appunti di storia e fondamenti della matematica

APPUNTI DI STORIA E FONDAMENTI DELLA MATEMATICA - ANTONIO CECI

Indice

1. la matematica pre-ellenica 42. LEgitto (3100-1786 a.C.) 43. La Mesopotamia e i Babilonesi (2000-600 a.C.) 44. La Matematica Greca 54.1. Matematica pratica e teorica. 54.2. La tradizione teorica. 54.3. Era arcaica (VI-V sec. a.C. ) 54.4. Era classica (IV-II sec. a.C. ) 54.5. Era post-classica (II a.C. - V ) 54.6. La rappresentazione dei numeri. 54.7. Il problema dello zero e la geometria. 64.8. Linfinito. 64.9. La scienza dellessere e del divenire. 64.10. La dimostrazione. 75. Talete di Mileto (624-546 a.C.) 76. Pitagora da Samo (570-495 a.C.) 76.1. Il quadriglio. 77. Socrate (470- 399 a.C.) 77.1. Linteresse per la morale. 87.2. La dottrina della memoria. 87.3. Sapere di non sapere. 87.4. Il Dimon socratico. 87.5. La maieutica. 87.6. La sfiducia nella scrittura. 88. Platone (428- 348 a.C.) 88.1. Laccademia. 98.2. Il mondo delle idee. 98.3. Fondazione della teoria delle idee: lanamnesi. 98.4. La scrittura: un veleno per la memoria. 99. Aristotele (384 - 322 a.C.) 109.1. Pensiero di Aristotele in generale. 109.2. La logica di Aristotele: il sillogismo. 10Principi logici 109.3. Opere esoteriche ed essoteriche. 109.4. La critica alla teoria delle idee. 119.5. La verit dei fenomeni: sostanze ed universali. 1110. crisippo (281 - 208 a. C.) 1110.1. Concezione della logica. 1210.2. Semiotica. 1210.3. Sintassi. 1210.4. Semantica. 1211. Verit e dimostrabilit. 12

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APPUNTI DI STORIA E FONDAMENTI DELLA MATEMATICA - ANTONIO CECI 2

12. Eudosso di Cnido (408-355 a.C.). 1313. Euclide di Alessandria (323-285 a.C.). 1313.1. Gli elementi. 13Assiomi 14Postulati 1413.2. Il concetto di punto. 1413.3. Il metodo di Archimede e la composizione del continuo. 1414. Limpero romano. 1514.1. Claudio Tolomeo (100-175 a.C.) 1515. il medioevo 1515.1. Cristianizzazione dellintelletuale 1615.2. Il monaco. 1615.3. La quantit di S. Agostino 1616. la matematica nellislam nellalto medioevo 1616.1. Al Khwarizmi (780 - 850). 1717. matematica in europa nellalto medioevo 1717.1. Simbolismo: la nascita del + e della x. 1817.2. Gerbert dAurillac 1817.3. S.Anselmo 1817.4. Fibonacci (Leonardo da Pisa) 1817.5. La universit medioevali. 1817.6. Le scuole dabaco. 1917.7. Pietro Abelardo (1079-1142) 1917.7.1. La scolastica. 2017.7.2. Il problema degli universali. 2017.7.3. Logica di Abelardo. 2017.7.4. Capisco per credere. 2017.8. Guglielmo da Ockham (1288 - 1349) 2018. gli algebristi italiani 20Scipione del Ferro 21Niccol Tartaglia (1499-1557) 21Girolamo Cardano (1501-1576) 21Raffaele Bombelli (1526-1572) 21John Napier 21Galileo Galilei (1564-1642) 21Il moto 21Paradossi legati allinfinito 2119. il 1600 - la rivoluzione scientifica 2119.1. Galileo 2219.2. Cartesio 2219.2.1. Analisi e sintesi. 2319.2.2. Empirismo e razionalismo. 2319.3. Fermat 2319.4. Numeri reali. 2319.5. Logaritmi. 2419.6. Preistoria del calcolo. 2420. newton 2420.1. Il contesto generale. 2420.2. Isaac Newton (1642 - 1727). 24


21. leibniz 2521.1. La logica di Leibniz 2521.2. La logica del monastero di Port Royal 2621.3. Definizioni reali e nominali. 2621.4. La realt spiegata tramite i segni. 2622. la matematica nel 700 2623. la matematica nel 800 2723.1. Il rapporto tra matematica e fisica. 2823.2. La trasformazione delle universit. 2823.3. Fourier, Jean Baptiste Joseph (1768 - 1830) 2823.4. Bolzano, Bernard (1781 - 1848) 2923.5. Gauss, Carl Friedrich (1777 - 1855). 2923.6. Le geometrie non euclidee. 2923.7. Cauchy, Augustin-Luis (1789 - 1857) 3023.8. La concezione di funzione continua. 3124. kant 3124.1. Razionalismo ed empirismo. 3124.2. La critica della ragion pura: giudizi analitici e sintetici. 3324.3. Il soggetto conoscente. 3324.4. Il determinismo. 3424.5. Una matematica indipendente - ci vuole pi rigore! 3425. seconda meta del 1800 e 1900 3425.1. Il numero reale. 3425.2. Trasformazioni geometriche. 3525.3. Assiomatizzazione. 3525.4. Cantor, Georg (1845 - 1918) 3525.4.1. Numeri cardinali transfiniti. 3725.4.2. Numeri ordinali transfiniti. 3726. Frege, Friedrich Ludwig Gottlob (1848 - 1925) 3726.1. Lideografia. 3826.2. I fondamenti dellaritmetica. 3826.3. I principi dellaritmetica. 3826.3.1. Differenza con la logica antica e medioevale. 3926.3.2. Il rinnovamento della concezione di proposizione. 4026.3.3. Concezione della verit. 4026.3.4. Distinzione tra senso e significato. 4026.3.5. Simboli interpretati. 4126.3.6. Assiomatizzazione categorica. 4126.3.7. I sistemi formali. 4126.3.8. La decidibilit 4126.3.9. Completezza semantica e sintattica. 4227. Hilbert, David (1862 - 1943) 4227.1. Fondamenti della fisica. 42Fondamenti della geometria. 4227.2. Differenze con Frege. 4227.3. Il programma di Hilbert. 4227.3.1. Lidea di Hilbert per la consistenza di AF . 4327.3.2. Le risposte al programma di Hilbert. 4328. Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881 - 1966) 44


28.1. Costruttivismo in geometria. 4428.2. Costruttivismo in algebra. 4428.3. Costruttivismo in Logica. 4428.4. Conseguenze su Brouwer. 4529. Kurt Gdel (1906 - 1978) 4529.1. Completezza. 4529.2. Incompletezza. 4529.3. Consistenza. 4529.4. Intuizionismo. 4529.5. Problema del continuo. 4629.6. Relativit. 4629.7. Dio. 4630. il concetto di algoritmo 4730.1. Tesi di Church-Turing. 4730.2. Macchina di Turing universale. 4730.3. Il problema dellAlt. 4731. note 48

1. la matematica pre-ellenica

Le pi antiche civilt in cui la matematica ha per certo avuto un ruolo importante sono gli Indiani (2600 a.C. ), gli Egizi(200 a.C.), i Babilonesi (1900 a.C.). Era una matematica pratica, utile per il lavoro quotidiano e fatta essenzialmente ditecniche; era priva di dimostrazioni.

Essa era svolta prevalentemente sullabaco. Labaco era, nella sua forma pi antica, semplicemente una superficie pianacoperta di sabbia su cui si potevano tracciare linee e poggiare sassolini (consideriamo che carta e penna allepoca nonerano facilmente reperibili).

2. LEgitto (3100-1786 a.C.)

Le fonti da cui traiamo le nostre informazioni sono essenzialmente tre: pietre tombali, calendari, e papiri (che sonosopravvissuti per oltre 3000 anni, al contrario di quanto fa la carta). Da questi sappiamo che gli egiziani avevano deisimboli distinti per ciascuna delle sei potenze di dieci (la numerazione era infatti decimale). Ad esempio un trattinoverticale | rappresentava lunit, un archetto capovolto indicava le decine, una sorta di C rappresentava le centinaia ecos via. Mediante un semplice schema iterativo essi riuscivano a scrivere numeri superiori al milione. Conoscevano lusodelle frazioni ma si limitavano a quelle con lunit come numeratore. Loperazione aritmetica fondamentale era laddizione,anche se riuscivano a moltiplicare e dividere.

Uno dei problemi fondamentali per gli egizi era lo straripamento del Nilo: esso cancellava i confini dei terreni dipropriet; per questo si svilupp in quelle terre una figura chiamata agrimensore: misuravano i terreni mediante latenditura di corde, ed erano in grado di risalire, basandosi solo su pochi riferimenti fisici e sulla matematica dellepoca, aiconfini originali delle propriet anche qualora questi ultimi fossero stati cancellati dagli straripamenti del Nilo.

Un limite della matematica egizia era la mancata percezione della differenza tra misure esatte e misure approssimate,che venivano trattare alla stessa stregua (da ci si capisce la finalit prevalentemente pratica della matematica del tempo).

Era del tutto assente il concetto di dimostrazione; addirittura anche le regole di calcolo venivano raramente motivate.Insomma una matematica prettamente pratica che per giunta rimase immobile per tutto il perdurare della civilt

egiziana.

3. La Mesopotamia e i Babilonesi (2000-600 a.C.)

Spingendosi pi a destra e pi in alto del Egitto, troviamo una regione di terra attraversata da due grandi fiumi: ilTigri e lEufrate. Non sorprende che, come nel caso del Nilo per gli Egizi, qui si sia sviluppata una grande civilt. La


terra chiamata Mesopotamia e molteplici sono i popoli che lhanno abitata: Sumeri, Accadi, Babilonesi, Assiri, Ittiti,Hurriti e i Cassiti. Noi ci occuperemo dei Babilonesi che la occuperanno dal 2000 al 600 a.C.

I Babilonesi utilizzavano la cosiddetta scrittura cuneiforme: i documenti venivano scritti per mezzo di stiletti rigidie appuntiti su delle tavolette di argilla fresca (e dunque morbida). Queste tavolette venivano poi fatte essiccare al soleoppure cotte in forni. A causa dellestrema longevit di questa tecnica ci sono pervenute moltissime informazioni sulla lorostoria ed in particolare sulla loro matematica (molte di pi i quelle che disponiamo ad esempio sulla matematica egiziana).Per i numeri dunque, cos come per la scrittura, i babilonesi usavano sostanzialmente combinazioni di linee (o incisioni):un trattino verticale | indicava 10 unit, un trattino obliquo / indicava 60 unit; similmente un trattino verticale spessoindicava 10 unit, un trattino obliquo spesso indicava 60 unit. Gli altri numeri erano ottenuti mediante combinazioni diquesti ( chiaro a questo punto che la scrittura era sessagesimale, ossia in base 60).

4. La Matematica Greca

La matematica greca molto pi vicina alla matematica moderna rispetto a quella sviluppata dalle precedenti culturequali quella egiziana e babilonese: infatti questi popoli utilizzavano il ragionamento empirico che sfrutta le osservazioniripetute per fondare le regole della matematica. La matematica greca, allopposto, si basa sul ragionamento deduttivo,che partendo da assiomi ritenuti ovvi nel senso comune, usa ragionamenti logico-deduttivi per dimostrare i teoremi.

