appunti di tecnica delle costruzioni_13_giu_2013

APPUNTI DI

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

Fabio Di Trapani

La presente dispensa costituisce un supporto allo studio per gli studenti del

corso di Tecnica delle Costruzioni per il corso di laurea in Ingegneria Edile

dell’Università degli studi di Palermo. Essa nasce dalla sintesi di numerose tesi di

laurea svolte negli anni precedenti da studenti che hanno fornito il loro contributo con

impegno e dedizione.

Si precisa che i contenuti qui esposti non esauriscono totalmente quelli trattati

nel corso per la cui completa trattazione rimanda ai testi ufficiali consigliati anche

considerando la possibile presenza di errori od imprecisioni dovute al tempo non

sempre sufficiente per rivedere e controllare testi e calcoli.

Si ringrazia l’Ing. Francesco Basone per l’aiuto fornito alla redazione del

presente documento.

Fabio Di Trapani

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SICUREZZA E AFFIDABILITA’

STRUTTURALE

Il fine ultimo della progettazione delle strutture è garantire che l’opera assolva alla funzione per cui è stata concepita, mantenendo un prefissato livello di sicurezza. Per sicurezza si intende il grado di protezione di persone e beni rispetto alle conseguenze di un collasso, che indica il raggiungimento di una qualunque condizione (successivamente indicata con stato limite) che determini il malfunzionamento della struttura o di una sua parte. Pertanto, per parlare di sicurezza è necessario definire un limite ad una soglia rispetto alla quale essa deve essere valutata.

Nella pratica dell’ingegneria si affronta il concetto di affidabilità di un sistema strutturale, definita con la capacità di un sistema di assolvere alle funzioni per cui è stata progettata, in determinate condizioni d’uso e per un fissato tempo di esercizio. Per meglio fissare questi elementi è opportuno far riferimento ad alcune significative definizioni, come quella proposta dalla Normativa europea (Eurocodice 2), che come requisito fondamentale della progettazione riporta quanto segue:

“Una struttura deve essere progettata e costruita in modo che:

- con adeguati livelli di accettabilità sia in grado di sopportare tutte le

azioni o influenze, cui possa essere sottoposta durante la sua

realizzazione e il suo esercizio, e abbia adeguata durabilità in relazione

ai costi di manutenzione;

1

Appunti di Tecnica delle Costruzioni

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- con accettabile probabilità rimanga adatta all’uso per il quale è

prevista, tenendo nel dovuto conto la sua vita presupposta e il suo

costo.”

Il raggiungimento di tali obiettivi necessita dell’utilizzo di procedure di analisi strutturale che controllano se i requisiti richiesti siano effettivamente soddisfatti durante la vita di servizio della costruzione con un prefissato margine di

sicurezza. La necessità di introdurre il concetto di margine di sicurezza deriva dalle caratteristiche aleatorie delle azioni e delle resistenze, che sono variabili soggette a fluttuazioni non prevedibili, nonché dalle incertezze sui modelli e sugli schemi di calcolo adottati.

La verifica della sicurezza si attua confrontando due grandezze omogenee:

- la prima, usualmente denominata ��, che rappresenta la “domanda di prestazione” che le azioni esterne rivolgono al componente strutturale;

- la seconda, ��, che rappresenta la “capacità di prestazione” che il medesimo componente è in grado di fornire.

La valutazione delle due grandezze �� e ��, può essere eseguita mediante differenti approcci, ognuno dei quali tiene conto, in diverso modo delle aleatorietà delle variabili in gioco e per lo spazio nel quale viene effettuata la verifica. In generale, i metodi di pratico utilizzo partono dalla definizione di valori caratteristici per le grandezze � ed �, rispettivamente:

- nella valutazione della “domanda” � si considera la aleatorietà delle azioni esterne, o con riferimento ai valori caratteristici �� di seguito trattati, che assicurano una minima (o massima) probabilità di essere superati ovvero mediante la definizione di valori con prefissati periodi di ritorno;

- nella valutazione della “capacità” � si tiene conto della fluttuazione statistica dei valori delle resistenze dei materiali, utilizzando anche in questo caso il valore caratteristico ��, valore per cui la probabilità che la resistenza effettiva sia minore è molto bassa.

Poiché, come detto, non è sufficiente tenere conto delle aleatorietà delle resistenze e delle azioni, essendo presenti ulteriori cause di incertezza

Capitolo 1 Sicurezza e affidabilità strutturale

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riguardanti le deviazioni dalle leggi di distribuzione statistica assunte per il calcolo dei valori caratteristici ovvero difetti di esecuzione ed incertezze sui modelli di calcolo, è necessario utilizzare coefficienti parziali di sicurezza che dipendono dai materiali.

�� =��

�� (1.1)

La verifica è soddisfatta se:

�� ≥ �� (1.2)

dove �� è la sollecitazione massima che la sezione può sopportare in base alle resistenze ��. Se �� = ��, un adeguato livello di sicurezza è assicurato dal fatto che le resistenze sono state abbattute e le azioni amplificate dai rispettivi coefficienti parziali.


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1.1 Metodo semiprobabilistico agli stati limite

Le grandezze che entrano in gioco nel progetto di una struttura, quali azioni,

dimensioni, geometria, condizioni di vincolo, materiali impiegati, modelli

elastici ecc. non possono essere, per via del gran numero di fattori che le influenzano nel passaggio alla realtà fisica, essere contemplate in maniera soddisfacente attraverso un approccio puramente deterministico, ma richiedono un’analisi di tipo probabilistico. D’altra parte l’obiettivo della verifica di sicurezza è quella di mantenere ciascuna parte della struttura al di sotto di un prefissato valore di raggiungimento di un’assegnata condizione pericolosa definita stato limite. Si intende per stato limite la condizione raggiunta la quale, la struttura in

esame o uno dei suo elementi costitutivi non può più svolgere le funzione o non

soddisfa più i requisiti per cui è stata realizzata.

In Italia, in seguito ad un travagliato iter legislativo, la Normativa tecnica vigente che definisce globalmente le tipologie strutturali, metodologie di analisi, prestazioni tecniche, azioni da considerare e caratteristiche dei materiali impiegati è il D.M. 14/01/2008 “Nuove norme tecniche per le costruzioni”. Quest’ultima, con riferimento a quanto detto, definisce al § 2.1, le opere e le tipologie strutturali secondo i seguenti requisiti:

- sicurezza nei confronti di stati limite ultimi (SLU): capacità di evitare crolli,

perdite di equilibrio e dissesti gravi, totali o parziali, che possano

compromettere l’incolumità delle persone ovvero comportare la perdita di beni,

ovvero provocare gravi danni ambientali e sociali, ovvero mettere fuori servizio

l’opera;

- sicurezza nei confronti di stati limite di esercizio (SLE): capacità di garantire

le prestazioni previste per le condizioni di esercizio;

- robustezza nei confronti di azioni eccezionali: capacità di evitare danni

sproporzionati rispetto all’entità delle cause innescanti quali incendio,

esplosioni, urti.


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Con riferimento ad una generica azione �, assume particolare importanza un valore che abbia bassa probabilità di essere superato, che viene nominato valore caratteristico, contraddistinto con il pedice �.

Si definisce valore caratteristico di resistenza �� quel valore di resistenza che presenta una probabilità di non essere superato pari al 5%.

Analogamente, di definisce valore caratteristico di carico ��quel valore di

carico che presenta una probabilità di essere superato pari al 5%.

L’approccio probabilistico mira a valutare la probabilità di collasso ed a controllare che essa sia inferiore ad un valore considerato accettabile. Per fare ciò occorre conoscere la funzione di densità di probabilità dei carichi e della resistenza dei materiali. Alla data odierna il metodo probabilistico è di difficile applicazione in quanto:

- non tutte le funzioni di probabilità delle variabili aleatorie che concorrono alla determinazione della sicurezza strutturale sono note;

- l’elaborazione per arrivare alla pronuncia di sicurezza è dispendiosa e complicata.

Solo a scopo di conoscenza, si precisa che alla data attuale, sono noti tre livelli di analisi probabilistica:

- Livello 1 (o livello Europeo) detto anche semiprobabilistico;

- Livello 2 (o livello Americano);

- Livello 3 (o livello Completo);

La Normativa Italiana, per la valutazione della sicurezza strutturale, si avvale del livello 1, introducendo al § 2.3 il metodo semiprobabilistico agli stati limite. Con il termine “semiprobabilistico” si intende che all’interno del processo di analisi e verifica non tutte le variabili entrano in gioco in termini probabilistici. Nell’applicazione del metodo si assumono, ad esempio, grandezze deterministiche, legate ai materiali e geometria degli elementi strutturali, e grandezze probabilistiche, legate alle azioni e resistenze della struttura.

Lo schema che segue sintetizza la natura delle variabili strutturali che fanno parte del problema di analisi e verifica delle costruzioni.


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Variabili strutturali

Grandezze deterministiche Grandezze probabilistiche

- Legami costitutivi - Azioni �� - Geometria degli elementi - Resistenze dei materiali �� - Moduli di elasticità - Modello di calcolo

Le incertezze vengono tenute in conto applicando opportuni coefficienti detti “coefficienti parziali di sicurezza” ed indicati con �, i quali tengono in conto la

variabilità delle rispettive grandezze e le incertezze relative alle tolleranze

geometriche, alla affidabilità del modello di calcolo ed ai possibili errori di

calcolo. Tali coefficienti agiscono sulle azioni e sulle resistenze, consentendo di passare dai valori “caratteristici” indicati con il pedice "�" ai valori “di progetto” indicati con il pedice � (iniziale della parola inglese design, cioè progetto). Con riferimento alle resistenze, i valori di progetto sono ottenuti come:

�� =��

�� > 1� (1.3)

dove �� è detto appunto “coefficiente di sicurezza parziale delle resistenze” e dipende in genere dal materiale, dalla situazione di progetto e dalla particolare verifica in esame.

Per opere in conglomerato cementizio armato , in cui i materiali costituenti sono appunto il calcestruzzo e l’acciaio in barre da cemento armato, la Normativa prevede i seguenti coefficienti di sicurezza (§ 4.1.2.1.1.1 e 4.1.2.1.1.3 delle

NTC).

Materiale Coefficiente di sicurezza

Calcestruzzo �� = 1,5

Acciaio �� = 1,15

Tab.1.1 - Valori dei coefficienti parziali di sicurezza


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I valori di progetto delle azioni sono valutati invece attraverso coefficienti di sicurezza che ne amplificano il valore. In generale ciò è esprimibile attraverso la relazione:

�� = �� ∙ �� > 1� (1.4)

in cui �� è il coefficiente di sicurezza che tiene conto della aleatorietà delle azioni. Nei paragrafi successivi sono desunte più dettagliatamente le azioni che più ricorrentemente agiscono sulle costruzioni.


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1.2 Azioni sulle costruzioni

La definizione delle azioni sulla struttura rive un’importanza fondamentale nella progettazione strutturale, al fine di conseguire la sicurezza strutturale attraverso dimensionamenti che siano sostenibili economicamente.

Nel calcolo delle costruzioni si fa solitamente riferimento a condizioni semplificate e convenzionali, definite per riprodurre stati di sollecitazione che siano non inferiori a quelli più gravosi conseguenti carichi effettivi. Nella maggioranza dei casi le forze si considerano applicate staticamente, ossia con lentezza tale da non dar luogo a sensibili effetti dinamici sulle strutture.

1.2.1 Classificazione delle azioni

Le norme tecniche per le costruzioni al § 2.5, definiscono azione ogni causa o

insieme di cause capace di indurre stati limite in una struttura, classificandole facendo riferimento a:

- modo di esplicarsi;

- risposta strutturale;

- variazione dell’intensità nel tempo.

In funzione del modo di esplicarsi, le azioni di dividono in:

a) dirette: forze concentrate e carichi concentrati fissi o mobili;

b) indirette: spostamenti impressi. Variazioni di temperatura o di umidità,

ritiro, precompressione, cedimenti dei vincoli;

c) entropiche: degrado endogeno ed esogeno.

In funzione della risposta strutturale, si dividono in:

a) statiche: azioni applicate alla struttura che non provocano

accelerazioni della stessa o delle sue parti;

b) pseudo-statiche: azioni dinamiche rappresentabili mediante un’azione

statica equivalente;


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c) dinamiche: azioni che causano accelerazioni significative della

struttura e dei suoi componenti.

Infine, in funzione della variazione dell’intensità nel tempo, le azioni sulle strutture si dividono in:

a) permanenti ��: azioni che agiscono durante la vita nominale della

costruzione, la cui variazione di intensità nel tempo è così piccola e lenta da

poterle considerare con sufficiente approssimazione costanti nel tempo:

- peso proprio di tuti gli elementi strutturali, peso proprio del terreno,

quando pertinente; forze indotte dal terreno (esclusi gli effetti di carichi

variabili applicati al terreno); forze risultanti dalla pressione dell’acqua

(quando si configurino costanti nel tempo) ��;

- peso proprio di tutti gli elementi non strutturali ��;

- spostamenti e deformazioni imposti, previsti dal progetto e realizzati

all’atto della costruzione;

- pretensione e precompressione ��;

- ritiro e viscosità;

- spostamenti differenziali;

b) variabili ��: azioni sulla struttura o sull’elemento strutturale con valori

istantanei che possono risultare sensibilmente diversi fra loro nel tempo:

- di lunga durata: agiscono con un’intensità significativa, anche non

continuativamente, per un tempo non trascurabile rispetto alla vita

nominale della struttura;

- di breve durata. Azioni che agiscono per un periodo di tempo breve

rispetto alla vita nominale della struttura;

c) eccezionali �: azioni che si verificano solo eccezionalmente nel corso

della vita nominale della struttura;

- incendi;

- esplosioni;

- urti ed impatti;

d) sismiche !�: azioni derivanti dai terremoti.


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1.2.2 Azioni del vento e della neve

Secondo quanto riportato al § 3.3.1 delle NTC, il vento, la cui direzione si

considera generalmente orizzontale, esercita sulle costruzioni azioni che

variano nel tempo e nello spazio provocando in generale effetti dinamici sulle

strutture.

Per configurazioni e tipologie strutturali ordinarie, semplici e di limitata estensione, ovvero poco sensibili all'azione dinamica del vento, è possibile descrivere le azioni indotte dal vento in azioni statiche equivalenti, secondo la procedura riportata al § 3.3.3 delle NTC. Le azioni statiche del vento si traducono, infatti, in pressioni e depressioni agenti normalmente alle superfici, sia esterne che interne, degli elementi che compongono la costruzione. L'azione del vento sul singolo elemento viene determinata considerando la combinazione più gravosa della pressione agente sulla superficie esterna e della pressione agente sulla superficie interna dell'elemento. Per costruzioni di forma o tipologia non ordinarie, oppure di grande altezza o lunghezza, o di rilevante snellezza e leggerezza, o di notevole flessibilità e ridotte capacità dissipative, il vento può dare luogo a fenomeni di natura dinamica e ad interazione fra la risposta strutturale e le azioni aerodinamiche stesse. La normativa richiede, per la risoluzione dei sistemi sopracitati, l’uso di

metodologie di calcolo e sperimentali che tengano conto della dinamica del

sistema. Nella definizione delle azioni del vento si tiene conto della localizzazione della struttura, facendo riferimento a una suddivisione del territorio nazionale in zone omogenee, come riportato al § 3.3.2 delle NTC, contraddistinte da livelli di ventosità differenti. Viene anche tenuta in considerazione l’altitudine sul livello del mare, l’esposizione ed in genere la forma delle costruzioni soprattutto in relazione all’inclinazione delle coperture.

Anche l’azione della neve sulle costruzioni viene valutata in relazione all’ubicazione geografica al fine di tenere conto delle condizioni locali di clima e di esposizione e della variabilità delle precipitazioni nevose. I fattori che


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influenzano le modalità di deposito della neve sulla copertura di una struttura sono vari:

- forma della copertura; - proprietà termiche e rugosità della sua superficie; - quantità di calore generata sotto la copertura; - prossimità degli edifici limitrofi; - terreno circostante; - fattori climatici (ventosità, variazioni di temperatura e probabilità di

precipitazione di pioggia o di neve).

Fig.1.1 - Zone di carico da neve


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1.2.3 Combinazioni delle azioni

Durante la vita utile le costruzioni saranno soggette a diverse possibili condizioni di carico aventi natura sostanzialmente differente e localizzata temporaneamente in momenti differenti. È logico pensare che le azioni contemplate non possano agire contemporaneamente, ma fanno parte di scenari di carico sostanzialmente differenti. È opportuno quindi parlare di “combinazioni di carico” e “coefficienti di combinazione”. Una combinazione di carico rappresenta la “fotografia” delle condizioni di carico in cui può trovarsi una struttura e definisce tutte le azioni che coesistono in un’istante di tempo. Per alcune tipologie di azioni, come vento e sisma, non è sufficiente identificare un’unica combinazione di carico, perché per loro natura tali azioni non agiscono sempre nella stessa direzione. È necessario dunque considerare tutte le possibili circostanze in cui una data azione si esplica e che possa produrre effetti gravosi sulla struttura.

Deve inoltre essere considerata la natura delle azioni che agiscono contemporaneamente, al fine di definire l’entità della combinazione. A tale scopo, la norma definisce dei coefficienti " < 1, detti “coefficienti di

combinazione” che modulano la quantità delle azioni da considerare agenti contemporaneamente. Quando si consideri una combinazione di carico, qualora non risulti immediata la scelta dell’azione variabile predominante, occorrerà provare le diverse combinazioni tale da ottenere la combinazione più gravosa sulla struttura. Le combinazioni di carico si possono classificare in senso generale come riportato nello schema seguente.

sismiche SLU non sismiche Combinazione di carico combinazione fondamentale sismiche

SLE non sismiche

combinazione rara

combinazione frequente

combinazione quasi permanente


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Con riferimento agli stati limiti ultimi, al § 2.5.3 delle NTC, è fornita la combinazione fondamentale non sismica che si riporta di seguito:

�� = �$� ∙ �� + �$� ∙ �� + �& ∙ � + �'� ∙ �� + �'� ∙ "(� ∙ �� + �') ∙ "() ∙ ��) +… (1.5)

in cui:

�� è il valore caratteristico dell’azione variabile predominante; ��+ sono i valori caratteristici delle azioni variabili secondarie; �+ sono i coefficienti parziali di sicurezza per le azioni; "+, sono i coefficienti di combinazione delle azioni.

Il simbolo “+” indica la contemporaneità delle azioni agenti sulla struttura, intesa con un significato fisico di combinazione, dettata dalla diversa natura dei valori di carico presenti nella combinazione. La variabilità dei coefficienti �� è dettata dalla natura del carico agente e a seconda che il contributo di ciascun carico sia favorevole o sfavorevole alla sicurezza. I valori dei coefficienti di sicurezza per le azioni sono riportati in Tab. 1.2 (Tab.

2.6.I delle NTC).

Coefficiente

�� ECQ A1 STR A2 GEO

Carichi permanenti favorevoli

�$� 0,9 1,0 1,0

sfavorevoli 1,1 1,3 1,0

Carichi permanenti non strutturali

favorevoli �$�

0,0 0,0 0,0


Carichi variabili favorevoli

�'+ 0,0 0,0 0,0


Tab.1.2 - Coefficienti parziali di sicurezza per le azioni

Ai fini delle verifiche strutturali sono da considerarsi le solo combinazioni di tipo A1 STR.

I coefficienti di combinazione "(,, determinati sulla base di considerazioni

statistiche, tengono conto, come detto in precedenza della ridotta probabilità di concomitanza delle azioni variabili con i rispettivi valori caratteristici. Essi


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assumono valori differenti in funzione della destinazione d’uso della costruzione o di alcune sue parti. I valori dei coefficienti di combinazione sono riportati nella Tab. 1.3 (Tab. 2.5.I

delle NTC 08).

Tab.1.3 - Valori dei coefficienti di combinazione

Per gli stati limite di esercizio non sismico si definiscono tre combinazioni di carico.

- Combinazione rara, impiegata per gli stati limite di esercizio irreversibili:

�� + �� + � + �� +"(� ∙ �� +"() ∙ ��) +…

- Combinazione frequente, impiegata per gli stati limite di esercizio reversibili:

�� + �� + � +"�� ∙ �� +"�� ∙ �� +"�) ∙ ��) +…

- Combinazione quasi permanente, impiegata per gli effetti a lungo termine:

�� + �� + � +"�� ∙ �� +"�� ∙ �� +"�) ∙ ��) +…

Categoria/Azione variabile "(, "�, "�,

Categoria A - Ambienti ad uso residenziale 0,7 0,5 0,3

Categoria B - Uffici 0,7 0,5 0,3

Categoria C - Ambienti suscettibili di affollamento 0,7 0,7 0,6

Categoria D - Ambienti ad uso commerciale 0,7 0,7 0,6

Categoria E - Biblioteche, archivi, magazzini e ambienti ad uso industriale

1,0 0,9 0,8

Categoria F - Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso ≤ 3001) 0,7 0,7 0,6

Categoria G - Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso > 3001) 0,7 0,5 0,3

Categoria H - Coperture 0,0 0,0 0,0

Vento 0,6 0,2 0,0

Neve (a quota ≤ 1000 m s.l.m.) 0,5 0,2 0,0

Neve (a quota > 1000 m s.l.m.) 0,7 0,5 0,2

Variazioni termiche 0,6

0,5

0,0


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Nelle verifiche agli stati limite ultimi e di esercizio, connessi all’azione sismica ! è invece da impiegare la seguente combinazione:

! + �� + �� + � +"�� ∙ �� +"�� ∙ �� +⋯

Si rimanda al capitolo che segue la trattazione completa circa la valutazione dell’azione sismica.


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APPLICAZIONE 1.1

Combinazioni di carico non sismiche allo SLU e SLE. Stima dei valori di

carico su una trave.

Considerando il seguente schema strutturale planimetrico si vuole eseguire una stima del carico agente sulla trave 1 − 2, che risulta essere maggiormente caricata poiché presenta, oltre al carico del peso proprio, una maggiore area di influenza con riferimento ai carichi provenienti dai solai S.1 e S.2.

I solai S.1 e S.2 sono dello stessa tipologia e ad essi compete la seguente analisi dei carichi permanenti �� e variabili ��.

�� = 2,67 �1 7�⁄ (carichi permanenti strutturali)

�� = 2,00 �1 7�⁄ (carichi non permanenti)

��9 = 0,50 �1 7�⁄ (azione variabile: manutenzione)

��99 = 0,48 �1 7�⁄ (azione variabile: neve)


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Le azioni sulla trave 1 − 2 provenienti dai solai sono di seguito valutate per le combinazioni di carico alla SLU e allo SLE. Poiché si è in presenza di più di un carico variabile, considerando che questi sono associati in relazione alla loro natura a differenti coefficienti di combinazione, non è priori possibile stabile quale di essi deve essere considerato come carico predominante. Come detto in precedenza è necessario considerare entrambe le possibilità permutando i carichi variabili come segue:

I Permutazione

�� = 0,50 �1 7�⁄ (predominante)

�� = 0,48 �1 7�⁄ (secondario)

II Permutazione

�� = 0,48 �1 7�⁄ (predominante)

�� = 0,50 �1 7�⁄ (secondario)

Combinazione allo SLU

- combinazione Fondamentale:

<�=> = �$� ∙ �� + �$� ∙ �� + �'� ∙ �� + �'� ∙ "(� ∙ �� + �') ∙ "() ∙ ��)

Con riferimento alle Tab. 1.2 e 1.3 si ha:

<�=>9 = 1,30 ∙ 2,67 + 1,50 ∙ 2,00 + 1,50 ∙ 0,50 + 1,50 ∙ 0,50 ∙ 0,48 = 7,56 �1 7�⁄

<�=>99 = 1,30 ∙ 2,67 + 1,50 ∙ 2,00 + 1,50 ∙ 0,48 + 1,50 ∙ 0,50 ∙ 0 = 7,17 �1 7�⁄

La combinazione più gravosa è pertanto la <�=>9 . Si assume <�=> = 7,56 �1 7�⁄ .

Combinazione gli SLE

- combinazione Rara:

<?@?@ = �� + �� + �� +"(� ∙ ��



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<?@?@9 = 2,67 + 2,00 + 0,50 + 0,50 ∙ 0,48 = 5,40 �1 7�⁄

<?@?@99 = 2,67 + 2,00 + 0,48 + 0 ∙ 0,50 = 5,14 �1 7�⁄

La combinazione più gravosa è pertanto la <?@?@9 .

Si assume pertanto <?@?@9 = 5,40 �1 7�⁄ .

- combinazione Frequente:

<A?BC. = �� + �� +"�� ∙ �� +"�� ∙ ��


<A?BC.9 = 2,67 + 2,00 + 0 ∙ 0,50 + 0 ∙ 0,48 = 4,67 �1 7�⁄

<A?BC.99 = 2,67 + 2,00 + 0,20 ∙ 0,48 + 0 ∙ 0,50 = 4,76 �1 7�⁄

La combinazione più gravosa è pertanto la <A?BC.99

Si assume pertanto <A?BC.99 = 4,76 �1 7�⁄ .

- combinazione Quasi Permanente:

<C.EB?�. = �� + �� +"�� ∙ �� +"�� ∙ ��


<C.EB?�.9 = 2,67 + 2,00 + 0 ∙ 0,50 + 0 ∙ 0,48 = 4,66 �1 7�⁄

<C.EB?�.99 = 2,67 + 2,00 + 0 ∙ 0,48 + 0 ∙ 0,50 = 4,66 �1 7�⁄

Le combinazioni <C.EB?�.9 e <C.EB?�.

99 sono equivalenti. Si assume quindi

<C.EB?�. = 4,66 �1 7�⁄ .

Per passare dai valori di carico valutati nell’unità di superficie di carico di linea sulla trave 1 − 2 è sufficiente moltiplicare per la larghezza dell’area di influenza (F+GAH.).

Per ogni combinazioni di carico, il carico distribuito sulla trave 1 − 2 vale:

�AIG�. =<�=> ∙ F+GAH. = 7,56 ∙ 1,50 + 2� = 26,49 �1 7⁄

�?@?@ =<?@?@ ∙ F+GAH. = 5,40 ∙ 1,50 + 2� = 18,90 �1 7⁄


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�A?BC. =<A?BC. ∙ F+GAH. = 4,75 ∙ 1,50 + 2� = 16,65 �1 7⁄

�C.EB?�. =<C.EB?�. ∙ F+GAH. = 4,66 ∙ 1,50 + 2� = 16,31 �1 7⁄

La trave 1 − 2 ha dimensioni 30K50. Il suo peso proprio strutturale �� al metro lineare vale:

�� =�L ∙ M ∙ ℎ ∙ 1,00 = 25 ∙ 0,30 ∙ 0,50 ∙ 1,00 = 3,75 �1 7⁄

Con riferimento alle combinazioni precedentemente considerate si ha per la trave 1 − 2:

<�=> =�$� ∙ �� = 1,30 ∙ 3,75 = 4,87 �1 7⁄

<?@?@ =�� = 3,75 = 3,75 �1 7⁄

<A?BC. =�� = 3,75 = 3,75 �1 7⁄

<C.EB?�. = �� = 3,75 = 3,75 �1 7⁄

La Tabella seguente riassume i valori di calcolo alle diverse combinazioni di carico considerate.

