appunti per gli esercizi di misure...

Appunti per gli esercizi di Misure Geodetiche

Ludovico Biagi

M. Clara de Lacy

Marco Scuratti

versione 21 aprile 2004.

Esercizi introduttivi: algebra delle matrici.

Questa sezione illustra alcune operazioni fondamentali eseguibili su matrici e vettori.

1. Prodotto vettore per matrice.

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

21623

231

,

100324111

201

aMbaM

2. Prodotto matrice per matrice.

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

1115

2423

111201

,

100324111

201

AMBAM

3. Prodotto di una matrice per la sua trasposta.

��

��

��

��

�

�

��

�

�

��

��

��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

��

�2336

111201

110121

111201

AAA T

4. Inversione di una matrice diagonale.

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

�

�

�

51

211

0000001

500020001

ABA

5. Inversione di una matrice piena.

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

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��

�

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��

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��

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��

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��

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

16.024.004.004.056.024.02.02.02.0

4611146555

251

412111322

5.075.05.05.025.15.05.175.35.2

232252

61510

41

501220031

1

1

CDC

ABA

6. Vettore per matrice per vettore.

24231

,221110012

��

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�� aMabaM T

7. Rango di una matrice

Il rango di una matrice è definibile come:

� il numero di colonne linearmente indipendenti (per una matrice disegno di un problema

ai MQ);

� l’ordine massimo delle sottomatrici quadrate estratte, aventi minore(determinante)

diverso da zero;

� il rango di una matrice è massimo quando: 00 �� xxA

8. Costruzione di una matrice disegno.

A partire da un triangolo di livellazione, formato dai punti A, B, C, costruire la matrice disegno

nel caso di 1, nessuna quota nota. In quest’ultimo caso mostrare che la matrice disegno ha

determinante pari a zero.

Nota: dBA=HA-HB

HA nota.

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

A

A

C

B

CA

BC

BA

H

H

HH

ddd

010

1101

Nessuna quota nota.

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

�

��

�

�

C

B

A

CA

BC

BA

HHH

ddd

101110011

� col_I = -1*(col_III + col_II)

Esercizio 1

Della seguente rete di livellazione si misurano i dislivelli dq1-2, dq2-3, dq3-1, ottenendo i valori

osservati:

mdqmdqmdq

Obs

Obs

Obs

030.29503.13525.15

13

32

21

��

�

�

�

�

�

Sapendo che la quota del punto 1 è nota, con Q1=100 m, e che le misure sono state effettuate in

maniera indipendente e con ugual precisione, effettuare la stima ai minimi quadrati delle quote Q2 e

Q3; effettuare quindi la stima 20�̂ di 2

0� e calcolare le precisioni di stima (sqm) per le quote.

Risultati

mQQ

��

��

��

�

��

�

029.129526.115

3

2

2520 1013.0ˆ m�

��

��

��

��

��

�

��

�

�

�

m

mmCQ

Qxx 3

2

3225

10943.0ˆ

10943.0ˆ

2112

31013.0

�

�

Esercizio 2

Della seguente rete di livellazione si misurano i dislivelli dq1-2, dq2-3, dq3-1, ottenendo i valori

osservati:

mdqmdqmdq

Obs

Obs

Obs

030.29503.13525.15

13

32

21

��

�

�

�

�

�

dove le osservazioni sono state effettuate in maniera indipendente con ugual precisione,

ICyy20�� . Si ipotizza che la quota del punto 1 sia stata osservata con Q1=100 m e

220

2 11

mQ�

�� ,con 0�� . Effettuare la stima ai minimi quadrati delle quote Q1, Q2 e Q3 e quindi

la stima 20�̂ di 2

0� ; calcolare le precisioni di stima, sqm, per le quote nei seguenti casi:

1. �� 0.0001, ovvero 1Q

� grande.

2. �� 10000, ovvero 1Q� piccolo.

Confrontare i risultati ottenuti con quelli dell’esercizio precedente.

