apuntes unidad de números

Primer año de educación media. Unidad: Números.

Eduardo Puraivan H. Página 1

Liceo de Ciencias y Humanidades

Depto. de Matemática

C O N J U N T O S N Ú M E R I C O S, P O T E N C I A S Y R A Í C E S ;

C O N S I D E R A C I O N E S F U N D A M E N T A L E S.

Números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Potencias y Raíces.

Alumno(a): Profesor: Eduardo Puraivan H.

NÚMEROS NATURALES.

En una primera instancia recordemos que el conjunto de los números naturales denotado

por se define clásicamente como el conjunto de los números enteros positivos, es decir:

Observación: Con frecuencia se define el conjunto de los números cardinales denotado por

como , es decir .

La divisibilidad.

Consideremos la división:

28: 9 = 3

1

Recordemos que aquí al:

28: se le denomina dividendo.

9: se le denomina divisor.

3: se le denomina cociente.

1: se le denomina resto.

Aquí es fácil notar que



En forma general se tiene que si:

D: es el dividendo.

d: es el divisor.

Q: es el cociente.

R: es el resto.

Es decir tenemos la división:

R

QdD :

Podemos establecer que:

Observación.

1. Se dice que un número es divisible por otro cuando al dividirlo por éste el resto es cero.

Por ejemplo 24 es divisible por 4 ya que al efectuar la división de 24 en 4 se obtiene que el

cuociente es 6 y el resto es 0.

2. La notación significa que b es divisible por a o dicho de otro modo que a divide a b. Ahora

bien si entonces podemos decir que donde .

Por ejemplo al denotar estamos indicando que 12 es divisible por 4 lo cual

evidentemente es verdadero (ya que al dividir 12 en 4 el cuociente es 3 y el resto es 0)

Criterios de divisibilidad.

Se llama criterio de divisibilidad a la condición que debe satisfacer un número para que sea

divisible por otro número determinado. Por ejemplo se tiene que:

1. Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.

2. Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 3.

3. Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman

un múltiplo de 4.

4. Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o 5.

5. Un número es divisible por 6 cuando es divisible por dos y tres a la vez.

6. Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola

por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente de múltiplo

de 7.



7. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras de la derecha son ceros o forman

un múltiplo de 8.

8. Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 9.

9. Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.

10. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia en la suma de las cifras de lugar impar y la

suma de las cifras de lugar par de derecha a izquierda es múltiplo de 11.

11. Un número es divisible por 12 cuando es divisible por tres y cuatro a la vez.

12. Un número es divisible por 13 cuando separando la primera cifra de la derecha,

multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así

sucesivamente da múltiplo de 13.

Números primos y números compuestos.

Sea p y c dos números naturales.

1. Se dice que p es un número primo si y sólo si:

i.

ii. Sus únicos divisores son 1 y .

Ejemplo.

El número 19 es un número primo ya que es diferente de 1 y además los únicos divisores que tiene

son el 1 y el 19.

2. Se dice que c es un número compuesto si y sólo si:

i.

ii. c no es un número primo.

Ejemplo.

El número 20 es un número compuesto ya que es diferente de 1 y además no es un número primo

(ya que tiene por divisores a el 1, 2, 4, 5, 10 y el 20).

¿Entonces el número 1 es un número primo o compuesto?



Teorema fundamental de la aritmética (TFA).

Sea 1n un número natural. Entonces existen primos y números

naturales tales que:

con . Esta

representación llamada descomposición prima de n es única.

Ejemplo.

Consideremos . Luego por el teorema anterior la descomposición prima de 18 es:

Note que el teorema nos garantiza la existencia de números primos (en nuestro caso y

) y números enteros ( y ), del tal forma que se cumpla que .

¿Entonces es válido pensar que otra descomposición prima de 18 es ?

NÚMEROS ENTEROS.

El conjunto de los números enteros denotado por se define como el conjunto de los

números enteros positivos, negativos y el cero, es decir:

Observación.

Es posible identificar los siguientes subconjuntos en :

1. Conjunto de los números enteros positivos, denotado por se define como

. Claramente se cumple que .

2. Conjunto de los números enteros negativos, denotado por se define como

.

Considerando lo anterior es posible establecer que .

3. Conjunto de los números enteros no negativos, denotado por se define como

. Claramente se tiene que

.

4. Conjunto de los números enteros no positivos, denotado por se define como

.



