arith
DESCRIPTION
MathsTRANSCRIPT
1
� � �����
���� ���� � .������
I� �� ���� ������ � 1 (�����:
����bوa �� � . �� ��b ��� a ��� ��� ��k �� � ����a kb= . ����/b a.
������:
* ��� ���/b a �� ���� �� b �� a !��"� b. * ��#��"� $����b %& { }..., 2 , ,0, ,2 ,...b b b b− −
%�'�{ }/kb k ∈�� �(� )�*� :b�
.*( ) 1/a a∀ ∈� ) �,1.a a= (
. ( ) 1/a a∀ ∈ −� ) �,( )1.a a= − −(
. ( ) / 0a a∀ ∈� ) �,0 0.a=( . 0 / 0 ) �.� �,0 0 2= ×( . 0 a× ( )*a∀ ∈�
* ����*b ∋aو ∈� � ���� /b a �����/b a ��� ��� k ∈� ���� a kb=
��� :a k b=
�����0a ≠ ��� 0k ≠ ��� *k ∈�
%�'� 1k ≥
��� b k b≥
%�'� a b≥
���: 0
/
ab a
b a
≠⇒ ≤
. *( ) /a a a∀ ∈�
. ( ) /a a a∀ ∈�
2 (���� ������ ���!�": 1/ ���� a ∈������ :1.a a= ��� /a a.
��� ( ) /a a a∀ ∈� $����� $�0�� $ �� �� ��$����'��.
2/ ���� cوbوa �� � ���� /
/
a b
b c
�����/a b ��� ��� k �� � ���� b ka= �����/b c ��� ��� k ′ �� � ���� c k b′=
12 c k ka′= ���/a c
��� ( )( )3 /, , /
/
a ba b c a c
b c
∀ ∈ ⇒
�
$ �'�� �� ��( )$��'�� .
3/ ���� bوa �� ����� /
/
a b
b a
�����/a b ��� ��� k �� � ���� b ak= /b a ��� ��� k ′ �� � ���� a bk ′=
%�'�a kk a′= * ��� ��0a = �34 0b = ��� a b= * ��� ���0a ≠ �34 1kk ′ =
���/1k �� �2 0'� 1 %& 1 1/. ���1k = 2 1k = −
��� ���1k = �34 1k ′ = ��� ���1k = − �34 1k ′ = −
���1
1
k
k
= ′ =
2 1
1
k
k
= − ′ = −
���a b= 2 a b= − ���a b=
��!�": (* $ �'�� ( )$����'�� . %�'�( ) /a a a∀ ∈�
(* $ �'��( )$��'�� .%�'� :( )( )3 /, , /
/
a ba b c a c
b c
∀ ∈ ⇒
�
(*( )( )2 /,
/
a ba b a b
b a
∀ ∈ ⇒ =
�
(*( )( )2 /,
/
a ba b a b
b a
∀ ∈ ⇒ =
�
$ �'�� �� $����� 5�& %4 ��( )$�#��6� .
3 ( �� ��#���$ ����� a( �� ��#���$ ���� �
��%���: ����*b ∋aو ∈� �
��� 7) ���( ),q r ∈ ×� ����� :.
0
a q b r
r b
= + ≤ ≤
��%��: ����*b ∋aو ∈� �
1� Existence: $������ *��'� :{ }/A k kb a= ∈ ≤�
* �����0 A∈ ��� A ≠ ∅ * ����k A∈����� : kb a≤
�����*b ∈� %�'� 1b ≥ 12 kb k≥ ���k a≤
��� ( )k A k a∀ ∈ ≤ ���A � 8*��� a. * �����A ⊂ � .� ��A*9�� *��,� ��� . :"�q MaxA= r a bq= − * �2 �����( ),q r��;*<�� =��� :
�����r a bq= − ��� .a b q r= + �2 �����0 r b≤ ≤
�����q MaxA= ��� q A∈ >�� qb a≤ %�'� 0a qb− ≥
���0 r≤ �����q MaxA= ��� ( )1q A+ ∉
��� ( )1q b a+ ⟩ %�'� a bq b⟨ +
12 a bq b− ⟨ %�'� r b⟨
2
>�� 0 r b≤ ≤
7) ��� ���( ),q r ∈ ×� ����� :0
a bq r
r b
= + ≤ ⟨
2 (L’unicité: ���) ��� >�2 ?*�#�( ) ( ), ,q r qو r′ ′ �� ×� �
����0
a bq r
r b
= + ≤ ⟨
0
a bq r
r b
′ ′= + ′≤ ⟨
�����: bq r bq r′ ′+ = + ( )b q q r r′ ′− = −
��� :.b q q r r′ ′− = −
�����0
0
r b
r b
≤ ⟨ ≤ ⟨
%�'� 0
0
b r
r b
− ⟨− ⟨ ′≤ ⟨
��� :b r r b′− ⟨ − ⟨ %�'� :r r b′ − ⟨
%�'� :b q q b′− ⟨
%�'� :b q q b′− ⟨
%�'� :1q q′− ⟨
�����q q′− ∈���� 0q q′− = %�'� q q′=
>��0r r′− = %�'� r r′ =
��� ( ) ( ), ,q r q r′ ′=
��� 7) ��� %������( ),q r ∈ ×� � =��� 0
a bq r
r b
= + ≤ ⟨
b( �� ��#���$ ���� �: ��%��� :
����a ∈� *b ∈�
��� 7) ���( ),q r �� ( )� ����� :.
0
a q b r
r b
= + ≤ ⟨
��%��: ����a ∈� *b ∈�
1 (Existence: * ��� ���a ∈�;*<�� =��� ��� 7) ��� >�34 . * ��� ���*a −∈� �34 *a− ∈�
��� 7) ��� ���( ),q r′ ′ �� ( )×� ����� :
0
a bq r
r b
′ ′− = + ′≤ ⟨
�����( )a b q r′ ′= − −
��� ���0r′ = �34 ( )a b q= − :"�q q′= − 0r = ��� ���0r′ ≠
�34 ( )a b q r′ ′= − −
( )b q b b r′ ′= − − + −
( ) ( )1a b q b r′ ′= − − + −
:"�1
r b r
q q
′= − ′= − −
����� a bq r= +
�����0 r b⟨ ⟨ %�'� 0 b r b′⟨ − ⟨ ��� 0 r b⟨ ⟨
��� 0 r b⟨ ⟨
* 7) ��� %������( ),q r���� :0
a bq r
r b
= + ≤ ⟨
2 (L’unicité:
7)�� �2 ���� $������ $��*;�� @#��( ),q r��� .
II( #�#��� ����� n: 1 (�����:
����n ∈� bوa �� � �� ��a =4�� b��*�� �n ��� ��� ;�4 ���
/n a b− ���� [ ]a b n≡
�& '�:
[ ]
( )/a b n n a b
k a b nk
a nk b
≡ ⇔ −
⇔ ∃ ∈ − =⇔ = +
�
2 (���!�": 1/ ���� n ∈�
(*( ) [ ]a a a n∀ ∈ ≡� ����'�� $�4���� $ �� ���$.
(* ����bوa �� � ���� [ ]a b n≡ ���/n a b− ��� %�'� k �� ����� :a b nk− =
���( )b a n k− = −
���/n a b− >�� [ ]b a n≡
��� [ ] [ ]a b n b a n≡ ⇒ ≡ :%0.��� $�4���� $ ��.
(* ����bوa �� ����� :[ ][ ]
a b n
b c n
≡ ≡
�����[ ]a b n≡ ��� )1 (a b kn− = :� k �� �.
[ ]b c n≡ ��� )2 (b c k n′− = :� k ′∈�.
��)2) + (1 ( B�����( )a c k k n′− = + ��� /n a c− 12
[ ]a c n≡
���: [ ][ ] [ ]a b n
a c nb c n
≡⇒ ≡ ≡
��� $ ���$��'�� $�4.
��!�")1:( $��'�� $�0.��� $����'�� $�4��� $ ��.
C4��� $ �� $�4���� $ �� �� ��.
%�'�:
( )( ) [ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ]
3, , *
*
*
a b c a a n
a b n b a n
a b na c n
b c n
∀ ∈ ≡
≡ ⇒ ≡
≡⇒ ≡ ≡
�
��!�") 2:( ����*n ∈�
��� �a �� � ���*�� =4�� n D0� >��� % �� n ��� %�'� ���r $�� % �� & a D0� n �34 [ ]a r n≡.
