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Apuntes de Hormigón Armado
ConstruAprende.com
Profesor : Sra. Silvana Cominetti Cotti-Cometti
2003
Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti ConstruAprende.com Apuntes de Hormigón Armado
Página 2
ÍNDICE
1-. Generalidades:
1.1-. Acero chileno
1.2-. Hormigón
2-. Diseño a Rotura:
3-. Diseño de Losas Aisladas:
4-. Diseño de Campos de Losas
5-. Diseño de Estanques Rectangulares
6-. Diseño de Escalas
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I-. Generalidades
Obra de H.A.: Es aquella compuesta por Hormigón y Armadura Metálica que pueden
resistir en forma conjunta las Solicitaciones Externas.
1-. Acero Chileno
Se fabrica en barras de 6mm hasta 36mm.
Lisas (ø6, 8, 10, 12 en rollos)
2 tipos
Con estrías (barras rectas ø8 → ø36)
CALIDAD A TRACCIÓN
MARCA ROTURA FLUENCIA
A 44 – 28 H 4400 Kg./cm2 2800 Kg./cm2 HH
A 56 – 35 H 5600 Kg./cm2 3500 Kg./cm2 HHH
A 63 – 42 H 6300 Kg./cm2 4200 Kg./cm2 HHHH
Curva Característica de Acero A 44 – 28 H
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Dúctil
Frágil
y p
1: Zona Elástica.
2: Zona de Transición (Fluencia Restringida).
3: Zona de Fluencia.
4: Zona de Endurecimiento por Deformación.
5: Zona de Estricción.
EL HORMIGÓN ES FRÁGIL Impedir la falla del Hormigón.
EL ACERO ES DÚCTIL Gran capacidad de deformación antes de romperse.
La DUCTILIDAD en el acero es inversamente proporcional a la resistencia.
Una forma de medir la ductilidad:
y
p
1 → Comport. Plástico
< 1 → Comport. Elástico
1.2-. Hormigón
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Cal.
Aluminio.
Cemento Silicato.
Áridos. Óxido Férrico.
Propiedades: - Mezcla Agua.
Aditivos.
- Hormigonadura Regular proceso
- Curado.
a) Retracción de Fraguado:
Se debe a cambios de volumen que ocurren en el Hormigón debido a la evaporación. Es
un proceso Exotérmico. Las zonas sufren diferentes deformaciones.
Depende de:
- Humedad Ambiente.
- Calidad del Cemento (+ ó – calor de hidratación).
- Temperatura Ambiente.
- Dosificación.
- Tipo de Fraguado.
- Etc.
Agrietamiento por Retracción:
o = 0,35 mm/m Valor Promedio
Valor más exacto:
5102,0101,0101005,08,0 CACHo
donde:
H : Humedad Ambiente (%).
C : Cantidad de Cemento.
CA : Relación Agua-Cemento.
b) Fluencia o CREEP del Hormigón:
Son deformaciones a largo plazo debidas a Carga Estática Sostenida.
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c) Control de Calidad del Hormigón:
- Ensayos No Destructivos.
- Ensayos Destructivos: Determinar la resistencia del Hormigón mediante probetas:
Cúbicas : 20x20 cm2 (Rc)
Cilíndricas o Prismáticas : 15x30 (Rp)
Rp = 0,86 Rc si Rc 400 Kg/cm2
Rp = 0,48 Rc + 152 si Rc > 400 Kg/cm2
(Rp < Rc ; Rp 0,82 0,85 Rc )
Clasificación de los hormigones por resistencia a la compresión
GRADO RESISTENCIA ESPECIFICADA, fc
MPa Kg/cm2
H5 5 50
H10 10 100
H15 15 150
H20 20 200
H25 25 250
H30 30 300
H35 35 350
H40 40 400
H45 45 450
H50 50 500
Recuperación Instantánea
Recuperación en el Tiempo
Al Descargar
Fluencia o
CREEP
Deformación
Instantánea
0 28 días 2 años T (Meses)
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Resistencia del hormigón en el tiempo
TIEMPO RESIST/Rc
3 días 30%
7 días 70%
28 días 100%
90 días 120%
Parámetros: - Tipo de hormigón.
- Tipo de Cemento.
- Condiciones ambientales (Humedad, temperatura)
- Relación a/c
- Etc.
RESISTENCIA f’c (Mpa)
H20 16
H25 20
H30 25
H35 30
H40 35
H45 40
H50 45
1 MPa = 10 Kg/cm2 '4730 cc fE (MPa) → Para hormigones normales.
Resistencia Característica:
64,11 bmbk
: Desviación tipo Relativa.
n
i
bibmn 1
1
bi : Resistencia de cada muestra.
N : Número de muestras.
Curva Característica de Hormigón
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tg = ET =
d
d = Módulo de Elasticidad Tangente.
1tg = ES =
= Módulo de Elasticidad Secante.
o = 0
d
d = Módulo de Elasticidad en el Origen.
Resistencia y Deformación del Hormigón
Hipótesis de Rotura:
1-. La rotura se produce al alcanzar, en un punto de una probeta, el esfuerzo normal máximo
soportable por el material en un ensayo de compresión o de tracción simple (RANKINE)
Aplicable a materiales frágiles → HORMIGÓN
2-. La rotura se produce por esfuerzo de corte máximo (COULOMB)
3-. La rotura se produce por deformación máxima.
4-. La rotura se produce por acumulación de Energía de deformación máxima que soporta el
material (VON MISSES)
Aplicable a materiales dúctiles → ACERO
b
Comportamiento Aprox. Lineal
=E 1
E = Módulo de Elasticidad
Del Hormigón
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Resistencia a la compresión → Rotura de probetas
Depende de:
1-. - Forma y tamaño de la probeta.
- Velocidad de aplicación de la carga.
- Superficie de carga.
- Centrado de la carga.
2-. - Dosificación del hormigón.
- Edad del hormigón.
- Temperatura de conservación.
Parámetros de Ensayo:
Forma y Tamaño: CUBOS → 15x40
CILINDROS → 15 (ø) x 30 (h)
Def.: 10hormigón
acero
b
ac
E
E
E
En → 15 en el rango usual
n puede llegar a 40 hasta que se colapsa.
cbcE (Kg/cm2)
14000
H
c8,33
25000
10000 H: Humedad ambiental en º/1
8500
Valores Normales:
2400H ~2500 Kg/m3 (Hormigón Armado)
2200H Kg/m3 Estructuras poco armadas (Hormigón solo)
7700acero ~7800 Kg/m3
340000HE Kg/cm2 6101,2 aceroE Kg/cm2
Cacero º100001,0 Coeficiente de Dilatación térmica.
Fenómenos de Contacto: Adherencia y Anclajes
1-. Adherencia
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Si l es grande, se produce fluencia del acero y el experimento no sirve.
Si l es pequeño, se producen grietas a 45º, extendiéndose hasta 3ø a lo largo con 1ø de
largo cada grieta.
Llamemos db al diámetro de la barra. En la sección transversal, la fuerza será igual a:
sb f
dF
4
2
y a lo largo de la barra, dado que se generan esfuerzos promedio de adherencia , el equilibrio da:
ldF b
de donde la longitud de desarrollo del anclaje será:
ldfd
bsb
4
2
4
bs dfl
'
cfK
Si la resistencia de adherencia es mayor o igual que el esfuerzo de fluencia de la barra de
sección transversal 4
2
bb
dA
, entonces
ybb fAld
por lo que se obtiene que la longitud de adherencia para una barra es:
ø
Distribución de τa : Tensión de Adherencia
F
τa
l 3ø
Distribución de a : Tensión de Adherencia Promedio
a
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'1
c
yb
b
f
fAKl
Para barras de diámetros pequeños:
Nº 11: '
04,0
c
yb
db
f
fAl
y ybdb fdl 0004,0
Para barras de diámetros grandes:
Nº 14: '
085,0
c
y
db
f
fl
Nº 18: '
11,0
c
y
db
f
fl
Para barra con resalte: '
03,0
c
yb
db
f
fdl
Con Ganchos:
12 db
4 a 6 db
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Separación Mínima entre Armaduras: 1ø
l
a dlF0
l
aa dll
0
1
lF a l
Fa
10 a 15 Kg/cm2
aTSMÁXlF
4
2
TS : Resistencia a la tracción de la barra de acero.
a : Resistencia por adherencia hormigón-acero.
Para anclar, no ayuda en nada aumentar l en el hormigón. Se estaría perdiendo. Interesa
conocer l.
4
a
TSl
1ø
3ø
4 a 6 db
4 a 6 db
ó 64 cm
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Para TS =1440 Kg/cm2:
a =10 Kg/cm2 l = 410
1440 36ø
Las normas recomiendan l = 40ø ~ 60ø (Anclaje Longitudinal)
2-. Anclajes por Curvatura
En barras con resaltes generalmente no se requiere curvatura, dado que la adherencia es
buena.
En barras lisas, o con tensiones muy grandes, se les debe dar curvatura.
En elemento de largo ΔS:
Eq. en t
:
22
CosFCosFF τ S
Eq. en n
: SSenFFF
2
F + ΔF
Δθ
ΔS
Δθ
2
Δθ
2
F
μ
τ
μΔS
n
t
F + ΔF
F
Anclaje por adherencia
Anclaje por adherencia
y por roce
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nSSu
τ tS
02
; 22
Sen ; 1
2
Cos
2
CosF τ S → S τ S →
dS
dF 1
SFF
222 ; SR →
SR
RS
FF
2
1
Si ΔF→0 RF 2
Se tiene:
af (f = Coef. fricción acero-hormigón)
aSSfS
aR
Ff
dS
dF
dS
R
Ff
dF
a
→ dSR
f
f
RF
dF
a
e integrando:
1 df
a
df
o ef
ReFF
en que el primer término de la suma corresponde a fricción debido a la curvatura, y el segundo a
adherencia amplificada por el efecto de fricción.
: ángulo de curvatura total.
Si las tensiones que se desarrollan son muy grandes, se termina con un gancho
normalizado.
La tendencia actual es no usar ganchos (Utilizar 40ø, sin doblar los fierros)
2,5ø (2ø)
INDITECHOR
C.E.B. 4ø (5ø ~ 7ø)
Barras de Armadura
Normal
Barras de Armadura
Mejorada
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3-. Traslapo en Barras para Hormigón
Las barras de acero vienen de 6 a 12 m. A pedido especial de 30 m.
3 tipos de empalme: Por traslapo.
Por soldadura → NO SE USA
Por Manguitos terrajados.
INN – NCh: 30ø con gancho.
2,5ø (2ø)
INDITECHOR
C.E.B. 4ø (5ø ~ 7ø)
Barras de Armadura
Normal
Barras de Armadura
Mejorada
≥30ø con gancho
≥50ø sin gancho
Esfuerzos se transmiten por adherencia
2ø ~ 4ø
20ø (Barras con resalte)
600ø (Barras lisas)
bk
C.E.B.
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50ø sin gancho.
ACI: 40ø
Disposición de las Armaduras
En vigas, el área mínima que se puede colocar es 2,5 º/oo en cada cara (5 º/oo en total). En
columnas es 5 º/oo por lado.
a) Viga Simplemente Apoyada con Carga Uniforme
b
h
Ámín = 2 º/oo = 0,002 bh
Zona de posible
Rótula Plástica
Armadura Longitudinal por
razones constructivas
Estribos. Razón
constructiva de
armadura. Absorbe
tensiones longitudinales
de corte
Armaduras principales de tracción
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b) Viga en Consola (Marquesina)
c) Fundación Aislada
Gran posibilidad de oxidación. Se recomienda usar recubrimiento alto (d).
Distancia Mínima entre Armaduras
ArmaduraPrincipal
Razones Constructivas
Armadura Principal
d
5 a 10 cm Emplantillado
Hormigón Pobre
Armadura Principal
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Recubrimientos Recomendados
ELEMENTO ESTADO DEL ELEMENTO
PROTEGIDO NO PROTEGIDO MUY EXPUESTO
Marcos 1,5 cm 2,0 cm 3,0 cm
Vigas 2,0 cm 2,5 cm 3,5 cm
Fundaciones 3,0 ~ 4,0 cm 4,0 ~ 6,0 cm 6,0 ~ 8,0 cm
Figuración del Hormigón
Depende de: - Tensiones en las armaduras traccionadas.
