1 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA Avda. Tupper 2007 Casilla 412-3 - Santiago Chile Fono: (56) (2) 978 4203, Fax: (56) (2) 695 3881 APUNTES DE ELECTROMAGNETISMO Luis Vargas D. Departamento de Ingeniera Elctrica Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas Universidad de Chile Versin2009 2 INDICE CAPITULO 1. ELECTROSTTICA EN EL VACIO ........................................................... 6 1.1 Introduccin ................................................................................................................ 6 1.2 Ley de Coulomb .......................................................................................................... 8 1.2.1 Descripcin ............................................................................................................ 8 1.2.2 Dimensiones .......................................................................................................... 8 1.3 Campo Elctrico ....................................................................................................... 10 1.4 Principio de Superposicin ...................................................................................... 11 1.5 Campo Elctricode Distribuciones Continuas de Carga .................................... 16 1.5.1 Distribucin Lineal .............................................................................................. 17 1.5.2 Distribucin superficial de carga ......................................................................... 21 1.5.3 Distribucin Volumtrica de Carga ..................................................................... 23 1.6 Ley de Gauss ............................................................................................................. 28 1.6.1 Conceptos Matemticos Incluidos ....................................................................... 28 1.6.2 Ley de Gauss ....................................................................................................... 29 1.7 Potencial Elctrico .................................................................................................... 33 1.7.1 Trabajo de un Campo Elctrico ........................................................................... 33 1.7.2 Definicin de Potencial Elctrico ........................................................................ 35 1.7.3 Relaciones entre Potencial y Campo Elctrico .................................................... 38 1.7.4 Ecuacin de Laplace y Poisson ........................................................................... 40 1.7.5 Campo Elctrico Conservativo ............................................................................ 42 1.8 Dipolo elctrico ......................................................................................................... 43 1.8.1 Definicin Dipolo ................................................................................................ 43 1.8.2 Potencial Elctrico de un Dipolo ......................................................................... 43 1.8.3 Dipolo de un Conjunto de Cargas y Distribuciones ............................................ 46 1.8.4 Potencial a grandes distancias ............................................................................. 49 1.9 Problemas Resueltos ................................................................................................. 51 1.10 Problemas propuestos ............................................................................................ 79 CAPITULO 2. PROPIEDADES DIELCTRICAS DE LA MATERIA ............................. 81 2.1 Introduccin .............................................................................................................. 81 2.2 Modelo de los Materiales Dielctricos .................................................................... 81 2.2.1 Materiales No Polares .......................................................................................... 81 2.2.2 Materiales Polares................................................................................................ 83 2.2.3 Vector Polarizacin ............................................................................................. 84 2.3 Potencial Elctrico en la Materia ............................................................................ 84 2.4 Distribuciones de carga de polarizacin ................................................................. 85 2.5 Generalizacin de la 1 ecuacin de Maxwell......................................................... 88 3 2.6 Constante Dielctrica ............................................................................................... 89 2.6.1 Polarizacin de medios materiales ...................................................................... 89 2.6.2 Clasificacin de materiales dielctricos .............................................................. 89 2.6.3 La Ecuacin del Potencial (Laplace) en Medios Materiales ............................... 91 2.7 Ruptura dielctrica ................................................................................................... 93 2.8 Condiciones de borde ............................................................................................... 94 2.9 Refraccin del campo elctrico ................................................................................ 99 2.10 Consideraciones sobre Simetra .......................................................................... 100 2.11 Problemas resueltos .............................................................................................. 103 2.12 Problemas Propuestos .......................................................................................... 110 CAPITULO 3. CONDUCTORES EN ELECTROSTTICA ............................................ 112 3.1 Modelo Bsico de Conductores ............................................................................. 112 3.2 Propiedades ............................................................................................................. 112 3.3 Caso Conductor con Oquedad .............................................................................. 113 3.4 Condensadores ........................................................................................................ 119 3.5 Cargas en medios materiales ................................................................................. 123 3.6 Problemas Resueltos ............................................................................................... 125 3.6 Problemas Propuestos ............................................................................................ 134 CAPITULO 4. ENERGA ELECTROSTTICA .............................................................. 135 4.2 Energa de un Sistema de Conductores ................................................................ 136 4.3 Fuerza Elctrica y Energa .................................................................................... 137 4.4 Energa en trminos de Campos ........................................................................... 139 4.5 Problemas Resueltos ............................................................................................... 143 4.6 Problemas Propuestos ............................................................................................ 146 CAPITULO 5. CORRIENTE ELECTRICA ...................................................................... 147 5.1 Modelo de Medios Materiales Conductores ......................................................... 147 5.2 Definicin de Corriente .......................................................................................... 148 5.3 Densidad de Corriente............................................................................................ 151 5.4 Ley de Ohm ............................................................................................................. 155 5.5 Fuerza electromotriz .............................................................................................. 159 5.6 Efecto Joule ............................................................................................................. 161 5.7 Cargas en medios materiales ................................................................................. 163 5.8 Corriente de Conveccin ........................................................................................ 165 5.9 Ecuacin de Continuidad ....................................................................................... 167 4 5.10 Ecuacin de Continuidad en Medios Materiales ............................................... 168 5.11 Condiciones de Borde paraJ ............................................................................. 170 5.12 Ley de Voltajes de Kirchoff ................................................................................. 176 5.13 Ley de Corrientes de Kirchoff. ............................................................................ 178 5.14 Problemas Resueltos ............................................................................................. 181 5.15 Problemas Propuestos .......................................................................................... 187 CAPITULO 6. MAGNETOSTTICA EN EL VACO ..................................................... 190 6.1 Introduccin ............................................................................................................ 190 6.2 Fuerza de una Corriente sobre una Carga Elctrica .......................................... 190 6.3 Definicin de campo magntico ............................................................................. 192 6.4 Ley de Biot y Savarat ............................................................................................. 195 6.5 Ley Circuital de Ampere ........................................................................................ 200 6.6 3 Ecuacin de Maxwell.......................................................................................... 202 6.74ta Ecuacin de Maxwell ...................................................................................... 203 6.8 Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magntico ........ 203 6.9 Potencial Magntico Vectorial ............................................................................... 207 CAPITULO 7. MAGNETOSTTICA EN LA MATERIA ............................................... 211 7.1 Dipolo Magntico .................................................................................................... 211 7.2 Modelo Atmico de Materiales .............................................................................. 214 7.3 Corrientes de Magnetizacin ................................................................................. 215 7.4 Permeabilidad Magntica ...................................................................................... 216 7.5 Clasificacin de los Materiales Magnticos .......................................................... 217 7.6 Condiciones de borde ............................................................................................. 219 7.7 Resumen Electrosttica y Magnetosttica ............................................................ 221 7.8 Problemas Resueltos ............................................................................................... 222 7.8 Problemas Propuestos ............................................................................................ 239 CAPITULO 8. CAMPOS VARIABLES EN EL TIEMPO ............................................... 241 8.1 LEY DE FARADAY-LENZ .................................................................................. 241 8.1.1 Ley de Induccin ............................................................................................... 241 8.1.2Modificacin 3 Ecuacin de Maxwell ............................................................. 248 8.1.3 Inductancia Propia ............................................................................................. 250 8.1.4 Inductancia de Conjunto de Circuitos ............................................................... 252 8.1.5 Inductancia en Sistemas Distribuidos ................................................................ 253 8.2 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ............................................................ 255 5 8.3. ENERGA ELECTROMAGNTICA ................................................................. 258 8.3.1 Energa del Campo Electromagntico ............................................................... 258 8.3.2 Fuerza sobre Materiales Magnticos ................................................................. 259 8.4. ONDAS ELECTROMAGNETICAS ................................................................... 264 8.5 Problemas Resueltos ............................................................................................... 267 8.5 Problemas Propuestos ............................................................................................ 275 CAPITULO 9. CORRIENTE ALTERNA ......................................................................... 276 9.1 Elementos circuitos RLC ....................................................................................... 276 9.2 Circuitos RLC ......................................................................................................... 277 9.3 Corrientes alternas ................................................................................................. 278 9.4 Transformada Fasorial .......................................................................................... 279 9.5 Problemas Resueltos ............................................................................................... 282 9.6 Problemas Propuestos ............................................................................................ 291 Anexo A. Sitios Web de inters ......................................................................................... 292 Anexo B. Frmulas usadas ................................................................................................. 294 INDICE FIGURAS INDICE TABLAS TABLA 1. CAMPOS EN CONFIGURACIONES MULTIPOLARES. ............................................................................... 50 TABLA 2: VALORES DE PERMITIVIDAD DIELCTRICA Y FUERZA DIELCTRICA DE MATERIALES ......................... 94 TABLA 3. CONDUCTIVIDAD (APROXIMADA)* DE ALGUNOS MATERIALES A20C ............................................ 157 TABLA 4. PERMEABILIDADRELATIVA DE ALGUNOS MATERIALES* ............................................................... 218 6 CAPITULO 1. ELECTROSTTICA EN EL VACIO 1.1 Introduccin Elfenmenoelectromagnticorigeuncampovastsimodenuestrarealidad,para dimensionar su alcance consideremos algunos ejemplos: -Partedelaactividaddelsistemanervioso,lainteraccinneuronalyelmismoojo con que se leen estas lneas es gobernado por leyes del electromagnetismo. -Fenmenos climticos como la aurora boreal, el rayo y el relmpago se explican en base a esta teora, -La luz se entiende como ondas electromagnticas. -Las aplicaciones prcticas son muy variadas en el mundo moderno: oTodalatecnologaelectrnica(TV,PC,celulares,videojuegos,etc.)esta basada fuertemente en estos principios, oAplicaciones mdicas: Rayos X, electrocardiogramas, electroencefalograma, resonancia magntica, etc. oTarjetasdecrdito,cdigosdebarradesupermercados,sistemasde posicionamiento geogrfico, etc. Lacomprensinacabadadeestostemasrequieredelestudiodelasespecialidadesde ingeniera,sinembargo,enestecursoaprenderemoslosfundamentosquenospermitirn tenerunentendimientobsicodelosprincipiosenquesebasanlasaplicaciones tecnolgicas listadas anteriormente. Desde el punto de vista de la descripcin del fenmeno partiremos adoptando las siguientes propiedades bsicas de la carga elctrica: -Lacargaelctricaesunapropiedadfundamentaldelamateria,comolamasaola capacidad calrica. -En la naturaleza la carga elctrica se da en dos formas: oElectrn (e) con unamasa de 9.1066E-31[kg], la cual se define como carga negativa. oProtn(p) con una masa de 1.67248E-27[kg], la cual se define como carga positiva. -Ambas partculas poseen carga de igual magnitud pero de signo opuesto. Paraentendermejorlainteraccindelascargasconvienedividirelestudioendospartes. Laprimeraparteconsideraquenohaymovimientodecargas,esdecir,laspartculasse encuentran en estado dereposo, mientras queenla segunda seconsidera la interaccin de cargasenmovimiento.Deestaforma,primeroabordaremossituacionesestacionarias (electrostticaymagnetosttica)yluegoincorporaremoslasvariacionestemporales (corrientes y campos variables en el tiempo). La teora que describe matemticamente estos fenmenos fue formulada alrededor de 1865. Mediante el uso de campos escalares y vectoriales se puede resumir toda la teora en cuatro ecuaciones, llamadas ecuaciones de Maxwell. Desde aquella fecha hasta nuestros das se ha 7 producidounenormedesarrollodeaplicacionestecnolgicasenprcticamentetodoslos campos del quehacer humano, pero la teora bsica no ha experimentado mayores cambios. En esta primera parte revisaremos los principios que rigen a la carga elctrica en estado de reposo, ms conocida como Electrosttica. 8 1.2 Ley de Coulomb 1.2.1 Descripcin Esunaleyexperimental,quefuedescubiertaen1785porelcoronelfrancsCharles Augustin de Coulomb. El coronel encontr que la magnitud de la fuerza experimentada por una partcula con carga q1 en presencia de otra partcula con carga q2 tiene la forma: (1.1) Recordemos que 1N=1 Kgm/seg2. Figura 1. Fuerza de Coulomb O sea: i)Es directamente proporcional al productoq1q2, ii)La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R Adicionalmente, se encontr que: iii)La fuerza tiene la direccin de la lnea que une q1 y q2 iv)Si q1 y q2 son de igual signo se repelen, en caso contrario se atraen. As, la ecuacin de fuerza queda (1.2) 1.2.2 Dimensiones Existe libertad para escoger las unidades de la constante K o de la carga q(pero no ambas). Notar que[k q1 q2]=[F R2]=Kg m3/seg2masa distancia3/tiempo2.En el sistema MKS se define la unidad 1 Coulomb (C)1 para las cargas y corresponde a la carga de 61018 electrones. As, para un electrn la carga es 1 Ms tarde veremos que esta unidad es til en el caso de las corrientes donde se cumple 1 Ampere = 1 C/seg. 1 / 222 12 / 1] [q q q qF NRq kqF = =q1q2Rrq1q2Rr1 21/ 22 [ ]q qkq qF r NR=| | ] [ 10 6 . 1 ] [ 10 6030 . 119 19C C qe ~ =9 Con esta definicin experimentalmente se encuentra que: (1.3) y definiendo la unidad Farad msegF2] [ =la constante co, llamada permitividad del espacio libre, corresponde a donde c es la velocidad de la luz. EJEMPLO 1. Comparar la fuerza de repulsin elctrica con la fuerza gravitacional entre 2 protones. Solucin: Figura 2. Mdulo fuerza entre cargas. Fuerza Gravitacional de atraccin:2Dm GmFp pg = (1.4) Fuerza elctrica de repulsin:22pekqFD=(1.5) 12222 22ppep g pGmkqFDkq F GmD| | |= = | |\ .(1.6)G~1010 29 199 38 9 16 26362 10 54 10 1010 279 10 1.6 109 10 10 9 10 10 101010 10 10 1010 1.6 10egFF ( = = = ~ ~ ( As, la fuerza elctrica es 1036 veces ms intensa que la fuerza gravitacional, por lo que las dospartculasdebieransepararse.Apartirdeestesimpleejerciciopodemosextrapolar algunas conclusiones: -Lamayoradelosobjetosennuestravidadiarianoestncargados(deotraformase vera ntidamente su efecto), -A nivel molecular la gravedad es despreciable como fuerza. -Entre planetas la fuerza elctrica es despreciable frente a la gravitacional. -Todacargaelctricaesunmltiploenterodelacargadeunprotn(igualalelectrn con signo opuesto). | |2 2 3 90/ 10 941seg C m Kg k - - = =c t| | m Fc/ 10 8541 . 841012270 = =tcq+ q+ D q+ q+ D10 1.3 Campo Elctrico Para expresar en formams rigurosael concepto de fuerza elctrica se usa elconcepto de campo elctrico. Consideremos el arreglo de cargas de la Figura 3. Figura 3. Fuerza entre cargas Llamemos 1 / 2 q qF a la fuerza que siente q2 debido a q1 y escribmosla de la siguiente forma 2012 1 / 2| | 4rr qq Fq q ,tc =(1.7) Como rrr= ((