I Greci si occuparono quasi esclusivamente di Geometria e, secondo i loro canoni si potevano usare solo due strumentiper la costruzione e lo studio di figure geometriche: la riga (non taccata) e il compasso (che si chiudeva non appena sollevatodal foglio, e quindi non poteva servire per riportare una misura). Ragionamenti che coinvolgevano altri strumenti eranoa volte utilizzati, ma venivano considerati non rigorosi.

4.1. Matematica pratica e teorica. Prima dei Greci, la matematica aveva un carattere eminentemente pratico. Essaserviva cio a risolvere problemi che nascevano in altri contesti: commercio (aritmetica), agrimensura catastale1 ( geome-tria), navigazione, astrologia. Essa era fondata sullutilizzo dellabaco. Non vi distinzione tra continuo e discreto e nonvale il principio di omogeneit: sullabaco si fanno sia conti aritmetici che calcoli di aree.

Con i Greci comincia una scissione tra una matematica del tipo precedente ed una teorica ossia che non volta allarisoluzione di problemi pratici. Tutta la geometria Greca avr questultima connotazione.

4.2. La tradizione teorica. La geometria assolutamente non metrica. Non esiste il concetto di area o di volume o dilunghezza intesa come numero; infatti le verit matematiche sono trasmesse sotto forma di rapporti.

La trasmissione del pensiero non pi orale ma scritta (cfr. Mito di Teuth).Valeva il principio di omogeneit (si potevano sommare solo volumi e volumi, aree ed aree, etc...).Le dimostrazioni hanno un carattere generale e sono dedotte rigorosamente a partire da assiomi.

4.3. Era arcaica (VI-V sec. a.C. ). Non abbiamo fonti dirette relative a questo periodo. Le uniche fonti che abbiamosono indirette e relative a Talete e Pitagora. Da queste, sappiamo che i Greci importarono i primi rudimenti matematicidallEgitto e dalla Mesopotamia. Tuttavia, mentre in queste due culture le conoscenze matematiche rimanevano ancorateal substrato sociale di competenza (scribi, astronomi, etc..), in Grecia, che era socialmente molto pi destrutturata comecivilt, finirono per venire a contatto con tutta la popolazione. Quindi poterono fruirne tutti i cittadini.

4.4. Era classica (IV-II sec. a.C. ). In Filosofia: Socrate, Platone, Aristotele. In Matematica: Archita, Eudosso.

4.5. Era post-classica (II a.C. - V ). Niente di nuovo. Solo gente che ripete risultati gi noti. Merita di essere ricordatoPappo, per il fatto di aver riassunto tutta la matematica a lui precedente.

4.6. La rappresentazione dei numeri. Distinguiamo due simbologie a seconda della tradizione a cui esse fannoriferimento.

(1) Rappresentazione attica (o erodianica).Simile a quella romana: dalluno al quattro venivano utilizzati dei bastoncini; per il 5 si usava ; per il dieci ;H per le centinaia; X per le migliaia etc... Questa era legata alla tradizione pratica.

1Cio misurazione della terra.


(2) Rappresentazione ionica (o alfabetica).Legata alla tradizione teorica, era costituita da tutte le lettere dellalfabeto greco pi laggiunta di tre caratteripersi dallalfabeto fenicio, per un totale di 27. Perch proprio 27? Perch in tal modo potevano scrivere i numeri1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,...,90,100,200,300,...,900 tutti con simboli diversi. Questa notazione risult tuttavia piuttostoscomoda dal punto di vista pratico.

Come per gli egiziani, per i greci i numeri erano finiti e non cera lo zero. Per le frazioni usavano somme del tipo 1n .La concezione greca dei numeri espressa dalla seguente figura detta lambdoide:

1

2 12

. .. . . .

n 1n

4.7. Il problema dello zero e la geometria. I greci pensavano che si potesse pensare e dire solo di ci che e nondi ci che non ; per questo motivo era per loro inconcepibile la presenza di un numero, lo zero, che rappresentasse lanon-esistenza. Luno non era inteso come un vero e proprio numero. Per loro i numeri erano gli interi maggiori o uguali a2.

Si capisce ora perch per i Greci la geometria fosse lunica vera matematica: in essa il concetto di essere viene tradottoimmediatamente e intuitivamente. Anche al giorno doggi, se vogliamo chiarirci qualche oscuro passaggio di Analisi unmodo conveniente per farlo rappresentarlo con un disegno; ovvero attraverso la geometria. Dunque la geometria lascienza dellessere.

4.8. Linfinito.

(1) Infinito potenziale.Si pensi ai numeri naturali. Un numero naturale pi essere grande quanto vogliamo ma comunque finito. Nonesiste in N il numero. La stessa cosa avviene per un segmento. Esso pu essere lungo a piacere ma MAI infinito.

(2) Infinito attuale.Una retta o un piano sono infiniti attuali. Ad essi non posso aggiungere pi nulla.

Nelle civilt precedenti i Greci, il problema dellinfinito non si era mai presentato, semplicemente perch nella matematicapratica non ce n bisogno.

I problemi cominciarono ad arrivare quando si scopr lincommensurabilit tra la diagonale e il lato del quadrato. Si

consideri la seguente osservazione: sia Q un quadrato di lato ` e diagonale d con `, d N. Supponiamo che d`

= n conn N. Allora d = `n e quindi essendo sia d che `n interi, potrei rappresentare un quadrato e la sua diagonale tramitepallini. Cio in questo caso avrei una corrispondenza tra il mondo dei segmenti (continuo) e mondo dei pallini (discreto).Questo era proprio ci che pensavano i Greci, almeno fino ai Pitagorici. Assodato per che un tale n non esiste, si ha comeconseguenza che il discreto e il continuo NON sono equivalenti; e quindi se si pretende di ricondurre le misure geometricheai numeri bisogna accettare il concetto di infinito attuale.

Anche dopo la scoperta di

2, i Greci non riuscirono mai ad accettare lesistenza di un infinito attuale, necessario perdescrivere i numeri irrazionali. Ad esempio si consideri la seguente affermazione di Aristotele:

il numero infinito in potenza, ma non in atto [. . . ]. Questo nostro discorso non intende sopprimere pernulla le ricerche dei matematici, per il fatto che esso esclude che linfinito per accrescimento sia tale dapoter essere percorso in atto. In realt essi stessi allo stato presente non sentono il bisogno di infinito,ma di una quantit pi grande quanto essi vogliono, ma pur sempre finita.

Per Aristotele il numero pu essere incrementato a piacere ma non diviso quante volte si vuole: il limite il numero 1.Invece il continuo pu essere diviso quante volte si vuole ma non incrementato a piacere perch ha un limite che il cosmo.

4.9. La scienza dellessere e del divenire. La scienza dellessere era la matematica, mentre la scienza del divenire lafisica. Per i Greci queste due scienze non avevano niente in comune. La fisica era qualitativa, imprecisa, legata al mondodel continuo e del divenire. La matematica era esatta, precisa, legata al mondo dellessere.


4.10. La dimostrazione. La dimostrazione visuale ed sostanzialmente basata su costruzioni geometriche che rendonovisivamente evidente un risultato.

5. Talete di Mileto (624-546 a.C.)

Figura oscura. Non abbiamo documenti diretti. La testimonianza pi sicura di circa 1000 anni dopo (2). Si raccontache Talete abbia calcolato laltezza delle piramidi basandosi sul confronto con un bastoncino nel momento in cui la suaombra misurava come la sua altezza.

Universalmente si tende a far coincidere linizio della dimostrazione con Talete; in realt lunica cosa certa che possiamodire che siano stati i greci a far compiere questo progresso alla matematica, ma non possiamo dire se sia stato proprioTalete o qualche altro vissuto addirittura due secoli dopo di lui. Talete il primo uomo al quale si riconoscono specificiteoremi matematici (ad esempio: il diametro del cerchio lo divide in 2 parti uguali, gli angoli alla base di un triangoloisoscele sono uguali, etc...)

6. Pitagora da Samo (570-495 a.C.)

Figura non meno oscura di Talete. Non ci sono rimaste fonti dirette e come per Talete traiamo le nostre informazionida fonti posteriori.

Si suppone che egli possa aver tratto le sue conoscenze matematiche da viaggi in Egitto e Mesopotamia (dove proba-bilmente impar il noto teorema a lui ascritto).

Fond una setta politico- filosofico: i pitagorici. Essi credevano nella reincarnazione (ed erano perci vegetariani). Iprogressi che fecero nel campo matematico venivano ascritte a tutta la scuola e non al singolo. Le materie che venivanostudiate erano quattro: aritmetica, geometria, astrologia, armonia.

La caratteristica fondamentale del pensiero pitagorico lidea che lo studio filosofico e matematico nobilitasse luomoe lo facesse trascendere dalla sua condizione di ignorante (che era guardata con disprezzo). Gli stessi termini filosofia ,cio amore della saggezza e matematica , cio ci che si impara, sembra fossero stati coniati dallo stesso Pitagora perdescrivere la sua attivit.

I membri della scuola si dividevano in due tipi:

(1) I matematici, ovvero la cerchia pi stretta dei seguaci, i quali vivevano allinterno della scuola, si erano spogliatidi ogni bene materiale e non mangiavano carne ed erano obbligati al celibato. I matematici erano gli unici ammessidirettamente alle lezioni di Pitagora con cui potevano interloquire. A loro era imposto lobbligo del segreto, inmodo che gli insegnamenti impartiti allinterno della scuola non diventassero di pubblico dominio.

(2) Gli acusmatici, che avevano lobbligo di seguire in silenzio le lezioni del maestro. Dopo tre anni un acusmaticopoteva diventare un matematico.

6.1. Il quadriglio. I pitagorici organizzarono la matematica in una struttura quadrata (detta appunto quadriglio) secondolo schema seguente:

Aritmetica Geometria

Musica Astronomia

7. Socrate (470- 399 a.C.)

Socrate era un cittadini ateniese di modesti mezzi che se ne andava in giro a cercare di far riflettere la gente, a insegnareai giovani; tuttavia non lo faceva per denaro (come i sofisti) ma per amor di saggezza. Fu condannato a morte a circasettantanni, per laccusa di empiet (ossia corrompere i giovani e non credere negli dei). Ci che sappiamo di Socratelo dobbiamo a due suoi allievi (dato che egli non ha lasciato nulla di scritto): Senofonte e Platone. Essi tuttavia su moltipunti discordano. Oggi prevale linterpretazione Platonica delle figura di Socrate.

2Allievo di Aristoteleignoto fa un riassuntoProclo lo riassume a sua volta in un suo commento agli Elementi di Euclide


7.1. Linteresse per la morale. Le preoccupazioni di Socrate erano di carattere etico pi che scientifico. Egli stesso dicenell Apologia: Non ho nulla a che fare con le questioni fisiche. In particolare, il campo di ricerca di Socrate era la ricercadi definizioni per termini quali temperanza, moderazione, coraggio, amicizia. Egli non arriva mai ad una conclusione, masottolinea il fatto che per definire uno di questi oggetti non basta descriverne alcune delle sue propriet. Se ad esempiovogliamo definire la virt, non basta dire che la virt comportarsi bene con i vecchietti e agire per il bene dello stato.