- Calidad del hormigón.
- Adherencia entre hormigón y acero.
- Recubrimiento de las armaduras.
- Etc.
Ancho de grietas:
mmk
krf
a
f
fmáx 3,0105,18,0 6'
en que:
%1f : Cuantía geométrica de armaduras referida a la sección afectada por
figuración.
: Ancho de la grieta.
r : Recubrimiento.
1,1 f 1,3 : Coeficiente de Seguridad.
: Diámetro armaduras.
a : Tensión de trabajo del acero.
0,04 k 0,07
Flexión Simple Flexión Compuesta
7,5 k’ 12
d1
Ø2
r Ø1
d1 ≥ ø
d1 ≥ 1,2 x ø máx. del árido
d1 ≥ 2 cm
0 ≤ ø ≤ 5 cm
2
21
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Ancho de grietas: (ACI – Ec. Gergely-Lutz)
mm de centésimasen 101,1 53
Adf CS
cd
ch
y
S
servicioS f
djA
Mf
6,0
Cd = Recubrimiento de hormigón.
A = Área de hormigón en tracción con centroide igual al de la armadura, dividida por el
número de barras
= Área de hormigón que rodea una barra.
exterior) el(en 33,0
(interior) 4,0
mm
mmmáx
Ventajas e Inconvenientes del Hormigón Armado
Ventajas:
1-. Adaptabilidad en la forma.
2-. Monolitismo. Capacidad de hacer uniones rígidas y una sola cosa entre los dos elementos.
C
CC
d
dC
h
A
fn
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3-. Buena resistencia al fuego. Mejor que el acero, pero no tan resistente coo la albañilería.
Normalmente resiste 800ºC ~ 1200ºC en condiciones especiales.
4-. Es más económico que el acero (para estructuras pequeñas).
5-. Resiste bien las fuerzas dinámicas.
Inconvenientes:
1-. Estructuras muy pesadas (no es posible efectuar grandes luces). Esto se resuelve con el
Hormigón Pretensado.
2-. En estructuras de membranas y/o cúpulas son difíciles de construir. Economía en materiales
(Hormigón y acero), pero mayor costo en moldaje y tiempo de construcción.
Métodos de Cálculo y Normas
1-. Ecuaciones de Equilibrio.
2-. Ecuaciones de Compatibilidad de Deformaciones (Navier-Bernoulli)
3-. Relaciones Constitutivas.
Hormigón Cable Resultante Cable de acero con
Tensión inicial
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En el acero se considera un comportamiento bi-lineal:
Despreciable
o
Diag. Tens. Def. del H.
Real C.E.B. Parábola-Rect.
ACI Rectángulo
Diag. Tens. Def. Idealizado del
Hormigón
2 º/oo 3,5 º/oo
0,85fC’
fC’
1
2 (acero) (acero) (acero)
>o
=3,5 º/oo
M
T
=E
0,85fC’
Teo. Elástica Teo. Inelástica
Parábola-Rect.
ACI
Rectángulo
M creciente desde 0 →M máx
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TEORÍA CLÁSICA: Diseño en base a verificaciones de tensiones.
Verifica l tensión máxima.
Se aplica un coeficiente de seguridad a las tensiones.
..HadmH
..acadmac
TEORÍA INELÁSTICA: Verifica las tensiones últimas o de agotamiento.
No verifica la tensión máxima, sino que determina el estado
tensional en el cual la pieza se colapsa. Se define un Estado
Último o de colapso, y a ese estado se chequea.
Se verifica la Resistencia Última de la pieza.
Se determinan las solicitaciones máximas con coeficientes
de mayoración y se comparan con las resistencias últimas.
Debe cumplirse:
Solicitaciones Mayoradas Resistencias Últimas
Conceptualmente la teoría inelástica es mejor y más real.
10 º/oo
fy
fy
y
y
E acero
Horm.
COMPRESION
TRACCIÓN
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piezaespesorBÁreaAÁreaCb
XBAXB
XAcálculob
cálculob
cálculob
8096,0
4286,0
381,0
bXC cálculobb 8096,0
El C.G. de A+B está a 0,587X del orígen, o bien a 0,42X del borde comprimido.
b
Diagramas de Tensiones de Rotura del Hormigón para
Variación Triangular de las Deformaciones
2 º/oo 3,5 º/oo
0,6b nominal
b cálculo =
A B
X
0,6b nominal Resultante
0,42X
Cb
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II-. Diseño a Rotura
Mn = Momento Nominal
ducciónCoef
ÚltimoMomentoMM u
nRe .
Se debe cumplir entonces:
un MM
Calores del Coeficiente de Reducción ø
SOLICITACIÓN ø
Tracción Axial 0,90
Flexión 0,90
Compresión con Flexión:
- Columnas con estribos 0,70
- Columnas zunchadas 0,75
- Columnas con cargas axiales pequeñas 0,75 ~ 0,90
Corte y Torsión 0,85
Aplastamiento 0,70
Combinaciones de Carga
LD 7,14,1
WLD 7,17,14,175,0
WD 3,19,0
ACIED
ELD
43,19,0
87,17,14,175,0
96. 433 4,19,0
4,1ofNCh
ED
ELD
Esta sección resiste
Mn
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Presión de tierra: H
HLD 7,17,14,1
HD 7,19,0
Fluidos: Reemplazar H por F
Impacto: Reemplazar L por (L + I)
Columnas Cortas – Compresión Simple
Resistencia del Acero: sty Af
Resistencia del Hormigón: Hormc Af '85,0
stgHorm AAA
Resistencia de la Sección:
stystgcn AfAAfP '85,0
un PP ø = 0,7
gA : Área total hormigón (Áreas bruta)
01,0mín g
st
A
A
06,0máx
Ag: Área Gruesa
de hormigón
Ast: Área de Acero
Pu
Pu: Carga Última
Pn ≥ Pu
ø
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Columnas con Hélice
stycc
s
spy
cn AfAsd
AffP
2,885,0 '
un PP ø = 0,75
donde:
ds : ø hélice.
spA : Área varilla helicoidal.
s : Paso hélice.
ccA : Área del núcleo de hormigón.
Acero
Δ
P
Zunchos H + A
Hormigón
P
b
a
Sup: a = 30
b = 20
Ast = 10 cm2
fc’ = 200
Resist. Horm. = stc Aabf '85,0
Estribos
Simples
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Cuantía Mínima para columnas Zunchadas (con hélice):
145,0
'
c
g
y
c
A
A
f
f
NOTA: Dimensiones Mínimas (Columnas Rectangulares)
ACI → 30 x 30 cm.
NCh → 20 x 20 cm
Ø hélice = ds
s
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y(x)
x
y
x
P
Pandeo
M=Py
EI
yP
dx
yd
2
2
0'' yEI
Py ;
EI
Pk 2
kxCosBkxSenAy
000 By
00 kxSenALy , A0 ,...2,1,0 , nnkL
L
n
EI
P
2
L
nEIP
2
22
L
EInP mín
crít
2
22
L
EInP mín
crít
, n = 1
A
Ii mínmín
22
2
22
iL
EA
L
iEAPE
Def.:
i
L
2
2
EE
donde :
=1 =0,5 =2 =0,7
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Falta aún considerar el fenómeno de pandeo, debido al cual se debe afectar las cargas por
un coeficiente mayor que 1. Se considera el efecto de pandeo multiplicando las cargas axiales por
el Coeficiente de Pandeo.
Coeficiente de Pandeo
PILARES ( ) y ZUNCHADOS ( )
SIMPLES ZUNCHADOS
Lp/b Lp/Dn
15 1,00 10 1,00
20 1,08 15 1,17
25 1,32 20 1,50
30 1,72 25 2,00
35 2,28 ------ ------
40 3,00 ------ ------
NOTA: VALORES INTERMEDIOS SE INTERPOLAN.
Pilares de sección rectangular con estribos simples en que 15bLp .
Pilares zunchados en que 10np DL .
En que: Lp: Longitud de pandeo = KL
Dn: Diámetro pilar.
b: Ancho pilar.
En pilares con sección diferente a la rectangular y con estribos simples se calcula primero
la esbeltez a la que corresponde de la tabla siguiente:
i
Lp
b
mín
A
Ii
= Lp/i
50 1,00
70 1,08
85 1,32
105 1,72
120 2,28
140 3,00
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Flexión Simple
1-. Sección Rectangular con Refuerzo en Tracción
ca 1
'
1
2''
2'
1
; 65,0
300 ; 3000008,085,0
300 ; 85,0
c
cc
c
fcm
Kgff
cmKg
f
a) 0F T = C con ss fAT
bafC c '85,0
baffA css '85,0
i) Falla Dúctil: ys ; 003,0c
ys ff baffA cys '85,0
bf
fAa
c
ys
'85,0
b) 0M
2
adTM n
bf
fAdfAM
c
ys
ysn '59,0
Definimos: db
As
(Cuantía) y
'
c
y
f
f
entonces queda:
h
b
As
d
c
s
r = 0,003 0,85fc’
fs
C
T
Mn
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59,01'2
cn fdbM
ii) Falla Balanceada:
003,0c
ys ; s
y
yE
f
s
sy
E
Eccfd
003,0
003,0 c
E
Efd
s
sy
003,0
003,0
cEfb
EA
db
A
sy
sss
b
003,0
003,0
pero y
c
y
cs
f
bcf
f
bafA
1
'' 85,085,0
sy
s
y
cb
Ef
E
f
f
003,0
003,085,0 1
'
iii) Falla Frágil: 003,0c ; ys
Error!
s = y
c
c =0,003
d
cdc
sc
s
y
yE
cfccd
003,0
s
y
E
cfcd
003,0003,0
C
c = 0,003
s < y
cdccdc
s
003,0
003,0
s
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Página 32
sss Ef →
ss Ec
cdf
003,0
como a = β1·c:
a
Eadf s
s 1003,0
bafC c '85,0
ss Ea
adAT
1003,0
285,0
2
' adbaf
adCM cn
La cuantía de acero en tracción en elementos sujetos a flexión se limita de manera de
asegurar una falla dúctil. Se utiliza la cuantía de balance como límite de diseño.
Si o < b Falla del acero por tracción (Falla Dúctil).
Si o = b Falla balanceada.
Si o > b Falla por compresión del Hormigón (Falla Frágil). No es
conveniente.
Metodología de Diseño
Es siempre conveniente que la falla que se produzca sea del tipo dúctil y no frágil, por lo
que el diseño se realiza para conseguir una falla dúctil. Para esto se debe cumplir:
Mu ≤ Mn Mu = Momento último mayorado.
59,01'2 cu fdbM (); = 0,9 (: Factor de Seguridad)
Además hay que imponer la condición de armadura máxima para asegurar la falla dúctil:
balmáx 75,0 para Diseño No Sísmico.
025,0máx para Diseño Sísmico.
Armadura Mínima:
yf
14min y
'
'
min4 c
c
f
f
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Página 33
Desarrollando la ecuación (*) se llega a:
2
'2
'' 89,185,085,0
y
cu
y
c
y
cs
f
fbM
f
dbf
f
dbfA
2-. Sección Rectangular con Refuerzo a la Compresión
El diseño a la flexión de secciones rectangulares con armadura a la compresión se realiza
mediante un proceso de tanteo. Inicialmente se supone que el refuerzo de tracción y el de
compresión han llegado a la tensión de fluencia y luego se modifican los resultados si se
encuentra que parte o todo el refuerzo no está en tal condición.
