aptes(amplios)electrostatica-y-corriente-continua cn enunciados de problemas y soluciones

Teorıa elemental de electrostatica y corriente continua

R. Medina y M.A. Porras

7 de septiembre de 2011

Indice general

1. Fenomenos electrostaticos 5

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Resena historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Carga electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6. Potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Campo electrostatico en materiales conductores 31

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Estructura microscopica de los materiales conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Conductores en presencia de campos electricos. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Carga y descarga de un conductor. Conexion a tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5. Apantallamiento electrostatico. Jaula de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Campo electrostatico en materiales dielectricos 45

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2. Dipolo electrico. Momento dipolar electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3. Estructura microscopica de los materiales dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4. Dielectricos en presencia de campos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5. Vector polarizacion electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6. Cargas de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.7. Relacion de constitucion de un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8. Desplazamiento electrico. Teorema de Gauss. Permitividad . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.9. Determinacion del campo electrico en presencia de materiales dielectricos . . . . . . . 57

3.10. Problemas electrostaticos con dielectricos lineales, homogeneos e isotropos . . . . . . . 57

3.11. Condiciones en la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Capacidad y energıa electrostatica. Condensadores 65

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2. Capacidad de un conductor aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3. Coeficientes de potencial, influencia y capacidad en un sistema de conductores . . . . . 66

4.4. Energıa de una distribucion de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6. Asociacion de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3

4 INDICE GENERAL

5. Corriente electrica 775.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2. Vector densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3. Intensidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.5. Corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.6. Ley de Ohm. Conductividad y resistividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.7. Ley de Ohm para un conductor filiforme con corriente continua. Resistencia . . . . . . 855.8. Potencia suministrada por el campo electrico. Efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . 865.9. Generadores de corriente continua. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.9.1. Fundamento del funcionamiento de un generador . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.9.2. Potencia suministrada por un generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.10. Motores. Fuerza contraelectromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.10.1. Potencia transformada por un motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.11. Ley de Ohm en un circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.12. Ley de Ohm en una rama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.13. Redes de corriente continua. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.14. Red pasiva. Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Bibliografıa 105

A. Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos 107

Departamento de Fısica Aplicada a los Recursos Naturales

Capıtulo 1

Fenomenos electrostaticos

1.1. Introduccion

Cualquiera puede haber experimentado el fenomeno de apreciar una chispa al acercar a la cerradurade una puerta, la llave que estaba en el bolsillo del pantalon; o incluso notar una leve descarga altocar un picaporte, despues de caminar frotando nuestros zapatos con una alfombra de lana en unahabitacion seca. La causa de estos fenomenos es la generacion de cargas electricas estaticas inducidas enla llave o en nuestro cuerpo como resultado del frote del metal de la llave con la lana del pantalon o de lasuela de caucho del zapato con la alfombra. La concentracion de esas cargas electricas, especialmenteimportante en lugares puntiagudos como nuestros dedos o la punta de la llave, hace que ante laaproximacion o el contacto con un nuevo objeto, en principio descargado, exista una diferencia depotencial entre los dos elementos (que puede ser incluso de miles de voltios, aunque no genere danosal ser la carga concentrada muy pequena) y haga saltar las cargas de un elemento a otro buscandoequilibrar esa diferencia de potencial.

La electrostatica es la parte de la Fısica que se encarga del estudio de los efectos que producenlas cargas electricas en reposo, y de las fuerzas que aparecen entre ellas.

1.2. Resena historica

Las observaciones de fenomenos electrostaticos se remontan a la antigua Grecia, en donde Thalesde Mileto (640-546 a.C.) ya observo que al frotar el ambar con lana se atraıan objetos pequenoscomo pajitas o plumas, atraccion que frecuentemente se confundio con la atraccion del hierro por eliman, y que aporta una idea de la ıntima relacion entre fenomenos electricos y magneticos. La primeraconstatacion clara y escrita de un hecho electromagnetico data de 1269 en donde P. Maricourt describela propiedad segun la cual la atraccion entre una varilla imantada y un trozo de hierro es maxima ensus extremos. Anade ademas que dos polos del mismo caracter se repelen y que si se rompe la varilla,los dos trozos resultantes son nuevamente imanes. Hasta 1600 no volvio a aparecer alguna cuestioninteresante dentro de este campo, cuando W. Gilbert (1540-1603) recopilo en un libro lo que se conocıasobre efectos electricos y magneticos. Aporto la idea de imaginar la Tierra como un gigantesco imany se dio cuenta de que la temperatura puede tener un efecto decisivo en las propiedades de unapiedra imantada, de modo que calentandola o enfriandola, segun el caso, podıa perder sus propiedadesmagneticas o recuperarlas nuevamente. Baste como ejemplo el gadolinio, que a temperatura ambienteno presenta ninguna propiedad electromagnetica y en cambio por debajo de 90 K se comporta comoun verdadero iman. Aparentemente, sin embargo, no acerto a observar la repulsion electrica.

Cien anos despues S. Gray (1670-1736) estudio algunos fenomenos electricos, como la transmision

5

6 Capıtulo – 1. Fenomenos electrostaticos

de la electricidad por un hilo metalico y el fenomeno de la electrizacion por influencia. Tambien C. F.Du Fay (1698-1739) realizo importantes avances, al observar que una hojita de oro es atraıda por unavarilla de vidrio previamente frotada. Una vez tocada por el vidrio, la hojita de oro repelıa el vidrio.Observo que entonces la hojita era atraıda por el ambar o la resina, comprobando ası la existenciade dos clases de electricidad, a las que dio el nombre de vıtrea y resinosa, describiendo correctamentecuando existıa atraccion y cuando repulsion: postulo la existencia de dos fluidos que se separan porrozamiento y se neutralizan cuando se combinan.

B. Franklin (1706-1790) propuso en la lınea de Du Fay una teorıa basada en la existencia de ununico fluido, segun la cual todo cuerpo tiene una cantidad de electricidad o fluido electrico ”normal”,cuyo exceso o defecto origina una carga positiva o negativa. Ası, cuando dos cuerpos se frotan partede la electricidad se transfiere de un cuerpo a otro, quedando uno con un exceso y otro con unadeficiencia de valor igual. De este modo aparece implıcito por primera vez el principio de conservacionde la carga: la carga electrica no se crea por el frotamiento sino que simplemente se transfiere. Elexceso y deficiencia de carga podıan describirse con los signos mas y menos, respectivamente. Lavarilla de vidrio adquiere de este modo un exceso de electricidad (carga positiva) y el ambar pierde suelectricidad (carga negativa) al frotarse. Hoy se sabe que esa seleccion de signos no fue muy afortunada,pues son los electrones los que se transfieren en el frotamiento y de acuerdo al convenio de Franklin lescorresponde una carga negativa: esto es, al frotar vidrio con seda, son los electrones los que pasan delvidrio a la seda, quedando esta cargada negativamente y el vidrio con carga positiva. J.T. Desagulierspropuso en 1740 llamar conductores a las sustancias por las cuales transitaba libremente el fluidoelectrico (metales, por ejemplo) y aislantes a aquellas por las cuales no podıa hacerlo (como vidrio yambar).

Se dieron varias explicaciones para justificar la atraccion o repulsion entre los cuerpos: por ejemploque cuando un cuerpo tenıa electricidad positiva y otro negativa era porque uno tenıa exceso de fluidoen relacion al otro y el fluido tendıa a equilibrarse y que si los dos cuerpos tenıan exceso de fluidoo carecıan de el, se repelıan. La vigencia unanime en esa epoca de la teorıa de Newton, hacıa pococonvincente esto ultimo, al ser una propiedad fundamental de toda la materia su atraccion. De ahı queR. Symmer (-1763) sugiriera una teorıa basada en dos fluidos distintos, uno positivo y otro negativo,lo que supone un cambio cualitativo en lo que es la comprension del fenomeno electrico.

Un sencillo experimento que puede aclarar los fenomenos de interaccion electrica consiste en acercarla varilla de vidrio electrizada por frotamiento a dos bolas de corcho: al poner las dos bolas en contactoentre sı, se repelen. El mismo fenomeno ocurre si entran ambas en contacto con una varilla de ambarpreviamente electrizada (habiendola frotado con cuero). Sin embargo, si una bola se pone en contactocon el vidrio y la otra con el ambar, las bolas se atraen. El corcho en su contacto con el vidrio y el ambar,adquiere la electricidad de estos (positiva o negativa, respectivamente), produciendo posteriormentelos fenomenos de repulsion o atraccion consiguientes (figura 1.1).

Los experimentadores observaron que podıa acumularse de manera gradual carga electrica en unconductor, si a este se le aislaba con vidrio o una capa de aire para evitar su perdida. En esta lıneael artificio mas espectacular fue la botella de Leiden, ideada en 1745 por el profesor E. Georg vonKleist y aplicada por primera vez en la Universidad de Leiden (Holanda), en donde la construyo demanera independiente el profesor P. Van Musschenbroek, constituyendo el primer condensador: dosplacas conductoras (en este caso estano) separadas por una capa delgada de aislante (una botellade vidrio), que se cargaban por medio de una varilla de laton que penetraba en la botella a travesde un tapon horadado. Este experimento condujo a Franklin en 1752 a su famoso experimento deacercar una cometa unida a un hilo de seda a nubes tormentosas con objeto de conducir la electricidadhacia el suelo. Al tocar con la mano una llave que estaba en contacto con el hilo saltaron chispas,demostrandose que el rayo no era sino una manifestacion de una botella de Leiden constituida por lasnubes y la tierra, separadas por el aire. Consecuencia practica de esta investigacion es la invencion del


1.3. Carga electrica 7

++ +

Vidrio

Figura 1.1: Fenomenos de interaccion electrostatica.

pararrayos.Franklin tambien observo que al situar bolitas de corcho en el interior de una copa metalica,

las bolitas no parecıan afectadas por la electricidad que adquiriesen las copas. J. Priestley (1733-1804) realizo entonces varios experimentos de comprobacion del fenomeno, demostrando que no existeelectricidad alguna en la superficie interior de una vasija metalica hueca, salvo en las proximidadesde la abertura, introduciendose ası las ideas acerca de como se cargan los elementos conductores enequilibrio electrostatico.

C. A. Coulomb (1736-1806) enuncio la ley que rige el comportamiento entre cargas electricas,empleando una balanza de torsion para medir la fuerza electrica entre dos pequenas esferas cargadas, demanera similar a como lo hiciera H. Cavendish (1731-1810) para determinar la constante de gravitacion,confirmando con sus medidas que la fuerza entre cargas es inversamente proporcional al cuadrado dela distancia que les separa.

En tiempos de la Revolucion Francesa estaban ya descubiertos los principios basicos de la elec-trostatica. En esta epoca A. Volta (1745-1827) invento la pila que lleva su nombre, lo que supone uno delos mas importantes descubrimientos de la epoca. Tambien en este sentido cabe destacar la invenciondel arco voltaico por Auguste de la Rive (1801-1873) quien conecto dos varillas de grafito a los polosde una pila observando un arco que provoca una luz intensa. La relacion entre diferencia de potenciale intensidad se debe a G. S. Ohm (1787-1854) aunque este nunca utilizara la expresion diferencia depotencial, identificada correctamente por G. R. Kirchhoff (1824-1887), que ademas descubrio las leyesque rigen las corrientes que circulan por una red de alambres conductores.

En 1909, Robert Millikan(1886-1953) demostro que la carga electrica siempre aparece como mul-tiplo entero de una unidad fundamental e, lo que modernamente se expresa diciendo que la cargaesta cuantizada, esto es, q = Ne, siendo N un entero. Otros experimentos demostraron que este hechoes consecuencia de la existencia de partıculas elementales con cargas −e (electron) y +e (proton).

1.3. Carga electrica

Como compendio de las ideas historicas resenadas en el apartado anterior, puede afirmarse que aligual que la masa caracteriza los fenomenos de interaccion gravitatoria, la carga electrica q caracterizalas interacciones electrostaticas, existiendo dos y solo dos tipos de cargas electricas, conocidas comopositiva y negativa. La carga electrica neta de un cuerpo es la suma de las cargas positivas y negativasdel mismo, de modo que cuando un cuerpo presenta electrizacion positiva la suma de cargas positivasen el excede la suma de negativas, presentando electrizacion negativa en caso contrario. Si la suma decargas positivas y negativas es nula se dice que le cuerpo es electricamente neutro.



Tambien es un hecho experimental observado en todos los procesos de la naturaleza que la cargano puede crearse ni destruirse, dando lugar al llamado principio de conservacion de la carga: encualquier proceso que se realiza en un sistema aislado, la carga neta o total no cambia.

La unidad de carga mas pequena que se conoce en la naturaleza es la carga del electron (o delproton) e, considerada como la unidad fundamental de carga1. En el Sistema Internacional de unidades(SI), la unidad de carga electrica es el culombio (C),2 que puede definirse en funcion de la unidadfundamental e por:

1C = 6, 25× 1018 e . (1.1)

Considerese ahora una distribucion continua de carga. Dado que desde el punto de vista de la fısicamacroscopica, cualquier elemento de volumen ∆V que se considere, por pequeno que sea, estara con-stituido por un gran numero de electrones, dicho ∆V contendra un multiplo entero de la unidadfundamental. Haciendo cada vez mas pequeno el elemento de volumen, se define ası un elemento difer-encial de volumen dV , suficientemente pequeno respecto al resto de las longitudes del problema a tratarcomo para considerarse puntual, pero conteniendo un numero suficientemente grande de electrones.Este concepto se conoce como diferencial macroscopico. Calculando la carga contenida en el mismo,se puede entonces definir una funcion de densidad de carga, que caracterice una distribucion continuay que permita determinar por integracion su carga total. Se define ası la densidad volumetrica decarga ρ por:

ρ = lım∆V→0

∆q

∆V≡ dq

dV, (1.2)

que representa la carga por unidad de volumen en cada punto. Su unidad en el SI es C/m3.Dado que en muchas ocasiones la carga no se concentra en todo un volumen sino en una capa

delgada de la superficie, resulta conveniente definir la densidad superficial de carga σ de maneraanaloga, haciendo tender a cero el elemento de superficie considerado ∆S:

σ = lım∆S→0

∆q

∆S≡ dq

dS, (1.3)

que representa la carga por unidad de superficie en cada punto. Su unidad en el SI es C/m2.Si la distribucion de carga esta concentrada en un hilo, puede definirse asimismo la densidad

lineal de carga λ, considerando un elemento de hilo ∆L:

λ = lım∆L→0

∆q

∆L≡ dq

dL, (1.4)

que representa la carga por unidad de longitud en cada punto. Su unidad en el SI es C/m.

Ejercicio 1.1 (Calculo de la carga de un cuerpo)Sobre un disco de plastico de radio R = 10 cm se ha distribuido una carga electrica por unidad desuperficie proporcional a la distancia al centro, siendo la constante de proporcionalidad c = 2 µC/m3.Estamos interesados en conocer la carga total del disco.

Dicha carga total estara dada por la integral

q =

∫σds , (1.5)

1Se han descubierto partıculas subatomicas denominadas quarks con carga fraccionaria respecto a e.2El culombio puede establecerse a partir de experimentos magneticos que ahora no procede detallar, los cuales permiten

definir la unidad de corriente electrica llamada ampere (A) y a partir de ella el culombio: si por un alambre circula unacorriente de 1A, la cantidad de carga que fluye por un punto del alambre en 1s es 1C.


1.4. Ley de Coulomb 9

extendida al disco. Como la densidad superficial de carga σ = cr solo depende de la distancia r al centrodel disco, es conveniente tomar como elementos de superficie anillos de radio r y espesor dr, siendo suarea ds = 2πrdr. Sustituyendo en la ecuacion (1) se obtiene

q =

∫ R

0cr2πrdr = 2πcR3/3 = 4,2× 10−9C = 4,2 nC

para la carga total del disco.

1.4. Ley de Coulomb

Las diversas observaciones realizadas en el siglo XVIII por Coulomb y otros cientıficos permitenestablecer que la fuerza entre dos cargas electricas en reposo tiene las siguientes caracterısticas:

Dos cargas puntuales ejercen entre sı fuerzas que actuan a lo largo de la lınea que las une y queresultan ser inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia de separacion.

Las fuerzas son proporcionales al producto de las cargas.

Las fuerzas son repulsivas si las cargas son de igual signo y atractivas si las cargas son de signoopuesto.

q

q 'F q '

F q

r 'r

u

d

O

Figura 1.2: Fuerzas entre cargas.

Estas observaciones se pueden expresar matematicamente de la forma conocida como ley deCoulomb:

Fq = kqq′

|r − r ′|2r − r ′

|r − r ′|, (1.6)

que expresa la fuerza ejercida sobre la carga q situada en r debido a la accion de la carga q′, en r′,siendo k una constante conocida como constante de Coulomb. La fuerza Fq′ sobre la carga q′ debido a

la carga q es el vector −Fq, sin mas que observar en la ecuacion 1.6 que el vector r − r ′ es sustituidopor r ′ − r, resultado que concuerda con la tercera ley de Newton. La ecuacion 1.6 suele expresarse demanera mas sencilla como

Fq = kqq′

d2u , (1.7)



siendo d = |r− r ′| la distancia entre las cargas y u = (r− r ′)/|r− r ′| el vector unitario en la direcciony sentido de q′ a q (figura 1.2).

El valor de la constante k depende del sistema de unidades escogido. En el Sistema Internacionalde unidades (SI), el valor de k es:

k = 8, 9875× 109N ·m2/C2 ≈ 9× 109N ·m2/C2 . (1.8)

En lugar de k suele escribirse, por conveniencia,

k =1

4πε0. (1.9)

A ε0 se le denomina permitividad electrica del vacıo (o del espacio libre) y viene dada, a partir de 1.8y 1.9 por:

ε0 = 8, 8542× 10−12C2/N ·m2 . (1.10)

La ley de Coulomb se aplica a cargas puntuales, entendiendose como tales, en sentido macroscopico,aquellas cuyas dimensiones espaciales son muy pequenas en relacion con otras longitudes relativas alproblema. Ademas de su validez para experiencias cotidianas con cargas macroscopicas, como lasempleadas por Coulomb, la ecuacion 1.6 sigue siendo valida para la repulsion electrostatica entrenucleos a distancias mayores que 10−14 metros, predominando otros tipos de fuerza (nucleares) adistancias menores. Por otro lado, y pese al caracter experimental de la ley, hoy puede afirmarse quela ley del inverso de los cuadrados es exacta, habiendose determinado por procedimientos indirectosbasados en experimentos magneticos que el exponente de la distancia no difiere de 2 en mas de 10−15.

La aplicacion sucesiva de las ecuaciones 1.6 o 1.7 conduce a la expresion siguiente para la fuerzaresultante sobre una carga q, de vector de posicion r, debido a la presencia de N cargas puntuales:

Fq = qN∑j=1

qj4πε0|r − rj |2

r − rj|r − rj |

= qN∑j=1

qj4πε0d2j

uj . (1.11)

siendo dj = |r − rj | la distancia entre la carga j-sima y q, y uj = (r − rj)/|r − rj | el vector unitarioen la direccion y sentido de qj a q. El hecho de que la fuerza resultante sea la suma de las fuerzasindividuales se ha constatado experimentalmente y se denomina principio de superposicion de lasfuerzas electrostaticas.

Una distribucion de carga continua puede considerarse como un conjunto de cargas puntualesdq′ = ρdV ′(figura 1.3). Por tanto, esta distribucion ejerce una fuerza sobre q de vector de posicion r,dada por:

Fq =q

4πε0

∫V

ρ(r ′)

|r − r ′|2r − r ′

|r − r ′|dV ′ , (1.12)

en la cual la integral sustituye a la suma del caso discreto 1.11. Ecuaciones analogas se obtienen enel caso de que la carga estuviera distribuida en una superficie o una lınea. El vector r ′ representala posicion de cada uno de los diferenciales de volumen dV ′ para los que esta definida la funcion dedensidad .

Ejemplo 1.2 (Fuerzas electrostaticas y gravitacionales)Pueden compararse los valores de las fuerzas de interaccion electrostatica y de gravitacion, calculandoambos valores en la interaccion de un proton y un electron en un atomo de hidrogeno, cuya distancia deseparacion es aproximadamente 0, 53× 10−10 m= 0, 53A (1A (amstrong) = 10−10m).


1.5. Campo electrico 11

q

d V '

r 'r

| r - r ' | r ( r ' )

Vd F

F q

O

Figura 1.3: Fuerza debida a una distribucion continua de carga.

Aplicando la ley de Coulomb se tiene:

Fe =e2

4πε0r2= 9× 109

N ·m2

C2

(1, 6× 10−19C)2

(0, 53× 10−10m)2= 8, 2× 10−8N .

.

Aplicando la ley de gravitacion universal, teniendo en cuenta las masas del electron y del proton, resulta:

Fg = Gmemp

r2= 6, 7× 10−11N ·m2

kg2(9, 11× 10−31kg)(1, 67× 10−27kg)

(0, 53× 10−10m)2

= 3, 6× 10−47N .

Comparando ambos resultados puede observarse como los efectos gravitacionales entre partıculas atomi-cas cargadas pueden considerarse despreciables frente a los efectos electrostaticos, siendo la relacion entreambos Fe/Fg ≈ 3× 1039.

Analogamente pueden compararse experimentos cotidianos de laboratorio, como puede ser el de frotarcon lana dos pequenas esferas metalicas de, por ejemplo, 50g de masa. Si suponemos que la carga adquiridapor cada bolita es de 10nC y las suponemos distanciadas 10cm, el valor de las fuerzas es:

Fe = 9× 10−5N ,

Fg = 1, 68× 10−11N ,

y por tanto, con una relacion entre ambos de Fe/Fg ≈ 5, 4×106. Esto es, en los experimentos habituales delaboratorio entre pequenas esferas cargadas, puede despreciarse el efecto gravitatorio frente al electrostatico.

1.5. Campo electrico

En todas las expresiones obtenidas en el apartado anterior para la fuerza sobre una carga dereferencia q debido a la presencia de otras cargas, se observa que dicha fuerza es proporcional a la



carga testigo q. Puede ası definirse, en cada punto del espacio, una magnitud independiente de la cargatestigo

E =F

q, (1.13)

denominada campo electrico o electrostatico3. El campo electrico en cada punto del espacio es,por tanto, la fuerza por unidad de carga que actua sobre una carga testigo colocada en dicho punto.Al igual que dicha fuerza, tiene caracter de campo vectorial.

De la expresion 1.13 se observa que en el sistema internacional, la unidad de campo electrico esnewton/culombio (N/C).

En rigor y siguiendo el mismo razonamiento, la presencia de la carga q producira a su vez un campoen los diferentes puntos del espacio, por lo que para estudiar el campo creado por una determinadacarga o distribucion de cargas conviene considerar que el valor de la carga q de referencia es losuficientemente pequeno como para no alterar el campo producido por la distribucion objeto de estudio.

Observese que la introduccion del concepto de campo electrico permite aclarar el difıcil concepto deaccion a distancia entre cargas: la carga testigo ”sientecomo una fuerza el campo electrico establecidoen el espacio por la otra carga, no la accion directa y a distancia de esta ultima.

La expresion 1.13 puede aplicarse a las ecuaciones de la seccion anterior y obtener ası las diferentesexpresiones del campo electrico. El campo debido a una carga puntual q′, de vector de posicion r ′, apartir de la ley de Coulomb 1.6 o 1.7, es:

E(r) =q′

4πε0|r − r ′|2r − r ′

|r − r ′|=

q′

4πε0d2u , (1.14)

siendo r el vector de posicion de un punto P cualquiera en donde se esta estudiando el valor de E, dla distancia de la carga q′ al punto P y u el vector unitario dirigido de la carga al punto. El campodebido a un conjunto de N cargas puntuales qj en posiciones rj es, de la ecuacion 1.11:

E(r) =N∑j=1

qj4πε0|r − rj |2

r − rj|r − rj |

=N∑j=1

qj4πε0d2j

uj , (1.15)

siendo dj = |r − rj | la distancia de la carga j-sima a P , y uj = (r − rj)/|r − rj | el vector unitario enla direccion y sentido de qj a P .Y para una distribucion continua de cargas, de la ecuacion 1.12, seobtiene:

E(r) =1

4πε0

∫V

ρ(r′)

|r − r ′|2r − r ′

|r − r ′|dV ′ , (1.16)

con el significado para r ′ detallado en la seccion anterior. El vector r− r ′ o r− rj que aparece en lasexpresiones, no es sino el vector que va desde cada uno de los elementos dq o de las cargas qj al puntoen el que se esta estudiando el campo, y su modulo representa la distancia entre ellos.

Puede observarse que las expresiones 1.15 y 1.16 representan el principio de superposicion delcampo electrostatico: el campo creado en un punto del espacio por un conjunto de cargas es iguala la suma de los campos producidos independientemente por cada una de ellas.4

Para visualizar la distribucion espacial del campo electrico y comprender ası las fuerzas que apare-cerıan en cualquier punto, puede realizarse una representacion por medio de lıneas vectoriales de

3Existen muchos fenomenos en los cuales el campo electrico depende del tiempo, y conviene entonces hacer referenciaal termino campo electrostatico cuando se quiera resaltar la independencia respecto al tiempo de los fenomenos que seestudian. En electrostatica, ambos conceptos coinciden.

4Esta idea de superposicion es la que debe tenerse presente en el momento de calcular el campo creado por unadistribucion de carga cualquiera, debiendose escoger las coordenadas que resulten mas adecuadas para cada ocasion.



+ -

+

+

Figura 1.4: Lıneas de campo de diferentes sistemas de cargas.

campo, tangentes en cada punto al vector E. En la figura 1.4 puede verse el campo creado por unacarga puntual, para el cual las lıneas de campo son radiales y dirigidas hacia fuera o hacia dentro, enfuncion de que la carga sea positiva o negativa, respectivamente. Tambien se representa la distribucionde campo en el caso de dos cargas puntuales de igual o diferente signo. Puede observarse que las lıneasde campo parten de las cargas positivas y finalizan en las negativas.

El calculo de la fuerza que actua sobre una partıcula cargada q cuando se introduce la misma enuna region en la que existe un campo electrico E es inmediata a partir de la ecuacion 1.13 de definiciondel campo electrico:

F = qE . (1.17)

Problema 1.3 (Campo creado por un hilo cargado)La figura 1.5 representa un hilo de cobre de longitud L que se ha cargado uniformemente siendo su cargatotal Q. Se desea saber como es el campo que crea el hilo en un punto cualquiera del espacio, por ejemploen el punto P de la figura.

Consideremos el plano formado por el hilo y el punto P , plano al que designaremos por comodidadcomo plano XY y calculemos las componentes Ex y Ey del campo electrico E, que estara contenido endicho plano. Tomemos por comodidad como origen de coordenadas uno de los extremos del hilo, haciendocoincidir este con el eje X, y sean (x, y) las coordenadas del punto P cualquiera. Un elemento dx′ delhilo situado a una distancia cualquiera x′ de su extremo, estara a una distancia d de P , y su carga dqvendra dada por:

dq = λdx′ =Q

Ldx′ .



y

xL

P

( )d x '

d E

d

q

r

O r ' = x ' iFigura 1.5: Campo creado por un hilo uniformemente cargado.

Calculemos las componentes del campo creado por ese elemento dq, en funcion del angulo θ de la figura:

dEx = kdq

d2cos θ ,

dEy = kdq

d2sen θ .

El campo total lo obtenemos, de acuerdo con el principio de superposicion, sumando las contribuciones detodos los elementos dq, esto es, integrando cada una de las componentes. Teniendo en cuenta que, de lafigura, sen θ = y

d y cot θ = x−x′

y , con lo que dθsen2θ

= dx′

y :

Ex =

∫Qkdq

d2cos θ =

λ

4πε0

∫L

dx′

d2cos θ =

λ

4πε0

∫θ

sen2 θ

y2dθ

sen2 θy cos θ =

λ

4πε0y

∫ θf

θi

cos θdθ =

=λ

4πε0y(sen θf − sen θi) =

Q

4πε0Ly

(y√

(L− x)2 + y2− y√

x2 + y2

).

Ey =

∫Qkdq

d2sen θ =

λ

4πε0

∫L

dx′

d2sen θ =

λ

4πε0

∫θ

sen2 θ

y2dθ

sen2 θy sen θ =

λ

4πε0y

∫ θf

θi

sen θdθ =

=λ

4πε0y(cos θi − cos θf ) =

Q

4πε0Ly

(x√

x2 + y2+

L− x√(L− x)2 + y2

).

Considerando el caso particular de que el hilo comenzase en O y fuera muy largo (semiinfinito) condensidad λ, y que el punto P estuviese sobre la vertical por O al hilo, esto es, P (0, y) se tendrıa θi = π/2y θf = π, obteniendose:

Ex = − λ

4πε0y; Ey =

λ

4πε0y,

o si el hilo fuese infinito (θi = 0 y θf = π):

Ex = 0 ; Ey =λ

2πε0y.



Ejemplo 1.4 (Fundamento del osciloscopio)En la figura 1.6 se muestra el principio de funcionamiento de un osciloscopio o de un tubo de television.Consta de un canon de electrones formado por un catodo, que calentado mediante una corriente electrica,libera electrones que son acelerados por un anodo hasta conseguir una determinada velocidad inicial v0 =v0j. Los electrones salen en lınea recta a traves de un orificio en direccion a una pantalla, hecha de unmaterial que emite luz visible al recibir el impacto de los electrones (fluorescencia). Los electrones ensu recorrido atraviesan dos conjuntos de placas de longitud d colocadas en angulo recto para lograr ladeflexion horizontal y vertical de los electrones. El campo electrico que producen estas placas es uniformeen la region interior a las placas y viene dado por E = −Exi−Ezk. Al salir de las placas y a una distanciaL se encuentra la pantalla del osciloscopio, contenida en un plano paralelo a XZ.

Cátodo Ánodo

Cañón de electrones

Placas de deflexión

Pantallafluorescente

Haz de electrones

x

y

z

d L

Figura 1.6: Esquema de un osciloscopio.

Puede determinarse la posicion de la pantalla en la que incidiran los electrones, en funcion de laintensidad de los campos Ex y Ez:

Calculando primero, con la ecuacion 1.17 la fuerza que actua sobre un electron, debido a la accion delas placas:

F = −eE = e(Exi+ Ezk) ,

aplicando la segunda ley de Newton,

m

(d2x

dt2i+

d2y

dt2j +

d2z

dt2k

)= e(Exi+ Ezk) ,

e integrando para obtener la velocidad v1 a la salida de las placas, en donde y = d:

v1 = v1xi+ v1y j + v1zk =

(dx

dti+

dy

dtj +

dz

dtk

)y=d

= v0j +e

mt(Exi+Ezk) = v0j +

ed

mv0(Exi+Ezk) ,

en la que se ha tenido en cuenta que la componente vy = v0 permanece constante y que, por tanto,y = v0t, de donde t = y/v0.

Analogamente, puede obtenerse la desviacion a la salida de las placas, volviendo a integrar:

r1 = x1i+ y1j + z1k = v0tj +e

m

t2

2(Exi+ Ezk) = dj +

e

2m(d

v0)2(Exi+ Ezk) .



Una vez el electron sale del conjunto de las placas, ya no actua ninguna fuerza sobre el, por lo que hastallegar a la pantalla, situada a una distancia y = L el movimiento es rectilıneo y uniforme. Puesto que pararecorrer una distancia y = L necesitara un tiempo t = L/v0, la desviacion adicional que se tiene, es:

x2 = v1xt =edExL

mv20,

z2 = v1zt =edEzL

mv20.

Sumando ambas desviaciones, se obtiene la posicion de incidencia sobre la pantalla:

x =eEx

mv20d(L+

d

2) ,

z =eEz

mv20d(L+

d

2) .

Las impresoras de chorro de tinta se basan en un principio similar a este, suministrando cantidadesvariables de carga a las partıculas de tinta en funcion de la informacion del ordenador. Las partıculas pasana continuacion a traves de un campo electrico uniforme, y dependiendo de su carga, se desviaran en mayoro menor medida, como puede verse en el resultado anterior.