Risultati

mQQQ

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

029.129526.115

100

3

2

1

2520 1013.0ˆ m�

��

Caso 1

m

m

m

Q

Q

Q

115473.0ˆ

115473.0ˆ

115470.0ˆ

3

2

1

�

�

�

�

�

�

Caso 2

��

��

�

��

��

��

�

�

�

m

m

m

Q

Q

Q

32

32

51

10943.0ˆ

10943.0ˆ

101.1ˆ

�

�

�

Esercizio 3

Siano P1 e P2 due punti di quota nota, pari rispettivamente a

Q(P1)=110.050 m

Q(P2)=23.800 m

Siano P3 e P4 due punti la cui quota è viceversa da determinare; a tal fine (vedi figura) sono stati

misurati i seguenti dislivelli

q(1-3)oss = -59.735 m

q(2-3)oss = 26.530 m

q(3-4)oss = 85.500 m

q(1-4)oss = 25.765 m

q(2-4)oss = 112.000 m

1. Sapendo che le osservazioni sono scorrelate e di uguale precisione (ovvero Cyy= �20I, con

�2

0= 4 x 10-4 m2) si stimino mediante minimi quadrati le quote dei punti P3 e P4.

2. Quindi si verifichi la correttezza del modello globale mediante test del �2, con �=5%.

3. Infine si calcolino le precisioni per le stime dei parametri incogniti, ovvero �(QP3) e

�(QP4).

Risultati

Posizione del problema

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

��

��

�

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

2

1

2

1

4

3

42

41

43

32

31

0

1010110101

QQ

QQ

QQ

dqdqdqdqdq

Obs

Risultati numerici

mQ

mQ

81125.135ˆ31875.50ˆ

4

3

�

�

81.7%)5(84375.0ˆ10125.1ˆ

22

2420

��

��

��

�

teorico

m

mmQQ 4952.6)()( 43 ��

Esercizio 4

Sia dato il modello lineare bxAy �� ; con

��

�

�

��

�

�

�

4

3

2

1

yyyy

y ,

��

�

�

��

�

�

�

��

21

21

A , � �xx � ,

��

�

�

��

�

�

�

��

13

12

b e si

supponga di aver eseguito l’osservazione di y, )8.2,7.1,2.2,1.3( ��

T

oy .

Sia inoltre il modello stocastico IC yy20�� . Sapendo sulla base della conoscenza del processo di

osservazione, che 2.00 � , si vuole verificare la correttezza del modello globale mediante il test

del �.2 con �=1%.

Risultati

36.0ˆ �x

��

�

�

��

�

�

�

��

72.164.2

28.036.2

ˆˆ bxAy

��

�

�

��

�

�

�

�

��

08.194.092.1

74.0

ˆ0

yy�

0946.2ˆ 20 ��

3.11%)1(ˆ10025.157ˆ 22�� teoricosp

Il test non viene superato; il vettore degli scarti normalizzati è il seguente

��

�

�

��

�

�

�

�

��

��

�

�

��

�

�

�

�

��

96336.068462.071265.1

538956.0

39.199.048.2

78.0

ˆ1

20�

u

E’ possibile effettuare un test sullo scarto normalizzato appena individuato. In generale, lo scarto

i-esimo non è outlier se, al livello scelto e per il numero di gradi di libertà del problema, si verifica

la seguente condizione:

|scarto normalizzato| gdl,��

Si ricorda che la distribuzione è simmetrica e che pertanto è necessario prestare attenzione alla

tabella a disposizione.

E’ prassi sostituire la distribuzione di Thompson con la distribuzione t di Student. Una volta

individuato l’outlier, si può dunque ripetere la compensazione ai MQ rimuovendo la corrispondente

osservazione.

In questo esercizio, il numero di gradi di libertà è pari a 3. Se vogliamo un livello di

significatività alfa=5%, dobbiamo trovare l’ascissa tale che

Tornando alla distribuzione Tau di Thompson, i valori teorici per la distribuzione sono:

�� t.995 t.990 t.975 t.950 t.900 t.800 t.750 t.700 t.600 t.550

3 1.7147 1.6974 1.6454 1.5588 1.3856 1.0392 0.8660 0.6928 0.3464 0.1732

Esercizio 5

Siano stati misurati da quattro punti, 4321 ,,, PPPP di quota nota,

mHmHmHmH

945.25660.2325.055.10

4

3

2

1

�

�

�

�

i dislivelli ad un punto di quota incognita P, ottenendo i seguenti valori:

mdHmdH

mdHmdH

P

P

P

P

940.24670.1

670.0540.9

4

3

2

1

��

��

�

��

Si ipotizza che le osservazioni di dislivello siano tutte caratterizzate dalla medesima precisione,

ovvero

IC yy20�� ; con 242

0 10 m�

�� .

Dato il problema nella forma � � bAxyE o �� si stimi ai minimi quadrati la quota del punto P.

