Lando Mentrasti

DACS - Dipartimento di Architettura, Costruzioni e Strutture Facolta di Ingegneria - Universita Politecnica delle Marche

APPUNTI DI

GEOMETRIA DELLE MASSE

Versione web della Terza Edizione 1987 www.univpm.it Ancona 2008

Prima editio web. 2008 Proprietas scriptoris © Lando Mentrasti Omnia proprietatis iura reservantur et vindicantur. Imitatio prohibita sine auctoris permissione. Non licet pecuniam expetere pro aliquo, quod partem horum verborum continet; liber pro omnibus semper gratuitus erat et manet. Gratis accepistis, gratis date (Mt 10:8) First Web edition 2008 Copyright © Lando Mentrasti, All rights reserved. Commercial reproduction, commercial distribution and commercial use, in whole or in part, is not allowed without the written consent of the copyright owner. You are not allowed to charge money for anything containing any part of this text; it was and remains free for everybody to read, to print for personal use, and to store and distribute electronically in unmodified form.

Dati della pubblicazione originale Lando Mentrasti Istituto di Scienza e Tecnica delle Costruzioni Facoltà di Ingegneria - Università di Ancona APPUNTI DI GEOMETRIA DELLE MASSE GRUPPO EDITORIALE CUSL Cooperativa Universitaria Studio e Lavoro Ancona - Terza Edizione 1987

INDICE

CONCETTI INTRODUTTIVI

1. Sistemi di masse

2. Momenta statico

3. Centro di massa

4. Momenta d'inerzia assiale

5. Momenta d'inerzia polare

6. Momenta centrifugo

7. Teorema di Huyghens

8. Trasformazione del momenta centrifugo

9. Trasformazione del momenta polare

TENSORE D'INERZIA

10. Trasformazione di coordinate per rotazione

11. Trasformazione dei momenti statici

12. La matrice dei momenti d'inerzia

13. Trasformazione dei momenti d'inerzia

14. Espressione tensoriale del momenta d'inerzia

DIREZIONI E MOMENTI PRINCIPALI D'INERZIA

15. Problema di massimo e minima

16. Problema di autovalori

17. CirGolo di Mohr

18. 11 circolo di Mohr in un SR non-principale

19. Rappresentazione grafica delle direzioni principali

SISTEMA ANTIPOLARE

20. Centro relativo

21. Teorema fondamentale - Polarita

22. Involuzione delle rette e dei punti coniugati

23. Ellisse centrale d'inerzia

24. Costruzioni notevoli

25. Nocciolo centrale d'inerzia

APPENDICE

BIBLIOGRAFIA

1

2

3

8

10

10

13

14

15

17

23

27

29

32

36

42

44

49

54

56

60

64

66

72

74

-1-CONCETTI INTRODUTTIVI

1 • SISTEMI DI MASSE

Si parla di sistema di massa (SM) quando si fa riferimento ad

una assegnata distribuzione (piana), geometricamente determinata,di

una grandezza scalare chiamata massa (campo scalare) (Fig.1).

Esempi di "masse" sono l'area (L2) ,densi ta x area (M), momenta

statico ecc •

••••

Fig.1

Le masse possono essere distribuite in modo continuo 0 concen-

trato.

Di solito il SM viene descritto per mezzo di un sistema di ri­

ferimento (SR) ad assi rettilinei, ortogonali 0 no.

In questo ultimo caso le distanze di un punto dagli assi pos-

sono essere prese sia parallelamente agli assi,e verranno indicate

con x e y, oppure possono essere misurate ortogonalmente agli assi;

in tal caso verranno indicate con la notazione x~e ~

Dalla fig.1 si ricavano le relazioni che legano le due coppie

di coordinate :

x.t=x sen cL (1)

(2)

-2-

Y.1= Y sen ol,

ove oL e l'angolo «]'C) tra gli assi.

Si osservi che le (1) e le (2) non sono le leggi di trasforma-

zione dal SR ad assi non ortogonali a quello ad assi ortogonali;ven-

gono soltanto messi in relazione i due modi di misurare le coordi-

nate nel SR non ortogonale.

2 . MOMENTa STATICO

Si definisce momenta statico S~ del SM rispetto ad una retta

r la somma dei prodotti delle masse per le rispettive distanze da

r, distanze misurate secondo la direzione t(*~.

Se scegliamo r=x e t~y si PUQ scrivere

Sx : f y d.fff\r

')y(,

5y ;;:f X do f\'V\,

rrt.

(3)

(4)

ove l'integrale esteso a tutta la distribuzione di masse ~ deve es

sere sostituito dalla sommatoria nel caso di masse concentrate.

Se si misurano le distanze ortogonalmente agli assi la legge

di trasformazione dei momenti statici si PUQ ottenere sostituendo

nella definizione di SXlla (2):

Sx /:: i Y.l ct IV\\. c SI ~Im Ii dvM\,::: $" &\M. Ql. •

10C (l)t

Analogamente per Sy~ cosicche si PUQ concludere

SX.l= Sx sencL

S>,1 = Sy senoe. (5)

Si osservi che i momenti statici S~ sono minori (0 uguali) ri­

spetto ad S.

-3-

3 . CENTRO DI MASSA

11 centro di massa(CM) di un SM e il punto notevole del piano

definito dalle seguenti proprieta:

assegnata una retta qualsiasi r, il momento statico del SM ,S~,

pUG essere valutato come prodotto della massa totale M=JJ~ per ladistanza del CM da r. ~

In altre parole per il calcolo di SR e possibile considerare

il SM equivalente ad una sola massa M concentrata nel Centro di

Massa.

Dalla definizione , indicate con t le distanze da r,

(5)

segue il calcolo delle coordinate del CM rispetto ad SR assegnato:

XCI'! =51 ~

-~ J >< J M0-MM(((C

(eM. =

Sx

-' J jd,rrn.,M

-

Mrrrcottenibili dalla (5)

per'0=-7t=x(6)

(7)

e z=)( t=-7 ' rispettivamente.

-..... "'\

\\

\

\

I'\

II

/./

/

.--1.//

//

/

I

\. 'Ytt1\\'- . -

..•... --.•.•••..•...... ---

Fig. 2 Fig. a

-4-

La Fig.2 mostra che la posizione del CM e indipendente dal mo-

do di misurare le coordinate.

Si puo anche mostrare che la posizione di CM e indipendente dal

SR.

Se le masse sono aree il CM viene usualmente chiamato baricen-

tro ed indicato con la lettera G.

Osservazioni:

a) il momenta statico del SM rispetto ad una retta baricentrica ro

e nullo:

(M~ 7;0 :> 5'00 = J t J(YM., = tCM. f1 = 01'1 =. O.('()(;

b) il momenta statico di un SM puo essere valutato come somma dei

momenti statici delle masse componenti:

Sit; = J -t olMol- : tcM, M10f tCM Mz't ... -r t01 11""

rrtG OJ (It- fI'I.,

ove It '"J JM1.-, e rnt~tJ 1Ytz U ...\FDr."", == rryc.!/iC,

c) dividiamo in due parti 11C~ e 'OYez. i1 SM'6R(fig.a)i momenti statici

rispetto ad una retta baricentrica~"delle due porzioni sono

nella seguente relazione

d) presenza simmetria

Si dice che un SM ammette un asse di simmetria (in generale non

ortogonale) Y,quando esiste una retta y e una direzione x tali

che per ogni massa elementare dm distante x dall'asse y, se ne

puo trovare un'altra distante -x dall'asse y e giacente sulla

retta parallela a x passante per la prima massa (fig.b).

In questo caso si ottiene (*)

S'j = J)( d.t'fU =J{n( -x) J~ '" 0({}t triG/l

che per la (6) conduce ad ottenere -x(/>{= 0, ossia

il CM di un SM che ammette un asse di simmetria (non ortogonale)

appartiene a tale asse.

(*) Per ogni contributo positivo ne esiste uno negativo.

Fig. b

-5-

Fig. c

e) il CM di un SM composto da due masse (Fig.c) appartiene

alia congiungente CM1- CM2. Infatti per definizione di

CM, nel calcolare il momento statico si PUQ sostituire

la distribuzione effettiva ~ con due masse M1 ed M2

concentrate nei rispettivi CM.' L'applicazione delia os­

servazione d) a tale sistema ridotto conduce alia pro­

posizione esposta. Si puo inoltre facilmente mostrare

che il CM del SM divide il segmento CM1-CM2 )n parti

inversamente proporzionali aile masse parziali M1 e M2.

-6-

Costruzioni grafiche

E' utile,nelle applicazioni, ricorrere a metodi grafi­

ci per la determinazione del Centro di Massa di un SM. Si

consideri, ad esempio, la massa concentrata di Fig. 3a.

Tracciando per m una retta r parallela all'asse x sul­

la Quale stacchiamo un segmento proporzionale ad m (se­

condo una scala scelta a piacere), possiamo interpretare

il momenta statico delIa massa elementare come momento del

vettore fY'I\. (*).

M

a)

x

Fig. 3

b)

(*) Nel caso generale interpretiamo la distribuzione mt

come campo di vettori proporzionali aIle masse element~

ri dei quali determiniamo graficamente la posizione del

la risultante tramite il poligono funicolare.

-7-

A tal fine scegliamo un punta qualunque P del piano che chiamia­

mo Polo del Poligono delle Forze e riportiamo a distanza H da

esso il vettore ~ proiettiamo ~ da P a mezzo delle rette

a e b (Fig. 3b). Costruiamo il poligono funicolare per M (punto

arbitrario della retta r) tracciando le rette a' e b' parallele

alle proiettanti di ~ , a e b. Per la similitudine dei trian­

goli OlP e MBA segue, a meno della scala delle masse, BAit'" rm- /H

ovvero

H· BA = fM. '( =- S)< .

Tale risultato e interpretabile come segue: il momento statico

della massa m rispetto alla retta x (generica di un fascio diret­

te parallele) e misurato dal segmento intercettato su x tra il

primo e l'ultimo lato del poligono funicolare. Per quanta ri­

guarda il segno basta osservare la convenzione di considerare il

segmento AB posi tivo se la retta x si trova al di sotto della

massa m (ossia a distanza y positiva).

La costruzione precedente e generalizzabile al caso di un

numero qualunque (finito) di masse elementari; il momenta stati­

££ e sempre proporzionale al segmento della retta r intersezione

tra il primo e l'ultimo lato del poligono funicolare (Fig.4).