Combinazione Solaio

OPQ R⁄ S

Trave

OPQ R⁄ S

Tot.

OPQ R⁄ S

SLU fondamentale 26,49 4,87 31,36 SLE rara 19,90 3,75 23,65

SLE frequente 16,65 3,75 20,40 SLE quasi permanente 16,31 3,75 20,06

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AZIONI SISMICHE SULLE

COSTRUZIONI

L’azione sismica sulle strutture è generata dal moto non uniforme del terreno di sedime per effetto della propagazione delle onde sismiche. Il moto sismico eccita la struttura provocandone la risposta dinamica, dovrà essere oggetto di verifica e di controllo negli aspetti di sicurezza e prestazioni attese.

Le azioni sismiche hanno una natura diversa rispetto alle altre azioni, ovvero non si esplicano come azioni meccaniche direttamente applicate, ma nascono poiché le masse strutturali subiscono un’accelerazione. Le forze sismiche sono dunque forze di inerzia, modellate attraverso azioni statiche equivalenti ed applicate direttamente sulla struttura (analisi statica o pseudodinamica) o applicate mediante accelerogrammi al piede della struttura (analisi time history) valutando una risposta in funzione del tempo. La particolare importanza dell’argomento in relazione alla particolare sismicità del territorio italiano ha indotto alla stesura del seguente capitolo in cui vengono descritte prescrizioni normative ai fini della valutazione dell’azione sismica in relazione all’importanza delle opere, alla loro ubicazione ed alle prestazioni richieste.

2

Capitolo 2 Azioni sismiche sulle costruzioni

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2.1 Stati limite sismici

Le costruzioni devono garantire prestazioni definite quando soggette ad azioni sismiche di diversa intensità. Vengono pertanto definiti stati limite sismici di esercizio e ultimi. La Normativa Italiana al § 3.2.1 definisce con precisione gli stati limite riferendosi alle prestazioni della costruzione nel suo complesso,

includendo gli elementi strutturali, quelli non strutturali e gli impianti.

Stati limite di esercizio sismici.

- Stato Limite di Operatività (SLO): a seguito del terremoto la costruzione

nel suo complesso, includendo gli elementi strutturali, quelli non

strutturali, le apparecchiature rilevanti alla sua funzione, non deve subire

danni ed interruzioni d'uso significativi;

- Stato Limite di Danno (SLD): a seguito del terremoto la costruzione nel

suo complesso, includendo gli elementi strutturali, quelli non strutturali, le

apparecchiature rilevanti alla sua funzione, subisce danni tali da non

mettere a rischio gli utenti e da non compromettere significativamente la

capacità di resistenza e di rigidezza nei confronti delle azioni verticali ed

orizzontali, mantenendosi immediatamente utilizzabile pur

nell’interruzione d’uso di parte delle apparecchiature.

Stati limite ultimi sismici.

- Stato Limite di salvaguardia della Vita (SLV): a seguito del terremoto la

costruzione subisce rotture e crolli dei componenti non strutturali ed

impiantistici e significativi danni dei componenti strutturali cui si associa

una perdita significativa di rigidezza nei confronti delle azioni orizzontali;

la costruzione conserva invece una parte della resistenza e rigidezza per

azioni verticali e un margine di sicurezza nei confronti del collasso per

azioni sismiche orizzontali;

- Stato Limite di prevenzione del Collasso (SLC): a seguito del terremoto

la costruzione subisce gravi rotture e crolli dei componenti non strutturali

ed impiantistici e danni molto gravi dei componenti strutturali; la

costruzione conserva ancora un margine di sicurezza per azioni verticali

28

ed un esiguo margine di sicurezza nei confronti del collasso per azioni

orizzontali.

I quattro stati limite così definiti, consentono di individuare quattro situazioni diverse che, al crescere progressivo dell’azione sismica, ed al conseguente progressivo superamento dei quattro stati limite ordinati per azione sismica crescente ( SLO, SLD, SLV, SLC ) fanno corrispondere una progressiva crescita del danno sulla struttura sugli elementi non strutturali ed impianti, per individuare così univocamente ed in modo quasi “continuo” le caratteristiche prestazionali richieste alla generica costruzione.

La Circolare 2 Febbraio 2009, n. 617 del Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici chiarisce quali stati limite devono essere verificati in relazione alle classi di opere ed a specifiche esigenze. Si riporta di seguito la tabella fornita dalla norma al § C.7.1.


29

Tab. 2.1 – Verifiche di sicurezza in funzione della Classe d’uso

2.2 Classificazione sismica del territorio nazionale

Nel passato la classificazione sismica del territorio Italiano è stato per lungo tempo strettamente legata agli eventi sismici. Così si è provveduto, ad esempio,

30

per la classificare come zone sismiche zone della Calabria e Sicilia dopo il terremoto di Messina (1908) e dell’Italia centrale dopo il terremoto di Avezzano (1915).

Nel tempo si è provveduto a diversificare le zone in funzione dell’intensità del terremoto previsto, introducendo una seconda zona, di intensità leggermente minore della prima, a partire dal 1927 e successivamente una terza zona, con intensità prevista ancora minore, dopo i terremoti del Friuli (1976) e dell’Irpinia (1980).

Fig.2.1 - Classificazione sismica del territorio Italiano


31

Gli studi più recenti, sulla base dei quali sono state fatte le ultime classificazioni (dall’Ordinanza 3274 del 2003 in poi), mirano piuttosto a valutare in maniera statistica la pericolosità sismica. Con l’ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n. 3274 del 20/03/2003 tutta la penisola italiana è stata suddivisa in quattro zone, con accelerazione massima �� pari a 0,35�, 0,25�, 0,15�,0,05�. L’inclusione in questa quarta zona, a bassissima sismicità, anche delle parti del territorio italiano meno esposte al rischio sismico, come la Sardegna o il Salento, rende necessario prestare attenzione alla prevenzione sismica in tutta Italia, sia pure in misura molto blanda.

Con il D.M. 14/01/2008 si è passati dalla macrozonizzazione in 4 aree macrosismiche ad una macrozonizzazione che è in funzione delle coordinate geografiche del sito. Il livello di intensità sismica da considerare ai fini delle verifiche sulla struttura è quindi strettamente legato alla sua posizione geografica all’interno di un reticolo in cui è stato suddiviso il territorio nazionale. I nodi di tale reticolo contengono le informazioni relative alla sismicità della zona in relazione alla storia delle registrazioni eseguite sugli eventi sismici che si sono manifestati.

2.3 Parametri identificativi dell’azione

sismica

Ai fini della valutazione dell’intensità delle azioni sismiche da considerare sulle costruzioni si rende necessaria la conoscenza di molteplici parametri che si riassumono sinteticamente di seguito e che saranno successivamente meglio definiti.

a) Vita nominale �� ; b) Classe d’uso ��; c) Periodo di riferimento per l’azione sismica ��; d) Probabilità di superamento dell’azione sismica (��);

e) Periodo di ritorno dell’azione sismica (��); f) Categorie di suolo e condizione topografiche (�); g) Coordinate geografiche.

32

2.3.1 Vita nominale

La normativa definisce la vita nominale di un’opera strutturale �V�� come il numero di anni nel quale la struttura, purché soggetta alla manutenzione ordinaria, deve potere essere usata per lo scopo al quale è destinata. Al § 2.4.1

viene fornita la vita nominale da considerare per diversi tipi di opere, come riportato in Tab. 2.2. La vita nominale deve essere precisata nei documenti di progetto.

TIPI DI COSTRUZIONE Vita Nominale �� (in anni)

1 Opere provvisorie - Opere provvisionali - Strutture in

fase costruttiva ≤ 10

2 Opere ordinarie, ponti, opere infrastrutturali e dighe di dimensioni contenute o di importanza normale

≥ 50

3 Grandi opere, ponti, opere infrastrutturali e dighe di grandi dimensioni o di importanza strategica

≥ 100

Tab.2.2 – Vita nominale � per diversi tipi di opere

2.3.2 Classi d’uso

Non tutte le opere hanno la stessa importanza durante un evento sismico. Vi sono opere quali caserme, ospedali o edifici di grande rilevanza pubblica che non possono essere danneggiati significativamente e che proprio in queste circostanze devono fornire la loro massima efficienza. La norma quindi definisce delle classi d’uso in relazione all’importanza delle opere, rendendo le azioni sismiche di progetto tanto più grandi quanto maggiore è la rilevanza strategica e pubblica dell’opera, soprattutto durante situazioni di emergenza.

La norma al § 2.4.1, definisce le seguenti classi d’uso.

Classe I: Costruzioni con presenza solo occasionale di persone, edifici

agricoli;

Classe II: Costruzioni con normali affollamenti senza contenuti pericolosi

per l’ambiente e senza funzioni pubbliche. Industrie con attività


33

non pericolose per l’ambiente. Ponti, opere infrastrutturali, reti

viarie non ricadenti nelle classi III o IV, reti ferroviarie la cui

interruzione non provochi conseguenze rilevanti;

Classe III: Costruzioni il cui uso preveda affollamenti significativi.

Industrie con attività pericolose per l’ambiente. Reti viarie

extraurbane non ricadenti nella classe IV. Ponti e reti viarie la

cui interruzione provochi situazioni di emergenza. Dighe

rilevanti per le conseguenze di un loro eventuale collasso;

Classe IV: Costruzioni con funzioni pubbliche o strategiche importanti,

anche con riferimento alla gestione della protezione civile in

caso di calamita. Industrie con attività particolarmente

pericolose per l’ambiente.

Per quanto riguarda le classi d’uso III e IV, definizioni più dettagliate sono contenute nel Decreto del Capo Dipartimento della Protezione Civile n. 3685 del 21 Ottobre 2003. A titolo di esempio, il suddetto decreto, classifica le strutture quali scuole, teatri, musei in classe III, in quanto edifici soggetti ad affollamento e con la presenza contemporanea di comunità di dimensioni significative.

2.3.3 Periodo di riferimento per l’azione sismica e

probabilità di superamento

La pericolosità sismica di un sito è descritta dalla probabilità che, in un fissato lasso di tempo, in detto sito si verifichi un evento sismico di entità almeno pari ad un valore prefissato. La norma al § 2.4.3, definisce tale lasso di tempo, espresso in anni, “periodo di riferimento” �� e la probabilità è denominata “probabilità di eccedenza o di superamento nel periodo di riferimento” �� .

Le azioni sismiche su ciascuna costruzione vengono valutate in relazione ad un

periodo di riferimento ��, che si ricava per ciascun tipo di costruzione,

moltiplicando la vita nominale �� per il coefficiente �� dipendente dalla classe

d’uso della costruzione ��:

34

�� = �� ∙ �� (2.1)

Il valore del coefficiente d’uso �� è definito, al variare della classe d’uso,

come mostrato in Tab 2.3.

CLASSE D’USO I II III IV

COEFFICIENTE !" 0,7 1 1,5 2

Tab.2.3 – Valori dei coefficiente d’uso ��

Se �� ≤ 35�##$ si pone comunque �� = 35�##$, come si evidenzia dalla seguente tabella:

Vita nominale ��

Valori di %&

Classe d’uso

I II III IV ≤ '( 35 35 35 35 ≥ )( ≥ 35 ≥ 50 ≥ 75 ≥ 100 ≥ '(( ≥ 70 ≥ 100 ≥ 150 ≥ 200

Tab.2.4 – Intervalli di valori attribuiti a �� al variare di �� e ��

Il periodo di riferimento ��, valutato in precedenza, riveste una notevole importanza in quanto, assumendo che la legge di ricorrenza dell’azione sismica sia un processo Poissoniano, è utilizzato per la valutazione della probabilità di

superamento �� corrispondente allo stato limite considerato.

La norma al § 3.2.1 definisce la probabilità di superamento �� la probabilità

di eccedenza o di superamento nel periodo di riferimento ��. Le probabilità di

superamento nel periodo di riferimento, cui riferirsi per individuare l’azione

sismica agente in ciascuno degli stati limite, sono riportate nella Tab 2.5.

Stati Limite +�,: Probabilità di superamento nel periodo di riferimento �,

Stati limite di esercizio SLO 81%

SLD 63%

Stati limite ultimi SLV 10%

SLC 5%

Tab.2.5 – Probabilità di superamento �� al variare dello stato limite considerato


35

Ai quattro stati limite, descritti in precedenza, sono stati attribuiti valori della probabilità di superamento ��, che restano immutati quale che sia la classe d’uso della costruzione considerata, che consentono di individuare, per ciascun stato limite considerato, l’azione sismica di progetto corrispondente.

2.3.4 Periodo di ritorno dell’azione sismica

La norma al § 3.2.1 definisce il periodo di ritorno �� l’intervallo temporale medio fra due eventi sismici di analoga intensità, valutato in funzione del periodo di riferimento �� e la probabilità di superamento �� ,mediante la

seguente espressione:

�� = − ��ln31 − ��4 = − �� ∙ ��ln31 − ��4 (2.2)

Qualora la protezione nei confronti degli stati limite di esercizio sia di

prioritaria importanza, i valori di �� forniti in tabella devono essere ridotti in

funzione del grado di protezione che si vuole raggiungere. E’ evidente, infatti, che la riduzione della probabilità di superamento attribuite ai vari stati limite non può essere arbitraria, ma deve allinearsi a precisi concetti di teoria della sicurezza; in particolare, i livelli di protezione soggetti ad eventuale accrescimento sono quelli nei confronti degli Stati Limiti di Esercizio, mentre i livelli di protezione nei confronti degli Stati Limiti Ultimi, poiché più direttamente legati alla sicurezza strutturale, possono restare sostanzialmente immutati perché già ritenuti sufficienti dalla normativa.

Il periodo di ritorno riassume tutte le informazioni precedentemente acquisite circa la vita nominale, la classe d’uso, il periodo di riferimento e la probabilità di superamento. È chiaro che per il suo significato fisico, periodi di ritorno più lunghi sono associati ad eventi più catastrofici; pertanto all’interno della valutazione di �� compare la probabilità di superamento �� legata a sua volta allo stato limite da considerare. Più severo è lo stato limite tanto più bassa è la sua probabilità di superamento nel periodo di riferimento.

36

2.3.5 Il reticolo di riferimento ai fini della definizione

dell’azione sismica

Sul territorio italiano è stata individuata una maglia di circa 1056 di lato, ai nodi della quale sono stati assegnati i valori di ��, 78, �9∗.

Fig. 2.2 – Mappa di pericolosità sismica della Sicilia

A partire dai valori di ��, 78, �9∗ assegnati ai nodi, per ogni punto individuato

sul territorio mediante le sue coordinate geografiche (longitudine, latitudine), attraverso interpolazione, è possibile individuare i parametri di pericolosità sismica per un periodo di ritorno �� assegnato.

Fig. 2.3 – Interpolazione per punto interno al reticolo


37

Per un qualunque punto del territorio non corrispondente ai nodi del reticolo di

riferimento, i valori dei parametri ;3��, 78, �9∗4 di interesse per la definizione

dell’azione sismica di progetto possono essere calcolati come media pesata dei valori assunti da tali parametri nei quattro vertici della maglia elementare del reticolo di riferimento contenente il punto in esame, utilizzando come pesi gli inversi delle distanze tra il punto in questione ed i quattro vertici, attraverso la seguente espressione:

; = ∑ ;=>=?=@A∑ 1>=?=@A

(2.3)

nella quale: - ; è il valore del parametro di interesse nel punto in esame; - ;= è il valore del parametro di interesse nell’i-esimo nodo della maglia

elementare contenente il punto in esame; - >= è la distanza del punto in esame dall’i-esimo nodo della maglia

suddetta.

2.3.6 Categorie di suolo e condizioni topografiche

Ai fini della definizione dell’azione sismica, si rende necessaria la valutazione dell’influenza delle condizioni litologiche e morfologiche locali sulle caratteristiche del moto del suolo in superficie, mediante studi specifici di risposa sismica locale. Tale classificazione riguarda i terreni compresi tra il piano di imposta delle fondazioni degli edifici ed un substrato rigido di riferimento, ovvero quelli presenti ad una profondità commisurata all’estensione ed importanza dell’opera.

L’approccio semplificato, si basa sull’individuazione di categorie di sottosuolo di riferimento (Tab. 2.6 e 2.7).

38

Categoria Descrizione

A Ammassi rocciosi affioranti o terreni molto rigidi caratterizzati da valori di VB,C8 superiori a 800 m s⁄ eventualmente comprendenti in superficie uno strato di alterazione, con spessore massimo pari a 3 m.

B

Rocce tenere e depositi di terreni a grana grossa molto addensati o terreni a

grana fina molto consistenti con spessore superiori a 30 m, caratterizzati da un graduale miglioramento delle proprietà meccaniche con la profondità e da valori di VB,C8 compresi tra 360 m s⁄ e 800 m s⁄ (ovvero GHIJ,C8 > 50 nei terreni a grana grossa e ��,C8 > 2505�� nei terreni a grana fina).

C

Depositi di terreni a grana grossa mediamente addensati o terreni a grana fina

mediamente consistenti con spessori superiori a 30 m, caratterizzati da una graduale miglioramento delle proprietà meccaniche con le profondità e da valori di VB,C8compresi tra 180 m s⁄ e 360 m s⁄ (ovvero 15 < GHIJ,C8 > 50 nei terreni a grana grossa e 70 < ��,C8 > 2505�� 250 kPa nei terreni a grana fina).

D

Depositi di terreni a grana grossa scarsamente addensati o terreni a grana fina

scarsamente consistenti, con spessori superiori a 30 m, caratterizzati da una graduale miglioramento delle proprietà meccaniche con le profondità e da valori di VB,C8 inferiori a 180 m s⁄ (ovvero GHIJ,C8 < 15 nei terreni a grana grossa e ��,C8 > 705�� nei terreni a grana fina).

E Terreni dei sottosuoli di tipo C o D per spessore non superiore a 20 m, posti sul substrato di riferimento (con VB > 800 m s⁄ ).

Tab.2.6 – Categorie di sottosuolo

La noma introduce ulteriori categorie di sottosuolo, denominati S1 ed S2

indicate nella Tab. 2.7. Per sottosuoli appartenenti a queste due categorie, è

necessario predisporre specifiche analisi per la definizione delle azioni

sismiche, particolarmente nei casi in cui la presenza di terreni suscettibili di

liquefazione e/o di argille d’elevata sensitività possa comportare fenomeni di

collasso del terreno (§ 3.2.2 delle NTC).

Categoria Descrizione

N'

Depositi di terreni caratterizzati da valori di VB,C8 inferiori a 100 m s⁄ (ovvero 10 < ��,C8 < 205��), che includono uno strato di almeno 8 m di terreni a grana fine di bassa consistenza, oppure che includono almeno 3 m di torba o di argille altamente organiche.

NO Depositi di terreni suscettibili di liquefazioni, di argille sensitive o qualsiasi altra categoria di sottosuolo non classificabile nei tipi precedenti.

Tab.2.7 – Categorie aggiuntive di sottosuolo


39

Per condizioni topografiche complesse è necessario predisporre specifiche

analisi di risposta sismica locale. Per configurazioni superficiali semplici si

può adottare la seguente classificazione.

Categoria Caratteristiche della superficie topografica

T1 Superficie pianeggiante, pendii e rilievi isolati con inclinazione media $ ≤ 15° T2 Pendii con inclinazione media $ > 15° T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base e inclinazione media 15° ≤ $ ≤ 30° T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base e inclinazione media $ > 30° Tab.2.8 – Categorie topografiche

Le suesposte categorie topografiche si riferiscono a configurazioni geometriche

prevalentemente bidimensionali, creste o dorsali allungate, e devono essere

considerate nella definizione dell’azione sismica se di altezza maggiore di 306.

Definite le caratteristiche del suolo di fondazione, la norma al § 3.2.3.2.1

introduce il coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle

condizioni topografiche S, dato dalla seguente espressione:

S = SH ∙ SJ (2.4)

essendo SH il coefficiente di amplificazione stratigrafica e SJ il coefficiente di

amplificazione topografica.

- Amplificazione stratigrafica

Per sottosuolo di categoria Q i coefficienti SH e CS valgono 1.

Per le categorie di sottosuolo T, �, U ed V i coefficienti SH e CS possono essere

calcolati, in funzione dei valori di 78 e �9∗ relativi al sottosuolo di categoria Q,

mediante le espressioni fornite nella Tab. 2.9, nelle quali � è l’accelerazione di

gravità ed il tempo è espresso in secondi.

40

Tab.2.9 – Esposizioni di SH e CS

- Amplificazione topografica

Per tener conto delle condizioni topografiche e in assenza di specifiche analisi

di risposta sismica locale, si utilizzano i valori del coefficiente topografico SJ

riportati nella Tab. 2.10, in funzione delle categorie topografiche e

dell’ubicazione dell’opera o dell’intervento.

Tab.2.10 – Valori massimi dei coefficienti di amplificazione topografica

C 1,00 ≤ 1,70 - 0,60·F0· ag/g ≤ 1,50 1,05 · (Tc*)-0,33

D 0,90 ≤ 2,40 - 1,50·F0· ag/g ≤ 1,80 1,25 · (Tc*)-0,50

E 1,00 ≤ 2,00 - 1,10·F0· ag/g ≤ 1,60 1,15 · (Tc*)-0,40

Categoria

sottosuolo

A

Ss Cc

1,00 1,00

B 1,00 ≤ 1,40 - 0,40·F0· ag/g ≤ 1,20 1,10 · (Tc*)-0,20

Categoria topografica ST

T1

T2

T3

T4

Ubicazione dell'opera o dell'intervento

-

In corrispondenza della sommità del pendio

In corrispondenza della cresta del rilievo

In corrispondenza della cresta del rilievo

1,0

1,1

1,2

1,3


41

2.4 Spettri di risposta

2.4.1 Dinamica dell’oscillatore elementare

Si consideri un telaio costituito da un traverso di massa W sostenuto da pilastri elastici di lunghezza ℎ e di massa trascurabile, deformabili solo nel piano del telaio stesso. Dal punto di vista dinamico esso è equivalente ad un oscillatore elementare a un grado di libertà.

Fig. 2.4 – Oscillatore semplice

Tale schema per la sua semplicità consente di chiarire gli aspetti elementari della risposta delle strutture durante un sisma. Sia 5 la rigidezza laterale complessiva dei pilastri: 5Y�Z� è la forza di richiamo esercitata dai pilastri, essendo Y�Z� lo spostamento della massa W rispetto alla base dei pilastri. La capacità dissipativa del sistema durante il moto sia definita da uno smorzatore viscoso. Si ipotizzi che la forza viscosa vari linearmente con la velocità secondo la costante moltiplicativa �.

x(t)

y(t)

42

Fig. 2.5 – Forze agenti sulla massa

Quando il terreno oscilla orizzontalmente con legge [�Z�, nel piano del telaio, la massa W si mette in movimento. Lo spostamento totale della massa W è dato da Y�Z� + [�Z�, per cui l'equazione del moto del sistema, coerentemente con il secondo principio della dinamica, si scrive:

−]Y − �Y = W ∙ �Y + [� (2.5)

ovvero: WY + �Y_ + ]Y = −W[ (2.6)

La relazione (2.6) può essere riscritta nella forma:

Y + 2`a8Y_ + a8bY = −[ (2.7)

dove si è indicato con:

a8 = c5W

` = �2 ∙ W ∙ a8

(2.8)

a8 rappresenta la frequenza angolare naturale del sistema non forzato e non

smorzato in oscillazione libera; ` è detto rapporto di smorzamento viscoso del sistema. Dalla 3.4 il periodo naturale del sistema non forzato e non smorzato in oscillazione libera vale:

�8 = 2 ∙ da8 = 2 ∙ dcW5 (2.9)

0 x

-Kx/2 -Cx

M

-Kx/2


43

2.4.2 Spettro di risposta e spettro di progetto

Al fine di determinare l’azione sismica su una struttura, la normativa fornisce uno strumento di fondamentale ausilio: lo spettro di riposta. Lo spettro di risposta è il diagramma delle massime accelerazioni totali (accelerazioni del suolo + o – accelerazioni della massa dell’oscillatore), esibite da un oscillatore elementare per effetto di un’accelerazione al suolo, al variare del periodo proprio di vibrare.

Per integrare l’equazione (2.6) e determinare i massimi assoluti di spostamenti, velocità e accelerazioni è necessario definire la legge di accelerazione del suolo. Per assegnato accelerogramma, al variare del periodo proprio dell’oscillatore, si ottengono le massime accelerazioni del sistema, che costituiscono l’ordinata dello spettro di risposta. Tale operazione viene ripetuta per un cospicuo numero di accelerogrammi dello di analoga intensità. La normativa, attraverso un processo di normalizzazione e successivo trattamento statistico dei vari spettri di riposta ottenuti al variare dei possibili terremoti, fornisce uno spettro normalizzato di forma semplificata, definito dalle espressioni seguenti (§ 3.2.3.2.1 delle NTC):

0 ≤ � < �e �f�� = �� ∙ � ∙ g ∙ 78 ∙ h ��e + 1g ∙ 78 ∙ i1 − ��ejk (2.10)

�e ≤ � < �S �f�� = �� ∙ � ∙ g ∙ 78

�S ≤ � < �l �f�� = �� ∙ � ∙ g ∙ 78 ∙ i�S� j

�l ≤ � �f�� = �� ∙ � ∙ g ∙ 78 ∙ i�S ∙ �l�b j

dove:

an è l’accelerazione massima al sito; S è il coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni topografiche;

44

F8 è il fattore che quantifica l’amplificazione spettrale massima, sul sito di riferimento rigido orizzontale, ed ha valore minimo pari a 2,2; Tq è il periodo corrispondente all’inizio a velocità costante dello spettro Tr è il periodo corrispondente all’inizio del tratto dello spettro ad accelerazione costante; Ts è il periodo corrispondente all’inizio del tratto a spostamento costante dello spettro; η è il fattore che altera lo spettro elastico per coefficienti di smorzamento viscosi convenzionali ξ diversi dal 5, mediante la relazione:

η = v10 �5 + ξ�⁄ ≥ 0,55 (2.11)

dove ξ è valutato sulla base di materiali, tipologia strutturale e terreno di fondazione.

Il progetto della struttura mediante lo spettro di risposta non tiene conto della capacità della stessa di esibire deformazioni oltre il limite di resistenza elastico. In tal modo si conseguirebbe un dimensionamento degli elementi strutturali certamente non economicamente sostenibile.

