apuntes deflexión en vigas

8/16/2019 apuntes Deflexión en vigas

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Escuela Superior de Ingeniería yArquitectura

Ingeniería CivilUnidad ZacatencoAcademia de estructuras T.V

Unidad 2e!e"iones envigas

I#$. $UI%%E&'( VA%E#CIA)ro*esor de materia de &esistencia de 'ateriales'ayo 2016



Apuntes de estructuras II Defexión de Vigas

Ing. Guillermo Valencia

Antes de empezar

Para determinar la deflexión de una viga sujeta a fuerzas externas, es necesario que primero se encuentre en

equilibrio externo; de ahí la importancia que, antes de empezar, refresquemos la memoria con el tema de

equilibrio; observando cómo tres personajes ficticios: un maestro, Estructóteles, dos alumnos,

Estudiófocles !lojodón, ubicados en la antigua "recia, tratan primero el tema del equilibrio para

despu#s entender el tema de la deflexión de la viga$$

La noche empezaba y la oscuridad y brillo de las estrellas contrastaba con la iluminaciónde las lámparas que en algunas casas de la aldea empezaban a aparecer. En uno de los

templos donde se predicaba la filosofía del saber y el conocimiento, sobre una hamaca se

encontraba recostado y preocupado Estructóteles; filosofaba sobre el infinito o finito del

universo, observaba al cielo y mirando fiamente la luna, buscaba la respuesta. !abía sido un

día muy pesado de filosofar y no había llegado a conclusión alguna. "ensaba en el equilibrio

del universo, de la mente, de la naturaleza, de la materia y de todo aquello que le permitía

estar en ese momento en una posición que tambi#n entendía como equilibrio, pero que no

sabía definirlo o entenderlo, y mucho menos e$presarlo. Eso lo tenía preocupado porque al

día siguiente tendría que e$plicarlo a sus discípulos.

%l día siguiente, como era de esperar, sus discípulos se reunieron en torno a #l y

empezaron a disertar sobre el equilibrio. &loodón un alumno malicioso e inquieto, poco

observador y mucho menos analista, con varias filosofías reprobadas en semestres

anteriores, empezó a plantearse en su interior las preguntas que hicieran caer en

equivocaciones al gran Estructóteles. Entre ellos tambi#n se encontraba otro estudiante,

Estudiófocles, discípulo observador, analítico, interesado en la metafísica y en todo aquello

que le aportara conocimiento y razón acerca del equilibrio.

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Los discípulos y el maestro se sentaron a filosofar sobre el principio del equilibrio, y no

tardó en saltar la primera pregunta de &loodón,

''(aestro, )qu# es el equilibrio*++''u mismo te lo contestarás++, -respondió el maestro-.

'' trata de mantenerte en un pie, sin movimiento, sin caerte; esa es una forma de observar el

equilibrio++, -continuó el maestro- ''otro eemplo de equilibrio tambi#n es una balanza que

permanece horizontal al colocar a cada lado de ella una pieza del mismo peso a la misma

distancia hacia ambos lados, medida desde su centro++.

%nte las respuestas del maestro, &loodón se entusiasmó y quiso comprobar lo que le decía,

se levantó bruscamente, quiso correr y tropezó, por un instante se mantuvo en el aire pero

logró mantenerse en pie; al observarlo, el maestro le dio, '' la meor muestra de lo que es

el equilibrio es haberte mantenido de pi#; así mi querido &loodón entenderás la razón por la

cual todas esas construcciones creadas por el hombre se mantienen de pie, o lo que es lo

mismo, se sostienen por equilibrio ++

Estructóteles había olvidado la preocupación de la noche anterior, había e$plicado a su

discípulo más complicado de manera muy sencilla el principio del equilibrio.

"ero &loodón an satisfecho pensó maliciosamente otra pregunta para tratar de probar una

vez más el conocimiento del maestro.

''(aestro esto que me acabas de ayudar a comprender )qu# relación tiene con la fuerza que

se transmite de un cuerpo a otro*++. El maestro entendiendo la malicia de la pregunta yobservando que se encontraba cerca Estudiófocles, le pidió a #ste que lo golpeara, y lo hizo

de tal manera que provocó el enoo de &loodón quien trató de devolver el golpe. El maestro

lo detuvo y le preguntó '' )por qu# reaccionas así*++, el discípulo agredido contestó

''/porque me pegó fuerte0++, entonces ''reaccionaste )verdad*, esto quiere decir que a la

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acción de tu compa1ero tuviste una reacción, entonces para una acción hay una reacción, y si

ambas son iguales entonces están equilibradas, es decir que la suma de ellas vale cero, lo cual

se conoce en la mecánica como 2equilibrio3++.

