apuntes elementales de probabilidades

8/19/2019 Apuntes Elementales de Probabilidades

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Apuntes de Probabilidades y Procesos Estoc´ asticos

AYHAM A LCHOUHUF

14 DE FEBRERO DE 2016

Indice

1. Probabilidades: Conceptos y Definiciones 2

1.1. Senal Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Definicion de Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Operaciones de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1. Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.2. Igualdad y diferencia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.3. Union e interseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.4. Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Principio de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5. Conceptos de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5.1. Espacio Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5.2. Espacios Muestrales Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5.3. Espacios Muestrales Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.6. Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.7. Axiomas y definicion de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.8. Probabilidad: Como una Frecuencia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.9. Probabilidad Conjunta y Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.9.1. Probabilidad conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.9.2. Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.10. Probabilidad Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.11. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.12. Sucesos Independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.12.1. Dos Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.12.2. Multiples Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.12.3. Propiedades de los sucesos independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.13. Experimentos Combinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.13.1. Espacio muestral combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.13.2. Sucesos en el espacio combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.14. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.15. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Leyes y Formulas 6

2.1. Leyes de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1



1. Probabilidades: Conceptos y Definicio-

nes

1.1. Se ˜ nal Aleatoria

Una senal aleatoria es una forma de onda que solo se puede ca-

racterizar de forma probabilıstica. En general, puede ser una forma

de onda deseada o no deseada.

1.2. Definicion de Conjunto

Un conjunto es una coleccion de objetos. Los objetos se llaman

elementos del conjunto y pueden ser cualquier cosa. Y un conjunto

de conjuntos, a veces se le denomina clase de conjuntos.

Para cualquier conjunto Universal dado de N elementos, existen

2 N posibles Sub-Conjuntos.

1.3. Operaciones de Conjuntos

Cuando se trabaja con conjuntos, es util emplear una represen-

tacion geometrica que nos permita asociar una imagen fısica con

los conjuntos.

1.3.1. Diagrama de Venn

Los conjuntos se representan mediante figuras planas cerradas.

Los elementos de los conjuntos se representan mediante puntos en

su interior (area). El conjunto universal S se representa mediante

un rectangulo.

1.3.2. Igualdad y diferencia de conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales si todos los elementos de A

estan en B y todos los elementos de B estan en A; es decir, si A C B

y B C A. Que dos conjuntos sean iguales se expresa como A = B.

La diferencia de dos conjuntos A y B se denota por A− B

y es el conjunto que contiene todos los elementos de A que no

estan presentes en B. Por ejemplo, con A = {0,6 < a < 1,6}y B = {1,0 < b < 2,5}, entonces A− B = {0,6 < c < 1,0} o

B− A = {1,6 < d < 2,5}. Observe que A− B = B− A.

1.3.3. Union e interseccion

La uni´ on (sea C ) de dos conjuntos A y B se expresa del siguien-

te modo:

C = A∪ B (1)

Es el conjunto de todos los elementos de A o B, o ambos. La

union a veces se denomina suma de dos conjuntos.

La intersecci´ on (sea D) de dos conjuntos A y B se expresa como

sigue:

D = A∩ B (2)

Es el conjunto de todos los elementos comunes de A y B. En

ocasiones, la interseccion se denomina producto de dos conjuntos.

Propiedad: Para dos conjuntos mutuamente excluyentes A y B,

el producto: A∩ B = φ

1.3.4. Complemento

El complemento de un conjunto A, que se designa como A, es

el conjunto de todos los elementos que no estan en A. Luego:

A = S − A (3)

Tambien es facil ver que: φ = S , S = φ y que A∩ A = φ

1.4. Principio de dualidadEste principio establece si en una identidad reemplazamos las

uniones por intersecciones, las intersecciones por uniones, S por φ

y φ por S , entonces la identidad no varıa.

1.5. Conceptos de Probabilidades

1.5.1. Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los resultados posibles en cualquier

experimento. Se designa mediante el sımbolo S (Conjunto Univer-

sal).

