𝑁 − 𝑍 2

𝐴− 𝛿~𝛼𝑍2 + 𝛽𝑍 + 𝛾 − 𝛿

Graficando questa funzione ( per A dispari ) si ottiene una parabola con centro nello stato stabile 𝑍0 :

tutti i nuclei del lato decrescente tendono a decadere , attraverso decadimenti 𝛽− , nello stato 𝑍0 ; viceversa sull’altro lato si verificano decadimenti di tipo 𝛽+ , come mostrato nella figura seguente.

Interazione Nucleare

Cenni di Meccanica Quantistica

Momento angolare

Definiamo l’operatore momento angolare2 come ℓ = 𝑟 × 𝑝 = −𝑖ℏ 𝑟 × ∇ .

Possiamo scomporre sulle componenti x,y,z per ottenere

2 Per semplicità di notazione ometteremo il simbolo di vettore su ℓ e su tutti gli operatori quantistici vettoriali , ℓ

≡ ℓ

27

ℓ →

ℓ 𝑥 = 𝑦𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦 = −𝑖ℏ 𝑦

𝜕

𝜕𝑧− 𝑧

𝜕

𝜕𝑦

ℓ 𝑦 = −𝑖ℏ 𝑧𝜕

𝜕𝑥− 𝑥

𝜕

𝜕𝑧

ℓ 𝑧 = −𝑖ℏ 𝑥𝜕

𝜕𝑦− 𝑦

𝜕

𝜕𝑥

Possiamo introdurre l’operatore momento angolare quadrato definito da ℓ 2 = ℓ𝑥2 + ℓ𝑦

2 + ℓ 𝑧2 . Passando

in coordinate polari 𝑟, 𝜗, 𝜑 quest’ultimo operatore si può scrivere come

ℓ 2 = −ℏ2 1

sin𝜗

𝜕

𝜕𝜗 sin 𝜗

𝜕

𝜕𝜗 +

1

sin2 𝜗

𝜕

𝜕𝜑

Tale operatore ci sarà utile per le sue proprietà di commutazione. Vediamo prima i commutatori per li momento angolare. Si ha che 𝑥 , 𝑝 𝑥 = 𝑖ℏ , quindi segue che

ℓ 𝑥 , ℓ 𝑦 = 𝑖ℏ ℓ 𝑧 ; ℓ 𝑦 , ℓ𝑧 = 𝑖ℏℓ 𝑥 ; ℓ 𝑧 , ℓ 𝑥 = 𝑖ℏℓ 𝑦

La relazione di commutazione tra il momento angolare ed il suo operatore quadrato è data da

ℓ 2, ℓ 𝑧 = 0 , quindi i due operatori ammettono una base ortonormale di autostati comuni. Si osserva che

gli autostati di ℓ 2 sono definiti da

ℓ 2 ℓ, 𝑚ℓ = ℏℓ ℓ + 1 ℓ, 𝑚ℓ Il numero quantico ℓ per il momento angolare assume valori dati da ℓ = 0,1,2,3 … . Fissato ℓ si hanno

dunque 𝑖ℓ𝑖=0 = 2ℓ + 1 valori di 𝑚ℓ per la singola componente poiché ad esempio ℓ 𝑧 ℓ, 𝑚ℓ =

ℏ𝑚ℓ ℓ, 𝑚ℓ . Per quanto riguarda il momento angolare intrinseco(spin) si può definire l’operatore (quadrato)

𝑠 2 = 𝑠 𝑥2 + 𝑠 𝑦

2 + 𝑠 𝑧2

Si può mostrare che valgono le stesse regole di commutazione già viste per il momento angolare, in particolare 𝑠 2 , 𝑠 𝑧

2 = 0 . Quindi anche per questi operatori si trova una base di autostati comuni e

𝑠 2 𝑠, 𝑚𝑠 = ℏ2𝑠 𝑠 + 1 𝑠, 𝑚𝑠 fissato s si ha , analogamente, 𝑠 𝑧 𝑠, 𝑚𝑠 = ℏ𝑚𝑠 𝑠, 𝑚𝑠 .E’ noto che s può assumere valori semi interi (fermioni) o interi (bosoni), in particolare 𝑚𝑠 = 𝑠, 𝑠 − 1, … , −𝑠 . Combinando due o più momenti angolari si ottiene un momento angolare risultante : i numeri quantici di questa risultante si ottengono facilmente

considerando la composizione dei due sottospazi relativi alle due particelle . Prendiamo quindi 𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2

. In termini di operatori si ha che 𝐽 2 = 𝐽 𝑥2 + 𝐽 𝑦

2 + 𝐽 𝑧2 ⟹ 𝐽 2 , 𝐽 𝑧 = 0 . Gli autostati comuni sono quindi dati

da

𝐽 2 𝐽, 𝑚𝐽 = ℏ2𝐽 𝐽 + 1 𝐽, 𝑚𝐽

Una volta fissati i valori di 𝑗1 , 𝑗2 i valori di J dovranno essere quantizzati :

𝐽 = 𝑗1 + 𝑗2 , 𝑗1 + 𝑗2 − 1 , … , 𝑗1 − 𝑗2 Quindi 𝑚𝐽 = 𝐽, … , −𝐽 = 𝑚𝑗1

+ 𝑚𝑗2 .

28

Operatori di salita e discesa

Riferiamoci prima ad un momento angolare generico 𝐽 a cui è associato l’operatore 𝐽 2 , 𝐽 𝑧 . Si definisce l’operatore di salita come 𝐽 + ≡ 𝐽 𝑥 + 𝑖𝐽 𝑦 ; viceversa quello di discesa è dato da 𝐽 − ≡ 𝐽 𝑥 − 𝑖𝐽 𝑦 . Con queste

definizioni è facile verificare che 𝐽 +† = 𝐽 − , quindi questo operatore non è Hermitiano3. Si possono

dimostrare le relazioni di commutazione seguenti

𝐽 +, 𝐽 − = 2ℏ𝐽 𝑧 ; 𝐽 𝑧 , 𝐽 ± = ±𝐽 ± ; 𝐽 2 , 𝐽 ± = 0

Se indichiamo con 𝐽, 𝑚𝐽 gli autostati di 𝐽 2 e 𝐽 𝑧 e applichiamo a questi l’operatore di salita si ottiene

𝐽 + 𝐽, 𝑚𝐽 = 𝐽 − 𝑚𝐽 𝐽 + 𝑚𝐽 + 1 ℏ 𝐽, 𝑚𝐽 + 1

Notiamo che se 𝑚𝐽 = 0 ⟹ 𝐽 + 𝐽, 0 = 0 . Applicando l’operatore di discesa si ottiene invece

𝐽 − 𝐽, 𝑚𝐽 = 𝐽 + 𝑚𝐽 𝐽 − 𝑚𝐽 + 1 ℏ 𝐽, 𝑚𝐽 − 1

Per quanto riguarda lo spin possiamo identificare i due stati di spin “up” e “down” con la notazione

𝑠 =1

2 ; 𝑠, 𝑚𝑠 =

1

2,1

2 ≡ ↑ → 𝑢𝑝

1

2, −

1

2 ≡ ↓ → 𝑑𝑜𝑤𝑛

Quindi applicando 𝑠 + ↑ = 0 , 𝑠 + ↓ = ℏ ↑ e analogamente 𝑠 − ↑ = ℏ ↓ , 𝑠 − ↓ = 0 . Nel caso particolare dello spin gli operatori di salita e di discesa si possono scrivere quindi come

𝑠 + ≡ ℏ ↑ ↓ ; 𝑠 − ≡ ℏ ↓ ↑ Uno stato generico può essere quindi scritto come combinazione lineare :

𝜒 = 𝑚𝑠 𝑚𝑠 𝜒

𝑚𝑠

= ↑ ↑ 𝜒 + ↓ ↓ 𝜒 = 𝜒↑ ↑ + 𝜒↓ ↓ = 𝜒↑

𝜒↓

Il vettore 𝜒 = 𝜒↑

𝜒↓ viene detto spinore. Con questa notazione segue immediatamente che

↑ = 10 ; ↓ =

01

Ovviamente ad un generico operatore 𝑥 è associata una matrice definita da 𝑥𝑛𝑚 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑎𝑚 . Nel caso

dello spin 𝑠 =ℏ

2𝜍 , 𝜍 = 𝜍𝑥 , 𝜍𝑦 , 𝜍𝑧 , dove 𝜍𝑖 sono le matrici di Pauli definite da

𝜍𝑥 = 0 11 0

; 𝜍𝑦 = 0 −𝑖𝑖 0

; 𝜍𝑧 = 1 00 −1

; 𝜍0 = 1 00 1

Gli operatori di salita e discesa dello spin si possono scrivere come

𝑠 + = ℏ 0 10 0

; 𝑠 − = ℏ 0 01 0

3 Con la notazione † si intende il complesso coniugato dell’operatore considerato.

29

Possiamo infine notare che valgono le regole seguenti

𝜍𝑖𝜍𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 + 𝑖휀𝑖𝑗𝑘 𝜍𝑘 ; 𝜍𝑖2 = 𝕀 ; 𝜍 2 = 𝜍𝑥

2 + 𝜍𝑦2 + 𝜍𝑧

2 = 3𝕀

ove abbiamo indicato con 휀𝑖𝑗𝑘 il tensore di Levi-Civita definito dalla seguente

휀𝑖𝑗𝑘 =

+1 se 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1,2,3 , 2,3,1 , (3,1,2)

−1 se 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 3,2,1 , 1,3,2 , (2,1,3)0 per le altre combinazioni di (𝑖, 𝑗, 𝑘)

Il caso di particolare interesse è quello in cui 𝑠1 = 𝑠2 = 1/2 , ovvero quello di due fermioni identici.

Sistema di due fermioni identici

Supponiamo di poter dividere le variabili nella funzione d’onda del sistema, ovvero

𝜓 𝑟 , 𝑆 = 𝜓 𝑟 1 , 𝑟 2 𝜒 𝑠 1 , 𝑠 2 ; 𝑆 = 𝑠 1 + 𝑠 2

Consideriamo inoltre gli operatori 𝑆 2, 𝑆 𝑧 = 0 . Gli autostati sono dati da 𝑆, 𝑚𝑆 . Utilizziamo le regole

di composizione dei momenti angolari : 𝑆 = 1,0 poiché 𝑆 = 𝑠1 − 𝑠2 e ci troviamo in presenza di fermioni ( 𝑠𝑖 = ±1/2 ) . Consideriamo lo stato associato ad 𝑆 = 1 : per questo il numero 𝑚𝑆 può valere

𝑚𝑆 = 1 ⟹ 1,1

0 ⟹ 1,0

−1 ⟹ 1, −1

Nel secondo caso 𝑆 = 0 ⟹ 𝑚𝑆 = 0 ⟹ 0,0 . Identificando 𝑠1 , 𝑚1 ≡ 𝑚1 , 𝑠2 , 𝑚2 ≡ 𝑚2 , possiamo trovare 4

𝑆, 𝑚𝑆 = 𝑚1 , 𝑚2 𝑚1𝑚2 𝑆, 𝑚𝑆

𝑚1 ,𝑚2

= 𝑐1 ↑ ↑ + 𝑐2 ↑ ↓ + 𝑐3 ↓ ↑ + 𝑐4 ↓ ↓

1. Consideriamo ora il caso in cui 𝑆 = 1 , 𝑚𝑆 = 1 ⟹ 𝜒 = 1,1 . L’unico stato che da contributo è il

primo : 1,1 = 𝑐1 ↑ ↑ . Possiamo porre 𝑐1 = 1 poiché è una costante di normalizzazione. Applichiamo a questo stato l’operatore di discesa : questo sar{ dato dalla composizione degli operatori di discesa per le particelle indipendenti : 𝑆 − = 𝑠 1−

+ 𝑠 2− . Quindi

1,0 = 𝑆 − 1,1 = 𝑠 1−+ 𝑠 2−

↑ ↑ = 𝑠 1− ↑ ↑ + 𝑠 2−

↑ ↑ = 𝑠 1− ↑

↓

↑ + ↑ 𝑠 2− ↑

↓

= ↓ ↑ + ↑ ↓ Quindi normalizzando si ottiene

1,0 =1

2ℏ ↓ ↑ + ↑ ↓ ⟹ 2ℏ 1,0 = 𝑆 − 1,1

Applicando nuovamente l’operatore di discesa a questo stato si ottiene 𝑆 − 1,0 = 𝑆 − 1, −1 = ↓ ↓ .

2. Consideriamo invece lo stato in cui 𝑆 = 0 , 𝑚𝑆 = 0 : questo può essere scritto in funzione degli spin delle particelle .

4 Con il prodotto ↑ ↑ si intende ovviamente il prodotto diretto dei due spinori relativi ai due sottospazi della

particella 1 e 2. Si utilizzano anche le notazioni equivalenti ↑ 1 ↑ 2 o , ancora , ↑↑ .

30

0,0 =1

2 ↑ ↓ − ↓ ↑ }

Ovvero una combinazione antisimmetrica rispetto alla precedente.

Operatore di Parità

Supponiamo di avere un sistema fisico e di volerlo descrivere in un sistema di coordinate 𝑥, 𝑦, 𝑧 . L’operazione di parit{ consiste nell’invertire il senso degli assi , mandando ogni coordinata nel suo opposto : 𝑟 → −𝑟 . Questa operazione equivale a passare da un sistema destrorso ad uno sinistrorso. Utilizzando coordinate polari 𝑟, 𝜗, 𝜑 la parit{ si può esprimere come l’operatore che applica i seguenti cambiamenti di coordinate : 𝑟 → 𝑟 , 𝜗 → 𝜋 − 𝜗 , 𝜑 → 𝜑 + 𝜋 . La descrizione del sistema fisico iniziale può essere fatta tramite la funzione 𝜓 𝑟 . Indichiamo quindi con 𝑃 l’operatore di parit{ : questo agisce sulla funzione d’onda invertendo la coordinata 𝑟 , ovvero

𝑃 𝜓 𝑟 = 𝜓 −𝑟 = 𝜋𝜓 𝑟 ; 𝑃 2𝜓 𝑟 = 𝑃 𝜓 −𝑟 = 𝜓 𝑟 ⟹ 𝑃 2 = 𝕀 Con 𝜋 sono stati indicati gli autovalori dell’operatore parità che sono, ovviamente, 𝜋 = ±1 . Si definisce quindi , più generalmente

𝑃 𝜓 𝑟 = 𝜓 −𝑟 = +𝜓 𝑟 → 𝜋 = 1 → 𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎

−𝜓 𝑟 → 𝜋 = −1 → 𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

In realtà si può trovare una stretta corrispondenza tra la parità ed il momento angolare orbitale , infatti 𝜋 = −1 ℓ . Per un sistema di due particelle la parità del sistema totale si scrive come 𝜋 = 𝜋1𝜋2 −1 ℓ , dove 𝜋𝑖 sono le parità intriseche delle particelle e −1 ℓ è la parità legata al momento angolare complessivo delle due particelle. In generale si avrà che ( n : numero di particelle totali nel sistema )

𝜋𝑡𝑜𝑡 = −1 ℓ𝑖𝑛−1𝑖 𝜋𝑖

𝑛

𝑖

Deutone

Il deutone ( 𝐻2 ) è formato da un neutrone e da un protone e rappresenta l’esempio più semplice di stato

legato dei nucleoni , ovvero un sistema ideale per studiare l’interazione nucleone-nucleone.