Ecuaciones de Diseño
Partiendo de la hipótesis inicial de que todo el acero está en fluencia:
bafC cc '85,0
yss fAC '
ys fAT
Equilibrio Cc + Cs= T
ysysc fAfAbaf ''85,0
bf
fAAa
c
yss
'
'
85,0
d’
h
b
d
c a
T
'
sA
sA
s
003,0c '85,0 cf
'
sf
sC
oC dy
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Página 34
Relaciones de Proporción de Deformaciones (Verificación de que las armaduras entran en
tracción y compresión están en fluencia)
cdc
s 003,0'
'
s
y
sE
f
a
da
c
dc
'
1
'' 003,0003,0
ccd
s 003,0
s
y
sE
f
a
ad
c
cd
1003,0003,0
ca 1 1
ac
Si ambas desigualdades se cumplen, significa que las suposiciones iniciales han sido
correctas y por lo tanto el momento nominal se puede escribir como:
'''
285,0 ddfA
adbafM yscn
En caso que las desigualdades anteriores no se cumplan, es necesario recalcular el valor
de a a partir de las tensiones reales del acero.
bf
fAfAa
c
ssss
'
''
85,0
ssss Ea
daEf
'
1'' 003,0
ssss Ea
adEf
1003,0
'''
285,0 ddfA
adbafM yscn
Situación de Balance: ys
dfff
a syb
c
b
''
'85,0
1
'
s
sf
sE
yf
'
sf
sy Ef
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Página 35
ys
syb
fE
dECa
003,0
003,0 (Por geometría)
y
s
ys
s
y
cb
f
f
fE
E
f
f '
1
'
003,0
003,085,0
Si suponemos ys ff '
dfff
a syb
c
b
''
'85,0
1
ACI: b
'' 75,0
con
'
'
1
'
6300
630085,0
yy
c
bff
f ( b de vigas simplemente armadas)
Las vigas doblemente armadas también pueden fallar por tracción del acero o compresión
del hormigón. En ambos casos de falla, el acero en compresión puede o no haber alcanzado la
fluencia.
Metodología de Diseño
Si el acero de tracción y de compresión se encuentran en fluencia, se diseñará con las
siguientes expresiones:
ys ff
ys ff '
bf
fAAa
c
yss
'
'
85,0
'''
285,0 ddfA
adbafMM yscnu ó bien
'''
2ddfAf
adAAM ysyssu
Si el acero de compresión no ha alcanzado la fluencia, se puede encontrar el esfuerzo en
él en términos de a. Luego, como '
sf no está en fluencia, en las ecuaciones se reemplaza yf por
'
sf .
bf
fAfAa
c
ssys
'
''
85,0
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Página 36
yssssysss
C
cu fAAfAfAddfAa
dbafM
c
'''''''
285,0
ó bien
''''
2ddfAf
adAAM ssyssu
Las ecuaciones anteriores suponen que el acero a tracción está en fluencia, lo cual es
esencial para evitar la falla frágil.
Requisitos Adicionales
Especificaciones de Resistencias Mínimas:
- En el caso de unión (Viga – Pilar), la resistencia para momentos positivos no debe ser menor
que la mitad de la resistencia para momentos negativos en esa cara:
APOYOAPOYO MM )()( 5,0
- En cualquier sección a lo largo del elemento, la resistencia tanto para el momento positivo
como para el momento negativo no debe ser menor que un cuarto de la resistencia para el
momento máximo proporcionado en la cara de la unión:
APOYOMÁX
TRAMO
TRAMOM
M
M
25,0
)(
)(
Otro Procedimiento de Diseño (Vigas Doblemente Armadas)
1-. Se elige una sección.
2-. Se elige una cuantía de refuerzo a tracción: b b 75,0
3-. Se determina el momento nominal de la sección simplemente armada con:
'
2 59,01c
y
ynf
fdbfM ;
u
reqn
MM
Si reqnn MM , no es necesario agregar más acero.
4-. La diferencia de momentos nreqn MMM se toma agregando acero tal que el par de
fuerzas equilibren a la deferencia de momentos
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Página 37
ss AA ' adicionales
y
nreqn
adicsfdd
MMA
'.
5-. Debe verificarse: dbf
AAy
adicss 14
.
Armaduras de Corte
Analogía con la Celosía
TCosCCosT
SenCSenT
i
i
45
CosSen
TTi
ys fA '
ys fA
'dd M
Armaduras de Construcción
Líneas de Compresión
Barras Inclinadas
Armaduras de Tracción
Bielas de Compresión en el Hormigón.
Se suponen a 45º
Ti C
45º T T+T
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Página 38
sb
T
sbT
CosSen
sbTi
Si son estribos, = 90º 1 CosSen
db
Q
CosSend
sQTi
yvi fAT (Av: Área armadura inclinada)
CosSendf
Q
s
A
y
v
df
V
s
A
y
sv
Q = Vs
NOTA:
El área del estribo es 2A
Ej.: Suponer que se usa 8
4
8,0 2
8 A 4
8,02
2
vA
T T + T
s
b
d
A
A
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Página 39
Diseño de Elementos Sometidos a Esfuerzos de Corte por Flexión
Hipótesis Básicas
1-. El corte será resistido mayoritariamente por los refuerzos transversales.
2-. Se conoce perfectamente la curva tensión – deformación del Hormigón.
3-. Se conoce perfectamente la curva tensión – deformación del Acero.
- Se desechará el uso de barras longitudinales dobladas para ayudar a soportar esfuerzos de
corte. Solamente se diseñarán estribos perpendiculares a la armadura longitudinal.
- El diseño de secciones transversales sometidas a corte se debe basar en:
Vu Vn si se realiza análisis estático.
Ve Vn si se realiza análisis sísmico.
Ve: Fuerza de corte obtenida considerando que los extremos de la viga entraron en la
fase plástica. No proviene de equilibrio de fuerzas.
Vu: Fuerza de corte entregado por el análisis estructural estático.
Vn: Resistencia nominal al corte: scn VVV
Vc: Resistencia nominal al corte resistido por el Hormigón.
Vs: Resistencia nominal al corte resistida por el Acero.
Representación de la Distribución del Esfuerzo de Corte
a lo largo de un elemento en Flexión
Vs: Corte soportado por el Acero transversal.
Vc: Corte soportado por la sección de Hormigón.
Vs
Vc
Vc
Vn
Vs
Vc
Vc
Vn
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Página 40
Vigas
Corte por Flexión: es resistido por el Hormigón y por las armaduras transversales.
La fuerza de corte solicitante en Diseño Sísmico no se obtiene del análisis de esfuerzos,
sino que de la suposición de que los extremos de las vigas entran en la Fase Plástica. De esta
manera se conoce el máximo esfuerzo de corte sísmico que es capaz de producirse en la viga. En
base a esto se realiza un Diseño por Capacidad, protegiéndose contra la falla por corte..
El corte solicitante Ve se obtiene calculando los Momentos Plásticos (Mp) en los extremos
de la viga, a partir de la armadura longitudinal ya diseñada, con = 1 y suponiendo una tensión
de fluencia del acero 1,25 veces mayor que la real, es decir:
'
'2
25,1
59,011
c
y
cp
f
f
fdbM
Sección sin armadura a la compresión
ACI (Apéndice 21)
Puntos en que se calcula el Esfuerzo de Corte
El Esfuerzo de Corte se debe calcular en los puntos 1, 2, 3 y 4.
Ci: ½ ancho columna.
D: altura de la viga.
Eje Columna Eje Columna
1 2 3 4
Ci Ci 2d 2d
Zona de
Rótula
Plástica
Zona de
Rótula
Plástica
Ve Ve2d
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Página 41
Determinación del Esfuerzo de Corte Solicitante
El esfuerzo de corte solicitante Ve NO SE OBTIENE DEL ANÁLISIS.
El esfuerzo de corte Ve se obtiene de suponer que los extremos de las vigas entraron en la
fase plástica.
Máximo esfuerzo de Corte Sísmico Diseño por Capacidad
Protección contra la falla por corte
Procedimiento
Sismo hacia la izquierda ()
Sismo hacia la derecha ()
LqL
MMV k
pp
5,0
21
1 LqL
MMV k
pp
5,0
'
2
'
1'
1
LqL
MMV k
pp
5,0
21
2 LqL
MMV k
pp
5,0
'
2
'
1'
2
Eje Col. Eje Col.
Eje Col. Eje Col.
V1 V2
Mp1 Mp2
L
qk = q2, q3, ..
qk = q2, q3, ..
L
Mp1’
Mp2’
V1’ V2’
Mp1 Mp2
Mp2’
Mp1’
V1
V2 V1’ V2’
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Página 42
NOTA:
Las Combinaciones de Carga qk corresponden siempre a las Combinaciones de Carga con
Sismo que entrega la NCh 433.Of.96
Para cada combinación de carga (con sismo), se calcula V1, V2 (con + y – sismo)
22113
22112
,,,
,,,
VVVVq
VVVVq 21 , VVmáxVe
Para el caso más exigente (Ve), se calcula el esfuerzo de corte en la cara VCc y en la cara
VC2d.
Tomar las armaduras longitudinales de la viga
Calcular con estas los Mp (determinados con = 1 y con yy ff 25,1' )
Corte por Flexión
Armadura de Tracción (Flexión)
Armadura de Corte
(Vertical e Inclinada)
Círculo de Mohr
máx
(x,xy)
máx
xy
xy
xy
yx
yx
y 0
y 0
x x
2
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Página 43
El Hormigón se rompería con T en un plano inclinado. Hay que coser la grieta colocando
armaduras verticales (estribos) o inclinadas, o ambas.
El Hormigón no resiste la tracción inclinada que se produce, y tiene inclinación variable
(Tensión Diagonal).
Diseño de Secciones Rectangulares y No Rectangulares sometidas a Corte
Se considerará que un elemento está sometido a corte sin influencia del corte producido
por torsión si:
yxfT cu
2'13,0
Tu: Momento Torsor máximo a que estará sometido el elemento.
x: Dimensión menor de la sección.
y: Dimensión mayor de la sección.
: Factor de minoración de la resistencia, para corte y torsión ( = 0,85)
Ej: Sección No Rectangular
c
c
y
y
x
y
y1
x1
y2
x2
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Página 44
1-. Resistencia suministrada por el Hormigón
dbM
dVfV
p
eocc
1765,0 '
se debe cumplir la condición de:
dbfV cc '53,0 Kg
p
e
M
dV ó
u
u
M
dV 1 según corresponda
Vc : Resistencia Nominal al Corte proporcionada por el Hormigón.
Ve : Corte Máximo a que está sometida la viga, una vez que se ha plastificado el
elemento.
Vs : Resistencia Nominal proporcionada por la armadura transversal de refuerzo
al corte.
Vu : Fuerza de Corte Último obtenida del análisis.
2-. Resistencia suministrada por la Armadura Transversal
a) Armadura Mínima
En el caso de que Ve < 1/2Vc, en rigor no se debe disponer de armadura de
corte, pero considerando la seguridad de la estructura, se impone que la armadura
transversal sea igual a la mínima, con el fin de confinar el Hormigón y asegurar una falla
dúctil.
Si
ce VV 2
1 y ce VV
ARMADURA MÍNIMA y
vf
sbA
5,3
s : Separación entre estribos.
- Cuando yxfT cu
2'13,0 , el cálculo dispone el uso de armadura mínima de
corte, ésta será:
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Página 45
y
Tvf
sbAA
5,32
Av : Área de la armadura de corte (cm2)
AT : Área de la armadura de torsión (cm2)
b) Armadura de Corte (Av)
Resistencia al corte de la armadura transversal
s
dfAV
yv
s
i) Diseño dentro de la posible Rótula Plástica:
Con los Momentos Plásticos se determina Vec y se calcula el coeficiente :
inCombinacióporMayorado
pp
pp
CLqL
MML
MM
5,021
21
Si 0,5 y '05,0 cgu fAP
df
V
df
V
s
A
y
ec
y
sv
con = 0,85 y se desprecia la contribución del Hormigón.
Si < 0,5 ó '05,0 cgu fAP
c
ec
yy
sv VV
dfdf
V
s
A
85,0
1
no se desprecia la contribución del Hormigón.
