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Circuiti a parametri distribuiti
Alberto Tibaldi
4 ottobre 2009
Indice
1 Linee di trasmissione 21.1 Concetti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Equazioni dei telegrafisti e loro soluzione . . . . . . . . 21.1.2 Equazioni delle linee nel dominio della frequenza . . . . 101.1.3 Propagazione dello stato elettrico . . . . . . . . . . . . 151.1.4 Carta di Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.5 Casi particolari di andamento di !(z) . . . . . . . . . . 271.1.6 Discontinuita delle linee di trasmissione . . . . . . . . . 311.1.7 Analisi grafica di |V | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.1.8 Rapporto di Onda Stazionaria (ROS) . . . . . . . . . . 391.1.9 Caratterizzazione dei circuiti mediante potenze . . . . 401.1.10 Partitore di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.1.11 Potenza in ingresso di un circuito . . . . . . . . . . . . 45
1.2 Linee di trasmissione con perdite . . . . . . . . . . . . . . . . 471.2.1 Interpretazione della soluzione . . . . . . . . . . . . . . 501.2.2 Coe!ciente di riflessione con perdite . . . . . . . . . . 51
1.3 Circuiti di adattamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.3.1 Adattatori di Uniformita . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.3.2 Adattatori Energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.3.3 Problemi nella realizzazione di adattatori energetici . . 631.3.4 Adattatori energetici a L rovesciato . . . . . . . . . . . 641.3.5 Trasformatore !
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.4 Linee di trasmissione nel dominio del tempo . . . . . . . . . . 67
1.4.1 Carico resistivo generico . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.4.2 Diagramma a traliccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5 Matrice di Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.5.1 Calcolo dei parametri scattering . . . . . . . . . . . . . 781.5.2 Uso della matrice scattering . . . . . . . . . . . . . . . 81
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Capitolo 1
Linee di trasmissione
Parlando di propagazione elettromagnetica, una classe di dispositivi in gradodi ottenere una propagazione di tipo “guidata” di energia elettromagneticae quella delle cosiddette “linee di trasmissione”. Studiare le linee di trasmis-sione esclusivamente sotto il punto di vista dell’utilita pratica, trascurandogli aspetti teorici, e tuttavia abbastanza limitante: la potenza dei model-li matematici introdotti a partire dallo studio di questo tipo di strutturee enorme: mediante questi si e infatti in grado di risolvere diversi proble-mi di elettromagnetismo in forma chiusa in modo intuitivo e semplice, unavolta acquisita una buona padronanza degli strumenti che verranno esposti.La teoria che verra tuttavia introdotta in questo capitolo sara introdottae a"rontata in maniera scorrelata rispetto ai problemi classici dell’elettro-magnetismo, basati sulla risoluzione delle equazioni di Maxwell, introducen-do dunque sostanzialmente i modelli matematici delle linee di trasmissionesemplicemente come un’estensione naturale delle nozioni di Elettrotecnica,introdotte alcune ipotesi aggiuntive.
1.1 Concetti fondamentali
1.1.1 Equazioni dei telegrafisti e loro soluzione
I modelli matematici su cui si basera l’estensione dell’Elettrotecnica che siintende introdurre in questo capitolo sono sostanzialmente costituiti da unacoppia di equazioni, note come “Equazioni dei telegrafisti”. Verra introdottaora una dimostrazione qualitativa in grado di motivarne le necessita.
Nell’Elettrotecnica tradizionale che si e abituati a studiare, si modellizzauna classe di circuiti elettrici molto vasta; come l’ingegneria insegna, tut-tavia, un modello altri non e che una “brutta copia” della realta: talvolta
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sembra avvicinarsi ad essa e descriverla in maniera appropriata, altre voltecommette errori grossolani. I modelli tradizionali impiegati per lo studiodei circuiti elettrici, tra i vari limiti, ne presenta uno molto importante perlo studio dei campi elettromagnetici: il fatto che vengano completamentetrascurate le dimensioni spaziali dei componenti del circuito. I modelli diquesto tipo sono i cosiddetti “modelli a parametri concentrati”: dal momen-to che si suppone che la lunghezza d’onda dei segnali eccitanti il sistema siasu!cientemente grande rispetto alle dimensioni fisiche del sistema, si puodire che, considerando le dimensioni fisiche del sistema “nulle”, non si com-metta un grosso errore. Nel caso (purtroppo molto frequente quando si parladi radiofrequenza ed elettromagnetismo in genere) in cui le lunghezze d’on-da del circuito siano dello stesso ordine di grandezza delle dimensioni fisichedel circuito, l’approssimazione introdotta dal modello non e piu accettabile,dunque risulta necessaria l’introduzione di modelli piu fini, e al contempomolto piu complicati, detti “modelli a parametri distribuiti”; quello che ci siaccinge a studiare, nella fattispecie, e uno di questi modelli.
Generalmente, una linea di trasmissione viene modellizzata mediante ilseguente simbolo:
Ogni qual volta si avra a che fare con dispositivi o entita modellizzabilimediante linee di trasmissione, si avra a che fare con questo tipo di simbolo.Si ricordi di definire un orientamento per l’asse z, rappresentante la direzionedi propagazione spaziale delle grandezze nel circuito a parametri distribuiti.Di questa linea, sul dominio spaziale, si considera uno spezzone compreso traun certo punto z e un punto z + #z, dunque di lunghezza complessiva #z.Sui terminali di ingresso e uscita della linea e possibile definire una coppiadi grandezze note dall’Elettrotecnica come “tensione” e “corrente”:
Si considerano dunque v(z, t), i(z, t), v(z+#z, t), i(z+#z, t), consideran-do dunque, come in ogni buon modello a parametri distribuiti, sia le dimen-sioni spaziali (z) sia le dimensioni temporali, gia normalmente consideratenell’ambito di modelli elettrotecnici (t).
Volendo introdurre un modello riconducibile a quello noto dall’elettrotec-nica, e possibile fare le seguenti osservazioni:
• Il filo avra una certa resistenza per unita di lunghezza, R: non essendodi fatto ideale la linea, tra un morsetto e un altro vi sara una resistenzaparassita;
[R] =$
m
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• Il filo percorso da corrente genera campo magnetico; questo fatto simodellizza mediante l’introduzione di un’induttanza per unita di lunghez-za, L;
[L] = H
m
• Si ha a che fare con strutture di tipo bifilare, come suggerisce il simboloutilizzato; due fili, a"acciati l’uno sull’altro, percorsi da corrente, gen-erano un e"etto capacitivo modellizzabile mediante una capacita perunita di lunghezza, C;
[C] = F
m
• La linea, non ideale, ha e"etti di perdite: di fatto l’isolante separante idue fili della struttura bifilare potrebbe avere perdite, causate ad esem-pio dall’e"etto Joule; cio si puo modellare mediante una conduttanzaper unita di lunghezza che unisce i due fili, G;
[G] = S
m
Dal momento che la linea di trasmissione considerata ha una lunghez-za spaziale pari a #z, ciascuna grandezza appena introdotta dovra esseremoltiplicata per #z, in modo da poter determinare equazioni in grado dimodellare questo tipo di sistema.
Il circuito equivalente risultante da queste considerazioni sara il seguente:Dal momento che questo circuito e puramente elettrotecnico, dunque sem-
plicemente risolubile mediante le leggi di Kirchho", se ne scrive l’equazionealla maglia:
v(z, t) = R · #z · i(z, t) + L · #z · "i(z, t)"t
+ v(z + #z, t)
Dunque, l’equazione al nodo:
i(z, t) = G · #z · v(z + #z, t) + C · #z · ""t
v(z + #z, t) + i(z + #z, t)
Utilizzando l’analisi non-standard, si puo dividere entrambe le equazioniper #z, dunque calcolare il limite per z ! 0; cio sostanzialmente coincide,mancando di formalismo, con la derivata parziale rispetto alla dimensione
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spaziale z; a questo punto dunque e possibile ottenere le espressioni notecome “Equazioni dei telegrafisti”:
" ""z
v(z, t) = R · i(z, t) + L ""t
i(z, t)
" ""z
i(z, t) = G · v(z, t) + C ""t
v(z, t)
Le equazioni appena presentate sono equazioni alle derivate parziali, e inquanto tali esse richiedono il fatto che vengano introdotte condizioni iniziali econdizioni al contorno, al fine di essere risolte. Si consideri ancora il circuitoequivalente della linea di trasmissione:
Per z = l, si ha che:
v(l, t) = ZL · i(l, t) = vl(t) = ZL · il(t)
Si noti che e stata applicata la legge di Ohm: cio e possibile dal momentoche ci si ritrova in una sezione fissa. Considerando dunque un solo puntodella linea, e possibile utilizzare la suddetta legge dal momento che si limitasolo ad esso la visione del circuito: date dimensioni spaziali nulle, diventapossibile definire tensioni e correnti.
Per semplicita, si stabilisce che, all’istante t = 0, si abbiano condizioniiniziali cosı definite:
v(z, 0) = v0; i(z, 0) = i0
Si consideri dunque di avere una linea ideale, ossia priva di perdite eresistenze interne provocanti cadute di tensione:
R = 0 G ! #
Sostituendo, si puo vedere facilmente che le equazioni di"erenziali siridurranno a:
!""#
""$
"v(z, t)
"z+ L"i(z, t)
"t= 0
"i(z, t)
"z+ C "v(z, t)
"t= 0
Si prendono queste equazioni e si derivano rispettivamente nella variabilez e nella variabile t parzialmente, ottenendo qualcosa di questa forma:
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!""#
""$
"2v(z, t)
"z2+ L"
2i(z, t)
"t"z= 0
"2i(z, t)
"z"t+ C "
2v(z, t)
"t2= 0
Le derivate parziali miste, per il teorema di Schwartz, sono uguali traloro; si puo dunque ricavare, sostituendo la seconda equazione nella prima,la seguente unica equazione:
"2v(z, t)
"z2" L · C · "
2v(z, t)
"t2= 0
Questa equazione, per gli intenditori di Fisica Matematica, altri non e cheun’equazione d’onda, ossia un’equazione di"erenziale alle derivate parzialinota e risolubile in forma chiusa mediante alcuni artifici analitici. Dal mo-mento che a questa equazione e possibile associare alcune grandezze, qualela velocita di fase della medesima. La velocita di fase altri non e che la ve-locita che un osservatore deve avere per vedere la fase costante al variare deltempo t. Dalla forma canonica nella quale si puo solitamente vedere nei testil’equazione d’onda, si sa che:
"2v(z, t)
"z2" 1
v2f· "
2v(z, t)
"t2= 0
Da qui:
vf =1$L · C
L’equazione d’onda e un’equazione di"erenziale iperbolica; per risolverla,e necessario far uso di un cambio di variabili, noto come “di d’Alembert”:
%# = z " vf · t$ = z + vf · t
Invertendole:
z =1
2(# + $)
t =1
2 · vf($ " #)
Utilizzando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ottiene(considerando v(z, t) = v, al fine di alleggerire la notazione):
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"v
"z="v
"#· "#"z
+"v
"$· "$"z
="v
"#+"v
"$
"v
"t="v
"#· "#"t
+"v
"$· "$"t
= "vf
&"v
"#" "v"$
'
Si deriva a questo punto una seconda volta, ottenendo dunque:
"2v
"z2="
"#
&"v
"#+"v
"$
'+"
"$
&"v
"#+"v
"$
'=
="2v
"#2+ 2 · "
2v
"#"$+"2v
"$2
"2v
"z2= vf ·
("
"$
&"v
"$" "v"#
'· vf "
"
"#
&"v
"$" "v"#
'· vf)=
= v2f
&"2v
"$2" 2
"2v
"#"$+"2v
"#2
'
Si ricorda che a questo punto, l’equazione risultante, a partire dalla qualee stato e"ettuato il cambio di variabili di d’Alembert, e:
"2v(z, t)
"z2" L · C · "
2v(z, t)
"t2= 0
Sostituendo in essa le espressioni operative appena ricavate, si puo vedereche i termini delle derivate seconde pure si annullano (il termine L · C comegia detto e legato alla velocita di fase al quadrato, ricavata nelle operazionidi derivazione); cio che si ottiene, a meno di costanti moltiplicative, dunque,e:
"2v
"#"$= 0
Cio significa, utilizzando la definizione di derivata mista, che la funzione ditensione, derivata dapprima rispetto alla variabile #, dunque derivata rispettoalla variabile $ in seguito, deve essere nulla:
"
"$
&"v
"#
'= 0
Cosa si puo dire a questo punto? Beh, dal momento che la derivataparziale calcolata rispetto a $ deve essere nulla, la derivata parziale rispettoa # deve essere una funzione costante rispetto alla variabile $ (poiche la
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derivata di funzioni costanti e ovviamente nulla); nel caso piu generale, essasara dunque una funzione della sola variabile #:
"v
"#= f(#)
Integrando rispetto alla variabile # l’espressione, si ottiene un’espressioneoperativa della tensione v(#, $):
v(#, $) =
*f(#)d# + f2($) = f1(#) + f2($)
Infatti, dal momento che il processo di integrazione indefinita e valido ameno di una funzione costante rispetto alla variabile #, questa funzione, f2,sara libera di variare quantomeno nella variabile $, altra variabile che per-mette di determinare il comportamento del sistema in questione. Tornandoalle variabili originali, si puo vedere che la funzione della tensione al variaredelle variabili spaziale z e temporale t e sostanzialmente decomponibile nellasomma di due funzioni dipendenti dalle medesime variabili (e dalle carat-teristiche del modello a parametri distribuiti, ossia l’induttanza per unita dilunghezza L e la capacita per unita di lunghezza C, sotto forma di velocitadi fase):
v(z, t) = v+(z " vf · t) + v!(z + vf · t)
Dove per v+ si intende la funzione f1, nota anche come “onda progressi-va”, e per v! si intende la funzione f2, nota anche come “onda regressiva”. Inomi appena attribuiti sono riconducibili al seguente significato fisico: il ter-mine v+ si propaga nello spazio nello stesso verso del crescere della variabilespaziale z, mentre v!, al contrario, si propaga nel verso opposto rispetto aquello che fa incrementare la variabile spaziale z.
Si puo dimostrare, in maniera del tutto analoga alla precedente (par-tendo dal sistema di equazioni di"erenziali alle derivate parziali, ricavandotuttavia un’equazione funzionale alle correnti anziche alle tensioni), che esisteun risultato analogo al precedente, ossia una decomposizione in componenteprogressiva e regressiva della funzione di corrente:
i(z, t) = i+(z, t) + i!(z, t)
Esiste un forte legame tra v+ e i+, come anche tra v! e i!: le due soluzionidelle equazioni di"erenziali sono tra loro legate, in maniera piuttosto semplicee intuitiva. A tal fine si consideri nuovamente il cambio di variabili prece-dentemente proposto, e le equazioni del primo ordine contenenti tuttavia lasola componente progressiva di propagazione:
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v(z, t) = v+(z, t)
# = z " vf · t
Derivando rispetto alla variabile z, si ottiene:
"v
"z="v+
"z="v+
"#· "#"z
="v+
"#
Questo, dal momento che # derivato rispetto a z vale 1. Per l’altraequazione, coinvolgente le correnti si puo fare un ragionamento analogo:
"i
"t="i+
"t="i+
"#· "#"t
="i+
"#
Sostituendo nell’equazione dei telegrafisti, si ottiene:
"v
"z+ L"i
"t="v+
"#+ L"i
+
"#= 0
Dunque:
"
"#
+v+ " L · vf · i+
,= 0
Perche la derivata sia nulla, l’argomento della suddetta deve essere costante:
v+ = c+ L · vf · i+
Ma come e ben noto:
vf =1$L · C
Dunque:
v+ =
-LC · i+
Dove e ben noto, facendo l’analisi dimensionale, che:
.-LC
/= $
Come dimostrato, le grandezze in questione sono tra loro dipendenti, econ un legame molto semplice tra loro. Dal momento che dimensionalmente il
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legame e un’impedenza, si definisce la “impedenza caratteristica della linea”,Z", come:
Z" !-
LC
Rifacendo lo stesso ragionamento per quanto concerne v! e i!, si ottieneun risultato quasi analogo:
v! = "Z" · i!
Riassumendo, dunque:
%v+ = Z" · i+
v! = "Z" · i!
Si noti che quella appena introdotta non e la legge di Ohm: se dimen-sionalmente parlando la ricorda molto, non bisogna essere comunque trattiin inganno, dal momento che queste non sono equazioni coinvolgenti tensionio correnti totali, bensı equazioni delle linee di trasmissione: non si trat-ta delle leggi classiche note dall’Elettrotecnica, dal momento che, in questeequazioni, si considera un modello a parametri distribuiti, comprendente unadipendenza dalla dimensione spaziale z.
1.1.2 Equazioni delle linee nel dominio della frequenza
L’approccio appena introdotto e senza dubbio interessante, come si vedra inseguito per alcuni approfondimenti, dal momento che permette di introdurrediversi metodi di analisi per sistemi che lavorano con segnali a frequenzemolto elevate. Generalmente tuttavia studiare e risolvere nel dominio deltempo equazioni alle derivate parziali e assai di!cile (o nella maggior partedei casi del tutto impossibile); un approccio classicamente utilizzato nellescienze dell’Ingegneria e basato sull’uso della trasformata di Fourier. Con-siderando dunque di aver a che fare con segnali monocromatici (ad una solacroma, ossia segnali puramente sinusoidali con una certa pulsazione %), siconsiderano, delle equazioni precedentemente introdotte, i fasori ( Ph ):
!""#
""$
"v(z, t)
"z+ L"i(z, t)
"t= 0
"i(z, t)
"z+ C "v(z, t)
"t= 0
Ph=%
!""#
""$
dV (z,%)
dz+ j%L · I(z,%) = 0
dI(z,%)
dz+ j%C · V (z,%) = 0
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Alcune osservazioni: dal momento che il segnale e monocromatico, ossiae composto da una sinusoide ad una singola frequenza, le derivate parzialidiventano derivate in senso classico, poiche si elimina di fatto la dipendenzada altre variabili: il passaggio a fasori, per segnali monocromatici, permettedi non considerare la dipendenza dalla frequenza, esattamente come notodall’Elettrotecnica. Al posto della tensione sulla linea v(z, t) si considererail fasore ad essa associato, V (z,%), come analogamente per la corrente sullalinea i(z, t) e il suo fasore I(z,%).
Procedendo in modo analogo a come fatto precedente, si sostituisce un’e-quazione nell’altra, ottenendo la seguente equazione:
d2V (z,%)
dz2+ j%L · ("j%C) · V (z,%) = 0
Sviluppando:
d2V (z,%)
dz2+ %2LC · V (z,%) = 0
Si definisce a questo punto la costante di propagazione k del segnale come:
k ! % ·$L · C
E"ettuando un’analisi dimensionale, si puo facilmente verificare che:
[k] = m!1
In altre parole, k appartiene ad un dominio spaziale reciproco; questotipo di interpretazione per lo studio delle linee di trasmissione, in ingegneriautilizzate come semplice mezzo computazionale per l’analisi di circuiti, non eparticolarmente significativa, dal momento che in questo capitolo non si staattribuendo alcun significato fisico alle nozioni: tutto cio che si sta facendo,si vuol ricordare, e una semplice introduzione a un insieme di strumenti dianalisi di sistemi elettromagnetici.