= 3012 1 / 2|| || 4 rr qq Fq q tc(1.7.1) A la expresin 3014 rr qEtc=se le denomina campo elctrico producido por la carga q1. Con esto,lafuerzaquesientelacargaq2enpresenciadedichocampoes E q q q F 2 1 2/ =.En trminosmatemticosEcorrespondeauncampovectorial,esdecir,unafuncinque asociaunvectoracadapuntodelespacio.Fsicamentecorrespondeaunaperturbacin elctrica en todo el espacio producida por la carga q1. Generalicemoselresultadoanterioraldeunacargaqubicadaenlaposicinr',enun sistema de coordenadas de origen O como en la Figura 4. Figura 4. Campo Elctrico de carga puntual q1q21 / 2q qFrrq1q21 / 2q qFrrO' r r ' r r r' r' rqO' r r ' r r r' r' rq11 La expresin del campo elctrico en un puntor,de este sistema es 30|| ' || 4) ' (r rr r qE =tc [N/C](1.7) Las dimensiones son de fuerza sobre carga elctrica2. E no esta definido en el punto r r ' = !. Notarqueenesteanlisisq1yq2 soncargaspuntuales,esdecir,notienendimensiones espaciales.Unmodelomsprecisodelascargasrequieresuponerqueexisten distribuciones en volumen en donde se reparte la carga. Por ejemplo, esferas de dimetro 2a y 2b respectivamente, segn se muestra en la Figura 5. Figura 5. Modelo de cargas puntuales El modelo de cargas puntuales implica que se cumple a, b a 020 0 0 00012( ) 2( )encL aoooQEdsrdrd dz E dsraLEr rLaEr rrtcucttcc= = = =}}} } } }} Aplicando nuevamente la relacin entre las densidades ( )2 ooEr rrtc = 68 Finalmente el campo en todo el espacio est dado por: ( ) 2 20o oo or Para r aEr r aPara r a tc t c| | < |=\ . > b) Para calcular el potencial se sabe que: V r d E A = },, con r dr r d =, 1) Para r < a 1( ) ( ) ( )2 21 1( )21(ln( ) ln( ) 1) ( )2raro oaroaoV r Edr Vao or drr Var aodr Var aor a Vaa tc t ctctc= +| |= + |\ .| |= + |\ .= + +}}} 2) Para r > a 22 ( ) ( ) 0 ( )( ) constante ( )raV r Edr Va drr VaV r Va= + = += =} } Donde el voltaje V(a) es el voltaje de referencia que debiera ser un dato. Finalmente el potencial en todo el espacio es: 1(ln( ) ln( ) 1) ( )( ) 2( )oor a Va Para r aVr aVa Para r atc + + s= > 69 PROBLEMA 6. Dos cilindros concntricos de radios a y b respectivamente y largo L se encuentran ubicados tal como lo indica la Figura 1. El espacio entre ambos se encuentra lleno de un material con un vector polarizacin dado por 0 0sin2+ = r r P Dado lo anterior se pide: a) Calcular las densidades superficiales de carga de polarizacin b) Calcular la densidad volumtrica de carga de polarizacin Figura P.1.6.1 :1SSuperficie del cilindro de radio a :2SSuperficie del cilindro de radio b a)Densidades superficiales de carga de polarizacin Parar n : S1 =y 2 P r r sin( ) = + u u2psr r P n P1 = = =, ,o , pero] Cm [ a a r2 2ps1 = = o Parar n : S2=yu u ) sin( r r P2+ =, 2psr r P n P2= = =, ,o , pero] Cm [ b b r2 2ps2= = o b)Densidades volumtricas de carga de polarizacin ] Cm [r) cos(r 3 ) r (0)) ( sen (r1r ) r (r1z) P ( ) P (r1r ) rP (r1P ) r (3p3z rp|.|

\|+ = ||.|

\|+cc+cc = |.|

\|cc+cc+cc = V =uu uuu,, ,, ba a b 70 PROBLEMA 7. Se tiene una esfera de radio R cargada con densidad volumtrica variable (r) = or3/R3.La esfera adems contiene en el origen una carga puntual Qo. Se pide:. a) Determine el campo elctrico para cualquier punto del espacio b) Determine el potencial elctrico para cualquier punto del espacio Figura P.1.7.1 a)Usando Ley de Gauss: 0encerradasQS d Ec= -}}, , i)ParaR r < 036encerrada20 0 0330 encerradaQRr32Qd d dr ) ( sen rRrQ dV ) r ( Q002 r+ = = + =} } } }}} tu ttO Adems se tiene que: 2 220 0 Sr 4 E d d ) ( sen r E S d E r n r ) r ( E E = = - = . =} } }}t u tt, , , Por lo tanto:r r 4QR 6rEr 4QR 6rE00000020342034|||.|

\|+ = + = c tcc tc ,

ii)ParaR r > 03encerrada20 0 0330 encerradaQ R32Qd d dr ) ( sen rRrQ dV ) r ( Q002 R+ = = + =} } } }}}tu ttOR - 0Q 33Rr) r (0 =71 YE, es radial tambin: 2 220 0 Sr 4 E d d ) ( sen r E S d E r n r ) r ( E E = = - = . =} } }}t u tt, , , Y finalmente paraR r > :r r 4QrR6Er 4QrR6E0 000 0020232023||.|

\|+ = + = c tcc tc , b) }- = l d E ) r ( V, , i) ParaR r > r 4Qr 6 R) r ( Vdrr14Qdrr16Rdr r r r 4 Qr 6R) r ( V0 000 00 003r20r230r20230tc ctc ctc c + = (((

+ = -||.|

\|+ =} } } iii)ParaR r < |.|

\| +||.|

\|= (((

+ = -||.|

\|+ =} } }R1r14Q5r5RR 6) r ( Vdrr14Qdr rR 6dr r r r 4 QR 6r) r ( V0000000 0005 53r20r43r2034R R Rtcctcc tc c PROBLEMA 8. UnalambredelargoRydensidaddecargaouniformeseencuentraincrustadoradialmenteen unaesferaderadioR,demodoquesuextremomsprofundoseencuentraaunadistanciaxdel centrodelaesfera,talcomoseindicaenlaFigura2.Laesferaestcargadademodotalqueel campoelctricoproducidoporellaencualquierpuntodelespacioes:rRrEoE =,siR r s ; rrEo RE 22=, siR r >a)Determine el vector fuerzaF,que la esfera ejerce sobre el alambre }= E dq F, , b)Determine el potencial electrosttico) (r V, de la esfera en cualquier punto del espacio 72 Figura P.1.8.1 El campo elctrico para todo el espacio est dado por: r RE rE01=, , paraR r s . r r E RE2220=,, paraR r > . a)La Fuerza que la esfera ejerce sobre el alambre est dada por:}+ =x Rxdq E F, , } }+ + =x RR2Rx1dq E dq E F, , ,, y el elemento diferencial de volumendr dq0 = r x RR EX ER 21R E23Fr drr1E R dr rREF22x RR22Rx0 00 0 0 00 00 0||.|

\|+ = ||.|

\|+ =} }+ ,, b) Calculemos el potencial electroesttico para todo el espacio. i)ParaR r > xx R 0 R z xy R 73

rE R) r ( Vdrr1E R l d E ) r ( V002r22r2= = - =} } , , ii)ParaR r s R 2r ER E23) r ( Vdr rREdrr1E R l d E ) r ( V2Rr R22r0000 = + = - =} } }, , PROBLEMA 8. Considere una esfera maciza de radio 2a y con densidad de carga en volumen 0, a la cual se le ha practicado una perforacin, tambin esfrica, de radio a, segn se muestra en la Figura 1. Figura 1. Se pide: a) Calcule el campo elctrico en todo el espacio. b) Determine una expresin que permita estimar el trabajo necesario para traer una carga q desde una distancia muy grande al centro de la esfera. c) Cunto vale el flujo del campo elctrico a travs de una superficie compuesta de un casquete esfrico de radio 4 centrado en el origen? 74

Solucin a)Como en la distribucin original de la esfera (esfera 1) no hay simetra esfrica(Figura 2a), se separa la esfera 1 perforada en dos esferas, una con densidad 0 (Figura 2b) llamada esfera 2 y otra con densidad de carga -0 (Figura 2c) llamada esfera 3, respectivamente. Figura 2a.Figura 2b.Figura 2c. Campo elctrico para esfera 1: Fuera de la esfera 1:

=

0 1 2sin

020=1

0

0

2sin20

020

1

2 sin

020=

0

0

2sin20

020

1

2 4 =

0

043 83

1

= 80

330

2 Dentro de la esfera 1: 1 2sin

020= 1

0 0

2sin

0

020

1

2 4 =

0

043

3

1

=

0

30

+

75

Campo elctrico para esfera 2 Fuera de la esfera:

2

2sin

020= 1

0 02sin

0

020 2

2 4 = 0

043

3

2

= 0

330

2

Dentro de la esfera:

2

2sin

020= 1

00

2sin0

020 224 = 0

043

3

2

= 030

Basta expresar todo en un sistema de referencia. Notando que:

a

a

76 =

+ =>`

= = cos sin +( sin sin ) + cos

De esto se calcula: =

=

2 2 sin sin+22

Luego el campo elctrico ser: Fuera de la esfera original:

() =1

+2

=80

330

2 +0

330

2

=80

330

2 +0

330

3

; =

) =80

330

2 +0

330(2 2 sin sin+2)32

( )

() =

0

330

8

2 ++ (2 2 sinsin+2)32

Dentro de la esfera 1 y fuera de la esfera 2:

() =1

+2

=

0

30 +0

330

2

) =

0

30 +0

330(2 2 sinsin +2)32

( )

() =

030 +3( )(2 2 sinsin+2)32

Dentro de la esfera 1 y dentro de la esfera 2: 77

() =1

+2

=

0

30 + 030

=

030 + 030

() =

030 + 030 ( )

() =

0

30 Sepuedeverqueelcampo elctrico dentro de la perforacin es constante segn . Nota:Paraloscamposelctricos calculados se puede escribir en coordenadas esfricas para una expresin ms formal. = +( +

) = + +

) b) El trabajo desde un punto A hasta uno B es: =

Tomando B=0 (centro de la esfera)A = (punto muy muy lejano) y un camino radial.