'53,0 cc fdbV Kg
Para esta zona se tienen las siguientes limitaciones:
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Página 46
*)
cm
dSmáx
304
**) dbfKgVdb cs '1,25,3
ii) Diseño fuera de la zona de Rótula Plástica:
Se determina deV 2 y no se desprecia la contribución del Hormigón:
c
de
y
v VV
dfs
A
85,0
1 2
'53,0 cc fdbV
Limitaciones para esta zona:
*)
cm
dSmáx
304 si dbfV cs '1,1
**)
cm
dSmáx
602 si dbfV cs '1,1
En todas las secciones de la viga la armadura de corte no puede ser menor que la
mínima:
ymín
v
f
b
s
A
5,3
3-. Resistencia conjunta del Hormigón y la Armadura de Corte
scn VVV
Vn : Resistencia conjunta nominal.
Debe cumplirse:
ne VV
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Página 47
Condiciones básicas que se deben cumplir en el diseño al corte:
- Se debe verificar que la resistencia a la fluencia de cálculo de la armadura utilizada
para absorber el corte no exceda los 4000 2cmKg
24000 cmKgf y
- Se debe cumplir que la resistencia soportada por la armadura transversal Vs, no sea
mayor que:
dbfV cs '1,2
Torsión Pura y con Esfuerzo de Corte
La Torsión Pura es poco frecuente. Generalmente se presenta junto a flexión, corte y
axial.
Torsión en elementos de H.A.
En general las secciones son rectangulares.
máx se produce en el extremo más cercano al C.G.
x < y
yxd
M
e
Tmáx 2
Comportamiento Elástico:
xy
1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 5,0
de 0,208 0,219 0,231 0,246 0,256 0,267 0,290 31
Para Comportamiento Inelástico dp tiene valores algo superiores:
xy 1,0
dp 31 21
Teoría de la Elasticidad.
Analogía de la Membrana.
x
y
máx
MT
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Página 48
El ACI ha adoptado 3
1d
yx
M tmáx 2
3
Falla a 45º, si la pieza sólo cuenta con Hormigón.
º45CosMT Tb
yx
M
xCos
y
CosM
W
Tf TTb
Tb 22
3
º456
1
º45
La condición será: RTb ff
Tn Capacidad torsional nominal de la sección = Rfyx
3
2
con '5,7 cR ff
máx máx
1=máx
45º
La falla se produce como flexión en torno
al eje a - a
45º
Zona
Traccionada
Zona
Comprimida
a
a
x
y
45º
MT
Tb
TT
45º
MT
Tb
TT
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Página 49
El ACI uso un coeficiente de reducción del 15% con lo que se obtiene:
35,785,0
2' yx
fT cnc
yxfT cnc
2'2 en p.s.i.
TAREA:
Revisar yxfT cnu
2'87,6 en m.k.s.
Efecto de la armadura longitudinal aumenta la resistencia a la torsión en 15%
Para un elemento adecuadamente armado, la figuración comienza cuando MT Tnc en
forma de espirales. La resistencia baja aproximadamente a la mitad, pero empieza a actuar la
armadura.
en que: yxfTT cncc
2'8,04,0 p.s.i.
Contribución del Refuerzo
T
TN
TCR
TS
TC
(1ª fisura)
TCR TNC (Hormigón sin armar)
TN = TC + TS
45º
P R
Sn
Sn
s
T
x1
y1
s
ynv
1 de piezas que cruzan el
plano de falla
s
gxnH
cot1 de piezas
horizontales que
cruzan el plano de
falla en la parte
superior o inferior
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Página 50
Ensayos demostraron que en el momento de falla las barras verticales fallaron por
fluencia, en cambio las horizontales no.
yT
HSHHHSH fAyx
s
KyfACotg
s
xysnT 1111
11
TSH : Momento torsor que producen las fuerzas horizontales.
y1 : Brazo de palanca entre la fuerza de abajo y de arriba.
AT : Área de una barra del estribo.
Cotgf
fK
y
SH
H
Si xv = distancia entre la resultante de la cabeza de compresión R
y las barras verticales
de los estribos:
s
fAyxKxKfA
s
yxsnT
yTv
vyTvvvsv
11
11
en que: 1xKx vv
El torque final debido a los estribos será:
yTvHsvSHS fAs
yxKKTTT
11
Si vHT KK yTTs fAs
yxT
11
En elementos que tienen igual volumen de refuerzo longitudinal y transversal se
comprobó experimentalmente que:
5,133,066,01
1 x
yT
Finalmente:
yTTcN fAs
yxyxfT
112'8,0
Condición de igualdad de volúmenes de armaduras longitudinales y transversales:
211 yxAsA T
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Página 51
11
2yx
s
AA T
A : Área total de refuerzo longitudinal.
TA : Área de una barra del refuerzo transversal.
Para que los estribos verticales fluyan antes de fallar el hormigón en compresión, el ACI
recomienda:
cs TT 4 Comportamiento Dúctil
- Interacción Torsión y Corte en Hormigón sin armar
NT y NV : Valores nominales últimos de torque y corte actuando simultáneamente.
NOT y NOV : Valores nominales últimos de la sección, actuando cada efecto por
separado.
22
1
N
N
NO
NO
NON
V
T
T
V
VV
dbfV
yxfT
cNO
cNO
'
2'
2
2 en p.s.i.
2
'
1
2
N
N
T
c
N
V
TC
dbfV
1
TN/TNO
VN/VNO
1
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Página 52
yx
dbCT 2
U
U
N
N
V
T
V
T
Si UN VV OK
- Interacción de torsión y esfuerzo de corte en elementos armados
SCN
SCN
VVV
TTT
...
8,0
2
2'
'
ispyxfT
dbfV
cNO
cNO
2
2'
41
8,0
c
c
r
c
c
T
V
C
yxfT en p.s.i
2
2'
41
8,0
U
U
r
c
c
T
V
C
yxfT
Una vez determinado Tc, se toma el exceso de torque con TS
yTTS fA
s
yxT 11 ,
determinando una armadura que deberá ser adicionada a la determinada por flexión y corte.
Como se eligió U
U
C
C
T
V
T
V , el valor de VC quedará dado por
U
UCC
T
VTV
La armadura de corte se determinará con CUS VVV en los casos en que el ACI permite
considerar el aporte del hormigón al corte.
1
1
U
U
T
V
TorsiónQ TT AA
AS (Flexión)
Al (Torsión)
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Página 53
- Rigidez torsional de secciones rectangulares y secciones T. L, ┌┐, I
L
CaTTorsionalRigidezkT
Sección Circular : 32
4dIC p
Sección Rectangular : yxC 3
xy
1,5 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4 5
0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291
Secciones T. L, ┌┐, I abiertas:
yxC 3
3
1
Secciones más complejas:
i
i
CG
LT
CG
LT
T
yx
yx
TC
CT
i
ii
iii
i
2
3
3
13
1
ii
xi
ii
imáx
yx
T
yx
T
32
3
1
3
para secciones compuestas:
3
1333,0
y1
y2
x2
x1
x
y
x
y
3
1
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Página 54
Elemento Solo : yxfT cN
2'2
Elemento Armado : yxfT cc
2'8,0
yx
bdCT 2
TORSIÓN PURA
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Página 55
Flexo-Compresión
ó
M
P = 0
Pb > P1 > 0
P1 = Pb
P2 > Pb
creciente
Mu
Mu
y u
P M
C
T
M P
Compresión
Pura
Momento
Puro
P = C - T
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Página 56
Pb = P de balance (Acero fluye (y) y u = 3 º/oo)
Ductilidad: y
u
Falla por compresión secundaria:
- Tracción centrada y poca excentricidad.
- Flexión y solicitación axial con total aprovechamiento del alargamiento máximo
autorizado del refuerzo de acero.
- Flexión y solicitación axial con total aprovechamiento de la capacidad resistente de la
cabeza de compresión.
- Falla Balanceada (ACI)
- Flexión y solicitación axial con total aprovechamiento de la cabeza de compresión, pero
sin que el refuerzo alcance la fluencia FALLA FRÁGIL POR COMPRESIÓN
PRIMARIA.
- Compresión pura o con poca excentricidad.
Resistencia Última
Comportamiento
Cs + Cc + Ts em
N M
N
Cs
Cc
Ts
N
Mem
Pn
B’
Cs
Cc
Ts
0,85fc’
a
(d-c)
fs
c
fs’
d’
B’ = em + (d-c)
Pn
M
Pn
B’
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Página 57
sssscn fAfAbafP '''85,0
''''
285,0 ddfA
adbafP sscn
En general, el acero a compresión de las columnas cargadas excéntricamente hasta la
carga última alcanza la resistencia de fluencia, excepto cuando:
- El nivel de carga es bajo.
- Se usa acero de alta resistencia.
- Se usan columnas pequeñas de manera que d’ es relativamente grande.
En general, se supone inicialmente ys ff ' para luego comprobar dicha hipótesis.
yss fAC '
ssyscn fAfAbafP ''85,0
'''
285,0 ddfA
adbafP yscn
La excentricidad de la carga determina 2 tipos clásicos de falla:
a) Rotura Dúctil: La falla del hormigón se produce una vez que As ha alcanzado fy (Falla por
compresión secundaria del hormigón).
b) Rotura Frágil: La cabeza de compresión del hormigón falla antes que As alcance fy (Falla
por compresión primaria del hormigón)
b.1-. Excentricidad pequeña: el acero se encuentra traccionado, pero con y < u
b.2-. Excentricidad muy pequeña: el acero se encuentra en compresión (Ts < 0)
El límite entre la falla dúctil y la falla frágil está dado por la condición de balance (s=y,
c = u = 0,003)
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Página 58
Centroide Plástico
Es el punto de la sección donde al aplicar una carga de compresión, las deformaciones son
iguales en todos los puntos de la sección.
Ecuaciones de Diseño: (Columna armada simétricamente: As = As’)
syscu ffAbafP '85,0
''' 5,085,0 ddfAadbafBP yscu
'''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM ssyscu
Falla Balanceada ys ff
dfE
Ea
ys
s
b
1
003,0
003,0
Si se sustituye ba en las ecuaciones de diseño, y con ys ff , se obtiene Pb y PbBb’.
Luego se puede determinar el tipo de falla. Además se debe verificar ys ff ' . Para tal efecto se
usa:
s
y
sE
f
a
da
'
1' 003,0
Si As = As’ (diseño simétrico), el
centroide plástico coincide con el
centro de gravedad de la sección.
d’’
As As’
d
b
d’
fy fy’
Pu
Asfy 0,85fc’
As’fy
hbffAAP cyssu '' 85,0
P
Me
Se conoce el centriode
plástico
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Página 59
Si se encuentra que la deformación del acero en compresión es menor que la deformación
de fluencia, s
y
sE
f' , se debe usar '
sf como:
ssss E
a
daEf
'
1'' 003,0
y sustituir '
sf en lugar de yf en las ecuaciones de diseño.
Si '
ss AA :
'''
2d
hd
uP
Me
a) Falla por tracción del acero:
Si bu PP se produce falla por tracción del acero, con lo que ys ff . Se despeja a de la
ecuación de Pu, y se determina As con la ecuación de momento último.
bf
Pa
c
u
'85,0
'
'' 5,085,0
ddf
addbaMA
y
us
Posteriormente se debe verificar ys ff ' , de lo contrario, calcular '
sf y resolver el
sistema en forma iterativa (En la ecuación de Mu, cambiar yf por '
sf )
b) Falla por compresión del hormigón:
Si bu PP , se produce una falla por compresión del hormigón antes que el acero fluya,
por lo tanto ys ff . Se debe calcular nuevamente sf :
fy
fs’
Es
ξs
s
y
yE
f
fy
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Página 60
ssss E
a
adEf
1003,0
sss EaEdfa 003,0003,0 1
sss EdEafa 1003,0003,0
ss
s
Ef
Eda
003,0
003,0 1
Se sustituye este valor en las ecuaciones en las ecuaciones de diseño y se resuelve por
iteraciones, encontrando a y As. Luego se debe verificar ys ff ' ; de lo contrario, calcular '
sf y
resolver nuevamente por iteraciones.