Una volta introdotta k, l’equazione si riconduce alla seguente:
d2V (z,%)
dz2+ k2 · V (z,%) = 0
Questa equazione e ben nota dall’Analisi Matematica: essa e sostanzial-mente una banale equazione di"erenziale ordinaria a coe!cienti costanti,nella variabile V (z,%), con coe!ciente k. La variabile e dunque il fasore as-sociato alla tensione sulla linea di trasmissione. Come e ben noto dall’AnalisiMatematica, questo tipo di equazioni ha soluzioni di tipo esponenziale; dal
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momento che il determinante del polinomio caratteristico e tuttavia negati-vo, appariranno termini complessi agli esponenti; la soluzione dell’equazionedi"erenziale sara dunque:
V (z) = V +0 e!jkz + V !
0 ejkz
Il primo termine e il cosiddetto “termine progressivo”, il secondo il “ter-mine regressivo”: il primo termine quantifica l’andamento della fase del fa-sore di tensione come calante al crescere della variabile spaziale z, il secondocome crescente. Una piccola nota: e stato indicato con V (z) e non comeV (z,%) il fasore: dal momento che, come gia detto, il segnale e monocro-matico, la dipendenza dalla pulsazione e assolutamente superflua; con seg-nali non monocromatici e possibile utilizzare una sovrapposizione degli e"etticalcolante il contributo risultante da tutte le somme dei contributi dei varisegnali monocromatici, anche se generalmente si intende utilizzare approccidi tipo diverso, in seguito introdotti.
Procedendo alla stessa maniera, e possibile ricavare un’equazione analogaper quanto riguarda il fasore di corrente:
I(z) = I+0 e!jkz + I!0 e
jkz
Sono state introdotte, ma non discusse, quattro costanti: V +0 , V !
0 , I+0 ,I!0 ; esse non sono tra di loro indipendenti. Generalmente, come gia detto,per quanto riguarda i fasori, e possibile distinguere termini progressivi eregressivi. Si possono definire la tensione e la corrente progressive V +(z) eI+(z) come:
V +(z) = V +0 e!jkz I+(z) = I+0 e
!jkz
Riprendendo una delle equazioni del primo ordine, si puo sostituire ericavare cio:
dV (z,%)
dz+ j%L · I(z,%) = 0
Considerando solo le componenti progressive, si puo ottenere qualcosa diquesto genere:
I+(z) = " 1
j%LdV +(z)
dz= " 1
j%LV +0 · ("jk) · e!jkz =
k
%LV +(z)
Ma, dal momento che:
k ! % ·$L · C
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Si ottiene:
I+(z) = V +(z) · %$L · C%L =
-CLV +
0
In altre parole, si puo dire che:
I+0 =
-CLV +
0 = Y"V +0
Il termine Y" e detto “ammettenza caratteristica della linea di trasmis-sione”:
Y" !-
CL
Allo stesso modo, sostituendo le tensioni regressive, si puo ricavare unarelazione del tutto analoga:
I!0 = "Y" · V !0
Il segno negativo deriva dal fatto che, derivando l’esponenziale, non siapporta la correzione di segno che invece precedentemente era presente.
Si vuole a questo punto tornare nel dominio del tempo, antitrasforman-do le funzioni ricavate e dunque ottenendo l’andamento nel tempo delleequazioni delle linee di trasmissione; dal momento che si stanno considerandofasori di segnali monocromatici a pulsazione %, per ricavare la funzione neldominio del tempo sara necessario usare l’espressione di antitrasformazione:
a(z, t) = Re0A(z) · ej"t
1
Dunque, applicandola a tensioni e relativi fasori:
v+(z, t) = Re0V +0 · e!jkz · ej"t
1
Si noti tuttavia che, nel caso piu generale:
V +0 & C "! V +
0 =22V +
0
22 · ej"V+0
Ossia, essendo generalmente il coe!ciente complesso, esso sara compostoda un modulo e da una fase. Considerando solo la parte reale, si puo estrarreil modulo in quanto reale; dal momento che il conto risultante sarebbe:
v+(z, t) = Re022V +
0
22 3cos+%t" kz + "V +
0
,+ j sin
+%t" kz + "V +
0
,41
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Si ottiene, definitivamente:
v+(z, t) =22V +
0
22 · cos+%t" kz + "V +
0
,
Si ricordi a questo punto la definizione di velocita di fase vf , come quellavelocita tale per cui un osservatore in moto alla suddetta velocita possavedere la fase costante; considerando l’argomento della funzione sinusoidale,calcolandone il di"erenziale e ponendolo uguale a zero, si puo vedere che:
%dt" kdz = 0 =% %
k=
dz
dt= vf
Questo, utilizzando alcuni trucchi di Analisi non-standard.Si noti che v+(z, t) e una funzione di due variabili; cio che si puo fare,
quindi, e studiarla considerando una variabile alla volta. Dal momento che lafunzione ha un andamento sinusoidale per entrambe le variabili, mantenendocostante una variabile e possibile determinare una periodicita sia di tipotemporale sia di tipo spaziale:
• Se z e costante, si ha che:
T =2&
%
Dove T e il periodo temporale della funzione;
• Se t e costante, si ha che:
' =2&
k
Dove ' e la lunghezza d’onda della funzione, ossia il suo “periodospaziale”.
Una piccola nota: se si calcola il prodotto tra la frequenza f del segnalee la lunghezza d’onda ', si ottiene:
f · ' =%02&
· 2&k0
=%0k0
=1$L · C
= vf
Dualmente, si puo dire che:
T · vf = '
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Come si puo comprendere questa a"ermazione? Beh, si potrebbe provarea descrivere le formule nel seguente modo: un’onda percorre una distanzapari alla sua lunghezza d’onda in un tempo pari ad un periodo temporale.
Si introduce a questo punto un’importante definizione: quella di ondastazionaria. Per onda stazionaria si intende un’onda in cui l’ampiezza massi-ma della componente progressiva e uguale all’ampiezza massima della com-ponente regressiva (che tuttavia non e stata trattata nei dettagli, per quantoi procedimenti per ricavare le espressioni siano del tutto analoghi a quelli perl’onda progressiva); in altre parole:
22V +0
22 =22V !
0
22
Si avrebbero alcune semplificazioni nella trattazione, dovute a questo tipodi ipotesi; infatti:
v(z, t) =22V +
0
22 cos+%t " kz + "V +
0
,+22V +
0
22 cos+%t " kz + "V !
0
,
Utilizzando la trigonometria:
v(z, t) = 2 ·22V +
0
22 cos&%t +
"V +0 + "V !
0
2
'cos
&kz +
"V +0 " "V !
0
2
'
1.1.3 Propagazione dello stato elettrico
Si vuole considerare uno stadio successivo, una nuova nozione: come giadetto, nel modello a parametri distribuiti introdotto, detto “linea di trasmis-sione”, non essendo trascurabili le dimensioni spaziali, in ciascuna posizionesi avra una tensione e corrente di"erente. Data una linea di trasmissione, e inessa note tensione e/o corrente in un punto, esiste un metodo per determinarele suddette grandezze in un altro punto? Si puo in altre parole determinare,a partire dalla caratterizzazione di un certo punto di riferimento, la caratter-izzazione in termini di stato elettrico (tensione e corrente) in un altro puntodella linea? La risposta e sı, per quanto non banale. Si consideri il seguenteschema:
Conoscendo lo stato elettrico su z = 0, e possibile calcolare la tensione ela corrente in una z generica, z = l ?
Dalle condizioni iniziali, si sa che:
V (0) = V0; I(0) = I0
Si conosce inoltre, grazie ai precedenti studi e"ettuati sul modello, lasoluzione delle equazioni delle linee di trasmissione:
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V (z) = V +0 e!jkz + V !
0 ejkz
In z = 0, ossia sull’origine dell’asse spaziale z (considerando z = 0 comeorigine per semplificare i calcoli), si puo dunque dire che:
V (z = 0) = V +0 + V !
0 = V0
I(z = 0) = I+0 + I!0 = I0
Dai risultati precedentemente ottenuti, si puo dire che:
I(0) = Y"V +0 " Y"V !
0
V (0) = Z"I+0 " Z"I!0
Dove per Z" si intende l’impedenza caratteristica della linea di trasmis-sione:
Z" =1
Y"
Da questo punto, e possibile dimostrare il fatto che:
!"#
"$
V +0 =
1
2(V0 + Z"I0)
V !0 =
1
2(V0 " Z"I0)
Dunque:
V (z) =1
2(V0 + Z"I0)e
!jkz +1
2(V0 " Z"I0)e
jkz
A questo punto e necessario sviluppare questa espressione, e osservare chesi puo ottenere, mediante la formula di Eulero, la seguente espressione:
V (z) = V0 cos(kz)" jZ"I0 sin(kz)
Allo stesso modo si puo ricavare, per quanto riguarda le correnti totali,la seguente espressione:
I(z) = I0 cos(kz)" jV0Y" sin(kz)
Le espressioni appena ricavate sono le generiche tensioni e correnti totalinella sezione corrispondente ad un certo valore della variabile z, a partire
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da una sezione di riferimento nota (utilizzata come origine del sistema diriferimento relativo alla variabile spaziale z).
La prima soluzione (quella con gli esponenziali complessi) e detta “soluzioneviaggiante”, mentre quella appena ricavata “soluzione stazionaria”.
Considerando la soluzione stazionaria, basata sull’uso di z = 0 comeriferimento, si vuole definire un concetto di impedenza per ciascun puntospaziale della linea di trasmissione. Si definisce dunque l’impedenza localeZ(z) per ciascuna generica coordinata spaziale z come:
Z(z) ! V (z)
I(z)=
V0 cos(kz)" jZ"I0 sin(kz)
I0 cos(kz)" jY"V0 sin(kz)
Si noti un fatto: il termine
V0
I0= Z(0) ! Z0
rappresenta l’impedenza locale nella sezione di riferimento, ossia sull’o-rigine z = 0. Cio e interessante, dal momento che e possibile esprimerela generica impedenza locale per ciascun valore di z riferendosi a questadefinizione:
Z(z) =Z0 " jZ"I0 tan(kz)
1" jY"V0 tan(kz)=
Z0 " j tan(kz)
1" jZ0 tan(kz)
Questo ultimo passaggio e stato ottenuto dividendo prima per il cosenodi kz, dunque per I0. Questo artificio algebrico e fondamentale, al fine didefinire una grandezza molto importante, su cui si fonda l’analisi dei sistemia radiofrequenza: l’impedenza normalizzata locale !(z):
!(z) ! Z(z)
Z"=
Z0Z!
" j tan(kz)
1" j Z0Z!
tan(kz)=!0 " j tan(kz)
1" j!0 tan(kz)
Queste espressioni non torneranno molto utili, dal momento che alla fine,come si vedra in seguito, e possibile risolvere i problemi di vario tipo nontanto in termini di impedenza, quanto in termini di un’altra grandezza: ilcoe!ciente di riflessione (che presto verra definito).
Si consideri una linea di trasmissione di lunghezza l:Si sa che:
Z" =
-LC k = %
$L · C
Per ciascuna sezione vi saranno diversi valori di tensione e di corrente;supponendo che l’origine del sistema di riferimento sia posta sul carico, si
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potrebbe utilizzare, localmente, la legge di Ohm, dal momento che a sezionecostante si considera un solo punto del circuito; si puo dunque dire che:
V (0) = ZL · I(0)In base alle espressioni precedentemente ricavate:
V (z) = V +0 e!jkz + V !
0 ejkz
Per z = 0, gli esponenziali diventano “1 ”, dunque:
V +(0) + V !(0) = V +0 + V !
0 = ZL(I+0 + I!0 ) = ZL(V
+0 Y" " V !
0 Yinfty)
Da qui, si possono raccogliere i termini in V +0 e in V !
0 , ottenendo:
V +0 (1" ZLY") = V !
0 (1 + ZLY")
Come gia precedentemente detto, V !0 indica la quantita di tensione che,
sul punto z = 0, viene “riflessa”, ossia si muove in direzione opposta rispettoal crescere della coordinata spaziale z; V +
0 , dualmente, e legata all’ondaprogressiva, ossia a quella porzione di onda che avanza secondo il verso dicrescita di z. Cio che si utilizza comunemente, per l’analisi di circuiti aparametri distribuiti, e il “coe!ciente di riflessione di tensione sul carico”:
V %L ! V !0
V +0
=ZLY" " 1
ZLY" + 1=
ZL " Z"
ZL + Z"
Il fatto che il coe!ciente di riflessione riguardi il carico, e che al contemposi considerino le V ±
0 , e dovuto all’ipotesi di considerare sul carico l’origine delsistema di riferimento. Si noti un fatto: in questo momento si sta parlandodi riferimento posto sul carico fisico; in seguito si dovra porre una distinzionetra il carico fisico del circuito e il carico utilizzato per l’analisi.
La definizione appena proposta si puo generalizzare, introducendo il con-cetto di impedenza normalizzata locale, per qualsiasi posizione z della lineadi trasmissione:
V %L(z) !V !(z)
V +(z)=
Z(z)" Z"
Z(z) + Z"=!(z)" 1
!(z) + 1
Questo ultimo risultato sara interessante in seguito, dal momento chepermette di collegare il concetto di impedenza normalizzata rispetto all’im-pedenza caratteristica della linea con quello di coe!ciente di riflessione.
Si sappia che esiste un duale al coe!ciente di riflessione di tensione sulcarico, ossia il coe!ciente di riflessione di corrente sul carico:
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I%(z) ! I!(z)
I+(z)
Esiste un legame tra coe!ciente di riflessione di tensione e di corrente:
V %(z) =V !(z)
V +(z)=
"Z"I!(z)
Z"I+(z)= "I%(z)
Semplicemente, ciascun coe!ciente di riflessione di corrente, in una gener-ica sezione spaziale z, e l’opposto del coe!ciente di riflessione di tensionesulla medesima. Da qui si considerera una convenzione: dal momento che sie soliti lavorare soprattutto con le tensioni, si considerera, quando si parlera(senza specificare maggiormente) di coe!ciente di riflessione, quello relativoalle tensioni; si considerera in tal senso la seguente semplificazione:
V %(z) = %(z)
Alla luce di cio, cerchiamo di introdurre qualche esempio e qualche rifles-sione sulle nozioni appena introdotte, al fine di fissare i concetti. Cos’e l’im-pedenza caratteristica della linea, Z" ? Beh, si immagini che ZL = Z", ossiache il carico abbia lo stesso valore di impedenza dell’impedenza caratteristica.In tal caso, %L = 0, ossia non si avrebbe riflessione sul carico:
ZL = Z" =% %L = 0 =% V !0 = 0
Ossia la porzione di onda riflessa sarebbe nulla, il che implicherebbe au-tomaticamente che la tensione totale sul carico sarebbe coincidente con latensione progressiva sul medesimo: non si avrebbe alcun fenomeno di rifles-sione sul carico. Questo fatto e modellizzabile in un altro senso: se la linea ditrasmissione fosse di lunghezza infinita, l’onda progressiva continuerebbe adavanzare, senza mai riflettersi, dal momento che non si avrebbe alcun puntoin cui possa avvenire una riflessione. Questa condizione e detta “di adatta-mento”, dal momento che la componente riflessa e nulla. L’adattamento efondamentale per un circuito, sotto diversi punti di vista, dal momento chepermette di migliorare le prestazioni del sistema elettromagnetico. In segui-to verranno introdotte metodologie per il progetto di circuiti di adattamentoper un generico circuito.
Quella di “carico adattato” e una delle condizioni notevoli di carico. Es-istono altre due condizioni di carico importanti da conoscere: carico in cortocircuito e carico in circuito aperto.
• Nel caso di carico in corto circuito, si ha qualcosa di questo genere:
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ZL = 0 =% VL = 0
Essendo la tensione sul carico nulla, si puo dire che:
VL = V +L + V !
L = 0 =% V !L = "V +
L
Il rapporto delle due tensioni (progressiva e regressiva), dunque, dara:
%L = "1
• Nel caso di carico in circuito aperto, si puo fare un ragionamento deltutto uguale, ma con le correnti anziche con le tensioni:
YL = 0 =% IL = 0
Per lo stesso motivo:
I!L = "I+L
Il coe!ciente di riflessione di corrente sara dunque pari a:
I%L = "1
Ma dal momento che il coe!ciente di riflessione di tensione e pariall’opposto a quello di corrente:
%L = "I%L = 1
1.1.4 Carta di Smith
Come gia visto, esistono delle relazioni tra impedenza normalizzata e coe!-ciente di riflessione:
% =! " 1
! + 1'! ! =
1 + %
1" %
Le relazioni tra ! e % appena presentate sono trasformazioni conformi,note anche come “Trasformazioni di Mobius”: si tratta di un particolare tipodi mappe conformi, ossia di di"eomorfismi locali positivi; in altre parole, si
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tratta di funzioni tra due varieta di"erenziabili, tali da avere alcune propri-eta particolari, nella fattispecie quelle di essere di"erenziabili, invertibili, econ l’inversa di"erenziabile, quantomeno in intorno aperti su!cientementepiccoli. La jacobiana del di"eomorfismo deve avere nella fattispecie determi-nante positivo, al fine di garantire la positivita dell’applicazione. Oltre allecaratteristiche di regolarita appena introdotte, a!nche la mappa sia con-forme, e necessario che l’applicazione candidata ad essere una mappa con-forme preservi gli angoli. Le trasformazioni di Mobius sono una particolareclasse di funzioni appartenenti a queste mappe conformi: si tratta di funzionidel tipo:
T (z) =az + b
cz + d, olomorfe in C \
5z = "d
c
6, a, b, c, d & C
Senza perdersi estremamente nei formalismi, si noti un fatto piuttosto in-teressante per quanto riguarda le funzioni introdotte all’inizio della sezione:esse sono, evidentemente, delle mappe conformi; cio significa che tutte lecaratteristiche di regolarita e di preservazione degli angoli, per queste fun-zioni sono garantite: passando da un dominio all’altro, si ha la garanzia dipreservare gli angoli. Si supponga a questo punto di considerare una generi-ca retta come una degenerazione di una circonferenza il cui raggio tende adessere molto grande (“infinito”); cio che si puo dimostrare e che, per ! taliper cui
Re {!} > 0
(cosa che identifica carichi passivi, dal momento che se la parte realedi un’impedenza e positiva il carico assorbe potenza, non ne produce), siavranno, nel dominio di %, valori appartenenti esclusivamente al cerchio diraggio unitario. Nella fattispecie, ogni retta verticale appartenente all’in-sieme suddetto si trasformera in una circonferenza interamente contenutanel raggio di cerchio unitario, passando dal dominio ! al dominio %. Cias-cuna delle circonferenze sara inoltre tangente a % = 1, punto di singolaritadella trasformazione conforme. In maniera duale, tutte le rette orizzontalipasseranno per % = 1, ma avranno il centro su di una retta parallela all’asseimmaginario del dominio % e passante per % = 1. Dal momento che le mappeconformi preservano gli angoli, si avra il seguente fatto: gli angoli di inciden-za dei due tipi di circonferenze (dunque nel dominio %) sono pari a 90#, comelo erano d’altra parte nel dominio !.