��%��:
����� 0
a nq r
r n
= + ≤ ⟨
3
���a r nq− = >��/n a r− ��� [ ]a r n≡
��!�")3:( ����*n ∈� bوa �� �. ����r $�� % �� a D0� n r′ $�� % �� b D0� n. �����: [ ]a b n r r′≡ ⇔ =
��%��:
�����: 0
a nq r
r n
= + ≤ ⟨
0
b nq r
r n
′ ′= + ′≤ ⟨
* �2 ?*�#�r r′=
�2 0'�[ ][ ]
a r n
b r n
≡ ′≡
[ ][ ]
a r n
b r n
≡ ≡
r r′= ���[ ]a b n≡
* �2 ?*�#�[ ]a b n≡ �2 ����� r r′=
�����[ ][ ]
a r n
b r n
r r
≡ ≡ ′=
���[ ]r r n′≡
12.r r k n′− = :� k ∈� ���r r k n′− =
����� 0
0
r n
r n
≤ ⟨ ′≤ ⟨
���n r r n′− ⟨ − ⟨ 12r r n′− ⟨
%�'�k n n⟨
���1k ⟨
�����k ∈� ��� 0k = >��0r r′− = ��� r r′=
��!�")4:( ����n ∈�
1 (( )( ) [ ][ ]
[ ][ ]
4, , ,. .
a b n a c b d na b c d
c d n a c b d n
≡ + ≡ + ∀ ∈ ⇒ ≡ ≡ �
2 ( ����2 1 2 1... , ... ,n nb b b aو a a �� �
{ }( ) [ ][ ]
[ ]1 1
1 1
1,2,...,
n n
i ii i
i i n n
i ii i
a b n
i n a b n
a b n
= =
= =
≡∀ ∈ ≡ ⇒ ≡
∑ ∑
∏ ∏
3( ( )( ) [ ] [ ][ ]
3, ,. .
a c b c na b c a b n
a c b c n
+ ≡ +∀ ∈ ≡ ⇒ ≡�
4 (( )( )( ) [ ] [ ]2, : n na b n a b n a b n′ ′′∀ ∈ ∀ ∈ ≡ ⇒ ≡� �
��%��: D0� �&*��� )1(
�2 ?*�#�[ ][ ]
a b n
c d n
≡ ≡
* �����[ ]a b n≡ %�'� ( ) ( )1k a b kn∈ − =�
[ ]c d n≡ ��� ( ) ( )2k c d k n′ ′∈ − =�
�6 ��)1) + (2 (���: ( ) ( ) ( )a c b d k k n′+ − + = +
��� [ ]a c b d n+ ≡ +
* �� �����)1 :( ( )c a b ckn− =
�� )2:( ( )b c d bk n′− =
��4*;�� :��� :( )ac bd n ck bk ′− = +
��� :nac bd−>�� [ ]ac bd n≡
�& '�: ���� n∈� a �� �. ( ) [ ]k a a nk n∀ ∈ ≡ +�
����)� �����: 1 (�2 �����: ( ) 27 / 3 2n nn∀ ∈ −�
�& '�: [ ]/ 0n a a n⇔ ≡ �����:
[ ]
[ ][ ]
23 9 7
9 7 7
2 7
≡
≡ −
≡
���[ ]23 2 7≡
���[ ]23 2 7n n≡
���( ) 2: 7 / 3 2n nn∀ ∈ −�
2 ( �2 �����2 1 3 217 / 3.5 2n n− −+ �� n �� *�
�����:
( )
( )
2 1 12 1
2 1
5 5
5 5
nn
n
− +−
−
=
= ×
�����:
[ ]
[ ][ ]
2
2 3
5 25 17
8 17
5 2 17
≡
≡
≡
��� :( ) ( ) [ ]2 1 3 15 2 17n n+ −≡
%�'� : ( ) ( ) [ ]2 1 3 15.5 2 5 17n n− −≡ ×
%�'�: ( ) [ ]3 12 15 2 5 17nn −− ≡ ×
%�'�: ( ) [ ]3 12 13.5 2 15 17nn −− ≡ ×
%�'�: [ ]2 1 3 2 3 3 3 23.5 2 2 15 2 17n n n n− − − −+ ≡ × +
%�'�: ( )[ ]2 1 3 2 3 33.5 2 2 15 2 17n n n− − −+ ≡ +
%�'�: ( )[ ]3 32 17 17n−≡
��� : [ ]2 1 3 23.5 2 0 17n n− −+ ≡
���( )* 2 1 3 217 / 3.5 2n nn − −∀ ∈ +�
3 (*��+� ���!, ����-�: a(����� : ���� a ∈� ���� x ∈�
C4��� !�9 %���x � �(� )�*� %��� $������ x 2 x� %0� ��� $4*'���:
[ ]{ }/x y y x n= ∈ ≡�
� !��9,� 5�& $����� )�*� :n��
4
[ ]{ }
{ }/ 3
/ 3 /
x y y x
y y x k k
= ∈ ≡
= ∈ = + ∈
�
� �
���{ }/ 3 /x y y x k k= ∈ = + ∈� �
{ }{ }
0 3 /
..., 9, 6, 3,0,3,6,9,...
k k= ∈
= − − −
�
{ }{ }{ }{ }{ }{ }
1 1 3 /
..., 8, 5, 2,1,4,7,10,...
2 2 3 /
..., 7, 4, 1,2,5,8,11,...
3 3 3 /
..., 6, 3,0,3,6,9,... 0
k k
k k
k k
= + ∈
= − − −
= + ∈
= − − −
= + ∈
= − − =
�
�
�
b(���!�" : 1/ ���� x ∋nو ∈� �
[ ]{ }
[ ]/
/
x y y x n
y x y x n y x nk k
= ∈ ≡
∈ ⇔ ≡ ⇔ = + ∈
�
�
���: { }/x x nk k= + ∈�
2/ ���� n ∈� yوx �� � �2 �����: [ ]x y x y n= ⇔ ≡
*⇐ ( �2 ?*�#�[ ]x y n≡ �2 ����� x y=
[ ][ ] [ ]( )
z x z x n
z y n x y n
z y
∈ ⇔ ≡
⇔ ≡ ≡
⇔ ∈
��� x y= *⇒ ( �2 ?*�#�x y= �2 ����� [ ]x y n≡
�����x y= 7� ��� ��������z� ���� z x∈ z y∈
��� [ ][ ]
z x n
z y n
≡ ≡
��� [ ]x y n≡
3/ ���� yوxوn ∈� �� � ���� [ ]x y n≡ �2 ����� :x y = ∅∩
/ �2 ?*�#� x y ≠ ∅∩
��� ���z x y∈ ∩ ��� [ ][ ]
z x n
z y n
≡ ≡
��� [ ]x y n≡
E��9 *�F ��& . ���x y = ∅∩
��!�": ����n ∈� yوx �� � 1 ({ }/x x nk k= + ∈�
2 ([ ]x y x y n= ⇔ ≡
3 ([ ]x y x y n= ∅ ⇔ ≡∩ ��9#�� 2 ����;�� C4��� %#�9 �2 %�'� ��&.
4/ ����� n��
:� *n ∈�
�2 �����( ){ }0, 1, 2,..., 1nn = −��
*�����:
( ){ }0, 1, 2,..., 1n n− ⊂ ��
* �2 �����( ){ }0, 1, 2,..., 1nn ⊂ −��
����x n∈��
$�� *��'�x D0� n . ����r $�� % �� & a D0� n
12 :0
x nq r
r n
= + ≤ ⟨
�2 0'�[ ]x r n≡ ��� x r=
����� :{ }0,1,2,..., 1r n∈ −
���( ){ }0, 1, 2,..., 1r n∈ −
>��( ){ }0, 1, 2,..., 1nn ⊂ −��
%������ : ( ){ }0, 1, 2,..., 1nn = −��
* �����card n��
����r } �� ′rو }0,1,2,..., 1n − ���� r r′≠ �2 �����r r′ ≠
�2 ?*�#�r r′ = %�'� :[ ]r r n′≡
%�'� :/r r kn k′− = ∈� 12 r r k n′− =
����� 0
0
r n
r n
≤ ⟨ ′≤ ⟨
��� r r n′− ⟨
%�'� :k n n⟨
%�'�1k ⟨
�����k ∈� ��� 0k = >��r r′=? ��� ��& . ���r r′ ≠
%������: Card nn =��
$�9�6: ����*n ∈�
(* Card nn =��
(* ( ){ }0, 1, 2,..., 1nn = −��
c( �� .�/� 0�- n��
:
����Y X �� nو��
�2 ?*�#� : X x x′= = : Y y y′= =
���[ ][ ]
x x n
y y n
′ ≡ ′≡
��� [ ]
[ ]x y x y n
xy x y n
′ ′ + ≡ + ′ ′≡
��� x y x y
xy x y
′ ′+ = +
′ ′=
��� :"� x y x y
xy xy
+ = +
=
%�'�: .
x y x y
x y xy
+ = +
=
5
�����: %4 *"�� :���� !�*'�n
��
%0� ��� :
.
x y x y
x y xy
+ = +
=
1���: %4 �*"�� :���� �� :"6
��
/����� : { }0, 1, 2, 3, 4, 56 =��
5 4 3 2 1 0 + 5 4 3 2 1 0 0 0 5 4 3 2 1 1 1 0 5 4 3 2 2 2 1 0 5 4 3 3 3 2 1 0 5 4 4 4 3 2 1 0 5 5
5 4 3 2 1 0 x 5 4 3 2 0 0 0 0 5 4 3 1 0 1 4 2 0 4 2 0 2 3 0 3 0 3 0 3 2 4 0 2 4 0 4 1 2 3 4 5 0 5
����)� �����:
(* %4 ��$���'��� : [ ]4 2 6x ≡
%4 �����6��
:
[ ]4 2 6 4 2
4. 2
x x
x
≡ ⇔ =
⇔ =
) ���� �6 �� ( 2
5
x
x
=⇔
=
[ ] [ ]
( )2 6 5 6
2 6 5 6
x أو x
x kأو x k k
⇔ ≡ ≡
⇔ = + = + ∈�
��� :{ }2 6 ,5 6 /S k k k= + + ∈� (* %4 ��$���'��� :
[ ]3 1 5x ≡
����� %45��
[ ]3 1 5 3 1
3. 1
x x
x
≡ ⇔ =
⇔ =
�����: { }0, 1, 2, 3, 45 =��
�2 B����� ?�'����: 2x =
%�'� [ ]2 5x ≡ %�'� 2 5x k= + ��� { }2 5 /S k k= + ∈�
���!�":
(* %4 �������� �*"�� :����n��
(* %4 :��0� $������ %'�)� �*"��n��
(*0:��0� $������ ������� *9�'�� & . (*1�*"0� $������ ������� *9�'�� & . (*x ���� ��� x− � >� )�*� x−.