La Elástica

nte la eminente pelea, los hizo disculparse y los invitó pensar en la causa y el

efecto de una acción. El calor era sofocante y se antoaba descansar para tomar

algo refrescante, se dirigieron a sentarse bao la sombra de un olivo, en lo que

parecía una banca hecha de piezas muy delgadas apoyadas en sus e$tremos en dos peque1os

soportes de forma triangular de trozos de madera atados entre sí con pedazos de piel de

carnero.

%"rimero se sentó el maestro, la banca se fle$ionó ligeramente, en seguida, tratando de

ganar el lugar, se adelantó &loodón y se sentó deándose caer; ante el impacto los apoyos

no resistieron, maestro y discípulo cayeron uno sobre otro ante la mirada sorprendida de

todos los discípulos. %penado y quitándose el polvo, el maestro se levantó y e$clamó ''/esto

tambi#n es un concepto de equilibrio0++, ''pero no cumplido porque las fuerzas no estuvieron

equilibradas++,-replico el discípulo- ''es cierto, es entonces un desequilibrio, bien has

aprendido la lección muchacho++.

4uscaron otra banca que les pareció más resistente y se sentaron. 5sta aunque parecía

resistente se fle$ionó demasiado causandoles una sensación de inseguridad, a lo que el

maestro comentó, ''aunque está fle$ionada permanece en equilibrio++, &loodón nuevamente

preguntó '') a esta forma que ahora tiene la banca como se le llama*++ , ''EL%678%++, -contestó el maestro- Estudiófocles, trató de confirmarlo ''entonces, la elástica es la curva

que adopta la viga cuando un cuerpo o una fuerza está sobre ella++. ''%finemos la definición

de acuerdo a los grandes maestros de la ciencia de los materiales++ -e$plicó-, <<la

Elástica es la forma que toma el eje neutro cuando en la viga actúan una o varias

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cargas. La línea que muestra la forma flexionada de la viga cuando ésta sometida a la

carga es la curva elástica de la viga. !ic"o en otras pala#ras$ la deflexi%n de una

viga es el desplazamiento de un punto en la elástica de la viga con respecto a su posici%n original cuando no está cargada&&. '' Esto es como antes y despu#s de sentarnos

en ella++, -afirmó el maestro-.

Entusiasmado el maestro por la atención de sus alumnos, tomó la rama de un árbol y empezó

a dibuar en el suelo la curva, diciendo, ''ahora escribamos con el lenguae de los nmeros

esto que hemos conocido como la elástica++. La ciencia de los nmeros tambi#n era dominada

por el maestro, y ante los oos atónitos de sus discípulos y de gente del pueblo que seacercó para aprender de su sabiduría, empezó a escribir olvidándose de otros conceptos9

de donde se observa que9

dx

dy=θ tan

y siendo la pendiente muy peque1a, podemos entender que9

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dx

dy=θ

entonces

%

%

dx

yd

dx

d =

θ

:espu#s de escribirlo, el maestro se percató que estaba hablando de conceptos que sus

discípulos no conocían, y rascándose la cabezo e$clamó ''/creo que me dio diarrea verbal0, y

debo e$plicar antes a ustedes lo que es la pendiente y e l radio de curvatura ++. <<La

pendiente de una viga se define como la pendiente de la tangente a la elástica de la

viga con respecto a su posici%n "orizontal ' radio de curvatura es un segmento del

arco que se forma por la deflexi%n de la viga ' se considera que ésta es mu'

peque(a con respecto a su longitud&&.

8on voz apacible dio9 '' bueno, bueno, habiendo aclarado estos conceptos podemos

continuar++. "ara este momento ya se encontraban a su alrededor otros discípulos que

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El&stica

de la 'iga

Pendiente de la viga

β

ρ (adio de curvatura

Posisción original de la viga

θ

θ

El&stica

de la 'iga

Pendiente de la viga

β

ρ (adio de curvatura

Posisción original de la viga

θ

θ





habían oído que Estructóteles estaba hablando de una filosofía que pocos entendían y que

habían reprobado con otros filósofos.