Una volta terminata questa lunga introduzione, la domanda a cui si vuolerispondere e: cos’e la famigerata carta di Smith? Essa semplicemente e unarappresentazione del piano complesso %, limitata al cerchio di raggio unitario,
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dotato delle piu significative circonferenze rappresentanti le suddette trasfor-mazioni conformi delle rette verticali ed orizzontali, considerando di trattaresempre esclusivamente il semipiano positivo di ! come dominio di partenzaper la trasformazione. Graficamente, dunque, la carta di Smith realizza latrasformazione
% =! " 1
! + 1
Il centro della carta di Smith indica % = 0; le circonferenze indicanti lerette verticali sono (come e ovvio che sia) i luoghi di punti rappresentanti i val-ori delle funzioni a parte reale costante, o in termini elettrotecnici delle solecomponenti resistive dell’impedenza. Le circonferenze associaete alle retteorizzontali sono indicatrici della sola parte immaginaria di !, dunque dellesole componenti reattive. Sia per le componenti resistive sia per quelle reat-tive, si considerano esclusivamente valori normalizzati rispetto all’impedenzacaratteristica della linea considerata.
Per % = 0, ossia per Re {!} = 1, Im {!} = 0, cosa si ha? Beh, semplice-mente, l’impedenza di adattamento, ossia quel valore di impedenza tale percui la linea sia modellizzabile mediante una linea di lunghezza infinita, ossiadove non si hanno componenti riflesse! Per |%| = 1 si ha la situazione duale:la sola parte immaginaria! Si considera di avere una linea che non contienealcuna componente resistiva, ma solo componenti reattive1. Nella fattispecie,se % = 1 si ha ! = +j, se % = "1 si ha che ! = "j.
Una volta ultimata la teoria, si a"rontano le questioni pratiche: come sipuo utilizzare, in ambito ingegneristico, la carta di Smith? Si spiegherannoman mano costrutti e tecniche particolari, per adesso si vuole introdurrequelle basi indispensabili per poter studiare tecniche piu avanzate. Il primopasso da apprendere e leggere, sulla carta di Smith, il valore del coe!cientedi riflessione % associato a un’impedenza generica di forma
Z = R + jX
Al fine di determinare il coe!ciente di riflessione e necessario seguire iseguenti passi:
1. Normalizzare l’impedenza dividendo il suo valore per Z", ossia per ilvalore dell’impedenza caratteristica della linea.
1Si puo pensare d’altra parte a |!| = 1 come al confine tra comportamento passivo eattivo, dal momento che, se il coe"ciente di riflessione fosse maggiore di 1, si “rifletterebbepiu di quanto e stato trasmesso”, cosa assolutamente impossibile in un sistema passivosenza violare i principi della Termodinamica
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2. Individuare sulla carta di Smith il punto associato al valore dell’im-pedenza normalizzata ! ottenuta in seguito al processo di normal-izzazione, ricordando le spiegazioni precedentemente fornite: l’inter-sezione tra le due circonferenze indichera il valore di un certo coe!-ciente di riflessione, associato al valore di impedenza di partenza.
A cosa serve tutto cio? Beh, si riveda a questo punto la definizione dicoe!ciente di riflessione in una certa sezione:
%(z) =V !(z)
V +(z)=
V !0 ejkz
V +0 e!jkz
Ma, si ricorda:
V !0
V +0
= %(0) = %0
Ossia e pari al coe!ciente di riflessione sulla sezione di riferimento. Perquesto, si puo dire che:
%(z) = %0ej2kz
Cosa e stato appena scoperto? Beh, nel caso di linea ideale, ossia senzaconsiderare e"etti di perdite, si sa che:
|%(z)| = |%0|
Ossia, il modulo del coe!ciente di riflessione e uguale in qualsiasi sezione,da momento che al variare della posizione spaziale, se non si ha a che fare conlinee con perdite, non si ha variazione del modulo, ma solo della fase, comesuggerisce l’espressione coinvolgente il coe!ciente di riflessione in z = 0 e unesponenziale complesso. Si ricorda che:
0 ( |%(z)| ( 1
Si e detto che, disegnando un punto (calcolandolo mediante intersezionedelle circonferenze) sulla carta di Smith, esso rappresenta il coe!ciente diriflessione (cosa significhi esattamente cio verra chiarito in seguito). Comesi puo determinare il valore (inteso come modulo e fase, poiche si parla dinumeri complessi) del coe!ciente di riflessione, %? Beh, esso avra certamenteuna forma del tipo:
% = |%| ej"!
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Dal momento che la carta di Smith rappresenta una porzione del pianocomplesso %, sara su!ciente studiare, mediante alcune scale, modulo e fasedel valore che e stato rappresentato:
• Per il modulo, nella fattispecie, sara su!ciente riportare la lunghezzadel segmento congiungente centro della carta di Smith e punto in ques-tione, sulla scala “REFL Coe". E or I”, nella parte sinistra rispetto alcentro della suddetta scala (poiche la parte destra e un’altra scala, nonimportante per ora); il valore riportato su questa scala sara il valoredel modulo del coe!ciente di riflessione.
• Per la fase, e su!ciente prolungare il segmento, fino a trovare l’in-tersezione con la scala solitamente indicata come “Angle of ReflectionCoe!cient in degrees”, per dunque leggere su di essa il valore dellafase.
Esempio pratico
Dato il seguente circuito:Dati (senza specificarne il valore) Z", k, ZL, l, determinare il valore
dell’impedenza vista dal generatore, ZA.A partire dalle nozioni gia introdotte, una strada potrebbe essere la
seguente:
1. Data ZL, si calcola l’impedenza normalizzata al punto B come:
!B =ZL
Z"
2. Si disegna !B sulla carta di Smith, quindi si determina il valore delcoe!ciente di riflessione %B;
3. Si calcolano analiticamente modulo e fase di %A, nel seguente modo: sisa che
%B = %Aej2kz
Invertendo:
%A = %Be!j2kz
Dal momento che la linea di trasmissione in questione e lunga l, sem-plicemente:
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%A = %Be!j2kl
4. Dalla carta di Smith, usando le scale precedentemente introdotte, siricava !A da %A;
5. Si calcola ZA come
ZA = !A · Z"
Questo procedimento e molto analitico; funziona, e abbastanza preciso (ameno delle imprecisioni causate dalla carta di Smith, strumento comodo maassolutamente non preciso), ma e ancora abbastanza di!cile. Si puo fare dimeglio? La risposta e sı, mediante le altre scale della carta di Smith, nonancora introdotte.
Per ora si ipotizza di aver a che fare con linee senza perdite, dunque siipotizza che
|%A| = |%B|Se si traccia sulla carta di Smith una circonferenza di raggio %B centrata
in %(z) = 0, si avra, come fase, un valore pari a:
"%A = "%B " 2 · 2&'
· l
Dal momento che:
%A = |%B| ej"!Be!j2kl = |%B| ej"!A
La cosa interessante e il fatto che sulla carta di Smith esistono due scale,tarate in termini della cosiddetta “lunghezza elettrica”, indicata di solitocome:
l
'Questa scala deriva da un’interpretazione particolare della fase del coef-
ficiente di riflessione; essa, come si vedra meglio, e periodica di 0,1, infatti:
2 · 2&'
· l = 2& se l ='
2A cosa serve questa scala? Essa permette di “saltare” il passaggio analiti-
co, e"ettuando l’operazione di “spostamento” della fase del coe!ciente di ri-flessione; in altre parole, si puo determinare, data l’impedenza normalizzata!B, la corrispondente posizione elettrica:
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!B "! l
'
2222B
All’impedenza normalizzata nel punto B dunque e associato un certorapporto tra lunghezza e lunghezza d’onda, quella chiamata “posizione elet-trica”; la cosa interessante, sotto il punto di vista della comodita, e il fattoche:
l
'
2222A
=l
'
2222B
+lAB
'
Dove lAB e la lunghezza della linea; si tratta di una lunghezza spaziale,dunque
[lAB] = m
Per quanto riguarda ', essa e la lunghezza d’onda del segnale che siintende trasmettere, con numero d’onda (costante di propagazione) k; i duesono legati dalla seguente relazione:
k =2&
''! ' =
2&
kCome accennato, in realta non si ha una sola scala riguardante le lunghezze
elettriche (Wavelenghts): le scale sono due, e si riferiscono a due diverse situ-azioni, ossia la “crescita di fase” e l’“abbassamento di fase”. Le due scale sonochiamate “Wavelenghts toward load” e “Wavelenghts toward generator”. Ilsignificato di queste due interpretazioni e il seguente: ci si posiziona su di uncerto punto fisico (spaziale) del circuito, e si considera come il “generatore”.Questo punto non deve per forza coincidere con il generatore fisico, dal mo-mento che potrebbe capitare di dover calcolare un’impedenza di carico, maper far cio ci si potrebbe voler posizionare, per partire, proprio sulla posizionespaziale (e quindi elettrica) del carico; di fatto esso diventerebbe, secondo lacarta di Smith, il generatore, dal momento che e"ettuare un’operazione delgenere e concettualmente simile al calcolo di un’impedenza Thevenin (o Nor-ton che sia); il generatore che fa fede e quello che si usa come “prova” per ilcalcolo dell’impedenza, non quello fisico del circuito; muoversi “verso il cari-co” o “verso il generatore” considera come riferimento il carico dell’ipotetico“generatore di prova” e come “generatore” quello di prova, non per forzaquello fisico. Fatta questa dovuta premessa, esistono due casistiche, comegia detto:
• Se si “va” dal generatore (di prova) verso il suo carico, la fase delcoe!ciente di riflessione aumenta:
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%B = %Aej2kl
Dunque, al fine di calcolare il coe!ciente muovendosi in questo mo-do, guardando la scala di fase, essa crescera, e sara necessario usarecome scala “Wavelenghts toward load”, in senso antiorario (i sensi sonocomunque indicati sulla carta di Smith, di solito).
• Se dal carico ci si muove verso il generatore, si dovra usare (in sensoorario) la scala “Wavelenghts toward generator”: la fase ora andracome:
%A = %Be!j2kl
Dunque, all’aumentare di l, essa tendera a decrescere.
Per ulteriori conferme, si osservi la carta di Smith e si verifichino lea"ermazioni scritte.
Una nota aggiuntiva: finora e stato considerato esclusivamente il coe!-ciente di riflessione di tensione; volendo trattare il coe!ciente di riflessionedi corrente, e necessario utilizzare una trasformazione del tipo:
I% =y " 1
y + 1
Oppure fare un’osservazione piu interessante: si sa che
V % = "I%
Cosa si vuole dire con cio? Beh, data una generica impedenza normaliz-zata !, per calcolare semplicemente la corrispondente ammettenza in modobanalmente grafico, con la carta di Smith, e su!ciente indicare ! sulla cartadi Smith, dunque considerare il punto simmetrico rispetto all’origine dellacarta, ed esso rappresentera il reciproco di !, ossia la sua ammettenza. Intermini di lunghezza elettrica, ottenere da un’impedenza la sua ammettenzacoincide con il ruotare di un semiperiodo il punto, ossia di 0,25 lunghezzeelettriche.
1.1.5 Casi particolari di andamento di !(z)
Una volta appresi i rudimenti dell’uso della carta di Smith, si puo fare un“passo indietro”: studiare analiticamente l’andamento di alcuni particolaricasi di impedenze, per alcune linee di trasmissione “notevoli”. Associando
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alla lettura della trattazione una carta di Smith e possibile fissare ancormeglio i concetti, e semplificare i calcoli.
Si sa che:
!(z) =!0 " j tan(kz)
1" j!0 tan(kz)
A partire da qui, si considereranno quattro casistiche:
• Linea chiusa su di un corto circuito;
• Linea chiusa su di un circuito aperto;
• Linea adattata;
• Linea con lunghezza elettrica pari a !4 .
Linea chiusa su di un corto circuito
Si consideri il seguente circuito:Si ha !0 = 0 (si considera il riferimento sul carico chiuso in corto circuito),
dunque, dalla formula precedentemente introdotta, si ha che:
!(z) = "j tan(z)
Annullando !0; si puo dunque dire che:
!A = j tan(kl)
Quello che si sta facendo e considerare, come al solito, una linea di trasmis-sione ideale, senza perdite; dato !0 = 0, sulla carta di Smith il punto cor-rispondente sara l’estremo sinistro, il punto sulla circonferenza piu esterna,piu a sinistra. Dal momento che la linea di trasmissione e ideale, senzaperdite, il coe!ciente di riflessione e costante, o meglio lo e solo il suo mod-ulo, mentre invece varia la sua fase al variare della sezione z considerata. Apartire dalla sezione di linea z = 0 ci si muove sulla scala Wavelenght To-ward Generator (che verra spesso piu rapidamente ripreso come T.G.), e cioche di fatto capitera sara avere un’impedenza puramente reattiva, puramenteimmaginaria:
!A = ±jX
Cosa significa cio? Beh, molto semplice: se si intende realizzare uncomponente puramente reattivo mediante una linea di trasmissione, e su!-ciente operare sulla lunghezza della linea in modo da controllare il parametro
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“lunghezza elettrica”; modificando dunque la lunghezza della linea, si puo“far vedere” al generatore una certa impedenza puramente reattiva, una certareattanza, il cui valore dipende dalla lunghezza della linea.
Analiticamente, cosa capita? Beh, la funzione y = tan(x) e la seguente:Considerando ora la funzione
! = j tan(kz)
Cio che cambia e il fatto che la variabile considerata e z, e che si ha unfattore di riscalamento, ottenendo dunque, come argomento della tangente:
kz =2&
'· z
Sul semipiano superiore del grafico, il comportamento della linea e in-duttivo (L), su quello inferiore capacitivo (C); gli asintoti sono presenti nelleposizioni
±K'
4, K & {dispari}
Per questi punti, ! ! #; questo, circuitalmente, significa avere a chefare con un’impedenza infinita, dunque con un circuito aperto. Se K e pari,! = 0, dunque si ha a che fare con un corto circuito.
Linea chiusa su circuito aperto
Si consideri il seguente circuito:In questo caso, si puo calcolare l’espressione semplificata dell’andamento
dell’impedenza, considerando il fatto che il carico ha un’impedenza infinita,come un limite:
!(z)2 = lim#0$"
!(z) = "j cot(kz)
In questo caso, si puo dire che:
!A = "j cot(kl), k =2&
'Si puo dunque disegnare, a questo punto, l’andamento grafico delle fun-
zioni: a partire da y = cot(x), la funzione sara la seguente:Dualmente a prima, per z = 0 si ha !0 ! # (ovvio, dal momento che ci si
trova nel punto simmetrico rispetto a prima, sulla carta di Smith, rispetto alcaso precedente, poiche un corto circuito per la carta di Smith coincide conun circuito aperto, in seguito ad una rotazione di !
4 ); sapendo che le regole sui
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semipiani sono sempre le stesse (ovviamente, dal momento che si parla sempredi andamenti di un’impedenza in funzione di una sezione spaziale), si puodeterminare quando la linea assume comportamento capacitivo o induttivo.Trattandosi come prima di un caso in cui |%| = 1, comunque, a secondadella lunghezza della linea si potra sempre ottenere un elemento puramentereattivo di valore variabile con la lunghezza della linea, secondo i graficiappena presentati.
Linea adattata
Nel caso in cui il carico coincida con l’impedenza caratteristica della linea ditrasmissione, ossia
ZL = Z"
Si ha qualcosa di molto semplice da studiare:
!0 =ZL
Z"= 1
Quello che si verifica e un fenomeno molto interessante: riprendendol’equazione quantificante il contributo regressivo della tensione, si vede che:
V !0 =
I02(Zu " Z") = 0 '! % = 0
Il coe!ciente di riflessione e nullo, dunque la componente regressiva del-l’onda e allo stesso modo nulla; cio coincide col dire, di fatto, che ogni sezionedella linea di trasmissione ha la stessa impedenza: il fatto che ci sia unadi"erenza di impedenza tra quella caratteristica e quella di carico fa infattinascere una discontinuita, che l’onda non puo a"rontare se non dividendosi indue “ramificazioni”: una progressiva, ossia quella che continua ad avanzare,e una regressiva, che non potra infrangersi sul carico, e “tornera indietro”.Questi, di fatto, sono tre modi per dire la stessa cosa.
Se il formalismo non bastasse, si potrebbe utilizzare, al fine di renderemeglio comprensibile questo fatto, la carta di Smith: posizionando il punto! = 1, si ottiene semplicemente % = 0, cosa che e banalmente gia statadimostrata; il fatto che il modulo del vettore sulla carta di Smith sia nullo,permette di comprendere semplicemente il fatto che, qualsiasi sia la lunghezzadella linea, se l’impedenza di carico adatta la linea, l’impedenza d’ingressonon cambiera. Il caso di linea adattata e per questo molto importante, espesso si cercheranno tecniche e metodi per realizzarlo in circuiti di variotipo.
30
Linea di lunghezza !4
Prima di incominciare la trattazione, si ricorda che !4 e il semiperiodo della
scala delle lunghezze elettriche (Wavelenghts T.G. / T.L.); come mai la cosae cosı interessante? Beh, ripartendo dalla formula di partenza:
!(z) =!0 " j tan(kz)
1" j!0 tan(kz), k =
2&
'
Se l = !4 , k = &, si ha una forma indeterminata; risolvendo il limite,
mediante il teorema di De l’Hopital, si puo ricavare facilmente che:
!A =1
!0
Dunque:
ZA = !A · Z" =Z2
"ZL
Questa cosa si puo verificare anche sulla carta di Smith: considerando alsolito la circonferenza centrata in % = 0 con |%| costante, data la periodicitadelle scale precedentemente illustrata, si troverebbe esattamente il reciprocodell’impedenza di carico, !L; cambiando il segno del coe!ciente di riflessione,infatti, a partire da V % si ottiene I%, dunque a partire da !L si ricava yL.
Questo tipo di configurazione della linea di trasmissione viene anche det-to “trasformatore !
4”, dal momento che trasforma un’impedenza nella suaammettenza (si parla ovviamente di grandezze normalizzate); si suol dunquedire che cio si comporti come un “invertitore di impedenza normalizzata”.
