apuntes de bioreactores ver 1-1-2014
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apuntes de bioreactoresTRANSCRIPT
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Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ingeniera. Departamento Ingeniera Qumica
APUNTES DE CLASES:
DDIISSEEOO DDEE BBIIOORREEAACCTTOORREESS VVeerrssiioonn 11
Profesor: Csar Huiliir C.
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Prologo El siguiente apunte tiene por objetivo presentar de manera sencilla y aplicada los principios
fundamentales que rigen el diseo de bioreactores microbianos, y se basa principalmente en
tres textos: Archivos de Ingeniera Bioqumica: Fundamentos de Ingeniera Bioqumica,
de los autores Fernando Acevedo, Juan Carlos Gentina y Andrs Illanes; Bioprocess
Engineering Principles de Pauline Doran y Bioprocess Engineering de Michael L.
Shuler y Fikret Kargi.
La estructura de este apunte est enfocado principalmente en mostrar las bases y
posteriormente desarrollar varios ejemplos de aplicacin. A juicio del autor hay una serie
de excelentes textos que muestran los principios bsicos (como los arriba citados), pero
muchos de stos no contienen material didctico que permita a los alumnos que por primera
vez estudian esta materia a ejercitar los principios aprendidos. As, estos apuntes buscan
mejorar esa falencia y presentar no slo las bases tericas, sino tambin presentar ejercicios
resueltos y propuestos que permitan una mejor comprensin de los principios en que se
basa el diseo de un bioreactor microbiano. Cabe sealar que en este primer intento, slo se
muestra el diseo de reactores microbianos con biomasa suspendida, sin tomar en cuenta
reactores heterogneos (con biomasa adherida), reactores con plantas o reactores de clulas
animales.
Este apunto ser de utilidad para todos los alumnos de Ingeniera en Biotecnologa,
Ingeniera Civil Qumica e Ingeniera en Ejecucin Qumica del departamento de Ingeniera
Qumica de la Universidad de Santiago de Chile.
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Captulo 1: Crecimiento Microbiano
Cuando se siembran microorganismos en un medio de cultivo apropiado, los mismos
comienzan a dividirse activamente empleando los nutrientes que le aporta el medio de
cultivo para "fabricar" nuevos microorganismos. Este proceso contina hasta que algn
nutriente del medio de cultivo se agota (sustrato limitante) y el crecimiento se detiene. No
todo el sustrato se usa para crecimiento, tambin se usa para la produccin de energa y
para la formacin de producto, si es el caso. Como resultado del uso de nutrientes, la masa
microbiana incrementa con el tiempo, pudiendo ser descrita como:
Sustrato + clulas productos extracelulares + ms celulas
S X P nX
(1.1)
El crecimiento microbiano es un buen ejemplo de una reaccin autocataltica, es decir, la
velocidad de crecimiento est directamente relacionada al crecimiento celular, siendo ste a
su vez el resultado de la reaccin.
1.- Cultivo discontinuo:
1.1.- Patrn de crecimiento microbiano.
Un sistema discontinuo se caracteriza por el no intercambio de materia con los alrededores,
excepto lo referente a los gases. En esta modalidad de cultivo, se cargan losnutrientes y
posteriormente se inocula con una determinada cantidad de biomasa viable, entre 5-10%
v/v.
Una curva tpica de crecimiento incluye las siguientes etapas: a.- Fase de latencia; b.- Fase
de crecimiento exponencial; c.- fase de crecimiento des-acelerado; d.- Fase estacionaria; e.-
Fase de muerte o decaimiento. La Figura 2.1 ilustra el ciclo.
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Figura 2.1: Curva de crecimiento tpico de una poblacin bacteriana.
a.- Fase de latencia: Etapa de adaptacin de los microorganismos al nuevo ambiente. La
idea a nivel industrial es disminuir lo ms posible esta etapa. Para lo anterior, se aplican las
siguientes acciones: Adaptacin de microorganismos al medio antes de la inoculacin; uso
de inculos con biomasa joven y activa; usar gran cantidad de inculo (5-10% v/v).
b.- fase de crecimiento exponencial o logartmica: En esta etapa, las clulas se reproducen a
la mxima velocidad posible de acuerdo a las condiciones ambientales existentes. Este es
un perodo de crecimiento balanceado, es decir, todos los componentes de una clula crecen
a una misma velocidad, suponiendo que la composicin promedio de una clula se
mantiene constante.
Durante la fase de crecimiento exponencial, la velocidad de crecimiento celular esta
descrita por la pendiente de la recta entre los puntos inicial y final de la zona b de la Fig. 1:
ln
Xm
t (1.2)
a
b
cd
e
Ln X
X (g SS/ml)
t
a
b
cd
e
Ln X
X (g SS/ml)
t
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La ecuacin (1.2) se transforma en una derivada cuando t tiende a cero:
ln 1
d X dX
mdt X dt
(1.3)
La pendiente de esta recta se define como la velocidad especfica neta de crecimiento,
cuyo smbolo es :
1
dX
X dt (1.4)
donde X es la concentracin de masa celular (g/l), t es el tiempo y es la velocidad de
crecimiento especfico (h-1).
As, la ecuacin que describe el cambio de concentracin de biomasa en la zona de
crecimiento exponencial est dada por:
dX
Xdt
(1.5)
Con la condicin inicial de X = X0, en t = t0. Integrando la ecuacin (1.5) entre t = 0 y t = tf,
se obtiene:
00
ln
ft
f
Xt X X e
X (1.6)
Frecuentemente se expresa la velocidad de crecimiento en trminos del tiempo de
duplicacin, td, definido como el tiempo que media entre 2 duplicaciones sucesivas, es
decir, X = 2X0. As, la ecuacin (1.6) se expresa como:
ln 2
dt (1.7)
c.- Fase de crecimiento des-acelerado: El crecimiento desacelerado se debe al
decrecimiento de 1 o ms nutrientes escenciales o a la acumulacin de componentes
txicos. El rpido cambio ambiental resulta en un crecimiento desbalanceado, es decir, la
biomasa activa no necesariamente est relacionada con el crecimiento en la masa de la
misma.
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d.- Fase estacionaria: En esta etapa se agota algn nutriente, razn por la cual se detiene el
crecimiento, es decir, 0 . En esta etapa se producen los metabolitos secundarios debido
a la desregulacin metablica. Durante la fase estacionaria, la clula cataboliza las reservas
celulares para crecimiento y energa. A este proceso se le llama metabolismo endgeno. El
gasto energtico para mantener la membrana energizada, para el transporte de nutrientes y
para funciones metablicas esenciales (movilidad, reparacin de daos estructurales) se le
llama energa de mantencin.
e.- Fase de muerte o decaimiento: Se presentan en aquellos cultivos en los que se inducen
enzimas autoltica (enzimas localizadas en las paredes celulares que provocan la
desintegracin de la clula) en condiciones de inanicin.
1.2.- Cintica de formacin de productos
Se considerar la produccin de compuestos de bajo peso molecular, como etanol, amino-
cidos, antibiticos y vitaminas que son excretados desde la clula. La clasificacin de los
productos se realiza de acuerdo a la relacin entre sntesis de productos y generacin de
energa en la clula. Esta clasificacin se conoce como Clasificacin de Gaden en honor al
cientfico que la propuso. As, se tiene que:
a.- Formacin de producto directamente acoplado a metabolismo energtico: Materiales
sintetizados en la cadena de reacciones que producen ATP. Se caracteriza por ser
proporcional a la velocidad de crecimiento especfica, . El esquema se muestra en la
Figura 2.2.
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Figura 2.2: Esquema del proceso de formacin de producto asociado a crecimiento.
b.- Formacin de producto indirectamente asociado a metabolismo energtico: Productos
que requieren energa adicional para sntesis. Toma lugar durante la etapa de crecimiento
lento y la fase estacionaria. Por ejemplo, cido ctrico. La figura 2.3 muestra un esquema de
los perfiles en el tiempo.
Figura 2.3: Esquema del proceso de formacin de producto indirectamente asociado a
crecimiento.
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c.- Formacin de producto no asociado a la formacin de producto: Toma lugar durante la
fase estacionaria, cuando = 0. La figura 2.4 muestra un esquema de los perfiles en el
tiempo.
Figura 2.4: Esquema del proceso de formacin de producto no asociado a crecimiento.
1.3.1.- Expresiones matemticas de formacin de productos
Independiente de la clase de producto, la formacin de producto puede ser definida en
funcin de la biomasa como:
P Pr q X (1.8)
Donde
Pr = velocidad volumtrica de formacin de producto, kg P/m3 s
Pq = velocidad especfica de formacin de producto, kg P kg-1 X s-1.
Dependiendo de la forma en que se genera el producto (clasificacin de Gaden), la forma
matemtica de qP ir cambiando. De esta manera, se tiene que:
a.- Formacin de producto acoplado directamente a metabolismo energtico: En este caso,
qP es proporcional a la velocidad especfica de crecimiento, .
/ P
P P X
rq Y
X (1.9)
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As
/ P P Xr Y X (1.10)
b.- Formacin de producto indirectamente asociado a metabolismo energtico: Incluye la
cantidad de producto asociado a mantencin a travs del parmetro mP (velocidad
especfica de formacin de producto debido a mantencin, s-1). Idealmente, la relacin es la
siguiente:
/ P P P X PdX
r q X Y m Xdt
(1.11)
Si
dX
Xdt
(1.12)
Reemplazando ecuacin (1.12) en ec. (1.11), se tiene:
/ P P X Pr Y m X (1.13)
Donde
Pm = velocidad especfica de formacin de producto debido a mantencin, s-1.
La ecuacin (1.13) fue generalizada por el modelo de Luedeking y Piret (1959):
Pq (1.14)
La ecuacin (1.14) es la ms utilizada en la prctica, ajustando los valores de y a los
datos experimentales a travs de mtodos de ajuste no lineal.
c.- Formacin de producto no asociado a crecimiento: La formacin simplemente se
expresa a travs de una constante, la cual no depende del crecimiento microbiano:
Pq (1.15)
1.4.- Cintica de consumo de sustrato.
El consumo de sustrato puede expresarse matemticamente de diferentes formas,
dependiendo de si hay formacin de producto o no. Para entenderlo de manera sencilla, el
sustrato se puede dividir en 3 partes: Sustrato para crecimiento (Sc), sustrato para
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mantencin (Sm) y sustrato para producto (Sp). El sustrato destinado a mantencin vara
considerablemente, dependiendo del organismo o cultivo del que se trate.
1.4.1.- Consumo de sustrato en ausencia de formacin de producto.
En este caso, el sustrato se distribuye slo entre el crecimiento y mantencin. As, el
consumo de sustrato se puede expresar como:
Consumo de sustrato = Consumo por crecimiento
+ Consumo por mantencin (1.16)
Matemticamente:
/
S
X S
dX
dS dtX m X
dt Y (1.17)
Si
dXX
dt (1.18)
Finalmente
/
s
X S
dSX m X
dt Y (1.19)
donde ms es el coeficiente de mantencin y est en g sustrato g-1 biomasa s-1. Este
coeficiente hace referencia a la cantidad de sustrato requerida para mantener las funciones
bsicas del microorganismo.