Fig. 2.6 – Spettro di risposta elastico in accelerazione

La normativa mette a disposizione uno strumento, denominato spettro di

progetto o spettro di risposta anelastico, ottenuto abbattendo lo spettro elastico attraverso il parametro w, detto fattore di struttura. Pertanto, si accetta che la struttura entri in campo anelastico e che la sua sopravvivenza sia legata alla possibilità che, superato il limite elastico, riesca a raggiungere lo stesso valore


45

di spostamento che avrebbe raggiunto nel caso di comportamento elastico senza esibire sensibili decrementi di resistenza. Lo spettro di progetto è definito dalle seguenti espressioni:

0 ≤ � < �e �f�� = �� ∙ � ∙ 78 ∙ 1w ∙ h ��e + w78 ∙ i1 − ��ejk

(2.12)

�e ≤ � < �S �f�� = �� ∙ � ∙ 78 ∙ 1w

�S ≤ � < �l �f�� = �� ∙ � ∙ 78 ∙ 1w ∙ i�S� j

�l ≤ � �f�� = �� ∙ � ∙ 78 ∙ 1w ∙ i�S ∙ �l�b j

Il fattore di struttura w dipende dalla tipologia strutturale, dal suo grado di

iperstaticità e dai criteri di progettazione adottati e prende in conto le non

linearità del materiale. Esso può essere calcolato tramite la seguente

espressione (§ 7.3.1 delle NTC):

w = w8 ∙ 5� (2.13) dove:

w8 è il valore del fattore di struttura che dipende dal livello di duttilità attesa, dalla tipologia strutturale e da rapporto αy αA⁄ tra il valore dell’azione sismica per il quale si verifica la formazione di un numero di cerniere plastiche tali da rendere la struttura labile e quello per il quale il primo elemento strutturale raggiunge la plasticizzazione a flessione;

5� è un fattore riduttivo che dipende dalle caratteristiche di regolarità in altezza della costruzione, con valore pari ad 1 per costruzioni regolari in altezza e pari a 0,8 per costruzioni non regolari in altezza.

La normativa al § 7.2.1 distingue due diversi comportamenti strutturali, quali:

- comportamento strutturale non-dissipativo;

- comportamento strutturale dissipativo.

46

Nel comportamento strutturale non-dissipativo, cui si riferisce quando di progetta per gli stati limite di esercizio, gli effetti combinati delle azioni sismiche e delle altre azioni sono calcolati indipendentemente dalla tipologia strutturale adottata, senza tenere contato della non linearità di comportamento (di materiale e geometriche) se non rilevanti.

Nel comportamento strutturale non dissipativo, cui si riferisce quando si progetta per gli stati limite ultimi, gli effetti combinati delle azioni sismiche e delle altre azioni sono calcolati, in funzione della tipologia strutturale adottata, tenendo conto delle non linearità di comportamento (di materiale sempre, geometriche quando rilevanti e comunque sempre quando precisato).

Ipotizzando che la struttura esibisca un comportamento non-dissipativo, sotto l’azione dei carichi, il sistema si deforma, accumulando al suo interno una certa quantità di energia elastica di deformazione necessaria a ripristinare il sistema alla sua configurazione indeformata. Le verifiche allo SLE vanno eseguite in fase elastica, poiché si suppone che la struttura assuma un comportamento non dissipativo, garantendo, sotto l’azione sismica di progetto, di non subire danni tali da comportare la fuori uscita di servizio. Altresì, ipotizzando che la struttura esibisca un comportamento dissipativo, si accetta che la struttura soggetta al sisma di progetto presenti dei danni strutturali che potrebbero comportare la fuori uscita di servizio, purché non collassi. La struttura, pertanto, deve essere in grado di dissipare l’energia cinetica che gli viene fornita dal sisma, entrando in campo anelastico.

Nel caso in cui la struttura abbia comportamento strutturale dissipativo, si distinguono due livelli di Capacità Dissipativa o Classi di Duttilità:

- classe di duttilità alta (CD”A”);

- classe di duttilità bassa (CD”B).

La differenza tra le due classi risiede nella entità delle plasticizzazioni cui ci si riconduce in fase di progettazione; per ambedue le classi, onde assicurare alla struttura un comportamento dissipativo e duttile evitando rotture fragili e la formazione di meccanismi instabili imprevisti, si fa ricorso ai procedimenti tipici della gerarchia delle resistenze. Si localizzano dunque le dissipazioni di energia per isteresi in zone a tal


47

fine individuate e progettate, dette “dissipative” o “critiche”, effettuando il dimensionamento degli elementi non dissipativi nel rispetto del criterio di gerarchia delle resistenze.

In particolare, il progetto in CD”A” presume che sotto l’azione sismica la struttura si trasforma in un meccanismo dissipativo ad elevata capacità, mentre il progetto in CD”B richiede essenzialmente che tutti gli elementi a funzionamento flessionale (travi e pilastri) siano in possesso di una soglia minima di duttilità. La severità delle regole di gerarchia delle resistenze deve essere maggiore per la classe di duttilità “A”, per la quale è richiesta maggiore capacità dissipativa, e minore per la classe di duttilità “B”, per la quale si punta più sulla resistenza. In questo senso si capisce come in funzione della classe di duttilità adottata, si modifica il valore del coefficiente di struttura w che può essere adesso meglio definito.

Tornando all’espressione (2.13) che definiva w, è possibile caratterizzare i fattori che la costituiscono:

w8 è il fattore legato alla tipologia strutturale e vale:

Tipologia z(

CD”B” CD”A”

Strutture a telaio, a pareti accoppiate, miste 3,0 {� {A⁄ 4,5 {� {A⁄ Strutture a pareti non accoppiate 3,0 4,0 {� {A⁄

Strutture deformabili torsionalmente 2,0 3,0 Strutture a pendolo inverso 1,5 2,0

Tab.2.11 – Valori di w8

dove αy αA⁄ assume i seguenti valori:

a) Strutture a telaio o miste equivalenti a telai

- strutture a telaio di un piano αy αA⁄ = 1,1 - strutture a telaio con più piani ed una sola campata αy αA⁄ = 1,2 - strutture a telaio con più piani e più campate αy αA⁄ = 1,3

b) Strutture a pareti o miste equivalenti a pareti

- strutture con solo due pareti non accoppiate αy αA⁄ = 1,0

48

- altre strutture a pareti non accoppiate αy αA⁄ = 1,1

- strutture a pareti accoppiate o miste equivalenti a pareti αy αA⁄ = 1,2

2.4.3 Requisiti di regolarità

Tra i parametri che contribuiscono a definire il fattore di struttura, e di conseguenza la capacità dissipativa di una struttura, occorre tenere conto dei requisiti di regolarità strutturale, che chiamano in causa non solo la progettazione delle strutture ma l’importanza complessiva del progetto, a partire dalle forme architettoniche.

Fig. 2.7 – Crollo causato da irregolarità strutturale

Le costruzioni devono avere, quanto più possibile, struttura iperstatica

caratterizzata da regolarità in pianta e in altezza (§ 7.2.2 delle NTC).

Per quanto riguarda gli edifici, una costruzione è regolare in pianta se tutte le seguenti condizioni sono rispettate:

a) la configurazione in pianta è compatta e approssimativamente simmetrica rispetto a due direzioni ortogonali, in relazione alla distribuzione di masse e rigidezze;


49

b) il rapporto tra i lati di un rettangolo in cui la costruzione risulta inscritta è inferiore a 4;

TU ≤ 4

c) nessuna dimensione di eventuali rientri o sporgenze supera il 25% della dimensione totale della costruzione nella corrispondente direzione;

� ≤ 0,25 ∙ }

d) gli orizzontamenti possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano rispetto agli elementi verticali e sufficientemente resistenti.

Sempre riferendosi agli edifici, una costruzione è regolare in altezza se tutte le

seguenti condizioni sono rispettate:

e) tutti i sistemi resistenti verticali (quali telai e pareti) si estendono per tutta l’altezza della costruzione;

f) massa e rigidezza rimangono costanti o variano gradualmente, senza bruschi cambiamenti, dalla base alla sommità della costruzione (le variazioni di massa da un orizzontamento all’altro non superano il 25%,

50

la rigidezza non si riduce da un orizzontamento a quello sovrastante più del 30% e non aumenta più del 10%); ai fini della rigidezza si possono considerare regolari in altezza strutture dotate di pareti o nuclei in c.a. o pareti e nuclei in muratura di sezione costante sull’altezza o di telai controventati in acciaio, ai quali sia affidato almeno il 50% dell’azione sismica alla base;

g) nelle strutture intelaiate progettate in CD“B” il rapporto tra resistenza effettiva e resistenza richiesta dal calcolo non è significativamente diverso per orizzontamenti diversi (il rapporto fra la resistenza effettiva e quella richiesta, calcolata ad un generico orizzontamento, non deve differire più del 20% dall’analogo rapporto determinato per un altro orizzontamento); può fare eccezione l’ultimo orizzontamento di strutture intelaiate di almeno tre orizzontamenti;

h) eventuali restringimenti della sezione orizzontale della costruzione avvengono in modo graduale da un orizzontamento al successivo, rispettando i seguenti limiti: ad ogni orizzontamento il rientro non supera il 30% della dimensione corrispondente al primo orizzontamento, né il 20% della dimensione corrispondente all’ orizzontamento immediatamente sottostante. Fa eccezione l’ultimo orizzontamento di costruzioni di almeno quattro piani per il quale non sono previste limitazioni di restringimento.

~� ≤ 0,20 ∙ T� ≤ 0,30 ∙ �

La normativa distingue la regolarità in pianta da quella in elevazione, adottando provvedimenti diversi atti a contrastare gli effetti negativi che i diversi tipi di


51

irregolarità producono sul comportamento sismico di una struttura. Infatti, un calcolo elastico convenzionale può garantire il corretto comportamento della struttura fino al limite elastico, ma non può fornire predizioni realistiche del comportamento non lineare, particolarmente qualora la struttura presenti situazioni di debolezza localizzata, ad esempio di un piano rispetto agli altri, o di concentrazione di tensioni, che possano determinare comportamenti locali fragili.

2.4.4 Analisi statica lineare

L’analisi di una struttura soggetta ad eventi sismici come detto in precedenza può essere perseguita per via dinamica o per via statica. Fra i metodi di analisi consentiti dalla normativa il più semplice è l’Analisi Statica lineare, che consente di applicare sulla struttura delle “forze statiche equivalenti” che riproducono gli stessi effetti delle azioni dinamiche indotte dal sisma sulla struttura. Essa è ammessa a condizione che il periodo del modo di vibrare principale nella direzione in esame �TA� non superi 2,5 ∙ Tq o Ts (periodi caratteristici dello spettro di risposta) e che la costruzione sia regolare in altezza, in seguito enunciati (§ 7.3.3.2 delle NTC).

Per costruzioni civili o industriali che non superino i 40 m di altezza e la cui massa sia approssimativamente uniformemente distribuita lungo l’altezza, TA

può essere stimato, in assenza di calcoli più dettagliati, utilizzando la formula seguente:

TA = CA ∙ HC ?� (2.14)

dove:

H è l’altezza della costruzione, in metri, dal piano di fondazione; CA vale 0,085 per costruzioni con struttura a telaio in acciaio, 0,075 per costruzioni con struttura a telaio in calcestruzzo armato e 0,050 per costruzioni con qualsiasi altro tipo di struttura.

La forza da applicare a ciascuna massa della costruzione è data dalla formula seguente:

52

F� = F� ∙ z� ∙ W�∑ z� ∙ W� (2.15)

dove:

- F� = S��TA� ∙ W ∙ �n è il tagliante sismico totale;

- F� è la forza da applicare all’impalcato i-esimo; - W� e W� sono i pesi, rispettivamente, dell’impalcato i e dell’impalcato j; - z� e z� sono le quote, rispetto al piano di fondazione sugli impalcati i e j; - S��TA� è l’ordinata dello spettro di risposta di progetto; - W è il peso complessivo della costruzione; - λ è un coefficiente pari a 0,85 se la costruzione ha almeno tre

orizzontamenti e se TA < 2 ∙ Tq, pari a 1 in tutti gli altri casi; - g è l’accelerazione di gravità.

In Fig. 2.8 è riportato lo schema per la definizione semplificata dei pesi sismici W�. Essi vengono attribuiti tracciando il piano medio tra un impalcato ed il successivo , determinando la massa tra i due piani medi successivi. A ciascuna di tali masse sarà attribuito un peso sismico. Il punto di applicazione della forza associata a ciascuno dei pesi sismici così determinati giace nel piano dell’impalcato contenuto nel volume considerato e costituisce la proiezione del baricentro della massa precedentemente valutata.

Fig. 2.8 – Ripartizione della forza sismica

W3

W2

W1

massa trascurabile

z1

z2

z3

G1

G2

G3

F1

F2

F3


53

APPLICAZIONE 2.1

Valutazione della forza sismica allo SLU

La struttura è costituita da 3 piani fuori terra e sita nel comune di Noto.

Fig. 2.9 – Pianta e sezione edificio

54

L’edificio viene considerato in zona 1 e fondato su suolo di fondazione di categoria U.

Si definiscono i parametri della forza sismica, ��, 78 e �S∗, in funzione delle

coordinate del sito. Allo Stato Limite di Salvaguardia della Vita si ha:

�� = 0,202� = 2,02 6 ��b⁄

78 = 2,286

�S∗ = 0,418�

Si assume la vita nominale della costruzione pari a 50�##$. Si prevede che la costruzione presenti affollamenti ordinari, pertanto:

�� = 1

Il periodo di riferimento dell’azione sismica è così determinato:

�� = �� ∙ �� = 50 ∙ 1 = 50�##$

Si associa al periodo di riferimento calcolato pocanzi la probabilità di superamento dell’azione sismica, in funzione dello Stato limite in condizione sismica considerato. Nel caso in esame, allo Stato Limite di Salvaguardia della Vita:

��= 10%

Il periodo di ritorno è di seguito calcolato:

�� = −��

ln31 − ��4= −

50ln�1 − 0,1�

= 475�##$

Si determina il coefficiente di amplificazione stratigrafica e topografica in relazione alla natura del sito. La struttura è fondata su un suolo di categoria U, pertanto:

�H = 2,40 − 1,5 ∙ 78 ∙

��

�= 2,40 − 1,50 ∙ 2,286 ∙ 0,202 = 1,70

Per terreno di fondazione orizzontale:

�J = 1


55

Pertanto, il coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni topografiche vale:

� = �H ∙ �J = 1,70 ∙ 1 = 1,70

Si determina il parametro �S attraverso la seguente espressione:

�S = 1,25 ∙ ��S∗��8,� = 1,25 ∙ �0,418��8,� = 1,93

Si riporta di seguito la tabella di riepilogo dei parametri di progetto.

Ubicazione Comune di Noto

Categoria di sottosuolo U

Vita nominale (��) 50�##$ Classe d’uso (��) II

Periodo di riferimento dell’azione sismica (��) 50�##$ Periodo di ritorno dell’azione sismica (��) ��

= 475�##$ Coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni topografiche (�)

� = 1,70

Sono noti tutti i parametri necessari alla definizione dello spettro elastico di risposta (Fig. 2.10). Il periodo fondamentale vale:

�A = �A ∙ �C

?� = 0,075 ∙ 10,3C

?� = 0,43��

Si osserva che il periodo fondamentale �A ricade all'interno del secondo intervallo, come anche mostrato in Fig. 2.7.

�e < �A< �S

L’ordinata dello spettro è data dalla seguente espressione:

�f�� = �� ∙ � ∙ g ∙ 78

Ponendo g = 1 per struttura in calcestruzzo armato, si ha:

�f�� = �� ∙ � ∙ g ∙ 78 = 2,02 ∙ 1,70 ∙ 1 ∙ 2,286 = 7,87 6 ��b⁄ = 0,787�

Che rappresenta la massima accelerazione totale con la quale la struttura dovrebbe essere progettata.

56

Fig. 2.10 – Spettro di risposta elastico

Come detto in precedenza, ai fini di ottenere una economia nella realizzazione della struttura riducendo le dimensioni degli elementi strutturali, si accetta che essa possa danneggiarsi allo SLV purché abbia una adeguata capacità di spostamento in campo anelastico. L’accelerazione di progetto può ottenersi quindi abbattendo lo spettro elastico prima determinato attraverso il fattore di struttura, che la normativa prescrive di calcolare come:

w = w8 ∙ 5�

in cui:

5� = 1 per struttura regolare in altezza;


57

w8 = 3,9 per costruzione intelaiata in CD”B”.

Fig. 2.11 – Spettro di risposta anelastico

Pertanto, il fattore di struttura vale:

w = w8 ∙ 5� = 3,9 ∙ 1 = 3,9

Si calcola l’accelerazione di progetto mediante l’espressione:

�� = �� ∙ � ∙ 78 ∙1w

= 2,02 ∙ 1,70 ∙ 2,286 ∙1

3,9= 2,01 6 ��b⁄ = 0,201�

58

Lo spettro di progetto assume la forma in Fig. 2.11. Si osserva come l’accelerazione di progetto sia fortemente ridotta rispetto al caso elastico (circa un quarto).

Ai fini della valutazione della forza sismica sulla struttura occorre determinare il peso sismico, valutabile come:

� = �A + �b +∙ �bA ∙ ��A + �bb ∙ ��b

Il peso sismico viene determinato per ogni impalcato della struttura, seguendo lo schema semplificato di seguito riportato.

Fig. 2.12 – Suddivisione degli impalcati dell’edificio

Solaio di copertura:

�A = 2,67 ]G 6b⁄ (carichi permanenti strutturali)

�b = 2,00 ]G 6b⁄ (carichi non permanenti)

�� = 0,50 ]G 6b⁄ (azione variabile: manutenzione)

�� = 0,48 ]G 6b⁄ (azione variabile: neve)


59

Solaio interpiano:

�A = 2,67 ]G 6b⁄ (carichi permanenti strutturali)

�b = 2,68 ]G 6b⁄ (carichi non permanenti)

�� = 2 ]G 6b⁄ (azione variabile: ambiente ad uso residenziale)

I pilastri hanno una sezione 30Y65, mentre le travi hanno una sezione 30Y55. Si calcola il peso sismico dei singoli elementi strutturali.

w��=�= �. = �A + �b + �bA ∙ �� = 2,67 + 2,68 + 0,30 ∙ 2,00

w��=�= �. = 5,95 ]G 6b⁄

w��=�9�¡f�� = �A + �b = 2,67 + 2,00 = 4,67 ]G 6b⁄

w��¢= = £9 ∙ ¤ ∙ ℎ = 25 ∙ 0,30 ∙ 0,50 = 3,75 ]G 6⁄

w¡=��= = £9 ∙ ¤ ∙ ℎ = 25 ∙ 0,30 ∙ 0,65 = 4,87 ]G 6⁄

w��¥¡. = �A + �b = 2,42 + 0,58 = 3 ]G 6⁄

Calcolo del peso simico dell’ impalcato '.

Solaio interpiano:

Solaio¦§°¨

z

¦©� ªO⁄ ¨

lungh. ¦ª¨

largh.¦ª¨

«¬¬

¦©�¨

1 5,95 5,20 4,00 123,80

2 5,95 5,20 2,70 83,56

3 5,95 5,20 4,50 139,27

4 5,95 5,10 4,00 121,42

5 5,95 5,10 4,50 136,59

6 5,95 2,40 4,00 57,13

7 5,95 2,40 2,70 38,56

8 5,95 2,40 4,50 64,28

«¬¬ 764,65

60

Travi:

Trave

¦§°¨

n° ®¯

¦©� ª°⁄ ¨

±

¦ª¨

h ¦ª¨

luce¦ª¨

«¬¬

¦©�¨

1-2, 9-10 2 25 0,30 0,55 3,70 30,25

2-3, 10-11, 6-7, 14-15 4 25 0,30 0,55 2,55 42,07

3-4, 11-12 2 25 0,30 0,55 4,35 35,88

5-6, 13-14 2 25 0,30 0,55 3,85 31,76

7-8, 15-16 2 25 0,30 0,55 4,20 34,65

1-5, 3-7 2 25 0,30 0,55 5,05 41,66

2-6, 4-8 2 25 0,30 0,55 4,90 40,42

5-9, 6-10, 7-11, 8-12 4 25 0,30 0,55 4,95 81,67

9-13, 11-15 2 25 0,30 0,55 2,10 17,32

10-14, 12-16 2 25 0,30 0,55 2,25 18,56

«¬¬ 374,55

Pilastri:

Pilastro

¦§°¨

n° ®¯

¦©� ª°⁄ ¨

±

¦ª¨

h ¦ª¨

luce¦ª¨

«¬¬

¦©�¨

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16

16 25 0,30 0,65 3,50 273,00

«¬¬ 273,00

Tompagni:

Tompagni¦§°¨

n° z

¦©� ªO⁄ ¨

lungh. ¦ª¨

h ¦ª¨

«¬¬

¦©�¨

1-2, 9-10 2 3 3,70 2,95 65,49

2-3, 10-11, 6-7, 14-15 4 3 2,55 2,95 90,27

3-4, 11-12 2 3 4,35 2,95 76,99

5-6, 13-14 2 3 3,85 2,95 68,14

7-8, 15-16 2 3 4,20 2,95 74,34

1-5, 3-7 2 3 5,05 2,95 89,38


61

2-6, 4-8 2 3 4,90 2,95 86,73

5-9, 6-10, 7-11, 8-12 4 3 4,95 2,95 125,23

9-13, 11-15 2 3 2,10 2,95 37,17

10-14, 12-16 2 3 2,25 2,95 39,82

«¬¬ 803,58

Il peso sismico all’impalcato 1 vale:

�A = ��=�= �. + ��¢= + �¡=��= + ��¥¡.

�A = 764,65 + 374,55 + 273,00 + 803,58 = 2215,78kN

Calcolo del peso sismico all’impalcato O.

Pilastri:

Pilastro

¦§°¨

n° ®¯

¦©� ª°⁄ ¨

±

¦ª¨

h ¦ª¨

luce¦ª¨

«¬¬

¦©�¨

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16

16 25 0,30 0,65 3 234,00

«¬¬ 234,00

Tompagni:

Tompagni¦§°¨

n° z

¦©� ªO⁄ ¨

lungh. ¦ª¨

h ¦ª¨

«¬¬

¦©�¨

1-2, 9-10 2 3 3,70 2,40 54,28

2-3, 10-11, 6-7, 14-15 4 3 2,55 2,40 73,44

3-4, 11-12 2 3 4,35 2,40 62,54

5-6, 13-14 2 3 3,85 2,40 55,44

7-8, 15-16 2 3 4,20 2,40 60,48

1-5, 3-7 2 3 5,05 2,40 72,72

2-6, 4-8 2 3 4,90 2,40 70,56

5-9, 6-10, 7-11, 8-12 4 3 4,95 2,40 142,56

9-13, 11-15 2 3 2,10 2,40 30,24

10-14, 12-16 2 3 2,25 2,40 32,40

62

«¬¬ 653,76

Il peso sismico del solaio interpiano e delle travi è analogo a quello calcolato per il primo impalcato. Il peso sismico all’impalcato 2 vale:

�b = ��=�= �. + ��¢= + �¡=��= + ��¥¡.

�b = 746,65 + 374,55 + 234,00 + 653,76 = 2026,96]G

Calcolo del peso sismico all’impalcato °.

Solaio di copertura:

Solaio¦§°¨

z

¦©� ªO⁄ ¨

lungh. ¦ª¨

largh.¦ª¨

«¬¬

¦©�¨

1 4,67 5,20 4 97,96

2 4,67 5,20 2,70 65,45

3 4,67 5,20 4,50 109,09

4 4,67 5,10 4 95,1

5 4,67 5,10 4,50 106,99

6 4,67 2,40 4 44,75

7 4,67 2,40 2,70 30,2

8 4,67 2,40 4,50 50,34

«¬¬ 598,92

Pilastri:

Pilastro

¦§°¨

n° ®¯

¦©� ª°⁄ ¨

±

¦ª¨

h ¦ª¨

luce¦ª¨

«¬¬

¦©�¨

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16

16 25 0,3 0,65 1,80 140,40

«¬¬ 140,40


63

Tompagni:

Tompagni¦§°¨

n° z

¦©� ªO⁄ ¨

lungh. ¦ª¨

h ¦ª¨

«¬¬

¦©�¨

1-2, 9-10 2 3,00 3,70 2,40 53,28

2-3, 10-11, 6-7, 14-15 4 3,00 2,55 2,40 73,44

3-4, 11-12 2 3 4,35 2,40 62,64

5-6, 13-14 2 3 3,85 2,40 55,44

7-8, 15-16 2 3 4,2 2,40 60,48

1-5, 3-7 2 3 5,05 2,40 72,72

2-6, 4-8 2 3 4,9 2,40 70,56

5-9, 6-10, 7-11, 8-12 4 3 4,95 2,40 142,56

9-13, 11-15 2 3 2,1 2,40 30,24

10-14, 12-16 2 3 2,25 2,40 32,40

«¬¬ 653,76

Il peso sismico delle travi è analogo a quello calcolato per il primo impalcato. Il peso sismico all’impalcato 3 vale:

�C = ��=�9�¡. + ��¢= + �¡=��= + ��¥¡.

�C = 598,92 + 374,55 + 140,40 + 653,76 = 1767,63]G

Il peso sismico complessivo della struttura è il seguente:

�� = �A + �b + �C = 2215,78 + 2026,96 + 1767,63 = 6010,38]G

Nell’ipotesi di applicare l’analisi lineare statica occorre verificare che il periodo del modo di vibrare principale nella direzione in esame �A non superi 2,5 ∙ �S o �l e che la costruzione sia regolare in altezza. Nel caso in esame risultano soddisfatte tali considerazioni. La forza sismica risultante è calcolata secondo l’espressione fornita dalla normativa e di seguito riportata.

7 = ��J� ∙ �JµJ ∙ ¶

64

Nell’espressione si pone ¶ = 0,85 per struttura con numero di orizzontamenti maggiore o uguale a 3. Pertanto si ha:

7 = ��J� ∙ �JµJ ∙ ¶ = 0,201 ∙ 6010,38 ∙ 0,85 = 1026,87]G

Tale forza si ripartisce nei 3 impalcati della struttura secondo l’eq. (2.15). Pertanto i valori di forza da applicare agli impalcati sono:

7A =7 ∙ ·A ∙ �A

∑ ·= ∙ �=C=@A

=1026,87 ∙ 4,30 ∙ 2215,78

42531,36= 230,03]G

7b =7 ∙ ·b ∙ �b

∑ ·= ∙ �=C=@A

=1026,87 ∙ 7,30 ∙ 2026,96

42531,36= 357,25]G

7C =7 ∙ ·C ∙ �C

∑ ·= ∙ �=C=@A

=1026,87 ∙ 10,30 ∙ 1767,63

42531,36= 439,57]G

Fig. 2.13 – Ripartizione della forza sismica di progetto

65

MATERIALI

Il calcestruzzo armato è ottenuto dall’unione di due materiali: il calcestruzzo e

l’acciaio. La composizione eterogenea del materiale induce dei meccanismi

resistenti e deformativi che dipendono dalle caratteristiche dei due componenti,

ovvero dalla interazione mediante i meccanismi di aderenza che nascono

all’interfaccia.

Tale accoppiamento è garantito dai seguenti fattori:

- il calcestruzzo durante la presa serra le barre e vi aderisce;

- il calcestruzzo e l’acciaio presentano lo stesso coefficiente di

dilatazione termica �10��°��, che per effetto di una variazione di

temperatura, si deformano allo stesso modo;

- il calcestruzzo protegge le barre metalliche dall’attacco degli agenti

atmosferici.