Questi quattro esempi di configurazione delle linee di trasmissione sonostati presentati per un motivo ben preciso: far rendere ben noto il fatto cheelementi capacitivi ed induttivi possono essere facilmente realizzati mediantelinee di trasmissione. L’utilita della cosa verra illustrata in seguito, parlandodi adattamento.
1.1.6 Discontinuita delle linee di trasmissione
Le linee di trasmissione possono presentare, in termini di elementi concentratie non, tre tipi di discontinuita: discontinuita serie, parallelo e di impedenza.Queste tre verranno ora trattate nel dettaglio, studiando tecniche per la lororisoluzione.
31
Discontinuita serie
Una discontinuita di tipo serie e una discontinuita realizzata mediante l’in-troduzione, in un certo punto di una linea di trasmissione, un elementoconcentrato “in serie”:
Questo tipo di discontinuita e molto raro e di!cile da trovare, dal mo-mento che solitamente le tecniche su cui si basa la trattazione degli elementielettromagnetici (adattamento o altro) utilizzate si basano su configurazioniin parallelo o basate sull’introduzione di discontinuita di impedenza carat-teristica; per introdurre un elemento in serie a parametri concentrati, infatti,si dovrebbe “aprire” la linea, e collegare i capi dell’apertura ai morsetti del-l’elemento, cosa abbastanza brutta da realizzare. Ignorando questi aspetti,si vede rapidamente come risolvere il circuito.
Al fine di risolvere una discontinuita e necessario determinare una grandez-za che si mantiene costante prima e dopo la medesima; in questo modo,calcolando il “percorso” che si deve fare per raggiungere il valore, dunqueeguagliando le espressioni “prima” e “dopo” la discontinuita, si puo usarequesta grandezza per “legare” le diverse espressioni. Nel caso di discontinu-ita di tipo serie, la grandezza che rimane costante e, ovviamente, la corrente.Data dunque una discontinuita nel punto A, si puo dire che:
IA+ = IA"
Ossia, la corrente nell’intorno spaziale positivo (appena dopo) di A e inquello negativo (appena prima) e la stessa.
Discontinuita parallelo
Nel caso in questione non c’e molto da aggiungere:Come nel caso di discontinuita di tipo “serie” la grandezza che si con-
servava era la corrente, ora nel caso di discontinuita di tipo “parallelo”quella grandezza e la tensione. Quello che si puo dire, ripetendo lo stessoragionamento di prima, e:
VA+ = VA"
Discontinuita di impedenza
Quando si ha a che fare con due tratti di linea di trasmissione tra loro collegatie con impedenze caratteristiche di"erenti, Z"1 )= Z"2, avviene cio:
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In questo caso, sia la tensione sia la corrente si manterranno costanti inseguito alla discontinuita, tuttavia cambiera l’impedenza di normalizzazionedelle varie grandezze. Cio che si puo dire, dunque e che
%VA" = VA+
IA" = IA+
Un circuito comunque complicato con discontinuita di tipo concentrato(ossia in cui e presente un elemento concentrato in serie o in parallelo), o conun “brusco” cambio di impedenza caratteristica, si puo risolvere riconducen-dosi a questi tre casi. Si sappia tuttavia che esistono anche discontinuita ditipo distribuito, che pero per ora non verranno trattate (ad esempio, unalinea bifilare con i fili non paralleli tra loro, dal momento che la di"erentedistanza tra i vari punti provoca diversi parametri L e C, dipendenti a lorovolta dalla posizione in cui ci si trova). Per ora, sara su!ciente la trat-tazione di questi tipi di discontinuita, poiche permette di risolvere gia moltedelle problematiche dell’Elettromagnetismo ingegneristico.
Esempio teorico
Si propone a questo punto un esempio di esercizio, che verra risolto integral-mente, al fine di fornire le linee guida per operare su circuiti a parametridistribuiti.
Si consideri il seguente circuito:Come si puo risolvere questo circuito, cosı particolare? Beh, il segreto
e semplicemente quello di separare i vari tratti del circuito, per riunirli almomento opportuno. Si cerchera dunque, a partire da questo esempio, distudiare un metodo generale per procedere in circuiti di questo tipo, eviden-ziando i punti principali. Qualitativamente parlando, cio che si dovra fare edeterminare le due impedenze viste nel punto B, ossia quelle relative al ramoC e al ramo D; queste verranno poi combinate, in modo da trovare l’im-pedenza vista dentro B; a questo punto, si puo risolvere la linea, trattandol’impedenza risultante come una normale impedenza a parametri concentrati:
Spesso viene utile lavorare con le ammettenze: dal momento che le dueimpedenze oltre il punto B sono tra di loro in parallelo, sostituire alla som-ma armonica una semplice somma (di ammettenze, anziche di impedenze),permette di semplificare notevolmente i conti.
Si noti un fatto ulteriore: se le impedenze caratteristiche dei rami fosserodiverse, converrebbe lavorare con le impedenze de-normalizzate; a questopunto, si ri-normalizzerebbe per la linea AB; nel caso piu generale, dunque,si puo dire che:
33
YB = yB+C · Y"C + yB+D · Y"D
Questo, per quanto riguarda il calcolo dell’impedenza. L’altra possibilerichiesta, molto importante, e il calcolo della tensione (o della corrente) al-l’ingresso della linea. Risolvere un problema del genere e assolutamente pos-sibile, ma un poco meno banale. Per risolvere problemi di questo tipo efondamentale imparare a destreggiarsi con tre formule fondamentali, e ac-quisire la capacita di “muovere le tensioni a granchio”, dal carico verso ilpunto interessante. Le tre formule, gia viste in precedenza (o comunquemolto semplicemente ricavabili) sono le seguenti:
•V (z) = V +(z) + V !(z) = V +(z) [1 + %(z)]
Questa formula permette di esprimere la tensione totale in una sezione,in termini di quella progressiva; serve generalmente quando si vuolpassare da tensione totale a tensione progressiva (e coe!ciente di ri-flessione). Questa formula e fondamentale poiche quella che si puo“trasportare”, mediante la carta di Smith, e la tensione progressiva; siricordi dunque di utilizzare questa, per casistiche di questo tipo.
•V +(z) =
V (z)
1 + %(z)
Si tratta semplicemente dell’inversa della formula precedente, anch’essautilissima: ogni qual volta si deve risolvere una discontinuita paralleloo di impedenze, lavorare con le tensioni progressive e impossibile, dalmomento che le grandezze che si conservano sono quelle totali; ricon-vertire dunque la tensione progressiva in tensione totale puo essere utilein casistiche di questo tipo.
•V +(z) = V +
0 e!jkz
Questa e la semplice tensione progressiva in forma “viaggiante”: sitratta della formula in grado di esprimere la variazione della tensioneal variare della posizione spaziale z (sezione) considerata. Questa e laformula (in alternativa realizzabile mediante la carta di Smith) utiliz-zabile per “trasportare” la tensione progressiva, ossia per calcolare, apartire dalla tensione su di un punto della linea, quella su di un altropunto.
34
Date queste spiegazioni, si proporra ora una soluzione del seguente es-ercizio: data la tensione VC , ossia la tensione sul carico ZC , si provera a“trasportarla” fino all’ingresso del circuito, ossia sul puntoA. Cio che si dovrafare, in pratica, e studiare la propagazione verso A della tensione progressiva.Si scrivera:
VC = V +C [1 + %C ]
Utilizzando a questo punto la soluzione viaggiante, si puo esprimere VC
come “spostata” a VB+C , mediante una lunghezza di linea pari a lBC :
VC = VB+Ce!jklBC [1 + %C ]
Giunti a VB+C , vi e la discontinuita, che bisogna risolvere; come gia detto,le discontinuita vanno risolte utilizzando le tensioni totali; per questo, bisognadire che VB+ = VB" ; si dovra dunque ricavare VB+ a partire da V +
B+ :
V +B+ =
VB+
1 + %B+
V +B" =
VB"
1 + %B"
Dunque:
V +B+ =
V +B" [1 + %B" ]
1 + %B+
Dunque:
VC = V +B"
1 + %B"
1 + %B+e!jklBC [1 + %C ]
Ma a questo punto si puo trasportare V +B" fino ad A, e calcolare la tensione
totale, mediante le seguenti formule:
V +B" = V +
A+e!jklAB
V +A+ = V +
A =VA
1 + %A
Da qui, si puo ricavare:
VC =VA
1 + %Ae!jklAB
1 + %B"
1 + %B+e!jklBC [1 + %C ]
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Ordinando i termini, si puo ricavare l’espressione del rapporto tra tensionesul punto C e quella in ingresso (su A), come:
VC
VA=
1 + %C
1 + %A· 1 + %B"
1 + %B+e!jk(lAB+lBC)
Infine, una volta ottenuto cio, si potrebbe aggiungere un altro pezzo: lalinea potrebbe essere eccitata da un generico generatore di tensione E; alfine di determinare dunque la tensione VA come funzione di E, potrebbeessere ancora necessario e"ettuare un partitore di tensione. Il circuito elet-tromagnetico e stato tuttavia riportato ad un banale circuito a parametriconcentrati, dunque saranno su!cienti, per questo passaggio, le nozioni diElettrotecnica:
Semplicemente, si potrebbe dire che:
VA = E · ZA
Zg + Za
Ma dunque che:
VC = E · ZA
Zg + Za· 1 + %C
1 + %A· 1 + %B"
1 + %B+e!jk(lAB+lBC)
Terminata quest’ultima nota, si vuole terminare anche questo esempioteorico, riassumendo il modo di pensare che si intende far acquisire.
1. V (z) = V +(z)[1 + %(z)] serve per predisporre il trasporto di una ten-sione totale, esprimendola come componente progressiva e coe!cientedi riflessione;
2. Dopo l’applicazione della formula 1 si puo utilizzare
V +(z) = V +0 e!jkz
Dunque utilizzare la soluzione viaggiante per “trasportare” la compo-nente progressiva;
3. L’ultima formula risolve i problemi di discontinuita, permettendo dieliminarle semplicemente mediante il calcolo di coe!cienti di riflessione(calcolabili mediante la carta di Smith, in maniera del tutto grafica);
4. Con un equivalente Thvenin o con i partitori di tensione si puo ultimarela caratterizzazione del circuito.
Conoscendo i valori delle varie impedenze, tutti questi ragionamenti sonoesportabili anche per le correnti, mediante equivalenti di tipo Norton.
36
1.1.7 Analisi grafica di |V |Una volta terminata l’esposizione del metodo da seguire per risolvere questiprimi problemi, mediante l’esempio precedente, ci si pone una nuova doman-da: esiste un qualche modo per determinare l’andamento della tensione totale(componenti progressiva e regressiva assieme) su di una linea di trasmissione?In alternativa, e quantomeno possibile ricavare qualche informazione su diessa?
Siamo interessati soprattutto ad un’informazione: il modulo della ten-sione totale su ciascun punto della linea: |V (z)|.
Come ben noto, una buona partenza e la formula che descrive la tensionetotale in termini di tensione progressiva e coe!ciente di riflessione:
V (z) = V +(z)[1 + %(z)]
Un’idea, a questo punto, puo essere quella di normalizzare la tensionetotale per il termine progressivo, e calcolarne il modulo:
2222V (z)
V +(z)
2222 = |1 + %(z)|
Il termine destro ha un particolare nome: esso viene infatti indicato come“coe!ciente di trasmissione” T (z), e si definisce come:
T (z) ! 1 + %(z)
Una domanda interessante potrebbe essere: cos’e, sulla carta di Smith,il coe!ciente di trasmissione? Data una generica impedenza normalizzata!(z), riportata (secondo i soliti metodi) sulla carta di Smith, modulo e fasedel punto in cui e riportata rappresentano il coe!ciente di riflessione; il co-e!ciente di trasmissione e il vettore congiungente l’estremo sinistro dellacarta di Smith al vettore %1, ossia al punto in cui e stata si e posizionatal’impedenza. Questo fatto si puo empiricamente vedere con la regola del par-allelogramma applicata su vettori liberi: traslando il risultato della sommacol parallelogramma sul punto % = "1, si ottiene il vettore 1 + %, o T (z).
Sono stati segnati due punti, sulla carta di Smith appena disegnata: uncerchio e una croce. Il cerchio rappresenta il massimo modulo di tensionetotale presente sulla linea, dunque il punto per cui
2222V (z)
V +(z)
2222max
= 1 + |%|
Dualmente, la “croce” rappresenta il minimo di tensione totale, ossia quelpunto tale per cui la tensione vale:
37
2222V (z)
V +(z)
2222min
= 1" |%|
Cio che si puo a questo punto fare e proporre un’analisi grafica dell’anda-mento qualitativo per il modulo della tensione lungo la linea, ossia al variaredella sezione z considerata volta per volta. Questo andamento sara circa diquesto tipo:
Si parte dal valore di modulo presente sulla sezione A della linea ditrasmissione, e ci si muove avanti, con z tarata in termini di lunghezza elet-trica. Il disegno, come si puo vedere, e dotato di una certa periodicita: tradue massimi, o tra due minimi, vi e una distanza pari a !
2 , mentre tra unmassimo e un minimo una distanza pari a !
4 . Generalmente, questo graficonon e sinusoidale: il massimo, di solito, e ben piu pronunciato del minimo.
Al fine di identificare e quantificare sulla carta di Smith il vettore “1 +%”, vi e una scala: “Transmission Coe!cient E or I”. Riportando su diessa la lunghezza del vettore e possibile ricavare il modulo del coe!ciente ditrasmissione; per la fase, analogamente al coe!ciente di riflessione, vi e unascala adeguata: “Angle of Transmission Coe!cient in Degrees”.
A cosa serve dunque questo andamento qualitativo? Semplice: a fornireanche solo un’idea preliminare dell’andamento della tensione totale sulle variesezioni z della linea di trasmissione. Una volta ottenuto questo risultato, lacarta di Smith permettera di ottenere un risultato piu quantitativo, al variaredi z sulla scala delle lunghezze elettriche. Ogni valore di |T (z)| permetteradi quantificare e dimensionare il diagramma, sempre al variare di z.
Il diagramma appena introdotto e comunemente detto “diagramma d’on-da stazionario”.
Esiste un diagramma d’onda stazionario anche per quanto concerne ilmodulo dell corrente; si sa infatti che:
I(z) = I+(z)[1 +I %(z)] "!2222I(z)
I+(z)
2222 =221 +I %(z)
22
Senza perdere molto tempo, si potrebbero ripetere tutte le stesse consid-erazioni precedentemente fatte, introducendo sulla carta di Smith anziche leimpedenze normalizzate le ammettenze normalizzate. Il risultato fondamen-talmente interessante, passando da coe!cienti di trasmissione di tensione acoe!cienti di trasmissione di corrente, e il ribaltamento dei massimi/minimi:quello che per il coe!ciente di tensione era il massimo ora sara il minimo,e viceversa. Cio e banalmente intuibile ricordando che il coe!ciente di rif-lessione di un’impedenza e l’opposto di quello legato all’ammettenza relativaalla suddetta.
38
1.1.8 Rapporto di Onda Stazionaria (ROS)
Si introduce a questo punto la definizione di una grandezza: il ROS (S)(Rapporto di Onda Stazionaria), come il rapporto tra il massimo e il minimodella tensione totale sulla linea:
S ! Vmax
Vmin=
1 + |%|1" |%|
Osservando cosa capita al modulo della tensione (o della corrente) si vedeche essa e una grandezza oscillante tra un massimo Vmax e un minimo Vmin.Il ROS, o SWR (Standing Wave Ratio) quantifica l’oscillazione del sistemaelettromagnetico, ossia il ripple, al variare della sezione z considerata, dellatensione totale V (z). Si puo facilmente vedere che:
1 < S < #Se % = 0 (caso di linea adattata) si ha S = 1; cio significhera che la ten-
sione (e/o di corrente) saranno costanti in ogni punto della linea di trasmis-sione. Dualmente, se |%| = 1, il carico sara puramente reattivo, dunque leoscillazioni saranno molto elevate (simili al modulo di un seno).
Il ROS e dunque collegato all’oscillazione della tensione nel diagrammad’onda stazionario: piu la tensione oscilla al variare della sezione z consider-ata, piu lontana sara dall’essere costante; per questo, si puo dire che il ROSquantifichi l’adattamento di una linea di trasmissione: piu il ROS e alto,meno la linea e adattata.
Come si puo quantificare il ROS? Esistono sostanzialmente due tecniche,entrambe coinvolgenti la carta di Smith (a meno che non si vogliano utilizzarele espressioni analitiche di %):
1. Riportare il modulo di %, |%|, sulla scala SWR;
2. Tracciare la circonferenza per cui |%| e costante; il punto di intersezionecon l’asse reale positivo sara la misura del ROS.
Questo ultimo punto non e banale, e richiede spiegazioni. Riprendendola definizione di ROS, si sa che:
S =Vmax
Vmin=
1 + |%|1" |%|
Definendo a questo punto Z(z) come:
Z(z) ! V (z)
I(z)
39
Cosa corretta, dal momento che si utilizza localmente la legge di Ohm, sipuo dire che:
Z(z) =V +(z)[1 +V %]
I+(z)[1 +I %]
Considerando il massimo valore di questa impedenza, si ottiene:
max {Z(z)} = Rmax =V +max[1 + |%|]I+min[1" |%|]
Il rapporto e reale dal momento che sia il massimo di tensione sia ilminimo di corrente si trovano sull’asse reale della carta. Dal momento che,inoltre
I+ = Y"V +
Si ha che
max {Z(z)} = Rmax =1 + |%|
Y"[1" |%|] = Z" · 1 + |%|1" |%|
Normalizzando dunque per Z", si trova il massimo valore dell’impedenza(resistenza, dal momento che si parla di valori reali) normalizzata:
max !(z) =1 + |%|1" |%| = S
1.1.9 Caratterizzazione dei circuiti mediante potenze
Quello che si sta facendo in questa sezione e introdurre e studiare diversi modiper caratterizzare circuiti a parametri distribuiti, ossia in cui vi e dipendenzasia dal tempo t sia dalla variabile spaziale z. Finora, e stata sostanzialmenteconsiderata un’estensione della normale analisi in termini di stato elettrico:tensione e corrente.
Quello che non e stato ancora fatto e introdurre un’analisi di tipo energeti-co, ossia definizioni legate a concetti di tipo energetico (energie o potenze).Cio che si fara a questo punto e costruire un metodo di analisi per circuitielettromagnetici, a partire da una funzione di potenza istantanea, p(z, t),dipendente sia dal tempo t sia dalla sezione spaziale z considerata.