5. Conjunto de los números pares que denotaremos por NP se define como

. Aquí es importante tener presente que si entonces

es un número par, donde .

6. Conjunto de los números pares que denotaremos por NI se define como

. Aquí es importante tener presente que si entonces

es un número impar, donde .

Observación.

1. Si el antecesor de es donde . Por ejemplo el antecesor de es

.

2. Si i el sucesor de es donde . Por ejemplo el antecesor de es

.

¿Todo número entero tiene antecesor? ¿Todo número entero tiene sucesor?

Observación.

1. Recuerde que si el inverso aditivo de es – . Por ejemplo el inverso aditivo de es

.

¿Cuál es el inverso aditivo de 0?

Valor absoluto de un número.

Sea un número cualquiera (no necesariamente entero) se define el valor absoluto de

denotado por | | por:

| | {

Por ejemplo | | y | | .



Teorema Algoritmo de la división.

Sea con . Entonces existen dos números enteros tales que

con . Al número r, se le llama resto de la división de por .

Por ejemplo consideremos el número 17 notemos que este número es posible expresarlo del

siguiente modo:

. Observemos que en este caso y . Tal como dice el

teorema lo anterior se obtiene al dividir por .

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo entre dos números naturales.

Sea definiremos:

1. Máximo común divisor entre .

: Es el mayor de los divisores en común.

( ) {

Métodos para calcular el MCD.

Encontremos el máximo común divisor entre 20 y 28 o sea (20; 28). El que lo podemos

encontrar:

i. Por definición.

Divisores de 20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}; divisores de 28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

Luego basta observar los divisores de ambos números y encontrar el mayor de los divisores en

común. De ahí el máximo común divisor entre 20 y 28 es el 4.

ii. A través de la factorización de a y b en factores primos.

Aquí debemos en primer lugar hallar la descomposición prima de ambos número (TFA).

20 = 22 ∙5

28 = 22 ∙7

Luego observamos que 22 es un factor común en ambas descomposiciones, este factor común

corresponde al máximo común divisor entre 20 y 28.



iii. A través del algoritmo de la división.

Aquí en un comienzo debemos dividir 28 en 20 y expresarlo según el teorema del algoritmo de la

división, o sea nos queda:

28 = 1∙20 + 8.

Luego dividimos 20 en 8 y lo expresamos según el teorema del algoritmo de la división, o sea nos

queda:

20 = 2 ∙8 + 4

Dividimos ahora 8 en 4 y lo expresamos según el teorema del algoritmo de la división, o sea nos

queda:

8 = 2 ∙4 + 0

Luego aquí nos detenemos (cuando el resto resulta 0) y observamos el resto anterior al resto 0 (o

sea el 4), el cual corresponde al máximo común divisor entre 20 y 28.

Es fácil notar que lo que se ha mostrado con el ejemplo anterior es lo siguiente

Si queremos encontrar el máximo común divisor entre a y b es posible encontrar dicho número

mediante el algoritmo de la división, para ello basta observar la siguiente cadena de igualdades:

0

0

....

....

....

0

0

0

1111

112

233231

12212

111

nnnnn

nnnnnn

rrrqr

rrrrqr

rrrrqr

rrrrqa

arraqb

Detenemos el proceso al encontrar el primer resto 0. Esto siempre sucede ya que el resto de una

etapa es estrictamente menor que el resto de la etapa anterior y , el primer resto, es

estrictamente menor que . Luego es posible demostrar que , el último resto no nulo del

proceso, es el máximo común divisor entre a y b.



iv. Construcción de tabla.

Supongo que este método es el más conocido por ustedes y que no requiere explicación.

20 28 2

10 14 2

5 7

Luego (20; 28) = 2∙ 2 = 4.

2.- Mínimo común múltiplo (m) entre a y b.

: Es el menor de los múltiplos en común.

( ) {

Métodos para calcular el MCM.

Encontremos el Mínimo común múltiplo entre 20 y 28 o sea [20; 28]. El que lo podemos

encontrar:

i. Por definición.

Múltiplos de 20 = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180,….}

Múltiplos de 28 = {28, 56, 84, 112, 140, 168,….}

Luego basta observar los múltiplos de ambos números y encontrar el menor de los múltiplos en

común. De ahí el mínimo común múltiplo entre 20 y 28 es el 140.

ii. A través de la factorización de a y b en factores primos.

