appunti sulla convezione - … · trasporto di massa è funzione del solo scambio termico e...

Prof. Andrea Franchi

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APPUNTI SULLA CONVEZIONE

Definizione del fenomeno

Nello scambio di calore per convezione almeno uno

dei due elementi che partecipano è un fluido.

Esaminiamo il caso più semplice: una parete piana

(verticale o orizzontale) lambita da un fluido.

Se la parete ed il fluido sono alla stessa Temperatura,

il fluido rimane fermo e non si ha scambio di calore; vi

sono soltanto moti Browniani ma complessivamente il

fluido rimane in quiete.

Se la lastra ha una T maggiore di quella del fluido, il

generico volumetto di fluido (indicato per brevità con

dV) a contatto con la lastra si riscalda ed aumenta il

proprio volume, poiché tutti i corpi per effetto di un ΔT

positivo tendono a dilatarsi in misura maggiore o

minore a seconda del valore del coefficiente di

dilatazione termica β. l’aumento di volume modifica la

situazione precedente di equilibrio: all’interno della

massa ogni volumetto di fluido dV è soggetto alla

Forza peso ed alla forza di Archimede che, in assenza

di dilatazioni, si equivalgono.

Quando il fluido si scalda il suo volume aumenta ma il peso resta lo stesso, quindi la Forza

di Archimede aumenta e supera la forza peso: il generico dV di fluido tende a salire.

In conclusione, il riscaldamento del fluido provoca una dilatazione di volume generando

una spinta verso l’alto: l’effetto globale è una corrente ascensionale di fluido, ossia un

MOTO CONVETTIVO che, come in questo caso in cui la parete è più calda, è diretto

verso l’alto; in caso contrario è diretto verso il basso.

In seguito alla corrente ascensionale nuovo fluido proveniente dalle zone circostanti andrà

a sostituire quello caldo spinto verso l’alto.


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LA CONVEZIONE IMPLICA QUINDI NECESSARIAMENTE UN TRASPORTO DI MASSA

ASSOCIATO AL TRASPORTO DI CALORE.

Inoltre, in questo caso il trasporto di massa (cioè il moto del fluido) è diretta conseguenza

dello scambio di calore: si parla di CONVEZIONE NATURALE, ossia in quei casi in cui il

trasporto di massa è funzione del solo scambio termico e viceversa senza l’azione di

agenti esterni.

In altri casi, infatti, il fluido potrebbe essere già in moto rispetto alla parete (ad esempio

spinto da un compressore in caso di gas o da una pompa centrifuga in caso di un liquido);

se fluido e parete hanno la stessa temperatura non c’è ovviamente scambio termico, ma

se le due temperature sono diverse lo scambio di calore avviene come al solito: in questo

caso però il trasporto di calore non è collegato al trasporto di massa, poiché quest ultimo è

regolato da componenti esterni (pompe, compressori, ventilatori, ecc.). In questo caso si

parla di CONVEZIONE FORZATA.

Il concetto di strato limite

Il moto complessivo del fluido ha per effetto il trasferimento di calore a seguito di un

trasferimento di massa.

Tutto ciò avviene ad una certa distanza dalla parete poiché, se ci si pone nelle immediate

vicinanze, essendo la parete ferma, anche il fluido a contatto sarà fermo. Tale strato di

fluido fermo è dovuto anche alla scabrezza della superficie: in pratica è come se il fluido

ricoprisse le asperità superficiali del materiale, ma esse generano ostacolo al movimento

e, attaccato alla parete, il fluido è praticamente fermo.

A mano a mano che ci si allontana dalla parete la velocità v del fluido inizia a crescere fino

a raggiungere il valore medio assunto in fase massiva, ossia la velocità nominale del fluido

v* (molti testi riportano v∞ cioè la velocità del fluido a distanza infinita dalla lastra, il che

equivale a dire la velocità nominale del fluido in una condizione in cui l’effetto della lastra

non si esplica più).