Si definisce dunque p(z, t) come prodotto delle due grandezze caratteriz-zanti lo stato elettrico:
p(z, t) ! v(z, t) · i(z, t)
40
Passando dunque al dominio dei fasori, si ottiene:
Ph {p(z, t)} = P (z) + jQ(z) =1
1V (z) · I%(z)
Questa e la potenza complessa, ossia la somma dei contributi di potenzaattiva e potenze immaginarie; a partire da qua, si puo definire il concetto dipotenza attiva come parte reale di questa espressione:
P (z) =1
2Re {V · I%}
Fino a qua, abbiamo solo recuperato alcune nozioni di elettrotecnica, ap-plicabili tranquillamente a sezioni della linea di trasmissione. Volendo esten-derle, per ottenere risultati importanti in termini di circuiti a parametri dis-tribuiti, utilizzando la scomposizione in componenti progressive e regressivedi tensione e corrente, si puo dire che:
Dove, nel caso piu generale:
Z" =
7R+ j%LG + j%C k =
8(R+ j%L) (G + j%C)
Si e visto che:
%V (z) = V +(z) + V !(z)
I(z) = I+(z) + I!(z)
Da qui, sostituendo nell’espressione generale di potenza attiva, si puoottenere:
P (z) =1
2Re0+
V +(z) + V !(z),· Y %
"+V +%(z)" V !%(z)
,1=
Si ricordano a questo punto alcune proprieta dei numeri complessi; datoun generico numero complesso w:
w · w% = |w|2 ; w " w% = (a+ jb)" (a" jb) = 2jb
Da qui:
=1
2Re9:22V +(z)
222 "22V !(z)
222 + V +%(z) · V !(z)" V +(z) · V !%(z);· Y %
"
<=
=1
2Re9:22V +(z)
222 "22V !(z)
222 + 2jIm0V +%(z) · V !(z)
1;· Y %
"
<=
41
Supponendo che Z" & R:
=1
2Y"
:22V +(z)222 "22V !(z)
222;=
1
2Y"22V +(z)
222 31" |%(z)|24
A questo punto, si vogliono introdurre alcune osservazioni riguardo ladimostrazione appena e"ettuata e i risultati appena ottenuti.
1. Se la linea e priva di perdite, si ha la conservazione della potenza totalesu ciascuna sezione; infatti:
22V +(z)222 =22V +
0 e!jkz222 =22V +
0
222
|%(z)|2 =22%+
0 e2jkz222 =22%+
0
222
Dal momento che la linea e ideale, i due termini sono costanti per ogniz, dal momento che al variare di z si hanno solo variazioni di fase; sipuo dunque dire che la potenza sia costante in ogni punto della linea.
2. I modi V + e V ! sono disaccoppiati in potenza. Dalla formula ottenuta,infatti, si puo banalmente vedere che:
P (z) =1
2Y"22V +(z)
222 " 1
2
22V !(z)222 = P+(z)" P!(z)
Il termine P+(z) e detto “potenza progressiva”, o “incidente”; P!(z)e detto “potenza regressiva”, o “riflessa”.
La potenza attiva (ossia quella totale, netta, transitante, reale) e da-ta dalla di"erenza tra le due potenze: la potenza incidente meno lapotenza riflessa.
Al fine di meglio comprendere il significato di tutto cio, si propongonoalcuni casi particolari di studio dell’andamento delle varie potenze; mediantecasi particolari sara possibile comprendere meglio il discorso appena fatto.
1. ZL = Z": caso di carico adattato
In questo caso, si ha che:
V !(z) = 0 "! %(z) = 0 "! P (z) =1
2Y"22V +(z)
222 = P+(z)
Se il carico e adattato alla linea, esso assorbe tutta la potenza attiva,dunque non ne riflette.
42
2. Carico puramente rettivo: ZL = ±jXL
Si vede che il coe!ciente di riflessione %L in modulo varra:
%L =jXL " Z"
jXL + Z"
In modulo quadro:
|%L|2 =X2
L + Z2"
X2L + Z2
"= 1
Da qui:
P (z) = 0 "! P+(z) = P!(z)
Il carico riflette tutta la potenza che gli viene mandata, senza assor-birne! Induttori e condensatori, dunque, riflettono solo la potenza,senza assorbirne. Questo risultato teorico e molto interessante poiche,frequentemente, puo facilitare l’analisi dei circuiti.
3. Carico passivo: Re {ZL} * 0
Si puo vedere, come gia noto, che |%L| < 1; da qui, si avra che lapotenza riflessa dovra per forza essere minore di quella incidente:
P!(z) < P+(z)
1.1.10 Partitore di potenza
Stub parallelo
Sono finora state introdotte caratterizzazioni dei fondamentali circuiti a parametridistribuiti su linee di trasmissione ideali (senza perdite) e senza discontinu-ita. Si caratterizza a questo punto, sotto il punto di vista della potenza, ilcircuito “stub parallelo”:
Si consideri privo di perdite ciascun tratto di linea di trasmissione; sivogliono, a questo punto, trarre conclusioni a partire da osservazioni sullatopologia del circuito.
Una prima osservazione potrebbe essere la seguente:
PA = PB"
43
Dal momento che la linea e senza perdite, il tratto di linea AB ha, in ognipunto, lo stesso valore di potenza totale. Per lo stesso motivo, si puo direche:
PB+C = PC
PB+D = PD
Sul punto B+ tuttavia si avranno due apporti di potenza: nel circuito stubinfatti la tensione e costante sui rami, ma la potenza no, dal momento chele correnti sui due rami sono diversi. Tra i due rami vi sara una ripartizionedella potenza presente sul punto B!, ripartizione che, in questa sottosezione,si intende quantificare.
Si sa che:
PB" = PB+C + PB+D
Dal momento che nel punto B! ci sara, come potenza risultante, la sommadelle due potenze degli altri rami: la potenza si conserva, dal momento cheda un lato non vi son perdite, dall’altro non vi sono fonti di energia. Lepotenze sui due rami possono essere scritte come:
PB+C =1
2Re {VB+C · IB+C#} =
1
2GB+C |VB+C |2
PB+D =1
2Re {VB+D · IB+D#} =
1
2GB+D |VB+D|2
Ma, come gia detto, nello stub le due tensioni sono uguali. Quello che sipuo fare, dunque, al fine di quantificare la ripartizione di potenza tra i rami,e esprimere il rapporto delle potenze tra i due rami come:
PB+C
PB+D=
GB+C
GB+D=
1
(= #
Riprendendo l’espressione della potenza su B!, si puo vedere che:
PB" = PB+C + PB+D = PB+D (1 + #)
Dal momento che
PB+C = # · PB+D
Si puo dunque quantificare, mediante il partitore di potenza, la ripar-tizione della potenza nei due rami:
44
PB+D = PB" · 1
1 + #PB+C = PB" · #
1 + #
Discontinuita di impedenza
Si vuole studiare ancora un caso particolare di risoluzione di circuiti mediantel’uso di concetti energetici: la risoluzione delle discontinuita di impedenza.
Si sa che:
%VA" = VA+
IA" = IA+
Utilizzando la definizione di potenza, si puo scrivere che:!"""#
"""$
PA" = 12Re0VA" · I%A"
1=
22V +A"
222Z"1
31" |%A" |2
4
PA+ = 12Re0VA+ · I%A+
1=
22V +A+
222Z"2
31" |%A+|2
4
Si puo verificare che le due espressioni sono equivalenti, dal momento chele potenze totali coincidono:
PA" = PA+
1.1.11 Potenza in ingresso di un circuito
Si consideri un generico circuito a radiofrequenza:Questo circuito puo essere interamente caratterizzato in termini della
potenza entrante nel punto A mediante la definizione di potenza attiva:
PA =1
2Re {VA · I%A} =
1
2RA |IA|2 =
1
2GA |VA|2
S e un generico blocco che puo contenere al suo interno qualsiasi elementocircuitale, caratterizzabile mediante alcune notazioni che verranno introdottein seguito.
L’interesse attuale e quello di caratterizzare un circuito sotto il puntodi vista della potenza, e"ettuando sostanzialmente un confronto rispetto alcaso ottimale di trasmissione della potenza: la potenza disponibile, ossia lapotenza erogabile da un generatore nel caso il circuito sia adattato, caricatosu di un’impedenza pari al complesso coniugato della sua.
Si ricordano, dall’Elettrotecnica, le definizioni fondamentali:
45
Pdisp !|E|2
4Rg[E in valore e!cace]
Pdisp !|E|2
8Rg[E in valore di picco]
Generalmente, PA < Pdisp: al piu le due potenze possono equivalersi,nel caso che il circuito sia adattato. Esistono, come si vedra, circuiti ingrado di adattare il circuito al generatore (adattatori energetici); per ora,l’interesse della trattazione e quello di completare una caratterizzazione dellelinee di trasmissione nel dominio della frequenza, dunque si ignoreranno altrielementi.
L’elemento mancante alla trattazione sull’analisi mediante potenze dellelinee di trasmissione e il cosiddetto “coe!ciente di Kurokawa”:
K%A !ZA " Z%
g
ZA + Zg
Si puo dimostrare, a partire da questa definizione, che:
PA = Pdisp ·:1"22K%A
222;
In questo modo e possibile ricavare la potenza presente sulla linea in casodi disadattamento energetico.
Esiste un modo per leggere anche sulla carta di Smith il coe!ciente diKurokawa (o “Gamma di Kurokawa”), mediante alcuni artifici: scrivendoK%A come:
K%A =RA + jXA " (Rg + jXg)%
RA + jXA +RG + jXG=
Z & "Rg
Z & +Rg
Dove
Z & ! ZA + jXg
Si puo normalizzare numeratore e denominatore per la resistenza di caricoRg, ottenendo:
K%A =! & " 1
! & + 1
A questo punto, introducendo questo valore di impedenza normalizzatasulla carta di Smith, quello che si leggera sara il coe!ciente di Kurokawa.
46
1.2 Linee di trasmissione con perdite
Finora sono state considerate generiche linee di trasmissione, introducendoun metodo per la loro analisi, non tenendo tuttavia conto di un elemento: lenon idealita della linea. Di tutto il modello matematico introdotto sono staticonsiderati solo due elementi: L e C, ossia gli elementi induttivi e capacitiviper unita di lunghezza. G e L, di fatto, sono stati ignorati, finora, nellatrattazione.
Al fine di perfezionare il modello, si riscrivono le equazioni delle linee neldominio della frequenza:
!""#
""$
"dV (z)
dz= (G + j%L) · I(z)
"dI(z)
dz= (R+ j%C) · V (z)
La cosa piu semplice da fare a questo punto e ridefinire L e C comequantita complesse, LC e CC , in questo modo:
!""#
""$
LC ! Rj%
+ L
CC ! Gj%
+ C
In questo modo, la soluzione matematica delle equazioni di"erenziali saraesattamente identica alla precedente; questa sostituzione e stata costruita ad-hoc in modo da riportare il problema di"erenziale a uno gia risolto, in mododunque da evitare di ripetere passaggi del tutto superflui. Le equazioni, aquesto punto, divengono:
!""#
""$
"dV (z)
dz= j%LC · I(z)
"dI(z)
dz= j%CC · V (z)
La soluzione delle equazioni di"erenziali, come precedentemente fatto,sara:
%V (z) = V +
0 e!jkz + V !0 ejkz
I(z) = I+0 e!jkz + I!0 e
jkz
Dove pero k e Z" assumono valori di"erenti:
47
k = ±%8LC · CC Z" =
-LC
CCLo studio della costante di propagazione della linea, k, non e banale:
l’espressione di k appena trovata si ricava durante lo studio della soluzionedelle equazioni di"erenziali, ma e tutto liscio e semplice come prima? No: cisono alcune considerazioni aggiuntive da fare. Riprendendo e sostituendo lesostituzioni di LC e CC , si puo riscrivere per esteso k come:
k = ±8
" (R+ j%L) (G + j%C)Come si puo vedere (si poteva in realta anche da LC e da CC , i due fattori
hanno fase compresa tra "$2 e 0: R * 0, % * 0, dunque non e possibile
andare ne sopra ne sotto il limite appena annunciato. Un discorso analogosi puo fare per CC .
All’interno della radice, il prodotto dara luogo alla somma delle possibilifasi; sommando dunque gli estremi di fase, si avrebbe:
)min = "&2" &
2= "&
)max = 0 + 0 = 0
Il radicando ha dunque fase compresa tra "& e 0, % & R; si puo dunquedire, per ora, che:
"& ( " (LC · CC) ( 0
Fatte queste osservazioni, si introduce un piccolo trucco: svolgendo i contiall’interno della radice, con un piccolo accorgimento, si puo verificare che:
k =8
" (RG + j%RC + j%LG " %2LC)Si introduce a questo punto una definizione fondamentale: la linea si dice
“con piccole perdite” se:
R%
+ L G%
+ C
Questa condizione verra meglio discussa in seguito.Raccogliendo all’interno della parentesi, trascurando dunque i termini
puramente resistivi, si puo dire che l’espressione riportata e equivalente a:
k , %$L · C ·
7
1"&jR%L + j
G%C
'
48
Linearizzando a questo punto l’espressione mediante l’uso del polinomiodi Taylor di primo ordine, nella fattispecie in questo modo:
$1 + x , 1 +
1
2!x" 1
3!x2 + ...
Si otterra:
k - %$L · C ·
(1" 1
2
&jR%L + j
G%C
')=
= %$L · C
(1" j
1
2
&R%L +
G%C
')= * " j(
Il risultato appena ottenuto e stato quello di approssimare l’intera radicea un valore complesso:
±k = ± (* " j()
Dove
* * 0, ( * 0
Cosa sono ( e * ? Beh, se ne osservi una scrittura pratica:
•* = %
$L · C
Si tratta di quello che, nelle linee senza perdite, e stato sempre indicatosemplicemente come k. Prima k era reale, ora e complesso; *, deidue termini, e quello che rappresenta la costante di propagazione dellalinea nel vero senso della parola: essendo il termine che provoca lavariazione di fase della tensione e della corrente sulla linea, e il termineche rappresenta la propagazione spaziale.
• ( e detto “coe!ciente di attenuazione” e indica quanto la linea, datal’ipotesi di piccole perdite, attenua il modo di propagazione.
Altra osservazione: k, interpretato come numero complesso, dove e situatonel piano complesso? Beh, si sa che:
±k = ± (* " j()
Si puo fare un’osservazione: riconducendosi alla linea ideale, si puo vederecome si comportava il vecchio k, e trarre delle conclusioni. Se i terminiresistivi, R e C tendono a 0, la radice tende a ridursi a:
49
limR,G$0
k = %$L · C = *
Ossia, si ha un valore in cui Re {k} > 0. Dal momento che
±k = ± (* " j()
Se Re {k} > 0, Im {k} < 0.
k = * " j(
"k = "* + j(
Tra breve si vedra che tutto cio e coerente con i modelli gia visti.Per quanto riguarda l’impedenza caratteristica Z" di una linea con perdite,
si potrebbe fare un discorso del tutto analogo, e ricavare dunque allo stessomodo:
Z" ,-
LC
&1" j
R2%L + j
G2%C
'= R0 " j
1
2*
+R"GR2
",= R" " jX"
Dove R" e la resistenza caratteristica della linea, e X" la reattanzacaratteristica.
1.2.1 Interpretazione della soluzione
Mediante la discussione e stato visto che, a meno di alcune modifiche con-cernenti le costanti k e Z", la soluzione analitica dell’equazione di"erenzialee analoga a quella precedentemente usata. Si sa dunque che:
V (z) = V +0 e!jkz + V !
0 ejkz
Dove pero, questa volta:
k = * " j(
Sostituendo k in V (z) si ottiene l’espressione della tensione totale sullalinea:
V (z) =22V +
0
22 e!j(%!j&)zej"V+0 +22V !
0
22 ej(%!j&)zej"V"0
Per esteso:
50
V (z) =22V +
0
22 e!j%ze!&zej"V+0 +22V !
0
22 ej%ze!j&zej"V"0
Dove il primo termine rappresenta l’onda progressiva, il secondo l’ondaregressiva.
Come si vedra in seguito parlando di propagazione guidata, il modo dipropagazione nello spazio che si utilizza nelle linee di trasmissione e un TEM(Trasverso Elettrico e Magnetico), dunque la direzione di propagazione saraquella di z (versore in direzione dell’asse z); gli andamenti saranno dunque iseguenti, all’aumentare di z:
• |V +(z)| =22V +
0
22 e!&z:
Il modulo dell’onda progressiva tende ad attenuarsi con andamentoesponenziale legato al parametro (; questo ragionamento e assoluta-mente sensato e intuibile: aumentando la lunghezza z percorsa dall’on-da, le perdite aumentano, dunque il modulo della tensione progressivatende ad abbassarsi a causa dei fattori di perdita.
• |V !(z)| =22V !
0
22 e&z:
Questa tru"aldina espressione potrebbe trarre in inganno, ma in realtanon c’e nulla di anormale: vi sarebbe, a prima lettura, una crescitaesponenziale della tensione regressiva all’aumentare della distanza z.Si ricordi tuttavia un fatto: la tensione regressiva non si muove nelladirezione crescente di z, bensı verso "z (ossia nella stessa direzione, maverso opposto rispetto a z); andando “indietro”, si ha un’attenuazionedel modulo anche per quanto riguarda la componente regressiva. Cio eovvio, dal momento che non sarebbe possibile in alcun modo “generaresegnale” dal nulla.
Altro modo per verificare questo fatto e utilizzare il calcolo della veloc-ita di fase:
vf = " %
Re {k}
La direzione di propagazione e "z, dunque come previsto tutto cio chee stato detto e formalmente corretto.
1.2.2 Coe!ciente di riflessione con perdite
Riprendendo la definizione di coe!ciente di riflessione, la si vuole estendere,come gia fatto per altre grandezze, per il caso di linee con perdite; come e ben
51
noto, il coe!ciente di riflessione e definito come rapporto tra la componenteregressiva e quella progressiva dell’onda (in tal caso, si intende tensioni; tuttii concetti sono estensibili per i coe!cienti di riflessione di corrente):
%(z) =V !(z)
V +(z)=
V !0
V +0
ej2kz = %0 · ej2%z · e2&z
Cosa capita dunque? Beh, si consideri semplicemente il modulo delcoe!ciente di riflessione:
|%(z)| = |%0| · e2&z
Il modulo del coe!ciente di riflessione, come si poteva immaginare, non epiu costante al variare della sezione z considerata. Questo significa che moltedelle congetture precedentemente introdotte, ideate sulla carta di Smith, nonsono piu valide; sulla carta di Smith, infatti, quello che si verifichera sara lavariazione del coe!ciente di riflessione secondo una spirale logaritmica, il cuipolo e situato su % = 0. Il ROS inoltre perde di significato: dal momentoche esso diventa di fatto funzione di z, non essendo piu costante su tutta lalinea, non ha piu senso utilizzarlo; in altre parole:
S =1 + |%(z)|1" |%(z)| = S(z)
Dal momento che il valore del modulo del coe!ciente di riflessione none piu costante su ciascun punto della linea di trasmissione, sarebbe neces-sario calcolare un ROS per qualsiasi valore di z, ma cio non avrebbe senso,dal momento che esso e un parametro che deve indicare l’andamento delleoscillazioni di tensione al variare della sezione della linea.
