aproximacion a la cuadratura del cÍrculo y rectificaciÓn de la circunferencia (mÉtodo grÁfico)...

APROXIMACION A LA CUADRATURA DEL CÍRCULO APROXIMACION A LA CUADRATURA DEL CÍRCULO Y RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIAY RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

(MÉTODO GRÁFICO)(MÉTODO GRÁFICO)

Ing º Julio Antonio Gutiérrez SamanezIng º Julio Antonio Gutiérrez Samanezhttp://www.monografias.com/trabajos36/cuadratura-circulo/

cuadratura-circulo.shtml

Cusco – PerúCusco – Perú

20082008

El célebre problema de la cuadratura del círculo trata , El célebre problema de la cuadratura del círculo trata , en realidad, de dos problemasen realidad, de dos problemas a)a) La Cuadratura del CírculoLa Cuadratura del Círculo, en sí, que busca , en sí, que busca conseguir, usando sólo regla y compás, un cuadrado o conseguir, usando sólo regla y compás, un cuadrado o polígono regular de igual área que un círculo dado.polígono regular de igual área que un círculo dado.b)b) La La Rectificación de la CircunferenciaRectificación de la Circunferencia, que consiste , que consiste en conseguir, usando sólo regla y compás, a partir de en conseguir, usando sólo regla y compás, a partir de una circunferencia, un cuadrado o polígono regular, de una circunferencia, un cuadrado o polígono regular, de igual perímetro (isoperímetro).igual perímetro (isoperímetro).

HIPÓTESIS.- “La relación del lado del cuadrado HIPÓTESIS.- “La relación del lado del cuadrado y el radio del círculo de igual área (Isoárea) es y el radio del círculo de igual área (Isoárea) es constante”.constante”.

2A L2A rO A A O

2 2L r

L r

L

r

A AO== rr

LL

Fracción de aproximación del Fracción de aproximación del Pi del holandés MetiusPi del holandés Metius::

355

~ ~ 3.141592113

3.55 10 0

11.3 10 ~

3.55 ~

11.3 10

11.3 3.55 ~ 3.141592

10 ~

CUADRATURA DEL CÍRCULO EN CUADRATURA DEL CÍRCULO EN 14 PASOS14 PASOS

Para este efecto se sigue los pasos siguientes:Para este efecto se sigue los pasos siguientes:1.-1.- Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal (eje X) y otra Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto (0,0). perpendicular (eje Y) con origen en el punto (0,0). 2.- 2.- Tomar un valor unitario arbitrario (un centímetro, por ejemplo) y Tomar un valor unitario arbitrario (un centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la recta X, en doce partes.con él, dividir la recta X, en doce partes.

O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

Y

Sistema gráfico para ubicar la proporción dada por paralelismo.Sistema gráfico para ubicar la proporción dada por paralelismo.

Y

d bc a

a

c

a

b

c

d

3.- Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y (11.3, 0)3.- Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y (11.3, 0)

3 43.55

11 1211.3

3

4.-4.- Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el punto (10, 0) Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el punto (10, 0)

5.-5.- Con el compás en el origen, trazar un arco con radio 11.3, hasta cortar la Con el compás en el origen, trazar un arco con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular (10, 0) recta perpendicular (10, 0)

6.-6.- Unir el punto encontrado con el origen (O) y prolongar esta recta oblicua. Unir el punto encontrado con el origen (O) y prolongar esta recta oblicua.

7.-7.- Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que corte a la recta oblicua Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que corte a la recta oblicua

O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

11.3

x

Y

3.55

3.11.3

1

55

~0 ~ 3.141592

8.-8.- Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X. El punto hallado Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X. El punto hallado será,será, aproximadamente el valor de Pi, ~aproximadamente el valor de Pi, ~ = = 3.141592920 (Haciendo, 3.141592920 (Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación de 2.68 * 10trata de una aproximación de 2.68 * 10-7-7 centímetros) centímetros)

99.- Se ubica el punto: (1+.- Se ubica el punto: (1+) en X y con el compás se toma la ) en X y con el compás se toma la mitad de su magnitudmitad de su magnitud

1010.- Con la mitad de (.- Con la mitad de (+1) como radio y desde ese punto medio +1) como radio y desde ese punto medio se traza una semicircunferencia.se traza una semicircunferencia.

A D B

1

1

A B

1

1D O

OBTENCIÓN GRÁFICA DE RAÍZ DE PIOBTENCIÓN GRÁFICA DE RAÍZ DE PI

h

A D B

1

1

0

1 h

h

2h

h

1111.- Se traza la vertical x = 1, hasta cortar la semicircunferencia. .- Se traza la vertical x = 1, hasta cortar la semicircunferencia. El valor de este segmento será El valor de este segmento será

1212.- Uniendo el origen y el punto (1, ), se traza la función .- Uniendo el origen y el punto (1, ), se traza la función Y= XY= X

h

A D B

1

1

0

XY

1313.- Se traza un círculo de cualquier radio X, por ejemplo r =1, cuyo .- Se traza un círculo de cualquier radio X, por ejemplo r =1, cuyo área será = área será =

1414.- Se traza un cuadrado de lado Y, (por ejemplo L= , cuyo área .- Se traza un cuadrado de lado Y, (por ejemplo L= , cuyo área será = será = ))

Por lo tanto, cualquier círculo trazado con radio X, será isoárea del Por lo tanto, cualquier círculo trazado con radio X, será isoárea del cuadrado de lado Y, a través de la función Y= X.cuadrado de lado Y, a través de la función Y= X.