8ontinuó escribiendo9

θ ρ d ds =

''es decir que la diferencial del arco ds < es igual al producto del radio de curvatura ρ <por la diferencial del ángulo++

El maestro continuaba escribiendo sin que nada lo distraera.

''considerando nuevamente que las deformaciones son muy peque1as; ds es considerada

igual a dx , entonces++9

dx

d

ds

d θ θ

ρ ≈=

)

ρ

)%

%

=dx

yd

si la ecuación de la fle$ión es9

EI

M =

ρ

)

o bien M

dx

yd EI =⋅

%

%

lo cual nos lleva a9

M EI = ρ

)

7 de 30





M dx

yd EI =

%

%

esta ecuación la conoceremos como ecuaci%n diferencial de la elástica. !onde a E) se leconoce como rigidez a la flexi%n.

7nterrumpi#ndolo, Estudiófocles le dio, '' maestro esto quiere decir que entre mayor sea

el valor de E7 la viga menos se fle$iona*++, ''e$actamente0++, -e$clamó el maestro-, a loque en voz baa en secreto, le dio &loodón a Estudiófocles, ''la pró$ima vez escogemosuna viga con mayor E7 para sentarnos++

-8ontinuó el maestro-, ''así tenemos++9

EI

M

dx

d =

θ

dx

EI

M d =θ

Estas son las ecuaciones con las que podemos determinar el giro y la defle$ión de la viga.

<<*uc"o ojo j%venes+&&

Es importante observar que estas ecuaciones han sido obtenidas a partir de consideraciones de las

propiedades el&sticas de los materiales, es decir, que el material es homog#neo, isótropo, linealmente

el&stico, las deformaciones son directamente proporcionales a los esfuerzos, o sea que se cumple la le de

*oo+e ε σ E = , donde: E es la constante de proporcionalidad conocida como módulo de elasticidad del

material siendo el mismo tanto en la fibras en compresión como en las de tensión$ ambi#n solo se

consideraron las deformaciones debidas a la flexión pura se despreciaron las deformaciones angulares

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M dx

d EI =

θ

∫∫ ++= %)

)C dxC Mdxdx

EI y∫ += )

)C Mdx

EI θ





-las debidas al los efectos cortantes.$ En esas condiciones, los planos perpendiculares al eje neutro

permanecen planos antes despu#s de la deformación$ /tras observaciones importantes son la sección

transversal constante de la viga esencialmente recta cuando est& cargada las cargas no ocasionan

torsión o pandeo, esto se cumple porque la viga tiene un plano de simetría en #ste act0an las cargas$

odos los que ahí estaban quedaron sorprendidos de la habilidad del maestro para el

maneo de los nmeros y gritaban entusiasmados que ''/siga maestro0, /siga0++. El maestro

les dio ''eso es todo por hoy porque el cerebro se me ha secado óvenes++, y se fue a

descansar

Estudiofócles y &loodón se quedaron pensativos toda esa tarde, platicando sobre lo que

podría ser la siguiente reunión con su maestro.

,- /*/ AL0LA1 LA2 !E3LE4)/5E2 6

&loodón con su malicioso pensamiento, le dio a Estudiófocles ''ma1ana le har# unapregunta al maestro que seguramente no va saber contestar++.

Efectivamente, al día siguiente el maestro se volvió a reunir con sus discípulos y la pregunta

de &loodón no se hizo esperar, ri#ndose por dentro dio9 ''maestro es cierto que la viga

se fle$iona, pero )nos puede decir como podemos saber cuanto se fle$iona*++ -el maestrole contestó con otra pregunta- '')en que punto de la viga mi querido amigo*++

''en cualquiera maestro++, -maliciosamente dio &loodón-.

''6e los voy a e$plicar, pero antes deben recordar los conceptos fundamentales del

equilibrio++.

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1 2 1

2

3 43 2



0na fuerza dirigida a la derec"a es positiva ' una que se dirige a la izquierda es negativa . 0na fuerza que su#e es considerada positiva ' una que #aja es negativa.0na fuerza que gira a la derec"a con respecto a un punto le conocemos como un

momento estático positivo es decir gira en el sentido de las manecillas del reloj7 si gira en sentido contrario entonces le conocemos como momento estatico negativo.

