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Ing. Luca Paulon ([email protected] )

Appunti di Laboratorio di Calcolo Numerico

con Matlab

Ing. Luca Paulon ([email protected] )

1 Ing. Luca Paulon - Laboratorio di Calcolo Numerico

RiferimentiRiferimentiRiferimentiRiferimenti

� [1] Matlab help

� [2] MathWork web site

� [3] “Manualetto di Matlab”,

� [4] Calcolo Scientifico (Quarteroni, 4a edizione, Springer)

[5] http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/matlab.pdf

Ing. Luca Paulon - Laboratorio di Calcolo Numerico2

� [5] http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/matlab.pdf

� [6] http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/matlab.zip

� [7] http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/esercizi.pdf

� [8] Esercizi di Calcolo Numerico (Gori, Lo Cascio, Pitolli) –Edizioni Kappa

SommarioSommarioSommarioSommario� Day1Introduzione a Matlab: riferimenti; ambiente di sviluppo (IDE) di script. Tipi di variabili. Variabili predefinite. Variabili complesse.

Esempi.

� Day2Operatori puntuali e funzioni vettoriali. Istruzione linspace. Realizzazione di una function.


una function.Esempi.

� Day3Realizzazione di una function. Output su schermo (disp). Istruzioni condizionali (if-else-end). Operatori relazionali e operatori logici. Cicli enumerativi (do-end). Ciclo while.

Esempi.

� Day4Matrici

� Day5Sistemi Lineari, metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel

� Day6


� Day6Compito in classe

� Day7Correzione compiti e illustrazione di alcune domande di esame.

� Day8Applicazioni Matlab: demo e toolbox.

� Day9Integrazione numerica (approssimazione di integrali)


� Day10Differenziazione numerica (approssimazione di derivate)

� Day11Correzione compiti e illustrazione di alcune domande di esame.

� Appendice 0

Concetti fondamentali di Calcolo Numerico

� Appendice 1

Esempio di applicazione in matlab


� Appendice 2

Gpu Computing

Day1: IDE di Day1: IDE di Day1: IDE di Day1: IDE di MatlabMatlabMatlabMatlab


Day1: IDE Day1: IDE Day1: IDE Day1: IDE �� WorkspaceWorkspaceWorkspaceWorkspace


Day1: Variables Types


Day1: variabili predefinite


Day1: variabili complesse

Esempio


Day2-Day3: figure con grafici di funzioni

N=50;x=linspace(0,1,N);

func1=randn(N,1);func2=randn(N,1);

subplot(2,1,1);title('funzione1');Xlabel('Tempo');


Xlabel('Tempo');Ylabel('Ampiezza ');plot(x, func1);

subplot(2,1,2);title('funzione2');Xlabel('Tempo');Ylabel('Ampiezza ');plot(x, func2);

Day2 - Day3


Day2 - Day3 (versione di matlab 2008 o superiore)

ESECUZIONE DELLO SCRIPT –OPZIONE2 (dall’editor di matlab)

1: richiamare il seguente menu a discesa dalla toolbar dell’editor di matlab

2: clicca su ‘Edit Run config….’


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3: inserisci il codice per il test dello script

4: esegui lo script

Day2-Day3

Dalla CommandWindow…

ESECUZIONE DELLO SCRIPT – OPZIONE1(dalla command window di matlab)


Day3

Esempio. Il metodo di bisezione [4]

Algoritmo

Ripeti il seguente ragionamento fino a che le condizioni di arresto non sono

soddisfatte:


Day3

Esempio. Il metodo di bisezione [4]. L’errore (di troncamento)


Day3

del metodo di bisezione [4]


Implementazionedel metodo di bisezione [4]

Day3

Implementazione del metodo di bisezione [4]


Day3 Esempio. Il metodo di bisezione [4]. Applicazione ad un caso specifico


Day3 Esercizio per casa. Eseguire il debug dell’implementazione del metodo di bisezione per correggere errori o apportare modifiche. Infine realizzare il profiling temporale del metodo di bisezione usando i comandi tic e toc.

Esempio di uso di tic e toc


Esempio di uso di tic e toc

Dal prompt dei comandi:

>> tic; surf(peaks(40)); toc

Day4

Verifica dell’ ‘Esercizio per casa’ relativo all’implementazione del metodo di bisezione.

Esercizio: scrivere uno script per il test della funzione bisection per il caso specifico f(x) in figura 2.2 tale da graficare in uscita gli andamenti


caso specifico f(x) in figura 2.2 tale da graficare in uscita gli andamenti dell’ errore relativo e assoluto per tolleranze diverse.

Day4 - Matrici

Definizione di matrici1. ‘manuale’2. attraverso i comandi zeros, ones, diag

Salvataggio/caricamento matrice di dati


Definizione di matrici in singola precisione

Day4

% Esempio:

clear;n=10;B = 2*diag(ones(1,n));


B = 2*diag(ones(1,n));C =diag(ones(1,n-1),1);D = diag(ones(1,n-1),-1);

A = B – C – D

Day4

% Calcolo del determinante

det (A)

% Calcolo della norma 1, 2, infinito


nrm1 = norm (A,1)nrm2 = norm (A,2)nrmInf = norm (A,inf)

Day4 % Calcolo dei numeri di condizionamento 1,2, infinito

C1 = cond (A,1)C2 = cond (A,2)Cinf = cond (A,inf)


% Calcolo degli autovalori e degli autovettori

[ V, W ] = eig(A);

% Calcolo del raggio spettrale

rho = max (abs(W))

Day4 % Calcolo del terzo autovalore e del corrispondente autovettore

lambda3 = W(3,3)v3 = V(:,3)

