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Apuntes de Electrodinámica Clásica. Campo Electromagnético y Relatividad

Dr. J. Fausto Oria, Profesor Titular de Electromagnetismo

******* ****** ****** ****** ****** ****** ****** ****** ***** ****** ****** ****** ****** **2ª Edición

Editor: Manolo Sobrino

Copyright © 2003 J. Fausto Oria and Manuel Angel Sobrino. Valencia, Spain. All rights reserved.Redistribution without modification allowed at no other cost than ordinary copying fee. FOTOCOPIA AUTORIZADA.

Indice:

I . Formulación Covariante Lorentz del Campo Electromagnético

1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial................................... I 1

2. Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz.............................................. I 14

3. Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell .............................................. I 33

4. El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación.................. I 43

5. Transformaciones gauge........................................................................................................... I 53

* Las métricas de la relatividad especial...................................................................................... I 54

II . Formulación Lagrangiana del Campo Electromagnético

1. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético..................................... II 1

2. Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas.............................................. II 2

3. Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana.................................................. II 9

4. Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange.................................................... II 14

5. Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento....................................... II 20

III . Radiación de Cargas en Movimiento

1. Los potenciales de Liénard-Wiechert....................................................................................... III 1

2. Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación...................................................... III 9

3. Funciones de Green covariantes............................................................................................... III 18

4. Expresión covariante de los campos......................................................................................... III 26

BibliografíaApéndices

AI : Representación de la potencia radiada por una carga acelerada en un sincrotrón y en un linac

AII : "Formulación geométrica del campo electromagnético"

AIII : Lecturas aconsejadas

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El Dr. J. Fausto Oria proveyó sus apuntes de clase y gentilmente se prestó a corregir las versionespreliminares, reelaborando varios apartados y proporcionando material adicional para estos apuntes, quese ajustan así a los contenidos de la asignatura Electrodinámica Clásica de la Licenciatura en Física dela Universitat de València. Manolo Sobr ino preparó las distintas ediciones, revisó el texto y completó latranscripción. Luis Aloy transcribió la primera versión de la parte III y Roberto Pérez secciones de laprimera versión preliminar.

Mientras sea posible mantendremos en: http://mural.uv.es/masoro/edclas/errata/index.html unalista de erratas. Las contribuciones son bienvenidas, para cualquier comentario, visitad la página desopor te: http://mural.uv.es/masoro/edclas/index.html, donde se puede obtener la versión más reciente.

Valencia, septiembre de 2003

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"Estamos obligados a admitir que es solamente en cuatro dimensiones donde las relaciones que hemos toma-do en consideración aquí [las ecuaciones fundamentales para los fenómenos electromagnéticos de los cuerpos enmovimiento] revelan su ser interno con completa sencill ez, y que en un espacio tridimensional impuesto sobrenosotros a priori enseñan solamente una proyección muy complicada."

Hermann Minkowski (1909)

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Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

I 1

CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Y RELATIVIDAD

Formulación covar iante Lorentz del campo electromagnético

1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial:

Medida de intervalos espaciales y sincronización de relojes en S, (definición de t):

Consideremos observadores inerciales de la clase O: O1, O2, ... On, ... , en un siste-

ma inercial S.

Consideremos inicialmente que los observadores de la clase O están en reposo entre

sí. Lo pueden comprobar, por ejemplo, mandandose pulsos de radar y determinando el

tiempo que tarda el pulso en ir y venir.

Vemos la necesidad de relojes para determinar distancias, aún en un mismo sistema

inercial S.

Definición de tiempo en S a partir de los relojes:

Todos los observadores que están en sus "laboratorios" en los diferentes puntos del

sistema inercial S tienen relojes. Para establecer un tiempo en S siguen los pasos:

Primero: Comparan la marcha de los diferentes relojes en O. Así los relojes Ro, Ro1,

Ro2, ... Ron están sincronizados en O. (Marchan al mismo ritmo).

Se concluye que si marchan al mismo ritmo en O, así lo harán en O1, en O2, ...

en On. Es decir, en cualquier punto de S.

Segundo: Cada observador se va a su lugar de observación con su reloj. Ahora es

necesario un criterio para medir tiempos y definir el "tiempo", en el sistema inercial S.

X

Y

Z

O

O1

O2

OnS

Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial

I 2

Tercero: Si cada observador O, utili za su propio reloj para medir el tiempo en su en-

torno, tendremos un tiempo válido en O1, en O2..., en On . ¡No un tiempo t para todo el

conjunto de observadores O! No un tiempo t definido en S.

Cuarto: Para tener ese tiempo t definido en S hay que introducir un criterio para sin-

cronizar los relojes de O1, O2, ... On, ... ¿Pero no estaban ya sincronizados?. Si, lo esta-

ban cuando, poniéndolos a cero, los hacíamos funcionar todos en un mismo punto O.

Ahora está cada uno en su sitio O1, O2, ... On, ... y hay que decirles cómo han de empe-

zar a funcionar. Esto es definir el tiempo para el sistema inercial S.

Quinto: Si O es quien tiene que dar la orden de comenzar a marcar el tiempo, (poner

los relojes en funcionamiento) es lógico que envíe una señal a los observadores en O1,

O2, ... On, ... para decirles que pongan en marcha sus relojes. Para ello escogerá una se-

ñal que se transmita lo más rápidamente posible entre O y O1. Esta señal será un pulso

electromagnético que se propagará a velocidad c en S.

Sexto: En el sistema S se procede así. El observador O pone la manecilla de su reloj

en el origen de tiempos t = 0 y el reloj empieza a funcionar en O, cuando es emitido el

pulso electromagnético de velocidad c.

Cuando el pulso alcanza el reloj O1 cuya distancia a O es 1OO , se conviene que O1

ponga en marcha su reloj, colocando inicialmente sus manecil las en la indicación

c

OOt

1

01= .

Lo mismo hará O2 con su reloj cuando le alcance el pulso, poniéndose a funcionar en

c

OOt

2

02= . Así para todos los relojes de los observadores de la clase O que estén en S.

Séptimo: Por definición, diremos que ha quedado establecido el modo de medir el

tiempo t en S. Diremos que un suceso se produce en un punto Oi de S en un tiempo ti

cuando el observador Oi que está en el lugar donde se produce el suceso, al consultar su

reloj ve que la manecil la del mismo marca el tiempo ti.

Tal procedimiento para definir cómo se determina el tiempo en S no hubiera sido ne-

cesario si existiese una señal que se propagara con velocidad infinita, ya que entonces t0

= 0 = t01 = t02 = ... = t0n = ...


I 3

Hemos definido así un tiempo t en S, pero si consideramos otro sistema inercial S'

que se mueve respecto de S ¿Será el tiempo definido en S el tiempo en S'? Esto es, ¿es-

tarán sincronizados en S' los relojes que estaban sincronizados en S? La respuesta, ne-

gativa, la hallamos en el articulo fundamental de Einstein: "Zur Electrodynamik

bewegter Körper", Annalen der Physik, 17: 891, 1905 ("The Principle of Relativity" A.

Einstein & Others, Methuen & Co. Ltd. of London 1923, incluye la traducción de la

referencia anterior bajo el título: "On the Electrodynamics of moving bodies"*).

Sean todos los observadores de la clase O' del sistema inercial S' y procedan del

mismo modo con sus relojes para definir cómo se determina el tiempo en S' . Concluido

el proceso, podemos del mismo modo decir que si un suceso se produce en el punto Oj'

en el tiempo tj', es porque el observador que estaba en ese lugar, al mirar su reloj vio

que marcaba el tiempo tj'.

La cuestión está en relacionar las posiciones y tiempos de un suceso que referenciado

respecto de S tiene las coordenadas (x, y, z, t), y referenciado respecto de S' tiene las

coordenadas (x', y', z', t'). Según la física Newtoniana tal relación era:

( ) ( )tvrtrt −=′′ ,, Transformación de Galileo

Para: td

OOdv

'= . ¿Hasta qué punto es correcta esta ley?

Efecto Doppler para ondas de sonido:

Es interesante repasar el efecto Doppler para el sonido, o para la perturbación acústi-

ca que se propaga en un medio, por ejemplo el aire.

Para el sonido consideramos un medio elástico (más o menos) que es el que trans-

mite la onda longitudinal. La perturbación es de tipo escalar. La propagación consiste en

la transmisión en el medio del conjunto de compresiones y rarefacciones que constitu-

yen la onda sonora. Al llegar estas P∆± a nuestro tímpano, éste vibra y notamos la

sensación sonora.

Así pues, en primer lugar: Existe un medio que transmite la onda sonora. Respecto

de ese medio, en reposo, tenemos el observador, "el oyente" podríamos decir en este

caso. Tal observador, con sus detectores adecuados, en reposo respecto del medio, es el

que hace las medidas sonoras, por ejemplo de la frecuencia de la onda sonora f, y de la

* John Walker tiene disponibles varias versiones digitales de este artículo, ahora de dominio público, enhttp://www.fourmilab.ch

http://www.fourmilab.ch


I 4

velocidad de la perturbación en el medio v. Evidentemente lo que produce el sonido o

fuente estará en reposo respecto del medio, y por tanto del observador O.

Por lo tanto, existe un medio o marco en donde el observador O fija sus ejes de coor-

denadas y se sitúa en reposo respecto de ese medio o marco, que permanece estable y

con propiedades características. La fuente F en otro punto de ese medio o marco, emite

ondas sonoras de frecuencia f que se propagan de F hasta O a través del medio, con ve-

locidad v y longitud de onda λ (según constatan los aparatos que utili za O). Tenemos:

vf =⋅λ

Este medio o marco es lo que llamamos espacio absoluto (el espacio absoluto de

Newton). Tanto el observador O como la fuente F están en reposo respecto del marco

absoluto y por tanto en reposo entre sí.

Evidentemente, si O se mueve respecto del marco (también respecto de F como re-

sultado), lo notaría. Notaría el viento en la cara o el "viento del éter" (según se decía en

la física de principios del s. XX).

a) Fuente en movimiento. Observador en reposo:

Supongamos que la fuente emisora se mueve con velocidad u respecto del observa-

dor (evidentemente se mueve también en el marco o medio con velocidad u). El obser-

vador mide ahora otra frecuencia f ' para la perturbación emitida por la fuente.

O–uF+u

Tal frecuencia será*:

[I] ( )vu

ff+

=1

1' ( )vu

ff−

=1

1' Donde:

(si la fuente se aleja ) (si la fuente se acerca)

• f = frecuencia de la onda sonora.

• v = velocidad de la onda sonora en el medio. Velocidad respecto del marco o es-

pacio absoluto.

• f ' = frecuencia medida por el observador (Receptor).

* El efecto Doppler clásico se explica en cualquier texto de Física General. Véase, por ejemplo: R. Res-nick - D. Hall iday: Física, Editorial Continental, México 1982 Tomo I, sección 20-7.


I 5

La velocidad u de la fuente tiene signo + si la fuente se aleja de O y signo – si la

fuente se acerca a O.

b) Fuente en reposo. Observador en movimiento:

Ahora es la fuente la que permanece en reposo respecto del medio y el observador se

mueve respecto de la fuente (o del medio, es lo mismo) alejándose o acercándose a la

misma con velocidad u. La variación de frecuencia que se observa por los sistemas de

medida utilizados por O dan para la medida de f '' en este caso:

O–uF +u

[II]

+=

vuff 1''

Conclusión:

A la vista de las ecuaciones [I] y [II] hallamos que lo importante para explicar el

efecto Doppler en el sonido es la velocidad absoluta de la fuente F o del observador O

respecto del medio y la velocidad v de la perturbación respecto del medio.

• En el caso a) se mueve la fuente (p. ej. acercándose a O) y el resultado es f '.

• En el caso b) se mueve el observador (p. ej. acercándose a F) y el resultado es f ''.

Resulta que f ' ≠ f '', en el mismo caso de movimiento relativo, pero en distinto caso de

movimiento absoluto. En el caso a) el observador no nota el "viento del éter" y en el b) sí.

Veamos qué ocurre cuando desaparece el medio entre el observador y la fuente y

estudiamos el efecto Doppler para la luz.

Efecto Doppler para la luz:

Cuando tenemos una perturbación electromagnética emitida por una fuente F y reci-

bida por un observador O puede existir el vacío entre F y O.

De este modo, así como para el sonido necesariamente ha de existir un medio (en

donde la velocidad de éste es v), para la luz entre F y O podemos tener el espacio vacío,

entonces la velocidad c no es la velocidad de la luz respecto de ningún medio o

marco de referencia asociado a la presencia de dicho medio, sino la velocidad con la

que la perturbación recorre la distancia que separa F y O.


I 6

Si esa distancia FOOF ≡ es la misma según va transcurriendo el tiempo que mar-

ca el reloj que va asociado al observador O, entonces el observador y la fuente están

en reposo relativo. No podemos decir que F y O están en reposo respecto del medio

porque simplemente ese medio no existe.

Si la distancia entre O y F varía con el tiempo, podemos eventualmente asociar a la

fuente una velocidad uniforme u que acerca o aleja la fuente del observador O.

Tenemos que hacer dos reflexiones:

1) El movimiento es relativo. La velocidad u se puede interpretar también como la

velocidad con que el observador O se acerca o se aleja de la fuente. Ahora, que se mue-

va F, o se mueva O es lo mismo. Es más, no podemos hablar de velocidad absoluta u

sino de velocidad de F respecto de O.

Si O se acerca o se aleja de F, eso no podemos ponerlo de manifiesto pues O no nota

el "viento del éter", sencil lamente porque no hay medio o éter .

2) La velocidad de la luz c es en el vacío. Es decir, cuando el vacío está "separan-

do" F y O. En un instante F emite un pulso de radar o señal (luz) y esta señal es detecta-

da por los instrumentos que posee el observador O. Una vez emitida la señal por F, se

propaga a través del vacío hasta llegar a O con velocidad c.

Es decir, c es una constante propia de la propagación de la perturbación en el vacío y

totalmente independiente de la velocidad relativa u entre la fuente y el observador :

"El observador siempre atribuye a la perturbación electromagnética en el vacío la

velocidad c, independientemente del estado de movimiento de la fuente"

Éste es el postulado básico de la " Relatividad Especial" .

En las ecuaciones anteriores consideramos como v la velocidad constante c (que no

es la velocidad respecto de ningún medio, sencil lamente porque no hay medio), y ten-

dremos:

( )cu

ff−

=1

1' Foco aproximándose

( )cuff += 1'' Observador aproximándose


I 7

Siendo u la velocidad relativa de la fuente F y el observador O. Ahora bien ¿Con qué

fórmula nos quedamos, ya que ahora no tenemos la posibilidad de distinguir (como

para el sonido) el caso a) ó b)? Si fuera posible medir el valor f ' y el valor f '', entonces

podríamos saber quién se mueve, bien la fuente, bien el observador, y por lo tanto

sería posible determinar la velocidad u, respecto del espacio absoluto.

Como u es una velocidad relativa (igual en el caso a que en el caso b), lo más proba-

ble es que ni f ' ni f '' sean las frecuencias previstas del efecto Doppler para la luz.

Efectivamente, la frecuencia observada para la luz emitida por una fuente en movi-

miento relativo, con velocidad u respecto de un observador O, viene dada por la expre-

sión (según se demostrará con posterioridad):

cuc

uff

−

+=

1

1'

No hay dos casos, pues u es la velocidad relativa. Así pues, por esta medida de fre-

cuencia f ' sólo podemos detectar el movimiento relativo de la fuente F respecto del

observador O.

Una aplicación inmediata de esta relación en Astronomía proporciona la medida de

la velocidad radial con la que los cuerpos luminosos celestes se mueven con respecto de

la Tierra. Nótese que las medidas hechas sobre las radiaciones recibidas de las distintas

galaxias y otras radiofuentes, parecen indicar para todas una velocidad de recesión o

alejamiento, que es tanto mayor cuanto mayor es la distancia de la fuente en cuestión a

nuestro planeta (Ley de Hubble). Estas observaciones son la base del concepto de Uni-

verso en expansión*.

En cuanto a las expresiones de la frecuencia dadas en a), b), y para la luz, podemos

aproximar, teniendo en cuenta que prácticamente siempre tenemos u<< c, con:

( ) ( ) ( )( )...

2

2111

211 +

−−−+

−⋅−+=−

−

v

u

v

uv

u

* Se plantea una cuestión interesante: Si todas las galaxias se alejan de la Tierra... ¿Es nuestro planeta elcentro de expansión del Universo? ¡Qué chocante que tuviéramos que volver al geocentrismo, después dehaberlo desechado desde los tiempos de Copérnico y Galil eo! No es así, cualquier punto del Universopodría ser el centro de expansión. Un observador allí situado vería de igual modo alejarse de él a todas lasgalaxias. Podemos establecer una analogía entre un universo bidimensional en expansión, y la superficiede un globo (con galaxias pintadas...) que se está hinchando. Al expansionarse la superficie, todos loslunares se alejan unos de otros con una velocidad relativa proporcional a la distancia medida (sobre lasuperficie).


I 8

Para el caso a):

+

+

+= ...1.'

2

c

u

c

uff

Para el caso b):

+=

c

uff 1.'

Para la luz:

+

+

+= ...

2

11.'

2

c

u

c

uff

Para todas las fuentes monocromáticas disponibles, casi siempre u<< c y

c

u, por

tanto, tiene un valor muy pequeño. Nuestro sistema de medida ha de ser capaz de dis-

tinguir y medir con una aproximación de 2

c

upara hallar que el último caso es el co-

rrecto (experimental y conceptualmente es el de mayor contenido lógico y el más ele-

gante). Los términos en 2

c

uson los términos de corrección relativista, que se ponen de

manifiesto cuando u se aproxima a c.

Definición de Simultaneidad:

a) Medidas de longitudes y posiciones:

Supongamos un observador O que quiera posicionar cualquier objeto en reposo res-

pecto de él. Para ello establecerá un sistema coordenado, por ejemplo cartesiano, y con

referencia a los tres ejes, cuyo origen puede tomar en el punto que él mismo ocupa,

asignarle coordenadas al punto en cuestión P (x1, y1, z1).

Por los métodos de la geometría euclídea la distancia OP será:

21

21

21 zyxOP ++=

Y esta distancia será la que, con los patrones de longitud establecidos y colocándolos

directamente sobre la línea OP, dará el resultado de la medida. Cualquier otro punto

Q(x2, y2, z2) distará de P:

( ) ( ) ( )212

212

212 zzyyxxPQQP −+−+−=≡

Distancia que será el resultado directo de la aplicación de la unidad de longitud sobre

la línea recta que une P con Q. La medida de distancias puede hacerse de otro modo:

El punto P, siendo estacionario respecto de O, puede posicionarse en el sistema coor-

denado como sigue: El observador O tiene un reloj a su disposición, y un emisor y un


I 9

receptor de pulsos electromagnéticos. Emite un pulso en la dirección (θ', ϕ '). Espera a

recibirlo y ajusta el detector para que reciba la máxima señal reflejada por P en la direc-

ción (θ, ϕ). Si el tiempo en que es emitida la señal (una vez calibrada la dirección (θ,

ϕ)) es t0 = 0 (por ejemplo), y esta es recibida de vuelta por el reloj estacionario del ob-

servador en O en t0', y haciendo la hipótesis de que el pulso tarda lo mismo en viajar

de O hasta P, que de P hasta O, y que lo hace a velocidad c, se tendrá:

ctROP ⋅′== 022

Así pues quedará determinado P(R, θ, ϕ), o bien P(x, y, z).

Podríamos operar del mismo modo para todo punto Q y para muchos otros puntos

donde podrían situarse observadores locales con sus aparatos de medidas, para reseñar

todo suceso que ocurriera en su proximidad. Todos los sucesos observados en los dife-

rentes puntos tendrían una localización precisa. Todos los observadores en los diferentes

puntos serían equivalentes entre sí, ya que están en reposo respecto de O y podrían util i-

zar la misma referencia que O para posicionar su situación o cualquier otra. Diremos

que estos observadores pertenecen a la clase O. Son observadores de la clase O.

b) Medida del tiempo para los observadores de la clase O:

Supongamos que queremos describir la posición de una partícula que se mueve res-

pecto del observador O (por lo tanto respecto de cualquier otro de los de la clase O). Tal

partícula varía su posición en función del tiempo. Así pues hemos de definir de modo

preciso cómo miden el tiempo los observadores de la clase O.

Tomemos un conjunto de relojes que consideramos aptos para medir el tiempo, y

compruebe el observador en O que todos los relojes marchan al mismo ritmo en O. Di-

remos entonces que están sincronizados en O.

Los llevamos al punto P y los observamos por medio de nuestro observador en P.

Vemos que si estaban sincronizados en O, también están sincronizados en P y, del mis-

mo modo, estarán sincronizados en Q, y para cualquier observador situado en cualquier

punto, si es de la clase O.

Ahora cada observador toma un reloj, de los que hemos visto sincronizados y deno-

minaremos como aptos para medir el tiempo, y se lo lleva al punto que ocupará: P,Q,...

y donde realizará las observaciones.


I 10

Ahora es cuestión de definir claramente cómo sincronizamos los relojes, uno en O,

otro en P, otro en Q... etc., para medir el tiempo en que un determinado suceso ocurre en

O, en P o en Q y que este sea el criterio de sincronía que rige para el tiempo asociado a

los observadores de la clase O.

La sincronización de relojes situados en reposo, en dos puntos diferentes, se efectua-

rá mediante una señal. Si existiera una señal que se propagara instantáneamente de un

punto a otro, en todas las direcciones, lo que vamos a exponer ahora no tendría sentido.

No es así, ya que la luz en el vacío es la señal con mayor velocidad posible c. Utili za-

mos pues un pulso (de radar p. ej.) para sincronizar.

Como sabemos la distancia que existe entre O y el resto de los observadores de la

clase O situados en los diferentes puntos P,Q, ... etc., mandamos poner las manecil las

del reloj correspondiente en la siguiente posición:

• Para el reloj del observador O, poner la manecilla en: t0 = 0

• Para el reloj del observador P (en P), poner la manecilla en:c

OPtp =

• Para el reloj del observador Q (en Q), poner la manecil la en:c

OQtq =

Y así para cualquier observador situado a la distancia d de O, que tendrá que situar la

manecil la de su reloj en la división:

c

dt =

Cómo calculamos este tiempo:

Según Einstein: Sean observadores en reposo en O y P, con relojes sincronizados, aptos para medir el

tiempo en S. Son ambos de la clase O y utili zan las mismas coordenadas para referenciar los sucesos en S.

P

R

O

Supongamos que el observador O manda un pulso

electromagnético en t = 0, el pulso viaja con velocidad c

hasta P, rebota en P (en tp), y se recibe de nuevo en O en

el tiempo t'. Por definición, la distancia 2 R = c t', y por lo

tanto: cRt 2'= .


I 11

Supongamos ahora que el pulso fue recibido por P en el instante tp (marca del reloj en P). Como pare-

ce lógico, el tiempo que tardó la señal en ir de O hasta P ha de ser el mismo que el que tarda en ir de P

hasta O y, por lo tanto, podremos poner:

( ) ( ) ttttt ppp ′=⇒−′=− 20

[tiempo de la señal en ir de O hasta P] = [tiempo para ir de P hasta O]

y teniendo en cuenta la relación anterior:

c

Rtt p

22 =′= ⇒ c

RtP =

Que es la indicación del reloj en el punto P, en el momento de la llegada del rayo.

Convengamos que, en t0 = 0 para O, se emite por tal observador una señal electro-

magnética que pone en marcha el reloj en O y, sucesivamente, los relojes de los dife-

rentes observadores situados en los diferentes puntos del espacio. A partir de que el pul-

so los alcanza, y los relojes de S están funcionando, diremos que tales relojes están sin-

cronizados con O y sincronizados entre sí.

Definición: Diremos que un suceso que ocurre en un punto P, ocurr e en el tiempo t,

si el reloj en P marca el tiempo t al suceder el mismo.

Definición: Sucesos que ocurren en un punto P y en un punto P' diremos que son si-

multáneos, si los relojes en P y en P' señalan el mismo tiempo t.

De esta definición de simultaneidad se deriva una conclusión inmediata: Dos suce-

sos, uno en P y otro en Q, si son simultáneos no pueden estar conectados causalmente.

Un suceso que ocurre en P en el tiempo tp y otro que ocurre en Q en el tiempo tq sólo

pueden estar conectados causalmente si se verifica que:

ctt

PQ

pq

≤−

De este modo queda definido un tiempo universal para todo el sistema de referencia

S (para todos los observadores de la clase O). Ahora queda definido un tiempo común

para P y para Q, no un tiempo válido en O y un tiempo válido en Q como hubiera suce-

dido si midiéramos el tiempo transcurrido en P y en Q sin hacer ninguna afirmación

adicional.

Finalmente, sea un observador O' que se mueve con velocidad v respecto del obser-

vador O, y por tanto respecto de todos los observadores de su clase, y que utili za unos


I 12

ejes coordenados x', y', z', ligados a O' y en donde pueden situarse observadores P', Q'...

en diferentes puntos, en reposo respecto de O' y por supuesto entre sí. Tales observado-

res se denominarán de la clase O' y miden sus distancias mutuas y las distancias de O' a

cualquier punto de la forma que lo hacían los observadores de la clase O. En este caso

con patrones de medida en reposo respecto de O'.

También los relojes han sido sincronizados por señales de radar emitidas por O' y re-

cibidas por los observadores de su clase, del mismo modo que se hizo para los relojes de

la clase O.

Esto supone aceptar como principio la hipótesis: El pulso de radar se mueve con velo-

cidad c en el vacío tanto respecto de los observadores O como para los observadores O'.

Principio de constancia de la velocidad de luz independiente de la velocidad del foco.

Diremos que un suceso ocurre en un punto dado P, en el instante t respecto de S

(conjunto de observadores O) y en un punto P', en el instante t' respecto de S' (conjunto

de observadores O'), si los relojes de los observadores en P y en P' marcan el tiempo: t,

y t' respectivamente, al ocurrir el suceso.

Relaciones entre las coordenadas y tiempos para un suceso refer ido a dos clases de

observadores inerciales:

La relación clásica existente entre las coordenadas y tiempos para un mismo suceso

referido a dos clases de observadores O y O' es la Transformación de Galileo.

Supongamos que los observadores O referencian los sucesos respecto del sistema S,

de origen de coordenadas O. Los observadores O' utilizan el sistema S' , de origen O',

con ejes orientados según la figura. Y convenimos que en el instante en que O y O'

coinciden tomamos el origen de tiempos para t = 0 y t' = 0.

Y Y' P ≡ P'

(x, y, z, t) coordenadas del suceso en S

v (x', y', z', t') coordenadas del suceso en S'

Q ≡ Q'

O O' X ≡ X'

(x0, t0) en S

Z Z' (x0', t0') en S'


I 13

El Principio de la Relatividad Galileana nos dice que las relaciones entre las coor-

denadas y tiempos del mismo suceso medido respecto de las dos clases de observadores

O y O' son:

[I] vtxx −=′ , yy =′ , zz =′ , tt =′

Cualquier ecuación de la mecánica expresada en coordenadas (x, y, z, t) tiene idéntica

expresión en coordenadas (x', y', z', t'). Es decir, ante una transformación de coordena-

das como la anterior las ecuaciones de la mecánica son covariantes. La expresión mate-

mática de la ley tiene la misma forma, escrita respecto de S o respecto de S' .

Las dudas acerca de la validez de las ecuaciones [I] surgen ante el hecho de que las

ecuaciones del campo electromagnético no son covariantes ante transformaciones

de este tipo. Por tanto, las anteriores relaciones han de ser modificadas de modo que el

principio de covariancia (invariancia de forma bajo transformaciones de coordenadas

entre sistemas inerciales) sea valido para todas las ecuaciones de la física.

Supongamos que en el momento en que coinciden O y O', un rayo de luz abandona el

origen de coordenadas y llega al punto Q≡Q'. Si las coordenadas del suceso medido por

el observador Q en S son (x0, t0) y las del observador Q' estacionario en S' son (x0', t0'),

se cumplirá: ct

x =0

0

Veamos cuánto vale 0

0

t

x

′′

. Según la transformación [I] : vcvt

x

t

vtx

t

x−=−=

−=

′′

0

0

0

00

0

0

Luego la velocidad de la luz medida por los observadores de la clase O' sería (c − v),

en desacuerdo con el postulado de constancia de la velocidad de la luz.

Hay que sustituir la transformación [I] por otra que esté de acuerdo con tal postulado.

Tal transformación es la de Lorentz. En este caso particular, esta transformación es:

[II]

( )

−=′

−=′

2c

vxtt

vtxx

γ

γcon:

21

1

βγ

−= y: c

v=β

Utilizando tal transformación la velocidad de la luz es c, tanto en S como en S' .

Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz

I 14

En efecto:( )

c

cvvc

tc

vx

vt

x

c

vxt

vtx

t

xo =−−=

−

−

=

−

−=

′′

11

02

0

0

0

20

0

00

0 γ

γ

Y tal transformación que preserva la velocidad de la luz, c en S' , es la que adoptare-

mos en el estudio de los fenómenos electromagnéticos.

2. Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz:

Espacio de M inkowski m4:

Cada suceso para el conjunto de observadores de la clase O se describirá con un

conjunto de cuatro números que representan el tiempo y la posición del suceso, medido

por cualquiera de los observadores de la clase O. Así un suceso P será:

P (t, x, y, z)

Podemos representar el suceso en un espacio cuadridimensional m4, el espacio de

Minkowski y tomar ejes adecuados para que P tenga coordenadas respecto de tales ejes:

( )zxyxxxtcxP ===== 3210 ,,,.

Así pues, tenemos en un diagrama tiempo/espacio:

X 0

P(x0, x1, x2, x3)

X1

Es evidente que el mismo suceso se puede referenciar por observadores de la clase

O , que se mueven con velocidad v respecto de O sobre el eje xx = común. Tal

suceso se referenciará por ( )3210 ,,, xxxxP . Si tomamos unos ejes adecuados en el espa-

cio de cuatro dimensiones tendremos:

( )3210 ,,, xxxxP 1X

0X


I 15

Ya conocemos las relaciones que han de existir entre las observaciones realizadas del

suceso P por O y O . Tales relaciones son:

( )

−=

−=

2c

vxtt

vtxx

γ

γ

zz

yy

==

Transformación de Lorentz

Que definen a los sistemas coordenados Lorentz: Xα . Así, para la transformación de

coordenadas entre sistemas coordenados Lorentz: ( )βαα XXX = , tendremos:

[I]

( )( )

33

22

011

100

.

.

xx

xx

xxx

xxx

==

−=−=

βγβγ

En donde: 21

1

βγ

−= , c

v=β

Si tuviéramos la transformación inversa: ( )βαα XXX = :

[II]

( )( )

33

22

011

100

.

.

xx

xx

xxx

xxx

=

=+=+=

βγβγ

Transformación de coordenadas en m4:

De este modo cualquier punto (suceso) P en m4 puede representarse en coordenadas

respecto del sistema de ejes x ó x . En principio la transformación de coordenadas o

cambio de ejes puede ser cualquiera, y vendrá dado por las funciones:

[I '] ( )βαα XXX =

De tal forma que la relación entre αX y βX será de la forma:

νµµν XX Λ= con: ν

µν

µ

X

X

∂∂=Λ

Para transformaciones de la forma [I] , [I'].

En el caso de transformaciones [I] , νµΛ tiene las componentes:

γ=∂∂=Λ

0

0

00

X

X βγ−=∂∂=Λ

1

0

10

X

X βγ−=∂∂=Λ

0

1

01

X

X...etc.

