apunte investigación operativa ii 2

Tcnicas de Control del Proyecto

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA

FACULTAD DE INGENIERA

DEPTO. INGENIERA INDUSTRIAL

CURSO PARA INGENIEROS

INDUSTRIALESASIGNATURA: INVESTIGACIN DE OPERACIONES II

PROFESOR: Ronny Huerta Gmez2006

INDICE

Pgina

1CAPTULO I: TCNICAS DE CONTROL DEL PROYECTO

11.1.- INTRODUCCIN

11.2.- DIAGRAMAS DE BARRAS: CARTAS GANTT

31.3.- RED DE ACTIVIDADES

41.3.1.- Diferentes Tipos De Redes

41.3.2.- Actividad En El Nodo

71.3.3.- Actividad En La Flecha

91.3.4.- Confeccin De Una Red De Actividades

101.4.- CPM O MTODO DEL CAMINO CRTICO

111.4.1.- Tiempo de Ejecucin

121.4.2.- Resolucin de Red de Actividades

121.4.2.1.- Clculo Hacia Adelante

131.4.2.2.- Clculo Hacia Atrs

141.4.2.3.- Margenes De Tiempo Y Camino Crtico

161.4.2.4.- Camino Crtico Y Actividades Ficticias

171.5.- PERT O TCNICA DE EVALUACIN-REVISIN DE PROYECTOS

181.5.1.- Distribuciones Continuas En Pert Y Estimacin De Tiempos

201.5.2.- Clculo De Probabilidades

241.6.- ACELERACIN DE PROYECTOS: MENOR COSTO TIEMPO

331.7.- CONFIABILIDAD

CAPTULO I: TCNICAS DE CONTROL DEL PROYECTO1.1.- INTRODUCCINEn este captulo introduciremos las tcnicas ms utilizadas de administracin de proyectos, pero slo del punto de vista de control o, mejor dicho, evaluar si nuestro proyecto esta acorde a los plazos y gastos estipulados, ya sea, para una empresa propia, proyectos externos, etc. En este mbito puede estar involucrado la construccin de un edificio o nivelacin de un terreno, instalacin de una mquina o equipo, servicios intangibles, etc. De esta manera, los mtodos grficos utilizados frecuentemente en la programacin y control de proyectos son:

1. Carta Gantt.

2. CPM.

3. PERT.

1.2.- DIAGRAMAS DE BARRAS: CARTAS GANTTTodo proyecto o trabajo implica siempre un problema tcnico, sin embargo, cualquiera que sea la tcnica implicada, se trata de realizar una sucesin de tareas, que conducen de una situacin inicial a otra final, en que el equipo o trabajo se considera concluido. Si se divide un proyecto en las distintas actividades que deben llevarse a cabo en el curso de su ejecucin, resulta evidente que para poder realizar una de ellas, no es necesario que se efecten simultneamente todas las otras, pues estas tareas estn interrelacionadas entre si en diversas secuencias.

Dado mltiples encadenamientos de las actividades que componen un proyecto o un trabajo, es necesaria una eficaz labor de planificacin y control, si se quiere completar adecuadamente su ejecucin en un plazo dado.

Desde comienzos del siglo veinte y durante casi cincuenta aos, estas labores de planificacin y control se venan haciendo casi sistemticamente con la ayuda de la Carta Gantt. Este mtodo, desarrollado por H. L. Gantt, esta basado en un sistema de coordenadas cartesianas, en el cual, se registra en el eje horizontal el tiempo y en el eje vertical las tareas o actividades a desarrollar, es decir, consiste en hacer un sistema de barras simples, mostrando grficamente la duracin de las actividades.

De esta manera, la carta Gantt identifica las actividades, las dimensiona en trminos de unidades de tiempo para su ejecucin, fijando su inicio y su trmino programado, sealando los recursos necesarios y controlando el avance real del programa.

Es aplicable a situaciones sencillas, pero no complejas, aunque generalmente, es aplicable en trminos globales, sin mayores detalles de una actividad o proyecto. Adems, como herramienta permite la visualizacin de las actividades que deben ser ejecutadas y cuando deben estar terminadas.

Para confeccionar la Carta Gantt de un proyecto, es necesario:

1. Definir las tareas que la componen.

2. Definir las duraciones de las tareas.

A modo e ejemplo, veamos la siguiente lista de actividades:

ActividadDuracin

A4

B6

C10

D2

E5

A partir de lo anterior, se construye el siguiente grfico (en base al conocimiento y experiencia de proyectista):

Al analizar la carta anterior, es difcil visualizar porque empieza o termina dicha actividad tal o cual da (como se dijo anteriormente, slo depende de la experiencia del administrador del proyecto) y, ms an, no muestra en forma efectiva las dependencias entre actividades. Esto se mejora con la Carta Gantt Ligada, como se muestra a continuacin:

En cualquiera de los dos tipos de Carta Gantt, debajo de cada actividad se puede poner otro cajn (sombreado de otro color) para ver el cumplimiento de las actividades, si empezaron o no en la fecha indicada, sus desfases, etc, pero, lamentablemente, ninguna de las Cartas Gantt muestran el porcentaje real de avance de las actividades.

A continuacin, se presentan las principales ventajas y desventajas de la carta Gantt:TABLA: VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS CARTAS GANTT

VENTAJASDESVENTAJAS

Es grfica y fcil de representar, adems, fcil y rpidas de usar No es un mtodo preciso de planificacin.

No requieren de equipos especialesSon poco eficientes en proyectos de muchas actividades.

Proveen una representacin simplificada del planEs muy fcil pasar a llevar la lgica del plan, por lo que pueden confundir a la administracin o entregarles una falsa seguridad.

