arith

18
1 . I 1 ( : bوa . b a k a kb = . / b a . : * / b a b a b . * b { } ..., 2, ,0, ,2 ,... b b b b - - { } / kb k : b .* ( 1/ a a 2200 ) 1. a a = ( . ( 1/ a a 2200 - ) ( 1. a a =- - ( . ( /0 a a 2200 ) 0 0. a = ( . 0/0 ) 0 0 2 = × ( . 0 a × ( * a 2200∈ * * b وa / b a / b a k a kb = : a kb = 0 a 0 k * k 1 k bk b a b : 0 / a b a b a . * ( / a a a 2200 . ( / a a a 2200 2 ( : 1 a : 1. a a = / aa . ( / a aa 2200 . 2 cوbوa / / ab bc / ab k b ka = / bc k c kb = c k ka = / ac ( 29 ( 29 3 / , , / / ab abc ac bc 2200 ( . 3 bوa / / ab b a / ab k b ak = / b a k a bk = a kk a = * 0 a = 0 b = a b = * 0 a 1 kk = /1 k 1 1 1 . 1 k = 1 k =- 1 k = 1 k = 1 k =- 1 k =- 1 1 k k = = 1 1 k k =- =- a b = a b =- a b = : (* ( . ( 29 / a aa 2200 (* ( . : ( 29 ( 29 3 / , , / / ab abc ac bc 2200 (* ( 29 ( 29 2 / , / ab ab a b b a 2200 = (* ( 29 ( 29 2 / , / ab ab a b b a 2200 = ( . 3 ( a ( : * b وa ( , qr × : . 0 a qb r r b = + : * b وa 1 Existence : : { } / A k kb a = * 0 A A ≠∅ * k A : kb a * b 1 b kb k k a ( k A k a 2200∈ A a . * A . A . q MaxA = r a bq = - * ( , qr : r a bq = - . a bq r = + 0 r b q MaxA = q A qb a 0 a qb - 0 r q MaxA = ( 1 q A ( 1 q ba a bq b + a bq b - rb

Upload: alayachi

Post on 30-Jan-2016

212 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Maths

TRANSCRIPT

Page 1: Arith

1

� � �����

���� ���� � .������

I� �� ���� ������ � 1 (�����:

����bوa �� � . �� ��b ��� a ��� ��� ��k �� � ����a kb= . ����/b a.

������:

* ��� ���/b a �� ���� �� b �� a !��"� b. * ��#��"� $����b %& { }..., 2 , ,0, ,2 ,...b b b b− −

%�'�{ }/kb k ∈�� �(� )�*� :b�

.*( ) 1/a a∀ ∈� ) �,1.a a= (

. ( ) 1/a a∀ ∈ −� ) �,( )1.a a= − −(

. ( ) / 0a a∀ ∈� ) �,0 0.a=( . 0 / 0 ) �.� �,0 0 2= ×( . 0 a× ( )*a∀ ∈�

* ����*b ∋aو ∈� � ���� /b a �����/b a ��� ��� k ∈� ���� a kb=

��� :a k b=

�����0a ≠ ��� 0k ≠ ��� *k ∈�

%�'� 1k ≥

��� b k b≥

%�'� a b≥

���: 0

/

ab a

b a

≠⇒ ≤

. *( ) /a a a∀ ∈�

. ( ) /a a a∀ ∈�

2 (���� ������ ���!�": 1/ ���� a ∈������ :1.a a= ��� /a a.

��� ( ) /a a a∀ ∈� $����� $�0�� $ �� �� ��$����'��.

2/ ���� cوbوa �� � ���� /

/

a b

b c

�����/a b ��� ��� k �� � ���� b ka= �����/b c ��� ��� k ′ �� � ���� c k b′=

12 c k ka′= ���/a c

��� ( )( )3 /, , /

/

a ba b c a c

b c

∀ ∈ ⇒

$ �'�� �� ��( )$��'�� .

3/ ���� bوa �� ����� /

/

a b

b a

�����/a b ��� ��� k �� � ���� b ak= /b a ��� ��� k ′ �� � ���� a bk ′=

%�'�a kk a′= * ��� ��0a = �34 0b = ��� a b= * ��� ���0a ≠ �34 1kk ′ =

���/1k �� �2 0'� 1 %& 1 1/. ���1k = 2 1k = −

��� ���1k = �34 1k ′ = ��� ���1k = − �34 1k ′ = −

���1

1

k

k

= ′ =

2 1

1

k

k

= − ′ = −

���a b= 2 a b= − ���a b=

��!�": (* $ �'�� ( )$����'�� . %�'�( ) /a a a∀ ∈�

(* $ �'��( )$��'�� .%�'� :( )( )3 /, , /

/

a ba b c a c

b c

∀ ∈ ⇒

(*( )( )2 /,

/

a ba b a b

b a

∀ ∈ ⇒ =

(*( )( )2 /,

/

a ba b a b

b a

∀ ∈ ⇒ =

$ �'�� �� $����� 5�& %4 ��( )$�#��6� .

3 ( �� ��#���$ ����� a( �� ��#���$ ���� �

��%���: ����*b ∋aو ∈� �

��� 7) ���( ),q r ∈ ×� ����� :.

0

a q b r

r b

= + ≤ ≤

��%��: ����*b ∋aو ∈� �

1� Existence: $������ *��'� :{ }/A k kb a= ∈ ≤�

* �����0 A∈ ��� A ≠ ∅ * ����k A∈����� : kb a≤

�����*b ∈� %�'� 1b ≥ 12 kb k≥ ���k a≤

��� ( )k A k a∀ ∈ ≤ ���A � 8*��� a. * �����A ⊂ � .� ��A*9�� *��,� ��� . :"�q MaxA= r a bq= − * �2 �����( ),q r��;*<�� =��� :

�����r a bq= − ��� .a b q r= + �2 �����0 r b≤ ≤

�����q MaxA= ��� q A∈ >�� qb a≤ %�'� 0a qb− ≥

���0 r≤ �����q MaxA= ��� ( )1q A+ ∉

��� ( )1q b a+ ⟩ %�'� a bq b⟨ +

12 a bq b− ⟨ %�'� r b⟨

Page 2: Arith

2

>�� 0 r b≤ ≤

7) ��� ���( ),q r ∈ ×� ����� :0

a bq r

r b

= + ≤ ⟨

2 (L’unicité: ���) ��� >�2 ?*�#�( ) ( ), ,q r qو r′ ′ �� ×� �

����0

a bq r

r b

= + ≤ ⟨

0

a bq r

r b

′ ′= + ′≤ ⟨

�����: bq r bq r′ ′+ = + ( )b q q r r′ ′− = −

��� :.b q q r r′ ′− = −

�����0

0

r b

r b

≤ ⟨ ≤ ⟨

%�'� 0

0

b r

r b

− ⟨− ⟨ ′≤ ⟨

��� :b r r b′− ⟨ − ⟨ %�'� :r r b′ − ⟨

%�'� :b q q b′− ⟨

%�'� :b q q b′− ⟨

%�'� :1q q′− ⟨

�����q q′− ∈���� 0q q′− = %�'� q q′=

>��0r r′− = %�'� r r′ =

��� ( ) ( ), ,q r q r′ ′=

��� 7) ��� %������( ),q r ∈ ×� � =��� 0

a bq r

r b

= + ≤ ⟨

b( �� ��#���$ ���� �: ��%��� :

����a ∈� *b ∈�

��� 7) ���( ),q r �� ( )� ����� :.

0

a q b r

r b

= + ≤ ⟨

��%��: ����a ∈� *b ∈�

1 (Existence: * ��� ���a ∈�;*<�� =��� ��� 7) ��� >�34 . * ��� ���*a −∈� �34 *a− ∈�

��� 7) ��� ���( ),q r′ ′ �� ( )×� ����� :

0

a bq r

r b

′ ′− = + ′≤ ⟨

�����( )a b q r′ ′= − −

��� ���0r′ = �34 ( )a b q= − :"�q q′= − 0r = ��� ���0r′ ≠

�34 ( )a b q r′ ′= − −

( )b q b b r′ ′= − − + −

( ) ( )1a b q b r′ ′= − − + −

:"�1

r b r

q q

′= − ′= − −

����� a bq r= +

�����0 r b⟨ ⟨ %�'� 0 b r b′⟨ − ⟨ ��� 0 r b⟨ ⟨

��� 0 r b⟨ ⟨

* 7) ��� %������( ),q r���� :0

a bq r

r b

= + ≤ ⟨

2 (L’unicité:

7)�� �2 ���� $������ $��*;�� @#��( ),q r��� .

II( #�#��� ����� n: 1 (�����:

����n ∈� bوa �� � �� ��a =4�� b��*�� �n ��� ��� ;�4 ���

/n a b− ���� [ ]a b n≡

�& '�:

[ ]

( )/a b n n a b

k a b nk

a nk b

≡ ⇔ −

⇔ ∃ ∈ − =⇔ = +

2 (���!�": 1/ ���� n ∈�

(*( ) [ ]a a a n∀ ∈ ≡� ����'�� $�4���� $ �� ���$.

(* ����bوa �� � ���� [ ]a b n≡ ���/n a b− ��� %�'� k �� ����� :a b nk− =

���( )b a n k− = −

���/n a b− >�� [ ]b a n≡

��� [ ] [ ]a b n b a n≡ ⇒ ≡ :%0.��� $�4���� $ ��.

(* ����bوa �� ����� :[ ][ ]

a b n

b c n

≡ ≡

�����[ ]a b n≡ ��� )1 (a b kn− = :� k �� �.

[ ]b c n≡ ��� )2 (b c k n′− = :� k ′∈�.

��)2) + (1 ( B�����( )a c k k n′− = + ��� /n a c− 12

[ ]a c n≡

���: [ ][ ] [ ]a b n

a c nb c n

≡⇒ ≡ ≡

��� $ ���$��'�� $�4.