Ejemplo 1.5 (Separador electrostatico)Basado en el principio del ejemplo anterior, en las plantas de cemento se emplea un dispositivo conocido conel nombre de separador electrostatico, destinado a separar las partıculas que salen de un molino en funcionde su masa, de modo que sea posible realizar una nueva molienda para aquellas cuyo tamano sea todavıademasiado elevado. Si se observan los resultados del ejemplo 1.4 puede verse como la desviacion respectoal centro de la pantalla (que en este caso seran placas en donde se recoge el material) es inversamenteproporcional a la masa de la partıcula. Si estas se cargan de manera aproximadamente igual y se les hacepasar a traves de unas placas en las que exista un campo uniforme, de la misma manera que lo hacıanlos electrones en el osciloscopio, las partıculas se separarıan tanto mas de la posicion inicial cuanto menosmasa tuvieran. De este modo, las partıculas quedarıan clasificadas en funcion de su masa y por tanto, sise trata del mismo material, en funcion de su tamano.

Esta misma idea se emplea en centrales termicas de carbon para eliminar partıculas de los gases decombustion, reduciendo la contaminacion atmosferica. El aire contaminado entra por la parte inferior deun deposito vertical, en el cual se crea un campo electrico suficientemente elevado como para provocardescargas que ionizan el aire sucio, cargandose las partıculas contaminantes. Estos iones sufren el efecto delcampo electrico, precipitandose sobre las paredes del deposito (que periodicamente se sacude para eliminarpor gravedad las partıculas solidas depositadas), y saliendo aire limpio por la parte superior del deposito.

1.6. Potencial electrostatico

De la teorıa de campos se conoce que si el rotacional de un campo vectorial se anula, entoncesdicho campo es conservativo o, lo que es lo mismo, deriva de un potencial. Mediante operaciones de


1.6. Potencial electrostatico 17

calculo vectorial que no procede desarrollar aquı, puede demostrarse que en el campo electrostatico,esto es, creado por cargas en reposo5, es irrotacional

rotE = 0 , (1.18)

y que, por tanto, deriva de un potencial:

E = −gradV . (1.19)

Si se tiene en cuenta la expresion del campo E creado por una carga puntual (1.14), puede calcularsela expresion del potencial electrostatico en un punto P cualquiera del espacio, de vector posicionr, debido a una carga puntual situada en r ′ a partir de 1.19,

V (r) = −∫

E(r) · dr = − q′

4πε0

∫r − r ′

|r − r ′|3· dr , (1.20)

y resolviendo la integral:

V (r) =q′

4πε0|r − r ′|=

q′

4πε0d, (1.21)

siendo d = |r − r ′| la distancia de la carga q′ al punto P . Aunque este resultado no es inmediato deobtener, puede comprobarse facilmente que, en efecto, calculando −gradV se obtiene la expresion 1.14del campo E para la carga puntual. Debe observarse que V es una magnitud escalar que depende dela distancia entre la carga que crea el campo y el punto objeto de estudio.

En el caso de una superposicion de campos, se tiene:

E =N∑j=1

Ej = −N∑j=1

gradVj = −gradN∑j=1

Vj = −gradV , (1.22)

de donde V =∑N

j=1 Vj es el potencial del campo total E, y se verifica tambien el principio desuperposicion de potenciales. Ası, para N cargas puntuales el potencial es:

V (r) =1

4πε0

N∑j=1

qj|r − rj |

=1

4πε0

N∑j=1

qjdj

, (1.23)

con dj = |r − rj |. Y para una distribucion continua de carga, el potencial es:

V (r) =1

4πε0

∫V

ρ(r′)

|r − r ′|dV ′ . (1.24)

La importancia de estas expresiones estriba en el hecho de que permite estudiar los fenomenoselectrostaticos mediante una sola cantidad escalar, evitando las magnitudes vectoriales. De acuerdocon la expresion 1.16 del campo creado por una distribucion continua, el calculo supone evaluar tresintegrales, con terminos cuadraticos en el denominador, que resultan en ocasiones muy difıciles, sino imposibles, de resolver; sin embargo 1.24 supone una sola integracion y con un factor |r − r ′|,que suele simplificar calculos6. El principio de superposicion para los potenciales, permite determinarel campo total creado por una distribucion de carga, calculando el potencial como suma algebraica

5En este caso es muy importante resaltar que la palabra electrostatico no es casual, puesto que si los fenomenosdependiesen del tiempo, el rotacional del campo electrico no se anularıa.

6Hay otro factor importante a considerar, aunque no va a plantearse en este libro, y es la necesidad de su uso pararesolver problemas en los cuales no se conoce la distribucion de cargas.



(o integracion) de los potenciales individuales y obteniendo en ultima instancia el campo por simplederivacion.

Otro aspecto importante a considerar sobre el potencial electrostatico es su similitud con la energıapotencial asociada a una fuerza conservativa:

Ep(r) = −∫

F (r) · dr . (1.25)

Recordando que E = F /q, se tiene:

Ep(r)/q = −∫

E(r) · dr = V (r) , (1.26)

pudiendo observarse que el potencial representa la energıa potencial por unidad de carga.

La diferencia de potencial entre dos puntos es la circulacion (por cualquier camino) del campoelectrostatico E entre dichos puntos, esto es7:

VA − VB =

∫ rB

rA

E · dr . (1.27)

Suele tomarse un punto arbitrario de vector de posicion rB = rref , como referencia de potenciales,al cual se le asigna VB = Vref = 0 en la ecuacion 1.27. La expresion para el potencial de un puntocualquiera queda entonces

VA =

∫ rref

rA

E · dr . (1.28)

Muy comunmente y siempre que sea posible se toma el infinito como referencia de potenciales, quedan-do la ecuacion

VA =

∫ ∞

rA

E · dr , (1.29)

lo que representa el trabajo necesario para llevar la unidad de carga positiva desde el infinito hasta elpunto considerado.

La unidad de potencial en el SI es julio/culombio, a la que se da el nombre de voltio (V). A partirde esta unidad, resulta en ocasiones util expresar la unidad de campo electrico como voltio/metro(V/m).

Problema 1.6 (Potencial debido a un hilo cargado)Planteamos de nuevo el caso de un hilo de cobre de longitud L cargado uniformemente con una carga totalQ (problema 1.3). Se desea conocer ahora el potencial que crea el hilo en un punto cualquiera del espacio,(punto P (x, y) de la figura 1.5).

Para ello consideremos de nuevo el elemento dx′ del hilo con carga dq, situado a una distancia cualquierax′ de su extremo, con

dq = λdx′ =Q

Ldx′ .

. El potencial creado por ese elemento dq de la figura es:

V =1

4πε0

∫Q

dq

d=

λ

4πε0

∫L

dx′

d=

λ

4πε0

∫L

dx′√(x− x′)2 + y2

.

7Observese en la expresion 1.27 el orden de los lımites de la integral, al haberse suprimido el signo negativo.


1.7. Ley de Gauss 19

La integral resultante es inmediata:

V = − Q

4πε0LArsh

x− x′

y

∣∣∣∣L0=

Q

4πε0Lln

(x− x′ +

√(x− x′)2 + y2

) ∣∣∣∣0L=

=Q

4πε0Lln

x+√x2 + y2

x− L+√(x− L)2 + y2

.

Derivando parcialmente la expresion anterior respecto de x e y, y cambiando de signo, pueden obtenerselas componentes del campo electrico que se calcularon en el problema 1.3.

1.7. Ley de Gauss

Del estudio del flujo a traves de una superficie cerrada del campo electrico creado por una deter-minada distribucion de carga, se pueden obtener en numerosas ocasiones expresiones para el campoelectrico creado por dicha distribucion, a partir de ciertas consideraciones de simetrıa geometrica ydel campo. Para este estudio es necesario conocer en primer lugar el flujo del campo creado por unacarga puntual y, por aplicacion del principio de superposicion, el resultado puede extrapolarse a unadistribucion cualquiera.

El siguiente teorema permite determinar el flujo ΦE a traves de una superficie cerrada del campo

electrico E creado por una carga puntual q,

ΦE =

∮∂Ω

q

4πε0r3r · ndS . (1.30)

Teorema 1.1 (Ley de Gauss) Sea Ω una region del espacio suficientemente suave, de frontera ∂Ωy sea n el unitario normal en cada punto a la superficie ∂Ω. Entonces si q /∈ ∂Ω, se verifica:

q

4πε0

∮∂Ω

r · nr3

dS =

0 si q /∈ Ωqε0

si q ∈ Ω, (1.31)

en donde r es el vector de origen en q y extremo en cualquier punto de ∂Ω.

Demostracion:

Supongamos en primer lugar que q /∈ Ω. El integrando de la ecuacion 1.31 es una funcion continuaen Ω y en ∂Ω dado que r = 0 no pertenece a dichas regiones. Se puede entonces aplicar el teorema dela divergencia (Ostrogradski-Gauss):

q

4πε0

∮∂Ω

r · nr3

dS =q

4πε0

∫Ωdiv

(r

r3

)dV = 0 ,

dado que pude verificarse facilmente por calculo directo que div(

rr3

)= 0 si r = 0.

Supongamos que q ∈ Ω. Ahora no se puede proceder segun el razonamiento anterior, puesto que alaplicar el teorema de la divergencia existe una discontinuidad en el integrando, al pertenecer r = 0 aldominio de integracion. Consideremos entonces una bola B de centro en la carga (r = 0) y radio ϵ > 0tan pequeno como se desee y de manera que toda la bola quede contenida en Ω, lo cual es posibledado que q /∈ ∂Ω (figura 1.7).



q

W

W

B

B

Figura 1.7: Esquema de las superficies para la demostracion de la ley de Gauss.

Analizando la region Ω − B resultado de suprimir la bola de Ω, puede verse que su frontera es∂Ω ∪ ∂B, aunque debe tenerse la precaucion de que la normal exterior a ∂B vista desde Ω−B tienesigno contrario a la que se obtiene desde B. Ahora bien, r = 0 ya no pertenece a la region Ω − B ypor tanto estamos en el primer caso del teorema:

q

4πε0

∮∂Ω∪∂B

r · nr3

dS =q

4πε0

∫Ω−B

div

(r

r3

)dV = 0 .

Desarrollando el primer termino de la integral anterior:

q

4πε0

∮∂Ω∪∂B

r · nr3

dS =q

4πε0

(∫∂Ω

r · nr3

dS +

∫∂B

r · nr3

dS

)= 0 ,

siendo n el unitario normal a ∂Ω ∪ ∂B. Ası pues,

q

4πε0

∫∂Ω

r · nr3

dS = − q

4πε0

∫∂B

r · nr3

dS .

Todos los puntos de ∂B estan a una distancia constante r = ϵ de q y, por otra parte, al estar en unaesfera, el vector n, normal a la superficie de la misma, tiene la direccion radial y, en este caso, haciadentro, es decir, n = −r/r, con r = ϵ. Resolviendo la segunda integral,

q

4πε0

∮∂Ω

r · nr3

dS =q

4πε0

∫∂B

ϵ2

ϵ4dS =

q

4πε0

1

ϵ2

∫∂B

dS =q

ε0,

habiendo tenido en cuenta, en el ultimo paso, que el area de la superficie esferica ∂B de radio ϵ es4πϵ2.

Este teorema muestra que el flujo del campo electrico a traves de una superficie cerrada dependeexclusivamente del valor q de la carga puntual encerrada dentro de dicha superficie. La independenciacon respecto de r muestra que no existe perdida de generalidad al escoger como origen la posiciondonde se encuentra la carga. Si la carga es exterior a la superficie, el flujo del campo E es nulo dadoque las lıneas que entran por una parte de la superficie vuelven a salir por otra parte de la misma,como se ilustra en la figura 1.8. Obviamente, el hecho de que el flujo a traves de una superficie seanulo no implica la nulidad de E, como puede comprobarse por la simple aplicacion de la expresion1.14 del campo creado por una carga puntual. Ocurre simplemente que al evaluar el producto escalar



Figura 1.8: Flujo a traves de una superficie cerrada para una carga exterior a ella.

de r y n, en la region en que las lıneas de campo son entrantes, este resulta negativo, y en donde sonsalientes, positivo, siendo el computo global nulo.

Si se tuviera un conjunto de cargas puntuales o bien una distribucion continua de carga, el principiode superposicion afirma que el campo creado es la suma de los campos creados por cada carga individual(o diferencial de carga en el caso continuo). Se podrıa de este modo aplicar el teorema a cada uno delos campos por separado, y el flujo total sera la suma de los flujos creados por cada uno de los campos,cada uno de los cuales solo dependera de que la carga sea interior o no a la superficie considerada. Sepuede generalizar ası el teorema anterior para el caso de una distribucion cualquiera de carga:

ΦE =

∮∂Ω

E · n dS =qintε0

, (1.32)

en donde qint representa la carga interior a la superficie ∂Ω a traves de la cual se calcula el flujo deE. Este resultado es el que se conoce habitualmente como ley o teorema de Gauss.

Debe observarse que el flujo a traves de una superficie es el mismo que a traves de otra superficiecualquiera que encierre la misma cantidad de carga. Esto permite realizar calculos de flujo empleandosuperficies de integracion mas faciles de manejar, como ya se hizo en la propia demostracion delteorema al escoger la pequena bola que rodeaba a la carga q. Debe insistirse una vez mas que el hechode que el flujo a traves de ambas superficies sea identico no implica que lo sea el valor del campoelectrico en cada una de ellas.

En algunos casos, el teorema de Gauss permite calcular expresiones del campo electrostatico creadopor distribuciones de carga con determinadas simetrıas geometricas y electricas, como se veran en losejemplos siguientes. Normalmente es posible este calculo si se puede escoger una superficie para calcularel flujo (suele denominarse superficie gaussiana) de modo que el campo electrico en cualquiera de suspuntos tenga el mismo modulo y forme un angulo constante con el vector normal a la superficie.

Ejercicio 1.7 (Calculo del campo creado por una esfera uniformemente cargada)Sea una bola de caucho de radio R cargada con una densidad uniforme ρ y, por tanto, de carga totalQ = 4

3πR3ρ. Consideremos una superficie gaussiana esferica ∂Ω (figura 1.9), concentrica con la esfera

cargada y de radio tal que la superficie pase por el punto P en que desea calcularse el campo (supongaseen primer lugar r > R).



R

r

r

E dS

r

P

P'

Figura 1.9: Superficies gaussianas para una esfera cargada.

De la simetrıa de la distribucion de carga, el campo electrico en cualquier punto de la superficie gaussianasera radial, con sentido hacia el exterior (suponiendo que la esfera esta cargada positivamente) y con elmismo modulo en todos los puntos de la superficie8. El flujo a traves de ella es

ΦE =

∮∂Ω

E · n dS =

∮∂Ω

E dS = E

∮∂Ω

dS = 4πr2E ,

y aplicando la ley de Gauss, se tiene

ΦE =qintε0

=4πR3ρ

3ε0=

Q

ε0.

Igualando las dos expresiones para el flujo y despejando

E =ρR3

3ε0r2=

Q

4πε0r2,

expresion que coincide con el campo que crearıa una carga puntual Q situada en el centro de la esfera. Dehecho el campo creado por una carga puntual, conocido a partir de la ley de Coulomb, puede calcularseaplicando la ley de Gauss a una superficie esferica cualquiera de centro en la carga.

Si se quiere conocer el campo en un punto interior P ′ a la superficie de la esfera cargada, el proced-imiento es el mismo construyendo una superficie esferica concentrica de radio r que pase por dicho punto.La expresion del flujo a traves de la superficie de radio r es la misma, pero como ahora es r < R, se tiene

ΦE =qintε0

=4πr3ρ

3ε0,

y entonces, de ΦE = 4πr2E se tiene

E =ρr

3ε0=

Q

4πε0

r

R3.

8Para comprobar esto, puede considerarse el campo en un punto creado por un elemento dq cualquiera y su simetricorespecto al diametro que pasa por el punto considerado. Las componentes tangenciales de uno y otro son opuestas,quedando como resultado un campo radial.



E

rR

R

Figura 1.10: Campo creado por una esfera cargada.

Puede representarse graficamente el modulo del campo electrico en funcion de la distancia al centro dela esfera cargada (figura 1.10). El campo varıa linealmente con la distancia hasta llegar a la superficie dela esfera, presentando a partir de este punto una caıda con el cuadrado de la distancia, como si se trataradel campo creado por una carga puntual.

Ejercicio 1.8 (Campo creado por un hilo infinito)Sea un hilo de cobre muy largo (infinito9) cargado con una densidad uniforme λ, siendo, por tanto, lacarga en un tramo de longitud L, Q = λL. Como superficie gaussiana ∂Ω, por la simetrıa del problema,consideraremos un cilindro, de longitud L cualquiera, con eje en el hilo y de radio r de manera que lasuperficie pase por el punto P donde se desea calcular el campo (figura 1.11).

r

EdS

l

P

Figura 1.11: Superficie gaussiana para un hilo infinito.

De la simetrıa de la distribucion de carga, el campo electrico en cualquier punto de la superficie gaussianasera radial (normal a la superficie lateral del cilindro), con sentido hacia el exterior (suponiendo que el hilo

9La palabra infinito se emplea en la practica para significar que el elemento tiene unas dimensiones lo suficiente-mente grandes y la region a estudiar lo suficientemente alejada de los extremos, como para que puedan aplicarse losrazonamientos de simetrıa que se requieren en el calculo.



esta cargado positivamente) y con el mismo modulo en todos los puntos de la superficie lateral10. El flujoa traves de ella, observando que a traves de las bases del cilindro sera nulo, por ser n y E perpendiculares,es

ΦE =

∮∂Ω

E · n dS =

∫∂ΩL

E dS = E

∫∂ΩL

dS = 2πrLE ,

siendo ∂ΩL la superficie lateral del cilindro.Aplicando la ley de Gauss se tiene

ΦE =qintε0

=λL

ε0,

de donde, igualando y despejando

E =λ

2πε0r,

que muestra que el campo varıa inversamente con la distancia al hilo. Esta expresion coincide con lacalculada directamente por integracion en el problema 1.3.

El razonamiento seguido para calcular el campo creado por un hilo infinito puede seguirse analogamentepara calcular el campo creado por una distribucion cilındrica de carga, teniendo presente las precaucionespertinentes para el calculo del campo en puntos interiores a la superficie del cilindro cargado, de la mismamanera que se hizo con la esfera.

Ejercicio 1.9 (Campo creado por una chapa infinita)Sea una chapa plana, infinita, cargada con una densidad uniforme σ, siendo, por tanto, la carga en unaregion de area A, Q = σA. Como superficie gaussiana ∂Ω, por la simetrıa del problema, podemos escogerun cilindro recto (valdrıa cualquier superficie paralelepipedica), con su eje normal a la chapa y de modoque una de sus bases, de seccion A cualquiera, pase por el punto P en donde desea calcularse el campo, yla otra base sea simetrica a la anterior con respecto a la chapa (figura 1.12).

E

dS

s

P

Figura 1.12: Superficie gaussiana para una chapa cargada.

De la simetrıa de la distribucion de carga, el campo electrico en cualquier punto de la superficie gaussianasera normal a la chapa, alejandose de ella (suponiendo que la chapa esta cargada positivamente) y con el

10Para comprobar esto, puede considerarse el campo creado en un punto por un elemento dq cualquiera y su simetricorespecto a la normal al hilo por el punto considerado. Las componentes tangenciales de uno y otro son opuestas, quedandocomo resultado un campo radial.


1.8. Ley de Gauss en forma diferencial 25

mismo modulo en todos los puntos de las dos bases del cilindro11. El flujo a traves de ∂Ω, observando quea traves de la superficie lateral del cilindro sera nulo, por ser n y E perpendiculares, es

ΦE =

∮∂Ω

E · n dS =

∫∂ΩB

E dS = E

∫∂ΩB

dS = 2AE ,

por ser ∂ΩB las dos bases del cilindro. Aplicando la ley de Gauss se tiene:

ΦE =qintε0

=σA

ε0,

dado que el cilindro intercepta la misma seccion A de chapa que area tienen sus bases. Igualando ydespejando:

E =σ

2ε0,

que muestra que el campo es independiente de la distancia a la chapa.

1.8. Ley de Gauss en forma diferencial

La ley de Gauss permite obtener la expresion del flujo de un campo electrico a traves de unasuperficie y obtener, en ocasiones, conclusiones sobre como es el campo en ella. Sin embargo el hechode tener una expresion integral hace que los resultados dependan de la region sobre la cual se esta in-tegrando. Se puede deducir, sin embargo, una ley equivalente, pero en este caso en forma diferencial,de manera que el resultado pueda aplicarse a cada punto del espacio y no necesite de un dominio deintegracion.

Consideremos una region Ω cualquiera y supongamos que la densidad de carga en todo el espacioviene dada por ρ(r), la cual permite caracterizar la carga existente en cualquier zona del espacio y,por ende, en el interior de la region Ω. Calculando el flujo a traves de la superficie de Ω, ∂Ω, teniendoen cuenta la expresion 1.32 de la ley de Gauss,

Φ =

∮∂Ω

E · n dS =qintε0

=

∫Ω

ρ

ε0dV . (1.33)

Al ser ∂Ω una superficie cerrada, puede aplicarse el teorema de la divergencia (igual que se hizo en lademostracion del teorema 1.1), obteniendose

Φ =

∮∂Ω

E · n dS =

∫ΩdivE dV . (1.34)

Comparando ambas expresiones y teniendo en cuenta que ambas son validas para cualquier region Ωdel espacio, se tiene la necesaria igualdad de los integrandos:

divE(r) =ρ(r)

ε0. (1.35)

Esta expresion representa la forma diferencial de la ley de Gauss y expresa el comportamiento delcampo electrico12 en cualquier punto del espacio. Si se recuerda que la divergencia es positiva en lospuntos en donde nace campo (puntos surgentes) y negativa en los sumideros de campo, se observa que

11Para comprobar esto, puede considerarse el campo creado en un punto por un elemento dq cualquiera y su simetricorespecto a la normal a la chapa por el punto considerado. Las componentes paralelas a la chapa de uno y otro sonopuestas, quedando como resultado un campo normal.

12Esta ecuacion es igualmente valida aunque no se estuviera en condiciones estaticas.



el campo electrico nace en los puntos con carga positiva y muere en los puntos con carga negativa. Enel caso de que en un punto del espacio no exista carga electrica, la divergencia es nula.

Combinando el caracter conservativo del campo electrostatico (E = −gradV ) con la ley de Gaussse obtiene

div(gradV (r)) = ∆V (r) = − ρ(r)

ε0, (1.36)

siendo ∆ el operador laplaciano. Esta ecuacion se conoce como ecuacion de Poisson. En las regionesen que la densidad de carga sea nula, la ecuacion queda

∆V (r) = 0 , (1.37)

conocida como ecuacion de Laplace.Las ecuaciones 1.36 y 1.37 son ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden de una funcion

escalar (el potencial electrostatico) y sus soluciones, a diferencia de las de la ley diferencial de Gauss,son relativamente faciles de obtener. Es posible mediante integracion de estas ecuaciones, y conocidasdeterminadas condiciones de contorno impuestas por las distribuciones de carga, obtener el valor delpotencial en problemas particulares.

La ley de Gauss constituye una de las ecuaciones sobre las que Maxwell fundamento toda su teorıaelectromagnetica. Hemos llegado a ella de una forma inductiva, a partir de la ley de Coulomb y delflujo del campo electrostatico; otro enfoque posible habrıa sido plantear la ley de Gauss, junto conotras leyes adicionales, como postulados fundamentales del electromagnetismo y deducir a partir deellas las leyes experimentales de la fısica.

En el caso de la electrostatica han sido obtenidas ya, a partir de hechos experimentales, las dosecuaciones fundamentales:

rotE = 0 ,

divE =ρ

ε0,

que unidas aF = qE ,

permiten la explicacion de todos los fenomenos electrostaticos. Este hecho indica que para caracterizarel campo electrico basta con expresar su divergencia y su rotacional (Teorema de Helmholtz), y paralo cual en el caso de la electrostatica, basta con conocer la distribucion de carga en el espacio.

Problema 1.10Se quiere determinar el campo y el potencial electrostaticos creados por un anillo (de espesor despreciable)de radio R cargado con densidad lineal de carga uniforme λ, en un punto P de su eje y a una distancia zdel plano del anillo.

De acuerdo al principio de superposicion, el campo creado por el anillo en el punto P es la sumavectorial de los campos dE creados por cada elemento infinitesimal dl del anillo (ver figura 1.13), cadauno de los cuales puede considerarse como una carga puntual de valor dq = λdl. El campo creado por dles, en magnitud,

dE =1

4πε0

dq

r2,

y teniendo en cuenta que dq = λdl = λRdϕ y que r2 =√z2 +R2, obtenemos

dE =λ

4πε0

R

z2 +R2dϕ .


1.8. Ley de Gauss en forma diferencial 27

q

r

R

z

P

d l

d E

d j

Figura 1.13:

La componente de este campo perpendicular al anillo es dE⊥ = dE cos θ, y como, segun la figura,cos θ = z/

√z2 +R2, podemos escribir

dE⊥ =λ

4πε0

Rz

(z2 +R2)3/2dϕ .

La componente perpendicular del campo electrico creado por todo el anillo es entonces, de acuerdo con elprincipio de superposicion,

E⊥ =

∫anillo

dE⊥ =λ

4πε0

Rz

(z2 +R2)3/2

∫ 2π

0dϕ =

λ

4πε0

Rz

(z2 +R2)3/22π =

q

4πε0

z

(z2 +R2)3/2.

En el segundo paso hemos observado que z y R son constantes, que la variable de integracion es ϕ, y quepor tanto la integral se extendera a todo el anillo si la variable ϕ va de 0 a 2π. En el ultimo paso se haexpresado el resultado, por conveniencia, en funcion de la carga total del anillo q = λ2πR.

Respecto de la componente del campo paralela al anillo, observese que aunque cada dl crea unacomponente paralela dE∥ = dE sen θ no nula, es anulada por la componente paralela creada por otro dlgirado respecto del primero en π respecto del eje del anillo. Por estas consideraciones de simetrıa, podemosescribir que la componente paralela creada por todo el anillo se anula, E∥ = 0, y en conclusion el campocreado por el anillo en el punto P es

E(P ) = E⊥k =q

4πε0

z

(z2 +R2)3/2k ,

siendo k un vector unitario perpendicular al anillo.El potencial en el mismo punto P puede calcularse como la circulacion

V (P ) =

∫ ∞

PE · dr

por un camino cualquiera del punto P al infinito. El camino apropiado en este caso (el unico sobre el queconocemos el campo electrico) es el que va de P al infinito a lo largo del eje del anillo. Entonces dr = dzk,



y

V (P ) =q

4πε0

∫ ∞

z

z

(z2 +R2)3/2dz =

q

4πε0

1√z2 +R2

.

⋆ ⋆ ⋆

Otra manera, tal vez mas directa, de resolver el problema consiste en determinar primero el potencialutilizando el principio de superposicion para el potencial electrostatico. El potencial creado por un dl es

dV =1

4πε0

dq

r=

λ

4πε0

R√z2 +R2

dϕ ,

y el potencial creado por todo el anillo, a una altura z,

V =

∫anillo

dV =

∫ 2π

0

λ

4πε0

R√z2 +R2

dϕ =q

4πε0

1√z2 +R2

.

A partir del potencial, el campo electrico se puede obtener mediante derivacion:

E = −gradV = −(∂V

∂xi+

∂V

∂yj +

∂V

∂zk

).

Como por razones de simetrıa, el campo electrico en el eje del anillo es vertical, debe ser ∂V/∂x = ∂V/∂y =0, de donde

E = −∂V

∂zk =

q

4πε0

z

(z2 +R2)3/2k .

Observese que para obtener E a partir de V es necesario conocer la dependencia de V con la posicion enel espacio, en este caso z. Con el valor de V en un solo punto del espacio es imposible obtener E.


Ejercicios y problemas propuestos 29

Ejercicios y problemas propuestos

1.1 ¿Cuales de las configuraciones de campo sigu-ientes pueden representar un campo electrostatico?¿Donde podrıan estar las cargas que lo producen?

1.2 Consideremos las superficies equipotenciales cor-respondientes a una distribucion de cargas. Verdaderoo falso: a) en todos los puntos de una misma superfi-cie equipotencial, el modulo del campo electrico tieneel mismo valor. b) El campo electrico es ortogonal, entodo punto,a la superficie equipotencial que pasa pordicho punto. c) Dos superficies equipotenciales corre-spondientes a potenciales diferentes no se cortan nunca.d) Una superficie equipotencial no se corta nunca a simisma.

1.3 Razone la veracidad de las siguientes afirma-ciones. a) Si el potencial electrico en un punto es cero,tambien lo es el campo electrico. b) Si la intensidad delcampo electrico en un punto es cero, tambien lo es elpotencial.

1.4 ¿Es concebible una pantalla opaca al campo e-lectrico (analoga a una pantalla opaca a la luz) que,“absorbiendo.el campo electrico que “incide”sobre el-la, deje detras una zona completamente desprovista decampo, mientras que en la zona en que no hay pantallael campo permanece inalterado?

E = 0

1.5 Se considera una superficie cerrada, no conducto-ra, y portadora de una cierta distribucion de carga, noexistiendo carga en su interior. El campo en el interiores identicamente nulo si: a) la distribucion es uniforme(para superficie arbitraria). b) La superficie es esferica(para una distribucion arbitraria). c) La superficie esequipotencial (para distribucion arbitraria).

1.6 El campo electrico en una region del espacioesta dado por Ex = 0, Ey = 0, Ez = kz, con k unaconstante. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es cor-recta? a) Hay una densidad de carga electrica en estaregion. b) Este campo no es electrostatico. c) Ningunade las anteriores.

1.7 En problemas electrostaticos y en una regiondonde la densidad de carga electrica es uniforme, elcampo electrico satisface la ecuacion: a) div E = rot

E; b) divE = 0; c) rotE = 0; d) grad(divE) = rotE.

1.8 Se considera una esfera de radio R cargada uni-formemente con densidad volumetrica de carga ρ. De-termine el flujo del campo electrico creado por dichaesfera a traves de un cubo de lado R con uno de susvertices en el centro de la esfera.

1.9 Determine la carga de un cubo de lado L cuyadensidad de carga es proporcional a la distancia a unacualquiera de sus caras.

1.10 En un plano, con ejes coordenados graduadosen metros, se coloca en el punto A(0, 1) una carga de2µC y en el punto B(0,−1) otra de −2µC. Calcular elpotencial y el campo electrico en el punto C(2, 0).

1.11 Determınese el campo electrico y el potencialcreados por el hilo de la figura, cargado con densidadlineal de carga no homogenea λ = ax, en un puntocualquiera a la derecha del hilo y en su eje.

L XO

l = a x

1.12 En un disco de radio R = 8 cm han quedadoadheridas partıculas de polvo cargadas de modo quela superficie del disco queda cargada uniformemente,con carga total Q = 1 µC. Aplicando el resultado delproblema resuelto 1.10, calculese el campo y el poten-cial creados por el disco en un punto de su eje, a unadistancia a = 1 cm del disco. ¿En que punto deberıacolocarse una carga puntual de valor q = −1 µC paraanular el campo anterior?

1.13 a) Determine la expresion del campo electricoen el centro O creado por medio anillo de radio a, so-bre el que se ha distribuido uniformemente una cargaelectrica total Q. b) Utilice el resultado anterior paradeterminar el campo electrico en el centro O creadopor la chapa de la figura inferior derecha, cargada uni-formemente con densidad superficial de carga σ.

O aQ

Oa / 2

a

s



1.14 Las dos placas paralelas de la figura, cuadradasde lado L y cargadas, crean un campo electrico E ver-tical y homogeneo entre ambas placas. Se introducenpartıculas de masa m y carga q con velocidad ini-cial horizontal de modulo v0. Determınese el angulode desviacion de las partıculas a la salida de las placas.

E

L

v 0m , q

1.15 Determine el flujo delcampo electrostatico producidopor las cargas q y 2q de la figu-ra a traves de la superficie esferi-ca de radio R dibujada tambienen la figura. Calcule, asimismo, elcampo electrostatico en el pun-to A de dicha superficie esferica.Exprese los resultados en el sis-tema internacional de unidades.Datos: q = 1µC, R = 10 cm.

A

2 q qR

2 R

1.16 Sobre una plancha de goma de 2d = 1 cm deespesor se ha repartido uniformemente carga electricacon densidad volumetrica ρ = 1,53 nC/m3. Determıne-se el campo electrico y el potencial en puntos interioresy exteriores a la plancha. (Tomese como origen de po-tenciales el plano central de la plancha).

1.17 Dos hilos muy largos y paralelos, uno de den-sidad lineal de carga λ y el otro de densidad lineal2λ, ambas uniformes, estan separados una distancia d.Determine el lugar geometrico de los puntos para loscuales el campo electrostatico es nulo.

