BIB Li-: S K A G Ł Ó W N AMLITEWUKI WARSZAWSKIEJ

Warszawa»| * -»śoi Robotnlciei

P O L S K A A K A D E M I A N A U KK O M I T E T B U D O W Y M A S Z Y N

ARCHIWUMBUDOWY MASZYN

KWARTALNIK

TOM IV • ZESZYT 2

W A R S Z A W A 1 9 5 7P A Ń S T W O W E W Y D A W N I C T W O N A U K O W E

A R C H I W U M B U D O W Y M A S Z Y N

TOM I V 1957 Z E S Z Y T 2

WITOLD NOWACKIWanszawa

STAN NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANY DZIAŁANIEMŹRÓDEŁ CIEPŁA

Równania przemi-eszczeniowe teorii sprężystości dla płaskiego stanunaprężenia d ustalonego pola temperatur, przedstawione jednym TÓwna-niem różniczkowym (1), i równanie różniczkowe opisujące pole tempe-ratur (2) zastąpiono jednym równaniem (3). Funkcji <J> w tym równaniunarzucono warunki brzegowe <? = 0 i I72!? = 0, które prowadzą dostwierdzenia, że na brzegu tarczy temperatura T = 0 or-az naprężenianormalne a — 0. W celu zniesienia również naprążeń stycznych na brze-gu tairczy dodano odpowiedni dodatkowy stan naprężeń (a, ?) .

Ponieważ równanie różniczkowe (3) przy warunkach brzegowych# = 0 i Fa<5 = 0 wykazuje pełną analogię z równaniem różniczkowymugięcia płyty (8) na brzegu swobodnie podpartej (w = 0, V2w = 0),w którym źródłom ciepła odpowiadają siły skupione-, wykorzystanowięc w rozpatrywanym zagadnieniu do wyznaczania funkcji <T> i na-prężeń air znane rozwiązanie torii płyt. Dodatkowy stan napręże-nia (CT, T) wyznaczono- przy pomocy funkcji Airy'ego.

W sposób szczegółowy, doprowadzony do wyznaczenia składowychstanu naprężenia {a, x), opracowano przypadki: pasma tarczowego nie-skończenie długiego z jednym źródłem ciepła oraz z rozmieszczonymiw równych odstępach wieloma jednakowymi źródłami ciepła, półpasmatarczowego z jednym źródłem >eiepła i tarczy prostokątnej z. jednymźródłem ciepła,

1. Ogólne ujęcie zagadnienia

Równania przemieszczeniowe teorii sprężystości dla płaskiego1 stanunaprężenia i ustalonego pola temperatury można, jak wiadomo-, przed-stawić równaniem różniczkowym1'(1) V*V*&=(l + v)aV2T,gdzie:

0 — tak zwany cieplny potencjał przemieszczeniowy,T(x, y) — temperatura,v — liczba Poissona,a — współczynnik rozszerzalności liniowej.

[121]

122 w - NOWACKI

Rozkład temperatury w tarczy opisany jest równaniem różniczko-wym

(2) jńr + ^ - o .

gdzie:W— intensywność źródła cieplnego,k — współczynnik przewodnictwa cieplnego,h — grubość' tarczy.

Zależności (1) i (2) zastąpić możemy jednym równaniem

(3)

Warunki brzegowe zagadnienia kształtują się na brzegu prostolinio-wym w sposób następujący:

Na brzegu tarczy temperatura ma wartość stałą; nie umniejszającogólności rozwiązania przyjmiemy przy tym, że wartość ta jest równazeru (T == 0). Warunek ten pociąga za sobą zależność p20 = 0 wzdłużbrzegu tarczy. Naprężenia wywołane polem temperatury związane sąz funkcją <P zależnościami1'

(4) 5, = - 2G 4 T - » ó„ = - 2G ~ i xxy = 2G-f~ .

Drugi warunek brzegowy powinien określić znikanie naprężeń nor-malnych lub stycznych na brzegach tarczy. Przyjmując, że $ = 0 nabrzegu tarczy, doprowadzimy do zniknięcia naprężeń normalnych wzdłużlinii brzegowej. W celu zniesienia naprężeń tnących na brzegu tarczynależy do naprężeń (4) dodać, odpowiednio, naprężenia

Funkcja F powinna przy tym spełnić równanie różniczkowe

(6) F V F = 0 .Pr-zy rozwiązywaniu równania (5) zakładamy, że na brzegu tarczy

znikają naprężenia normalne, zaś naprężenia tnące spełniają warunekbrzegowy rxv = — T O •

Naprężenia wywołane działaniem temperatury określają wzory

(7) ff* = OX - f OX , Gy = Oj -\~ Cfy 1 T'X„ = XXy "f" XXy .

Zauważmy, że równanie różniczkowe (3) z warunkami brzegowymi0 = 0 i P2<P = 0 wykazuje pełną .analogię z równaniem różniczkowym

131 NAPRĘŻENIA W TABCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 123

powierzchni ugięcia płyty na brzegach swobodnie podpartej. Mamytu równanie

(8) pV™ = "Irprzy warunkach brzegowych tu = 0 i J72iu = 0.

W równaniu (3) W oznacza intensywność źródła ciepła; należy za-tem wielkość tę traktować jako taką funkcję, która poza otoczeniempunktu przyłożenia źródła ciepła ma wartość równą zeru. W równa-niu (8) funkcja Q powinna mieć analogiczny charakter jak W. Należyzatem uważać, że funkcja Q wyraża intensywność obciążenia zewnętrz-nego płyty, które poza otoczeniem punktu przyłożenia ma wartość rów-ną zeru. Możemy więc Q uważać za siłę skupioną.

W przedstawionej pracy wykorzystamy analogię między równania-mi (3) i (8). Wyznaczanie funkcji <X> oprzemy na znanych wynikachteorii zginania płyt; punkt ciężkości spoczywać będzie1 na wyznaczeniufunkcji naprężeń F.