Una conseguenza della costruzione grafica esposta e che il CM

appartiene alla retta passante per il punta intersezione della

prima e ultima retta del poligono funicolare, perche rispetto a

tale retta ro' parallela a r, il momento statico del 8M e nullo.

Fig. 4

o tYI'l..j -1

x p

2... 3

-8-

4 . MOMENTO DI INERZIA ASSIALE

Si definisce momento di inerzia Jr del SM rispetto alIa retta

r (0 semplicemente momenta di inerzia) la somma dei prodotti delle

masse elementari per il quadrato delle rispettive distanze da r, mi­

s'..lratelungo la direzione t (¥= 't ):

(8)

In particolare si possono valutare i momenti di inerzia rispet

to agli assi coordinati:

Jx = J y2 J.,""r"fYc

Jy = S x~ LIYVV.rrIC

(9)

(10)

Se si misurano Ie distanze perpendicolarmente agli assi si ot­

tiene un momenta di inerzia Jx~ legato a Jx dalla relazione

JX.l =: Jx ;;'-e.rvv2. oL

e analogamente

(11)

ricavate dalle definizioni e con Ie (1) e (2).

Per analogia con quanta fatto con il momento statico e il eM, si

puo pensare di concentrare tutta la massa M ad una distanza f da r

tale che il momento di inerzia si puo calcolare semplicemente come:

(13)

-9-

La distanza e~definita da

l

J/C.

ft. : 1'1

(14)

e detta raggio d'inerzia del SM rispetto alla retta r.

Sono ovvie le relazioni

\ x.1. ---(15)

Osservazioni:

a) se le masse sono considerate positive allora dalla (8) risul­

ta cheilmomento di inerzia e uno scalare essenzialmente posi-

tivo.

b) dalla definizione segue che a parita di M il momento di iner­

zia e maggiore per quelle distribuzioni le cui masse sono pi~lon­

tane dalla retta r.

c) il momenta di inerzia J~puo anche essere interpretato come mo­

mento statico di particolari masse. Per fissare le idee ed evi

tare confusioni supponiamo che il SM sia una distribuzione di

superfici ~ ;allora per definizione

Ju::: S tt J.fN~

ove d~ e l'elemento di area.

Tale relazione puo anche scriversi

J. · J I: t.L •.. < J t .1"", (16)d ~ove d m= t d a = d Sr che e interpretabile come momento statico elemen-

tare dell' area d.,(L rispetto alla retta r.

La (16) afferma che il momento di inerzia di un SM puo essere

anche definito come momenta statico rispetto ad r e dei momenti sta-

-10-

tici elementari (rispetto ad r).

5 . MOMENTO D'INERZIA POLARE

11 momento d'inerzia polare di un SM e definito come somma dei

prodotti delle masse elementari per il quadrate delle distanze da un

punta P detto polo . •In simboli:

(17)

Se il SR e ortogonale e P coincide con l'origine degli assi,

essendo )(~t -t 'I~t = t..l dalla (17) si ottiene

(18)

6 . MOMENTO CENTRIFUGO

Si definisce momento centrifugo Jxy di cui SM rispetto ad una

coppia di assi x e y (Fig.6) la somma dei prodotti delle masse elemen­

tari per le distanze dai due assi:

(19)

Fig.6

-11-

La fig.6 e la(i) e la (2) indicano le relazioni per calcolare

il momento centrifugo misurando le distanze ortogonalmente agli assi

(20)

Osservazioni:

a) a differenza del momenta di inerzia assiale, quello centrifugo

PUQ essere anche negativo 0 nullo.

b) se nel calcolo del momento centrifugo si prendono le distanze

da un'unica retta x (misurata lunge y) formalmente si ha:

.Iy X ~ r '/ y d~ = J)(1tL

Le notazioni Jx e Jxx saranno, in seguito, usate indifferen­

temente.

c) simmetria

Nel caso in cui il 8M ammette un asse di simmetria (in genera­

le non ortogonale) y (cfr. § 3,oss. d) (sia x la retta gene

rica parallelamente alla Quale si misurano le distanze da y)si ottiene

Fig. 7

poiche nell'integrale, per ogni contributo +x (y dm) (Fig.7)

ne esiste certamente uno -x (y dm).

- 12-

d) Con l'osservazione c) del §4 anche J e interpretabilexy

come momento statico di masse elementari che, a loro

volta, sono momenti statici. Per fissare le idee si con

sideri il 8M come una distribuzione di superfici.

Dalla definizione di momento centrifugo

J,y ~ Jxyl", ~)"(/.1,0.,) ~ J x ciS,lA 1h J>

(21)

= J y (x J. ~) ~ J '/ J:Sf' .

ifiv 1A

Le (21) conducono ad interpretare il momento centrifu­

go di un 8M rispetto agli assi x ed y come momento

statico rispetto all'asse y dei momenti statici delle

masse elementari rispetto a x; oppure come momento sta­

tico rispetto a x dei momenti statici elementari fatti

rispetto a y.

- 13-

TEOREMI DI TRASPOSIZIONE

Si vuol ora rispondere alla questione seguente(*):

come variano i momenti d'inerzia quando si opera una traslazione del

le rette rispetto alle quali vengono calcolati?

7 . TEOREMA DI HUYGHENS

Si consideri dapprima la legge di trasformazione per il momen­

to di inerzia assiale ; dalla Fig. 8 segue immediatamente:

,~:= X -+ X..n.'

,Y:= 'I -I- 'IfL'

per cui

(22)

x'

(*) le leggi di trasformazione per traslazione dei momenti stati­

ci verranno dati nella forma vettoriale nel § 11.

- 14-

Se accade che X':: X e" baricentrica ( $X =- 0 ), si ottiene:o 0

(23)

essendo '/.1l.':: '/6r' 'Ossia il momenta di inerzia di un SM rispetto ad un asse x e

pari /:f:.quell.a,calc:olatorfspe:tt:'GIad un asse ~6passante per G, paral­

lelo a quello assegnato, al Quale va sommato il prodotto della massa

totale per il quadrato della distanza tra le due rette.

Si deve notare esplicitamente che nel caso di massa positiva,

il momenta di inerzia di un SM rispetto ad una retta baricentrica e

il minima tra tutti quelli calcolati rispetto alla generica retta di

un fascio di rette parallele.

8 . TRASFORMAZIONE DEL MOMENTO CENTRIFUGO

La fig.8 e le relazioni (22) conducono a:

,Se si sceglie n;Gr

leggecercata:

si ottiene

(24)

la

che si enuncia dicendo che il momenta di inerzia centrifugo di un SM

rispetto a due rette x eye pari a quello calcolato rispetto a due

rette Xo e Yo parallele a quelle assegnate e passanti per G, al qua­

le va sommato il prodotto delle coordinate di G e della massa totale

del SM.

- 15-

9 . TRASFORMAZIONE DEL MOMENTO POLARE

Nel caso di SR ortogonale valendo la (18) e la (23) si PUQ

scrivere (Fig.8)

ossia

Osservazioni:

(25)

a) del teorema di Hyughens si PUQ dare la versione con i raggi di

inerzia. A tal fine basta dividere la (23) per M e ricordare

la definizione (14) ottenendo

(25')

b) se e noto il valore del momento di inerzia rispetto ad una ret

ta xl e si chiede il momento di inerzia rispetto ad una retta

x2,~x1 (entrambe non baricentriche) (Fig.9) non si PUQ appli­

care la (24).

Tuttavia si PUQ scrivere il teorema di Hyughens sia per la pr~

ma che per la seconda retta:

S,..~"" Jxo -t- y~;MJ -J 1.11.

xL - Xo T YU;;r

da cui sottraendo

(26)

o anche

(27)

- 16-

Fig.9

FiG. 10

-17 -

IL TENSORE DI INERZIA

In questb capitolo si vogliono generalizzare le leggi di tra­

sformazione dei momenti di inerzia includendo il caso di rotazione

del SR.

La trattazione verra condotta nell'ipotesi di sistemi di ri­

ferimento cartesiani ORTOGONALI.

Verranno usate sistematicamente le notazioni vettoriali e ma-

triciali di cui si richiamano alcuni risultati in appendice.

10 • TRASFORMAZIONE DI COORDINATE PER ROTAZIONE (*) [~]Ci 81 chiede come variano le c~ordinate del generico punta x= ::allorche ci si riferisce ad un SR l x.j) )(~) X~! ruotato rispet~ 3

to a quello iniziale t >(4) Xl) )(~1 (Fig.10).

Si indicano con xi (scalare) e e. (vettore) rispettivamente

la generica coordinata e il generico versore dell'asse del SR ini­

ziale, e c.on. x~ ee'. le corrispondenti gran­""

dezze nel SR ruotato.

La relazione fondamentale da cui si parte e

0, in forma compatta,

3

3

ZX· e' Z I ,

:::r

X· e.A, ~ ~= ..• A, ~4'" !

(28)

che esprime la seguente ovvia condizione:

- il vettore posizione del punto P, P -11 , deve essere 10 stesso

sia che si esprimano i suoi componenti (componente • versore ) nel

SR lx~) x.t,.) X~! ' sia che 10 si faccia nel SR lXA~ )(i I x~} •

(*) La trattazione e condotta per un SR nella spazio tridimensio­

nale; come caso particolare si ottiene la legge di trasforma­

zione per SR piani.

-18-

Per comprendere meglio tale affermazione si aeve ricordare aha

l'''ente''vettore non dipende dal particolare SR che si sceglie per

decriver 1'0.'

Viceversa le componenti (scalari) del vettore dipendono dal SR

scelto.

Il problema e ora estrarre dalla (28) le Xi in funz:ionedelle xi

(ole xi in ,:t-unzlOrie:dj.'cKi).

A tale scopo moltiplichiamo scalarmente per il generico verso­I

re E!j del nuovo SR entrambi i membri delle (28)3 ~

'. " I Z I ,e..• L-. X, e. = e· • .>< ' e ·II "AI J ...••~·l ~e,f

portando il prodotto scalare sotto segno di sommatoria si PUQ

scrivere3

L.3

-z ,X.

A

I ,e·ee·j ••Al secondo membro si PUQ semplificare il prodotto e;.e~

osservando che si tratta del prodotto scalare di due versori di un

SR ortonormale, ossia

eJ • el~bkj = f o )(29)

La matrice 6ij(simbolo di Kronecker) ha. le seguenti componenti

(30)

cioe coincide con la matrice unitaria %.