Aquí debemos en primer lugar hallar la descomposición prima de ambos número (TFA).

20 = 22 ∙5

28 = 22 ∙7

Luego el mínimo común múltiplo estará dado por el producto de la multiplicación de 22∙5∙7 o sea

140.

iii. Utilizando la propiedad que nos dice:

O sea como nosotros ya sabemos que (a; b) = 4, reemplazando en la propiedad nos queda que:

4 ∙[20; 28] = 20 ∙28, de ahí resulta que [20; 28] = 140.



iv. Construcción de tabla.

Supongo que este método es el más conocido por ustedes y que no requiere explicación.

20 28 2

10 14 2

5 7 5

1 7 7

1 1

Luego el [20; 28] = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 = 140

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES.

El conjunto de los números racionales denotado por se define como el conjunto de los

números de la forma

donde y , es decir:

{

}

Observación.

1. En

: Se denomina numerador.

: Se denomina denominador.

2. Si

el inverso aditivo de

es

donde

3. Si

con el inverso multiplicativo de

es (

)

Clasificación de fracciones.

Si

entonces se tiene que;

1. Si a > b se dice que la fracción es impropia.

2. Si a < b se dice que la fracción es propia.

Ejemplo:

a)

fracciones impropias.

b)

fracciones propias.



Orden en los racionales.

Estudiaremos a continuación la relación de orden en los números racionales.

Sea

luego se tienes que;

1.

. En este caso se dice que las fracciones son equivalentes.

2.

Ejemplo:

a)

Porque

5·14 =10 ·7

70 = 70.

b)

Porque

4· 3 > 2 · 5

12 > 10

Amplificación y simplificación de las fracciones.

Para amplificar una fracción se multiplica el numerador y el denominador por un mismo

número (distinto de cero).

Ejemplo:

a) Si la fracción dada es

y debemos amplificarla por 3 la fracción resultante es

ya que

2· 3 = 6 y 9 · 3 = 27, es decir

Para simplificar una fracción se divide el numerador y el denominador por un mismo número.

Ejemplo:

a) Dada la fracción

, podemos simplificarla por 6 (que el numerador y el denominador son

divisibles por 6) entonces la fracción resultante es

ya que 6 : 6 = 1 y 36 : 6 = 6, es decir

.



Observación.

1. Nótese que cuando se simplifica o amplifica una fracción, la fracción resultante es equivalente

a la fracción original.

2. Una fracción es irreductible cuando sus términos (numerador y denominador) no tienen

divisor común, salvo el 1 ; es decir son primos entre sí.

Operatoria en el conjunto de los números racionales.

1. Adición y sustracción.

Para sumar o restar racionales de igual denominador se suman o restan según

correspondan los numeradores y se conserva el denominador.

Sea

entonces tenemos que:

Ejemplo.

a)

simplificando por 2 nos queda que

b)

Nótese que en el ejemplo b) la fracción resultante de la simplificación es irreductible, es decir no

podemos simplificarla.

Para sumar o restar racionales de distinto denominador se debe remplazar las fracciones dadas

originalmente por dos fracciones equivalentes a ellas que tengan igual denominador. Luego se

aplica el criterio de la suma (o resta) de fracciones de igual denominador.

Ejemplo.

a)

Como

es equivalente a

y

es equivalente a

.

Nos queda que

es decir



2. Multiplicación.

Para multiplicar racionales se multiplican los numeradores y denominadores entre sí.

Sea

y

entonces tenemos que

Ejemplo.

a)

3. División.

Para dividir un racional por otro se multiplica el racional dividendo por el inverso

multiplicativo del racional divisor. Luego se aplica el criterio de la multiplicación de fracciones.

Sea

, entonces tenemos que

(

)

Ejemplo.

a)

El inverso multiplicativo de

es

Luego nos queda que

Números mixtos.

Los números mixtos son números que se componen de una parte entera y una

fraccionaria.

1. Transformación de un número mixto a fracción común.

Sea

entonces tenemos que

Ejemplo.

a)



Números decimales.

Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene su

desarrollo decimal, el cual puede se finito, infinito periódico o infinito semiperiodito.

Observación.

En los números decimales en los cuales la parte entera no sea cero, los expresaremos como la

suma de un número entero; que corresponderá a la parte entera del número decimal original y un

número decimal; que se obtendrá restando al número decimal original su parte entera.