Ograniczymy się do rozpatrzenia stanu naprężenia wywołanego' źró-dłami ciepła w paśmie i w półpasmie tarczowym oraz w tarczy pro-stokątnej.

2. Pasmo tarczowe

Niech dane będzie pasmo tarczowe o szerokości a ze źródłem ciepłaumieszczonym w punkcie (f, 0). Pasmo to zastąpimy pasmem płyty o sze-rokości a na brzegach swobodnie podpartej i obciążonej siłą skupioną Qw punkcie (f, 0). Ugięcie płyty wyraża wzór2)

(9)2Q cos

gdzie a„ = rmfa, a N jest sztywnością płyty na zginanie.y

W

x.x'

y'

Eys. 1.

Z analogii równań różniczkowych (3) i (8) oraz z analogicznych wa-runków brzegowych wynika, że

1 2 4 w - NOWACKI [4]

2K ^ , . r cos BydB(10) 0 = j : V sma„£sina„x / 7~2~_i J\2 »

™—x o

gdzie

( l+v)aWk

Korzystając z wzorów (4) i biorąc pod uwagę, że wyrażenie (10)można przedstawić szeregiem

(11) (P = jT-Tfr- V j — (1 -f- any) sin an^ sin anx dla y > 0,71=1

obliczymy kolejno

(12) ay = - 2G - = - -£ £ -^ (1 + any) sin a„| sin anx,

n = l

Wzory (12) są słuszne dla y ^ 0. Ponieważ sumy występujące wewzorach (12) są wolnozbieżne, a dla y = 0 i a ; = f — rozbieżne, wygod-nie będzie przedstawić je w postaci zamkniętej

- _ *^L / d(fi \ • K G l d<p \ - K G

gdzie

(13a) p = -^-ln.Tl

Widoczne jest, że na brzegach tarczy znikają naprężenia ax i av,a dla y —»- oo znikają wszystkie naprężenia. W otoczeniu źródła ciepłanaprężenia rosną nieograniczenie1 w sposób logarytmiczny.

Dla dalszych rozważań najwygodniej będzie przedstawić naprężei-nia xxy w postaci wypływającej bezpośrednio z wzoru (10)

IS? NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 125

Zważywszy, że

gdzie:

(15a)

n = l " '

/Sf sinhAcoshflf — AcoshAsinhflf— — F i ^ r

otrzymamy a)

KGa'C-3

(16a)

_ KGa2 r

Działanie1 źródła ciepła znajdującegosię w punkcie (f, 0) zastąpić możemydziałaniem źródeł ciepła umieszczonychsymetrycznie względnie antysymetrycz-nie względem osi y (rys. 2).

Dla symetrycznie ułożonych wzglę-Rys. 2.

( a '

/rIV

b)

2 '

2 "

-^M i l

x,x'y

y y y g ędem osi y' źródeł ciepła o intensywności W/2 (rys. 2a) otrzymamyw układzie współrzędnych x', y wzór

t'=a/2

KGa !

2?rh - f j ] sin

albo

(16b)KGa'

sin

126 \V. NOWACKI [6]

gdzie:

(») / t'\ — P s i n h ^ c o s h P? ~ P? c o s h f1 s i n

e ii*>*>-- p*cosh*IT

Dla antysymetrycznie wzglądem osi j / umieszczonych źródeł ciepłao intensywności W/2 (rys. 2b) otrzymamy

/i K* T +albo

/,« v -r , K G a 2

(1 6 c>. * & — r a ri'=a/a

gdzie

Rozpatrzmy najpierw przypadek symetrycznego układu źródeł cie-pła. W celu zniesienia naprężeń tnących T ^ , na prostych x' — ± a/2

należy dobrać taki stan naprężeń a$, o^ i i%>, który by spełniał rów-nanie różniczkowe

(17) V2V2F^ = 0

z warunkami brzegowymi

(18)

dla a'-i-l

Ze względu na symetrię źródeł ciepła w stosunku do osi y' wystarczyograniczyć się do warunków brzegowych na brzegu xr = a/2.

Funkcję F ( s ) przyjmujemy w postaci

(19) F<s> = i - f^- (A<s> cosh fix1 + B<" /Ja:' sinh fix') cos

[71 NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE 2HODŁAMI CIEPŁA 127

Z warunków brzegowych (18) otrzymamy

A(s> cosh fjL + B(s) n sinh [i = 0 ,

(A<*> + B<s>) sinh/* + B's' fi cosh p

skąd

47r cosh [j, s inh /z -f- fj,

B ( s ) as -

Wyznaczamy naprężenia z wzorów (5)

=!* KGa

o

u sinh u cosh 8 x — /3x smh Bx cosh MX M ^ ^ K- rx.—i— c o s

r cosh sinh ja +/ł

X u KJZ c ^^—zj-r r^ r-^ cosr cosh /t smh /j, 4- /ł

if« KGa

(/i sinh,« — cosh /i) sinh /3JC' - |8x' cosh Bx' cosh ^X U i :—i r ' S i n p y CLp .

^ cosh fx smh /J, -\- {/,

Rozpatrzmy przypadek źródeł ciepła o intensywności W/2 umiesz-czonych w sposób antysymetryczny w stosunku do osi y'. W celu znie-sienia naprężeń tnących na prostych x' = a/2 dobieramy naprężenia

bp a$ i r%', w ten sposób, aby spełniły równanie różniczkowe

(21) |7ap2F<o) = 0

wraz z warunkami brzegowymi:

--(a)

dla x = ± a.

1 2 8 W. NOWACKI [8]

Funkcję Fm przyjmujemy w postaci

1 /* 1(23) F{a) = — / — (Am sinh to' + B(a) Bx' cosh to') cos By dB.