1.5.2. Espacios Muestrales Discretos

En el experimento de tirar un dado, S es un conjunto finito de

seis elementos. Tal espacio muestral se dice que es discreto y finito.

En algunos experimentos, el espacio muestral puede ser discreto e

infinito. Por ejemplo, S en el experimento ”elegir aleatoriamente

un entero positivo” es el conjunto infinito contable {1,2,3, . . .}.

1.5.3. Espacios Muestrales Continuos

Algunos experimentos tienen un espacio muestral infinito e

incontable. Por ejemplo, el experimento ”obtener un numero gi-

rando la manecilla de una rueda de la fortuna numerada de 0 a

12”. Aquı, cualquier numero S de 0 a 12 puede ser el resultado y

S = {0 < s < 12}. Un espacio muestral ası se dice que es continuo.

1.6. Sucesos

Un suceso se define como un subconjunto del espacio mues-

tral. Puesto que un suceso es un conjunto, todas las definiciones

y operaciones anteriores aplicables a conjuntos se aplicaran a los

sucesos. Por ejemplo, si dos sucesos no tienen resultados comunes

ser an mutuamente excluyentes.

Al igual que los espacios muestrales, los sucesos pueden ser

discretos o continuos.

1.7. Axiomas y definicion de probabilidad

A cada suceso definido sobre un espacio muestral le asignare-

mos un numero no negativo denominado probabilidad y se denota

como P( A), para definir la probabilidad de que ocurra el suceso A,

Por tanto, la probabilidad es una funcion de los sucesos definidos.

Cuando un suceso se enuncia explıcitamente como un conjunto

usando llaves, empleamos la notacion P{·} en lugar de P({·}).

Axiomas:

1. P( A) ≥ 0

2. P(S ) = 1 ”S se conoce como Suceso Seguro”

2



El tercer axioma se aplica a N sucesos An,n = 1,2, . . . , N , don-

de N posiblemente sea infinito, definido sobre un espacio muestral

S y teniendo la propiedad Am ∩ An = 0 para todo m = n. Es decir,

3. P

N

n=1

An

=

N

∑n=1

P( An) si Am∩ An = 0

Observar: En general, la probabilidad de un suceso discreto,

definido sobre un espacio muestral continuo es 0. Una consecuen-

cia de la afirmacion anterior es que los sucesos pueden ocurrir in-

cluso aunque su probabilidad sea 0. Tales sucesos no son igualesque el suceso imposible, que no tiene ningun elemento, por tanto,

no puede ocurrir. La situacion inversa puede producirse cuando los

sucesos con probabilidad no pueden ocurrir. Finalmente, los suce-

sos con probabilidad 1 (que pueden no ocurrir) no son iguales que

el suceso seguro, que debe ocurrir siempre.

1.8. Probabilidad: Como una Frecuencia Relativa

Suponiendo un experimento cualquiera, el cual se repite mu-

chas veces (por ejemplo digamos N ) y algun suceso especifico que

llamaremos n H , de n ensayos, entonces:

lımn→+∞

n H

n = P( H ) (4)

Donde P( H ) se interpreta como la probabilidad del suceso ” H ”. La

relacion n H /n es la frecuencia relativa (o numero promedio de ocu-

rrencias) de ese suceso. Se utiliza la idea de regularidad estad ısti-

ca para tener en cuenta el hecho de que las frecuencias relativas se

aproximan a un valor fijo (una probabilidad) cuando n es grande.

1.9. Probabilidad Conjunta y Condicional

En ciertos experimentos, puede ocurrir que algunos sucesos no

sean mutuamente excluyentes debido a los elementos comunes en

el espacio muestral. Estos elementos corresponden a la ocurrencia

simultanea o conjunta (joint) de los sucesos no excluyentes. Parados sucesos A y B, los elementos comunes forman el suceso A∩ B.

1.9.1. Probabilidad conjunta

La probabilidad P( A∩ B) se denomina probabilidad conjunta

de los sucesos A y B que se interseccionan en el espacio muestral.