��!�")1:( $��'�� $�0.��� $����'�� $�4��� $ ��.

C4��� $ �� $�4���� $ �� �� ��.

%�'�:

( )( ) [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]

3, , *

*

*

a b c a a n

a b n b a n

a b na c n

b c n

∀ ∈ ≡

≡ ⇒ ≡

≡⇒ ≡ ≡

��!�") 2:( ����*n ∈�

��� �a �� � ���*�� =4�� n D0� >��� % �� n ��� %�'� ���r $�� % �� & a D0� n �34 [ ]a r n≡.

��%��:

����� 0

a nq r

r n

= + ≤ ⟨

Page 3: Arith

3

���a r nq− = >��/n a r− ��� [ ]a r n≡

��!�")3:( ����*n ∈� bوa �� �. ����r $�� % �� a D0� n r′ $�� % �� b D0� n. �����: [ ]a b n r r′≡ ⇔ =

��%��:

�����: 0

a nq r

r n

= + ≤ ⟨

0

b nq r

r n

′ ′= + ′≤ ⟨

* �2 ?*�#�r r′=

�2 0'�[ ][ ]

a r n

b r n

≡ ′≡

[ ][ ]

a r n

b r n

≡ ≡

r r′= ���[ ]a b n≡

* �2 ?*�#�[ ]a b n≡ �2 ����� r r′=

�����[ ][ ]

a r n

b r n

r r

≡ ≡ ′=

���[ ]r r n′≡

12.r r k n′− = :� k ∈� ���r r k n′− =

����� 0

0

r n

r n

≤ ⟨ ′≤ ⟨

���n r r n′− ⟨ − ⟨ 12r r n′− ⟨

%�'�k n n⟨

���1k ⟨

�����k ∈� ��� 0k = >��0r r′− = ��� r r′=

��!�")4:( ����n ∈�

1 (( )( ) [ ][ ]

[ ][ ]

4, , ,. .

a b n a c b d na b c d

c d n a c b d n

≡ + ≡ + ∀ ∈ ⇒ ≡ ≡ �

2 ( ����2 1 2 1... , ... ,n nb b b aو a a �� �

{ }( ) [ ][ ]

[ ]1 1

1 1

1,2,...,

n n

i ii i

i i n n

i ii i

a b n

i n a b n

a b n

= =

= =

≡∀ ∈ ≡ ⇒ ≡

∑ ∑

∏ ∏

3( ( )( ) [ ] [ ][ ]

3, ,. .

a c b c na b c a b n

a c b c n

+ ≡ +∀ ∈ ≡ ⇒ ≡�

4 (( )( )( ) [ ] [ ]2, : n na b n a b n a b n′ ′′∀ ∈ ∀ ∈ ≡ ⇒ ≡� �

��%��: D0� �&*��� )1(

�2 ?*�#�[ ][ ]

a b n

c d n

≡ ≡

* �����[ ]a b n≡ %�'� ( ) ( )1k a b kn∈ − =�

[ ]c d n≡ ��� ( ) ( )2k c d k n′ ′∈ − =�

�6 ��)1) + (2 (���: ( ) ( ) ( )a c b d k k n′+ − + = +

��� [ ]a c b d n+ ≡ +

* �� �����)1 :( ( )c a b ckn− =

�� )2:( ( )b c d bk n′− =

��4*;�� :��� :( )ac bd n ck bk ′− = +

��� :nac bd−>�� [ ]ac bd n≡

�& '�: ���� n∈� a �� �. ( ) [ ]k a a nk n∀ ∈ ≡ +�

����)� �����: 1 (�2 �����: ( ) 27 / 3 2n nn∀ ∈ −�

�& '�: [ ]/ 0n a a n⇔ ≡ �����:

[ ]

[ ][ ]

23 9 7

9 7 7

2 7

≡ −

���[ ]23 2 7≡

���[ ]23 2 7n n≡

���( ) 2: 7 / 3 2n nn∀ ∈ −�

2 ( �2 �����2 1 3 217 / 3.5 2n n− −+ �� n �� *�

�����:

( )

( )

2 1 12 1

2 1

5 5

5 5

nn

n

− +−

=

= ×

�����:

[ ]

[ ][ ]

2

2 3

5 25 17

8 17

5 2 17

��� :( ) ( ) [ ]2 1 3 15 2 17n n+ −≡

%�'� : ( ) ( ) [ ]2 1 3 15.5 2 5 17n n− −≡ ×

%�'�: ( ) [ ]3 12 15 2 5 17nn −− ≡ ×

%�'�: ( ) [ ]3 12 13.5 2 15 17nn −− ≡ ×

%�'�: [ ]2 1 3 2 3 3 3 23.5 2 2 15 2 17n n n n− − − −+ ≡ × +

%�'�: ( )[ ]2 1 3 2 3 33.5 2 2 15 2 17n n n− − −+ ≡ +

%�'�: ( )[ ]3 32 17 17n−≡

��� : [ ]2 1 3 23.5 2 0 17n n− −+ ≡

���( )* 2 1 3 217 / 3.5 2n nn − −∀ ∈ +�

3 (*��+� ���!, ����-�: a(����� : ���� a ∈� ���� x ∈�

C4��� !�9 %���x � �(� )�*� %��� $������ x 2 x� %0� ��� $4*'���:

[ ]{ }/x y y x n= ∈ ≡�

� !��9,� 5�& $����� )�*� :n��

Page 4: Arith

4

[ ]{ }

{ }/ 3

/ 3 /

x y y x

y y x k k

= ∈ ≡

= ∈ = + ∈

� �

���{ }/ 3 /x y y x k k= ∈ = + ∈� �

{ }{ }

0 3 /

..., 9, 6, 3,0,3,6,9,...

k k= ∈

= − − −

{ }{ }{ }{ }{ }{ }

1 1 3 /

..., 8, 5, 2,1,4,7,10,...

2 2 3 /

..., 7, 4, 1,2,5,8,11,...

3 3 3 /

..., 6, 3,0,3,6,9,... 0

k k

k k

k k

= + ∈

= − − −

= + ∈

= − − −

= + ∈

= − − =

b(���!�" : 1/ ���� x ∋nو ∈� �

[ ]{ }

[ ]/

/

x y y x n

y x y x n y x nk k

= ∈ ≡

∈ ⇔ ≡ ⇔ = + ∈

���: { }/x x nk k= + ∈�

2/ ���� n ∈� yوx �� � �2 �����: [ ]x y x y n= ⇔ ≡

*⇐ ( �2 ?*�#�[ ]x y n≡ �2 ����� x y=

[ ][ ] [ ]( )

z x z x n

z y n x y n

z y

∈ ⇔ ≡

⇔ ≡ ≡

⇔ ∈

��� x y= *⇒ ( �2 ?*�#�x y= �2 ����� [ ]x y n≡

�����x y= 7� ��� ��������z� ���� z x∈ z y∈

��� [ ][ ]

z x n

z y n

≡ ≡

��� [ ]x y n≡

3/ ���� yوxوn ∈� �� � ���� [ ]x y n≡ �2 ����� :x y = ∅∩

/ �2 ?*�#� x y ≠ ∅∩

��� ���z x y∈ ∩ ��� [ ][ ]

z x n

z y n

≡ ≡

��� [ ]x y n≡

E��9 *�F ��& . ���x y = ∅∩

��!�": ����n ∈� yوx �� � 1 ({ }/x x nk k= + ∈�

2 ([ ]x y x y n= ⇔ ≡

3 ([ ]x y x y n= ∅ ⇔ ≡∩ ��9#�� 2 ����;�� C4��� %#�9 �2 %�'� ��&.

4/ ����� n��

:� *n ∈�

�2 �����( ){ }0, 1, 2,..., 1nn = −��

*�����:

( ){ }0, 1, 2,..., 1n n− ⊂ ��

* �2 �����( ){ }0, 1, 2,..., 1nn ⊂ −��

����x n∈��

$�� *��'�x D0� n . ����r $�� % �� & a D0� n

12 :0

x nq r

r n

= + ≤ ⟨

�2 0'�[ ]x r n≡ ��� x r=

����� :{ }0,1,2,..., 1r n∈ −

���( ){ }0, 1, 2,..., 1r n∈ −

>��( ){ }0, 1, 2,..., 1nn ⊂ −��

%������ : ( ){ }0, 1, 2,..., 1nn = −��

* �����card n��

����r } �� ′rو }0,1,2,..., 1n − ���� r r′≠ �2 �����r r′ ≠

�2 ?*�#�r r′ = %�'� :[ ]r r n′≡

%�'� :/r r kn k′− = ∈� 12 r r k n′− =

����� 0

0

r n

r n

≤ ⟨ ′≤ ⟨

��� r r n′− ⟨

%�'� :k n n⟨

%�'�1k ⟨

�����k ∈� ��� 0k = >��r r′=? ��� ��& . ���r r′ ≠

%������: Card nn =��

$�9�6: ����*n ∈�

(* Card nn =��

(* ( ){ }0, 1, 2,..., 1nn = −��

c( �� .�/� 0�- n��

:

����Y X �� nو��

�2 ?*�#� : X x x′= = : Y y y′= =

���[ ][ ]

x x n

y y n

′ ≡ ′≡

��� [ ]

[ ]x y x y n

xy x y n

′ ′ + ≡ + ′ ′≡

��� x y x y

xy x y

′ ′+ = +

′ ′=

��� :"� x y x y

xy xy

+ = +

=

%�'�: .

x y x y

x y xy

+ = +

=

Page 5: Arith

5

�����: %4 *"�� :���� !�*'�n

��

%0� ��� :

.

