apuntes programación lineal v4.4

8/18/2019 Apuntes Programación Lineal v4.4

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Programación Lineal

Un problema de Programación lineal en forma

estándar es un problema de la forma:

Min/Max

Sujeto a

. .

. .

. .

donde las son constantes fijas y reales y las

son valores reales a determinar. Se supondrá que



En notación vectorial mas compacta, este problema

puede expresarse como:

Min/Max

Sujeto a

y

aquí es un vector columna n-dimensional, es unvector fila n-dimensional, A es una matriz de mxn y b

es un vector columna m-dimensional. La desigualdad

vectorial quiere decir que las componentes son

positivas o cero.

¿ Cómo convertir a la forma estándar diferentes

formulaciones ?



Por ejemplo

Minimizar

Sujeto a

. .

. .

Agregando variables de holgura a las restricciones:

. .

. .



Variables excedentes

Si se tienen restricciones del tipo :

Se agrega una variable excedente en cada restricción:

Variables libres

Por ejemplo so se desea que sea libre.

Se omite la restricción y se hace el reemplazo

Donde se debe cumplir

y

Luego se sustituye por y y se tiene un

sistema con n+1 variables todas



Ejemplos de problemas de

Programación Lineal

Problema de la dieta: ¿ Como se puede determinar la

dieta más económica que satisfaga las necesidades

nutritivas mínimas básicas para una buena salud?

Se supone que en el mercado hay n alimentos

diferentes y que el i-ésimo se vende al precio por

unidad. Además hay m ingredientes nutritivos básicos

y para recibir una dieta equilibrada, cada individuo

debe recibir al menos unidades del j-ésimo

elemento nutritivo por día. Finalmente se supone

caca unidad del alimento i contiene unidades del

del j-ésimo elemento nutritivo.

Si se denomina al número de unidades del

alimento i de la dieta, el problema consistirá en

seleccionar las para minimizar el costo total



Min/Max

Sujeto a las restricciones nutritivas:

. .

. .

y las restricciones de no negatividad:

Este problema se puede llevar a la forma estándar

restando una variable excedente no negativa del lado

izquierdo de cada una de las m desigualdades lineales.



Problema de transporte:

Las cantidades de un cierto producto se

tienen que enviar desde m lugares y se recibirán en

cantidades en n destinos,

respectivamente. Se asocia con el envío de una

producto desde el origen i hacia el destino j , un costo

de envío por unidad .

Se desea determinar las cantidades a enviar entre

cada par origen destino i=1,2,…,m; j=1,2,…,n de modo

que se satisfagan las necesidades de envío y minimice

el costo total de transporte.

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .



La i -ésima fila de esta matriz define las variables

asociadas al origen i-ésimo, mientras que la j-ésima

columna determina las variables asociadas al j-ésimo

destino.

Asi, resulta el siguiente problema de programación

lineal:

para i=1,2,…,m

para j =1,2,…,n

i=1,2,…m; j=1,2,…,n



Para que las restricciones sean consistentes se debe

dar que:

Este es un problema clásico y que se puede resolver

de diferentes maneras.



Soluciones básicas

Considérese el sistema de igualdades

Donde x es un n-vector, b es un m-vector y A es una

matriz de mxn.

Supóngase que de las n columnas de A se selecciona

un conjunto de m columnas linealmente

independientes (dicho conjunto existe si el rango de A

es m).

Supóngase que se seleccionan las primeras m

columnas de A, y sea B esta matriz de mxm.

Ejemplo 1:



En este caso m=3 y n=3 . La matriz A es :

* + [ ]

Eligiendo una matriz de mxm con las columnas de A,

por ejemplo:

* + y

Definamos un x con los valores restantes

(

, luego:

Dado que la matriz A es de rango completo, es decir

sus columnas son l. i. se tiene:

||

Luego



En el ejemplo se tiene [ ]

Entonces

(

La matriz B se denomina matriz de base. Corresponde

a una base formada por las columnas 1 y 2 de la

matriz A.

Definición:

Dado el conjunto de m ecuaciones

lineales simultáneas de n incógnitas, sea B

cualquier sub-matriz de mxm no singular,

formada por las columnas de A.

Entonces, si todas las n-m componentes de x no

asociadas a columnas de B se igualan a cero, la

solución del conjunto resultante de ecuaciones se

llama solución básica de respecto a la

baseB

.

Las componentes de x asociadas a las columnas

de B se denominan variables básicas.



Hipótesis de rango competo: La matriz A de mxn

tiene

y las m filas de A son linealmente

independientes.

Definición: Si una, o más variables básicas de una

solución básica es igual a cero, se dice que es una

solución básica degenerada.

Definición:

Un vector x que satisfaga { , } se

dice que es factible para estas restricciones.

