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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA – UESB

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

PROFESSORA: ROBERTA D’ANGELA MENDUNI

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NEURACI DIAS AMARAL

RELATÓRIO DO ESTÁGIO

SUPERVISIONADO III

VITÓRIA DA CONQUISTA – BAHIA

AGOSTO DE 2011





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NEURACI DIAS AMARAL

RELATÓRIO DO ESTÁGIO

SUPERVISIONADO III

Relatório de estágio apresentado ao Curso

de Licenciatura em Matemática como parte

da exigência da disciplina Estágio

Supervisionado III, sob a orientação da

Profª Msc. Roberta D’Angela Menduni

Bortoloti.

VITÓRIA DA CONQUISTA – BAHIA

AGOSTO DE 2011





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FICHA DE CADASTRO

01. NOME:

Neuraci Dias Amaral

02. ENDEREÇO:

Rua 07 de Setembro, 140, Centro – Vitória da Conquista – Bahia.

03. INSTITUIÇÃO ONDE REALIZOU O ESTÁGIO:

Centro Integrado de Educação Navarro de Brito

04. ENDEREÇO DA INSTITUIÇÃO:

Av. Frei Benjamim - Vitória da Conquista - Bahia

05. NOME DA DIRETORA:

Nayara Vasconcelos

06. NOME DO PROFESSOR REGENTE:

Enoque Alves de Matos

07. INÍCIO DA OBSERVAÇÃO:

22 de março

08. INÍCIO DA COPARTICIPAÇÃO:

04/04/2011

09. INÍCIO DA REGÊNCIA:

25/04/2011

10. TÉRMINO DO ESTÁGIO:

11/08/2011

ATIVIDADES REALIZADAS NO ESTÁGIO HORAS PREVISTAS HORAS REALIZADAS

OBSERVAÇÃO

08 08

COPARTICIPAÇÃO 08 10

REGÊNCIA 32 32

TOTAL DE HORAS 44 46





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AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente ao meu bom Deus, que se faz presente sempre em

minha vida, me abençoando até o momento com saúde, força, persistência e

determinação.

Agradeço a minha família, em especial a minha mãe (a dona Neuza), por sempre

estarem presentes, preocupados comigo e com minha formação intelectual e moral.

Agradeço a professora Roberta, orientadora do estágio, que fez o seu trabalho

com seriedade, compromisso e dedicação.

Agradeço aos meus colegas de disciplina que compartilharam experiências,

discutindo trabalhos, que deram certo ou que não deram tão certo, ao longo do estágio.

Enfim, agradeço a todos que participaram direto ou indiretamente deste processo

desafiante que foi e é o estágio.





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MEMORIAL

Inseri-me no contexto escolar aos 6 anos de idade, quando minha mãe me

matriculou em uma escolinha pública de minha cidade natal Caraíbas, o Centro

Educacional Jesuíno Flores, a única da parte urbana da cidade. Lá, fui alfabetizada, e

cursei até a 8ª série do ensino fundamental. Naquela época eu admirava minhas

professoras, mas sonhava em ser cantora, mesmo sem ter o menor talento, lembro-me

que era o auge dos sucessos de Sandy e Júnior e a escola era meu local preferido, o

lugar onde encontrava minhas coleguinhas para cantar, dançar, jogar baleado no

horário do recreio e, é claro, para estudar.

Aos 15 anos, me matriculei no Colégio Estadual Luís Eduardo Magalhães

(CELEM) para cursar o ensino médio, onde vivi uma das melhores fases de minha

vida. Já estava na adolescência e encarava as coisas de uma forma diferente. Modéstia

à parte eu era a CDF da turma, não que eu fosse uma aluna muito inteligente, mas

como o nível de meus colegas era baixo, eu acabava me destacando em meio a eles

em relação às notas, até então, nunca tinha feito uma recuperação, sempre procurei ser

uma aluna compromissada com os estudos. Nesta unidade escolar conheci pessoas que

se tornaram inesquecíveis, conheci colegas, tive paqueras (que também faz parte) e

professores que se tornaram amigos e me incentivavam sempre a estudar.

A equipe de professores do CELEM era admirável, embora se tratasse de

ensino público e lá também tivessem professores ruins1. Lembro-me com carinho de

cada um: a professora de português, Adimara: como ela era dedicada ao seu trabalho e

adorável como pessoa; o professor de biologia, Jailson, carinhosamente chamado de

Jai por todos, ele era muito “doido”! Com todo respeito, suas aulas eram fantásticas,

me lembro de cada “mergulho” que fazíamos ao estudar biologia e pra descontrair das

piadinhas no fim da aula, por que embora estivéssemos num colégio, “ninguém é de

ferro”; outro que deixou boas recordações foi o professor de física, meu amigo até

hoje, o Márcio (o famoso Marcinho rapadura); e, por fim, aquele que mesmo sem

1 Digo ruins por que, a meu ver, se tratavam de professores com metodologias que não me agradava, aulas

chatas e monótonas, de difícil compreensão e de predicados pessoais que deixavam a desejar, o que não

quer dizer que outras pessoas os achassem ruins também.





7

saber, foi o responsável pelo meu interesse pela matemática: Roberto, era o professor

de matemática, na época, formado em ciências contábeis, mas apaixonado pela

matemática que despertou em mim o interesse pela disciplina. Suas aulas eram ótimas,

muita descontração mesmo quando o assunto parecia difícil, ele com sua explicação

dava um “show” na aula, que me fascinava.

No ano em que concluí o ensino médio não sabia ao certo para qual das

licenciaturas prestar vestibular, pois, na verdade, em especial, eu adorava física,

matemática e biologia. Na dúvida acabei optando por biologia. Naquele ano não

cheguei a passar, mas não desanimei, pois, era muito nova, tinha 17 anos e me sentia

despreparada para deixar minha família e ir para outra cidade.

O tempo foi passando e nos anos que vieram acabei me acostumando com a

vida que levava. No ano em que concluí trabalhava com minha tia, em uma loja de

roupas e acabei dando uma estacionada nos estudos. Alguns anos depois, resolvi

voltar a dar uma estudada em meu acervo do ensino médio, foi quando decidi que iria

fazer matemática. Estudei bastante para passar e no fim de 2006, prestei vestibular

para matemática para UNEB, campus de Caetité e para UESB, campus de Vitória da

conquista. Eu tinha certeza que ia passar, pois estava me sentido preparada. E assim

aconteceu, fui aprovada nas duas instituições e fiquei muito feliz. Por incrível que

pareça quem não gostou da ideia foi minha mãe, pois para ela, vindo de uma cultura

totalmente diferente e com uma postura bem antiquada, era “o fim de o mundo” uma

moça sair para morar sem alguém da família em outra cidade. Ela quase enfartou

quando arrumei minha mochila para vir morar em uma república em Vitória da

Conquista. Graças a Deus, nada de mal lhe aconteceu e hoje, embora ela ainda tenha

suas queixas, tudo está bem.

No segundo semestre de 2007 daria início ao curso de matemática na UESB,

mas devido a uma greve de professores reivindicando melhorias salariais só foi

possível no primeiro semestre de 2008. Chegando à Universidade, tive uma surpresa:

encontrei meu professor de matemática do ensino médio terminando a graduação em

Licenciatura em matemática e me fazendo ameaças de trote. Em relação aos

professores do ensino superior, percebi que a relação aluno-professor era diferente,

existia certo distanciamento entre eles, e as conversas se limitavam a pouquíssimas





8

perguntas e dúvidas em sala de aula. Notei que na UESB existem os bons e os ruins

professores, aqueles que admiro e aqueles que não gostaria de ser semelhante quanto à

postura em sala de aula ao ministrar as aulas. Nem sempre títulos equivalem a

conhecimento e mais uma vez, são nos bons que devemos nos espelhar, e mesmo que

não consiga ser semelhante à eles, ao menos aprender já é válido.

Ao iniciar o curso de licenciatura em matemática tive uma grande decepção,

descobri que sabia muito pouco, minhas deficiências eram muitas, cheguei até a

pensar em desistir, mas em consideração ao meu orgulho e a vontade de fazer o curso

decidi “tocar o barco em frente”. Estudar as disciplinas que envolvem a álgebra foi um

problema, pois estava habituada apenas aplicar os conteúdos.

Em 2008 tive minha primeira experiência docente em uma substituição, que

durou 15 dias no Colégio Estadual Carlos Santana em Vitória da Conquista. Não tive

dificuldades, trabalhei com turmas de Educação de jovens e adultos e foi bastante

gratificante. Em 2009 comecei trabalhar com turmas de ensino fundamental II no

Centro educacional de Caraíbas que fica em Caraíbas. Nesta experiência trabalhei

com crianças principalmente de 5ª série (atual 6º ano) e percebi que o trabalho de um

professor vai além do papel de ensinar conteúdos, a indisciplina é um dos fatores mais

desgastantes, muitos alunos sequer respeitam pais, direção e professores. Uma luta

diária em sala de aula a fim, onde era preciso suprir educação moral que deveria vir de

casa e educação voltada para o conhecimento escolar. No segundo semestre de 2009

começei trabalhar no Colégio Estadual Luís Eduardo Magalhães, também em

Caraíbas, foi a melhor experiência que tive, durou 6 meses. A direção era excelente, a

equipe de professores muito unida e competente, e os alunos com uma postura

completamente diferente das turmas que tive anteriormente. Tratavam se de jovens,

onde a maioria eram interessados, o clima em sala de aula era descontraído, os alunos

me respeitaram e me trataram muitíssimo bem. Hoje, continuo a trabalhar no Centro

Educacional de Caraíbas, aprendizagem constante, ora com turmas onde dá pra

desenvolver um trabalho bacana, colocar aulas diferentes com materiais concretos,

jogos e dinâmicas, onde que dá pra perceber que os alunos estão aprendendo, ora com

turmas mais difíceis que de certa forma me limitam e me fazem mudar de estratégias

de ensino constantemente. Hoje, estou no 8º semestre, após cumprir o estágio





9

curricular II (fundamental de 7ª ou 8ª séries), pois o estágio I fui dispensada, me

encontro agora finalizando o relatórios deste estágio (Ensino Médio regular) e do

estágio IV que se trata da Educação de Jovens e Adultos (EJA). O estágio II foi uma

experiência boa, mas eu não diria a melhor, pois o 9º ano que foi a turma que estagiei

no Colégio Estadual Abdias Menezes em Vitória da Conquista, se referia à

adolescentes, nos quais nem todos estavam com interesse de aprender, tinha alunos

que mais parece que ia à aula para incomodar os colegas e ao professor. Já no estágio

III, que se refere ao estágio deste relatório, foi com uma turma de 3º ano do Ensino

Médio, foi uma experiência excelente, a melhor entre os estágios. Por fim, o estágio

IV foi uma experiência com turma de EJA, 6º e 7º anos, foi uma experiência também

que veio a somar embora tenha sido bem curta, acredito, inclusive, que deveria haver

mudanças em relação à forma como que se desenvolve este estágio no curso.

Neste semestre, 2011.1 deveria terminar o curso, mas ainda devo as disciplinas:

teoria dos números, análise na reta e variáveis complexas.

Espero em minha vida profissional como professora, desenvolver um bom

trabalho, não me desanimar com as dificuldades, não apenas ensinar a resolver

equações e problemas, mas desenvolver uma postura crítica em meus alunos, discutir

problemas sociais quando for conveniente e não causar traumas em ninguém, se

possível for, minimizar o assombro dos alunos perante a matemática.





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“Trocávamos idéias sobre tudo. Submetíamos nossos trabalhos um ao outro. Juntos

reformulávamos nossos valores, e descobrimos o mundo.”

Fernando Sabino





11

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 12

2. FASE DE OBSERVAÇÃO ...................................................................................... 14

2.1. ASPECTOS OBSERVADOS NA INSTITUIÇÃO .......................................... 15

2.2. REGISTRO DE ATIVIDADES OBSERVADAS ............................................ 19

2.3. SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO ....................................................... 20

3. FASE DE COPARTICIPAÇÃO .............................................................................. 26

3.1. REGISTRO DE ATIVIDADES ......................................................................... 27

3.2. SÍNTESE DA FASE DE COPARTICIPAÇÃO .............................................. 28

4. FASE DE REGÊNCIA .............................................................................................. 30

4.1. HORÁRIO DO ESTÁGIO ................................................................................. 31

4.2. PLANO DE UNIDADE ..................................................................................... 32

4.3. PLANO DE AULA 1: O QUE É UM POLINÔMIO ...................................... 36

4.4. PLANO DE AULA 2: OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS – SOMA,

SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO ..................................................................... 44

4.5. PLANO DE AULA 3: IDENTIDADE DE POLINÔMIOS ............................ 49

4.6. PLANO DE AULA 4: DIVISÃO DE POLINÔMIOS ..................................... 53

4.7. PLANO DE AULA 5: MÉTODO DOS CARTÕES ........................................ 68

4.8. INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA POR MEIO DE

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ........................................................................... 78

4.9. REGISTRO DAS ATIVIDADES ...................................................................... 98

4.10. RELATOS DAS AULAS DE REGÊNCIA ................................................... 101

4.10. ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SÓCIO-ECONÔMICO ........................ 127

4.11. QUADRO DE NOTAS ................................................................................... 145

4.12. CONCLUSÃO ................................................................................................. 147

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................... 149

7. ANEXOS ................................................................................................................... 151





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INTRODUÇÃO

O estágio de licenciatura é uma exigência da lei de diretrizes e bases da

educação nacional2 (nº 9394/96) e o cumprimento de se sua respectiva carga horária é

requisito exigido para conclusão de curso. O presente trabalho tem por objetivo relatar

as atividades desenvolvidas durante o Estágio Supervisionado III do curso de

Licenciatura Plena em Matemática – UESB. Neste documento está inserido todo o

trajeto do meu estágio que ocorreu entre o período de 22 de Março a 18 de Julho de

2011 no Centro de Integração Educacional Navarro de Brito – CIENB, no 3º ano “A”

do Ensino Médio, em Vitória da Conquista – Bahia, cujo processo teve início na I

unidade, com a observação e a coparticipação, e concluído na II unidade com a

regência.

Sabe-se que a matemática sempre foi considerada para uma grande maioria de

pessoas como “um bicho de sete cabeças” acarretando uma enorme rejeição pelas

pessoas em estudá-la. É algo comum os alunos indagarem: “ufa! Passei! Graças a Deus

me livrei de matemática!” ou “odeio matemática!” E não é a toa que pensem e falem

desse jeito, realmente a maioria delas tem um histórico com esta disciplina que de

alguma forma lhe traumatizaram. Muitos alunos enfrentaram ou enfrentam uma

matemática desmotivadora, “seca”, sem significado real em suas vidas, rigorosa e que

se limita a técnicas monótonas em suas escolas. Diante de tudo isso é fácil notar porque

a matemática ainda é considerada esse “bicho papão”. Cabe a mim como futura

professora de matemática tentar mudar essa realidade dando minha contribuição em

todos os locais pelos quais passar. Mas, antes de dar início à profissão é obrigatório o

cumprimento dos estágios supervisionados exigidos pelos cursos de formação de

professores. É no estágio que começamos a ganhar experiência, estar com os alunos, por

em prática os conhecimentos adquiridos, conhecer a realidade de uma sala de aula,

saber que o desafio é muito maior do que imaginamos. Desafios como de minimizar a

exclusão dos educandos em relação à matemática.

2 http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/ldb.pdf





13

O estágio é fase de conhecimento, uma primeira experiência no meio escolar. É

preparo total? Ensina a ser professor? Com certeza não, pois enfrentaremos situações

novas sempre que estivermos atuando em uma sala de aula. Entretanto, o estágio é um

preparo prévio, no qual podemos contar com as orientações de nossos professores

orientadores, muitas vezes interventores, para que nós como futuros professores

tenhamos pelo menos uma ideia do que pode ser feito.





14

FASE

DE

OBSERVAÇÃO





15

ASPECTOS OBSERVADOS NA INSTITUIÇÃO

O Centro Integrado de Educação Navarro de Brito, foi inaugurado em março de

1970. Começou a funcionar com 12 salas de aula, mas logo depois o Dr. Rafael Spínola

elevou para 42 o número de salas. Nesta época o colégio começou a oferecer os cursos

de Magistério de 1º Grau, Técnico de Contabilidade e Auxiliar de Enfermagem, além do

ensino de 1º Grau, tornando-se a maior escola de Vitória da Conquista, uma cidadela

com mais de quatro mil alunos3. Hoje, o CIENB, atende cerca de 2700 alunos, possui

um quadro de 85 professores, sendo uma escola de grande porte, oferece curso de nível

fundamental e Médio, distribuídos nos turnos matutino, vespertino e noturno. A

estrutura física da escola tem uma boa qualidade, não apresenta escadas, organizada da

seguinte forma: uma sala ampla para professores com banheiros, uma sala de vídeo,

uma secretaria, uma sala para reprografia e impressões para uso dos professores, vinte e

seis salas de aula, todas equipadas com televisores a pen drive, são utilizados

ventiladores, quadro branco e possuem uma boa iluminação. Há também, uma sala para

a direção, uma sala de xadrez, cozinha, almoxarifado, pátio interno e externo, banheiros

masculino e feminino, laboratório de informática contendo 12 computadores,

lanchonete (privada), cantina que oferece merenda escolar apenas aos alunos do ensino

fundamental, reprografia para alunos (privada), quadra poli esportiva, auditório amplo,

biblioteca com uma quantidade razoável de livros didáticos, revistas, jornais e livros de

literatura e estacionamento.

No CIENB, são desenvolvidos alguns projetos: Resgatando as Tradições

Juninas; CIENB Vida; JÁ-Juventude; Historia e Comunidade; Reciclagem;

Ressignificação de Dependência; Programa Mais Educação; Ensino Médio Inovador.

Mantendo dessa forma uma Proposta Pedagógica voltada ao construtivismo, no período

em que procurei a direção para obter informações sobre as propostas políticas

pedagógicas ela me informou não seria possível, pois estava sofrendo algumas

mudanças pela equipe responsável;

3 Disponível em: http://blogdirec20.com.br/2010/06/02/centro-integrado-de-educacao-navarro-de-brito-

comemora-40-anos-de-inauguracao/





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SALAS DE AULA

CARACTERÍSTICAS DA CLASSE

A turma é composta por 38 estudantes sendo 27 mulheres e 11 homens. Destes,

apenas cerca de 32 alunos costumam frequentar as aulas de matemática. Destes últimos,

cerca de 20 alunos são muito interessados em aprender. Eles costumam fazer perguntas

relacionadas ao conteúdo, demonstram interesse em fazer as atividades e prestam muita

atenção às explicações.

ESTRUTURA FÍSICA DA SALA

É uma sala grande, bem arejada, com aproximadamente 40 carteiras para os

alunos, uma mesa com uma cadeira para o professor, um quadro branco e uma TV

pendrive.

DOCENTE

O professor geralmente não falta ao trabalho, aparenta ser organizado e tem um

bom relacionamento com os colegas de trabalho. Em relação aos alunos me parece que

o professor tem fama de “carrasco”. Ministra as aulas de forma expositiva, iniciando-as

da forma tradicional, escrevendo no quadro e os alunos copiando em seus cadernos,

após explicar o conteúdo costuma resolver muitos exercícios para fixação e depois

aplica outros para que os alunos os façam. Ele não costuma seguir um único livro,

aplicando exercícios de fontes diferentes.

AVALIAÇÃO DO DOCENTE

A meu ver, quanto ao ensino, o professor é aparentemente organizado, tem

“domínio” ao abordar o conteúdo e é sempre muito firme nas colocações em sala. Mas

acredito que ele poderia ser mais flexível quanto à sua relação com os alunos, pois me





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pareceu que existe certa resistência dos alunos quanto à algumas atitudes

comportamentais do professor.

TÉCNICAS E RECURSOS UTILIZADOS PELO PROFESSOR

As aulas são expositivas, tradicionais, utilizando: quadro, pincel, apagador e o

livro didático.

ATIVIDADES DE ENSINO

O professor inicia o conteúdo da forma tradicional, escrevendo no quadro e os

alunos copiando. Em seguida, explica o conteúdo e faz exercícios para fixação. A

avaliação é feita através de um teste e uma prova.

CONTEÚDOS

Os conteúdos trabalhados nas aulas em que observei e coparticipei foram:

Números Complexos e Fatoriais. Ambos os conteúdos foram trabalhados de forma

expositiva e sem nenhuma contextualização. Os exercícios se basearam na mecânica de

“como resolver” e não para que serve, ou dentro de qualquer situação contextualizada.

Para o primeiro conteúdo os alunos me pareceram ter mais dificuldade. Para o segundo,

a compreensão de modo geral foi maior.

ASPECTOS EXTERIORES À SALA DE AULA

SALA DOS PROFESSORES

Na sala de professores tem alguns sofás móveis, uma mesa no centro da sala,

usada para colocar os diários de classe, antes e entre as aulas, um bebedouro, uma

pequena mesa onde se coloca merenda escolar e garrafas com chá e café. Há também,

uma mesa usada pela diretora ou vice-diretora, um sanitário feminino e um masculino.





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A maior concentração de professores nesta sala costuma acontecer no horário de

intervalo e entre uma aula e outra. No período em que estagiei, não presenciei nenhuma

reunião, mas é nesta sala que estas costumam acontecer.

BIBLIOTECA

No colégio existe uma biblioteca de pequeno porte na qual existe um sistema de

empréstimo para os alunos. Ficando disponível no horário letivo e sempre tendo alunos

utilizando-a. segundo os alunos, o professor de matemática não costuma levar os alunos

para a biblioteca.

LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA

A sala de informática possui 12 computadores em funcionamento, com acesso à

internet à disposição de alunos e professores. Funciona no horário letivo e para utilizá-

lo é preciso agendar antes.





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OBSERVAÇÃO

CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB

PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos

ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral

DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio

SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: I

FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 à 30 de março de 2011

REGISTRO DE ATIVIDADES OBSERVADAS4

4 Os registros assinados pelo regente nas fases de observação, coparticipação e regência estão no anexo 4.

DATA HORÁRIO ATIVIDADES N° DE AULAS

22/03/2011 8:10 às 9:50 Teste I unidade sobre

Números complexos 2

28/03/2011 7:20 às 8:10 Abordagem do

conteúdo Fatorial: 1

29/03/2011 8:10 às 9:50

Resolução de alguns

exemplos sobre o

conteúdo Fatorial e

aplicação de exercícios.

2

30/03/11 8:00 às 10:30

AC dos professores da

área de Matemática e

suas Tecnologias e

reunião entre as duas

estagiárias e o professor

regente de matemática.

3





20

OBSERVAÇÃO






FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 à 30 de março de 2011

SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO

A Observação constitui a primeira fase do Estágio Supervisionado. Foi realizado

no Centro Integrado de Educação Navarro de Brito - CIENB, localizado à Av. Frei

Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista - Bahia, entre 22 e 30 de março, na turma de 3º

ano, turma “A”, sob a regência do professor Enoque Alves de Matos.

Minha primeira aula de observação aconteceu no dia 22 de março de 2011.

Cheguei ao CIENB por volta das 08h00min da manhã para dar início às observações em

sala de aula. Antes de entrar em sala o professor havia me informado que naquele dia

aconteceria uma avaliação. Ao entrar em sala, o professor apresentou-me à turma,

dizendo que eu estaria com eles a partir daquele dia como estagiária da disciplina,

informando-os também que a princípio eu estaria observando e coparticipando e a partir

da segunda unidade assumiria a turma como regente. Em seguida, o professor entregou

a avaliação e uma folha em branco esclarecendo-os que:

- A avaliação era composta por 11 questões, das quais os alunos poderiam escolher 5

para responder;

- Não seriam aceitas questões rasuradas;

- As respostas só seriam válidas acompanhadas com seus respectivos cálculos;

- Só seria permitido sair da sala, mesmo que houvesse terminado o teste, após 1 horário

(50 minutos);

- Havia uma questão desafio ao fim da avaliação que tinha valor extra e, segundo ele,

era “presente de Natal.”

Desejou aos alunos bom trabalho e sentou-se. Nesse momento, entreguei lhe o ofício

(anexo 1) , documento que me encaminhava para estagiar na turma.





21

Durante a avaliação predominou o silêncio. Os alunos ficaram muito

concentrados e só se manifestaram para perguntar se a ordem das questões poderia ser

aleatória, tipo:

- “posso começar a fazer a 11 e depois voltar para a 2?”

No entanto, uma aluna rapidamente entregou ao professor a sua avaliação. O professor

olhando para mim fez um infeliz comentário:

- forte candidata a estar aqui de novo ano que vem...

Foi então que a aluna retrucou:

- vou queimar sua língua!

E o professor novamente falou:

- sua prova já está corrigida...

Apesar do ocorrido, o andamento da prova foi tranquilo.

Por volta das 08h:45min uma professora da instituição apareceu na sala

convidando os alunos para uma palestra às 9h:00 min sobre marketing empresarial, que

iria ocorrer no auditório da escola. O professor então disse aos alunos que aqueles que

fossem terminando o teste poderiam se encaminhar para o auditório.

No dia 28 cheguei ao colégio por volta das 7h:20min para uma nova

observação. O professor ao chegar deu bom dia e iniciou a aula escrevendo no quadro o

conteúdo Fatorial e, logo abaixo, alguns exemplos, como:

5! = 5x4x3x2x1

Falou para os alunos repararem que a partir do número dado em todos os exemplos

tinha-se o produto em ordem decrescente até chegar ao número 1, como visto acima. A

seguir, aguardou os alunos copiarem e falou a definição em voz alta por duas vezes,

dizendo que a seguir seria a vez dos alunos dizerem em “coro” as palavras que ele havia

dito e assim os alunos fizeram. Na sequencia perguntou se os alunos haviam entendido e

após confirmação, perguntou novamente:

- E qual o fatorial de “n”?

O professor aguardou a resposta por alguns instantes, mas diante o silêncio dos

alunos ele começou a dizer que não havia motivos para espanto. O fato de se depararem

com uma letra em meio àqueles exercícios indicava que de um modo geral n

representava um número qualquer e dessa forma teríamos:





22

n! = (n)x(n-1)x(n-2)x...x(1)

Exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Após ter feito isso, colocou alguns exercícios similares no quadro para que os

alunos fizessem em casa, finalizando a aula às 08h10min.

Na aula seguinte, dia 29 de março, que teve início às 9h10min, após

cumprimentar os alunos dando bom dia, o professor perguntou se haviam feito as

atividades em casa e após perceber que a maioria não havia feito, deu um breve

“sermão” ressaltando que os alunos querem que ele passe a avaliar os vistos em caderno

mas eles próprios não fazem as atividades. Após corrigi-las, o professor colocou no

quadro “novos” exercícios como:

5!/3!

20!/18!

5!4!/3!2!

n!/(n-1)!

E disse: “façam!”

Logo após, deu uma “circulada” pela sala e percebeu que os alunos estavam

desenvolvendo cada fatorial por completo para depois fazer a divisão. Então, o

professor Enoque os disse que: “matemático é preguiçoso” e a vida exige praticidade,

então seria mais conveniente simplificar o termo maior, independente dele estar no

numerador ou denominador, até chegar ao valor do menor e usar o “corte” isto é, veja

como fazer no primeiro exemplo:

• 5!/3! = (5x4x3!)/3! = 20

Fazendo uma ressalva em relação à fala do professor, eu não creio que os

matemáticos sejam preguiçosos, mas sim que desenvolveram certas habilidades que

simplificam determinadas ações trabalhosas. Em seguida aplicou mais alguns exercícios

para fixação aguardou os alunos fazerem até que estes foram interrompidos pela

campainha do colégio que anunciou o fim da aula daquele dia.

Na manhã do dia 30 (quarta-feira), dia de AC da Área de Matemática e suas

Tecnologias retornei ao colégio para juntamente com a minha colega, de disciplina no

curso de matemática e de estágio no CIENB, Maria das Graças, para conversar com o





23

professor Enoque. Durante essas atividades complementares são colocados em pauta

assuntos referentes ao CIENB e passadas informações diversas. Nesses encontros, os

professores costumam também fazer correções de atividades e planejar aulas.

O professor Enoque fez alguns comunicados, os quais foram discutidos pelos

demais professores:

- Está aberta a inscrição para certificação, que pelos comentários se refere à uma prova

que testa conhecimentos dos professores, e oferece um pequeno bônus salarial aos

aprovados mensalmente;

- Tem uma nova lei que está no congresso referente aos professores que tem tempo

integral nas escolas;

- O Departamento de Ciências Naturais da UESB encaminhou uma lista de estagiários

para os respectivos professores do CIENB, citando turno e turma;

- Sugeriu que o Colegiado de Matemática ou Departamento de Ciências Exatas- DCE

também mandasse uma relação dos estagiários por professor, série e turno;

A questão da certificação gerou certa discussão. Uma professora questionou que

“os únicos funcionários que são avaliados por meio de provas são eles e que isso só

acontece porque eles sempre aceitaram de forma passiva. Nem mesmo os alunos hoje

em dia são avaliados nas escolas por este instrumento.” Outra professora

complementou que “este dinheiro deveria ser investido em capacitação por que este

tipo de coisa não mede as práticas de ninguém. O que deveria era ser feito um relatório

de cada professor por parte da coordenação ou direção da escola, por que o que

acontece em sala de aula não dá para ser medido em 20 linhas de uma dissertação na

qual não se pode usar lápis, nem borracha e nem fazer rascunho. Só é permitido usar

uma caneta!”. Embora eu não esteja tão informada sobre a certificação, os objetivos

desta proposta do governo, concordo com as professoras em relação às suas

colocações.

Ficou definido que nos ACs seguintes ficariam assim: 1ª hora de reunião para

discutir questões institucionais e nas horas seguintes tirar o tempo para estudar para a

prova da certificação. Os professores socializaram alguns materiais, dando fim a reunião

e prosseguindo cada um com suas particularidades.





24

Num momento a seguir, o professor se direcionou a mim e à minha colega Maria das

Graças para discutirmos sobre o nosso estágio. A princípio ele disse que o assunto da

unidade II que iriamos trabalhar com os alunos de 3º ano seria Polinômios.

Posteriormente, entregou-nos o calendário acadêmico, a partir do qual, definimos as

datas de inicio e término da regência: início em 18 de Abril e término em 18 de julho5

com a entrega dos resultados das avaliações aos alunos. Enoque nos disse que entre 11 e

15 de Abril aconteceria a semana de provas e nós daríamos continuidade a nossa

coparticipação, aplicando as provas aos alunos conforme escala preparada por

professores do CIENB. Falou-nos também em relação à sua avaliação: costuma aplicar

duas: um teste e uma prova, cada uma valendo 5 pontos. Segundo ele, não há

necessidade de pontuar vistos em cadernos, pois é dever do aluno fazer isso. Ele

também não é a favor de pontuar listas de exercícios, pois, segundo ele, um aluno faz e

30 copiam. Em seguida, nos disse que havia esquecido o Plano de unidade e nos

acompanhou até a biblioteca para que pegássemos emprestado o livro adotado pelos

professores de matemática do CIENB, informando-nos que não costuma usá-lo, pois

gosta de preparar suas aulas com exercícios de outros livros. A seguir, acompanhou-nos

novamente, desta vez até a sala da vice-diretora, nos apresentou a ela, e disse que em

breve as turmas de terceiros anos A e B estariam sob nossa responsabilidade. E

encerramos assim nossas atividades no CIENB na manhã desta quarta-feira, encerrando

também a fase observação.

Durante a fase de observações no CIENB, foi possível notar: como é o

relacionamento dos alunos com o professor e do professor com alguns colegas de

trabalho, o perfil dos alunos e a forma como o professor aborda os conteúdos e age com

os alunos. Pelo que pude perceber, ele é respeitado pelos demais professores e apresenta

relacionamento meio distante com grande parte dos alunos da turma. Percebi que a

grande maioria dos alunos do 3º A mantém silêncio durante as aulas de matemática

ministradas pelo professor e eles respondem as atividades aplicadas. É importante citar

que o professor durante as aulas geminadas conversou bastante com os alunos sobre a

importância de se ter uma profissão, de se preparar para o vestibular e de passar em uma

5 A definição da data de início e término do meu estágio foi diferente em relação à de minha colega, pois

estagio às segundas e terças enquanto ela estagia às terças e quintas.





25

instituição pública. Nessas aulas alguns alunos comentaram quais cursos pretendem

fazer e em que universidades pretendem prestar vestibular. Achei interessante o fato de

o professor apresentar em determinados momentos uma postura mais “dura”, não dando

muita abertura para “piadinhas”, embora ele tenha o costume de fazê-las em

determinados momentos. Em geral, o perfil dos alunos do 3º ano é bem diferente dos

alunos de uma 8ª série, (série em que estagiei na disciplina Estágio II). São mais

“maduros”, apresentam uma postura mais séria diante das aulas, prestam mais atenção,

entre outras diferenças que pude perceber e que por hora não foram citadas.





26

FASE

DE

COPARTICIPAÇÃO





27

COPARTICIPAÇÃO






FASE DE COPARTICIPAÇÃO: 04 à 19 de abril de 2011

REGISTRO DE ATIVIDADES

DATA

HORÁRIO

ATIVIDADES

N° DE AULAS

04/04/2011 7:20 às 8:10 Aplicação do conteúdo

Fatorial.

1

05/04/2011 8:10 às 9:50 Correção de atividades

propostas na aula anterior.

2

11/04/2011 7:30 às 9:50 Aplicação da avaliação de

Biologia e Sociologia.

2

12/04/2011 7:30 às 9:50

Aplicação da prova de

Português, Inglês e

Redação.

2

18/04/2011 7:20 às 8:10 Correção de atividades.

1

19/04/2011 7:30 às 9:50 Correção da avaliação

final da I unidade.

2





28

COPARTICIPAÇÃO





SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II

FASE DE REGÊNCIA: 04 a 19 de abril de 2011

SÍNTESE DA COPARTICIPAÇÃO

A coparticipação é a segunda etapa do Estágio Supervisionado. Ocorreu de 04 a

18 de abril, totalizando 10 horas/aula. Foi uma fase importante no meu estágio, assim

como as outras, pois neste período tive a oportunidade de participar como auxiliar do

professor, realizando, como por exemplo, correções de atividades.

Minha primeira aula de coparticipação aconteceu no dia 04 de abril, no

primeiro horário, que acontece entre 07h20min e 08h10min. Neste dia, o professor

aplicou exercícios sobre o conteúdo explanado na aula anterior: fatorial. Na

coparticipação, auxiliei alguns alunos na resolução dos exercícios e pude começar a

conhecer melhor o perfil dos alunos, aqueles que tinham maior facilidade para entender

o assunto e aqueles que tinham mais dificuldade de aprendizagem quanto aos

exercícios.

No dia 05 de abril o professor aguardou alguns instantes para que os alunos

fizessem as atividades e em seguida fez as devidas correções. Neste dia continuamos a

esclarecer algumas dúvidas dos alunos, individualmente de carteira em carteira à

aqueles que solicitavam auxílio. Ao corrigir as atividades no quadro, o professor

explicou passo-a-passo a “mecânica” envolvida nos exercícios.

Nos dias 11 e 12 de abril estava acontecendo a semana de provas no CIENB. No

dia 11 fiscalizei a turma enquanto eles faziam a avaliações de Biologia e Sociologia e

no dia 12 enquanto faziam as avaliações de Língua Portuguesa, Inglês e Redação.

Durante todas as avaliações (provas escritas) os alunos permaneceram em silencio,

contribuindo para o bom andamento das atividades.





29

No dia 18 de abril, a aula, como de costume nas segundas feiras, começou com

atraso, cerca de 20 minutos. Sendo assim, ao chegar o professor apenas aplicou alguns

exercícios na lousa e não deu tempo dos alunos começarem a resolver.

No dia 19 de abril, o professor me entregou a avaliação da 1ª unidade para que

eu pudesse fazer a correção para a turma. Assim então foi feito, resolvi questão por

questão, enquanto isso os alunos permanecerem em silencio. Ao perguntar se eles

estavam entendendo, confirmaram que sim, mas disseram que o professor não havia

explicado daquela forma não, disseram ainda ser mais fácil da forma que eu havia feito.

Bom, eu afirmei que as respostas estavam corretas, mas que uma mesma questão pode

ser resolvida de formas diferentes. O professor, como estava em sala, afirmou que havia

explicado sim e desta forma foi encerrando o período de coparticipação.

Durante a coparticipação pude conhecer um pouco dos alunos, observando as

facilidades e dificuldades de alguns. Foi um momento importante também, pois eles

começaram a me conhecer como “professora” e me tratar como tal.





30

FASE

DE

REGÊNCIA





31

REGÊNCIA






FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho

DISTRIBUIÇÃO DO TEMPO

Número de horas/aula semanais: 3h

HORÁRIO

Horário Segunda Terça Quarta Quinta Sexta

7:20 Matemática

8:10 Matemática

9:00 Matemática

10:00

10:50

11:40

Dados sobre a turma do estágio:

Números de alunos: 38

Sexo masculino: 11

Sexo feminino: 27

Procedência: Escola Pública Estadual





32

REGÊNCIA







PLANO DE UNIDADE

II UNIDADE

Este plano de unidade foi solicitado como requisito da disciplina Estágio

Supervisionado III pela professora Roberta Bortoloti e será aplicado para alunos de 3º

ano do Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB, localizado à Av. Frei

Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista – Bahia. Tem como objetivo colocar em prática

as teorias e metodologias adquiridas ao longo do curso de Licenciatura Plena em

Matemática.

OBJETIVOS GERAIS DA UNIDADE:

- Contribuir com o desenvolvimento do saber matemático (do aluno);

- Compreender o que é um polinômio;

- Apresentar situações práticas que levam à ideia de polinômio;

- Manipular expressões algébricas envolvendo polinômios;

- Mostrar os métodos de resolução das operações com polinômios;

- Apresentar situações-problema envolvendo análise combinatória;

Conteúdo previsto Número de aulas previstas

O que é um polinômio:

- Introdução

4





33

- Definição

- Grau

- valor numérico

Polinômio identicamente nulo e identidade de

polinômios;

2

Adição, subtração e multiplicação de polinômios

(incluindo teste);

6

Divisão de polinômios

-Método da chave;

-Teorema do resto;

- Teorema de D’Alembert;

- Dispositivo prático de Briot-Ruffini

7

As quatro operações com polinômios utilizando o

Método dos cartões6.

4

Oficina: Análise combinatória através de resolução de

problemas.

4

Conselho de classe II unidade. 3

Total previsto de aulas da regência. 30

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS QUE PRETENDE UTILIZAR:

A metodologia utilizada em sala de aula será baseada em aulas teóricas, que

serão de caráter expositivo-participativo, e aulas práticas, utilizando materiais concretos.

No primeiro momento serão realizadas aulas expositivo-participativas. Nestas,

tentarei mostrar para os alunos algumas situações em que a partir das quais originam

equações ou expressões que envolvem polinômios.

Depois serão abordadas algumas técnicas, estratégias e opções de como se

resolver essas equações ou expressões que envolvam polinômios, ou mesmo as

6 Este método aqui titulado como “Método dos cartões” trata se um recurso no qual os alunos irão utilizar

figuras em formato de retângulos e quadrados feitos com cartolinas coloridas para efetuar as quatro

operações com polinômios.





34

operações com o conteúdo polinômios. Para isso, mostrarei tanto a parte algébrica

quanto a geométrica (quando possível) para que os alunos tenham essas duas visões nos

problemas. Nestas aulas vamos utilizar além do recurso “lápis-papel”, recortes de papel

em forma de quadrados e retângulos, para efetuar as operações com polinômios,

relacionando com as supostas áreas das figuras.

Para fixar as técnicas e torna-los hábeis para responder questões sobre este

conteúdo no vestibular, pois muitos deles pretendem fazê-lo, aplicarei questões que

caíram nos últimos vestibulares.

Na parte final da regência, será realizado um projeto de ensino sobre análise

combinatória, utilizando materiais concretos para resolução de problemas, que tem por

objetivo facilitar a compreensão do conteúdo permitindo assim inserir metodologias

diferentes nas aulas de matemática.

RECURSOS UTILIZADOS:

- Cartões em cartolina

- Quadro

- Livro didático

- Pincel

- EVA

- Isopor

INSTRUMENTOS AVALIATIVOS QUE PRETENDE APLICAR:

A avaliação será sistemática e se dará ao longo de todo o processo de

aprendizagem. Levantarei informações sobre o conhecimento prévio do aluno e

observarei as dificuldades e as facilidades de cada um.

Será avaliada no decorrer das aulas a participação, o comportamento, as

atividades extraclasses, teste e prova avaliativa, individual somando 10 pontos.

A minha distribuição de notas será a seguinte:





35

9 pontos para provas escritas: será realizado um teste de valor 3,0 pontos e uma

prova valendo 6,0 pontos;

1 ponto extra pela participação na oficina sobre análise combinatória;

1 pontos pela participação, comportamento e cumprimento das atividades

propostas (listas e exercícios em sala).

REFERÊNCIAS

DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São

Paulo, 2005.

GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.

Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, 2001.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto.

Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.





36

REGÊNCIA







PLANO DE AULA 1: O QUE É UM POLINÔMIO

1. OBJETIVOS

1.1 OBJETIVOS GERAIS

Mostrar a ocorrência de expressões denominadas polinomiais.

Apresentar a definição de: polinômio, grau de um polinômio e valor numérico de

um polinômio;

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Reconhecer expressões polinomiais na resolução de problemas;

Identificar o grau de monômios e consequentemente de polinômios;

Determinar o valor numérico de um polinômio.

2. CONTEÚDO

Polinômios:

- Introdução

- Definição

- Grau de um polinômio

- Valor numérico





37

3. PRÉ-REQUSITO

- Potenciação;

- Números complexos.

4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO

As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o

conteúdo é de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas utilizadas para: expor e explicar

as definições de polinômio, grau e valor numérico de um polinômio e sua presença na

resolução de problemas. As duas aulas seguintes serão utilizadas para realizar alguns

exercícios.

Antes de iniciar o conteúdo a ser abordado é importante fazer um breve

apanhado sobre a álgebra. Ela é considerada a aritmética simbólica porque emprega

letras para representar números. Essas expressões matemáticas formadas por letras e

símbolos numéricos são chamadas expressões literais ou, genericamente, expressões

algébricas e na resolução de problemas é muito comum ocorrerem situações em que a

leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões que permitam

depois a resolução do problema, por meio de uma equação oriunda das expressões

obtidas. Por exemplo, veja algumas:

1) Se x é a idade de Ana, a idade que ela tinha há 5 anos é dada por x – 5.

2) O triplo da idade de Ana daqui há 4 anos é dado por 3(x + 4).

3) 25% de uma quantia é dado por x/4.