Anche al primo membro i prodotti scalari possono essere inter­

pretati come elementi di una matrice Q

. ( e- e~· j (31)

- 19-

ossia la componente Q~j e il prodotto scalare del "nuovo" versore di

indice icon il"vecchio" versore di indice j:,,Ie .•• e.- e.,·e.te..·e,

[ Q;'j] " I e~.e1,,ez' e.t

e.t·@.s I .(32),

,e~·e5e3·e... e3·e.t

Con tali osservazioni la (28) puo anche scriversi

3 3

? QJ'.i X ~ = '? S~J'xl ...( =4 .A ~--I

In termini di prodotto matriciale (riga per colonna), utiliz­

zando anche la definizione di matrice unita, la precedente relazione

diventa

Q X ::= I x'

ovvero

l)ll = Q X I (33)

versore del"vecchio" SR, si ottiene:

In maniera analoga moltiplicando scalarmente la (28) per il

generico aj3

eJ. - 2: )(. e· =-. ~ "".•.=~

Z 3 I (*)x~ e· -e,;, ""2. 'Xl e' .8;,

Ad J ; =A j3

3

L X' ~,. = L x~ Q~'. ~ J A

A=-~ I" 4 J.3

J

~ ~j~ X~=!T I

Q j~ X ~-t =1

1=4

(*) Si ricordi che la (31) definisceq ij: e';,. ej ::ej'ei·

ove si e utilizzata la relazione

-2)-

per ottenere al

secondo membro un prodotto matriciale riga per colonna.

Finalmente si ha

ossia

(34)

Osservazioni

a) Ie componenti delIa matrice q defin1ta dalla (32) sono suscet-

tibili d1 una'interpretazione riotevole:

se si esamina la prima riga di Q s1 vede che 1 prodotti scalari ivi,indicati esprimono Ie tre componenti del versore E!t nel SR iniziale:

e: · e .• = (e-1' ){

Analogo fatto risulta per Ie altre righe.

Ossia Ie righe di Q sono i trasposti(*) dei versori del nuovo

SR:

err•••

Q~l e'Tl.e';

Lo anche

qT = [ e~

e'e~ Jz. (35)

(36)

(*) La trasposta di un vettore colonna e un vettore riga.

- 21 -

Da questa espressioni segue immediatamente che il·prodotto ma­

triciale

(37)

, , 'T \'(basta ricordare che e~. ej = e" eJ = o"j).

Ma la (37) e anche la definizione di matrice ORTOGONALE,per la

quale cioe vale

(38)

Al medesimo risultato si arrivava invertendo la (33) e confron

tandola con la (34).

b) non appena e assegnato il nuovo SR (cioe sono note le compo-

nenti dei versori dei nuovi assi)e immediatamente possibile

scrivere QPer esempio nel caso piano si ha (Fig.ll)

,e... e..:::0-0$ ~ e'. e :: c,cs (-rc - 0/.) = se:m. rL.• L L

,e1. • e.z = (Os oL

(39)

Fig.ll

cosicche le (33) diventano:

- 22 -

(»~ rX- -+ X1. ~ r:i.-]:::'GcA. tI- + x l (t) ~ ol.

(40)

e le inverse (34):

(,o oS ~ - Xl .s Be.\- oIv]5~ IlL + Xl. LA!) ri (41)

- 23 -

11 . TRASFORMAZIONE DEI MOMENTI STATICI

Verranno ora applicate Ie relazioni di trasformazione delle

coordinate per rotazione del SR al calcolo dei momenti statici,

anzi data la lora semplicita.

anche nel caso di traslazione.

si ricavano Ie relazioni val ide

L'idea fondamentale e quella di sostituire nelle definizioni

delle grandezze inerzial i (funzioni di X) la ~ CUD QT-x' trami te la

(34), ottenendo cosi Ie richieste leggi di trasformazione.

Per far questo occorre esprimere Ie grandezze che interessano

in funzione del vettore X (e non solo delle sue componenti), ossia

scrivere delle relazioni tra vettori.

Nel caso deimomenti statici questo si ottiene facilmente os­

servando che

e

denominiamo 8~ vettore momento statico,la grandezza cosi defini-

ta

(5")1 ;: SX,t '" J x-i cl,taI.1ft

. (42)

ossia

(43)

ove l'integrale vettoriale che compare nella (43) significa sempli-

cemente l'integrale delle componenti del vettore che compare come

integrando, come specificato dalle (42); l'apice * indica che non

c'e corrispondenza tra l'indice delle componenti di S* e gli indici

del simboli 5)t, e$ . :(l)1 non e S,X .•1 .X2 . iCon la notazione compatta espressa dalle (43) si e ottenuto il

risultato notevole di scrivere il vettore momenta statico S* (da non

confondere con i momenti statici Sx ed 5y rispetto agli assi, che

sono delle quantita. scalari) in funzione esplicita del vettore XScrivendo in forma vettoriale la trasformazionedi coordinate

per traslazion¢ tradotta dalla (22) (Fig.12)

uX = XA -t x

•XJ.

A

- 24 -

•X~

(44)

Fig.12

ed applicando le relazioni di trasformazione per rotazione del sist~

ma di assi t x;, x; }x; J ' "vecchio", al SR l '><4" x;) x~ J, "nuo­

vo", con una relazione analoga alla (34)

II QT,)( =- X ,

la (44) diventa

X ::: X J).' -t Q;-X ' , (45)

che e la relazione di trasformazione delle coordinate di un SR cartesia-

no ortogonale per roto-traslazione.

Se si introduce la (45) nella definizione del vettore momento

statico (43) si ottiene, osservando che X ,..0..:

costanti

e. sono

s" ~JX .1"", ~ jex.-! + QT x') L ••. =rm TfCossia

s" ::.(46)

che in componenti si scrive

s* ==

S'J( =x1.Q' M -+QT *' QT ~,12- H S1. i 12. So 2-

s* ~ 5 ==

XJ..tl..' M .,..QT ~, T *12. >I.~ .2~ 51 .•.Q22:':>2.

(47)

(48)

- 25 -

ovvero, indicato con x l'asse xl e con y l'asse x2 ' secondo le usua

li notazioni

Sy = X..Q' M -/- QI/' S'jr T Q ~ S x'

SX:: Y./1-' -M + Q ~ Sy' -t Q~ 5 x' .

Come si vede dal confronto tra la (47) 0 (48) e la (46), e evi

dente la potenza della notazione matriciale che esprime in modo sem­

plice ed esauriente la relazione tra i~ vettori momento statico (43)

in due SR qualsiasi legati dalla (45).

Osservazioni:

a)traslazione del SR

nel caso in cui il SR ~~:Ix;le soltanto traslato rispetto a

quello iniziale (Fig.13) la relazione (46) si semplifica nella

* M~'oS :=. XA! J"J. T S

poiche,nel caso di traslazione,

come e facile verificare.

(49)

La (49) si pu6 enunciare come segue:

il momento statico 5* rispetto ad un sistema di assi~~J~!e ugua-1e al momento statico S*' ca1co1ato rispetto a1 sistema di

b)

.assi ~ )(4' I ')(/1 ,al Quale va aggiunto un contributo X..tl! 11)interp'r-etabilecome momento statico, rispetto al SR ~ '><4J 'Xl ~ ,della

massa totale M pensataconcentrata nella nuova origine.

nel caso particolare in cui JL'E Cf1 allora S*' e nullo

perche le sue componenti sono i momenti statici rispetto ad

assi passanti per i1 CM, cosicche la (46) si riduce a .

o anche(

= 1'1che e la re1azione vettoriale equivalente alle (6) e (7).

- 26 -

Fig.13

c) rotazione del SR

nel caso in cui c I e solo rotazione (Fig .14) del "nuovo" SR (Jl.'~n~la (46) si scrive

s* = QT5*'.Si noti la analogia formale tra questa relazione e la legge

di trasformazione delle coordinate (34) facilmente giustifica­

bile se si considera che S~ non e altro che il vettore )( "pes§:

to" dalle masse 'OiL (vedere la definizione (43)).

Fig. 14

- 27 -

12 . LA MATRICE D'INERZIA

Per poter applicare la trasfdrmazione di coordinate

in forma matriciale (34) ancheaimomenti d'inerzia, occorre

(vettore) •in termini di •

generico 8M nella configurazione di fi­

gura 15 e una coppia di assi fxi, x21 di versori tift , b} ci pro

poniamo di calcolare il momento d'inerzia J, della distrix

buzione rispetto alla retta xi di versore -n •. <fome da defini­2

zione, esprimendo t come modulo del prodotto vettoriale 'Y\ A X,

esprimere J e Jr rsAssegnato il

si puo scrivere

JX-1::. J 1:.' d,M'.. = j(IW\A x}e(lnAx) cL iVVv,

rrtt f'('iL

L'integrando pUG essere trasformato

(50)

ricordando che

G..A(bAc)= a,eC b - a.-h c,

cosicche abbiamo

8e esplicitiamo l'ultimo fattore delle (51) vediamo che e a­

gevole porlo sotto forma matriciale come segue:

In questa modo la (51) pUG essere scritta

avendo evidenziato la matrice uni taria nel prodotto X-X~' :)C.xlfWl .

- 28 -

Con il risultato (52) la (50) diventa

(53)

avendo evidenziato la matrice ~ definita come

(54)

E' comodo cambiare l'indice di J esplicitando il ver-~

sore dell'asse rispetto al quale si calcola il momento d'i-

nerzia; in tal modo otteniamo finalmente l'espressione matri­

ciale del momento d'inerzia nella forma

(55)

dove", e il versore della retta xi per D.Notiamo esplici tamente che la (55) e una forma qua-

dratica nei coseni direttori di 'Y\.•

Per il calcolo del momento centrifugo, in modo analo­

go a quanta fatto in precedenza, abbiamo

ma

per cui, con la posizione (54) abbiamo finalmente

(56)

- 29--

13. TRASFORMAZIONE DELLA MATRICE D'INERZIA PER ROTAZIONE DEL SR

Ci si chiede ora come cambiano Ie componenti delIa matrice :rquando si ruoti il SR.

A tal fine basta sostituire X con la sua espressione funzione

di W' a mezzo delIa (34) nella definizione (54):

J~J(tx n - X XT)~•••~ j[ IG/T"'jLr - ({X' (QT"') TJ J"",. (57)C01G rye

Si esaminino separatamente i due addendi dell'integrando (51):

a.

