aprender calculo integral en 27 lecciones

5/10/2018 Aprender Calculo Integral en 27 Lecciones

. SOP.'l. oJ.IIt~~~- .It~I I~,If, .- . ~~r . ~t~~

~t ... $~


,a))I)a)a13)3~;l;)3l: ala):3) i: a'):I)a1a')a,~a1a,~a,II,,

PROLOGOLa rnaternatica es una de las areas que mayor dificultad presenta a los estudiantes de todoslos niveles yes, par consiguiente considerada como e! "coco" de todas las materias. 'En 6 1nivel media superior el calculo integral es el que recibe esta consideraci6n.Con a! fin de contribuir a 'cambiar et concepto "el celculo integral es el COCO en el nivelmedia superior" y como HOMENAJE POSTUMO al Ing. Jose Luis Reyes Anguiano ("LAPECHUGA"), la Academia de Ciencias Basicas del Instituto Tecnoloqico de Durango publicaestas notas conservando la estructura original, tal cual las escribio su autor, "La Pechuga",incluyendo sus correcciones y observaciones.Nos referimos a E I por su apelativo, " La Pechuqa", con todo respeto porque, quienes 1 0conocimos y tratamos, prirnero como aiumnos y posteriorrnenle como cornparieros sabemosque el siempre se sintio orgulloso de ser 1Iamado "La pechuga", incluso en el protocolo deintroduccion de la primera clase se presentaba de esta manera, hacienda todas [asac1araciones y recomendaciones en su forma muy peculiar y caracteris~ca de tratar a susgrupos.La publicacion de estos apuntes es un reconocimiento 31 legado de tada una vida deexperiencias dentro del aula impartiendo los cursos de Calculo Integral, prirnero en e!Instituto Tecnol6gico de Durango y posteriormente en los Centros de Bachiller.sto TecnicoIndustria! y de Servicios ( C.B.T.LS.), donde fue profesor de Maternaticas, tenierido comopreocupacion permanente la busqueda de tormasrnetodoloqicas 'que facilitaran e! procesode Enserianza-Aprendizaje del Calculo Integral.E! maestro Reyes Anguiano trata desde los casos mas simples de inteqracion, como son lasde formula directa hasta las tecnicas de inteqracion por partes, fracciones parciales y formasracionales de senos y cosenos en una forma practice a traves de 27 lecciones.unediante 7pasos muy simples, ilustrando cada caso con ejemplosseledosque llevan paso a paso eldesarrollo de la inteqracion hasta Hegar al resultado. De esta manera sistematica y con elapoyo de 294 ejercicios resusltos distribuidos en las 27 lecciones se lagra el desarrollo dehabifidades en el manejo practice del Calculo Integra!, sin entrar a la fcrma!idad yabstraccion rnaternatica que hacen que el proceso de inteqracion parezca dificil.Creemos que estes apuntes curnpliran con las expectativas y objetivos planteados por e!Maestro Reyes Anguiano en su concepcion y que REALMENTE sirven como un ManualAutodidactico de Tecnicas de lnteqracion .

ACADEMIA DE MATEMATICASDELINSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO

DURANGO, DGO. MAYO DE 1938

enr=t15"iSf''' '7


---_ ---

Jose Luis Reyes Anguiano.,_Fecha y Lugar deNacimientoPadres:Primaria:

Secundaria:Vocacional:Profesional:

Catedratico en lassiguientesInstituciones:

FechadeJubilaci6n:Fechadefallecimiento: .Esposa:Hijos:Materias:

29 de Octubre de 1933, Dolores Hidalgo, D90.

Juan Reyes B a rre ra , M a ria Anguiano MorenoGuadalupe Victoria 1940 -1946

Prevocadonal1946 - 1949Instituto Tecnol6gicp de Durango 1949 -1951Instituto Politecnico Nacional ESQIE 1953 -1957Ingeniero Metalurgico. Institu to TecnoJ6 gico de Durango CSTIS 110 CETIS 148 Secunda r ia M o r e lo s C oJegio S or Juana lnes de 1 a CruzEnero de 1991

2 2 d e F eb rero de 1993

.Dolores Erafida Salas GaytanAdriana, J os e L uis , Liliana M atem aticas (A lgebra , Trigonometrfa, Geometria plana y del espacio, ..

G eo meb ia a na litica , C alcu lo difere ncia l e in teg ra l) Q uim ica cuantlta tiva y cua lita tiva Fisica F is ic oq ufm ic a Te cnolo gfa y Taller T erm od in em ic a

.'


LECCIONNo.1Muchas veces se han preguntada LQue es eJ Calculo Integral? y habran oido que es fa materia

mas diffdl, el "coco" de los estudiantes. Pero fijernonos en una cosa "que es la surna de la resta? c_que esIa division de la rnullipficacion? y la respuesta es "lo contra ria". Asi pues can estas senciltas preguntasse contesta, !o mismo para el Calculc Integral "Es solo fa contrario del Calculo Diferencial".Tomernos un ejemplo sencillo, si diferenciamos el siguiente ejercicio fa respuesta serla

Si se tiene ahara 4xl dx y queremos integra rlo el resultado serfa J 4x3 dx :::);.4En resumen: en Calculo Integral siempre nos daran la diferencial de una fund6n primitiva y nos pedlran

encontrar la funci6n primitiva.

L1amemos a x4 una funcion primitlva al diferenciarla tendremosla diferencial de esa funci6n primitiva. Si tomamos la di-ferencial de la funci6n primitiva y fa integramostendremos la funci6n primitiva.

Concepto de Constante de Integracion_- S upongamos ahara que tenemos las siguientes funcionesprirnitivas y S8nos piden difsrenciarlas:

1) (x4) pondrfarnos d(x4j :=4x3 tIx2) ( : t4 + 1 ) pondrfarnos .( 4 ) 3 U Xx + 1 :;;4x3) ( x 4 + 5 ) pondrfamos d(x4 + 5) :=4x3 dx4) (x 4 + b) pondriarnos d(x.4 + b ) ;::4x3 dx

.Comoveremos el resultado es el mismo perc ahara si nos piden. - (que se lee integrar 4x3 dx), tendriamos dudas en elegir cual de las cuatro funciones primitivas es larespuesta acertada; para no tener esa duda, 1 0 q-ue hacemos es agregar una letra c que !IamamosConstants de!Iltegracion ,que en el primer caso vale cera, en el segundo vale uno, en el tercero vale 5 y enet cuarto vale b. (Oespues aprenderemos como se saca su valor). Por 10 pronto tengamos en la menteque hay queagregar esa letra c par aquello de que en una diferenciat se haya elirninado una constants;recardemos que d(c)=O.. Anora bien ya que aprendi6 esto Ie sera facil aprender 10 que es complementar una diferencial 6 se dicetarnbien tener la diferencial exacta de una funci6n primitfva.

Ffjese en el siguiente ejemplo: . y simplincanda se tiene

pero si le presenta la integraci6n siguiente: J (3 - x:l)x d x . no se puede decir que la contestaci6n sea( 3 - xi/ ,porque si cornpararnos (3 _ x2) x d x c a n veremos que no sonfguales puesto que I~ falta (-4). Esto en'el "argot" rnatematico se dice 'ver sl se tiene una diferencial exacta"a sea, "ver si no sabra 0 falta a!gon para poder hacer la intepracion. .


Si ha comprendido estos principios fundamentales puede empezar a aprender Calculo can sumafaciJidad comenzando con saber aplicar la primera formula de calculo que es

J U"+l'L-~__l_' ". = ~ n _ + - = l _ " " - _ CJ par que la c?Para que se pueda aplicar esta formula hay que aplicar los siguientes pasos:10.- Poner en forma de factores los terrninos que contienen 1 3 variable.2o.~ Sacar fuera del signo de inteqracion los factores que sean constantes ("Sacar" en el lenguaje

mate matico siqnifica poner antes del signa de integra cion las constantes y rnultiplicar al resultado de lainteqracion si estan multiplicando 0 dividen sl estan dividiendo)

30.- Diferenciar Ia base del terrnino mas complicado (generalmentees aquel que conste de variosterrnnos elevados a cualquier exponente, 10.que sobre ser la diferencial).40.- Comparar la diferencial de la base can la diferencial del ejercicio.50.-Si te faltan 0 sobran constantes y /o signos, rnultiplicar la diferencial par la constante. y /o siqnos

que falten y dividir para no alterar {esto se hace fuera del signa de integral) par las constantes yJo si~nos.60.- Aplicar Ia formula.70.- Simplificar si es necesario.Suponiendo que ya se aprendieron estos pasos, vamos a aplicarlos a estos ejercicios (rnodernarnente

los lIaman "rnodelos rnaternaticos").

Pera antes recuerden que JJ y3 u y

etc.

1er. Paso no se etectua.2o. Paso tampoco.3er. Paso d(y) = dy40.- Paso compara.50.- Paso no se efetua porque si cornparas veras que d(y) = dyes. igual al del ejercicio.

JVeamos otro ejercicio: . Veamos otro ejercicio:

Id tFPrimer paso

Segundo paso: no se etectua.

fPrimer paso J I- ! 2 t '-1\;! 1:"1 ." - n:) -x: dxSegundo paso 5 J ,(a2_ hx-l ) 2


I

. "... . . . .: ", . .

J


I


Iff

, ~


II

....~ -

jf ,,,

!,


i . . _ . _ _ . : - . . __ . , __ , n

) cV ;5) -lIx.f.J ~6) t , \ ' - lxxc _ I.

7) ) ~dt8) J ah(Jx9) f 5e " x dx

J3-t1xx

10) e

J -l-lit11) . J e t1"2 ) J C"I dx

J1

13) -ux- l~A .

J ., ( )314) x~-X ill;I;

15) J ~ue1 131'

:!~aR ,-;._._- +c2-Lna

-3R :=-+c,;e

-8R=-r.-c- .c"XR :::_-+ca-Lnc -

_1R - = _ c. 2_(-I1X)'Ln-l

LECCJ6N No.4

Usa de [a formula _ _-/'Esta formula nos indica que hay que integrar una suma de diferenciales.Las pasos expiicados en la lecci6n No.1 nos indican que "al cornparar la diferencial de la base can la

diferencial del ejercicio nos sobran a faltan constantes etc, etc.", pero cuando nos sobran 0 faltanvariables hay que efectuar las operaciones prirnero.

8

i . L _


Veamos dos ejemplos parecidos.

iIITercer pasoCuarto pasoComparando nos falta en el primer caso 2x mientras que en at segundo caso solo nos falta el 2,

entonces en et primer caso S8 efectuan las operaciones (desarrolfo de! cuadrado) mientras que el segundocaso se efectua e! quinto paso, etc, etc.