:espu#s de recordar esto, ahora les e$plicar# cuatro m#todos para calcular la defle$ión de

una viga.

• :oble integración de la ecuación de momentos• 7ntegración de las ecuaciones de la fuerza cortante y la carga unitaria• =rea de momentos fle$ionantes• 6uperposición de causas y efectos

10 de 30

3 432





*89/!/ !E LA !/:LE )59E;1A)<5.

Empezar# por el m#todo que se conoce como de la doble integración, ''dio el maestro++,

pero lo har# e$plicando la metodología. El maestro tomó una pizarra y empezó a escribir

ante la atención de sus discípulos, solo &loodón parecía distraído aunque tuviera que

preguntar despu#s.

'')>es esa viga, que soporta una columna y un muro*, hagamos entonces lo que conocemoscomo diagrama de cuerpo libre++

"rimero9

11 de 30



1 2

25

d P

6

dP

!



''"ongamos en equilibrio e$terno la viga++ dio el maestro '' calculemos lasreacciones en los apoyos++.

&loodón, acordándose vagamente como se lo habían ense1ado otrosfilósofos, no se quedó con la duda y preguntó '')como se hace, maestro*++

''bueno mira9 tu sabes que para que una un sistema de fuerzas est# enequilibrio se deben cumplir las siguientes condiciones de la estática++ 9

7=∑ X F

∑ = 7 y F

7=∑ z M

:onde,

la 7=∑ X F , indica que la suma de los valores de las reacciones en el sentido $, es igual a

la suma de las fuerzas en el sentido ?$

bien, ahora9 la ∑ = 7 y F , indica que la suma de los valores de las reacciones en el sentido@y , es igual a la suma de las cargas en el sentido Ay

La 7=∑ z M indica que la suma de los productos las multiplicaciones< de las fuerzas por

sus distancias con respecto desde, hasta< a un punto, es igual a cero

12 de 30

45





∑ ∑ ⋅=⋅ d W d F

segundo9

''Bbícate en un apoyo++

''%hora multiplica el peso de las cargas, por la distancia de donde estáshasta donde está actuando la carga, o sea la distancia con respecto a esepunto. En #stas tendrás como incógnita la reacción del apoyo opuesto,desp#ala y obt#n su valor++

''%hora que ya conoces su valor, aplica la ecuación de equilibrio de fuerzas y obt#n la otra incógnita ++

&loodón, incr#dulo, le preguntó al maestro '')y como puedo comprobar queel sistema está en equilibrio*++, ''/"ues obteniendo momentos en cualquierpunto del sistema, considerando todas las fuerzas, acciones y reacciones<,que actan alrededor de el; la 6B(% :E C:C6 LC6 (C(EDC6 :E4E6E 8EC0++, -le contestó Estudiófocles antes del maestro, remarcandosu tono de voz, para que entendiera-.

El maestro complacido con la respuesta de su meor discípulo, y seguro que se estabacomprendiendo el tema, confirmó ''ahora ya podemos calcular la defle$ión en el punto quequeramos, hagamos un eemplo num#rico completo++, y se dispuso a plantearlo9

:ibua la siguiente viga9

- Ejercicio para desarrollar en clase.

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P8 %$7 ons$

68 )$7 9m

$7 m $7 m

<

=

%$ m

P8 %$7 ons$

68 )$7 9m

$7 m $7 m

<

=

%$ m





=. E>)L):1)/ E49E15/.

álculo de reacciones

F.a "lanteamiento de la ecuaciones de equilibrio

Fb. 6olución de las ecuaciones, cálculo de reacciones

? E0A)/5E2 !E */*E59/G.a "lanteamiento de las ecuaciones

Fer intervalo

GH. 7ntervalo

Ier. 7ntervalo

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Gb. 6olución de ecuaciones

Fer intervalo GH. 7ntervalo Ier. 7ntervalo

FJ integralGJ integral

álculo de las constantes de integraci%n

Ecuaciones finales

álculo de la deflexi%n ' el giro

Ejercicios de aplicación

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=on la metodología que has aprendido resuelve utilizando las hojas del ejercicio, paso a paso, resuelve

los siguientes ejemplos:

>el libro 3ec&nica de 3ateriales, "ere imoshen+o, ?@$ Edición , p&gina AAB

C$B$)?