Ma essendo q ortogonale, (37),si ottiene

ovvero'

(5 B')

J VQ (S8" )

che esprime la nota proprieta di invarianza qel modulo (scalare)

del vettore posizione in ogni SR' cartesiano.

Dalla Q~T= I si ottiene QT I ~::I ,poiche il prodotto

per la matrice unitaria I lascia inalterata la matrice per la

quale e moltiplicata; si puo scrivere la (5St) nella. seguente

forma

(58)

- 30 -

utile nel seguito.

b.

(59)

. Con i risul tati (58) e (59), la (5'7) divent a :

J0(~T/x'}~IQ- qTx'x,TQ) J~~

da cui,raccogliendo a fattor comune Ie matrici QT e Q ,costanti

rispetto all'integrazione, si ottiene:

J== C?f (I X' 1'-1- X r ><,T) .( ..••.

me,

Q. (60)

Ma, per definizione, l'integrale che compare nella (60) e la ma-

trice momento d'inerzia rispetto al nuovo SR ruotato:

I' e JC Ix'It.I - )(,><,T) J"",me

cosicche la (61) si riduce alIa seguente relazione notevole:

o alIa sua inversa

( 61 )

(62.)

J' = Q J Q"': (63)

Se in un SR sona note Ie componenti delIa matrice 1(momenti

d'inerzia rispetto agli assi) la (63) consente di conoscere la matri­

ce d'inerzia j' in ogni SR ruotato rispetto al primo (e percio i mo­

menti d'inerzia rispetto ad assi ruotati rispetto a quelli iniziali).

- 31 -

Cia significa che non c'e un SR "privilegiato" nel quale espri-

mere i momenti d'inerzia: tutti i SR sono equivalenti.

Anzi da questa osservazione nasce un nuovo concetto: esiste un

oggetto matematico che e in grade di descrivere Ie caratteristiche

inerziali indipendentemente dal SR scelto; tale nuovo ente, Ie cui

componenti nei diversi SR sono espresse attraverso Ie matrici J,J',

J" ... tutte legate dalla (62) e (63), si chiama TENSORE D'INERZIA

e si indica con 7.Si tratta di una generalizzazione del concetto di vettore: nel-

10 stesso modo in cui il vettore puo essere pensato come l'insieme

di tutte Ie sue possibili rappresentazioni in componenti nei diversi

SR, COS1 il tensore e quell'oggetto che e espresso nei differenti SR

attraverso delle matrici ottenibili' l'una dall'altra a mezzo delIa

(62) 0 (63).

Come non si deve confondere il vettore con Ie sue componenti,

COS1 altro e il tensore:J' e alt1"ae la matrice ;r , espressione del ten

sore in un particolare SR.

Osservazione

Da X.•<-t X,!l =: x~t+ X; l..; V Q segue }x ..z of Xtl.) ot~1}C

che per definizione diventa

~J(><~~x}~ J~0/1(

(64)

che si enuncia dicendo che la somma clei momenti d'inerzia assia-

Ii rispetto a due assi ortogonali e invariante, ossia e la stes-

sa qualunque siano Ie rette ortogonali rispetto aIle quali si

calcolano i momenti d'inerzia.

- 32 -

14. ESPRESSIONE TENSORIALE DEI MOMENTI D'INERZIA

Le (~?) e (56) possono essere sintetizzate nella se­

guente formula generale

'J/ft,t ="".Tt , (65)

con le convenzioni(* )

(66)

(67)

dove la seconda espressione della (67) si giustifica osser­

vando che la matrice r e simmetrica ('j:::: j i) e 10 scalare Jrn.l;

per definizione vale anche:

La (65) costituisce effettivamente un'espressione

tensoriale poich~ al variare del SR" ~t resta invariante.

Indicando con~' e t, i versori ~ e t in SR diverse da~A}Xt}con le (33) e (63) si ottiene

(*) Si faccia attenzione al segno nell'espressione del momen­to centrifugo fornito dalla (67).

- 33 -

ossia

Cia significa che la notazione Jab non e sufficiente finche non

si precisano i versori delle rette a e bj la differenza tra i momen

ti centrifughi ottenuti e solo nel segno.

La giustificazione geometrica e immediataj con riferimento aIle

t.~ .L'WI- _e\

\~\ l-

I\

Fig. 18 a) e b) si vede che,nella seconda scelta dei

versori, il prodotto delle

distanze delle masse

degli assi e di segno di-

verso da quello del primo

Jhi.•t" = J I'll t" J Ih1

1)t

J"',t1: J", t, J"" = J t, (- ",.)J"" "\(DC m

FIG. 18

- 34 -

La (66) si enuncia come segue:

II momento d'inerzia assiale J~ di un SM rispetto all'asse pas-

sante per l'origine del SR di versore 1L si ottiene applicando la ma­

trice ~ a~e moltiplicando scalarmente il vettore cosl ottenuto an-

cora per 1'\.

La (61) si enuncia come segue:

II momento d'inerzia centrifuge J~IK'del SM rispetto agli assi~ ~

passanti per l'origine del SR, di versori~ e t , cambiato di segno,

si ottiene applicando la matrice j al vettore ~ e moltiplicando sc~

larmente il vettore cosl ottenuto per t ; oppure applicando. la ma­

trice I al vettore t e moltiplicando scalarmente il vettore cOSl ot

tenuto per 11 .

Esempio: dato il SM in figura si chiede di ricavare J'I1 e Jl>1t rispe!.

to agli assi mostrati.

Facilmente si ricava ( Jx"'x ..•

2-

= -a 'l'rI)

"'=[;Z]YVI

Cont:[- YvtJ.Yrz

la (66) si ottiene:

coincidente con il valore che si ricava

direttamente dalla definizione.

Con la (61) si ottiene:

- 35 -

ossia Jx'X' = -4tl,.tM1 , che pure coincide con il valore calcolabile di-1- Z ~

rettamente del momento centrifugo delle masse rispetto agli assi di

versori 1\ e t .

OSSERVAZIONI

a. Per calcolare il momento d'inerzia di un SM rispetto ad una ret-

ta passante per l'origine delle coordinate occorre precisare il

versore che indichi la direzione delIa retta. E' ovvio che esi-

stono due scelte possibili (Fi~.16) in modo che

"'•• II; - 412, -.Tuttavia l'espressione

tensoriale del momento

d'inerzia ~•.•non dipen-

de dall'orientamento

delIa retta: FIG. 16

delle rette. In effetti/

centrifugo di un SM ri­

spetto aIle rette.a;6 di­

pende dall'orientamento

b. Viceversa il momento x.

osservando dalla fig.17

che FIG. 17

e

dalla (59) si ottiene:

- 36 -

DIREZIONI E MOMENTI PRINCIPALI DI INERZIA

15 . PROBLEMA DI MASSIMO E MINIMO

Dalla osservazione del §13 che afferma J'h-+ J t = costante,

V/ft , t" tali che IY\. 1;:: 0 , e dal fatto che In e uno

scalare limi tato ( (3m I ~ J2. 11 , ove d e la massima distanza

dall'origine) ;segu~ che esiste certamente una direzione della

retta di versore n* per la Quale il momenta di inerzia assiale del

SM rispetto ad essa e massimo.(*)

Al fine di precisare la direzione n* basta calcolare J rispet­nto alla generica retta inclinata di e su.ll'asse xl (fig.19 ) e

annullare la sua derivata rispetto a e

(69)

ove ~ e un vettore le cui componenti sono le derivate delle

componenti di ~ ;

'n=[GOS9jSe.-Yl e

l::: [- S frt\ &J/.oS e

Fig. 19

(*) Da Jill'" + J/;.-l! = costante segue che se Jm*" e massimo allora

Jl:~ = minimo ove t* e ortogonale a ",*.

- 37 -

Si ottiene facilmente:

(70)

cosicche la (69) si PUQ scrivere

ovvero 1m. Jt =lJ~t =- o. (71)

11 momento di inerzia ha un estremo se ~l momenta centrifugo

e nullo.

o in simboli,

(72)

Se si sviluppa la (71)

(73)

- 38 -

e si annulla, Jrit=O, si ottiene

td1 e*== .2 J",.2.JlI - J2..t.

o anche ( J..,z c: - J....y)

(,74'f)

(74)

ove si e indica to,con notazione tradizionale, l'asse x1 con x e 10

asse x2 con y.

La direzione ;nit' (quella delIa retta inclinata di e)to rispetto

all'asse ~1) e quella ortogonale t* si chiamano DIREZIONI PRIN­

~IPALI DI INERZIA.

Le rette di versori~We t·si chiamano ASSI PRINCIPALI DI INER-

ZIA.

Rispetto agli assi principali di inerzia si ottengono il mas-

simo e il minimo momento di inerzia assiale, tra tutte Ie

che passano per l'origine degli assi.

Osservazioni

rette

a) Ie (73) e Ie (74) indicano in valore e verso,l'angolo di ro­

tazione delIa retta di versore 1') rispetto alIa Quale il mo­

mento di inerzia assiale e massimo (0 minimo);

~ e-lt 7[;/b) se e* soddisfa alIa (73), 0 alIa (74), allora anche e == + /2.

soddisfa alIa (73); infatti la direzione ~*, orto­

gonale a 'n"", e pure direzione principale (per esempio J H" enminimo,Jt~e massimo).

c) se }~y =- 0 ~ :rx - J>, F 0 ~ fa 2 e*.::: 0ossia ~1~2 sono direzioni principali.

- 39 -

d) se 'J)C'/ =1= 0 &. Jx -Jj = 0 ~ ~ .2 e~= :t 00 (-+ 00 5e JX{~O)ossia 2- e * = ± '][/2. ) (J * ::::f '!C/4 ;

le direzioni prineipali sono a 45° sugli assi del SR

e) se J;xy == 0 &. 0x - J7 ::: 0 9 ~2{)~:::indeterminato:qualunque eoppia (*) di assi ortogonali e prineipale

f) noto 8 * e possibile ottenere il valore estremo In*

a tal fine si esplieiti In con la (66):

J;t] [(,oS e]J,n JM1 e

(75)

(*) La giustifieazione e ehe qualunque sia e ~ J"",t (e); 0

(efr. ( 71' )), ovvero J non varia con 8'.n .