1.18 La figura muestra un cilindromuy largo, de radio R, en cuyo volu-men se ha distribuido carga electricacon densidad volumetrica constante ρ.Determine el campo electrico en todopunto del espacio, y la diferencia de po-tencial entre el punto O del eje del cilin-dro y el punto P a distancia 2R de dichoeje.

OP

2 R

r

R

1.19 En un cable de corriente se acumula en su su-perficie una carga por unidad de longitud λ = −20nC/m. Este cable atraviesa perpendicularmente un dis-co ceramico, cuyo espesor se puede suponer desprecia-ble y de cierto radio R. Debido a corrientes de fuga, eldisco ha quedado cargado con una densidad superficialde carga uniforme σ = −10 nC/m2. Se desea conocer1) el campo electrico en el punto A de la figura cuyadistancia al hilo es mucho menor que el radio del dis-co ceramico, y 2) la diferencia de potencial entre lospuntos A, B y C de la figura.

x

y

z

A

B

C

1 0 c m

5 c m5 c m 5 c m

1.20 La figura muestra una seccion de un hilo infinitocargado con densidad lineal de carga uniforme λ > 0 yun plano, tambien infinito, cargado con densidad super-ficial de carga uniforme σ > 0. Ambos estan separadosuna distancia 2a. 1) Determınese el valor de λ paraque el campo electrico se anule en el punto medio Pdel segmento OA (se suponen no conocidos los camposcreados por un hilo infinito y por un plano infinito). 2)Para el valor de λ del apartado anterior, calculese elcampo electrico y el potencial en cualquier punto delsegmento OA, tomando como origen de potenciales elpunto P .

x

y

2 a

PO A

1.21 La plancha de goma de la figura es muy grandecomparada con su espesor de 10 cm y esta cargada conuna densidad uniforme ρ = 90nC/m3. A una distanciade 30cm de la cara superior de la plancha se colocaperpendicularmente a la misma un hilo de 20 cm delongitud, cargado con una densidad λ = 2µC/m. Cal-cule el campo electrico existente en el punto A de lafigura, situado en la vertical del hilo a 20 cm de la carasuperior de la plancha.

A

l

3 0 c m

2 0 c m

2 0 c m

1 0 c mr

1.22 Una esfera de centro O y radio R esta uniforme-mente cargada con densidad de carga ρ salvo en unhueco esferico, descargado, de radio R/4 con su cen-tro en un punto O′ situado a R/2 de O. Determine elcampo electrico creado por esta distribucion de cargaen un punto P situado en la lınea que une O con O′ ya una distancia a de O .


Capıtulo 2

Campo electrostatico en materialesconductores

2.1. Introduccion

En el capıtulo anterior, se han analizado el campo y potencial creados por cargas electricas enreposo, en ciertas posiciones dadas, sin entrar en la cuestion de por que dichas cargas estan ahı. Lasdistribuciones de carga electrica pueden aparecer, en realidad, en la materia. En este capıtulo y elsiguiente se estudiaran las distribuciones de carga electrica y los campos electricos creados por ellasen distintos tipos de materiales. Estos, en funcion de su comportamiento electrico, pueden clasificarseen conductores y dielectricos (aislantes). En este capıtulo se estudian los materiales conductores.

2.2. Estructura microscopica de los materiales conductores

Los materiales conductores se caracterizan por la existencia de cargas electricas libres de moversebajo la influencia de un campo electrico externo. El ejemplo mas caracterıstico es el de los conductoresmetalicos. En ellos existen electrones que no estan ligados a los atomos ionizados de la red metalica,en posiciones fijas, sino que pueden moverse libremente por todo el material, como se muestra en lafigura 2.1a. Habitualmente, la carga negativa de electrones libres es igual a la de los iones positivosfijos, y ası la carga neta del material conductor es nula. Ademas, en ausencia de campos externos quele afecten, electrones e iones positivos se reparten uniformemente sobre el material y se mueven convelocidades aleatorias, cuyo promedio es nulo. Como resultado, la densidad de carga es nula en todopunto del conductor.

Interpretemos el comportamiento de los conductores metalicos desde el punto de vista de la teorıade bandas. Segun esta teorıa, los electrones en los solidos estan distribuidos en bandas, cada una de lascuales con un determinado rango de energıa, de manera que un electron puede saltar de unas bandasa otras absorbiendo o emitiendo energıa. Entre las bandas pueden existir huecos o regiones prohibidasen donde no es posible la presencia de electrones. En el caso de los conductores, la banda o bandassuperiores de energıa del atomo estan parcialmente llenas, de manera que el electron tiene libertad demovimientos por las mismas. Aun ası, se puede producir la conduccion en materiales en principio noconductores, si el intervalo de energıa de la region prohibida es lo suficientemente pequeno como paraque un aporte energetico permita saltar a los electrones de la banda superior llena a la banda siguiente.La cantidad necesaria de energıa para que se produzca este salto, depende de la temperatura.

31

32 Capıtulo – 2. Campo electrostatico en materiales conductores

a )

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++

-

- --- -

-

- --

- - -----

- --

-

b )

- - - - -

- - - - -

- - - - -

E c )

E

--- - - - -- - - - - - - - ----

+

+ + + + + + + + + + + ++ +++++

- -

-

E

E

E = 0

Figura 2.1: a) Conductor en ausencia de campos electricos. b) Conductor en presencia de un campoelectrico externo, antes de que se alcance el equilibrio. c) Cargas inducidas en el conductor y campoelectrostatico cuando se ha alcanzado el equilibrio.

2.3. Conductores en presencia de campos electricos. Equilibrio

Interesa estudiar el comportamiento de un conductor cuando es sometido a un campo electrico.Esto se puede conseguir, esencialmente, de dos maneras: introduciendo una carga neta en el propioconductor (anadiendo o extrayendo electrones, por ejemplo), o situando cargas en sus alrededores(otro conductor cargado, por ejemplo). En un caso o en otro, el efecto es el mismo: originar un campoelectrico en el seno del material conductor.

Este campo externo mueve a los electrones libres del conductor, en el sentido contrario a laslıneas del campo (ver figura 2.1b), hasta que llegan a la superficie, donde se acumulan (ver figura2.1c), a menos que se extraigan con algun mecanismo adecuado. La acumulacion sucesiva de cargasen la superficie del conductor origina un nuevo campo electrico que tiende a cancelar, en el seno delconductor, al campo externo. Una vez logrado un campo neto nulo en el interior del conductor, la fuerzaque actua sobre cualquier electron es nula y se dice que se ha alcanzado el equilibrio electrostatico.En este momento, las cargas libres del conductor quedan en reposo, y se establece en el exterior uncampo electrostatico definitivo, suma del aplicado externamente y el creado por las acumulaciones decarga en la superficie del conductor. Esta suma es cero en el interior del conductor. La situacion deequilibrio se ilustra en la figura 2.1c.

Desde que se aplica el campo externo hasta que se llega al equilibrio, existe en el conductoruna corriente electrica (movimiento de cargas electricas). En el capıtulo 5 se estudiaran con masdetenimiento las corrientes electricas, y con que mecanismos (generadores de fuerza electromotriz)se puede mantener indefinidamente la corriente (corriente continua), impidiendo ası que se alcanceel equilibrio. En ausencia de estos mecanismos, el equilibrio se alcanza en un tiempo proporcionala la conductividad del material. El concepto de conductividad se estudiara con mas detenimientoen el capıtulo 5. Baste decir aquı que, para buenos conductores, como los metales normales, estetiempo es muy pequeno, del orden de 10−14s. En los metales conocidos como semiconductores, cuyaspropiedades electricas son intermedias entre los conductores y los dielectricos, pero que respecto a loscampos electricos estaticos se comportan casi como conductores, este tiempo puede ser de un ordende magnitud mayor, 10−13s.

En lo sucesivo, nos limitaremos a estudiar el campo electrostatico y las cargas inducidas en elconductor en el estado de equilibrio. Puede afirmarse que, con independencia de la forma concreta delconductor y del campo externo aplicado, en el equilibrio se verifica que:

1. El campo electrostatico en el interior del conductor es nulo. De lo contrario, existirıa una fuerzaque actuarıa sobre los electrones libres en el interior del conductor, los cuales se moverıan en la


2.3. Conductores en presencia de campos electricos. Equilibrio 33

direccion del campo, contra la hipotesis de que el conductor esta en equilibrio.

2. No hay carga neta en ningun punto interior del conductor. Como E(r) = 0 en todo punto rinterior del conductor, se tiene que ρ(r)/ε0 = divE(r) = 0, es decir, ρ(r) = 0.1

3. El campo electrico en la superficie del conductor es normal a ella. Si tuviera una componentetangencial, los electrones libres se moverıan por la superficie, en contra de la hipotesis de equilib-rio. Sin embargo, sı puede presentar una componente normal a la misma, pues la propia superficiese comportarıa como una ligadura que impide el movimiento de las cargas hacia el exterior delconductor.

4. Consecuencia de lo anterior es que, la carga del conductor esta situada en su superficie, tanto lacarga externa introducida en el conductor (en su caso), como las cargas inducidas. Las cargasadoptan una disposicion en la superficie tal que anula el campo en el seno del conductor. Nodebe entenderse que las cargas estan sobre una superficie geometrica, sino sobre una superficiecuyo espesor es de unas pocas capas atomicas. La densidad superficial de carga σ podra diferirde un punto a otro en valor y signo [se vera mas adelante que σ es mayor en valor absoluto dondela curvatura de la superficie del conductor sea mayor (efecto puntas)]. En las zonas con σ < 0hay un exceso de electrones, y en las zonas con σ > 0, un defecto de electrones. Necesariamente,por conservacion de la carga, se verificara∮

∂ΩσdS = Q ,

donde ∂Ω es la superficie del conductor Ω y Q su carga neta.

5. Existe una relacion sencilla entre la densidad superficial de carga σ y el modulo del campoelectrico E en cada punto de la superficie:

E = σ/ε0 . (2.1)

E se refiere al campo electrico en un punto muy proximo a la superficie en el exterior delconductor. De esta expresion se deduce que el campo electrico es mas intenso en los puntos de lasuperficie donde la densidad de carga sea mayor. Para verificar 2.1 se toma la pequena superficiecilındrica de la figura 2.2, con una de sus bases inmediatamente exterior a la superficie y la otradentro del conductor. Si el area S de la base es suficientemente pequena, como para suponerque el campo es constante en todos sus puntos, el flujo a traves de la base externa es ES. Elflujo a traves de la superficie lateral es nulo al ser el campo electrico paralelo a dicha superficie,y el flujo por la base interna es tambien nulo ya que el campo electrico es nulo en dicha base.Por otro lado, la carga encerrada en el cilindro es σS. Aplicando el teorema de Gauss a dichocilindro, resulta ES = σS/ε0, de donde se obtiene la ecuacion 2.1.

6. Todos los puntos de un conductor en equilibrio estan al mismo potencial. Con otras palabras, lospuntos de un conductor forman un volumen equipotencial. Es posible pues hablar del potencialde un conductor, que es el potencial de cada uno de sus puntos. Este hecho es consecuenciainmediata de que el campo electrico en el interior del conductor es nulo: como E = −gradV ,entonces gradV = 0, de donde V es constante2. O bien, si se prefiere, considerando dos puntos

1No debe inferirse de aquı, error muy comun, que si ρ = 0 en una zona del espacio, entonces E = 0; lo unico que esnulo es la divergencia de dicho campo.

2Observese que el potencial es constante, pero no necesariamente nulo; lo que es nulo es su gradiente y, por tanto, lavariacion del potencial entre dos puntos interiores del conductor.



n

E

S W

W

Figura 2.2: Superficie gaussiana en el teorema de Gauss para la determinacion del campo electrico enla superficie de un conductor.

cualesquiera A y B del conductor, su diferencia de potencial es:

VA − VB =

∫ B

AE · dr = 0 ,

puesto que, escogiendo una trayectoria interior al conductor, E = 0 en toda la trayectoria de Aa B3. De aquı que VA = VB para todo par de puntos del conductor.

En lo sucesivo, se aplicaran estos resultados al estudio de la distribucion de las cargas superficialesinducidas, del campo electrico en los alrededores del conductor y de su potencial en diversas situacionesde interes.

Ejercicio 2.1 (Conductor aislado cargado)Se desea estudiar como son las lıneas de campo en las proximidades de un conductor, de forma arbitraria,en el que se ha introducido una carga neta Q > 0 (se han extraıdo electrones), ası como el signo delpotencial del mismo. Si el conductor es esferico de radio R, se desea determinar el campo electrico y elpotencial del conductor.

La carga Q > 0 se distribuye, en el equilibrio, sobre la superficie del conductor, como se muestra enla figura 2.3. La densidad superficial de carga σ sera en general variable (esto depende de la forma delconductor) y esta distribuida de modo que el campo en el interior del conductor es nulo. En el exterior laforma de las lıneas de campo tambien depende de la forma del conductor, pero es, necesariamente, normala la superficie del conductor, en su nacimiento en las cargas positivas. Las lıneas del campo se alejan hastael infinito. Tomando como origen de potenciales el infinito, el potencial del conductor esta dado por laexpresion

Vc =

∫ ∞

AE · dr ,

donde A es un punto cualquiera de la superficie del conductor. Si se hace la circulacion a lo largo de lalınea Γ de campo que parte de A, E y dr tienen la misma direccion y sentido en toda la trayectoria desdeel conductor hasta el infinito, con lo que la circulacion es positiva. Por tanto, el potencial del conductor espositivo (Vc > 0). Tambien se puede llegar a esta conclusion observando que el sentido del campo electricoes el de los potenciales decrecientes. De aquı que, si el potencial en el infinito es cero, el potencial delconductor ha de ser necesariamente positivo.

3Si A o B estan en la superficie, el valor no nulo de E en estos puntos, no afecta a la integral.


2.3. Conductores en presencia de campos electricos. Equilibrio 35

+ + + ++ + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + +++++++++++++++++++++++++

++++

+++ + +

A

G

Figura 2.3: Campo electrico en las proximidades de un conductor aislado.

De manera analoga puede verse que, si la carga neta del conductor aislado fuese negativa, su potencialserıa negativo.

En el caso de un conductor esferico, la carga Q > 0 se distribuye, por simetrıa, uniformemente sobrela superficie, es decir σ = Q

4πR2 toma el mismo valor en todos los puntos de la superficie. Tambienpor simetrıa, el campo electrico es radial y dependiente solo de la distancia al conductor. Aplicando laley de Gauss a una superficie esferica concentrica con el conductor de radio r > R, se encuentra queΦ = 4πr2E(r) = Qint

ε0= Q

ε0, de donde

E(r) =Q

4πε0r2si r > R ,

resultado identico al obtenido en el ejercicio 1.7 para un punto exterior a una esfera uniformemente cargada.Aplicando la ley de Gauss a una superficie esferica concentrica con el conductor de radio r < R, se

tiene Φ = 4πr2E(r) = Qintε0

= 0 , de donde

E(r) = 0 si r < R .

Este resultado era de esperar, puesto que el campo electrico en el interior de un conductor en equilibrio hade ser nulo.

El potencial del conductor esferico (el de todo punto del conductor) es

Vc =

∫ ∞

AE · dr =

Q

4πε0

∫ ∞

R

1

r2dr =

Q

4πε0R.

Puede observarse que, como Q > 0, el potencial es, efectivamente, positivo. Si fuera Q < 0, el potencialserıa negativo.

El potencial de un punto P situado a una distancia r > R, es

VP =

∫ ∞

PE · dr =

Q

4πε0

∫ ∞

r

1

r2dr =

Q

4πε0r,

igual al obtenido para una esfera uniformemente cargada, para puntos exteriores a ella.



Ejemplo 2.2 (Densidad de carga en la superficie de un conductor: efecto puntas)La figura 2.4 representa un conjunto esferas conductoras, de diferentes radios Ri, unidas entre sı por hilosconductores, de forma que constituyen, en conjunto, un unico conductor.

R 1

R 2

R 3

Figura 2.4: Conjunto de esferas conductoras unidas. Efecto puntas.

Introduciendo cierta carga en el sistema de esferas, esta quedara repartida en el equilibrio sobre lasuperficie de los distintos conductores. Si las esferas estan suficientemente alejadas unas de otras, po-dra suponerse que la densidad superficial de carga en cada esfera, σi, es uniforme. Puede demostrarse quela carga total Qi situada en cada conductor es proporcional a su radio Ri, y que, sin embargo, la densidadsuperficial de carga σi y el campo Ei en las inmediaciones de cada esfera son inversamente proporcionalesal radio Ri.

Para ello, observese que, al estar unidas por hilos conductores, el potencial de todas las esferas esel mismo, digamos V , y V = Qi/4πε0Ri para cada esfera cargada, de donde Qi ∝ Ri. Teniendo encuenta que Qi = 4πR2

i σi, se obtiene σi ∝ 1/Ri. Como el campo inmediatamente fuera de la superficie delconductor i es Ei = σi/ε0, el campo es asimismo inversamente proporcional al radio, Ei ∝ 1/Ri.

De lo anterior se deduce que las densidades de carga mas elevadas y los campos mas intensos se producenen las esferas de radio menor. Abstrayendo esta idea al caso de un conductor de forma cualquiera, en laszonas puntiagudas (radios de curvatura pequenos), la densidad de carga electrica es mas elevada y, comoconsecuencia, existen campos mas intensos que en zonas de radio de curvatura grande.

El campo intenso existente en las zonas puntiagudas puede ionizar el aire que le rodea, al vencer lasfuerzas de enlace entre electrones y nucleo en las moleculas de aire4. El conductor atrae los iones de airecarga distinta a la de la punta, compensando la carga de esta (descargandola) y repele los del mismo signo,produciendose una corriente de aire llamada viento electrico.

De todo lo anterior puede deducirse que si se desea que un conductor permanezca cargado debenevitarse los elementos afilados, mientras que, por el contrario, deberan emplearse si se desea descargarlo(efecto puntas). Puede intuirse de ello por que un pararrayos es metalico y puntiagudo.

Otra consecuencia es la alta densidad superficial de las partıculas de polvo cargadas, debido a su pequenoradio. La alta densidad de carga puede producir la ionizacion del aire y provocar chispas; en una mina, lapresencia de grisu (metano, inflamable al mezclarse con el aire) puede hacer que esta chispa provoque unaexplosion.

La mayor densidad de carga en partıculas pequenas tambien puede afectar al rendimiento de unamolienda. Las partıculas se cargan por roce con los diferentes elementos del molino, quedando adheridas alas superficies de las bolas que deben fraccionar el material, disminuyendo el rendimiento (ya de por sı bajo)de la molienda.

4El aire seco comienza a ionizarse para campos del orden de 3× 106 V/m.


2.4. Carga y descarga de un conductor. Conexion a tierra. 37

Ejemplo 2.3 (Efecto corona en lıneas de alta tension)Planteemonos el caso de una lınea aerea de alta tension. La elevada diferencia de potencial (tension)existente entre el conductor y la tierra (potencial cero), provoca la presencia de un campo electrico entreambos (E = −gradV ). Del ejemplo anterior se deduce que, para un potencial dado, cuanta menor secciontenga el hilo (menor radio), tanto mas intenso sera el campo electrico. Si el campo es suficientementeelevado, llegan a arrancarse electrones del conductor, que al chocar con una molecula del aire que circundael conductor, hace que este se ionice. Los iones resultantes seran a su vez acelerados por el campo electricoproduciendose nuevas colisiones. El resultado es la conversion de una zona proxima que rodea al cable enconductora, lo que equivale a un aumento del radio del conductor. Este fenomeno se conoce como efectocorona.

El efecto corona produce perdidas energeticas, pero tambien perturbaciones de radio y television en lasproximidades. Es facilmente identificable a muy altas tensiones, por el ruido caracterıstico de crepitacion(como un zumbido de abejas) que produce. El valor de tension necesario para que se inicie el fenomenose denomina tension crıtica disruptiva o tension umbral. Con valores mas elevados (tension crıtica visual)llega a apreciarse una corona violacea acompanada de formacion de ozono. Las condiciones atmosfericas detemperatura, presion o humedad influyen en el grado de ionizacion, al modificar la conductividad del aire.Con tiempo de lluvia, neblina o escarcha, pero tambien con tiempo muy seco y caluroso, el efecto coronaes mas significativo. Lo mismo sucede con bajas presiones. En estos casos la tension umbral es menor.

A muy altas tensiones, el efecto corona llega a ser determinante en el diseno de los conductores. Paradisminuir los altos gradientes puede aumentarse la separacion entre conductores y entre conductores y tierra(por ello, cuanto mayor es la tension de la lınea, la normativa exige que la distancia del conductor a tierrasea mayor). Otra solucion es aumentar los diametros de los conductores, para reducir el efecto puntas, loque se logra en la practica sustituyendo el cobre por aluminio (aluminio-acero o aluminio aleado), o bienmontando conductores dispuestos en haz (figura 2.5).

Figura 2.5: Haz de conductores y sus superficies equipotenciales. Disminucion del efecto corona.

2.4. Carga y descarga de un conductor. Conexion a tierra.

La Tierra puede considerarse como un conductor esferico, aislado, de gran tamano. Puede asimismoconsiderarse que su carga total es nula, con lo que no existe ningun campo electrico entre ella y elinfinito, y su potencial, por tanto, es el mismo que el del infinito, esto es, nulo.



Cuando decimos que en una casa existe una toma de tierra, estamos indicando que existe unelemento conductor (un cable normalizado de color amarillo-verde) que esta conectado fısicamentecon tierra, normalmente a traves de una pica o placa metalica (de cobre), que se mantiene con unaelevada humedad para facilitar el paso de las cargas hacia tierra. Conectar a tierra un conductorconsiste en conectarlo fısicamente a tierra, bien directamente, bien mediante un hilo conductor. LaTierra y el conductor se convierten ası en un unico conductor, quedando, por tanto, al mismo potencial,y redistribuyendo su carga. El conductor queda ası a potencial cero. No podra, ademas, existir ningunalınea de campo electrico entre el conductor y tierra. De haberla, circulando a lo largo de ella, se llegarıaa la conclusion de que estarıan a diferente potencial.

Ejemplo 2.4 (Modo de descargar un conductor aislado cargado)Conectemos a tierra el conductor aislado del ejercicio anterior. Al quedar a potencial cero, no pueden existirlıneas de campo electrico entre el conductor e infinito, pues ambos estan al mismo potencial. El campoelectrico es nulo en todo el espacio. No pueden existir ya cargas en la superficie del conductor, ya que,segun la ley de Gauss diferencial, existirıa una divergencia no nula del campo electrico y ello implicarıa uncampo no nulo en las proximidades del conductor5. El conductor pierde pues su carga positiva (adquiereelectrones de tierra), y queda descargado.

Analizando este resultado no debe extranar que las personas que manejan componentes electronicos(por ejemplo en ordenadores), lleven hilos de cobre enrollados a su mano y conectados a tierra. El cuerpohumano se comporta como un conductor, que puede adquirir carga por frotamiento. El campo electrico quese producirıa en sus proximidades (mas intenso en zonas puntiagudas, como los dedos) puede deteriorar lossensibles componentes electronicos. La conexion a tierra permite descargar el cuerpo humano y eliminar elposible dano creado por el campo.

A pesar de la idea anterior, debe tenerse precaucion con las conexiones a tierra, dado que de la mismamanera que un conductor se descarga, puede recibir cargas provenientes de un conductor que se hubieradescargado en otro punto. Posiblemente se recordaran las tiras de goma con laminillas metalicas quecolgaban de los automoviles para, teoricamente, descargar su electricidad estatica por contacto con tierra.Puede uno imaginarse que podrıa pasar si ese elemento, disenado para la descarga, entrara en contacto conun conductor fuertemente cargado (por ejemplo, una vıa de ferrocarril que hubiera sufrido una descarga):al quedar al mismo potencial, la carga del conductor cargado se distribuirıa tambien por el automovil, y elresultado serıa el inverso al deseado. Lo mismo podrıa ocurrirle al operario que manejaba los componenteselectronicos, si en vez de escoger una “buena tierra”para conectarse, lo hiciese a un elemento metalico,que pudiera no estar conectado a tierra (suele decirse conectado a masa). Si este conductor estuvieradescargado, el efecto serıa el mismo que en una conexion a tierra, pero si estuviera cargado y con potencialno nulo, parte de la carga podrıa pasar al operario, lograndose un efecto contrario al deseado.

Ejercicio 2.5 (Conductor descargado en presencia de una carga puntual)Se tiene un conductor de forma arbitraria descargado y se situa cerca de el una carga puntual q > 0.Se desea estudiar, de manera cualitativa, como es la distribucion de carga inducida en la superficie delconductor, el campo electrico y determinar el signo del potencial cuando el conductor alcanza el equilibrioelectrostatico.

La presencia de la carga puntual positiva q, atrae a los electrones hacia las zonas mas proximas a q(hacia la izquierda en la figura 2.6). En el equilibrio, la zona mas cercana de la superficie del conductor

5Al mismo resultado puede llegarse aplicando el teorema de Gauss a una superficie cualquiera englobando el conductor:el campo es nulo y por tanto debe ser nula la carga total interior.



tendra una densidad de carga negativa (exceso de electrones), y la mas lejana, positiva (defecto de elec-trones). Observese que es necesaria la existencia de estas dos zonas con cargas de signo opuesto, puestoque la suma de todas las cargas inducidas debe ser igual a la carga neta del conductor, que es nula.

--- - - - -- - - - - - - - ----

+

+ + + + + + + + + + + +

+- -

-

q

+ +++

E = 0

D

AB

G

Figura 2.6: Campo electrico en las proximidades de un conductor, provocado por la presencia de unacarga puntual.

Un dibujo aproximado de las lıneas del campo electrico de equilibrio se muestra en la figura 2.6. En elinterior del conductor, el campo debe ser nulo. De la zona con σ > 0 nacen lıneas del campo electrico.Estas lıneas no pueden, haciendo un lazo, morir en la zona con σ < 0. Efectivamente, circulando por unasupuesta lınea tipo “lazo”, tal como la Γ, desde su inicio A en la zona con σ > 0 hasta su final B en lazona con σ < 0, la diferencia de potencial serıa

VA − VB =

∫ B

AE · dr > 0

puesto que E y dr tienen la misma direccion y sentido en todo el recorrido, y en conclusion, serıa VA > VB,lo que contradirıa que un conductor en equilibrio es equipotencial. Ası pues, todas las lıneas de campo quesurgen en las cargas positivas deben alejarse indefinidamente del conductor, como se ilustra en la figura.Con esto puede determinarse el signo del potencial del conductor. Realizando la circulacion del campoelectrico entre un punto cualquiera D de la zona de la superficie con σ > 0 y el infinito, a lo largo de lalınea de campo que parte en D, se obtiene

Vc =

∫ ∞

DE · dr > 0 ,

puesto que E y dr tienen la misma direccion y sentido en todo el camino. A la misma conclusion se puedellegar a partir de E = −gradV , que indica que el sentido del campo electrico es el de los potencialesdecrecientes. De aquı que, observando las lıneas de campo anteriores, el potencial del conductor haya deser necesariamente mayor que el del infinito, y por tanto positivo.

A la zona del conductor con σ < 0 deben llegar lıneas de campo electrico. Estas lıneas no puedenproceder del infinito (pues siguiendo el razonamiento anterior, el potencial del conductor serıa negativo).En consecuencia, todas las lıneas de campo que mueren en las cargas negativas deben proceder de la cargapuntual positiva.

Debe recordarse, ademas, que todas las lıneas del campo electrico en las proximidades del conductorson perpendiculares a la superficie.



Ejercicio 2.6 (Conductores con huecos vacıos)Se tiene un conductor de forma arbitraria en el que se ha practicado una cavidad, tambien de formaarbitraria. El conductor ha llegado al equilibrio despues de someterlo a un campo electrico, ya sea situandocargas en sus alrededores, cargando el propio conductor, o ambas cosas a la vez. Se desea estudiar, demanera cualitativa, como es la distribucion de carga en el conductor y el campo electrico, en el equilibrioelectrostatico.

Aparentemente, nada impide, segun los puntos (1)-(6) relativos a las caracterısticas de un conductoren equilibrio, que existan campo electrico en el hueco y cargas inducidas en la superficie interior que rodeaa este. Puede demostrarse, sin embargo, que el campo electrico en el hueco es nulo y no se inducen cargasen su superficie: todo ocurre como si el conductor fuese macizo.

+ + + ++ + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + +++++++++++++++++++++++++

++++

+++ + +

A

B

Figura 2.7: Distribucion de la carga de un conductor cargado y con huecos vacıos.

Esta afirmacion se prueba aplicando el teorema de Gauss a la superficie gaussiana mostrada en la figura2.7, contenida en el interior del conductor. Puesto que el campo electrico es nulo en toda la superficiegaussiana, tambien lo es el flujo. Por aplicacion de dicho teorema, la carga total interior a la superficiegaussiana, es decir, la carga total en la superficie del hueco, debe ser nula.

Aun ası, podrıa ocurrir que se indujese tanta carga positiva como negativa en la superficie del hueco. Siesto ocurriese, existirıan lıneas de campo desde la zona de cargas positivas hasta la zona de las negativas.Circulando por una de ellas, naciendo en un punto A y muriendo en un punto B, se tendrıa que VA > VB,lo que no es posible al ser todo el conductor equipotencial.

En conclusion, no puede existir ninguna carga inducida en la superficie del hueco, ni campo electricoen el. Debe notarse que esta conclusion es cierta solo si el hueco esta vacıo.

Ejercicio 2.7 (Carga de un conductor por influencia)Se tiene un conductor de forma arbitraria en el que se ha practicado una cavidad, tambien de formaarbitraria (el ejercicio es analogo si el conductor fuera macizo). En sus proximidades existe la presencia deuna carga puntual q > 0. Se desea estudiar, de manera cualitativa, como es la distribucion de carga en elconductor y el campo electrico, en el equilibrio electrostatico.

Con el mismo razonamiento de los ejercicios anteriores 2.5 y 2.6, las cargas que adquirirıa el conductorhueco en presencia de la carga puntual q > 0 serıan las de la figura 2.8a). Observese como el campo en el



interior del conductores es nulo. Si se conecta a tierra el conductor, al quedar a potencial cero, ya no puedenpartir lıneas de campo de las cargas positivas hacia el infinito, debiendo desaparecer las cargas positivas dela superficie del conductor. Electrones provenientes de tierra compensaran dichas cargas positivas (figura2.8b)).

-- -- - - -- - - - - - - - ----

- -- V = 0

--- - - - -- - - - - - - - ----

+

+ + + + + + + + + + + +

+- -

-

q

+ +++E = 0 E = 0

V = 0

a ) b )

q

Figura 2.8: a) Conductor hueco en presencia de una carga puntual. b) Conexion a tierra del conductor.

La densidad negativa del conductor debe, sin embargo, permanecer, para compensar el campo creadopor la carga puntual q, de manera que el campo electrico en el interior del conductor sea nulo. De estamanera, el conductor ha quedado cargado negativamente y, sin embargo, esta a potencial cero. Se diceque el conductor se ha cargado por influencia o por induccion de la carga puntual, teniendo ası otra formadistinta a la de frotamiento para cargar un conductor.

Si la carga que se enfrenta al conductor fuese negativa, el conductor se cargarıa por influencia con cargapositiva.

Ejercicio 2.8 (Conductores aislados, con carga en sus huecos)Consideremos ahora un conductor de forma cualquiera, aislado y descargado, con un hueco en su interior,e introducimos una carga q positiva, que supondremos puntual, en el hueco . Queremos saber como sedistribuye la carga en el conductor, que campo electrico y que potencial aparecen.

Si aplicamos el teorema de Gauss a una superficie gaussiana contenida en el interior del conductor(figura 2.9a)), por ser el campo electrico nulo en todos sus puntos, se concluye que la carga interior a dichasuperficie debe ser nula. Como en el hueco ya existe una carga de valor q, debera existir una carga de valor−q en el interior de la superficie gaussiana para que el balance de carga sea nulo. La unica zona en dondepuede estar dicha carga es en la superficie interior del conductor (la que rodea al hueco), distribuyendosecon una densidad superficial σ < 0,y de modo que la carga total en dicha superficie sea −q. Es decir, loselectrones del conductor se desplazan hacia su superficie interior. Como la carga debe conservarse, en lasuperficie exterior del conductor debe aparecer una deficiencia de carga, es decir, carga positiva de valor q.

