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Aproximacion de raıces de polinomios usando el ındicede curvas planas
Juan Luis Garcıa Zapata
Departamento de MatematicasUniversidad de Extremadura
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
1 Metodos iterativos frente a geometricosIterativos (Newton)Geometricos (Contour)
2 Calculo del ındiceProcedimiento de InsercionPICS
3 Descomposicion recursivaPRec
4 Conclusiones
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Raıces de polinomios
Metodos para hallar las raıces:
Iterativos (de aproximacion)
Geometricos (de localizacion)
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Raıces de polinomios
Metodos para hallar las raıces:
Iterativos (de aproximacion) =⇒ Newton
Geometricos (de localizacion) =⇒ Contour (integracion)
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Iterativos (Newton)
El metodo de Newton es un bucle de estimacion-correccion. Para unpolinomio f , a partir de una estimacion inicial x0, se construye lasecuencia :
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn)
En ciertas condiciones, locales, se da la convergencia de xn a unaraız.
Dos estimaciones iniciales cercanas pueden converger a raıces muydistantes entre sı.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Iterativos (Newton)
El metodo de Newton es un bucle de estimacion-correccion. Para unpolinomio f , a partir de una estimacion inicial x0, se construye lasecuencia :
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn)
En ciertas condiciones, locales, se da la convergencia de xn a unaraız.
Dos estimaciones iniciales cercanas pueden converger a raıces muydistantes entre sı.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Iterativos (Newton)
Metodo de Newton
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Iterativos (Newton)
Metodo de Newton
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Iterativos (Newton)
Cuencas de atraccion
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Iterativos (Newton)
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Iterativos (Newton)
Problemas de los metodos iterativos
En general:
Son inherentemente secuenciales (no paralelizables).
No pueden restringir la busqueda a una region predeterminada delplano complejo (impredicibilidad).
El analisis de coste (y la determinacion de los recursos necesarios)es difıcil.
No pueden aplicarse con seguridad en polinomios de grado mayor deunas decenas
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Iterativos (Newton)
Problemas de los metodos iterativos
En general:
Son inherentemente secuenciales (no paralelizables).
No pueden restringir la busqueda a una region predeterminada delplano complejo (impredicibilidad).
El analisis de coste (y la determinacion de los recursos necesarios)es difıcil.
No pueden aplicarse con seguridad en polinomios de grado mayor deunas decenas
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
El ındice de una curva plana cerrada ∆ : [a, b]→ C es el numero devueltas que da alrededor del origen.
El ındice (numero de vueltas, winding number ) de ∆1 es 1,y el de ∆2 es 2.
Ind(∆1) = 1 Ind(∆2) = 2
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
El ındice de una curva plana cerrada ∆ : [a, b]→ C es el numero devueltas que da alrededor del origen.
El ındice (numero de vueltas, winding number ) de ∆1 es 1,y el de ∆2 es 2.
Ind(∆1) = 1 Ind(∆2) = 2 10 / 34
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Principio del argumento (Cauchy)
Dado un polinomio f , el numero de raıces dentro de Γ es el ındice de f (Γ)
Por ejemplo: f (z) = z3 − 1Contornos Γ Curvas ∆ = f (Γ)
Ası tenemos el numero de raıces. Pero ¿donde estan?
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Principio del argumento (Cauchy)
Dado un polinomio f , el numero de raıces dentro de Γ es el ındice de f (Γ)
Por ejemplo: f (z) = z3 − 1Contornos Γ Curvas ∆ = f (Γ)
Ası tenemos el numero de raıces. Pero ¿donde estan?
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Principio del argumento (Cauchy)
Dado un polinomio f , el numero de raıces dentro de Γ es el ındice de f (Γ)
Por ejemplo: f (z) = z3 − 1Contornos Γ Curvas ∆ = f (Γ)
Ası tenemos el numero de raıces. Pero ¿donde estan?11 / 34
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Ejemplo de localizacion, con descomposicion recursiva:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Cada region esta definida por suborde Γ.
1 ¿Como calcular numericamenteel ındice de cada f (Γ)?
2 ¿Como descomponer lasregiones con ındice no nulo?
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Geometricos (Contour)
Cada region esta definida por suborde Γ.
1 ¿Como calcular numericamenteel ındice de cada f (Γ)?
2 ¿Como descomponer lasregiones con ındice no nulo?
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
Calculo del ındice
La curva ∆ viene dada analıticamente como una funcion ∆ : [a, b]→ Cde parametro real.
