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Distribuido con autorización de los autores.
Presentado en el Automatisa 2013; Bogotá, Colombia
CONTROL PID DESACOPLADO PARA UN SISTEMA DE
TANQUES INTERACTUANTES
Andrea Carolina Aguilar Aguilar
Oscar Camilo Castro Urresta
Francisco Franco Obando
PALABRAS CLAVE
Planta Multivariable, MIMO, SISO, Tanques Interactuantes, Desacoplador, método por
ubicación de polos, ISE
RESUMEN
Dentro de los procesos industriales es común encontrar sistemas donde la variable controlada es el
nivel de dos o más tanques cuyo comportamiento dinámico es dependiente del caudal producto de
otros tanques generando una dependencia mutua, donde el control de cada variable puede presentar una
dependencia fuerte del comportamiento de otras variables. En este documento se muestra la
implementación de un control PID desacoplado para un sistema de tanques interactuantes en el cual se
busca llevar a cabo el control en dos de ellos.
1. INTRODUCCION
En la actualidad, y pese al sorprendente desarrollo de la teoría de control y del soporte tecnológico
necesario para su implementación, según [1] el controlador de estructura PID se emplea casi con
exclusividad en el ambiente industrial de todo el mundo, donde cerca del 95 % de los lazos de control
emplean un PID.
La mayoría de los procesos industriales tienen más de un lazo de control. Cada proceso requiere
normalmente el control de al menos dos variables. Los sistemas con más de un lazo se clasifican como
sistemas de múltiples-entradas múltiples-salidas MIMO por sus siglas en ingles o sistemas
multivariables. Una entrada afecta a varias salidas y recíprocamente una salida es afectada por varias
entradas [2].
Dada la importancia de los sistemas MIMO, este trabajo se enfoca en la implementación de un control
PID para un sistema de tanques interactuantes (para el caso de estudio se trabajo con una planta de
tanques interactuantes con la cual cuenta la Universidad del Cauca) en el cual las variables controladas
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son los niveles de dos tanques y las variables manipuladas son los caudales de entrada al sistema de
tanques, en el cual se tienen válvulas manuales que afectan el flujo cambiando el comportamiento
dinámico del sistema. Además la planta permite emular disturbios en los caudales ya sea a la entrada
como a la salida de cada tanque y a su vez ver el comportamiento de los controladores.
El artículo inicia con la descripción del sistema de tanques y su funcionamiento, seguidamente se
muestra el modelado matemático que describe el comportamiento de la planta y su validación.
Posteriormente, se describe el diseño del esquema de control multivariable, linealización alrededor de
los puntos de operación, el desacoplamiento de variables y la sintonización de los controladores.
Finalmente se presentan los resultados obtenidos del control implementado.
2. DESCRIPCION DEL PROCESO
La planta multivariable del laboratorio de control de proceso de la Universidad del Cauca está
compuesta por seis tanques de almacenamiento, dos motobombas, cuatro electroválvulas, dos sensores
de caudal, dos sensores de nivel y un circuito hidráulico con válvulas manuales.
Como se puede observar en el diagrama P&ID de la figura 1, los tanques se encuentran distribuidos en
tres niveles, para el primer nivel los tanques pulmón 5 y 6, en el nivel medio los tanques 1 y 2 y los
tanques 3 y 4 en el nivel superior. La motobomba 1 es la encargada de impulsar el agua desde el tanque
5 hacia los tanques 1 y 4, la motobomba 2 alimenta los tanques 2 y 3 desde el tanque 6.
Dependiendo de la apertura de las válvulas manuales y el flujo entregado por las motobombas al
sistema, variaran los flujos de entrada y los niveles de cada tanque. El diseño físico de la planta permite
que el agua este circulando constantemente por el circuito hidráulico, ya que el agua que entra a los
tanques 1, 2, 3 y 4 regresa a los tanques pulmón por medio de agujeros de desagüe, los tanques 3 y 4 se
vacían en los tanques 1y 2 y estos en los tanques 5 y 6 finalmente.