Falarei aos alunos que essas são algumas simples exemplificações do uso das

expressões algébricas. Instantes depois desenharei as figuras abaixo no quadro e direi

para que os alunos imaginem por exemplo que, em determinados problemas, os

enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões:





38

Na primeira figura temos uma região retangular de dimensões x e x + 3. Perguntarei aos

alunos como se calcula o perímetro e a área do retângulo. Após ouvi-los e verificar se a

resposta está certa, direi que o perímetro (P) é indicado pela expressão:

P(x) = 2(x + 3) + 2x ou P(x) = 4x + 6

A segunda figura é um cubo com arestas de medidas x, cuja área total (At) é

indicada por:

At = 6x²

e cujo volume (v) é dado por:

v = x³

A terceira figura é outro cubo com arestas x + 2, cuja área total é dada por:

At = 6(x + 2 )(x + 2) ou (6x + 12)(x + 2) ou 6x² + 12x + 12x +24 ou 6x² + 24x + 24

Donde, simplificando, isto é dividindo toda expressão por 6, lembrando que At = x² +

4x + 4 não é equação, temos: At = x² + 4x + 4

Todas essas expressões são chamadas de expressões polinomiais ou

simplesmente polinômios, cujo estudo vocês já iniciaram no ensino fundamental e será

aprofundado agora.

Antes de apresentar a definição de polinômios, é conveniente apresentar a

definição de monômios. Logo a seguir, apresentarei as definições de grau de um

polinômio e de como se calcula o valor numérico de um polinômio.

FUNÇÃO MONOMIAL

Definição





39

Dado um número complexo (C) a e um numero natural n, consideremos a

função f: C em C definida por f(x) = axn.

A função complexa f é chamada função monomial ou monômio na variável x.

O número complexo a é denominado coeficiente do monômio e o numero

natural n é chamado de grau do monômio. Assim, vejamos alguns exemplos:

At(x) = 6x² é um monômio de grau 2.

v(x) = x³ é um monômio de grau 3.

Em seguida direi para os alunos que: “o polinômio representa a soma algébrica de

monômios na variável x.”. São exemplos de polinômios:

At(x)= x² + 4x + 4 é um polinômio de grau 2.

P(x) = 4x + 6 é um polinômio de grau 1

FUNÇÃO POLINOMIAL

Definição

Sejam an, an – 1, ..., a2, a1, a0 números complexos e considere a função

F(x) = anxn + an – 1 x

n – 1 +... + a2x

2 +a1x + ao

A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x.

Os números complexos an, an – 1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio.

Notemos que o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável

x.

São exemplos de polinômios:

f(x) = 3x² + 2x – 1, onde a2 = 3,a1 = 2 e a0 = - 1

g(x) = -4 x³ + x + 1/2, onde a3 = -4, a2 = 0, a1 = 1 e a0 = ½

h(x) = -2x³ + x/3, onde a3 = -2, a2 = 0,a1 = 1/3 e a0 = 0

Observação: não representam polinômios:

a) f(x) = x + x¹/² + 2, devido ao expoente fracionário, pois por definição dado

monômio, seja ele f(x) = axn, n é sempre um numero natural, o que não é o caso

deste exemplo.

b) g(x) = -1 + 2x + x-³, devido ao expoente negativo, pois -3 não é um numero

natural.





40

GRAU DE UM POLINÔMIO

Definição

Grau de um polinômio P(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus

monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente

dominante do polinômio.

Exemplo 1

Vamos identificar o grau e o coeficiente em cada caso:

a) p1(x) = 2x³ + x² - 3x – 5 é um polinômio de grau 3 e coeficiente dominante igual

a 2.

b) p2(x) = -31/2

x4 + x³ -x²/2 – 1 é um polinômio de grau 4 e coeficiente dominante

igual a -31/2

.

c) p3(x) = x + 1 é um polinômio de grau 1 e coeficiente dominante igual a 1.

Exemplo 2

Seja o polinômio p(x) = (m – 1)x³ + x² - 3x + 1

O grau desse polinômio será 3, desde que o coeficiente x³ não se anule, isto é,

desde que tenhamos m – 1 ≠ 0 → m ≠ 1.

VALOR NUMÉRICO

Definição

Considere um polinômio p(x) e um numero real α. O valor numérico do polinômio p(x)

para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos

necessários. Indica-se por p(α).

Se p(α) = 0, o número α é chamado de raiz ou zero de p(x).

Exemplo 3





41

Vamos determinar o valor numérico do polinômio p(x) = 2x² - 3x + 5 para x = 4

p(4) = 2(4)² - 3(4) + 5

p(4) = 2(16) – 12 + 5

p(4) = 32 – 12 + 5

logo, p(4) = 25

Após tirar as eventuais dúvidas, aplicarei inicialmente uma lista de exercícios,

que segue abaixo, afim de que os alunos apliquem os conhecimentos acima e

desenvolvam habilidades acerca do assunto.






1ª lista da unidade II

1. Identifique o grau de cada polinômio e o coeficiente dominante:

a) p(x) = 4x³ - 6x² + 5

b) g(x) = 2/3x² - x + 5/3

c) f(x) = -8x² + 12x -20

d) h(x) = 2x² - 3x + 5

2. Diga quais das seguintes funções são polinômios e justifique.

a) p(x) = x7 + 1

b) q(x) = 5x4 – 3x

2 + x

-1 + 2

c) h(x) = 1/x² + 7x- 3

d) u(x) = 5x³ -2x1/4 + 1

e) f(x) = x² - 6x1/2 -8

3. Sendo p(x) = x³ + 4x – 1, calcular:

a) P(3)

b) P(4)





42

c) P(m + 1)

d) P(-2)

4. Verificar se 2 é raiz do polinômio p(x) = x² - 5x +6

5. (PUCC-SP) Dado o polinômio p(x) = xn + x

n-1 + ... + x² + x + 3, se n for ímpar,

então p(-1) vale:

a) -1 b) 0 c) 2 d) 1 e) 3

6. (ITA) Um polinômio P(x) ax³ + bx² + cx + d é tal que P(-2)=-2 ,

P(-1) =3 , P(1) = -3 e P(2) = 2. Temos então que:

(a) b=0 (b) b=1 (c ) b=2 (d) b=3 (e) N.D.A.

7. Considere o polinômio p(x + 1) = 3x² -x + 5, determinar p(x).

5. RECURSOS

- Lousa;

- Pincel;

- Apagador;

6. AVALIAÇÃO

Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas e no

cumprimento das atividades propostas.

7. BIBLIOGRAFIA


Paulo, 2005.


Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001.





43



SILVA, Cláudio Xavier da. Aula por aula. Editora FTD, 2ª ed. Renovada, São Paulo,

2005.





44

REGÊNCIA







PLANO DE AULA 2: OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS – SOMA,

SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO.

1. OBJETIVOS


- Explicar o uso das operações adição, subtração e multiplicação com polinômios;

- Mostrar a soma, subtração e multiplicação de polinômios relacionando-os com áreas

de figuras geométricas;

- Contribuir para que o aluno entenda e resolva as operações com polinômios.


- Efetuar a adição, subtração e multiplicação de polinômios;

- Operar algebricamente com polinômios relacionando-os com áreas de figuras

geométricas.

2. CONTEÚDO

Operações com polinômios:

- Adição





45

- Subtração

- Multiplicação

2. PRÉ-REQUSITO

- Operações com expressões algébricas;

- Área de uma região delimitada por quadrados e retângulos.


As aulas serão expositivo-participativas e utilizaremos recursos manipuláveis. O

tempo estimado para abordar o conteúdo é de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas

utilizadas para: expor e explicar a soma, subtração e multiplicação algébrica de

polinômios e aplicar alguns exercícios em sala de aula. Nas duas aulas seguintes serão

utilizadas figuras em cartolina para entender o uso de polinômios no contexto de áreas

de figuras (retângulos e quadrados), possibilitando o aluno perceber a álgebra e a

geometria ao utilizar este conteúdo na resolução das atividades dadas.

Nas primeiras duas aulas lembrarei aos alunos que as operações de soma e

subtração de polinômios seguem os procedimentos de Álgebra estudados no ensino

fundamental. Por meio de exemplos, vamos retomar essas operações conhecidas, no

estudo de expressões algébricas. Em seguida, nas aulas futuras estudaremos a

multiplicação e depois de forma mais detalhada estudaremos a divisão de polinômios.

Exemplo 1

Considere os polinômios P(x) = x³ + 2x² - 3 e Q(x) = x² + x + 1. Calcule:

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) - Q(x)

c) P(x) . Q(x)

Solução:

Calculamos a soma adicionando os coeficientes de termos semelhantes:





46

P(x) + Q(x) = (x³ + 2x² - 3) + (x² + x + 1)

P(x) + Q(x) = x³ + 2x² - 3 + x² + x + 1

P(x) + Q(x) = x³ + 3x² + x – 2

Observe que o grau da soma é igual ao grau maior entre os graus de P(x) e

Q(x), que nesse caso é o de P(x).

a) Calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes:

P(x) - Q(x) = (x³ + 2x² - 3) - (x² + x + 1)

P(x) - Q(x) = x³ + 2x² - 3 - x² - x - 1

P(x) - Q(x) = x³ + x² - x – 4

b) Calculamos o produto de dois polinômios fazendo a multiplicação de cada termo

de um deles, por todos os termos do outro. Posteriormente, faremos a adição dos

resultados:

P(x) . Q(x) = (x³ + 2x² - 3) . (x² + x + 1)

P(x) . Q(x) = x³. x² + x³ . x + x³ . 1 + 2x² . x² + 2x² . x + 2x² . 1 + (-3) . (x²) +

(-3) . (x) + (-3) . 1

P(x) . Q(x) = x5 + x

4 + x³ + 2x

4 + 2x³ + 2x² - 3x² - 3x – 3

P(x) . Q(x) = x5 + 3 x

4 + 3x³ - x² - 3x - 3

Exemplo 2

Considere p(x) = 4x² - 3x – 2 e Q(x) = –x² + x -1. Calcular a soma destes

polinômios.

Solução: P(x) + Q(x) = (4x² - 3x – 2) + (–x² + x - 1)

Operando com os termos semelhantes, temos:

P(x) + Q(x) = 4x² - x² - 3x + x - 2 – 1 logo, P(x) + Q(x) = 3x² -2x -3

Após explicar os procedimentos acima, aplicarei os exercícios 20 (letras a e c), 21

(letras a e b) e 22 da página 187 e o exercício 23 e 24 (letra b) da página 188 do livro

Matemática aula por aula (adotado pela escola), que seguem abaixo. Ao terminarem de

fazer, farei a correção.





47

5. RECURSOS

- Lousa;

- Pincel;

- Apagador;

6. AVALIAÇÃO

Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a

exposição do conteúdo e na resolução das atividades.





48

7. BIBLIOGRAFIA


Paulo, 2005.






2005.





49

REGÊNCIA







PLANO DE AULA 3: IDENTIDADE DE POLINÔMIOS

1. OBJETIVOS

1.1 OBJETIVO GERAL

- Apresentar as definições sobre identidade de polinômios;

1.2 OBJETIVO ESPECÍFICO

- Reconhecer ou identificar a identidade de polinômios;

2. CONTEÚDO

Identidade de polinômios:

- Polinômios idênticos;

- Polinômio nulo.

3. PRÉ-REQUSITOS

- Potenciação;

- Números complexos.





50


As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o

conteúdo é de 100 minutos (2 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar identidade

de polinômios e realizar alguns exercícios.

A princípio apresentarei aos alunos as definições:

Polinômios idênticos

Considerando dois polinômios P(x) e Q(x), dizemos que esses polinômios são

idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos correspondentes forem iguais.

P(x) = a0 + a1x +a2x2

+ ... + anxn

Sendo: temos:

Q(x) = b0 + b1x +b2x2 + ... + bnx

n

P(x) ≡ Q(x) ↔ a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2,..., an = bn

Exemplo 1

Dados os polinômios idênticos P(x) = ax² + 3x = 8 e Q(x) = 4x² + 3x + b e sendo

P(x) ≡ Q(x), temos: a = 4 e b = - 8

Exemplo 2

Os polinômios f(x) = ax² + (b – 1)x + 3 e g(x) = -2x² + 5x – c são idênticos, então:

a = -2,

b – 1 = 5 ↔ b = 6

e –c = 3 ↔ c = -3

Exemplo 3

A igualdade (x + 3)/(x² - 4) = a/(x + 2) + b/(x – 2) ocorre quando:





51

(x + 3)/(x² - 4) = [a(x + 2) + b(x – 2)]/ (x + 2)(x – 2) →a(x – 2) + b(x + 2) ≡ x + 3→ ax

– 2ª + bx + 2b ≡ x + 3. Agrupando os termos semelhantes, vem:

(a + b)x + (-2ª + 2b) = x + 3

Da identidade de polinômios segue que:

a + b = 1

-2a + 2b = 3a = -1/4 e b = 5/4

Polinômio nulo

Polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo é aquele que tem todos os

coeficientes são iguais a zero. Indicamos p(x) ≡ 0.

Exemplo 4

Dado o polinômio p(x) = (a + 3)x² + (3b - 9)x + c, para que seja identicamente nulo

temos: igualando cada um de seus coeficientes iguais a zero segue que a = -3, b = 3 e

c = 0.

Para que os alunos adquiram habilidades acerca das definições dadas serão

aplicados os exercícios 11, 12, 14, 15 e 18 da página 185 do livro adotado pela escola,

que seguem abaixo:





52

5. RECURSOS

- Lousa;

- Pincel;

- Apagador.

6. AVALIAÇÃO

Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas e no

cumprimento das atividades propostas.

7. BIBLIOGRAFIA


Paulo, 2005.






2005.





53

REGÊNCIA







PLANO DE AULA 4: DIVISÃO DE POLINÔMIOS

1. OBJETIVOS


- Desenvolver estratégias de divisão de polinômios através de diferentes técnicas;

- Mostrar as técnicas de divisão com polinômios;

- Apresentar a divisão de polinômios relacionada com figuras geométricas;

- Contribuir para que o aluno entenda e resolva a divisão com polinômios, pelo método

que achar conveniente.


- Aplicar a divisão de polinômios relacionando-a com áreas de figuras geométricas;

- Escolher a técnica que lhe for conveniente para resolver a divisão de polinômios.

2. CONTEÚDO

Operações com polinômios: Divisão

- Método da chave;

- Teorema do resto;

- Teorema de D´Alembert;





54

- Dispositivo prático de Briot-Ruffini.

3. PRÉ-REQUISITOS

- Área de uma região quadrada e retangular;

- Multiplicação de polinômios.


As aulas serão expositivo-participativas e o tempo estimado para abordar o

conteúdo é de 350 minutos (7 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar as técnicas

de divisão de polinômios, aplicar alguns exercícios em sala de aula e realizar um teste.

Divisão de polinômios

Dividir um número inteiro a por outro inteiro b (b ≠ 0) consiste em encontrar

dois inteiros q e r, com o ≤ r < d, tal que:

→ a = q . b + r

Donde,

a = dividendo

b = divisor

q = quociente

r = resto

Por exemplo:





55

Da mesma forma, efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) ≠

0, é determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:

A(x) = Q(x) . B(x) + R(x) em que:

A(x) = dividendo

B(x) = divisor

Q(x) = quociente

R(x) = resto

Indicando na chave, temos:

Observe que:

- O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x). Exemplo:

Neste caso, grau de A(x) = 2, grau de B(x) = 1, logo grau de Q(x) = 2 – 1 = 1.





56

- O grau do resto R(x) para R(x) não nulo será sempre menor que o grau do divisor

B(x).

Exemplo:

Nesse caso, grau do resto = grau de 1.x0 = 0 e grau do divisor B(x) = 1, isto é grau de

R(x) é menor que o grau de B(x).

Método da chave

Para efetuar a divisão, usando o método da chave, convém seguir os seguintes

passos:

1. Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus

expoentes, e completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero.

2. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o

resultado será um termo do quociente.

3. Multiplicar o termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do

dividendo.

- Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o

resto da divisão e a divisão termina aqui.

- Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo

dividendo.





57

Exemplo 1: Determinar o quociente de A(x) = x³ + 4x² + x – 6 por B(x) = x + 2.

Solução: sendo Q(x) o quociente de A(x) por B(x) e R(x) o resto:

Gr(Q) = gr(A) – gr(B) = 2

Como gr(R) < gr(B) = 1, então gr(R) = 0 ou R(x) = 0.

x³ + 4x² + x – 6 x + 2

-x³- 2x² + x - 6 x² + 2x - 3→ quociente: Q(x)

2x² + x - 6

-2x² - 4x

-3x - 6

+3x + 6

Resto:R(x) = 0

Verificamos, facilmente que: A(x) = B(x).Q(x) + r(x):

x³ + 4x² + x – 6 ≡ (x + 2)(x² + 2x – 3) + 0

Exemplo 2: o polinômio A(x) = x³ + px + q é divisível por x² + 2x + 5. Calcular os

valores de p e q.

Solução: Note que gr(Q) = 3 – 2 = 1 e R(x) ≡ 0, Utilizando o método da chave:

O resto deve ser um polinômio identicamente nulo, logo:





58

P – 1 = 0 e q + 10 = 0

P = 1 e q = -10

Observe que: x³ + x – 10 = (x² + 2x + 5)( x – 2)

Teorema do resto

De acordo com a definição de divisão, temos:

P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x), onde R(x) = K (constante), pois gr(x - a) = 1

P(a) = (a – a) . Q(a) + k → P(a) = K

Logo: R(x) = P(a)

Exemplo 1

Podemos determinar o resto da divisão de f(X) = 3x4 – x³ + 2 por g(x) = x – 1 sem

efetuar a divisão. Basta notar que:

- raiz do divisor é x – 1 = 0 → x = 1.

- Pelo teorema do resto, temos que: r = f(1), isto é, r = 3 . 14 – 1³ + 2 = 4.

Exemplo 2

Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de P(x) =

x5 – x

3 + 2 por h(x) = x + 3, fazemos:

- A raiz de h(x) é x + 3 = 0 → x = -3.

- Utilizando o teorema do resto, vem: r = p(-3) = (-3)5 – (-3)

3 + 2 = -243 – (-27) + 2 = -

214.

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é o próprio valor

numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).





59

Teorema de D’Alembert

A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é exata se, e somente se, P(a) =0.

Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a).

Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0.

Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata.

Exemplo 1

A divisão do polinômio P(x) = x³ + x² - 11x + 10 pelo binômio (x – 2) é exata, pois:

P(2) = 2³ + 2² - 11 . 2 + 10

P(2) = 8 + 4 - 22 + 10

P(2) = 0

Dispositivo Prático de Briot-Ruffini

Neste item vamos utilizar um dispositivo muito simples e prático para efetuar a de um

polinômio P(x) por um binômio da forma ax + b. É o chamado dispositivo de Briot-

Ruffini.

Para utilizarmos o Dispositivo Prático De Briot-Ruffini, temos duas restrições,

quais sejam:

1ª restrição: o divisor tem que ser de grau 1;

2ª restrição: o coeficiente do divisor deverá ser igual a 1.

Vejamos o roteiro desse dispositivo para efetuar, por exemplo, a divisão de P(x) = 3x³ –

5x² + x – 2 por x – 2.

1º) Colocamos a raiz do divisor seguida dos coeficientes do dividendo, em ordem

decrescente dos expoentes de x, no seguinte dispositivo:





60

raiz do divisor coeficientes do dividendo

2 3 -5 1 -2

2º) Repetimos, abaixo da linha, o primeiro coeficiente do dividendo.

2 3 -5 1 -2

3

3º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e adicionamos o produto

com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

2 3 -5 1 -2

3 1

2 . 3 + (-5) = 1

4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e

adicionamos o produto com o terceiro coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e

assim sucessivamente.

2 3 -5 1 -2

3 1 3 4 2. 3 + (-2) = 4

2 . 1 + 1 = 3

5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números

que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente.

2 3 -5 1 -2

3 1 3 4

Coeficientes do quociente resto

Logo, Q(x) = 3x² + x + 3 e R = 4





61

Exemplo 1

Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 5x² - 4x + 2 por (3x – 1).

1/3 5 -4 2

5 -7/3 11/9 (1/3) . (-7/3) + 2 = 11/9

-7/3= (1/3) . 5 – 4

Observe que o coeficiente de x no binômio não é igual a 1; fizemos, então, a divisão de

P(X) por (x – 1/3) e para termos os coeficientes de Q(x) devemos dividir os coeficientes

obtidos no dispositivo prático por 3.

Q(x) = (5/3)x – 7/9 e R = 11/9

Exemplo 2

Verifique se o polinômio P(x) = 2x³ - 3x² - 8x é divisível por (x - 3)(x + 1).

Dividindo P(x) por (x – 3)

3 2 -3 -8 -3

2 3 1 0

..................Q1(x)................. ...........R1........

Dividindo Q1(x) por (x + 1):

-1 2 3 1

2 1 0

...............Q2(x)....... ...........R2........

Como R1 = 0 e R2 = 0 podemos afirmar que P(x) é divisível pelo produto (x – 3)(x + 1).

A seguir, aplicarei os exercícios propostos sobre polinômios que estão no livro

adotado pela escola: exercícios 26, 28 e 29:





62

.

Página 191: exercícios 32 e 33:

Página 194: exercícios 34 (letras a e b) e 36:





63

Página 197: exercício 42 (letras a e b):

Página 198: exercícios 50, 51, 52 e 54:





64





65

Os exercícios são para complementar a aula a respeito de polinômios. Darei o visto na

atividade na aula seguinte como forma de incentivo.

5. RECURSOS

- Lousa;

- Pincel;

- Apagador;

- Livro didático;

6. AVALIAÇÃO

Os alunos serão avaliados sobre a divisão mediante uma prova no fim da unidade. A

seguir este conteúdo foi feita a aplicação de um teste sobre os conteúdos abordados com

exceção da divisão, que segue na página posterior á esta.