Praticamente, allontanandosi dalla parete la velocità del fluido aumenta da v=0 fino a

v=v*: si definisce STRATO LIMITE di VELOCITA’ o STRATO LIMITE FLUIDODINAMICO

lo strato di fluido all’interno del quale la velocità aumenta da v=0 fino al 99% della velocità

nominale, ossia fino a v=0,99v*.


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In maniera molto più esplicativa si puo’ ricorrere al caso in cui un fluido si immetta dentro

una tubazione: all’imbocco avrò un profilo di velocità per cui v=0 sulla parete e velocità

crescenti via via che il fluido percorre cammino all’interno della tubazione.


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All’interno di questo strato limite, il fluido può muoversi in regime laminare o turbolento,

cosi come si può avere regime laminare o turbolento anche in fase massiva: lo strato limite

rappresenta solo lo spessore di liquido nel quale si passa da v=0 ad un regime di velocità

che al 99% è quello massivo.

E’ ovvio che se in fase massiva il fluido ha regime laminare, lo spessore dello strato limite

sarà maggiore; mentre se in fase massiva il moto è completamente turbolento lo spessore

dello strato limite sarà molto piccolo.

In ogni caso, a contatto con la parete vi sarà sempre una “pellicola” di liquido ferma (una

specie di “sottostrato” laminare), il cui spessore dipende dalla scabrezza del materiale,

dalla viscosità del fluido e da altri parametri chimico-fisici.

Molto spesso (o comunque nei casi per cui questa approssimazione è valida) se la

velocità massiva del fluido è alta (quindi il moto è pienamente turbolento) lo strato limite di

velocità coincide quasi con la pellicola di liquido ferma aderente alla parete.


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Il coefficiente di convezione

Come già visto, rispetto alla conduzione nella convezione i meccanismi che regolano lo

scambio di calore sono molto più complessi.

Nella convezione si adotta un approccio diverso: partendo da un’equazione generale, si fa

riferimento a casi reali per i quali sono note le geometrie ed i parametri del problema

(lastra piana orizzontale o verticale, tubo percorso internamente dal fluido, tubo lambito

esternamente dal fluido, serie di tubi, ecc.) e per ognuno di essi si risolvono di volta in

volta le equazioni che regolano il trasferimento di calore.

Equazione generale

Tale equazione si basa sui seguenti assunti:

• il calore scambiato deve comunque essere proporzionale al ΔT tra fluido e parete

• indipendentemente che lo strato limite coincida o meno con la pellicola, il calore,

partendo dalla parete, deve attraversare uno strato di liquido completamente fermo:

praticamente è come se fosse una seconda parete attaccata alla prima. Si potrebbe

usare l’espressione di Fourier per la conduzione su pareti composte, ma il problema

è che non si conosce lo spessore della pellicola

• poiché il liquido nella pellicola è fermo, tale strato di fluido è comunque anisotropo

quindi non si possono assegnare gli stessi valori dei parametri chimico-fisici

calcolati per la fase massiva.

L’effetto della pellicola, con il suo spessore non calcolabile e la sua anisotropicità, viene

inglobato nel parametro

h coefficiente di convezione (o coefficiente di pellicola) per cui si ha

Q = A h ΔT Formula generale di Newton per la convezione

(notare la similitudine con l’espressione di Fourier per la conduzione, dove si potrebbe

affermare che h = K / s).

Il calcolo del calore scambiato per convezione si riduce quindi al calcolo dei coefficienti di

pellicola, calcolo che come detto viene fatto caso per caso (lastre, tubi, ecc.)