Dando lugar a la matriz de cambio de coordenadas:

−

−=

3

2

1

0

3

2

1

0

100001000000

xxxx

xxxx

γγβγβγ


I 16

Para la transformación inversa:

[II '] ( )βαα XXX =

La relación será de la forma: νν

µµ XX Λ=

Donde las cantidades definidas por la transformación son:

ν

µν

µ

X

X

∂∂=Λ

Y con la relación que se establece en las ecuaciones [II] éstas son:

γ=∂∂=Λ

0

0

00

X

X βγ=∂∂=Λ

1

0

10

X

X βγ=∂∂=Λ

0

1

01

X

X...etc.

dando lugar a:

=

3

2

1

0

3

2

1

0

100001000000

xxxx

xxxx

γγβγβγ

Una transformación es inversa de la otra. Luego para cualesquiera que sean las trans-

formaciones [I '] y [II '] se tendrá:

αµ

αν

νµ δ=ΛΛ

y las matrices representativas serán una la inversa de la otra.

En particular, si Λ y Λ describen la transformación de ejes establecida en m4 por las

ecuaciones [I] y [II] , serán las transformaciones que fijen las relaciones que existen en-

tre sucesos descritos por observadores de la clase O y O .

Métrica en m4:

En particular dos sucesos pueden ser sucesos próximos descritos por O de modo

que correspondan a P y P + dP según xd que puede ser expresado en componentes res-

pecto al sistema coordenado x ó x .

xd P+dP

P

( )( )î

3210

3210

,,,

,,,

xdxdxdxdxd

dxdxdxdxdxxd

µ

µ

µxd y µdx se relacionan a través de las matrices Λ. Así:

νν

µµ dxxd Λ=

Definimos un tensor g métrica en m4, que tendrá componentes en S, y que nos servi-

rá para calcular la distancia entre dos puntos o el modulo del vector xd de la forma:


I 17

( )

( ) ( ) ( ) ( )232221202

2 ,

dxdxdxdxds

dxdxdxdxgxdxdgds

−−−=

=== νν

νµµν

Por definición

Donde hemos utili zado µµνν dxgdx = .

Mirando la expresión y teniendo en cuenta que las componentes del vector xd

son

( )3210 ,,, dxdxdxdxxd ≡

, tendremos que:

( )1,1,1,1 −−−= diaggµν

y por tanto: ( )3210 ,,, dxdxdxdxdx −−−≡µ

Por otra parte, la distancia entre los puntos o módulo del vector xd

se puede expresar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )232221202 , dxdxdxdxdxdxdxdxgxdxdgds −−−==== νν

νµµν

Por lo que identificamos las componentes µνg como:

( )1,1,1,1 −−−≡ diaggµν

Es evidente que: ( )1,1,1,1diagggg ==== αγγ

αγ

αβγ

αβ δδ , la identidad.

Y que: µνµν dxgdx =

La expresión así definida para 2ds es propiamente una distancia, vale lo mismo en S

y en S (Invariancia del intervalo en forma y número). En efecto:

( ) ( )

( ) ( ) 232221222022

232201220222121022122202

232220122102232221202

11

22

xdxdxdxd

xdxdxdxdxdxdxdxdxdxd

xdxdxdxxdxddxdxdxdxds

−−−−−=

−−−−−++=

−−+−+=−−−=

βγβγ

βγβγγβγβγγ

βγβγ

Donde:

( )( )

î

=

=

+=

+=

33

22

011

100

xddx

xddx

xdxddx

xdxddx

βγ

βγ

En definitiva, ya que: ( ) 11 22 =− βγ , se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) 2232221202 sdxdxdxdxdds =−−−=

Utilizando la métrica en componentes en el sistema S:

νµµν xdxdgsd =2

Lo que quiere decir que: ( )1,1,1,1 −−−= diaggµν .


I 18

Transformaciones de Lorentz:

Como g es un tensor, sus componentes g ó g están relacionadas entre sí por matri-

ces Λ. Así pues: gg ΛΛ= , ó bien: βγµνγ

νβ

µ gg ΛΛ= , donde Λ es la matriz de la

transformación: ( )αµµ xxx = β

µβ

µ

x

x

∂∂=Λ

Se define como transformación de Lorentz cualquier transformación Λ de las coor-

denadas que deje invariante la métrica:

( ) ( )1,1,1,11,1,1,1 −−− → ΛΛ−−− gg

Tales transformaciones se denominan ortogonales en el sentido de la métrica y

determinan sistemas coordenados Lorentz en m4.

Cono de luz:

Una vez visto que el intervalo entre dos sucesos tiene el mismo valor en cualquier

sistema de coordenadas (es decir, puede servir como distancia entre dos puntos) pode-

mos clasificar los intervalos del siguiente modo:

1) Intervalo de tipo temporal:

Si: 02 >ds ⇒ 022232221202 >=−−−= τdcdxdxdxdxds

El intervalo entre sucesos es mayor que cero. Si un suceso es posterior a otro en un

sistema coordenado Lorentz es siempre posterior en cualquier otro sistema Lorentz.

O dicho de otra forma. Si un suceso es posterior a otro para un observador inercial,

siempre es posterior para cualquier observador, está en el Futuro Absoluto. Si es ante-

rior a otro en un sistema coordenado Lorentz, es anterior en cualquier otro sistema Lo-

rentz, está en el Pasado Absoluto.

En particular hay un observador para el cual los dos sucesos ocurren en el mismo pun-

to espacial. En este caso, el tiempo transcurrido se denomina Intervalo de Tiempo Propio.

2) Intervalo de tipo espacial:

Si: 02 <ds ⇒ 0232221232221202 <

++−=−−−= xdxdxddxdxdxdxds

Un suceso del intervalo puede suceder antes o después que el otro según el sistema

de referencia desde el que se observe. En particular pueden suceder en el mismo tiempo,

aunque en dos puntos espaciales diferentes. Tales sucesos se dice que están en la región

del espacio de Presente Condicional.


I 19

3) Intervalo isótropo:

Si: 02 =ds ⇒ 023222120232221202 =−−−=−−−= xdxdxdxddxdxdxdxds

En cualquier sistema coordenado Lorentz, o para cualquier observador inercial O , los

dos sucesos están separados espacialmente, y ocurren en el intervalo de tiempo dt tal que:

22

222

cdt

dzdydx =++

Se dice que los sucesos están separados, o conectados, por un rayo de luz. Así pues,

para todo suceso P podemos dividir el espacio de Minkowski en las siguientes regiones:

x2, x3

x1

x0

PPuntos de Presente

Condicional

Puntos de Presente

Condicional

Sucesos en el Pasado

Absoluto de P

Sucesos en el Futuro

Absoluto de P

m4

Cono de luz de vértice PPuntos sobre el cono de luz

Línea de Universo que

pasa por P

Que definen la estructura causal del espacio-tiempo. La historia de una partícula puntual

es un conjunto conexo de sucesos, una curva continua en m4: una línea de Universo.

Cuadrivectores sobre m4:

De la misma forma que al espacio ordinario R3 se le asocia un espacio vectorial eu-

clídeo V3, caracterizado por el producto escalar ordinario, para formar un espacio afín

euclídeo E3, al espacio métrico m4, caracterizado por g, se le puede asociar un espacio

vectorial V4 de cuadrivectores, cuyas componentes en los sistemas coordenados Lo-

rentz se transformarán como las coordenadas de los puntos de m4.

Para un cuadrivector A

se pueden considerar sus componentes contravariantes:

Aµ (A0, A1, A2, A3), y sus componentes covariantes Aµ , relacionadas por: Aµ = gµνAν ,

de manera que: Aµ (A0

= A0, A1 = –A1, A2 = –A2, A3 = –A3).

Bajo una transformación de coordenadas, las componentes contravariantes se trans-

formarán con las Λ: νν

µνν

µµ AA

X

XA Λ=

∂∂=

Y las componentes covariantes, con las Λ : νµνµ

ν

µνAA

X

XA Λ=

∂∂=


I 20

El producto escalar de dos cuadrivectores se define con la métrica:

BA

⋅ = ( )BAg

, = Aµ gµν Bν = Aµ Bµ = A0B0 + A1B1 + A2 B2 + A3B3 = Bµ

Aµ

= B0A0 + B1A1 + B2 A2 + B3A3

= A0 B0 – A1 B1 – A2 B2 – A3 B3

El producto escalar de dos cuadrivectores es un escalar Lorentz, esto es, es invariante

bajo cambios de coordenadas Lorentz.

Llamaremos norma o módulo de un cuadrivector al cuadrado del cuadrivector:

AA

⋅ = Aµ gµν Aν = Aµ Aµ = A0A0 + A1A1 + A2 A2 + A3A3

= (A0)2 – (A1)2 – (A2)2 – (A3)2

Los cuadrivectores pueden clasificarse según su módulo, así para:

• Si 0>⋅ AA

, A

es de tipo temporal.

• Si 0<⋅ AA

, A

es de tipo espacial.

• Si 0=⋅ AA

, A

es de tipo luz o nulo.

La componente A0 de un cuadrivector A

se llama temporal, y las componentes (A1,

A2, A3) espaciales. Para las transformaciones puramente espaciales, A0 es un escalar y A

= (A1, A2, A3) un vector. Podemos escribir así las componentes contravariantes de un

cuadrivector como: Aµ (A0, A), y las covariantes como: Aµ (A0, – A), con lo que el pro-

ducto de cuadrivectores BA

⋅ se indicará: Aµ Bµ = A0B0 – A·B. Y el módulo de un cua-

drivector AA

⋅ : Aµ Aµ = (A0)2 – |A|2.

Relación entre ds, dττ y dt:

P+dPP

( )sx

ds2

Supongamos una línea de Universo, curva de

m4 con parámetro s, τ, ó t, de modo que el inter-

valo entre dos puntos cualquiera próximos sea de

tipo temporal: ds2 = c2 dτ2

El parámetro que identifica la posición del

afijo del vector puede estar definido de modo

que: ( )sxx

= , ó: ( )τxx

= , ó: ( )txx

=

Tomemos un sistema coordenado Lorentz particular S. Las componentes del vector

( )tx

, o las coordenadas del punto P serán:

( ) ( ) ( )3210 ,,,,,, xxxxzyxcttx ≡≡µ


I 21

Por tanto, el vector que une P y P+dP será en tal sistema coordenado:

( ) ( )dzdydxcdtdxdxdxdxdx ,,,,,, 3210 ≡≡µ

Y el intervalo: ( ) 222222 , dzdydxdtcdxdxgxdxdgds ++−=== νµµν

O bien:

î

+

+

−=

222

2222 1

1dt

dz

dt

dy

dt

dx

cdtcds

Si tal intervalo es de tipo temporal: 02 >ds , y kdzjdyidxrd

++= podría ser el

desplazamiento de una partícula observada por O en un tiempo dt, de modo que:

( )zyx vvvkdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rdv ,,=++==

Por lo que: 2

21222

cvdtcds −=

Y esta es la relación entre ds y dt:

dtcds=γ con:

2

21

1

cv−

=γ

También podríamos haber referido el vector xd

a componentes en el sistema de refe-

rencia Lorentz en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial, ya que el

intervalo es de tipo temporal. Esto es, en S:

( ) ( )0,0,0,0,0,0,0 τµ cdxdxdxd ==≡

El intervalo de tiempo transcurrido es, por definición, el tiempo propio (intervalo de

tiempo propio). Calculando ds2:

2

2122222

cvdtcdcds −== τ

Por lo que la relación entre dt y dτ será:

τγγ dcdtcds == ⇒ γτ

=d

td

Vector tangente a la línea de Universo:

El vector tangente unitario a la línea de Universo lo obtendremos al derivar respecto

del arco tomado como parámetro. Así pues:

( )gtds

sxd =

Si derivamos respecto de otro parámetro obtendremos un vector que es proporcional

al gt . En particular podemos derivar:


I 22

( )ττ

dxd , o bien: ( )

dttxd

El vector ( )ττ

dxd se denomina cuadrivector velocidad: u . Las componentes de tal

vector en un sistema coordenado Lorentz en particular serán:

( ) ( ) ( ) ( )

===≡ tr

dt

dct

dt

d

dt

dx

dt

dx

d

dt

d

dx

d

xd ,γγ

τττ

ττ µµµ

Y por lo tanto:( ) ( )vc

d

dxu ,γ

ττα

α =≡

La componente espacial de tal cuadrivector en un sistema coordenado Lorentz particular

nos indica la velocidad con que se describe la trayectoria rd .

Podemos, como anteriormente, tomar el sistema coordenado Lorentz propio S para

referir las componentes del cuadrivector u . Respecto de S las componentes son:

( )0,cu =α

El cuadrivector es el mismo. En particular, su módulo será calculado:

• en S: ( ) 2, cuuguug == βααβ

• en S: ( ) 22

2222222 1, c

c

vcvcuuguug =

−=−== γγγβα

αβ Cuadrivector aceleración y cuadrivector momento:

m0 u

m0 u

a)

b)

Consideremos el campo escalar cons-

tante de parámetro m0, asociado a cual-

quier punto de la línea de Universo y defi-

namos el cuadrivector momento:

ump 0=

cuyas componentes en el sistema coorde-

nado S son:

( ) ( )vmmcvmcmump ,, 000 === γγαα

En donde hemos definido:

2

2

0

1c

v

mm

−=

Tal cantidad la denominamos masa de la partícula m0, observada desde O, al despla-

zarse sobre la trayectoria ( )trr = con velocidad v .

En particular, en el sistema coordenado Lorentz S podemos tomar componentes de p :

( )0,0,0,00 cmump == αα


I 23

Tal observador inercial O se movería con velocidad v respecto de O, y por tanto la

partícula estaría en ese instante en reposo respecto deO .

Evidentemente el cuadrivector p es el mismo, y en particular su módulo:

( ) ( ) 220,, cmppgppgppg === βα

αβαα es de tipo temporal.

Partícula libre:

Sobre la línea de Universo a) tanto el cuadrivector p , como el u son constantes y

podemos hacer: 0=ds

pd, 0=

τd

pd, o bien: 0=

dt

pd

Ya que los parámetros s, τ, y t están relacionados linealmente entre si. En particular:

0===dt

pd

dt

pd

d

dt

d

pd γττ

⇒ 0=dt

pd ⇒ 0=dt

dpα

Lo que significa que: ( ) 00 =cmdt

d γ ⇒ ( ) 0=γdt

d ⇒ γ = cte ⇒ ctev =

( ) 0000 =

+

= γγγ

dt

vdmv

dt

dmvm

dt

d ⇒ 0=dt

vd ⇒ ctev =

Lo que nos indica que en cualquier sistema inercial, en particular para O, tanto el módulo

como la velocidad de la partícula, y por tanto su momento, son constantes con el tiempo.

No habrá por tanto fuerza alguna aplicada sobre la partícula: partícula libre.

Las partículas libres describen líneas rectas en el espacio de Minkowski (geodésicas).

Partícula ligada (aceleración):

La partícula sobre la línea de Universo b) cambia la dirección de la velocidad y, por

lo tanto, del cuadrimomento. Así podemos hacer:

0≠ds

ud , 0≠

τd

ud , ( ) 00 ≠= kum

d

d τ

.

Lo que manifiesta una propiedad geométrica: la línea de Universo tiene curvatura.

El cuadrivector τd

pdk

= es perpendicular al cuadrivector u , ya que es proporcional a

τd

ud , y se verifica que: 2. cuu = ⇒ 02 =u

d

ud τ

Luego: udud ⊥τ

Tal vector define la dirección normal de la curva (curvatura normal). La línea de

Universo de una partícula ligada es una línea curva.

0


I 24

El cuadrivector: ud

ud =

τ se denomina cuadrivector aceleración.

Cuadrivector fuerza k

:

Veamos qué significado le podemos atribuir a k

. Tomando componentes en el sis-

tema coordenado Lorentz S tendremos:

( ) ( ) ( )vmcmdt

dum

dt

d

d

dtum

d

dk

γγγ

ττααα

0000 ,===

• para las componentes α = 1, 2, 3:

( ) ( ) ( )αααα

γγ

pdt

dmv

dt

dvm

dt

dk === 0

Luego, si la derivada temporal del momento representa la fuerza que O ve aplicada

sobre la partícula y que hace que ésta se desplace con la trayectoria ( )trr

= , se tendrá:

( ) ααα

γFp

dt

dk == ⇒ ( )Fkk

γ,0=

La componente espacial del cuadrivector fuerza k

tiene información de la fuerza que

se aplica sobre la partícula que en el instante de tiempo t está en la posición ( )trr

= ,

con velocidad ( )tvv

= según un observador inercial O.

• para la componente α = 0:

El valor de k 0, teniendo en cuenta que 0. =uk

: 020 =⋅− vFck

γγ ⇒c

vFk

⋅= γ0

Por tanto, en componentes respecto de S, el cuadrivector fuerza:

⋅≡ Fc

vFk

,γ

De modo que la ecuación kd

pd =

τ representa en S:

• para α = 1, 2, 3: FFdt

dp ≡= α

α Ley de movimiento de m0 para O.

• para 0=α : 00

kd

dp =τ

⇒c

vF

dt

dp

d

dt

⋅=γτ

0

⇒ ( )c

vFcm

dt

d

⋅=γ0

Y, por lo tanto, si c = cte: ( ) vFmcdt

d ⋅=2

O bien: ( ) Φ−=Φ−∇=⋅=⋅= drdrdFdtvFmcd2

si la fuerza F

proviene de un potencial Φ (fuerza de un campo conservativo).


I 25

Veamos qué ocurre entre dos puntos de la línea de Universo correspondiente a

parámetros τ 1 y τ 2, o bien para valores de t1 = t1(τ 1) y t2 = t2(τ 2). Integrando la última

ecuación:

( ) [ ]122

1

2

1

2

1

22

2 Φ−Φ−=−⇒Φ−=∫ ∫ cmcmdmcd

Donde m2 es la masa que la particula de masa m0 tiene en el punto ( )222 trr = , donde

su velocidad es 2v en el sistema de referencia de los observadores O . Lo mismo para

el punto ( )111 trr = , luego:

Emccmcm =Φ+=Φ+=Φ+ 21

212

22

Por lo que denominamos energia total de una partícula en cualquier punto de su

trayectoria a:

...8

3

2

1

12

4

02

02

02

2

2

02 ++++Φ≈−

+Φ=+Φ=c

vmvmcmc

cv

mmcE

Energía no relativista:

La definimos como la energía cinética más la potencial, en el sentido clásico; luego:

( )20

0cmElimE

cvNR −=

→

donde 20cm es la energía propia de la partícula en reposo.

Energía cinética relativista:

Comportará todos los términos que dependen del estado de velocidad:

( ) ( )120

20 −=Φ−−= γcmcmET

Momento en función de la energía:

Ya hemos visto que p puede ponerse en componentes respecto de S.

( )vmmcpp ,α≡

En el sistemaS: ( )0,0cmpα .

En el primer sistema podemos escribir p en función del momento y la energía atri-

buida a la partícula por el observador inercial O . Así:

τ1

τ2


I 26

Φ−

pc

Ep ,α ; ( )0,0cmpα

Luego, conociendo la energía y el momento en un sistema S, podemos conocer la

masa m0 de la partícula. En el caso de la partícula libre: 0=Φ , el módulo de p será:

220

22

22

cmpc

Eppp =−=≡α

α ( 420

222 cmcpE += )

Cualquier partícula de masa 00 >m tendrá un cuadrivector momento de tipo temporal.

Partículas de masa nula:

Para una partícula de cuadrivector momento de tipo luz o nulo:

20

22

2

,,0 cmpc

Ep

c

Ep

c

Epp =−=

−

== µ

µ ⇔ 00 =m y: pcE =

Además se asume que el cuadrivector velocidad es de tipo nulo, lo que significa que tal

partícula viaja a velocidad c. Tales partículas de masa nula y velocidad c son los fotones.

La transformación de masa en radiación (energía: fotones) es posible por la ley de

conservación del momento relativista.

Sea, por ejemplo, la reacción: ( ) ( )

21

2

0

1

ffm +→ en la que una partícula de masa m0 se

desintegra a dos fotones*. Consideramos la partícula en el sistema propio:

Como ( ) ( )21 pp = : momento total del estado 1 = momento total del estado 2, se tiene que:

( )

+= 22

11 ,,0,0 k

ck

ccm

ωωcon:

ch ω

λ

=

Entonces, de: 21 kk −= ⇒ 22

11 u

cu

c ωω = , por tanto, tendremos para los dos fotones

frecuencias angulares: ω 1 = ω 2 , y serán emitidos en direcciones opuestas.

Si ω 1 = ω 2 = ω, la componente cero de p : c

cmpω

200 ==

Y la frecuencia de los fotones será: 2

20cm=ω

Ondas de de Broglie:

Se puede asociar una onda de frecuencia y energía dada a una partícula material de

masa 0m . Tal onda es la onda material de de Broglie. (Comportamiento dual, partícu-

la/onda de materia).

* e.g. la desintegración a 2 fotones de los piones neutros: π0→2γ; mπ

0 ≈ 135 MeV/c2.


I 27

A cada partícula material de masa 00 >m le asociamos una frecuencia y un vector

de onda tales que: E=ω pk =

El cuadrivector momento en el sistema S, (medidas del observador O ):

( )pcEp

,=α de módulo: α

α ppcm =220

Por lo tanto: 22

222

2

222

0 pc

pcEcm −=−=

ω

Despejando, la frecuencia que le corresponde a la partícula es:

2

420

2

222 cmcp +=ω

Que se comprueba experimentalmente*.

Así cada partícula tiene asociados los observables:

Energía (E): ω=E Momento (p): kp

=

Frecuencia: E=ω Nº de onda: pk =

Efecto Doppler y Aberración de la Luz:

Sea un sistema de referencia en donde se observa una onda electromagnética plana

de frecuencia ω y de dirección de propagación k

. En la región del espacio que contiene

campo electromagnético tenemos en m4 definido el cuadrivector de propagación α

.

Referido a coordenadas Lorentz, sus componentes son:

( )kc

,ωα ν =

La frecuencia y dirección en S. El cuadrivector momento para un fotón es:

≡= k

cpp fotonfotonfoton

,

ωα µ

Otro observador S' que detectara el campo electromagnético le asignaría diferente

frecuencia y dirección de propagación.

Si S' se mueve con velocidad v a lo largo de un eje x = x' común, utilizará coordena-

das Lorentz xµ' en m4, de tal forma que para S' y S tendríamos las relaciones entre αν y

αν' por medio de:

αν' = Λν'µ αµ

* Davisson, C. J. Germer, L.H.: Physical Review, 30, 705 (1927)


I 28

Así pues:

−

−=

z

y

x

z

y

x

kkk

c

kkk

cω

γγβγβγω

100001000000

'''

'

De donde: [I] ( )xkcc βωγω −='

[II] ( )ckk xxωβγ −=' , yy kk =' , zz kk ='

La situación será la siguiente en S y S' :

S

y

x

δ

ω, k

S'

y'

x'

δ'

ω', 'k

β

Teniendo en cuenta que α

es un cuadrivector nulo: 0=⋅αα

⇒î

=

=

ck

ck

'' ω

ω

Y las relaciones:

î

=

=

'cos'

'

cos

δω

δω

ck

ck

x

x

⇒ [ ]δβωγδωγωcos1cos

1'2

−=

−=

cc

v

cc

[ ]βδωγωδωγδω −=

−== coscos'cos

''

ccc

v

cck x

Podemos ver las ecuaciones que relacionan la frecuencia y la dirección de propagación

de la onda en S y en S' :δββδδ

cos1

cos'cos

−−= Aberración de la luz

[ ]δβωγω cos1' −= Efecto Doppler para la luz

Que sólo depende de la velocidad relativa de S y S' , β .

Casos particulares:

a) Cuando δ = 0:

En S' el ángulo que forma el vector de propagación con el eje x' es δ ':

0'11

1'cos =⇒=

−−= δ

ββδ No hay aberr ación

El signo de (1 −− β) difiere del considerado para la luz en el caso del efecto Doppler [Ver

p. I 6], porque aquí están los sistemas alejándose con v

y no acercándose con u.


I 29

S

y

x

δ = 0

ω, ( )0,0,xkk

S'

y'

x'

δ' = 0

β

ω', ( )0,0,'' xkk

La frecuencia observada en S' : ( )ββω

β

βωβγωω+−=

−

−=−=1

1

1

11'

2

Se tiene que para todo β > 0 : ω ' < ω Efecto Doppler longitudinal

Si hacemos una observación astronómica del espectro de emisión de una estrella de

S, estamos en S' , cuando la estrella se aleja vemos un corrimiento al rojo.

b) Cuando δ = π /2:

S

y

x

δ = π /2

ω, ( )0,/,0 ckk y ω=

S'

y'

x'

θ'

ω', ( )0,','' yx kkk

β

La frecuencia observada en S' :

( ) ωγδβωγωδ

=−==0cos

cos1' ⇒ ω ' < ω Efecto Doppler transversal

Y corrimiento al violeta de la frecuencia.

En cuanto al vector de onda de la señal electromagnética, se tiene en S' :

cckk

xkconxx

ωβγωβγ −

−= =

=0

'

yy kk ='

0' == zz kk

Luego: ( ) ( )0,,'0,,'0,','' yyyx kkkcc

kkkk βγωωβγ −=⇒

−=⇒=

: Aberración de la

luz, esto es, desviación respecto de su dirección de emisión.

Podemos hallar el ángulo θ ' desde: ( ) βγβγθ −=−==y

y

y

x

k

k

k

k

'

''tan


I 30

Objetos geométricos en m4:

Cuando hablamos de objetos geométricos nos referimos a escalares, vectores, tenso-

res, formas diferenciales..., etc. Es decir, entes que estarán definidos en m4 y que ten-

drán propiedades intrínsecas, independientes de su expresión en los diferentes sistemas

coordenados.

Normalmente estos objetos se pondrán en correspondencia unos con otros por medio

de relaciones. Si esas relaciones se establecen como igualdad de las componentes de los

objetos en los sistemas coordenados Lorentz, tendremos la relación expresada como una

relación covariante Lorentz. Si no hacemos referencia a ningún sistema coordenado al

establecer la correspondencia, diremos que la relación o ecuación propuesta es "geomé-

trica".

Los objetos son de diferente rango, dependiendo de su complejidad al expresarse en

los diferentes sistemas coordenados. Los más sencillos son los escalares: objetos de

rango cero. Luego los objetos de rango 1 ó vectores, los de rango 2, tensores. En ge-

neral podremos tener objetos de rango n=0 o n≠0.

Sobre estos objetos se pueden efectuar operaciones: las más importantes son las dife-

renciales.

Cuando propongamos una igualdad entre objetos definidos en m4, los objetos a am-

bos lados de la igualdad han de tener igual rango.

Así pues el modo de proceder será el siguiente:

• Introducir objetos en m4.• Relacionarlos por operaciones diferenciales.• Proponer tales relaciones en componentes en los sistemas coordenados Lorentz.

Y por tanto estas relaciones covariantes Lorentz, serán las relaciones que se escriban

en los sistemas de referencia inerciales, ya sea S ó S .

Reproducirán por tanto la teoría física descrita como la relación entre las magnitudes

observadas en S, o bien en S , según expresemos las componentes de los objetos en un

sistema coordenado Lorentz u otro.

Operaciones diferenciales sobre objetos de m4, operador ∂∂:

Procedamos a definir objetos sencil los en m4:

Campo escalar: Es una función que asigna un número a todo punto x de la región R4 de

m4 donde tal función esté definida:

Ψ: ∀ x ∈ R4 → )

x ∈ R


I 31

Tomamos coordenadas Lorentz para el punto x ≡ xα y por tanto:

) αx = )

αx

Evidentemente, en el sistema de referencia S óS asociado a los sistemas coordenados

Lorentz: xα, αx , tendremos el valor asociado a la propiedad:

) αx ≡ )

αx = ),

tr = ),

trDefinida en el punto espacial y en el instante dado en los correspondientes sistemas

inerciales.

Veamos la variación de Ψ en un punto x y en un punto próximo x + xd :

33

22

11

00

dxx

dxx

dxx

dxx

d∂

Ψ∂+∂

Ψ∂+∂

Ψ∂+∂

Ψ∂=Ψ

En uno de los sistemas coordenados Lorentz que po-

damos tomar en m4, tenemos la expresión del vector xd :

( )3210 , , , dxdxdxdxdxxd ≡≡ α

Luego el escalar dΨ se puede poner como:

( ) ( )( )xddxd !Ψ∂=Ψ∂=Ψ µµ

En donde se explicita, de modo geométrico en la última igualdad, la contracción de

un objeto (1-forma) que sobre un vector xd da un número: dΨ. El objeto 1-forma, tiene

por expresión, con índices abajo (índices covariantes):

( ) ( )

∂Ψ∂

∂Ψ∂

∂Ψ∂

∂Ψ∂=Ψ∂=Ψ∂≡Ψ∂

3210,,,

xxxxµµ

En todos los sistemas coordenados Lorentz.

Es por tanto posible decir que tenemos un operador ∂ que en coordenadas Lorentz

tiene por componentes:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂≡∂

3210,,,

xxxxµ ⇒

∇

∂∂≡∂ !,

0xµ

Y que actúa sobre los escalares (objetos de orden cero) para obtener objetos de orden

uno (1-formas).

Es evidente que las componentes de ∂ pueden expresarse con índices "arriba" por

medio de la métrica. En todo caso, se podría escribir:

( ) ( ) 33

22

11

00

dxx

dxx

dxx

dxx

dxdxd∂

Ψ∂+∂

Ψ∂+∂

Ψ∂+∂

Ψ∂=Ψ∂=Ψ∂=Ψ µµ

µµ

R4

x"

xd #

O


I 32

Y teniendo en cuenta que ( )3210 ,,, dxdxdxdxdx −−−≡µ se tendrá para la expresión ∂ µ :

∇−

∂∂≡∂ $,

0xµ

La aparición de objetos de orden ó rango uno con índices arriba, o con índices abajo

se lleva a cabo por la métrica. La métrica establece una correspondencia biunívoca entre

los vectores (índices arriba) y 1-formas (índices abajo).

Campo vectorial y campo asociado a 1-forma: A todo punto x% de la región R4 se le asig-

na un objeto, que viene definido por cuatro funciones cuando se representa en compo-

nentes respecto a cualquier sistema coordenado establecido en m4:

Campo vectorial J% : ∀ x% ∈ R4 → )(xJ %µ ∈ m4

Campo 1-forma J% : ∀ x% ∈ R4 → )(xJ %µ ∈ m4

Relacionados por la métrica g: Jµ =gµνJν Jµ =gµνJν

Ascenso de rango, derivada exterior:

El operador ∂ puede actuar sobre objetos de rango cero dando objetos de rango uno.

Cuando tal operador sube el rango del objeto, diremos que ∂ actúa como derivada exte-

rior : d. Se tiene ∂ ≡ d, si sube rango:

Así pondremos: ∂: Ψ dΨ(rango cero) (sube rango) (rango uno)

A esta operación se le denomina normalmente obtener el gradiente.

Descenso de rango, divergencia:

En geometría diferencial el operador ∂ puede bajar el rango del objeto. En particular,

un objeto de rango uno (vector), puede ponerse en correspondencia por medio de ∂ con

un escalar. Por ejemplo, para un campo vectorial J% :

Así pondremos: ∂: J% ( ) ( ) Ψ=≡∂ JJ %% δ

(rango uno) (baja rango) (rango cero)

El cuadrivector J% se pone en correspondencia con el escalar ( )J%δ , por medio del

operador δ denominado codiferencial.

Su forma de actuar en los sistemas coordenados Lorentz es:

3

3

2

2

1

1

0

0

x

J

x

J

x

J

x

JJJ

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=∂=Ψ=∂⇒ µ

µµµδ

d

δ


I 33

Donde:

∇

∂∂≡∂ &,

0xµ

∇−

∂∂≡∂ &,

0xµ

En síntesis: ∂, actuando como codiferencial: ∂ ≡ δ sirve para bajar el rango.

Las operaciones derivada exterior y codiferencial, actuando sobre campos escalares y

vectoriales, son operaciones diferenciales respecto de coordenadas y tiempos de funcio-

nes que se utilizan para representar magnitudes físicas para los diferentes observadores

inerciales S asociados a los sistemas coordenados Lorentz utili zados en m4.