XY

Area

Area

r =1

L

RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIARECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA

HIPÓTESIS.- “HIPÓTESIS.- “La relación del lado del cuadrado y La relación del lado del cuadrado y el radio del círculo de igual perímetro (Isoperímetro) el radio del círculo de igual perímetro (Isoperímetro) es constante”.es constante”.

4P L 2C rO

P C O

4 2L r

2

L r

X2

Y

X 2

Y

P CO==r

LL

1

2

2

2Y X

Y

x



2

Y

x

2

Y X

1

2C O

2P


Y

X

2Y X

Teorema de Eusebio Corazao (1905)Teorema de Eusebio Corazao (1905)

P 1

C

r isob

Isoperimetros

PC ins P

d

cCírcu lo Inscrito en P1

r ins

a

P 2

de C ins P

Isoperimetro

e

IsoáreasIsoáreas Isoáreas

Inscrito Isoperimetros

Inscrito

f

Todo polígono regular de n lados es medio proporcional entre su Todo polígono regular de n lados es medio proporcional entre su circulo inscrito y su circulo isoperímetrocirculo inscrito y su circulo isoperímetro a b

=b c

Teorema complementario de G.S.Teorema complementario de G.S.Todo círculo es medio proporcional entre el polígono regular que le Todo círculo es medio proporcional entre el polígono regular que le circunscribe y su polígono regular isoperímetrocircunscribe y su polígono regular isoperímetro e d

=d f

INSC RITO

ISO P ERÍM ETRO

ISO

ÁR

EA

ISO

ÁR

EA

PR IM ER P O LÍGO NO DE n LA DO SCIRCULO INSC RITO

AL P RIM E R PO LÍG O NO

CIRCULO ISO P ERÍM ETRO A L S EG UNDO P O LÍG O NO E

ISO Á REA DEL PRIM ER P O LÍG O NO

Relación entre la Cuadratura del Círculo y la Rectificación de la Relación entre la Cuadratura del Círculo y la Rectificación de la Circunferencia.Circunferencia.

Si un círculo inscrito Si un círculo inscrito en un cuadrado tiene en un cuadrado tiene igual área que un igual área que un segundo cuadrado; segundo cuadrado; entonces, el primer entonces, el primer cuadrado tendrá el cuadrado tendrá el mismo área que otro mismo área que otro círculo isoperímetro círculo isoperímetro del segundo del segundo cuadradocuadrado

Nuevo Teorema generalizado entre polígonos isoáreas y polígonos Nuevo Teorema generalizado entre polígonos isoáreas y polígonos isoperímetros.isoperímetros.

Si un círculo inscrito Si un círculo inscrito en un polígono en un polígono regular de “n” lados regular de “n” lados tiene igual área que tiene igual área que un segundo polígono un segundo polígono regular, también de regular, también de “n” lados; entonces, “n” lados; entonces, el primer polígono el primer polígono tendrá el mismo área tendrá el mismo área que otro círculo que otro círculo isoperímetro del isoperímetro del segundo polígonosegundo polígono

INSC RITO

ISO P ERÍM ETRO

ISO

ÁR

EA

ISO

ÁR

EA

PR IM ER P O LÍGO NO DE n LA DO SCIRCULO INSC RITO

AL P RIM E R PO LÍG O NO

CIRCULO ISO P ERÍM ETRO A L S EG UNDO P O LÍG O NO E

ISO Á REA DEL PRIM ER P O LÍG O NO

FIN

Muchas gracias

Ing. Julio Antonio Gutiérrez Samanez

Kutiry @[email protected]

www.kutiry.orghttp://www.monografias.com/trabajos36/cuadratura-circulo/

cuadratura-circulo.shtml

OBTENCIÓN GRÁFICA DE El número Pi aproximado obtenido es, ~El número Pi aproximado obtenido es, ~ = = 3.141592920 (3.141592920 (Cifra a la que podemos sustraer el valor de = (3.141592654) obtenido en una calculadora personal de once dígitos, del modo siguiente:

3.141592920–3.1415926540.000000266

Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación o error por exceso de 2.66 * 10-7 centímetros o se trata de una aproximación o error por exceso de 2.66 * 10-7 centímetros o 26.6 Anstrongs que equivale a 13 átomos (de 2 Anstrongs de diámetro 26.6 Anstrongs que equivale a 13 átomos (de 2 Anstrongs de diámetro promedio) puestos en filapromedio) puestos en fila; también son 2.66 nm (nanómetros)Obviamente, para los alcances de la vista humana y trabajando sobre una hoja de papel A4, con un compás sencillo, la aproximación hallada no podría ser más exacta.

r iso

Círcu lo Isoperím etro

c

Polígono Regular P 1

b

r ins

a

(Fig. 1.18)

b

ca

b

a

c

b

La Cuadratura con el Teorema de CorazaoLa Cuadratura con el Teorema de Corazao

Proporción de Radios

Proporción de Áreas

1

2

3

4

5

02 3 4 51

Radi

o de

l círc

ulo

isope

rímet

ro

R adio del círculo inscrito en e l cuadrado

Y

X

Círcu lo Isoperím etro

Radio =

Área (c) =

Perím etro = 8

Círcu lo Inscrito

Radio = 1 Área (a) =

Perím etro = 2

Cuadrado

Lado = 2 Área (b) = 4

Perím etro = 8

c

ab

Dibujo simplificado de la rectificación de la circunferencia con Dibujo simplificado de la rectificación de la circunferencia con el Teorema de Corazaoel Teorema de Corazao

Y

X

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 72

Y = 4_ X

4_

aproximacion a la cuadratura del cÍrculo y rectificaciÓn de la circunferencia (mÉtodo grÁfico)...

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