Tercer paso

!-.--I_ 2,.2_1': II":~v - " '."_ Y a cada integral resultante se Ie aplican lospasos de la leccionNo.1, 2 6 3 sequn sea elcaso.iJ -I j~ox - .1 1 tlx :=

Generatmente para este tipo de operaciones se presentan cuatro casas:1er. Caso.- Producto de dos 0 mas factores.2do. Caso.- Productos notables.3er. Caso.- Quebrados cuyo denominador consta de un solo terrnino.4to. Caso.- Quebradas cuyo denominador consta de dos 0mas termInos.Primer Caso.- Se efectuan las operaciones, se separan integrates y a cada una de [as integrates

resultantes se Ie aplican los pasos de las lecciones anteriores sequn sea el caso ..Ejemplo:

i"JEfectuando las operaciones resulta

J ( :' i ? - 2x +3 )x dx J (x3 2.2. 3~ r' = J x3 dx- J 2 - s ? U X -i- 3x


Tercer Caso.- Se separan integrales poniendo cada terrnino del numerador entre el terrnino deldenorninador. Despues se sirnplifica cada integral y se Ie aplican los pasos de las lecciones anterioressequn sea el caso.

Ejemplo:, 'x + :;'x---I- - - ._ ,- - - .. dxx-Separando integrales

Simplificando resulta

Yaplicando fos pasos . J'Cuarto Caso_- Se etectua la division hasta que el exponente de la variable del residua sea menor que el

exponente de la variable_del divisor y se expresa el resultado poniendo primero el cociente y surnandole el.residua el cuaJse expresa dividido entre el divisor- Despues se procede como en los casas anteriores.

iSeparando integra es resulta-4 . !

Ejempfo:~x- +2\

--- .. IIx( x + - l)" ;; . ,Efectuando las div ~iOlJes:

;;con residue -] tIY se expresan!j

f Idx- f 1---=~\(X -tl)-

t!

J (x+3) - :::y( - '< '3 '> '" _ .. ,+3;( '+1;:= x:!_ 3\+ 12

F J o - t ~ 4 1 - .~34-\?Jtt2

con residua

Jr

x:! dx - J 3- 1--11x\-3121 1xIfI 10


It;6= '*t= '= '~= '~

: a: it:i~: a: a= ': a: a: a~~: a~

r

1IJ[1 dx - ,J

IX+--1-;-C. X-;-

EJEMPLO

reexpresando:

Aplicando los pasosI rJ xZ dx - 3 1 I~ x dx + 1 2 l Ldx -f

.3~; (:\.,...3)"' dxI.

~~ - --

\

=:

Habran notado que en este ejercido se hicieron varios pasos en uno solo como fue separar integrales,porter 8n-forn:a de factor y sacar constantas fuera del signa de integraci6n.

l . - J2._ J

,: : a,: : a"\:a'\:3,:al3,a

Efecfuando fa division:I X-5\ x+~-)(+51

Separando integrales

Integrando


} ( " 2 )... - - -~ . dx2 X-~.,.~ $(3\- 2)dx

~. \ G -

5. x - 'X+~ o Xx

(i.... f X(2XT! r-7 . f ( J : " - F Y dxR . - J :l ~l - t h l r lU .9.- ) (~+) d xill. _. x(x-1Y d x 'I L . ! (~:+If .---m.~ .-1 2 . J h-t-J- - - dxx+l

~ 13. i x . .. ...---llxh-t-3 .

R=

R=J

(,X~ .Ix:!- - = - ~ _ _ . . t t.~:"', J. 'R x ( T::;J-X + = - I1 X 1" c

..:.z: 2~lh;/ h:l'J;1lR:: ; -,-+:-~-+ 4l'_. .... t')

R=

R = 2y'-t3Lny+ c

,

15. J ~'- , ' , fd~ R= l ~,3 I._-_ y. '_ - i"....--..'7 v - ~, ':''/lZ


": I,:I~~: .~~~~~~1:; ,)~1::I1j. ,~1:;,: : ; -,: a,~'1= -,: a" ':;. ,:I'I~\~,:;~~,~~- \:3-\:J

l,..ECCI6N No.5

Usa de las formulas

t ] u- __ du = _arctan- t-t:'u:! l' a2 a' . a

JJ

J

( I l u - a ~o,_C:'~':; du = = - . Ln .... +cu--a- 2a, U - ra

Iu--~


I .~.! J .IItI

V


:1 :J 1


2.- r3.- J

~ - J5.- J6.- J" - J8 . - )9.- J10.-r

I~-(Lxx2 _ ..j R = ~~Ln('\: - 1) 1_ C... x + 1 'vR = an:-sen-;' ~ e:: -

R=

I-.,-dx9x~- 1 1 ( 3 X - I )6-Ln 3x-l +c=R=

R= arc-tg-eX - c

R : : : : : 5 _ ,--arc-sen-x-+c2

Uso de las formulas:-LECC10N No r i

i . . L _

- -, - -u r z - - - : . a- udu :='-- ...a - u--+ --_arc-sen--+ c7 - ' - -2 -a

16

-", .. . .~~. " . . ~.-, . . . .

::


-.. - - - - .- . - - .. ~ - - - - .. - ..:.... -'... . - , . . ; , _:Para el aprendizaje de estas formulas hay que fijarse que todas tienen ralz y estan multiplicando a la

diferencial de la variable, Por eso las hemos Hamada "Directas Multiplicando".

Todas ernpiezan igual Y sf ya aprendiste las formulas de

lecci6n cinco veremos que solo S6 Ie agrega2a uT-arcsen-;; si la constante esta primero;

a2 ,sl 1 3 variable esta primero: T'Ln .variablc +[) para aplicar estas formulas los pasos son los mismosI

que en la lecd6 No. 5EJEMPLO 1:

SEGUNDO PAS

d(h) = 2dx

Falta e12

La constante esta primeroentonces el resultadosera: '

- II

EJEMPL02:

PRIMER PASO:

No hay constantes que sacarTERCER PASO:

d(x) = dx

CUARTO PASO:No falta nada

QUINTO PASO:

J ~X2_ 62dxSEXTOPP.SO:La variable esta prirneroy se estan restando losterrninos, el resultado es:

1 ( 2 X ~ 3 2X)EJEMPLO1:-r - 2 '- ,j 3 - 4 x : " +-rarc-sen'3 + c17

EJEMPL03:

- falta el .[j

I'

IIif! La variable estaprirnero -y los terminos se estarsumando el resultado sera:


. .-~.... - -

..... ~~ ~ + ...... - ........ _ . _ .

'.i

-,

~.

x~ 36 (" ~ . \EJEMPLO 2 '. _ , x- - 36 - _ , Ln x . . . ; . x - 36/, ..L C2' 2 . -, .

SEPTIMO PASO:

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3: x ~ 5 (, ~Ir . . J3X- t:l+--- L n '> .p -x+",3x- + ";;)}- C2 - f 3LECCI6N No.6

(Ejercicios)

1.- f Jl- Jx:!ux R=R=

.' .3 . _ } R xf"2-:' -, rr:= ~ - : - . ,.p:- - 4 - Ln- x- " - I X - - 4 - c" A ' .R='

-'. :

. ,..." . .; . ..f . " .- . ..~ .. - .,5.. -:- . ,J.sx~;; 9'dx.:. ' . . . .~,~. ,. . ~ .. .-

, .

.,. \ s,

f - '~~' : ; ~ : ~ 3x' ~- .-,

-- .~.~ . x c - - :- - ; - ~ , $. R = . --...;5 - 3~ + - _2__arcscnx-' ~ ~ c'. 2 2.$ ....:,

18, . - L _ ,


Esta practica tiene por objetivo aprender la forma en que debe hacerse una factorizaci6n para poderresolver las fichas 7, 8 Y 9.

1.- Se ordenan los terrrinos conforme a la paten cia decreciente de la variable.2.- Se saca como factor cornun el coeficiente y/o signa def primer terrnino (solo en los dos prirnerosterminos).3.- Se Ie agrega a los dos primeros terminos el cuadrado de la mitad del caeficiente del segundo terrnno

y se Ie agrega al tercer termlno et producto del coeficiente par el terrrmo agregado can el signa cambiado.4.~ Se factoriza como tr inomio cuadrado perfecto.5.- Se simpf ifica y se pone en forma de cuadrados; aparentemente.ias reglas estan cornplicadas pero

con varies ejerdcios 1 0 resolvera facilmente.Eo todos estes ejercicios verernos que para factorizarlos como cuadrado perfecto se sigue la regia

si~uiente: raiz del primer termino, el signa del segundo y la raiz del tercero todo elevado at cuadrado.

7.- J8.- J9.- J

10.- f

iI~

1---Ux1 ' " - x 2 R=---tIl:~3 _ ...x2

I 2xIarcscn-7 ~ c,\,3

R=

1~--d\'-s).1 + 3 . R::: I h-_ arctg ::::+ c2 - 4 3 ,\.31---titJ ' J r + 1

PAACTICA DE FACTORIZACI6N.

Los pasos son los siguientes:

EJEMPLO:

1 " . .x - T X + "9 ::: rafz de x2 es x, el signa es menos, raiz de

EJEMPLOS:~121. - .b:?- - 8

-t 29 " es 3 " el resultado queda expresado

P RIM E R. P AS O:J 4 ( X Z - ~ 2 . x ) 8 ::

19

.


"I I'i: ~i

- TERCER PASO:j - J ( X 2 - 3 X - ; ) - 8 + J ~ ) Mitad de 3 es 3/2al cuadrado es 9/4CUARTO PASO:

=E I terrnino positive es el que se pone en primer lugar

EJEMPLO:- '3,2 4'" 3'I J . . . - . , T"

PRIMER PASO: Ya esta efectuado

TERCER PASO: Mitad de 4/3 es 213 al cuadrado es 4/9 entonces queda.

CUARTO PASO:

QUINTO PASO:

=

A muchos alumnos se les olvida como se saca la rritad de un quebrada, es muy sendllo si elnumerador es par se le saca mitad at nurnerador y se Ie deja el mismci denominador.Si el numerador es irnpar se multi plica el denominador pordos y se deja el rrismo numerCldoL

EJEMPLO:Mitad de 3/4 como es impar el numerador multiplicamos por dos el denominador resultando 3/8.Mitad de 4/5 como el numerador es par se le saca mitad al numerador resultando 215.EJEMPLO:

PRIMER PASO: Ya estan ordenados -jSEGUNDO PASO:

. 20


" " ..-f""-

." _


,

J,~-

--

"

rf I i , crf;j~J

J

1 "I


_ . ' . ' - . . . . . _ . ~ = - - _ - - ~ . _ . . . . .

J I dx I 1:::: dx(1 4x 16\ 9 ( X - ~ r4x --+-,-(,-8. '3 9 .J I Idx :::: I dx3 ( X - ~ r , f - 2 2 . (3x_2)1-j-21Y aplicando los pasos de fa lecci6n 5: d( 3 x+ 2 } = 3 dx : q 34to. paso falta el 3 St~. paso dx(3x-2l+21St~.paso1 ( 1 ( 3 X ' : ' 2 ) )' Zarctg -2- +c

LEccr6N No.7EJERCfCfOSI 1 1 ( X + 1 )xI. X2-r4X+3 R= '2 Ln -- +cI+3 .I I dx;. I ( X - 1 )21:.- xl_IO R = = 3' arc tg -3- +c2.

I 3 ( X - 4 )x2_ 81:.+ 25 dx R= arc tg -3- +c3 .I 1 dx4 . ~3x-x_l_ 2 R= arc sen (21:.- 3) + c-'. . . . - - ~. . . " ' " . _I 1 I ( U - 5 )u - .~- R= -Ln-- +ct1- 6u+5 -4 u- I5 .