78 =

0=

+

022 Donde

=

dependiendo del camino que se tome. c) Para el flujo se usa Teorema de Gauss directamente.

=

0

=1

0

0

2sin20

020 0

2sin

0

020

=

0

0

43(2)343

3

=280

330 79 1.10 Problemas propuestos PROBLEMA 1 Considere el sistema de la Figura PP.1.1, en el cual se conocen los valores para el potencial elctrico en los planos cilndricos definidos por los radios r=a, donde el potencial es nulo, y r=b donde vale V0. Figura PP.1.1 Suponiendo que los campos slo dependen de r, se pide: a)Calcule el campo elctrico para a}} '020204:4SqEdSqr Eqluego E rrctct c = == }} La energa del sistema ser: 202 2E DEW d dt tct t = = }}} }}} en que tes toda la regin en que existe campo elctrico, (todo el espacio). Sea 1Wla energa de la reginr R s , y 2Wla de la reginr R > , se cumple que: 1 2W W W = +Calculamos 1 2Wy W : 21 02221 0 30 0 0 01212 4r RRrW E dqW r r sen dr d dRt t uc tc u u t cs= = == | |= | \ .}}}} } } 145 241 0 3012 4qW r sen dr d dRc u u t c| |= | \ .}}} 251 0 30142 4 5q RWRc tt c| |= | \ . 21022 02222 0 20 0 022 00220401212 41 142 48r Rr RqWRW E dqW r sen dr d drqWRqWRt t ut cc tc u u t cc tt ct c>= = == = | |= | \ .| |= |\ .= }}}} } } Finalmente: 2 20 01 1 340 8 20q qWR R t c t c | |= + = | \ . 146 4.6 Problemas Propuestos PROBLEMA 1 Setieneuncablecoaxialformadopor2cilindrosmetlicosconcntricos,delongitud (d1+d2)yradiosayb.Elespacioentreambosconductoressellenacondosmedios dielctricos no ideales, caracterizados por constantes dielctricas y conductividades (1 1, g c ) en una zona de largo d1 y (2 2, g c ) en una zona de largo d2respectivamente. Si se mantiene una diferencia de potencial V constante entre los cilindros conductores, calcular a)La densidad de corriente en el espacio entre los conductores (aa,bloquepermitesuponersimetraradial.Desprecie las corrientes que circulan por los conductores.

Figura PP.4.1.1 PROBLEMA 2 Encuentrelacantidaddeenergaalmacenadaenelcampoelctricoproducidoporuna esfera que mide 3m de radio y que tiene una densidad uniforme de carga 822 10sCm (= ( si se supone que la esfera est en el vaco (0c c = ). V + d1d2 2 2, g c1 1, g ca b 147 CAPITULO 5. CORRIENTE ELECTRICA 5.1 Modelo de Medios Materiales Conductores Enelectrostticamodelamosunconductorcomounmediomaterialquedisponede abundante carga libre, la cual puede desplazarse sin obstculos hasta alcanzar el estado de equilibriocuandoselehaaplicadouncampoelctricoexterno.Enelestadodeequilibrio vimos que el campo elctrico al interior del conductor era nulo.

Ahoraveremoselfenmenodelaconduccinelctricayutilizaremosunmodeloms elaboradodelamateria,peroqueincluyealvistoanteriormenteenelectrosttica.La principal diferencia con el caso anterior radica en el hecho de que ahora los conductores no terminanenunapareddefinida,sinoqueseextiendenencircuitoscerrados,talcomose muestra en la Figura 89. Figura 89. Corriente en circuitos. SupongamosqueenlaFigura89seaplicauncampoelctricocirculardemagnitud constante en todo el medio conductor. Si usamos el modelo de conductor visto hasta aqu, lascargasalinteriorsemoverndebidoalafuerzaejercidapordichocampo,peronose alcanzara la situacin de equilibrio ya que el conductor no termina en ninguna parte. Como lafuerzasobrecadacargaesconstanteF qE = (5.1),lascargasseaceleraran indefinidamente, cosa que no ocurre en la realidad. Por ello es necesario ampliar este modelo incorporando las colisiones que experimentan las cargascuandosedesplazanenelmediomaterial.Enefecto,alavanzarlascargasbajola influencia de la fuerza elctrica colisionan con la estructura de la red atmica hasta alcanzar una velocidad de desplazamiento estacionariaen promedio (vd). Esta es la nueva situacin deequilibriodinmicodelfenmenodelaconduccinelctrica,esdecir,alaplicarun campo elctrico constante a un conductor como en la Figura 89, los electrones (y cargas de desplazamientoengeneral)alcanzanunavelocidaddedesplazamientoconstanteen rgimenpermanente(parauntiemposuficientementelargo).Dichavelocidaddepender desdeluegodelcampoelctricoydelaestructuradelmediomaterial.Loselectronescon capacidaddemovimientoenelmedioformanuntipoespecialdenominadoelectronesde conduccin o electrones libres. E E 148 5.2 Definicin de Corriente Lacorrienteelctricaeselfenmenodedesplazamientodecargasenunmediomaterial. Comovimosanteriormente,dichodesplazamientoincluyemayoritariamentealos electrones, ya que stos disponen de mayor movilidad al interior de los medios. Consideremos un trozo de material al cual se le aplica un campo elctrico externo como en la Figura 90. Figura 90. Corriente elctrica. Si tomamos el plano A que corta transversalmente el medio material de la figura, se define la corriente I como: | | ] [ / A seg CdtdQI = = (5.2) esta unidad se llama Ampere. donde Q es la carga total que atraviesa el plano A en el sentido deE. Sinentrarenmayoresdetalles,fsicamenteloqueocurreesqueenelestadoestacionario loselectronessedesplazanconvelocidadpromedioconstanteysinacumularseenningn punto. As, para una misma rea desplazada una pequea distancia de A, tal como A' en la Figura 90, la corriente ser la misma. Deestaforma,paracualquiervolumenOdeunconductor,talcomoelilustradoenla Figura91,enestadoestacionarioloselectronessedesplazanmanteniendolacarganeta nula. Figura 91. Carga neta nula. SidesignamosporeladensidadvolumtricadeelectronesdeconduccinyRaladel resto de las cargas en el volumen O, entonces Area A EMovimiento de electrones Movimiento de electrones Area A' Volumen O 149 0 = +}}} }}}O Odv dvR e (5.3) para todo tiempo t en estado estacionario. As,alaplicaruncampoexternosemovernloselectrones,peroelnmerototalde electrones por unidad de volumen sigue constante. Consideremosqueenestematerialexistenelectroneslibresporunidaddevolumenque pueden desplazarse en presencia de un campo externo. Supongamos quevd es la velocidad de desplazamiento promedio de esos electrones. Figura 92. Electrones de combinacin. Entonces, en un tiempo At las partculas avanzarn una distancia Ax y atravesarn el rea A. Enotraspalabras,todaslaspartculascontenidasenelvolumenAvdAtpasanatravsdel rea A en un tiempo At. La carga total que atraviesa el rea A es por lo tanto: t qnAv QdA = A(5.4) donde q es la carga de una partcula. Luego la corriente que atraviesa la superficie es: | | (5.5)ddqnAv t QIt tI qnAv AA A= =A A = As, la corriente es positiva en el sentido contrario al movimiento de los electrones. | | A enAv Id = (5.6) EJEMPLO 23 Determine la velocidad promedio de desplazamiento de los electrones en un alambre de cobre tpico de radio 0.0814 cm que transporta una corriente de 1[A]. Suponga que existen 8.46-1022 electrones libres de moverse por cada cm3 de cobre. Sol:A q nIv A v q n Id d = =(5.7) E A t v xdA = A 150 ( )| |( )] / [ 10 55 . 3] [ ] / [10 6 . 1 10 46 . 8 0814 . 0] / [ 1] / [ 1] [ 10 6 . 1/ 10 46 . 80814 . 032 319 222193 2222s cm vcm cm Cseg Cvseg C IC qcm es ncm Add = = = = = =tt 151 5.3 Densidad de Corriente ConsideremosunconductormuydelgadopordondetransitaunacorrienteI,segnse ilustra en la Figura 93. Figura 93.Corriente por unidad de superficie. Se define la densidad de corriente J como un vector que indica la corriente por unidad de superficie.Para el caso de la Figura 90. | |2/m A iAIJ = (5.8) As, J tiene la direccin de la corriente. Para el caso de las partculas visto en el ejemplo anterior se tienei qnv iAIJd = = (vector en sentido contrario al movimiento de electrones). Por extensin, cuando se tienen superficies mayores como en la Figura 94 se define J como (5.9) donde AI es la cantidad de corriente que atraviesa en forma ortogonal al elemento de rea AS e i es la direccin de la corriente (y normal al elemento de rea). Figura 94. Vector densidad de corriente. As, la corriente que atraviesa el rea A (en el sentido dex dS S d = ) es }} =AS d J I .(5.10) En general el vector densidad de corriente variar con la posicin. EJEMPLO 24. A I i x , Area total A O r AS AI xiSIr JSlim ) (0AA= A152 Un conductor ideal tiene la forma irregular de la Figura 92. Figura 95. La curva del limite superior del conductor es y = ax2+2b, la cual es vlida en todo el largo l del conductor. Por el conductor circula una corriente I, la cual ingresa y sale del conductor perpendicularalosplanosquelolimitan.Sepidecalcularelvectordensidaddecorriente en los planos extremos del conductor. Soln Supondremos que la corriente se distribuye en forma homognea al interior del conductor. Por ello, en el extremo x=0, el vector densidad de corriente se distribuye homogneamente en el disco de radio b y apunta en direccin i. As,ibIJ2t= En el otro extremo, el plano de salida del conductor forma un ngulo u con el eje x. Dicho ngulo se forma entre la ortogonal a la tangente de la curvay = ax2+2b, evaluada en x=l, y el eje x. La tangente esta definida por la curva y' =2ax,que por definicin corresponde a tg(90-u ) en x=l, es decir,l a tg 2 ) 90 ( = uaplicando identidades trigonomtricas| | ( )2 / 12 22 / 124 1 ) 90 ( 1 ) 90 cos( + = + = l a tg u uy ( )2 / 12 24 1 2 ) 90 sin(+ = l a al u . De las leyes de semejanza de tringulos obtenemos el radio del disco en el extremo de salida del conductor 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1( 2 ) ( 2 ) (90 ) ( 2 ) (1 (90 ) ( 2 ) 1 42 2 2r al b al b tg al b tg al b a l u u = + + + = + + = + + Con ello finalmente el vector densidad de corriente en el plano de salida es)) 90 sin() 90 (cos(2j irIJ u ut + = I x,i b l I u 90-u 153 Enformaanlogapodemosdefinirunvectordensidaddecorrientesuperficialcuandose estudiandistribucionesdecorrienteensuperficie.Supongamosquetenemosunacorriente fluyendo en el plano y-z, segn se muestra en la Figura 96. Figura 96. Densidad superficial de corriente. Se define el vector densidad de corriente superficialK [A/m] como