Calcolo dei coefficienti di convezione h

Il calcolo di h è fatto sfruttando una tecnica matematica conosciuta come ANALISI

DIMENSIONALE. Essa si basa su un importante teorema detto


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Teorema π o Teorema di Buckingham

• Ogni legge fisica può essere espressa attraverso una relazione tra parametri

adimensionali

• Il numero N di questi parametri è pari alla differenza tra il numero di grandezze

fisiche P da cui dipende il fenomeno meno il numero F di unità di misura

fondamentali necessarie alla definizione dei parametri precedenti

• La relazione tra questi parametri adimensionali va scritta sotto forma di prodotto

ESEMPIO: calcolo di h per convezione forzata entro tubi

1) Scelta dei parametri chimico-fisici dai quali dipende h, si potrebbe ipotizzare:

h = f (ρ , v , d , µ , Cp , K) più il posizionatore che per semplicità non metterò nel

calcolo; quindi in totale P = 7

2) Unità di misura: analizzando le unità di misura dei 7 parametri precedenti, si nota come

le UM fondamentali si riducano a quattro: Massa (kg), Lunghezza (m), Tempo (s),

Temperatura (°C o °K non fa differenza), Quindi F = 4

3) Per il Teorema di Buckingham N = P – F = 7 – 4 = 3 parametri adimensionali

Questo problema di convezione forzata, ossia il calcolo del coefficiente di pellicola in

questo caso, può essere fatto utilizzando 3 gruppi adimensionali. Con la pratica,

conoscendo il problema, si potrebbero già scegliere i gruppi adimensionali adatti, ma

facciamo il caso che non si conoscano e quindi vanno determinati: per la determinazione

dei gruppi adimensionali si ricorre appunto all’analisi dimensionale, qui proposta con il

metodo degli indici.

Indichiamo con:

M unità di misura della massa

t u.m. del tempo

T u.m. della temperatura

Q u.m. del calore

L u.m. della lunghezza

Esplicitiamo h in funzione dei singoli parametri, tenendo conto che la dipendenza per il

momento è del tutto generica (quindi ogni parametro è elevato ad un esponente generico):


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h = Φ ( ρa vb dc µd Cpe Kf )

e sostituendo le unità di misura si ottiene:

h=ΦL3Mb l

a

tLb l

b

L] gc

t LMb l

d

M TQ

b l

e

t L TQ

b l

f

Poiché le unità di misura di h sono:

h= T t L2Q

è ovvio che la somma delle grandezze a secondo membro deve essere uguale a quelle

del primo membro; si ottiene così un sistema di cinque equazioni:

a+ d- e=0

-3a+ b+ c- d- f =- 2

-b- d- f =-1

-e- f =- 1

e+ f = 1

Z

[

\

]]]

]]]

_

`

a

bbb

bbb

che risolto fornisce: a = b

c = a - 1

d = e – a

f = 1 – e che sostituiti:

h=ΦL3Mb l

a

tLb l

a

L] ga

L] g-1

t LMb l

e

t LMb l

-a

M TQ

b l

e

t L TQ

b lt L TQ

b l

-e

raggruppando quindi le grandezze con lo stesso esponente si ottiene:


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h=Φ

t LM

L3M

tL L

R

T

SSSS

V

X

WWWW

a

t L TQ

t LM

M TQ

R

T

SSSS

V

X

WWWW

e

t L TQ

b l L] g-1

ed esplicitando le grandezze fisiche dalle unità di misura si ottiene

KhD

=µ

ρ v dc m

a

KCp µb l

e

Il primo membro è il NUMERO DI NUSSELT

Nu= Kh D

mentre a secondo membro il numero nella prima parentesi è il Numero di Reynolds ed il

secondo è il Numero di PRANDTL.

Pr= KCp µ

L’equazione risolutiva del problema di convezione diventa quindi:

Nu= Φ Re] ga

Pr] gb

oppure se vogliamo

h= Φ dK Re] g

a

Pr] gb

che permette di calcolare il coefficiente di pellicola h.

Resta solo da determinare (in via sperimentale, considerando di volta in volta le varie

geometrie) i valori delle costanti numeriche Φ, a e b.

Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni sperimentali per la convezione

naturale e forzata


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Formule sperimentali per il calcolo del n° di Nusselt: CONVEZIONE FORZATA

Campo di validità:

(RE)

Calcolo del Numero di Nusselt

NU = Φ Rea Prb Autori Note

Φ a b

< 2300 0.289 (D/X)1/2

0.5 0.33 Elser L/D<20 (teorico)

< 2300 1.86 (D/X)1/3

0.33 0.33 Sieder e Tate

Valore medio tra 0 e X>20 D

< 2300 0.664 (D/X)1/2

0.5 0.33 Pohlhausen Teorico per parete piana

3000-30000 0.0033 1 0.37 Bohm

2700-7000 0.01 (D/X)0.37

1 0.37 Giulianini e al.