Vamos a definir objetos en m4 y ponerlos en correspondencia por medio de los ope-

radores δ y d. Tales correspondencias serán las que denominamos relaciones geométri-

cas. Las relaciones geométricas tendrán expresión en los sistemas coordenados Lorentz,

como relación entre las componentes de los objetos. Tales relaciones serán las mismas:

Se dirá que son covariantes Lorentz o invariantes (en forma) Lorentz. Al pasar a la de-

pendencia de las funciones en coordenadas y tiempo tenderemos las relaciones en cual-

quier sistema inercial S.

Las anteriores relaciones podrán describir leyes de la física según los observadores

asociados a un sistema inercial S. En lo que sigue tratamos de establecer las leyes del

campo electromagnético en el espacio-tiempo de Minkowski m4.

3. Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell:

Leyes del campo electromagnético:

En primer lugar vamos a describir las fuentes ),( tr'ρ , ),( trJ && ⊥ : (densidades, respecti-

vamente, de carga y de corriente) para un observador inercial S*.

* El subíndice ⊥ indica aquí vector en R3.

),( tr'ρ

),(),(v),( trtrtrJ &&&&& ρ=⊥

r&

z

y

x

En cada punto r& , y en cada instante t se-

gún S, se definen las dos funciones que des-

criben las densidades de carga y corriente. En

ese punto r& , hay un campo de velocidades

que describe el movimiento de las partículas

que dan lugar a la corriente ⊥J& .

Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell

I 34

Y de este modo señalaremos el vector densidad de corriente en el espacio tridimen-

sional observado por S. Veamos qué se puede definir en la región asociada de m4:

Cuadrivector densidad de corriente:

)(0 x(ρ

x)

línea deUniverso

R4

( )xu **

m4

Trabajamos en cualquier punto x+ ∈ R4,

con coordenadas xα en un sistema Lo-

rentz ( )rctx ),=α , es decir, en cualquier r) , y

para cualquier tiempo t, según los obser-

vadores de la clase S. Asociamos un cam-

po escalar ( )x)0ρ y formamos el cuadri-

vector: ( ) ( ) ( )xuxxJ ))))) 0ρ= , en donde ( )xu )) en

componentes: ( ) ( )( )trctru ,,, ))) vγγα ≡ .

El cuadrivector velocidad ( )xu )) lleva la información de la velocidad asociada al mo-

vimiento de las partículas cargadas que en ( )tr ,) dan lugar a la corriente ),( trJ )) ⊥ observada

en S.

Veamos las componentes de ),( trJ )) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )trxcxxuxtrJxJ ,,, 000 ))) vγργρρ βββαβααα ==≡

Luego: ( ) ( ) ctrxJ γρα ,00 )≡ y: ( ) ( )trtrtrJ ,v,),( 0 ))))) γρ=⊥

Si tomamos: ( ) ( )trtr ,,0 )) ργρ = , se tendrá:

( ) ( )ctrxJ ,0 )ρα ≡ y: ( ) ( )trtrtrJ ,v,),( ))))) ρ=⊥

La función J 0 representará la densidad de carga multiplicada por c, del sistema de

partículas según se observa en S. Las funciones J 1, J 2, J 3 se asociarán a la densidad de

corriente dada por el movimiento de las partículas en S: ( ) ( )trtrtrJ ,v,),( ))))) ρ=⊥ .

Al cuadrivector J α(xα ) se le denominará cuadrivector densidad de corriente, y pa-

ra que describa adecuadamenteρ y ⊥J) deberá cumplir la condición geométrica:

0)( =xJ ))δ

O bien, en los sistemas coordenados Lorentz:

0)( =∂ xJ )µµ

O como relaciones en el sistema inercial S:

( ) 013

32

21

10

0 =∂

∂+∂

∂+

∂∂

+∂∂=∂+∂+∂+∂

z

J

y

J

x

Jc

tcJJJJ zyxρ


I 35

Lo que escribimos en S como:

[I] ( ) ( )0

,, =

∂∂+∇ ⊥ t

trtrJ ,,, ρ

Y que establece la ley de conservación de la carga. Así pues todo campo vectorial de

divergencia nula en m4 podrá servir para representar densidades de carga y corriente

físicamente aceptables en los sistemas de referencia inerciales. Y viceversa, cualquier

distribución de carga y corriente en S físicamente aceptable (es decir, que cumpla la ley

de conservación de la carga), podrá representarse en m4 por un campo vectorial de di-

vergencia nula. Así pues [I] se escribirá:

[Ia] 0=J,δ

Y es uno de los ejemplos de cómo el operador ∂ actuando como δ asocia al objeto de

rango uno (vector), un escalar (rango cero), en este caso el escalar es una constante

igual a cero.

Laplaciana:

La operación de bajar y subir índices se puede combinar en un operador que pone en

correspondencia objetos del mismo rango. Tal operador se conoce con el nombre de

operador de Laplace-Beltrami o laplaciana, y se define como:- = dδ + δd

d sube el rango, δ lo baja una unidad y por lo tanto podremos poner la correspondencia

(p.ej.: entre campos vectoriales en m4) del modo:- : A. Jk ,

Este operador pondrá en correspondencia objetos del mismo rango, lo que significa

para la relación entre cuadrivectores:-

A. = dδA. + δd A. = Jk ,Donde k será una constante de dimensiones adecuadas para que la igualdad sea dimen-

sionalmente correcta.

Es evidente que - A. tendrá las derivadas segundas de las componentes de A. en los

sistemas coordenados Lorentz, que estarán relacionadas con las componentes deJ. que

representan cargas y corrientes en los sistemas de referencia inerciales.

Es de esperar que A. contenga información sobre los potenciales electromagnéticos

( )zyx AAAA ,,⊥, y Φ (potencial vector y potencial escalar).


I 36

Tomemos un campo vectorial A/ tal que: 0=A0δ , que en los sistemas coordenados Lo-

rentz se escribe: 0=∂ αα A , y en S se representa:

01 3210

=∂

∂+∂

∂+∂

∂+∂

∂z

A

y

A

x

A

t

A

c

Si tomamos A1, A2, A3 como componentes Ax, Ay, Az que representen el potencial

vector ⊥A0 en S y A0 = Φ/c como potencial escalar en S; los potenciales Φ, ⊥A0 cumplirán:

000 =∂Φ∂+∇ ⊥t

A µε00

Y podrán ser una pareja de funciones potenciales en S que cumplan el gauge de Lorenz.

Así, con 0=A0δ la correspondencia entre A/ y Jk 0 definida por la relación:

[II] 1 A/ = Jk 0Se escribirá en los sistemas coordenados Lorentz (expresión de δd A/ en coordenadas

Lorentz):

JkA 00 =∂∂ µµ

Y: 22

2

2

1 ∇−∂∂=∂∂= 0tc

• µµ , en un sistema de referencia inercial, por tanto la ecuación [II ]

se escribirá: ααµµ kJA =∂∂ ⇒ ( ) ( )⊥⊥ =Φ

∇−

∂∂

JckActc000 ,,

1 22

2

2ρ

E igualando componentes 0, 1, 2, 3, se obtienen con 0µ=k y 00

2 1

µε=c , las ecuaciones

de ondas para potenciales válidos en S:

02

2

22 1

ερ−=

∂Φ∂−Φ∇

tc0

⊥⊥

⊥ −=∂

∂−∇ Jt

A

cA 0000 02

2

22 1 µ

Con la condición 0=A0δ , que en S expresa que Φ, ⊥A0 es un par de potenciales del

gauge de Lorenz.

2-forma Campo Electromagnético:

El cuadrivector potencial ( )xA0 definido en m4 lleva información de los potenciales

que utili zan los observadores inerciales para definir los campos E0 y B0 en su sistema de

referencia. Tales campos se obtendrán del modo usual:

t

AE

∂∂−Φ∇−= ⊥000 ⊥×∇= AB 000


I 37

Por medio de derivadas espacio-temporales de primer orden.

Tales derivadas se ejecutan con el operador ∂ que en m4 actuará sobre A2 . Ya vimos

la posibil idad de que ∂ actuara como δ bajando el orden del objeto (condición de Lo-

renz).

Hagamos ahora actuar ∂ como d sobre A2 para subir el orden del objeto de 1 a 2. Así:

∂: A3 F4 / AF 34 d=(rango uno) (sube rango) (rango dos)

El objeto que se obtiene a partir de la 1-forma diferencial A2 es la 2-forma F campo

electromagnético. En los sistemas coordenados Lorentz la correspondencia anterior se

expresa como relaciones entre las componentes de los objetos del modo:

µννµµν AAF ∂−∂=

Como un tensor de 2º orden. Y si reproducimos la anterior relación entre magnitudes,

según se observan en S, se tendrá:

( )

∂

∂+

∂Φ∂=

∂

Φ∂−−

∂∂

=∂−∂=t

A

xcxc

t

A

cAAF xx 11011001

Y por tanto:c

EF x−=01 , de este modo se obtiene la componente x del cam-

po eléctrico en S a partir de las funciones potenciales.

De la misma forma:c

EF

y−=02

c

EF z−=03

Si procedemos a obtener las componentes en índices espacial-espacial (i, j) (1, 2, 3),

se tendrá: zxy

By

A

x

AAAF −=

∂∂

+∂

∂−=∂−∂= 122112

Y del mismo modo: yBF =13xBF −=23

No necesitamos obtener más componentes, pues el objeto F = d A2 es antisimétrico,

como claramente se deduce de la expresión de sus componentes en los sistemas coorde-

nados Lorentz (nótese que: ( ) µνµννµνµµννµ FAAAAF −=∂−∂−=∂−∂= ).

Podemos ordenar las componentes de F en forma de filas y columnas, tendremos:

−

−

−

−−−

=

0

0

0

0

),(

xyz

xzy

yzx

zyx

BBc

E

BBc

E

BBc

Ec

E

c

E

c

E

trF 5µν

d


I 38

Evidentemente el ente geométrico es F = d A6 , que tiene estas componentes contrava-

riantes en un sistema Lorentz particular. Es decir, tiene la información de los campos

electromagnéticos observados en el sistema inercial S.

Podemos ver F con componentes covariantes: νβµν

αµαβ gtrFgtrF ),(),( 77 =

o mixtas: νβαν

βα gtrFtrF ),(),( 77 = ; ),(),( trFgtrF 77 µβ

αµβ

α =

Tales componentes se pueden ordenar en forma de matriz con gµν = (1, –1, –1, –1):

−−

−−

−−=

0

0

0

0

),(

xyz

xzy

yzx

zyx

BBc

E

BBc

E

BBc

Ec

E

c

E

c

E

trF 7αβ ;

−

−

−=

0

0

0

0

),(

xyz

xzy

yzx

zyx

BBc

E

BBc

E

BBc

Ec

E

c

E

c

E

trF 7βα ;

−−

−−

−−

−−−

=

0

0

0

0

),(

xyz

xzy

yzx

zyx

BBc

E

BBc

E

BBc

Ec

E

c

E

c

E

trF 7βα

Tensor dual de F:

Al tensor F le está asociado de forma unívoca su dual *F , *F = ε F, otro tensor anti-

simétrico de propiedades geométricas definidas.

En un sistema coordenado Lorentz tiene componentes *Fαβ que se calculan del modo:

γδαβγδαβ ε FF

2

1* =

Donde ε es el tensor totalmente antisimétrico:

î

−+

=repetido índice algún0

índices deimpar npermutació1

índices depar npermutació1

αβγδε ; ε αβγδ = – ε αβγδ

Así pues, algunos componentes de *F, serán:

*F01= 2

1 ε 01βγ Fβγ =

2

1 ε 0123 F 23 +

2

1 ε 0132 F 32 =

2

1 (–Bx) – 2

1Bx = – Bx

Operando del mismo modo podemos representar *F en forma de matriz:

−

−

−

−−−

=

0

0

0

0

),(*

c

E

c

EB

c

E

c

EB

c

E

c

EB

BBB

trF

xyz

xzy

yzx

zyx

7αβ ;

−−

−−

−−=

0

0

0

0

),(*

c

E

c

EB

c

E

c

EB

c

E

c

EB

BBB

trF

xyz

xzy

yzx

zyx

7αβ


I 39

Nótese que *Fαβ ),( tr8 se obtiene de Fαβ ),( tr8 al hacer los cambios: î

→−→cEB

BcE

/

/ 98

88

Tal transformación se conoce en S como transformación de dualidad.

Primer par de ecuaciones de Maxwell:

Ligan los campos con las fuentes. En función del tensor campo electromagnético:

[I] ∂µ Fµν = µ0 J

ν o bien: ∂ µ Fµν = µ0 Jν

Esta relación en componentes en los sistemas coordenados Lorentz es la expresión de la

correspondencia geométrica obtenida por [I]:

JF 80µδ =

La correspondencia geométrica entre objetos [I] y la relación en componentes se

puede referir a relaciones entre magnitudes observables en S.

• Así, para ν = 0, se tendrá:

00

0 JF µµµ =∂

Y con: J 0 = ρ ),( tr8 c , tal relación expresa:

∂

∂+∂

∂+

∂∂=∂+∂+∂=

z

E

y

E

x

E

cFFFctr zyx1

),( 303

202

1010 8ρµ

Por tanto:0

),(

ερ tr

E888 =⋅∇

La primera ecuación de Maxwell, que relaciona al campo eléctrico con las cargas.

• para ν = 1, 2, 3, se obtienen las ecuaciones que ligan los campos magnéticos con

las corrientes en S.

Así, por ejemplo, para ν = 1:

( )xxyzx

x Ht

D

z

B

y

B

t

E

cFFFtrJF 888 ×∇+

∂∂

−=∂

∂−

∂∂

+∂

∂−=∂+∂+∂==∂ 002

313

212

0100

1 1),( µµµµ

µ

Y por tanto obtenemos: ( )t

DJH x

xx ∂∂

+=×∇ 88Que es una de las ecuaciones de la relación vectorial entre campo magnético y corrien-

tes libres y de desplazamiento en S:

t

DJH

∂∂+=×∇8888

Segundo par de ecuaciones de Maxwell:

Son las ecuaciones homogéneas:

[II] ∂α *Fαβ = 0 o bien: ∂ α *Fαβ = 0

Que se corresponden con la expresión en los sistemas coordenados de la relación geo-

métrica: δ *F = 0


I 40

El tensor *F se denomina tensor dual ó 2-forma dual de F. También se llama trans-

formado de Hodge de la 2-forma F que, como hemos visto, se obtiene de la 1-forma

potencial A: según la correspondencia establecida por la derivada exterior d, del modo

indicado anteriormente: F = d A:Con esta propiedad se dice que la 2-forma F admite potencial vector A: . También se

dice que la 2-forma F es exacta. Según una propiedad de las formas diferenciales cono-

cida como Lema de Poincaré, si una forma es exacta entonces tiene derivada exterior

nula. Es decir: Si: F = d A: ⇒ dF = 0

O lo que es lo mismo, sobre cualquier forma, al aplicar dos veces la derivada exterior se

tiene dd = 0.

Toda forma F que cumpla dF = 0, se dice que es cerrada. Así podemos decir:

i) Toda forma exacta es cerrada. O bien: F = d A: ⇒ dF = 0

Y también se verifica el recíproco del Lema de Poincaré:

ii) Toda forma cerrada es exacta. O bien: dF = 0 ⇒ F = d A:Y dadas las condiciones necesaria y suficiente, entonces:

F = d A: ⇔ dF = 0

Las propiedades de forma cerrada y forma exacta son equivalentes*.

Estas propiedades se pueden enunciar para la forma dual *F. Diremos entonces:

Si: F = d A: ⇒ δ*F = 0

La propiedad dF = 0, para F, también se puede expresar en términos de su forma dual,

diciendo que ésta tiene divergencia nula:

δ*F = 0 O bien: ∂α *Fαβ = 0,

En los sistemas coordenados Lorentz.

Si tenemos en cuenta la información contenida en *F, tendremos:

• para β = 0: 0**** 303

202

101

0 =

∂

∂+∂

∂+

∂∂−=∂+∂+∂=∂

z

B

y

B

x

BFFFF zyxα

α

Esto es: 0=⋅∇ B;;• para β = 1, 2, 3 se obtendrá la ecuación vectorial en S:

t

BE

∂∂−=×∇;;;

* No hemos afirmado nada sobre los dominios de integración de las formas. El recíproco del lema dePoincaré se verifica en principio para dominios estrellados. En los casos topológicamente más sencilloslas condiciones de forma cerrada y forma exacta son equivalentes (Véase: H. Flanders: Differential Formswith Applications to the Physical Sciences p.27, y: M. Spivak: Cálculo en Variedades Sec. 4-10, 4-11).


I 41

La propiedad δ*F = 0, ∂α *Fαβ = 0, reproduce las ecuaciones de Maxwell internas.

Esta propiedad se expresa para F como dF = 0, lo que se escribe en componentes en los

sistemas coordenados Lorentz como:

Fαβ,γ + Fβγ,α + Fγα,β = 0

Donde la "coma" en los índices significa derivada respecto de la componente con índice

que le sucede, es decir: γαβγαβ

,Fx

F=

∂

∂. La expresión anterior reproduce, obviamente, to-

mando la información contenida en Fαβ, las ecuaciones de Maxwell internas.

En definitiva, las relaciones δ*F = 0, y dF = 0, expresan la misma propiedad y, por

tanto, conducen a las mismas ecuaciones para los observadores inerciales.

Fuerza de Lorentz:

q

línea deUniverso

( )αxu<

Otro de los objetos a considerar es el

cuadrivector uFqK << = . Para una carga q

que describe una línea de Universo en la

región en que existe un campo electro-

magnético F, en coordenadas Lorentz:

Kα = q Fαβ uβ ; Kα será un cuadrivector.

Veamos qué significado podemos atribuirle a esta relación expresada en componentes:

Calculemos la expresión en el sistema propio de la partícula, donde los campos son

0E< , 0B< y el cuadrivector velocidad uβ (c, 0). Tendremos:

Kα = q Fα0 u0 = q c Fα0 , y como î

==

ii qEK

K 00

⇒ Kα(0) ≡ (0, q 0E< )

El observador que instantáneamente viera la carga en reposo mediría precisamente la

fuerza: q 0E< . Así pues, es de esperar que Kα nos dé la fuerza de Lorentz en el sistema

en que la carga se mueve con velocidad v< .

En un sistema cualquiera S en que se observe la carga, los campos que se medirán se-

rán E= , B= , y uβ será: uβ (γc, – γv< ).


I 42

Las componentes de Kα son:

Kα = q Fαβ uβ = [ ][ ][ ]

î

×+=

×+=

×+=

⋅=

z

y

x

BvEqK

BvEqK

BvEqK

Evc

qK

>>>>>>>>>>>

γ

γ

γ

γ

3

2

1

0 )(

⇒

⋅≡ Fc

vFK

>>>,γα

Donde [ ]BvEqF>>>>

×+= es la fuerza de Lorentz sobre la partícula.

Para la partícula que se mueve en un campo eléctrico externo, se tiene la relación:

Kα = q Fαβ uβ = τd

d (pα) = τd

d (m0 uα)

Válida en todo sistema de referencia.

Cuadrivector densidad de fuerza volúmica:

En la región en que se tiene un campo de corrientes J>, que interacciona con un cam-

po electromagnético F se puede definir de igual modo el objeto:

JFD ?@⋅=

En coordenadas Lorentz se tendrá:

Dα = Fαβ Jβ , Dα es un cuadrivector

Expresemos Dα en un sistema de referencia S, donde los campos son E@

, B@

y el cua-

drivector corriente contiene la información del sistema de cargas y corrientes ρ y ⊥J>

.

J α = ρ 0 uα = (ρ 0 γ c, ρ 0 γv

>) = (ρ c, ⊥J

>)

Donde ρ, ⊥J>

serán las densidades de carga y corriente para el observador estacionario en

S. Dando valores al índice libre α = 0, 1, 2, 3, se obtienen las cuatro ecuaciones:

Dα = Fαβ Jβ = [ ][ ][ ]

î

×+==

×+==

×+==

⋅==

z

y

x

BJEJFD

BJEJFD

BJEJFD

EJc

JFD

>>>>>>>>>>>

ρ

ρ

ρ

ββ

ββ

ββ

ββ

33

22

11

00 )(1

⇒

×+⋅≡ BJE

c

EJD

>>>>>ρα ,

Las componentes espaciales nos dan la densidad de fuerza volúmica y la componente

temporal, la potencia disipada por unidad de volumen por el campo al mover las cargas.

Todo ello para el observador estacionario en S. Así pues, al cuadrivector Dα se le cono-

ce con el nombre de densidad de fuerza volúmica.


I 43

Intentaremos deducir este cuadrivector densidad de fuerza volúmica Dµ como la di-

vergencia de un tensor Tσµ que, por razones que veremos luego, denominaremos tensor

energía-momento.

4. El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación:

Tensor energía-momento del campo electromagnético:

Vamos a establecer una correspondencia entre DA y un objeto de 2-orden: T, por

medio de la relación: TD δ=A

Partimos de: Dµ = Fµν J ν

Por la relación de Maxwell : J ν =0

1µ

∂σ Fσν

Sustituyendo en Dµ:

[I] µ0Dµ = Fµν ∂σ Fσν = ∂σ (Fµν Fσν) – Fσν ∂σ Fµν

Teniendo en cuenta la antisimetría del tensor campo electromagnético:

[II] Fσν ∂σ Fµν = Fνσ ∂σ Fνµ ≡ Fσν ∂ν Fσµ

con sólo cambiar en la última expresión î

→→

νσσν . Por otro lado:

[II I] Fσν ∂σ Fµν = – Fσν (Fνσ,µ + Fσµ,ν ) = – Fσν (∂µ Fνσ + ∂ν Fσµ)

al hacer uso de la segunda de las ecuaciones de Maxwell.

Sumando [II] y [III] , se obtiene:

2 Fσν ∂σ Fµν = – Fσν ∂µ Fνσ = Fνσ ∂µ Fνσ = 2

1 ∂µ (Fνσ Fνσ)

Por tanto: Fσν ∂σ Fµν =41 ∂µ (F

νσ Fνσ)

Sustituyendo en [I] queda:

( ) ( ) ( ) ( )νσνσ

µσ

σσν

µνσνσνσ

µσν

µνσµ δµ FFFFFFFFD ∂−∂=∂−∂=4

1

4

10

( ) ( )

−−∂=

−∂= νσ

νσµ

σνµ

σνσνσ

νσµ

σσνµνσ δδ FFFFFFFF

41

41

Así, la densidad de fuerza volúmica del sistema de corrientes JB es:

( ) µσ

σνσνσ

µσ

νµσν

σµ δµ

TFFFFD −∂=

+∂−=

411

0

Donde: ( )

+= νσ

νσµ

σνµ

σνµ

σ δµ

FFFFT411

0

Tensor energía-momento del CEM F

El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación

I 44

El tensor energía-momento contravariante, desde Tσα = Tσµ g

µα, es:

( )

+= νσ

νσσαµανµ

σνσα

µFFggFFT

411

0

Simbólicamente se representa: ( )

+⋅= FF

gFFT :

41

0µ

Y lo obtenido se corresponde con la relación geométrica que buscábamos: En la re-

gión del espacio considerada M ⊆ m4, en términos del tensor energía-momento T del

campo electromagnético F (x) / x ∈ M, la densidad de fuerza volúmica del sistema de

corrientes )(xJC / x ∈ M, es: TD δ−=D

.

Así: ∂σ Tσµ = – Fµν Jν

El tensor Tσα así construido es simétrico: Tσα = Tασ, y su divergencia tensorial da la den-

sidad de fuerza volúmica del campo electromagnético:

∂α Tασ = Dσ

Además T es un tensor de traza nula, esto es: T σσ = 0.

Evidentemente este tensor del que se deriva D no es único, se le puede sumar cual-

quier tensor de divergencia tensorial nula. Veremos en la Parte II de estos apuntes que T

es el tensor energía-momento simétrico del CEM : Θ, y que difiere del tensor canó-

nico energía-momento justo en un tensor de divergencia nula.

Contenido de T ασ en sistemas coordenados Lorentz:

En ausencia de fuentes, el tensor energía-momento es de divergencia nula:

∂α Tασ = 0

Veamos cuáles son las componentes de Tασ: En primer lugar consideremos el inva-

riante Lorentz FνσFνσ: ( ) [ ]2222

2BcE

cFF −−=νσ

νσ

Por lo tanto, para la componente temporal pura:

( )

+= νσ

νσµνµ

νµ FFggFFT 0000000 4

1

Y desarrollando el primer término del paréntesis:

2

200

c

EgFF =µ

νµν

Con lo que, agrupando términos:

( )HBEDTDDDD

⋅+⋅=2100


I 45

Que representa la densidad de energía electromagnética: U, observada para los

campos en S.

Del mismo modo las componentes temporal-espacial:

( ) ( )c

P

c

HEBEcT ii

ii =

×=×=

EEEE0

0 ε

Las componentes temporales son las componentes del vector de Poynting.

Así mismo las componentes espacial-espacial:

( ) ( )Mij

ijjiji

ij THBEDBHEDT −≡

⋅+⋅−+−=EEEE

2

δ

Donde Tij(M) es el tensor de tensiones de Maxwell.

El tensor Tασ puede escribirse en forma matricial abreviada:

( )MijTc

P

cPU

T−

= EE

ασ

Donde, como hemos visto: U = T 00. Las componentes T 0i están relacionadas con el

vector densidad de momento del campo electromagnético: 2cpgEE

= por: T 0i = c gi.

Las formas covariante y mixta son: ( )M

ijTcP

cPU

T−−

−= E

Eασ , y:

( )MijTc

P

cPU

T EE

−=σ

α

Leyes de conservación para el campo libre:

En ausencia de fuentes se anula la cuadridivergencia: ∂α Tαβ = 0, esta condición im-

plica que existen magnitudes conservadas asociadas a los campos, del mismo modo que:

∂α J α = 0, implica la ley de conservación de la carga.

• para β = 0, se tiene:

∇+

∂∂=∂= P

ct

U

cT

EE110 0α

α [Ley de conservación de la energía]

De donde: 0=∇+∂∂

Pt

U EE que es la forma diferencial para el Teorema de Poynting

cuando no existen cargas ni corrientes.

Integrando a un volumen V en S, se tiene:

∫∫∫∫ =

−⇒=∇+

SVVV

sdPrdUtd

drdPrdU

td

d EEEEEEE 333 0

Que es el Teorema de Poynting en forma integral: "La disminución de la energía

en el volumen V se debe al flujo de PF a través de la superficie S que lo encierra".


I 46

Las cuatro cantidades: ( )gcU

cP

cU GG

,, 2 ≡

, con: 2cPgGG = , densidad de momento elec-

tromagnético por unidad de volumen, son las componentes de un cuadrivector:

( )gcUP G,≡α

ya que la expresión: ∂α P α = 0, es covariante Lorentz.

Si se realiza la integración a un volumen V en S que no contenga cargas se tendrá:

c

WrdU

cV

=∫ G31 , donde W es la energía total electromagnética en V.

Se define: ∫=V

rdgG GGG 3 , momento total asociado al campo en V.

Así pues, las cantidades ( )GcW G, , tienen la misma expresión que el cuadrivector ener-

gía-momento de una partícula con masa m, y el campo en V puede considerarse como

una partícula cuya energía es W, y su momento total GG .

Si el campo en V fuera solamente de radiación (campo libre), la cantidad:

02

2

=⋅− GGc

W GGsería nula, lo que corresponde a una partícula de masa nula. El concepto de campo de

radiación clásico, y el asociar energía y momento a un volumen V que contenga estos

campos, es consistente con el concepto de fotón.

Si 02

2

≠⋅− GGc

W GG , no es invariante Lorentz: ( )GcW G, no es un cuadrivector.

Consideremos dos hipersuperficies espaciales σ 1 y σ 2 que delimitan el volumen

cuadridimensional R4.

La cantidad ∂αTαβ puede integrarse al volumen cuadridimensional dx4:

∫=∫ →←

∂Frontera

GaussTma

mgión

dTdxT ααβαβ

α σ4Re

4 =( ) ( )

0

22

30

11

30 =− ∫∫t

rdTt

rdTσσ

ββ GG

En el sistema coordenado Lorentz en el que el vector normal a la hipersuperficie tie-

ne únicamente componente temporal: dσ α = (dx dy dz, 0, 0, 0). La componente no nula

dσ 0 representa el volumen tridimensional observado en un tiempo t.

Lo que implica si se integra a V ≡ todo el espacio:

t tiempocon constante

)(

30 ≡∫t

rdT

σ

β G ⇒0

0

03

3

30

=

=

⇒=

∫∫

∫V

V

V rdgtd

d

rdUtd

d

rdTtd

d

GGG

Gβ

La energía y el momento total del campo se conservan

σ 2

σ 1

R4


I 47

• para β = i = (1, 2, 3), y en ausencia de fuentes:

( )Mij

j j

ii Txt

gT ∑

= ∂∂−

∂∂=∂=

3

1

0 αα [Ley de conservación del momento]

Integrado a un volumen V se obtiene:

( ) ( )∫∑∫∑∫ =∂∂=

= S

Mi

V

Mij

j jV

i dSTrdTx

rdgtd

d

βββ

HH 33

1

3

Donde hemos aplicado el Teorema de la Divergencia, siendo S la superficie que de-

limita el volumen V.

La integral: i

V

i Prdg =∫H3 , es la componente i del momento total del campo en el volumen V.

La variación del momento total del campo en el volumen V es igual al momento in-

yectado al interior de V por el mismo campo a través de la superficie S, que es lo que

representa la integral del segundo miembro.

Leyes de conservación para el campo electromagnético en presencia de fuentes:

En este caso la cuadridivergencia del tensor energía-momento es distinta de cero:

∂α Tαβ = Fλβ Jλ

Las componentes espaciales y temporales de esta ecuación en S son:

• β = 0: EJPt

U HHHH⋅=∇+

∂∂ [Ley de conservación de la energía]

[Balance de energía en todo punto del campo]

• β = i: ( ) ( )[ ]iiM

ij

j j

i BJETxt

g HH×+−=

∂∂−

∂∂ ∑

=

ρ3

1

[Ley de conservación del momento]

[Balance de momento en todo punto del campo]

Que son precisamente las ecuaciones de conservación de la energía y el momento pa-

ra campos electromagnéticos en interacción con fuentes descritas por J α ≡ ( cρ, JH).

La cuadridivergencia puede integrarse al volumen cuadridimensional dx4 del modo

siguiente:

[I] )()( 12

4Re

4

4Re

4 σσ ββα

αβαβα

β PPdSTdxTdxDFronteramgiónmgión

∫∫∫ −==∂=

Donde ∫=σ

ααββ σ dSTP )( , es el cuadrimomento

del campo electromagnético, la integral está exten-

dida a una hipersuperficie tridimensional de tipo

espacial.

σ 2

σ 1

x0


I 48

Escribiendo [I] en un sistema de referencia S, dx4 es el cuadrivolumen formado por

todo el espacio entre los tiempos t y t + dt. Así pues, [I] en S será:

),(),( 33

,

3 tdxPdttdxPdtcdxDdtV

βββ −+=∫Donde V es todo el volumen tridimensional en donde exista campo electromagnético.

Por lo que: ∫∫ ==VV

dxTdt

dP

dt

ddxDc 303 βββ

• para β = 0, implica: ∫∫ ⋅=−VV

rdEJrdUdt

d IIII 33

La pérdida de energía del campo se produce por el efecto de conducción de corr iente

• para β = i: ∫∫ =V

i

V

i dxDcdxTdt

d 330

Como: .33

part

V

i

V

Pdt

ddxDrdg

dt

d III−== ∫∫

Se tiene: [ ] 0=+ prtículascampo PPdt

d II

El momento total (campo+partículas) del sistema se conserva

Tensor momento angular del campo electromagnético:

Momento angular del campo electromagnético:

Hemos visto que el tensor energía-momento del campo electromagnético Tαβ es si-

métrico. Llamaremos a este tensor simétrico Θαβ para distinguirlo del tensor energía-

momento canónico ordinario. La expresión de su divergencia:

∂α Θαβ = Dβ

Resume las leyes de conservación de la energía y el momento para el campo electro-

magnético en presencia de fuentes.