����� ���9�6�� 5�& G60�( ), ,n + ��
$���� $������ $�0� .
��%��: /�2 ����� ( )+%'���� .
�����:
( ) ( )( ) ( )
( )
x y z x y z
x y z x y z
x y z
+ + = + +
= + + = + +
= + +
��� ( ) ( )x y z x y z+ + = + +
�& '�: ( )( )2, . 0 0 0x y x y x أو y∀ ∈ = ⇒ = =�
#�/� 1��:
%46��
: �����3.4 0=
3 0 4 ≠و0 ≠
III���+$ 2��3� 4��� . 1 (�����:
����bوa �� *�
$������ *��'�{ }* / / /A d d a dو b= ∈�
(* �����A ≠ ∅ ) �,1 A∈( (*�����: ( ) /d A d a∀ ∈
��� d a≤
���A � 8*��� a (* �����A ⊂ � ���A*9�� *��2 ��� .
:"�maxAδ = δ *��,� �*�<��� ����� D��� bوa ����a bδ = ∧.
�����: ����bوa �� *
� *��,� �*�<��� ����� %���bوa �'; ��� �� *��2
��� �*�<�bوa . � >� )�*�a b∧ 2 a b� 2 { }gcd ,p a b
1���:
�����48 36∧ $����� �����48%& :1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,8 ,12 ,16 ,24 ,
48. $����� �����36%& :1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,18 ,36.
$�*�<��� ����� ��� :1 ,2 ,3 ,4 ,6, 12. ���48 36 12∧ =
6
�& '�: (*a b b a∧ = ∧ (* ��� ���0b ≠ :"� 0 b b∧ = (*0 0∧!*'� *�F . (* ��� ���/a b �34 a b a∧ =
(*a b d∧ = %�'� /
/
d a
d b
��� ��� '/
'/
d a
d b
�34 d d′ ≤
2 (���!�": 1/ ���� bوa �� *
� ����d a b= ∧
>�2 ����� ���( ),u v �� � � ���� d au bv= +
*$������ *��'� :{ }/ ,A au bv u v= + ∈�
/ ����� 0A ≠ �, 2 2n a b A= + ∈ / ����� A � 8*I9� 1. / ����� A ⊂ �
����� ���p *F�9 A p A∈ ��� ��� ( ),u v �� 2
� ���� p au bv= + * �2 �����d p=
/ ����� /
/
d a
d b
��� /
/
d au
d bv
��� /d au bv+ %�'� /d p
���d p≤ %�'� ( )1 d p≤ / �2 ����� /p a
$���0 ,� $����� *��'�a D0� p %�'� 0
a pq r
r p
= + ≤ ⟨
�2 �����0r = : �2 ?*�#�0r ≠ ��� 0 r p⟨ ⟨
����� : ( )( ) ( )1
r a pq
a au bv q
a uq b Vq
= −= − +
= − + −
�����*
r aU bV
r
= + ∈ �
��� r A∈ ����� r p⟨ sinp A=
? ��� ��& . ���0r =. >��/p a
�2 ���� $��*;�� @#��/p b ���p �*�<� �� bوa a b d∧ =
���( )2 p d≤
��)1 ( )2 (�2 B����� :p d= ���: d au bv= +
��!�")1:( �� ��* ���������bوa�
��� ���a b d∧ = 7) ��� >�34 ( ),u v �� 2����� :
d au bv= + �& '�:
����* ���������bوa� ���� d a b= ∧ *� ��'�d �< D0� ���� �'�� *�F %'��; ��� *I92 &
d au bv= +. * 7)��( ),u v���� @�� .
2/ ���� * ���������bوa� d a b= ∧
�2 ����� : '/
'/'/
d ad d
d b
⇔
* (⇐ ( �2 ?*�#�'/d d
�����/
/
d a
d b
��� :'/
'/
d a
d b
(*⇒ ( �2 ?*�#�'/
'/
d a
d b
�����d a b= ∧ ��� d au bv= + :� ( ) 2,u v ∈�
�����'/
'/
d a
d b
�2 '/
'/
d au
d bv
��� '/d au bv+ %�'� '/d d
��!�")2:( ����* ���������bوa� d a b= ∧
�����: '/
'/'/
d ad d
d b
⇔
$�*�<��� ����� �2 %�'� ��&bوa �� ;�"��� %& d
'/
'/'/
d ad a b
d b
⇔ ∧
�& '�: ����* ���������bوa� (*�����: a b a b a b a b∧ = ∧ = ∧ = ∧
��&*�: ����2 �� :a b a b∧ = ∧
:"�d a b= ∧ d a b′ = ∧
/ ����� d a b= ∧ ��� /
/
d a
d b
����� :/
/
a a
b b
��� /
/
d a
d b
%�'� /d a b∧
%�'�( )1 / 'd d
/ ����� d a b′ = ∧ ��� '/
'/
d a
d b
����� /
/
a a
b b
���'/
'/
d a
d b
%�'� '/d a b∧ %�'� ( )2 '/d d
��)1( )2 ( �2 B�����d d ′=
���: a b a b∧ = ∧ (* *��,� �*�<��� ����� ����� =*; �� ����� %I0� ���
����� ����'�.
5 (5#��� ���6���": ��!�")1 (
����bوa �� *�
��� ���r $�� % �� & a D0� b%�'� :0
a bq r
r b
= + ≤ ⟨
�34a b b r∧ = ∧
7
��%��:
�����0
a bq r
r b
= + ≤ ⟨
�2 ����� a b b r∧ = ∧
:"� :d b r dو a b′ = ∧ = ∧ . �2 �����d d ′=
/����� :'/
'/
d a
d r
��� '/
'/
d bq
d r
��� '/d bq r+
%�'� '/d a
���'/
'/
d a
d b
%�'� '/d a b∧ %�'� ( )1 '/d d
/ ����� /
/
d a
d b
��� /
/
d a
d bq
��� /d a bq− %�'�
/d r ���
/
/
d b
d r
%�'� :/d b r∧ %�'�
( )2 / 'd d
��)1 ( )2 ( �2 B�����d d ′= �2 ���dوd ′ �34 �'; ���� d d ′=
%�'� a b b r∧ = ∧ �& '�:
�� �'��� ��&*��� %40 r b≤ ⟨ .#9� ���$��� $: ��� ���a bq r= + �34 a b b r∧ = ∧
�.�: �����416 76∧ ����� 76 416
5 36 ���416 76 5 36= × +
���416 76 76 36∧ = ∧ ����� :76 2 36 4= × + ���76 36 36 4∧ = ∧
�����36 9 4 0= × +
��� :4 / 36>�� :36 4 4 4∧ = = %������ :76 36 4∧ =
12 :416 76 4∧ = %����� ���� %4 ��& G60�:
4 36 76 416 9 2 5 0 4 36
�4���: ����bوa �� *
� ���� a b⟩ * $���� ��a D0� b :1 1 10 ,r b a bq r≤ ⟨ = + / ��� ��� 1 0r = �34 /b a ��� a b b∧ = / ��� ��� 1 0r ≠ �34 1a b b r∧ = ∧
$���� ��b D0� 1r :1 2 2b r q r= + J2 10 r r≤ ⟨ /��� ��� 2 0r = �34 1 /r b ��� 1 1b r r∧ = / ��� ��� 2 0r ≠ �34 1 1 2b r r r∧ = ∧
�'�� % �� D0� 9�� D�� $�������� ������� BK��� ���& ) �� �'�� % �� D0� 9��� 1**"�� $��� % ���� 5�& �,
�'; $�9 ���.(
�2 ?*�#�1nr + �'�� % �� 2 . %�'� :1 0 0n nr +rو = ≠
1 1 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2
0
0
a b b r r b a bq r
b r r r r r b r q r
∧ = ∧ ≤ ⟨ = +∧ = ∧ ≤ ⟨ = +
1 1 1n n n nr r q r+ + += + ����� 1 0nr + = ��� 1/n nr r − >��1n n nr r r− ∧ =
���na b r∧ = �'�� *�F % �� *6L & .
��!�": ����* ���������bوa�
������� %4 �'�� *�F % �� *6L & *��,� �*�<��� ����� $�������� ) @��0 2 $��)*�6.( �& '�:
���� %4 BK����� 5�& G60�: ... ... ... 2r 1r b a 3q 2q 1q 0 nr / / 3r 2r 1r
1���: ����� :792 36∧ �����:
4 16 36 792 4 2 21 0 4 16
��� :792 36 4∧ =
4 (�7��� ���� ���$ ##�$: a(����� :
����* ���������bوa� �� ��bوa��� ;�4 ��� ��(��� ���4 ����2 ��� 1a b∧ =
1���: 9 4 1∧ = ���4 2���� ���4 ���)��و9 .
b(���!�" : ��%���)1:( ) $�&*��Bezout(
����* ���������bوa�
( )( )21 , :1a b u v au bv∧ = ⇔ ∃ ∈ = +�
��%��: ⇒ ( �2 ?*�#�1a b∧ =�2 B����� $���� $�9�6 �6 �� :
( )( )2, :1u v au bv∃ ∈ = +�
⇐ ( �2 ?*�#�( )( )2, :1u v au bv∃ ∈ = +� �2 ����� 1a b∧ =
:"�a b d∧ =�2 ����� :1d =
����� :/
/
d a
d b
��� /
/
d au
d bv
��� /d au bv+ 2 1d = −
%�'�/1d ���1d = 2 1d = −
� ����0d⟩ ��� 1d = %�'� 1a b∧ =. 1��� : ����n ∈� :� 1 0n ≠nو − ≠ . ����� : ( )1n n+ ∧
�����: ( ) ( )1 1 1 1n n+ − =
��� ( ) ( )1 1n n+ ∧ =
8
��%���)2( ����cوbوa �� *
� �����( )ac bc c a b∧ = ∧.