In modo del tutto generale, si afferma che mentre del calcestruzzo di sfruttano le

capacità di resistenza a compressione, dell’acciaio si sfrutta la resistenza a

trazione.

Di seguito si trattano le caratteristiche fisico-meccaniche, nonché le principali

proprietà del calcestruzzo e dell’acciaio.

3


66

3.1 Calcestruzzo

Il calcestruzzo è un materiale non omogeneo le cui caratteristiche meccaniche

dipendono dai suoi componenti e dai loro rapporti in termini di quantità in

volume e in peso.

Un’importante proprietà nella valutazione dei carichi in fase di progettazione, è

la densità, che assume un valore di circa 24 � ��⁄ , a meno di utilizzo di

miscele particolari per la produzione di cls di densità inferiori (calcestruzzi

leggeri) o superiori (calcestruzzi pesanti), per specifiche applicazioni.

Il comportamento meccanico descritto in seguito si riferisce a calcestruzzi con

densità normale e senza particolari additivi nelle miscele.

Nonostante la disomogeneità, il comportamento macroscopico del cls può

essere schematizzato con buona approssimazione come quello di un materiale

omogeneo e isotropo. Viceversa, le sue proprietà, conferiscono un

comportamento differente in presenza di sollecitazioni di compressione o di

trazione. Per tale motivo, nei legami costitutivi di seguito enunciati, si suole

distinguere i casi di sollecitazione di compressione e trazione.

3.1.1 Componenti

Il calcestruzzo è un materiale lapideo, composto da cemento, acqua, aggregati

ed eventuali additivi. Si riportano le quantità in cui i vari componenti entrano

nella miscela di un metro cubo di calcestruzzo di normale resistenza:

ghiaia 0,8�� ⁄

sabbia 0,4�� ⁄

acqua 120 ÷ 180 � ��⁄

cemento 300 � ��⁄

(3.1)

Il cemento è un legante idraulico, ottenuto mediante cottura ad alte temperature

(1400 ÷ 1500°�) di una miscela di calcare ed argilla.

Capitolo 3 Materiali

67

I cementi comuni conformi alla norma UNI ENV 197/1 (Cemento.

Composizione, specificazioni e criteri di conformità) sono suddivisi in cinque

tipi principali:

- Tipo I, cemento portland con un percentuale di clinker pari ad almeno

95%;

- Tipo II, cemento portland composito con una percentuale di clinker si

almeno 65%;

- Tipo III, cemento d’altoforno;

- Tipo IV, cemento pozzolanico;

- Tipo V, cemento composito.

Il cemento Portland è il tipo più utilizzato per la realizzazione di calcestruzzi.

La produzione del Portland è ottenuta dalla macinazione del clinker, con

aggiunta di gesso nella quantità necessaria per regolarizzare il processo di

idratazione.

Il cemento d’altoforno è una miscela

omogenea ottenuta mediate macinazione e

miscelazione di clinker portland e di loppa

basica d’altoforno. Tali cementi sono adatti per

qualsiasi lavoro, soprattutto per lavori in clima

caldi e nei lavori marittimi.

Il cemento pozzolanico è una miscela

omogenea ottenuta dalla macinazione di

clinker Portland e di pozzolana, con quantità di

gesso e anidrite necessarie per regolare

l’idratazione. L’impiego di calcestruzzi con

cementi pozzolani è adatto soprattutto in

costruzioni a contatto con acque aggressive.

Fig.3.1 – Sacco di cemento

Il cemento alluminoso (o fuso) presenta un contenuto maggiore di allumina,

ottenuto per cottura sino a fusione di calcare e bauxite opportunamente

mescolati. L’elevata resistenza all’azione dell’acqua ne fa un cemento di elevata

applicazione nelle opere marittime ed idrauliche.


68

Il cemento è potenzialmente disponibile in sei diverse classi di resistenza

normalizzata (a 28 gg), a loro volta distinte in due classi di resistenza iniziale

(2-7 gg):

- resistenza iniziale ordinaria indicata con la lettera �;

- resistenza iniziale elevata indicata con la lettera �.

Secondo le UNI ENV 197/1, il cemento viene classificato in funzione delle

classi di resistenza, nel modo che segue:

- classe 32,5�: resistenza a compressione iniziale a 7�� ≥ 16;

resistenza a compressione standard a 28�� ≥ 32,5 ≤ 52,5;








resistenza a compressione standard a 28�� ≥ 52,5;


resistenza a compressione standard a 28�� ≥ 52,5;

Le resistenze a compressione sono espresse in !" su provini cubici preparati

in modo standardizzato con rapporto a/c pari a 0,5.

In un calcestruzzo, generalmente, il legame tra gli aggregati fornito dal cemento

è l’elemento di minor resistenza. Pertanto la resistenza del calcestruzzo è

fortemente dipendente dalla qualità e dalla quantità di cemento impiegato. Oltre

certi limiti tuttavia, all’aumentare del quantitativo di cemento i guadagni di

resistenza divengono sempre più modesti, mentre si evidenziano degli effetti

negativi dovuti all’eccesso di cemento.

In merito all’utilizzo dell’acqua nell’impasto di calcestruzzi, le norme UNI

9858 stabiliscono in proposito:

“l’acqua per gli impasti deve essere limpida, priva di Sali (particolarmente

solfati e cloruri) in percentuali dannose, e non essere aggressiva”.


69

L’acqua, combinandosi con il cemento nel fenomeno dell’idratazione, da luogo

alla “presa” che trasforma l’impasto in una massa solida. Tuttavia l’acqua deve

svolgere anche la funzione di lubrificante nell’impasto, rendendolo

sufficientemente fluido da essere lavorabile.

Per questo motivo l’acqua impiegata nell’impasto deve essere in quantità

superiore a quella strettamente necessaria per l’idratazione del cemento. Peraltro

si deve tenere presente che all’aumentare dell’eccesso di acqua peggiorano

sensibilmente le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo.

Gli aggregati costituiscono un componente

del cls di fondamentale importanza in un

impasto. Costituiscono lo scheletro solido del

cls allo stato indurito, arrivando ad occupare

sino al 70% del suo volume totale,

rappresentando un componente essenziale nei

confronti della resistenza, della deformabilità

e della durabilità del prodotto finito.

Fig.3.2 – Pietrisco utilizzato nel cls

Gli aggregati si suddividono secondo:

- il peso specifico;

- la forma e le dimensioni;

- altre caratteristiche petrografiche, fisiche e chimiche.

In rapporto al peso specifico essi si suddividono in aggregati normali, aggregati

pesanti ed aggregati leggeri. La scelta della tipologia di aggregati da utilizzare

nell’impasto è fondamentale nella realizzazione di un calcestruzzo.

Con aggregati normali si ottengono calcestruzzi ordinari, il cui peso specifico è

pari a 24 � ��⁄ ; con aggregati pesanti si ottengono calcestruzzi fino a

50 � ��⁄ , di raro impiego nelle costruzioni. L’impiego di aggregati leggeri è

invece frequente e in rapida estensione; tali calcestruzzi possono raggiungere

pesi specifici nell’ordine di 12 � ��⁄ , che conferiscono all’elemento

strutturale maggiore leggerezza.

In rapporto alle dimensioni, un aggregato è indicato come fine (sabbia, con

diametro inferiore a 4��) o grosso (ghiaietto e ghiaia).


70

Fra le altre caratteristiche di cui si deve tener conto per la scelta degli aggregati,

in generale o in alcuni casi particolari, sono da ricordare principalmente.

L’uniformità, la bassa permeabilità, la scarsezza di impurità, la stabilità ad alte

temperature, la non gelività, la resistenza meccanica, anche eventualmente

all’urto, abrasione ed erosione.

In generale, non si realizzano mai cls con una solo classe di aggregati;

l’obiettivo principale, infatti, è di ottenere un volume minimo di vuoti tra i

granuli dell’aggregato, successivamente riempito dalla pasta di cemento, così

come prescritto dalle norme UNI 9858 e dalle ENV 206.

Gli additivi sono composti chimici allo stato liquido o di polvere con cui

vengono additivate le miscele. Gli effetti che si possono richiedere agli additivi

sono quelli di modificare alcune caratteristiche del calcestruzzo, fra i quali:

- aumento della lavorabilità;

- accelerazione o ritardo della presa;

- impermeabilizzazione;

- differente colorazione;

- aumento di volume durante la presa.

Un cenno particolare meritano i fluidificanti (riduttori d’acqua), che permettono

di ottenere miscele più lavorabili senza dover aumentare il rapporto a/c.


71

3.1.2 Comportamento in compressione

Il comportamento sperimentale del calcestruzzo è descritto da legame tensione

deformazione # − %, ottenuto mediante prove sperimentali su provini di

dimensioni standard. La forma del provino influenza il valore di resistenza

misurata, pertanto i campioni debbono avere caratteristiche standard. I provini

cilindrici generalmente hanno altezza ℎ = 300�� e diametro della base

( = 150��, il cui rapporto ℎ ( = 2⁄ ; i provini cubici normalmente hanno lo

spigolo di lunghezza compresa tra 150e 200��.

La prova d’uso più comune è quella di compressione semplice o monoassiale.

Fig.3.3 – Macchina di prova a compressione

Tale prova consiste nel posizionare il provino tra i piatti di acciaio di una pressa

aumentando il carico applicato, in modo tale che si raggiunga un incremento di

compressione di 0,2 ÷ 1,0� ��) ∙ +⁄ .

Nella progettazione di strutture in c.a. si fa riferimento a valori delle resistenze

ottenuti dopo 28 giorni di maturazione, utilizzando i rispettivi valori

caratteristici.

La resistenza caratteristica a compressione è definita come la resistenza per la

quale si ha il 5% di probabilità di trovare valori inferiori (§ 11.2.1 delle NTC).


72

In sede di progetto si fa pertanto riferimento alla resistenza caratteristica a

compressione cubica �,- e alla resistenza caratteristica a compressione

cilindrica .,-. La resistenza cilindrica e cubica ottenuta dalle prove di

compressione risultano differenti, a causa dei diversi effetti di bordo, indotti

dall’effetto di confinamento che esercitano le due piastre di contatto del

macchinario di prova.

Fig.3.4 Fig.3.5

Prove di compressione su provino cubico Prove di compressione su provino cilindrico

Tale resistenza risulta molto più elevata nei provini cubici che presentano una

maggiore superficie di contatto con le piastre della macchina ed un rapporto

altezza/larghezza più basso. Tale differenza è inoltre visibile sul provino, una

volta raggiunta la condizione di rottura, come mostrato in Fig. 3.4 e Fig. 3.5.

Esiste un fattore di scala che consente di passare dalla resistenza cubica a quella

cilindrica, che si assume pari a 0,83 (§ 11.2.10.1 delle NTC); pertanto si ha:

.,- = 0,83 ∙ �,- (3.2)

Non essendo sempre possibile effettuare una qualificazione del calcestruzzo con

un elevato numero di provini, è possibile passare dal valore caratteristico al

valor medio della resistenza cilindrica, mediante l’espressione (§ 11.2.10.1 delle

NTC):


73

.,/ = .,- + 8 (3.3)

Sulla base della denominazione normalizzata si definiscono le seguenti classi di

resistenza (§ 4.1 delle NTC).

CLASSE DI RESISTENZA

C8/10

C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

C28/35

C32/40

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

C55/67

C60/75

C70/85

C80/95

C90/105

Tab.3.1 – Classi di resistenza

Nella dicitura utilizzata per indicare la classe di resistenza il primo numero

definisce la resistenza cilindrica a compressione valutata su cilindri di diametro

150�� e altezza 300��, il secondo la resistenza cubica a compressione

valutata su cubi di lato 150��. Si osservi che il rapporto tra questi due numeri

non vale circa 0,83 come indicato in precedenza.

Il tipico diagramma tensione-deformazione risultante da una prova di

compressione su un campione di calcestruzzo è illustrato in Fig. 3.6. Dal

diagramma si nota l’assenza di un vero tratto a comportamento lineare; la

curvatura aumenta gradualmente fino a raggiungere l’ordinata massima .,, il cui

valore definisce la resistenza a compressione del calcestruzzo.


74

Fig.3.6 – Diagramma tensione-deformazione del calcestruzzo

Questo valore si raggiunge per una deformazione %, oltre la quale la tensione

diminuisce al crescere della deformazione (ramo di softering) fino alla rottura

che si raggiunge per il valore %1 della deformazione.

Nel primo tratto pressoché lineare, si definisce un valore del modulo elastico

sulla base di prove sperimentali di compressione monoassiale considerando

valori di tensione inferiori al 40% della resistenza (§ 11.2.10.3 delle NTC). La

norma consente di calcolare il modulo elastico medio correlandolo alla

resistenza media a compressione come:

2,/ = 22.0004.,/10 56.�

(3.4)

Assumendo positive per il calcestruzzo le tensioni di compressione e le

deformazioni di accorciamento, ai fini della valutazione della resistenza della

sezione a sforzo normale e flessione, la normativa propone l’adozione dei

seguenti legami costitutivi # − % per classi di resistenza non superiori a

� 50 55⁄ (§ 4.1.2.1.2 delle NTC).

Legame parabola-rettangolo (Fig. 3.7).


75

Fig.3.7 – Legame parabola rettangolo

#�% = 1000 ∙ .,7 ∙ % ∙ �1 − 250 ∙ % per 0 ≤ % ≤ %,) = 0,2%

#�% = .,7 per %,) = 0.2% ≤ % ≤ %,1 = 0,35%

Legame elastico perfettamente plastico (Fig. 3. 8).

Fig.3.8 – Legame elastico perfettamente plastico

#�% = 89:;9< ∙ % per 0 ≤ % ≤ %,� = 0,175%

#�% = .,7 per %,� = 0.175% ≤ % ≤ %,1 = 0,35%

Legame rettangolo (Fig. 3.9).


76

Fig.3.9 – Legame rettangolo

#�% = 0 per 0 ≤ % ≤ %,= = 0,07%

#�% = .,7 per %,= = 0.07% ≤ % ≤ %,1 = 0,35%

L’utilizzo del legame rettangolo consente di eseguire in maniera semplificata

ma sufficientemente precisa la valutazione delle sezioni in cemento armato.

L’uso di tale legame equivale ad applicare alla sezione un diagramma tensionale

che non coinvolge tutta la zone compressa, ma di una parte proporzionale ad un

coefficiente >.

Fig.3.10 – Diagramma deformazioni-tensioni di una sezione rettangolare in c.a.


77

Fissando il rapporto tra la profondità del diagramma delle tensioni e la

profondità dell’asse neutro ?@ in funzione del coefficiente > si determina il

valore di quest’ultimo (Fig. 3.9).

%,1?@ =

%,=?@ − > ∙ ?@

> = 1 − %,=%,1 = 1 −0,00070,0035 = 0,8

(3.5)

Pertanto, la profondità del diagramma rettangolo per sezione rettangolare in

calcestruzzo armato dovrà assumersi pari a 0,8?@.

Per tutti i legami il valore della resistenza di calcolo del calcestruzzo .,7 è

valutato attraverso l’espressione seguente:

.,7 = A,, ∙ .,-B, (3.6)

in cui:

A,, = 0.85 è un coefficiente riduttivo che tiene conto dell’effetto dei carichi

di lunga durata;

B, = 1.5 è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo.

3.1.3 Comportamento in trazione

La disomogeneità del calcestruzzo conferisce allo stesso un comportamento

fragile, qualora venga sottoposto ad uno stato tensionale di trazione.

La resistenza a trazione si presenta molto più bassa di quella a compressione,

pari a circa il 10%, determinata per mezzo di prove di seguito elencate:

- prove di trazione diretta;

- prove di trazione indiretta: (UNI EN 12390-6:2002 o metodo

dimostrato equivalente);

- prove di trazione per flessione. (UNI EN 12390-5:2002 o metodo

dimostrato equivalente).


78

La resistenza a trazione del calcestruzzo è correlata a quella a compressione. La

normativa suggerisce la seguente espressione (§ 11.2.10.2 delle NTC):

.,C/ = 0.3 ∙ .,-) �D per classi ≤ � 50 60⁄

.,C/ = 2.12 ∙ ln G1 + 89H6 I per classi > � 50 60⁄

(3.7)

(3.8)

I valori caratteristici corrispondenti ai frattili 5% e 95% sono assunti,

rispettivamente, pari a 0.7 ∙ .,C/, e 1.3 ∙ .,C/.

Il valore medio della resistenza a trazione per flessione si può assumere in

mancanza di sperimentazione amplificando la resistenza a trazione diretta:

.,8/ = 1.2 ∙ .,C/ (3.9)

Si osservi come la resistenza a trazione aumenta in maniera meno che

proporzionale di quella a compressione.


79

3.2 Acciaio per cemento armato

L’acciaio per calcestruzzo armato è prodotto in forma di barre, aventi una

sezione circolare e superficie esterna caratterizzata da particolari nervature dette

zigrinatura che hanno la funzione di migliorare l’aderenza della barra stessa

all’interno della struttura in calcestruzzo.

L’acciaio presenta un comportamento pressoché analogo per sforzi di

compressione e di trazione, pertanto un legame costitutivo identico per

entrambe le sollecitazioni.

La normativa classifica gli acciai da utilizzare nelle opere in calcestruzzo

armato secondo la classe di resistenza e la classe di duttilità, di seguito

elencate:

- una classe di resistenza, pari a 450� ��)⁄ ;

- due classi di duttilità indicate con le lettere A (acciaio trafilato a freddo)

e C (acciaio laminato a caldo) .

La classificazione degli acciai è la seguente (§ 11.3.2 delle NTC):

- acciaio per cemento armato B540C;

- acciaio per cemento armato B450A.

Entrami gli acciai sono caratterizzati dai seguenti valori nominali delle tensioni

caratteristiche di snervamento e rottura da utilizzare nei calcoli:

.KLM/ = 450� ��)⁄

.CLM/ = 540� ��)⁄ (3.10)

3.2.1 Comportamento meccanico dell’acciaio

Le caratteristiche meccaniche dell’acciaio si determinano mediante prove di

trazione su monconi di barra. Il legame costitutivo tipico per una barra di

acciaio soggetta a di trazione è riportata in Fig. 3.11.


80

Fig.3.11 – Diagramma tensione-deformazione del calcestruzzo

L’andamento tipico della legge # − % mostra un tratto elastico lineare che si

estende fino alla tensione .K, detta di snervamento, seguito da un tratto in cui la

deformazione cresce con tensione praticamente costante (tratto plastico).

Successivamente la tensione torna a salire, ma con pendenza molto inferiore a

quella iniziale elastica, raggiungendo la condizione di incrudimento fino a

raggiungere un massimo, per poi diminuire seguendo un ramo instabile con

pendenza negativa che termina con la rottura effettiva della barra. Riepilogando,

i parametri che caratterizzano un acciaio sono:

.K la tensione di snervamento;

.C la tensione di rottura;

%1 la deformazione ultima;

.K .C⁄ l’indice di capacità di incrudimento.

La grandezza più importante per definire la resistenza del materiale è la tensione

di snervamento .K. Come tensione di rottura .C si assume il massimo valore

raggiunto nella fase di incrudimento, in quanto il valore effettivo al momento

della rottura si può misurare solamente con prove a spostamento impresso.

Il diagramma di Fig.3.10 evidenzia come il modulo elastico è praticamente

constante e non dipende della tensione di snervamento. Con buona

approssimazione si può assumere, per tutti i tipi di acciaio:


81

2N = 210.000� ��)⁄ (3.11)

Che è anche il valore presente nella norma.

La normativa propone l’adozione dei seguenti legami costitutivi # − % per

l’acciaio (§ 4.1.2.1.2.3 delle NTC):

Legame elastico perfettamente plastico (Fig. 3.12)

Fig.3.12 – Legame elastico perfettamente plastico

Legame incrudente (Fig. 3.13)

Fig.3.13 – Legame incrudente

Il legame elastico perfettamente plastico nono prevede una limitazione alla

deformazione ultima dell’acciaio, mentre il legame il legame incrudente


82

presenta un limite superiore %17 all’allungamento dell’acciaio, in

corrispondenza del tratto incrudente, definito attraverso la seguente espressione:

%17 = 0.9%1- (3.12)

Si osservi come nei seguenti legami proposti dalla normativa non viene limitata

la deformazione ultima dell’acciaio. Ne consegue che la crisi di una sezione

inflessa o pressoinflessa avviene sempre per schiacciamento del calcestruzzo.

L’acciaio assume un comportamento simmetrico in trazione e compressione,

pertanto la prova di trazione è sufficiente ad individuarne le caratteristiche

meccaniche.

Ovviamente, a causa dei fenomeni di instabilità, il comportamento degli

elementi può essere molto diverso in trazione e compressione. Superato lo

snervamento, si nota che la barra non percorre la stessa curva di quella a

trazione. Tale fenomeno comunque non influenza il calcolo della resistenza

flessionale allo Stato Limite Ultimo, in quanto il raggiungimento della tensione

di snervamento nelle armature compresse è ottenuto dalla presenza del

calcestruzzo e delle armature trasversali.


83

3.3 Aderenza acciaio-calcestruzzo

Il corretto funzionamento delle strutture in cemento armato dipende dalla

effettiva possibilità che i due materiali costituenti siano solidali, cioè che

subiscano le medesime deformazioni. L’aderenza è il fenomeno attraverso il

quale è reso possibile tale comportamento. Il diagramma in Fig. 3.14 illustra il

comportamento di una barra, annegata in un blocco di calcestruzzo, soggetta ad

una prova di sfilamento.

Fig.3.14 – Diagramma forza-spostamento di prove di sfilamento

Si riporta il legame tra la forza applicata e lo scorrimento relativo. Si distingue

una prima fase in cui la forza scresce quasi in assenza di scorrimenti, dovuta ai

legami chimici che si formano durante la presa tra calcestruzzo e acciaio,

Superata tale fase, la forza cresce in modo più che proporzionale allo

scorrimento. Il diagramma, inoltre, mette in evidenza il migliore

comportamento della barra ad aderenza migliorata rispetto a quella liscia.

L’aderenza che nasce per effetto dello sfilamento di una barra d’acciaio ad

aderenza migliorata viene meno qualora avvenga la rottura dei denti del

calcestruzzo che ostacolano lo scorrimento.

Il reale comportamento delle tensioni di contatto tra calcestruzzo e acciaio

lungo la superficie di contatto è difficilmente prevedibile. Con buona

approssimazione, si può assumere il modello proposto in Fig. 3.12 dove si

suppone costante la tensione su tutta la superficie; il legame tra la forza e la


84

tensione media .O7 di aderenza, per una barra di diametro P annegata nel

calcestruzzo per una lunghezza � è dato dalla seguente relazione:

Q7 = R ∙ S ∙ � ∙ .O7 (3.13)

Fig.3.15 – Tensioni su una barra annegata nel calcestruzzo

La normativa definisce l’espressione della tensione media di aderenza .O7

secondo la seguente espressione (§ 4.1.2.1.1.4 delle NTC):

.O7 = .O-B, (3.14)

dove .O- è la resistenza tangenziale caratteristica di aderenza data da:

.O- = 2,25 ∙ > ∙ .,C- (3.15)

in cui

> = 1,0 per barre di diametro S < 32��;

> = �132 − S/100 per barre di diametro superiore.

Affinché vi sia l’aderenza tra acciaio e calcestruzzo è indispensabile che, sotto il

carico di esercizio, le barre di acciaio non si sfilino dal calcestruzzo. A tale fine,

ciascuna barra di acciaio dovrà essere ammorsata nel blocco di calcestruzzo

oltre la sezione nella quale dovrà essere assoggettata, tale che l’intera sua forza

Q possa trasmettersi al calcestruzzo senza che le tensioni tangenziali di

“aderenza” superino il valore limite. Tale lunghezza è chiamata lunghezza di

ancoraggio.

Poiché si vuole che fino al limite di collasso dell’elemento, acciaio e

calcestruzzo “collaborino”, è necessario che lo sfilamento della barra non

avvenga prima del collasso. Pertanto tale lunghezza viene determinata

imponendo la condizione limite dell’acciaio in trazione .K7.


85

Q7 = .K7 ∙ R ∙ P)

4 (3.16)

Sostituendo la (3.13) nella (3.16) si ha:

R ∙ S ∙ �7 ∙ .O7 = .K7 ∙ R ∙ P)

4 (3.17)

da cui si ricava l’espressione della lunghezza di ancoraggio:

�7 =.K7 ∙ P4 ∙ .O7 (3.18)

APPLICAZIONE 3.1

Caratterizzazione meccanica di calcestruzzo e acciaio

Si consideri un calcestruzzo Classe � 25 30⁄ i cui parametri di resistenza

caratteristica a compressione, rispettivamente su provini cubici e cilindrici sono:

�,- = 30� ��)⁄

.,- = 25� ��)⁄

Con riferimento alle espressioni fornite dalla normativa e precedentemente

riportate si calcolano a seguire le altre grandezze meccaniche di rilievo.

Resistenza media cilindrica

.,/ = .,- + 8 = 25 + 8 = 33� ��)⁄

Modulo elastico

2,/ = 22.000 4.,/10 56.�= 22.000433105

6.�= 31.475,80 � ��)⁄

Resistenza di calcolo a compressione

.,7 = A,, ∙ .,-B, = 0,85 ∙251,5 = 14,16 � ��)⁄

Resistenza a trazione, definita dalla resistenza media a trazione.


86

.,C/ = 0,3 ∙ �.,-) �⁄ = 0,3 ∙ �25) �⁄ = 2,56 � ��)⁄

Resistenza caratteristica a trazione

.,C- = 0,7 ∙ .,C/ = 0,7 ∙ 2,56 = 1,80 � ��)⁄ Resistenza tangenziale caratteristica

.O- = 2,25 ∙ > ∙ .,C- = 2,25 ∙ 1,00 ∙ 1,80 = 4,05 � ��)⁄ Resistenza di aderenza media di calcolo

.O7 = .O-B, =4,051,50 = 2,70 � ��)⁄

Si consideri inoltre un acciaio di tipo V450�, caratterizzato dalla tensione

caratteristica di snervamento:

.K- = 450 � ��)⁄

e modulo elastico pari a:

2N = 210.000 � ��)⁄

Analogamente a quanto fatto per il calcestruzzo si calcolano le seguenti

grandezze meccaniche per l’acciaio.

Resistenza di calcolo

.K7 =.K-BN =

4501,15 = 391,30 � ��)⁄

Deformazione al limite elastico

%K7 =.K72N =

391,30210.000 = 0,00186 = 0,186%

Le caratteristiche precedentemente calcolate sono riassunte nella tabella

seguente.