Verificare quindi correttezza del modello globale mediante il test del 2� , con %5�� Qualora il

test del 2� venga superato si stimino la matrice di covarianza e la precisione della soluzione.

Qualora il test non sia superato si calcolino gli scarti normalizzati e si identifichi l’eventuale outlier

Risultati

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

1111

940.24670.1

670.0540.9

A

myo

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

945.25660.2325.0550.10

b

Hx P

41

4

1�

�

�N

N

m

my

mx

��

�

�

��

�

�

�

��

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

005.0010.0005.0

010.0

ˆ

945.24660.1

675.0550.9

ˆ

1ˆ

�

50.2

81.7

1033.8ˆ

2

2

2520

�

�

� �

sp

teo

m

�

�

�

m

mC

x

xx

004.0

10083.2

ˆ

25ˆˆ

�

��

�

Esercizio 6.

Siano stati misurati da quattro punti, 4321 ,,, PPPP di quota nota,

H1 = 25.124 [m]

H2 = 7.212 [m]

H3 = 2.655 [m]

H4 = 37.210 [m]

i dislivelli ad un punto di quota incognita P, ottenendo i seguenti valori:

d1P = -6.860 [m]

d2P = 1.003 [m]

d3P = 15.612 [m]

d4P = -18.978 [m]

Si ipotizza che le osservazioni di dislivello siano tutte caratterizzate dalla medesima precisione,

ovvero

IC yy20�� ; con 242

0 10 m�

�� .

Dato il problema nella forma � � bAxyE o �� si stimi ai minimi quadrati la quota del punto P.

Verificare quindi correttezza del modello globale mediante il test del 2� , con %5�� Qualora il

test del 2� venga superato si stimino la matrice di covarianza e la precisione della soluzione.

Qualora il test non sia superato si calcolino gli scarti normalizzati e si identifichi l’eventuale outlier

Risultati

mHx P 224.18ˆ ��

� � � �mbxAy TT 012.0023.0029.0020.0ˆˆ0

��

Esercizio 7

a) Dato un punto P0 di coordinate geodetiche:

�0 =37o 09’26.8617’’ N

�0 = 3o 50’ 16.0890’’ W

h0 = 724.670 m

rispetto all’ellissoide caratterizzato dai seguenti parametri (ellissoide GRS80)

a=6378137.000 m

b=6356752.314 m

si calcolino le coordinate cartesiane geocentriche del punto P0.

b) Sia P il punto di coordinate cartesiane geocentriche:

X= 5078620.539 m

Y=-340687.296 m

Z=3831772.512 m

Si chiede di calcolare le coordinate geodetiche ),,( h�� rispetto all’ellissoide GRS80.

c) Sia il punto P0 di coordinate geodetiche

�0 =37o 14’7.747582’’ N

�0 = 4o 02’14.455679’’ W

h0 = 734.501 m

Sia dato un sistema cartesiano locale con origine in P0 e gli assi orientati nel seguente modo:

z lungo la normale ellissoidica per P0 e diretto verso l’alto

y lungo il meridiano, diretto verso Nord (coordinata N)

x lungo il parallelo diretto verso Est (coordinata E)

Nel sistema di coordinate geodetiche si consideri il punto P1 di coordinate:

�1 =37o 09’26.8617’’ N

�1 = 3o 50’16.089’’ W

h1= 724.670 m

sapendo che l’ellissoide rispetto al quale sono fornite le coordinate geodetiche è il GRS80, si

calcolino le coordinate cartesiane locali del punto P1.

Risultati

a)

X= 5078620.539 m

Y=-340687.296 m

Z=3831772.512 m

b)

� =37o 09’26.8617’’ N

� = 3o 50’ 16.089’’ W

h = 724.671 m

c)

x1 = +17727.2322 m

y1 = - 8641.4966 m

z1 =-40.3038 m

Esercizio 8

a) Sia il punto P di quota h = 0; si calcoli il disturbo troposferico con il modello di Saastamoinen

(Hp di una atmosfera standard) per un segnale con angolo di elevazione (�) 90º, 50º, 10º.

b) Si consideri i punti :

P1 di quota 500 m

P2 di quota 1000 m

P3 di quota 2000 m

P4 di quota 4000 m

Si calcoli il disturbo troposferico con il modello di Saastamoinen (una atmosfera standard)

per un segnale con angolo di elevazione 90º.

c) Calcolare il disturbo ionosferico per un punto di coordinate geodetiche

� = 45�0’0’’

� = 10�0’0’’

il 9 marzo 2001 alle ore 1, 7, 13, 19, per le portanti L1 e L2 per un segnale proveniente da

�� 10,90 �� .