7. BIBLIOGRAFIA


Paulo, 2005.









66






Teste da unidade II - 06/06/2011

Atenção:

Cada questão tem valor 0,6 somando ao todo 3,0 pontos;

Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais

fácil;

Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos;

Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marca r e deixe os cálculos

ao lado;

As respostas finais devem ser colocadas a caneta;

Não serão aceitas questões rasuradas;

Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos.

1. (F. Porto Alegrense-RS) Dado o polinômio p(x) = x4

- 5x² + 6, o valor de p( 2 )

é:

a) 4

b) 0

c) √2

d) 6 + √2

e) √2 + 1

2. (FABRAI-MG) Se p(x) = x³ + x² + x + 1, então o valor de p(m – 1) é:

a) m³ + 4m² - 4m

b) m³ - 2m² - 4m +2

c) m³ - 2m² + 2

d) m³ + 4m² + 6m + 2

e) m³ - 2m² + 2m

3. Determine a e b a fim de que o grau do polinômio f(x) = (a – b)x² + (2a – 3b

+2)x + 2 seja igual a zero.

4. Sejam os polinômios f(x) = 2x – 3, g(x) = -4 – x e h(x) = x² - x + 1, determine

P(x) = f(x) . g(x) + h(x).





67

5. (UNIFOR-CE) se os polinômios f = x³ + (a – b)x² + (a – b – 2)x + 4 e g = x³ +

2ax² + (3a – b) são idênticos, então:

a) ab = 3

b) a = 3b

c) b = 3a

d) a/b = 1

e) a.b = -1





68

REGÊNCIA






FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho de 2011

PLANO DE AULA 5: MÉTODO DOS CARTÕES (OPERAÇÕES COM

POLINÔMIOS)

1. OBJETIVOS


- Mostrar as operações com polinômios em figuras geométricas;

- Contribuir para que o aluno entenda a relação entre a álgebra e a geometria “utilizando

áreas” ao fazer uma operação polinomial;


- Aplicar as operações com polinômios relacionando-as com áreas de figuras

geométricas;

- Efetuar as operações com polinômios através de cartões;

2. CONTEÚDO

- Operações com polinômios;

3. PRÉ-REQUSITO





69

- Polinômios.


Após ter explicado as quatro operações com polinômios nas aulas anteriores, irei

apresentar estas operações no contexto de áreas de figuras como retângulos e quadrados

em cartolina. O tempo previsto para realizar esta atividade é de 4 aulas.

Nas atividades a seguir, resolveremos questões que envolvam soma, subtração,

multiplicação e divisão de áreas representadas por polinômios. A atividade com cartões

de polinômios que segue abaixo foi apresentada em um artigo na revista Nova Escola

(n. 85, 1995, p. 22-25), na qual fizemos algumas adaptações. A aula será iniciada da

seguinte forma: Levarei os alunos para a biblioteca, onde a turma será dividida em

grupos de 4 pessoas, cada grupo irá receber o seguinte material didático:

· 5 quadrados grandes azuis, com medidas 10 x 10;

· 5 quadrados grandes vermelhos, 10 x10;

· 5 retângulos azuis, com medidas 10 x 3;

· 5 retângulos vermelhos, 10 x 3;

· 10 quadrados pequenos azuis, com medidas 3 x 3;

· 10 quadrados pequenos vermelhos, 3 x 3.

Apresentarei algumas regras relacionadas às atividades aos alunos para que haja um

bom desenvolvimento da atividade, para isso serão estabelecidas as seguintes

considerações:

Peças Dimensões Área

Quadrado grande X.X X²

Retângulo 1.X X

Quadrado pequeno 1.1 1

As peças de mesma área representam termos semelhantes.

As peças de mesma área e cores diferentes são opostas e se anulam.





70

Convencionamos que as figuras vermelhas são negativas (-) e as azuis são positivas (+).

Em seguida, mostrarei exemplos em que os alunos irão resolver situações com o

material concreto envolvendo as operações adição e subtração de polinômios e a

transformação geométrica em álgebra e vice-versa:

1 – Soma de polinômios

Sabendo que o polinômio p(x) = 2x² - 3x - 4 representa a área de uma região, e o

polinômio Q(x) = –x² + x -1 representa a área de outra região, veja como se resolve

a soma destas regiões usando as figuras que você tem em mãos:

P(x) + Q(x) = (2x² - 3x – 4) + (-x² + x – 1)

Somando as figuras semelhantes temos:

2x² +(-x²) é dado por:

+

(-4) + (-1) equivale a:

e -3x + x é dado por:





71

Donde se conclui que:

2 – Oposto de um polinômio:

Exemplo 2: Dado o polinômio x² - x + 2

Seu oposto será:

3 – Subtração de polinômios:

Exemplo 1: (2x² - 3x – 4) – (-x² + x – 1) = ?

4 – Multiplicação de polinômios:





72

Exemplo 1: Multiplicar 2x por (2x - 3)

Exemplo 2: Multiplicar (-x + 1) por (2x – 1)

5 - Divisão de polinômios

Com o material utilizado nas aulas de soma, subtração e multiplicação de

polinômios irei agora mostrar como se dá a divisão de polinômios com as figuras





73

geométricas. É importante lembrar que nem sempre podemos dispor deste recurso,

assim é de fundamental importância conhecê-lo, entendê-lo, mas conhecer as outras

técnicas existentes, pois através delas poderemos resolver a divisão entre polinômios.

Exemplo 1: Vamos fazer a divisão de (x² - x) : (-x)

Conclusão: (x² - x) : (-x) = -x + 1

Exemplo 2: Dividir (x² - 7x + 10) por (x - 2)





74

Com os procedimentos acima explicados aplicarei as seguintes atividades:

1. Represente utilizando as figuras, o perímetro (soma das medidas de todos os

lados de uma figura) de um terreno de lados respectivamente iguais a 4x e 2x. Se

x valer 4 metros, qual o perímetro do terreno?

2. Escreva o oposto de: -x² +4

3. Determine a expressão polinomial que representa o perímetro de um retângulo

de lados 3x + 1 e x – 4 e a expressão que representa a área.

4. Resolva:

a) (6x² + 3x) + (2x² - 4x -1)

b) (-4x² + 2x + 8) – (-x² +2x +6)

c) (3x² + 2x) : (x)

d) (4x² - x) : (-x)

Durante o processo de resolução caso haja dúvidas tentarei esclarecê-las e ao fim da

aula farei as devidas correções.

5. RECURSOS





75

- Retângulos e quadrados em papel duplex;

6. AVALIAÇÃO

Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a

exposição do conteúdo e na resolução das atividades. Como este foi o último plano de

aula, na aula seguinte será aplicada a prova da unidade, que segue na próxima página.

7. BIBLIOGRAFIA:

NOVA Escola: Para professores do 1 grau. Ano X - n. 85, Junho, 1995, p. 22-25.





76






Avaliação final da unidade II - 13/07/2011

Atenção:

Cada questão tem valor 1,2 somando ao todo 6,0 pontos;

Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais

fácil;

Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos;

Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marcar e deixe os

cálculos ao lado;

As respostas finais devem ser colocadas à caneta;

Não serão aceitas questões rasuradas;

Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos.

Utilize o método da chave para resolver a questão 1.

1) (Unificado) O resto da divisão do polinômio p(x) = x³ - x + 1 pelo polinômio d(x) =

x² + x + 1 é igual a:

a) 0

b) x + 2

c) x – 2

d) – x + 2

e) – x – 2

Use o teorema do resto para resolver a questão 2.

2) (FABRAI-MG) O resto da divisão de P(x) = x4 +x³ - 3x² + 2x – 1 por q(x) = x – 2 é:

a) 14

b) 15

c) 16

d) 17

e) 18

3) Através do dispositivo de Briot-Ruffini, obter o quociente e o resto da divisão de f(x)

= x5 – 3x³ + 2x² + 4 por g(x) = x + 1.

4) Dado o polinômio p(x) = 2x4

- 5x² + 6, o valor de p(-2) é:





77

a) 18 b) -3 c) -6 d) -18 e) Nenhuma das anteriores

5) Use o método que a char conveniente para encontrar o resto da divisão de p(x) = x³

+ x² + x + 1 por x² - x + 1.

6) Questão extra-valor 0,5 ponto: quantos são os anagramas da palavra CIENB?





78

INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO

DE PROBLEMA





79

LUCIENE DA COSTA SANTOS

MARIA DAS GRAÇAS MASCARENHAS

NEURACI DIAS AMARAL

INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

Trabalho desenvolvido no Colégio Centro

Integrado de Educação Navarro de Brito

como forma de avaliação para a disciplina

Estágio Supervisionado III do Curso de

Licenciatura Plena em Matemática por

Luciene da Costa, Maria das Graças

Mascarenhas e Neuraci Dias Amaral à

professora Msc. Roberta Bortoloti,

orientadora da disciplina, no I semestre de

2011.





80

Quando alguém encontra seu caminho precisa ter

coragem suficiente para dar passos errados. As

decepções, as derrotas, o desânimo são

ferramentas que Deus utiliza para mostrar a

estrada.

Paulo Freire





81

SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 82

2. ABORDAGEM HISTÓRICA .................................................................................................. 83

3. ABORDAGEM TEÓRICA ....................................................................................................... 88

4. PROPOSTA DA ATIVIDADE ................................................................................................ 90

4.1 OBJETIVOS. ...................................................................................................... 91

4.2. DEFINIÇÕES A SEREM DESENVOLVIDAS ........................................ 92

4.3. MATERIAIS DIDÁTICO E AMBIENTE PARA ENSINO................... 92

5. DESENVOLVIMENTO ............................................................................................................ 92

6. RESULTADOS ESPERADOS ................................................................................................. 96

7. REFERÊNCIAS .......................................................................................................................... 97





82

1. INTRODUÇÃO

Quando se fala em matemática a primeira ideia que vem à cabeça das pessoas é

algo do tipo: muitos números, fórmulas, um “negócio” de “x”, de “y”, que é uma

matéria difícil, “um bicho de sete cabeças”. E quando a pergunta é a seguinte: onde

você encontra matemática? O que elas dizem também não foge desse raciocínio da

resposta anterior. Geralmente respondem: “nas contas, no supermercado, na escola, para

contar dinheiro, etc.” Geralmente a grande maioria da população não se dá conta de que

“respiramos” matemática. usamo-la em situações diversas. Mas, afinal de contas dá para

se resolver determinados problemas de matemática sem “decorar” algoritmos? Sem

fórmulas prontas?

Análise a seguinte situação problema:

No antigo sistema de emplacamento de veículos as placas eram construídas de uma

sequência de duas letras distintas e de três algarismos. Devido o aumento considerável

do número de veículos, atualmente as placas de licenciamento de automóveis constam

de 7 símbolos, sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguida de 4 algarismos. Qual

o número máximo de placas possíveis no antigo e no novo sistema de emplacamento?

Muita pessoas sequer tem ideia que a organização da identificação da placa de

seus automóveis foi pensada com base em um assunto de matemática: a análise

combinatória. Este, entre outros problemas, envolve o cálculo do número de

agrupamentos dos elementos de determinado conjunto sob certas condições.

Nosso objetivo neste trabalho é focalizar o ensino da análise combinatória

através da resolução de problemas, com a aplicação do Princípio Multiplicativo, usando

estratégias diferentes, manuseando materiais concretos e visualizando as possibilidades

de organização de agrupamentos, sem deixar de citar as a possibilidade de se resolver

problemas de análise combinatória através das técnicas de contagem: Arranjos,

Permutações e Combinações.

Para abordar o conteúdo no primeiro momento fizemos uma pesquisa

bibliográfica sobre a história da combinatória e sobre a metodologia de resolução de

problemas.





83

2. ABORDAGEM HISTORICA7

Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas.

Dela faz parte a Análise Combinatória que, aliás, esteve na sua origem e que trata

essencialmente de: demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um

conjunto finito dado, satisfazendo certas condições, e contar ou classificar esses

subconjuntos, sem que seja necessário enumerar os seus elementos.

Aparentemente, a Análise Combinatória teve origem no tempo de Arquimedes

(287 a. C. – 212 a. C.). Estudos de velhos pergaminhos e manuscritos feitos pelo

historiador de Matemática, Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia

parecem confirmar que Arquimedes terá sido pioneiro nessa área da Matemática.

Os pergaminhos passaram pelas mãos de vários povos durante a Idade Média e,

para além de quase terem sido destruídos pelo mofo, foram usados por monges que, por

cima dos textos originais, neles escreviam as suas orações.

Vieram a ser reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas,

matemáticos e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de

programas de computador, foi possível obter a escrita original, transcrição do trabalho

de Arquimedes, designado por Stomachion8

que, segundo Reviel Netz, é um autêntico

tratado sobre Análise Combinatória. O Stomachion é, aparentemente, um jogo,

semelhante ao Tangran (um jogo chinês de 7 peças bastante conhecido), mas constituído

por 14 peças que devem ser encaixadas de maneira a formarem um quadrado. Os

estudos de Arquimedes pretendiam determinar de quantas maneiras as peças se podiam

colocar, de forma a construir o quadrado. Não se sabe ao certo se Arquimedes

conseguiu resolver esse problema, mas estudos recentes mostraram que existem 17152

ou 268 soluções considerando ou não, respectivamente, as soluções simétricas9.

7 Texto adaptado de Fernanda Maria de Souza Viera.

8 Não se sabe o significado preciso desta palavra apenas que tem a mesma raiz que a palavra grega para

estômago.

9 536 soluções podem ser vistas em:

http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html





84

Figura 1 - Stomachion

O desenvolvimento da Análise Combinatória deve-se, em grande parte,

necessidade de resolver problemas de contagem, originados na teoria das

probabilidades.

A noção de probabilidade tem a sua origem mais remota ligada à instituição dos

seguros usados já pelas civilizações mais antigas, nomeadamente pelos fenícios, a fim

de protegerem a sua actividade comercial marítima. Esta prática foi continuada pelos

gregos e pelos romanos, tendo chegado até a civilização cristã medieval através dos

comerciantes marítimos italianos. Pouco se sabe das técnicas então utilizadas pelos

seguradores mas, parece que se baseavam em estimativas empíricas das probabilidades

de acidentes, para estipularem as taxas e os prêmios correspondentes.

No fim da Idade Média com o crescimento dos centros urbanos, surge um novo

tipo de seguro, o seguro de vida. O primeiro estudo matemático sobre este seguro deve-

se a Girolano Cardan (1501-1576), em 1570, apresentado no seu livro “De

proportionibus Libri V)” mas parece ter-se revelado muito teórico e pouco prático. Foi

Halley quem, em 1693, no seu trabalho, “Degree of Mortality of Mankind”, mostrou

como calcular o valor da anuidade do seguro em função da expectativa de vida e da

probabilidade da pessoa sobreviver por um ou mais anos. A consolidação da aplicação

da matemática nos seguros surge com o trabalho de Daniel Bernoulli (1700-1782).

Calculou o número esperado de sobreviventes após n anos a partir do número de

nascimentos e inovou na criação de novos tipos de seguros, calculando, por exemplo, a





85

mortalidade causada pela varíola em pessoas de determinada idade. É nesta altura que

surgem as primeiras grandes companhias de seguros.

Outro fator que contribuiu para o desenvolvimento da Análise Combinatória

foram os problemas originados nos chamados jogos de azar. É curioso que se designem

por jogos de azar muitos daqueles que dependem apenas do acaso, tais como o de

dados, a roleta, certos jogos de cartas, etc.

Todos envolvem um fenômeno de acaso cujo resultado só muito raramente é

favorável ao jogador. Daí ser, de fato, apropriado chamar-lhes jogos de azar. A palavra

“azar” é proveniente do árabe “az-zahar”, por sua vez proveniente do persa “az-zar”,

significando jogos de dados. Os jogos de azar são, provavelmente, tão antigos como a

Humanidade. As mais antigas ligações destes jogos com a matemática reduzem-se à

enumeração das possibilidades de se obter um dado resultado no jogo, sem referência ao

cálculo da probabilidade de se obter esse resultado. Os jogadores queriam encontrar

formas seguras de ganhar em jogos de cartas, dados ou moedas. É no século XVI que os

matemáticos italianos Luca Paccioli (1445-1518), Cardan e Niccoló Tartaglia (1499-

1557) apresentam as primeiras considerações matemáticas sobre os jogos de azar. É de

Cardan a primeira obra sobre jogos de azar, “De ludo Aleae” publicado apenas em

1663. No entanto, o contributo decisivo para o início da Teoria das Probabilidades foi

dado através da correspondência entre os matemáticos franceses Blaise Pascal e Pierre

Fermat acerca de problemas surgidos nos jogos de azar.

O Conde de Méré, nobre francês e jogador assíduo, colocaram a Pascal vários

problemas dos quais se apresenta o seguinte:

“Eu e um amigo meu estávamos a jogar quando recebemos uma mensagem e tivemos

de interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 32 pistolas10

cada um. Ganharia as

64 pistolas o que primeiro obtivesse 3 pontos, isto é, 3 vezes o número que escolheu no

lançamento de um dado.

Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido eu já tinha obtido o 6

duas vezes. O meu amigo escolheu o 1 e, quando interrompemos o jogo, tinha obtido o

1 uma vez. Como dividir as 64 pistolas?”

10

Moeda de ouro utilizada em vários países europeus até ao século XIX.





86

Vejamos uma resolução possível: No próximo lançamento válido, ou sai o 6 e ganha o

Conde, sendo a probabilidade de isso acontecer ½, ou sai o 1 (também com

probabilidade ½) e o jogo tem de continuar. No lançamento seguinte, se sair o 6, ganha

o Conde, neste caso com probabilidade ¼ = ½ , se sair o 1 ganha o amigo, também com

probabilidade de ¼ .

Assim, a probabilidade de o Conde ganhar o jogo é de ¾ = ½ + ¼ , logo deve

receber ¾ das 64 pistolas, ou seja, 48 pistolas. Pascal interessou-se por este problema da

divisão das apostas, que anteriormente já tinha motivado outros matemáticos, como

Paccioli, Cardan e Tartaglia, mas estes não tinham conseguido obter a solução correta.

Sobre o assunto, Pascal trocou idéias com o seu amigo Fermat e chegou a várias

conclusões, ainda hoje válidas. Uma dessas conclusões constitui o seguinte teorema:

Teorema: Suponha-se que um jogo é interrompido quando faltam r jogos ao

primeiro jogador para vencer, enquanto que ao segundo jogador faltam s jogos,

sendo r e s superiores a zero. O montante das apostas deve ser dividido de maneira que

o primeiro jogador fique com a proporção de para n2, onde n = r + s - 1

(número máximo de jogos que faltam efetuar).11

Aplicando este teorema ao problema anterior, temos que r =1, visto que

o Conde já tem dois pontos e só lhe falta 1 para ganhar e s = 2, visto que o amigo

precisa de mais dois pontos para ganhar. Então a proporção da aposta que o Conde deve

receber é:

/ 2n

= / 22

= 1+2/4 = ¾

Além dos matemáticos já referidos, pelo seu contributo no desenvolvimento da

Análise Combinatória, devemos salientar, também, os trabalhos realizados nessa área

por Leibniz (1646-1716), Jacques Bernoulli (1654-1705), Moivre (1667-1754), Newton

(1646-1727), Euler (1707-1783), entre outros.

11

A demonstração deste teorema pode ser analisada no site:

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/probabilidades.htm





87

Leibniz escreveu, em 1666, “Dissertatio de Arte Combinatória”, resultado

dos seus estudos na Universidade de Leipzig em diferentes áreas, Filosofia, História,

Matemática e Direito. Nesse trabalho, apresenta as suas idéias fundamentais sobre

combinatória e reduz todo o raciocínio, toda a descoberta, a uma combinação de

elementos básicos tais como números, letras, sons ou cores.

Eis o tipo de idéia característico de Leibniz. Tentar reduzir problemas

matemáticos a uma forma simples e básica, que não só permitisse o seu entendimento,

como também a sua rápida resolução.





88

4. ABORDAGEM TEÓRICA

Desde os primórdios da humanidade o homem se depara com problemas

matemáticos. Tais questões eram para resolver situações do seu cotidiano. Ainda hoje

nos deparamos a todo o momento com problema, que exige respostas rápidas. Segundo

Newell e Simon (1972, p. 3), “um problema é uma situação na qual um indivíduo deseja

fazer algo, porém desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua

ação”.

A utilização da metodologia de resolução de problema em matemática ajuda no

desenvolvimento do raciocínio crítico dos alunos e faz com que a matemática saia de

todo o formalismo existente na sala de aula e vai para a vida cotidiana.

O problema passa a ser um ponto de partida e os professores, através da

resolução do problema, devem fazer conexões com outras ciências e entre os diferentes

ramos da matemática, gerando novos conceitos e novos conteúdos. (ALLEVATO;

ONUCHIC, 2003).

Este ponto de partida permite que os alunos resolvam problemas utilizando todo

o conhecimento adquirido durante sua vida, não focalizando apenas em um conteúdo

especifico, mas em todo o conjunto de saber matemático adquirido com o tempo.

A dificuldade encontrada para planejar uma aula com resolução de problemas é

grande, pois tem que estar procurando problemas que tenham sentido real. O professor

tem que estar procurando estratégias para que a resolução do problema seja apresentada

para o aluno de uma forma prática e fácil, mostrando uma matemática dinâmica e móvel

que é afetada por uma contínua expansão de seus conceitos.