El sistema presenta características importantes, como el área variable de los tanques 1 y 2 semejante a
la forma de un cono truncado y sobre los cuales se encuentra implementado el monitoreo del sistema
por medio de sensores de nivel y caudal. Los instrumentos situados en el tablero de control son los
encargados de encender las motobombas, electroválvulas, enviar y recibir señales de los sensores. La
cantidad de flujo que llega a los tanques se controla por medio de los variadores de frecuencia
monofásica configurados de acuerdo con las especificaciones de las motobombas.
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Figura 1. Diagrama de P&ID Planta Multivariable basado en la norma ISA 5.1 y 5.4
Fuente: Autor
La tabla 1 muestra cada elemento del diagrama de flujo con su respectiva etiqueta y descripción.
Tabla 1. Descripción de Instrumentos
Elemento Etiqueta Descripción
Motobomba 1 PP1 Motobomba 1 lazo de control 1
PP2 Motobomba 2 lazo de control 2
Tanques TK1 – TK2 Tanques 1 y 2 de área variable
TK3 – TK4 Tanques 3 y 4 de área constante
Válvulas
Manuales
LV101-3 – LV102-3 Válvulas de entrada tanques 1 y 2
LV101-5 – LV102-5 Válvulas de entrada tanques 3 y4
LV101-2 – LV102-2
Válvulas que regulan la cantidad de flujo para emular
disturbios en el flujo de entrada al sistema en conjunto con
electroválvulas.
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LV101-4 – LV102-4
Válvulas que regulan la cantidad de flujo para emular
disturbios en el flujo de salida del sistema en conjunto con
electroválvulas.
LV101-1 – LV102-1
Válvulas que regulan la cantidad de flujo que se deriva de
las tuberías de entrada a los tanques 1 y 2. También llamada
válvula de Bypass cuya función es evitar el fenómeno
conocido como golpe de ariete que puede provocar daños en
tuberías y actuadores.
Electroválvulas
FY101-1 – FY102-1
Ubicadas en la derivación de las tuberías de entrada a los
tanques 1 y 2, su función al ser activadas o desactivadas es
emular la activación o desactivación de disturbios en el flujo
de entrada.
FY101-2 – FY102-2
Ubicadas a la salida del flujo de los tanques 1 y 2. su
función al ser activadas o desactivadas es emular la
activación o desactivación de disturbios en el flujo de
salida.
2.1. MODELO MATEMATICO NO LINEAL DE LA PLANTA
El modelo desarrollado se obtuvo a partir del balance de masa para cada tanque y el divisor de flujo de
la planta, una representación matemática de la dinámica del sistema se muestra en las ecuaciones (1),
(2), (3) y (4):
√
√
( )
(1)
√
√
( )
(2)
√
( )
(3)
√
( )
(4)
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Donde:
: Caudal proveniente de la motobomba 1.
: Caudal proveniente de la motobomba 2.
: Área del tanque.
: Altura del líquido en el tanque.
: Área del orificio de salida del fluido del tanque.
: Coeficiente de descarga del fluido en el tanque.
: Constante proporcional del divisor de flujo.
: Porcentaje de apertura de la válvula.
: Gravedad en .
Las ecuaciones corresponden a los caudales de entrada y salida para cada tanque además tiene asociada
la relación de división del flujo a partir de válvulas manuales LV101-3, LV-101-5, LV102-3 y LV102-
5 de los cuales se supone un comportamiento lineal.
La identificación paramétrica se realizo con prácticas en la planta, una vez los parámetros de la planta
se obtuvieron se procedió a validar el modelo obtenido para ver si la aproximación realizada en las
ecuaciones (1) a (4) se aproximaba a la dinámica de la planta, para ello se comparo el modelo de la
planta con la planta misma, esto se hizo generando entradas de escalón en la planta y monitoreando las
variables de nivel y caudal. Posteriormente se implementaron en el simulador las mismas entradas al
modelo y se obtuvieron los resultados mostrados en la figura2 y figura 3.