x y x y

x y xy

+ = +

=

1���: %4 �*"�� :���� �� :"6

��

/����� : { }0, 1, 2, 3, 4, 56 =��

5 4 3 2 1 0 + 5 4 3 2 1 0 0 0 5 4 3 2 1 1 1 0 5 4 3 2 2 2 1 0 5 4 3 3 3 2 1 0 5 4 4 4 3 2 1 0 5 5

5 4 3 2 1 0 x 5 4 3 2 0 0 0 0 5 4 3 1 0 1 4 2 0 4 2 0 2 3 0 3 0 3 0 3 2 4 0 2 4 0 4 1 2 3 4 5 0 5

����)� �����:

(* %4 ��$���'��� : [ ]4 2 6x ≡

%4 �����6��

:

[ ]4 2 6 4 2

4. 2

x x

x

≡ ⇔ =

⇔ =

) ���� �6 �� ( 2

5

x

x

=⇔

=

[ ] [ ]

( )2 6 5 6

2 6 5 6

x أو x

x kأو x k k

⇔ ≡ ≡

⇔ = + = + ∈�

��� :{ }2 6 ,5 6 /S k k k= + + ∈� (* %4 ��$���'��� :

[ ]3 1 5x ≡

����� %45��

[ ]3 1 5 3 1

3. 1

x x

x

≡ ⇔ =

⇔ =

�����: { }0, 1, 2, 3, 45 =��

�2 B����� ?�'����: 2x =

%�'� [ ]2 5x ≡ %�'� 2 5x k= + ��� { }2 5 /S k k= + ∈�

���!�":

(* %4 �������� �*"�� :����n��

(* %4 :��0� $������ %'�)� �*"��n��

(*0:��0� $������ ������� *9�'�� & . (*1�*"0� $������ ������� *9�'�� & . (*x ���� ��� x− � >� )�*� x−.

����� ���9�6�� 5�& G60�( ), ,n + ��

$���� $������ $�0� .

��%��: /�2 ����� ( )+%'���� .

�����:

( ) ( )( ) ( )

( )

x y z x y z

x y z x y z

x y z

+ + = + +

= + + = + +

= + +

��� ( ) ( )x y z x y z+ + = + +

�& '�: ( )( )2, . 0 0 0x y x y x أو y∀ ∈ = ⇒ = =�

#�/� 1��:

%46��

: �����3.4 0=

3 0 4 ≠و0 ≠

III���+$ 2��3� 4��� . 1 (�����:

����bوa �� *�

$������ *��'�{ }* / / /A d d a dو b= ∈�

(* �����A ≠ ∅ ) �,1 A∈( (*�����: ( ) /d A d a∀ ∈

��� d a≤

���A � 8*��� a (* �����A ⊂ � ���A*9�� *��2 ��� .

:"�maxAδ = δ *��,� �*�<��� ����� D��� bوa ����a bδ = ∧.

�����: ����bوa �� *

� *��,� �*�<��� ����� %���bوa �'; ��� �� *��2

��� �*�<�bوa . � >� )�*�a b∧ 2 a b� 2 { }gcd ,p a b

1���:

�����48 36∧ $����� �����48%& :1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,8 ,12 ,16 ,24 ,

48. $����� �����36%& :1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,18 ,36.

$�*�<��� ����� ��� :1 ,2 ,3 ,4 ,6, 12. ���48 36 12∧ =

Page 6: Arith

6

�& '�: (*a b b a∧ = ∧ (* ��� ���0b ≠ :"� 0 b b∧ = (*0 0∧!*'� *�F . (* ��� ���/a b �34 a b a∧ =

(*a b d∧ = %�'� /

/

d a

d b

��� ��� '/

'/

d a

d b

�34 d d′ ≤

2 (���!�": 1/ ���� bوa �� *

� ����d a b= ∧

>�2 ����� ���( ),u v �� � � ���� d au bv= +

*$������ *��'� :{ }/ ,A au bv u v= + ∈�

/ ����� 0A ≠ �, 2 2n a b A= + ∈ / ����� A � 8*I9� 1. / ����� A ⊂ �

����� ���p *F�9 A p A∈ ��� ��� ( ),u v �� 2

� ���� p au bv= + * �2 �����d p=

/ ����� /

/

d a

d b

��� /

/

d au

d bv

��� /d au bv+ %�'� /d p

���d p≤ %�'� ( )1 d p≤ / �2 ����� /p a

$���0 ,� $����� *��'�a D0� p %�'� 0

a pq r

r p

= + ≤ ⟨

�2 �����0r = : �2 ?*�#�0r ≠ ��� 0 r p⟨ ⟨

����� : ( )( ) ( )1

r a pq

a au bv q

a uq b Vq

= −= − +

= − + −

�����*

r aU bV

r

= + ∈ �

��� r A∈ ����� r p⟨ sinp A=

? ��� ��& . ���0r =. >��/p a

�2 ���� $��*;�� @#��/p b ���p �*�<� �� bوa a b d∧ =

���( )2 p d≤

��)1 ( )2 (�2 B����� :p d= ���: d au bv= +

��!�")1:( �� ��* ���������bوa�

��� ���a b d∧ = 7) ��� >�34 ( ),u v �� 2����� :

d au bv= + �& '�:

����* ���������bوa� ���� d a b= ∧ *� ��'�d �< D0� ���� �'�� *�F %'��; ��� *I92 &

d au bv= +. * 7)��( ),u v���� @�� .

2/ ���� * ���������bوa� d a b= ∧

�2 ����� : '/

'/'/

d ad d

d b

* (⇐ ( �2 ?*�#�'/d d

�����/

/

d a

d b

��� :'/

'/

d a

d b

(*⇒ ( �2 ?*�#�'/

'/

d a

d b

�����d a b= ∧ ��� d au bv= + :� ( ) 2,u v ∈�

�����'/

'/

d a

d b

�2 '/

'/

d au

d bv

��� '/d au bv+ %�'� '/d d

��!�")2:( ����* ���������bوa� d a b= ∧

�����: '/

'/'/

d ad d

d b

$�*�<��� ����� �2 %�'� ��&bوa �� ;�"��� %& d

'/

'/'/

d ad a b

d b

⇔ ∧

�& '�: ����* ���������bوa� (*�����: a b a b a b a b∧ = ∧ = ∧ = ∧

��&*�: ����2 �� :a b a b∧ = ∧

:"�d a b= ∧ d a b′ = ∧

/ ����� d a b= ∧ ��� /

/

d a

d b

����� :/

/

a a

b b

��� /

/

d a

d b

%�'� /d a b∧

%�'�( )1 / 'd d

/ ����� d a b′ = ∧ ��� '/

'/

d a

d b

����� /

/

a a

b b

���'/

'/

d a

d b

%�'� '/d a b∧ %�'� ( )2 '/d d

��)1( )2 ( �2 B�����d d ′=

���: a b a b∧ = ∧ (* *��,� �*�<��� ����� ����� =*; �� ����� %I0� ���

����� ����'�.

5 (5#��� ���6���": ��!�")1 (

����bوa �� *�

��� ���r $�� % �� & a D0� b%�'� :0

a bq r

r b

= + ≤ ⟨

�34a b b r∧ = ∧

Page 7: Arith

7

��%��:

�����0

a bq r

r b

= + ≤ ⟨

�2 ����� a b b r∧ = ∧

:"� :d b r dو a b′ = ∧ = ∧ . �2 �����d d ′=

/����� :'/

'/

d a

d r

��� '/

'/

d bq

d r

��� '/d bq r+

%�'� '/d a

���'/

'/

d a

d b

%�'� '/d a b∧ %�'� ( )1 '/d d

/ ����� /

/

d a

d b

��� /

/

d a

d bq

��� /d a bq− %�'�

/d r ���

/

/

d b

d r

%�'� :/d b r∧ %�'�

( )2 / 'd d

��)1 ( )2 ( �2 B�����d d ′= �2 ���dوd ′ �34 �'; ���� d d ′=

%�'� a b b r∧ = ∧ �& '�:

�� �'��� ��&*��� %40 r b≤ ⟨ .#9� ���$��� $: ��� ���a bq r= + �34 a b b r∧ = ∧

�.�: �����416 76∧ ����� 76 416

5 36 ���416 76 5 36= × +

���416 76 76 36∧ = ∧ ����� :76 2 36 4= × + ���76 36 36 4∧ = ∧

�����36 9 4 0= × +

��� :4 / 36>�� :36 4 4 4∧ = = %������ :76 36 4∧ =

12 :416 76 4∧ = %����� ���� %4 ��& G60�:

4 36 76 416 9 2 5 0 4 36

�4���: ����bوa �� *

� ���� a b⟩ * $���� ��a D0� b :1 1 10 ,r b a bq r≤ ⟨ = + / ��� ��� 1 0r = �34 /b a ��� a b b∧ = / ��� ��� 1 0r ≠ �34 1a b b r∧ = ∧

$���� ��b D0� 1r :1 2 2b r q r= + J2 10 r r≤ ⟨ /��� ��� 2 0r = �34 1 /r b ��� 1 1b r r∧ = / ��� ��� 2 0r ≠ �34 1 1 2b r r r∧ = ∧

�'�� % �� D0� 9�� D�� $�������� ������� BK��� ���& ) �� �'�� % �� D0� 9��� 1**"�� $��� % ���� 5�& �,

�'; $�9 ���.(

�2 ?*�#�1nr + �'�� % �� 2 . %�'� :1 0 0n nr +rو = ≠

1 1 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2

0

0

a b b r r b a bq r

b r r r r r b r q r

∧ = ∧ ≤ ⟨ = +∧ = ∧ ≤ ⟨ = +

1 1 1n n n nr r q r+ + += + ����� 1 0nr + = ��� 1/n nr r − >��1n n nr r r− ∧ =

���na b r∧ = �'�� *�F % �� *6L & .

