4TA PRCTICA

4TA PRCTICA

Contenido4ta Prctica Calificada2ENUNCIADO DEL PROBLEMA2DATOS DEL PROBLEMA:2SOLUCION:41.DIAGRAMA DE FLUJO42.MODELADO DEL CUERPO REAL53.COORDENADAS DE LOS NODOS64.TABLA DE CONECTIVIDAD6Clculo del rea de los elementos finitos:6Orientacin de los elementos finitos en el plano x-y-z:65.GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)76.VECTOR CARGA87.MATRIZ DE RIGIDEZ98.ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO99.ESFUERZOS1010.RESULTADOS1011.Cdigo-Matlab1112.Resultados obtenidos en Matlab:1313.Conclusiones17

4ta Prctica Calificada

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Dada la siguiente armadura tridimensional (pluma), sometido a las fuerzas que se muestran en la figura. Determinar:Calcular las reacciones en los apoyos de la pluma de una graCalcular los esfuerzos en todas las barras de la plumaDATOS DEL PROBLEMA:

Material: E=3.1*105 N/mm2Carga:P=40000NAngulo de inclinacin: =70Secciones de todas las barras: tubo de 100mm

Pluma del problema

Vista espacial de la armadura

Las dimensiones se muestran a continuacin, en la siguiente grfica:

SOLUCION:1. DIAGRAMA DE FLUJO

2. MODELADO DEL CUERPO REAL

Para este problema modelaremos a cada barra que compone la armadura como un elemento finito, puesto que estas son de seccin uniforme a lo largo de su longitud y a que permiten cuantificar en forma directa el desplazamiento de cada nodo, el esfuerzo en cada barra y la deformacin de estas.

3. COORDENADAS DE LOS NODOS

NODOSGDL

11 2 3

24 5 6

37 8 9

410 11 12

513 14 15

615 16 17

716 17 18

817 18 19

918 19 20

1020 21 22

1121 22 23

4. TABLA DE CONECTIVIDAD

Clculo del rea de los elementos finitos:

Dado que todas las barras son de seccin circular y poseen el mismo dimetro, entonces el rea de cada elemento finito ser:

Orientacin de los elementos finitos en el plano x-y-z:

Para este propsito definimos 3 ngulos directores , y :

eNODOSGDL(m)

(1)(2)1 2 34 5 6

1121 2 34 5 60.690090

2131 2 37 8 91.03175.9369014.0362

3161 2 316 17 181.031104.0359014.0362

4244 5 610 11 121.03175.9369014.0362

5254 5 613 14 151.031104.049014.0362

6347 8 910 11 120.690090

74510 11 1213 14 150.509090

85613 14 1516 17 180.690090

96316 17 187 8 90.509090

10377 8 919 20 21490900

114810 11 1222 23 24490900

125913 14 1525 26 27490900

1361016 17 1828 29 30490900

147819 20 2122 23 240.690090

158922 23 2425 26 270.509090

1691025 26 2728 29 300.690090

1710728 29 3019 20 210.509090

1871119 20 2131 32 331.0735103.47106.2221.332

1981122 23 2431 32 331.0735103.4773.77221.332

2091125 26 2731 32 331.073576.5273.77221.332

21101128 29 3031 32 331.073576.52106.2221.332

2281022 23 2428 29 300.7810129.8139.80590

23387 8 922 23 244.04479097.1257.125

245813 14 1522 23 244.031182.88907.125

2551013 14 1528 29 304.04479082.8757.125

263107 8 928 29 304.031197.13907.1250

27357 8 913 14 150.7810129.81140.1990

285113 14 151 2 31.1926102.96120.2033.023

29141 2 310 11 121.192677.900120.2033.023

5. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

El empotramiento de la armadura en los nodos (1) y (2) imposibilita el movimiento de esta, por lo que nuestro vector de desplazamiento global seria el siguiente:

La siguiente tabla resume los GDL de cada elemento finito y su orientacin:

6. VECTOR CARGA

Partiendo de la premisa de que es posible reemplazar el peso de cada barra, que acta en el centro de gravedad del cuerpo al que pertenece, por dos fuerzas de igual magnitud, que actan en los extremos de dicha barra, sin que esta sustitucin afecte el equilibrio del cuerpo, o sea, que la suma de fuerzas sea igual a cero, y adems, que la suma de momentos tomados desde cualquier punto de referencia inercial de movimiento, tambin sea cero.