��%��: :"�d a b dو ac bc′ = ∧ = ∧
�2 �����d c d ′=
�����'/
'/
d a
d b
����� /c c /
/
c d ac
c d bc
′ ′
%�'�
/c d ac bc′ ∧
%�'�( )1 /c d d′
����� :d a b′ = ∧��� :( )( )2, :u v d au bv′∃ ∈ = +�
���c d c au c bv′ = + ����� :d ac bc= ∧
���d ac
d bc
���d a c
d b c
���d a c u
d b c v
���d a c u b c v+
%�'�: ( )2 d d c′
��)1 ( )2 (�2 B����� :d c d ′= ) ����� ����� ��(�,(
��%���) 3:( ����* ���������bوa� *d ∈�
1
d a et d ba b d a b
d d
∧ = ⇔ ∧ =
��%��:
⇐ ( �2 ?*�#�d a
d b
1a b
d d∧ = ����� a b d∧ =
����� :. .
.1
a b a ba b d d d
d d d d
d d
∧ = ∧ = ∧
= =
���: a b d∧ =
⇒ ( �2 ?*�#�a b d∧ = �2 ����� d a
d b
1a b
d d∧ =
/ �����a b d∧ = ��� d a
d b
/ ���� �a b d∧ = ��� ( )( )2, :u v d au bv∃ ∈ = +�
%�'� :.a b
d d u d vd d
= +
%�'� :a bd d u v
d d = +
%�'� :1a b
u vd d
= +
���( Bezout ) �2 B����� 1a b
d d∧ =
�& '�: ����* ���������bوa� d a b= ∧
:"� :a da
b db
′= ′=
�����
aa
db
bd
′ = ′ =
��� 1a b
a bd d
′ ′∧ = ∧ =
��� ��� ���d a b
a da
b db
= ∧ ′= ′=
�34 1a b′ ′∧ =
��%���)4:( ����* ���������cوbوa�
����� : 1
11
a ba bc
a c
∧ =⇒ ∧ = ∧ =
��%��: �����1a b∧ =��� : ( )( ) ( )2, : 1 1u v au bv∃ ∈ = +�
1a c∧ =��� : ( )( ) ( )2, : 2 1u v au cv′ ′ ′ ′∃ ∈ = +�
��)1) . (2 (�2 B�����: 21 a uu acuv bau v bcvv′ ′ ′ ′= + + +
%�'� ( ) ( )1 a auu cuv bu v bc vv′ ′ ′ ′= + + +
1 aU bcV= + ���( Bezout )�2 B����� :
1a bc∧ = �& '�:
E��9 %��'�� �)0��M�. 8�����:
1/ ���� *2 1...n���������b b bو �aو
{ }( ) 11
1,2,..., 1 1n
i ii
i n a b a b=
∀ ∈ = ⇒ ∧ =∏
2/ ���� * ���������bوa�
( )( )2, 1 1n nm n a b a b∀ ∈ ∧ = ⇒ ∧ =�
��%���)5:( ) $�&*��Gauss( ����* ���������cوbوa�
�����: 1
a c
b c ab c
a b
⇒ ∧ =
�& '�: ��� ���1a b∧ ≠N;�6 �)0��M� �34 :
�.� :6 12
4 12
��� 6.4 12×
��%��: ����� a c ��� c ak= k∃ ∈�
b c %�'� b ak �����1a b∧ = ��� ��� ( Gauss ) �2 B����� b k
��� k bk ′= >�� c abk ′= ���ab c
9
�& '�:
1
2 1 2. ... n
n
a b
a b a a a b
a b
⇒
D�.� D�.� �(��� ���4 $��2
��%���)7:( ����* ���������bوa� *n ∈�
[ ] [ ]1
ax ay nx y n
a n
≡⇒ ≡ ∧ =
�& '�: ��� ���1a n∧ +N;�6 �)0��M� �34 .
.� :[ ]3.2 3.4 6≡ ��� [ ]2 4 6≠ ��&*�: �����[ ]ax ay n≡ %�'� n ax ay−
'�%� ( )n a x y−
�����1a n∧ = ��� ��� ( Gauss )�2 B����� : n x y−
%�'�[ ]x y n≡
��� :[ ] [ ]1
ax ay nx y n
a n
≡⇒ ≡ ∧ =
5 ( �#��� 1 ax by c+ = �� �.
a(����, : 1���1: %4 ��� 2
� $���'��� ( )1 3 4 1x y− =.
* �����3 4 1∧ = ��� ��� Bezout : 7) ���( ),u v �� �.
���� :3 4 1u v+ = %�'� :( )3 4 1u v− − =
���( ),u v− $���'�0� � )1 (
$���'��� %������)1 ( ,� D0� �� ���. * $���'�0� G�6 � �� �����)1.(
�2 ����( )1, 1− − $���'�0� � )1.( *0��� :��� �����:
����( ),x y $���'�0� � )1.(
�����( ) ( ) ( )2 3 1 4 1 1− − − =
�����( )1, 1− −��� � : ( ) ( ) ( )3 3 1 4 1 1− − − =
��)3 (–) 2 (�2 B����� : ( ) ( )3 1 4 1 0x y+ − + =
%�'�( ) ( )3 1 4 1x y+ = +
���( )3 4 1y +
����� 3 4 1∧ = ��� ��� ( Gauss )����� :3 1y +. %�'� 1 3y k+ =%�'� :3 1y k= −
%4 ?�'����)2 (D0� 9��: ( )3 4 3 1 1x k− − = %�'� 3 12 3x k= − %�'� 4 1x k= −
��� :( )3 1
4 1
y kk
x k
= −∈ = −�
���� ���� � >�2 ����x $���'��� �� � �;�� )2 ( ���yوx
$���'��� ������)1 ( %������ : ( ){ }4 1;3 1 /S k k k= − − ∈�
1���2 : %4 ���2
�$���'��� : ( ) : 67 57 2E x y+ = * �����67 57∧
1 3 7 10 57 67 3 2 1 5 1 0 1 3 7 10 ��� 67 57 1∧ =
���Bezout ��� >�34 ( ),u v ���� 67 57 1u v+ =
%�'� ( ) ( )67 2 57 2 2u v+ =
7)�� ���( )2 ,2u v $���'�0� � ( )E.
���( )E ,� D0� �� ��� .
* $���'�0� G�6 � �� �����( )E. �� ����� �� ������ @��0 2 $�)�*�6 ��� � ��� G�6 �
E"� � ���&. ����� :( )1 67 1 57 10= × +
( )2 57 5 10 7= × +
( )( )3 10 1 7 3
4 7 2 3 1
= × +
= × +
:"�57 67b =aو = ��)1 (D0� 9�� :10 a b= − ��)2 (D0� 9�� :( )5 7b a b= − + 12 7 6 5b a= −
��)3 (D0� 9�� :( )6 5 3a b b a− = − + 12 3 6 7a b= −
��)4 (D0� 9��:( )6 5 2 6 7 1b a a b− = − + 12
17 20 1a b− + = %�'� :( ) ( )67 17 57 20 1− + =
%�'� :( ) ( )67 34 57 40 2− + =
���( )34,40− $���'�0� � ( )E.
* $���'��� 0� :��� �����( )E.
����( ),x y$���'�0� � .
��� ( )1 67 57 2x y+ =
�����( )34,40−��� � :
( ) ( ) ( )2 67 34 57 40 2− + =
��)1 (–) 2 (�2 B�����: ( ) ( )67 34 57 40 0x y+ + − =
%�'� ( ) ( )67 34 57 40x y+ = − −
��� ( )57 67 34x + �2 ���57 67 1∧ = �34 57 34x +
12 34 57x k+ = ��� 57 34x k= −
%4 ?�'����)1 (���: 57 67 57 2280y k= − × + >�� 67 40y k= − +
10
���: ( )57 34
67 40
x k
y k k
= + = − + ∈ �
�����: ( ),x y ������ ( )E ����� � >�, y � �;�� ��( )E
*%������ : ( ){ }57 34; 67 40 /S k k k= + − + ∈�
b(4���� : $���'��� *��'�( )E ax by c+ = :� 0 0b ≠aو ≠
/ :"� d a b= ∧ 1/ ��� ��� d c×
�� ��� $���'��� �2 ?*�#�( ),x y. ��� ax by c+ =
����� d a
d b
��� d ax
d by
��� d ax by+ %�'� d c
? ��� ��& .@�� $���'��� ���� �(� . 2/ ��� ��� d c:
:"� :a da
b db
c dc
′= ′= ′=
:� 1a b′ ′∧ =
���( )EE�9� : a dx b dy c d′ ′ ′+ =
12 ( )E a x b y c′ ′ ′ ′+ = * �����1a b′ ′∧ = ��� ��� ( ),u v ���� 1a u b v′ ′+ =
%�'� :( ) ( )a c u b c v c′ ′ ′ ′ ′+ =
���( ),c u c v′ ′ $���'�0� � ( )E′.