Proprietà sperimentali

𝐵 = 2,225 MeV

𝐽 = 1

𝜋 = +1 : parità intrinseca.

𝜇𝑑 = 0,857393𝜇𝑁 , dove 𝜇𝑁 ≡𝑒ℏ

2𝑚𝑝≅ 3,15 ⋅ 10−14MeV/Tesla

𝑄 = 0,00282 Barn : momento di quadrupolo (normalizzato)

𝑟𝑑2 1/2 = 2,1 fm : raggio quadratico medio

Autostati del potenziale nucleare

Per studiare il sistema dobbiamo risolvere l’equazione di Schroedinger tridimensionale.

−ℏ2

2𝑚∇2𝜓 + 𝑉𝜓 = 𝐸𝜓

31

dove V è la funzione che tiene conto dell’interazione tra le particelle : questa dipende solo da 𝑟 = 𝑟 = 𝑟 1 − 𝑟 2 . Passiamo a coordinate sferiche 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑟, 𝜗, 𝜑 : il Laplaciano si trasforma in

∇2=1

𝑟2 ∇𝑟2 + ∇𝜗 ,𝜑

2 ; ∇𝑟2=

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 ; ∇𝜗 ,𝜑

2 =1

sin 𝜗

𝜕

𝜕𝜗 sin 𝜗

𝜕

𝜕𝜗 +

1

sin2 𝜗

𝜕2

𝜕𝜑2= −

1

ℏ2 ℓ 2

Possiamo riscrivere la funzione d’onda separando le variabili :

𝜓 𝑟, 𝜗, 𝜑 = 𝑅ℓ 𝑟 𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑 La parte angolare restituisce l’equazione agli auto valori per il momento angolare che si può riscrivere come

ℓ 2𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑 = ℓ ℓ + 1 ℏ2𝑌ℓ𝑚 𝜗, 𝜑 Quella radiale invece è l’equazione agli auto valori per l’energia ed è data da

−ℏ2

2𝑚

1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 + 𝑉 𝑟 +

ℓ ℓ + 1 ℏ2

2𝑚𝑟2 𝑅ℓ 𝑟 = 𝐸𝑅ℓ(𝑟)

Se definiamo una funzione d’onda radiale ridotta 𝑢ℓ 𝑟 = 𝑟𝑅ℓ(𝑟) possiamo ricavare un’equazione differenziale per ricavare la soluzione :

−ℏ2

2𝑚

𝜕2

𝜕𝑟2+ 𝑉 𝑟 +

ℓ ℓ + 1 ℏ2

2𝑚𝑟2 𝑢ℓ 𝑟 = 𝐸𝑢ℓ 𝑟

Supponiamo ora che lo stato fondamentale (legato) del deutone abbia ℓ = 0 ( visto che l’energia deve essere minima5) . L’equazione precedente con ℓ = 0 diventa

𝑑2

𝑑𝑟2 𝑢 𝑟 +

2𝑚

ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 𝑢 𝑟 = 0

Tale equazione deve essere risolta specificando l’andamento del potenziale nell’atomo. Possiamo supporre che V sia del tipo6 𝑉0 > 0 , 𝑐 > 0 , 𝑏 > 0 :

𝑉 𝑟 =

∞ , per 𝑟 < 𝑐 → 𝐼−𝑉0 , per 𝑐 < 𝑟 < 𝑐 + 𝑏 → 𝐼𝐼

0 , per 𝑟 ≥ 𝑐 + 𝑏 → 𝐼𝐼𝐼

dove abbiamo indicato con 𝑐 la dimensione del nocciolo interno dell’atomo e con b la distanza oltre il quale il potenziale è nullo a causa della bassa interazione con il nucleo : ovviamente questo rappresenta una schematizzazione del potenziale reale che decrescerà con continuità. Il problema si riduce quindi a trovare una soluzione per la funzione d’onda in una buca di potenziale. Dividiamo i casi per i 3 intervalli.

I. Per 𝑟 < 𝑐 , 𝑢𝐼 𝑟 = 0 , per normalizzazione. II. Per 𝑐 < 𝑟 < 𝑐 + 𝑏 , 𝑉 𝑟 ≡ −𝑉0 , 𝐸 = −𝐵 visto che ci troviamo in uno stato legato, quindi

l’equazione da risolvere è

5 Il deutone non ha stati eccitati ma solo stati legati , quindi ci troviamo nello stato fondamentale.

6 Sul testo di riferimento (vd. Krane , pg.82) il potenziale è ulteriormente semplificato : non viene considerata la

dimensione interna del nocciolo 𝑐 : in questo caso si vuole dare una descrizione più appropriata del potenziale nucleare.

32

𝑑2

𝑑𝑟2 𝑢 𝑟 +

2𝑚

ℏ2 𝑉0 − 𝐵 𝑢 𝑟 = 0

Definendo 𝑘 ≡ 2𝑚 𝑉0−𝐵

ℏ si ottiene la soluzione

𝑢𝐼𝐼 𝑟 = 𝒜 sin 𝑘 𝑟 − 𝑐 + 𝒜′ cos 𝑘 𝑟 − 𝑐

Ma per la continuità a c deve valere che 𝑢𝐼𝐼 𝑐 = 0 , quindi la soluzione corretta è data da

𝑢𝐼𝐼 𝑟 = 𝒜 sin 𝑘 𝑟 − 𝑐

III. Per 𝑟 > 𝑐 + 𝑏 ⟹ 𝑉 = 0 , quindi l’equazione diventa

𝑑2

𝑑𝑟2𝑢 𝑟 −

2𝑚

ℏ2𝐵 𝑢 𝑟 = 0

Definiamo quindi 𝜒 ≡ 2𝑚𝐵/ℏ per ottenere la soluzione

𝑢𝐼𝐼𝐼 = ℬ𝑒−𝜒𝑟 Applicando la condizione di monodromia si ha quindi

𝑟 = 𝑐 + 𝑏 ∶ 𝑢𝐼𝐼(𝑐 + 𝑏) = 𝑢𝐼𝐼𝐼(𝑐 + 𝑏)

𝑢𝐼𝐼′ (𝑐 + 𝑏) = 𝑢𝐼𝐼𝐼

′ (𝑐 + 𝑏) ⟹ 𝑘 cot 𝑘𝑏 = −𝜒

La relazione tra i parametri della buca e l’energia di legame è quindi data da

𝑉0 − 𝐵 cot 𝑏 2𝑚 𝑉0 − 𝐵

ℏ = − 𝐵

Questa relazione NON dipende da c e lega 𝑉0 = 𝑓(𝑏; 𝐵) : fissato b si trova quindi 𝑉0 . Tale equazione però non è risolvibile analiticamente quindi occorre trovare un’altra relazione matematica che lega i due parametri in modo da trovare un punto di intersezione tra le due funzioni che definiscono implicitamente la soluzione. Cerchiamo quindi di ricavare il raggio quadratico medio del deutone

𝑟𝑑2 =

∫𝑑3𝑟 𝑟

2

2 𝜓 𝑟 2

∫ 𝑑3𝑟 𝜓 𝑟 2

Al numeratore abbiamo 𝑟/2 poiché il raggio quadratico medio viene calcolato rispetto al centro di massa del sistema costituito da neutrone e protone. Sappiamo che 𝜓 = 𝑅ℓ𝑌ℓ𝑚 , quindi ci conviene passare all’integrazione sull’angolo solido.

𝑑3𝑟 𝑟

2

2

𝜓 𝑟 2 = 𝑌002

4𝜋

𝑑Ω 𝑟2𝑑𝑟𝑟2

4

𝑢 𝑟 2

𝑟2 = 𝑑𝑟

𝑟2

4 𝑢 𝑟 2

=𝒜

4 𝑑𝑟 𝑟2 sin2 𝑘 𝑟 − 𝑐 +

ℬ

4 𝑑𝑟 𝑟2 𝑒−2𝜒𝑟

+∞

𝑐+𝑏

𝑐+𝑏

𝑐

Normalizzando la funzione d’onda si ottiene invece

33

1 = 𝑑3𝑟 𝜓 𝑟 2 = 𝒜2 𝑑𝑟 sin2 𝑘 𝑟 − 𝑐 𝑐+𝑏

𝑐

+ ℬ2 𝑑𝑟 𝑒−2𝜒𝑟+∞

𝑐+𝑏

⇒𝒜

2 𝑏 −

1

2𝑘sin 2𝑘𝑏 +

ℬ2

2𝜒 𝑒−2𝜒 𝑐+𝑏 ≡ 1

Componendo questa equazione con quella di continuità in (𝑐 + 𝑏) si ottiene il sistema

𝒜

2 𝑏 −

1

2𝑘sin 2𝑘𝑏 +

ℬ2

2𝜒 𝑒−2𝜒 𝑐+𝑏 = 1

𝒜 sin 𝑘𝑏 = ℬ 𝑒−𝜒 𝑐+𝑏

dal quale si ricavano le due ampiezze

𝒜2 =

2𝜒

1 + 𝜒𝑏

ℬ2 =2𝜒 sin2 𝑘𝑏 𝑒2𝜒 𝑐+𝑏

1 + 𝜒𝑏

Quindi si ricava il raggio quadratico medio

𝑟𝑑2 =

1

8𝜒2−

1

8𝜒2+

2𝑐 + 𝑏 (1 + 𝜒𝑏)

8𝜒+

𝑐2

4−

𝜒𝑏3

24 1 + 𝜒𝑏

Ricordando che 𝜒 ≡ 2𝑚𝐵/ℏ e che sperimentalmente 𝑟𝑑2 1/2 ≅ 2,1 𝑓𝑚 si può sostituire

nell’equazione precedente per ottenere una nuova relazione che ci permette di risolvere il problema.

Spin

Vediamo infine cosa possiamo ricavare dal calcolo del momento angolare : 𝐽 = ℓ + 𝑆 = ℓ + 𝑠 1 + 𝑠 2 . Sperimentalmente si osserva che ℓ = 0 , 𝑆 = 1 ⟹ 𝐽 = 1 ; invece lo stato con 𝐽 = 0 (ℓ = 0 , 𝑆 = 0) non è stato mai osservato : con spin antiparallelo dunque l’interazione dipende anche dallo spin. Aggiungiamo quindi nel potenziale un termine che dipende dallo spin :

𝑉NN = 𝑉1 𝑟 + 𝑉 2 𝑟 𝑠 1 ⋅ 𝑠 2 = 𝑉1 𝑟 + 𝑉2 𝑟 𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 Infatti 𝑠 𝑖 = 𝜍 𝑖 ⋅ ℏ/2 , con 𝜍 ≡ 𝜍𝑥 , 𝜍𝑦 , 𝜍𝑧 matrici di Pauli. Ricordiamo le relazioni su queste matrici :

𝜍𝑖𝜍𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 + 𝑖휀𝑖𝑗𝑘 𝜍𝑘 , 𝜍 2 = 𝜍𝑥

2 + 𝜍𝑦2 + 𝜍𝑧

2 = 3

Quindi

𝑆 = 𝑠 1 + 𝑠 2 =ℏ

2 𝜍 1 + 𝜍 2 ⟹ 𝑆 2 =

ℏ2

4 𝜍 1

2 + 𝜍 22 + 2𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 =

ℏ2

4 3 + 3 + 2𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 ⟹

𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 =2

ℏ2𝑆 2 − 3

Questa relazione lega le matrici di Pauli allo spin totale. Vogliamo calcolare ora il valore di aspettazione di questa quantità : 𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 . Poiché 𝑆 2 𝑆, 𝑚𝑆 = 𝑆 𝑆 + 1 ℏ2 𝑆, 𝑚𝑆 allora

𝑆 𝑆 + 1 ℏ2 = 0 𝑝𝑒𝑟 𝑆 = 0

2ℏ2 𝑝𝑒𝑟 𝑆 = 1

34

Quindi

𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 = −3 𝑝𝑒𝑟 𝑆 = 01 𝑝𝑒𝑟 𝑆 = 1

Momento di quadrupolo nucleare (asimmetricità del nucleo) Il momento di quadrupolo si definisce come la quantità di carica mediata sulla distribuzione spaziale, ovvero

𝜌 𝑟 ⟹ 𝑞 = 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟 ⟹ 𝑄 =1

𝑞 3𝑧2 − 𝑟2 𝜌 𝑟 𝑑3𝑟

A seconda del segno si distinguono due tipi di nucleo diversi : se 𝑄 > 0 si parla di nuclei prolati , altrimenti se 𝑄 < 0 si dice che il nucleo è oblato.