Desarrollando las componentes tiempo-espacio se obtuvo:

[I] ( ) ( )[ ] iiiM

ij

j j

i fBJETxt

g −=×+−=∂∂−

∂∂ ∑

=

IIρ

3

1

Donde: 2c

HEg

III ×= , es la densidad de momento del CEM y fI

es la densidad de fuerza

volúmica (densidad de fuerza de Lorentz) del CEM .

El momento angular del campo, en el volumen V respecto de un punto fijo de vec-

tor de posición rI

, se define como:

( ) ( )∫ ×=V

dvtrgrtJ ,IIII


I 49

Veamos en qué condiciones se conserva esta cantidad. Su variación con el tiempo es:

[II] ( ) ( )( )∫∫∫ ⋅∇×+×−=

∂∂×=

V

M

VV

Trdvfrdvt

grdv

td

Jd JJJJJJJ

Donde hemos considerado que 0=∂∂

t

rJ , (momento angular respecto de un punto fijo), y

por ( )MT⋅∇J se quiere representar el vector:

[II I]( )

( )M

j

Mij

Tx

T⋅∇≡

∂∂ J

La ecuación [II ] se ha escrito teniendo en cuenta la igualdad [I] en forma vectorial:

( ) fTt

g M JJJ−=⋅∇−

∂∂

Consideremos algunas componentes del último integrando de [I I], e.g.:

por [II I]: ( )[ ] ( )( ) ( )( ) iyiiziyM

zM

xM TzTyTzTyTr ∂−∂=⋅∇−⋅∇=⋅∇× JJJJ

Que se puede escribir: ( ) ( ) ( )yTzTyTzTyTzT zzzyzyzyyyxzxyx −∂−−∂−−−∂=

Nótese que Tij es simétrico.

En la ecuación anterior, los paréntesis son términos de la forma:

( ) ( )( ) ixiM

izM

iyi MyTzT ∂=−∂

Donde: ( ) ( )( ) ( )( )xMi

Miz

Miyix rTyTzTM J×=−=

Del mismo modo, las componentes y, z:

( ) ( )( ) ( )( )yM

iM

ixM

iziy rTzTxTM J×=−=

( ) ( )( ) ( )( )zMi

Miy

Mixiz rTxTyTM J×=−=

Se puede construir el pseudotensor de 9 componentes densidad de momento:

( ) rTM M KL×=

Y la expresión del trivector ( )( )[ ]MTr ⋅∇× JJ , se puede escribir:

( )( ) MTr M ⋅∇−=⋅∇×JJJ

La integral ( )∫ ×V

frdvJJ es el par resultante impartido por el campo a las cargas y co-

rrientes en el volumen V, y por tanto será igual a la variación con el tiempo del mo-

mento angular total mecánico de las masas asociadas a las cargas y corrientes, esto es:

( )td

dLfrdv

V

=×∫ JJ

Así la ecuación [II] queda:

[IVa] ( ) ( ) ∫∫ ⋅−=⋅∇−=+SV

MsdMdvLJtd

d JJJJ


I 50

Que escrito en componentes es:

[IVb] ( ) ∫∫ ⋅−=∂−=+S

iji

V

iji

j MdsMdvLJtd

d MM

"La variación del momento angular total del sistema en el volumen V está provocada

por el flujo de momento angular del campo a través de la superficie S que delimita a V"

La cantidad ( ) rTM M NO×= , transmite el momento angular del mismo modo que T(M) (el

tensor de tensiones de Maxwell), es el transmisor de momento lineal a través de S.

Las ecuaciones [IV] pueden escribirse como una ecuación de continuidad:

[V] ( ) frMgrt

MMMMM ×−=⋅∇+×∂∂

Que en los puntos de V en los que no existan partículas sobre las que el campo pueda

producir momento se reduce a:

( ) 0=⋅∇+×∂∂

Mgrt

MMM

Generalización covariante:

Obtener la ecuación [V] requiere formar el vector densidad de momento angular

frMM × , que en 3 dimensiones tiene 3 componentes independientes y se transforma como

un pseudovector.

Si desde la expresión ∂α Θαβ = Dβ, en la que aparece el cuadrivector densidad de

fuerza queremos formar una cantidad análoga que sea invariante Lorentz, tendremos

que expresar dicha cantidad con las componentes de un tensor antisimétrico de 2º orden:

µννµµν DxDxM −=

Tensor momento de la densidad de fuerza volúmica. En un sistema S dado, Mµν ten-

drá por componentes espaciales:

ijjiij DxDxM −=

( )zfrMMM ×=12 , ( )yfrMM

MM ×−=−= 3113 , ( )xfrMMM ×=23

Donde: [ ]BuEBJEfMMMMMMM ×+=×+= ρρ

Y las componentes espacio-temporales:

⋅−=⋅−=⋅−=−=c

ufxtfc

c

Euxtfc

c

EJxtfcMM iiiiiiii

MMMMMM ρ00

El procedimiento seguido sugiere utilizar la expresión del cuadrivector fuerza:

∂α Θαβ = Dβ


I 51

De modo que: ( ) αµνα

νµµναµνανµα

αµα

νανα

µµν P∂=Θ−Θ+Θ−Θ∂=Θ∂−Θ∂= xxxxM

Donde escribimos un tensor energía-momento simétrico Θ.

Consideremos el tensor de tercer orden densidad de momento angular Q αµν:∗

ανµαµνανµαµν PP −=Θ−Θ= xx

Como se ve, antisimétrico respecto de los dos últimos índices, y respecto del que se

deriva otra variable dinámica: el tensor momento angular Lµν, que viene dado por:

∫≡σ

αµνα

µν σ PdL

La simetría del tensor energía-momento está relacionada con la conservación del ten-

sor momento angular. En efecto, si Lµν se conserva, esto es, si se considera un sistema

en el que no hay cargas ni corrientes (caso del CEM libre), Q αµν cumple una ecuación

de continuidad: 0=∂ αµνα P

Esto es: ( ) ( ) 0=Θ−Θ∂−Θ+Θ∂ νµναµα

µνµανα xx

Vemos que el hecho de escribir la densidad de momento angular en términos de un

tensor energía-momento simétrico: νµµν Θ=Θ , en caso de que éste se conserve:

0=Θ∂ αµα , garantiza la conservación del momento angular.**

Consecuencias de la conservación del momento angular:

Acabamos de ver que la ecuación: 0=∂ αµνα P , implica la conservación del momento

angular del campo libre en forma covariante.

Las ecuaciones que tienen interpretación física son: 00 =∂ kαα P

Considerando α = l (1, 2, 3), k = 1, 2, 3, se obtiene:

( )Mlklklk Ttgx +=0P

• para l = 0: kkk gtcWx 200 +=P

Donde se ha considerado la expresión en componentes de Θαβ , siendo gl la compo-

nente l del trivector densidad de momento en S, W la densidad de energía y xk la com-

ponente k del trivector posición del elemento de volumen en S. ( )MlkT son las componen-

tes lk del tensor de Maxwell .

* Diferente del tensor (canónico) definido a partir del tensor energía-momento canónico.** Véase: A.O. Barut op. cit. Cap. III Sec.4, y: M. Brédov, V. Rumiántsev: Electrodinámica Clásica, EdMir 1986. Secc.16.1, 16.2 y Comp. VI.


I 52

La ecuación de conservación: 00 =∂ kαα R reproduce las componentes de la ecuación

vectorial: ( ) ( )( ) 022 =+⊗⋅∇+−∂∂ MTtrgcgtcWrt

SSSSS

Donde ⊗ es el producto diádico de vectores, en este caso un tensor de componentes:

[ ] [ ]ijjiij rgrg ⋅=⊗

SS

Esta ecuación se puede integrar en S, a todo el espacio para un tiempo dado t, de modo

que: ( ) ( )( ) 022 =+⊗+− ∫∫S

M

V

sdTtrgcdvgtcWrtd

d SSSSS

Para una superficie S que englobe todo el volumen donde existe campo, la integral de

superficie es nula.

La integral: dvWrV∫S

, se puede utili zar para definir el centro de masas del campo:

dvWrWdvW

dvWr

rVT

V

VCM ∫∫

∫==

SS

T 1

Del mismo modo que el centro de masas en mecánica, ya que 2cW es la densidad de

masa equivalente a la energía W.

Así, el resultado de la integración al volumen V podrá expresarse:

( ) 02 =− PtcrWtd

dCMT

SS

Siempre que el momento y la energía se conserven, la ecuación anterior es la ley de

movimiento del centro de masas del campo:

Pctd

rdW CM

T

SS2=

Con lo que la velocidad del centro de masas del campo es:

TCM W

Pcv

SS 2

=

Propiedades del tensor U U ααµµνν :

a) Es antisimétrico en los dos últimos índices: R αµν = – R ανµ.

b) Es un tensor de 3er rango, por tanto tiene 43 = 64 componentes.

c) Por antisimetría, las 16 componentes R αµµ son nulas.

d) De las 48 componentes no nulas, por la antisimetría R αµν = – R ανµ, quedan sólo 24 componentes

independientes.

e) De estas 24 componentes, sólo las 12: R αkl = – R αlk, con kl = 12, 23, 31, relacionan el flujo de

momento angular y el momento angular del campo.

0


I 53

f) De estas 12 componentes, 9 se identifican con las componentes del pseudotensor rTM VWW×= , que

representa la densidad de flujo de momento angular, para α = 1, 2, 3.

g) Las otras tres: X 0kl = – X 0lk, se refieren a las componentes del vector gr YY × y representan la densi-

dad de momento angular.

h) Las tres componentes independientes del tensor antisimétrico Mkl = ∂ α X αkl, con kl = 12, 23, 31,

dan la descomposición vectorial de: ( ) frMgrt

YYZYYY ×−=⋅∇+×∂∂

, que describe cómo se conserva el

momento angular.

i) Las tres ecuaciones Mµν = ∂ α X αµν = 0, con µν = 10, 20, 30, implican tres magnitudes conservadas,

y describen el movimiento del centro de masas de un campo electromagnético como uniforme. Esto

es, que se comporta como un sistema libre con velocidad: T

CM W

Pcv

YY 2

= .

5. Transformaciones gauge:

El tensor campo electromagnético no queda determinado por un único cuadrivector

Aµ. Cualquier transformación a partir de Aµ de la forma:

[I] µµµµµ ,Λ+=∂

Λ∂+=′ Ax

AA con: Λ escalar Lorentz

Define un nuevo cuadrivector potencial A'µ que da lugar al mismo campo electromag-

nético. En efecto:

F'µν = Aν,µ + Λ,νµ – Aµ,ν – Λ,µν = Fµν luego: F'µν = Fµν

Y los campos son invariantes ante dicha transformación de potenciales. Tal transforma-

ción se conoce como una transformación gauge.

Únicamente las cantidades invariantes gauge serán observables físicos.

Las ecuaciones del campo: νµνµ

µνµ µ JFF 0, ==∂ , toman la forma en función del cua-

dripotencial: νµµ

ννµ

µνµµ

µνµ

µνµ µ JAAAAF 0

,,

,,, =∂∂−∂∂=−=

Se puede hacer uso de la transformación [I] , de modo que se tenga un Aµ tal que:

∂ µAµ = 0, esto es: 0=∂∂

µ

µ

x

A condición de gauge de Lorenz*

En este gauge, las ecuaciones de campo se escriben simplemente:

[Aµ = µ 0 J

µ con: 0=∂∂

µ

µ

x

A

* Existe una confusión habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en lasque aparece tal condición (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho más conocido Hendrik A.Lorentz. (Véase: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition p.294).

Transformaciones gauge

I 54

Elegir potenciales del gauge de Lorenz es siempre posible. En efecto, si Aµ no cum-

ple dicho gauge, se transforma a \ µ con una función Λ de modo que:

\ µ = Aµ – Λ , µ

En donde ∂ µAµ ≠ 0, según la hipótesis.

Al exigir que \ µ cumpla la condición de Lorenz:

\ µ , µ = Aµ

, µ – Λ ,µ , µ = ∂ µAµ – ∂ µ ∂µ Λ = 0

Hay que escoger una función Λ que cumpla que:

∂ µ ∂µ Λ = ∂ µAµ

Aún dentro del gauge de Lorenz, los potenciales siguen estando indeterminados. Si

Aµ es de Lorenz, \ µ también lo será si transformamos con Λ tal que ] Λ = 0.

*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** **

Las métricas de la relatividad especialMétr icas pseudoeuclídeas para m4:

Reproducen la invariancia del intervalo: 22 sdxdxdgdxdxgds ′=′′== νµµν

νµµν

−−

−=

11

11

µνg

−

=

11

11

~µνg

2−=µνgTr 2~ +=µνgTr

( )rtcx ^,=µ ( )rtcx ^−= ,µ ( )rtcx ^,~ =µ ( )rtcx ^,~ −=µ

∇−∂=∂ ^,

1tc

µ

∇∂=∂ ^,1

tcµ

∇∂−=∂ ^,1~

tcµ

∇∂=∂ ^,1~

tcµ

Las leyes del electromagnetismo en m4:

A partir del tetrapotencial:

= AcA ^,φµ , y del tetravector corriente: ( )JcJ ^,ρµ = :

µννµµν AAF ∂−∂= µννµµν AAF ∂−∂=~~~

0=∂ ∗ µνµ F νµν

µ µ JF 0=∂ 0~~

=∂ ∗ µνµ F νµν

µ µ JF 0~~

−=∂Para cambiar de tensor métrico hay que permutar los índices del tensor F.

El espacio de coordenada imaginaria:Una alternativa al espacio-tiempo real de 4 dimensiones con métrica indefinida (R4; ηµν) es el

espacio (I × R3; δµν), en el que: 22 sdxdxddxdxds ′=′′== νµµν

νµµν δδ

( )rtcix ^,=µ ( )rtcix ^,=µ

∇∂−=∂ ^,t

c

iµ

∇∂−=∂ ^,t

c

iµ

Como la métrica es euclídea, las componen-tes contravariantes coinciden con las cova-riantes.

Las leyes del electromagnetismo en el espacio de coordenada imaginar ia:

En este espacio de coordenada-0 imaginaria,

= AciA ^,φµ , ( )JciJ ^,ρµ = , se verifica que:

µννµµν AAF ∂−∂=0=∂ ∗ µν

µ F νµνµ µ JF 0=∂

La forma explícita del tensor campo electro-magnético es:

−−

−−−−

=

00

00

xyzci

xzyci

yzxci

zci

yci

xci

BBEBBE

BBEEEE

F µν


II 1

Formulación Lagrangiana del campo electromagnético

1. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético:

La Lagrangiana Relativista:

Ha de generar las ecuaciones del movimiento a través de:

[I ] 0=∂∂−

∂∂

ii qqdt

d

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Donde: ( )tqq ii ,,

=

, Lagrangiana del sistema con n grados de libertad, que será función

de las coordenadas generalizadas: ( ) nii tq 1= , las velocidades generalizadas: ( ) n

iii tqq 1' =≡

,

y eventualmente del tiempo t. Con la definición del momento canónico conjugado de la

coordenada iq : i

i qp

∂∂=

, las Ecuaciones de Euler-Lagrange toman la forma:

i

i

qdt

dp

∂∂=

a) Para la partícula libre:

Con la Lagrangiana: 2

220 1

cvcm −−=

Se tiene, por [I] : ( ) 0=imvdt

d

Que son las ecuaciones del movimiento de una partícula libre de masa:2

20

1

1

cv

mm−

=

b) Para la partícula en un campo conservativo:

Con: ( )iqΨ , energía potencial o potencial conservativo, tal que: Ψ∇−= F ,

la Lagrangiana será: Ψ−−−= 2

220 1

cvcm

Pues genera, por [I]: ( ) ii

i Fx

mvdt

d =∂Ψ∂−=

Ecuaciones de movimiento de una partícula de masa m sometida a una fuerza: Ψ∇−= F .

c) Para la partícula en un campo conservativo generalizado, (carga en un CEM):

Si se considera la función potencial ( )ii qqU

, / vAqqU ⋅−= φ , potencial generalizado*.

La Lagrangiana será: vAqqc

vcm ⋅+−−−= φ2

220 1

Los momentos canónicos son: iii qAmvp += , y las ecuaciones del movimiento:

dt

dp

qi

i

=∂∂

, desarrollando:

∂∂+

∂∂

+∂∂+

∂∂−=

∂∂

zz

yy

xx v

x

Av

x

Av

x

A

xq

x

L φ

* Véase: H. Goldstein, Mecánica Clásica. Secc. 1-5, 7-8.

Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas

II 2

( ) ( )

∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=+t

A

dt

dz

z

A

dt

dy

y

A

dt

dx

x

Aqvm

dt

dqAvm

dt

d xxxxxxx

( )

∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂+=

t

Av

z

Av

y

Av

x

Aqvm

dt

d xz

xy

xx

xx

Igualando: ( )

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂

+∂

∂−∂∂−= z

xzy

xyxx v

z

A

x

Av

y

A

x

A

t

A

xqvm

dt

d φ

( )( ) ( )[ ]xxxx BvEqAvt

A

xq ×+=

×∇×+

∂∂

−∂∂−= φ

Ya que:t

AE

∂∂−∇−=

φ , y: AB ×∇=

Resultan las ecuaciones del movimiento de una partícula de carga q y masa

2

20

1

1

cv

mm−

= sometida a la fuerza de Lorentz:

( ) ( )BvEqvmdt

d ×+=

Hemos derivado la fuerza de Lorentz desde un potencial generalizado:

∂∂+

∂∂−=

xx v

U

dt

d

x

UF

( ) ( ) ( )

⋅−

∂∂−⋅−

∂∂−=−

∂∂= vA

vdt

dvA

xq

dt

dAq

xvm

dt

d

x

xx φφ

2. Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas:

El procedimiento anteriormente expuesto es relativista, pues es válido, no importa

cual sea la velocidad de la partícula y se reduce a las expresiones usuales en Mecánica

Galileana cuando v << c. Sin embargo, la formulación no es covariante, es decir, válida

en cualquier sistema de coordenadas, pues ( ) φ,,,,,, Avzyxt son: tiempo, posiciones, velo-

cidad y funciones particulares de un sistema inercial S determinado.

Vamos a escribir la ecuación de movimiento:

[I] ( ) ii Fmvdt

d =

En cualquier sistema coordenado Lorentz. La generalización al espacio de Minkowski

es evidente: [II] ( ) µµ

τkum

d

d =0

Donde µk es el cuadrivector fuerza, µu el cuadrivector velocidad y τd el invariante o

escalar tiempo propio. Esta relación es independiente del sistema coordenado.

Veamos si se puede expresar la forma [I] de la forma [II] : Si la fuerza aplicada sobre

la carga q es la fuerza de Lorentz: ( )

+⋅−

∂∂−=

dt

dAAv

xqF

i

ii φ , teniendo en cuenta que


II 3

Ac

,φ son las componentes del cuadrivector:

≡ AcA

,φµ en S, y la velocidad v

de la

partícula corresponde a la cuadrivelocidad ( )vcu

,γµ ≡ en S, el producto escalar: µµuA

(invariante Lorentz), será: ( )vAuA

⋅−= φγµµ .

Por otra parte: τγ

ττ d

dA

dt

d

d

dA

dt

dA iii

== 1 , donde 2211

cv−=γ

; por lo que iF podrá ob-

tenerse como:

[II I] ( )

−⋅

∂∂⋅⋅

=

τγ µµ

d

dAuA

xqF i

ii

1

El corchete que aparece en [II I] contiene las componentes espaciales de un cuadrivector

µk definido como: ( )

−⋅

∂∂⋅=

τµ

νν

µµ d

dAuA

xqk

• Las componentes espaciales µ = i = 1, 2, 3 de dicho cuadrivector están relacionadas

con la fuerza tridimensional en S del modo: ii kF

=

γ1

• La componente cero de µk se obtendrá de:

( ) 022

200

0 =

=

== cm

d

duu

m

d

duum

d

duk

τττ µµ

µµ

µµ

Así, de: 0=⋅uk

, ó bien: 0=µµuk , se tiene:

000 =− i

i ukuk ⇒ vFck

γγγ ⋅=0 ⇒c

vFk

⋅= γ0

Luego en S se tiene:

⋅≡ iFc

vFk

,γµ

• para: µ = 1, 2, 3: ( ) ii kumd

d =0τ, evidentemente reproduce en S la ecuación:

( ) Fvmdt

d = con: 0mm γ=

• para: µ = 0: ( ) 000 kum

d

d =τ

, resulta: ( ) ( ) ( )cmdt

dcm

dt

d

d

dt

c

vFcm

d

d γγγτ

γγτ 000 ==⋅=

,

Y, por tanto: ( ) vFmcdt

d ⋅=2

La potencia suministrada por el campo de fuerzas se emplea en variar la energía ci-

nética de la partícula.

La Lagrangiana Covariante:

Las Lagrangianas consideradas hasta ahora son relativistas, pero no covariantes. No

todo problema relativista podrá plantearse en forma covariante, pues las fuerzas que


II 4

consideremos han de tener propiedades de transformación adecuadas. Hemos usado las

fuerzas electromagnéticas porque se pueden escribir de forma covariante, sin embargo,

la formulación de de la forma:

vAqc

vcm ⋅+−−−= φ2

220 1

Que conduce a las ecuaciones del movimiento mediante:

[I] 0=∂∂−

∂∂

ii xvdt

d

O bien la ecuación variacional para el principio de Hamilton:

0=Iδ donde: ∫=2

1

t

t

dtI

No es apta para trabajar en el espacio-tiempo pues se refiere a los valores observados en

S. También se observa que en [I] se singulariza el papel de t, siendo en realidad 0x en

m4 una coordenada más, no distinta de las otras tres ix .

Una teoría covariante no ha de hacer referencia a ningún sistema coordenado espe-

cial y ha de tratar a todas las coordenadas por igual.

Lagrangiana de la partícula en m4:

La trayectoria de una partícula en m4 es su línea de Universo, que vendrá descrita

por: ( )τµµ xx = , donde τ es un parámetro arbitrario que describe el progreso de la partí-

cula en esta línea de Universo.

Así, hemos de considerar una Lagrangiana ( ) ( )( )τττ µµ ,, xx = , que será función de

las coordenadas, las "velocidades", y de τ en general.

µ2x

µ1x

( )τµx

( ) ( )τδτ µµ xx + Para un valor de 1ττ = , se tendrá el

punto ( )11 τµx y para otro 2τ , el punto

( )22 τµx . Entre estos dos puntos la tra-

yectoria será la línea de Universo:

( )τµµ xx =

Y esa será la función que tendrá que determinarse por las ecuaciones del movimien-

to, una vez resueltas con las condiciones de contorno adecuadas (valores en τ =τ1, y en

τ =τ2).


II 5

Entre todas las posibles trayectorias, la descrita físicamente será aquella que haga

estacionaria la integral: ( ) ( )( )∫=2

1

,,τ

τ

µµ ττττ dxxI

Esto es, se precisa que: 0=Iδ ; sobre toda trayectoria variada, para τ fijo.

Así, en lugar de ( )τµµ xx = , se consideran las trayectorias variadas:

( ) ( )τδτ µµµ xxx +=

( ) ( )τδτ µµµ xxx +=

Efectuando la variación del integrando:

µµ

µµ δδδ x

xx

x∂

∂+∂∂=

Hagamos uso de la relación: ( )µµ

δττ

δ xd

d

d

dx =

[variación de la derivada = derivada de la variación]

Y la anterior variación de quedará:

( )

∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂= µ

µµ

µµµ

µµ

µ δτ

δτ

δτ

δδ xxd

dx

xd

d

xx

d

d

xx

x

De los dos términos que aparecen en τd

d , uno se ha restado para mantener la igualdad.

Por tanto, la variación que se produce en I : δ I, será:

τδτ

τδτδδ µτ

τµµ

τ

τ

τ

τ

dxxd

d

xddI ∫∫ ∫

∂∂−

∂∂===

2

1

2

1

2

1

La segunda integral se anula, por ser 0=µδ x en 21, ττττ == , en efecto:

2

1

2

1

τ

τ

µµ

τ

τ

µµ δτδ

τ

∂∂=

∂∂∫ x

xdx

xd

d

La variación µδ x es arbitraria en el intervalo, pero ( ) ( ) 021 == τδτδ µµ xx , para fijar las

condiciones de contorno.

Si 0=Iδ , siendo la variación µδ x arbitraria en el intervalo, se tendrá:

[II] 0=

∂∂−

∂∂

µµ τ xd

d

x

para todo µx

Que son las ecuaciones del movimiento, totalmente análogas a las de Euler-Lagrange:

[I ], pero ahora sin hacer referencia a ningún sistema coordenado especial. En particular

será la Lagrangiana covariante:

( ) ( )( )τττ µµ ,, xx =


II 6

Tal que por [II ] reproduzca las ecuaciones del movimiento:

( ) µµ

τkum

d

d =0

Que traducidas al sistema coordenado S dan:

( )

( )î

⋅=

=

vFcmdt

d

Fvmdt

d

2con:

2

20

1

1

cv

mm

−=

Que representan la transferencia de energía y momento del campo de fuerzas a la partí-

cula de masa propia m 0.

Ejemplos de Lagrangianas covariantes:

a) Lagrangiana de una partícula libre (no sometida a fuerzas externas):

Por medio de [II ] tendrá que reproducir:

( ) 00 =µ

τum

d

d .

La analogía de la anterior ecuación con: ( ) 0=ivmdt

d , cuya Lagrangiana es: ii vmv2

1=

,

sugiere para covariante:

νν uu

m

20=

Que es un escalar Lorentz. Como:

0=∂∂

µx

; µµ

µpum

u==

∂∂

0

Aplicando [I I] se obtiene: ( ) 00 =µ

τum

d

d

El resultado esperado, un línea recta en m4. El cuadrimomento: µµ ump 0= , no varía con

τ sobre la línea de Universo, una línea con vector tangente u constante para τ:

0=ud

d τ

b) Lagrangiana de una partícula en un campo electromagnético externo:

Vamos a considerar la Lagrangiana:

λλ

µµ Auquu

m+=

20

Con: λλ

λ

τx

d

dxu == , luego los momentos canónicos son: νννν Aqum

xp +=

∂∂= 0

.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange conducen a:

( ) ( )λλ

ννντAuq

xqAum

d

d

∂∂=+0


II 7

Que se puede escribir como:

( ) ( ) νν

λλ

νν ττk

d

dAAu

xqum

d

d =

−

∂∂=0

( )

( )î

=

=⇒

vFcmdt

d

Fvmdt

dii

.2

Con: ( )

−

∂∂=

τν

λλ

νν d

dAAu

xqk , que es la fuerza de Minkowski correspondiente al campo

electromagnético que actúa sobre la partícula.

En efecto, con el término: ααν

α

ανν

ττx

x

A

d

dx

x

A

d

dA ∂∂=

∂∂=

Resulta: νλλ

λν

νλλα

αν

νλλ

ν Fuqx

A

x

Auqu

x

A

x

Auqk =

∂∂

−∂∂

=

∂∂

−∂∂

=

Pues λλ ux = , y se renombra el índice mudo: α = λ. Tenemos que: λν

νλ

νλx

A

x

AF

∂∂

−∂∂

= es el

tensor campo electromagnético. Así:

uFqk

= Cuadrivector fuerza de Lorentz

Momento canónico de la partícula en un campo electromagnético externo:

Como se ve, los momentos canónicos difieren del momento canónico de la partícula

libre en el término que toma en cuenta el potencial electromagnético.

• para p0:c

E

c

qT

c

qcm

cqcmp =+=+=+= φφφγ

2

00

Donde φqTE += es la energía total de la partícula. La componente temporal del mo-

mento canónico proporciona la energía total.

• para pi: iii Aqump += 0

Con las componentes contravariantes: iii Aqpum −=0 y las covariantes: iii Aqpum −=0 ,

realizando el producto escalar miembro a miembro, resulta:

El primer miembro de la igualdad:

220

20 cmuum i

i =

El segundo miembro será:

( )( ) ( )

( ) ( )22

222

0

00 ,,

Aqpc

TAqp

cqp

Aqpc

qpAqpc

qpAqpAqp iiii

−−=−−

−

−−−⋅

−−=−−

φ

φφ

Por lo que: ( ) 420

222 cmcAqpT +−=


II 8

Donde: p es el trimomento, y: ( )zyx AAAA ,,=

, la función potencial vector. Las compo-

nentes espaciales del momento canónico proporcionan la energía cinética T.

El Hamiltoniano Relativista:

Utilizando la expresión de la Lagrangiana relativista:

vAqqc

vcmvAqqcm

⋅+−−−=⋅+−−= φφγ 2

220

20 1

Con los momentos canónicos: iii

i Aqmvv

p +=∂∂=

, donde:

2

2

0

1c

v

mm

−=

Obtenemos el Hamiltoniano del modo usual:

∑ −=

iiR vpH

( ) vAqqc

vcmvAqmvvAqmv iii

⋅−+−+⋅+=−+= ∑ φ

2

22

02 1

φφφ qTqmcqc

vmcmv +=+=+

−+= 2

2

222 1

Resulta que: φqTHR += Energía total de la partícula. Aparecerá en la componente

temporal del cuadrimomento: c

H

c

qTp R=+= φ0 .

Si expresamos T, como veíamos anteriormente, en función de los momentos canóni-

cos: ( ) 420

22cmcAqpT +−=

, entonces HR también se puede escribir como:

( ) φqcmcAqpH R ++−= 420

22

El Hamiltoniano Covariante:

Generalizando la expresión correspondiente al Hamiltoniano relativista se obtendrá:

−= λλ upHC

Donde es la Lagrangiana covariante: λλ

λλ Auquu

m +=2

0.

Las ecuaciones del movimiento serán ocho en total, dadas por las ecuaciones de Ha-

milton: [I]τλ

λ d

dx

p

HC =∂∂ ;

τλ

λ d

dp

x

HC −=∂∂

Donde el tiempo t ha sido generalizado al invariante τ. Las anteriores ecuaciones son

obviamente invariantes Lorentz.


II 9

Con los momentos canónicos definidos como: λλλ Aqump += 0 , el Hamiltoniano co-

variante toma la expresión:

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ uu

mAuquumuAquumHC 22

1 000 =−−+=

λλ uu

mHC 2

0=

O en función de los momentos canónicos:

[II] ( )202

1 ∑ −=λ

λλ Aqpm

HC

Que se empleará en [I] para obtener las ecuaciones del movimiento.

Con este Hamiltoniano, la parte espacial de las ecuaciones [I] debe conducir a las

ecuaciones del movimiento. Además, hay dos ecuaciones adicionales que se obtienen

con el índice λ = 0. Una de ellas simplemente indica que p0 es proporcional a la energía

total, resultado ya obtenido anteriormente.

En efecto, derivando en [II] :

τd

dxu

m

Aqp

p

HC 00

0

000

==−

=∂∂

Por tanto cmumAqp γ00000 ==−

De donde:c

qT

c

qmccqmcp

φφφ +=+=+=2

0 ⇒ c

Ep Total=0

3. Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana

Formulación Lagrangiana para sistemas continuos:

Toda la formulación Lagrangiana discutida hasta el momento ha sido diseñada para

tratar sistemas con un número finito de grados de libertad.

En algunos sistemas mecánicos, los sistemas continuos, el movimiento se ha de des-

cribir especificando para todos los puntos las coordenadas en función del tiempo.