(5.11) Inversamente, cuando disponemos del vector podemos calcular la corriente atravesando un tramo de ancho L como }- =Ldl j K I0(5.12) EJEMPLO 25. Considere un conductor toroidal que trasporta una corriente I segn se muestra en la Figura 97. Suponga que se desea tener una representacin equivalente en dos dimensiones de este conductoratravsdeunacinta.Sepidedeterminarlacorrientesuperficialporestacinta resultante (imagine que resulta de aplastar al toroide hasta dejarlo plano). Figura 97 Sol. En la Figura 94, en el lado izquierdo esta representado el toroide (de tres dimensiones)de seccintransversalA.Enelladoderechosepresentalacinta(dosdimensiones)deancho I Area A Dimetro 2a I Ancho 2a j y,l A 0( ) limlIKr jlA A=Ak z,154 2a.AmboselementosconducenlamismacorrientetotalI,esdecirlaseccintransversal del toroide es atravesada por la misma corriente que atraviesa por un corte transversal de la cinta.EstasituacinseilustraenlaFigura98.Lafiguradelladoderechoesuna amplificacindelaseccindeltoroide.Laproyeccinbajoesaseccinesuntrozo transversal de la cinta. Figura 98 Si J es la densidad de corriente homognea del toroide (J =I /ta2 A/m2) y K la densidad superficial de corriente de la cinta (A/m), entonces la condicin de equivalencia impone S J Kdy A = . Desarrollando obtenemos Luego el vector densidad de corriente superficial es. Este resultado indica que la corriente no se distribuye en forma homognea en la cinta,ya que es mayor en el centro (y=0) y decrece hacia los bordes, llegando a ser nula para (y=a). Este resultado es coherente con la intuicin,ya que si miramos el toroide desde arriba (un puntoperpendicularalplanodelahojadepapel),efectivamenteveremospasarms corriente en el centro y menos hacia la orilla (convnzase de este resultado!).Propuesto. Determinar K si imponemos que la corriente se distribuya en forma homognea en la cinta. jay a IK222 2t=I Area A Dimetro 2a x I dyyaKdyx I S JAxl2 22 y a lx =dy y aaIKdy2 222 =t22 22ay a IKt= 155 5.4 Ley de Ohm En la mayora de los materiales conductores se encuentra que al aplicar un campo elctrico se verifica la relacin E g J =(5.13) dondegesengeneralconstanteysedenominaconductividad.Lasunidadesdegson [A/Vm].EscomnllamarMho(oMHO)alaunidad[A/V],conellotambinseusa [MHO/m] como la unidad de g. Todoslosmaterialesquesatisfacenlarelacinanteriorsedenominanhmicosygpuede depender de otras variables como la temperatura o la presin, pero no del campo elctrico. Existen tambinmaterialesnohmicosendondegdependedelcampoelctricoaplicado, pero en este curso no los estudiaremos. Consideremos un conductor alargado de seccin uniforme S por donde circula una corriente I debido a la presencia de un campo Esegn se muestra en la Figura 99. Figura 99. Ley de Ohm. Por la ley de ohm E g J =,pero suponiendo distribucin homognea de corriente iSIJ= y de la definicin de campo l E V V V V i dx E V E = = V =}1 2 1 221

ilV VE l E V V2 12 1= = Reemplazando valores en la ley de ohm se tiene ( ) ISglV VilV Vg iSI||.|

\|= =2 12 1 Sedefineg1= (5.14)comolaresistividaddelmaterialy SlR = (5.15)comolaresistencia. Las dimensiones de la resistencia son [Volt/Ampere] y se llama OHM. Con esto podemos escribir RI V = A (5.16) Esta es la Ley de Ohm en conductores. E I Seccin S i x , 1 2 l 156 Tambin es usual definir G = 1/R como la conductancia del material. Engeneral,mientrasmenorsealaresistenciadeunmaterialserunconductorms eficiente,yenellmite,silaresistenciasehacenulahablamosdeunconductorperfecto donde0 = AV .Esteltimocasoocurreenalgunosmaterialesperoencondicionesdemuy baja temperatura, son los llamados superconductores. Para un material es posible medir su voltaje y corriente y determinar as la caracterstica V-I , y con ello la conductividad, segn se muestra en la Figura 100. Figura 100. Caracterstica V-I. En la Tabla 3 se presentan valores de conductividad para diferentes materiales. Material ohmico Material no ohmico I [A] V[v] 157 Tabla 3. Conductividad (aproximada)* de algunos materiales a20C Material Conductividadg (mhos/meter) Conductores Plata6.1 x 107 Cobre (standard) 5.8 x 107 Oro4.1 x 107 Aluminio 3.5 x 107 Tungsteno 1.8 x 107 Zinc 1.7 x 107 Bronce 1.1 x 107 Hierro (puro) 107 Plomo 5 x 106 Mercurio106 Carbon 5 x 104 Agua (mar) 4 Semiconductores Germanium (pure) 2.2 Silicon (pure)4.4 x 10-4 Aisladores Agua destilada10-4 Earth 10-5 Bakelita10-10 Papel 10-11 Vidrio 10-12 Porcelana10-12 Mica 10-15 Parafina10-15 Goma (dura)10-15 Cuarzo (fusionado)10-17 Cera10-17 (*) Estos valorespueden variar en otras Tablas ya que hay muchas variedades y aleaciones de cada material y la conductividad es adems sensible a la temperatura, impurezas, etc. En el caso general se tienen conductores irregulares como en la Figura 101. 158 Figura 101. Corriente en conductor irregular. Aqu la diferencia de potencial entre los extremos es1 21 22 1V V V Edl Edl A = = = } } y dado que la corriente en las caras extremas es la misma (no hay corriente que se acumule o salga por otra superficie del conductor) se puede definir la resistencia como }}}=SS d E gl d ER 21 (5.17) dondeelrecorridodelaintegraldelneaescualquierayelreaescualquierseccin transversal del conductor. EJEMPLO 26 Un alambre de dimetro 1mm. y de conductividadm mho g / 10 57 =tiene 2910electrones libres por m3. Si se aplica un campo elctrico dem V / 102 en la direccin axial se pide: a)la densidad de carga de electrones libres b)densidad de corriente c)corriente d)velocidad media de los electrones Solucin: Figura 102. Conductor unifilar. a) ( ) ( ) ] / [ 10 6 . 1 10 6 . 1 103 10 19 29m C e ne = = =b)( ) ( ) ] / [50000010 10 52 2 7m A i i E g J = = = c)( ) ] [ 393 . 021010 5235A A J S d J I =(((

||.|

\| = = =}}t Area AI E i 1V 2V E S J 159 d) 1010 6 . 1500000== =n qJv v n q Jd d s m vd/ 10 125 . 35 = 5.5 Fuerza electromotriz Llamaremos fuerza electromotriz FEM a un dispositivo con la propiedadde mantener una diferenciadepotencialdefinidaentresusterminales.Esquemticamentesemuestraenla Figura 103. V V V A = 2 1 independiente de lo que se conecte entre los terminales 1 y 2. Figura 103. Fuerza electromotriz. Unapilacomn,unabateradeauto,ungeneradorsonejemplosdefuerza electromotriz. Si0 > AV Se acostumbra a anotar como: V A Figura 104. Notacin FEM. Recordemosqueporconductorperfectoentenderemosunconductorconuna conductividad muy grande y que por lo tanto presenta una resistencia (R) despreciable y no registradiferenciadepotencialalguna.Sinembargo,enlaprcticalasFEMposeenuna resistencia interna RIN, por lo que la representacin ms usada es la siguiente: Figura 105. FEM en circuitos. Conductor perfecto R=0 c + + - - Rin c+ - V1 V2 FEM 1 2 160 Examinemos la configuracin de la Figura 106. Figura 106. Conductor real. Habamos probado que la diferencia de potencial entre los conductores perfectos es 2 112V V l d E = - } 2 1V V l E = donde l es la distancia entre los conductores. Esta diferencia de potencial es exactamente el valor de la fuerza electromotriz. Luego 2 1V V = c l E = c , Por otra parte, la corriente que atraviesa el rea A esA J I = . Adems la densidad de corriente cumple conE g J =. Luego, si l es el largo delconductor de seccin A, tenemos IA glAlgIR= = cc Esta expresin corresponde a la Ley de Ohm vista anteriormente. La fuerza electromotriz c realiza el trabajo de tomar cargas a un potencial y entregarlas a uno de mayor magnitud. Al circuito analizado se le representa como: Figura 107. Convencin signos. RI = c R I + c - Cable conductor perfecto c l Conductor perfectoConductor perfecto A I I J I E , ,g, c V1V2 i x, + - 161 5.6 Efecto Joule Consideremos la configuracin de la figura: Figura 108. Efecto Joule. La energa de la carga en el disco 1 es 1 1 1V Q U A = donde 1Q A es la carga que atraviesa el plano A1 y V1 es el potencial en 1. Similarmente la energa en el disco 2 es 2 2 2V Q U A = . Por lo tanto la diferencia de energa es 2 2 1 1V Q V Q U A A = A pero 1Q A y 2Q A son iguales (no hay acumulacin de carga) ( )2 1V V Q U A = A Por otra parte la potencia es el cambio de la energa en el tiempo, o sea( )2 1V VtQtUP AA=AA= , peroItQ=AA ( )2 1V V I P = y haciendo coincidir 1 con el comienzo del conductor y 2 con el fin tenemos que V I P A = (5.18) es la potencia disipada en el material. Dichapotenciaseexpresaenuncalentamientodelmaterialproductodelascolisiones entre las partculas. Esta potencia es suministrada por la FEM. Como AV=RI , una expresin usual de esta potencia es: A2A1 J E ,I +c- 12 A1 162 2RI P = (5.19) ( )RVP2A= (5.20) En general, para un material cualquiera tendremos Figura 109. Energa en elemento diferencial. La potencia disipada en el elemento de volumen es ( )( )I dVdP J dS Edr = (5.21) r d s d E J dP = .(5.22) Como todos los vectores son paralelosdv r d S d = y podemos escribir finalmente la expresin }}}O =dv E J P (5.23) la cual representa la potencia disipada en un material de volumen O. r d dV E J S d 163 5.7 Cargas en medios materiales Resumiendo lo que hemos visto hasta aqu es lo siguiente: (ii)Dielctricos Figura 110. Cargas en dielctricos. P E D + =0c E D c =Los medios se componen de dipolos que pueden girar en torno a su posicin de equilibrio, pero no se desplazan. (iii)Conductores: Equilibrio electrosttico Figura 111. Conductores en equilibrio electroesttico. Slo tiene distribucin superficial. La carga al interiores nula =0 y no hay polarizacin 0 = P. Equilibrio Dinmico: corrientes Figura 112. Conductores en equilibrio dinmico. Electronessedesplazanconvelocidadconstante.Cargatotalporunidaddevolumenes nula.Tambinpuedeexistirunapolarizacindelmaterial0 = P(rbitasdeelectronesse desplazarn de su centro). cte VE== 0 E 164 Si llamamos e a la densidad de carga de electrones por unidad de volumen y R a la densidad del resto de las cargas, se cumple 0 = +}}} }}}O OdV dVR e (5.24) en todo el volumen O. Adems los materiales hmicos cumplen con E g J =. As, en general un medio material puede presentar caractersticas de dielctricos (c), o sea aisladores, o conductores (g) como se muestra en la Figura 113. Figura 113. Cargas en materiales reales. Si g conductor perfecto Si c aislante perfecto Ambascaractersticassoncontrarias,esdecir,siesunbuenaislantetendrpocascargas libres y ser por lo tanto un conductor pobre, y viceversa. 165 5.8 Corriente de Conveccin Lacorrientedeconveccinseproducecuandosetieneunamasaconcargaen desplazamiento, por ejemplo un lquido con carga fluyendo por una caera. Consideremos que esto ocurre en la Figura 114, con una masa elctricamente cargada que se desplaza con velocidad vc. Figura 114. Corriente de conveccin. Si la masa contenida en el cilindro elemental tiene velocidad vc , y si designamos por c la densidad de carga en dicho volumen, entonces la cantidad de carga contenida en el volumen ASAl es c(ASAl). Por lo tanto, la corriente atravesando al rea AS en un intervalot Aes

tlStl StQIccAAA =AA A=AA= A , (5.25) pero tlvcAA= c cSv I A = A (5.26) Luego el vector densidad de corriente es ( ) u v r Jc c = ,(5.26) dondeues el vector unitario en la direccin de desplazamiento de la masa cargada. Se cumple }} =AS d r J I) ( (5.27) Donde I es la corriente total que atraviesa el rea A (la cual desde luego no se mueve). Conviene precisar que en las corrientes de conveccin NO tiene sentido la ley de ohm, es decir, no se cumple la relacin E g J =. EJEMPLO 27 El sistema de la figura 115 representa una cinta transportadora de un polvo cargado que puede modelarse como una densidad superficialde carga 2 2/ 10 m C= o . La cinta tiene un ancho de 1m se mueve a una velocidad de 2 m/s. Se pide: Al r O A m,q AS 166 a)calcular la corriente que atraviesa el rea A b)cunta carga ha pasado en 5 segundos? Figura 115. Cinta transportadora de carga. Solucin: a)| |((

