arthur cayley

Download Arthur Cayley

Post on 01-Jan-2016

51 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Arthur Cayley. “Kao i za sve drugo, tako i za matematičku teoriju vrijedi: ljepota se može spoznati, ali ne objasniti.”. Arthur Cayley. Rođen 16.8.1821. u Engleskoj 1838. upisao studij matematike Bio je pravnik Objavio 967 matematičkih radova Bio je najmlađi profesor u Cambridgeu u 19. st. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

  • Arthur Cayley

    Kao i za sve drugo, tako i za matematiku teoriju vrijedi: ljepota se moe spoznati, ali ne objasniti.

  • Arthur CayleyRoen 16.8.1821. u Engleskoj1838. upisao studij matematikeBio je pravnikObjavio 967 matematikih radovaBio je najmlai profesor u Cambridgeu u 19. st.

  • Arthur CayleyPokret za sveuilino obrazovanje enaUmro je za vrijeme ureivanja svojih sabranih dijela 26.1.1895.Dao svoje doprinose u razliitim granama matematike

  • Cayleyjev rad

    Uspostavio teoriju grafova kao samostalnu matematiku disciplinu

    Primjene u kemiji

    Bavio se posebnom vrstom grafova stablima

  • PrimjerCrtei kemijskih molekulaMolekulu prikazujemografom na sljedeinain:

    Molekula vode H2O.H O H

    Imamo 3 vrha povezana s 2 brida2 vrha predstavljaju atome vodika, a jedan vrh atom kisika

  • U geometriji...Cayley je razvio geometriju u n dimenzija

    Njegov rad primjenjen je na prouavanje kontinuuma prostor vrijeme

    Predloio da se euklidska i neeuklidske geometrije promatraju kao posebni tipovi geometrija

  • Veliki doprinos

    Osim u teoriji grafova i geometriji, imao je veliki znaaj u teoriji grupa

    Postavio je temelje modernoj teoriji matrica

  • Veliki doprinos

    Po Cayleyu je nazvano mnogo matematikih pojmova, posebno u algebri

    Neki od njih su:

    - Cayleyjev teorem- Cayleyjeve tablice- Cayley Hamiltonov teorem

  • Cayleyjev teoremSvaka konana grupa izomorfna je nekoj grupi permutacija.Jednostavnije, konana grupa je neki konaan skup na kojem je definirana neka operacija.Ta operacija mora imati svojstva:- zatvorenost- asocijativnost- ima neutralni element- svaki element ima inverzni

  • PrimjerSkup {1,2,...,12} (sati) uz operaciju zbrajanje na satu.Vidimo da operacija zbrajanje na satu ima sva potrebna svojstva: tu je 1+2=3, ali takoer 5+10=3 neutralni element je 12 10+2=12 inverzni element od 10 je 2

  • Cayleyjeve tabliceIzomorfnost dviju grupa znai da se te grupe razlikuju samo po karakteru ili imenima operacija i elemenata.

    Kada njihova pravila upiemo u tablicu zbrajanja, izgedat e jednako

    Pogledajmo to na primjeru

  • PrimjerGrupa {0,1} s operacijom binarnog zbrajanja ima tablicu:

    +01001110

  • Grupa s elementima i i s operacijom takva je njezina tablica ovakva:

  • Vidimo da se te tablice razlikuju samo po oznakama, ali ne i po smislu, tj. one predstavljaju izomorfne grupe.

    Cayleyjevi rezultati su bili previe ispred vremena pa u tom trenutku nisu imali bitnog utjecaja. Kasnije su bitno unaprijedili teoriju grupa.

  • MatriceCayley je postavio temelje modernoj teoriji matricaNjegov rad posluio je kao temelj kvantne mehanikePrvi je dao apstraktnu definiciju matriceDefinirao je operacije s matricamaPrvi uveo mnoenje matrica

  • Cayley Hamiltonov teoremSvaka kvadratna matrica zadovoljava svoju kvadratnu jednadbu.

