apuntes 2005(muy bueno y bien explicado) 106pg matematicas basicas

8/14/2019 Apuntes 2005(Muy Bueno Y Bien Explicado) 106Pg Matematicas Basicas

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MATEMATICAS 03/11/2005

Las principales propiedades de la suma son:

CONMUTATIVA: El orden de los sumandos no altera el resultado. ( En el producto tambin ocurre !uma . a " b # b " a

$roducto a % b # b % a

A!OCIATIVA: En tres o m&s sumandos tampoco se altera el resultado. ( En el producto tambinocurre !uma a " b " c # ( a " b " c $roducto a % b % c # ( a % b % c

'I!TI)UTIVA: Es solamente para el producto. %% a % ( b " c # ( a % b " ( b % c

E*emplos:+ , % ( - " b # , % - " (, % b # " ,b

+ a % ( / 0 b # / a 0 ( a % b

+ - % ( , 0 a " a % ( , 0 b # 0 -1 a " , a 0 ab # 0 a 0 ab -

+ 2 % (- 0 ,2 # -2 0 ,2

PRODUCTOS NOTABLES

2 2 2(a + b ) = a + 2ab + b

2 2 2( a b ) = a - 2 ab + b

2 2( a + b ) * ( a b ) = a - b

E3ECICIO!: - - 45 + ( - a " b -5 + ( - 0 ,

,5 + - ( ,2 0 6 " 7 ( 6 " -2 75 + ( - a 0 b ( , 0 b

/5 + , 8 , 0 ( 4 0 a 9 5 + 7 ( 2 0 6 " - 0 7 ( -2 0 ,

- 5 + ( c 0 - ( - 0 c " ,d ;5 + ( 2 0 -6 ( -6 " 2 0 ( 2 0 -6


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!OLUCIONE!: - - - 45< (- a " b # 7 a " b " 7 a b

- --5< ( - + , 2 # 7 0 4- 2 " = 2

,5< - ( , 2 0 6 " 7 ( 6 " - 2 # 2 0 - 6 " 7 6 " ; 2 # 47 2 " - 6

- 75< ( - a 0 b ( , 0 b # a 0 - a b 0 , b " b

/5< , 8 , 0 , ( 4 0 a 9 # , ( , 0 , " , a # , , a # = a

5< 7 ( 2 0 6 " - 0 7 ( - 2 0 , # 7 2 0 7 6 " ; 0 ; 2 " 4- # + 7 2 0 7 6 " ->

- - 5< ( c 0 - ( - 0 c " , d # - c 0 c " , d c 0 7 " - c 0 d # 7 c 0 c " , d c 0 7 0 d

- - - - - - - - -- ;5< ( 2 0 - 6 ( - 6 " 2 0 ( 2 0 - 6 # 2 0 7 6 0 ( 2 0 7 2 6 " 7 6 # 2 0 7 6 0 2 " 7 2 6 0 7 6 # 7 2 6 0;6

E3ECICIO!:

- - - 7 - - 745< ( a 0 b # a 0 - a b " b

- - - -5< ( a " , b # a " a b " = b

- - ,5< b ( b 0 a " ( + 4 ( + a b # b 0 a b " a b # b

- - - 7 75< ( a " b ( a 0 b # a 0 b


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NUMEROS RACIONALES /11/2005

?ACCION : Es una e2presi@n del tipo a donde a 6 bB son nmeros enteros 6 bB es distinto de > b

a (numerador ++++ b (denominador

Una ?ACCION representa la cantidad Due resulta de diidir la unidad en bB Fracciones 6 lueGo tomar aBpartes de esas Fracciones.

?ACCIONE! EHUIVALENTE!: 'iremos Due dos Fracciones son eDuialentes si se cumple la siGuientepropiedad:

a c

+++ +++ a % d # b % cb d

Un NUMEO ACIONAL es el con*unto de todas las Fracciones eDuialentes entre si.

!UMA: a c a%d " b%c+++ " +++ # +++++++++++++++++

b d b%d

La Forma m&s comn es pasar los denominadores a mnimo comn mltiplo 6 adecuar el numerador seGn su

denominador. -

, 4/ 47 -= -> # /%- - - +++ " +++ # ++++++ " +++++++ # ++++++ mcm # / % - # 4>> -> /> 4>> 4>> 4>> - /> # / % -

!i multiplicamos o diidimos el numerador 6 el denominador de una Fracci@n por un mismo nmeroJ laFracci@n resultante es eDuialente a la inicial.

SUMA: $ara sumar dos Fracciones pasando a comn denominador:

45< Calcularemos el mnimo comn mltiplo de los denominadores (comunes con ma6or e2ponente.

-5< Obtendremos Fracciones eDuialentes a las iniciales Due tenGan por denominador el mnimo comnmltiplo obtenido con anterioridad.

,5< !umaremos los numeradores conserando como denominador el mnimo comn mltiplo.

- , / ; = 4> ,7 4 -

+++ " +++ " +++ " +++ # ++++ " ++++ " +++++ " ++++ # ++++++ # +++++ mcm# ,%- # 4-, 7 4- 4- 4- 4- 4- 4- 4-

%% Es coneniente simpliFicar la Fracci@n resultante %%


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RESTA: estar es simplemente sumar el opuestoJ como se Kace en los otros casos.

/ , / +, -/ + 4= +++ + +++ # +++ " ++++ # ++++ " ++++ # +++++ 7 4> 7 4> -> -> ->

PRODUCTO!El producto de Fracciones es iGual al producto de los numeradores partido por el producto de los

denominadores.

a c a%c +++ % ++++ # ++++++ b d b%d

DI"ISION!Es el resultado del producto cruado del primer numerador con el seGundo denominadorJ partido porel producto del primer denominador por el seGundo numerador.

a c a % d +++ : ++++ # ++++++++ b d b % c

E*ercicios:

45< 4 7 - / 7 4- +4-+++ % +++ + +++ : +++ # +++ + ++++ # +++++ " +++++ # >

- / , , 4> 4/ ,> ,>

-5< - 4 4> , ++++ + ++++ ++++++ + ++++++ ++++++

, / 4/ 4/ 4/ % 4/ 4>/ ++++++++++++++++++++++++++++ # ++++++++++++++++++++++++++++++ # ++++++++++++++ # ++++++++++++++ # +++++++++ #++++++ 4 4 ,> ,4 4/ % ,4 7/,4 ++++ " - ++++ " ++++++ +++++ 4/ ,> ,> ,>

,5< - 4 4 / - 4 - +/ - 4 +4 - +4 - 4 4 , 4=++++ + ++++ ( +++ + +++ # +++ + +++ ( +++ " ++++ # +++ + +++ % +++ # +++ + ++++ # ++++ " +++ # ++++ " ++++ # ++++

, 7 , , 7 , 7 - , ; , ; -7 -7-7

75< 4 - / , 4 / , 4 +-/ , ( +++ % +++ + ++++ : (++++ + ++++ # ( +++ + ++++ : ( ++++ + ++++ # ( +++ " +++++ : ( +++ + ++++ #

/ 7 - 4> -/ 4> - 4> -/ 4> 4> 4> -/


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+-7 4/ + 47 +-7 4 +4-> +++++ : ( ++++ " +++++ # ++++++ : +++++ # ++++++++ # + 4- 4> /> /> 4> /> 4>

/5< - 4 7 , / - 7 -4 / 4- +++ % ++++ : ++++ + ++++ % ++++ : ++++ # ++++ : ++++ + ++++ : ++++ # ++++ + +++++ # , / , 4> - 4/ , -> > 4>>

,> ,; ,7; /; -=# ++++++ + +++++++ # + +++++++ # + +++++++ # + ++++++

,>> ,>> ,>> /> -/

MATEMATICAS 10/10/2005

E#PRESION DECIMAL DE UN NUMERO RACIONAL

'ECIMALE! EACTO! ( - /a

+++ a b n 22222 $UO! (-/////////P b

'ECIMALE! $EIO'ICO!

MITO! (-7;/-/-/-P

Toda Fracci@n se puede interpretar como una diisi@nJ con lo cual asciaremos a cada Fracci@n una e2presi@ndecimal. Esta e2presi@n decimal puede ser: 45< Un 'ECIMAL EACTOJ Due es cuando tiene un nmero Finito de ciFras decimales. -5< Un 'ECIMAL $EIO'ICOJ Due es cuando e2iste una ciFra o un Grupo de ciFras Due se repiteninFinitamente. Estas ciFras o Grupos de ellas se denominan $EIO'O. !e pueden deFinir dos tipos dedecimales peri@dicos: - a< 'ECIMAL $EIO'ICO $UO: Cuando el periodo comiena *usto detr&s de la coma - b< 'ECIMAL $EIO'ICO MITO: Cuando entre la coma 6 el periodo e2isten otras ciFras.

$ara pasar de un nmero decimal e2acto a n5 racional: !e Duita la coma 6 se diide por 4 6 tantos ceros comoeces se corra la coma

$ara pasar de un n5 decimal peri@dico puro a n5 racional primero se Ka de conseGuir poder restar ese n5 a otroeDuialente 6 con el mismo periodo 6 lueGo se opera con el despe*ando la 2 de la iGualdad


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$ara pasar de un n5 decimal peri@dico mi2to a un n5 racionalJ primero deberemos conseGuir un n5 decimalperi@dico puro multiplicando ese nmero Kasta conseGuir pasar la coma 6 loGrar ese decimal Guardando laiGualdadJ lueGo se opera como un n5 decimal peri@dico puro.