87

Calcestruzzo Classe W XY Z[⁄

Resistenza caratteristica a compressione cubica �,- = 30� ��)⁄

Resistenza caratteristica a compressione cilindrica .,- = 25� ��)⁄

Resistenza media cilindrica .,/ = 33� ��)⁄

Modulo elastico 2,/ = 31.475,80 � ��)⁄

Resistenza di calcolo a compressione cilindrica .,7 = 14,16 � ��)⁄

Resistenza media a trazione .,C/ = 2,56 � ��)⁄

Resistenza caratteristica a trazione .,C- = 1,80 � ��)⁄

Resistenza tangenziale caratteristica di aderenza .O- = 4,05 � ��)⁄

Resistenza di aderenza media di calcolo .O7 = 2,70 � ��)⁄

Acciaio \]Y[W

Tensione caratteristica di snervamento .K- = 450 � ��)⁄

Modulo elastico 2N = 210.000 � ��)⁄

Resistenza di calcolo .K7 = 391,30 � ��)⁄ Deformazione al limite elastico %K7 = 0,186%

88

PROGETTO E VERIFICA DI

ELEMENTI STRUTTURALI IN

C.A. ALLO SLU

Gli elementi primari che contraddistinguono le strutture a telaio sono

sostanzialmente elementi orizzontali (travi) ed elementi verticali (pilastri).

Le prime sono soggette prevalentemente a flessione e taglio ed in alcuni casi a

torsione. Gli sforzi normali agenti sulle travi sono di modesta intensità. I pilastri

al contrario sono elementi prevalentemente pressoinflessi ricevendo grossi

quantitativi si sforzo normale ed azioni flettenti puramente indotti dalle azioni

sismiche.

Gli elementi strutturali in c.a. devono soddisfare le verifiche strutturali sia allo

stato limite ultimo, ovvero avere una capacità di resistenza alle sollecitazioni

cui sono chiamati in condizioni ultime ed inoltre possedere un adeguato

comportamento in esercizio ossia durante le regolari funzioni cui la struttura è

chiamata in presenza di azioni variabili ed eccezionali di modesta intensità.

Sostanzialmente le verifiche allo SLE controllano eventi per i quali la struttura

esce di servizio ma può essere riportata alle sue funzionalità originarie. Alcuni

esempi di raggiungimento di SLE nelle strutture in c.a. possono essere eccessive

deformazioni, elevato tasso di lavoro di acciaio e calcestruzzo sotto carichi di

esercizio.

Il raggiungimento di uno stato limite ultimo comporta invece il collasso della

struttura o di una delle sue parti. Gli stati limite ultimi, se raggiunti, sono in

genere irreversibili.

4

Capitolo 4 Progetto e verifica di elementi

strutturali in c.a. allo SLU

89

Per strutture in c.a. gli stati limite ultimi sono:

- SLU per tensioni normali;

- SLU per taglio;

- SLU per torsione;

- SLU per elementi snelli.

Nella presente tesi, ed in particolare nel presente capitolo, è particolarmente

attenzionata la progettazione agli stati limite ultimi poiché essi condizionano i

livelli prestazionali della struttura in presenza di azioni sismiche, rientrando

anche a far parte del criterio della gerarchia delle resistenze oggetto di studio.

Sono di seguito esposti i criteri di progetto e verifica di travi e pilastri in c.a.

con riferimento agli stati limite che più significativamente condizionano la

progettazione, e cioè lo SLU per tensioni normali e lo SLU per taglio.


90

4.1 Stato Limite Ultimo per tensioni normali

L’analisi allo stato limite ultimo per tensioni normali di una sezione in c.a. è

governato dalle seguenti ipotesi di base (§ 4.1.2.1.2 delle NTC):

- conservazione delle sezioni piane;

- perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo;

- resistenza a trazione del calcestruzzo nulla;

- rottura del calcestruzzo determinata dal raggiungimento della sua

capacità deformativa ultima a compressione;

La crisi di una sezione in calcestruzzo armato è sempre governata dal

raggiungimento della deformazione ultima di uno dei due materiali.

Si raggiunge la condizione ultima della sezione per crisi di calcestruzzo quando

si attinge in una fibra compressa la deformazione ultima ��, se si considera un

acciaio con legame elastico-perfettamente plastico a duttilità infinità. Altresì, si

raggiunge la condizione ultima per crisi dell’acciaio quando si attinge nelle

armature tese la deformazione ultima ��, se si considera un legame incrudente a

duttilità finita. L’adozione del legame costitutivo dell’acciaio a duttilità infinita

permette di affermare che la condizione di crisi nella sezione potrà anche

avvenire per crisi del calcestruzzo raggiunta la deformazione ultima ��.

Tuttavia l’evidenza sperimentale ha dimostrato che la crisi di sezioni in c.a. è

governata dallo schiacciamento in compressione del calcestruzzo nella maggior

parte dei casi.

I modelli meccanici di calcolo cui di seguito si farà riferimento sono il legame

rettangolo (stress block) per il calcestruzzo e il legame elastico perfettamente

plastico per l’acciaio, illustrati nel cap. 4.

Le limitazioni assunte per elongazioni e accorciamento dei materiali definite

appunto dai legami costitutivi stessi, delineano delle regioni rappresentative di

particolari stati tensionali e deformativi, ognuno delle quali regolata da

equazioni di equilibrio specifiche alla traslazione e rotazione della sezione.



91

Pur essendo possibili altre configurazioni di rottura nel campo delle strutture in

c.a. di nuova costruzione si definiscono 3 regioni, detti campi di rottura,

mostrati in Fig. 4.1.

Fig. 4.1 – Campi di rottura

Si definiscono i seguenti indici: ℎ altezza della sezione; � altezza utile della sezione, definita come la distanza tra il baricentro

dell’armatura tesa e il bordo compresso della sezione; � distanza tra il baricentro dell’armatura e il bordo della sezione; base della sezione; �′ area di armatura in zona compressa; � area di armatura in zona tesa; � profondità dell’asse neutro

Regione �: E’ descritta da un fascio di rette di deformazione di centro �� = 0,35%�. Il dominio varia tra le retta di rottura che configura la massima

deformazione dell’acciaio teso e deformazione nulla dell’acciaio compresso e la

retta di rottura che configura la massima deformazione dell’acciaio teso e la

deformazione in corrispondenza dello snervamento dell’acciaio compresso.


92

Con riferimento alla Fig. 4.2 i limiti della regione 1 sono desumibili mediante

considerazioni geometriche attraverso le proporzione: �� = �� − � (4.1)

da cui:

� = �� − �� = 0,0035�0,0035 − 0.00186 = 2,13� (4.2)

L’intervallo dei possibili valori ammissibili di � in regione 1 è compreso tra i

seguenti limiti: � < � < 2,13� (4.3)

Le equazioni di equilibrio sono ottenute considerando nulla la resistenza offerta

dal calcestruzzo teso. All’equilibrio della sezione contribuiscono l’acciaio teso e

compresso e il calcestruzzo compresso, come riportato in Fig.4.2.

Fig.4.2 – Retta di rottura nella regione di rottura 1.

Le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione rispetto al baricentro

dell’armatura inferiore tesa della sezione si scrivono come:

!�� 0,8 � + #′$′$ − !�� $ = %� (4.4)



93

!��0,8 � �� − 0,4 ∙ �� + #′$′$�� − �� = '� +%� (� − �2 ) (4.5)

Poiché in questo campo l’acciaio compresso si trova in fase elastica, il valore di

tensione non è priori noto ma dipende da �. Per la legge di Hooke si ha: #′$ = *$�′$ (4.6)

Attraverso semplici proporzioni geometriche, è possibile esprimere la

deformazione dell’acciaio compresso in termini di � come segue: �′$ � − � = �� (4.7)

da cui:

�′$ = �� − �� (4.8)

Sostituendo la (4.8) nella (4.6) si ha:

#′$ = *$�� − �� (4.9)

Regione +: E’ descritta da un fascio di rette di deformazione di centro �� = 0,35%�. Il dominio varia tra le retta di rottura che configura la massima

deformazione dell’acciaio teso e la deformazione in corrispondenza dello

snervamento dell’acciaio compresso e la retta di rottura che configura la

deformazione al di la dello snervamento dell’acciaio compresso e la

deformazione in corrispondenza dello snervamento dell’acciaio teso. Con

riferimento alla Fig. 4.3 i limiti di variazione del dominio si desumono

attraverso semplici considerazioni geometriche. �� = �� − � (4.10)

da cui:

� = �� + �� = 0,0035�0,0035 + 0,00186 = 0,65� (4.11)


94

L’intervallo dei possibili valori ammissibili di � in regione 2 è compreso tra i

seguenti limiti: 2,13� < � < 0,65� (4.12)

Fig.4.3 – Retta di rottura nella regione di rottura 2.

Le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione rispetto al baricentro

dell’armatura inferiore tesa della sezione si scrivono come: !�� 0,8 � + !�� ′$ − !�� $ = %� (4.13)

!��0,8 � �� − 0,4 �� + ′$!�� − �� = %� (� − �2 ) (4.14)

Regione ,: E’ descritta da un fascio di rette di deformazione di centro �� = 0,35%�. Il dominio varia tra le retta di rottura che configura la

deformazione al di la dello snervamento dell’acciaio compresso e la

deformazione di snervamento dell’acciaio teso e la retta di rottura che configura

la deformazione al di la dello snervamento dell’acciaio compresso e la

deformazione nulla dell’acciaio teso. L’intervallo dei possibili valori

ammissibili di � è compreso tra i seguenti limiti: 0,65� < � < � (4.15)



95

4.1.1 Problema di progetto e verifica di elementi

prevalentemente inflessi

Nella progettazione di elementi strutturali in calcestruzzo armato sollecitati a

flessione, si distinguono:

- Problema di semi-progetto: sono note le sollecitazioni di calcolo,

resistenza dei materiali e le dimensioni della sezione trasversale e si

vuole determinare il quantitativo di armatura;

- Problema di progetto: sono note le sollecitazioni di calcolo e la

resistenza dei materiali e si vogliono determinare le dimensioni della

sezione e il quantitativo di armatura;

- Problema di verifica: è nota la sezione trasversale, resistenza dei

materiali e il quantitativo di armatura e si vogliono determinare le

sollecitazioni di calcolo.

4.1.1.1 Problema di semi-progetto

Nel problema di semi-progetto sono note:

- le caratteristiche meccaniche dei materiali -�. , !�.;

- lo stato di sollecitazione presente '�;

- le dimensioni geometriche della sezione , �, �.

Le incognite invece sono:

- la profondità dell’asse neutro �;

- il quantitativo di armatura � , �/ .


96

Il problema è apparentemente indeterminato. Si fissa il rapporto tra l’area di

armatura compressa �/ e l’area di armatura tesa �.

0 = �/� (4.16)

A priori non è nota la configurazione di rottura della sezione raggiunta la

condizione ultima, pertanto si progetta la sezione ipotizzando una possibile

configurazione di rottura. Attraverso le equazioni di equilibrio che governano la

regione ipotizzata si determina �, verificando l’ipotesi sulla regione.

Nelle equazioni di equilibrio si pone il momento resistente pari al momento di

calcolo �'� = '1� e %� = 0 per flessione semplice.

4.1.1.2 Problema di progetto

Nel problema di progetto sono note:



- le dimensioni geometriche della sezione , �;

- il rapporto di armatura 0.



- l’altezza utile della sezione �;

- il quantitativo di armatura $. Il problema è apparentemente indeterminato. Risulta efficace fissare la

profondità dell’asse neutro. Si fissa un intervallo di valori di � tale che la retta

di rottura si trovi nel dominio della regione 1.

In generale è consigliato assumere � tale che: � = 2� (4.17)



97

dove 0,16 ≤ 2 ≤ 0,18. Attraverso le equazioni di equilibrio alla traslazione e

rotazione che governano la regione 1 si determinano le incognite del problema.


calcolo �'� = '�� e %� = 0 per flessione semplice.

A valle della progettazione si ritiene necessaria un controllo dell’altezza utile di

sezione. La letteratura consiglia di variare 4 tra i seguenti limiti:

� = ( 110 ÷ 115) ∙ 6789 (4.18)

4.1.1.3 Problema di verifica

Nel problema di verifica sono noti:



- le dimensioni geometriche della sezione , �, �;

- il quantitativo di armatura $. Le incognite invece sono:


- lo stato di sollecitazione ultima '�.

Il problema di verifica segue quello di progetto e consente una verifica della

sezione in termini di sollecitazioni.


condizione ultima, pertanto si procede nella verifica la sezione ipotizzando una

possibile configurazione di rottura. Attraverso le equazioni di equilibrio che

governano la regione ipotizzata si determina � e si verifica l’ipotesi sulla

regione.

Occorre verificare che le sollecitazioni di calcolo siano minori delle

sollecitazioni ultime. Per flessione semplice, la verifica è soddisfatta qualora

risulti soddisfatta la seguente espressione: '� ≤ '� (4.19)


98

4.1.2 Problema di progetto e verifica di elementi

prevalentemente pressoinflessi

In regime di pressoflessione esiste un interazione tra lo sforzo normale e il

momento flettente. In generale la resistenza della sezione è condizionata

dall’entità dello sforzo normale.

Scrivendo per una sezione di assegnate dimensioni ed armatura le equazioni di

equilibrio al variare di � con incognite % e ' si costruisce per via numerica un

dominio di interazioni di forma simile a quello riportato in Fig. 4.4.

Fig. 4.4 – Dominio di resistenza semplificato

4.1.2.1 Costruzione semplificata di domini di resistenza M-N

La costruzione del dominio di resistenza in Fig. 4.4, per sezione rettangolare e

armatura simmetrica, si può eseguire attraverso una procedura semplificata

basata sull’individuazione di 4 punti caratteristici, corrispondenti alle seguenti

condizioni di sollecitazione:



99

1. Trazione semplice :' = 0;% = %��<; 2. Flessione semplice �' = '�; % = 0�; 3. Resistenza flessionale massima �' = '789; % = %��; 4. Compressione semplice :' = 0;% = %�=<.

Le condizioni cui fanno riferimento i punti del dominio e le relative equazioni

di equilibrio per la determinazione dei punti caratteristici di coordinate ',%

sono di seguito riportate.

1. Trazione semplice

Fig. 4.5 – Trazione semplice

Con riferimento alla Fig. 4.5 la resistenza a trazione della sezione è pari alla

somma dei soli due contributi, uguali in valore e di segno opposto, offerte dalle

armature plasticizzate. !�� $ + ′$� = %�= '� = 0 (4.20)


100

2. Flessione semplice

Con buona approssimazione, si valuta il momento ultimo della sezione

scrivendo l’equazione di equilibrio attorno al baricentro degli sforzi di

compressione nell’ipotesi che questo sia posto ad un distanza d*=0,9d dal

baricentro delle armature tese. Il termine d* così definito prende il nome di

braccio della coppia interna o braccio di leva. %� = 0 '� = $!>? �∗ (4.21)

3. Resistenza flessionale massima

Fig. 4.6 – Configurazione corrispondente alla massima resistenza flessionale

La massima resistenza flessionale della sezione si attinge quando risulta essere

massimo il contributo offerto dalla risultante delle tensioni di compressione nel

calcestruzzo, in termini di momento rispetto all’asse baricentrico della sezione.

Ciò si verifica quando la profondità dell’asse neutro della retta di rottura

coincide con quella che segna il passaggio tra la regione 2 e la regione 3. 0,8!�� ∙ 0,65� = %�

0,8!�� ∙ 0,65�� − 0,4 ∙ �� + ′$!�� − �� = %� (� − �2 ) (4.22)



101

4. Compressione semplice

Fig. 4.7 – Compressione semplice

La resistenza a compressione è pari alla somma del contributo offerto dalla

sezione di calcestruzzo, uniformemente compressa, e dai contributi offerti dalle

armature plasticizzate sollecitate a sforzi di compressione. !�� ∙ ∙ ℎ + !�� ∙ �$ + ′$� = %�� '� = 0 (4.23)

Tracciato il dominio è possibile verificare se il punto di coordinate '� , %�, per

la sezione considerata ricade all’interno del dominio.

4.1.2.2 Problema di progetto: metodo analitico

Nel problema di progetto della sezione pressoinflessa sono noti:

- le caratteristiche meccaniche dei materiali !��, !��;

- lo stato di sollecitazione presente %� , '�;




- il quantitativo di armatura $.


102


condizione ultima, pertanto si progetta la sezione ipotizzando una possibile

configurazione di rottura. Attraverso le equazioni di equilibrio che governano la

regione ipotizzata si determina �, verificando l’ipotesi sulla regione. Le

equazioni risolutici del problema forniscono la profondità dell’asse neutro e

l’area di armatura della sezione per assegnato sforzo normale.


calcolo �'� = '1�. 4.1.2.3 Problema di verifica: metodo analitico

Nel problema di verifica della sezione pressoinflessa, per sezione rettangolare,

con doppia armatura, i dati sono:


- lo stato di sollecitazione presente %� , '�;


- il quantitativo di armatura $. Le incognite invece sono:


- il momento ultimo '�.


condizione ultima, pertanto si procede nella verifica la sezione ipotizzando una

possibile configurazione di rottura. Attraverso le equazioni di equilibrio che

governano la regione ipotizzata si determina � e si verifica l’ipotesi sulla

regione.

La verifica si effettua controllando che il momento sollecitante '� sia minore

del momento resistente che la sezione può sopportare in presenza dello sforzo

normale %�, ovvero: '� ≤ '��%�� (4.24)



103

4.2 Stato Limite Ultimo per Taglio

La presenza delle tensioni tangenziali rende incoerente il semplice modello del

calcestruzzo privo di resistenza a trazione, in quanto il trasferimento di queste

tensioni dalla parte tesa della sezione a quella compressa richiede la

partecipazione del calcestruzzo presente nella zona tesa, trascurato nella teoria

della flessione. La resistenza a trazione del calcestruzzo, anche se modesta,

svolge un ruolo essenziale nel funzionamento delle travi sollecitate a flessione e

taglio.

In generale, osservando la risposta di una trave in calcestruzzo armato soggetta

a carico distribuito, si può esaminare l’evoluzione del quadro fessurativo.

Le lesioni assumono un andamento perfettamente verticale nel tratto centrale

sollecitato a flessione pura, e per effetto del taglio o meglio delle tensioni

tangenziali da esso prodotte l’inclinazione si riduce fino ad assumere un valore

di circa 45° in prossimità degli appoggi laddove il momento si annulla ed il

taglio è massimo (stato di tensione puramente tangenziale).

Il quadro fessurativo sopra descritto, ha suggerito un modello di calcolo che

schematizzasse il comportamento di travi in c.a. soggette a flessione e taglio

con un traliccio di aste tese e compresse, di cui un corrente compresso di

calcestruzzo, un tirante teso di acciaio ed un insieme di aste di parete inclinate

di 45° rispetto all’orizzontale.

Fig.4.8 – Modello Ritter-Mörsch


104

Tale schematizzazione è stata proposta da Mörsch ed è nota come traliccio di

Ritter- Mörsch, descritto in Fig. 4.8.

Gli elementi resistenti di tale ideale traliccio sono: le armature trasversali, le

armature longitudinali, il corrente compresso di calcestruzzo e i puntoni

d’anima inclinati. La rottura di una sola delle aste provoca la labilizzazione del

traliccio e quindi il collasso per taglio della trave.

Gli sforzi di compressione dovuti al taglio sono assorbiti dalle bielle di

calcestruzzo compresso, ed inclinate rispetto all’asse della trave di un angolo

generico B. Gli sforzi di trazione sono invece assorbiti dalle armature trasversali

( ferri piegati o staffe ) che hanno inclinazione generica 0.

Se si considera una trave realizzata con un materiale a comportamento elastico

lineare e reagente a trazione, quale può considerarsi anche il calcestruzzo, per

livelli di sollecitazione sufficientemente bassi, le tensioni tangenziali agenti

sulle sezioni normali si possono calcolare con la nota relazione di Jourawski:

C�� = C ∙ D��EF ∙ �� (4.25)

dove: C è lo sforzo di taglio agente applicato al baricentro geometrico della

sezione; EF è il momento di inerzia baricentrico della sezione; D�� è il momento statico, rispetto al baricentro, della parte di sezione al di

sopra della fibra di ascissa G; �� è la larghezza di detta fibra.

Quando l’analisi è effettuata rispetto alla corda baricentrica, il rapporto tra EF e D�� approssimativamente soddisfa la seguente relazione: IIS�K� ≅ 0,9d (4.26)

dove � è l’altezza utile della sezione.

Si definisce forza di scorrimento DO lo sforzo che il corrente superiore compresso

trasmette a quello inferiore attraverso le bielle d’anima.



105

Uguagliando l’eq. (4.25) e (4.26) ed integrando rispetto ad un tratto di

lunghezza unitaria a taglio costante, si ottiene lo scorrimento SP. SP = QR�0,9d (4.27)

avendo posto C = QR�.

Determinato lo scorrimento è possibile determinare gli sforzi assorbiti dalla

biella di calcestruzzo compresso e dell’armatura trasversale, scrivendo le

equazioni di equilibrio dei nodi del traliccio ottenuti dall’intersezione delle

bielle tesa e compressa e del corrente compresso.

Lo schema di calcolo è rappresentato in Fig. 4.9.

Fig. 4.9 – Schema di calcolo

La crisi per taglio, assunto il modello di calcolo di Ritter- Mörsch, avviene per

schiacciamento del calcestruzzo o per rottura dell’armatura trasversale.

Occorre determinare i valori di taglio che determinano tale crisi.

Dalle condizioni di equilibrio ai nodi si perviene alle espressioni per il calcolo

dei tagli resistenti fornite dalla norma. Il taglio che provoca la crisi per

schiacciamento del calcestruzzo si calcola: QR$� = 0,9� $ST !��cot0 + cotB�sin0 (4.28)

Il taglio che provoca la crisi per rottura trasversale si calcola:

QR�� = 0,9�S 0�!��/ �cot0 + cotB�:1 + cot2 B< (4.29)


106

La normativa al § 4.1.2.3 definisce la resistenza a taglio della trave come la

minore delle due sopra definite: QR� = [\]�QR$� , QR�� (4.30)

dove b_ è la larghezza minima della sezione; σab è la tensione media di compressine nella sezione (≤ 0,02); Ad_ è l’area dell’armatura trasversale; s è l’interasse tra due armature trasversali consecutive; α è l’angolo di inclinazione dell’armatura trasversale rispetto all’asse

della trave; fag/ è la resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d’anima (!��/ =0,5 ∙ !��); αa è il coefficiente maggiorativo pari a:

- 1 per membrature non compresse

- 1 + hijkil per 0 ≤ σab < 0,25 ∙ fag

- 1,25 per 0,25 ∙ fag ≤ σab < 0,5 ∙ fag

- 2,5 ∙ m1 − hijkiln per 0,5 ∙ fag ≤ σab < fag

Si rende necessario studiare una relazione tra QR$� e QR��. Poiché: QR�� = !�0, B, �, S� QR$� = !�0, B, $S , T, �� per fissati valori di 0 ( inclinazione dell’armatura a taglio) � e S è possibile,

facendo variare B ( angolo di inclinazione della biella di cls compresso )

determinare l’andamento di QR��; inoltre, facendo variare B ed T ( passo tra le

staffe), è possibile determinare l’andamento di QR$� per fissati valori di $S.

Si tenga presente che la norma ritiene ammissibile valori di B che soddisfino la

seguente disequazione: 1 ≤ cot B ≥2,5 (4.31)



107

Gli andamenti di QR$� e QR�� sono riportati in Fig. 2.10 sono ottenuti a partire

dai dati riportati nella Tab. 4.1.

pq�rr� 4�rr� s tuv:w rr+⁄ < 300 470 90° 391,3

Tab. 4.1 – Dati generali

Fig. 4.10 – Andamento di QR$� e QR�� al variare di T Il grafico mostra, per fissato B , quale sia il passo per l’armatura trasversale che

garantisce l’equivalenza tra QR$� e QR�� e quindi un proporzionamento ottimale.

Oppure quale è il valore di B che per assegnato passo delle staffe fornisce

l’equivalenza tra QR$� e QR��.

Passi elevati non consentono tale equivalenza, cioè QR�� > QR$�.

VRcd

VRsd passo 50mm

VRsd passo 75mm

VRsd passo 100mm

VRsd passo 200mm

VRsd passo 300mm

VRsd passo 400mm

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

angolo θθθθ

VR

sd, V

Rcd

[

KN

]


108

4.2.1 Problema di progetto e verifica a taglio

Nella progettazione di elementi strutturali in calcestruzzo armato sollecitati a

taglio, si distinguono:

- Problema di progetto: è noto il taglio di calcolo, la resistenza dei

materiali, le dimensioni della sezione trasversale e l’area di armatura

trasversale e si vuole determinare il passo tra le staffe;

- Problema di verifica: è nota la resistenza dei materiali, le dimensioni

della sezione trasversale, il passo tra le staffe e l’area di armatura

trasversale e si vuole determinare il valore che provoca la crisi per

taglio.

4.2.1.1 Problema di progetto

Nel problema di progetto sono noti:

- il taglio di calcolo Q�;


- le dimensioni geometriche della sezione S , �;

- l’area di armatura trasversale $S.


- l’angolo B per il quale avviene la crisi a taglio.

- il passo tra le staffe T; Per poter applicare il problema di progetto occorre verificare che il taglio di

calcolo sia minore o uguale al massimo valore di taglio che provoca la crisi per

schiacciamento del calcestruzzo, ottenuto per B = 45°. Q� ≤ QR��789 = QR�� B = 45°� (4.32)

Verificata l’espressione (4.31) si pone l’uguaglianza tra il taglio di calcolo e il

taglio che provoca la crisi delle bielle di calcestruzzo.

Q� = QR�� = 0,9�S0� !��/ �cot0 + cot B�:1 + cot2 B< (4.33)



109

Per armatura trasversale resistente a taglio costituita da staffe, si pone 0 = 90°. Dalla (4.32) si ricava l’espressione dell’angolo B.

B = 12 sin−1 z 2 ∙ Q�0,9�S 0� !��/ { (4.34)

Il valore dell’angolo di inclinazione delle bielle di calcestruzzo si assume

compreso nell’intervallo 21,8° ≤ B ≤ 45°. Si determina il passo tra le staffe richiesto dal problema.

T = 0,9�$S !�� cot BQ� (4.35)

4.2.1.2 Problema di verifica

Nel problema di verifica sono note:


- le dimensioni geometriche della sezione S , �;

- il passo tra le staffe T; - l’area di armatura trasversale $S.


- i valori che provocano la crisi per taglio QR$�,QR�� .

- l’angolo B per il quale avviene la crisi a taglio.

La Norma Italiana prescrive dei valori minimi di armatura trasversale negli

elementi strutturali, la cui trattazione è rimandata al capitolo 7. Assunto il

minimo passo tra le staffe dettato dalla Norma, si calcolano i valori di taglio che

provocano la crisi dell’elemento strutturale.

L’espressione dell’angolo B si ottiene uguagliando i valori di taglio che

provocano la crisi dell’elemento strutturale.

Per armatura trasversale resistente a taglio costituita da staffe, si pone 0 = 90°. QR$� = QR�� (4.36)

L’espressione dell’angolo B è la seguente:


110

cot�B� = |TS!��/ 0�$S !�� − 1 (4.37)

Si distinguono 3 intervalli dell’angolo B.