' h J B* "o

Z warunków (22) otrzymamy układ dwóch równań1 sinh fi + B(a> n cosh p = 0 ,

(AO + B«-)) cosh ^ + B<-> /, sinh ^ = -

skąd

4?i cosh /i sinh ^ — /.<

B = Ajtł COSh M

Z wzorów (5) wyznaczymy naprężenia

J S W>* >

u cosh M sin Bx' — /?x' cosh (5a;' sinh u , ,X u T-—^V cos By' dB ,

(24)(u cosh u — 2 sinh u) sinh to' — to' cosh Bx' sinh u „ , , n

X « — ^~- ~r " cos By'dB,r cosh /i sinh /« — /j, ' '

(w cosh « — sinh «) cosh to — to sinh 8x sinh u .X U - ^ C-4r r-T" — Sin

r cosh ji sinh /« — ^Zauważmy, że dla symetrycznie umieszczonych źródeł ciepła o in-

tensywności W/2 znikają naprężenia i% , na prostych y = 0 oraza:' = 0; otrzymamy symetryczny wziględem osi x' i y rozkład naprężeńnormalnych, a antysymetryczny względem tych osi rozkład naprężeńtnących. Przeciwnie, dla antysymetrycznie umieszczonych źródeł ciepła

19] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 129

o intensywności W/2 otrzymamy antysymetryczny rozkład naprężeńnormalnych względem osi y, a symetryczny rozkład naprężeń tnącychwzględem tejże osi.

Dla źródła ciepłą W umieszczonego w początku układu współrzęd-, i . t ., . ~(o) "=(al . "(a)

nych x i y znikają naprężenia ox> , av i xx>v> •Dla źródła ciepła W umieszczonego w sposób niesymetryczny na-

prężenia cieplne wyrazimy wzorami— 5 - 1 - =<s) 4 - =(o) = a 4- cłs) 4- a^

(25)

Podane rozwiązanie dla przypadku źródła ciepła znajdującego sięw punkcie (|, 0) posłużyć może do wyznaczenia naprężeń wywołanychźródłem ciepła rozłożonym w sposób dowolny na odcinku I2—£1 osi :r.Jeśli przez Ui(£) oznaczyć intensywność tego źródła ciepła na jednostkę•długości, to funkcja cieplnego potencjału przemieszczeń przyjmie postać

00

Va sina x f—^Ź^Łn - l o

gdzie:

r _ (l+v)a a „ = Tl

W przypadku źródła ciepła o intensywności w{C, ij), odniesionej dojednostki powierzchni tarczy, rozmieszczonego na obszarze Q tarczy,przedstawimy funkcję (I> w postaci

D2\2

(27)X jjw (i,i-j) sin an£ cos /3 (y — •>?) df cfydjS -

Analogicznie, jeśli przez a(a:, y; f, ??) =<r (a;, y; £,»?) + a{x, y; f, ł?) ozna-czyć naprężenie wywołane1 w punkcie (x, y) dzdiałaniem źródła ciepłaskupionego W = 1 umieszczonego w punkcie (f, rj), to naprężenie a*(x,y)wywołane działaniem źródła ciepła o intensywności u?(f, i]) rozłożonym'na obszarze Q wyrazimy całką

(28) a*{x,y) = f f w ^,v)o{x,y,

130 W. NOWACKI [10/

Rozpatrzmy jeszcze tarczę nieograniczoną, w której rozmieszczonesą źródła ciepła o jednakowej intensywności W (rys. 3) w sposób okre-sowy (w jednakowych odstępach 2b).

i 1Wa|cM

2b

W

2b

x,x'

y'•

Rys. 3.

Rozwiązanie równania (3) najwygodniej będzie podać w postaci po-dwójnego szeregu trygonometrycznego. Wyrazimy prawą stronę tego-równania w postaci

JK (1 + v) a W _ 2KT ~

(29)hk

4K

sm a*Ł S l n a»x +

sinajsinanxcospmy,

gdzie:

a funkcję 0 szeregiem

(30) 0 = V An sin anx -f V BnUi sin ana; cos /3my •n = l n,m

Szeregi te spełniają wszelkie warunki brzegowe wzdłuż prostych.x = 0, a? = a oraz y = ± b. Wstawiając (29) i (30) do równania (3)otrzymamy

,gi\ <* 2K ^-| sina„f sina„a: AK ^ sin anf sin a„cc cos /5my

n = l n.m v ~ '

Funkcję tę przedstawić można również w postaci pojedynczego sze-regu trygonometrycznego

< 3 2 >n = l

[11] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 1 3 1

gdzie:

C o s h

&n = a„b.Naprężenia ax, dv i xxy wyznaczamy z wzorów (4)

KG I—r

(33). b ^ sina,,,

n = l

Tutaj funkcja cp jest identyczna z funkcją wyrażoną wzorem (13a),a funkcja 0 dana jest szybkobieżnym szeregiem

1 ^ , sin ctnf sin anx cosh any

Widoczne jest, że nieciągłość typu logarytmicznego mieści się w funk-cji <p, funkcja & zaś nie ma żadnych osobliwości. Dla b -*• co i 6> ->- 0wzory (33) również przechodzą do postaci (13).

Do dalszych rozważań będzie dogodnie wyznaczyć xxy bezpośrednio7. wzoru (31). Otrzymamy stąd

- >,r d2<p 8KG

Korzystając ze związków (15) znajdziemy

2KGa2 ^1 = 0 m = l

2 K G a 2 £ , „ . . : „ . .

m = l

gdzie funkcje ?/i i y\<i bierzemy z wzorów (15a) wstawiając do nich za-miast yS i X = fta odpowiednio /3m i Xm — fima.

