UNIVERSIDAD DE CUENCA

TRABAJO

INVESTIGATIVO

Materia: Matemáticas Discretas

Tema: Aritmética de Computadores

Profesor: Ángel Espinoza

Estudiante: Emilio Rodríguez Cárdenas.

Año: 1ero

Paralelo: A

INDICE:

INTRODUCCIÓN A LA ARITMETICA DEL COMPUTADOR

1.0 - CONCEPTOS MATEMATICOS BASICOS

1.1 – Dígitos significativos/Números aproximados.

1.2 – Redondeo de Números.

1.3 – Truncamiento.

1.4 – Valor Absoluto.

2.0 - FORMA EXPONENCIAL

2.1 – Forma exponencial binaria.

3.0 - REPRESENTACION INTERNA

3.1 – Representación Entera.

3.2 – Representación de Punto Flotante.

4.0 - ARITMETICA DEL COMPUTADOR

4.1 – Aritmética de Enteros.

4.2 – Aritmética de Punto Flotante.

5.0 – ERRORES

INTRODUCCIÓN:

ARITMETICA DEL COMPUTADOR:

Los computadores no almacenan los números con precisión infinita sino de forma aproximada

empleando un número fijo de bits (apócope del término inglés Binary Digit) o bytes (grupos de

ocho bits). Prácticamente todos los computadores permiten al programador elegir entre varias

representaciones o 'tipos de datos'. Los diferentes tipos de datos pueden diferir en el número

de bits empleados, pero también (lo que es más importante) en cómo el número representado

es almacenado: en formato fijo (también denominado 'entero') o en punto flotante

(denominado 'real')

1.0 - CONCEPTOS MATEMATICOS BASICOS:

1.1 – DIGITOS SIGNIFICATIVOS/NUMEROS APROXIMADOS:

Un dispositivo para calcular o medir, tal como una calculadora de escritorio, un computador

electrónico moderno o un micrómetro, puede manejar solamente un numero finito de dígitos

en un momento dado. Así, un número registrado puede representar una cantidad solo

aproximadamente. Un ejemplo de esto es la altura de una persona: esta puede registrarse

como 187 cm, siendo la verdadera altura media unidad mas (187.5 cm). Además resultan

números aproximados cuando se usan fracciones decimales que terminan para representar

números irracionales, por ejemplo:

La exactitud de un numero aproximado A se mide, por lo común, con el numero de dígitos

significativos en A. Se usa el adjetivo “significativo” ya que algunos números usan ceros tan

solo para colocar el punto decimal. Existen varias reglas formales para los dígitos significativos

como son:

REGLA 1 – Un digito no nulo siempre es significativo.

REGLA 2 – El digito 0 es significativo si se encuentra entre otros dígitos significativos.

REGLA 3 – El digito 0 nunca es significativo cuando está precedido por dígitos no nulos.

Considérese cualquier numero aproximado no nulo A. El digito mas significativo de A es el

primer digito significativo (el de mas a la izquierda); será siempre el primer digito no nulo de A.

El digito menos significativo de A es el ultimo digito significativo (el de mas a la derecha). Los

dígitos significativos de A son todos los dígitos entre e incluyendo el mas y menos significativo.

1.2 – REDONDEO DE NUMEROS:

Frecuentemente queremos aproximar un valor numérico por medio de otro número, que

tengo menos dígitos decimales o que tenga un número dado de dígitos significativos. Esto se

logra comúnmente quitando uno o más dígitos menos significativos y luego redondeando el

número que queda. Existen varias reglas para el redondeo de números, en donde “digito de

prueba” se refiere al primer digito (el de más a la izquierda) de los que se quitan, dichas son:

APROXIMACION POR DEFECTO: Si el digito de prueba es menos de 5, los dígitos precedentes

no se cambian.

APROXIMACION POR EXCESO: Si el digito de prueba es mayor que 5 o es un 5 seguido por lo

menos de un digito no nulo, el digito precedente se aumenta en 1 (llevando 1 si el digito

precedente es un 9)

REGLA SUME SI IMPAR: Si el digito de prueba es 5 seguido solamente de ceros, el digito

precedente no se cambia si es par, pero se incrementa en 1 si es impar.

1.3 – TRUNCAMIENTO:

Muchos cálculos aritméticos en el computador resultan con más dígitos de los que pueden

almacenar en las localizaciones de memoria. En lugar de redondear los números, la mayoría de

las computadoras se programan simplemente para suprimir los dígitos menos significativos. A

esta operación se le llama truncamiento. Algunos ejemplos (donde cada número ha sido

truncado a 3 cifras significativas) son:

Numero: Valor truncado:

88.77 88.7

-7.6989 7.69

999.111 999

0.012345 0.0123

Obsérvese que los números positivos siempre resultan disminuidos en valor cuando son

truncados, mientras que los números negativos siempre se aumentan en valor.