P( A∩ B) = P( A) + P( B)−P( A∪ B) (5)

De forma equivalente,

P( A∪ B) = P( A) + P( B)−P( A∩ B) ≤ P( A) + P( B) (6)

En otras palabras, la probabilidad de la interseccion de dos sucesos

nunca es mayor que la suma de las probabilidades de los sucesos.

La igualdad se mantiene solo para sucesos mutuamente excluyen-

tes, porque A∩ B = φ , y por tanto P( A∩ B) = P(φ ) = 0.

1.9.2. Probabilidad condicional

Dado un suceso B con probabilidad distinta de cero, tal que

P( B) > 0 definimos la probabilidad condicional de un suceso A,

dado B, como sigue:

P( A| B) = P( A∩ B)

P( B) (7)

La probabilidad P( A| B) simplemente refleja el hecho de que laprobabilidad de un suceso A depende de un segundo suceso B. Si

A y B son mutuamente excluyentes, A∩ B = φ y P( A| B) = 0

1.10. Probabilidad Total

La probabilidad P( A) de cualquier suceso A definido sobre un

espacio muestral S se puede expresar en terminos de probabilida-

des condicionales. Supongamos que tenemos sucesos mutuamente

excluyentes Bn, n = 1,2, . . . , N ; cuya union es igual a S . Estos su-

cesos satisfacen:

1. Bm ∩ Bn = φ m = n = 1,2, . . . , N

2.

N n=1

Bn = S

Y finalmente definiendo:

P( A) = N

∑n=1

P( A| Bn)P( Bn) (8)

como probabilidad total del suceso A.

1.11. Teorema de Bayes

Sea Bn

uno de los sucesos definidos en un experimento cual-

quiera, y un suceso A ya registrado, se define:

P( Bn| A) = P( Bn∩ A)

P( A) , P( A) = 0 (9)

O alternativamente:

P( A| Bn) = P( A∩ Bn)

P( Bn) , P( Bn) = 0 (10)

Una forma del teorema de Bayes se obtiene de igualar las ecuacio-

nes (9) y (10):

P( Bn| A) = P( A| Bn)P( A)

P( Bn), P( A) = 0 (11)

Otra forma se obtiene sustituyendo P( A) con la expresion dada por

(8):

P( Bn| A) = P( A| Bn)P( Bn)

P( A| B1)P( B1) + . . .+ P( A| Bn)P( Bn), n = 1,2, . . . , N

(12)

1.12. Sucesos Independientes

1.12.1. Dos Sucesos

Sean dos sucesos A y B tales, que tienen probabilidades distin-

tas de cero de ocurrir; es decir, P( A) = 0 y P( B) = 0. Decimos que

los sucesos son estadısticamente independientes si la probabilidad

de ocurrencia de uno de ellos no se ve afectada por la ocurrencia

del otro suceso.

P( A| B) = P( A) y P( B| A) = P( B) (13)

Ademas, comprobamos que la independencia estadıstica tam-

bien significa que la probabilidad de la ocurrencia conjunta (in-

tersecci ´ on) de dos sucesos tiene que ser igual al producto de las

probabilidades de los dos sucesos:

P( A∩ B) = P( A)P( B) (14)

3



Pero, la probabilidad conjunta de dos sucesos independientes

es:

P( A∩ B) = 0 (15)

Observar: Si los dos sucesos tienen probabilidades de ocurren-

cia distintas de cero, entonces, por comparacion de (14) con (15),

podemos establecer f acilmente que dos sucesos no pueden ser mu-

tuamente excluyentes y estadısticamente independientes. No obs-

tante, para que dos sucesos sean independientes su intersecciondebe ser A ∩ B = 0. Si un problema implica mas de dos sucesos,

aquellos sucesos que satisfagan (13) o (14) se dice que son inde-

pendientes entre s´ ı.