Nell’intervallo 21,8° ≤ B ≤ 45° le curve di QR$� e QR�� si incontrano dentro

l’intervallo dettato dalla Normativa. Pertanto la crisi per taglio avviene per

contemporanea crisi delle bielle di calcestruzzo e dell’armatura trasversale. QR = QR�� = QR$� (4.38)

Nell’intervallo B > 45° le curve di QR$� e QR�� si incontrano al di fuori

dell’intervallo della Normativa. La crisi per taglio avviene per schiacciamento

delle bielle di calcestruzzo compresso, ponendo B = 45°. QR = QR�� B = 45°� (4.39)

Nell’intervallo B < 21,8° le curve di QR$� e QR�� si incontrano al di fuori

dell’intervallo della Normativa. La crisi per taglio avviene per schiacciamento

delle bielle di calcestruzzo compresso, ponendo B = 21,8°. QR = QR��B = 21,8°� (4.40)

La verifica si ritiene soddisfatta qualora il valore di taglio che provoca la crisi

dell’elemento strutturale, assunto il minimo passo tra le staffe dettato dalla

Norma, sia maggiore al taglio di calcolo. QR > Q� (4.41)



111

APPLICAZIONE 4.1

Problema di semi-progetto e verifica allo SLU per flessione semplice

Si consideri una sezione rettangolare (Fig. 4.11) caratterizzata da: ℎ = 500[[ = 300[[ � = 455[[ � = 45[[ 0 = 0,5

Sulla sezione agisce un momento flettente pari '� = 130}% ∙ [.

Fig. 4.11 – Sezione in c.a.

Si utilizza calcestruzzo ~ 25 30⁄ :

!�� = 0�� !�.�� = 0,85 ∙ 251,50 = 14,16% [[�⁄

�� = 0,0035

ed acciaio �450~ caratterizzato da: !�. = 450% [[�⁄


112

!�� =!�.�$ = 4501,15 = 391,30% [[�⁄

*$ = 210.000'��

Si affronta il problema di semi-progetto.

Si ipotizza una potenziale configurazione di rottura tale che la retta di rottura sia

compresa nel dominio della regione 1. Ponendo Mu pari al momento richiesto

Md il problema resta governato dalle equazioni di equilibrio alla traslazione ed

alla rotazione attorno al baricentro dell’armatura inferiore tesa della sezione:

!�� 0,8 � + 0 ∙ #′$$ − !��$ = 0

!�� 0,8 � �� − 0,4 �� + 0#′$$�� − �� = '� +%� z�− �2 {

posto: '� = '� per il problema di progetto; %� = 0 in assenza di sforzo normale; ′$ = 0T = 0,50$. Non è nota a priori la tensione sull’acciaio compresso. L’espressione (4.9)

permette di esprimere una relazione tra la tensione sull’acciaio compresso #′$ e

la profondità dell’asse neutro �. #′$ = *$ ∙ �� ∙ � � − ��

Sostituendo la (4.9) nell’equazione di equilibrio alla traslazione si ha:

!�� 0,8 � + 0*$�� − �� $ − !��$ = 0

Ricavando quindi As si ottiene:

T = � −!�� 0,8 �0�� ( � − � � ) *$ − !��



113

che sostituita nell’equazione alla rotazione permette di esplicitare un equazione

di III grado in funzione di �. !�� 0,8 � �� − 0,4 ∙ �� + �� ∙ *$ ( � − � � )� −!�� 0,8 �0�� ( � − � � ) *$ − !�� − ��

= '� +%� z� − �2 {

Si determina � = 64,70[[. Occorre verificare l’ipotesi sulla regione.

Il dominio del la regione 1 è compreso tra i seguenti limiti: � < � < 2,13� 45[[ < � < 95,85[[

Noto � l’area di acciaio teso necessaria è ricavabile come:

$ = −0,8!�� 0�� ( � − � � )*$ − !�� == −0,8 ∙ 14,11 ∙ 300 ∙ 64,700,5 ∙ 0,0035 m64,70 − 4564,70 n 210000 − 391,30= 784,20[[�

L’area di armatura compressa è data da: /$ = 0 ∙ $ = 0,50 ∙ 783,52 = 391,76[[� Si riportano nella seguente tabella le incognite di progetto:

��rr� ��rr+� �′��rr+� 64,70 784,20 392,10

Si progetta l’armatura della sezione trasversale utilizzando:

- superiormente 2�16 �′$ = 402[[��;


114

- inferiormente 4�16 �$ = 804[[��.

Fig. 4.12 – Esecutivo sezione

Si affronta il problema di verifica della stessa sezione. Si ipotizza una

potenziale configurazione di rottura tale che la retta di rottura sia compresa nel

dominio della regione 1. Le equazioni di equilibrio che la governano sono le

seguenti: !��0,8 � + #′$′$ − !�� $ = 0 !�� 0,8 � �� − 0,4 �� + #′$′$�� − �� = '� Sostituendo l’espressione (4.9) nell’equazione di equilibrio alla traslazione e

rotazione si ha:

!�� 0,8 � + *$ ∙ �� ∙ � � − �� ∙ ′$ − !��$ = 0

!��0,8 �� − 0,4 �� + *$ ∙ �� ∙ � � − �� ∙ ′$ �� − �� = '�

Esplicitando l’equazione di equilibrio alla traslazione in forma canonica si ha: �!��0,8� �� + :�� ∙ *$ ∙ /$ − !�� ∙ $< � − �� ∙ *$ ∙ � ∙ /$ = 0



115

che rappresenta un equazione di II grado in funzione di �. Sostituendo i valori

numerici nel caso in esame si ha: �14,11 ∙ 300 ∙ 0,8� �� + �0,0035 ∙ 210.000 ∙ 402 − 391,30 ∙ 804� � + −0,0035 ∙ 210.000 ∙ 45 ∙ 402 = 0

Da cui si ricava � = 65,54[[. L’ipotesi sulla retta di rottura è soddisfatta.

Dall’equilibrio alla rotazione si calcola il momento ultimo..

14,11 ∙ 300 ∙ 0,8 ∙ 56,75�455 − 0,4 ∙ 65,54� + 210.000 ∙ 0,0035 ∙ �65,54 − 45�65,54∙ 402�455 − 45� = 133130000%[[ = 133,13}%[ = '�

Mu=133,13 kNm > Md= 130 kNm

La verifica è pertanto soddisfatta.


116

APPLICAZIONE 4.2

Problema di progetto e verifica allo SLU per pressoflessione

Si consideri una sezione rettangolare (Fig. 4.13) caratterizzata da: ℎ = 600[[ = 300[[ � = 555[[ � = 45[[

Sulla sezione agisce un momento flettente pari '� = 300}% ∙ [ e uno sforzo

normale pari a %�=730}%.

Fig. 4.13 – Sezione in c.a.

Si utilizza calcestruzzo ~ 25 30⁄ e acciaio �450~, i cui parametri meccanici

sono stati calcolati nell’applicazione 4.1.

Si prevede di progettare la sezione con armatura doppia e simmetrica �0 = 1�. Per effettuare una valutazione preliminare del campo di rottura è possibile

valutare lo sforzo normale associato al passaggio dal campo 1 al campo 2 (N12)e

dal campo 2 al campo 3 (N23). Nel primo caso la posizione dell’asse neutro è

paria a Xc12= 2,13 δ. Scrivendo l’equazione di equilibrio alla traslazione si

ottiene:



117

!�� 0,82,13� + !�� $ − !�� $ = %��

da cui %�� = 14,11 ∙ 300 ∙ 0,8 ∙ 2,13 ∙ 45 = 324586% = 324.58}%

Nel secondo caso la posizione dell’asse neutro è paria a Xc23= 0,65 d. Scrivendo

l’equazione di equilibrio alla traslazione si ottiene: !�� 0,80,65� + !�� $ − !��$ = %��

da cui %�� = 14,11 ∙ 300 ∙ 0,8 ∙ 0,65 ∙ 455 = 1001527% = 1001,5}%

Poiché Nd risulta compreso fra %�� e %�� la rottura dovrà necessariamente

avvenire in campo 2. Ponendo '� = '� ed ′$ = $, le equazioni di equilibrio

che governano il problema di progetto sono le seguenti: !�� 0,8 � + !�� $ − !�� $ = %�

!��0,8 � �� − 0,4 �� + $ ∙ !�� − �� = '� +%� (� − �2 ) Dall’equilibrio alla traslazione si determina �.

� = %�!��0,8 = 730.00014,11 ∙ 300 ∙ 0,8 = 215,57[[

Il dominio della regione 2 è compreso tra i seguenti limiti: 2,13� < � < 0,65� 95,85[[ < � < 360,75[[

L’ipotesi di dominio della retta di rottura è pertanto soddisfatta.

Dall’equazione di equilibrio alla rotazione si esplicita $.


118

$ = '� +%� m� − �2 n − !�� 0,8 � �� − 0,4 ��!�� − ��

Sostituendo i valori numeri nel caso in esame si ha: $ == 300.000.000 + 730000m555 − 452 n − 14,11 ∙ 300 ∙ 0,8 ∙ 215,57�555 − 0,4 ∙ 215,72�391,30�555 − 45�

$ = 721,51[[� Si riportano nella seguente tabella le incognite di progetto:

��rr� ��rr+� �′��rr+� 215,57 721,51 721,51

Si progetta l’armatura della sezione trasversale utilizzando:

- superiormente 4�16 �′$ = 804[[��; - inferiormente 4�16 �$ = 804[[��.



119

Fig. 4.14 – Esecutivo sezione

Si affronta il problema di verifica della sezione prima progettata. Avendo disto

che la rottura della sezione avviene in campo 2 le equazioni di governo sono le

seguenti: !�� 0,8 � + !�� $ − !�� $ = %�

!�� 0,8 � �� − 0,4 �� +$ ∙ !�� − �� = '� +%� (� − �2 ) Dall’equilibrio alla traslazione si determina �.

� = %�!��0,8 = 730.00014,11 ∙ 300 ∙ 0,8 = 215,56[[

Dall’equilibrio alla rotazione si calcola il momento resistente '�. 14,11 ∙ 300 ∙ 0,8 ∙ 215,56�555 − 0,4 ∙ 215,72� + 804 ∙ 391,30 ∙ �555 − 45�− 730000(555 − 452 ) = '�

Da cui si ricava '� = 316,44}%. La verifica è pertanto soddisfatta.

120

DUTTILITA’ DELLE

STRUTTURE IN C.A. E CRITERIO DELLA GERARCHIA

DELLE RESISTENZE

5.1 Duttilità

La capacità di una struttura di sostenere grandi deformazioni anelastiche è determinata dalla sua duttilità strutturale. Quest’ultima dipende a sua volta dalla duttilità di cui sono dotati gli elementi strutturali e dalla distribuzione delle deformazioni anelastiche tra i diversi elementi. La capacità duttile del singolo elemento strutturale è ottenibile solo con un’attenta calibrazione delle resistenze rispetto ai diversi possibili meccanismi di rottura (a flessione, a taglio, etc.) che possono avvenire nell’elemento stesso unita alla duttilità dei materiali costituenti.

Ovviamente, ad una progettazione attenta ai meccanismi di rottura a livello di struttura e di elemento occorre affiancare una progettazione attenta dei dettagli strutturali, che condizionano a livello locale l’effettivo sviluppo della duttilità richiesta, per garantire la corretta trasmissione delle sollecitazioni tra i diversi elementi (continuità e limiti geometrici), la prevenzione di modalità di crisi non messe in conto nel calcolo (ad esempio l’instabilità delle barre di armatura), il miglioramento delle caratteristiche di resistenza e duttilità del calcestruzzo (mediante armature di confinamento), una resistenza minima a parti strutturali cruciali e non facilmente progettabili (ad esempio i nodi trave-colonna).

La duttilità è una proprietà fondamentale nella progettazione di strutture sismicamente efficienti, poiché la capacità si accumulare danneggiamenti senza

5

Capitolo 5 Duttilità delle strutture in c.a. e criterio della gerarchia delle resistenze

121

perdere la sua capacità portante primaria è resa possibile solo in presenza di eventi sismici di grande intensità, per i quali si attivino appunto meccanismi di danno duttili.

Ciò consente non solo la salvaguardia delle vite umane poiché l’edificio danneggiato è comunque evacuabile, ma anche la dissipazione dell’energia sismica in maniera tanto maggiore quanto più la struttura entra in campo plastico, subendo elevate deformazioni permanenti, localizzate in zone critiche della struttura. Da queste considerazioni scaturisce un principio fondamentale della strategia progettuale delle costruzioni in zona sismica:

“per resistere senza crollare, totalmente o parzialmente, a sismi di elevata

intensità, le struttura devono poter disporre di elevate risorse deformative oltre

il proprio limite elastico”.

Al contrario se la struttura viene dimensionata per resistere al sisma mantenendo la risposta in fase elastica, essa non disporrà di alcuna capacità dissipativa. Conseguentemente tutta l’energia assorbita durante il moto sismico del suolo verrà accumulata sotto forma di deformazione elastica, e quindi sarà restituita integralmente in fase di scarico, senza lasciare alcuna deformazione residua, cioè con assenza di fessurazioni e fenomeni di degrado. Affinché la struttura abbia un tale comportamento le sue sezioni dovranno essere dimensionate per rimanere in fase elastica, e questo lo si può ottenere conferendo agli elementi strutturali elevata rigidezza e resistenza avendo come risultato dimensioni strutturali non sostenibili economicamente.

E’ opportuno quindi realizzare strutture resistenti al sisma ma in grado di esibire adeguate capacità di deformazione plastica, in casa di terremoti di elevata intensità.


122

Progettare una struttura a comportamento duttile consente di:

- dissipare l’energia sismica proveniente dal suolo. - evitare collassi improvvisi salvaguardando la vita delle persone

all’interno ed in prossimità degli edifici; - aumentare i periodi propri di vibrazione, riducendo la riposta in termini

di accelerazioni della struttura; - conseguire vantaggi economici.

È possibile definire differenti “livelli” di duttilità, ognuno riferito ad un diverso elemento strutturale e meglio descritti nei paragrafi successivi

5.1.1 Duttilità del materiale

Si intende per duttilità del materiale la capacità di sopportare deformazioni oltre il limite elastico. Si definisce duttilità di deformazione il rapporto tra la deformazione corrette e la deformazione allo snervamento.

� = �� (5.1)

Una maggiore duttilità di deformazione del materiale conferisce elevate capacità di deformazione che si riflette anche sulla duttilità della sezione dell’elemento della struttura.

Fig.5.1 – Confronto fra le curve caratteristiche del calcestruzzo in compressione


123

L’acciaio soddisfa tale condizione a differenza del calcestruzzo che necessita di elevati livelli di confinamento, conseguiti solitamente mediante l’utilizzo di un certo numero di staffe, legature ed armature diffuse su tutti i lati della sezione.

Un adeguato confinamento può quindi determinare un aumento della duttilità e di conseguenza un miglioramento delle prestazioni dell’elemento strutturale.

5.1.2 Duttilità in curvatura della sezione

La duttilità della sezione è la capacità di sopportare elevate domande di curvatura in campo anelastico prima della crisi della sezione. Si definisce duttilità in curvatura il rapporto tra la curvatura ultima e la curvatura di snervamento.

�� = �� (5.2)

Per lo studio della duttilità di una sezione in c.a. occorre valutare il diagramma momento-curvatura, distinguendo il caso di sezione inflessa da quella pressoinflessa. In Fig. 5.2 è riportato il digramma momento-curvatura con riferimento ad una sezione rettangolare, di armatura nota, sollecitata prevalentemente a flessione.

Fig. 5.2 – Diagramma momento-curvatura per sezione prevalentemente inflessa


124

La curva di snervamento è per definizione quella curvatura che si raggiunge allo snervamento delle barre di acciaio tese. La curvatura ultima è invece quella associata al raggiungimento della deformazione ultima in compressione del calcestruzzo. L’andamento reale della curva può essere idealizzato in un primo tratto elastico lineare ed un secondo tratto dove la sezione incrementa la sua capacità di rotazione mantenendo costante il momento massimo, fino al raggiungimento della rotazione ultima ��, superata la quale si ha il collasso.

In Fig. 5.3 con riferimento alla stessa sezione, caratterizzata da armatura doppia e simmetrica, sono riportati i digrammi momento-curvatura nel caso di pressoflessione, al variare dello sforzo normale.

Fig. 5.3 – Diagramma momento-curvatura al variare del livello di sforzo normale

Dal grafico emerge con chiarezza che all’aumentare dello sforzo normale aumenta la resistenza, ma al contempo, diminuisce la duttilità. Negli elementi pressoinflessi in cui lo sforzo normale è significativo, come nei pilastri di primo piano, la rottura avviene in prevalenza di compressione e pertanto le risorse di duttilità dell’acciaio non sono adeguatamente sfruttate.

Al fine di migliorare la risposta strutturale si può intervenire incrementando le prestazioni del calcestruzzo attraverso il conseguimento di un adeguato confinamento ottenuto disponendo un’efficace staffatura. Un buon


125

confinamento del nucleo è necessario per dare ai pilastri un’adeguata capacità rotazionale plastica al fine di mantenere lo sforzo flessionale anche alle più elevate curvature. Ciò è possibile poiché il confinamento incrementa la capacità deformativa del calcestruzzo consentendo alle sezioni di raggiungere curvature e conseguentemente rotazioni ultime più elevate.

Oltre che dal confinamento, la duttilità in curvatura dipende sostanzialmente dal quantitativo di armatura della sezione e dall’entità dello sforzo normale. Eseguendo analisi parametriche su sezioni in c.a. si osserva che:

la duttilità di sezione si riduce:

- all’aumentare dello sforzo di compressione; - all’aumentare dell’armatura tesa.

la duttilità della sezione aumenta:

- all’aumentare dell’armatura compressa; - all’aumentare dell’armatura trasversale.

Si osserva inoltre, che quando il momento della sezione raggiunge il valore del momento ultimo, la sezione ha raggiunto il proprio ramo anelastico e si plasticizza. Si definisce cerniera plastica di una generica sezione la condizione raggiunta la quale la curvatura aumenta mantenendo pressoché costante il momento resistente. Pertanto, la sopravvivenza della struttura, raggiunto lo stato limite ultimo, è legata alla capacità della sezione di curvare nonché di attingere alla propria duttilità, raggiunta la condizione di crisi.

5.1.3 Duttilità della struttura

La duttilità globale disponibile di un sistema a più gradi di libertà è definita come il rapporto tra lo spostamento del centro di massa dell’impalcato di sommità della struttura in corrispondenza dell’attingimento di una situazione ritenuta ultima e lo spostamento dello stesso punto in corrispondenza della prima plasticizzazione della struttura.


126

�� = � (5.3)

Più in generale si intende per duttilità strutturale la capacità di una struttura di rispondere all’azione del sisma entrando in campo anelastico prima della crisi della struttura stessa, identificata generalmente dalla formazione di un meccanismo di collasso.

Si consideri un telaio ad � piani. Si distinguono fondamentalmente due tipi di meccanismo di collasso, quali:

- meccanismo di piano; - meccanismo globale.

Il meccanismo globale è caratterizzato da cerniere plastiche localizzate al piede delle pilastrate e all’estremità delle travi, fino ai piani superiori (Fig. 5.4).

Fig.5.4 – Meccanismo di collasso globale


127

Nell’ipotesi che gli interpiani siano approssimativamente uguali e che gli spostamenti di interpiano in campo anelastico ed elastico � si mantengano

uguali, la duttilità globale si può scrivere come:

�� = �� + �� = � (5.4)

avendo indicato con � il numero di piani e con � la duttilità richiesta a

ciascuno dei pilastri.

Il meccanismo di piano è caratterizzato da cerniere plastiche localizzate all’estremità dei pilastri di un solo interpiano (Fig. 5.5). Questo tipo di meccanismo comporta una ridotta capacità dissipativa, sia per lo scarso numero di cerniere plastiche, sia per il fatto che tutte le sezioni che si plasticizzano sono pressoinflesse, e quindi dotate di scarsa duttilità per la presenza dello sforzo normale.

Fig.5.5 – Meccanismo di collasso piano


128

Sotto le stesse ipotesi del meccanismo di piano, la duttilità globale si può scrivere come:

�� = �� + �� = �� + �� = 1 + + � − �� = 1 + �� − 1� (5.5)

avendo indicato �� la duttilità del pilastro di primo piano.

Affinché si ottenga la stessa duttilità globale, deve verificarsi l’uguaglianza tra la (5.4) e la (5.5), cioè:

� = 1 + �� − 1� = � − 1� + �� ≅ �� (5.6)

L’eq. (5.6) suggerisce che all’aumentare del numero di piani, poiché �� − 1� �⁄ tende ad 1, per ottenere la stessa duttilità globale, il primo meccanismo richiede una duttilità del pilastro di primo piano � volte inferiore al secondo, con conseguente inferiore richiesta di duttilità di curvatura. Pertanto, si può affermare che, dal punto di vista energetico, un meccanismo globale è certamente più conveniente rispetto ad un meccanismo di piano.

Per definire la duttilità strutturale globale in maniera più corretta è necessario conoscere la curva di capacità dell’edificio, cioè la risposta della struttura ipotizzando che essa sia sollecitata dalle forze peso e da un profilo di forze orizzontali crescente fino al raggiungimento delle condizioni ultime. Detta curva è ottenuta riportando, punto per punto, l’evoluzione del legame forza-spostamento generalizzato tra la risultante del sistema delle forze applicate � e lo spostamento � di un punto di controllo (generalmente il baricentro dell’ultimo piano). La Figura 5.6 riporta lo spostamento in funzione delle forze orizzontali, con l’evidenza dei vari fenomeni di degrado di una struttura in c.a. all’aumentare dello spostamento orizzontale.


129

Fig.5.6 – Curva di capacità di una struttura multipiano in c.a.

Aspetti che influiscono positivamente sulla duttilità della struttura sono:

- continuità degli elementi strutturali, per assicurare alle forze orizzontali un percorso fino a terra;

- ridondanza degli elementi strutturali, per ridistribuire le sollecitazioni, evitare rotture fragili e ritardare il collasso;

- regolarità della distribuzione delle masse, delle rigidezze e delle

resistenze, per ridurre gli effetti torsionali, le concentrazioni di domanda di resistenza e duttilità nonché la formazione di meccanismi di collasso piano;

- masse ridotte e sufficiente rigidezza, per ridurre danni non strutturali e effetti del secondo ordine (instabilità geometrica).


130

5.2 Criterio della gerarchia delle resistenze

Con il termine “gerarchia” si intende un’organizzazione di dettagli strutturali per livello di importanza, cercando di creare meccanismi di rottura preferenziali. Si è visto come il vantaggio di garantire una certa soglia di duttilità permetta di progettare una struttura per un livello di resistenza inferiore, garantendo di contenere le dimensioni degli elementi strutturali. Al fine di poter ridurre le resistenze di progetto a vantaggio di un dimensionamento contenuto degli elementi strutturali, il progetto deve essere effettuato seguendo specifiche regole, tradotte in:

- evitare l’attivazione di meccanismi di collasso fragili, in cui la crisi degli elementi strutturali avvenga per taglio;

- evitare l’attivazione di meccanismi di collasso poco duttili e poco dissipativi;

- forzare il sistema affinché si formino meccanismi di collasso che richiedano una ridotta duttilità locale in curvatura e garantiscano una elevata capacità di dissipazione.

Pertanto, è possibile articolare il criterio delle gerarchia delle resistenze nei seguenti livelli:

- gerarchia fra resistenza a flessione e resistenza a taglio;

- gerarchia fra resistenza a flessione delle travi e dei pilastri;

- gerarchia nei nodi strutturali.

5.2.1 Gerarchia taglio-flessione

Per assicurare che i meccanismi fragili locali non si attivino si ricorre alla gerarchia delle resistenze sulle sollecitazioni progettando la sezione per sostenere sollecitazioni derivate da condizioni di equilibrio che tengano conto della formazione di cerniere plastiche e della sovraresistenza delle zone adiacenti.


131

Tale procedura è volta ad evitare la crisi a taglio che porta ad una riduzione della sia della capacità flessionale dell’elemento che della capacità di deformazione in campo anelastico. Inoltre, come si è visto, la valutazione della resistenza a taglio risulta essere un problema in qualche modo ancora aperto, che si riflette nell’utilizzo, da parte dei vari codici, di diverse formulazioni. Progettare allora per flessione, apporta l’ulteriore beneficio di lavorare sulla resistenza flessionale che invece presenta un modello matematico più affidabile e largamente condiviso.

5.2.1.1 Gerarchia taglio-flessione nelle sezioni di estremità delle

travi

Per una trave la rottura può avvenire per flessione o per taglio. Se le armature sono correttamente progettate, la rottura per flessione è in genere duttile, mentre quella per taglio è in ogni caso fragile. Tali caratteristiche sono ad esempio evidenti dal confronto delle immagini di Fig. 5.7 e Fig. 5.8, relative a prove di laboratorio su trave sollecitata ad un carico verticale uniformemente distribuito.

Fig. 5.7 – Rottura per flessione

Fig. 5.8 – Rottura per taglio

In una generica trave, l’azione laterale indotta dal sisma si combina con l’azione dei carichi verticali producendo una distribuzione dei momenti ottenuta mediante il principio di sovrapposizione degli effetti, riportata in Fig. 5.9.


132

Fig. 5.9 – Distribuzione dei momenti di una struttura multipiano sollecitata

da carichi verticali e sisma

Le sezioni di estremità devono pertanto essere in grado di assorbire il taglio �V�� che nasce quando queste esibiscono i massimi momenti all’estremità, che nelle condizione più gravosa sono equiversi e pari ai momenti ultimi �� e �� .

Fig. 5.10 – Sollecitazioni sulla trave per effetto di carichi laterali

Le sezioni di estremità devono inoltre assorbire il taglio che nasce per effetto dei carichi verticali.

Fig. 5.11 – Sollecitazioni sulla trave per effetto di carichi verticali


133

Per il principio di sovrapposizione degli effetti, il taglio massimo �V �� si ottiene sommando al taglio che nasce per effetto dei momenti ultimi all’estremità della trave (Fig. 5.10) a quello dovuto ai carichi verticali (Fig. 5.11):

V � = V ! +�� +�� " (5.7)

Per quanto detto in precedenza, occorre evitare che la trave raggiunga la condizione di rottura per taglio. Pertanto, occorre amplificare il taglio che nasce per effetto dei momenti ultimi all’estremità della trave attraverso il fattore di

sovraresistenza γ$�. Il taglio resistente richiesto è dato dalla seguente espressione:

V � = V ! + γ$� ∙ �� +�� " (5.8)

Il fattore di sovraresistenza &$� è assunto pari, rispettivamente, ad 1,20 per

strutture in CD”A”, ad 1,00 per strutture in CD”B” (§ 7.4.4.1 delle NTC).

5.2.1.2 Gerarchia taglio-flessione nelle sezioni di estremità dei

pilastri

Analogamente a quanto detto nel paragrafo precedente, il pilastro raggiunge la rottura per flessione o per taglio.

Fig. 5.12 – Rottura per taglio in un pilastro in c.a.