Se puede hacer notar que el consumo de sustrato vara de la velocidad de crecimiento como
de la concentracin celular.
1.4.2.- Consumo de sustrato con formacin de producto.
El flujo de sustrato en cultivos que forman producto depende de si la formacin est
asociada o no al crecimiento.
a.- Producto asociado a la generacin de energa (crecimiento microbiano): En este caso,
dado a que no hay un consumo especial o exclusivo para la formacin de producto, el
consumo de sustrato puede ser descrito por la ecuacin (1.19).
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b.- Producto indirectamente asociado y no asociado a generacin de energa (crecimiento
microbiano): La velocidad de consumo de sustrato se asocia a tres factores: Sustrato para
crecimiento (Sc), sustrato para mantencin (Sm) y sustrato para producto (Sp). As:
Consumo de sustrato = Sustrato asociado a crecimiento +
Sustrato asociado a formacin de producto +
Sustrato asociado a mantencin
(1.20)
En trminos matemticos:
/ /
X P sX S P S
dS r rm X
dt Y Y (1.21)
Luego
/ /
P s
X S P S
dS qX X m X
dt Y Y (1.22)
donde qP es la velocidad especfica de formacin de producto, g P g-1 X s-1
En resumen, la formacin de biomasa, la formacin de producto y el consumo de sustrato
en un bioreactor discontinuo se pueden expresar de diferentes maneras, dependiendo del
tipo de proceso. As:
Sin formacin de producto:
Biomasa:
dX
Xdt
(1.23)
Sustrato:
/
s
X S
dSX m X
dt Y (1.24)
Con formacin de producto
o Asociado a crecimiento
Biomasa:
dX
Xdt
(1.25)
Sustrato:
-
12
/
s
X S
dSX m X
dt Y (1.26)
Producto:
/ P XdP
Y Xdt
(1.27)
o Indirectamente asociada a crecimiento:
Biomasa
dX
Xdt
(1.28)
Sustrato:
/ /
P s
X S P S
dS qX X m X
dt Y Y (1.29)
Producto:
PdP
q Xdt
(1.30)
En la ecuacin (1.30), y se deben determinar experimentalmente.
o Producto no asociado a crecimiento:
Biomasa
dX
Xdt
(1.31)
Sustrato
/ /
P s
X S P S
dS qX X m X
dt Y Y (1.32)
Producto
dP
Xdt
(1.33)
1.4.- Concepto de rendimiento celular aparente u observado.
-
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1.4.1.- Coeficiente de rendimiento celular observado
En el captulo 1 se mostr el concepto de factor de rendimiento terico, el cual defina el
valor mximo de biomasa que se puede obtener del sustrato si no hay consumo de sustrato
para mantencin y/o formacin de producto. Sin embargo, lo anterior es ideal y
generalmente la formacin de biomasa real no coincide con el valor obtenido
experimentalmente.
Al final del perodo de crecimiento batch, se puede calcular la cantidad de biomasa
producida por el consumo de un sustrato. Si la masa total de sustrato consumida es ST, una
parte (SC) ser usada exclusivamente para crecimiento, mientras el resto (Sm y SP) ser
canalizado a otros productos o actividades metablicas no relacionadas al crecimiento,
como la mantencin o la formacin de producto. Por lo tanto:
' /
X S
T C m P
X XY
S S S S (1.34)
El trmino ' /X SY es el llamado coeficiente de rendimiento celular observado. As, para un
reactor discontinuo, se puede indicar que:
/ /
Ps
X S X S
dS qX m X X
dt Y Y (1.35)
En la ecuacin (1.35) el primer trmino de la derecha representa el sustrato consumido para
crecimiento, el segundo trmino de la derecha representa el consumo de sustrato para
mantencin mientras que el tercer trmino de la derecha representa el consumo de sustrato
para la generacin de producto. Reescribiendo la ecuacin anterior, se tiene que:
/ /
PsX S X S
dXdS qdt m X Xdt Y Y
(1.36)
Dividiendo la ecuacin (1.36) por dX/dt:
/ /
1 Ps
X S P S
dSX q Xdt m
dX dX dXY Ydt dt dt
(1.37)
La ecuacin (1.37) se puede reescribir utilizando la definicin de coeficiente de
rendimiento celular observado y la definicin de velocidad especfica de crecimiento:
-
14
'
/ / /
1 1
s P
X S X S P S
m q
Y Y Y (1.38)
La ecuacin (1.38) es vlida para todo sistema. Cabe hacer notar que ' / /X S X SY Y .
1.3.2.- Coeficiente de rendimiento observado de formacin de producto.
En el caso de formacin de producto indirectamente asociado a producto, se tiene que:
/asoc. crec.
P P X P
dP dXr Y m X
dt dt (1.39)
Dividiendo la ecuacin por el trmino asoc. crec.
dX
dt:
1 1
/P X P
dX dP dXY m X
dt dt dt
(1.40)
Dado que:
crec
1g
dX
X dt (1.41)
1
'
/P X
dP dXY
dt dt
(1.42)
As, reemplazando ec. (1.41) y (1.42) en ec. (1.40), se tiene:
'
/ /P
P X P X
g
mY Y
(1.43)
Cabe hacer notar que ' / /P X P XY Y .
1.5.- Efecto de las condiciones de cultivo en la cintica microbiana.
1.5.1.- Efecto de la concentracin de sustrato.
Durante la fase de crecimiento y declinacin de un cultivo discontinuo, depende de la
concentracin de nutrientes en el medio. Frecuentemente, un nutriente ejerce una influencia
-
15
dominante en . Este componente es el sustrato limitante. Frecuentemente es el carbono,
nitrgeno, oxgeno (si es un cultivo aerbico) o NO3- (si es un cultivo anxico).
La relacin entre y la concentracin de sustrato, S, frecuentemente supone una cintica de
saturacin, llamada ecuacin de Monod (equivalente a la ec. de Langmuir-Hinshelwood en
cintica qumica o Michaelis-Menten en cintica enzimtica). As:
max S
S
K S (1.44)
La ecuacin de Monod es una ecuacin semi-emprica, que se basa en la suposicin de que
una enzima (descrita por la cintica de Michaelis-Menten) es responsable del consumo de
sustrato. En la ecuacin (1.44), KS es la constante de saturacin, cuyo valor representa la
concentracin donde la velocidad especfica de crecimiento () es la mitad de la velocidad
mxima especfica de crecimiento (max). El comportamiento tpico de la velocidad
especfica de crecimiento se muestra en la Figura 2.5.
Figura 2.5: Variacin de en funcin del sustrato limitante S.
Existen otras ecuaciones que describan la fase de crecimiento bajo limitacin por sustrato?
S, existen varias:
- Ecuacin de Blackman:
max S Si S 2 Kg (1.45)
-
16
max S Si S < 2 K2
g
SK
(1.46)
- Ecuacin de Tessier:
max 1 SKg e (1.47)
- Ecuacin de Moser:
max
n
g n
S
S
K S
(1.48)
Como se aprecia en la ecuacin (1.48), si el valor de n = 1, entonces tenemos la ecuacin de
Monod. As, la ecuacin de Moser es una generalizacin de la ecuacin de Monod.
- Ecuacin de Contois:
maxgSX
S
K X S
(1.49)
La ecuacin de Contois tiene una constante de saturacin proporcional a la concentracin
de biomasa. As, a medida que aumenta la concentracin de biomasa, disminuye la
velocidad especfica de crecimiento. Esta ecuacin es muy til para altas concentraciones
de biomasa.
1.5.3.1.- Modelo con inhibidores de crecimiento.
Dado que en la naturaleza existen un sinnmero de compuestos que pueden ser inhibidores,
es necesario tener formas de expresar estas inhibiciones para incluirlas en los anlisis de los
bioreactores. En qu situaciones hay inhibicin? Cuando hay altas concentraciones de
sustrato o por la existencia de inhibidores. Las formas matemticas de la inhibicin son
anlogas a la inhibicin enzimtica. Frecuentemente, el mecanismo de inhibicin es
complicado y las constantes cinticas no tienen significado biolgico. As, las constantes se
calculan ajustndose a los datos experimentales.
a.- Inhibicin por sustrato:
- Cintica no competitiva
max
1 1
g
S
I
K S
S K
(1.50)
-
17
Cuando KI >> KS, entonces
max 2g
S
I
S
SK S
K
(1.51)
La ecuacin (1.51) es la ecuacin de Andrew o Haldane, la cual es muy usada en procesos
biolgicos.
Cmo se evita este tipo de inhbicin? A travs de la adicin de S lenta e
intermitentemente.
b.- Inhibicin por compuestos txicos: Cinticas similares a ecuaciones anteriores. La ms
usada es la cintica no-competitiva. Tambin en este caso aparece la inhibicin a-
competitiva:
max
1
1
g
S
I
I
S
K IS
KI
K
(1.52)
c.- Inhibicin por producto: Altas concentraciones de producto pueden inhibir el
crecimiento microbiano. La inhibicin por producto puede ser competitiva como no
competitiva.
- Competitiva:
max
1
g
S
P
S
PK S
K
(1.53)
- No-competitiva: ecuacin ms usada. Por ejemplo, la produccin de etanol por
fermentacin de glucosa por levaduras.
max
1 1
g
S
P
K P
S K
(1.54)
Cuando el mecanismo no es conocido, la inhibicin puede ser aproximada a expresiones
exponenciales o lineales.
1.5.1.- Efecto de la Temperatura.
-
18
En general, la temperatura tiene 2 efectos: un efecto de activacin y el otro de inactivacin.
La divisin entre cada zona la entrega la temperatura ptima. Si la temperatura aumenta, la
velocidad se dobla por cada 10 C. Sin embargo, al aumentar la temperatura por sobre la
temperatura ptima, se produce una muerte celular. El efecto de activacin de la reaccin
puede ser modelada por una expresin de tipo Arrhenius:
aE
RTA e
(1.55)
donde
aE = energa de activacin para crecimiento, que cae entre 10 a 20 kcal/mol
Cabe hacer notar que la ubicacin de la temperatura ptima determina tambin la
clasificacin de los microorganismos en psicrfilos (0 15 C), mesfilos (20 40 C) y
termfilos (45C o ms).
1.5.2.- Efecto del pH.
El pH afecta la actividad enzimtica, y por lo tanto, el crecimiento del microorganismos. El
rango aceptable de pH vara 1 o 2 unidades de pH del ptimo. Generalmente, el efecto del
pH se puede modelar por la ecuacin de Michaelis, aunque no hay modelos definitivos.
Como regla general, el pH ptimo para bacterias est ubicado en el rango de 6 a 7,5, el de
levaduras est entre 3,5 y 5,5 mientras que el de mohos se extiende entre 3 y 7, aunque
existen variadas excepciones a ella.
1.5.4.- Efecto del oxgeno disuelto.