O professor tem que planejar as questões-chave, para conduzir os alunos na

análise dos resultados apresentados e na busca de um consenso sobre os resultados

obtidos; preparar a melhor formalização dos novos conceitos e novos conteúdos

construídos a partir do problema dado. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2006). Segundo

Ramos (et. al., 2001, p. 5), os problemas matemáticos podem ser organizados em quatro

tipos:





89

1. Problemas de sondagem: para a introdução natural e intuitiva de um novo conceito;

2. Problemas de aprendizagem: para reforçar e familiarizar o aluno com um novo

conceito;

3. Problemas de análise: para a descoberta de novos resultados derivados de conceitos

já aprendidos e mais fáceis que os problemas de sondagem;

4. e problemas de revisão e aprofundamento: para revisar os tópicos já vistos e

aprofundar alguns conceitos.

Aplicando este tipo de metodologia o professor poderá estar partindo de

problemas práticos para o abstrato. Ajudando desta forma que o aluno entenda que a

matemática esta relacionada diretamente com a sua vida. E desta forma desconstruindo

a ideia que a matemática é imóvel e homogênea e que ela não poderá ajudar na sua vida.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática de 5ª

à 8ª série (BRASIL, 1998, p.42):

Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e

em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma

resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja

aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do

conhecimento envolvido. Além disso, é necessário desenvolver habilidades

que permitam provar os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes

caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho, a importância da

resposta correta cede lugar à importância do processo de resolução.

Percebe-se que a resolução de problemas vai mais além da apropriação do

conteúdo. Pois não basta decorar a fórmula para determinada questão tem que

compreender o processo de resolução do problema.

Dos conteúdos de matemática, a peça-chave para trabalhar resolução de

problemas é a Análise Combinatória. É um dos conteúdos mais fáceis para aplicar a

metodologia resolução de problemas. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN) “a resolução de problemas é peça central para o ensino de matemática, pois o

pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado

ativamente no enfrentamento de desafios” (BRASIL, 1998, p. 112).

A Combinatória, embora possa não ser percebida, contribui decisivamente, cada

vez mais, para a resolução dos problemas da vida moderna. Podendo ser apresentada de

uma forma em que motive o aluno a buscar resultados, a fazer questionamentos, em que





90

eles possam estar constatando de forma investigativa os padrões existentes entre alguns

problemas propostos.

Infelizmente a análise combinatória é um conteúdo desprivilegiado do ensino

médio. Que é apresentado ao aluno de uma forma pronta e acabada não permitindo que

este como autor de seu próprio conhecimento utilize sua criatividade para resolver este

problema. De acordo com (Almeida e Ferreira, 2009, p. 4):

Outro aspecto importante é a dinâmica de sala de aula. Estimular o trabalho

em conjunto proporciona muitos benefícios aos alunos. Eles aprendem a

questionar, trocam idéias uns com os outros e aprendem a trabalhar

coletivamente. A experiência coletiva contribui para a individual e favorece a

cooperação entre indivíduos. Mas é necessário tornar os alunos aptos a este

tipo de trabalho, pois alguns alunos deixam as tarefas por conta do grupo e

não permanecem ativos nas atividades, não assimilando o conteúdo. O estudo

individual também é importante para que o aluno tenha a capacidade de

trabalhar por si só.

Problemas de análise combinatória podem ser olhado pelo aspecto da

multiplicidade de opções para resolução de um problema. O mesmo problema pode ser

resolvido de vários modos, mas para isso precisa estar interpretando o problema,

podendo ainda muitas vezes estar relacionando com aspectos do dia-a-dia.





91

4. PROPOSTA DA ATIVIDADE

4.1. OBJETIVOS GERAIS

- Contribuir com o desenvolvimento da capacidade de raciocinar logicamente.

- Ajudar no desenvolvimento da capacidade de relacionar análise combinatória com

problemas práticos.

- Desenvolver espírito crítico e criativo.

- Familiarizar-se com problemas que envolvam contagem;

- Entender o princípio multiplicativo.

- Proporcionar a oportunidade de discussão em grupo dos problemas sugeridos.

- Desenvolver a capacidade de argumentação e socialização de ideias.

- Detectar possíveis erros cometidos na resolução de problemas.

- Ajudar a encontrar melhores estratégias para resolução dos problemas.

4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Que o aluno/a seja capaz de:

- Criar estratégias e esquemas práticos para a solução dos problemas.

- Manusear materiais concretos para visualizarem as estratégias a serem tomadas para

resolução de problemas.

- Resolver problemas de multiplicação que envolvam relações de análise combinatória.

- Analisar situações problemas e refletir qual a melhor maneira de resolvê-las;

- Calcular as possibilidades de agrupamento de um determinado conjunto.

- Permutar os elementos de determinados conjuntos.

- Calcular as combinações possíveis para determinadas situações.

- Registrar os problemas propostos.

- Diferenciar Combinação, Arranjo e Permutação através de exemplos do cotidiano e da

utilização de materiais concretos.





92

4.3. DEFINIÇÕES A SEREM DESENVOLVIDAS

ARRAJO SIMPLES – Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a p,

toda sequência de p elementos distintos de E.

ANAGRAMA – É um código formado pela transposição (troca) de todas as letras

de uma palavra, podendo ou não esta palavra ter significado na língua de

origem.

PERMUTAÇÃO SIMPLES – Chama-se permutação simples dos n elementos,

qualquer agrupamento (sequência) de n elementos distintos de E.

COMBINAÇÃO SIMPLES – Chama-se combinação simples dos n elementos de E,

p a p, todo subconjunto de E com p elementos.

4.4. MATERIAIS DIDÁTICOS E AMBIENTES PARA O ENSINO

Para esse trabalho serão utilizados materiais concretos para visualização dos

problemas propostos, emborrachados, letras do alfabeto e os algarismos cortados em

emborrachados, folha de atividades, livros, quadro branco e pincel. O projeto será

desenvolvido na Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, no Laboratório de

Matemática.

DESENVOLVIMENTO

Este projeto será dividido em duas etapas para que seja desenvolvido.

Primeiramente a sala será organizada em grupos de 5 pessoas.

PRIMEIRA ETAPA: No primeiro momento serão realizados vários problemas

propostos em conjunto.





93

PROBLEMA 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um

casal?

Para encontrarmos a solução, irei convidar os próprios alunos, sendo eles 5

meninos e 5 meninas, para vir até o centro da sala e começaremos a fazer a contagem.

Para eles visualizarem as possibilidades de formação de casais faremos o seguinte:

Para cada menina entregarei 5 cordões, os quais elas entregará um a cada um dos

meninos. Após este procedimento, perguntarei novamente de quantos modos podemos

formar um casal com 5 homens e 5 mulheres. Isto é, quantas ligações podem ser feitas

utilizando aqueles cordões? Após obter a resposta vinda dos alunos, irei explicar da

seguinte forma:

A primeira menina tem opção de ser a parceira de 5 meninos.

A segunda, a terceira, a quarta e a quinta menina também têm a mesma

quantidade de opções.

Assim, temos:

5 meninas com cada uma tendo 5 opções, isto é 5 x 5 = 25.

Após resolver este problema juntamente com os alunos, lançaremos um novo

problema, o qual iremos resolver, passo-a-passo, com eles novamente.

PROBLEMA 2: De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila?

Os objetivos dos problemas I e II são para que os alunos possam perceber a

importância do princípio multiplicativo. Em seguida, recordarei para eles novamente o

principio da contagem, pois em aulas anteriores eles já tinham visto a definição.

Dizendo para eles que: “se há x modos de tomar uma decisão D1, há y modos de tomar

uma decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2

é xy.” (ELON, p. 85, 1998).

Após relembrar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), em alguns casos

conhecido como Teorema Fundamental da Contagem (TFC), falarei para os alunos que

segundo (IEZZI, 1998,p. 426):

Todo problema de contagem pode ser resolvido, pelo menos teoricamente

pelo TFC. Porém, na prática, a resolução de alguns desses problemas pode se

tornar muito complicada. Dessa forma, estudaremos técnicas de contagem de





94

determinados agrupamentos – baseadas no TFC – as quais simplificarão a

resolução de muitos problemas.

Depois irei apresentar para cada grupo um novo problema para que eles tentem

resolver. Para realizar estas atividades confeccionarei materiais que permitam visualizar

em miniatura o problema dado. Enquanto os alunos estiverem tentando encontrar a

solução dos problemas irei auxiliá-los

PROBLEMA 3: Quantas são as possibilidades de arrumações das letras de palavra

AMOR?

PROBLEMA 4: Quantas são as possibilidades de arrumações das letras de palavra

AMORA?

PROBLEMA 5: Uma bandeira deve ser pintada com 3 cores diferentes de forma que

não é permitido colorir as listras da região de fronteira com a mesma cor. Desse modo,

calcule o número de maneiras diferentes que pode ser pintada essa bandeira, sabendo

que ela é composta por 6 listras.

PROBLEMA 6: Contar a quantidade de números formados por 2 algarismos distintos

pelos algarismos 1, 2, 3 e 4.

PROBLEMA 7: Otávio, João, Mário, e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os

agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?

PROBLEMA 8: Fruta na alimentação: Segundo a classificação de alimento mais aceita

atualmente, as frutas estão no grupo dos alimentos reguladores, pois atuam no equilíbrio

de diversas funções do organismo, como digestão, o funcionamento do intestino e a

absorção de nutrientes. Além disso, contribui para melhorar a resistência contra

infecções. Por isso, em uma cesta contendo 10 frutas: 6 maçãs e 4 peras. Daniela quer

retirar, uma a uma, as 10 frutas dessa cesta. De quantas maneiras ela poderá retirá-las?





95

SEGUNDA ETAPA: Para iniciar esta etapa será passado um vídeo do Novo Telecurso

2000- aula 51- para os alunos estarem aprendendo combinações, outra técnica de

agrupamento, em problemas que envolvem, por exemplo, o esporte.

A seguir, será entregue, um problema para cada grupo, no qual quando

solucionado será revezado entre os grupos até que todos sejam resolvidos por cada

grupo. O objetivo é que os alunos aprendam a resolver problemas de análise

combinatória sem utilizar mecanicamente as fórmulas. E quando usá-las consciente da

lógica contida na problemática de determinada questão.

PROBLEMA 9: Para ir ao cinema, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e

um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de 3 camisetas, quatro bermudas e dois pares

de tênis, de quantas maneiras distintas ele poderá se vestir?

PROBLEMA 10: Quatro homens e uma mulher estão em uma sala de espera, onde há

apenas um banco de quatro lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem

se sentar, nunca deixando em pé a mulher?

PROBLEMA 11: Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. De quantas maneiras é

possível retirar, uma a uma, as 8 bolas dessa urna?

PROBLEMA 12: De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão

com 8 jogadores? (no jogo só pode ter 6 jogadores)





96

6. RESULTADOS ESPERADOS

Através deste trabalho de ensino pretendemos ensinar de uma forma diferente o

conteúdo Análise Combinatória. Para que os alunos possam estar vendo a matemática

envolta dele, analisando a necessidade em estar aprendendo este conteúdo e percebendo

que a matemática ajuda no desenvolvimento do raciocínio lógico e também o crítico.





97

7. REFERENCIAS

ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. A resolução de problemas e o uso do

computador na construção do conceito de Taxa Média de Variação. Revista de

Educação Matemática, São Paulo, n.8, p.37-42. 2003.

ALMEIDA, Adriana Luziê de; FERREIRA, Ana Cristina. A Comunicação Matemática

como ferramenta para o ensino e a aprendizagem da Análise Combinatória no 2º ano do

Ensino Médio em uma escola pública de Itabirito (MG). Itabirito, MG [s. n.] 2009.

Disponível em:

<d.yimg.com/kq/groups/22309893/175814723/.../CCAdrianaAlmeida.do> Acesso em:

22 maio 2011.

BRASIL - Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1998.

Fundação Roberto Marinho; FIESP. Telecurso 2000. Ensino médio – Matemática.

Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=yqM0asBZl_A > Acessado em: 20

de maio de 2011.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. 2.ed. São

Paulo: FTD,2005.

LIMA, Elon Lages. et. al. A matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade

Brasileira de Matemática, 1998.

RAMOS, Agnelo Pires. et. al. Problemas matemáticos: caracterização, importância e

estratégias de resolução. São Paulo: IME- USP. 2001. Disponível em:

www.esev.ipv.pt/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf. Acesso: 22

maio 2011.

VIERA, Fernanda Maria de Souza. Uma introdução á combinatória: Técnicas de

contagem Tese (Mestre em Matemática) – Universidade Portucalense, Porto, 2007.

Disponível em:

www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/.../visit.php?cid... Acessado

em: 22 de maio 2011.

http://www.esev.ipv.pt/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/.../visit.php?cid





98







CUMPRIMENTO DAS ATIVIDADES DE REGÊNCIA

DATA HORÁRIO ATIVIDADES N° DE AULAS

25/04/2011 07h20min às 08h10min

Apresentei-me à

turma e introduzi o

conteúdo Polinômios.

1

26/04/2011 08h10min às 09h50min

Definições:

- O que é um

polinômio

- Grau de um

polinômio

- Valor numérico de

um polinômio.

2

02/05/2011 -

Não houve aula –

Conselho de classe I

unidade.

Não participei.

03/05/2011 08h10min às 09h50min Visto na lista e início

a correção. 2

09/05/2011

07h20min às 08h10min

Continuação da

correção da lista. 1

10/05/2011 08h10min às 09h50min

Soma, subtração e

multiplicação de

polinômios.

2

16/05/2011 07h20min às 08h10min Verificação de

atividades e correção. 1

17/05/2011 08h10min às 09h50min

Identidade de

polinômios e

aplicação do

questionário

2





99

socioeconômico.

23/05/2011 07h20min às 08h10min Correção de

atividades. 1

24/05/2011 08h10min às 09h50min

Divisão de

polinômios: método

da chave, teorema do

resto e teorema de

D’Alembert.

2

30/05/2011 07h20min às 08h10min

Divisão de

polinômios:

Dispositivo prático

de Briott-Ruffini.

1

31/05/2011 08h10min às 09h50min

Paralisação estadual

nas escolas da rede

estadual na Bahia.

-

06/06/2011

07h20min às 9h10min

(professor de Química

cedeu uma aula) Teste. 2

07/06/2011 08h10min às 09h50min

Atividades e correção

sobre divisão de

polinômios.

2

13/06/2011 07h20min às 08h10min Correção de

atividades. 1

14/06/2011 08h10min às 09h50min

Atividades sobre

divisão de

polinômios.

2

15/06/2011 08h20min às 11h30min Oficina sobre Análise

combinatória 3

04 e 05/07/2011 08h10min às 09h50min

Vestibular da UESB

– Não houve aula na

escola.

-

11/07/2011 Semana de provas - -

12/07/2011 Das 8h:00min as

10h:00min

Avaliação de Inglês,

Português e Redação. 2

18/07/2011 Das 9h:00min as

10h:00min

Entrega das

avaliações II unidade

e registro de notas no

diário de classe.

2





100

11/08/2011 Das 8h:20min às 10: 30 Conselho de classe II

unidade. 3

Total de aulas - - 32





101






FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril à 12 de julho

RELATO DAS AULAS DA REGÊNCIA

A regência é a terceira etapa do Estágio Supervisionado. Assim como as etapas

anteriores, foi realizada no Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB,

localizado à Av. Frei Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista – Bahia, entre 25 de abril

e 11 de Agosto, na turma do 3º ano A, sob a regência do professor Enoque Alves de

Matos.

Minha primeira aula de regência aconteceu no dia 25 de abril de 2011. Teve

início por volta das 8h10min da manhã. Neste dia me apresentei à turma e os

comuniquei que estaria como professora deles por toda a II unidade. Para iniciar os

trabalhos, falei um pouco sobre o conteúdo que iríamos estudar: polinômios, a forma de

avaliação que iria utilizar: pontuando as atividades deixadas para fazer em casa, um

teste, aplicação de projeto de ensino e por fim uma prova. Minutos após o início da aula,

o professor regente, chegou à sala, cumprimentou á todos e sentou-se no fundo sala, o

qual permaneceu assistindo a aula até o fim da mesma.

Para introduzir o conteúdo, comecei fazendo um breve apanhado sobre a

álgebra. Ela é considerada a aritmética simbólica porque emprega letras para representar

números. Essas expressões matemáticas formadas por letras e símbolos numéricos são

chamadas expressões literais ou, genericamente, expressões algébricas. Na resolução de

problemas é muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do

enunciado nos levam a formular expressões que permitam depois a resolução do

problema, por meio de uma equação oriunda das expressões obtidas.

Após ter feito esse breve comentário copiei no quadro os três exemplos abaixo:

4) Se x é a idade de Ana, a idade que ela tinha há 5 anos é dada por: x – 5.





102

5) O triplo da idade de Ana daqui há 4 anos é dado por: 3(x + 4).

6) 25% de uma quantia é dado por: x/4.

Falei aos alunos que essas são algumas simples exemplificações do uso das expressões

algébricas.

Instante depois, desenhei as figuras abaixo no quadro e disse para eles que

imaginassem, por exemplo, que em determinados problemas os enunciados nos levem

às seguintes figuras e suas dimensões:

Na primeira figura temos uma região retangular de dimensões x e x + 3. Perguntei aos

alunos como se calcula o perímetro e a área do retângulo. Neste momento, não houve

nenhum palpite, então reformulei a pergunta: “alguém, aqui, sabe como se calcula o

perímetro e a área de um retângulo, de um quadrado ou... de qualquer figura?” Após

aguardar mais um momento de silêncio, disse que: o perímetro de uma determinada

figura, objeto, região, seja de que formato for, sejam eles por exemplo da forma:

quadrado ou retângulo, é dado pela soma das medidas de todos os lados, isto é:

Na primeira figura, representando perímetro por “P”, como se trata de um retângulo, e

por definição seus lados paralelos tem a mesma medida, segue que,

P = x + x + (x + 3) + (x + 3) ou P = 2 . x + 2 . (x + 3) = 4x + 6

Assim, como em relação ao perímetro, expliquei aos alunos como se calculava a área de

uma região no formato de um quadrado ou de um retângulo, que esta é dada pelo

produto da medida de um lado, a quem chamamos de base pelo outro, a quem

chamamos de altura. Assim, num quadrado como os lados tem medidas iguais,

representando lado por “l” e área por A, segue que A = l².

Na primeira figura a área do retângulo é dada por A = (x) . (x + 3)





103

Em seguida, os expliquei que na segunda figura se tratava de um cubo com arestas de

medidas x, ou seja, cada face tem forma de um quadrado e como o cubo é composto por

6 faces, a área total (At) é indicada por:

At = 6x²

Disse aos alunos ainda que poderíamos calcular o volume (v), que, no caso do cubo é

dado pelo produto da largura pelo comprimento e pela altura, isto é: x . x . x, donde

aplicando as propriedades de potencia que conhecemos, ou pelo menos deveríamos

conhecer, desde a 6ª série (atual 7º ano), temos:

V = x³

A seguir, perguntei novamente a eles: “agora, quero que vocês me respondam:

qual a área total representada na terceira figura?” então, eles me disseram que seria

preciso calcular a área de um quadrado e depois multiplicar por 6, como de fato ocorre.

Percebi que eles haviam entendido, e então segui o procedimento citado:

At = 6(x + 2 )(x + 2) ou (6x + 12)(x + 2) ou 6x² + 12x + 12x +24 ou 6x² + 24x + 24

Falei aos alunos que poderíamos simplificar, isto é, dividindo toda expressão por 6,

lembrando que At = x² + 4x + 4 não é equação, e sim uma expressão, temos:

At = x² + 4x + 4

Para concluir, disse que: todas essas expressões são chamadas de expressões

polinomiais ou simplesmente polinômios, cujo estudo eles iniciaram no ensino

fundamental e seria aprofundado agora. Em seguida, com o fim do tempo, a aula foi

finalizada às 8h10min.

No dia 26 de maio, a aula teve início as 8h10min. Ao chegar à sala, os

cumprimentei como sempre, e antes de mostrar a definição de polinômios, desenhei no

quadro novamente as figuras da aula anterior com as expressões da área e do perímetro

obtidas e a seguir apresentei a definição de monômios. Logo depois, apresentei as

definições de grau de um polinômio e de como se calcula o valor numérico de um

polinômio, conforme plano de aula.

Em seguida, perguntei a eles se as expressões obtidas se enquadravam na

definição de polinômios. Eles me confirmaram que sim.

Em seguida disse para os alunos que: “o polinômio representa a soma algébrica

de monômios na variável x.” Deste modo, as expressões:





104

At(x)= x² + 4x + 4 .

P(x) = 4x + 6

São classificadas como polinômios, quer dizer:

- A primeira das expressões acima tem 3 termos e é chamada de trinômio;

- A segunda delas tem 2 termos e é chamada de binômio, pois bi implica em dois;

Mas, generalizando, chamamos de polinômios a soma de monômios. Expliquei-os que

poli é sinônimo de muitos.

Após esta fala um aluno me questionou se o números 4 e 6 eram monômios, e então o

expliquei que:

O 4 poderia ser escrito como: 4.x0, da mesmo forma que o 6 pode ser escrito como 6.x

0,

pois todo numero elevado a zero dá 1. Assim, 4 e 6 se enquadram na definição de

monômios, pois zero é um expoente pertencente ao conjunto dos números naturais.

Nesta aula brinquei ainda com ele: mostre aqui para a turma por que um numero

elevado a zero dá 1, que te dou 1 ponto! Extra!!!

Ele disse que não queria, em tom risonho. Então achei interessante mostrar a eles:

Vejam:

20 pode ser escrito como 2

a-a , que equivale a 2ª/2ª, como todo valor dividido

por ele mesmo dá 1, temos: 20 = 1.