E*emplos 6 e*ercicios:

-========== ,74,74, + 4--- 2 # -===== 2 # ,74,74,74, 2 # + 4---4>2 # -===== 4>>>2 # ,74,74,74, 4>>2 # + 4---

=2 # - ===2 # ,7-; ==2 # 4-- ,7-; 4-

2 # # , 2 # 2 # += === ==

-7,,,,,, 47,-,-,- 4-4,,,,

2 # -J7,,,,, 2 # 47,-,-,- 2 # 4-4,,,,

4>2 # -7.,,,,, 4>2 # 47,-,-,- 4>>2 # 4-4,,,, 4>>2 # -7,,,,, 4>>>2 # 47,-,-,- 4>>>2 # 4-4,,,, =>2 # -4= ==>2 # 474; =>>2 # 4>=-

2 # -4= 2 # 474; 2 # 4>=- => ==> =>>

4,4 -4> 4,4 + = > 4-,7,7,7 -,,,,,, 0 47///// # + # + #

, => => => =>

2 # >.4-,7,7,72 # -,,,,,,, 6 # 47//////

4>2 # -,,,,,,,4>>2 # 4-,7,7,7 =2 # -4 4>6 # 47////

4>>>>2 # 4-,7,7,7 -4 4>>6 # 47//// ==>>2 # 4--- 2 # # =>6 # 4,4 = ,

2 # 4--- 6 # 4,4 ==>> =>

a 7 a 7 " a- " # " #- - - -


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MATEM$TICAS BASICAS 1%/11/2005

LA&RACCI'N COMO PORCENTAE

,> -,>Q de ->> # RRR % ->> # > RR # >.P% 4>> # .PQ

4>> ,

$OCENTA3E 'E VAIACISN: !i tomamos dos medidas Due llamaremos ME'I'A ANTEIO 6ME'I'A ACTUAL de una cierta cantidadJ entonces el porcenta*e de ariaci@n Due se obsera es iGual la

medida actual por medida anterior diidido por medida anterior 6 multiplicado por cien

Medida actual % medida anterior $orcenta*e de ariaci@n # RRRRRRRRRRRRRRRRRRR % 4>>

Medida anterior

!i el resultado es positioJ o sea Due la medida actual es ma6orJ el porcenta*e ser& de aumento 6 si por elcontrario es neGatioJ o sea Due la medida actual sea menorJ el porcenta*e ser& de disminuci@n.

E*< !i antes del erano pesaba ;; ilos 6 despus del erano pesaba =- ilos. Cu&l es el porcenta*e deariaci@n

=- % ;; 7>> $. de ariaci@n # RRRRR % 4>> # RRRR # 7./7/7/7/Q ;; ;;

E*< El 7Q de la poblaci@n son KombresJ de estos el > Q son calos. Cuantos calos Ka6

7 % > = -;.-Q 4>>

En una poblaci@n de -/> Gatos el >Q son pardos. Cuantos Gatos pardos Ka6

a * bEL a DE b = a * b =

100


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-/> % > RRRRRR # 4/ 4>>

Un producto sin IVA cuesta , W Cuanto aldr& con IVA

4>> " 4 44 % ,

RRRRRR # RRRRRR # 74. 4>> 4>>

Unos pantalones con IVA cuestan 7> W Cuanto costaran sin IVA

44 7> % 4>> 7> : RRRR # RRRRRR # ,7.7;

4>> 44

Una tienda tiene todos sus artculos reba*ados el -> Q . !i unos apatos alen => W Cual sera su precioaplicando el descuento !i un cintur@n cuesta 7/ W cual sera su precio sin el descuento

;> ->> ;> 7/>> => % RRRR # RRRR # - 7/ : RRRR # RRRR # /.-/ 4>> 4>> 4>> ;>

!i el ;Q de los traba*adores son asalariados por cuenta a*ena 6 el > Q son mu*eres Cu&l es el porcenta*e demu*eres asalariadas por cuenta a*ena X de Kombres X de mu*eres aut@nomas X de Kombres

; % > /--> 7> % ; ,7;> RRRRRR # RRRR # /-.- Q RRRRRR # RRRR # ,7.; 4>> 4>> 4>> 4>>

> % 4, ; 7> % 4, /-

RRRRRR # RRRR # .; Q RRRRRR # RRRR # /.- Q 4>> 4>> 4>> 4>>

Una Fabrica produce dos tipos de bombillas. El >Q del tipo A 6 el ,>Q del tipo ). El -Q de las del tipo Ason deFectuosas as como el /Q del tipo ) Cu&l es el porcenta*e de producci@n deFectuosa

> % - 47> ,> % / 4/> RRRR # RRRR # 4.7Q RRRR # RRRR # 4./ 4.7Q " 4./Q # -.=Q 4>> 4>> 4>> 4>>

El to Yilito tiene el ;>Q de su capital a un inters del Q 6 el resto a un inters del 7Q Cu&l es el intersmedio Due le produce el capital


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MATEM$TICAS BASICAS 1/11/2005

!i por cada bB indiiduos de un con*unto Ka6 aB Due tienen una cierta cualidadJ la Fracci@n del total de losindiiduos Due TIENEN la cualidad es a < b 6 la Fracci@n de los indiiduos Due NO TIENEN las

cualidades es b 0 aRRRRb

!i por cada aB indiiduos Due tienen una propiedad Ka6 bB HUE NO LA TIENEN entonces la Fracci@n deltotal Due cumple la propiedad es a 6 la Due no la cumple es b RRRR RRRR

a " b a " b

$or cada Kombres Ka6 ; mu*eres

;

RR # >.7 # 7 Q RR # >./, # /, Q4/ 4/

4< !i por cada espaZoles Due traba*an Ka6 , Due no traba*an Cual es la Fracci@n de espaZoles Due notraba*an

, ,RRRR # RR # >., # ,>Q

" , 4>

-< !i por cada , espaZoles Due Kan ledo el Hui*ote Ka6 4- Due no lo Kan ledo 6 / de cada Due lo Kan ledousan GaFas Du Fracci@n de espaZoles usa GaFas 6 Ka ledo el Hui*ote

, / 4/ 4

RR % RR # RR # RR4/ =>


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,< Un se,Zor se compra un cocKe paGando 4 < , de entrada 6 el primer mes el ,>Q del resto Hu Fracci@n decocKe adeuda todaa

> - 47> RRR % RR # RRR # RR

4>> , ,>> 4/

7< Como se Gana m&s dineroJ traba*ando -/ Koras a 4/ W la KoraJ o traba*ando ,> Koras cobrando un 4> Qmenos por Kora traba*ada

-/ % 4/ # ,/

=> 4,/>RRRR % 4/ # RRRR # 4,./

4>> 4>>

4,./ % ,> # 7>/

/< La producci@n de miel durante el ->>> Fue 4./ eces la de 4=== cual Ka sido el porcenta*e de incrementode producci@n

4/> 0 4>> /> RRRRRRRR # RRRR # /> Q

4>> 4>>

< Un GriFo completamente abierto tarda 7/ minutos en llenar un dep@sito Cu&nto tardara en llenar en llenarlosi s@lo se abren los , < / partes de su caudal

7/ , --/

RR : RR # RRRR # / 4 / ,

$ara ordenar Fracciones se saca el m.c.m. de todas 6 se obtienen los numeradores eDuialentes. LueGo seordena teniendo en cuenta Due los neGatios canto ma6or sea m&s peDueZo ser&.

En la pr&ctica se utilia la calculadora.


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MATEMATICAS BASICAS 21/11/2005

TEMA III

NUMEROS REALES

Los NUMEO! IACIONALE! se corresponden a nmeros decimales inFinitos NO peri@dicos.

NUMEO! EALE!: Es todo el con*unto de nmeros decimales sin e2cepci@n.

$OTENCIA!

NUMEO! EALE! AICE!

$otencia es un nmero aB eleado nB eces siendo nB un nmero natural por tanto aB eleado a 4 es aB 6aB eleado a > es 4

, , , , , - - ( RR # RR % RR % RR # RRRR ( 4.4 # 4.4 % 4.4 # 4.-4 / / / / 4-/

LA! / $O$IE'A'E! 'E LA! $OTENCIA!

45 !i se plantea un producto de dos potencias con la misma base

-5 !i se plantea una diisi@n de dos potencias con la misma base

n m n " m A * A = A


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7 / ->75 ( 2 ) = 2

7 - 7 - - 7 7 ;5 2 * % = 2 * ( 2 ) = 2 * 2 = 2

- 7 - - 7 7 7 ; 25 * 5 = ( 5 ) * 5 = 5 * 5 = 5

, 7 , , 4- , 4/5 ,1 * 2 = ( 3 ) * 3 = 3 * 3 = 3

; 25 2 7;5 RRRR # RRRR = 2 7 7 2 2

- , / - 7 , 4> 4- -- 2%3 * ,1 ( 3 ) * ( 3 ) 3 * 3 3=5 RRRRRRRR # RRRRRRRRRR # RRRRRR # RRRR # 1 7 , 7 4; 7 -- 2 * 3 ( 3 ) * 3 3 * 3 3

La potencia aB eleada al nmero natural neGatio +nB

LAS PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS .- SON E#ACTAMENTE LAS MISMAS

+n 1 A = RRRR A


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, 1 1

2 = RRRR # RR , ,

2

+, + , +, - + += +47 +-, , * % ( 2 ) * ( 2 ) 2 * 2 2 4, RRRRRRRR # RRRRRRRRRR # RRRRRRR # RRRR # 2 + + +7- +,

% * 12, 2 * ( 2 ) 2 * 2 2


45 +r r +r r +r +r r +r 15 * 5 = ( 3 * 5 ) * 5 = 3 * 5 * 5 = 3

- +- , - +7 --5 ( b ) * ( b ) = b * b = b

+- +, " ( # ) # +(+ 4-,5 RRRRRR # RRR # # = # , +- + ( # ) #

, , , 2 * 3 +475 RRRRRR # RRRRRR # 2 * 3 7 - 7 - 2 * 3 2 * 3

, - +- ; ; , +- - +- ; ; + +7 ; ; - 7/5 ( # * ) * # * = ( # ) * ( ) * # * = # * * # * = # *


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p -p - p -p -p -p -p 7p -p5 % * = ( 2 ) * ( 2 * 3 ) = 2 * 2 * 3 = 2 * 3

RADICALES O RAICES

'iremos Due bB es la ra n+sima de un nmero aB si aB es iGual a bB eleado a nB

ndice

nn

A # ) si A # )

adicando

7 , 7 , 4 # - 2 # 4 >.>>4 # >.4 ( 01 ) = 0001

, ; - 2 , , RR # RR ( RR # RRR 4-/ / 5 125

$O$IE'A'E! 'E LA! AICE!