Postępując analogicznie jak w przypadku pasma tarczowego z jed-nym źródłem ciepła, rozważać będziemy przypadek działania dwóch

132 W. NOWACKI [12J.

źródeł ciepła o intensywności W/2, działających raz w sposób syme-tryczny, zaś raz w sposób antysymetryczny w stosunku do osi y'. Stądotrzymamy dla źródeł ciepła o intensywności W/2 ułożonych względemosi y':

symetrycznie

(36) x%= - - ^ V /W(s) W ) sin pay',*'-«/a m==1

antysymetrycznie

(37) r ( & = ^ V ^ ' ° > ( f t „ r ) sin fimy>,

gdzie Q{S) i e l a ) bierzemy z wzorów (16b) i (16c), zaś

Dla symetrycznego układu źródeł ciepła względem osi y przyjmiemy

(38) F<*> = - [ y i (Alf cosh pmx' + Bft p„x' sinh pmx>) cos y ' ,

gdzie.

w _ KGa ^ " ' ( ^ . i Q s i n h ^ (s) w ctgh^,2b cosh ^ s i n h A * m + ^ ' ' " " '" ^ , •

Naprężenia dodatkowe wyliczymy z wzorów

=(,,_ KGa ^

m = l

(39) /!« sinh ^ cosh /?„.»' - flmx' cosh ^ąg ' sinh /xms\ • COo PU; ;

cosh/ims

(/t,, sinh Mm - 2 cosh M_n) ^cosh f$mx' - 0mx' sinh pmx' cosh ^oshT^LTh r ^ ; ; — c o s

V

m = l

cosJi um) s int i Bm<x —

[13] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 133

W przypadku działania źródeł ciepła o intensywności W/2 umiesz-czonych w sposób antysymetryczny w stosunku do osi y' przyjmiemydla wyznaczenia naprężeń o? , a„a i r^j następującą funkcję Airy'ego

(40) F<«> = ~ V i ( ^ s i n h fS,,x' + B%§mx> coshpmx') cos f}„y',

przy czym:

A2b cosh iim sinh i»m-/t^'

„(a) _ >,(o) t g h j t ł ^

Naprężenia wyznaczymy z wzorów (5), a mianowicie

flma'-/?wa'cosh ft^'sinh ft„J ^ Jcosh Jm sinh ^ - Jm

vx

m = l

2 sinh /j,m) sinh pmx' — fimx' cosh/?ma:' s inh,

( ^ cosh m - sinh m) cosh a ' - jg a:' sinh fimx' sinh^^, •X : r •—T" — — o m pmy •

cosh ^ sinh ^ - ^ ' Hm*Dla źródeł ciepła W rozłożonych w sposób okresowy na paśmie tar-

czowym (rys. 3) naprężenie cieplne otrzymamy na podstawie super-pozycji

a, = 5. + o? + ?xa) Wd.

Zauważmy, że dla b -> oo wzory (39) i (41) przechodzą we wzory (20)i (24). Podane tu rozwiązania dla przypadku źródeł ciepła W rozmiesz-czonych w jednakowych odstępach 2b traktować można jafco funkcjęGreena. Może ona posłużyć do wyznaczenia naprężeń wywołanych źró-dłami ciepła liniowymi lub powierzchniowymi, rozmieszczonymi w obrę-bie tarczy w sposób periodyczny.

134 W. NOWACKI 1141

3. Półpasmo tarczowe

Przypadek półpasma tarczowego traktować można jako przypadekpasma nieograniczonego, w którym działa źródło ciepła w punkcie (f, 1?)i odpływ ciepła w punkcie (f,—rj). W tym bowiem przypadku otrzy-mamy na brzegu (y = 0) T = 0.

-W w

x,x

Rys, 4.

Korzystając z wzoru (10) wyrażamy funkcję <2> związkiem

2TC

' /cos (y - rj) - cos (y + v)

albo

<43) 4K

Punkcję ^ wyrazić można również pojedynczym szeregiem trygonome-trycznym,3'(44)

j 2 " ^ ~ K1 + a"y%l s i n h a" - "^c o s h an7?] s i n a»£sin "^ •71 = 1

Wzór ten jest słuszny dla rj<y<oo. Dla przedziału 0 < y < r; należywe wzorze (42) zastąpić y przez f j i n a odwrót.

Na podstawie wzorów (4) obliczymy naprężenia óy a, i T ^ otrzy-mując

KG

115] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 135

gdzie:

cosh ^-{y ~rj) — cos iL (x — !)(46) Vl = * In fl_ _a ,

cosh — {y — rj) — cos — (ar + I)

cosh — (y + rj) — cos ?L(x—•L i CC CL

cosh — (y + rj) ~ cos — (a: — f)

Łatwo sprawdzić, że na brzegach x = 0 i x — a mamy ax = 0, a nabrzegu y = 0 jest ay = 0. Na wymienionych brzegach różnymi od zerabędą jedynie naprężenia tnące T W .

Do dalszych rozważań dogodnie będzie przedstawić naprężenia tną-ce Trj, wzorem

a sinafcosa* f ^ s i n ^

Zważywszy, że

22 y a r t ( - I2 " {al +

oraz

J («0

możemy wyrazić naprężenia xxu na brzegach półpasma tarczowego wzo-rami

F - /(/?sm/??7)»ji( |8)cos1 = 0 "

o

(48)0

2KG 2 * (" J ? ? ) s i n a" cos a"» = 1

2 Archiwum Budowy Maszyn

136 W. NOWACKI [16]

gdzie

-~

W celu wyznaczenia naprężeń dodatkowych wygodnie będzie i w tymprzypadku zastąpić działanie źródła ciepła o intensywności W w punk-cie (£, rj) działaniem dwóch źródeł o intensywności W/2 umieszczonychraz symetrycznie, a raz antysymetrycznie w stosunku do osi y .

a) y

b)

a [CM

y'

x,x'

Hys. 5.

Rozpatrzmy najpierw działanie źródeł ciepła W/2 symetrycznie uło-żonych względem osi y'. W układzie współrzędnych x', y' (rys. 5a) otrzy-mamy

x'=afiA/? sin fa')

Jcos

(49)2KG

v'=an,fj') cos anC' sin anx'.

