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Apuntes de Cálculo Integral

Segundo Parcial

SEP 2020 – ENE 2021

TAREA No. 11

LEYES DE LOS EXPONENTES

Expresamos como factores:

64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1,000,000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

Los factores del 64 se pueden escribir de forma abreviada como 26 y los de un millón como 106.

64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26. 1,000,000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 106.

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En esta forma exponencial el 6 indica el número de veces que 2 o 10 es usado como factor. Por ejemplo: 22 = 2 x 2 23 = 2 x 2 x 2 24 = 2 x 2 x 2 x 2 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

I. Escribe en forma exponencial

3 x 3 x 3 x 3 x 3 =

6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 =

a x a x a x a x a x a =

Multiplica los factores 43 =

a5 =

34 =

Respuestas:

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243

6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 67 = 279,936

a x a x a x a x a x a = a6.

43 = 4 x 4 x 4 = 64

a5 = a x a x a x a x a

34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

II. Escribe en forma exponencial, la base y el exponente

base

exponente 35

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III. Escribe como el producto de factores y multiplica

Respuestas:




Casos especiales:

Cualquier potencia de 1 es igual a 1.

12 = 1 x 1 = 1

13 = 1 x 1 x 1 = 1

14 = 1 x 1 x 1 x 1 = 1

Cuando la base es 10, el producto tiene tantos ceros como indica el exponente:

102 = 10 x 10 = 100

103 = 10 x 10 x 10 = 1000

104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10,000

105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100,000

Calcula 100 y 101.

100 =

101 =

Ocurre lo mismo, el producto tiene tantos ceros

como indica el exponente:

100 = 1

101 = 10

Por lo tanto:

80 = 1

90 = 1

a0 = 1

41 = 4

a1 = a

31 = 3

Cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, … son llamados cuadrados perfectos. Estos

números son sencillos para calcular la raíz cuadrada:

Cuadrados perfectos

12 = 1 62 = 36 112 = 121

22 = 4 72 = 49 122 = 144

32 = 9 82 = 64 132 = 169

42 = 16 92 = 81 142 = 196

52 = 25 102 = 100 152 = 225

Raíz cuadrada

√1 = 1 √36 = 6 √121 = 11

√4 = 2 √49 = 7 √144 = 12

√9 = 3 √64 = 8 √169 = 13

√16 = 4 √81 = 9 √196 = 14

√25 = 5 √100 = 10 √225 = 15




IV. Completa los cuadrados perfectos y las raíces

Cuadrados perfectos

162 =

172 =

182 =

192 =

202 =

Raíz cuadrada

V. Ejercicios




Formulario:

Fuente: Jiménez, René (2008). Cálculo integral. Pearson Educación: México.

VI. Ejercicios de repaso

1. − (3

5)

2

= 2. − (−5

6)

2

=

3. 32 + 23 = 4. (1

4)

3

=

5. 28 * 25 * 23 = 6. x * x17 * x5 =

7. 𝑥

𝑥5

7= 8.

𝑎

𝑎3

6=

9. ( xy )10 = 10. (𝑥

𝑧)

11

=

11. (3𝑥

4𝑦)

2

= 12. (4𝑏

3)

−2

=

aman = an+m




13. ( x10 y5 z2 )2 = 14. (𝑥3

𝑦2)

5

=

15. 4 * 2–1 + 40 = 16. (6𝑥2𝑦

3𝑥𝑦)

−3

=

17. 3 [ 4 + ( –2 ) ( 8 )] + 33 = 18. 10 / [ ( 3 + 22 ) – ( 24 – 8 ) ] =

19. (5( √27

3+ √16

4)

√100

2

) = 20. { 3 + [ 42 – 3 (2 – 7) ] – 3 }2 =

Obtén el resultado con calculadora:

21. 59 =

22. 2100 =

23. 9π =

24. 12015 =

25. 3√2 =




TAREA No. 12

DERIVADAS I

y = xn 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1

Calcula la derivada de las siguientes funciones

1. y = x

2. 𝑦 =1

2

3. f(x) = x2 – x

4. y = –10x

5. f(x) = x3 – 1

6. y = – 3x2 + 4x –5

7. 𝑦 = 𝑥

2




8. f(x) = x-2 + x-1

9. f(x) = 4x

10. f(x) = 6x2 + 7x – 8

Formulas:

Fuente fórmulas: https://image.slidesharecdn.com/formulariodederivacin-110831225107-phpapp02/95/formulario-de-derivacin-1-728.jpg?cb=1314831715

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TAREA No. 13

DERIVADAS II

y = xn 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛𝑥𝑛−1

𝑦 = √𝑥 𝑛

= 𝑥1/𝑛 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑛𝑥

1

𝑛 − 1

Calcula la derivada de las siguientes funciones

1. 𝑦 = √𝑥5

2. 𝑓(𝑥) =1

4𝑥2

3. 𝑦 = 1

𝑥√𝑥

4. 𝑦 = 1

3𝑥2

5. y = (x + 7) =

6. f(x) = (x5 + 1) =




7. y = (x3/2 + 2x + 1) =

8. 𝑓(𝑥) = √𝑥23

9. 𝑦 = 1

𝑥5

10. 𝑦 = 𝑥+6

√𝑥

Formulas:

Fuente fórmulas: https://image.slidesharecdn.com/formulariodederivacin-110831225107-phpapp02/95/formulario-de-derivacin-1-728.jpg?cb=1314831715