Ejemplo

b) 3,28 = 3 + 0,28

c) 5,15 = 5 + 0,15

Para facilitar nuestro trabajo siempre escribiremos los decimales de parte entera no nula como se

describió anteriormente, ya que las reglas que nos permitirán trasformar un decimal en fracción

las enunciaremos para decimales de parte entera cero.

Transformación de decimal a fracción.

1. Para transformar un decimal finito a fracción común se procede de la siguiente forma:

El numerador es la parte decimal y el denominador es una potencia de diez que tendrá tantos

ceros como cifras tenga la parte decimal.

Ejemplo.

a)

b)

2. Para trasformar un decimal periódico a fracción común se procede como sigue:

El numerador es la parte periódica y el denominador tiene tantos nueves como cifras tenga el

periodo.



En general

;

;

, Así sucesivamente

Ejemplo.

a)

b)

Para transformar de un decimal semiperiodito a fracción común se procede de la siguiente

forma:

3. El numerador lo componen el decimal menos la parte anteperiódica y el denominador tiene

tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el

anteperiodo.

En general:

;

; Así sucesivamente.

Ejemplo:

a)

b)

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES.

El conjunto de los números irracionales denotado por se define como el conjunto de los

números cuyo desarrollo decimal es no periódico, es decir:

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales denotado por se define como el conjunto de los

números racionales e irracionales, es decir:



Observación.

La siguiente es la representación de los conjuntos numéricos antes recordados.

Estimación, aproximación y redondeo.

Aproximaciones:

Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una aproximación con

menos cifras significativa, de las que tiene originalmente.

1. Redondeo: para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último digito que

se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es mayor o igual a

5, si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el ultimo dígito que se conserva se mantiene

(redondeo por defecto). Por último al redondear a la centésima los números 8,345 y 1,3125 se

obtiene 8,35 y 1,31.

2. Truncamiento: para truncar un número decimal se consideran como ceros las cifras ubicadas a

la derecha de la última cifra a considerar.

De esta manera si se trunca a las centésimas el número 5,4598 resulta 5,45.



Estimaciones:

Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por

redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de cero por cero, dejando la cantidad de

cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra).

Bajo esta regla si se desea estimar el resultado de la multiplicación 5.714·0,98·2,41 redondeando

cada número a una cifra significativa obtendremos 6.000·1·2 = 12000 lo que redondeando a una

cifra significativa es 10.000.

POTENCIAS DE BASE Y EXPONENTE REAL.

Comúnmente la potencia se define del siguiente modo:

1. (n veces a ) donde .

2.

3. , donde a puede ser cualquier número real excepto el cero.

4.

En la potencia se tiene que “a” es la base y “n” el exponente.

Ejemplos.

a)

b)

c)

d)

Signo de una potencia.

Una potencia puede tener distinto dependiendo de la base y el exponente.

1.- Una potencia de base positiva es siempre positiva.

2.- Una potencia de base negativa es positiva si el exponente es un número par y negativa si el

exponente es un número impar.

Ejemplos.

a)

b)

c)



d)

Curiosidad.

La suma de los primeros números naturales impares es igual al cuadrado de la cantidad de los

naturales empleados.

1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 44

¿Qué ocurre con la suma de los siguientes números impares?, es posible generalizar el

comportamiento que tienen estos tipos de números, de ser posible escríbalo para cualquier

número impar

Propiedades de las potencias.

Propiedad 1.

Es una consecuencia de la definición de potencias, al considerar la base igual a 0.

Ejemplo.

Propiedad 2.

También es una consecuencia inmediata de la definición.

Ejemplo.

Propiedad 3.

Demostración (hacerla)

Ejemplo.



Propiedad 4 (potencia de exponente entero negativo)

,

Demostración (Justifique los pasos dados)

Ejemplo.

Propiedad 5 (multiplicación de potencias de igual base)


Ejemplo.

Propiedad 6 (División de potencias de igual base)

Demostración.

Ejemplo.

Propiedad 7 (potencia de un producto)

Demostración (Hacerla)



Ejemplo.

Propiedad 8 (Potencia de un cuociente)

(

)

Demostración (justifique cada paso)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Ejemplo.

(

)

Propiedad 9.

(

)

(

)


Ejemplo.

(

)

(

)



RAÍCES DE NÚMEROS REALES.

