arthur cayley
DESCRIPTION
Arthur Cayley. “Kao i za sve drugo, tako i za matematičku teoriju vrijedi: ljepota se može spoznati, ali ne objasniti.”. Arthur Cayley. Rođen 16.8.1821. u Engleskoj 1838. upisao studij matematike Bio je pravnik Objavio 967 matematičkih radova Bio je najmlađi profesor u Cambridgeu u 19. st. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Arthur CayleyArthur Cayley
“Kao i za sve drugo, tako i za matematičku teoriju vrijedi: ljepota se može spoznati, ali ne objasniti.”
Arthur CayleyArthur CayleyRođen 16.8.1821. u
Engleskoj1838. upisao studij
matematikeBio je pravnikObjavio 967
matematičkih radova
Bio je najmlađi profesor u Cambridgeu u 19. st.
Arthur CayleyArthur CayleyPokret za
sveučilišno obrazovanje žena
Umro je za vrijeme uređivanja svojih sabranih dijela 26.1.1895.
Dao svoje doprinose u različitim granama matematike
Cayleyjev radCayleyjev rad
Uspostavio teoriju grafova kao samostalnu matematičku disciplinu
Primjene u kemiji
Bavio se posebnom vrstom grafova – stablima
PrimjerPrimjerCrteži kemijskih
molekulaMolekulu
prikazujemografom na sljedećinačin:
Molekula vode H2O.
H — O — H
Imamo 3 vrha povezana s 2 brida
2 vrha predstavljaju atome vodika, a jedan vrh atom kisika
U geometriji...U geometriji...Cayley je razvio geometriju u n
dimenzija
Njegov rad primjenjen je na proučavanje kontinuuma prostor – vrijeme
Predložio da se euklidska i neeuklidske geometrije promatraju kao posebni tipovi geometrija
Veliki doprinosVeliki doprinos
Osim u teoriji grafova i geometriji, imao je veliki značaj u teoriji grupa
Postavio je temelje modernoj teoriji matrica
Veliki doprinosVeliki doprinos
Po Cayleyu je nazvano mnogo matematičkih pojmova, posebno u algebri
Neki od njih su:
- Cayleyjev teorem- Cayleyjeve tablice- Cayley – Hamiltonov teorem
Cayleyjev teoremCayleyjev teoremSvaka konačna grupa izomorfna je
nekoj grupi permutacija.Jednostavnije, konačna grupa je neki
konačan skup na kojem je definirana neka operacija.
Ta operacija mora imati svojstva:- zatvorenost- asocijativnost- ima neutralni element- svaki element ima inverzni
PrimjerPrimjerSkup {1,2,...,12} (sati) uz
operaciju “zbrajanje na satu”.Vidimo da operacija “zbrajanje na
satu” ima sva potrebna svojstva:
tu je 1+2=3, ali također 5+10=3neutralni element je 1210+2=12 – inverzni element od 10 je 2
Cayleyjeve tabliceCayleyjeve tabliceIzomorfnost dviju grupa znači da se
te grupe razlikuju samo po karakteru ili imenima operacija i elemenata.
Kada njihova pravila upišemo u “tablicu zbrajanja”, izgedat će jednako
Pogledajmo to na primjeru
PrimjerPrimjerGrupa {0,1} s operacijom
binarnog zbrajanja ima tablicu:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
Grupa s elementima ∆ i i s operacijom takva je njezina tablica ovakva:
∆
∆ ∆
∆
Vidimo da se te tablice razlikuju samo po oznakama, ali ne i po smislu, tj. one predstavljaju izomorfne grupe.
Cayleyjevi rezultati su bili previše ispred vremena pa u tom trenutku nisu imali bitnog utjecaja. Kasnije su bitno unaprijedili teoriju grupa.
MatriceMatriceCayley je postavio temelje
modernoj teoriji matricaNjegov rad poslužio je kao temelj
kvantne mehanikePrvi je dao apstraktnu definiciju
matriceDefinirao je operacije s
matricamaPrvi uveo množenje matrica
Cayley – Hamiltonov Cayley – Hamiltonov teoremteoremSvaka kvadratna matrica
zadovoljava svoju kvadratnu jednadžbu.