Socrate che la ricerca della conoscenza sia della massima importanza e che lunico vero peccato lignoranza. Il metodocon il quale, per Socrate, si giunge alla conoscenza la dialettica, cio il confrontarsi per mezzo di domande e risposte.

7.2. La dottrina della memoria. Per Socrate imparare equivale in realt a ricordare ci che gi sapevamo in unaesistenza precedente. Quindi in realt, non c niente di nuovo, bisogna solo ricordare (e Socrate intende fare questoattraverso la maieutica).

Naturalmente questa visione della conoscenza ingenua: si pensi alla scoperta dei batteri. Una persona alla qualenon sia stato insegnato che cosa siano, difficilmente potr ricordarli per mezzo della dialettica. Tuttavia questo metodosi applica con successo quando la veridicit di un fatto dipende dalle deduzioni che sono state fatte per affermarlo. Perquesto nella dialettica Socratica si vista una forma embrionale di logica.

7.3. Sapere di non sapere. Paradossale fondamento del pensiero socratico il "sapere di non sapere", unignoranzaintesa come consapevolezza di conoscenza non definitiva, che diventa per movente fondamentale del desiderio di conoscere.La figura del filosofo secondo Socrate completamente opposta a quella del saccente, ovvero del sofista che si ritiene e sipresenta come sapiente, perlomeno di una sapienza tecnica come quella della retorica.

7.4. Il Dimon socratico. Socrate non era ateo, ma anzi affermava di credere in una particolare divinit, figlia degli deitradizionali, che egli indicava come dimon. Il dimon per Socrate non aveva il significato anche negativo che altri autorigreci classici evidenzieranno ma era un essere divino inferiore agli dei ma superiore agli uomini che possiamo intendereanche con il termine genio. Socrate si diceva tormentato da questa voce interiore che si faceva sentire non tanto perindicargli come pensare e agire, ma piuttosto per dissuaderlo dal compiere una certa azione. Socrate stesso dice di essercontinuamente spinto da questa entit a discutere, confrontarsi, e ricercare la verit morale (Kant avrebbe successivamenteparagonato questo principio "divino" allimperativo categorico, alla coscienza morale delluomo).

7.5. La maieutica. Il termine maieutica significa letteralmente "larte della levatrice" (o "dellostetrica"), ma lespres-sione designa il metodo socratico cos come esposto da Platone nel Teeteto. Larte dialettica, cio, viene paragonata daSocrate a quella della levatrice, il mestiere di sua madre: come questultima, il filosofo di Atene intendeva "tirar fuori"allallievo pensieri assolutamente personali, al contrario di quanti volevano imporre le proprie vedute agli altri con la reto-rica e larte della parola come facevano i sofisti. Parte integrante di questo metodo il ricorso a battute brevi (brachilogia)in opposizione ai lunghi discorsi (macrologia) del metodo retorico dei sofisti.

Socrate, a differenza dei sofisti, mirava a convincere linterlocutore non ricorrendo ad argomenti retorici e suggestivi,ma sulla base di argomenti razionali. Socrate si presenta cos come una persona anticonformista, che in opposizione alleconvinzioni della folla rifugge il consenso e lomologazione: garanzia di verit per lui non la condivisione irriflessa, ma laragione che porta alla reciproca persuasione.

7.6. La sfiducia nella scrittura. Socrate pensava che la parola scritta fosse come il bronzo che percosso d sempre lostesso suono. Lo scritto non risponde alle domande e alle obiezioni dellinterlocutore, ma interrogato d sempre la stessarisposta. Infatti tutto ci che sappiamo della vita di Socrate ci pervenuta grazie a Platone che ne ha trascritto il pensieronelle sue opere.

8. Platone (428- 348 a.C.)

Nacque ad Atene da genitori aristocratici; il padre Aristone, che vantava tra i suoi antenati Codro, lultimo leggendariore dAtene, gli impose il nome del nonno, cio Aristocle; fu il suo maestro di ginnastica a chiamarlo Platone date le ampiespalle.

Fu fondamentale il suo incontro con Socrate, di cui divenne allievo, alleta di ventanni. Platone vive durante un periododi decadenza per Atene, che era stata sconfitta da Sparta. Era molto critico nei confronti della democrazia. Per lui ilgoverno migliore il governo aristocratico nel senso del governo dei migliori (guarda caso lui era un aristocratico...). Era


convinto che lideale per un paese sarebbe stato quello di avere un re-filosofo. Tuttavia abbiamo nella storia parecchiesempi di che cosa pu significare avere un governo di tipo monocratico che si appoggi ad una dottrina filosofica (cfr.nazismo, comunismo, etc...). In coerenza con questa visione, egli and a Siracusa per cercare di diventare consigliere deltiranno di Siracusa: gli and male e alla fine venne scacciato dalla citt.

Questa una delle grandi differenze con Socrate: per Platone compito della Filosofia fatta per costruire un mondomigliore e per spiegare i fenomeni della realt.

8.1. Laccademia. Nel 387 a.C. Platone ad Atene; acquistato un parco dedicato ad Academo (un eroe Greco), vi fondauna scuola che intitola Accademia in onore delleroe. Sullesempio opposto a quello della scuola fondata da Isocrate ebasata sullinsegnamento della retorica3, la scuola di Platone ha le sue radici nella scienza e nel metodo da essa derivato,la dialettica4; per questo motivo, linsegnamento si svolge attraverso dibattiti, a cui partecipano gli stessi allievi, direttida Platone o dagli allievi pi anziani, e conferenze tenute da illustri personaggi di passaggio ad Atene.

8.2. Il mondo delle idee. In opposizione a Socrate, Platone ritiene di sapere molte cose, di saperle insegnare nel modomigliore. Tuttavia, a differenza dei sofisti che non avevano dato una giustificazione filosofica di fondo, Platone avevaelaborato tutta una teoria che in qualche modo pretendeva di giustificare le ragioni profonde della enti conoscibili. Questeragioni profonde sono la teoria delle idee.

Per Platone gli oggetti conoscibili nella realt si dividono in oggetti collocati nello spazio e nel tempo ( che corrispondonoa tutto ci che possiamo toccare, sentire, vedere, etc.. cio tutto il mondo sensibile) ed idee che non stanno nello spazioe nel tempo ma stanno nella nostra testa (i greci avrebbero detto nell iperuranio, cio sopra il cielo). Ad esempio:consideriamo dieci tavoli tutti diversi, ognuno con la sua forma, colore e dimensione. Essi sono nella realt e dunque sonooggetti sensibili. Noi per racchiudiamo tutti questi oggetti nellidea di tavolo, che per non presente nella realt. Sifaccia attenzione che per Platone lidea qualcosa di diverso dal concetto, che noi intendiamo oggi. Mentre per il filosofomoderno il concetto un ente astratto, per Platone lidea assolutamente reale, quanto e pi dell oggetto che essa, inqualche modo, descrive. Anzi, egli sovverte completamente le idee moderne: lidea del tavolo la cosa reale, mentre iltavolo semplice apparenza. Perch la cosa vera? Perch lidea (del tavolo in questo caso) la cosa che non cambia,mentre di tavoli ce ne sono tanti. Dunque la realt colta con la mente, con lintelletto e non con i sensi.

8.3. Fondazione della teoria delle idee: lanamnesi. La nostra anima, per Platone, prima di cadere nel mondo, havissuto in un altro mondo, quello delle idee appunto; in questo mondo essa ha conosciuto tutti i principi e tutte le idee;successivamente entrata dentro il corpo e ha conosciuto questi principi in modo sensibile, attraverso i sensi (dato cheora lanima ha un corpo). Cos quando lanima tocca il tavolo si ricorda (anamnesi) ldea del tavolo, da lei gi conosciutaprecedentemente. Generalizzando a tutte le idee, in pratica luomo non impara mai nulla di nuovo, ma non fa altro chericordare qualcosa che era gi in lui dal principio.

Da qui si vede la grande diversit di Platone dai suoi precedenti: egli non solo sa, ma addirittura ha individuato loriginedella conoscenza, che sono le idee. Inoltre c questo concetto di apparenza e realt completamente nuovo e controintuitivo:per lui il filosofo colui che sa superare lapparenza e riesce a conoscere la verit delle cose (che appunto il mondo delleidee).

8.4. La scrittura: un veleno per la memoria. Platone visse in un epoca in cui la scrittura stava cominciando adaffermarsi. Egli, nel Fedro, opera un decisa condanna per la scrittura. Ci sono due motivi per i quali Platone condannala scrittura:

(1) La scrittura non basta come mezzo per raggiungere il sapere ed illusoria.Qui Platone fa un esempio efficace: Sarebbe un pazzo colui che pensasse di curarsi da se, solo per aver letto

3La retorica larte di parlar bene (dal greco , rhetorik tchne, arte del dire). Essa la disciplina che studia il metodo dicomposizione dei discorsi, ovvero come organizzare il linguaggio naturale (non simbolico) secondo un criterio per il quale ad una proposizionesegua una conclusione. Sotto questo aspetto essa un metalinguaggio, in quanto cio un discorso sul discorso. Lo scopo della retorica lapersuasione, intesa come approvazione della tesi delloratore da parte di uno specifico uditorio.4Dialettica termine di origine greca che deriva da dialektike, composto da dialektos ("dialogo") e tchne ("arte", "produzione", "tecnica"). Asua volta dialogo deriva dalla parola greca dialgo, che significa sia "raccolgo, unifico" che "distinguo, divido". Termine ricco di significati e trai pi importanti in filosofia, indica generalmente il confronto e la discussione di tesi contrapposte. Per Platone la dialettica viene identificatacon la filosofia stessa.


qualche scritto di medicina. Chiaramente, sostituendo la parola Medicina con sapere si ottiene come risultatoche la lettura di uno scritto un mezzo insufficiente per il raggiungimento della conoscenza.

(2) La scrittura uccide la memoria.Qui usa il mito di Teuth (il dio) e Tamus (il faraone).

Curiosamente, la condanna della scrittura fatta da uno che ha scritto tantissimo! Come mai? I realt, ci che intendevadire Platone, in soldoni, non basta leggere, devi anche capire!. Infatti nel Fedro Platone dice per bocca di Socrate, ilquale era stato interrogato da Fedro quale possa essere la vera memoria visto che non va bene la memoria scritta, che lavera memoria quella scritta nellanima che impara.

9. Aristotele (384 - 322 a.C.)

Nato a Stagira (un isola greca) da madre Macedone. Si trasferisce a 18 anni all Accademia di Platone, dove rimasefino alla morte di questultimo. Successivamente lasci lAccademia de divenne precettore di Alessandro Magno. Dopo cheAlessandro sal al trono, Aristotele torn ad Atene e fond un altra scuola: il Liceo. In seguito alla morte di Alessandro,egli fu costretto allesilio. Mor pochi mesi dopo.

Fu sicuramente molto pi attento ai problemi della fisica, rispetto a Socrate (che preferiva la morale) e Platone(concentrato sul mondo delle idee), sperimentando in prima persona lo studio delle piante e degli animali.