Si se consideran los números reales 2 y -2 se puede escribir que:

y que

Es posible, en general, afirmar que dado un número real a positivo, existen dos números reales y

de modo que se cumple

y

Se dice que y son las raíces cuadradas del número real positivo . Se indican con el

símbolo , o sea; √ y ; √ .

Se establece entonces:

√ √

Nota.

√ representa a la raíz aritmética o principal de a, con la cual es común trabajar para efectos de

cálculos numéricos.

Definición.

La raíz n-ésima de un número no negativo real “a” se define como sigue:

Si √

Donde:

; es el índice de la raíz.

; es la cantidad subradical.

Si n=1, entonces √

Ejemplos.

a) √

porque

b) √

porque

c) √

porque

Nota.

Dada la definición de potencia se tiene que:

o Si el índice n es par y el radicando a es positivo, entonces √

y √

son raíces reales de .



o Si el número n es impar y el radicando a es negativo, entonces √

es la raíz real (positiva) de

.

o Si el índice es impar y el radicando a es negativo, entonces √

es la raíz real (negativa) de .

o Las raíces de índice par de un número real negativo, no son números reales.

Potencias de exponente racional.

¿Cómo interpretar la potencia

?

Sea

Entonces elevando al cuadrado nos queda que:

( )

¿Qué número elevado al cuadrado es igual a ?

Por definición se trata de √ (consideramos la raíz principal de a) o sea √ y por lo tanto

√ .

En general se tiene que:

√

Ejemplo.

√

ya que

Ahora es posible encontrar un sentido a las potencias como

, o sea, potencias de la forma

.

Note que:

(

)

(√

)

√ √

.



Ejemplo.

√ √

ya que

O bien

(√

)

Propiedades de las raíces.

Propiedad 1.

(√

)

si , si n es par.

Es una consecuencia de la definición de raíz, ya que √

representa al número real que elevado a

n es igual que a.

Demostración.

(√

)

( )

(√

)

(√

)

(√

)

(√

)

Ejemplo.

(√

)

Propiedad 2.

√ {

Ejemplos.

a) √ porque a es positivo.

b) √ porque n es impar.

c) √ porque a es negativo y n es par

Propiedad 3. Producto de raíces de igual índice.

√

√

√



Demostración (justifique cada paso)

√

√

√

√

√

√

√

Ejemplos.

a) √ √ √ √

b) √

√

√

√

√

Propiedad 4. División de raíces de igual índice.

√

√ √

Demostración. (justifique cada paso)

√

√

√

√ (

)

√

√ √

Ejemplos.

a) √

√ √

√

b) √

√ √

Propiedad 5.

En una raíz se puede multiplicar el índice y el exponente de una raíz por un mismo número.

Por ejemplo:√ √ √

……..

La idea anterior es válida siempre que el radicando sea positivo. Así, el ejemplo siguiente muestra

la transformación de una raíz que lleva a una equivocación.



√

√ √

Al amplificar la raíz se llego al resultado 2 que no es verdadero. Esto se debe a que se aplicó la

propiedad a un radicando negativo, lo cual es incorrecto.

En general se puede plantear que: √ √

donde

Propiedad 6.

√

√

Ejemplo.

√

√

√

√

√

√ √

√

√

Propiedad 7. Raíz de una raíz

√ √

√

√

si n par.

Demostración. (Justifique cada paso)

√ √

√

√ √

( )

√ √

√ √

√ √

√

Ejemplo.

√√

√



Propiedad 8.

Dos raíces de la forma √

son semejantes si tienen el mismo índice y los radicandos son iguales.

Por ejemplo, √ y √ son raíces semejantes.

En efecto:

√ √ √ √ √

√ √ √ √ √

Las raíces semejantes se pueden sumar, algebraicamente, obteniéndose una raíz semejante.

O sea √

√

√

Ejemplo.

√ √ √ √ √

EDUARDO PURAIVAN H. MAGISTER EN ESTADÍSTICA© PROFESOR DE MATEMÁTICA LICENCIADO EN EDUCACIÓN PT. EN ORIENTACIÓN EDUCACIONAL PT. EN INNOVACIÓN Y CREATIVIDAD EDUCATIVA PT. EN PSICOPEDAGOGÍA PT. EN CURRICULUM Y EVALUACIÓN Contacto: [email protected] Marzo del 2011.

Disponible: www.nubematematica.blogspot.com

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