Tenuto conto che

.t /) ,,+ GaS 2 ()c.o S 0'= -----) Z

la (75) diventa

- 40 -

-s~~r9= 1-~sle­2

Jm =(76)

'*Ponendo ()= B" si ottiene

::: 1

LQs. 28* (77)

_./

Osservando che posto fj ot::" a., si ottiene Cos tV == :t., (It ct.~ ~ (78)ancora con la (74')l'ultimo addenda della (77) si scrive (supponen-

do J"il - ~2 > 0 e

con la Quale finalmente si ottiene

Tenendo presente che J"",* -+ Jt -lI- = J" + ~ Z

(79)

si ha

(80)

- 41 -

La (78) e (79) sono le richieste espressioni dei momenti

principali d'inerzia.

g) Se Iimitiamo il dominie di 8* aII'intervallo [-~ J ~/.4J Ie

(79) e (80) sono valide quando J > J (ossia J si ha nel-11 22 max

Ia direzione 1n~); viceversa se J < J il segno davanti al11 22radicale deveessere cambiato.

h)se Ie masse sono tutte positive allora In e una quantita defi­

nita positiva, ossia

che e la definizione di matrice defini ta posi tiva per J.Poiche condizione necessaria e sufficiente affinche una matri-

ce simmetrica

sia defini ta posi tiva e che ~1 > 0

e (*)

(81)

segue

cosicche

la (80) fornisce sempre un valore positive per il momento mi-

nimo.

(*)Cfr. Teoremidi algebra delle matrici.

- 42 -

16 . PROBLEMA AGLI AUTOVALORI

La (66) indica che per valutare il momento di inerzia J~ oc­

corre calcolare il prodotto scalare tra il versore ~ ed il vetto­

re j", (prodotto del ._,-tensore. d I inerzia per ~ ).

In generale i vettori '" e!'h 'non sono paralleli (collineari ):

la proiezione di r~ sul versore t ortogonale a1t e diversa da

zero (fig.20), ossia J/')'Il; = t.Jm ::/=0.

------1.

Fig.20

Con questa osservazione si PUQ affermare che ricercare le di­

rezioni ~* e t* per le quali il momento centrifugo e nullo equiva­

le a ricercare la direzione ~4 per la qualeJm4e parallelo a~~

in simboli (*)

(82)

(ove A e uno scalare) che e un classico problema di autovalori.

La (82) PUQ essere anche scritta, utilizzando la matrice

uni taria 1 , come JItIJtt- 'AI I)J.=.0, ossia

(83)

(*) Due vettori Ai. e "b sono paralleli se 0,... = A b J ~ € /fl.

- 43 -

La (83) traduce formalmente un sistema lineare di due

equazioni in due incogni te (1Yl ~ e. ttJr, le componenti di ,,""),re~to

dalla matrice (J - A I ).11 sistema e omogeneo; cia significa che esiste certamente*

la soluzione banale ~ = D (come e facilmente verificabile ).

Tuttavia tale soluzi6ne non e significativa per cui ci si

chiede se esistono altre soluzioni.

Cia accade solo se almeno una delle equazioni che compaiono

nel sistema (83) e combinazione lineare delle altre, ossia il de-

terminante della matrice deve essere nullo (Rouche - Capelli )

J.u.-).

(J-Alj=o

ossia J JAA - AI,l.=0

che sviluppato fornisce la cosidetta equazione secolare

. (84)

Le soluzioni della (84), Ai e ~2 ,(*) sono detti autovalori

della matrice :r :

(85)

e coincidono con i momenti principali'd'inerzi?-.

Se si sostituisce A-1 (0 A-l,) nel sistema (82),eliminando

una equazione -combinazione. lineare dell' altra- si possono otte­

nere i valori delle incogni te 11/,,~e 'Yl: componenti dell' autovetto­

re 'Yl"l. corrispondente al14 autovalore .A1. (0 )..,t).

(*) Si pua dimostrare che se Je'simmetrica e defini ta posi tiva.,

gli autovalori sono reali e positivi. 1noltre gli autovettori

corrispondenti sono ortogonali.

- 44 -

C1RCOLO D1 MOHR

17. CIRCOLO D1 MOHR PER I MOMENT1 D1 1NERZ1A.

Si vuol mostrare che il punta P le cui coordinatendefini te dalla coppia (J,., (9) , J/l1t (e)) descri ve un circolo

sono

al

variare dell'angolo d'inclinazione e del versore ~ sull'asse xl.

Utilizzando la

Jtyl - .Ju+ J:.2 =2.

(76) e la (73) si puo scrivere:

JI1- Jl.t 005 1..e -t JI2.. .s~ 2. f72.

.III -JIZ, ~fM 2 e of J1t ,tos 2 ti2.

(86)

dalle quali, elevando al quadrate e sommando, si ha

(87)

(88)

La (87) e l'equazione di un circolo (Fig. 21) con centro

C sull'asse delle ascisse di coordinata

J = J" + T'l-C 2..

e raggio

(89)

denominato Circolo di Mohr.

OSSERVAZ10N1

a. Poiche a ciascun punta del Circolo di Mohr sono associati i

momentl d'inerzla del SM rispetto a due assi (inclinati di e

sul SR assegnato) e possibile individuare immediatamente

- 45 -

i valori estremi di J ossia i.momenti principali d'inerzia chenSi, otterranno in corrispondenza del dei punti di intersezione

del Circolo con l'asse delle ascisse. I valori principali so­

no ottenibili, stante la (8.7)come

JM'I~)tn11'~ == Je ± tche coincide con Ie (79) e (80); con notazione tradizionale si

scrive anche

(90)

Dalla osservazione h) del paragrafo'precedente si deduce

che il Circolo di Mohr giace nella regione J ~ o.nb. Sia P = (J , J t) il punto rappresentati vo dei momenti d'iner-n n n

zia quando il versore" e inclinato di e sull' asse xl (Fig.22);

il punto Pt, rappresentativo dei momenti d'inerzia quando il

versore " e inclinato di e T 1f:/2.. (Fig.23), e allora

trale rispetto a P (Fig.24).n

J...•

diame-

Fig. 21

J",

Fig. 22

- 46 -

J.t

Fig. 23 Fig. 24

Infatti ponendo e -+7{;/2 nella (86) si ha (*)

J: ( "C) '= JI1 -+ J22 _ (JII - Ju (,o~.t.etJ ~.2e)Met;: l., z It

mentre Jnt cambia di segno.

c. Si supponga che il SRassegnato sia principale, ossia

-J = J12 = O. In tal caso le (86) diventano (**)x1x2

= -(91)

Le (91) sono suscettibili di una interpretazione notevole se

si assumono le seguenti convenzioni:

(*) LOS(,l&tn;)::. - c.os2.() i .)e~(.le+'C)::: - :'lt111f).

(**) Si supponga, per semplicita.,J! >J1

- 47 -

- in ordinate si riporta -J t= J. I I' ossia il momento cen-n x1x2

trifugo come definito al §6

si misura 28 , nel piano del Circolo di Mohr, nella stesso

verso di rotazione del versore ~ nel piano del SM.

Per laprima convenzione Ie (91) diventano

J~ _ Jl +<7"l =- J~-J~ Co~.2eZ

2- (92)

- JIi1t-

= -t Jj - ~"1 .s~ 1. eL

Ie quali indicano che quando "'" ruota di e il punta Pn

suI Circolo di Mohr, rappresentativo dei momenti dlinerzia

rispetto agli assi ruotati, ruota di 2 e attorno al centro

del Circolo (Fig. 25).

Fig. 25

Ovviamente per e = 0 -==9 PNl:= Px .,

e per e:: 'Tt/Z ~ £111:: Px .t.

II punta P (6) puo essere anchente costruzione(Fig.26):

& JM = JsJc! JM = J'1'determinato con la seggen""'l

delle

(Fig. 26) si interseca il Circolo di Mohr in un punta

- 48 -

1. sia p* il simmetrico di P rispetto all'asse delle dellexl

ascisse, denominato polo del Circolo di Mohr (*); si trac

ci una retta verticale per p* parallela all'asse

ordinate (verticale);

2. ruotando la verticale per p* delle stesso angola di cui

ruota il versore t ,ortogonale a ~ sul piano del SM

P~nche con le sue coordinate esprime i momenti d'inerzia del

SM rispetto all'asse di versore ~ (ascissa) e agli assi

Ir\ e t (ordinata).

e t , rispetti vamente.

alla circonferenza--------

centro P Cp* e 2 e .ncostruzione le rette

In effetti l'angolo

per cui l'angolo al

Si osservi che per

lele ai versori ~

Fig. 26

in p* vale e

net sono paral-

all'asse xl per cui P*= Pxl

(*) Nel caso particolare di SR principale P appartienexl

- 49 -

18. IL CIRCOLO DI MOHR IN UN SR NON-PRINCIPALE

Nel SR generico assegnato il Tensore d'inerzia abbia le

seguenti componenti

(93)

Con la convenzione di considerare come parametro -Jnt

(= J , ,) anziche J t le (86) si possono scrivere:x1x2 n

JII T J.U _0\1 - J1. 2. {.Os1. e - (- Ju ) ,S-tM 1. e

2...

(94' )

( 94'.',)

Queste relazioni, che esprimono i momenti d'inerzia ri­

spetto agli assi passanti per l'origine del SR e di versori m

e t , possono ricondursi alla seguente forma

vr=

z=

Ov UJ::, 2.e - b ~ 1.e = A lo~ 1-{B+eo)

~ ~ 2. e ;. b (oj le = _A ~~ if e+ eo)(95)

(98)

(99)

(96)

(97)

ove si e posta

~ = :1" - J2L.l

,6 = - :I,%..

A =.y:;: b'- ~ V(J.,~Jut+:r,/ = 'Z­

~ .2 e()= 1- ~- .l Jtt. ~ _ tJ.2e~IJ..., J"1I-JZ.t

Le (94), per le (96) ~ (99),diventano, con la posizione

(88),del tipo

- 50 -

(100)

le quali sono le equazioni parametriche di un circolo (Fig.27)

percorso nel senso positive degli angoli (antiorario)a partire

dall'angolo iniziale -2 e*.

-I.t

Fig. 27

Le (100) per 8= a forniscono P che e il punta associatoxai momenti d'inerzia del 8M rispetto agli assi del 8R assegnato.

Infatti tenendo presente che

CDs rL =

si ottiene:

)

a.

1

~A-t(1.JI2. )'311 ·Ju

- 51 -

ossia

b.

-Jlllt ': - ~ ~2e*-:::. -t, (.Oj2e'*~11:7*= - JI/-Ju. ,2Jlt = - Ji.t.2. JI/ • 1.2.2..