9.1. Pensiero di Aristotele in generale. Aristotele inizia la sua carriera di filosofo criticando la teoria delle idee diPlatone. Naturalmente tale dottrina era discussa a fondo dal maestro e tra i discepoli, per Aristotele si distingue subitoper averne affermata radicalmente linutilit. La teoria delle Idee, secondo Aristotele, complica inutilmente la spiegazionedella realt: le idee sono pi numerose degli individui (se diciamo ad esempio che luomo un animale razionale, troviamoin ogni individuo gi almeno tre Idee, quella di uomo, di animale, e di razionale). Se poi si dice che gli individui sono similiall idea, si deve riconoscere che questo singolo uomo e l idea (di Uomo in s) non sono simili di per s (infatti lindividuonon possiede certo luniversalit dellIdea, un uomo in particolare e non lUomo in s); devono allora essere simili in virtdi un terzo uomo che, sia simile da un lato allIdea e dallaltro allindividuo; ma per poter far ci, il terzo uomo ne esigeun quarto, e questo un quinto e cos via allinfinito. Insomma, il solco tra le Idee e gli individui si rivela incolmabile. Persanare il radicale dualismo platonico bisogna dichiarare che reali sono proprio gli individui (ecco la trovata di Aristotele!): nelle cose visibili che va cercata la causa stessa della realt, degli individui, del loro divenire. Con labbandono delplatonismo, Aristotele si dedica ad una sistematizzazione del sapere talmente profonda che egli sar il culmine del pensierogreco antico. Non solo: le sue idee influenzeranno il mondo occidentale per molti secoli per cui non c branca del sapereche non abbia risentito dellimpronta, diretta o indiretta di Aristotelica nel tempo, la sostanza rimane la stessa, identica,pur nel mutare delle varie qualit.

9.2. La logica di Aristotele: il sillogismo. E un ragionamento in base al quale da due proposizioni detti premessesi ottiene un altra proposizione detta conclusione, secondo il seguente schema:

Premessa maggiore + Premessa minore = Conclusione

Lidea di Aristotele che tutte le deduzioni, se stabilite rigorosamente, fossero sillogistiche. Dunque, ogni argomento seesposto in modo sillogistico risulter automaticamente esatto. Questa concezione segna linizio della logica formale.

Principi logici. Sia A una proposizione e sia V linsieme delle proposizioni vere e F quello di quelle false.

(1) principio di non contraddizione: V F = .(2) principio del terzo escluso: A V F .(3) principio di verit per corrispondenza: la verit un concetto semantico che riguarda lo stato delle cose (lette-

ralmente: E vero dire che ci che , e che non ci che non dove la definizione di ci che si assumeprimitiva).

9.3. Opere esoteriche ed essoteriche. Alla sua morte , i due gruppi di opere ebbero destini differenti.

Quelle rivolte verso la scuola e scritte sotto forma di appunti (dette ESOTERICHE o ACROMATICHE) finironoper cadere in disuso per via della loro "pesantezza" stilistica. Laggettivo "esoterico" ha a che fare con il mistero.


Quelle finalizzate alla pubblicazione (ESSOTERICHE), fluide e scorrevoli proprio perch dovevano essere pubbli-cate. Ebbero enorme successo. Quelle esoteriche, come detto, erano troppo pesanti e ridondanti e finirono perandare perdute.

Nella prima met del secolo Andronico di Rodi ritrov gli scritti esoterici andati perduti: riordin il tutto e cerc di tirarefuori unedizione. I criteri per riordinare le opere sono innumerevoli ed uno dei pi usati senzaltro quello cronologico,che neutro e nello stesso tempo coglie lautore nel suo svilupparsi e migliorarsi. Ma Andronico prefer riordinare perargomenti, raggruppando tutti i libri che trattavano un determinato tema: logica, fisica, etica. Tutto questo ebbe dueconseguenze:

(1) A sparire furono le opere essoteriche (quelle volte alla pubblicazione) , in quanto si cap subito che il vero Aristoteleera quello degli appunti scolastici.

(2) Ancora oggi abbiamo lordine che fu assegnato da Andronico e non quello effettivamente assegnato da Aristotele.Non bisogna farsi ingannare, in quanto Aristotele ha scritto opere singole.

Non possiamo sapere quindi se quello di Andronico fu realmente lordine che diede Aristotele.

9.4. La critica alla teoria delle idee. Semplificando molto, Aristotele riteneva che non si potesse staccare la realtdalle idee come faceva Platone. Per Aristotele la realt composta di forma e sostanza e non solo di forma (cio di idee)come intendeva Platone. Tra laltro Aristotele nega lesistenza dellIperuranio e dunque le idee, in se stanti non esistono.

Uno degli argomenti pi forti che Aristotele muove contro Platone il cosiddetto argomento del terzo uomo: la teo-ria delle Idee di Platone predicava lesistenza dellIperuranio, un mondo a parte, una regione del cosmo completamentetrascendente rispetto al mondo terreno, nella quale era conservata la pura forma ideale di ogni imperfetta forma terrena.Aristotele afa la seguente osservazione: se deve esistere nellIperuranio lidea delluomo ideale, deve pur sempre esisterelIdea ideale delluomo non ideale, di quelluomo imperfetto che costituisce la copia imperfetta delluomo perfetto. Si erainfatti detto che lIperuranio doveva contenere lIdea ideale di ogni aspetto della realt. Cos facendo, nellIperuraniodovr esistere non solo la sola Idea ideale delluomo ideale, ma anche lIdea ideale delluomo che partecipa allIdea ideale.Insomma, un gioco infinito di rimandi a concetti nidificati uno nellaltro che produrrebbe una crescita infinita ed espo-nenziale delle Idee presenti nellIperuranio. Sicch anzich avere una sola idea di uomo cha avrebbe semplificato le cose,ci troviamo una moltitudine infinita di idee proliferanti che complicano ulteriormente le cose!

9.5. La verit dei fenomeni: sostanze ed universali. Sia Socrate che Platone avevano svalutato limportanza deifenomeni, cio dello studio delle cose che avvengono nella realt. Socrate affermava che lunica cosa importante eralinteriorit umana; Platone che tutto ci che si presenta alla nostra esperienza apparenza: la vera realt sono le idee.Per Aristotele invece i fenomeni della realt hanno una loro verit interna che noi non conosciamo e quindi merita di esserestudiata. Una conseguenza di ci che le idee sono assolutamente inutili.

Cerchiamo di spiegarci meglio: Aristotele distingue tutte le cose in due categorie: sostanze ed universali. Le sostanzesono gli oggetti della vita reale, gli universali sono i contenitori concettuali in cui raggruppiamo le sostanze (che poisarebbero le idee di Platone). Per esempio Napoleone una sostanza mentre uomo un universale. Ora, che rapportoc tra questi due enti? Platone riteneva che lunica cosa che importasse fossero gli universali e che le sostanze fosseroapparenza. Ma Aristotele fa notare che, per esempio, il rosso ha seno di esistere solo perch esistono delle cose rosse.Dunque lesistenza delluniversale implica lesistenza delle sostanza di quelluniversale. Il viceversa non vero: infattianche se non esistesse il concetto di rosso, le cose rosse continuerebbero comunque ad esistere. Dunque lidea del rosso del tutto superflua e allora tanto vale eliminarla.

10. crisippo (281 - 208 a. C.)

Fu discepolo di Cleante e suo successore a capo della scuola filosofica dello Stoicismo; la sua sistematizzazione delledottrine stoiche, contenuta in circa 700 opere, lo fece diventare un secondo padre dello Stoicismo rendendo questa scuolauna delle pi influenti nel mondo greco e romano per secoli. Fu anche autore di contributi importanti nella logica delleproposizioni.


10.1. Concezione della logica. Per Crisipppo la logica non era solo uno strumento delle scienze (come per Aristotele),ma era una delle scienze.

Per Crisippo gli oggetti di studio della logica erano:

(1) La semiotica.Lo studio dei segni.

(2) La sintassi.Studia i modi diversi in cui le parole si uniscono tra loro per formare una proposizione.

(3) La semantica.Studia il significato delle parole (semantica lessicale), degli insiemi delle parole, delle frasi (semantica frasale) edei testi.

10.2. Semiotica. Gli Stoici studiano la cosiddetta logica proposizionale, ossia la logica di proposizioni molto semplicicome ad esempio la neve bianca o rossa. Nella logica proposizionale le frasi sono molto semplici e sono costituite daatomi (che sono sostantivi o attributi come neve, bianca ) collegati da connettivi logici (e, non, o, se...allora). Il fattoche la frase sia vera o falsa dipende dai valori di verit associati agli atomi e dal tipo di connettivo usato per collegarli.Pi formalmente, i segni (da cui appunto semiotica) che costituiscono le parti del linguaggio della logica proposizionale sidistinguono in:

Variabili proposizionali: p1, p2, . . . .Sono indicate per la prima volta dagli Stoici con delle lettere; esse stanno al posto delle proposizioni e assumonoun valore di verit intrinseco. Ad esempio se p = la neve bianca e q = la neve rossa abbiamo che p veramentre q falsa (naturalmente il valore di verit dato seguendo il concetto di verit per corrispondenza con larealt). Connettivi logici: no, e, o, se...allora.

10.3. Sintassi. I segni non possono essere messi a caso insieme per formare le frasi. occorrono delle regole. Tali regolevengono stabilite dalla sintassi. Pi specificamente gli stoici hanno avuto il merito di introdurre le regole del:

modus ponens.Ovvero la regola formale secondo cui vero a e vero a b risulta vero anche b. In formule (a a b) b contrapposizione.

E il principio logico secondo cui vale limplicazione (a b) (b a) mentre NON VALE assolutamentelimplicazione (a b) (a b). dimostrazione dellassurdo.

Cio: (a assurdo) a. E chiaro che si usa il principio del terzo escluso (ossia a : a V F ).

10.4. Semantica. Gli stoici diedero delle definizioni di verit dei connettivi. Ci illustrato dalla seguente tabella.a b a a b a b a bV V F V V VV F F F V FF V V F V VF F V F F V

Purtroppo per varie vicissitudini, il lavoro degli Stoici and completamente dimenticato fino al 1950. Si dovr aspettareil 1800 prima che vengano riscoperti indipendentemente questi principi da Boole.

11. Verit e dimostrabilit.

La dimostrazione moderna un processo sintattico, cio una manipolazione di segni secondo certe regole, che produconocerte conclusioni. Queste conclusioni non sono di per s ne false ne vere. Lo sono se al sistema formale in uso ciappiccichiamo dei significati semantici. Qui per verit si intende che lo stato di cose deve corrispondere alla realt.Ad esempio si consideri l seguente teorema elementare di teoria degli insiemi

A B, B C A C


Questa proposizione non vera ne falsa semplicemente perch nella realt...non esistono gli insiemi!! Tuttavia la proposi-zione precedente sintatticamente corretta.