P. ej. al estudiar las vibraciones de un sólido elástico ha de expresarse cómo contri-

buye a la oscilación cada uno de los puntos del sólido.

El método más sencil lo para considerar las vibraciones del sólido es considerarlo

como un sistema discreto y pasar entonces al límite continuo, obteniendo en este las

ecuaciones de movimiento.

Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana

II 10

Transición del sistema discreto al sistema continuo:

Consideremos un sólido elástico unidimensional infinitamente largo (varilla elástica)

que puede vibrar longitudinalmente, esto es sus partículas constitutivas oscilan en la

dirección de vibración en torno a sus posiciones de equilibrio.

El sistema se aproxima a una sucesión (discreta) de partículas, dispuestas en cadena,

de masa m, con puntos de equilibrio separados una distancia a, sobre las que actúan

fuerzas elásticas recuperadoras de constante k.

El esquema sobre el que se desarrollará el estudio es el siguiente:

η i – 1 η i η i + 1

Llamando ηi al desplazamiento de la partícula i-ésima desde su posición de equil i-

brio, la energía cinética de la misma será:

2

21

imT η= , y para todo el sistema: ∑∞

=

=1

2

2

1

i

imT η

La energía potencial será de la forma: ( )∑∞

=+ −=

1

212

1

i

iikV ηη

k es la constante elástica del material, que aparece en la ley de Hooke.

Ya que, en efecto, la fuerza sobre la partícula i se obtendrá derivando dicha expre-

sión respecto de ηi :

( ) ( )11 −+ −−−=∂∂−= iiii

ii kk

VF ηηηη

η

El término ( )iik ηη −+1 da la fuerza recuperadora debida a la interacción elástica con la

partícula de la derecha y ( )1−−− iik ηη , con la partícula de la izquierda.


II 11

La Lagrangiana del sistema será:

( )[ ]∑∞

=+ −−=−=

1

21

2

2

1

i

iii kmVT ηηη

Que se puede también escribir de la forma:

iii

iii a

aak

a

ma

∑∑∞

=

∞

=

+ =

−−=

11

212

21 ηηη

Como suma de Lagrangianas de todas las partículas. Las correspondientes ecuacio-

nes de movimiento ηi(t), se obtienen sin más que aplicar las condiciones de Euler-

Lagrange a las coordenadas generalizadas iη , iη :

0=∂∂−

∂∂

iitd

dηη

⇒ 0

21

21 =

−+

−− −+

aak

aak

a

m iiiii

ηηηηη Ecuaciones de movimiento

Consideraciones en el paso al continuo:

1º) El límite continuo para el sólido elástico unidimensional se obtendrá para a→0. Cla-

ramente la cantidad µ→a

m , (masa por unidad de longitud del sistema continuo), pero el

valor límite de ka no es tan evidente.

2º) Para un sólido elástico que cumpla la ley de Hooke, el alargamiento por unidad de

longitud es directamente proporcional a la fuerza o tensión aplicada, relación que se

puede escribir:

∆=YF , esto es: ξYF =

Donde ξ es el alargamiento por unidad de longitud e Y es el módulo de Young. Es evi-

dente que el alargamiento de una longitud a de un sistema discreto, por unidad de lon-

gitud, es: ( )a

ii ηηξ −= +1

La fuerza necesaria para estirar el resorte esta cantidad es:

( ) ξηηηη aka

akkF iiii =

−=−= +

+1

1

Por lo que ka debe corresponder al módulo de Young de la varilla continua.

3º) Al pasar del caso discreto al límite continuo, el índice entero i que caracteriza a la

masa puntual particular se convierte en la coordenada de posición continua x. Así, para

a→0, ηi →η (x). La coordenada generalizada ηi pasa a ser la función campo η (x).

Además, como ηi (t), entonces: η (x, t).

Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana

II 12

Por tanto, la cantidad ξ en el límite:

dx

d

a

xax

a a

ii

alimlim ηηηηη =−+=−

→+

→

)()(0

1

0

Ya que a pasa a desempeñar el papel de dx.

4º) De igual modo, la suma extendida a todas las partículas se convierte en una integral

sobre x, la longitud de la varilla, y la Lagrangiana del sistema aparece como:

[I] ∫

−= dx

dx

dY

22

2

1 ηηµ

5º) En las ecuaciones de movimiento, en los dos últimos términos se tiene en el paso allímite:

î

−

−

−→ axxa dx

d

dx

d

a

Ylim ηη0

Que define claramente una segunda derivada de η en x.

Por tanto, la ecuación de movimiento para el sólido elástico unidimensional será:

[II] 02

2

2

2

=−xd

dY

td

d ηηµ

Ecuación de ondas unidimensional, con velocidad de fase: µY

v = , que tendrá que

satisfacer la función η (x, t).

Consideraciones:

1ª) Por un proceso variacional enunciado para [I], ha de ser posible obtener la ecuación

de ondas [I I].

2ª) Lo más importante a considerar es el papel que desempeña la coordenada de posi-

ción x. ¡No es una coordenada generalizada!. Sólo sirve como índice continuo que sus-

tituye al índice discreto i. Así como a cada valor de i le corresponde una coordenada

generalizada distinta ηi , a cada valor de x le corresponde η η (x): coordenada generali-

zada. Como ηi depende del parámetro t, puede considerarse la coordenada generalizada

η (x) dependiente también de t:

η (x, t)

3ª) Si el sistema continuo es tr idimensional, la coordenada generalizada depende de

tres índices continuos además de t, por lo que tendremos que considerar:

η (x, y, z, t)

En este caso, la Lagrangiana tendrá la forma:

[II I] dzdydx∫ ∫ ∫=


II 13

Donde ! se conoce como Densidad Lagrangiana* del sistema.

Para las vibraciones longitudinales estudiadas anteriormente en el sólido lineal, la

densidad Lagrangiana será:

[I]

î

∂∂−

∂∂=

22

2

1

xY

t

ηηµ"

* También recibe los nombres de Lagrangiano (en Teoría de Campos), o sencillamente Lagrangiana.

Que corresponde al límite continuo de la Lagrangiana # i . Es la densidad Lagrangia-

na, la magnitud que determina la descripción del movimiento del sistema.

En síntesis, para las ecuaciones de movimiento vistas en el caso discreto:

02

12

1 =

−+

−− −+

aak

aak

a

m iiiii

ηηηηη$$

Tendremos: ( )2

2 ,

t

txi ∂

∂⇒ ηη$$ Y el término:

−

+

−

− −+2

12

1

aka

aka iiii ηηηη

Que podrá ponerse: ( )xen

ii

x

tx

a ∂∂⇒−+ ,1 ηηη Y: ( )

xxen

ii

x

tx

a ∆−

−

∂∂⇒− ,1 ηηη

Así pues tendremos, si: ka =Y ⇒ ( ) ( )

î

∂

∂−

∂

∂−∆− xxx

x

tx

x

tx

a

Y ,, ηη ⇒ ( )2

2 ,

x

txY

∂∂− η

Y, por tanto, en el límite continuo, las ecuaciones de movimiento son:

[II] 02

2

2

2

=∂∂−

∂∂

tY

t

ηηµ

Sobre un principio de acción correctamente formulado con la densidad Lagrangiana

! y aplicando las ecuaciones resultantes (ecuaciones de Euler-Lagrange), se podrán ob-

tener las ecuaciones que cumple el campo (ecuaciones [II] ). Este será el objetivo a con-

seguir.

Lagrangiana de un sistema continuo:

En [I ], la Lagrangiana depende de:

∂∂=

t

ηη$ , y de:

∂∂

x

η , siendo x, t, considerados

como parámetros. En general, en un sistema continuo tridimensional, la densidad La-

grangiana puede depender de funciones, y de sus derivadas espaciales y temporales; de

η (x, y, z, t), así como explícitamente de x, y, z, t. Entonces la densidad Lagrangiana

tendrá una expresión general:

Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange

II 14

[IV]

∂∂

∂∂= tzyx

txk

,,,,,,ηηη%%

; xk = x, y, z

4. Principio variacional en m4 Ecuaciones de Euler-Lagrange:

Principio variacional en m4:

Las ecuaciones de movimiento provendrán de un principio variacional del mismo

modo que en el caso discreto, a partir de una acción definida de la forma:

∫ ∫∫∫=2

1

dtdzdydxI%

Donde x, y, z, t son considerados como parámetros. En el volumen de integración:

(x, y, z) ∈ V; t ∈ [t1, t2], lo que varía en cada punto (x, y, z, t = cte), es el valor de la co-

ordenada generalizada η (x, y, z, t), y por tanto también se producirá una variación de

∂∂=

t

ηη& y de

∂∂

kx

η .

La función η (x, y, z, t) será la función correcta que describa el sistema físico en es-

tudio, si cualquier variación δη hace que la acción I sea estacionaria (máxima o míni-

ma), esto significa que su variación δI sea nula:

02

1

2

1

=== ∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫ dtdzdydxdtdzdydxI%% δδδ

La variación de la densidad Lagrangiana se puede escribir:

∂∂

∂∂∂

∂+∂∂+

∂∂= ∑

= kk

k

x

x

ηδη

ηδη

δηη

δ3

1

%%%% &&

Donde por conveniencia: x, y, z, se han renombrado xk , k =1, 2, 3.

El principio de Hamilton, se puede expresar entonces:

02

1

3

1

=

∂∂

∂∂∂

∂+∂∂+

∂∂=∫ ∫∫∫ ∑

=

dtdzdydxx

x

Ikk

k

ηδη

ηδη

δηη

δ%%%

&&

Que podemos escribir:

02

1

3

1

3

1

=

î

∂∂∂

∂∂

∂−

∂∂∂

∂∂

∂+

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂+

∂∂∫ ∫∫∫ ∑∑

==

dtdzdydx

x

x

x

xttk

k

kk

k

k

δηη

δηη

δηη

δηη

δηη

%%%%%&&


II 15

Haciendo uso de las relaciones:

( ) ηδηδηδ '=

∂∂=

∂∂

tt y: ( )

∂∂=

∂∂

kk xx

ηδηδ

Evidentemente, la variación que efectuamos δη puede ser cualquiera en todos los

puntos fijos (x, y, z) dentro del volumen de integración, pero tal que se anule en la fron-

tera de dicho volumen. Así pues, las integrales en que aparece la derivada en t y en xk ,

de las expresiones entre corchetes [ ], al integrar en el volumen darán:

0tfrontera la enValor

tfrontera la enValor

2

1

=∂∂ δηη'

(, pues δη (x, y, z, t1 ó t2) = 0

0

)2(xfrontera la enValor

)1(xfrontera la enValor

k

k

=

∂∂∂

∂ δηη

kx

(, pues δη (xk , t) = 0

De este modo, el principio variacional δI = 0 dará:

02

1

3

1

=

∂∂∂

∂∂

∂−∂∂

∂∂−

∂∂∫ ∫∫∫ ∑

=

dtdzdydx

x

xtk

k

k

δηηηη

)))*

Para cualquiera que sea la variación producida δη (x1, x2, x3, t) = 0, de la función η (x1,

x2 , x3 , t) en el volumen V, lo que es posible sólo si se satisface:

03

1

=∂∂−

∂∂∂

∂∂

∂+∂∂

∂∂ ∑

=k

k

k

x

xt ηηη

)))*

Que es la ecuación de movimiento del sistema. Una ecuación en derivadas parciales

de 2º orden (¡las ecuaciones de la física!), que una vez resuelta con los valores de con-

torno adecuados, nos dará la función:

η = η (x, y, z, t)

Que describe adecuadamente la propiedad η asignada a todo punto P ∈ V en el intervalo

de tiempos t1< t < t2. Es decir, nos proporciona la función campo.

Posibles elecciones de valores de contorno son:

a) 1ttt =∂

∂η , η (x, y, z, t1), para (x, y, z, t) en la frontera del volumen V.

b) 1ttt =∂

∂η , 1ttxk =∂

∂η , para (x, y, z, t) en la frontera del volumen V.


II 16

Las condiciones: (a) Son las condiciones de Dirichlet en el contorno.

(b) Son las condiciones de Neumann en el contorno.

Como se puede ver, el problema de determinar el movimiento del sistema es total-

mente análogo a determinar la trayectoria de la partícula pues hay que conocer la posi-

ción (valor de la función η) y la velocidad, valor de las derivadas en el contorno.

Caso de varios grados de libertad:

Las forma anterior de la densidad Lagrangiana y la consiguiente ecuación del movi-

miento ha sido discutida, suponiendo que el sistema puede describirse únicamente por

una función η = η (x, y, z, t).

En un problema más complicado, por ejemplo la vibración de un sólido elástico tri-

dimensional, pueden producirse desplazamientos independientes a lo largo de tres ejes

coordenados y, por lo tanto, se necesitarán tres funciones η1, η2, η3, que nos den dichos

desplazamientos.

En general el sistema físico necesita para su descripción de un número determinado

de funciones, η j (xk , t), es decir, de j coordenadas generalizadas, y por tanto su densidad

Lagrangiana dependerá de estas η j coordenadas y de sus derivadas, tanto en t como en

las xk. De este modo se obtendrán j-ecuaciones de movimiento; cada una involucra un

grado de libertad, (una función η j (xk , t)).

Así pues las ecuaciones de movimiento serán:

3 2, 1,j03

1

==∂∂−

∂∂

∂

∂∂

∂+∂∂

∂∂ ∑

=k j

k

jkj

x

xt ηηη

+++,

A veces se introduce el concepto de derivada funcional o derivada variacional. La

derivada funcional de la Lagrangiana respecto de η j se define como:

∑=

∂∂

∂

∂∂

∂−∂∂=

3

1k

k

jkjj

x

x ηηηδδ --.

Una definición similar se hace para la derivada funcional de / con respecto a jη0 , pe-

ro ya que / no depende de los gradientes de jη0 , se tiene simplemente:

jj ηηδδ

00 ∂∂= -.


II 17

Así, la variación de la acción δI, con estas definiciones, se convierte simplemente en:

∫∑ ∑

∂∂+

∂∂

∂

∂−∂∂=

=V j k

jj

j

k

jj

j

dV

x

I3

1

ηδη

δηη

δηη

δ 11222

Esto es: ∫∑

+=

V jj

jj

j

dVI ηδηδ

δδηηδ

δδ 1133

Que es exactamente la expresión que se hubiera obtenido aplicando δ a la ecuación

[II I], ignorando la dependencia en los gradientes de η. Las ecuaciones de movimiento

tomarían la forma simple en derivadas funcionales:

0=−∂∂

jjt ηδδ

ηδδ

331

Conclusiones:

Mientras que la expresión en derivadas funcionales simpli fica grandemente algunas

operaciones al aplicar el principio variacional, tiende a ocultar el hecho de que las ecua-

ciones de movimiento son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, respecto de

tiempo y espacio. Del mismo modo, singulariza la coordenada tiempo respecto de las

otras tres, aunque hemos indicado que tanto una (t) como otras (xk) juegan el mero papel

de simples parámetros que aparecen en la densidad Lagrangiana 4 . Esta identificación

en el trato a las cuatro coordenadas es lo que se produce en Relatividad y, por tanto, el

proceso descrito previamente a éste es el que podrá incorporarse fácilmente a la formu-

lación covariante. El producto dx1 dx2 dx3 dt es esencialmente el elemento de volumen

cuadridimensional en m4, invariante bajo transformaciones Lorentz.

El principio de Hamilton se convierte automáticamente en covariante Lorentz si 4 es

un escalar en el espacio-tiempo.

Las ecuaciones de movimiento en notación covariante se escribirán pues de la forma:

03

0

=∂∂−

∂∂

∂

∂∂

∂∑=µ

µ

µ ηη jj

x

x

55

Invariantes Lorentz, si 4 es un escalar Lorentz y las ηj tienen las propiedades de trans-

formación adecuadas.


II 18

Principio variacional, campo escalar unidimensional:

Veamos el principio variacional sobre un Lagrangiano:

∂∂

∂∂= tx

tx,,,,

ηηη66

, para un

(x, t) dado tomamos las funciones variadas: ηδη + , ηδη 77 + , xx ∂

∂+∂∂ ηδη .

Si hemos construido la acción:

∫ ∫∫ ==2

1

2

1

2

1

x

x

dt

t

t

dx

t

t

dtI68

Veamos cuánto vale su variación δI:

∫ ∫=2

1

2

1

x

x

dt

t

t

dxI6

δδ

=

∂∂

∂∂∂

∂+

∂∂

∂∂∂

∂+∂∂=

x

x

t

t

ηδη

ηδη

δηη

δ6666 ( ) ( )ηδ

ηηδ

ηδη

η x

x

t

t

∂∂

∂∂∂

∂+∂∂

∂∂∂

∂+∂∂

666

ηδη

ηδη

ηδη

ηδη

δηη

∂∂∂

∂∂∂−

∂∂∂

∂∂∂+

∂∂∂

∂∂∂−

∂∂∂

∂∂∂+

∂∂=

x

x

x

x

t

t

t

t

66666

La integral queda:

∫∫∫ ∫

∂∂∂

∂+

∂∂∂

∂+

∂∂∂

∂∂∂−

∂∂∂

∂∂∂−

∂∂=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

dx

t

tx

t

t

dt

x

xt

x

x

dt

t

t

dx

x

x

t

tI ηδ

ηηδ

ηηδ

ηηδ

ηηδ

66666

Ahora bien: ( ) ( ) 0,, 122

1==⇒ txtx

xx

ηδηδηδ

Pues ambos términos se anulan. En un principio variacional de extremos fijos: η (x1),

η (x2) son constantes con el tiempo. De la misma forma:

( ) ( ) 0,, 122

1==⇒ txtx

tt

ηδηδηδ

por ser η (t1), η (t2) constantes con la posición. Así pues, para que δI = 0, para toda va-

riación δη, se ha de satisfacer:

0=

∂∂∂

∂∂∂−

∂∂∂

∂∂∂−

∂∂

x

x

t

t ηηη

999Ecuación de Euler-Lagrange


II 19

Es una ecuación en derivadas parciales respecto de la posición y el tiempo que se ha

de resolver para determinar la función campo η = η (x, t).

Ejemplo: Dada la densidad Lagrangiana anteriormente propuesta para el sólido elástico

unidimensional, encontrar por aplicación de las condiciones de Euler-Lagrange, las

ecuaciones de movimiento. Así:

î

∂∂−

∂∂=

22

2

1

xY

t

ηηµ: , se tiene 0=∂∂η

;; ηµ

η<

=

∂∂∂

∂

t

:;

∂∂−=

∂∂∂

∂x

Y

x

ηη

:, por tanto:

02

2

2

2

=∂∂−

∂∂

tY

t

ηηµ Ecuación del movimiento

Campo escalar tr idimensional:

Definido por una densidad Lagrangiana:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂= tzyx

tzyx,,,,,,,,

ηηηηη::

El principio de mínimo sobre la acción: ∫ ∫=V

t

t

dtdzdydxI2

1

: , genera la ecuación de Euler-

Lagrange: 03

1

=

∂∂∂

∂∂

∂−

∂∂∂

∂∂∂−

∂∂ ∑

=k

k

k

x

x

t

t ηηη

;;;; que determina el campo η=η(x, y, z, t).

Campo vectorial tr idimensional:

Definido por tres funciones campo: ),,,( tzyxΨ=Ψ == , esto es xyx ,,Ψ=Ψα . Su densidad

Lagrangiana será:

∂∂= tx

xk

k,,,

αα ψψ

::, con k = 1, 2, 3; α = 1, 2, 3.

Del principio de mínimo ∫ ∫

∂∂=

V

kk

t

t

dtdzdydxtxx

I2

1

,,,α

α ψψ: , se tienen α-ecuaciones de

Euler-Lagrange: 03

1

=

∂∂∂

∂∂

∂−

∂

∂∂

∂∂∂−

∂∂ ∑

=k

k

k

x

x

t

t ααα ψψψ

;;;.

Tres ecuaciones, una para cada valor del índice α.

Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento

II 20

5. Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor Energía-Momento:

Lagrangiano de un campo:

Así como la partícula queda descrita en mecánica clásica por su masa m, y su función

posición ( )tr> en términos del parámetro tiempo; un campo queda definido por un con-

junto de funciones que toman valores en todos los puntos del espacio.

El campo electromagnético está descrito por un conjunto de funciones definidas, no

en un único punto de m4, sino en cualquier punto xµ. Dar el campo significa dar las fun-

ciones Aµ (xµ) o las funciones Fµν (xµ) que comprenden tanto las variaciones espaciales

como las temporales en cualquier punto xµ de m4.

Las componentes del campo son las coordenadas generalizadas en cuyos términos se

construye el Lagrangiano del sistema.

Así aplicaremos un principio variacional, con una densidad Lagrangiana definida en

m4 de modo que:

[I] δI = 0, con: ( ) ( )∫

∂∂=

4

4,,

V

dxxx

xAxAI ν

µµ?

En general las funciones Aµ (x) pueden ser cualesquiera, es decir escalares Lorentz,

componentes de un cuadrivector (como en el caso electromagnético) o componentes de

un tensor (como en el caso gravitatorio), etc. La condición para que la teoría mantenga

la invariancia relativista es que @ sea un escalar Lorentz, en el caso general, que sea una

densidad escalar.

Procederemos en el caso continuo del mismo modo que procedimos en el caso discreto:

Las funciones Aµ (x) serán las que describen físicamente el sistema continuo y hacen

mínima la acción definida en [I] . Es decir, en cada punto xµ ∈ V4, en lugar de Aµ (x),

consideramos la función variada:

Aµ (x) + δAµ (x)

De tal forma que δAµ (x) = 0, para x ∈ S (el contorno de V4)

Con tales variaciones en las funciones Aµ (x) se tendrá:

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )νµ

ν

µµ

νµµ

ννµµ

ν δδδδδ , ;, Ax

xAxA

xxAxA

xAxA

x=

∂∂=

∂∂−+

∂∂=

∂∂

Esto es, la variación de la derivada es igual a la derivada de la variación:

( ) ( ) νµ

νµ δδ ,, AA =

V 4

S


II 21

Con lo que podemos ver cuánto varía A si variamos las Aµ (x) y Aµ,ν (x).

Tendremos entonces: ( )∫∫ ==4

4

4

4

VV

dxdxI BB δδδ

Como consecuencia de la variación de las funciones campo:

[ ] ( ) ( )=∂∂∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂∂

∂+∂∂= ν

µνµ

νν

νµ

µ

νν

ν δδδδδ AA

AA

Ax

x

AA

A

BBBBB

( ) ( )ν

νµ

µν

νµ

µν

ν δδδ AA

AA

AA

∂∂∂∂−

∂∂∂∂+

∂∂= BBB

Restando el término que falta para que quede: ( )( )

∂∂∂∂ ν

νµ

µ δ AA

B

Si las funciones hacen mínima la acción, la variación ha de anularse. La acción es un

extremo, por lo que:

δI = 0 ⇒ ( ) ( ) ( )( )∫∫

∂∂∂∂+

∂∂∂∂−

∂∂=

4

4

4

40

VV

dxAA

dxxAAA

νν

µµ

νν

µµν δδ BBB

La integral en volumen puede pasar a integral en el contorno de modo que:

( )( ) ( ) 04

4 =∂∂∂=

∂∂∂∂ ∫∫

SV

dSAA

dxAA

µν

νµ

νν

µµ δδ BB

Pues ∫∫∂

=∂44

4

RR

dSPdxP µµµ

µ , y la variación de las funciones campo es tal que δAν (x) = 0

para x ∈ S, por lo que la expresión anterior se anula.

Como para x ∈ V4 las δAν (x) son arbitrarias, la acción sólo puede anularse si:

( ) 0,1,2,3 , =∂∂=

∂∂∂∂ νννµ

µAA

BB

Los índices repetidos indican suma, esto es, se tiene:

( ) νµ

νµ

µAA ∂

∂=

∂∂∂∂∑ BB

ν es el índice que hace aparecer tantas ecuaciones como variables campo se tenga.

• Para un campo escalar sólo tenemos una función A1(x), y una ecuación.

• Para un campo vectorial, cuatro funciones Aµ (x), µ=0,1,2,3, y cuatro ecuaciones.

• Para un campo tensorial, 4×4=16 funciones Aµ (x), µ=0,1,2,3....15, y 16 ecuaciones.

En general, como hemos visto, las funciones campo αΨ , pueden ser un conjunto de

funciones ( )µα xΨ , α = 1, 2, ... N; µ=0,1,2,3, tanto reales como complejas y pueden ser

escalares, vectoriales, tensoriales etc.


II 22

Con ellas construimos la densidad Lagrangiana (invariante Lorentz si deseamos una

teoría relativista) C a partir de las funciones αΨ y sus derivadas:

( ) ( )( )µαµ

α ψψ xx,x ,,DD

=

Formalmente construida con las funciones y sus derivadas de primer orden. Las

ecuaciones del campo se obtendrán (ecuaciones de 2º orden, las comunes de la física),

como: 0,

=

∂∂∂−

∂∂=Λ α

µµαα ψψ

DD

Donde llamaremos: αα ψ∂∂≡

DD ; αµ

µα ψ ,∂

∂≡DD ; µ

αµααDD

∂−≡Λ

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de campo.

Fijémonos que la variación se ha impuesto en las funciones campo, y se ha fijado el

volumen, y su contorno. Esto es, se ha operado una variación que no afecta al volumen

de integración ni a las coordenadas.

La dinámica del sistema (ecuaciones del campo) queda pues especificada una vez

conocida la Lagrangiana. El problema físico que se nos plantea es escoger la Lagrangia-

na adecuada. Esta será conveniente si conduce a las ecuaciones correctas. Es decir,

ecuaciones que una vez resueltas, determinan funciones que describen adecuadamente

los fenómenos físicos observados.

Es importante constatar que no hay una única Lagrangiana para un sistema físico

concreto. Toda función Lagrangiana puede modificarse añadiéndole un término de

divergencia, resultando las mismas ecuaciones.

Así: ( ) ( )( )µαµ

α ψψ xx,x ,,DD

= , y: ( ) ( )( ) ( )( )µαµµ

µαµ

α ψψψ xxxx,x ,,, Γ∂+=DD

Dan las mismas ecuaciones, ya que:

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∂

=Γ+=Γ∂+=Γ∂+4

,

VRRRRR

dxdxdxdxdxdxDDDD δσψδδδδδ µ

µαµµµ

µµ

Como consecuencia de: ( ) ( ) 0,, =Γ=Γ ∫∫∂∂ RR

dxdx µµαµ

µµαµ σψδσψδ

Ya que: ( ) ( ) αα

µαµµαµ ψδ

ψψψδ

∂Γ∂=Γ x

x,

, , y 0=αψδ en el contorno de R: ∂R.


II 23

Campos complejos: Si las cantidades ( )xαΨ son complejas, podemos tomar las par-

tes real e imaginaria como funciones independientes. O de manera alternativa los dos

campos αΨ y *αΨ como independientes.

Campo electromagnético: Se pueden dar varias formas de Lagrangiana para el

campo electromagnético. Unas y otras diferirán en un término de divergencia.

Se pueden expresar en función de Aµ (x) o de Fνµ (x), o de ambos, por ejemplo:

( )22202

0

44BcEFF

cI −=−= εε µν

µνE

Para el campo electromagnético libre, las funciones Aµ (x) son las funciones campo,

aunque escribamos F I en función de Fνµ (x) para mostrar su invariancia ante una trans-

formación gauge para los potenciales.

Es fácil ver que: 0=∂∂

µAI

E; µννµ F

AI =

∂∂

,

E

por lo que las ecuaciones de campo dan: 0, =µννF Ecuaciones del campo libre

O bien en términos de los potenciales: 0=µAG

Si se toma la condición subsidiaria en los potenciales: 0, =µµA Condición de Lorenz

Veámoslo detalladamente:

La Lagrangiana del CEM libre: µνµν FFK=

E , con:4

20c

Kε−= , con la que se calculan

las ecuaciones de Euler-Lagrange: ( ) 0=∂∂−

∂∂∂∂ ααβ

β

AA

EE

En primer lugar: 0=∂∂

αA

E⇒ F no depende explícitamente de los Aα.

En segundo lugar: ( ) ( ) ( )αβαβαβ A

FKF

A

F

FA ∂∂∂=

∂∂∂

∂∂=

∂∂∂

2EE

, donde µννµµν AAF ∂−∂= .

Con: ( )( )

( )µα

νβ

να

µβαβ

µννµ

αβ

µνδδδδ −=

∂∂∂−∂∂=

∂∂∂

A

AA

A

F ,

( ) ( ) αβαββαµα

νβ

να

µβµναβ δδδδ KFKFKFKF

A4222 −=−=−=

∂∂∂

E

Finalmente: ( ) 04 =−∂ αββ KF ⇒ 0=∂ αβ

β F

O bien: ( ) 02 =∂−∂∂=∂−∂∂ αββ

ααββαβ AAAA ⇒ 002 =⇒=∂ αα AA G

Simbolizamos: G ó 2∂≡∂∂ ββ

Con la condición para fijar el potencial: 0=∂=∂ βββ

β AA : condición de Lorenz.


II 24

Ejemplo: Lagrangiano de Fermi.

En el sistema de unidades naturales: ( )2,2

1

4

1 µµ

µνµν AFFII −−=

H

No es invariante gauge, pero conduce al resultado: 02 =µAI , sin condiciones adicionales

sobre los potenciales.

Nota: Tomamos Aµ como funciones de campo, aunque explícitamente aparezca Fνµ.

Lagrangiano de interacción con partículas cargadas:

El término de interacción ha de ser también un escalar Lorentz, para que lo siga sien-

do la densidad Lagrangiana. De las ecuaciones que dan la densidad de energía electros-

tática y magnetostática:

Φρ , AJ JJ ⋅

podemos expresar la generalización covariante Lorentz:

αα AJ

Con este escalar Lorentz que contiene las fuentes de campo, escribiremos la densidad

Lagrangiana:

[I] αα

αβαβ

εAJFF

c −−=4

20H

Hemos de tener en cuenta que las funciones campo son Aα. Expresando [I] en fun-

ción de estos potenciales:

[II] ( )( ) αα

λννλµσσµνσλµ

αα

λµλµ

εεAJAAAAgg

cAJFF

c −∂−∂∂−∂−=−−=44

20

20H

Donde hemos utili zado: λνσµ

λµµσ

νσλµ FFgFgg ==

Hallemos las ecuaciones del campo: ( ) 0=∂∂−

∂∂∂∂ ααβ

β

AA

HH

Con: ( )

î

−

+

−

×−=∂∂∂

µσλα

νβ

µσνα

λβ

λνµα

σβ

λνσα

µβ

νσλµαβ

δδδδ

δδδδ

ε

FF

FF

ggc

A 4

20

H

Los cuatro términos son iguales, dada la antisimetría de Fνµ y la simetría de gαβ.

En efecto:

βααλ

λβλν

ναλβλνσ

αµβνσλµ δδ FFgFggFgg ===

βααββλ

λαλν

νβλαλνµ

ασβνσλµ δδ FFFgFggFgg =−=−=−=−


II 25

βααµ

βµµσ

ασβµµσν

αλβνσλµ δδ FFgFggFgg ===

βααββµ

αµµσ

βσαµµσλ

ανβνσλµ δδ FFFgFggFgg =−=−=−=−

Así: ( ) αββααβ εε FcFcA

20

20 =−=

∂∂∂ K

Como: αα JA

−=∂∂ K Las ecuaciones del movimiento son:

[II I] ααββε JFc −=∂2

0 ⇒ ααββ µ JF 0−=∂

Que son las ecuaciones no homogéneas de Maxwell en forma covariante.