Con esta distribucion de cargas, y puesto que en el interior del conductor el campo es nulo, en el huecoexistira un campo electrico y las lıneas de campo partiran de la carga positiva y moriran en las cargasnegativas de la superficie. Del mismo modo, de las cargas positivas de la superficie exterior partiran lıneasde campo hacia el infinito y, el potencial del conductor sera, pues, positivo.

El hecho de que la carga en la superficie externa del conductor sea la misma que la del hueco, q, permite,como aplicacion practica, medir la cargabilidad de polvos, la cual no puede determinarse directamente. El



+ + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +++++++++++++++++++++++

+++++

+++ ++ + q- - -

- - - - - - - - - - -- -------------- ------ -

a )

q- - -- - - - - - - - - - -- -------------- -----

- -

b )V = 0

Figura 2.9: a) Campo electrico en un conductor hueco descargado y con carga en el hueco. b) Conexiona tierra del conductor.

polvo cargado se introduce en el interior de un conductor. Midiendo la carga de la superficie externa, locual sı resulta factible6, se obtiene la carga del polvo.

2.5. Apantallamiento electrostatico. Jaula de Faraday

Conectemos a tierra el conductor hueco cargado del ejercicio anterior (figura 2.9b)). Al quedarel conductor a potencial nulo, y ademas estar aislado, no puede existir ningun campo electrico en elexterior (si hubiera una lınea de campo entre el conductor y tierra, o del conductor hacia el infinito, lacirculacion a lo largo de ella no serıa nula, contra la hipotesis de que conductor, tierra e infinito estanal mismo potencial). Resulta, por tanto, que al conectar el conductor a tierra, el espacio exterior nose ve alterado por la presencia de una carga en el interior del conductor.

Revisemos, asimismo, el ejemplo de la figura 2.8a) anterior, en la que el mismo conductor hueco,esta ahora en presencia de una carga puntual externa. El campo en el interior del conductor es siemprenulo, independientemente de la carga colocada en el exterior, pero el potencial del mismo depende dela carga colocada. Sin embargo, al conectar a tierra el conductor (figura 2.8b)), ya no solo permanecenulo el campo en su interior, sino que independientemente de la carga colocada, tambien es nulo elpotencial. El interior del conductor no se ve, pues, afectado por los campos electricos externos a el.

Una superficie cerrada mantenida a potencial constante divide, por tanto, el espacio en dos regionesindependientes, una interior y otra exterior, y se dice que constituye una pantalla electrostatica.

Hay que advertir que, en la practica, no es necesario que el conductor que actua como pantalla seauna superficie continua: un entramado metalico, con los hilos suficientemente juntos es suficiente paracomportarse como pantalla.

Faraday comprobo experimentalmente el efecto pantalla encerrandose en una jaula metalica. Deahı que se denomine jaula de Faraday al dispositivo consistente en una malla metalica conectada atierra, que rodea a un laboratorio, para aislarlo de perturbaciones exteriores.

Una aplicacion del efecto pantalla es el hilo de guarda (jaula de Faraday incompleta), en lıneasde alta tension, para protegerlas de los rayos. Otro ejemplo son los cables coaxiales, constituidos por

6Para medir la carga de una superficie se emplea un condensador, que se estudiara en el capıtulo 4, cuyas armaduras seconectan a la superficie exterior del conductor y a tierra, estando sometido a una diferencia de potencial igual al potencialdel conductor. Multiplicando este potencial por la capacidad del condensador, se obtiene la carga de la superficie.


2.5. Apantallamiento electrostatico. Jaula de Faraday 43

dos conductores concentricos, y en los que el conductor exterior realiza la mision de pantalla. Por estamisma razon, la carcasa de los ordenadores es metalica.

Ejemplo 2.9 (Uso de la Jaula de Faraday para medida de la carga electrica)Analicemos el resultado del ejercicio 2.8 anterior: el conductor ha adquirido en su superficie externa unacarga igual a la introducida en su interior. Se ha comentado que midiendo su potencial respecto a tierra sepuede determinar dicha carga. Hay, sin embargo, un inconveniente: si el conductor no estuviera aislado, porexistir cargas electricas exteriores a el, los ejemplos estudiados nos muestran que la distribucion de cargasen su superficie exterior y, como consecuencia, el potencial del conductor, varıan. Por tanto, la medida dela carga interior a partir del potencial del conductor serıa incorrecta.

+ + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +++++++++++++++++++++++

+++++

+++ ++ + q- - -

- - - - - - - - - - -- -------------- ------ -

V = 0

------- -

- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - ----

-- -

------ -- ------- -

-- -

--- -

- -- -

------ -----

-------

q

Figura 2.10: Apantallamiento electrostatico. Jaula de Faraday.

Envolvamos el sistema constituido por el conductor y su carga interior, por un nuevo conductor, conec-tado a tierra (figura 2.10). El potencial del conductor interior permanecera invariable, independientementede la existencia o no de cargas q externas, habiendo construido ası una jaula de Faraday. Conectando ahorael conductor interior al aparato de medida, puede determinarse la carga interior a partir del potencial delmismo.




2.1 Un conductor hueco A enequilibrio tiene una carga netaQ positiva. En su interior existeotro conductor B de carga ne-ta nula. Razonese: 1) si la car-ga de A se situa toda en su su-perficie externa o, por el con-trario, se reparte entre la caraexterna y la cara interna. 2)Se conecta despues B a tierra.¿Seguira estando descargado B oadquirira carga? 3) En este ulti-mo caso, razonese el signo de lacarga de B.

A

B

2.2 Si, en el ejercicio anterior, el conductor hueco Aes una corona esferica de cobre con carga Q = 1 mCy radios 0,8 m y 0,4 m, y el conductor interior B unaesfera de hierro de radio 0,2 m, calculense las cargasinducidas en ambos conductores, el campo electrico yel potencial en cualquier punto del espacio, cuando laesfera de hierro esta conectada a tierra.

2.3 Se tienen dos conductores C1 y C2 en equilibrio,C1 con carga Q > 0 y C2 con carga −Q < 0. Dibujese,aproximadamente, la distribucion de cargas inducidasen las superficies de los conductores y el campo electri-co en las proximidades de los conductores. ¿Cual delos dos conductores esta a mayor potencial? Entre lospuntos Ay B ¿Cual esta a mayor potencial?

C 1 C 2

Q > 0 - Q < 0AB

2.4 Un cable de alta tension esta a Vc = 2 kV y auna altura h = 20 m sobre la superficie de la tier-ra. Esta diferencia de potencial implica la existenciade un campo electrico E entre el cable y tierra, y quesupondremos aproximadamente uniforme. Calculese elvalor de este campo electrico. A partir de este valor,compruebese que la diferencia de potencial entre unpunto a 2 m de altura y la superficie de la tierra es de200 V . Dese una explicacion al hecho experimental deque una persona (de 2 m de altura, aproximadamente)paseando por debajo del cable de alta tension no seelectrocute.

E

V c = 2 k V

h = 2 0 m

2.5 En un hueco practicado en un conductor A descar-gado se ha introducido otro conductor B cargado neg-ativamente. Alcanzado el equilibrio, ¿cual es el signodel potencial de cada conductor?, ¿cual de los dos tienemenor potencial?

2.6 Dos esferas conductoras identicas, A y B, tienencargas iguales. Inicialmente estan separadas una dis-tancia muy grande en comparacion con sus diamet-ros, y la magnitud de la fuerza entre ellas es F . Unatercera esfera conductora C, identica a las anteriores,esta descargada. La esfera C es puesta en contacto conla A, luego con la B, y finalmente es alejada de A y B.En la situacion final, determınese la nueva fuerza entreA y B.

2.7 Se enfrenta a una chapa metalica, inicialmentedescargada y de area muy grande, una carga electri-ca puntual positiva. Estudie como se distribuyen lascargas inducidas en la chapa y la forma aproximada delas lıneas de campo electrico, dependiendo de que lachapa este o no conectada a tierra. ¿Puede aplicarse elteorema de Gauss para calcular el campo electrico encualquier punto del espacio?

2.8 Se tiene un conductor esferico de radio R y concarga electrica Q > 0, rodeado de una corona esfericaconductora de radios interior y exterior 2R y 3R, re-spectivamente, y conectada a tierra. En el equilibrio,determine el campo electrico en todo punto del espa-cio. Determine tambien la diferencia de potencial entreambos conductores.

2.9 En el interior de un recipiente metalico conecta-do a tierra, se introduce un cuerpo cargado con -10nC, sin que contacte con el recipiente, cerrando este acontinuacion. a) Demuestre que en la superficie exte-rior del recipiente no puede existir carga electrica. b)Demuestre que el recipiente se carga con +10nC.

2.10 Una esfera conductora de centro O y radio Resta descargada. La esfera presenta un hueco esferico,descargado, de radio R/4 con su centro en un puntoO′ situado a R/2 de O. En el punto O′ se coloca unacarga puntual q. Determine el campo electrico creadoen un punto P situado en la lınea que une O con O′ ya una distancia a de O .


Capıtulo 3

Campo electrostatico en materialesdielectricos

3.1. Introduccion

Los materiales dielectricos (nombre debido a Faraday), aislantes o no conductores, se caracterizanpor no contener partıculas cargadas libres. Las cargas electricas –nucleos y electrones–, estan unidasfuertemente formando los atomos o moleculas del material, solo pudiendo cambiar levemente susposiciones, con desplazamientos del orden del tamano atomico (∼ 1A = 10−10 m) en respuesta acampos electricos externos, pero sin abandonar la vecindad de los atomos o moleculas a las quepertenecen. Este tipo de carga se dice que esta ligada. En rigor, los dielectricos reales no satisfacenestrictamente esta definicion, pues muestran una debilısima conductividad. 1 Esta es, sin embargo,tan pequena en comparacion con la de los metales conductores (tıpicamente, del orden de 1020 vecesmenor) que puede decirse, sin ambages, que los dielectricos son no conductores o aislantes.

En este capıtulo se estudiara el comportamiento de los materiales dielectricos bajo la influencia decampos electricos. Para ello es necesario introducir previamente el concepto de dipolo electrico.

3.2. Dipolo electrico. Momento dipolar electrico

Un dipolo electrico consiste en la agrupacion de dos cargas puntuales de igual magnitud y signocontrario, +q y −q separadas cierta distancia d (ver figura 3.1). Para un dipolo electrico resultaconveniente definir su momento dipolar electrico,

p ≡ qd , (3.1)

siendo d el vector de modulo d dirigido de la carga negativa a la positiva. La unidad de p en el SI esel C·m.

El potencial electrostatico debido a un dipolo electrico, en un punto P cualquiera de vector deposicion r, se puede calcular simplemente sumando el potencial debido a cada una de las dos cargas,

Vdipolo(r) =1

4πε0

(q

r1− q

r2

)=

q

4πε0

r2 − r1r1r2

(3.2)

siendo r1 y r2 las distancias de las cargas positiva y negativa, respectivamente, al punto P , como semuestra en la figura 3.1. En la mayorıa de los casos de interes en el estudio de los dielectricos, la

1Este concepto se estudiara con mas detalle en el capıtulo de corriente continua

45

46 Capıtulo – 3. Campo electrostatico en materiales dielectricos

.

q

P

r r 1r 2

r 2 - r 1

+ q- q Oddp = q

Figura 3.1: Dipolo electrico y su momento dipolar electrico

distancia d entre las dos cargas es muy pequena frente a ri (d sera del orden del tamano atomico,mientras que ri es una longitud macroscopica). En este caso, se puede aproximar r1r2 ≃ r2, siendor = |r|, y r2 − r1 ≃ d cos θ, resultando

V =qd cos θ

4πε0r2=

1

4πε0r2p · r

r. (3.3)

Puede observarse que el potencial creado por el dipolo disminuye, a grandes distancias, con el cuadradode la distancia r al dipolo y carece de simetrıa esferica. Si el dipolo esta centrado en un punto r ′ enlugar del origen O, r debe sustituirse por r − r ′ en (3.3), es decir,

Vdipolo =p · (r − r ′)

4πε0|r − r ′|3. (3.4)

Dipolo electrico en un campo electrico

Imaginemos ahora un dipolo en el seno de un campo electrico externo Eext (originado por otrascargas), como se ilustra en la figura 3.2a. Resulta de interes calcular la energıa potencial Ep queacumula el dipolo por el hecho de estar inmerso en dicho campo.

Puesto que el potencial Vext asociado al campo electrico Eext (Eext = −gradVext) es la energıapotencial por unidad de carga [ver ecuacion (1.24)], la energıa potencial del dipolo es

Ep = −qVext(−d/2) + qVext(+d/2) , (3.5)

siendo Vext(∓d/2) el valor del potencial en las posiciones de las cargas negativa y positiva. Si el dipoloes muy pequeno, puede suponerse que el potencial varıa poco de las posiciones ∓d/2 al centro deldipolo O. Se podra entonces utilizar el desarrollo en serie de potencias de Vext en torno a O, paraescribir Vext(∓d/2) ≃ Vext ∓ d/2 · gradVext, donde Vext es el valor del potencial externo en el centroO del dipolo. Sustituyendo la ultima expresion en (3.5), se obtiene, tras simplificar y tener en cuentaque p = qd,

Ep = p · gradVext = −p · Eext . (3.6)


3.2. Dipolo electrico. Momento dipolar electrico 47

+ q- q O

p

E e x t

a )

F + q

F - q

O

p

E e x t

b )

E e x t

c )

+ q

- q

F + q

F - q

Figura 3.2: Dipolo electrico en un campo electrico externo

De la inspeccion de esta ecuacion, se encuentra que la energıa potencial de un dipolo electrico en uncampo electrico es mınima cuando el dipolo esta orientado en el sentido del campo (p en la mismadireccion y sentido que Eext).

Un dipolo en un campo electrico externo experimenta ademas un par de fuerzas, como se ilus-tra en la figura 3.2b. La carga negativa experimenta una fuerza en el sentido contrario al campoF−q = −qEext(−d/2), mientras que la positiva experimenta una fuerza en el sentido del campo

Fq = qEext(d/2). Puede demostrarse, siguiendo un razonamiento analogo al que llevo a la ecuacion(3.6), que, para un dipolo pequeno, el momento de dicho par es

M = d× (qEext) = p× Eext , (3.7)

siendo Eext el valor del campo externo en el centro O del dipolo. La orientacion de equilibrio del dipolocorresponde a M = 0, y por tanto, un dipolo electrico en un campo electrico quedara en equilibrioorientado en el sentido del campo.

Si el campo externo no es uniforme (varıa de punto a punto), el dipolo se desplaza, como untodo, dentro del campo. Para cerciorarse de esto basta observar que, si la energıa potencial del dipoloesta dada por la ecuacion (3.6), experimentara una fuerza F = −gradEp, es decir,

F = grad(p · Eext) . (3.8)

Del analisis de esta expresion, se encuentra que, cuando el dipolo esta orientado en el sentido del campo,tiende a desplazarse en la direccion en que el campo crece. Este hecho puede entenderse facilmentea partir de la figura 3.2c. Si el campo aumenta en modulo hacia la izquierda, la carga negativaexperimentara una fuerza mayor que la positiva, resultando ası una fuerza neta sobre el dipolo en el



sentido en que crece el campo. Si el campo es uniforme, el dipolo no experimentara ninguna fuerzaque tienda a desplazarlo.

3.3. Estructura microscopica de los materiales dielectricos

Los dielectricos suelen agruparse, en cuanto a la estructura de su cargas electricas, en dos grandestipos: los dielectricos con moleculas polares y con moleculas no polares.

Una molecula es polar si los “centros de gravedad”, o con mas propiedad, centros de carga, de lasdistribuciones de carga positiva y negativa no coinciden. Moleculas polares son casi todas las moleculasbiatomicas con dos atomos diferentes, como CS, HCl, o CO. En estos casos, la asimetrıa de las cargaspositivas (los dos nucleos) y de las cargas negativas (los electrones), mas afines, en general, a unode los atomos, resulta en la no coincidencia de los centros de ambos tipos de carga. Estas moleculaspolares pueden, por tanto, modelizarse por medio de un dipolo electrico, formado por los centros decarga negativa y positiva, y con cierto momento dipolar electrico p (ver figura 3.3a). El orden demagnitud de p, para moleculas simples como CO o HI es de 10−30 Cm. Moleculas triatomicas (como lade agua) o poliatomicas pueden tambien presentar momentos dipolares electricos, como se ilustra enla figura 3.3b. En el caso del agua, el momento dipolar de la molecula puede verse como la composicionde los momentos dipolares de cada enlace H–O, dirigidos hacia el H. Los dielectricos con moleculaspolares pueden verse ası como un conjunto enorme de dipolos electricos. En ausencia de fuerzas quelos alineen, como un campo electrico, los dipolos estan orientados al azar, dando un momento dipolarneto nulo. 2

pH C l+ -

a )

p

H H

Op 1 p 2

+ +

- b )

O-

O-

C+ p 2p 1

p = 0

Figura 3.3: Moleculas a) polares y b) no polares

Los dielectricos con moleculas no polares estan formados por moleculas que no presentan un mo-mento dipolar electrico neto. Moleculas monoatomicas, como He, Ne o Ar, con simetrıa esferica,biatomicas con atomos iguales como H2, O2, y poliatomicas con ciertas simetrıas, como CO2, (verfigura 3.3b) o C2H6 (etano), son no polares, debido a que en ellas los centros de carga negativo ypositivo coinciden.

3.4. Dielectricos en presencia de campos electricos

Sometamos ahora un dielectrico a un campo electrico (Fig. 3.4a), situandolo cerca de cargas electri-cas, como las contenidas en un conductor. Ocasionalmente, la carga que origina el campo puede in-troducirse en el propio dielectrico, dopandolo con iones o ionizando moleculas del dielectrico.

2Excepcion a esto son los materiales llamados ferroelectricos, por analogıa con los mas conocidos ferromagneticos,cuyas moleculas polares quedan orientadas aun en ausencia de campos electricos externos.


3.4. Dielectricos en presencia de campos electricos 49

Si el dielectrico esta constituido por moleculas no polares, los centros de carga positiva y negativa,inicialmente coincidentes, tenderan a desplazarse, bajo la accion del campo electrico, en sentidoscontrarios: la carga positiva en el del campo y la negativa en el contrario. En otras palabras, el campoelectrico polariza las moleculas. Estos dipolos inducidos quedan alineados en el sentido del campoelectrico, y ası su momento dipolar electrico.

qE e x t

a ) b )

+ -

+ -

+ -

+ -+ -+ -

+ -

+ -

+ -+ -

+ -+ -

+ -

+ -

+ -

+ -+ -

+ -+ -

+ -

+ -p

p

c )

q+++ + + + +

+ + +

+

- - ----

--

--

E

Figura 3.4: Proceso de polarizacion de un dielectrico

Si el dielectrico esta formado por moleculas polares, estas, al ser sometidas al campo electrico,experimentan un par de fuerzas que tendera a alinearlas en la direccion del campo, fenomeno que seconoce como polarizacion por orientacion. Una vez orientadas, las moleculas pueden ver incre-mentada su polarizacion por el mismo mecanismo que en los dielectricos con moleculas no polares.

El proceso de polarizacion inducida no continua indefinidamente, pues existen fuerzas intramolec-ulares recuperadoras (la propia atraccion coulombiana entre nucleos y electrones) que lo frenan,llegandose a una situacion de equilibrio. En esta situacion, se dice que el dielectrico esta polarizado(Fig. 3.4b).

La polarizacion del dielectrico es una reordenacion de sus cargas electricas en las que hay undesplazamiento neto, aunque pequeno, de su carga positiva en el sentido del campo, y la negativa enel contrario. Esta reordenacion de las cargas tiene como consecuencia la aparicion de distribucionesde carga en el dielectrico. Puesto que su origen esta en el fenomeno de polarizacion del dielectrico, sedenominan cargas de polarizacion. Estas cargas aparecen en las superficies del dielectrico, como sepuede intuir de la figura 3.4b, con cierta densidad superficial σp y, si el campo no es uniforme, en suvolumen, con cierta densidad ρp.

Ası pues, un dielectrico polarizado crea un campo electrico, originado por sus cargas de polarizacion,que se superpone al campo creado por las cargas q de la figura 3.4c. El campo electrico creado por undielectrico polarizado es de sentido tal que tiende a oponerse al campo inicialmente aplicado sobre eldielectrico.

El resultado final del proceso de polarizacion de un dielectrico queda ilustrado en la figura 3.4c.El campo electrico no es ya igual al que inicio el proceso de polarizacion sino la suma de los camposelectricos creados por todas las distribuciones de cargas presentes en el espacio, en las que se incluyenlas cargas de polarizacion.

En los siguientes apartados se estudiara este estado final con mayor profundidad. En primer lugarse describira cuantitativamente la polarizacion de un dielectrico. A continuacion se relacionara la po-larizacion del dielectrico con las cargas de polarizacion inducidas, ya que estas son consecuencias deaquella. Por ultimo, conocidas todas las cargas, se determinara el campo y el potencial electricos enel dielectrico y sus alrededores.



3.5. Vector polarizacion electrica

Consideremos un material dielectrico polarizado (olvidemonos por ahora de la causa), y fijemonosen un volumen pequeno dτ (un diferencial macroscopico, muy pequeno frente a las dimensiones deldielectrico, pero grande en comparacion con el tamano de las moleculas) en cierta posicion del dielectri-co r ′, como se muestra en la figura 3.5. Si el numero de moleculas polarizadas en el es N , con momentosdipolares pi,

3 el dτ se comportara tambien como un dipolo con momento dipolar neto igual a la sumade los individuales de las moleculas:

dp =N∑i=1

pi .

Multiplicando y dividiendo por N se encuentra que

dp = N⟨p⟩ , (3.9)

siendo ⟨p⟩ el momento dipolar medio de las moleculas en la posicion r ′ del dielectrico.

O

r '+ -+ -+ -

+ -

+ -

+ -

+ -+ -

+ -+ -

+ -

+ -+ -+ -+ -

+ -

+ -

+ -+ -

+ -+ -

p i

p j

d p

Nd t d t

Figura 3.5: Dielectrico polarizado

El vector polarizacion electrica P se define como el momento dipolar electrico por unidad devolumen,

P (r ′) ≡ dp

dτ. (3.10)

Teniendo en cuenta (3.9), se podra escribir,

P (r ′) =N⟨p⟩dτ

= n⟨p⟩ , (3.11)

siendo n = N/dτ el numero de moleculas por unidad de volumen en la posicion r ′ del dielectrico.La expresion (3.10) define el vector polarizacion en terminos de cantidades macroscopicas directa-

mente medibles, mientras que la expresion (3.11) relaciona el vector polarizacion con las propiedadesmicroscopicas del material, como el numero de moleculas por unidad de volumen y los momentosdipolares moleculares. La ecuacion (3.11) es de mayor interes en teorıas que pretenden explicar lapolarizacion del dielectrico a partir de su estructura microscopica.

3Los pi, en situaciones reales, no seran identicos, aunque todas las moleculas sean iguales, pues la agitacion termicade las moleculas y sus interacciones mutuas impediran la completa alineacion de los dipolos.


3.6. Cargas de polarizacion 51

Debe tenerse en cuenta que P es un campo vectorial definido sobre el volumen del dielectrico,aunque, puede extenderse al vacıo escribiendo P = 0, ya que no hay moleculas que se polaricen. Dehecho, el vacıo puede considerarse como un dielectrico (es no conductor) cuyo vector polarizacion essiempre nulo.

La unidad del vector polarizacion en el SI es, de acuerdo con su definicion (3.10), el C/m2, lamisma que una densidad superficial de carga.

3.6. Cargas de polarizacion

Cada volumen dτ , situado en la posicion r ′, del dielectrico polarizado, se comporta como undipolo electrico de momento dipolar total dp = N⟨p⟩, o bien, a partir de (3.10), como dp = P (r ′)dτ .El potencial electrostatico creado por el dipolo dp en cualquier punto r es, segun la ecuacion (3.4),

dVdτ =dp · (r − r ′)

4πε0|r − r ′|3=

P (r ′) · (r − r ′)

4πε0|r − r ′|3dτ , (3.12)

y por el principio de superposicion, el potencial creado por todo el material dielectrico, que ocupa unvolumen Ω, es

Vdiel(r) =1

4πε0

∫Ω

P (r ′) · (r − r ′)

|r − r ′|3dτ . (3.13)

Mediante ciertas transformaciones, que omitiremos por puramente matematicas 4, puede obtenerse lasiguiente expresion alternativa del potencial creado por el dielectrico polarizado:

Vdiel(r) =1

4πε0

[∫∂Ω

P (r ′) · n|r − r ′|

dS +

∫Ω

−divP (r ′)

|r − r ′|dτ

], (3.14)

siendo n el unitario normal exterior a la superficie ∂Ω del dielectrico. Observese la forma de estaexpresion y comparese con la expresion (1.22) para el potencial creado por una distribucion continuade carga. El potencial creado por el dielectrico polarizado, Ec. (3.14), aparece como la superposicionde los potenciales creados por una distribucion en la superficie del dielectrico, de densidad superficial,

σp = P · n , (3.15)

y por una distribucion volumetrica en el interior del dielectrico, de densidad

ρp = −divP . (3.16)

Estas son las cargas de polarizacion, antes mencionadas, que aparecen en la superficie y el volumendel dielectrico como consecuencia de su polarizacion. Las densidades σp y ρp reciben el nombre dedensidades superficial y volumetrica de cargas de polarizacion, respectivamente. De acuerdocon la expresion (3.15), la densidad superficial de carga de polarizacion en cada punto de la superficiedel dielectrico es la proyeccion del vector polarizacion, evaluado en ese punto, sobre la normal exteriora la superficie. Es por tanto positiva si P apunta hacia fuera del dielectrico, siendo maxima si es normalhacia fuera del dielectrico. Analogamente, la densidad superficial de carga de polarizacion sera negativaen un punto de la superficie si en ese punto P apunta hacia dentro del dielectrico. Segun la ecuacion(3.16), aparecera una densidad volumetrica de carga de polarizacion en el interior del dielectrico si la

4El procedimiento se basa en que ∇(

1|r−r ′|

)= r−r ′

|r−r ′|3 y en aplicar las propiedades del operador ∇ y el teorema de

la divergencia, y puede encontrarse en Fundamentos de la teorıa electromagnetica, Reitz, Milford, Christy, pagina 83



divergencia de P es no nula, para lo cual es necesario (aunque no suficiente) que la polarizacion deldielectrico sea no uniforme.

En funcion de las cargas de polarizacion, el potencial se escribe como

Vdiel(r) =1

4πε0

[∫∂Ω

σp(r′) dS

|r − r ′|+

∫Ω

ρp(r′)

|r − r ′|dτ

]. (3.17)

El campo electrico creado por el dielectrico polarizado es entonces Ediel = −gradVdiel. Teniendo encuenta que grad (1/|r − r ′|) = (r − r ′)/|r − r ′|3, se obtiene

Ediel(r) =1

4πε0

[∫∂Ω

σp(r′)dS

|r − r ′|2r − r ′

|r − r ′|+

∫Ω

ρp(r′)dτ

|r − r ′|2r − r ′

|r − r ′|

]. (3.18)

La aparicion de las cargas de polarizacion superficiales puede interpretarse mediante un modelofısico sencillo. Consideremos un dielectrico polarizado, en el que todos los dipolos se han alineadoperfectamente. En la figura 3.6 se puede apreciar la aparicion real de cargas en las superficies, positivasi P tiene componente normal hacia fuera (todas las cargas positivas de los dipolos quedan en lasuperficie), y negativa si P tiene componente normal hacia dentro (todas las cargas negativas de losdipolos quedan en la superficie).

+ -+ -+ -

+ -+ -+ -+ -+ -

+ -

+ -P

P

s p > 0

s p < 0

Figura 3.6: Modelo intuitivo para la carga superficial de polarizacion.

Para entender, siquiera de forma cualitativa, la aparicion de cargas de polarizacion en el volumendel dielectrico, observese la figura 3.7.

En (a) aparece un dτ del dielectrico sin polarizar, y por tanto con carga neta nula. Si se polarizauniformemente el dielectrico (digamos con P = Pxi, siendo Px constante, y por tanto, divP = 0),todas las moleculas se polarizan por igual, y la carga neta del dτ sigue siendo nula, como se ilustra en(b). Si por el contrario, la polarizacion tiene divergencia no nula (pongamos por caso que Px aumentacon x), las moleculas hacia las x crecientes estan mas polarizadas, pudiendo resultar un cambio en lacarga neta contenida en dτ , como puede verse en (c). La expresion (3.16) arroja en este caso un valorρp = −divP = −∂Px/∂x < 0, en coincidencia con nuestro sencillo modelo.

La carga total de polarizacion inducida en el dielectrico es

Qp =

∫Ωρpdτ +

∫∂Ω

σpdS = −∫ΩdivP dτ +

∫∂Ω

P · ndS , (3.19)

siendo Ω su volumen y ∂Ω su superficie. Esta integral debe ser cero, pues en el proceso de polarizacionde un dielectrico la carga electrica no se crea ni destruye, simplemente se reordena. De hecho, utilizandoel teorema de Ostrogradski-Gauss en (3.19) se obtiene inmediatamente que Qp = 0. Esto permitecalcular la carga total de polarizacion en el volumen conocida la de la superficie, y viceversa.


3.7. Relacion de constitucion de un dielectrico 53

a ) b ) c )x

+- +-

+-+-+- +-+-

- + - +- +

- +- +

- +- +

- + - +- +

- +- +

- +- +

r p = 0 r p = 0 r p < 0d t d t d t

Figura 3.7: Modelo intuitivo para la carga volumetrica de polarizacion.

3.7. Relacion de constitucion de un dielectrico

Hasta este momento se ha descrito la polarizacion de un dielectrico y la consiguiente aparicion decargas de polarizacion. Ahora bien, el dielectrico se polariza como consecuencia de un campo electrico.La cuestion que se plantea en este punto es que relacion existe entre la polarizacion P y el campoelectrico E que experimenta el dielectrico. (Debe entenderse que E es el campo total en el dielectrico,resultado de superponer el que crea el mismo y el creado por las cargas que originaron inicialmente elproceso de polarizacion). La respuesta es que esta relacion depende de la naturaleza de la sustanciadielectrica. Es necesario pues establecer una relacion entre P y E, del tipo

P = P (E) , (3.20)

propia de cada sustancia, y que caracteriza el comportamiento del dielectrico frente a campos electricos.Esta relacion, denominada relacion de constitucion (o constitutiva), ha de encontrarse experimen-talmente o bien mediante teorıas sobre la estructura microscopica del dielectrico.

La experiencia muestra que, para la mayorıa de los materiales, la polarizacion es nula cuando nohay campo electrico, lo cual resulta evidente en los dielectricos con moleculas no polares, y cuando sonpolares, debido a que estan orientadas al azar. En la mayorıa de los materiales, ademas, la polarizacionaumenta linealmente con el campo electrico (si no es demasiado intenso) y tiene su misma direccion ysentido. Se tendra entonces P = cte E. Esta relacion suele escribirse, mas convenientemente, como

P (r) = ε0χeE . (3.21)

Los dielectricos que satisfacen esta relacion de constitucion se denominan lineales, homogeneos eisotropos. La constante adimensional χe ≥ 0 se denomina susceptibilidad electrica. Su valor paracada material esta determinado por el tipo de moleculas que lo forman (su polarizabilidad), por suestado de agregacion y las diversas magnitudes termodinamicas que determinan su estado, como latemperatura y la presion. En la tabla se encuentran los valores de χe para algunas sustancias comunes.El vacıo, al no poder polarizarse, es un dielectrico con χe = 0.



Sustancia χe Emax(V/m)

SolidosVidrio 8 30× 106

Madera 2.5–8Papel 1–3 15× 106

Cuarzo (SiO2) 3.3Caucho 1.3–3 25× 106

Poliestireno 1.6 20× 106

Mica 5 200× 106

LıquidosAgua (0oC) 87.8Agua (20oC) 79.1Alcohol etılico (0oC) 27.4Alcohol etılico (20oC) 24.0

GasesAire (1 atm, 20oC) 5,4× 10−4 3× 106

Aire (100 atm, 20oC) 5,5× 10−2

CO2 (1 atm, 20oC) 9,5× 10−4

Mas sobre la susceptibilidad electricaSe ha mencionado que χe depende de la presion y la temperatura. La variacion de la susceptibilidad de un

dielectrico solido con la presion es el origen del efecto piezoelectrico, descubierto por los hermanos Curieen 1880. Este consiste en la variacion de la polarizacion cuando se somete el dielectrico a distintas presionesexternas, y es ampliamente utilizado en la tecnologıa para transformar acciones mecanicas (presiones) sobreun dielectrico en senales electricas (por ejemplo, en microfonos o transductores). El efecto piezoelectricoes especialmente pronunciado en materiales ferroelectricos, de los que se hablara mas adelante.