Son apropiadas como herramientas de comunicacinEs difcil redibujar la carta cada vez que hay cambios mayores, atenta contra la efectividad como herramienta para el seguimiento.

Son fciles de usar para el seguimientoLas actividades crticas no son obvias en una carta de barras.

Permiten identificar claramente aquellas actividades que estn fuera de la secuencia previstaNo permite cuantificar el porcentaje de riesgo de una variacin en el plazo programado.

Son muy efectivas para la planificacin de largo plazoNo indica secuencia ni la dependencia de actividades.

Son ampliamente aceptadas y preferidas en la prcticaNo seala que actividades se pueden postergar y cuales no.

1.3.- RED DE ACTIVIDADESPara solucionar algunos de los problemas planteados por el sistema Gantt, se desarroll otro tipo de representacin grfica, que destaca las relaciones de secuencia entre las actividades.La firma Dupont de Nemours desarrollo el llamado Critical Path Method: CPM o Mtodo del Camino Crtico y la oficina de Proyectos Especiales de la Marina de los Estados Unidos de Amrica desarrollo la conocida Project Evaluation and Review Technique: PERT o Tcnica de Evaluacin y Revisin de Proyectos. Ambas tcnicas estn basadas en el desarrollo de redes de actividades, una estructura visual basada en la Teora de Grafos o Teora de Redes.A.- Diseo de Red De ActividadesEste mtodo grfico representa al proyecto o el sistema de trabajo, a travs de una red de flechas que se conectan entre s por los nodos de la red

B.- ActividadEs la realizacin de toda tarea o trabajo especfico que ocupa cierta cantidad de tiempo para alcanzar un determinado objetivo.

C.- AcontecimientoEs una relacin de secuencia entre dos o ms actividades. No ocupa tiempo en su realizacin.

1.3.1.- Diferentes Tipos De RedesEn base a una secuencia de actividades, podemos construir una red que los represente, pero lo podemos hacer desde dos puntos de vista diferentes.

a.- La actividad est representada por la Flecha

b.- La actividad est representada por el nodo

La mayora de la literatura que se ha publicado sobre CPM y PERT, utiliza la primera alternativa de construccin, la cual ser utilizada en nuestro caso. Con respecto a la segunda tcnica, se darn a conocer caractersticas generales para su conocimiento, de manera tal de estar en condiciones de seleccionar cual de las dos tcnicas puede ser mas adecuado a cada proyecto en particular. Como informacin adicional, hay que mencionar que la segunda alternativa se encuentra implementada en la mayora de los software de proyectos, como son MSProject, Primavera Project, etc.1.3.2.- Actividad En El Nodo

Como su nombre lo indica, toda la informacin que se puede tener sobre cada actividad, se puede representar en dicho nodo. Como esta tcnica no se vera ms adelante, mostraremos una tpica representacin de un nodo, de acuerdo al esquema siguiente:

Debido a la forma de representacin, es que se puede establecer entre las actividades las siguientes relaciones, aunque pueda resultar inicialmente un poco complicado, tiene ventajas comparativas con respecto a la actividad basada en la flecha, especialmente, bajo el concepto de que no existen las conocidas actividades ficticias (que se vern mas adelante), que dificultan muchas veces la representacin de los problemas de proyectos y permiten mas variaciones entre las actividades, las cuales son:

1. Trmino-Comienzo:

Su representacin grfica es la siguiente:

Esta relacin seala que la actividad B, se puede iniciar una vez terminada la actividad A. La flecha que las une es la forma de representar este acontecimiento, es decir, la secuencia entre A y B.2. Comienzo-Comienzo:Su representacin grfica es la siguiente:

Esta relacin seala que la actividad B puede comenzar junto o al mismo tiempo que la actividad A se inicia. La flecha que las une es la forma de representar este acontecimiento, es decir, la secuencia entre A y B.

3. Trmino-Trmino:Su representacin grfica es la siguiente:

Esta relacin seala que la actividad B puede terminar solo si la actividad A est tambin terminada. La flecha que las une es la forma de representar este acontecimiento, es decir, la secuencia entre A y B.

Veamos el siguiente proyecto, a modo de ejemplo, con el cual construiremos la red y de acuerdo a las relaciones de secuencia de la siguiente tabla:

Tipo de relacin

ActividadT-CC-CT-T

AC,BD-

BG,F--

C-G-

DF--

EI--

F--H

GE--

H-I-

I---

Red Nodo-Actividad.

1.3.3.- Actividad En La FlechaLas actividades estn representadas por flechas que se deben iniciar y terminar en un nodo. Por este motivo, la nica relacin de secuencia permitida es la Trmino-Comienzo, es decir, una actividad podr iniciarse cuando todas las actividades que concurren a su nodo inicial hayan concluido. Por ejemplo:

En este caso, la actividad C slo podr iniciarse cuando las actividades A y B hayan concluido. De esta manera, el nodo representa un acontecimiento, al sealar la secuencia entre actividades.

Hay que tener claro que las flechas no son vectores ni representan medida alguna, como tampoco interesa la forma de las flechas, ya que se dibujarn de acuerdo a las necesidades y comodidades de representacin de red. La nica limitacin es la de respetar el sentido de izquierda a derecha en el avance de la red y como recomendacin, ojala las flechas no se crucen en sus caminos, pero en caso de no ocurrir lo anterior, que la cantidad de cruces sea el mnima posible, por ejemplo:

Un elemento que surge en este tipo de red es el concepto de ACTIVIDAD FICTICIA, actividad a la cual se recurre cuando hay dificultad para representar grficamente una determinada secuencia de actividades. Su representacin en una flecha de segmentos, que no consume recursos ni tiempo en su ejecucin

Al construir una red de actividades, se debe evitar lo siguiente: Dos actividades que parten de un mismo nodo, lleguen a un mismo nodo. Esto produce confusin de tiempos y de continuidad, por lo cual, se debe abrir el nodo inicial o el nodo final en dos nodos y unirlos con una actividad ficticia

Dejar nodos sueltos al iniciar o terminar la red. Todos ellos deben relacionarse con un nico nodo inicial o nodo final.