��!�": ����* ���������bوa�

������� %4 �'�� *�F % �� *6L & *��,� �*�<��� ����� $�������� ) @��0 2 $��)*�6.( �& '�:

���� %4 BK����� 5�& G60�: ... ... ... 2r 1r b a 3q 2q 1q 0 nr / / 3r 2r 1r

1���: ����� :792 36∧ �����:

4 16 36 792 4 2 21 0 4 16

��� :792 36 4∧ =

4 (�7��� ���� ���$ ##�$: a(����� :

����* ���������bوa� �� ��bوa��� ;�4 ��� ��(��� ���4 ����2 ��� 1a b∧ =

1���: 9 4 1∧ = ���4 2���� ���4 ���)��و9 .

b(���!�" : ��%���)1:( ) $�&*��Bezout(

����* ���������bوa�

( )( )21 , :1a b u v au bv∧ = ⇔ ∃ ∈ = +�

��%��: ⇒ ( �2 ?*�#�1a b∧ =�2 B����� $���� $�9�6 �6 �� :

( )( )2, :1u v au bv∃ ∈ = +�

⇐ ( �2 ?*�#�( )( )2, :1u v au bv∃ ∈ = +� �2 ����� 1a b∧ =

:"�a b d∧ =�2 ����� :1d =

����� :/

/

d a

d b

��� /

/

d au

d bv

��� /d au bv+ 2 1d = −

%�'�/1d ���1d = 2 1d = −

� ����0d⟩ ��� 1d = %�'� 1a b∧ =. 1��� : ����n ∈� :� 1 0n ≠nو − ≠ . ����� : ( )1n n+ ∧

�����: ( ) ( )1 1 1 1n n+ − =

��� ( ) ( )1 1n n+ ∧ =

Page 8: Arith

8

��%���)2( ����cوbوa �� *

� �����( )ac bc c a b∧ = ∧.

��%��: :"�d a b dو ac bc′ = ∧ = ∧

�2 �����d c d ′=

�����'/

'/

d a

d b

����� /c c /

/

c d ac

c d bc

′ ′

%�'�

/c d ac bc′ ∧

%�'�( )1 /c d d′

����� :d a b′ = ∧��� :( )( )2, :u v d au bv′∃ ∈ = +�

���c d c au c bv′ = + ����� :d ac bc= ∧

���d ac

d bc

���d a c

d b c

���d a c u

d b c v

���d a c u b c v+

%�'�: ( )2 d d c′

��)1 ( )2 (�2 B����� :d c d ′= ) ����� ����� ��(�,(

��%���) 3:( ����* ���������bوa� *d ∈�

1

d a et d ba b d a b

d d

∧ = ⇔ ∧ =

��%��:

⇐ ( �2 ?*�#�d a

d b

1a b

d d∧ = ����� a b d∧ =

����� :. .

.1

a b a ba b d d d

d d d d

d d

∧ = ∧ = ∧

= =

���: a b d∧ =

⇒ ( �2 ?*�#�a b d∧ = �2 ����� d a

d b

1a b

d d∧ =

/ �����a b d∧ = ��� d a

d b

/ ���� �a b d∧ = ��� ( )( )2, :u v d au bv∃ ∈ = +�

%�'� :.a b

d d u d vd d

= +

%�'� :a bd d u v

d d = +

%�'� :1a b

u vd d

= +

���( Bezout ) �2 B����� 1a b

d d∧ =

�& '�: ����* ���������bوa� d a b= ∧

:"� :a da

b db

′= ′=

�����

aa

db

bd

′ = ′ =

��� 1a b

a bd d

′ ′∧ = ∧ =

��� ��� ���d a b

a da

b db

= ∧ ′= ′=

�34 1a b′ ′∧ =

��%���)4:( ����* ���������cوbوa�

����� : 1

11

a ba bc

a c

∧ =⇒ ∧ = ∧ =

��%��: �����1a b∧ =��� : ( )( ) ( )2, : 1 1u v au bv∃ ∈ = +�

1a c∧ =��� : ( )( ) ( )2, : 2 1u v au cv′ ′ ′ ′∃ ∈ = +�

��)1) . (2 (�2 B�����: 21 a uu acuv bau v bcvv′ ′ ′ ′= + + +

%�'� ( ) ( )1 a auu cuv bu v bc vv′ ′ ′ ′= + + +

1 aU bcV= + ���( Bezout )�2 B����� :

1a bc∧ = �& '�:

E��9 %��'�� �)0��M�. 8�����:

1/ ���� *2 1...n���������b b bو �aو

{ }( ) 11

1,2,..., 1 1n

i ii

i n a b a b=

∀ ∈ = ⇒ ∧ =∏

2/ ���� * ���������bوa�

( )( )2, 1 1n nm n a b a b∀ ∈ ∧ = ⇒ ∧ =�

��%���)5:( ) $�&*��Gauss( ����* ���������cوbوa�

�����: 1

a c

b c ab c

a b

⇒ ∧ =

�& '�: ��� ���1a b∧ ≠N;�6 �)0��M� �34 :

�.� :6 12

4 12

��� 6.4 12×

��%��: ����� a c ��� c ak= k∃ ∈�

b c %�'� b ak �����1a b∧ = ��� ��� ( Gauss ) �2 B����� b k

��� k bk ′= >�� c abk ′= ���ab c

Page 9: Arith

9

�& '�:

1

2 1 2. ... n

n

a b

a b a a a b

a b

D�.� D�.� �(��� ���4 $��2

��%���)7:( ����* ���������bوa� *n ∈�

[ ] [ ]1

ax ay nx y n

a n

≡⇒ ≡ ∧ =

�& '�: ��� ���1a n∧ +N;�6 �)0��M� �34 .

.� :[ ]3.2 3.4 6≡ ��� [ ]2 4 6≠ ��&*�: �����[ ]ax ay n≡ %�'� n ax ay−

'�%� ( )n a x y−

�����1a n∧ = ��� ��� ( Gauss )�2 B����� : n x y−

%�'�[ ]x y n≡

��� :[ ] [ ]1

ax ay nx y n

a n

≡⇒ ≡ ∧ =

5 ( �#��� 1 ax by c+ = �� �.

a(����, : 1���1: %4 ��� 2

� $���'��� ( )1 3 4 1x y− =.

* �����3 4 1∧ = ��� ��� Bezout : 7) ���( ),u v �� �.

���� :3 4 1u v+ = %�'� :( )3 4 1u v− − =

���( ),u v− $���'�0� � )1 (

$���'��� %������)1 ( ,� D0� �� ���. * $���'�0� G�6 � �� �����)1.(

�2 ����( )1, 1− − $���'�0� � )1.( *0��� :��� �����:

����( ),x y $���'�0� � )1.(

�����( ) ( ) ( )2 3 1 4 1 1− − − =

�����( )1, 1− −��� � : ( ) ( ) ( )3 3 1 4 1 1− − − =

��)3 (–) 2 (�2 B����� : ( ) ( )3 1 4 1 0x y+ − + =

%�'�( ) ( )3 1 4 1x y+ = +

���( )3 4 1y +

����� 3 4 1∧ = ��� ��� ( Gauss )����� :3 1y +. %�'� 1 3y k+ =%�'� :3 1y k= −

%4 ?�'����)2 (D0� 9��: ( )3 4 3 1 1x k− − = %�'� 3 12 3x k= − %�'� 4 1x k= −

��� :( )3 1

4 1

y kk

x k

= −∈ = −�

���� ���� � >�2 ����x $���'��� �� � �;�� )2 ( ���yوx

$���'��� ������)1 ( %������ : ( ){ }4 1;3 1 /S k k k= − − ∈�

1���2 : %4 ���2

�$���'��� : ( ) : 67 57 2E x y+ = * �����67 57∧

1 3 7 10 57 67 3 2 1 5 1 0 1 3 7 10 ��� 67 57 1∧ =

���Bezout ��� >�34 ( ),u v ���� 67 57 1u v+ =

%�'� ( ) ( )67 2 57 2 2u v+ =

7)�� ���( )2 ,2u v $���'�0� � ( )E.

���( )E ,� D0� �� ��� .

* $���'�0� G�6 � �� �����( )E. �� ����� �� ������ @��0 2 $�)�*�6 ��� � ��� G�6 �

E"� � ���&. ����� :( )1 67 1 57 10= × +

( )2 57 5 10 7= × +

( )( )3 10 1 7 3

4 7 2 3 1

= × +

= × +

:"�57 67b =aو = ��)1 (D0� 9�� :10 a b= − ��)2 (D0� 9�� :( )5 7b a b= − + 12 7 6 5b a= −

��)3 (D0� 9�� :( )6 5 3a b b a− = − + 12 3 6 7a b= −

��)4 (D0� 9��:( )6 5 2 6 7 1b a a b− = − + 12

17 20 1a b− + = %�'� :( ) ( )67 17 57 20 1− + =

%�'� :( ) ( )67 34 57 40 2− + =

���( )34,40− $���'�0� � ( )E.

* $���'��� 0� :��� �����( )E.

����( ),x y$���'�0� � .