El oxgeno disuelto no es un sustrato comn, puesto que ste debe ser ingresado desde una
fase gaseosa. De esta manera, siempre que incluyamos el oxgeno como un sustrato
importante en nuestro sistema, debemos incluir un trmino de entrada del O2 debido a
transferencia de masa desde la fase gas a la fase lquida. As, para un sistema discontinuo se
tiene que:
-
19
Velocidad de Velocidad de
transferencia consumo
de oxgeno de oxgeno
gas-lquido
Acc (1.56)
La velocidad de transferencia de O2 (oxygen transfer rate) desde la fase gas a la fase lquida
est dada por:
2 2
*
,L O O LOTR k a S S (1.57)
Donde:
2
*
OS = concentracin de O2 saturado.
2 ,O L
S = concentracin de O2 en el seno del fluido.
La velocidad de consumo de oxgeno (oxygen uptake rate, OUR) se calcula como:
2
2/
g
O
X O
OUR q X XY
(1.58)
Donde
2Oq = velocidad especfica de consumo de O2, mg O2/ g celula seca h
2/X OY = rendimiento de biomasa sobre O2, g clula seca/g O2.
As, el balance de oxgeno en un reactor discontinuo queda expresado como:
22 2
2
*,
/
O g
L O O L
X O
dSX k a S S
dt Y
(1.59)
El efecto del oxgeno puede ser descrito como una cintica de tipo saturacin, al igual que
muchos otros sustratos. Si el O2 es bajo, puede llegar a ser un factor limitante. Por el
contrario, si el O2 es alto, ste no es un factor limitante y puede ser representado como una
cintica de orden cero o primer orden. Sin embargo, en la mayora de los casos, tanto el
oxgeno (aceptor de electrones) como algn dador de electrones (generalmente algn
compuesto orgnico) son sustratos limitantes, por lo que la velocidad especfica de
crecimiento se ve afectado por ambos sustratos. En este caso, se usa una cintica de Monod
de mltiples sustratos:
2
1 22
1max
1 O
O
S S O
SS
K S K S
(1.60)
-
20
La concentracin crtica de O2 (en la cual = max/2) est entre el 5 a 10% de la
concentracin de saturacin de O2 en lquido, para bacterias y levaduras. La concentracin
de saturacin de O2 en agua a 25 C y 1 atm es de 7 mg/L.
Qu pasa si slo el O2 es el sustrato limitante? La velocidad de consumo de O2 es igual a
la velocidad de transferencia de O2. As, tomando la ecuacin (1.59) e igualndola a cero:
2 2
2
*,
/
g
L O O L
X O
Xk a S S
Y
(1.61)
2 2 2
*/ ,X O L O O L
dXY k a S S
dt (1.62)
As, es posible obtener la variacin de la concentracin de biomasa en el tiempo slo en
funcin de la concentracin de O2 en el medio.
Ejercicios de aplicacin
1.- Escherichia coli se est usando para la produccin de una hormona de crecimiento
porcina. La bacteria se hace crecer aerbicamente en un cultivo discontinuo con glucosa
como fuente limitante de sustrato. Tanto la biomasa como el sustrato se miden en el tiempo.
Los resultados se muestran a continuacin:
Tabla 1: Variacin de X y S en funcin del tiempo:
tiempo (h) X (kg/m3) S (kg/m3)
0 0,2 25 0,33 0,21 24,8 0,5 0,22 24,8 0,75 0,32 24,6
1 0,47 24,3 1,5 1 23,3 2 2,1 20,7
2,5 4,42 15,7 2,8 6,9 10,2 3 9,4 5,2
3,1 10,9 1,65 3,2 11,6 0,2
-
21
3,5 11,7 0 3,7 11,6 0
Se pide calcular el valor de e ' /X SY . Analizar los resultados graficando la biomasa
calculada con la biomasa medida experimentalmente. Qu sucede con el consumo de
sustrato?Se podra predecir?
Resolucin
Como primer paso, calculamos el valor de , usando la ecuacin (1.6):
0
lnX
tX
(1.63)
Luego, graficando ln(X/X0) v/s t (Figura 2.6) se puede observar que existe una etapa lag (0
< t < 0,5) y otra de no crecimiento o estancamiento (t > 3,5 h). La zona donde es posible
calcular es slo la zona lineal, es decir, cuando 0,5 < t < 3. Al calcular la pendiente de la
zona lineal, se obtiene = 1,5 h-1.
El clculo de ' /X SY resulta sencillo, aplicando la ecuacin (1.34):
' -1/(11,60 0, 2)
0, 456 g X g S(0 25)
X S
T
XY
S
(1.64)
Finalmente, se hace el anlisis para el consumo de sustrato. Dado que en este caso no hay
formacin de producto y suponiendo que mS = 0 y que = max, se tiene que:
max
/X S
dSX
dt Y
(1.65)
-
22
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
tiempo, h
ln(X
/X0
)
Figura 2.6: Grfico de ln(X/X0) vs tiempo.
Integrando la ecuacin (1.65):
max00/
1t
X S
XS S e
Y
(1.66)
Finalmente:
max00/
1t
X S
XS S e
Y
(1.67)
Al aplicar la ecuacin (1.67) y comparar los resultados obtenidos con los resultados
experimentales, se observa que esta ecuacin puede predecir el comportamiento slo desde
la zona posterior a la fase lag del sistema (desde t = 0,33 h), pero con errores involucrados,
los cuales no son superiores al 5% dadas las suposiciones y simplificaciones realizadas. La
comparacin se muestra en la Figura 7. En esta figura, '/ /X S X SY Y = 0,456 g X g-1 S.
-
23
Figura 7: Comparacin de S medido y S calculado por ecuacin (1.67).
2.- Se desea producir un cierto metabolito extracelular por cultivo por lotes de una bacteria
aerbica en un medio con sacarosa como nica fuente de carbono y energa. La produccin
del metabolito sigue una cintica de Luedeking y Piret:
dP dXX
dt dt
Donde = 0,27 (g producto/g clula), = 0,31 (g producto/g clula h)
La clula posee un m = 0,44 (h-1) y un rendimiento global de sustrato ( ' /X SY ) en clulas de
0,28. Adems, X0 = 0,15 g/L y P0 = 0,08 g/L. El rendimiento mximo de producto (YP/S) es
0,65. Considere una fase de latencia despreciable y un contenido celular de C del 47%.
a) Determine el valor del coeficiente de mantencin
b) Concentracin celular y el consumo de sacarosa despus de 10 horas de cultivo
c) Concentracin de producto despus de 10 horas de fermentacin
d) Porcentaje de la fuente de carbono destinado a crecimiento, mantencin y produccin
Resolucin
-
24
a) Se sabe que el proceso es la formacin de producto que est indirectamente
asociado a crecimiento. As, los balances en un reactor discontinuo sern:
Biomasa:
dX
Xdt
(1.68)
Producto:
dP dX
X X Xdt dt
(1.69)
As, combinando (1.68) y (1.69):
dP
Xdt
(1.70)
El consumo de sustrato para un sistema donde la formacin de producto est indirectamente
asociado al crecimiento est dada por:
/ /
PS
X S P S
qdSX X m X
dt Y Y
(1.71)
Realizando un anlisis similar al realizado para obtener la ecuacin (1.38), se tiene que:
'
/ / /
1 1 SP
X S X S P S
mq
Y Y Y
(1.72)
En la ecuacin (1.72), son conocidos los valores de ' /X SY , /P SY y Pq . El valor de /X SY debe
ser determinado. Cmo se determina? Usando una metodologa presentada por Acevedo et
al. (1995), quienes indican que /X SY puede ser aproximado por la siguiente ecuacin:
/% elemento C en nutriente
% elemento C en biomasaX S XY f (1.73)
Los valores de Xf varan entre 0,5 y 0,6 para cultivos aerbicos, mientras que para cultivos
anaerbicos Xf = 0,1. En nuestro caso tenemos sacarosa, C12H22O11.
% sacarosa = 12x12/(22 + 12x12 + 16x11) x 100 = 42,1.
% biomasa = 47
fX = 0,6
As:
-1/42,1
0, 6 0,54 g X g S47
X SY (1.74)
-
25
Para calcular el valor de qP, se requiere el valor de . En este caso, se supone que = max.
As:
-1maxg P g P g P
0,27 0,44 h + 0,31 0,4288 g X g X h g X h
Pq (1.75)
Despejando mS desde ecuacin (1.72):
'
/ / /
1 1P
S
X S X S P S
qm
Y Y Y
(1.76)
'
/ / /
PS
X S X S P S
qm
Y Y Y
(1.77)
0, 44 0,44 0,4288 g S
0,097 0,28 0,54 0,65 g X h
Sm
(1.78)
b) El clculo de la biomasa se hace con la ecuacin (1.6):
max 0,44 100g
0,15 12, 22 g/LL
tX X e e (1.79)
Para estimar el consumo de sustrato, debemos integrar la ecuacin (1.35):
/ /
Ps
X S X S
qdSX m X X
dt Y Y
(1.80)
Luego:
max max max0 0 0/ /
t t tPs
X S X S
qdSX e m X e X e
dt Y Y
(1.81)
max
0
0 0 0
/ / 0
S tt
s
X S X SS
dS X m X X e dtY Y
(1.82)
maxmax0 00 0/ max / max
1ts
X S X S
X m XS S X e
Y Y
(1.83)
Reemplazando datos:
0 46.66 g S/LS S (1.84)
Otra forma ms sencilla para realizar este clculo es utilizando el concepto de ' /X SY :
'
/
12,2243, 63 g S/L
0,28X S
XS
Y (1.85)
c) La concentracin de producto debe ser determinada integrando la ecuacin (1.69):
-
26
maxdP
X Xdt
(1.86)
Luego
10 10
0 max
0 0
P P X dt X dt (1.87)
Reemplazando (1.6) en (1.87):
max max10 10
0 max 0
0 0
t tP P X e dt e dt (1.88)
max max00 0max
1 1t tX
P P X e e
(1.89)
Reemplazando valores en ecuacin (1.89), se obtiene
11,84 g P/LP (1.90)
d) Los porcentajes se pueden calcular de la siguiente manera:
Sustrato dedicado a crecimiento: /
1 g S1,852
g XX SY
Sustrato dedicado a mantencin: max
g S0, 22
g XSm
Sustrato dedicado a formacin de producto: /
g S1,499
g XP
P S g
q
Y
El consumo de sustrato total fue: '
/
1 g S3, 57
g XX SY
As, los porcentajes son:
% crecimiento: /
'/
1
100 51,86%1X S
X S
Y
Y
% mantencin: 6,6 %
% producto: 41,97 %
2.- Crecimiento celular en cultivos continuos.
-
27
Para el estudio de cultivos continuos, generalmente se usan 2 sistemas: el Turbidostato y el
Quimiostato. El turbidostato se basa en mantener la concentracin celular constante, a
travs del monitoreo de la densidad ptica del cultivo y el manejo de la velocidad de flujo.
El quimiostato se basa en mantener constante su medio qumico, controlando la
composicin de la alimentacin y su velocidad de flujo. Debido a que este ltimo sistema
es el ms usado, el presente apunte trabajar este sistema.
2.1.- Quimiostato ideal.