Przynależne temu stanowi naprężenia aP , o$ i %%' , otrzymamy z roz-wiązania równania różniczkowego Airy'ego

(50)z warunkami brzegowymi

V'V'F™ = 0

[17] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 137

3? = - ^ r = 0 dlax' = a/2,

(51) ^ - ^ - - 0 dlay' = O,

Tym warunkom zadość uczynimy przyjmując funkcję F< s ) w postaci

T J " 4 ( A " s ) + ^ an3/) e ~°y cos anX'+

n=1.3. • - •

(52)

4- i - f A . (A<s> cosh /9x' + B<s) /?a;' sinh jgas') sin /Sy'd^ .

o

Warunki brzegowe (51) prowadzą do związków

(53a) Af = 0 ,

(53b) A(s» cosh /j, + B<s> ^ sinh ^ = 0 , gdzie ^ = -^- ,

do

JT Bi!) sin anx' - f[(A^ + B<s») sinh #c ' +n = i , 3 . . - . /

(53c)2KG- °°

+ B« /3x' cosh fix'} d/S = ^ — £ & (a„,r}') cos an£'sin anx',

n - l0

(53d) + B(s)) sinh ^ + B« / cosh ^J cos fiy'dfi =oo

KGa2

f tfśin pt,')ev (?,£') cos py'

o

Jeśli wykorzystać z,wiązki (53a, b) ox;az wstawić do równań (53c, d)zależności

sinh fix' = V En? sin anx', fix' cosh fix' = V E n ? sin anx',n>=l n - l

2*

138 "W. NOWACKI [18]

n/3 COS0

to otrzymamy układ dwióch równań

(54) B ^ - f A<s> [r(u) Eng — g (u) FnjS] d/? = - ^ ^ - # («„,«') cos a„f ,o "

gdzie:jx sinh ^ — cosh p

" ~ jttsinh/ł

_! cosh,H sinh ^ ' " ' ~ ^ sinł

Zważywszy, że

cosh sin -

sin-

•Fns = p usinhw + » T 09 c o s h / *

477: (a* + (Py

możemy doprowadzić równania (54) do postaci

J sii2 . .J smh

2KGe cos

a(55)

Je sin——-

u , 0 ) „ .1 ,8,5, . . .

[19] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 139

Wyeliminujemy z tego układu funkcję A(,«). Otrzymamy wówczas nie-skończony układ równań

512 „ . nn ^ —M. . k,nBk ksin—- x

X i -

-s- V B^ksin—I Z-i 2

fc-

cosh2

[n2 4 ^— i | Je2 4—~-i (sinh u cosh\ f } \ «' /

(56)/ «2cosh2«lsin

= 4f-GK sin-^ In 2 -| Ł - (M -|- sinh M cosh u)

o

KGcos , n = 1, 3, 5 , . . .

Po wyznaczeniu całek niewłaściwych w sposób numeryczny otrzy-mamy układ równań zawierający nieznane współczynniki B^. Z dru-giego równania układu (55) wyznaczymy parametr A(ju). W ten sposóbWszelkie wartości występujące w funkcji F ( S ) są określone. Naprężeniewyznaczymy z wzorów:

Rozpatrzmy teraz działanie dwóch źródeł ciepła o intensywności W/2umieszczonych antysymetrycznie w stosunku do osi y' (rys. 5b). W ukła-dzie współrzędnych x', y otrzymamy

KGa= j -T- / (/3sm- / (/S sin jSł?') Qm (/*,!') cos fiy'dfi,

(58) ™ /

»'=o n=2,4.

Przynależne do tego stanu naprężenia ap, o^ i x% wyznaczymy roz-wiązując równanie różniczkowe

(59) • vY'F^ = 0

z warunkami brzegowymi:

1 4 0 W. NOWACKI [20]

^ = • ^ - = 0 dla a : '= a/2,

(60) ^ = ^ = 0 d l a y ' = 0 ,

Funkcję Airy'ego przyjmujemy w postaci

F<*> = - i V - 1 ( ^ + Bla)«„y')n J—J an

(61)

ann=2,i,.

1 p 1±. / J _ (^w Sinh /?;r' + B'a) ^x' cosh Bxr) sin ^i/'ft J P

Warunki brzegowe (51) prowadzą do układu równań

(61a) ^ a > = 0 ,

(61b) A<a) sinh ^ + B™ p cosh p = 0 ,

(61c) -f J [(.A<a> + B<a>) cosh Bx' + B'a» Bx' sinh ^x'] d^ =

^ & {an,rf) sin an$' cos a n x ' ,n=2.4..

B^eV(l~a„y')cos

l . . . .

(61d) + j[(Am + B(a)) cosh /t -f B<") ^ sinh cos By'dB =

'- [(BsinBT]') ew (ft,?) cos By'dB .0

Wykorzystując związek (61b) oraz wyrażając szeregami funkcje

cosh Bx' = V Gn? cos a„x', Bx' sinh /5a;' = V Hnfj cos anx'

[21] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 14]

gdzie:,. nn

2pansm-^-45 cosh,

otrzymamy układ dwóch równań

BCa) / A W Tr* ( \ f~* A / \ U T A O

n — I SX ^C ^ J \jrnp — Cl yjX) Xi„^J Cip0

(62) j r Bfcos^

gdzie:, . u cosh u — sinh u, , , . sinh

s i n an

/i cosh t

COSh [J. — [A.

; cosh ^

Ponieważ dla TC = 2, 4, . . . wielkości Gn/J i Hrt/J są równe zeru, za-tem w pierwszym równaniu grupy (62) znika całka. W drugim z tychrównań dla parzystych wartości k znika suma. Uikład równań (62) moż-na wi-ęc doprowadzić do> postaci

&(an,rj') sin aJ' , n = 2, 4, • • • ,

7 c 2 c o s - ^Am

V \ 2 " " h ^ c o s h <

KGa

Widoczne jest, że współczynniki B„ i A(s) otrzymamy tu w sposóbbezpośredni.

Naprężenia dodatkowe otrzymamy z wzorów

142 W. NOWACKI [22]

Naprężenia wywołane działaniem źródła ciepła W umieszczonego w punk-cie (J, rj) otrzymamy przez dodanie naprężeń uzyskanych z wzorów (45),(57 i (64).