Si vuole a questo punto quantificare l’andamento della tensione totale con%(z) sulla linea:
V (z) = V +(z) [1 + %(z)] = V +0 e!j%te!&z
31 + %0e
j2%ze2&z4
Di tutto cio si consideri il modulo:
|V (z)| =22V +
0
22 e!&z221 + %0e
2j%ze2&z22
Si possono notare due contributi: un primo, in cui si vede che si haun andamento decrescente; questo e l’andamento di una sorta di inviluppodell’intera tensione totale; si parla di inviluppo a causa della presenza delsecondo termine, in cui si han oscillazioni di ampiezza sempre maggiore,dettate dalla variazione di |%(z)|:
52
Si consideri a questo punto un’analisi piu dettagliata delle linee di trasmis-sione con piccole perdite: si aveva precedentemente presentato alcune for-mule, esprimenti k e Z" nel nuovo modello:
k =8
" (RG + j%RC + j%LG " %2LC)
Z" =
=>>>?j%L@1 + R
j"L
A
j%C@1 + G
j"C
A
Cosa capita dunque? Nel caso di piccole perdite si ha che:
%R + j%LG + j%C
Si puo dunque trovare che:
Z" ,-
LC
Cosa significa tutto cio? Beh, si puo ancora normalizzare le impedenze elavorare sulla carta di Smith, ma in modo un po’ diverso rispetto a prima;il modulo del coe!ciente di riflessione infatti non e piu costante, dunquebisognera, come si vedra in seguito, tenere conto di alcuni accorgimenti.
Vi e un altro modo di lavorare: utilizzando le definizioni sulle potenze,osservando nella fattispecie come esse si propagano dall’ingresso verso l’us-cita, e possibile introdurre metodi di calcolo analitici per studiare i circuitielettromagnetici.
Sulla base delle funzioni V +(z) e %(z), si puo dire che:
P (z) =1
2Re {V (z)Y %
"V %(z)} =|V +(z)|2
2Z"
31" |%(z)|2
4
Come detto precedentemente Y" nel caso di piccole perdite, si puo ap-prossimare al suo valore reale (ossia a quello senza perdite); la relazionesembra dunque molto bella e funzionale da utilizzare, ma di fatto non lo e:|%(z)| non e infatti piu costante al variare della sezione z che si considera,dunque bisognera tenere conto in qualche modo dei termini attenuativi.
Si consideri il seguente generico circuito:Cosa sicura, deducibile da cio che e stato detto finora, e il fatto che
PA )= PB
53
Data dunque la potenza nel punto A, PA, come si puo determinare ilrapporto tra PA e PB ?
Il primo passo e quello di esplicitare PA e PB in funzione di V + e %:
PB =
22V +B
222
2Z"
31" |%B|2
4
PA =
22V +A
222
2Z"
31" |%A|2
4
Si cerchi a questo punto di stabilire una qualche relazione tra22V +
B
22 e22V +
A
22:
V +B = V +
A e!jkz = V +A e!j%ze!&z
Dunque:
2222V +B
V +A
2222 = e!&z "!2222V +B
V +A
22222
= e!2&z
Da cio, ci puo concludere che il rapporto tra la potenza nel punto B equella nel punto A e quantificabile come:
PB
PA=
1" |%B|2
1" |%A|2· e!2&l
L’espressione dipende sostanzialmente da due fattori, dipendenti da duedi"erenti cause, due tipi di situazioni:
• Il primo termine quantifica l’attenuazione dovuta al disadattamentodella linea; esso viene detto “attenuazione di disadattamento”, Ad:
Ad !1" |%B|2
1" |%A|2
• Il secondo termine e indipendentemente da come o cosa si carichi sullalinea, dal momento che riguarda solo le sue caratteristiche fisiche, ossiale entita delle perdite dovute ai vari fenomeni dissipativi. Esso vienedetto “attenuazione nominale” della linea, An:
An ! e!2&l
54
L’espressione competa dell’attenuazione e"ettiva viene spesso rappresen-tata in decibel (dB); poiche si tratta di decibel di potenza, si considera ilfatto che la potenza e una grandezza quadratica e dunque il logaritmo andramoltiplicato per fattore 10:
10 log10PB
PA= 10 log10
+1" |%B|2
," 10 log10
+1" |%A|2
,+ 10 log10
+e!2&l,
Si consideri a questo punto il terzo termine; per le proprieta dei logaritmi,esso puo essere riscritto come:
10 log10+e!2&l,= "20(l · log10 (e)
Si noti che:
20 log10 (e) , 8, 686
In letteratura, spesso si definisce un termine (dB come:
(dB ! ( · 8, 686
Si noti assolutamente che (dB non e assolutamente ( valutato in decibel;esso e una grandezza che contiene informazioni, in decibel (p.u.l. , ossia perunita di lunghezza) riguardo l’attenuazione nominale.
Si puo dire che:
PB
PA
2222dB
= 10 log10+1" |%B|2
," 10 log10
+1" |%A|2
," (dB · l
Esempio pratico
Si vuole a questo punto considerare un rapido esempio pratico, al fine difissare le nozioni appena apprese.
Dato il seguente circuito:Dove
E = 100V Z" = 75$ ZL = (200" j150) $
l
'= 10, 135 (dB = 3dB Zg = 50$
Si chiede di calcolare la potenza sul carico ZL
Per risolvere, dalla carta di Smith si puo leggere che:
55
|%B| = 0, 62
Si puo dunque ricavare facilmente che:
%B = %A · ej2%le2&l "! |%A| = |%B| e!2&l
A questo punto si hanno due vie per procedere:
1. Utilizzare ( · l, definito come:
( · l = (dB · l8, 686
= 0, 345 · l
Dunque:
e!2&l = 0, 501
Questo ultimo conto si puo e"ettuare mediante un calcolatore.
Si ha dunque in totale che:
|%A| = 0, 62 · 0, 501 = 0, 31
2. Altro metodo di risoluzione e basato sul passaggio in decibel dei coef-ficienti di riflessione:
20 log10 |%A| = 20 log10 |%B|" 2(dB · l = "4, 15" 6 = "10, 15 dB = 0, 31
Determinato |%A|, si puo procedere in due modi:
1. Metodo circuitale: si ricava, da cio che e stato precedentemente fatto,ZA, dunque si risolve il semplice circuito equivalente:
PA =1
2ZA |I|2
I =E
Zg + ZA
Bisognerebbe pero calcolare la ZA di ingresso, cosa che potrebbe esserenoiosa (non di!cile).
56
2. Un metodo alternativo di procedere potrebbe essere basato sull’uso delcoe!ciente di riflessione di Kurokawa K%A; si puo infatti dire, in ungenerico circuito, che:
PA = Pdisp
:1"22K%A
222;
Dove, si ricorda:
K%A =Z & "R%
g
Z & +Rg
Dalla carta di Smith, si puo leggere facilmente che:
l
'
2222B
= 0, 281l
'
2222LINEA
= 20 · 0, 5 + 0, 135
La linea e infatti lunga 10,135 lunghezze elettriche. Dal momento chepero i 20 giri non possono essere “cancellati”, dal momento che la linea econ perdite e ogni tragitto percorso fa perdere modulo, sara necessariotenere conto di tutto. Quello che si puo fare solo per un istante etrascurare comunque le perdite, e fare:
l
'
2222A
=l
'
2222B
+l
'
2222LINEA SENZA PERDITE
= 0, 281 + 0, 135 = 0, 416
Che senso ha questa operazione? Molto semplice: se da un lato siha attenuazione del modulo, dall’altro si ha comunque propagazionedello stato elettrico. Quello che si puo fare fingendo di ignorare leperdite e trovare la “posizione finale” sulla carta di Smith in terminidi lunghezze elettriche del coe!ciente di riflessione, in modo comunqueda tenere conto dei fenomeni propagativi dello stato elettrico. Questosi puo fare tenendo conto della sola fase relativa al punto con 0,416(lunghezze elettriche), riportando tuttavia per questo valore di fasela lunghezza di |%A|, precedentemente calcolata, che tiene conto delleperdite del circuito. In questo modo e possibile tenere conto dell’anda-mento “a spirale” del coe!ciente di riflessione lungo il circuito, senzadover tuttavia tracciare il valore per ogni singola sezione z.
Si procede a questo punto con i calcoli del primo e del secondo metodo,proponendo alla fine un confronto. Dalla lettura sulla carta di Smith, siricava:
57
!A = 0, 65" j0, 4
Denormalizzando:
ZA = !A · Z" = (48, 75" j30)$
Lavorando con la calcolatrice o con la carta di Smith (in tal caso sisuggerisce di calcolare YA+g, si calcol:
I =E
Za + Zg= E · YA+g = 0, 927 + j0, 282
Usando le formule della potenza:
PA =1
2|I|2 ·RA = 22, 88W
Per quanto riguarda il metodo passando per il coe!ciente di Kurokawa,si deve determinare ! & come:
Z & = ZA + jXg
! & =Z &
Rg
Riportando sulla carta di Smith il valore di ! &, si puo ottenere K%A. Dalmomento che:
PB = PA · 1" |%B|2
1" |%A|2· e!2&l = 0, 681 · 0, 501 · PA = 0, 341 · PA
E
10 log10+1" |%B|2
,= "2, 1
10 log10+1" |%A|2
,= "0, 44
Si ha che:
PB
PA= "3" 2, 1" 0, 44 = "4, 66 dB = 0, 342
Il risultato ottenuto e uguale al precedente!
PB = 23 · 0, 342 = 7, 866W
58
1.3 Circuiti di adattamento
Solitamente, collegare la linea di trasmissione direttamente al carico e algeneratore non e una buona idea. Come gia detto, esistono due tipi difenomenologie che “disturbano”, “limitano” la propagazione dello stato elet-trico, nella fattispecie della potenza: Ad, ossia l’attenuazione di disadatta-mento, e An, ossia l’attenuazione nominale.
Si cerchi di capire un po’ meglio cosa capita, di fatto, nei circuiti elettro-magnetici:
• Se il coe!ciente di riflessione non e nullo, cosa che capita ogni volta cheil carico non e adattato alla linea, ZL )= Z"; per questo, in casistichecome questa sara presente una componente regressiva di potenza nellalinea di trasmissione.
• Se il generatore non ha come carico un’impedenza pari al complessoconiugato dell’impedenza di uscita, ossia se
ZL,g )= Z%g
(dove ZL,g e l’impedenza vista all’ingresso della linea di trasmissione),la potenza emessa dal generatore sara inferiore alla potenza disponibile,ossia alla massima potenza che e in grado di emettere.
Cosa si puo porre rimedio a tutto cio? L’idea e utilizzare due blocchicircuitali all’interno del circuito elettromagnetico, in questa maniera:
Questi due circuiti sono quelli indicati come A.E. (adattatore energeti-co), e A.U. (adattatore di uniformita): si tratta di due elementi in grado diottenere i seguenti risultati (rispettivamente)
ZA = Z%g
ZC = Z"
Introduciamo dunque singolarmente, sfruttando una delle ben note leggidell’elettronica: gli elementi circuitali sono “miopi”, dal momento che nonvedono nulla al di fuori dei propri morsetti; e sempre valido dunque il prin-cipio di equivalenza, come in elettrotecnica, cosa che puo permettere di “farvedere” qualcosa nei morsetti, in modo da ottimizzare le prestazioni dellarete elettromagnetica.
59
1.3.1 Adattatori di Uniformita
Cosa dovrebbe fare un adattatore di uniformita? Beh, si sa che, sulla cartadi Smith, introducendo una certa impedenza normalizzata ! si puo leggere ilvalore di un certo coe!ciente di riflessione ad essa associato. Dal momentoche l’adattamento di uniformita ha lo scopo di annullare il coe!ciente diriflessione, il circuito di adattamento dovra in qualche modo riportare alcentro della carta di Smth questo punto: a seconda di quale impedenza dicarico vede la linea, sulla carta si possono e"ettuare costruzioni geometrichedi diverso tipo che permettono di “far vedere” alla linea ! = 1, ossia difar comportare la linea come adattata al suo carico. Introducendo dunqueil circuito ricavato dalle costruzioni sulla carta di Smith si puo e"ettuarel’adattamento del carico alla linea di trasmissione.
Prima di trattare gli adattatori di uniformita, e buona cosa introdurrealcune nozioni che torneranno molto utili anche in ambito di adattatorienergetici.
Di solito i circuiti di adattamento si realizzano a frequenza fissa, ossiafunzionano solo per una certa frequenza dei segnali (monocromatici) in in-gresso. Esistono sostanzialmente due tipi di componenti per la realizzazionedi questi circuiti:
• Componenti a parametri concentrati: facili da trovare, ma con unagrossa limitazione: ad alte frequenze (quali le radiofrequenze, che si esoliti usare in termini di Campi Elettromagnetici), presentano parametriparassiti molto elevati, dunque non possono essere utilizzati.
• Componenti a parametri distribuiti: normalmente gli adattatori a ra-diofrequenza si realizzano mediante circuiti a parametri distribuiti, os-sia con linee di trasmissione (chiuse in circuito aperto o in corto cir-cuito) in modo da simulare il comportamento di induttanze o capacita.
Per realizzare gli adattatori esistono diverse topologie, alcune delle qualisaranno studiate in maniera particolarmente approfondita.
• Circuito a “L dritto”:
Si introduce un’impedenza ZS (di solito realizzata mediante uno stub)prima della linea di trasmissione;
• Disegno a “L rovesciato”:
Configurazione duale alla precedente: prima si introduce la linea ditrasmissione, quindi lo stub ZS.
60
• Circuito a “T”:
Si usano due tratti di linea di trasmissione, quindi introduce in mezzoa essi un’impedenza in parallelo.
• Circuito a &:
Duale al precedente, con due impedenze in parallelo e un tratto di lineadi trasmissione tra esse.
Nota: tutti questi circuiti usano un’impedenza in parallelo. Nei conti siusa pressoche sempre l’ammettenza, al fine di poter utilizzare una sommaalgebrica anziche una somma armonica al momento di fare i calcoli in modopiu semplice. Queste topologie sono utilizzabili sia in ambito di adattatori diuniformita sia di adattatori energetici. Gli ultimi due sono adattatori moltoversatili, dal momento che presentano tre gradi di liberta su cui operare;questo fatto comunque li rende molto complicati da utilizzare, dunque perora non verranno trattati.
Come si puo realizzare il progetto di un adattatore di uniformita? Comegia accennato, dato un punto arbitrario della carta di Smith, l’obiettivo equello di ideare una costruzione geometrica in grado di riportarlo fino alcentro della suddetta, ossia % = 0, o ! = 1.
Si parta dallo schema di adattamento a L dritto (l’unico che verra usatoin ambito di adattatori di uniformita); si dovra operare variando la lunghez-za dei tratti di linea, ipotizzando di non avere fenomeni di perdite (quindiconsiderando sostanzialmente solo tratti corti di linea). Data questa ipotesi,a partire dal punto iniziale della carta di Smith (ricavato mediante l’intro-duzione del valore dell’impedenza normalizzata di carico della linea), ci sipuo muovere fino a incrociare la circonferenza Re {!} = 1 (si puo notare geo-metricamente che questa intersezione esiste sempre). Risolto questo punto, egia stato fissato uno dei parametri: la lunghezza l della linea di trasmissione.
Volendo a questo punto muoversi verso il centro della carta di Smith sullacirconferenza-luogo di punti delle impedenze a parte reale unitaria, si dovraintrodurre lo stub yS, ossia l’ammettenza (o, meglio, suscettanza, dal momen-to che la parte reale dell’ammettenza e gia stata dimensionata). Scegliendola lunghezza idonea dello stub sulla carta di Smith, si puo realizzare unasuscettanza induttiva o capacitiva a scelta, dunque considerare il progettoterminato.
In matematichese, quali saranno i passi da seguire:
1. yB = yL; yL = a+ jb.
2. yA+ = 1 + jb (passaggio ottenuto mediante la linea A+B).
61
3. yS = yA" " yA+ (su y!A si vuole avere “1” come ammettenza); dunque:
yS = 1" (1 + jb) = "jb
"jb e il valore della reattanza che dovra essere realizzata mediante lostub.
SI noti: nella circonferenza di raggio unitario, al fine di realizzare lo stub,ci si muove sostanzialmente sempre in direzione del generatore, ossia T.G.
1.3.2 Adattatori Energetici
Nell’adattatore di uniformita l’obiettivo finale era ottenere % = 0, ossia elim-inare qualsiasi contributo di riflessione; l’adattatore energetico si puo consid-erare come una generalizzazione delle costruzioni utilizzate, con un obiettivofinale diverso: adattare un’impedenza in modo da farla vedere come pari aZ%
g , dove pero Zg, impedenza di generatore, puo assumere un valore qualsiasi.Per realizzare cio con un adattatore a L dritto si procede nel seguente
modo: si individuano yL e yg sulla carta di Smith; y%g sara semplicemente(come si puo vedere facilmente) il simmetrico rispetto all’asse delle ascisse diyg.
Dalla definizione di numero complesso e di suo complesso coniugato si sache, dato z definibile come:
z = Re {z}+ jIm {z}
z% = Re {z}" jIm {z}
Un primo obiettivo dunque e, dal momento che il primo grado di libertada soddisfare riguarda la lunghezza del tratto di linea (a partire dal caricoinfatti, negli adattatori a L dritto, prima si “incontra” la linea, “poi” lo stub),raggiungere, con il tratto di linea piu corto possibile (al fine di non incapparein fenomeni di perdite), l’intersezione con la circonferenza Re
0y%g1costante.
Si sa che, a partire da una circonferenza |%| costante, modificando lalunghezza della linea si puo modificare la fase del coe!ciente di riflessione,"%, dunque l’impedenza della linea. Noi desideriamo tuttavia che la linea siatale da ottenere, a partire da !L (o yL che sia), l’intersezione con la circon-ferenza Re
0y%g1= costante. Giunti a questa intersezione, si sara “all’ingresso
della linea”, A+, e si avra un’ammettenza pari a:
yA+ = aA+ " jbA+ = Re0y%g1" jbA+
62
La parte reale e stata aggiustata, quella immaginaria ancora no. Comeprima, al fine di ottenere l’impedenza finale, sara necessario introdurre unostub nel circuito. Si desidera che, in yA" , si possa vedere y%g ; si puo osservaredunque banalmente che:
yA" = yA+ + yS
Dove
yA+ = Re0y%g1" jbA+
Dunque:
yS = jbS
La condizione da soddisfare e:
y%g = yA+ + yS "! yS = y%g " yA+
Determinato ys, il progetto si puo considerare quasi terminato; per con-cludere, a questo punto, e su!ciente determinare la lunghezza dello stubparallelo.