1.4 – VALOR ABSOLUTO:

El valor absoluto de un número puede verse intuitivamente como la magnitud, sin tener en

cuenta el signo. Denotamos el valor absoluto de un número por /a/. Formalmente definimos

/a/ como el mayor de los números a y –a; o sea:

/a/ =

Obsérvese que /a/ = /-a/ ≥ 0 para todo número a, y que /a/ es positivo siempre que a no sea

cero.

2.0 – FORMA EXPONENCIAL:

Por razones de brevedad, un número muy grande o un número muy pequeño se puede escribir

a veces como un número multiplicado por una potencia de 10. Por ejemplo: 28000000000 se

puede escribir como 28 miles de millones o , así como 0.00000003344 se puede

escribir . En realidad, todo número se puede escribir en forma de un número

veces una potencia de 10, llamada forma exponencial. Así:

Tal forma no es única, por ejemplo:

Además, se tiene que: (donde ).

Considérese cualquier número no nulo A. Podemos escribir A unívocamente como un número

M multiplicado por una potencia de 10, , donde el punto decimal aparece

directamente en frente del primer digito no nulo en M. A esto se le llama forma exponencial

normalizada de A. Al número M se le llama mantisa de A, y al exponente n se le llama

exponente de A. Obsérvese que 1 ≤ M < 1 para todo A positivo, y que -1 < M ≤ -1 para todo

A negativo.

2.1 – FORMA EXPONENCIAL BINARIA:

Los números binarios, como los números decimales, se pueden escribir en forma exponencial,

usando potencias de 2 en lugar de potencias de 10. Así, cada número binario no nulo tiene una

única forma exponencial normalizada, en la cual el punto binario aparece antes del primer bit

1. Esta forma única da una única mantisa M, y un único entero n que representa el exponente

de dos. Cualquiera de estos números puede ser positivo o negativo, y el exponente n también

puede ser cero. El computador comúnmente almacena una mantisa como un número fijo de

bits truncando o agregando ceros al número original.

Algunos Ejemplos:

Número Binario Forma Exponencial Mantisa Exponente

1010.1 0.10101 4

0.001111 0.11110 -2

-111 -0.11100 3

0.1 0.10000 0

-0.01010101 -0.10101 -1

3.0 – REPRESENTACIÓN INTERNA:

Los números dentro del computador se representan usando codificación binaria directa, la cual

codifica un número completo como un todo. Esta codificación requiere que un número se

almacene en las localizaciones del computador como un número fijo de bits. Una lista de bits

se trata como una unidad llamada palabra.

3.1 – REPRESENTACIÓN ENTERA:

Los enteros, o números en punto fijo, son números que no tienen punto decimal. Un entero J

se representa en la memoria de un computador por medio de su forma binaria si J es positivo,

y por medio de su complemento a 2s (o sea, el complemento a 2s de su valor absoluto) si J es

negativo.

Ejemplo:

El computador almacena 423 = 110100111 en una localización de memoria de 32 bits

agregando suficientes ceros al principio de su forma binaria:

0 0 0 … 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1

El computador almacena -423 en una localización de memoria tomando el complemento a

unos de la anterior representación de 423 y sumándole un 1:

1 1 1 … 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

El computador puede saber si un entero J en la memoria es positivo o negativo mirando el

primer bit. Si el primer bit es 0, entonces J es positivo; si el primer bit es 1 entonces J es

negativo. De acuerdo con esto, el mayor entero (positivo) que se puede almacenar en una

localización de memoria de 32 bits es:

0 11111…..1111 (o sea 31 unos)

Ó — , que es aproximadamente 2 mil millones. Análogamente, el entero (negativo) mas

pequeño que se puede almacenar en una localización de memoria de 32 bit es , o

aproximadamente menos 2 mil millones.

3.2 – REPRESENTACIÓN PUNTO FLOTANTE:

Los números en punto flotante (también llamados números reales) tienen puntos decimales

intercalados. Tales números se almacenar y procesan en sus formas exponenciales binarias. La

localización de memoria se divide comúnmente en tres campos, o bloques de bits. Un campo,

el primer bit, se reserva para el signo del numero (usualmente 0 para + y 1 para -), un segundo

campo, para el exponente del número; y el ultimo campo, para la mantisa del número.