((

= =AA =smmmCdvtl dIc2 1 1022oo | | mA S C I 20 / 10 22= = b)| | | | C S S C t I Q1 210 5 ] / [ 10 2 = = A = A La corriente de conveccin tiene gran importancia en el entendimiento de los seres vivos. Por ejemplo el intercambio de sustancias entre clulas se puede explicar mediante un modelo elctrico en base a corriente de conveccin de protenas. d Ancho 1 m o A 167 5.9 Ecuacin de Continuidad ConsideremosunvolumenOdelespacioenelcualsetieneunflujonetodecorriente saliendo del volumen. }}O =) ( SsalidaS d J I (5.28) aqun dS S d =apunta hacia afuera del volumen O. Figura 116. Continuidad de carga elctrica. Si llamamos Qin a la carga contenida en el volumen O, entonces se debe cumplir dtdQIinsalida =(5.29) O sea, la corriente que sale corresponde a la variacin de carga encerrada en el volumen. Supongamos que Qin se describe a travs de una densidad de carga libre O6. Luego: ( ) (5.30)( ) (5.31)insalidaQ rdVdI rdVdtOOOO== }}}}}} Dado que el volumen O es fijo (no depende de t) podemos escribir: }}}OO((

cc = dV rtIsalida) ((5.32) y reemplazando en la expresin original tenemos: }} }}}O OO =((

cc) () (SS d J dV rt (5.33) Aplicando el teorema de la divergencia al lado derecho }}} }}}O OO V =((

cc dV J dV rt) ( (5.34) Como se cumple espacio O (contenga este un medio material o no) 0 ) ( =cc+ V OrtJ(5.35)Ecuacin de continuidad.La carga no aparece ni desaparece espontneamente, sino que se conserva. 6 Notar que la carga de polarizacin no se desplaza, ya que slo gira en torno a la posicin de equilibrio. dSnO 168 5.10 Ecuacin de Continuidad en Medios Materiales Consideremos un medio material que posee tanto caractersticas dielctricas (c) como conductoras (g). Supongamos que en t=0 se inyecta instantneamente una densidad de carga ) (0ren el material. Determinaremos la variacin que experimenta la carga para . 0 > t

Figura 117. Ecuacin de continuidad en medios materiales. TenemosE g J E g J V = V =, donde hemos supuesto g constante. Pero) (tgDgJ E D c cc = V = V = , y reemplazando en la ecuacin de continuidad obtenemos RT te ttttg/0) ( 0) () (= =cc+ c (5.36) dondeg TR/ c =(5.37) es la constante de relajacin y mide la rapidez con que la carga en volumen emigra hacia la superficie. As, en rgimen estacionario no hay carga en volumen y slo hay carga superficial. EJEMPLO 28 Considere un medio material que forma una esfera de radio R, el cual tiene caractersticas dielctricas c y conductividad g, segn se muestra en la Figura 118. En t=0 se carga dicha esfera con una carga Q0 uniformemente distribuida. Figura 118.Carga en funcin del tiempo. Se pide: a)Determine la ecuacin que rige la carga en la esfera para0 > t , b)Evale el tiempo que toma la carga en volumen en disminuir 36.8% de su valor inicial, O c, g Rg, cR 169 c)Cunto vale el tiempo calculado en b) para los siguientes materiales: gcR Cobre 710 8 . 5 1 Cuarzo fusionado 1710 5 Soln a)la ecuacin que rige la carga es: 0) () ( =cc+tttg c Integrando en el volumenRT tt QVt QVVe Q t Qtt Qt QgdV ttdV tgdVtttg/0) ( ) () ( 0) () (0 ) ( ) (0) () (= =cc+ =cc+ =|.|

\|cc+ }}} }}}}}}c cc _ _ Para t=0 30 034R Q t =y gTRc= b) RT tT t e Q QR= = /0 0368 . 0 c)cobreCuarzo fusionado TR seg1910 53 . 151.2 das 170 5.11 Condiciones de Borde paraJ Consideremos la interfaz de dos medios materiales como en la Figura 119. A ambos lados hay campos y densidades de corriente. 1 11 1 1,, ,gE D Jc 2 22 2 2,,gE D Jc Figura 119. Condiciones de borde. De las condiciones de borde para dielctricos tenamos que la componente tangencial del campo elctrico se mantiene (aqu sigue cumplindose0 = V E) y que la diferencia de la componente normal del vector desplazamiento es igual a la densidad de carga superficial (sigue cumplindose la primera ecuacin de Maxwell = - V D). Por lo tanto ln nl n nlibre N Nt tt tgJgJE ED DgJgJE Eo c c o c co= = = = =222111 2 2 1 12 122112 1 Por otra parte, tambin usaremos la ecuacin de continuidad 0 =cc+ VtJ para obtener condiciones sobre J. Tendremos dos casos interesantes. I.Situacin Estacionaria 0) (=cctt . Cuando no existe variacin de carga en la interfaz se cumple0 = VJ.SitomamosunvolumencomoeldelcilindrodelaFigura118 obtenemos(seprocedeenformasimilaralausadaparaderivarlacontinuidaddela componente normal del vectorD) n nJ J2 1=(5.39) Aquclaramentehabrunacargaacumuladaenlainterfazyaquelascondiciones (5.38)debencumplirse.As,alreemplazarlacomponentenormaldeJen(5.38)se tiene 122112122111) ( ) ( + = + =g gJ yg gJl n l nc coc co (5.39) Cuando se cumple esta condicin de borde diremos que el sistema esta en estado estacionario o en rgimen permanente, la cual es equivalente a suponer 0 =cct. O (5.38) 171 II.Situacin Transitoria. Cuando hay variacin de carga tenemos que 0 =cct. Haremos uso ahora de la ecuacin de continuidad en el volumen O indicado en la Figura 106. 0 =cc+ VtJ en su versin integral 0) (=cc+ }}OtQS d JS . Aqu Q es la carga en O y haciendo tender el largo del cilindro a cero

S J S J S d Jn nSA A = }}O1 2) ( (5.40) y tQccsolo se concentra en la interfaz, luego( ) St tQA cc=cc o (5.41) 2 12 100n nn nJ S J S StJ Jtooc A A + A =cc + =c Esta es la condicin que deben satisfacer las componentes normales del vector densidad de corriente de ambos medios. Esta situacin se llama transitoria o transiente. Caso en que uno de los medios es un conductor perfecto. Consideremos la interfaz entre un medio material y un conductor puro tal como se muestra en la Figura 120. Figura 120. Dielctrico y conductor perfectos. Al tomar la superficie Gaussiana S, se tiene S S D S D S d Dn nSA = A A = }}o1 2 (5.42) Al interior del conductor perfecto el vector polarizacin es nulo. Luego, los campos cumplen o c c = 1 2 0E E (5.43) Las condiciones de borde para el vector J en este caso son las mismas que desarrollamos anteriormente. D E J , , c , g Medio material Conductor puro S on172 EJEMPLO 29 Considere el sistema de la Figura 121. Se pide: a)CalcularE J ,yDentre las placas conductoras en la condicin de equilibrio. b)Idem pero en la situacin transitoria. Figura 122. Condensador compuesto sin acumulacin de carga. Sol. a)Supondremos que campos y densidades de corrientes tienen direccin segn z. Dado que estamos en la condicin de equilibrio, no hay variacin en la carga superficial o entre los dos medios, es decir, se cumple ( )0 =cA ctS o en la interfaz y por lo tanto de la ecuacin de continuidad0 = V Jen rgimen permanente. Segn vimos esto conduce a la condicin n nJ J1 2= Para los campos elctricossupondremos )( k E Ei i = , con Ei constante para ambos medios. De la Ley de Ohm se tiene 1 1 1E g J = y 2 2 2E g J =, Por lo tanto, 2 2 1 1E g E g = (5.44) Por otro lado, sabemos que la relacin entre el voltaje y el campo elctrico entre dos puntos (1,2) cualquiera es } = 211 2l d E V V y haciendo coincidir 1 con el potencial cero y 2 con elpotencial V0 tenemos kdVE EdEdE Vk dz k E k dz k E Vd dd22 2)()(02 1 1 2 02 /0 2 /1 2 0 = + + =)` + = } } 1 1 1, , J E D 2 2 2, , J E D 1 1, g c 2 2, g c conductor conductor k z,Potencial Vo Potencial cero V=0 d/2 d/2 173 Usando la condicin (5.44) obtenemos kdVE Egg202 212 = + kg g dV gE y kg g dV gE) (2) (22 10 212 10 12+ =+ = Luego las densidades de corriente son kg g dV g gJ y kg g dV g gJ) (2) (22 10 2 112 10 2 12+ =+ = Claramente se cumple la continuidad de la componente normal del vector densidad de corriente en la interfaz. Para los vectores desplazamiento tenemos kg g dV gD y kg g dV gD) (2) (22 10 2 112 10 1 22+ =+ =c c Por lo tanto existir una distribucin de carga o entre los dos medios materiales dada por la condicino = 1 2D D ,donde usamos la notacin )( k D Di i =. Luego,) () ( 22 12 1 1 2 0g g dg g V+=c co Es importante notaradems que habr una densidad de carga en la cara interiorde losconductores(interfazentreconductorpuroymediomaterial).Sillamamos 2 1o o ya las densidades en la placa superior e inferior, sus expresiones son ) (2)(2 10 2 11 1 1g g dV gk D+= = -co o ) (22 10 1 22 2 2g g dV gk D+ = = -co o b)Consideramos ahora el perodo transiente para la distribucin de carga o en la interfaz . Usamos la misma notacin anterior Donde los campos tienen la direccin de la Figura 123. Figura 123. Condensador compuesto con acumulacin de carga. Segn vimos la ecuacin de continuidad en el rgimen transitorio conduce a la condicin de borde 01 2=cc+ tJ Jo ,i i i iD Dk E E k = = AS o 1 1 1, , J E D 2 2 2, , J E D 1 1, g c 2 2, g c V=0 V=V0 k z,O 174 Por otra parte, de las condiciones de borde para el vector desplazamiento o = 1 2D Do c c = 1 1 2 2E E (5.45) Adems sabemos que} } } = = ddd dl d E l d E l d E V2 /22 /01000 ( ) ( )} } =dddk dz k E k dz k E V2 /22 /01 0 dVE EdEdE V02 1 2 1 022 2= + + = (5.46) De (5.45) y (5.46) tenemos el sistema: dVE E02 12= +o c c = + 2 2 1 1E E01 1 2 2 2 102 11 20 22 2 1 1 10 211 20 2 0 2 11 11 2 1 20 121 22(5.45) (5.46)2 12(5.45) (5.46)2 12 2 1 2 1VE EdVEdVE EdVEdV VE k D kd dVEdc c c c oc oc ccc c c ococ cc c co oc c c ccoc c + + = +| | = + |+\ . + = | | = |+\ .| | | | = = ||+ +\ . \ .| |= + |+\ .0 1 221 22 Vk D kdc coc c| | = + |+\ . Luego las densidades de corriente son: k J kdV gJk J kdV gJ 2 221 02 12212 02 111 =|.|

