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Matemática Aplicada
Apresentação / Plano de Ensino / Proposições / Conectivos
Faculdade de Tecnologia Senac Pelotas
Curso Superior de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas
Matemática Aplicada – Prof. Edécio Fernando Iepsen
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Introdução
Diretrizes Curriculares do MEC para Cursos de
Computação e Informática (2008):
“Lógica Matemática é uma ferramenta fundamental na definição de
conceitos computacionais.”
“Como base ao estudo da Inteligência Artificial são imprescindíveis
conhecimentos de Lógica Matemática, ...”
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Introdução: Aprendizado de Matemática
Artigo: Em paz com os números
Série: A Era dos Dados (Netflix)
“Aquele que deseja construir torres altas deverá permanecer
longo tempo nas fundações.” Anton Brucknes
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Plano de Ensino
Caracterização da Unidade Curricular e Competências.
Matemática Aplicada
Aulas Expositivas / Práticas de Laboratório
Exercícios de Fixação
Avaliações / Conceitos
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Exemplo de Questões
Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:
a) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
b) Rodrigo é culpado;
c) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado;
d) Rodrigo mentiu;
e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
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Exemplo de Questões
Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não
estudo. Ora, não velejo. Assim:
a) estudo e fumo;
b) não fumo e surfo
c) não velejo e não fumo;
d) estudo e não fumo;
e) fumo e surfo.
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Exemplo de Questões
Considere verdadeira a declaração: “Toda criança
gosta de brincar”. Com relação a essa declaração,
assinale a opção que corresponde a uma
argumentação correta.
a) Como Marcelo não é criança, não gosta de brincar.
b) Como Marcelo não é criança, gosta de brincar.
c) Como João não gosta de brincar, então não é criança.
d) Como João gosta de brincar, então é criança.
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Exemplo de Questões
Um grupo de estudantes está planejando encomendar
pizzas. Se 13 comem calabresa, 10 comem salame, 12
comem queijo, 4 comem tanto calabresa quanto salame, 5
comem tanto salame quanto queijo, 7 comem tanto
calabresa quanto queijo e 3 comem tudo.
Quantos estudantes tem o grupo?
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Lógica Formal (Lógica Matemática)
A lógica matemática trata do estudo das sentenças
declarativas também conhecidas como proposições e tem
por objetivo elaborar procedimentos que permitam obter
um raciocínio correto na investigação da verdade,
distinguindo os argumentos válidos daqueles que não o são.
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Lógica Formal (Lógica Matemática)
Objetivos:
Usar símbolos formais da lógica proposicional;
Encontrar o valor lógico de uma expressão em lógica
proposicional;
Construir demonstrações formais em lógica proposicional
e utilizá-las para determinar a validade de argumentos em
língua portuguesa;
Interpretar expressões através da lógica formal.
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A lógica formal fornece os métodos para pensar
organizado e cuidadoso, o que caracteriza qualquer
atividade racional. Para isso, através da lógica formal,
podemos remover tudo que não é necessário de uma
sentença, a fim de captar apenas os pontos de interesse.
Conceitos importantes: Proposição
Conectivos
Tabela-verdade
Tautologia
Contradição
Lógica Formal (Lógica Matemática)
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Proposição
É uma oração declarativa que pode ser classificada como
verdadeira ou falsa, mas não as duas.
Quais são proposições? Dez é maior que sete.
Como está você?
Buenos Aires é a capital do Chile.
1 + 2 = 3 ou 2 + 3 = 5
Compre 2 aspirinas.
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Proposição
Pode ser afirmativa ou negativa
Deve ser possível classificar a frase como verdadeira ou
falsa
Não são proposições: Frases interrogativas
Frases exclamativas
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Conectivos e Valores Lógicos
Ao falar, escrever ou programar utilizamos conectivos
(operadores lógicos) para combinar proposições.
O valor lógico de uma proposição composta depende dos
valores lógicos de seus componentes.
Geralmente, são utilizados letras minúsculas para
representar as sentenças (p, q, r, ...)
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Conectivos
Negação (não)
Conjunção (e)
Disjunção (ou)
Condicional (se... então)
Bicondicional (se, somente se, então)
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Tabela-Verdade
Uma tabela-verdade é uma tabela que descreve os valores
lógicos de uma proposição em termos das possíveis
combinações dos valores lógicos das proposições
componentes e dos conectivos usados.