1.2D<X<20D

>10000 0.036 (D/X)1/18

0.8 0.33 Nusselt

>10000 0.032 (D/X)1/20

0.8 0.37 Kraussold Liquido riscaldato

>10000 0.032 (D/X)1/20

0.8 0.30 Kraussold Liquido riscaldato

>10000 0.183 (D/X)1/3

7/12 0.33 Elser Teorico

>10000 0.023 0.8 0.4 Dittus e Boelter

Fluido riscaldato

>10000 0.023 0.8 0.3 Dittus e Boelter

Fluido raffreddato

>10000 0.027 0.8 0.33 Sieder e Tate

Per prodotti petroliferi

12000-220000 0.02 (DI/DE)0.53

0.8 0.33 Monrad e

Pelton

Aria o acqua


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Formule sperimentali per il calcolo del n° di Nusselt: CONVEZIONE NATURALE

Situazione

Geometrica

Campo di validità

( RA = GR PR)

Nu= Φ Grb Prc

Autori Note

Φ b c

Superficie cilindrica orizzontale

< 10-5

103-109

109-1012

0.4

0.53

0.13

0

0.25

0.33

0

0.25

0.33

Mc Adams Nu e Gr Calcolati in funzione del diametro D

Superficie piana o cilindrica verticale

103-109

109-1012

0.59

0.13

0.25

0.33

0.25

0.33

Mc Adams Nu e Gr calcolati in funzione della estensione verticale L

105-2 107

2 107-3 1010

0.54

0.14

0.25

0.33

0.25

0.33

Flusso di calore verso l’alto

Superficie piana orizzontale,quadrata di lato L 105-2 107 0.25 0.25 0.25

Fishenden e Saunders

Idem, verso il basso

Sfera 103-1017 0.49 0.25 0.25 Bromhame Mayhew

< 2000 Pr

(2 104-2 105) Pr

(2 102-11 106) Pr

1

0.18(H/L)-1/9

0.065(H/L)-

1/9

0

0.25

0.33

0

0

0

Jakob Nu e Gr calcolati in funzione di L.

Relazioni valide per l’aria

Strato verticale di altezza H e spessore L:

una parete verticale più calda dell’altra. <103

103-107

1

0.28(H/L)-1/4

0

0.25

0

0.25

Emery e Chu

Idem, relazioni per liquidi, con 3< Pr <30000


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Significato fisico dei principali numeri adimensionali utilizzati nei fenomeni convettivi

Praticamente rappresenta l’incremento della potenza termica trasmessa per convezione rispetto a quella trasmessa per pura conduzione.

Re= µρ x v x d = f o r z e v i s cose

f o r z e d i i n e r z i a

Se il moto è laminare, prevalgono le forze viscose di coesione tra le molecole del fluido; viceversa, nel moto turbolento prevalgono le forze inerziali di moto.

G r = µ2β x g x ΔT x L 3 x ρ2

= f o r z e d i a t t r i t o v i s cosof o r z e d i g a l l e g g i a m e n to

I numero di Grashof trova utilizzo in regimi di convezione naturale (in cui essendo molto basse le velocità lineari dei fluidi, il moto sarà di tipo laminare e perciò l’intero processo di scambio termico risulterà meno dipendente dal Numero di Reynolds).

Il coefficiente di dilatazione termica β evidenzia quanto si dilati il gas al variare della temperatura:

In generale β varia al variare della temperatura. Sarà quindi opportuno risalire al valore corretto utilizzando tabelle specifiche.