Adesso per appiccichiamo ai simboli precedenti dei significati (e quindi passiamo nel campo della semantica).Supponiamo ad esempio che A rappresenti i Baresi, B gli italiani e C gli esseri umani. Allora la proposizione precedente

di fornisce una verit, ovvero che tutti i baresi sono umani.Che rapporto c tra verit e dimostrabilit? Sappiamo che ogni dimostrazione vera. Il viceversa non vero (ad

esempio gli assiomi in una teoria sono veri ma non dimostrabili).Per i Greci invece dimostrabilit e verit erano equivalenti e questo creava dei problemi. Ad esempio, si considerino gli

assiomi degli Elementi di Euclide

(1) Tra due punti qualsiasi possibile tracciare una retta.(2) La linea retta si pu prolungare indefinitamente.(3) Dato un punto e una lunghezza, possibile descrivere un cerchio.(4) Tutti gli angoli retti sono uguali.(5) Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma minore di quella di

due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli minoredi due retti.

Questi assiomi erano considerati veri nel senso che nella vita reale sembravano evidenti. Tuttavia il quinto sembravameno evidente degli altri. Poich per i Greci una cosa era evidente (e quindi vera) o dimostrabile, essi tentarono peranni di dimostrarlo, senza successo.

12. Eudosso di Cnido (408-355 a.C.).

Allievo di Platone. Ha il merito di aver scoperto un metodo per poter confrontare i rapporti. Infatti, ricordiamo che lascoperta di rapporti incommensurabili aveva portato al problema di come misurare tra loro rapporti incommensurabili.Eudosso da la seguente definizione:

a : b = c : d m.n Z [ma Q nb mc Q nd]13. Euclide di Alessandria (323-285 a.C.).

Prima della morte di Alessandro Magno, il centro della cultura era Atene ( anche se gi non lo era dal punto di vistapolitico). Dopo la sua morte (3235 a.C.) i suoi generali si spartirono il territorio da lui conquistato ed in particolareTolomeo I ottenne per se il dominio dell Egitto, nel quale Alessandro aveva cominciato la costruzione di una nuova cittche portava il suo nome. Alessandria prese il posto di Atene come centro del mondo culturale e anche matematico. Trai primi decreti di Tolomeo vi fu listituzione ad Alessandria appunto, di una scuola o accademia, il Museo, che non avevapari a quei tempi. Ad insegnare in questa scuola venne chiamato anche Euclide.

13.1. Gli elementi. Gli Elementi sono la pi importante opera matematica giuntaci dalla cultura greca antica. Compostitra il IV e il III secolo a.C., rappresentano un quadro completo e definito dei principi e dei risultati della geometria notial tempo. La matematica negli elementi solo geometria. Infatti i numeri dellepoca, cio gli interi ed eventualmente lefrazioni, non potevano svolgere direttamente il ruolo di rappresentare le lunghezze di segmenti. Un caso particolare delteorema di Pitagora mostra infatti che la lunghezza dellipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza1, tale che `2 = 2. Daltra parte, facile mostrare che una tale non esprimibile come frazione: un risultato che risalealla scuola pitagorica ed era ben noto a Euclide.

Per risolvere lapparente contraddizione Euclide, nel V libro degli Elementi, sviluppa una raffinata teoria dei rapportitra grandezze che non viene limitata dal fotto che i loro rapporti siano incommensurabili. Naturalmente, per far cioccorreva innanzitutto avere un criterio per giudicare leventuale uguaglianza di due rapporti tra incommensurabili. Talecriterio era noto grazie ad Eudosso. Grazie alla definizione di Eudosso di uguaglianza tra rapporti, anche i rapporti traincommensurabili divennero un legittimo oggetto di studio della matematica e la loro eventuale uguaglianza era decisa

5In questo momento si soliti stabilire linizio dellera ellenistica, che si distingue dalla precedente era ellenica per il fatto che sotto Alessandrosi era avuto un gran mischiarsi di culture diverse.


semplicemente confrontando multipli interi delle grandezze considerate. In altre parole ogni rapporto tra incommensurabiliera caratterizzato dal suo comportamento rispetto a tutte le coppie di naturali.

Lopera consiste in 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana elementare, i tre successivi successivi la teoriadei numeri, il X la teoria degli incommensurabili e gli ultimi tre la geometria solida.

I diversi libri sono strutturati in definizioni e proposizioni. Delle proposizioni vengono fornite le dimostrazioni.Euclide basa il suo lavoro su 23 definizioni, che trattano i concetti di punto, linea e superficie, su 5 postulati e su

5 assiomi o nozioni comuni. Bisogna considerare che nellantichit, a differenza di oggi assiomi e postulati non eranoritenuti equivalenti. Gli assiomi erano delle verit ritenute convincenti di per se stesse e comuni a tutte le scienze. Ipostulati erano meno evidenti e specifiche di una particolare scienza (come la geometria ad esempio). I postulati eranocomunque ritenute delle realt evidenti (e dunque delle verit) ma meno degli assiomi. Quindi di essi non viene fornitaalcuna dimostrazione. Invece delle proposizioni vengono fornite le dimostrazioni perch ritenute meno evidenti.

Assiomi.

(1) Cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro(2) Aggiungendo (quantit) uguali a (quantit) uguali le somme sono uguali(3) Sottraendo (quantit) uguali da (quantit) uguali i resti sono uguali(4) Cose che coincidono con unaltra sono uguali allaltra(5) Lintero maggiore della parte

Postulati.

(1) Un segmento di linea retta pu essere disegnato unendo due punti a caso.(2) Un segmento di linea retta pu essere esteso indefinitamente in una linea retta(3) Dato un segmento di linea retta, un cerchio pu essere disegnato usando il segmento come raggio ed uno dei suoi

estremi come centro(4) Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro(5) Se due linee sono disegnate in modo da intersecarne una terza in modo che la somma degli angoli interni, da un

lato, sia minore di due angoli retti, allora le due linee si intersecheranno tra loro dallo stesso lato se sufficientementeprolungate.

Naturalmente, Euclide da anche delle definizioni. Tuttavia, mentre nella matematica moderna la definizione da il signifi-cato, per Euclide la definizione chiarisce soltanto un significato gi ritenuto noto a priori. Il chiarimento serve a poterinserire loggetto nelle dimostrazioni.

Sono due le innovazioni fondamentali degli Elementi rispetto al passato:

(1) Rapporti.I greci capirono che allaritmetica mancava qualcosa per poter descrivere la geometria. Questo problema fu evidentefin dalla scoperta di

2. Poich per descrivere una grandezza geometrica sarebbero stati necessari i numeri reali,

che ovviamente i Greci non potevano neanche concepire, si limitarono semplicemente a ragionare nel linguaggio pigenerale: quello dei rapporti. Mediante i rapporti essi potevano esprimere matematiche impossibili da esprimere

con i soli numeri razionali. Ad esempio,

2 =d

`dove d la diagonale di un quadrato di lato `. Per i Greci

non potevano esprimere

2 come un numero, semplicemente perch arrivavano solo ai numeri razionali. In questoandarono molto oltre i loro predecessori che ragionavano sempre in termini di parti.

(2) La dimostrazione per assurdo.Furono i primi ad usarla. Capirono limportanza del principio del terzo escluso. Ad esempio, essi usarono questatecnica per scoprire lesistenza di

2.

13.2. Il concetto di punto. Il concetto di punto nasce dallaver accettato linfinito attuale. Infatti per ottenere un puntoda un segmento dobbiamo immaginare di dividere questo segmento e di non poterlo pi dividere ulteriormente.

13.3. Il metodo di Archimede e la composizione del continuo. Con Archimede nasce lidea di comporre una partedi piano con infiniti segmenti. Egli usava tali espedienti per intuire dei risultati che poi dimostrava formalmente con il


metodo di esaustione. Poich li riteneva per poco corretti dal punto di vista formale, preferiva evitare di pubblicizzarli.Infatti siamo pervenuti a queste conoscenze grazie a delle lettere che lui inviava a dei suoi amici in privato.

14. Limpero romano.

LImpero romano lo Stato romano consolidatosi nellarea euro-mediterranea tra il I secolo a.C. e il IV secolo.Le due date che generalmente identificano linizio e la fine di unentit statuale unica sono il 27 a.C., primo anno del

principato di Ottaviano, con il conferimento del titolo di Augusto, e il 395, allorquando, alla morte di Teodosio I, limperoviene suddiviso in una pars occidentalis e in una orientalis. LImpero romano dOccidente si fa terminare per convenzionenel 476, anno in cui Odoacre depone lultimo imperatore legittimo, Romolo Augusto. La vita dellImpero romano dOrientesi protrarr invece fino al momento della conquista di Costantinopoli da parte degli Ottomani nel 1453.

Allinizio limpero romano fu fortemente influenzato dalla cultura greca. Si parlavano infatti sia il latino che il greco.Tuttavia, questa influenza and assottigliandosi durante il II-III secolo. Il risultato fu che la maggior parte della culturagreca, e quindi anche della matematica, and persa; rimase solo ci che serviva al diritto e ci che aveva una qualcheapplicazione pratica (serviva una matematica pratica ad esempio per gli architetti).

Dopo la caduta dellimpero romano dOccidente, la crescita della cultura matematica si sposta in Oriente fino a circail 1300.

In occidente non rimane quasi nulla. Addirittura anche il greco andava scomparendo come lingua.Per fortuna ci fu Beozia, un senatore romano vissuto nel VI secolo, che ha contribuito a farci arrivare dei frammenti di

cultura greca. Egli si pose come obbiettivo di tradurre in latino la cultura classica. Grazie a lui ci sono arrivati dei pezzidella logica Aristotelica e del Quadriglio.

14.1. Claudio Tolomeo (100-175 a.C.). Autore dellAlmagesto. In questo lavoro Tolomeo fuse il modello geometrico diEudosso con i dati numerici dei Babilonesi. Il risultato fu un modello geocentrico, in cui solo il Sole e la Luna, consideratipianeti, avevano il proprio epiciclo, ossia la circonferenza sulla quale si muovevano, sulla Terra. Questo modello del sistemasolare, che da lui prender il nome di sistema tolemaico, rimase di riferimento per tutto il mondo occidentale (ma anchearabo) fino a che non fu sostituito dal modello di sistema solare eliocentrico di Copernico.

15. il medioevo

Il Medioevo un periodo che grosso modo dal 476 (caduta dellimpero romano doccidente) al 1500 ( inizio delrinascimento).

La scienza e la matematica cambiano radicalmente. Vediamo i punti salienti della scienza antica.

(1) Logica sostanzialista.Tutta la concezione antica era basta sul concetto di sostanza al quale erano legati gli attributi; questo nonconsentiva ad esempio di trattare le relazioni (esempio: Michele padre di Claudio. Essere padre una proprietdi Michele o di Claudio?). Poich anche la scienza e la matematica subivano questa visione era difficile che ci fosseun grande progresso..

(2) Contrapposizione tra essere e divenire.Il divenire era un concetto simile alla contraddizione per i greci ( esempio: se una freccia in volo e mi restringoad un singolo attimo la freccia ferma o si muove?) e quindi non poteva far parte del mondo della scienza, cheinvece doveva essere esatto.

(3) Meccanica qualitativa.Tutti i concetti classici della fisica come velocit, peso, calore, accelerazione etc... erano trattati in modoqualitativo. Vi era quindi una netta distinzione tra numero e spazio-tempo.

(4) Concezione di numero intero e finito.(5) Assenza si misure aritmetiche.(6) Infinito solo potenziale ( e quindi assenza del concetto di retta, piano e spazio).(7) Assenza dello zero e del vuoto.(8) Opposizione tra scienza e tecnica.