Para muchos dielectricos, la variacion de la susceptibilidad con la temperatura sigue la ley aproximada

χe = a+ b/T , (3.22)

siendo a y b dos constantes caracterısticas del material y T la temperatura absoluta. La aportacion a ala susceptibilidad tiene su origen en la polarizacion inducida de las moleculas (su “estiramiento”), quees, esencialmente, independiente de la temperatura. El termino b/T (termino de Langevin), inversamenteproporcional a T , tiene su origen en la orientacion de las moleculas polares de los dielectricos. A muy bajastemperaturas la orientacion de las moleculas con el campo sera casi perfecta, pero se ve obstaculizada conel aumento de temperatura, por la creciente agitacion termica e interacciones moleculares.

La variacion de χe con la temperatura da lugar al efecto piroelectrico, consistente en la variacionde la polarizacion del dielectrico con la temperatura. Este efecto fue observado por primera vez en 1703, aldescubrirse que calentando de un cristal de turmalina se originaban cambios en las cargas electricas en ciertascaras del cristal (cargas de polarizacion). El opuesto del efecto piroelectrico es el efecto electrocalorico,por el cual un cambio en la polarizacion del material (variando el campo electrico) origina un cambio ensu temperatura.

Otros tipos de dielectricosExisten otros materiales dielectricos que no responden a la ecuacion (3.21). Materiales en los que

el numero de moleculas por unidad de volumen (densidad) o la composicion quımica varıa de punto apunto, tienen una susceptibilidad variable en el espacio. Tales dielectricos se denominan inhomogeneos,


3.7. Relacion de constitucion de un dielectrico 55

siendo la relacion de constitucion del tipo P (r) = χe(r)E(r). La atmosfera se comporta, a gran escala,como un dielectrico inhomogeneo debido a la variacion de su densidad con la altura. En tecnologıa detelecomunicaciones se utilizan fibras opticas de vidrio (dielectrico homogeneo) dopado con impurezas quelas transforman en inhomogeneas. Esta inhomogeneidad es la que produce el guiamiento de pulsos de luzdentro de ellas a lo largo de miles de kilometros.

Muchos de los dielectricos que forman una estructura cristalina, tienen distintas propiedades fısicas, yentre ellas las susceptibilidad electrica, en diferentes direcciones del espacio. Tales dielectricos se denominananisotropos. La anisotropıa significa que la polarizacion del material es de distinta magnitud si el campoelectrico aplicado tiene diferentes direcciones. Una consecuencia de esto es que, en estos materiales, P yE no son, en general paralelos. La relacion de constitucion (3.21) debe cambiarse en estos casos por unarelacion de la forma P = χeE, siendo χe una matriz 3× 3, llamada tensor de susceptibilidad.

Cuando los campos electricos son extremadamente intensos, del mismo orden de magnitud que el cam-po coulombiano entre electrones y nucleos, los dielectricos lineales se transforman en no lineales, llamadosası porque la relacion entre P y E ya no es lineal. Un caso muy importante de dielectricos no lineales sonlos ferroelectricos. En estos, ademas de la relacion no lineal, la polarizacion puede ser extremadamente altay puede permanecer aun en ausencia de campo electrico. Este comportamiento esta determinado por supeculiar estructura microscopica: en lugar de moleculas individuales polarizadas, los cristales ferroelectri-cos contienen regiones macroscopicas de polarizacion homogenea, llamadas dominios, a modo de enormesdipolos macroscopicos. Estos dominios solo pueden existir por debajo de cierta temperatura llamada tem-peratura de Curie ferroelectrica. Por encima de esta temperatura, los ferroelectricos se comportan comodielectricos lineales.

Ruptura dielectrica

Un caso lımite de no linealidad en los materiales dielectricos aparece cuando el campo electrico es losuficientemente intenso como para, en lugar de ocasionar los pequenos desplazamientos de los dipolos,extraer a los electrones de las moleculas. 5 Aparecen entonces fenomenos de inestabilidad, al quedarliberados los electrones de sus posiciones fijas en el material, convirtiendose este en conductor, con fuertescorrientes a traves de el. Este fenomeno se conoce con el nombre de ruptura dielectrica, dandose elnombre de rigidez dielectrica al campo electrico maximo que un dielectrico es capaz de soportar sinque se produzca dicho fenomeno. Los ordenes de magnitud de la rigidez dielectrica son de kV/mm, comopuede apreciarse en la tabla anterior, aunque estos valores dependen de factores externos como la humedadrelativa o la temperatura. El estudio de este fenomeno ha adquirido especial importancia con el desarrollode la microelectronica, al ser necesaria la utilizacion de pequenas pelıculas de aislante (de varios centenaresde amstrong), capaces de soportar campos electricos del orden de kV/mm.

Tambien puede describirse el fenomeno en terminos de la maxima diferencia de potencial que el aislantees capaz de resistir, denominandose voltaje de ruptura a dicho potencial lımite, termino que sera deespecial importancia en el capıtulo siguiente, al estudiar las caracterısticas de los condensadores.

5Existen diferentes causas posibles para el inicio del proceso: el calor por efecto Joule que el material es incapaz deeliminar cuando el campo es muy intenso (ruptura termica); procesos de ionizacion (avalancha) de los atomos en reposo,por impacto de los electrones excitados por el campo aplicado (ruptura electronica); o por movimiento de los iones de lared por accion del campo electrico (ruptura ionica).



3.8. Desplazamiento electrico. Teorema de Gauss. Permitividad

Resulta especialmente util (esto se apreciara mas adelante) definir un nuevo campo vectorial,llamado desplazamiento electrico, como

D(r) ≡ ε0E(r) + P (r) . (3.23)

Esta expresion significa que el vector desplazamiento electrico D en cada punto del espacio r es lasuma de ε0E y P en este mismo punto. Por ejemplo, en el vacıo D ≡ ε0E.

La divergencia del desplazamiento electrico es

divD = ε0divE + divP . (3.24)

Recordemos que divP = −ρp, y que divE = ρ/ε0, siendo ρ = ρp + ρnp la densidad de carga total encada punto del espacio. Esta densidad incluye la densidad de carga de polarizacion ρp, y la densidadde carga ρnp que origino inicialmente el proceso de polarizacion del dielectrico (carga de los conduc-tores proximos, carga externa introducida en el dielectrico, carga, en fin, ajena a la polarizacion deldielectrico). Denominaremos a esta ultima, para distinguirla de la carga de polarizacion, carga de nopolarizacion. Con lo dicho, podremos escribir

divD = ε0ρp + ρnp

ε0− ρp , (3.25)

y simplificandodivD = ρnp . (3.26)

Esta relacion se denomina teorema de Gauss en forma diferencial para el desplazamiento electrico, yafirma que el desplazamiento electrico tiene como fuentes y sumideros unicamente las cargas de nopolarizacion.

Si integramos ambos miembros de la ecuacion (3.26) sobre un volumen cualquiera Ω (no nece-sariamente coincidente con el de un dielectrico, pudiendo incluir trozos de este, vacıo, conductores. . . ) ∫

ΩdivDdτ =

∫Ωρnpdτ , (3.27)

utilizamos el teorema de Ostrogradski-Gauss en la primera integral, y observamos que la segundaintegral es la carga total de no polarizacion qint,np dentro del volumen Ω, podremos escribir∮

∂ΩD · ds = qint,np , (3.28)

que establece que el flujo del desplazamiento electrico a traves de una superficie cerrada es igual a lacarga total de no polarizacion encerrada en ella, y se denomina teorema de Gauss para el desplaza-miento electrico.

Para dielectricos lineales, homogeneos e isotropos, utilizando que P = ε0χeE, el desplazamientoelectrico D podra escribirse

D = ε0(1 + χe)E (3.29)

= ε0εrE (3.30)

= εE , (3.31)

donde εr ≡ 1 + χe se denomina permitividad dielectrica, o constante dielectrica relativa, yε ≡ ε0εr permitividad dielectrica (absoluta) del material. Toda la discusion acerca de los valores


3.9. Determinacion del campo electrico en presencia de materiales dielectricos 57

de susceptibilidad electrica y su dependencia con la presion y la temperatura, se aplica igualmentea la permitividad y la permitividad relativa. La permitividad ε se mide en las mismas unidades quela permitividad del vacıo ε0, mientras que la permitividad relativa εr es, como la susceptibilidad,adimensional. Para el vacıo, εr = 1 y ε = ε0. Observese que para dielectricos lineales, homogeneos eisotropos, E, D y P tienen la misma direccion y sentido.

Para dielectricos inhomogeneos, las permitividades dependeran de la posicion sobre el dielectrico,y para materiales anisotropos, los escalares ε y εr son en realidad matrices 3× 3.

3.9. Determinacion del campo electrico en presencia de materialesdielectricos

El problema que queda por resolver es, ¿cuanto vale el campo electrico dentro y en los alrededoresde un dielectrico polarizado? Dadas las cargas que originaron inicialmente la polarizacion del dielectricodqnp, distribuidas en volumenes (por ejemplo, el del propio dielectrico), superficies de conductores. . . ,y las cargas de polarizacion ρp y σp, el campo electrico sera la suma de los creados por cada una delas distribuciones de cargas presentes, esto es,

E(r) =1

4πε0

[∫dqnp(r

′)

|r − r ′|2r − r ′

|r − r ′|+

∫∂Ω

σp(r′)dS

|r − r ′|2r − r ′

|r − r ′|+

∫Ω

ρp(r′)dτ

|r − r ′|2r − r ′

|r − r ′|

]. (3.32)

Los dos ultimos terminos corresponden al campo electrico debido a la polarizacion del dielectrico.Si uno intenta utilizar esta expresion, se da cuenta de que las cargas de polarizacion σP y ρP sonfuncion del vector de polarizacion P del dielectrico, y este depende, a su vez, del campo electricototal E que experimenta el dielectrico, que es precisamente el que queremos determinar. Ası pues, elproblema de determinar el campo electrico no consiste solamente en resolver unas integrales, comoen el primer capıtulo, donde todas las cargas eran conocidas. La ecuacion (3.32) es lo que se llamauna ecuacion integral, en la que la magnitud a determinar aparece bajo signos de integracion. Esteproblema matematico tiene, en principio solucion, pero esta fuera del alcance de esta asignatura.6

Sin embargo, en ciertas situaciones en que se puede presumir ciertas simetrıas en las distribucionesde carga, el problema de la determinacion del campo electrico, se puede resolver mediante la utilizaciondel teorema de Gauss para el desplazamiento electrico. Este teorema permite, en estos casos altamentesimetricos, encontrar el desplazamiento electrico conocidas solamente las cargas de no polarizacion (demodo completamente analogo a como se determina el campo electrico en el Capıtulo 1 mediante elteorema de Gauss). Conocido D y dada la relacion de constitucion P = P (E), puede calcularse elcampo electrico a partir de la expresion D = ε0E + P (E).

3.10. Problemas electrostaticos con dielectricos lineales, homoge-neos e isotropos

Supongamos que, utilizando el teorema de Gauss, se ha conseguido determinar el desplazamientoelectrico D en un problema en el que aparecen materiales dielectricos lineales, homogeneos e isotropos(P = ε0χeE). El campo electrico en el dielectrico esta dado, de la ecuacion (3.30), por

E =D

ε0εr. (3.33)

6Este enfoque del problema resulta, dentro de su complejidad, intuitivo por estar basado en el principio de superposi-cion. El planteamiento habitual, sin embargo, se basa en la resolucion conjunta de las ecuaciones diferenciales divD = ρnp,rotE = 0 (el campo electrico es conservativo), la utilizacion de las relaciones P = P (E) y D = ε0E + P , junto con lascondiciones de contorno del problema concreto.



(En las regiones vacıas, esta ecuacion es igualmente valida si se pone εr = 1). A partir de E, puededeterminarse, si ası se desea, el vector polarizacion del dielectrico:

P = ε0χeE = ε0(εr − 1)E =εr − 1

εrD , (3.34)

y conocido P , pueden determinarse las densidades cargas de polarizacion por cualquiera de las expre-siones:

σp = P · n =εr − 1

εrD · n , (3.35)

ρp = −divP = −εr − 1

εrdivD = −εr − 1

εrρnp . (3.36)

En la primera ecuacion, P y D deben entenderse evaluados en el punto de la superficie del dielectricodonde se quiere determinar la densidad superficial de carga de polarizacion. La segunda ecuacionrelaciona la densidad volumetrica de carga de polarizacion en cualquier punto del dielectrico con ladensidad de carga de no polarizacion en ese mismo punto. Se llega ası a la conclusion de que enel volumen de un dielectrico lineal, homogeneo e isotropo, solo hay carga de polarizacion si se ha“diseminado.en su volumen carga de no polarizacion.

Debe quedar claro que las expresiones en este apartado son unicamente validas para dielectricoslineales, homogeneos e isotropos (entre ellos el vacıo).

Ejemplo 3.1 (Conductor rodeado de dielectrico lineal, homogeneo e isotropo)Se considera una esfera de hierro de radio R, con carga positiva Q, en equilibrio electrostatico, y rodeadade vidrio, cuya permitividad relativa es εr = 9 (figura 3.8). Se desea determinar el campo electrico, elvector polarizacion, las cargas de polarizacion inducidas en la superficie e interior del vidrio, y el potencialde la esfera de hierro.

RQh i e r r o

v i d r i oe r = 9

Figura 3.8: Esfera de hierro rodeada de vidrio.

La carga Q de la esfera de hierro se reparte uniformemente sobre su superficie, dada la simetrıa esfericadel problema. Esta carga es la carga de no polarizacion en este ejercicio (la que origina la polarizacion delvidrio). Tambien por simetrıa, la carga de polarizacion inducida en la superficie del vidrio en contacto con elmetal estara repartida uniformemente en dicha superficie. No habra carga de polarizacion en el volumen delvidrio, ya que no se ha introducido en el cargas de no polarizacion. Como todas las cargas (de polarizaciony de no polarizacion) estan repartidas uniformemente sobre esferas, el campo electrico E, y por tanto D,seran radiales y de modulo constante en esferas concentricas con la esfera de hierro.

Aplicando el teorema de Gauss para el desplazamiento electrico a la superficie esferica S de la figura3.9, de radio r < R, se encuentra ϕD(S1) = 4πr2D = qint,np = 0 ya que la carga de no polarizacion


3.10. Problemas electrostaticos con dielectricos lineales, homogeneos e isotropos 59

r

r

S 1

S 2

+ + + +++++

+++

++++++ ++ + +

+

- - -----

-----

--

-

-

-

-s p

s n p

Figura 3.9: Superficies gaussianas S1 y S2 para la aplicacion del teorema de Gauss para el desplaza-miento electrico. Cargas de polarizacion negativas en la superficie del vidrio.

interior a la esfera S1 es nula. De aquı que D = 0 para puntos interiores al conductor, y tambien E = 0,como corresponde a un conductor en equilibrio.

Aplicando de nuevo el teorema de Gauss para el desplazamiento electrico a una superficie esferica S2

de radio r ≥ R, se tiene ϕD(S2) = 4πr2D = qint,np = Q, puesto que toda la carga del conductor esta enel interior de S2. Se obtiene entonces,

D =Q

4πr2ur en el vidrio (r ≥ R) , (3.37)

siendo ur un vector radial respecto del centro de la esfera de hierro. El campo electrico es

E =D

ε0εr=

Q

4πε0εrr2ur en el vidrio (r ≥ R) , (3.38)

que tiene la misma forma que si la esfera metalica no estuviese rodeada de vidrio, excepto por el factorεr = 9 en el denominador que hace al campo electrico nueve meces menor. Esta disminucion tiene suorigen en las cargas de polarizacion en la superficie del vidrio. Su valor es

σp =εr − 1

εrD · n = −8

9

Q

4πR2= −8

9σnp , (3.39)

donde se ha tenido en cuenta que n = −ur (n es la normal exterior al dielectrico, y por tanto interior alconductor), se ha evaluado D en la superficie de separacion dielectrico-vidrio, y que εr = 9. En la ultimaigualdad se ha escrito que la densidad superficial de carga en la superficie del conductor es σnp = Q/4πR2.La carga superficial de polarizacion es de signo contrario a la del conductor y de un valor considerable (8/9la del conductor). Esta carga negativa “apantalla”(ver figura 3.9), aunque no totalmente, el campo creadopor la esfera conductora, dando como resultado un campo electrico considerablemente mas pequeno en elvidrio.

El potencial de la esfera de hierro se puede calcular realizando la circulacion del campo electrico entrecualquier punto P de su superficie y el infinito (puntos muy alejados):

Vc =

∫ ∞

PE · dr =

Q

4πε0εrr. (3.40)

Ejemplo 3.2 (Distancia entre conductores de un cable de alta tension)Queremos emplear un cable coaxial para transportar energıa por una lınea de alta tension a 12 kV. El cableinterior de radio ri = 2mm, transporta la corriente de carga. Envolviendo este cable hay otro conductor, a



potencial de tierra para hacer de pantalla, cuyo radio re queremos determinar, y el cual, para que no hayaruptura dielectrica, depende del material aislante que se emplee entre ambos, segun vamos a ver.

Utilicemos poliestireno como aislante, de rigidez dielectrica Emax = 20 × 106 V/m. Calculando ladiferencia de potencial entre ambos hilos,

12000 =

∫ re

ri

E dr =

∫ 0

h

λ

2πεrdr =

λ

2πεln

re2 · 10−3

,

El campo E se ha calculado siguiendo las mismas pautas que en el ejemplo anterior: se aplica el teoremade Gauss de manera analoga a como se hizo en el ejercicio 1.8 para determinar el campo electrico creadopor un hilo, pero en este caso para el vector desplazamiento electrico, y se obtiene el valor del campoelectrico teniendo en cuenta que el medio dielectrico es lineal.

Como el campo maximo, que se produce en las proximidades del conductor interno, no debe superar,por razones de seguridad, el 25% del valor de la rigidez dielectrica del aislante,

Er = 0,25 · 20 · 106 = λ

2πε · 0,002,

y se tieneλ

2πε= 10,000 .

Sustituyendo este valor para calcular re:

lnre

2 · 10−3=

12000

10000= 1,2 ,

de donde

re = 2 · 10−3 · e1,2 = 6,64mm ,

teniendo, por tanto, el conductor exterior un radio mınimo de 6.64 mm.Si entre ambos conductores hubiera aire en lugar de aislante, cuya rigidez dielectrica es Er = 3× 106

V/m, los calculos resultarıan identicos, dado que la sustitucion de la permitividad del aislante por lapermitividad del aire no afecta a los calculos, sin mas que reemplazar el valor de la rigidez dielectrica,resultando

re = 2 · 10−3 · e8 = 5,96m

y por tanto, claramente imposible de emplear, lo que demuestra la importancia de usar un buen aislante.

3.11. Condiciones en la frontera

Hasta ahora se han planteado las caracterısticas del campo electrico E y del desplazamiento electri-co D para el vacıo y para medios dielectricos o conductores. Tambien se han estudiado en el capıtuloanterior las condiciones que debe cumplir el campo electrico en la superficie de separacion de un con-ductor y el espacio libre. En el estudio de un problema general de electrostatica, aparecen inmersosdiferentes medios, con superficies de separacion (frontera) entre ellos, en las cuales es necesario saberel comportamiento de los vectores de campo.

Consideremos dos medios cualesquiera 1 y 2 en contacto (Fig. 3.10). En la superficie de separacion,puede existir una densidad de carga σ, suma de las contribuciones de las carga de polarizacion σp yde no polarizacion σnp.


3.11. Condiciones en la frontera 61

1

2

ab

c d

D 2

D 1E 1

E 2

n 2

n 1

Figura 3.10: Condiciones de frontera para los campos E y D.

Estudiemos, en primer lugar, la pequena trayectoria abcd de la figura, cuyos lados ab y cd son deigual longitud ∆l y paralelos a la superficie de separacion y los bc y da son perpendiculares a la mismay de longitud arbitrariamente pequena. Del caracter conservativo del campo electrostatico, se tiene:∮

abcdaE · dr = E1 · ab+ E2 · cd = E1t∆l − E2t∆l = 0 ,

en donde se han despreciado las contribuciones a la circulacion de E en los segmentos bc y da, alhacer tender estos a cero, y en donde E1t y E2t representan las componentes tangenciales del campoelectrico en los medios 1 y 2 respectivamente. De la igualdad anterior, se tiene

E1t = E2t , (3.41)

que indica que la componente tangencial del campo electrico E es continua al atravesar una superficiede separacion entre dos medios.

Analicemos a continuacion el pequeno volumen V (Fig. 3.10), encerrado por una superficie cilındri-ca S, de generatriz ∆h normal a la superficie de separacion y bases paralelas a ella, de area ∆S.Apliquemos a dicho volumen la ley de Gauss para el vector D:∮

SD · ndS = (D1 · n1 + D2 · n2)∆S = (D2 − D1) · n2∆S = σnp∆S ,

siendo n1 y n2 los unitarios normales a las bases en cada uno de los medios, segun se observa en lafigura. Tomando como referencia n2, esto es, considerando el sentido de las componentes normaleshacia fuera del medio 1, queda

D2n −D1n = σnp , (3.42)

esto es, la discontinuidad en la componente normal del desplazamiento electrico D al atravesar lasuperficie de separacion entre dos medios coincide con la densidad de carga de no polarizacion en lasuperficie. De otra forma, si no existe carga de no polarizacion en la superficie de separacion entre dosmedios, la componente normal de D es continua.

Debe observarse que aun cuando estas ecuaciones parecen expresar relaciones para los vectoresE y D en la frontera entre dos medios dielectricos, son aplicables cuando alguno de los medios esconductor o es el espacio libre.



Ejemplo 3.3 (Interfases conductor-dielectrico)Consideremos una esfera metalica de R = 1cm de radio (la consideraremos como medio 1), cargada conQ = 1nC, inmersa en alcohol etılico (medio 2), de constante dielectrica εr = 28,4. El campo en el interiorde la esfera conductora es nulo y, por tanto, E1t = 0 y D1n = 0. De la ecuacion (3.41) se tiene que E2t = 0y de la ecuacion (3.42), D2n = σnp =

Q4πR2 , que permite calcular el valor del campo al entrar en el medio

dielectrico. Sustituyendo los valores y teniendo en cuenta que D = εE, resulta que el campo E al entraren el dielectrico es normal a la superficie del conductor y de valor

E =Q

4πε0εrR2=

10−9

4πε0 · 28,4 · 10−4= 3169V/m.




3.1 Una varilla delgada de dielectrico de seccion A seextiende sobre el eje x desde x = 0 hasta x = L. Lapolarizacion de la varilla es a lo largo de su longitud yesta dada por Px = ax2 + b. a) Encuentre la densidadvolumetrica de carga de polarizacion y la carga superfi-cial de polarizacion en cada extremo. b) Demuestre ex-plıcitamente que la carga total de polarizacion se anulaen este caso.

3.2 Se introduce una lamina de lucita (εr = 3,2)perpendicularmente en un campo electrico uniformeE = E0i en el espacio libre. Determinar E, D y Pen el interior de la lucita. Si se carga la lamina de luci-ta con una densidad uniforme de ρ = 1 µC/m3, ¿comoafecta al dielectrico?

3.3 Un hilo conductor muy largo, de densidad linealde carga negativa −λ, esta rodeado de una zona deaire (εr ≃ 1) de radio R, alrededor de la cual estansituadas dos capas cilındricas dielectricas: la primerade ellas, de radio interior R y exterior 2R, tiene permi-tividad relativa εr1 = 2; la segunda, de radio interior2R y exterior 3R, tiene permitividad relativa εr2 = 3.Determınese: 1) las densidades de carga de polarizacionen los dielectricos. 2) La diferencia de potencial entreun punto a distancia R del hilo, y otro a distancia 3R.

3.4 En el volumen de una esfera de caucho, de radioR = 10 cm y εr = 3, se han distribuido iones Cr3+ condensidad ρ = kr, siendo k = 2µC/m4 y r la distan-cia al centro en metros. Calculense: 1) las densidadesy las cargas totales de polarizacion en el volumen y lasuperficie; 2) el campo electrico en cualquier punto deldielectrico.

3.5 Se tiene cierto volumen de gas de hidrogeno,a temperatura T = 293oK y presion p = 2 × 105

Pa, encerrado un recipiente cubico. El gas se polar-iza al aplicar sobre el un campo electrico uniforme,lo cual se aprecia porque en las dos superficies delcubo perpendiculares al campo electrico aparecen den-sidades superficiales de carga de valor absoluto σp =81 µC/m2. Determınese el momento dipolar electri-co medio de las moleculas de hidrogeno. Datos: con-siderese el hidrogeno como un gas ideal que satisface laecuacion de estado pV = nRT siendo n y V el numerode moles del gas y su volumen, y R = 8,3 J/moloKla constante universal de los gases. El numero de Avo-gadro es NA = 6,02× 1023 mol−1.

3.6 Se ponen en contacto un dielectrico de constantedielectrica εr = 3,4 y un conductor con densidad su-

perficial de carga σ = 1,3µC/m2, como se muestra enla figura. ¿Cual es la densidad superficial de carga depolarizacion en la superficie del dielectrico?

s = 1 . 3 m C / m 2

e r = 3 . 4

3.7 Dos conductores cilındricos coaxiales de longitudmuy grande, el interior de radio a, y el exterior de ra-dio interior b y exterior c, tienen cargas por unidad delongitud λ1 y λ2 = 2λ1, respectivamente. El medio queles separa es vidrio de constante dielectrica relativa 7y rigidez dielectrica 9 kV/mm. Determinar: el campo

electrico E en todos los puntos del espacio. Sabiendoque a = 2 mm y b = 6 mm, determinar la maximacarga por unidad de longitud admisible en los conduc-tores para que no se produzca la ruptura dielectrica delvidrio. ¿Cual es el potencial de ruptura?

3.8 Sobre la superficie plana de un conductor se hacolocado una capa de poliestireno, de εr = 2,6 yrigidez dielectrica 20 kV/cm. Determine, en el S.I. deunidades, la maxima densidad superficial de carga quepuede adquirir el conductor sin que se produzca la rup-tura dielectrica del poliestireno.

3.9 Se pone en contacto un material dielectrico con-stituido por moleculas no polares y de constante die-lectrica εr = 3 con las superficies planas de dos materi-ales conductores, con densidades superficiales de cargaelectrica 2 µC/m2 y −2 µC/m2. Explique el compor-tamiento del material dielectrico y calcule las densi-dades de carga de polarizacion inducidas en el mismo.

3.10 Una varilla delgada de dielectrico de seccion Sse extiende sobre el eje x desde x = −L hasta x = L.La polarizacion de la varilla es a lo largo de su longitudy esta dada por Px = ax2. a) Determine la densidad decarga de polarizacion en el volumen de la varilla y ladensidad superficial de carga de polarizacion en sus ex-tremos. b) Demuestre explıcitamente que la carga totalde polarizacion se anula en este caso.

3.11 Un conductor plano de area y espesor muygrandes, tiene cierta densidad superficial de carga σuniforme. El dielectrico encima de el tiene permitivi-dad relativa εr = 90 y rigidez dielectrica E0 = 105

V/m. Determine el valor maximo de σ para que no seproduzca la ruptura dielectrica.


Capıtulo 4

Capacidad y energıa electrostatica.Condensadores

4.1. Introduccion

En los capıtulos anteriores se ha visto que un conductor en equilibrio electrostatico forma unvolumen equipotencial y que sus cargas se distribuyen en su superficie de manera que desaparezca elcampo en su interior. Se vio tambien como la presencia en las proximidades del conductor de materiaen lugar de espacio libre, hace que el campo electrico disminuya en intensidad y, como consecuencia,disminuya tambien su potencial. En este capıtulo vamos a tratar los conjuntos conductor-aislante desdeel punto de vista energetico, introduciendo parametros que los describan y que sean independientesde su carga o de los campos existentes, y los dispositivos capaces de almacenar esta energıa.

4.2. Capacidad de un conductor aislado

Consideremos la ecuacion del potencial creado por un conductor aislado en equilibrio, de densidadde carga σ1 en su superficie S, dada a partir de 1.24 por

V (r) =1

4πε0

∫S

σ1(r′)

|r − r ′|dS′ . (4.1)

Supongamos que otra distribucion superficial de carga σ2 en el conductor produjera el mismo potencialV :

V (r) =1

4πε0

∫S

σ2(r′)

|r − r ′|dS′ . (4.2)

Restando ambas expresiones, resulta

0 =1

4πε0

∫S

(σ1 − σ2)(r′)

|r − r ′|dS′ , (4.3)

de donde se deduce que si el conductor tuviera una densidad superficial σ1 − σ2 estarıa a potencialcero. Un conductor aislado a potencial cero, como se ha visto, esta descargado, y por tanto, σ1−σ2 =0 ⇒ σ1 = σ2, con lo que hay una unica distribucion de carga posible para un determinado potencial(teorema de la unicidad).

Si ahora se aumenta la densidad de carga del conductor en un factor k, es evidente que la cargatotal se vera tambien aumentada en un factor k y de la ecuacion 4.1 se sigue que el potencial debeaumentar en el mismo factor k. (Ello puede tambien deducirse del valor del campo E en la superficie

65

66 Capıtulo – 4. Capacidad y energıa electrostatica. Condensadores

del conductor, E = σ/ε0, de donde se aprecia que el aumento en una proporcion k de la densidadproduce un aumento igual del campo y, consiguientemente, del potencial). De ello se deduce que elpotencial de un conductor es proporcional a la cantidad de carga almacenada en el. Ası, es util definirla capacidad de un conductor aislado, como la relacion entre su carga Q y su potencial V , es decir,

C =Q

V, (4.4)

cantidad que es siempre positiva (dado que la carga y el potencial de un conductor aislado tienen elmismo signo), cuyo valor es independiente de la carga del conductor y esta unicamente determinadopor las caracterısticas geometricas del conductor (forma y dimensiones) y por las caracterısticas delmedio dielectrico. La unidad de C en el sistema internacional de unidades es el faradio (F) (en honora Michael Faraday), definido como la capacidad de un conductor aislado cuyo potencial electrico es1V, cuando su carga es de 1C, esto es, 1F=1CV−1. Esta unidad resulta muy grande en la practica, ysuelen emplearse submultiplos: µF (=10−6F), nF (=10−9F) y pF(=10−12F).

Ejemplo 4.1 (Capacidad de un conductor esferico)Consideremos una esfera conductora de radio R rodeada de material dielectrico de permitividad εr. Supotencial es

V =Q

4πε0εrR(4.5)

y su capacidad sera:

C = Q/V = 4πε0εrR . (4.6)

Como puede apreciarse, su valor unicamente depende del radio de la esfera y de la permitividad del mediodielectrico. Si lo aplicamos a la Tierra, de radio R = 6400 km y rodeada de un medio de εr = 1, resultaque su capacidad es C = 710µF, de donde puede apreciarse lo elevado de la unidad faradio.

4.3. Coeficientes de potencial, influencia y capacidad en un sistemade conductores

Supongamos que en lugar de un unico conductor aislado, tuvieramos un sistema de N conductorescon distintas cargas, siendo el medio que les rodea el vacıo. Del hecho de que el potencial satisface laecuacion de Laplace [div(grad V ) = 0, con las condiciones de frontera impuestas por las cargas de losconductores], puede demostrarse, con un procedimiento similar al teorema de unicidad anterior, queexiste una relacion lineal entre la carga de los conductores y el potencial de los mismos:

Consideremos primero todos los conductores descargados excepto el j-esimo. La solucion de laecuacion de Laplace determina el potencial Vi de cada uno de los conductores. Como la ecuacionde Laplace es lineal, al multiplicar la carga del conductor j por un factor k, el potencial en todoslos puntos del espacio quedara multiplicado por el mismo factor. Es decir, el potencial Vij de cadaconductor i cuando solo esta cargado el conductor j es proporcional a la carga qj de este:

Vij = pijqj (4.7)

siendo pij una constante que solo depende de la geometrıa de los conductores.


4.3. Coeficientes de potencial, influencia y capacidad en un sistema de conductores 67

Repitiendo el razonamiento para cada uno de los N conductores y teniendo en cuenta la linealidadde la ecuacion de Laplace, resulta que el potencial del conductor i cuando los N conductores estancargados, incluido el mismo, viene dado por una relacion de la forma

Vi =N∑j=1

pijqj , (4.8)

que representa una relacion lineal entre los potenciales Vi y las cargas qj . A las cantidades pij se lesdenomina coeficientes de potencial y dependen solo de la geometrıa (forma, tamano y disposicionmutua) de los conductores.