���( )E� �(� . *G�6 � �� �����:
�0 2 $��)*�6 ��'����E"� � ���& ��� � ��� @�. �2 ?*�#�( )0 0,x y$���'�0� G�6 � .
%�'�( ) 0 01 a x b y c′ ′ ′+ =
* ����( ),x y%�'� $���'�0� � :( )2 a x b y c′ ′ ′+ =
��)1 ( )2 (��� :( ) ( )0 0 0a x x b y y′ ′− + − =
%�'�: ( ) ( )0 0a x x b y y′ − = − −
��� ( )0b a x x′ ′ −
����� 1a b′ ′∧ = ��� ( )0b x x′ − %�'� 0'x b k x= +
%4 ?�'����( )E′���
( )0a b k x b y c′ ′ ′ ′+ + = %�'�: b y c a x a b k′ ′ ′ ′ ′= − −
�� �����)1:( 0 0a x c b y′ ′ ′= − ��� 0b y c c b y a b k′ ′ ′ ′ ′ ′= − + − ��� 0y a k y′= − +
�����: ( ),x y =��� ( )E ���� � >�, y �� � �;�� ( )E
%������ : ( ){ }0 0, /S b k x a k y k′ ′= + − + ∈�
IV(##�, 9#� ��+$ 2��3� 4��� : 1������ :
����2 1... ,na a a$��'�� *�F ����2 �*�<� �� *��2 ����,� 5�(� *��,� �*�<��� ����� %���
����,� 5�(� �'; ���. � >� )�*�1 2 ... na a a∧ ∧ ∧
2����!�" : ��!�")1:(
����2 1... ,na a a �� *�
( )1 2 1 2 31
... , ,..., /n
nn i i
i
d a a a u u u d a u=
= ∧ ∧ ∧ ⇒ ∃ ∈ =∑�
��!�")2:( ���� :1 2 ... nd a a a= ∧ ∧ ∧
�� d ����P� $�*�<��� ����� ;�"��� %& ia
%�'� :1
2 1 2 ... n
n
d a
d a d a a a d
d a
′ ′ ′⇔ ∧ ∧ ∧ = ′
��!�")3:( ����* ���������cوbوa� ����� : ( ) ( )a b c a b c a b c∧ ∧ = ∧ ∧ = ∧ ∧
���� ����2 8�'� *��,� �*�<��� ����� ���� ��� >�2 %�'� ��&��(� *��,� �*�<��� ������ ���.� � ?�'�.
3 (��� ���$ ##�$�7��� �: a(����� :
����,� �� �� *1...n���������a a� ��� ��� ;�4 ��� �(��� ���4 $��2
1 2 ... 1na a a∧ ∧ ∧ =
�& ::
�(��� ���4 $��2 ����2 �(��� ���4 $��2 ����2 ��� ;06�� ��� MD�.� D�.�.
'�� : ����,�9,12,16,4,30��2 �(��� ���4 $. D�.� D�.� �(��� ���4 $��2 ���� �(���.
b(���!�" : ��!�")1:(
����2 1... ,na a a �� *�
( )1 2 1 21
... 1 , ,..., /1n
nn n i i
i
a a a u u u a u=
∧ ∧ ∧ = ⇔ ∃ ∈ =∑�
��!�")2:( ����2 1... ,na a a ��*
� 0d ⟩
����� :1 2
1 2 1 2
......
... 1
n
n n
d a et d a d ad a a a a a a
d d d
= ∧ ∧ ∧ ⇔ ∧ ∧ ∧ =
V(�;!$ 2��3� ���/� : 1 (�����:
����* ���������bوa�
$������ *��'�{ }* /E m a m et b m= ∈�
/ ����� E ≠ ∅ ) �,ab E∈.(
/ E � 8*I9� 0. / E ⊂ �
���E:"� *9�� *I9,� ��� :minq E= q *I9,� �*�<��� !��"��� D��� bوa . ����
q a b= ∨
11
1(����� : ����* ���������bوa�
����'0� *I9,� �*�<��� !��"��� %���bوa *I92 ��� �*�<� ��� !��"�bوa . � >� )�*�a b∨.
*�& '�:
m a b= ∨%�'� :a m
b m
��� ���m′ �*�<� !��"� bوa �34 m m′≤ b a a b∨ = ∨
a a a∨ =
��� ���a b �34 a b b∨ =
2 (���!�": ��!�")1:(
����bوa �� *� m a b= ∨
��#��"�m $�*�<��� ��#��"��� ;�"��� %& bوa.
%�'�: a m
m a b mb m
′ ′⇔ = ∨ ′
���%�: ⇐ ( �2 ?*�#�m m′
�����a m
b m
��� a m
b m
′ ′
⇒ (�2 ?*�#� :a m′ b m′ �2 ����� m m′
$�� *��'�m′ D0� m .%�'� :0
m mq r
r m
′ = + ≤ ⟨
�2 �����0r = @�'�� ?*�#� . %�'�0r ≠
���0 r m⟨ ⟨ ����� :r m mq′= −
�����a m
a m
′
��� a m mq′ − %�'� a r
��� $��*;�� @#��b r ���r �*�<� !��"� bوa.
�2 ����r �*�<� !��"� bوa =��� 0 r m⟨ ⟨ ��& �, ? ���a b m∨ =
���0r = >�� m m′.
�& '�: a b a b a b a b∨ = ∨ = ∨ = ∨
��!�")2:( ��� �bوa �� *
� �����: ( ) ( ).a b a b ab∧ ∨ =
��&*�:
:"� d a b
m a b
= ∧ = ∨
:"� a d
b d
αβ
= =
:� 1α β∧ =
:"� m a
m b
γϕ
= =
����� :a bγ ϕ=%�'� :d dγα ϕβ=
%�'� :γα ϕβ= ���α ϕβ
�����1α β∧ = ��� α ϕ%�'� :dkϕ = ���: m bϕ=
%�'�: m k dα β= ��� ( )1 d mαβ * �2 �����m dαβ:
����� : d bαβ α= d aαβ β= ��� b d
a d
αβαβ
���
avb dαβ %�'� :( )2 m dαβ
��)1 ( )2 (�2 B�����: m dαβ=
%�'�: m dαβ=
%�'� : 2dm dαβ=
%�'�: dm ab=
>�� : ( ) ( ).a b a b ab∧ ∨ =
��!�")3:( ����* ���������cوbوa� ����� : ( )ac bc c a b∨ = ∨
��%��: �2 0'�: ( )( ) .ac bc ac bc ac bc∧ ∨ =
%�'�: ( ) ( ) 2. .c a b ac bc ab c∧ ∨ =
%�'�: ( ) ( ) ( )( ).a b ac bc a b a b c∧ ∨ = ∧ ∨
%�'�: ( ) ( ).ac bc c a b∨ = ∨ ��*��: ����* ���������bوa� 0m⟩
1
a m et b mm a b m m
a b
= ∨ ⇔ ∧ =
3 (##�, 9#� �;!$ 2��3� ���/�: �����:
����*2 1... ,n���������a a a�
!��"� *I92 & ����,� 5�(� *I9,� �*�<��� !��"�������,� 5�& ��� �*�<� ���.
��!�": ����*
2 1... ,n���������a a a� 1 2 ... nm a a a= ∨ ∨ ∨ ��#��"�m ����P� $�*�<��� ��#��"��� ;�"��� %& ia.
VI(���$ ##�$ : 1 (������:
�����)1:( ����* ���������a�.
%0'4 �� %���a �� � d a !��6� 1,1, ,a a− − %�'�{ }, ,1, 1d a a∉ − −.
�����)2:( ����{ }* 1,1p ∈ − −�
�� ��p ��� %�'� %0'4 �� 12 ��� M ��� ��� ;�4 ��� %�2 ��� ���4�"��� �� %& ;; ; 1;1p p− −
12
����,: (*1,1,0−$��2 ���� . (*4 �, %�2 @�� 2 %0'4 �� 4. (*2 ,3 ,5 ,7$��2 ����2 .
2 ( ��!�")1:( ��!�")1:(
����{ }* 1,1a ∈ − −�%�2 *�F . ��� %0'4 �� *I92a���2 ��� .
��%��: ����A $����� $�0'#�� ����� $���� a.
/ ����� 0A ≠ ) �,a %0'4 �� ��� %������ %�2 @�� ���(
/ ����� A � 8*I9� 0. / A ⊂ �
���A*9�� *I9,� ��� . :"�minp A= / �2 ����� p%�2 :
�����p %0'4 �� a�� �{ }0 1,1p ≠pو ∉ − �, 0a ≠ �2 �����p��0'4 ���� ��� M .
�2 ?*�#�p ��0'4 ���� ��� p′
�����p p
p a
′
��� p a′
/ ����� p p′ ��� p p′ ≤
%�'�: p p′ ≤
�����p p
p p
′ ≠ ′ ≠ −
��� p p′ ⟨
�����p a ��� p a⟨ 12 p a⟨
��� p a′ ⟨
���p a′ ≠
�����1p′ ≠
���p′ %0'4 �� a
�����p p′ ⟨
��� ��0'4 ���� ���� �a =��� p p′ ⟨ �, ? ��� ��&p��� %0'4 �� *I92 .
>��p��0'4 ���� ��� M . %������p%�2 .
�& '�: ��� �{ }* 1,1a ∈ − −���� %�2 %0'4 �� ��� %�2 *�F .
��!�")2:( $�(��� *�F $��,� ����,� $����.
��%��: ����P$����� $��,� ����,� $���� .