Las suposiciones en las cuales se basa el siguiente desarrollo son:
a. Fase lquida completamente mezclada y homognea
b. Volumen de reactor constante
c. X es la masa celular total (medida como masa seca), NO el nmero de clulas.
d. Concentracin de biomasa en la alimentacin (X0), el flujo de entrada (Q) y el
coeficiente de rendimiento ( /X SY ) constante.
e. El sustrato usado para mantencin es despreciable, por lo tanto, mS = 0.
El esquema del quimiostato se muestra en la Figura 8.
-
28
Figura 8: Esquema de un quimiostato ideal.
A continuacin se presentan los balances de masa del sustrato limitante, de la biomasa y de
producto, suponiendo producto directamente asociado a crecimiento.
- Biomasa
0dX
V Q X Q X V Xdt
(1.91)
En la ecuacin (1.91), V es el volumen de lquido en el reactor. Luego
0dX Q
X X Xdt V
(1.92)
Definiendo la velocidad o tasa de dilucin:
1F
DV TRH
(1.93)
Suponiendo que la alimentacin no contiene microroganismos.
dX
D X Xdt
(1.94)
En estado estacionario:
D (1.95)
-
29
- Balance de sustrato limitante
0/
1
X S
dSV Q S Q S V X
dt Y (1.96)
Luego
0/X S
dS XD S S
dt Y
(1.97)
En estado estacionario
0/X S
D S S XY
(1.98)
Despejando X de ecuacin (1.98), se tiene:
/ 0X SX Y S S (1.99)
- Balance de producto
0 PdP
V Q P Q P V q Xdt
(1.100)
Luego
0 PdP
D P P q Xdt
(1.101)
En estado estacionario y suponiendo que la alimentacin tiene una concentracin de
producto despreciable, se tiene
PD P q X (1.102)
Finalmente, el valor de S, P y X es el siguiente, indicando que:
maxS
S
K S
(1.103)
As:
max
SD KSD
(1.104)
/ 0max
SX S
D KX Y S
D
(1.105)
Pq X
PD
(1.106)
-
30
Las ecuaciones anteriores fueron desarrolladas suponiendo que la cantidad de sustrato
usado para mantencin es despreciable, pero, Qu pasa si ste es importante?
Considerando el efecto de la mantencin, el balance de sustrato en el bioreactor queda:
0/
S
X S
dS XV Q S Q S V m X
dt Y
(1.107)
Luego, en estado estacionario:
0 //
S X S
X S
XD S S D m Y
Y (1.108)
Luego
0/
10S
X S
S SD D m X
X Y
(1.109)
De acuerdo a lo visto anteriormente, los valores de S0, S y X se relacionan con el coeficiente
de rendimiento observado, ' /X SY :
' /0
f
X S
T
XXY
S S S
(1.110)
As
0'
/
1
X S
S S
Y X
(1.111)
Reemplazando la ec. (1.111) en la ec. (1.109):
/
'
/ /
0S X S
X S X S
D m YD
Y Y
(1.112)
'
/ /
1 1S
X S X S
m
Y D Y (1.113)
Los valores de /X SY y mS pueden calcularse graficando '
/1/ X SY v/s 1/ D . Lo anterior se
muestra en la Figura 9.
-
31
Figura 9: Clculo de YX/S a travs de datos experimentales en un quimiostato.
Consideremos ahora que la formacin de producto est indirectamente o no asociada al
crecimiento y que mS > 0. As:
- Balance Biomasa en estado estacionario
D (1.114)
- Balance de sustrato en estado estacionario
0/ /
PS
X S P S
qDD S S m X
Y Y
(1.115)
En la ecuacin (1.115), qP puede ser cualquiera de las funciones vistas anteriormente.
- Balance de producto en estado estacionario
0 PD P P q X (1.116)
Haciendo P0 = 0, entonces:
PD P q X (1.117)
As, suponiendo que obedece a una cintica tipo monod:
max
SK DSD
(1.118)
0
/
/ /
1 PS X S
X S P S
D S SX
qD m Y
Y Y
(1.119)
-
32
Ahora, volvamos a considerar las ecuaciones (1.104) y (1.105), adems del factor
D X X . Al graficar X y DX en funcin de D, se obtiene una grfica como la de la
Figura 10. All aparece un punto llamado Dcrit , a partir del cual la biomasa en el sistema se
hace cero, o se lava. Es en este punto donde se indica que el quimiostato se lava. El Dcrit
para un cultivo sin formacin de producto y mS = 0 es:
0max0
crit
S
SD
K S
(1.120)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 0,05 0,1 0,15 0,2
D
X
0
10
20
30
40
50
60
DX
X
DX
Figura 10: Variacin de X y DX en funcin del factor de dilucin D. YX/S = 0,5; KS = 50
mg/L; max = 0,2 h-1; S0 = 800 mg/L.
Cul ser el D ptimo, donde se maximiza la concentracin de biomasa?
Se obtiene derivando D X con respecto a D e igualando a cero:
maxgS
SD X X X
K S
(1.121)
Adems
max
SD KSD
(1.122)
/ 0X SX Y S S (1.123)
Reemplazando las ecuaciones (1.122) y (1.123) en (1.121) y derivando, se obtiene:
-
33
max
0
1 SopS
KD
K S
(1.124)
La ecuacin (1.124)es vlida slo para el caso en que mS = 0, aunque de todas maneras
puede ser usada como primera aproximacin en caso de no conocer los valores de mS y qP.
Ejercicio de aplicacin 1.- 2.- Una nueva cepa de levadura esta siendo considerada para la produccin de biomasa.
Los siguientes datos fueron obtenidos usando un quimiostato. Una concentracin de entrada
de 800 mg/L y un exceso de oxgeno fue usado a pH = 8,5 y T = 35 C. Usando los
siguientes datos, calcule max /, , y S X S sK Y m . Determine adems la productividad
volumtrica de biomasa, el Dcrit y el D ptimo para el crecimiento de la cepa.
Tabla de resultados experimentales:
D, (h-1) S (mg/L) X (mg/L) 0,1 16,7 366 0,2 33,5 407 0,3 59,4 408 0,4 101 404 0,5 169 371 0,6 298 299 0,7 702 59
Resolucin Para determinar los parmetros cinticos, debemos calcular primero mS e /X SY . De acuerdo
a la ecuacin (1.113), mS puede calcularse de un grfico '
/1/ X SY v/s 1/ D . Usando la
ecuacin (1.110), se calcula ' /X SY para todos los valores de D. Los resultados se muestran
en la Tabla 2.
Tabla 2: Valores de ' /X SY en funcin de D.
X S0-S '
/X SY
366 783,3 0,467 407 766,5 0,531 408 740,6 0,551 404 699 0,578 371 631 0,588
-
34
299 502 0,596 59 98 0,602
Una vez calculados los valores de ' /X SY , construimos la grfica '
/1/ X SY v/s 1/ D , como se
muestra en la Figura 11.
y = 0,0555x + 1,5958
R2 = 0,9899
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10 12
1/D
1/Y
ap puntos experimentalesLinealizacin
Figura 11: Grfico ' /1/ X SY v/s 1/ D para los datos del problema.
De la ecuacin de la recta obtenida de la Figura 11, se pueden obtener los parmetros kd, mS e /X SY . As:
Pendiente de la recta = mS = 0,055 g S/ g X h Intersecto en el eje Y cuando X = 0:
/1/ X SY = 1,5958. Por lo tanto, /X SY = 0,627 g X/ g S.
El clculo de max y KS se realiza usando la relacin (1.114), suponiendo que obedece a una cintica tipo Monod.
maxS
SD
K S
(1.125)
La ecuacin (1.125) se linealiza usando la tcnica de Lineweaber Burk (o de los recprocos). As:
max max
1 1 1SK
D S (1.126)
Al graficar 1/ D v/s 1/ S , se puede obtener max y KS. El grfico se muestra en la Figura 12.
-
35
Figura 12: Linealizacin de ecuacin (1.125) para el clculo de parmetros cinticos.
Con los datos obtenidos de la grfica: Intersecto en el eje Y cuando X = 0:
max1/ = 1,0637. Por lo tanto, max = 0,94 h-1.
Pendiente de la recta = max/SK = 145,34. Por lo tanto, KS = 136,64 mg/L.
Una vez calculados todos los parmetros cinticos, se calcula el Dopt, el Dcrit y finalmente la productividad volumtrica mxima. Para el ptimo:
-1
max
0
1 0,58 hSoptS
KD
K S
Para el crtico:
-10max
0
0,80 hcritS
SD
K S
El valor de Dcrit fue calculado sin incluir mS, an as, es vlido para realizar el anlisis. Finalmente, la productividad ptima:
X opt optQ D X (1.127)
Sin considerar efectos de mantencin, se calcula Sopt y Xopt:
max
220,14 mg/Lopt S
opt
opt
D KS
D
0 / 363,57 mg/Lopt opt X SX S S Y As:
210,87 mg X/L hXQ
4.- Ejercicios propuestos
-
36
1.- Un fermentador de 10 litros de medio es inoculado con 500 mL de inculo de 4,1 g/L.
Se sabe que si se deja crecer la cepa, al cabo de 6 horas la biomasa en el fermentador ser
de 6 g/L. Determinar el tiempo de duplicacin y el tiempo que deber permanecer la cepa
en el fermentador para alcanzar la misma concentracin del inculo. (Resp: td = 1,23 h; t (X
= 4,1) = 5,35 h.)
2.- Se quiere preparar un cultivo aerobio de Klebsiella aerogenes en un fermentador de 10
litros, inoculando con 500 mL de inculo (4,1 g/L). El nutriente limitante, glucosa, estar
inicialmente presente en una concentracin de 18 g/L.
a) Estimar el tiempo de cultivo para el consumo total de glucosa, si la velocidad especfica
de crecimiento a la temperatura de fermentacin (28 C) es de 0,67 hr-1. Considere
despreciable la fase de latencia y que la clula posee 50% de carbono. (Resp: tb = 5,62 h)
b) Cuando transcurra la mitad del tiempo determinado en (a), se agregaron 3 litros de una
solucin estril de glucosa de 25 g/L, adems de los otros componentes de medio. Adems,
se cambia la temperatura de 28 C a 34 C. Calcular el tiempo total de cultivo y la
concentracin celular final, si la energa necesaria para activar su metabolismo reproductivo
es de 13 kcal/mol (Resp: tb = 4,98 h; X = 9,57 g/L).