��� ( )1 67 57 2x y+ =

�����( )34,40−��� � :

( ) ( ) ( )2 67 34 57 40 2− + =

��)1 (–) 2 (�2 B�����: ( ) ( )67 34 57 40 0x y+ + − =

%�'� ( ) ( )67 34 57 40x y+ = − −

��� ( )57 67 34x + �2 ���57 67 1∧ = �34 57 34x +

12 34 57x k+ = ��� 57 34x k= −

%4 ?�'����)1 (���: 57 67 57 2280y k= − × + >�� 67 40y k= − +

Page 10: Arith

10

���: ( )57 34

67 40

x k

y k k

= + = − + ∈ �

�����: ( ),x y ������ ( )E ����� � >�, y � �;�� ��( )E

*%������ : ( ){ }57 34; 67 40 /S k k k= + − + ∈�

b(4���� : $���'��� *��'�( )E ax by c+ = :� 0 0b ≠aو ≠

/ :"� d a b= ∧ 1/ ��� ��� d c×

�� ��� $���'��� �2 ?*�#�( ),x y. ��� ax by c+ =

����� d a

d b

��� d ax

d by

��� d ax by+ %�'� d c

? ��� ��& .@�� $���'��� ���� �(� . 2/ ��� ��� d c:

:"� :a da

b db

c dc

′= ′= ′=

:� 1a b′ ′∧ =

���( )EE�9� : a dx b dy c d′ ′ ′+ =

12 ( )E a x b y c′ ′ ′ ′+ = * �����1a b′ ′∧ = ��� ��� ( ),u v ���� 1a u b v′ ′+ =

%�'� :( ) ( )a c u b c v c′ ′ ′ ′ ′+ =

���( ),c u c v′ ′ $���'�0� � ( )E′.

���( )E� �(� . *G�6 � �� �����:

�0 2 $��)*�6 ��'����E"� � ���& ��� � ��� @�. �2 ?*�#�( )0 0,x y$���'�0� G�6 � .

%�'�( ) 0 01 a x b y c′ ′ ′+ =

* ����( ),x y%�'� $���'�0� � :( )2 a x b y c′ ′ ′+ =

��)1 ( )2 (��� :( ) ( )0 0 0a x x b y y′ ′− + − =

%�'�: ( ) ( )0 0a x x b y y′ − = − −

��� ( )0b a x x′ ′ −

����� 1a b′ ′∧ = ��� ( )0b x x′ − %�'� 0'x b k x= +

%4 ?�'����( )E′���

( )0a b k x b y c′ ′ ′ ′+ + = %�'�: b y c a x a b k′ ′ ′ ′ ′= − −

�� �����)1:( 0 0a x c b y′ ′ ′= − ��� 0b y c c b y a b k′ ′ ′ ′ ′ ′= − + − ��� 0y a k y′= − +

�����: ( ),x y =��� ( )E ���� � >�, y �� � �;�� ( )E

%������ : ( ){ }0 0, /S b k x a k y k′ ′= + − + ∈�

IV(##�, 9#� ��+$ 2��3� 4��� : 1������ :

����2 1... ,na a a$��'�� *�F ����2 �*�<� �� *��2 ����,� 5�(� *��,� �*�<��� ����� %���

����,� 5�(� �'; ���. � >� )�*�1 2 ... na a a∧ ∧ ∧

2����!�" : ��!�")1:(

����2 1... ,na a a �� *�

( )1 2 1 2 31

... , ,..., /n

nn i i

i

d a a a u u u d a u=

= ∧ ∧ ∧ ⇒ ∃ ∈ =∑�

��!�")2:( ���� :1 2 ... nd a a a= ∧ ∧ ∧

�� d ����P� $�*�<��� ����� ;�"��� %& ia

%�'� :1

2 1 2 ... n

n

d a

d a d a a a d

d a

′ ′ ′⇔ ∧ ∧ ∧ = ′

��!�")3:( ����* ���������cوbوa� ����� : ( ) ( )a b c a b c a b c∧ ∧ = ∧ ∧ = ∧ ∧

���� ����2 8�'� *��,� �*�<��� ����� ���� ��� >�2 %�'� ��&��(� *��,� �*�<��� ������ ���.� � ?�'�.

3 (��� ���$ ##�$�7��� �: a(����� :

����,� �� �� *1...n���������a a� ��� ��� ;�4 ��� �(��� ���4 $��2

1 2 ... 1na a a∧ ∧ ∧ =

�& ::

�(��� ���4 $��2 ����2 �(��� ���4 $��2 ����2 ��� ;06�� ��� MD�.� D�.�.

'�� : ����,�9,12,16,4,30��2 �(��� ���4 $. D�.� D�.� �(��� ���4 $��2 ���� �(���.

b(���!�" : ��!�")1:(

����2 1... ,na a a �� *�

( )1 2 1 21

... 1 , ,..., /1n

nn n i i

i

a a a u u u a u=

∧ ∧ ∧ = ⇔ ∃ ∈ =∑�

��!�")2:( ����2 1... ,na a a ��*

� 0d ⟩

����� :1 2

1 2 1 2

......

... 1

n

n n

d a et d a d ad a a a a a a

d d d

= ∧ ∧ ∧ ⇔ ∧ ∧ ∧ =

V(�;!$ 2��3� ���/� : 1 (�����:

����* ���������bوa�

$������ *��'�{ }* /E m a m et b m= ∈�

/ ����� E ≠ ∅ ) �,ab E∈.(

/ E � 8*I9� 0. / E ⊂ �

���E:"� *9�� *I9,� ��� :minq E= q *I9,� �*�<��� !��"��� D��� bوa . ����

q a b= ∨

Page 11: Arith

11

1(����� : ����* ���������bوa�

����'0� *I9,� �*�<��� !��"��� %���bوa *I92 ��� �*�<� ��� !��"�bوa . � >� )�*�a b∨.

*�& '�:

m a b= ∨%�'� :a m

b m

��� ���m′ �*�<� !��"� bوa �34 m m′≤ b a a b∨ = ∨

a a a∨ =

��� ���a b �34 a b b∨ =

2 (���!�": ��!�")1:(

����bوa �� *� m a b= ∨

��#��"�m $�*�<��� ��#��"��� ;�"��� %& bوa.

%�'�: a m

m a b mb m

′ ′⇔ = ∨ ′

���%�: ⇐ ( �2 ?*�#�m m′

�����a m

b m

��� a m

b m

′ ′

⇒ (�2 ?*�#� :a m′ b m′ �2 ����� m m′

$�� *��'�m′ D0� m .%�'� :0

m mq r

r m

′ = + ≤ ⟨

�2 �����0r = @�'�� ?*�#� . %�'�0r ≠

���0 r m⟨ ⟨ ����� :r m mq′= −

�����a m

a m

��� a m mq′ − %�'� a r

��� $��*;�� @#��b r ���r �*�<� !��"� bوa.

�2 ����r �*�<� !��"� bوa =��� 0 r m⟨ ⟨ ��& �, ? ���a b m∨ =

���0r = >�� m m′.

�& '�: a b a b a b a b∨ = ∨ = ∨ = ∨

��!�")2:( ��� �bوa �� *

� �����: ( ) ( ).a b a b ab∧ ∨ =

��&*�:

:"� d a b

m a b

= ∧ = ∨

:"� a d

b d

αβ

= =

:� 1α β∧ =

:"� m a

m b

γϕ

= =

����� :a bγ ϕ=%�'� :d dγα ϕβ=

%�'� :γα ϕβ= ���α ϕβ

�����1α β∧ = ��� α ϕ%�'� :dkϕ = ���: m bϕ=

%�'�: m k dα β= ��� ( )1 d mαβ * �2 �����m dαβ:

����� : d bαβ α= d aαβ β= ��� b d

a d

αβαβ

���

avb dαβ %�'� :( )2 m dαβ

��)1 ( )2 (�2 B�����: m dαβ=

%�'�: m dαβ=

%�'� : 2dm dαβ=

%�'�: dm ab=

>�� : ( ) ( ).a b a b ab∧ ∨ =

��!�")3:( ����* ���������cوbوa� ����� : ( )ac bc c a b∨ = ∨

��%��: �2 0'�: ( )( ) .ac bc ac bc ac bc∧ ∨ =

%�'�: ( ) ( ) 2. .c a b ac bc ab c∧ ∨ =

%�'�: ( ) ( ) ( )( ).a b ac bc a b a b c∧ ∨ = ∧ ∨

%�'�: ( ) ( ).ac bc c a b∨ = ∨ ��*��: ����* ���������bوa� 0m⟩

1

a m et b mm a b m m

a b

= ∨ ⇔ ∧ =

3 (##�, 9#� �;!$ 2��3� ���/�: �����:

����*2 1... ,n���������a a a�

!��"� *I92 & ����,� 5�(� *I9,� �*�<��� !��"�������,� 5�& ��� �*�<� ���.

��!�": ����*

2 1... ,n���������a a a� 1 2 ... nm a a a= ∨ ∨ ∨ ��#��"�m ����P� $�*�<��� ��#��"��� ;�"��� %& ia.

VI(���$ ##�$ : 1 (������:

�����)1:( ����* ���������a�.

%0'4 �� %���a �� � d a !��6� 1,1, ,a a− − %�'�{ }, ,1, 1d a a∉ − −.

�����)2:( ����{ }* 1,1p ∈ − −�

�� ��p ��� %�'� %0'4 �� 12 ��� M ��� ��� ;�4 ��� %�2 ��� ���4�"��� �� %& ;; ; 1;1p p− −

Page 12: Arith

12

����,: (*1,1,0−$��2 ���� . (*4 �, %�2 @�� 2 %0'4 �� 4. (*2 ,3 ,5 ,7$��2 ����2 .

2 ( ��!�")1:( ��!�")1:(

����{ }* 1,1a ∈ − −�%�2 *�F . ��� %0'4 �� *I92a���2 ��� .

��%��: ����A $����� $�0'#�� ����� $���� a.

/ ����� 0A ≠ ) �,a %0'4 �� ��� %������ %�2 @�� ���(

/ ����� A � 8*I9� 0. / A ⊂ �

���A*9�� *I9,� ��� . :"�minp A= / �2 ����� p%�2 :

�����p %0'4 �� a�� �{ }0 1,1p ≠pو ∉ − �, 0a ≠ �2 �����p��0'4 ���� ��� M .