Após a prova acima, eu os disse e escrevi no quadro a definição de função

polinomial.

FUNÇÃO POLINOMIAL

Definição

Sejam an, an – 1, ..., a2, a1, a0 números complexos e considere a função

F(x) = anxn + an – 1 x

n – 1 +... + a2x

2 +a1x + ao

A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x.

Os números complexos an, an – 1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio.

Notemos que o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável

x. São exemplos de polinômios:

f(x) = 3x² + 2x – 1, onde a2 = 3,a1 = 2 e a0 = - 1

g(x) = -4 x³ + x + 1/2, onde a3 = -4, a2 = 0, a1 = 1 e a0 = ½





105

h(x) = -2x³ + x/3, onde a3 = -2, a2 = 0,a1 = 1/3 e a0 = 0

Em seguida perguntei aos alunos se os itens a e b representam polinômios:

a) f(x) = x + x¹/² + 2

c) g(x) = -1 + 2x + x-³

Alguns disseram que a opção “a” representava, depois pararam e mudaram de ideia,

dizendo que não era polinômio pois em um dos termos o expoente é fracionário.

Complementando eu disse à turma que o colega tinha razão, pois por definição, dado

monômio, seja ele f(x) = axn, n é sempre um numero natural, o que não é o caso deste

exemplo, em n = 1/2.

Na opção “b” eu disse que também não se tratava de um polinômio devido ao

expoente negativo, pois -3 não é um número natural.

GRAU DE UM POLINÔMIO

Definição

Grau de um polinômio P(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus

monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente

dominante do polinômio.

Exemplo 1

Vamos identificar o grau e o coeficiente em cada caso:

d) P1(x) = 2x³ + x² - 3x – 5 é um polinômio de grau 3 e coeficiente dominante igual

a 2.

e) p2(x) = -31/2

x4 + x³ -x²/2 – 1 é um polinômio de grau 4 e coeficiente dominante

igual a -31/2

.

f) p3(x) = x + 1 é um polinômio de grau 1 e coeficiente dominante igual a 1.

Exemplo 2

Seja o polinômio p(x) = (m – 1)x³ + x² - 3x + 1





106

O grau desse polinômio será 3, desde que o coeficiente x³ não se anule, isto é,

desde que tenhamos m – 1 ≠ 0 → m ≠ 1.

VALOR NUMÉRICO

Definição

Considere um polinômio p(x) e um numero real α. O valor numérico do polinômio p(x)

para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos

necessários. Indica-se por p(α).

Se p(α) = 0, o número α é chamado de raiz ou zero de p(x).

Exemplo 3

Vamos determinar o valor numérico do polinômio p(x) = 2x² - 3x + 5 para x = 4

p(4) = 2(4)² - 3(4) + 5

p(4) = 2(16) – 12 + 5

p(4) = 32 – 12 + 5

Logo, p(4) = 25

Em relação a estas definições não houve grandes dúvidas, pelo menos nenhuma que eu

me recorde. Ao fim desta aula entreguei uma lista de exercícios, (anexada no plano de

aula) afim de que os alunos aplicassem os conhecimentos acima e desenvolvessem

habilidades acerca do assunto. A aula teve fim, na sequência, às 09h50min.

No dia 02 de maio retornei ao colégio para dar continuidade às atividades, mas

não houve aula, pois estava acontecendo um conselho de classe referente a I unidade,

então, como não me competia estar presente, não participei.

No dia 03 de maio, a aula teve início às 8h10min. Ao dar chegar à sala,

cumprimentei os alunos e comecei a verificar se haviam respondido a lista de

exercícios, passando de carteira em carteira dando o visto na atividade. Pude perceber

que a maioria deles havia feito. Eles me perguntaram quantos pontos valeria a lista e eu

os respondi que contava como uma atividade, e como havíamos conversado no primeiro





107

dia de aula eu pontuaria as atividades. Assim, ao fim da unidade se eles tivessem todos

os vistos ganhariam 1 ponto, se não tivessem todos receberiam o referente ao total que

houvesse em seus cadernos.

Posteriormente, comecei a fazer a correção, pois houve algumas questões em

que os alunos não conseguiram responder.

- Em relação à atividade 1, que solicitava identificar o grau de cada polinômio e o

coeficiente dominante, os alunos fizeram tranquilamente, não apresentando nenhuma

dificuldade.

- No exercício 2: “Diga quais das seguintes funções são polinômios e justifique”os

alunos também responderam corretamente, dizendo que apenas o item “b” não

representava um polinômio, pois x-1

não é um monômio, devido o expoente -1 não ser

um número natural.

- No exercício 3: Sendo p(x) = x³ + 4x – 1, calcular:

a) P(3)

b) P (4)

c) P(m + 1)

d) P(-2)

Os alunos apresentaram dificuldades em relação à opção c, então disse que se tratava do

mesmo procedimento: no lugar do x no polinômio dado era só substituir por (m + 1). Feito

isso, teríamos:

P(m + 1) = (m + 1)³ + 4(m + 1) – 1

Perguntei à eles como desenvolver o primeiro termo do polinômio, mas eles não

responderam, suponho que não sabiam. Assim, expliquei que uma das formas de resolver

(m + 1)³ é aplicando as propriedades de potenciação:

(m + 1)³ = (m+1)².(m+1)

Daí então ficaria mais simples de se desenvolver os termos. Mas neste momento ao

desenvolver o termo (m+1)², percebi que eles também não sabiam desenvolvê-lo. Então eu

disse que poderíamos desmembrar, mais uma vez, obtendo (m + 1) . (m + 1), que equivale

a; m² + 2m + 1. Outra forma de resolver seria:





108

(m + 1)² = quadrado do primeiro termo (m²), mais o expoente 2 vezes o produto dos dois

termos, isto é: 2 x m x 1, mais o quadrado do segundo termo (1²), obtendo o mesmo

resultado: m² + 2m + 1.

Retomando, (m + 1)³ = (m+1)².(m+1) → (m + 1)³ = (m² + 2m + 1)(m + 1)

Fazendo o produto de cada termo de (m² + 2m + 1) por cada termo de (m + 1), segue que:

(m + 1)³ = m³ + m² + 2m² + 2m + m + 1. A partir daí basta somar aqueles termos

semelhantes, que obtemos:

(m + 1)³ = m³ + 3m² + 3m + 1.

Feito isso,

P(m + 1) = m³ + 3m² + 3m + 1 + 4(m + 1) – 1

P(m + 1) = m³ + 3m² + 3m + 1 + 4m +4 – 1

P(m + 1) = m³ + 3m² + 7m + 4

Confesso que não foi uma boa escolha ter colocado este exemplo antes de ter dado a

multiplicação de polinômios. Os alunos acharam “coisa de doido” este exercício. Mas

neste exercício percebi também que existem outras deficiências (como citadas

anteriormente, no decorrer da resolução de um exercício que envolvia produtos notáveis,

conteúdo estudado na 7ª série) e foi de suma importância abordá-las. Sei que nem todos,

em relação ao explicado, conseguirão eliminar essas dificuldades, mas espero que aos

poucos ao menos parte deles tenha entendido e consigam resolver algo do tipo numa futura

situação matemática.

Na questão 4: Verificar se 2 é raiz do polinômio p(x) = x² - 5x +6, eu os disse que para

verificar se 2 é raiz do polinômio dado, bastava calcular o valor numérico do polinômio,

quando x = 2. Se o resultado obtido for zero, isso significa que 2 é raiz do polinômio.

Na questão 5: (PUCC-SP) Dado o polinômio p(x) = xn + x

n-1 + ... + x² + x + 3, se

n for ímpar, então p(-1) vale:

b) -1 b) 0 c) 2 d) 1 e) 3





109

Para resolver esta questão com os alunos, pois a maioria não fez, comecei dizendo que uma

das maneiras de se resolver seria: se n é ímpar, poderíamos substituir no polinômio dado

qualquer valor ímpar para “n”. Seja, por exemplo, n = 5. Assim, teríamos:

(-1)5 +(-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 3 = -1 + 1 -1 + 1 – 1 + 3 = 0 + 0 – 1 + 3 = 2

Se substituirmos n = 7, ou outro valor qualquer, veremos que dará P(-1) = 2, alternativa “c”.

A aula teve fim, por volta das 9h:50min e as questões 6 e 7 foram resolvidas na aula

seguinte.

No dia 09 de maio, a aula que deveria começar às 7h:20min, mas que começa

sempre depois das 7h: 30min, foi feita a correção das questões 6 e 7 da lista.

Questão 6: (ITA) Um polinômio P(x) ax³ + bx² + cx + d é tal que P(-2)=-2 ,

P(-1) =3 , P(1) = -3 e P(2) = 2. Temos então que:

(a) b=0 (b) b=1 (c ) b=2 (d) b=3 (e) N.D.A.

A princípio eu disse aos alunos que: utilizando os dados oferecidos pela questão

tínhamos:

P(-2) = -2→ a(-2)³ + b(-2)² + c(-2) + d = -2 → -8a³ + 4b - 2c + d = -2, chamaremos esta

equação de I.

P(2) = 2 → a(2)³ +b(2)² + c(2) + d = 2 → 8a³ + 4b + 2c + d = 2, chamaremos esta

equação de II.

P(-1) = a(-1)³ + b(-1)² + c(-1) + d = 3 → -a + b - c + d = 3, chamaremos esta equação de

III.

P(1) = a(1)³ + b(1)² + c(-1) + d = -3 → a + b + c + d = -3, chamaremos esta equação de

IV.

Em seguida, chamei a atenção dos alunos para notar que obtemos um sistema:

-8a³ + 4b - 2c + d = -2 (I)

8a³ + 4b + 2c + d = 2 (II)

-a + b - c + d = 3 (III)

a + b + c + d = -3 (IV)





110

Somando I com III temos 8b + 2d = 0 → 8b = -2d → d = -8b/2 = -4b, chamaremos esta

equação de V.

Somando III com IV, temos: 2b + 2d = 0, chamaremos esta equação de VI.

Substituindo o valor encontrado para d em (V), em VI, temos:

2b + 2(-4b) = 0 → 2b – 8b = 0 → -6b = 0 → b = -0/6 = 0. Logo alternativa (a).

Os alunos disseram ter visto este tipo de sistema no ano anterior, mas que não se

lembravam como se resolvia dizendo que eu não deveria colocar uma questão assim na

prova, pois então só daria tempo de fazer uma única questão.

Na questão 7: Considere o polinômio p(x + 1) = 3x² - x + 5, determinar

p(x).

Eu disse assim: temos p(x + 1), então o termo anterior é o p(x-1) +1) = 3(x – 1)² - (x –

1) + 5 → p(x) = 3(x² - 2x + 1) – x + 1 + 5 = 3x² - 6x + 3 – x + 6 → p(x) = 3x² - 7x + 9.

A aula foi finalizada a seguir, pois o sinal sonoro tocou logo após a correção.

No dia 10 de maio de 2011, expliquei aos alunos como se dão as operações:

soma, subtração e multiplicação de polinômios. Comecei introduzindo o assunto

dizendo que na sétima série, atual oitavo ano, muito provável, eles estudaram

expressões algébricas, polinômios, e fizeram exercícios contendo estas operações: soma,

subtração, multiplicação e divisão com polinômios. Em seguida disse que na aula

daquele dia, iríamos relembrar, se fosse o caso, ou aprender como se dão as operações

citadas com polinômios.

Para dar início escrevi na lousa os procedimentos para cada caso: soma,

subtração e divisão. Em seguida, anotei também dois polinômios e exemplifiquei para

cada caso, conforme abaixo:

Considere os polinômios P(x) = x³ + 2x² - 3 e Q(x) = x² + x + 1. Calcule:

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) - Q(x)

c) P(x) . Q(x)

c) Calculamos a soma adicionando os coeficientes de termos semelhantes:

P(x) + Q(x) = (x³ + 2x² - 3) + (x² + x + 1)

P(x) + Q(x) = x³ + 2x² - 3 + x² + x + 1





111

P(x) + Q(x) = x³ + 3x² + x – 2

Observe que o grau da soma é igual ao grau maior entre os graus de P(x) e

Q(x), que nesse caso é o de P(x).

d) Calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes:

P(x) - Q(x) = (x³ + 2x² - 3) - (x² + x + 1)

P(x) - Q(x) = x³ + 2x² - 3 - x² - x - 1

P(x) - Q(x) = x³ + x² - x – 4

e) Calculamos o produto de dois polinômios fazendo a multiplicação de cada termo

de um deles, por todos os termos do outro. Posteriormente, faremos a adição dos

resultados:

P(x) . Q(x) = (x³ + 2x² - 3) . (x² + x + 1)

P(x) . Q(x) = x³. x² + x³ . x + x³ . 1 + 2x² . x² + 2x² . x + 2x² . 1 + (-3) . (x²) +

(-3) . (x) + (-3) . 1

P(x) . Q(x) = x5 + x

4 + x³ + 2x

4 + 2x³ + 2x² - 3x² - 3x – 3

P(x) . Q(x) = x5 + 3 x

4 + 3x³ - x² - 3x - 3

Após mostrar os exemplos acima, apliquei alguns exercícios, anotados também

na lousa, para que eles pudessem praticar as operações explicadas: questões 20 (a e c),

21 (letras a e b) e 22 da página 187 e o exercício 23 e 24 (letra b) da página 188 do livro

Matemática aula por aula (adotado pela escola). Em seguida auxiliei alguns alunos em

suas carteiras, tirando algumas dúvidas. A professora orientadora do estágio, que

também estava presente na sala, também os auxiliou.

Na resolução das questões, a atividade 21 os alunos entenderam tranquilamente,

pois deveriam apenas identificar o grau maior após resolver as operações pedidas. A

questão 22 foi um pouco mais trabalhosa e os alunos não conseguiram resolver à

princípio. Então expliquei aos alunos que na questão 22 eles deveriam resolver as

operações iniciais, depois agrupar os termos semelhantes, para em seguida estabelecer a

correspondência entre os termos que estão acompanhados com o mesmo termo

semelhante de um lado da igualdade com o termo que tiver do outro lado o mesmo

termo semelhante. Ao resolver no quadro para que eles pudessem entender melhor

foram feitos os seguintes procedimentos:





112

A questão 24 foi bem semelhante com 21, na qual após fazer as operações devidas

deveriam identificar o grau, não apresentando grandes dificuldades. As correções destes

exercícios foram feitas na aula seguinte, que aconteceu no dia 16 de maio de 2011. Ao

iniciar a aula dei o visto nas atividades, enquanto isso eles abriam os cadernos. A seguir,

fiz a correção das atividades na lousa. Em relação à aula prevista em plano utilizando

recortes, houve uma mudança e pretendo realiza-la futuramente juntamente com a

divisão com os recortes, caso “o calendário permita”.

No dia 17 de maio a aula teve início por volta das 7h:30min. Neste dia, durante

o primeiro horário apliquei um questionário socioeconômico (em anexo nas páginas

140, 141 e 142) a fim de conhecer um pouco mais sobre o perfil dos alunos, com os

quais estamos preparando nossas aulas. A princípio, como de costume, por ser o

primeiro horário, nem todos estavam presentes, mas com o passar do tempo foram

chegando e começando a responder o questionário. Ao recebê-lo, alguns deles

questionaram se seria preciso se identificar. Outra dúvida foi: se nenhuma das opções ali

contidas para cada questão não se enquadrasse em suas respostas, o que fazer? Então eu





113

lhes disse que se eles se sentissem à vontade para se identificar, seria bom, mas, se não

fosse o caso, deixassem sem preencher. Em relação à outra dúvida mencionada, eu disse

que poderiam escrever a opção que não estivesse ali, por exemplo: se seus pais têm

nível superior completo e a opção não estiver aí, coloque logo abaixo. Enquanto

respondiam as questões os alunos tem o hábito de comentar as respostas entre eles, um

deles, por exemplo, disse não ter o costume de ler livros, outro aluno comentou que em

relação ao acesso à internet, só Google e Orkut.

Pouco depois do fim do segundo horário, quando todos já haviam me devolvido

o questionário socioeconômico, abordei o conteúdo Identidade de polinômios. A

princípio, utilizando a lousa, fiz as devidas anotações e apresentei aos alunos sob quais

condições um polinômio era dito nulo, seguido de exemplos, e sob quais condições dois

polinômios são considerados idênticos, mostrando também alguns exemplos, seguindo a

risca o plano de aula.

Os alunos aparentaram entender o conteúdo, não demonstrando dificuldades.

Para complementar a aula e verificar se, de fato, os alunos entenderam como se dá a

identidade de polinômios, apliquei os exercícios 11, 12, 14, e 18 da página 185 do livro

adotado pela escola, fazendo as correções antes do fim da aula, que veio ocorrer as

9h00min.

No dia 23 de maio, cheguei ao colégio por volta das 7h20min. Ao entrar na sala

percebi que a maioria dos alunos ainda não havia chegado, talvez devido ao frio e à

garoa que estava fazendo nesta manhã. Aguardei alguns instantes para ver se chegavam

mais alguns alunos, que aos poucos foram chegando. Minutos depois, tivemos a visita

também de minha orientadora do Estágio Supervisionado II, professora Roberta

Bortoloti.

Para dar início à aula perguntei a eles se haviam feito as atividades deixadas na

aula anterior como dever de casa. Infelizmente minoria havia feito, então dei o visto,

como de costume, nos cadernos dos que fizeram o solicitado. Neste momento, a

professora Roberta se pronunciou com uma breve conversa com os alunos, os chamando

a atenção para a série que estava nesta semana sendo apresentada no Jornal Nacional

que retrata a situação da nossa educação no Brasil, citando que no balanço das

reportagens o especialista em educação apontou o não cumprimento do dever de casa





114

como um dos fatores que influencia diretamente no rendimento do aluno. Entre outras

coisas, a professora citou ainda que é preciso estudar para ter uma condição de vida

melhor, dando o seu depoimento, falando um pouco de sua história de vida, vindo

também de uma escola pública, lutou, conseguiu passar no vestibular, se graduou, pós

graduou, sempre com muito esforço, trabalhando inclusive durante este processo, e hoje

como exemplo, se encontra em uma condição de vida melhor que alguns colegas de sua

cidade natal. E que desta forma os alunos deveriam começar por fazer a diferença

pensando no “dia de amanhã”. Após estas palavras, os alunos permaneceram em

silêncio, pois sabiam que estavam errados, então dei mais alguns minutos para que

tentassem fazer as atividades e em seguida fiz as seguintes correções das questões 11,

14 e 18, conforme abaixo:

11- Determine a, b e c para que o polinômio P(x) = (a – 8)x³ + (5b – 15)x² + cx, seja

identicamente nulo.

Solução: expliquei-os que para que um polinômio seja nulo, temos que:

a – 8 = 0 → a = 8, 5b – 15 = 0 → 5b = 15 → b= 15/5 →b = 3 e c = 0

logo a = 8, b = 3 e c = 0.

14- Calcule a e b, de modo que os polinômios P(x) =(2a – 6)x³ + (3b – 4)x² e Q(x) = x³

+3x² sejam idênticos.

Solução: inicialmente os relembres que; se um polinômio é idêntico ao outro então,

cada termo correspondente, isto é os termos semelhantes entre os monômios de P(x) e

os monômios de Q(x) são equivalentes, isto é:

2a – 6 = 1 → 2a = 7 → a = 7/2

e

3b – 4 = 3 → 3b = 7 → b = 7/3

18 - (OSEC-SP) Sejam os polinômios

F(x) = ax² - 2x + 1, g(x) = x + 2 e h(x) = x³ + bx² - 3x + c, os valores de a, b e c, tais que

f .g = h são, respectivamente:





115

a) -1; 2 e 0

b) 0; 1 e 2

c) 1; -1 e 2

d) 1; 0 e 2

e) 2; -1 e 0

Solução: para iniciar, eu disse aos alunos que a questão nos dá o seguinte dado:

f . g = h, donde segue que: (ax² - 2x + 1) . (x + 2) = (x³ + bx² - 3x + c)

Logo,

ax³ + 2ax² - 2x² - 4x + x + 2 = x³ + bx² - 3x + c

Operando entre os termos semelhantes, temos:

ax³ + (2a - 2)x² - 3x + 2 = x³ + bx² - 3x + c, donde fazendo a correspondência

entre os termos semelhantes resulta, que:

a = 1,

2a – 2 = b, como a =1, isso implica que b = 0

e c = 2

Assim, a alternativa correta é a opção (d). A aula teve fim com esta correção

por volta das 8h:10min.

No dia 24 de maio, dei início à “divisão de polinômios”. Inicialmente, como

previsto em plano de aula, os relembrei como se dá a divisão entre números inteiros:

Dividir um número inteiro a por outro inteiro b (b ≠ 0) consiste em encontrar dois

inteiros q e r, com o ≤ r < d, tal que:

→ a = q . b + r

Donde,

a = dividendo, b = divisor, q = quociente e r = resto.

Em seguida mostrei um exemplo prático, uma vez que os alunos questionaram estar

entendendo, mas que a visualização é melhor quando se tem um exemplo numérico,

pois, segundo eles, “quando coloca letra complica tudo”.

Veja:





116

Segue então, que: 7 = 3 . 2 + 1.