Ovviamente per la simmetria sferica vale che 𝑧2 = 𝑥2 = 𝑦2 = 𝑟3 /3 . Supponiamo ora che il nucleo sferico possa essere deformato in modo che esso assuma una forma di ellissoide di rotazione (ovviamente

la trasformazione è fatta tenendo il volume costante 𝑉 =4

3𝜋𝑅0

3 =4

3𝜋𝑎𝑏3). Per piccole deformazioni

𝜖 =𝑎2 − 𝑏2

𝑎2⟹ 𝑄 ≃ 𝑎2 − 𝑏2 ≃ 𝜖𝑎2 𝜖 ≪ 1

Momento di quadrupolo nucleare del Deutone

Una stima di questo momento per il deutone è data dal valore 𝑄𝑑𝑒𝑢𝑡 = 0,00282 𝐵𝑎𝑟𝑛 . Tale stima da un’informazione su quanto il nucleo sia deformato : infatti basta confrontare questo valore con quello teorico 𝜋𝑅𝑑

2 = 0,1385 ottenendo

𝜋𝑅𝑑2

𝑄deut≃ 49

Con questi risultati riprendiamo quindi in esame lo studio del potenziale nucleare : in questo caso occorre aggiungere un termine che tiene conto della deformazione del nucleo :

𝑉NN = 𝑉1 𝑟 + 𝑉2 𝑟 𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 + 𝑉3 𝑟 𝑆12 L’operatore 𝑆12 è detto operatore tensoriale di spin. Per ricavare questo termine dobbiamo seguire una trattazione più generale. Inizialmente si scrive la funzione d’onda del deutone assumendo 𝑄 ≠ 0

35

𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝑎0 𝑆13

ℓ=0

+ 𝑎ℓ 𝜓ℓ≠0

ℓ=1

Si osservi che ℓ non può assumere tutti i valori su ℕ , infatti sappiamo che la parità del deutone è 𝜋 = +1 , quindi utilizzando la formula già vista per la parità di sistemi composti 𝜋 = 𝜋𝑛𝜋𝑝 −1 ℓ = +1 , si ha che

ℓ deve necessariamente essere pari. Per questi valori di ℓ studiamo quindi tutti i possibili stati compatibili con il sistema del deutone.

𝓵 S J Stato

0 0 0 𝑆01

0 1 1 𝑆13

2 0 2 𝐷21

2 1 3,2,1 𝐷3 , 𝐷2, 𝐷1333

4 0 4 𝐺41

4 1 5,4,3 …

Quindi il deutone è una sovrapposizione quantistica di stati 𝑆1 e 𝐷1 , ovvero

𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝑎0 𝑆13 + 𝑎2 𝐷1

3

Momento magnetico di dipolo

Poiché 𝑚𝑝 ≃ 𝑚𝑛 possiamo supporre che il centro di massa sia esattamente nel punto medio della

distanza tra il neutrone ed il protone. Il momento magnetico totale si calcola considerando tutti i contributi

𝜇 = 𝑔𝑠𝑛𝑠 𝑛 + 𝑔𝑠

𝑝𝑠 𝑝 +

1

2𝑔ℓ

𝑝ℓ

Conviene scrivere tutto in funzione dello spin totale e di 𝐽 con 𝑆 = 𝑠 𝑛 + 𝑠 𝑝 , 𝐽 = 𝑆 + ℓ . Quindi

𝑔𝑠𝑛𝑠 𝑛 + 𝑔𝑠

𝑝𝑠 𝑝 =

1

2 𝑔𝑠

𝑛 + 𝑔𝑠𝑝 𝑆 +

1

2 𝑔𝑠

𝑛 − 𝑔𝑠𝑝 𝑠 𝑛 − 𝑠 𝑝

𝜇 =1

2 𝑔𝑠

𝑛 + 𝑔𝑠𝑝 𝑆 +

1

2 𝑔𝑠

𝑛 − 𝑔𝑠𝑝 𝑠 𝑛 − 𝑠 𝑝 +

1

2𝑔ℓ

𝑝ℓ

Visto che 𝑠 𝑛 , 𝑠 𝑝 sono paralleli , nel calcolare il valore di aspettazione 𝑠 𝑛 − 𝑠 𝑝 = 0 . Quindi il momento

magnetico si può scrivere come

𝜇 =1

2 𝑔𝑠

𝑛 + 𝑔𝑠𝑝 𝐽 +

1

2 1 − 𝑔𝑠

𝑛 − 𝑔𝑠𝑝 ℓ ≡ 𝜇 1 + 𝜇 2

Il momento 𝜇1 è sulla direzione di J , mentre 𝜇2 è sulla direzione del momento ℓ : possiamo definire la proiezione sull’asse del momento angolare J come

𝜇 𝐽 = 𝜇 1 + 𝜇 2 cos 𝛼𝐽

𝐽

dove 𝛼 è l’angolo compreso tra 𝐽 , ℓ . Si può utilizzare Carnot e scrivere

36

cos 𝛼 =𝐽 2 + ℓ 2 − 𝑆 2

2 𝐽 ⋅ ℓ

Quindi

𝜇 𝐽 =1

2 𝑔𝑠

𝑛 + 𝑔𝑠𝑝 𝐽 +

1

2 1 − 𝑔𝑠

𝑛 − 𝑔𝑠𝑝

𝐽 2 + ℓ 2 − 𝑆 2

2 𝐽 2 𝐽

Per calcolare il valore di aspettazione bisogna prima proiettare sull’asse z

𝜇 𝐽𝑧 =1

2 𝑔𝑠

𝑛 + 𝑔𝑠𝑝 𝐽 𝑧 +

1

2 1 − 𝑔𝑠

𝑛 − 𝑔𝑠𝑝

𝐽 2 + ℓ 2 − 𝑆 2

2 𝐽 2 𝐽 𝑧

Dobbiamo quindi calcolare

𝜇𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 𝜇 𝐽𝑧 𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡

i. Se ℓ = 0 allora 𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝑆13 . In questo caso 𝐽 = 𝑆 quindi il secondo termine nella forma di

𝜇 𝐽𝑧 non conta. Per calcolare il valore di aspettazione massimo prendiamo 𝐽 = 1 , 𝑚𝐽 = 1 , quindi

𝜇𝑑𝑒𝑢𝑡 = 1,1 𝜇 𝐽𝑧 1,1 =1

2 𝑔𝑠

𝑛 + 𝑔𝑠𝑝 𝜇𝑁 = 𝜇𝑛 + 𝜇𝑝

ii. Se ℓ ≠ 0 allora 𝜓𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝑎0 𝑆13 + 𝑎2 𝐷1

3 . Dobbiamo calcolare il valore di aspettazione con

la formula già utilizzata , imponendo la condizione di normalizzazione 𝑎0 2 + 𝑎2 2 = 1 . Calcolando il valor medio , a causa dell’ortogonalit{ degli stati , i prodotti misti sono ininfluenti.

Si ottiene quindi per il primo termine 1

2 𝑔𝑠

𝑛 + 𝑔𝑠𝑝 { 𝑎0 2 𝑆1

3 𝑆13 + 𝑎2 2 𝑆1

3 𝑆13 =

1

2 𝑔𝑠

𝑛 + 𝑔𝑠𝑝 .

iii. Se invece scegliamo ℓ ≠ 0 , 𝑆 = 1 , 𝐽 = 1 il secondo termine è dato da

1

2 1 − 𝑔𝑠

𝑛 − 𝑔𝑠𝑝 𝐽 𝐽 + 1 + ℓ ℓ + 1 − 𝑆(𝑆 + 1)

2 𝐽(𝐽 + 1)=

3

4 1 − 𝑔𝑠

𝑛 − 𝑔𝑠𝑝 𝑎2

2

Quindi si ottiene

𝜇𝑑𝑒𝑢𝑡 = 𝜇𝑛 + 𝜇𝑝 +3

4 1 − 𝑔𝑠

𝑛 − 𝑔𝑠𝑝 𝑎2 2

Inserendo i dati sperimentali in questa relazione si ottiene

𝑎2 2 ≃ 0,0393 Quindi il peso statistico dell’onda D è inferiore al 4% .

Forze nucleari non centrali (correzione tensoriale)

Vettori e scalari

Prima di affrontare l’argomento occorre fare una distinzione tra vettori e scalari.

37

Vettori polari : si comportano per inversione con l’operatore di parit{ , ovvero 𝑟 𝑃 → −𝑟

Vettori assiali(pseudovettori): ℓ = 𝑟 × 𝑝 𝑃 → ℓ

Scalari : 𝑙 ⋅ 𝑠

Pseudoscalari: 𝑠 ⋅ 𝑟 𝑃 → −𝑠 ⋅ 𝑟

Operatore tensoriale 𝑺𝟏𝟐

Cerchiamo quindi un potenziale 𝑉NN che descriva anche forze nucleari non centrali. Facciamo l’ipotesi che V conservi la quantità di moto totale , il momento angolare e la parità. Supponiamo inoltre che questo dipenda solo da r e dagli spin (compresa la loro orientazione rispetto ad 𝑟 ). Cerchiamo quindi un operatore tensoriale del tipo 𝑆12 = 𝑆12 𝑟 , 𝑠 1 , 𝑠 2 . Innanzitutto vogliamo che l’operatore sia uno scalare , quindi, poiché deve essere una funzione di 𝑟 , 𝑠 1 , 𝑠 2 , possiamo prendere solo certe combinazioni lineari. Elenchiamo prima tutte le combinazioni possibili e vediamo quali sono accettabili.

(1) 𝑠 1 ⋅ 𝑠 2 =ℏ2

4𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 →scalare

(2) 𝑠 1 ⋅ 𝑟 , 𝑠 2 ⋅ 𝑟 →pseudoscalari (3) 𝑠 1 × 𝑠 2 ⋅ 𝑟 →pseudoscalare (4) 𝑠 1 ⋅ 𝑟 𝑠 2 ⋅ 𝑟 →scalare (5) 𝑠 1 × 𝑟 ⋅ 𝑠 2 × 𝑟 →scalare

La (4) può essere scritta anche come

𝑠 ⋅ 𝑟 2 = 𝑠 ⋅ 𝑟 𝑠 ⋅ 𝑟 =ℏ2

4 𝜍 ⋅ 𝑟 𝜍 ⋅ 𝑟

Utilizziamo la seguente proprietà delle matrici di Pauli

𝜍 ⋅ 𝐴 𝜍 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝑖𝜍 𝐴 × 𝐵

Quindi la relazione precedente diviene

𝑠 ⋅ 𝑟 2 =ℏ2

4 𝜍 ⋅ 𝑟 𝜍 ⋅ 𝑟 =

ℏ2

4𝑟2

Ripetendo lo stesso ragionamento si ha che

𝑠 ⋅ 𝑟 3 = 𝑠 ⋅ 𝑟 2 𝑠 ⋅ 𝑟 =ℏ2

4𝑟2 𝑠 ⋅ 𝑟

𝑠 ⋅ 𝑟 5 = ⋯ =ℏ4

16𝑟4 𝑠 ⋅ 𝑟

Quindi per ogni potenza dalla (4) ci si riconduce alla (2) , a meno di una costante moltiplicativa. Utilizzando invece la (5) si vede che possiamo riportarci ad una forma del tipo (4). Infatti possiamo

utilizzare la proprietà del prodotto vettoriale 𝐴 𝐵 × 𝐶 = 𝐵 𝐶 × 𝐴 = 𝐶 𝐴 × 𝐵 e lo sviluppo del triplo

prodotto vettoriale per ottenere

𝑠 1 × 𝑟 ⋅ 𝑠 2 × 𝑟 = 𝑠 2 𝑟 × 𝑠 1 × 𝑟 = 𝑟2 𝑠 1 ⋅ 𝑠 2 − 𝑠 1 ⋅ 𝑟 𝑠 2 ⋅ 𝑟

Quindi la (5) è scomponibile nella (2) e nella (4). Utilizzando tutte queste proprietà la formula più accurata (verifica sperimentalmente) risulta essere

38

𝑆12 =3 𝜍 1 ⋅ 𝑟 𝜍 2 ⋅ 𝑟

𝑟2− 𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 ∶ Formula di Wigher-Eisenbud

Questa espressione rappresenta un operatore tensoriale che può essere riscritto in funzione degli spin 𝑠 1, 𝑠 2 . Utilizziamo le identità

𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 =2

ℏ2𝑆 2 − 3 ; 𝑆 ⋅ 𝑟

2=

ℏ

2 𝜍 1 + 𝜍 2 ⋅ 𝑟

2

=ℏ2

4 𝜍 1 ⋅ 𝑟 + 𝜍 2 ⋅ 𝑟 2

per ottenere

𝑆12 =2

ℏ2 3 𝑆 ⋅ 𝑟

2

𝑟2− 𝑆 2

Abbiamo quindi la forma completa del potenziale nucleare che possiamo utilizzare per risolvere l’equazione di Schroedinger nella parte radiale. Stavolta la funzione d’onda è composta da una parte radiale-come al solito- e da una parte angolare , insieme a quella di spin , che non ha più la forma delle armoniche sferiche gi{ viste. La funzione d’onda si può quindi scrivere come

𝜓𝑑 =𝑢 𝑟

𝑟𝒴𝑠 +

𝑤 𝑟

𝑟𝒴𝑠

Se definiamo con 𝑉𝐶 ≡ 𝑉1 + 𝑉2𝜍 1 ⋅ 𝜍 2 si ottiene un sistema di due equazioni che definisce implicitamente la funzione d’onda soluzione.

−ℏ2

2𝑚𝑢′′ + 𝑉𝐶 − 𝐸 𝑢 + 8𝑤 = 0

ℏ2

2𝑚𝑤 ′′ + 𝑉𝐶 − 𝐸 𝑤 +

3ℏ2

𝑚𝑟2𝑤 + 𝑉𝑡 𝑟 8𝑢 − 2𝑤 = 0

∶ Rerita-Schwinger

𝑉𝑡 indica la parte tensoriale del potenziale. La risoluzione è troppo complicata quindi si omette il procedimento.

Momento magnetico dei nucleoni Abbiamo già visto che il momento magnetico legato al momento angolare orbitale si può scrivere come

𝜇 ℓ = 𝑔ℓ

𝑒ℏ

2𝑚𝑝

ℓ

ℏ , 𝜇𝑁 ≡

𝑒ℏ

2𝑚𝑝

L’operatore momento magnetico ha le seguenti proprietà

𝜇 ℓ𝑧= 𝑔ℓ 𝜇𝑁 ℓ 𝑧 ⟹ ℓ 2, ℓ 𝑧 = 0 ; 𝜇 ℓ

2 , 𝜇 ℓ𝑧 = 0

Per quanto riguarda la parte dello spin invece

𝜇 𝑠 = 𝑔𝑠 𝜇𝑁

𝑠

ℏ ; 𝜇 𝑠𝑧

= 𝑔𝑠𝜇𝑁

𝑠𝑧

ℏ

Il valor medio si calcola come

39

𝜇𝑠 ≡ 𝑠, 𝑚𝑠 = 𝑠 1/2

𝜇 𝑠,𝑧 𝑠, 𝑚𝑠 = 𝑠 1/2

= 𝑔𝑠𝜇𝑁

1

2

Quindi il momento magnetico del nucleone è circa metà di g. Confrontando con i dati sperimentali si ha questa proprietà è rispettata, infatti

𝜇𝑠 = 2,79 𝜇𝑁 ; 𝑔𝑠 = 5,58 → 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒 𝜇𝑠 = −1,91 𝜇𝑁 ; 𝑔𝑠 = −3,82 → 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒

Si osserva che il momento magnetico totale non è nullo poiché, anche se la carica totale è nulla, può succedere che il momento dovuto allo spin non sia nulla in virtù delle somme vettoriali fatte su tutte le diverse orientazioni dei momenti interni al nucleo. Il prossimo passo consiste nel calcolare il momento magnetico.