Los coeficientes de potencial son todos positivos. Efectivamente: supongamos que unicamente elconductor j esta cargado, positivamente (el razonamiento es analogo con carga negativa). Dicho con-ductor estara a mayor potencial que el resto de los conductores y, estos a mas potencial que el infinito,(figura 4.1). Por tanto todos los conductores han quedado a un potencial positivo, debido a la cargapositiva del conductor j, pero menor que el de este. La unica excepcion se tendrıa si el conductor idescargado estuviera completamente envuelto por j, en cuyo caso ambos estarıan al mismo potencial.Luego observando 4.7 resulta que pjj ≥ pij > 0, dandose la igualdad solo en el caso en que uno de losconductores este envuelto por otro. A partir de la expresion de la energıa electrostatica (ver seccion4.4) se puede demostrar ademas que pij = pji, esto es, la matriz de coeficientes es simetrica.

+ + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +++++++++++++++++++++++

+++++

+++ ++ +

i--- - - - -- - - - - - - - ----

+

+ + + + + + + + + + + +

+- -

- + +++

j

Figura 4.1: Cargas y potenciales de un sistema de conductores, para determinar los coeficientes decapacidad e influencia.

Si los conductores, en lugar de estar rodeados por el vacıo, estuvieran rodeados por un dielectricolineal, el resultado es analogamente valido al poderse tambien aplicar el principio de superposicionde soluciones en la ecuacion de Laplace, solo que los coeficientes pij dependeran tambien del mediodielectrico.

Si invertimos la matriz de los coeficientes de potencial, resulta

qi =N∑j=1

cijVj , (4.9)

donde cij , i = j, se denominan coeficientes de influencia y cii, coeficientes de capacidad. Ambostienen como unidad el faradio en el SI. A la expresion 4.9 podrıa haberse llegado superponiendo estados



en los que el potencial de un conductor j fuera el unico no nulo (por ejemplo, conectando a tierra elresto), y analizando las cargas que aparecen en los conductores. Ası, si en la figura 4.1 conectamos atierra el conductor i, forzando a que su potencial sea nulo, quedarıa entonces cargado negativamente,siendo el potencial y la carga del conductor j positivos. La carga del conductor i vendrıa dada por:qi = cijVj . Puede verse, por tanto, que los coeficientes de capacidad son positivos y los de influencia,negativos. Analogamente a la de coeficientes de potencial, la matriz cij es simetrica.

Observese de paso como el caso del conductor aislado estudiado en el apartado anterior no es sinoun caso particular de la expresion 4.9.

4.4. Energıa de una distribucion de cargas

En el primer capıtulo, la diferencia de potencial entre dos puntos se identifico con el trabajonecesario para transportar la unidad de carga de un punto a otro. Ası, si consideramos que E(r) yV (r) son el campo y el potencial electrostaticos existentes en cada punto del espacio, generados poruna distribucion cualquiera de cargas (sean los medios conductores, dielectricos o vacıo), el trabajorealizado por la fuerza electrostatica sobre una carga qj al moverse esta desde el infinito hasta unaposicion r es

W =

∫ r

∞qjE · dr = −qjV (r) . (4.10)

Si, por tanto, se quisiera llevar esa carga qj desde el infinito a la posicion r, partiendo y finalizandoen reposo, se debera realizar un trabajo qjV (r), de signo contrario al realizado por el campo. Deno-minaremos energıa electrostatica a la energıa qjV (r) almacenada por la carga en el punto r.

Calculemos ahora la energıa electrostatica almacenada por una distribucion de cargas arbitrariacon densidad de volumen ρ(r) y de superficie σ(r) (si son conductores solo habra carga en la su-perficie). Consideraremos que los dielectricos que hubiera presentes son lineales; ası el estado finalsera independiente de la forma en que se alcance. Por ello, el calculo del trabajo necesario para traertodas las cargas desde el infinito hasta las posiciones deseadas puede hacerse de modo que, en cadaetapa del proceso, en cada punto del espacio exista la misma fraccion α de carga respecto a la cargafinal.

Supongamos que ya se ha reunido una determinada fraccion de carga α, [es decir, αρ(r) y/o ασ(r)],de manera que el potencial en ese momento es V ′(r). De la proporcionalidad de la carga y el potencialse tiene V ′(r) = αV (r), siendo V (r) el potencial final. Anadamos a continuacion una fraccion dα. Encada r ′, la densidad de carga variara en dρ(r ′) = ρ(r ′)dα, la carga en dq = ρ(r ′)dαdτ y la energıaelectrostatica en dW = dq V ′(r ′) = ρ(r ′)dτdαV ′(r ′). Teniendo en cuenta que V ′(r ′) = αV (r ′),obtendremos dW = αdαρ(r ′)V (r ′)dτ . Integrando en α tendrıamos la energıa total Ep acumuladaen dτ (o en dS). Integrando ademas en todo el volumen (o la superficie), tendremos la energıa totalacumulada en la distribucion:

Ep =

∫ 1

0αdα

∫τρ(r ′)V (r ′)dτ ′ =

1

2

∫τρ(r ′)V (r ′)dτ ′ . (4.11)

En el caso de conductores en equilibrio, donde toda la carga se reparte sobre superficies, condensidad σ, la energıa acumulada sera

Ep =

∫ 1

0αdα

∫Sσ(r ′)V (r ′)dS′ =

1

2

∫Sσ(r ′)V (r ′)dS′ . (4.12)

Pero como el potencial del conductor es constante,

Ep =1

2QV . (4.13)


4.5. Condensadores 69

Resumiendo, la energıa acumulada por una distribucion cualquiera de cargas, incluyendo cargasen volumen y en superficie, y expresando separadamente la energıa en los conductores, viene dada por

Ep =1

2

∫τρ(r ′)V (r ′)dτ ′ +

1

2

∫Sσ(r ′)V (r ′)dS′ +

1

2

∑j

QjVj , (4.14)

entendiendo que la ultima suma debe realizarse sobre todos los conductores, los cuales no se incluyenen la integral de superficie.

Si consideramos unicamente un sistema formado por N conductores, y expresamos los potencialesen funcion de las cargas mediante los coeficientes de potencial (ecuacion 4.8), o bien las cargas enfuncion de los potenciales mediante los coeficientes de influencia y capacidad (ecuacion 4.9), obtenemos

Ep =1

2

N∑j=1

QjVj =1

2

N∑i=1

N∑j=1

pijQiQj =1

2

N∑i=1

N∑j=1

cijViVj , (4.15)

que expresa la energıa de un sistema de conductores como funcion cuadratica de las cargas o de lospotenciales.

4.5. Condensadores

Consideremos dos conductores 1 y 2, el 1 con carga Q positiva y a potencial V1 y el 2 con carga −Qnegativa y potencial V2 (no nos preocuparemos, de momento, de como ambos conductores adquieren lascargas opuestas). Ambos conductores estan dispuestos de modo que la totalidad de lıneas de campoque nacen en el conductor 1 mueren en el 2 (figura 4.2), lo que se conoce como influencia total.1

Supondremos que entre ellos existe un medio dielectrico lineal (para poder aplicar los resultados delos apartados anteriores) o bien se ha hecho el vacıo. Este dispositivo se llama condensador y a cadauno de los conductores que lo forman, armaduras.

+ ++++++++++++

--- - ---- -

+ Q

- Q

- -

1

2

Figura 4.2: Conductores en influencia total.

La ecuacion 4.8 nos permite expresar los potenciales de los dos conductores en funcion de suscargas como

V1 = p11Q+ p12(−Q)

V2 = p21Q+ p22(−Q) .

1Del hecho de que todas las lıneas de campo mueran en el conductor 2 puede inferirse que su carga debe ser igual yopuesta a la del conductor 1: aplicando el teorema de Gauss a una superficie que envuelva a ambos conductores, el flujoa traves de ella es nulo y debera serlo tambien la carga interior a la superficie.



Restando ambas expresiones y teniendo en cuenta que p12 = p21, obtenemos

V1 − V2 = (p11 − 2p12 + p22)Q , (4.16)

es decir, la diferencia de potencial entre las armaduras de un condensador es proporcional a la cargaQ. La expresion anterior puede reescribirse como

Q = C(V1 − V2) , (4.17)

donde la constante de proporcionalidad positiva (por las propiedades de los coeficientes de potencial)C = (p11−2p12+p22)

−1 se denomina capacidad del condensador, y su unidad en el SI es el faradio.Esta constante, al igual que los coeficientes de potencial, es independiente de la carga y potencial delos conductores y solo depende de la geometrıa de los conductores y del medio existente entre ellos.

El caso mas facil de comprender (que no el unico) de condensador consiste en un conductor envueltocompletamente por otro, existiendo entre ellos, bien el vacıo, bien un dielectrico lineal (figura 4.3).

+ Q

- Q

1

2

Figura 4.3: Ejemplo de condensador.

Es facil comprender, en este caso, como al cargar el conductor interior 1 con una carga +Q, elconductor exterior queda cargado con una carga −Q en su cara interna. De lo estudiado en el capıtulo2 se sabe ademas que cualquier campo externo no afectarıa esta distribucion de cargas, y tan soloalterarıa el potencial de ambos conductores, pero en la misma magnitud a ambos, con lo que ladiferencia de potencial entre armaduras permanece constante.

Con formas geometricas sencillas, la capacidad del condensador puede calcularse analıticamente.Es el caso, por ejemplo, de dos cilindros coaxiales, dos esferas concentricas o dos placas paralelas.

El condensador es un buen dispositivo para almacenar energıa electrostatica. Aplicando la expresion(4.15) de la energıa de un sistema de conductores, conjuntamente con (4.17), resulta que la energıaalmacenada en un condensador es

Ep =1

2Q(V1 − V2) =

1

2

Q2

C=

1

2C(V1 − V2)

2 . (4.18)

Se observa que un condensador de una capacidad dada C, acumula una energıa electrostatica propor-cional al cuadrado de la tension aplicada.

Ejemplo 4.2 (Condensador plano)Consideremos el caso de dos placas paralelas, de area A, separadas por un medio dielectrico lineal, ho-mogeneo e isotropo de permitividad ε y transportemos (no nos interesa por ahora el mecanismo) una cargaelectrica −Q de una placa a la otra, quedando ası ambas igualmente cargadas. Si las placas son suficiente-mente grandes respecto a la separacion d entre ellas, puede considerarse que todo el campo electrico queda


4.5. Condensadores 71

confinado en la region entre las placas, produciendose un fenomeno de influencia total, y el dispositivoconstituye un condensador. El campo entre las placas es uniforme, salvo el campo proximo a los bordes,en donde se deforma (figura 4.4). Si se cumplen las condiciones anteriores, podemos despreciar este efecto(efecto de los bordes) y las placas tendran tambien una densidad de carga uniforme σ = Q/A.

- Q

+ Q

2

1

d A

Figura 4.4: Condensador plano.

Apliquemos el teorema de Gauss al cilindro de la figura, cuyas bases tienen area δA, para calcular elcampo D entre las placas (perpendicular a ellas):∮

D · n dS = DδA = Qnp = σδA , (4.19)

de dondeD = σ . (4.20)

El campo electrico E en cualquier punto del dielectrico es tambien normal a las placas y de modulo

E =σ

ε0εr, (4.21)

y la diferencia de potencial entre las armaduras (siendo 1 la armadura positiva) viene dada por

V1 − V2 =

∫ 2

1E · dr =

∫ d

0

σ

ε0εrdr =

σd

ε= Ed . (4.22)

La capacidad la obtendremos de C = Q/(V1 − V2):

C =εA

d, (4.23)

con ε = ε0εr.La energıa capaz de acumular el condensador resulta de sustituir C en 4.18 y puede expresarse en

funcion de los campos E y D en el dielectrico:

Ep =1

2C(V1 − V2)

2 =1

2

εA

d(Ed)2 =

1

2(Ad)(DE) =

1

2(Ad)(D · E) , (4.24)

expresion que depende solo de la geometrıa del condensador y de las propiedades del dielectrico. Observeseque la expresion

ep =1

2D · E , (4.25)

da la energıa electrostatica por unidad de volumen de dielectrico (densidad de energıa electrostatica).Esta expresion, aunque deducida para este ejemplo particular, puede demostrarse que es de validez general.Es decir, si en un punto P del espacio se tiene un campo electrico, la densidad de energıa electrostaticaacumulada en ese punto es 1

2D · E.



Ejercicio 4.3Estamos interesados en conocer como varıa la capacidad de un condensador plano cuando la permitividaddel medio dielectrico no es constante. Consideremos el caso en que la mitad mas proxima a la chapa positivatiene permitividad dielectrica constante εr1 = 2 y la otra mitad εr2 = kx , siendo k una constante y x ladistancia de cada punto del dielectrico a la chapa positiva (figura 4.5).

- Q

+ Qe r 1 = 2e r 2 = k x

d / 2

d / 2

Figura 4.5: Condensador plano con dielectricos de permitividad variable.

La capacidad vendra dada por:

C =Q

V1 − V2=

σA

V1 − V2,

siendo A el area de la armadura y σ la densidad superficial de carga. La diferencia de potencial entre losbordes del primer dielectrico, aplicando 4.22 es:

V1 − Va =σ

2ε0

d

2,

siendo d la distancia entre las placas. En el segundo dielectrico, se tiene, aplicando nuevamente 4.22:

Va − V2 =

∫ d

d/2

σ

kε0xdx =

σ

kε0ln 2 .

La capacidad del condensador es, por tanto,

C =ε0A

d4 + ln 2

k

.

Condensadores industrialesDel analisis de la expresion 4.23 obtenida para la capacidad de un condensador plano, puede observarse

la dependencia de esta con caracterısticas geometricas, tales como la superficie de las placas conductorasy la distancia entre las mismas. Pero asimismo depende de las caracterısticas del medio material existenteentre las armaduras, expresadas por su permitividad. El empleo de materiales con una alta permitividaddielectrica, aumentara la capacidad del condensador y, por tanto, las posibilidades de acumular energıa ycarga electrica. Pero la presencia del medio dielectrico condiciona a su vez la maxima diferencia de potencialque puede someterse a las armaduras: un alto gradiente de potencial (es decir, E) que supere la rigidezdielectrica del aislante, supondrıa la perforacion del mismo, destruyendo el condensador.

La forma de los condensadores y el material empleado como dielectrico deben tener en cuenta lasconsideraciones anteriores. Por otra parte, la permitividad de un medio no es constante, sino que puededepender de factores tales como la tension aplicada, la presion, la temperatura, la humedad o las horas defuncionamiento. Esto provoca que las caracterısticas de un condensador real sean mucho mas complejas.Por otra parte, ya se vio en el capıtulo anterior que un aislante nunca es perfecto, presentando siempre


4.6. Asociacion de condensadores 73

una cierta conductividad. A esto debe unirse que la polarizacion de un dielectrico no solo depende delcampo aplicado sino de campos anteriores, dado que suelen conservar una cierta polarizacion residual (loque se conoce como histeresis dielectrica). Como resultado de estas imperfecciones, el condensadorexperimenta perdidas de energıa por conduccion y por histeresis dielectrica (si esta sometido a tensionesvariables), que a su vez calientan el dielectrico.

De todo ello, deben realizarse una serie de consideraciones ante el diseno de un condensador:

Si la capacidad necesaria es fija o variable.

La tension maxima a la que va a someterse.

La estabilidad requerida bajo las condiciones fısicas y el tiempo de servicio.

La corriente maxima admisible, ante las perdidas energeticas que pueden producirse.

En el caso de distancias pequenas entre placas, puede calcularse la capacidad aplicando la expresion4.23 para condensador plano. Puede observarse que para conseguir altas capacidades, y por tanto poderacumular mayor energıa, deben emplearse grandes superficies (lo que se logra superponiendo placas),separadas mediante pequenos espesores de dielectrico, que deberan tener elevada permitividad, junto conuna alta tension de ruptura dielectrica.

Tradicionalmente se han empleado condensadores de papel constituidos por una banda de papelimpregnada de parafina como dielectrico, intercalado entre papel de aluminio o estano, y posteriormenteenrollado o plegado para ocupar menos espacio. Para resistir tensiones de ruptura mas elevadas, las laminasde papel se sustituıan por laminas de mica, que ademas presentan menos perdidas por corrientes de fuga.Los plasticos han reemplazado a estos elementos como aislantes, y se emplean pelıculas metalizadas comoconductor.

La electrolisis de ciertas sales (boratos, citratos o fosfatos alcalinos), con electrodos de papel de aluminio,deposita en el anodo una capa de aislante de alumina que hace de dielectrico. Estos condensadoreselectrolıticos tienen alta capacidad para un volumen relativamente pequeno, pero son faciles de perforaren cuanto la tension supera a la de formacion. Presentan ademas polaridad, perforandose si el sentido dela tension es contrario al de la electrolisis, lo que le impide trabajar con tensiones alternas. Puede, eso sı,volverse a regenerar la capa de alumina una vez perforado.

Mejores permitividades se obtienen mediante condensadores ceramicos empleando como dielectri-co pastas ceramicas de oxido de titanio u otras tierras raras, o sales de tierras raras (titanato de bario, porejemplo).

En circuitos integrados se suele emplear oxido de silicio como dielectrico en los condensadores queforman parte del circuito, o bien oxido de tantalio en los llamados condensadores de pelıcula fina.

4.6. Asociacion de condensadores

Los condensadores no siempre se disponen de manera aislada para almacenar energıa, sino quepueden unirse de diferentes maneras, conectando entre sı sus armaduras, en funcion de que se persigaobtener un aumento en la carga acumulada, o bien, reducir la diferencia de potencial a que estarıansometidos. Al realizar la asociacion, el conjunto de condensadores quedara sometido a una determinadadiferencia de potencial (V1−V2) y habra acumulado una determinada cargaQ. Se denomina capacidadequivalente de la asociacion de condensadores a

Ce = Q/(V1 − V2) , (4.26)

que coincide con la capacidad que tendrıa un unico condensador sometido a la misma d.d.p. y quealmacenase la misma cantidad de carga.



Consideremos, en primer lugar, un conjunto de n condensadores, de capacidades Ci, de valorestales que la carga almacenada en cualquiera de ellos es inferior a la deseada. Apliquemos la mismadiferencia de potencial V1−V2 a todos ellos. Conectemos para ello entre sı cada una de las armadurasde cada condensador, tal como se indica en la figura 4.6 (cada condensador se representa por dos lıneasparalelas verticales). A este tipo de conexion se denomina asociacion en paralelo.

21

C 1

C 2

C 3

+ Q 1 - Q 1

+ Q 2 - Q 2

+ Q 3 - Q 3

V 1 V 2

Figura 4.6: Asociacion de condensadores en paralelo.

Cada uno de los condensadores de la asociacion adquiere una carga

Qi = Ci(V1 − V2) , (4.27)

con lo que la carga total almacenada en la asociacion es

Q =n∑

i=1

Qi . (4.28)

Esta asociacion, por tanto, permite almacenar una mayor carga que empleando cada condensadorindividualmente. La capacidad equivalente de la asociacion es

Ce =Q

V1 − V2=

1

V1 − V2

n∑i=1

Qi =n∑

i=1

Qi

V1 − V2=

n∑i=1

Ci . (4.29)

La capacidad equivalente de una asociacion de condensadores en paralelo es, por tanto,

Ce =n∑

i=1

Ci , (4.30)

suma de las capacidades de los condensadores individuales. Asociando condensadores en paralelo hemoslogrado aumentar la capacidad, almacenando ası mas carga. En el caso particular de n condensadoresiguales, de capacidad C,

Ce = nC . (4.31)

Consideremos ahora un conjunto de n condensadores con capacidades Ci tales que al someterlos auna d.d.p. (V1−V2) dada, la carga que almacenan producirıa un campo electrico en su interior que su-perase la rigidez dielectrica del dielectrico, esto es, V1−V2 es superior a la tension de ruptura dielectrica.Intentemos dividir la d.d.p. en fracciones inferiores a las tensiones de ruptura de cada condensador.


4.6. Asociacion de condensadores 75

Conectemos para ello (figura 4.7) cada armadura externa de un condensador, con la armadura internadel siguiente. Las armaduras de los condensadores extremos quedan sometidas a la d.d.p. V1 − V2. Aeste tipo de asociacion se denomina asociacion en serie. El primero de los condensadores adquiere enuna de sus armaduras una carga +Q = C1(V1−VA), cargandose la otra armadura, por influencia, concarga −Q. Como esta ultima armadura esta unida al siguiente condensador, e inicialmente el conjuntoera electricamente neutro, la primera armadura del segundo condensador debera quedar cargado con+Q, para verificar el principio de conservacion de la carga. Repitiendo el proceso para el conjunto decondensadores, resulta que todos ellos quedan cargados con la misma carga Q, estando sometidos afracciones de la d.d.p. V1 − V2.

C 1

+ Q - QC 2

- QC 3

- Q1 A B 2

+ Q + Q

V 1 V A V B V 2

Figura 4.7: Asociacion de condensadores en serie.

La diferencia de potencial ∆Vi a que esta sometido cada uno de los condensadores sera

∆Vi =Q

Ci, (4.32)

inferior a la d.d.p. V1 − V2 original. La capacidad equivalente de la asociacion es

1

Ce=

V1 − V2

Q=

∑ni=1∆Vi

Q=

n∑i=1

∆Vi

Q=

n∑i=1

1

Ci. (4.33)

La capacidad equivalente de una asociacion de condensadores en serie es, por tanto,

1

Ce=

n∑i=1

1

Ci, (4.34)

inferior a la de cualquiera de los condensadores por separado. En el caso particular de n condensadorescon capacidades iguales C, la capacidad equivalente es

Ce =C

n. (4.35)

Cualquier otra forma de combinar condensadores, puede reducirse a una combinacion de condensadoresen serie y paralelo.




4.1 Condensador esferico. Determine la capacidadde un condensador constituido por una esfera de radioR1, rodeado de una capa esferica concentrica de radiointerior R2, y separadas por un dielectrico de permi-tividad εr .

4.2 Condensador cilındrico. Determine la capaci-dad de un condensador constituido por un cilindro muylargo de longitud L y radio R1 rodeado de una capacilındrica con el mismo eje y longitud, de radio interiorR2 y separados por un dielectrico de permitividad εr .

4.3 Un condensador plano, cuyas armaduras tienenarea A y estan separadas una distancia 2d, se llena ensu interior con dos dielectricos de constantes εr y 2εr,en las dos formas que se indican en la figura. Determinela capacidad del condensador en ambas disposiciones.

e r2 e r

d

d

e r 2 e r

A / 2 A / 2

4.4 En el condensador plano de lafigura, cuyas armaduras estan sep-aradas una distancia d, determinela relacion C/C0 entre la capacidadC del condensador al introducir losdielectricos 1 y 2, de permitividadesrelativas ε1 y ε2 y espesores a1 ya2 respectivamente, y la capacidadC0 cuando entre las placas no existıaningun medio dielectrico.

1 2

4.5 Determine el potencial de ruptura de un conden-sador esferico de radios R1 y R2, con un medio dielec-trico de rigidez dielectrica Emax = 20 kV/mm.

4.6 Se asocian en paralelo dos condensadores planos,geometricamente iguales y sin dielectrico entre sus pla-cas. Se aplica una cierta tension V0 entre los extremosde la asociacion, retirandose la fuente de tension unavez cargados los condensadores. Posteriormente, se in-troduce un dielectrico de permitividad relativa εr entrelas armaduras de uno de los condensadores. Determine

el valor de la permitividad relativa εr y la nueva difer-encia de potencial en los extremos de la asociacion,para que la mitad de la carga del condensador no al-terado pase al condensador modificado.

4.7 Entre las placas de area A de un condensadorplano se inserta un material cuyo espesor es la mitadde la separacion d entre placas. Dicho material puedeser un conductor o un dielectrico de permitividad εr.Determine la capacidad del condensador en ambos ca-sos.

4.8 En un condensador plano de area A, distanciaentre armaduras d y carga Q, se emplea un mediodielectrico cuya permitividad relativa varıa segun laexpresion εr = 1 + x/d, siendo x la distancia a la ar-madura positiva. Determine: a) la densidad volumetri-ca de cargas de polarizacion; b) la capacidad del con-densador.

4.9 Los dos condensadores de la figura estan conec-tados a tierra y descargados. Son iguales, salvo que elnumero 2 tiene un dielectrico de permitividad εr = 6entre sus chapas y el numero 1 no tiene ningun mediodielectrico. El condensador 1 se carga a traves de Acon una cierta carga Q. Una vez cargado, se unen Ay B. Se pide: a) determinar la carga que adquiere ca-da condensador tras la conexion; b) estudiar la energıadel conjunto formado por los dos condensadores, antesy despues de conectarlos.

B

1 2

A

4.10 Entre los puntos A y B de la figura se aplica unadiferencia de potencial de 100 V. Determine la energıaen microjulios acumulada por cada condensador.

C 1 = 2 m F

BA

C 3 = 1 m F

C 4 = 1 m F

C 2 = 4 m F


Capıtulo 5

Corriente electrica

5.1. Introduccion

La corriente electrica es la carga electrica en movimiento. Suelen englobarse en dos tipos: lascorrientes de conduccion y las de conveccion

En la corriente de conduccion, cargas electricas libres, que llamaremos portadores de la corri-ente, se mueven en un medio material en reposo y neutro en conjunto. El ejemplo mas caracterısticoes la corriente en los metales, en la que sus electrones libres (portadores) se desplazan ordenadamenterespecto del metal en reposo (figura 5.1), movidos por algun agente externo. Es de notar que la exis-tencia de la corriente no conlleva la presencia de carga neta en ningun punto del material. Corrientesde conduccion pueden darse tambien en electrolitos, siendo los portadores de la corriente tanto losiones positivos como los negativos. En gases ionizados, los portadores de la corriente son electronese iones positivos, aunque al ser los electrones mucho mas moviles, la mayor parte de la corriente estransportada por ellos.

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++

-

- --- -

-

- --

- - -----

- --

-

d t

M e t a l

Figura 5.1: Corriente de conduccion en un metal

Al contrario de las corrientes de conduccion, las de conveccion se originan por el desplazamientodel propio medio, que esta cargado. Desplazamientos de masas lıquidos y gases cargados por diversascausas (como diferencias de presion en la atmosfera) dan lugar a este tipo de corriente.

El fenomeno mas importante relacionado con las corrientes electricas es la aparicion de un campomagnetico. El estudio del magnetismo, sin embargo, sera pospuesto hasta otra asignatura (Electro-magnetismo y Ondas).

En el presente capıtulo, el estudio esta centrado en la corriente electrica en sı: su descripcion ysus causas. Ademas, trataremos exclusivamente con corrientes de conduccion. Se introduciran primerolas magnitudes fısicas necesarias para su descripcion. Se plantearan entonces las siguientes preguntas:

77

78 Capıtulo – 5. Corriente electrica

¿Cual es la causa de la corriente electrica? La respuesta la proporciona la ley de Ohm: la corrienteelectrica es originada por un campo electrico aplicado. Ahora bien, como es sabido, un campo electricose anula en el interior de un conductor en un tiempo muy pequeno, y por tanto la corriente. ¿Como esposible entonces mantener una corriente, es decir, generar una corriente continua?. Como se vera, esnecesario, mediante la aplicacion de fuerzas de origen no electrostatico que suministren energıa a losportadores de carga, mantener diferencias de potencial. Tal es la mision de los generadores electricos.

5.2. Vector densidad de corriente

En la figura 5.2 se muestra un material conductor en el que hay una corriente electrica (dejemosde lado, por el momento, su causa).

d t

v (r r , t )

j ( r , t )

vj

v

j

Figura 5.2: Corriente de conduccion en un metal.

La corriente electrica puede especificarse dando el campo de velocidades v(r, t), es decir, la veloci-dad de los portadores en cada punto r del material y en cada instante de tiempo t. Resulta bastantemas util, sin embargo, el vector densidad de corriente, definido como

j(r, t) ≡ qn(r, t)v(r, t) , (5.1)

donde q es la carga de cada portador (en el caso de un metal, q = −e, con e = 1,6× 10−19 C la cargadel electron), y n el numero de ellos por unidad de volumen.

Notese que en el caso de portadores con carga q positiva, j tiene la misma direccion y sentido queel movimiento de estos, mientras que si los portadores son negativos, como en un metal, el sentidode j es el contrario a su velocidad (como se ha dibujado en la figura 5.2). En la ecuacion (5.1) se hasupuesto la existencia de un solo tipo de portador de corriente. Si, como en un electrolito o un gasionizado, existen varios, la densidad de corriente se escribe como

j(r, t) ≡∑i

qini(r, t)vi(r, t) , (5.2)

donde el ındice i se refiere a los distintos tipos de portador.La unidad del vector densidad de corriente en el SI es el Cs−1m−2. El culombio/segundo recibe el

nombre de amperio, que se simboliza por A,

1 amperio =1culombio

1 segundo, (5.3)


5.3. Intensidad de corriente 79

y ası la unidad de j suele escribirse como Am−2. El amperio se considera una unidad fundamental delSI de unidades, en lugar del culombio.1

5.3. Intensidad de corriente

Considerese ahora una superficie S cualquiera en el material donde fluye la corriente electrica. Adicha superficie se le asigna cierta orientacion: una cara se denomina “positiva 2otra “negativa”, comose ilustra en la figura 5.3a. Si la superficie es abierta, la asignacion se hace arbitrariamente, pero si escerrada seguiremos el convenio de tomar como “positiva”la cara externa.

vv d t

d s = d s n

jq

d s+

-

a ) b )

q

d s d s = d s n + ++

++ ++

P

Figura 5.3: a) Superficie orientada para la definicion de intensidad de corriente. b) Esquema para lademostracion de (5.5).

Si ∆Q es la carga que atraviesa la superficie S en un tiempo pequeno ∆t, la intensidad decorriente I a traves de dicha superficie se define como

I ≡ lım∆t→0

∆Q

∆t≡ dQ

dt. (5.4)

La intensidad de corriente es la carga que atraviesa la superficie por unidad de tiempo. La intensidadde corriente es una magnitud instantanea, es decir, depende del tiempo, en general. Su unidad en elSI es el amperio A. La intensidad puede ser positiva o negativa dependiendo de dos factores: del signode la carga que atraviesa la superficie y de si esta carga se mueve desde la cara “negativa”hacia la“positiva”, o viceversa. Si una carga positiva se mueve de izquierda a derecha en la figura 5.3a, laintensidad es positiva, pero si se moviera de derecha a izquierda, serıa negativa. Si los electrones deun metal se mueven hacia la derecha en la figura 5.3a, la intensidad es negativa, pero si lo hicieranhacia la izquierda, volverıa a ser positiva.

La intensidad de corriente es de mayor utilidad en la practica que la densidad de corriente, sobretodo para describir la corriente que circula por conductores filiformes (con forma de hilo). La impor-tancia del vector densidad de corriente j estriba en que permite determinar la intensidad de corrienteI a traves de cualquier superficie S, por medio de la expresion

I =

∫Sj · ds . (5.5)

1Para definir el amperio como unidad fundamental es necesario recurrir a fenomenos magneticos, de ahı que en esteapartado se introduzca como unidad derivada del culombio.



La intensidad de corriente a traves de una superficie se puede calcular como por el flujo de j a travesde dicha superficie. Para demostrar (5.5), considerese el elemento de area ds en un punto P de lasuperficie S (ver figuras 5.3 a y b). Se supondra, por sencillez, que solo existe un tipo de portador decarga q positiva. En un pequeno tiempo dt solo atravesarıa la superficie ds la carga contenida en elcilindro oblicuo de lado vdt, siendo v el modulo de la velocidad v de los portadores en el punto P . Lacarga total dQ que atraviesa la superficie en dt es entonces la carga de cada portador q multiplicadapor el numero de ellos por unidad de volumen n en el punto P , y por el volumen del cilindro oblicuods vdt cos θ = v · ds dt. En resumen, dQ = qnv · ds dt, o lo que es lo mismo, dQ = j · ds dt. La cargaque atraviesa la superficie ds por unidad de tiempo, la intensidad de corriente, es entonces

dI = j · ds . (5.6)

Si la superficie tiene area finita, es necesario integrar a dicha superficie S, obteniendose la expresion(5.5).