A partir deste exemplo, expliquei aos alunos que com polinômios podemos realizar

também a divisão seguindo um procedimento bem similar através do MÉTODO DA

CHAVE, expondo-o:

Efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) ≠ 0, é determinar

dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:

A(x) = Q(x) . B(x) + R(x) em que:

A(x) = dividendo, B(x) = divisor, Q(x) = quociente e R(x) = resto

Indicando na chave, temos:

Em seguida, mudando um pouco o previsto em plano de aula, comecei mostrando a

divisão de A(x) por B(x) através de um exemplo:

Sendo A(x) = 6x³ - 2x + 1 e B(x) = x² + x, temos:





117

Vale lembrar que, ao explicar os procedimentos acima, os alunos sentiram

dificuldades em acompanhar a mecânica deste método, tendo repetido e explicado cerca

de duas ou três vezes os passos. Fazendo durante a explicação algumas observações:

- O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x).

- O grau do resto R(x) para R(x) não nulo será sempre menor que o grau do divisor

B(x).

- Se a divisão é exata, o resto R(x) é nulo, ou seja, o polinômio A(x) é divisível pelo

polinômio B(x).





118

Repetindo, falei novamente que para efetuar a divisão, usando o método

da chave, convém seguir os seguintes passos:

4. Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus

expoentes, e completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero.

5. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o

resultado será um termo do quociente.

6. Multiplicar o termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do

dividendo.

- Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença

será o resto da divisão e a divisão termina aqui.

- Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um

novo dividendo.

A seguir eles pediram que eu fizesse mais alguns exemplos para que eles pudessem

entender melhor. Assim, fiz mais um exemplo para eles:

Exemplo: Determinar o quociente de A(x) = x³ + 4x² + x – 6 por B(x) = x + 2.

Solução: sendo Q(x) o quociente de A(x) por B(x) e R(x) o resto:

Gr(Q) = gr(A) – gr(B) = 2

Como gr(R) < gr(B) = 1, então gr(R) = 0 ou R(x) = 0.

x³ + 4x² + x – 6 x + 2

-x³- 2x² + x - 6 x² + 2x - 3→ quociente: Q(x)

2x² + x - 6

-2x² - 4x

-3x - 6

+3x + 6

Resto:R(x) = 0

Verificamos, facilmente que: A(x) = B(x).Q(x) + r(x):

x³ + 4x² + x – 6 ≡ (x + 2)(x² + 2x – 3) + 0





119

Após explicar os procedimentos de divisão entre polinômios através do Método

da Chave, apresentei aos alunos o Teorema do resto e o Teorema de D’Alembert. E

explicando que, em alguns casos, a depender de qual elemento de um polinômio

queiramos encontrar, convém utilizar destes métodos, caso se desconheça ou por

motivos quaisquer não se queira utilizar outro método.

Teorema do resto

De acordo com a definição de divisão, temos:

P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x), onde R(x) = K (constante), pois gr(x - a) = 1

P(a) = (a – a) . Q(a) + k → P(a) = K

Logo: R(x) = P(a)

Exemplo 1

Podemos determinar o resto da divisão de f(x) = 3x4 – x³ + 2 por g(x) = x – 1 sem

efetuar a divisão. Basta notar que:

- A raiz do divisor é x – 1 = 0 → x = 1.

- Pelo teorema do resto, temos que: r = f(1), isto é, r = 3 . 14 – 1³ + 2 = 4.

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é o próprio valor

numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).





120

Exemplo 2

Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de P(x) =

x5 – x

3 + 2 por h(x) = x + 3, fazemos:

- A raiz de h(x) é x + 3 = 0 → x = -3.

- Utilizando o teorema do resto, vem: r = p(-3) = (-3)5 – (-3)

3 + 2 = -243 – (-27)

+ 2 = -214.

Teorema de D’Alembert

A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é exata se, e somente se, P(a) =0.

Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a).

Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0.

Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata.

Exemplo 1

A divisão do polinômio P(x) = x³ + x² - 11x + 10 pelo binômio (x – 2) é exata, pois:

P(2) = 2³ + 2² - 11 . 2 + 10

P(2) = 8 + 4 - 22 + 10

P(2) = 0

Ao fim da segunda aula de matemática da manhã do dia 24 de maio, o professor

regente Enoque Alves de Matos, apareceu na turma para entregar as avaliações e

resultado final, referente à unidade I. Ao começar a entrega, percebi que a expressão no

rosto de grande parte dos alunos não foi das melhores. Uma aluna comentou: “é... tenho

que aproveitar para tirar 10 agora com você professora por que III e IV unidades é Ele

de novo!”, vale ressaltar, que este comentário partiu daquela aluna que durante minhas

observações, relatado anteriormente na fase de observação, teve um desentendimento

com o professor. Ao concluir a entrega, o professor deixou as avaliações dos alunos que





121

não estavam presentes com o líder da turma, e assim, foi concluída a aula do dia 24, às

9h50min. A meu ver, no dia em que se entrega um resultado de uma avaliação para a

turma é interessante que o professor faça um breve comentário sobre o desempenho dos

alunos na avaliação, sucedida pela correção da prova na lousa.

No dia 30 de maio de 2011, dei continuidade aos métodos utilizados para divisão

de polinômios, explicando como funciona o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini e

fazendo os dois exercícios sobre este método, conforme plano de aula. Em seguida,

apliquei os exercícios previstos, também em plano, e disse, que: “de nada adiantaria eles

terem observado e anotado os procedimentos apresentados no caderno se ao chegar em

suas casas não fizessem as atividades. Pois, o conhecimento, a aprendizagem, é algo que

se constrói individualmente. O professor é apenas um intermediador, que tenta facilitar

a escrita dos livros, prepara uma aula mais acessível e tenta contribuir para que a

aprendizagem ocorra.” É preciso que o aluno exercite, fazendo as atividades propostas,

tentando resolver problemas, quando possível, para que as teorias possam ser colocadas

em prática.

No dia 31 de maio de 2011 não houve aula, pois houve paralisação das

atividades na Bahia por parte dos professores da rede pública. Assim o teste que

havíamos marcado para este dia ficou adiado para a aula seguinte, que aconteceu no dia

06 de junho de 2011, no primeiro horário. Como o tempo era pouco, a pedido dos

próprios alunos, e em seguida por mim, o professor da aula seguinte (Professor de

Química), concordou em ceder o horário, que teve fim às 9h00min. No decorrer da

avaliação os alunos fizeram algumas perguntas sobre algumas questões, as quais fiz a

leitura e expliquei o que era para fazer em cada questão.

No dia 07 de junho foi feita a correção dos exercícios que haviam ficado por

fazer na aula do dia 30 de maio. Não foram resolvidos todos, pois eram 12 exercícios,

então nos exercícios que tinham letras a e b ou c, corrigi apenas uma de cada. Dizer que

não houve dificuldades creio que seria omitir os fatos, pois sempre têm na turma

aqueles que entendem quando o professor explica, mas na hora de fazer sentem

dificuldades. Segue abaixo, algumas das correções:





122

Questão 28:

Esta questão foi resolvida de forma clara e é semelhante às questões 50, 51 e 52

(nesta porém, após achar os valores finais, a questão pede a soma desses valores). Em

todas envolvem a questão da divisibilidade, cujo resto de um polinômio divisível por

outro deixa resto igual à zero.

Questão 33:





123

Questão 34:

Na questão 54 era só pra resolver utilizando o método conveniente, e encontrar o

resto. De modo geral os alunos resolveram os exercícios, apresentando facilidade em

resolver alguns, mais dificuldades em resolver outros. Enfim, finalizamos a aula do dia

07 de junho, com o fim do horário da aula. Foi uma aula produtiva, pois ao resolver os

exercícios os alunos vão amadurecendo as ideias, adquirindo habilidades, conhecendo

as estratégias de resolução dos exercícios, fixando melhor o conteúdo e tirando as

eventuais dúvidas.

Nos dias 13 e 14 de junho, a pedido dos alunos fiz uma breve revisão sobre os

métodos utilizados para divisão de polinômios. No dia 14, entreguei também o teste que

eles haviam feito, fazendo sua respectiva correção no quadro. No geral, a maior dos

dificuldade dos alunos foi em relação à questão 3. A maioria não conseguiu encontrar os

valores pedidos, para que o grau do polinômio fosse zero. No mais, tiveram um





124

desempenho melhor nas outras questões (1, 2, 4 e 5). Os resultados não foram

excelentes, mas a maioria obteve uma pontuação acima de 50% em relação às notas, o

que já considero satisfatório.

No dia 15 de junho aconteceu uma oficina sobre Análise Combinatória. Foi

realizada no laboratório de matemática na UESB, um ambiente tranquilo, ideal para os

alunos desenvolverem as atividades e também uma oportunidade dos alunos estarem

conhecendo um pouco da estrutura física da Universidade. A oficina teve início por

volta das 8h:20min e terminou por volta das 11h:30min. Estava presente a minha

professora orientadora do estágio Roberta e a minha colega Maria das Graças, que me

ajudaram na realização da oficina.

Para dar início às atividades da oficina, convidei para ir até o centro da sala três

meninos e três meninas, pois não havia muitos homens na sala, então fizemos uma

adaptação para realizar o problema 1. Em seguida, pedi que três deles permanecessem

para realizar o problema 2. Ao realizar as atividades os alunos participaram, se sentiram

à vontade e, ao que percebi, entenderam os problemas abordados. Logo depois, solicitei

que os alunos se organizassem em grupos de 4 ou 5 pessoas para que pudéssemos

resolver os demais problemas (ver fotos no anexo 2).

Em seguida entreguei um roteiro de problemas (são os problemas contidos no

projeto de ensino, primeira etapa: do 1 ao 8, visto anteriormente) para que eles

pudessem resolver. Os alunos se mostraram muito empenhados em encontrar as

soluções de cada problema.

Para o problema 3 entregamos as letras da palavra amor em material

emborrachado para que eles encontrassem as possibilidades diferentes de arrumações

dessas letras. A princípio eles começaram fazendo de uma em uma, contando cada

arrumação diferente. Em seguida falei para eles se lembrarem dos problemas anteriores,

que seria mais fácil usar o princípio multiplicativo. Desta forma eles fizeram:

poderíamos começar as arrumações com: 4 possibilidades para a segunda letra, ficaria 3

possibilidades para a terceira letra, 2 possibilidades para a terceira letra e para a quarta

letra apenas 1 possibilidade, desta forma utilizando o princípio multiplicativo: 4 x 3x 2

x 1 = 24 formas diferente de arrumações das letras da palavra AMOR.





125

Após os alunos entenderem a forma de resolução desta palavra entregamos mais

uma letra: a letra A. assim, eles construíram a apalavra AMORA. Ao tentar resolver eles

perceberam que tinha duas letras A e que elas sendo iguais ao trocar uma pela outra não

alterava o sentido da palavra. Então explicamos que quando há letras iguais a estratégia

é contar essas possibilidades, mas depois eliminá-las. Isto é, seguindo o procedimento

anterior: como são 5 letras, 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! Como duas letras se repetem: 2 x 1 =

2! Assim os alunos devem fazer 5! / 2! = 120/2 = 60 formas diferentes de arrumar as

letras da palavra amora.

Para resolver o problema 5 entregamos uma bandeira e as faixas em cores

diferentes conforme as fotos 3,4 e 5 em no anexo 2. Os alunos demoraram bastante para

tentar resolver o problema, “quebraram a cabeça” e os grupos não conseguiram resolver.

Com algumas dicas e sugestões acabamos explicando que era a mesma estratégia das

outras questões: como não poderia repetir cor o procedimento foi o seguinte:

- primeira listra: 3 opções de cores;

- segunda listra: não poderia repetir a cor escolhida para a primeira listra, então 2 opções

de cores;

- terceira listra: não poderia repetir a cor escolhida para a segunda listra, então 2 opções

de cores;

- Quarta listra: não poderia repetir a cor escolhida para a terceira listra, então 2 opções

de cores;

- Quinta listra: não poderia repetir a cor escolhida para a quarta listra, então 2 opções de

cores;

- sexta listra: não poderia repetir a cor escolhida para a quinta listra, então 2 opções de

cores;

Usando o princípio multiplicativo, 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 96 possibilidades diferentes de

pintar a bandeira.

Para o problema 6 entregamos os algarismos e uma placa conforme foto 1 do

anexo 2. Para o problema 7 entregamos os carrinhos e a pista, conforme foto 8 no anexo

2 e para o problema 8 foram entregues frutas para um dos grupos que já haviam

terminado as outras atividades, eles não conseguiram resolver o problema 8. Como a

estratégia fugia um pouco da estratégia de resolução das outras atividades, achamos





126

melhor não entrega-la aos outros grupos, pois a questão não foi muito bem trabalhada a

meu ver. Achei melhor não entrega-la aos outros grupos.

Por volta das 10h:00min fizemos uma pausa pra um breve lanche. Nesse

momento os alunos aproveitaram para dar uma “circulada” pela UESB e conhecer um

pouco mais a Universidade. Por volta das 10h:30min retomamos as atividades, e

realizamos a 2ª etapa da oficina, composta pelas perguntas de 9 a 12, conforme previsto

em projeto de ensino. Antes, porém, apresentamos uma vídeo-aula de número 51 do

novo telecurso para os alunos estarem aprendendo outras técnicas de agrupamento.

Para cada problema da segunda etapa, assim como anteriormente, foi entregue os

materiais para os alunos estarem tentando resolver os problemas. Ao fim da oficina

houve uma conversa com os alunos, deixei minhas considerações acerca da experiência

na sala deles e os sugeri que estudassem, pois nós só nos veríamos novamente na

semana de provas. A professora orientadora do estágio os perguntou se a experiência

manipulando aqueles materiais tinha sido válida, eles confirmaram que sim, que tinha

sido muito bom. Para mm foi uma experiência interessante, acho que dá para melhorar

um pouco mais em relação aos problemas da segunda etapa.

A oficina de analise combinatória através de resolução de situações-problemas

representou um momento diferente, para eles e para mim, no qual foi bem proveitoso.

Após ter feito esta oficina, aproveitei este material inclusive, adaptando para trabalhar

com meus alunos de 6ª série com probleminhas mais simples. Eles adoraram, ficaram

super felizes ao resolver os probleminhas em sala de aula. Pude perceber que a

resolução de problemas utilizando materiais concretos pelos alunos, foi atrativo,

dinâmico, despertou a curiosidade e vontade de descobrir a forma de resolver e achar a

resposta certa, despertando o gosto pela matemática, dinamizando a aula e promovendo

de forma prazerosa o aprendizado.

Entre 11 e 15 de julho aconteceu a semana de provas do CIENB, referente a

segunda unidade, no dia 12 estive na Instituição entre as 8h:00min e 10h:00min

fiscalizando as avaliações de Inglês, Redação e Língua portuguesa, que foi tranquilo,

sem maiores transtornos. Quanto a avaliação de matemática foi aplicada no dia 13 sob a

fiscalização de outro professor.





127

No dia 18 de julho, por volta das antes de entregar ás avaliações ao professor,

10h:00min cheguei ao CIENB para entregar as avaliações aos alunos. Antes, porém,

fiquei na sala dos professores passando as notas do teste e da prova para a caderneta,

com o respectivo fechamento de notas da unidade. gostaria de ter feito uma análise com

notas da unidade II em relação as notas da unidade I, no entanto não foi possível pois o

professor ainda não as tinha passado para a caderneta de notas. Ficou de me mandar por

e-mail, no entanto também não o fez. A seguir, como os alunos estavam em aula de

outra disciplina, entreguei as avaliações ao professor regente, com quem conversei

sobre os resultados. A maioria (19) atingiu nota satisfatória. Acredito que o resultado

poderia ter sido melhor, mas como os alunos passaram cerca de um mês em recesso e

retornaram já para fazer as provas, arrisco um palpite de que eles não estudaram tanto

nas férias.

No dia 11 de agosto aconteceu o conselho de classe da segunda unidade. Por

volta das 8h:20min os professores se reuniram por turmas para dar início as atividades.

Alguns professores que trabalhavam em mais de uma série ficaram alternando entre

salas. Na reunião estavam presentes também os líderes de classe do 3º ano, turmas B e

C, infelizmente não estavam presentes os líderes dos demais terceiros anos. A princípio

foi discutido sobre o comportamento dos alunos. Um dos líderes fez um depoimento

sobre a turma reconhecendo que o 3º B é uma turma difícil. Instantes depois, quando os

líderes já haviam se retirado da sala, foram citados alguns nomes de alunos para que

fossem chamados à atenção e houvesse uma conversa futuramente. Foi discutido de

modo geral, sobre o desempenho de todas as turmas, que foi considerado como bom. O

conselho de classe é sempre um momento em que o que mais se discute são sobre os

alunos que apresentaram “problemas”. Ao citar os nomes de alunos e os supostos

motivos que levaram eles a baixar o nível de desempenho, os professores demonstraram

conhecer bastante de seus alunos. Foi um momento interessante, no qual ficou definido,

inclusive, que os professores iriam chamar estes alunos para uma conversa particular.

Logo depois do conselho de classe, que teve fim por volta das 10h:30min,

aconteceu um “chá de fraldas” na sala dos professores. O motivo é que um dos

professores da instituição será papai em breve, e os colegas de trabalho fizeram uma

rápida entrega de fraldas, com direito a “comes e bebes”.





128

ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SOCIO-ECONÔMICO

Para conhecer um pouco mais do perfil dos alunos do 3º “A” do CIENB, foi

aplicado no dia 17 de maio um questionário socioeconômico. Lembrando que eu já

estava regendo desde o dia 25 de abril de 2011. De acordo com os dados obtidos,

apresentaremos aqui uma análise geral da turma.

1 - IDENTIFICAÇÃO

No momento da aplicação do questionário socioeconômico, estavam presentes

na sala 25 alunos: 18 do sexo feminino e 7 do sexo masculino. Estes alunos tem em

média 17 anos, com exceção de uma aluna que tem 29 anos, a única que também é

casada, tem 1 filho e não mora com os pais.

Conforme gráfico 1 observa-se que a maioria dos alunos que responderam ao

questionário não mora no bairro Brasil, local onde está situado o CIENB, talvez este

seja um dos motivos para o atraso em relação ao primeiro horário de aula na segunda

feira (aula de matemática).

Gráfico 1: Números de alunos por bairro.





129

2 - ESCOLARIDADE DOS PAIS

No gráfico 2 podemos observar o grau de escolaridade dos pais desses alunos.

Gráfico 2: grau de escolaridade dos pais.

0123456789

10

ESCOLARIDADE DO PAI

ESCOLARIDADE DA MÃE

Nota-se que em relação a escolaridade do pai, a maioria deles não concluiu o

ensino fundamental até a 8ª série (antigo 1º grau). Em relação ao grau de escolaridade

da mãe, percebe-se que a maioria delas possui o ensino fundamental até a 8ª série

(antigo 1º grau) completo. Sabe-se que a baixa escolaridade pode implicar diretamente

na renda salarial das pessoas.

De acordo com o gráfico a seguir, podemos notar que a maioria das famílias

sobrevivem com valores entre 1 e 2 salários mínimos. Uma das possíveis causas desse

GRAU DE ESCOLARIDADE DOS PAIS





130

fato pode estar relacionada com a baixa escolaridade dos pais desses alunos, conforme

visto no gráfico 2.

Gráfico 3: renda mensal da família.

Quanto os alunos que trabalham, vejamos algumas informações sobre eles no quadro 1:

Quadro 1: Atividade desenvolvida pelos alunos que trabalham

Aluno 1 Trabalha como gerente comercial, 6 hs diárias, tem carteira assinada e

contribui com as despesas do lar.

Aluno 2 Trabalha como atendente, 4 horas diárias, não possui carteira assinada e

não contribui com as despesas do lar.

Aluno 3 Trabalha com ornamentação de festas, não tem uma carga horária pré-

definida, não possui carteira assinada e contribui com as despesas do lar.

Aluno 4 Trabalha como auxiliar de escritório (estagiária), num período de 4 horas

diárias, possui carteira de trabalho assinada e não contribui com as

despesas do lar.

Percebe-se que é um número pequeno de alunos que exerce alguma atividade

remunerada.





131

Em relação a chegar atrasado ao primeiro horário, o fato de trabalhar não é uma

das causas, pois todos seguem de casa para a escola. Outra hipótese para responder ao

motivo do atraso talvez pudesse estar relacionada ao transporte que eles usam para

chegar à escola, pois a maioria, representada por um total de 13 entre os 25 alunos, vem

de ônibus. No entanto, destes 13 alunos, apenas 4 reconheceram que não conseguem

chegar para a primeira aula devido os horários do transporte coletivo.

Embora, posso testemunhar que esse número de ausência na primeira aula de

matemática nas segundas feiras é bem maior. Mas por ora não é possível afirmar nada

sobre o motivo destes atrasos.

Quando foi perguntado aos alunos o que eles mais gostam de fazer nas horas

vagas, infelizmente, notou-se que estudar não é a prioridade dos alunos. Veja que a

maioria respondeu que prefere assistir televisão e fazer outras coisas além das opções

dadas.

Quadro 2: Atividade preferida nas horas vagas.

ATIVIDADE PREFERIDA NAS HORAS VAGAS NÚMERO DE

ALUNOS

Assistir televisão 9

Ir ao cinema 1

Ler um romance 1

Ler revista ou jornal 0

Estudar e fazer as atividades da escola 2

Outras atividades (internet: redes sociais, sites de programas de

tv, revistas eletrônicas e sair com amigos)

12

3 – ASPECTOS REFERENTES À ESCOLARIDADE

Os alunos do terceiro ano “A” com exceção de 2 alunos, passaram grande parte

da vida escolar em instituições públicas. Dos pesquisados, a maioria, que corresponde

um total de 16 alunos, já passou por pelo menos outras 3 escolas antes de estudar no

CIENB. Dos 25 alunos, 24 disseram que gostam do CIENB e citaram os principais





132

pontos positivos e também alguns fatores que precisam ser melhorados na escola, como

veremos respectivamente nos quadros 3 e 4:

Quadro 3: Pontos positivos no CIENB.