1.12.2. Multiples Sucesos

En el caso de tres sucesos, A1, A2 yA3, se dice que son indepen-

dientes si y solo si son independientes dos a dos y tambien son

independientes los tres conjuntamente; es decir, deben satisfacer

las cuatro ecuaciones siguientes:

P( A1∩ A2) = P( A1)P( A2) (16)

P( A1∩ A3) = P( A1)P( A3) (17)

P( A2∩ A3) = P( A2)P( A3) (18)

P( A1∩ A2∩ A3) = P( A1)P( A2)P( A3) (19)

En general, para decir que N sucesos A1, A2, . . . , A N son es-

tadısticamente independientes, se requiere que todas las ”2 N − N −1” condiciones se cumplan.

1.12.3. Propiedades de los sucesos independientes

Si N sucesos A1, A2, . . . , Ai, . . . , A N son independientes, en-

tonces ninguno de ellos es independiente de cualquier suce-

so formado por uniones, intersecciones y complementarios

de los demas sucesos.

Para dos sucesos independientes A1 y A2, resulta que A1 es

independiente de A2, A1 es independiente de A2 y A1 es in-

dependiente de A2.

Para tres sucesos independientes A1, A2 y A3, cualquiera de

ellos es independiente de la ocurrencia conjunta de los otros

dos. Por ejemplo: P[ A1 ∩ ( A2 ∩ A3)] = P( A1)P( A2)P( A3) =P( A1)P( A2 ∩ A3). Cualquiera de los sucesos tambien es in-

dependiente de la union de los otros dos. Por ejemplo:

P[ A1∩ ( A2 ∪ A3)] = P( A1)P( A2∪ A3)

1.13. Experimentos Combinados

Un experimento combinado consiste en formar un ´ unico ex-

perimento mediante la combinacion adecuada de experimentos in-

dividuales, los cuales denominaremos ahora subexperimentos. Re-

cuerde que un experimento se define especificando tres magnitu-

des: 1. el espacio muestral aplicable, 2. los sucesos definidos en el

espacio muestral, y 3. las probabilidades de los sucesos.

1.13.1. Espacio muestral combinado

Consideremos en primer lugar solo dos subexperimentos. Sean

S 1 y S 2 los espacios muestrales de los dos subexperimentos, y sean

s1 y s2 los elementos de S 1 y S 2 respectivamente. Formamos un

nuevo espacio S , denominado espacio muestral combinado 1, cu-

yos elementos son todos los pares ordenados (s1,s2). Por tanto, si

S l tiene M elementos y S 2 tiene N elementos, entonces S tendra

MxN elementos. El espacio muestral combinado se denota por:

S = S 1×S 2 (20)

Y en general: Para N espacios muestrales S n, n = 1,2, . . . , N ,

con s N elementos, el espacio muestral combinado S se denota:

S = S 1×S 2 ×S 3 × . . .×S N (21)

y es el conjunto de todas las N tuplas ordenadas:

(s1,s2, . . . , s N ) (22)

1.13.2. Sucesos en el espacio combinado

Los sucesos se pueden definir en el espacio muestral combina-do a traves de sus relaciones con los sucesos definidos en los espa-

cios muestrales de los subexperimentos. Consideremos dos subex-

perimentos con los espacios muestrales S 1 y S 2. Sea A cualquier

suceso definido sobre S 1 y B cualquier suceso definido sobre S 2,

entonces:

C = A× B

es un suceso definido sobre S formado por todos los pares

(s1,s2) tales que: s1 ∈ A y s2 ∈ B. Dado que los elementos de A

corresponden a los elementos del suceso A ×S 2 definido sobre S ,

y los elementos de B corresponden al suceso S 2× B definido sobre

S , podemos facilmente establecer que:

A× B = ( A×S 2)∩ (S 1× B) (23)

Por tanto, el suceso definido por el subconjunto de S dado por

A× B es la interseccion de los subconjuntos A×S 2 y S 1× B. Con-

sideremos todos los subconjuntos de S de la forma A× B como

sucesos. Todas las intersecciones y uniones de tales sucesos tam-

bien son sucesos.