Da quanto esposto si puO affermare:

1. Si prenda un sistema di assi cartesiano ortogonale ove in

ascisse si riportano i momenti d'inerzia assiali J e in or----- ----------------ndinate i momenti centrifughi, ossia le componenti Jfut cam-

biate di segno;

2. Si riportino i punti PeP (0 PeP ) relativi ai momentix Y xi xL

d'inerzia rispetto agli assi x e Y-(o x~ e x2)

del SRasse-

gnato per descrivere il SM;

3. Per conoscere i momenti d'inerzia rispetto ad assi ruotati

dell' angolo e rispetto x e y (0 xl e x2) basta ruotare di 2 enello stesso verso, il raggio che unisce Peon C; il punto p~---------- xcosl individuato descrive con le proprie coordinate i momenti

d'inerzia cercati (anche in segno).

Esempio

x

- J...t - J""yl

'..,s·

- 52 -

2 2Pn(45°)= ( ma , +ma ) valori che coincidono con quellilabili direttamente •

calco-

Fig. 29

insiste

seguesu un arco il cui angolo al centro e 29

IIRuotando di e (nello stesso verso di rotazione del versore ~)

la retta verticale per P*, si intercetta un punta del Circolo

che coincide con P .n _

In effetti poiche l'angolo alla circonferenza P p*pn xl

-----P p*p = e .xl n

In questa modo si PUQ interpretare la rotazione della

retta verticale per p* come parallela all'asse di versore t del-

- 53 -

la coppia di assi rispetto ai quali si chiedono i momenti d'ine£

zia. Per. l'esempio precedente la costruzione e quella di Fig.30.

-J.t:: Joe''!'

Fig. 30

- 54 -

19. Rappresentazione grafica delle direzioni.principali.

Da quanta affermato in conclusione del paragrafo precedente se-

gue naturalmente una via per determinare graficamente Ie direzioni

principali. In effetti basta individuare quelle rette che dal polo

p* passano per i punti estremi del Circolo di Mohr sull'asse delle

ascisse, come mostrato in figura:

FIG. 31

I

Infatti i momenti centrifughi rispetto agli assi paralleli a

~ e 1 sono nulli perche P3 e P, hanno ordinate nulle.

Per concludere s~ osservi che esistono diverse possibilita di

denominazione degli assi principali in relazione ai multipli di

%/2 che si aggiungono alIa minima_rotazione necessaria per porta-*

re la retta verticale per P in corrispondenza degli estremi del

Circolo (Fig.32). (Si noti che gli assi {3J1J formano sempre una

coppia levogira).

- 55.-

(101)

- 56 -

SISTEMA ANTIPOLARE

Torniamo ora a considerare il SM come distribuzione di su­

perfici A (DS) ,descri tta in un SR cartesiano non-ortogonale

(efr. Fig.l), supponendo per ora che-la retta x non sia baricen­

trica. Learee saranno sempre positive, salvo avviso contrario.

20. CENTRO RELATIVO

Definendo la massa elementare dm come momento statico dSxdell'area della superficie elementare dA rispetto alla retta x

(cfr. 4.c e 6.d)

cl fW\, ~ J, S>,

M c jclM\, = S)< ,

rA

possiamo,chiedere di determinare il CM di questa nuova distribu­

zione di massa. Come da definizione

- J)( .~('M. ]

)( :::..!.. "fYr.-

ct'j t1J yL~

'YItt

per cui, stante le (101),

(102)

le coordinate del CM diventano

[ fy t~A ]

J"y

X ::: J-. vf,

S)t

c." .5,. J y y d.-A =

J)<

I .(103)

~

Sx

11 CM dei momenti statici rispetto all'asse

x prende il nome di

Centro Relativo (CR) alla retta x della DS e si indica con CxDalla (103) scaturisce immediatamente il significato geome­

trico di CR: se pensiamo il momento statico della DS "concen­

trato" in C possiamo ottenere i momenti d'inerzia come segue:x

(104)

- 57 -

Calcoliamo esplicitamente l'ordinata del CR utilizzando la (5)

ed il teorema di trasposizione (25')

'" :' (105)

Questa relazione indica che il Centro Relativo dista da x

Relativopiu del baricentro G; in altre parole retta e Centro

sono da bande opposte rispetto a G.

Dalla (105) segue pure che se si fa tendere la retta x a G

se

im-

rettala

(YG ~ 0) Cx si sposta all'infinito (YCx~OO). Viceversa

YG -+ CO allora YC - YG -+ 0, ossia se x tende alla rettax

propria allora C tende a G.xAssegnata una:"retta x*, possiamo scegliere

passante per G con un'inclinazione tale che risulti J * = 0x Yo

(Fig.33, cfr. anche oss. 21.a).

Dal teorema di trasposizione

per il momento centrifugo (24)

J)()to = Jx% ==- Jx Yo :: 0 J

qualunque sia la retta x del

fasCio di rette parallele a

x*. Per la (104") (cfr. an­

che la successiva oss.b) tut­

te le rette x hanno il Centro

Relativo C su Yo; in parti­xcolare se la retta x tende a

G, C tende al punto impro-x

prio di Yo. Notiamo infine

la corrispondenza biunivoca

tra la retta x ed il suo CR

( ~ Yo) la cui distanza da

Fig. 33

- 58 -

x e facilmente determinabile con la (105).

Osservazioni:

a) Poiche il CR e un CM (di una distribuzione di momenti statici)

la sua posizione non dipende dal SR utilizzato per posiziona£

lo.In generale una volta assegnata la retta x e valutato il

campo scalare dS dei momenti statici dellexIe retta, potremmo determinare C in un SRx

non necessariamente coincidente con lX,y] .

dA rispetto a ta­

qUalSiasi!Xt,X2}

!J.~~x '" M\, 1. /IV I{[

62. SX r:: ~ ~ VI

~ [/WI..2 0., ifi .2.\1.. Vi3M1ll-V'i.

o::

o

Come si verifica facilmente questa punta coincide con quello

trovato in precedenza.

- 59 -

c) Come si e visto,

agevole se J =xyretta x possiamo

trifugo della DS

Tuttavia nel caso in cui i due SR coincidono risulta la rela­

zione notevole (103). Nel segui to sceglieremo sempre tX1J X.l.)~~)(;'11.

b) Se J = 0 dalla (104") risulta Xc = 0, ossia se il momentoxycentrifu~o della DS lit rispetto X alle rette x e y e nullo

(*) il CR alla retta x appartiene a y.

la ricerca della posizione del CR e resa piu

O. Poiche di solitoe assegnata solamente la

fissare y in modo tale che il momento cen­

if{ sia nullo. Tale procedimento e immedia-

to nel caso di simmetria (anche non ortogonale~ cfr.5.c) per

il Quale la y e anche baricentrica. Si voglia, ad esempio,

valutare il momento centrifugo del triangolo di fig. rispetto

agli assi xl e x2• Scegliendo l'asse y coincidente con la me­

diana della base risulta J = O. C giace quindi su y, adxy x

b

una distanza

.,... -;- b C' j10IC.. i Iy _ <J)c Z /..vrel<- -05 = -r-/-I-' --J =?)\ - 0 '" J-u..l. ~ <-

Z. :?

Dall'indipendenza della

posizione del CR (oss.a)

risulta facilmente

(*) Occorre sottolineare che da J = 0 non si puache x e y sono direzioni principafi d'inerzia; cia e10 nel caso in cui le due rette sono ortogonali. Se

accade le rette si dicono, come vedremo, coniugate.

dedurrevero so­cia non

- 60 -

21 TEOREMA FONDAMENTALE • POLARITA'

Come abbiamo fatto per la retta x nel §20 possiamo ora

considerare i momenti statici della DS ~ rispetto alla retta

y e ricercare il CM del camposcalare dS • Definiamo pertantoyCentro Relativo alla retta y, C , della DS ~ il punto di co­yordinate

[ Jx xLA

JyX '"

_I d.sy I (106)'" Cy

57 f Y )( lAl)(y-

tASy

in perfetta analogia con la (103).

y. Abbiamo pertanto provato il

Nel caso in cui J = 0 risulta yc = 0 cosicche il CR Cxy Yyappartiene alla retta x; ma.per l'oss.20.b da J = 0 segue. xy

seguenteanche C ExTeorema Fondamentale:(TF):

Se la retta r contiene il CR alla retta s

allora la retta s contiene il CR alla retta r.

In simboli:

Definizione 1: due rette si dicono coniugate se una contiene

il Centro Relativo all'altra.

Con questa definizione possiamo riassumere quanto detto nella

seguente proposizione:

Condizione necessaria e sufficiente perche due rette r e

s siano coniugate e che il momento centrifugo della DS

J , sia nullo.rsIn simboli: Lsit <-> C" ~ s ~ ~s =0.E' evidente che esistono infinite rette coniugate ad una retta

r assegnata: sonotutte quelle del fascio di centro C (Fig.34).rDal TF segue che i Centri Relativi alle rette s.1 giacciono

su r; inoltre poiche la corrispondenza tra una retta ed il

suo Centro Relativo e continua, possiamo riguardare ogni ret­

ta r come la punteggiata dei Centri Relativi alle rette del

- 61 -

Fig. 34

fascio per il proprio Centro Relativo C .-------- r

Abbiamo finora stabili to che, assegnata la DS rJt • c'e

corrispondenza tra rette e punti: per ogni retta r del piano

(propria 0 no) esiste un CR C Centro di Massa dei momentirstatici rispetto a r; viceversa ogni punta del piano puo es-

sere riguardato come Centro Relativo ad un'unica retta (cfr.

oss.a seguente). Questa corrispondenza, biunivoca e continua,

si chiama POLARITA' e si dice che Ceil Polo di r mentrer ---------r e la Polare di C •--------- rDefinizione 2: due punti si dicono coniugati se uno giace sul-

la polare dell'altro.

Per esempio G e il polo della retta impropria e, per il TF,

la polare di un punta improprio e una retta baricentrica.

Con quest' ultima definizione si puo anche affermare che

ogni retta e il luogo dei punti coniugati al proprio Centro

Relativo.

- 62 -

Poiche r e C sono da bande opposte rispetto al baricen-rtro G non esistono rette Autoconiugate (nessuna retta contie-

ne il proprio Polo), ne esistono punti autoconiugati (nessun

punto giace sulla propria polare) (*).