23


R";' . t s : - 1 \arc sen \ - - t - r + c - c ~ ~ ..,.~" - . _ L ., - _ ...r IJ 2);2 _ 2x.+ 1 dx6.

JI ! I x .

~}5+-2x_ :_x27 .

_l_dx- tx _ x2

8 .

r I u sJ . ~2as + s29.J 1 dyyl + 3y+ 110.

R = arc tg (2x - I) T C

1 ( X \- Ln _)+c4 X - -t

R= ( ~ 2 )_Ln s + a-;-Ii las+ s -t - C

R=I~

LECCION No.8Esta lecci6n a Ia eual hemos denomlnado indirectas rnultipticando; se resuelve igua_1que la 7 6 sea

factorizando previamente y usando las formulas de la lecci6n 6.Ejemplo:

J J ( _ 2 ( l ) ) .! . .~ 5 'S .? - 2x + - idx . Factorizando 5 x - \ S x - .- I dx,J J2 h 1 ) . 5 (It 15 x - 5 25 + 1 - 25 d x . = 5 x-3' t-l-Sdx

1 . JJ - ( I f ~ . = (0 -~) '+ (~)' d x. . f 5 ) \ l . - ~ +Sux. _ _ _ /'J 1 ( . J 5 x - ~ ) ' -i- (~)' dx" J ";5 'I/~ - '

~: 2 4:i'fl I I Lt .


___ . --: : a= i:I: a: a: : a= -~= *: a,:a~~~: a: l .: a,: a): a,~1: a. ,= -,= -

Integrando:

Aplicando la fa f6nnula

Slmplificando _

=

Finalmente = 5:1.-I~ 2 2 (5X- 1--- 51 -2x-rI---Ln -_.)0 _ 5.{5 2~.Ejemplo

Factorizando

Ejemplo

J ~ " '14:1.- X dx. J ~ -(x~-4~)h .

f ~~(x_2~~Xf-4)+4dx

J 4 ! 2_ A ~ - 4 X . - -4x- 3 ~

J J ( 1 1 )~4tX - x-r4" - 3- 1dxJ . J I2~4(xl_2) -4dxI J 2 ( X - { f - Z l d xJ ~(2x- 1)2 -rx Integrando d(s. - 2) :;. ,

25


lntegrando t 1 ( 2x - I) = 21 h .x - z r---;; -I x- 2'-2--'J-Ix-:C - --arcsen: --:1 '; 2 i

~i '--.---2.1 \(2x- 1)2_ 22_2th x - 2 j - . . _ .--2 .X2\-Z-"rh: -x -i- 2arcsen: -- - c" .2

h - I 1.2. ( ~ 2 )-4--'lJ4X. -4x.-3- Ln2x-l+ 41 --11:-3 +c

~IIi lECCl6N No.8

. EJERCICIOS

R= x+ 1 ; 2 X + I-2-,\3-21...-".1. -':..2art sen -y-.-:-c', 1. J I 2- J 3 - 2X - X c L X2. J ~5 - 2x+ X2lh.

r. ~2X- Xl u x. J4. J ~lO- 4x+ ~r1x5. J ",5 - -lx..; x2th.

R=

R= x -1 r-:--i I-2--~~2x-x+ Tarcsen(x- 1)+c

6. J ~5 + 2x + Xl dx7. j . . I 2 8'\/X - x+7dx-8. J ~ 2" - 1 4 - 2x:- x. dx .9. f , J x 2 + - ~x+ 8 dx .~iu ti " I. . " .'V~x- - ~x+ 2 d1.. ' 2 6


lECCION No.9En esta lecci6n hemos lncleido la Integraci6n de la diferencial de una suma algebraica de una funcion

logaritrrica con una trigonometrica 0 tarnbien una triqonometrica con una algebraica_Se presentan dos casas:

t. EI denominador consta de dos terminos (una constants y una variable).2. EI denominador consta de 263 terrninos (des de ellos contienen la variable).

Primer Caso_- Se separan Integrates y a cada Integral se Ie aplican loslFsos de la Ieccion 1 a 2 parauna y la lecci6n 5 para J a otra.EJEMPlO:

J .h:-.3 .. -~ -- c itx - . , . . . ISeparando Integrales lntegrando la primera

aplicando I a lecd66n 2 _

J~ r 2 )-1\x + 1 -b;dx = (.2 '1-1x.-rl) -xc ..lx

_ -t 2J f 2 ) - 1\x +I .2x tI x lnteqrando,Aplicando la 5 parala segunda Integral.

I-~--dxx- - 12 d(x) = tIx . x3arc tg T- C = 3 arc tg x TCUniendo las dos integrales; el resultado sera: 2Ln(x2 + 1 ) t -- 3a rc tg x-; . -c

Por supuesto no es necesario hacer por separados los ejercicios se pueden hacer at mismo tiernpo.J 31: - -t-2-- O x1; - I Separando inteqrales: I 3x O J .-2-- th.-X - 1. IntegICH~O: f ( : : . ) - J _ I C~ - I -3x dx.- - t . .. !J _l_th1.2 - I ( 2 ) 2 dxx-II

tI(x) = '1 )d~x - I = 2xdx3 i21 J I.-2--2th.x-I 3 ( 2 ) - ( 1 ( X - 1\ \= -Ln:( - I - ~ --Ln --I ~;-2 2 x-;- I I J .

27I;


- ~ fItH' i~

2 Caso.- Para este 2 casa voy a tornar un ejercicio, e ir escribiendo los pasos.EJEMPLO:

Primero se sa ca como factor cornon el coeficiente y /o signa de favariable del numerador.

Se diferenciala base del denaminador. (3- h) dx

Se multi plica yse divide el numerador par el coeficiente y/a signo de lavariable de la diferencial de fa base(en este caso par -2)

t il,II .i = J2

~.tJ2

Se Iesurna y resta en el nurnerador la constante obtenida aldiferenciar la base del denominador (en esle caso (3-2x)dx) y la. otra todo 1 0 que sobre en el numerador (en este casa 6!4 - 3).

} 1,w (~- 3). 3 ~ 2:( -.I

--I I dx + - : : z \.1 ,~3x- x2- 2. - IIx= ~ ~3X- x2 - 2. -Se sirnpliflca y se integra una como la lecd6n 1 62 Y la otra como la lecci6n 7. Las simplificaciones

pueden hacerse desde el principia.

.'; .

2(3i_X2_2)+~-------:1----- 3

'23x- '2

arc sen -1-T C" 2

== -3 -i.1

28


-~- .... _-._ ..-.-...J 4 J X - X2 - 2- 3 arc sen (h - 3)+c:::

EJEMPLO:

ter. paso:

20 paso:3er, paso:

1 r2'"

.Jx+ 1 4 - I - 2 - 2 th :2x!+ 21+] .

~o paso:1 -1+ 2~-dx2:\:. +2:\:+ I

=

=

= I f 2 ) I'Ln\_2x + 21.+ I + 6,i. tI..~ 2 ,..'{ 4 1.- 11\~2':l+- +i-=:;, 2, ; ., h2 /

Ji1 d x( r= J i ) f I ) 2";2'1 -t-T+ \ , \ : 2 .

=r:. . . ; 2

29

2 J7xt " 2

d x2x- + 2x f1

f -l x -t 1 -1 d x2 2 x 2 + 2 : 1 : + I~

arctg (2x+ I) + c


~: ( ' : , ,'"' ;:!!"

! i i " - J ',.,. ,

J[~

- r


LECCION No. 10En las lecciones anteriores se han vista varios rnetodos de Integraci6n para diferencialas de

funciones algebraicas. Antes de ver otras tecnicas de Integraci6n de diterenciales atgebraicas varnosaver rnetodos para Integrales trigonometricas que nos sirven para otros rnetodos de lnteqracion. .I!~

-EI primer rnetodo que vamos a utilizar es semejante (para no decir iguaO al utilizado en la lecci6n1,2,3ya que seguir n los mismos pasos de esas lecciones.EJEMPLO:

J IS(."(2{ntg(20) dO~Jscc(2fJ)-2 1er paso: J-2 0(3sec(20) - 2) scc{2 Hg{2P) dO3er paso: d(Jscc(20) - 2) =3(sec( 20)tg(20.2)tlO) = 6(sect2fJ}t:'.,( 20 )


I

! i, I -J.,

J J~ - Jf ,, i i ,,

,.

~ . J

J r ..I.~- r i "