Para poder identificar claramente los nodos, estos se enumeran, de tal modo, que toda actividad se inicie en un nodo de numeracin inferior al nodo de trmino de dicha actividad. Este sistema de numeracin, tiene por objeto evitar la existencia de circuitos que son imposibles de ejecutar (al menos para los objetivos de CPM o PERT), como se muestra a continuacin:

1.3.4.- Confeccin De Una Red De ActividadesPara confeccionar una red de actividades, es necesario en primer lugar hacer una lista de todos los trabajos o tareas a efectuar y definir para cada una de ellas las siguientes interrogantes: Que tareas deben precederla en forma inmediata. Qu tareas deben seguirla en forma inmediata Que tareas deben seguirla de forma inmediata

En base a esto se debe confeccionar una Tabla de Actividades, la cual esta enfocada a la tarea centrada en la flecha, as:Tabla De Actividades

ActividadDebe ir despus deDebe ir antes de

A-B, D

BAC, E

CBF, H

DAE

ED, BI

FCG

GFI

HCI

IH, G , EJ

JI-

A veces es conveniente detallar las secuencias en dos columnas, con el fin de tener un doble control de las actividades involucradas, aunque en nuestro caso no ser necesario.

Con estos antecedentes se procede a dibujar una red que cumpla con las condiciones establecidas en la tabla anterior y considerando que todas las relaciones son de trmino-principio, la representacin de la red en el sistema actividad en la flecha es la siguiente:

Presentaremos, a modo de ejemplo, como sera el caso del sistema basado en el nodo, pero suponiendo que todas las actividades son relaciones Trmino-Comienzo:

1.4.- CPM O MTODO DEL CAMINO CRTICOEl Mtodo del Camino Crtico (CPM) es una tcnica grfica que permite coordinar y secuenciar actividades caracterizadas por un evento (inicio de la actividad) y otro evento (trmino de la actividad).

1.4.1.- Tiempo de Ejecucin

Las actividades o tareas requieren de un tiempo para ser ejecutadas. Este tiempo o plazo para su realizacin se denomina tiempo esperado (te). La duracin total del proyecto depender de la exactitud respecto a la duracin de las actividades del proyecto (es un valor determinado y fijo para cada actividad), esta estimacin se debe hacer en funcin de alguna unidad base (hora, da, semana, mes, etc). Es as, como se definen tablas de estimaciones en base a:

Modelos anteriores.

Experiencia y ajustes de otros datos.

De esta manera, se estima la cantidad de trabajo a realizar y luego, la productividad (estimacin real); con los elementos anteriores, se puede sacar la relacin hrhombre (HH) y, posteriormente, con la mano de obra disponible (que tambin condiciona la productividad) se calcula la estimacin de la duracin de la actividad. Por ejemplo: se necesita construir un radier de 800 mt2, para ello, se cuenta con un capataz, 6 jornales, 4 encuadradores, 1 operador y 1 betonera y con este equipo se logra hacer un radier de 50 mt2/hr. Entonces:

De esta manera, se deber introducir una nueva columna a la tabla de actividades, la cual corresponder al tiempo esperado:

Tabla De Actividades

ActividadDebe ir despus deTiempo Esperado (dias)

A-16

BA10

CB10

DA8

ED, B6

FC4

GF1

HC2

IH, G , E15

JI4

La representacin grfica de la cualquier actividad es la siguiente:

De esta manera, se proceder a construir la red asociada a la tabla anterior, a la cual le asignamos los tiempos esperados respectivos:

1.4.2.- Resolucin de Red de Actividades

1.4.2.1.- Clculo Hacia AdelanteAl inicio de las actividades que parten del nodo inicial, se coloca la fecha correspondiente al momento de inicio de actividades, generalmente por facilidades de clculo se parte con fecha cero. A continuacin se van acumulando los tiempos esperados de cada actividad, colocndose la cantidad acumulada al trmino de la flecha que representa la actividad correspondiente.

Cuando a un nodo concurren varias actividades, se toma el mayor tiempo acumulado de entre las actividades que lleguen al nodo y se contina con el clculo.

No se debe olvidar en este clculo que las actividades ficticias entran en el clculo como cualquier otra actividad, con un tiempo esperado igual a cero.El clculo hacia adelante se efectuar con el ejemplo anterior, obtenindose (en azul):

Tenemos que la duracin total del proyecto es de 60 das, es decir, con el clculo hacia delante seremos capaces de determinar determinsticamente la fecha exacta de trmino o cumplimiento del proyecto, una vez efectuadas todas las actividades.

Se definirn ahora los dos plazos que se obtienen del clculo hacia delante:

1. Plazo mnimo de comienzo (en ingls ES):

Es la primera fecha en que una actividad puede comenzar, es decir, que todas las actividades que la preceden hayan terminado. Corresponde a la mayor fecha acumulada en el nodo del cual se inicia la actividad considerada.

2. Plazo mnimo de trmino (en ingls EF):

Es la primera fecha en que se puede terminar una actividad. Corresponde a la fecha acumulada en el extremo final de la flecha que representa la actividad consideradaPlazo mnimo de trmino = plazo mnimo de comienzo + tiempo esperado

Este clculo se puede efectuar directamente en el grfico, como tambin a travs de una Tabla Resumen, que es la siguiente (el cual sigue el mismo anlisis indicado anteriormente):

ActividadTiempo

EsperadoNodoTiempo Mnimo

InicioTrminoInicio (ES)Trmino (EF)

A1612016

B10231626

C10352636

fi0342626

D8241624

E6472632

F4563640

G1674041

H2573638

I15784156

J4895660

En los dos casos (grfica o tabla), ambas maneras de efectuar el clculo hacia delante es vlido y no reviste ninguna dificultad especial.