1.3.3 Problemi nella realizzazione di adattatori ener-getici
Realizzare un adattatore energetico non e banale; oltre ad essere una versione“generalizzata” dell’adattatore di uniformita, vi puo essere un problema direalizzazione, non risolubile con i metodi analizzati in dettaglio finora. L’a-dattatore di uniformita e infatti sempre realizzabile dal momento che il punto“di arrivo” e l’origine, e la circonferenza su cui “ci si muove” e Re {!} = 1.
Volendo generalizzare per una qualsiasi circonferenza, puo accadere unfatto assai sgradevole: la generica circonferenza a Re
0y%g1costante e quel-
la |%L| costante potrebbero non aver intersezione: una delle due potrebbeinfatti essere troppo grande o troppo piccola per intersecare l’altra, dunqueil progetto sarebbe irrealizzabile. Questo tipo di casistica puo capitare fre-quentemente, almeno quanto la casistica “fortunata”, dunque i metodi da noifinora introdotti sono incompleti. Per questo motivo, e necessario trovare unastrada in grado di portare a una soluzione di un qualche tipo per ogni ca-sistica, anche per quelle meno fortunate, in modo da completare il range diproblemi che potrebbe esser necessario a"rontare, al livello proposto dallatrattazione.
63
1.3.4 Adattatori energetici a L rovesciato
Come dice il saggio, se Maometto non va dalla montagna, allora e la mon-tagna che va da Maometto2. Questo detto popolare potrebbe tornare utileper comprendere cio che si e in procinto di introdurre, ossia l’adattatore a Lrovesciato, del tutto duale a quello a L dritta.
Si osservi cosa capita dal punto di vista del carico: se, a partire da essosi introduce prima la reattanza (o meglio suscettanza) yS, dunque solo dopouna linea di trasmissione si ottiene, sulla carta di Smith, una costruzionegeometrica del tutto duale a quella appena trattata.
Questa volta, invece che cercar di portare yB (ossia il carico, yL) verso yA(ossia y%g , il complesso coniugato dell’impedenza di uscita del generatore), sifa “il contrario”: non potendo ovviamente modificare le caratteristiche delgeneratore, si dovra partire poco dopo: la costruzione geometrica sulla cartadi Smith fara in modo da ottenere, di fatto questo risultato. Si considera lacirconferenza |%g# | costante e si interseca con quella Re {yL} costante. L’in-tersezione trovata sara yB" : se Maometto (l’impedenza di carico) non si espostato, abbiamo avvicinato a lui la montagna (l’impedenza di generatore);la linea di trasmissione tra le due e il percorso che le collega. Una linea ditrasmissione si puo pensare come un’entita in grado di modificare la resisten-za vista da un capo a un altro, fermo restando che il modulo del coe!cientedi riflessione e costante. La di"erenza tra i due circuiti (L dritto o rovesci-ato) sta nel fatto che, in un certo senso, prima si voleva fare in modo che“l’ingresso veda il carico che vuole”, ora che “il carico veda l’ingresso chevuole” (dal momento che prima la linea era collegata direttamente al carico,ora direttamente all’ingresso ma non al carico).
Il risultato finale e il seguente:
yB" = yS + yB+
Dal momento che si vuole fare in modo che il carico veda un certo ingresso,si dovra fare sı da avere, ricavati gli altri parametri, yS tale per cui:
yS = yB" " yB+
Dove yB+ + yL; dunque:
yS = yB" " yL
I due tipi di circuito hanno un grosso vantaggio: si puo geometricamentedimostrare che dove un metodo non converge, l’altro lo fa. Si avesse dunque
2Chiediamo scusa ai musulmani che, di questi tempi, potrebbero o#endersi.
64
sfortuna nel scegliere un tipo di adattamento, e su!ciente utilizzare l’al-tro per avere la garanzia che funzioni, avendo cosı possibilita di arrivare altermine del progetto.
1.3.5 Trasformatore !4
Esiste un altro tipo di adattatore (di uniformita soprattutto), molto semplicema comunque utilizzato: il trasformatore '/4 (o adattatore '/4): si trattadi un adattatore in cui si sceglie di introdurre semplicemente una linea ditrasmissione con lunghezza pari a '/4:
L’unico grado di liberta presente in questo tipo di adattamento e la sceltadell’impedenza caratteristica del tratto di linea introdotto nel circuito. Trat-tandosi di solito di un adattatore di uniformita, il suo scopo e quello diadattare il carico alla linea; cio significa che, all’ingresso dell’adattatore, nonsi vorrebbe avere onde regressive, e dunque che:
%A" = 0
Dalla teoria precedentemente introdotta, si sa che:
ZA" = Z"2 ·RL + jZ"2 tan(*l)
Z"2 + jRL tan(*l)
Si considera una linea senza perdite, dunque k = *.Dal momento che la linea di trasmissione ha una lunghezza l pari a '/4,
si avra:
*l =2&
'· '4=&
2Si consideri dunque il limite dell’espressione per *l ! $
2 :
lim%l$!
2
[ZA"(*l)] =Z2
"2
RL
Dal momento che cio che ci interessa e il fatto che ZA" sia “adattata”,si vuole che essa valga Z"1: in questo modo il carico risulterebbe essereadattato alla linea di trasmissione. Dunque:
Z"1 =Z2
"2
RL.% Z"2 =
8Z"1 ·RL
Cosa e stato ottenuto? Beh, dato l = '/4, l’impedenza caratteristica dellalinea di trasmissione deve essere pari alla media geometrica della resistenzadi carico e dell’impedenza caratteristica della linea. Questo tipo di adattatori
65
per come sono stati appena descritti, sono validi solo per impedenze di caricopuramente resistive. Nel caso le impedenze fossero reattive, si puo fare laseguente costruzione: si indica l’impedenza normalizzata di carico !B come:
!B =RL
Z"2
Questa puo essere, sulla carta, o maggiore o minore di 1, ma reale (dalmomento che come detto si adattano per ora solo carichi puramente resis-tivi). Introducendo una linea di trasmissione con lunghezza elettrica pari a'/4, semplicemente, per come e fatta la carta di Smith, si otterra il simmet-rico rispetto all’origine del punto. Cio in matematichese si traduce come ilreciproco dell’impedenza di carico:
!A+ =1
!B=
Z"2
RL
Per passare da !A+ a !A" si deve risolvere una discontinuita di impedenza,dunque de-normalizzare e ri-normalizzare per le impedenze caratteristicheprima Z"2 poi Z"1. Quindi:
!A" = !A+ · Z"2
Z"1=
Z2"2
RL · Z"1
Per avere la condizione di adattamento di uniforita, si impone che !A" =1; quindi:
!A" = 1 =Z2
"2
RL · Z"1"! Z"2 =
8RL · Z"1
Abbiamo ritrovato la stessa condizione di prima, passando anche per lacarta di Smith!
Se !L e dell’altro segno, non cambia assolutamente niente rispetto a ora.Dal punto di vista della costruzione grafica questo tipo di adattatore e ba-
nale da realizzare: basta “ribaltare” rispetto all’origine l’impedenza. Esso emolto utile anceh in ambito di guide d’onda: data ad esempio una guida d’on-da rettangolare con una porzione riempita di un materiale dielettrico, essa sipuo modellare con una linea di trasmissione con discontinuita di impedenza.Con cio, si puo e"ettuare un adattamento proprio mediante l’adattatore '/4.
Finora sono state discusse solo impedenze reali (ossia sostanzialmenteresistenze); con generiche impedenze, cambia molto? La risposta e no: questoadattatore e assolutamente realizzabile, se si tiene conto di un semplice fatto:al tratto di linea l = '/4, si potrebbe semplicemente aggiungere un altropezzetto di linea, tale da portare sull’asse reale l’impedenza, ruotando sulla
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circonferenza |%| costante. Si puo dunque dire che esso sia un “adattatore'/4 abbondanti”.
Perche, a parte il contesto delle guide d’onda, questo adattatore potrebberisultare utile? Beh, tutti gli adattatori finora studiati funzionano, ma solo susegnali a una certa frequenza di lavoro. Per realizzare un adattatore a bandalarga si puo mettere in cascata un certo numero di celle '/4, dal momentoche esse sono le piu facili da gestire; stabilendo un certo numero n di celle dautilizzare e la topologia secondo la quale esse vanno disposte si puo combinarel’e"etto sulle varie frequenze delle varie celle, dunque allargare la banda degliadattatori rendendoli validi per segnali anche non monocromatici.
1.4 Linee di trasmissione nel dominio del tem-po
Finora e stato considerato lo studio delle linee di trasmissione in un contestoparticolare, sotto alcuni punti di vista “semplificato”: il dominio della fre-quenza. Spesso, tuttavia, uno studio di questo genere non e assolutamentesu!ciente o idoneo: finche si parla di segnali armonici, la cui dipendenza daltempo e ben nota, lo studio finora e"ettuato e piu che su!ciente; quando sideve studiare la propagazione di segnali non monocromatici, o con una dipen-denza temporale arbitraria (ad esempio in Compatibilita Elettromagnetica onello studio di integrita del segnale), un’analisi nel dominio del tempo divieneobbligatoria.
Esistono diversi tipi di approcci atti a risolvere questo tipo di studio: unoe “sistemistico”, dal momento che consiste nello schematizzare il sistema in-gresso+linea considerandolo LTI (Lineare Tempo Invariante), dunque risolu-bile mediante l’uso della funzione di risposta all’impulso della linea convolutaal segnale in ingresso. Questo metodo, basato sullo scomporre il segnale nonarmonico in una somma di segnali armonici, e utile per lo studio di lineeadattate; l’approccio che si considerera tuttavia nella trattazione non sara diquesto tipo: quella che si cerchera sara una soluzione piu generale, che peroporti a un metodo di analisi semplificato.
Si ricomincia a questo punto da capo, dal modello matematico della lineadi trasmissione (anche se piu rapidamente rispetto a prima), proponendopero l’analisi nel dominio del tempo anziche in quello della frequenza.
Si consideri il solito schema circuitale e le sue equazioni alla maglia:
"
"zv(z, t) + L "
"ti(z, t) = 0
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"
"zi(z, t) + C "
"tv(z, t) = 0
Risolvendo questo sistema, ci si puo ricondurre, come noto, a una genericaequazione di"erenziale iperbolica, del tipo:
/)(r, t)" 1
c2"2)(r, t)
"t2= 0
Considerando tuttavia, anziche l’intero vettore r, la sola componentelongitudinale z. Utilizzando la sostituzione di D’Alembert:
%# = z " vf · t$ = z + vf · t
Si puo ottenere:
v(z, t) = v+(z " vf · t) + v!(z + vf · t)
i(z, t) = i+(z " vf · t) + i!(z + vf · t)
Questo, nel caso di linea senza perdite; il circuito considerato, infatti, haR = 0, G = 0.
E se si volesse considerare anche una soluzione con perdite? Questa edecisamente piu di!cile da ottenere, a meno che non si decida di partire daqualcosa di gia noto; si sa che:
V (z) = V +0 e!jkz + V !
0 ejkz k & CSi vuole antitrasformare questa funzione nel dominio del tempo. Prima
di far cio, tuttavia, si intende ricordare che finora sono stati solo consideratisegnali armonici monocromatici, dunque considerando un solo valore di pul-sazione %, costante; piu generalmente, dunque, l’equazione prima enunciatasarebbe, considerando segnali qualunque:
V (z,%) = V +(%)e!jkz + V !(%)ejkz
Utilizzando la definizione di antitrasformata di Fourier, si ottiene:
v(z, t) =1
2&
* +"
!"V (z)e!j"td% =
1
2&
* +"
!"
3V +(%)e!jkz + V !(%)ejkz
4ej"td% =
Raccogliendo agli esponenti il termine j%:
68
=1
2&
* +"
!"
:V +(%)ej"(t!z· k" ) + V !(%)ej"(t+z· k" )
;d% =
Ricordando, dalla definizione di velocita di fase, che:
vf =%
kSi ottiene:
=1
2&
* +"
!"
.V +(%)e
j"
!t! z
vf
"
+ V !(%)ej"
!t+ z
vf
"/d%
Antitrasformando V +(%) come v+(t) e V !(%) come v!(t), considerandole proprieta dell’antitrasformata del prodotto per esponenziale, si ottiene:
v(z, t) = v+&t" z
vf
'+ v!
&t+
z
vf
'
Applicando opportune condizioni al contorno, si puo risolvere a questopunto qualsiasi problema.
Per quanto riguarda la corrente, e possibile e"ettuare ragionamenti analoghi:
i(z, t) = v(z, t) · Y" = i+&t" z
vf
'+ i!&t+
z
vf
'
Terminata a questo punto la teoria, si passi alla sua applicazioni in vestipratiche: tutte le cose finora dette sono assolutamente vere, ma complicateda utilizzare al fine di risolvere problemi pratici.
Essendo i problemi di questo genere molto di!cili, in questa trattazionese ne considereranno di estremamente semplici, considerando solo equivalen-ti Thevenin del generatore, linee di trasmissione e carichi (prevalentementeresistivi); come segnali, si considereranno o gradini o onde quadre o porte(nel tempo).
Si considerano a questo punto tre particolari casi di studio di linee neldominio del tempo, prima di passare al caso piu generale che si a"rontera: ilcarico resistivo generico.
Carico adattato
Dato un circuito di questo genere:Si consideri l’origine delle coordinate spaziali z sul carico; perche valga la
condizione di carico adattato, si deve avere che:
69
v(0, t) = Z"i(0, t)
Considerare z = 0 sul carico semplifichera i conti: riscrivendo infatti leequazioni prima ricavate per z = 0, si ha:
v(0, t) = v+("vf · t) + v!(vf · t) = Z"3i+("vf · t)" i!(vf · t)
4
Per avere
v+("vf · t) + v!(vf · t) = v+("vf · t)" v!(vf · t)
Serve che
v!(vf · t) = 0
In tal caso, si avra:
v(0, t) = v+("vf · t)
Ossia, come nel caso in frequenza, si avra solo propagazione di componentiprogressive.
Corto circuito
Dato il seguente circuito
v(0, t) = 0
Da qui, si deve avere che:
v(0, t) = v+("vf · t) + v!(vf · t) = 0
Dunque
v+("vf · t) = "v!(vf · t)
Semplicemente, la componente regressiva sara dunque il simmetrico rispet-to all’origine della componente progressiva, nel dominio dello spazio.
70
Circuito aperto
Dato il seguente circuito:Questa volta, dualmente a prima, si ha:
i(0, t) = 0
Cio che si fara, dunque, sara:
i(0, t) = i+("vf · t) + i!(vf · t) = 0
Da qui:
i+("vf · t) = "i!(vf · t)Si tenga tuttavia conto, parlando di tensioni, che:
v+("vf · t) = Z" · i+("vf · t)
v!("vf · t) = "Z" · i!("vf · t)Dunque:
v+("vf · t) = v!(vf · t)La componente regressiva dell’onda sara semplicemente il simmetrico,
rispetto all’asse delle tensioni, della componente progressiva (in termini dipropagazione di tensione); questo e dovuto alla relazione di impedenza tratensioni e correnti regressive, proporzionalmente dipendenti per la Z", ma ameno di un cambio di segno.
1.4.1 Carico resistivo generico
Si consideri a questo punto il caso piu generale, ossia la presenza di ungenerico carico resistivo. Dato dunque il seguente circuito:
Si vuole scrivere l’espressione completa della tensione sul punto B, cer-cando dunque di calcolare, nel dominio della frequenza, l’espressione di VB
funzione di E (dove E = F {e(t)}). A questo punto, si anti-trasformal’espressione trovata, ottenendo l’analisi nel dominio del tempo.
Tutta l’analisi in frequenza si basa sulle solite “tre formule magiche”;utilizzandole, come si da per scontato si sappia fare, si ottiene:
VB
E= V +
B [1 + %B] = V +A+e
!jkl [1 + %B] =VA+
1 + %Ae!jkl [1 + %B]
71
Ma %A" = %A+ , VA" = VA+ ; dunque:
=VA"
1 + %Ae!jkl [1 + %B] =
ZA
ZA +Rg· 1 + %B
1 + %Ae!jkl
Si ricorda, dalle formule precedentemente apprese, che
ZA = Z" · 1 + %A
1" %A
Rg = Z" · 1 + %g
1" %g
Dove %g e:
%g =Rg " Z"
Rg + Z"= %A"
Si puo dunque riscrivere il partitore tra ZA e Rg in termini di coe!cientidi riflessione, ottenendo dunque:
ZA
ZA +Rg=
Z" · 1+!A1!!A
Z" · 1+!A1!!A
+ Z" · 1+!g
1!!g
=(1 + %A) · (1 + %g)
(1 + %A) · (1" %g) + (1 + %A) · (1 + %g)=
=(1 + %A) · (1 + %g)
2(1" %A%g)
Sostituendo cio all’equazione precedente, si ottiene:
VB
E=
(1 + %A) · (1 + %g)
2(1" %A%g)· 1 + %B
1 + %Ae!jkl
Semplificando e ricordando che
%A = %Be!j2kl
Si ottiene:
VB
E=
1" %g
2· 1
1" %g%Be!j2kl· (1 + %B)e
!jkl
I migliori osservatori noteranno a questo punto facilmente la corrispon-denza tra il termine centrale e la somma di una serie geometrica:
1
1" %g%Be!j2kl=
"B
i=0
3%g%Be
!j2kl4i
72
l e la lunghezza del tratto di linea di trasmissione; dal momento chela velocita di fase vf e indicatore della velocita spaziale di propagazionedell’onda sulla linea, si puo definire un “tempo di transito” sulla linea, + ,come il tempo impiegato dal segnale per attraversare la linea da un capoall’altro:
+ =l
vf
Dal momento che si ha:
k · l = %
vf· l = %+
Si puo riscrivere l’equazione come:
VB
E=
1" %g
2· (1 + %B)e
!j"' ·"B
i=0
3%g%Be
!j2"'4i
Cosa significa tutto cio?All’istante t = t0, il segnale progressivo di tensione (qui indicato mediante
una porta con “+” al suo interno) avanza, sull’asse delle z, dal punto z = 0 (ilgeneratore) verso z = l (il carico); all’istante t = + , l’impulso ha percorso lalunghezza l, dunque si trova in prossimita del carico: qui viene riflesso, dandoluogo all’onda progressiva, ossia al rettangolo con “-” all’interno. Questofatto continuera a ripetersi fino a quando vi sara segnale nella linea. Ciascunai-esima iterazione del procedimento descritto e contenuta nella sommatoria:ogni volta che si tocca una o l’altra parte, si avra un fenomeno di riflessionedel segnale.