Para calcular el ındice de ∆, sedivide el plano en ocho sectores,cada uno la mitad de un cuadrante.
La curva se muestrea en valoresdel parametro tales que los puntoscorrespondientes estan conectados(es decir, en el mismo sector oadyacente).
De la poligonal ∆, el ındice es elnumero de cruces por el eje OXpositivo [Henrici, 74].
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
Calculo del ındice
La curva ∆ viene dada analıticamente como una funcion ∆ : [a, b]→ Cde parametro real.
Para calcular el ındice de ∆, sedivide el plano en ocho sectores,cada uno la mitad de un cuadrante.
La curva se muestrea en valoresdel parametro tales que los puntoscorrespondientes estan conectados(es decir, en el mismo sector oadyacente).
De la poligonal ∆, el ındice es elnumero de cruces por el eje OXpositivo [Henrici, 74].
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
Calculo del ındice
La curva ∆ viene dada analıticamente como una funcion ∆ : [a, b]→ Cde parametro real.
Para calcular el ındice de ∆, sedivide el plano en ocho sectores,cada uno la mitad de un cuadrante.
La curva se muestrea en valoresdel parametro tales que los puntoscorrespondientes estan conectados(es decir, en el mismo sector oadyacente).
De la poligonal ∆, el ındice es elnumero de cruces por el eje OXpositivo [Henrici, 74].
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
¿Como hallar un muestreo conectado S = (a = s0, s1, . . . , sn = b)?
Si un muestreo no esta conectado, insertamos valores intermediosprogresivamente hasta que lo este. Procedimiento de insercion [Ying andKatz, 88].
Este procedimiento tiene dos problemas:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
¿Como hallar un muestreo conectado S = (a = s0, s1, . . . , sn = b)?
Si un muestreo no esta conectado, insertamos valores intermediosprogresivamente hasta que lo este. Procedimiento de insercion [Ying andKatz, 88].
Este procedimiento tiene dos problemas:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
Primer problema de YK: Bucle infinito
En curvas singulares (es decir, que pasan por el origen) el procedimientode insercion no acaba. Estas curvas no tienen muestreo conexo.
El ındice esta definido solo paracurvas a una distancia ε > 0 delorigen.
Una curva ε-singular es la queesta a distancia mayor de ε delorigen.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
Primer problema de YK: Bucle infinito
En curvas singulares (es decir, que pasan por el origen) el procedimientode insercion no acaba. Estas curvas no tienen muestreo conexo.
El ındice esta definido solo paracurvas a una distancia ε > 0 delorigen.
Una curva ε-singular es la queesta a distancia mayor de ε delorigen.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
Primer problema de YK: Bucle infinito
En curvas singulares (es decir, que pasan por el origen) el procedimientode insercion no acaba. Estas curvas no tienen muestreo conexo.
El ındice esta definido solo paracurvas a una distancia ε > 0 delorigen.
Una curva ε-singular es la queesta a distancia mayor de ε delorigen.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
Primer problema de YK: Bucle infinito
En curvas singulares (es decir, que pasan por el origen) el procedimientode insercion no acaba. Estas curvas no tienen muestreo conexo.
El ındice esta definido solo paracurvas a una distancia ε > 0 delorigen.
Una curva ε-singular es la queesta a distancia mayor de ε delorigen.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Procedimiento de Insercion
Segundo problema de YK: Giros Perdidos
Aunque termine, la poligonal producida no da el ındice si hay girosperdidos.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Para evitar estos inconvenientes, definimos el Procedimiento deInsercion con Control de la Singularidad (PICS).
Una curva ∆ : [a, b]→ C es Lipschitziana de constante L si verifica|∆(s)−∆(t)| ≤ L|s− t|.
PICS utiliza los siguiente asertos sobre los valores de un muestreoS = (a, . . . , si, si+1, . . . , b), y una curva ∆ = f (Γ).
El aserto p(si) es “los puntos ∆(si) y ∆(si+1) estan en sectores noconectados”.
El aserto q(si) “los valores si y si+1 en la secuencia S verifican:
|f (Γ(si))|+ |f (Γ(si+1))| ≤≤ 2
∣∣f ′(Γ(si))∣∣ · |si+1 − si|+ |f (Γ(si+1))− f (Γ(si))| ”.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Para evitar estos inconvenientes, definimos el Procedimiento deInsercion con Control de la Singularidad (PICS).
Una curva ∆ : [a, b]→ C es Lipschitziana de constante L si verifica|∆(s)−∆(t)| ≤ L|s− t|.