3.- En un experimento de laboratorio se cultiva E. Coli en medio mnimo. El cultivo se
realiz en un incubador rotatorio, primero a 37 C hasta consumir la mitad del nutriente
limitante, y despus a 24 C hasta alcanzar la fase estacionaria. Si se ha determinado que la
cepa utilizada tiene un tiempo de duplicacin de 49 minutos a 37 C, y que la energa
necesaria para activar su crecimiento es de 16200 cal/mol, calcule el tiempo al cual se
realiz el cambio de T y el tiempo total de cultivo si se inocula 1 mL de cultivo de 4 g/L a
un matraz conteniendo 80 mL de medio estril. Suponga que S0 = 1 g/L y YX/S = 0,45 g X/g
S. (Resp: tcambio = 2 h; ttotal = 4,24 h)
-
37
4.- Una fermentacin batch de una bacteria aerbica que usa como fuente de carbono
metanol entrega los resultados siguientes:
Tiempo, h
0 2 4 8 10 12 14 16 18
Biomasa (X), g/l
0,2 0,211 0,305 0,98 1,77 3,2 5,6 6,15 6,2
Sustrato (S), g/l
9,23 9,21 9,07 8,03 6,8 4,6 0,92 0,077 0
Determine:
a.- velocidad mxima de crecimiento especfico, max. (Resp: 0,28 h-1)
b.- Coeficiente de rendimiento observado, YX/S (Resp: 0,65)
c.- tiempo de duplicacin, td (Resp: 2,48 h)
d.- Constante de saturacin, KS (Resp: 1,13 g/L)
e.- Velocidad especfica de crecimiento (g) a t = 10 h (Resp = 0,24 h-1)
5.- Se requiere producir un metabolito en un cultivo discontinuo aerobio de cierto
microorganismo en un fermentador piloto de 100 litros de trabajo. Se sabe que la
generacin del metabolito esta indirectamente relacionado al crecimiento. El inculo
consistir en 5 litros de un cultivo de 7 g/L, y se espera lograr una concentracin celular de
20 g/L en el fermentador piloto, usando glucosa como fuente de carbono. Se conoce
experimentalmente que en este medio el td es de 1,5 horas, YP/S = 0,66, f = 0,6 y el
coeficiente de mantencin es 0,1.
a) Determinar la concentracin inicial mnima de glucosa y el tiempo total de cultivo para
lograr 20 g/L de biomasa si se sabe que la fase de latencia es de 2 horas y la fase
estacionaria es de 4 horas. La cintica de generacin de metabolito esta dada por:
0, 27 2 PdP dX
X q Xdt dt
La biomasa contiene un 47% de C. (Resp: S0 = 179,89 g/L, tb = 14,79 h).
-
38
b) Determinar la concentracin final de P, conociendo que inicialmente no hay P presente.
(Resp: 90,54 g/L)
6.- En el desarrollo de una tecnologa microbiana para tratar un efluente industrial se
requiere operar un quimiostato de 120 litros de volumen de trabajo con un flujo de 20 L/h,
que corresponde a una velocidad de dilucin equivalente a un 82% del valor crtico. La
poblacin presenta un m de 0,22 h-1, un KS de 1000 mg/l y un rendimiento de sustrato en
clulas de 0,28 g/g. Bajo estas condiciones, determinar la concentracin de sustrato en la
alimentacin, en la descarga y la concentracin celular en estado estacionario. (Resp: S0 =
12,41 g/L; S = 3,151 g/L; X = 2,59 g/L)
7.- Usted dispone de la siguiente informacin experimental del crecimiento de una bacteria,
obtenida en cultivo batch:
Tiempo,
h 0 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00
Biomasa (X), g/l
0,10 0,13 0,16 0,21 0,27 0,35 0,45 0,57 0,74 0,94 1,21 1,56 2,00
Sustrato (S), g/l
100 99,93 99,84 99,72 99,57 99,38 99,13 98,82 98,41 97,89 97,22 96,36 95,26
Tiempo,
h 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50 10,00 10,50 11,00 11,50 12,00 12,50
Biomasa (X), g/l
2,56 3,29 4,22 5,42 6,95 8,93 11,45 14,70 18,86 24,19 31,01 39,60 41,0
Sustrato (S), g/l
98,34 92,02 89,69 86,70 82,86 79,94 71,62 63,51 53,11 39,78 22,71 1,25 0,00
a) Cul es la velocidad mxima de crecimiento (Resp: 0,5 h-1)
b) Cul es el valor del rendimiento global de sustrato en clulas, ' /X SY (Resp: 0,409)
c) En un quimiostato ideal, cul sera el rango de velocidad de flujo de alimentacin que
usted usara en fermentaciones de cultivo continuo de esta bacteria si el reactor tiene una
capacidad de 20 litros (Resp: 10 L/h)
d) Usted realiza un experimento de cultivo continuo a velocidad de dilucin 0,35 h-1.
Transcurrido un tiempo se observa que el cultivo est contaminado. El microorganismo
-
39
contaminante se identifica y se sabe que ste tiene una velocidad mxima de crecimiento de
0,4 h-1. Es posible eliminar el contaminante? Justifique.
8.- Los siguientes datos fueron obtenidos en un quimiostato para el crecimiento de E.
aerogenes en un medio limitado por glicerol con un S0 = 10 mg/ml.
D, h-1 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 0,7 0,8 0,84
Biomasa (X),
mg/ml
3,2 3,7 4,0 4,4 4,75 4,9 4,5 0,5
Sustrato (S),
mg/ml
0,012 0,028 0,05 0,1 0,15 0,176 0,8 9,0
Determine los valores de KS, max, YX/S y ms. (Resp: Ks = 0,1346 mg/ml; max = 0,925 h
-1;
YX/S = 0,496 mgX/mgS; mS = 0,0593.
9.- Considere la operacin en estado estacionario de un quimiostato. Suponga que el
crecimiento bacteriano esta inhibido por sustrato y que el metabolismo endgeno es
despreciable tal que:
max 2net
S
I
S
SK S
K
a.- Derive una expresin para la concentracin de sustrato residual (S) como funcin de la
tasa de dilucin y los parmetros cinticos ( max , KS, KI).
b.- Cuales son las implicancias de operar un quimiostato cuando el organismo esta sujeto a
inhibicin por sustrato?
10.- Pseudomona putida con un max = 0,5 h-1 es cultivada en un reactor continuo bajo
condiciones aerbicas usando un D = 0,28 h-1. La fuente de carbono y energa es lactosa, la
cual es alimentada con una concentracin de S0 = 2 g/L. La concentracin de lactosa en el
efluente es de 0,1 g/L. Si la velocidad de crecimiento esta limitada por la transferencia de
O2, usando la siguiente informacin: /X SY = 0,45 gX/gS; 2/X OY = 0,25 gX/gO2, KH =
1,19x10-3 mol/atm L, calcule:
-
40
a.- la concentracin de biomasa en estado estacionario y la velocidad especfica de
consumo de oxgeno (2O
q ). (Resp: X = 0,855 g/L; 2O
q = 1,12 gO2/gX h)
b.- Cul debe ser el coeficiente de transferencia de oxgeno (kLa) a 1 atm de presin total
para superar la limitacin por transferencia de O2, es decir, tener concentraciones de O2 en
la fase lquida superiores a 2 mg/L? (kLa = 160 h-1)
Captulo 2: Diseo de Reactores Microbianos
En el captulo de crecimiento microbiano, ya se mostraron las ecuaciones de diseo para un
sistema discontinuo como para un sistema continuo completamente agitado (quimiostato).
En este captulo se estudiarn 2 de los sistemas ms usados en biotecnologa: El
quimiostato con recirculacin y el sistema Fed-Batch o por lote alimentado.
2.1.- Quimiostato con recirculacin.
En este sistema, la principal diferencia con el quimiostato convencional es la recirculacin
de biomasa en el reactor para incrementar el tiempo de retencin celular y mejorar la
eficiencia tanto de consumo de sustrato como de formacin de producto. Lo anterior obliga
a la instalacin de un separador a la salida del quimiostato que permita la sedimentacin y
recirculacin de la biomasa. Existen 2 parmetros asociados a este tipo de sistema: La tasa
de reciclo, , y el factor de concentracin celular (o razn de concentracin), c. Las
definiciones se muestran a continuacin:
- Taza de reciclo:
rQ
Q (2.1)
donde Qr es el caudal de recirculacin, mientras que Q es el caudal de entrada.
- Factor de concentracin celular:
-
41
rX
cX
(2.2)
donde Xr es la concentracin de biomasa en la corriente recirculada, mientras que X es la
concentracin de biomasa en el reactor.
El esquema del quimiostato con recirculacin se muestra en la Figura 2.1.
Figura 1: Esquema del quimiostato con recirculacin.
De ahora en adelante, se har referencia a la nomenclatura de la Figura 1. As, presentamos
los balances de masa para microorganismos y sustrato limitante.
- Balance de Biomasa
0 1 netdX
V Q X Q c X Q X X Vdt
(2.3)
Dividiendo por V y en estado estacionario:
00 1 netQ Q Q
X c X X XV V V
(2.4)
En esta ecuacin podemos ingresar un nuevo parmetro, conocido como tasa de dilucin, el
cual es el inverso del tiempo de residencia hidrulico:
-
42
Q
DV
(2.5)
Utilizando esta definicin y si X0 = 0, la ecuacin (2.5) se reduce a:
1D c (2.6)
Esta ltima relacin es importante y muestra que, en caso de reactores con recirculacin, la
velocidad especfica de crecimiento se puede aumenta en 1 c veces respecto a un
quimiostato sin recirculacin.
Suponiendo un comportamiento tipo Monod, entonces:
max 1S
SD c
K S
(2.7)
Despejando el valor de S:
max
1
1S
K D cS
D c
(2.8)
- Balance de sustrato limitante
0/
1 net
X S
dS XV Q S Q S Q S V
dt Y
(2.9)
Dividiendo por V y en estado estacionario:
0/
0 1 net
X S
XD S D S D S
Y
(2.10)
Despejando X:
0
/X S
net
D S SX Y
(2.11)
Qu pasa en el separador?
- Balance biomasa en el separador en estado estacionario:
1 1 21Q X Q X Q c X Q c X (2.12)
1 2Q Q Q (2.13)
Despejando X1 de ecuacin (2.12) y reemplazando F2 por (F-F1), se obtiene:
11
1 1Q
X c X c XQ
(2.14)
2.2- Reactor Fed-Batch
-
43
El reactor Fed-batch es un reactor especial en el cual se agrega cierto flujo con sustrato a un
reactor, sin salida de lquido del mismo. As, a medida que se agrega flujo, el volumen
aumenta. El objetivo del reactor Fed-Batch es controlar la velocidad de crecimiento ()
mediante la velocidad de alimentacin al reactor. El sistema se puede resumir en la Fig.2.2.
Figura 2.2: Esquema del proceso Fed-batch.
Este tipo de reactores se aplica en la produccin de levadura, de penicilina, entre otros.
Las ecuaciones generales para este tipo de cultivo se basan en las siguientes suposiciones:
/X SY = constante
Crecimiento balanceado.
Metabolismo no se relaciona directamente con la edad del cultivo
El consumo de sustrato para mantencin es despreciable
La formacin de producto est directamente relacionado con el metabolismo
energtico.
El aumento del volumen de reactor es igual al volumen de solucin nutriente
alimentada.
De esta manera, los balances para cada componente son:
Volumen
dV
Q tdt
(2.15)
-
44
Masa de microorganismos
d XV
XVdt
(2.16)
Masa de sustrato limitantek
1
/X S
d SV XVQ S
dt Y
(2.17)
Masa de producto
P
d PVq XV
dt (2.18)
Cintica de crecimiento
maxS
S
K S
(2.19)
As, se tienen 5 ecuaciones y 7 incgnitas: V, XV, SV, PV, , Q y S1. Por lo tanto, el sistema
requiere fijar al menos 2 variables para tener una solucin. En este apunte, se fijarn los
valores de Q y S1, aunque tambin pueden fijarse otras variables como o la concentracin
de sustrato en el medio.