Osservazioni:

a) Poiche il CR e un Centro di Massa (ed e unico) si intuisce

che, assegnato un punto C, deve esistere una retta x (ed

una sola) tale che~il suo centro relativo C coincida conxC. In effetti la determinazione delIa retta incognita puc

avvenire con il seguente procedimento:

1. Facciamo passare la retta Yo (? G) per C (poiche non e­

sistono rette autoconiugate x f Yo) •

2. Poiche C deve coincidere con C ,per il TF C deve ap-x Y

partenere alIa retta x; inoltre poiche Yo e baricentri-

ca il suo Polo e improprio; segue che x non puc essere

paralla a Yo perche altrimenti C sarebbe il punta im-Yo

proprio di x che e il medesimo punta all' infini to di Yo

e Yo sarebbe pertanto autoconiugata.

3. La pOlare di C interseca :9.unqueYo in un punta 0 nel

Quale poniamo l'origine del SR ~x,y1 .

Assumendo come parametri incogniti yC e l'angolo d che

la generica retta del fascio per 0 forma con Yo (Fig.35)

Fig.35

(*) Se cic accadesse dovrebbe risultare, dalla (105),

t

YCK - Y(;" eiY c,. = - yrx ->

la cui soluzione e immaginaria.

- 63 -

la retta r sara determinata dalle seguenti condizioni:

(a)

(b)

11 sistema e sempre solubile: supposto YC costante

esiste certamente una soluzione ~ della (b) essendo

J (oL; Yc) una funzione continua di ot che cambia dixy

segno almeno una vol ta per ~ € (OJ lJV) • Trovata la direzio­

ne x coniugata alla Yo ' ogni retta x parallela a x

e pure coniugata a Yo (cfr; oss;b) per cui la (b)

diventa indipendente da yc e pertanto sempre soddisfat­

ta. Basta risolvere la (a) scrivendo

ovvero, ponendo CG = w,

-> Yc ;: W -t e'O.(.v:; 7

b) Se due rette xoe Yo sono coniugate (J = 0), ossia ilxoYo

punto all'infinito dell'una e il polo dell'altra, tutte le

rette y parallele a Yo sono coniugate a Xo e tutte le ret­

te x parallele a Xo sono coniugate ~ Yo' 1nfatti il teore-

ma di trasposizione (24) mostra che0 A ~Jxo'l ~ ~i )(trj{ :::0 )o 0Jx Yo :::

J~o + A;; y~ ~ 0 ,

La proprieta enunciata si poteva dedurre anche come appli­

cazione del TF osservando che tutte le rette x parallele a.

Xo passano per il polo di Yo che e il punta all'infinito

del fascio.

- 64 -

22.INVOLUZIONE DELLE RETTE E DEI PUNTI CONIUGATI

Assegnamo un punta qualsiasi Q del piano e tracciamo per

esso la retta rQ (Fig. 36). Tra tutte Ie rette del fascio di

centro Cr ' che sono coniugate a rQ(*), scegliamo la retta rche passa per Q (**);

ad ogni retta rQ del fascio

per Q possiamo associare

un'altra retta del fascio,

rQ, coniugata alIa prima(ossia tale che C E F).rIn simboli

Fig. 36

Determinata r possiamo chiederci di nuovo quale e la retta rQassociata ad essa, ovvero quella retta per Q che contiene il

polo C_. rQnon puo che coincidere con r poiche tra tutter Q

Ie rette del fascio di centro Cr ' che per il TF ~ rQ, l'uni-

ca che passa per Q e proprio rQ.In simboli

Ricordando che una relazione f che gode delIa proprieta

-> I

(*) 5e G E r C e un punto all' infini to ed ilfascio e costi­rtuito da rette parallele.

(**) Poiche Cr I r (non esistono rette autoconiugate) r f r.'

- 65 -

qualunque sia l'elemento a del dominio di definizione E, si

dice Involutoria , denominiamo la corrispondenza

C'l.

--t 1':)"' ••••Ie""\ c- 'tIt>

Involuzione delle rette coniugate attorno a Q.

Di notevole importanza e l'involuzione delle rette co­

niugate attorno a G, per le quali, come abbiamo visto, il po­

lo dell'una e il punta all'infinito dell'altra.

Sfruttando la definizione di punti coniugati possiamo,

in modo duale, parlare di corrispondenza tra punti di una

stessa retta. In effetti

assegnata una retta r

qualsiasi ed un punta Qrad essa appartenente,

tracciamo la polare q di

Q (la Quale per il TFrpassa per C· ) che inter­rseca r in un punto qr(Fig.37). Ad ogni pun-

to Q ere associatorcosi un altro punta

I

IFig. 37

passare

dobbiamo

la retta da-

passa per C ,ranche

ta. Poiche Q E rrma ~ appartiene anche a q per cui q (*) deve

per Q cosicche otteniamor

Q corrispondente a Qr rricercare l'intersezione della polare q di Q conr

il TF consente di affermare che q

Q E r:rSe ora vogliamo determinare

Q. 'U -> Q'U : Q 'V c q

Abbiamo dunque stabilito l'involuzione dei punti coniugati su

(*) q e q si corrispondono percio nell'involuzione delle ret­

te coniugate attorno a C .r

- 66 -

una retta:~ ­

QlO" - ... Q-tJ­,Particolarmente importante e l'involuzione dei punti co-

niugati di una retta baricentrica.

23. L'ELLISSE CENTRALE D'INERZIA (Culmann)

Abbiamo visto nel §21 che la polarita tra rette e centri

relativi non ammette elementi uniti (rette e punti autoconiu­

gati). Questo fattoeparticolarmente sgradito perche non con­

sente di individuare, nel piano della DS ~ , quei punti no-

tevoli che possono dare immediate indicazioni

assai utili nelle applicazioni.

Si ricordera che non esistono elementi

qualitative

auto-coniugati

perche polare r e polo C sono da bande opposte rispetto a G.rPer ovviare a cia operiamo una simmetria di C rispetto a G--------r'--.....o-------ottenendo un punta P • Se ridefiniamo polarita la corrispon­rdenza tra r e p(~allora la relazione tra r e C diventa unar rANTIPOLARITA' tra la pOlare r e l'Antipolo C . Mentre l'anti-rpolarita e ancora priva di elementi uniti la polarita tra r e

Prammette elementi autoconiugati: esiste una retta che contiene il

proprio polo; per ottenerla basta imporre che la distan-

za di P dalla retta siar

d'inerzia della DS ri-

spetto alla retta bari-

Fig. 38

(107)

il raggio

nulla

'Y -('( -v)::o6r e'l; 1(;

Yr.r - ( Co~/'j&) ~ 0

essendo fto

centrica parallela a

quella considerata.

(*) Dall'unicita del CR segue l'unicita del polo P .r

- 67 -

La (107) mostra che tutte le rette che distano ~ dal bari­

centro contengono il proprio polo e pertanto sono autoco­

niugate.

Con l'introduzione della definizione di Antipolarita pos­

siamo modificare il TF come segue:

se una retta r contiene l'antipolo Cdellarettassallora

s contiene l'antipolo Cdi r.r

Possiamo a questo punta chiedere di determinare

illuogodei

Per sempli-

ficare le cose scegliamo il SR coincidente con quello princi­

pale d'inerzia della DS. L'idea e la seguente: al variare del­

la retta generica r, in­

dividuata dalla direzio-

Fig. 39

ne 'n ad essa ortogonale

e dalla distanza d da G

(Fig.39), cerchiamo le

coordinate di C ed im-rponiamo che il punta P~,

simmetrico di C rispet­rto a G, appartenga a r.

Per quanto detto l'equa-

zione di r si scrive

()( - )(~). ~ := 0con )(*: -d "" , oppure

- 68 -

Le coordinate di Cr ne SR fn,r} sono

.J.- /- Jl; J",- _, [Jto-+ Mdl] ::::[d}-t _, [Jtojt-1J L -J~t 1'1<1 - J/)\~ 0 MJ .J'At

che nel SR !n,t~ baricentrico diventano

(108)

w':I

Md

(109)

avendo indicato con ~'il vettore C - G.rPer la (107) la distanza d per la Quale la retta e auto-

coniugata vale f t ' mentre operando la simmetria Ie coordi-o

nate di P sono quelle di -WI; infine se vogliamo riferir-

ci agli assi Jx1,x2) basta utilizzare la trasformazione di

coordinate (34) _W=_QTw' ottenendo COS1

(110)

. 2 2 1. ~. l/l fJ 1. If)Da Jt = J11 sln Q +J22COS Q segue (''to = f, .hk. f7"t,L(P?o

che la (110) puo essere riscritta come segue

cosic-

\.1 _ to) e

- XP'lJ = I

V (Jc. )' .,~'e+ rrn'f)

fvFffr" ~\M. 9-

I(111)

f,

-V (1-'-)" .;~'e+"",'6t" '

- 69 -

Ponendo

11/ r L

~(;)

11~ ~J';" L~ -r (0./ eIt.. h~ 9

Y ~t.. ••.•.~ e -t (nt ()

(112)

(113)

~f=;~"$ele (112) si semplificano fornendo finalmente le coordinate del

ovvero

punta P~autoconiugato sulla retta r

(114')

Le (114') sono le equazioni parametriche del luogo cercato:

l'ELLlSSE CENTRALE D'INERZlA (ECl).

Elevendo al quadrate e sommando otteniamo la forma cano-

nica (Fig.

40)t

1.

X",Xl.= 1- (114)-+

Xl.

fl,tf/

Fig.40

- 70 -

Notiamo che gli assi dell' ECl sono que IIi principali d'iner­

zia delIa DS rJf.

Se vogliamo conoscere la relazione tra la retta r e la

sua coniugata ~ (passante per C , G e P ) basta calcolare l'r rangolo 9 a mezzo delle (114')r

~ {};;;= ' ><~p~ ~ A t r'><-11\" i~ (j

che per la (113') diventa

(115)

Poich~ l'inclinazione delIa retta r sull'asse xl ~ 9 - ~/2 '

(cfr. Fig.39) abbiamo che tg 9 = - ctg 9 cosicch~ la (115)rfornisce il risultato cercato

Questa relazione traduce analiticamente

delle rette coniugate attorno a G; infatti

(116)

l'involuzione

.2.

/tJ1>i::

~ &/i -= - A. C-~ ~'l,

--=

~ t1~ = _ ••.' '-~ £I. = - ••.• 4 < ~ eO, -l>ItJ 'r

> 'V :

_ tl..Jl.e~&'Z,.