Karakteristična jednadžba matrice je jednadžba det(A-xI)=0, gdje je I jedinična matrica s istim brojem redaka i stupaca kao A, a x nepoznanica.
PrimjerPrimjerZa A= je
A-xI= pa je
Det(A-xI) = x2-2x+1, tj. karakteristična
jednadžba je x2-2x+1 = 0.
01
12
x
x
1
12
Cayley-Hamiltonov teorem kaže da A možemo uvrstiti na mjesto x te da, ako slobodni član shvatimo kao slobodni član puta jedinična matrica, dobit ćemoistinitu matričnu jednakost:
A2 − 2A + 1· I = 0
Problem četiri bojeProblem četiri boje
Problem: Može li se bilo koja karta obojiti četirima bojama tako da susjedne države budu različito obojene?
Problem četiri bojeProblem četiri boje
Cayley je jedan od mnogih matematičara koji se bavio ovim, naizgled jednostavnim problemom
nije uspio dokazati teorem, ali došao je do nekih vrlo važnih zaključaka
1. zaključak1. zaključak
Ako je proizvoljna karta, koja se sastoji od
n država, već obojena s četiri boje i ako toj
karti dodamo jednu državu, tada se i nova
karta od n+1 država može obojiti četirima
bojama.
2. zaključak2. zaključakCayley je zaključio kako je dovoljnopromatrati samo karte kod kojih se u svakomčvoru dodiruju točno tri države, tzv. kubnekarte.Naime, ako se u nekom čvoru susreće višeod triju država, tada se na taj čvor postavimala kružna “zakrpa”, oboji se tako dobivena kubna karta, a zatim se zakrpa jednostavno ukloni.
2. zaključak2. zaključakDodavanje i izbacivanje zakrpe:
3. zaključak3. zaključak
Ako je Teorem o četiri boje istinit, tada se
bojenje karata uvijek može izvesti na takav
način da se sve države koje leže uz rub
karte mogu obojiti najviše trima bojama.
Rješenje problema:Rješenje problema:
Cayley je pokušao riješiti ovaj problem na razne načine:
- Metodom matematičke indukcije- Metodom kontradikcije
Rješenje metodom Rješenje metodom matematičke indukcijematematičke indukcijeProblem se javio zbog toga što postoji bezbrojnačina na koje se nekoj karti može dodati još
jednadržava.
Kako odrediti kojom bojom treba obojiti tu dodanu
državu?
U nekim situacijama je to lako, no sigurno imaslučajeva kad to nije jednostavno jer je
potrebnopromijeniti boju cijelom nizu prethodno obojenihdržava.
Rješenje metodom Rješenje metodom kontadikcijekontadikcijeZamislimo da je Teorem lažan i da postoje nekekarte koje se ne mogu obojiti samo četirimabojama.
Među svim takvim uljezima za koje je potrebno 5 ili
više boja, izaberimo onu s najmanjim brojem država.
Nazovimo je najmanjim uljezom.
Dokazati Teorem o 4 boje,sada znači dokazati da najmanji uljezi ne
postoje.
Rješenje metodom Rješenje metodom kontadikcijekontadikcijeMetoda je zakazala već kod
promatranja država s 4, 5 ili više bridova (Cayley ju je pokazao za 3 brida).
Teorem o šest bojaTeorem o šest bojaIako nije uspio dokazati tvrdnju, njegova ideja se pokazala korisnom: njome se
mogla dokazati slabija tvrdnja:
Svaka karta može se obojiti sa šest boja
tako da susjedne države budu obojenerazličito.
ZaključakZaključakCayley je bio vrlo svestran
matematičarbio je najmlađi profesor na Cambridgeu
u 19. stoljećuautor je 967 matematičkih radova iz
raznih područjabavio se geometrijom, teorijom
grafova, teorijom grupa, matricama i drugim matematičkim problemima
dao je veliki doprinos u raznim granama matematike, posebno u algebri
LiteraturaLiteratura
S. Gračan: “Četiri su dovoljne!”, Matka, broj 41 / godina 9. / 2007.
Franka Miriam Brückler: Povijest matematike II
Hvala na pažnji!Hvala na pažnji!
Katica BabićAnita JukićManuela Pavić