PICS utiliza los siguiente asertos sobre los valores de un muestreoS = (a, . . . , si, si+1, . . . , b), y una curva ∆ = f (Γ).
El aserto p(si) es “los puntos ∆(si) y ∆(si+1) estan en sectores noconectados”.
El aserto q(si) “los valores si y si+1 en la secuencia S verifican:
|f (Γ(si))|+ |f (Γ(si+1))| ≤≤ 2
∣∣f ′(Γ(si))∣∣ · |si+1 − si|+ |f (Γ(si+1))− f (Γ(si))| ”.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Para evitar estos inconvenientes, definimos el Procedimiento deInsercion con Control de la Singularidad (PICS).
Una curva ∆ : [a, b]→ C es Lipschitziana de constante L si verifica|∆(s)−∆(t)| ≤ L|s− t|.
PICS utiliza los siguiente asertos sobre los valores de un muestreoS = (a, . . . , si, si+1, . . . , b), y una curva ∆ = f (Γ).
El aserto p(si) es “los puntos ∆(si) y ∆(si+1) estan en sectores noconectados”.
El aserto q(si) “los valores si y si+1 en la secuencia S verifican:
|f (Γ(si))|+ |f (Γ(si+1))| ≤≤ 2
∣∣f ′(Γ(si))∣∣ · |si+1 − si|+ |f (Γ(si+1))− f (Γ(si))| ”.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Se tiene: ¬p(si) para todo i =⇒ el muestreo es conexo¬q(si) para todo i =⇒ no hay giros perdidos en ∆ = f (Γ)¬p(si) y ¬q(si) para todo i =⇒ cruces de ∆ = Ind(∆)
El aserto r(si,Q) (para un valor Q > 0) es “los valores si y si+1verifican |si+1 − si| ≤ Q”.
PICS
Mientras(p(si) o q(si) para algun i)
(Insertarsi + si+1
2en S entre si y si+1;
Si r(si,Q) entonces salir con error)
(p(si) o q(si)) y r(si,Q) para algun i =⇒ hay una raız cercana a Γ
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Se tiene: ¬p(si) para todo i =⇒ el muestreo es conexo¬q(si) para todo i =⇒ no hay giros perdidos en ∆ = f (Γ)¬p(si) y ¬q(si) para todo i =⇒ cruces de ∆ = Ind(∆)
El aserto r(si,Q) (para un valor Q > 0) es “los valores si y si+1verifican |si+1 − si| ≤ Q”.
PICS
Mientras(p(si) o q(si) para algun i)
(Insertarsi + si+1
2en S entre si y si+1;
Si r(si,Q) entonces salir con error)
(p(si) o q(si)) y r(si,Q) para algun i =⇒ hay una raız cercana a Γ
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Se tiene: ¬p(si) para todo i =⇒ el muestreo es conexo¬q(si) para todo i =⇒ no hay giros perdidos en ∆ = f (Γ)¬p(si) y ¬q(si) para todo i =⇒ cruces de ∆ = Ind(∆)
El aserto r(si,Q) (para un valor Q > 0) es “los valores si y si+1verifican |si+1 − si| ≤ Q”.
PICS
Mientras(p(si) o q(si) para algun i)
(Insertarsi + si+1
2en S entre si y si+1;
Si r(si,Q) entonces salir con error)
(p(si) o q(si)) y r(si,Q) para algun i =⇒ hay una raız cercana a Γ
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Se tiene: ¬p(si) para todo i =⇒ el muestreo es conexo¬q(si) para todo i =⇒ no hay giros perdidos en ∆ = f (Γ)¬p(si) y ¬q(si) para todo i =⇒ cruces de ∆ = Ind(∆)
El aserto r(si,Q) (para un valor Q > 0) es “los valores si y si+1verifican |si+1 − si| ≤ Q”.
PICS
Mientras(p(si) o q(si) para algun i)
(Insertarsi + si+1
2en S entre si y si+1;
Si r(si,Q) entonces salir con error)
(p(si) o q(si)) y r(si,Q) para algun i =⇒ hay una raız cercana a Γ
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Para un polinomio f de raıces zi, definimos el numero de condicion:
κf (Γ) =
n∑i=1
1d(zi,Γ)
.
Teorema [Garcıa Zapata and Dıaz Martın, 2014]: Si Γ : [a, b]→ C esLipschitziana, entonces PICS para la curva ∆ = f (Γ):
Concluye en menos de bb− aQ
+ 1c iteraciones.
Si acaba normalmente da correctamente el numero de raıces de fdentro de Γ.
