ari fadli_laplace
DESCRIPTION
Kuliah MATEK2..TRANSCRIPT
![Page 1: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/1.jpg)
Laplace
Ari Fadli, S.T.Department of Electrical Engineering and Information TechnologyFaculty of TechnologyPost Graduate Gadjah Mada University, [email protected]
![Page 2: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/2.jpg)
OUTLINES
Sekilas Info Definisi Sifat-sifat Transformasi Laplace Transformasi Laplace
![Page 3: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/3.jpg)
Sekilas Info
Pierre-Simon LAPLACE
1749 – 1827
Ahli Matematika dari Perancis
![Page 4: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/4.jpg)
Definisi
js
dsesXj
tx
dtetxsX
j
j
st
st
).(2
1)(
).()(0
Pasangan transf Laplace dua-sisi:
Variabel komplex
![Page 5: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/5.jpg)
Sifat2 Transformasi Laplace
Linearitas Penggeseran waktu Penggeseran frekuensi Pengubahan skala Diferensiasi dlm lingkup waktu & frek Integrasi dlm lingkup waktu & frekuensi Keberkalaan waktu Teorema nilai awal & nilai akhir Konvolusi dlm lingkup waktu & frekuensi
![Page 6: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/6.jpg)
Transf Laplace dr Sinyal2 Umum
Transfomasi Laplace dari sinyal undak sinyal landai sinyal waktu pangkat n: tn sinyal impuls sinyal impuls yang tergeser sinyal eksponensial sinyal eksponensial yang dikali tn sinyal sinusoidal: sinus & cosinus sinyal sinusoidal yang dikali eksponensial
![Page 7: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/7.jpg)
Transf Laplace dr Glmbang2 Umum Transformasi Laplace dari bentuk-gelombang pulsa kotak bentuk-gelombang landai yang tergeser bentuk-gelombang segitiga bentuk-gelombang kotak yang periodik bentuk-gelombang sinus yang disearahkan
sebagian
![Page 8: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/8.jpg)
Transformasi Laplace
x(t) X(s) ROC
δ(t) 1 Semua s
u(t) Re(s)>0
tn u(t)Re(s)>0
e-at u(t) Re(s)+Re(a)>0
u(t) Cos ω0tRe(s)>0
u(t) Sin ω0tRe(s)>0
s1
1
!ns
n
as 1
20
2 s
s
20
20
s
![Page 9: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/9.jpg)
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Kelinearan a x(t) + b y(t) a X(s) + b Y(s)
Penskalaan x(at)
Geseran waktu x(t-a) e-sa X(s)
Geseran frekuensi e-at x(t) X(s+a)
Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)
a
sX
a
1
![Page 10: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/10.jpg)
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Konvolusi frekuensi (modulasi)
x(t) y(t)
Diferensiasi frekuensi
(-t)n x(t)
Diferensiasi waktu
Untuk TL dua sisi
)(*)(2
1sYsX
j
)(sXds
dn
n
)(txdt
dn
n
1
0
)()0(
1)(n
k
kknn xssXs
)(sXsn
![Page 11: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/11.jpg)
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Integrasi waktu
Teorema nilai awal
Teorema nilai akhir
0
)( dttxs
sX )(
dttx )(
0
)(1)(
dttxss
sX
)(lim0
txt
)(lim ssXs
)(lim0
ssXs
)(lim txt
![Page 12: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/12.jpg)
Persamaan differensial penyelesaian yang mengandung beberapa konstanta integrasi anu (unknown) A,B,C,dst. syarat dan ketentuan berlaku
Metode lebih sederhana transformasi Laplace.
Jika f(x) adalah suatu pernyataan dalam x yang terdefinisi untuk x ≥ 0, maka transformasi Laplace dari f(x), dinotasikan dengan L{f(x)} didefinisikan sebagai :
s : variabel yang nilainya dipilih agar integral semi infinit selalu konvergen.
Transformasi Laplace dari f(x) = 2 untuk x ≥ 0?
![Page 13: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/13.jpg)
s < 0 e-sx → ∞ ketika x → ∞
s = 0 L{2} tidak terdefinisi
maka :
Jika k adalah sembarang konstanta maka :
Bagaimana transformasi Laplace dari f(x) = e-kx, x ≥ 0 di mana k adalah konstanta ?