: 1 :1 M

" ':) '.' . _. . ..... _. .~ "-.... '~.- . - _ - ,


,it: : a: a~~~

I

~~~~~~~~~~. .-~~~~~~~~ta

1 7 . J seeO -secOtgO dO R = e$KO .; cis, I ~(>n-2x ? : f } 1 1Os~n2x10 .cos;_ydx R = - ._....-- + .c2 LntO

J b~osOsen0 eo beosO'19. R:= ---- + cLn-b: 2 0 . J csc20 'csc'20'ctO"jg dO R ""_!)sdOb l-C2

lECCI6N 11Vamos aver ahora el uso de las formulas de lnteqracion de diferenciales trigonometricas. Te [as he

puesto asl porque vas a usar estas formulas y en.algunos casas y rnetodos ala leccion 4.las formulas a usaf son: JJ senu du =-cos-u + c ) sec-u du =In(sec u +tg u)f cos-u du =sen-u + c J csc-u du =Ln(csc u- ctg u}

T tgu du "~jIJ :=Ln sec u + C ' J ' . scc2u du -tz -u + c- .1 . ( \ \:Q5 o,{..< ".11""')(.;.I._ + ( _ .J ) . . . . . . . . . . . . . .ctgu < ; h l =Lnsenu . 2 iesc Udu ""dg'u'+c:=- c A f ) 1 . I . . + - c .

La demostracion de estas formulas puedes hacerlas facifmente si diferendas los resultados.Para el usa de estas formulas deberas tener en cuenta las siquienles lndlcaclones;1.- Siempre hay que diferenciar el angulo para aplicar el cuarto paso de la leccion -,2.- Generalrnente en esta lecci6n aplicamos el criterio de la leccicn 4_ Usamos idenfidades

trigonometricas. .3.- Si eJ denominador tiene binomios muchas veces S8 puede rnultiplicar per conjuqado del

denominador. numerador y denominador y luego separar inteqrales.4:- Si el denominador solo tiene un termino usa [as formulas de"[as inversas.5.- Si tienes productos de funciones 0 productos notables desarrollalos y separa integrales."Es conveniente que el alumno practique identidades trigonometricas. .

33


. i . i".:L

......'l_

f EJEMPLO: EJEMPLO:Qiferenciando el angulo tenemos:

d(3x) =3dx Comparando falta et 3.

2esc -3x dx

fEJEMPLO:-

1---dx1+senxMultiplicando par el conjugado tenemos:

JJ

( 1 - sen' x ) d(1+ sen-x If1- sen-a) r

(1 - seD~X) dx1 - sen -x

Pero

J (.1 - sen.x\ dxcolx JSeparando Integrales:

_ . _ _ ! - - dx - J .COS X ; 2COS -x

sen-x dx

Pero 1_._-=-- =2cos X

1~-dx2sen x

sabemos que...1--.--- =esc-xsen'x1 2.' ---- =cSC Xlsen -X

J . 2'(seca - IgB) dOOesarrolJandotenemos:

de donde

;" 2 l 2'._sec -11- 2sectSftgll -e- tg '0, dO

Peroz . z

. I +tg -9 =sec -6 .de donde2 . . 2

Ig -9 =sec -6 - IY la integral nos queda: .. J t , h - i~~'~lgQ + , ' - e - ' E d eI ~"l-o- "-K~.tgO -I' dO

Separando Integrales:

2 '. J .sec -9 dO -2 .Integranda-

2-tgO -2sec~ -"*+ t

sedHg!l d O


I I! rJ ["t ' - I ' " - -~.!.!,

r!!'-f.,JJ , -,, . , J'-~ L

, z . . J " , 't.G -_ _ -, .. < : :- '

-J-JJ _l_'M'~ - _.~~

~-: > I i i 1 f i i I! I I I l_ . " . ' ' .S S l io l lw i i iI i' -i Ii lW I i li il li !l iI li !l i' ,l Ii !I iB ! I ii i " I Il ii W R I I I Il 7 5 1 1l ii ! l ll i Ii ! ll i ll _ . M M i l ! l li l l_ ! ! I ll " _ ! ! I ll k ! l l! ! K ! S _ I I ! ! & & J U J _ , I " " ' -, " ' _ " ', -'i!.iJil!;'''i!!ml!1Mi_~~~~~ . = ~ , ' ~ ~ ' ; , : ,


. J,

'4. c J 2 -3 2R= -'COS'-'X + Csen'-'X dx 2 33~ I

IS. - I COS( b _ax) dx R= -sen( b + ax) + ei aJ16. - f

2 1esc -( a - bx) dx R= --ctg(a + bx) + - e'" b.i (}0I 017. _ I sec-e- tg- dO R='2 2 2-sec'-- + cI 2'"

~8._ r J: :I. .R= Ln-see-e"e :tge dx + C "" '" r sec22axdx R= 119. _ -tg-2ax+ c.J 2a

20. -

rdt d i- t R=tg'St -Ln-secSt T ej 5

LECCI6N No 12 . (Integraci6n de diferenciaJes que contienen potencias impares de senos y /o cosenos .Para este tlpo de integraciones se siguen los siguientes pasos:10_ Descomponer la potencia impar en una par y otra impar (la patencia impar elevada a la unidad). (Si

hay dos potencias impares transforma solo una.' . .1. -2.Descomponer la potencia par por rnedlo de las f6nnulas:2 . 2co s x = I,- sen 'x sequn sea el caso,

3.- Efectuar las operaciones resultantes y separar integrales.4.-lntegrar cada integral y simplicar.

EJEMPLO:rPRIMER PASO: PR1~ER PASO:J _ " D -I ( " B ' . ' ) c O : f dtJSEGUNDO PASO: . . SEGUNDO PASO:J se.(L ~o,'- r ) co.'-. d' .J

36

.~,-.",~--


: i t r '3:i:il:;~~~: \~~;,~~~l. ,1PI~l.fI1r1l."\. . ."l~~"t,~"~"~. .,I~,ft ~

TERCER PASO:ITERCER PASO:[ scu20 uo . [ coi'20sen'20 eo

~ . Jcostr(-scnt) dt+ (cost)(-sent) dt. senlO2dD f

. 1 .3R= cscx--cscx+c3

R= seeS - cos8 + c.

d( 20) = 2


~1,1jJIi,, j" ,!

Lt;CCION No. 13Integraci6n de diferencial de potencias pares de sene y coseno.Este tipo de Integraci6n es similar a las Integrates de ta leccion anterior pero ahara las potencias se

transforman sequn las formulas.1 - cos-Zx

los siguientes pasos son los mismos de la lecci6n anterior2

2 1 +cos-2xcos -x = --.'.--'---2

EJEMPlO 1:

J 2 -sen~{ 4x) dx

J 1 - cos-Sx dx."---,_2,1 . 1 ; ''I i, .nui

I-'cos-Sx dx2

COS-Sy; dx

cos-8x-8 dx

x 1" - .. -sen-Sx + e'2 )6

EJEMPLO 2:' . f sen -l-x-col-x dxPRIMER PASO:

-I ( 2 ) 2en 'X '" sen'x .

SEGUNDO PASO

JJ . i d x - i - J . 1 JOS-2~ dx - '8' ! ;" J 3os ~x .dx+ ~dx- .' 8. . Como veras los dos prirneros terrninos se integran por formulaconocida, mientras que el tercer termino tienes que transforrnapar la formula' z 1 +coshcos -x= ,.- - ._ y el ultimo termino,2lntegrando como la leed6n 12 ya que es palencia irnpar

33


I~ f= - Ia I 1~~~~~~~~~

'\~\~,: a~)~,.. .3.- '--os


, 1

, f. . ., JJ

J ,,

- ~


~ , l:I-a:.~:.~:.:;~~~~: a~~:.~~~;;. .: a: ; ,: a~. .4~~~:.. . .: a

__ . __ " :-. __ 'L_~ __

LECCI6N No. 16lnteqracion drrerencial de etg ylo esc,Et procedimiento es iguaJ a la leccion anterior: la formula a utilizar es 1 2I - ctg 9 'esc 8

3 I 1esc -x dx = -Lnj cscx . ctgx) - -,cscx'ctgx2 2Ejemp!o:

fctg2xc~/. 2xdx - J = ftg ( 2x ) .[ etc2 - (2x - I) J dx Zd(ctg(2x =csc -(2x)-(2dx)tg2x dx. [ 2 ') I ftg( 2x} esc -(2x), 2 dx - 2 ' . . z1 erg -2 x 1ctg(2x)= dx------- - - -Ln{sen(h) . c2 2 2

t . 2 I. -ctg -(2x) - --Ln( sen{ h) + e.t 2

Ejernplo.:J J2 I 4 \ __esc. -x-\(sc -X] dx . 2 ( 2 )1(SC -x- 1 7 ctg -x dx2 ( I ,,'I - J "sc -x - ,.1 -e- 2ctg x.,- etg 'X) dx - l' 2 Jtg -x-csc -x dx -r- " . ,tg -x-csc" -x dx

J 5. t ( .. 2ctg -x ctg-x-c g x - --- - -- -;-c3. 5Para integrar potencias pares separase una patencia par y el resta transf6rmese por rnedio de fa.

rnisma formula de tangente sabre la que hay que despejar a sec2e _En este caso de ser un producta ' d e tangente por secantes tornese una tg y una secante e inteqresecomo potencias de secantes.Ejemplo:

r " " ( ) .Ii 'i 1 I .sec -{--x; 1-' tg---xsec---x dx_ . \2 / J \ 2 _ 2.!I -I2 ' 1J

1.- -secz -x_(tg~ -x-sec (!- x ) ) I dx

\- \2= 2 " " { H +,

3

41


~t

LECCION No. 16EJERCICIOSr ctoJ2x dx t 2 t In( CSC( 2x))) R= 'ctg 2:< . c'" . . - I 2

J ~ R"" 1 3 I ('). +2) ctg 3: . : dx __ ctg 3:


~= '::tF : i= '= '::i~~: : : i= ':l:l~~~~:i: a~= l:l~:i~: 3~1~'\: : . ,~" l~I

3~ - A parti~de estas cos func;:lr:es tr' ;Jcnometn:::as ca!cuJa~ 'cs terr~~nGSque C:",::):)ner 'a diferenc.a!que se va a integrar y sustituirlos en 1 3 d:fecerlcia:.

4_ Resolver la 1: l t2, ; racrcn resultantssc - Sustitur las ~ur.c~c:nes t r ;gonon1etr - : :as obtervcas e n -e : case a~-;:.;;-.:r P;)~5:.5 e-Ju~va=-:;$ e n

fur:cioneS alcebraicas tornadas cor rned.c de! l r i , 3 : - : : : : : . > : J .. . . . " . . . .6._ Sirnphficar.Nota muy importante.Hay que recordar una propiedad de logaritmos.Suponqarnos tener: al.n (x/b) + c donde a. b. c. son constantes: par las propiedadas de 'cs loqaritmcs

tenemos:

Perc -aLr. t + c como son constantes podemos hacerla igL;a' a una constants 'esuilar'd:":::sentonces que:

aLn - (xfb) = aLn x + CEjemplo:

1er. Paso: Segun 0 2 1 inciso (b:-----:3:-d'\

x~ "tgt 9 )2

' ~ )1 ,~ +3= SW~11

J3( l ' s C C ( L f I )

..-"J xl.~?_ ':.. ~ S~C.9~

. - - - - ; ( C . ) I h _J ;( '"+-c. I " " : : " X. H :.'r: 'L.:-,3- t )1 ? . .\ ( x ~ - I - z - , '(.1 -= . ( x ~ aI\.) \(esto ultimo se saca diferenciando la ecuacicn) L_ ...

!tg( Ij)

dx ""