\|++ = =|.|

\|+ =occ cocc c Tomando la diferencia |.|

\|+|.|

\|++= occ cocc c dV gdV gJ J2 02 11 1 02 121 22 2 ( )( )|o oc coc ccc cc+ = +++++= 1 22 12 12 12 0 12 11 0 21 22) (2J Jg gdV gdV gJ J 175 Reemplazando en la ecuacin de continuidad 0 =cc+ + to|o oSolucin Homognea ( )tke t|o= Solucin Particular|oo =( )|oo| = tke tC.I.( )|oo = = = k t 0 0( ) ( ) 1 = te t||oo ( )( ) ( )( )( )( )( )(((

+= +=+++=++12222 12 12 12 1 1 2 02 12 1 1 2 02 12 12 12 1 1 2 0tg geg g dg g Vtg g dg g Vg gdg g Vc cc coc cc cc cc c|o Notar que para t( )( )( )2 11 2 2 1 02g g dg g Vt+= = c co o que es el resultado obtenido en la parte a). 176 5.12 Ley de Voltajes de Kirchoff Consideremos un sistema de conductores como el de la Figura 124. Figura 124. Ley de voltajes de Kirchoff. La diferencia de potencial entre 1 y n es Peroc = AV0 = A ciV(5.49) La suma neta de las diferencias de potencial en un loop cerrado es nula. Esto se conoce cono Ley de voltajes de Kirchoff EJEMPLO 30 Encontrar el voltaje en el condensador de la figura 125 si este se encuentra inicialmente descargado. Figura 125. Circuito RC serie. Sol: 2 41 2 11 3 11 2 3 4 1... (5.47)( ) ( ) ... ( ) (5.48)nnni i n nV E dl E dl E dlV El V V V V V VA = + + + A = = + + + } } }Conductor perfecto 1234 n-1 n + c - 1E

2E

1 nE

1 1, c g

2 2, c g

1 1, n ng c

1O 1F i + 10V _ 177 Aplicando ley de voltajes de Kirchoff: Resolvemos la solucin particular y luego la homognea. Solucin homognea: 6610 010ChChtC hdVVdtV kett + = = = Solucin particular: 010CpCpdVdtV = = Solucin completa: 10C Cp ChtCV V VV ket= += + Aplicando la condicin inicial: ( 0) 0 10( ) 10(1 )CtCV t kfinalmenteV t e Vt= = = = Notar que para( ) 10 no hay corriente en el circuito. t Vt V = 61010 11010 10 Ecuacin diferencial ordinariaR CCCCCCCCV V Vi VdVperoi i CdtdVC VdtdVVdt= += += = = += +178 5.13 Ley de Corrientes de Kirchoff. Consideremos ahora un sistema de conductores que convergen a un mismo espacio O segn se muestra en la Figura 126. Figura 126.Ley de corrientes de Kirchoff. Si no existe acumulacin de carga 0 0 = V =ccJt(5.50) Tomando el volumen O que contiene a todos los conductores convergentes 0 = V }}}OdV J(5.51) y aplicando el teorema de la divergencia 1 2( )1 1 2 21 2... 0... 0 (5.52)nSn nS S SnJ dSJ dS J dS J dSI I IO = + + + = + + + =}}}} }} }} Si no hay acumulacin de carga la suma neta de corrientes que convergen a un espacio cerrado es nula. Esta es la Ley de corrientes de Kirchoff. O I4 I3 I2 I1 In 179 EJEMPLO 31 Calcular la corriente I de la figura 127 si el condensador se encuentra inicialmente descargado. Figura 127. Circuito RC paralelo. Solucin:De la ley de corrientes de Kirchoff obtenemos que 1 2I I I = +De las ecuaciones del condensador sabemos que 2CdVI Cdt=De aplicar ley de voltajes de Kirchoff y ley de Ohm se obtiene | |112210101101RC RV VI ARV VIR= = =O= = Igualandolasdosexpresionesencontradasparalacorriente 2I llegamosalasiguiente ecuacin diferencial: 610 10CCdVVdt= En el ejemplo 30 resolvimos la misma ecuacin diferencial con la misma condicin inicial, llegando al resultado que se muestra a continuacin: | |662622( ) 10(1 ) 1010(1 )10110 1010tCtttV t e V cond eIdtI eI e Atttttt= = =| | = |\ . = II2 I1 1O 1F 1O + 10V _ 180 Finalmente | |1 2( ) 10 1tI I IIt e At= +| |= + |\ . Notar que para( ) 10 t It A = solo hay corriente en la resistencia R1, es decir, no hay corriente en el condensador. 181 5.14 Problemas Resueltos PROBLEMA 1: Considere el circuito de la Figura . Figura P.5.1.1Se pide: a)Determinar la corrienteI en funcin del tiempo si en t = 0 la carga del condensador es nula (voltaje nulo). b)Calcular la corriente para la condicin estacionaria (t infinito).Solucin: a)Por la ley de corrientes de Kirchoff: 1 222R R CRRCCI I I IVIRdVI Cdt= = +== Pero por ley de voltajes de Kirchoff2 R CV V = C CV dVI CR dt = +Utilizando nuevamente la ley de voltajes de Kirchoff y la ley de Ohm 11R CCRV E VE VI IR= = = Entonces formamos la siguiente ecuacin diferencial: 2C C CCCE V V dVCR R dtdVRC V Edt= ++ = Para resolver esta ecuacin debemos encontrar la solucin particular y la homognea. Solucin homognea: I + E R1=R R2=R C 182 20 2( )CCtRCChdVV RCdtV t ke = += Solucin particular: 022CCCpdVdtV EEV === Luego 2( )2tRCCEV t ke= +Aplicando condicin inicial: 2(0) 0022( ) 12CtRCCVEkEkEV t e= = + = | | = |\ . Pero lo que buscamos es la corriente I, la que estaba dada por CE VIR=2211 12( ) (1 )2tRCtRCEI eREIt eR| | | | = || |\ . \ .= b) lim ( )2tEItR=Resulta intuitivo este resultado, pues el condensador durante el rgimen transitorio se carga noconduciendounavezcargado.CorrespondiendoentonceslacorrienteIenrgimen permanente a la corriente del circuito sin el condensador. PROBLEMA 2 Setieneunpardeelectrodosdeplacasplanasparalelasentrelascualesseaplicauna diferenciadepotenciaV0.Enelinteriorsecolocaundielctricoperfectojuntocondos secciones de dielctrico con prdidas. Para este problema se pide determinar: a)La distribucin de campo elctrico en todo el sistema. (desprecie efectos de borde) 183 b)La capacidad equivalente C del sistema de electrodos. c)La conductancia equivalente G del sistema de electrodos. d)La densidades de cargas en las interfaces del sistema. Hint: la energa elctrica 2022Vw dvdc=} y 2012condensadorw CV =Considerar profundidad unitaria Figura P.5.2.1 Solucin: a)Loscampos1 2 3 , , E E E estnlostresenladireccinZyconelsentidodeeste mismovector(vandemayoramenorvoltaje).Comoestostrescamposson tangencialesalasinterfacesdelmedio,setienenque1 2 3 t t t E E E = = (condiciones de borde) 1 2 3 E E E E = = =Habamos visto que: 00dVV Edl EdA = =} (entre las placas) Luego: 0VE zd=Fuera de las placas el campo es nulo, pues la carga encerrada ser cero. b) 1 2 3 ew w w w = + +como 1 3 1 22ew w w w w = = +2 22 0 0 1 1 11 2 22 20 0 2 22 2 2202 112 2 22 12 2( )eV Vw Edv dv bdd dV Vw dv add dluegoVw a bdc c cc cc c = = = = = = +} }} Slo nos queda igual a la energa elctrica del condensador 22 00 2 12 11( )22( )VCV a bdC a bdc cc c = + = + 1, g c1, g c2cZ b2ab d V0 184 A 2A 4A 12nA V= 1Volt 1 Volt 1R 1 nR c) 011gVJ gE zd= =1022 1(1/ )2A AI J dS I J dSgbI V pero I GV ley de ohmG RdgbGd= = = = = =}} }} d) Sabiendo que1 2 n nsD D =pero el campo solo tiene componente tangencial por lo tanto no hay densidad de carga en las interfaces. PROBLEMA 3 Un conjunto de n placas conductoras de reas1, 2 , 4 ,.....2 ,.....2k nA A A A A, estn ordenadasformando una pila vertical. La distancia entre las placassucesivas es d y entre ellas hay un material de conductividad G=cte.Experimentalmente se encuentra que la resistencia elctrica entre la primera y segunda placa es 1O. a)Calcule la resistencia total cuando n b)ConsiderelasituacindelaFigP.5.3.2enellmitecuandonycalculela intensidaddecorrientequecirculaporlaresistenciade1O.conectadaentrela cuarta placa y la tierra. Figura P.5.3.1 Indicacin:0122kk=| |= |\ . Solucin: 185 A 2A 4A 12nA V= 1Volt 1O 1R2R 3R xR yR 1O 212 101( )2 2V dVVT nI J dS g EdSI Jk dS J dxdy J Ag E A IVRg E AdVV E E dV EdzdzIntegrandodV Edz V V Ed V EddRg Ad d dRg A g A g A= = = = = == V = = = = = = == + + + }} }}}} }}} } 0 011 122 2212 2nkn kk kTTd d dRg A g A g Ad dR pero Rg A g AdRg A = =| | | |= = = || \ . \ .= = =O | | = = O |\ . b) Figura P.5.3.2 186 | | | | | | | || || | | | | || || | | | | || | | || |( ) | |1 2 31 2 3 Rx Ry1 2 32 41 1 712 4 427 124 41/ 4 1 11/ 4 1 57 1 394 5 201 2039392011yyTxx yparalelox yTTTTR R R RT Rd d dR R Rg A g A g ARRR RRR RRVI A ARV V V V VI R R R V V+ + = + + = O+ O+ O= O= O = O O= O= = = O+ += O+ O= O= = =+ + + = + + + = | || || || || || |1120 7139 43513943944391 1 39yyyRRRVV VV VVVI AOO + == == = =O O 187 1K 2K C R V u0Va b R 5.15 Problemas Propuestos PROBLEMA 1 En el circuito de la figura, el interruptor 1K permanece cerrado y el 2K abierto hasta que el condensadorCsecargaaunpotencialV0.Ent=0seabre 1K ysecierra.Para0 t >determinar: a)El voltaje en el condensador. b)El tiempo que demora el condensador en descargarse. c)La potencia en la resistencia en funcin del tiempo. Figura PP.5.1 PROBLEMA 2 Se tiene un tren de juguete que se mueve sobre rieles colocados en forma de circunferencia. Los rieles tienen una resistencia r por unidad delongitudy el tren tiene una resistencia R. Se aplica una diferencia de potencial 0Ventre los rieles. a)Encuentre y dibuje el circuito equivalente. b)Encuentrelacorrientequepasaporeltrencuandoesteseencuentraformandoun ucon la direccin de referencia. Figura PP.5.2 188 PROBLEMA 3 Se quiere energizar un circuito electrnico por el que circulan 20 mA a 2400 Volts. Para esto se dispone de una fuente de tensin de corriente continua de 3000 Volts que tiene una resistencia interna de 10kO; y de un divisor de tensin formado por dos resistencias; como se indica en la siguiente figura: Figura PP.5.3.1 a)Se pide calcular las resistencias 1Ry 2Rpara alimentar el circuito de modo que la potencia entregada por la fuente de tensin sea mnima; calcule esta potencia. b)En el mismo circuito se quiere adems hacer funcionar un galvanmetro ideal (sin resistencia interna), que funciona solamente si la corriente es igual o mayor que 20 mA. El circuito a emplear en esta parte es el que se muestra a continuacin: Figura PP.5.3.2 Se pide calcular las resistencias 1Ry 2Rpara alimentar el circuito de modo que la entrega de potenciapor la fuente sea mnima; calcule esta potencia. PROBLEMA 4 + E=3000 Vcc 10iR k = O 1R2R2400 20 VccmA + E=3000 Vcc 10iR k = O 1R2R2400 20 VccmA G 20GI mA >189 Unabarradecobredeconductividadgyseccinrectangularhasidodeformadacomose indica en la Figura PP.5.3.4. Los parmetros del sistema son: -g =5,8x107 -h1 = 1m -h2 = 0,2 m -b=0,3 m I.SuponiendoqueunacorrienteIconstantefluyeatravesandoelconductorenelsentido radial ( )se pide: oEl vector densidad de corrienteJ, oLa resistencia entre las caras definidas por =h1 y =h2, oCalcule las prdidas joule en el conductorII.SuponiendoqueunacorrienteIconstantefluyeatravesandoelconductorenelsentido tangencial (u) se pide: oEl vector densidad de corrienteJ, oLa resistencia entre las caras definidas por u=0 y u=t/2, oCalcule las prdidas joule en el conductor Figura PP.5.3.4 h1h2 bh1 h2 b u 190 CAPITULO 6. MAGNETOSTTICA EN EL VACO 6.1 Introduccin Elestudiodelamagnetostticacomprendeelfenmenodelcampomagnticoproducido porcorrientesestacionarias.Osea,secumple= Jconstanteeneltiempoy =cc0tcampos no dependen del tiempo. A pesar de que losefectos magnticos de los imanes se conocanyaen la antigua Grecia, fue Oersted quien en 1819 propuso un primer modelo para explicar la desviacin que sufre la aguja de una brjula por la accin de una corriente elctrica. Sus resultados condujeron a ladeterminacindelafuerzaqueexperimentaunacargaenpresenciadeunacorriente elctrica, y posteriormente a la de las fuerzas entre circuitos elctricos. Para presentar estos conceptos, seguiremos un tratamiento anlogo al de electrosttica, esto es,primeroveremoslafuerzasobreunacargayluegodefiniremoselconceptodecampo magnticoapartirdeesafuerza.Posteriormenteextenderemoselconceptoacircuitos elctricos en general. 6.2 Fuerza de una Corriente sobre una Carga Elctrica Consideremos una carga elctrica q con velocidadu y una corriente I que circula a travs de un circuito elctrico (que llamaremos I) segn se muestra en la Figura 128. Figura 128. Carga mvil frente a un circuito. Se encuentra experimentalmente que la fuerza que experimenta la carga est definida por la expresin:( )}I ='30' 4' 'r rr r l Idu q F t(6.1) donde: ues la velocidad de carga q ' l Ides el elemento diferencial de corriente por el circuito I ' r + c- r q uI l Id' O - 191 rindica la posicin de q' rrecorre el circuito I indicando la posicin del elemento' l Id