Reacciones y tensiones:

Diagrama de cuerpo libre:

Calculo de la tensin:

Sumamos momentos respecto al origen de las 2 tensiones de los pesos de las barras y obtenemos:

Entonces:

7. MATRIZ DE RIGIDEZ

Con ayuda del cuadro de conectividad podemos sumar los trminos que interactan entre s, en la armadura. Utilizando el Matlab se puede obtener en forma directa la siguiente matriz de rigidez. No mostramos la matriz de rigidez por ser demasiado grande para este formato.8. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNOLa ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:

De la matriz de rigidez sacamos una matriz reducida (M): Entonces:

9. ESFUERZOS

En cada elemento los esfuerzos se obtienen por medio de la siguiente relacin:

10. RESULTADOS

En la presente seccin se resumen todos los resultados obtenidos en el informe.

Los esfuerzos en cada barra son:e

S(MPa)eS(MPa)eS(MPa)

1011-151.148421-3.3618

2-300.057612-57.540222264.7541

3-65.803313260.629523329.7895

4-169.01531416.761924-253.5386

5-38.088715-33.657425173.431

6191.51681642.300626-342.8337

7-130.875517-23.832527105.3133

8-283.7915185.314528170.2767

9306.9262193.449329-207.067

10-23.45232026.2997

11. Cdigo-Matlab%DATOSE=3.1*10^5; % en N/mm^2Y=78.48*10^-6; % en N/mm^3A=pi/4*(100^2-80^2); % en mm^2

%CONSTRUCCIN DE LA TABLA DE CONECTIVIDAD

%MATRIZ DE ELEMENTOSEe=[1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11];%MATRIZ NODOS, SEGN CADA ELEMENTOP=[1,2;2,3;3,4;4,1;1,5;5,4;5,3;5,2;3,6;6,2;6,5;4,10;1,7;2,8;3,9;4,7;1,8;4,8;4,9;3,8;8,7;8,9;9,10;10,7;7,11;8,11;9,11;10,11];%MATRIZ DE GRADOS DE LIBERTADfori=1:28GDL(i,1:6)=[3*P(i,1)-2,3*P(i,1)-1,3*P(i,1),3*P(i,2)-2,3*P(i,2)-1,3*P(i,2)];End

%MATRIZ DE UBICACIONES NODALESUBN=[ 433.0127019 250 0; 433.0127019 250 -600; 0 0 -600; 0 0 0; 716.5063509 -741.0254038 0; 716.5063509 -741.0254038 -600; -1566.987298 3714.101615 0; -1566.987298 3714.101615 -600; -2000 3463.476615 -600; -2000 3463.476615 0; -2283.493649 4455.120189 -300];% MATRIZ DE LONGITUDES Y COSENOS DIRECTORES%l respecto del eje "X"%m respecto del eje "Y"%n respecto del eje "Z"

fori=1:28

L(i)=[((UBN(P(i,2),1)-UBN(P(i,1),1))^2+(UBN(P(i,2),2)-UBN(P(i,1),2))^2+(UBN(P(i,2),3)-UBN(P(i,1),3))^2)^0.5]; l(i)=[(UBN(P(i,2),1)-UBN(P(i,1),1))/L(i)]; m(i)=[(UBN(P(i,2),2)-UBN(P(i,1),2))/L(i)]; n(i)=[(UBN(P(i,2),3)-UBN(P(i,1),3))/L(i)];end