Sust;tuyendo resutta J= ___ till 1-'~L'l1r 0 1 + c4_ . . . . - - .Sto. Paso: -- c

43

-..._-~--.--

S;mplificando: J ,l~t;"c-O____ do

6to Paso:


, \

Ejemplo:

zdo. Paso: x__ '" sectS)[63ar. Paso: x= [6-sec(O)

1er. Paso:

. . . . ; - D_ 6 = ta 0).~. sv -,6

, [ : 2 _ 6' '" 6tg( 6)ox = j6?sec( a )-lg( 0 ) -d 9\ (fsec~~_)r F..-se~(~):t!~9.2) deJ . [6-tg(B)Sustituyendo:

SimpHficando:

4to_ Paso (integrando): =~

l 1 . )6- _sec(e)tg(e)+--sec(~)-tg(ln +c2 . 2= 3-sec(O)-tg(9) + 3-(sec(f) - tg{G)) c

5to. Paso: = 3 x - J I - = 1 - + 3 'lnp - -;; - t - c6SIMPLIFICANDO Y sequn la nota aclarativa resulta: x-~ ~_ _ ._ . .. + 3-hqx--- 6 -rC2EJEMPlO:

2 paso: u~ = sen 033er paso: u = 3scn 0

ilu"" 3-eos'o-do- .~j 9-sen-o}-'3'cos'o_- __---do

3(3'('05-0 )

1erpaso: u

r-7_-~- 3F u2_ =J

cos 0

3 cos 01 2 .t o r a).:: 3\l-u

44

( , 2 ) 2 3 ?~ _. U =()'(05-0) ~ ' ~ jI l) =t _ 1 - u~__).


, fIjr I: t t, ,I; IIt ;

~,:l,~l~\~,~1;),\~l~)~"~)~,:31: : ' i"\~,:t~:;~~

?r~ ,3~~);?~~ i. .

4 paso: JJ

9,sen2-o '3 -cos-c J 2 J J ' (sec!.o - t ) do. do = .: ~do = .: t.,.20 do ='"27-co s - ' - 0 2co s '05 paso:

Nota: Se aeostumbra que si el resultado as solo e (como en este easo) sustituirlc par el area deta funcicn trigonametriea sea la raz6n de la variable sabre 1 3 constants.

LECCION No. 17EJERCICIOS .:

J1 ._.-dx3-. (s z yI- X-

J e dt- 0 - t2 J

2X d x3-(xIt" 8 YJ 1 d x~.-J I- dxx.J25-i1 I- dy2~Y . Y -7J t ~.. dx2P 5-x

x---1-C5.~5 - i-'t r - - z t- .. 4 - t" + 2arcsen- - r c2 2'_ -_x_- - t-Ln,(xi- [ x l + 8 ) - c~ - . -. .

!.Ln.( x ) - ;-c2 I 2\2-'-~~ . L n . ( _ X _ ) - c .

5 + 4 2 5 i-}l-7...!..::...---c7y.---! 2-,\5 -x---'-_- - c5x

45


I


EJEMPlO:

sequn el incise (b) hacemos sequn eJ incise (c)du = dx Y = 2tg x

2(En estos casos no agregamos la constante c)

La f6rmula Que te nomos es: . J . dv =uv L v d.J 2X d ( 2 x r.sec2 x =x (g.;.-

Habra notado que solo se ha heche la sistituci6n siguiendo fa formula

Resolviendo la ecuacion.

J xtg_ dx2. . .y resolvlendo la ecuaci6n

resulta xosec2.~ d x = 2xtg~ - 4 L n ( c o s 0 2 ) . _ c2 0 2 2. 'EJEMPlO:

segun el inciso (a) segun el inciso (c)

dv = dxv=xapllcando la f6rmula r U dv =uv - r v d.

--; x- m dxJ l - m 2iIntegrando: .s-:

o J.(1 _ m2.i) 2 -x dx

47

lI_aJ ..._ ... ...... _.' ... ...... """"mr~Ii!'lII!IIl!i:!:~.Ii!''', ''",.....",.. [ fY . . . . . -0-: ' :ki iJ&f&l! ib~


H

j! "~

~ ,~ ' 1.

'.'f

=7 W WEn... ~~A"~~=" , ...=.~, : ; : ,..:


i~IiiiW i ll ;' .Ii:I

";l= -_ .. .,I. -~.~n7j,

(j'I~~[7!dQ : ! i " fA~!.iI~f R '", .. ,~I ! f. 'filJ~''''~} !t ' :; :i-~

J t.lIl>', J ,,11,' ',' 'J f- , ~ ,' - ~ '1 l, 1 !' i ~ ;" : ' ; ! i t '7' ,-;;-'i@ -sea -,J;~- -.-, q . ~ .'tf~~!m'ei i~ (~} i .; !I I I~!!l 'ac"~ ~ l i~ . . s I1 . ll J 'K 1 I : ~ I,J~niefmemh!~l1i : ; :8 'p~f@nOOri3: :

-~2't~,~a!:fo.3'1 df:= ];',l4. ~asi]ltt+-~"ft~:7Gl.,'J~ ,.:::.IZi 4

Jr1j


JrJ -JrJJIJJJI1fJJJ

2Y -sen-ny dy

x-a:'; dx

xD-Ln-x dx

are-sea-a dx

arc-tg-x dx

arc-ig-y dy

arc-cos-zx dx

arc-sec-y dy

- -1 darc-cse-s- t2

Iarc-tg-'Vx dx

eO-cos-a do- _ _ _- -R=' , .

2x -arc-sea-x dx R=

R= cos-x x-sen-x~-+----cn2 nR= u-tg-u + Ln-cos-u

R = _ ! _ v1- ..!._ _-v -sen-6v - ..!..-cos-6v - c4 12 7212-cos-ny 2y-sen-ny y -cos-nyR= + - _'_- - c-3 2n n n

R= X! X 1 \a-~----- t-cLn-a Lo2-a}R= D-I { I \_x__ , Ln-x':'" __ l _ e0-1\ nt-I}

( 1 - - -2 \x-arc-sen-x s- \'\:1- x - e]=

,R 0=

R= (1 - f 2\ \y -arc-tg-y ~ i-Ln\.1- y j t ~R= " If! 2 \x-are-ces-zx - -"\,\1 - 4x + C )_ 2R= ~ 1-)y-arc-sec-y - L~ \ y ~ ,_'l- 1 + ~R= f a ' ~ - m n -r- 2 L n - ( . -f.' - .) + < ]

x2 - 1 r xR = --~aJ"(:-tg-"lx - - -:-c2 2R= (x - l)-arc-tg-(,[x - Ix t- c)'R= -x ( 2 )- e - - 2 -r- 2x - x - t- c

6e ----(sen-s - 'cos-e] + - c2i i- r - ;__--- -arc-sen-x = > ---VI -- x" .;. c3 9-50


III

LECCION No. 19

lnteqracion de diferenciales que son fracciones racionales.Una Iraccion racional es aquella cuyos terrninos del numerador y denominador no contienen exponerites

negativos 0 fraccionarios. Basado en 10anterior una diferencial que contiene fracciones racionales losterminos no deben estar afectados de exponentes negativos 0raccianarios. Adernas como requisito paraaplicar este rnetodo el denominador debe ser factorizable completamente.

Existen 4 casas de lnteqracion de diferenclales que contienen fracciones racionales y aun que elprocedimiento es igual, utilizarernos una leccion para eada easo.

Entendamos que es un factor de primer grado. Par definicion es aquel cuya variable es de primergrado.

Ejemp!o: 2(Jx ...2) .h: (5x- 4)Un factor se repite cuando estese halla elevado a un.exponente diferente de la unidad.En esta leccion estudiaremos el caso en que los factores son de primer grado y no se repiten que es 10

que llama 1er caso,EI metoda eonsiste en transformar la diferendal de fa fraccion racional en una suma de fraccianes euyo

denorninador sea un factor y que esta fraccion puede ser fadlmente lntegrable. La teorla, si te interesasaberla, consulta el Algebra de Palmer editada par Me Graw Hilt en fa paqina 2?8. En general S8 Iedenomina "Algoritmo de Eudides".

Los pasos a seguir:1._ Si e! exponente de la variable es igual 0mayor en el numerador que en el denominador hacer ladivision primero.2__Factorizar completamente el denominador de fa fraccion.3._ Sin el signa de diferencial e integral igualar la fraccion a una suma de fraccianes cuyo nurnerador seauna letra rnayuscula (que generalmente siguiendo el altabeto) y en el denominadar unos factores deldenominador.4.- Despejar et numerador del quebrado del primer miembro y efectuar las operacianes en el segundomiembro.5._ Sequn el grado de [a variable, sacarlas como factor cornun de los terminos que la contengan.6.-lgualar los coeficientes de la variable del segundo miembro can los coeficiente de las variablesdel primer miembro que tengan la misma potencia (constante que iguala con constantes),'7._ Resolver las ecuaciones resuJtantes.8._ Sustituir los valores _gbtenidos en los quebrados formados en el paso tercero agregando los signos ddiferencial e integral.9.-lntegrar y simptificar:

. Ejemplo:

J4x - 3---dx

4x3 ...si-3x4x -'- 3--------dxx(2x ~ 1)(2x- 3)2do. Paso:

3er. Paso: 1x B C-+--~-c---~( 2x -;-1).( 2x - 3) x 2x + 1 2x + 3fA B C \L- + -- - t- - -- ;(x)(h.,.. I)(h - 3)(4x - 3) = \ x 2x + I 2x + 3 i

:;: A(2x + ] )(2x ....3)- Bx-(2x - 3) + - Cx(2x + - 1) ,. 51


[.,.~ j .iLI,

J

1:=

J

1r -J

J


: : : I~~~~

~~:,~~;;

- - ,~1~1::l~:j,:;~1:;1= -'I~" 1: : a'\

~"\

~1~

1~ . ,: : a~,~,:).

L- ~:;

5. Paso:ASC=lB . C =(1A =0 t

]0. Paso: Surnandolos tenemos:

Porque en eJprimer miembrono hay x

2B = 2 de donde B = IA = -tc= 1

8. Paso: 9

9". Paso:rrJ

_1d... '- 1 I--- dtt - 1

JrJrJJ

4x - 2----dx.i-l' -2x5x2 -_ 3---dx3 .X. - x3 '24x +2x 1dx4x3 - X

3x'2 _1------dxx-(x - 1)(x+ 1)3 '2x + x dxi-3X-7 2

x~2_-d:s:it-x

t~-l . z t2.L[(t.-l).(t-l)}--- dt "" - - Lnt - Ln( t - 1) .;..Ln( t -r- l)+ c = - T n . -t ct3 _ t . 2 2 t

_ t1 ( l - 1\ ,- " 2 + Ln -t-; -c ECCrON No. 19EJERCICIOS

R=2 .x - 2x .;..ci .(x +1)

R = In (i).(l- 1) 7 C

R= 1 1 r (2x + 2)( 2x + 1) 2 ]x +-- n' + c2 l i

R=

R= t 1 .- -x + 4x - 21n( x - t) -t - 12tn( x - 2) + c2 .

R=53


---- --------- ------

1 . 1 ; '-i

--- -- --", --_, -'----__ , .. ,.,- ----- -~---------JJJ

------------ dx:dx - 1)-(x - ; - . 1 ) R=1 '

X + 1--t-CX

3X -7 - 4 dxi7 .Ix 3 1R= x-ln(x)+-+(x- J)+--fn(x+t).;.-cx xR= r r lnt (x - 4) ; _ cI ~ I2'l(x-:-2) Jx-I-----dx2X + 6x + 8 "

5, ' 3(xt- 1)___:____;.___:-cl 1'2 ."6X -(x+2)

4x + 3-----dx3 2:X + X - 2x

LECCION No. 20II Caso de Fracciones Raclonales.-Los factores son de primer grado y alguno 0 todos se repiten.En la leccion anterior vimos 10 que era un factor de primer grado, y cuando un factor se repite y los