] / [ 10 470m H = t es una constante llamada permeabilidad del aire. EJEMPLO 32 Calcule la fuerza que ejerce un circuito circular de radio Ry corrienteI sobre una carga q ubicada en la posicin z = z0, para los siguientes casos: i)La carga esta inmvil ii)Carga se mueve con velocidad inicial ou v k =iii)Carga se mueve con velocidad inicial ou vj =iv)Carga se mueve con velocidad inicial ou vj = . Solucin: Consideremos la configuracin de la Figura 129. Figura 129. Circuito circular. Primero calculamos la integral de lnea }I'sobre el circuito circular, de radio R y corriente I, sobre el eje z. Aqu I es el crculo de radio R del circuito. Tenemos ( ) j i sin Idl Idl l Idcos + = = , Rd dl = luego : | |( ) ( )| || | i z k R j z k Rz RIRdk z j R i R j iz RIRdcoscossinsin4 sincoscossin42 22 / 32 2020 '2 / 32 2020 ' t ttt+ + ++= + + +=} }} }II | || | k R j z i zz RIRd sincos42 / 32 2020 '+ ++=} }I t t1/ 2 1/ 22 2 2 2 2 2 2 ' (cos sin ) ' cos sin' cos sinr R R i jr zkr r R i R j zkr r R R z R z = = += = + (( = + + = + j y,k z,i x,I R Idl l Id = 192 | |kz RIR422 / 32 220'+= }Itt Luego la expresin para la Fuerza sobre una carga q en la posicin z es: 203/ 22 2(6.2)2IRF q u kR z= ( + Entonces: i)Si la carga est esttica(0 = u) permanece esttica 0 = F. ii)Si tiene una velocidad inicialk v vo0= se tiene 0 = F, es decir, la carga sigue movindose con la misma velocidad. iii)Si se le da una velocidad inicial en el sentido , i.e.,j v vo0=experimenta una fuerza dada por la expresin: ( )( )200 3/ 22 20(6.3)2qIRF qv iR z= +

iv)Si la velocidad inicial es ahorai v vo0=, la fuerza que experimenta q es: ( )( )200 3/ 22 202qIRF qv jR z= +(6.4) 6.3 Definicin de campo magntico Habamos dicho que la expresin de la fuerza que produce un circuito sobre una carga tiene la forma( )}I ='30' 4' 'r rr r l Idu q F t Esimportantenotarquelasvariablesquedefinenalacargaseencuentranfueradela integral.Porotraparte,alinteriordelaintegralsloseencuentranlosparmetrosdel circuitoI' y la corriente que circula a travs de l. As, el efecto que produce la circulacin de la corriente est contenido completamente en la integral. Se define el campo magntico que produce el circuito como ( )}I = '30'' '4r rr r l IdB t(6.5) Este campo magntico corresponde a un campo vectorial que representa la perturbacin en todo el espacio que aparece como resultado de la circulacin de la corriente I. Con ello, la fuerza que sufre una carga en presencia deBes: B u q F = (6.6)Esta es la llamadaFuerza de Lorentz193 que veremos en detalle ms adelante. Las unidades del campo magntico se obtienen de | | | || || | | || || || || || || | seg m CNV qFB B V q F/= = = Se define | |((

= =seg m CNT Tesla/1 O sea, una carga de 1[C] que se mueve con velocidad de 1[m/s] en presencia de un campo magnticode1[T]experimentalafuerzade1[N].EnlaprcticaelTeslaresultaseruna unidad muy grande, por ello se acostumbra usar el Gauss [G], con la equivalencia ] [ 10 ] [ 14G T = EJEMPLO 33Determine el campo magntico del circuito circular del ejemplo anterior en los siguientes puntos: a)Cualquier punto del eje z. b)Obtenga una expresin para el campo en cualquier punto del plano x-y, con x2+y2>R2. Figura 130. Campo magntico de circuito circular. a) Para el ejemplo anterior tenemos que el campo magntico producido por el circuito circular en el punto z0 del eje z es ( )203/ 22 20(6.7)2IRB kR z=+ Por lo tanto, dejando variable z0, el campo en cualquier punto z ser ( )203/ 22 2(6.8)2IRB kR z=+ b) Tenemos ( ) j i sin Idl Idl l Idcos + = = , Rd dl = | |2 / 12 2 2 2 2 2cos 2 sin 2 sin cos ') sin ( ) cos ( ' )sin(cos 'x y Rx Ry R R r rj R y i R x r rj y i x rj i R R r+ + + = + = + =+ = = j y,k z,i x,I R Idl l Id = r r' 194 | |2 / 12 2 2sin 2 cos 2 y x Ry Rx R r r + + = ' ( ) ( )203/ 22 2 2022 2 03/ 22 2 20 sin cos ( cos ) ( sin )42 sin 2 cos ( sin sin ) ( cos cos )4 2 sin 2 cosIRdB i j x R i y R jR Ry Rx y xIRdB R y k R x kR Ry Rx y xtt t t = + + ( + + ( = + ( + + }}203/ 22 2 20( sin cos )4 2 sin 2 cosIRdB R y x kR Ry Rx y xt t ( = ( + + } Elproblemaesahoraresolverestaintegral,cosanadafcil!(tratardehacerlo).De cualquier forma, el campo en el plano x-y slo tiene componente segnk y ser positivo si estdentrodelcrculoynegativofueradel(convienehacerelesfuerzodeesta visualizacin). Campo Magntico Producido por una Carga Puntual Consideremos una carga puntual q movindose con velocidadu, segn se muestran en la Figura131. Figura 131. Campo magntico de carga puntual. Usando la expresin que habamos definido para el campo magntico del circuito en este caso el campo magntico que produce la carga es: ( )03'4'idl r rdBr rt =(6.9) pero aqu dq dlIdl dlu dq udt dt= = ,pero dqq,udtdl =yB B d ( )30''4r rr ru q B = t(6.10) es el campo producido por una carga en movimiento. Campo magntico producido por distribuciones de corriente Para el caso de distribuciones de corriente en volumen como las de la Figura 132 se usa el vector densidad de corriente. r 0 ' r q u 0 r l d S d ' r) ' (r J 195 Figura 132. Campo magntico de distribuciones de corrientes. Aqu ' Idl J dSdl JdV = = ,por lo tanto el campo magntico es: ( )( ) ( )03'' ''4'VJ r r rBr dVr rt =}}}(6.11) donde V es todo el volumen en donde hayJ. As entonces, el efecto que produce una corriente puede representarse a travs de su campo magntico,elcualprovocaunaperturbacinentodoelespacioypuedemedirseyasea poniendounacargaenmovimientooconuncircuitoadicional.Enamboscasosse observarnfuerzasqueactuarnsobreestosltimoselementos(cargay/ocircuitose movern). 6.4 Ley de Biot y Savarat En1820JeanBaptisteBiotyFelixSavaratgeneralizanlosresultadosobtenidospor Oersted.Estosresultadosfueronpresentados1mesdespusporAmpere.Consideremos dos circuitos que llevan corrientes I e I segn se muestra en la figura siguiente: Figura 133.Interaccin de dos circuitos. Biot y Savarat demostraron que la fuerza neta que ejerce el circuito I sobre I esta dada por la expresin: ( ) ( )03'' ' '4'I Idl dl r rFr rtI I =} } (6.12) La expresin diferencial de esta ecuacin, que indica la fuerza que ejerce el circuito I sobre el elementol Iddel circuito I es ( )}I ='30'' ' '4r rr r l d I l IdF d t(6.13) ( ) r B l Id F d = (6.14) donde( )( )03'' ' '4'I dl r rBrr rtI =} (6.15) es el campo magntico producido por el circuito I enr. 0 ' r II II r 196 Notar que una vez determinado el campo magntico del circuito I, podemos calcular la fuerza sobre el otro circuito ocupando la frmula ( )}I = r B l Id F (6.16). EJEMPLO 34 Considereuncircuitoconstituidoporunconductormuydelgadoquevade-a+enel ejey.EsteconductorllevaunacorrienteI0.Sepidecalcularlafuerzasobreunaespira cuadrada de lado 2a con corriente I1 segn se muestra en la Figura 134.