Figura 2. Comportamiento Real vs Estimado frente a un escalón de 6.5 GPM
con la válvula manual LV 101-3 completamente abierta
Fuente: Autor
50 100 150 200 2500
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Tiempo (seg)
Niv
el (
cm)
Modelo
Real
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Figura 3. Comportamiento Real vs Estimado frente a un escalón de 6.82 GPM
con la válvula manual LV 102-3 completamente abierta
Fuente: Autor
2.2. PUNTOS DE OPERACION
Para calcular los valores de los puntos de operación
, dados los valores deseados de
. Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4), se pueden escribir de la siguiente forma para el sistema en
estado estacionario:
√ ( )
(5)
√ ( )
Y
√
( )
( )
(6)
√
( )
( )
0 50 100 150 200 250 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Tiempo (seg)
Niv
el (c
m)
(cm
)
Modelo Real
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2.3. MODELO LINEALIZADO
Las ecuaciones que describen el comportamiento de la planta, presentan una no linealidad debido a la
raíz cuadrada en la cual se encuentra la altura de cada tanque. El modelo linealizado alrededor de un
punto de operación representado en espacio de estados se muestra a continuación.
[ √
√
√
√
√
√
]
[ ( )
( )
( )
( )
]
(7)
[
]
Con el modelo expresado en espacio de estados, se calcula la matriz de función de transferencia lineal
para el proceso de la siguiente manera:
( ) ( ) (8)
( ) [
] (9)
Donde y son las matrices del sistema en espacio de estados (7), la matriz identidad.
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Resolviendo las ecuaciones anteriores, se obtiene la matriz de función de transferencia que se muestra a
continuación:
( ) [
(( ) )
( )
(( ) ) (( ) )
( )( )
(( ) ) (( ) )
( )( )
(( ) )
( )
] (10)
Donde
√
3. ESQUEMA DE CONTROL
La construcción de un esquema de control adecuado para el sistema de cuatro tanques consiste en
sintonizar dos controladores PID uno para cada lazo y la obtención del respectivo desacoplador que
tiene como objetivo reducir la interacción generada por los lazos [3]. La figura 4 muestra el esquema
funcional del control que se desea implementar.
Figura 4. Diagrama funcional del esquema de control
Fuente: Autor
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3.1 DESACOPLADORES
En ocasiones es necesario eliminar la interacción presente en los lazos de control, [2] la
implementación de un compensador que cancele las interacciones resulta una solución adecuada ya que
permite la sintonía de controladores en los lazos de forma individual, es decir, descompone el sistema
multivariable en subsistemas de una variable. La figura 5 representa un esquema de control con
desacopladores para un sistema multivariable [4].
Figura 5. Sistema de control desacoplado
Fuente: Autor
Este sistema se encuentra descrito por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) (11)
El objetivo es construir un sistema diagonal, ya que el controlador C(s) es un sistema diagonal el
objetivo será alcanzado garantizando que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (12)
Para determinar D(s) será necesario calcular el inverso de G(s)
( ) ( ) ( ) (13)
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Donde G(s)-1
es:
( ) ( ( ))
( ( )) (14)
Donde ( ( )) y ( ( )) denota respectivamente la adjunta y el determinante de G(s) y para el
sistema presente es:
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) [ ( ) ( )
( ) ( )]
(15)
Entonces el desacoplador tendrá la forma:
( ) ( ) ( ) [
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )]
( ( )) (16)
La representación más simple será asumiendo los términos en la diagonal principal iguales a uno [5],
con lo cual se obtiene un compensador:
( ) (
) (17)
(18)
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4. SINTONIZACION
Para sintonizar los controladores PID, se utilizo el método de Ubicación de Polos,, ya que los lazos se
encuentran desacoplados es posible sintonizar cada uno de ellos de manera independiente. De la matriz
de transferencia ( ) se toma la función ya que contiene los términos del tanque 1 y 3 importantes
para efectos de control del lazo 1. Para este primer lazo se tiene:
( ) (( ) ) (( ) )
( )( ) (19)
Con los valores de la función de transferencia se modificando los polos y ceros del controlador
mejorando la respuesta del sistema hasta alcanzar la deseada y se obtienen los valores de los
parámetros del controlador de acuerdo al método seleccionado. Para la sintonización del primer
controlador se escogió el método Integral del error cuadrático (ISE), dando como resultado la respuesta
del sistema de la figura 6.