�2 �����P8*��� *�F . @�'�� ?*�#� . %�'�P8*��� .
/ ����� P ≠ ∅ ) �,2 P∈.( / P ⊂ �
���P*9�� *��,� ��� .:"� :maxq P= / :"� ! 1p q= +
�2 �����p%�2 :
@�'�� ?*�#� . %�'�p ��� %�2 ��0'4 ���� ��� 0p. ����� { }2,3,5,7,...,P q=
�����0p ��� ��� %�2 0p P∈ ���0p ��� ��2 & !q ��� 0 !p q
�����0p p ���0 !p p q−
%�'�0 1p %�'�0 01 1p أو p= − =
�, ? ��� ��&0p%�2 . ���p%�2 .
/ ��� ���� p %�2 p q⟩ �, ? ��� ��& q ��� *��2 & %�2.
%������P8*��� *�F . >��P$�(��� *�F .
3 (���$ ##�$ #�# � ����� ����): �& '�: ��� ���p �34 %�2 ��� p−%�2 . �� ����� %#�� %������
$����� $��,� ����,� ����� =*;. ��!�":
����{ }* 1n ∈ −�
��� ���n %�2 ��� ��� >�34 %�2 *�F p ���� 2
p n
p n
≤
��%�� �2 ?*�#�n%�2 *�F .
�����{ }* 1n ∈ −� ����p�� %0'4 �� *I92 n.
$�9�6�� �6 ��)1 ( �����p%�2 . ���p %�2 p n
�2 �����2p n≤ ����� :p n %�'� n kp=
�2 �����k %0'4 �� n �����0k kو n⟩
/ �2 ?*�#� 1k = ��� n p=�, ? ��� ��& : n %�2 *�F p%�2 .
���1k ≠ / �2 ?*�#� k n= ��� 1p = �, ? ��� ��& p%�2 .
���k n≠ / ����� 0k⟩ ��� 1k kو n≠ − ≠ −
���k ��� %0'4 �� n. / �2 ��� p ��� %0'4 �� *I9� & n.
�34: p k≤ %�'�: 2p kp≤ %�'� 2p n≤
/ ��� ��� p���� %�2 : 2
p n
p n
≤
13
�& '�: 1/ ���� { }* 1n ∈ −�
& =���� �2 ���*2 ���n%0� �� :��� J%�2 : + $��,� ����,� *��'�p =��� %��� 2p n≤ / ��� ����,� 5�& ��2 ��� ��� n �34 n ��� >�, %�2 *�F
��0'4 ���� . / ��� M ����,� 5�& :��� ���� ��� n �34 n%�2 .
1���: / �� *I92 $��,� ����,� :��� ����� 100.
�� *I9,� ����P� $������100 $��,� ����,� Jp ���� %��� =��� �22p n≤ %& 2 ,3 ,5 ,7.
�� *I9,� $��,� ����,� ���100,� %& ��� M %��� ���� D0� $�����2 ,3 ,5 ,7 ����,� D�� $4�"� 2 ,3 ,5 ,7.
/%& ����,� 5�& ��� : 2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31 ,37 ,41 ,43 ,53 ,59 ,61 ,67 ,71 ,73 ,79 ,83 ,89 ,97. 2/ ���� { }* 1n ∈ −�.
& =���� %��n$������ $��)*�6�� Q���� ���� %�2 . $���� ��n $��,� ����,� D0� p �� � �;�� 2 J%����� D0�
�M���� R��� ��� !��: / 7*�6�� E�92 ��� q �� *I92 p �'�� *�F % ���� J�';
��'�� $����� 5�& %4 ���4n%�2 . / �'�� % �� D0� ��09� ��� . ���4n%�2 *�F .
��%��: (* �34 �'�� % �� D0� ��09� ���n��0'4 ���� ��� . ���n%�2 *�F . (* D0� ��09� �2 *�#�q p⟨ � 0r =
�����0 r p n qp r≤ ⟨ = +
�����: 2
1q p q p
pq p p
⟨ ⇒ + ≤⇒ + ≤
�����r p⟨ ���2pq r p pq p+ ⟨ + ≤ ��� 2pq r p+ ≤%�'� 2n p≤
���� ���*�2 ���n D0� p D�� �'�� % �� D0� 9�� � E�922p n≥ �2 %�'� ��& n��� 12 D0� ��� M %�2 p =���2p n≤ . ���n%�2 .
1���: & =�����179%�2 :
17 13 11 7 5 3 2 p 10 13 16 25 35 59 89 q 9 10 3 4 4 2 1 r
��� 179%�2 . 4 (���� ������� ���$ ##�$:
��!�")1:( ����*a ∈� p%�2 .
1p a p a∧ = ⇔ ×
��%��: ⇒ ( �2 ?*�#�p a∧ .����� �2 p a× / ?*�#� p a
���p a p∧ = ��� 1p = %�'�1p = 2 1p = −
�, ? ��� ��&p%�2 . ���p a× ⇐ ( �2 ?*�#�p a× �2 ����� 1p a∧ =
:"�d p a= ∧
��� d p
d a
�� �2 0'� p%& :1,1, ,p p− −
����� p a
p a
×− ×
��� d p dو p≠ − ≠
�����1d ≠ − �, 0d⟩ ���1d = >�� 1p a∧ =
��!�")2:( ����qوp����2 :
1p q p q∧ = ⇔ ≠
��%��:
{ }{ }
1
1, 1, ,
,
p q p q
p q q
p q q
p qوp q
p q
∧ = ⇔ ×⇔ ∉ − −
⇔ ∉ −⇔ ≠ ≠ −⇔ ≠
��!�")3:( ����2 1,..., ,na a a�� p و �%�2 .
{ }( )1 2... 1,2,...,n ip a a a i n p a⇒ ∃ ∈
��%��: �2 ?*�#�1 2... np a a a .�2 ����� :{ }1,2,..., ii n p a∃ ∈
* ����,� ��2 ��� ���ia �'�� . �.�
00ia = �34
0ip a
* ����,� :��� ���� ���ia !��6� 0.
�2 ?*�#� :ip a× :{ }( )1,2,...,i n∀ ∈
%�'� 1ip a∧ =
��� 1
1n
ii
P a=
∧ =∏ %�'� 1
n
ii
p a=
×∏
? ��� ��&. ���{ }( )1,2,..., : ii n p a∃ ∈.
�& '�: 1/ ���� a ∈� p %�2 n ∈�.
(* np a p a⇒ (* p b2 p ab p a⇒ 2/ ���� p��� %�2 .
(* ( )1 : 1k p p k∀ ≤ ⟨ ∧ =
(* ( )/1 : 1k k p p k∀ ∈ ≤ ⟨ ∧ =�
��!�")4:( ����2 1,..., , ,np p p p$��2 ����2 .
{ }( )1 2... 1,2,...,n ip p p p i n p p⇒ ∃ ∈ =
14
��%��: �����: 1 2... np p p p
��� ���i ���� ip p �� �2 0'�ip%& :1,1, ,i ip p− −
�����1p ≠ 1p ≠ ��� ip p= 2 ip p− = %�'�ip p=
�& '�: (* { }( )1 2
1 2. .... 1,2,...,nn ip p p p i n p pαα α ⇒ ∃ ∈ =
(* ����,� ���� ���ip ��$pو�
�34: { }( )1 21 2. .... 1,2,...,n
n ip p p p i n p pαα α ⇒ ∃ ∈ =
=��)�: ����p��� %�2 ��� . 1( �2 ���k
pp C �� 1 1k p≤ ≤ −
2( �2 ��� ( ) ( ) [ ]1 1p pa a a p∀ ∈ + ≡ +�
3( (a�2 ��� : ( ) [ ]pn n n p∀ ∈ ≡�
(b�2 B����� :[ ]1 1pn p− ≡ �� n �� � ���� 1n p∧ =
4 ((a �2 ��� ( ) [ ]pa a a p∀ ∈ ≡�
(b �2 ��� [ ]1 1pa p− ≡ �� a �� � ���� 1a p∧ =
1 ( �2 �����kpp C �� 1 1k p≤ ≤ −
����1 1k p≤ ≤ − . �2 �����kpp C
�����:
( )( )( )
( )( )( )
1.2.... 1 ...!
! ! ! 1.2....
1 ....
!
kp
p k p k ppC
k p k k p k
p k p
k
− − += =
− −
− +=
��� ( )! 1 ...k
pk C p k p= − +
��� ! kpp k C
�����: { }1,2,..., 1i k i p∀ ∈ ≤ ⟨ ���p i× ��� 1p i∧ = ���! 1p k∧ = ��� ��� Gauss:
�����( )1 1 kpk p p C∀ ≤ ≤ −
2 ( ����a ∈� .�2 ����� :( ) [ ]1 1p pa a p+ ≡ +
�����:
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
0
1
1
1
1
1 1 .1 1
1
1 1
pp p k p k p
k
pk k pp
k
pp k k p
pk
pk kp
k
a a a a
C a a
a C a a
C a
−
=
=
−
=
−
=
+ − + = − +
= − +
= + + − +
=
∑
∑
∑
∑
�����1 1 kpk p p C≤ ≤ −
��� k kpp C a
���1
1
pk kp
k
p C a−
=∑
%�'�: ( ) ( )1 1p pp a a+ − +
%������: ( ) [ ]1 1p pa a p+ ≡ +
3 ((a ���� n ∈� �2 ����� [ ]pn n p≡ �2 0'�:
����*n ∈� ( ) ( ) [ ]1 1p pa a a p∀ ∈ + ≡ +�
��� [ ]1 1p p≡
[ ][ ]
( ) [ ]
2 1 1
3 2 1
1 1
p p
p p
pp
p
p
n n p
≡ +
≡ +
≡ − +
�2 B����� !*; !*; ��������� !�*;2 :���: [ ]1 1 ...1pn p≡ + + n 8*�
%�'�: [ ]pn n p≡ �2 �� $���9 D��� $�9�6�� �2 ����0n =
���: ( ) [ ]pn n n p∀ ∈ ≡�
(b ���� n ∈� ���� 1n p∧ = .2 ������ :[ ]1 1pn p− ≡
=�� ��� ����� :[ ]pn n p≡
%�'� pp n n−
%�'� ( )1 1pp n n − −
�2 ���1n p∧ = �34 1 1pp n − −
%�'�[ ]1 1pn p− ≡ �� n ���� 1n p∧ =
4 ((a ���� a ∈� . �2 �����[ ]pa a p≡ ← ��� ��� 0a ≥
=�� �� �6 �� >�34 :[ ]pa a p≡ ← ��� ��� 1a ≤ −
�341a− ≥ ��� ( ) [ ]pa a p− ≡ −
/ ��� ��� 2p ≠ �34 p1�*4 .