Ejemplo 5.1 (Velocidad de los electrones en un hilo metalico)Por un hilo metalico, de seccion 1 mm2, circula una corriente de 1 A. Se desea estimar la velocidad de loselectrones, sabiendo que el numero de electrones por metro cubico es ∼ 8,4× 1028.

En un hilo metalico por el que fluye una corriente electrica, el vector densidad de corriente es muyaproximadamente paralelo al hilo. Puede suponerse, ademas, que es uniforme en toda la seccion recta delhilo, con lo que la intensidad de corriente esta dada por

I =

∫Sj · ds = jS = −envS , (5.7)

donde S = 10−6 m2 es el area de la seccion recta del hilo, y v la velocidad de los electrones. Comoe = 1,6× 10−19 C e I = 1 A, de la ecuacion anterior se obtiene

v = −7,4× 10−2 mm/s . (5.8)

El signo − indica que la velocidad tiene sentido contrario a la densidad de corriente. Esta velocidad esmuchısimo menor que la velocidad media de agitacion termica de los electrones a temperatura ambiente,vT ≃ 108 mm/s. El movimiento termico, aunque muy intenso, es aleatorio, y en consecuencia, no da lugara una corriente neta. Por esta razon es lıcito ignorarlo y utilizar la representacion simplificada de las figuras5.1 y 5.3.

5.4. Ecuacion de continuidad

Es un principio fundamental de la naturaleza que la carga electrica se conserva. Las distribucionesde carga electrica en el espacio se especifican por medio de la densidad de carga electrica ρ, y sumovimiento por medio del vector densidad de corriente j. Una eleccion arbitraria de ρ y j puede llevara resultados en contra del principio de conservacion de la carga. (Por ejemplo ρ = 0 y j = −arur; si setoma una superficie esferica centrada en el origen, se observa que entra incesantemente carga electricaen ella, pero la carga total dentro de la esfera, indiferente a este hecho, es nula siempre). Debe existir,por tanto, una relacion entre ρ y j, consecuencia de la conservacion de la carga electrica, y que debeser verificada por toda distribucion y corriente de cargas existentes en la naturaleza. Dicha relacionse denomina ecuacion de continuidad y se determina a continuacion.


5.5. Corriente continua 81

Considerese una superficie cerrada S de forma arbitraria, conteniendo cierto volumen τ de unmaterial en el que esta circulando cierta corriente electrica j. Segun la ley de conservacion de la cargaelectrica, la carga neta que fluye hacia dentro de dicha superficie por unidad de tiempo,

I(t) = −∮Sj · ds , (5.9)

(se introduce el signo menos porque se quiere considerar la carga que entra, en contra del criteriohabitual), acrecienta la carga Q(t) en el interior de la superficie (es decir, no puede desaparecer enel interior). Debe por tanto ser igual a la variacion por unidad de tiempo dQ(t)/dt de la carga en elinterior. Esta variacion es

dQ(t)

dt=

d

dt

∫τρdτ , (5.10)

donde ρ es la densidad de carga en cada punto del material. Igualando ambas expresiones,

−∮Sj · ds = d

dt

∫τρdτ , (5.11)

utilizando el teorema de Ostrogradski-Gauss en la primera integral, e introduciendo la derivada delsegundo miembro dentro de la integral (esto es lıcito si el volumen τ no se mueve), se obtiene,

−∫τdivj dτ =

∫τ

∂ρ

∂tdτ . (5.12)

Puesto que el volumen escogido τ es arbitrario, los integrandos deben ser iguales, y de aquı que

divj +∂ρ

∂t= 0 . (5.13)

Esta es la ecuacion de continuidad, que verifica toda densidad de corriente y densidad de carga.

5.5. Corriente continua

La corriente electrica se dice continua, estacionaria, o constante si ninguna de las magnitudesdefinidas anteriormente depende del tiempo. La velocidad de los portadores de corriente en cada puntodel material conductor no varıa con el tiempo, v = v(r). Tambien, j = j(r), y por tanto, la intensidadque atraviesa cualquier superficie, dada por el flujo de j, es tambien independiente del tiempo.

La corriente continua presenta una analogıa estrecha con el regimen permanente de un fluido (sinmas que reemplazar la carga electrica de los portadores de carga q por la masa m de las partıculas defluido).

Para la corriente continua ∂ρ/∂t = 0 y la ecuacion de continuidad afirma que

divj = 0 , (5.14)

es decir, el vector densidad de corriente es solenoidal: sus lıneas vectoriales o de corriente no tienenfuentes ni sumideros. Si dichas lıneas han de estar contenidas en un volumen finito del espacio, hande ser, por tanto, curvas cerradas.

Ejemplo 5.2 (Ecuacion de continuidad en un hilo con corriente continua)La ecuacion de continuidad suele expresarse en muchos textos particularizada a la corriente que circula porun hilo conductor. Considerese el segmento de hilo entre dos secciones rectas, de areas S1 y S2, en generaldiferentes, como se muestra en la figura 5.4.



j

j 1j 2

v 1

v 2

n 1

n 2

S 1 S 2

Figura 5.4: Esquema para la deduccion de la ecuacion de continuidad en un hilo metalico.

La intensidad entrante en el volumen delimitado por dichas secciones y la superficie lateral es, suponien-do j paralelo al hilo y uniforme en su seccion,

I(t) = −∮Sj · ds = j1S1 − j2S2 = −e(n1v1S1 − n2v2S2) . (5.15)

Esta expresion debe ser igual a la variacion de la carga contenida en el volumen del hilo, dQ(t)/dt. En elcaso de una corriente continua, esta derivada es nula, y se obtiene

n1v1S1 = n2v2S2 , (5.16)

que es la ecuacion de continuidad para un hilo con corriente continua, y expresa, sencillamente, la igualdadde la intensidad en todas las secciones del hilo. En el caso frecuente de que la densidad de electrones seaigual en todas las secciones del hilo, n1 = n2, la ecuacion de continuidad se reduce a

v1S1 = v2S2 , (5.17)

que afirma que la velocidad de los electrones en cada seccion del hilo es inversamente proporcional a suseccion .

5.6. Ley de Ohm. Conductividad y resistividad

El vector densidad de corriente y la intensidad de corriente son las magnitudes que nos permitendescribir la corriente electrica. Pero ¿cual es su causa?

Se encuentra experimentalmente que, en la mayorıa de los materiales conductores, incluyendometales, electrolitos y gases ionizados, la corriente es proporcional al campo electrico aplicado, de sumisma direccion y sentido, y nula cuando este no existe, mas precisamente,

j = gE . (5.18)

Esta relacion se denomina ley de Ohm, y los conductores que la verifican conductores ohmicos.Se ha visto en el Capıtulo 2 que en un conductor el campo electrico se hace cero tras un breve

lapso de tiempo, cuando se alcanza el equilibrio. Para que haya corriente electrica es por lo tantonecesario mantener al conductor en desequilibrio. Para ello es necesario la utilizacion de unos dispos-itivos llamados generadores electricos. Un generador mantiene diferencias de potencial entre distintos


5.6. Ley de Ohm. Conductividad y resistividad 83

puntos del conductor, que de lo contrario tenderıan a igualarse rapidamente. Debido a esta diferenciade potencial mantenida, hay un campo electrico en el sentido de decrecimiento del potencial, y segun laley de Ohm, una corriente electrica en este mismo sentido. El estudio mas detallado de los generadoresse hara en la seccion 9. Por el momento se asumira la existencia de estas diferencias de potencial, ypor ello, de un campo electrico que genera la corriente.

La constante de proporcionalidad que aparece en la ley de Ohm g ≥ 0 se llama conductividad,y su inversa

η =1

g, (5.19)

resistividad.2 La unidad de la resistividad, de acuerdo con la ley de Ohm (5.18) y con (5.19), esVA−1m. El ohmio (Ω) se define como

1ohmio ≡ 1voltio

1amperio, (5.20)

escribiendose entonces la unidad de resistividad como Ωm. Las de la conductividad son evidentementeΩ−1m−1. Al Ω−1 se le denomina siemens (S).

Los valores de conductividad y resistividad son propios de cada material (ver tabla), variandoademas de manera significativa con la temperatura. Esta variacion suele expresarse empıricamentepor

η(T ) = η0[1 + α(T − T0) + β(T − T0)2 + · · ·] . (5.21)

donde T es la temperatura y η0 la resistividad a T = T0. El coeficiente α se denomina coeficiente detemperatura y se mide en K−1. Su valor para algunas sustancias se muestra en la tabla. La variacion dela resistividad con la temperatura se origina en la agitacion termica de los iones de la red de los metales.A mayor temperatura, mayor agitacion que entorpece el movimiento ordenado de los electrones, y porello, en general, la resistividad aumenta.

La resistividad no solo esta determinada por la composicion quımica del material, sino tambienpor su estructura o modo en que sus moleculas estan dispuestas. Por ejemplo, tanto el grafito comoel diamante estan constituidos por atomos de carbono; sin embargo, la resistividad del grafito es 1018

veces menor.

La disposicion de los atomos o moleculas puede tambien producir una dependencia de la resistividadcon la direccion en que se aplica el campo electrico. Tales materiales son anisotropos. Para ellos,la ley de Ohm (5.18) debe sustituirse por la expresion j = gE, donde g es un tensor de segundoorden, representable por una matriz 3× 3. Para otros materiales, la resistividad y la conductividad nodependen unicamente del material y su temperatura, sino que dependen tambien del propio campoaplicado. Estos materiales son conductores no lineales, y la ley de Ohm (5.18) debe sustituirse porj = g(E)E.

A la vista de la ley de Ohm, surge una aparente contradiccion: en una corriente estacionaria, lavelocidad de los portadores en cada punto es constante, v = v(t); sin embargo, si sobre ellos soloactua la fuerza electrostatica F = qE, adquiriran una aceleracion no nula, dada por la segunda leyde Newton, a = (q/m)E (siendo m la masa del portador), y en conclusion, la corriente no serıaestacionaria.

2La conductividad y resistividad suelen denotarse por σ y ρ. Para no confundirlos con las densidades superficiales yvolumetricas de carga utilizaremos g y η, como en Fundamentos de la teorıa electromagnetica, Reitz, Milford, Christy



Sustancia η (Ωm) α (K−1)

MetalesMercurio 96× 10−8 0.0009Hierro 9,7× 10−8 0.0065Tungsteno 5,5× 10−8 0.0045Aluminio 2,65× 10−8 0.0043Cobre 1,7× 10−8 0.0068Plata 1,6× 10−8 0.0041

AleacionesNicromo 100× 10−8 0.0004Constantan 49× 10−8 0.0000Manganita 44× 10−8

SemiconductoresGermanio 0.46 -0.048Silicio 640Grafito 1,4× 10−5 -0.0005

AislantesAzufre 2× 1015

Cuarzo (Si O2) 1× 1013

Madera 108-1011

Vidrio 1010-1014

Lucita > 1013

Mica 1011-1015

Diamante 1013

Debe de admitirse, por lo tanto, la existencia de otra fuerza, una fuerza de rozamiento ejercidapor el medio material en el que se mueven los portadores y que se opone a su movimiento. Desde unpunto de vista microscopico, la fuerza ejercida por el medio tiene su origen, en los metales, en loschoques de los electrones con la red ionica. Fenomenologicamente, dicha fuerza puede modelizarse, enla mayor parte de los casos, por una fuerza proporcional a la velocidad y de sentido contrario (analogaa la fuerza sobre un objeto que se mueve en un fluido), Fr = −kv. La accion conjunta de las fuerzaselectrostatica y de rozamiento permite resolver la paradoja mencionada. De hecho permite derivar laley de Ohm (5.18):

Derivacion fenomenologica de la ley de Ohm

La segunda ley de Newton para un portador de corriente sometido a las fuerzas electrostatica y derozamiento se escribe como

mdv

dt= qE − kv . (5.22)

Su solucion, con la condicion inicial v(0) = 0, es

v(t) =q

k

(1− e−kt/m

)E . (5.23)

Se observa en esta expresion que la velocidad no aumenta indefinidamente, sino que se aproxima exponen-cialmente a la velocidad lımite

vlim =q

kE . (5.24)


5.7. Ley de Ohm para un conductor filiforme con corriente continua. Resistencia 85

El cociente τ = m/k, con dimensiones de tiempo, y llamado tiempo de relajacion, es un tiempocaracterıstico que indica la rapidez con que se alcanza la velocidad lımite (por ejemplo, para t = τ ,v = 0,633vlim, y para t = 2τ , la velocidad ya alcanza el valor v = 0,865vlim). El tiempo de relajacionindica tambien la rapidez con la que se establece (tras aplicar un campo electrico) o decae (al desaparecerel campo electrico) una corriente electrica en un conductor. Su valor experimental es del orden de 10−14

s para metales conductores y esta relacionado directamente con el tiempo medio entre colisiones de loselectrones con los iones de la red.

En funcion del tiempo de relajacion, la velocidad lımite se escribe como

vlim =qτ

mE , (5.25)

y de la definicion (5.1) del vector densidad de corriente, se obtiene (una vez transcurrido el brevısimotiempo de 10−14 s, y por tanto a todos los efectos practicos)

j =nq2τ

mE , (5.26)

que es la ley de Ohm, estando dada la conductividad por

g =nq2τ

m. (5.27)

5.7. Ley de Ohm para un conductor filiforme con corriente continua.Resistencia

Consideremos ahora un objeto conductor ohmico, con forma de hilo, de seccion S y resistividad η nonecesariamente constantes a lo largo del hilo. Por algun procedimiento (generadores) se ha establecidouna diferencia de potencial V1 > V2 entre dos secciones del hilo. De aquı, la existencia de un campoelectrico estatico en el hilo, de izquierda a derecha, y una corriente continua en el mismo sentido. Elvector densidad de corriente j puede suponerse aproximadamente perpendicular y uniforme en cadaseccion recta del hilo (figura 5.5)

jE

V 1

V 2

S , h12

Figura 5.5: Objeto filiforme por el que circula una corriente



La diferencia de potencial entre las secciones 1 y 2 puede escribirse, utilizando la ley de Ohm, como∫ 2

1E · dl =

∫ 2

1ηj · dl . (5.28)

Puesto que dl y j tienen la misma direccion y sentido, podremos escribir∫ 2

1ηj · dl =

∫ 2

1ηdl

SjS , (5.29)

donde ademas se ha multiplicado y dividido por S. El producto jS es la intensidad en cada seccion delhilo (si se toma dS en el sentido de dl), y siendo su valor constante, puede ser extraıdo de la integral,obteniendose

V1 − V2 = I

∫ 2

1ηdl

S. (5.30)

Definiendo la resistencia electrica del objeto filiforme como

R =

∫ 2

1ηdl

S, (5.31)

podemos escribir

V1 − V2 = RI , (5.32)

que es la forma familiar de la ley de Ohm, de todos conocida. Esta ley de Ohm establece que ladiferencia de potencial (caıda de tension) entre dos puntos de un conductor filiforme es proporcional ala intensidad que circula por el. La resistencia es la constante de proporcionalidad, y es una propiedadde cada conductor, que depende unicamente de la resistividad (y de aquı de la temperatura) delmaterial con que esta hecha, y de su forma y dimensiones. Si, como es frecuente, la resistividad y laseccion no varıan a lo largo del hilo, la resistencia, de (5.31), resulta ser

R =ηL

S, (5.33)

siendo L la longitud del hilo. La resistencia de un hilo de seccion uniforme aumenta con su resistividady longitud, y disminuye al aumentar su seccion .

5.8. Potencia suministrada por el campo electrico. Efecto Joule

En el conductor filiforme de la seccion anterior, los portadores se estan desplazando bajo la accion deun campo electrico. La fuerza electrostatica esta por tanto realizando un trabajo sobre los portadores.Calculemos el trabajo, por unidad de tiempo, sobre todos los portadores contenidos entre las secciones1 y 2.

Para ello, consideramos una seccion recta S cualquiera, como se muestra en la figura 5.6. En untiempo dt atravesara dicha superficie la carga dQ = Idt de los portadores contenida en la “rodaja”deconductor de la figura. Al atravesar dQ la superficie, desplazandose dl, el campo electrostatico harealizado un trabajo sobre dQ igual a dQE · dl = IdtE · dl. El trabajo realizado sobre dQ por unidadde tiempo, o potencia suministrada, es IE · dl. La potencia suministrada por el campo electrico a todoslos portadores entre las secciones 1 y 2 del conductor es entonces

P =

∫ 2

1IE · dl . (5.34)


5.9. Generadores de corriente continua. Fuerza electromotriz 87

d l

d Q

S

V 1 V 2

12

Figura 5.6: Objeto filiforme por el que circula una corriente

Como I tiene el mismo valor en todas las secciones del hilo, se puede extraer de la integral, y se obtiene

P = (V1 − V2)I . (5.35)

Ahora bien, en una corriente estacionaria, la energıa de los portadores contenidos entre 1 y 2 novarıa en el tiempo. Por lo tanto, los portadores deben estar, al mismo tiempo, perdiendo la energıasuministrada por el campo electrico. De hecho, la estan cediendo constantemente al medio (la redionica en un metal) a traves de la fuerza de rozamiento con este (debida a su vez a los choques de losportadores con los iones). La potencia perdida por los portadores debido al rozamiento es entonces

P = (V1 − V2)I = RI2 , (5.36)

donde se ha utilizado, en el ultimo paso, la ley de Ohm. Esta energıa, al ser absorbida por los ionespositivos del metal, se transforma en agitacion termica de estos (vibraciones alrededor de sus posicionesde equilibrio), lo que a nivel macroscopico se manifiesta como un incremento de temperatura del metal.Si el metal no esta termicamente aislado, la energıa por unidad de tiempo P se disipa en forma decalor en el medio circundante. Este fenomeno se denomina efecto Joule, llamado ası porque fue J.P.Joule quien con sus experimentos sobre la equivalencia de distintas formas de energıa verifico la ley(5.36). El efecto Joule consiste en la disipacion en forma de calor de la energıa suministrada a losportadores de corriente por el campo electrico.

El efecto Joule es el fundamento de los calentadores electricos, planchas, estufas. . . Si la temperaturade la resistencia llega a ser suficientemente alta, se pondra incandescente, emitiendo luz visible, lo cuales el fundamento de las bombillas electricas (en este caso RI2 incluye la energıa disipada como calory como energıa luminosa o electromagnetica). Si el conductor tiene un punto de fusion no muy alto,se fundira al calentarse. Esta es la base de los fusibles que se utilizan para proteger aparatos electricosde subidas bruscas de tension.

5.9. Generadores de corriente continua. Fuerza electromotriz

Como se ha mencionado, para mantener una corriente continua en el conductor filiforme es necesariomantener una diferencia de potencial V1 > V2 entre sus extremos. Para que realmente circule lacorriente, es ademas necesario hacer coincidir los extremos (recuerdese que las lıneas vectoriales de jen corriente continua son cerradas). Ambas cosas quedan satisfechas construyendo el circuito de lafigura 5.7a. La mision del generador electrico G, que permite el paso de la corriente, es mantenerla diferencia de potencial, evitando la llegada al equilibrio.



G 21

V 1 > V 2

+ -

I = 0/

j E

G 21

V 1 > V 2

+ -

I = 0

V 1 - V 2 = E

a ) b )Figura 5.7: a) Un circuito con un generador es el dispositivo mas sencillo por el que puede circularuna corriente continua. b) La fuerza electromotriz es el voltaje entre bornes a circuito abierto.

A lo largo de la historia se han ido descubriendo distintos dispositivos, como el generador de Vander Graaf, la pila voltaica, los generadores electricos. . . , que son capaces de mantener una diferenciade potencial. Los fenomenos fısicos en que estan basados los distintos generadores son dispares, perola idea basica de su funcionamiento es la misma para todos ellos, como se explicara en el apartado5.9.1.

Desde un punto de vista operativo, todo lo que necesitaremos saber sobre un generador es losiguiente:

Considerese primero el circuito abierto (por medio de un interruptor), de modo que no circulacorriente, como se ilustra en la figura 5.7b. En esta situacion el generador tiene un extremo o bornepositivo a mayor potencial V1, y otro extremo o borne negativo a menor potencial V2. La diferenciade potencial V1 − V2 que mantiene a circuito abierto es su fuerza electromotriz E , abreviadamentef.e.m.3 En la figura 5.7b, por tanto,

V1 − V2 = E (a circuito abierto) (5.37)

Por esta razon, la fuerza electromotriz tambien se denomina voltaje a circuito abierto. Es una cantidadestrictamente positiva que se mide en voltios.

Cuando el circuito esta cerrado, y circula cierta corriente de intensidad I, siempre saliendo por elborne positivo, la diferencia de potencial entre sus bornes es menor que la fuerza electromotriz. Para lamayorıa de los generadores, puede utilizarse como modelo mas sencillo, una disminucion proporcionala la intensidad que circula, esto es,

V1 − V2 = E − rI . (5.38)

La cantidad r, cuya unidad es el ohmio, se denomina resistencia interna del generador. Un gen-erador se dice ideal si r = 0; para ellos, la diferencia de potencial entre bornes es V1 − V2 = E ,independientemente de que circule corriente o no.

5.9.1. Fundamento del funcionamiento de un generador

El modo en que un generador se las “ingenia”para mantener una diferencia de potencial se puedeentender a partir de la figura 5.8.

3La fuerza electromotriz no es una fuerza, a pesar de su nombre


5.9. Generadores de corriente continua. Fuerza electromotriz 89

G 21 V 1 > V 2

+ -

I = 0/

j

E

d Q

EF G

Figura 5.8: Funcionamiento de un generador

La circulacion del campo electrostatico a lo largo de la lınea cerrada que constituye el circuito es,necesariamente, ∮

E · dl = 0 , (5.39)

puesto que E es conservativo. Por tanto, dentro del generador, E tiene sentido contrario al campoelectrico en el resto del circuito. La corriente circula de 2 a 1 dentro del generador, a pesar del campoelectrostatico en contra, porque estan actuando en el generador otras fuerzas FG sobre los portadoresde carga, distintas de la electrostatica, en el sentido de la corriente. La diferencia entre los distintostipos de generadores estriba en la naturaleza de estas fuerzas. Para el generador de Van der Graaf,por ejemplo, FG es la fuerza realizada por una cinta transportadora movil que lleva, literalmente,las cargas portadoras de 2 a 1. En una baterıa, FG se origina en la distinta afinidad electronica dediferentes metales.

La f.e.m. de un generador es la energıa suministrada por el generador (por FG) por unidad de cargacirculante. Si una carga dQ de portadores atraviesa el generador de 2 a 1 (ver figura 5.8), realizandoel generador un trabajo dWG, la fuerza electromotriz es entonces

E ≡ dWG

dQ. (5.40)

El trabajo realizado por el generador puede escribirse ahora como dWG = dQ E .Un generador ideal es aquel en que este trabajo dWG = dQE se invierte ıntegramente en aumentar

la energıa del dQ. Puesto que pasa del punto 2 de menor potencial al 1 de mayor potencial, esteaumento es dQ(V1 − V2). De aquı que

dQ E = dQ(V1 − V2) −→ E = (V1 − V2) (generador ideal) (5.41)

como se dijo anteriormente.

En los generadores reales, del trabajo dQ E desarrollado por el generador, una parte se pierde enel propio generador, y el resto se invierte en aumentar la energıa del dQ a su paso por el generador,es decir,

dQ E = dQ(V1 − V2) + perdidas −→ V1 − V2 = E − rI (generador real) (5.42)

Las perdidas por unidad de carga estan modelizadas por rI.



5.9.2. Potencia suministrada por un generador

En la practica, mas que la energıa por unidad de carga, interesa la energıa por unidad de tiempoo potencia que suministra un generador.

Como se ha visto, la energıa generada por el generador al circular dQ es dQ E , y por tanto laenergıa generada en la unidad de tiempo es

Pgenerada =dQ

dtE = EI (5.43)

y puesto que E = V1 − V2 + rI,

Pgenerada = EI = (V1 − V2)I + rI2 . (5.44)

El termino rI2 representa la parte de la potencia generada que se disipa en el propio generador,mientras que el termino (V1 − V2)I corresponde a la potencia realmente suministrada al circuito(potencia en bornes)

P = (V1 − V2)I (potencia suministrada al circuito) (5.45)

5.10. Motores. Fuerza contraelectromotriz

En los circuitos se suelen incluir otros elementos, como en la figura 5.9, que toman energıa electricadel circuito para transformarla en otros tipos de energıa. Estos dispositivos son la base de la mayorparte de las aplicaciones tecnicas de la corriente electrica. Ejemplos son los motores electricos, queproducen energıa mecanica, o una pila recargandose, que acumula energıa “quımica”. Nos referiremosa ellos con el nombre generico de motores.

21V 1 > V 2

+ -

jd QM3 4

V 3 > V 4

+ -

G

Figura 5.9: Circuito con motor.

Un motor tiene un borne positivo y otro negativo. La corriente siempre entra por el borne positivo.Un motor se caracteriza por su fuerza contraelectromotriz E (f.c.e.m.), que es la energıa que elmotor transforma (en energıa mecanica, quımica. . . ) por cada unidad de carga circulante. Tambien esuna magnitud positiva que se mide en voltios.

Si una carga dQ circula por el motor, de 3 a 4, pierde una energıa dQ(V3−V4) (por pasar de un puntoa otro de menor potencial). Un motor ideal transforma ıntegramente esta energıa: dWtransf = dQ E .De aquı que

dQ(V3 − V4) = dQE −→ V3 − V4 = E (motor ideal) (5.46)


5.11. Ley de Ohm en un circuito 91

La diferencia de potencial entre los bornes 3 y 4 de un motor ideal coincide con la fuerza contraelec-tromotriz.

En los motores reales solo parte de la energıa dQ(V3 − V4) es transformada por el motor y otracierta parte se pierde en su interior, es decir,

dQ(V3 − V4) = dQE + perdidas −→ V3 − V4 = E + rI (motor real) (5.47)

donde se ha supuesto, como ocurre en la mayor parte de los motores, que las perdidas por unidad decarga son proporcionales a la intensidad. La caıda de potencial entre los bornes de un motor real es, portanto, mayor que su fuerza electromotriz. Observese que el borne positivo de un motor esta siempre amayor potencial. La cantidad r se denomina resistencia interna del motor, y se mide en ohmios.

5.10.1. Potencia transformada por un motor

Como se ha visto, la energıa transformada por un motor cuando circula una carga dQ es dQE , ypor tanto la energıa transformada por unidad de tiempo es

Ptransformada =dQ

dtE = EI (5.48)

y puesto que E = (V3 − V4)− rI,

Ptransformada = EI = (V3 − V4)I − rI2 . (5.49)

El termino (V3 − V4)I es la potencia extraıda del circuito

P = (V3 − V4)I (potencia extraıda del circuito) (5.50)

La potencia transformada es menor que la extraıda del circuito en la cantidad rI2, que representa unapotencia disipada en el propio motor.

5.11. Ley de Ohm en un circuito

Consideremos ahora un circuito mas complicado formado por varios generadores y motores, defuerzas electromotrices y contraelectromotrices Ei y E ′

i y resistencias internas ri, unidos por medio deconductores de resistencias Ri (tomemos, como ejemplo, el de la figura 5.10, con dos generadores y unmotor). Queremos calcular la intensidad I que pasa por el circuito.

En la figura 5.10 se muestra el circuito y su representacion simbolica. El sımbolorepresenta la resistencia total de un tramo del circuito, que incluye la del hilo conductor y la decualquier otro dispositivo que se caracterice, electricamente, por una resistencia. El sımbolo seutiliza para aparatos polarizados (generadores y motores). El trazo mas largo representa el borne opolo positivo y el trazo menor corresponde al borne negativo.

Partamos de un punto A y calculemos las diferencias de potencial en los diferentes elementos delcircuito, hasta volver al punto A:

VA − VA = 0 = (VA − V1) + (V1 − V2) + (V2 − V3) + (V3 − V4) + (V4 − VA) . (5.51)

Sustituyendo los valores de las diferencias de potencial, se obtiene

0 = −(E1 − r1I)− (E2 − r2I) +R2I + (E3 + r3I) +R1I . (5.52)



M3 4

I

2 A1 ( E 1 , r 1 )( E 2 , r 2 )

( E 3 , r 3 )

( E 1 , r 1 )( E 2 , r 2 )

( E 3 , r 3 )

R 2 R 1

3 4

A12IG 2 G 1

G 1G 2

M

Figura 5.10: Circuito con generadores y motores

Observese el signo menos en la diferencia de potencial en los generadores, puesto que se calcula desdeel borne negativo al positivo, al contrario que anteriormente. Reordenando, resulta

E1 + E2 − E3 = (R1 +R2 + r1 + r2 + r3)I . (5.53)

Expresandolo para un caso general, se tiene∑i

Ei = I∑i

Ri , (5.54)

que se denomina ley de Ohm para un circuito. Debe observarse que la f.e.m. de los generadores seintroduce en la formula con signo positivo y la f.c.e.m. de los motores con signo negativo. El termino∑

iRi incluye todas las resistencias del circuito, incluidas las internas de los generadores y motores.Si se conocen todas las f.e.m. y resistencias del circuito, puede determinarse la intensidad que

circula por el, sin mas que despejar en la ley de Ohm:

I =

∑i Ei∑iRi

. (5.55)

Si esta intensidad saliese negativa, el montaje serıa incorrecto y el motor no funcionarıa.Ahora bien, en la practica existen dispositivos, que denominaremos reversibles, los cuales pueden

funcionar indistintamente como generadores o motores. De hecho, en adelante, y salvo que se es-pecifique lo contrario, consideraremos nuestros dispositivos como reversibles. El circuito de la figura5.11 esta formado por dispositivos reversibles. Al no saberse que dispositivos actuan realmente comogeneradores, se desconoce tambien el sentido de la corriente.

Para aplicar la ley de Ohm en este caso, debe asignarse un sentido arbitrario a la corriente. Lasf.e.m. se introducen con signo positivo si el dispositivo se comporta como generador en el sentido dela corriente supuesto, y con signo negativo, si se comporta como motor en el sentido supuesto. Alcalcular la intensidad, si esta resultase positiva, el sentido asignado es el correcto y los dispositivosfuncionarıan tal como se habıan considerado; si resultase negativa, el sentido de la corriente es elcontrario al asignado, los supuestos generadores son realmente motores, y viceversa.

Si en la ley de Ohm, representamos por Ei las f.e.m. de los generadores y por E ′i las f.c.e.m. de

los motores, y multiplicamos en ambos miembros por la intensidad I que recorre el circuito, resulta,despejando adecuadamente, ∑

EiI =∑

E ′iI +

∑RiI

2 . (5.56)


5.12. Ley de Ohm en una rama 93

( E 1 , r 1 )( E 2 , r 2 )

( E 3 , r 3 )

R 2 R 1

( E 4 , r 4 )

Figura 5.11: Circuito con dispositivos reversibles

Esta ecuacion expresa el principio de conservacion de la energıa en un circuito de corriente continua,esto es, que la energıa generada en la unidad de tiempo se invierte parte en energıa transformada enlos motores y parte en energıa disipada en forma de calor.

5.12. Ley de Ohm en una rama

Consideremos una porcion de circuito, a la que denominaremos rama4, en el que pueden existirvarios generadores y motores (fig. 5.12).

( E , r G ) ( E ' , r M )

R 2R 1

A 1 2I

B

G MA 1 2

3

3 B

Figura 5.12: Rama de un circuito y su representacion simbolica

Supongamos que R1 y R2 son las resistencias de los tramos A− 1 y 2− 3, que el generador tieneuna f.e.m. E y una resistencia interna rG, y que el motor tiene una f.c.e.m. E ′ y una resistencia internarM . Entre los extremos A y B de la rama de la figura 5.12 existe una diferencia de potencial VA − VB

y la expresamos como suma de las diferencia de potencial en cada uno de los elementos de la rama:

VA − VB = (VA − V1) + (V1 − V2) + (V2 − V3) + (V3 − VB) . (5.57)

4En redes electricas, una rama es la porcion de red entre dos nudos, union de tres o mas conductores.