45 !i se multiplican dos radicales con el mismo ndice se consera el ndice 6 se multiplican los radicandos

N N N

A % ) # A % )

-5 !i se diiden dos radicales con el mismo ndice se consera el ndice 6 se diiden los radicandos

N N N A A : ) # RR

)


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,5 !i se Kace una ra de una ra se multiplican los ndices 6 se consera el radicando

N N%M M

# A A

75 !i se elea a una potencia una ra se elea a esa potencia el radicando 6 se consera el ndice.

N N ( # -

A A

!i multiplicamos o diidimos el ndice 6 el radicando de un radical por un mismo nmero naturalJ el alor delradical NO VAIA

N N n%N N R n A

A # n % A A # R n

E*ercicios:

45 , - / % 7 # / # 7 # 4>>

-57 7 -

,

5 PROPIEDAD &UNDAMENTAL DE LOS RADICALES


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7 # - # -

,5, 7 4- 4- 4- 4- 4- 4- 4-

7 , ; 4/ -= - % 7 % ,- # - % 7 % ,- # - % - % - # -

75

7 7 7 7 - , , , # , % , # , % , # , % , # ,

/5 7 7 ;

- , # - % , # - % , % #

; ; ; ;7 - / ,

# - % , % , % - # - % ,

5 / 4> 4> 4> 4> 4> 4> 7 , 4 , % = % - , , , ,

!olamente podremos sumar 6 restar races si son seme*antesJ es decirJ si tienen el mismo ndice 6 radicando

- ,!eme*antes

- , " / , # ,/ ,

/

!eme*antes / / // " , # 7

,

7 , - / ,


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No seme*antes No seme*antes

- , / ,

4- " - # - , " , , # / ,

- - 4- # - %, # - % , # - ,

, - - - # , # , % , # , % , # , ,

4; + /> # , - + / - # + - -

- -

4; # -%, # - % , # , -

- - /> # -%/ # - % / # / -

MATEMATICAS B$SICAS 2,/11/2005

4 / " -7, + , 4- # / , " = , + , #- -

/ 4; 4- 44 # , " , + , # , - - - -

- 5 = 5 * 3 = 5 3

/ 7 -2%3 = 3 = 3 * 3 = 3 3 = 3

- 3 12 = 3 2 * 3 = 3

- -( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) = ( 3 ) - ( 2 ) = 3 2 = 1

- - -


19/107

( 1 - 2 ) = 1 - 2 2 + ( 2 ) = 1 - 2 2 + 2 = 3 2 2

4 4

A = A

, -


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+,


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Tambin se puede clasiFicar por el nmero de ecuaciones. !i Ka6 m&s de una se lama !I!TEMA 'EECUACIONE!.

26 + 3 = 0

S97:a 97a> @a 9?9a

26 5 =

S97:a


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ECUACIONE! LINEALE! CON UNA INCOYNITA1/ Huitar denominadores multiplicando todos los denominadores por el mnimo comn mltiplo de losdenominadores

2< Huitar los parntesis aplicando la propiedad distributia

3< Trasponer trminos ( las con las 6 los nmeros con los nmeros 6 aGruparlos%/ 'espe*ar la inc@Gnita.

# 2 # + 5 2# 1+ = + 2 F :: ( 2 G 3 G ) =

3 2

# 2 # + 5 2# 1* + * = * + * 2 F

3 2

2 * ( # 2 ) + 3 * ( # + 5 ) = 2# - 1 + 12 F

2# % + 3# + 15 = 2# + 11F

2# + 3# 2# = 11 +% 15 F 0 3# = 0 F # = F # = 0 3

1

2 ( 3# 1 ) + 5 = 1 2# + % ( 1 # ) F # 2 + 5 = 1 2# + % %# F

2 1 # + 2# + %# = 1 + % 5 + 2 F 12 # = 2 F # = F # =

12

2

# # # # # # + = F 12 * + 12 * = 12 * F 3 % 3 %

%# + 2# = 10, 3# F # + 3# = 10, F # = 10, F # = 10, ! F # = 12

3

% ( #- 1 ) # + , %# % # + , = F = F 3 15 3 15


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%# % # + ,15 = 15 F 5 ( %# % ) = # + , F

3 15

20# 20 = # + , F 20# # = , +20 F 1%# = 2, F # = 2, ! 1% F # = 2

%

3# + 2 2# 3 # + 5 3# +2 2# 3 # + 5- = 3 + F 10 - 10 = 10 * 3 + 10 F

2 5 10 2 5 10

5 ( 3# + 2 ) 2 ( 2# 3 ) = 30 + # + 5 F 15# + 10 %# + = 30 + # + 5 F

15# %# # = 10 30 + 5 F 10# = - 1 F - 1 # = 10

MATEM$TICAS B$SICAS 5/12/2005

SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCO;NITAS

METO'O! 'E E!OLUCISN

45 $O !U!TITUCISN

-2 " 6 # ,

2 0 -6 # +4 2 # -6 0 4

-( -6 0 4 " 6 # , ^ 76 0 - " 6 # , ^ /6 # / ^ 6 # /: / ^ 6 # 4

2 # -6 0 4 ^ 2 # - _ 4 0 4 ^ 2 # - 0 4 ^ 2 # 4


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!e despe*a una inc@Gnita de una de las ecuaciones del sistema 6 se sustitu6e la e2presi@n obtenida en la otraecuaci@nJ obteniendo as una ecuaci@n lineal con una inc@Gnita Due 6a sabemos resoler.

-5 $O IYUALACISN

, 0 6-2 " 6 # , -2 # , 0 6 ^ 2 #

- , + 6 # -6 0 4

2 0 -6 # +4 2 # -6 0 4 -

, 0 6

# -6 0 4 ^ , 0 6 # -_( -6 0 4 ^ , 0 6 # 76 0 - ^ + 6 0 76 # + - 0 , + /6 # +/ ^ + 6 # +4^ 6 # 4 -

2 0 -6 # +4 ^ 2 # -_4 0 4 ^ 2 # 4

'espe*amos una misma inc@Gnita de las dos ecuaciones e iGualamos las dose2presiones resultantes con lo cual obtendremos una ecuaci@n lineal Due 6a sabemos resoler.

,5 $O E'UCCISN

-2 " 6 # , % - 72 " -6 #

2 0 -6 # +4 2 0 -6 # +4

/2 " >6 # / ^ /2 # / ^ 2 # /: / ^ # 4

2 0 -6 # +4 ^ 4 0 -6 # +4 ^ + -6 # +4 +4 ^ + -6 # +- ^ + 6 # + 4^ X # 4

Este es el mtodo m&s r&pido. !e busca la ecuaci@n eDuialente mediante el producto deuna o las dos e2presiones Kasta conseGuir dos ecuaciones Due sum&ndose desapareca un de las inc@GnitasJcon lo Due el resultado ser& una ecuaci@n lineal Due 6a sabemos resoler.

E*ercicios:45< esuele por los tres mtodos

45 !ustituci@n


25/107

-2 0 6 # , +6 # + -2 " , ^ 6 # -2 + ,

,2 0 -6 # 7

,2 0 -6 # 7 ^ ,2 0 - ( -2 0 , # 7 ^ ,2 0 72 " # 7 ^ +2 # +- ^ # -

6 # -2 0 , ^ 6 # -_- 0 , ^ 6 # 7 0 , : X # 4

-5 IGualaci@n

-2 0 6 # , + 6 # + -2 " , + ,2 " 7 +-2 " , #

+ ,2 " 7 -,2 0 -6 # 7 +-6 # +,2 " 7 ^ +6 #

-

+,2 " 7+ -2 " , # ^ ( +-2 " , - # + ,2 " 7 ^ +72 " # +,2 " 7 ^ +2 # +- ^ # -

-

-2 0 6 # , ^ -_- 0 6 # , ^ 7 0 6 # , ^ +6 # +4 ^ X # 4

,5 educci@n

-2 0 6 # , % +- +72 " -6 # +

,2 0 -6 # 7 ,2 + -6 # 7

+ 2 # +- ^ # -

-2 0 6 # , ^ -_- 0 6 # , ^ 7 0 6 # , ^ +6 # +4 ^ X # 4

-5

-2 0 6 # / %- 72 0 -6 # 4>

+72 " -6 # , +72 " -6 # , NO TIENE !OLUCISN


26/107

o # 4,

,5

-2 " ,6 # +4 %, 2 " =6 # +, ,,2 " -6 # ; %- +2 " 76 # 4

4,6 # 4, ^ 6 # 4, : 4, ^ X # 4

-2 " ,6 # +4 ^ -2 " , # +4 ^ -2 # +7 ^ # +-

75

+2 " ,6 # - %- +-2 " 6 # 7 TIENE IN?INITA! !OLUCIONE! -2 0 6 # +7 -2 0 6 # +7

O # O

MATEM$TICAS B$SICAS /12/2005

!I!TEMA! 'E TE! ECUACIONE! CON TE! INCOYNITA!

$ara resoler un sistema de tres ecuaciones con tres inc@Gnitas emplearemos el mtodo de!U!TITUCION. El primer paso es despe*ar una de las inc@Gnitas en una ecuaci@n 6 lueGo sustituir lainc@Gnita por la e2presi@n resultante en las otras dos ecuaciones obteniendo as un sistema de dos ecuacionescon dos inc@Gnitas Due 6a sabemos resoler.