grados que se siguen para resolver cuando no se repiten.En esta leccicn seguiremos los mismos pasos solo moditlcando la farmad6n de los quebradas. Los

cuales s e formaran de la sigujen~emanera: formaremcs quebradas en la misma forma que 'enla Ieccionanterio~ para los factores que no se repiten y para los que se repiten, una literal sobre el factor que se repitey _ tantos quebradas con e J factor disminuido en una unidad su exponente hasta que quede ta unidad en elexponente.EJEMPLO:Suponqarnos tener factorizada la diferencial en la siguiente forma,Los quebrados los formarernos asi:

JEjemplo:

J 13x + 2x+ 3---------------------dxx2-(x - l)'(x+3}-(x':" 4l 2 - 2X {x - 1)(x+ 3)-(x - 4}13x + 2x + 3ABC D E F---+--+-+-+ +---x-I x + - 3 i x (x _ 4)2 x - 4

".p

Los quebradas se forrnaran primero con los factores que no se reptten y luego can los que se repiten,Los demas pasos se siguen exactamente igual que en la leccicn anterior.

54


--i l " - .IIa= '".:~~~"~t A ,l A ,~l~ ,I6 ,ia,' .,' I ! l ' I

I r~

I.JJfJJ' I '

". _ , _,


EJEMPLO:

2i - 3x - 5.,.,.-~--.-.---.-,--------Segunlaslecc1!nesanteriores

segun las explicaciones enesta leccion

A B Dx - E Fx G- - - --_ - - - -.,.._ - - - -x (x.2l x2

los dernas pasos son iguales a las lecciones anteriores.

JJJ

r

I- t : x -6d_ _ xl-3xI___ x_+_x__ dx

. 2 '(x - 1)-"x-I -'

2X + X - 10 . d/ \ x(zx - 3 ) - ; _ i - - : -4)

JjJ

x - 18 dx4i _;_x3 22 y - Y ~ 2 y - '- 2~ 2 dyY - 3 y - 2

I--.-~ dz~ 2 .Z _. Z

) 2x-- -~------ ....--- dxl' 1..x - 1, -(x-l)

LECCI6N No.21EJERCICIOS

R=

R= In(x -' I) .. arctgt x) 1 - c

R= it1_...2n--. -c\ t - 2

R"" I (l-4\ x )_-)U\--. ; ..arctg -1 tc2 ,lx - 3, .R=

R= ( 2In \y - 2 .- arctg( y) -1 - c

R= 1- - arctg( z) J . cz

R= arctg{ x) 1 +c

56


.~

j ,

I


~_:_~.i._flil.l_[-IIIe:.IlI.-III.rl:]II.lIl_"II.1111 . 11

LECCI6N No. 23Integracion de Diferenciales que contienen expresiones algebraicas irracionales.Una expresi6n algebraica irracional es aquella cuyo exponente as fraccionario.Este tipo de integraci6n se aplica todos los casos de expresiones algebraicas que contienen radicales.

Sin embargo la aplicarnos a aquellos casos en que no se pueden aplicar los rnetodos aprendidos en laslecclones anteriores.

Estas integrales S8 efectuan haciendo un cambio a la variable, es decir la variable del problema integrales igual a la variable que nos transforme al exponente fraccionarlo en cociente entero.Existen cuatro casos:

1eL Caso> Cuando contiene solamente expresiones fraccionarias.Los pasos a seguir son los siguientes.1eL Paso: Igualar la variable de la diferencial a otra variable elevada a un exponente igual al menor

denorninador corium de los exponentes fraccionarios de las variables de la diferencial,2. Paso: Calcular todos los termlnos de la diferencial igual que en el paso anterior.3er. Paso: Sustituir todos los terminos calculados en el paso 2 en ladiferencial.4


~ .. - .

J

IJ ~~'I

IIII'I

- '


rIJ

- - . - - ~ ' : - ;_ ~ ~ 1 lIr'1.J JJ , . i t1 ~ .~


--

II'\

I

2 paso:I2(!+ x) = 7. dx = 2zdz

1--dzl' ,.,Z + 1

Integrando ' 5 paso:

x -dxdy=--2

(y-l)'~+c6

3er, Paso: r ~dz3Z + Z2-3rc-tg-z + c

EJEMPLO:

i f ,_y_ dyI \2 + 4y. - .1er paso. hagamos

2 ( 1 paso. ~2 - t - 4Y=x y=

l72 x-dx3er paso: 40 paso:f 2

x

r ::!-i) dx - - . ! J ' 3 1Integrando. 1 dx x= - - _'x+c',2 , 4. 24 4I 3'- {2+4y)2 Paso: 2 l== ' (2 + 4y)3

Sustituyendo:I1 -(2 + 4y) I (2 ' 4 )2- _ T Y + c424

. 1 r-- /2 + 4 )"Fadorizando:, 4 - r , , ; 2 + 4y~~ - 1 + c

. ' 61

2+ 4y =l

2x'dxdy=--4( 2 \I . . x - 2) dx

Simplmcando;


,(.

~ . . 1 : -~, ,

.~

I.~


--:I I,: : a= : : a~

:a: a~: a~:.~~~~~ !~ 1 -~~~~~-~t.~~t~~~~

LECC~N No. 25INTEGRACION DE DIFERENCIALES BINOMIAS.- Una diferencial binomia es aquella que podemos ponerlaa! siguiente forma:

rtn ( ..\Sx . a + bx ) -dx

donde rn, n, r, s, a y b son constantes, para hacer integracl6n de este tipo de diferenciales distinguimas dacasos:L- Caso cuando (m+1)/n = un nurnero entero 0 cero, En este caso hacernos ta sustitucion:

. 1 1 . - Caso cuando m + 1 r-- + - = un nernero entero 0 cero. En este case hacemos la sustitud6nn s - n s na -'- bx =zxlos pasos a seguir son los siguienfes:I.- Poner en fonna de factores la diferencialH.- De acuerde con los exponenetes investigar a que case pertenece y cuaJes su sustituci6n111.-De acuerdo can el tipo de sustitud6n detenninar todos los elementos de la diferencial yhacer la sustituclon,IV.- Resolver la integral.!'V.- Sustituir la variable de la integraci6n sacada de la sustituci6n hecha en el paso I.

EJEMPLO:~. 1erpaso:3x -----dx1

I 2\2\a t- bx JJ .20paso: .Si comparames can la formula

!!:xm.(a -T bXD}S dx

resulta que: r 3--=...s 2 2

resultandonos all caso cuya sustituci6n es: a + bx2:=-lIII paso hemos de calcular a partir de (a + bx2) y los terminos de fa diferenclal que son xl ( 2\2. a - bx ;,

(i _ ) 2\-b- entonces ( 2 ' 2:~\b )entonces x=-I- 3_ 3I 2: \ 2 - -dx = !.I~l 2a-dz '


Suslituyendo JlVcaso:

JV Tenemos que:

sustituyendo, resufta

EJEMPLO:r 'J

1----dxx4 _~1 +i

a + b-i

Cornparando con la formula:

y nos resulta;

3

1a - z--dz =b!1 a 1~'z- ~-- + cb2

bI-1

2= Z I_ ! _ . ( a -j- b x 2)2 + 3 + CbI !

b1-(a + bx1 ) 2

1er paso:

m ( n ) SX a + bx -dx m = -4

3+1=-4+1= 3n. 2. 2

m + 1 r -3 1--+-= ---no es entero resulta no ser el caso

Entonces la sustitucion sera:

III paso

sustituyendo resulta _

~,

-I(1 2)2, Z -x

n 2 _ 2

( 1) 2 1I+x =.Z +x

sirnptificando i = 1 a_z-t---;--c

bl

b2z

J -1x-4;(1 _ i} I dx

h = 2

como m + 1D

(hemos aplicado elll paso)

I 1{I )2x = \Z - 1omo

.' 2 \-2 _-Z - a \z \-b-; dz

b

r 12

32

y-3- 1(1 )2dx = ---",z - I '2z-dz2 -


:I:a: : a:a:a:It~='~~~'It.:a~= ':$= '= ' \ .= a

!~= '~,-= a: a -,:a= ': a:I1:a::I.. ,= '\:a,

sirnpliflcando: _Jlnteqrando:

:;

3_ ( ~ ~ . +1'(k- I) I dz

x

3( 2 r (2 ) 2.2_'_ - z - 1 . dz :; _.

3

3Z- -_ . - i- Z ';" C =3

Sustituyendo y simplifrcando:

1. - J2. - f3. ~ J4. - J5.. I

l.J1 + ldx5X--dx, j t " " "l

3- ( 3 ) 2X:' 8;- x dx5_X__ dx

J

I-----dxJ. 2 (- 3\ 2X ~ 1 ._x )

-z2t-3z--..,..c31

( 2" 23'\h j

2. z I. dz

x-------+c3

EJERCJCIOS DE LA LECCION No. 25

6.-J 1 dx1-l-(I T l)J7 : - 1 1 dx3-i-(t T X- l ) - 1K _ j 1 . dxI-

n ( 0\,"x'\I+x;

9.- 1 dx-t3 ( 3'_3J x-\l-i-X,

' : - J ( ~ l : ? )dx..,,;.- "- ..+

65


LECCI6N No. 26lnteqracicn de diferenciales triqonometricas por cambio de variable,Para este tipo de lnteqracion hay.que sustituir las f~nciones trigonometricaspor una variable tal que nos

resulte una inteqracion alqebraica.Para deducir los cambios que tenemos que hacer procedemos en la siguiente forma:

I-cosOI + cose elevado al cuadrado resulta

'; 29,Ig -- '\2-1 - cosO_-cos9ar trigonametrfa sabemos que

si hacemos 1 3tg- '" z,2 resulta2Z dsspejando: l~_-cos-0 '" 1 cos-O

6 de donde cos0 ee 1 -il+iCan estes datos podemos pintar el trianqulo en Jasiguiente forma:

Y si tenemos 0tg.- = z./ 2l+zY 0 ../ 2z - = arc-tg-z 0= 2-arctgz/a 2Diferenciando d0 =< 2dz, ; , - . . 1- i l+i

Con esta deducci6n todas las integraciones se resuelven pintando el trifmgulo y deduciendo los termlnossacados de eL

La diferencial del anqulo seraLaiferendal del angulo sera d0 2dzt . , . . . i y cuando hagamos la Integraci6n resultante la sustitucion

la harernos,Ejemplo:

I----d04 - 3eos0 2dz 17 z2cos0 = 17 iSustltuyendo:

rIIlJ2dz1 ...z2 Simplificando:

=JIf I-i)-3-1--. -\ 2\1 - z dz.~ f 2dz- .---- dz\ ' 4 . ~ 4i - 3 - ~ 3ir

66


~. r- "" _ "

';:

- , ." "

ff] :

t . . f 1, ' ! ? -


Para este tipo de lntegraciones generalmente se dice el cambia de variable que se tiene que hacer, Esto sepresta a confusiones pues una misma integral puede resolverse poi- dos sustitudcines diferentes y dar ernisrno resultado, 0 si no se \e dice cual sustitusi6n, el estudiante tendril que "adivinar" cual cambio de variabletiene que hacer.