E scienza studiare le cause delleclissi. Non scienza prevedere la data della prossima eclisse.


I cambiamenti radicale che porteranno dalla concezione antica a quella moderna esploderanno a partire dal XVI secolo;tuttavia il calderone preparatorio a questa rivoluzione appunto il medioevo.

15.1. Cristianizzazione dellintelletuale. In origine, nei primi secoli dopo Cristo, la figura dellintelletuale era anti-cristiana: sia perch a quellepoca il cristianesimo era una religione di poveri, sia perch essa era piena di dogmi diffi-cili da accettare per un uomo dotato di una certa istruzione. Col aumentare del potere temporale del papato, questacontrapposizione viene ad affievolirsi, fino al punto in cui le due figure coincidono (esempio: S. Agostino).

15.2. Il monaco. Il monaco era un religioso che si dedicava alla vita contemplativa nei monasteri, i quali, situati in luoghiisolati, diventano come fortezza chiuse al resto del mondo (che peraltro considerato posseduto dal Demonio o luogo diperdizione), ma antiteticamente rappresentano il cuore pulsante della cultura stessa. Infatti i monaci detenevano il poteree lo esercitavano sulle masse, in quanto erano lunico ceto intellettuale dellepoca e anche il solo punto di riferimento. Ilmonaco rappresenta il modello perfetto da seguire: in grado di intermediare con il mondo divino attraverso la preghiera,il sacrificio e il rispetto estremo delle regole. Il monastero, oltre che luogo di ritiro nella preghiera, il centro del lavoroe della cultura: possedeva, infatti, scuole, scriptoria, cio i laboratori in cui i monaci si esercitavano come amanuensi ebiblioteche, che custodivano i tesori della cultura antica; rappresentava inoltre il centro economico per le attivit agricolee la conservazione delle derrate alimentari, che venivano pagate con le decime. I monaci imponevano il modello culturaleispirato agli ideali monastici: luomo in subordine rispetto a Dio, al tempo e allo spazio ed visto solo in funzione del suodestino celeste; la donna viene demonizzata e il corpo si trova in secondo piano rispetto allanima. La religione, dunque,ruota attorno ad un Dio giudice, terribile, cattivo, che infligge castighi e punizioni anche attraverso i vari fenomeni naturali(carestie,epidemie,siccit,ecc..).

La figura del monaco quindi si sostituisce anche a quella di intellettuale. Tuttavia a differenza del passato egli noncrede nella scissione tra lavoro e pensiero. Anzi il lavoro fa parte della sua quotidianit (ora et labora). Quindi il monacoincarna lunione tra pratica e teoria.

Si sviluppa anche una sorta di concezione dellinfinito attuale mediante la figura divina: Dio infatti onnisciente,infinitamente buono, generoso etc... Tuttavia troviamo tale concezione solo nella teologia.

Tutto ci che era cultura, come le scuole, scompare a causa delle invasioni barbariche dilaganti. Le persone quindi sirifugiano in castelli fortificati.

La matematica dei monasteri era pressoch nulla ed incentrata sulle attivit manuali. Si pensi che il conto pi difficileda calcolare in un monastero era stabilire il giorno di pasqua.

15.3. La quantit di S. Agostino. Agostino, nel de quantitate animae (la grandezza dellanima) si propone di investigarealcune questioni riguardanti lanima umana che egli ritiene prioritarie:

(1) lorigine dellanima.(2) le sue qualit.(3) la sua grandezza.(4) la ragione della sua unione con il corpo.(5) la sua condizione dopo la separazione dal corpo.

La categoria della quantit per S. Agostino pu essere estesa allanima, alla carit, e a tutte le altre qualit che non sonosolo grandezze geometriche del tempo e del numero delle cose.

16. la matematica nellislam nellalto medioevo

Contrariamente a quanto accade in Occidente, in Oriente la matematica fiorisce per tutto il Medioevo.La matematica Araba nasce dalla fusione di queste tre culture:

(1) matematica greca.(2) matematica mesopotamica.(3) matematica indiana.

Molto aritmetica, legata pi ai numeri che alla geometria.

Gli Arabi erano interessati soprattutto agli utilizzi pratici, commerciali e tecnici della matematica. Inoltre essendotraduttori molto efficienti riescono ad abbracciare pi culture.


16.1. Al Khwarizmi (780 - 850). Si conosce poco della sua vita: non neppure certo dove al-Khwarizm sia nato. lautore del primo libro che tratta soluzioni sistematiche di equazioni lineari e di secondo grado. Viene considerato

pertanto il padre dellalgebra, titolo che divide con Diofanto.Dopo la conquista islamica delle regioni mesopotamiche e persiane, Baghdad divenne il centro degli studi scientifici e

degli affari e molti mercanti e scienziati dalla lontana Cina e dallIndia arrivarono in questa citt, cos come probabilmentefece al-Khwarizm. Egli visse a Baghdad.

I suoi maggiori contributi hanno riguardato i campi dellalgebra, della trigonometria, dellastronomia/astrologia, dellageografia e della cartografia. Il suo approccio sistematico e logico nel risolvere le equazioni lineari e di secondo gradodiedero forma alla disciplina dellalgebra; questo stesso vocabolo derivato dal nome di un suo libro. Si deve ad esso ladiffusione del sistema di numerazione indo-arabico nel Vicino e Medio Oriente e successivamente in Europa.

Al-Khwarizm sistematizz e corresse i dati geografici di Tolomeo relativi allAfrica e al Vicino Oriente.Egli contribu inoltre alla realizzazione di una carta geografica del mondo per il Califfo al-Mamun e partecip al progetto

per la determinazione della circonferenza della Terra, supervisionando il lavoro di 70 geografi impegnati a realizzare unamappa del Mondo conosciuto a quel momento.

Scrisse un importante libo di Algebra. E un libro di matematica scritto verso l820 d.C. Il libro amplia il lavoro delmatematico indiano Brahmagupta e del matematico ellenistico Diofanto sulle equazioni algebriche. Egli raccolse materialeda tradizioni differenti: greca, indiana e siriaco-mesopotamica, e compil un trattato dotato di sistematicit che divenneun punto di riferimento per lo sviluppo dellalgebra moderna.

Normalmente lalgebra viene associata con la notazione simbolica e sintetica dellalgebra moderna; in realt lalgebrasi sviluppata nella matematica islamica e per molto tempo nella matematica dellEuropa medioevale in una forma dettaalgebra retorica in cui le espressioni erano descritte con lunghi giri di parole. Per esempio, per descrivere lequazionex2 + 10x = 39, al-Khwarizm usa una espressione equivalente a: "il quadrato e dieci radici dello stesso danno come sommatrentanove unit".

Il metodo di al-Khwarizm per risolvere equazioni lineari e di 2 grado si basa principalmente nel ridurre lequazione auno dei sei tipi proposti (dove a, b e c sono razionali positivi).

(1) x2 = c(2) x = c(3) x2 = bx(4) x2 = bx+ c(5) x2 + bx = c(6) x2 + c = bx

che poi risolve per via geometrica.Da ricordare:

il suo utilizzo preferenziale per le cifre indo-arabe piuttosto che luso dellabaco, per i calcoli. algebra retorica (cio lunghi giri di parole anzich pochi e brevi simboli). sviluppo degli algoritmi. riconoscimento pieno delle frazioni come numero.

17. matematica in europa nellalto medioevo

Verso il X XI secolo, in europa comincia a risvegliarsi qualcosa. Intanto si erano diffuse la carta, la stampa e lapolvere da sparo, che erano state importate dalloriente. La matematica comincer in questo periodo a diffondersi anchecome scienza del fare, cio comincer ad essere utilizzata anche per scopi pratici (a differenza con quanto avveniva inGrecia, dove la geometria era inutile dal punto di vista pratico). Ad esempio, la matematica sar pesantemente utilizzata daLeonardo per le sue opere. Spesso, per indicare questo cambio di utilizzo della matematica, si usa dire che la matematicastava diventando un linguaggio orizzontale, nel senso che si poteva applicare ad ogni ambito della vita comune oltre cheper una speculazione astratta.


17.1. Simbolismo: la nascita del + e della x. Sappiamo che gli Arabi avevano labitudine di trattare i problemialgebrici senza servirsi di simboli particolari che semplificassero i ragionamenti. Questo era dovuto al fatto che per gliArabi la lingua e i simboli erano una cosa sacra.

Non stupisce dunque che le principali innovazioni simboliche siano avvenute in Europa ed opera dei monaci. Infatti illoro pesante lavoro di ricopiatura gli aveva indotti allutilizzo di particolari abbreviazioni: & stava per atque, + stava peret, x stava per indicare una cosa generica.

17.2. Gerbert dAurillac. Fu papa e mor nel 1003. Durante i suoi viaggi in Spagna era venuto in contatto con lascienza araba. Da questa esperienza, Gerbert riporta un abaco nuovo che usava gettoni con incise cifre indo-arabe. Questoconsentiva di inserire una sola pallina con scritto sopra 3 anzich inserire 3 palline. A Gerbert venne chiesto se larea diun triangolo equilatero di base 7 fosse 21 o 28. Egli rispose 21 ovviamente. Ma perch 28? Perch 28 sono le monadi checompongono tale triangolo.

17.3. S.Anselmo. Egli importante per la prova ontologica6 dellesistenza di Dio: lateo ha lidea che Dio non esiste.Poich nel idea che Dio non esiste c anche lidea di Dio allora Dio esiste.

S. Anselmo importante anche per la logica. L esistenza per lui un attributo.La logica Aristotelica doveva imitare la natura, la realt; invece i medioevali si basano su una logica che deve parlare

degli scritti, dei libri a partire dal primo libro per eccellenza: la Bibbia. Tutte le universit medioevali si baseranno suquesta cultura.

17.4. Fibonacci (Leonardo da Pisa). Studia la matematica elementare a Pisa; quando si trasferisce in Tunisia, con ilpadre, impara anche la matematica araba. Quindi non stupisce che la sua sia una matematica pratica come non stupisceil fatto che abbia imparato usare le cifre indo-arabe e, purtroppo, la forma di espressione retorica. Uno dei suoi librifondamentali e il Liber Abbaci. Contrariamente al nome, egli non us mai labaco. Egli infatti non si rivolgeva allabaco inquanto tale ma solo in quanto rappresentante della tradizione pratica. Lidea dominante nel Liber Abbaci il fatto che lageometria e lalgebra fossero non due discipline distinte ma tra loro interconnesse e che si rafforzassero a vicenda. Semprenello stesso libro, Fibonacci descrive le nove figure indiane pi lo zero. Si capisce quindi quanto importante sia statoFibonacci per il progresso matematico in Occidente. Fu anche utilizzatore della sbarretta orizzontale nelle frazioni (oltreche di insolite notazioni) che per non fu presa in reale considerazione nei secoli successivi. Per il resto, il Liber Abbaciera pieno di problemi banali e volti pi che altro alle transazioni commerciali.

17.5. La universit medioevali. Le universit nascono intorno al 1200. Universit voleva dire corporazione. luniver-sit parigina era quindi la corporazione dei professori7.