En este apunte se analizarn 2 formas de operacin Fed-Batch, siempre usando un flujo y
una concentracin de sustrato de entrada constante. La primera ser considerando que la
alimentacin comienza cuando el sustrato limitante se ha agotado (operacin en pseudo-
estado estacionario) y otra ser la alimentacin en una etapa previa al agotamiento del
sustrato, haciendo que la oferta de sustrato sea mucho mayor a la demanda de ste.
Caso 1: Se comienza alimentar cuando el sustrato es cercano a cero (Pseudo estado-
estacionario)
En este caso, se inicia la alimentacin cuando el sustrato limitante en el sistema discontinuo
tiene una concentracin muy baja (S0). Se muestra esquemticamente en la Fig. 2.3,
aprecindose que la alimentacin comienza una vez que se logra la mxima concentracin
de biomasa y la mnima concentracin de S en un cultivo batch normal.
-
45
tiempo, h
0 2 4 6 8 10 12 14
conce
ntr
aci
on
, g
/L
0
2
4
6
8
10
12
SX
F, S1
Figura 2.3: Aplicacin de la alimentacin una vez lograda la fase pseudo-estacionaria. max
= 0,3 h; KS = 0,1 g/L; YX/S= 0,5; Q = 0,2 L/h; S1 = 30 g/L; V = 1 L.
Como se aprecia en la figura, no slo la concentracin de S se acerca a cero, sino tambin
dS
dt . A pesar que la concentracin de sustrato es muy baja, el valor de no puede ser cero
y debe ser calculado. A partir de la ecuacin (2.15) se tiene que:
0 fV V Q t (2.20)
Del balance de sustrato limitante, se puede calcular el valor de . Aplicando la ley de la
cadena a la ecuacin (2.17):
1/X S
dS dV XVV S Q S
dt dt Y
(2.21)
Dado que S 0 y que 0dS
dt entonces:
1/X S
XVQ S
Y
(2.22)
Despejando el valor de la velocidad especfica de crecimiento, se tiene:
-
46
1 /X SQ S Y
XV
(2.23)
Reemplazando la ecuacin (2.23) en el balance de masa de microorganismos (ec. (2.16)):
1 /X S
d XVXV Q S Y
dt (2.24)
Integrando la ecuacin (2.24) entre 0XV y XV :
0
1 /
0
XV t
X S
XV
dXV Q S Y dt (2.25)
0 1 /X SXV XV Q S Y t (2.26)
De la ecuacin (2.26) es fcil determinar el valor de la masa final de microorganismos en el
proceso Fed-Batch:
1 / 0X SXV Q S Y t XV (2.27)
As, el valor de esta dado por:
1 /
1 / 0
X S
X S
Q S Y
Q S Y t XV
(2.28)
Cul puede ser el criterio para disear una alimentacin adecuada? De acuerdo a un texto
argentino, la oferta del sustrato debe ser igual o superior a la demanda de sustrato por parte
del microorganismo. As, se tiene que:
/X S
XVdemanda
Y
(2.29)
1oferta Q S (2.30)
As, se adems se tiene que deber ser como mximo max, entonces la oferta debe
equiparar a la demanda mxima:
max1/X S
XVQ S
Y
(2.31)
Qu pasa con el producto? Dado que todo el sustrato slo se utiliza en el crecimiento,
entonces:
/P P Xq Y (2.32)
Luego:
-
47
P
d PVq XV
dt (2.33)
/P X
d PVY XV
dt (2.34)
Reemplazando la ecuacin (2.23) en la ecuacin (2.34):
1 / /X S P X
d PVQ S Y Y
dt (2.35)
Integrando la ecuacin anterior entre t = 0 y t y entre PV0 y PV :
0 1 / /X S P XPV PV Q S Y Y t (2.36)
Finalmente, la masa de producto al final de la etapa Fed-Batch:
1 / / 0X S P XPV Q S Y Y t PV (2.37)
Caso 2: se inicia la alimentacin antes que el sustrato se acabe: Este tipo de sistema se
muestra esquemticamente en la Fig. 4. All se aprecia que la alimentacin no comienza
una vez que se logra el pseudo-estado estacionario (S 0), sino que antes, mientras el
sistema est en pleno desarrollo, como se muestra en la Figura 2.4.
tiempo, h
0 5 10 15 20
Co
nce
ntr
aci
on
, g
/L
0
2
4
6
8
10
12
14
16
SX
F, S1
Figura 2.4: Operacin del sistema fed-batch para una alimentacin cuando S 0. Datos
graficados con max = 0,3 h; KS = 0,1 g/L; YX/S= 0,5; Q = 0,2 L/h; S1 = 30 g/L; V = 1 L.
-
48
Dado la complejidad de este tipo de operacin, Acevedo et al. (2002)1 desarrollaron una
forma simple de calcular S y X, basados en dividir la operacin en zonas, de acuerdo al
crecimiento celular.
En la primera fase, cuando S >> KS se tiene un sistema donde se aproxima a max, por lo
tanto, tenemos una fase de crecimiento exponencial. En la segunda fase, cuando S 0,
se aproxima a la cintica de Monod (si corresponde), por lo que estamos en la fase de
crecimiento limitado.
a) Zona de crecimiento exponencial: Para esta etapa, los balances de masa son:
- Flujo
dV
Qdt
(2.38)
- Biomasa
max
d XVXV
dt (2.39)
- Sustrato
max
1
/X S
d SV XVQ S
dt Y
(2.40)
- Producto:
P
d PVq XV
dt (2.41)
Integrando la ecuacin (2.39) entre XV y XV0:
max0
lnXV
tXV
(2.42)
Luego
max
0
tXV XV e (2.43)
La ecuacin (2.43) es la masa de microorganismos para cualquier tiempo t en la fase de
crecimiento exponencial.
1 Acevedo F, Gentina JC, Illanes A. Fundamentos de Ingeniera Bioqumica (2002)
-
49
Para determinar la masa de sustrato (SV), tomamos la ecuacin (2.43) y la reemplazamos en
la ecuacin (2.40):
maxmax1 0
/
t
X S
d SVQ S XV e
dt Y (2.44)
Integrando entre SV y SV0 :
max00 1/
1t
X S
XVSV SV Q S t e
Y
(2.45)
As:
max01 0/
1t
X S
XVSV Q S t e SV
Y
(2.46)
La ecuacin (2.46) permite determinar la masa de sustrato en cualquier tiempo t de la fase
de crecimiento exponencial.
Para determinar la cantidad de producto, reemplazamos la ecuacin (2.43) en la ecuacin
(2.41) e integramos entre PV y P0V0, y el tiempo t :
max0 0 0 0max
11tPP V P V q X V e
(2.47)
Finalmente
max0 0 0 0max
11tPP V P V q X V e
(2.48)
Donde
max /P P Xq Y (2.49)
Para encontrar el valor de X, S y P, se divide el valor de las ecuaciones (2.43), (2.46) y
(2.48) por el valor de V en el tiempo t.
b) Zona de crecimiento limitado: para esta etapa, los balances son similares a los
presentados para la zona de crecimiento exponencial. As:
-
50
- Flujo
dV
Qdt
(2.50)
- Biomasa
d XV
XVdt
(2.51)
- Sustrato
1
/X S
d SV XVQ S
dt Y
(2.52)
- Producto
P
d PVq XV
dt (2.53)
-Velocidad de crecimiento especfico
maxS
S
K S
(2.54)
Para poder encontrar la masa de microorganismos, reemplazamos la ecuacin (2.51) en
(2.52)
1
/
1
X S
d SV d XVQ S
dt Y dt (2.55)
Haciendo arreglos matemticos, se tiene que:
1/
1
X S
d SV Q S dt d XVY
(2.56)
Integrando la ecuacin (2.56) entre SV y S0V0, XV y X0V0, t y t = 0, se tiene:
0 0 1 0/
1
X S
SV S V Q S t XV XVY
(2.57)
Dado que SV 0, despejamos XV :
1 / 0 / 0X S X SXV Q S t Y SV Y XV (2.58)
Para encontrar el valor de , derivamos la ecuacin (2.58) respecto al tiempo:
1 /X S
d XVQ S Y
dt (2.59)
Igualando la ecuacin (2.51) y la ecuacin (2.59):
-
51
1 /X SXV Q S Y (2.60)
De la ecuacin (2.60) despejamos :
1 /X SQ S Y
XV
(2.61)
Para calcular el valor del producto, se tiene que:
/P P X
d PVq XV Y XV
dt (2.62)
1 1 / /X S P X
d PVQ S Y Y
dt (2.63)
Integrando entre PV y P0V0, y el tiempo t :
1 / / 0X S P XPV Q S Y Y t PV (2.64)
Para poder saber en que zona de crecimiento se est operando, es necesario determinar el
tiempo de transicin (tT), que es equivalente al tiempo que dura la operacin en fase de
crecimiento exponencial. Para calcular el tiempo de transicin, se igualan las ecuaciones
(2.43) y (2.58), dado que la masa celular en el tiempo tT debe ser la misma calculada tanto
por la ecuacin de la fase exponencial como por la fase limitante. Se calcula como el
tiempo fronterizo donde termina la fase exponencial y comienza la zona de crecimiento
limitado.
As:
max0 0 1 / 0 0 / 0 0Tt
T X S X SX V e F S t Y S V Y X V (2.65)
De ecuacin (2.65) se despeja tT o, en su defecto, se obtiene iterando.
Qu pasa cuando la mantencin no es despreciable o cuando el producto no est
directamente relacionado al crecimiento?
Cuando la mantencin es importante, entonces la ecuacin del balance de masa de sustrato
cambia. Para un sistema en estado pseudo-estacionario se puede indicar que:
Volumen
dV
Q tdt
(2.66)
Microorganismos
-
52
d XV
XVdt
(2.67)
Sustrato limitante
1
/
s
X S
d SVQ S m XV
dt Y
(2.68)
Producto
p
d PVq XV
dt (2.69)
Donde
/P P Xq Y (2.70)
maxS
S
K S
(2.71)
Nuevamente, de ecuacin (2.68) despejamos :
1/
s
X S
dS dV XVV S Q S m XV
dt dt Y
(2.72)
Lo anterior se reduce a:
1 / /X S
s X S
Q S Ym Y
XV
(2.73)
Reemplazando la ecuacin (2.73) en ecuacin (2.67):
1 1 /
/X S
s X S
d XV Q S YXV m Y XV
dt XV
(2.74)
1 1 / /X S s X S
d XVQ S Y m Y XV
dt (2.75)
As:
/ 1 1 /s X S X S
d XVm Y XV Q S Y
dt (2.76)
La ecuacin(2.76) es una ecuacin diferencial lineal de 1er orden, cuya forma general se
escribe como:
dy
P x y Q xdx
(2.77)
Para este tipo de ecuaciones, la solucin general est dada por:
-
53
P x dx P x dx
y e Q x e dx C
(2.78)
donde C es una constante.