𝜇 = 𝜇 𝑠𝑖𝑛

𝑁

𝑖=1

+ 𝜇 𝑠𝑖

𝑝+ 𝜇 ℓ𝑖

𝑝

𝑍

𝑖=1

Per eseguire questo calcolo si considera la proiezione dell’operatore 𝜇 su J 𝜇 𝐽 = 𝑔𝐽𝐽2

ℏ𝜇𝑁 di cui si

considera la componente z : 𝜇 𝐽𝑧 = 𝑔𝐽𝐽 𝑧

ℏ𝜇𝑁 .

Quindi il momento angolare è il valore di aspettazione di questo operatore nello stato 𝛹 = 𝐽, 𝑚𝐽 …

preso con la proiezione di J massima ,ovvero

𝜇𝑛𝑢𝑐𝑙 ≡ Ψ 𝐽, 𝐽 𝜇 𝐽𝑧 Ψ 𝐽, 𝐽

Scattering Nucleone-Nucleone Consideriamo l’urto di un neutrone con un protone posto nel centro di un sistema di riferimento. I neutroni per l’esperimento vengono prodotti facendo passare le particelle prodotte da un ulteriore urto protone-Nucleo attraverso un condensatore : in questo modo le particelle cariche vengono deflesse mentre i neutroni riescono a passare. Le particelle scatterate vengono raccolte in un rivelatore : in questo sono presenti dei nuclei che vengono ionizzati dall’arrivo delle particelle cariche. Collegando un rilevatore si misura quindi un’intensit{ di corrente che è sicuramente proporzionale al numero di nuclei ionizzati, e quindi all’energia iniziale della particella entrante. Possiamo quindi definire la quantit{

𝑑𝜍

𝑑𝛺=

𝑁𝑈 = particelle entranti per unità di tempo

𝑁𝑏 = particelle presenti ⋅ 𝜙𝑖 = luminosità

dove la luminosità è definita come il numero di particelle entranti in unità di tempo , per metro quadro. Possiamo studiare l’urto nel sistema di riferimento del centro di massa : in questo modo l’equazione di Schroedinger si può dividere per le due particelle 1, 2.

−ℏ2𝛻1

2

2𝑚1−

ℏ2𝛻22

2𝑚2+ 𝑉 1,2 𝜓 1,2 = 𝐸𝜓 1,2

Definiamo quindi le nuove coordinate

𝑅 ≡𝑚1𝑟 1 + 𝑚2𝑟 2

𝑚1 + 𝑚2 ; 𝑟 ≡ 𝑟 1 − 𝑟 2

in modo che la soluzione 𝜓 si divida in due parti , 𝜓 𝑟 = 𝜑 𝑟 𝜙 𝑅 .

40

−ℏ2𝛻𝑟

2

2𝜇−

ℏ2𝛻𝑅2

2𝑀 𝜓 = 𝐸𝜓 − 𝑉𝜓

Ovviamente valgono anche le seguenti sostituzioni

𝑀 ≡ 𝑚1 + 𝑚2 ; 𝜇 ≡𝑚1𝑚2

𝑚1 + 𝑚2

Poiché 𝑉 = 𝑉(𝑟) possiamo disaccoppiare le due equazioni per il centro di massa e per la distanza relativa ottenendo il sistema

−

ℏ2𝛻𝑟2

2𝜇+ 𝑉 𝑟 𝜑 𝑟 = 𝐸1𝜑 𝑟

−ℏ2𝛻𝑅

2

2𝑀𝜙 𝑅 = 𝐸2𝜙 𝑅

Possiamo definire 𝐸1 + 𝐸2 ≡ 𝐸. La soluzione della seconda equazione è data da un’onda piana

𝜙 𝑅 = 𝑒𝑖𝑝 ⋅𝑅

ℏ

con 𝑝2

2𝑀= 𝐸2 . Per trovare 𝜑 𝑟 si deve imporre la continuità nel punto di raccordo.

I. Ove il potenziale è nullo, 𝑉 𝑟 = 0 ⇒ 𝜑 𝑟 = 𝐴𝑒𝑖𝑘 ⋅𝑟 con 𝑘2ℏ2

2𝜇= 𝐸1

II. Ove 𝑉(𝑟) ≠ 0 si ha un’onda piana che si infrange su un potenziale in 𝑟 = 0 e crea onde sferiche che interferiscono con le onde piane. Dunque in questo spazio la soluzione più generale è data da (supponendo che si stia osservando il fenomeno da 𝑟 → ∞ )

𝜑 𝑟 = 𝐴 𝑒𝑖𝑘 ⋅𝑟 + ℱ 𝜗 𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟

Dunque l’onda delle particelle entranti nel rivelatore è data da

𝜓𝑈 = 𝐴ℱ 𝜗 𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟

Il flusso di particelle entranti nel rivelatore si calcola come

𝐽 ⋅ 𝑟 =ℏ

2𝜇 𝜓𝑈

∗ 𝜓 𝑈 − 𝜓

𝑈∗ 𝜓𝑈 =

ℏ𝑘

𝜇 𝐴 2 ℱ 𝜗 2

Sono stati trascurati gli ordini superiori al secondo in quanto stiamo approssimando il risultato per 𝑟 → ∞ .Il numero di particelle si ricava dal flusso moltiplicando per l’angolo solido.

𝑁𝑈 = 𝐽 𝑟 𝑟2𝑑𝛺 = 𝐴 2 ℱ 𝜗 2ℏ𝑘

𝜇 𝑑𝛺

Si ottiene quindi

𝑑𝜍 = 𝐴 2 ℱ 𝜗 2 ℏ𝑘

𝜇 𝑑𝛺

ℏ𝑘

𝜇 𝐴 2

𝜙 𝑖

𝑁𝑏 1

⇒𝑑𝜍

𝑑𝛺= ℱ 𝜗 2

41

Per calcolare ℱ(𝜗) ci serviremo dell’argomento descritto nel prossimo capitolo.

Sviluppo ad onde parziali

Qualsiasi onda piana si può sviluppare attraverso un’espansione matematica che utilizza le funzioni di Bessel ed i polinomi di Legendre.

𝑒𝑖𝑘 ⋅𝑟 = 𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜗 = 𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑗𝑙 𝑘𝑟 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗

∞

𝑙=0

Dove abbiamo definito le funzioni di Bessel come

𝑗𝑙 𝑘𝑟 = −𝑟

𝑘 𝑙

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟 𝑙

𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟

𝑘𝑟

Ed i polinomi di Legendre come

𝑃𝑙 𝑥 =1

2𝑙

𝑑𝑙

𝑑𝑥𝑙 𝑥2 − 1 𝑙

Dato che stiamo considerando il caso 𝑟 → ∞ le funzioni di Bessel hanno l’andamento asintotico dato da

𝑗𝑙 𝑘𝑟 ∼1

𝑘𝑟cos 𝑘𝑟 −

𝑙 + 1 𝜋

2 =

1

𝑘𝑟cos 𝑘𝑟 −

𝑙𝜋

2−

𝜋

2 =

1

𝑘𝑟sin 𝑘𝑟 −

𝑙𝜋

2 =

𝑒𝑖 𝑘𝑟−

𝑙𝜋

2 − 𝑒

−𝑖 𝑘𝑟−𝑙𝜋

2

2𝑖𝑘𝑟

quindi l’espansione si scrive come

𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑗𝑙 𝑘𝑟 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗

∞

𝑙=0

= 𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝑒

𝑖 𝑘𝑟−𝑙𝜋

2 − 𝑒


2

2𝑖𝑘𝑟

∞

𝑙=0

Quindi riprendendo la prima parte dell’onda

𝜑 𝑟 = 𝐴 𝑒𝑖𝑘 ⋅𝑟 + ℱ 𝜗 𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟

si può scrivere come

𝜓(𝑟 ) ≈ 𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝛿𝑙𝑒


2 − 𝐴𝑙𝑒


2

2𝑖𝑘𝑟

∞

𝑙=0

dove 𝛿𝑙 , 𝐴𝑙 sono coefficienti da determinare ponendo le condizioni al contorno. Per fare questa

approssimazione occorre che 𝑉(𝑟) sia infinitesimo di ordine maggiore ad 1/𝑟 ,ovvero che 1

𝑟1+𝜖 → 0 per

𝑟 → ∞ . In questo limite l’equazione di Schroedinger si riduce a quella libera. Applichiamo quindi le condizioni al contorno e ricaviamo innanzitutto 𝐴𝑙 = 1 poiché questo rappresenta il coefficiente dell’onda entrante che non è ancora stata modificata dal potenziale. Per quanto riguarda 𝛿𝑙 possiamo notare che questo potr{ essere diverso da 1 poiché l’interazione ha modificato l’onda : in particolare

possiamo porre 𝛿𝑙 = 𝑒2𝑖𝛿𝑙′ , dove 𝛿𝑙

′ 𝐸 è un numero reale ed è detto sfasamento. Possiamo calcolare a questo punto ℱ 𝜗 poiché abbiamo l’espressione esplicita della 𝜓 .

42

𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟ℱ 𝜗 =

𝜓 𝑟

𝐴− 𝑒𝑖𝑘𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜗 ⇒

𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟ℱ 𝜗 = 𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝛿𝑙 − 1

∞

𝑙=0

𝑒


2

2𝑖𝑘𝑟⇒ ℱ 𝜗

= 𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝛿𝑙 − 1 𝑒−

𝑖𝑙𝜋

2

2𝑖𝑘

∞

𝑙=0

Poiché il potenziale è a corto raggio possiamo utilizzare un approssimazione semiclassica , in modo che la somma sia rilevante solo su alcuni termini di l.

Approssimazione semiclassica

Consideriamo l’urto di una particella contro un nucleo di raggio 𝑅 , con parametro di impatto b . Nel sistema del centro di massa l’impulso vale 𝑝 = 𝜇𝑣 e l’energia 𝐸 = 𝑝 2/2𝑚 . Il momento angolare è definito

classicamente come 𝑙 = 𝜇𝑣𝑏 = 2𝜇𝐸𝑏 . D’altra parte la quantizzazione dello stesso produce un modulo

pari a 𝑙 = 𝑙 𝑙 + 1 ℏ . Unendo queste due relazioni si ottiene

𝑙 = 2𝜇𝐸𝑏

𝑙 = 𝑙 𝑙 + 1 ℏ ⇒ 𝑙 𝑙 + 1 ℏ = 2𝜇𝐸𝑏

La particella viene deflessa se e solo se il parametro di impatto è più piccolo del raggio nucleare R , altrimenti viaggia indisturbata. Con la condizione di interazione 𝑏 < 𝑅 s ricava quindi

𝑙 𝑙 + 1 ℏ = 2𝜇𝐸𝑏 ⇒ 𝑙 𝑙 + 1 <2𝜇𝑐2𝐸𝑅2

ℏ𝑐 2

Se sostituiamo i valori 𝑅 ∼ 2 𝑓𝑚 , 2𝜇𝑐2 ∼ 1000 𝑀𝑒𝑉 , ℏ𝑐 ∼ 200𝑀𝑒𝑉

𝑓𝑚 e consideriamo una particella con

energia 𝐸 ∼ 20 𝑀𝑒𝑉 otteniamo che 𝑙 𝑙 + 1 < 2 . Quindi ad energie più basse l’unico contributo è dato dal termine 𝑙 = 0 altrimenti l’equazione non è soddisfatta. Riprendiamo quindi in esame la somma : possiamo trascurare i termini 𝑙 > 2 visto che , per basse energie, non portano contributi rilevanti al risultato . Per 𝑙 = 0 si ha quindi

ℱ0 𝜗 =𝛿0 − 1

2𝑖𝑘

quindi in questo caso la sezione d’urto ℱ0 𝜗 2 è costante . Per 𝑙 = 1 si deve aggiungere un termine

ℱ1 𝜗 =𝛿0 − 1

2𝑖𝑘 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝜗

𝛿1 − 1

2𝑖𝑘

In questo caso quindi la sezione d’urto sar{ proporzionale a ℱ1 𝜗 2 ∼ 𝑎 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝜗 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠2 𝜗. Si può calcolare

𝜍 = 𝑑𝛺 𝑑𝜍

𝑑𝛺

= 𝑑𝜑2𝜋

0

𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝛿𝑙 − 1

2𝑖𝑘

∞

𝑙=0

𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝛿𝑙 − 1

2𝑖𝑘

∞

𝑙=0

∗+1

−1

Poiché la serie è rapidamente convergente ( interazione a corto raggio ) si ha

43

𝜍 = 2𝜋 2𝑙 + 1 2𝑙′ + 1 𝛿𝑙 − 1

2𝑖𝑘 𝛿𝑙 ′

∗ − 1

−2𝑖𝑘

𝑙 ,𝑙 ′

Infatti i polinomi di Legendre sono ortogonali , dunque il loro prodotto è pari a

𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝑃𝑙 ′ 𝑐𝑜𝑠 𝜗 +1

−1

=2

2𝑙 + 1𝛿𝑙𝑙 ′

Si ottiene quindi

𝜍 = 4𝜋 2𝑙 + 1 𝛿𝑙 − 1 2

4𝑘2

𝑙

Ritorniamo alla soluzione per 𝜓 𝑟 , che possiamo scrivere ora come

𝜓 𝑟 = 𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 𝑢𝑙 𝑟

∞

𝑙=0

Infatti poiché i polinomi di Legendre sono un SONC , la correttezza di questa espansione è assicurata, così come la convergenza della serie. Inoltre, poiché 𝜓 𝑟 = 𝜓 𝑟, 𝜗, 𝜑 la soluzione è giusta solo se 𝑉 𝑟 = 𝑉 𝑟 , ovvero se siamo in presenza di un potenziale centrale. Sostituiamo nell’equazione di Schroedinger e otteniamo

𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗 −ℏ2

2𝜇 𝑢𝑙

′′ +2

𝑟𝑢𝑙

′ −𝑙 𝑙 + 1

𝑟2𝑢𝑙 + 𝑉 𝑟 𝑢𝑙 𝑟 −

ℏ2𝑘2

2𝜇𝑢𝑙

∞

𝑙=0

= 0

Questa serie deve dare una somma nulla quindi l’unica soluzione è data dall’annullarsi dei coefficienti , ovvero

−ℏ2

2𝜇 𝑢𝑙

′′ +2

𝑟𝑢𝑙

′ −𝑙 𝑙 + 1

𝑟2𝑢𝑙 + 𝑉 𝑟 𝑢𝑙 𝑟 −

ℏ2𝑘2

2𝜇𝑢𝑙 = 0

Vogliamo che per 𝑟 → ∞ la soluzione 𝑢𝑙 𝑟 → 𝜓 𝑟 : dobbiamo quindi porre la condizione al contorno

𝑢𝑙 𝑟 →𝛿𝑙𝑒


2 − 𝐴𝑙𝑒


2

2𝑖𝑘𝑟

Inglobando nella definizione di 𝑢𝑙 𝑟 anche la dipendenza da 1/𝑟 , ovvero definendo nuovamente 𝑢𝑙 𝑟 ≡ 𝑢𝑙 𝑟 /𝑟 , si può scrivere l’equazione nella forma (eliminando la derivata prima)

−ℏ2

2𝜇 𝑢𝑙

′′ −𝑙 𝑙 + 1

𝑟2𝑢𝑙 + 𝑉 𝑟 𝑢𝑙 −

ℏ2𝑘2

2𝜇𝑢𝑙 = 0

Dunque la differenziale da risolvere si può scrivere insieme alla condizione al contorno appropriata.