Ci si concentri a questo punto su vB(t), ossia sull’andamento della ten-sione totale nel punto B al variare del tempo t. Si puo dire che vi siano duecontributi costituenti la tensione totale del punto: la componente progressi-va, incidente sul carico, e quella regressiva, emessa dal carico a causa del suodisadattamento rispetto alla linea. A!nche la formula della serie geometricaconverga, dunque, e necessario soddisfare due condizioni:
• Il carico deve essere passivo: carichi attivi o puramente reattivi possonoprovocare un argomento del denominatore minore di zero, dunque ouna singolarita o una formula non compatibile con la somma della seriegeometrica;
• Resistenza equivalente di generatore puramente reale, ossia priva dicomponente reattiva.
73
A questo punto e possibile sviluppare la tensione su B, nel dominio dellafrequenza, come:
VB(%) = E(%)1" %g
2(1 + %B)
0e!j"' + %g%Be
!j3"' + (%g%B)2e!j5"' + ...
1
Nel dominio del tempo, si potra antitrasformare l’espressione, ottenendo:
vB(t) =1" %g
2(1 + %B) {e(t" +) + %g%Be(t" 3+) + ...} =
=1" %g
2(1 + %B)
"B
n=0
(%g%B)n e [t" (2n+ 1) + ]
Cio significa che, alla n-esima iterazione, il segnale avra percorso 2n +1 volte il tratto AB, subito n + 1 riflessioni sul carico e n riflessioni sulgeneratore.
1.4.2 Diagramma a traliccio
Finora e stata proposta un’analisi formale delle linee di trasmissione nel do-minio del tempo. Un approccio semplice e piu intuitivo per analizzare lelinee di trasmissione nel dominio del tempo e il diagramma a traliccio: sitratta di un diagramma con le ascisse rappresentanti coordinate spaziali, leordinate (positive verso il basso) istanti temporali. In sostanza, il diagrammaa traliccio permette di rappresentare il transitorio del segnale sulla linea ditrasmissione ancor prima di aver determinato la sua risposta in frequenza.
Dato per esempio un segnale a porta rettangolare di ampiezza unitariae larghezza temporale T , causale, dato + = l
vf, un esempio di diagramma a
traliccio potrebbe essere il seguente:
• Se + < T2 , si ha un fenomeno di riverbero: i supporti dei segnali si
sovrappongono;
• Se + > T2 , i supporti nel tempo dei segnali sono disgiunti, dunque si
hanno “echi multipli”.
Una volta disegnato il diagramma a traliccio, si studia l’ampiezza dell’im-pulso di partenza, che verra chiamato v0(t). Al fine di calcolarlo, e necessariofare la seguente supposizione: al momento della partenza, il segnale “nonsa” cosa ha davanti, quanto sia lunga la linea, dal momento che, nel dominiodel tempo, si puo dire che, al momento della partenza, “l’impulso non vede
74
il carico”. Non vedendo il carico, sostanzialmente si puo modellare l’impe-denza vista dal segnale in partenza come quella di adattamento, supponendoche, come casistica, si abbia qualcosa di equivalente alla linea di lunghezzainfinita. L’impedenza vista dal generatore, dunque, sara Z" + Rg:
Quindi:
v0(t) = vA(t) = e(t) · Z"
Z" +Rg
A ogni incidenza su carico o generatore, v0(t) “tornera” indietro, molti-plicato per il coe!ciente di riflessione (%B per riflessioni sul carico, %g perriflessioni sul generatore); seguendo il disegno precedente, per t = 0 si avrav0(t); vB(t) sara uguale a v0(t " +), dal momento che il segnale progressivoimpiega un tempo pari a + per arrivare il carico. La linea e senza perdite,dunque il segnale v0(t) arriva “intatto” al carico. Al carico pero la tensionetotale e data, oltre che dalla componente incidente, dall’aggiunta di una com-ponente riflessa, che all’istante + partira da B per andare verso A. Essa altrinon sara che %Bv0(t " +), ossia il segnale di partenza moltiplicato per il co-e!ciente di riflessione sul carico, all’istante t = + . Al generatore vi saraa questo punto un’ulteriore riflessione, e cosı via fino a quando la tensioneviaggiante sulla linea non diverra trascurabile.
Si noti che la formula intuitiva proposta per il calcolo del segnale ha unasua motivazione piu “profonda” dietro: si era precedentemente detto, nellaformula generale per il calcolo del rapporto tra VB e E, che:
VB
E=
1" %g
2· (1 + %B)e
!j"' ·"B
i=0
3%g%Be
!j2"'4i
Si vede che:
1" %g
2=
1
2
&1" Rg " Z"
Rg + Z"
'=
1
2
2Z"
Rg + Z"=
Z"
Rg + Z"
Il metodo appena proposto e illustrato e del tutto analogo, se non nellamaggiore semplicita, al calcolo esplicito della funzione VB
E nel dominio dellafrequenza, per poi e"ettuare l’antitrasformazione.
1.5 Matrice di Scattering
Trattando lo studio e la caratterizzazione di dispositivi classici, a parametriconcentrati, nei corsi di Elettrotecnica si definisce la matrice Z delle im-pedenze calcolate a vuoto, o la sua duale Y per le ammettenze calcolate avuoto.
75
Trattando lo studio di generici dispositivi a microonde, queste definizioninon sono piu funzionali: dal momento che a parametri concentrati si trascurala dipendenza dello stato elettrico dalle sezioni considerate, tensioni e correntisono grandezze ben definite solo in ciascuna sezione, ma non su tutta la linea.Studiare elementi del tipo:
%V1 = Z1,1I1 + Z1,2I2
V2 = Z2,1I1 + Z2,2I2"! Z =
2222Z1,1 Z1,2
Z2,1 Z2,2
2222
Era possibile, dal momento che V1, V2, I1, I2 erano grandezze ben definitein ciascun punto del circuito a parametri concentrati.
A parametri distribuiti si aggiunge qualche problematica: a seconda dellasezione z di linea si puo avere una tensione diversa. Oltre a esserci dipen-denza dalla sezione si ha dipendenza dalla frequenza del segnale, dalle varielunghezze elettriche e quant’altro.
Al fine di mantenere almeno il “modus operandi” delle vecchie rappre-sentazioni, e necessario considerare due aspetti:
1. Servono grandezze “ben definite” su ciascuna sezione z del dispositivoa microonde, ossia grandezze in grado di definire nel modo piu semplicelo stato elettrico del dispositivo.
2. Serve una condizione di carico in grado di annullare una delle precedentigrandezze alla volta, al fine di permetterci di determinare i parametridella rappresentazione che si sta per definire.
Per quanto riguarda il primo punto, la base idonea sulla quale si speci-fichera e caratterizzera lo stato elettrico del dispositivo a microonde e quelladelle tensioni progressiva (V +) e regressiva (V !): classificare in termini dicoe!cienti di riflessione un dispositivo a microonde e. senza dubbio, la sceltamigliore e"ettuabile.
Parlare di coe!ciente di riflessione puo farci intuire cosa si deve fare:volendo calcolare i parametri, recuperando le idee di Elettrotecnica, si dovrebbeannullare una grandezza per volta (come gia detto). Cio che pero noi sappi-amo e che, in una linea con carico adattato, la componente regressiva del seg-nale, ossia quella riflessa, viene annullata: se il carico della linea e adattato aessa, esso non riflette segnale. Al fine di definire dunque la rappresentazionedi un generico N -porta, in realta, non si usano esattamente V + e V !: sidefiniscono, per ciascuna i-esima porta, le grandezze ai e bi, come:
ai !V +i$ZRi
bi !V !i$ZRi
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Esse sono dette “onde di potenza” (power waves). ZRi e detta “impeden-za di riferimento” della i-esima porta, e ha il seguente significato: ciascunaporta del dispositivo a microonde si puo pensare come un tratto di linea ditrasmissione, che permette al dispositivo di essere utilizzato (una sorta di“terminale” del dispositivo). Questo tratto di linea avra una propria impe-denza caratteristica, che non sara necessariamente coincidente con quella deldispositivo. Le condizioni di adattamento, come si vedra, sono riferite allaporta, non al dispositivo in questione.
Come mai il nome “onde di potenza”? Beh, esse sono strettamenteimparentate con la potenza netta transitante su ciascuna i-esima porta;infatti:
Pi =
22V +i
222
2ZRi·31" |%i|2
4=
22V +i
222
2ZRi"22V !
i
222
2ZRi=
=1
2
+|ai|2 " |bi|2
,
A partire dalla conoscenza del modulo quadro di ai e bi e dunque moltosemplice calcolare la potenza sulla porta.
Si definisce a questo punto la rappresentazione finora introdotta, ossia lamatrice di di"usione (matrice di scattering, o matrice scattering) su di ungenerico 2-porte (doppio bipolo); cio sara poi estensibile in modo banale (oquasi) agli N -porte.
Si consideri la seguente rappresentazione:
%b1 = S1,1a1 + S1,2a2
b2 = S2,1a1 + S2,2a2
Alcune note: per ogni i-esima porta si definisce un asse zi, con conven-zione “entrante verso il dispositivo”; rispetto a esso si definiranno le onde dipotenza progressiva (ai) e regressiva (bi), in grado di caratterizzare lo statoelettrico della porta. I vari coe!cienti Si,j sono i parametri scattering, chesaranno alla base della nostra rappresentazione mediante l’omonima matrice,S, definita come:
S =
2222S1,1 S1,2
S2,1 S2,2
2222
Date queste nozioni, la matrice scattering deve essere nota, dal punto divista “pratico”, sotto due aspetti:
• Saper calcolare i parametri scattering Si,j;
77
• Saper usare la matrice scattering per calcolare e determinare lo statoelettrico del dispositivo che essa caratterizza.
1.5.1 Calcolo dei parametri scattering
Al momento del calcolo dei parametri scattering, e necessario e"ettuare unragionamento particolare, che in principio potrebbe spiazzare chi ha pocaesperienza nell’ambito dei circuiti elettromagnetici: si “cambiano le carte intavola” rispetto a cio che e stato appena detto riguardo i sistemi di riferimen-to. Cio che si deve fare e calcolare i parametri Si,j, annullando una grandezzaper volta (a1 e a2).
Si vede dunque come procedere in generale, per poi introdurre alcuni“trucchetti” che permetteranno di ridurre il numero di parametri da calcolarein un circuito.
Si consideri il calcolo di S1,1 e S2,1, dunque l’annullamento di a2. Alfine di annullare a2, e necessario adattare la porta 2 del dispositivo alla suaimpedenza di riferimento. Caricata dunque la porta 2 con ZR2, si studia ilcircuito come se fosse un normalissimo circuito elettromagnetico, a parametridistribuiti: si definisce per tutto il circuito un unico asse spaziale z (si notiche prima per ogni porta si definiva un asse di direzione entrante verso laporta; ora, l’asse e unico ed e entrante nel verso della porta di cui si intendonocalcolare i parametri; nel caso del calcolo dei parametri per la porta 1 dunque,si adatta la porta 2), quindi si calcolano i parametri S nel seguente modo:partendo dall’equazione con a2 = 0, si ha:
%b1 = S1,1a1
b2 = S2,1a1
Da qui:
S1,1 =b1a1
2222a2=0
S2,1 =b2a1
2222a2=0
Nella pratica come si calcolano? Beh, riprendendo le definizioni di ai ebi, si ha:
S1,1 =b1a1
2222a2=0
=v!1$ZR1
·$ZR1
v+1=
v!1v+1
= %1
78
Il calcolo di S1,1 semplicemente si puo ricondurre al calcolo del coe!cientedi riflessione sulla porta 1. Si noti che, banalmente, adattando la porta 1, sipuo ottenere qualcosa di completamente analogo in questo senso:
S2,2 =b2a2
2222a1=0
= %1
Sono stati dunque liquidati due parametri. Come si fa, per quanto riguar-da gli altri parametri? Le cose si fanno leggermente piu complicate, come orasi vedra. Il calcolo si dovra ricondurre al calcolo di parametri di un normalecircuito a parametri distribuiti, come si puo vedere:
S2,1 =b2a1
2222a2=0
=v+2$ZR2
·$ZR1
v+1=
v+2v+1
·
7$ZR1$ZR2
Anziche un coe!ciente di riflessione, sara necessario calcolare il rapportodella tensione uscente dalla porta 2 e di quella entrante nella porta 1. Cio sipuo semplicemente fare esprimendo v+2 in funzione di v+1 , utilizzando le solite“tre formule magiche”, al fine di trasportare tensioni progressive e risolverele discontinuita.
Si noti che, rispetto alla convenzione utilizzata per il calcolo dei parametriS, ossia un unico asse z entrante nella porta i dalla quale si calcolano iparametri, ai e bj saranno onde progressive, aj e bi regressive.
Fatto questo ragionamento, si risolva l’ultimo punto: S1,2. Dall’equazione,si avra che:
S1,2 =b1a2
2222a1=0
=v+1$ZR1
·$ZR2
v+2=
v+1v+2
·
7$ZR2$ZR1
Dualmente a prima, si “parte” dalla porta 2 e, con le “tre formule magiche”,si ricava la tensione progressiva v+1 rispetto a z e funzione di v+2 .
Piccola nota: come gia scritto e disegnato (ma repetita iuvant!), al mo-mento del calcolo dei parametri scattering si abbandona la convenzione stan-dard del circuito, adottando un singolo asse spaziale z di riferimento perqualsiasi punto del dispositivo. Le tensioni v! e v+ andranno considerateprogressive rispetto a questa convenzione, non piu rispetto alla precedente.
Data porta 2 adattata, dunque:
a1 =v+1$ZR1
b1 =v!1$ZR1
a2 =v!2$ZR2
b2 =v+2$ZR2
Queste distinzioni tra le convenzioni vanno tenute ben presenti.
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Piccola nota aggiuntiva: se Zri = Z", oltre ad avere adattamento dellaporta del dispositivo si ha adattamento dell’intero circuito elettromagnetico(o parte di esso), cosa che potrebbe ulteriormente semplificare i calcoli.
Finora sono stati forniti i metodi basilari per calcolare i parametri scat-tering di un dispositivo elettromagnetico, senza pero tener conto di alcunifatti, di alcune proprieta della matrice scattering che permettono, dati cir-cuiti particolari, di ridurre il numero di parametri S da dover calcolare. Sianalizzano dunque queste proprieta.
1. Dato un dispositivo senza perdite, la matrice scattering e unitaria,ossia:
ST% · S = 1
Dimostrazione: partendo dall’ipotesi di avere un dispositivo passivo,dunque in grado di dissipare potenza, si sa che:
PDISS =1
2
+|a|2 " |b|2
,=
1
2
+aT% · a" bT% · b
,=
1
2
+aT% · a" aT% · ST% · S · a
,=
=1
2aT% +1" ·ST% · S
,· a
Imponendo che PDISS = 0, si ottiene che:
ST% · S = 1
2. Dato un dispositivo “simmetrico”, ossia tale per cui “guardando” neidue ingressi si ha lo stesso circuito, la porta 1 e la porta 2 sonoassolutamente uguali; in questo caso, si puo dimostrare che:
S1,1 = S2,2
3. Se il dispositivo e reciproco, ossia se e composto di soli componentireciproci (se non sono presenti elementi quali ferriti o simili), si ha che:
Si,j = Sj,i i )= j
Esempi di componenti non reciproci sono le ferriti o i circolatori; icircuiti analizzati in questa trattazione sono per ora reciproci, dunquequesta condizione e “regalata”, per ora.
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1.5.2 Uso della matrice scattering
Si consideri a questo punto, in un esempio teorico, la caratterizzazione dellegrandezze in un circuito dotato di dispositivi caratterizzati mediante la ma-trice di scattering. Dato dunque il seguente circuito:
Cosa si potrebbe dire delle grandezze di questo circuito, a partire dallenozioni a noi note sulla matrice scattering?
Prima osservazione interessante deriva dalla prima proprieta:
ST% · S = 1
La matrice scattering, per dispositivi senza perdite, e unitaria. Usandoparte della dimostrazione della proprieta, si puo ricavare l’espressione dellapotenza disponibile per un N -porte:
Pdisp =1
2aT% +1" ST% · S
,· a
Considerando l’ipotesi che ST% · S = 1, si puo dire che:
|S1,1|2 + |S2,1|2 = 1
|S1,2|2 + |S2,2|2 = 1
|S1,1|2 + |S1,2|2 = 1
|S2,1|2 + |S2,2|2 = 1
Tutto cio serve per dire in modo carino che nel nostro dispositivo non sidisspa potenza, dunque:
PC = PD
Tornerebbe utile a questo punto determinare %C : nelle analisi da e"et-tuare su di un circuito siamo infatti abituati a caratterizzarlo in termini dicoe!cienti di riflessione. Utilizzando la definizione, si sa che:
%C =V !C
V +C
=b1a1
Molta attenzione: %C non e uno dei parametri scattering! I parametridi S infatti vengono calcolati in particolari condizioni di carico, e solo inesse sono validi! Cio che si puo fare e tuttavia, a partire dalla definizione di
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matrice scattering, determinare per un generico carico della porta il rapportob1a1.Si sa che:
%b1 = S1,1a1 + S1,2a2
b2 = S2,1a1 + S2,2a2
Ricordando inoltre che %D e esprimibile come:
%D =a2b2
Ricordando che, per le convenzioni, a2 e regressiva, b" 2 progressiva, dalmomento che a2 = %Db2, sostituendo nel sistema di equazioni si trova:
%b1 = S1,1a1 + S1,2%Db2
b2 = S2,1a1 + S2,2%Db2
Dalla seconda, si puo ricavare:
b2(1" S2,2%D) = S2,1a1 =% b2 =S2,1
1" S2,2%Da1
Sostituendo nella prima:
b1 = S1,1a1 + S1,2%D · S2,1a11" S2,2%D
Quindi:
%C =b1a1
= S1,1 +S1,2S2,1%D
1" S2,2%D
Si noti che questa formula e semplicemente un’estensione di quella cal-colata per la determinazione del parametro scattering S1,1: se infatti ora siimponesse la condizione di adattamento della porta 2, il coe!ciente di rif-lessione %D si annullerebbe, dunque si ricaverebbe esattamente il parametroscattering.
Una nota conclusiva riguardo questa formula: essa, come si vede daldenominatore, e rappresentabile come la somma di una serie geometrica;infatti:
%C =b1a1
= S1,1 +S1,2S2,1%D
1" S2,2%D= S1,1 + S1,2S2,1%D ·
"B
i=0
(S2,2%D)i
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%C indica il rapporto tra la componente regressiva (b1) e quella progressiva(a2); il fatto di poter indicare mediante questa rappresentazione l’andamentodelle riflessioni si puo pensare nel seguente modo:
%C = S1,1a1 + S2,1a1%BS1,2 + S2,1a1%BS2,2%BS1,2 + ...
Come si spiega cio? Si hanno, per un segnale progressivo incidente, nu-merosi contributi riflessi: uno e dato dall’ingresso del dispositivo, un altrodal carico, un altro dalla doppia riflessione tra carico e porta di uscita deldispositivo, e cosı via all’infinito, fino a contare tutti i contributi della leggericavata.
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