Las ecuaciones homogéneas se cumplen automáticamente, por la forma en que se ha

definido el tensor campo electromagnético en función del cuadrivector potencial:

∂α*Fγµ = ∂α 2

1 εαβγµ Fγµ = 2

1 ∂α εαβλµ (∂λ Aµ − ∂µ Aλ )

= 2

1 ∂α εαβλµ ∂λ Aµ − 2

1 ∂α εαβλµ ∂µ Aλ = ∂α εαβλµ ∂λ Aµ

Ya que por la antisimetría, y al ser los índices mudos:

− ∂α εαβλµ ∂µ Aλ = − ∂α εαβµλ ∂λ Aµ = ∂α εαβλµ ∂λ Aµ

Por tanto: ∂α*Fαβ = ∂α εαβλµ ∂λ Aµ ≡ 0

Nulo por ser el operador ∂α∂λ simétrico y εαβλµ antisimétrico en todos sus índices, para

todas las permutaciones impares. Así las ecuaciones de Maxwell homogéneas:

∂α *Fαβ = 0

se obtienen de modo trivial.

Del mismo modo vemos que Jα es de divergencia nula pues:

βαβα

βααβ

αββα

βαβα

αα εεεε FcFcFcFcJ ∂∂−=∂∂−=∂∂−=∂∂=∂ 2

02

02

02

0

El orden de derivación no cambia el resultado.

Entonces: 0=∂ αα J

Lagrangiano de Proca:

En el Lagrangiano anterior hemos considerado el término de interacción del cuadri-

vector corriente con el cuadrivector potencial. Introduzcamos un término µ de interac-


II 26

ción escalar con el cuadrivector potencial. Para que la densidad Lagrangiana continúe

siendo un escalar, el término más sencillo será de la forma:

ααµε

AAc 2

20

2

Donde el coeficiente 2

20cε se ha puesto por conveniencia. Veremos más adelante qué

significado puede darse al escalar µ.

La Lagrangiana resultante se conoce como Lagrangiano de Proca:

αα

αα

αβαβ µεε

AJAAc

FFc

PROCA −+−= 22

02

0

24

L

Las ecuaciones de movimiento son:

ααβαβ µµ JAF 0

2 =+∂

En contraste con las ecuaciones de Maxwell, en las que aparecen únicamente los

campos, que son los que tienen significado físico real (observables), aquí aparecen tam-

bién los potenciales, que se harían observables a través del término µ.

La ecuación anterior se puede escribir:

( ) ααααββ

αααβααββ µµµµ JAAAAAAAA 0

2222 =+=+∂∂−∂=+∂−∂∂ M

donde hemos utilizado el gauge de Lorenz: 0=∂ ββ A .

Esto es: [I] ααα µµ JAA 02 =+M

Que en el límite estático (si los potenciales no son funciones del tiempo) queda:

ααα µµ JAA 022 −=+∇

Si la fuente es una carga puntual en reposo se tendrá: ( ) ( )( )0,0,0,rqcrJ NN δα = , y por tanto

la única componente no nula en S será:

( )rqcAA Nδµµ 002

02 −=+∇

Teniendo en cuenta que ( )c

rA

NΦ=0 , la solución para la última ecuación es:

( )r

eqr

rµ

πε

−=Φ

04

1N Potencial de Yukawa

Este será el potencial de una carga puntual q, con parámetro asociado µ ≠ 0, que no

tiene el comportamiento predicho por la ley de Coulomb.


II 27

Significado de µµ:

Sabemos que en ausencia de fuentes, una onda electromagnética que en S se propaga

en una dirección dada kO viene determinada por funciones potenciales del campo elec-

tromagnético de la forma:

−−= ruktj

AA ePOω

αα 0

Si, en ausencia de fuentes, las funciones Aα han de cumplir la ecuación [I ], en S se

tendrá: 222

222

2

2

0 µωµω +=⇒=++− kc

kc

Multiplicando esta ecuación por 2Q, se tendrá:

( ) ( )222

µω RRR +=

k

c

Fijémonos que la partícula con energía y momento ( )kQQ

,ω /

= k

cP SRR

,ωµ

Y cumple: ( ) 022

=−

k

c

RR ω , es el fotón, que tiene masa nula.

Así que la ecuación: ( ) ( ) 220

222

cmkc

==−

µω RRR

Corresponde a asignar al fotón una masa en reposo: c

mRµ=0 .

Si µ = 0, mγ = 0. Luego un parámetro µ ≠ 0 significaría una masa del fotón no nula

ya que su energía-momento no sería de tipo luz.

Para la evidencia experimental de que µ = 0, véase: J.D. Jackson "Electrodinámica

Clásica", sección 12.9.

Tensor energía-momento:

Se corresponde con el Hamiltoniano que contiene los aspectos energéticos asociados

al movimiento de partículas.

Si la Lagrangiana es: ( )τµµ ,x,x TUU=

Se definen los momentos canónicos del modo:

ταα

α

d

dp V

UV

U∂=

∂∂= T ; α

α

τVV

T=d

d = velocidad generalizada

Y se forma W del modo:UVX

−= αα Tp


II 28

Para un campo φ k, tenemos una Lagrangiana que depende de las funciones campo

y sus derivadas:

∂∂=∂= k

kkk x

x, ,

ααφφφ

YY

Tomemos el equivalente a las velocidades. Para la función φ k, las velocidades serán:

kk

xφφ

αα ∂=∂∂

De donde el momento canónico: ( )kφα∂∂∂

Y

Multipliquemos el momento por cualquiera de las velocidades:

( ) ( ) βα

β

α

φφ

φφ x

k

kk

k ∂∂

∂∂∂=∂

∂∂∂

YY

Que es una cantidad que depende de dos índices α y β. Le restamos Z haciendo aparecer

dos índices con la métrica g, tendremos:

( )( ) YYαββ

α

αβ φφ

gT kk

−∂∂∂∂=

Que es un objeto denominado tensor energía-momento, que se espera contenga in-

formación de las propiedades del campo.

Tensor energía-momento del campo electromagnético:

Se obtendrá de la correspondiente Lagrangiana del campo. Para el CEM libre:

µνµν

εεFF

cFF

cem 44

20

20 −=⋅−=≡

YYY, por tanto el tensor energía-momento correspondiente:

( )( ) emem gAA

TYY

αβλβλ

α

αβ −∂∂∂∂

=

El tipo de derivada que hemos hecho anteriormente es: ( ) λα

λα

ε FcA

20−=

∂∂∂

Y

Y por lo tanto: ( ) emgAFcTYαβλβ

λααβ ε −∂−= 2

0

Para: ( )2220

2BcEem −=

εY

Podemos referir las componentes de Tαβ en un sistema S dado*:

( ) ( )EBcET [[ Φ∇+−= 0222000

2ε

ε

( ) ( )EAcBEcT iii [[[[ ∇+×= 00

0 εε

( ) ( ) ( )

Φ

∂∂−Φ×∇+×= iii

i Exc

BcBEcT00

20

0 1[[[[ εε

* Véase: J. D. Jackson "Electrodinámica Clásica", Sec. 12.10


II 29

Donde hemos hecho uso de: 0=⋅∇ E\], y: 0

10

=∂∂−×∇x

E

cB

]]]

Extendamos a todo el volumen tridimensional las siguientes integrales:

( ) ( )∫∫∫∞→

Φ+−=SVV

SdEdvBcEdvT]]

0222000

2ε

ε = energía total del campo

los campos tienden a cero en el infinitoDel mismo modo:

( ) ( )∫∫∫∞→

+×=S

i

V

i

V

i SdEAcdvBEcdvT]]]]

000 εε = c × componente i del momento total del campo

Hemos tenido en cuenta que ( ) ( ) ( )g

c

HEHEBE

]]]]]]]=×=×=×

2000 µεε (densidad de momento).

Cálculo de la divergencia del tensor energía-momento:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ememem

emem gA

AA

AgA

AT ^^^^^ αβ

αλβ

αλα

λβλ

αα

αβα

λβλ

αα

αβα ∂−∂∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

∂=∂−

∂

∂∂∂

∂=∂

Utilizando las ecuaciones de movimiento: ( ) 0=∂∂−

∂∂∂∂ λλα

αAA

^^ , resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,, =∂∂−∂∂=∂−∂∂∂∂∂

+∂∂∂

=∂ λα

λβλα

λββλα

βλ

α

λβλ

αβα AAAAA

AA

AT ememem

emem _____

Luego, como ( )λα

λ AAemem ∂= ,^^ , y no es función explícita de x , el tensor energía-

momento canónico cumple:

0=∂ αβα T

0=Tδ como relación geométrica

Existen ciertos inconvenientes, para esta definición de T:

a) T no es simétrico.

b) T 00, T 0i, difieren de las expresiones del momento y la energía del

CEM que se usan habitualmente.

c) T contiene explícitamente a los campos y a los potenciales, y sólo

debe contener a los campos, que son los entes con sentido físico.

La solución a estas objeciones está en simetrizar T, y obtener un tensor equivalente

que contenga su misma ley diferencial δT. Tal tensor se denomina tensor energía-

momento simétrico.

0

0


II 30

Simetrización:

En este caso, tomemos: λββλλβ AAF ∂−∂= ⇒ βλλβλβ AFA ∂+−=∂

Sustituyendo en la definición de T, y con la expresión de la Lagrangiana:

( ) ( )

−−∂+−−=−∂−= µν

µναββλλβ

λααβλβ

λααβ εεε FF

cgAFFcgAFcT em 4

202

02

0 aβλ

λαµν

µναβλβ

λα εεε AFcFFg

cFFc ∂−+= 2

0

202

0 4

( ) βλλ

ααβ

λβλ

α εε AFcFFg

FFc ∂−

+= 2

02

0 :4

Donde significamos con (F:F) el escalar obtenido por la doble contracción de índices.

Con lo que: αβαβαβDTT +Θ= , siendo αβ

DT un tensor de divergencia nula, y el tensor

αβΘ , el tensor energía-momento ya conocido, ahora simétrico, que correctamente tiene

asociadas a sus componentes las magnitudes que representan energía y momento del

CEM.

Veamos que αβDT es un tensor de divergencia nula:

• Primero transformamos:

[ ] ( )βαµµ

αµµ

ββµ

αµβµ

αµβλλ

ααβ εεεε AFcFAAFcAFcAFcTD ∂−=∂+∂−=∂−=∂−= 20

20

20

20

Ya que: 0=∂ αµµ F , si el campo es libre (J = 0).

• Y calculamos su divergencia:

( )βαµµα

αβα ε AFcTD ∂∂−=∂ 2

0

( ) ( ) ( )βαµµα

βαµαµ

βµααµ εεε AFcAFcAFc ∂∂=∂∂=∂∂−= 2

02

02

0

igual, y de distinto signo, luego: 0=∂ αβα DT

Así: αβα

αβα Θ∂=∂ T

Luego αβT y αβΘ darán lugar a las mismas leyes, tras operar sobre ellos la tetradive-

gencia. Es preferible considerar siempre el tensor energía-momento simétrico αβΘ .

Existe un método general de simetrización*.

* Véase: L. D. Landau, E. M. Lifshitz "Teoría Clásica de los Campos", Sec. 33


III 1

Radiación de cargas en movimiento

1. Los potenciales de Liénard-Wiechert:

Los potenciales de Liénard-Wiechert generan los campos de una carga q en movi-

miento arbitrario sobre una trayectoria definida: ( )tf

.

Posiciónretardada

t' < t

q,t'

q,t

O

( )'' tr

( )tr '

( )'tR

( )trP ,

r

( )tf

Al estar q acelerada radia energía y mo-

mento. Si tiene una velocidad: ( ) ( )tftu '

= ,

entonces tiene una energía y un momento

definidos.

Vamos a estudiar los campos generados

por la carga en movimiento cuando viaja so-

bre su trayectoria. Consideraremos los campos

en el punto r

y en el instante t. Estos campos

han sido emitidos desde la posición retarda-

da de la carga, esto es, desde ( )'' tr

.

En un instante t' anterior a t, la posición de la carga sobre la trayectoria es: ( )'' tr

,

tendremos el vector r elativo: ( )'' trrR

−= que une un punto fuente: ( )'' tr

con un

punto campo: r

. El módulo del vector relativo es: ( )'' trrR

−= , y ha de satisfacer:

222

)'( ttcR −=

*, puesto que la información no ha viajado desde q hasta P con una ve-

locidad infinita, sino que ha tardado un tiempo finito para hacerse efectiva en r

, ya que

los campos se propagan a la velocidad de la luz c. La condición de retardo que han de

satisfacer los tiempos (t, t') es: )'( ttcR −=+

.

La densidad de fuente para una carga q en un punto del espacio es:

))((),( tfrqtr

−= δρCon la delta de Dirac se describe a una carga puntual que sigue la trayectoria ( )tf

.

Los potenciales electromagnéticos escalar y vector que crea esta carga en el espacio

son: ( )tr ,

Φ ; ( )trA ,

* El intervalo entre la carga y el punto campo es de tipo isótropo, así pues:

( )( ) ( )( ) ( ) 0',','2222

, =−−=−−−= RttcRttcRttcs Pq

⇒ ( ) 222 ' Rttc

=−

Los potenciales de Liénard-Wiechert

III 2

Para hallar el potencial escalar cabe resolver la ecuación:

( ) ( )00

2

2

22 )(,1

εδ

ερφφ tfrqtr

tc

−−=−=

∂∂−∇

Que tendrá dos soluciones: el potencial retardado (correspondiente a: )'( ttcR −=+

),

y el potencial avanzado (correspondiente a: )'( ttcR −=−

).

La solución físicamente aceptable para esta ecuación diferencial es el potencial retar-

dado. El potencial avanzado no tiene realidad física, ya que considerarlo significa poder

determinar los campos creados por una carga en un instante t', posterior a t.

Así, propondremos como solución:

( ) ( )( )∫ −

=''

3

0

''

],'[

4

1,

rV

rdrr

trtr

ρπε

φ

Con la notación: ( )],'[ trρ , significamos considerar el valor de ( )( )ttr ,''

ρ en el punto 'r

y en el instante t' tal que: ( )'')'( trrRRttc

−===−

Entonces: ( ) ( )

−=

−−=

c

Rtf

c

trrtftf

'''

Con lo que: ( )( )∫ −

−−−

=''

3

0

''

''

4,

rV

rdrr

c

rrtfr

qtr

δ

πεφ

Y hay que extender la integración a todo el volumen V ' donde se pueden encontrar las

cargas.

Haremos un cambio de variable para imponer la condición de retardo. Si suponemos

que: [I] ( ) ( )

−−=

c

Rtftrttr

''',1

La expresión anterior para el potencial escalar se puede escribir como:

( ) ( )( )( )∫ −

=11

13

1

0 '

',

4,

rVJ

rd

rr

ttrqtr

δπε

φ

Ahora se integra sobre las coordenadas: (x1, y1, z1), en el volumen V1. Al realizar el

cambio de variable definido por [I], la relación entre los elementos de volumen es:

'')',','(

),,( 331111

3 rdJrdzyx

zyxrd

=

∂∂=

Donde: J, es el Jacobiano de la transformación 'r

(x', y', z') → 1r

(x1, y1, z1).


III 3

Entonces, se tiene que:

[II] ( ) ( )( )( )

00

13

1

01

11

1

4'

',

4,

=

=−

= ∫r

rV RJ

q

J

rd

rr

ttrqtr

πεδ

πεφ

Pues la contribución de la δ aparece cuando: 01 =r

. Hemos visto que:

( ) ( )

−−=

c

Rtftrttr

''',1

Imponiendo esta última condición, tenemos que:

( )

−=

c

Rtftr

'' , y por tanto:

c

Rtt

−=' .

Así, la condición 01 =r

, nos indica que hay que calcular [II ] referido a la posición

retardada de la carga, esto es, en el instante retardado t'. Esta es la condición de retardo.

Cálculo del Jacobiano:

Para pasar de un punto con coordenadas (x1, y1, z1) a otro con coordenadas (x', y', z'),

hemos de operar la transformación:

[I ']

( )( )( )

î

−−=

−−=

−−=

cRtfzz

cRtfyy

cRtfxx

z

y

x

'

'

'

1

1

1

Según la relación que se estableció en [I] . El Jacobiano de: (x', y', z') → (x1, y1, z1), es:

'''

'''

'''

111

111

111

z

z

y

z

x

zz

y

y

y

x

yz

x

y

x

x

x

J

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

Hay que calcular las derivadas, por ejemplo:

'

1'1

'1

x

R

cf

x

xx ∂

∂

−−=

∂∂

Como: ( ) ( ) ( )222 ''' zzyyxxR −+−+−= , entonces: ( )

R

xx

x

R '

'−−=

∂∂

, y por tanto:

( )Rc

xxf

x

xx

−+=∂∂ '

'1'1

Donde xf ' es la derivada de la componente x de la función vectorial f

respecto del

argumento.

Haciendo lo mismo con cada una de las derivadas, el Jacobiano queda:


III 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )=

−+−−

−−+−

−−−+

=

zzz

yyy

xxx

fRc

zzf

Rc

yyf

Rc

xx

fRc

zzf

Rc

yyf

Rc

xx

fRc

zzf

Rc

yyf

Rc

xx

J

''

1''

''

''

''

1''

''

''

''

1

( )

−−+

c

Rtfrr

cR''

11

−−=

c

Rtf

cR

R'1

Sustituyendo el valor del Jacobiano en [II ] teniendo en cuenta que: 'rrR

−= , y que

'fu

= (nótese que la derivada es respecto del argumento) es la velocidad de la carga en

un punto sobre la trayectoria; el potencial escalar va a quedar como:

( )

0

0 ·

1

4,

−

=

c

uRR

qtr

πε

φ

El subíndice |0 indica que se satisface: 01 =r

. Es decir, el corchete se calcula en el

instante retardado t'. Esta es la expresión del potencial escalar de Liénard-Wiechert

para una carga puntual q en movimiento.

Procediendo análogamente con el potencial vector, nos encontramos con que se ha de

resolver la ecuación diferencial:

( ) ( ) ( ) ( )utrtrJt

trA

ctrA

,,,1

, 002

2

22 ρµµ −=−=

∂∂−∇

Donde: ( )trJ ,

, es la densidad de corriente y, como hemos visto, u

representa la veloci-

dad de la carga en cualquier punto de la trayectoria. La solución de esta ecuación dife-

rencial es el potencial vector de Liénard-Wiechert:

( )

0

0

·4,

−

=

c

uRR

uqtrA

π

µ

Para sistemas inerciales, tanto ( )trA ,

como ( )tr ,

φ serán parte de las componentes de

un cuadrivector que representaremos por Aµ (x) en el espacio de Minkowski.

Obtención de los campos:

Los campos eléctrico y magnético que genera la carga en ( )trP ,

se calcularán con

estos potenciales: ( ) ( ) ( )t

trAtrtrE

∂∂−−∇= ,

,,

φ

( ) ( )trAtrB ,,

×∇=


III 5

Al calcular tanto el rotacional como el gradiente en coordenadas cartesianas, hemos

de tener en cuenta derivadas parciales del tipo:

x

tzyxtzyxxlim

x x ∆−∆+=

∂∂

→∆

),,,(),,,(

0

φφφ

Con la expresión del potencial: ( )

0

0 ·

1

4,

−

=

c

uRR

qtr

πε

φ , se tendrá que:

( )0

20 ·

1

4

,

∂∂⋅−

∂∂⋅−

∂∂

−

−=∂

∂x

u

c

R

x

R

c

u

x

R

c

uRR

q

x

tr

πεφ

Calculada en el tiempo t', es decir, con: ( ) Rttc

=− ' .

Es preciso notar que si (en el punto campo) pasamos del punto de coordenada x al

xx ∆+ , para calcular el valor de φ tenemos que considerar que el punto fuente: (x', y',

z') se mueve sobre la trayectoria hasta el punto próximo: ( '' xx ∆+ , '' yy ∆+ , '' zz ∆+ ), pues

se tiene que seguir cumpliendo la condición: ( ) Rttc

=− ' . Así pues, al calcular las deri-

vadas tendremos que considerar la dependencia de las coordenadas del punto fuente.

O

'r

R

r

( )tf

(x', y', z')

(x'+∆x', y'+∆y', z'+∆z')

(x+∆x, y, z)

(x, y, z)

( )'' rru

∆+

( )'ru

Al pasar de x a xx ∆+ , sobre la tra-

yectoria, se tendrá en general otro valor

de u

en el punto variado '' rr

∆+ , luego

hay que considerar también la derivada

x

u

∂∂

sobre la trayectoria.

Evidentemente, tanto R

como RR

=

varían con x, y además con: x', y', z', que

hemos visto que varían para mantener la

condición de retardo.

Calculemos algunas derivadas parciales para obtener los campos:

• x

R

∂∂

: Con: ( ) ( ) ( )222 ''' zzyyxxR −+−+−+= , se tiene:


III 6

( ) ( ) ( )

∂∂−−+

∂∂−−+

∂∂−−=

∂∂

x

z

R

zz

x

y

R

yy

x

x

R

xx

x

R '''''1

'

Por la condición de retardo

−=

c

Rtfr

' :

x

R

cf

x

xx ∂

∂

−=

∂∂ 1

''

;x

R

cf

x

yy ∂

∂

−=

∂∂ 1

''

;x

R

cf

x

zz ∂

∂

−=

∂∂ 1

''

Con: ( )zyx fffu '','=

, y: ( ) ( ) ( )kzzjyyixxR

''' −+−+−= , sustituyendo y agrupan-

do términos:

( )x

R

cR

uR

R

xx

x

R

∂∂+−=

∂∂

·'

, despejando:( )

0

·

'

−

−=∂∂

c

uRR

xx

x

R

El subíndice |0 indica que el corchete se calcula en el instante retardado t'.

Operando del mismo modo para y

R

∂∂

y z

R

∂∂

obtenemos que:

0

0

·R

c

uRR

RR

ϑ=

−

=∇ Donde:

−

=

c

uRR

·

1ϑ

Este factor: ϑ, es de aparición típica en las expresiones y, como hemos visto, proviene

del retardo en la propagación desde el punto fuente al punto campo.

• t

R

∂∂

: Que aparecerá al calcular la derivada t

A

∂∂

.

Con: 'rrR

−= ⇒t

r

t

r

t

R

∂∂−

∂∂=

∂∂ '

⇒

t

r

t

R

∂∂−=

∂∂ '

, pues estamos consideran-

do el mismo punto campo: kzjyixr

++= , para todo instante t.

De: cRtt −=' ⇒t

R

ct

t

∂∂−=

∂∂ 1

1'

, luego:( )

∂∂−=

∂∂

∂∂=

∂∂

t

R

cu

t

t

t

r

t

tr 11

'

'

'''

Teniendo esto en cuenta, a partir de la derivada del producto:

( ) ( )t

RR

t

R

t

RR

∂∂=

∂∂=

∂⋅∂

22

, y como: RuRR

= , con: 1=Ru

, se tiene que:

( )

∂∂−⋅−=

∂∂⋅−=

∂∂⋅=

∂⋅∂=

∂∂

t

R

cuu

t

ru

t

Ru

t

RR

Rt

RRRR

11

'

2

1

Luego:

∂∂−⋅−=

∂∂

t

R

cc

uu

t

R

c R1

11

, despejando: uR

c

uRR

uR

t

R

·

·

· ϑ−=

−

−=∂∂


III 7

• t

R

∂∂

: Rut

R

cu

t

r

t

R ϑ

−=

∂∂−−=

∂∂−=

∂∂ 1

1'

, uRt

R

ϑ−=∂∂

• t

u

∂∂

: Como: ( )cRtfu −= '

, derivada respecto del tiempo retardado: c

Rttr −= :

( ) ( )

∂∂−=

∂

−∂=

∂

−∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

t

R

cu

tc

Rtu

tc

Rt

td

ud

t

t

t

u

t

u

r

r

r

11

Ruϑ

= , uR

t

u ϑ=

∂∂

• x

u

∂∂

:( )

c

Ru

x

R

cu

xc

Rt

td

ud

x

t

t

u

x

u x

r

r

r

ϑ −=

∂∂−=

∂

−∂=

∂∂

∂∂=

∂∂ 1

, uc

R

x

u x

ϑ−=∂∂

Tras calcular todas las derivadas y agrupar términos, se obtiene para los campos de-

rivados de los potenciales de Liénard-Wiechert:

( )

( ) ( ) ( )[ ]0

0

0

0

22

2

0

3

,,

,

14

,

trERR

ctrBtrH

uc

uRR

c

R

c

uRR

c

uqtrE

×==

î

×

−×+

−

−=

εµ

πεϑ

Si observamos las expresiones de los campos, vemos que son sumas de términos de-

pendientes de u

y de u , se pueden desdoblar entonces en:

av EEE

+= av HHH

+=

Que son los campos de velocidad y de aceleración.

Campos de velocidad:

Acompañan a la carga en su movimiento por el espacio y la arropan en sus proximi-

dades. Son campos estáticos que varían a grandes distancias con R–2. Se denominan

campos ligados.

Con la notación: cu

=β , y: Run

=

La forma explícita de los campos de velocidad, haciendo 0=u

en la expresión general:

( ) ( )vv

v

EncH

nnR

qE

×=

−−−=

0

3

2

20 ·1

11

4ε

βββ

πε


III 8

Al calcular el vector de Poynting de estos campos: HEP

×= , vemos que su flujo a

través de una superficie esférica de radio R muy grande tiende a cero, por tanto están

ligados a la carga.

Y es que: 41

RP ∝

; como: 2RSd ∝

, entonces: 012

∞→→∝⋅

R

RSdP

, y: 0=⋅∫∞→R

SdP

Para el límite de bajas velocidades: 0→β

, obtenemos los campos determinados por

las leyes de Coulomb y de Biot-Savart:

nR

qEv

20

0

1

4πεβ=

→Campo de Coulomb

( )nuR

qHv

×=→ 20

1

4πβCampo de Biot-Savart

Podemos observar que no se nota el efecto de retardo, es decir: ( ) ( )trtr '''

≅ , son cam-

pos estáticos.

Campos de aceleración:

Liberan energía y momento en forma de campo electromagnético radiado a velocidad

c. Una vez emitidos evolucionan libremente en el espacio, cumpliendo las ecuaciones de

Maxwell en el vacío. Son campos que varían a grandes distancias con R–1. Se denomi-

nan campos libres o campos de radiación.

Su forma explícita, haciendo 0≠u

en la expresión general:

( ) ( )

aa

a

EncHn

unn

Rc

qE

×=−

×−×=

0

320 ·1

1

4ε

ββ

πε

Si calculamos con estos campos de aceleración el vector de Poynting, y determina-

mos su flujo a través de una superficie esférica de radio R muy grande, vemos que ahora

no es cero, como ocurría con los campos de velocidad, sino una cantidad finita:

Y es que: 21

RP ∝

; como: 2RSd ∝

, entonces: 0≠⋅∫∞→R

SdP

.

Este flujo finito representa la energía-momento que abandona el sistema de la carga,

y lo hace asociado a los campos de aceleración que se comportan así como radiación

electromagnética.


III 9

2. Radiación de una carga puntual acelerada. Invariante de radiación:

Potencia radiada por una carga acelerada:

Si calculamos explícitamente el vector de Poynting de los campos de aceleración:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ntrEcntrEtrEctrEntrEctrHtrEtrP aaaaaaa

2

000 ,,,,,,,, εεε =⋅=××=×=

Vemos que su dirección en el instante t es la del vector radial desde la posición retarda-

da de la carga.

Con el módulo de aE

resulta que el vector de Poynting de la carga acelerada:

( )( )

( ) nn

unn

Rc

qtrP

6

2

22

20

1

1

16,

⋅−

×−×=

β

β

πµ

Cuyo flujo a través de una superficie es la potencia radiada por la carga, potencia que se

recibe en el punto campo r

en el instante t.

Obtenemos el flujo a través de Sd

, situado en el punto campo r

:

( )( )

( ) 26

2

1,

R

Sdn

n

unnSdtrP

⋅

⋅−

×−×=⋅

β

βα , donde:

c

q2

20

16πµα =

Por definición de ángulo sólido: 2R

Sdnd

⋅=Ω . Que es el ángulo sólido con el que se ve el

elemento de superficie del punto campo: Sd

, desde el punto fuente (la propia carga).

O

( )'' tr

( )nttcR

'−=

r

( )tf

( )trP ,

u

n Sd

Esta ley es no local, pues calcula la

cantidad de energía en el punto r

y en el

instante t con magnitudes definidas en la

posición 'r

y en el instante t' (posición

retardada de la carga).

Para hallar una ley local, considera-

remos la cantidad de energía dW|0 que

emite la carga en dt', en la dirección del

ángulo sólido:

dW|0 =

(t') dt'

Donde

(t') es la potencia emitida por la carga acelerada en el punto campo. Se tiene

que la energía medida en t es:

dW =

(t) dt

Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación

III 10

Como dW|0 = dW, entonces: (t') dt' = (t) dt

Y ya que en t: ( ) ( ) SdtrPtd

⋅= ,

Se tiene que: ( ) ( )'

,'dt

dtSdtrPtd

⋅=

Tenemos que calcular'dt

dt:

Como ( )',rcterR

= : unuR

R

dt

dx

x

R

dt

dR i

i icter

⋅−=⋅−=∂∂=

∑

== '

'

''

3

1

De ( )'ttcR −= :dt

dtun

dt

dt

dt

dR

dt

dtc

dt

dR ''

'

'1

⋅−==

−= ⇒

dt

dtn

dt

dt ''1 β

⋅−=− ,

despejando:ndt

dt ⋅−

=β1

1' ⇒ ndt

dt ⋅−= β1

'

Sustituyendo en la expresión de la potencia:

( ) ( )( )

( ) ( ) Ω⋅−⋅−

×−×=⋅= du

n

unn

dt

dtSdtrPtd

ββ

βα 1

1','

6

2

Así, la potencia radiada por la carga q por unidad de ángulo sólido será:

[I]( ) ( )

( )5

2

2

20

116

'

n

unn

c

q

d

td

⋅−

×−×=

Ω β

β

πµ

Y es potencia emitida, en el instante t' y en el punto 'r

, por unidad de ángulo sólido en

la dirección n

. Esta expresión es local, pues queda determinada por las propiedades de

la carga en 'r

y t'.

Con esta expresión podemos calcular la distribución angular de la radiación en el ins-

tante t' para cualquier dirección n

.

Integrando [I] a todo el ángulo sólido, obtenemos la potencia total radiada: energía

total radiada por unidad de tiempo en el instante t' por la carga q desde la posición 'r

:

( )( )

( ) Ω⋅−

×−×= ∫

Ω

dn

unn

c

qt

5

2

2

20

116'

β

β

πµ , evaluando la integral:

[II] ( ) ( )( )32

2220

16'

ββ

πµ

−×−= uu

c

qt

Que es la potencia total radiada por la carga en el instante t' desde la posición 'r

.


III 11

Adviértase que la expresión anterior es siempre positiva. Para 0=u ⇒ ( ) 0' =t

: Sólo

hay potencia radiada cuando la carga se acelera.

Radiación a bajas velocidades:

Cuando 0→β

, la expresión de la potencia radiada por unidad de ángulo sólido en la

dirección nuR

= :

( ) ( ) ( )5

2

2

20

116

'

R

RR

u

uuu

c

q

d

td

⋅−

×−×=

Ω β

β

πµ

,

se convierte en:( ) 2

2

20

16

'uu

c

q

d

tdR

×=

Ω πµ

Que, como: θ222

sinuuuR =× , donde: ( )∧

= Ru

,βθ

queda:( ) θ

πµθ 22

2

20 sin

16

,'u

c

q

d

td =Ω

β

P(θ)

θ

En la figura podemos ver el diagra-

ma polar de potencia de la radiación.

La potencia por unidad de ángulo só-

lido se distribuye de forma proporcional

a θ2sin . En este caso tendremos radia-

ción dipolar . En θmax = 2π se encuentra

el máximo de radiación.

La potencia total radiada, considerando 0→β

en la expresión [II] es:

( ) 22

0

6' u

c

qt

πµ

=

Esta es la Fórmula de Larmor para partículas cargadas.

Esta expresión es todavía válida para casos que no sean extremadamente relativistas,

es decir, cuando 0≠β

sin ser β muy próximo a 1. Está calculada en el sistema de refe-

rencia en el que la carga está instantáneamente en reposo.