��� :( ) p pa a− = −
��� [ ]pa a p− ≡ −
��� [ ]pa a p≡
/ ��� ��� 2p =�34 : ( ) [ ]22a a− ≡ −
%�'� :[ ]2 2a a≡ −
����� [ ]2a a− ≡
��� [ ]2 2a a≡ ���:
( ) [ ]pa a a p∀ ∈ ≡�
(b ���� a ∈� ���� 1a p∧ = . �2 �����[ ]1 1pa p− ≡
�����: [ ]pa a p≡
%�'� pp a a− 12 1 1pp a − −
�2 ���1a p∧ = �34 1 1pp a − − ��� [ ]1 1pa p− ≡
15
��%���Fermat: ����p��� %�2 . (* [ ]pa a a p∀ ∈ ≡�
(* [ ]1 1pa p− ≡ �� a�� 1/a p∧ = �
5($��2 ��� ���� D�� ��� ���#� :
a(��%��� : ��� �a �� { }* 1,1− −� �< D0� 8��� $��*;� ����
1 21 2 ... r
ra p p pα α αε= ���: (* ����,�ipD�.� D�.� $#0�6� $��� $��2 . (* ����,�iα$��'�� *�F $�'��; . (*1ε = ��� ��� 0a⟩ (*1ε = − ��� ��� 0a⟨
b(�����)� : ←$����� $�0�� :
��!�" : ����b } �� aو }* 1−�
���� :1 21 2 ... r
ra p p pα α α= ���#� a$��2 ��� ���� D�� . b a ��� ��� ;�4 ��� b�< D0� ���� :
1 21 2 ... r
rb p p pβ β β= ���: { }0,1,2,...,i i iEβ α∈ =
$���*� �( )1 2, ,..., rβ β β �� 1 2 ... rE E E× × × �� ���;'�
���a& :1 21 2 ... r
rb p p pβ β β= $����� ����� ��� ���a �����*��� ��� & ( )1 2, ,..., rβ β β
& �����*��� 5�& ��� �2 0'� :( )1 2 ... rcard E E E× × ×
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 2
1 2
...
1 1 ... 1
r
r
cardE cardE cardE
α α α= ×
= + + +
��!�": ����a �� { }* 1−� 1 2
1 2 ... rra p p pα α α= ���#� a ���� D��
$��2 ���.
$����� ����� ���a & : ( )1
1r
ii
α α=
= +∏
1���: ��'0� $����� ����� �����54:
��#��54: 2 54 3 27 3 9 3 3 1
���354 2 3= × / $����� ����� ��� 54& :
( )( )1 1 1 3 8α = + + = �< D0� ���� %��� ����,� %& ����� 5�&:
1 22 .3d β β= ��� { }1 0,1β ∈
{ }2 0,1,2,3β ∈ %& ����� 5�& ���:
0 0 0 1 0 2
0 3 1 0 1 1
1 2 1 3
2 .3 1 ; 2 .3 3 ; 2 .3 9
2 .3 27 ; 2 .3 2 ; 2 .3 6
2 .3 18 ; 2 .3 54.
= = == = =
= =
←<��� ����� *I9,� �*�<��� !��"��� *��,� �*�: ���� 2 1,..., ,rp p p ���#� %4 *(�� %��� $��,� ����,� bوa
:"� : 1 21 2. ... r
ra p p pα α α= ��� 0 iα≤ 1 2
1 2. .... rrb p p pβ β β= 0 iβ≤
���10 α= ��� ��� ip ���#� %4 *(�� M a. 0 iβ= ��� ��� ip ���#� %4 *(�� M b. :"�1 2
1 2. ... rrd p p pγ γ γ=��� :( )inf ,i i iγ α β=
�2 �����d a b= ∧ *����� : { }1,2,..., i ii r γ α∀ ∈ ≤
i iγ β≤
���d a
d b
�*�<� �� M ��� bوa
* ����d ′ �*�<� �� bوa . �2 �����d d′ ≤
�����: d a
d b
′ ′
��� d ′�< D0� ���� :1 21 2. .... r
rd p p pλ λ λ′ =
���0 i iλ α≤ ≤ 0 i iλ β≤ ≤ ��� ( )0 inf ,i i iλ α β≤ ≤ ��� 0 i iλ γ≤ ≤
��� d d′ ��� d a b= ∧ ⇐*I9,� �*�<��� !��"��� ��� $��*;�� @#�� .
��!�" : ����a b �� { }* 1−�
:"� 1 21 2. ... r
ra p p pα α α= 1 2
1 2. ... rrb p p pβ β β=
���ip ���#� %4 *(�� %��� $��,� ����,� %& a 2 b 0iα = ��� ��� ip ���#� %4 *(�� M a 0iβ = ��� ��� ip ���#� %4 *(�� M b
����� : ( )inf ,
1
i i
r
ii
a b P α β
=
∧ = ∏
( )sup ,
1
i i
r
ii
a b P α β
=
∨ = ∏
�& '�: (* *��,� �*�<��� �����bوa $��,� ��'�� S��� &
@2 *I92 D�� $�4*� $�*�<���. (*a b∨ $�*�<��� *�F $�*�<��� $��,� ��'�� S��� &
@2 *��2 D�� $�4*�. 1���: ����� :76 632 76 ∨و632 ∧
2 632 2 76 2 316 2 38 2 158 19 19 79 79 1 1
���3632 2 .79= ���276 2 .19= ����� : 276 632 2 4∧ = =
16
376 632 2 .19.79 12008∨ = =
VII(#� ���&� : 1�����, :
1���1: ��'�� *��'� 526n =
(*����� : 2 1
526 500 20 6
510 210 6
n = = + += + +
��'�� ���n � *2 8*<'�� ��'���� ���� 0 ,1 ,2 ,... ,9 R 10.
$������ �� ��256n =��'0� 1*<� �.�� n �.�� 2 n %4 ��'�� �.�� 2 J1*<'�� �'�� $���n @��,� ��� �'�� $��� %4
10. (* $���� ����n ��'���� 3 ;�4 � *2 0 ,1 ,2 R 3:
5
5 3
5 3 2
526 486 40
2.3 27 13
2.3 3 9 4
2.3 3 3 3 1
n = = += + += + + += + + + +
���5 4 3 22.3 0.3 1.3 1.3 1.3 1n = + + + + + ����: ( )3201111n =
�.�� D��� $������ 5�&n @��,� ��� �'�� $��� %4 3.
1���2: ��'�� *��'� 200n = / �.�� ����� n @��,� ��� �'�� $��� %4 3.
4
4 3 2
4 3 2
200 162 38
2.3 27 11
2.3 3 3 2
2.3 1.3 1.3 0.3 2
n = = += + += + + += + + + +
���: ( )321102n = 2/ @��,� ��� �'�� $��� %4 %'��; ��� ��'� b
��%���: ����{ }* 1b ∈ −�
��� �n �� *�� 8��� $��*;� ���� �< D0:
1 2 11 2 1 0...p p p
p p pn b b b bα α α α α− −− −= + + + + +
���:
{ }0 0,1,2,...,0
ip
i
iو pb
αα
α∈
≠ ∀ ∈ ≤ ⟨
�
1p pb n b +≤ ⟨ ����: ( )1 1 0...p p b
n α α α α−=
��'�� �.�� $������ 5�& D���n @��,� ��� �'�� $��� %4 5. �& '�:
�(�&2 �'�� ����� 8�� ���&: /$������� $����� %& 1*<'�� �'�� $��� . / %& $0�'����� � *,� %K��.�� �'�� $��� 0 ,1. / @��,� ��� �'�� $��� 8 .%& $0�'����� � *,� :0 ,1,...,7 / @��,� ��� �'�� $��� 12 . $0�'����� � *,�0 ,1 ,... ,9 ,
,β α.