�2 ?*�#�p ��0'4 ���� ��� p′

�����p p

p a

��� p a′

/ ����� p p′ ��� p p′ ≤

%�'�: p p′ ≤

�����p p

p p

′ ≠ ′ ≠ −

��� p p′ ⟨

�����p a ��� p a⟨ 12 p a⟨

��� p a′ ⟨

���p a′ ≠

�����1p′ ≠

���p′ %0'4 �� a

�����p p′ ⟨

��� ��0'4 ���� ���� �a =��� p p′ ⟨ �, ? ��� ��&p��� %0'4 �� *I92 .

>��p��0'4 ���� ��� M . %������p%�2 .

�& '�: ��� �{ }* 1,1a ∈ − −���� %�2 %0'4 �� ��� %�2 *�F .

��!�")2:( $�(��� *�F $��,� ����,� $����.

��%��: ����P$����� $��,� ����,� $���� .

�2 �����P8*��� *�F . @�'�� ?*�#� . %�'�P8*��� .

/ ����� P ≠ ∅ ) �,2 P∈.( / P ⊂ �

���P*9�� *��,� ��� .:"� :maxq P= / :"� ! 1p q= +

�2 �����p%�2 :

@�'�� ?*�#� . %�'�p ��� %�2 ��0'4 ���� ��� 0p. ����� { }2,3,5,7,...,P q=

�����0p ��� ��� %�2 0p P∈ ���0p ��� ��2 & !q ��� 0 !p q

�����0p p ���0 !p p q−

%�'�0 1p %�'�0 01 1p أو p= − =

�, ? ��� ��&0p%�2 . ���p%�2 .

/ ��� ���� p %�2 p q⟩ �, ? ��� ��& q ��� *��2 & %�2.

%������P8*��� *�F . >��P$�(��� *�F .

3 (���$ ##�$ #�# � ����� ����): �& '�: ��� ���p �34 %�2 ��� p−%�2 . �� ����� %#�� %������

$����� $��,� ����,� ����� =*;. ��!�":

����{ }* 1n ∈ −�

��� ���n %�2 ��� ��� >�34 %�2 *�F p ���� 2

p n

p n

��%�� �2 ?*�#�n%�2 *�F .

�����{ }* 1n ∈ −� ����p�� %0'4 �� *I92 n.

$�9�6�� �6 ��)1 ( �����p%�2 . ���p %�2 p n

�2 �����2p n≤ ����� :p n %�'� n kp=

�2 �����k %0'4 �� n �����0k kو n⟩

/ �2 ?*�#� 1k = ��� n p=�, ? ��� ��& : n %�2 *�F p%�2 .

���1k ≠ / �2 ?*�#� k n= ��� 1p = �, ? ��� ��& p%�2 .

���k n≠ / ����� 0k⟩ ��� 1k kو n≠ − ≠ −

���k ��� %0'4 �� n. / �2 ��� p ��� %0'4 �� *I9� & n.

�34: p k≤ %�'�: 2p kp≤ %�'� 2p n≤

/ ��� ��� p���� %�2 : 2

p n

p n

Page 13: Arith

13

�& '�: 1/ ���� { }* 1n ∈ −�

& =���� �2 ���*2 ���n%0� �� :��� J%�2 : + $��,� ����,� *��'�p =��� %��� 2p n≤ / ��� ����,� 5�& ��2 ��� ��� n �34 n ��� >�, %�2 *�F

��0'4 ���� . / ��� M ����,� 5�& :��� ���� ��� n �34 n%�2 .

1���: / �� *I92 $��,� ����,� :��� ����� 100.

�� *I9,� ����P� $������100 $��,� ����,� Jp ���� %��� =��� �22p n≤ %& 2 ,3 ,5 ,7.

�� *I9,� $��,� ����,� ���100,� %& ��� M %��� ���� D0� $�����2 ,3 ,5 ,7 ����,� D�� $4�"� 2 ,3 ,5 ,7.

/%& ����,� 5�& ��� : 2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31 ,37 ,41 ,43 ,53 ,59 ,61 ,67 ,71 ,73 ,79 ,83 ,89 ,97. 2/ ���� { }* 1n ∈ −�.

& =���� %��n$������ $��)*�6�� Q���� ���� %�2 . $���� ��n $��,� ����,� D0� p �� � �;�� 2 J%����� D0�

�M���� R��� ��� !��: / 7*�6�� E�92 ��� q �� *I92 p �'�� *�F % ���� J�';

��'�� $����� 5�& %4 ���4n%�2 . / �'�� % �� D0� ��09� ��� . ���4n%�2 *�F .

��%��: (* �34 �'�� % �� D0� ��09� ���n��0'4 ���� ��� . ���n%�2 *�F . (* D0� ��09� �2 *�#�q p⟨ � 0r =

�����0 r p n qp r≤ ⟨ = +

�����: 2

1q p q p

pq p p

⟨ ⇒ + ≤⇒ + ≤

�����r p⟨ ���2pq r p pq p+ ⟨ + ≤ ��� 2pq r p+ ≤%�'� 2n p≤

���� ���*�2 ���n D0� p D�� �'�� % �� D0� 9�� � E�922p n≥ �2 %�'� ��& n��� 12 D0� ��� M %�2 p =���2p n≤ . ���n%�2 .

1���: & =�����179%�2 :

17 13 11 7 5 3 2 p 10 13 16 25 35 59 89 q 9 10 3 4 4 2 1 r

��� 179%�2 . 4 (���� ������� ���$ ##�$:

��!�")1:( ����*a ∈� p%�2 .

1p a p a∧ = ⇔ ×

��%��: ⇒ ( �2 ?*�#�p a∧ .����� �2 p a× / ?*�#� p a

���p a p∧ = ��� 1p = %�'�1p = 2 1p = −

�, ? ��� ��&p%�2 . ���p a× ⇐ ( �2 ?*�#�p a× �2 ����� 1p a∧ =

:"�d p a= ∧

��� d p

d a

�� �2 0'� p%& :1,1, ,p p− −

����� p a

p a

×− ×

��� d p dو p≠ − ≠

�����1d ≠ − �, 0d⟩ ���1d = >�� 1p a∧ =

��!�")2:( ����qوp����2 :

1p q p q∧ = ⇔ ≠

��%��:

{ }{ }

1

1, 1, ,

,

p q p q

p q q

p q q

p qوp q

p q

∧ = ⇔ ×⇔ ∉ − −

⇔ ∉ −⇔ ≠ ≠ −⇔ ≠

��!�")3:( ����2 1,..., ,na a a�� p و �%�2 .

{ }( )1 2... 1,2,...,n ip a a a i n p a⇒ ∃ ∈

��%��: �2 ?*�#�1 2... np a a a .�2 ����� :{ }1,2,..., ii n p a∃ ∈

* ����,� ��2 ��� ���ia �'�� . �.�

00ia = �34

0ip a

* ����,� :��� ���� ���ia !��6� 0.

�2 ?*�#� :ip a× :{ }( )1,2,...,i n∀ ∈

%�'� 1ip a∧ =

��� 1

1n

ii

P a=

∧ =∏ %�'� 1

n

ii

p a=

×∏

? ��� ��&. ���{ }( )1,2,..., : ii n p a∃ ∈.

�& '�: 1/ ���� a ∈� p %�2 n ∈�.

(* np a p a⇒ (* p b2 p ab p a⇒ 2/ ���� p��� %�2 .

(* ( )1 : 1k p p k∀ ≤ ⟨ ∧ =

(* ( )/1 : 1k k p p k∀ ∈ ≤ ⟨ ∧ =�

��!�")4:( ����2 1,..., , ,np p p p$��2 ����2 .

{ }( )1 2... 1,2,...,n ip p p p i n p p⇒ ∃ ∈ =

Page 14: Arith

14

��%��: �����: 1 2... np p p p

��� ���i ���� ip p �� �2 0'�ip%& :1,1, ,i ip p− −

�����1p ≠ 1p ≠ ��� ip p= 2 ip p− = %�'�ip p=

�& '�: (* { }( )1 2

1 2. .... 1,2,...,nn ip p p p i n p pαα α ⇒ ∃ ∈ =

(* ����,� ���� ���ip ��$pو�

�34: { }( )1 21 2. .... 1,2,...,n

n ip p p p i n p pαα α ⇒ ∃ ∈ =

=��)�: ����p��� %�2 ��� . 1( �2 ���k

pp C �� 1 1k p≤ ≤ −

2( �2 ��� ( ) ( ) [ ]1 1p pa a a p∀ ∈ + ≡ +�

3( (a�2 ��� : ( ) [ ]pn n n p∀ ∈ ≡�

(b�2 B����� :[ ]1 1pn p− ≡ �� n �� � ���� 1n p∧ =

4 ((a �2 ��� ( ) [ ]pa a a p∀ ∈ ≡�

(b �2 ��� [ ]1 1pa p− ≡ �� a �� � ���� 1a p∧ =

1 ( �2 �����kpp C �� 1 1k p≤ ≤ −

����1 1k p≤ ≤ − . �2 �����kpp C

�����:

( )( )( )

( )( )( )

1.2.... 1 ...!

! ! ! 1.2....

1 ....