E*ercicios:45

2 0 ,6 " - # 2 # ,6 0 - "

2 " 6 0 # +4 ( ,6 0 - " " 6 0 # +4 ^ 76 0 , # +

-2 " ,6 " # > -( ,6 0 - " " ,6 " # > ^ 6 0 7 " 4- " ,6 " # >^ =6 0 , # +4-

76 0 , # + %+4 +76 " , # =6 0 , # +4- =6 0 , # +4-

/6 # +/ ^ X # +4


27/107

76 0 , # + ^ +7 +, # + ^ +, # +, ^ + # +4 ^ ` # 4

2 # ,6 0 - " ^ 2 # +, +- " ^ # 4

-5 2 " 6 " # 4- # +6 0 " 4-

+2 " 6 " # 4; 6 " 0 4- " 6 " # 4; ^ -6 " - # ,>

2 " -6 0 # 7 + 6 0 " 4- " -6 0 # 7 ^ 6 0 - # +;

-- -- -6 " - # ,> 6 0 - # + ; ^ + - # +; ^ + - # + + ;^ , ,

6 0 - # +; -- -7 7 7 -- +- # + + ^ +- # + ^ + # + : - ^

,6 # -- ^ X # , , , , ,-, -,

+ # + ^ ` #, ,

-- -, 7/2 # + 6 0 " 4- ^ 2 # + + " 4- ^ 2 # + " 4- ^ 2 # + 4/ " 4- : # + ,

, , ,

4< Un nmero m&s su mitad m&s su tercera parte es iGual a 44> Cu&l es el nmero

# # # + 3# + 2# # + + = 110 ^ = 110 F # + 3# + 2# = 0 F

2 3

11 # = 110 F # = 0 ! 11 F # = 0

-< Calcula la edad de un padre sabiendo Due Kace 7 aZos era cinco eces la edad de su Ki*o pero dentro de 4aZos solo ser& el doble.

H9 Pa


28/107

3# = 33F # = 33 ! 3 F # = 11

2# = - 1 F 2 K 11 = - 1 F 22 = - 1 F - = - 3 F = 3

,< En un Gara*e Ka6 -4 eKculos 6 /; ruedas sin contar las de repuesto Cu&ntos cocKes 6 motos Ka6

- ! 7

- 6 ! : 6 + = 21 K - 2 - 2 6 - 2 = - %2 26 + % = 5, 26 + % = 5, 2 = 1 F = ,

6 + = 21 F 6 + , = 21 F 6 = 21 , F 6 = 13

7< En una escuela el triple del nmero de niZos mas el triple del nmero de niZas supera en ;>> al nmerototal de alumnos de la escuela Cu&ntos alumnos Ka6

36 = 6 + ,00 F 36 6 = ,00 F 26 = ,00 F 6 = %00

/< Calcula el dinero Due tiene 3uan sabiendo Due si compra una entrada de cine 6 un reFresco le sobran 7 eurospero si inita a una amiGa no puede comprar reFresco 6 Due el reFresco le cuesta 4


29/107


30/107

22# - 10# + 12 = 0

2a = 2 10 + - ( - 10) - % K 2 K 12 10 + - 100 % 10 + - %b = - 10 # = = = = = 12 2 K 2 % %

- 10 + 2 12

10 + 2 % = = 3 = = % % 10 2 , = = 2 % %

2# + %# + % = 0

2a = 1 - % + - % - % K 1 K % - % + - 1 1 - % + - 0b = % # = = = =

= % 2 K 1 2 2

- % = = -2

2


TEMA "

;EOMETRIA

TEOEMA 'E $IT]YOA!

!i tenemos un trianGulo rect&nGuloJ la Kipotenusa al cuadrado es iGual a lasuma de los dos catetos al cuadrado


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a

b

SISTEMAS CARTESIANOS

Un !I!TEMA 'E E?EENCIA CATE!IANO est& compuesto por tres elementos:

45< Un punto arbitrario del plano Due se denomina OIYEN. !e representa por OB ( o ma6scula 6 serepresenta numricamente por ( > J >

-5< 'os rectas perpendiculares Due se cortan en el oriGen 6 Due llamaremos E3E! 'E COO'ENA'A!. Ele*e Koriontal se denomina E3E 'E A)CI!A! 6 el e*e ertical se denomina E3E 'E O'ENA'A!.

,5< 'os puntosJ uno sobre cada e*eJ Due se utilian para seZalar la unidad de medida sobre los e*es 6 paraseZalar el sentido positio de cada uno de ellos.

Las COO'ENA'A! 'E UN $UNTO en el plano son las lonGitudesJ positias o neGatiasJ delos seGmentos determinados por sus pro6ecciones sobre los e*es 6 el oriGen.

La primera coordenada Due recibe el nombre de A)CI!A o coordenada es la lonGitud del

seGmento ( > J $. La seGunda coordenadaJ llamada O'ENA'A o coordenada X es la lonGitud delseGmento ( > J $.

epresenta en un e*e de coordenadas los siGuientes puntos:

P ( 1 G 5 ) G ( -3 G 2 ) G R ( % G -2 ) G S ( -2 G -5 ) G T ( 3 G 0 ) G U ( -2 G 0 ) G " ( 0 G -% ) G ( 0 G )

2 2 2

a = b +


32/107


33/107

La constante aB se denomina pendiente e indica la inclinaci@n de la rectasiempre Due .est despe*ada. La constante bB ordena en el oriGen 6a Due la recta siempre pasa por el

punto ( > J b

E*ercicios:45< 6 # -2 " 4 75< 2 # -

-5< 6 # ,2 0 - /5< 6 # ,,5< 6 # + 2 " ,

1/ 6 = 26 + 1

0 1 1 3 2 5 -1 - 1

2/ 6 = 36 2

0 - 21 1

2 % - 1 - 5

3/ 6 = - 6 + 3 %/ 6 = 2 5/ = 3

0 3 1 2 2 1 -1 %

E*ercicios

+ Calcula la ecuaci@n de las siGuientes rectas:

45< $endiente - 6 punto de oriGen 7


34/107

= a6 + b a = 2 = 26 + % b= %

-5< $endiente , 6 pasa por ( > J +7

= a6 + b a = 3 = 36 -% b = -%

,5< Ordenada en oriGen , 6 pasa por ( 4 J 4

= a6 + b b = 3 a = -2 = a6 + 3F = -26 +3

1 = a + 3 F 1 3 = a F a = -2

75< $asa por ( - J > 6 por ( +4 J ,

= a6 + b 0 = 2a + b 3 = -a + b

2a + b = 0 2a + b = 0 -a + b = 3 F - (-1) + b = 3 F b = 2 -a + b = 3 K (-1) a b = - 3

3Ka = -3 F a = -1 = -6 + 2

/5< $asa por ( 4 J - 6 por ( , J 7

= a6 + b 2 = a + b % = 3 a + b

a + b = 2 * -1 - a - b = - 2 a + b = 2 F 1 + b = 2 F b = 1 3 a + b = % 3 a + b = %

2 a = 2 F a = 1 = a + 1

5< $asa por ( - J - 6 por ( - J 7

= a6 + b 2 = 2 a + b % = 2 a + b

2 a + b = 2 * -1 -2 a b = -2 2 a + b = % 2 a + b = % 6 = 2

0 = 2

5< Los rtices de un trianGulo son los puntos ( +4 J - J ( - J 4 J ( +4 J , Calcula las ecuaciones de loslados

( -1 G 2 ) 2 = -1 a + b F -a + b = 2 - 2a + 2b= % -a + b = 2 F - a + 3/5 = 2F( 2 G 1 ) 1 = 2 a + b F 2 a + b = 1 2 a + b = 1

3b = 5 F b = 3/5 - a + 3/5 = 2 F -a = 2 3/5F = - /56 + 3/5 -a = /5 F a =- /5

( -1 G 2 ) 2 = -a + b F -a + b = 2 a b = -2


35/107

( -1 G 3 ) 3 = -a + b F - a + b = 3 -a + b = 3 6 = 1 0 = 1

( 2 G 1 ) 1 = 2 a + b F 2 a + b = 1 2 a + b = 1 - a + b = 1 F 2/3 + b = 1 F( -1 G 3 ) 3 = -1 a + b F - a + b = 3 a b = -3

3 a = -2 F a = -2/3 b = 1 - 2/3 F b = 1/3 = -2/36 +1/3

;5< Comprueba si los puntos ( 4 J 4 ( - J 7 ( > J +- est&n alineados

( 1 G 1 ) 1 = 1 a + a + = 1 - a = - 1 a + = 1 F 3 + = 1F = -2( 2 G % ) % = 2 a + 2 a + = % 2 a + = %

a = 3 = 36 2

( 0 G -2 ) -2 = 3 K 0 2 F -2 = -2 SI ESTAN ALINEADOS

=5< Lo mismo con los puntos ( > J - ( +, J 4 ( +- J +4

( 0 G 2 ) 2 = 0 a + = 2( -3 G 1 ) 1 = -3 a + 1 = -3 a + 2 F -1 = - 3 a F -a = - 1/3 F a =1/3

= 1/36 +2

( - 2 G - 1 ) -1 = 1/3 ( -2 ) + 2 F - 1 = -2/3 +2 F -1 = %/3 NO ESTAN ALINEADOS

4>5< Cual de los siGuientes puntos pertenece a la recta 6 /3 + 1 = 0

( - 1 G 3 ) - 1 3/3 + 1 = 0 F -1 -1 + 1 = 0 F -1 = 0 NO

( 2 G ) 2 /3 + 1 = 0 F 2 3 + 1 = 0 F 0 = 0 SI

( -2 G 3 ) -2 3/3 + 1 = 0 F -2 -1 +1 = 0 F - 2 = 0 NO

445< Calcula la pendiente de las siGuientes rectas

= -36 + 1 P7


36/107

+ InFinitas soluciones COINCI'ENTE!