Si acaba con error, entonces κf (Γ) ≥ 2−√
24Q
.
Esa cota en error implica que hay una raız a menos de4nQ
2−√
2de Γ.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Para un polinomio f de raıces zi, definimos el numero de condicion:
κf (Γ) =
n∑i=1
1d(zi,Γ)
.
Teorema [Garcıa Zapata and Dıaz Martın, 2014]: Si Γ : [a, b]→ C esLipschitziana, entonces PICS para la curva ∆ = f (Γ):
Concluye en menos de bb− aQ
+ 1c iteraciones.
Si acaba normalmente da correctamente el numero de raıces de fdentro de Γ.
Si acaba con error, entonces κf (Γ) ≥ 2−√
24Q
.
Esa cota en error implica que hay una raız a menos de4nQ
2−√
2de Γ.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
Para un polinomio f de raıces zi, definimos el numero de condicion:
κf (Γ) =
n∑i=1
1d(zi,Γ)
.
Teorema [Garcıa Zapata and Dıaz Martın, 2014]: Si Γ : [a, b]→ C esLipschitziana, entonces PICS para la curva ∆ = f (Γ):
Concluye en menos de bb− aQ
+ 1c iteraciones.
Si acaba normalmente da correctamente el numero de raıces de fdentro de Γ.
Si acaba con error, entonces κf (Γ) ≥ 2−√
24Q
.
Esa cota en error implica que hay una raız a menos de4nQ
2−√
2de Γ.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
La salida con error no calcula el ındice, pero da informacion sobre lasingularidad de ∆. Esto sera crucial en la descomposicion recursiva:
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Γ−2 −1 0 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
∆
−0.5 0 0.5 1 1.5
−0.5
0
0.5
1
Subregion of Γ−2 −1 0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Image of subregion
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Γ−2 −1 0 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
∆
−0.5 0 0.5 1 1.5
−0.5
0
0.5
1
Subregion of Γ−2 −1 0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Image of subregion
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PICS
La salida con error no calcula el ındice, pero da informacion sobre lasingularidad de ∆. Esto sera crucial en la descomposicion recursiva:
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Γ−2 −1 0 1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
∆
−0.5 0 0.5 1 1.5
−0.5
0
0.5
1
Subregion of Γ−2 −1 0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Image of subregion 21 / 34
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Cada region esta definida por suborde Γ.
1 ¿Como calcular numericamenteel ındice de cada f (Γ)?
2 ¿Como descomponer lasregiones con ındice no nulo?
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Procedimiento Recursivo de Division (PRec)
Halla las raıces de f contenidas en una region convexa PI . Las listas Π yN van a contener las raıces que se vayan hallando, y sus multiplicidades,con una precision A.
PRec (sin gestion de errores)
PRec(P,A) {Si iTest(P) = 0, retornar Π y N vacıas. [Salida 1]Si dm(P) < A entonces
retornar Π = (P) y N = iTest(P). [Salida 2]Si no
Bisec(P), que da dos subregiones P0 y P1.Para i = 0 y i = 1, hacer
(Πi,Ni) =PRec(Pi,A).Retornar la concatenacion de (Π0,N0) y (Π1,N1). [Salida 3]
}
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Procedimiento Recursivo de Division (PRec)
Halla las raıces de f contenidas en una region convexa PI . Las listas Π yN van a contener las raıces que se vayan hallando, y sus multiplicidades,con una precision A.
PRec (sin gestion de errores)
PRec(P,A) {Si iTest(P) = 0, retornar Π y N vacıas. [Salida 1]Si dm(P) < A entonces
retornar Π = (P) y N = iTest(P). [Salida 2]Si no
Bisec(P), que da dos subregiones P0 y P1.Para i = 0 y i = 1, hacer
(Πi,Ni) =PRec(Pi,A).Retornar la concatenacion de (Π0,N0) y (Π1,N1). [Salida 3]
}23 / 34
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Procedimiento Recursivo de Division (PRec)
Halla las raıces de f contenidas en una region convexa PI . Las listas Π yN van a contener las raıces que se vayan hallando, y sus multiplicidades,con una precision A.