C$B )

C$B )D

C$B )C

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*89/!/ !E LA )59E;1A)<5 !E LA2 E0A)/5E2 !E 30E1@A /19A59E - LA A1;A 05)9A1)A.

El maestro complacido con el desempe1o de sus discípulos se propuso ense1arles otrom#todo para calcular la defle$ión.

''4ien muchachos, ahora veamos otro m#todo para calcular las defle$iones y el giro en una

viga. El m#todo es conocido como 2integración de las ecuaciones de la fuerza cortante, y la

carga unitaria3 ++.

:e pronto el maestro observó que entre los discípulos se encontraba una muer, una

oven que se le veía interesada en el tema pero con el ce1o fruncido e$tra1ada de lo que el

maestro decía.

'' 6ea usted bienvenida a este grupo, se1orita++

'' Kracias, acabo de recibir mi alta, el departamento de control me la acaba de entregar, un

mes y medio despu#s de haber empezado usted++ contestó un poco apenada.

ascándose la cabeza el maestro, murmuro casi en silencio,

''Esto tiene algo de parecido con cierta la escuela de ingeniería que conozco++. -Le preguntó

su nombre.-

''(e llamo %tenea++, contestó

'' /!a0 por piter es usted la hia de Meus, diosa de la sabiduría ahora entiendo su

inteligencia++.

''"ara empezar a conocernos, dígame )que entiende por fuerza cortante*++

<< La fuerza cortante es un elemento mecánico es una fuerza que actúa de forma

tangencial a la secci%n transversal de la #arra7 producido por las fuerzas externas queactúan en ella ' esta fuerza trata de cortarla&&.

odos quedaron asombrados por la fluidez de su respuesta.

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%hora fue Estudiofocles quien pensó maliciosamente, -como antes lo había hecho

&loodón- ''esta es otra de esas muchachitas que se cree inteligente++, y completó la

respuesta al maestro, <<' se puede presentar en dos direcciones en un plano vertical' en otro perpendicular según actúe la fuerza externa&&.

El maestro se mostró complacido pero pensó que tendría una competencia dentro del

grupo, encogi#ndose de hombros pensó que sería meor y siguió con su plática.

%tenea, le pidió continuar con la e$plicación del tema y e$plicó9 '' En t#rminos de la

fuerza cortante > y de la carga unitaria q puede integrarse la curva de la elástica para

obtener la pendiente y la defle$ión de una viga . Este m#todo es similar al de la doble

integración de la ecuación de momentos, solo que se requieren más integraciones ya que

recordamos que++9

qdx

dV −= V

dx

dM =

V dx yd EI

dxdM == B

B

%

qdx

yd −=

?

?

M dx

yd =

%

%

V dx

yd =

B

B

8ontinuó, 8uando las condiciones sobre la fuerza cortante y el momento fle$ionantese adicionan a las condiciones sobre la pendiente y la defle$ión, se tienen suficientescondiciones independientes para determinar las constantes de integración ++.

%l terminar %tenea, el maestro intervino para intentar dear mas claro lo que habíanescuchado sus discípulos.

>eamos el siguiente eemplo9

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omemos la siguiente viga para determinar la defle$ión y el ángulo de giro en el e$tremolibre.

"or triángulos semeantes, obtenemos el valor de la carga unitaria

Lq

x Lq o

=−

L

X Lqq

.-7 −=

• ahora la sustituimos en la ecuación de la carga unitaria

L

X Lq

q

dx

yd EI

.-7?

? −=−=

• 7ntegremos esta ecuación; será el cortante

)

%

7

B

B

%

.-C

L

X Lq

dx

yd EI +

−−=

• 7ntegremos la ecuación de cortante, aparece la segunda constante<, #sta representala ecuación de momentos.

M dx yd EI =%

%

%)

B

7

%

%

A

.-C X C

L

X Lq

dx

yd EI ++

−−=

19 de 30

qqo

x L-X

L

qqo

x L-X

L

Ec. F

Ec.G

Ec. I





• Enseguida determinamos el valor de la constante de integración, esto se hacesustituyendo el valor del cortante y el momento que son conocidos en valores de $definidos,

V dx

yd EI =

B

B

7=V 6i L X =

∴ de la ecuación G 7) =C

6i M

dx

y EId =

%

%

77 = M 6i L X =

:e la ecuación I 8G N O

Entonces

• 6ustituimos el valor de las constantes en la ecuación del paso I, esta es la ecuaciónde momento con la cual se obtendrá el giro y la flecha

L

X Lq M

dx

yd EI

A

.- B

7

%

% −−==

• 7ntegramos esta ecuación y aparece otra constante de integración

B

?