$AALELA!: 'os rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. !i las rectas ienendadas por las ecuaciones

A6 + B + C = 0

A6 + B + C = 0 A B S9 = A B

$E$EN'ICULAE!: 'os rectas son perpendiculares si sus pendientes son opuestas einersas

= A6 + B = A6 + B 1

S9 A = - A

E*ercicios :

45< Calcula la intersecci@n de los siGuientes pares de rectas

a/ = 1/%6 1

1/% 6 1 = 1/36 + 2 F 1/%6 1/36 = 2 + 1 F 12 K 1/%6 12 K 1/3 6 = 12 K 2 + 12 K 1 F

= 1/36 + 2 36 %6 = 2% + 12 F - 6 = 3 F 6 = - 3 = 1/36 + 2 F = 1/3 ( - 3 ) + 2 F = - 12 + 2 F = - 10

( 6 G ) = ( - 3 G - 10 )

b

/- 26 + 3 = 0 F = 26 + 3 26 + 3 = -3/26 1/2 F %6 + = - 3 6 1 F36 + 2 + 1 = 0 F = - 3/26 1/2 6 = - F 6 = -1

= 26 + 3 F = 2 K ( -1 ) + 3 F = -1 + 3 F = 1( 6 G ) = ( - 1 G 1 )


37/107

/

= 1/26 + 5 1/26 + 5 = 1/26 +1/2F 6 2 + 1 =0 F - 2 = - 6 1 F - = - 1/26 1/2 F = 1/26 + 1/2 6 + 10 = 6 + 1 F 0 =

SON PARALELAS

-5< Calcula las ecuaciones de las rectas paralela 6 perpendicular a la recta = -26 + 1 6 Due pasa por el punto( % G - 1 )

Pa8a>7>a P7847a8

= - 26 + 1 ( % G -1 ) ( % G - 1 ) = a6 + b

a = -2 a = 1/2

-1 = -2 K % + b F -1 = -, + b F b = -1 = 1/2 K % + b F -1 = 2 + b F b = -3

= - 26 + = 1/26 3

,5< Calcula la recta perpendicular a 6 3 + 2 = 0 Due pasa por el punto ( 1 G 1 ) 6 la paralela

6 3 + 2 = 0 F - 3 = - 6 2 F - = - 1/36 2/3 F = 1/36 + 2/3

Pa8a>7>a P7847a8

= 1/36 + 2/3 = 1/36 + 2/3( 1 G 1 ) ( 1 G 1 )

a = 1/3 a = -3

1 = 1/3 + b F 1 1/3 = b F b = 2/3 1 = - 3 + b F 1 + 3 = b F b = %

= 1/36 2/3 = -36 + %

75< Calcula la recta paralela 6 perpendicular a la recta 26 + 3 = 0 Due pasa por el punto ( 3 G 2 )

26 + 3 = 0 F = -26 + 3

Pa8a>7>a P7847a8

= - 26 + 3 = - 26 + 3( 3 G 2 ) ( 3 G 2 )


38/107

a = -2 a = 1/2

2 = - 2 K 3 + b F 2 = - +b F b = , 2 = 1/2 K 3 + b F 2 = 3/2 + b F b = 2 3/2 F b = 1/2

= -26 + , = 1/26 + 1/2

/5< Calcula la ecuaci@n de las rectas rB 6 sB 6 el punto pB

6 2 + 3 = 04

8

( 1 G -2 )

6 2 + 3 = 0 F - 2 = - 6 3 F - = - 1/26 3/2 F = 1/26 + 3/2

R7a . . R7a . 8 .

= 1/26 + 3/2 = 1/26 + 3/2( 1 G -2 ) ( 1 G -2 )

a = 1/2 a = -2

-2 = 1/2 + b F -2 1/2 = b F b = - 5/2 -2 = - 1/2 K 2 + b F - 2 = -2 + b F b = 0

= 1/26 5/2 = -26

P@ .4

6 2 + 3 = 0 6 2 ( -2 6 ) + 3 = 0 F 6 + %6 + 3 = 0 F 56 + 3 = 0 F 56 = -3 F 6 = -3/5

= -26 = -26 F = -2 ( - 3/5 ) F = /5


RECTAN;ULO

8 = -26

= 1/26 5/2

4 ( -3/5 G /5 )


39/107

AREA = b K aa

PERIMETRO = 2 a + 2 b

b

PARALELO;RAMO

AREA = b K

a PERIMETRO = 2 a + 2 b

b

TRIAN;ULO

CIRCUN&ERENCIA

a K

AREA = b 2

PERIMETRO = a + b +

a

K


40/107


41/107

P ( 6 )


42/107

E*ercicio

45< Calcula la ecuaci@n de una circunFerencia de radio , 6 de centro ( 4 J -

< ( P G C ) = 3

2 2 2 2 2 2( 1 6 ) + ( 2 ) = 3 F ( ( 1 6 ) + ( 2 ) ) = 3

2 2 2 2 2 2( 1 6 ) + ( 2 ) = F 1 - 2K1K6 + 6 + 2 - 2K2K + = F

2 2 2 2 1 26 + 6 + % % + = F 6 + - 26 - % - % = 0

2 2-5< Calcula el centro 6 el radio de la circunFerencia 6 + - 26 + % +1 = 0

# = -(- 2/2) = 1 CENTRO = ( 1 G - 2 )

= - %/2 = - 2 RADIO = 2


43/107

2 28 = 1/2 2 + % - % K1 = 1/2 % + 1 - % = 1/2 1 = 1/2 K % = 2

,5< Calcula el centroJ el &rea 6 permetro de la circunFerencia

- -a< 6 + - %6 + 2 % = 0

C78 ( 2 G - 1 ) Ra


44/107

2 2 2 2( -3 6 ) + ( 5 ) = 1 F -3 - ( 2( -3)6) + 6 + 5 - ( 2 K 5 K ) + = 1 F

2 2

+ 6 + 6 + 25 10 + = 1 F

2 2 2 2 P( -% G ) < ( P G C ) = ( -3 + % ) + ( 5 ) = 1 + ( -%) = 1

1 Q % E> 4@ 7X @78a a 98@7879a

/5< !ea el rect&nGulo de rtices A ( 4 J / J ) ( - J , J C ( 7 J 7 6 ' ( 2 J 6 . Calcula el &rea 6 el permetro

A( 4J/ )(-J, - - - -


45/107

5< !ea el trianGulo de rtices A( +- J 4 J )( 4 J - J C( +4 J +, . Calcula el permetro 6 el &rea

- - - - A


46/107

= 5/26 1/2 F = 5/2 (/2) 1/2 F = 35/5, 1/2 F = 3/2

'I!TANCIA $UNTO! A J

2 2 2 2 D9 AG = ( - 2 /2 ) + ( 1 3/2 ) = ( - 5/2 ) + ( 2/2 ) =

= 13/2 2

AEA

a K 2 K 13/2 2 A87a = = = 13/2 2 2


TEMA "I

L';ICA DE PROPOSICIONES

Una proposici@n o enunciado es una oraci@n de la Due siempre se podr& aseGurar si es

erdadera o Falsa. A la erdad o Falsedad de una proposici@n se le llama VALO 'E VE'A'.

Las proposiciones m&s sencillasJ Due se limitan a enunciar una cualidad de un ser oponer de maniFiesto un KecKo se llama $O$O!ICISN !IM$LE. La combinaci@n de dos o m&s proposicionessimples mediante conectores l@GicosJ da como resultado una $O$O!ICISN COM$UE!TA.

AREA = 13/2


47/107

PROPOSICIONES SIMPLES ! 4G G 8G G YY

O

CONECTORES NO SIYYENTONCESYYYY

CONECTORES L';ICOS!

45< NE;ACI'N

!E E$E!ENTA !E LEE

Z NO

4 Z4

" &

& "

-5< CONUNCI'N

!E E$E!ENTA !E LEE

4 4

" " "

" & &

& " &

& & &


48/107

,5< DIUNCI'N

!E E$E!ENTA !E LEE

O

4 4

" " "

" & "

& " "

& & &

75< CONDICIONAL

!E E$E!ENTA !E LEE

SIYENTONCESYYY 4 4

" " " "

& &

& " "

& & "

E*ercicios 4 f

4 Z 4 f

" " &

&


49/107

" & " "

& " & &

& & " &

Z4

4 Z4 4 f

" " & "

" & & "

& " " &

& & " "

( 4 f ) f4

4 Z 4 f Z4( 4 f )

f4

" " & " & &

" & " " & & & " & & " &

& & " " " "

4 ( 4 )

4 ( 4 )4 ( 4 )

" " " "

" & " "

& " " "

& & & " 4 Z

4 4

Z 4 Z


50/107

" " " & &

" & & " "

& " & & "

& & & " "

( 4 ) ( 4 )

4 4

4

( 4 )( 4 )

" " " " "

" & & " "

& " & " "

& & & & "

( 4 ) f4

4 4 Z4

( 4 ) f4

" " " & "

" & & & &

& " " " "

& & " " "

RAONAMIENTOS L';ICOS

!e denomina raonamiento a la aFirmaci@n de Due cierta proposici@n Duese denomina CONCLU!ISN se deduce de otras proposiciones preias denominadas $EMI!A!. Unraonamiento es l@Gicamente &lidoJ si siempre Due las premisas sean erdad 6 la conclusi@n tambin lo es.En caso de Due alGuna premisa sea Falsa o la conclusi@n se le denomina ?ALACIA.


51/107

4

8 487:9a

>@9

PREMISAS "

CONLUSION "

Taa : 7 @:4>a

RE;LAS DE IN;ERENCIA ( Ra[a:97 : )

1/ MODUS TOLLENDO TOLLENS

2/ MODUS PONENDO PONENS

4 4 Z Z4

" " " & &

" & & " &

& "

" & "

& & " " "

4

Z

Z4

4 4

" " "

" & &

& " "

& & "


52/107

3/ MODUS TOLLENDO PONENS

%/ LE DEL SILO;ISMO HIPOT\TICO

4

8 4 8

4 8 4 8 4 8

" " " " " "

" " & " & &

" & " & " "

4

4

4 4 Z4

" " " &

" & " &

& " " "

& & & "

4

Z4


53/107

" & & & " &

& " " " " "

& " & " & "

& & " " " "

& & & " " "

E*ercicios:

45< epresenta simb@licamente las siGuientes proposiciones:

- E>>a 7 8abaa9?77 4

- N a7 8W 478 >>@7]7 Z4

- E> 4788 7 @ a9:a> 97> 478 @7]7 4

- S9 a7 > 77 @a 7 a>G 478 7 L@7 ( 4 ) f 8

-5< Escribe la neGaci@n de las siGuientes proposiciones

- T ?a 4a87 // N9?_ a@a4ab>7

,5< !i Ko6 es Lunes 6 maZana lluee entonces el perro canta. El perro no canta . $or tanto no es cierto Due Ko6sea Lunes 6 maZana lluea.