1.0 IONOSPHERE MAPS GPS IONEX VERSION / TYPE

GPSEST V4.3 AIUB 12-MAR-01 22:19 PGM / RUN BY / DATE

CODE'S GLOBAL IONOSPHERE INFO FOR DAY 068, 2001 COMMENT

The global ionosphere maps are generated on a daily basis DESCRIPTION

by the Center for Orbit Determination in Europe (CODE), DESCRIPTION

University of Berne, Switzerland. DESCRIPTION

The TEC is modeled with a spherical harmonic expansion up DESCRIPTION

to degree 12 and order 8 referring to a solar-geomagnetic DESCRIPTION

reference frame. The 12 2-hour sets of 149 ionosphere DESCRIPTION

parameters per day are derived from GPS data of the global DESCRIPTION

IGS (International GPS Service) network. DESCRIPTION

Contact address: [email protected] DESCRIPTION

Web site: http://www.aiub.unibe.ch/ionosphere.html DESCRIPTION

2001 3 9 1 0 0 EPOCH OF FIRST MAP

2001 3 9 23 0 0 EPOCH OF LAST MAP

7200 INTERVAL

12 # OF MAPS IN FILE

COSZ MAPPING FUNCTION

10.0 ELEVATION CUTOFF

One-way carrier phase leveled to code OBSERVABLES USED

144 # OF STATIONS

28 # OF SATELLITES

6371.0 BASE RADIUS

2 MAP DIMENSION

450.0 450.0 0.0 HGT1 / HGT2 / DHGT

87.5 -87.5 -2.5 LAT1 / LAT2 / DLAT

-180.0 180.0 5.0 LON1 / LON2 / DLON

-1 EXPONENT

TEC/RMS values in 0.1 TECU; 9999, if no value available COMMENT

List of stations: COMMENT

ajac albh algo alic alme amc2 ankr aoml areq artu asc1 auck COMMENT

bahr bili bogo bor1 brmu brus cagl cas1 casc cedu chat chur COMMENT

coco cord cro1 daej darw dav1 delf dgar dour drao dubo ebre COMMENT

eisl fair flin fort gala glsv gode gold gope gras graz guam COMMENT

harb helg hers hflk hob2 hofn hrao iisc irkt jama joen joze COMMENT

karr kely kerg kir0 kokb kosg kunm kwj1 lama lhas mac1 madr COMMENT

mag0 mar6 mas1 mate maw1 mcm4 mdo1 mdvo medi mets mkea nico COMMENT

nklg nlib not1 noum npld nrc1 ntus nya1 ohig onsa penc petp COMMENT

pie1 pimo pol2 pots ptbb ramo reyk riog riop sant sch2 sele COMMENT

shao sjdv soda stjo suth suwn syog ters thti thu1 tidb tixi COMMENT

tlse tow2 tro1 tskb upad urum usnb usno usud vaas vil0 vill COMMENT

wes2 whit will wsrt wtzr wuhn yakz yar1 yell yssk zeck zimm COMMENT

DIFFERENTIAL CODE BIASES START OF AUX DATA

01 -1.099 0.032 PRN / BIAS / RMS

02 -2.398 0.033 PRN / BIAS / RMS

03 -0.431 0.033 PRN / BIAS / RMS

04 0.542 0.034 PRN / BIAS / RMS

05 -0.492 0.033 PRN / BIAS / RMS

06 -0.095 0.033 PRN / BIAS / RMS

07 -1.983 0.035 PRN / BIAS / RMS

08 -0.882 0.033 PRN / BIAS / RMS

09 0.253 0.034 PRN / BIAS / RMS

10 -2.115 0.034 PRN / BIAS / RMS

11 2.328 0.033 PRN / BIAS / RMS

13 4.044 0.032 PRN / BIAS / RMS

14 3.551 0.034 PRN / BIAS / RMS

15 -1.508 0.042 PRN / BIAS / RMS

17 -1.537 0.033 PRN / BIAS / RMS

19 -1.829 0.033 PRN / BIAS / RMS

20 1.158 0.033 PRN / BIAS / RMS

21 -1.610 0.032 PRN / BIAS / RMS

22 -0.769 0.033 PRN / BIAS / RMS

23 -1.306 0.034 PRN / BIAS / RMS

24 -2.649 0.034 PRN / BIAS / RMS

25 1.603 0.034 PRN / BIAS / RMS

26 0.483 0.033 PRN / BIAS / RMS

27 -0.635 0.033 PRN / BIAS / RMS

28 3.421 0.034 PRN / BIAS / RMS

29 1.515 0.034 PRN / BIAS / RMS

30 1.835 0.033 PRN / BIAS / RMS

31 0.603 0.033 PRN / BIAS / RMS

DCB values in ns; sum of all values constrained to zero COMMENT

DIFFERENTIAL CODE BIASES END OF AUX DATA

END OF HEADER

1 START OF TEC MAP

