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Argumento
Definição: Um argumento é uma sequência de enunciados(proposições) na qual um dos enunciados é a conclusão e os demais são premissas, as quais servem para provar ou, pelo menos, fornecer alguma evidência para a conclusão.
Argumento Válido
• Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias (interpretações) são válidas (valor verdade verdadeiro), assim toda instância (interpretação) de um argumento válido é uma forma válida.
• Todo argumento válido é uma tautologia.
Argumento Válido
• Um argumento válido é aquele que é logicamente impossível que sua conclusão tenha valor verdade falso enquanto suas premissas tenham valor verdade verdadeiro.
𝑝1 , 𝑝2, 𝑝3, … … . 𝑝𝑛 ⊨ 𝑞
Se 𝑝1 = 𝑉 𝑒 𝑝2 = 𝑉 𝑒 𝑝3 = 𝑉 𝑒 … 𝑝𝑛 = 𝑉, a conclusão 𝑞 = 𝑉
• Para determinar se um argumento é válido usando tabela verdade, usa-se o conceito de linha crítica:
“Denomina-se linha crítica à linha da tabela verdade na qual todas as premissas são
verdadeiras, e, nesse caso deve-se verificar se a conclusão do argumento é verdadeira”
Argumento Válido
• A análise do “conclui-se que” ⊨ é feito com o operador → .
Observe a tabela verdade de 𝑝 → 𝑞
Argumento Válido
Se 𝑝 é verdade, 𝑞 tem que ser verdade para que 𝑝 → 𝑞 seja verdadeira
Se 𝑝 é verdade e 𝑞 é falso então 𝑝 → 𝑞 É falsa
Se 𝑝 é falsa então 𝑞 sendo verdadeira ou falsa sempre 𝑝 → 𝑞 será verdadeira
Se 𝑞 é falsa , 𝑝 tem que ser falsa para que 𝑝 → 𝑞 seja verdadeira
• Exemplo: Determinar a validade de (𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ), (¬𝑟) ⊨ (𝑝 ∨ 𝑞).
• Para todas as linhas críticas do argumento conclusão é verdadeira,
portanto o argumento é válido.
Argumento Válido
• Exemplo: Determinar a validade de 𝑝 → 𝑞 ∨ ¬𝑟 , 𝑞 → 𝑝 ∧ 𝑟 ⊨ (𝑝 → 𝑟).
• As linhas críticas são: 1 – 4 – 7 – 8, na linha 4 a conclusão é falsa, portanto o
argumento é inválido
Argumento Válido
• Exemplo: Determinar a validade de 𝑝 → 𝑞 , 𝑞 → 𝑟 , 𝑟 → 𝑝 ⊨ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟.
• Não é necessário calcular todas as conclusões, apenas para as linhas críticas. • As linhas críticas são: 1 - 8, na linha 8 a conclusão é falsa, portanto o argumento é
inválido.
Argumento Válido
• Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias(interpretações) é inválida (valor verdade falso).
Argumento Inválido
• Uma forma de argumento é uma contradição se todas suas instâncias (interpretações) são falsas, assim toda instância (interpretação) de um argumento contraditório é uma forma falsa.
• A contradição também é chamada de insatisfazível ou inconsistente.
Argumento Contraditório
• Se uma expressão assume o valor verdade verdadeiro em alguma instância (interpretação), é dita satisfazível, ou consistente.
– As tautologias são exemplos de expressões satisfazíveis.
• Uma expressão é uma tautologia se para toda instância (interpretação) o valor verdade é verdadeiro.
• Toda tautologia é satisfazível, mas, nem toda expressão satisfazível é uma tautologia.
Satisfazível e Tautologia
• Uma expressão é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida (valor verdade falso).
• Uma expressão é uma contradição se todas as suas instâncias (interpretações) são falsas.
• Toda contradição é inválida, mas, nem toda expressão inválida é contraditória.
Contraditória e Invalidade
• P implica semanticamente 𝑄 ou 𝑄 é uma consequência lógica de P, se, e somente se, para toda interpretação I, se I P = V, então I 𝑄 = 𝑉.
P ⊨ 𝑄
Seja: P = 𝑝 ∨ 𝑞 , (¬𝑝) e 𝑄 = 𝑞
𝑝 ∨ 𝑞 , (¬𝑝) ⊨ 𝑞
• Para toda interpretação onde “ 𝑝 ∨ 𝑞 , (¬𝑝)” é verdadeiro, "𝑞“ deve ser verdadeiro também.
Implicação semântica
• P equivale semanticamente 𝑄 se e somente se, para toda interpretação I, se I P = I 𝑄 .
Seja: P = (𝑝 → 𝑞) e 𝑄 = ¬𝑝 ∨ 𝑞 Para toda interpretação I: I P = I 𝑄 . Pode se verificar usando a tabela verdade com operador ↔
(𝑝 → 𝑞) ⟺ ¬𝑝 ∨ 𝑞
• Para todas as linhas da tabela as duas expressões mantém o mesmo valor verdade. Obtém-se uma tautologia sob operador ↔
• Isto significa que pode ser escrito de forma indistinta (𝑝 → 𝑞) ou ¬𝑝 ∨ 𝑞 pois elas expressam o mesmo raciocínio lógico.
• No contexto do português seriam sinônimos.
Equivalência semântica