Para cada combinação de valores-verdade e de
conectivos, a tabela-verdade fornece o valor-verdade da
expressão resultante.
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Negação (não)
Reflete uma negação da proposição
Representada por: p, ~p, p’ (lê-se “não p”)
p p
V F
F V
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Conjunção (e)
Reflete uma noção de simultaneidade para ser verdadeira
Representada por: p ^ q (lê-se p e q)
Verdadeira, apenas quando p e q são simultaneamente
verdadeiras
Falsa, em qualquer outro caso
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Disjunção (ou)
Reflete uma noção de que pelo menos uma das proposições deve
ocorrer para a resultante ser verdadeira
Representada por: p q (lê-se p ou q)
Verdadeira, quando pelo menos uma das proposições é
verdadeira
Falsa, somente quando as proposições são simultaneamente
falsas
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
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Fórmulas (fórmulas bem formadas – fbf)
Sentença lógica corretamente construída sobre o alfabeto
cujos símbolos são conectivos (, , ), parênteses,
identificadores (p, q, r).
Exemplos de fórmulas: p (q)
(p q) q
(p q) ^ (p q)
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Ordem de precedência
1. Conectivos entre parênteses, dos mais internos para os
mais externos
2. Negação ()
3. Conjunção () e Disjunção ()
4. Condição ()
5. Bicondição ()
Exercícios: Questões 1 até 4
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Condição (se... então)
Reflete uma noção de que, a partir de uma premissa
verdadeira, obrigatoriamente deve-se chegar a uma
conclusão verdadeira.
Entretanto, partindo de uma premissa falsa, qualquer
conclusão pode ser considerada.
Representada por: p q (“se p então q” ou “p implica q”)
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Condição (se... então)
Falsa, quando p é verdadeira e q é falsa.
Verdadeira, caso contrário.
Dica: utilize uma das frases: Se eu for eleito, então aqui será construída uma ponte.
Se é pelotense, então é gaúcho.
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
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Condição (se... então)
Antecedente (p) e Consequente (q):
Expressões Utilizadas Representação
Se p, então q
p → q
p implica q
p, logo q
p somente se q
p segue de q
p é uma condição suficiente para q
q é uma condição necessária para p
Exemplos:
Se a chuva continuar, então o rio vai transbordar.
O fogo é uma condição necessária para a fumaça.
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Bicondição (se e somente se)
Reflete uma noção de condição “nos dois sentidos”.
Representada por: p q (“p se e somente se q”)
Verdadeira, quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas
Falsa, quando as proposições possuem valores distintos
Dica: utilize a frase:
Se e somente se chover levarei o guarda-chuva.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
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Tabelas-Verdade – Fórmulas
Exemplo: Tabela-Verdade da fórmula: p (q r)
p q r q r p (q r)
V V V V V
V V F F V
V F V F V
V F F F V
F V V V V
F V F F F
F F V F F
F F F F F
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Tabelas-Verdade – Fórmulas
Uma tabela-verdade deve explicitar todas as combinações
possíveis de valores lógicos
Cada fórmula atômica pode assumir dois valores lógicos: V ou F
Tabela-Verdade da Negação: 2 linhas (21)
Tabela-Verdade da Conjunção, Disjunção, Condição: 4 linhas (22)
n fórmulas atômicas: 2n linhas (2n)
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Tautologia ou Contradição
Seja w uma fórmula. Então:
w é dita uma tautologia se w é verdadeira, ou seja, se for
verdadeira para todas as combinações possíveis de
valores de sentenças variáveis.
w é dita uma contradição se w é falsa, ou seja, se for falsa
para todas as combinações possíveis de valores de
sentenças variáveis.
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Tautologia ou Contradição
Exemplos:
A fórmula p p é uma tautologia. Vai chover amanhã ou não vai chover amanhã.
A fórmula p p é uma contradição. Hoje é terça-feira e hoje não é terça-feira.
p p p p p p
V F V F
F V V F
Exercícios: Questões 5 até 8
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Referências Bibliográficas:
Matemática Discreta e Suas Aplicações. Rosen,
Kenneth H. [tradução João G. Giudice]. 6ª edição. São
Paulo. Mc Graw-Hill. 2009. 986p.
Fundamentos Matemáticos para Ciência da
Computação. GERSTING, Judith L. 4ª edição. Rio de
Janeiro. LTC. 2001
Matemática Discreta para computação e
informática. MENEZES, Paulo Blauth. Porto Alegre. Sagra
Luzzato. 2004