2001 3 9 1 0 0 EPOCH OF CURRENT MAP

87.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

193 195 196 196 197 197 198 197 197 197 196 195 194 193 192 190

188 187 185 183 181 179 177 175 174 172 170 168 167 165 164 162

161 160 159 158 157 156 156 155 155 154 154 154 154 154 154 155

155 156 156 157 158 160 161 162 164 166 167 169 171 173 175 177

179 181 183 185 187 189 191 192 193

85.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

208 211 213 215 216 217 218 218 217 216 215 213 210 208 205 201

197 194 190 186 182 178 174 170 166 163 160 157 155 153 150 149

147 145 144 143 141 140 139 138 137 136 136 135 135 134 134 134

134 135 136 137 138 140 142 145 148 151 154 158 162 166 170 174

178 182 187 191 195 198 202 205 208

82.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

.

45.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

441 416 389 366 351 346 353 368 386 402 410 410 400 385 365 342

316 288 258 229 202 182 169 161 155 148 138 124 110 98 91 90

93 100 107 112 115 116 117 119 121 124 126 125 121 115 106 96

88 85 89 102 123 151 184 219 254 288 319 348 375 402 426 449

468 482 492 497 496 491 480 463 441

.


87.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

214 211 208 205 202 199 196 193 190 187 185 182 180 178 176 174

173 172 171 170 169 169 170 170 171 172 173 175 177 179 182 184

187 190 193 196 200 203 206 209 213 216 219 222 225 227 230 232

234 236 237 239 240 241 241 242 242 242 241 241 240 239 238 236

234 232 230 228 226 223 220 217 214

85.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

218 213 207 201 196 190 184 179 174 169 164 159 155 151 147 144

141 138 136 135 134 133 133 134 135 137 139 143 146 151 155 161

166 172 179 185 191 198 204 211 217 223 228 234 239 243 247 251

254 257 260 262 264 265 266 266 267 266 266 265 263 262 260 257

254 251 247 243 238 234 229 224 218

.

. 45.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

236 217 200 185 173 165 158 152 145 134 121 106 92 80 71 66

64 63 63 63 62 61 61 61 63 65 67 69 70 71 71 73

79 92 111 138 169 202 233 261 286 309 332 356 382 409 435 459

478 491 500 505 505 502 496 487 474 458 440 421 401 384 368 354

343 332 322 311 300 287 272 254 236

42.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

220 197 176 159 147 140 137 136 135 131 124 114 104 93 86 82

81 82 84 86 87 88 88 88 88 89 90 90 89 86 84 84

89 100 121 149 182 216 250 279 305 328 351 376 403 430 455 478

496 509 517 522 523 521 515 505 491 474 455 435 415 398 384 371

359 348 335 321 304 285 265 243 220

.


87.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

162 162 162 161 161 161 160 160 160 159 159 159 158 158 158 158

159 159 159 160 160 161 162 163 164 165 166 167 168 170 171 172

173 174 175 176 177 177 178 178 179 179 179 179 179 178 178 177

177 176 175 175 174 173 172 171 170 170 169 168 168 167 166 166

165 165 164 164 164 163 163 163 162

85.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

157 157 157 156 156 155 154 153 152 151 149 148 147 147 146 146

145 146 146 147 148 150 152 154 156 159 161 164 167 170 172 175

178 180 182 184 186 187 188 189 189 189 189 188 187 186 185 183

181 179 177 175 172 170 168 166 164 162 161 159 158 157 156 156

156 156 156 156 156 156 157 157 157

.