−

ℏ2

2𝜇 𝑢𝑙

′′ −𝑙 𝑙 + 1

𝑟2𝑢𝑙 + 𝑉 𝑟 𝑢𝑙 −

ℏ2𝑘2

2𝜇𝑢𝑙 = 0

𝑢𝑙 𝑟 → ∞ =𝛿𝑙𝑒


2 − 𝐴𝑙𝑒


2

2𝑖𝑘=

𝑒𝑖𝛿𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 −𝑙𝜋

2

𝑘

44

Ad esempio per ℓ = 0 il sistema diventa

−

ℏ2

2𝜇𝑢0

′′ + 𝑉 𝑟 𝑢0 =ℏ2𝑘2

2𝜇𝑢0

𝑢0 0 = 0

𝑢0 𝑟 → ∞ =𝑒𝑖𝛿0

𝑘𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 + 𝛿0

Caso di potenziale centrale a corto raggio

Supponiamo di avere un potenziale a corto raggio del tipo

𝑉 𝑟 = −𝑉0 𝑝𝑒𝑟 𝑟 < 𝑅

0 𝑝𝑒𝑟 𝑟 > 𝑅

Dobbiamo risolvere l’equazione differenziale

𝑢0′′ = −

ℏ2𝑘2

2𝜇+ 𝑉0

ℏ2/2𝜇𝑢0 ≡ −𝛾2𝑢0

Quindi la soluzione è del tipo

𝑢0 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝛾𝑟 + 𝐷 𝑐𝑜𝑠 𝛾𝑟 nella zona dove è presente il potenziale. Si pone 𝐷 = 0 per rispettare la continuità.

𝑢0 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 + 𝛿0 nella zona dove il potenziale è nullo. Applicando le condizioni sulla derivata si ottiene l’equazione che definisce la soluzione

𝑢0′

𝑢0 𝐼

= 𝑢0′

𝑢0 𝐼𝐼

⇒𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝛾𝑅

𝑠𝑖𝑛 𝛾𝑅=

𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑅 + 𝛿

𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑅 + 𝛿

Se consideriamo il limite 𝑘 → 0 allora 𝛾 → 2𝜇𝑉0/ℏ2 ≡ 𝛾0 , 𝛿 → −𝑎𝑘 → 0 . Quindi l’equazione si trasforma in

𝛾0 𝑐𝑜𝑠 𝛾0𝑅

𝑠𝑖𝑛 𝛾0𝑅=

1

𝑅 − 𝑎

In questa approssimazione si può calcolare la sezione d’urto come 𝜍 → 4𝜋𝑎2 , dove a viene definita lunghezza di scattering. Con 𝑎 = 2 si ottiene 𝜍 ∼ 2 𝑏𝑎𝑟𝑛 a fronte di un risultato sperimentale di circa 20 𝑏𝑎𝑟𝑛 : questo comportamento è spiegabile osservando che lo spin dipende dalle forze nucleari : la sezione d’urto misurata è infatti data dalla combinazione della sezione d’urto di tripletto con quella di singoletto ,combinate con l’opportuno fattore che tiene conto del peso statistico. Sempre nel caso ℓ = 0 la sezione d’urto totale si può riscrivere come

𝜍𝑡𝑜𝑡 ℓ = 0 =4𝜋

𝑘2𝑠𝑖𝑛2 𝛿0 𝑘

Per il deutone si ricava l’espressione analoga


𝛼2 1 + 𝛼𝑅 ; 𝛼 ≡

2𝑚𝐵

ℏ

45

Per quanto si è osservato poco fa la sezione d’urto totale deve essere riscritta tenendo conto del contributo del singoletto e del tripletto di spin. Si ottiene dunque

𝜍𝑡𝑜𝑡 =3

4𝜍𝑡 +

1

4𝜍𝑠 ⇒ 𝜍𝑠 = 4𝜍𝑡𝑜𝑡

𝑠𝑝𝑒𝑟− 3𝜍𝑡 ≅ 71𝐵𝑎𝑟𝑛

Lunghezza di scattering

Sia data una buca di potenziale di profondita 𝑉0 e larghezza R. E’ noto che, per 𝑟 > 0 la soluzione dell’equazione di Schroedinger è del tipo 𝑢 𝑟 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 + 𝛿0 . Possiamo riscrivere questa soluzione come

𝑢 𝑟 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 + 𝛿0 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛿0 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝛿0 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟

𝑘𝑟

𝑘

𝑡𝑎𝑛 𝛿0+ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟

Si definisce quindi la quantità

𝑎 ≡ lim𝑘→0

−𝑡𝑎𝑛 𝛿0 𝑘

𝑘

come lunghezza di scattering. Se 𝑘 → 0 dunque la funzione d’onda si può approssimare come

𝑢 𝑟 = 𝑐 sin 𝛿0 1 −𝑟

𝑎

Vediamo quindi come la lunghezza di scattering è legata all’esistenza di uno stato legato per la particella soggetta al potenziale introdotto. Se 𝑉0 è molto piccolo (interazione trascurabile) , allora 0 < 𝛿0 ≪ 𝜋/2 : in questo caso la lunghezza di scattering è negativa . L’attrazione è talmente debole che non riesce a formarsi uno stato legato. Aumentando la profondità della buca la lunghezza di scattering diventa sempre più grande (in modulo) : nel limite 𝛿0 → 𝜋/2− , 𝑎 → −∞ ( analogamente per 𝛿0 → 𝜋/2+ , 𝑎 → +∞ ) . Ad ℓ = 0 è presente uno stato legato e 𝑎 > 0 . Quindi


𝑘2𝑠𝑖𝑛2 𝛿0 =

4𝜋

𝑘2

𝑡𝑎𝑛2 𝛿0

1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛿0= 4𝜋

𝑎2

1 + 𝑘2𝑎2

𝑘→0 4𝜋𝑎2

Come avevamo già osservato. Per lo scattering n-p dello stato di singoletto e di tripletto si ricavano i valori sperimentali

𝒂𝒔 = −𝟐𝟑, 𝟓𝟓 ± 𝟎, 𝟏𝟐 𝒇𝒎 𝒂𝒕 = 𝟓, 𝟑𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟔 𝒇𝒎

𝝈𝒔 = 𝟔𝟗, 𝟕 𝑩𝒂𝒓𝒏 𝜍𝑡 = 3,6 𝐵𝑎𝑟𝑛

Questi risultati sono validi nell’approssimazione di energie molto basse ( 𝐸 < 1 𝑘𝑒𝑉 ) . Più generalmente bisogna tener conto anche del raggio efficace per riscrivere la formula che definisce implicitamente la soluzione come

𝑘 cotan 𝛿0(𝑘) = −1

𝑎+

1

2𝑟0𝑘2

In questo caso

46


𝑘2𝑠𝑖𝑛2 𝛿0 ≅

4𝜋𝑎2

1 + 𝑎2𝑘2 − 𝑎𝑟0𝑘2

Si possono ricavare i valori dei parametri sperimentali

𝒂𝒔

= −𝟐𝟑, 𝟕𝟏𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 𝒇𝒎 𝒂𝒕 = 𝟓, 𝟒𝟐𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 𝒇𝒎

𝒓𝟎𝒔= 𝟐, 𝟕𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 𝒇𝒎 𝑟0𝑡

= 1,748 ± 0,006 𝑓𝑚

Principali proprietà degli scattering p-p , n-n La differenza tra questi due casi risiede innanzitutto nell’assenza dell’interazione Coulombiana nel caso n-n. Consideriamo quindi il sistema di due particelle 1,2 e definiamo con 𝜑 𝑟 1, 𝑟 2 la parte spaziale della funzione d’onda del sistema. Definiamo inoltre l’operatore di inversione totale dato da 𝑃12𝜑 𝑟 1 , 𝑟 2 =𝜑 𝑟 2 , 𝑟 1 . La simmetria della parte spaziale della funzione d’onda dipende dal valore del momento angolare orbitale visto che , per la regola della parità , 𝑃12𝜑 𝑟 1 , 𝑟 2 = −1 ℓ𝜑 𝑟 1 , 𝑟 2 . Quindi se ℓ è pari allora 𝜑 è simmetrica , altrimenti è antisimmetrica. Per i neutroni la funzione d’onda deve essere sicuramente antisimmetrica , quindi definendo come 𝜉𝑖 ≡ 𝑟 1 , 𝜍1, … il set di coordinate che identifica una particella , si avrà che 𝑃12𝜓 𝜉1 , 𝜉2 = 𝜓 𝜉2 , 𝜉1 = −𝜓 𝜉1 , 𝜉2 .

Scattering p-p In questo sistema di particelle quantistiche valgono le due proprietà fondamentali

i. Indistinguibilità delle particelle identiche. ii. Principio di Pauli : la funzione d’onda deve essere simmetrica.

Per la (i) si ha che l’urto tra le due particelle non è del tutto determinato : dal punto di vista quantistico hanno equivalente proprietà le due situazioni in cui l’angolo di scattering è 𝜗 ( particella 1-2 trasmesse) o 𝜋 − 𝜗 ( particelle 1-2 riflesse ). Si può fattorizzare la funzione d’onda del sistema come

𝜓 𝜉1 , 𝜉2 = 𝜑 𝑟 1 , 𝑟 2 𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒

𝑋 𝜍1, 𝜍2 𝑠𝑝𝑖𝑛

Dato che le particelle possono avere spin 𝑠1 , 𝑠2 =1

2⇒ 𝑆 = 0,1 . Distinguiamo i due casi

Se 𝑆 = 1 dobbiamo distinguere vari casi

i. Se 𝑚𝑆 = 1 ⇒ 𝑋 = 𝜒↑ 𝜍1 𝜒↑ 𝜍2

ii. Se 𝑚𝑆 = 0 ⇒ 𝑋 = 𝜒↑ 𝜍1 𝜒↓ 𝜍2 + 𝜒↑ 𝜍2 𝜒↓ 𝜍1 / 2 iii. Se 𝑚𝑆 = −1 ⇒ 𝑋 = 𝜒↓ 𝜍1 𝜒↓ 𝜍2

Ove abbiamo definito 𝜒↑ ≡ ↑ , 𝜒↓ ≡ ↓ . Quindi per 𝑆 = 1 la funzione 𝑋 è simmetrica. Dunque affinchè 𝜓 sia antisimmetrica occorre che 𝜑 sia antisimmetrica. La simmetria della parte spaziale è legata al momento angolare dunque la condizione di asimmetria della 𝜑 implica che ℓ sia dispari.

Se 𝑆 = 0 , 𝑋 è antisimmetrica, quindi la parte spaziale deve essere simmetrica , dunque ℓ pari .

S X 𝝋 𝓵

1 simmetrica antisimmetrica dispari

0 antisimmetrica simmetrica pari

47

Possiamo quindi costruire una tabella con tutti gli stati possibili per questo sistema ( e generalmente per sistemi con scattering di particelle identiche p-p , n-n , e-e ).

𝓵 𝑺 𝓵𝒋

0 0 𝑆01

1 1 𝑃13 , 𝑃2

3 , 𝑃03

2 0 𝐷21

3 1 𝐹43 , 𝐹3

3 , 𝐹23

Quindi per il sistema n-n l’unico stato possibile a bassa energia è 𝑆0

1 : l’esistenza dell’altro stato è negata

dal principio di Pauli. Per il sistema n-p ci sono invece due stati possibili : 𝑆01 , 𝑆1

3 .