Como hay muchos carnblos de variable para no confundir al estudiante hemos sintetizado esta lecci6n ens610tres casos.1er-.Caso.- Cuando el coeficiente de x2 es mayor que 1 y positive.2(J. Caso.- Cuando el coeficiente de x2 es igual a 1yes positive,3er. Caso. - Cuando el coeficiente es negativo_En todos los casas el desarrollo es el mismo: ver a que caso pertenece, hacer la sustitucion resolver la

integraci6n y volver a hacer el cambio de'variable.

4 - J~ - J6.- J

8.- J..IIO ~ - I

I.1,

1.~~- dx4 - Scosx

. xtg- --31 2-Ln' ~C2 : x,tg-- - I:\ 2 'R=

+

1----dO3 -r- cos-0 1 /1 0\-=-al""c(g:-=tg_ \ --cJ: 2 i,,!2 \",2 IR=I-------dx2'sen'x - cos-x + 3

cos9----dE5 - 3-cos91----dx4'sec'x + 5

I x ) 4arc-tgj tg-> + --Ln( I + - c)\ 2 is=

1---dO. dg-0 + (:5c-0 R=

1----dx5 -r- 3-C05-Xxt...-_. .1 2-arc-fg t- -.- + c2 2R=

LECCl6N No. 27Integraci6n de Diferenciales que contienen una variable de tipo

I Z~\ C + bx + Ax Por cambio de variables.

68


,,~ : ,J


Sustituyendo: -1

lntroduciendo dentro del radical -t

Resolvieildo:

-1 rJ

1 dy = = -~ [( 1 _ \ 1_ Y - 2y .;- 1; ~ 3 + 1j

Sustituyendo :11

yde donde Y " " " -x= x

EJEMPLO:I l ' - x ' d X. -. 2'1(s - 4x - x ;

( I . 1 \ dy\ ~ J 3 + 2y - /)

~ I- [

J1-;: : :=:====== dy =I 2 . 1- v2 - (y .0. I)

(1 \.- - 1x .-arcsen -- i-c =2 _ i . (1 - x ) .-arcsen -2- + c

Como et radicando es negativo

_(x2 + 4x - 5) = - x + 5)( x-I ))Oespejando a x:

IY _ ~2Y + Ihacemos -(xt- 5)(x - 1) = (x - l)ll x=

(2 \ (1 '\dx = \y t- Ij>2y - \y - 5r2Y.dy.. (I ',2,y T I)

dx = \1 - 2 y j d Y _ . . ,( 1,1\Y t- I) susutuyendc;-.'t-

Xl _ 5 12yf 1 "! 1 ,1',y 1- l;.y T' 1/

. 3f ~1J--1 )2l J . _

Sacarnos a 2y como factor cornun; ((2 2 \"0dx = 2y .... + 1 - y ,. 5j

( .12 1\\y +)

, 7 0


..II~: : : ..; : I ". .r -

rIat

I ,'

: [ " .IIjJ ~.J , .II"'~IlII,~iJ

I.;I..'


f, - lL)

~ rJ

- 1,.. 'w'jI "

,.

'Ii!


_ "," ,"If-.'II


CENTRO DE- PROFEQ-M_4&-- .

J dx. ~ + c .,,2 .. ', - r : : : : : ; ; xx1 / 1 0


.Ja

._"""--"-.-~ : :

J : ; obien J U - 1du=lnu+c2 . " J x2 dx = In (2 +x3 )2+x3 3

2. Je ; dx =ne;_ +'c:~


I 'I,

, '

----...:=~~~----- ---------~-- -~-CENTRO DE BACBILLERATO TECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No. 1PROFESOR: lNG. JOSE ANGEL L6PEZ CHAVEZ

EJERCICIOS PARA APLICAR LA FORMULA = U + x ..,_Esta formula nos indica que debemos integrar cada termino que se obtenga al desarrollar unaoperacion, la cual puede ser:

"" Productos notables"'" Division de polinomios

J X3dx x2 x34. --=x--+--ln(x+l)+cx+l 2 3 _J 2X -1 ( \ 25. -- d .x = = x -In 2x + 3J + C2x+3 -6_rx2~2)X dx~2x2_4JX+c

7. I f x2._ 2 2 ) d x = x3 +~+cJ l 2 'x 6 xJ 6x7i 4x%8 . - !X (3x -2)_dx= -5---3~+C3 3 .r -6x+5 x9. dx= ~-6x+51nx+(:x 3

10. r(a+ bt)2 dt= (a+ btY +cJ 3 b _J 4x3 x212. x(2x+ Ifdx= X4 +-+-+c3 211. [(2x +3)ix :=2x = ln (x+ 2)+cJ x+2-B. J X 2 +2 dx x2 -x+Jln(x+l)+. x s - I 215. J X + 4 dx=:::'+ 5In(2x+3) +c2x+3 2 4- 2r'- Ax-lax x14. {--va--vx}dx:=ax- - +-+c3 2


I i1 .i .

Iil


CENTRO DE BACHILLERATO TECNOL6GICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No.PROFESOR : IN G. J OSE A NG EL LOPEZ CHAVEZ

u sn DE FORMULAS CUADRA TICAS2 . J - = . = ~ l n ( ~ ) + C "xl-4 4 x+2

3. J I dy = arc sen y +c\ 25 _ y2 5 4. J r - 1 S_:_ =In(s+~sT~i6)+C;Js -165. J _ _dx2 - = ~ l n ( ~ ) + C9x -4 12 3x+2

J dt 1 in( 2+ 3t)7. 4-9t2 = 1 2 2-3t +c 8. J _ 9 0S x ~ = . ! . . In (2+sen x ) + c4 - sen x 4 2 - sen x" J axdx a " x210_ 4 4 =~2 arc tg 2 +cx +b 2b b

f s e n (8x) dx 1 ( s e n 2( 4X) J13. = = -arc tg + c9 +sen 4(4x) 123J sec2 xdx 116. , 2 = = arc scn (2 tg x)-1 1- 4 tg x 2 "

J- l 2 x ) 2 518. 5-3x dx =- 5-3x +--=arcsen" 2 l-b

1 9_ J -~Y--= l /- iarc tg ( ? : _ ~ " )+ c4y +3 2'13 \13S1 RESUELVES CORRECTAMENTE CADA UNO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOSENTONCES ESTAS PREPARADO PARA RESOLVER LOS EJFRCICIOS DE LSIGUIENTE LECC ION.


EJERCICIOS PROPUESTOS DE FOAAIULAS CUADRATICAS, CASOS EN. QUE SEDEBE COi\IPLETAR UN TRL'JOMlO CUADRADO PEIU'ECTO.

CENTRO DE BACEJILLERATO TECNOI..OGICO INDUSTRL\L Y DE SERVICIOS No. ItOPROFESOR : IN G. JO SE AN GEL LO PEZ C HAVEZ

' f dx 1 I X + I I=0 -In -- +c. xl +4x+3 2 x+3 2. f~~ =0 -!arc tg ( ~ - - = - ! )+c2x-x -10 3 34. f~ dx = arc sen(2x -3) +c3x-x2 -2

. 5. f dx 1 I X - 51x 2 - 6x +5 = :tIn x-I +C Ix .6. 2 . =arc tg e2x - I ) +c2x -2x+1f dx 1 1 x I .. -~=-ln -- +cx2 +2x 2 x+Zl f dx ( X - I )8.. ~15+2x-x2 =arcse~ - " 4 - +c

10. f - - ~ - - =_I_In 2y+3--J5 +cy2+3Y+l 15 2y+3+-J5f dx 2 ( 2 X + I )L 2=-harc tg =r::' +C1 +x +x - v 3 " 1 / 3

- f dx l ( 2 X + I )2. 2 =-arctg -- +c44 +4x+5 4 2

f t; 2 x+ I. 2 ( X + l )4. 1,!.J-2x-x dx = -~J3-2x-x +2ar.c.sen -- +c2 _- 215. x-4 ~ 2 . 9 I 2 !=-- .r -8x+7--ln x-4+>Jx -8x+71+c2 2 I I


CENTRO DE BAClIILLERA TO TECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE SJ


~ Segundo caso: Cuando el denominador consta de tres termin os (dos variables Vuna constante. tamblen pueden ser dos variables).

CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No. 110PROFESOR! IN G. JO SE ANGEL LOPEZ CHAVEZ

Procedimiento:1. Saear como factor comli n el coeficiente y /o signa de la variable del numerador2. Obtener la diferencial de la base del denominador3. Se multiplica y se divide el numerador por el coeficiente y/o signa de la variable de

la diferencial de la base.4. Se le suma y se le resta en el numerador la constante obtenida al diferenciar la base

de l denominador, obteniendose asf la integral a reso lver .5. Se separan integrales de la siguiente manera:

La primera integral se formara de tal manera que en el numeradorcontenga fa variable sumando 0 restando la constante, seguncorresponda la diferencial de la base del denominador y en e Idenominador la expresion original del ejercicio. .

La segunda integral se forrnara de tal manera que en el numeradorcontenga los terminos que sobren y en el denominador la expresionoriginal del ejercicio.6. Sesirnplifica cada integral y se resuelven, la primera integral utilizando Ia formulasJ undu, J 4-~:ldu segun corresponda, y la segunda integral utilizando las formulas ..cuadraticas ya conocidas, esta cornpletando un trinomio cuadrado perfecto.

Problemas propuestos

1 . J (2x + 5) dx :: In j x 2 +2x -I- 5 1 + ~ arc tg x + 1+cx2 +2x +5 . 2 2i5?J (8x+3)dx 1"'---~~2-'J) 2x-32. = -2-v12x-4x -5+-arcscn-~+c.J12x_4x2 -5 2 2

3-

J (1-x) dx 1 I 2 I 1 I 2x ~3. = - In 4x -4x-3 +-Inl---) +C.4x2 -4x-3 8 . 16 2x+l( , . . .J - (3x-2)dx I I 2 [ . J i , 1 3 X + l - " ' J 2 " ! 14. = --In 1-6x-9x :t-1nl . +c1 - 6x - 9x 2 6 . 4 i 3x + 1+ )21J (Jx +2) dx , ..- 1 9 1 5, ' 2 I .5. -: .~= 3i,119-5x+x2 +-In! x--+-,.d9-5x+x I +c" 'J19-5x+x2 2 I 2 I


NOTA lMPORTANTEff'(X)dx = f(X)I~ f(b)- f(a)

r


CENTRO DE RACHILLERATO TECNOLOGICO INDUSTRiA.L Y DE SERVICIOS No. 1-, PRoFESOR; ING. JOSE ANGEL LOPEZ csu VE Z

AREA DE UNA REGI6N PLANA

1 . HaU ar e l a r e a de la su pe rfic ie lim itada por Ia cu rv a dada y e l e je de las absc isas (x ).y;= x3 A=64~ .-1 - desde x = o hasta x;:::. 4 Solucien..:.2...-.,._..a.-

2. 2 desde x = o has ta x : ; : ; 3 So luc ion A : = ; 1 8 1 . 12y =9-x'" ' '.Y=x3 +3x2 +2~)desde x=-3 has t a x=3 So luc ion A =54u2:1.

y=x2+x+l ' 54. de sdc x=2 basta x=3 Soluci6n A=9-u66. 1 0 desde x=o basta x=5 So luc ion A=20u2Y= .Jx+4

1 37. y=2x+? desde x=l hasta x = 4 Solucion A = 15--u2x- 4II. Hallar el

y=4x-x1a r e a comprendida entre el eje de las abscisas "x" y

32 2SoL A=-- u3Ia para

III Hallar el a r e a limitada por la parabola y = x2 - 7x+6, el eje de la s abscisas "x" y las reX= 2 , x=6 56 '2Sol. - u .3

IV. Hallar el area entre la curvaSoL 8u2