Como u es la aceleración de la carga, y ésta es independiente del sistema de referen-

cia inercial que se considere, se puede formular una cantidad invariante: el invariante

de radiación para la potencia total radiada.


III 12

Radiación a altas velocidades:

Recordemos que la potencia total radiada viene dada por:

( ) ( )( )32

2220

16'

ββ

πµ

−×−= uu

c

qt

Si llamamos χ al ángulo que forman β

y u, con:

21

1

βγ

−= , podemos escribir la

expresión anterior como:

( ) [ ]χβγπ

µ 22622

0 sin16

' −= uc

qt

Cuando: u → c , entonces: γ → ∞. Como:

( ) [ ]χβχχγπ

µ 2222622

0 sincossin6

' −+= uc

qt

( ) [ ]χχγγπ

µ 222422

0 sincos6

' += uc

qt

• Para u

||β , χ = 0, sin χ = 0. Cuando: u → c, entonces ( )!#" → ∞ como γ 6.

• Para u

⊥β , χ = 2π , cos χ = 0. Cuando: u → c, entonces ( )!#"

→ ∞ como γ 4.

Si en el caso u

||β queremos aumentar, p.ej. en 1 km/s, la velocidad de la carga, la

cantidad de energía a suministrar cuando la velocidad de ésta es de 10 km/s es mucho

menor que cuando la velocidad es de 1000 km/s. El escalón de energía necesario para

aumentar la velocidad una cantidad determinada, en un cierto tiempo, es la energía que

va a ser radiada por la carga durante el proceso de aceleración*.

Cada vez va a ser más difícil acercar la carga hasta la velocidad de la luz (haría falta

una energía infinita para darle a una velocidad exactamente igual a c).

Del mismo modo, para u

⊥β , a altas velocidades es cada vez más difícil (requiere

más gasto de energía) "doblar" la trayectoria de la partícula.

Conocida la velocidad y la aceleración de una partícula cargada, utili zaremos [I] :

( ) ( ) ( )5

2

2

20

116

'

R

RR

u

uuu

c

q

d

td

⋅−

×−×=

Ω β

β

πµ

para calcular la distribución angular de la radiación en la dirección de observación Ru

.

* De la misma forma, cuando una partícula cargada libre cambie su velocidad, por ejemplo al interaccio-nar con materia en reposo sufrirá una brusca desaceleración, perderá una cantidad de energía que seráemitida en forma de radiación. Este es el origen de la radiación de frenado o Bremsstrahlung, de la quelas ecuaciones anteriores dan un explicación clásica.


III 13

Aceleradores lineales:

Cuando se aceleran partículas cargadas de manera que: u$%%

||β , estamos empleando un

acelerador lineal o linac.

En este caso, en términos del ángulo:

=

∧

Ruu%$%%

,||βθ , se tendrá:

( )( )5

22

2

20

cos1

sin

16

;'

θβθ

πµθ

−=

Ωu

c

q

d

td $&

Tenemos nodos de radiación, direcciones en las que las cargas no radian. Así, para:

• θ = 0, π , se tiene que:( )

0,' =

Ωd

td θ&

Hay que señalar que el máximo de radiación se ha desplazado respecto del caso de

radiación dipolar visto para bajas velocidades, que estaba en:

• θ = 2π , ahora se tiene que:

( )0

;'

2

≠Ω =πθ

θθ d

td

d

d&

Y el lóbulo de emisión se centra en un ángulo: θmax < 2π . Hallemos la dirección del

máximo:

Igualando a cero la derivada de: ( )Ωd

td θ;'&

, respecto de cos θ, se tiene:

−+= 11513

1cos 2β

βθmax ⇒ para 0≠β : 2

πθ <max

que escribimos en función de 21

1

βγ

−= , se tiene para la dirección del máximo:

21

2

21

2

113

116

1514

cos

−

−

−

=

γ

γθmax

Si β → 1, entonces 21γ

<< 1, y al desarrollar en potencias de: 21γ

⇒ 28

11cos

γθ −≅max .

Si, por otra parte, desarrollamos la función coseno para ángulos pequeños:

22

8

11

2

11cos

γθθ −≅−≈ maxmax , con lo que:

γθ

2

1≅max

Cuando: β → 1, 0→maxθ , la dirección en la que se emite la radiación máxima se acer-

ca cada vez más a la dirección de la velocidad de la partícula acelerada.


III 14

Al aumentar la velocidad, el patrón de potencia se inclina en el diagrama de radiación,

y se aproxima cada vez más al tipo rayo, no al tipo dipolar*. Veámoslo en la figura:

* Véase el Apéndice AI

β'

θmax

u('

θ=π/2Para β = 0.90, se tiene: γ ≅ 2.29, con lo

que: θmax = 0.224 rad, y: 218.02

1 ≅γ

.

La radiación calculada con estos valo-

res en la dirección de θmax con la fórmula:

( ) θπ

µθ 222

20 sin

16

;'u

c

q

d

td )=Ω

*

resulta ser 1700 veces mayor que la cal-

culada en la dirección 2πθ = .

Acelerador sincrotrón:

En el caso en que: u)++

⊥β , tenemos radiación de tipo sincrotrón. Para la aceleración

de partículas cargadas en órbitas circulares estables (en las que permanentemente u)++

⊥β )

se utiliza un acelerador sincrotrón. El plano que determinan β+

y u)+ es el plano orbital.

φ q

plano orbitalθ

Pu)+

β+

La posición del máximo, desde la fór-

mula general:

( ) ( ) ( )5

2

2

20

116

'

R

RR

u

uuu

c

q

d

td ++)++++

⋅−

×−×=

Ω β

β

πµ

*

Como: u)++

⊥β , el producto: 0=⋅u)++

β . En

el numerador tenemos:

( )( ) ( ) 21 RRR uuuuu

++)++)+++⋅−−⋅− ββ

Al elevar al cuadrado, tal expresión se convierte en:

( ) ( )( )2222 11 RR uuuu+)+++) ⋅−−⋅− ββ

Como: ( ) φθ cossinuuu R)+)+

=⋅ , y: θββ cos=⋅ Ru++

, el numerador queda:


III 15

( ) ( ) φθβθβ 222222 cossin1cos1 uu ,, −−−

Con lo que la potencia emitida por unidad de ángulo sólido en la dirección determi-

nada por los ángulos (θ, φ ) será:

( )

( ) ( )

−−−

−=

Ωφθ

θββ

θβπµφθ 22

2

2

3

2

2

20 cossin

cos1

11

cos116

,;' u

c

q

d

td ,-

Esto permite estudiar la radiación emitida por la carga en las diferentes direcciones:

nodo

nodo anil lo sincrotrón

u./

lóbulo principal

0/

lóbulo secundario

u./ 0 /

Sección φ = 0 que contiene a la carga Sección θ = π / 2 que contiene a la carga. Parasecciones adelantadas, el patrón tiende a unaelipse* de eje menor en el plano orbital.

La mayor parte de la potencia radiada se emite en la dirección tangencial a la tra-

yectoria, para θ = 0, en el lóbulo principal. Hay un lóbulo secundario de emisión hacia

atrás, que se curva hacia adelante según aumenta la velocidad.

Para velocidades suficientemente altas, la relación del máximo del lóbulo principal al

máximo del lóbulo secundario es aproximadamente de 103.

Nótese que la distribución de la potencia emitida depende del cuadrado de la acelera-

ción, por tanto no de su signo. El lóbulo principal apunta en la dirección de la velocidad,

es lo que se conoce como efecto faro.

Si queremos conocer la radiación en cualquier estado de movimiento de la carga, hay

que usar la fórmula general, que contempla todos los valores posibles de los ángulos

que pueden formar β1

, u,1 y Ru1

.

* Véase el Apéndice AI


III 16

Invariante de Radiación:

Recordemos que la potencia radiada por una carga, medida en un sistema de referencia

inercial S es:( )

( )32

2220

16 ββ

πµ

−×−= uu

c

q23324

Cuando: β → 0, hallamos la fórmula de Larmor:

22

0

6a

c

q 3π

µ=

4

Donde a3

es el vector aceleración de la carga, que también podemos escribir como:

ca

cu

32323==β . Es la aceleración de la carga medida cuando se desplaza con una veloci-

dad u3

en S.

En un sistema coordenado Lorentz particular, tenemos que:

• La velocidad de la carga: v3

, en el sistema inercial S, está contenida en las compo-

nentes de la cuadrivelocidad:τ

αα

d

dxu =

• La aceleración de la carga: a3

, en S, está contenida en las componentes del cuadri-

vector aceleración: τ

αα

d

duu =2

τd

xdu

55=

q

( )τx5

línea deUniverso

de la carga

τd

udu

565=

Se puede formar un invariante Lorentz,

que nos dé la potencia emitida por la carga

en un punto cualquiera de la trayectoria.

Sea este invariante de radiación:

220

6

−=

τπµ

d

ud

c

q34

Reproduzcámoslo como relaciones en-

tre las componentes del cuadrivector u3

en

un sistema coordenado Lorentz:

Tomando el cuadrivector velocidad en el sistema coordenado Lorentz en el que las

componentes del vector velocidad son: ( )vcu3

γγα ,=

El cuadrivector aceleración es: ( )νγγγττ

αα 3,c

dt

d

dt

du

d

dt

d

du ==

Para hallar esta derivada, necesitamos derivar el factor γ respecto de t:


III 17

con

dt

d

dt

d ββββ

γ77

·1

1 2

2==

−= ( ) ( )

dt

dββββ7777

⋅−⋅−−=−

212

1 23

Como: ββ 877

=dt

d, se tiene que: ββγγ 877

⋅= 3

dt

d

La parte espacial del cuadrivector velocidad queda:

( ) βγβββγγγγ 877877777cc

dt

vdv

dt

dv

dt

d +

=+= 3

Con lo que las componentes del cuadrivector aceleración en un sistema coordenado

Lorentz quedan:

+

= βγβββγββγγα 877877877

8 cccu ·,· 33

Reordenando:

+

= ββββγββγγα 878777877

8 ·,· 222cu

En la expresión del invariante de radiación aparece el módulo del cuadrivector acele-

ración, calculémoslo:

+

−

=

22

2424 ·· ββββγββγγα

α 87877787788 cuu

++

−

= ββββγββββγββγγ 8778778877877··2·· 22

224

2424c

( )

−−

−=

222

22424 ·2·1 ββγββββγγ 8778877

c

−−

=

222

2224 ·2· ββγβββγγ 8778877

c

+−=

22224 ·ββγβγ 8778c

+−=

2

2

226 ·ββ

γβγ 8778

c ( )

+−−=

22226 ·1 ββββγ 8778c

+−−=

222226 ·βββββγ 87788c

−−−= βββββββγ 877878778 ·2226c

La cantidad encerrada entre llaves es el triple producto vectorial:

×× βββ 87787

. Así:

Funciones de Green covariantes

III 18

××⋅−−= βββββγα

α 9::9::999 226cuu

Por rotación del producto mixto:

×⋅

×=

××⋅ ββββββββ 9::9::9::9::

Se tiene:

×−−=

2226 βββγα

α 9::999 cuu

Sustituyendo el módulo del cuadrivector aceleración en la expresión del invariante de

radiación, recuperamos la expresión de la potencia radiada por el sistema:

( )( )

( )32

2220

32

22

22

0

1616 ββ

πµ

β

βββ

πµ

−×−=

−

×−

= uu

c

qc

c

q 9::

99::

9;

Vemos que el invariante de radiación calculado en S nos da la potencia que se mide en S.

Así, para un sistema coordenado S en el que la carga esté instantáneamente en repo-

so, se tiene para el cuadrivector velocidad: ( )0,:

cu =α , y para el cuadrivector acelera-

ción: ( )au:

9 ,0=α , (en este caso: γ = 1). Si operamos con las componentes del cuadri-

vector aceleración, su módulo resulta ser:

( )( ) 2,0,0 aaauu

:::99 −=−=α

α

Con lo que la potencia radiada por la carga, en el sistema coordenado en el que la carga

está instantáneamente en reposo, es:

22

0

6a

c

q :π

µ=;

Vemos que al traducir la expresión del invariante de radiación a un sistema coorde-

nado en el que la carga está instantáneamente en reposo, se reproduce la forma de la

potencia emitida por la carga que vimos al suponer que ésta se mueve a velocidades

pequeñas: la fórmula de Larmor*.

3. Funciones de Green covariantes:

Vamos a ver cómo se obtienen en m4, para los campos, las expresiones vistas en los

sistemas inerciales, con el método de las funciones de Green covariantes.

* No hay más alternativas a la generalización covariante que hemos visto de la Fórmula de Larmor. Véa-se: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd ed. (footnote on p.666).


III 19

Carga puntual en m4:

línea deUniverso

de la carga

1:τr

2:τa

P(xα)

q(x'αr)

q(x'αa)

∆xα

Supongamos una región del espacio de

Minkowski: M ⊂ m4; en cualquier punto

de esa región se pueden definir objetos

como: F(x), A(x) ó J (x).

Las posibles trayectorias de una partí-

cula en los distintos sistemas inerciales, se

representan en M por una única línea de

Universo.

Consideremos el caso de una partícula cargada. En un sistema coordenado Lorentz su

línea de Universo contiene la información de las coordenadas y tiempo asociados al

punto campo en S. Denotaremos por P( x< ) = P(xα) el punto campo de S. El punto fuente

q( x< ) tendrá, en S, coordenadas q(x' α).

En cualquier punto P vamos a estudiar los objetos ( )αxA< y ( )αxF=

, y proponer expre-

siones en m4 que, en sistemas coordenados, nos van a dar potenciales y campos conoci-

dos que ya hemos expresado en los sistemas inerciales S.

Toda señal electromagnética de q sólo se notará en P si la línea de Universo de q pa-

sa por el cono de luz de P, y es que como tal señal tiene la velocidad c, sólo se propaga

en los conos de M. La línea de Universo de q podrá cruzar el cono de luz de P en dos

puntos: 1, 2. Estos serán los puntos fuente a considerar para obtener los campos en P.

Como el cuadrivector relativo ∆xα entre el punto fuente q y el punto campo P es isó-

tropo, su módulo es cero. Así pues:

( ) ( )( )','' rrttcxxx << −−=−=∆ ααα

( ) ( ) ( ) 0'''222222 =−−=−−−=∆∆ Rttcrrttcxx <<<α

α

Donde 'rrR <<< −= es el vector relativo entre punto fuente y punto campo en S. Por tanto:

Rttc <±=− )'(

Hay dos posibil idades:

• c

Rtt r

<−=' es el instante retardado, y se corresponde con la posición de la carga

en un instante t' anterior a t (posición retardada).


III 20

• c

Rtt a

>+=' es el instante avanzado, y se corresponde con la posición de la carga en

un instante t' posterior a t (posición avanzada).

Como las señales que vienen de la posición avanzada no tienen interés físico, pues

considerarlas significaría que los campos aparecen en el punto P antes de ser emitidos

por la carga en el punto fuente, se descartan (no son compatibles con el concepto usual

de causalidad).

Así tendremos en cuenta que, en el caso de utili zar un cuadrivector de módulo cero,

hemos de considerar la contribución a los campos desde la posición retardada de la car-

ga, que es la única solución físicamente aceptable.

Vamos a proponer una ecuación en m4 que nos permita encontrar potenciales asocia-

dos a cada punto. Estos serán los potenciales de Liénard-Wiechert, que vimos para una

carga puntual en movimiento.

Hemos de resolver la ecuación diferencial para el potencial cuadrivector:

JA>>

0µ=?

O bien: [I] ( ) ( )xJxA>>

0µαα =∂∂

En los sistemas coordenados Lorentz.

Dado ( )xJ>

, podremos resolver el problema fácilmente por el método de las funciones

de Green si, para una fuente arbitraria, se conoce la solución de la ecuación:

( ) ( )''; )4( xxxxD −=∂∂ δαα , con: ( ) ( ) ( ) ( )

∈≠

→− ∫ =− 44)4()4( si,

si0,'

4

'' Vx'

x'xxx

V

xfxdxxxf δδ

Conocida la función ( )';xxD , se obtiene una solución de [I] con el cuadripotencial:

( ) ∫='

40 ')'()';(

x

xdxJxxDxA>>

µ

Donde '4xd representa el elemento de volumen del espacio de Minkowski, y la integral

se extiende a todo el espacio representado por las coordenadas: x'.

La función )(xA>>

así construida es solución de la ecuación [I] al considerar:

( ) ( )''; )4( xxxxD −=∂∂ δαα . En efecto:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ =−=∂∂=∂∂' '

04)4(

04

0 '''')'()';(x x

xJxdxJxxxdxJxxDxA>>>>

µδµµ ααα

α

Y, por la presencia de la función delta, sólo contribuye a la integral el punto: x = x'.


III 21

La función ( )';xxD se conoce como función de Green del operador αα ∂∂=∂2 . La

cuestión será hallar la función de Green que permita hallar la solución de [I ] para todo

cuadrivector ( )xJ@

.

La fuente de campo electromagnético más sencilla es la carga puntual. Propondre-

mos la expresión de ( )xJ@

para una línea de Universo de tipo temporal a la que asocia-

mos el parámetro q.

Cuadrivector densidad de corriente para la carga en m4:

Recordemos que el cuadrivector densidad de corriente referido a un sistema de coor-

denadas tiene como componentes:

( ) ( ) ( )( )trJtrctrJ ,,,,@@@@

⊥= ρα

Donde: ( ) ( )( )trrqtr ',@@@

−= δρ , y: ( ) ( ) ( )( )trrtvqtrJ ',@@@@@

−=⊥ δ

Con: r@

, coordenadas del punto campo en el sistema S.

)(' tr@

, función que describe la trayectoria de la partícula en el sistema S.Dará la posición de la carga en todo instante: coordenadas delpunto fuente.

Veamos en m4 cómo describir el campo vectorial J@

, densidad de corriente. Si x es un

punto de m4 , el cuadrivector densidad de corriente de una carga puntual q con línea de

Universo z(τ ) se puede definir como:

( ) ( ) ( )( )∫ −=τ

ττδτ dzxuqcxJ )4(@

( )τuA

( )τz@

x@

( )xJ@@

m4 Donde ( )τu es el cuadrivector velocidad de

la partícula. Llamamos x al punto P de m4:

( )xxx@

,0≡α , donde x@

son las coordenadas es-

paciales en S.

Esta integral sólo va a tener valores dife-

rentes de cero cuando: )(τzx = , es decir, sobre

la línea de Universo de q.

Vamos a obtener las expresiones de la densidad de carga y de la densidad de co-

rriente para observadores inerciales. Esperamos que la forma propuesta para ( )xJ@

re-

produzca correctamente las densidades de carga y corriente de la carga puntual en S.


III 22

Si referimos la expresión de la densidad de corriente ( )xJB

a un sistema coordenado

Lorentz, se tiene que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ττδτδτττδττ τ

ααα dzxzxuqcdzxuqcxJ ∫ ∫ −−=−=BB00)4(

Pues: ( )( ) ( )( ) ( )( )τδτδτδ zxzxzxBB

−−=− 00)4(

Extendiendo la integral a todo τ , y aplicando la propiedad de la función δ :

( )( ) ( )∫ ∑ ∑==i i i

i

ii

g

f

d

dgfdgf

ττ

ττ

τττδτ C )(

)(

1)()(

Donde iτ son los ceros de la función ( )τg , esto es: ( ) 0=ig τ .

Si consideramos: ( )( )ττ 00)( zxg −= , como la función g sólo contribuye a la integral

en los puntos en que se anula el argumento de la función δ, resulta que:

( )( )( ) ( )

( ) =

≡

−=

τττ

τδ

α

α

d

dtc

d

dzd

dt

dt

tdztzx

qcxJ0

BB

( )( ) ( )dt

tdztzxq

αδ

BB−

Tomando componentes, se tendrá:

• para α = 0 ( )( ) ( ) ( )( ) cctrrqdt

ctdtrxqJ ρδδ =−=−= ''0 BBDB

• para α = 1, 2, 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )tvtrxqdt

trdtrxqJ

BBBBDB'' −=−= δδα

Donde ( )tr 'B

es la trayectoria de la partícula, con la que se calcula la posición de la carga

puntual en S. Podemos escribir entonces en un sistema coordenado Lorentz:

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

−=−=

=⊥ trrtvqtrJ

trrqtrtrJ

',',

, BBBBBBBBδ

δρα

Potenciales de Liénard-Wiechert:

Consideremos, para la carga q sobre la línea de Universo: z(τ ), el potencial cuadri-

vector: ( )xAB

, en cualquier punto x de m4:

( ) ( )( ) ( )( )

rzxz

zqcxA

ττττ

πµ

−⋅= C

CB40

Calculado en τr, que se corresponde con la posición retardada de la carga: t' < t, pues

entonces: ( )( ) ( )( ) 0=−⋅− rr zxzx ττ , esto es:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0'''222 =−−−=−− trrttczxzx rr

BBσ

σ ττ ⇒ en S estará calculado en t'.


III 23

Veamos que este cuadrivector contiene los potenciales de Liénard-Wiechert tomando

componentes. Como: ( )rctz E,'=σ , y: ( )vcz EFγγσ ,= , entonces:

( )( ) ( ) ( )RucRRvttczxz EEEEF⋅−=−−=− βγγγτ σ

σ 1·'2

• Para la parte temporal:

( ) ( ) cucR

cqcxA

rR

φβγ

γπ

µ

τ

α =⋅−

=EE14

00 ⇒ ( ) ( )'0 1

1

4,

tRuR

qtr

EEE⋅−

=βπε

φ

• Para la parte espacial:

( ) ( )i

R

ii A

ucR

vqcxA

r

⊥=⋅−

=τ

α

βγγ

πµ

EE140 ⇒ ( ) ( )

'

0

14,

tRuR

vqtrA

EEEEE

⋅−=⊥ βπ

µ

Que son los potenciales de Liénard-Wiechert de una carga q, que se mueve con veloci-

dad vE en el sistema de referencia S.

Cálculo del potencial de Liénard-Wiechert con las funciones de Green covar iantes:

z(τr)

z(τa)( )τzG

x z(τ)

La ecuación geométrica que liga el

potencial ( )xAE con ( )xJE se puede resol-

ver, para obtener la expresión de ( )xAE , si

conocemos la función de Green ( )';xxD

del operador ∂ 2 tal que:

( ) ( )''; )4( xxxxD −=∂∂ δαα

Proponemos dos funciones de Green, covariantes Lorentz, que llamamos rD y aD :

( ) ( )[ ]2)4(001 ''

2

1)'( xxxxxxDr −−=− δϑ

πretardada

( ) ( )[ ]2)4(002 ''

2

1)'( xxxxxxDa −−=− δϑ

π avanzada

El cuadrivector ( )( )τ'xx − está sobre el cono de luz, luego su módulo es nulo:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0'''''''222 =−−−=−−=−⋅− trrttcxxxxxxxx EEα

α ττττ

Así: ( ) Rttc ±=− ' , por tanto: rτ se corresponde con t' < t

aτ se corresponde con t' > t


III 24

Si se elige como solución la función de Green adecuada, se asegura la condición de

retardo para todo sistema coordenado Lorentz. Así, la función rD asegura que la señal

aparece en el punto campo desde la posición retardada de la partícula: rτ , que se co-

rresponde con 00' xx < , si definimos:

( )

<>=− 00

0000

1 ,0,1'

x' xx'xxx

ϑ

Del mismo modo, aD contribuirá con la señal desde la posición avanzada si se define

2ϑ como: ( )

<>=− 00

0000

2 0,1'

xx'xx'xx

, ϑ

La solución para ( )xAH

será:

( ) ( ) ( ) '''; 4

'0 xdxJxxDxA

x

r

HHH∫= µ

con la densidad de fuente: ( ) ( ) ( )( )∫ −=τ

ττδτ dzxzqcxJ )4(IH

Tendremos, tomando componentes:

( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫ −=τ

µµ ττδτµ dxdzxzxxDqcxAx

r

'

4)4(0 ''';

I

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )∫ ∫ −−−=τ

µ τδτδϑτπ

µ''''

24)4(

'

2)4(001

0 xdzxzxxxxdqc

x

I

( ) ( )[ ] ( )∫ −−=τ

µ τττδϑπ

µdzzxzx

qc I2)4(001

0 )(2

Ya que, al integrar a todo x', habrá contribución cuando se anule el argumento de δ (4) ; es

decir para: )(' τzx = .

Para la integración en τ, se tendrá en cuenta que la contribución de los puntos en que

se anula el argumento de la función δ se ha de dividir por ( )τgI

, donde:

( ) ( )( )2ττ zxg −= . Así: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )ττττττ

τσ

σ

σ

σ zzxd

dzzxzx

d

d I−=−−=− 222 ¶

De los dos puntos donde se anula el argumento de la función δ , se selecciona el co-

rrespondiente a: rττ = , ya que 1ϑ sólo no se anula para: 00 'xx > .

Por lo tanto: ( ) ( )( )( ) ( )

rzzx

zqcxA

ττσ

σ

µµ

τττ

πµ

=−

= II

40

Que es la expresión propuesta anteriormente para el potencial de Liénard-Wiechert co-

variante.

¶ Nótese que esta cantidad es siempre positi va, pues la línea de Universo es de tipo temporal.


III 25

Obtención del tensor campo electromagnético:

Para hallar el tensor campo, se puede derivar la expresión obtenida para ( )xAµ , y de

este modo calcular: ( ) ( ) ( )xAxAxF µννµµν ∂−∂=

O alternativamente, derivar las expresiones integrales de Aµ en términos de las funciones

de Green, que es más sencil lo y es lo que vamos a hacer.

Considerando la expresión de ( )xJJ

para la carga puntual q, tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) =−= ∫ ∫τ

µµ ττδτµ'

4)4(0 ''';

x

r dxdzxzxxDqcxA K ( )( ) ( ) τττµτ

µ dzzxDqc r∫ K;0

Derivamos respecto a νx : ( ) ( )( ) ( )∫ ∂∂=

τ

µ

ν

νµ τττµ dzx

zxDqcxA r K;

0,

Notemos que la función de Green es una función cuadrática de: ( )τzx − , por lo que*:

( )( )

∫ ∂−∂

−=

τ

µ

ν

νµ τµ dzx

zx

zxd

dDqcA r K][

][

2

20, ( ) ( )∫ −

−=τ

µν τµ dzxd

dDzzxqc r

][2

20 K

( ) ( )∫ −−=

τ

µν ττ

τµ dd

Dd

zxd

dzzxqc r

][2

20 K ( )( )∫ −

−−=τ

σσ

µν

ττ

µ dd

Dd

zzx

zzxqc r

KK

0

Donde hemos sustituido: ( ) ][ 2zxd

d

−τ

, por el inverso de: ( ) ( ) σ

στzzx

d

zxd K−−=−2

][ 2

.

Integrando por partes:

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )∫

−−+

−−−=

+∞

∞− τσ

σ

µν

σσ

µννµ τ

ττττ

ττµτ

ττττµ d

zzx

zzx

d

dzxDqczxD

zzx

zzxqcA rr K

KKK

;; 00,

El primer término vale cero, pues en ±∞=τ : ( )τzx ≠ , y la función ( )( )τzxDr ; se anula.

Nos quedamos con: ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )∫

−−=

τσ

σ

µννµ τ

ττττ

ττµ d

zzx

zzx

d

dzxDqcA r K

K;0

,

( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) τ

ττδτϑ

πµ

σσ

µν

dzzx

zzx

d

dzxzx

qc

−−−−= ∫ K

K2)4(001

0

2

* Haremos uso de: ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )τ

ττ

ττττττ µµµ

d

fdD

fd

df

fd

fdDffD rr

r ∂=∂=∂

Donde hemos sustituido la expresión de la función de Green retardada. Integramos te-

niendo en cuenta la propiedad conocida: ( )( ) ( )∫ ∑=i i

i

g

fdgf

ττττδτ

K)(

)(

Donde ahora: ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

−−=

ττττ

ττ σ

σ

µν

zzx

zzx

d

df

KK

, y: ( ) ( )( )2ττ zxg −=

Expresión covariante de los campos

III 26

Por lo que:( ) ( ) ( )( ) ( )τττττ σ

σ zzxgd

gd LL −== 2

Así: ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )

r

zzx

zzx

d

d

zzx

qcA

τσ

σ

µν

σσ

νµ

ττττ

ττπµ

−−

−= L

LL

1

40,

Operando ahora para obtener el tensor campo:

( )( ) ( )

( )r

zzx

zxzzxz

d

d

zzx

qcAAF

τσσ

µννµ

σσ

µννµµν

τπµ

−−−−

−=−= L

LLL

1

40,,

Derivando respecto de τ, resulta la expresión completamente general:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]r

zzxBzzxAzzxzzxBzzxAzzxA

qcF

τ

µνµνµννµνµνµµν

πµ LLLLLLLL −−−+−−−+−−−=

3

30

4

Donde: ( )( ) ( )ττ σσ zzxAL−= , y: ( )( ) ( )ττ σ

σ zzxBLL−=

4. Expresión covariante de los campos:

Con el tensor campo expresado de forma covariante en términos de la trayectoria en

m4 de la partícula cargada, asegurada la condición de retardo para todo sistema coordena-

do Lorentz, podemos calcular los campos que genera una partícula en cualquier sistema.

Campos de la carga puntual en reposo:

Una carga puntual que se mueve con velocidad constante, en un sistema de referen-

cia inercial, puede describirse en otro SRI como una carga en reposo. En el sistema de

referencia en el que la carga está en reposo S:

( )rctx M,=µ ( )cterctz == ',' Mµ ( )0,cz =µL ( )0,0=µzLL

Luego B = 0. Calculemos el término A:

( ) ( ) ( ) cRttczzxzzxzzxA =−=−−−=−= )'(2000LMMMLL σ

σ

Ya que: ')'( rrRttc MMM −==−

• La componente 01F del tensor campo electromagnético en el sistema S:

( ) ( )[ ]011033

3001

4zzxzzx

Rc

qcF

LL −−−=π

µ ( )[ ]c

ER

R

qccxx

Rc

qc xx −=−=−−=

30

33

30

4'

4 πµ

πµ

Simplificando con: 00

2 1

µε=c , obtenemos la componente x del campo eléctrico:

( )3

04 R

RqE x

x

Mπε

=


III 27

• Trabajando con las componentes iF 0 del tensor campo electromagnético vemos que:

304 R

RqE

NNπε

= Campo de Coulomb

• Del mismo modo podemos ver otras componentes ijF , por ejemplo: 21F , que tendrá

el término: ( ) ( ) 02112 =−−− zzxzzx OO , luego Bz = 0. Operando con el resto de com-

ponentes se encuentra que: 0=BN

Campos de la carga en movimiento uniforme:

Para el sistema en el que la carga se mueve con velocidad constante:

( )rctxN

,=µ ( )( )'',' trctzN

=µ ( )ctevcz ==NO ,γµ ( )0,0=µzOO

Luego B = 0. Calculemos A:

( ) ( ) ( )RuRcvRcttczzxANNNN

O ⋅−=−−=−= βγγγσσ 1'

• Veamos la componente 01F :

( ) ( ) ( ) cRvRcRvttczzxzzx xxxx γγγγ −=−−=−−− '0110 OO ( )xRxx ucR

R

R

c

vcR

NN−=

−= βγγ

Por tanto:( )( )3333

3001

·14R

xRx

ucR

uRcqc

c

EF NN

NN

βγβγ

πµ

−−

=−=

Despejando xE , se obtiene:( )( )

( )3

2

20 ·1

1

4 R

xRx

u

u

R

qE NN

NN

βββ

πε −−−

= (cf. III 7)

Para el campo magnético:( )( )

( )3

2

20

·1

1

4 R

R

u

u

R

qB NN

NNNβ

ββπµ

−×−= (cf. III 7)

Campos de la carga acelerada:

Considerando la carga puntual acelerada:

( )rctxN

,=µ ( )( )'',' trctzN

=µ ( )( )'', tvczNO γµ = ( )( )'',

'tvc

dt

dz

NOO γµ =

Se recuperan los campos de aceleración:

( )( )3

0 ·14R

RR

au

uu

Rc

qE NN

ONNNNN

β

ββ

πε −

×−×

= (cf. III 8)

( )( )3

0

·14R

RRR

au

uuu

cR

qB NN

ONNNNONNNN

β

ββββ

πµ

−

×⋅+×−

= (cf. III 8)

Bibliografía:

Básica:

Barut A. O. "Electrodynamics and Classical Theory of Fields & Particles", Dover reprint 1980

Jackson J. D. "Electrodinámica Clásica", 2ª ed. Alhambra 1980"Classical Electrodynamics", 3rd ed. Wiley 1998

Konopinski E.J. "Electromagnetic Fields and Relativistic Particles", McGraw-Hill 1981

Landau L.D. "Teoría Clásica de los Campos", 2ª ed. Reverté 1973

Complementaria:

Brédov M. & Rumiántsev V. "Electrodinámica Clásica", Mir 1986

Goldstein H. "Mecánica Clásica", 2ª ed. Reverté 1980"Classical Mechanics", 3rd ed. Pearson 2002

Ingarden R.S. &

Classical Electrodynamics", Elsevier 1985

Thidé B. "Electromagnetic Field Theory", Communa Upsilon Books 2001http://www.plasma.uu.se/CED/Book

Adicional sobre Relatividad:

Introductor ia: Skinner R. "Special Relativity", Blaisdell 1969

Referencia: Das A. "The Special Theory of Relativity. A Mathematical Exposition", 2nd

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Tensores: Kay D.C. "Teoría y Problemas de Cálculo Tensorial", McGraw-Hill ,Schaum 1991

Synge J.L. & "Tensor Calculus", University of Toronto Press 1966Schild A.