54/107

75< !i Ko6 es Lunes entonces maZana ser& MircolesJ o la rana salta. La rana no salta. MaZana no es mircoles.$or tanto Ko6 no es lunes.

/5< !i 3uan es mas alto Due $edro entonces Mara es mas ba*a Due Alicia^ !i Vicente come ciruelas entonces3uan es mas alto Due $edro. $or tanto Vicente no come ciruelas.

4 8 4 (4 ) 8 Z8 Z( 4 )

" " " " " & &

" " & " & " &

" & " & " & "

" & & & " " "

& " " & " & "

& " & & " " "

& & " & " & "

& & & & " " "

( 4 ) 8

Z8 Z ( 4 )

4 8 4 (4)8 Z8 Z Z4

" " " " " & & &

" " & " " " & &

" & " & " & " &" & & & & " " &

& " " " " & & "

& " & " " " & "

& & " " " & " "

& & & " " " " "

( 4 ) 8

Z8

Z Z4


55/107


CONUNTOS

Aa

!e lee

El elemento aB minscula pertenece al con*unto AB ma6scula

Aa

!e lee

El elemento aB minscula NO pertenece al con*unto AB ma6scula

Un con*unto se deFine por dos Formas: ENUMEACISN 6 'E!CI$CCISN

4 8 4 Z 84 Z8

" " " " & " &

" " & " & " "

" & " & " " &

" & & & " " "

& " " " & & &

& " & " & " "

& & " " " & &

& & & " " " "

4

Z

8 4 Z8


56/107

ENUMEACISN: Consiste en dar todos 6 cada uno de sus elementos

A # g 4J -J ,J/J h

) # g aJ eJ iJ oJ u h

'E!CI$CCISN: Consiste en dar una propiedad Due identiFiDue ineDuocamente todos sus elementos.

A # g Nmeros primos de una ciFra h ) # g Vocales h

ELACISN ENTE CON3UNTO!

BA

!e lee

El con*unto AB est& incluido en el con*unto )B

INCLU!ISN: 'ados los con*untos A 6 )J diremos Due A est& contenido o incluido en ) cuando todos loselementos de A pertenecen a ). Tambin podremos decir Due A es un subcon*unto o una parte de ).

A # g aJ eJ iJ oJ u h

) # g iJ u h AB

$O$IE'A'E! 'E LA INCLU!ISN

41 E?LEIVA Todo con*unto A est& contenido en s mismo

AA

-1 TAN!ITIVA !i un con*unto A est& contenido en un con*unto ) 6 el con*unto ) est& contenido en CJentonces el con*unto A est& contenido en el con*unto C

CB

BA

CA

'os con*untos A 6 ) diremos Due son iGuales 6 lo representaremos A # ) si A est& contenido en ) 6) est& contenido en A


57/107

AByBBsiAA =

CON3UNTO VACIO El con*unto aco es aDuel Due no contiene ninGn elemento.

CON3UNTO UNIVE!AL u Es aDuel Due contiene a todos los elementos Due se analian en undeterminado conte2to.

uAA //

$ATE! 'E UN CON3UNTO 'ado un con*unto A deFinimos el con*unto de las partes de A como elcon*unto Formado por todos los subcon*untos de A. !e representa $(A ( la $ G@tica

A = ` 1 G 2

P(A) = ` G ` 1 G ` 2 G ` 1 G 2

S9 A 977 . 7>7:7G P(A) 977 2 7>7:7

INTE!ECCISN 'ado los con*untos A 6 ) deFinimos la intersecci@n 6 la representamos BA comoel con*unto Formado por los elementos comunes a A 6 a )

A = ` : G G G a

B = ` : G 9 G G

BA BA = ` : G

!i A intersecci@n ) es iGual a con*unto aco diremos Due son 'I!3UNTO!

=BA DISUNTOS


58/107

UNION 'ados los con*untos A 6 ) deFinimos Due el con*unto BA como el con*unto de todos loselementos comunes 6 no comunes de A 6 )

A = ` : G G G a

B = ` : G 9 G G

BA

BA = ` : G G G 9 G G a

COM$LEMENTAIO Ac

'ado un con*unto A 6 ) deFinimos el complementario de A 6 lo

representamos Ac como el con*unto Formado por los elementos del Uniersal ( @ Due no pertenecen al

con*unto A

A = ` : G G G a

@= ` : G G 8 G 7 G G 9 G G a

Ac A

c = ` 8 G 7 G 9 G

'I?EENCIA

'ados dos con*untos AB 6 )B J deFinimos la diFerencia de AB 6 )B 6 la representamoscomo A 0 ) como el con*unto Formado por los elementos de AB Due no pertenecen a )B

BABA D

ABBA


59/107

BABA D

PROPIEDADES

INTE!ECCISN

45< AA

-5< A ,5< AU/9]78a>A =

75< CONMUTATI"A ABBA = /5< ASOCIATI"A C)BA()CB(A =

5< ABA BBA 5< S9 AB 77 BBA =

UNION

45< AAA = -5< AA = ,5< U/9]78a>U/9]78a>A = 75< CONMUTATI"A ABBA = /5< ASOCIATI"A C)BA()CB(A =

5< BAA BAB

5< S9 AB 77 ABA = COM$LEMENTACION


60/107

45< U/9]78a>D =

-5< DU ,5< A)A( DD = VAIA!

45< DAA -5< UAA D = ,5< DISTRIBUTI"AS

,+a< )CB()BA()CB(A = ,+b< )CB()BA()CB(A =

75< LEES DE MOR;AN

7+a< DDD BA)BA( = 7+b< DDD BA)BA( = /5< S9 BA 77 DD AB

E*ercicios

459a9 ! A B 7 B979]a 9 7 I79]a Sb8779]a a> :9: 97:4


66/107

BIECTI"A APLICACI'N NO INECTI"A

NO SOBREECTI"A

COMPOSICION DE APLICACIONES

!ea ! A B 6 ? ! B C 6 sea K ? ! A C

LaAPLICACI'N COMPUESTA es una aplicaci@n Due a deA enC 6 Dueresume el eFecto de aplicar al con*unto A 6 despusaplicar ?al con*unto B

( ? K ) (6) = ? ( (6) ) 7 >77 . :4@7


67/107

E*ercicios:

45< S7a A = ` 1G 2G 3 B = ` aG 7 C = ` 6G G [

S7a ! A B // (1) = a F (2) = 7 F (3) = a S7a ? ! B C // ? (a) = F ? (7) = [

Ca>@>a ? K

( ? K )(1) = ?((1))= ? (a) =

( ? K )(2) = ?((2))= ? (7) = [

( ? K )(3) = ?((3))= ? (a) =

2/ S7a A = aG bG B = 1G 3G 5


68/107

! A B // (a) = 3 F (b) = 5 F () = 1

? ! B A // ?(1) = a F ?(3) = b F ?(5) = b

Ca>@>a K ? ? K

K ? ! B B ? K ! A A

( K ? ) (1) = ( ? (1)) = (a) = 3 ( ? K ) (a) = ? ( (a)) = ? (3) = b

( K ? ) (3) = ( ? (3)) = (b) = 5 ( ? K ) (b) = ? ( (b)) = ? (5) = b

( K ? ) (5) = ( ? ( 5))= (b) = 5 ( ? K ) () = ? ( ()) = ? (1) = a

CARDINAL DE UN CONUNTO

'eFiniremos el CA'INAL de un con*unto A como el nmero de

elementos Due posee. !e representa como (A)

A = ` aG bG (A) = 3

PROPIEDADES

1/ S9 (A) = (P(A)) = )A(2

2/ S9 )B(b)A(b)BA(bBA 3/ )BA()B()A()BA( %/ )BA()AB()BA()BA( 5/ )B()BA()BA(

E*ercicios:


69/107

45< S9 7> Ca8 a8 a8 @>a 7>a8 a 97879 BAFAB

- 10 + = 1

- 1 15 = %

2/ ( A B ) = F ( B A ) = 2 F ( A B ) = 1% F Ca>@>a (A) (B)

BA = 1% 2 = 5

(A) = + 5 = 12

(B) = 2 + 5 =

MATEM$TICAS B$SICAS

T7:a "III

NcMEROS COMBINATORIOS

&ACTORIAL! 'ado un nmero natural nB J deFinimos el ?actorial de nB 6 lo

representamos n como el producto de los nB primeros nmeros naturales2d = 1 K 2 = 2

3d = 1 K 2 K 3 =


70/107

%d = 1 K 2 K 3 K % = 2%

P8 > a ! 0d = 1 1d = 1

NcMERO COMBINATORIO! 'ados dos nmeros naturales nB 6 mB 6 : deFinimosel nmero combinatorio nB sobre mB 6 se representa

/:

:

#)d:(d:

d

E*ercicios:

101K2K1K2K3

1K2K3K%K5

d2d3

d55

3= 11K2K3K%K1

1K2K3K%

d%d0

d%%

0=

11K2K3K1

1K2K3

d0

d33

0

= %1K2K3K1 1K2K3K%d3d1 d%%

1

= 3

1K2K1

1K2K3

d2d1

d33

1

= +1K2K1K2 1K2K3K%d2d2 d%%

2

=

31K1K2

1K2K3

d1d2

d33

2 = %1K1K2K3 1K2K3K%d1d3 d%%

3 = 1

1K1K2K3

1K2K3

d0d3

d33

3

= 11K1K2K3K%1K2K3K%

d0d%

d%%

%

=

PROPIEDADES

1/ 1

0

= 1

=

2/

1

= //

1/

=

3/ = /

:/

/

:


71/107

%/ =+++1

1:

1:

:

5/

:

#)d:(d:

d S9 : + ( :) = 77 7> 87@>a@>a 6 4a8a @7

10

6

#

10

262

45< 6 = 26 2 F 6 26 = -2 F -6 = -2 F 6 = 2

-5< 6 + 26 2 = 10 F 36 = 12 F 6 = %

-5< Ma8a


72/107

5 * % * 3 * 2 * 1 = 5d = 120 49b9>9


73/107

7Dddd

d

321

:a78a


74/107

-5< Ob778 @ 7?a9


75/107

5< Pa>ab8a 78a 78a aG bG G 7G 9 @7 :977 aab7 48 ]a>

3 * 3 * 2 * 2 = 3 49b9>9


76/107

2105*+* = 210 49b9>9


77/107

+ !acar 4 cara + !acar - caras Lanar - monedas + !acar al menos una cru

- !acar - cruces + etc..

