Aritmetica Modular

Muchos de los problemas que involucran enteros muy grandes pueden simplificarse con aritmeticamodular, en la que se utilizan congruencia en vez de ecuaciones. La idea basica es elegir un determinadoentero n, llamado modulo y sustituir cualquier entero por el resto de su division entre n. En general, losrestos son pequenos y, por tanto, mas facil de trabajar con ellos.

Ejemplo 0.1. Si contamos 9378 dıas a partir de hoy (suponer que hoy es jueves), ¿en que dıa de lasemana caera? Podemos resolverlo tomando un calendario y comenzar a contar, pero esto resulta muytedioso. Si nos damos cuenta los dıas de la semana se repiten cada 7 dıas, ası nuestro n es 7. Por tanto9378 = 1339 · 7 + 5, el resto resulta ser 5, es ası que en 9378 dıas mas el dıa sera Martes.

Definicion 0.1. Sea n un entero positivo y sean a y b dos enteros cualesquiera. Se dice que a es congruentecon b modulo n y lo denotamos por:

a ≡ b (mod n)

Usaremos el algoritmo de la division para expresar a = q · n + r con 0 ≤ r < n y b = q′ · n + r′ con0 ≤ r′ < n, diremos que a ≡ b (mod n) si y solo si r = r′. Ası, 100 ≡ 2 (mod 7) (100 = 14 · 7 + 2 ∧2 = 0 · 7 + 2, ambos con resto 2).

Lema 0.1. Para cualquier entero dado n ≥ 1 se tiene que a ≡ b (mod n) si y solo si, n|(a− b)

Demostracion. Sea n ∈ Z+ y sean a, b ∈ Z

(⇒) Si a ≡ b (mod n), entonces n|(a − b) Expresando a = q · n + r y b = q′ · n + r′, tenemos quea− b = (q − q′) · n + (r − r′) con −n < r − r′ < n. Si a ≡ b (mod n) entonces r = r′, por lo quer − r′ = 0 y a− b = (q − q′) · n, por lo que es divisible por n

(⇐) Si n|(a−b), entonces a ≡ b (mod n) Si n divide a (a−b) entonces divide a (a−b)−(q−q′)·n = r−r′,como el unico entero estrictamente contenido entre −n y n es 0, se tiene que r − r′ = 0, de donder = r′ y, por tanto, a ≡ b (mod n).

Lema 0.2. Para cualquier entero fijo n ≥ 1 se verifican las siguientes propiedades:

(a) Reflexiva: a ≡ a (mod n) para cualquier entero a.

(b) Simetrica: a ≡ b (mod n) =⇒ b ≡ a (mod n)

(c) Transitiva:a ≡ b (mod n)b ≡ c (mod n)

ª⇒ a ≡ c (mod n)

Demostracion. Sea n ∈ Z+ y sean a, b ∈ Z.

(a) Se verifica que n|(a− a) para cualquiera sea a.

(b) Si n|(a− b) entonces n|(b− a).

(c) Si n|(a− b) y n|(b− c) entonces n|(a− b) + (b− c) = a− c.

Estas tres propiedades definen una relacion de equivalencia, por lo que el lema 0.2 prueba que, paracada entero n la congruencia de modulo n es una relacion de equivalencia en Z.

[a] = {a, b ∈ Z : a ≡ b (mod n))} = {...., a− 2n, a− n, a, a + n, a + 2n, ....}

Cada clase corresponde a uno de los n posibles restos r = 0, 1, ...., n− 1 de la division entre n, por loque existen n clases de congruencia. Estas son:

[0] = {....,−2n,−n, 0, n, 2n, ....}

[1] = {...., 1− 2n, 1− n, 1, 1 + n, 1 + 2n, ....}...

[n− 1] = {...., n− 1− 2n, n− 1− n, n− 1, n + 1n, n− 1 + 2n, ....}

[n− 1] = {....,−n− 1,−1, n− 1, 2n− 1, 3n− 1, ....}

No existen mas clases de equivalencias, ası, por ejemplo

[n] = {....,−2n,−n, 0, n, 2n, ....} = [0]

De forma mas general, se tiene que

[a] = [b] si y solo si a ≡ b (mod n)

Cuando n = 1 todos los enteros son congruentes, y esta clase es todo Z, si n = 2 tenemos dos clases,[0] y [1] ambas con modulo 2, ası tenemos los enteros pares e impares, respectivamente.

Para cada n ≥ 1, el conjunto de las n clases de congruencia de modulo n lo denotamos por Zn.Si [a] y [b] son elementos de Zn (clases de congruencias modulo n) definimos la suma, diferencia y productocomo las clases:

[a] + [b] = [a + b]

[a]− [b] = [a− b]

[a][b] = [ab]

que contienen a los enteros a + b, a− b y ab, respectivamente.

Lema 0.3. Para cualquier entero n ≥ 1, si a′ ≡ a (mod n) y b′ ≡ b (mod n), entoncesa′ + b′ ≡ a + b (mod n), a′ − b′ ≡ a− b (mod n) y a′b′ ≡ ab (mod n)

Demostracion. Si a′ ≡ a (mod n), entonces a′ = a + kn para algun k ∈ Z y analogamenteb′ ≡ b (mod n), entonces b′ = b + ln para algun l ∈ Z; entonces, a′ ± b′ = (a ± b) + (k ± l)n y(a± b) + (k ± l)n ≡ (a± b) (mod n) ⇒ a′ ± b′ ≡ a± b.Ademas, a′b′ = ab + (al + bk + kln)n y ab + (al + bk + kln)n ≡ ab (mod n) ⇒ a′b′ ≡ ab (mod n).

Ejemplo 0.2. Calculemos el menor resto no negativo de 37× 42 (mod 46).Usando los menores restos absolutos tenemos que 37 ≡ −9 (mod 46) y 42 ≡ −4 (mod 46), por Lema(0.3) 37× 42 ≡ (−9)× (−4) ≡ 36 (mod 46), ası 36 es el menor resto no negativo de 37× 42 (mod 46)

Ejercicios

Ejercicio 0.1. Sin realizar los productos, calcular los menores restos positivos de dividir:

(a) 28× 33 entre 35

(b) 15× 59 entre 75

(c) 528574 entre 17

(d) 35346 entre 41

(e) 34× 17 entre 29

(f) 19× 14 entre 23

(g) 510 entre 19

(h) 1! + 2! + 3! + . . . + 10! entre 10

Ejercicio 0.2. Calculemos el menor resto no negativo de 38 (mod 13).

Ejercicio 0.3. Probar que a(a + 1)(2a + 1) es divisible por 6 cualquiera que sea el entero a.

Ejercicio 0.4. Probar, mediante congruencias, que 32n+5 + 24n+1 es divisible por 7 cualquiera que seael entero n ≥ 1.