4. Tarcza prostokątna

Niech źródło ciepła o intensywności W (rys. 6) znajduje się w punk-cie (f, 17). Korzystając ze znanego rozwiązania dla ugięcia płyty prosto-kątnej poddanej działaniu siły skupionej w punkcie (f, r])2) możemy przed-stawić funkcję <P w postaci

(65)

gdzie:

4K ^ sin OL£ sin Br.ri .

abh ZJ (at + $,'mm

an

N

nna ' A.

b

, T

Rys

*x'. 6

m

In)

y'

Funkcję tę przedstawić można również pojedynczym szeregiem trygo-nometrycznym3 5

Ka?0 ^ 1 . sinh an(b -\ s m a | sin a -c " vZ ; n3 " b " smh a„bJih Z ;

+ anb ctgh a^b — an (b — ?j) ctgh a„ (b - łj)] sinh any +

— any cosh any \ dla 0 ^ y < TJ .

Korzystając z wzorów (4) wyznaczymy ze związku (66) naprężeniaax,av i Tx„. Do dalszych rozważań wygodnie będzie przedstawić naprę-żenie rxy w postaci wynikającej bezpośrednio z wzoru (65)

[23] .NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 143

(67) vxv = 2G my---marł K + ^ F C O S ^ c o s ^•Łatwo stwierdzić, że na 'brzegu tarczy nie znikają naprężenia tnące.

W celu wyznaczenia naprężeń dodatkowych óx, ay i xzv zastąpimy dzia-łanie jednego źródła ciepła o intensywności W działaniem czterech źró-deł o intensywności W/4, umieszczonych raz symetrycznie, a raz anty-symetrycznie względem osi x i y' (rys. 7a-d).

b)

w4

W4 ,

o)

w4

W

4\JU

4

W

x'

W4

W4M

y

w_"4

d)

4

Rys. 7.

Rozpatrzmy najpierw przypadek źródeł ciepła umieszczonych sy-metrycznie względem osi x' i y'.

W przypadku źródła ciepła o intensywności W w punkcie (f, rj) otrzy-mamy z wzoru (67)

8KG a n ( - l ) " s i n a n |

m—l

(68) ^ c o s ^sin z3

m = l

144 w - NOWACKI [24]

2KGb2

o?T " f C 0 S ""

gdzie i?2 bierzemy z wzoru (15a).Dla czterech źródeł ciepła W/4, umieszczonych tak, jak to przedsta-

wiono na rysunku 6a, otrzymamy w układzie współrzędnych x'', y

KGa? X, r la

imlir + V'l

(69) f,y = -

Y - i'aA\Isina»(T + ') + s i n a » ( y ~ f )] c o s a »(y + ^

Po prostych przekształceniach otrzymamy

w - ^ F ^ » e W (-Mm)l') c o s / 5 m ? ? ' s i n /

<s'-s/a(70)

W = ^ J 1 «ne(s) a.'?') cos aj' sin ana;',

n, m — 1, 3, 5, • • • ,gdzie:

m . j , /*„, sinh ^ cosh ^ „ ^ - pj' cosh A „ sinh pj'

n cosh anV' — anV' cosh <5„ sinh an)?';:

W celu wyznaczenia naprężeń 5,', 5,' i rxy, należy rozwiązać równanieAiry'ego

(71) FV 2 F = 0

z warunkami brzegowymi

[25] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 145

- d2F = d2Fd*'-= 'W''=Q> ~Xz'*' * "" ~**W = " i ł V d l a x'= a / 2 '

(72)- d2F ~ d2F^ = - ^ - = 0 ' **V = - ^ P a 7 = - * V dla y' = b/2.

Funkcję F obieramy w postaci szeregu

F = T 2 J r ( A m cosh + B"'P'-X'sinh ^^c o s P"y +

m = l

(73)1 °° 1+ -r- V --J- (Cn cosh any' + Dna„y' sinh any') cos anx .II' I i ^ •'• II

n—1

Warunki brzegowe (72) prowadzą do układu równańAm cosh pm + Bmftm sinh fxm = 0 ,

C n cosh dn -|- D A sinh <5„ = 0 ,

£ [(An + Bm) sinh Ju,„ + Bm/tłm cosh ^ J sin 0my' +m = l

+ ^ Vcn + D„) sinh any' + D„a„y' cosh a„iy'] sin -y- =--

m - 1

£ [(A,„ + Bm) sinhp„x' + B ^ / cosh |3,„x'] sinm=l

n + D n ) s i n h d n + D n d n c o s h ó n l s i n a ' i a : ' =

COS

Wyrażając szeregami trygonometrycznymi funkcje

sinh uny' = £ Enm sin A„y', «„y' cosh any' = £ Fnm sin /3mi/' ,m = l »>—1

sin ;3mx' = £ Gnm sin ana;' , 0mx' cosh /3ma:' = £ Unm sin anx' ,

] 46 W. NOWACKI [261

gdzie:nn . .

sin —s- cosh <5n

b o

. nns m ~9~

p = i|» — (3„sinh<5„ - °; ^" cosh Ą,Z Ctjj -{— p , t t \ Ctn - j - pt'n

doprowadzimy układ (74) do układu dwóch równań

nn , „ „an sin-^ij— cosh" o„

(75)

n, m = 1, 3, 5, • • • ,gdzie:

_ P™ + s i n h i " ^ 0 8 1 1 /*» +r& \ _ ^ + s i n h ^

Otrzymaliśmy tu nieskończony układ równań. Ograniczając się do czło-nów szeregów (70) ustawimy 2r równań (75). Rozwiązanie ich dajewspółczynnik Am i Cn, które wstawione do funkcji (73) -pozwolą na

przybliżone wyznaczenie .wyrażeń dodatkowych oy, av- i T«'V'.W przypadku szczególnym tarczy kwadratowej oraz źródła ciepła W

umieszczonego1 na początku układu współrzędnych otrzymamy przyAm — Cm układ równań

. . nn , , nn. , . „ „ ~ A„ s m —s— cosh —=-—

. swhmn + mn 16 „ . m^ v-i n 2 2A • -i m 2 s in ~ij >

m - i . a , . . . ^ _[_ m 2 ) 2 S l n h 2 —^

(76)

g hK G g h ~ 2 ~» m = 1, 3, 5, . . .

127] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 147

Dla czterech źródeł ciepła o intensywności W/4, umieszczonych tak,jak to pokazano' na rysunku 6b, należy rozwiązać równanie (71) wrazz warunkami brzegowymi (72), przy czym mamy

KG& ^ ; m , > n

/ PwQ (/*,»»£ ) C O S Pm7) S l n @mV !(77)

%x, , = -•- - V1 a,tp(s) (<5„,ł?r) s in a £' cos arex' ,

gdzie,. /3,„|' s inh pm cosh (3mf' — /in cosh ^ s inh /?m | '

Funkc ję Airy'ego- przy jmujemy w postaci

1 ^ 1 , , * , ' , , „ *=— ~T~ y 'rpr \"~m s m n />m«x. -j— Dmpm*L c u b n pm^ ) cu& ^

m = l . 3 . • • •

(78)+ i- V \ (CB cosh any' + D , ^ ' sinh a„y') sin an

n=2,4.- • •

Z warunków brzegowych (72) otrzymamy układ równań:

co.-

(79) = 4- ,„e'a» ( ^ f 0 cos /?„,',

n = 2, 4, 6, . . . , m = 1, 3, 5, . . . ,gdzie

s i n h [j,m cosh /«m — [im

~ Pm C O s h t*m

Z tego układu wyznaczymy wartości Am i Cn, a pozostałe współczynrniki, Bm i Dn, ze związków:

R A s i nA%_ D - - C

148 W. NOWACKI [281

Dla czterech źródeł ciepła o intensywności W/4, umieszczonych tak,jak to> przedstawiono na rysunku 6c, przyjmiemy funkcję Airy'egow postaci

£•_.__ y _ [A„ COSh f$mX' -)- BirfimX' S^nn PmX>) S^n PmV' +h ^ 2 . 4 . . . . ^

(80)

-J--T- V ~T (C„ sinh a„y' -|- Dna„y' cosh aBj/') cos anx'.n-I.8.... °"

Warunki brzegowe (72) prowadzą w tym przypadku do' układu równań

1„Q(S) (u%,!;') sin fimri',

-ie °° A... COSh- M„, COS — p —('81') C s(ł) \ -!- — 2 ' n y r V „

a% n 2 ^2.4,../ K + $0

n = l, 3, 5, . . . , m = 2, 4, 6, . . .

Stałe Bm i D„ wyznaczymy ze związków

B - A c o s h ^ " D - r S i n h < 3 "

Wreszcie w przypadku czterech źródeł ciepła o intensywności W/4 umie-szczonych antysymetrycznie względem osi x i y' (rys. 6d) należy przy-jąć funkcję Airy'ego w postaci

1 °° 1F = -j- V ^ r (A,„ sinh /?mx' + B ^ x ' cosh a:') sin pmy' +

^ 2 . 4 . . . . P " '(83)

^ i i S ~tfr(Cn s i n h a ' i ? / ' + D A y / c o s h a » y ' ) s i n a ( i : r ' •71-2.4 "

W tym przypadku warunki brzegowe opiewają: '

d2Ft*'* = - ^ P a y 7 = " i t V d l a x> = a / ' 2 i y ' = b ^ 2 '

(84)ff,' = 0 dla x' = a/2 , ay. = 0 dla y' = b/2,

t29] NAPRĘŻENIA W TARCZACH WYWOŁANE ŹRÓDŁAMI CIEPŁA 149

gdzie:KGa? £ ,

rxy — TT-j— y @mQ {f^mtS ) sin fimrj c o s / ? m y ' ,

(85)KGb2KGb2 °°

T*y== --cCfo- y anQ{a) {dn,rj')sinaj'cosa„x'.

Z warunków (84) można wyznaczyć bezpośrednio wszelkie współczyn-niki Am, .. ., Dn. Otrzymamy mianowicie

5mgca» (^„„r) sin pnfi', m = 2 ,4 , . . . ,

(86) Cn8(<5n) = - ^ - ane<a) (Ą,,^) sin aj', n = 2 , 4, . . . ,

B - 4 ^ ^ n - r t g h ó "

'" ~ " m " ^ T ' n — n ~"^T"Dodając do siebie naprężenia wywołane stanami przedstawionymi

na rysunkach 6a-d otrzymamy naprężenia dodatkowe ax, .. . , które wrazz naprężeniami 0X, . . . określają stan naprężenia tarczy wywołany dzia-łaniem źródła ciepła o intensywności W umieszczonego w punkcie (f,»?).

Podane w przedstawionej pracy rozwiązania można, przenieść od razudo zagadnienia płaskiego stanu odkształcenia. Zamiast źródeł ciepła nagrubości h tarczy, będziemy mieli do czynienia z liniowymi źródłamiciepła rozpościerającymi sdę nieskończenie daleko w kierunku osi z.I tak dla przykładu, układ przedstawiony na rysunku 3 można sobiew płaskim stanie odkształcenia wyobrazić jako nieograniczoną płytęstropową o- grubości a, w której w jednakowych odstępach 2b umiesz-czone są liniowe źródła ciepła (np. rury grzewcze centralnego ogrze-wania).

W przypadku płaskiego stanu odkształcenia równanie różniczkowepotencjału przemieszczeniowego termicznego przyjmie postać1'

Naprężenia air wyrażone są związkami

150 w - NOWACKI [30]

(88)a, = - 2G P 0 , i x , = 0 , t w = 0

D o d a t k o w y stan naprężenia air otrzymamy po rozwiązaniu równaniaróżniczkowego Airy'ego z zależności

d*F

(89)5, = t„ = 0 , f„ = 0 .

Tak więc mnożąc wyniki uzyskane dla płaskiego stanu naprężenia przezh/(l—v) i dodatkowo wyznaczając wielkości as i az z wzorów (88) i (89)otrzymamy pełne1 rozwiązanie dla zagadnień płaskiego stanu odkształ-cenia.

Praca wpłynęła do redakcji 10.08.1956 r.

