Arus Bolak-Balik

BAB XXI

ARUS BOLAK-BALIK

21.1 Tegangan Sinusoida

Dalam banyak pemakaian, tegangan listrik yang digunakan dihasilkan oleh sumber

dalam bentuk tegangan yang berubah dengan waktu secara sinusoida. Demikian juga

dalam rangkaian elektronika banyak digunakan tegangan semacam ini yang dihasilkan

oleh osilator. Tegangan sumber yang berubah dengan waktu secara sinusoida dapat

dinyatakan dengan persamaan:

V = Vm Sin t

(21.1)

Dimana: V adalah tegangan sesaat, Vm adalah tegangan maksimum (amplitudo

tegangan), dan adalah frekuensi sudut (2f).

Grafik tegangan fungsi waktu dapat dilihat pada Gambar 21.1.

V

Vm

0 t

TGambar 21.1 Grafik tegangan fungsi waktu

Untuk menyatakan harga tegangan AC, maka digunakan beberapa besaran sebagai

berikut:

a. Tegangan sesaat: yaitu tegangan pada suatu saat t, dapat dihitung dengan persamaan

(21.1), jika diketahui Vm, , dan t.

b. Amplitudo tegangan Vm; yaitu harga maksimum tegangan.

c. Tegangan puncak-ke puncak Vpp: adalah beda antara tegangan minimum dan

tegangan maksimum, Vpp = 2 Vm.

d. Tegangan rata-rata Vrata: tegangan ini langsung terukur pada voltmeter AC,

Fisika Dasar XXI-1

Arus Bolak-Balik

e. Tegangan rms Vrms: karena untuk selang waktu satu perioda, harga rata-rata tegangan

sinusoida = 0, maka untuk menghindari ini digunakan tegangan root-mean-square

(Vrms) yaitu: .

21.2 Resistor, Kapasitor, dan Induktor dalam Rangkaian AC

21.2.1 Resistor dalam Rangkaian AC

Bila sebuah resistor dengan tahanan R dihubungkan dengan sumber tegangan bolak-

balik (AC), maka beda potensial antara a dan b ( kedua ujungnya) adalah:

Vab = V = Vm sin t

(21.2)

Seperti halnya pada rangkaian arus searah, pada rangkaian AC juga berlaku hulum Ohm,

sehingga arus sesaat yang melalui resistor adalah:

maka arus maksimumnya adalah

(21.3)sehingga:

I = Im sin t

(21.4)

Dari persamaan (21.4) tampak bahwa arus yang melalui resistor sefase dengan tegangan

yang dipergunakan.

21.2.2 Kapasitor dalam Rangkaian AC

Suatu kapasitor dengan kapasitansi C yang dihubungkan pada sebuah sumber tegangan

AC. Apabila q adalah muatan sesaat pada kapasitor, maka

Q = C Vab = C Vm sin t

Maka arus sesaat pada rangkaian

Arus maksimumnya adalah

Fisika Dasar XXI-2

Arus Bolak-Balik

Im = C Vm

(21.5)

Sehingga arus sesaat:

(21.6)

Dari persamaan (21.6) tampak bahwa fase arus yang melalui kapasitor mendahului /2

terhadap fase tegangannya.

Reaktansi kapasitif didefinisikan sebagai:

(21.7)

maka bentuk persamaan (21.6) menyerupai hukum Ohm

(21.8)

Dari persamaan (21.8) jelas bahwa XC menyatakan hambatan yang disebabkan oleh

kapasitor terhadap arus yang melewatinya sehingga mempunyai satuan ohm ().

Contoh 1:

Sebuah kapasitor dengan kapasitansi 8 F dihubungkan dengan generator AC yang

mempunyai tegangan maksimum 150 V dan frekuensi 60 Hz. Hitunglah harga reaktansi

kapasitif dan arus maksimum dalam rangkaian tersebut.

Penyelesaian:

Frekuensi sudut = 2f

Reaktansi kapasitif:

Arus maksimum dalam rangkaian:

21.2.3 Induktor dalam Rangkaian AC

Fisika Dasar XXI-3

Arus Bolak-Balik

Sebuah induktor murni dengan induktansi L, dihubungkan pada sebuah tegangan AC.