DIAGRAMA DE INTERACCIÓN PARA UNA SECCIÓN DE COLUMNA DE HORMIGÓN CARGADA
EXCÉNTRICAMENTE Y DISEÑADA CON As
Pu
Pb Pb
Mb
Falla Flexo - Tracción
Falla por compresión del hormigón
Pu > Pb
Mu
Falla por tracción del acero
CO
MP
RE
SIÓ
N
TR
AC
CIÓ
N
Pu < Pb
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Página 61
Metodología para el Diseño Sísmico de Columnas
Si se efectúa el análisis sísmico mediante algún método estático, los signos de los
esfuerzos resultantes son consistentes entre sí, y por lo tanto el diseño para este caso se realiza
con las cargas axiales máxima y mínima, y con el momento máximo obtenido de la envolvente de
esfuerzos.
En cambio, si se efectúa el análisis sísmico mediante análisis dinámico por S.M.E., los
resultados son siempre positivos, pues se realizan suposiciones del os máximos efectos.
En este caso se diseña con la carga axial máxima y con la carga axial mínima, y con el
módulo del momento máximo obtenido de las combinaciones de carga.
1er. Diseño: Máx 32 , uu MM ; Máx 32 , uu PP
2do. Diseño: Máx 32 , uu MM ; Mín 32 , uu PP
3er. Diseño: Máx 54 , uu MM ; Máx 54 , uu PP
4to. Diseño: Máx 54 , uu MM ; Mín 54 , uu PP
5to. Diseño: 11 , uu PM
En que 521 ,, , uuu MMM , 51 ,, uu PP , corresponden a los esfuerzos obtenidos de las
combinaciones de carga.
Factor de Reducción
7,01,0
2,09,0
'
gc
u
Af
P si gcb AfP '1,0
7,07,0
2,09,0
b
u
P
P si gcb AfP '1,0
ys
scb
fE
EdbfP
003,0
003,085,0 '2
De estos diseños se elige el que dé la cuantía de acero mayor.
Se debe verificar además, que la columna resista la compresión pura:
Se verifica la capacidad axial de la columna con = 0,7 y suponiendo la cuantía de acero
máxima:
06,0o ó 025,0o según corresponda
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Página 62
máxnmáxu PP
''
85,006,085,08,0 cygcmáxu ffdbAfP
ACI 318- especifica que para componentes no pretensazos, no se debe tomar la
resistencia de carga axial de cálculo nP mayor que 0,8 de la carga axial de cálculo con una
excentricidad oP igual a cero.
Metodología de cálculo de momentos plásticos en columnas sometidas a flexo –
compresión
Mp se determina para la columna ya diseñada. Ahora el área de acero no es la incógnita,
sino el momento que resiste la columna con dicho acero para los diferentes niveles de carga axial
que resulten de las diferentes combinaciones de carga.
Se debe analizar el caso en que bu PP y bu PP .
a) Si Pu ≤ Pb:
El acero de tracción alcanza la fluencia ys ff , y el de compresión puede o no haberla
alcanzado.
Para calcular el momento plástico se emplea la carga axial última dividida por el REAL,
ya que de esta manera se está mayorando la carga y al moverse a través de la curva de interacción
se obtienen momentos plásticos mayores.
P
Pb
Pu > Pb
M2 Mb M1
Pu < Pb
M
M2 < M1. En este caso falla con
M2 y Pu >Pb
Pu
Pu
Pu /
Mp Mp Mb Mu
= 1
= Real (Función de Pu)
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i) Si el acero en compresión alcanza la fluencia, ys ff '
bf
P
ac
REAL
u
¡85,0
y con yss fff ' se determina de la ecuación de M con = 1 el momento plástico Mp:
'''' 5,085,0 ddfAaddbafM yscp
ii) Si el acero en compresión no alcanza la fluencia ys ff '
a
Edaf s
s
1' 003,0
y, reemplazando este valor en la ecuación para Pu:
ssscu ffAbafP '?85,0
y con Pu / se tiene:
0003,0003,085,0 '
1
2'
sssy
u
ssc EAdaAfP
EAbaf
Despejando a de esta ecuación, y calculando '
sf , se puede obtener, de la ecuación de
momentos, el momento plástico, haciendo = 1.
'''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM yssscp
b) Si Pu > Pb:
En este caso ys ff y '
sf puede o no haber alcanzado yf .
Para calcular el momento plástico se utiliza Pu / con = 1, pues cuando Pu > Pb, con
cargas axiales mayores se obtienen momentos plásticos menores.
i) Si ys ff '
a
Eadf s
s
1003,0
y:
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Página 64
0003,0003,085,0 1
2' ssssuysc EAdaEAPfAbaf
De aquí se despeja a, se calcula fs, y se obtiene Mp con = 1.
'''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM ssyscp
ii) Si ys ff ' :
a
Eadf s
s
1003,0
a
Edaf s
s
1' 003,0
y:
0003,0006,085,0 '
1
2' ddEAaPEAbaf ssussc
despejando a se calcula Mp con = 1:
''''''''' 5,085,0 dfAdddfAaddbafM sssscp
NOTA:
Diseñar por capacidad considerando recomendaciones del ACI Columna fuerte – Viga
débil
Determinación de la esbeltez de la columna (), y del factor de modificación de los
momentos por efecto de esbeltez ()
El diseño a flexo – compresión debe efectuarse con Pu y uM , en que es un factor que
modifica el momento que actúa sobre la columna por efecto de ser ésta esbelta.
Si es mayor que los valores definidos de Esbeltez Límite:
c
u
M
P
P
C
1
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Esbeltez Límite:
2
1 1234M
M
r
LK u
COLUMNAS ARRIOTRADAS
22
r
LK u COLUMNAS NO ARRIOSTRADAS
br 288,0
Si la columna es arriostrada : 04,06,02
1 M
MCM (M1 < M2)
Si la columna es no arriostrada : 1MC
= Factor de reducción por capacidad (0,7 a 0,9)
2
2
u
cLK
EIP
Columna:
d
gc IEEI
1
1
5,2 ó
d
ss
gcIE
IEEI
1
1
5
Viga 1
Viga 2
AS1
AS2
Lu
LN2 LN1
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'5000 cc fE (MPa)
5,4,3,2.
7,14,1
CombM
SCPPM
SCPPLateralesFuerzasiónParticipac
SCyPPiónParticipac
mayor
mayor
d
12
3hb
TotalÁreaInerciaI g
Determinación de K:
NV
Uc
ALIE
LIE
1
NV
Uc
BLIE
LIE
2
12
3hbI c
LN : Luz libre de la viga (De eje a eje).
IV1 : Inercia de la sección agrietada de la viga = 23
3
1cd
E
EAcb
c
ss
ac 85,0 bf
Afa
c
sy
'85,0
Con estos valores se ingresa al ábaco (Tabla 34 ó 35) según corresponda (Arriostrado o
No Arriostrado).
Metodología:
1-. Determinación de IV1, IV2, Ic.
2-. Determinación de K.
3-. Cálculo de Pc:
d : MU1, MU2, …
EI
Pc
4-. Determinación de CM
5-. Cálculo de Diseño a Flexo – Compresión (PU, MU)
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NOTA: GA = A, etc.
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Página 68
Requisitos Adicionales en Flexo – Compresión
Criterio Columna Fuerte – Viga Débil
Promueve la formación de rótulas plásticas en las vigas, logrando con esto:
1) Buscar un mecanismo de falla total, es decir, un mayor número de puntos de absorción
de energía.
2) Mantener las columnas sanas, concentrando la destrucción en las vigas, dado que la
reparación de éstas es más simple que la de las columnas.
3) Aprovechar la capacidad de absorción de energía de las vigas ya que son dúctiles. El
esfuerzo axial de compresión disminuye la ductilidad de las columnas.
Para cumplir este criterio se debe satisfacer la ecuación siguiente:
ge MM5
6
eM : Suma de los momentos en el centro de la unión que corresponde a la
resistencia de cálculo a la flexión de las columnas que forman el marco con
esa unión. La resistencia a flexión de esa columna debe calcularse
considerando la fuerza axial mayorada, concordante con la dirección de las
fuerzas sísmicas consideradas que producen una menor resistencia a la flexión.
Para obtener Se Me debe tomar el Pu de la combinación de cargas que dé el
menor momento Me, es decir, con la columna diseñada con las combinaciones
de carga especificadas por la norma de diseño. es el correspondiente al Pu
que se está considerando o perpendicular, según sea lo más desfavorable.
gM : Suma de los momentos en el centro de la unión que corresponde a las
resistencias a la flexión de cálculo de las vigas que forman marco con la unión.
El cálculo de Mg se realiza con = 0,9
Si la unión no satisface esta condición, se debe proporcionar a las columnas armaduras
transversales de confinamiento en toda su altura.
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Página 69
El cálculo de gM y eM debe ser consistente con las armaduras que trabajan en la
dirección del sismo.
En todos los casos debe cumplirse: ge MM5
6
Pu
Pu ( = 1) Pu1
Pu2
Pu3
Pu4
Pu5
Mp
Pu / ( = 0,9)
Mu
SISMO
Pu i
Me1
AS2 AS1
Mg2
Mg1
Me2
Mg2
AS2
Pu ii
SISMO
AS1
Mg1
Me2
Me1
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Página 70
Diseño de secciones rectangulares sometidas a Flexo – Tracción
Ecuaciones de Diseño
yso fAP 2
2
adfAM yso
bf
fAdfAM
c
ys
yso '7,1
U
U
o
N
No
o
o
P
MM
P
MM
P
M
= 0,9
ooooUo PMPMPM
o
ooooU
P
PMPMM
o
U
oUP
PMM
ys
U
c
ys
ysUfA
P
bf
fAdfAM
27,1 '
Desarrollando la ecuación anterior se obtiene el siguiente algoritmo que se resuelve por
iteraciones:
bf
fAdf
P
bf
fAdM
A
c
ys
y
U
c
ys
U
s
'
'
7,1
27,1
As
As
d’
d
em
Pu
Mu = Pu em
OBS: Mu y Pu se ingresan
en valor absoluto
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Página 71
Diseño de Muros
1-. Muros con dinteles de acoplamiento
2-. Muros sin dinteles de acoplamiento
Diseño a Flexo – compresión armadura vertical distribuida uniformemente y
armadura de borde.
Armadura de borde Se diseña el muro como una columna a flexo –
compresión, para UM y UP .
Carga axial sísmica.
Los dinteles desarrollan fuertes
esfuerzos de corte.
No se hace en Chile en la práctica.
No conviene porque es muy difícil
de armar los dinteles.
Losa
Carga axial sísmica es Nula
d - d’
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Página 72
Armadura uniformemente distribuida
Siempre los muros están trabajando bajo el punto de balance: Ub PP
Si la armadura de borde resulta excesiva, hay que considerar la armadura distribuida
(pequeño programa computacional) trabajando en conjunto.
Diseño para el esfuerzo de corte
yHcccvnU ffAVV '
H : Esfuerzo horizontal.
UV : Esfuerzo de diseño.
'
cf , yf : 2cmKg
c : Coeficiente que depende de la esbeltez del muro.
cvA : Área de la sección recta horizontal de muro 2cm
Limitaciones:
1) '
65,2 ccv
máx
muroporU fAV 2cmKg
2) '
12,2 ccp
máx
direcciónunaenpisoundemuroslostodosdeU fAV
Acp : Suma de las secciones rectas de todos los muros.
c
0,795
0,530
1,5 2,0 w
w
l
h
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Página 73
La determinación de la armadura horizontal debe efectuarse con todas las combinaciones
de carga.
0025,0mín
H
NOTA: Es por cada lado.
Nunca colocar menos de 8 @ 20
Armadura Vertical: También se necesita en muros bajos por el efecto de puntal en el que la
armadura contribuye en horizontal y vertical.
Hv si 2w
w
l
h
0025,0v si 5,2w
w
l
h
0025,05,220025,0
H
w
wv
l
h si 5,22
w
w
l
h
Discusión de :
ACI: Si no se puede garantizar la falla por flexión = 0,85 = 0,6
Vv : Esfuerzo de corte máximo asociado a la falla por esfuerzo de corte.