Sezione d’urto

Per calcolare la sezione d’urto si considera la parte spaziale della funzione d’onda ( supponendo di trovarsi in un potenziale centrale ) data da

𝜑𝑠 = 𝜑 𝑟, 𝜗 ± 𝜑 𝑟, 𝜋 − 𝜗 con il segno scelto in modo tale che 𝜑 sia simmetrica o antisimmetrica a seconda che lo stato sia di singoletto o tripletto di spin. Si calcola quindi ℱ𝑠 𝜗 = ℱ 𝜗 ± ℱ 𝜋 − 𝜗 dove ℱ 𝜗 rappresenta il termine diretto ,mentre ℱ 𝜋 − 𝜗 tiene conto dello scambio. Dividiamo i casi di singoletto e tripletto Se 𝑆 = 1 allora il tripletto di spin ha funzione d’onda antisimmetrica. Dunque

𝜍𝑡 𝜗 = ℱ 𝜗 − ℱ 𝜋 − 𝜗 2 = ℱ 𝜗 2 + ℱ 𝜋 − 𝜗 2 − 2ℜ ℱ 𝜗 ℱ∗ 𝜋 − 𝜗

= 𝜍 𝜗 + 𝜍 𝜋 − 𝜗 − 2ℜ ℱ 𝜗 ℱ∗ 𝜋 − 𝜗

Se 𝑆 = 0 allora il singoletto di spin ha funzione d’onda simmetrica. Dunque

𝜍𝑠 𝜗 = ℱ 𝜗 + ℱ 𝜋 − 𝜗 2 = ℱ 𝜗 2 + ℱ 𝜋 − 𝜗 2 + 2ℜ ℱ 𝜗 ℱ∗ 𝜋 − 𝜗 Utilizzando quindi la formula vista per il calcolo della sezione d’urto totale si ricava

𝜍tot =3

4𝜍𝑡 𝜗 +

1

4𝜍𝑠 𝜗 = 𝜍 𝜗 + 𝜍 𝜋 − 𝜗 − ℜ ℱ 𝜗 ℱ∗ 𝜋 − 𝜗

Scattering Coulombiano

Le interazioni Coulombiane non sono trascurabili nel caso protone-protone. Si può dimostrare che la formula per la sezione d’urto che tiene conto dell’interazione Coulombiana è data dalla seguente

𝜍Coul 𝜗 = 𝑒2

4𝜋𝜖0

1

4𝐸

2

⋅

1

𝑠𝑖𝑛4 𝜗

2

+1

𝑐𝑜𝑠4 𝜗

2

𝑠𝑖𝑛 4 𝜋−𝜗

2

−𝑐𝑜𝑠 𝜂 𝑙𝑛 𝑡𝑎𝑛2 𝜗

2

𝑠𝑖𝑛2 𝜗

2𝑐𝑜𝑠2 𝜗

2

dove 𝜂 ≡ 𝛼 𝑐/𝑣 e 𝛼 = 𝑒2/4𝜋𝜖0ℏ è la costante di struttura fine. Si riconoscono i termini in parentesi : rispettivamente il termine diretto, di scambio e il termine di interferenza. La formula completa per la sezione d’urto ad energie minori del MeV è data dalla somma

48

𝜍𝑡𝑜𝑡 𝜗 = 𝜍𝐶𝑜𝑢𝑙 𝜗 + 𝑒2

4𝜋𝜖0

1

4𝐸

2

⋅ 4

𝜂2𝑠𝑖𝑛2 𝛿0 −

2

𝜂𝑠𝑖𝑛 𝛿0

𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝜂 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛2 𝜗

2

𝑠𝑖𝑛2 𝜗

2

+𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝜂 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠2 𝜗

2

𝑐𝑜𝑠2 𝜗

2

= 𝑒2

4𝜋𝜖0

1

4𝐸

2

⋅ 1

𝑠𝑖𝑛4 𝜗

2

+1

𝑐𝑜𝑠4 𝜗

2

−𝑐𝑜𝑠 𝜂 𝑙𝑛 𝑡𝑎𝑛2 𝜗

2

𝑠𝑖𝑛2 𝜗

2𝑐𝑜𝑠2 𝜗

2

+4

𝜂2𝑠𝑖𝑛2 𝛿0

−2

𝜂𝑠𝑖𝑛 𝛿0

𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝜂 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛2 𝜗

2

𝑠𝑖𝑛2 𝜗

2

+𝑐𝑜𝑠 𝛿0 + 𝜂 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠2 𝜗

2

𝑐𝑜𝑠2 𝜗

2

Supponiamo di eseguire una serie di esperimenti ad energie , E , fissate. Per tutti i valori di energia posso ricavare dal fit i valori di 𝛿0 𝐸 . Se si aumenta ancora l’energia si nota che, oltre un certo valore di energia, lo sfasamento decresce fino a raggiungere valori negativi : in questo caso la forza nucleare è diventata repulsiva. Dunque più è grande l’energia tra le particelle , più queste si possono avvicinare e più si ha informazione sul comportamento della forza vicino al nucleo. In figura è riportata la Sezione d’urto per processi di diffusione p–p a 3.037 MeV. La conoscenza dell’effetto di interazione Coulombiana permette di ricavare il comportamento della lunghezza di scattering e del raggio efficace. Infatti dai dati sperimentali

𝒂𝒔𝒑𝒑

= −𝟕, 𝟖𝟐 ± 𝟎, 𝟎𝟏 𝒇𝒎

𝒓𝟎𝒔

𝒑𝒑= 𝟐, 𝟕𝟗 ± 𝟎, 𝟎𝟐 𝒇𝒎

si può sottrarre la parte dovuta all’interazione Coulombiana per ottenere dei valori da poter confrontare con il caso n-n ( in cui l’interazione Coulombiana è assente) .

𝒂𝒔𝒑𝒑

= −𝟏𝟕, 𝟏 ± 𝟎, 𝟐 𝒇𝒎

𝒓𝟎𝒔

𝒑𝒑= 𝟐, 𝟖𝟒 ± 𝟎, 𝟎𝟑 𝒇𝒎

𝒂𝒔

𝒏𝒏 = −𝟏𝟔, 𝟔 ± 𝟎, 𝟓 𝒇𝒎

𝒓𝟎𝒔

𝒑𝒑= 𝟐, 𝟔𝟔 ± 𝟎, 𝟏𝟓 𝒇𝒎

L’errore molto grande nel caso n-n è dovuto alla difficoltà di realizzare scattering di questo tipo ( i neutroni sono elementi più instabili dei protoni ).

Simmetria di carica

Dal confronto dei dati per gli scattering n-n ed p-p si nota che 𝑎𝑠𝑝𝑝

~𝑎𝑠𝑛𝑛 , così come il raggio efficace.

Questa analogia si può intepretare con una sostanziale equivalenza delle due interazioni 𝑣𝑛𝑛 𝑆10 =

𝑣𝑝𝑝 ( 𝑆10) . Confrontando ulteriormente questi valori con quelli del caso n-p

𝒂𝒔

= −𝟐𝟑, 𝟕𝟏𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 𝒇𝒎

𝒓𝟎𝒔= 𝟐, 𝟕𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 𝒇𝒎

49

si nota che i raggi efficaci sono simili,mentre è la lunghezza di scattering a differire molto. Questo è spiegabile con la variazione della funzione d’onda : in effetti una piccola variazione (sfasamento) della stessa modifica in la lunghezza scattering in maniera rilevante. Quindi, poiché il raggio efficace è simile nei 3 casi possiamo scrivere la relazione di equivalenza dei potenziali come

𝑣𝑛𝑛 𝑆10 = 𝑣𝑝𝑝 𝑆1

0 ≅ 𝑣𝑛𝑝 𝑆10

Si può allora dedurre che l’interazione protone-protone è indipendente dalla carica : questa proprietà è nota come simmetria di carica ( o invarianza di carica ) .

Spin isotopico ( o isospin) Studiando il nucleo atomico ci si chiese come mai fosse stabile, visto che i suoi componenti sono carichi positivamente (protoni) o neutri (neutroni), invece di sfaldarsi a causa della repulsione coulombiana. Per spiegare questo comportamento si teorizzò una nuova forza, la forza nucleare forte, che sviluppasse un'attrazione tra nucleoni in grado di superare la repulsione elettrica. Tale forza non considera quindi la carica, ma una quantità differente con una propria legge di conservazione e più simile allo spin che alla carica. Questa proprietà venne battezzata isospin, una quantità vettoriale che si conserva nelle reazioni tra particelle e che è caratteristica delle interazioni in cui interviene la forza nucleare forte, impiegata

quindi nella descrizione dei processi tra nucleoni. Si introduce quindi un vettore 𝑡 a 3 componenti definito come 𝑡 ≡ 𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 , 𝑡𝑧 = 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 . In realtà i pedici 𝑥, 𝑦, 𝑧 non si riferiscono alle 3 coordinate spaziali

poiché l’isospin è una descrizione aggiuntiva rispetto a quella spaziale. Analogamente a quanto fatto per l’operatore momento angolare orbitale si può definire un operatore 𝑡 2 = 𝑡𝑥

2 + 𝑡𝑦2 + 𝑡𝑧

2 con la proprietà

𝑡 2 , 𝑡 𝑧 = 0 . Si osserva quindi che

𝑡2 𝑡, 𝑡𝑧 = 𝑡 𝑡 + 1 𝑡, 𝑡𝑧 Si definiscono quindi i vettori

𝑡, 𝑡𝑧 = 1

2, +

1

2 ≡ 𝑝

1

2, −

1

2 ≡ 𝑛

Nella rappresentazione di base

𝑝 ≡

10

𝑛 ≡ 01

La proiezione su un angolo 𝜗 generico è data quindi da

𝜗 = 𝑝 𝑝 𝜗 + 𝑛 𝑛 𝜗 = 𝜗𝑝

𝜗𝑛

L’operatore di isospin si può scrivere anche come 𝑡 = 𝜏 /2 , dove 𝜏 ≡ 𝜏𝑥 , 𝜏𝑦 , 𝜏𝑧 sono le matrici di Pauli.

Si possono quindi costruire gli operatori di proiezione

𝛬𝑝 =

1

2 1 + 𝜏𝑧 =

1 00 1

= 𝑝 𝑝

𝛬𝑛 =1

2 1 − 𝜏𝑧 =

0 00 1

= 𝑛 𝑛

50

Infatti si può verificare che 𝛬𝑝 𝑝 = 𝑝 mentre invece 𝛬𝑛 𝑝 = 0 e viceversa per 𝑛 . Si definiscono

inoltre degli operatori di salita e discesa

𝜏+ =

1

2 𝜏𝑥 + 𝑖𝜏𝑦 =

0 10 0

𝜏− =1

2 𝜏𝑥 − 𝑖𝜏𝑦 =

0 01 0

Prendiamo ora un sistema di due nucleoni 1,2. L’isospin totale è dato dalla somma

𝑇 = 𝑡 1 + 𝑡 2 ⇒ 𝑇 = 0,1 ; 𝑇2, 𝑇𝑧 = 0

A seconda di 𝑇𝑧 = −1,0,1 si conosce la natura del sistema ( 1 protone + 1 neutrone , 2 protoni , 2 neutroni

) . Se la forza nucleare gode dell’invarianza per carica discussa nel capitolo precedente , allora 𝐻, 𝑇 = 0

. Si vuole ora scrivere la funzione d’onda dei nucleoni utilizzando lo spin isotopico.

Funzione d’onda di due Nucleoni

La funzione d’onda sar{ ovviamente del tipo

𝜓 𝑟 1 , 𝜍1, 𝜏1; 𝑟 2 , 𝜍2 , 𝜏2 ≡ 𝜓 1; 2 Se si introduce l’operatore di scambio 𝑃 12𝜓 1; 2 = 𝜓 2; 1 = −𝜓 1; 2 , infatti le particelle prese in considerazione sono fermioni ed hanno funzione d’onda antisimmetrica. Segue quindi che 𝑃 12 = −𝕀 . L’operatore di scambio si può vedere come composizione di più operatori , infatti

𝑃 12 = 𝑃 𝑟𝑃 𝜍𝑃 𝜏 = −𝕀 ⇒ 𝑃 𝑟2 = 𝑃 𝜍

2 = 𝑃 𝜏2 = 𝕀

Segue quindi che gli auto valori sono dati da

𝑃𝑟 = ±1𝑃𝜍 = ±1𝑃𝜏 = ±1

⇒ 𝑃𝑟𝑃𝜍𝑃𝜏 = −1

Si definisce inoltre l’operatore ( detto operatore di Heisenberg ) 𝑃 𝑟𝜍 ≡ 𝑃 𝑟𝑃 𝜍 = −𝑃 𝜏 . L’uguaglianza precedente si ottiene moltiplicando la relazione 𝑃 𝑟𝑃 𝜍𝑃 𝜏 = −𝕀 per 𝑃 𝜏 e riconoscendo che 𝑃 𝜏

2 = 𝕀 . L’operatore 𝑃 𝑟 è detto operatore di Majorana , mentre 𝑃 𝜍 è detto operatore di Barthlett. Supponiamo ora che la funzione d’onda si possa dividere in tre parti :

𝜓 1; 2 = 𝜓 𝑟 1, 𝜍1 , 𝜏1; 𝑟 2 , 𝜍2 , 𝜏2 = 𝛷 𝑟 1 , 𝑟 2 𝑋 𝜍1, 𝜍2 𝛩 𝜏1 , 𝜏2 La parte riguardante l’isospin si può scrivere come

𝑇 = 1 ⇒

𝑇3 = 1 ⇒ 𝛩 = 1,1 = 𝑝 𝑝

𝑇3 = 0 ⇒ 𝛩 = 1,0 =1

2 𝑝 𝑛 +

1

2 𝑛 𝑝

𝑇3 = −1 ⇒ 𝛩 = 1, −1 = 𝑛 𝑛

→ 𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

𝑇 = 0 ⇒ 𝑇3 = 0 ⇒ 𝛩 = 0,0 =1

2 𝑝 𝑛 −

1

2 𝑛 𝑝 → 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

Si possono quindi ricavare le combinazioni di simmetria-antisimmetrica come già fatto per lo scattering p-p.

T S ℓ 𝚯 𝑿 𝚽

51

1 1 dispari simmetrica simmetrica antisimmetrica 1 0 pari simmetrica antisimmetrica simmetrica 0 1 pari antisimmetrica simmetrica simmetrica 0 0 dispari antisimmetrica antisimmetrica antisimmetrica

Dalla tabella si ricava inoltre che la quantità ℓ + 𝑆 + 𝑇 è sempre dispari ( altro modo di esprimere il principio di Pauli ). Gli auto valori degli operatori visti prima si possono quindi generalizzare con la notazione

𝑃𝑟 = −1 ℓ ; 𝑃𝜍 = −1 𝑠+1 ; 𝑃𝜏 = −1 𝑇+1 Si può costruire quindi una tabella con gli stati possibili per questo sistema

T S ℓ Stato 𝑻𝟑 1 1 1 𝑃2

3 , 𝑃13 , 𝑃0

3 nn,np,pp

1 0 0 𝑃11 np

0 1 0 𝑆13 np

0 0 1 𝑆01 nn,np,pp

Supponiamo ora di avere un materiale composto da soli neutroni : per calcolare l’energia di questo sistema contribuiranno solo i canali del tripletto di isospin ( nella tabella precedente, dove è presente nn).