    Karakteristina jednadba matrice je jednadba det(A-xI)=0, gdje je I jedinina matrica s istim brojem redaka i stupaca kao A, a x nepoznanica.

  • PrimjerZa A= je

    A-xI= pa je

    Det(A-xI) = x2-2x+1, tj. karakteristina

    jednadba je x2-2x+1 = 0.

  • Cayley-Hamiltonov teorem kae da A moemo uvrstiti na mjesto x te da, ako slobodni lan shvatimo kao slobodni lan puta jedinina matrica, dobit emo istinitu matrinu jednakost:A2 2A + 1 I = 0

  • Problem etiri boje

    Problem: Moe li se bilo koja karta obojiti etirima bojama tako da susjedne drave budu razliito obojene?

  • Problem etiri boje

    Cayley je jedan od mnogih matematiara koji se bavio ovim, naizgled jednostavnim problemom

    nije uspio dokazati teorem, ali doao je do nekih vrlo vanih zakljuaka

  • 1. zakljuakAko je proizvoljna karta, koja se sastoji odn drava, ve obojena s etiri boje i ako tojkarti dodamo jednu dravu, tada se i novakarta od n+1 drava moe obojiti etirimabojama.

  • 2. zakljuakCayley je zakljuio kako je dovoljnopromatrati samo karte kod kojih se u svakomvoru dodiruju tono tri drave, tzv. kubnekarte.Naime, ako se u nekom voru susree vieod triju drava, tada se na taj vor postavimala kruna zakrpa, oboji se tako dobivena kubna karta, a zatim se zakrpa jednostavno ukloni.

  • 2. zakljuakDodavanje i izbacivanje zakrpe:

  • 3. zakljuak

    Ako je Teorem o etiri boje istinit, tada sebojenje karata uvijek moe izvesti na takavnain da se sve drave koje lee uz rubkarte mogu obojiti najvie trima bojama.

  • Rjeenje problema:Cayley je pokuao rijeiti ovaj problem na razne naine:

    Metodom matematike indukcijeMetodom kontradikcije

  • Rjeenje metodom matematike indukcijeProblem se javio zbog toga to postoji bezbrojnaina na koje se nekoj karti moe dodati jo jednadrava.

    Kako odrediti kojom bojom treba obojiti tu dodanudravu?

    U nekim situacijama je to lako, no sigurno imasluajeva kad to nije jednostavno jer je potrebnopromijeniti boju cijelom nizu prethodno obojenihdrava.

  • Rjeenje metodom kontadikcijeZamislimo da je Teorem laan i da postoje nekekarte koje se ne mogu obojiti samo etirimabojama.

    Meu svim takvim uljezima za koje je potrebno 5 ilivie boja, izaberimo onu s najmanjim brojem drava.Nazovimo je najmanjim uljezom.

    Dokazati Teorem o 4 boje,sada znai dokazati da najmanji uljezi ne postoje.

  • Rjeenje metodom kontadikcijeMetoda je zakazala ve kod promatranja drava s 4, 5 ili vie bridova (Cayley ju je pokazao za 3 brida).

  • Teorem o est bojaIako nije uspio dokazati tvrdnju, njegova ideja se pokazala korisnom: njome se mogla dokazati slabija tvrdnja:

    Svaka karta moe se obojiti sa est bojatako da susjedne drave budu obojenerazliito.

  • ZakljuakCayley je bio vrlo svestran matematiarbio je najmlai profesor na Cambridgeu u 19. stoljeuautor je 967 matematikih radova iz raznih podrujabavio se geometrijom, teorijom grafova, teorijom grupa, matricama i drugim matematikim problemimadao je veliki doprinos u raznim granama matematike, posebno u algebri

  • Literatura

    S. Graan: etiri su dovoljne!, Matka, broj 41 / godina 9. / 2007.

    Franka Miriam Brckler: Povijest matematike II

  • Hvala na panji!

    Katica BabiAnita JukiManuela Pavi

View more