1.4.2.2.- Clculo Hacia AtrsPara realizar este clculo se procede en forma inversa al caso anterior. Se parte de la fecha final del proyecto (obtenido en el clculo hacia adelante) y se van restando los tiempos esperados de las actividades que la proceden.Para cada actividad el valor resultante se anota al comienzo que la representa. Si de un nodo parten varias actividades, para calcular la fecha de la actividad precedente, se toma el menor valor del tiempo de dichas actividades

Efectuado el clculo hacia atrs, se obtiene el siguiente resultado (valores en rojo):

Al terminar el clculo hacia atrs, debemos de llegar al nodo inicial con fecha cero.

Definiremos los dos plazos que se obtienen del clculo hacia atrs:

1. Plazo mximo de comienzo (en ingls LS):Es la ltima fecha en que una actividad puede comenzar, sin afectar la fecha final del proyecto.

Plazo mximo de comienzo = plazo mximo de termino - tiempo esperado

Corresponde a la fecha anotada al inicio de la actividad considerada

2. Plazo mximo de trmino (en ingls LF):

Es la ltima fecha en que se puede terminar una actividad sin afectar la fecha final del proyecto

Corresponde al ms bajo valor anotado al inicio de las actividades que comienzan en el nodo final de la actividad considerada

1.4.2.3.- Margenes De Tiempo Y Camino CrticoEl conocimiento de los plazos mnimos y mximos de las fechas correspondientes al inicio y trmino de cada actividad, nos permite conocer los mrgenes de tiempo que disponemos, tanto para postergar como para alargar una actividad, que pueda ser importante o relevante para el proyecto en cuestin.

Para esto definiremos los siguientes mrgenes: Margen u Holgura Total (Ht):

Es la cantidad de tiempo que se puede alargar o postergar una actividad, sin afectar la fecha final del proyecto.

Ht = Pmax trmino(LF) Pmin trmino(EF) = Pmax comienzo(LS) Pmin comienzo(ES) Margen u Holgura Libre (Hl):

Es la cantidad de tiempo que se puede alargar o postergar una actividad sin afectar la fecha mnima de comienzo de las actividades que deben efectuarse a continuacin.

Hl: mayor de los plazos mnimos de trmino de las actividades que llegan al nodo final de la actividad considerada, menos el plazo mnimo de trmino de esta actividad.

Tenemos que al nodo 7 llegan las actividades G, H, E. Si se quiere calcular el margen libre de la actividad E, se toma el mayor plazo mnimo de trmino, que en este caso es de 41 (ut), correspondiente a la actividad G y se le resta el plazo mnimo de trmino de la actividad E, que es de 32, dando como resultado 41- 32 = 9 (ut) como margen de holgura libre de la actividad E.

Realizados todo los clculos (hacia adelante y hacia atrs), se obtiene el diagrama y/o el cuadro siguiente:

ActividadTiempo

EsperadoNodoTiempo MnimoTiempo MximoHolgura

InicioTrminoInicio (ES)Trmino (EF)Inicio (LS)Trmino (LF)Total

HtLibre Hl

A161201601600

B10231626162600

C10352636263600

fi0342626353590

D82416242735112

E6472632354199

F4563640364000

G1674041404100

H2573638394133

I15784156415600

J4895660566000

1.4.2.4.- Camino Crtico Y Actividades FicticiasEn una red de actividades, para ir desde el nodo inicial hasta el nodo final, pueden usarse diversos caminos formados por las distintas secuencias de actividades.

Si se estudian las sumas de los tiempos esperados de los distintos caminos, se puede ver que por lo menos, uno de ellos da la suma ms larga. Este o los caminos que den la mayor suma se definen como el Camino Crtico y las actividades que lo forman se definen como Actividades Crticas.Las caractersticas de las actividades crticas son:

1. No poseen margen total.

2. No poseen margen libre.

De es manera, las actividades crticas se caracterizan porque en ellas cualquiera postergacin o alargamiento afecta a la fecha final del proyecto. El camino crtico se seala haciendo doble o ms gruesa las flechas que lo forman.

Para el caso bajo estudio, las actividades crticas son: A, B, C, F, G, I, J. Su representacin grfica es la siguiente:Camino Crtico para una red basada en actividad en la flecha.

Camino Crtico para una red basada en actividad en el nodo.

1.5.- PERT O TCNICA DE EVALUACIN-REVISIN DE PROYECTOSExisten proyectos, en el cual, sus actividades poseen incertidumbre y, por ende, estos tambin tienen una gran incertidumbre, esto se debe, esencialmente, en relacin a las duraciones de las diferentes actividades, por ello, el uso de mtodos probabilsticos puede ser lo ms conveniente para la evaluacin de las duraciones y la programacin de un proyecto, permitiendo una mejor comprensin de la exposicin global del programa y obliga a un anlisis de las actividades potencialmente crticas.

El PERT es apropiado para proyectos cuyas actividades estn sujetas a una considerable posibilidad de variacin, es decir, existe una alta incertidumbre o mejor dicho, riesgo con respecto a las duraciones individuales de las actividades y la duracin global del proyecto.

PERT se basa en un sistema probabilstica, consistente en una triple estimacin de la duracin de las actividades, conocidas como:

1. Tiempo optimista (ta): es el tiempo mnimo que requiere una actividad, en una situacin favorable, tal que todos los requisitos estn disponibles en el momento oportuno y nada se oponga a su utilizacin.