Ejemplo:

Signo Exponente Mantisa

1 bit 7 bits 24 bits

Queda por discutir la manera como el exponente entero, n, de un número en un punto

flotante se representa en su campo. Unos pocos computadores almacenan n en su forma

binaria cuando n es positivo o cero, y su complemento a 2s cuando n es negativo; o sea, de la

misma manera como se guardan en la memoria los enteros en punto fijo. Sin embargo, la

mayoría de los computadores representan n por sus características, donde t es el

número de bits en el campo del exponente. La siguiente tabla muestra la relación entre el

verdadero exponente de n y su característica cuando t=7.

Exponente Verdadero -64 -63 -62 …… -1 0 1 …… 63

Característica 0 1 2 …… 63 64 65 …… 127

Obsérvese que un campo de exponente de 7 bit puede representar exponentes desde -64

hasta 63, lo cual quiere decir que el computador puede almacenar números en punto flotante

entre .

4.0 – ARITMETICA DEL COMPUTADOR

Los computadores normalmente ejecutan cálculos aritméticos con números en forma

exponencial; podemos llamar a esto aritmética de punto flotante o aritmética real. Sin

embargo, algunos lenguajes de programación, tales como FORTRAN, hacen posible que el

computador ejecute un tipo separado de aritmética con números almacenados como enteros

en punto fijo.

4.1 – ARITMETICA DE ENTEROS:

La principal propiedad de la aritmética de enteros es que el resultado de cualquier operación

con enteros debe ser un entero. Por medio de la adición, substracción, y multiplicación de

entero obtenemos resultados usuales. Por ejemplo:

12+5=17 12-5=7 12*5=60

Sin embargo, en la división de enteros, el resultado se obtiene truncando el cociente usual a

un entero. Por ejemplo:

12/5=2 7/8=0 -9/2=-4

Así, la división de enteros es diferente a la división ordinaria.

4.2 – ARITMETICA DE PUNTO FLOTANTE (Real):

Ahora todos los números se almacenan y procesan de forma exponencial. Sea P la precisión del

computador. Aquí, el resultado de cualquier operación es normalizado y que la mantisa se

redondea o se trunca a P dígitos.

OPERACIONES:

Antes que nada, supóngase que todos los siguientes ejemplos se han truncado a P=4 dígitos

decimales.

ADICIÓN REAL: Si dos números que se van a sumar tienen el mismo exponente, las mantisas se

suman y se usa el mismo exponente. Ejemplo:

Aquí, el último valor se obtiene normalizando y truncando la suma de las mantisas.

Por otra parte, si los dos tienen exponentes diferentes, entonces uno de los números debe

renormalizarse de tal manera que ambos tengo el mismo exponente antes de que se efectúe la

adicción. Normalmente el computador ajusta el exponente más pequeño. Ejemplo:

El último valor se obtiene de nuevo por truncamiento.

SUSBTRACCIÓN REAL: Es similar a la adición real.

MULTIPLICACIÓN REAL: Aquí sumamos las mantisas y sumamos los exponentes.

(

Como siempre, los resultados de los cálculos se renormalizan, si es necesario, y se truncan a

P=4 dígitos significativos.

DIVISIÓN REAL: Ahora dividimos las mantisas y restamos los exponentes. La división se efectúa

solamente hasta P dígitos significativos.

(

5.0 – ERRORES:

Como el computador retiene un número limitado de dígitos significativos, la mayoría de los

valores numéricos almacenados y de cálculos son solo aproximaciones de los valores

verdaderos. Así que es ventajoso tener alguna idea de error absoluto y error relativo.

La diferencia entre el verdadero valor y el valor aproximado de una cantidad se llama error

absoluto (en la aproximación). Esto es, si es una aproximación del valor de A,

entonces es el error absoluto. La razón entre el error absoluto y el valor

verdadero se llama error relativo. Los errores relativos se expresan frecuentemente

como porcentajes. Se calcula:

Por ejemplo:

Si A = 1.427, encuentre el error absoluto y el error relativo cuando A es redondeado a 1.43.

Error absoluto e es la diferencia

e = 1.427-1.43 = -0.003

El error relativo r es la razón:

Así

Considérese cualquier valor numérico A. Aún sin saber el verdadero valor de A,

podemos colocar una cota en el error relativo, cuando A es redondeado o

truncado:

TEOREMA:

Cuando A es redondeado a P dígitos decimales significativos, entonces:

Cuando A es truncado a P dígitos decimales significativos, entonces:

Para P=4, el teorema da para redondeo o truncamiento de cualquier

número A.

Fuera del redondeo y del truncamiento, hay otras fuentes de error en el computador,

como son:

-La propagación de errores.

-Los errores de conversión.

-La cancelación substractiva.

BIBLIOGRAFÍA:

Libro – “Matemáticas Para Computación” –Seymour Lipschutz

Sitios Web – Wikipedia.org, Monografias.com, entre otros.