!

kp

p k p k ppC

k p k k p k

p k p

k

− − += =

− −

− +=

��� ( )! 1 ...k

pk C p k p= − +

��� ! kpp k C

�����: { }1,2,..., 1i k i p∀ ∈ ≤ ⟨ ���p i× ��� 1p i∧ = ���! 1p k∧ = ��� ��� Gauss:

�����( )1 1 kpk p p C∀ ≤ ≤ −

2 ( ����a ∈� .�2 ����� :( ) [ ]1 1p pa a p+ ≡ +

�����:

( ) ( ) ( )

( )

( )

0

0

1

1

1

1

1 1 .1 1

1

1 1

pp p k p k p

k

pk k pp

k

pp k k p

pk

pk kp

k

a a a a

C a a

a C a a

C a

=

=

=

=

+ − + = − +

= − +

= + + − +

=

�����1 1 kpk p p C≤ ≤ −

��� k kpp C a

���1

1

pk kp

k

p C a−

=∑

%�'�: ( ) ( )1 1p pp a a+ − +

%������: ( ) [ ]1 1p pa a p+ ≡ +

3 ((a ���� n ∈� �2 ����� [ ]pn n p≡ �2 0'�:

����*n ∈� ( ) ( ) [ ]1 1p pa a a p∀ ∈ + ≡ +�

��� [ ]1 1p p≡

[ ][ ]

( ) [ ]

2 1 1

3 2 1

1 1

p p

p p

pp

p

p

n n p

≡ +

≡ +

≡ − +

�2 B����� !*; !*; ��������� !�*;2 :���: [ ]1 1 ...1pn p≡ + + n 8*�

%�'�: [ ]pn n p≡ �2 �� $���9 D��� $�9�6�� �2 ����0n =

���: ( ) [ ]pn n n p∀ ∈ ≡�

(b ���� n ∈� ���� 1n p∧ = .2 ������ :[ ]1 1pn p− ≡

=�� ��� ����� :[ ]pn n p≡

%�'� pp n n−

%�'� ( )1 1pp n n − −

�2 ���1n p∧ = �34 1 1pp n − −

%�'�[ ]1 1pn p− ≡ �� n ���� 1n p∧ =

4 ((a ���� a ∈� . �2 �����[ ]pa a p≡ ← ��� ��� 0a ≥

=�� �� �6 �� >�34 :[ ]pa a p≡ ← ��� ��� 1a ≤ −

�341a− ≥ ��� ( ) [ ]pa a p− ≡ −

/ ��� ��� 2p ≠ �34 p1�*4 .

��� :( ) p pa a− = −

��� [ ]pa a p− ≡ −

��� [ ]pa a p≡

/ ��� ��� 2p =�34 : ( ) [ ]22a a− ≡ −

%�'� :[ ]2 2a a≡ −

����� [ ]2a a− ≡

��� [ ]2 2a a≡ ���:

( ) [ ]pa a a p∀ ∈ ≡�

(b ���� a ∈� ���� 1a p∧ = . �2 �����[ ]1 1pa p− ≡

�����: [ ]pa a p≡

%�'� pp a a− 12 1 1pp a − −

�2 ���1a p∧ = �34 1 1pp a − − ��� [ ]1 1pa p− ≡

Page 15: Arith

15

��%���Fermat: ����p��� %�2 . (* [ ]pa a a p∀ ∈ ≡�

(* [ ]1 1pa p− ≡ �� a�� 1/a p∧ = �

5($��2 ��� ���� D�� ��� ���#� :

a(��%��� : ��� �a �� { }* 1,1− −� �< D0� 8��� $��*;� ����

1 21 2 ... r

ra p p pα α αε= ���: (* ����,�ipD�.� D�.� $#0�6� $��� $��2 . (* ����,�iα$��'�� *�F $�'��; . (*1ε = ��� ��� 0a⟩ (*1ε = − ��� ��� 0a⟨

b(�����)� : ←$����� $�0�� :

��!�" : ����b } �� aو }* 1−�

���� :1 21 2 ... r

ra p p pα α α= ���#� a$��2 ��� ���� D�� . b a ��� ��� ;�4 ��� b�< D0� ���� :

1 21 2 ... r

rb p p pβ β β= ���: { }0,1,2,...,i i iEβ α∈ =

$���*� �( )1 2, ,..., rβ β β �� 1 2 ... rE E E× × × �� ���;'�

���a& :1 21 2 ... r

rb p p pβ β β= $����� ����� ��� ���a �����*��� ��� & ( )1 2, ,..., rβ β β

& �����*��� 5�& ��� �2 0'� :( )1 2 ... rcard E E E× × ×

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2

1 2

...

1 1 ... 1

r

r

cardE cardE cardE

α α α= ×

= + + +

��!�": ����a �� { }* 1−� 1 2

1 2 ... rra p p pα α α= ���#� a ���� D��

$��2 ���.

$����� ����� ���a & : ( )1

1r

ii

α α=

= +∏

1���: ��'0� $����� ����� �����54:

��#��54: 2 54 3 27 3 9 3 3 1

���354 2 3= × / $����� ����� ��� 54& :

( )( )1 1 1 3 8α = + + = �< D0� ���� %��� ����,� %& ����� 5�&:

1 22 .3d β β= ��� { }1 0,1β ∈

{ }2 0,1,2,3β ∈ %& ����� 5�& ���:

0 0 0 1 0 2

0 3 1 0 1 1

1 2 1 3

2 .3 1 ; 2 .3 3 ; 2 .3 9

2 .3 27 ; 2 .3 2 ; 2 .3 6

2 .3 18 ; 2 .3 54.

= = == = =

= =

←<��� ����� *I9,� �*�<��� !��"��� *��,� �*�: ���� 2 1,..., ,rp p p ���#� %4 *(�� %��� $��,� ����,� bوa

:"� : 1 21 2. ... r

ra p p pα α α= ��� 0 iα≤ 1 2

1 2. .... rrb p p pβ β β= 0 iβ≤

���10 α= ��� ��� ip ���#� %4 *(�� M a. 0 iβ= ��� ��� ip ���#� %4 *(�� M b. :"�1 2

1 2. ... rrd p p pγ γ γ=��� :( )inf ,i i iγ α β=

�2 �����d a b= ∧ *����� : { }1,2,..., i ii r γ α∀ ∈ ≤

i iγ β≤

���d a

d b

�*�<� �� M ��� bوa

* ����d ′ �*�<� �� bوa . �2 �����d d′ ≤

�����: d a

d b

′ ′

��� d ′�< D0� ���� :1 21 2. .... r

rd p p pλ λ λ′ =

���0 i iλ α≤ ≤ 0 i iλ β≤ ≤ ��� ( )0 inf ,i i iλ α β≤ ≤ ��� 0 i iλ γ≤ ≤

��� d d′ ��� d a b= ∧ ⇐*I9,� �*�<��� !��"��� ��� $��*;�� @#�� .

��!�" : ����a b �� { }* 1−�

:"� 1 21 2. ... r

ra p p pα α α= 1 2

1 2. ... rrb p p pβ β β=

���ip ���#� %4 *(�� %��� $��,� ����,� %& a 2 b 0iα = ��� ��� ip ���#� %4 *(�� M a 0iβ = ��� ��� ip ���#� %4 *(�� M b

����� : ( )inf ,

1

i i

r

ii

a b P α β

=

∧ = ∏

( )sup ,

1

i i

r

ii

a b P α β

=

∨ = ∏

�& '�: (* *��,� �*�<��� �����bوa $��,� ��'�� S��� &

@2 *I92 D�� $�4*� $�*�<���. (*a b∨ $�*�<��� *�F $�*�<��� $��,� ��'�� S��� &

@2 *��2 D�� $�4*�. 1���: ����� :76 632 76 ∨و632 ∧

2 632 2 76 2 316 2 38 2 158 19 19 79 79 1 1

���3632 2 .79= ���276 2 .19= ����� : 276 632 2 4∧ = =

Page 16: Arith

16

376 632 2 .19.79 12008∨ = =

VII(#� ���&� : 1�����, :

1���1: ��'�� *��'� 526n =

(*����� : 2 1

526 500 20 6

510 210 6

n = = + += + +

��'�� ���n � *2 8*<'�� ��'���� ���� 0 ,1 ,2 ,... ,9 R 10.

$������ �� ��256n =��'0� 1*<� �.�� n �.�� 2 n %4 ��'�� �.�� 2 J1*<'�� �'�� $���n @��,� ��� �'�� $��� %4

10. (* $���� ����n ��'���� 3 ;�4 � *2 0 ,1 ,2 R 3:

5

5 3

5 3 2

526 486 40

2.3 27 13

2.3 3 9 4

2.3 3 3 3 1

n = = += + += + + += + + + +

���5 4 3 22.3 0.3 1.3 1.3 1.3 1n = + + + + + ����: ( )3201111n =

�.�� D��� $������ 5�&n @��,� ��� �'�� $��� %4 3.

1���2: ��'�� *��'� 200n = / �.�� ����� n @��,� ��� �'�� $��� %4 3.

4

4 3 2

4 3 2

200 162 38

2.3 27 11

2.3 3 3 2

2.3 1.3 1.3 0.3 2

n = = += + += + + += + + + +

���: ( )321102n = 2/ @��,� ��� �'�� $��� %4 %'��; ��� ��'� b

��%���: ����{ }* 1b ∈ −�

��� �n �� *�� 8��� $��*;� ���� �< D0:

1 2 11 2 1 0...p p p

p p pn b b b bα α α α α− −− −= + + + + +

���:

{ }0 0,1,2,...,0

ip

i

iو pb

αα

α∈

≠ ∀ ∈ ≤ ⟨

1p pb n b +≤ ⟨ ����: ( )1 1 0...p p b

n α α α α−=

��'�� �.�� $������ 5�& D���n @��,� ��� �'�� $��� %4 5. �& '�:

�(�&2 �'�� ����� 8�� ���&: /$������� $����� %& 1*<'�� �'�� $��� . / %& $0�'����� � *,� %K��.�� �'�� $��� 0 ,1. / @��,� ��� �'�� $��� 8 .%& $0�'����� � *,� :0 ,1,...,7 / @��,� ��� �'�� $��� 12 . $0�'����� � *,�0 ,1 ,... ,9 ,

,β α.