Para el caso que queremos resolver, se tiene que:
/s X SP x m Y (2.79)
1 /X SQ x Q S Y (2.80)
Por lo tanto, se tiene que:
/ /
0 0
1 /
0
t t
X S s X S stY m dt Y m dt
X SXV e Q S Y e dt C
(2.81)
Desarrollando la primera integral:
/ /0
t
X S s X S sY m dt Y m t (2.82)
Reemplazando la ecuacin (2.82) en la ecuacin (2.81)
/ /1 /
0
X S s X S s
tY m t Y m t
X SXV e Q S Y e dt C
(2.83)
Desarrollando la segunda integral:
/ /1 /1 //
1X S s X S sY m t Y m tX SX SX S s
Q S YQ S Y e dt e
Y m
(2.84)
Reemplazando la ecuacin (2.84) en la ecuacin (2.83):
/ /1 //
11X S s X S s
Y m t Y m t
X S
X S s
XV e Q S Y e CY m
(2.85)
Despus de trabajo algebraico se llega a que:
/1 1 X S sY m t
s s
Q S Q SXV C e
m m
(2.86)
Para calcular C, se sabe que a t = 0, 0XV XV , reemplazando, se encuentra que:
0C XV (2.87)
Por lo tanto, se puede indicar que:
/1 10X S sY m t
s s
Q S Q SXV XV e
m m
(2.88)
-
54
2.3.- Ejemplos de aplicacin. 1.- Un quimiostato aireado con recirculacin, comnmente conocido como lodo activo,
es usado para la remocin de materia orgnica desde aguas residuales. Una empresa lleva a
cabo un estudio a nivel piloto usando un reactor de 500 L, operando con un flujo de 250
L/h y una concentracin de alimentacin de 50 g/L de DBO5. Un estudio cintico previo
demostr que el cultivo mixto obedece a una cintica tipo Monod. Se le pide calcular:
a. Calcular el valor de X, S y X1 cuando se trabaja sin una purga en el sistema.
b. Calcular el valor de X, S y X1 cuando se trabaja con un flujo de purga de 50 L/h.
c. Dado que hay restricciones ambientales en cuanto a la concentracin de biomasa en
el efluente, calcule el flujo de salida necesario para que la concentracin de salida
sea nula.
d. Calcule para el sistema el Dcrit .
(Datos adicionales: max = 0,5 h; KS = 2 g/L DBO5; YX/S = 0,5; = 0,7; c = 1,5).
Solucin
a) Del balance de masa celular en el reactor, se obtiene la ecuacin (2.8) y con sta
obtenemos el valor de S:
max
1
1S
K D cS
D c
(2.89)
Reemplazando valores:
-1
-1 -1
2 (mg/L) 0,5 h 1 0,7 0,7 1,53,71 mg/L
0,5 h 0,5 h 1 0,7 0,7 1,5S
(2.90)
Para calcular el valor de X, debemos calcular el valor de :
-1 -1max3, 71 mg/L
0,5 h 0,325 h2 mg/L + 3, 71 mg/LS
S
K S
(2.91)
Luego, a partir del balance de masa de sustrato, obtenemos la expresin que nos permite
calcular X (ecuacin (2.11)). As:
-
55
-10 /-1
0,5 h 50 3,71 mg S/L 0,5 mg X/mg S
0,325 h
35,65 mg/L
X SD S S YX
X
(2.92)
Para calcular el valor de X1, usamos el balance de masas celular en el separador (ecuacin
(2.14)):
11
1 1Q
X c X c XQ
(2.93)
Dado que Q = Q1 (no hay purga, es decir, Q2 = 0), entonces la ecuacin (2.93) se simplifica.
Reemplazando valores:
1 1,5 35,65 mg/L 1,5 1 0,7 1 35,65 (mg/L) 23,17 mg/LX (2.94)
b) En este caso, debemos primero obtener el valor de Q1:
1 2 200 L/hQ Q Q (2.95)
Los valores de S y X no varan de lo calculado en la letra (a) (realice ud. los clculos). La
variacin principal se da en la concentracin de salida del reactor, X1.
Aplicando la ecuacin (2.93), se obtiene:
1
1
250 L/h1,5 35,65 mg/L 1,5 1 0, 7 1 35, 65 (mg/L)
200 L/h
15,6 mg/L
X
X
(2.96)
c) En este caso, nos piden calcular el valor de Q1 y Q2 para que X1 = 0. Nuevamente,
usamos la ecuacin en el separador (ecuacin (2.14)):
11
1 1Q
X c X c XQ
(2.97)
Si X1 = 0 y despejando Q1 se obtiene:
1
1 1Q cQ
c
(2.98)
Reemplazando valores, se obtiene:
1
250 (L/h) 1,5-1 0,7 1141,67
1,5Q
(2.99)
Luego
2 1 108,33 L/hQ Q Q (2.100)
-
56
d) Para calcular el Dcrit , debemos suponer que: X = 0 (el reactor se lava) y S = S0 (no hay
consumo de sustrato en el reactor). As, igualando la ecuacin (2.6) y la ecuacin de
Monod, se obtiene la siguiente expresin (ecuacin (2.7)):
0max0
1critS
SD c
K S
(2.101)
Despejando Dcrit y reemplazando valores, se obtiene:
-1-10,5 h 50 g/L 0,739 h
1 0, 7 0,7 1, 5 2 g/L+50 g/L critD
(2.102)
2) Una empresa recientemente compr un nuevo microorganismo para producir un
producto P. Los datos cinticos de este nuevo microorganismo son: max = 0.3 h-1; KS = 0,1
g/L; YX/S = 0,4 g b.s./g sustrato; YP/X = 0,5 g P/g b.s h. Se sabe que la formacin de
producto est directamente asociada a crecimiento. De acuerdo a la empresa que distribuye
el microorganismo, la mejor forma de operacin es del tipo Fed-Batch. As, se le pide a ud.
determinar los siguientes puntos:
a) El tiempo despus del cual Ud. puede comenzar a alimentar el bioreactor para operar un
cultivo Fed-batch en estado pseudo-estacionario. Suponga las siguientes condiciones
iniciales: S0 = 10 g/L; X0 = 0.5 g/L; P0 = 0.02 g/L.
b) Si las condiciones de operacin recomendadas para un Fed-Batch en estado pseudo-
estacionario son: F = 85 L/h; V0 = 1000 L; S1 = 12 g/L, con F y S1 constantes, calcular el
tiempo de operacin, la masa total de clulas y la masa total de producto si el volumen
mximo del reactor es de 3000 L.
c) Qu pasara si el reactor comenzara a alimentarse a un tiempo t = 2,5 h despus de
iniciar el sistema en discontinuo?Cual ser el tiempo de transicin?Los valores de XV y
PV?
Resolucin
a.- Para solucionar este punto, debemos calcular el tiempo que demora el sistema batch en
llegar a una concentracin de sustrato cercana a 0. As, haciendo S = 0, se calcula el tiempo
de operacin batch:
-
57
max00/
1t
X S
XS S e
Y
(2.103)
Luego:
max00/
1t
X S
XS e
Y
(2.104)
Despejando t se tiene:
0 /
max 0
1ln 1X S
S Yt
X
(2.105)
Reemplazando valores, se obtiene que:
-1
1 10 0,4ln 1 7,32 h
0,3 h 0,5t
(2.106)
b) En general, para este tipo de ejercicios debemos realizar varios pasos:
Paso 1: Clculo de las concentraciones iniciales de X y P, es decir X0 y P0. Teniendo el
valor de t, se puede obtener el valor final de X y P en la fase batch:
max 0,3 7, 320 0,5 4,5 g/LtX X e e (2.107)
El valor anterior es el valor inicial de la concentracin de biomasa de la etapa fed-batch
Para P:
max0t
P P
dPq X q X e
dt
(2.108)
Integrando la ecuacin (2.108) y reemplazando valores, se tiene:
max00max
1tPX
P P q e
(2.109)
0,3 7,32-1
g X0,5
g P L0,02 g/L+0,15 1 2,02 g P/L
g X h 0,3 hP e
(2.110)
El valor anterior es el valor de la concentracin de P al inicio de la etapa fed-batch.
Paso 2: El segundo paso es calcular el tiempo de operacin Fed-batch, es decir, el tiempo
que demora en pasar de 1000 L a 3000 L. Dado que Q y S1 son constantes y el volumen
mximo del reactor es de 3000 L, se puede determinar t operacin:
0V V Q t (2.111)
-
58
As:
-103000 1000
23,53 h85
V Vt
Q
(2.112)
Por lo tanto, el tiempo de operacin es de 23 horas.
Paso 3: Ahora procedemos a calcular la masa de biomasa (XV) y de producto (PV), usando
las ecuaciones determinadas anteriormente para el caso de pseudo-estado estacionario.
Para la masa de biomasa (ecuacin (2.27):
/ 1 0 0X SXV Y S Q t X V (2.113)
Reemplazando valores:
g X g S L g X0.4 12 85 23,53 h + 4,49 1000 L
g S L h L
14090,24 g
XV
XV
(2.114)
Para el producto ligado directamente a crecimiento (ecuacin (2.37)):
0 0 1 / /X S P XPV PV Q S Y t Y (2.115)
Reeemplazando los valores:
g P L g S g X g P 2,02 1000 L + 85 12 0,4 0, 5 23,53 h
L h L gS g X
2020 g P + 4800,12 g P
6820,12 g P
PV
PV
PV
(2.116)
c) Para desarrollar este punto, se realizan los siguientes pasos:
Paso 1: Calcular los valores de S, X y P a tiempo t = 2,5 h, operando en discontinuo.
As, se tiene para el sustrato:
max00/
1t
X S
XS S e
Y
(2.117)
Reemplazando valores
0,3 2,50,510 1 8,6 g/L0,4
S e (2.118)
Para la biomasa:
max 0,3 2,50 0,5 1,06 g/LtX X e e (2.119)
-
59
Para el producto:
max
0 0 /
0,3 2,5
1
g P g X0,02 g P/L 0,5 0,5 1 0,3 g/L
g X L
t
P XP P X Y e
P e
(2.120)
Los valores calculados anteriormente pasan a ser los valores iniciales de la etapa Fed-
Batch.
Paso 2: Dado que en este caso la alimentacin comenz antes de lograr el pseudo-estado
estacionario, nos encontramos en la situacin b, es decir, alimentacin en cualquier tiempo.
As, debemos calcular el tiempo operacin de la etapa de crecimiento exponencial y el
tiempo de operacin de la etapa de crecimiento limitado. Para realizar lo anterior, es
necesario calcular el tiempo de transicin, que no es otra cosa que el tiempo de operacin
bajo la condicin de crecimiento exponencial. Usando la ecuacin (2.65) y definiendo:
max0 0Tta X V e (2.121)
1 / 0 0 / 0 0T X S X Sb F S t Y S V Y X V (2.122)
Luego, definiendo una funcin que debe ser cero:
c a b (2.123)
As, se realiza una iteracin. La Tabla 1 muestra los resultados.