Si sabemos que por la rama pasa una corriente I, se tiene

VA − VB = R1I − (E − rGI) +R2I + (E ′ + rMI) . (5.58)

El signo negativo en la caıda de potencial en el generador, se debe a que la diferencia de potencial secalcula entre el polo negativo y el positivo. Reordenando

VA − VB + (E − E ′) = (R1 +R2 + rG + rM )I . (5.59)

En una situacion mas general, en el que hubiera varios generadores y motores en la rama, se tendrıa

VA − VB +∑

Ei −∑

E ′i =

∑RiI . (5.60)

Esta expresion suele denominarse ley de Ohm en una rama y puede aplicarse a cualquier trozo deun circuito, siempre con la precaucion de hacerlo en el sentido de la corriente, esto es, la corriente entrapor el punto A y sale por el punto B. Observese que, en esta formula, las f.e.m. de los generadoresdeben introducirse con signo positivo y las f.c.e.m. de los motores con signo negativo. En

∑Ri deben

incluirse todas las resistencias del circuito, incluidas las internas de generadores y motores.Hagamos alguna consideracion energetica en la rama de la figura. Analicemos, en primer lugar, el

caso en que VA − VB > 0. Multiplicando por la intensidad I que circula por la rama, (VA − VB)I >0 representa la energıa por unidad de tiempo (potencia) que la rama recibe del resto del circuito.Multiplicando en ambos miembros de la ecuacion (5.60) por la intensidad I que atraviesa la rama ydespejando adecuadamente, se obtiene

(VA − VB)I +∑

EiI =∑

E ′iI +

∑RiI

2 , (5.61)

que indica que la energıa que recibe la rama mas la que se genera en ella, se invierte parte en energıatransformada en los motores y parte en calor desprendido en las resistencias.

Analogamente, si VA − VB < 0, multiplicando por la intensidad I que circula por la rama, (VA −VB)I < 0, o mas correctamente, (VB−VA)I > 0, representa la energıa por unidad de tiempo (potencia)que la rama suministra al resto del circuito. Operando adecuadamente en (5.60):

(VB − VA)I =∑

EiI −∑

E ′iI −

∑RiI

2 , (5.62)

que indica que la energıa suministrada por una rama al resto del circuito, es la diferencia entre lagenerada por los generadores de la rama y la consumida en las resistencia y los motores de la misma.

5.13. Redes de corriente continua. Leyes de Kirchhoff

Hasta ahora se ha considerado unicamente un circuito simple, esto es, todos los elementos delcircuito estan recorridos por una misma intensidad, al estar conectados uno a continuacion de otro(conexion en serie), hasta cerrar el circuito. Consideremos ahora una red de conductores como la dela figura 5.13, en la que se incluyen tambien dispositivos reversibles, tipo generador o motor.

Denominaremos nudo al punto donde concurren tres o mas conductores, rama a la porcion decircuito comprendido entre dos nudos consecutivos y malla a cualquier trayectoria cerrada en la red,sin pasar dos veces por la misma rama.

El problema basico de la teorıa de redes es determinar las intensidades que circulan por cada ramade la red. Para ello, numeremos los nudos y las ramas de la red y denominemos Ii a la intensidad porla rama i. Llamaremos Ri a la resistencia total de la rama i, incluyendo las resistencias internas degeneradores y motores. En la figura 5.13 tenemos cinco ramas y tres nudos. Cualquier problema enuna red puede resolverse de manera sistematica, sin mas que aplicar dos reglas conocidas como leyesde Kirchhoff:


5.13. Redes de corriente continua. Leyes de Kirchhoff 95

( E 1 , r 1 )( E 2 , r 2 )

( E 3 , r 3 )

R 2 R 1

31

2

I 1

( E 6 , r 6 )( E 7 , r 7 )

( E 5 , r 5 )

R 3 R 4

( E 4 , r 4 )

R 5

I 2

I 4I 3

I 5

Figura 5.13: Red de corriente continua

1. La suma algebraica de las corrientes que circulan por un nudo es cero,∑Ii = 0 .

2. La suma algebraica de las diferencias de potencial entre los extremos de las ramas que componenuna malla es cero, ∑

d.d.p.i = 0 .

Como la diferencia de potencial en cada rama de la malla puede expresarse como d.d.p.i =RiIi−

∑Ei, en donde

∑Ei, representa la suma de las f.e.m., con su signo, de la rama i, podemos

escribir que, en una malla, la suma algebraica de las fuerzas electromotrices es igual a la sumaalgebraica de las caıdas de tension en las resistencias, es decir,∑

Ei =∑

RiIi

La primera de las leyes es consecuencia inmediata de la no acumulacion de carga en el interior deuna superficie cerrada, cuando la corriente es estacionaria. Tomando una superficie que envuelve a unnudo cualquiera (en la figura 5.14 se detalla el nudo 2 de la figura 5.13), para que la carga contenidaen su interior no varıe, la suma de intensidades entrantes debe ser igual a la suma de intensidadessalientes. O lo que es lo mismo, el flujo total de la densidad de corriente a traves de la superficie(intensidad total) debe ser nula. Cuando se utilizan las expresiones ıntensidad entrante, intensidadsaliente”se quiere hacer referencia al sentido del vector densidad de corriente. Si se tiene en cuentaque el unitario normal a la superficie sera exterior a la misma, las corrientes que salen del nudo daranlugar a una intensidad positiva y las que entran, una intensidad negativa.

El numero de ecuaciones independientes que se pueden obtener a partir de esta primera ley es unamenos que el numero de nudos existentes en la red.



2

I 4I 3

I 1 I 2

Figura 5.14: 1a Ley de Kirchhoff

La segunda ley no es sino consecuencia inmediata de que la circulacion del campo electrostatico alo largo de una lınea cerrada es cero. La reformulacion no es sino el resultado de calcular las caıdasde potencial en las diferentes ramas, tal como se hizo en el apartado anterior, con la unica precaucionde tener en cuenta si las corrientes de cada rama estan o no en el mismo sentido en que se recorre larama, para asignar signo positivo o negativo a la intensidad. Para el signo de las f.e.m. se tendra encuenta el criterio de asignar signo positivo si al recorrerse una rama se entra por el polo negativo yasignar signo negativo en caso contrario.

Mediante la segunda ley de Kirchhoff, y en adicion a las de la primera ley, se podran obtener lasecuaciones independientes necesarias hasta llegar al numero de ramas existentes en la red. Para obteneruna ecuacion independiente, cada nueva malla debera incluir al menos una rama que no hubiera sidoincluida en mallas anteriores. Al completar el numero de ecuaciones, todas las ramas habran sidoescogidas al menos en una ocasion.

En la figura 5.15 se indican tres posibles mallas independientes existentes en la red y un sentidoarbitrario de recorrido que permite su resolucion, lo cual se realizara a continuacion.

( E 1 , r 1 )( E 2 , r 2 )

( E 3 , r 3 )

R 2 R 1

31

2

I 1

( E 6 , r 6 )( E 7 , r 7 )

( E 5 , r 5 )

R 3 R 4

( E 4 , r 4 )

R 5

I 2

I 4I 3

I 5

II I

I I I

Figura 5.15: 2a Ley de Kirchhoff

Ejercicio 5.3 (Resolucion de una red mediante las leyes de Kirchhoff)Resolvamos la red de la figura 5.15, que consta de tres nudos y cinco ramas. Mediante las leyes deKirchhoff obtendremos dos ecuaciones de nudos (nudos-1) aplicando la primera ley y tres ecuaciones demalla (ramas-(nudos-1)) aplicando la segunda.

Escojamos dos de los tres nudos existentes en la red, por ejemplo los numerados como 1 y 2. En el nudonumero 1 la intensidad I1 sale del nudo mientras I3 e I5 entran en el. En el nudo numero 2 la intensidad


5.14. Red pasiva. Equivalencia 97

I1 entra en el nudo mientras I2, I3 e I4 salen de el. La primera ley de Kirchhoff conduce a las ecuaciones

I1 = I3 + I5

I2 + I3 + I4 = I1

En la figura 5.15 se muestra el sentido de recorrido asignado a tres mallas independientes, que son lasnecesarias para completar el numero de ramas de la red (mallas=ramas-(nudos-1)) . La malla I esta con-stituida por las ramas 1 y 3; la malla II por las ramas 3, 4 y 5, y la malla III por las ramas 2 y 4. Lasecuaciones que se obtienen en las diferentes mallas son, respectivamente:

E1 + E2 − E3 = (r1 + r2 + r3 +R2)I1 +R1I3

0 = R3I4 +R5I5 −R1I3

−E4 − E5 + E6 + E7 = (r4 + r5 + r6 + r7 +R4)I2 −R3I4

Con estas tres ecuaciones, junto a las dos ecuaciones de nudos anteriores, pueden obtenerse las intensidadesen cada rama.

5.14. Red pasiva. Equivalencia

Se denomina red pasiva a una red constituida solo por resistencias.

I IA B

R e d p a s i v a

I IA B

R e

Figura 5.16: Equivalente de un red pasiva

Consideremos una red pasiva cualquiera (figura 5.16) y dos de sus puntos A y B. Al establecer unadiferencia de potencial VA − VB entre ellos, por el punto A entra una cierta intensidad de corriente I,y sale la misma intensidad I por el punto B. Se denomina resistencia equivalente de la red pasivaentre los puntos A y B a una unica resistencia de valor Re tal que al establecer la misma diferenciade potencial VA − VB que habıa entre los extremos, circula la misma intensidad I por ella.

Dos resistencias conectadas en la forma indicada en la figura 5.17 se dice que estan conectadas enserie. Estan recorridas por la misma corriente, pero la diferencia de potencial entre sus extremos es,en general, diferente.

La resistencia equivalente Re entre los puntos A y B, debe verificar

ReI = VA − VB = (VA − VC) + (VC − VB) = R1I +R2I ⇒ Re = R1 +R2 , (5.63)

expresion, que para n resistencias queda:

Re =n∑

i=1

Ri . (5.64)



IA B

IA BC

R eR 1 R 2

Figura 5.17: Resistencias en serie

La resistencia equivalente es, pues, mayor que cualquiera de las resistencias individuales. Y en el casode resistencias iguales,

Re = nRi . (5.65)

Dos resistencias conectadas en la forma indicada en la figura 5.18 se dice que estan conectadasen paralelo. Estan sometidas a la misma diferencia de potencial, pero cada una esta recorrida, engeneral, por distinta corriente.

IA B

IA B

R e

R 1

R 2

I 1

I 2

Figura 5.18: Resistencias en paralelo

La resistencia equivalente Re entre los puntos A y B, debe verificar

ReI = VA − VB = R1I1 = R2I2, con I = I1 + I2 ⇒1

Re=

1

R1+

1

R2, (5.66)

expresion, que para n resistencias queda:

1

Re=

n∑i=1

1

Ri. (5.67)

La resistencia equivalente es, pues, menor que cualquiera de las resistencias individuales. Y en el casode resistencias iguales,

Re =Ri

n. (5.68)

Existe un caso especial de agrupacion de tres resistencias en que no se cumplen ninguna de lascondiciones de las dos asociaciones anteriores (figura 5.19), denominada asociacion en triangulo. Eneste caso, no podemos hablar de una resistencia equivalente a ellas tres, pero sı de otra asociacionequivalente, denominada asociacion en estrella. Diremos que ambas asociaciones son equivalentes, sipara las mismas diferencias de potencial entre sus puntos A, B y C, las intensidades que recorren elresto de las ramas del circuito son las mismas.

La equivalencia entre ambas asociaciones5 viene dada por

R′a =

RbRc

Ra +Rb +Rc(5.69)

5Las expresiones pueden obtenerse sin dificultad, aplicando la idea de asociaciones equivalentes, calculando la difer-encia de potencial entre los puntos A, B y C en ambas asociaciones y teniendo en cuenta la 1a ley de Kirchhoff en doscualesquiera de los puntos.


5.14. Red pasiva. Equivalencia 99

R c

A

I 1

I 3

I 2

R b

R a

B C

I A

I B I C

R ' c

A

R ' b

R ' a

B C

I A

I B I C

O

Figura 5.19: Asociaciones en triangulo y estrella

R′b =

RaRc

Ra +Rb +Rc(5.70)

R′c =

RaRb

Ra +Rb +Rc(5.71)

que expresa el valor de cualquier resistencia de la asociacion en estrella, en funcion de las resistenciasde la asociacion en triangulo (teorema de Kennelly). Analogamente, despejando de las expresionesanteriores, puede obtenerse el valor de cada una de las resistencias en triangulo en funcion de losvalores de las resistencias en estrella:

Ra =R′

aR′b +R′

aR′c +R′

bR′c

R′a

(5.72)

Rb =R′

aR′b +R′

aR′c +R′

bR′c

R′b

(5.73)

Rc =R′

aR′b +R′

aR′c +R′

bR′c

R′c

(5.74)

Cualquier red pasiva puede reducirse a una resistencia equivalente sin mas que aplicar de manerapaulatina las equivalencias en serie, paralelo, triangulo o estrella anteriormente descritas.




5.1 Por el cable de cobre de la figura circula una cor-riente continua de 1 A. Sabiendo que el numero deatomos por metros cubico es 8,4× 1028, determınese lavelocidad de los electrones en las secciones S1 y S2.

S 1 = 1 m m 2

S 2 = 2 m m 2

I

5.2 Se quiere disminuir la resistencia de un hilo ci-lındrico. ¿Que es mas eficaz, disminuir su longitud oaumentar su radio en la misma proporcion?

5.3 El extremo 1 de un hilo metalico esta en contactocon agua fundente y el extremo 2 con agua hirvien-do, de modo que se ha generado a lo largo del hilo ungradiente de temperatura t = ax, con a = 100oC/m.La longitud del hilo es de 1 m, el area de su seccionrecta es 1 mm2, y su resistividad varıa con la tem-peratura de acuerdo con la expresion η = η0(1 + αt),con η0 = 10−8 Ωm, y el coeficiente de temperaturaα = 0,0004 oC−1. ¿Cual es su resistencia?

O x

t = 0 º C t = 1 0 0 º C

1 2

5.4 Cuando una intensidad de 20 mA atraviesa elcuerpo humano, de resistencia 2,5 kΩ, hay peligro deelectrocucion. a) ¿A que diferencia de potencial puedeser sometido sin riesgos? b) Se necesita manipular uncable a 1000 V. ¿Que resistencia de proteccion Rp sedebe utilizar?

R p

1 0 0 0 V

0 V

5.5 Un fusible es un hilo conductor destinado afundirse, interrumpiendo la corriente, cuando esta so-brepasa cierto valor crıtico. El hilo se funde cuando lapotencia evacuada al entorno es inferior a la disipadaen su interior por efecto Joule. La potencia que un hi-lo evacua a su entorno es proporcional a su superficie,

Pev = c ·Sup. Determınese de que radio debe fabricarseun fusible cilındrico de resistividad η para que se fundaal superar la intensidad el valor de 1 A.

5.6 Se consideran tres bombillas cuyas caracterısticasde voltaje y potencia son las siguientes:1. 100 V – 75 W2. 220 V – 75 W3. 220 V – 150 Wa) Clasifıquese por orden creciente las resistencias delas bombillas.b) Clasifıquese por orden creciente las intensidades queatraviesan cada bombilla cuando se conecta al voltajeadecuado.

5.7 Un voltımetro es un dispositivo que, conectadoentre dos puntos de un circuito, proporciona la d.d.p.entre dichos puntos, y se caracteriza por su resisten-cia R. Se conecta el voltımetro entre los bornes de ungenerador de f.e.m. E y resistencia interna no desprecia-ble. ¿Indica el voltımetro el valor de la f.e.m. E? ¿comodeber ser la resistencia R para que su indicacion seaproxime al valor de E?

V R V G+

-

I

5.8 En el circuito de la figura, determınese la E1 delgenerador 1 para que en el generador 2 el borne posi-tivo tenga menor potencial que el negativo. Si E1 = 8V, ¿que energıa suministra el generador 2 al circuito?

1 W

( 2 V , 0 . 5 W ) ( e 1 , 0 . 5 W )2 1

5.9 En el circuito de la figura, ¿cual ha de ser el valorde R para la potencia disipada en esta resistencia seamaxima?

R( e , r )



5.10 A un generador de fuerza electromotriz E y re-sistencia interna r se conecta una pila reversible for-mando circuito. De las dos maneras que puede fun-cionar la pila reversible, ¿en cual se disipa mayor en-ergıa por efecto Joule en el circuito?.

5.11 En el circuito de la figura, se conoce que el po-tencial de A es mayor que el de B. Las resistenciasinternas de los dispositivos reversibles 1 y 2 son des-preciables. Discutir el sentido de la corriente, el com-portamiento de los dispositivos y el potencial del puntoC en relacion con los de A y B.

Re 1 e 2

A BC1 2

5.12 El voltımetro V1 de la figura marca una tensionde 240 V cuando por la resistencia R, un hilo de co-bre de longitud total L y seccion constante, circula unacorriente de intensidad I. ¿A que altura l debe conec-tarse el voltımetro V2 (ver figura) para que indique unatension de 30 V?

I R

V 2

V 1

L

l

5.13 Al aplicar una diferencia de potencial de 110 Va cada una de las lamparas 1, 2 y 3 consumen respecti-vamente 50, 100 y 150 W. Si conectamos las lamparasen la forma indicada en la figura ¿que potencia con-sumira cada una?

9 0 V

1

2

3

5.14 Las resistividades del hierro y del carbono varıancon la temperatura t de acuerdo con la ecuacion η =η0(1 + αt), donde

η0 (Ω m) α (oC−1)Hierro 10−7 0,0050Carbono 350× 10−7 −0,0005

Se asocian en serie un hilo de hierro y un hilo decarbono, ambos de la misma seccion, con objeto de queel valor de la resistencia R de la asociacion no dependade la temperatura. Determınese cual debe ser la razonentre las longitudes de ambos hilos.

5.15 Si tenemos un generador ideal de fem E yqueremos alimentar con el una resistencia, ¿como de-bera ser esta para que las perdidas por efecto Joulesean pequenas?

5.16 Una familia gasta diariamente 300 litros de aguacaliente a la temperatura de 60oC. El agua viene dela canerıa a 15oC y es calentada por una resistenciaelectrica sometida a una d.d.p. de 220 V. Determinela energıa consumida en un dıa para calentar agua, lapotencia media consumida en la resistencia y la inten-sidad media que recorre la misma. Exprese todos losresultados en el S.I. de unidades. Datos del agua: calorespecıfico c = 4,18 J/goC, densidad ρ = 1 g/cm3.

5.17 Con un generador de fem E y resistencia internar se quiere alimentar un motor cuya resistencia internaes r′. Determine la fcem E ′ del motor para que la po-tencia electrica aprovechada por el mismo sea lo mayorposible.

5.18 En la red de la figura, determınese la intensidadque circula por cada rama.

R

( e , 0 )

RR

R

5.19 En la red de la figura, calculese la intensidad quecircula por cada rama y la d.d.p. entre los puntos A yB

Datos:

E1 = E2 = E3 = 1Vr1 = r2 = r3 = 0,5 ΩR1 = R2 = R4 = 1 Ω R3 = 0,5 Ω

( e 3 , r 3 )

( e 2 , r 2 )( e 1 , r 1 ) R 1

R 2

R 3

R 4

A

B



5.20 Una lınea que conduce una corriente continuatiene 560 m de longitud y 0.4 ohmios de resistencia. Es-ta lınea, por un mal aislamiento, tiene una derivacion atierra, ası que la corriente en la entrada es de 50 ampe-rios y en la salida 45. La tension en la entrada es de 125voltios y a la salida 106.5. ¿Donde se ha producido laaverıa y cual es la resistencia de la derivacion a tierra?

5.21 En el montaje del esquema, el aparato es unamperımetro, cuya resistencia es despreciable, y las re-sistencias estan expresadas en ohmios. Por A entra unacorriente de 10 A, que sale por B. ¿Que intensidad mar-ca el amperımetro?

A B

2

A

51

4

5.22 En el circuito de la figura se pide: 1) ¿Que val-or debe tener Rx para que no pase corriente por laresistencia R? 2) En el caso anterior, ¿que corrientepasa por la resistencia de 4Ω? 3) En el mismo caso,comparese la caıda de tension entre G y C con la f.e.m.en la rama inferior

R

( 1 2 V , 1 W )

4 W R x

G C

( 2 V , 1 W )

5.23 En el circuito de la figura, 1, 2 y 3 son dispos-itivos de f.e.m. 12, 6 y 9 voltios, respectivamente, yresistencias internas de 0.5 ohmios. Se pide, calcular:1) Cuando el interruptor I esta abierto, la d.d.p. en-tre A y B. 2) Cuando el interruptor I esta cerrado,a) d.d.p. entre A y B; b) balance energetico de cadadispositivo.

1

2

3

4 W

1 W

2 W

A B

I

5.24 Las cuatro ramas de un puente de Wheatstoney el galvanometro G de la figura tienen la misma re-sistencia r = 1000Ω. El generador tiene una f.e.m. de 6V y resistencia interna despreciable. Hallar la resisten-cia Rx de proteccion que debe asociarse en serie conla f.e.m. para que si, por accidente, se establece uncortocircuito entre B y C, la intensidad a traves delgalvanometro no exceda de 1 mA.

G

r

rr

r

B

D

CA

R x e

5.25 Nos han vendido de ocasion un supuesto voltı-metro y un supuesto amperımetro y se quiere determi-nar sus resistencias internas. Para ello hemos montadoel circuito de la figura. La lectura del voltımetro es 6V y la del amperımetro 1 A. Calcule el valor de lasresistencias del voltımetro y del amperımetro y hagauna crıtica de la compra realizada.

2 W

2 W4 W

( 1 2 V , 1 W )

A

V r V

r A

5.26 ¿Como montarıa un conjunto de tres resistenciasiguales (serie, paralelo, dos en paralelo con la otra en



serie, dos en serie con la otra en paralelo) para que ladiferencia de potencial entre los bornes del generadorreal que las alimenta sea lo menor posible?

5.27 El generador G alimenta a un motor M y a unconjunto de tres resistencias R iguales, segun el circuitode la figura. Las entradas al motor y a las resistenciasestan protegidas por sendos interruptores. Calcule: 1)la diferencia de potencial entre los extremos de cadainterruptor cuando ambos estan abiertos. 2) la poten-cia extraıda del circuito por el motor en las diferentescombinaciones que pueden adoptar los interruptores Ay B.

Datos:

Generador G : f.e.m. = 380 V rG = 1 ΩMotor M : f.c.e.m. = 220 V rM = 1 ΩResistencias: R = 30 Ω

G MR R R

A Bab

cd

5.28 En el circuito de la figura, las resistencias estanen kΩ, siendo despreciables las resistencias internas delresto de elementos. Determine la diferencia de poten-cial (VA−VB) entre A y B, tanto cuando el interruptoresta abierto como cuando esta cerrado.

1 A

B

3 8 0 V2

2

2

2

2 2 0 V

5.29 Los dos dispositivos de la figura de fem 60 V y55 V y resistencias internas 0,5 Ω, alimentan un motorde fcem 20 V y resistencia interna 0,5 Ω a traves deuna lınea de resistencia R. Determinar:a) Con el interruptor abierto, la diferencia de potencialentre los puntos a y b.b) Con el interruptor cerrado, la resistencia R de lalınea y las perdidas por efecto Joule en la misma, cuan-do el motor absorbe de la red una potencia de 682 W.

R

( 6 0 V , 0 . 5 W )

( 5 5 V , 0 . 5 W )

( 2 0 V , 0 . 5 W )

a b


Bibliografıa

[1] Albella, J.M. y Martınez, J.M.; Fısica de dielectricos, Marcombo Boixareu Editores,Barcelona (1984).

[2] Alonso, M. y Finn, E.; Fısica, Addison–Wesley Iberoamericana, Reading (1992).

[3] Burbano, S.; Burbano, E. y Gracia, C.; Fısica General, Mira Editores, Zaragoza (1993).

[4] Cheng, D.K.; Fundamentos de electromagnetismo para ingenierıa, Addison–Wesley Iberoamer-icana, Wilmington (1997).

[5] Devore, G. y Annequin, R.; Cours de Physique. Electricite I, Vuibert, Paris (1967).

[6] Duffin, W.J.; Electricidad y magnetismo, Ediciones Urmo, Bilbao (1972).

[7] Fidalgo, J.A. y Fernandez, M.R.; 1000 problemas de Fısica General, Editorial Everest, Leon(1996).

[8] Goudet, G.; Cours de Physique Generale. Electricite, Masson et Cie, Paris (1967).

[9] Gullon, E. y Lopez, M.; Problemas de Fısica. Vol IV. Electricidad y Magnetismo, LibrerıaInternacional de Romo, Madrid (1976).

[10] Levy-Leblond, J.M. y Butoli, A.; La Fısica en preguntas. Electricidad y magnetismo, AlianzaEditorial, Madrid (1988).

[11] Portis, A.M.; Campos electromagneticos, Editorial Reverte S.A., Barcelona (1985).

[12] Purcell, E.; Electricidad y Magnetismo. Berkeley Physics Course. Vol 2, Editorial Reverte,Barcelona (1969).

[13] Reitz, J.R.; Milford, F.J. y Christy, R.W.; Fundamentos de la teorıa electromagnetica,Addison–Wesley Iberoamericana, Wilmington (1996).

[14] Serway, R.A.; Fısica. Tomo II, McGraw–Hill, Mexico D.F. (1992).

[15] Tipler, P.A.; Fısica. Tomo II, Editorial Reverte, Barcelona (1987).

105

Apendice A

Soluciones a los ejercicios y problemaspropuestos

Capıtulo 1

1.1 El caso intermedio, pudiendo representar una esfera uniformemente cargada.

1.2 a)F. b)V. c)V. d) F.

1.3 Ambas son falsas.

1.4 No.

1.5 a)F. b)F. c)V.

1.6 a)

1.7 a)F. b)F. c)V. d) V.

1.8 Φ =πR3ρ

6ε0

1.9 kL4/2

1.10 E = −3220j V/m, V = 0

1.11 E(x) =a

4πε0

[L

x− L+ ln

(x− L

x

)]i, V (x) = − a

4πε0

[L+ x ln

(x− L

x

)].

1.12 E = 2,45× 106 V/m. V = 198kV. A 5 cm debajo del disco.

1.13 a) E =Q

2π2ε0a2, horizontal hacia la izquierda. b) E =

σ

2πε0ln 2, horizontal hacia la izquierda.

1.14 tan θ =qEL

mv20

1.15 Φ = 226195 Nm2C−1; E = −85400i+ 1828862j N/C

1.16 Eint = 172,8r V/m, vertical. Eext = 0,864 V/m, vertical. Vint = −86,4r2 V. Vext = 0,864(0,0025−r) V (con r expresado en metros).

107

108 Apendice – A. Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos

1.17 Recta contenida en el plano formado por los hilos, paralela a ellos y a d/3 del hilo de carga λ.

1.18 Er<R =ρ

2ε0rur ; Er>R =

ρR2

2ε0rur ; V0 − VP =

ρR2

2ε0(0,5 + ln 2)

1.19 1) EA = 7193j + 565k. 2)VA − VB = 0 , VC − VB = VC − VA = 28,25 V.

1.20 1) λ = πσa 2)E = σ2ε0

(−1 + a/x)i ; V = σ2ε0

[x+ a(ln a

x − 1)]

1.21 E = −119492k N/C

1.22 EP =ρR3

3ε0

[1

a2− 1

16(2a−R)2

]

Capıtulo 2

2.1 1) En su superficie externa. 2) Adquiere carga. 3) Negativa.

2.2 QB = −1/3 mC, QA,int = 1/3 mC, QA,ext = 2/3 mC.

E = 0 (r < 0,2 m), E = (−3 × 106/r2)ur V/m (0,2 < r < 0,4 m), E = 0 (0,4 < r < 0,8 m),E = (6× 106/r2)ur V/m (r > 0,8 m)V = 0 V (r < 0,2 m), V = (−3 × 106/r + 15 × 106) V (0,2 < r < 0,4 m), V = 7,5 × 106 V(0,4 < r < 0,8 m), V = 6× 106/r V (r > 0,8 m)

2.3 VC1 > VC2. VA > VB.

2.4 E = 100 V/m.

2.5 VA < 0, VB < 0, VB < VA.

2.6 3F/8.

2.7 Distribucion no homogenea: negativa en la cara mas proxima a la carga puntual, positiva en laotra cara. Al conectar a tierra, solo negativa en la cara mas proxima a la carga. No, puesto queno existe simetrıa de cargas.

2.8 ER<r<2R =Q

4πε0r2ur E = 0 en el resto de las regiones. V1 − V2 =

Q8πε0R

2.9 a) Teorıa: de E = −gradV entre el conductor y tierra ⇒ Eext = 0 y de divE = ρ/ε0 ⇒ ρ = 0b) Teorıa: aplique la ley de Gauss a una superficie contenida en el conductor.

2.10 EP =q

4πε0(R2 − a)2


109

Capıtulo 3

3.1 ρp = −2ax σp = −b en el extremo x = 0, σp = aL2 + b en el extremo x = L.

3.2 E = (E0/3,2)i, D = ε0E0i, P = 0,69ε0E0i. Al cargar la lucita surge ρp = −0,69 µC/m3.

3.3 ρp = 0 en ambos dielectricos. Primer dielectrico: σp(R) = λ/(4πR), σp(2R) = −λ/(8πR).Segundo dielectrico: σp(2R) = λ/(6πR), σp(3R) = −λ/(9πR).

V (R)− V (3R) = − λ

2πε0(1

6ln 2 +

1

3ln 3).

3.4 1)σp = 3,3 nC/m2. ρp = −4r/3 µC/m3. Qp,S = 0,42 C. Qp,V = −0,42 C. 2)E =18850r2ur V/m.

3.5 |⟨p⟩| = 1,64× 10−30 Cm.

3.6 σp = −0,92 µC/m2

3.7 E = 0 si r < a, E =λ1

14πε0rur, si a < r < b, E = 0 si b < r < c,

E =3λ1

2πε0rsi r > c. λ1 = 7 µC/m. Vruptura = 19757 V

3.8 σ = 4,6 · 10−5 Cm−2

3.9 Zona pegada al conductor de σ = −2µC: σp = 2σ/3; Zona pegada al conductor de σ = 2µC:σp = −2σ/3; ρp = 0

3.10 σp(−L) = −aL2; σp(+L) = aL2; ρp = −2ax

3.11 σ = 7,95 · 10−5 Cm−2

Capıtulo 4

4.1 C = 4πε0εrR1R2R2−R1

4.2 C = 2πε0εrLlnR2/R1

4.3 C1 =23ε0εra

d ; C2 =34ε0εra

d

4.4 CC0

= dd+a1(1/ε1−1)+a2(1/ε2−1)

4.5 Vmax = 20R1(R2−R1)R2

kV, con los radios en mm.

4.6 εr = 3 ; V = V0/2.

4.7 Cdiel = 2ε0εrA

d(1+εr)Ccond = 2ε0

Ad .

4.8 a)ρp = − QdA(d+x)2

. b) C = Aε0d ln 2 .

4.9 a) Q1 = Q/7 ; Q2 = 6Q/7. b) La energıa total no varıa.

4.10 E1 = 1600µJ, E2 = E3 = E4 = 800µJ


110 Apendice – A. Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos

Capıtulo 5

5.1 v1 = 7,4× 10−2 mm/s; v2 = 3,7× 10−2 mm/s

5.2 Aumentar el radio.

5.3 10.2 mΩ

5.4 47.5 kΩ

5.5 r = ( I2η2π2c

)1/3

5.6 a) 1, 3, 2 b) 2, 3, 1

5.7 No. Muy grande.

5.8 E > 6 V. P = −2,5 W (consume)

5.9 R = r

5.10 Como generador.

5.11 De A a B por la resistencia R. 1 actua como motor y 2 como generador, siendo E2 > E1. C es elpunto de mayor potencial.

5.12 l = L/8

5.13 P1 = 9,68 W, P2 = 4,84 W, P3 = 3,23 W

5.14 lhlc

= 35

5.15 Lo mayor posible.

5.16 56,43× 106 J, 653.125 W, 2.96 A

5.17 E ′ = E/2

5.18 E/2R por las ramas con resistencia. E/R por la rama del generador.

5.19 VA − VB = −0,375 V

5.20 140 m. Rderiva = 24 Ω

5.21 0.45 A

5.22 1 Ω. 2 A. Son iguales.

5.23 1) 15 V. 2)a) 16.8 V. b) P1 = 8,72 W (generador), P2 = 0 , P3 = 7,03 W (motor).

5.24 Rx = 600 Ω

5.25 Rv = 1,6 Ω, Ra = 7,6 Ω.

5.26 En paralelo.

5.27 1) Vb − Va = 160 V, Vd − Vc = 380 V. 2) P=0, si A abierto. P=24 kW, si A cerrado y B abierto.P=18.77 kW, si A y B cerrados.

5.28 Abierto: -380 V. Cerrado: -245 V.

5.29 a) 57.5 V. b) R = 0,95 Ω, P = 462 W.