3�� ����� ����) ##� 1���n#����� �� �7���,b. ����{ }* * 1n ∋bو ∈ −� � (+ ���n D0� b: 0 0.n b q r= + :� 00 r b≤ ⟨ (*��� ��� 0 0q ≠ : ���0q D0� b:

1 0 1 10 r b q bq r≤ ⟨ = + (* ��� ���1 0q ≠ : ���1q D0� b:

2 1 1 20 r b q bq r≤ ⟨ = + �'�� 7*�6 D0� 9�� D�� ������� :���� ���&. �, J �'�� 7*�6 D0� 9�� �2 1**"�� ��:

/����� : 0 0 0 01 b q q b q b r n⟨ ⇒ ⟨ ⟨ + = ���0q n⟨

/ 1 1 1 1 01 b q q b q b r q⟨ ⇒ ⟨ ⟨ + = ���1 0q q⟨

���2 1 00 ...q q q n⟨ ⟨ ⟨ ⟨ �'; $�9 ��� 7*�6�� 5�& . D0� 9�� �2 1**" %������

�'�� 7*�6. / �2 ?*�#� pq �'�� 7*�6 2 & .

%�'�: ( ){ }0,..., 1 0ii p q∀ ∈ − ≠

( )( )( )( )

00 0 0

11 0 1 1

22 1 2 2

1

0

0

0

. pp p p

r b n q b r b

r b q q b r b

r b q q b r b

q b q r b−

≤ ⟨ = +

≤ ⟨ = +

≤ ⟨ = +

= +

%4 *;�,� �*"�2 1 0,..., , ,pb b b b 9�� %����� D0� D0�D0� 9�� ��������� !�*;2 :���:

( )1 2 10 1 2 ... 0p p

p p pn r rb r b r b q b q+= + + + + + =

���: 1

1 1 0...p pp pn r b r b rb r−

−= + + + + ��� 0 ir b≤ ⟨

0p p ir q −= ≠

��� ( )1 0...p p bn r r r−=

��!�": ����{ }* *1b ∋bو − ∈� �

������ �� D0� 7*�60� $�������� ��b �� �S�� n. ���� ���1 0,..., ,pr r r ��� ������� 5�& % �� %& pr % �� &

�'�� 7*�6 D0� �(�4 9�� $�� 2 �34: ( )1 0...p p b

n r r r−=

%����� ���� %4 ������� 5�& G60�:

b n b q0 b q1 q2 b

0=qp 1���:

���� *��'� 798n = .���n @��,� ��� �'�� $��� %4 7.

7 798 7 114 7 16 7 2 0

=0

Page 17: Arith

17

���: ( )7799 2220=

4 (�����$ ���;�: (* �(���2 �� $��� D�� 1*<'�� �.���� �� **��� ���*2 ���b

$������ $��)*�6�� :���. (* �(���2 �� $��� %4 �.���� �� **��� ���*2 ���b $��� D��

�� J1*<'�� �'���'� :( )1 0....p p bn d dα −=

11 1 0...p p

p pb b bα α α α−−= + + +

1���:

( )3 2

63450 3.6 4.6 5.6 0

822

n = = + + +=

(* �(���2 �� $��� %4 �.���� �� **��� ���*2 ���b $��� D�� �(���2 ��b′ �� *�� Jb �.���� �� 1*<'�� �.���� D�� D�� 1*<'��b′.

5 (��##� ������: ��!�":

����'�� *��'�: ( )1 0...p p bx α α α−=

( )1 0...q q by β β β−=

��� ���p q⟩ � *2 ��� %�'� x�2 � *2 ��� �� �'; *�y . �34x y⟩.

��!�"2: ����'�� *��'� :

( )

( )

0

0

...

...

p b

p b

x

y

α α

β β

=

=

)y xو� *,� ��� @#� ��(� ( �2 ?*�#�1 1..., ,i i p p p pα β α β α β− −≠ = =

/ ��� ��� i iα β⟩ �34 x y⟩ / ��� ��� i iα β⟨ �34 x y⟨

6 ( �7���, #� ��&� �� .�/� 0�-b. �(���2 �� $��� %4 �*"�� :���� ���0��b$��*;�� @#�� ��

1*<'�� �'�� $��� %4. ���� ��� ��� J��#��M� %4 ;�4 =*4 ���&i iα β 2 i iα β+

* D0� ��09� ���bγ ⟨ ���� γ . D0� ��09� ���bγ ≥ �� $����γ D0� bq rγ = + :� b :0 r b≤ ⟨ ����r � �#��� q.

1���: (*( ) ( ) ( )8 8 83675 2764 6661+ =

(*( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 7 7 7 75624 56 50313 41356 464203× = + = 7 ( D0� $����� !��"�2 ,3 ,4 ,5 ,9 ,11 ,25.

��'�� *��'� ( )1 0 10...p px α α α−=

�����: 11 1 010 10 ... 10p p

p px α α α α−−= + + + +

(*�2 ����� : 02 2x α⇔ ����� :[ ]10 0 2≡ ��� { } [ ]1,..., 10 0 2ii p∀ ∈ ≡

%�'� [ ]10 0 2iiα ≡

���: [ ]1

10 0 2p

ii

i

α=

≡∑

%�'� : [ ]0 01

10 2p

ii

i

α α α=

− + ≡∑

%�'�: [ ]0 2x α≡ ��� :

[ ][ ] [ ]( )0 0

0

2 0 2

0 2 2

2

x x

xα αα

⇔ ≡

⇔ ≡ ≡

%������: 02 2x α⇔ (*�2 �����:

0

3 3p

ii

x α=

⇔ ∑

�����[ ]10 1 3≡

���{ } [ ]1,2,..., 10 1 3ii p∀ ∈ ≡

%�'�[ ]10 3ii iα α≡

���:

[ ]1 1

10 3p p

ii i

i i

α α= =

≡∑ ∑

���: [ ]01 1

10 3p p

ii i

i i

α α α= =

+ ≡∑ ∑

12: [ ]0

3p

ii

x α=

≡∑

���:

[ ]

[ ] [ ]0 0

0

3 0 3

0 3 3

3

p p

i ii i

p

ii

x x

xα α

α

= =

=

⇔ ≡

⇔ ≡ ≡

∑ ∑

%������: 0

3 3p

ii

x α=

⇔ ∑

/�2 ����� :1 04 4x α α⇔ ����� : { } 2 22,..., : 10 10 .10i ii p −∀ ∈ =

2

2

100.10

4.25.10

i

i

==

��� { } [ ]22,..., 10 0 4i p∀ ∈ ≡

��� [ ]10 0 4iiα ≡

���: [ ]2

.10 0 4p

ii

i

α=

≡∑

���

[ ]21 0 1 0

2

10 10 10 4p

ii

α α α α α=

+ + ≡ +∑

%�'�: [ ]1 0.10 4x α α≡ +

%�'� [ ]1 0 4x α α≡

���: [ ]4 0 4x x⇔ ≡

[ ] [ ]( )1 0 1 0

1 0

0 4 4

4

xα α α α

α α

⇔ ≡ ≡

%������ : 1 04 4x α α⇔

Page 18: Arith

18

/�2 ����� :[ ]0 1 1 311 ... ... 11x α α α α⇔ + + ≡ + +

�����: { } [ ]1,..., 10 1 11i p∀ ∈ ≡ −

��� ( ) [ ]210 1 11i ≡ −

��� ( ) [ ]10 1 11ii

i iα α≡ −

���: ( ) [ ]1 1

10 1 11p p

iii i

i i

α α= =

≡ −∑ ∑

12: ( ) [ ]0 01 1

10 1 11p p

iii i

i i

α α α α= =

+ ≡ − +∑ ∑

%�'�: ( ) [ ]1

1 11p

i

ii

x α=

≡ −∑

%�'�: ( ) ( ) [ ]2

0 0

1 1 11p p

i

i ii i

x α α= =

≡ − + −∑ ∑

[ ]0 0

11p p

i ii i

x α α= =

≡ −∑ ∑

���: [ ]11 0 11x x⇔ ≡

[ ]

[ ]0 0

0 0

0 11

11

p p

i ii i

p p

i ii i

α α

α α

= =

= =

⇔ − ≡

⇔ ≡

∑ ∑

∑ ∑

%������ :[ ]0 2 1 311 ... ... 11x α α α α⇔ + + = + +

��!�": ��'�� *��'�( )1 0 10

...p px α α α−=

�����: 0*) 2 x α⇔

{ }

[ ]{ }

0

1 0

0

0

0 2 4 1 3 5

1 0

... ...

*)3 3

*)4 4

*)5 0,5

*)9 9

*)11 11

*)25 00,25,50,75

p

ii

p

ii

x

x

x

x

x

x

α

α αα

α

α α α α α α

α α

=

=

⇔⇔ ∈

⇔ + + + + + +

⇔ ∈

����)� �����: $��'���� *�F $�'��;�� ����,� ���, ,c b a���� :

( ) ( )7 11bbac abca= �2 ����, ,c b a �� �'; *I92 11 7.

��� �'; 8*9�� %(4 %������0 7. ��� 8*9�� %(4 %������1 6.

�����:

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 27 11

1

7 7 7 11 11 11

343 49 7 1331 121 11

1325 271 10 0

1325 10 271

5 265 2 271

bbac abca b b a c a b c a

b b a c a b c a

a b c

a c b

a c b

= ⇔ + + + = + + +⇔ + + + = + + +⇔ − + =⇔ + =⇔ + =

���5 271b

����� :271 5 1∧ = ��� ��� Gauss �2 B����� 5 b �2 ���1 6b≤ ≤ �34 5b =

%4 ?�'����)1 (D0� 9��: ( )5 265 2 271.5a c+ =

%�'� 265 2 271a c+ = %�'� ( )* 2 271 265c a= −

�����2 0c⟩ ��� 271 265 0a− ⟩

%�'�: 2710 1

265a< < =

���: 1a = %4 ?�'���� (*)��� : 3c =

%������: 1

5

3

a

b

c

= = =

%�)