Tabla 1: Resultados las funciones a, b y c en funcin del tiempo tT.
tT a b c (a-b)
6,3 7016,5308 7070,4 -53,8691981
6,31 7037,612 7074,48 -36,8679997
6,32 7058,75654 7078,56 -19,8034628
6,33 7079,9646 7082,64 -2,67539695
6,34 7101,23639 7086,72 14,5163886
6,35 7122,57209 7090,8 31,7720853
En la Tabla 1 se aprecia claramente como se produce un cambio de signo entre 6,33 < tT <
6,34. As, dado que se logra el cero entre 6,33 < tT < 6,34, se puede indicar que el tiempo de
transicin debe ser aproximadamente 6,33 h. As:
-
60
-16,33 hTt (2.124)
Por lo tanto, necesariamente a las 23 horas de operacin el sistema opera bajo la modalidad
de crecimiento limitado.
Paso 3: Clculo de XV y PV utilizando las expresiones de crecimiento limitado.
Para la biomasa (ecuacin (2.58)):
1 / 0 0 / 0X S X SXV Q S t Y S V Y XV (2.125)
Reemplazando datos:
L g S g X g S g X g X85 12 23 h 0,4 8,6 1000 L 0,4 1,06 1000 L
h L g S L g S LXV
(2.126)
9384 g X + 3440 g X + 1060 g X = 13.884 g XXV (2.127)
Para el producto (ecuacin (2.64)):
0 1 / /X S P XPV PV Q S Y Y t (2.128)
Reemplazando datos:
g P L g S g S g P0, 3 1000 L + 85 12 0, 4 0, 5 23 h
L h L g X g X
300 g P + 4692 g P
4992 g P
PV
PV
PV
(2.129)
Al comparar la masa de P formado en ambos casos, se aprecia que el sistema en pseudo-
estado estacionario es un 26,80 % ms productivo para este proceso.
3.- Una planta de bioprocesos necesita incrementar la produccin de cierto microorganismo
desde el cual se extrae un valioso producto. Para lo anterior, se tiene un bioreactor que se
operar en Fed-Batch. De acuerdo a varios estudios, la mejor manera de incrementar la
biomasa es operar en estado pseudo-estacionario, pero manteniendo el valor de la velocidad
especfica de crecimiento () constante. As, se le pide a ud:
a) Determinar la expresin matemtica para calcular la masa final de microorganismo (XV)
si el caudal de alimentacin (Q) y la velocidad especfica de crecimiento son constantes.
-
61
b) Determinar la expresin matemtica para calcular la masa final de microorganismo (XV)
si la concentracin de alimentacin (S1) y la velocidad especfica de crecimiento son
constantes.
Solucin
En el caso a), tenemos 6 incgnitas (V, Q, S1, , XV y SV) y slo 4 ecuaciones:
dV
Qdt
(2.130)
d XV
XVdt
(2.131)
1
/X S
d SV XVQ S
dt Y
(2.132)
maxS
S
K S
(2.133)
Por lo tanto, de las 6 incgnitas, necesariamente debemos fijar 2. Cules se fijan? Las que
aparecen en el enunciado, es decir, Q y . Por lo tanto, las incgnitas sern V, S1, XV y SV.
Lo primero que podemos calcular es el volumen final:
0V Q t V (2.134)
Para el clculo de la masa microbiana, integramos la ecuacin (2.131) ya que es
constante:
0tXV XV e (2.135)
Para el clculo de S1, hacemos uso del balance de sustrato. Al aplicar la regla de la cadena
a la ecuacin (2.132):
1/X S
dS dV XVV S Q S
dt dt Y
(2.136)
Dado que es constante, entonces S tambin es constante (ver ecuacin (2.133)), por lo
tanto la ecuacin anterior se reduce a:
1/X S
dV XVS Q S
dt Y
(2.137)
Luego
-
62
1/X S
XVS Q Q S
Y
(2.138)
Despejando S1:
1/X S
XVS S
Q Y
(2.139)
Dado que XV es una funcin exponencial y S1 depende de XV, entonces la concentracin
de alimentacin debe ir incrementndose exponencialmente para mantener un cte.
Finalmente, calculamos SV tambin a partir del balance de sustrato:
/ /X S X S
dSV XV XVQ S
dt Q Y Y
(2.140)
As:
d SV
Q Sdt
(2.141)
Integrando:
0
SV Q S t SV (2.142)
En el caso b), el razonamiento es similar, slo que en este caso las variables conocidas son
y S1. Por lo tanto, es el mismo sistema anterior. Del balance de masa microbiano, se tiene
que:
0
tXV XV e (2.143)
Nuevamente del balance de sustrato calculamos el valor de Q:
1
/X S
d SV XVQ S
dt Y
(2.144)
Aplicando la regla de la cadena y haciendo que dS/dt = 0:
1/X S
XVQ S Q S
Y
(2.145)
Luego:
/ 1X S
XVQ
Y S S
(2.146)
Reemplazando la ecuacin (2.143) en la ecuacin (2.146):
-
63
0
/ 1
t
X S
XVQ e
Y S S
(2.147)
As, para este tipo de proceso, se necesita un caudal que aumente exponencialmente. Para
determinar el cambio de volumen, utilizamos la ecuacin (2.130):
0
/ 1
t t
X S
XVdVe a e
dt Y S S
(2.148)
Al realizar la integracin, se tiene que:
00
1t
t taV V a e dt e
(2.149)
As, finalmente:
00/ 1
1t
X S
XVV V e
Y S S
(2.150)
En este caso, tanto el Q como el V aumentan en forma exponencial.
2.4.- Ejercicios propuestos
1.- Un quimiostato simple de 5 litros de volumen til presenta algunos problemas de diseo
que ocasionan una imperfecta agitacin. El equipo se va a utilizar para cultivar una
levadura de max = 0,48 h-1 y KS = 0,072 g/L. La alimentacin se har a 1,1 L/h con una
concentracin de nutriente limitante S0 = 65 g/L. En esa condicin YX/S = 0,43 g/g. Para
predecir los resultados de esa experiencia se plantea un modelo que supone que un 35% del
flujo de alimentacin no pasa por el fermentador, sino que se une a la corriente de salida y
que el resto ingresa al quimiostato que se considera perfectamente agitado.
a) Determine los valores estacionarios de , X, S y QX. (Resp: = 0,143 h-1; X = 27,94
g/L; S = 0,031 g/L; QX = 3,99 g/L h)
b) Comparar los resultados anteriores con los valores generados considerando un
fermentador perfectamente agitado.
2.- Considere un reactor de mezcla completa de 1 m3 de volumen (Quimiostato) donde se
produce biomasa con glucosa como sustrato. El sistema sigue una cintica tipo Monod con
max = 0,4 h-1 y KS = 1,5 g/L, con un factor de rendimiento de 0,5 g biomasa/g sustrato. Si
-
64
la operacin normal es con una alimentacin estril de 100 l/h que contiene 10g/l de
glucosa:
a.- Cul es la tasa especfica de produccin de biomasa (g/L h) en estado estacionario?
(Resp: Qx = 0,475 g/l h)
b.- Si se usara un reciclo de 10 l/h y una concentracin de biomasa en el reciclo 5 veces
mayor a la concentracin a la salida del reactor, Cul ser la nueva tasa especfica de
produccin de biomasa (g/L h)? (Resp: Qx = 0,81 g/l h)
c.- Explique cualquier diferencia entre los valores encontrados en a y b.
3.- Un fermentador de tanque agitado de 1500 litros de volumen de operacin es utilizado
en un proceso continuo con una levadura de max= 0,34 h-1 y un KS= 80 ppm. La levadura
presenta auxotrofa de un metabolito intermedio que es usado como nutriente limitante con
un Yx/s= 0,45 y una concentracin en la alimentacin de 5 g/L para un flujo de 165 L/h. El
efluente del fermentador pasa por una centrfuga continua que produce una corriente
concentrada de clulas, que es bombeada a otra seccin de la planta, y otra corriente clara
que es recirculada parcialmente al fermentador, purgndose el resto. El factor de
concentracin es 3,3 y el factor de recirculacin medido despus de la purga es de 1,8. Si se
desea que el flujo de la purga sea un 65% del flujo de la corriente concentrada de clulas,
determine los valores de los flujos y la concentracin de clulas y nutrientes limitantes de
todas las corrientes, cuando se opera en estado estacionario (Resp: S = 183,36 mg/L; Xreactor
= 1,01 g/L).
4.- Un quimiostato de 12 m3 de volumen con recirculacin de clulas y sin purga, posee una
alimentacin fresca de 6240 L/h con una concentracin de 1,2 g/L. Se pide determinar el
factor de concentracin en el separador, la concentracin celular en el fermentador y la
concentracin de sustrato en el efluente para un factor de recirculacin de 0,6.
Datos: max = 0,62 h-1 = 0,35 h-1 KS = 0,2 g/L Yx/s = 0,5 g/g.
(Resp: S = 0,259 g/L; Xreactor = 0,7 g/L; c = 1,55).
5.- Un fermentador continuo de laboratorio de 2,5 litros est acondicionado para operar con
retencin de clulas, para lo cual tiene dos salidas: una con un filtro absoluto que retiene la
-
65
biomasa (y cuya fase lquida es completamente eliminada) y la otra directa desde el
fermentador. A travs de la salida con el filtro fluye un 30% de la alimentacin al sistema,
mientras el porcentaje restante fluye por la salida directa. Se pide:
a) Establecer las ecuaciones que describan totalmente la operacin del fermentador en
estado estacionario.
b) Calcular la concentracin celular y concentracin de nutriente limitante en el
fermentador en estado estacionario si max= 0,83 h-1, KS= 0,377 g/L e Yx/s= 0,33 g/g, con
un medio conteniendo 4 g/L de nutrientes y un flujo de 8,5 mL/min. (Resp: S = 0,0783 g/L;
X = 1,85 g/L)
c) Calcule la mxima productividad celular (Resp: Qmax = 0,38 g/l h)
6.- Penicilina es producida por P. chrysogenum en un cultivo fed-batch con adicin
intermitente de glucosa al medio de cultivo. El volumen inicial del cultivo en cuasi-estado
estacionario es 500 l, y la solucin que se agrega a 50 l/h tiene una concentracin de
glucosa de 300 g/l. La concentracin inicial de biomasa en cuasi-estado estacionario en el
reactor es de 20 g/l. La cintica del microorganismo obedece a una tipo monod, con max =
0,2 h-1 y KS = 0,5 g/L, con un factor de rendimiento de 0,3 g biomasa/g sustrato. Bajo estas
condiciones, determine:
a.- El volumen del cultivo despus de 10 h.
b.- La concentracin y masa total de clulas en cuasi-estado estacionario cuando t = 10 h.
(Resp: X = 55 g/L; XV = 55.000 g biomasa)
d.- Suponga la penicilina sea un producto directamente relacionada al crecimiento. Si YP/X
= 0,5 g producto/g biomasa h y P0 = 0,1 g/l, determine la concentracin de producto en el
reactor en t = 10 h. (Resp: P = 22,55 g P/L).
e.- Estudios posteriores para este microorganismo indicaron que el coeficiente de
mantencin m