Figura 6. Respuesta de ( ) sintonizada – Metodo de ubicación de polos
Fuente: Autor
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De la matriz de transferencia ( ) se toma la función , ya que contiene los términos del tanque 2 y
4 importantes para efectos de control. Para el segundo lazo se tiene:
( ) (( ) ) (( ) )
( )( ) (20)
Para la sintonización del segundo controlador se escogió el método Integral del error cuadrático (ISE),
dando como resultado la respuesta del sistema de la figura 7.
Figura 7. Respuesta de ( ) sintonizada - Metodo de ubicación de polos
Fuente: Autor
La ecuación característica para un PID paralelo esta dada por:
(
) (21)
Esta contiene los valores de las constantes del controlador para cada lazo sintonizado.
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La tabla 2 contiene los valores de las constantes para cada controlador sintonizado.
Tabla 2. Valores de las constantes de los controladores para el esquema de control MIMO implementado
Constantes PID PID lazo 1 PID lazo 2 Proporcional (Kp)
⁄
⁄
Integral (Ti)
Derivativa (Td)
5. IMPLEMENTACION DEL CONTROLADOR
Para la implementación del esquema de control multivariable se desarrollo una aplicación software en
tiempo real que posibilita la comunicación directa con los instrumentos de la planta facilitando de esta
manera la adquisición, monitoreo, registro y control de las diferentes variables del proceso entre las
cuales se encuentran las señales provenientes de los sensores de nivel, sensores de caudal, variadores
de velocidad y el encendido y apagado de las motobombas y electroválvulas. Esta herramienta
desarrollada permite capturar y generar señales en tiempo real mediante un modelo software en
diagramas de bloques. El escenario de control planteado para la implementación del esquema es un
escenario basado en computar por lo tanto para que la comunicación sea posible debe existir un
elemento físico que permita la interacción entre el computador y la planta, en este caso este elemento es
una tarjeta tipo PCI para adquisición de datos (DAQ) que permite operar con señales de entrada y
salidas analógicas y digitales. El diagrama en bloques implementado se muestra en la figura 8.
Figura 8. Implementación esquema de control PID MIMO
Fuente: Autor
CONTROL TANQUE 1
CONTROL TANQUE 2
sp_2
10
sp_1
10
niveles y consignas
SP_1
Nivel 1
SP_2
Nivel 2
m to cm
-K-
cm to m _2
-K-
cm to m _1
-K-
Señales de error
Q to V
Q1(m3/seg)
Q2(m3/seg)
PID_2
e u
PID_1
e u
Niveles
Nivel TK 1 (m)
Nivel TK 2 (m)
DESACOPLADOR
Q1(m3/s)
Q2(m3/s)
Q_1
Q_2
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0 200 400 600 800 10000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
-4
Tiempo (seg)
Cau
dal (
m3/
seg)
Señal de salida del controlador del lazo 1
Señal de salida del controlador del lazo 2
0 200 400 600 800 10000
1
2
3
4
5
6
Tiempo (seg)
Vol
taje
(V)
Esfuerzo de Control Lazo 1
Esfuerzo de Control Lazo 2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (seg)
Niv
el (c
m)
Set Point Tanque 1
Nivel Tanque 1
Set Point Tanque 2
Nivel Tanque 2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tiempo (seg)
Err
or
(m)
5.1 PRUEBAS AL CONTROLADOR
En esta primera prueba se analizara el comportamiento de los controladores ante cambios en el Setpoint
Figura 9. Cambio de consigna tanque 2 – incremento en el valor de referencia
a) b)
c) d)
Fuente: Autor
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0 200 400 600 800 1000 1200 14000
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo (seg)
Volta
je (V
)
Esfuerzo de Control Lazo 1
Esfuerzo de Control Lazo 2
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
1
2
3
4
5
6x 10
-4
Tiempo (seg)
Caud
al (m
3/se
g)
Señal de salida del controlador del lazo 1
Señal de salida del controlador del lazo 2
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (seg)
Niv
el (c
m)
Set Point Tanque 1
Nivel Tanque 1
Set Point Tanque 2
Nivel Tanque 2
0 200 400 600 800 1000 1200 1400-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tiempo (seg)
Err
or
(m)
Señal de error Nivel TK1
Señal de error Nivel TK2
En las anteriores figuras se observa el cambio en el valor del Setpoint del tanque 2 de 10cm a 12cm
(figura 9a) y cómo afecta al tanque 1 que permanece con un valor de referencia constante en 10 cm.