Vm : Esfuerzo de corte máximo asociado a la falla por flexión.
hw
lw
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Página 74
Ejemplo: Muro en voladizo
h
M
h
MHV
U
NflexiónporfallaM
U
MurodelNporfallav
VVHV corte
Falla por corte cuando Vv < VM = 0,6
Falla por flexión cuando Vv > VM = 0,85
Suponer = 0,6 Calcular todo Comparar Si no da
Rehacer todo con = 0,85
Pero el muro no es un voladizo:
Estimar yHcccvV ffAV '
VM = función de PU (Considerar PU máximo si estamos bajo Pb. A medida que aumenta
MN aumenta VN comparar con VM máx)
U
u
NMM
VMV VU, MU provienen del análisis
MN : Fórmula aproximada.
Diseñar con = 0,6 Chequear si la falla es por corte o por flexión
si la falla es por flexión Rediseñar con = 0,85 comprobar
H
h
MN : Capacidad flexural en la base
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Página 75
Fórmula aproximada para MN en muro:
'
cw
U
fhl
N
'
cw
ys
fhl
Aq
wlq
qc
185,02
2'
1 28085,0 cmKgf c
wys
UwysN
l
c
fA
NlfAM 115,0 NU > 0 Compres.
h : Espesor muro.
lw : Dimensión horizontal del muro.
As : Área total (distribuido) vertical.
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Página 76
Elementos sometidos a Compresión Biaxial (Columnas de Esquina)
Esfuerzos axiales en Compresión Biaxial
N
My
Mx
x
y
ey
ex
N
My N
Mx
f.n.
T C máx
yx eNM
xy eNM
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Página 77
Existen 5 posibilidades de ubicación de la Línea Neutra:
La solución exacta pasa por la pre-suposición de una línea neutra, en que ésta define el
área de la cabeza de compresión y las barras en tracción. Es una solución iterativa, por tanteos.
Método Aproximado (Bresler – Palmer)
Superficie de falla
Curvas de Interacción
PN
MNX
MNY
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Página 78
Mox es el momento en X tal que MNY = 0, con PN
Moy es el momento en torno a Y con MNX = 0, con PN
0,1
oy
NY
ox
NX
M
M
M
M
log
5,0log
ox
NX
M
M ó
oy
y
e
e
1,0 A
B
C
1,0
45º
1-
1-
oy
NY
M
M ó
ox
x
e
e
0,11
oy
NY
ox
NX
M
M
M
M
0,11
ox
NX
oy
NY
M
M
M
M
oy
NY
M
M
1,0
1,0
ox
NX
M
M
= 0,5
= 0,9
:
0,55 …
0,85
Página 395 (Nawy)
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Página 79
AB: ox
NX
oy
NY
M
M
M
M 0,1
1
oy
NY
ox
NX
M
M
M
M
BC: ox
NX
oy
NY
M
M
M
M 0,1
1
ox
NX
oy
NY
M
M
M
M
Para las secciones rectangulares que tienen refuerzo distribuido uniformemente en todas
las caras de la columna, la relación ox
oy
M
M se puede tomar en forma aproximada igual a
h
b
1-. Para h
b
M
M
NX
NY oyNXNY Mh
bMM
1
2-. Para h
b
M
M
NX
NY oxNYNX Mb
hMM
1
Procedimiento:
1. Calcular los momentos de flexión uniaxial suponiendo igual número de barras en cada cara de
la columna. Suponer 5,0 a 0,7. Suponer NY
NX
M
M
b
h
Calcular el momento uniaxial equivalente requerido Mox o Moy. Si MNX es mayor que MNY,
usar Mox para el diseño y viceversa.
2. Suponer h, b, = ’ = 0,01 a 0,02 en cada una de las dos caras paralelas al eje de flexión del
momento equivalente mayor.
Darse unas barras iniciales.
Verificar la capacidad PN de la columna definida (PN requerido = UP ; = 0,7).
En el diseño final se debe usar iguales barras en todas las caras de la columna.
3. Calcular el momento resistente nominal REAL MoxN, para el momento uniaxial equivalente
con respecto l eje X, cuando Moy = 0.
Este valor debe ser mayor o igual a la resistencia requerida de momento Mox.
4. Calcular la resistencia de momento nominal REAL MoyN cuando Mox = 0.
5. Encontrar MNY introduciendo el valor oxN
NX
M
M y , obtenido del gráfico.
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Página 80
6. Realizar un segundo tanteo, incrementando el valor de supuesto, si el MNY que se obtuvo del
gráfico es menor que el MNY requerido.
Repetir hasta converger, cambiando o la sección.
7. Diseñar el refuerzo lateral y detallar la sección.
NOTA: Estudiar el ejemplo en pág. 395 Nawy.
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Página 81
Losas de Hormigón Armado
Losa: elemento delgado estado plano de tensiones
Límite para análisis plano: 5
1a
h
5
1b
h
Además deberá cumplirse la hipótesis de deformaciones () pequeñas
5
1
h
máx
Clasificación de Losas
Según su forma: rectangular, cuadrada, circular, triangular.
Según sus apoyos: Apoyadas en su contorno, en voladizo, contínuas en una o más
direcciones.
Según tipos de apoyo:
Apoyos lineales Losas perimetrales.
Apoyos Puntuales Losas plnas.
Según cargas: Cargas puntuales.
Cargas uniformes peso propio + sc de uso [t/m3]; H = 2,5 [t/m3]
b
a
h
h << a
h << b
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Página 82
Cargas Triangulares presiones se agua o suelos.
Presiones en paredes de silos.
Cargas lineales [t/m] descarga de tabiques.
Se incorpora al análisis como una carga equivalente de intensidad:
q tab = 0,27p [t/m2]
p: peso del tabique por unidad de longitud.
Estanques de Hormigón Armado
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Página 83
1-. Introducción
Recomendaciones:
a) Este tipo de estructuras deben ser impermeables para prevenir filtraciones del líquido
almacenado y efectos nocivos sobre el medio ambiente.
b) Deben tener resistencia suficiente a los agentes agresivos que almacenan.
c) Deben proporcionar una superficie suave y bien formada para evitar obstáculos al
flujo.
2-. Diseño
Definición de las cargas de diseño:
a) Peso Propio: paredes del estanque, losa de fondo, losa superior, fundaciones, apoyos,
estructuras anexas.
Recomendación: 3
.. 5,2 mTAH
b) Cargas por efecto del líquido almacenado. Su magnitud depende del líquido y de la
profundidad máxima que alcance éste dentro del estanque (efectos hidrostáticos e
hidrodinámicos)
Pesos específicos de líquidos más corrientes
LIQUIDO = Kg/m3
Agua 1000
Agua de mar 1020 1030
Vino 950 1000
Alcohol 780 820
Bencina 800 890
Glicerina 1260 1270
Petróleo 780 950
Vinagre 950 1050
Creosota 1050 1070
RECORDAR: Lecha contiene azúcar carcome el hormigón.
c) Sobrecargas: sobrecargas de diseño de escaleras, salas de máquina, etc.
d) Sismo
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e) Viento Definidas en Normas correspondientes.
f) Nieve
g) Empuje de tierra (en estanques enterrados)
3-. Propiedades de los materiales
Propiedades que deben lograrse en un buen diseño:
a) Facilidad para almacenar eficientemente el líquido, lo que se logra con:
- Impermeabilidad del concreto (usar razones a/c bajas con curado lento y aditivos
especiales)
- Minimizar el ancho de grietas (adecuado diseño y espaciamiento de las juntas)
- Juntas de expansión y construcción deben sellarse.
b) Durabilidad: resistencia por la acción de agentes agresivos o por erosión de las
superficies interiores del estanque por efecto del flujo que se genere. Se puede evitar con un buen
enlucido interior. En otros casos habrá que disponer de una superficie protectora de un material
resistente al líquido almacenado.
Algunos de los líquidos más agresivos al hormigón son:
- Sulfato de aluminio amoniacal.
- Sulfato de aluminio.
- Cloro.
- Bisulfito de Sodio.
- Hidróxido de Sodio.
- Ácido Sulfúrico.
4-. Diseño estructural
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Página 85
Métodos Exactos: para estanques cilíndricos en algunos casos se pueden
plantear soluciones prácticas exactas. Método de
Elementos Finitos.
Métodos Aproximados: en estanques rectangulares se utilizan soluciones
aproximadas.
Cuidar las fundaciones: por las dimensiones que pueden tener estas estructuras, se puede
llegar a comprometer suelos de diferentes características. Se deben diseñar fundaciones que
reduzcan los efectos de asentamientos diferenciales que normalmente son causa de agrietamiento.
Se debe verificar la compresibilidad del suelo, el espesor de los estratos y las variaciones
de carga debidas a llenado y vaciado del estanque. ACI recomienda pruebas de carga en
posiciones donde existan, a nivel de la estructura, concentraciones de fuerza y hacer al menos
cuatro pruebas de carga por cada 100 m2.
Fuera de estas precauciones se debe también cuidar las variaciones que experimente el
nivel de la napa, pues una napa alta puede ocasionar el levantamiento de la losa de fondo cuando
el estanque está vacío.
Buscar alguna solución que reduzca o bien elimine el efecto de variación de cota de napa:
i) Sistemas de tuberías que incorporen agua al estanque cuando la napa sobrepase una
cierta altura crítica.
ii) Deprimir la napa.
iii) Sistema de alarma que indique cuando se deben llenar los estanques.
5-. Recomendaciones básicas de diseño (ACI)
h
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- Muros de más de 3 m. de altura, espesor mínimo: e = 30 cm.
- Refuerzo principal con barras de diámetro pequeño ( 6% de e).
- Refuerzo secundario de temperatura y retracción será de diámetro = 3%e.
- Esfuerzos admisibles:
DESCRIPCIÓN DE LA SOLICITACIÓN ESFUERZO RECOMENDADO (Kg/cm2)
- Relación entre módulos de Elasticidad n
- Flexión:
Fibra en compresión C
Fibra en tracción muros y fundaciones
- Corte:
Vigas sin refuerzo
Juntas sin refuerzo (de fricción)
Miembros con refuerzo
Corte en fundación
- Aplastamiento
n = 9
95
6
4
4,5
19
7
60
ACERO: A 44 – 28 H
A 63 – 42 H
1400
2000
Esfuerzos recomendados en carga de servicio para espaciamiento máximo 30 cm.
TAMAÑO BARRAS SOLICITACIÓN
MÁXIMO ESFUERZO
ADMISIBLE CARGA DE
SERVICIO
- Todas las barras
- 10, 12, 16
- 18, 20, 26
- Diámetros superiores
- Tracción directa.
- Miembros en flexión con exposición severa.
- Miembros en flexión con exposición normal
- Miembros en flexión con exposición severa.
- Miembros en flexión con exposición normal.
- Miembros en flexión con exposición severa.
- Miembros en flexión con exposición normal
980
1500
1
1260
1500
1190
1470
6-. Juntas
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Página 87
- de expansión.
- de construcción.
Las juntas de expansión se disponen para absorber los cambios de dimensiones
producidos por variaciones de temperatura y humedad.
En elementos expuestos a la intemperie no deberán separarse a más de 15 m. y en
elementos enterrados, a más de 25 m.
El esfuerzo debe determinarse 5 cm. antes de la junta, y en ella debe colocarse un sello
que evite la filtración y que sea un material compresible (Ej.: compriband)
Tipos de Juntas
- En elementos que no estén expuestos a que llegue agua por el lado
- En elementos que están expuestos a que llegue agua
Escalas de Hormigón Armado
Sello
Sello
Contenedor (cobre o material
que no sea atacado por el
líquido)
Sello
5 cm
5 cm
Muro Contenedores
NOTA: Comitee Guide for
Joint Scalants for Concrete
Structurals, ACI – 1970, july.
Revision Ju 1976
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Página 88
1-. Escaleras Simples
1) Peldaño en ménsula: El peldaño es el elemento principal que resiste. Se analiza como un
voladizo.
2) Escalera apoyada en vigas o muros laterales
En el caso en que los bordes longitudinales sean libres de apoyo, la escalera trabaja en la
dirección longitudinal presentándose un punto conflictivo en el análisis, que corresponde al
quiebre que se presenta en el descanso.
El análisis de este tipo de elementos se fundamenta en la teoría de losas plegadas y
atendiendo a las dimensiones transversales, podemos decir que una solución exacta es
Muro
Asegurar el anclaje de los
fierros al muro
Descanso Se analiza como una sola losa con las
cargas respectivas ( en peldaños que
en descansos ver norma de
sobrevarga), con la dimensión
proyectada L.