PONTOS POSITIVOS NÚMERO DE ALUNOS

Bom ensino ou bons professores 16

Escola organizada ou boa direção 6

Não há pontos positivos 1

Não responderam 2

Quadro 4: Pontos negativos no CIENB.

PONTOS NEGATIVOS NÚMERO DE ALUNOS

Professores ruins 3

Aparelhos quebrados (televisores e ventiladores) 7

Excesso de carga horária e/ou pouco horário de intervalo 3

Desorganização da escola ou falhas relacionadas à direção 1

Indisciplina de alguns alunos 3

Precariedade relacionada à alimentação/lanchonete 3

Não responderam 4

Não há pontos negativos 1

4 – OUTROS ASPECTOS

Sabe-se que estudar é essencial na vida de uma pessoa. Através dos estudos

adquirimos uma formação, nos preparamos para o mercado de trabalho e

consequentemente podemos conseguir um emprego melhor, que nos estabilize

financeiramente. Na pesquisa com os alunos do terceiro ano, turma A, não foi diferente,

todos consideram importante estudar e o porquê não foge desta linha de raciocínio,

vejamos as justificativas dadas por eles no quadro 5:





133

Quadro 5: Importância do estudo para o aluno.

1. Porque é importante estudar Número de alunos

Arrumar um bom emprego/Ter uma vida

financeira estável/Ter um futuro melhor

13

Para adquirir conhecimento 6

Não justificaram 6

Quando perguntado aos alunos que tipo de livros eles gostam de ler, obtiveram-

se os seguintes resultados: 9 alunos responderam que não gostam de ler e 16 alunos

responderam da seguinte forma:

Quadro 6: Preferência por tipos de livros.

2. Tipo de livro que gosta

de ler

Exemplos Número de alunos

Aventuras/suspense Não responderam 2

A Bíblia - 5

Romance A moreninha, Eclipse,

lua nova, Romeu e

Julieta, Um sonho no

caroço de abacate, etc.

6

Culinária Não responderam 1

Não gosta de ler livros, prefere

revistas ou sites de

informativos.

Não responderam 2

Obtivemos ainda os seguintes dados sobre os alunos que gostam de ler:





134

Quadro 7: Quantidade de livros lidos por ano.

2.1. Quantidade de livros lidos

por ano

Número de alunos

Um 2

Dois ou três 8

Mais de três 4

Não sabe dizer 2

Como podemos notar no quadro 7, 16 dos 25 alunos que responderam o

questionário socioeconômico, costumam ler ao menos um livro por ano. Ao ler

acabamos adquirindo conhecimento, melhorando inclusive, a escrita do português, a

interpretação e consequentemente isso vem a somar em relação à aprendizagem das

disciplinas no geral.

Achei interessante a gostaria de ressaltar aqui sobre o quesito 3 do item IV:

3. Fale um pouco mais sobre si mesmo, de sua personalidade, do que você gosta,

do que não gosta, suas expectativas de vida, etc.

Apenas 7 alunos falaram sobre suas expectativas de vida:

Aluna A: “(...) me qualificar para o mercado de trabalho, conquistar minha

independência financeira, ajudar a família e conseguir ajudar meus pais a

reformar nossa casa”;

Aluno B: “fazer faculdade, trabalhar e fazer novos cursos”;

Aluna C: quer “crescer na vida profissional.”

Aluno D: “(...) espero me formar.”

Aluna E: “minha expectativa de vida é uma faculdade, um bom futuro e um bom

marido.”

Aluno F: “(...) pretendo ser engenheiro civil.”

Aluno G: “(...) o que eu quero... é engenharia civil vai ser minha

especialização.”

Em relação aos gostos escolares obtivemos as seguintes respostas:





135

Quadro 8: Preferencia dos alunos em relação ás disciplinas.

4. Disciplina que os

alunos mais gostam

Por que Número de alunos

Biologia Gosta de pesquisar. 1

Educação física

Descontraída (1); exercita

o corpo (1); não

responderam (2).

4

Física Gosta de fazer cálculos (2); 2

Física e Matemática Gosta de contas (2) 2

Filosofia Não respondeu. 1

Literatura, Língua portuguesa,

Inglês ou Redação

Ajuda conhecer mais a

literatura do nosso país (1);

voltado para nossa

linguagem (1); ajuda ver os

erros gramaticais (2); gosta

de escrever (2); são

disciplinas menos

complicadas(1); gosta de

saber como se escreve as

palavras(1); é bom

aprender uma língua

estrangeira (1);

9

Matemática Por que é divertido

dependendo do professor

(1); tira boas notas (1);

2

Não tem matéria preferida 1

Não respondeu 1

Química Por que o professor é





136

maneiro. 1

Todas 1

Podemos perceber no quadro acima que os alunos têm mais afinidade com as

disciplinas da área de letras pelos diversos motivos citados. As disciplinas da área de

letras foram agrupadas porque mesmo perguntando qual a disciplina os alunos mais

gostam eles responderam sempre citando duas ou três.

Em relação a disciplina que os alunos menos gostam, observamos no quadro

abaixo que a disciplina Física recebeu o maior número de indicações. Segundo a

maioria, é uma disciplina difícil, de cálculos complicados.

Quadro 9: Disciplina que os alunos não se identificam.

5. Disciplina que os

alunos menos gostam

Por que Número de alunos

Filosofia

Tem que falar dos filósofos

(1);

1

Física

Cálculos complicados (4);

não entende e não se

identifica (2); difícil (1); é

chato (1);

8

Matemática e Física Tem muitas contas (1);

difícil (2);

3

Matemática Às vezes não consegue

entender (1); difícil (1);

2

História Não consegue aprender

(1); não compreende (1);

2

Língua portuguesa

Porque há muitas regras de

escrita que acaba

confundindo (1);

1

Química Sente dificuldade (1), 1





137

Redação Não gosta de fazer texto

(1);

1

Não há disciplina que o aluno

não gosta

-

2

Sociologia

Tem que apresentar

trabalhos na frente da sala

(1); não sabe o porquê não

gosta (1); não respondeu

(1); sem “atração” (1);

4

Apresentamos agora, dados da área de nosso maior interesse. Como estagiários

de matemática, as respostas dos alunos nos faz conhecer um pouco mais sobre o que

eles acham das aulas de matemática, sobre os estagiários e sobre as eventuais mudanças

que podem vir a serem feitas, segundo eles.

Quadro 10: opinião dos alunos sobre as aulas de Matemática.

6. O que você acha das aulas de

matemática?

Número de alunos

Boas ou ótimas (8); Boas, mas tenho

dificuldade em aprender (2); Boas, mas

deveria melhorar (1); Boas, mas deveria

mudar o professor ou depende do

professor (2); Boas, pois a estagiária

explica muito bem (4).

16

Difíceis 1

Interessantes, mas não gosto de contas (1);

Interessante, mas cansativa (2)

Interessante (3);

6

Não respondeu 1

Como podemos perceber no quadro 10, a maioria dos alunos gosta das aulas de matemática.





138

No entanto, fizeram algumas sugestões que seguem no quadro 11:

Quadro 11: sugestões para melhorias nas aulas de Matemática.

7. O

que acha que deve ser feito para melhorar as aulas de

matemática?

Número

de alunos

Ajudar mais os alunos, dar mais explicações, mais exemplos.

3

Aulas práticas, como medir área de um campo, de um prédio, etc. 1

Dinâmicas, atividades em grupo. 3

Mudar o professor Enoque 3

Não respondeu 3

Não soube dizer 4

Trazer aulas mais voltadas para o vestibular.

1

Quando perguntado se os alunos gostam de estagiários fiquei surpresa com as

respostas, 100% responderam que sim e ao que parece, em alguns momentos das falas,

pelos pronomes usados, pela colocação verbal, deram a entender que relacionaram esta

pergunta com o que eles acharam de mim como estagiária. Vejamos as respostas dos

alunos:

Quadro 12: Justificativa por gostar de estagiários.

Por quê gostam de estagiários? Numero de alunos

Não se diferenciam dos professores. 1

São legais, mente mais aberta e parece que

tornam o assunto mais fácil.

4

Passam muitas dicas. 1

São atenciosos e/ou ensinam bem 5

Aprendemos juntos, eles são mais 5





139

próximos dos alunos.

Ela é mais paciente 3

Não responderam 3

Pegam mais leve que o professor 2

Para matemática a minha resposta é sim,

mas em outras matérias já teve casos em

que os estagiários não explicam bem.

1

A seguir, no quadro 13, veremos o que os alunos pensam sobre como deve se

comportar um estagiário em sala de aula.

Quadro 13: Comportamento esperado dos estagiários pelos alunos.

9. Que comportamento você espera do

estagiário em sala de aula?

Número de alunos

Atitude de um professor 6

Competente e esforçado 4

Depende da matéria 1

Explique bem, tenha diálogo com a turma

e mantenha a autoridade.

6

Momentos de seriedade e momentos

descontraídos

2

Mudar a maneira de dar aula 1

Não respondeu 3

Paciente e/ou compreensivo. 2

Refletindo sobre o que os alunos disseram, faço aqui uma análise sobre mim

durante o tempo que estive como estagiária na turma do 3º A. Penso que me

comprometi, me esforcei, expliquei da melhor forma que pude, repetindo quando

necessário as explicações, auxiliei individualmente muitas vezes quando me solicitaram,

tivemos um diálogo bem legal, por vezes tivemos momentos bem descontraídos, mas





140

também momentos sérios onde foi preciso chamar a tenção da turma para colaborar

com a aula, e sobretudo fui paciente, sempre. Fiz o que foi possível naquele momento.

Supondo que os alunos fossem professores de matemática, perguntamos a eles

como eles ensinariam. Vejamos o que eles disseram:

Quadro 14: Como os alunos ensinariam se fossem professores de Matemática.

10. Se você fosse professor (a) de

Matemática como ensinaria aos alunos?

Número de alunos

Com atividades divertidas de vez em

quando.

2

Depende da série. 1

Explicaria de forma clara. 11

Faria campeonatos de matemática com

prêmios para aqueles que ganharem.

1

Mostraria a importância da matemática. 1

Não respondeu 4

Não sei, não seria professor. 3

Não souberam responder. 2

Pelo que se pode perceber no quadro 14, a maioria explicaria o conteúdo de

forma clara, que seja acessível ao aluno, proporcionando um fácil entendimento. Creio

que isso seja o objetivo de qualquer professor, não só de matemática como de qualquer

outra disciplina.

Na pergunta seguinte, eles revelaram sobre seus planos em relação à

universidade. Como se pode verificar no quadro abaixo, a maior parte dos alunos

pretende seguir com os estudos.

Quadro 15: Expectativa em ingressar na Universidade.

11. Pretende ingressar na

universidade?

Número de alunos Por quê





141

Sim

20

Porque quero ter uma

profissão (4); é preciso

estudar para viver

melhor (5); quero

alcançar minhas metas

(2); aprofundar meus

conhecimentos (5);

Não respondeu (4);

Não

2

Não gosto de estudar

(1); por enquanto não

me sinto preparada (1);

Está em dúvida 1 Não respondeu (1)

Não respondeu 2

Quadro 16: Curso Universitário pretendido pelos alunos.

12. Se pudesse ingressar na

universidade, sem fazer

vestibular, que curso

escolheria?

Por quê?

Número de alunos

Administração Gosto de administrar (1);

não respondeu (1);

2

Direito A profissão tem certas

vantagens, bons

concursos (1); tenho

interesse na área (1);

quero ser juíza (1);

3

Enfermagem Profissão bonita, simples

e que ajuda os outros (1);

não respondeu o porquê

(1).

2





142

Engenharia da computação Não respondeu. 1

Engenharia civil É o que mais quero pro

meu futuro (1); gosto da

área (3);

4

Medicina Gosto de ajudar os

outros (1).

1

Nutrição Afinidade 2

Odontologia Em minha opinião, é

bem remunerado.

1

Não sabem ainda 7

Não responderam 2

Psicologia É uma boa profissão. 1

Nota-se no quadro 16, que 17 dos alunos têm em mente para que curso seguir

uma carreira profissional, e outros ainda não se decidiram. Percebi também que os

alunos que pretendem fazer engenharia civil tem muita afinidade com as disciplinas de

cálculos, enquanto os que optaram por direito preferem a área de letras. As demais

profissões não houve uma relação entre disciplina que gosta e curso.

No quadro 17, pôde se estabelecer uma relação com a pergunta do quadro 2.

Neste, eles responderam que preferem outras atividades nas horas vagas, que ao que

consta seria uma delas, acessar a internet, pois a maioria acessa diariamente.

Quadro 17: Acessibilidade à internet.

13. Você costuma acessar a internet? Número de alunos

Não. 2

Sim, diariamente. 15

Sim, semanalmente. 7

Sim, mas raramente. 1

Quadro 17.





143

No quadro 18, percebemos que o acesso se dá principalmente a sites de entretenimento,

de pesquisa e principalmente à redes sociais.

Quadro 18: Sites mais acessados pelos alunos.

14. Caso sua resposta anterior seja sim,

quais sites você acessa com frequência?

Número de alunos

Redes sociais (Orkut, msn, face book,

twiter, etc.), sites de busca e/ou sites de

entretenimento.

17

Sites informativos 2

Sites de universidades ou de pré-

vestibulares.

4

Não respondeu 2

O fato dos alunos optarem por outras atividades nas horas vagas, pode

influenciar diretamente no rendimento escolar, pois muitas vezes os alunos deixam de

estudar para ficar usando o computador para fins que fogem da linha de estudos. A

maioria afirma que estuda apenas de uma a duas horas por semana, excluindo as horas

em sala de aula, o que representa um número pequeno de horas, pois são em média 10

disciplinas que eles têm e isto representa uma média de (no máximo) 12 minutos para

cada disciplina.

Quadro 19: Dedicação semanal aos estudos, com exceção as horas em sala de aula.

15. Quantas horas por semana,

aproximadamente, você dedica aos

estudos, excluindo as horas em sala de

aula?

Número de alunos

Nenhuma, apenas assisto às aulas. 1

Uma a duas. 10

Duas a três. 4





144

Três a cinco. 2

Só estudo em véspera de prova. 8

O reflexo da falta de estudos pode ser visto nos resultados da turma na avaliação

de matemática que segue na página seguinte.





145

QUADRO DE NOTAS DA UNIDADE II

TURMA: 3º A 2ª UNIDADE

Alunos (Os nomes foram

preservados)

Teste

(3,0)

Prova

(6,0)

Vistos

(1,0)

Projeto (1,0) -

extra Média

1. 2,5 1 1 1 5,5

2. fv fv fv fv Fv

3. 2,1 1,9 1 fv 5

4. 2,5 Transferido para o noturno

5. 2,3 2,8 1 1 7,1

6. 1,8 1,3 1 1 5,1

7. 0,5 1 1 1 3,5

8. fv fv fv fv Fv

9. 2,4 fv fv fv 2,4

10. 1,2 1 1 1 4,2

11. 1,5 1,5 1,0 1,0 5

12. 0,5 1 1,0 1,0 3,5

13. fv fv fv fv Fv

14. 1,0 2,0 1 1 5

15. 1,1 1,0 1 fv 3,1

16. 1,8 1,2 1,0 1,0 5

17. 1,2 1,0 1,0 1,0 4,2

18. 1,6 2,0 1,0 1,0 5,6

19. 2,8 2,4 1,0 fv 6,2

20. 1,0 1 1,0 1,0 4

21. 2,3 1 1,0 1,0 5,3

22. 3,0 1,5 1,0 fv 5,5

22. 1,5 1 1,0 fv 3,5

23. 1,0 1,0 1,0 1,0 4

24. 2,5 2,5 1,0 1,0 7

25. fv fv fv fv Fv

26. fv fv fv fv Fv

27. 1,8 1,2 1 1,0 5

28. 1,5 2,0 1 1,0 5,5

29. 1,1 1 1,0 fv 3,1

30. 1,0 fv 1,0 fv 2

31. 2,0 1 1,0 1 5

32. 1,6 1,7 1,0 1 5,3

33. 0,5 1 1,0 fv 2,5

34. 2,0 2 1,0 1,0 6

35. 2,0 1,0 1,0 1,0 5

36. 1,5 1,2 1,0 fv 3,7





146

37. fv fv fv fv Fv

38. 2,1 3,2 1,0 fv 6,3

Aprovados: 19 Transferido: 1

Reprovados: 13 Desistentes ao longo da I unidade: 6

Como se pode notar a maioria dos alunos obteve uma nota acima da média. Dos

que não alcançaram a média 5,0 da escola na disciplina de matemática, que foi um total

de 13 alunos, um dos motivos foi o não cumprimento de todas as atividades propostas,

isto é faltaram verificação (fv). Sendo assim, não foi o resultado desejado, pois acho que

poderiam ter se saído melhor na prova, mas considero satisfatórios os resultados.





147

CONCLUSÃO

A realização deste estágio foi de grande importância para mim, foi uma

experiência muito boa trabalhar com alunos de 3º ano. A sala na qual estagiei era

composta por 38 alunos, frequentada por 32, não é uma das melhores em relação a

desempenho, mas com certeza em simpatia, eles são. Como costuma acontecer, no 3º A

há alunos dedicados aos estudos e outros que nem tanto, simplesmente querem concluir

e nada mais.

A maior dificuldade que tive foi em relação a que tipo de metodologia usar para

trabalhar com polinômios, pois não há nada de muito novo ou de interessante em

relação a este conteúdo. Até mesmo encontrar problemas relacionados, foi algo difícil,

os livros trazem uma abordagem bem “seca” de forma que explica apenas as operações

e os métodos, não aprofundando na parte de aplicações.

A realização do trabalho com Análise combinatória, através de resolução de

problemas utilizando materiais palpáveis, foi muito enriquecedora e interessante.

Percebi que os alunos gostaram, eu também gostei e o objetivo de conduzir situações a

fim de promover aprendizagem, creio que foi atingido, pelo menos com a maioria dos

alunos.

As aulas que foram desenvolvidas sobre a disciplina estágio na UESB também

foram muito proveitosas. Discutimos teorias; compartilhamos as experiências de cada

colega durante o estágio; conhecemos os trabalhos desenvolvidos pelos colegas, que

apresentaram a forma com desenvolveram os projetos de ensino em suas turmas;

trabalhamos com aulas investigativas utilizando o computador; Enfim, foi de grande

valia e aprendizagem cada momento durante o Estágio Supervisionado III.

Estou consciente de que tentei fazer um bom trabalho dentro das circunstâncias.

Construí laços bem bacanas com alguns alunos e lembrarei com carinho da maioria

deles. Foi uma experiência única que vem a somar, podendo com base na vivência

obtida, tentar melhorar minhas próximas práticas pedagógicas. Sei que cada turma que

eu vier a ministrar a disciplina será uma nova aula mesmo que aplique o mesmo plano.

Estar em sala de aula exige dos professores constantemente estar aprendendo para/com





148

as inúmeras situações que surgem e hão de surgir dentro do contexto do conteúdo, e

fora dele também.





149

REFERÊNCIAS

ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. A resolução de problemas e o uso do

computador na construção do conceito de Taxa Média de Variação. Revista de

Educação Matemática, São Paulo, n.8, p.37-42. 2003.

ALMEIDA, Adriana Luziê de; FERREIRA, Ana Cristina. A Comunicação Matemática

como ferramenta para o ensino e a aprendizagem da Análise Combinatória no 2º ano do

Ensino Médio em uma escola pública de Itabirito (MG). Itabirito, MG [s. n.] 2009.

Disponível em:

<d.yimg.com/kq/groups/22309893/175814723/.../CCAdrianaAlmeida.do> Acesso em:

22 maio 2011.

BRASIL - Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1998.

DIREC 20. Disponível em: <http://blogdirec20.com.br/2010/06/02/centro-integrado-de-

educacao-navarro-de-brito-comemora-40-anos-de-inauguracao/> Acessado em 22 de

maio de 2011.


Paulo, 2005.

Fundação Roberto Marinho; FIESP. Telecurso 2000. Ensino médio –

Matemática.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=yqM0asBZl_A >

Acessado em: 20 de maio de 2011.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. 2.ed. São

Paulo: FTD,2005.





LIMA, Elon Lages. et. al. A matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade

Brasileira de Matemática, 1998.

NOVA Escola: Para professores do 1 grau. Ano X - n. 85, Junho, 1995, p. 22-25.

RAMOS, Agnelo Pires. et. al. Problemas matemáticos: caracterização, importância e

estratégias de resolução. São Paulo: IME- USP. 2001. Disponível em:

http://blogdirec20.com.br/2010/06/02/centro-integrado-de-educacao-navarro-de-brito-comemora-40-anos-de-inauguracao/

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150

www.esev.ipv.pt/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf. Acesso: 22

maio 2011.

VIERA, Fernanda Maria de Souza. Uma introdução á combinatória: Técnicas de

contagem Tese (Mestre em Matemática) – Universidade Portucalense, Porto, 2007.

Disponível em:

www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/.../visit.php?cid... Acessado

em: 22 maio 2011.

http://www.esev.ipv.pt/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/.../visit.php?cid





151

ANEXOS





152

Anexo 1 – ofício de encaminhamento à escola





153

Anexo 2: Fotos da oficina Análise Combinatória

Foto 1 Foto 2

Foto 3 Foto 4

Foto 6

Foto 5





154

Foto 7 Foto 8

Foto 9 Foto 10

Foto 11





155

Anexo 3: Questionário socioeconômico





156





157





158

Anexo 4: Acompanhamento das etapas do período de estágio: observação;

coparticipação e regência





159





160

art.com menmorial

Education