Bila i menyatakan arus sesaat yang melalui induktor, maka beda potensial antara ujung-

ujung induktor adalah:

Menurut hukum Kirchhoff kedua:

Integrasi kedua persamaan tersebut menhasilkan

Arus maksimum

(21.9)

sehingga arus sesaat dapat ditulis:

(21.10)

Dari persamaan (21.10) tampak bahwa fase arus melalui induktor tertinggal /2 terhadap

fase tegangannya.

Persamaan (21.9), arus maksimum dapat pula ditulis dalam bentuk

(21.11)dengan

XL = L

(21.12)

XL dinamakan reaktansi induktif induktor, satuan reaktansi induktif adalah volt per

ampere atau ohm.

Contoh 2:

Sebuah induktor dengan induktansi 50 mH dihubungkan dengan generator AC 220 V

dengan frekuensi 50 Hz, hitunglah:

a. Tegangan maksimum pada induktor

Fisika Dasar XXI-4

Arus Bolak-Balik

b. Reaktansi induktif

c. Arus maksimum dalam rangkaian.

Penyelesaian:

a. Tegangan maksimum pada induktor adalah sama dengan tegangan maksimum

generator AC, yaitu Vm = 220 V.

b. Reaktansi induktif:

c. Arus maksimum dalam rangkaian sama dengan arus maksimum yang melalui

induktor:

21. 3 Rangkaian R-L-C

21.3.1 Rangkaian Seri R-L-C

Tiga buah komponen listrik dirangkai seri yang terdiri dari resistor (R), kapasitor (C),

dan induktor (L), dihubungkan dengan sumber tegangan AC seperti pada Gambar 21.2.

R L C

a b

V = Vm sin t

Gambar 21.2 Rangkaian seri R-L-C

Jika tegangan sumber diberikan dengan persamaan:

V = Vm sin t

maka arus yang melalui rangkaian tersebut dapat ditulis:

I = Im sin (t - )

(21.13)

Fisika Dasar XXI-5

Arus Bolak-Balik

dimana im adalah arus maksimum dan adalah beda fase antara arus dan tegangan

sumber. Penerapan hukum Kirchhoff II pada rangkaian seri R-L-C di atas memberikan

persamaan:

V = VR + VC + VL

(21.14)

Besaran tersebut di atas adalah besaran-besaran yang berubah terhadap waktu secara

sinusoida, masing-masing dengan harga maksimum Vm, VR = Im R, VC = Im XC, VL = IL

XL.

Untuk mendapatkan hubungan antara fasor I dan V pada rangkaian tersebut, maka lebih

mudah diselesaikan dengan menggunakan diagram fasor, dengan memperhatikan bahwa

pada rangkaian seri, arus yang melalui masing-masing elemen tentu mempunyai

amplitudo dan fase yang sama, karena hanya ada satu saluran arus.

Dengan memperhatikan beda fase antara arus dan tegangan pada masing-masing elemen,

yaitu VR sefase dengan Im, VC tertinggal terhadap Im, dan VL mendahului terhadap

Im, sehingga dapat dilukis dalam diagram fasor pada Gambar 21.3.

VL vL Im VL Vm Im

vR VR

VL - VC VR

t

vC VC VC

(a) (b)

Gambar 21.3 a) Diagram fasor rangkaian serib) Diagram fasor hubungan arus dan tegangan AC.