Planta
S.S. ó E.
S.S.
ó E.
S.S.
ó E.
L
S.S. ò E.
a
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Página 89
prácticamente imposible. Se resuelve en forma aproximada, despreciando los efectos de
desplazamiento relativo que se genera en el caso de descanso intermedio.
CASOS ESPECIALES:
Se supone que la estructura trabaja en dirección longitudinal, por tener bordes
longitudinales libres.
En los casos (1) y (2) se supone un apoyo ficticio en B. En el caso (3) se suponen apoyos
ficticios en B y C. Se resuelven las estructuras y se superpone la reacción de signo negativo
correspondiente al apoyo ficticio.
El análisis del caso (2) es análogo.
Lib
re
Lib
re
Lib
re
Lib
re
Lib
re
Lib
re
s.s. s.s. s.s.
s.s. s.s. s.s.
(1) (2) (3)
A A
B
C B C
A
B C
D
RB
RB
MB
Tracciones
resultantes
Component
es de RB en
el plano de
la losa
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Página 90
En el análisis del caso (3), si quisiéramos encontrar una solución exacta, debemos incluir
el efecto de desplazamientos relativos entre los nudos de intersección de planos, lo cual no es
simple de hacer. Por ello se considera que estos efectos son menores ante los debidos a cargas en
el plano y cargas normales a él. De todas maneras esta hipótesis debe ser verificada.
2-. Escaleras No Simples
Los sistemas son muy variados según sean los apoyos que se presenten en losas y
descansos.
En todos estos sistemas las losas se apoyan en las losas de piso, según las líneas AB y
A’B’, a través de muros, vigas o bien de la misma losa, corrientemente incorporando la viga a la
losa en este caso.
F
RB
RC
RB
RC
E
A B
P1 P2 Corresponde al dibujo de la Planta
Piso 1
AB
A’B’
Descanso
Intermedio EF
Losa
Losa
Piso 2
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Página 91
Un punto de particular interés es la parte de la unión con el descanso intermedio, arista
EF.
De acuerdo a la situación de apoyo en la arista EF, y a los contornos del sistema se
diferencian las siguientes situaciones:
(1) Apoyos en AB y CD
La escala trabaja en sentido longitudinal.
El análisis se realiza aprovechando el análisis de escaleras simples con descanso.
Para el caso de P1 se generan compresiones en la losa y en el descanso, y en el caso P2 se
generan tracciones en la losa y el descanso.
Por efectos de estas fuerzas, en el descanso se produce un par cuyo efecto sobre el
descanso es el de un momento torsor que es equilibrado por el corte Q en el apoyo CD.
(2) Apoyos en AB, CD y EF (Viga en EF)
D C
B A P1 P2
C
C
T d
(P1) (P2)
P1
P2
D C
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Dependiendo de las dimensiones de esta viga EF, relativas a las dimensiones del descanso
y las losas, puede considerarse este apoyo como un empotramiento o un apoyo contínuo. En
cualquiera de las situaciones el análisis se realiza considerando como losa apoyada en CD y EF al
descanso, y las losas trabajando longitudinalmente apoyadas en AB y EF. Para diseñar la viga se
debe considerar las cargas del descanso y las reacciones de las losas.
(3) Apoyo en AB y muros en CE y DF
El descanso se apoya en CE y DF y se analiza como una losa con estos apoyos.
Para las losas es prudente calcularlas con una luz L definida por el apoyo AB y la sección
media del descanso con una condición de empotramiento o apoyo simple en la línea media del
descanso.
Si hay apoyo en CD, el descanso se analiza como una losa apoyada en 3 bordes.
F
F
B
E
A
P1 P2
D C
E
A B
L
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Página 93
(4) Apoyo en todo el contorno ABCD
El descanso y las losas se apoyan en los muros.
Se calculan como losas apoyadas en 3 lados CAMPO DE LOSAS
El descanso se apoya en CE, CD y DF, y las losas en AB, CA y la línea media del
descanso, o AB, DB y la línea media del descanso.
(5) Apoyos en AC, DB y AB
L
F
L
D C
E
B A
D C
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Página 94
Análogo al caso anterior con la diferencia que no existe el apoyo CD.
Descanso se calcula con apoyos en CE y FD, y las losas con apoyos en CA, AB y la línea
media del descanso.
(6) Apoyo solamente en AB
El análisis se efectúa longitudinalmente, quedando la siguiente configuración:
F E
B A
D C
F E
B A
EF
AB
A’B’
Se considera que el AB,
A’B’ y EF es axialmente
independiente
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Página 95
Si P es la reacción de cada losa, en EF el esfuerzo vertical debido a esta reacción será 2P
(cada P proviene de cada losa). Esta fuerza P se descompone en dos fuerzas de tracción y de
compresión.
Sen
PCT 11
Por otra parte el descanso está en voladizo y transmite a la línea EF una carga y un
momento P1 y M1.
P1 se descompone igual que 2P Sen
PCT
2'' 1
11
Cada tramo estará sometido a estas fuerzas en su propio plano:
Sen
P
Sen
PN
2
1
y a un momento 2
1M en su extremo.
Entonces queda :
a
N
2
1M
2P
C1
T1
P1
M1
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Página 96
(7) Apoyos en GH y CD (Pueden ser articulados o empotrados)
El análisis se efectúa igual que el CASO 1, pero a partir del análisis de losa simple CASO
3.
H
B
F
D C
E
A
G
C/D
P2
P1
E/F
AB
A’B’ G’/H’
G/H
AB
A’B’
P1
P2
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Página 97
Situación en los apoyos:
Hay que verificar que el estado de tensiones sobre el muro (COMPRESIÓN) no sobrepasen
las tensiones admisibles. Esto es importante en el caso de muros de albañilería en que las
tensiones admisibles son bajas.
NOTA: Complementar este material con los Apuntes de A. Lucero.
M2 = MSUP
MFLECTOR
V
M1 = MINF
COMP
COMP
Hay que verificar torsión
Losa de descanso o escalera
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Página 98
Losas de un solo tramo (según Czerny) Empotra. Perf.
Simple apoyo M = qa²/
Valores de en la tabla
Casos:
b/a Ma Mb Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao
1,0
1,1
1,2 1,3
1,4
1,5 1,6
1,7
1,8 1,9
2,0
27,2
22,4
19,1 16,8
15,0
13,7 12,7
11,9
11,3 10,8
10,4
27,2
17,9
29,1 30,9
32,8
34,7 36,1
37,3
38,5 39,4
40,3
41,2
31,9
25,9 21,7
18,8
16,6 15,0
13,8
12,8 12,0
11,4
29,4
28,8
28,9 29,7
30,8
32,3 34,3
35,9
37,9 38,0
38,8
11,9
10,9
10,1 09,6
09,2
08,9 08,7
08,5
08,4 08,3
08,2
29,4
27,3
24,5 22,4
21,0
19,8 19,0
18,3
17,8 17,4
17,1
41,2
45,1
48,8 51,8
54,3
55,6 56,5
57,8
58,8 59,0
59,2
11,9
10,9
10,2 09,7
09,3
09,0 08,8
08,6
08,4 08,3
08,3
61,7
46,1
35,5 28,5
23,7
20,4 17,9
16,0
14,6 13,4
12,5
35,1
32,9
31,7 31,2
31,4
32,1 33,9
35,4
37,8 40,0
42,4
14,3
12,7
11,5 10,7
10,0
09,5 09,2
08,9
08,7 08,5
08,4
35,1
31,7
29,4 27,8
26,6
25,8 25,2
24,7
24,4 24,3
24,1
61,7
67,2
71,5 73,5
74,6
75,8 77,0
77,0
77,0 77,0
77,0
14,3
13,5
13,0 12,6
12,3
12,2 12,0
12,0
12,0 12,0
12,0
b/a Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo
1,0
1,1
1,2 1,3
1,4
1,5 1,6
1,7
1,8 1,9
2,0
40,2
35,1
30,0 26,5
24,1
22,2 20,8
19,9
19,0 18,1
17,9
40,2
42,0
44,0 47,6
51,0
53,0 55,0
56,7
58,0 59,2
60,2
14,3
12,7
11,5 10,7
10,0
09,6 09,2
08,9
08,7 08,6
08,4
14,3
13,6
13,1 12,8
12,6
12,4 12,3
12,2
12,2 12,2
12,2
55,4
46,1
37,5 31,8
28,0
25,2 24,0
22,1
20,8 19,7
18,7
044,1
044,7
044,8 046,9
050,3
055,0 063,1
071,2
080,1 090,0
101,0
18,3
15,4
13,5 12,2
11,9
10,6 10,0
09,6
09,2 09,0
08,8
16,2
14,8
13,9 13,3
13,0
12,7 12,5
12,4
12,3 12,3
12,3
44,0
33,9
33,8 31,0
29,0
27,6 26,5
25,6
25,0 24,7
25,5
55,9
60,3
66,2 69,0
72,0
75,2 79,0
83,0
87,4 92,0
97,0
16,2
14,8
13,9 13,2
12,7
12,5 12,3
12,2
12,1 12,0
12,0
18,3
17,7
17,4 17,4
17,4
17,5 17,5
17,6
17,6 17,7
17,7
56,8
46,1
39,4 34,8
31,9
29,6 28,2
27,0
26,1 25,8
25,0
056,8
060,3
065,8 073,6
083,4
093,5 099,9
102,3
103,9 104,7
105,0
19,4
17,1
15,5 14,5
13,7
13,2 12,8
12,4
12,2 12,1
12,0
19,4
18,4
17,9 17,6
17,5
17,5 17,5
17,5
17,5 17,5
17,3
Losas Continuas
1
a
b
Ma
Mb 2
a
b
Ma
Mb
3
a
b
Ma
Mb 4
a
b
Ma
Mb
5
a
b
Ma
Mb 6
a
b
Ma
Mb 7
a
b
Ma
Mb 8
a
b 9
a
b
Mbo Mbo
Mao
Mao Mao
Mbo
Mao
Mbo
Ma
Mao
Ma
Mao
Mb
Mbo
Mb
Mbo
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Página 99
Continuidad
Simple apoyo M = qa²/ ; M1j =(M01 + M0j)/2
Valores de en la tabla
p/g = 0,2
Casos:
b/a Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao
1,0
1,1 1,2
1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
2,0
39,2
30,6 25,0
21,1
18,3 16,2
14,8
13,6 12,6
11,9
11,3
29,2
28,7 28,9
29,8
31,0 32,6
43,5
36,0 37,2
38,2
39,0
11,9
10,9 10,1
09,6
09,2 08,9
08,7
08,5 08,4
08,3
08,2
29,2
26,7 23,9
21,8
20,2 19,0
18,2
17,4 16,8
16,5
16,0
39,2
42,5 45,6
48,5
51,1 52,5
53,5
54,6 55,8
56,2
56,6
11,9
10,9 10,2
09,7
09,3 09,0
08,8
08,6 08,4
08,3
08,3
54,7
42,0 32,6
26,8
22,4 19,6
17,2
15,5 14,1
13,2
12,3
34,1
32,3 31,2
31,2
31,6 32,4
34,1
35,6 37,8
40,0
42,1
14,1
12,6 11,3
10,6
09,9 09,5
09,2
08,8 08,7
08,5
08,4
34,1
30,4 28,0
26,1
28,1 23,7
23,0
22,3 21,9
21,7
21,2
54,7
59,0 62,3
64,5
66,1 67,8
69,2
69,5 69,9
70,4
70,6
14,1
13,3 12,6
12,2
11,9 11,8
11,6
11,6 11,5
11,5
11,4
b/a Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo
1,0
1,1
1,2 1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
2,0
38,4
33,4
28,4 25,2
22,8 21,0
19,6
18,6 17,8
17,0
16,6
38,4
40,0
41,8 45,1
48,3 50,3
52,2
53,8 55,1
56,5
57,3
14,1
12,6
11,3 10,6
09,9 09,5
09,2
08,9 08,7
08,6
08,4
14,1
13,4
12,7 12,4
12,1 12,0
11,9
11,7 11,7
11,6
11,6
53,0
41,6
34,2 29,2
25,8 23,4
22,1
20,4 19,1
18,2
17,2
41,6
41,3
42,5 44,6
47,9 52,0
58,8
65,1 72,2
79,8
87,8
17,4
15,0
13,0 11,9
11,0 10,4
09,9
09,5 09,1
08,9
08,7
15,7
14,4
13,4 12,9
12,5 12,2
12,1
11,8 11,7
11,7
11,7
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35,4
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21,9
21,6
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54,1
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85,0
15,7
14,4
13,4 12,8
12,2 12,1
11,9
11,8 11,6
11,4
11,5
17,4
16,8
16,3 16,2
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15,9
15,8 15,8
15,8
15,8
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41,6
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16,3
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12,4
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11,6
11,4
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17,4
16,6 16,2
16,0 16,0
15,9
15,7 15,7
15,6
15,3
Losas Continuas
1
a
b
Ma
Mb
2
a
b
Ma
Mb 3
a
b
Ma
Mb 4
a
b
Ma
Mb
5
a
b
Ma
6
a
b 7
a
b 8
a
b
Mbo Mbo
Mao Mao
Mao
Mb
Mbo
Ma Mao
Ma Ma
Mao Mao
Mb Mb
Mbo Mbo
Mb
Mbo
Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti ConstruAprende.com Apuntes de Hormigón Armado
Página 100
Continuidad
Simple apoyo M = qa²/ ; M1j =(M01 + M0j)/2
Valores de en la tabla
p/g = 0,3
Casos:
b/a Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao
1,0
1,1 1,2
1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
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20,7
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13,5 12,6
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38,3
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19,8 18,6
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15,9
15,6
38,2
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47,1
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55,0
55,3
11,9
10,9 10,2
09,7
09,3 09,0
08,8
08,6 08,4
08,3