Struttura dei nuclei Consideriamo un sistema composto da Z protoni ed N neutroni in modo che 𝑁 + 𝑍 = 𝐴 . L’Hamiltoniana del sistema si scrive come

𝐻 = 𝑝𝑖

2

2𝑚𝑝

𝑍

𝑖=1

+ 𝑝𝑖

2

2𝑚𝑛

𝑁

𝑖=1

+1

2 𝑣𝑖𝑗

𝐴

𝑖 ,𝑗

Risolvere l’equazione di Schroedinger con questa Hamiltoniana sarebbe molto difficile : conviene quindi introdurre delle rappresentazioni semplificate utilizzando variabili 𝜉𝑖 in modo da poter descrivere il sistema.

Modello del nucleo a Gas di Fermi Una di queste rappresentazioni consiste nel considerare il nucleo come un contenitore in cui i neutroni ed i protoni sono liberi di muoversi : si tratta di un caso statistico-quantistico. Il problema si può schematizzare così : si devono posizionare N fermioni identici in una scatola di volume 𝐿3 . L’Hamiltoniana si può scrivere come

𝐻 = 𝑝𝑖

2

2𝑚+ 𝑉∞ 𝑟𝑖

𝑁

𝑖=1

; 𝑉∞ = 0, 𝑝𝑒𝑟 0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < 𝐿

∞ , 𝑎𝑙𝑙′𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜

In questa situazione la funzione d’onda del sistema totale si può scrivere come la composizione delle funzioni d’onda ( non è detto che sia esattamente il prodotto delle funzioni d’onda!) .Per determinare quale sia la forma della funzione d’onda del sistema scriviamo l’Hamiltoniana del sistema nella forma seguente

𝐻 = 𝑕𝑖

𝑖

, 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑕𝑖 =𝑝𝑖

2

2𝑚+ 𝑉∞

52

Se 𝑕𝑖𝜓𝛼 ,𝑖 = 𝑒𝛼 ,𝑖𝜓𝛼 ,𝑖 è l’equazione di Schroedinger associata ad ogni particella ci si chiede quindi se vale

𝜓 = 𝜓𝛼 ,𝑖 𝜉𝑖

𝑁

𝑖=1

In realt{ la funzione d’onda deve essere antisimmetrica , quindi deve tener conto degli scambi di indice (12 → 21 etc… ) . Si può quindi modificare la formula precedente , inserendo una costante, detta determinante di Sleter (A) , che tiene conto di questi scambi

𝜓 = 𝐴𝜓𝛼 ,𝑖 𝜉𝑖

𝑁

𝑖=1

; 𝐴 ≡1

𝑁! 𝜓1 𝜉1 ⋯ 𝜓1 𝜉𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝜓𝑁 𝜉1 … 𝜓𝑁 𝜉𝑁

Si può quindi procedere al calcolo della singola funzione d’onda studiando il caso di una particella in una scatola cubica, per cui l’equazione di Schroedinger si riduce a

−ℏ2

2𝑚𝛻2𝜓 𝑟 = 𝑒𝜓 𝑟

L’equazione è risolta dalle funzioni del tipo 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜓𝑥 𝑥 𝜓𝑦 𝑦 𝜓𝑧 𝑧 . Le componenti sono oscillanti

, del tipo 𝜓𝑥 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥𝑥 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥𝑥 . Se si ripete il procedimento analogo per le altre componenti ,e si applicano le condizioni al contorno , si ricava il risultato

𝑘2 =𝜋2

𝐿2 𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦

2 + 𝑛𝑧2 ≡

𝜋2

𝐿2𝑛2

e utilizzando la relazione

𝑘2 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦

2 + 𝑘𝑧2 =

2𝑚𝑒

ℏ2

si ricava finalmente la condizione

𝑒𝑛 =ℏ2

2𝑚

𝜋2

𝐿2𝑛2

che definisce gli auto valori dell’energia. Per avere una distribuzione statistica che tenga conto degli stati delle particelle si procede prima al calcolo statistico del numero di stati del sistema compresi tra 𝑛 ed 𝑛 + 𝑑𝑛 . Questo equivale a calcolare il volume di un ottante sferico ,ovvero

𝑑𝒩 =4𝜋𝑛2𝑑𝑛

8

Tenendo conto delle eventuali degenerazioni degli stati, si aggiunge il termine 𝜈 alla formula precedente

𝑑𝒩 = 𝜈4𝜋𝑛2𝑑𝑛

8

Utilizzando il valore di 𝑛2 ricavato prima si può sostituire in modo da avere la distribuzione in funzione di e.

𝑑𝒩 = 𝜈𝐿3

4𝜋2

2𝑚

ℏ2

3/2

𝑒1/2𝑑𝑒

53

La densità degli stati si trova quindi dividendo per 𝑑𝑒

𝑑𝒩

𝑑𝑒≡ 𝑔 𝑒 = 𝜈

𝐿3

4𝜋2

2𝑚

ℏ2

3/2

𝑒1/2

Recuperando la definizione di e si può scrivere infine

𝑔 𝑘 =𝑑𝒩

4𝜋𝑘2𝑑𝑘= 𝜈

𝑉

2𝜋 3

Le particelle si dispongono quindi nei livelli energetici fino ad occupare l’ultimo livello energetico possibile, detto livello di Fermi. A questo livello corrisponde un’energia, 𝑒𝐹 , ed un impulso , 𝑘𝐹 . Il numero di particelle totale è dato dalla somma delle diverse funzioni di occupazione del livello i-esimo.

𝑁 = 𝜈 ℱ 𝑘𝑖

𝑘𝑖

𝑐𝑜𝑛 ℱ 𝑘𝑖 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝑘𝑖 ≤ 𝑘𝐹

0 𝑝𝑒𝑟 𝑘𝑖 ≥ 𝑘𝐹

Per 𝑁, 𝑉 → ∞ la somma si può estendere al continuo.

𝑁 =𝜈𝑉

2𝜋 3 ℱ 𝑘 𝑑3𝑘 =

𝜈𝑉

2𝜋 3 ℱ 𝑘 𝑘2𝑑𝑘

+∞

0

= 𝜈𝑉

2𝜋 34𝜋 𝑘2𝑑𝑘

𝑘𝐹

0

= 𝜈𝑉

2𝜋2

𝑘𝐹3

3~𝑘𝐹

3

Quindi

𝑛 =𝑁

𝑉=

𝜈

6𝜋2𝑘𝐹

3 ⇒ 𝑒𝐹 = 𝑒 𝑘𝐹 =ℏ2𝑘𝐹

2

2𝑚=

6𝜋2

𝜈

2

3 ℏ2

2𝑚𝑛

2

3

Energia totale e pressione

L’energia totale si può calcolare facilmente integrando l’energia della particella singola su tutti i possibili valori di k.

𝐸 = 𝜈𝑉

2𝜋 3

ℏ2𝑘2

2𝑚ℱ 𝑘 𝑑3𝑘 = 𝜈

𝑉

2𝜋 34𝜋

ℏ2𝑘4

2𝑚𝑑𝑘

𝑘𝐹

0

=𝜈

2𝜋2

ℏ2

2𝑚

𝑘𝐹5

5~𝑘𝐹

5

Quindi , visto che 𝑛 ∼ 𝑘𝐹

3 , 𝐸 ∼ 𝑘𝐹5 si ha che

𝐸

𝑁=

3

5

ℏ2

2𝑚𝑘𝐹

2

ovvero l’energia per particella è parti ai 3/5 dell’energia di Fermi , cioè del livello più occupato. Consideriamo ora un sistema di nucleoni con 𝑍 = 𝑁 ⇒ 𝐴 = 2𝑍 non interagenti. Prendiamo il limite 𝑍, 𝑁 → ∞ . Poiché ogni nucleone può avere spin ↑ , ↓ e le particelle sono indistinguibili la degenerazione totale è data da 𝜈 = 2 ⋅ 2 = 4 . Sostituendo nell’equazione per la densit{ si ha che

𝑛 =2𝑘𝐹

3

3𝜋2

Numericamente 𝑛0 = 0,17 𝑓𝑚−3 ⇒ 𝑘𝐹0= 1,36 𝑓𝑚−1 ⇒ 𝑒𝐹 𝑛0 ≃ 38 𝑀𝑒𝑉 ,

𝐸 𝑛0

𝐴≃ 23 𝑀𝑒𝑉.

Possiamo calcolare la pressione utilizzando la formula termodinamica

54

𝑝 = − 𝜕𝐸

𝜕𝑉 𝑆,𝑁

riducendosi però all’energia per particella

𝑝 = 𝑛2 𝜕

𝐸

𝑁

𝜕𝑛

𝑆,𝑁

= 𝑛 𝜕휀

𝜕𝑛 𝑆,𝑁

− 휀

Sostituendo la formula per l’energia vista prima si ottiene

𝑝 =2

5

ℏ2

2𝑚

6𝜋2

𝜈

2

3

𝑛5

3

Più generalmente si può notare che se 𝑇 = 0 , 𝑝 ≠ 0 e che , se si definisce 𝜌 ≡ 𝑚𝑛 , allora 𝑝 ∼ 𝜌5

3 .

Miscela di due gas di fermi ideali Consideriamo un sistema costituito da una miscela di due gas di fermi ideali. Stavolta i due sottosistemi sono distinguibili, quindi 𝜈 = 2 . Definiamo 𝑁1 ≡ 𝑁 , 𝑁2 ≡ 𝑍 . Le due densità sono date da

𝑛𝑛 =

1

3𝜋2𝑘𝐹𝑛

3

𝑛𝑝 =1

3𝜋2𝑘𝐹𝑝

3

Si trascura la differenza di massa tra neutrone e protone, per cui 𝑚𝑛 ≃ 𝑚𝑝 ≡ 𝑚 .

Definiamo quindi

𝑛 = 𝑛𝑛 + 𝑛𝑝

𝛽 =𝑁 − 𝑍

𝐴=

𝑛𝑛 − 𝑛𝑝

𝑛

Con questi parametri il sistema si può scrivere come

𝑛𝑛 =

1

2 1 + 𝛽 𝑛

𝑛𝑝 =1

2 1 − 𝛽 𝑛

⇒

𝑁

𝐴=

1

2 1 + 𝛽

𝑍

𝐴=

1

2 1 − 𝛽

L’energia totale del sistema si può calcolare sommando i due contributi individuali.

𝐸 = 𝐸𝑛 + 𝐸𝑝 =3

5

ℏ2

2𝑚 3𝜋2

2

3 𝑁𝑛𝑛

2

3 + 𝑍𝑛𝑝

2

3

Consideriamo ora l’energia per nucleone, ovvero 𝐸/𝐴 .

𝐸

𝐴=

3

5

ℏ2

2𝑚 3𝜋2

2

3 𝑁

𝐴𝑛𝑛

2

3 +𝑍

𝐴𝑛𝑝

2

3 =1

2 1 + 𝛽

5

3 + 1 − 𝛽 5

3 3

5

ℏ2

2𝑚

3𝜋2

2

2

3

𝑛2

3

55

Si noti che il termine 3

5

ℏ2

2𝑚

3𝜋2

2

2

3𝑛

2

3 rappresenta l’energia per nucleone nel caso simmetrico in cui

𝛽 = 0 . Possiamo quindi definire

3

5

ℏ2

2𝑚

3𝜋2

2

2

3

𝑛2

3 ≡𝐸

𝐴 𝑛, 𝛽 = 0

Supponiamo ora di avere un sistema con 𝛽 = 0 : attraverso un processo abbastanza lento possiamo aumentare 𝛽 : questa ipotesi ci permette di sviluppare con Taylor l’equazione precedente per ottenere.

𝐸

𝐴≃

𝐸

𝐴 𝑛, 𝛽 = 0 1 +

1

2

10

9𝛽2 +

5

243 𝛽4 + ⋯ =

𝐸

𝐴 𝑛, 𝛽 = 0 + 𝐸sym 𝑛 𝛽2 + ⋯

Ove abbiamo definito come

𝐸sym 𝑛 =5

9

3

5

ℏ2

2𝑚

3𝜋2

2

2

3

𝑛2

3

l’energia di simmetria ( analoga al termine di simmetria gi{ visto per la formula semi-empirica di massa ). Numericamente si ottiene 𝐸sym 𝑛0 ≃ 12,8 𝑀𝑒𝑉 , da confrontare con il termine della formula semi-

empirica di massa dato da 𝑎sym ≃ 28 ÷ 30 𝑀𝑒𝑉 . La pressione si ottiene sommando i due contributi.

𝑝 𝑛, 𝛽 = 𝑝𝑛 + 𝑝𝑝 =1

2 1 + 𝛽

5

3 + 1 − 𝛽 5

3 𝑝0 𝑛

ove si è definita

𝑝0 ≡ 𝑝 𝑛, 𝛽 = 0 =2

5

ℏ2

2𝑚

3𝜋2

2

2

3

𝑛5

3

Modello a Shell del nucleo E’ noto che , per i nucleoni presenti nel nucleo atomico, esistono livelli energetici discreti . Questi sono soggetti ad un potenziale medio prodotto dagli altri nucleoni, a differenza degli elettroni che sono soggetti al potenziale Coulombiano generato dal nucleo. Nel nucleo, dunque, i livelli energetici sono organizzati in strati (“shell” )di energia permessi : ogni strato contiene alcuni livelli di energia ed è diviso da un altro da un “gap” di energie non permesse. L’Hamiltoniana per i nucleoni si può quindi scrivere come

𝐻 = 𝑝𝑖

2

2𝑚

𝐴

𝑖

+1

2 𝑣𝑖𝑗

𝑖 ,𝑗

Sommando e aggiungendo un termine di potenziale che dipende dalla distanza si può riscrivere come contributo di due parti .