Debido al cambio se puede ver un leve aumento en el nivel para el tanque 1 en aproximadamente 600
segundos, lo que se asume por parte del controlador como una perturbación la cual es atendida
inmediatamente para lograr estabilizar el nivel del tanque 1 en el valor original. En la figura se puede
apreciar la variable a controlar vs. el valor de referencia (figura 9a), así como también la señal de error
(figura 9b) y los esfuerzos de control dados en términos de voltaje (figura 9d)y caudal (figura 9c) por el
hecho de que el modelamiento y la sintonización de los controladores se realizo en términos de caudal.
Lo anterior demuestra la interacción que existe entre los lazos y reafirma la necesidad del esquema de
control multivariable ya que al optar por un sistema de control de una entrada y una salida SISO por
sus siglas en ingles, la planta presentaría inconvenientes al tratar de ser controlada, debido
principalmente a que no podría asumir la interacción eficientemente.
Figura 10. Cambio de consigna tanques 1 – incremento en el valor de referencia
a) b)
c) d)
Fuente: Autor
Distribuido con autorización de los autores.
Presentado en el Automatisa 2013; Bogotá, Colombia
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Tiempo (seg)
Niv
el (
cm)
Set Point Tanque 1
Nivel Tanque 1
Set Point Tanque 2
Nivel Tanque 2
En la figura 10 se observa cómo afecta el cambio en el valor del Setpoint (figura 10a) del tanque 1, de
10cm a 12cm, al tanque 2 que permanece con un valor de referencia constante en 10 cm. Este cambio
hace que el nivel en el tanque se descompense lo cual ocasiona que el controlador del lazo 1 trate de
suplir ese cambio aumentando el esfuerzo de control generando, por ende, un aumento de caudal lo
cual conlleva también a un aumento en el nivel del tanque 2 que es asumido por el controlador como
una perturbación a la cual le da atención inmediata.
A continuación se puede observar el comportamiento del sistema frente a cambios de consigna
simultaneos y de mayor magnitud.
Figura11. Cambio simultaneo en el valor de consigna tanques 1 y 2– Interacción entre lazos
a)
b) c)
Fuente: Autor
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
4
5
6
7x 10
-4
Tiempo (seg)
Ca
ud
al (m
3/s
eg
)
Señal de salidaControlador Lazo 1
Señal de salidaControlador Lazo 2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo (seg)
Vo
lta
je (
V)
Esfuerzo de Control Lazo 1
Esfuerzo de Control Lazo 2
Distribuido con autorización de los autores.
Presentado en el Automatisa 2013; Bogotá, Colombia
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tiempo (seg)
Err
or
(m)
Señal de error Nivel Tanque 1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (seg)
Niv
el (c
m)
Set Point
Nivel Tanque 2
En la figura 11a como se puede observar se llevo el sistema a un valor de estado estacionario a través
de un primer valor de consigna de 7cm para el tanque 1 y de 10 cm para el tanque 2, una vez
estabilizada la planta se aplica simultáneamente un cambio en el valor de referencia, en un tiempo de
400 seg. aproximadamente, incrementando el nivel de tanque 1 hasta 12 cm y el del tanque 2 hasta 15
cm. Así mismo se detalla como al momento de presentarse los cambios de consigna en cada uno de los
tanques el controlador asume esto de forma rápida aumentando la señal de esfuerzo de control (figura
11c) lo cual se traduce en que el sistema requiere mas caudal (figura 11b) para compensar el desfase de
nivel.