Riassumiamo brevemente cia che abbiamo fatto: dalla corrispon­

denza.tra retta (polare) e Centro Relativo(Antipolo)priva di

elementi uniti ellisse immaginaria, a mezzo di una simmetria

di C rispetto a G abbiamo ottenuto un'altra corrispondenzartra retta (polare) e polo ~ per la Quale il luogo dei pun-

ti autoconiugati ~ reale: l'ECl. Quest'ultima corrispondenza

~ anch'essa una polarita tra Polare e simmetrico di C rispet-. rto a G.

- 71 -

Conica rettaCP(simm.C )Corrispondenzarr

tra r e Crlmmaginaria

PolarePolo--Polarita

Reale

(ECl)PolareAntipoloPolo Antipolarita

Dalla costruzione e con la (107) deduciamo che l'ECl e

anche il luogo del generico raggio d'inerzia ~o(rispetto al-

l'asse r 0 baricentrico) riportato lungo la retta coniugata rG.

Naturalmente il momenta d'inerzia, e per conseguenza il rag­

gio d'inerzia, e calcolato del SR delle rette coniugate che

si corrispondono nell'involuzione attorno a G. Se si vuol co-

noscere il raggio d'inerzia valutato con distanze

prese ortogonalmente all'asse basta proiettare f~osulla per­

pendicolare a ~per G(Fig.41) come indicato dalla (15).

Da questo punta di vista

si ha conferma diretta che

le direzioni degli assi mag­

giore e miminore dell'el-

~ lisse coincidono con gli as-o

si principali centrali d'i-

nerzia della DS ~.

Fig.41

- 72 -

24.COSTRUZlONl NOTEVOLl CON L'ECl

Come accennavamo all I inizio del §23 la conoscenza del-

l'ECl semplifica grandemente la riceTca delIa corrispondenza

retla-Centro Relativo (Polare-Antipolo); anzi, in generale,

basta la conoscenza di due diametri coniugati per determinare

tutte Ie caratteristiche inerziali delIa DS .

a. lnvoluzione delle rette coniugate attorno a G.

Abbiamo gia visto che la coniugata alIa retta rG si ottie­

ne unendo il baricentro con il punto di tangenza delIa pa­

rallela a rG all'ECl (cfr. Fig.40).

b. Determinazione delIa polare dato l'antipolo (nota IlECl).

b.l. P esterno all'ECl (Fig.42)

Tracciam6 da P Ie due tan-

genti alliellisse a e b

(punti di tangenza in A e B

rispettivamente).

Ricerchiamo dapprima la po­

lare di P; vale natural men-

te un teorema analogo al TF

per cui la polare p* di P

f e la retta AB. L'antipolare

p di P e percH> la retta

simmetrica di AB rispet-

to a G.

Fig. 42

interne all'ECl (Fig.43)

Tracciate due rette a e b

qualsiasi e determinati con

il procedimento b.l. i poli

A e B, l'antipolare richie­

sta e la retta simmetrica

di AB rispetto a G.

Fig. 43

- 73 -

c. Determinazione della polare dato l'antipolo (noti due dia­

metri coniugati qualsiasi)

Tracciamo per P due rette a

b .e b parallele ai diametri

la quale pUG essere riscrit-

punti coniugati. Analitica­

mente vale ancora la (105)

coniugati noti. Ricerchiamo

poi gli antipoli di a e b

deil'involuzionetramite

Fig. 44

ta

ovvero

graficamente ricordando che

avendo posta w')(, la distanza

Px G, dove X. indica, a se-

ipotenusa.

a 0 b.

rettangolo

(117)

interpretabile

casi,

w-:. =';t.

in un triangolo

sulla stessa

l'altezza relativa all' ipo­

tenusa e media proporzionale

tra le proiezioni dei cateti

conda dei

La (117)

La costruzione e riportata

in Fig. 45. L'antipolare di

P e pertanto la retta per

c' e"

L % , IfA

Fig. 45

- 74 ­

25. NOCCIOLO CENTRALE D'INERZIA

E' utile conoscere, in alcune applicazioni (pressofles-

sione), il CR (Antipolo) di una retta tangente al contorno di

una superficie. Si pone percio il problema generale di determi­

nare il luogo degli Antipoli delle rette tangenti e non seeanti

di una DS vt assegnata: il Nocciolo Centrale d'Inerzia (NCI).

Come si desume dalla definizione non sono soltanto le caratte­

ristiche inerziali della distribuzione c4 che influenza il

luogo, ma anche la configurazione geometrica; piu precisamente

e determinante la geometria dell' inviluppo di rette Inv( ~) (*)

della distribuzione di superfici. Con riferimento alla Fig.44

il NCI e il luogo degli Antipoli delle rette tangenti alla cur­

va ABCDE = Inv (t/6 ).

E

A

Dalla definizione seguono alcu~

ne proprieta notevoli:a.

L'antipolo di una retta (non)

intersecante la DS

Cl'be(interno)

esternoalNCI.

Infatti il CR

·diunaretta

baricentrica (che certamen­

te interseca ~) e un pun­

to improprio. Poiche esiste

Fig. 44

una retta propria tangente

all' Inv(~) il cui antipo­

10 giace sul NCI, dalla con­

tinuita della corrispondenza

~~~

segue la proposizione a. Indicando il dominio racchiuso dal

NCI con ~(NCI) e cono

~ (NCI) l'insieme dei punti interni

possiamo scrivere in simboli

(*) Ovviamente Inv( ~ ) delimita un dominio convesso.

- 75 -

Nt!

Fig. 45(NC1) contro l'ipote-C Cs

segnate in figura, hanno il

CR Ct sul segmento (Ca,Cb)

i punti del quale, per ipo­

tesi, non appartengono a

~ (NC1). D'altra parte tali

rette sono esterne a 1nv(v()

per costruzione (*) e dalla

proposizione a. segue che

si che pertanto e falsa.

c. Ad ogni cuspide dell'1nv(vt) corrisponde sul NC1 un segmen-

b. 11 NC1 delimita un dominio convesso. Dimostriamo la proposi­

zione per assurdo. Supponiamo che il NC1 non sia convesso;

esiste duhque una retta s per i punti C e Cb-, appartenentia ~

al NC1, il cui segmento (aperto) (Ca,Cb) 1- Ol) (NC1) (Fig.45).Per il TF e dalla definizione di NC1 deduciamo che C e l'in-stersezione delle rette a e b tangenti all' 1nv(er{) e polari

di Ca e C b,rispettivamente.

Le rette t, della famiglia

del fascio di rette per Cs

to. Basta richiamare che, detto P il punta di cuspide, il

luogo degli antipoli delle rette del fascio per P e la pola­

re di P (cfr. §21).

d. Ad ogni variazione discontinua del punta di tangenza all'

1nv( vi ) corrisponde una cuspide del NC1 (che e l'

antipolo della retta che si appoggia con piu di un punta al­

l'1nv( v1 )(Fig. 46).

e. 11 nocciolo centrale d'inerzia

e sempre interno a Inv(v1).

(*) C e un punta esternosdi un dominio convesso.

Fig. 46

- 76 -

Esempio: determinare il NCI di un triangolo.

5e le masse sana negative le proposizioni a. e b. non sono

pilivere, ma resta valida la definizione di NCI (efr. Fig.47).

Fig. 47

- A.I -

APPEND ICE

1. Vettore colonna

Indicato con il simbolo 4il vettore generico di componenti aI'

de d 1· . d' t'(*)e , eg 1 assl coor lna 1 ortogon~

Ie seguenti convenzioni per i vettori:

a e a sui versori ei ' et,2 3_

Ii [Xl' x2 ed x31si assumono

= [:3:]

2. Prodotto scalare: u.. II'" = t(1 t;;, -t U.l. VZ + I.V~ \/'3 •

3. Matrici (indicate con ,lettere maiuscole): )l

di componenti A , A , A , A , ..... e si indica:11 12 13 21

,

essendo A .. la generica componente.lJ

C=A+8 e .. = A .. + B ..lJ lJ lJ

(somma di matrici)

c A = S c A = Bij ij (prodotto di una matriceper uno scalare)

- A.2 -

4. Trasposta

Data una matrice A, di componenti A .., si definisce trasposta dilJ

A, e si indica can ~T, la matrice ottenuta scambiando Ie righe can

Ie colonne:

Can una notazione usualesiscriveanche

T

(A .. )= A ..

lJJl

II

traspostodiun vettore

colonna [::]e un vettore

riga

a.,T = [~"

Q.,,t~!'J.

5. Trasposta di un prodotto

-1 -1B A. Inversa di un prodotto

6. Una matrice e simmetrica se

A, .lJ

Aji < :>

ossia se gli elementi simmetricamente disposti rispetto alIa

diagonale principale sana uguali.

7. Prodotto di matrici

c = A8 c ..lJ

riga x colonna:3

Z A ~ h- BlLJ' = Q[1 .

It:o ~ •

.

- A.3 -

11 prodotto scalare ••••V' puo essere interpretato come un parti­

colare prodotto matriciale tra il vettore tc.T (riga) e V' (colonna) :

8. Inversa di una matrice A (se esiste) e la matrice A-l tale che

I

9. Generazione di matrice (dal prodotto matriciale)

~ ~T= [::] [r,I"~

IA.,VtU •• 111

IlL

~] = Ullf.1 lit" VilA.t ~ I = A

I u~ V;f

(.{ oS Vi-/).. ~ 113

10. Sistemi di riferimento ortonormale

Se e~e il generico versore di un SR cartesiano, si dice che esso

e ortonormale se accade

8.•• e.::: -f ,

e.t - 8,1.::: ~ ,

In simboli

e.,- e~ :::0

e.~• e,.::: 0 ,

ossia il modulo dei versori e unitario (normalizzati) e i versori so

no ortogonali (SR ortogonale).

- A.4 -

Una matrice [. di componenti:

si chiama simbolo diKronaekere coincide con la matrice unitaria

BIBLIOGRAFIA

AA. VV. "Lezioni di Scienza dele Costruzioni" a cura dell'Istituto di Scienza

e Tecnica delle Costruzioni del Politecnico di Milano, Appendice,

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V. Feodossiev

"Resistenza dei Materiali", Cap. III, Editori Riuniti-Mir, 1977V. Franciosi

"Scienza delle Costruzioni", Vo1.2, Cap.I, Liguori, 1978.