% MATRIZ DE RIGIDEZK=0;nn=zeros(33);fori=1:28k=(A*E/L(i))*[l(i)^2 l(i)*m(i) l(i)*n(i) -l(i)^2 -l(i)*m(i) -l(i)*n(i); l(i)*m(i) m(i)^2 m(i)*n(i) -l(i)*m(i) -m(i)^2 -m(i)*n(i); l(i)*n(i) m(i)*n(i) n(i)^2 -l(i)*n(i) -m(i)*n(i) -n(i)^2; -l(i)^2 -l(i)*m(i) -l(i)*n(i) l(i)^2 l(i)*m(i) l(i)*n(i); -l(i)*m(i) -m(i)^2 -m(i)*n(i) l(i)*m(i) m(i)^2 m(i)*n(i); -l(i)*n(i) -m(i)*n(i) -n(i)^2 l(i)*n(i) m(i)*n(i) n(i)^2 ];

for j=1:6for w=1:6nn(GDL(i,j),GDL(i,w))=k(j,w); K=K+nn;nn=zeros(33);endendend

%VECTOR DE FUERZAS

%Por efecto del peso propio%---------------------------F=0;a=zeros(33,1);

for no=1:11for el=1:28if no==P(el,1) f=(A*Y/2)*L(el); a(3*no-1)=f; F=F+a;a=zeros(33,1);endendend

for no=1:11for el=1:28if no==P(el,2) f=(A*Y/2)*L(el); a(3*no-1)=f; F=F+a; a=zeros(33,1);endendend

%Porcargaspuntuales%--------------------------- b=zeros(33,1);b(31)=24574.56133;b(32)=-47207.29309;b(33)=0;b(19)=3.428025391*1000;b(20)=-3.428025391*1000; b(21)=0;

%Finalmente el vector fuerza es:

FF=F+b;

%"USANDO LA ECUACION DE RIGIDEZ:%===============================%Eliminar: filas y columnas 13, 14, 15, 16, 17, 18. fuerza=FF; fuerza([13;14;15;16;17;18])=[];

Rigidez=K; Rigidez((13:18),:)=[]; %Eliminando Filas Rigidez(:,(13:18))=[]; %Eliminando Columnas

%luego: Qo=inv(Rigidez)*fuerza; VectorQ=[Qo(1:12,1);0;0;0;0;0;0;Qo(13:27,1)]; VectorF=K*VectorQ;fori=1:28;Esfuerzos=(E/L(i))*[-l(i) -m(i) -n(i) l(i) m(i) n(i)]*[VectorQ(3*(P(i,1))-2);VectorQ(3*(P(i,1))-1);VectorQ(3*(P(i,1)));VectorQ(3*(P(i,2))-2);VectorQ(3*(P(i,2))-1);VectorQ(3*(P(i,1)))];end

12. Resultados obtenidos en Matlab:

Desplazamientos

Reacciones

Esfuerzos

13. Conclusiones

Los desplazamientos hallados en los nodos son del orden de los centmetros a causa de la existencia de un ngulo de rotacin respecto a la posicin inicial de la armadura debido a las cargas. Resulta evidente, dado que las dimensiones de la plumas son del orden de los metros, que cualquier ngulo de rotacin, por pequeo que sea, generar un desplazamiento grande mientras ms alejado este el nodo del centro de rotacin.

Tambin estn los desplazamientos pequeos, del orden de los milmetros, que son efecto nicamente de las deformaciones por tensin o compresin de las barras que componen la pluma.

Analizando los esfuerzos como reacciones y desplazamientos, para la, se determina que est sometida principalmente a un proceso de compresin.

El elemento 1 no presenta esfuerzo de traccin debido a que las reacciones encontradas se anulan en la direccin del eje de este elemento.

De la tabla de resultados, observamos que el esfuerzo de ms alto valor al cual est sometido una de las barras es de 5.7188 N/mm2.

CLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Pgina 14