Untuk memperoleh hasil penjumlahan vektor (Vm), mula-mula fasor VL dikurangi

dengan fasor VC (karena keduanya selalu terletak pada garis yang sama) sehingga

diperoleh fasor VL – VC. Karena fasor ini tegak lurus dengan fasor VR seperti terlihat

pada Gambar 21.3b, maka

Fisika Dasar XXI-6

Arus Bolak-Balik

(21.15)

Dari hubungan persamaan sebelumnya, maka persamaan (21.15) menjadi:

(21.16)

dengan: XL = .L, dan

Dari persamaan (6.16) diperoleh arus maksimum rangkaian, yaitu:

(6.17)

maka nilai impedansi Z adalah:

(6.18)

sehingga untuk rangkaian seri R-L-C dapat ditulis:

Vm = Im Z (6.19)

Satuan impedansi Z adalah volt per ampere (V/A) atau ohm (). Sudut adalah sudut

fase atau beda antara tegangan Vm dan arus rangkaian Im dapat dinyatakan sebagai

berikut:

(6.20)

Bila XL > XC, maka sudut fase positif, artinya arus tertinggal terhadap tegangan, dan

bila XL < XC maka sudut fase negatif berarti arus mendahului tegangan yang dipasang.

Bila XL = XC, maka sudut fase nol. Dalam hal ini, impedansi Z setara dengan R dan arus

rangkaian mempunyai harga maksimum, yaitu:

21.3.2 Rangkaian Seri R-C

Penerapan hukum Kirchhoff II pada rangkaian seri R-C (Gambar 21.4) memberikan

persamaan:

V = VR + VC =

(21.21)

Fisika Dasar XXI-7

Arus Bolak-Balik

R C

V

Gambar 21.4 Rangkaian seri R-C

Impedansi rangkaian adalah:

atau

(21.22)

Sudut fase antara arus dan tegangan:

(21.23)

Ini berarti bahwa arus mendahului tegangan sebesar terhadap fase tegangan.

21.3.3 Rangkaian Seri R-L

Rangkaian R-L pada Gambar 21.5 memberikan tegangan yang dapat dinyatakan dengan:

V = VR + VL = ......................................................................

(21.24)

R L

V = Vm sin t

Gambar 21.5 Rangkaian seri R-L

Impedansi rangkaian:

Fisika Dasar XXI-8

Arus Bolak-Balik

(21.25)

Sedangkan sudut fase arus dan tegangan:

(21.26)

21.3.4 Rangkaian Seri L-C

Impedansi rangkaian seri L-C adalah:

(21.27)

Sedangkan sudut fase antara arus dan tegangan adalah:

Contoh 3:

Rangkaian seri R-L-C pada Gambar 21.2 diketahui R = 300 , L = 0,8 H, C = 4,5 F, f

= 50 Hz, dan Vm = 200 V, hitunglah:

a. Impedansi rangkaian

b. Harga maksimum arus dalam rangkaian

c. Sudut fase antara arus dan tegangan yang digunakan

d. Harga-harga maksimum dan harga-harga sesaat tegangan pada masing-masing

elemen.

Penyelesaian:

a. XL = .L = (2.f) L = 2 (3,14) (50 Hz) (0,8 H) = 251

Impedansi rangkaian:

Fisika Dasar XXI-9

Arus Bolak-Balik

b. Harga maksimum arus rangkaian:

c. Sudut fase antara arus dan tegangan yang digunakan adalah:

negatif berarti bahwa arus mendahului tegangan.

d. Harga maksimum tegangan pada masing-masing elemen:

VR = Im R = (0,366 A) (300 ) = 109,8 V

VC = Im XC = (0,366 A) (708 ) = 259,1 V

VL = Im XL = (0,366 A) (251 ) = 91,9 V

Asumsi bahwa sudut fase tegangan yang digunakan tertinggal 56,70 terhadap arus, maka

harga-harga sesaat arus dan tegangan yang digunakan masing-masing adalah:

I = Im sin t = 0,366 sin (314.t) A

V = Vm sin (t – 56,70) = 200 sin (314.t – 56,70) V

Sedang harga sesaat tegangan pada masing-masing elemen adalah:

VR = VR sin (t) = (109,8) sin (314.t) V

21.3.5 Rangkaian Paralel R-L-C

Rangkaian paralel R-L-C (Gambar 21.6) dimana tegangan pada setiap elemen sama dan

arus yang melalui masing-masing elemen umumnya berbeda. Tegangan yang digunakan

adalah

V = Vm sin t, IR R

IL L

IC C

Fisika Dasar XXI-10

Arus Bolak-Balik

V = Vm sin tGambar 21.6 Rangkaian paralel R-L-C

Persamaan arus sesaat pada masing-masing elemen dapat dinyatakan sebagai berikut:

dengan

(21.28)

dengan (21.29)

dengan

(21.30)Diagram fasor dapat dilukiskan:

IC Im

Vm

IC – IL IR

IL

Gambar 21.7 Diagram fasor rangkaian paralel R-L-C

Impedansi rangkaian paralel dapat dihitung sebagai berikut. Dari diagram fasor (Gambar

21.7) tampak bahwa:

(21.31)

Dengan menggunakan hubungan persamaan (21.28), persamaan (21.29), dan persamaan

(21.30), maka persamaan (21.31) menjadi:

Fisika Dasar XXI-11

Arus Bolak-Balik

`

dengan impedansi rangkaian:

(21.32)

Sudut fase antara arus Im dan tegangan Vm diperoleh dari:

(21.33)

21.4 Daya pada Rangkaian AC

Daya sesaat yang diberikan oleh sumber tegangan AC adalah:

P = I V = Im sin (t - ) Vm sin t

= Im Vm sin t sin (t - )

(21.34)

Karena sin (t -) = sin t cos - cos t sin , maka:

P = Im Vm sin2 (t) cos - Im Vm sin t cos t sin

(21.35)

Selanjutnya akan dihitung daya rata-rata selama selang waktu satu atau lebih periode,

dengan mengingat bahwa Im, Vm, , dan konstan.

Catatan:

sin2 t = ½ (1- cos 2 t), sehingga harga rata-rata sin2 t = ½, karena haraga rata-

rata cos (2 t) = 0.

sin t cos t = ½ sin 2 t, sehingga harga rata-rata sin t = 0, karena harga rata-rata

sin 2 t = 0.

Fisika Dasar XXI-12

Arus Bolak-Balik

Dengan demikian, daya rata-rata adalah:

(21.36)

Pada rangkaian AC, arus dan tegangan umumnya diukur dengan alat ukur yang telah

dikalibrasikan pada pembacaan harga rms (root mean square) atau sering disebut harga

efektif). Perhatikan tegangan AC dengan persamaan:

V = Vm sin t

V2 = Vm2 sin2 t

Harga rata-rata (V2) untuk satu periode:

(V2)rata = Vm2 (sin2 t)rata = ½ Vm

2.

Dengan demikian dapat didefinisikan tegangan rms (Vrms) atau tegangan efektif (Vef),

yaitu:

(21.37)

Sebagai contoh, tegangan PLN pada jaringan rumah tangga sebesar 220 V, berarti

tegangan rms-nya adalah 220 V. Jadi, amplitudo tegangan adalah:

Dengan cara yang sama, arus rms didefinisikan:

(21.38)

Daya rata-rata bila dinyatakan dengan harga rms untuk arus dan tegangan menjadi:

(21.39)

cos dinamakan faktor daya.

Dari Gambar 21.3b terlihat bahwa tegangan maksimum pada resistor.

VR = Vm cos = Im R

Sehingga daya rata-rata menjadi:

Fisika Dasar XXI-13

Arus Bolak-Balik

(21.40)

Ini berarti bahwa daya rata-rata yang diberikan oleh sumber tegangan AC hilang

(berubah) sebagai kalor dalam resistor dan tidak ada daya yang hilang dalam kapasitor

maupun induktor. Bila beban hanya terdiri dari resistor saja, maka = 0 dan cos 0 = 1,

sehingga daya rata-rata adalah

(21.41)

Contoh 4:

Hitunglah daya rata-rata dalam rangkaian seri R-L-C pada contoh 3.

Penyelesaian:

Tegangan rms:

= - 56,70, cos = 0,549.