134

Affinché sia scongiurata una rottura di tipo fragile (vedi Fig. 5.12) le sezioni di estremità dei pilastri devono essere in grado di assorbire il taglio che nasce quando questi sono chiamati ad esibire la massima capacità di prestazione in termini di momento resistente, definiti in questa sede con �� e ��*�.

Fig. 5.13 – Sollecitazione sul pilastro

Il valore di taglio si ottiene attraverso l’equilibrio alla rotazione del pilastro di Fig. 5.13. Pertanto:

V� = �� +��*�" (5.9)

Al fine di escludere una rottura fragile del pilastro, si rende necessario amplificare il valore del taglio di calcolo (V�), mediante un coefficiente di sovraresistenza γ$�. Pertanto:

V� = γ$� ∙ �� +��*�" (5.10)

essendo γ$� posto pari a 1,20 in CD”A” e 1,00 in CD”B”.


135

5.2.2 Gerarchia trave-colonna

La regola su cui è basata la gerarchia trave-colonna consiste nel pilotare la formazione di cerniere plastiche nelle sezioni interessate da un basso livello di sforzo normale, ossia all’estremità delle travi. Tala considerazione garantisce che il meccanismo di collasso, raggiunta la condizione ultima, sia quello globale.

Fig. 5.14 – Meccanismo di collasso piano

Pertanto, ai fini di ottenere un meccanismo di collasso duttile, si rende necessario sovradimensionare il pilastro rispetto alla trave. Un esempio di dissesto trave-colonna è rappresentato in Fig. 5.15.

Fig. 5.15 – Sistema colonna debole-trave forte


136

Nelle travi, l’azione laterale si combina con l’azione dei carichi verticali producendo una distribuzione dei momenti sulla struttura indicato in Fig. 5.9. I momenti di calcolo, calcolati mediante l’analisi elastica con spettro di risposta abbattuto mediante il fattore di struttura, risultano essere equiversi, così come i momenti sulle travi prodotti dall’azione laterale del sisma. Per un generico nodo, è valido l’equilibrio di Fig. 5.16.

Fig. 5.16 – Equilibrio al nodo

Per l’equilibrio al nodo, si può scrivere la seguente relazione:

M, +M- =M , +M - (5.11)

Affinché all’estremità delle travi possano raggiungersi i momenti resistenti prima dei pilastri, è necessario che sui pilastri si generino momenti che li possano equilibrare e che siano minori dei momenti resistenti dei pilastri.

Fig. 5.17 – Equilibrio al nodo raggiunto il momento ultimo nell’estremità delle travi


137

Può scriversi la seguente relazione:

M., +M.- =M� , +M� - (5.12)

dove si è indicato con M., e M.- i momenti che nascono all’estremità dei

pilastri che convergono al nodo raggiunti i momenti resistenti nell’estremità delle travi. Dividendo la (5.12) per M, +M-, si ha:

M., +M.-M, +M- =M� , +M� -M, +M- (5.13)

Si pone:

M� , +M� -M, +M- = /∗ (5.14)

Sostituendo la (5.13) nella (5.14) si ottiene:

M., +M.- = /∗ ∙ 1M, +M-2 (5.15)

Amplificando i momenti dei pilastri dal calcolo elastico attraverso il coefficiente di amplificazione /∗, si ottengono i momenti di progetto delle estremità dei pilastri tali da pilotare la formazione delle cerniere plastiche nelle zone di minore dissipazione di energia, ossia all’estremità delle travi.

Un ulteriore problema è rappresentato dalla possibilità che le sezioni dei pilastri potrebbero raggiungere la plasticizzazione prima delle travi, seppur soddisfatta l’eq. (5.15). Pertanto, si perviene alla risoluzione del problema amplificando il coefficiente /∗. Le NTC ’08 propongono di utilizzare il coefficiente di amplificazione /, dato dalle seguente relazione:

/ = &$� ∙ /∗ = &$� ∙ M� , +M� -M, +M- (5.16)

Riassumendo quanto sopra, le NTC ’08 impongono la seguente verifica per ogni nodo trave-colonna (§ 7.5.4.3 delle NTC)

3�� ≥ &$� ∙3�� (5.17)

dove &$� = 1,30 per strutture in CD”A” e 1,10 per CD”B”.


138

Sperimentazioni numeriche hanno dimostrato che affinché si raggiungano i momenti plastici nelle travi prima che nei pilastri, bisognerebbe utilizzare coefficienti di amplificazione compresi tra 2 e 3, che comporterebbero un sovradimensionamento strutturale non indifferente. L’utilizzo dei coefficienti di amplificazione ridotti proposti dalla normativa vengono compensati attraverso un incremento del livello di dettaglio nelle zone critiche dei pilastri.


139

5.2.3 Gerarchia ai nodi

Si definisce nodo strutturale la zona del pilastro che si incrocia con le travi ad

esso concorrenti . I nodi strutturali rappresentano spesso gli elementi più deboli di una struttura, pertanto sono oggetto di dettagli costruttivi, al fine di esibire una resistenza soddisfacente all’azione sismica.

Fig. 5.18 – Rottura a taglio di un nodo

L’area individuata dall’intersezione tra la trave e la colonna di un telaio deve essere opportunamente progetta, in quanto un suo danneggiamento ridurrebbe buona parte dell’energia sismica in ingresso che può essere dissipata dagli elementi strutturali del telaio.

Fig. 5.19 – Danneggiamento di un nodo strutturale


140

Inoltre, se il collasso dei nodi precede quello degli elementi strutturali vengono ad essere vanificati tutti gli accorgimenti relativi ai dettagli sismici e gli accorgimenti sulla gerarchia delle resistenze prima descritti.

La normativa al § 7.4.4.3 prevede che la resistenza del nodo deve essere tale da assicurare che non pervenga alla rottura prima della zona della trave e del pilastro ad esso adiacenti. Sono da evitare, per quanto possibile, eccentricità tra l’asse della trave e l’asse del pilastro concorrenti in un nodo. Si distinguono due tipi di nodi.

- nodi interamente confinati, così definiti quando in ognuna delle quattro facce si innesta una trave. Il confinamento si considera realizzato quando, su ogni faccia del nodo, la sezione della trave copre per almeno i 3 4⁄ la larghezza del pilastro e, su entrambe le coppie di facce opposte del nodo, le sezioni delle travi si ricoprono per almeno i 3 4⁄ dell’altezza;

- nodi non interamente confinati: tutti i nodi non appartenenti alla categoria precedente.

Fig. 5.20 – Nodi confinati e non confinati


141

I nodi inoltre si distinguono in interni ed esterni (Fig. 5.21).

Fig. 5.21 – Nodo interno (sinistra) ed esterno (destra)

La verifica di resistenza al nodo deve essere effettuata per le sole strutture in CD”A”. La compressione diagonale indotta dal meccanismo a traliccio non deve eccedere la resistenza a compressione del calcestruzzo. In assenza di modelli più accurati, il requisito può ritenersi soddisfacente se:

789� ≤ ; ∙ < � ∙ =8 ∙ ℎ8 ∙ ?1 − 7�; (5.18)

in cui:

; = /8 @1 − < A250C (5.19)

ed αE è un coefficiente che vale 0,6 per nodi interni e 0,48 per nodi esterni, vI è

la forza assiale nel pilastro al di sopra del nodo normalizzata rispetto alla resistenza a compressione della sezione di solo calcestruzzo, hEK è la distanza tra

le giaciture più esterne di armature del pilastro,bE è la larghezza effettiva del

nodo. Quest’ultima è assunta pari alla minore tra:

a) la maggiore tra le larghezze della sezione del pilastro e della sezione della trave

b) la minore tra le larghezze della sezione del pilastro e della sezione della trave, ambedue aumentate di metà altezza della sezione del pilastro.


142

Per evitare che la massima trazione diagonale del calcestruzzo ecceda la fKNI deve essere previsto un adeguato confinamento. In assenza di modelli più accurati, si possono disporre nel nodo staffe orizzontali di diametro non inferiore a 6OO, in modo che:

P�Q ∙ <�R�=8 ∙ ℎ8R ≥ S789� 1=8 ∙ ℎ8 2⁄ T-< � + U� ∙ < � − < � (5.20)

in cui i simboli già utilizzati hanno il significato in precedenza illustrato, AWX è l’area totale della sezione delle staffe e hEY è la distanza tra le giaciture di

armature superiori e inferiori della trave.

In alternativa, l’integrità del nodo a seguito della fessurazione diagonale può essere garantita integralmente dalle staffe orizzontali se

P�Q ∙ <�R� ≥ &$� ∙ �P�, + P�-� ∙ <�� ∙ �1 − 0,8 ∙ U�� per nodi interni

P�Q ∙ <�R� ≥ &$� ∙ P�- ∙ <�� ∙ �1 − 0,8 ∙ U�� per nodi esterni (5.21)

dove AW, e AW- sono rispettivamente l’area dell’armatura superiore ed inferiore della trave, , γZI vale 1,20, vI è la forza assiale normalizzata agente al di sopra del nodo, per i nodi interni, al di sotto del nodo, per i nodi esterni.

143

DETTAGLI COSTRUTTIVI DI

EDIFICI IN C.A. IN ZONA

SISMICA

In questo capitolo si descrivono i requisiti speciali che si raccomandano per le

strutture in calcestruzzo armato soggette ad azioni sismiche.

Si è visto come le NTC stabiliscono spettri di risposta elastici che possono

essere modificati, mediante il fattore di struttura, tenendo conto della capacità

della struttura di esibire un comportamento duttile senza una significativa

perdita in termini di resistenza.

Il livello di duttilità di una struttura dipende dalla tipologia strutturale, dai

materiali, dalle caratteristiche geometriche, dalla gerarchia delle resistenze e

soprattutto dai dettagli costruttivi, che forniscono alla struttura maggiore

duttilità nei confronti di un sisma.

Il progettista è chiamato a dimensionare i quantitativi di armatura da attribuire

negli elementi strutturali, al fine di conseguire la resistenza alle sollecitazioni

derivanti dall’analisi. Tuttavia ciò non garantisce che il comportamento degli

elementi strutturali sia sufficientemente duttile e riesca ad esibire la capacità

prima descritta. La normativa pertanto definisce delle soglie minime per le

caratteristiche geometriche e per le armature degli elementi strutturali che

consentono di ottenere un comportamento adeguato alle prestazioni che sono

richieste in presenza di azioni sismiche.

6


144

Le NTC ’08 al § 7.4.6 distingue i dettagli costruttivi in termini di:

- limitazioni geometriche;

- limitazioni di armatura.

Le limitazioni geometriche stabiliscono dei requisiti dimensionali che

assicurano un comportamento duttile per i due gradi di duttilità richiesti

dall’azione sismica. La natura aleatoria delle azioni sismiche, infatti, comporta

un aumento delle incertezze strutturali, sulla valutazione delle resistenze e sulla

duttilità strutturale, che vengono ridotte in fase di progetto adottando

accorgimenti di tipo geometrico.

Le limitazioni di armatura consistono in tutti quei dettagli costruttivi mirati a

conseguire livelli sufficienti di duttilità degli elementi strutturali. Di seguito si

riassumono le limitazioni geometriche e di armatura per i principali elementi

strutturali in c.a.

Capitolo 6 Dettagli costruttivi di edifici in c.a. in

zona sismica

145

6.1 Dettagli costruttivi per travi in c.a.

6.1.1 Limitazioni geometriche

Le NTC al § 7.4.6.1.1 stabiliscono che la larghezza b della trave deve essere

≥ 20cm e, per le travi basse comunemente denominate “a spessore”, deve

essere non maggiore della larghezza del pilastro, aumentata da ogni lato di metà

dell’altezza della sezione trasversale della trave stessa, risultando comunque

non maggiore di due volte b�, essendo b� la larghezza del pilastro ortogonale

all’asse della trave.

Fig. 6.1 – Limite geometrico per trave “a spessore”

≤ � +ℎ

2+

ℎ

2 (6.1)

Il rapporto b h⁄ tra larghezza e altezza della trave deve essere ≥ 0,25.

Non deve esserci eccentricità tra l’asse delle travi che sostengono pilastri in

falso e l’asse dei pilastri che le sostengono. Esse devono avere almeno due

supporti, costituiti da pilastri o pareti. Le pareti non possono appoggiarsi in

falso su travi o solette.


146

Le zone critiche si estendono, per CD”B” e CD”A”, per una lunghezza pari

rispettivamente a 1 e 1,5 volte l’altezza della sezione della trave, misurata a

partire dalla faccia del nodo trave-pilastro o da entrambi i lati a partire dalla

sezione di prima plasticizzazione. Per travi che sostengono un pilastro in falso,

si assume una lunghezza pari a 2 volte l’altezza della sezione misurata da

entrambe le facce del pilastro.

Fig. 6.2 – Zone critiche trave in CD”A”

Fig. 6.3 – Zone critiche trave in CD”B”


zona sismica

147

6.1.2 Limitazioni di armatura

Armature longitudinali

La normativa al § 4.1.6.1.1 prescrive un quantitativo minimo di armatura

longitudinale nella trave non inferiore a:

��,�� = 0,26��

�� ∙ " e comunque non minore di 0,0013 ∙ ∙ " (6.2)

dove:

rappresenta la larghezza media della zona tesa; per una trave a $ con

piattabanda compressa, nel calcolare il valore di si considera solo la

larghezza dell’anima;

" è l’altezza utile della sezione.

Al § 7.4.6.2.1 vengono prescritti i limiti di armatura longitudinale in zona

sismica.

Almeno due barre di diametro non inferiore a 14 mm devono essere presenti

superiormente e inferiormente per tutta la lunghezza della trave.

In ogni sezione della trave, salvo giustificazioni che dimostrino che le modalità

di collasso della sezione sono coerenti con la classe di duttilità adottata, il

rapporto geometrico ϱ relativo all’armatura tesa, indipendentemente dal fatto

che l’armatura tesa sia quella al lembo superiore della sezione A' o quella al

lembo inferiore della sezione A(, deve essere compreso entro i seguenti limiti:

1,4

*+,< . < ./0�1 +

3,5

*+, (6.3)

dove:

ϱ è il rapporto geometrico relativo all’armatura tesa pari ad A' 2b ∙ h3⁄

oppure ad A( 2b ∙ h3⁄ ;

ϱ�456 è il rapporto geometrico relativo all’armatura compressa;

Nelle zone critiche della trave, inoltre, deve essere ϱ�456 ≥ 1 2⁄ ϱ e comunque

≥ 0,25ϱ.


148

Fig. 6.4 – Armatura longitudinale minima nelle zone critiche

L’armatura superiore, disposta per il momento negativo alle estremità delle

travi, deve essere contenuta, per almeno il 75%, entro la larghezza dell’anima e

comunque, per le sezioni a T o ad L, entro una fascia di soletta pari

rispettivamente alla larghezza del pilastro, od alla larghezza del pilastro

aumentata di 2 volte lo spessore della soletta da ciascun lato del pilastro, a

seconda che nel nodo manchi o sia presente una trave ortogonale. Almeno 1 4⁄

della suddetta armatura deve essere mantenuta per tutta la lunghezza della trave

(Fig. 6.5).

Fig. 6.5 – Armatura superiore per sezioni a T

Le armature longitudinali delle travi, sia superiori che inferiori, devono

attraversare, di regola, i nodi senza ancorarsi o giuntarsi per sovrapposizione in

essi. Quando ciò non risulti possibile, sono da rispettare le seguenti prescrizioni:

- le barre vanno ancorate oltre la faccia opposta a quella di intersezione

con il nodo, oppure rivoltate verticalmente in corrispondenza di tale

faccia, a contenimento del nodo;


zona sismica

149

- la lunghezza di ancoraggio delle armature tese va calcolata in modo da

sviluppare una tensione nelle barre pari a 1,25f<=, e misurata a partire

da una distanza pari a 6 diametri dalla faccia del pilastro verso

l’interno.

Fig. 6.6 – Ancoraggio dell’armatura longitudinale

La parte dell’armatura longitudinale della trave che si ancora oltre il nodo non

può terminare all’interno di una zona critica, ma deve ancorarsi oltre di essa.

Fig. 6.7 – Sovrapposizione armatura longitudinale

Armature trasversale

La norma al § 4.1.6.1.1 prescrive un quantitativo minimo di armatura

trasversale per tutta la lunghezza della trave.

Le travi devono prevedere armatura trasversale costituita da staffe con sezione

complessiva non inferiore ad A� = 1,5 >>? >⁄ essendo lo spessore


150

minimo dell’anima in millimetri, con un minimo di tre staffe al metro e

comunque passo non superiore a 0,8 volte l’altezza utile della sezione.

In ogni caso almeno il 50% dell’armatura necessaria per il taglio deve essere

costituita da staffe.

Al § 7.4.6.2.1 vengono prescritti i limiti di armatura trasversale in zona sismica.

Nelle zone critiche devono essere previste staffe di contenimento. La prima

staffa di contenimento deve distare non più di 6 cm dalla sezione a filo pilastro;

le successive devono essere disposte ad un passo non superiore alla minore tra

le grandezze seguenti:

- 1 4⁄ dell’altezza utile della sezione trasversale;

- 175mm e 225mm, rispettivamente per CD”A” e CD “B”;

- 6 volte e 8 volte il diametro minimo delle barre longitudinali

considerate ai fini delle verifiche, rispettivamente per CD”A” e CD

“B”;

- 24 volte il diametro delle armature trasversali.

Fig. 6.8 – Staffa di contenimento

Per staffa di contenimento si intende una staffa rettangolare, circolare o a

spirale, di diametro minimo 6mm, con ganci a 135° prolungati per almeno 10

diametri alle due estremità. I ganci devono essere assicurati alle barre

longitudinali.


zona sismica

151

6.2 Dettagli costruttivi per pilastri in c.a.


La dimensione minima della sezione trasversale non deve essere inferiore a

250mm.

Se il fattore di struttura q risulta ≥ 0,1, l’altezza della sezione non deve essere

inferiore ad un decimo della maggiore tra le distanze tra il punto in cui si

annulla il momento flettente e le estremità del pilastro.

In assenza di analisi più accurate si può assumere che la lunghezza della zona

critica sia la maggiore tra: l’altezza della sezione, 1 6⁄ dell’altezza libera del

pilastro, 45cm, l’altezza libera del pilastro se questa è inferiore a 3 volte

l’altezza della sezione.

Fig. 6.9 – Zone critiche pilastro


152


Con riferimento al caso in cui tamponamenti non si estendano per l’intera

altezza dei pilastri adiacenti, le NTC ’08 al § 7.4.6.2.2 stabiliscono che

l’armatura risultante deve essere estesa per una distanza pari alla profondità del

pilastro oltre la zona priva di tamponamento. Nel caso in cui l’altezza della zona

priva di tamponamento fosse inferiore a 1,5 volte la profondità del pilastro,

debbono essere utilizzate armature bi-diagonali.

Fig. 6.10 – Tamponamento non esteso per l’intera altezza dei pilastri adiacenti

Nel caso precedente, qualora il tamponamento sia presente su un solo lato di un

pilastro, l’armatura trasversale da disporre alle estremità del pilastro deve essere

estesa all’intera altezza del pilastro.

Fig. 6.11 – Esempio di danneggiamento dei pilastri per mancanza di tompagni


zona sismica

153

Armature longitudinali

Per tutta la lunghezza del pilastro l’interasse tra le barre non deve essere

superiore a 25cm.

Nella sezione corrente del pilastro, la percentuale geometrica ϱ di armatura

longitudinale, con rapporto tra l’area dell’armatura longitudinale e l’area della

sezione del pilastro, deve essere compresa entro i seguenti limiti:

1% ≤ . ≤ 4% (6.4)

Se sotto l’azione del sisma la forza assiale su un pilastro è di trazione, la

lunghezza di ancoraggio delle barre longitudinali deve essere incrementata del

50%.

Armature trasversali

Nelle zone critiche devono essere rispettate le condizioni seguenti: le barre

disposte sugli angoli della sezione devono essere contenute dalle staffe; almeno

una barra ogni due, di quelle disposte sui lati, deve essere trattenuta da staffe

interne o da legature; le barre non fissate devono trovarsi a meno di 15cm e

20cm da una barra fissata, rispettivamente per CD”A” e CD”B”.

Fig. 6.12 – Staffa di contenimento di un pilastro


154

Il diametro delle staffe di contenimento e legature deve essere non inferiore a

6mm ed il loro passo deve essere non superiore alla più piccola delle quantità

seguenti:

- 1 3⁄ e 1 2⁄ del lato minore della sezione trasversale, rispettivamente per

CD”A” e CD”B”;

- 125mm e 175mm, rispettivamente per CD”A” e CD”B”;

- 6 e 8volte il diametro delle barre longitudinali che collegano,

rispettivamente per CD”A” e CD”B”.

Si devono disporre staffe per CD"A" al di fuori della zona critica e per CD "B",

in un quantitativo minimo non inferiore a:

��

C≥ 0,08 ∙

*/D ∙ �

*+D (6.5)

Si devono disporre staffe per CD"A" in un quantitativo minimo non inferiore a:

��

C≥ 0,12 ∙

*/D ∙ �

*+D (6.6)

Nelle espressioni precedenti A'E è l’area complessiva dei bracci delle staffe, b'E

è la distanza tra i bracci più esterni delle staffe ed s è il passo delle staffe.


zona sismica

155

Tab. 6.1 – Tabella di riepilogo per travi e pilasti

156

6.3 Dettagli costruttivi per nodi in c.a.


La normativa al § 7.4.6.1.3 stabilisce che sono da evitare per quanto possibile

eccentricità tra l’asse della trave e l’asse del pilastro concorrenti in un nodo. Nel

caso che tale eccentricità superi 1 4⁄ della larghezza del pilastro la trasmissione

degli sforzi deve essere assicurata da armature adeguatamente dimensionate allo

scopo.

Fig. 6.13 – Eccentricità tra pilastro e trave

G ≤ "/ 4⁄ (6.7)


Lungo le armature longitudinali del pilastro che attraversano i nodi non

confinati devono essere disposte staffe di contenimento in quantità almeno pari

alla maggiore prevista nelle zone del pilastro inferiore e superiore adiacenti al


zona sismica

157

nodo. Questa regola può non essere osservata nel caso di nodi interamente

confinati.

Per i nodi non confinati, appartenenti a strutture sia in CD”A” che in CD”B”, le

staffe orizzontali presenti lungo l’altezza del nodo devono verificare la seguente

condizione:

H� ∙ ��

I ∙ J≥ 0,05 ∙

*/,

*+, (6.8)

nella quale n'E e A'E sono rispettivamente il numero di bracci e l’area della

sezione trasversale della barra della singola staffa orizzontale, i è l’interasse

delle staffe, e bMN è la larghezza utile del nodo determinata come segue:

- se la trave ha una larghezza bO superiore a quella del pilastro b�, allora

bMN è il valore minimo fra bO e b� + h� 2⁄ , essendo h� la dimensione

della sezione della colonna parallela alla trave;

- se la trave ha una larghezza bO inferiore a quella del pilastro b� , allora

bMN è il valore minimo fra b� e bO + h� 2⁄ .

Francesco Basone “Il criterio della gerarchia delle resistenze nella

progettazione di elementi strutturali in c.a.:

approccio progettuale ed analisi prestazionale”

158

6.4 Dettagli costruttivi per pareti in c.a.

Al normativa al § 7.4.6.1.4 definisce che lo spessore delle pareti deve essere

non inferiore al valore massimo tra 150mm, (200mm nel caso in cui nelle

travi di collegamento siano da prevedersi), e 1 20⁄ dell’altezza libera di

interpiano.

Fig. 6.14 – Esempio di crollo del tompagno e tramezzi

Possono derogare da tale limite, su motivata indicazione del progettista, le

strutture a funzionamento scatolare ad un solo piano non destinate ad uso

abitativo. Devono essere evitate aperture distribuite irregolarmente, a meno che

la loro presenza non venga specificamente considerata nell’analisi, nel

dimensionamento e nella disposizione delle armature.

In assenza di analisi più accurate si può assumere che l’altezza delle zone

critiche sia la maggiore tra: la larghezza della parete e 1 6⁄ della sua altezza.


zona sismica

159

6.5 Copriferro e interferro

La normativa al § 4.1.6.1.3 stabilisce i valori di copriferro e interferro tali da

garantire un adeguato ricoprimento del calcestruzzo.

Al fine della protezione delle armature dalla corrosione, lo strato di

ricoprimento di calcestruzzo (copriferro) deve essere dimensionato in funzione

dell’aggressività dell’ambiente e della sensibilità delle armature alla corrosione,

tenendo anche conto delle tolleranze di posa delle armature.

Il valore minimo di copriferro deve rispettare quanto indicato nella Tab. 6.2

nella quale sono distinte le tre condizioni ambientali (ordinario, aggressivo e

molto aggressivo). I valori sono espressi in mm e sono distinti in funzione

dell’armatura, barre da c.a. o cavi aderenti da c.a.p. (fili, trecce e trefoli), e del

tipo di elemento, a piastra (solette, pareti,…) o monodimensionale (travi,

pilastri,…). A tali valori di tabella vanno aggiunte le tolleranze di posa, pari a

10mm o minore, secondo indicazioni di norme di comprovata validità.

Tab. 6.2 – Copriferri minimi

I valori di copriferro si riferiscono a costruzioni con vita nominale di 50anni.

Per costruzioni con vita nominale di 100anni i valori di copriferro vanno

aumentati di 10mm. Per classi di resistenza inferiori a C5(R i valori della

tabella sono da aumentare di 5mm. Per produzioni di elementi sottoposte a

controllo di qualità che preveda anche la verifica dei copriferri, i valori della

tabella possono essere ridotti di 5mm.

PROGETTAZIONE DI ELEMENTI

STRUTURALI IN C.A. MEDIANTE

LA GERARCHIA DELLE

RESISTENZE

Nel capitolo che segue si analizza in dettaglio il progetto di elementi strutturali

in calcestruzzo armato, ed in particolare i criteri generali di progetto e della

gerarchia delle resistenze descritti al capitolo 5.

Con riferimento alla medesima struttura considerata nel cap. 2 per la

valutazione dell’azione sismica de quale sono di seguito rappresentati gli

elaborati grafici strutturali.

Fig. 7.1 – Pianta piano tipo

7

Fig. 7.2– Sezione dell’edificio

L’edificio sarà progettato in classe di duttilità bassa (CD”B”).

La struttura soddisfa i requisiti di regolarità in pianta e in altezza (§ 5.2.2. –

Requisiti di regolarità).

L’edificio è a pianta rettangolare, in cui il lato lungo ha direzione coincidente

con l’asse � del riferimento globale e il lato corto è diretto come l’asse � di tale

riferimento. Si osservi inoltre che la disposizione attribuita ai pilastri, orientati

per il 50% nella direzione ortogonale consente di centrifugare le rigidezze

laterali ottenendo una rigidezza paragonabile nelle 2 direzioni.

Attraverso un predimensionamento della struttura sono state assegnate le

seguenti dimensioni agli elementi strutturali

Travi 30�55

Pilastri 30�65

L’analisi strutturale è stata eseguita mediante un modello tridimensionale

realizzato su software agli elementi finiti SAP 2000.