Una solución factible para { , } que también sea básica, se denomina

solución factible básica.



Teorema fundamental de la

programación lineal

Dado el problema de programación lineal en

forma estándar

Max/min

Sujeto a

Dado en problema de programación lineal de la forma

anterior, donde A es una matriz de mxn de rango m,

1) si hay una solución factible, hay una solución

factible básica;

2) si hay una solución factible optimal, hay una

solución factible básica optimal.



Este teorema reduce la tarea de resolver un problema

de programación lineal a la búsqueda entre

soluciones factibles básicas.

Para un problemas con n variables y m restricciones

hay a lo sumo:

)

(

soluciones básicas.

Así, el teorema fundamental produce una técnica debúsqueda finita que deriva en el procedimiento

simplex.



Relaciones con la convexidad

Definición: Un punto x de un conjunto convexo C se

denomina punto extremo de C si no hay dos puntos

distintos y en C, tales que

(

Para algún

Teorema: (Equivalencia de puntos extremos y

soluciones básicas)

Sea A una matriz mxn de rango m y b un m-vector.

Sea K el polítopo convexo formado por los n-vectores

x que satisfacen

Un vector x es un punto extremo de K, si y solo si, exes una solución factible básica del sistema anterior.



El método simplex

Pivotes

Un sistema está en forma canónica cuando:

En cada ecuación hay una sola variable

básica.

Una variable básica se encuentra en solo una

ecuación.

Ejemplo 2:



Supongamos que queremos poner como

variables básicas. Se construye la tabla de

coeficientes:

Tabla 1: Tabla inicial ejemplo 2

B

1 0 0 1 1 -1 5

0 1 0 2 -3 1 3

0 0 1 -1 2 -1 -1

Primero hacemos entrar a la base para sustituirla

por . Para ello pivotamos en , es decir

esta será la celda pivote. Por lo tanto debe contener

un uno en la posición (

y ceros en las otras

celdas de la columna. Está hecho.

Para poner un cero en construimos una fila

auxiliar, multiplicando la fila pivote por 2

B

2 0 0 2 2 -2 10



Luego restamos la fila 2 menos la fila pivote y queda

Tabla 2: Tabla intermedia como variable basica

B

1 0 0 1 1 -1 5

-2 1 0 0 -5 3 -7

0 0 1 -1 2 -1 -1

Ahora debemos poner cero en la celda . Para ello

usamos la fila pivote sumando a la fila 3 y queda así.

Tabla 3: ; ; como variables básicas

B

1 0 0 1 1 -1 5

-2 1 0 0 -5 3 -7

1 0 1 0 3 -2 4

Luego se tiene la variable en forma canónica y

ya no es variable básica.

La siguiente pivotización es permutar por . Para

ello el pivote es . Debemos poner un uno es

esa posición, lo hacemos dividiendo la fila por -5.



Tabla 4: Tabla intermedia

B

1 0 0 1 1 -1 5-2/-5 1/-5 0 0 -5/-5 3/-5 -7/-5

1 0 1 0 3 -2 4

Para poner un cero en restamos fila 1 con fila 2 y

para poner un cero en

multiplicamos la fila pivote

por 3 y restamos con la fila 3 y queda:

Tabla 5: ; ; como variables básicas

B

3/5 1/5 0 1 0 -2/5 18/52/5 -1/5 0 0 1 -3/5 7/5

-1/5 3/5 1 0 0 -1/5 -1/5

Finalmente permutamos con como variable

básica. Dado que

está como variable básica en la

ecuación de la fila 3 la celda pivote es . Lo

primero es poner un uno en esa celda, lo que

hacemos dividiendo toda la fila por -1/5.



Tabla 6: tabla intermedia

B

3/5 1/5 0 1 0 -2/5 18/5

2/5 -1/5 0 0 1 -3/5 7/5

1 -1/3 -5 0 0 1 -1

Luego ponemos un cero en las filas y , usandooperaciones fila columna como las anteriores. Se llega

a:

Tabla 7: ; como variables básicas

B

1 -1 -2 1 0 0 41 -2 -3 0 1 0 2

1 -3 -5 0 0 1 1

De esta última forma canónica resulta la nueva

solución básica:

= 4 ; ; .



Recordemos que las variables que no están en forma

canónica, son no básicas y por lo tanto son cero.

Luego:

; ;

Suposición de no degeneración:

Toda solución factible básica de

, es

una solución factible básica no degenerada.

Determinación del vector que deja la base:

Supóngase que se tiene la solución factible básica

(

Que cumplen

Según la suposición de no degeneración



El sistema corresponde a una tabla de

la siguiente forma

Tabla 8 : Una tabla en forma canónica

… … b

1 0 0 0 …

0 1 0 0 …

0 0 1 . . . . .. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

0 0 . 1 …

Esta tabla representa una solución con base

…

Se supone que , , … , son no negativos.,

de modo que la solución básica correspondiente a

; ; …;

Es factible.