Formas: Boothby W. M. "An Introduction to Differentiable Manifolds and RiemannianGeometry", 2nd ed. Academic Press 1986

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Schutz, B.F. "Geometrical Methods in Mathematical Physics", CambridgeUniversity Press 1980

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http://www.plasma.uu.se/CED/Book

AI

Dis

trib

uci

ón e

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ica

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cia

rad

iad

a p

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carg

a p

un

tual

q a

cele

rad

a 1

m/s

2 :

C

ada

unid

ad (

u) d

e lo

s ej

es r

epre

sent

a: 1

u =

(q2 µ 0

/16π

2 c)×

(1m

/s2 )2

Ace

lera

dor

sin

crot

rón

:

ββ &rr⊥

ββ = 0.10

θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]

ββ = 0.20

θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, π]

ββ = 0.50

θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, π]

β&r

βr

β&r

βr

β&r

βr

D

istr

ibu

ción

esf

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C

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u) d

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a: 1

u =

(q2 µ 0

/16π

2 c)×

(1m

/s2 )2

Ace

lera

dor

lin

eal:

ββ &rr||

ββ = 0.10

θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]

ββ = 0.50

θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]

ββ = 0.90

θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]

β&r

β&rβ

r

β&rβ

r

βr

i

FORMULACIÓN GEOMÉTRICA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

GEOMETRIC FORMULATION OF ELECTROMAGNETIC FIELD

Resumen

Se exponen de forma geométrica las leyes del electromagnetismo clásico como una consecuenciainevitable del principio de relatividad. Este tipo de formulación, independiente de sistemas coorde-nados particulares y del conjunto de observadores, sería la forma ideal y el modelo para la formula-ción de las teorías físicas. Naturalmente, dicha formulación geométrica reproduce las expresionesusuales que toman las leyes de Maxwell para los observadores locales.

Abstract

We present geometricall y the laws of classic electromagnetism as an unavoidable consequence ofthe principle of relativity. This kind of geometric formulation, index-free and simple, would be theideal form and model for the formulation of physics. Naturall y, this geometric formulation providesthe usual expressions of Maxwell ´s equations for local observers.

M.A. ABIÁNJ.F. ORIADepartamento de Física AplicadaUniversidad de ValenciaC/ Dr Moliner, 50 (Ed. Jerónimo Muñoz 0005)Burjassot (Valencia) - 46100

I. FORMULACIÓN DE LAS LEYES FÍSICAS

La teoría que se ocupa de establecer las bases con-ceptuales para la correcta expresión de las leyes de lafísica es la teoría de la relatividad. Concretamente, suprimer postulado o principio de relatividad es el fun-damento filosófico y la guía que ha de seguirse cuandose propone una ley física, expresada de la forma usual,como relaciones matemáticas entre objetos. De estemodo, el segundo de los postulados (La velocidad de laluz ha de ser la misma para todos los observadores)puede considerarse como una consecuencia directa deeste primero. Consistiría pues únicamente en enunciaruna de las leyes de la física. Aunque de modo todavíaimpreciso, podemos formular el primer postulado derelatividad diciendo: Las leyes físicas han de tener lamisma forma, no importa qué observadores las formu-len. Nuestra labor en estas páginas será precisar elsignificado de tal principio.

I.1. Sistemas coordenados

El observador que propone una ley física empleaun conjunto de funciones con las que pretende describirlas experiencias reali zadas. La relación que estableceentre tales funciones será lo que proponga como leyfísica.

Para ello, previamente, ha de definir en su labo-ratorio un sistema coordenado. Esto es: precisar elmodo en que asigna a un suceso los cuatro númerosprecisos para definir la posición y el tiempo. Así, fun-ciones de la posición y el tiempo, establecidas en susistema coordenado y relacionadas entre sí por mediode derivadas parciales, entrarán en la expresión mate-mática de la ley física.

Es evidente que el contenido de la ley tendrá queser independiente de la formulación concreta que tal leyadopte en un particular sistema coordenado. Cuandouna ley se escribe como relaciones a ambos lados deuna igualdad, de tal modo que, ante un cambio de sis-temas coordenados, la nueva expresión de la ley man-tiene la forma, se dice que tal ley está escrita de modo

AII

ii

covariante. El objetivo del observador ha de ser formu-lar la ley de modo que su expresión no haga referenciaa ningún sistema coordenado concreto. Indicará laoperación que se tendrá que reali zar sobre un objetodefinido y nos dirá a qué otro objeto tendrá que igualar-se, de modo tal que ambos objetos y la operación que-den unívocamente definidos sin hacer mención a nin-gún sistema coordenado particular. Cuando esta condi-ción se cumpla, diremos que se ha expresado la ley demanera geométrica.

La aparición de índices en la expresión de una ley,es decir, la expresión usual de las leyes físicas por losmétodos del cálculo tensorial, hace referencia a la cova-rianza de la misma en una clase de sistemas coordena-dos y, por tanto, necesariamente ha de nombrarse elconjunto de sistemas coordenados en los que la ley esinvariante en forma. Lo usual en relatividad especial esproponer la ley invariante en forma para los sistemascoordenados Lorentz y, en consecuencia, se dice que suexpresión es covariante Lorentz. En caso de utili zar elobservador un sistema coordenado no Lorentz, puedeproponerse la ley por los métodos del cálculo tensorialde modo covariante general. La ley propuesta será co-variante general o invariante en forma ante una trans-formación general de coordenadas. Éste es el modo deproponer las leyes en relatividad general.

I.2. Observadores

No solamente el contenido de la ley ha de hacerseindependiente de su expresión en los distintos sistemascoordenados posibles que pueda utili zar un determina-do observador. También ha de ocurrir esto con la mis-ma ley, no importa qué observador la formule. Paradó-jicamente este es el contenido del principio de relativi-dad: todos los observadores establecerán la misma ley.La ley es única. En un universo ausente de observado-res los acontecimientos siguen produciéndose del mis-mo modo.

La formulación geométrica de la ley será indepen-diente del observador y del sistema coordenado y úni-camente describirá la relación entre los objetos queintervienen en la ley física o teoría que se quiere cons-truir.

II. LA VARIEDAD CUADRIDIMENSIONAL

¿Cuál es el marco adecuado para formular las le-yes físicas? Según la teoría de la relatividad especial esla variedad cuadridimensional V 4 , dotada de la es-tructura diferenciable y métrica adecuada. La estructuradiferenciable establecida se denomina un atlas Ω . Unatlas en una n-variedad V n consiste en una familia decartas locales φ i definidas en conjuntos abiertos ui

pertenecientes a V n , siendo ui un recubrimiento de V n .En particular, puede ocurrir que la carta local φ k pueda

extenderse a toda la variedad con lo que u Vkn= y el

homeomorfismo φ k :

φ φk k k knu u R: ( ) → ⊆

define una coordinatización, o un sistema coordenadoglobal válido para identificar cualquier punto de lavariedad. En esa coordinatización de la variedad escri-biremos para todo X uk∈ φk

nX x x x( ) ( , ,..., )= 1 2 ,que serán las coordenadas del punto X .

II.1. Espacio tangente

Definiremos como F uk0( ) el conjunto de las fun-

ciones continuas f definidas en ku con valores en R.

f u R f F uk k: ( ) → ∈ 0

Para la carta ( , )uk kφ tendremos el modo de pro-ceder:

f X f X f x x x Rkn( ) ( ( )) ( , ,..., )= = ∈φ 1 2

En el sistema coordenado φ k , cada uno de los

operadores vxi i

X

=

∂∂

son parte del conjunto de vec-

tores tangentes en X y constituyen la base natural devectores tangentes en X para φ k . De este modo, todoa se podrá expresar como

a a

xi

iX

=

∂∂

. Tales vecto-

res residen en el espacio tangente a ku en X , que se

simboliza por T uX k( ) . Cualquier a T uX k∈ ( ) actúa

sobre los elementos de F uk0( ) dando lugar a números,

es decir: a F u R a T uo

k p k: ( ) ( ) → ∈

Al conjunto de valores ai se les denomina com-ponentes de

a en la carta φ k . Para otra carta ( , )vk kψ

las coordenadas del punto X seránψk

nX x x x( ) ( , ,..., )= 1 2 y las componentes de a en esa

carta ψk serán ( , ,..., )a a an1 2 donde la base natural en

T uX k( ) serán los vectores vx

i iX

=

∂∂

. Ya que debe

existir una relación x x xj j i= ( ) por ser φk , ψk ho-

meomorfismos de u vk k∩ en Rn , las componentes delvector

a quedan relacionadas por la expresión:

ax

xai

i

jj=

∂∂

que es la conocida ley de transformación de las llama-das componentes contravariantes de un vector.

iii

II.2. Espacio cotangente

A los elementos del conjunto de funciones conti-nuas F uk

0( ) se les denomina también 0-formas. Exis-ten otro tipo de objetos que residen en el espacio cotan-gente (dual del tangente) que simbolizamos porT uX k

* ( ) . Los objetos de este espacio son las 1-formas yel conjunto de las mismas en X se simboliza comoT uX k

* ( ) . En la coordinatización φk , la base de 1-formas

es la basada en las diferenciales ( , ,... )dx dx dxn1 2 ,

que es la dual de ∂

∂∂

∂∂

∂

x x xn1 2, , ...,

. Cualquier 1-

forma es combinación lineal de las 1-formas base, demodo que:

α = a dxii

donde ( , )a a a1 , ..., 2 n son las componentes de α parala carta ( , )uk kφ . Si cambiamos de carta en un entornodel punto X , de modo que ahora usamos la carta( , )vk kψ , las componentes de la 1-forma serán

( , , )a a a1 2 ..., n y tendremos la relación:

ij

i

j ax

xa

=

∂∂

que se conoce como la ley de transformación de lascomponentes covariantes. En cálculo tensorial clásico,se llama vector covariante en X al conjunto de n canti-dades que se transforman según la anterior ley.

Una 1-forma es una aplicación lineal de T uX k( )

en R. Así, para todo α ∈ T uX k* ( ) y para todo

v T uX k∈ ( ) tendremos:

Rvava

xdxva

xvdxav

ii

ii

ii

ii

∈==

===

ββ

ββ

ββ

δ∂

∂∂

∂α )

(

)(

Los objetos en T uX k( ) (vectores) y en T uX k* ( ) (1-

formas) deben únicamente su existencia a la estructuradiferenciable establecida en V n .

Si queremos conocer el módulo de un vector o sa-ber si dos vectores son ortogonales, hemos de introduciren T uX k( ) una estructura adicional: la estructura mé-trica. Introducimos (en terminología de Wheeler) encada punto X uk∈ , una máquina g simétrica, bil i-neal y no degenerada, capaz de aceptar vectores y darnúmeros. Es decir:

g u v u v R( , ) ,=< > ∈ En particular, para los vectores base de φ k tendremoslas componentes de g :

gx x

g e e g e ei j i j ij i j

∂∂

∂∂

, ( , ) ,

= = =< >

La métrica induce un isomorfismo entre T uX k( ) y

T uX k* ( ) . Para cada v T uX k∈ ( ) se establece una corres-

pondencia con la 1-forma v T uX k* * ( )∈ definida por

v v v u v u u T uX k → =< > ∀ ∈* */ ( ) , ( )Con esta definición pondremos:

< >=< >= < >=

= = = =

v u v e u e v u e e

v u g v u v u v u u v

, , ,

( ) ( )* *

αα

ββ

α βα β

α βαβ β

β αα

Las operaciones v g vβ αβα= y u g uα αβ

β= se cono-

cen como bajar índices. De forma similar podemossubir índices, utili zando la matriz inversa gαβ .

II.3. El espacio de Minkowski

Es la variedad cuadridimensional dotada de es-tructura diferenciable y estructura métrica. En particu-lar, existe un conjunto de cartas equivalentes ( , )uk kφextensible a toda la variedad en que la métrica paratodo X uk∈ tiene por componentes g e ei j ij( , ) = ±δ , lo

que nos dice que la base es ortonormal. En tal base hayun +1 y tres -1, por tanto el índice de la métrica es 3.Diremos que hemos establecido una coordinatizaciónLorentz para el espacio-tiempo y pondremosu V Mk = =4 . Todas las cartas equivalentes preservanlas componentes de la métrica y definen un sistemacoordenado Lorentz que se denominará ( , )M kφ . Losobjetos que se definan en M cuando se representan encomponentes en la carta φk particular elegida describi-rán las magnitudes físicas asociadas a las medidasrealizadas por uno de los particulares observadorespertenecientes a la misma clase inercial que llamare-mos Sk . Dicho de otro modo: cada observador Sk secorresponde con la descripción de los objetos en elsistema coordenado Lorentz o carta φk .

III. FORMAS DIFERENCIALES

El conjunto de 1-formas definidas en un puntoX u Vk

n∈ ∈ , y que hemos denominado T uX k* ( ) tiene

estructura de espacio vectorial. Tal espacio vectorialbase lo simbolizamos como Λ1( )V n y para p=2,3,... nse construye un nuevo espacio vectorial que denomina-remos Λp nV( ) . En una coordinatización dada φk la

base de Λ1( )V n serán las diferenciales

( , ,... )dx dx dxn1 2 y por lo tanto cualquier α β, se

expresará como ii

ii dxbdxa == βα . Los elementos

del conjunto )(2 nVΛ serán todos los posibles produc-

tos:α β∧ = ∧ = ∧a dx b dx a b dx dxi

ij

ji j

i j

iv

donde la operación ∧ se denomina producto exterior.Las propiedades del producto exterior nos permitenobtener en tal coordinatización la base del espacio de 2-formas Λ2 ( )V n . Las 2-formas base serán todos los

posibles productos dx dx i j ni j∧ ≤ < ≤ ( )1 y por tanto

la dimensión de Λ2 ( )V n será n

2

. Del mismo modo, la

base de Λp nV( ) será la siguiente: para cada conjuntode p índices: ,..., 21 phhhH = con la ordenación

1 1≤ < < ≤h h np... la totalidad de los elementos

dx dx dx dxH h h hp= ∧ ∧1 2 ... constituye una base de

Λp nV( ) cuya dimensión es n

p

. En particular, la di-

mensión de Λn nV( ) es n

n

= 1 y Λp n( ) = 0 para p>n.

Si ω es un elemento de Λp nV( ) , se tendrá:

ω = ∑a dxHH

H

sumado sobre todos los conjuntos ordenados H. Engeneral, una forma diferencial de orden p se representa-rá como

ω = ∑a x x x dxHn H( , ,..., )1 2

donde los factores a XH ( ) son funciones continuasdefinidas en todos los puntos de uk y diferenciablestantas veces como se precisen.

Si ω es una p-forma y η una q-forma ω η∧ esun elemento del espacio de (p+q)-formas que se expre-sará como ω η∧ = ∧a b dx dxH K

H K . Ahora ω η, yω η∧ pertenecen al conjunto de p, q y (p+q)-formasque se simbolizan, respectivamente, porF u F up

kq

k( ), ( ) . y F up qk

+ ( ) . Además del producto

exterior ∧ en cada espacio vectorial Λp nV( ) se defineun producto interno × como una aplicación:

RVV npn →Λ×Λ× )( )( : p

que se calcula fácilmente si se toma la coordinatizaciónen que ( , ,... )dx dx dxn1 2 es una base ortonormal de

Λ1( )V n . De este modo, siendo dxH con

H h h hp= < <1 2 ... < una base de Λp nV( ) , tenemos

para dos cualesquiera elementos de la base el productointerior que se simboliza del siguiente modo

( , ) |( , )|dx dx dx dxH K H K=y es cero cuando H≠K, pues el determinante tiene unafila y una columna todo ceros. Si H=K todos los ele-mentos del determinante son nulos salvo los de la dia-gonal principal que son ±1 y por tanto

( , ) ,dx dxH K H K= ±δ

por lo que dxH constituye una base ortonormal deΛp nV( ) . En particular, ω = ∧ ∧dx dx dxn1 2 ... es unabase ortonormal de Λn nV( ) y

2/)(2211 )1(),( )...,)(,(),( tnnn dxdxdxdxdxdx −−==ωω

donde t es la signatura de Λ1( )V n .

III.1. El operador de Hodg e

Es la transformación lineal que hace correspondera cada p-forma ω ∈ F up

k( ) la (n-p)-forma

∗ ∈ −ω F un pk

( ) ( ) . La (n-p)-forma ω∗ se conoce con elnombre de transformado Hodge o dual de la p-formaω .

El modo de proceder para cualquier ω es sencill osi sabemos como transformar cualquier p-forma de labase del espacio F up

k( ) . Para la coordinatización φk ,una cualquiera de las p-formas base será

dx dx dx dxH p= ∧ ∧1 2 ... con H p= 1,... , donde

( , ,... )dx dx dxn1 2 es una base ortonormal de F uk1( ) .

Sea K el conjunto q de n-p índices k= p+1,... n , eltransformado Hodge de dxH será:

∗ =dx dx dx dxH K K K( , )para cualquier conjunto H de p índices y K de (n-p)índices.

III.2. Relaciones entre formas diferenciales

La correspondencia que establece el operador ∗entre el espacio de p-formas F up

k( ) y el de (n-p)-

formas F un pk

− ( ) no describirá una ley física, pues enla coordinatización φk esto no representará relacióndiferencial alguna, que es en última instancia, lo quepropondrán como ley los diferentes observadores. Asípues, es preciso definir correspondencias entre objetos(formas) que se traduzcan en relaciones diferenciales.Tales correspondencias se conocen con el nombre dederivada exterior, codiferencial y operador de Laplace-Beltrami o Laplaciana.

Derivada exterior: La derivación exterior quedarepresentada por el operador d y es una aplicación quehace corresponder a cada p-forma ω p p

kF u∈ ( ) , la

(p+1)-forma ω pk

pku F u+ +∈1 1( ) ( ) . Es decir,

d F u F upk

pk: ( ) ( ) → +1

Tal correspondencia entre objetos existe y es úni-ca; conduce a relaciones diferenciales de primer ordenentre los objetos cuando se expresa en una coordinati-zación dada. Tal correspondencia es independiente dela coordinatización y, por tanto, geométrica. Aplicando

v

de modo sucesivo d sobre el objeto ω da resultadonulo. La propiedad d d( )ω = 0 se conoce con el nombrede Lema de Poincarè. Así la correspondencia simboli-zada por d diremos que “aumenta el rango del objeto” .

Codiferencial: Queda representada por el operadorδ y es la apli cación que hace corresponder a cada p-forma ω p p

kF u∈ ( ) una (p-1)-forma

ω p pkF u− −∈1 1( ) . Es decir,

δ : ( ) ( ) F u F upk

pk→ −1

Tal correspondencia entre objetos existe, es única,y conduce a relaciones diferenciales de primer ordenentre los objetos cuando se expresa en una coordinati-zación dada. Esta relación, al ser independiente de lacoordinatización, es geométrica. A este operador tam-bién se le denomina operador divergencia y la corres-pondencia con el operador de Hodge y la derivada exte-rior es:

δω ω= − ∗ ∗+ + +( ) ( )1 1 1n p t ddonde n es la dimensión de la variedad, t el índice de lamétrica y ∗ el transformado de Hodge. La correspon-dencia simbolizada por δ diremos que “disminuye elrango del objeto” .

El operador de Laplace-Beltrami: Es la última delas correspondientes geométricas y conduce en el cál-culo con los objetos en la coordinatización elegida a lasecuaciones diferenciales de segundo orden de la física.Se simboliza por ∆ y hace corresponder a cada p-formaω p p

kF u∈ ( ) la p-forma ω p pkF u∈ ( ) . Es decir,

∆: ( ) ( ) F u F upk

pk→

De tal correspondencia se dirá que “mantiene el rangodel objeto” .

Así pues tales operaciones suben, bajan o mantie-nen el rango del objeto y son geométricas aunque suexpresión en las diferentes cartas ( , ...)φ ϕk k puede serdiferente. En las coordinatizaciones φk en que la leymantenga la forma se dirá que la ley es covariante.Ahora sólo queda elegir los objetos con los que propo-ner la teoria física cuyas ecuaciones conocen los obser-vadores y que normalmente escriben en sus particularessistemas coordenados como relaciones en derivadasparciales.

IV. FORMULACIÓN GEOMÉTRICA DE LASLEYES DEL ELECTROMAGNETISMO

En electrodinámica clásica, las leyes del campoelectromagnético se obtienen de un campo vectorial A x( ) definido en la variedad cuadridimensional M dela relatividad especial. Tales funciones son las variablesdinámicas con las que se construye la densidad Lagran-giana asociada al campo. En principio no tendremospor qué ceñirnos al espacio plano de Minkowski, pues

localmente la variedad riemaniana permite tomar do-minios abiertos ( )uk entorno a un punto dado, en don-de la coordinatización φk tomada puede ser localmenteLorentz. Según la relatividad general, en la carta( , )φk ku las leyes serían las propuestas por un observa-dor local en movimiento geodésico (Principio de Equi-valencia fuerte). Veamos el modo de formular la teoríapor medio de las correspondencias geométricas co-mentadas en los apartados anteriores. Si partimos deuna 0-forma o campo escalar f x( )

, únicamente po-

dremos ponerlo en correspondencia con 0-formas(manteniendo el rango) por medio de ∆ o con 1-formas(aumentando el rango) por medio de d . No podemosoperar por medio de δ sobre un campo escalar (bajan-do el rango) pues obtendríamos idénticamente cero.Para cualquiera de las ecuaciones no triviales que pue-den obtenerse apli cando sobre f x( )

los operadores ∆ y

d no hay relaciones que, propuestas por los observado-res locales, puedan atribuirse a ninguna teoría físicaconocida. Así pues, un campo escalar o una 0-formaresulta demasiado pobre en contenido.

Partiendo de un campo vectorial o 1-forma A x( )

(conocida con el nombre de 1-forma potencial) puedenobtenerse las leyes físicas que descritas por los observa-dores locales se conocen como leyes del campo elec-tromagnético.

En efecto:a) Bajemos el rango de la 1-forma potencial por la

aplicación de δ y, en particular, anulemos la 0-formaresultante:

δ A = 0 (1)La apli cación así establecida en una coordinatizaciónLorentz reproducirá lo que se conoce como condiciónde Lorentz para las funciones Aµ que representarán lospotenciales electromagnéticos para el observador iner-cial S. La expresión covariante Lorentz de la relacióngeométrica (1) es:

∂ µµA = 0

b) Subamos de rango A por medio de d y obten-gamos la 2-forma denominada campo electromagnéti-co:

dA F= (2)El espacio de las 2-formas es de dimensión 6, es decir,tenemos seis 2-formas base y podemos representar Fen componentes respecto de una base. Si la coordinati-zación es Lorentz, dichas componentes se asociarán a

los campos E y

B en ( , )E t3 , según los obtiene un

observador inercial S de sus funciones potenciales. Enexpresión covariante Lorentz (2) se pondrá:

F A Aµν µ ν ν ν∂ ∂= −

vi

c) Mantengamos el rango de A por la operación∆ ; la 1-forma así obtenida se denominará 1-formadensidad de corriente J . De este modo, kJA =∆ (3)siendo k una constantes de dimensiones adecuadas.Teniendo en cuenta que ∆ = +d dδ δ , con lo exigidoque δ A = 0 podemos escribir ∆ A d kJ= =δ o bien,usando (2):

δ F kJ= (4)La ecuación (3) en coordinatización Lorentz toma laexpresión covariante:

∂ ∂µµ

α αA kJ=que en un sistema particular es la ecuación de ondaspara los potenciales según el observador inercial S. Laecuación (4) queda:

ννµ

µ∂ kJF =

que es la expresión Lorentz de las ecuaciones de Ma-xwell externas. Las ecuaciones anteriores son las que Spropondrá como

∇⋅ = ∇× +

D H JD

tρ

∂

∂ =

en su sistema coordenado.

d) La propiedad ddA dF= = 0 es automática porel lema de Poincarè. La 2-forma F (también conocidacomo MAXWELL) es exacta pues dA F= . Necesaria-mente toda forma exacta es cerrada, con lo cual dF = 0.Lo anterior equivale a decir que la 2-forma transforma-da Hodge o dual ∗ F (conocida como FARADAY ) tienedivergencia nula. Así de la la propiedad de F

δ ∗ =F 0Cuya expresión en sistemas Lorentz es:

∂ µµν∗ =F 0

y para el observador S reproduce las ecuaciones deMaxwell i nternas:

∇ ⋅ = ∇ × = −

B EB

t0

∂

∂e) Por último, para que la teoría sea consistente y

las componentes de J puedan representar para losobservadores cargas y corrientes físicamente aceptables,la 1-forma J no puede ser cualquiera, sino que tieneque cumpli r

δ J = 0lo que en expresión covariante Lorentz se escribe como

∂ µµJ = 0

y el observador S escribirá la ley de conservación de lacarga eléctrica

∇ ⋅ + =J∂ ρ

∂

t0

en su sistema coordenado.

V. CONCLUSIÓN

En resumen: la teoría electromagnética descritapara cualquier tipo de observadores y cualesquiera quesean los sistemas coordenados que usen los mismosconsiste en expresar en ellos y para ellos las siguientesrelaciones geométricas:

a) Condición de Lorentz (δ A = 0)b) Definición de campos electromagnéticos

(dA F= )c) Ecuaciones de ondas (∆ A d kJ= =δ )d) Ecuaciones de Maxwell (δ F kJ= y δ ∗ =F 0)e) Ley de conservación de la carga (δ J = 0)El objeto A es el más simple. No existe otro ob-

jeto más sencill o en la variedad cuadridimensional alque, por apli cación sucesiva de las correspondenciasestablecidas por δ , , d ∆ se le pueda atribuir contenidoasociado a las observaciones reali zadas por cualesquie-ra de los diferentes observadores S en sus laboratorios.

BIBLIOGRAFÍA1 C.W. MISNER AND J.A. WHEELER: Annals ofPhysics 2, 525 (1957).2 H. FLANDERS: Differential forms with applicationto the Physical Sciences, (Academic Press, NY, 1963).3 Edited by H.Y. CHIU AND W.F. HOFFMANN:Gravitation and relativity, (W.A.Benjamin Inc,NY,1964).4 C.W. MISNER AND K.S. THORNE AND J.A.WHEELER: Gravitation, (Freeman, San Francisco,1973).5 W. THIRRING: A course in Mathematical Physics,(Springer-Verlag, NY, 1979).6 C. VON WESTENHOLTZ: Differential Forms inMathematical Physics, (North-Holland PublishingCompany, Amsterdam, 1981).7 G.G. EMCH: Mathematical and Conceptual Foun-dations of 20TH-Century Physics, (North-Holland,Amsterdam, 1984).8 Edited by W.S. BERGER: J.C. Maxwell , the sesqui-centennial symposium, (Nort-Holland, Amsterdam,1984).9 W.D. CURTIS AND F.R. MILLER: DifferentialManifolds and Theoretical Physics, (Springer-Verlag,NY, 1985). !"$#%'&(#)*+&(-,

Classical Electrodynamics, (Elsevier, Amsterdam,1985).11 S.R. PARROT: Relativistic Electrodynamics andDifferential Geometry, (Springer-Verlag, NY, 1986).

AIII

Lecturas aconsejadas:

El lector interesado en el desarrollo ulterior de la Teoría de Campos, hará bien en consultar los trata-

dos de A. O. Barut, y el ya clásico volumen II del Curso de Física Teórica de L. D. Landau. Los libros

de Teoría Cuántica de Campos ofrecen breves exposiciones del formalismo clásico: véase p.ej: F. Mandl,

G. Shaw: Quantum Field Theory, y la obra de mismo título de C. Itzykson y J-B Zuber.

Es posible que el lector se sienta con ganas de revisar la mecánica de los medios continuos, para ello

le remitimos a H. Goldstein: Mecánica Clásica; referencia que no aconsejamos para una revisión de la

Teoría de la Relatividad, por seguir el anciano formalismo de métrica euclídea con coordenada temporal

imaginaria, en vez de nuestra métrica pseudoeuclídea con Tr gµν = −2, que es el modo "moderno" de

hacer las cosas, cuando no el correcto*. Para un estudio de la relatividad sugerimos J.D. Jackson: Elec-

trodinámica Clásica, que es además la mejor referencia general para estos apuntes.

La Electrodinámica Clásica, como teoría clásica de campos locales no es una teoría acabada, intere-

santes problemas de consistencia se exponen en Classical Charged Particles, de F. Rohrlich. La interac-

ción electromagnética es un fenómeno cuántico, que se explica por el intercambio de fotones virtuales, y

la emisión/absorción de fotones reales según la Electrodinámica Cuántica (QED), la teoría más afinada

que conocemos. La introducción más accesible a todo ese mundo de teorías gauge renormalizables proba-

blemente sea: Introduction to Elementary Particles, de D. Griffiths.

Una discusión de los métodos geométricos que hemos visto nos llevaría muy lejos. El Cálculo Exte-

rior se expone someramente en Classical Electrodynamics de R. S. Ingarden y A. Jamiokowski, y de

modo más extenso en los libros de física y geometría de, p.ej: Frankel, Boothby ó Schultz.

No hemos tratado el teorema de Noether y sus aplicaciones. El teorema establece que para cada sime-

tría continua de la densidad Lagrangiana existe una 4-corriente conservada asociada, cuya componente-0

integrada en el 3-espacio es una carga conservada, y se puede util izar para derivar todas las leyes de con-

servación que hemos visto como consecuencia de simetrías del Lagrangiano de interacción; véase

Goldstein §12.7 ó Itzykson §1.2.

M.A.S., abril de 2001

Para una introducción a los métodos de la geometría diferencial y a las formas diferenciales se incluye

el artículo adjunto y para posterior estudio, las referencias bibliográficas que all í se citan.

J.F.Oria, abril de 2001

* La recensión se refiere a la 2ª edición, editada en español por Reverté. La 3ª edición presenta un tratamiento moder-no y accesible.

apuntes de electrodinámica clásica. campo …mural.uv.es/masoro/edclas/ed2r04.pdf · iii 18 4....

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