Consideremos en primer lugar solo dos subexperimentos. Dado

que todos los sucesos definidos en S seran uniones e intersecciones

1En algunos textos, tambien denominado espacio del producto cartesiano.

4



de sucesos de la forma A . . . B, donde A ⊂ S ! y B ⊂ S 2 solo necesi-

tamos determinar P( A× B) para cualesquiera A y B. Consideramos

unicamente el caso en que: P( A× B) = P( A)P( B) (expresi´ on deno-

minada experimentos independientes).

Y en general para N experimentos independientes, la generali-

zacion para experimentos independientes es:

P( A1× A2× . . .× An) = P( A1)P( A2) . . .P( An) (24)

donde An ⊂ S n,n = 1,2,..., N . Con experimentos independien-

tes, los resultados anteriores demuestran que las probabilidades pa-ra los sucesos definidos en S quedan completamente determinadas

a partir de las probabilidades de los sucesos definidos en los subex-

perimentos.

1.14. Permutaciones

A menudo, los experimentos implican multiples pruebas en las

que los resultados son los elementos de un espacio muestral finito y

estos no se reemplazan despues de cada prueba. Por ejemplo, en la

extraccion de cuatro de cartas de una baraja de 52 cartas, cada una

de las ?extracciones? no se reemplaza, de modo que los espacios

muestrales para la segunda, tercera y cuarta extraccion solo tienen

51,50 y 49 elementos, respectivamente. En este y otros tipos de

problemas, el numero de posibles secuencias de resultados suele

ser importante. En la primera prueba, para n elementos existen n

posibles resultados, (n−1) en la segunda prueba, etc. Para extraer

r elementos, el numero de posibles secuencias de r elementos de

los n originales se denota mediante Pnr , y se calcula como sigue:

Pnr =

n!

(n− r )! (25)

Con ordenaciones de r elementos tomados de n en n=

n(n−1)(n−2) · · · (n− r + 1)

1.15. Combinaciones

Si el orden de los elementos en una secuencia no es importante,

quiere decir que habra menos secuencias posibles de n elementos

tomados de r en r sin reemplazamiento. De hecho, el numero de

permutaciones de (25) se reduce en un factor que esta dado por el

numero de permutaciones (ordenaciones) de los r elementos, que

es Pr r = r ! El numero resultante de secuencias cuando el orden no

importa es lo que se denomina numero de combinaciones de n ele-

mentos tomados de r en r . Por tanto

n

r =

Pnr

P

r

r

= n!

(n− r )!r !

(26)

5



2. Leyes y Formulas

2.1. Leyes de Conjuntos

Ley conmutativa:

A∩ B = B∩ A

A∪ B = B∪ A

Ley distributiva:

A∩ ( B∪C ) = ( A∩ B)∪ ( A∩C )

A∪ ( B∩C ) = ( A∪ B)∩ ( A∪C )

Ley asociativa: A∪ ( B∪C ) = ( A∪ B)∪C = A∪ B∪C

A∩ ( B∩C ) = ( A∩ B)∩C = A∩ B∩C

Leyes de Morgan:

A∪ B = A∩ B

A∩ B = A∪ B

Prob. de n− sucesos: P

N

n=1

An

=

N

∑n=1

P( An), si Am∩ An = 0

Probabilidad conjunta: P( A∩ B) = P( A) + P( B)−P( A∪ B)

P( A∪ B) = P( A) + P( B)−P( A∩ B) ≤ P( A) + P( B)

Probabilidad condicional:

P( A| B) =

P( A∩ B)

P( B)

Probabilidad total:

P( A) =

N

∑n=1

P( A| Bn)P( Bn)

Teorema de Bayes:

P( Bn| A) = P( Bn∩ A)

P( A) , P( A) = 0

P( Bn| A) = P( A| Bn)P( A)

P( Bn), P( A) = 0

Num. de Permutaciones:

Pn

r = n!

(n− r )!

Num. Combinaciones:

n

r

=

Pnr

Pr r

= n!

(n− r )!r !

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apuntes elementales de probabilidades

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