2. Tiempo pesimista (tb): es el tiempo que se supone podra requerir una actividad, dad una excepcional conjuncin de circunstancias desfavorables, exceptuadas los hechos de naturaleza catastrfica.

3. Tiempo ms probable (tp): Duracin de una actividad si las cosas suceden normalmente durante su realizacin, de acuerdo con la experiencia existente sobre actividades anlogas.En esta distribucin, los tiempos estimados optimistas y pesimistas deben ser valores extremos y la duracin ms probable debe corresponder al valor de mxima probabilidad, es decir, si se repitiese la tarea muchas veces en condiciones iguales, sera sta la duracin ms frecuente.1.5.1.- Distribuciones Continuas En Pert Y Estimacin De TiemposPara obtener el tiempo que se requiere, se trata de estimar la duracin probable o media (tm) de una actividad para la cual tenemos tres dimensiones de su duracin.

Las estimaciones ta y tb determinan el campo total de variacin (tb ta), la cual llamaremos extensin de la distribucin. Las estimaciones ya citadas, constituyen el nico dato disponible para evaluar la duracin media (tm) y las caractersticas de dispersin de la actividad.

Como el tiempo ms probable no es necesariamente el tiempo promedio entre el optimista y pesimista, no podremos utilizar la distribucin normal, pues sta es una distribucin simtrica.

Para este objetivo, debemos utilizar una distribucin asimtrica, de las cuales podemos considerar las siguientes:

Distribucin casi uniforme: esta distribucin no es usada, pues ella define que si se repitiesen muchas veces la actividad en condiciones iguales, no habra una duracin ms probable, sino que una gran cantidad de tiempos se repetiran con igual frecuencia. Esto se contradice con nuestros supuestos que definen una duracin ms probable. Distribucin Delta: Esta distribucin tampoco es usada en el clculo de un proyecto por el mtodo PERT, pues supone que de repetirse muchas veces la actividad en condiciones iguales o casi iguales al tiempo ms probable, lo cual, no se cumple siempre; adems, si para todas las actividades tenemos un tiempo casi fijo, podramos trabajar con CPM y no con PERT. Distribucin Beta: Esta es una distribucin asimtrica intermedia entre los dos casos anteriores, los valores de las frecuencias no se distribuyen en forma pareja como la distribucin casi uniforme ni se acumulan alrededor del tiempo ms probable, sino que se distribuyen en una forma ms normal. Las tres distribuciones anteriores, son algunas de las posibles distribuciones continuas que son conocidas, estudiadas y utilizadas a nivel ingenieril o matemtico, para objetivos de modelacin en ambientes bajo riesgo o formalmente estocsticos, aunque tambin estn la distribucin gamma, triangular, exponencial, etc.

Para las tres distribuciones anteriores, se presenta su funcin de densidad de probabilidad asociada:

Dado que la Distribucin Beta ha sido la ms utilizada en forma tradicional en PERT, ser la que usaremos para nuestros objetivos prcticos.

El tiempo medio (tm) tiene asociada la distribucin Beta, asimtrica y acotada, con una funcin de distribucin:

Hay de indicar, que si existen registros estadsticos de una actividad o conjunto de ellas suficiente para que se pueda inferir una ley de distribucin de duracin distinta a la distribucin Beta, no hay razn para no usar otro tipo de distribucin, siempre y cuando sea el resultado de repetidas observaciones realizadas bajo control estadstico.

De esta manera, la formulas resultantes al utilizar la distribucin son las siguientes:

Tiempo medio (tm):

Varianza (2)

La varianza representa en cierto modo, el grado de confianza que nos da el tiempo medio, pues a mayor valor que ella tenga, mayor diferencia habr entre los tiempos estimados para cada actividad.

1.5.2.- Clculo de ProbabilidadesEn base a las relaciones de secuencia entre las actividades de un proyecto y a los tiempos medios calculados para cada actividad, se resuelve la red a travs de un clculo hacia delante y atrs, al igual que el CPM, pero ahora los resultados no sern fijos y exactos, sino que obtendremos la fecha final ms probable del proyecto. La ruta que parte del nodo inicial hasta el nodo final y que se demore el mayor tiempo, ser el camino crtico mas probable de la red. La fecha final ms probable del proyecto la llamaremos Tc (Tiempo del camino crtico).

Si utilizamos la representacin de la Actividad en la Flecha o Actividad basada en el Nodo, los datos se incorporarn de la siguiente manera:

Para analizar el clculo de probabilidades en PERT, utilizaremos el ejemplo siguiente:

TareaDespus detatptbtm2

A-3564,80,25

B-2453,80,25

C-3454,00,11

DA2353,20,25

EC3464,20,25

FB, E4565,00,11

GC2343,00,11

HB, E2343,00,11

ID, F1232,00,11

JB, E, G2353,20,25

KH1242,20,25

LI, H1232,00,11

MK, J1242,20,25

De este modo, utilizando la flecha-actividad, se procede a disear la red completa y su resolucin es la misma que el clculo efectuado para la red CPM, quedando su estructura de la siguiente manera:

Cuando analizamos la distribucin que tienen los tiempos estimados para cada actividad, hemos visto que, generalmente, es una distribucin asimtrica, pero una red compuesta por un conjunto de actividades, de modo que si bien para cada actividad tenemos una distribucin Beta que es asimtrica, para la red se considera una Distribucin Normal Estandarizada N(0,1)En este caso, tenemos una fecha ms probable de trmino tc = 17,2 (u.t.), la cual tiene una varianza igual a la suma de las varianzas correspondientes a las actividades que forman el camino crtico, es decir:

El camino crtico esta constituido por las actividades: C, E, F, I, L. Entonces:

Por lo tanto:

El valor cubre el 99,8 % de posibilidades.