ESPACIO DE POSIBILIDADES! El con*unto de resultados posibles de un e2perimentoaleatorio se llama Espacio de $osibilidades 6 se representa por g.

Lanar una moneda g = ` a8aG 8@[

Lanar un dado g = ` 1G 2G 3G %G 5G

Lanar dos monedas g = ` G 6G G 6

( 1G1) ( 1G2) ( 1G3) ( 1G%) ( 1G5) ( 1G)

( 2G1) ( 2G2) ( 2G3) ( 2G%) ( 2G5) ( 2G)

( 3G1) ( 3G2) ( 3G3) ( 3G%) ( 3G5) ( 3G)Lanar dos dados g =

( %G1) ( %G2) ( %G3) ( %G%) ( %G5) ( %G)

( 5G1) ( 5G2) ( 5G3) ( 5G%) ( 5G5) ( 5G)

( G1) ( G2) (G3) ( G%) ( G5) ( G)

ESPACIO MUESTRAL! El con*unto $(j se denomina Espacio Muestral 6 en el Due Duedanrepresentados matem&ticamente todos los sucesos del Fen@meno aleatorio.

SUCESOS SIMPLES O ELEMENTALES! !on los !ucesos Due se corresponden con un

nico espacio de posibilidades.

La[a8


78/107

DE&INICI'N MATEM$TICA DE PROBABILIDAD

P ! g [ ]1G0 A P(A)

1/ 1AP0 2/ 1P =3/ S9 A B 7Da=7Da=


79/107

a 2h) =3+

15

7/ P( b778


80/107


81/107

U9] P89]aa[a8 Ca>@>a >a48bab9>9a 48bab9>9a 7?@9


82/107


83/107

P(B1/N2) = P(B1) )2N(P )1B/2N(P

P(B1/N2) = =3+01,0%0%5%5,5

% KK

21

P(N2) = P(B1) K P(N2/B1) + P(N1) K P(N2/N1)

P(N2) = =2%0220220,%5,5% KK 5

SUCESOS INDEPENDIENTES

'iremos Due el suceso BB es independiente del suceso AB si se cumple:

P( B/A ) = P( B )

P BA = P( A ) K P( B )

E*ercicios:

1/ La[a: 87 ]77 @a :7 :9: 87@>a @: a4a877 @a a8a

.C A > @: a4a877 @>a!

P8bab9>9


84/107

P8bab9>9


85/107

ESTADiSTICA!Es la ciencia Due estudiaJ mediante mtodos cuantitatiosJcaractersticas de las poblaciones obtenidas como sntesis de la obseraci@n de las unidades estadsticas.

CENSO! Consiste en anotar determinadas caractersticas de todos los indiiduos de unapoblaci@n.

MUESTRA! !e denomina muestra al subcon*unto de indiiduos Due son obseradospara obtener inFormaci@n del total de la poblaci@n.

ESTADiSTICA DESCRIPTI"A!Es la parte de la estadstica Due estudia las ideasJ losmtodos 6 las tcnicas para la descripci@n Gr&Fica 6 numrica de los con*untos numerosos.

IN&ERENCIA ESTADiSTICA! La inFerencia estadstica es la parte de la estadsticaDue estudia los mtodos para establecer conclusiones sobre una poblaci@n a partir de una muestra de lamisma.

"ARIABLE ESTADiSTICA!Las Variables estadsticas son atributos o maGnitudes Duese obseran en los indiiduos de la poblaci@n.

ATI)UTO! MO'ALI'A'E!

MAYNITU'E! VALOE!

OBSER"ACI'N!El con*unto de modalidades o alores de cada ariable medido en unindiiduo constitu6e una Obseraci@n.

CLASI&ICACI'N DE "ARIABLES

color de o*os"a89ab>7 C@a>9a9]a! A89b@ estudios

"a89ab>7 color de pelo "a89ab>7 C@a9a9]a ! "a>87 @:^89

- D987a! !e pueden numerar 4>J ->J ,>J etc. "a89ab>7 C@a9a9]a

- C9@a!$ueden tomar cualDuier alor posible

Nmero de Ki*os $eso


86/107

D987a 'as traba*ados C9@a Altura Edad de la persona 'istancias

"a89ab>7 N:9a>7

Variables "a89ab>7 O87

"a89ab>7 7 Ea>a


87/107

NO

19

==

&RECUENCIA RELATI"A! La ?recuencia elatia de la modalidad o alor #9 esla proporci@n de obseraciones Due presentan el alor #9. !e representa por:

N

&M 99=

1M9

O

19

==

PORCENTAE!El porcenta*e de una modalidad o alor #9 es iGual a multiplicar porcien su Frecuencia relatia 6 se representa porP9

E*emplo: 1 0 1 2 0 1 3

% 1 2 0 0 2 1

0 0 5 3 0 2 1

1 0 0 1 3 2 0

1 2

#9 &9 N&99M= P9 Ab>@a R7>a9]a0 10 033 333 10 0333

1 03 30 1 0332 02 20 25 0,33

3 3 010 10 2, 033

% 1 0033 33 2 0 5 1 0033 33 30 0


88/107

MEDIDAS DE CENTRALIACI'N DISPERSI'N

MODA! Moda es el alor de ma6or Frecuencia absoluta &9

MEDIANA! Es el alor central de las Frecuencias absolutas

E*emplo:

#9 &9

0 3 1 % M8


89/107

99

19

j

&K6K6 ==

!i se cambia el oriGen de la medida a un punto de medida 6B respecto del

oriGen anteriorJ la nuea medida se transForma de la misma manera 6 se cumple:

#a789=8@7]a ##jj

!i se cambia la unidad de medidaJ la media cambia proporcionalmente alFactor de escala. !i a la unidad nuea es iGual a bB unidades de antesJ la nuea media se transFormar& seGnla relaci@n:

a/789=8b

1/@7]a ##

jj =

MEDIDAS DE DISPERSI'N

RAN;O!El anGo recorrido de una ariable es la diFerencia entre los alores m&2imo 6

mnimo. !e representa:

#:W9:a#:X69:aR "ARIANA!La Variana de un con*unto de alores 4J -J P nJ es la media

aritmtica de los cuadrados de sus deriaciones respecto de la media. !e representa por la F@rmula:

2

N

#

S #

j2

9

192 = !i los datos est&n resumidos en una tabla de Frecuencias absolutasJ se calcula

con la Formula:


90/107

2

N

&K#

S #

j9

2

9

192 = !i los datos est&n resumidos en una tabla de Frecuencias relatiasJ la ariana secalcula con la F@rmula:

9

2j

9

19

2S #= =

DES"IACI'N TiPICA!La desiaci@n Tpica es la ra cuadrada de la ariana 6 serepresenta por SB

E*rcicios:

2 #9 &9 #9 K &9 #9 K &9

0 3 0 0 N= 30 1 % % % 2 , 1 32 3 1, 5% k #9K&9 = ,

% 5 20 ,05 % 20 100 2

30 , 20 k #9 K &9 = 20

30

,6j = = +2 =22 +2

30

20S 2%2

2 #9 &9 #9 K &9 #9 K &9

5 % 20 100 5 30 1,0 N = 30 3 %%1

, 5 %%, k #9 K &9 = 21 3 2 2%3

10 2 20 200 2

30 21 112 k #9 K &9 = 112


91/107

=30

21+6j

2 =22 230

1+12S ,3331

!i se cambia el oriGen de la medida a un punto de medida #B respecto del oriGenanteriorJ no cambia ni la ariana ni la desiaci@n tpica.

!i se cambia la unidad la medida de la ariana cambia proporcionalmente al cuadradodel Factor de escala 6 la desiaci@n tpica proporcionalmente al Factor de escala.

!i la unidad nuea es iGual a bBunidades de antesJ la nuea ariana se transFormaseGn la relaci@n:

a789=8Sb

1@7]aS

2

2

2 = Sa789=8b

1S@7]a=

PROPIEDADES DE LA "ARIANA DES"IACI'N TiPICA

45< La ariana mide la desiaci@n con respecto a la media aritmtica.

-5< La ariana es siempre NO NEYATIVA 6 toma el alor > cuando todos los alores de la ariable soniGuales. En ambos casos la ariana es positia 6 cuanto ma6or sea el alor de la arianaJ ma6or es ladispersi@n de los datos.

,5< La ariana se mide en las unidades de la ariable eleadas al cuadradoJ mientras Due la desiaci@n tpicase mide en las mismas unidades de la ariable.

COE&ICIENTE DE "ARIACI'N! Es el coeFiciente entre las desiaci@n tpica 6 lamedia. !e representa por C"B 6 suele e2presarse en tantos por cienJ multiplicando el resultado anterior porsien 6 se representa por la F@rmula:

#j

SC"=

PROPIEDADES DEL COE&ICIENTE DE "ARIACI'N


92/107

45< El CoeFiciente de Variaci@n es un nmero sin unidades.

-5< El CoeFiciente de Variaci@n es una medida de dispersi@n inariante respecto de un cambio de escala perono Frente a un cambio de oriGen.