Pruebas de respuesta del sistema ante disturbios
Figura 12. Nivel en el tanque 1 frente a un disturbio en el caudal de entrada
a) b)
c) d)
Fuente: Autor 0 200 400 600 800 1000
1
2
3
4x 10
-4
Tiempo (seg)
Cau
dal (
m3/
seg)
Señal de salida del controlador del lazo 2
0 200 400 600 800 10000
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo (seg)
Vol
taje
(V)
Esfuerzo de Control Tanque 1
Distribuido con autorización de los autores.
Presentado en el Automatisa 2013; Bogotá, Colombia
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo (seg)
Niv
el (c
m)
Set Point
Nivel Tanque 2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Tiempo (seg)
Err
or
(m)
Señal de error Nivel TK2
Como se puede detallar en la figura 12, se llevo el sistema a un valor de estado estable de 10cm
posterior se aplicó un disturbio de entrada en aproximadamente 550 seg. a través de la activación de la
electroválvula FY 101-1 lo cual provoca que el caudal que ingresa al tanque disminuya haciendo que el
nivel del fluido en el tanque se perturbe y decaiga aproximadamente 2 cm por debajo del valor de
referencia (figura 12a). Posteriormente gracias a la acción de control (Figuras 12c y 12d) el nivel
vuelve a estabilizarse en el valor de referencia deseado.
Figura 13. Nivel en el tanque 2 frente a un disturbio en el caudal de salida
a) b)
c) d)
Fuente: Autor
0 200 400 600 800 10000
1
2
3
4
5
6
Tiempo (seg)
Vo
ltaje
(V
)
Esfuerzo de Control Tanque 2
0 200 400 600 800 10001
2
3
4x 10
-4
Tiempo (seg)
Ca
ud
al (
m3
/se
g)
Señal de salida del controlador del lazo 2
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Como se observa en la figura 13 al aplicar un disturbio en aproximadamente en 550 seg. (figura 13a) a
través del caudal de salida del tanque 2 mediante la activación de la electroválvula FY 102-2 esto
ocasiona una caída en el nivel del tanque de aproximadamente 2 cm, esta perturbación resulta ser no
critica por lo que es atendida y regula por el controlador el cual mediante la acción de control (figuras
13c y 13d) establece el valor de referencia nuevamente en el valor original.
6. CONCLUSIONES
El esquema de control PID implementado presenta un buen comportamiento al ser sometido a
diferentes pruebas como cambio de consigna para los dos tanques simultáneamente, o uno a la vez para
observar la iteración de un lazo sobre el otro así como la presencia de disturbios que generan una caída
de cauda en cada tanque.
La dinámica del controlador simulada en comparación con la real, es similar lo que comprueba que el
modelado del sistema y el proceso de sintonización fue el adecuado. El desacoplador ayuda a reducir la
iteración entre lazos permitiendo tratarlo como un sistema SISO. A pesar de esto, como se puede
observar en las graficas de prueba a los controladores, la iteración no logra eliminarse completamente
del proceso y se aprecian algunas pequeñas variaciones de caudal que el sistema logra estabilizar
nuevamente en el valor deseado.
Se diseño una interface de usuario para facilitar el manejo de la aplicación software desarrollada a
través de diagramas en bloques para reducir así la complejidad en el monitoreo de la planta donde se
pueden observar las diferentes señales de los sensores, modificar la frecuencia de los variadores,
encender o apagar electroválvulas o motobombas. Otra interfaz de usuario tiene implementado el
esquema de control en donde es posible ingresar los valores de las constantes de los controladores y los
valores de las funciones de transferencia de la red de desacoplamiento.
7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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[2] MEJÍA GIRALDO, Diego A., BOLAÑOS O., Ricardo Andrés, CORREA F., Carlos Adrián. “Técnicas de
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[4] ESPINOSA, Jairo J. “Control Lineal de Sistemas Multivariables”. Versión 3.0. 2003.4
Distribuido con autorización de los autores.
Presentado en el Automatisa 2013; Bogotá, Colombia
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