, x i Figura 134.Circuito frente a corriente lineal. Solucin: Primero calculamos el campo magntico producido por el conductor infinito en el plano y-z. Consideremos un punto P localizado en el eje z. Figura 135.Campo de conductor infinito. ( )( )00 0 0 03/ 2 3/ 22 2 2 2'' 4 4r zkr yjI dl I dyjI dyj I zdyiBr yj zky z y z t t ==== + = (( + + } } , y j, zki x, r P u j dy I0 a 2a 3a a -a I0 j y,k z,I1 197 haciendo el cambio de variableu u u d z dy z y ) tg 1 ( tg2+ = = ( )( )212 2/ 2 / 20 0 0 0 0 03/ 2 1/ 2 1/ 22 2 2 2 2/ 2 0124 4 41 1z tg d iI I I d dBrz zz tg z tg tgu t tu tu u u ut t tu u u += = = ((( + + + } } } u uu uuuu2 22 2222cos1coscoscossen1 tg 1 =+= + = +sin ( )/ 2/ 20 0 0 000 cos sin2I IBr i d iz ztt u u ut t = = } ( )0 02IBr izt = Ahora calculamos la fuerza , zk Figura 136. Fuerza sobre conductor rectangular. Para las corrientes en el sentidok se tiene: ( ) ( )1 1 1 dF I dzk Bz i I dzBz j = =Para las de sentidokse tiene: ( )( ) ( )2 1 1 dF I dz k Bz i I dzBz j = = 02 1= + F d F d Para el segmento en z=a se tiene: ( ) ( )3 1 1 dF I dyj Bai I Badyk = = ( )0 0 1 0 03 1 1 2 22I I IF I Ba ak I ak ka t t = = = para el segmento en z=3a se tiene ( ) ( ) ( )4 1 1 3 3 dF I dy j B ai I B adyk = =j y,2a 3a a I1 i z B B) ( =- 198 w Fo 0 0 1 0 04 1 22 3 3I I IF I ak ka t t = = Fuerza neta =1 0 0 1 0 03 42 1 13 3I I I IF F k k t t| |+ = = |\ . EJEMPLO 35 En este ejemplo calcularemos la fuerza neta que experimenta un loop de corriente (o espira) enpresenciadeuncampomagntico,yapartirdeestodeterminaremoseltorque.El conceptodeltorqueproducidoporuncampomagnticoesmuyimportanteenla comprensindelcomportamientodelaspartculascargadasorbitando(elmodelodela materia que veremos ms adelante), motores y generadores elctricos. Consideremos un loop de corriente rectangular de largo l y ancho w, el cual esta expuesto a un campo magntico uniforme de mdulo B tal como se ve en la Figura 137. y Figura 137. Torque magntico. Enestafigurasepuedeverquel desparaleloaBenloslados1-2y3-4delloopy ninguna fuerza es ejercida en esos lados. Slo hay fuerza en los otros dos lados, entonces la fuerza neta sobre el circuito es 3 12 43 42 1 ( )F I dl B I dl BF I dzk B I dz k B= + = + } }} } Es decir, la fuerza neta es cero, por lo tanto el circuito no experimenta movimiento de traslacin neto (no se desplaza).4 I 1 z B Fol 2 3 199 Sinembargo,lasfuerzasdecadaladoestnaplicadasenlugaresdiferentesy,en consecuencia,producirnuntorquenetosobreelcircuito.Paraexaminarestasituacin, consideremoselcasoenqueelplanodelcircuitoformaunngulooconelcampo magntico segn se ilustra en la Figura 138. Figura 138. Fuerza y torque. El elemento diferencial del torque (o el momento mecnico de fuerza) sobre un elemento de corrienteIdl del circuito esF d r T d = y sus unidades son Newton-metros (Nm). Por lo tanto, el torque neto es } } } = =c c cB l id r F d r T d donde c es la trayectoria del circuito. Es decir, } } + =1432 B k dz r I B k dz r I T y dado que el campo es constante sin ( ) sin ( ) sin2 2IBwl IBwlT k k IBwl k o o o = + = o nw Fo Fo B r 200 As,cuandoelplanodelcircuitoesparaleloalcampomagntico,steexperimentael torque mximo. En la posicin de equilibrio el vector normal a la superficie del circuiton es paralelo al campo magntico y no hay torque. 6.5 Ley Circuital de Ampere ConsideremosunareginOdelespacioendondeexistecorrientefluyendosegnse muestra en la Figura 139. Figura 139. Ley circuital de Ampere. Si tomamos una superficie cualquiera por la cual atraviesa una corriente total Ienlazada, entonces la Ley Circuital de Ampere establece lo siguiente: ( )enlazadaSI l d B0 = }I (6.17) donde: I(S) contorno de la superficie S recorrido en el sentido de la mano de derecha en torno del vector del elemento de superficie S d, segn se muestra en la Figura 139. Ienlazada corriente total que atraviesa la superficie S, la que es igual a la corriente enlazada por la trayectoria I(S). Notar que cuando se conoce el vector densidad de corriente J como en la Figura 140, la corriente enlazada es totalI J dS = }}. Figura 140. Corriente enlazada. Area S enlazadaI Contorno I(S) S d O I totalI J dS = }}S d J Itotal =S d Contorno I(S) 201 Es muy importante respetar el sentido del contorno de la superficie, esto es, mantener la regla de la mano derecha, cuando se aplica esta Ley. Es usual definir la ley de Ampere en trminos del vector intensidad de campo magntico H el cual se define de la expresin H B 0 =(6.17) donde 0 es la permeabilidad del espacio vaco igual a] / [ 10 47m H tsegn vimos anteriormente. Con esta definicin la ley circuital de Ampere se puede escribir como enlazadaSI l d H = }I ) ( (6.18) EJEMPLO 36 Calcule el campo producido por una bobina infinita de N espiras (vueltas) por unidad de largo y que lleva una corriente I. Solucin: Figura 141. Campo bobina. Por simetra los campos tendrn direccin segn z. Llamemos a los campos en el interior k B Bi i=y en el exteriork B Be e=. Por la geometra del problema, el campo afuera puede suponerse despreciable, ya que el campo de espiras contiguas se cancela. Para la interior tomamos el contorno ) (S I de la superficie S cuya mitad esta dentro de la bobina y la otra esta afuera. Se cumple: totalsiI u l d B0) (1= }I Pero tomando una trayectoria de largo l en el eje z se tiene NIl Itotal = , ya que no hay corriente enlazada afuera de la bobina. Luego,N espiras o vueltas por unidad de largo j y,i x,k z,S1 ) (S I l Id 202 enlazadaI Area S Contorno I(S) 0 iBl NIl = 0iB NIk = La corriente enlazada es negativa dado el sentido de la trayectoria utilizada en la figura 141. As, en un solenoide (o bobina) ideal el campo al interior es constante y nulo en el exterior. 6.6 3 Ecuacin de Maxwell Aplicando el teorema de Stokes a la integral de lnea de la ley circuital de Ampere se tiene ( )}} } V = I S SS d H l d H ) ( (6.19) Adems, en trminos del vector densidad de corriente la corriente total enlazada por el contorno ) (S Ies }} =SenlazadaS d J I (6.20) Esquemticamente esto se muestra en la Figura 142. Figura 142. Tercera ecuacin de Maxwell. Reemplazando valores obtenemos ( )}} }} = V S SS d J S d H (6.21) y esta ecuacin se cumple para cualquier superficie S, luego J H = V (6.22) esta es la 3 ecuacin de Maxwell Dado queH B 0 = esta ecuacin tambin se puede escribir como J B 0 = V(6.23) En termino fsicos decimos que las lneas de campo magntico rotan alrededor deJ. O que las lneas de campo magnticoB aparecen alrededor de una corriente dada. 203 Ms tarde agregaremos otro trmino a esta ecuacin cuando veamos campos variables en el tiempo. 6.74ta Ecuacin de Maxwell Otro resultado experimental es que a diferencia del caso de los campos elctricos que nacen yterminanencargaselctricas,enelcasodelcampomagnticonoexistenfuentesde dondenazcanlneasdecampo,esdecir,noexistencargasmagnticas.Estosetraduceen quetodalneadecampomagnticoescerrada.Matemticamenteestoseexpresadela siguiente forma: 0 = VB(6.24)esta es la 4 ecuacin de Maxwell Si integramos esta ecuacin en un volumen cualquiera tenemos }} }}}O O= - = - V) (0 0Ss d B dv B Enotraspalabras,elflujonetodelcampomagnticoencualquiersuperficiecerradaes nulo. Esto se muestra en la Figura 143. Figura 143. Inexistencia de cargas magnticas. EnlaFigura143entranalasuperficieunnmeroigualdelneasdecampoquesalende dicha superficie. 6.8 Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magntico Una caracterstica importante de la fuerza magntica que acta sobre una partcula cargada mvil es que la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la partcula. En efecto, la expresin de la Fuerza de Lorentz es B u q F =(6.26) O No existen cargas magnticas 204 Lafuerzamagnticaporconsiguientenorealizatrabajosobrelapartculaylaenerga cinticanoseveafectadaporestafuerza.As,lafuerzamagnticasolomodificala direccin de la velocidad pero no su mdulo. Enelcasoespecialenquelavelocidaddeunapartculaseaperpendicularauncampo magntico uniforme, como se ve en la Figura 144, la partcula se mueve describiendo una rbita circular. Figura 144.Movimiento de cargas en un campo magntico. La fuerza magntica proporciona la fuerza centrpeta necesaria para el movimiento circular. Podemos relacionar el radio de la circunferencia con el campo magntico y la velocidad de lapartculahaciendoquelafuerzaresultanteseaigualalamasammultiplicadaporla aceleracin centrpetav2/r .Lafuerza resultante en estecaso esqvB puesto quevy B son perpendiculares. As pues la segunda ley de Newton nos da rmvqvB2=(6.27) o seaqBmvr = (6.28) Por lo tanto, la partcula cargada se mueve en un plano perpendicular al campo magntico uniformequeestadirigidohaciaelplanodepapel(indicadoporlascruces).Lafuerza magnticaesperpendicularalavelocidaddelapartculahaciendoquesemuevaenuna circunferencia de radio r que satisface la ecuacin anterior. La frecuencia angular del movimiento circular es mqBrv= = e (6.29) y su periodo valeqBmTtet 2 2= = (6.30) r vv +q )( k B B = 205 Es importante notar quela frecuencia no depende del radio de la rbita ni de la velocidad de la partcula. Esta frecuencia se denomina frecuencia ciclotrn. LacomponentedelavelocidadparalelaaBnoseveinfluidaporelcampomagntico. Consideremosporejemplouncampomagnticouniformeenladireccinzyseavzla componente de la velocidad de la partcula paralela al campo. En un sistema de referencia quesemueveenladireccinzconvelocidadvz,lapartculatienesuvelocidad perpendicularalcampoysemueveenunacircunferenciacontenidaenelplanoxy.Enel sistemadereferenciaoriginallatrayectoriadelapartculaesunahlicequeseenrolla alrededor de las lneas de B, como se muestra en la Figura 145. Figura 145. Trayectoria helicoidal. Cuando una partcula cargada tiene una pequea componente de velocidad paralela al campo magntico B, se mueve con una trayectoria helicoidal. Selector de Velocidades La fuerza magntica sobre una partculacargadaque se mueve enel interior de un campomagnticouniformepuedeequilibrarseporunafuerzaelectrosttica.Dadoquela fuerza elctrica tiene la direccin del campo elctrico (en el caso de partculas positivas) y la fuerza magntica es perpendicular al campo magntico, los campos elctrico y magntico deben ser perpendiculares entre s, segn se muestra en el arreglo de la Figura 146. En esa configuracin se tiene una regin del espacio entre las placas de un condensador, en el cual existe un campo elctrico y un campo magntico perpendiculares entre si.

Figura 146. Selector de velocidades. -q k B B= vv qvB v qE B 206 Cuando una partcula positiva se mueve hacia laderechaexperimenta una fuerza elctrica dirigida hacia abajo qE y otra fuerza magntica dirigida hacia arriba qvB, que se equilibran sivB=E,Silacargaesnegativa,estarninvertidasambasfuerzas.Luego,paraquelas cargaspasensinserinterceptadaslavelocidadcumpleconlacondicinv=E/B, independientedelamasaylacargadelapartcula.Esdecir,lascargasquepasanse seleccionan en base a su velocidad exclusivamente. El Espectrgrafo de Masas.El espectrgrafo de masas, fabricado en p