Un’immagine semplificativa del modello strutturale è riportata nella figura

successiva.

Fig. 7.3– Modello 3D della struttura

Gli impalcati sono stati considerati infinitamente rigidi nel proprio piano. Al

fine di tenere conto delle eccentricità accidentali, la norma prevede che il

baricentro delle strutture deve essere traslato positivamente e negativamente

lungo le direzioni � e � di una distanza pari al 5% delle dimensioni

planimetriche del fabbricato nelle 2 direzioni.

Fig. 7.4– Traslazione del baricentro delle masse

Poiché inoltre la norma prevede che l’azione sismica considerata in una

direzione debba essere accompagnata da un’aliquota del 30% dell’azione

sismica nella direzione ortogonale vengono a generarsi 32 combinazioni

sismiche che di seguito si riportano graficamente.

L’analisi strutturale del modello è stata eseguita per tutte le suddette

combinazioni e pertanto le procedure che di seguito si espongono fanno

riferimento ai risultati ottenuti da dette analisi.

Fig. 7.5 –Combinazioni sismiche secondo normativa allo SLV

7.1 Approccio progettuale per una travata in c.a.

I momenti flettenti di calcolo, da utilizzare nella progettazione delle travi, sono

quelli ottenuti dall’analisi globale della struttura, secondo le combinazioni

simiche precedentemente descritte.

In funzione dell’intensità dell’azione sismica e quindi della prevalenza o meno

dell’effetto dei carichi sismici rispetto ai carichi verticali l’approccio alla

progettazione della travata può essere eseguito attraverso due possibili criteri

che si propongono nella presente tesi:

- criterio dell’armatura minima;

- criterio delle aree di armatura richieste.

7.1.1 Progetto dell’armatura longitudinale: criterio delle aree di

armatura richiesta

Si consideri la travata di primo piano in Fig. 8.4.

Fig. 7.6 – Travata di progetto

Dall’analisi strutturale si ricava il seguente diagramma dei momenti.

Fig. 7.7 – Diagramma momenti di calcolo in � ∙

Si assegnano 3 sezioni critiche per ogni trave costituente la travata , due in

corrispondenza delle estremità ed 1 in corrispondenza del massimo momento

positivo in mezzeria. Attraverso un problema di semiprogetto della sezione, i

momenti di calcolo si traducono in aree di acciaio richieste e pertanto si associa

al diagramma dei momenti di calcolo un diagramma di aree richieste (Fig. 7.8).

Si precisa che l’operazione può essere eseguita anche per un numero maggiore

di sezioni all’interno della stessa trave.

Fig. 7.8 – Aree di armatura richiesta in � Osservando il diagramma di armatura richiesta si valuta un quantitativo di

armatura da disporre simmetricamente e comunque maggiore o uguale

all’armatura minima richiesta per la sezione tale da soddisfare almeno il 60%

della richiesta. Tale armatura costituirà l’armatura base della travata essendo

sempre presente superiormente ed inferiormente. Valutando il momento

resistente superiore ed inferiore associato all’armatura base è possibile

identificare gli esuberi di richiesta per i quali si procederà attraverso

l’inserimento di monconi quantificati attraverso un problema di semiprogetto.

Si precisa che il progettista è libero in ragione di particolari esigenze di natura

tecnico-funzionale o economiche di incrementare o ridurre l’armatura base

purché si abbia come limite inferiore l’armatura minima definita dalla

normativa.

Nel caso in esame è stato ritenuta idonea un’area di armatura base pari a 804 �, che corrisponde ad una quantità di armatura pari a 4 + 4�16. Per le

sezioni ove il quantitativo di armatura supera l’aria media di armatura

(tratteggio in Fig. 7.8), è stato necessario inserire un numero di monconi tale da

soddisfare la richiesta di armatura.

La Tab. 8.1 riporta sinteticamente i risultati del calcolo.

Estremo 1 Campata Estremo 2

Tra

ve

13

-14 ��

��!� Barre

sup.

��

Barre

sup.

��

Barre

sup. 138,22 799,12 4%16 0,85 4,58 4%16 178,28 961,19 5%16 &'( �)* +� ,-./0

Barre

inf.

&'( �)* +� ,-./0

Barre

inf.

&'( �)* +� ,-./0

Barre

inf. 116,12 626,05 4%16 35,18 189,67 4%16 130,63 704,28 5%16

Tra

ve

14

-15 &'� �)* +� ,--12

�++!� Barre

sup.

&'� �)* +� ,--12

Barre

sup.

&'� �)* +� ,--12

Barre

sup. 179,03 965,23 5%16 39,86 209,51 4%16 114,81 618,99 4%16 &'( �)* +� ,-./0

Barre

inf.

&'( �)* +� ,-./0

Barre

inf.

&'( �)* +� ,-./0

Barre

inf. 166,43 897,30 5%16 35,09 189,18 4%16 84,73 456,81 4%16

Tra

ve

15

-16 &'� �)* +� ,--12

�++!� Barre

sup.

&'� �)* +� ,--12

Barre

sup.

&'� �)* +� ,--12

Barre

sup. 115,35 621,90 4%16 13,41 72,30 4%16 175,12 998,06 5%16 &'( �)* +� ,-./0

Barre

inf.

&'( �)* +� ,-./0

Barre

inf.

&'( �)* +� ,-./0

Barre

inf. 64,58 348,18 4%16 52,31 282,02 4%16 126,15 680,13 4%16

Tab. 7.1 – Valori di calcolo della travata

Definita la disposizione e il diametro dei ferri longitudinali, si calcola la

lunghezza di ancoraggio in campata.

345%166 = 89: ∙ %4 ∙ 8;: = 391,30 ∙ 164 ∙ 2,69 = 581,85 (7.1)

Al nodo, la lunghezza di ancoraggio è data dalla seguente espressione:

345%166 = 6 % + 1,25 89< ∙ %4 ∙ 8;: = 6 ∙ 16 + 1,25 ∙ 450 ∙ 164 ∙ 2,69 = 932,43 (7.2)

Nell’ipotesi cautelativa in cui cotθ=2,5, i monconi vanno prolungati al di la

della sezione rispetto alla quale risulta necessaria di una quantità => pari a:

=> = 0,9 ? 5cot C + cot D62 = 0,9 ∙ 504 2,5 + 02 = 1,12 � 504= 565

(7.3)

Si prolungano i monconi dal punto di intersezione tra il momento di calcolo e il

momento resistente di una quantità pari a => e della lunghezza di ancoraggio 34.

Gli ancoraggi dei monconi devono comunque avvenire al di fuori delle zone

critiche.

L’armatura di progetto è definita nella figura successiva.

Fig. 7.9 – Momenti resistenti travata in � ∙

7.1.2 Progetto dell’armatura longitudinale: criterio dell’armatura

minima

Si consideri la travata del secondo piano in Fig. 7.10.


Valutando attraverso la eq. (6.3) si ricava l’area minima di armatura.

EFGHI = 1,489< ∙ J ∙ K = 1,4450 ∙ 300 ∙ 550 = 513,33 � (7.4)

Tale richiesta è soddisfatta da una armatura commerciale pari a 3 +3�16 5602 �6 da disporre per tutta la trave sia superiormente che

inferiormente .Il momento resistente associato è pari a 108,54 � .

Sovrapponendo il diagramma dei momenti resistenti a quello dei momenti di

calcolo si osserva come questo riesce a soddisfare la stragrande quantità della

richiesta mentre laddove si osservano esuberi saranno disposti monconi il cui

quantitativo è determinabile attraverso un problema di semiprogetto.

Fig. 7.11 – Diagramma momenti di calcolo in � ∙

Fig. 7.12 – Momenti resistenti travata in � ∙

7.1.3 Progetto dell’armatura trasversale: verifica a taglio

Al fine di escludere la formazione di meccanismi di rottura fragili dovuti a

taglio, gli sforzi di taglio di calcolo si ottengono sommando il contributo dovuto

ai carichi gravitazionali agenti sulla trave allo sforzo di taglio prodotto dai

momenti resistenti delle sezioni di estremità, amplificati del fattore γM:, come

descritto al cap. 6.

La normativa definisce 4 schemi di carico per il progetto a taglio delle travi e

riportati in Fig. 7.13.

Fig. 7.13 – Schemi di calcolo per il progetto a taglio delle travi

Per ognuno degli schemi di calcolo sopra citati si determinano il massimo e

minimo valore di taglio della travata di primo piano in Fig. 7.14.


Si riportano in forma sintetica i valori di taglio di calcolo.

Trave l ( ) Sezione NOP QRS

(� ∙ )

NOP HIT

(� ∙ )

UV:G4W

(�)

UV:GHI

(�)

AB 4,30 A 144,72 180,90 105,68 -47.52

B 217,16 217,60 47,52 -105,68

BC 3 B 217,60 217,60 128,22 -88,86

C 144,72 144,72 88,86 -128,22

CD 4,80 C 144,72 144,72 93,73 -36,35

D 180,90 217,60 28,81 -101,27

Tab. 7.2 – Valori di taglio max e min della travata di progetto

Si affronta il problema di verifica assumendo i minimi valori di armatura

trasversale, per i quali in zona critica si ottiene un passo tra le staffe pari a 120 , mentre nel resto della trave si assume un passo tra le staffe pari a 200 , secondo quanto descritto nel cap. 6.

L’espressione dell’angolo C descritta al cap. 4 è la seguente:

cot5C6 = X Y ∙ JZ ∙ 8[:\ ∙ D[EQZ ∙ 89: − 1 (7.5)

in zona critica:

cot5C6 = X 120 ∙ 300 ∙ 0,5 ∙ 0,01417 ∙ 1100 ∙ 0,3911 − 1 = 2,34 (7.6)

Il taglio resistente associato vale:

U = UMQ: = UM[: = 0,9 ∙ ? EQZ Y 89: ∙ cot C

U = 0,9 ∙ 505 ∙ 100120 ∙ 0,3911 ∙ 2,3 = 346,62 �

(7.7)

Analogamente per le zone centrali:

cot5C6 = X 200 ∙ 300 ∙ 0,5 ∙ 0,01417 ∙ 1100 ∙ 0,3911 − 1 = 3,13 (7.8)

Poiché il valore di cot5C6 = 3,13 > 2,5, si assume come suggerito dalla norma cot5C6 = 2,5. Pertanto:

U = UMQ: = 0,9 ∙ ? ∙ EQZY ∙ 89: ∙ cot C

U = 0,9 ∙ 505 ∙ 100200 ∙ 0,3911 ∙ 2,5 = 222,20 �

(7.9)

Il taglio resistente assume valore ampiamente maggiore del taglio di calcolo. Si

ritiene soddisfatta la verifica a taglio.

7.2 Approccio progettuale per una pilastrata in

c.a.

Si consideri la pilastrata 14 in Fig. 7.17.

Fig. 7.17 – Pianta tipo

I momenti flettenti di calcolo, da utilizzare per il dimensionamento dei pilastri,

sono quelli ottenuti dall’analisi globale della struttura, tenuto conto delle

combinazioni delle componenti dell’azione sismica.

Delle 32 combinazioni sismiche, 16 agiscono prevalentemente in direzione � e 16 in direzione �. Pertanto, occorre studiare il pilastro appartenente al telaio

lungo � ed al telaio �.

Si consideri il pilastro appartenente al telaio � (Fig. 7.18).

Fig. 7.18 – Pilastrata di progetto lungo la direzione �

Per le 16 combinazioni sismiche in cui il sisma è prevalente in direzione � , si

riportano le sollecitazioni di calcolo ottenute dall’analisi strutturale.

Tali combinazioni, inoltre, devono tenere conto dell’inversione del diagramma

del momento qualora il sisma spiri da un verso all’altro.

Pertanto, si rende necessario distinguere le 8 combinazioni per le quali il sisma

spira prevalentemente da sinistra verso destra e le 8 combinazioni per le quali il

sisma spira prevalentemente da destra verso sinistra.

Secondo in verso prevalente del sisma, infatti, cambiano i momenti flettenti ai

nodi, come illustrato in Fig. 7.19.

Fig. 7.19 – Sollecitazioni al nodo: sisma prevalente da destra a sinistra (sinistra)

e sisma prevalente da sinistra a destra (destra)

Per soddisfare il criterio della gerarchia delle resistenze, le sollecitazioni di

calcolo ottenute dall’analisi strutturale devono essere amplificate del fattore di

amplificazione , come descritto al cap. 5.

L’espressione del fattore di amplificazione è la seguente:

= �� ∙ ∑��∑�� (7.10)

dove:

�� è in funzione della classe di duttilità di progetto; M�� sono i momenti resistenti delle travi convergenti in un nodo strutturale

secondo una direzione e aventi verso concorde; M� sono i momenti nei pilastri superiore e inferiori del medesimo nodo,

ottenuti dall’analisi strutturale;

Per ogni nodo della pilastrata (Fig. 7.20), si riportano i momenti flettenti di

calcolo e gli sforzi normali sopra citati. I momenti superiori ed inferiori

convergenti al medesimo nodo, sono amplificati del fattore di amplificazione

secondo l’espressione (7.10).

Per tenere conto della pressoflessione deviata la Norma al § 7.4.4.2.2.1 riporta

la seguente dicitura:

“la verifica a pressoflessione deviata può essere condotta in maniera

semplificata effettuando, per ciascuna direzione di applicazione del sisma, una

verifica a pressoflessione retta nella quale la resistenza viene ridotta del 30%

(§ 7.4.4.2.2.1 delle NTC).

Per le 16 combinazioni sismiche si determinano una coppia di valori

rispettivamente alla testa e al piede del pilastro convergente al medesimo nodo.

Si progetta il pilastro secondo la coppia di valori che restituisce la massima

eccentricità.

Si precisa inoltre:

“per la sezione di base dei pilastri del piano terreno si adotta come momento di

calcolo il maggiore tra il momento risultante dall’analisi ed il momento della

sezione di sommità del pilastro.

Il criterio di gerarchia delle resistenze non si applica alle sezioni di sommità

dei pilastri dell’ultimo piano.”

Fig. 7.20 – Pilastrata di progetto

Con riferimento a quanto descritto nei capitoli precedenti le tabelle che seguono

rappresentano una procedura strutturata di valutazione dei valori progettuali

delle sollecitazioni nelle sezioni critiche della pilastrata nel rispetto della

applicazione del criterio della gerarchia delle resistenze.

Np

Mp

Np

1,4

3∙M

pN

p1,

43∙α

∙Mp

1-3

61,

99

-277,3

4-3

61,9

9-3

96,

59

1,10

-341,0

3392,0

81,

15

2-2

33,

81

-263,2

9-2

33,8

1-3

76,

51

1,61

-212,8

5392,6

71,

84

3-3

60,

32

-314,9

7-3

60,3

2-4

50,

41

1,25

-339,3

6390,5

61,

15

4-2

30,

89

-328,8

9-2

30,8

9-4

70,

32

2,04

-209,9

3390,0

11,

86

5-3

62,

61

-263,3

5-3

62,6

1-3

76,

59

1,04

-341,6

5392,7

61,

15

6-2

33,

19

-277,2

7-2

33,1

9-3

96,

50

1,70

-212,2

2391,9

91,

85

7-3

59,

70

-328,9

5-3

59,7

0-4

70,

40

1,31

-338,7

4390,0

91,

15

8-2

31,

51

-314,9

1-2

31,5

1-4

50,

32

1,95

-210,5

5390,4

81,

85

9-1

46,

46

282

,51

-146,4

640

3,9

92,

76

-125,5

0-3

71,6

52,

96

10

-274,

64

268

,47

-274,6

438

3,9

11,

40

-253,6

8-3

71,1

51,

46

11

-148,

13

320

,15

-148,1

345

7,8

13,

09

-127,1

7-3

72,6

02,

93

12

-277,

56

334

,07

-277,5

647

7,7

21,

72

-256,6

0-3

72,8

31,

45

13

-145,

84

268

,53

-145,8

438

3,9

92,

63

-124,8

7-3

71,2

32,

97

14

-275,

26

282

,45

-275,2

640

3,9

01,

47

-254,3

0-3

71,5

71,

46

15

-148,

75

334

,13

-14

8,7

54

77

,80

3,21

-127,7

9-3

72,9

02,

92

16

-276,

94

320

,08

-276,9

445

7,7

21,

65

-255,9

7-3

72,5

31,

46

dx → sx sx → dxNO

DO

Ae

inf

Su

pS

up

esup

Inf

Np

Mp

Np

Mp

Np

1,43∙

α∙M

pN

p1,

43∙

α∙M

p

1-9

0,50

-21,

14

-200,

75

136

,64

157

,78

253,2

61,

611,

77-9

0,50

-53,

370,

59-2

00,7

534

5,0

11,

72

2-7

6,11

-19,

51

-143,

65

129

,35

148

,85

253,2

61,

701,

87-7

6,11

-52,

210,

69-1

43,6

534

6,1

72,

41

3-9

0,23

-25,

63

-200,

24

156

,42

182

,06

253,2

61,

391,

53-9

0,23

-56,

090,

62-2

00,2

434

2,2

81,

71

4-7

5,65

-27,

35

-142,

75

163

,82

191

,17

253,2

61,

321,

46-7

5,65

-56,

990,

75-1

42,7

534

1,3

92,

39

5-9

0,59

-19,

46

-200,

94

129

,30

148

,76

253,2

61,

701,

87-9

0,59

-52,

130,

58-2

00,9

434

6,2

51,

72

6-7

6,01

-21,

18

-143,

46

136

,69

157

,87

253,2

61,

601,

76-7

6,01

-53,

440,

70-1

43,4

634

4,9

42,

40

7-9

0,14

-27,

31

-200,

05

163

,77

191

,08

253,2

61,

331,

46-9

0,14

-56,

930,

63-2

00,0

534

1,4

51,

71

8-7

5,75

-25,

68

-142,

94

156

,47

182

,15

253,2

61,

391,

53-7

5,75

-56,

160,

74-1

42,9

434

2,2

22,

39

9-6

7,92

39,

32

-102,

05

-153,

57

192

,89

253,2

61,

311,

44-6

7,92

81,2

11,

20-1

02,0

5-3

17,1

63,

11

10-8

2,31

37,

69

-159,

15

-146,

27

183

,96

253,2

61,

381,

51-8

2,31

81,6

30,

99-1

59,1

5-3

16,7

51,

99

11-6

8,19

43,

82

-102,

56

-173,

35

217

,17

253,2

61,

171,

28-6

8,19

80,3

91,

18-1

02,5

6-3

17,9

93,

10

12-8

2,77

45,

53

-160,

04

-180,

75

226

,28

253,2

61,

121,

23-8

2,77

80,1

70,

97-1

60,0

4-3

18,2

11,

99

13-6

7,82

37,

65

-101,

86

-146,

22

183

,87

253,2

61,

381,

52-6

7,8

28

1,5

81,

20-1

01

,86

-31

6,8

03,

11

14-8

2,41

39,

36

-159,

34

-153,

62

192

,98

253,2

61,

311,

44-8

2,41

81,2

60,

99-1

59,3

4-3

17,1

21,

99

15-6

8,28

45,

49

-102,

75

-180,

70

226

,19

253,2

61,

121,

23-6

8,28

80,1

21,

17-1

02,7

5-3

18,2

53,

10

16-8

2,67

43,

86

-159,

85

-173,

40

217

,26

253,2

61,

171,

28-8

2,67

80,4

30,

97-1

59,8

5-3

17,9

51,

99

esu

pIn

fein

fα

*S

up

Inf

Mp

in

f + M

p s

up

Mrt

+ +

Mrt

-

dx → sx sx → dx

NO

DO

Cα

Su

p

Np

Mp

Np

Mp

Np

1,43∙

α∙M

pN

p1,

43∙

α∙M

p

1-2

15,

37

-84,

05

-341,

03

186

,14

270

,19

361,8

01,

341,

47-2

15,3

7-1

77,0

30,

82-3

41,0

339

2,0

81,

15

2-1

58,

27

-79,

29

-212,

85

176

,45

255

,74

361,8

01,

411,

56-1

58,2

7-1

76,4

51,

11-2

12,8

539

2,6

71,

84

3-2

14,

86

-97,

00

-339,

36

212

,17

309

,17

361,8

01,

171,

29-2

14,8

6-1

78,5

50,

83-3

39,3

639

0,5

61,

15

4-1

57,

38

-101,

86

-209,

93

221

,82

323

,69

361,8

01,

121,

23-1

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79,1

01,

14-2

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11,

86

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56

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23

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65

176

,47

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361,8

01,

411,

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76,3

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15

6-1

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361,8

01,

341,

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8-1

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21,

12-2

12,2

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1,9

91,

85

7-2

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67

-101,

81

-338,

74

221

,84

323

,65

361,8

01,

121,

23-2

14,6

7-1

79,0

20,

83-3

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0,0

91,

15

8-1

57,

57

-97,

05

-210,

55

212

,15

309

,20

361,8

01,

171,

29-1

57,5

7-1

78,6

31,

13-2

10,5

539

0,4

81,

85

9-1

16,

68

105

,87

-125,

50

-199,

26

305

,13

361,8

01,

191,

30-1

16,6

819

7,4

61,

69-1

25,5

0-3

71,6

52,

96

10-1

73,

78

101

,11

-253,

68

-189,

57

290

,69

361,8

01,

241,

37-1

73,7

819

7,9

61,

14-2

53,6

8-3

71,1

51,

46

11-1

17,

19

118

,82

-127,

17

-225,

29

344

,11

361,8

01,

051,

16-1

17,1

919

6,5

21,

68-1

27,1

7-3

72,6

02,

93

12-1

74,

67

123

,69

-256,

60

-234,

94

358

,63

361,8

01,

011,

11-1

74,6

719

6,2

81,

12-2

56,6

0-3

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31,

45

13-1

16,

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,06

-124,

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361,8

01,

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37-1

16

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19

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24

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73,

97

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,93

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24

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01,

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54,3

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46

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,63

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96

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11-1

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27

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72,5

31,

46

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up

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-

Np

Mp

Np

1,43∙M

p

1-7

5,87

57,2

3-7

5,87

81,

84

1,0

8

2-6

1,49

53,5

9-6

1,49

76,

63

1,2

5

3-7

5,61

67,2

2-7

5,61

96,

13

1,2

7

4-6

1,03

71,0

0-6

1,03

101

,53

1,6

6

5-7

5,97

53,5

2-7

5,97

76,

53

1,0

1

6-6

1,39

57,3

0-6

1,39

81,

94

1,3

3

7-7

5,51

70,9

3-7

5,51

101

,43

1,3

4

8-6

1,12

67,2

9-6

1,12

96,

23

1,5

7

9-5

3,30

-83,

97

-53,

30

-120,0

72,2

5

10

-67,

68

-80,

32

-67,

68

-114,8

61,7

0

11

-53,

56

-93,

96

-53,

56

-134,3

62,5

1

12

-68,

14

-97,

74

-68,

14

-139,7

72,0

5

13

-53,

20

-80,

25

-53,

20

-114,7

62,1

6

14

-67,

78

-84,

04

-67,

78

-120,1

71,7

7

15

-53,

66

-97,

67

-53

,66

-13

9,6

72,6

0

16

-68,

04

-94,

03

-68,

04

-134,4

61,9

8

sx → dxNO

DO

DIn

fIn

fein

f

dx → sx

Si osservi che i nodi B e C soggetti al criterio della gerarchia delle resistenze, la

combinazione più gravosa è la 13. Per i nodi A e C invece, la combinazione più

gravosa risulta essere la 15.

Le combinazioni sismiche che danno luogo alle eccentricità più elevate sono

quelle in cui il sisma spira prevalentemente da sinistra verso destra.

In corrispondenza dei nodi strutturali si riportano le coppie di sforzo normale e

momento flettente risultate più gravose e quindi dimensionanti ai fini

dell’armatura (Fig. 7.21).

Fig. 7.21 – Momenti e sforzi normali rispettivamente in �� e ��

Affrontando il problema di semiprogetto per ogni coppia di sforzo normale e

momento flettente si calcola il quantitativo d’area di armatura richiesto, in ogni

nodo della pilastrata e per ogni sezione. I quantitativi di armatura rilevati sono

riportati in Fig. 7.22.

Fig. 7.22 – Aree di armatura richiesta in ��

Per ogni piano si assume per i pilastri un unico quantitativo di armatura pari al

massimo rilevato fra testa e piede.

Si precisa inoltre che nel caso in cui l’area di armatura rilevata per un pilastro

ad un piano superiore risulti maggiore di quello necessario per il pilastro al

piano inferiore, l’armatura del pilastro superiore deve essere estesa anche

inferiormente.

7.2.1 Progetto dell’armatura trasversale: verifica a taglio

Al fine di escludere la formazione di meccanismi inelastici dovuti al taglio, gli

sforzi di taglio nei pilastri da utilizzare per le verifiche e per il dimensionamento

delle armature si ottengono dalla condizione di equilibrio del pilastro soggetto

all’azione dei momenti resistenti nelle sezioni di estremità superiore ed

inferiore, secondo l’espressione che segue:

V = γ� ∙ M��"#� +M��%&'l� (7.12)

dove γ� per classe di duttilità bassa è pari a 1,00.

Si riportano in forma sintetica i valori di taglio di calcolo.

Pilastro l (�) ��"#�

(*� ∙ �)

��%&'

(*� ∙ �)

+

(*�)

AB 4,30 380,61 380,61 132,26

BC 3 317,13 317,13 211,42

CD 3 198,40 198,40 177,02

Tab.8.3 – Valori di taglio della pilastrata di progetto

Si affronta il problema di verifica, assumendo i valori minimi di armatura

trasversale descritti al cap. 7.

In zona critica si ottiene un passo tra le staffe pari a 140��. Nel resto del

pilastro si ottiene un passo tra le staffe pari a 140��.

L’espressione dell’angolo , è il seguente:

cot0,1 = 23 ∙ 45 ∙ 67 8 ∙ 79"5 ∙ 6: − 1 (7.13)

in zona critica:

cot0,1 = 2140 ∙ 300 ∙ 0,5 ∙ 0,01417 ∙ 1100 ∙ 0,3911 − 1 = 2,57 (7.14)

Si assume cot0,1 = 2,5. Il taglio resistente vale:

+ = +�" = 0,9 ∙ > ∙ 9"53 ∙ 6: ∙ cot,

+ = 0,9 ∙ 602 ∙ 100140 ∙ 0,3911 ∙ 2,5 = 378,39*�

(7.14)

Il taglio resistente assume valore ampiamente maggiore del taglio di calcolo. Si

ritiene soddisfatta la verifica a taglio.

In ultimo con riferimento alle indicazioni fornite dall’Eurocodice 2, la

lunghezza di giunzione che deve essere garantita per ancorare le barre dei

pilastri dei piani sottostanti con quelli soprastanti può essere valutata come 1,5

volte la lunghezza di ancoraggio della singola barra. Nel caso di diametri

differenti deve considerarsi la massima fra le 2 lunghezze di ancoraggio valutate

per le singole barre. ?@�%AB"��% = 1,5?BCBD (7.14)

appunti di tecnica delle costruzioni_13_giu_2013

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