LITERATURA

1. E. M e l a n i H. P a r c u s : Waenmespannungen Stationaerer Temperatur-felder. Wiedeń 1953.

2. K. G i x k m a n n : Flaechentragwerke. Wiedeń 1954.3. A. N a d a i : Elastische Platfcen. Berlin 1935.

Pacnpe^ejieHHe HanpKJKeHHH B .nacKax, B&i3BaHHbix B03 ;eHCTBHeMHCTO^HHKOB TeilJia

K p a T K o e c o f l e p j K a H M e

nepeMemeHMJi Teopiror yaipyrocTM flJiH miocKoroHanpnaceiKMH u ycTaHOBMBuieroca nojia

HanHcaTŁ B BMfle 0'flraoro i3M(p(p6pieHn;ii.ajii>HX)ro ypaBHemiiH (1)B KOTopoM <$> oGosHaHaeT T. H. TemiOBoił noTeHXCMaji nepeMememia, T —nojie TeMnepaTyp, v — ^WCJIO IlyaoooiHa a — KoadpdpimiieHT Tenjionpo-BO^HOCTJI. n o n e TeMnepaTyp cooTBeaiCTByeT ypaBHeHTno (2), B KOTOPOMW — o6o3HaHaer MHreHCMBHOcTŁ MCTOiHMKa Tenjra (Ha eflMHMiry TOJI-

K — KoadpcpiiiJiMeiHT TanjionpoBOWHOcnH h —

[31] NAPRĘŻENIA W TABCZACH WYWOŁANE 2EÓDŁAMI CIEPŁA 151

C'MCTeMy ypaiBHeHHM MOHCHO (1) H (2) M02KH0 3aMeHMTb OflfiMM(3).

<3>yHKHHK) <J> Mbl OBH3bDBaeiM rpELHiMHHBIMM yCJIOBJTHMM <£> = 0

V2<J> = 0. O6o3HaHaer STO, HTO Ha Konne #HCKa TeromepaTypa T —

0 M HTO Mcqe3aioT BopMajitHBie HanpHateHMH a . T a x Kax Ha Kpaio

He floJiatHŁi BMCTynaTŁ Taitsce H KacaTejibHŁie HanpnaceHiWH,

K HanpaHteHMHM (5, T) ,ąo6aBMTb HarapHJKeHMH (CT, T )ypaBHeHmo (6), npw KOTopoM Ha KOirąe AMCKa KacaTejiŁHŁiepaBHHJTMCŁ 6bl HyJIH).

J^M4)CpepeHu;Majib'Hoe ypaBHeHMe (3) n p w rpaHKHHbix ycjiOBMHX <J> = 0M v2cj> = 0 HBJiHeTCH aHaJioTOTHHbiM K ^jMcpcpepeHmiajibHOMyH3rM6a nJiaCTHHbl (8) CO CBOSoflHO OOepTŁIMM KpaHMM (W === 0). B 9Toii aHajroromM jpojib MCTOHHMKa T e r m a MrpaeT

cjwia. IIosTOMy n p w onpe^ejieHicM cpyHKiiiiiH cf> H HanpasceHMił CT H T M O S C -H O ncnoJib3OBaTŁ M3©ecTHoe p e m e n n e TeopKM njiacTMHOK, a ^oSaaoHHbie

(a, r) onpefflejiMrrb npM IIOMOIUM 4>ymKU)MM 3pon. OSpamaewHH TO, HTO pemeHMe 6yffier cocTO«Tb M3 naicroi peryjiflpHOił

M HacTM ocoSeHHoił rrpiM neat acoSeHHocTb iBbicTynMT TOJIŁKO B cpymcuMM «f>M HanpHHceHnHX (a, T) .

penieHue cjie^ywmMx 3a^aH Aosefleno K

a) 6e3KoraeHHO fljumaibiM n o « c ffiwcKa c OVTCHJHM MCTOHHMKOM

6) 6e3KOHeHHO ,D;JIMHHBIM nO-nC fflMOKa CTenjia, HaxoflnmuMMtCH B oflMHaKOBbix

B ) i ioj iyiroac flMCKa c O ^ H H M MCTOHHMKOM

r) upaMoyroJibHbiM AMCK C O ^ H H M MCTOHHHKOM

The State of Stress in a Thin Plate Due to the Action of Sources of Heat

S u m m a r y

Displacement equations of the theory of elasticity for a plane stresscondition and a fixed temperature field can te represented by one dif-ferential equation (1) in which * denotes the so called displacementheat potential, T — the temperature field, v — the Poisson number,

a _ the coefficient of thermal expansion. The temperature field ds descri-bed by the differential equation (2) in which W derotes the heat sourceintensity (per unit of thickness of he plate), k — ti-e heat conductivity

3 Archiwum Budowy Maszyn

152 w - NOWACKI [321

coefficient, h — the thickness of he plate. The system of equations (1)and (2) can be replaced by one equation (3),

We impose upon the function the boundary conditions <Z> = 0 andV2<5 = 0. They lead to the conclusion that in the edge of the plate the.temperature is T = 0 and. the normal stresses a vanish. Since the edgeof the plate should be1 free from tangent stresses as well, we mustand to tlhe stress condition (a, r) such a stress condition (a, x) satisfyingequation (6), as* would make the1 tangent stresses on the edge of theplate equal to zero.

The differential condition (3) with the boundary conditions 0 = 0and V23> = 0 is fully analogous to the differential equation of deflec-tion (8) of a plate freely supported at the edge (w — 0 and V2to = 0).In this analogy the part of heat source is played by the concentratedforce. That is why in determining the function & and the stresses a, rwe can make use of the known solution from the theory of plates and.determine the additional stress condition a, r by means of the Airyfunction. It should be mentioned that the solution will consist of a re-gular and a singular part, the singularity appearing only in the functionand in the stress condition (a, r),

The following problems have been worked out in a detailed man^ner, the components of the stress condition (<r, T) being determined:

a) an infinitely long strip of plate with one heat source,b) an infinitely long strip of plate with identical heat sources evenly

spaced,c) a semi-infinite strip of plate with one heat source,d) a rectangular plate with one heat source.'