Daya rata-rata:

21.5 Resonansi pada Rangkaian Seri R-L-C

Perhatikan rangkain seri R-L-C pada Gambar 21.2, jika tegangan sumber AC yang

digunakan adalah V = Vm sin t, maka arus sesaat yang melalui rangkaian adalah:

I = Im sin (t - )

Atau

dengan

dan

Fisika Dasar XXI-14

Arus Bolak-Balik

Dari persamaan di atas tampak bahwa bila frekuensi sudut berubah, arus akan berubah

pula baik amplitudo maupun fasenya. Arus akan mencapai harga maksimum bila harga

Z minimum, yaitu bila:

XL – XC = 0

Atau

(21.42)

Frekuensi sudut pada saat arus mencapai harga maksimum dinamakan frekuensi

resonansi (o), yaitu:

(21.43)

Contoh 5:

Pada rangkaian seri R-L-C diketahui R = 150 , L = 20 mH, Vm = 20 V, dan = 5000 s-

1. Tentukanlah besarnya kapasitansi C agar arus dalam rangkaian mencapai harga

maksimum dan tentukan pula harga maksimum arus tersebut.

Penyelesaian:

Arus maksimum dicapai apabila = o.

Pada keadaan resonansi, XL = XC, dan Z = R, sehingga harga arus maksimum adalah:

Soal-soal Latihan

1. b c Diketahui: R = 8 , XL = 6 , dan XC = 12

L dan Vcd = 120 V

R C Hitunglah:

a d a. Vac b. Vad

Fisika Dasar XXI-15

Arus Bolak-Balik

Kunci:

a. Vac = 100 Volt

b. Vad = 220 Volt

2. Suatu induktor dengan reaktansi 10 dan kapasitor dengan reaktansi 25 (diukur

pada frekuensi 60 Hz) dihubungkan seri dengan hambatan 10 . Rangkaian tersebut

dipasang pada beda tegangan 100 V, AC 60 Hz.

a. Hitung beda potensial pada masing-masing komponen

b. Nyatakan potensial dan arus pada rangkaian tersebut.

Kunci:

a. VR = 55,5 Volt, VL = 55,5 Volt, dan VC = 138,7 Volt

b. V = 141,2 Sin 377 t Volt dan I = 7,84 Sin (377 t –56,30) Ampere.

3. L Pada gambar di samping diketahui R = 3 , L = 4

mH

R dan C = 500 F. Jika V = 1002 cos (1000t), maka

a b C c hitunglah:

a. Besar impedansi rangkaian

V b. Vbc.

Kunci:

a. Zac = 5

b. Vbc = 80 volt.

MODUL BAB XX ARUS BOLAK-BALIKNAMA :

NIM :

1. Tegangan sumber dari rangkaian di bawah berupa sinusoidal dengan Vrms = 100

Volt,

R C frekuensi tegangan f = 50 Hz, R = 30 , dan XC = 40

.

Hitunglah:

Fisika Dasar XXI-16

Arus Bolak-Balik

a. Harga kapasitansi C

V b. Impedansi total

c. Arus rata-rata

d. Fasanya.

Kunci:

a. C = 79,6 F,

b. Z = 50 ,

c. I = 2 ampere,

d. = -53,130.

MODUL BAB XX ARUS BOLAK-BALIKNAMA :

NIM :

2. Pada gambar di bawah ini, jika harga R = 4 , C = 150 F, L = 60 mH, f = 60 Hz

dan

R L C Vm = 300, tentukanlah:

a. Reaktansi kapasitif

b. Reaktansi induktif

Fisika Dasar XXI-17

Arus Bolak-Balik

V = Vm sin t c. Impedansi

d. Arus maksimum

e. Sudut fase.

Kunci:

a. XC = 17,7

b. XL = 22,6 ,

c. Z = 6,32

d. Imax = 47,47 A

e. e. = 50,80.

3. Pada rangkaian seri R = 20 dan L = 0,1 Henry diberi arus i(t) = 5 sin t

ampere. Tentukanlah:

a. Tegangan setiap saat bila bekerja pada frekuensi 50 Hz.

b. Daya rata-rata dalam satu periode.

Kunci:

a. V(t) = 100 Sin (314 t + 57,50)

b. = 134,5 Watt

Fisika Dasar XXI-18