𝐻 = 𝑝𝑖

2

2𝑚+ 𝑉 𝑟𝑖

𝑖

+ 1

2 𝑣𝑖𝑗

𝑖 ,𝑗

− 𝑉 𝑟𝑖

𝑖

= 𝐻0 + 𝑉𝑟𝑒𝑠

56

Numeri Magici

I numeri 𝑁, 𝑍 = 2,5,20,28,50,82,126 sono noti come numeri magici. Questo particolare appellativo deriva da alcune evidenze sperimentali : i nuclei con un numero magico di protoni e/o neutroni sono praticamente stabili. Se un nucleo possiede un numero magico di protoni (rispettivamente neutroni) è necessario fornire molta energia per poter estrarre un protone (neutrone) da esso, mentre se si aumenta di un’unit{ il numero di protoni (neutroni) l’energia di separazione diventa molto più piccola. Per quest’ultimo caso l’energia necessaria per il processo si può calcolare (nel caso neutrone e protone) come

𝑆𝑛 = 𝐵 𝑍, 𝑁 − 𝐵 𝑍, 𝑁 − 1 = 𝑚𝑎 𝑍, 𝑁 − 1 − 𝑚𝑎 𝑍, 𝑁 + 𝑚𝑛

𝑆𝑝 = 𝐵 𝑍, 𝑁 − 𝐵 𝑍 − 1, 𝑁 = 𝑚𝑎 𝑍 − 1, 𝑁 − 𝑚𝑎 𝑍, 𝑁 + 𝑚𝑎 𝐻1

Infine per portare uno di questi nuclei in uno stato eccitato è necessaria molta energia. Tali proprietà sono analoghe a quelle dei gas nobili. In tabella si riportano alcuni esempi di nuclei contenenti un numero magico di protoni o neutroni.

Nuclide Z N 𝑺𝒑 𝑴𝒆𝑽 𝑺𝒏(𝑴𝒆𝑽)

𝑯𝒆𝟒 2 2 11,81 20,58

𝑶𝟏𝟔 8 8 12,13 15,66

𝑶𝟏𝟕 8 9 13,78 4,14

𝑭𝟏𝟕 9 8 0,60 16,81

𝑪𝒂𝟒𝟎 20 20 8,33 15,64

𝑪𝒂𝟒𝟏 20 21 8,89 8,36

𝑺𝒄𝟒𝟏 21 20 1,09 16,19

Autostati del potenziale nucleare Si deve risolvere l’equazione della singola particella nel campo medio e scrivere la funzione d’onda totale come prodotto di quella dei protoni e dei neutroni.

−ℏ2

2𝑚𝛻2 + 𝑉 𝑟 𝜓𝛼 𝑟 = 𝐸𝜓𝛼 𝑟

L’equazione si può separare nella parte radiale ed in quella angolare

𝑑2

𝑑𝑟2𝑅ℓ 𝑟 +

2

𝑟

𝑑

𝑑𝑟𝑅ℓ 𝑟 +

2𝑚

ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 −ℓ ℓ + 1

𝑟2 𝑅ℓ 𝑟 = 0

Introducendo la funzione d’onda ridotta 𝑢ℓ 𝑟 = 𝑟𝑅ℓ 𝑟 l’equazione si può riscrivere come

−ℏ2

2𝑚

𝑑2

𝑑𝑟2+ 𝑉 𝑟 +

ℓ ℓ + 1 ℏ2

2𝑚𝑟2 𝑢ℓ 𝑟 = 𝐸𝑢ℓ 𝑟

Bisogna quindi fissare la forma del potenziale. In figura è riportata la struttura a shell per un potenziale a buca infinita (a sinistra) e per un potenziale armonico (a destra).

57

Potenziale a Buca infinita

Come prima approssimazione possiamo scegliere una buca infinita di raggio a. Stiamo supponendo quindi che i nucleoni si muovano in una scatola sferica di raggio a. La soluzione si può scrivere utilizzando le funzioni di Bessel.

𝑅ℓ 𝑟 = 𝑗ℓ 𝑘𝑟 = −𝑟

𝑘 ℓ

1

𝑟

𝑑

𝑑𝑟 ℓ

𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟

𝑘𝑟

Per determinare i valori di energia dei livelli bisogna imporre la condizione al contorno sulla superficie della buca : la funzione d’onda dovr{ annullarsi in 𝑟 = 𝑎 . Possiamo dunque indicare gli zeri della

funzione di Bessel con 𝜌𝑛 ,ℓ ⇒ 𝑗ℓ 𝜌𝑛 ,ℓ = 0 ⇒ 𝜌𝑛 ,ℓ = 𝑎 2𝑚𝐸/ℏ . Questa condizione fissa univocamente i

livelli energetici

𝐸𝑛 ,ℓ =ℏ2

2𝑚

𝜌𝑛 ,ℓ2

𝑎2

L’ordine degli zeri di 𝑗 darà quindi i livelli energetici : questi zeri si possono calcolare analiticamente e sono tabulati. Riportiamo in una tabella i valori per i primi livelli.

ℓ 𝒋𝓵 1 2 3

0 𝑗0 3,14 6,28

58

1 𝑗1 4,493 7,725 2 𝑗2 5,763 3 𝑗3

Il posizionamento delle particelle nei livelli energetici segue le regole della meccanica quantistica : in ogni livello generico si possono collocare un numero di particelle che rispetta il principio di Pauli. Fissato il valore di ℓ il livello energetico considerato è (2ℓ + 1) volte degenere; inoltre posso collocare due particelle con spin ↑ , ↓ quindi la degenerazione è pari a 2 2ℓ + 1 . Si vede quindi che la chiusura a shell rispetta la regola dei numeri magici (solo i primi 3) :

Nel livello 1s vengono si posizionano 2 particelle , mentre nel livello 1p , 6 particelle : 2 + 6 = 𝟖 , numero magico.

Nel livello 1𝑑 si posizionano 10 particelle : 2 + 6 + 8 + 10 = 𝟐𝟎 , numero magico.

Potenziale armonico

Possiamo tentare un’approssimazione migliore con un potenziale di tipo armonico , ovvero

𝑉 𝑟 =1

2𝑚𝜔2𝑟2

di cui già conosciamo gli auto valori

𝐸𝑁 = 𝜔ℏ 𝑁 +3

2 , 𝑁 = 0,1,2, …

In termini del momento angolare 𝑁 = 2 𝑛 − 1 + ℓ . Se N è pari si ha ℓ = 0,2, … , 𝑁 , altrimenti ℓ = 1,3, … , 𝑁 . C’è però una degenerazione aggiuntiva poiché per lo stesso valore di N ci possono essere più valori di n ed ℓ . Vediamo come si posizionano le particelle anche in questo caso, osservando nuovamente che si possono identificare solo i primi 3 numeri magici.

N (𝒏, 𝓵) stati 𝓝𝑵 𝓝𝒕𝒐𝒕 0 (1,0) 1s 2 2 1 (1,1) 1p 6 8 2 1,2 ; (2,0) 1d,2s 10+2 20 3 1,3 ; (2,1) 1f,2p 14+6 40 4 1,4 ; 2,2 ; (3,0) 1g,2d,3s 18+10+2 70

I livelli sono equispaziati di 𝜔ℏ ma i numeri magici vengono verificati solo nei primi 3 livelli.

Potenziale di Saxon-Woods

Si può scegliere un potenziale che rappresenta un’approssimazione ancora più accurata

𝑉 𝑟 = −𝑉0

1 + 𝑒𝑥𝑝 𝑟−𝑅

𝑎

Si vede comunque che neanche con questo potenziale si ottiene un risultato migliore.

Potenziale con interazione spin-orbita

Per migliorare il modello si deve considerare l’interazione tra lo spin della particella ed il momento angolare. Si deve quindi aggiungere un termine di interazione del tipo

𝑉ℓ𝑠 = −2𝛼

ℏ2 ℓ ⋅ 𝑠 , (𝛼 > 0)

59

Gli autostati del sistema saranno autostati di 𝑗 2 , 𝑗𝑧 e verranno individuati dai numeri quantici 𝑛, ℓ, 𝑗 .

Vogliamo ora stimare il valore di aspettazione dell’operatore 𝑗 = ℓ + 𝑠 . Supponiamo quindi 𝑠 = 1/2 per cui si ricava 𝑗 = ℓ ± 1/2 . Si ha quindi che

𝑗 2 = ℓ + 𝑠 2

= ℓ 2 + 𝑠 2 + 2ℓ ⋅ 𝑠 ⇒ ℓ ⋅ 𝑠 =1

2 𝑗 2 − ℓ 2 − 𝑠 2

Ovvero

ℓ ⋅ 𝑠 =ℏ2

2 𝑗 𝑗 + 1 − ℓ ℓ + 1 −

3

4 =

−ℏ2

2 ℓ + 1 , 𝑗 = ℓ −

1

2ℏ2

2ℓ , 𝑗 = ℓ +

1

2

L’interazione spin-orbita ha prodotto uno splitting di due livelli originari che si può quantificare come 𝛥𝐸 = 𝛼 2ℓ + 1 : dunque se il momento angolare è piccolo anche lo splitting è piccolo. Ad esempio il livello 1𝑝 ( con 6 particelle) si è splittato in due livelli 1𝑝1/2 ( con 2 particelle ) e 1𝑝3/2 ( con 4 particelle)

. Si verifica sperimentalmente che il livello con j più alto è quello ad energia minore : dunque in questo livello si posizionano più particelle. I livelli sono degeneri rispetto alle proiezioni di J che sono (2𝑗 + 1) . Scegliendo in maniera opportuna 𝛼 si vede che i numeri magici ottenuti sperimentalmente si possono ottenere con facilit{. Il modello non è però in grado di dare con certezza l’ordine di livelli energetici molto

vicini tra di loro. Ad esempio per l’atomo di 𝑂817

9 con momento angolare e parità dati da 𝐽𝛱 = 0+ ( pari-pari) le particelle si dispongono nella maniera seguente :

Nel livello 1𝑠1/2 2 protoni e 2 neutroni

Nel livello 1𝑝3/2 4 protoni e 4 neutroni

Nel livello 1𝑝1/2 2 neutroni e 2 protoni

Nel livello 1𝑑5/2 1 solo neutrone.

Per nuclei pari-dispari si ha invece 𝐽𝛱 = 𝑗 −1 ℓ . Questa regola funziona quasi sempre con i dati sperimentali. Per nuclei dispari-dispari si dovrebbe considerare un contributo del protone e del neutrone

disaccoppiato : 𝐽 = 𝐽 𝑝 + 𝐽 𝑛 . In realtà in natura non si trovano elementi dispari-dispari in abbondanza

dunque questa circostanza è molto rara. L’ipotesi della simmetria sferica sta alla base del modello a shell : in realtà i nuclei assumono forme particolari a seconda del momento di quadrupolo totale. In figura vengono mostrati i livelli energetici per il potenziale di Saxon-Woods e lo splitting dovuto all’interazione spin-orbita.

60

Momenti magnetici nel modello a shell Si suppone che con un numero pari di neutroni e protoni il momento magnetico sia nullo e che l’ultimo nucleone disaccoppiato porti una variazione nel momento magnetico totale. Prendiamo 𝜇𝐽 = 𝜇𝑗

.Consideriamo quindi 𝑗 = ℓ + 𝑠 e definiamo 𝜇 = 𝑔𝑠𝑠 + 𝑔ℓℓ ( 𝑖 𝑔𝑖 sono detti fattori di Landè). Per calcolare il momento magnetico bisogna considerare lo stato di proiezione massima , ovvero 𝜇𝑗 =

𝑗, 𝑚𝑗 = 𝑗 𝜇𝑗𝑧 𝑗, 𝑚𝑗 = 𝑗 . Osserviamo prima che 𝜇 = 𝑔𝑠𝑗 + 𝑔ℓ − 𝑔𝑠 ℓ . Quindi proiettando su 𝑗 si ha

𝜇 𝑗 = 𝑔𝑠𝑗 + 𝑔ℓ − 𝑔𝑠 𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜗𝑗

𝑗

dove 𝜗 è l’angolo compreso tra la direzione di ℓ e quella di 𝑗 : dunque

𝑐𝑜𝑠 𝜗 =𝑗 2 + ℓ 2 − 𝑠 2

2 𝑗 ℓ

Proiettando quindi sull’asse di quantizzazione del momento si ottiene

61

𝜇𝑗𝑧 = 𝑔𝑠𝑗𝑧 + 𝑔ℓ − 𝑔𝑠 𝑗 2 + ℓ 2 − 𝑠 2

2 𝑗 2𝑗𝑧 ≡ 𝑔𝑗 𝑗𝑧

ove si è definito

𝑔𝑗 = 𝑔𝑠 + 𝑔ℓ − 𝑔𝑠 𝑗 𝑗 + 1 + ℓ ℓ + 1 − 3/4

2𝑗(𝑗 + 1)

Distinguiamo i due casi in cui 𝑗 = ℓ ± 1/2 .

(1) Se 𝑗 = ℓ + 1/2 allora

𝑔𝑗 +

=1

𝑗 ℓ𝑔ℓ +

1

2𝑔𝑠 ⇒ 𝜇𝑗

+ = ℓ𝑔ℓ +

1

2𝑔𝑠 𝜇𝑁

Ove 𝜇𝑁 è il magnetone di Bohr.

(2) Se 𝑗 = ℓ − 1/2 allora

𝑔𝑗 −

=1

𝑗 𝑔ℓ

ℓ + 1 2ℓ − 1

2ℓ + 1−

1

2𝑔𝑠

2ℓ − 1

2ℓ + 1 ⇒ 𝜇𝑗

− = 𝑔ℓ

ℓ + 1 2ℓ − 1

2ℓ + 1−

1

2𝑔𝑠

2ℓ − 1

2ℓ + 1 𝜇𝑁

Possiamo quindi comporre i due risultati e scrivere

𝜇𝑗 ±

= 𝑔ℓ ±1

2ℓ + 1 𝑔𝑠 − 𝑔ℓ 𝑗𝜇𝑁

Per i nuclei pari-pari 𝜇𝑗 = 0 . Per i nuclei pari-dispari invece 𝜇𝑗 = 𝜇𝐽 , 𝑗 = ℓ + 1/2 , dunque

𝜇𝑝 +

= 1 +1

2𝑗𝑝4,58 𝑗𝑝𝜇𝑁 = 𝑗𝑝 + 2,29 𝜇𝑁

𝜇𝑝 −

= 𝑗𝑝 −𝑗𝑝

𝑗𝑝 + 12,29 𝜇𝑁

I valori sperimentali vengono riportati nella seguente tabella.

𝒋𝒑 1/2 3/2 5/2

𝝁𝒑 +

2,793 3,79 …

𝝁𝒑 −

-0,26 0,124 …

mentre i valori dei fattori di Landè per i nucleoni sono riportati in quest’ultima tabella.

fattore n p 𝒈𝓵 0 1 𝒈𝒔 -3,826 5,586

appunti di fisica nucleare e subnucleare i - guido...

Documents