. 45.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

129 133 134 133 127 118 106 95 84 75 69 63 59 57 59 65

79 99 124 153 181 207 230 251 272 293 316 339 360 376 387 392

393 392 393 395 397 400 400 398 395 391 389 389 390 391 388 380

367 347 323 297 270 245 223 203 187 174 164 157 154 152 152 152

150 147 142 136 130 126 125 126 129

42.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

126 134 140 143 142 135 125 114 102 91 82 75 70 68 71 80

97 120 148 178 207 232 253 272 291 311 333 355 374 389 399 404

407 410 416 422 429 433 433 428 421 414 409 406 405 403 398 387

371 349 323 297 271 249 229 211 197 184 173 165 159 155 153 151

148 143 137 130 124 119 118 120 126

..

. 45.0-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

198 223 250 277 305 332 358 381 400 414 423 427 428 427 427 426

426 424 421 416 410 404 399 395 392 388 383 375 364 349 332 313

293 273 253 234 215 197 182 171 164 161 162 163 164 164 161 157

151 145 140 136 134 133 132 133 134 138 142 148 154 159 162 161

158 151 145 140 140 146 158 175 198

42.5-180.0 180.0 5.0 450.0 LAT/LON1/LON2/DLON/H

212 240 268 297 326 354 381 406 427 443 455 461 464 464 464 463

461 458 452 444 435 427 419 413 408 402 394 383 368 351 333 315

297 279 261 242 223 204 187 174 166 162 163 165 166 166 162 156

148 141 136 133 132 133 134 137 140 144 149 156 162 167 169 168

163 155 147 143 143 151 166 187 212

Risultati

esercizio Ritardo umido [m] Ritardo secco [m] ritardo troposferico [m]

a.I 0.103691 2.307170 2.410861

a.II 0.135359 3.009377 3.144737

a.III 0.597134 12.798921 13.396055

b.I 0.061769 2.174162 2.235931

b.II 0.036601 2.047423 2.084025

b.III 0.012649 1.811848 1.824498

b.IV 0.001418 1.406285 1.407703

c)

Disturbo ionosferico in metri (�=10º)

ora/portante 1 7 13 19L1 10.9 21.7 37.4 17L2 18 35.8 61.6 28

Disturbo ionosferico in metri (�=90º)

ora/portante 1 7 13 19L1 1.9 3.8 6.5 3L2 3.1 6.2 10.7 4.9

Esercizio 9

Nello spazio a due dimensioni sia P un punto di posizione incognita; siano invece P1, P2, P3 e P4

quattro punti di posizione nota:

;1010

;15

5;

155

;1010

4321 mPmPmPmP ��

��

��

�

��

��

�

��

� ��

�

��

��

Da P sono state misurate le distanze ai quattro punti P1, P2, P3 e P4, ottenendo i valori

mD

mD

mD

mD

ObsP

ObsP

ObsP

ObsP

141.14

811.15

812.15

142.14

4

3

2

1

�

�

�

�

Sapendo che le misure sono caratterizzate dalla medesima precisione e sono fra loro scorrelate,

ovvero ICyy20�� , con 2

0� =10-4 m2 e conoscendo una posizione approssimata per P, data da

mP ��

��

��

00~

si costruisca il sistema di equazioni di osservazione non lineari fra la posizione incognita di P e

le osservazioni di distanza; quindi lo si linearizzi e si fornisca la stima ai minimi quadrati delle

coordinate di P; si verifichi con livello di significatività � =5% la correttezza del modello globale e

quindi si stimino le precisioni delle coordinate di P.

Risultati

Linearizzazione e posizione del problema

ObsPPiP

iP

iP

PPiP

iP

iPi

Pi

P

Obsi

Pi

PiP

YYYYXX

YY

XXYYXX

XXYYXX

YYXXDObs

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�

��

��

��

��

��

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��

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)~(

)~()~()~(

)~()~()~(

)()(

22

22

22

22

ovvero

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��

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�

�

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�

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�

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��

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~~

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4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

4

3

2

1

4

3

2

1

PP

PP

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

YYXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DDDD

DDDD

Obs

Obs

Obs

Obs

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��

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��

�

�

)~()~(

142136.1410

142136.1410

811389.1515

811389.155

811389.1515

811389.155

142136.1410

142136.1410

142136.14811389.15811389.15142136.14

141.14811.15812.15142.14

PP

PP

YYXX

Valori stimati

mmmYY

mmmXX

P

P

YPP

XPP

0003760.0000246.0000246.0~ˆ

0005743.0000852.0000852.0~ˆ

ˆ

ˆ

��

��

�

�

Esercizio 10

Nello spazio a due dimensioni sia un punto P di posizione incognita; siano invece P1, P2 , P3 e P4

quattro punti di posizione nota:

Punto Coordinata X Coordinata Y

P1 20000.0 Km 0.0 Km

P2 14142.136 Km 14142.136 Km

P3 0.0 Km 20000.0 Km

P4 18330.303 Km 8000.0 Km

Da P sono state misurate le distanze ai punti P1, P2 , P3 e P4 . I valori ottenuti sono:

Osservazioni

D1OSS 16318.529 Km

D2OSS 13999.999 Km

D3OSS 16318.525 Km

D4OSS 14580.320 Km

Sapendo che le osservazioni sono caratterizzate dalla medesima precisione e sono fra loro

scorrelate,

ovvero IC 20�� , con 22

0 100m�� e conoscendo la posizione approssimata di P, data da

P X�4242.641 Km Y�4242.641 Km

1. Si scriva l’equazione di osservazione dal punto P agli altri punti.

2. Si formalizzi il problema ai minimi quadrati linearizzato, da risolvere rispetto alla posizione di P

3. Si risolva il problema ai MQ, determinando la posizione di P.

4. Si calcolino gli scarti delle osservazioni, il 20�̂ e si effettui il test sul modello globale con

%5�� .

5. Qualora il test non passi si calcolino gli scarti normalizzati e si identifichi l’eventuale outlier.

Risultati

Linearizzazione e posizione del problema

ObsPPiP

iP

iP

PPiP

iP

iPi

Pi

P

Obsi

Pi

PiP

YYYYXX

YY

XXYYXX

XXYYXX

YYXXDObs

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��

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��

��

�

��

��

)~()~()~(

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)~()~()~(

)~()~()~(

)()(

22

22

22

22

ovvero

��

��

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~~

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~

~

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4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

4

3

2

1

4

3

2

1

PP

PP

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

YYXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

D

D

D

D

D

D

D

D

Obs

Obs

Obs

Obs

Valori stimati

KmmKYY

KmKmXX

PP

PP

623251.4242017748.0~ˆ564001.4242076998.0~ˆ

��

��

99.5%)5(102348.0ˆ01174.0ˆ

232

220

��

�

��

�

teoricsp

Km


��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

4141916.1006419.0860867.0871769.0

153255.0000696.0093291.0094473.0

ˆ1

20�

u

Quindi l'eventuale outlier è nella quarta osservazione. Si può dunque ripetere la compensazione

ai MQ rimuovendo la corrispondente osservazione.

Esercizio 11

Sia R un ricevitore di posizione incognita che, nella semplificazione a due dimensioni (vedi

disegno), effettua osservazioni di codice ai satelliti S1, S2, S3, S4 e S5.

Valgano ora le seguenti ipotesi semplificative:

1. siano nulli il disturbo troposferico T ed il disturbo ionosferico I per tutte le osservazioni;

2. siano noti a priori e nulli tutti i termini di errore d’orologio, sia del ricevitore (dTR) sia dei

satelliti (dTSJ);

3. le osservazioni siano caratterizzate dalla medesima precisione, e reciprocamente scorrelate

)4,( 220

20 mIC yy �� .

Le osservazioni di codice effettuate ai satelliti sono le seguenti

Satellite Osservazione di Codice

P1OSS 16318.530 Km

P2OSS 14000.002 Km

P3OSS 16318.527 Km

P4OSS 14637.970 Km

P5OSS 14638.755 Km

Si conoscano inoltre, dalle efemeridi, le posizioni dei satelliti

Satellite Coordinata X Coordinata Y

S1 20000.0 Km 0.0 Km

S2 14142.136 Km 14142.136 Km

S3 0.0 Km 20000.0 Km

S4 18477.590 Km 7653.669 Km

S5 7653.669 Km 18477.590 Km

e la posizione approssimata del ricevitore

R X�4242.641 Km Y�4242.641 Km

1. Si scriva l’equazione di osservazione dal ricevitore al generico satellite SJ, linearizzata rispetto

alle incognite di posizione del ricevitore stesso.

2. Si formalizzi quindi il problema ai minimi quadrati linearizzato, da risolversi rispetto alla

posizione del ricevitore.