![Page 14: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/14.jpg)
Karena :
Jika s + k > 0 s > - k
![Page 15: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/15.jpg)
Transformasi Laplace Transformasi Laplace InversInvers
tidak ada definisi integral yang sederhana dari transformasi invers, jadi anda harus bekerja dari belakang ke depan :
Kemampuan untuk mencari transformasi Laplace dari suatu pernyataan dan kemudian menginverskannya inilah yang membuat transformasi Laplace sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan differensial.
![Page 16: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/16.jpg)
Apakah transformasi Laplace invers dari
Ingat :
dapat dikatakan bahwa :
maka ketika k = -1;
![Page 17: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/17.jpg)
Rangkuman
1. Transformasi Laplace dari f(x), dinotasikan dengan L{f(x)}, didefinisikan sebagai :
2. Jika F(s) adalah transformasi Laplace dari f(x) maka f(x) adalah transformasi Laplace invers dari F(s).
s suatu variabel yang nilainya dipilih sedemikian rupa sehingga integral semi infinitnya konvergen
Tidak ada definisi integral yang sederhana dari transformasi invers Tabel transformasi Laplace
![Page 18: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/18.jpg)
Pecahan Parsial X(s) Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
nk
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
AsX
pspsps
sPsX
kps
k
n
n
n
k
,...2,1
)().(lim
)(...
)()()(
))...()((
)()(
2
2
1
1
21
tpn
tptp neAeAeAtx ...)( 2121
x(t) menjadi :
![Page 19: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/19.jpg)
Pecahan Parsial X(s) Q(s) mempunyai akar rangkap
kk
k
ps
rk
pslr
lr
kl
kps
k
n
n
rr
nr
sXpsds
d
lrA
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
A
ps
A
ps
AsX
pspsps
sPsX
)(.)(lim)!(
1
)().(lim
)(...
)(
)(...
)()()(
))...(()(
)()(
2
2
1
12
1
12
1
11
21
![Page 20: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/20.jpg)
Sistem LTI dengan penyelesaian Pers Diferensial koefisien konstan
Sistem mempunyai hubungan
Sistem LTISistem LTISistem LTISistem LTI x(t) y(t)
j
jm
jj
n
ii
i
i
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
dt
xdb
dt
yda
atau
bdt
dxb
dt
xdb
dt
xdb
adt
dya
dt
yda
dt
yda
00
011
1
1
011
1
1
...
...
![Page 21: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/21.jpg)
Sistem LTI dengan Pers Diferensial
Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui
1. x(t) untuk t>0
2. y(0-),y´(0-),...,y(n-1)(0-)
3. x(0-),x´(0-),...,x(m-1)(0-)
Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya dipakai keadaan awal x(0),x´(0)... Walaupun ini juga beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.
![Page 22: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/22.jpg)
Transformasi Laplace
Contoh soal
0
2)(
32
2
1)(
2
1
3)2)(1(
4
22)3)(1(
4
2
3
1)3)(2(
4
321)(
)3)(2)(1(
4)(
3212
23
21
23
3
2
1
321
t
eeetx
ssssX
sss
sA
sss
sA
sss
sA
s
A
s
A
s
AsX
sss
ssX
ttt
![Page 23: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/23.jpg)
Transformasi Laplace
Contoh soal
12
12
1
)22(
2)2()()(
)22(
)()22()(
22)(
)22(
1)(
3
2
1
2131
221
232
21
2321
2
A
A
A
sss
AsAAsAAsX
sss
AsAsssAsX
ss
AsA
s
AsX
ssssX
![Page 24: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/24.jpg)
Transformasi Laplace
0
)()()(
1)1(
1
2
1
1)1(
1
2
1)(
1)1(
2
2
1)(
22
1)(
21
21
21
22222
1
222
1
221
21
t
tSinetCosetx
ss
s
ssX
s
s
ssX
ss
s
ssX
tt
![Page 25: Ari Fadli_Laplace](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081420/5571fa214979599169915b05/html5/thumbnails/25.jpg)
Transformasi Laplace
0
2)(
)2(
2
2
1
1
1)(
221)!22(
1
12)1(
1
21)!12(
1
11)2(
)2(21)(
)2)(1()(
22
2
12
211
21
212111
2
t
teeetx
ssssX
ss
sA
ssss
s
ds
dA
ss
sA
s
A
s
A
s
AsX
ss
ssX
ttt