PRec (sin gestion de errores)
PRec(P,A) {Si iTest(P) = 0, retornar Π y N vacıas. [Salida 1]Si dm(P) < A entonces
retornar Π = (P) y N = iTest(P). [Salida 2]Si no
Bisec(P), que da dos subregiones P0 y P1.Para i = 0 y i = 1, hacer
(Πi,Ni) =PRec(Pi,A).Retornar la concatenacion de (Π0,N0) y (Π1,N1). [Salida 3]
}23 / 34
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Ejemplo de ejecucion
Region, numero de raıces
PI, 3
P0, 1
P00, 0 P01 < A, 1
P1, 2
P10, 2
P100, 0 P101 < A, 2
P11, 0
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Evitando singularidades
Cortes Iterados con Desplazamiento (CID): Si iTest vuelve con error, sedesplaza el corte para evitar la raız cercana.
mH
(P)
mH
(P)+2E
mH
(P)+4E
mH
(P)−2E
mH
(P)−4E
Paso 0
Paso 1
Paso 3
Paso 2
Paso 4
z2
z3
z1
z4
La tolerancia µ es elmaximodesplazamientoalcanzado
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Disminuyendo el diametro
Alternando cortes H y V con desplazamiento, se dispara el aspecto:
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Sin desplazamiento
Con desplazamiento (µ =1 /2)
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Disminuyendo el diametro
Alternando cortes H y V con desplazamiento, se dispara el aspecto:
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P’0
P’1
P’2
P’3
P’4
Sin desplazamiento Con desplazamiento (µ =1 /2)
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Disminuyendo el diametro
El aspecto asp(P) en funcion del ancho y alto de P esmax(ancho,alto)
mın(ancho,alto).
Con cortes a lo largo del eje menor, se mantiene acotado el aspecto:
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Teorema [Garcıa Zapata and Dıaz Martın, Rev.]: Para un polinomio f yregion PI sin raıces cerca del borde, PRec(PI,A) alcanza una profundidadde recursion como mucho de
lmax =
⌈6− lg2 3
(2− lg2 3)2 lg2dm(PI)
A+
lg2(asp(PI))
2− lg2 3+ 2⌉.
y acaba correctamente.
El resultado tiene demostracion complicada por la interrelacion de Q(en el aserto r(si,Q) de PICS) con la tolerancia µ de los cortes producidospor CID.
Con esto se consigue el subobjetivo 2 “Descomposicion recursiva”.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Teorema [Garcıa Zapata and Dıaz Martın, Rev.]: Para un polinomio f yregion PI sin raıces cerca del borde, PRec(PI,A) alcanza una profundidadde recursion como mucho de
lmax =
⌈6− lg2 3
(2− lg2 3)2 lg2dm(PI)
A+
lg2(asp(PI))
2− lg2 3+ 2⌉.
y acaba correctamente.
El resultado tiene demostracion complicada por la interrelacion de Q(en el aserto r(si,Q) de PICS) con la tolerancia µ de los cortes producidospor CID.
Con esto se consigue el subobjetivo 2 “Descomposicion recursiva”.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Teorema [Garcıa Zapata and Dıaz Martın, Rev.]: Para un polinomio f yregion PI sin raıces cerca del borde, PRec(PI,A) alcanza una profundidadde recursion como mucho de
lmax =
⌈6− lg2 3
(2− lg2 3)2 lg2dm(PI)
A+
lg2(asp(PI))
2− lg2 3+ 2⌉.
y acaba correctamente.
El resultado tiene demostracion complicada por la interrelacion de Q(en el aserto r(si,Q) de PICS) con la tolerancia µ de los cortes producidospor CID.
Con esto se consigue el subobjetivo 2 “Descomposicion recursiva”.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Metodo Contour (Cırculo unidad)
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
PRec
Metodo Contour (Corona)
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Hitos obtenidos:
Calculo del ındice con ε-singularidad, y numero de condicion.
Descomposicion recursiva con efectividad demostrada, y coste.
Implementacion y biblioteca de pruebas.
Trabajo futuro:
Implementacion paralela.
Aplicaciones.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Hitos obtenidos:
Calculo del ındice con ε-singularidad, y numero de condicion.
Descomposicion recursiva con efectividad demostrada, y coste.
Implementacion y biblioteca de pruebas.
Trabajo futuro:
Implementacion paralela.
Aplicaciones.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Referencias
[Garcıa Zapata and Dıaz Martın, 2012] A geometrical root findingmethod for polynomials, with complexity analysis. Journal of Complexity,28:320-345.
[Garcıa Zapata and Dıaz Martın, 2014] Finding the number of roots ofa polynomial in a plane region using the winding number. Computers &Mathematics with Applications, 67(3):555 - 568.
[Garcıa Zapata and Dıaz Martın, Rev.] A Geometrical Root FindingMethod for Polynomials.
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
Muchas gracias
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M. iterativos — M. geometricos Calculo del ındice Descomposicion recursiva Conclusiones
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