7

%?

.-C

L

X Lq

dx

dy EI +

−−=

• 7ntegramos nuevamente, aparece la constante de integración del paso anteriormultiplicada por la variable $ y otra constante

?B

:

7

)%7

.-

C X C L

X Lq

EIy ++

−

−=

• %hora obtenemos el valor de las constantes de integración aplicando las condicionesde frontera para valores conocidos de la defle$ión vale cero en los apoyos <

20 de 30





7=dx

dy

para 7= X ∴ %?%?

B

7

?

7B

Lq

L

LqC =−=

7= y para 7= X ∴ )%7)%7

?

7

:

7?

Lq

L

LqC =−=

• P %hora sustituimos los valores de las constantes y multiplicar por FQ E7 paraobtener las ecuaciones con las cuales se determinará el giro y la flecha

%?%?

.- B

7

?

7 Lq

L

X Lq EI +

−−=θ

)%7%?)%7

.- ?

7

B

7

:

7 Lq Lq

L

X Lq EIy ++

−−=

/tro ejemplo

!e la siguiente viga o#tendremos las ecuaciones para determinar la deflexi%n ' el giro.

BL0L/ !E LA2 1EA)/5E2

• !aciendo momentos en %.

L P L R M B A

%

B7 +−==

• :e donde, las reacciones son9

21 de 30

;=

<

F F9%

P

;=

<

F F9%

P





P R B

%

B=

- %

P R A −=

• Ecuación del cortante

V dx

yd EI =

B

B

• 6ustituyendo en la ecuación del cortante para cada tramo

%B

B P

dx

yd EI −= "ara el tramo entre % y 4

P P

dx

yd EI

%

B

%B

B

+−="ara el tramo 4 y 8

• primera integral

)%

%

% C X

P

dx

yd

EI +−= "ara el tramo entre % y 4

%%

%

C PX dx

yd EI +=

"ara el tramo 4 y 8

En estas ecuaciones sustituimos el valor del momento, el cual solo es conocido en el apoyo % y en el e$tremo 8

)%

7 C X P M +−==67 7= X entonces 7) =C

%7 C PX M +== 67 L X

%

B=

entonces PLC

%

B% −=

22 de 30

E8. 7

E8. G





• entonces las ecuaciones de momento quedan como lo ves a continuación, observa que

estas ecuaciones son las de la elástica, las mismas aplicadas en el m#todo de la dobleintegración.

X P

dx

yd EI

%%

%

−="ara el tramo entre % y 4

PL PX dx

yd EI

%

B%

%

−=C %

.B-%

% L X P

dx

yd EI

−=

"ara el tramo 4 y 8

ramo % 4 ramo 4 8

B

%

?C X

P

dx

dy EI +−= :

%

.B-C

X L X P

dx

dy EI +

−=

?B

B

)% C X C X

P

EIY ++−= A:

%

)%

.C%-

C X C

X L X P

EIY ++

−

=

• Estas ecuaciones están indefinidas si no se conoce el valor de las constantes deintegración, por lo que a continuación se deben determinar

• Pa que el giro de la viga es igual en el apoyo 4, tanto para el lado izquierdo como parael derecho, entonces igualamos las ecuaciones I y R, que corresponden al giro

B

%

?C X

P +−

C :

%

.B-C

X L X P +

−

despeando C

:B

%

?

BC C PL =+

!e la ecuaci%n D 7= y 7= X

23 de 30

Ec. REc. I

Ec. SEc. T





2i 7= X ∴ 7? =C

2i L X = ∴ 7= y )%

%

B

PX C =

)%

%

B

PLC =

2ustitu'endo este valor para C

:

%%

)%?

BC

PL PL =+

A:

%

: PLC =

para la ecuaci%n

7= y si L X =

entonces

7A

:

)%

.C%-

A

%%

=++−

C L

PL L L L P

B

A? L

P C −=

Entonces las ecuaciones finales serán$

)%?