08,3
51,9
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42,0
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09,9 09,4
09,1
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08,5
08,3
33,6
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13,0 12,4
12,1
11,8 11,7
11,4
11,3 11,3
11,3
11,2
b/a Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo
1,0
1,1
1,2 1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
2,0
37,6
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18,1 17,3
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21,2
19,6 18,5
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40,4
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11,6
11,5
40,4
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20,7
20,4
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15,4
14,0
13,2 12,5
12,1 11,8
11,6
11,5 11,4
11,3
11,2
17,0
16,1
15,7 15,5
15,4 15,2
15,2
15,2 15,2
15,1
15,0
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22,8 21,8
21,2
20,6
48,9
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15,7
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12,0
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11,2
17,8
16,5
16,0 15,7
15,5 15,3
15,2
15,2 15,2
15,1
14,9
Losas Continuas
1
a
b
Ma
Mb
2
a
b
Ma
Mb 3
a
b
Ma
Mb 4
a
b
Ma
Mb
5
a
b
Ma
Mb
Mbo Mbo
Mao Mao
Mao
Mbo
6
a
b 7
a
b 8
a
b
Ma Mao
Ma Ma
Mao Mao
Mb Mb
Mbo Mbo
Mb
Mbo
Apuntes de Hormigón Armado ConstruAprende.com Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti
Página 101
Continuidad
Simple apoyo M = qa²/ ; M1j =(M01 + M0j)/2
Valores de en la tabla
p/g = 0,4
Casos:
b/a Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao
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1,1 1,2
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1,7 1,8
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15,2
37,4
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09,7
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08,3
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19,1
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11,1 11,1
11,1
11,1
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1,1
1,2 1,3
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1,7 1,8
1,9
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11,1
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14,5 14,5
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20,2
19,6
46,5
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15,4
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16,2
15,5 15,1
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14,4 14,4
14,3
14,2
Losas Continuas
1
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Ma
Mb
2
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Ma
Mb 3
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Mb 4
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Mao
Mbo
6
a
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a
b 8
a
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Ma Mao
Ma Ma
Mao Mao
Mb Mb
Mbo Mbo
Mb
Mbo
Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti ConstruAprende.com Apuntes de Hormigón Armado
Página 102
Continuidad
Simple apoyo M = qa²/ ; M1j =(M01 + M0j)/2
Valores de en la tabla
p/g = 0,5
Casos:
b/a Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao
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31,6 32,8
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10,8
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19,9 19,2
19,1
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20,6 19,6
19,7
18,6
44,6
46,8
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14,0
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13,7
13,5
Losas Continuas
1
a
b
Ma
Mb
2
a
b
Ma
Mb 3
a
b
Ma
Mb 4
a
b
Ma
Mb
5
a
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Ma
Mb
Mbo Mbo
Mao Mao
Mao
Mbo
6
a
b 7
a
b 8
a
b
Ma Mao
Ma Ma
Mao Mao
Mb Mb
Mbo Mbo
Mb
Mbo
Apuntes de Hormigón Armado ConstruAprende.com Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti
Página 103
Continuidad
Simple apoyo M = qa²/ ; M1j =(M01 + M0j)/2
Valores de en la tabla
p/g = 0,6
Casos:
b/a Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao
1,0
1,1 1,2
1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
2,0
35,7
28,4 23,4
19,8
17,6 15,6
14,2
13,2 12,4
11,6
11,0
28,8
28,5 29,1
30,2
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34,8
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39,4
11,9
10,9 10,1
09,6
09,2 08,9
08,7
08,5 08,4
08,3
08,2
28,8
25,6 22,5
20,3
18,8 17,5
16,5
15,8 15,2
14,7
14,2
35,7
37,9 40,8
42,1
45,3 47,1
48,3
49,5 50,7
51,2
51,9
11,9
10,9 10,2
09,7
09,3 09,0
08,8
08,6 08,4
08,3
08,3
44,8
35,4 28,3
23,6
20,2 17,8
15,9
14,5 13,4
12,5
11,6
32,4
31,1 31,0
31,1
31,8 32,8
34,5
36,0 38,1
39,8
41,8
13,5
12,1 11,1
10,4
09,8 09,3
09,0
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08,5
08,3
32,4
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19,4
18,7 18,2
17,6
17,2
44,8
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52,1
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57,6
58,4 59,3
59,8
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13,5
12,7 12,0
11,5
11,2 11,0
10,8
10,7 10,6
10,6
10,6
b/a Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo
1,0
1,1
1,2 1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
2,0
35,2
30,0
25,6 22,5
20,4 18,7
17,5
16,5 15,7
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14,5
35,2
36,4
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52,4
13,5
12,1
11,2 10,4
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08,4
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10,5
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18,9
17,7 16,7
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69,6
15,8
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09,6
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08,7
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13,4
12,4 11,9
11,6 11,3
11,0
10,9 10,8
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68,3
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13,4
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10,6
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20,6
19,6 18,8
18,2
17,5
42,9
44,6
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16,4
14,7
13,5 12,7
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10,7
10,6
16,4
15,3
14,5 14,1
13,9 13,7
13,5
13,3 13,2
13,2
13,1
Losas Continuas
1
a
b
Ma
Mb
2
a
b
Ma
Mb 3
a
b
Ma
Mb 4
a
b
Ma
Mb
5
a
b
Ma
Mb
Mbo Mbo
Mao Mao
Mao
Mbo
6
a
b 7
a
b 8
a
b
Ma Mao
Ma Ma
Mao Mao
Mb Mb
Mbo Mbo
Mb
Mbo
Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti ConstruAprende.com Apuntes de Hormigón Armado
Página 104
Continuidad
Simple apoyo M = qa²/ ; M1j =(M01 + M0j)/2
Valores de en la tabla
p/g = 0,7
Casos:
b/a Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao
1,0
1,1 1,2
1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
2,0
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19,7
17,2 15,5
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11,8
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27,4 29,0
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31,5 33,5
34,9
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38,5
39,3
08,2
28,6
25,3 22,2
20,2
18,1 17,2
16,2
15,4 14,9
14,3
13,8
35,0
37,0 38,6
41,9
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47,1
48,5 49,7
50,1
50,8
08,3
42,5
36,8 27,4
22,9
19,6 17,4
15,6
14,3 13,3
12,4
11,6
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30,8 30,8
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31,8 33,0
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39,8
41,6
31,8
27,6 24,7
22,7
20,9 19,8
18,7
18,0 17,5
17,0
16,5
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57,6
58,4
b/a Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo
1,0
1,1
1,2 1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
2,0
34,4
29,2
25,1 22,0
19,9 18,2
16,9
16,1 15,3
14,7
14,2
34,4
35,6
37,4 40,0
42,6 44,6
46,5
48,0 49,2
50,3
51,4
40,7
33,5
28,0 24,3
21,4 19,5
18,2
17,1 16,1
15,3
14,5
36,2
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19,1
18,2 17,6
17,1
16,5
40,7
42,9
45,8 48,1
50,8 53,2
55,8
58,0 60,5
62,8
65,0
41,1
32,6
28,8 25,4
22,8 21,0
19,7
18,8 18,0
17,4
16,7
41,1
42,9
45,7 49,6
54,1 58,5
61,6
63,6 65,1
66,1
67,2
Losas Continuas
1
a
b
Ma
Mb
2
a
b
Ma
Mb 3
a
b
Ma
Mb 4
a
b
Ma
Mb
5
a
b
Ma
Mb
Mbo Mbo
Mao Mao
Mao
Mbo
7
a
b 8
a
b 9
a
b
Ma Mao
Ma Ma
Mao Mao
Mb Mb
Mbo Mbo
Mb
Mbo
Apuntes de Hormigón Armado ConstruAprende.com Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti
Página 105
Continuidad
Simple apoyo M = qa²/ ; M1j =(M01 + M0j)/2
Valores de en la tabla
p/g = 1,0
Casos:
b/a Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao Ma Mb -Mbo Ma Mb -Mao
1,0
1,1 1,2
1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
2,0
32,8
26,3 22,0
19,0
16,7 15,0
13,8
12,8 12,1
11,4
10,9
28,2
27,4 29,0
30,3
31,8 33,4
35,2
36,8 37,7
38,7
39,5
11,9
10,9 10,1
09,6
09,2 08,9
08,7
08,5 08,4
08,3
08,2
28,2
24,7 21,5
19,2
17,5 16,2
15,3
14,4 13,8
13,3
12,9
32,8
34,5 36,4
37,9
40,9 42,7
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45,2 46,6
48,1
48,0
11,9
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09,7
09,3 09,0
08,9
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08,3
08,3
37,8
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14,9
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11,4
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30,2 30,4
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10,1
09,6 09,2
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10,9
10,6 10,4
10,2
10,0 09,9
09,8
09,7
b/a Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo Ma Mb -Mao -Mbo
1,0
1,1
1,2 1,3
1,4 1,5
1,6
1,7 1,8
1,9
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32,4
27,4
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19,5 16,9
15,7
14,9 14,3
13,6
13,1
32,4
33,5
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48,3
13,0
11,9
10,8 10,2
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13,3
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54,9
57,6
14,4
12,7
11,6 10,9
10,2 09,7
09,4
09,1 08,8
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08,5
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12,6
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10,1 10,0
09,9
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24,4 21,8
19,8 18,3
17,2
16,2 15,5
15,0
14,7
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13,8
12,6
11,8 11,2
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09,8
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11,6
11,5 11,4
11,3
11,2
36,8
30,2
25,8 22,6
20,4 18,8
17,6
16,6 15,8
15,2
14,7
36,8
38,2
40,4 43,6
47,1 50,6
53,0
54,7 56,1
57,2
58,3
14,8
13,3
12,4 11,6
11,1 10,7
10,4
10,2 10,0
09,8
09,3
14,8
13,7
12,9 12,4
12,0 11,8
11,6
11,4 11,4
11,3
11,2
2
a
b
Ma
Mb
3
a
b
Ma
Mb 4
a
b
Ma
Mb 5
a
b
Ma
Mb
6
a
b
Ma
Mb
Mbo Mbo
Mao Mao
Mao
Mbo
7
a
b 8
a
b 9
a
b
Ma Mao
Ma Ma
Mao Mao
Mb Mb
Mbo Mbo
Mb
Mbo