Pero que significa lo anterior, desde el punto de vista de un encargado de proyectos. Si lo vemos del punto de vista prctico, esto representa:

Al analizar el comportamiento de tc, vemos que para cumplir con el proyecto en la fecha 17,2, tenemos slo un 50 % de posibilidades.

Como dicho margen de seguridad no es satisfactorio, determinaremos un tiempo de contrato o tiempo fijado (tf), que ser la fecha final fijada para aumentar el margen de seguridad.Para calcular las probabilidades de cumplir un proyecto en una fecha fijada, se debe calcular la siguiente relacin:

Con el valor Z calculado, se ingresa a la tabla de probabilidades de la distribucin normal, obteniendo con ello el porcentaje de posibilidad de terminar el proyecto en la fecha de trmino o antes.

Consideremos los siguientes ejemplos asociados a dicha temtica:

Supongamos que se fija la fecha tf = 19 (u.t) para el final del proyecto contratado:

Con este valor se ingresa a la tabla de probabilidad, con lo cual, se obtiene la probabilidad p de que tf no sea excedido, entonces: p = 0,985. Es decir, hay un 98,5% de probabilidad de que la fecha final del proyecto a evaluar no supere el valor de tf = 19 (u.t.). Del punto anterior, con tf=19 (u.t.) se nos asegura un 98,5% de probabilidad a favor, pero que pasara en este caso si la actividad E, en vez de terminar eb la fecha 8,2 termina en la fecha 9,1.

En la red anterior, si se considera el nodo 4, hay cuatro caminos que condicen al nodo final:

Se tiene que el tiempo mximo es de 9 (u.t.), esta dado por las actividades F, I y L, que tiene una varianza de:

El tiempo fijado tf es de 19 (u.t.), pero hemos utilizado de l la cantidad de slo 9,1 (u.t.), luego nos queda an disponible 9,9 (u.t.).Este ser el tiempo fijado para cumplir con las actividades F, I y L.

Como estas actividades tienen un camino crtico de 9 entre el nodo 4 y el nodo 10, podemos establecer la siguiente relacin:

En la tabla numrica de la distribucin normal, se tiene que para Z=1,58, se tiene un valor de probabilidad p = 0,943.

Es decir, una vez cumplido el nodo 4, se tiene un 94,3% de probabilidad de no sobrepasar la fecha final fijada de 19 (u.t.)

Se debe calcular una fecha de trmino, tal que se asegure un 80 % de probabilidad a favor. En este caso, con la tabla se ingresa con 0,80, con el cual corresponde un Z = 0,845.Luego:

Con un tiempo fijado de 17,9 (u.t.), es posible que se termine el proyecto con una probabilidad de un 80% a favor.

1.6.- ACELERACIN DE PROYECTOS: MENOR COSTO TIEMPO (RED CPM/COST - PERT/COST)Este apartado es una extensin de los mtodos del camino crtico, el cual se basa en el anlisis de los costos con respecto a la duracin de cada actividad, lo que, a su vez, condiciona la duracin total y el costo total del proyecto.

La complicacin de los proyectos, cuando no es el tiempo a estimar la dificultas, el otro elemento relevante que influye sobre la viabilidad de cualquier proyecto, sea este tangible o intangible, son los costos asociados a las diferentes actividades como el costo general que tiene el proyecto de manera global. Debido a lo anterior, es que la contabilidad de costos comienza a tomar relevancia al momento de aceptar o no la ejecucin de un proyecto, sea este privado o estatal, ya que en funcin de estas variables se evaluar la rentabilidad y beneficios para la empresa que acepta la propuesta de ejecucin. De esta manera, definiremos los siguientes conceptos, que comnmente se utilizan en la contabilidad de costos:

1. Costo Directo: representa el costo debido a mano de obra, materiales, arriendo de maquinarias, etc. para efectuar una actividad en un plazo dado por el encargado. Se calcula:

Los recursos que estn directamente asociadas a las actividades involucradas.

Las estimaciones se convierten en valor dinero para obtener el costo directo.2. Costo Indirecto: Representa el conjunto de gastos que se realizan a lo largo del proyecto y que son difciles de identificar en funcin de una actividad particular, es decir, no son asignables a actividades especficas, por lo cual, se prorratea sobre el proyecto final, por lo general, siendo los costos asociados a alquiler, impuestos, gravmenes, seguros, etc. Se supone en la contabilidad de costos que se puede representar como una funcin lineal.3. Costos Externos: Esta constituido, por lo general, por los premios, bonificaciones, multas y otros costos debido a la terminacin del proyecto, ya sea, antes o despus del plazo contratado por la empresa licitante. Se puede suponer una funcin lineal creciente en el tiempo para nuestros objetivos prcticos.Estos tres costos componen el costo total del proyecto. Grficamente:

Si consideramos la curva de costos directos de una actividad, podemos determinar en ella los siguientes puntos, que sern relevantes para determinar si se puede adelantar o, en el peor caso, atrasar el proyecto en estudio:

Punto Acelerado (A): representa la duracin mnima (ta) que se puede dar a esta actividad y el costo que significa su realizacin (Ca). Despus de alcanzado este lmite, cualquier gasto de aceleracin, es decir, reducir an ms los tiempos estimados de las actividades, por ejemplo, utilizacin de horas y material suplementario, ser un derroche de dinero innecesario. El punto C es el de mximo costo (Cc) y mnimo Tiempo (ta). El tiempo acelerado ta, corresponder en un clculo de CPM/Costo, a un tiempo que se deber calcular considerando la aceleracin mxima de la actividad. En un clculo de PERT/Costo, este tiempo acelerado corresponder al tiempo optimista (ta), para el cual se deber calcular el costo.