Tutte le facolt medioevali sono costruite su tre facolt principali (teologia, medicina, diritto) e su uno minore (facoltdelle arti dove si studia il trivio (grammatica, logica, retorica) e il quadrivio (matematica, geometria, musica, astronomia)).

Nelle universit Francesi e Inglesi senza dubbio la teologia la materia principale. In Italia invece le cose andrannoun po diversamente. In genere qui le facolt pi importanti saranno medicina e diritto. Inoltre luniversit italiana non dei docenti ma degli studenti: sono gli studenti che si organizzano in corporazioni. I collegi in cui vivevano gli studenti siautogovernano e si assumevano loro i professori. Quindi il modello italiano pi laico e meno legato alla chiesa.

Nel medioevo il centro del sapere non la natura ma sono i libri, primo fra tutti la Bibbia e al secondo posto i libridi Aristotele e i suoi commentari. Tutto basato sui libri. Anche le lezioni sono sostanzialmente delle letture (il terminestesso lezione deriva da leggere). La lezione tipo era costituita da un professore che leggeva un libro e lo commentava;durante la lezione, gli studenti prendevano appunti e si facevano cos la loro copia del teso autentico del professore. Venivacos a crearsi una catena di libri letti, copiati, commentati, copiati i commenti, commentati i commenti, commentati icommenti dei commenti e cos via. Si capisce che in questo modo non poteva esserci una proliferazione della cultura.

Altra caratteristica delle universit medioevali era la mobilit degli studenti: allepoca era normale spostarsi da Bolognaa Parigi per sentire le lezioni di un professore.

La lingua comune in tutte le universit era il latino, che era utilizzato per la sua universalit e diffusione. Tuttavia essanon aveva alcun significato particolare per gli occidentali (come invece ad esempio per gli arabi larabo: il corano puessere scritto solo in arabo).

6Lontologia, una delle branche fondamentali della filosofia, lo studio dellessere in quanto tale, nonch delle sue categorie fondamentali.7Non era infrequente che i cittadini si unissero in corporazioni per difendere i loro interessi.


Nelle universit riprese anche lo studio della logica. Tuttavia essa era diversa da quella aristotelica basata sul sillogismo.La logica medioevale infatti si basava sullo si occupava, mediante lo studio dei testi sacri, del problema delle eresie, degliscontri ideologici (tipo esistenza dellanima) Come conseguenza, la logica medioevale sar incentrata sopratutto sullostudio dei segni presenti allinterno dei testi sacri. Tutti i ragionamenti erano concentrati sul significato e sullutilizzo deitermini e delle parole chiameremo questa logica la logica terministica.

Un fatto di notevole interesse e diversit rispetto al passato: questa nuova logica terministica comincia ad occuparsidi questioni di fisica. Alcuni filosofi teorici, detti calculatores, cominciano a descrivere delle quantit fisiche con entigeometrici. Ad esempio cominciano a rappresentare la velocit crescente con un triangolo. Oppure rappresentano uncolpo caldo8 con un angolo acuto, indicando il vertice com il punto che punge. Questo fatto era in netto contrasto con lavisione antica, in cui matematica e fisica erano completamente scisse.

Curiosamente le rappresentazioni geometriche vengono utilizzate anche per rappresentare le qualit morali (una caritche cresce rappresentata con un triangolo, una carit costante con un quadrato).

17.6. Le scuole dabaco. Abbiamo visto che nelle universit non potevano che formarsi intellettuali. Ma la societ haanche bisogno di gente che provveda alle esigenze pratiche. Dove potevano formarsi queste persone?

Nel periodo medievale e rinascimentale le scuole dabaco furono i luoghi preposti per la formazione dei tecnici. Fondatenel XIII secolo, per venire incontro alla necessit degli artigiani, dei mercanti, dei tecnici e di altre categorie professionali, diistruirsi e di addestrarsi, sono equiparabili agli odierni istituti professionali. Linsegnamento era basato sulla matematica,spiegata con metodi applicativi; lallievo imparava tramite i metodi dellosservazione e dellesercitazione su problemicongruenti al mestiere che stava imparando. I manuali scritti erano pochi, spesso incompleti ed incomprensibili per unbuon numero di apprendisti e redatti in lingua volgare. Bench tra i meriti principali degli abachisti vi fosse lintroduzionedelle cifre arabe e la diffusione dellalgebra, presto si verific una contrapposizione tra essi (legati alla notazione romana)e gli algoritmisti, che propugnavano luso della nuova notazione indo-araba.

17.7. Pietro Abelardo (1079-1142). Pietro Abelardo nacque nel piccolo villaggio di Pallet, circa dieci miglia ad est diNantes in Bretagna. Suo padre, Berengario, era il signore del villaggio, il nome di sua madre era Lucia. Pietro, il maggioredei loro figli, era destinato alla carriera militare, ma, come narrava egli stesso, abbandon "Marte" per "Minerva", laprofessione delle braccia per quella della cultura, che allepoca non poteva prescindere dalla carriera ecclesiastica. Diconseguenza, in giovane et lasci il castello del padre e and in cerca di istruzione, come studioso errante, presso le scuoledegli insegnanti pi rinomati di quei giorni.

Dopo varie vicissitudini giunse a Parigi. Anche se lUniversit di Parigi non esistette come istituzione sociale fino aoltre mezzo secolo dopo la morte di Abelardo, erano floride nella Parigi dei suoi tempi le scuole della Cattedrale, di SainteGenevive e di Saint Germain des Prs, precorritrici delle universit del secolo successivo. La scuola della Cattedrale eraindubbiamente la pi importante tra queste e il giovane Abelardo vi si diresse per studiare dialettica sotto il rinomatomaestro Guglielmo di Champeaux.

Le scuole cattedrali erano delle piccole scuole create per formare i preti; tuttavia con il passare del tempo esse preseroa formare anche persone laiche9 desiderose semplicemente di istruzione. La figura del professore allepoca coincideva conquella del libero professionista che affittava, a pagamento, dei locali dalla chiesa per tenere le proprie lezioni. Egli poi sifaceva a sua volta pagare dagli alunni. Spesso i professori erano legati alla chiesa e a qualche ordine religioso.

Abelardo, come altri, si apri la sua scuola privata e l comincio a tenere lezioni di retorica, dialettica e teologia. Riscossesubito un enorme successo. Egli aveva tra laltro fissa dimora nella casa del parroco e cominci anche a tenere delle lezioni

8Le grandezze come calore, velocit, peso saranno chiamate intensive. La lunghezza, larea invece saranno dette estensive.9Agnostico: esso afferma di non sapere la risposta, oppure afferma che non umanamente conoscibile una risposta e che per questo non puesprimersi in modo certo sul problema esposto. Nello specifico questa posizione solitamente assunta rispetto al problema della conoscenza diDio. (Brutalmente: non so se esiste Dio)Ateo: chi non crede che esista Dio o qualsivoglia divinit. (Brutalmente: credo che non esista Dio)Laico: ha significato di "aconfessionale", ossia di slegato da qualsiasi autorit confessionale, ecclesiastica, e quindi da qualsiasi confessionereligiosa . Tale promessa "di vita" spesso si esplica con un giuramento, o un atto di sottomissione o di accettazione dellautorit confessionalestessa e delle sue regole liturgiche. Negli ultimi anni il termine "laico" viene invece utilizzato in maniera impropria per indicare un genericoagnostico o ateo. Tale uso semanticamente scorretto, in quanto laico ha significato di svincolo dallautorit confessionale, ma non inficia lapratica di una particolare credenza religiosa: per cui si possono distinguere "laici credenti" da "laici non credenti". (Brutalmente: non sonovincolato a qualsivoglia religione)


private per la sua figlia Eloisa. Purtroppo i due si innamorarono ed Eloisa rimase in cinta. Per questo Abelardo veneevirato10.

17.7.1. La scolastica. Scolastica il termine con il quale comunemente si definisce la filosofia cristiana medioevale inperiodo che grossomodo va dal 800 al 1400. Gli scolastici credevano di poter basare la religione cristiana sul ragionamentologico, ancorch sulla fede.

Il carattere fondamentale della scolastica consisteva nellillustrare e difendere le verit di fede con luso della ragione.A tal fine, essi privilegiarono la sistematizzazione del sapere gi esistente rispetto allelaborazione di nuove conoscenze.

Lintento degli scolastici era quello di sviluppare un sapere armonico, integrando la rivelazione cristiana con i sistemifilosofici del mondo greco-ellenistico, convinti della loro compatibilit, e anzi vedendo nel sapere dei classici, in particolaredei grandi pensatori come Socrate, Platone, Aristotele, una conferma dei dogmi cattolici. Sulla base del rapporto trafede e ragione che credevano di vedere nei testi greci, gli scolastici si erano convinti di poter contrastare le tesi eretiche ecercavano di convertire gli atei.

17.7.2. Il problema degli universali. Dallo studio dei testi greci nasce il problema degli universali cio della forma:

forma ante rem: luniversale esiste nella mente di Dio e quindi anteriore alloggetto, di cui costituisce la forma (si rifacevano a Platone ) forma in re: luniversale calato dentro loggetto e ne costituisce lessenza ( si rifacevano ad Aristotele ) forma post rem: luniversale si forma nella mente umana dopo che essa ha conosciuto loggetto e quindi posteriore

a esso.

17.7.3. Logica di Abelardo. Per Abelardo compito della logica stabilire la verit o falsit di un discorso.Nellopera Sic et non, Abelardo introduce il cosiddetto metodo delle questioni, che consisteva nel porre difronte a se

una tesi e la sua negazione, produrre argomenti a favore delluna e dellaltra fino a quando una di esse non gli fosse parsadecisamente pi convincente.

17.7.4. Capisco per credere. Abelardo anteponeva il capire al credere; Abelardo era disposto a credere ai dogmi dellachiesa cattolica, ma solo dopo che li aveva passati al vaglio della ragione. Dunque si pu dire che Abelardo rappresentassein pieno lideale della scolastica (e questo gli provoc parecchie antipatie ).

17.8. Guglielmo da Ockham (1288 - 1349). Guglielmo di Ockham (o Occam) nacque a Ockham a poche miglia daLondra. Entr nellordine francescano e studi e insegn ad Oxford sino al 1324.

Lo ricordiamo per aver espresso in modo chiaro quello che stava accadendo alle categorie11 di Arirstotele. Egli affermache per la descrizione del mondo sono necessarie solo due categorie: la sostanza e la qualit. Si noti che questo implica cheper Ockham la matematica inutile per la descrizione della realt, in quanto ente caratteristico della categoria quantitche, come abbiamo gi detto, era per lui inutile per la descrizione della realt.

Altra diversit rispetto ad Aristotele il fatto che per questultimo la matematica fatta di tante scienze ciascunacon il suo argomento, mentre per Ockham la matematica una scienza sola: ad esempio il concetto di numero pu esseretrasferito da un genere allaltro (posso parlare utilizzando lo stesso concetto di numero sia di monete che di pecore).

