arc consistance et généralisation
DESCRIPTION
Arc consistance et généralisation. Michel Liquière Lirmm. Langages de description. CSP. Résoudre un probléme de satisfaction de contraintes (CSP) trouver un morphisme d’un graphe G1 vers un graphe G2. Un morphisme de G dans H correspond à une solution du CSP. Arc consistance. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Arc consistance et généralisation
Michel LiquièreLirmm
Langages de descriptionDescription
languageGeneralization
orderComplexity Generalization
operatorComplexity
Set inclusion P Intersection P
Sequence Prefix inclusion p Maximal common prefix
P
Rooted Tree Rooted tree inclusion
P Maximal common rooted tree
P
Locally injective labeled graph
Morphism P Graph product and reduction
P
Labeled Graph
Morphism NP Graph product and reduction
NP
Labeled Graph
? ? ? ?
CSPRésoudre un probléme de satisfaction de contraintes (CSP)<=> trouver un morphisme d’un graphe G1 vers un graphe G2.
QuickTime™ et undécompresseur
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Un morphisme de G dans H correspond à une solution du CSP
Arc consistance• Morphisme => NP-complet
• CSP utilise un filtrage basé sur des contraintes de voisinages (l’arc consistance)
• Nous proposons d’utiliser un nouveau type de projection (AC-projection) basé sur l’arc consistance
Ensembles N-compatible
1 2
4
5
7
8
9
Pour un graphe dirigé G, deux ensembles S, S’ de sommets de G sont dit N-compatible ssi
Pour tout x dans S il y a un successeur (voisin) de x dans S’ et
pour tout x’ dans S’ il y a un predecesseur de x’ dans S.
Notation S ~> S’.Nous avons {A1,A2) ~> {B4,B5} puisque (A1,B4),(A2,B5) sont des arcs de G.
De même {C7,C8) ~> {A1,A2,A9}
{A1,A2,A9} et {B4,B5} ne sont pas N-compatible puisqu’il n’y a aucun arc entre A9 et B4 ou B5
G
AC-Projection
AC
0
123
4
56
7
8
9
G1 G2
AC: A0 -> {A1,A2}, B3 -> {B4,B5} et C6 ->{C7,C8} est une AC- projection de G1 dans G2. Par exemple pour l’arc (A0,B3) nous avons:
AC(A0)={A1,A2} ~> AC(B3)= {B4,B5}
Pour deux graphes dirigés (étiquetés) G1 et G2, une application AC: N(G1) -> N(G2)* est une AC- projection (Notation G1--• G2) ssi pour tout (x,y) dans E(G1) nous avons
AC(x) ~> AC(y) et pour tout x’ dans AC(x) label(x’)= label(x).
Propriétés de l’AC-projection
• La recherche d’une AC-projection de G1 dans G2 est polynomial
• S’il n’y a pas d’AC-projection de G1 dans G2 alors il n’y a pas de morphisme de G1 dans G2.
• S’il y a une AC-projection de G1 dans G2 Alors tout arbre qui a un morphisme dans G1 a un morphisme dans G2.
Pour G1 et G2 deux graphes:
Interpretation
AC
G1 G2
T
Morphism
Morphism
…
Operations
• Il existe un opérateur produit de complexité polynomiale
• Il existe un opérateur de réduction de complexité polynomiale (élément minimal d’une classe d’équivalence).
Generalization operator
E
D
R(G1 G2)
Treillis des concepts et
AC-Projection
Calcul via l’opérationProduit (généralisation)
Operation de spécialisationOn définit l’opération ~ entre deux ensembles de sommets S1,S2 d’un graphe G. (S’1,S’2)= S1 ~ S2 avecS’1= {x S1 / y S2 avec (x,y) arc de G}S’2= {y S2 / x S1 avec (x,y) arc de G}
Rectangle
on on
Rectangle Circle
right
0
1 2
3 4
Rectangle 0,3 on 1,2
0Rectangle
~
1,2
Méthode en spécialisationRectangle
on on
Rectangle Circle
right
Rectangle
on on
Circle Rectangle
right
Square
on
Rectangle Square
on
0
1 2
3 4
5
6
7 8
9 10
11
12
13
14
15
16
Rectangle 0,3,6,10,14 on 1,2,7,8,13,15 Circle 4,9 Right 5,11 Square 12,16
Rectangle 0,6,14 on 1,2,7,8,15 on 1,8 13 Rectangle 3,10,14
Rectangle 0,6 on 1,8
on 1,2,7,8
Rectangle 3,10,14
on 2,7
Support 2
Conclusion
Résultats:
• Une nouvelle relation d’ordre partiel pour les graphes: AC-projection.
• Un opérateur de généralisation pour cet ordre partiel.
• Calcul des opérations de projections et de généralisation: polynomial.
• Les graphes trouvés représentent un grand (potentiellement infini) ensemble d’arbres.
• On posséde un opérateur de spécialisation ~ très simple à calculer ce qui donne une méthode de parcours en spécialisation.
• L’algorithme est parallélisable