Maggiore è Gr, maggiore risulterà lo scambio termico per convezione naturale

Pr = KC p x µ = d i f f u s i v i t a ' d e l c a l o r e

d i f f u s i v i t a ' d e l l a q . d i m o to

Si può considerare a tutti gli effetti come una proprietà chimico-fisica del fluido: in pratica dà una misura di come un fluido diffonde simultaneamente il calore e la quantità di moto (ossia un trasferimento di massa): ad esempio, Pr è minimo (<0,01) nei metalli liquidi nei quali il calore diffonde più rapidamente della quantità di moto (ossia delle singole molecole); è invece massimo (> 105) per gli oli pesanti.

NUMERO DI NUSSELT

NUMERO DI REYNOLDS

NUMERO DI GRASHOF

NUMERO DI PRANDTL


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ALTRI NUMERI ADIMENSIONALI IMPORTANTI


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Se moto laminare a=b

Convezione forzata

Nu = f (Rea x Prb)

Nu = f (Pe)

Convezione naturale

Nu = f (Gra x Prb)

Nu = f (Ra)

>>1 CONV. FORZATA

=1 MISTA

G rRe2

<<1 CONV. NATURALE

Se la convezione è mista:

N u m i s t o = (N u n a tu r a l en + N u f o r z a t a

n )1/n

n=3 per superfici verticali

3<n<4 per superfici orizzontali


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SCAMBIO DI CALORE PER CONVEZIONE: FORMULE UTILIZZATE

NOTE

h lato tubo

h = 0,027 x diK

x (Re)0,8x (Pr)0,33

h lato anello

h = 0,027 x DeqK

x (Re)0,8x (Pr)0,33

Continue

Lato anello ΔPc = f x (Deq)*

Ltotx 2g

v2

(Deq)*= Di - de

f = 0,014 + (Re* )0,421,056

ΔP Localizzate

Lato anello ΔPc = n x 2g

v2

n=num. Hairpin

HA

IRPIN

ΔP lato tubo ΔPc = f x di

Ltotx 2g

v2

Ltot=2L x n°hairpin

f = 0,014 + (Re)0,421,056

h lato tubi

h = 0,027 x diK

x (Re)0,8x (Pr)0,33

h lato shell

h = 0,36 x DeqK

x (Re)0,55x (Pr)0,33

Deq in base alla disposizione dei tubi

Continue

Lato tubi ΔPc = f x di

Ltotx 2g

v2

f dal grafico

Ltot=Lt x n ΔP

Localizzate

Lato tubi ΔPc = 4n x 2g

v2

n= n° passaggi lato tubo

FASC

IO TU

BIER

O

ΔP lato shell ΔPc = f x Deq

Ltotx 2g

v2

f dal grafico

Ltot= Dis x n° diafr.

n° dia=L/lb


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h entro tubi

h =1,86 x diK

x (Re x Pr x ldi)0,33 x log Re

2,25 x (1+ 0,01xGr0,33)

Tubi cilindrici

Orizz. e vertic. h =3,6 x (de

ΔT)0,25

ΔT in °C

de in cm

Parete piana

verticale h =1,525 x (ΔT)0,25

Parete piana orizz.

Faccia superiore h = 2,145 x (ΔT)0,25

CO

NVEZIO

NE N

ATU

RA

LE

h esterno

ai tubi

e superfici

piane Parete piana orizz.

Faccia inferiore h =1,14 x (ΔT)0,25

REATTORI INCAMICIATI

CON AGITATORE

h = 0,36 x diK

x ( µl2 xρ xn)0,66 x (Pr)0,33

L = lunghezza agitatore

n= n° giri/s


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NUMERI E PARAMETRI IMPORTANTI

Numero di Reynolds

Re = µ

ρ x v x d

Numero di Prandtl Pr = KCp x µ

Numero di Grashof Gr = µ2β x g x ΔT x L3 x ρ2

Numero di Nusselt

N u = Kh x d

Numero di Rayleigh

Ra = Gr x Pr

Numero di Peclet

Pe = Re x Pr

Costante di

Stefan-Boltzmann

σ = 4,87 x 10-8 kcal / (h m2 K4)

Legge di Wien

T x λ = 0,002898 (m x K)

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