18. gli algebristi italiani

In passato il linguaggio della matematica era stato indiscutibilmente la geometria. Nel 500 si comincia ad avere laconsapevolezza che le verit matematiche possono essere raggiunte anche attraverso la manipolazione di simboli, cheinfatti aumentano e si arricchiscono. Questo fatto derivava dalla maggiore accessibilit delle opere Arabe rispetto a quellegreche, sia perch ormai pochissimi capivano il greco, sia perch anche quando queste opere erano disponibili in latino essepresentavano un maggior grado di astrazione rispetto a quelle arabe. La matematica classica, ad eccezione delle opere pielementari di Euclide, costituiva nel 1500 una disciplina profondamente esoterica, accessibile solo a coloro che possedevanoun alto grado di istruzione.

10Si consideri che allepoca i professori erano ritenuti in dovere di essere casti quanto e pi dei preti. Era praticamente vietato loro sposarsi.11Col termine "categorie" Aristotele intende le caratteristiche fondamentali che ogni essere possiede. Esse sono dieci: sostanza, qualit, quantit,relazione, agire, subire, dove (luogo), quando (tempo), avere e giacere.


Altra cosa che favor lo sviluppo della matematica fu linvenzione della stampa: infatti il pi antico libro mai stampatoin Europa risale al 1447.

La matematica era utilizzata sopratutto per lastrologia. Non cera ancora la concezione del matematico puro che infattimolto spesso si trova a dover fare anche il lavoro di ingegnere o architetto. Erano comuni le sfide tra matematici. Non siconosceva la soluzione di equazioni di grado superiore al secondo. Tra il 1500 e il 1600 vengono inventai i simboli come+,,,=, e cominciano anche ad essere utilizzate le lettere per indicare i segni delle equazioni.

Scipione del Ferro. Scopre la soluzione generale delle equazioni di III grado.

Niccol Tartaglia (1499-1557). Autodidatta. Riscopre indipendentemente la soluzione delle equazioni di III grado. Rivelaa Cardano, cui era amico inizialmente, la formula risolutiva delle equazioni di III grado.

Girolamo Cardano (1501-1576). Studia da Medico ma inizialmente non riesce a praticare perch un figlio illegittimo.La sua opera principale lArs Magna in cui appaiono entrambe le soluzioni delle equazioni di III e IV grado. Cardanoebbe spesso problemi di denaro e per cavarsela si dedic ai giochi dazzardo e al gioco degli scacchi. Scrisse anche un librosulle probabilit nel gioco; esso contiene la prima trattazione sistematica della probabilit, insieme a una sezione dedicataa metodi per barare efficacemente.

Raffaele Bombelli (1526-1572). Autore de lAlgebra, opera in cui si sintetizzano tutte le scoperte matematiche del 500.Utilizza in modo sistematico i numeri complessi, anche se non gli d una precisa sistemazione teorica.

John Napier. Scopre i logaritmi che semplificarono moltissimo i calcoli astronomici.

Galileo Galilei (1564-1642). E insieme a Descartes quello che segn il passaggio dalla matematica antica di Aristotele allamatematica moderna. Indaghiamo alcune oggetti dello studio Galileiani che segnano una svolta cruciale con il pensieroAristotelico.

Il moto. Nella concezione moderna lidea di un corpo fermo equivale a quello di un corpo con velocit nulla. Dunque ilcorpo in moto, solo che ha un valore di velocit particolare: lo zero. In questa concezione lessere (cio lo stare fermi) un caso particolare del divenire (lessere in moto).

Per Aristotele invece i due concetti non erano unificabili, cio non potevano vedersi come un caso particolare lunodellaltro.

Paradossi legati allinfinito.

(1) Ruota di Aristotele.(2) Scodella di Galileo.(3) Bigezione n n2.

19. il 1600 - la rivoluzione scientifica

Con rivoluzione scientifica si fa riferimento alla fase di straordinario sviluppo della scienza che abbraccia il periodocompreso tra la data di pubblicazione del capolavoro di Niccol Copernico Le rivoluzioni degli astri celesti (1543) e quelladellopera di Isaac Newton I principi matematici della filosofia naturale (1687).

Le innovazioni che caratterizzano la rivoluzione scientifica sono:

(1) filosofia sperimentale.Lo sperimentalismo diventa un elemento fondamentale nella ricerca della verit. La stessa nozione che abbiamooggi di verit in fisica dipende dal fatto che essa possa essere verificata e ripetuta da chiunque. In passatoera considerato degno, come oggetto di scienza, solo ci che era eterno e immutabile: ad esempio lessenza (cfr.Aristotele). Ora invece la scienza ha come oggetto primario di studio i fenomeni naturali e come oggetto privilegiatodi indagine lesperienza. Ricordiamo che in passato stabilire quando doveva avvenire un eclissi di luna non eraconsiderato un degno oggetto di scienza. Nel 600 tutto cambia. Non ci si chiede pi, ad esempio, da dove derivi ilfuoco, qual la sua essenza. Ci si interroga piuttosto sulle temperature che pu raggiungere su cosa pu bruciareo fondere. etc..


(2) Matematica utile.Per Aristotele la matematica e la fisica non avevano nulla da spartire: la prima si occupava di enti astratti, laseconda di cose reali. Dunque non era concepibile una fisica-matematica nellantichit.Al contrario, nel600 si comincia a capire che la matematica pu essere un mezzo utile per creare modelli che poiportano alla comprensione dei fenomeni naturali. Quindi fisica e matematica si intrecciano e questultima diventauno strumento di conoscenza.

(3) Meccanicismo.Con la matematizzazione della natura, la realt viene ridotta ad una insieme di macchine regolate dalle leggi dellamatematica.

(4) Scissione tra fisica e metafisica.Quello che un tempo era un tuttuno ora si rompe. La metafisica si occuper di forme, essenze, sostanze cio deglienti astratti; la fisica dei fenomeni reali. Addirittura si inverte il punto di vista del passato. Se un tempo erail mondo delle idee ad essere considerato scienza, da questo momento in poi la scienza sar proprio la fisica, lostudio dei fenomeni naturali che possibile comprendere attraverso la matematica.

Distinguiamo tre fasi nella rivoluzione scientifica:

(1) Fase italiana (Leonardo, Galileo).Concezione della realt in senso geometrico.

(2) Fase francese (Viete, Fermat, Descartes).La geometria viene rappresentata sintatticamente; i matematici francesi sviluppano sopratutto lalgebra; essiprovengono in maggioranza da ambiente retorico-giuridico (filosofi-avvocati) piuttosto che matematico.

(3) Fase nord-europea (Huygens - Newton)La fisica si unisce alla matematica che il cui linguaggio principe ancora la geometria. Si sviluppa il calcoloinfinitesimale (analisi) che sar il futuro linguaggio principe della matematica.

19.1. Galileo. Galileo era fortemente attratto dai problemi legati allinfinito, al moto e al continuo. Non utilizzavalalgebra. Concepisce per primo il legame tra moto e quiete vedendo la quiete come un rallentamento mandato al limitedel moto.

19.2. Cartesio. Ebbe una formazione prevalentemente umanistica. Le conoscenze matematiche arrivarono pi tardimediante stimoli che ricevette da persone che incontr nei suoi frequenti viaggi. Oggi viene ricordato come il padre dellageometria analitica.

La suo opera pi importante La geometrie. In essa Cartesio si propone e realizza lidea di unire il linguaggio dellageometria a quello dellalgebra. Far vedere in sostanza che sono due rappresentazioni della stessa cosa. Il libro si apreinfatti con una serie di spiegazioni che illustrano come convertire le operazioni algebriche consuete (somma, prodotto,divisione, estrazione di radice quadrata) in operazioni geometriche.

La geometrie non venne pubblicata come opera a se stante, ma come una delle tre appendici del Discours sur lamethode, che era il libro in cui egli spiegava la sua filosofia generale. Infatti egli vedeva il suo lavoro matematico come unaapplicazione del suo metodo12 generale di pensare.

Descartes ha anche il merito di aver ulteriormente evoluto la notazione algebrica, al punto che uno lettore dei nostrigiorni non avrebbe, a parte un paio di simboli, alcuna difficolt a studiarvici sopra. Tuttavia bisogna sottolineare cheDescartes aveva sempre in mente la geometria piuttosto che lalgebra. Infatti egli intendeva le quantit come segmenti enon come numeri. E infatti sente il bisogno di giustificare una espressione del genere:

a2b2 bscrivendo: dobbiamo considerare la quantit a2b2 divisa una volta per lunit (cio il segmento unitario) e la quantitb moltiplicata due volte per lunit. Questo vuol dire che quando egli scriveva x2 immaginava mentalmente ancora il

12Il metodo non era altro che un insieme di regole secondo le quali si poteva giungere alla verit senza alcun dubbio di errore. Le regole sono:levidenza secondo la quale ogni scienza conoscenza certa ed evidente, lintuito atto con il quale dato cogliere la verit, la deduzioneche serve per collegare gli atti intuitivi che costituiscono le celle primarie di un concetto pi esteso che sono messi insieme dallenumerazioneordinata.


quadrato. La sua notazione stata cos felice che, come sappiamo bene, ai giorni nostri nessuno si immagina pi unquadrato nel vedere simbolo come x2.

19.2.1. Analisi e sintesi. I Greci davano a queste due parole i seguenti significati:

analisi.Era il procedimento secondo cui, partendo dal problema si cercavano i mezzi per risolverlo ( si ragiona per condizioninecessarie). Esempio: Apollonio, teoria delle coniche. Sintesi.

Si parte da ipotesi e si arriva alla soluzione con un procedimento puramente deduttivo (si ragiona per condizionisufficienti). Esempio: Euclide, gli Elementi.

La Geometria di cartesio di tipo analitico.

19.2.2. Empirismo e razionalismo. I matematici di questepoca rientrano tutti nel filone del cosiddetto razionalismo.Il razionalismo una corrente filosofica basata sullassunto che la ragione umana pu in principio essere la fonte di

ogni conoscenza. In generale i filosofi razionalisti sostengono che, partendo da principi fondamentali, individuabiliintuitivamente o sperimentalmente, come gli assiomi della geometria, si possa arrivare tramite un processo deduttivo adogni altra forma di conoscenza.

La filosofia razionalista si contrappone allempirismo, il quale privilegia invece altre facolt umane legate alle sensazioni.Descartes pone a revisione critica tutta la cultura che lo ha preceduto, tranne la religione cristiana di cui non intende

disfarsi. Il criterio che segue e il dubbio13: se in una cosa egli nutro un dubbio, anche piccolo allora falsa. In praticaapplica la prima regola del suo metodo: vero solo ci che assolutamente evidente e quindi falso tutto ci di cuisi nutre il minimo dubbio. Ci implica il relegare lempirismo al grado di fallacia assoluta: infatti i sensi ci ingannano edunque sono dei falsi strumenti di verit. Anche le sensazioni, per quanto vivide e reali, sono da rigettare: quante volteabbiamo fatto un sogno cos realistico da sembrarci esperienza vissuta e che poi si rivelato...solo un sogno?

19.3. Fermat. Piere de Fermat (1604 - 1665), come Descartes, non era un matematico di professione. Dopo gli studi didiritto, svolse prima lattivit di avvocato e poi quella di consigliere, a Tolosa. Praticava la matematica per Hobby. Conil suo metodo per la individuazione dei massimi e dei minimi delle funzioni precorse gli

appunti di storia e fondamenti della matematica

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