Punto Normal (N): Representa la duracin normal de la tarea (tn) y el costo que ello significa (Cn). Este punto puede coincidir o no con el punto de costo mnimo terico. De todos modos, para nuestros clculos se considera como el punto de costo mnimo. El tiempo normal (tn), corresponde en CPM/Costo al tiempo esperado y en PERT/Costo al tiempo medio, para los cuales se deber estimar el costo directo.Dado que conocemos los puntos Normal y Acelerado, pero que desconocemos la forma exacta de la curva de costos directos de una actividad, para nuestros objetivos, esta curva se representar como una funcin lineal, es decir, la aproximaremos a la recta A-N, segn el dibujo anterior. Esta recta tiene una pendiente igual a:

Este valor representa el aumento (o disminucin) del costo que involucra el acelerar (o desacelerar) la actividad en una unidad de tiempo.Consideremos el siguiente problema, a modo de ejemplo:

TareaAntecesortn (u.t)ta (u.t.)Cn ($ u.m.)Ca ($ u.m.)M ($ u.m./u.t.)

A-622.0004.000500

B-411.0005.0001.333

CA1232.0004.000222

DC921.5003.000214

EC641.0004.0001.500

FB1021.2504.500406

GD, F1576.00010.000500

HE622.5005.125656

Estos valores se incorporan a la representacin grfica de la siguiente manera, sea el caso de actividad en la flecha o actividad en el nodo:

Para la lista de actividades dada asociada a la flecha, la red resultante es la siguiente:

Para obtener la curva de costos directos del proyecto, es necesario definir antes los siguientes puntos:

Punto C: Obtenido al resolver la red con los tiempos y costos acelerados de todas las actividades. De l se obtiene la duracin ta, es decir, la duracin mnima del proyecto; pero al mayor costo posible del proyecto Cc.Punto A: Obtenido al resolver la red de modo de acelerar solamente las actividades que sean necesarias para obtener el tiempo acelerado ta. Representa el costo mnimo Ca posible de obtener para el tiempo ta.

Punto N: Obtenido al resolver la red con todas las actividades a tiempo y costos normales. Representa el costo directo Cn mnimo de todo el proyecto, pero con la duracin ms extensa tn.

Punto B: Punto intermedio de la curva obtenida al acelerar el proyecto para cumplir con un tiempo dado.Al calcular un punto intermedio entre A y N, es necesario recordad que a cada tiempo entre ta y tn, le corresponden varios costos directos, segn sea la forma de acelerar la red. Se debe calcular al costo directo mnimo para un tiempo dado. Analizaremos los cuatro puntos anteriores con el ejemplo anterior:Clculo del Punto C:

TareaCosto

Cc ($ u.m.)Tiempo

tc (u.t)Plazo mnimo

de trminoPlazo mximo

De trminoHolgura

Total

A4.0002220

B5.0001154

C4.0003550

D3.0002770

E4.00049123

F4.5002374

G10.000714140

H5.125211143

La grfica asociada a estos plazos es la siguiente:

Para el punto C, tenemos que el costo es de $39.625 (suma de los costos por actividad) y tiempo acelerado de 14 (u.t.) (mayor plazo mximo de trmino).

Clculo del Punto A:

TareaCosto

Cc ($ u.m.)Tiempo

tc (u.t)Plazo mnimo


De trminoHolgura

Total

A4.0002220

B1.0004440

C4.0003550

D3.0002770

E4.000611110

F4.1003770

G10.000714140

H4.400311140

Este punto se obtiene al alargar las tareas que tenan holgura total distinta de cero, pues esto baja los costos y mantiene la duracin del proyecto. En la rama de las actividades B-F, el margen total de 4 le perteneca a ambas, se alarg primero B hasta su tiempo normal y luego con el resto del margen se aumento la duracin de F. Debido a que B posee m=1.333 y para F el valor es de m=406, por cada da que aumenta B, el costo baja en 1.333 y para F solo en 406. No olvidar que se debe aumentar primero la duracin de las actividades de mayor pendiente (siempre entre los lmites de ta y tn). Esto enfoque se conoce como desaceleracin del proyecto.La grfica asociada a dichos cambios es la siguiente:

Para este caso, los resultados obtenidos para el punto A son $31.500 y su duracin es de 14 (u.t). Notemos que las rutas crticas aumentan o, mejor dicho, las actividades no crticas se vuelven crticasNota: el clculo del punto C se puede realizar a partir del punto N, slo que el anlisis es inverso, es decir, se acelerar aquellas actividades que tienen holgura cero (que efectivamente pertenecen a la ruta crtica), empezando por las de menor pendiente. Este anlisis se desarrolla hasta que no sea posible reducir los tiempos de la red bajo estudio, teniendo presente que las actividades que, inicialmente, eran no crticas se van a convertir en crticas. Este enfoque se conoce como aceleracin del proyecto.Clculo del Punto N:TareaCosto

Cc ($ u.m.)Tiempo

tc (u.t)Plazo mnimo


De trminoHolgura

Total

A2.0006660

B1.000441713

C2.0001218180

D1.500927270

E1.0006243612

F1.25010142713

G6.0001542420

H2.5006304212

La grfica asociada a dichos cambios es la siguiente:

Los resultados obtenidos para el punto N son $17.250 y su duracin es de 42 (u.t).Clculo del Punto B:Supongamos un tiempo total de 21 (ut)

TareaCosto

Cc ($ u.m.)Tiempo

tc (u.t.)Plazo mnimo


De trminoHolgura

Total

A2.0006660

B1.0004440

C4.0003990

D3.000211110

E1.000615150

F2.4707660

G7.5001021210

H2.500621210

La grfica asociada a dichos cambios es la siguiente:

Los resultados obtenidos para el punto B son $21.860 y su duracin es de 21 (u.t).