% Verifica che la matrice degli autovettori diagonalizza A



Vinv = inv(V);e = W–Vinv *A*VnormErr = norm ( e, 2)


ordineErr = normErr / eps

Day5 – Sistemi Lineari

Il metodo di Jacobi (vedi script jacobi.m)

Esercizio: test del metodo di jacobi (vedi jacobi_test.m)


Esercizio: realizzare un test più articolato

Day5 – Sistemi Lineari

il metodo di Gauss-Seidel (vedi script gaussseidel.m)

Esercizio: realizzare un test semplice del metodo di Gauss Seidel


Esercizio: confrontare i due metodi

Day6 – Compito in classe sui sistemi lineari

Tradurre in linguaggio matlab le soluzioni degli esercizi 2.20 e 2.30 riportate nel file “esercizi.pdf ”. Scrivere ogni soluzione in script diversi.

NB: la teoria è fondamentale … , ad esempio sapere per i metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel:


Day 7 – Correzione compiti e

illustrazione delle domande di esame

� http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/matlabesame.pdf


GUI = Graphics UserInterface

Day8 – Applicazioni Matlab

SCRIPT

CommandWindow

35

SCRIPT

Dettaglio per una applicazione Matlab

Modello a “strati” (layers) di un sistema composto da utente, hardware e software

Day8 – Applicazioni Matlab - DemoEsempio: Discrete Time Fourier transform. Nella command window digitare sigdemo1

36

Day8 – Applicazioni Matlab - DemoEsempio: Discrete Time Fourier transform.

37

Day8 – Applicazioni Matlab - Toolbox

Esempio: Signal Processing (SP) Toolbox. Digitare SPtool nella command line

38

MainWindow (finestra principale) della GUI del toolbox SPtool

Day8 – Applicazioni Matlab - ToolboxEsempio di elaborazione di un segnale con il toolbox SPTool

INPUTELABORAZIONE (FILTRAGGIO) OUTPUT

39

Filtro “passa basso”

Day8 - Applicazioni Matlab - ToolboxEsempio2: il toolbox symbolic


Polinomio di Taylor

Day 9 – Integrazione numerica


Day 9 – Integrazione numericaEsempio 1: distribuzione di probabilità normale (o gaussiana)


L’area rappresenta la probabilità che il numero S (per esempio si pensi ad S come l’altezza in metri di una persona) sia compreso nell’intervallo [1.8, 1.9].

Problema: calcolare la suddetta probabilità (risolvendo numericamente l’integrale definito)

Day 9 – Integrazione numerica Il metodo dei trapezi Il metodo dei trapezi Il metodo dei trapezi Il metodo dei trapezi (semplice e composito)

cioè


Day 9 – Integrazione numerica Il metodo dei trapezi Il metodo dei trapezi Il metodo dei trapezi Il metodo dei trapezi (semplice e composito)

Implementazione in matlab (vedi [4]) del metodo dei trapezi


Day 9 – Integrazione numerica Il metodo del punto medio o rettangoli Il metodo del punto medio o rettangoli Il metodo del punto medio o rettangoli Il metodo del punto medio o rettangoli (semplice e composito)

cioè



Implementazione in matlab (vedi [4]) del metodo composito del punto medio (rettangoli)


Day 9 – Integrazione numerica Il metodo diIl metodo diIl metodo diIl metodo di Simpson Simpson Simpson Simpson (semplice e composito)



Implementazione in matlab del metodo di Simpson ( vedi [4] )


Day 10 – Differenziazione numerica(approssimazione delle derivate)


In generale, e quindi anche nel caso della differenziazione numerica, ci possono essere diversi metodi che si possono usare per i calcoli, ciascuno con le proprie ipotesi di applicabilità e i propri vantaggi e svantaggi, che occorre conoscere bene. Sperimentalmente (cioè attraverso le implementazioni, per esempio in matlab) si procede, fissata una applicazione da sviluppare, nel confronto di essi considerando tempi di esecuzione, errore di approssimazione, etc. Infine si decide il migliore, se ne esiste uno, da utilizzare.


Esempio 1


Day 10 – Differenziazione numericaIl metodo della differenza finita in avanti.Il metodo della differenza finita in avanti.Il metodo della differenza finita in avanti.Il metodo della differenza finita in avanti.


Implementazione in matlab (realizzare uno script per esercizio)

…

Day 10 – Differenziazione numericaIl metodo della differenza finita all’indietro.Il metodo della differenza finita all’indietro.Il metodo della differenza finita all’indietro.Il metodo della differenza finita all’indietro.



…

Day 10 – Differenziazione numericaIl metodo della differenza finita Il metodo della differenza finita Il metodo della differenza finita Il metodo della differenza finita intermedia.intermedia.intermedia.intermedia.



…


Esempio 2



Svolgimento


(usare gli script realizzati)

Day 11 – Correzione compiti e

illustrazione delle domande di esame

� http://www.dmmm.uniroma1.it/~paulon/matlabesame.pdf


Appendice 0 [vedi 4]


Appendice 0


Appendice 1: un semplice esperimento con Matlab

spike1

Realizzazione di uno script per la simulazione di una tensione sinusoidale disturbata dalla presenza di due o più “spike”

spike2

5

10

15

Matlab


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-15

-10

-5

0

Appendice 2: GPU computing


Appendice 3


Ringraziamenti

% Il dipartimento Me.Mo.Mat. , il Laboratorio di Informatica ed in particolare la Prof.ssa F. Pitolli

% Tutti gli studenti del corso ( per la pazienza e la dedizione dimostrate durante le lezioni in laboratorio )


durante le lezioni in laboratorio )

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