Se quiere incorporar a la base la variable , ,

ya que no está en la base y mantener la

factibilidad.

Para determinar el elemento de la q-ésima columna

que se va a utilizar como pivote, se calculan las

razones:

Se elige el menor cuociente no negativo y se pivota

sobre .

El algoritmo simplex pude resumirse en los siguientes

pasos:

1.- Se forma una tabla como la de la figura 8,

correspondiente a una solución factible básica. Los

coeficientes de costo relativo se pueden hallar

reducción de filas.

2.- Si todos los se para; la solución factible es

optimal.



3.- Se selecciona un q tal que para definir que

variable no básica se convertirá en básica.

4.- Se calculan las razones

para ,

Si ningún , se para, el problema no está

acotado. De no ser así, se selecciona p como el índice i

correspondiente a la razón mínima.5.- Se pivota sobre el pq - ésimo elemento,

actualizando todas las filas, incluida la última.

Se vuelve al paso 1.

Ejemplo 3:

Maximizar

Sujeto a

,

Se convierte el problema a minimización



Y se agrega la función objetivo en una fila adicional

Tabla 9: Tabla simplicial inicial ejemplo 3

B

2 1 1 1 0 0 2

1 2 3 0 1 0 5

2 2 1 0 0 1 6

-3 -1 -3 0 0 0 0

Los tres pivotes posibles están circundados en la

tabla, por simplicidad de cálculos se elige

Tabla 10: 1° iteración

b

2 1 1 1 0 0 2

-3 0 1 -2 1 0 1

-2 0 -1 -2 0 1 2

-1 0 -2 1 0 0 2

Se elige para pivotar, queda

1

1




b

5 1 0 3 -1 0 1-3 0 1 -2 1 0 1

-5 0 0 -4 1 1 3

-7 0 0 -3 2 0 4

Se elige para pivotar


b

1 1/5 0 3/5 -1/5 0 1/5

0 3/5 1 -1/5 2/5 0 8/5

0 1 0 -1 0 1 4

0 7/5 0 6/5 3/5 0 27/5

Como la última fila tiene elementos no negativos, se

deduce que la solución es óptima. Por lo tanto

Es la solución óptima con un valor correspondiente a

la función objetivo (negativa) de

5



Variables artificiales

Cuando se tiene un problema de la forma

(1)

No siempre es evidente disponer de una solución

factible inicial. Un método es el siguiente

Minimizar

∑ (2)

Sujeto a

,

Donde

( es un vector de variables

artificiales.

Si el sistema (1) tiene una solución factible entonces

el sistema (2) tiene valor mínimo cero.

El sistema (2) es un sistema de programación lineal en

si mismo, en las variables x e y .Y ya está en formacanónica con la solución factible básica



Ejemplo 4:

Hállese una solución factible básica a

, ,

Se introducen las variables artificiales ,

Y la función objetivo

Se resuelve el problema

Min



La tabla inicial es

Tabla 13: Tabla inicial ejemplo 4 primera parte

b

2 1 2 1 0 4

3 3 1 0 1 3

0 0 0 1 1 0

Aquí las variables básicas no están en forma canónicaTabla 13: Tabla simplicial ejemplo 4 primera parte

b

2 1 2 1 0 4

3 3 1 0 1 3

-5 -4 -3 0 0 -7

Pivotando sobre la columna que tiene el coeficiente

más negativo de la función objetivo (



Tabla 14: tabla intermedia

b

0 -1 4/3 1 -2/3 21 1 1/3 0 1/3 1

0 1 -4/3 0 5/3 -2

Aquí solo hay una elección para pivotar

Tabla 15: tabla optimal primera parte b

0 -3/4 1 3/4 -1/2 3/2

1 5/4 0 -1/4 ½ 1/2

0 0 0 1 1 0

Las dos variables artificiales han salido de la base,

reduciendo el valor de la función objetivo a cero.

La solución factible básica al problema original.



Problema

Min

Sujeto a

Usemos como solución factible básica Parente, por

ello usemos la del problema anterior

Tabla 16: Tabla inicial segunda parte

b0 -3/4 1 3/2

1 5/4 0 1/2

4 1 1 0

Transformando de modo que las variables básicas

estén en forma canónica, se tiene




B

0 -3/4 1 3/21 5/4 0 1/2

0 -13/4 0 -7/2

Ingresa a la base ya que tiene

Tabla 18: Tabla óptima

b

3/5 0 1 9/5

4/5 1 0 2/5

13/5 0 0 -11/5

De aquí la solución óptima es

=9/5

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