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TAREA No. 14

INTEGRALES I

∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶

Calcula la integral de las siguientes funciones

1. ∫ x dx =

2. ∫ 3 dx = 3. ∫ x2 dx =

4. ∫−5

7 𝑑𝑥 =

5. ∫ 3x2dx = 6. ∫ 2x dx =




7. ∫ 7x dx =

8. ∫ x5dx = 9. ∫ dx =

10. ∫ x3 dx =

Fuente: https://i.ytimg.com/vi/cwHBi12MLCI/maxresdefault.jpg




TAREA No. 15

INTEGRALES II

∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶

𝑦 = √𝑥 𝑛

= 𝑥1/𝑛 ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥1

𝑛𝑑𝑥 = 𝑥

1𝑛⁄ +1

1

𝑛+1

𝑦 = 1

𝑥𝑛= 𝑥−𝑛 ∫

1

𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 =

𝑥−2+1

−2+1=

𝑥−1

−1= −𝑥−1

Calcula la integral de las siguientes funciones

1. ∫ √𝑥 𝑑𝑥 =

2. ∫ √𝑥5 𝑑𝑥 =

3. ∫1

4𝑥2 𝑑𝑥 =

4. ∫1

𝑥√𝑥 𝑑𝑥 =

5. ∫1

(3𝑥)2 𝑑𝑥 =




6. ∫(𝑥 + 7) 𝑑𝑥 =

7. ∫(𝑥5 + 1) 𝑑𝑥 =

8. ∫ (𝑥3

2 + 2𝑥 + 9) 𝑑𝑥 =

9. ∫ √𝑥2 3

𝑑𝑥 =

10. ∫1

𝑥5𝑑𝑥 =

Fuente: https://sites.google.com/site/ittcalculointegrallogisticas2/home/pendientes-10-dic-16/formul




TAREA No. 16

ÁREA BAJO LA CURVA

∫ 𝑥𝑏

𝑎𝑑𝑥 =

𝑥

2

2

𝑎

𝑏

= 1

2 (𝑏2 − 𝑎2)

Fuente: https://www.slideshare.net/ElizabetCr/area-bajo-la-curva-15421322?from_action=save

A

b a

f(x)

http://fernando-basurto.jimdofree.com/mailto:[email protected]:[email protected]://www.slideshare.net/ElizabetCr/area-bajo-la-curva-15421322?from_action=save



1. ∫ 𝑥1

−3𝑑𝑥 =

2. ∫ (𝑥2 + 𝑥)2

1𝑑𝑥 =

3. ∫ (𝑥3 − 1)1

0𝑑𝑥 =

4. ∫ (−3𝑥2 + 4𝑥 − 5)3

−1𝑑𝑥 =

5. ∫ 𝑥𝑛

𝑚𝑑𝑥 =

6. ∫ 𝑥20

−1𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2

3

0𝑑𝑥 =

7. ∫1

2 𝑑𝑥 =

−2

4

8. − ∫ 10𝑥−1

3𝑑𝑥 =

9. ∫ 46

3𝑑𝑥 =

10. ∫ (6𝑥2 + 7𝑥 − 8)2

0𝑑𝑥 =

Fuente: https://www.ecured.cu/images/f/f1/Integral_como_Area_DEBAJO_de_una_Curva.JPG




Guía Segundo Parcial

CÁLCULO INTEGRAL

CECYTEQ – 2020

Fuente de las imágenes: https://pixabay.com

I. Exponentes 13. (x2) (x4) =

14. (y3) (y2) =

15. 𝑋4

𝑋4=

16. 𝑋3

𝑋5=

17. (5 + 12)0 =

18. (√𝑎2𝑏3𝑐4

)20

= 19. (x4)2 =

20. (–27)5/3 =




21. (–32) –6/5 =

22. (( 6y )5)1/15 = II. Derivadas Calcula la derivada de las siguientes funciones.

38. y = (x – 1)2 + 2 39. f (x) = x + 2

40. f (x) = (x + 1)3

41. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1

42. 𝑦 = 𝑥

3+ 2

43. 𝑦 =𝑥2

2− 3




III. Integrales indefinidas Calcula la integral de las siguientes funciones.

1. ∫ x5 dx =

2. ∫ 3 dx =

3. ∫1

√𝑥3 𝑑𝑥 =

4. ∫1

𝑥5𝑑𝑥 =

5. ∫ (3x2 + 2x – 1) dx =

6. ∫ (4x + 1)2 dx =

7. ∫6𝑥3−5𝑥2

𝑥 𝑑𝑥 =

8. ∫ √𝑥 𝑑𝑥 =

9. ∫ (3x2 – 3) dx = 10. ∫ 4x dx =




IV. Área bajo la curva Dibuja la gráfica de la función y calcula el área bajo la curva con fórmulas de geometría. Después, evalúa la integral definida y compara las áreas: 1. y = x (de 1 a 3) Área de la figura: rectángulo A = Triángulo A = Área total =

∫ 𝑥3

1𝑑𝑥 =

2. y = 2 (de 2 a 4) Área de la figura:

∫ 24

2𝑑𝑥 =

3. y = 4x (de 1 a 3) Área de la figura:

∫ 4𝑥3

1𝑑𝑥 = =




4. y = 2x + 3 (de 0 a 2) Área de la figura:

∫ (2𝑥 + 3)2

0𝑑𝑥 =

5. y = x2 (de 0 a 2) Área de la figura:

∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 2

0

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