Con los cuatro puntos, se traza la grfica de la funcin de costos directos del proyecto.

Considerando los costos indirectos y externos que para este caso son:

CostosCosto para el tiempo mnimo (14 u.t.)Aumento ($) por unidad de tiempo

Indirectos15.000500

Externos12.500700

Construiremos la curva de costo total del proyecto:

El punto ptimo, es decir, el punto de costo mnimo en la curva de costo total corresponde a la fecha 17

Para el Punto ptimo, deberemos calcular la red definitiva

TareaC($ u.m.)t (u.t.)Plazo mnimo

De trminoPlazo mximo

De trminoHolgura

Total

A4.0002220

B1.0004440

C4.0003550

D2.100510100

E1.000611110

F2.900610100

G10.000717170

H2.500617170

La grfica asociada al punto ptimo es la siguiente:

Finalmente, el costo total mnimo involucrado para el proyecto es:Costo Directo es

: 27.500

Costo Indirecto es

: 16.500

Costo Externo es

: 14.600

Costo Total mnimo proyecto: $ 58.6001.7.- CONFIABILIDAD

La confiabilidad R(t) es la probabilidad de que un dispositivo tenga un desempeo adecuado a lo largo de un intervalo [0,t]. En general, se supone que salvo si se efecta una reparacin o reemplazo, el desempeo o funcionamiento adecuado en el tiempo t implica un buen funcionamiento en el instante [0,t]. El dispositivo en consideracin puede se un sistema completo, un subsistema o un componente. Es posible desagregar el sistema en un conjunto de cajas negras, cada una de las cuales se encuentran en uno de los dos estados: bueno o malo. Las cajas negras pueden ser independientes o dependientes entre si.

Por ejemplo, en un televisor existe un gran nmero de partes (formado por muchos componentes). Estos se pueden dividir en subsistemas, donde cada uno tiene una confiabilidad asociada (audio, imagen, etc).

Supongamos que el televisor se puede dividir en n componentes (subsistemas); el desempeo de cada componente se mide por xi (variable aleatoria):

Luego, el desempeo general del sistema se puede expresar como una funcin (x1,x2, ,xn) como funcin de variables aleatoria:

Como el funcionamiento de cada componente toma valores de 0 y 1, la (x) queda definida en 2n puntos.

La funcin estructural depende de cmo estn formados los sistemas, subcomponentes, etc, siendo las estructuras ms sencillas las siguientes:

1. En serie.

2. En paralelo.

3. Combinaciones simples de los anteriores.

Sistema Serie:

Se dice que el sistema total falla, si falla un subsistema cualesquiera, entonces la funcin estructural es:

Sistema Paralelo:

Se dice que el sistema total falla, cuando fallan todos los subsistemas, entonces la funcin estructural es:

Sistema K de N (k Relleno para aplicarlas. En la lista Trama, seleccione la trama de lnea personalizada y haga clic en Aceptar.

1

A

6

9

8

7

5

4

3

2

I

J

H

D

B

C

G

F

E

f

_1208765819.vsd

1

A16

6

9

8

7

5

4

3

2

I15

J4

H 2

D 8

B 10

C10

G1

F 4

E 6

f 0

0 16

26 36

40 41

41 56

56 60

35

16 26

27 35

39 41

41

35 35

36 40

_1208729740.vsdNombre de tarea

Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea

Comienzo ms temprano

Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

j

TIEMPO ESPERADO

ACTIVIDAD

i

_1208730132.vsd

1

A16

6

9

8

7

5

4

3

2

I15

J4

H 2

D 8

B 10

C10

G1

F 4

E 6

f

_1208729146.unknown


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

A

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

F

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

G

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

D

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

B

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

C

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

H

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

E

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

I

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

A

F

E

C

B

D

A

F

E

C

B

D


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

j

I < j

La actividad C esta mal diseada, pues va de 3 a 1

i

A

2

1

C

A

3

B

_1208726800.vsd

1

A

6

9

8

7

5

4

3

2

I

J

H

D

B

C

G

F

E

f


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

A

B

f

B

A

B

A

f


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

A

B

C


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

Ficticia (f)


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

A

B

C

E

B

_1189883693.unknown

_1189886176.unknown

_1189929458.vsd

A

B

C

D

1

4

2

3

5

f

f


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

A

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

B

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

A

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

B

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

A

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

B

Trmino ms temprano

Trmino ms tardo

_1208464786.vsdTareas

1

ID

Nombre de tarea

Comienzo

Fin

Duracin

Carta GANTT Ligada: Proyecto Fantasa 2000

1

2

3

4

5


Comienzo real

Fin real

Fin programado

Comienzo programado

Nombre de tarea


Duracin

Fin ms temprano

Comienzo ms tardo

Margen demora

Fin ms tardo

_1208464653.vsdTareas

1

ID

Nombre de tarea

Comienzo

Fin

Duracin

Carta GANTT: Proyecto Fantasa 2000

1

2

3

4

5

_1189929526.vsd

A

B

C

D

1

2

5

f

f

_1189889142.unknown

_1189890087.unknown

_1189890925.unknown

_1189891655.unknown

_1189890599.unknown

_1189889196.unknown

_1189889009.unknown

_1189889046.unknown

_1189886417.unknown

_1189884495.unknown

_1189885950.unknown

_1189886162.unknown

_1189884750.unknown

_1189883900.unknown

_1189884100.unknown

_1189526868.unknown

_1189883105.unknown

_1189883280.unknown

_1189883500.unknown

_1189542994.unknown

_1189520221.unknown

_1189525492.unknown

_1189519434.unknown

apunte investigación operativa ii 2

Documents