3�� ����� ����) ##� 1���n#����� �� �7���,b. ����{ }* * 1n ∋bو ∈ −� � (+ ���n D0� b: 0 0.n b q r= + :� 00 r b≤ ⟨ (*��� ��� 0 0q ≠ : ���0q D0� b:
1 0 1 10 r b q bq r≤ ⟨ = + (* ��� ���1 0q ≠ : ���1q D0� b:
2 1 1 20 r b q bq r≤ ⟨ = + �'�� 7*�6 D0� 9�� D�� ������� :���� ���&. �, J �'�� 7*�6 D0� 9�� �2 1**"�� ��:
/����� : 0 0 0 01 b q q b q b r n⟨ ⇒ ⟨ ⟨ + = ���0q n⟨
/ 1 1 1 1 01 b q q b q b r q⟨ ⇒ ⟨ ⟨ + = ���1 0q q⟨
���2 1 00 ...q q q n⟨ ⟨ ⟨ ⟨ �'; $�9 ��� 7*�6�� 5�& . D0� 9�� �2 1**" %������
�'�� 7*�6. / �2 ?*�#� pq �'�� 7*�6 2 & .
%�'�: ( ){ }0,..., 1 0ii p q∀ ∈ − ≠
( )( )( )( )
00 0 0
11 0 1 1
22 1 2 2
1
0
0
0
. pp p p
r b n q b r b
r b q q b r b
r b q q b r b
q b q r b−
≤ ⟨ = +
≤ ⟨ = +
≤ ⟨ = +
= +
%4 *;�,� �*"�2 1 0,..., , ,pb b b b 9�� %����� D0� D0�D0� 9�� ��������� !�*;2 :���:
( )1 2 10 1 2 ... 0p p
p p pn r rb r b r b q b q+= + + + + + =
���: 1
1 1 0...p pp pn r b r b rb r−
−= + + + + ��� 0 ir b≤ ⟨
0p p ir q −= ≠
��� ( )1 0...p p bn r r r−=
��!�": ����{ }* *1b ∋bو − ∈� �
������ �� D0� 7*�60� $�������� ��b �� �S�� n. ���� ���1 0,..., ,pr r r ��� ������� 5�& % �� %& pr % �� &
�'�� 7*�6 D0� �(�4 9�� $�� 2 �34: ( )1 0...p p b
n r r r−=
%����� ���� %4 ������� 5�& G60�:
b n b q0 b q1 q2 b
0=qp 1���:
���� *��'� 798n = .���n @��,� ��� �'�� $��� %4 7.
7 798 7 114 7 16 7 2 0
=0
17
���: ( )7799 2220=
4 (�����$ ���;�: (* �(���2 �� $��� D�� 1*<'�� �.���� �� **��� ���*2 ���b
$������ $��)*�6�� :���. (* �(���2 �� $��� %4 �.���� �� **��� ���*2 ���b $��� D��
�� J1*<'�� �'���'� :( )1 0....p p bn d dα −=
11 1 0...p p
p pb b bα α α α−−= + + +
1���:
( )3 2
63450 3.6 4.6 5.6 0
822
n = = + + +=
(* �(���2 �� $��� %4 �.���� �� **��� ���*2 ���b $��� D�� �(���2 ��b′ �� *�� Jb �.���� �� 1*<'�� �.���� D�� D�� 1*<'��b′.
5 (��##� ������: ��!�":
����'�� *��'�: ( )1 0...p p bx α α α−=
( )1 0...q q by β β β−=
��� ���p q⟩ � *2 ��� %�'� x�2 � *2 ��� �� �'; *�y . �34x y⟩.
��!�"2: ����'�� *��'� :
( )
( )
0
0
...
...
p b
p b
x
y
α α
β β
=
=
)y xو� *,� ��� @#� ��(� ( �2 ?*�#�1 1..., ,i i p p p pα β α β α β− −≠ = =
/ ��� ��� i iα β⟩ �34 x y⟩ / ��� ��� i iα β⟨ �34 x y⟨
6 ( �7���, #� ��&� �� .�/� 0�-b. �(���2 �� $��� %4 �*"�� :���� ���0��b$��*;�� @#�� ��
1*<'�� �'�� $��� %4. ���� ��� ��� J��#��M� %4 ;�4 =*4 ���&i iα β 2 i iα β+
* D0� ��09� ���bγ ⟨ ���� γ . D0� ��09� ���bγ ≥ �� $����γ D0� bq rγ = + :� b :0 r b≤ ⟨ ����r � �#��� q.
1���: (*( ) ( ) ( )8 8 83675 2764 6661+ =
(*( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 7 7 7 75624 56 50313 41356 464203× = + = 7 ( D0� $����� !��"�2 ,3 ,4 ,5 ,9 ,11 ,25.
��'�� *��'� ( )1 0 10...p px α α α−=
�����: 11 1 010 10 ... 10p p
p px α α α α−−= + + + +
(*�2 ����� : 02 2x α⇔ ����� :[ ]10 0 2≡ ��� { } [ ]1,..., 10 0 2ii p∀ ∈ ≡
%�'� [ ]10 0 2iiα ≡
���: [ ]1
10 0 2p
ii
i
α=
≡∑
%�'� : [ ]0 01
10 2p
ii
i
α α α=
− + ≡∑
%�'�: [ ]0 2x α≡ ��� :
[ ][ ] [ ]( )0 0
0
2 0 2
0 2 2
2
x x
xα αα
⇔ ≡
⇔ ≡ ≡
⇔
%������: 02 2x α⇔ (*�2 �����:
0
3 3p
ii
x α=
⇔ ∑
�����[ ]10 1 3≡
���{ } [ ]1,2,..., 10 1 3ii p∀ ∈ ≡
%�'�[ ]10 3ii iα α≡
���:
[ ]1 1
10 3p p
ii i
i i
α α= =
≡∑ ∑
���: [ ]01 1
10 3p p
ii i
i i
α α α= =
+ ≡∑ ∑
12: [ ]0
3p
ii
x α=
≡∑
���:
[ ]
[ ] [ ]0 0
0
3 0 3
0 3 3
3
p p
i ii i
p
ii
x x
xα α
α
= =
=
⇔ ≡
⇔ ≡ ≡
⇔
∑ ∑
∑
%������: 0
3 3p
ii
x α=
⇔ ∑
/�2 ����� :1 04 4x α α⇔ ����� : { } 2 22,..., : 10 10 .10i ii p −∀ ∈ =
2
2
100.10
4.25.10
i
i
−
−
==
��� { } [ ]22,..., 10 0 4i p∀ ∈ ≡
��� [ ]10 0 4iiα ≡
���: [ ]2
.10 0 4p
ii
i
α=
≡∑
���
[ ]21 0 1 0
2
10 10 10 4p
ii
α α α α α=
+ + ≡ +∑
%�'�: [ ]1 0.10 4x α α≡ +
%�'� [ ]1 0 4x α α≡
���: [ ]4 0 4x x⇔ ≡
[ ] [ ]( )1 0 1 0
1 0
0 4 4
4
xα α α α
α α
⇔ ≡ ≡
⇔
%������ : 1 04 4x α α⇔
18
/�2 ����� :[ ]0 1 1 311 ... ... 11x α α α α⇔ + + ≡ + +
�����: { } [ ]1,..., 10 1 11i p∀ ∈ ≡ −
��� ( ) [ ]210 1 11i ≡ −
��� ( ) [ ]10 1 11ii
i iα α≡ −
���: ( ) [ ]1 1
10 1 11p p
iii i
i i
α α= =
≡ −∑ ∑
12: ( ) [ ]0 01 1
10 1 11p p
iii i
i i
α α α α= =
+ ≡ − +∑ ∑
%�'�: ( ) [ ]1
1 11p
i
ii
x α=
≡ −∑
%�'�: ( ) ( ) [ ]2
0 0
1 1 11p p
i
i ii i
x α α= =
≡ − + −∑ ∑
[ ]0 0
11p p
i ii i
x α α= =
≡ −∑ ∑
���: [ ]11 0 11x x⇔ ≡
[ ]
[ ]0 0
0 0
0 11
11
p p
i ii i
p p
i ii i
α α
α α
= =
= =
⇔ − ≡
⇔ ≡
∑ ∑
∑ ∑
%������ :[ ]0 2 1 311 ... ... 11x α α α α⇔ + + = + +
��!�": ��'�� *��'�( )1 0 10
...p px α α α−=
�����: 0*) 2 x α⇔
{ }
[ ]{ }
0
1 0
0
0
0 2 4 1 3 5
1 0
... ...
*)3 3
*)4 4
*)5 0,5
*)9 9
*)11 11
*)25 00,25,50,75
p
ii
p
ii
x
x
x
x
x
x
α
α αα
α
α α α α α α
α α
=
=
≡
⇔
⇔⇔ ∈
⇔
⇔ + + + + + +
⇔ ∈
∑
∑
����)� �����: $��'���� *�F $�'��;�� ����,� ���, ,c b a���� :
( ) ( )7 11bbac abca= �2 ����, ,c b a �� �'; *I92 11 7.
��� �'; 8*9�� %(4 %������0 7. ��� 8*9�� %(4 %������1 6.
�����:
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 27 11
1
7 7 7 11 11 11
343 49 7 1331 121 11
1325 271 10 0
1325 10 271
5 265 2 271
bbac abca b b a c a b c a
b b a c a b c a
a b c
a c b
a c b
= ⇔ + + + = + + +⇔ + + + = + + +⇔ − + =⇔ + =⇔ + =
���5 271b
����� :271 5 1∧ = ��� ��� Gauss �2 B����� 5 b �2 ���1 6b≤ ≤ �34 5b =
%4 ?�'����)1 (D0� 9��: ( )5 265 2 271.5a c+ =
%�'� 265 2 271a c+ = %�'� ( )* 2 271 265c a= −
�����2 0c⟩ ��� 271 265 0a− ⟩
%�'�: 2710 1
265a< < =
���: 1a = %4 ?�'���� (*)��� : 3c =
%������: 1
5
3
a
b
c
= = =
%�)