%% PL

X P

dx

dy EI +−=

A

:

%

.B- % PL X L X P

dx

dy EI +

−=

X PL

X P

EIy)%)%

%B +−= B

%%

?A

:

)%

.C%- L

P X

PL X L X P EIy −+

−=

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=on la metodología que has aprendido utilizando las hojas del ejercicio, paso a paso, de est&s notasresuelve los siguientes ejemplos:

>el libro 3ec&nica de 3ateriales de "ere imoshen+o, ?@$ Edición, p&gina AAB

C$?$%

C$?$?

C$B$

C$B$)7

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*89/!/ !EL B1EA !E */*E59/2

La tarde era propicia para discutir otro tema, el viento era fresco y hasta una suave

brisa se deaba sentir; los discípulos habían tenido un buen refrigerio y habían filosofado enla verdad de la vida y su e$istencia, y en un momento ugaron aedrez.

El maestro tambi#n satisfecho de las reuniones anteriores, platicaba con #l mismopensando como tratar el nuevo tema, y aclaradas sus ideas se dispuso a e$plicarles otrom#todo para determinar la defle$ión y el giro.

''4ien muchachos, este es otro m#todo++, e$clamó con un tono seguro,'' ) P este que tiene de diferente*+ -preguntó Estudiófocles-, mientras &loodón, hizo unamueca de enfado y %tenea se mostró interesada.

'' este tiene sus limitaciones++, veamos cuales son, Adio Estructóteles, dirigiendose a&loodónA sabiendo que #ste sería el que mayor resistencia pondría para aprender el tema. FJ. Es válido solo para vigas elástico lineales con pendientes peque1asGJ. El m#todo se limita a determinar las defle$iones y ángulos de rotación en puntosespecíficosIJ. El m#todo se basa en dos teoremas relacionados con el área del diagrama de momentosfle$ionantes.

Frimer 9eorema$El ángulo entre dos tangentes a la curva de defle$ión, en dos puntos, es igual a área deldiagrama de (QE7, entre esos dos puntos. ecordando9

∫ = B

A X

B A Md

EI

)θ

=rea del diagrama (QE7 entre los puntos % y 4

2egundo 9eorema$

La desviación tangencial de un punto con respecto a otro, desde la tangente del primero esigual al momento estático del área de diagrama (QE7, entre ambos puntos. con respecto alsegundo

∫ = B

A

Mdx

EI X t )

EI

Mdx X d X dt )) == θ

*etodología

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"%6C F :eterminar las reacciones poner en equilibrio la viga<

•

"%6C G razar el diagrama de momentos

"%6C I :eterminar el área del diagrama, con ayuda de las tablas

"%6C R Localizar el centroide del área

%rea %E% 8EDC7:EF

G

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I

R

T

S

"%6C T (ultiplicar el área del momento por FQ E7 para determinar el giro

%rea %E% %E% $ FQE7

F

G

I

R

T

S

"%6C S (ultiplicar el área del momento por la distancia del centroide con respecto alpunto donde se trata de encontrar la flecha.

%rea %E% :76%D87% %E% $ :76%D87%F

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G

I

R

T

S

*89/!/ !E 20FE1F/2))5

8onsideraciones

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F. :etermina la pendiente o flecha en un punto de una viga por suma de las pendientes oflechas producidas, en un mismo punto por cada una de las cargas actuando por separado.

G. El m#todo se limita a determinar las defle$iones y ángulos de rotación en puntosespecíficos.8ada carga aplicada aislada no debe producir un cambio apreciable en la formainicial o en la longitud de la viga

I. 8ada carga no debe influir en la forma de actuar de las otras

R. 6e pueden utilizar los resultados de algunas vigas con sencillos tipos de carga paraobtener por suma los efectos

(etodología9

"%6C F :eterminar las reacciones poner en equilibrio la viga<"%6C G :e la viga original formar varias vigas cada una de ellas con un solo tipo decarga

"%6C I 8on la ayuda de la tabla, obtener la ecuación de la flecha y la del giro"%6C R 6ustituir valores en las ecuaciones"%6C T "ara determinar el valor de la flecha en un punto determinado utilizar la

ecuación en función de $ y sustituir el valor de #sta en la ecuación

apuntes deflexión en vigas

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