E*ercicio: 0 1 2 3 2 1 0 1 0 2

1 0 1 0 2 0 1 0 1 2

2 3 % 2 5 3 2 0 1 0

0 1 1 0 0 0 0 1 3 1

0 1 2 1 0 0 % 0 2 1

2 #9 &9 #9 K &9 #9 K &9

0 1, 0 0 1 15 15 15 2 10 20 %0 3 % , 3

% 2 , 32 5 1 5 25

50 0 1%,

==50

+0

N

99j

# 21 2N

S 6

j

9

2

92 = =%%150

1%, 521

=521S 2321 =21

2321C" 021

MATEM$TICAS B$SICAS

TEMA I"

AN$LISIS! &UNCIONESG LiMITES DERI"ADAS

INTER"ALO

1/ INTER"ALO CERRADO l a G b m


93/107

El con*unto de todos los mnimos reales comprendidos entre aB 6bB ambosinclusie

Interalo cerrado b6a

a b

2/ INTER"ALO ABIERTO ( a G b )

El con*unto de todos los nmeros reales comprendidos entre aB 6 bB pero sinincluir aB 6 bB

Interalo abierto b6a < a b3/ INTER"ALO SEMIABIERTO l a G b )

El con*unto de todos los nmeros reales comprendidos entre aB 6 bB inclu6endoaB pero bB

b6a < Interalo semiabierto a b

%/ INTER"ALO SEMICERRADO ( a G b m

El con*unto de todos los nmeros reales comprendidos entre aB 6 bB inclu6endobB pero aB

b6a Interalo semicerrado a b

En alGunos casos :

FGa A Gb Entonces:

[ Ga Todos los nmeros ma6ores Due aB inclu6endo aB Ga Todos los nmeros ma6ores Due aB sin incluir aB ]bG Todos los nmeros menores Due bB inclu6endo bB bG Todos los nmeros menores Due bB sin incluir bB


94/107

&UNCIONES

Una Funci@n es una aplicaci@n de un cierto interalo IB de nmeros reales en el

con*unto IRB

>RI!M E*ercicios:

45< 1626M [ ]10G10I

=12K22M 5 =13%2K2)3%2(M +,5

-5< 5626M 3 [ ]10G10I =)0(M 5

=51+52K2)2(M 3 11 =5251K2)1(M 3 =5

,

25K2M

3

21

21

%

1

,5< 162)6(M [ ]10G10I =10K2)0(M 1

=12K2)2(M 5 =121)1K(2)1(M 4=9b>7I:1 =111

2

1K2)(M 2

1 2

757I:01

= 322121 1

1

1)(M

2

3

En la ma6or parte de las FuncionesJ el 'OMINIO o Con*unto InicialJ ser& todo elcon*unto de los nmeros reales e2cepto en Funciones de tipo:

)6(4)6(M = AI`

)6(

)6(4)6(M = COCIENTE

162)6(M 2

16F162F0162

21G 2

16 S7 @9@7 48 7> ]a>8 0 @7 7X 7 >a 2h

G2

1

;R$&ICAS DE UNA &UNCI'N

La Gr&Fica de una Funci@n Ben un interalo IBJ es el con*unto de puntos del plano cu6aabcisa es un alor I6 6 de ordenada )6(M ))6(MG6(

16)6(M 2 [ ]2G2I

# (6)

-2 3

-1 0-05 05 0 -1 05 05 1 0


96/107

2 3

&UNCION CRECIENTE

Una Funci@n B es creciente en un interalo Bsi al aumentar la 6B (Abcisas

aumenta la (6)B(Ordenada es decirJ siendo:

)6(M)6(M66 2121 <

F(2-

F(24

24 2-

&UNCION DECRECIENTE

Una Funci@n B es decreciente en un interalo B si al aumentar la 6B (Abcisasdisminu6e (6)BJ es decir:

)6(M)6(M662121

>

F(24

F(2-

24 2-

M$#IMO RELATI"O

Una Funci@n FB tiene un M&2imo elatio en el punto >B si la imaGen de >B esma6or Due todas las de su entorno.


97/107

>

MINIMO RELATI"O

Una Funci@n B tiene un Mnimo elatio en el punto #0B si la imaGen de #0B esmenor Due las de su entorno.

>

LiMITE

La Funci@n FB deFinida en el interalo IB tiene lmite lB cuando B tiende a >Bperteneciente a IB I60 si al tomar B suFicientemente pr@2imo a >B aunDue diFerente de >BJ puedeKacerse el alor de >B tan pr@2imo a lB como se desee.

>9:066 L)6(M =

Una Funci@n B es CONTINUAen el punto #0B si:

>9:066 )6(M)6(M 0

E*ercicios:

459: 2

11

1)0(M ==

110

10

10

10)0(M

2

=== 1

010

010

10

1)0()0(M

2 ===

-5< 162)6(M 162>9:

16

+ #3 48@7 311K2)1(M =

AUDA PARA CALCULO DE LiMITES (2 4a a 7?@98)

45< CALCULAR LA IMA;EN

-5< Obserar si se puede SIMPLI&ICARalGo o si Ka6 OPERACIONES PENDIENTES. !i Ka6operaciones pendientesJ primero realiarlas 6 despus oler a simpliFicar

.

E*ercicios:

45< 36262

16>9: #0 0321)1(M =

-5< = 11>9:1 xxx 21

6 (6)

0 1 05 05,5 05 0535 0,5 0520 05 050 0 0501

,5< = 261636262

>9:26

333


99/107

333+

10

12

+2K2

16

+62

)26)(16(

)36)(26(2 ===

75< = 616

6

166 32

06>9: 1

11001666

666

6

16

6

166 223232 =

/5< =161>9:16 NO TIENE LIMITE

110

1)0(M

1010

1)0(M

10010

1)0(M

5< = 216 161

>9: 1

10

1)0(M

2==

10010

1)0(M

2==

1000010

1)0(M

2==

5< C@aa 9:


100/107

1++%0)2(M

1+%0)2(M

20)2(M

050010

5010

51

==

= 0

+

+)3(M

==

NO ES DISCONTINUO EN 3 PERO SI EN -3

MATEM$TICAS B$SICAS

DERI"ADAS

)6(M DERI"ADA EN # SI E#ISTE = 0 0#=# 66)6(M)6(M

>9:

DERI"ADAS POLIN'MICAS

DERI"ADA DE UNA CONSTANTE

0)6(M7aD=)6(M =

DERI"ADA DE UNA &UNCION

1 #K)6(M#)6(M =

DERI"ADA DE UNA &UNCION ELE"ADA A UNA POTENCIA

)6(@K)6(@K)6(M)6(@)6(M 1

DERI"ADA DE UNA SUMA

S9 )6(])6(@)6(M)6(])6(@)6(M

DERI"ADA DE LA MULTIPLICACI'N

)6(M 0


101/107

S9 )6(])K6(@)6(])K6(@)6(M)6(])K6(@)6(M

DERI"ADA DE UN COCIENTE

S9 2)6(]

)6(])K6(@)6(])K6(@)6(M

)6(]

)6(@)6(M

=

E*ercicios:45< 26)6(M = 62)6(M =-5< 36)6(M 3 263)6(M =,5< %2 6263)6(M 36,6+)6(M 75< 16

6

1)6(M = =211 66K1)6(M

26

1

/5< 33

626

2)6(M = =%13 6+62K3)6(M

%6

+

5< 232

36636

6

1636)6(M

=32 62363)6(M 3

2

6

2363

5< 23

66)6(M 3 = = 2123 6

2

36

2

3)6(M

1 62

3

;5< 3616)6(M 2 166+6216K136K62)6(M 222 #

1)6(]

62)6(@

==

# 16+63 2 =55< 3632)6(M =3)K6212()1K30K(632K3)6(M 22 26,13+

445< 21

6262)6(M + 1K622

1)6(M 2

1


102/107

4-5< 21

)162(162)6(M 22 6%K162

1)6(M 2

12

E*ercicios:

Ca>@>a >a 4@ 6=2

1)16(516

5)6(M

2

211

)16(

5)16(51K)16(5K1)6(M =

==

=22

1

5

)12(

5)2(M 5

3/)61(

6)6(M 7 7> 4@ 6=1

116K6)6(M 21 2

21

16

1K6

16

1K

6

1

2

1

)16K(6)16K(62

1)6(M 2

121

=

1K)16K(1)6(]

62

1)6(@

2

21

=

= %1K1

2

1K1K

2

1

)11(

1K1

11

1K

1

1

2

1)1(M

2 =

%

2

2

1

%/26

2)6(M

2 7 7> 4@ 6=2 12 )26(2)6(M 2222112

)26(

6%62K

)26(

262K)26(2K1)6(M

=

=

=== 3+,)22( 2K%)2(M 22 2

5/ %62)6(M 2 7 7> 4@ 26=

21

%62)6(M 2 %622

6%6%K

%62

1K

2

16%K)%62(

2

1)6(M

22

2 21

==


103/107


104/107

1)6(@ =62K)16(

2

1)6(] 2

12 = 0110K2 0K210)0(M 1

Ca>@>a >a


105/107

TAN;ENTE A LA ;R$&ICA DE UNA &UNCI'N

La deriada )6(M 0 es la pendiente de la recta tanGente a la Gr&Fica de la Funci@n)6(M en el punto )6(MG6 00 J por tanto la ecuaci@n de dicKa recta tanGente ser&:

TAN;ENTE

)6(M)66)(6(M 000 +

RECTA NORMAL

)6(M66)6(M

1 00

0

=

E*ercicios:

45< Calcula la pendiente de la recta tanGente a la Gr&Fica de la Funci@n 35 626)6(M en el punto2

16=

2% 6+65)6(M =

1+

2%

1+

5

%

+

1+

5

%

1K+

1+

1K5)

2

1(+)

2

1(5)(M

2%

21

1+

1

-5< Lo mismo pero con la Funci@n 3% 6%62)6(M en el punto 26= 23 6126,)6(M

=%,+%%K12,K,2K122K,)2(M 23 1+

,5< Lo mismo pero con la Funci@n 61

6)6(M 2 en el punto 16=

12 66)6(M

2

2

6

162662)6(M

=121

11K2)1(M

2 3

75< La tanGente a la Gr&Fica de la Funci@n 2362)6(M tiene de pendiente 2 en el punto de abcisa a

apuntes 2005(muy bueno y bien explicado) 106pg matematicas basicas

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