y el eje de las abscisas, 32V. Hallar el area comprendida por la parabola x= 4 - yl yel eje de las ordenadas < Y ' . SoI.- u2. 3

VI. Hallar el area comprendida por la parabola y=4x y la recta y = 2 x 4VI I . Calcular el a r e a Iimitada por la s parabolas y = 6x - x2 e y =< x2 - 2xV IIL H alla r e l area e nc e rra da p or la c u r v a y2 = x2 - : x 4

Sol. 91iSo L 213 u1Sol1.33u2

IX Hallar el area menor Iimitada en el circulo x2 +y2 ~ 25 por fa recta x:; 3S I ,25 n : 3 'iO. ( ~ -- -12 - 25 arc sen -) u:2 5...Haller el area comun a los circulos x2 +y2 :;::4~

UTILIZA EL SOFTWARE. DERIVE 5.0 PARA CONSTRUIR L~S GRAF1CAS


r :i CENTRO DE BACBD J ,ERATO TECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No. 11,. PROFESOR: ING. J O s E ANGE L LOP EZ cHA VEX

AREA DE UNA REGI6N PLANAUfILIZANDO LA FORMULA DE LOS 1RAPECIOS

(FORMULA PARABOLICA 0 DE SIMPSON)L En los siguientes ejercicios obtener el Area Aproximada de las curvas utilizando la

formula parabolica y posterionnente utiliza las formulas elementales pa ra sucomprobacion:

L f d x . . n=7x. r : x - J 25-x2 dx . n=10.( - Y 64-x2 dx n:::::8r ~ 16+x2 dx . . n::::6

2.3.4 .

II. En los siguientes ejercicios ob t ene r las Areas aproximadas de las CUfYaS utilizandola formula de Simpson .

L r a x n=4 Sol. L227u2~4+~I J :2. ,/l+xJ dx n=4 Sol. 3.283u2IIr f ) V 125-xl dx 44.17u2t 3 . . n=5 S o l~i r. - J 126-x3 dx . n=4 S oL 34.78u1,

lITlLIZA EL SOFrW ARE DERIVE 5.0 PARA CONSTRUIR LAS GRAFICAS


CENTRO DE BACHILLERA TO TECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No. 110, PROFESOR: ING . JOstA liGEL LOPEZ CH :1J :EZ . .

VOLmfENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION

1. Hallar elvolumen generado al g:irar el a r e a del primer cuadrante, aco tada por 1a parabolay 2 : :::: ;;x y su lade recto x = = 2 en tome al eje x. Sol. 16;r u.l

2. HaI1ar e l volumen generado al girar el a r e a acotada por la parabola l:::;;x y su lado rectox = 2 e n tom o al Iadorecto. Sol. 256 Jf ul1 5

3. Hallar el volumen generado al girar el area acotada. por la parabola y 2 ::::Sx y su lado rectox = 2 en tom o a1 e je y. . So l . 1281r u35

4 . H aU ar e l v o lum en gene rado a l girar e l are a q u e i imi tan e l e je x y f a p a rabo la y:;:: 4x -:?- entorno a la recta y =6 . SoL 1408 J Z " , ;15 .5. En los s ig u ie n te s p ro b lem a s , ha1lar el volumen genemdo al girar el a r e a plana en torno a la.recta ind icada :a) Interior a-y ::::X2 , Y= 0, x ::::0, - y = = 5 ; en torno al eje ..xn SoL 2500 7! u3b) Interior a _"(2-1=16, y:: 0, x"", 8 ; en tOIDO al eje "x" 2567f 3--u3Sotc) Interior a y:::: 4_l :2 , y ::::16, x =0; alrededor del ejeyd) Interior a y:::: .fl. X = 0, 144 J 'T 3--u5y'=8; en torno a x =2 S oL

6. Obtener la formula para calcular e1 volumen de un CILINDRO7. Obtener la fo rm u l a para c alc u la r e l v o lu m e n de u n a ESFERA8. Obtener Ia formula para ealcular el volumen de una eONO9. Ob t e n e r la fo rm u la para c alc ula r e l v olu m en de u na EL IPS E

UTILIZA EL SOFfW ARE DERIVE 5.0 PARA CONSTRUIR LA..'i GRAFICAS


-~ ~ ~= .... ...,...~ -.--~-.

CENTRO DE BAClln..I~RATOTECNOL6GICO INDUSTRIAL Y DESERVlCIOS NoPROFESOR: ING. J O s E ANGEL LOPEZ a lA FEZ

INTEGRACION DE DIFERENCIALES TRIGONOMETRICAS

( . l'L J tg (3x + 1)dx =JIn l sec (3x - + . 1)1 + c4. I~-ctgx+c.sen .r '.. '.

\ . . . . .- .

5. I~ =lgx+ccos x 6. J(tga+ctgafda= tga-ctga+c~~.,~:f dx .7. . -- = -ctgX+C5CX+Cl-i-cos x

[ 1 " .10. J C 0 5 (b+ax) dx =;sen(b+ax)+c12. Jex c tg e" dx =In! sen eX I +c. J dt 1 I .14. = -In; sec(5t) I+cctg(5t) 5 I.

J sen x .15. -.~. -dr= -lnll+cosx I +cl+cosx .J sec2x I I17. ----dT:::::.!nll+tgx!+clt-tg x 'J

19_ J e t E ' sec '_l :dx = . 1 8 ' +c :J I+COSX .18. dx= ln] x s-senx +sen X '

[sec x tgxl!20. dx = - In I a + b sa+h~cx b I

J C.o S.4-X. SI. " n.,>{ ~ X =-.iccSx.3f 3 co~ 5XC 0~5 . > r . . "Sen sx J , X ; ::. 1 - c ..2.0


CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO UmUSTRIAL Y DE SERVICIOS No~11PROFESOR : ING_ J OSE ANGEL LOPEZ CHAvEZ

INTEGRUES DE DIFERENCIALES QUE CONTIENEN SENOS Y COS ENOS DEPOTENCL\S IMPARES

IDENTIDADES DE TRANSFORMACION

PROBLEMASPROPUESTOS- 1 C O S 3X - 1 3L --4-dx =cscx--csc x+csen x 3 _f sen3x2 _ --2-dx= secx-i-cos.x tccos xf 43 1 5173_ cos x sen x dx = - - cos x +- cos x +c5 7f 3 3 sen2x sen6x4 _ _ sen xeos xdx = ~----+c4 6

5 _ fcos5xdx =senx-~seIl3x+l_sen5x+cJ 3 5-3 56 _ fcos3xsen2xdx = 0 1 \ x _ i}~~ x +cJ 3 5f sen5 y ~ ( 2 2 1 4 )7_ ~ dy= -- ..jc o sy 1--cos y--cos y +c-..j'-'V~ y 5 9

8 _ (en32xdx =_!_cos32x - _ ! _ co s 2x+ cJ 6 2. f

2 51 3 2 _ 5 1 79 _ sen xeos x dx = -sen x--sen x+-sen x+c3 5, 71 0 f 3 - - 2 d 1 5 1 3- sen x cos x x::: - cos x - - cos x +c5 3f cos3x 1 211_ ----~dx=senx+-sen x+cl-sen x 2 -


.I" CENTRO DE BACnrr.LERATO TECNOLOGICOINDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No. 1

t- PROFESOR : ING. JOSE A NG EL LO PEZ C HAV EZ

2 l-cos'2xsen X=-- 22 l+cos2xcosX=--- 2

INTEGRALES DE DIFERENCIALES QUE CONTIENEN SENOS Y COSENOS DEPOTENCIAS PARES

. IDENTIDADES DE TRANSFORMACION

PROBLEMASPROPUESTOS'-f . 2 x sen2xL Jsen .r dx== i- 4, +c f 4 d 3 sen2x sen4x2. sen x x :: : : ; - x - + +c8 4 32

f 2 X 2 x x sen2x3. sen -cos -dx:::: -- +c2 2 8 16 f 31 14. cos42xdx =-if.-sen4x+-sen8x+c.8 8' 16. ..' . .

PROBLEMASPROPUESTOS

f 6 51 13 3'5. cos xdx::::; -x--sen2x--sen 2x--sen4x+c16 4 48 64 .INTEGRALES DE DIFERENCIALES QUE CONTIENEN SENOS Y COSENQS DE

DITERENTESANGULOS

L fcos4x cos2xdx ::::;!sen2x+-I scn6x+cJ 4 12f 1 I.2. sen2x cos4x dx= -cos 2x ~ -cos 6x + c4 12

3, fsen3x sen2xdx = !sen x __ I sen 5x +cJ i . . 2 10. . . . . ~ .~..-4. fsen 5x senx dx ::::;sen 4x'- isen 6x +c


I,,*i t')it).II

CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO INDUSTRIALY DE SERVICIOS No. 110PROFESOR : ING. JOse ANCEL LOPEZ au VEL

NTEGRALES DE DrFERENClALES QUE CONTIENENTAt'lGENTES, COTANGENTES, SECANTES Y COSECANTES DE

POTENCIAS PARES E rn-IPARESIDENTIDADES DE TRANSFORMACION

PROBLEMASPROPUESTOS

}-; 9 5:> 2 - , -.I. tg 3x sec/2xdx = = -sec2 x-::'sec2 x+ c. 9 5

K tg,x ) 3 . } 5 I 32. -- -dx=-ig x--tfl x+tgx-x+c~tgx 5 3'\ '_1 - -f secx 1 2 ' ,3. -3-dx=--ctg .r +In] tg x l-i-ctg x 2 -,j I''4. ctg3x esc"3xdx = --csc43x+c12 .j 3 - 1 7 I-5 _ ctg x esc) xdx =-ese x+-csc) x+c7 5 .} 3 1 - J I6. tg 3xsec3xdx=-sec 3x--sec3x+c9 3

. 5 9}3L 4- ~ - 2-.7. tg: 2xsec xdx =-tg2 x+-tg2 x+c9 .. -9 .

8 _ f c t g3 x d x = -~ctg2X-lnj senx j +cf 4 I I 39 _ esc 2xdx =--clg2x--ctg 2x +c. 2 6

10. f tg~~~4xdx = f / g 1 x+Fg5 x-i-c

..

K s e c x J 4 - I III. - dx=-~ __ +ctgx 3 tg3x tgXf ctg3X1 2 _ --rix =-senx-cscx+ccscx .


I . .CENTRO DE BACHILLERATO TECNOL6GICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No. 1PROFESOR: ING . JOSE AN GEL LO PEZ e R A VEZ

METODO DE INTEGRACION POR SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS

~5-X2---+c5x

J dx 1 [ - . / 2 - - 1 6 ]x2~x2 -16 = 1 6 x +c

J ~ 2/ 24-x "\I4-x x- - - - ;z - dx =--x- -rc sen 2 " +c

Jt2 d t t I~i 2 0 t-==:: - - - v 4 - t + arc sen - +c~4-t2 2 2'

S dx ~:?~9 I . xr - . = 2 +-arcsec-+cx3 'ix2 -9 18x . 54. . 3J '-J16-t2 ~I6-ti t---dt = -arcsen-+ct2 . t 4

S x2 dx 3 1 ~.r::-- 2 =- arc sen ( x - I) - -(x +3) 2x-vLx-x 2 2 ....

J dx x-2I 2 =arcsen~+c-v4x- '-x 2


CENTRO DE BACI-lILLEAATO TECNOulGICO INDUSTRIAL Y DE SERVlCIOS NPROFESOR! ING. JOSE A NG EL L OP EZ C HA VE Z

METODO DE lNTEGRACI6N POR FRACCIONES PARClALESFACTORESliNEALES NO REPETIDOS (CASO I)

I .rdx 1 I . . 4 ! . .2=:: ~ In (x +1)( x ~4) 1 + Cx ~3x-4 5J 2x -3x-4 4-2---dx:::x+lnl(X+2)(x-4) I + cx -2.x-&

. J 2 1x - 2 dx 1 .r - 2x3 =rn j+cx - xl - 2x (x+ 1 )2 I


:,. '".. ,. .

;~ -~~I.IIIP


1 3 "S- , ~ ' V " N ' ~rn \.'M... 1 I ~ " ~

aprender calculo integral en 27 lecciones

Documents