3. Si risolva il problema ai MQ, determinando la posizione del ricevitore.

4. Si calcolino gli scarti di osservazione e il 20�̂ ; si effettui quindi un test sul modello globale

mediante test del �2, con �=5%. Qualora il test non venga superato si calcolino gli scarti

normalizzati e si identifichi il sospetto outlier.

Risultati

Come nel caso precedente, però con cinque satelliti, si arriva alla

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

��

��

��

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��

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5

4

3

2

1

5

5

5

5

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

5

4

3

2

1

~~~~~

)~()~(

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~~

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~~

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R

R

R

R

R

RR

RR

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R

R

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R

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R

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R

R

R

R

DDDDD

YYXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

PPPPP

Obs

Obs

Obs

Obs

Obs

Valori stimati

Parametri incogniti

KmmKYY

KmKmXX

PP

RR

321533.4242319467.0~ˆ603047.4242037953.0~ˆ

��

��

Scarti di osservazione e test globale sul modello:

814.7%)5(104762ˆ1397.0ˆ

509228.0067608.0299896.0250824.0

048127.0

ˆ

22

220

��

�

��

�

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��

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teorico

obs

Km

KmPPv


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�

�

�

�

7298996.1229670.0082884.1825367.0

173781.0

646538.0085837.0404720.0308475.0

064949.0

ˆ1

20�

u

Quindi l'eventuale outlier è nella quinta osservazione. Si può dunque ripetere la compensazione

ai MQ rimuovendo la corrispondente osservazione.

Esercizio 12

Sia R un ricevitore di posizione incognita che, nella semplificazione a due dimensioni (vedi

disegno), effettua osservazioni di codice a cinque satelliti S1, S2, S3, S4 e S5.

Le osservazioni di codice effettuate ai satelliti sono le seguenti

Satellite Osservazione di Codice

P1OSS 22380.127 Km

P2OSS 19894.208 Km

P3OSS 19500.004 Km

P4OSS 19894.698 Km

P5OSS 22381.092 Km

Si conoscano dalle efemeridi le posizioni e gli errori di orologio dei satelliti

Satellite X [km] Y [km] dT [ns]

S1 18738 18738 1000

S2 24802 7800 2000

S3 26000 0 0

S4 24802 -7800 500

S5 18738 -18738 -2000

Siano inoltre dati i seguenti valori di disturbo troposferico e ionosferico per le osservazioni

Satellite T [m] I [m]

S1 10 20

S2 5 10

S3 2 4

S4 5 10

S5 10 20

Sia la posizione approssimata del ricevitore

R X�6500 Km Y� 0 Km

Si scriva l’equazione di osservazione dal ricevitore al generico satellite SJ, linearizzata rispetto

alle incognite di posizione del ricevitore stesso. Si formalizzi quindi il problema ai minimi quadrati

linearizzato, da risolversi rispetto alla posizione del ricevitore. Si calcolino matrice disegno A,

termine noto b e vettore delle osservazioni y0, corrispondenti ai dati numerici forniti. Nell’ipotesi

che le osservazioni siano caratterizzate dalla medesima precisione, e reciprocamente scorrelate

(C=�2I), si risolva il problema ai MQ, determinando la posizione del ricevitore. Si calcolino infine

gli scarti di osservazione, il 20�̂ e le precisioni per i parametri stimati.

Risultati

Il sistema linearizzato è dato dalla

��

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5

4

3

2

1

5

5

5

5

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

5

4

3

2

1

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1~~

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1~~

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1~~

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1~~

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1~~

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R

R

R

R

R

R

RR

RR

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

DDDDD

dTcYYXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

DYY

DXX

YYYYY

Obs

Obs

Obs

Obs

Obs

ove si è posto iR

iR

iiR

iR ITdTcPY ��

KmY iRObs

��

�

�

��

�

�

�

462.22380833.19894998.19499793.19894397.22380

Valori stimati

Parametri incogniti

nsdTKmmKYY

KmKmXX

R

PP

RR

589885.387041011.0041011.0~ˆ

116909.6500116909.0~ˆ

��

��

��

Scarti di osservazione

Kmv

��

�

�

��

�

�

�

�

001983.0004752.0001367.0003091.0

001689.0

ˆ

220 00002039.0ˆ Km��

ns

Km

Km

RTd

RY

RX

577811.27

003454.0

01019.0

ˆ

ˆ

ˆ

�

�

�

�

�

�

appunti per gli esercizi di misure...

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